Unidad 8: Los Polígonos Desde la página 118 hasta la página 135

Unidad 8: Los Polígonos Desde la página 118 hasta la página 135 Presentado por: Jonathan Miguel Mendoza Licenciado en Educación Mención Matemáticas Esta diapositiva ha sido creada con fines didácticos, Todo término o concepto emitida en la misma queda bajo la responsabilidad del autor. Lic. Jonathan Miguel Mendoza Objetivos Específicos:  Identificar y clasificar polígonos.  Determinar las medidas de los ángulos internos de un polígono regular.  Reconocer polígonos inscritos y circunscritos .  Determinar la apotema de un polígonos regular.  Calcular el perímetro y el área de un polígonos regular.  Obtener el número de diagonales de un polígonos. Esquema de la Unidad Concepto de Polígono Polígonos Tipos de Polígono Cálculos de Polígonos Perímetro y Área Elementos de Polígonos Vértices Lados Ángulos Internos Ángulos Externos Apotema Diagonal Polígono Convexos Apotema y Lado Polígonos Cóncavos Diagonales y Ángulos Polígonos Regulares Polígonos Irregulares Polígono Inscrito Polígono Circunscrito Polígonos Preguntas a responder en el cuaderno Dibuje una figura ilustrativa en cada caso 1) ¿Qué es un Polígono? 2) ¿Cuáles son los Elementos de un polígono? 3) ¿Cuándo un polígono es Convexo? 4) ¿Cuándo un polígono es Cóncavo? 5) ¿Qué es un polígono Equilátero? 6) ¿Qué es un polígono Equiángulo? 7) ¿Qué es un polígono Regular? 8) ¿Qué es un polígono Irregular? 9) ¿Qué es la Región Interior polígono? 10) ¿Qué es la Región Exterior polígono? 11) ¿Qué es una Región poligonal? 12) ¿Qué son los Ángulos Interiores de un polígono? 13) ¿Qué son los Ángulos Exteriores de un polígono? ¿Cómo se Clasifican los polígonos Regulares? De acuerdo al números de lados, que igual al números de ángulos, los polígonos Regulares se nombran como sigue: Cuadrado. 60° Triángulo Equilátero. 90° 90° 60° Pentágono. 108° 60° 90° 90° Hexágono. Heptágono. Octágono. Los Ángulos Exteriores de un polígono La Suma de los Ángulos Exteriores de un polígono es igual a cuatro ángulos rectos, es decir, 360°. Sm<e = 90° x 4 = 360° La medida de un Ángulo Exterior de un polígono regular, es igual 360° entre el número de ángulos del polígono. 𝟑𝟔𝟎° 𝒎<𝒆 = 𝐧 Región Interior Los Ángulos Interiores de un polígono 𝐒𝐦 < 𝐢 = 𝟏𝟖𝟎°(𝐧 − 𝟐) Región Exterior < interior La Suma de las medidas de los Ángulos Interiores de un polígono regular es igual al número de triángulos en que se divide al trazar las diagonales desde un vértice por dos ángulos rectos, es decir, 180° Los Ángulos Interiores de un polígono La medida de un Ángulo Interior de un polígono regular es igual a la n-ésima parte de la suma de los ángulos Región interiores. Exterior 𝟏𝟖𝟎° 𝐧 − 𝟐 𝐦<𝐢= 𝐧 Región Exterior Región Exterior Diagonales de un polígono Es el segmento de recta que une dos vértice no contiguos o consecutivos de un polígono. En polígono se pueden trazar diagonales desde un vértice, que llamaremos (d), d = (n – 3). Además, se pueden trazar diagonales desde todos los vértices, total de diagonales, que llamaremos (D). Desde un vértice del polígono 𝐧 𝐧– 𝟑 𝐃 = 2 Polígono Cóncavo: Es aquel que tienen por lo menos un ángulo Cóncavo o una región cóncava interior. R A B C P S D U F Desde todos los vértice del polígono E V Cada una de estas regiones poligonales son cóncavas T D Polígono Convexo: Es aquel que tienen Todos sus Ángulos Convexos o una región convexa interior. F R G S I E H Q T P B C Ángulo Interior y Exterior de un polígono m< exterior + m< interior = 180° m<e + m<i = 180° m<e = 180° - m<i m<i = 180° - m<e Región Exterior < interior En todo polígono la suma de la medida de un ángulo interior y exterior correspondiente es igual a dos ángulos rectos, es decir, 180° Clasifica los siguientes polígonos en: Polígonos Regulares (R), Polígonos Irregulares (I), Polígonos Convexos (CV) Polígonos Cóncavos (CC), R P S U CC R CV I V T CC R CV I R S Q T P CC R CC R CC R CV I CV I CV I D E C B CV R CV R CV R CC I CC I CC I Resolver los siguientes problemas sobre polígonos. ¿Cuántas diagonales desde un vértice y en total se pueden trazar en octágono regular? Datos: n=8 d=? D =? Solución: Desde un vértice es: d = (n – 3) d = (8 – 3) = 5 diagonales 𝐃 = 𝐧 𝐧−𝟑 𝟐 𝟖 𝟖−𝟑 𝐃 = 𝟐 𝟖 𝟓 𝟒𝟎 𝐃 = = 𝟐 𝟐 𝐃 = 𝟐𝟎 diagonales Resolver los siguientes problemas sobre polígonos. Determine la suma de las medidas de los ángulos internos, y la medida de un ángulo interno y externo de un polígono de 10 lados. Datos: Solución: n = 10 Sm<i = 180°(n – 2) Sm<i = ? Sm<i = 180°(10 – 2) m<i = ? Sm<i = 180°(8) m<e = ? Sm<i = 1440° 𝟑𝟔𝟎° 𝐦<𝐞 = 𝐧 𝟑𝟔𝟎° 𝐦<𝐞 = 𝟏𝟎 𝐦 < 𝐞 = 𝟑𝟔° m<i = 180° - m<e m<i = 180° - 36° m<i = 144° ¿En qué polígono se pueden trazar un total de 104 diagonales? 𝐧𝟐 − 𝟑𝐧 − 𝟐𝟎𝟖 = 𝟎 Datos: n=? D = 104 diagonales Solución: 𝐧 𝐧−𝟑 𝐃 = 𝟐 𝐧 𝐧−𝟑 𝟏𝟎𝟒 = 𝟐 2(104) = n(n – 3) 𝟐𝟎𝟖 = 𝐧𝟐 − 𝟑𝐧 𝟎 = 𝐧𝟐 − 𝟑𝐧 − 𝟐𝟎𝟖 Factorizando tenemos: (n – 16)(n + 13) = 0 n – 16 = 0 v n + 13 = 0 n = 0 + 16 n = 0 – 13 n = - 13 n = 16 Se descarta -13 ya que ningún polígono tiene un Número de lados negativo. Por lo tanto el Polígono Buscado tiene 16 lados, es un sexdecágono. En el siguiente polígono determine la medida de cada ángulo interior y Exterior, sabiendo que es regular. Como los ángulos internos de un polígono regular son todos iguales, planteamos la ecuación Solución: 8x + 35° = 4x + 82° 8x – 4x = 82° - 35° 4x = 47° x = 47°/4 x = 11.75° m<i = 8x + 35° m<i = 8(11.75°) + 35° m<i = 129° m<i = 94° + 35° m<e = 180° - m<i m<i = 129° m<e = 180° - 129° m<e = 51° El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular es 90 diagonales, determine la medida de un ángulo interior y exterior. Para resolver este problema debemos primero determinar el número de lados del mismo. Solución: 𝟏𝟖𝟎 = 𝐧𝟐 − 𝟑𝐧 Datos: n=? D = 90 diagonales D = 90 diagonales 𝐧 𝐧−𝟑 𝐃 = 𝟐 𝐧 𝐧−𝟑 𝟗𝟎 = 𝟐 𝟐(𝟗𝟎) = 𝐧(𝐧 − 𝟑) 𝟎 = 𝐧𝟐 − 𝟑𝐧 − 𝟏𝟖𝟎 𝐧𝟐 − 𝟑𝐧 − 𝟏𝟖𝟎 = 𝟎 Factorizando, el caso que sea (𝐧 − 𝟏𝟓)(𝐧 + 𝟏𝟐) = 𝟎 Resolviendo ambos factores  Resolviendo ambos factores  (𝐧 − 𝟏𝟓)(𝐧 + 𝟏𝟐) = 𝟎 𝐧 − 𝟏𝟓 = 𝟎 𝐧 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟓 = 𝟎 + 𝟏𝟓 𝐧 = 𝟏𝟓 𝐧 + 𝟏𝟐 = 𝟎 Ahora, bien el problema nos pide determinar la medida de un ángulo interior y un ángulo exterior. Como ya Sabemos que el polígono tiene 15 lados, podemos proceder. 𝐧 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎 − 𝟏𝟐 De las dos soluciones se descarta la solución (-12), ya que ningún polígono tiene un número de lados negativo. 𝐧 = −𝟏𝟐 𝐦∠𝐞 + 𝐦∠𝒊 = 𝟏𝟖𝟎° 𝐦∠𝒊 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝐦∠𝐞 𝟑𝟔𝟎° 𝐦∠𝐞 = 𝐧 𝟑𝟔𝟎° 𝐦∠𝐞 = 𝟏𝟓 𝐦∠𝐞 = 𝟐𝟒° 𝐦∠𝒊 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟐𝟒° 𝐦∠𝒊 = 𝟏𝟓𝟔° Ejercicios Propuestos 1) Determine el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de: 9, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 y 23 lados. A) Desde un vértice. B) Desde todos los vértices. 2) El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono es 135. ¿Cuántos lados tiene el polígono? ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice? ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores? 3) ¿Cuál es el número de lados de un polígono cuya número de diagonales (totales) es 10 veces número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice? 4) Determine la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular que tiene 12 lados. ¿Cuánto mide un ángulo exterior y un ángulo interior del polígono? 5) El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular es 77, ¿Cuánto vale la suma de las medidas de los ángulos interiores de ese polígono? 6) Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 17 diagonales. Determine el total de diagonales que se pueden trazar en ese mismo polígono. 7) La diferencia entre el número total de diagonales y el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono es 3. ¿Cuántos lados tiene ese polígono? 8) Si se suma el número total de diagonales y el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono resulta 63. ¿Cuántos lados tiene el polígono? ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores? 9) Las medidas de un ángulo interior y el ángulo exterior correspondiente de un polígono están dadas mediantes las expresiones (4x – 6)° y (7x + 19)° respectivamente. Determine la medida de cada ángulo. ¿A cuál polígono nos estamos refiriendo? ¿Cuál de las dos medidas corresponde al ángulo interior y cuál al ángulo exterior? 10) El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular es 170, ¿Cuánto vale la suma de las medidas de los ángulos interiores de ese polígono? ¿Cuánto mide un ángulo interior y un ángulo exterior? Polígono Inscrito en una Circunferencia Un Polígono está Inscrito en una Circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia y los demás puntos del polígono están en el interior de ella. Polígono Circunscrito por una Circunferencia Es un Polígono cuyos lados son tangentes a la Circunferencia, y cuyos puntos con excepción de los puntos de tangencia, están en el exterior de la circunferencia. Cálculos Relativos a los Polígonos Perímetro & Área de un Polígono Conceptos Básicos Polígonos & Fórmulas Cálculos de Perímetro & Áreas Concepto de Perímetro Polígonos Regulares Concepto de Área Polígonos Irregulares Unidades de Medida Regiones y Sectores Circulares Poliedros & Fórmulas Cuerpos Redondos & Fórmulas Perímetro & Área de Polígonos Preguntas a responder en el cuaderno Dibuje una figura ilustrativa en cada caso 1) ¿Qué es el Perímetro de un Polígono? 2) ¿Qué es el Área de un Polígono? 3) ¿En qué unidades se mide el perímetro? 4) ¿En qué unidades se mide el área? 5) ¿Qué es el Sistema Internacional de Magnitudes? Polígonos & Fórmulas El menor de los Polígonos es el Triángulo para calcular el valor de perímetro y su área existen las siguientes Fórmulas o Teoremas: i) Si conocemos una de sus tres bases o lados y su respectiva altura, el área de un triángulo es igual al semi producto de la base por la altura correspondiente. ii) Si sólo se conocen sus tres bases o lados utilizamos el Teorema de Herón, Conocido comúnmente como la Fórmula de Herón. h b 𝟏 𝐀 = (𝐛 × 𝐡) 𝟐 𝐏=𝐚+𝐛+𝐜 c b a Polígonos & Fórmulas c b a a = 12cm b = 13cm c = 5cm 𝟏 𝐒 = (𝐚 + 𝐛 + 𝐜) 𝟐 𝐀= 𝐒= 𝐒= 𝐒 𝐒−𝐚 𝐒−𝐛 𝐒−𝐜 𝟏 (𝟏𝟐 𝟐 + 𝟏𝟑 + 𝟓)cm 𝟏 (𝟑𝟎)cm 𝟐 𝐒 = 𝟏𝟓cm Calculo del Área del Triángulo usando la Fórmula de Herón 𝐀= 𝐒 𝐒−𝐚 𝐒−𝐛 𝐒−𝐜 𝐀= 𝟏𝟓𝐜𝐦 𝟑𝐜𝐦 𝟐𝐜𝐦 𝟏𝟎𝐜𝐦 𝐀= 𝐀= 𝟏𝟓𝐜𝐦 𝟏𝟓𝐜𝐦 − 𝟏𝟐𝐜𝐦 𝟏𝟓𝐜𝐧 − 𝟏𝟑𝐜𝐦 𝟏𝟓𝐜𝐦 − 𝟓𝐜𝐦 𝟗𝟎𝟎𝐜𝐦𝟒 𝐀 = 𝟑𝟎𝐜𝐦𝟐 El perímetro del triángulo es 30cm y su área es 3ocm 2 Polígonos & Fórmulas NOMBRE FIGURA FÓRMULAS PERÍMETRO: L ÁREA: P = 4•L A = L2 CUADRADO DIAGONAL: L PERÍMETRO: RECTÁNGULO a L ÁREA: DIAGONAL: D = 𝟐 • 𝑳𝟐 P = 2•(L + a) A=L•a D= 𝐋𝟐 + 𝐚𝟐 Polígonos & Fórmulas Polígonos & Fórmulas Figuras Planas Redondas & Fórmulas Figuras Planas Redondas & Fórmulas Figuras Planas Redondas & Fórmulas Figuras Planas Redondas & Fórmulas Poliedros & Fórmulas Cuerpos Redondos & Fórmulas Cuerpos Redondos & Fórmulas Área Lateral: AL = πg(R + r) r TRONCO DE CONO h R g Área Total: 2 2 A = πg(R + r) + π(R + r ) Volumen 𝛑𝐡 𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝑹 ∙ 𝒓 𝐕 = 𝟑 Cuerpos (Prismas) & Fórmulas Fórmulas Tronco de Pirámide & Fórmulas Área Lateral: 𝟏 𝐀𝐋 = 𝐏 + 𝐏´ 𝐚´ 𝟐 𝟏 𝐀𝐋 = 𝐍 𝐋 + 𝐋∗ 𝐚∗ 𝟐 Área Total: 𝐀 = 𝐀 𝐋 + (𝐁 + 𝐛) Volumen: EJEMPLOS 𝟏 𝐕 = 𝐡 𝐁 + 𝐛 + 𝐁𝐛 𝟑 Apotema de un Polígono Regular Se llama Apotema de un Polígono Regular al segmento de perpendicular trazado desde el centro del polígono al punto medio de cualquiera de uno de sus lados. ap ap ap ap ap Radio de un Polígono Regular Se llama Radio de un Polígono Regular al segmento trazado desde el centro del polígono a un cualquiera de uno de sus vértices. Coincide con el radio de la circunferencia que lo inscribe en su interior. R R R R R Cálculo de la Apotema de un Polígono Para calcular el valor de la apotema de un polígono debemos de conocer dos elementos a saber: el radio (R) y el valor del lado del polígono (L). ap R ½L ½L 𝟏 𝐋 =𝐑 − 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝐚𝐩 = 𝐑 − 𝐋 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝐑 − 𝐋 𝐚𝟐𝐩 = 𝟒 𝐚𝟐𝐩 L 𝟐 𝟐 𝐚𝟐𝐩 𝒂𝒑 = 𝟏 = (𝟒𝐑𝟐 − 𝐋𝟐 ) 𝟒 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟏 (𝟒𝐑𝟐 − 𝐋𝟐 ) 𝟒 (𝟒𝐑𝟐 − 𝐋𝟐 ) Cálculo del Radio de un Polígono Regular Para calcular el valor del radio de un polígono regular debemos de conocer dos elementos a saber: la apotema (ap) y el valor del lado del polígono (L). Pero debemos despear el radio (R) de la fórmula deducida para la apotema. 𝟏 𝟐𝒂𝒑 = 𝟐 𝟐 𝟐𝒂𝒑 = 𝟐𝒂𝒑 𝟐 = 𝟒𝐑𝟐 𝟒𝐑𝟐 − − 𝐋𝟐 𝟒𝐑𝟐 𝐋𝟐 − 𝐋𝟐 Multiplicamos por 2 ambo lados de la igualdad Elevamos al cuadrado (2) ambo lados de la igualdad 𝟐 𝟒𝒂𝟐𝒑 = 𝟒𝐑𝟐 − 𝐋𝟐 CONTINUAMOS... Sumamos de ambos 2 lados L 𝟒𝒂𝟐𝒑 = 𝟒𝐑𝟐 − 𝐋𝟐 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 = 𝟒𝐑𝟐 − 𝐋𝟐 + 𝐋𝟐 𝟒𝒂𝟐𝒑 𝟐 + 𝐋 = 𝟒𝐑 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 = Buscamos de ambos Lados Raíz Cuadrada. 𝟐 𝟒𝐑𝟐 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 = 𝟐𝐑 Dividimos de ambos lados por 2. 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 𝟐 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 𝟐 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 𝐑= 𝟐 𝟐𝐑 = 𝟐 𝟐𝐑 = 𝟐 =𝐑 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 𝟐 Cálculo de la Apotema de un Polígono Ejercicios Resueltos Calcular la apotema de un pentágono regular de 4cm de lados y su radio mide 𝟒 𝟐 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 (𝟒𝐑𝟐 − 𝐋𝟐 ) 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟒(𝟏𝟔(𝟐) − 𝟏𝟔 𝟐 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟏𝟐𝟖 − 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟔 × 𝟕 𝟏 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟏𝟔 × 𝟕 𝟏 𝒂𝒑 = (𝟒) × 𝟕 𝟐 𝒂𝒑 = 𝟐 𝟕 𝒄𝒎 La apotema de un decágono regular de 6cm y sus lados miden 10cm, ¿Cuál es la longitud de su radio ? 𝟏 𝐑= 𝟒𝒂𝟐𝒑 + 𝐋𝟐 𝟐 𝟏 𝐑= 𝟒 𝟔 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒(𝟑𝟔) + 𝟏𝟎𝟎 𝐑= 𝟐 𝟏 𝐑= 𝟏𝟒𝟒 + 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟏 𝐑= 𝟐𝟒𝟒 𝟐 𝟏 𝐑= 𝟐𝟒𝟒 𝟐 𝟏 𝐑= 𝟒 × 𝟔𝟏 𝟐 𝟐 𝐑 = × 𝟔𝟏 𝟐 𝐑 = 𝟔𝟏cm 244|2 122|2 61|61 1 Ejercicios Propuestos 1) La apotema de un polígono regular mide 𝟐 𝟑 cm y el radio del mismo mide 8cm, calcular el valor de los lados del polígono. 2) La apotema de un polígono regular mide 4 𝟑 cm y el radio del mismo se desconoce, si el valor de los lados del polígono es 9cm. Determine el radio. 3) ¿Cuál es el valor de la apotema de un polígono regular si el radio del mismo mide 12cm, y el valor de los lados del polígono es 8cm. 4) Una escalera de 10ft se arrima a una pared, si la distancia del pie de la escalera a la base de la pared es de 6ft, ¿Cuál es la altura hasta donde llega la escalera? 5) Un ganadero cercó un terreno rectangular cuya dimensiones son 12mt por 9mt. ¿Qué cantidad de alambre necesita el ganadero para trazar un palizada de 5 líneas de alambre alrededor del terreno, además, una línea diagonal. 6) La longitud de la base de un rectángulo es dos veces la longitud de la altura. Calcule su área, sabiendo que el perímetro del mismo es 48cm. 7) ¿Cuál es el área y el perímetro de un terreno rectangular que tiene 16m de largo y 12m de ancho? 8) La longitud de los lados de un decágono regular es 3cm y el radio del polígono e 6cm. Calcular el área del mismo. 9) Un arquitecto diseña una ventana arqueada, formada por un rectángulo y rematada por un semicírculo, las dimensiones del rectángulo son: 3.9ft por 6.1ft calcular el área que ocupa la ventana. 10) Calcular el perímetro y el área de un cuadrado si la longitud de uno de sus lado es 8cm. 11) ¿Cuál es el área de una piscina circular de 8mt de diámetro. Si queremos entapizar son goma poco resbaladiza todo su contorno, ¿Cuál debe ser la longitud de la goma? 12) Calcular el área de un heptágono regular cuya apotema es 2.6cm y la longitud de sus lados es 4cm. 13) Calcular el área de un trapecio cuyas bases paralelas miden respectivamente 14cm y 9cm y su altura 7cm. 14) ¿Cuál es el área de un triángulo si uno de sus lados mide 18cm y su altura correspondiente es 10cm? 15) ¿Cuál es el área de un triángulo si uno de sus lados mide 18cm y su altura correspondiente es 10cm? 16) Calcular la altura de un edificio cuya sombra mide 12m, cuando la línea visual formada por los rayos del sol y el extremo de la sombra mide 𝟏𝟐 𝟐 mt. 17) Una cometa (chichigua) esta atascada en un árbol situada a una altura de 16ft del suelo, si el nilón (hilo) de la misma 20ft. ¿Cuál es la distancia desde la base del árbol a los pies del joven que sostiene la chichigua. Suponga que el joven pisa el hilo. 18) Una cometa (chichigua) esta situada a una altura de 10mt del suelo, sobre un edificio de la misma altura, si el nilón (hilo) de la misma 13mt. ¿Cuál es la distancia desde la base del árbol a los pies del joven que sostiene la chichigua. Suponga que el joven la tiene agarrada a 0.9mt del suelo. 19) Una escalera está arrimada una pared a una altura de 16ft, si la distancia de la base de la pared al pie de la escalera es 6ft, ¿Cuál es la longitud de la escalera? 20) Calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 12cm. Determine además, el perímetro y el área del mismo. 21) Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 12cm y 6cm. 22) ¿Cuál es el números real determinado por la diagonal de un cuadrado de lado 2cm?. Hacer la gráfica sobre la recta real 23) Un ganadero tiene 500mt de alambre y quiere cercar un terreno con forma rectangular, donde el largo del terreno es 3/2 del ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno asumiendo que la cantidad es la correcta? 24) Calcular el área de un triángulo cuyos lados se detallan a continuación, use la fórmula de Herón. a) l1 = 9cm, l2 = 12cm y l3 = 15cm b) l1 = 5cm, l2 = 12cm, l3 = 13cm c) l1 = 7cm, l2 = 24cm, l3 = 25cm d) l1 = 6cm, l2 = 8cm, l3 = 10cm e) l1 = 10cm, l2 = 24cm, l3 = 50cm 25) Calcular 20 ternas (tripletas) pitagóricas, es decir, que satisfagan el Teorema de Pitágoras mediante las expresiones: 2 2 x = 4m, y = m – 4, z = m + 4 Siendo x e y, los catetos y z la hipotenusa, tal que m es un número entero positivo, m ≥ 2. 26) Calcular el Área de las siguientes Regiones o Sectores Circulares 𝟐𝛑 𝛉= 𝟑 r = 2cm 𝟕𝛑 𝛉= 𝟗 r = 6cm r = 6cm 𝛑 𝛉= 𝟑 r = 5cm r = 4cm R = 7cm r = 8cm 2 27) El Área de un rectángulo es 32km . si el largo es 4km mayor que el ancho, halla las dimensiones del rectángulo hallar su perímetro. 2 28) El Área de un rectángulo es 48km . siendo sus lados dos números pares consecutivos. Halla las dimensiones del rectángulo. 29) La base media de un trapecio es 16cm. Si la base mayor es 12cm más que la base menor, calcular las longitudes de ambas bases. Además, hallar el área. 30) La longitud del largo de un rectángulo es un cm menos que el doble de su ancho. El perímetro mide 28cm. Determine las dimensiones del rectángulo. 31)