Equilibrio General - Filminas - Notas de clase

Equilibrio General Equilibro General Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Primer Cuatrimestre 2015 Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 1 / 50 Equilibrio General Equilibrio General En la unidad anterior vimos como interactuaban la oferta y la demanda en un mercado para la determinación del precio y de la cantidad. El equilibrio general es la interacción entre todos los mercados, interrelacionados, donde el cambio de un precio del bien X afecta la demanda del bien Y. Habı́amos planteado el caso de equilibrio parcial más simple de todos, donde no tomamos en cuenta cambios en la renta, ni cambios en el precio del otro bien. Este hecho provoca que un el equilibrio general no sea una suma de equilibrios parciales. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 2 / 50 Equilibrio General Modelo de intercambio puro con dos individuos y dos bienes En este curso vamos a analizar el modelo más sencillo de equilibrio general: de intercambio puro con dos individuos y dos bienes (2x2). Cada individuo nace al mundo con una función de utilidad y una dotación inicial. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 3 / 50 Equilibrio General Supuestos y nomenclatura Individuos: 1,2. Bienes: X,Y La cantidad que posee el individuo 1 del bien X se detalla X1 , la cantidad que posee el individuo 1 del bien Y se detalla Y1 Análogamente, el individuo posee X2 cantidades del bien X y Y2 del bien Y. En este mundo no existe el dinero, entonces si un individuo quiere deshacerse de un bien, el otro individuo debe comprarlo mediante un intercambio. Para simplificar el problema, vamos a asumir que los precios son positivos (o sea no existen bienes gratuitos). Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 4 / 50 Equilibrio General Función de Utilidad Vamos a pedir que la función de utilidad sea cuasi-cóncava. En otras palabras, cualquier función que hayamos usado para la unidad del Teorı́a del Consumidor es valida para el Equilibrio general. Algunos ejemplos Ui (Xi , Yi ) = Xi Yi Ui (Xi , Yi ) = lnXi Yi Ui (Xi , Yi ) = Xiα Yiβ con α, β > 0 Ui (Xi , Yi ) = min(Xi , Yi ) Ui (Xi , Yi ) = Xi + Yi Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 5 / 50 Equilibrio General Dotación inicial Cada individuo nace al mundo con una cantidad de ambos bienes. Vectorialmente serı́a wi = (X̄i , Ȳi ) ∀i : 1, 2 La dotación inicial valuado a precios de mercado se llama riqueza. ωi (Px, Py )=pwi = Px X̄i + Py Ȳi Como los intercambios son equitativos, entonces el individuo siempre tiene la misma riqueza que la inicial. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 6 / 50 Equilibrio General Dotación inicial Ejemplo, si wi = (1, 2), entonces la riqueza del individuo i es Px + 2Py La riqueza va a indicar, para todos los niveles de precios, cual de los individuos es más rico. Ejemplo 1: Si w1 = (5, 5) y w2 = (1, 1) el individuo 1 siempre tendrá 5 veces de riqueza que el individuo 2. Ejemplo 2: Si w1 = (1, 0) y w2 = (0, 1) será más rico quien posea el bien con mayor valor. Si el bien X es un auto y el bien Y es una lapicera, el individuo 1 será más rico. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 7 / 50 Equilibrio General Dotación inicial La riqueza ωi cumple el rol de M de la Teorı́a del Consumidor. Px nos indica cuanto es la tasa de El precio relativo Py intercambio entre X e Y. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 8 / 50 Equilibrio General Primera intuición de equilibrio El objetivo del Equilibrio General es el mismo que el de equilibrio parcial. Objetivo: Encontrar un precio de equilibrio Px ∗ , Py ∗ y una asignación ”(X1∗ , Y1∗ ), (X2∗ , Y2∗ ) tal que: Cada individuo esté maximizando su utilidad sujeto a su restricción presupuestaria Todos los mercados están en equilibrio. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 9 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth La caja de Edgeworth ofrece una análisis gráfico del Equilibrio General para el caso de 2x2 (dos bienes y dos individuos). Definimos como .Oferta Total”la cantidad de bienes que hay en la economı́a. Oferta total del bien X: X = X¯1 + X¯2 Oferta total del bien Y: Y = Y¯1 + Y¯2 La caja de Edgeworth consiste en el primer cuadrante del individuo 1 visto regularlmente superpuesto por el primer cuadrante del individuo dos, girado 180 grados. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 10 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 11 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Dada la función de utilidad de cada individuo, se define un mapa de Curvas de Indiferencia. Estas curvas se pueden extender más allá de la caja. Sin embargo, dados los recursos de esta economı́a, es imposible acceder a esos puntos. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 12 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 13 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 14 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Una vez que se define la dotación inicial, se puede graficar el punto en la caja. Necesariamente, la dotación inicial de ambos individuos debe solapar en el mismo espacio fı́sico. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 15 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 16 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Dada una dotación inicial, le corresponde a cada individuo una Curva de Indiferencia que otorga la utilidad inicial de consumir la dotación inicial. Llamamos esta utilidad U0 o U Inicial Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 17 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 18 / 50 Equilibrio General Conjunto Paretiano Dado una mapa de curvas de indiferencia y la dotación inicial, definimos conjunto Paretiano, como el hueco formado por la unión de las Curvas de Indiferencia. El Conjunto Paretiano indica todas las canastas que otorga mayor utilidad a alguno de los dos individuos, sin perjudicar al otro. Nuestro objetivo es encontrar el equilibrio, buscar una situación donde existe el intercambio voluntario y no haya ni exceso de demanda ni exceso de oferta. Hemos reducido nuestros posibles equilibrios a aquellos que están adentro del Conjunto Paretiano. Ası́, el equilibrio no está afuera, pues nadie intercambiarı́a voluntariamente para estar en una situación peor. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 19 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 20 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth En el equilibrio, cada individuo maximiza su utilidad sujeto a la restricción presupuestaria. Max Ui (Xi , Yi ) Sujeto a ωi (px, py ) = PxX + pyY Para cada nivel de Px,Py se define una restricción presupuestaria distinta. En el siguiente gráfico, observamos infinitas restricciones presupuestarias. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 21 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 22 / 50 Equilibrio General Equilibrio Una situación de equilibrio se da cuando cada individuo maximiza su utilidad y todos los mercados están en equilibrio. Miremos entonces una situación de no-equilibrio. Vamos a elegir un Px,Py tal que no cumpla con una de las condiciones. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 23 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 24 / 50 Equilibrio General No equilibrio Dado este nivel de precios, cada individuo va a maximizar, esto significa que va a encontrar la Curva de Indiferencia mayor considerando la restricción. El problema, es que dado este Px y Py, va a haber un exceso de demanda en un mercado y un exceso de oferta en el otro. En el siguiente ejemplo gráfico, se demanda más X de lo que se puede conseguir, y se demanda menos Y de lo que hay en el mercado. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 25 / 50 Equilibrio General Caja de Edgeworth Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 26 / 50 Equilibrio General Equilibrio Ahora supongamos que encontramos el Px ∗ , Py ∗ de equilibrio. Vamos a mostrar gráficamente que cumple las dos condiciones: Todos los individuos maximizan su utilidad y ambos mercados están en equilibrio. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 27 / 50 Equilibrio General Equilibrio Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 28 / 50 Equilibrio General Equilibrio Observación 1: Existe una triple tangencia entre las curvas de indiferencia y la restricción presupuestaria. Observación 2: La utilidad final es mayor que la inicial. Esto se debe pues a que la asignación final se encuentra en el Conjunto Paretiano. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 29 / 50 Equilibrio General Refinamiento del equilibrio A continuación vamos a formalizar las dos condiciones de equilibrio. En el equilibrio, cada individuo maximiza su utilidad sujeto a la restricción presupuestaria. Max Ui (Xi , Yi ) Sujeto a ωi (px, py ) = PxX + pyY Px En otras palabras: TMS1 = = TMS2 Py Ambos mercados están en equilibrio: X1 + X2 = X = X¯1 + X¯2 Y1 + Y2 = Y = Y¯1 + Y¯2 Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 30 / 50 Equilibrio General Cada individuo maximiza su utilidad Igual que la Teorı́a del Consumidor, cada individuo maximiza su utilidad. Px y En otros palabras, buscan el punto donde TMSi = Py además se gasta todo la riqueza. El resultado de la maximización son las demandas optimas. X1 (Px, Py , ω1 ), Y1 (Px, Py , ω1 ) para el individuo 1. X2 (Px, Py , ω2 ), Y2 (Px, Py , ω2 ) para el individuo 2. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 31 / 50 Equilibrio General Las demandas óptimas dependen del precio relativo Vamos a mostrar que se pueden transformar las demandas para que dependan del precio relativo. Partimos de las demandas, y el primer paso es reemplazar la riqueza (ωi (Px,Py)) donde dicen ωi X1 (Px, Py , ω1 (Px, Py )), Y1 (Px, Py , ω1 (Px, Py )) para el individuo 1. X2 (Px, Py , ω2 (Px, Py )), Y2 (Px, Py , ω2 (Px, Py )) para el individuo 2. Por lo tanto, obtenemos expresiones de las demandas en función de Px y Py X1 (Px, Py ), Y1 (Px, Py ) para el individuo 1. X2 (Px, Py ), Y2 (Px, Py ) para el individuo 2. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 32 / 50 Equilibrio General Las demandas optimas dependen del precio relativo Finalmente, por ser homogéneo de grado 0, si multiplicamos todos los precios por una constante t, entonces se demanda lo 1 mismo. Si t = py Px Px X1 ( ), Y1 ( ) para el individuo 1. Py Py Px Px X2 ( ), Y2 ( ) para el individuo 2. Py Py La conclusión es que si tenemos demandas que me dicen cuanto consumir de X e Y para cada nivel de Px y para cada nivel de Py, también puedo encontrar demandas para valores Px de . Py Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 33 / 50 Equilibrio General Ejemplo, un individuo consumirá lo mismo, Si: Px=1,Py=3 Px=2,Py,6 Px=5,Py=15 1 Px = Py 3 Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 34 / 50 Equilibrio General Nomenclatura Para simplificar la resolución de ejercicios, es conveniente crear la siguiente nomenclatura: Px =p Llamar Py Entonces las demandas óptimas son las siguientes: X1 (p), Y1 (p) para el individuo 1. X2 (p), Y2 (p) para el individuo 2. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 35 / 50 Equilibrio General Los mercados se equilibran Para cada p, podemos encontrar que cantidad demanda cada individuo de ambos bienes. Faltarı́a ver cual es el precio que equilibrarı́a cada mercado. Sabemos que X1 + X2 = X y Y1 + Y2 = Y A continuación reemplazamos con las demandas que obtuvimos: X1 (p) + X2 (p) = X Y1 (p) + Y2 (p) = X Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 36 / 50 Equilibrio General Ley de Walras X1 (p) + X2 (p) = X Y1 (p) + Y2 (p) = X Resolviendo este sistema de 2 ecuaciones con 1 incógnita, obtenemos el precio relativo de equilibrio. Resolviendo el mercado del bien X se obtiene el mismo resultado que el mercado del bien Y. La Ley de Walras nos dice que si tenemos N mercado, y N-1 mercados está en equilibrio, el enésimo también lo estará. En este caso, como hay 2 mercados, con que uno esté en equilibrio, el otro también lo estará. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 37 / 50 Equilibrio General Ejemplo Datos: Individuo 1: U(X1 , Y1 ) = X1 Y1 w1 = (1, 0) por lo tanto ω1 = Px Datos: Individuo 2: U(X1 , Y1 ) = X2 Y2 w1 = (0, 1) por lo tanto ω2 = Py Haciendo la maximización de utilidad obtenemos: ω1 ω1 X1 (Px, Py , ω1 ) = , Y1 (Px, Py , ω1 ) = para el 2Px 2Py individuo 1. ω2 ω2 X2 (Px, Py , ω2 ) = , Y2 (Px, Py , ω2 ) = para el 2Px 2Py individuo 2. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 38 / 50 Equilibrio General Ejemplo continuado Reemplazando la expresión de la riqueza: Px X1 (Px, Py , ω1 (Px, Py )) = = 2Px 1 Px , Y1 (Px, Py , ω1 (Px, Py )) = para el individuo 1. 2 2Py Py X2 (Px, Py , ω2 (Px, Py )) = , Y2 (Px, Py , ω2 (Px, Py )) = 2Px 1 Py = para el individuo 2. 2Py 2 Reescribimos todo en función de p 1 P X1 (p) = , Y1 (p) = para el individuo 1. 2 2 1 1 X2 (p) = , Y2 (p) = para el individuo 2. 2P 2 Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 39 / 50 Equilibrio General Ejemplo Finalmente, tenemos que ver cuales son los precios p que equilibran ambos mercados. Por la Ley de Walras, es indistinto resolver el mercado X y el mercado Y, por lo que arbitrariamente elijo resolver el mercado Y. Y1 (p) + Y2 (p) = Y p 1 + =1 2 2 Por lo tanto el p ∗ = 1 Reemplazando en las demandas, obtenemos que el consumo final es: 1 1 X1 (p = 1) = , Y1 (p = 1) = para el individuo 1. 2 2 1 1 X2 (p = 1) = , Y2 (p = 1) = para el individuo 2. 2 2 Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 40 / 50 Equilibrio General Conclusión Ambos individuos están maximizando. El individuo 1 le otorgo media unidad de X por media unidad de Y, o sea a una tasa de 1 por 1 (el precio relativo). Ambos mercados están en equilibrio y ambos se encuentran en una mejor situación por haber hecho el intercambio. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 41 / 50 Equilibrio General Curva de contrato Vamos a definir la curva de contrato, como todos los puntos donde ambos individuos están maximizando. O sea, todos los puntos donde TMS1 = TMS2 . En otras palabras, en cada punto sobre la curva de contrato, las curvas de indiferencia de ambos individuos son tangentes. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 42 / 50 Equilibrio General Curva de contrato Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 43 / 50 Equilibrio General Curva de contrato Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 44 / 50 Equilibrio General Curva de contrato Las curvas de contrato no toman en cuenta la dotación inicial. Por lo tanto, para distintas dotaciones iniciales, sólo serán relevantes la parte de la curva de contrato en el Conjunto Paretiano. Hemos logrado reducir el conjunto de equilibrio a un subconjunto menor. Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 45 / 50 Equilibrio General Curva de contrato Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 46 / 50 Equilibrio General Curva de oferta La Curva de Oferta nos indica que cantidad demanda cada individuo de ambos bienes para todos los niveles de precios. La curva de Oferta del individuo 1 consiste en graficar (X1 (p), Y1 (p)) La curva de oferta del individuo 1 consiste en graficar (X2 (p), Y2 (p)) En el siguiente gráfico podemos observar la curva de oferta de nuestro ejemplo: Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 47 / 50 Equilibrio General Curva de Oferta Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 48 / 50 Equilibrio General Uniendo todo Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 49 / 50 Equilibrio General Curva de Oferta Hemos logrado reducir el subconjunto que era la curva del contrato en el Conjunto Paretiano a un solo punto Siempre que las curvas de ofertas se cruzan hay un equilibrio, y este necesariamente está en la curva de contrato. En una economı́a puede pasar las siguientes situaciones: Las curvas de Las curvas de un equilibrio. Las curvas de equilibrios. Las curvas de equilibrio. oferta se cruzan una vez y hay un solo equilibrio. oferta se cruzan más de una vez y hay más de oferta se cruzan infinitas veces y hay infinitos oferta no se cruzan y por lo tanto no hay Pablo Fajfar y Martin Gerschenfeld Equilibro General 50 / 50