PERBANDINGAN ARIMA DENGAN MAXIMAL OVERLAP DISCRETE WAVELET TRANSFORM

PERBANDINGAN ARIMA DENGAN MAXIMAL OVERLAP DISCRETE WAVELET TRANSFORM 1) Rezzy Eko Caraka1 Departement Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Rezzyekocaraka@gmail.com Abstrak Penggunaan dekomposisi wavelet untuk pemodelan statistika khususnya pada data time telah mengala mi perkembangan yang pesat. Transformasi wavelet yang dipandang lebih sesuai untuk data time series adalah Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT) karena dalam setiap level dekomposisi terdapat koefisien wavelet dan skala sebanyak panjang data. Kelebihan ini mereduksi kelemahan pemfilteran dengan Discrete Wavelet Transform (DWT) yang tidak dapat dilakukan pada sebarang ukuran sampel. Penentuan level dekomposisi dan koefisien yang digunakan sebagai input model menggunakan dekomposisi multi skala. Dari analisis dapat disimpulkan data pasang surut Kota Semarang model yang terbaik digunakan adalah ARIMA ([3,12],1,0) karena mendapatkan nilai MSE minimal 40.90766. untuk permasalahan data surat keterangan asal (SKA) MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefisien pada level tersebut adalah 3 dengan nilai MSE 150.4789. Kata Kunci: MODWT, time series 1. Pendahuluan Peramalan adalah suatu kegiatan memperkirakan apa yang terjadi pada masa yang akan datang berdasarkan nilai sekarang dan masa lalu dari suatu peubah (Makridakis, 1999). Peramalan merupakan suatu unsur yang sangat penting terutama dalam perencanaan dan pengambilan keputusan. Adanya tenggang waktu antara suatu peristiwa dengan peristiwa yang terjadi mendatang merupakan alasan utama bagi peramalan dan perencanaan. Dalam situasi tersebut peramalan merupakan alat yang penting dalam perencanaan yang efektif serta efisien.Pemilihan metode dalam peramalan tergantung pada beberapa aspek penilitian yaitu aspek waktu, pola data, tipe model sistem yang diamati, dan tingkat keakuratan peramalan. Penggunaan metode tersebut dalam peramalan harus memenuhi asumsi-asumsi yang digunakan. Analisis dekomposisi wavelet merupakan fungs i basis yang memberikan alat baru sebagai pendekatan yang dapat digunakan dalam merepresentasikan data atau fungsi-fungsi yang lain (Banakar dan Azeem, 2006). Algoritma wavelet mampu memproses data pada skala atau resolusi yang berbeda. Beberapa kajian yang berkaitan dengan transformasi wavelet telah banyak dibahas, diantaranya oleh Khashman dan Dimililer (2008) dan Mallat (1998). Beberapa kajian tentang transformasi wavelet pada data time series juga telah dilakukan, diantaranya oleh Murguia dan Canton (2006) serta Kozlowski (2005). Transformasi Wavelet akan menghasilkan himpunan koefisien Wavelet yang dihitung dari titik (lokasi) observasi pada level (skala) dan lebar range yang berbeda (Kozlowzki, 2005). Penghitunga n koefisien wavelet dapat dilakukan dengan Discrete Wavelet Transform (DWT) sebagaimana dikemukakan oleh Mallat (1998) atau Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT) seperti dalam Percival dan Walden (2000). 2. Analisis Runtun Waktu George E.P.Box dan Gwilym M. Jenkins dalam Makridakis et.al (1999) memperkenalkan analis is runtun waktu, yaitu pengamatan sekarang (Zt) tergantung pada satu atau beberapa pengamatan sebelumnya (Zt-k). Metode peramalan yang sering digunakan antara lain adalah metode ARIMA Box-Jenkins yang digunakan untuk mengolah runtun waktu yang univariat. Menurut Wei (2006), suatu runtun waktu harus memenuhi syarat stasioneritas, yaitu nilai mean E ( Z t )   dan varians VarZ t   E Z t   2   2 konstan. Uji stasioneritas data dalam mean digunakan UjiDickey Fuller. Jika data tidak stasioner dalam mean maka dilakukan differensi. Untuk melihat dan mengatasi ketidakstasioneran dalam varian dapat digunaka n transformasi Box-Cox (Wei, 2006). � − � � � = � = � � Salah satu model runtun waktu non-musiman adalah ARIMA (p,d,q). Bentuk umum model ini sebagai berikut :  p ( B)(1  B) d Z t   q ( B)at dimana  ( B)  (1  1 B  ...   p B p ) merupakan operator AR(p) yang stasioner dan  ( B)  (1  1 B  ...   q B q ) merupakan operator MA(q) yang invertible dengan at independen dan berditribusi normal dengan mean 0 dan varians  a2 (Soejoeti, 1987). Model Subset ARIMA merupakan bagian dari model ARIMA tergeneralisasi (Tarno, 2013). Contoh model subset ARIMA([1,5],0,[1,12]) dapat ditulis sebagai: − � � − �5 � 5 � = − � � − � � � Sedangkan model SARIMA (p,d,q)(P,D,Q)sdalam Wei (2006) adalah    p ( B ) P B s 1  B dimana  p (B)  1  B  d s D   Z t   q ( B ) Q B s a t 1   B  B2  ...   B p 1 2 p =  P (B s ) = 1  1 B s   2 B 2s  ...   P B Ps 1  B  1  B  = tingkat differencing non-musiman Q B s 1 q 2 = = 1  1 B s   2 B 2s  ...   Q BQs d s D  q (B)   = tingkat differencing musiman 1   B  B2  ...   Bq dengan at independen dan berditribusi normal dengan mean 0 dan varian  a2 . 3. Dekomposisi Wavelet Fungsi wavelet adalah suatu fungsi matematika yang mempunyai sifat-sifat tertentu diantaranya berosilasi di sekitar nol (seperti fungsi sinus dan cosinus) dan terlokalisasi dalam domain waktu, artinya pada saat nilai domain relatif besar, fungsi wavelet berharga nol. Wavelet merupakan fungsi basis yang dapat digunakan dalam merepresentasikan data atau fungsi- fungsi yang lain. Fungsi Wavelet mempunyai nilai yang berbeda dari nol dalam interval waktu yang relatif pendek. Dalam hal ini wavelet berbeda dengan fungs i normal, ataupun fungsi gelombang seperti sinusoida, yang semuanya ditentukan dalam suatu domain waktu (-1,1). Wavelet dibedakan menjadi dua jenis, yaitu wavelet ayah (ϕ) dan wavelet ibu (ψ) yang mempunya i sifat: ∞ ∞ ∫−∞ ϕ x dx = 1 dan ∫−∞ ψ x dx = 0 (1) Keluarga wavelet dihasilkan dari wavelet ayah dan wavelet ibu melalui dilatasi diadik dan translasi integer yaitu : ϕ, x =( ) ψ, x =( ) ⁄ ⁄ ϕ( x − k) ψ( x − k) (2) (3) dengan j dan k masing- masing adalah parameter dilatasi dan parameter translasi. Wavelet dengan bentuk dilatasi dan translasi dengan j = 0 dan k = 0 dapat dipandang sebagai wavelet dasar. Indeks dilatasi j dan translasi k berpengaruh terhadap perubahan support dan range dari wavelet dasar. Indeks translasi k berpengaruh terhadap pergeseran posisi pada sumbu mendatar tanpa mengubah lebar support sedangkan pada indeks dilatasi j, jika support menyempit maka range akan melebar. Karena wavelet terlokalisasi dalam domain waktu (artinya pada saat nilai domain relatif besar, fungs i wavelet berharga nol) maka representasi fungsi dengan wavelet menjadi lebih efisien. Hal ini dikarenakan banyaknya koefisien wavelet yang tidak nol dalam rekonstruksi fungsi dengan wavelet relatif sedikit (Suparti dan Subanar, 2005). Selain itu, wavelet juga mampu merepresentasikan fungsi yang bersifat tidak mulus maupun fungsi dengan lonjakan atau volatilitas tinggi. Pada bagian fungsi yang tidak mulus, representasi wavelet akan menggunakan panjang support yang sempit. Fungsi wavelet dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari basis yang dibangun oleh wavelet atau dapat dituliskan dalam persamaan berikut. f x =∑ dengan ∈Z cJ, ϕJ , x + ∑ <� ∑ ∈Z d , ψ, x (4) cJ, = ∫ f x ϕJ, x dx d , = ∫ f x ψ , x dx Transformasi pada persamaan (4) merupakan transformasi wavelet kontinu atau Continue Wavelet Transform (CWT) dimana koefisien-koefisien wavelet diperoleh melalui proses integrasi sehingga nilai wavelet harus terdefinisi pada setiap x∈ ℝ. Bentuk transformasi yang lain adalah Discrete Wavelet Transform (DWT) dimana nilai- nilai wavelet hanya terdefinisi pada titik-titik diskret. Vektor yang memuat nilai- nila i wavelet disebut filter wavelet. Ada dua jenis filter pada DWT yaitu filter wavelet (filter detil) dinotasika n dengan h dan filter skala yang dinotasikan dengan g. Panjang suatu filter dinotasikan dengan L. Suatu filter wavelet harus memenuhi tiga sifat dasar berikut: ∑�− = ℎ = ∑�− = ℎ = ∑�− = ℎ ℎ+ (5a) (5b) � = ∑∞=−∞ ℎ ℎ + � = (5c) Jika diberikan filter wavelet {hl} maka filter skala didefinisikan sebagai berikut : � ≡ − + ℎ�− − (6) Filter skala diasumsikan memenuhi kondisi berikut : ∑�− = � = √ ∑�− = � = (7a) (7b) ∑∞=−∞ � � + = � dan ∑∞=−∞ � ℎ + �′ = (7c) Syarat yang harus dipenuhi untuk memenuhi sifat-sifat tersebut adalah panjang filter L bernilai genap. Misalkan diberikan filter wavelet h = (h0 , h1 , ..., hL-1 ) dan =( , …, �) adalah nilai fungsi pada x1 , ... , xn . Syarat yang harus dipenuhi adalah n=2 J dengan J suatu bilangan bulat positif. Transformasi wavelet dengan DWT dapat dituliskan sebagai : W= (8) dengan W = hasil transformasi dengan DWT dan = matriks transformasi berukuran nxn. Dalam hal ini elemen-elemen dari vektor W didekomposisi menjadi J+1 sub vektor. Transformasi dengan DWT akan memetakan vektor =( , …, �) ke vektor koefisien W = (W1 , W2 , ..., WJ, VJ) dengan Wj, j = 1, 2, ..., J memuat koefisien wavelet dj,k dan VJ memuat koefisien skala cJ,k . Koefisien wavelet yang bernilai besar mempunyai kontribusi besar dalam rekonstruksi fungsi sedangkan koefisien yang kecil mempunyai kontribus i yang kecil sehingga dapat diabaikan (dianggap nol). Dengan mengabaikan koefisien-koefisien wavelet yang dianggap kecil, transformasi dengan DWT dapat digunakan untuk proses denoising. 4. Maximal Overlap DWT Pemfilteran dengan DWT sebagaimana pada persamaan (8) tidak dapat dilakukan jika sampel yang diamati berukuran sebarang yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 2 J dengan J bilangan bulat positif. Sebagai alternatif, penghitungan koefisien d j,k dan cJ,k dapat dilakukan dengan Maximal Overlap Discrete Transform (MODWT). Keuntungan MODWT adalah dapat mengeliminasi reduksi data menjadi setengahnya (down-sampling) sehingga dalam setiap level akan terdapat koefisien wavelet dan skala sebanyak panjang data (Percival dan Walden, 2000). Misalkan data time series dengan panjang N, transformasi MODWT akan memberikan vektor kolom w1 , w2 , ..., wJ0 dan vJ0 masing-masing dengan panjang N. Misalkan dipunyai filter wavelet MODWT ℎ̃ dengan ℎ̃ ≡ ℎ ⁄√ dan filter skala �̃ dengan �̃ ≡ � ⁄√ , maka filter wavelet dan filter skala MODWT harus memenuhi kondisi berikut : ̃ ∑�− = ℎ = ∑�− ̃ = = � ∞ ̃ ̃ ̃ , ∑�− = ℎ = , dan ∑ =−∞ ℎ ℎ + , ∑�− ̃ = = � , dan ∑∞=−∞ �̃ �̃ + � � = (9) = (10) Hubungan antara �̃ dan ℎ̃ dapat dirumuskan sebagai berikut : ∑∞=−∞ �̃ ℎ̃ + � = (11) Pada MODWT koefisien wavelet pada setiap level selalu sama sehingga lebih sesuai untuk pemodelan pada time series dibandingkan dengan DWT. Prediksi data time series satu langkah ke depan dimodelkan secara linear berdasarkan koefisien wavelet hasil dekomposisi pada waktu-waktu sebelumnya. Misalkan dipunyai sinyal X=(X1 , ..., Xt ). Prediksi satu langkah ke depan dari proses autoregresif order � p atau AR(p) dapat dituliskan sebagai �̂ �+ = ∑ = �̂ ��− − . Pada pemodelan wavelet untuk proses ini, Renaud dkk (2003) dan Murtagh dkk (2004) menyusun prosedur penentuan lag-lag yang menjadi variabel input untuk prediksi multiskala autoregresif. Koefisien wavelet (detil) dan koefisien skala hasil transformas i MODWT yang dianggap mempunyai pengaruh untuk prediksi pada waktu t+1 akan berbentuk � ,� − dan ��,�− � − atau dapat dituliskan dalam persamaan (12) berikut : � � �̂ �+ = ∑ = ∑ �= ̂ , � ,�− � − �� +1 = +∑ ̂�+ , ��,�− � − � − (12) Simbol J menyatakan level dekomposisi sedangkan Aj menjelaskan banyaknya koefisien yang terpilih pada setiap level dekomposisi. Misalkan jika dipilih Aj = 1 untuk semua level resolusi j, maka bentuk persamaan (12) akan menjadi : � �̂ �+ = ∑ = ̂ � ,� + ̂�+ ��,� (13) Gambar 1 menunjukkan pixel dari sinyal input yang digunakan untuk menghitung koefisien wavelet terakhir pada skala yang berbeda sedangkan gambar 2 memperlihatkan koefisien wavelet yang digunaka n untuk prediksi menggunakan Aj = 2 untuk semua level resolusi j, dan J = 4 atau transformasi wavelet dengan lima skala (empat koefisien wavelet + koefisien skala). Pada kasus ini dapat dilihat bahwa hanya terdapat sepuluh koefisien yang digunakan. • • • • • • • • • • • • • • • • • Sinyal level 1 • • level 2 • • Transforma level 3 • • level 4 • • si Wavelet skala • • Gambar 1. Pixel dari sinyal input yang digunakan • • • • • • • • • • untuk • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • menghitung • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • koefisien wavelet terakhir pada skala yang berbeda Sinyal • • • • • • • • • • • • • • • • • level 1 • • level 2 • • Transforma level 3 • • level 4 • • si Wavelet skala • • Gambar 2. Koefisien wavelet • • • • • • • • • • yang • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • digunakan untuk prediksi data time • • • • • • series 5. Terapan pada Data Time Series Data yang digunakan dalam tugas ini adalah berupa data sekunder yang diambil dari Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) Maritim Kota Semarang mengenai data tinggi pasang surut air laut tahun 2004-2013 sebanyak 120 dan data yang digunakan diambil di Dinas Perindustrian dan Perdagangan Provinsi Jawa Tengah. Data yang diambil adalah data bulanan jumlah penerbitan Surat Keterangan Asal (SKA) dari periode Januari 2007 sampai dengan Februari 2011 sebanyak 50 data.Pengolaha n data dilakukan dengan menggunakan software R dengan package toolkit wmtsa, software minitab 16, dan software SAS Jenis wavelet yang digunakan adalah wavelet Haar. Tabel 1. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data pasang surut kota Semarang dengan wavelet Kriteria Nilai 855.0568 0.997 -18.7815 -4.5952 0.0716 3.570 16.1931 MSE R-Squared Min 1Q Median 3Q Max Dari tabel 1 nampak bahwa nilai MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefis ie n pada level tersebut adalah 3. Model yang diperoleh dapat dituliskan dalam persamaan berikut : ̂ �+ = . � ,� + . � ,�− − . � ,� Tabel 2. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data surat keterangan asal (SKA) dengan wavelet Kriteria Nilai 150.4788 0.9747 -4659.0 -521.6 -95.3 564.2 1686.0 MSE R-Squared Min 1Q Median 3Q Max Dari tabel 2 nampak bahwa nilai MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefis ie n pada level tersebut adalah 3. Model yang diperoleh dapat dituliskan dalam persamaan berikut : ̂ �+ = . � ,� + . � ,�− + . � ,� Tabel 3. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data pasang surut Kota SemarangdenganARIMA Model Uji Normalitas Residual SARIMA Berdistribusi normal ([3],1,0)(0,0,1)12 SARIMA Berdistribusi normal (0,1,[3])(1,0,0)12 SARIMA Berdistribusi normal (0,1,[3])(0,0,1)12 ARIMA Berdistribusi normal ([3,12],1,0) ARIMA Berdistribusi normal (0,1,[3,12]) Dari tabel 3 nampak bahwa nilai MSE minimal Independensi Residual Tidak terdapat korelasi antar lag Tidak terdapat korelasi antar lag Tidak terdapat korelasi antar lag Tidak terdapat korelasi antar lag Tidak terdapat korelasi antar lag diperoleh model ARIMA Signifikansi Paramete r MSE signifikan 41.19381 signifikan 41.24415 signifikan 41.14681 signifikan 40.90766 signifikan 41.41818 ([3,12],1,0) Kemudian dibentuk model ARIMA ([3,12],1,0)dengan � = − . − − . � � � −� Tabel 4. Hasil perhitungan statistik nilai prediksi data surat keterangan asal (SKA) dengan ARIMA Model Arima Uji Normalitas Residual Independensi Residual ARIMA (0,1,1) ARIMA (1,1,1) Berdistribusi Berdistribusi ARIMA (2,1,1) Berdistribusi Dari tabel 4 nampak bahwa nilai Signifikansi MSE Parameter normal Terdapat korelasi antar lag signifikan 290.849 normal Tidak terdapat korelasi signifikan 300.065 antar lag normal Terdapat korelasi antar lag signifikan 338.017 MSE minimal model ARIMA (0,1,1) Kemudian dibentuk model ARIMA ARIMA (0,1,1) dengan � = �− + � + . �− Sehingga model yang terbaik dan layak untuk dilakukan peramalan adalah model ARIMA (0,1,1) dengan model menjadi � = � = �− �− + + � +� � + . �− ̂=1.0316 maka model ARIMA (0,1,1) . Dengan parameter hasil estimasi � �− 6. Penutup Dari analisis dapat disimpulkan bahwa untuk permasalahan data pasang surut Kota Semarang model yang terbaik digunakan adalah ARIMA ([3,12],1,0) karena mendapatkan nilai MSE minimal 40.90766. untuk permasalahan data surat keterangan asal (SKA) MSE minimal diperoleh pada dekomposisi level 1 dan banyaknya koefisien pada level tersebut adalah 3 dengan nilai MSE 150.4789. Daftar Pustaka Caraka, R.E., Yasin,H and Suparti. 2015. Pemodelan Tinggi Pasang Surut Air Laut Di Kota Semarang Dengan Menggunakan Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT). Climate Knowledge for climate action, Indonesian Agency for Meteorological, Climatological and Geophysics (BMKG). Vol.2 No.2 ISSN:2355-7206 pp.104-114 Khashman, A. and Dimililer, K., 2008, Image Compression using Neural Networks and Haar Wavelet, Wseas Transactions On Signal Processing, ISSN: 1790-5022, 330 Issue 5, Volume 4, May Kozlowski, B., 2005, Time Series Denoising with Wavelet Transform, Journal of Telecommunications and Information Technology, Warsawa, Polandia Makridakis, S., Wheelwright, S.C., and McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jilid satu edisi kedua, Terjemahan Ir. Hari Suminto.Jakarta. Bina Rupa Aksara. Mallat, S., 1998, A Wavelet Tour of Signal Processing. New York: Academic Press Murguia, J.S. and Canton, E.C., 2006, Wavelet Analysis of Chaotic Time Series, Revista Mexicana de Fisica 52 (2) 155162 Murtagh, F., Stark, J.L., and Renaud, O., 2004, On Neuro-Wavelet Modelling, Decision Support System, 37, 475-484 Percival, D.,B. and Walden, A.,T., 2000,Wavelet Methods for Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom Renaud, O., Starcx, J.L., and Murtagh, F., 2003, Prediction Based on a Multiscale Decomposition, Int. Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, Vol. 1., No. 2, pp 217-232 Suparti dan Subanar, H., Estimasi Regresi dengan Metode Wavelet Shrinkage, Jurnal Sains dan Matematika, 2000, 8/3:105-113 Suparti.,Caraka,R.E.,Warsito,B and Yasin,H.2016. THE SHIFT INVARIANT DISCRETE WAVELET TRANSFORM (SIDWT) WITH INFLATION TIME SERIES APPLICATION. Journal of Mathematics Research. Vol.8, No.4; Agustus. Published by Canadian Center of Science and Education. ISSN 19169795 E-ISSN 1916-9809 Tarno. 2013. Kombinasi Prosedur Pemodelan Subset Arima dan DeteksiOutlier untuk Prediksi Data Runtun Waktu. Prosiding Seminar Nasional Statistika UNDIP 2013. Semarang. Warsito,B., Sunamar., dan Aburakhman.,2013, Pemodelan Time Series Dengan Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform, Prosiding Seminar Nasional Statistika, ISBN:9788-602-14387-0-1 LAMPIRAN: SYNTAX PERMASALAHAN PERMASALAHAN PASANG SURUT KOTA SEMARANG SYNTAX PERMASALAHAN SURAT KETERANGAN ASAL OUTPUT WAVELET PERMASALAHAN PASANG SURUT KOTA SEMARANG OUTPUT WAVELET PERMASALAHAN SURAT KETERANGAN ASAL LAMPIRAN OUTPUT PERMASALAHAN SURAT KETERANGAN ASAL ARIMA TERBAIK Model ARIMA (0,1,1) Estimates at each iteration Iteration 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 SSE 21067905 18885909 17215023 16038598 15341782 15197982 15145771 15119631 15103766 15092725 15084168 15076910 15070238 15063632 15056607 15048587 15038746 15025716 15006965 14977299 14924680 14816414 14539749 14106126 14069053 13847033 Parameters 0.100 6.876 0.250 9.004 0.400 11.018 0.550 12.053 0.700 11.128 0.755 9.568 0.784 8.958 0.803 8.505 0.817 8.169 0.828 7.899 0.837 7.672 0.845 7.470 0.853 7.285 0.860 7.109 0.868 6.935 0.876 6.761 0.884 6.580 0.893 6.388 0.903 6.182 0.915 5.959 0.931 5.724 0.952 5.516 0.984 5.523 1.016 6.165 1.034 6.865 1.032 6.447 ** Convergence criterion not met after 25 iterations ** Final Estimates of Parameters Type MA 1 Constant Mean Coef 1.0316 6.447 6.447 SE Coef 0.0347 4.190 4.190 T 29.74 1.54 P 0.000 0.131 Number of observations: 49 Residuals: SS = 13669906 (backforecasts excluded) MS = 290849 DF = 47 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value 12 14.8 10 0.141 24 31.1 22 0.095 36 44.7 34 0.105 48 59.6 46 0.086 Uji Normalitas Residual Model ARIMA (0,1,1) Uji Normalitas Residual ARIMA(0,1,1) Normal 99 Mean StDev N KS P-Value 95 90 2.435 533.7 49 0.065 >0.150 80 Percent 70 60 50 40 30 20 10 5 1 -1000 -500 0 RESI2 500 1000 1500 LAMPIRAN OUTPUT PERMASALAHAN PASANG SURUT KOTA SEMARANG ARIMA ([3,12],1,0) Parameter AR1,1 AR1,2 The SAS System The ARIMA Procedure Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Estimate Error t Value Pr > |t| -0.20717 0.09406 -2.20 0.0298 0.25680 0.09837 2.61 0.0104 Lag 3 12 Variance Estimate 41.68685 Std Error Estimate 6.456536 AIC 704.7638 SBC 710.1095 Number of Residuals 107 * AIC and SBC do not include log determinant. Correlations of Parameter Estimates Parameter AR1,1 AR1,2 AR1,1 1.000 0.151 AR1,2 0.151 1.000 To Lag 6 12 18 24 ChiSquare 2.89 7.03 9.57 13.08 DF 4 10 16 22 Autocorrelation Check of Residuals Pr > ChiSq --------------------Autocorrelations-------------------0.5763 0.102 -0.020 0.018 -0.002 -0.109 -0.052 0.7226 0.047 -0.088 -0.101 -0.119 -0.000 -0.016 0.8882 -0.031 0.110 -0.014 -0.039 0.055 0.048 0.9310 0.099 0.041 0.010 -0.006 0.100 -0.064 Model for variable y Period(s) of Differencing 1 Factor 1: Variable: N Mean Std Deviation Skewness Uncorrected SS Coeff Variation Autoregressive Factors 1 + 0.20717 B**(3) - 0.2568 B**(12) The UNIVARIATE Procedure RESIDUAL (Residual: Actual-Forecast) Moments 107 Sum Weights 107 0.08127735 Sum Observations 8.69667658 6.42548922 Variance 41.2869117 -0.5687708 Kurtosis 1.97302129 4377.11949 Corrected SS 4376.41264 7905.63315 Std Error Mean 0.62117549 Basic Statistical Measures Location Variability Mean 0.081277 Std Deviation Median 0.349644 Variance Mode . Range Interquartile Range 6.42549 41.28691 41.48868 8.51378 Tests for Location: Mu0=0 Test -Statistic-----p Value-----Student's t t 0.130844 Pr > |t| 0.8961 Sign M 1.5 Pr >= |M| 0.8468 Signed Rank S 101 Pr >= |S| 0.7552 Test Shapiro-Wilk Kolmogorov-Smirnov Cramer-von Mises Anderson-Darling Tests for Normality --Statistic--W 0.970288 D 0.056814 W-Sq 0.040891 A-Sq 0.394445 Quantile 100% Max -----p Value-----Pr < W 0.0168 Pr > D >0.1500 Pr > W-Sq >0.2500 Pr > A-Sq >0.2500 Estimate 15.159718 99% 95% 90% 75% Q3 50% Median 25% Q1 10% 5% 1% 0% Min 12.667766 9.600000 8.232071 4.387846 0.349644 -4.125936 -7.067769 -8.365701 -17.221892 -26.328963 Extreme Observations ------Lowest---------Highest----Value Obs Value Obs -26.3290 84 11.6277 39 -17.2219 83 11.9300 37 -12.6860 86 12.5482 58 -10.7974 98 12.6678 16 -9.4056 8 15.1597 96 Missing Value . Missing Values -----Percent Of----Missing Count All Obs Obs 3 2.73 100.00 The AUTOREG Procedure Dependent Variable RESIDUAL Residual: Actual-Forecast Ordinary Least Squares Estimates SSE 4377.11949 DFE 107 MSE 40.90766 Root MSE 6.39591 SBC 700.763797 AIC 700.763797 Regress R-Square 0.0000 Total R-Square 0.0000 Durbin-Watson 1.7846 Order 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Q and LM Tests for ARCH Disturbances Q Pr > Q LM 4.4400 0.0351 4.3381 5.5569 0.0621 4.7061 5.5758 0.1342 4.7646 6.4235 0.1697 5.7322 7.7722 0.1692 6.3426 7.7774 0.2549 6.7317 7.7775 0.3526 6.7324 8.5344 0.3831 7.7441 8.7224 0.4633 7.8089 8.9463 0.5372 7.8323 10.1845 0.5139 8.3737 14.3083 0.2815 13.6554 Pr > LM 0.0373 0.0951 0.1899 0.2201 0.2743 0.3464 0.4573 0.4589 0.5535 0.6452 0.6795 0.3232