Documento de Ayuda de GeoGebra Manual Oficial de la Versión 3.2 Markus Hohenwarter y Judith Hohenwarter www.geogebra.org Ayuda en GeoGebra 3.2 Última modificación: 18 de Septiembre del 2009 GeoGebra Website: www.geogebra.org Búsqueda de Ayuda de GeoGebra en Línea: http://www.geogebra.org/ayuda/search.html Autores: Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org Liliana Saidon (Dir Centro Babbage), liliana.saidon@centrobabbage.com Ultima modificación: de versión en castellano, 14 de Febrero del 2009 Búsqueda de Ayuda en GeoGebra • • En Línea: Búsqueda de Ayuda en GeoGebra PDF: Pulsando Ctrl + Shift + F en Adobe Acrobat Reader Página Web: http://www.geogebra.org Búsqueda de Ayuda: http://www.geogebra.org/ayuda/search.html Foro www.geogebra.org/forum Hispano parlante Liliana Saidon (Dir. Centro Babbage) 2 Índice General Documento de Ayuda de GeoGebra .......................................................................... 1 Búsqueda de Ayuda en GeoGebra................................................................................... 2 Índice General .............................................................................................................. 3 1. ¿Qué es GeoGebra? ................................................................................................. 13 1.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos ........................................................ 13 1.1.1 Vista Gráfica ................................................................................................ 13 1.1.2 Vista Algebraica ........................................................................................... 14 1.1.3 Vista de Hoja de Cálculo ............................................................................... 15 1.2 GeoGebra: Medio para Enseñar y Aprender Matemáticas........................................ 15 1.2.1 Personalizando la Interfaz de Uso .................................................................. 15 Exponiendo y Ocultando Objetos................................................................................. 15 Personalizar la Vista Gráfica......................................................................................... 16 Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula........................................................... 16 Personalizando la Barra de Herramientas.................................................................... 17 1.2.2 La Caja de Diálogo de Propiedades ................................................................ 17 1.2.3 Usando el Menú Contextual .......................................................................... 18 1.3 GeoGebra como Herramienta de Presentación ..................................................... 18 1.3.1 Usando la Barra de Navegación ..................................................................... 18 1.3.2 El Protocolo de Construcción ........................................................................ 19 Navegando y Modificando el Protocolo de Construcción............................................ 19 Exportando el Protocolo de Construcción como Página‐Web ..................................... 19 1.3.3 Cambiando las Opciones de GeoGebra ........................................................... 20 1.4 GeoGebra como Herramienta de Autor ................................................................ 20 1.4.1 Imprimiendo Opciones ................................................................................. 20 Imprimiendo la Vista Gráfica ........................................................................................ 20 Imprimiendo el Protocolo de Construcción ................................................................. 21 1.4.2 Creando Imágenes de la ............................................................................... 21 Guardando la Vista Gráfica como Imagen ................................................................... 21 Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles ................................................................... 21 1.4.3 Creando Páginas Web interactivas ................................................................. 22 2. Entrada Geométrica ................................................................................................. 24 2.1 Anotaciones Generales ....................................................................................... 24 2.2 Herramientas de Construcción ............................................................................ 24 Seleccionado Objetos ................................................................................................... 24 Renombrar Objetos Rápidamente ............................................................................... 25 2.2.1 Herramientas Generales ............................................................................... 25 Copia Estilo Visual................................................................................................ 25 Borra Objeto ........................................................................................................ 25 Elige y Mueve ...................................................................................................... 25 3 Desplaza Área Gráfica.......................................................................................... 25 Registra en Hoja de Cálculo ................................................................................. 26 Relación ............................................................................................................... 26 Rota en torno a un Punto .................................................................................... 26 Expone / Oculta Rótulo ....................................................................................... 26 Expone / Oculta Objeto ....................................................................................... 26 Zoom de Acercamiento ....................................................................................... 26 Zoom de Alejamiento .......................................................................................... 26 2.2.2 Herramientas de Puntos ............................................................................... 27 Intersección de Dos Objetos................................................................................ 27 Punto Medio o Centro ......................................................................................... 27 Nuevo Punto ........................................................................................................ 27 2.2.3 Herramientas de Vectores ............................................................................ 27 Vector entre Dos Puntos ..................................................................................... 27 Vector desde un Punto ........................................................................................ 27 2.2.4 Herramientas de Segmentos ......................................................................... 28 Segmento entre Dos Puntos ................................................................................ 28 Segmento dados Punto Extremo y Longitud ....................................................... 28 2.2.5 Semirrecta .................................................................................................. 28 Semirrecta que pasa por Dos Puntos .................................................................. 28 2.2.6 Polígonos .................................................................................................... 28 Polígono ............................................................................................................... 28 Polígono Regular ................................................................................................. 28 2.2.7 Recta y sus Herramientas.............................................................................. 29 Bisectriz ............................................................................................................... 29 Recta que pasa por Dos Puntos ........................................................................... 29 Recta Paralela ...................................................................................................... 29 Mediatriz ............................................................................................................. 29 4 Recta Perpendicular ............................................................................................ 29 Recta Polar o Diametral ....................................................................................... 29 Tangentes ............................................................................................................ 30 2.2.8 Secciones Cónicas ........................................................................................ 30 Circunferencia dados su Centro y Radio ............................................................. 30 Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos ......................................... 30 Circunferencia dados Tres de sus Puntos ............................................................ 30 Compás ................................................................................................................ 30 Cónica dados Cinco de sus Puntos ...................................................................... 30 Elipse.................................................................................................................... 31 Hipérbola ............................................................................................................. 31 Parábola ............................................................................................................... 31 2.2.9 Arcosy Sectores ........................................................................................... 31 Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos ................................... 31 Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos .................................................... 31 Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos .............................................. 31 Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco..................................................... 31 Semicircunferencia dados Dos Puntos ................................................................ 32 2.2.10 Números y Ángulos .................................................................................... 32 Angulo.................................................................................................................. 32 Angulo dada su Amplitud .................................................................................... 32 Área ..................................................................................................................... 32 Distancia o Longitud ............................................................................................ 32 Deslizador ............................................................................................................ 32 Pendiente ............................................................................................................ 33 2.2.11 Control Booleano ....................................................................................... 33 Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos ............................................. 33 5 2.2.12 Lugar Geométrico ...................................................................................... 33 Locus o Lugar Geométrico ................................................................................... 33 2.2.13 Transformaciones Geométricas ................................................................... 34 Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala .......................................... 34 Refleja Objeto en Recta ....................................................................................... 34 Refleja Objeto por Punto ..................................................................................... 34 Refleja Punto en Circunferencia .......................................................................... 34 Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado ............................................. 34 Traslada Objeto por un Vector ............................................................................ 34 2.2.14 Texto ........................................................................................................ 35 Inserta Texto ........................................................................................................ 35 Texto Dinámico............................................................................................................. 35 Fórmulas LaTeX ............................................................................................................ 36 2.2.15 Imágenes .................................................................................................. 36 Inserta imagen ..................................................................................................... 36 Propiedades de las Imágenes ....................................................................................... 37 Imagen de Fondo .......................................................................................................... 38 3. Entrada Algebraica................................................................................................... 39 3.1 Anotaciones Generales ....................................................................................... 39 Nombrando Objetos ..................................................................................................... 39 Cambio de Valores ....................................................................................................... 39 Exponer la Historia de la Barra de Entrada .................................................................. 40 Copia el Nombre, el Valor o la Definición de un Objeto en la Barra de Entrada ........ 40 3.2 Entrada Directa .................................................................................................. 41 3.2.1 Números y Ángulos ...................................................................................... 41 Números ....................................................................................................................... 41 Ángulos ......................................................................................................................... 41 Deslizadores y Teclas‐Flecha ....................................................................................... 41 Valor Limitado a un Intervalo ....................................................................................... 42 3.2.2 Puntos y Vectores ........................................................................................ 42 3.2.3 Rectas y Ejes ................................................................................................ 42 Rectas ........................................................................................................................... 42 Ejes ............................................................................................................................... 43 3.2.4 Secciones Cónicas ........................................................................................ 43 3.2.5 Función de x ................................................................................................ 43 Función Limitada a un Intervalo ................................................................................... 44 3.2.6 Funciones Pre‐Definidas y Operaciones .......................................................... 44 3.2.7 Variables Booleanas y Operaciones................................................................ 46 Casilla a Tildar y Teclas Flecha ...................................................................................... 46 6 Operaciones Booleanas ................................................................................................ 46 3.2.8 Lista de Objetos y de Operaciones ................................................................. 47 Comparar Listas de Objetos ......................................................................................... 47 Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas ............................................................... 47 3.2.9 Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices ....................................... 48 Operaciones con Matrices............................................................................................ 48 3.2.10 Números Complejos y Operaciones.............................................................. 48 3.3 Comandos ......................................................................................................... 49 Nombres de Comandos Completados Automáticamente ........................................... 49 3.3.1 Comandos Generales ................................................................................... 50 PasoConstrucción ......................................................................................................... 50 Borra ............................................................................................................................. 50 Relación ........................................................................................................................ 50 3.3.2 Comando Booleano ...................................................................................... 50 Si ................................................................................................................................... 50 Definido ........................................................................................................................ 50 EsEntero ....................................................................................................................... 50 3.3.3 Números ..................................................................................................... 50 RazónSimple ................................................................................................................. 50 Area .............................................................................................................................. 51 PasoEje ......................................................................................................................... 51 NúmeroCombinatorio .................................................................................................. 51 PerímetroCónica........................................................................................................... 51 RazónDoble .................................................................................................................. 51 Curvatura ...................................................................................................................... 51 Distancia ....................................................................................................................... 51 MCD .............................................................................................................................. 52 Cociente Entero ............................................................................................................ 52 Integral ......................................................................................................................... 52 Iteración ....................................................................................................................... 52 MCM ............................................................................................................................. 52 Longitud ........................................................................................................................ 52 SemiFocal ..................................................................................................................... 53 SumaInferior ................................................................................................................. 53 Mínimo y Máximo ........................................................................................................ 53 Función Módulo o Resto .............................................................................................. 53 Parámetro..................................................................................................................... 53 Perímetro ..................................................................................................................... 53 Radio ............................................................................................................................. 53 Comandos Aleatorios ................................................................................................... 54 LongitudSemiejePrincipal ............................................................................................. 54 LongitudSemiejeSecundario......................................................................................... 54 Pendiente ..................................................................................................................... 54 SumaTrapezoidal .......................................................................................................... 54 SumaSuperior ............................................................................................................... 54 3.3.4 Ángulo ........................................................................................................ 54 Ángulo .......................................................................................................................... 54 7 3.3.5 Puntos ........................................................................................................ 55 Centro ........................................................................................................................... 55 Centroide ...................................................................................................................... 55 Esquina ......................................................................................................................... 55 Extremo ........................................................................................................................ 55 Foco .............................................................................................................................. 56 PuntoInflexión .............................................................................................................. 56 Interseca ....................................................................................................................... 56 PuntoMedio .................................................................................................................. 56 Punto ............................................................................................................................ 56 Raíz ............................................................................................................................... 57 Vértice .......................................................................................................................... 57 3.3.6 Vectores ..................................................................................................... 57 Vector Curvatura .......................................................................................................... 57 Dirección....................................................................................................................... 57 VectorPerpendicular .................................................................................................... 57 VectorUnitarioPerpendicular ....................................................................................... 57 VectorUnitario .............................................................................................................. 57 Vector ........................................................................................................................... 58 3.3.7 Segmentos .................................................................................................. 58 Segmento ..................................................................................................................... 58 3.3.8 Semirrectas ................................................................................................. 58 Semirrecta .................................................................................................................... 58 3.3.9 Polígonos .................................................................................................... 58 Polígono ........................................................................................................................ 58 3.3.10 Rectas ....................................................................................................... 58 Bisectriz ........................................................................................................................ 58 Asíntota ........................................................................................................................ 59 Ejes ............................................................................................................................... 59 DiámetroConjugado ..................................................................................................... 59 Diámetro....................................................................................................................... 59 Directriz ........................................................................................................................ 59 Recta ............................................................................................................................. 59 EjePrincipal ................................................................................................................... 59 EjeSecundario ............................................................................................................... 59 Perpendicular ............................................................................................................... 59 Mediatriz ...................................................................................................................... 60 Polar ............................................................................................................................. 60 Tangente....................................................................................................................... 60 3.3.11 Secciones Cónicas ...................................................................................... 60 Circunferencia .............................................................................................................. 60 Cónica ........................................................................................................................... 60 Elipse ............................................................................................................................ 61 Hipérbola ...................................................................................................................... 61 CírculoOsculador .......................................................................................................... 61 Parábola........................................................................................................................ 61 8 3.3.12 Funciones .................................................................................................. 61 Funciones Condicionales .............................................................................................. 61 Derivada ....................................................................................................................... 62 Desarrolla ..................................................................................................................... 62 Factoriza ....................................................................................................................... 62 Función ......................................................................................................................... 62 Integral ......................................................................................................................... 62 Polinomio ..................................................................................................................... 62 Simplifica ...................................................................................................................... 62 PolinomioTaylor ........................................................................................................... 63 3.3.13 Curvas Paramétricas ................................................................................... 63 Curva............................................................................................................................. 63 Comandos para curvas paramétricas ........................................................................... 63 3.3.14 Arcos y Sectores ......................................................................................... 63 Arco .............................................................................................................................. 63 ArcoCircunferencia ....................................................................................................... 64 SectorCircular ............................................................................................................... 64 ArcoCircuncircular ........................................................................................................ 64 SectorCircumcircular .................................................................................................... 64 Sector............................................................................................................................ 64 Semicircunferencia ....................................................................................................... 65 3.3.15 Texto ........................................................................................................ 65 LaTeX ............................................................................................................................ 65 TextoFracción ............................................................................................................... 65 CódigoDeLetra .............................................................................................................. 65 Nombre......................................................................................................................... 65 Objeto ........................................................................................................................... 65 TablaTexto .................................................................................................................... 66 Texto ............................................................................................................................. 66 CódigoDeTexto ............................................................................................................. 67 LetraDeCódigo .............................................................................................................. 67 TextoDeCódigo ............................................................................................................. 67 3.3.16 Lugar Geométrico ...................................................................................... 67 Locus ‐‐ LugarGeométrico ............................................................................................ 67 3.3.17 Listas y Secuencias ..................................................................................... 67 Anexa ............................................................................................................................ 67 CuentaSi........................................................................................................................ 68 Elemento ...................................................................................................................... 68 Primero ......................................................................................................................... 68 Intercala........................................................................................................................ 68 Intersección .................................................................................................................. 68 ListaIteración ................................................................................................................ 69 Encadena ...................................................................................................................... 69 ConservaSi .................................................................................................................... 69 Ultimo ........................................................................................................................... 69 Longitud ........................................................................................................................ 69 Mínimo ......................................................................................................................... 69 Máximo......................................................................................................................... 69 9 Producto ....................................................................................................................... 70 EliminaIndefinidos ........................................................................................................ 70 ListaInversa ................................................................................................................... 70 Secuencia ...................................................................................................................... 70 Ordena .......................................................................................................................... 70 Suma ............................................................................................................................. 70 Extrae............................................................................................................................ 71 Unión ............................................................................................................................ 71 3.3.18 Transformaciones Geométricas ................................................................... 71 Homotecia .................................................................................................................... 71 Refleja ........................................................................................................................... 71 Rota .............................................................................................................................. 72 Traslada ........................................................................................................................ 72 3.3.19 Comandos Estadísticos ............................................................................... 73 Barras............................................................................................................................ 73 DiagramaCaja ............................................................................................................... 74 CPearson....................................................................................................................... 74 Covarianza .................................................................................................................... 74 AjusteLineal .................................................................................................................. 74 Otros Comandos de Ajuste........................................................................................... 74 Histograma ................................................................................................................... 75 NormalInversa .............................................................................................................. 75 Comandos de Media .................................................................................................... 75 Mediana........................................................................................................................ 75 Moda ............................................................................................................................ 75 Normal .......................................................................................................................... 75 Comandos Cuatri .......................................................................................................... 76 DE ................................................................................................................................. 76 Comandos Sigma .......................................................................................................... 76 Comandos para Cantidades Estadísticas ...................................................................... 76 Varianza ........................................................................................................................ 76 3.3.20 Comandos de Hoja de Cálculo ..................................................................... 78 RangoCelda ................................................................................................................... 78 Columna ....................................................................................................................... 78 NombreColumna .......................................................................................................... 78 Fila ................................................................................................................................ 78 3.3.21 Comandos de Matrices ............................................................................... 78 Determinante ............................................................................................................... 78 MatrizInversa................................................................................................................ 78 Traspone ....................................................................................................................... 78 4. Cada Menú: Ítem por Ítem ....................................................................................... 78 4.1 Menú Archivo .................................................................................................... 79 Nueva Ventana......................................................................................................... 79 Nuevo ........................................................................................................................... 79 Abre… ...................................................................................................................... 79 Guarda...................................................................................................................... 79 Guarda Como… ............................................................................................................. 79 10 Previsualiza Impresión ............................................................................................. 79 Exporta ‐ Hoja Dinámica como Página Web (html)… .............................................. 80 Vista Gráfica como Imagen (png, eps)… .................................................. 80 Exporta ‐ Exporta ‐ Vista Gráfica al Portapapeles ................................................................... 80 Exporta ‐ Vista Gráfica como PSTricks… ....................................................................... 81 Exporta ‐ Vista Gráfica como PGF/Tik…… ..................................................................... 81 Cierra ....................................................................................................................... 81 4.2 Menú Edita ........................................................................................................ 81 Deshace ................................................................................................................... 81 Rehace ..................................................................................................................... 81 Borra ........................................................................................................................ 81 Selecciona Todo............................................................................................................ 82 Selecciona la Capa Activa ............................................................................................. 82 Selecciona Descendientes ............................................................................................ 82 Selecciona Ascendientes .............................................................................................. 82 Copia Vista Gráfica al Portapapeles ......................................................................... 82 Propiedades… .......................................................................................................... 82 4.3 Menú Vista ........................................................................................................ 82 Ejes........................................................................................................................... 82 Cuadrícula ................................................................................................................ 83 Vista Algebraica ............................................................................................................ 83 Vista de Hoja de Cálculos ............................................................................................. 83 Objetos Auxiliares......................................................................................................... 83 División Horizontal ....................................................................................................... 83 Barra de Entrada .......................................................................................................... 83 Lista de Comandos ....................................................................................................... 83 Protocolo de Construcción… ................................................................................... 83 Barra de Navegación por Pasos de Construcción ........................................................ 83 Actualiza Vistas ........................................................................................................ 83 Recálculo de Todos los Objetos.................................................................................... 84 4.4 Menú Opciones.................................................................................................. 85 Atracción de Punto a Cuadrícula ............................................................................. 85 Unidad Angular ........................................................................................................ 85 Redondeo ..................................................................................................................... 85 Continuidad .................................................................................................................. 85 Estilo de Punto......................................................................................................... 85 Tamaño de Casilla de Control.................................................................................. 85 Estilo de Angulo Recto ............................................................................................. 85 Coordenadas ................................................................................................................ 86 Rotulado .................................................................................................................. 86 Tamaño de Letra...................................................................................................... 86 Idioma ...................................................................................................................... 86 Vista Gráfica ............................................................................................................ 86 Guardar Configuración ............................................................................................. 86 Restablecer la Configuración Original .......................................................................... 86 11 4.5 Menú Herramientas ........................................................................................... 86 Creación de Herramienta Nueva… .......................................................................... 86 Gestión de Herramientas… ..................................................................................... 87 Personalizar la Barra de Herramientas… ...................................................................... 87 4.6 Menú Ventana ................................................................................................... 87 Nueva Ventana......................................................................................................... 87 Lista de Ventanas Abiertas de GeoGebra .................................................................... 87 4.7 Menú Ayuda ...................................................................................................... 88 Ayuda ....................................................................................................................... 88 www.geogebra.org .................................................................................................. 88 Foro GeoGebra ‐ GeoGebra Forum ........................................................................ 88 GeogebraWiki .......................................................................................................... 88 Acerca de GeoGebra / Licencia ............................................................................... 88 5. Características Especiales de GeoGebra ..................................................................... 88 5.1 Animación ......................................................................................................... 89 5.1.1 Animación Automática ................................................................................. 89 5.1.2 Animación Manual ....................................................................................... 89 5.2 Visibilidad Condicional ........................................................................................ 90 Condicionalidad para Exponer u Ocultar Objetos Existentes ...................................... 90 Expone u Oculta Condicionalmente Objetos Existentes .............................................. 90 Cambiando la Visibilidad de Objetos Recién Creados.................................................. 90 5.3 Herramientas Definidas para Diversos Usos .......................................................... 91 Creando Herramientas ................................................................................................. 91 Guardando la Herramienta Definida ............................................................................ 91 Acceso a la Herramienta Definida ................................................................................ 92 5.4 Colores Dinámicos .............................................................................................. 92 5.5 Interfaz de JavaScript.......................................................................................... 93 5.6 Teclas de Atajo................................................................................................... 93 5.7 Rótulos y Subtítulo ............................................................................................. 96 Expone y Oculta Rótulos .............................................................................................. 96 Nombre y Valor ............................................................................................................ 96 Subtítulo ....................................................................................................................... 97 5.8 Capas ................................................................................................................ 97 5.9 Redefine............................................................................................................ 97 5.10 Rastro y Lugar Geométrico ................................................................................ 98 Índice Alfabético ....................................................................................................... 100 12 1. ¿Qué es GeoGebra? GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la enseñanza de matemática escolar. 1.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una Vista Gráfica, una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente. Barra de Herramientas Vista Algebraica Ayuda de la Barra de Herramientas Vista de Hoja de Cálculo Vista Gráfica Barra de Entrada 1.1.1 Vista Gráfica Con el ratón o mouse1, empleando las herramientas de construcción disponibles en la Barra de Herramientas, pueden realizarse construcciones geométricas en la Vista Gráfica. 1 La palabra “ratón” refiere al mouse (tal como se lo denomina, conservando el inglés, en varias regiones de habla hispana) y en este texto se empleará uno u otro término (o ambos), para identificar tal dispositivo. 13 Todo objeto creado en la Vista Gráfica, tiene también su correspondiente representación en la Vista Algebraica. Elige y Mueve se pueden desplazar objetos en Atención: Tras activar la herramienta que la Vista Gráfica, arrastrándolos con el ratón o mouse. Simultáneamente, las representaciones algebraicas se actualizan dinámicamente en la Vista Algebraica. Basta con elegir alguna herramienta de construcción de la Barra de Herramientas y seguir las indicaciones de la Ayuda de la Barra de Herramientas (a continuación de la Barra de Herramientas) para averiguar cómo usarla. Atención: Si el nombre de la herramienta y/o la explicación de su empleo fueran demasiado extensos, sólo aparecerá en el extremo derecho de la Barra, el nombre en cuestión. La explicación de su empleo, se podrá leer en el cuadrito emergente al pasar con el ratón o mouse por encima de la herramienta activa. Cada ícono de la barra, representa una caja de herramientas que contiene una selección de útiles similares, que se despliegan con un clic sobre la flechita del vértice inferior derecho del recuadro del ícono. Ojo: Las herramientas se organizan según su función o la índole de objeto resultante. A la Caja de Herramientas de Puntos (el ícono por omisión es ) se recurre para diversas creaciones de diferentes puntos y las que aplican transformaciones geométricas se agrupan en la Caja de Herramienta de Transformación (su ícono por omisión es ). 1.1.2 Vista Algebraica Desde la Barra de Entrada de GeoGebra pueden ingresarse directamente expresiones algebraicas. Después de pulsar la tecla Enter, lo ingresado aparece en la Vista Algebraica y, automáticamente, su representación gráfica en la Vista Gráfica. Por ejemplo, al ingresar f(x) = x^2 aparece la función cuadrática en la Vista Algebraica y el gráfico de la parábola en la Vista Gráfica. En la Vista Algebraica, se distinguen los objetos matemáticos libres de los dependientes. Es libre todo nuevo objeto creado sin emplear ninguno de los ya existentes y, viceversa, será dependiente, el que derivara de alguno previo. Atención: Para que en la Vista Algebraica no aparezca la representación de un objeto, basta con establecerlo como Objeto Auxiliar: un clic derecho (en MacOS: Ctrl‐clic) sobre el objeto correspondiente de la Vista Algebraica, permite seleccionar ‘Propiedades’ en el Menú Contextual desplegado para designarlo Objeto Auxiliar en la pestaña ‘Básico’ de la Caja de Diálogo de Propiedades. Por omisión, los objetos auxiliares no aparecen en la Vista Algebraica pero es posible revertir este comportamiento, tildando Objetos Auxiliares en el Menú Vista. Es posible, además, modificar los objetos en la Vista Algebraica: hay que controlar que la herramienta que Elige y Mueve esté activada antes de hacer doble clic sobre un objeto libre en la Vista Algebraica. En la caja de texto emergente, se puede editar directamente la 14 representación algebraica del objeto. Después de pulsar la tecla Enter, la representación gráfica del objeto se ajustará automáticamente a los cambios efectuados. Un doble clic sobre un objeto dependiente de la Vista Algebraica, despliega una caja de diálogo en la que se lo Redefine. GeoGebra ofrece también una amplia gama de comandos que se pueden ingresar en la Barra de Entrada. La lista de Comandos, disponible en la esquina derecha de la Barra de Entrada, se despliega con un clic sobre la flechita en el vértice inferior derecho del botón Comando. Después de seleccionar el comando de la lista (o de anotar su nombre directamente en el Campo de Entrada), aparece información sobre su sintaxis y ayuda sobre los datos necesarios para aplicarlo, al pulsar la tecla F1 1.1.3 Vista de Hoja de Cálculo Cada celda de la Vista de Hoja de Cálculo de GeoGebra tiene una denominación específica que permite dirigirse a cada una. Por ejemplo, la celda en la fila 1 de la columna A se llama A1. Atención: El nombre de una celda puede usarse en expresiones y comandos para referir a su contenido. En las celdas de una hoja de cálculo, pueden ingresarse tanto números como cualquier otro tipo de objeto matemático tratado por GeoGebra (sean coordenadas de puntos, funciones, comandos). Cuando corresponde, también aparece de inmediato, en la Vista Gráfica, la representación del objeto ingresado en la celda, cuyo nombre coincide con el de la celda de la hoja de cálculo a partir de la cual fue creado (por ejemplo: A5, C1, D3, etc.). Atención: Por omisión, quedan establecidos como Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica, los creados en una hoja de cálculo. Aparecerán o no según Objetos Auxiliares esté o no tildado en el menú Vista. 1.2 GeoGebra: Medio para Enseñar y Aprender Matemáticas 1.2.1 Personalizando la Interfaz de Uso Para personalizar la interfaz de uso de GeoGebra, desde el Menú Vista, se decide qué diferentes partes mostrar o ocultar, según se tilde o no, por ejemplo, la Vista Algebraica, la Vista de Hoja de Cálculo o Barra de Entrada. Exponiendo y Ocultando Objetos Se pueden exponer u ocultar objetos en la Vista Gráfica de diferentes maneras: • Empleando la herramienta Expone / Oculta Objeto para operar en tal sentido. • Abriendo el Menú Contextual y seleccionando el ítem Expone Objeto para cambiar el estado de visibilidad del objeto seleccionado. 15 • En la Vista Algebraica, el ícono a la izquierda de cada objeto expone su estado de visibilidad actual ( ‘expuesto’ o ‘oculto’). Un clic sobre el ícono redondito cambia el estado de visibilidad de un objeto. • Empleando la herramienta Casilla para Exponer / Ocultar Objetos para operar de tal modo sobre varios objetos. Personalizar la Vista Gráfica Para ajustar la parte visible de la Vista Gráfica, su fondo puede desplazarse con la herramienta Desplaza Vista Gráfica y, además, se puede acercar o alejar el punto de mira (“zoom” mediante) de alguna de estas maneras: Zoom de Alejamiento que dan • Con las herramientas Zoom de Acercamiento y “zoom” en la Vista Gráfica Nota: La posición del clic, determina el centro del “zoom” • Con la rueda del mouse o ratón se maneja el “zoom” en la Vista Gráfica (de ampliación o reducción según el sentido de giro) • Con las teclas de atajo se realiza el “zoom” de acercamiento (Ctrl +) y el de alejamiento (Ctrl ‐). • Un clic derecho (MacOS: Ctrl ‐ clic) en una zona vacía de la Vista Gráfica despliega un Menú Contextual que ofrece la opción de Zoom. • Al encuadrar un Zoom Rectangular Se establece un extremo del área a enfocar en un lugar vacío de la Vista Gráfica, con un clic derecho (MacOS: Cmd ‐ clic) que se sostiene mientras se arrastra el ratón o mouse hasta soltarlo cuando se haya establecido el marco de Zoom Rectangular deseado. La Vista Gráfica se ajustará automáticamente a tal recuadro. El menú Vista permite decidir si van o mostrarse o ocultarse los Ejes Coordenados y la Cuadrícula de Coordenadas en la Vista Gráfica. Atención: Otro modo de mostrar o ocultar los ejes y la cuadrícula es con un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el fondo de la Vista Gráfica y seleccionado los ítems ‘Ejes’ o ‘Cuadrícula’. correspondientes del Menú Contextual emergente Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula Con la Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica, pueden personalizarse los ejes de coordenadas y la cuadrícula. Después de un clic derecho, (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el fondo de la Vista Gráfica, seleccionando ‘Propiedades’ del Menú Contextual emergente, puede abrirse la ventana de diálogo para establecer. • En la pestaña ’Ejes’, por ejemplo, el estilo de trazo y las unidades de los ejes de coordenadas, así como el valor de la distancia entre las marcas de graduación. Es de hacer notar que puede personalizarse cada eje individualmente, en las pestañas correspondientes ‘EjeX’ y ‘EjeY’. Además, también puede modificarse la relación entre los ejes y ocultar o mostrar cada uno de ellos, por separado. • En la pestaña Cuadrícula, se pueden modificar, por ejemplo, el color y estilo de la cuadrícula de coordenadas, y fijar la distancia entre las líneas de la cuadrícula a un valor determinado. Incluso, se puede establecer un trazado ‘Isométrico’ de la cuadrícula. 16 Atención: En cualquier modo, se pueden escalar los ejes pulsando y sosteniendo la tecla Shift (para PC: también tecla Ctrl) mientras se arrastran los ejes. Atención: La Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica es diferente a la Caja de Diálogo de Propiedades de los objetos. Personalizando la Barra de Herramientas La Barra de Herramientas puede personalizarse seleccionando Personalizar Barra de Herramientas del menú Herramientas. En la lista que aparece a la izquierda de la ventana de diálogo, se selecciona la herramienta o caja de herramientas que se desea eliminar de la Barra correspondiente y se pulsa sobre el botón ‘Eliminar >’. Atención: Se puede restablece la Barra de Herramientas original pulsando sobre el botón correspondiente que aparece en la zona inferior izquierda de la ventana de diálogo ‘Restablecer Barra de Herramientas Original’. 1.2.2 La Caja de Diálogo de Propiedades La Caja de Diálogo de Propiedades permite modificar las propiedades de los objetos. Como su medidael color, sombreado; estilo de trazo,, grosor de trazo, visibilitdad). visibilidad. Se puede abrir la Caja de Diálogo de Propiedades de diferentes maneras. Por ejemplo, seleccionando… • … ‘Propiedades…’ del Menú Contextual que se despliega con un clic derecho (MacOS: Ctrl ‐ clic) sobre un objeto. • … el ítem Propiedades del menú Edita. • … la herramienta que Elige y Mueve y dando doble clic sobre un objeto en la Vista Gráfica para pulsar sobre el botón de ‘Propiedades…’ de la ventana emergente, la de Redefine. En la lista que vemos a la izquierda en la Caja de Diálogo de Propiedades, los objetos aparecen organizados según su tipo (por ejemplo: puntos, rectas, circunferencias) facilitando la selección múltiple para el cambio de propiedades. Es preciso seleccionar uno o más objetos de la lista para cambiar sus propiedades. Atención: Para seleccionar un conjunto de objetos del mismo tipo, basta con un clic sobre el correspondiente encabezado (por ejemplo, ‘Punto’) para pasar a cambiar las propiedades de ese conjunto. Según el tipo de propiedades que se desee modificar de los objetos seleccionados, se elige la correspondiente pestaña del encabezado del recuadro de la derecha (sea Básico, Color, Estilo, Avanzado). Atención: Puede aparecer un juego de pestañas diferentes, acorde a la selección de objetos realizada. Cuando se completa el cambio de propiedades de los objetos, se debe cerrar la Caja de Diálogo de Propiedades. 17 1.2.3 Usando el Menú Contextual El Menú Contextual proporciona una manera ágil de modificar el comportamiento o las propiedades avanzadas de un objeto. Un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) sobre un objeto despliega su Menú Contextual. Así, para cambiar la notación algebraica de un objeto (por ejemplo, coordenadas polares o cartesianas, ecuación implícita o explícita) y acceder directamente a opciones como Renombra, Borra, Activa Rastro, Animación Automática. O Copia en Campo de Entrada. Atención: Si estuviese activa la Vista de Hoja de Cálculo al desplegarse el Menú Contextual de un punto en la Vista Gráfica, aparece la opción Registra en Hoja de Cálculo que opera registrando en la Vista de Hoja de Cálculo sus sucesivas coordenadas, a medida que se lo desplaza. Atención: Al seleccionar Propiedades… en el Menú Contextual se abre la Caja de Diálogo de Propiedades, para definir o cambiar las de todos los objetos en juego. 1.3 GeoGebra como Herramienta de Presentación 1.3.1 Usando la Barra de Navegación GeoGebra ofrece una Barra de Navegación que permite recorrer los pasos de construcción del boceto elaborado. Al seleccionar Barra de Navegación por Pasos de Construcción en el Menú Vista, la Barra de Navegación aparece al pie de la Vista Gráfica. La Barra de Navegación presenta una botonera y expone el número de Pasos de Construcción (por ejemplo., 2 / 7 significa que estamos frente al segundo de un total de siete Pasos de Construcción): es el botón para: ‘retroceder al paso inicial’ • • es el botón para: ‘retroceder paso a paso’ es el botón para: ‘avanzar paso a paso’ • es el botón para: ‘avanzar hasta el ultimo paso’ • ‘Reproduce’: ‘automáticamente ejecuta la construcción paso a paso • Atención: La caja de texto a la derecha del botón ‘Reproduce’ permite establecer la velocidad de ejecución automática. ‘Pausa’: establece una ‘pausa en la ejecución automática’ • Atención: Este botón sólo aparece durante una ejecución iniciada con ‘Reproduce’. • es el botón para abrir el Protocolo de Construcción. 18 1.3.2 El Protocolo de Construcción El ítem Protocolo de la Construcción del Menú Vista da acceso a una tabla interactiva que expone todos los Pasos de Construcción y permite rehacer el boceto realizado, paso a paso usando la Barra de Navegación que aparece al pie de la Caja de Diálogo del Protocolo de Construcción. Navegando y Modificando el Protocolo de Construcción Puede usarse el teclado para navegar por el Protocolo de Construcción: • La ‘flecha ascendente’ ↑ del teclado lleva al paso de construcción previo. • La ‘flecha descendente’ ↓ ‘del teclado lleva al siguiente paso de construcción. • La tecla Home lleva al inicio del Protocolo de Construcción. • La tecla End lleva al final del Protocolo de Construcción. • La tecla Borra elimina el paso de construcción seleccionado. Atención: Esta acción puede afectar a otros objetos que dependen del eliminado y/o del paso de construcción seleccionado. Puede emplearse el ratón o mouse para navegar por el Protocolo de Construcción: • Doble clic sobre una fila para seleccionar un paso de construcción. • Doble clic sobre el encabezado de una columna para ir al inicio del Protocolo de Construcción. • Arrastrar y soltar una fila para desplazar un paso de construcción a otra posición en el Protocolo de Construcción. Atención: Esto no siempre es posible debido a la dependencia entre los diferentes objetos involucrados en cada paso. • Clic derecho sobre una fila para abrir el Menú Contextual del objeto en esos paso de construcción. Atención: Pueden intercalarse Pasos de Construcción en cualquier posición, seleccionando el paso bajo el cual se quiera insertar el nuevo. Si se deja la Ventana del Protocolo de Construcción abierta mientras se crea un nuevo objeto, vemos cómo este nuevo paso de construcción inmediatamente se intercala en la posición seleccionada del Protocolo de Construcción. Para que, al recorrer la construcción desde la Barra de Navegación, varios objetos se expongan en simultáneo, los agrupamos marcando sus correspondientes Pasos de Construcción como ‘Puntos de Ruptura’. La columna Punto de Ruptura se activa desde el Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción. Atención: Se pueden /des)activar las diferentes columnas del Protocolo de Construcción (des)tildándolas en el Menú Vista de la Ventana del Protocolo de Construcción. Exportando el Protocolo de Construcción como Página‐Web Para exportar el Protocolo de Construcción como una página web, en primer lugar se debe abrir el Protocolo de Construcción desde el Menú Vista y luego recurrir al ítem ‘Exporta como Página Web (html)…’ del menú Archivo de la Ventana del Protocolo de Construcción. 19 En la Ventana de Exportación del Protocolo de Construcción se pueden anotar los datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’ y ‘Fecha’ de la construcción y elegir si se insertará o no la imagen de la Vista Gráfica o la de la Vista Algebraica así como si se va a exportar el Protocolo de Construcción a Color’. Esto último implica que el color de los objetos en el protocolo de construcción coincidirá con el de los correspondientes del boceto. Atención: El archivo2 HTML exportado puede verse con cualquier navegador de Internet (por ejemplo. Firefox, Internet Explorer) y editarse con diversos sistemas de procesamiento de textos (por ejemplo. OpenOffice Writer). 1.3.3 Cambiando las Opciones de GeoGebra GeoGebra permite cambiar y guardar los ajustes preferidos que se hubieran establecido en el menú de Opciones. Por ejemplo, cambiar la Unidad Angular de ‘Grados’ a ‘Radianes’, o el Estilo de Punto,, Tamaño de Casilla de Control, y Estilo del Angulo Recto. Además, puede cambiarse el estilo de la notación de las Coordenadas y decidir qué objetos se van a rotular o el Rotulado. Se profundiza esta información en la sección sobre el Menú de Opciones . Guardar Configuración del Menú Se pueden guardar las opciones definidas, con el ítem de Opciones para que GeoGebra establezca tales ajustes de uso en cada nuevo boceto creado y archivado. Atención: Se pueden recuperar las opciones por omisión originales, seleccionando el ítem Restablecer la Configuración Original del menú de Opciones. Atención: Cuando se emplea GeoGebra como una herramienta de presentación, conviene aumentar la medida de tipografía (ítem Tamaño de Letra ‘del menú de Opciones) para que se aprecien con facilidad los textos y los rótulos de los objetos. 1.4 GeoGebra como Herramienta de Autor 1.4.1 Imprimiendo Opciones Imprimiendo la Vista Gráfica Para imprimir la Vista Gráfica de las construcciones, es conveniente recurrir en primer lugar, al ítem Previsualiza Impresión... del menú Archivo. En la Ventana de Diálogo de Previsualiza Impresión, pueden anotarse datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’, y ‘Fecha’ de la construcción. Además, se puede fijar la Escala de impresión (en cm) y establecer la Orientación del papel (horizontal si se desea una impresión apaisada y vertical en caso contrario). 2 Emplearemos el término “archivo” o “fichero” indistintamente: así como “directorio” y carpeta”; “ordenador” o “computador” o “computadora” o “equipo”!. 20 Atención: Para actualizar Previsualiza Impresión después de cada cambio en el texto o disposición de la impresión, debe pulsarse la tecla Enter. Imprimiendo el Protocolo de Construcción Para imprimir el Protocolo de Construcción, en primer lugar se debe abrir la Ventana del Protocolo de Construcción desde el Menú Vista y luego, abrir la ventana de Previsualiza Impresión del Protocolo de Construcción desde el Menú Archivo de esta nueva ventana. Nuevamente, pueden anotarse los datos correspondientes a ‘Título’, ‘Autoría’, y ‘Fecha’ de la construcción o cambiar Escala o la orientación del papel, antes de imprimir el Protocolo de Construcción. Atención: Es posible cambiar el orden de las diferentes columnas del Protocolo de Construcción y/o (des)activar cualquier de ellas, Nombre, Definición, Comando, Algebra y Punto de Ruptura usando el Menú Vista de la ventana de diálogo del Protocolo de Construcción. 1.4.2 Creando Imágenes de la Guardando la Vista Gráfica como Imagen Puede archivarse como imagen, la Vista Gráfica de cualquier construcción. Atención: Se guarda la imagen completa de la Vista Gráfica. Por eso, cuando sólo interesa una zona de la construcción conviene, previamente, apelar a… • … las herramientas pertinentes, Desplaza Vista Gráfica, Zoom de Acercamiento, Zoom de Alejamiento , hasta ubicar la construcción en la zona superior izquierda de la Vista Gráfica y entonces, reducir la ventana de GeoGebra arrastrando sus extremos y/o bordes con el ratón o mouse. • … a la selección rectangular para especificar qué parte quedará enfocada en la Vista Gráfica antes de guardarla como imagen. • … crear un par de puntos denominados Exporta_1 y Exporta_2, que determinarán sendos vértices opuestos del Rectángulo de Exportación Atención: Los puntos Exporta1 y Exporta2 deben marcarse en el área visible de la Vista Gráfica. En el menú Archivo, la opción Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta despliega una ventana de diálogo en que se puede especificar el Formato, Escala (en cm) y Resolución (en dpi) de la imagen guardada en el archivo gráfico al que se la exporta Atención: La medida efectiva de la imagen aparece en la ventana de exportación, debajo de los botones mencionados, expresada tanto en centímetros como en pixels. Se profundiza en la información al respecto en la sección Exporta Vista Gráfica como Imagen. Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles Hay diferentes maneras de copiar la Vista Gráfica al llamado portapapeles. Seleccionando, clic mediante… • … el ítem Copia la Vista Gráfica al Portapapeles del menú Edita 21 • … Copia la Vista Gráfica al Portapapeles, una de la opciones del ítem Exporta del menú Archivo • … el botón Portapapeles de la ventana de diálogo Exporta Vista Gráfica como Imagen de Exporta Vista Gráfica como Imagen (png, eps)…) del ítem Exporta del menú Archivo. Cualquiera de estas maniobras llevan al portapapeles del sistema una copia de captura de pantalla de la Vista Gráfica como imagen con formato PNG (ver Formato PNG). Este imagen puede pegarse en otros documentos (por ejemplo. los elaborados con un procesador de textos). Atención: Para exportar una construcción fijando determinada escala (en cm), basta con Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta del menú Archivo (ver seleccionar la opción Exporta Vista Gráfica como Imagen). 1.4.3 Creando Páginas Web interactivas Para crear, a partir de archivos de GeoGebra, páginas web interactivas, las así llamadas Hojas Dinámicas, basta con seleccionar la opción Hoja Dinámica como Página Web (html) del ítem Exporta del menú Archivo y desde la ventana de diálogo de Hojas Dinámicas, proseguir: • En la zona superior de la ventana de exportación, anotar los datos correspondientes a Título, Autoría y una Fecha de la Hoja Dinámica. • La pestaña General permite añadir texto antes y después de la construcción dinámica (por ejemplo., una descripción de la construcción y alguna propuesta o desafío). También se puede determinar si la construcción va a incluirse de por sí en la página web directamente o si se abrirá con un clic sobre un botón. • La pestaña Avanzado o permite cambiar la funcionalidad de la construcción dinámica (por ejemplo: mostrar un ícono de reinicio, si un doble clic abrirá la ventana de aplicación de GeoGebra) e incluso modificar la interfaz de uso expuesta en el applet interactivo (por ejemplo., si se cuenta o no con la Barra de Herramientas, cuál será la altura y el ancho). Atención: Si la medida del applet excede las dimensiones de pantalla cuando la resolución es la estándar (1024 x 768), conviene redimensionar antes de exportarla efectivamente como Hoja Dinámica. Atención: Cuando se exporta una Hoja Dinámica: se crean varios archivos: • un archivo html (por ejemplo. circular.html) que incluye la hoja dinámica propiamente dicha • un archivo GGB (por ejemplo. circular.ggb) que incluye la construcción, el boceto de GeoGebra. • varios archivos JAR (como geogebra.jar) que incluye a GeoGebra y le otorga su tenor interactivo a la hoja dinámica. Todos estos archivos (por ejemplo. circular.html, circular.ggb y geogebra.jar) deben estar presentes en la misma carpeta (o directorio) para que el boceto funcione dinámicamente. 22 El archivo HTML exportado (por ejemplo. circular.html) puede apreciarse con cualquier navegador de Internet (por ejemplo. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Para que el comportamiento de la construcción sea dinámico, el equipo de trabajo debe tener instalado Java (se lo puede bajar desde http://www.java.com gratuitamente). Para trabajar sobre una Hoja Dinámica en uno de los equipos de una red, como la secular por ejemplo, quien administre la red local debe asegurarse de tener Java adecuadamente instalado. Atención: Para editar el texto de una Hoja Dinámica, basta con abrir el archivo HTML exportado con cualquier sistema de procesamiento de textos (por ejemplo. FrontPage, OpenOffice Writer). También puede editarse el applet de la Hoja Dinámica abriendo el archivo GGB con GeoGebra y guardándolo después, con el mismo nombre. 23 2. Entrada Geométrica 2.1 Anotaciones Generales La Vista Gráfica (a la derecha) expone gráficamente la representación de objetos matemáticos (como puntos, vectores, segmentos, polígonos, funciones, curvas, rectas y secciones cónicas). Cuando el ratón (o mouse) se desplaza sobre un objeto, éste se ilumina y se despliega un letrero rodante con su descripción. GeoGebra reacciona de distinta manera frente a cada entrada de mouse o ratón según la herramienta y el modo en que se estuviera operando en la Vista Gráfica (ver, al respecto, la sección Herramientas de Construcción). Por ejemplo, un clic en zona gráfica puede crear un punto nuevo (ver herramienta Punto Nuevo), fijar la intersección entre objetos (ver Intersección de Dos Objetos) o trazar una circunferencia (ver herramientas herramienta correspondientes a la Circunferencia). Atención: Un doble clic sobre un objeto en la Vista Gráfica abre su campo de edición que permite se modifique su valor si fuera un objeto libre y que se lo redefina, si fuera dependiente. 2.2 Herramientas de Construcción Las siguientes herramientas de construcción o modos, pueden activarse con un clic sobre los botones de la Barra de Herramientas. Un clic sobre la flechita del extremo inferior derecho del recuadro de cada ícono representativo de una Caja de Herramientas, despliega lo que puede considerarse un menú, del que se puede elegir una herramienta, de entre conjunto de varias, similares. Atención: Con la mayor parte de las herramientas de construcción pueden crearse nuevos puntos, simplemente con un clic sobre una zona vacía de la zona gráfica. Seleccionado Objetos Cuando está active la herramienta Elige y Mueve, un clic sobre cualquier objeto, lo selecciona. Para seleccionar varios, se puede apelar al rectángulo de selección, encuadrando, Elige y Mueve, la zona en que se encontraran: en una posición vacía de la Vista con Gráfica, se determina el primer extremo con un clic que se sostiene mientras se arrastra el ratón hasta soltarlo en el vértice diagonalmente opuesto, para establecer el marco deseado. Al soltar el botón, todos los objetos dentro del recuadro quedan seleccionados, simultáneamente. Atención: Manteniendo pulsada la tecla Ctrl (MacOS: tecla Cmd) mientras se va haciendo clic sobre diferentes objetos, se logra que todos queden simultáneamente seleccionados. 24 Renombrar Objetos Rápidamente Para renombrar rápidamente un objeto seleccionado o recién creado, basta con apuntarlo y pulsar alguna letra: se abrirá la caja de diálogo de Renombra donde escribir el nuevo nombre, que quedará establecido con un clic sobre el botón OK. 2.2.1 Herramientas Generales Copia Estilo Visual Esta herramienta permite copiar las propiedades visuales (como color, dimensión, estilo lineal, etc.), desde un objeto a los de destino. En primer lugar, debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades desean copiarse. Luego, se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar dichas propiedades. Borra Objeto Cuando está activa esta herramienta, basta con un clic sobre cada uno de los objetos que se desee borrar (quedan eliminados, consecuentemente, todos los que derivan y dependen del que fue borrado). Ver también el comando Borra. Deshace para recuperar un objeto borrado por Atención: Se puede recurrir al botón equivocación. Elige y Mueve Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el ratón o mouse. Basta Elige y Mueve para poder… seleccionar un objeto con un clic, estando activo • … eliminarlo pulsando la tecla Del (o Delete) • … desplazarlo apelando a las teclas‐flecha (ver sección Animación Manual) Atención: Pulsar la tecla Esc también activa, y rápidamente, la herramienta Mueve. Elige y Desplaza Área Gráfica Con esta herramienta, se puede arrastrar y soltar la Vista Gráfica para cambiar la zona visible de esa área. Atención: • También se puede desplazar el área gráfica, estando cualquier herramienta activa, pulsando la tecla Shift (en MS Windows, también la tecla Ctrl).y arrastrándola con el ratón o mouse • Con la misma maniobra, pulsando la tecla Shift (en PC, también Ctrl), y mismas condiciones (estando cualquier herramienta activa), también puede escalarse uno u otro eje, simplemente arrastrándolo con el mouse o ratón. 25 Registra en Hoja de Cálculo Vista de Hoja de Cálculo Esta herramienta trabaja con números, puntos y vectores. Esta herramienta permite que se registre, en la Vista de Hoja de Cálculo, la secuencia de valores que, a medida que se desplaza, toma un objeto (número, punto o vector) Atención: GeoGebra tomará las dos primeras columnas vacías de la Vista de Hoja d Cálculo para registrar los valores de los objetos seleccionados. Relación Herramienta que permite seleccionar don objetos para obtener, desplegada en una ventana emergente, información sobre la relación que pudiera vincularlos (ver también el comando Relación). Rota en torno a un Punto Después de seleccionar el punto que hará las veces de centro, pueden rotarse a su alrededor, los objetos libres que se elijan, simplemente arrastrándolos con el ratón o mouse. (ver también el comando Rota). Expone / Oculta Rótulo Al hacer clic sobre un objeto, su rótulo se expone u oculta alternativamente. Expone / Oculta Objeto Tras activar esta herramienta, basta seleccionar el objeto que se desee exponer o ocular y al pasar a otra herramienta, se aplicarán los cambios en su estado de visibilidad. Atención: Cuando se activa esta herramienta, todos los objetos que debieran estar ocultos aparecen resaltados en la Vista Gráfica. De este modo, fácilmente se vuelven a exponer los objetos ocultos, simplemente deseleccionándolos, antes de pasar a otra herramienta. Zoom de Acercamiento Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica, esta herramienta produce un "zoom" de acercamiento (ver también Personalizar la Vista Gráfica) Atención: La posición del clic determina el centro del zoom. Zoom de Alejamiento Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica, esta herramienta produce un "zoom" de alejamiento respecto de la construcción (ver también Personalizar la Vista Gráfica). Atención: La posición del clic determina el centro del zoom. 26 2.2.2 Herramientas de Puntos Intersección de Dos Objetos Los puntos de intersección de los dos objetos pueden producirse de dos maneras (ver también comando Interseca) a saber… • … seleccionando dos objetos, se crean todos los puntos de intersección (si los hubiese / fuesen posibles). • … con un clic directo sobre la intersección de los dos objetos: sólo se crea este único punto de intersección Atención: Para cada segmento, semirrecta o arco, se pude especificar, en la pestaña Básica de su respectiva Caja de Diálogo de Propiedades, si se permitirá la intersección en prolongaciones. Esta alternativa permite obtener puntos de intersección que queden establecidos en la extensión de un objeto. Por ejemplo, la extensión de un segmento o una semirrecta es una recta. Punto Medio o Centro Un clic sobre... • … dos puntos o un segmento, permite obtener su punto medio. • … una circunferencia o sección cónica (circunferencia o elipse) su punto centro. (Ver también los comandos Centro y PuntoMedio). Nuevo Punto Con un clic sobre la Vista Gráfica se crea un nuevo punto. Sus coordenadas quedan establecidas al soltar el botón de ratón o mouse nuevamente. Atención: • Con un clic sobre un segmento, recta, polígono, sección cónica, función o curva, se crea un punto sobre el objeto en cuestión (ver también el comando Punto). • Con un clic sobre la intersección de dos objetos, se crea este punto de intersección (ver también la herramienta Interseca Dos Objetos y el comando Interseca). 2.2.3 Herramientas de Vectores Vector entre Dos Puntos Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicación del vector (ver también el comando Vector). Vector desde un Punto Al seleccionar un punto A y un vector v, se crea un nuevo punto B = A + v así como el vector de A a B (ver también el comando Vector). 27 2.2.4 Herramientas de Segmentos Segmento entre Dos Puntos Al seleccionar dos puntos A y B, se establece un segmento entre A y B (ver también el comando Segmento). Atención: En la Vista Algebraica, podrá verse la longitud de dicho segmento. Segmento dados Punto Extremo y Longitud Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del segmento y anotar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a continuación, para que quede trazado (ver también el comando Segmento).. Atención: Esta herramienta crea un segmento con la longitud a determinada entre el punto A y el B que será su otro extremo. El extremo B puede rotarse con la herramienta Mueve en torno al extremo inicial A. Elige y 2.2.5 Semirrecta Semirrecta que pasa por Dos Puntos Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B. (Ver también el comando Semirrecta). Atención: En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta. 2.2.6 Polígonos Polígono Para trazar un polígono y que su área quede expuesta en la Vista Algebraica, basta con marcar al menos tres puntos que constituirán sus vértices y, con un clic reiterado sobre el primero de ellos, cerrarlo. (Ver también el comando Polígono) Atención: En la Vista Algebraica, se expone el área del polígono. Polígono Regular Al marcar dos puntos, A y B y anotar un número n en el campo de texto la caja de diálogo emergente, se traza un polígono regular con n vértices, incluyendo A y B. (Ver también el comando Polígono) Atención: En la Vista Algebraica, se expone el área del polígono. 28 2.2.7 Recta y sus Herramientas Bisectriz La bisectriz de un ángulo (ver también el comando Bisectriz), puede definirse de dos maneras • Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo determinado por A, B y C, con B como vértice. • Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos. Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1. Atención: La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del segmento s o AB. Ajuste Lineal Esta herramienta (ver también el comando AjustetLineal), traza la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos, establecido de uno de estos modos: • Trazar la Selección Rectangular que enmarca a todos los puntos. • Seleccionar la lista de puntos cuyo mejor ajuste lineal se desea. Recta que pasa por Dos Puntos Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que fija la dirección de la recta es (B ‐ A). (Ver también el comando Recta), Atención: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A). Recta Paralela Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es paralela a g. (Ver también el comando Recta). Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g. Mediatriz La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus dos puntos A y B extremos. Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular al segmento s. o AB (Ver también el comando Mediatriz). Recta Perpendicular Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es perpendicular a g. (Ver también el comando Perpendicular). Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular a g. Recta Polar o Diametral Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una sección cónica de dos posibles maneras; seleccionando… • … un punto y una sección cónica. 29 • … una recta o vector y una sección cónica para fijar su diámetro. (Ver también el comando Polar). Tangentes Las tangentes a una cónica pueden determinarse de dos maneras: • Al seleccionar un punto A y una cónica c se producen todas las tangentes a c que pasan por A. • Al seleccionar una recta g y una cónica c se producen todas las tangentes a c que son paralelas a g. • Al seleccionar un punto A y la función f, se traza la recta tangente a f por x=x(A). • Atención: x(A) representa la coordenada x del punto A. Si el punto A perteneciera al gráfico de una función, la tangente pasará a través de A. se producen todas las tangentes a f que son paralelas a g (Ver también el comando Tangente). 2.2.8 Secciones Cónicas Circunferencia dados su Centro y Radio Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana para ingresar el valor del radio. (Ver también el comando Circunferencia). Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en M que pasa por P. (Ver también el comando Circunferencia). Atención: El radio del círculo es la distancia MP. Circunferencia dados Tres de sus Puntos Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los cruza. (Ver también el comando Circunferencia). Atención: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedaría reducida a una recta. Compás Al seleccionar un segmento o dos puntos, queda especificado el radio y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la circunferencia a trazar. (Ver también el comando Circunferencia). Cónica dados Cinco de sus Puntos Al seleccionar cinco puntos, queda definida una sección cónica que pasa por ellos. (Ver también el comando Cónica). Atención: La sección cónica no queda efectivamente definida, si cuatro de estos cinco puntos estuvieran alineados. 30 Elipse La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando Elipse). Hipérbola La hipérbola se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando Hipérbola). Parábola La parábola se trazará al seleccionar un punto que será su foco y su directriz (recta, semirrecta o segmento). (Ver también el comando Parábola). 2.2.9 Arcosy Sectores Atención: En GeoGebra, el valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector, su área. Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos Deben seleccionarse tres puntos: en primer lugar M, que será su centro; luego A, su extremo inicial y finalmente B que determinará la longitud del arco. (Ver también el comando ArcoCircuncircular). Atención: Mientras el punto A pertenece al arco dado que es su extremo, B no necesariamente pertenece al arco. Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos Deben marcarse tres puntos: primero M, que será su centro; luego A, extremo inicial de su arco y finalmente B que determinará la longitud del arco del sector. (Ver también el comando SectorCircular). Atención: Mientras el punto A pertenece al arco del sector, dado que es su extremo, B no necesariamente pertenece a su arco. Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos Al marcar tres puntos, A, B, y C, se traza un arco de circunferencia cuyo extremo inicial es A; el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C. (Ver también el comando ArxoCircumcircular). Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco Al marcar tres puntos, A, B, y C, se produce un sector circular en cuyo arco el extremo inicial es A; el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C. (Ver también el comando SectorCircumcircular). 31 Semicircunferencia dados Dos Puntos Al seleccionar dos puntos A y B, se traza una semicircunferencia por encima del segmento AB. (Ver también el comando Semicirunferencia). 2.2.10 Números y Ángulos Angulo Esta herramienta crea: • el ángulo entre tres puntos cuyo vértice es el segundo de ellos • el ángulo entre dos segmentos • el ángulo entre dos rectas • el ángulo entre dos vectores • todos los ángulos de un polígono Atención: Si el polígono fue creado seleccionando sus vértices en sentido antihorario, la herramienta Angulo establece los interiores. Atención: En tanto los ángulos se crean en sentido antihorario, es relevante el orden de selección de los objetos al emplear esta herramienta. Para limitar la amplitud del ángulo a 180°, como máximo, no debe estar tildada la casilla de ‘Admite Ángulos Cóncavos’que en la pestaña ‘Básico’ ofrece la Caja de Diálogo de Propiedades. (Ver también el comandoAngulo). Angulo dada su Amplitud Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del ángulo en el campo de texto de la ventana emergente. Esta herramienta produce un punto C y un ángulo α correspondiente a ABC. (Ver también el comando Angulo). Atención: Esta herramienta crea un punto C y un ángulo α correspondiente a ABC. Área Esta herramienta establece el área de un polígono, círculo o elipse como número que se expone como texto dinámico en la Vista Gráfica. (Ver también el comando Area). Distancia o Longitud Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos, dos rectas o un punto y una recta y la expone como texto dinámico en la Vista Gráfica. También opera con la longitud de un segmento, la de una circunferencia o la del perímetro de un polígono. (Ver también los comandos Distancia y Longitud). Deslizador Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Gráfica crea un "dial” o deslizador para ajustar el valor de un número o un ángulo.. La ventana de diálogo emergente permite especificar el Nombre, Intervalo [mín, máx], e Incremento del valor correspondiente así como la alineación 32 con que quedará Fijado (Horizontal o Vertical) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels). Atención: En la ventana de diálogo del Deslizador puede ingresarse el símbolo de grados ° o pi π para intervalo e incremento, usando las siguientes teclas de atajo: • Alt‐O (MacOS: Ctrl‐O) para el símbolo de grados ° • Alt‐P (MacOS: Ctrl‐P) para el símbolo π La posición de un deslizador puede ser absoluta en la Vista Gráfica (no es afectado por ningún tipo de “zoom”: permanece expuesto en una zona visible de la Vista Gráfica) o relativa al sistema de coordenadas (ver Caja de Diálogo de Propiedades del número o ángulo correspondiente). Atención: En GeoGebra, un deslizador no es sino la representación gráfica de un número libre o ángulo libre. Puede crearse desde cualquier número libre o ángulo existente, sencillamente, exponiendo tal objeto en la Vista Gráfica (ver Menú Contextual; ver herramienta Expone / Oculta Objeto). Pendiente Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinámicamente, ilustrada en un triángulo rectángulo adecuado, en la Vista Gráfica. 2.2.11 Control Booleano Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos Al dar clic sobre la Vista Gráfica se crea una casilla a tildar (ver sección Variables Booleanas y Operaciones y Variable Booleana) para exponer y ocultar uno o más objetos. En la ventana emergente, se puede especificar qué objetos quedarían afectados por el estado de tal casilla. Atención: Estos objetos pueden seleccionarse desde la lista que ofrece la ventana de dialogo o directamente, con el mouse o ratón en cualquier vista. 2.2.12 Lugar Geométrico Locus o Lugar Geométrico Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A cuyo lugar geométrico va a trazarse y sobre el cual debe hacerse clic a posteriori de B. (Ver también el comando LugarGeométrico). Atención: Debe advertirse que B debe ser un punto de un objeto (por ejemplo: una recta, un segmento, una circunferencia). Ejemplo: • Anotar f(x) = x^2 – 2 x – 1 en el Campo de Entrada y pulsar la tecla Enter. • Ubicar un nuevo punto A en el eje‐x (ver herramienta Nuevo Punto; ver comando Punto). • Crear un punto B = (x(A), f’(x(A))) que dependerá del punto A. 33 • • Seleccionar la herramienta Lugar Geométrico y sucesivamente dar clic sobre el punto B y el A. Arrastrar el punto A sobre el eje‐x para ver a B desplazarse por el lugar geométrico. 2.2.13 Transformaciones Geométricas Las siguientes transformaciones geométricas operan sobre puntos, rectas, secciones cónicas, polígonos e imágenes. Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado. Luego, basta un clic sobre el punto que obrará como centro de la homotecia para que aparezca una ventana en donde anotar el factor deseado. (Ver también el comando Homotecia). Refleja Objeto en Recta Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, basta un clic sobre la recta (semirrecta o segmento) para que quede establecido el eje de simetría a través del que se operará la reflexión. (Ver también el comando Refleja). Refleja Objeto por Punto Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. Luego, basta un clic sobre el punto a través del cual se operará la reflexión. (Ver también el comando Refleja). Refleja Punto en Circunferencia Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia, seleccionando el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexión. (Ver también el comando Refleja). Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado. Luego, basta un clic sobre el punto que obrará como centro de rotación para que aparezca una ventana donde puede especificarse la amplitud del ángulo de rotación. (Ver también el comando Rota). Traslada Objeto por un Vector Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado. Luego, un clic sobre un vector, bastará para que se produzca la translación. (Ver también el comando Traslada). 34 2.2.14 Texto Inserta Texto Con esta herramienta, pueden crearse fórmulas de LaTeX o textos, estáticos o dinámicos, en la Vista Gráfica. En primer lugar, es necesario especificar el texto de una de las siguientes maneras: • Con un clic sobre la Vista Gráfica para crear un nuevo texto en esa posición. • Con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya ubicación se vincula y asocia a dicho punto. A continuación, aparece una caja de diálogo en la que se puede anotar el texto. Atención: Puede especificarse la posición absoluta de un texto en pantalla (tildando la casilla de ‘Posición absoluta en pantalla’ de la pestaña ‘Básico’ de la Caja de Diálogo de Propiedades) para que no resulte relativa al sistema de coordenadas. Texto Estático no depende de ningún objeto matemático y no suele afectarlo ningún cambio de la construcción. Texto Dinámico Es el que contiene valores de objetos y se modifica y adapta automáticamente frente a sus cambios. Texto Mixto es una combinación de texto estático y dinámico. Para crear un texto mixto, debe anotarse el sector estático usando el teclado (por ejemplo: Punto A =) y añadir la sección dinámica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer (el punto A, en el caso de este ejemplo). Atención: GeoGebra automáticamente incorpora y añade la sintaxis necesaria ("Punto A = " + A) para crear los textos mixtos: comillas en torno a la parte estática del texto y el signo más (+) para conectar las diferentes partes del texto. Entrada Este es un texto estático A "Punto A = " + A "a = " + a + "cm" Descripción texto estático texto dinámico (si el punto A existe) texto mixto en dos partes, usando el valor del punto A texto mixto en tres partes, usando el valor del número a Atención: Si ya existiera un objeto denominado xx y se deseara crear un texto estático usando ese nombre, sería preciso anotarlo entre comillas, así; "xx". De lo contrario, en lugar de mostrar ese nombre, GeoGebra automáticamente crearía un texto dinámico, el del valor del objeto xx. Por el contrario, puede anotarse cualquier texto que no coincida con el nombre de un objeto existente, sin hacer la distinción implicada en las comillas. Atención: Dentro de un texto mixto, cualquier sección estática precisa entrecomillarse y los diferentes tramos, estáticos y dinámicos, concatenarse usando el signo más (“+”). 35 Fórmulas LaTeX En GeoGebra también se pueden escribir fórmulas. Para hacerlo, hay que tildar la casilla correspondiente, Fórmula LaTeX, que aparece en la ventana de diálogo de la herramienta Inserta Texto y anotar la fórmula según la sintaxis de LaTeX. Atención: Para crear un texto que contenga una formula LaTeX así como texto estático, se ingresa la parte estática del texto y luego se añade la fórmula LaTeX entre un juego de símbolos de pesos ($). Ejemplo: La longitud de la diagonal es $\sqrt{ 2 }$. Se pueden seleccionar los símbolos más usuales en la sintaxis de las formulas más habituales, desde el menú desplegable que aparece a la derecha de la casilla de LaTeX. Esto intercala los códigos de LaTeX correspondientes en el campo de texto y deja ubicado el cursor entre un juego de llaves { },. Si se quiere crear un texto dinámico con la formula, basta un clic sobre un objeto para que GeoGebra inserte su nombre así como la sintaxis para el texto mixto. Algunos comandos importantes de LaTeX aparecen en la siguiente tabla. Revisando cualquier documento sobre LaTeX se obtiene más información sobre el tema. LaTeX Entrada a \cdot b \frac{a}{b} \sqrt{x} Resultado a ⋅b a b x \sqrt[n]{x} \vec{v} \overline{AB} x^{2} a_{1} \sin\alpha + \cos\beta x r v AB x2 a1 sin α + cos β \int_{a}^{b} x dx ∫ xdx ∑ i \sum_{i=1}^{n} i^2 n b a n 2 i =1 2.2.15 Imágenes Inserta imagen Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Gráfica. En primer lugar, se debe especificar el lugar donde ubicarla, de una de las siguientes maneras: • Un clic en Vista Gráfica fija la esquina inferior izquierda de la imagen. • Un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior izquierda. 36 Luego, en la caja de diálogo que se abre, se puede seleccionar una imagen de entre los archivos de formato gráfico que aparecen listados, almacenados en los directorios o carpetas que se examinan a tal efecto. Atención: Después de seleccionar la herramienta Inserta Imagen, pueden usarse las teclas de atajo Alt‐clic para pegar una imagen directamente desde el portapapeles del sistema en la Vista Gráfica. Propiedades de las Imágenes Posición La posición de una imagen puede ser absoluta ‐ en pantalla ‐ o relativa al sistema de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la pestaña ‘Básico’ de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen. Esto se lleva adelante especificando los tres puntos vértices. (Ver también el comando Esquina). La pestaña ‘Posición’ de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen ofrece la flexibilidad de escalar, rotar y hasta distorsionar las imágenes. • • Esquina 1: posición de la esquina izquierda inferior de la imagen Esquina 2: posición inferior derecha de la imagen Atención: Sólo puede fijarse esta esquina cuando ya se estableció la previa, porque de este modo se controla el ancho de la imagen. • Esquina 4: posición superior izquierda de la imagen Atención: Sólo puede fijarse cuando ya se estableció la primera esquina, dado que de este modo se controla la altura de la imagen. Ejemplo: Para explorar los efectos de los puntos esquina, conviene crear tres puntos A, B y C. • Fijemos A como la primera y B como la segunda esquina de la imagen. Al arrastrar A y B con la herramienta Elige y Mueve, puede explorarse su influencia muy fácilmente. • Podemos fijar, a continuación, A como la primera y C como la cuarta esquina, para explorar cómo el desplazamiento de estos puntos influye en la imagen. • Finalmente, pueden establecerse los tres puntos de esquina para observar cómo al arrastrarlos, se distorsiona la imagen. Ejemplo: Tras observar cómo influir sobre la posición y tamaño de una imagen, vale la pena experimentar otras alternativas. Al adjuntar una imagen a un punto A, se fija a 3 unidades su ancho y a 4, su altura, llevando adelante lo siguiente: • Fijar. ‘Esquina 1’ a A • Fijar. ‘Esquina 2’ a A + (3, 0) • Fijar. ‘Esquina 4’ a A + (0, 4) Atención: Al arrastrar el punto A con la herramienta imagen se conserva. Elige y Mueve, la medida de la 37 Imagen de Fondo Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a Imagen de Fondode la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen (ver Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen). Una imagen de fondo, yace tras los ejes de coordenadas y ya no vuelve a resultar accesible a la selección vía ratón o mouse. Atención: Para modificar la condición de "telón de fondo" de una imagen, se debe abrir la Caja de Diálogo de Propiedades seleccionado el ítem Propiedades… del Menú Edita y quitar el tilde de la casilla correspondiente a Imagen de Fondo de la pestaña Básico. Transparencia Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los objetos como los ejes que queden tras ella. Para fijar esta condición de transparencia de una imagen, se especifica para el Sombreado un valor entre 0% y 100% (ver Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen). 38 3. Entrada Algebraica 3.1 Anotaciones Generales Las representaciones algebraicas de los objetos matemáticos (como valores, coordenadas y ecuaciones) se exponen en la Vista Gráfica. Se pueden crear y modificar objetos usando la Barra de Entrada al pie de la pantalla de GeoGebra (ver secciones Entrada Directa y Comandos). Atención: Siempre se debe pulsar la tecla Enter tras ingresar la definición de un objeto en la Barra de Entrada. Atención: Al pulsarse la tecla Enter en cualquier momento, se alterna el foco entre la Barra de Entrada y la Vista Gráfica. Esto permite ingresar expresiones y comandos en la Barra de Entrada sin clic previo del mouse o ratón. Nombrando Objetos Se le puede asignar un nombre a un objeto cuando se lo ha creado usando la Barra de Entrada: • Puntos: En GeoGebra los nombres de los puntos, se distinguen por ser siempre letras mayúsculas. Basta, entonces, con anotar el nombre (por ejemplo: A, P) y un signo igual antes de las coordenadas. Ejemplos: C = (2, 4), P = (1; 180°), Complejo = 2 + i • Vectores: Para distinguirlos de los puntos, GeoGebra reserva la letra minúscula para los vectores. Nuevamente, se debe anotar el nombre (sea., v, u) y un signo igual frente a las coordenadas del vector. Ejemplos: v = (1, 3), u = (3; 90°), complejo = 1 – 2i • Rectas, circunferencias, secciones cónicas: Estos objetos pueden definirse por su nombre seguido de dos puntos antecediendo a su ecuación o comando Ejemplos: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y – 2)^2 = 4, hyp: x^2 – y^2 = 2 • Funciones: Se pueden ingresar con un nombre que las caracterice como tales, por ejemplo, f(x) = o g(x)= previo a la ecuación de tal función o de los comandos correspondientes en juego. Ejemplos: h(x) = 2 x + 4, q (x) = x^2, trig(x) = sin(x) Atención: Si no se le asigna un nombre a un objeto manualmente, GeoGebra lo hace automáticamente, por orden alfabético. Atención: Los nombres de los objetos pueden estar indexados. Para establecer un índice en el nombre de un objeto, basta con emplear el sub‐guión o guión bajo. Por ejemplo A1 se anota como A_1 y SAB como s_{AB}. El guión bajo precede al o a los subíndices. Cambio de Valores Hay dos modos de manejar los valores de los objetos libres: 39 • • Cambiar el valor del objeto ingresando su nombre y el Nuevo valor en la Barra de Entrada (ver Entrada Directa). Ejemplo: Si se desea cambiarle el valor a un número existente, a = 3, se anota a = 5 en la Barra de Entrada y se pulsa la tecla Enter. Editar la representación algebraica: Se activa la herramienta Elige y Mueve para apuntarlo la Vista Algebraica y hacer sobre el objeto en cuestión, un doble clic. Al abrirse la caja de texto correspondiente, se puede editar el valor del objeto. Para fijar los cambios, debe pulsarse la tecla Enter. Atención: Mientras los valores de los objetos libres pueden modificarse directamente, los de los objetos dependientes sólo cambian cuando se los Redefine o a expensas de alguna variación en los valores de los objetos de los que dependen (padres en tanto les dan origen). Exponer la Historia de la Barra de Entrada Al ubicar el cursor en la Barra de Entrada pueden usarse las teclas‐flecha ↑ ascendente y ↓ descendente para navegar a través de lo que se ingresara previamente, paso a paso. Atención: Un clic sobre la marquita del signo de interrogación Entrada, aparecen información de ayuda que le corresponde. a la izquierda de la Barra de Copia el Nombre, el Valor o la Definición de un Objeto en la Barra de Entrada Elige y Mueve y Se Inserta el Nombrede un objeto, activando la herramienta seleccionando el objeto cuyo nombre se desea insertar en la Bara de Entrada y pulsando a continuación, la tecla F5. Atención: El nombre del objeto se añade a cualquier expresión ingresada en la Barra de Entrada antes de pulsar la tecla F5. Se Inserta el valor de un objeto en la Barra de Entrada (por ejemplo, (1, 3), 3x – 5y = 12), de cualquiera de estas dos maneras • Tras un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el objeto, seleccionando el ítem Copia a la Barra de Entrada del Menú Contextual emergente. • Activar la herramienta Elige y Mueve y seleccionar el objeto cuyo valor se desea insertar en la Barra de Entrada para pulsar luego, la tecla F4. Atención: El valor del objeto se añade a la expresión ingresada en la Barra de Entrada antes de pulsar la tecla F4. Se Inserta la definición de un objeto (por ejemplo, g., A = (4, 2), c = Circunferencia[A, B]) en la Barra de Entrada, de dos modos diferentes: • Alt clic sobre el objeto copia su definición eliminando lo que hubiera previamente en la Barra de Entrada. • Seleccionando el objeto cuya definición se quiera insertar en la Barra de Entrada con la herramienta Elige y Mueve y pulsando la tecla F3. Atención: La definición del objeto reemplaza a cualquier expresión en la Barra de Entrada presente antes de pulsar la tecla F3. 40 3.2 Entrada Directa GeoGebra puede operar con números, ángulos, puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas, funciones y curvas paramétricas. Es posible ingresar estos objetos en la Barra de Entrada anotando sus coordenadas o ecuaciones y pulsando la tecla Enter 3.2.1 Números y Ángulos Números Se pueden crear números usando la Barra de Entrada. Si se anota un número (por ejemplo; 3), GeoGebra le asigna como nombre una letra minúscula. Si se prefiere otro nombre, es preciso anotarlo seguido del signo igual que antecederá al valor numérico (por ejemplo., para crear un decimal r se anota r = 5.32). Atención: En GeoGebra, los número y ángulos usan el punto ‘.’ como separador decimal. También pueden emplearse la constante π o la e de Euler para expresiones y cálculos, seleccionándolas en los menúes que se despliegan próximos a la Barra de Entrada o usando las teclas de atajo. Atención:: Si la variable e no está aún usándose como nombre de un objeto ya existente, GeoGebra la reconocerá como la constante de Euler cuando se la incluya en una expresión. Ángulos Los ángulos se ingresan en grados (°) o en radianes (rad). La constante π es útil para los valores en radianes y puede también anotarse como pi Atención: Se puede ingresar el símbolo de grados ° o el de pi, π usando las siguientes teclas de atajo: • Alt‐O (MacOS: Ctrl‐O) para el símbolo de grados ° • Alt‐P (MacOS: Ctrl‐P) para el símbolo π Ejemplo: Un ángulo α puede ingresarse en grados (como en α = 60°)) o radianes (como en α = pi/3). Atención: GeoGebra realiza todos los cálculos internos en radianes. El símbolo (°) no es sino una constante para convertir π/180 de grados a radianes. Ejemplos: • Si a = 30 es un número, entonces α = a° convierte a un ángulo α = 30° el número a, sin cambiar su valor • Al anotar b = α / ° el ángulo α vuelve a convertirse en el número b = 30, sin cambiar su valor. Deslizadores y Teclas‐Flecha Tanto los números libres como los ángulos libres pueden exponerse como deslizadores ajustables en la Vista Gráfica (ver herramienta Deslizador). Con las teclas‐flecha se puede 41 cambiar el valor de números y ángulos, también en la en la Vista Algebraica (ver Animación Manual). Valor Limitado a un Intervalo Tanto los números libres como los ángulos libres pueden quedar limitados a un intervalo [mín, máx] usando la pestaña Deslizado’ de la Caja de Diálogo de Propiedades (ver también Deslizador). herramienta Atención: Para los ángulos dependientes se puede especificar si pueden o no resultar cóncavos, tildando o no la correspondiente casilla de la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades. 3.2.2 Puntos y Vectores Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenada cartesianas o polares (Ver Números y Ángulos). Atención: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores. Ejemplos: • Para ingresar un punto P o un vector v en coordenadas cartesianas se anota P = (1, 0) o v = (0, 5). • Para usar coordenadas polares se anota P = (1; 0°) o v = (5; 90°). Atención: El punto y coma separa las coordenadas. Si no se anota el símbolo de grados, GeoGebra asumirá que el valor del ángulo está expresado en radianes. En GeoGebra, también pueden hacerse cálculos con puntos y vectores Ejemplos: • Puede establecerse el punto medio M de los puntos A y B anotando: M = (A + B) / 2 en la Barra de Entrada. • Puede calcularse la longitud de un vector v anotando longitud_v= sqrt(v * v) 3.2.3 Rectas y Ejes Rectas Una recta se ingresa como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica en la Barra de Entrada. En ambos casos, se pueden emplear en tal ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores) Atención: El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada, seguido de los dos puntos. Ejemplos: • Podemos definir una recta g ingresando la ecuación g : 3x + 4y = 2 como ecuación lineal. • Debe definirse un parámetro t (t = 3) antes de ingresar la recta g en formato paramétrico como g: X = (-5, 5) + t (4, -3). 42 • En primer lugar, deben definirse los parámetros m = 2 y b = -1 antes de ingresar la ecuación g: y = m x + b para obtener una recta g en el formato interceptado y. Ejes A sendos ejes de coordenadas se accede con los comandos correspondientes a través de ejeX y ejeY respectivamente Ejemplo: El comando Perpendicular[A, ejeX] construye la recta perpendicular al eje x que pasa por el punto A. 3.2.4 Secciones Cónicas Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y. Se pueden emplear en la ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vectores). Atención: El nombre de la sección cónica debe ser anotado encabezando la entrada, seguido de los dos puntos. Ejemplos: • Elipse eli: eli: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 • Hipérbola hip: hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 • Parábola par: par: y^2 = 4 x • Circunferencia k1: k1: x^2 + y^2 = 25 • Circunferencia k2: k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25 Atención: Si se definen dos parámetros a = 4 y b = 3, a partir de ellos se puede ingresar una elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2. 3.2.5 Función de x Para ingresar una función podemos emplear variables previamente definidas (números, puntos, vectores) y otras funciones. Ejemplos: • Función f: • Función g: • Función sin nombre: f(x) = 3 x^3 – x^2 g(x) = tan(f(x)) sin(3 x) + tan(x) Atención: Todas las funciones internas (como seno, coseno, tangente ‐ sin, cos, tan ‐ etc. y otras trigonométricas) se describen en la sección dedicada a Funciones Pre‐Definidas y Operaciones). En GeoGebra, también existen comandos para obtener, por ejemplo, la Integral y Derivada de una función. Atención: También se pueden emplear los comandos f’(x) o f’’(x),… para las derivadas de una función f(x) previamente definida: 43 Ejemplo: Tras definir la función f como f(x) = 3 x^3 – x^2 se puede ingresar en g(x) = cos(f’(x + 2)) para obtener la función g. Además, las funciones pueden ser trasladadas por un vector (ver comando Traslada y una función libre puede desplazarse con el mouse o ratón (ver herramienta Elige y Mueve). Función Limitada a un Intervalo Para limitar una función a un intervalo [a, b], debe emplearse el comando Función. 3.2.6 Funciones Pre‐Definidas y Operaciones Para ingresar números, coordenadas o ecuaciones (ver sección correspondiente a Entrada Directa) se pueden emplear las siguientes funciones pre‐definidas y operaciones. Atención: Las funciones pre‐definidas deben ingresarse usando paréntesis y sin dejar espacio alguno entre el nombre de la función y el paréntesis. Las siguientes operaciones están disponibles en GeoGebra: Operación / Función suma resta producto producto escalar división exponenciación factorial Entrada + * o tecla Espaciadora * o tecla Espaciadora / ^ o 2 ! 44 Operación / Función función Gamma paréntesis coordenada‐x coordenada‐y valor absoluto signo raíz cuadrada raíz cúbica número aleatorio entre 0 y 1 función exponencial logaritmo (natural, de e) logaritmo de2 logaritmo de10 coseno seno tangente arco coseno arco seno arco tangente coseno hiperbólico seno hiperbólico tangente hiperbólica coseno antihiperbólico seno antihiperbólico tangente antihiperbólica Entrada gamma( ) ( ) x( ) y( ) abs( ) sgn( ) sqrt( ) cbrt( ) random( ) exp( ) o ℯx ln( ) o log( ) ld( ) lg( ) cos( ) sin( ) tan( ) acos( ) asin( ) atan( ) cosh( ) sinh( ) tanh( ) acosh( ) asinh( ) atanh( ) 45 Operación / Función mayor entero menor o igual que menor entero mayor o igual que redondeo Entrada floor( ) ceil( ) round( ) 3.2.7 Variables Booleanas y Operaciones Pueden emplearse las variables Booleanas cierto y falso en GeoGebra. Basta ingresar, por ejemplo, a = true o b = false en la Barra de Entrada y pulsar la tecla Enter. Casilla a Tildar y Teclas Flecha Las variables Booleanas libres pueden exponerse como casillas a tildar en la Vista Gráfica Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos). Apelando a las teclas (ver herramienta flecha se pueden cambiar las variables Booleanas también en la Vista Algebraica (ver Animación Manual). Atención: También pueden usarse variables Booleanas como números (valor 0 ó 1). Esto permite usar un casillero como la velocidad dinámica de un deslizador animado como para que controle el inicio y detención de la animación. Es este caso, el botón de animación solo aparecerá en la Vista Gráfica cuando hubiera también un deslizador animado con velocidad estática (es decir. no‐dinámica). Operaciones Booleanas Se pueden usar en GeoGebra, las siguientes operaciones con variables y condiciones booleanas sea seleccionándolas de la lista desplegable próxima a la Barra de Entrada, sea ingresándolas usando el teclado. Lista Teclado Ejemplo Igual ≟ == a ≟ b o a == b desigual ≠ != a ≠ b o a != b menor que mayor que menor o igual a mayor o igual a < > ≤ ≥ < > <= >= a<b a>b a ≤ b o a <= b a ≥ b o a >= b Tipos números, puntos, rectas, cónicas a, b números, puntos, rectas, cónicas a, b números a, b números a, b números a, b números a, b .Y. ∧ && a ∧ b o a && b Booleanas a, b .O. || ! a ∨ b o a || b ¬a o !a Booleanas a, b No ∨ ¬ paralela ∥ a ∥b rectas a, b perpendicular ⊥ a⊥b rectas a, b Booleanas a 46 3.2.8 Lista de Objetos y de Operaciones Usando llaves pueden crearse listas de varios objetos (como puntos, segmentos, circunferencias). Ejemplos: • L = {A, B, C} establece una lista de tres puntos definidos previamente A, B, y C. • L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} produce una lista de los puntos ingresados, en tanto puntos sin nominar. Atención: Por omisión, los elementos de esta lista no se exponen en la Vista Gráfica. Comparar Listas de Objetos Pueden compararse dos listas de objetos empleando la siguiente sintaxis: • lista1 == lista2: Controla si las dos listas son iguales y brinda como resultado de salida verdadero (true) o falso (false). • lista1 != lista2: Controla si las dos listas son desiguales y brinda como resultado de salida verdadero (true) o falso (false). Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas Atención: Cada vez que se aplican operaciones y funciones pre‐definidas a listas, se obtiene como resultado, una nueva lista. Sumas y Restas ‐ Ejemplos: • Lista1 + Lista2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra lista. Atención: Las dos listas deben tener la misma longitud. • Lista + Número: Suma el número a cada uno de los elementos de la lista. • Lista1 – Lista2: Resta los elementos de la segunda lista a cada uno de os correspondientes de la primera. Atención: Las listas deben tener la misma longitud. • Lista – Número: Resta el número a cada uno de los elementos de la lista. Multiplicación y División ‐ Ejemplos: • Lista1 * Lista2: Multiplica uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra lista. Atención: Las listas deben tener la misma longitud. Si las dos listas son matrices compatibles, se emplea la multiplicación de matrices. • Lista * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la lista. • Lista1 / Lista2: Divide uno a uno, cada uno de los elementos de la primera lista por los correspondientes de la segunda. Atención: Las listas deben tener la misma longitud. • Lista / Número: Divide cada elemento de la lista, por el número. • Número / Lista: Divide el número por cada elemento de la lista. Ejemplos usando funciones: • Lista^2: Eleva al cuadrado cada elemento de la lista. • sin(Lista): Aplica la función seno a cada elemento de la lista. 47 3.2.9 Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene las filas de la matriz. Ejemplo: En GeoGebra, {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz . Operaciones con Matrices Sumas y Restas ‐ Ejemplos: : • Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz. • Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí. Multiplicación ‐ Ejemplos: : • Matrix * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la lista. matriz. • Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la matriz resultante. Atención: Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el mismo número de elementos. Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} dan por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}. • 2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto. Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) da por resultado el punto A = (11, 25). • 3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto. Ejemplo: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) Da por resultado el punto A = (8, 20). Atención: Este es un caso especial de transformaciones afines donde las coordenadas homogéneas se usan (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) por un vector. Este ejemplo, es por lo tanto, equivalente a: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}. Otros ejemplos: (ver la sección Comandos de Matriz): • Determinante[Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada. • Inversa[Matriz]: Invierte la matriz dada • Traspuesta[Matriz]: Traspone la matriz dada 3.2.10 Números Complejos y Operaciones GeoGebra no trata directamente con números complejos, pero se pueden emplear puntos para simular operaciones con números complejos. 48 Ejemplo: Si se ingresa el número complejo 3 + 4i en la Barra de Entrada, aparece el punto (3, 4) en la Vista Gráfica. Las coordenadas de este punto aparecen como 3 + 4i en la Vista Algebraica. Atención: Se puede exponer cualquier punto como un número complejo en la Vista Algebraica. Al abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del punto, se puede seleccionar Número Complejo en la lista de formatos de Coordenadas de la pestaña Algebra. Si la variable i no hubiera sido definida, será reconocida como el par ordenado i = (0, 1) o el número complejo 0 + 1i. Esto implica que la variable i también puede usarse para anotar números complejos en la Barra de Entrada (como q = 3 + 4i). Sumas y Restas ‐ Ejemplos: • (2 + 1i) + (1 – 2i) da por resultado el número complejo 3 – 1i. • (2 + 1i) - (1 – 2i) da por resultado el número complejo 1 + 3i. Multiplicación y División ‐ Ejemplos: • (2 + 1i) * (1 – 2i) da por resultado el número complejo 4 – 3i. • (2 + 1i) / (1 – 2i) da por resultado el número complejo 0 + 1i. Atención: La multiplicación habitual (2, 1)*(1, -2) da por resultado el producto escalar de los dos vectores. Otros ejemplos: GeoGebra también reconoce expresiones con números reales y complejos. • 3 + (4 + 5i) da por resultado el número complejo 7 + 5i. • 3 - (4 + 5i) da por resultado el número complejo ‐1 ‐ 5i. • 3 / (0 + 1i) da por resultado el número complejo 0 ‐3i. • 3 * (1 + 2i) da por resultado el número complejo 3+‐6i. 3.3 Comandos Con la ayuda de los comandos podemos crear nuevos objetos o modificar los existentes. Atención: El resultado de un comando puede nominarse ingresando un rótulo sucedido por “=”. En el ejemplo que aparece más adelante un nuevo punto se llamará S. Ejemplo: La intersección de dos rectas g y h produce un nuevo punto, que puede ingresarse como S = Interseca[g,h] (ver comando Interseca). Atención: También se pueden usar índicescon los nombres de los objetos: A1 o SAB se anotan como A_1 y s_{AB} respectivamente. Nombres de Comandos Completados Automáticamente Al ir anotando el nombre de un comando en la Barra de Entrada, GeoGebra intenta completarlo automáticamente para facilitarnos la tarea. Esto implica que después de ingresadas las dos primeras letras en la Barra de Entrada, GeoGebra las completará con el nombre del primer comando del listado alfabético que las tenga como primeras dos iniciales. • Colocando el cursor entre los corchetes y pulsando allí la tecla Enter, queda aceptado el comando sugerido. 49 • Basta con seguir ingresando las letras sucesivas del nombre para que GeoGebra adapte la sugerencia al siguiente comando que se adecue a lo que se va anotando. 3.3.1 Comandos Generales PasoConstrucción PasoConstrucción[]: Da por resultado el número del paso de construcción actual del Protocolo de Construcción PasoConstrucción[Objeto]: Da por resultado el número del paso de construcción del Protocolo de Construcción para el objeto en cuestión Borra Borra[Objeto]: Borra tanto el objeto como los que de él derivan y/o dependen. Borra Objeto Atención: Ver también la herramienta Relación Relación[Objeto a, Objeto b]: Expone un cuadro de mensaje que informa la relación entre el objeto a y el b. Atención: Ver también la herramienta Relación Atención: Este comando nos permite averiguar si dos objetos son iguales, si un punto pertenece a una recta o a una cónica, o si una recta es tangente o secante a otra o a una cónica. 3.3.2 Comando Booleano Si Si[condición, Objeto a]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resulta cierta, y un objeto indefinido si se la evalúa falsa.. Si[condición, Objeto a, Objeto b]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resulta cierta, y una del objeto b si se la evalúa falsa. Si[Condición, Entonces] Si[ Condición, Entonces, Si no ] Definido Definido[Objeto]: Da por resultado cierto o falso, según el objeto estuviera definido o no. EsEntero EsEntero[Número(o valor numérico)] Establece cierto o falso, según el número resultante fuera o no entero. 3.3.3 Números RazónSimple RazónSimple[ Origen (punto), Final (punto), Punto Alineado] 50 RazónSimple[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado la razón simple λ entre tres puntos alineados A, B, y C, donde C = A + λ * AB Area Area[Punto A, Punto B, Punto C, ...]: Calcula el área del polígono definido por los puntos vértices A, B, C… Area[Cónica c]: Área de la sección cónica c (circunferencia o elipse) Atención: Para calcular el área entre dos funciones gráficas, se precisa el comando Integral. Ver también la herramienta Area Area[Vértice Inicial (punto), ..., Vértice Final (punto)] Area[Cónica] PasoEje PasoEjeX[]Da por resultado el ancho de la graduación actual del eje‐x PasoEjeY[]Da por resultado el largo de la graduación actual del eje‐y Atención: Junto a Esquina y Secuencia, estos comandos permiten crear ejes según las preferencias y condiciones de uso adecuadas (ver también las sección Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula). NúmeroCombinatorio NúmeroCombinatorio[Número n, Número r]: Da por resultado el coeficiente binomial: cantidad de combinaciones de ‘n elementos tomados de r en r’ PerímetroCónica PerímetroCónica[cónica]: Da por resultado el perímetro de la sección cónica. Atención: Sólo tiene sentido aplicado a una circunferencia o elipse. RazónDoble RazónDoble[punto A, punto B, punto C, punto D]: Da por resultado la razón doble λ de cuatro puntos alineados A, B, C y D, donde λ = RazónSimple[B, C, D] / RazónSimple[A, C, D] RazónDoble[Origen 1 (punto), Origen 2 (punto), Final (punto), Punto Alineado] Curvatura Curvatura[Punto, Función]: Da por resultado la curvatura de la función en el punto. Curvatura[Punto, Curva]: Da por resultado la curvatura de la curva en el punto. Distancia Distancia[Punto A, Punto B]: Determina la distancia entre dos puntos A y B Distancia[Punto, Recta]: Da por resultado la distancia entre el punto y la recta Distancia[Recta g, Recta h]: Calcula la distancia entre las rectas g y h. Atención: La distancia entre rectas secantes (que se intersecan) es 0. Este comando sólo es relevante para rectas paralelas. Distancia[Punto, Punto] Distancia[Punto, Recta, Semirrecta o Segmento] 51 Atención: Ver también la herramienta Distancia o Longitud MCD MCD[Número a, Número b]: Da por resultado el máximo común divisor de los números a y b MCD[Lista de números]: Da por resultado el máximo común divisor de la lista de números. MCD[Número (o valor numérico) , Número (o valor numérico)] MCD[Lista de Números] Cociente Entero Cociente[Número a, Número b]:Calcula el cociente entero resultante de la división de un número a por un número b Cociente[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numérico)] Integral Integral[Función f, Número a, Número b]: Da por resultado la Integral definida de una función f(x) en el intervalo [a , b]. Atención: Este comando también traza el área entre el gráfico de la función f y el eje x. Integral[Función f, Función g, Número a, Número b]: Da por resultado la integral definida de la diferencia f(x) ‐ g(x) en el intervalo [a, b]. Atención: Este comando también traza el área entre los gráficos de la función de f y g. Atención: Ver también el comando para la Integral Indefinida Integral[Función, Valor Inicial, Valor Final] Integral[Función, Función, Valor Inicial, Valor Final] Iteración Iteración[Función, Número x0, Número n]: Itera la función n veces usando el valor inicial dado x0. Ejemplo: Tras definir f(x) = x^2 el comando Iteración[f, 3, 2] brinda el resultado (32)2 = 27 Iteración[Función, Valor Inicial, Número de Iteraciones] MCM MCM[Número a, Número b]:Calcula el mínimo común múltiplo de dos números a y b MCM[Lista de Números]:Calcula el mínimo común múltiplo de los elementos de la lista. Longitud Longitud[Vector]: Da por resultado la longitud del vector. Longitud[Punto A]: Da por resultado la longitud del módulo del vector posición del punto dado. Longitud[Función f, Número x1, Número x2]: Da por resultado la longitud del gráfico de la función f en el intervalo [x1, x2] 52 Longitud[Función, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud del gráfico de la función entre dos puntos A y B Atención: Si los puntos dados no pertenecieran al gráficos de la función, se tomarán sus correspondientes –coordenadas x para determina el intervalo. Longitud[Curva, Número t1, Número t2]: Da por resultado la longitud de la curva entre los valores paramétricos t1 y t2 Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud de la curva c entre dos puntos A y B de tal curva Longitud[lista]: Da por resultado la longitud de la lista que no es sino el número de elementos que contiene. Atención: Ver también la herramienta Distancia o Longitud SemiFocal SemiFocal[Cónica]: Da por resultado la distancia semifocal de la sección cónica, semi‐ distancia entre ambos focos o distancia entre uno de sus focos y el centro Atención: Recordemos que la excentricidad lineal es la razón entre la semi‐focal y la longitud del semi‐eje mayor (o principal). SumaInferior SumaInferior[Función, Número a, Número b, Número n]: Establece la suma inferior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos. Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma inferior. Mínimo y Máximo Mín[número a, número b]: Da por resultado el mínimo de los números a y b dados Max[Número a, Número b]: Da por resultado el máximo de los números a y b. Función Módulo o Resto Resto[número a, número b]: Determina el resto correspondiente cuando la parte entera de un número a se divide por la parte entera de un número b Resto[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numérico)] Parámetro Parámetro[Parábola]: Da por resultado el parámetro de la parábola (distancia entre directriz y foco) Perímetro Perímetro[Polígono]: Da por resultado el perímetro del polígono Radio Radio[Circunferencia]: Da por resultado el radio de la circunferencia. 53 Comandos Aleatorios AleatorioEntre[Mínimo(número o valor numérico), Máximo (número o valor numérico)] Genera un entero aleatorio entre Mínimo y Máximo (inclusive). AleatorioBinomial[Número de Intentos n, Probabilidad p] Genera un número aleatorio desde una distribución binomial con n intentos y probabilidad p. AleatorioNormal[Media,Desviación Estándar] Genera un número aleatorio desde una distribución normal con la media y distribución estándar dadas. AleatorioPoisson[Media]: Genera un número aleatorio desde una distribución Poisson con la media dada. LongitudSemiejePrincipal LongitudSemiejePrincipal[Cónica] Da por resultado la longitud del semi‐eje principal de la sección cónica. LongitudSemiejeSecundario LongitudSemiejeSecundario[Cónica] Calcula la longitud del semi‐eje secundario de la sección cónica. Pendiente Pendiente[Recta, semirrecta o segmento] Determina la pendiente de la recta involucrada. Atención: Este comando también traza el triángulo rectángulo de cateto base unitario que ilustra la pendiente calculada y cuyas dimensiones pueden modificarse desde el ítem Tamaño de la pestaña Estilo de su Caja de Diálogo de Propiedades. Atención: Ver también la herramienta Pendiente SumaTrapezoidal SumaTrapezoidal[Función, Número a, Número b, Número n de trapezoides]: Calcula la suma trapezoidal de la función en el intervalo [a, b] con n trapezoides. Atención: Este comando también traza los trapezoides de la suma trapezoidal. SumaSuperior SumaSuperior[Función, Número a, Número b, Número n]: Calcula la suma superior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos. Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma superior SumaSuperior[Función, Valor Inicial, Valor Final, Número de Rectángulos ] 3.3.4 Ángulo Ángulo Ángulo[Vector v1, Vector v2]: Da por resultado el ángulo entre dos vectores v1 y v2 (entre 0 y 360°) 54 Ángulo[Recta g, Recta h]: Da por resultado el ángulo entre los vectores director de dos rectas g y h (entre 0 y 360°) Ángulo[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado el ángulo tendido entre BA y BC (entre 0 y 360°). El punto B es el vértice. Ángulo[Punto A, Punto B, Ángulo alpha]: Da por resultado el ángulo de amplitud α trazado desde A con vértice en B. Atención: El punto Rota[B, A, α] también se crea. Ángulo[Cónica]: Da por resultado el ángulo de revolución del eje principal de una sección cónica c (ver comando Ejes) Ángulo[Vector]: Da por resultado el ángulo entre eje‐x y vector dado. Ángulo[Punto]: Da por resultado el ángulo entre el eje‐x y el vector de posición del punto A Ángulo[Número]: Convierte el número en un ángulo (resultando entre 0 y 2pi) Ángulo[Polígono]: Crea todos los ángulos interiores de un polígono con orientación matemáticamente positiva (sentido anti‐horario). Atención: Si el polígono fue creado con orientación anti‐horaria, , se obtienen los valores del los ángulos interiores y los exteriores, en caso contrario (polígono creado con orientación horaria). Atención: Ver también las herramientas Angulo y Angulo dada su Amplitud 3.3.5 Puntos Centro Centro[Cónica]: Marca el centro de una sección cónica. Atención: Aplicación que sólo tiene sentido en el caso de una circunferencia, elipse o hipérbola. Atención: Ver también la herramienta PuntoMedio o Centro Centroide Centroide[Polígono]: Marca el centroide del polígono Esquina Esquina[Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina de la Vista Gráfica (n = 1, 2, 3, 4) que nunca se hará visible en pantalla. Esquina[Imagen, Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina enésima de la imagen (número n = 1, 2, 3, 4 dado que son 4 los vértices) Esquina[Texto, Número de Esquina]: Crea un punto en la esquina del texto (n = 1, 2, 3, 4) Atención: El orden de numeración de las esquinas sigue el sentido anti‐horario y da inicio en la inferior izquierda. Extremo Extremo[Polinomio]: Determina todos los extremos locales de la función polinómica como puntos sobre el gráfico de la función. 55 Foco Foco[Cónica]: Establece (todos) los focos de la sección cónica c PuntoInflexión PuntoInflexión[Polinomio]:Establece todo punto de inflexión del polinomio como puntos de la función gráfica. Interseca Interseca[Recta g, Recta h]: Establece el punto de intersección de las rectas g y h Interseca[Recta, Cónica]: Establece todos los puntos de Intersección de la recta y la sección cónica (como máximo, 2) Interseca[Recta, Cónica, Número n]: Establece el punto número n de intersección de la recta y la sección cónica. Interseca[Cónica c1, Cónica c2]: Establece todos los puntos de intersección de las secciones cónicas c1 y c2 (como máximo, 4) Interseca[Cónica c1, Cónica c2, Número n]: Establece el punto número n de intersección de las secciones cónicas c1 y c2 Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2]: Establece todos los puntos de intersección de los polinomios f1 y f2 Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2, Número n]: Establece el punto número n de intersección de los polinomios f1 y f2 Interseca[Polinomio f, Recta]: Establece todos los puntos de intersección del polinomio f y la recta. Interseca[Polinomio, Recta, Número n]: Marca el punto número n de intersección del polinomio y la recta Interseca[Función f, Función g, Punto A]: Calcula el punto de intersección de las funciones f y g usando el método de Newton., estableciendo como punto inicial a A. Interseca[Función, Recta, Punto A]: Calcula el punto de intersección de la función y la recta usando el método de Newton., estableciendo como punto inicial a A. Atención: Ver también la herramienta Intersección de Dos Objetos PuntoMedio PuntoMedio[Punto A, Punto B]: Marca el punto medio entre los puntos A y B PuntoMedio[Segmento]: Marca el punto medio del segmento. Atención: Ver también la herramienta PuntoMedio o Centro Punto Punto[Recta]: Marca un punto en la recta Punto[Cónica]: Marca un punto en la sección cónica Punto[Función]: Marca un punto en la función Punto[Polígono]: Marca un punto en el polígono. Punto[Vector]: Marca un punto en el vector 56 Punto[Punto, Vector]: Crea un nuevo punto originado al operar sumando al dado, el vector. Atención: Ver también la herramienta Punto Raíz Raíz[Polinomio]:Establece todas las raíces del polinomio como puntos de la función gráfica. Raíz[Función, Número a]: Establece una raíz de la función usando el método de Newton, tomando a como valor inicial Raíz[Función, Número a, Número b]: Establece una raíz de la función en el intervalo [a, b] (con el método regula falsi) Vértice Vértice[Cónica]: Da por resultado (todos) los vértices de la sección cónica 3.3.6 Vectores Vector Curvatura VectorCurvatura[Punto, Función]:Establece el vector curvatura de la función en el punto dado. VectorCurvatura[Punto, Curva]: Establece el vector curvatura de la curva en el punto dado Dirección Dirección[Recta]: Establece el vector director de la recta. Atención: Una recta cuya ecuación es ax + by = c tiene vector director (b, ‐ a). VectorPerpendicular VectorPerpendicular[Recta]: Establece el vector perpendicular de una recta Atención: Una recta con ecuación ax + by = c tiene vector perpendicular (a, b). VectorPerpendicular[Vector]: Vector perpendicular del vector dado. Atención: El vector de coordenadas (a, b) tiene uno perpendicular de (‐ b, a). VectorUnitarioPerpendicular VectorUnitarioPerpendicular[Recta]: perpendicular a la recta dada VectorUnitarioPerpendicular[Vector]: perpendicular a vector dado Establece Establece el vector unitario el vector unitario VectorUnitario VectorUnitario[Recta]: Establece el vector director de longitud unitaria de la recta dada. VectorUnitario[Vector]: Establece el vector director de longitud unitaria con la misma dirección y orientación del dado 57 Vector Vector[Punto A, Punto B]: Crea el vector desde el punto A al punto B Vector[Punto]: Establece el vector posición del punto Atención: Ver también la herramienta Vector entre Dos Puntos 3.3.7 Segmentos Segmento Segmento[Punto A, Punto B]: Crea el segmento entre dos puntos A y B Segmento[Punto A, Número a]: Crea el segmento de longitud a y punto inicial A. Atención: El punto final del segmento también se crea. Atención: Ver también las herramientas Punto Extremo y Longitud Segmento entre Dos Puntos y Segmento dados 3.3.8 Semirrectas Semirrecta Semirrecta[Punto A, Punto B]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto A y pasa por el punto B Semirrecta[Punto, Vector v]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto dado y tiene la dirección del vector v Atención: Ver también la herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos 3.3.9 Polígonos Polígono Polígono[Punto A, Punto B, Punto C,...]: Establece un polígono definido por los puntos A, B, C,… dados Polígono[Punto A, Punto B, Número n]: Establece un polígono regular con n vértices (incluyendo los puntos A y B) Atención: Ver también las herramientas Polígono y Polígono Regular 3.3.10 Rectas Bisectriz Bisectriz[Punto A, Punto B, Punto C]: Establece la bisectriz del ángulo definido por los puntos A, B y C. Atención: El punto B es el vértice de este ángulo. 58 Bisectriz[Recta g, Recta h]: Establece las bisectrices de los ángulos formados por las rectas. Atención: Ver también la herramienta Bisectriz Asíntota Asíntota[Hipérbola]: Establece ambas asíntotas de una hipérbola Ejes Ejes[Cónica]: Traza los ejes principal y secundario de la sección cónica DiámetroConjugado DiámetroConjugado[Recta, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo a la recta (relativo a la sección cónica). DiámetroConjugado[Vector, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo al vector dado (relativo a la sección cónica). Diámetro Diámetro[Recta, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo a la recta (relativo a la sección cónica). Diámetro [Vector, Cónica]: Establece el diámetro conjugado del que es paralelo al vector dado (relativo a la sección cónica). Directriz Directriz[Parábola]: Establece la directriz de la parábola Recta Recta[Punto A, Punto B]: Crea una recta que pasa por los puntos A y B Recta[Punto, Recta]: Crea una recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta Recta[Punto, Vector v]: Crea una recta que pasa por el punto dado y tiene la dirección del vector v Atención: Ver también la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos EjePrincipal EjePrincipal[Cónica]: Traza el eje principal de la sección cónica EjeSecundario EjeSecundario[Cónica]: Establece el eje secundario de la sección cónica Perpendicular Perpendicular[Punto, Recta]: Crea la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada Perpendicular[Punto, Vector]: Crea la recta que pasa por el punto y es perpendicular al vector dado 59 Atención: Ver también la herramienta Recta Perpendicular Mediatriz Mediatriz[Punto A, Punto B]: Traza la mediatriz del segmento de extremos AB Mediatriz[Segmento]: Traza la mediatriz del segmento Atención: Ver también la herramienta Mediatriz Polar Polar[Punto, Cónica]: Crea la recta polar de un punto dado, relativo a la sección cónica Atención: Ver también la herramienta Recta Polar o Diametral Tangente Tangente[Punto, Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica que pasan por el punto dado Tangente[Recta, Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica, paralelas a la recta Tangente[Número a, Función]: Crea la tangente a la función en x = a Tangente[Punto A, Función]: Crea la tangente a la función en x = x(A) Atención: x(A) es la coordenada x del punto A. Tangente[Punto, Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado Atención: Ver también la herramienta Tangentes 3.3.11 Secciones Cónicas Circunferencia Circunferencia[Punto M, Número r]: Establece la circunferencia con centro M y radio r Circunferencia[Punto M, Segmento]: Establece la circunferencia con centro M y radio de longitud dada por el segmento Circunferencia[Punto M, Punto A]: Establece la circunferencia con centro M y que pasa por el punto A Circunferencia[Punto A, Punto B, Punto C]: Establece la circunferencia que pasa por los puntos dados A, B y C Compás, Circunferencia dados su Centro y uno Atención: Ver también las herramientas Circunferencia dados su Centro y Radio y Circunferencia dados de sus Puntos, Tres de sus Puntos Cónica Cónica[Punto A, Punto B, Punto C, Punto D, Punto E]: Produce la sección cónica que pasa por los cinco puntos dados A, B, C, D y C. 60 Atención: Si cuatro de estos puntos estuvieran alineados, la sección cónica resulta indefinida. Atención: Ver también la herramienta Cónica dados Cinco de sus Puntos Elipse Elipse[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la elipse con puntos focales F y G y eje principal de longitud a. Atención: Condición: 2a > Distancia[F, G] Elipse[Punto F, Punto G, Segmento]: Crea la elipse con puntos focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento dado. Elipse[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea una elipse con puntos focales A y B que pasa a través del punto C Atención: Ver también la herramienta Elipse Hipérbola Hipérbola[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la hipérbola con puntos focales F y G y eje principal de longitud a. Atención: Condición: 0 < 2a < Distancia[F, G] Hipérbola[Punto F, Punto G, Segmento s]: Crea la hipérbola con puntos focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento s (a = Longitud[s]) Hipérbola[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea la hipérbola con puntos focales A y B que pasa por el punto C Hipérbola Atención: Ver también la herramienta CírculoOsculador CírculoOsculador[Punto, Función]: Establece el círculo osculador de la función en el punto dado CírculoOsculador[Punto, Curva]: Establece el círculo osculador de la curva en el punto dado Parábola Parábola[Punto F, Recta g]: Establece la parábola con punto focal F y directriz g Atención: Ver también la herramienta Parábola 3.3.12 Funciones Funciones Condicionales Puede usarse el comando Booleano si para crear una función condicional. Atención: Pueden usarse derivadas e integrales de tales funciones e intersecarlas como funciones “normales”. Ejemplos: • f(x) = Si[x < 3, sin(x), x^2] ofrece una función igual a: o sin(x) para x < 3 y o x2 para x ≥ 3. 61 • a ≟ 3 ˄ b ≥ 0 evalúa si “a es igual a 3 y b is mayor o igual que 0” Atención: En el menú desplegable del extremo izquierdo de la Barra de Entrada, se encuentran los símbolos para las expresiones condicionales (como ≟, ˄, ≥). Derivada Derivada[Función]: Da por resultado la derivada de la función Derivada[Función, Número n]: Da por resultado la derivada de orden n de la función. Atención: Puede usarse f’(x) en lugar de Derivada[f]así como f’’(x) en lugar de Derivada[f, 2]. Desarrolla Desarrolla[Función]: Multiplica distributivamente las expresiones entre paréntesis. Ejemplo: Desarrolla[(x + 3)(x - 4)] da por resultado f(x) = x2 ‐ x ‐ 12 Factoriza Factoriza[Polinomio]: Factoriza el polinomio dado Ejemplo: Factoriza[x^2 + x - 6] da por resultado f(x) = (x‐2)(x+3) Función Función[Función, Número a, Número b]: Establece una función gráfica igual a la dada en el intervalo [a, b] y no definida fuera de [a, b] Atención: Este comando debiera usarse únicamente para exponer funciones en cierto intervalo. Ejemplo: f(x) = Función[x^2, -1, 1] traza el gráfico de la función x2 en el intervalo [‐1, 1]. Al anotar g(x) = 2 f(x) se obtendrá la función g(x) = 2 x2, pero no estará restringida al intervalo [‐1, 1]. Integral Integral[Función]: Establece la integral indefinida para la función Atención: Ver también el comando para la Integral Definida Polinomio Polinomio[Función]: Establece el polinomio desarrollado de la función Ejemplo: Polinomio[(x - 3)^2] se desarrolla como x2 ‐ 6x + 9 Polinomio[Lista de n puntos]: Crea el polinomio de interpolación de grado n‐1 a través de los puntos dados. Simplifica Simplifica[Función]: Simplifica los términos de la función dada si fuera posible. Ejemplos: Simplifica[x + x + x] da por resultado una función f(x) = 3x Simplifica[sin(x) / cos(x)] da por resultado una función f(x) = tan(x) Simplifica[-2 sin(x)cos(x)] da por resultado una función f(x) = sin(‐2 x) 62 PolinomioTaylor PolinomioTaylor[Función, Número a, Número n]: Crea el desarrollo de las serie de potencias de orden n para la función en torno al punto x = a 3.3.13 Curvas Paramétricas Curva Curva[Expresión e1, Expresión e2, Parámetro t, Número a, Número b]: Establece la curva paramétrica cartesiana dados la expresión en x e1 y la expresión en y e2 (usando el parámetro t) en el intervalo establecido [a, b] Ejemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi] Atención: Las curvas paramétricas pueden usarse como funciones en expresiones aritméticas. Ejemplo: La entrada c(3) brinda el punto en la posición paramétrica 3 en la curva c. Atención: Usando el ratón o mouse puede ubicarse un punto en una curva apelando a la herramienta Nuevo Punto o al comando Punto. Como los parámetros a y b son dinámicos, pueden emplearse deslizadores variables allí (ver herramienta Deslizador). Comandos para curvas paramétricas Curvatura[Punto, Curva]: Calcula la curvatura de la curva en el punto dado VectorCurvatura[Punto, Curva]: Establece el vector curvatura de la curva en el punto dado. Derivada[Curva]: Da por resultado la derivada de la función Derivada[Curva, Número n]: Da por resultado la derivada de orden n de la curva paramétrica Longitud[Curva, Número t1, Número t2]: Establece la longitud de la curva entre los valores paramétricos t1 y t2. Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Establece la longitud de la curva c entre dos puntos A y B que pertenecen a c CírculoOsculador [Punto, Curva]: Establece el círculo oscilador de la curva en el punto dado. Tangente[Punto, Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado. 3.3.14 Arcos y Sectores Atención: El valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector, su área. Arco Arco[Cónica, Punto A, Punto B]: Sobre la sección cónica dada, establece el arco que se extiende entre dos de sus puntos, A y B. Atención: Esto sólo opera para circunferencias o elipses. Arco[Cónica, Número t1, Número t2]: Establece el arco de sección cónica entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica dada, para los siguientes formatos paramétricos: 63 Atención: Internamente se usan las siguientes formas paramétricas: o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del eje principal y del secundario, respectivamente ArcoCircunferencia ArcoCircunferencia[Punto M, Punto A, Punto B]: Crea un arco de circunferencia con Punto Medio M entre los puntos A y B. Atención: El punto B no necesariamente estará sobre el arco. ArcoCircunferencia[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario] Atención: Ver también la herramienta Extremos Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos SectorCircular SectorCircular[Punto M, Punto A, Punto B]: Crea el sector circular con Punto Medio M entre dos puntos A y B. Atención: El punto B no debe necesariamente que pertenecer al arco del sector. SectorCircular[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario] Atención: Ver también la herramienta Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos ArcoCircuncircular ArcoCircuncircular[Punto Extremo A, Punto B, Punto Extremo C]: Crea el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A, B, C, siendo A y C sus extremos. Atención: Ver también la herramienta Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos SectorCircumcircular SectorCircumcircular[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea un sector circular cuyo arco pasa por los tres puntos A, B y C Atención: Ver también la herramienta Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco Sector Sector[Cónica, Punto A, Punto B]: Determina el sector de la sección cónica entre dos puntos A y B sobre la cónica dada. Atención Opera únicamente para una circunferencia o elipse. Sector[Cónica, Número t1, Número t2]: Determina el sector de la sección cónica entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica. Opera con los siguientes formatos paramétricos: o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del primer eje y del segundo, respectivamente 64 Semicircunferencia Semicircunferencia[Punto A, Punto B]: Crea una semicircunferencia por encima del segmento AB Atención: Ver también la herramienta Semicircunferencia 3.3.15 Texto LaTeX LaTeX[Objeto]: Da por resultado la fórmula correspondiente al objeto, como texto LaTeX Ejemplo: Si a = 2 y f(x) = a x2, entonces LaTeX[f] da por resultado 2 x2 (como un texto LaTeX) LaTeX[Objeto, Booleana]: Da por resultado la fórmula para el objeto, como texto LaTeX. La variable Booleana determina si los valores son sustituidos por variables (verdadero) o si los nombres de las variables se exponen en el texto (falso). Ejemplos: Si a = 2 y f(x) = a x2, entonces LaTeX[f, cierto] da por resultado 2 x2 (como un texto LaTeX) LaTeX[f, falso] da por resultado a x2 (como un texto LaTeX) LaTeX[ <Objeto> ] LaTeX[ <Objeto>, <Booleana para Sustitución de Variables> ] TextoFracción TextoFracción[Número]: Convierte el número o valor numérico en una fracción, que se expone como un objeto de texto (LaTeX) en la Vista Gráfica. Ejemplo: Siendo y = 1.5 x + 2 una recta, TextoFracción [Pendiente[a]] da por resultado, como texto expuesto en la Vista Gráfica, 3/2. CódigoDeLetra CódigoDeLetra["Letra"]: Da por resultado el número correspondiente al código Unicode de la letra dada. Atención: La letra debe estar entrecomillada. Ejemplo: CódigoDeLetra["a"] da por resultado el número 97 CódigoDeLetra[ <Letra (entrecomillada)> ] Nombre Nombre[Objeto]: Da por resultado el nombre de un objeto como texto en la Vista Gráfica. Atención: Este comando resulta especialmente útil para texto dinámico de objetos que pueden ser renombrados. El comando Nombre es opuesto a su recíproco, Objeto. Objeto Objeto[Nombre del objeto como texto]: Da por resultado el objeto correspondiente al nombre dado, expresado como texto (estático y/o dinámico). El resultado es siempre un objeto dependiente. Atención: El comando Objeto es el opuesto a su recíproco, Nombre. 65 Ejemplo: Si existen los puntos A1, A2, ... , A20 y el deslizados n = 2, entonces, Objeto["A" + n] da por resultado una copia del punto A2. TablaTexto TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,...]: Crea una tabla de texto que contiene las listas de objetos dadas. Atención: Por omisión, cada lista se expone como nueva columna de la tabla. Ejemplos: TablaTexto[{x^2, x^3, x^4}] crea una tabla como objeto de texto con tres filas y tres columnas. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda. TablaTexto[Secuencia[i^2, i, 1, 10]] crea una tabla como objeto de texto con una fila. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda. TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,.., “Alineación del Texto”]: Crea un texto que contiene una tabla de las listas de objetos. El texto adicional optativo, “Alineación del texto” controla la orientación y alineación de la tabla de texto. Atención: Los posibles valores son "vl", "vc", "vr", "v", "h", "hl", "hc", "hr". El valor por omisión es "hl". "v" = vertical, de modo que las listas se organizan como columnas "h" = horizontal, de modo que las listas se organizan como filas "l" = alineación a izquierda "r" = alineación a derecha "c" = alineación centrada Ejemplos: TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"] crea una tabla de texto con dos columnas y cuatro filas cuyos elementos se alinean a izquierda. TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"h"] crea una tabla de texto con dos filas y cuatro columnas cuyos elementos se alinean a izquierda. TablaTexto[{11.2,123.1,32423.9,"234.0"},"r"] crea una tabla de texto con una fila cuyos elementos se alinean a derecha. Texto Texto[Objeto]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula. Atención: Por omisión, cada variable es sustituida por su correspondiente valor. Ejemplo: Si a = 2 y c = a2, entonces, Texto[c] da por resultado el texto "4". Texto[Objeto, Booleana para Sustitución de Variables]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula. La condición Booleana determina si las variables son sustituidas por sus valores (cierto) o por sus nombres (falso), y expuestas del correspondiente modo. Ejemplo: Si a = 2 y c = a2, entonces Texto[c, cierto] Da por resultado el texto "4". Texto[c, falso] Da por resultado el texto "a2" Texto[Objeto, Punto]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula, expuesto en la posición señalada por el puntos. Ejemplo: Texto["hola", (2, 3)] expone ese texto en la posición (2, 3). 66 Texto[Objeto, Punto, Booleana para Sustitución de Variables]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula, expuesto en la posición señalada por el punto. La condición Booleana determina si el texto a exponer será el de los valores de las variables (cierto) o al de sus nombres (falso). CódigoDeTexto CódigoDeTexto[“Texto”]: Da por resultado una lista de los números correspondientes al código Unicode de cada uno de los caracteres del texto. Ejemplos: CódigoDeTexto[“ex texto”] TextToUnicode["Some text"] da por resultado la lista de cada uno de los números Unicode siguientes {101,120, 32, 116, 101, 120, 116, 111}. Si el texto fuese "hola” “hello", entonces CódigoDeTexto[“Hola”]: daría por resultado esta lista {104, 111, 108, 111}. LetraDeCódigo LetraDeCódigo[Unicode (número]: Da por resultado la letra cuyo código Unicode se corresponde con la parte entera del número dado, exponiéndola como un objeto de texto en la Vista Gráfica. Ejemplo: LetraDeCódigo[97] expone como texto a la letra "a". TextoDeCódigo TextoDeCódigo[Lista de Unicodes (números)]: Da por resultado el texto cuyo código Unicode se corresponde con la parte entera de cada uno de los sucesivos números que componen la lista dada, exponiéndolo como objeto en la Vista Gráfica. Ejemplo: TextoDeCódigo[{104, 111, 108, 97}] da por resultado el texto "hola". 3.3.16 Lugar Geométrico Locus ‐‐ LugarGeométrico LugarGeométrico[Punto Q, Punto P]: Da por resultado el lugar geométrico del punto Q que depende del punto P. Atención: El punto P debe ser un punto sobre un objeto (recta, segmento, circunferencia). Atención: Ver también la herramienta Lugar Geométrico 3.3.17 Listas y Secuencias Anexa Anexa[Lista, Objeto]: Anexa el objeto a la lista Ejemplo: Anexa[{1, 2, 3}, (5, 5)] da por resultado {1, 2, 3, (5, 5)} Anexa[Objeto, Lista]: Anexa la lista al objeto Ejemplo: Anexa[(5, 5), {1, 2, 3}] da por resultado {(5, 5), 1, 2, 3} Anexa[ <Lista>, <Objeto>] Anexa[ <Objeto>, <Lista> ] 67 CuentaSi CuentaSi[Condición, Lista]: Cuenta el número de elementos de la lista que cumplen con la condición dada Ejemplos: CuentaSi[x < 3, {1, 2, 3, 4, 5}] da por resultado el número 2 CuentaSi[x<3, A1:A10] donde A1:A10 es un rango de celdas de la hoja de cálculo, cuenta todas las celdas cuyos valores son menores que 3. Elemento Elemento[Lista,Número n]: Determina el elemento número n (enésimo) de la lista Atención: La lista puede contener únicamente objetos del mismo tipo (por ejemplo, sólo números o sólo puntos). Primero Primero[Lista]: Da por resultado el primer elemento de la lista Primero[Lista, Número n de elementos]: Da por resultado una nueva lista, que contiene los primeros n elementos de la dada. Intercala Intercala[Objeto, Lista, Posición] Da por resultado una nueva lista en la que se intercalara el objeto dado en la posición especificada. Ejemplo: Intercala[x^2, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] ubica a x2 en la tercera posición y da por resultado la lista {1, 2, x2, 3, 4, 5} Atención: Si la posición fuera un número negativo, se cuenta desde el final de la lista y en adelante hacia la derecha. Ejemplo: Intercala[(1, 2), {1, 2, 3, 4, 5}, -1] ubica el punto al final y da por resultado la lista {1, 2, 3, 4, 5, (1, 2)} Intercala[Lista 1, Lista 2, Posición] Intercala todos los elementos de lista 1 en lista 2 en la posición indicada. Ejemplo: Intercala[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, 3] ubica los elementos de la primera lista a partir de la tercera posición de la segunda y da por resultado la nueva lista {1, 2, 11, 12, 3, 4, 5} Atención: Si la posición fuera un número negativo, se cuenta desde el final de la lista y en adelante hacia la derecha. Ejemplo: Intercala[{11, 12}, {1, 2, 3, 4, 5}, -2] ubica los elementos de la primera lista desde la penúltima posición de la segunda (antes del último elemento) y da por resultado {1, 2, 3, 4, 11, 12, 5}. Intersección Intersección[Lista 1, Lista 2]: Da por resultado una nueva lista que contiene todos los elementos comunes a ambas. 68 ListaIteración ListaIteración[Función, Valor Inicial x0, Número de Iteraciones n]: Da por resultado una lista de n+1 elementos que resultan de las iteraciones de la función a partir del valor inicial x0. Ejemplo: Tras definir la función f(x) = x^2 el comando L = ListaIteración[f, 3, 2] da por resultado la lista L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81} Encadena Encadena[Lista 1, Lista 2, ...Lista n]: Encadena dos o más listas, dando por resultado una nueva en la que se organiza la sucesión de elementos de cada una de las dadas, por orden. Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas, pese a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno. Ejemplos: Encadena[{5, 4, 3}, {1, 2, 3}] crea la lista {5, 4, 3, 1, 2, 3} Encadena[Lista de listas]: Encadenas las sub‐listas en una de longitud mayor en que se concatenan sus correspondientes elementos. Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas, pese a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno. Ejemplos: Encadena[{{1, 2}}] crea la lista {1, 2} Encadena[{{1, 2, 3}, {3, 4}, {8, 7}}] crea la lista {1, 2, 3, 3, 4, 8, 7} ConservaSi ConservaSi[Condición, Lista]: Crea una nueva lista que únicamente contiene aquellos elementos de la dada que cumplan con la condición especificada. Ejemplo: ConservaSi[x<3, {1, 2, 3, 4, 1, 5, 6}] Da por resultado la nueva lista {1, 2, 1} Ultimo Ultimo[Lista]: Da por resultado el último elemento de la lista. Ultimo[Lista, Los n últimos elementos (número)]: Da por resultado una lista que contiene los últimos n elementos de la dada. Longitud Longitud[Lista] Establece la longitud de la lista, determinada por el número de elementos que la compone. Mínimo Mínimo[Lista]: Da por resultado el mínimo elemento de la lista Mínimo[Número (o valor numérico), Número (o valor numérico)]: Da por resultado el menor de entre los dos números dados. Máximo Máximo[Lista]: Da por resultado el máximo elemento de la lista 69 Máximo[Número (o valor numérico), Número (o valor numérico)] Da por resultado el mayor de los dos números dados. Producto Producto[Lista de números]: Calcula el producto de todos los números de la lista EliminaIndefinidos EliminaIndefinidos[Lista]: Establece una lista de la que se ha eliminados los objetos indefinidos de la dada. Ejemplo: EliminaIndefinidos[Secuencia[(-1)^i, i, -3, -1, 0.5]] da por resultado una lista de la que se ha eliminado el segundo y el cuarto elementos de la secuencia dado que, al estar elevados a exponentes no enteros, quedan indefinidos. ListaInversa ListaInversa[Lista]: Crea una lista cuyos elementos aparecen en orden inverso respecto de la dada. Secuencia Secuencia[Expresión, Variable i, Número a, Número b]: Establece una lista de objetos creados desde la expresión dada y el índice i que varía en el rango que va del número a al b. Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5] crea una lista de puntos cuyas ordenadas (coordenadas y) varían dentro del rango de 1 a 5 Secuencia[Expresión, Variable i, Número a, Número b, Incremento]: Establece una lista de objetos creados desde la expresión dada y el índice i que varía en el rango que va del número a al b con el incremento dado. Ejemplo: L = Secuencia[(2, i), i, 1, 5, 0.5] crea una lista de puntos cuyas ordenadas (coordenadas y) varían en el rango de 1 a 5, con un incremento de a 0.5. Atención: Como los parámetros a y b son dinámicos, también se pueden emplear en este caso variables, como las establecidas por un deslizador. Ordena Ordena[Lista]: Crea una lista compuesta por los elementos ordenados (números, objetos de texto o puntos) de la dado. Atención: Las listas de puntos se organizan según el orden creciente de sus abscisas (coordenadas x). Ejemplos: Ordena[{3, 2, 1}] da por resultado la lista {1, 2, 3}. Ordena[{"pera", "ananá", "fresa"}] da por resultado la lista de tales elementos ordenados alfabéticamente [{"ananá","fresa”, "pera"}] Ordena[{(3, 2), (2, 5), (4, 1)}] resulta {(2, 5), (3, 2), (4, 1)}. Suma Suma[Lista]: Calcula la suma de todos los elementos de la lista. Atención: Este comando opera con números, puntos, vectores, texto y funciones. 70 Ejemplos: Suma[{1, 2, 3}] da por resultado el número a = 6. Suma[{x^2, x^3}] da por resultado f(x)=x2 + x3. Suma[Secuencia[i,i,1,100]] da por resultado el número a = 5050. Suma[{(1, 2), (2, 3)}] da por resultado el punto A = (3, 5). Suma[{(1, 2), 3}] da por resultado el punto B = (4, 2). Suma[{"a","b","c"}] da por resultado el texto "abc". Suma[Lista, Número n de elementos]: Calcula la suma de los primeros n elementos de la lista. Atención: Este comando opera con números, puntos, vectores, texto y funciones. Ejemplo: Suma[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 4] da por resultado el número a = 10. Extrae Extrae[Lista, Posición Inicial m, Posición Final n]: Da por resultado una lista que contiene los elementos, desde el que ocupa la posición m a la n en la dada. Unión Unión[Lista 1, Lista 2]: Encadena las dos listas, eliminando los elementos que aparecen más de una vez. 3.3.18 Transformaciones Geométricas Homotecia Homotecia[Punto A, Número, Punto S]: Establece la homotecia del punto A desde el punto S según el factor correspondiente al número dado. Homotecia[Recta, Número, Punto S]: Establece la homotecia de la recta desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Homotecia[Cónica, Número, Punto S]: Establece la homotecia de la sección cónica desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Homotecia[Polígono, Número, Punto S]: Establece la homotecia del polígono desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Atención: Se crean, también, los nuevos vértices y lados correspondientes. Homotecia[Imagen, Número, Punto S]: Establece la homotecia de la imagen desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Atención: Ver también la herramienta Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala Homotecia[Objeto, Factor de Escala (número o valor numérico), Centro (punto)] Refleja Refleja[Punto A, Punto B]: Refleja el punto A por punto B Refleja[Recta, Punto]: Refleja la recta por el punto Refleja[Cónica, Punto]: Refleja la sección cónica c por el punto dado Refleja[Polígono, Punto]: Refleja el polígono por el punto dado. Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados. Refleja[Imagen, Punto]: Refleja la imagen por el punto dado 71 Refleja[Punto, Recta]: Refleja el punto en la recta dada Refleja[Recta g, Recta h]: Refleja la recta g en la recta h Refleja[Cónica, Recta]: Refleja la sección cónica en la recta dada. Refleja[Polígono, Recta]: Refleja el polígono en la recta dada. Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados. Refleja[Imagen, Recta]: Refleja la imagen por la recta dada Refleja[Punto, Circunferencia]: Invierte el punto en la circunferencia Atención: Ver también las herramientas Refleja Objeto por Punto; Refleja Punto en Circunferencia Recta; Refleja Objeto en Rota Rota[Punto, Ángulo]: Rota el punto por el ángulo en torno al origen de coordenadas Rota[Vector, Ángulo]: Rota el vector por el ángulo dado. Rota[Recta, Ángulo]: Rota la recta por el ángulo en torno al origen de coordenadas Rota[Cónica, Ángulo]: Rota la sección cónica por el ángulo en torno al origen de coordenadas Rota[Polígono, Ángulo]: Rota el polígono por el ángulo en torno al origen de coordenadas. Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de los lados. Rota[Imagen, Ángulo]: Rota la imagen el ángulo dado en torno al origen de coordenadas Rota[Punto A, Ángulo, Punto B]: Rota el punto A, el ángulo dado en torno al punto B Rota[Recta, Ángulo, Punto]: Rota la recta por el ángulo en torno al punto. Rota[Vector, Ángulo, Punto]: Rota el vector por el ángulo en torno al punto. Rota[Cónica, Ángulo, Punto]: Rota la sección cónica por el ángulo en torno al punto. Rota[Polígono, Ángulo, Punto]: Rota el polígono por el ángulo en torno al punto. Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de los lados. Rota[Imagen, Ángulo, Punto]: Rota la imagen por el ángulo en torno al punto Atención: Ver también las herramientas Rota Objeto en torno Punto, el Ángulo indicado Traslada Traslada[Punto, Vector]: Traslada el punto por el vector Traslada[Recta, Vector]: Traslada la recta por el vector Traslada[Cónica, Vector]: Traslada la cónica c por el vector Traslada[Función, Vector]: Traslada la función por el vector Traslada[Polígono, Vector]: Traslada el polígono por el vector. Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de los lados. Traslada[Imagen, Vector]: Traslada la imagen por el vector Traslada[Vector, Punto]: Traslada el vector al punto P Atención: Ver también la herramienta Traslada Objeto por un Vector 72 3.3.19 Comandos Estadísticos Barras Barras[Valor Inicial, Valor Final, Lista de Alturas]Crea un diagrama en un intervalo, con una barra por cada elemento de la lista, cuya altura depende del correspondiente valor. Ejemplo: Barra[10, 20, {1,2,3,4,5} ] da por resultado un diagrama de cinco barras en el intervalo [10, 20]., cada una de las cuales tendría una altura especificadas por el valor de cada elemento{1,2,3,4,5} , Barras[Valor Inicial a, Valor Final b, Expresión, Variable k, Desde número c, A número d]: Crea un diagrama en el intervalo [a, b], en el que la altura de cada una de las barras se calcula según la expresión cuya variable k se evalúa entre el número c y el número d Ejemplo: Si p = 0.1, q = 0.9, y n = 10 son números, entonces Barras[ -0.5, n + 0.5, NúmeroCombinatorio[n,k]*p^k*q^(nk), k, 0, n ] da por resultado un diagrama en el intervalo [‐0.5, n+0.5]. La altura de cada barra depende de las probabilidades calculadas empleando la expresión dada:. Barras[Valor Inicial a, Valor Final b, Expresión, Variable k, Desde número c, A número d, Ancho de Paso s] Crea un diagrama en el intervalo [a, b], en el que la altura de cada una de las barras se calcula según la expresión cuya variable k se evalúa entre el número c y el número d con un ancho de paso determinado por s Barras[Lista de datos enumerados, Ancho de barras]: Crea un diagrama usando los datos, cuyas barras tienen el ancho dado. Ejemplo: Barra[ {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,5,5,5,5}, 1] Barras[Lista de datos, Lista de frecuencias]: Crea un diagrama usando la lista de datos, acorde a las correspondientes frecuencias Atención: En la lista, los números ascienden según una cantidad constante. Ejemplos: Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}] Barras[{5, 6, 7, 8, 9}, {1, 0, 12, 43, 3}] Barras [{0.3, 0.4, 0.5, 0.6}, {12, 33, 13, 4}] Barras[Lista de datos, Lista de frecuencias, Ancho de las barras w]: Crea un diagrama usando la lista de datos y las correspondientes frecuencias, cuyas barras tienen un ancho fijado por w Atención: En la lista de datos los números deben ascender según una cantidad constante Ejemplos: Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0.5] deja brechas entre las barras. Barras[{10,11,12,13,14}, {5,8,12,0,1}, 0] produce un gráfico recto 73 DiagramaCaja DiagramaCaja[yRadio, yEscala, Lista de Datos]: Crea un diagrama usando los datos dados, cuya posición vertical en el sistema de coordenadas lo controla la variable yRadio y su altura, depende del factor yEscala Ejemplo: DiagramaCaja[0, 1, {2,2,3,4,5,5,6,7,7,8,8,8,9}] DiagramaCaja[yRadio, yEscala, Valor Inicial, Q1, Mediana, Q3>, Valor Final]: Crea un diagrama para los datos estadísticos dados en el intervalo [Valor Inicial, Valor Final] CPearson CPearson[[Lista de Abscisas, Lista de Ordenadas]: Calcula el coeficiente de correlación de Pearson de los puntos dados por las listas de sus coordenadas, la de las abscisas y la de las ordenadas. CPearson[Lista de Puntos]: Calcula el coeficiente de correlación de Pearson de los puntos dados en la lista. Covarianza Covarianza[Lista de Números, Lista de Números]: Calcula la covarianza usando los elementos de ambas listas Covarianza[Lista de Puntos]: Calcula la covarianza usando las coordenadas x e y de cada uno de los puntos listados. AjusteLineal AjusteLineal[Lista de Puntos]: Calcula la recta de regresión y sobre x de los puntos listados. Atención: Ver también la herramienta Ajuste Lineal Otros Comandos de Ajuste AjusteExp[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión exponencial de los puntos listados. AjusteLog[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión logarítmica de los puntos listados. AjusteLogístico[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión de la forma a/(1+b x^(‐kx)) de los puntos listados. Atención: El primer punto así como el último de la lista deberían estar bastantes cerca de la curva. La lista debería tener al menos 3 puntos, más preferiblemente. AjustePolinómico[Lista de Puntos, Grado Polinomio]: Calcula la regresión polinómica de grado n de los puntos listados AjustePotencia[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión de la forma a xb de los puntos listados. Atención: Todos los puntos empleados deben estar en el primer cuadrante del sistema de coordenadas.. AjusteSen[Lista de Puntos]: Calcula la curva sinusoidal de regresión de la forma a + b sin(cx+d).de los puntos listados (sin corresponde a sen, seno). Atención: La 74 lista debería tener un mínimo de 4 puntos, más preferiblemente, cubriendo al menos dos extremos. Los primeros dos puntos extremos relativos no deberían diferir demasiado de los absolutos de la curva. Histograma Histograma[Lista de Extremos de Intervalos, Lista de Alturas]: Crea un histograma sobre la lista de intervalos, con barras acorde a la lista de alturas. La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra.. Ejemplo: Histograma[{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 6, 8, 3, 1}] crea un histograma de 5 barras de las alturas especificadas. La primera barra está ubicada en el intervalo [0, 1]; la segunda, en [1, 2], y así sucesivamente. Histograma[Lista de Extremos de Intervalos, Lista de Datos]: Crea un histograma sobre la lista de intervalos, de la lista de datos La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra así como cuántos elementos de los datos corresponderán a cada clase. Ejemplo: Histograma[{1, 2, 3, 4},{1.0, 1.1, 1.1, 1.2, 1.7, 2.2, 2.5, 4.0}] crea un histograma de 3 barras, cada una de las cuales tendrá las siguientes alturas 5, 2 y 1 respectivamente. NormalInversa NormalInversa[Media, Desviación Estándar, Probabilidad]: Calcula la función Φ‐1(probabilidad) ** (desviación estándar) + (media) donde Φ(x) ‐1 es la inversa de la función de densidad de probabilidad Φ(x) para N(0,1) Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución normal a la izquierda, de la abscisa dada (coordenada x). Comandos de Media Media[Lista de Números]: Calcula la media de los elementos listados MediaX[Lista de Puntos]: Calcula la media de las abscisas (coordenadas x) de los puntos listados MediaY[Lista de Puntos]: Calcula la media de las ordenadas (coordenadas y) de los puntos listados Mediana Mediana[Lista de números]: Determina la mediana de los elementos listados Moda Moda[Lista de números]: Determina la moda de los elementos listados. Ejemplos: Moda[{1,2,3,4}] Da por resultado una lista vacía {} Moda[{1,1,1,2,3,4}] Da por resultado la lista {1} Moda[{1,1,2,2,3,3,4}] Da por resultado la lista {1, 2, 3} Normal Normal[Media, Desviación Estándar, Valor de Variable]: Calcula la función (Φ(x – media) / desviación estándar) donde Φ (x) es la función de densidad de probabilidad para N(0,1) . 75 Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución normal a la izquierda, de la abscisa dada (coordenada x). Comandos Cuatri Q1[Lista de números]: Determina el primer cuartil de los elementos de la lista Q1[Lista de números]: Determina el cuartil superior de los elementos de la lista DE DE[Lista de Números]: Calcula la desviación estándar de los números listados Comandos Sigma SigmaXX[Lista de números]: Calcula la suma de los cuadrados de los números listados . Ejemplo: Para establecer la varianza de una lista puede usarse SigmaXX[lista]/Longitud[lista] - Media[lista]^2. SigmaXX[Lista de puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las abscisas de los puntos listados. SigmaXY[Lista de coordenadas x, Lista de coordenadas y]: Calcula la suma de los productos de las coordenadas x e y SigmaXY[Lista de puntos]: Calcula la suma de los productos de de las coordenadas x e y de los puntos listados. Ejemplo: Para establecer la varianza de una lista de puntos puede usarse SigmaXY[lista]/Longitud[lista]-MediaX[lista] * MediaY[lista]. SigmaYY[Lista de Puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las coordenadas y de los puntos listados. Comandos para Cantidades Estadísticas Sxx[Lista de números]: Calcula el estadístico Σ(x2) ‐ Σ(x) * Σ(x)/n Sxx[Lista de puntos]: Calcula el estadístico Σ(x2) ‐ Σ(x) × Σ(x)/n usando las – coordenadas x de los puntos dados. Sxy[Lista de números, Lista de números]: Calcula el estadístico Σ(xy) ‐ Σ(x) × Σ(y)/n Sxy[Lista de puntos]: Calcula el estadístico Σ(xy) ‐ Σ(x) × Σ(y)/n. Syy[Lista de números]: Calcula el estadístico Σ(y2) ‐ Σ(y) × Σ(y)/n Syy[Lista de puntos]: Calcula el estadístico Σ(y2) ‐ Σ(y) × Σ(y)/n. usando las – coordenadas y de los puntos dados. Atención: Estas cantidades son simplemente formas no normalizadas de las varianzas y covarianza de X e Y dadas por Sxx = N var(X), Syy = N var(Y), y Sxy = N cov(X,Y) Ejemplo: Se puede calcular el coeficiente de correlación de Pearson de una lista de puntos usando Sxy[lista] / sqrt(Sxx[lista] Syy[lista]). Varianza Varianza[Lista de números]: Calcula la varianza de los elementos listados 76 77 3.3.20 Comandos de Hoja de Cálculo RangoCelda RangoCelda[Celda Inicial, Celda Final]: Crea una lista conteniendo los valores de las celdas dentro del rango establecido. Ejemplo: Al anota los siguientes valores en las celdas correspondientes de la Hoja de Cálculo: A1 = 1, A2 = 4, A3 = 9, el comando RangoCelda[A1, A3] da por resultado la lista {1, 4, 9}. Columna Columna[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado la columna de la celda como un número (empezando por 1) Ejemplo: Columna[B3] da por resultado el número a = 2 dado que la columna B es la segunda de la hoja de cálculo. NombreColumna NombreColumna[Celda de Hoja de Cálculo]: Da por resultado el nombre de la columna de la celda como un texto Ejemplo: NombreColumna[A1] da por resultado el texto “A” en la Vista Gráfica. Fila Fila[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado el número de la fila de la celda de la hoja de cálculo (empezando por 1) Ejemplo: Fila[B3] da por resultado el número a = 3. 3.3.21 Comandos de Matrices Determinante Determinante[Matriz]: Da por resultado el determinante de la matriz Ejemplo: Determinante[{{1, 2}, {3, 4}}] da por resultado el número a = ‐2. MatrizInversa MatrizInversa[Matriz]: Da por resultado la matriz inversa respecto de la dada Ejemplo: MatrizInversa[{{1, 2}, {3, 4}}] da por resultado la matriz inversa {{‐2, 1}, {1.5, ‐0.5}}. Traspone Traspone[Matriz]: Da por resultado la matriz traspuesta respecto de la dada. Ejemplo: Traspone[{{1, 2}, {3, 4}}] da por resultado la matriz {{1, 3}, {2, 4}}. 4. Cada Menú: Ítem por Ítem 78 4.1 Menú Archivo Nueva Ventana Teclas de Atajo: Ctrl‐N (MacOS: Cmd‐N) Este ítem del menú abre una ventana de GeoGebra con los ajustes por omisión de su interfaz. Atención: De hacer cambios en los ajustes y guardar algunos, la nueva ventana se abrirá empleando los ajustes establecidos. Nuevo Este ítem del menú abre una interfaz de uso nueva y vacía en la misma ventana, consultando antes si se desea guardar la construcción en marcha. Atención: La nueva interfaz de uso adopta los ajustes empleados en la construcción previa. Por ejemplo, si los ejes de coordenadas hubieran estado ocultos antes de seleccionar el ítem del menú ‘Nuevo’, permanecerán así en la nueva interfaz. Abre… Teclas de Atajo: Ctrl‐O (MacOS: Cmd‐O) Este ítem del menú permite abrir un archivo de GeoGebra (de extensión .ggb o ggt) guardado previamente en el directorio o carpeta que despliega la correspondiente caja de diálogo. Atención: También se puede abrir un archivo de GeoGebra arrastrándolo con el ratón o mouse a su ventana y depositándolo allí. Guarda Teclas de Atajo: Ctrl‐S (MacOS: Cmd‐S) Este ítem del menú permite guardar la construcción en marcha como archivo GeoGebra (de extensión .ggb) en la carpeta o directorio que se seleccione en la caja de diálogo que se despliega a tal efecto. Atención: Si se eligiera un nombre para guardar el boceto ya existente en el directorio de destino, se reemplazará el ‘viejo’ archivo con esta maniobra. Guarda Como… Este ítem del menú permite guardar la construcción en marcha como archivo GeoGebra, para la que no se hubiera seleccionado aún un nombre, anotándolo en la caja de texto que se despliega a tal efecto. Previsualiza Impresión Teclas de Atajo: Ctrl‐P (MacOS: Cmd‐P) Este ítem del menú abre la ventana correspondiente a Previasualiza Impresión de la Vista Gráfica. Se puede especificar ‘Título’, ‘Autoría’, ‘Fecha’ y ‘Escala’ de la impresión (en cm). Atención: Para poder actualizar la previsualización de la impresión después de cada cambio, debe pulsarse la tecla Enter. 79 Exporta ‐ Hoja Dinámica como Página Web (html)… Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐W (MacOS: Cmd‐Shift‐W) Este ítem del menú permite exportar la construcción en marcha como página web para poder crear lo que se denomina ‘Hoja Dinámica’, ‘Applet’, ‘Mathlet’,… Para profundizar la información, puede consultarse la sección Creando Páginas Web Interactivas Exporta ‐ Vista Gráfica como Imagen (png, eps)… Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐P (MacOS: Cmd‐Shift‐P) Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica de GeoGebra como archivo gráfico. En la ventana de diálogo emergente, se puede seleccionar el Formato del archivo y cambiar la Escala (en cm) y la Resolución (en dpi) de la imagen. Atención: Cuando se exporta la Vista Gráfica como imagen, se puede seleccionar cualquiera de los siguientes formatos: • PNG – Portable Network Graphics: Este es un formato gráfico pixelado. Cuanto mayor la resolución (dpi), mayor la calidad (300dpi suele bastar). Los gráficos PNG no debieran ser escalados subsecuentemente para evitar merma en la calidad. Los archivos gráficos PNG son adecuados par alas páginas web (html) y eln los documentos de los procesadores de texto. Atención: Cuando se inserta un gráfico PNG en un documento, (menú Insertar, Imagen Desde Archivo) hay que verificar que la medida esté fijada al 100 %. De otro modo, la escala dada (en cm) cambiaría. • EPS – Encapsulated Postscript: Este es un formato gráfico vectorial. Las imágenes EPS pueden escalarse sin perder calidad y son adecuadas para emplearse en relación con programas gráficos vectoriales (como Corel Draw) y procesadores de textos profesionales (como LaTeX). La resolución de un gráfico EPS es siempre de 72dpi. Este valor se usa sólo para calcular la medida verdadera de una imagen en centímetros y no tiene efecto sobre la calidad de la imagen. Atención: El efecto de transparencia en el sombreado de polígonos o de secciones cónicas no es posible con EPS. • PDF – Portable Document Format (ver Formato EPS en sección previa) Atención: Al exportar en SVG y PDF, se puede optar por tratar el texto como editable o como imagen. Esto almacena el texto de modo de poder editarlo (como en InkScape) o como curvas de Bezier (lo que garantiza que el aspecto del texto resulte exactamente el mismo que el previsto, aún cuando no se cuente en el equipo de destino con las fuentes originales instaladas). • SVG – Scaleable Vector Graphic ‐ Gráfico de Vector Escalable (ver la sección previa Formato EPS) • EMF – Enhanced Meta Format ‐ Formato Meta Enriquecido (ver la sección previa Formato EPS) Exporta ‐ Vista Gráfica al Portapapeles Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐C (MacOS: Cmd‐Shift‐C) 80 Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema. Después de esta operación, se puede pegar fácilmente esta imagen en otros documentos (como los creados con un procesador de textos). Exporta ‐ Vista Gráfica como PSTricks… Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐T (MacOS: Cmd‐Shift‐T) Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico PSTricks, que es un formato correspondiente a LaTeX. Exporta ‐ Vista Gráfica como PGF/Tik…… Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico PGF/TikZ, que es un formato correspondiente a LaTeX. Cierra Teclas de Atajo: Alt‐F4 (MacOS: Cmd‐W) Este ítem del menú cierra la ventana de GeoGebra. Si no se ha guardado la construcción en marcha antes de seleccionar Cierra, se desplegará una caja de diálogo consultando si se prefiere hacerlo. 4.2 Menú Edita Deshace Teclas de Atajo: Ctrl‐Z (MacOS: Cmd‐Z) Este ítem del menú permite deshacer acciones previas, paso a paso. Atención: También puede emplearse el botón correspondiente que aparece en el extremo derecho de la Barra de Herramientas: Deshace. Rehace Teclas de Atajo: Ctrl‐Y (MacOS: Cmd‐Shift‐Z) Este ítem del menú permite rehacer acciones previamente descartadas por ‘Deshace’, paso a paso. Atención: También puede emplearse el botón correspondiente que aparece en el extremo derecho de la Barra de Herramientas: Rehace. Borra Teclas de Atajo: Tecla Borra Este ítem del menú permite borrar los objetos seleccionados y los derivados o dependientes. Atención: Se puede seleccionar previamente los objetos que se desean borrar (con el rectángulo de selección, por ejemplo). 81 Selecciona Todo Teclas de Atajo: Ctrl‐A (MacOS: Cmd‐A) Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de la construcción. Selecciona la Capa Activa Teclas de Atajo: Ctrl‐L (MacOS: Cmd‐L) Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos que ocuparan la misma capa que el que ya se hubiera elegido. Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto que ocupe la capa deseada. Selecciona Descendientes Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐Q (MacOS: Cmd‐Shift‐Q) Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos dependientes del que ya se hubiera elegido. Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto del que dependan los subsiguientes, un objeto padre. Selecciona Ascendientes Teclas de Atajo: Ctrl‐Q Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de los que dependa el que ya se hubiera elegido. Atención: Antes de emplear este ítem, es preciso seleccionar algún objeto “dependiente”. Copia Vista Gráfica al Portapapeles Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐C (MacOS: Cmd‐Shift‐C) Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema. Después de esta operación, se puede pegar fácilmente esta imagen en otros documentos (como los creados con un procesador de textos). Propiedades… Teclas de Atajo: Ctrl‐E (MacOS: Cmd‐E) Este ítem del menú abre la Caja de Diálogo de Propiedades que permite modificar las propiedades de todos los objetos que componen un archivo de GeoGebra. 4.3 Menú Vista Ejes Este ítem del menú permite ocultar o exponer los ejes de coordenadas en la Vista Gráfica. 82 Atención: Se puede emplear la Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica para personalizar los ejes de coordenadas. Cuadrícula Este ítem del menú permite ocultar o exponer la cuadrícula de coordenadas en la Vista Gráfica. Atención: Se puede emplear la Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica para personalizar la cuadrícula de coordenadas. Vista Algebraica Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐A (MacOS: Cmd‐Shift‐A) Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista Algebraica. Vista de Hoja de Cálculos Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐S (MacOS: Cmd‐Shift‐S) Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista de la Hoja de Cálculo. Objetos Auxiliares Este ítem del menú permite ocultar o exponer los Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica. División Horizontal Este ítem del menú permite dividir la ventana de GeoGebra de modo vertical u horizontal en las diversas vistas. Barra de Entrada Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Entrada en la zona inferior de la ventana de GeoGebra. Lista de Comandos Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Lista de Comandos en la Barra de Entrada en la zona inferior de la ventana de GeoGebra. Protocolo de Construcción… Este ítem del menú permite abrir el Protocolo de Construcción en una nueva ventana. Barra de Navegación por Pasos de Construcción Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Navegación en la zona inferior de la Vista Gráfica. Actualiza Vistas Teclas de Atajo: Ctrl‐F (MacOS: Cmd‐F) Este ítem del menú permite el retrazado de todas las vistas en pantalla. Atención: Se puede emplear este ítem del menú para eliminar cualquier rastro de puntos o rectas de la Vista Gráfica. 83 Recálculo de Todos los Objetos Teclas de Atajo: F9 Este ítem del menú recalcula todos los objetos empleados en un archivo de GeoGebra. Atención: Puede usarse este ítem del menú para crear nuevos números aleatoriossi es que se está empleando alguno en el archivo, 84 4.4 Menú Opciones Las opciones globales pueden modificarse desde el menú Opciones. Atención: Para cambiar los ajustes de los objetos, conviene emplear el Menú Contextual y la Caja de Diálogo de Propiedades. Atracción de Punto a Cuadrícula Este ítem del menú determina si la captura del punto está Activa o Desactiva o si los puntos serán capturados por la cuadrícula Activa (Cuadrícula’. Atención: La opción Automático activa la captura cuando la cuadrícula o el sistema de coordenadas están expuestos y la desactiva cuando si están ocultos. Unidad Angular Este ítem del menú determina si los ángulos se expresan en Grados (°) o Radianes (rad). Atención: Siempre pueden ingresarse de cualquiera de ambos modos (grados y radianes). Redondeo Este ítem del menú permite establecer el número de lugares decimales o cifras significativas expuestas en pantalla. Continuidad GeoGebra permite decidir la activación o inhabilitación de la heurística de continuidad. GeoGebra apela a la heurística de proximidad para mantener móviles a los puntos de las intersecciones (recta‐cónica, cónica‐cónica) cerca de sus posiciones previas y evitar el “salto” en los puntos de intersecciones. Atención: Por omisión esta heurística está inhabilitada. Así como lo está para las herramientas definidas por usuarios (ver Herramientas Definidas para Diversos Usos). Estilo de Punto Este ítem del menú determina si los puntos se exponen como puntos ● , como ○ círculos o cruces x. Tamaño de Casilla de Control Este ítem del menú permite establecer la medida de la casilla de control como Norma’ o Grande. Atención: Al usar GeoGebra como herramienta de presentación o trabajando con un tablero interactivo, es conveniente fijar el tamaño Grande para facilitar el desarrollo. Estilo de Angulo Recto Determina si los ángulos rectos se identifican con la marca de un rectángulo □, un punto • o tal como los restantes ángulos (en caso de inhabilitación de esta opción). 85 Coordenadas Este ítem del menú determina si la notación de los puntos de coordenadas será ‘A = (x, y)’ o A(x | y). Rotulado Especifica si se expone o no el rótulo de un objeto recientemente creado. Se puede elegir entre el rotulado de Todos los Nuevos Objetos, Ningún Nuevo Objeto, Sólo los Nuevos Puntos y Automático. Atención: La alternativa para ir rotulando en Automático’ lleva a que a medida que se creen nuevos objetos, vayan apareciendo sus rótulos en la Vista Algebraica. Tamaño de Letra Este ítem del menú determina la medida, en puntos (pt), de la tipografía para los rótulos y texto. Atención: Si GeoGebra se emplea como herramienta de presentación, conviene aumentar la medida de la tipografía para facilitar la lectura de textos, rótulos y entradas algebraicas empleadas. Idioma GeoGebra es multilingüe. Aquí puede definirse o modificarse el idioma en uso. Esto afecta a lo que se ingresa, incluso nombres de comandos, y a todas las salidas. Atención: Independientemente del idioma seleccionado, el ícono del globo terráqueo sirve de guía al menú de idioma. Todos los nombres de los diversos idiomas se expresan en inglés. Vista Gráfica Este ítem del menú abre una ventana de diálogo donde pueden ajustarse las Propiedades de la Vista Gráfica, como ejes, cuadrícula de coordenadas o color de fondo. Atención: También puede abrirse la ventana de diálogo con un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) sobre el fondo de la Vista Gráfica. Guardar Configuración GeoGebra recuerda los ajustes realizados (como los del menú de Opciones, Barra de Herramientas activa y los de la Vista Gráfica) si se selecciona Guardar Configuración en el menú de Opciones. Restablecer la Configuración Original Se puede reestablecer la configuración original de GeoGebra y sus correspondientes ajustes, desde este ítem. 4.5 Menú Herramientas Creación de Herramienta Nueva… Desde una construcción existente, se pueden crear herramientas propias. Tras preparar la construcción de una herramienta, se selecciona Creación de Herramienta Nueva en el menú 86 de Herramientas. Se despliega una ventana de diálogo donde se pueden especificar los objetos de salida y entrada de la herramienta en marcha y elegírseles nombres al ícono y comando con que aparecerá en la barra de herramientas. Atención: Las herramientas creadas se guardan automáticamente dentro del archivo “ggb” de la construcción y quedan accesibles para emplearse con el mouse o ratón y como comando en la Barra de Entrada. Gestión de Herramientas… Usando la caja de diálogo que despliega la opción Gestión de Herramientas del menú de Herramientas, cualquier herramienta se Borra o bien se le modifica su nombre o su ícono. También se puede guardar las herramientas seleccionadas en un Archivo de Herramientas de GeoGebra (‘GGT’). Este archivo puede emplearse posteriormente (menú Archivo, Abre) para abrir las herramientas en otra construcción. Atención: Es importante tener en cuenta que la apertura de un archivo “ggt” no modifica la construcción en curso como sí lo hace abrir un archivo “ggb”. Personalizar la Barra de Herramientas… Se puede personalizar la barra de herramientas de GeoGebra seleccionando Personalizar la Barra de Herramientas del menú Herramientas. Esto es particularmente útil para operar con las Hojas de Cálculo Dinámicas en las que se prefiere restringir los útiles disponibles. Atención: La barra de herramientas activa queda guardada en el archivo “ggb” de construcción que la tuvo como recurso accesible. 4.6 Menú Ventana Nueva Ventana Teclas de Atajo: Ctrl‐N (MacOS: Cmd‐N) Este ítem del menú abre una nueva ventana de GeoGebra que emplea los ajustes en curso de La interfaz de GeoGebra. Atención: Si se cambian y se guardan algunos de estos ajustes la nueva ventana se abre usándolos. Lista de Ventanas Abiertas de GeoGebra Si hay más de una ventana abierta, este ítem del menú permite alternar y pasar de una a otra. Atención: Esto es particularmente útil, cuando GeoGebra se emplea como herramienta de presentación y se desea tener varios bocetos abiertos simultáneamente, para ir pasando de uno a otro, en cada ventana. 87 4.7 Menú Ayuda Ayuda Este ítem del menú da acceso a la versión html del documento de Ayuda de GeoGebra. Dependiendo de la instalación de GeoGebra en el equipo, será o no necesario el acceso a Internet para contar con este documento. • Si se ha descargado e instalado GeoGebra usando el archive de instalación desde la página web, no se precisa acceso a Internet. La versión html del documento de Ayuda de GeoGebra fue guardado localmente en el equipo.. • Si se ha usado GeoGebra‐Webstart para instalar GeoGebra, será necesario el acceso a Internet para usar esta ayuda. De no contar con este acceso, aparecerá un mensaje de error. Atención: La versión html de este documento de Ayuda de GeoGebra está disponible en línea en http://www.geogebra.org/ayuda. www.geogebra.org Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre la página web de GeoGebra en el navegador del sistema (http://www.geogebra.org). Foro GeoGebra ‐ GeoGebra Forum Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre, en línea, el Foro de Usuarios de GeoGebra en el navegador del equipo (http://www.geogebra.org/forum). Atención: Se puede despachar y responder preguntas relacionadas con GeoGebra‐y problemas, en este foro. En el hispanoparlante, se pueden dirigir las preguntas y recibir las respuestas en español. GeogebraWiki Si se cuenta con acceso a Internet, este ítem del menú abre, la página web GeoGebraWiki de GeoGebra en el navegador del equipo (http://www.geogebra.org/wiki). Atención: GeoGebra Wiki contiene un juego de materiales instructivos creados con GeoGebra por usuarios de todo el mundo. Acerca de GeoGebra / Licencia Este ítem del menú abre una ventana de diálogo con información sobre la licencia de GeoGebra y establece los créditos a quienes respaldan el proyecto GeoGebra con contribuciones de distinto orden, desde programación a traducción, atención a foros, etc. 5. Características Especiales de GeoGebra 88 5.1 Animación 5.1.1 Animación Automática GeoGebra permite animar uno o varios números y/o ángulos simultáneamente, si se exponen como deslizadores en la Vista Gráfica. Basta con un clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) sobre un número o ángulo y seleccionar del emergente Menú Contextual, Animación Automática para animarlos y viceversa, destildar este ítem para detener tal animación. Atención: Después de animar un número o ángulo, aparece un botón en la esquina inferior o continuar la izquierda de la Vista Gráfica que permite, sea establecer una pausa animación. En la Caja de Diálogo de Propiedades en la pestaña Deslizador se puede cambiar el comportamiento de la animación: Por un lado, se puede controlar la Velocidad de la Animación. Atención: Una velocidad de 1 significa que a la animación le lleva cerca de10 segundos ejecutarse una vez a lo largo de todo el intervalo del deslizador. Por otra parte, se puede modificar el régimen de ciclado de la animación y sus repeticiones. • <=> Oscilante: El ciclo de la animación alterna entre ‘Decremento’ e ‘Incremento’. • => Incremento: El valor del deslizador está siempre aumentando. Después de llegar al máximo, el deslizador salta y regresa al valor mínimo y así continúa la animación. • <= Decremento: El valor del deslizador está siempre disminuyendo. Después de llegar al mínimo, el deslizador salta y regresa al valor máximo y así continúa la animación. Atención: Mientras la animación automática está active, GeoGebra permanece completamente funcional. Esto permite hacer cambios en la construcción mientras se corre la animación. 5.1.2 Animación Manual Para modificar manualmente, de forma continua un número o ángulo, basta seleccionar la Elige y Mueve y hacer clic sobre un número o ángulo libre y pulsar o la tecla herramienta + o la tecla ‐ o las teclas flechas. Se produce así, manualmente, un efecto de animación al mantener permanentemente, una de estas teclas, pulsada. Ejemplo: Si las coordenadas de un punto dependen de un número k como en P = (2 k, k), el punto se desplazará a lo largo de una recta si k se modifica continuamente. Con las teclas‐flecha puede desplazarse cualquier objeto libre empleando la herramienta Elige y Mueve 89 Atención: El incremento del deslizador es ajustable desde la pestaña Deslizado’ de la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto. Teclas de atajos • Shift + tecla flecha establece cambios de a 0.1 unidades • Ctrl + tecla flecha establece cambios de a 10 unidades • Alt + tecla flecha establece cambios de ancho de 100 unidades Atención: También se puede mover cualquier punto a lo largo de una recta, empleando la tecla + o la tecla ‐ 5.2 Visibilidad Condicional Condicionalidad para Exponer u Ocultar Objetos Existentes Además de decidir, sencillamente si se exponen u ocultan ciertos objetos, se puede también establecer el régimen de visibilidad en función de ciertas condiciones para la exposición. Por ejemplo, hacer depender la aparición de un objeto en pantalla según esté o no tildada cierta casilla Casilla de Control para Ocultar / Exponer Objetos en la Vista Gráfica o si un deslizador cambia a cierto valor. Expone u Oculta Condicionalmente Objetos Existentes Casilla de Control para Ocultar / Exponer Objetos para Puede emplearse la herramienta crear una casilla que controle la visibilidad de uno o más objetos existentes en pantalla. Alternativamente, también puede crearse una Variable Booleana (como b = cierto) usando la Barra de Entrada y haciéndola visible como casillero en la Vista Gráfica al cambiar Expone / Oculta Objeto o el su estado de visibilidad (por ejemplo, usando la herramienta Menú Contextual). Para usar la variable Booleana como una condición para la visibilidad de ciertos objetos, puede ser necesario seguir las etapas descriptas a continuación. Cambiando la Visibilidad de Objetos Recién Creados En la Caja de Diálogo de Propiedades, puede anotarse una condición que establezca la visibilidad de un objeto en la pestaña Avanzado. Atención: Se pueden seleccionar los operadores lógicos (como., ≠, ≥, ˄, ‖) del menú desplegable para crear la formulación de las condiciones.. Ejemplo: • Si a es un deslizador, entonces el planteo condicional a < 2 significa que el correspondiente objeto sólo va a exponerse en la Vista Gráfica si el valor del deslizador es menor que 2. • Si b es una variable Booleana, puede usarse b como la sentencia de una condición. El correspondiente objeto va a exponerse cuando el valor de b sea verdadero y ocultarse, cuando sea falso. • Si g y h son dos rectas y se quisiera que se expusiera un texto cuando fuesen paralelas, podría usarse g ‖ h como cláusula condicional para el texto. 90 5.3 Herramientas Definidas para Diversos Usos GeoGebra permite crear herramientas basadas en una construcción preexistente. Una vez creada, tal herramienta puede usarse tanto con el mouse o ratón como comando, en la Barra de Entrada. Todas las herramientas se guardan automáticamente en el archivo de GeoGebra. Creando Herramientas En primer lugar, es preciso elaborar la construcción que la herramienta debe poder trazar a Creación de Herramienta Nueva posteriori. En el menú Herramientas basta un clic sobre para abrir la correspondiente caja de diálogo. Ahora se precisa completar los datos en las tres pestañas: Objetos de salida, Objetos de Entrada y Nombre e Icono para crear efectivamente la herramienta. Receta para crear una Herramienta Cuadrada que trazará un cuadrado con dos clic sucesivos en dos posiciones vacías de la Vista Gráfica. • Construir un cuadrado empezando por dos puntos A y B que den lugar a los otros dos vértices para que al conectarlos, con la herramienta. Polígono tracen poly1. • Seleccionar Creación de Nueva Herramienta en el Menú Herramientas. • Especificar en Objetos de Salida al cuadrado con un clic para seleccionarlo, o elegirlo en el menú que se descuelga a partir de la flechita derecha del campo de entrada correspondiente. • Además del clic sobre el cuadrado o de su selección del menú decolgable, también deben especificarse sus lados como Objetos de Salida. • Especificar los Objetos de Entrada: GeoGebra automáticamente especifica los Objetos de Entrada (en este caso, los puntos A y B). También puede modificarse la selección de los objetos de entrada usando el menú desplegado o eligiéndolos con un clic que los señale en la construcción. • Anotar el Nombre de la Herramienta’ y el Nombre del Comando para esta nueva herramienta. Atención: El Nombre de la Herramienta aparecerá en la Barra de Herramientas de GeoGebra y el del comando podrá emplearse en la Barra de Entrada como uno más de los “propios” de GeoGebra. • Además, se puede anotar el texto que orienta y se expone en la Ayuda de la Barra de Herramientas. • También puede elegirse una imagen para que represente el ícono de la Barra de Herramientas. GeoGebra se ocupa de escalarla para que se ajuste como ícono del correspondiente nuevo botón de la Barra. Guardando la Herramienta Definida Se pueden guardar las herramientas creadas para poder reutilizarlas en otras construcciones de GeoGebra. En el menú Herramientas, al seleccionar Gestión de Herramientas se pueden elegir las que se quiere que aparezcan, de una lista. Basta un clic sobre el botón Guarda como… para guardar la herramienta en el equipo. Atención: Las herramientas definidas se guardan como archivos con extensión ‘.ggt’ para distinguirlos de los usuales de GeoGebra (‘.ggb’). 91 Acceso a la Herramienta Definida Al abrir una nueva interfaz de GeoGebra usando el ítem Nuevo del menú Archivo, después de haber creado una herramienta, será parte aún de la Barra de Herramientas de GeoGebra. Sin embargo, si se abre una nueva ventana de GeoGebra (ítem Nueva Ventana del menú Archivo), o se abre GeoGebra otro día, la herramienta creada no será parte ya de la Barra de Herramientas. Hay diferentes modos de asegurarse que herramientas creadas queden incluidas en la barra de herramientas de una nueva ventana de GeoGebra: • Después de definir una nueva herramienta se puede guardar la configuración usando el ítem Guardar Configuración del menú Opciones. A partir de entonces, la herramienta creada será parte de la Barra de las de GeoGebra. Atención: Se puede quitar una herramienta de la barra después de abrir el ítem Guardar Configuración del menú Herramientas. Basta con seleccionarla de la Lista de Herramientas del lado izquierdo de la ventana de diálogo emergente y hacer clic en el botón Borra >. No debe olvidarse que hay que guardar la configuración después de borrar la herramienta. • Después de guardar la herramienta creada (como archivo .ggt), es posible importarla a una nueva ventana de GeoGebra en cualquier momento. Simplemente seleccionando Abre del menú Archivo y eligiendo el que corresponda a la herramienta. Atención: Abrir un archive GeoGebra de herramientas (GGT) no afecta la construcción en marcha. Sólo hace que tal herramienta pase a formar parte de la Barra de GeoGebra. 5.4 Colores Dinámicos En GeoGebra, se puede cambiar el color de los objetos desde la pestaña Color de la Caja de Diálogo de Propiedades. Sin embargo, también se puede establecer que el color de un objeto cambie dinámicamente: Al abrir la Caja de Diálogo de Propiedades de cierto objeto cuyo color se quisiera cambiar y dar clic sobre la pestaña Avanzado, se encontrará una sección llamada Colores Dinámicos con casilleros para los componentes del color Rojo, Verde y Azu’. Atención: En cada uno de estos casilleros, puede ingresarse una función con un rango [0, 1]. Ejemplo: • Crear tres deslizadores a, b, y c con un intervalo de 0 a 1. • Crear un polígono cuyo color estaría influenciado por los valores del deslizador. • Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades para el polígono polig1 y anotar los nombres de estos tres deslizadores en los casilleros de componentes del color. • Cerrar la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar los valores de los deslizadores para descubrir cómo cada componente de color influye sobre el color resultante del polígono. Atención: También se puede animar los deslizadores con diferentes velocidades para ver cómo el color del polígono cambia automáticamente. 92 5.5 Interfaz de JavaScript Atención: La interfaz JavaScript de GeoGebra es de particular interés para quienes tienen cierta experiencia en la edición en HTML. Para desarrollar una Hoja Dinámica y aumentar su interactividad, los applets de GeoGebra ofrecen una interfaz JavaScript. Por ejemplo, se puede crear un botón para generar aleatoriamente nuevas configuraciones de una construcción dinámica. Se pueden consultar los documentos Applets de GeoGebra Applets y JavaScript (http://www.geogebra.org en Ayuda) para explorar los ejemplos y encontrar información con relación al uso de uso de JavaScript con applets de GeoGebra. 5.6 Teclas de Atajo Tecla A [simple] Ctrl (MacOS: Cmd) Selecciona Todo Ctrl‐Shift (MacOS: Cmd‐Shift) Expone / Oculta Vista Algebraica Copia (Vista de Hoja de Cálculo solamente) Exporta Vista Gráfica al Portapapeles delta δ D E F G H I J K L Caja de Diálogo de Propiedades Actualiza vistas ℯ Euler Selecciona capa activa λ lambda Nueva Ventana O Abre Q φ phi γ gamma μ mu M N P α alpha β beta B C Alt (MacOS: Ctrl) Previsualiza Impresión Selecciona Descendientes Símbolo grados ° Exporta Vista Gráfica como Imagen (png, eps)…’ de pi π Selecciona Ascendientes R S Guarda T U V W Pega (Hoja de Cálculos) Cierra (sólo MacOS) Expone / Oculta Vista de Hoja de Cálculo Exporta como PSTricks sigma σ Exporta ‘Hoja Dinámica como Página Web (html)’ omega ω θ theta 93 Tecla [simple] X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ‐ + = < , (coma) > . (dos puntos) * F1 F2 F3 F4 F5 F9 Enter Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl‐Shift (MacOS: Cmd‐Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Rehace Deshace Exponente 0 Exponente 1 Exponente 2 Exponente 3 Exponente 4 Exponente 5 Exponente 6 Exponente 7 Exponente 8 Exponente 9 Disminuye número / ángulo Aumenta número / ángulo seleccionados Aumenta número / ángulo seleccionados Zoom de Alejamiento Zoom de Acercamiento Zoom de Acercamiento menos o más más o menos ± Desigual ≠ menor o igual ≤ menor o igual ≤ mayor o igual ≥ mayor o igual ≥ Ayuda Inicia edición de objeto seleccionado (Vista Algebraica) Anotar definición del objeto seleccionado (Barra de Entrada) Anotar valor del objeto seleccionado (Barra de Entrada) Anotar nombre del objeto seleccionado (Barra de Entrada) Actualizar números aleatorios Alterna foco entre Vista Gráfica y Barra de Entrada Clic izquierdo 94 Tecla Ctrl (MacOS: Cmd) [simple] Ctrl‐Shift (MacOS: Cmd‐Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Clic: Abre Menú Contextual (sobre objeto) Clic derecho (MacOS: Ctrl‐clic) en Vista Gráfica Caja de Diálogo de Propiedades de Vista Gráfica (sobre fondo) Clic y arraastre: Modo de Arrastre Rápido (sobre objeto) Zoom rectangular (sobre fondo) Zoom + / ‐ Borra Backspace Borra selección activa Borra selección activa Aumenta número / ángulo seleccionado Sube el seleccionado Flecha Ascendente ↑ Zoom de Acercamiento y Alejamiento Acelerados Zoom + / ‐ (Applet) Rueda mouse o ratón punto Pasa a entrada previa en historia de la Barra de Entrada x10 multiplicador de velocidad x0.1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad x10 multiplicador de velocidad x0.1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad x10 multiplicador de velocidad x0.1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad Asciende en Protocolo de Construction Aumenta número / ángulo seleccionado Flecha Derecha → Lleva a la derecha el punto seleccionado Asciende en el Protocolo Constructionn Disminuye número/ángulo seleccionado Flecha Izquierda ← de Lleva a la izquierda el punto seleccionado Descender en el Protocolo Construction de 95 Tecla [simple] Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl‐Shift (MacOS: Cmd‐Shift) Alt (MacOS: Ctrl) x10 multiplicador de velocidad x0.1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad Disminuye número/ángulo seleccionado Flecha Descendente ↓ Home/PgUp End/PgDn Desciende el punto seleccionado Pasar a la entrada más reciente en la historia de la Barra de Entrada Descender en el Protocolo de Construction Ir al primer ítem en el Protocolo de Construction Ir al último ítem en el Protocolo de Construction Comandos de Teclado Adicionales: • Alt‐Shift (MacOS: Ctrl‐Shift): Letras Griegas Mayúsculas • Vista de Hoja de Cálculo: Ctrl‐Alt‐C copia valores (no las fórmulas) Atención: El símbolo de grados ° (Alt‐O, MacOS: Ctrl‐O) y el símbolo π para pi (Alt‐P, MacOS: Ctrl‐P) también pueden usarse en la ventana de diálogo de los deslizadores en el establecimiento de intervalos (mínimo, máximo) y del incremento. 5.7 Rótulos y Subtítulo Expone y Oculta Rótulos Se puede mostrar u ocultar los rótulos de los objetos en la Vista Gráfica de diferentes maneras: • Seleccionar la herramienta Expone / Oculta Rótulo y con un clic sobre el objeto cuyo rótulo se desea afectar, establecer su visibilidad.. • Abrir el Menú Contextual para el objeto en cuestión y seleccionar ‘Expone Rótulo’. • Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto deseado y tildar o destildar la casilla Expone Rótulo de la pestaña Básico. Nombre y Valor En GeoGebra, cada objeto tiene un único nombre que puede usarse para rotularlo en la Vista Gráfica. Además, un objeto también puede distinguirse por su valor o, simultáneamente, por su nombre y valor. Se puede cambiar la exposición de este rótulo fijando en la Caja de Diálogo de Propiedades en la pestaña Básico, dentro de la selección 96 correspondiente a la opción, Nombre, Valor, o Nombre & Valor en el menú desplegable cercano a la casilla Expone Rótulo. Atención: el valor de un punto son sus coordenadas, mientras que el de una función es su ecuación. Subtítulo Sin embargo, algunas veces se le da a varios objetos el mismo rótulo, por ejemplo, para rotular los cuatro lados de un cuadrado, a. en este caso, GeoGebra ofrece subtítulos para todos los objetos además de las tres opciones ya mencionadas. Se puede establecer el subtítulo de un objeto en la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades anotando el deseado en el campo de texto Subtítulo. Posteriormente, se puede seleccionar la alternativa Subtítulo en el menú descolgable desde la flechita a la derecha del campo de entrada de la misma casilla Muestra Rótulo. 5.8 Capas Atención: En GeoGebra, se usan capas para determinar cuál de los objetos se selecciona o arrastra cuando un clic involucra a varios simultáneamente. Por omisión, los objetos se colocan en la capa 0, que es básicamente la del ‘fondo’ de la Vista Gráfica. Hay un total de 10 capas disponibles (numeradas del 0 al 9) y las de mayor numeración se superponen a las de valor más bajo. Usando la pestaña Avanzado de la Caja de Diálogo de Propiedades, se puede cambiar la capa de cierto objeto (capas disponibles de la 0 a la 9). Una vez modificado el número de capa para al menos un objeto (con un valor diferente de 0 que es el del fondo), todos los nuevos objetos quedarán en la capa de valor más alto (por ejemplo, capa 3), ocupada por algún objeto. Atención: Después de seleccionar cualquier objeto, se puede elegir todos los demás en la misma capa con el ítem Selecciona la Capa Activa (teclas de atajo: Ctrl‐L) del menú Edita. Este ítem solo está disponible si todos los objetos seleccionados son de la misma capa. Algo más sobre el uso de capas: • Para exportar objetos SVG se los agrupa por capa. • Las capas pueden controlarse usando la interfaz JavaScript para applets de GeoGebra. 5.9 Redefine La herramienta que permite la redefinición de objetos es sumamente versátil para una modificación retrospectiva de lo construido. Es de hacer notar que también es posible cambiar el orden de las etapas o pasos de construcción en el Protocolo de Construcción. 97 Resulta muy útil introducir cambios tras la construcción de cualquier objeto. Esto puede realizarse de diversos modos. ƒ Con la herramienta Elige y Mueve y un doble clic sobre cualquier objeto de… o la Vista Algebraica, se abre: ⇒ un campo de edición que permite modificar directamente la representación algebraica de un objeto libre, cambio que se aplica al pulsar la tecla Enter. ⇒ la caja de diálogo de Redefine para obrar en tal sentido sobre un objeto dependiente. o la Vista Gráfica se abre la caja de diálogo de Redefine para obrar en tal sentido. ƒ Cambiar cualquier objeto anotando su nombre y la nueva definición en la Barra de Entrada. ƒ Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar la definición de un objeto en la pestaña Básico. Atención: Los objetos fijos no pueden ser redefinidos. Para redefinir un objeto fijo, se precisa liberarlo usando la Caja de Diálogo de Propiedades Ejemplos: • Para ubicar un punto libre A sobre una recta h, un doble clic sobre el punto A que abre la ventana de diálogo de Redefine. Entonces, se puede anotar el comando Punto[h] en el campo de texto emergente y pulsar la tecla Enter. Para eliminar el punto A de esta recta de modo que vuelva a ser libre, es preciso redefinirlo ubicándolo en cualquier posición de coordenadas, anotando, por ejemplo, (1, 2). • Otro ejemplo es la conversión de una recta h que pasa por dos puntos A y B en un segmento. Basta abrir la caja de diálogo de Redefine para h y anotar el comando Segmento[A, B] en el campo de texto emergente. 5.10 Rastro y Lugar Geométrico Puede hacerse que los objetos geométricos dejen un trazo como huella a medida que se los desplazan por la Vista Gráfica. Se apela al Menú Contextual para activar o desactivarlo con Activa Rastro. Cuando se modifica la construcción o se desplaza directamente, el objeto con rastro activado, aparece su recorrido “trazado”. Atención: Se puede desactivar el rastro de un objeto, destildando Activa Rastro en el Menú Contextual. Con Actualiza Vistas del menú Vista, se elimina todo trazo. También se puede crear automáticamente el lugar geométrico de un punto después de emplear la herramienta Lugar Geométrico con el mouse o ratón, o anotando tal comando en el campo de entrada. Atención: El punto cuyo lugar geométrico se desea crear depende del movimiento de otros puntos, cuyo desplazamiento está restringido a recorridos a lo largo de un objeto (sea una recta, segmento, circunferencia). Ejemplo: • Crear un segmento a entre los puntos A = (‐1, ‐1) y B = (1, ‐1). 98 • Ubicar un punto C en el segmento, restringido a desplazarse a lo largo del segmento a. • Crear un punto P que depende del punto C (por ejemplo, P = (x(C), x(C)^2)). • Usar o la herramienta o el comando Lugar Geométrico para crear el lugar geométrico del punto P que depende de C: o Herramienta Lugar Geométrico : Clic sobre el punto P en primer lugar y luego en el punto C. o Comando Lugar Geométrico: Anotar LugarGeométrico [P, C] en la Barra de Entrada y luego pulsar la tecla Enter. Atención: El lugar geométrico creado en este ejemplo es el gráfico de una parábola en el intervalo [‐1, 1]. 99 Índice Alfabético A Abre Menú, 82 Acceso a Herramienta Definida, 95 Acerca de GeoGebra / Licencia, Menú de Ayuda, 92 Actualiza Vistas Menú Vista, 87 Ajes Entrada Directa, 45 Ajuste Lineal, Herramienta, 30 AjusteLineal ,AjusteLineal X, comando, 77 Cmando, 77 Ajustes AumentarTamaño de Letra, 21 Estilo del Angulo, 21 Estilo de Punto, 21 Guardar, 21 Restablecer Configuración Original, 21 Rotulado, 21 Tamaño de Casilla de Control, 21 Tipo de Coordenadas, 21 Unidad Angular, 21 Aleatoriedad Comandos, 56 Aleatorio AleatorioBinomial, comando, 56 AleatorioNormal, comando, 56 AleatorioPoisson, comando, 56 Entrada Directa, 47 Aletoriedad AleatorioEntre, comando, 56 Anexa Comando, 71 Angulo Valor Limitado, 44 Admite Ángulos Cóncavos, 34 Bisectriz, comando, 61 Comando, 57 Cóncavo, 44 Herramienta, 34 Limitar Medida, 34 Comando, 57 Angulo cóncavo, 44 ángulo dada su amplitud,herramienta, 34 Angulos, 43 Angulos en polígono, 58 Entrada Directa, 43 Animación, 92 Animación Automática, 92 Animación Automática, Menú Contextual, 18 Botón de Animación, 92 Decremento, 93 Incremento, 93 Incremento, 93 Manual, 93 Oscilante, 93 Pausa, 92 Teclas Más / Menos, 93 Velocidad, 92 Animación Automática, 92 Animación Manual, 93 Animación, Ciclo de Animación Repite, 93 Animación, Teclas flecha, 93 Animación’, Ciclo, 93 Antihiperbólico Antihiperbólico coseno, Entrada Directa, 47 Seno Antihiperbólico, Entrada Directa, 47 Arco Arco coseno, Entrada Directa, 47 Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos, Herramienta, 33 Arco seno, Entrada Directa, 47 Arco tangente, Entrada Directa, 47 Comando, 67 Arco de Circunferencia Arco dados Tres de sus Puntos, Herramienta, 33 ArcoCircuncircular, comando, 67 ArcoCircunferencia Comando, 67 Area Area entre dos funciones, 55 Comando, 53 Integral Definida, 53, 54 área herramienta, 34 Asíntota, comando, 61 Atracción de Punto a Cuadrícula, Menú Opciones, 88 Ayuda Barra de Entrada, 15, 42 Menú, 91 Sintaxis de Comando, 15 Ayuda de la Barra de Herramientas, 14 Ayuda del Comando, 15 Ayuda en la Barra de Entrada, 15 Ayuda en Sintaxis del Comando, 15 Ayuda, Barra de Entrada, 15 Ayuda, Barra de Herramientas, 14 Ayuda, Sintaxis del Comando, 15 B Barra de Entrada, 41 Ayuda, 15, 42 Entrada Directa, 43 Expone entrada, 42 Historia, 42 Menú Vista, 87 Barra de Entrada, Menú, 87 Barra de Herramientas, 13 Personalizar, 90 Restablecer original, 17 Barra de Herramientas, Personalizar, 17 Barra de Navegación, 19 Menú Vista, 87 100 Barras, comando, 76 Bisectriz Bisectriz, Herramienta, 30 Bisectriz, comando, 61 Booleana Expone/Oculta objeto, 48 Variables, 48 Booleanas Operaciones, 48 Booleano, 35 Variable Booleana,Herramienta, 35 Borra Borra Objeto, Herramienta, 26 Comando, 52 Menú Contextual, 18 Menú Edita, 85 C Caja de Diálogo Propiedades para objetos, 17 Caja de Diálogo de Propiedades, 17 Pestañas, 18 Caja de Diálogo de Propiedades de Vista Gráfica, 17 Caja de Diálogo de Propiedades, Menú Edita, 86 Caja de Diçalogo de Propiedades Imagen, 39 Caja de Herramientas, 14 Abrir, 25 Cambio de Opciones, 21 Capas, 101 Casilla de Control Tamaño, Menú Opciones, 88 Casilla de Control para Exponer/Ocultar Objetos, Herramienta, 35 Celda Entrada, 15 Centro, Comando, 58 Centroide, comando, 58 Cierra, Menú Archivo, 84 Cifras Significativas, Menú Opciones, 88 Círculo Círculo Osculador, comando, 64 CírculoOsculador, comando, 66 Circunferencia Circunferencia dados su Centro y Radio, Herramienta, 32 Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos, Herramienta, 32 Circunferencia dados Tres de sus Puntos, Herramienta, 32 Comando, 63 Cociente Entero, comando, 54 CódigoDeLetra, comando, 68 CódigoDeTexto, comando, 70 Coeficiente de correlación momento‐producto de Pearson, comando, 77 Coeficiente de Correlación, comando, 77 Color Caja de Diálogo de Propiedades, 18 Dinámico, 96 Color, Propiedades, 18 Colores Dinámicos, 96 Columna Comando, 81 NombreColumna, comando, 81 Comandi Mín, 56 Comando AjusteExp, 78 AjusteLineal, 77 AjusteLinealX, 77 AjusteLog, 78 AjusteLogístico, 78 AjustePolinómico, 78 AjustePotencia, 78 AjusteSen, 78 AleatorioBinomial, 56 AleatorioNormal, 56 AleatorioPoisson, 56 AleratorioEntre, 56 Anexa, 71 Arco, 67 ArcoCircuncircular, 67 ArcoCircunferencia, 67 Area, 53 Asíntota, 61 Barras, 76 Bisectriz, 61 Borra, 52 Centro, 58 Centroide, 58 CírculoOsculador, 64, 66 Circunferencia, 63 Cociente Entero, 54 CódigoDeLetra, 68 CódigoDeTexto, 70 Coeficiente de Correlación, 77 Columna, 81 Cónica, 63 ConservaSi, 72 Covarianza, 77 Curva, 66 Curvatura, 54, 66 DE (desviación estándar), 79 Definido, 53 Derivada, 65, 66 Desarrolla, 65 Determinante, 81 DiagramaCaja, 77 Diámetro, 62 DiámetroConjugado, 62 Dirección, 60 Directriz, 62 Distancia, 54 Div (División), 54 EjePrincipal, 62 Ejes, 62 EjeSecundario, 62 Elemento, 71 EliminaIndefinidos, 73 Elipse, 64 Encadena, 72 EsEntero, 53 Esquina, 58 Extrae, 74 Extremo, 58 101 Factoriza, 65 Fila, 81 Foco, 58 Función, 65 Función Módulo, 56 Hipérbola, 64 Histograma, 78 Homotecia, 74 Integral, 54, 65 Intercala, 71 Interseca, 59 Intersección, 72 Iteración, 55 LaTeX, 68 LetraDeCódigo, 70 ListaInversa, 73 ListaIteración, 72 Lo, 55 Longitud, 66, 73 LongitudSemiejePrincipal, 57 LongitudSemiejeSecundario, 57 MatrizInversa, 81 Máx, 56, 73 Máximo, 56, 73 Máximo Común Divisor, 54 MCD, 54 MCM, 55 Media, 79 Mediana, 79 Mediatriz, 63 MediaX, 79 MediaY, 79 Menor común Múltiplo, 55 Menor Común Múltiplo, 55 Mín, 73 Mínimo, 56 Mínimo, 73 Mod, 56 Modo, 79 Nombre, 69 NombreColumna, 81 Normal, 79 NúmeroCombinatorio, 53 Objeto, 69 Ordena, 74 Parábola, 64 Parámetro, 56 PasoConstrucción, 52 PasoEje, 53 Pendiente, 57 Perímetro, 56 PerímetroCónica, 54 Perpendicular, 62 Polar, 63 Polígono, 61 Polinomio, 65 PolinomioTaylor, 66 Primero, 71 Producto, 73 Punto, 59 PuntoInflexión, 58 PuntoMedio, 59 Q1 (1. Cuatril), 79 Q3 (3. Cuatril), 79 Radio, 56 Raíz, 59 RangoCelda, 81 RazónDoble, 54 RazónSimple, 53 Recta, 62 Refleja, 75 Relación, 52 Resto, 56 Rota, 75 Sector, 68 SectorCircular, 67 SectorCircumcircular, 67 Secuencia, 73 Segmento, 61 Semicircunferencia, 68 SemiFocal, 55 Semirrecta, 61 Si(Comando Booleano), 53 SigmaXX, 79 SigmaXY, 79 SigmaYY, 79 Simplifica, 66 Suma, 74 SumaInferior, 56 SumaSuperior, 57 SumaTrapezoidal, 57 Sxx, 80 Sxy, 80 Syy, 80 TablaTexto, 69 Tangente, 63, 66 Texto, 69 TextoDeCódigo, 70 TextoFracción, 68 Traslada, 76 Traspose, 81 Ultimo, 72 Unión, 74 Varianza, 80 Vector, 60 VectorCurvatura, 66 VectorCurvatura, 60 VectorPerpendicular, 60 VectorUnitario, 60 VectorUnitarioPerpendicular, 60 Vértice, 60 Interseca, 59 Perpendicular, 62 Comandos, 15, 52 Aceptar sugerencias, 52 Arcos, 67 Automáticamente Completados, 52 Ayuda para comandos, 15 Cambiar sugerencias, 52 Comando de ángulo, 57 Comandos Booleanos, 53 Comandos de Hoja de Cálculo, 81 Comandos de Matrices, 81 Comandos de Números, 53 Comandos Generales, 52 Curva, 66 Curvas Paramétricas, 66 Estadísticas, Comandos, 76 102 Funciones, 64 Listas, 71 Lugares Geométricos, 70 Puntos, 58 Secciones Cónicas, 63 Sectores, 67 Secuencias, 71 Segmento, 61 Semirrectas, 61 Sintaxis de Comando, Ayuda, 15 Transformaciones, 74 Transformaciones Geométricas, 74 Vectores, 60 Comandos Aleatorios:, 56 Comandos de Ajuste AjusteExp, comando, 78 AjusteLog, comando, 78 AjusteLogístico, comando, 78 AjustePolinómico, comando, 78 AjustePotencia, comando, 78 AjusteSen, comando, 78 Comandos, Polígonos, 61 Comandso Lista de Comandos, Menú Vista, 87 Compás, Herramienta, 32 Cónica Cónica dados Cinco de sus Puntos, Herramienta, 32 Cónica, Sección, 45 ConservaSi, comando, 72 Continuidad, Menú Opciones, 88 Convierte Grados a radianes, 43 Radianes a grados, 43 coordenada x, Entrada Directa, 47 Coordenadas coordenada x, 47 Coordenadas, 44 Coordenadas cartesianas, 44 Coordenadas Polares, 44 Tipo de Coordenadas, Ajustes, 21 Coordenadas coordenada y, 47 Coordenadas cartesianas, 44 Coordenadas Polares, 44 Coordenada‐y, Entrada Directa, 47 Copia Copia en Campo de Entrada, Menú Contextual, 19 Copia Estilo Visual, Herramienta, 26 Coseno, Entrada Directa, 47 Covarianza, comando, 77 CPearson, comando, 77 Creación de Nueva Herramienta Menú Herramientas, 90 Cuadrícula Color, 17 Distancia entre trazos, 17 estilo, 17 Isométrica, 17 Menú Vista, 86 Cuadrícula de Coordenadas Menú Vista, 86 Cuadrícula de Coordenadas, Muestra / Oculta, 16 Cuadrícula de Coordenadas, Personalizar, 17 Cuadrícula, Muestra / Oculta, 16 Cuadrícula, Personalizar, 17 Cuatril Q1, comando, 79 Cuatril Q3, comando, 79 CuentaSi, comando, 71 CuentaSi, comando, 71 Curva Comando, 66 Curvas Paramétricas, Comandos, 66 Curvatura Comando, 54, 66 VectorCurvatura, comando, 66 D DE, comando, 79 Definición de Herramientas, 90, 94 Creación, 94 Definición, inserta en Barra de Entrada, 42 Definido Comando, 53 Derivada, comando, 65 Derivada, Comando, 66 Desarrolla Comando, 65 Polinomio, 65 Deshace, Menú Edita, 84 Deslizador, 44 Herramienta, 35 Desplaza Área Gráfica, Herramienta, 26 Desplazar Objetos en la Vista Gráfica, 14 Desviación Estándar, comando, 79 Determinante, comando, 81 DiagramaCaja, comando, 77 Diametral, Herramienta, 31 Diámetro Comando, 62 DiámetroConjugado Comando, 62 Dibujo Distorsiona, 40 Escala, 40 Format EMF, 84 Format SVG, 84 Formato EPS, 83 Formato PDF, 84 Formato PNG, 83 Formato PSTricks, 84 PGF/TikZ, 84 Rota, 40 Dirección, Comando, 60 Directriz, comando, 62 Distancia Comando, 54 Distancia o Longitud, Herramienta, 35 Distancia, Herramienta, 35 Div, comando, 54 División Horizontal, Menú Vista, 87 División, Entrada Directa, 46 E Edita objeto, 42 Edita, Menú, 84 Eje de Coordenadas 103 Menú Vista, 86 Eje Mayor, comando, 62 Eje Menor, comando, 62 Eje Principal Comando, 62 Eje Secundario Comando, 62 EjePrincipal Longitud EjePrincipal, comando, 57 Ejes Comando, 62 Ejex y Ejey, 45 Escala, 17, 27 Estilo de Trazo, 17 Expone/ Oculta Individualmente, 17 Graduaciones, 17 Menú Vista, 86 Relación, 17 Unidades, 17 Ejes coordenados, Muestra / Oculta, 16 Ejes de Coordenadas, Personalizar, 17 Ejes, Muestra / Oculta, 16 Ejes, Personalizar, 17 EjeSecundario LongitudSemiejeSecundario, comando, 57 Ejex, 45 Ejey, 45 Elemento, comando, 71 Elige y Mueve, Herramienta, 26 Elimina Rastro, 87 EliminaIndefinidos, comando, 73 Elipse Comando, 64 Elipse, Herramienta, 32 Encadena, comando, 72 Entrada Algebraica, Barra de Entrada, 41 Entrada Directa Angulos, 43 Secciones Cónicas, 45 Entrada Directa Puntos, 44 Entrada Directa Vectores, 44 Entrada Directa Rectas, 45 Entrada Directa Ejes, 45 Entrada Directa Funciones, 46 EsEntero, Comando, 53 Esquina, comando, 58 Estilo del Angulo Recto Ajustes, 21 Estilo de Angulo Recto Menú Opciones, 89 Estilo de Coordenadas, Menú Opciones, 89 Estilo de Punto Ajustes, 21 Estilo de Punto, Menú Opciones, 88 Estilo de Trazo, Propiedades, 18 Estilo Visual, Copia, 26 Euler constante, 43 Expone / Oculta Objeto, 16 Expone / Oculta Objeto, Herramienta, 27 Expone / Oculta Rótulo, Herramienta, 27 Exponenciación, Entrada Directa, 46 Exporat Hoja Dinámica Archivos creados, 24 Expone Barra de Herramientas, 24 Exporta Hoja Dinámica Pestaña General, 23 Hoja Dinámica, 23 Hoja Dinámica Pestaña Avanzada, 24 Hoja Dinámica Expone ícono de reinicio, 24 Hoja Dinámica Alto/ Ancho, 24 Hoja Dinámica archivo HTML, 24 Hoja Dinámica archivo GGB, 24 Hoja Dinámica archivos JAR, 24 Hoja Dinámica como Página‐Web, Menú Archivo, 83 Hoja Interactiva, 23 Menú Archivo, 83 Página Web Interactiva, 23 Vista Gráfica a escala, 23 al Portapapeles, Menú Archivo, 84 al Portapapeles,Menú Edita, 86 como Imagen, Menú Archivo, 83 como PSTricks, Menú Archivo, 84 Vista Gráfica como PGF/TikZ, Menú Archivo, 84 Exporta Imagen, Menú Archivo, 83 Exporta, Protocolo de Construcción como Página‐Web, 20 Exporta, Vista Gráfica como Imagen, 22 Exporta, Vista Gráfica a Portapapeles, 23 Extrae, comando, 74 Extremo, comando, 58 F Factorial, Entrada Directa, 46 Factoriza, Comando, 65 Fila, comando, 81 Foco, comando, 58 Fondo Imagen, 40 Format EMF, 84 Formato EPS, 83 formato PDF, 84 Formato PNG, 83 Formato SVG, 84 Formato, Copia Estilo Visual, 26 Fórmula, 38 Fórmula LaTeX, 38 Texto, 38 Foro GeoGebra, Menú de Ayuda, 91 Función Nombre, 41 Función Exponencial, Entrada Directa, 47 104 Función Gamma, Entrada Directa, 47 Función Módulo, comando, 56 Función trigonométrica Coseno Antihiperbólico, 47 Seno Antihiperbólico, 47 Tangente antihiperbólica, 47 Función, comando, 65 Funciones Entrada Directa, 46 Función Exponencial, 47 Funciones Predefinidas, 46 Limitadas a intervalo, 46 Funciones Condicionales, 64 Funciones Predefinidas, 46 funciones trigonométricas, 46 Funciones Trigonométricas Arco coseno, 47 Arco seno, 47 Arco tangente, 47 Coseno, 47 Coseno Hiperbólico, 47 Seno, 47 Seno Hiperbólico, 47 Tangente, 47 Tangente Hiperbólica, 47 G GeogebraWiki, Menú de Ayuda, 92 Gestión de Herramientas, Menú Herramientas, 90 Grado Convierte a radianes, 43 Símbolo, 43 Grados Símbolo, 35 Guarda Menú, 82 Guarda Como Menú, 82 Guardar Ajustes, 21 Guardar Configuración, Menú Opciones, 89 H Herramienta Registrar en Hoja de Cálculo, 27 Rota en torno a un Punto, 27 Herramienta Desplaza Área Gráfica, 26 Borra Objeto, 26 Elige y Mueve, 26 Herramienta Relación, 27 Herramienta Expone / Oculta Rótulo, 27 Herramienta Expone / Oculta Objeto, 27 Herramienta Zoom de Acercamiento, 28 Herramienta Zoom de Alejamiento, 28 Herramienta Intersección de Dos Objetos, 28 Herramienta Punto Medio o Centro, 28 Herramienta Nuevo Punto, 28 Herramienta Vector entre Dos Puntos, 29 Herramienta Vector desde un Punto, 29 Herramienta Segmento entre Dos Puntos, 29 Herramienta Segmento dados Punto Extremo y Longitud, 29 Herramienta Semirrecta, 30 Herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos, 30 Herramienta Polígono, 30 Herramienta Polígono Regular, 30 Herramienta Bisectriz, 30 Herramienta AjusteLineal, 30 Herramienta Recta que pasa por Dos Puntos, 31 Herramienta Paralela, 31 Herramienta Mediatriz, 31 Herramienta Recta Perpendicular, 31 Herramienta Tangentes, 31 Herramienta Circunferencia dados su Centro y Radio, 32 Herramienta Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos, 32 Herramienta Circunferencia dados Tres de sus Puntos, 32 Herramienta Compás, 32 Herramienta Cónica dados Cinco de sus Puntos, 32 Herramienta Elipse, 32 Herramienta Hipérbola, 33 Herramienta Parábola, 33 Herramienta Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos, 33 Herramienta Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos, 33 Herramienta Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos, 33 Herramienta Sector Circumcircular dados Tres Puntos, 34 Herramienta Semicircunferencia, 34 Herramienta ángulo dada su amplitud, 34 105 Herramienta Area, 34 Herramienta Distancia o Longitud, 35 Herramienta Deslizador, 35 Pendiente, 35 Herramienta Pendiente, 35 Herramienta Casilla de Control para Exponer/Ocultar Objetos, 35 Herramienta Lugar Geométrico, 36 Herramienta Lugar Geométrico, 36 Herramienta Locus, 36 Herramienta Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala, 36 Herramienta Refleja Objeto en Recta,, 36 Herramienta Refleja Objeto por Punto, 37 Herramienta Refleja Punto en Circunferencia, 37 Herramienta Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado, 37 Herramienta Traslada Objeto por un Vector, 37 Herramienta Inserta Texto, 37 Herramienta Inserta Imagen, 39 Herramienta Definida Acceso, 95 Herramienta Definida Guardarla, 95 Herramientas Números, 34 Polígonos, 30 Secciones Cónicas, 32 Herramientas, 25 Activar, 25 Herramientas de Puntos, 28 Herramientas de Segmentos, 29 Herramientas de Vectores, 29 Herramientas Recta, 30 Herramientas Arcos, 33 Herramientas Sectores, 33 Herramientas Ángulos, 34 Herramientas Angulo, 34 Herramientas Variable Booleana, Herramienta, 35 Herramientas Transformaciones Geométricas, 36 Herramientas Inserta Texto, 37 Herramientas Inserta Texto, Herramienta, 37 Herramientas Inserta Imagen, 39 Herramientas Gestión de Herramientas, 90 Herramientas Definidas por Usuario, 94 Herramientas de Construcción, 13, 25 Activar, 25 Herramientas Propias Definidas para Diversos Usos, 90 Herramientas, Herramientas Generales, 26 Hipérbola Comando, 64 Hipérbola, Herramienta, 33 Hiperbólica Tangente Hiperbólica, Entrada Directa, 47 Hiperbólico Coseno Hiperbólico, Entrada Directa, 47 Seno Hiperbólico, Entrada Directa, 47 Histograma, comando, 78 Hoja Dinámica Editar applet, 24 Editar texto, 24 Exporta, 23 Exporta, Menú Archivo, 83 Java, 24 Hoja Interactiva Exporta, 23 Homotecia Comando, 74 Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala, Herramienta, 36 I Idioma, Menú Opciones, 89 Imagen Caja de Diçalogo de Propiedades, 39 Distorsiona, 40 Escala, 40 Especificar vértices, 39 Esquina, 58 Imagen de Fondo, 40 Inserta Imagen, herramienta, 39 Rota, 40 Transparencia, 40 Imprime, 22 Protocolo de Construcción, 22 Imprime, Vista Gráfica, 22 Incremento, Animación Manual, 93 Indices, 41, 52 Inserta Definición en la Barra de Entrada, 42 Inserta Imagen, herramienta, 39 Inserta Texto, Herramienta, 37 Nombre en la Barra de Entrada, 42 Valor en la Barra de Entrada, 42 Inserta Imagen, herramienta, 39 Inserta Texto, Herramienta, 37 integral indefinida, 65 Integral Comando, 54, 65 106 definida, 54 Integral definida, 54 Integral Definida Area, 54 Area entre dos Funciones, 55 Intercala Comando, 71 Interfaz de JavaScript, 96 Interfaz de Uso Personalizar, 16 Interfaz, personalizar, 16 Interseca Admitir Intersecciones en Prolongaciones, 28 Intersección Intersección de Dos Objetos, Herramienta, 28 Todos los puntos de intersección, 28 Un puntos de intersección, 28 Intersección, comando, 72 Items, Cada Menú, 82 Iteración Comando, 55 L LaTeX, comando, 68 LetraDeCódigo, comando, 70 Letras Griegas, Mayúsculas, 100 Licencia, Menú de Ayuda, 92 Limitada Funciones en intervalo, 46 Limitar Valor del ángulo, 44 Valor del número, 44 Lista Operaciones, 49 Lista de Comandos, 15 Lista de Comandos, Menú, 87 ListaInversa, comando, 73 ListaIteración, comando, 72 Listas Aplicar Operaciones Aritméticas, 49 Comparar, 49 División, 50 Entrada Directa, 49 Funciones de Aplicación de funciones pre‐definidas, 49 Funciones Pre‐definidas, 50 Multiplicación, 50 Resta, 49 Suma, 49 Locus, 36 Herramienta, 36 logaritmo, 47 Logaritmo base 10, Entrada Directa, 47 base 2, Entrada Directa, 47 natural, Entrada Directa, 47 Longitud Comando, 55 Distancia o Longitud, Herramienta, 35 Longitud de Lista, comando, 73 Longitud, Comando, 66 Longitud, Herramienta, 35 LongitudSemiejePrincipal, comando, 57 LongitudSemiejeSecundario, comando, 57 Lugar Geométrico, 36, 102 Herramienta, 36 Lugares Decimales, Menú Opciones, 88 LugarGeométrico Comando, 70 M Más / Menos teclas, Animación, 93 Matrices Aplicación de Operaciones Aritméticas, 50 Comandos, 51 Entrada Directa, 50 Multiplication, 50 Operaciones, 50 Resta, 50 Suma, 50 MatrizInversa, comando, 81 Máx, comando, 56, 73 Máximo Común Divisor, Comando, 54 Máximo de Lista, comando, 73 Máximo, comando, 56 MCD, comando, 54 MCM, comando, 55 Media Comando, 79 MediaX, comando, 79 MediaY, comando, 79 Mediana, comando, 79 Mediatriz Mediatriz, comando, 63 Mediatriz, Herramienta, 31 Mediatriz, comando, 63 Mediatriz, Herramienta, 31 Medida, Caja de Diálogo de Propiedades, 18 Menor Común Múltiplo, comando, 55 Menú Archivo, 82 Edita, 84 Herramientas, 90 Ventana, 91 Vista, 86 Menú Archivo Nueva Ventana, 82 Menú Archivo, 82 Menú Archivo Nuevo, 82 Menú Archivo Abre, 82 Menú Archivo Guarda, 82 Menú Archivo Guarda Como, 82 Menú Archivo Previsualiza Impresión, 83 Menú Archivo Exporta Hoja Dinámica como Página‐Web (html), 83 Menú Archivo Exporta Vista Gráfica como Imagen (png, eps), 83 107 Menú Archivo Exporta Vista Gráfica a Portapapeles, 84 Menú Archivo Exporta Vista Gráfica como PSTricks, 84 Menú Archivo Exporta Vista Gráfica como PGF/TikZ, 84 Menú Archivo Cierra, 84 Menú Ayuda, 91 Menú Contextual, 18 Activa Rastro, 102 Borra, 18 Copia en Campo de Entrada, 19 Rastro Activo, 18 Renombra, 18 Menú de Ayuda Foro GeoGebra, 91 Menú de Ayuda www.geogebra.org, 91 Menú de Ayuda GeoGebraWiki, 92 Menú de Ayuda Acerca de GeoGebra / Licencia, 92 Menú de Ayuda Licencia, 92 Menú de Herramientas Personalizar Barra de Herramientas, 90 Menú Edita Borra, 85 Caja de Diálogo de Propiedades, 86 Deshace, 84 Exporta Vista Gráfica al Portapapeles, 86 Rehace, 85 Selecciona Ascendientes, 85 Selecciona Descendientes, 85 Selecciona la Capa Activa, 85 Selecciona Todo, 85 Menú Herramientas, 90 Creación de Nueva Herramienta, 90 Gestión de Herramientas, 90 Menú Opciones Continuidad, 88 Menú Opciones, 88 Atracción de Punto a Cuadrícula, 88 Cifras Significativas, 88 Lugares Decimales, 88 Redondeo, 88 Unidad Angular, 88 Menú Opciones Estilo de Punto, 88 Menú Opciones Tamaño de Casilla de Control, 88 Menú Opciones Estilo de Angulo Recto, 89 Menú Opciones Estilo de Coordenadas, 89 Menú Opciones Rotulado, 89 Menú Opciones Tamaño de Letra, 89 Menú Opciones Idioma, 89 Menú Opciones Vista Gráfica, 89 Menú Opciones Guardar Configuración, 89 Menú Opciones Restablecer la Configuración Original, 90 Menú Ventana, 91 Nueva Ventana, 91 Menú Vista, 86 Actualiza Vistas, 87 Barra de Entrada, 87 Barra de Navegación, 87 Cuadrícula, 86 Cuadrícula de Coordenadas, 86 División Horizontal, 87 Ejes, 86 Ejes de Coordenadas, 86 Lista de Comandos, 87 Objeto Auxiliar, 87 Protocolo de Construcción, 87 Recálculo de Todos los Objetos, 87 Vista Algebraica, 86 Menú Vsta Vista de Hoja de Cálculos, 86 Mín, comando, 56, 73 Mínimo Común Múltiplo, comando, 55 Mínimo de Lista, comando, 73 Mínimo, comando, 56 Mod, comando, 56 Modo, comando, 79 N Nombrando Objetos, 41 Nombre Comando, 69 de función, 41 de Punto, 41 de recta, 41 de sección cónica, 41 de vector, 41 Inserta en la Barra de Entrada, 42 Punto, 44 Recta, 45 Sección cónica, 45 Vector, 44 Nombre de Celda, 15 Normal, comando, 79 NormalInversa Comando, 78 NormalInversa, comando, 78 Nueva Ventana Menú, 82 Menú Ventana, 91 Nuevo Menú, 82 Nuevo Punto,Herramienta, 28 Número Entrada Directa, 43 Nombre, 43 Valor Limitado, 44 NúmeroCombinatorio, comando, 53 Números, 43 108 Números Aleatorios, Nuevos, 87 Números Complejos Entrada Directa, 51 Multiplicación, 51 Operaciones, 51 Resta, 51 Suma, 51 O Objeto Estilo de Trazo, 18 Objeto Medida, 18 Objeto Auxiliar, 14 Objeto Dependiente, 14 Objeto Libre, 14 Sombreado, 18 Objeto Grosor de Trazo, 18 Objeto Visibilidad, 18 Objeto notación Algebraica, 18 Objeto Renombra, 18 Objeto Borra, 18 Objeto Rastro Activo, 18 Objeto Animación Automática, 18 Objeto Copia en Campo de Entrada, 19 Objeto Selecciona, 25 Objeto Selección de varios objectos, 25 Objeto Renombrar rápidamente, 26 Objeto Nombre, 41 Objeto Edita, 42 Objeto Inserta Nombre en la Bara de Entrada, 42 Objeto Inserta Valor en la Barra de Entrada, 42 Objeto Inserta Definición en la Barra de Entrada, 42 Objeto Comando, 69 Objeto Auxiliar, 14 Objeto Dependiente, 14 Objeto Libre, 14 Objeto, Expone / Oculta, 16 Objetos Cambio de valores, 42 Objetos Auxiliares, 15 Menú Vista, 87 Opciones Menú, 88 Opciones, Cambio, 21 Operaciones Aritméticas, 46 Ordena, comando, 74 P Página Web Interactiva Exporta, 23 Parábola Comando, 64 Parábola, Herramienta, 33 Parámetro, comando, 56 Paréntesis, Entrada Directa, 47 Paso de Construcción Barra de Navegación, 19 Protocolo de Construcción, 19 PasoConstrucción Comando, 52 PasoEje, comando, 53 Pausa animación, 92 Pendiente Comando, 57 Perímetro, comando, 56 PerímetroCónica, comando, 54 Personalizar Barra de Herramientas, 90 Personalizar Barra de Herramientas, 17 Personalizar Interfaz de Uso, 16 Personalizar Vista Gráfica, 16 PGF/TikZ Exporta PGF/TikZ, Menú Archivo, 84 Formato, 84 Pi Constante, 43 Símbolo, 35, 43 Piso, Entrada Directa, 48 Polar Comando, 63 Polígono Comando, 61 Angulos, 58 Herramienta, 30 Polígono Regular Herramienta, 30 Polinomio, comando, 65 PolinomioTaylor, comando, 66 Previsualiza Impresión Actualizar, 22 Menú, 83 Primer Eje Comando, 62 Primero, comando, 71 producto escalar, Entrada Directa, 46 Producto, comando, 73 Producto, Entrada Directa, 46 Propiedades de imagen, Posición, 39 Protocolo, 19 Protocolo de Construcción, 19 Exportar Protocolo de Construcción a Color, 21 Imprime, 22 Menú Vista, 87 Modifcar, 20 Navegar, 20 109 Protocolo de Construcción como Página‐Web, Exporta, 20 Protocolo de Construcción, Cambio de Orden de los Pasos, 20 Protocolo de Construcción, Columnas, 20, 22 Protocolo de Construcción, Exporta, 20 Protocolo de Construcción, Inserta nuevo, Cambio, 20 Protocolo de Construcción, Punto de Ruptura, 20 Protocolo, Exporta, 20 PSTricks Exporta, Menú Archivo, 84 Formato, 84 Punto Comando, 59 Entrada Directa, 44 Nombre, 41, 44 Punto de Ruptura, 20 Punto Decimal, 43 Punto Medio Punto Medio o Centro,Herramienta, 28 PuntoInflexión, comando, 58 PuntoMedio Comando, 59 R Radianes, convierte a grados, 43 Radio, comando, 56 Raíz Comando, 59 Raíz cuadrada, Entrada Directa, 47 Raíz cúbica, Entrada Directa, 47 RangoCelda, comando, 81 Rastro, 102 Activa Rastro, Menú Contextual, 102 Borra, 87 Rastro Activo, Menú Contextual, 18 RazónDoble, comando, 54 RazónSimple Comando, 53 Recálculo de Todos los Objetos, Menú Vista, 87 Recta Comando, 62 Entrada Directa, 45 Nombre, 41, 45 Perpendicular, comando, 62 Perpendicular, Herramienta, 31 Recta que pasa por Dos Puntos, Herramienta, 31 Recta Paralela, Herramienta, 31 Recta Perpendicular Herramienta, 31 Recta Polar, Herramienta, 31 Rectángulo de Exportación, 22 Rectángulo de Selección, 25 Rectas Comandos, 61 Redefine, 101 Objeto fijo, 102 Redondeo Entrada Directa, 48 Menú Opciones, 88 Refleja Comando, 75 Refleja Refleja Objeto en Recta, Herramienta, 36 Refleja Objeto por Punto, Herramienta, 37 Refleja Punto en Circunferencia, Herramienta, 37 Registra en Hoja de Cálculo Menú Contextual, 19 Registra en Hoja de Cálculo, Herramienta, 27 Registra en Hoja de Cálculo, Menú Contextual, 19 Registra en Hoja de Cálculo, Opción, 19 Rehace, Menú Edita, 85 Relación Comando, 52 Herramienta, 27 Renombra Menú Contextual, 18 Opción Rápida, 26 Resta, Entrada Directa, 46 Restablecer Barra de Herramientas Original, 17 Configuración Original, 21 Configuración Original, Menú Opciones, 90 Resto, comando, 56 Rota Comando, 75 Rota en torno a un Punto, Herramienta, 27 Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado, Herramienta, 37 Rotulado Ajustes, 21 Rotulado, Menú Opciones, 89 Rótulos, 100 Expone / Oculta, 100 Nombre y Valor, 100 Subtítulo, 100 S Sección cónica Nombre, 41 Sección Cónica Cónica, comando, 63 Entrada Directa, 45 Nombre, 45 Sector Comando, 68 Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos, Herramienta, 33 SectorCircular, comando, 67 Sector Circumcircular Sector dados Tres Puntos de su Arco, Herramienta, 34 SectorCircumcircular, comando, 67 Sectores, 33 Secuencia Comando, 73 Segmento Comando, 61 Segmento dados Punto Extremo y Longitud, Herramienta, 29 Segmento entre Dos Puntos, Herramienta, 29 Segmento, Comandos, 61 Selecciona Selecciona Ascendientes, Menú Edita, 85 Objeto, 25 Selecciona Descendientes, Menú Edita, 85 110 Selecciona la Capa Activa, Menú Edita, 85 Selecciona Todo, Menú Edita, 85 Seleccionar Varios Objetos, 25 Semicircunferencia Comando, 68 Herramienta, 34 SemiFocal, comando, 55 Semirrecta Herramienta, 30 Semirrecta que pasa por Dos Puntos, Herramienta, 30 Semirrecta, Comando, 61 Seno, Entrada Directa, 47 Si Comando, 53, 64 Función condicional, 64 Sigma SigmaXX, comando, 79 SigmaXY, comando, 79 SigmaYY, comando, 79 Signo, Entrada Directa, 47 Simplifica Polinomio, 65 Simplifica Comando, 66 Sombreado, Caja de Diálogo de Propiedades, 18 Subtítulo, 100 Nombre, 100 Nombre y Valor, 100 Rótulo, 100 Suma, comando, 74 Suma, Entrada Directa, 46 SumaInferior, comando, 56 SumaSuperior, comando, 57 SumaTrapezoidal, comando, 57 Sxx, comando, 80 Sxy, comando, 80 Syy, comando, 80 T TablaTexto, comando, 69 Tamaño de Casilla de Control, Ajustes, 21 Tamaño de Letra Aumentar, 21 Menú Opciones, 89 Tangente Comando, 63, 66 Herramienta, 31 Tangente antihiperbólica Tangente antihiperbólica, Entrada Directa, 47 Tangente, Entrada Directa, 47 Teclas de Atajo, 97 Teclas flecha, Animación, 93 Teclas‐Flecha, 44 Techo, Entrada Directa, 48 Texto Comando, 69 Comandos, 68 Fórmula, 38 Inserta Texto, Herramienta, 37 Texto Dinámico, 38 Texto Estático, 37 Texto Mixto, 38 Texto Dinámico, 38 Texto Estático, 37 Texto Mixto, 38 TextoDeCódigo, comando, 70 TextoFracción, comando, 68 Transformaciones Geométricas Herramientas, 36 Transformaciones Geométricas, Herramientas, 36 Transformaciones, Herramientas, 36 Transparencia de imagen, 40 Traslada Comando, 76 Traslada Objeto por un Vector, Herramienta, 37 Traspone, comando, 81 Trazo Grosor de Trazo, Caja de Diálogo de Propìedades, 18 U Ultimo, comando, 72 Unidad Angular Ajustes, 21 Menú Opciones, 88 Unidad Imaginaria, 51 Unión, comando, 74 V Valor Inserta en la Barra de entrada, 42 Valor Absoluto, , Entrada Directa, 47 Valores Cambio, 42 Varianza, comando, 80 Vector Comando, 60 Entrada Directa, 44 Nombre, 41, 44 Vector desde un Punto, Herramienta, 29 Vector entre Dos Puntos, Herramienta, 29 VectorPerpendicular, comando, 60 VectorCurvatura, comando, 60 VectorPerpendicular, Comando, 60 VectorUnitario, comando, 60 VectorUnitarioPerpendicular, Comando, 60 Vértice, comando, 60 Visibilidad Condicional, 93 Visibilidad Condicional, 93, 94 Nuevos Objetos, 94 Objetos Existentes, 93 Visibilidad, Propiedades, 18 Visibilitdad Propìedades, 18 Vista Algebraica, 14 Expone/Oculta, Menú Vista, 86 Modificar objetos, 15 Vista de Hoja de Cálculo, 15 Entrada a una Celda, 15 Nombre de Celda, 15 Vista de Hoja de Cálculos Menú Vista, 86 Vista Gráfica Personalizar, 16 111 Vista Gráfica, 13 Vista Gráfica Zoom, 16 Vista Gráfica Actualizar Previsualiza Impresión, 22 Vista Gráfica Crea imágenes, 22 Vista Gráfica Exporta a escala, 23 Vista Gráfica Entrada Geométrica, 25 Vista Gráfica Exporta al Portapapeles, Menú Edita, 86 Vista Gráfica a Portapapeles, Exporta, 23 Vista Gráfica, Exporta como Imagen, 22 Vista Gráfica, Imprime, 22 Vista Gráfica, Menú Opciones, 89 Vistas Vista Algebraica, 14 Vista de Hoja de Cálculo, 15 Vista Gráfica, 13 W www.geogebra.org, Ayuda en Línea, 91 Z Zoom, 16 Centro del Zoom, 16 Zoom de Acercamiento, Herramienta, 28 Zoom de Alejamiento, herramienta, 28 Zoom Rectangular, 16 112