UNIVERSIDAD CARLOS III. MICROECONOMÍA AVANZADA. Primer Cuatrimestre Año 2012 PROBLEMAS TEMA I. (1) Consideremos una economı́a de intercambio con dos agentes con preferencias del tipo Cobb–Douglas u1 (x, y) = xα y 1−α u2 (x, y) = xβ y 1−β con 0 ≤ α, β ≤ 1. Los recursos iniciales son ω 1 >> 0, ω 2 >> 0. (a) Calcular las asignaciones que son Pareto eficientes. (b) Calcular los precios de equilibrio. Solución: (a) Asignaciones que son Pareto eficientes: u1 (x, y) = xα y 1−α u2 (x, y) = xβ y 1−β ω 1 = (ω11 , ω21 ) ω 2 = (ω12 , ω22 ) utilizaremos las siguientes preferencias v1 (x1 , y1 ) = α ln x1 + (1 − α) ln y1 = ln u1 v2 (x2 , y2 ) = β ln x2 + (1 − β) ln y2 = ln u2 Las asignaciones P.E. son solución de max s.a t(α ln x1 + (1 − α) ln y1 ) + (1 − t)(β ln x2 + (1 − β) ln y2 ) x1 + x2 = ω1 = ω11 + ω12 y1 + y2 = ω2 = ω21 + ω22 Las condiciones de primer orden son, ∂L ∂x1 : ∂L ∂x2 : ∂L ∂y1 : ∂L ∂y2 : tα =λ x1 (1 − t)β =λ x2 t(1 − α) =µ y1 (1 − t)(1 − β) =µ y2 De las dos primeras se obtiene tα = λx1 y sumando, por lo que, (1 − t)β = λx2 tα + (1 − t)β = λω1 λ= tα + (1 − t)β ω1 Asimismo, de las dos últimas, t(1 − α) = µy1 (1 − t)(1 − β) = µy2 1 y sumando de donde, t(1 − α) + (1 − t)(1 − β) = µω2 ω2 t(1 − α) + (1 − t)(1 − β) µ= Las asignaciones P.E. son: x1 x2 y1 y2 tα tα = ω1 λ tα + (1 − t)β (1 − t)β (1 − t)β = ω1 = λ tα + (1 − t)β t(1 − α) = ω2 t(1 − α) + (1 − t)(1 − β) (1 − t)(1 − β) ω2 = t(1 − α) + (1 − t)(1 − β) = 0 ≤ t ≤ 1. (b) Precios de equilibrio: Sea p = (p1 , p2 ) los precios de equilibrio. Llamamos z i = p · ω i la renta del agente i = 1, 2, bajo estos precios. La demanda del agente 1 está determinada por el problema de maximización max xα y 1−α x,y s.a. p1 x + p2 y = z 1 El lagrangiano es L = xα y 1−α + λ(z 1 − p1 x − p2 y). Las ecuaciones de Lagrange son ∂L =αxα−1 y 1−α − λp1 = 0 ∂x ∂L =(1 − α)xα y −α − λp2 = 0 ∂y p 1 x + p2 y = z 1 Multiplicando la primera ecuación por x y la segunda por y y sumando, obtenemos xα y 1−α = λ(p1 x + p2 y) = λz 1 Sustituyendo xα y 1−α por λz 1 en las ecuaciones de Lagrange, obtenemos αλz 1 =λp1 x (1 − α)λz 1 =λp2 y de donde αz 1 (1 − α)z 1 , x12 = p1 p2 Análogamente, obtenemos para el agente 2, x11 = x21 = βz 2 , p1 x22 = (1 − β)z 2 p2 En equilibrio, los mercados se vacı́an, por lo que x11 + x21 =ω11 + ω12 x12 + x22 =ω21 + ω22 Sustituyendo los valores obtenidos en la primera ecuación, vemos que αz 1 βz 2 + = ω11 + ω12 p1 p1 2 y sustituyendo z 1 =p1 ω11 + p2 ω21 z 2 =p1 ω12 + p2 ω22 obtenemos αω11 + βω12 + de donde
p2 αω21 + βω22 = ω11 + ω21 p1 p2 (1 − α)ω11 + (1 − β)ω12 = p1 αω21 + βω22 Y, obtenemos los precios de equilibrio p1 =αω21 + βω22 p2 =(1 − α)ω11 + (1 − β)ω12 Sustituyendo estos precios en las expresiones de xik se obtienen las asignaciones de equilibrio. (2) Supongamos que las funciones de utilidad de los agentes son u1 (x, y) = max{x, y}, u2 (x, y) = min{x, y} y los recursos iniciales agregados son ω = (4, 1). Representar las asignaciones Pareto eficientes. Solución: Las asignaciones Pareto eficientes están representadas en el diagrama siguiente (4,1) 3 (3) Supongamos que las funciones de utilidad de los agentes son u1 (x, y) = x + 2y, u2 (x, y) = min{x, y} y los recursos iniciales agregados son ω = (3, 1). Representar las asignaciones Pareto eficientes. Solución: Las asignaciones Pareto eficientes están representadas en el diagrama siguiente (3,1) (4) Consideremos una economı́a de intercambio con dos consumidores y dos bienes. El conjunto de consumo 2 . La dotación total de recursos iniciales es ω = (1, 1). Determinar el conjunto de cada agente es Xi = R+ de las asignaciones Pareto eficientes para cada uno de los siguientes pares de preferencias: (a) u1 (x11 , x12 ) = ln x11 + ln x12 , u2 (x21 , x22 ) = ln x21 + ln x22 . (b) u1 (x11 , x12 ) = x11 , u2 (x21 , x22 ) = x22 . (c) u1 (x11 , x12 ) = x11 x12 , u2 (x21 , x22 ) = x22 . (d) u1 (x11 , x12 ) = ln x11 + (x12 )2 , u2 (x21 , x22 ) = x21 x22 . (e) u1 (x11 , x12 ) = min{x11 , 2x12 }, u2 (x21 , x22 ) = min{x21 , x22 }. Solución: Apartado a): Las asignaciones Pareto Eficientes corresponden a soluciones del problema siguiente para algunos pesos positivos α1 , α2 de la función de bienestar social max α1 ln x11 + α1 ln x12 + α2 ln x21 + α2 ln x22 s.a. x11 + x21 = 1 x12 + x22 = 1 el lagrangiano asociado al problema es L= 2 X i=1 αi (ln xi1 + ln xi2 ) + γ1 (1 − x11 − x21 ) + γ2 (1 − x12 − x22 ) y las condiciones de primer orden son ∂L ∂x11 ∂L ∂x12 ∂L ∂x21 ∂L ∂x22 α1 x11 α1 = 1 x2 α2 = 2 x1 α2 = 2 x2 = − γ1 = 0 − γ2 = 0 − γ1 = 0 − γ2 = 0 operando obtenemos que α1 =γ1 x11 α2 =γ1 x21 α1 =γ2 x12 α2 =γ2 x22 4 Sumando las dos primeras y dos últimas ecuaciones, vemos que γ1 = γ2 = α1 + α2 , por lo que α1 x11 = x12 = α1 + α2 α2 2 2 x1 = x2 = α1 + α2 son las asignaciones Pareto eficientes con αi ≥ 0, i = 1, 2, α1 +α2 > 0. Normalizando α1 = α, α2 = 1−α, con 0 ≤ α ≤ 1 concluimos que las asignaciones eficientes de Pareto son de la forma x11 = x12 =α x21 = x22 =1 − α con 0 ≤ α ≤ 1. Observemos que este problema también puede resolverse como un caso particular del problema 1. Apartado b): Como la función de utilidad del primer agente sólo depende del primer bien y la del segundo sólo depende del segundo, la única asignación Pareto eficiente es (1, 1). Apartado c): El agente 2 es indiferente al primer bien. Las únicas asignaciones Pareto eficiente son de la forma x1 = (x11 , x12 ) = (1, t), x2 = (x21 , x22 ) = (0, 1 − t), 0 ≤ t ≤ 1 Apartado e): Vamos a probar que las asignaciones Pareto eficientes son x {(x11 , x12 , x21 , x22 ) = (x, y; 1 − x, 1 − y) : 0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ x} 2 Para comprobarlo consideremos una asignación de la forma (x11 , x12 , x21 , x22 ) = (x, y; 1 − x, 1 − y) con, por ejemplo, x ≤y≤x 2 entonces u1 (x, y) = min{x, 2y} = x En cuanto al agente 2, tenemos que y ≤ x por lo que x21 = 1 − x ≤ 1 − y = x22 y entonces u2 (1 − x, 1 − y) = min{1 − x, 1 − y} = 1 − x por lo que, siempre que x2 ≤ y ≤ x: ambos agentes son indiferentes a la variación de consumo del segundo bien. Si, por ejemplo, y > x > x/2 (y, por tanto 1 − x > 1 − y), entonces u1 (x, y) = min{x, 2y} = x < y = u1 (y, y) u2 (1 − x, 1 − y) = min{1 − x, 1 − y} = 1 − y = u2 (1 − y, 1 − y) Es decir, la asignación (x11 , x12 , x21 , x22 ) = (y, y; 1 − y, 1 − y) domina en el orden de Pareto a la asignación (x11 , x12 , x21 , x22 ) = (x, y; 1 − x, 1 − y). Por otra parte, si y < x/2 < x (y, por tanto 1 − x < 1 − y), entonces u1 (x, y) = min{x, 2y} = y = u1 (y, y) u2 (1 − x, 1 − y) = min{1 − x, 1 − y} = 1 − x < 1 − y = u2 (1 − y, 1 − y) Es decir, la asignación (x11 , x12 , x21 , x22 ) = (y, y; 1 − y, 1 − y) domina en el orden de Pareto a la asignación (x11 , x12 , x21 , x22 ) = (x, y; 1 − x, 1 − y). 2 (5) Para cada una de las siguientes economı́as de intercambio con conjuntos de consumo X1 = X2 = R+ • Calcular las funciones de demanda de cada agente, el precio de equilibrio y el equilibrio de Walras. • Determinar el conjunto de asignaciones que son Óptimos de Pareto. Utilizar esta información para calcular de nuevo los precios y las asignaciones de equilibrio. (a) ui (x, y) = 2 ln x + ln y, i = 1, 2, ω 1 = (1, 1), ω 2 = (1, 1). ρ ρ (b) ui (x, y) = x + y , i = 1, 2, 0 < ρ < 1, ω 1 = (1, 0), ω 2 = (0, 1). √ 1 2 (c) u1 (x1 , y) = xy, u2 (x, y) = (xy) , ω 1 = (1, 0), ω 2 = (0, 1). (d) u1 (x, y) = xy, u2 (x, y) = ln x + ln y, ω 1 = (18, 4), ω 2 = (3, 6). 2 (e) u1 (x, y) = x + y2 , u2 (x, y) = x + y 2 , ω 1 = (0, 4), ω 2 = (4, 2). √ √ √ (f) u1 (x, y) = 2 xy, u2 (x, y) = 2 x + 2 y, ω 1 = (3/2, 1/2), ω 2 = (3/2, 1/2). 5 (g) u1 (x, y) = a ln x + (1 − a) ln y (con 0 < a < 1), u2 (x, y) = min{x, y}, ω 1 = (0, 1), ω 2 = (1, 0). Solución: (a) Este es un caso particular del problema (1) con α= 1 , 2 β= 1 3 Justifica estos valores de α y β. (b) Precios de equilibrio: Este también es un caso particular del problema (1) con 1 3 (Justifica estos valores de α y β). También vamos a resolverlo sin utilizar el problema (1). Dados los precios p = (p1 , p2 ) la demanda del agente 1 está determinada por el problema de maximización α=β= max 2 ln x + ln y x,y s.a. p1 x + p2 y = z 1 donde z 1 = p1 + p2 es la renta del agente 1, bajo estos precios. El lagrangiano es L = 2 ln x + ln y + λ(z 1 − p1 x − p2 y). Las ecuaciones de Lagrange son ∂L 2 = − λp1 = 0 ∂x x ∂L 1 = − λp2 = 0 ∂y y p 1 x + p2 y = z 1 Multiplicando la primera ecuación por x y la segunda por y y sumando, obtenemos 3 = λ(p1 x + p2 y) = λz 1 de donde λ= y 3 z1 z1 2z 1 , x12 = 3p1 3p2 Análogamente, obtenemos para el agente 2, x11 = x21 = 2z 2 , 3p1 x22 = z2 3p2 En equilibrio, los mercados se vacı́an, por lo que x11 + x21 =ω11 + ω12 = 2 x12 + x22 =ω21 + ω22 = 2 Sustituyendo los valores obtenidos, vemos que 2 1 (z + z 2 ) = 2 3p1 1 1 (z + z 2 ) = 2 3p2 por lo que 1 p2 = p1 2 Obtenemos los precios de equilibrio p1 = 2, p2 = 1 y las asignaciones de equilibrio x11 = x21 = x12 = x22 = 1 6 Asignaciones Pareto eficientes: Son solución del problema max 2α1 ln x11 + α1 ln x12 + 2α2 ln x21 + α2 ln x22 s.a. x11 + x21 = 2 x12 + x22 = 2 El lagrangiano asociado es L = 2α1 ln x11 + α1 ln x12 + 2α2 ln x21 + α2 ln x22 + γ1 (2 − x11 − x21 ) + γ2 (2 − x12 − x22 ) Obtenemos las condiciones de primer orden ∂L 2α1 = 1 − γ1 = 0 ∂x11 x1 ∂L α1 = − γ2 = 0 ∂x12 x12 ∂L 2α2 = 2 − γ1 = 0 ∂x21 x1 ∂L α2 = − γ2 = 0 ∂x22 x22 Operando, obtenemos que 2α1 + 2α2 =γ1 (x11 + x21 ) = 2γ1 α1 + α2 =γ2 (x12 + x22 ) = 2γ2 de donde γ1 = α1 + α2 , γ2 = α1 + α2 2 Obtenemos 2α1 2α1 =x12 = α1 + α2 α1 + α2 2α2 2α2 2 2 =x2 = x1 = α1 + α2 α1 + α2 x11 = es decir x11 = x12 =t con 0 ≤ t ≤ 2. x21 = x22 =2 − t (c) (d) Tras una transformación por una función monótona creciente, vemos que las preferencias p de 1 1 ) = x11 x12 , los agentes también pueden representarse por las funciones de utilidad u (x , x 1 1 2 p 2 2 2 2 u2 (x1 , x2 ) = x1 x2 que son un caso particular de las funciones de utilidad del problema 2 con α = β = 1/2. Por tanto, los precios de equilibrio son: 1 p1 =αω21 + βω22 = 2 1 p2 =(1 − α)ω11 + (1 − β)ω12 = 2 1 Bajo estos precios, la renta de los agentes es z = 1/2, z 2 = 1/2. Y las demandas de los agentes son αz 1 1 1 (1 − α)z 1 x11 = = , x12 = = p1 2 p2 2 1 (1 − β)z 2 1 βz 2 = , x22 = = x21 = p1 2 p2 2 7 (e) Las preferencias son del tipo Cobb- Douglas. Es un caso particular del problema 1. (f) Demanda del agente 1: Las curvas de indiferencia del agente 1 son x+ √ y2 = c ⇔ y = 2c − 2x 2 Gráficamente, La recta presupuestaria es p1 x + p2 y = 4p2 2 Los puntos de corte con los ejes son (0, 4), ( 4p p1 , 0). Hay tres posibilidades (dependiendo de Caso I: La recta presupuestaria corta a las curvas de indiferencia en los dos ejes, Por lo tanto, 4= √ 2c ⇒ c = 8 p2 4p2 =c=8⇒ =2 p1 p1 Si p2 p1 = 2 la demanda del agente 1 es x(p1 , p2 ), y(p1 , p2 ) = {(0, 4), (8, 0)} Vemos que estos puntos verifican las restricciones presupuestarias de los agentes u1 (0, 4) = 8 u2 (8, 0) = 8 p1 x + p2 y|x=0,y=4 = 4p2 p2 (p1 x + p2 y)x=8,y=0 = 8p1 = 8 = 4p2 2 Caso II: La recta presupuestaria corta a la curva de indiferencia sólo en el eje vertical, 8 p2 p1 ). Se verifica p2 p1 < 2. La demanda del agente 1 es x(p1 , p2 ) = 0 y(p1 , p2 ) = 4 Caso III: La recta presupuestaria corta a la curva de indiferencia sólo en el eje horizontal, Se verifica p2 p1 > 2 y la demanda del agente 1 es p2 p1 y(p1 , p2 ) = 0 x(p1 , p2 ) = 4 Demanda del agente 2: Las curvas de indiferencia del agente 2 están determinadas implı́citamente por la ecuación √ x + y2 = c ⇔ y = c − x La recta presupuestaria es p1 x + p2 y = 4p1 + 2p2 y corta a los ejes en los puntos,     4p1 + 2p2 4p1 + 2p2 0, , ,0 p2 p2 De manera análoga al caso del agente 1, tenemos 3 posibilidades, dependiendo de p2 p1 Caso I: La recta presupuestaria corta a las curvas de indiferencia en los dos ejes. Como el agente está indiferente entre estas dos asignaciones se debe verificar que 2  4p1 + 2p2 4p1 + 2p2 = p2 p2 4p1 + 2p2 = p22 p1 p2 ⇔ 4p21 + 2p1 p2 = p22 ⇔ 4 + 2 = p1 p2 p1 llamando x= 9 p1 , p2 tenemos que + √ 1 −2 − 4 + 16 ⇔ 4x2 + 2x − 1 = 0 ⇔ x = x 2 √ √ √ 20 Tomamos la solución positiva x = −1 + 2 = 5 − 1. Es decir, si pp12 = 5 − 1 entonces     4p1 + p2 4p1 + p2 (x(p), y(p)) = { 0, , ,0 } p2 p1 Caso II: La recta presupuestaria corta a la curva de indiferencia sólo en el eje vertical. Se verifica que √ p1 > 5−1 p2 Entonces   4p1 + p2 (x(p), y(p)) = 0, p2 Caso III: La recta presupuestaria corta a la curva de indiferencia sólo en el eje horizontal. Se verifica que √ p1 < 5 − 1. p2 La demanda es   4p1 + p2 ,0 (x(p), y(p)) = p2 √ √ ′ Equilibrios de Walras: Como −1 + 5 ≈ 2 · · · , tenemos que 21 < 5 − 1. Consideramos los casos (i) pp12 < 12 . (ii) pp21 = 12 . √ (iii) 21 < pp12 < 5 − 1. √ (iv) pp21 = 5 − 1. √ (v) pp21 > 5 − 1. Analizamos ahora estos casos Caso (i) Tenemos que p2 4p1 + p2 x1 = 4 , y1 = 0; x2 = , y2 = 0 p1 p1 La demanda del bien 1 es 4p1 + p2 p2 =4 4 + p1 p1 por lo que 4p2 + 4p1 + p2 = 4p1 de donde obtenemos que p2 = 0 p1 Pero este valor no es compatible con p2 < 12 . Caso (ii): Tenemos que 4p1 + p2 y2 = 0 x2 = p1 Supongamos que x1 = 0, y1 = 4 2 (El caso x1 = 4p , y = 0 es igual que el caso (i)). La condición de que los mercados se vacı́an es 1 p1 para el bien 2, 6≥4 y para el bien 1, 4p1 + p2 4≥ ⇔ 4p1 ≥ 4p1 + p2 p1 es decir, p2 ≤ 0 4x + 2 = 10 que no es compatible con √ p1 ≤ 5−1 p2 El caso (iii) es análogo. Casos (iv) y (v) Se verifica que x1 = 0, y1 = 4; x2 = 0, y2 = 4p1 + p2 p2 por lo que la condición de vaciado de mercados para el bien 1 es 0≤4 y para el bien 2, 4+ 4p1 + p2 ≤6 p2 4+ 4p1 +1≤6 p2 es decir, de donde, 4p1 ≤1 p2 que es equivalente a 1 p1 ≤ . p2 4 Pero esto no es compatible con √ 1 p1 ≥ 5−1> . p2 4 Por tanto, no existe equilibrio competitivo. Asignaciones Pareto eficientes: Como las preferencias no son convexas utilizamos el método de maximizar y2 max x + 2 s.a 4 − x + (6 − y)2 = u 0≤x≤4 0≤y≤6 2 Sustituyendo x = 4 − u + (6 − y) en la primera restricción el problema es equivalente a (ignorando las constantes aditivas) max (6 − y)2 + y2 2 0≤y≤6 La derivada de la función es g(y) = (6 − y)2 + y2 2 g ′ (y) = 3y − 12 y se verifica g ′ (y) > 0 para 0 ≤ y ≤ 6. Por tanto, el máximo se alcanza para y = 6. Y los óptimos de Pareto son de la forma x11 = t, x21 = 4 − t; x12 = 0, x22 = 6, 0≤t≤4 También se puede hacer utilizando la caja de Edgeworth. Si A es un punto interior a la caja de Edgeworth, tenemos que, en el dibujo siguiente, 11 los puntos B y C son Pareto superiores al punto A. Es decir, los óptimos de Pareto se alcanzan en la frontera de la caja de Edgeworth. (g) Está resuelto en clase (6) Las funciones de utilidad de los agentes son u1 (x, y) = x+y, u2 (x, y) = max{x, y} y los recursos iniciales son ω 1 = ω 2 = (1/2, 1/2). (a) Representar la situación en una caja de Edgeworth. (b) En el equilibrio de Walras, ¿cuál es la relación entre los precios? (c) ¿Cuál es la asignación en el equilibrio de Walras? (7) Las funciones de utilidad de los agentes son u1 (x, y) = x + 2y, u2 (x, y) = son ω 1 = (1, 2), ω 2 = (1, 3). Encontrar el equilibrio de Walras. y Solución: Las demandas de los agentes son    m1  , 0 ,    np1  1 x, m − 2x :0≤x≤ x1 (p) = p 2     m 1  0, , p2 2 x (p) = Observemos que  m2 m2 , 2p1 2p2 m1 = p1 + 2p2 , √ xy y los recursos iniciales si p2 > p1 ; m1 p2 o , si p2 = p1 ; si p2 < p1 .  m2 = p1 + 3p2 Si p2 = 2p1 entonces m2 = p1 + 3p2 = 7p2 y  7 7 x (p1 , 2p1 ) = , 2 4 y la demanda del bien 1 excede los recursos totales de ese bien (2 unidades). Por tanto, p2 = 2p1 no puede ser un equilibrio. Si p2 > 2p1 , entonces la demanda total del bien 2 es p1 + 3p2 m2 = =4 x12 (p) + x22 (p) = 2p2 2p2  2 de donde obtenemos p1 = 5p2 > p1 lo cual contradice que p2 > 2p1 . Por tanto, p2 > 2p1 tampoco puede ser un equilibrio. Finalmente, queda la posibilidad p2 < 2p1 . En este caso la demanda total del bien 1 es m2 p1 + 3p2 x11 (p) + x21 (p) = = =2 2p1 2p1 de donde obtenemos p2 =1 p1 12 Concluimos que el equilibrio es x̄1 = (0, 3), p1 = p2 = 1, x̄2 = (2, 2) (8) Las funciones de utilidad de los agentes son u1 (x, y) = u2 (x, y) = xy 2 . Los recursos iniciales son ω 1 = (40, 160), ω 2 = (240, 120). (a) Calcula el precio y la asignación de equilibrio. (b) Demuestra que la asignación x1 = (80, 80), x2 = (200, 200) es una asignación Pareto eficiente. (c) ¿Qué precios soportan la asignación en el apartado (b)? (d) ¿Qué reasignación de los recursos iniciales convierte a la asignación en el apartado (b) en un equilibrio de Walras? ¿Es única esa reasignación? (e) Representa los apartados anteriores en una caja de Edgeworth. (9) Considerar una economı́a con dos bienes y dos agentes con funciones de utilidad u1 (x, y) = xy 2 u2 (x, y) = x2 y Los recursos agregados son (10, 20). (a) Encontrar una asignación Pareto eficiente (a, b) en la que u2 (a, b) = 8000/27. (probar que la solución es x11 = 10/3, x12 = 40/3) (b) Supongamos que los recursos iniciales son w1 = (10, 0), w2 = (0, 20). Encontrar el equilibrio de Walras. (10) En una economı́a de intercambio con dos bienes, hay dos tipos de consumidores: (1) m1 consumidores de tipo 1 con preferencias 1 1 ln x1 + ln y1 2 3 e inicialmente una unidad de cada bien por cada uno de los individuos. (2) m2 consumidores de tipo 2 con preferencias 2x2 + y2 y cada uno de estos agentes tiene una asignación inicial de 12 unidades de cada bien. Determinar el equilibrio cuando m1 = m2 ¿Cómo cambia el equilibrio al cambiar m1 ? Solución: La demanda de los agentes de tipo 1 viene determinada por el siguiente problema de maximización max sujeto a 1 2 ln x + 13 ln y p 1 x + p2 y = p1 + p2 las condiciones de primer orden son 1 2x 1 3y = λp1 = λp2 es decir, 1 2 1 3 Sumando = λp1 x = λp2 y 5 1 1 = + = λ(p1 x + p2 y) = λ(p1 + p2 ) 6 2 3 13 de donde λ= 5 6(p1 + p2 ) y obtenemos 3(p1 + p2 ) 2(p1 + p2 ) y= 5p1 5p2 La demanda de los agentes de tipo 2 viene determinada por el siguiente problema de maximización x= max sujeto a 2x + y p1 x + p2 y = 12(p1 + p2 ) Se trata de un problema de programación lineal. El óptimo se alcanza en los vértices del conjunto presupuestario. Éstos son: x = 0, y = 12(p1 + p2 ) p2 x= 12(p1 + p2 ) ,y = 0 p1 La utilidad alcanzada por el agente en el punto (0, 12(pp12+p2 ) ) es u1 = ( 12(pp11+p2 ) , 0) 24(p1 +p2 ) . p1 alcanzada en el punto es u2 = tanto, la demanda de los agentes de tipo 2 es ( (x(p1 , p2 ), y(p1 , p2 )) = 12(p1 +p2 ) . p2 Mientras que la utilidad Vemos que u1 ≥ u2 si y sólo si p1 ≥ 2p2 . Por (0, 12(pp12+p2 ) ) ( 12(pp11+p2 ) si p1 > 2p2 si p1 < 2p2 y cualquier punto en el conjunto presupuestario {(x, y) : p1 x + p2 y = 12(p1 + p2 )}, si p1 = 2p2 . Vamos a analizar las condiciones de factibilidad en cada uno de estos casos. Supongamos primero que p1 > 2p2 . En este caso debe verificarse que 3(p1 + p2 ) = m1 + 12m2 5p1 2(p1 + p2 ) 12(p1 + p2 ) m1 + m2 = m1 + 12m2 5p2 p2 Normalizamos los precios de forma que p1 + p2 = 1. El sistema se reduce a 3m1 = m1 + 12m2 5p1 2m1 12m2 + = m1 + 12m2 5p2 p2 es decir, m1 3m1 = 5p1 (m1 + 12m2 ) 2m1 + 60m2 = 5p2 (m1 + 12m2 ) Y despejando, p1 = p2 = 3m1 5(m1 +12m2 ) 2m1 +60m2 5(m1 +12m2 ) Pero entonces, 4m1 + 120m2 > p1 5(m1 + 12m2 ) lo que contradice nuestra hipótesis de que p1 > 2p2 . Veamos ahora el caso en que p1 < 2p2 . La restricción de factibilidad es 2p2 = m1 12(p1 + p2 ) 3(p1 + p2 ) + m2 5p1 p1 2(p1 + p2 ) m1 5p2 14 = m1 + 12m2 = m1 + 12m2 normalizando de nuevo p1 + p2 = 1, 12m2 3m1 + 5p1 p1 2m1 5p2 = m1 + 12m2 = m1 + 12m2 es decir, p1 = p2 = 3m1 +60m2 5(m1 +12m2 ) 2m1 5(m1 +12m2 ) Vemos que la condición p1 < 2p2 es equivalente a 3m1 + 60m2 < 2m1 es decir, 60m2 < m1 Cuando esto ocurre, los precios anteriores son de equilibrio y la demanda es   m1 + 12m2 m1 + 12m2 , para los agentes de tipo 1 (x1 , y1 ) = m1 + 20m2 m1   20(m1 + 12m2 ) ,0 para los agentes de tipo 2 (x2 , y2 ) = m1 + 20m2 ¿Qué ocurre si m1 ≤ 60m2 ?. Vamos a comprobar que, en este caso, los precios p1 = 2p2 son de equilibrio. Ahora normalizamos, tomando de nuevo p1 = 2/3, p2 = 1/3. La demanda de los agentes de tipo 1 es 3(p1 + p2 ) 9 2(p1 + p2 ) 6 x= = y= = 5p1 10 5p2 5 La condición de vaciado de mercado es 9 m1 + m2 x2 = m1 + 12m2 10 6 m1 + m2 y2 = m1 + 12m2 5 y obtenemos la demanda de cada agente de tipo 2, m1 m1 , y2 = 12 − x2 = 12 + 10m2 5m2 Observemos que la restricción y2 ≥ 0 es equivalente a m1 ≤ 60m2 . Por tanto, sólo hay equilibrio si ocurre esta condición. (11) Consideremos una economı́a de intercambio con dos agentes cuyas preferencias están representadas por las funciones de utilidad 1 u1 (x11 , x12 ) = x11 − (x12 )−8 8 1 u2 (x21 , x22 ) = − (x21 )−8 + x22 8 Sus recursos iniciales son ω 1 = (2, r), ω 2 = (r, 2), donde r es momentáneamente un parámetro. Probar que las funciones de demanda de los agentes son    8/9  −1/9 ! p2 p2 p2 , − x1 (p1 , p2 ) = 2 + r p1 p1 p1  −1/9    8/9 ! p1 p1 p1 x2 (p1 , p2 ) = ,2 + r − p2 p2 p2 15 donde r está elegido de forma que la demanda de cada bien es positiva. Probar que los precios de equilibrio están determinados por la ecuación    8/9  −1/9 p1 p1 p2 +r =r − p1 p2 p2 comprobar que para el valor r = 28/9 − 21/9 hay tres soluciones p1 1 = 1, 2, p2 2 y por tanto hay tres equilibrios competitivos. Solución: La función de demanda del agente 1 es la solución del problema de maximización 1 max x − y −8 8 s.a. p1 x + p2 y = r1 donde r1 = 2p1 + p2 r. El lagrangiano asociado es L = x − 81 y −8 + λ(r1 − p1 x − p2 y). Las condiciones de primer orden son ∂L =1 − λp1 = 0 ∂x ∂L =y −9 − λp2 = 0 ∂y Por tanto 1 p1 y sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos   −1 p2 9 y= p1 λ= y utilizando la restricción presupuestaria vemos que   98 r1 p2 y p2 p2 , x11 = − =2+r − p1 p1 p1 p1 x12 =  p2 p1  −1 9 Análogamente, se obtiene la demanda del agente 2,   −1     89 p1 9 p1 p1 2 2 x1 = , x2 = 2 + r . − p2 p2 p2 Para calcular los precios de equilibrio, utilizamos la condición de vaciado de los mercados para el bien 2,   −1 p2 9 p1 p1 89 + 2+r =2+r − p2 p2 p1 Haciendo el cambio p1 x= , p2 obtenemos 1 8 r = rx − x 9 + x 9 Claramente, x = 1 es una solución. Supongamos ahora que x 6= 1. En ese caso 8 1 r(1 − x) = x 9 + x 9 y sustituyendo vemos que x = 2 y x = 1/2 son soluciones, si r = 28/9 − 21/9 . 16 (12) Supongamos que un agente tiene una relación de preferencias  localmente no saciada y que x∗ es un elemento maximal de  en el conjunto presupuestario {x ∈ X : p · x ≤ z}. Probar que si y  x∗ , entonces p · y ≥ z. Solución: Supongamos que y  x∗ pero p · y < z. Como la función x 7→ p · x es continua, existe un r > 0 tal que si kx − yk ≤ r entonces p · x < z. Como la relación de preferencias  es localmente no saciada, existe una cesta x0 que verifica que kx0 − yk ≤ r y que x0 ≻ y. Pero entonces x∗ no es un elemento maximal de  en el conjunto presupuestario {x ∈ X : p · x ≤ z}. (13) Supongamos que la relación de preferencias  es localmente no saciada. Sea x∗ una asignación factible y p un vector de precios. Probar que las dos condiciones siguientes son equivalentes: (a) Si y  x∗ entonces p · y ≥ p · x∗ . (b) x∗ es una solución del problema  min p · x s.a. x  x∗ Solución: Veamos primero que (a) implica (b). Para ello, observamos que si x∗ no es una solución del problema  min p · x s.a. x  x∗ entonces, podemos encontrar una asignación y  x∗ tal que p · y < p · x∗ . Pero esto contradice el apartado (a). Por tanto, (a) implica (b). Veamos ahora que (b) implica (a). Sea y  x∗ . Como x∗ es una solución del problema  min p · x s.a. x  x∗ entonces p · x∗ ≤ p · y. (14) Consideremos una economı́a en la que las preferencias de los agentes dependen no sólo del consumo propio sino también del bienestar de los demás agentes. Es decir, la utilidad de cada agente i = 1, . . . , I depende de su consumo xi y del bienestar “de consumo” alcanzado por los demás agentes v1 (x1 ), . . . , vI (xI ). Asumimos, por tanto que las preferencias del agente i = 1, . . . , I se pueden representar por una “función de felicidad” ui de la forma ui (x1 , . . . , xI ) = ui (v1 (x1 ), . . . , vI (xI )) Suponiendo que las funciones U1 , . . . , Un son crecientes en todos los argumentos, probar que si x = (x1 , . . . , xI ) es una asignación Pareto eficiente relativa a las preferencias ui , también es un óptimo de Pareto con las preferencias vi . Solución: Supongamos que x no es una asignación Pareto eficiente con las preferencias vi . Entonces, existe otra asignación factible y = (y 1 , . . . , y I ) tal que vi (y i ) ≥ vi (xi )para todo i = 1, . . . I vj (y j ) > vj (xj )para algún j ∈ {1, . . . I} Pero como las funciones U1 , . . . , Un son crecientes en todos los argumentos tenemos que Ui (v1 (y 1 ), . . . , vI (y I )) > Ui (v1 (x1 ), . . . , vI (xI )) para todo i = 1, . . . I, por lo que la asignación x no es Pareto eficiente relativa a las preferencias Ui . (15) Consideremos una economı́a con dos agentes y dos bienes. Los agentes i = 1, 2 tienen las mismas preferencias representadas por la función de utilidad ui (x, y) = x2 + y 2 Las asignaciones iniciales son w1 = (4, 2) = w2 . Probar que no puede haber unos precios de equilibrio. 17 (0,6) p1 = p 2 = 1 ( (0,6) 0, 4 + 2p p ) p1 = 1 > p 2 = p (0,6) p1 = 1 < p 2 = p (6,0) (4 + 2p, 0) Figure 1. Problema 11: Demanda de los agentes Solución: Normalizamos los precios de forma que p1 = 1, p2 = p. Las demandas de los agentes están determinadas por el problema de maximización max x2 + y 2 x,y s.a. x + py = 4 + 2p Las ecuaciones de Lagrange del problema son 2x =λ 2y =λp x + py =4 + 2p donde λ es el multiplicador de Lagrange. Vemos que la solución es y = px = Hessiano es   2 0 HL = 0 2 4p+2p2 1+p2 Sin embargo, el que es definido positivo. Por tanto, el punto (3, 3) corresponde a un mı́nimo local, no a un máximo. El máximo se alcanza en los puntos extremos. Esto se puede demostrar analı́ticamente, √ pero es más sencillo uitlizar las curvas de indiferencia. Las curvas x2 + y 2 = C > 0 son cı́rculos de radio C y centro (0, 0). (En particular, el conjunto {y ∈ R2+ : y ≻ x} no es convexo. Esta es la hipótesis que falla y que no permite aplicar el teorema de existencia). En la figura 1 se representan las curvas de indiferencia, el conjunto presupuestario y la demanda del agente i = 1, 2 para cada una de las tres situaciones posibles (a) p1 = p2 = 1. (b) p1 = 1 > p2 = p. (c) p1 = 1 < p2 = p. Gráficamente, vemos que la demanda del agente i = 1, 2 es  {(6, 0), (0, 6)} si p1 = p2 = 1,
 i i x (p1 , p2 ), y (p1 , p2 ) = (0, (4 + 2p)/p) si p1 = 1 > p2 = p,   (4 + 2p, 0) si p1 = 1 < p2 = p. Vemos que si p1 = 1 > p2 = p, la condición de vaciado de mercado es y 1 (p1 , p2 ) + y 2 (p1 , p2 ) = ≤ 4 que no tiene solución. Si p1 = 1 < p2 = p, entonces la condición de vaciado de mercado es x1 (p1 , p2 ) + x2 (p1 , p2 ) = 2(4 + 2p) ≤ 8, cuya solución es p ≤ 0 lo cual es absurdo. 2 4+2p p 18 Si p1 = p2 = 1, entonces los agentes son indiferentes entre las cestas (6, 0) y (0, 6) y hay varias posibilidades para la demanda total, resumidas en en la siguiente ecuación  (6, 0) + (0, 6) = (6, 6),

 x1 (1, 1), y 1 (1, 1) + x2 (1, 1), y 2 (1, 1) = (6, 0) + (6, 0) = (12, 0),   (0, 6) + (0, 6) = (0, 12). Vemos que en todos los casos es imposible que

x1 (1, 1), y 1 (1, 1) + x2 (1, 1), y 2 (1, 1) ≤ (8, 4) y concluimos que no puede haber precios de equilibrio. (16) Supongamos una economı́a en la que todos los agentes tienen las mismas preferencias y que éstas son estrictamente convexas. Probar que dividir los recursos iniciales de forma igualitaria es una asignación Pareto eficiente. ¿Es cierta esta afirmación si no todos los agentes son iguales? Solución: Llamamos w1 , . . . , wI los recursos iniciales de los agentes y w = w1 + · · · + wI los recursos agregados. Representamos por ≻ la relación de preferencias de todos los agentes. Tenemos que probar que la asignación w i = 1, 2, . . . , I xi = , I es un óptimo de Pareto. Supongamos que y 1 , . . . , y I es una asignación tal que (a) Es factible: y 1 + · · · + y I = w (b) Es preferida (débilmente) por todos los agentes a xi : y i  wI para i = 1, 2, . . . , I. Observemos que w 1 y1 yI = (y 1 + · · · + y I ) = + ··· + I I I I es decir, wI es una combinación lineal de y 1 , . . . , y I . Como ≻ es estrictamente convexa tenemos que w ≻ y i i = 1, 2, . . . , I I pero esto contradice el apartado (ii), a menos que w = y i i = 1, 2, . . . , I I Y hemos demostrado que no hay ninguna asignación factible en la que todos los agentes mejoren sobre la asignación wI . Si los agentes no son iguales el resultado no es cierto. Por ejemplo, si hay dos agentes y u1 (x, y) = x, u2 (x, y) = y la única asignación Pareto eficiente es dar todo el bien 1 al agente 1 y todo el bien 2 al agente 2. El ejemplo ui (x, y) = x2 + y 2 , i = 1, 2 con asignaciones iniciales w1 = (4, 2) = w2 demuestra también que si las preferencias no son cóncavas entonces el resultado no es cierto. La asignación x1 = (4, 2) = x2 no es un óptimo de Pareto ya que ui (4, 2) = 20, i = 1, 2 mientras que u1 (5, 0) = 25, u2 (3, 4) = 25. 19 (17) Consideremos una economı́a con 15 agentes y 2 bienes. Un agente tiene la función de utilidad u(x, y) = ln x + ln y En una asignación Pareto eficiente al agente le corresponde la cesta (10, 5). Calcular los precios competitivos que corresponden a la asignación Pareto Eficiente. Solución: (18) Sea E = {(ui , ω i ) : i = 1, 2, . . . I} una economı́a de intercambio, con ui : Rn+ → R continua estrictamente cóncava y monótona, ω i >> 0 para todo i = 1, 2, . . . I. En esta economı́a hay una autoridad que establece impuestos y reparte subvenciones de acuerdo al siguiente sistema. (a) Cada consumidor paga como impuesto una fracción α de su renta: ti (p) = αp · ω i . (b) Lo recaudado en el apartado anterior se reparte de forma igualitaria entre todos los agentes. Es decir cada agente recibe I S i (p) = donde αX α p · ωi = p · ω I i=1 I ω= I X ωi i=1 En esta economı́a se define un equilibrio competitivo con impuestos y subvenciones como una asignación x1 , . . . , xI ∈ Rn+ y unos precios p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Rn+ tales que • Para cada i = 1, 2, . . . I, la asignación xi es una solución de max u(x) x s.a. p · x ≤ p · ω i − ti (p) + S i (p) PI PI i i • i=1 x ≤ i=1 ω . Probar que existe un equilibrio en esta economı́a. ¿Es este sistema más igualitario que un sistema sin subvenciones e impuestos? Solución: Vamos a comprobar que se cumple la Ley de Walras. Por una parte, p · z(p) = y como tenemos que I X i=1 p · xi (p) − wi
p · xi (p) = p · wi (p) − ti (p) + S i (p) p · z(p) = I X i=1
S i (p) − ti (p) = 0
La demostración se hace ahora de la misma forma que para demostrar que existe un equilibrio de Walras. La distribución de la renta es más igualitaria, ya que p · w   ≥ 0, si p · wi ≤ p · w/I i i i −p·w = S (p) − t (p) = ≤ 0 si p · wi ≥ p · w/I I Y recordamos que es la renta individual, mientras que p · wi p·w I es la renta media. 20 (19) Consideremos una economı́a de intercambio con dos bienes y dos agentes cuyas preferencias vienen determinadas por la función de utilidad ui (x, y) = xα y 1−α , i = 1, 2, 0<α<1 y los recursos globales son ω 1 + ω 2 = (10, 10) Probar que la asignación x11 = x12 = x21 = x22 = 5 es Pareto eficiente. Determinar unos recursos iniciales ω 1 , ω 2 con ω 1 6= ω 2 , tales que, en esta economı́a, la asignación anterior es un equilibrio competitivo. Solución: Las preferencias son un caso particular del problema 2 con α = β. Las asignaciones PE son: x1 = tω1 y1 = tω2 x2 = (1 − t)ω1 1 2 y2 = (1 − t)ω2 tomando t = se obtiene que x1 = x2 = y1 = y2 = 5 es PE. Las C.P.O. para el agente 1 son ∇u1 (5, 5) = λ(p1 , p2 ) es decir, α = λp1 x1 1−α = λp2 y1 con x1 = x2 = 5, α 5 = λp1 , 1−α 5 = λp2 . Por lo que, Podemos tomar p1 = α y p2 = 1 − α Podemos tomar α p1 = p2 1−α ω 1 = (x, y) 2 ω = (10 − x, 10 − y) que verifiquen p1 x + p2 y = αx + (1 − α)y = cte con 5 = p1 5 + p2 5 = αx + (1 − α)5 = 5, es decir: αx + (1 − α)y = 5 (20) Consideremos una economı́a de intercambio con dos bienes y tres agentes cuyas preferencias vienen determinadas por las funciones de utilidad siguientes u1 (x, y) = = xy u (x, y) = = xy 2 u3 (x, y) = = 5 ln x + ln y 2 y los recursos globales son ω 1 + ω 2 + ω 3 = (7, 8) Probar que la asignación x = (1, 2), x2 = (1, 4)), x3 = (5, 2) es Pareto eficiente. Calcular unas precios para los que esta asignación sea un equilibrio. 1 Solución: 21 (21) Consideremos una economı́a de intercambio con dos bienes y dos agentes cuyas preferencias vienen determinadas por las funciones de utilidad siguientes √ u1 (x, y) = = xy + ln x + ln y u2 (x, y) = = y los recursos globales son −4/x − 1/y ω 1 + ω 2 = (3, 6) Supongamos que utilizamos la función de bienestar social W = au1 + bu2 . Probar que la asignación x1 = (1, 4), x2 = (2, 2)) es Pareto eficiente. Determinar unos pesos a, b para los que la función de bienestar social W elegirı́a la asignación anterior. Solución: Escribimos la relación marginal de sustitución del agente 1 √ √ y ∂u1 x ∂u1 1 1 = √ + , = √ + ∂x ∂y 2 y y 2 x x de donde RMS1 (1, 4) = 2 =4 1/2 y la relación marginal de sustitución del agente 2 ∂u2 4 = 2, ∂x x ∂u2 1 = 2 ∂y y de donde RMS2 (2, 2) = 4 por lo que la asignación x1 = (1, 4), x2 = (2, 2)) es Pareto eficiente. Recordemos que las condiciones de primer orden al maximizar la función de bienestar social son αi ∂ui = γl ∂xil donde γ1 , γ2 son los multiplicadores de Lagrange. Por tanto, los pesos de los agentes verifican que α1 = α2 ∂u2 ∂x21 ∂u1 ∂x11 = Podemos elegir, por ejemplo, a = 1, b = 2. 22 ∂u2 ∂x22 ∂u1 ∂x12 = 1 2