Taller 7-

Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Cálculo Diferencial - Problemas para resolver - Clases 13 - 14 Ejercicio 1. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué, y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. a) Si f es continua en a entonces f (a) existe. b) Si f es continua en x = a, pero g es discontinua en x = a, entonces f (x) × g(x) no puede ser continua. c) Si f es continua en x = a, pero g es discontinua en x = a, entonces f (x) + g(x) puede ser continua. d) Si f y g son funciones continuas en [0, 1] con f (0) > g(0) y f (1) < g(1), entonces debe existir un número x tal que f (x) = g(x). e) Si lı́m f (x) = 0, entonces lı́m cos(f (x)) = 1. x→a x→a  x 6 −1,  x + 4 si mx + b si −1 < x 6 1, Ejercicio 2. Sea f (x) =  x − 4 si x > 1. Encuentre los valores de m y b, para que la función f sea continua en todos los reales. Ejercicio ( 8. Demuestre que f es continua en (−∞, ∞). sin x si x < π/4 f (x) = cos x si x >= π/4 Ejercicio 9. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 a.m. y toma su vereda acostumbrada a lo alto de la montaña, llegando a las 7:00 p.m. A la mañana siguiente, sale a las 7:00 a.m. en lo alto de la montaña y toma la vereda de regreso, llegando al monasterio a las 5:00 p.m. Use el teorema del valor intermedio para demostrar que hay un punto en la vereda en el que el monje cruzará exactamente a la misma hora del día en ambos días. Ejercicio 10. Use el teorema del valor intermedio √ para demostrar que existe al menos una raíz de la ecuación 3 x = 1 − x, en el intervalo (0, 1). Ejercicio 11. La figura muestra la gráfica de la función f . Ejercicio 3. Si f y g son funciones continuas en todos los reales, tal que f (5) = 4 y lı́m g(x) = 5, ¿cuál es el valor de lı́m f (g(x)) x→4 x→4 y de lı́m g(f (x))? x→5 Ejercicio 4. Don Jairo vende arroz, y quiere hacer una promoción que la gente le compre grandes cantidades. Su idea es la siguiente: si uno compra menos de 20 kg de arroz, Don Jairo cobra 1000 pesos por kg. Si compra más de 20 kg, Don Jairo cobra cada kg a 900 pesos. a) ¿En dónde es f continua? a) Sea V (a) el precio de venta de a kg de arroz. Escriba una fórmula para V (a) y dibuje su gráfica. b) ¿En dónde es f discontinua y por qué? b) ¿Es V continua? ¿Por qué le conviene a Don Jairo que esa función sea continua? c) Escriba las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de f . c) ¿Cuánto sobrecargo debe Don Jairo cobrar a los clientes que compren más de 20 kilos para que la función sea continua. d) Sea h(x) = x − 2. Responda las preguntas a,b,c anteriores para las funciones h ◦ f y f ◦ h. Ejercicio 5. Un lote de estacionamiento cobra $ 3 por la primera hora (o parte de una hora) y $ 2 por cada hora sucesiva (o parte de una hora), hasta un máximo diario de $ 10. a) Trace una gráfica del costo de estacionamiento en este lote como función del tiempo por estar estacionado ahí. b) Analice las discontinuidades de esta función y su importancia para alguien que se estaciona en el lote. Ejercicio 6. Explique, usando los teoremas sobre continuidad por qué la función F (x) = sin(tan(sin x)) es continua para todo número en su dominio. Ejercicio 7. Use continuidad para evaluar el límite. √ 5+ x . lı́m √ x→4 5+x Ejercicio 12. Demuestre que el polinomio g (t) = 3t3 − t + 1, tiene al menos una raíz en el intervalo (−1, 1). Ejercicio 13. Calcule los siguiente límites.√ √ 3 x2 − 2 3 x + 1 x−8 b) lı́m a) lı́m √ x→1 x→8 3 x − 2 (x − 1)2 1 − cos(4x) x d) lı́m c) lı́m x→0 x→0 sen x 2x e) lı́m (1 − x) tan( 12 πx) x→1 g) lı́m x→0 f) lı́m x2 ecos(π/x) x→0 tan x − sen x x3 h) lı́m x→0 1 1 − x |x| sen(10x) sen(4x) i) lı́m x cos(xx ) j) lı́m k) lı́m+ ln(x2 − 9) l) lı́m x4 + ex x→0 x→0 x→−∞ x→3 m) lı́m x→π/2+ e tan(x) x→2 7x2 − 2x + 1 x→∞ 3x2 + 8x + 5 ñ) lı́m p) lı́m ( x→−∞ r) lı́m+ x→0 p x2 + x + x) q ln2 (x) − sen(x) ln(x) + ex t) lı́m x sen(1/x) x→∞ n) lı́m tan  −1 x−2 3x2 − 6x  4x − 3 o) lı́m √ x→−∞ x2 + 1 sen(ln(x)) x→1 2 ln(x) q) lı́m √ 1+x− 1−x s) lı́m x→0 x √ x u) lı́m p √ x→∞ x+ x √ Ejercicio 14. Encuentre la asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones: √ √ a) ex + e−x b) 3 x3 + x − 3 x3 + 1 2ex x2 − 2x + 3 c) x d) e −5 x+5 Ejercicio 15. Sea P (t) el porcentaje de información que un estudiante recuerda t días después después de haberla estudiado. El modelo Ebbinghaus de aprendizaje propone que P (t) = Q + (1 − Q)e−kt dónde k y Q son constantes positivas. a) Calcule lı́mt→∞ P (t). ¿Qué significado tiene la cantidad obtenida? b) Suponga Q = 0.2, y a los de 10 días, el estudiante ha olvidado la mitad del material. Halle k. Respuestas 1. a) V b) F 9. c) F d) V e) V . 2. b = 0, m = −3. 3. 4 y 5. 4. a) V (a) = 1000a para a < 20, c) 2000 pesos. y V (a) = 900a para a > 20. 5. a) Considere I(t) la función que mide la distancia recorrida desde el monasterio hacia la montaña en un instante de tiempo t, y sea R(t) la función que le mide la distancia que falta para llegar al monasterio en el instante t cuando el monje va de regreso hacia el monasterio. Note que ambas funciones son continuas con dominio [7a.m, 7p.m], y [7a.m, 5p.m] respectivamente, considere la función H(t) = (I − R)(t) la cual es obviamente continua en [7a.m, 5p.m], y además se tiene que H(7am) < 0 y H(5pm) > 0; aplicando el teorema del valor intermedio obtenemos un c ∈ (7a.m, 5p.m) tal que H(c) = 0 , es decir I(c) = R(c). Interpretando esto obtenemos el resultado. 10. √ Considere la función f (x) = 3 x − 1 + x, evalúe en 0 y 1 y aplique el teorema del valor intermedio. 11. a) continua en (−∞, −4) ∪ (−4, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞), b) es discontinua en -4, -2, 1. c) horizontales: y = 2, verticales: x = −4, x = 1. 12. Use el teorema del valor intermedio en [−1, 1] b)Los puntos de discontinuidades son importantes ya que pasada cualquier fracción de hora después de uno de estos puntos significaría pagar una hora adicional. 6. Esta es continua en todo su dominio ya que es composición de funciones trigonométricas, que son continuas en todo su dominio. 7. 7 . 3 8. Como las funciones sin x y cos x son continuas para todos los reales entonces se tiene que f (x) es continua en Rr{π/4}, pero como sin π/4 = cos π/4 entonces f (x) es continua en todos los reales. 13. a) 12. d) 0. g) 1/2. j) 5/2. m) 0. o) -4. r) −1. u) 1/2. b) 1/9. e) 2/π. h) no existe. k) −∞. n) tan−1 (1/6). p) −1/2. s) 1. 14. a) No tiene c) y = 0, y = 2, x = ln(5) c) 1. f) 0. i) 0. l) ∞. ñ) 7/3. q) 1/2. t) 1. b)y = 0 d) x = −5 15. a) lı́mt→∞ P (t) = Q, b) 0.098.