Appunti inediti di fisica teorica

Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica a cura di S. Esposito e E. Recami (Riproduzione vietata) Indice Prefazione vii Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 Potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia mutua di due distribuzioni di masse elettriche o magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effetto pellicolare in condutture elettriche cilindriche omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoria termodinamica delle pile termoelettriche . . . . . . Energia di un conduttore isolato . . . . . . . . . . . . . . . Attrazione di masse lontane . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linee elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densità di una distribuzione sferica . . . . . . . . . . . . . Skineffect elettrico limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skineffect elettrico limite per sezioni particolari. Indicazioni per sezioni qualunque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Sezioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.2 Influenza delle irregolarità del contorno . . . . . . . Perdite per isteresi nei conduttori magnetici in regime di effetto pellicolare limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campo prodotto nel suo piano da una distribuzione lineare omogenea circolare di masse newtoniane . . . . . . . . . . . Campo prodotto nel suo piano da una corrente circolare . . Effetto pellicolare debole in conduttori a sezione ellittica aventi la stessa permeabilità del mezzo . . . . . . . . . . . Scariche oscillanti nei condensatori . . . . . . . . . . . . . . Autoinduzione di una bobina di grande lunghezza ad asse rettilineo e sezione circolare e a parecchi strati . . . . . . . i 1 1 4 6 7 10 11 13 15 16 19 20 25 25 26 28 30 31 31 33 35 1.19 Energia di una distribuzione circolare uniforme di masse elettriche o magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.20 Autoinduzione di una bobina ad asse rettilineo e di limitata lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.21 Distanze medie di elementi di volume o superficiali o lineari 40 1.22 Somma di alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.23 Autoinduzione di una bobina rettilinea di lunghezza limitata a sezione circolare e avvolgimento di piccolo spessore . 43 1.24 Variazione del coefficiente di autoinduzione in seguito all’effetto pellicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.25 Errore medio nella determinazione della probabilità di un evento mediante un numero finito di prove . . . . . . . . . 48 1.26 Squilibrio di un sistema trifase puro . . . . . . . . . . . . . 49 1.27 Tavola per il calcolo della funzione x! . . . . . . . . . . . . 50 1.28 Influenza di un campo magnetico sul punto di fusione . . . 52 1.29 Calore specifico di un oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.30 Se i figli dei medesimi genitori tendano ad appartenere allo stesso sesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.31 Propagazione del calore posto in una sezione di una sbarra indefinita, di cui un’altra sezione è tenuta a zero. Similitudine dei grilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.32 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.33 Energia e calore specifico del rotatore . . . . . . . . . . . . 61 1.34 Attrazione dell’ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.35 Casi particolari: ellissoide con un asse molto allungato; ellissoide rotondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.36 Equilibrio di un liquido rotante . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.37 Alcuni integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.38 Propagazione del calore in un mezzo isotropo e omogeneo . 78 1.38.1 Propagazione in una dimensione . . . . . . . . . . . 78 1.39 Trasformazioni conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.40 Meccanica ondulatoria del punto materiale in un campo conservativo. Variazione degli autovalori . . . . . . . . . . 85 1.41 Massa elettromagnetica dell’elettrone . . . . . . . . . . . . 86 1.42 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.43 ∆ in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 ii Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 ∆ in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sviluppo di una funzione armonica nel piano . . . . . . . . Quantizzazione dell’oscillatore lineare armonico . . . . . . . Riduzione a diagonale di una matrice . . . . . . . . . . . . Quantizzazione ondulatoria di un punto attratto con forza costante verso una parete perfettamente elastica . . . . . . Hamiltoniana relativista per il movimento di un elettrone . Funzione di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il potenziale infratomico senza statistica . . . . . . . . . . . Applicazione del potenziale di Fermi . . . . . . . . . . . . . Curva statistica dei termini fondamentali negli atomi neutri Quinte potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Molecola biatomica a nuclei uguali . . . . . . . . . . . . . . Seste potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Settime potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenziale nell’atomo in seconda approssimazione . . . . . Polarizzabilità dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sviluppi e integrali di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momento di inerzia della Terra . . . . . . . . . . . . . . . . Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moto kepleriano piano perturbato . . . . . . . . . . . . . . Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sviluppi in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoria dell’irraggiamento: diffusione dell’elettrone libero . . Onde di De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e2 ' hc ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’equazione y 00 + P y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indeterminazione del potenziale vettore e scalare . . . . . . Sulla ionizzazione spontanea di un atomo di idrogeno posto in una regione a potenziale elevato . . . . . . . . . . . . . . Urto di una particella α contro un nucleo radioattivo . . . Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 93 93 93 95 99 102 106 111 115 118 122 123 124 125 127 128 129 130 132 133 140 144 146 149 151 158 161 162 164 168 169 171 175 177 194 207 2.37 L’equazione y 00 = xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.38 Degenerazione di risonanza con più elettroni . . . . . . . . 2.39 Formole varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.39.1 Formole di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.39.2 Valor massimo di variabili casuali . . . . . . . . . . 2.39.3 Coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.39.4 Coefficienti dello sviluppo di 1/(1 − x)n . . . . . . 2.39.5 Relazione tra i coefficienti binomiali . . . . . . . . . 2.39.6 Valori medi di rn tra superfici sferiche concentriche Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 208 210 211 211 212 215 217 217 218 227 Somma di alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 L’equazione ¤H = r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Equilibrio di una massa liquida eterogenea in rotazione (Problema di Clairaut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Determinazione di una funzione quando sono noti i momenti 251 Curve di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Z π/2 sin kx L’integrale definito dx . . . . . . . . . . . . . . 262 sin x 0 Prodotti infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Polinomi e numeri di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Grandezze fisiche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Curva del cane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Potenziale statistico nelle molecole . . . . . . . . . . . . . . 279 Gruppo delle trasformazioni unitarie in due variabili . . . . 282 Relazioni di scambio fra trasformazioni infinitesime nelle rappresentazioni di gruppi continui . . . . . . . . . . . . . . 293 Formole empiriche per l’energia di atomi con due elettroni 296 Gruppo delle rotazioni O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Matrici di Dirac e gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . 309 Elettrone rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Caratteri della Dj e riduzione di Dj ×Dj0 . . . . . . . . . . 330 Regole di selezione e di intensità in campo centrale . . . . . 333 Effetto Zeeman anomalo (secondo la teoria di Dirac) . . . . 339 Sistemi completi di equazioni differenziali del primo ordine 345 iv Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 351 Relazione fra suscettibilità e momento elettrico variabile nello stato fondamentale di un atomo . . . . . . . . . . . . 351 Probabilità di ionizzazione di un atomo di idrogeno in campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Sviluppo di un polinomio in −1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Regole di moltiplicazione dei polinomi di Legendre . . . . . 362 Funzione di Green per l’equazione differenziale y 00 + (2/x − 1) y + φ(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Su uno sviluppo in serie del logaritmo integrale . . . . . . . 366 Caratteri primitivi del gruppo delle permutazioni di f oggetti369 Sviluppo dell’onda piana secondo le funzioni sferiche . . . . 374 Formola di Rutherford dedotta con la meccanica classica . 377 La formola di Rutherford come prima approssimazione del metodo di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 L’equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Forze di polarizzazione fra atomi di idrogeno . . . . . . . . 387 Rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel . . . . . 389 Simmetria cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Formole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Onde piane secondo la teoria di Dirac . . . . . . . . . . . . 398 Operatori impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Rappresentazione integrale delle autofunzioni dell’idrogeno 411 Deviazione di un raggio α dovuta a un nucleo pesante (meccanica classica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Diffusione dovuta a un centro a/r − b/r2 . . . . . . . . . . 414 Il sistema di funzioni ortogonali definito da ya00 = (x − a)ya 416 Sviluppi in integrali di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Integrali circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Frequenze d’oscillazione dell’ammoniaca . . . . . . . . . . . 422 Funzioni sferiche con spin (s = 1) . . . . . . . . . . . . . . 425 Diffusione di elettroni veloci (metodo di Born relativistico) 438 Grandezze atomiche di uso frequente . . . . . . . . . . . . 444 Stati quasi-stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Funzioni sferiche con spin (II) . . . . . . . . . . . . . . . . 459 v Volumetto 5 5.1 5.2 5.3 5.4 Rappresentazioni del gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . Urto fra protoni e neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeri delle funzioni di Bessel d’ordine mezzo . . . . . . . . . Statistica e termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Entropia di un sistema in equilibrio termico . . . . 5.4.2 Gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Gas monoatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Gas biatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Formole numeriche per l’entropia dei gas . . . . . . 5.4.6 Energia libera dei gas biatomici . . . . . . . . . . . 5.5 Polinomi di uso frequente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Trasformazioni di spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Funzioni sferiche con spin s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Rappresentazioni unitarie in infinite dimensioni del gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 L’equazione (¤ + λ)A = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Formole varie relative ad autofunzioni atomiche . . . . . . 5.11 Teoria classica della radiazione di multipolo . . . . . . . . . 5.12 Autofunzioni dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice analitico 461 461 467 470 470 470 471 472 473 475 477 477 477 478 484 489 494 499 501 511 515 vi Prefazione Introduzione storico-biografica La fama di Ettore Majorana può solidamente appoggiarsi a molte testimonianze come la seguente, dovuta alla memore penna di Giuseppe Cocconi. Invitato da Edoardo Amaldi, dal CERN gli scrive (18 luglio 1965): <<...Nel gennaio 1938, appena laureato, mi fu offerto, essenzialmente da te, di venire a Roma per sei mesi nell’Istituto di Fisica dell’Università come assistente incaricato, ed una volta lı́ ebbi la fortuna di unirmi a Fermi, Bernardini (che aveva avuto una Cattedra a Camerino pochi mesi prima) ed Ageno (lui pure giovane laureato), nella ricerca dei prodotti di disintegrazione dei “mesoni” mu (allora chiamati mesotroni ed anche yukoni) prodotti dai raggi cosmici. L’esistenza dei “mesoni” mu era stata proposta circa un anno prima, ed il problema del loro decadimento era già molto attuale. Fu proprio mentre mi trovavo con Fermi nella piccola officina del secondo piano, intenti lui a lavorare al tornio un pezzo della camera di Wilson che doveva servire a rivelare i mesoni in fine range, io a costruire un trabiccolo per l’illuminazione della camera, utilizzante il flash prodotto dall’esplosione di una fettuccia di alluminio cortocircuitata su una batteria, che Ettore Majorana venne in cerca di Fermi. Gli fui presentato e scambiammo poche parole. Una faccia scura. E fu tutto lı́. Un episodio dimenticabile se dopo poche settimane, mentre ero ancora con Fermi nella medesima officinetta, non fosse arrivata la notizia della scomparsa da Napoli del Majorana. Mi ricordo che Fermi si dette da fare telefonando da varie parti sinché, dopo alcuni giorni, si ebbe l’impressione che non lo si sarebbe ritrovato piú. Fu allora che Fermi, cercando di farmi capire che cosa significasse tale perdita, si espresse in modo alquanto insolito, lui che era cosı́ serenamente severo quando si trattava di giudicare il prossimo. Ed a questo punto vorrei ripetere le sue parole, cosı́ come da allora me le sento risuonare nella memoria: “Perché, vede, al mondo ci sono varie categorie di scienziati; gente di secondo e terzo rango, che fan del loro meglio ma non vanno molto lontano. C’è anche gente di primo rango, che arriva a scoperte di grande importanza, fondamentali per lo sviluppo della scienza (e qui ho netta l’impressione che in quella categoria volesse mettere se stesso). “Ma poi ci sono Prefazione i geni, come Galileo e Newton. Ebbene, Ettore era uno di quelli. Majorana aveva quel che nessun altro mondo ha...”>>. Enrico Fermi [uno dei maggiori fisici della nostra epoca; per quello che ha fatto nel 1942 a Chicago, con la costruzione della prima “pila atomica”, il suo nome diverrà forse leggendario come quello di Prometeo...] si espresse in maniera per lui insolita anche in un’altra occasione, il 27 luglio 1938 (dopo la scomparsa di Majorana, avvenuta il sabato 26 marzo 1938), scrivendo da Roma al primo ministro Mussolini onde chiedere una intensificazione delle ricerche di Ettore: << Io non esito a dichiararVi, e non lo dico quale espressione iperbolica, che fra tutti gli studiosi italiani e stranieri che ho avuto occasione di avvicinare il Majorana è fra tutti quello che per profondità di ingegno mi ha maggiormente colpito>>. E un testimone diretto, Bruno Pontecorvo, aggiunge: <<Qualche tempo dopo l’ingresso nel gruppo di Fermi, Majorana possedeva già una erudizione tale ed aveva raggiunto un tale livello di comprensione della Fisica da potere parlare con Fermi di problemi scientifici da pari a pari. Lo stesso Fermi lo riteneva il piú grande fisico teorico dei nostri tempi. Spesso ne rimaneva stupito [...]. Ricordo esattamente queste parole di Fermi: “Se un problema è già posto, nessuno al mondo lo può risolvere meglio di Majorana”.>> Ettore Majorana scomparve piuttosto misteriosamente il 26 marzo 1938, e non fu mai più ritrovato. Il mito della sua “scomparsa” ha contribuito a null’altro che alla notorietà che gli spettava, per essere egli un genio e un genio molto avanzato rispetto ai suoi tempi. Il presente volume, in traduzione, ha prima visto la luce in lingua inglese per i tipi della Kluwer Academic Press, e sotto lo stimolo, in particolare, del direttore della rivista “Foundations of Physics” (A. van der Merwe). Ora esce nella versione originale, scritta da Ettore Majorana in lingua italiana. In questo libro appare finalmente una prima parte degli appunti lasciati inediti dal Nostro: e, precisamente, i quaderni (noti come i Volumetti ), che comprendono i suoi appunti di studio redatti in Roma tra il 1927, anno in cui abbandonò gli studi di Ingegneria per passare a quelli di Fisica, e il 1931-2. Si potrà verificare come tali manoscritti siano un modello non solo di ordine, divisi come erano (e sono) in argomenti e persino viii Prefazione muniti di indici, ma anche di originalità, scelta dell’essenziale, e sinteticità; tanto che essi potrebbero venire riguardati, da un lato, come un eccellente complemento —dopo oltre settanta anni— di un testo moderno di Fisica teorica, e, dall’altro, come una miniera di nuovi spunti e idee teoriche, in fisica e matematica, stimolanti e utili anche per la ricerca scientifica contemporanea. Un futuro secondo volume pubblicherà almeno una frazione di altri manoscritti inediti, ancora più tecnici, ma ancora più ricchi di spunti scientifici originali: i cosiddetti Quaderni, contenenti le note scritte da Majorana durante le sue ricerche scientifiche. Ricordiamo che Majorana, passato a Fisica alla fine del ’27, si laureò con Fermi il 6 luglio 1929, e continuò a collaborare col famoso gruppo di Enrico Fermi e Franco Rasetti (nato per volontà e attiva opera di Orso Mario Corbino): i cui fisici teorici —in ordine di ingresso nel gruppo— furono Ettore Majorana, Gian Carlo Wick, Giulio Racah, Giovanni Gentile jr., Ugo Fano, Bruno Ferretti, e Piero Caldirola. Membri del sottogruppo sperimentale furono Emilio Segré, Edoardo Amaldi, Bruno Pontecorvo, Eugenio Fubini, Mario Ageno, Giuseppe Cocconi, oltre all’ottimo chimico Oscar D’Agostino. Successivamente, Majorana conseguı́ la Libera Docenza in Fisica teorica il 12 novembre 1932; trascorse circa sei mesi a Lipsia con Werner Heisenberg durante il 1933; e quindi, per ragioni ignote, interruppe la sua frequentazione del gruppo dei “ragazzi di via Panisperna”. Smise perfino di pubblicare i risultati delle proprie ricerche (che già in precedenza aveva drasticamente selezionato basandosi sul suo eccezionale spirito critico e amore per il rigore e le vere innovazioni); a parte l’articolo “Teoria simmetrica dell’elettrone e del positrone,” già pronto fin dal 1933, e che, stimolato dai suoi colleghi, Majorana tirò fuori da un cassetto e pubblicò in occasione del Concorso nazionale del 1937 a tre posti di professore ordinario di Fisica teorica. In relazione a quest’ultimo punto, ricordiamo che nel 1937 i concorrenti furono numerosi, e molti di essi di elevato valore; soprattutto quattro: Ettore Majorana, Giulio Racah (ebreo, che successivamente passerà da Firenze in Israele fondandovi la Fisica teorica), GianCarlo Wick (di madre torinese e nota antifascista), e Giovanni Gentile jr. (figlio dell’omonimo filosofo, già ministro —come si direbbe ora— della Pubblica Istruzione, e ideatore delle “parastatistiche” in meccanica quantica). La commissione giudicatrice era costituita da: Enrico Fermi (presidente), Antonio Carrelli, Orazio Lazzarino, Enrico Persico e Giovanni Polvani. Su raccomandazione della commissione giudicante, il ministro dell’Educazione ix Prefazione Nazionale Giuseppe Bottai nominò il Majorana professore di Fisica teorica all’Università di Napoli per la sua “grande e meritata fama”, al di fuori del Concorso stesso. La Commissione, invero, aveva dichiarato per iscritto al Ministro di esitare ad applicare a lui le normali procedure concorsuali; allegando il seguente giudizio: <<...Senza elencarne i lavori, tutti notevolissimi per l’originalità dei metodi impiegati e per l’importanza dei risultati raggiunti, ci si limita qui alle seguenti segnalazioni: Nelle teorie nucleari moderne il contributo portato da questo ricercatore con la introduzione delle forze dette “Forze di Majorana” è universalmente riconosciuto, tra i piú fondamentali, come quello che permette di comprendere teoricamente le ragioni della stabilità dei nuclei. I lavori del Majorana servono oggi di base alle piú importanti ricerche in questo campo. Nell’atomistica spetta al Majorana il merito di aver risolto, con semplici ed eleganti considerazioni di simmetria, alcune tra le piú intricate questioni sulla struttura degli spettri. In un recente lavoro infine ha escogitato un brillante metodo che permette di trattare in modo simmetrico l’elettrone positivo e negativo, eliminando finalmente la necessità di ricorrere all’ipotesi estremamente artificiosa ed insoddisfacente di una carica elettrica infinitamente grande diffusa in tutto lo spazio, questione che era stata invano affrontata da molti altri studiosi>>. Uno dei lavori piú importanti di Ettore, quello in cui introduce la sua “equazione a infinite componenti” (di cui diciamo in seguito), non è menzionato: ancora non era stato capito. È interessante notare, però, che viene dato giusto rilievo alla sua teoria simmetrica per l’elettrone e l’anti-elettrone (oggi in auge, per la sua applicazione a neutrini e antineutrini); e a causa della capacità di eliminare l’ipotesi cosiddetta “del mare di Dirac” [P.A.M. Dirac, premio Nobel 1933]: ipotesi che viene definita “estremamente artificiosa e insoddisfacente”, nonostante che essa dai piú sia sempre stata accettata in maniera acritica. I dettagli del primo incontro di Majorana con Fermi ci illuminano circa alcuni aspetti, scientifici e no, di Ettore. Essi sono noti da quando li ha narrati Segré; ma vale la pena di rileggerli con attenzione: <<Il primo lavoro importante scritto da Fermi a Roma [su alcune proprietà statistiche dell’atomo]. . . è oggi noto come metodo di Thomas-Fermi . . .Quando Fermi trovò che per procedere gli occorreva la soluzione di un’equazione differenziale non lineare, caratterizzata da condizioni al contorno insolite, con la x Prefazione sua abituale energia in una settimana di assiduo lavoro calcolò la soluzione con una piccola calcolatrice a mano. Majorana, che era entrato da poco in Istituto e che era sempre molto scettico, decise che probabilmente la soluzione numerica di Fermi era sbagliata e che sarebbe stato meglio verificarla. Andò a casa, trasformò durante la serata e la notte l’equazione originale di Fermi in una equazione del tipo di Riccati e la risolse senza l’aiuto di nessuna calcolatrice, servendosi della sua straordinaria attitudine al calcolo numerico... Quando il mattino dopo tornò in Istituto confrontò con aria scettica il pezzetto di carta, su cui aveva riportato i dati ottenuti, col quaderno di Fermi, e quando trovò che i risultati coincidevano esattamente non poté nascondere la sua meraviglia>>. Abbiamo indugiato sul precedente aneddoto dato che le pagine con la soluzione in forma chiusa trovata dal Majorana per l’equazione differenziale di Fermi —equazione che Fermi, ripetiamolo, non era riuscito a risolvere analiticamente— sono state da noi alfine scoperte proprio nei Volumetti (e tra altri fogli sparsi): si è cosı̀ potuto recentemente mostrare che Majorana seguı̀ in realtà due indipendenti metodi (molto originali) per giungere ai medesimi risultati, uno dei quali lo condusse ad una equazione di Abel, piuttosto che di Riccati. Il secondo cammino costituisce una novità anche per la Matematica attuale. La comprensione dettagliata di quanto fatto da Majorana in quelle poche ore ha richiesto a uno di noi circa due mesi di intensa applicazione... Gli articoli pubblicati da Ettore Majorana Ettore scrisse pochi articoli scientifici: nove; oltre allo scritto semi-divulgativo “Il valore delle leggi statistiche nella fisica e nelle scienze sociali”, pubblicato postumo su Scientia (Vol.36 (1942) p.55) a cura di G. Gentile jr.. Si ricordi che Majorana passò da Ingegneria a Fisica alla fine del 1927 o agli inizi del 1928 (anno in cui pubblicò già un articolo, il primo: scritto insieme con l’amico Gentile), e poi si dedicò alla ricerca scientifica in Fisica teorica solo per pochissimi anni. Ciononostante, anche i soli lavori da lui pubblicati sono una miniera di idee e tecniche di Fisica teorica che rimane tuttora parzialmente inesplorata. xi Prefazione Elenchiamo i suoi nove articoli pubblicati:1 (1) “Sullo sdoppiamento dei termini Roentgen ottici a causa dell’elettrone rotante e sulla intensità delle righe del Cesio,” in collaborazione con Giovanni Gentile jr., Rendiconti dell’Accademia dei Lincei Vol.8 (1928) pp.229-233. (2) “Sulla formazione dello ione molecolare di He,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931) pp.22-28. (3) “I presunti termini anomali dell’Elio,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931) pp.78-83. (4) “Reazione pseudopolare fra atomi di Idrogeno,” Rendiconti dell’Accademia dei Lincei Vol.13 (1931) pp.58-61. (5) “Teoria dei tripletti P’ incompleti,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931) pp.107-113. (6) “Atomi orientati in campo magnetico variabile,” Il Nuovo Cimento Vol.9 (1932) pp.43-50. (7) “Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario,” Il Nuovo Cimento Vol.9 (1932) pp.335-344. (8) “Über die Kerntheorie,” Zeitschrift für Physik Vol.82 (1933) pp.137145; “Sulla teoria dei nuclei,” La Ricerca Scientifica Vol.4 (1933) pp.559-565. (9) “Teoria simmetrica dell’elettrone e del positrone,” Il Nuovo Cimento Vol.14 (1937) pp.171-184. 1 Nell’elenco che segue non è inclusa la comunicazione di Majorana alla XXII Adunanza Generale della Società Italiana di Fisica, pubblicata su Il Nuovo Cimento Vol.6 (1929) pp.XIV-XVI e dal titolo “Ricerca di un’espressione generale delle correzioni di Rydberg, valevole per atomi neutri o ionizzati positivamente”. Detta comunicazione, di recente messa in evidenza da F. Guerra e N. Robotti, non fu intesa dal Majorana come una “pubblicazione”: infatti, egli non diede alle stampe nulla del molto e interessantissimo materiale da lui lasciato in forma manoscritta, il quale materiale (oltre che in importanti pagine sparse) appare nel paragrafo 2.16 del Volumetto 2 riprodotto in quest’opera. Ivi il lettore interessato troverà il ricco testo originale sul quale si basò la relazione scientifica del Majorana (si veda S. Esposito, preprint arXiv:physics/0512259). xii Prefazione I primi articoli, redatti tra il 1928 e il 1931, riguardano problemi di Fisica atomica e molecolare: per lo piú questioni di spettroscopia atomica o di legame chimico (sempre, s’intende, nell’ambito della meccanica quantistica). Come scrive E. Amaldi, un esame approfondito di questi lavori lascia colpiti per la loro alta classe: essi rivelano sia una profonda conoscenza dei dati sperimentali, anche nei piú minuti dettagli, sia una disinvoltura non comune, soprattutto a quell’epoca, nello sfruttare le proprietà di simmetria degli “stati quantistici” per semplificare qualitativamente i problemi e per scegliere la via piú opportuna per la risoluzione quantitativa. Tra questi primi articoli ne scegliamo uno solo: “Atomi orientati in campo magnetico variabile” apparso sulla rivista Il Nuovo Cimento. È l’articolo, famoso tra i fisici atomici, in cui viene introdotto l’effetto ora noto come Effetto Majorana-Brossel. In esso Ettore prevede e calcola la modificazione della forma delle righe spettrali dovuta a un campo magnetico oscillante; e ciò in connessione a un esperimento tentato a Firenze qualche anno prima (benché senza successo) da G. Bernardini ed E. Fermi. Questo lavoro è rimasto anche un classico della trattazione dei processi di ribaltamento “non adiabatico” dello spin (o “spin-flip”). I suoi risultati —una volta estesi, come suggerito dallo stesso Majorana, da Rabi nel 1937 e quindi, nel 1945, da Bloch e Rabi (i quali, entrambi premi Nobel [Rabi: 1944; Bloch: 1952], contribuirono a diffondere quanto trovato da Ettore tredici anni prima)— hanno costituito la base teorica del metodo sperimentale usato per ribaltare anche lo spin dei neutroni con un campo a radiofrequenza: metodo impiegato ancor oggi, ad esempio, in tutti gli spettrometri a neutroni polarizzati. In questo articolo viene introdotta anche la cosiddetta “Sfera di Majorana” (per rappresentare spinori mediante insiemi di punti di una superficie sferica), di cui ha parlato entusiasticamente —per esempio— Roger Penrose nei suoi ultimi libri semi-divulgativi (si vedano in Bibliografia le citazioni di Penrose e Zimba & Penrose, e quelle piú recenti di C. Leonardi et al.). Gli ultimi tre articoli di Ettore sono tutti di tale importanza che nessuno di essi può restare senza commento. L’equazione a infinite componenti L’articolo “Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario” è il tipico esempio di lavoro che precorre talmente i tempi da venire compreso e valutato a fondo solo molti anni dopo. xiii Prefazione A quel tempo era opinione comune che si potessero scrivere equazioni quantistiche compatibili con la Relatività (cioè “relativisticamente invarianti”) solo nel caso di particelle a spin zero o un mezzo. Convinto del contrario, Ettore comincia a costruire opportune equazioni quantorelativistiche per i successivi valori possibili dello spin (uno, tre mezzi, ecc.), arrivando a dare le regole anche per la costruzione di tale equazione per un valore generico dello spin; finché scopre che si può scrivere un’unica equazione rappresentante una serie infinita di casi, cioè un’intera famiglia infinita di particelle a spin qualsiasi (si ricordi che allora le particelle note —che ora sono centinaia— si contavano sulle dita di una mano!). Tralascia allora tutti i singoli casi studiati —senza piú pubblicarli— e si dedica solo a queste equazioni “a infinite componenti”, senza trascurare l’osservazione che esse possono descrivere non solo particelle ordinarie ma anche tachioni. Per realizzare questo programma, Majorana ricorre per la prima volta —inventandole— alle rappresentazioni unitarie del Gruppo di Lorentz a infinite dimensioni: rappresentazioni riscoperte da Eugene Wigner (premio Nobel 1963) in lavori del 1939 e 1948. Per comprendere l’importanza di quest’ultimo aspetto, rifacciamoci a quanto Ettore stesso —pur tanto schivo— riferisce a suo padre da Lipsia il 18 febbraio 1933: <<Nell’ultimo mio articolo apparso sul “Nuovo Cimento” è contenuta una importante scoperta matematica, come ho potuto accertarmi mediante un colloquio col professor van der Waerden, olandese che insegna qui, una delle maggiori autorità in teoria dei gruppi>>. Questa teoria è stata reinventata da matematici sovietici (in particolare Gelfand e collaboratori) in una serie di articoli del 1948-1958, e finalmente applicata dai fisici in anni ancora piú tardi. L’articolo iniziale di Ettore, anzi, rimarrà in ombra per ben 34 anni, cioè fino a quando Amaldi lo traduce e segnala al fisico americano D.Fradkin, il quale a sua volta strabilia i teorici delle alte energie rendendo finalmente di pubblico dominio, nel 1966 [D. Fradkin: American Journal of Physics Vol.34 (1966) p.314], quanto compiuto da Majorana tanti anni prima. Dalla data del 1966, la fama di Ettore comincia a crescere costantemente anche tra i fisici delle particelle fondamentali. Le forze di scambio Non appena, al sorgere del 1932, giunge a Roma notizia degli esperimenti dei Joliot-Curie [premi Nobel 1935 per la chimica], Ettore comprende che xiv Prefazione essi avevano scoperto il “protone neutro” senza accorgersene. Prima ancora, quindi, che ci fosse l’annuncio ufficiale della scoperta del neutrone, effettuata poco dopo da Chadwick [premio Nobel 1935 per la Fisica], Majorana è in grado di spiegare la struttura e la stabilità dei nuclei atomici mediante protoni e neutroni. Ettore precorse cosı́ anche il lavoro pionieristico di D. Ivanenko. Ma non volle pubblicarne nulla, né permise a Fermi di parlarne a Parigi agli inizi di luglio: ciò è narrato da Segré e da Amaldi. I suoi colleghi ricordano che già prima di Pasqua era giunto alle conclusioni piú importanti della sua teoria: che protoni e neutroni fossero legati da forze quantistiche originate semplicemente dalla loro indistinguibilità; cioè da “forze di scambio” delle rispettive posizioni spaziali (e non anche degli spin, come invece farà Heisenberg), cosı́ da ottenere la particella alfa (e non il deutone) quale sistema saturato rispetto alla energia di legame. Solo dopo che Heisenberg pubblica il proprio articolo sullo stesso argomento, Fermi riesce a indurre Majorana a recarsi a Lipsia presso il grande collega. E, finalmente, Heisenberg sa convincere Ettore a pubblicare (anche se tanto in ritardo) i propri risultati: “Über die Kerntheorie”, lavoro apparso il 3 marzo 1933 sulla rivista Zeitschrift für Physik. Le forze “di scambio” nucleari furono chiamate forze di HeisenbergMajorana. Ettore ne parla al padre, con grande modestia, nella stessa lettera prima citata (del 18.2.1933): <<Ho scritto un articolo sulla struttura dei nuclei che a Heisenberg è piaciuto molto benché contenesse alcune correzioni a una sua teoria>>. Sempre su questo lavoro scrive pochi giorni dopo, il 22 febbraio, alla madre: <<Nell’ultimo “colloquio”, riunione settimanale a cui partecipano un centinaio tra fisici, matematici, chimici, etc., Heisenberg ha parlato della teoria dei nuclei e mi ha fatto molta réclame a proposito di un lavoro che ho scritto qui. Siamo diventati abbastanza amici. . . >>. Probabilmente la pubblicazione sulla stabilità dei nuclei venne subito riconosciuta dalla comunità scientifica (in particolare dai fisici nucleari) —evento raro, come sappiamo, per gli scritti di Ettore— anche grazie a questa opportuna “propaganda” fattane da Heisenberg, che proprio pochi mesi dopo riceverà il premio Nobel. L’avversione a pubblicare le proprie scoperte, quando esse fossero risultate, all’esame del suo senso ipercritico, di carattere non abbastanza generale o espresse in forma matematica non abbastanza stringente ed elegante, divenne per Ettore anche motivo di vezzo. Racconta Amaldi: <<Talvolta nel corso di una conversazione con qualche collega diceva quasi xv Prefazione incidentalmente di aver fatto durante la sera precedente il calcolo o la teoria di un fenomeno non chiaro che era caduto sotto l’attenzione sua o di qualcuno di noi in quei giorni. Nella discussione che seguiva, sempre molto laconica da parte sua, Ettore a un certo punto tirava fuori dalla tasca il pacchetto delle sigarette Macedonia (era un fumatore accanito) sul quale erano scritte, in una calligrafia minuta ma ordinata, le formule principali della sua teoria o una tabella di risultati numerici. Copiava sulla lavagna parte dei risultati, quel tanto che era necessario per chiarire il problema, e poi, finita la discussione e fumata l’ultima sigaretta, accartocciava il pacchetto nella mano e lo buttava nel cestino>>. Estremamente interessanti sono pure due altri passi di lettera. Il 14.2.1933, sempre da Lipsia, Majorana racconta alla madre: << . . . L’ambiente dell’istituto fisico è molto simpatico. Sono in ottimi rapporti con Heisenberg, con Hund e con tutti gli altri. Sto scrivendo alcuni articoli in tedesco. Il primo è già pronto, e spero di eliminare qualche confusione linguistica durante la correzione delle bozze>>. Il lavoro “già pronto” è naturalmente quello sulle forze nucleari di cui si sta parlando; il quale, però, rimase l’unico in lingua tedesca. Ancora, nella lettera del 18 febbraio dichiara al padre: << pubblicherò in tedesco, estendendolo, anche l’ultimo mio articolo apparso sul “Nuovo Cimento”>>. In realtà Ettore non pubblicò piú nulla, né in Germania, né al rientro in Italia, a parte l’articolo (del 1937) di cui stiamo per dire. Di notevole importanza è quindi sapere che Ettore stesse scrivendo altri lavori: in particolare, che stesse estendendo il suo articolo sulla equazione a infinite componenti. Il neutrino di Majorana Dai manoscritti ritrovati pare, come si è detto, che Majorana formulasse in quegli stessi anni (1932-33) le linee essenziali anche della sua teoria simmetrica per l’elettrone e l’anti-elettrone: che le formulasse, cioè, non appena si diffuse la notizia della scoperta dell’anti-elettrone, o “positrone”. Anche se Ettore pubblica tale teoria solo molto piú tardi, accingendosi a partecipare al Concorso a cattedra di cui sappiamo. La “Teoria simmetrica dell’elettrone e del positrone” viene inizialmente notata quasi esclusivamente per aver introdotto la famosa rappresentazione di Majorana xvi Prefazione delle “matrici di Dirac” in forma reale2 . Conseguenza di tale teoria è che un “fermione” neutro debba coincidere con la propria antiparticella: ed Ettore suggerisce che i neutrini possano essere particelle di questo tipo. Ettore ci teneva molto a questa sua elaborazione teorica; ciò è testimoniato da Carrelli, che ne discusse con Ettore durante il breve periodo di lezioni a Napoli. Come per altri scritti di Majorana, anche questo articolo ha cominciato ad avere fortuna solo vent’anni dopo, a partire dal 1957. Dopo di che ha goduto di fama via via crescente tra i fisici delle particelle relativistiche e delle teorie di campo3 . Ora sono di gran moda espressioni come “spinori di Majorana”, “massa di Majorana”, “neutrini di Majorana” (e perfino “majoroni”). Le pubblicazioni di Majorana (ancora poco note, nonostante tutto) sono per la Fisica, lo si è detto, una continua fonte di ispirazione. Recentemente, ad esempio, Carlo Becchi ha osservato come nelle prime pagine di questo scritto si trovi una formulazione estremamente chiara del principio d’azione quantistico, che in anni successivi, attraverso i lavori di Schwinger e Symanzik, ha portato agli sviluppi recenti piú importanti della teoria dei campi quanto-relativistici. I manoscritti inediti di Ettore Majorana Ma Ettore ci ha lasciato anche molti manoscritti scientifici inediti, pure depositati presso la “Domus Galilaeana” di cui è stato redatto un catalogo in collaborazione con M. Baldo e R. Mignani. L’analisi di questi manoscritti permette di rilevare: (i) come Ettore fosse estremamente diligente e preciso nel lavoro. Tutte le sue scoperte risultano precedute da una indefessa serie di calcoli, fatti e rifatti: anche per i piú dotati, naturalmente, la scienza non può essere solo un semplice gioco di intuizioni, come invece 2 Si noti, però, che l’algebra IR(4) ' IR 3,1 cosı́ introdotta da Majorana è del tutto diversa dall’algebra C I (4) ' IR4,1 introdotta da Dirac. Osserviamo, en passant, che l’algebra di Majorana è una delle due algebre associabili in maniera naturale allo spazio di Minkowski (la seconda essendo IR1,3 ' IH(2), ove IH(2) è l’algebra delle matrici quaternioniche 2 × 2). 3 Nel 1981, ad esempio, una rivista giapponese di Fisica ha ripubblicato in lingua inglese (con traduzione a cura di Luciano Maiani) questo articolo di circa quarantacinque anni prima. xvii Prefazione la leggenda aveva voluto farci credere; (ii) che, fra il materiale inedito, parecchi spunti hanno ancora un interesse scientifico attuale: alcune centinaia di pagine possono essere utili in maniera significativa per la ricerca contemporanea; ma solo poche pagine sono state da noi finora interpretate e pubblicate; (iii) che tutto il materiale noto sembra scritto entro il 1933; (iv) che quasi nulla ci è noto di ciò che egli fece negli anni a seguire (1934– 1937). A parte una lunga serie di 34 lettere di risposta, scritte da Ettore in quegli anni (precisamente dal 17.3.31 fino al 16.11.37) allo zio Quirino, il quale lo sollecitava a fornire una spiegazione teorica dei risultati dei propri esperimenti. Queste lettere sono di carattere essenzialmente tecnico (lo zio Quirino era un fisico sperimentale di grandissima abilità, che aveva occupato anche il ruolo di presidente della Società Italiana di Fisica) e mostrano in tal modo che pure negli ultimi anni Ettore ben sapeva tornare alla Fisica, sempre con le sue doti di eccelso teorico. Invero la sorella Maria ricordava che anche in quegli anni Ettore —il quale aveva diradato sempre piú le sue visite all’Istituto, a cominciare dalla fine del 1933, cioè dal suo rientro da Lipsia— continuò a studiare e lavorare a casa parecchie ore al giorno; e la notte. Si diede Ettore solo a studi di letteratura e filosofia (amava particolarmente Pirandello, Schopenhauer e Shakespeare), o di “teoria dei giochi” e strategia navale (sua passione fin dall’infanzia), nonché di economia, di politica e infine di medicina; oppure continuò a dedicarsi anche alla Fisica? Dalla lettera a Quirino del 16.1.1936 ci viene una risposta; perché veniamo a sapere che Ettore si occupava “da qualche tempo di elettrodinamica quantistica”. Conoscendo la modestia di Ettore nell’esprimersi, ciò significa che durante l’anno 1935 Majorana si era dedicato a fondo a ricerche originali nel settore —per lo meno— della elettrodinamica quantistica. E ancora nel 1938, a Napoli, Carrelli avrà l’impressione che Ettore stesse lavorando a qualcosa di rilevante, di cui non voleva parlare. Ma lumi ancora più importanti ci sono giunti dalle lettere inviate, da Lipsia, ai propri genitori, lettere che abbiamo sopra citate, e, sempre da Lipsia, al C.N.R.: delle quali diremo. Non possiamo dimenticare, poi, gli appunti autografi di lezione redatti da Majorana nei primi mesi del 1938 a beneficio dei propri studenti dell’Università di Napoli. Gli appunti per le lezioni da lui tenute prima della scomparsa fu consegnata dal Majorana, entro una cartelletta, il giorno prima di scomparire, all’allieva Gilda Senatore e (essendone intermediari Cennamo, Carrelli e Amaldi) finirono nelle mani di G. Bernardini, probabilmente soltanto in parte, e quindi negli archivi della “Domus Galilaeana”. xviii Prefazione La parte cosı́ sopravvissuta (relativa a dieci lezioni) fu pubblicata per interessamento di G. Gialanella e soprattutto B. Preziosi, in un volume contenente anche gli appunti per la prolusione al corso —la lezione inaugurale— rinvenuti da Recami. Recentissimamente S. Esposito, in collaborazione con A. Drago, ha scoperto gli appunti delle restanti sei lezioni: e quindi l’intera serie è ora pubblicamente disponibile. Esistono altri manoscritti di Majorana? Tornando alla lettera del 18 febbraio al padre, in essa abbiamo trovato la notizia molto interessante che Ettore stava per pubblicare in tedesco, estendendolo, l’ultimo suo articolo apparso sul “Nuovo Cimento”. Come sappiamo, questo progetto non verrà poi realizzato; ma è importante ricordare ancora una volta come Ettore avesse in mente di generalizzare il lavoro in cui aveva introdotto la sua equazione a infinite componenti. Anzi, la questione diviene del massimo rilievo quando si leggano le lettere inviate in quel periodo al Consiglio Nazionale delle Ricerche (ritrovate presso gli archivi del C.N.R., e a noi pervenute attraverso la cortesia di G.Fioravanti e soprattutto del collega M.De Maria). Nella prima (21.1.33) Ettore specifica: <<Attendo attualmente alla elaborazione di una teoria per la descrizione di particelle con momento intrinseco arbitrario che ho iniziata in Italia, e di cui ho dato notizia sommaria nel Nuovo Cimento (in corso di stampa)...>>. Nella seconda (3.3.33) dichiara addirittura, riferendosi al medesimo lavoro: <<Ho inviato alla Zeitschrift für Physik un articolo sulla teoria dei nuclei. Ho pronto il manoscritto di una nuova teoria delle particelle elementari e lo invierò alla stessa rivista fra qualche giorno...>>. Se ricordiamo che l’articolo qui considerato come “notizia sommaria” di una nuova teoria era già di altissimo livello, si comprende come sarebbe di enorme interesse scoprire una copia della teoria completa: la quale nel marzo 1933 aveva già assunto la forma di un manoscritto compiuto, forse già dattiloscritto in lingua tedesca. Ma Ettore, ripetiamo, non ne fece piú nulla. Non dimentichiamo poi la citata lettera a Quirino del 16.1.1936, la quale ci ha rivelato che successivamente Ettore continuò a lavorare in Fisica teorica, occupandosi a fondo —per lo meno— di elettrodinamica quantistica. Dove sono finiti gli appunti, gli scritti, gli articoli xix Prefazione relativi a tutta questa attività? Come abbiamo già segnalato, il giorno prima di salpare da Napoli (e successivamente sparire), Ettore Majorana consegnò alla propria studentessa Gilda Senatore una cartelletta di carte scientifiche: contenente, tra l’altro, gli appunti di lezione manoscritti dal Majorana per i suoi allievi; affinché lei la conservasse. Tutto ciò lo si è saputo in seguito ad una approfondita ricerca effettuata nel 1990 da Bruno Russo, e successivamente confermata a voce dalla stessa Prof.ssa Senatore a chi scrive, nonché a Bruno Preziosi. La cartelletta conteneva (oltre alle “lezioni”) delle note incomplete, degli scritti conclusi, e articoli. Si hanno ragioni per credere che tale cartelletta contenesse almeno alcuni dei risultati del lavoro svolto da Majorana, in isolamento, tra la fine del 1933 e il 1938. Tali risultati sarebbero di straordinaria importanza, come sappiamo, per la stessa Fisica teorica contemporanea, più ancora che per la storia della Fisica. Ma avvenne che la Sig.na Senatore parlò confidenzialmente dei manoscritti avuti in pegno da Majorana a Francesco Cennamo, assistente del direttore Antonio Carrelli, quando questi divenne suo marito. Il dottor Cennamo, di propria iniziativa, li mostrò a Carrelli, che li sequestrò. E, per quanto a noi ora consta, essi si persero. Molte altre idee di Ettore, quando non restarono nella sua mente, hanno lasciato traccia nella memoria dei colleghi. Una delle testimonianze piú interessanti che abbiamo raccolto è di GianCarlo Wick. Da Pisa il 16 ottobre 1978 scrive a Recami: <<...Il contatto scientifico tra me ed Ettore di cui le accennò Segré avvenne a Roma in occasione del Congresso Volta (assai prima del soggiorno di Majorana a Lipsia). La conversazione ebbe luogo in un ristorante, in presenza di Heitler, e dunque senza lavagna né formule scritte; ma nonostante l’assenza di dettagli quello che Majorana descrisse a parole era una “teoria relativistica di particelle cariche di spin zero basata sull’idea di quantizzazione dei campi” (seconda quantizzazione). Quando assai piú tardi vidi il lavoro di Pauli [Premio Nobel 1945] e Weisskopf [Helvetica Physica Acta Vol.7 (1934) p.709], rimasi assolutamente convinto che quello che Majorana aveva descritto fosse la stessa cosa. . . >>. xx Prefazione Questo volume Nel presente libro riproduciamo (per la prima volta in originale) i cinque quaderni, accuratamente redatti e bene organizzati dal Majorana, noti come “Volumetti”. Scritti in Roma tra il 1927 e il 1931-2 (iniziati, quindi, prima ancora che Majorana passasse da Ingegneria a Fisica), essi sono attualmente depositati presso la citata Domus Galilaeana di Pisa. Ciascuno di essi, del formato di approssimativamente 11 cm × 18 cm, consta di circa 100−150 pagine, ordinatamente numerate. Ogni Volumetto contiene al suo inizio un indice, che venne via via composto dal suo autore man mano che un particolare argomento risultava esaurito; e una data, eccetto per l’ultimo, e minore, Volumetto, il quale non reca data, probabilmente perché non fu mai completato. Vi sono motivi per ritenere che la data riportata da Majorana su ciascun Volumetto non corrisponda, precisamente, né alla data di inizio della stesura né a quella di chiusura, in quanto vi sono molte indicazioni sia in un senso (mancanza della data nel Volumetto V, ecc.) che nell’altro (riferimenti bibliografici ad articoli pubblicati dopo la data del Volumetto in cui compare, ecc.). Majorana, infatti, probabilmente cominciava ad utilizzare un nuovo quaderno già prima che il precedente fosse completato, ritornando su quest’ultimo successivamente. In tal caso la data riportata sugli originali sarebbe solo indicativa del periodo in cui l’autore ha annotato i suoi studi. Varie pagine bianche numerate appaiono nei manoscritti originali, in alcuni casi tra la fine di un capitolo e l’inizio del successivo: qui abbiamo tralasciato tali pagine bianche. Verosimilmente, Majorana affrontò i vari argomenti seguendo idee e risultati ben definiti, quali nascevano dai suoi studi. Ogni Volumetto fu scritto durante il periodo di circa un anno, cominciando dagli anni in cui stava portando a termine i propri studi presso l’Università di Roma. Pertanto il contenuto passa da questioni tipiche degli usuali corsi accademici a problemi di ricerca di frontiera. Nonostante questa variabilità di livello (che risulta evidente esaminando i vari Volumetti, o anche all’interno dello stesso Volumetto), lo stile scientifico non è mai comune. Quale esempio, citiamo lo studio da parte del Majorana del cambiamento del punto di fusione di una sostanza quando essa viene immersa in un campo magnetico, o, ancora più interessante, l’esame della propagazione del calore da lui effettuato usando una “similitudine dei grilli”. Sempre degno di nota è il suo modo di trattare questioni di Fisica a lui contemporanea in maniera lucida ed xxi Prefazione originale: come nei casi della spiegazione, proposta da Fermi, della massa di origine elettromagnetica degli elettroni; dell’equazione di Dirac e sue applicazioni; e del gruppo di Lorentz; con ciò rivelando a volte la letteratura scientifica da lui preferita. In quanto alle ricerche di frontiera, citiamo qui solo due esempi illuminanti: lo studio degli stati quasi-stazionari, che anticipa la teoria di Ugo Fano di circa 20 anni; e la teoria dell’atomo di Fermi, sviluppata attraverso soluzioni analitiche dell’equazione di ThomasFermi con le sue opportune condizioni al contorno, in termini di semplici quadrature: tecniche del tutto nuove e sconosciute. Nel riprodurre questi Volumetti ci siamo attenuti per quanto possibile all’originale, tranne nei pochissimi casi in cui le notazioni usate da Majorana potevano non risultare abbastanza chiare. Abbiamo perciò sostituito il ricorrente simbolo della costante di Planck, h, con il più comune 2π~, eccetto quando si tratti di risultati della vecchia teoria quantistica. Tutte le variazioni sono messe in evidenza da note a piè pagina. Abbiamo poi introdotto delle note ogni qual volta l’interpretazione dei procedimenti seguiti, o il significato di qualche brano, richiedevano delle aggiunte esplicative. Le poche note a piè pagina che appaiono sul manoscritto originale sono state identificate facendole precedere dal simbolo ∗ . Il notevole sforzo fatto nel mettere in forma elettronica e controllare tutte le equazioni e le Tabelle di numeri è stato motivato dal nostro desiderio di facilitare per quanto possibile la lettura dei Volumetti di Majorana, con la speranza di rendere accessibile la loro ricchezza intellettuale al più vasto pubblico di lettori. Le figure che qui appaiono sono state riprodotte senza l’uso di strumenti fotografici o scansioni digitali, ma sono del tutto fedeli ai disegni originali. Lo stesso vale per le Tabelle con risultati numerici, le quali sono state riprodotte a prescindere dall’originale: ovvero, sono state controllate rifacendo tutti i calcoli sulla base dei metodi adottati dall’autore. Svariate Tabelle presentavano delle lacune, rivelando che l’autore aveva tralasciato di calcolarle integralmente: in tali casi le abbiamo completate. Altre piccole modifiche, relative soprattutto alla correzione di sviste, vengono indicate con una nota. Aggiungiamo nel seguito una breve Bibliografia. Lungi dall’essere completa, essa correda solo gli argomenti toccati in questa Prefazione. xxii Prefazione Ringraziamenti I curatori di quest’opera desiderano ringraziare esplicitamente Alwyn van der Merwe ed Ettore Majorana Jr, senza il cui indefesso aiuto questo libro non avrebbe visto la luce, e Roberto Battiston per il costante interessamento. Sono poi riconoscenti alla famiglia Majorana (nelle persone di Fabio e Pietro Majorana, e della signora Nunni Cirino, ripettivamente figli e vedova dell’Ing. Luciano, fratello del Majorana) per la affettuosa collaborazione. Per la cortese disponibilità, essi ringraziano inoltre l’attuale presidente della Società Italiana di Fisica, Franco Bassani, e vari colleghi (in particolare D. Ahluwalia, A. De Gregorio ed E. Giannetto) per stimolanti discussioni. Il materiale autografo originale su cui si basa la presente edizione è attualmente conservato presso la Domus Galilaeana di Pisa; si ringraziano C. Segnini, già curatore della Domus, cosı̀ come i precedenti responsabili della stessa Istituzione. La preparazione di tale volume è stata in parte finanziata da due COFIN del MURST, grazie alla sollecitudine di E. Recami, e in parte dal Dipartimento di Scienze Fisiche dell’Università di Napoli “Federico II”, per il gentile interessamento di A. Drago, B. Preziosi, M. Romano e M. La Commara. Per la realizzazione tecnica di quest’opera i curatori hanno molto beneficiato dell’aiuto di G. Celentano, R. De Risi, R. A. De Stefano, C. Grosso e L. Scarpone, a cui va la nostra sentita gratitudine; unitamente a Federico e Lorenzo Enriques e allo Staff della casa editrice Zanichelli per il loro interessamento e la fattiva collaborazione. S. Esposito E. Recami xxiii Prefazione Bibliografia [1] Il testo inglese della presente opera si trova in Ettore Majorana Notes on Theoretical Physics, a cura di S. Esposito, E. Majorana Jr., A. van der Merwe, e E. Recami (Kluwer Academic Publishers; Dordrecht, Boston and London, 2003). [2] I documenti usati in questa Prefazione si possono trovare (insieme con l’intera documentazione biografica riguardante E. Majorana, scoperta o raccolta in 5 o 6 lustri da E. Recami) nel libro E. Recami: Il caso Majorana: Epistolario, Documenti, Testimonianze, 2a edizione (Mondadori; Milano, 1991), pp.230; e in particolare nella sua 4a edizione (Di Renzo; Roma, 2002), pp.273. Vedere anche E. Recami: “I nuovi documenti sulla scomparsa di E. Majorana”, in Scientia Vol.110 (1975) p.577; in La Stampa (Torino), 1 giugno e 29 giugno 1975; in Corriere della Sera (Milano), 19 ottobre 1982 e 13 dicembre 1983; “Ricordo di Ettore Majorana a sessant’anni dalla sua scomparsa: L’opera scientifica edita e inedita”, in Quaderni di Storia della Fisica, Vol.5 (1999), p.19; e inoltre AA.VV.: Scienziati e tecnologi contemporanei: Enciclopedia Biografica, 3 volumi, a cura di E. Macorini (Milano, 1974); M. Farinella: in L’Ora (Palermo), 22 e 23 luglio 1975; G.C. Graziosi: “Le lettere del mistero Majorana”, in Domenica del Corriere (Milano), 28 novembre 1972; S. Ponz de Leon: “Speciale News: Majorana”, trasmesso il 30.9.1987 (Canale Cinque); B. Russo: “Ettore Majorana – Un giorno di marzo”, programma televisivo trasmesso il 18.12.90 (Rai Tre – Sicilia), e il libro col medesimo titolo (Flaccovio; Palermo, 1997); F. e D. Dubini: “La scomparsa di Ettore Majorana”, programma televisivo trasmesso nel 1987 (TV svizzera). [3] Le prime opere biografiche su Majorana sono le seguenti: E. Amaldi, La Vita e l’Opera di E. Majorana (Accademia dei Lincei; Roma, 1966); “Ettore Majorana: Man and scientist,” in Strong and Weak Interactions. Present problems, a cura di A. Zichichi (Academic Press; New York, 1966); “Ricordo di Ettore Majorana”, in Giornale di Fisica Vol.9 (1968) p.300; E. Amaldi: “From the discovery of the neutron to the discovery of nuclear fission”, in Physics Reports Vol.111 (1984) p.1; E. Amaldi: in Il Nuovo Saggiatore Vol.4 (1988) p.13. Vedere anche B.Pontecorvo: Fermi e la fisica moderna (Editori Ri- xxiv Prefazione uniti; Roma, 1972); e in Proceedings of the International Conference on the History of Particle Physics, Paris, July 1982, Physique Vol.43 (1982); G.Enriques: Via D’Azeglio 57 (Zanichelli; Bologna, 1971); E.Segré: Enrico Fermi, Fisico (Zanichelli; Bologna, 1971); e Autobiografia di un Fisico (Il Mulino; Roma, 1995). [4] La riproduzione degli originali delle lezioni svolte a Napoli da E. Majorana sono pubblicate in Ettore Majorana – Lezioni all’Università di Napoli, a cura di B. Preziosi (Bibliopolis; Napoli, 1987). L’edizione critica completa è invece in Ettore Majorana – Lezioni di Fisica Teorica, a cura di S. Esposito (Bibliopolis; Napoli, 2006). Vedere anche S. Esposito: “Il corso di Fisica teorica di Ettore Majorana: il ritrovamento del Documento Moreno”, in Il Nuovo Saggiatore, Vol.21 (2005) p.21. [5] Il catalogo dei manoscritti scientifici inediti di Majorana si trova in M. Baldo, R. Mignani, e E. Recami, “Catalogo dei manoscritti scientifici inediti di E. Majorana,” in Ettore Majorana – Lezioni all’Università di Napoli, loc. cit.; e E. Recami, “Ettore Majorana: L’opera edita ed inedita,” loc. cit.. [6] Alcuni lavori originati da intuizioni di Majorana sono i seguenti: R. Mignani, M. Baldo e E. Recami: “About a Dirac–like equation for the photon, according to Ettore Majorana”, in Lettere al Nuovo Cimento Vol.11 (1974) p.568 [interessante pure ai fini di una possibile interpretazione fisica della funzione d’onda del fotone]. Vedere anche S. Esposito: “Covariant Majorana formulation of Electrodynamics”, in Foundation of Physics Vol.28 (1998) p.231; e E. Giannetto: “Su alcuni manoscritti inediti di E.Majorana”, in Atti IX Congresso Naz.le di Storia della Fisica, a cura di F. Bevilacqua (Milano, 1988) p.173. S. Esposito: “Majorana solution of the Thomas-Fermi equation”, in American Journal of Physics Vol.70 (2002) p.852; “Majorana transformation for differential equations”, in International Journal of Theoretical Physics Vol.41 (2002) p.2417; E. Di Grezia e S. Esposito: “Fermi, Majorana and the statistical model of atoms”, in Foundation of Physics Vol.34 (2004) p.1431. R.Penrose, “Newton, quantum theory and reality,” in 300 Years of Gravitation, S. W. Hawking and W. Israel eds. (University Press; Cambridge, 1987); J. Zimba e R. Penrose, “On Bell Non-Locality xxv Prefazione Without Probabilities: More Curious Geometry”, in Studies in the History and Philosophy of Modern Physics Vol.24 (1993) p.697; R. Penrose: Ombre della Mente (Rizzoli; Milano, 1996), pp.338–343 e 371–375; e i successivi studi, svolti a Palermo, C. Leonardi, F. Lillo, A. Vaglica e G. Vetri: “ Quantum visibility, phase-difference operators, and the Majorana Sphere” (Dipartimento di Fisica, Università di Palermo; 1998); “Majorana and Fano alternatives to the Hilbert space”, in Mysteries, Puzzles, and Paradoxes in Quantum Mechanics, a cura di R.Bonifacio (A.I.P.; Woodbury, N.Y., 1999), p.312; F.Lillo: “Aspetti fondamentali nell’interferometria a uno e due fotoni”, Tesi di Dottorato (Dipartimento di Fisica, Università di Palermo, 1998). xxvi 1 VOLUMETTO 1.1 8 marzo 1927 Potenziale elettrico E = − grad V, ∆ V = − 4πρ. Il potenziale in un punto O dello spazio S limitato dalla superficie σ è dato dalla ¶ µ Z Z 1 − U dS (1.1) VO = k V dσ + ρ r σ S essendo r la distanza da P , k la densità della distribuzione superficiale equivalente per gli effetti esterni alla massa 1 concentrata in P , U il potenziale che compete a detta distribuzione. Ovvero Z Z Z 1 1 ∆V VO = k V dσ + U ∆ V dS − dS (1.2) 4π S 4π S r σ ed essendo in S: U ∆ V = div (U grad V − V grad U ) , sarà: (1.3) 1 Z VO = k V dσ + σ − 1 4π µ Z V σ 1 4π ∂U ∂n Z U σ ∂V dσ ∂n ¶ dσ − i 1 4π Z S ∆V dS , r (1.4) ma sulla superficie abbiamo: 1 U = , (1.5) r ¶ µ 1 ∂U = − Eni = − Ene + 4πk = − 2 cos ϕ + 4πk , (1.6) ∂n i r 1 L’Autore usa i pedici i ed e per indicare le regioni interne ed esterne ad una data superficie. Invece con n viene indicata la componente di un dato vettore lungo la normale esterna n a tale superficie. 1 Volumetto 1: 8 marzo 1927 σ φ n P r O S e sostituendo: VO = 1 4π Z µ V cos ϕ + r σ ∂V ∂n ¶ dσ 1 − r2 4π Z S ∆V dS. r (1.7) formola valevole per una funzione arbitraria V , perché può sempre trovarsi una distribuzione di masse che abbia nello spazio S il potenziale V . Se in S non esistono masse: ¶ Z µ 1 ∂V dσ VO = V cos ϕ + r . (1.8) 4π σ ∂n r2 Dimostriamo direttamente la (1.7). Poniamo: VO0 = 1 4π Z µ V cos ϕ + r σ ∂V ∂n ¶ dσ 1 − r2 4π Z S ∆V dS. r (1.9) Supponiamo che la superficie σ subisca una variazione infinitesima mantenendosi omotetica con se stessa, con centro di omotetia O. I campi di integrazione S e σ si trasformano in quelli prossimi σ 0 e S 0 . Se facciamo corrispondere mediante la relazione di omotetia gli elementi dei primi a quelli dei secondi, è facile valutare le variazioni dei due integrali. In effetti 2 Volumetto 1: 8 marzo 1927 se 1+dα è il rapporto d’omotetia risultano facilmente le seguenti variazioni relative al passaggio da un elemento al corrispondente: δV = dα · (P − O) × grad V (1.10) δ cos ϕ = 0 (1.11) δr dσ δ 2 r δ∆ V ∂V δ ∂n dS δ r = dα · r (1.12) = 0 (1.13) = dα · (P − O) × grad ∆ V ∂ ∂V (P − O) × grad V · dα − dα ∂n ∂n dS 2 dα r (1.14) = = (1.15) (1.16) onde avremo: δV00 = ¶ ∂ dσ (P − O) × grad V ∂n r2 σ ¶ Z µ dα (P − O) × grad ∆ V ∆V − +2 dS. (1.17) 4π S r r dα 4π Z µ (P − O) × grad V cos ϕ + r L’integrale di superficie può considerarsi come il flusso uscente attraverso σ del vettore M = (P − O) × grad V (P − O) 1 + grad ((P − O) × grad V ) , (1.18) r3 r il quale è infinito in O, ma solo del primo ordine, di modo che detto integrale di superficie può trasformarsi nell’integrale di volume: Z div M dS. S Ma, come è agevole verificare, si ha: div M = ∆V (P − O) × grad ∆ V +2 , r r sicché avremo δV00 = 0. 3 (1.19) Volumetto 1: 8 marzo 1927 Se la superficie σ, deformandosi con continuità nel modo anzidetto, diviene infinitesima intorno a O, l’integrale di volume della (1.9) tende a zero e quello di superficie tende a 4πVO . Sarà perciò: VO0 = VO 1.2 c.d.d. (1.20) Potenziale ritardato Sia H una funzione dello spazio e del tempo e obbedisca all’equazione differenziale 1 ∂2H (1.21) ∆H = 2 . c ∂t2 Sia O un punto, r la distanza di P da O, m una funzione di P e di t, porremo ³ r´ m (P, t) = m P, t − . (1.22) c Consideriamo la funzione ³ r´ H1 (P, t) = H P, t − . (1.23) c È facile trovare l’equazione differenziale a cui soddisfa HO : ∆ H1 = − 2 ∂ 2 H1 2 ∂H1 − . c ∂r∂t rc ∂t (1.24) Se il punto O appartiene allo spazio S limitato dalla superficie σ applicando la (1.7) e notando che in O si ha H1O = HO , si trova: ¶ Z µ 1 ∂H1 dσ HO = H1 cos ϕ + r 4π σ ∂n r2 ¶ Z µ 1 2 ∂H1 2 ∂ 2 H1 dS. + + 2 (1.25) 4π S rc ∂r∂t r c ∂t Scomponiamo il volume S in coni elementari di vertice O. L’elemento di volume di un cono di apertura dω compreso tra due sfere di centro O e di 4 Volumetto 1: 8 marzo 1927 raggi r e r + dr vale: dω r 2 dr e quindi l’integrale esteso al volume del cono sarà dato da µ ¶ Z r ∂ 2 H1 2r ∂H1 2 ∂H1 + r dr = dω , dω (1.26) c ∂t ∂r∂t c ∂t 0 nell’ultimo membro della quale ∂H1 /∂r va calcolato nella base su σ del cono; se dσ è l’area di questa base, ϕ l’angolo che l’asse del cono forma con la normale esterna, sarà: dω 2r ∂H1 2 ∂H1 = cos ϕ dσ, c ∂t rc ∂t (1.27) e l’integrale esteso a tutto lo spazio S si trasforma nell’integrale di superficie Z 2 ∂H1 cos ϕ dσ. (1.28) σ rc ∂t Sostituendo abbiamo dunque: ¶ Z µ 1 ∂H1 2r ∂H1 dσ HO = H1 cos ϕ + r + cos ϕ ; 4π σ ∂n c ∂t r2 (1.29) e notando che: H1 ∂H1 ∂n ∂H1 ∂t abbiamo: HO = 1 4π = = = H Z µ H cos ϕ + r σ (1.30) ∂H ∂H r − cos ϕ ∂n c ∂t ∂H ∂t ∂H r cos ϕ ∂H + ∂n c ∂t (1.31) (1.32) ¶ dσ . r2 (1.33) Ponendo: ³ r´ m (P, t) = m P, t + c e ³ r´ H2 (P, t) = H P, t + c l’equazione differenziale a cui soddisfa H2 sarà: ∆ H2 = 2 ∂ 2 H2 2 ∂H2 + . c ∂r∂t rc ∂t 5 (1.34) (1.35) (1.36) Volumetto 1: 8 marzo 1927 e con un calcolo perfettamente analogo al precedente troviamo: ¶ Z µ 1 ∂H r cos ϕ ∂H dσ HO = H cos ϕ + r − . 4π σ ∂n c ∂t r2 1.3 (1.37) Energia mutua di due distribuzioni di masse elettriche o magnetiche Siano date due distribuzioni di masse elettriche o magnetiche in regioni distinte dello spazio. Limitiamo mediante una superficie chiusa σ (unica o no) uno spazio S che comprenda tutte le masse della prima distribuzione e nessuna di quelle della seconda. Se V è il potenziale del campo E prodotto dalla prima distribuzione, V 0 il potenziale del campo E0 prodotto dalla seconda, e la prima distribuzione è composta dalle masse m1 , m2 , . . . , mn poste nei punti P1 , P2 , . . . , Pn , sarà, con notazione di cui è chiaro il significato: n X U = mi Vi0 , (1.38) 1 ovvero, applicando la (1.8), ! Z Ã X n n X 1 mi mi 0 0 dσ, U = V cos ϕi + En 4π σ ri2 ri 1 1 (1.39) in cui En0 la componente di E0 secondo la normale interna di σ. Ora abbiamo: n X mi cos ϕi = En , (1.40) ri2 1 n X mi ri 1 = V, (1.41) essendo, nella prima di queste formole, En la componente secondo la normale esterna a σ di En . Sostituendo troviamo la formola notevole: Z ¡ ¢ 1 U = (1.42) En V 0 + En0 V dσ. 4π σ 6 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.4 Effetto pellicolare in condutture elettriche cilindriche omogenee Supposta la sezione circolare e di piccole dimensioni rispetto alla lunghezza del conduttore, potremo considerare il potenziale uguale in tutti i punti di una medesima sezione e la densità di corrente funzione della sola distanza a dall’asse. Se I = I1 + iI2 è il complesso2 che rappresenta l’intensità della corrente attraverso un cerchio coassiale con la sezione e di raggio a, D = D1 +iD2 la densità di corrente a distanza a dall’asse, µ la permeabilità magnetica del conduttore, A il raggio della sezione, ρ la resistività elettrica, le forze contro elettromotrici3 dovute all’effetto ohmico4 e alla variazione dell’induzione dentro la conduttura, saranno per unità di lunghezza, lungo una linea di corrente a distanza a dall’asse, rispettivamente Dρ e Z (1.43) A I dx, (1.44) x a e poiché tutte le altre forze elettromotrici sono uguali per tutte le linee di corrente concludiamo che Z A (I/x) dx = cost. Dρ + 2µωi (1.45) 2µωi a cioè, differenziando: I da. (1.46) a Indicando con I l’area del cerchio di raggio a, I e D come funzioni di s, e tenendo conto delle uguaglianze ρ dD = 2 µ ω i 2 D = da a = dI , ds ds , s (1.47) (1.48) 2 L’Autore considera qui un conduttore in cui scorre una corrente alternata di frequenza ω. 3 Cioè le forze che bloccano il flusso di corrente. 4 Tale effetto è meglio noto come effetto Joule. 7 Volumetto 1: 8 marzo 1927 potremo scrivere: ρd cioè dI I = µ ω i ds, ds s d2 I µωi I = . ds2 ρ s Poniamo p = µω s, ρ (1.49) (1.50) (1.51) sostituendo abbiamo: d2 I I = i . (1.52) dp2 p Come risulta chiaramente da questa relazione, p non dipende dalle unità fondamentali del sistema elettromagnetico. Perciò, per brevità di calcolo, data la proporzionalità fra p e s, supporremo per un momento di scegliere l’unità di lunghezza in guisa che p = s, senza che per questo la p venga alterata. Tenuto conto che per p = 0 si ha I = 0, è facile integrare per serie la (1.52). Si trova, ricordando che I = I1 + iI2 . µ ¶ 1 1 1 I1 = m p − 2 p3 + 2 p5 − 2 p7 + . . . , (1.53) 2! ·3 4! ·5 6! ·7 µ ¶ 1 2 1 1 1 I2 = m p − 2 p4 + 2 p6 − 2 p8 + . . . , (1.54) 2 3! ·4 5! ·6 7! ·8 in cui m è una costante che possiamo supporre reale se spostiamo convenientemente l’origine dei tempi. Derivando rispetto a p, abbiamo, essendo per la convenzione fatta p = s µ ¶ 1 1 1 D1 = m 1 − 2 p2 + 2 p4 − 2 p6 + . . . , (1.55) 2! 4! 6! µ ¶ 1 1 1 D2 = m p − 2 p3 + 2 p7 − 2 p9 + . . . . (1.56) 3! 5! 7! Il calore svolto per effetto ohmico lungo un tratto ` del conduttore sarà in medio nell’unità di tempo ¶2 Z p "µ 1 2 1 2 Q1 = m ρ` 1 − 2p + ... 2 2! 0 µ ¶2 # 1 (1.57) + p − 2 p3 + . . . dp. 3! 8 Volumetto 1: 8 marzo 1927 Invece il calore che si svolgerebbe se la corrente fosse distribuita uniformemente, è dato da "µ ¶2 1 2 1 1 Q = m ρ p − 2 p3 + . . . 2 p 2! ·3 µ ¶2 # 1 2 1 4 + p − 2 p + ... . (1.58) 2 3! ·4 Chiamando r1 la resistenza apparente del conduttore con corrente alternata, r la resistenza a corrente continua, risulta: ¶2 µ ¶2 # Z p "µ 1 2 1 3 1 − 2p + ... + p − 2p + ... dp 2! 3! 0 Q1 r1 "µ = = ¶2 µ ¶2 # . r Q 1 3 1 4 1 1 2 p − 2 p + ... + p − 2 p + ... p 2! ·3 2 3! ·4 (1.59) Il numeratore e il denominatore dell’ultimo membro possono svilupparsi in serie secondo le potenze di p. Eseguiti gli sviluppi si trova, dividendo per p, r1 = r 1 2 1 1 1 p + 2 p4 + 2 p6 + 2 p8 + . . . 3! 2! ·5! 3! ·7! 4! ·9! , 1 1 1 1 2 p + p4 + p6 + p8 + . . . 1+ 2!·3! 2!·3!·5! 3!·4!·7! 4!·5!·9! 1+ (1.60) in cui, liberandoci dai vincoli imposti sulle unità di misura, p = µωs/ρ = µ`ω/r ovvero, prendendo per unità di resistenza l’ohm e per unità di lunghezza il metro: µω` 2πf µ ` p = = . 107 R 107 R Diamo alcuni valori di R1 /R in corrispondenza a dati valori di p:5 5 Si osservi che l’Autore usa l’equazione (1.60) per ottenere i valori nella seguente tabella fino a p = 6, mentre per completare la tabella egli utilizza lo sviluppo contenuto nell’equazione (1.62). 9 Volumetto 1: 8 marzo 1927 [t] p 1 2 3 4 6 10 24 60 100 r1 /r 1.0782 1.2646 1.4789 1.6779 2.0067 2.5069 3.7274 5.7357 7.3277 Per piccoli valori di p (p < 1) può adoperarsi la formola: 1 2 1 4 r1 = 1+ p − p , r 12 180 (1.61) mentre per valori elevati può servire l’altra r1 = r r 1 3 1 p + + 2 4 64 Ãr !−1 1 p 2 (1.62) o l’altra più semplice r r1 1 1 = p+ , (1.63) r 2 4 la prima delle quali dà risultati pressoché esatti (errore relativo < 0.0001) per p > 10. 1.5 Teoria termodinamica delle pile termoelettriche Supponiamo che alla quantità 1 di elettricità6 sia connessa una certa entropia S, funzione della natura e della temperatura del conduttore. Se 6 Ossia la quantità di carica elettrica (che fluisce in un conduttore) corrispondente alla unità di misura scelta. 10 Volumetto 1: 8 marzo 1927 la quantità q di elettricità percorre un elemento conduttore, la sua entropia passerà da qS a q(S + dS), essendo dS finito o infinitesimo secondo che gli estremi dell’elemento siano o no di natura diversa. Se prescindiamo dall’effetto Ohm, che potrà valutarsi a parte, dobbiamo considerare come reversibile il movimento dell’elettricità; allora all’incremento di entropia qdS deve corrispondere un assorbimento di calore qT dS, cosı̀ dove la natura del conduttore varia, come quando varia soltanto la sua temperatura (effetto Thomson). Se la quantità q di elettricità percorre un circuito chiuso la quantità totale di calore assorbito sarà: Z q T dS, in cui l’integrale esteso a tutto il circuito sarà in generale diverso da zero, purché la temperatura non sia uguale in tutti gli elementi conduttori e vari inoltre almeno in due punti la loro natura. Se E è l’equivalente meccanico del calore dovrà allora manifestarsi nel circuito, per la conservazione dell’energia, una forza elettromotrice e data da: Z e = E T dS. (1.64) Seguono facilmente le leggi fondamentali della pila termoelettrica. 1.6 Energia di un conduttore isolato Sia σ una superficie conduttrice carica della massa elettrica 1, k la densità superficiale dell’elettricità, ² l’energia del sistema, V il potenziale del conduttore. Supponiamo che σ si deformi e sia σ1 la deformata e, analogamente, k1 la densità della nuova distribuzione, ²1 l’energia e V1 il potenziale. Indichiamo con ²m l’energia mutata delle due distribuzioni e con ²(k − k1 ) l’energia totale dell’insieme della prima distribuzione e della seconda cambiata di segno. Avremo evidentemente: ²(k − k1 ) = ² + ²1 − ²m . (1.65) Supponiamo che σ1 sia tutta esterna a σ; il potenziale del campo prodotto dalla distribuzione k1 sarà in tutti i punti di σ uguale a V1 , avremo quindi: 11 Volumetto 1: 8 marzo 1927 ²m = V1 , e poiché ²1 = V1 /2, ²m = 2²1 . Sostituendo ricaviamo: ² − ²1 = ²(k − k1 ). (1.66) Se supponiamo che σ1 differisca infinitamente poco da σ, il campo prodotto dalla differenza delle due distribuzioni sarà nullo all’interno di σ, finito tra σ e σ1 , e infinitesimo fuori di σ1 . Anche l’energia di detto campo sarà, per unità di volume, nulla dentro σ, finita tra σ e σ1 , e infinitesima del secondo ordine fuori di σ1 , e poiché lo spazio compreso tra σ e σ1 è infinitesimo del primo ordine, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, dovremo tener conto solo dell’energia di volume contenuta fra σ e σ1 . Ma in questa regione il campo prodotto della seconda distribuzione è nullo, sicché possiamo dire che per una variazione infinitesima di σ, purché la superficie variata sia tutta esterna a σ, la diminuzione di energia elettrostatica è uguale all’energia primitivamente contenuta nello spazio compreso fra σ e la nuova superficie. Possiamo dare a questa proposizione un’altra forma. Sia dσ un elemento di σ; l’elemento di volume compreso fra σ, σ1 , e le normali al contorno di dσ vale dσ·dα, essendo dα la distanza fra σ e σ1 , l’intensità del campo nell’interno di detto elemento è, a meno di infinitesimi, 4πk = F , perciò l’energia contenuta in detti elemento di volume vale F (k/2)dσdα, ma kdσ è la massa dm distribuita su dσ onde F (k/2)dσdα = (dm/2)F dα e integrando in tutto lo spazio fra σ e σ1 , ² − ²1 = − δ² = o anche, poiché ² = 1 2 Z F·δα dm : (1.67) F·δα dm. (1.68) 1 1 V e ²1 = V1 , 2 2 Z V − V1 = − δV = È assai facile constatare che questa formola vale anche senza la restrizione che σ1 sia tutta esterna a σ, purché si intenda sempre per F la forza esternamente a σ e si assuma dα positiva o negativa secondo che σ1 è localmente esterna o interna a σ. 12 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.7 Attrazione di masse lontane Sia dato un sistema di masse attiranti m1 , m2 , . . . , mn poste nei punti P1 , P2 , . . . , Pn ,. Sia O il baricentro del sistema, m la sua massa totale. Fissiamo un sistema di assi cartesiani con l’origine in 0; il potenziale in un punto P di coordinate x, y, z sarà V = n X £ ¤−1/2 mi (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 i=1 = n X ¤−1/2 £ . mi x2 + y 2 + z 2 − 2(xxi + yyi + zzi ) + x2i + yi2 + zi2 i=1 Se indichiamo con r la distanza di P da O e con α, β, γ i coseni di direzione della retta OP , avremo: V = n X ¤−1/2 £ mi r2 − 2r(αxi + βyi + γzi ) + x2i + yi2 + zi2 i=1 = n £ ¤−1/2 1 X mi 1 − (2/r)(αxi + βyi + γzi ) − (x2i + yi2 + zi2 )/r2 . r i=1 Se r è infinitamente grande la quantità sotto radice differisce dall’unità per un infinitesimo dello stesso ordine di 1/r; sviluppando secondo questo infinitesimo e trascurando sotto il segno di sommatorio gli infinitesimi d’ordine uguale o superiore al terzo, avremo, poiché tutto il sommatorio va moltiplicato per 1/r, a meno di infinitesimi del quarto ordine: V = n n 1 X 1 X mi + 2 mi (αxi + βyi + γzi ) r i=1 r i=1 · ¸ n ¢ 1 X 3 1¡ 2 + 3 mi (αxi + βyi + γzi )2 − xi + yi2 + zi2 , r i=1 2 2 ePtrasformando P l’ultimo termine e notando che i mi zi = 0, avremo: i m i yi = V = P i n £¡ ¢ m 1 X + 3 mi x2i + yi2 + zi2 r r i=1 13 mi = m e P i mi xi = Volumetto 1: 8 marzo 1927 Ã 3 − 2 α !# 2 (yi2 + zi2 ) + . . . − 2αβxi yi − . . . , cioè, indicando con Ip il momento di inerzia polare rispetto al baricentro del sistema di masse e con I il momento di inerzia dello stesso sistema rispetto alla retta OP , µ ¶ 1 3 m + 3 Ip − I + infinitesimi del IV ordine, (1.69) V = r r 2 onde il potenziale in punti lontani di un sistema di masse attiranti con la legge di Newton è determinato, a meno di infinitesimi del quarto ordine, dalla massa e dal nocciolo centrale d’inerzia del sistema. Poiché, come risulta dalla (1.69), a meno di un infinitesimo del terzo ordine Ip − 32 I si ha V /m = 1/r, noi potremo, nel termine che figura nella (1.69) r3 stessa, sostituire a 1/r il valore approssimato V /m. Risolvendo rispetto a 1/r, abbiamo allora, sempre a meno di un infinitesimo del quarto ordine µ ¶ 1 V V3 3 = − 4 Ip − I , (1.70) r m m 2 e prendendo gli inversi dei due membri avremo a meno di infinitesimi del secondo ordine µ ¶ V 3 m + 2 Ip − I . (1.71) r = V m 2 Poiché si può sempre trovare un omeoide che abbia la stessa massa e lo stesso nocciolo centrale d’inerzia del sistema dato, concludiamo che le superficie equipotenziali a distanza infinitamente grande del campo prodotto da una distribuzione qualsiasi di masse sono, a meno di infinitesimi del secondo ordine, ellissi omofocali aventi per assi gli assi principali d’inerzia della distribuzione stessa; mentre, a meno di infinitesimi del primo ordine, sono sfere aventi per centro il suo baricentro. 14 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.8 Formulario (S, volume limitato dalla superficie σ) (1) div (m F) = m div F + grad m × F (2) div E ∧ F = rot E × F − E × rot F (3) grad (m n) = m grad n + n grad m (4) ∆ (m n) = m ∆ n + 2 grad m · grad n + n ∆ m (5) rot rot E = − ∆ E + grad div E Z Z (6) En dσ = div E dS σ Z Z (7) m En dσ = σ (m div E + grad m · E) dS, S Z Z (8) n × F dσ = rot F dS σ S Z Z (9) p n dσ = σ Z µ Z (10) q n dσ = σ (11) 7 S S grad p dS S ∂q j ∂q k ∂q i + + ∂x ∂y ∂z ¶ dS, [q, omografia], 8 rot m F = m rot F + grad m × F, 7E n indica la componente del vettore E lungo la normale esterna n alla superficie σ. 8 i, j, k sono i versori lungo gli assi coordinati x, y, z. 15 Volumetto 1: 8 marzo 1927 (12) Z · Z (P − O) ∧ q n dσ = σ µ (P − O) ∧ S ∂q i ∂q j ∂q k + + ∂x ∂y ∂z ¶ dS, Z µ Z (13) E En dσ = σ S Z µ (14) E En − σ E div E − E ∧ rot E + 1 grad E 2 2 ¶ dS ¶ Z 1 2 E n dσ = (E div E − E × rot E) dS. 2 S (15) Sia U1 = U1 (x1 , x2 , x3 ) e x1 = x1 (x, y, z), x2 = x2 (x, y, z), x3 = x3 (x, y, z); (1.72) posto U (x, y, z) = U1 (x1 , x2 , x3 ), si deduce ∆U = ∂ 2 U1 ∂ 2 U1 |grad x1 |2 + . . . + · 2 grad x1 × grad y1 + . . . 2 ∂x1 ∂x1 ∂y1 ∂U1 ∂U1 ∂U1 + ∆ x1 + ∆ y1 + ∆ z1 . (1.73) ∂x1 ∂y1 ∂x3 formole analoghe valgono per trasformazioni in spazi con un numero qualunque di dimensioni, ed anche fra spazi a un numero differente di dimensioni purché la (1.72 abbia senso univoco. 1.9 Linee elettriche Siano r, L, C, g rispettivamente la resistenza, l’autoinduzione, la capacità e la dispersione per unità di lunghezza. Supponiamo queste quattro grandezze costanti. Se la linea è percorsa da correnti di frequenza ω/2π, indicando con V e i rispettivamente il potenziale e l’intensità di corrente 16 Volumetto 1: 8 marzo 1927 (complessi) e con x la distanza dall’origine, le espressioni generali di V e i sono:9 V = A cosip (px) + B sinip (px), (1.74) i = − A q sinip (px) − B q cosip (px) (1.75) nelle quali A e B sono costanti arbitrarie, mentre si è posto: p p p p p = r + Lωj g + Cωj, q = g + Cωj/ r + Lωj. Sia ` la lunghezza della linea, V0 , V1 e i0 , i1 , rispettivamente, i valori di V e di i per x = 0 e per x = `. Supponiamo inoltre dato V0 e chiusa la linea su una resistenza (complessa) R. Ponendo nella (1.74) x = 0, si ricava: V0 = A; (1.76) ponendo invece nelle (1.74), (1.75), x = `, e sostituendo ad A il valore trovato abbiamo rispettivamente: V1 = V0 cosip (p`) + B sinip (p`), (1.77) i = − V0 q sinip (p`) − B q cosip (p`) (1.78) e dovendo essere, per le ipotesi fatte, V1 = Ri1 , V0 cosip (p`) + B sinip (p`) + V0 R q sinip (p`) + B R q cosip (p`) = 0, (1.79) cioè: cosip (p`) + Rq sinip (p`) B = − V0 . (1.80) sinip (p`) + Rq cosip (p`) Sostituendo nelle (1.74) e (1.75) e dando a x valori opportuni si trovano facilmente le espressioni: i0 = V1 = i1 = cosip (p`) + Rq sinip (p`) , sinip (p`) + Rq cosip (p`) V0 R q , sinip (p`) + Rq cosip (p`) V0 q . sinip (p`) + Rq cosip (p`) V0 q (1.81) (1.82) (1.83) √ evitare confusioni, l’Autore indica l’unità immaginaria −1 con j; i pedici ip servono invece ad indicare le funzioni iperboliche sinh e cosh. 9 Per 17 Volumetto 1: 8 marzo 1927 In particolare se R = ∞ si ha: i0 = V1 = i1 = sinip (p`) cosip (p`) V0 cosip (p`) 0; i0 = V0 q V1 = 0 (1.88) = V0 q ; sinip (p`) (1.89) V0 q (1.84) (1.85) (1.86) e se R = 0: i1 cosip (p`) sinip (p`) (1.87) se r = g = 0: i0 = V1 = p √ √ cos LCω` + jR C/L sin LCω` p √ √ , R C/L cos LCω` + j sin LCω` p V0 R C/L p √ √ ; R C/L cos LCω` + j sin LCω` V0 p C/L (1.90) (1.91) se r = g = 0 e R = ∞: i0 = V1 = i1 = V0 p cos 0; C/L j √ p √ sin LCω` √ = V0 C/L j tan LCω`, cos LCω` V0 √ , LCω` (1.92) (1.93) (1.94) se r = g = R = 0: r i0 = − V0 V1 = 0, i1 = − V0 r 1 C √ j , L tan LCω` (1.95) (1.96) C 1 √ . j L sin LCω` 18 (1.97) Volumetto 1: 8 marzo 1927 [ ]10 1.10 Densità di una distribuzione sferica Si abbia una distribuzione di masse newtoniane su una superficie sferica con densità variabile K. Detti V0 e K0 rispettivamente il potenziale e la densità nel punto O, V il potenziale nel punto generico P , d la distanza fra P0 e P , e r il raggio della sfera, vale la relazione: µ ¶ Z 1 V0 − V V0 K0 = + dσ , (1.98) 4π r πd3 σ 10 Nel manoscritto originale è qui riportato un inserto il cui contenuto è il seguente: “Se Z è l’impedenza della linea, Y l’ammettenza in derivazione, V0 e i0 il potenziale e la corrente in arrivo, V1 e i1 quelli in partenza, si ha: r √ √ Z V1 = V0 cosip Y Z + i0 sinip Y Z, Y r √ √ Y ii = i0 cosip Y Z + V0 sinip Y Z. Z Sviluppando in serie i primi termini sono: ¶ µ ¶ µ YZ YZ aV1 = V0 1 + + i0 Z 1 + , 2 6 ¶ µ ¶ µ YZ YZ + V0 Y 1 + . ii = i0 1 + 2 6 Il metodo del T darebbe: V1 = ii = V1 = ii = e quello del Π ¶ µ ¶ YZ YZ + i0 Z 1 + , 2 4 ¶ µ YZ i0 1 + + V0 Y, 2 µ V0 1 + ¶ YZ + i0 Z, 2 ¶ µ ¶ µ YZ YZ + V0 Y 1 + . i0 1 + 2 4 µ V0 1 + 19 Volumetto 1: 8 marzo 1927 nella quale l’integrale va esteso a tutta la superficie sferica. 1.11 Skineffect elettrico limite Si abbia un conduttore a sezione costante (di forma qualunque) percorso da corrente alternata. Crescendo indefinitamente la frequenza la corrente tende a scorrere quasi esclusivamente in uno strato superficiale del conduttore sempre più sottile. Al limite potremo ritenere il fenomeno della corrente come puramente superficiale e potremo considerare la densità lineare di corrente che sarà l’intensità della corrente che attraversa l’unità di lunghezza del contorno della sezione. Per una data intensità totale di corrente, al limite sarà nulla la densità superficiale di corrente all’interno del conduttore e sarà quindi, manifestamente, anche nullo il campo magnetico. Ora il campo magnetico all’interno del conduttore è dovuto alla corrente che scorre in superficie e alla magnetizzazione del conduttore, se questo è magnetico, nel sottile strato superficiale percorso da corrente. Il secondo contributo tende a zero perché tende a zero il volume dello strato superficiale mentre non cresce oltre ogni limite l’intensità di magnetizzazione. Segue che al limite è nullo, all’interno del conduttore, il campo prodotto dalla corrente. Scomponiamo la corrente che attraversa ogni elemento del contorno in due componenti, l’una di fase O e l’altra di fase π/2. Dovrà annullarsi, all’interno del conduttore, sia il campo dovuto alle sole prime componenti, sia quello dovuto alle sole seconde. Alle correnti elementari di egual fase possiamo sostituire correnti elementari continue della stessa intensità efficace; il campo dovuto a queste sarà uguale al campo efficace prodotto da quelle. Ora è noto che il campo magnetico dovuto a più correnti continue rettilinee e parallele è ortogonale e numericamente uguale al campo elettrico prodotto da altrettante distribuzioni lineari di elettricità con gli assi coincidenti con gli assi delle correnti e le densità lineari rispettivamente uguali, in valore numerico, alle intensità di correnti. Nel nostro caso, sostituendo alle correnti elementari che attraversano il perimetro della sezione siffatte distribuzioni lineari di elettricità, veniamo ad avere una distribuzione di elettricità su tutta la superficie del conduttore e la densità superficiale di detta distribuzione è numericamente uguale 20 Volumetto 1: 8 marzo 1927 alla densità lineare di corrente. Ma tale distribuzione deve produrre campo nullo all’interno onde essa è quella che si produrrebbe naturalmente supposto il conduttore isolato e carico. Ma tale distribuzione è perfettamente determinata a meno di un fattore costante e poiché alle densità superficiali di essa sono proporzionali le densità lineari delle correnti di fase zero, come, naturalmente, quelle di fase π/2, riassumendo si conclude (1) Le correnti elementari che scorrono alla superficie del conduttore hanno tutte la stessa fase. (2) La densità lineare di tali correnti è proporzionale alla densità superficiale, calcolata negli elementi di superficie su cui esse scorrono, di una certa distribuzione superficiale di elettricità che è precisamente quella che si produrrebbe nel conduttore isolato e carico. Vediamo ora come varia con la profondità la densità superficiale della corrente entro il sottile strato conduttore; poiché questo è infinitesimo potremo, entro una regione indefinitamente estesa rispetto al suo spessore, considerare come piena la superficie del conduttore e ritenere funzioni della sola profondità la densità di corrente e il campo. Fissiamo un sistema di assi cartesiani destrorso con l’origine in un punto della superficie, l’asse x nella direzione della corrente e l’asse z volto verso la normale interna. È chiaro che, a meno di infinitesimi la direzione (non necessariamente il verso) del campo magnetico sarà quella dell’asse y. Detta u la densità di corrente (complessa) H il campo magnetico (complesso), ρ la resistività elettrica, le equazioni di Maxwell, trascurate le correnti di spostamento che non hanno alcuna importanza, divengono: ∂H ∂z ∂u ∂z = − 4π u, = − (1.99) µωj H; ρ (1.100) supposta la permeabilità costante si ottiene l’equazione: ∂2u 4π µ ω j = u ∂z 2 ρ (1.101) la cui soluzione generale è: √ u = ae 2πµω/ρ (1+j) z + b e− 21 √ 2πµω/ρ (1+j) z ; (1.102) Volumetto 1: 8 marzo 1927 ma il primo termine deve essere nullo perché tende all’infinito con z. Avremo quindi: √ u = u0 e− 2πµω/ρ (1+j) z . (1.103) Questa è l’equazione in termini simbolici di un’onda smorzata procedente dall’esterno verso l’interno; la costante di attenuazione è uguale alla costante di spostamento, analogamente a quando avviene nelle onde di propagazione p p del calore, e vale 2πµω/ρ = 2π µf /ρ. La lunghezza d’onda sarà: r r 2πρ ρ λ = = . (1.104) µω µf La velocità di propagazione: s v = fλ = ρf ; µ e la densità lineare di corrente: Z ∞ r d = u dr = u0 ρ √ 4π µ ω δ r ρ u0 λ 1 u0 √ = √ √ . 2π 2µ f 2π 2 δ δ (1.105) (1.106) 0 = (1.107) Segue che la fase di tutta la corrente è in ritardo di 45o rispetto a quella della corrente che scorre nello strato immediatamente prossimo alla superficie del conduttore. Il calore che si sviluppa per effetto Joule nell’unità di tempo e nell’unità di superficie del conduttore sarà, in unità meccaniche e indicando con |u0 | il modulo del complesso u0 : Z ∞ Z ∞ q −4π µ ρz f q = ρ |u|2 dz = |u0 |2 ρe dz 0 0 r 1 ρ ρλ (1.108) = ρ |u20 | = |u20 | . 4π µ f 4π Si dica strato equivalente uno strato di spessore s tale che se la corrente circolasse in esso con densità uniforme a qualunque profondità si svilupperebbe la stessa quantità di calore. Avremo: ρ |d2 | λ = ρ |u20 | ; s 4π 22 (1.109) Volumetto 1: 8 marzo 1927 da cui per la (1.107) si deduce s = λ 1 = 2π 2π r ρ . µf (1.110) Agli effetti della resistenza ohmica si può quindi ritenere che la corrente fluisca entro lo strato equivalente con densità indipendente dalla profondità, ma variabile da un punto all’altro del contorno del conduttore. È quindi errato il calcolare la resistenza per unità di lunghezza del conduttore dividendo la resistività per l’area della sezione dell’intero strato equivalente. Tale calcolo è esatto solo per la sezione circolare; in tutti gli altri casi dà per la resistenza valori inferiori al vero. Consideriamo ora appunto, una sezione circolare; se r è il suo raggio, la sezione equivalente ha la forma di una corona circolare di raggio esterno r e spessore s. La sua area sarà 2πrs − πs2 ; osserviamo però che s è infinitesimo ed è stato determinato in prima approssimazione, cioè a meno di infinitesimi del secondo ordine, onde per provare la leggittimità del secondo termine nell’espressione ora scritta ove si intenda di attribuire a s il valore dato dalla (1.110) bisogna ricorrere ad altra via. Precisamente chiamando A l’area della sezione equivalente risulta dalla (1.63) a meno di infinitesimi: s r r 1 1 1 πr2 1 µω 2 µf = p+ = πr + = πr + (1.111) A 2 4 2ρ 4 ρ 4 e moltiplicando per A che è infinitesimo di primo ordine e dividendo per il secondo membro che è infinito del primo ordine, risulta a meno di infinitesimi del terzo ordine: r πr 2 ρ 1 s r A = = r µ f 1 ρ µf 1 1 + πr + 4πr µf ρ 4 r ρ 1 ρ = r (1.112) − , µf 4π µf e finalmente ricordando la (1.110) ³ s´ s, A = 2π r s − πs2 = 2π r − 2 come ci eravamo proposti di dimostrare. 23 (1.113) Volumetto 1: 8 marzo 1927 Passiamo ora alle sezioni di forma qualunque. Il procedimento che seguiremo sarà quello di ricondurre tali sezioni a sezioni circolari equivalenti per ciò che riguarda la resistenza nel caso di un effetto pellicolare infinitamente pronunziato; notiamo una volta per sempre che prendendo la frequenza all’infinito, tale equivalenza ha luogo in generale solo per la prima approssimazione; onde trovato il raggio del cerchio equivalente e calcolata la sezione dello strato equivalente mediante la (1.113), si commette un errore che è infinitesimo del secondo ordine e non del terzo come la forma della (1.113) parrebbe indicare; ma benché l’errore che si commette nel calcolo di A con la (1.113) è dello stesso ordine di grandezza del termine −πs2 , conviene tuttavia tener conto di tale termine, anziché trascurarlo, perché si ottiene in generale un’approssimazione migliore. Se d è la densità lineare di corrente il calore sviluppato nell’unità di tempo per unità di lunghezza del conduttore e per ogni elemento d` del contorno sarà, a meno di un fattore costante, d2 d`, e il calore complessivo per unità di lunghezza e di tempo: Z Q = c d2 d`. (1.114) L’intensità totale di corrente sarà: Z i = d d`. (1.115) Sostituendo alla sezione data il cerchio equivalente di perimetro p avremo: Q = c donde µZ p = 1 p µZ ¶2 d d` , (1.116) ¶2 ÁZ d d` d2 d` . (1.117) p ≤ `. (1.118) Si deduce in ogni caso: 24 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.12 Skineffect elettrico limite per sezioni particolari. Indicazioni per sezioni qualunque. 1.12.1 Sezioni ellittiche d è notoriamente proporzionale alla proiezione del raggio vettore sulla normale; per un’ellisse di semiassi a e b avremo nel punto generico (a cos t, b sin t), essendo c una costante d = d` = p p c a2 sin2 t + b2 cos2 t , a2 sin2 t + b2 cos2 t dt. (1.119) (1.120) Chiamando r il raggio del cerchio equivalente e sostituendo nella (1.117) abbiamo ÃZ !−1 2π dt p p = 2πr = 4π 2 , (1.121) 0 a2 sin2 t + b2 cos2 t cioè, limitando l’integrale a un quarto dell’ellisse: ÃZ !−1 2π dt π p r = . 2 0 a2 sin2 t + b2 cos2 t Riportiamo alcuni valori di r: 25 (1.122) Volumetto 1: 8 marzo 1927 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 r 0.949 0.897 0.843 0.787 0.728 0.666 0.598 0.520 0.425 0 rA 0.949 0.894 0.837 0.775 0.707 0.632 0.548 0.447 0.316 0 rp 0.951 0.903 0.857 0.813 0.771 0.733 0.698 0.669 0.647 0.637 Emerge dal quadro qui sopra che il cerchio equivalente è sempre più prossimo a quello di ugual area che a quello di ugual perimetro, benché il rapporto tra esso e il cerchio di uguale area sia infinito per eccentricità infinite; tuttavia per b/a = 0.1 tale rapporto (rapporto dei raggi) non giunge ancora a 1.35. Appare quindi errato il suggerimento dato da alcuni autori di sostituire per approssimazione a una sezione irregolare il cerchio di ugual perimetro anziché quello di uguale area; e ciò anche per l’osservazione che segue. 1.12.2 Influenza delle irregolarità del contorno Supponiamo che a una sezione a contorno regolare (cioè con il raggio di curvatura del contorno mai troppo piccolo rispetto alle dimensioni della sezione) se ne sostituisca un’altra quasi sovrapponibile alla prima, ma con il contorno ondulato. È chiaro che l’area della sezione non sarà sensibilmente cambiata, mentre il perimetro può essere accresciuto sensibilmente; si tratta di vedere in che senso vari la resistenza apparente in regime di skineffect infinito. Per necessità di calcolo supponiamo le ondulazioni infinitamente piccole. Consideriamo un piccolo tratto del contorno della prima sezione parecchie volte più lungo di ciascuna ondulazione, nella seconda sezione corrisponde ad esso un tratto ondulato. Supponiamo di caricare il conduttore con la quantità di elettricità q per ogni unità di lunghezza; il perimetro 26 Volumetto 1: 8 marzo 1927 del cerchio equivalente vale, essendo d la densità dell’elettricità (cfr. la (1.117)): µZ ¶−1 p = q2 d2 d` , (1.123) ma d2 d` non è altro, a meno del fattore 2π, che il valore numerico dello sforzo elettrostatico che si esercita sull’elemento d’onda11 d`·û; ora è chiaro che sostituendo al contorno regolare il contorno ondulato la distribuzione dell’elettricità non varia sensibilmente purché si considerino tratti del contorno comprendenti molte ondulazioni; segue (fig) che nel tratto quasi piano ABC relativo alla prima sezione, e nel tratto ondulato ABC 0 si esercita press’a poco lo stesso sforzo elettrostatico; ma mentre nel primo caso tale sforzo deriva dalla composizione di sforzi elementari quasi paralleli, nel secondo caso deriva dalla composizione di sforzi di direzione variabile. A C C’ B Segue che la somma aritmetica degli sforzi è maggiore nel secondo caso. 11 Con û viene indicata una generica direzione che parte da un punto del bordo. 27 Volumetto 1: 8 marzo 1927 Si conclude per la (1.123) che passando dal contorno regolare al contorno ondulato il perimetro della sezione aumenta, mentre il raggio del cerchio equivalente diminuisce. Combinando tale risultato con quelli ottenuti intorno alle sezioni ellittiche si conclude intuitivamente che per una sezione sensibilmente allungata e un po’ irregolare come quella di una rotaia il raggio del cerchio equivalente è solo lievemente maggiore di quello del cerchio di uguale area, mentre è sensibilmente minore di quello del cerchio di uguale perimetro. 1.13 Perdite per isteresi nei conduttori magnetici in regime di effetto pellicolare limite Per trovare le formole (v. §11) relative all’effetto pellicolare limite abbiamo supposto costante il coefficiente di permeabilità e trascurata l’influenza dell’isteresi; ma di tale influenza si può sommariamente tenere conto ritenendo che essa si manifesti essenzialmente mediante un ritardo di fase α dell’ondulazione rispetto al campo magnetico. Con le notazioni simboliche µ, rapporto tra grandezze alternate di fase diversa, sarà immaginario e avrà per argomento −α, quantità che per necessaria semplicità di calcolo riterremo costante. Poniamo µ sotto la forma µ = µ0 e−iα . (1.124) Tutte le formole in notazioni simboliche di (§11) saranno valide purché si intenda µ come complesso. Sostituendo poi a µ la sua espressione data dalla (1.124), le formole (1.103) e (1.106) divengono rispettivamente: u = u0 exp{−2π e d = u0 2π r p µ0 f /ρ [cos(45o − α/2) + j sin(45o − α/2)] z} (1.125) ³ ³ α´ α ´i ρ h cos 45o − − j sin 45o − . 2µ0 f 2 2 (1.126) Segue che il ritardo della corrente sul campo elettrico alla superficie del conduttore vale 45o − α/2. Alle (1.104), (1.105), e (1.110) andranno sosti- 28 Volumetto 1: 8 marzo 1927 tuite le altre: r λ = s v = q1 = s1 = ρ 1 2µ0 f sin(45o − α/2) 1 ρf 2µ0 sin(45o − α/2) r ρ 1 −ρ |u0 |2 4π 2µ0 f cos(45o − α/2) r cos(45o − α/2) ρ . π 2µ0 f (1.127) (1.128) (1.129) (1.130) Segue dalla (1.127) che la lunghezza d’onda aumenta e dalla (1.130) che le perdite per effetto Joule diminuiscono in conseguenza dell’isteresi. Ma q1 nella (1.129) è il calore perduto per solo effetto Joule e s1 nella (1.130) non è lo spessore dello strato equivalente che per ciò che riguarda l’effetto Joule; chiameremo al contrario q la quantità totale di energia perduta e s lo spessore dello strato equivalente vero, cioè tenuto conto delle perdite per isteresi. La quantità di energia che nell’unità di tempo attraversa l’unità di superficie del conduttore per trasformarsi in calore, vale per il teorema di Poynting: EH q = (1.131) cos ϕ 4π nella quale E è il valore efficace del campo elettrico alla superficie del conduttore, H il valore efficace del campo magnetico e ϕ la differenza di fase tra campo elettrico e magnetico. Nel nostro caso avremo: E = |u0 | ρ r H = 4π |d| = 2 u0 ϕ = 45o − (1.132) ρ 2µ0 f α 2 (1.133) (1.134) e quindi: q = s = r ³ ρ α´ cos 45o − 2µ0 f 2 r 1 ρ . 2π cos(45o − α/2) 2µ0 f ρ |u0 |2 2π 29 (1.135) (1.136) Volumetto 1: 8 marzo 1927 Chiamando q2 il calore sviluppato per la sola isteresi abbiamo: r ρ |u0 |2 ρ sin α q2 = q − q1 = 4π 2µ0 f cos(45o − α/2) q2 = sin α. q1 (1.137) (1.138) Chiamando poi q0 il calore che si svilupperebbe in assenza di isteresi per un medesimo valore della corrente, ciò che è lo stesso come dimostra la (1.126), per un medesimo valore di |u0 |, abbiamo: r 1 ρ q0 = ρ |u0 |2 (1.139) 4π µ0 f q α α + sin (1.140) = cos q0 2 2 sin α/2 + cos α/2 − 1 q0 − q1 = . (1.141) q2 sin α Si rileva da quest’ultima equazione che la perdita per isteresi è, nel caso di isteresi debole, compensata per metà dalla diminuzione di perdita per effetto Joule; nel caso di isteresi forte tale compenso è, relativamente, un po’ minore. Si rileva dalla (1.138) che il rapporto fra perdita di isteresi e perdita per effetto Joule è indipendente dalla frequenza. Se su una retta si segnano i punti O, Q0 , Q1 , e Q, essendo OQ0 = q0 , OQ1 = q1 , OQ = q, si ottiene un gruppo armonico. 1.14 Campo prodotto nel suo piano da una distribuzione lineare omogenea circolare di masse newtoniane Sia r il raggio del cerchio sulla cui circonferenza sono distribuite le masse, K la densità lineare della distribuzione. Detta x la distanza dall’asse, il campo vale nei punti interni: µ ¶ 2πK 1 x 1 9 x3 1 9 25 x5 (1.142) E = · + · · 3 + · · · 5 + ... ; r 2 r 2 8 r 2 8 24 r 30 Volumetto 1: 8 marzo 1927 nei punti esterni: µ ¶ 2πK r2 3 r4 3 15 r6 3 15 35 r8 E = + · 4 + · · 6 + · · · 8 + ... . r x2 4 x 4 16 x 4 16 36 x (1.143) In entrambe le serie, che sono sempre convergenti, i coefficienti a dei termini a(x/r)±n tendono, per n → ∞, a 2/π. 1.15 Campo prodotto nel suo piano da una corrente circolare Sia i l’intensità della corrente, r il raggio del cerchio. Detta x la distanza dall’asse, il campo vale nei punti interni: µ ¶ 2πi 3 x2 3 15 x4 3 15 35 x6 H = 1 + · 2 + · · 4 + · · · 6 + ... , (1.144) r 4 r 4 16 r 4 16 36 r e nei punti esterni: µ ¶ 2πi 1 r3 1 9 r5 1 9 25 r7 1 9 25 49 r9 H = − · 3 + · · 5 + · · · 7 + · · · · 9 + ... . r 2 x 2 8 x 2 8 24 x 2 8 24 48 x (1.145) Queste formole si deducono facilmente da quelle del n. precedente. 1.16 Effetto pellicolare debole in conduttori a sezione ellittica aventi la stessa permeabilità del mezzo La resistenza apparente in un conduttore a corrente alternata può porsi in generale nel caso di skineffect debole, sotto la forma ¡ ¢ Ra = Rc 1 + c p 2 , (1.146) 31 Volumetto 1: 8 marzo 1927 dove Rc è la resistenza a corrente alternata e si è posto inoltre p = µω/ρ, essendo µ la permeabilità del conduttore e ρ la sua resistenza per unità di lunghezza; c è un coefficiente che dipende dalla forma della sezione e dalla permeabilità del conduttore e del mezzo. Per conduttori a sezione circolare si ha sempre c= 1/12. Quando mezzo e conduttore hanno la stessa permeabilità, c diviene un coefficiente di forma. Esso si calcola in ogni caso ritenendo che la differenza di forza elettromotrice fra due linee di corrente, dovuta alle variazioni di flusso all’interno del conduttore, sia, in prima approssimazione, uguale a quella che si avrebbe nel caso di una distribuzione uniforme della corrente. Se la sezione è ellittica, e il conduttore e il mezzo sono egualmente permeabili, la differenza di forza elettromotrice fra linea di corrente centrale e quella che attraversa la sezione nel punto (x, y) vale, se x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 è l’equazione della sezione: ¶ µ a b (1.147) E = 2π µ ω u x2 + y2 , a+b a+b essendo u la densità di corrente, ed è spostata di 90o rispetto alla corrente. È allora facile calcolare il coefficiente c. Si trova: c = 3a2 − 2ab + b2 , 12(a + b)2 (1.148) 3 − 2k + 3k2 . 12(1 + k)2 (1.149) ovvero, ponendo k = b/a, c = Riportiamo nella tabella il valore di c per diversi valori di k. k 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 c 0.0833 0.0838 0.0854 0.0885 0.09375 0.1019 0.1139 0.1317 0.1574 0.1949 0.2500 (c(ki ) − c(ki−1 ))×104 5 16 31 52 82 120 178 257 375 551 32 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.17 Scariche oscillanti nei condensatori Chiudendo un condensatore di capacità C, carico della quantità di elettricità Q su un circuito di resistenza R e autoinduzione L, ha luogo, se la resistenza non è troppo grande, una scarica oscillante. Detto T il periodo dell’oscillazione, t il tempo in capo al quale la corrente raggiunge il suo valore massimo imax , k il rapporto tra l’intensità di corrente al tempo t e quella al tempo t − T , si hanno per queste grandezze, al variare di r, i seguenti valori: r R/ 4L C 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 10 100 T √ 2π LC 1.000 1.005 1.021 1.048 1.091 1.155 1.250 1.400 1.667 2.294 ∞ Posto R1 = Ri/ t √ 2π LC 0.2500 0.2352 0.2224 0.2112 0.2013 0.1925 0.1845 0.1773 0.1707 0.1647 0.1592 0.1210 0.0479 0.0084 t T 0.2500 0.2341 0.2180 0.2015 0.1845 0.1667 0.1476 0.1266 0.1024 0.0718 0.0000 Q imax / √ LC 1.000 0.863 0.756 0.672 0.603 0.546 0.499 0.459 0.424 0.394 0.368 0.218 0.049 0.005 k 1.000 0.532 0.277 0.139 0.064 0.027 0.0090 0.0021 0.00023 0.000002 0.000 p 4L/C, valgono le seguenti formole: (a) Per R1 < 1: T = t = t T = √ 2π LC p 1 − R12 √ LC p arccos R1 1 − R12 arccos R1 2π (1.150) (1.151) (1.152) 33 Volumetto 1: 8 marzo 1927 imax = = k = ( ) ½ ¾ Q Rt Q arccos R1 √ exp − exp −R1 p = √ 2L LC LC 1 − R12 ½ ½ ¾ ¾ Q RT arccos R1 Q tR1 √ exp − exp − √ = √ 2L 2π LC LC LC (1.153) ( ) ½ ¾ T R1 R1 2π exp − √ = exp − p . (1.154) LC 1 − R12 (b) Per R1 > 1: t = imax = = √ ³ ´ p log R1 + R12 − 1 p LC R12 − 1 µ ¶ − p R1 q Q R12 − 1 2 √ R1 + R1 − 1 LC ½ ¾ Q t − R1 √ exp √ . LC LC (1.155) (1.156) (c) Per R1 grandissimo: t = imax = √ log 2R1 2L = log 2R1 R1 r µ ¶ Q 1 log 2R1 − 1/2 √ . − 4R13 LC 2R1 LC 34 (1.157) (1.158) Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.18 Autoinduzione di una bobina di grande lunghezza ad asse rettilineo e sezione circolare e a parecchi strati Eguagliando a (1/2)Li2 l’energia elettromagnetica del sistema quando la bobina è percorsa dalla corrente i si ottiene: µ ¶ 1 2 1 1 L = 4π 2 n2 ` r1 + r1 r2 + r22 , (1.159) 2 3 6 essendo n il numero di spire per cm, ` la lunghezza della bobina, r1 il suo raggio interno, r2 quello esterno. Questa formola può anche scriversi: L = 4π n2 ` S, dove si è posto (1.160) √ 3S1 + 2 S1 S2 + S2 , (1.161) 8 essendo S1 e S2 rispettivamente la sezione interna ed esterna della bobina. Se la differenza relativa tra S2 e S1 non è molto grande si può porre approssimativamente: 1 (1.162) S = (2S1 + S2 ). 3 La (1.160) vale naturalmente per sezioni anche diverse dalla circolare, purché gli strati di spire si succedano uniformemente ed abbiano sezioni omotetiche. S = 35 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.19 Energia di una distribuzione circolare uniforme di masse elettriche o magnetiche Detto R il raggio del cerchio α su cui sono distribuite le masse, ρ la densità e Q la massa totale della distribuzione, si calcola immediatamente il potenziale nel centro del cerchio: V0 = 2π R ρ = 2 Q. R (1.163) Fissato un sistema d’assi Oxyz con l’origine nel centro del nostro cerchio e l’asse z normale ad esso, vale per le componenti in un punto generico Ex , Ey , Ez del campo fuori della distribuzione di masse l’equazione: ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + = 0. ∂x ∂y ∂z (1.164) Tale equazione non è più valida nei punti del cerchio su cui sono distribuite le masse, nei quali ∂Ez /∂z è infinito; tuttavia potremo continuare a ritenerla valida anche in tali punti a patto di sostituire a ∂Ez /∂z in uno generico di questi punti il limite dei valori che tale quantità assume nella regione infinitamente prossima esterna al piano xy. Ora abbiamo in generale: Ez = ρ ω, (1.165) essendo ω l’angolo solido sotto cui si vede da un punto generico il cerchio α; e quindi ∂Ez ∂ω = ρ . (1.166) ∂z ∂z Si rivela da tale espressione che ∂Er /∂r è numericamente uguale, salvo il segno, alla componente Hz del campo magnetico prodotto da una corrente di intensità ρ che percorra il contorno del cerchio α. È nota l’espressione di tale componente nel piano xy, mediante sviluppi in serie (vedi paragrafo 1.15). Sostituendo nella (1.166), si ricava per i punti interni ad α µ ¶ ∂Ez 2πρ 3 r2 3 15 r4 3 15 35 r6 = − 1 + · 2 + · · 4 + · · · 6 + . . . , (1.167) ∂z R 4 R 4 16 R 4 16 36 R essendo r la distanza dal centro. 36 Volumetto 1: 8 marzo 1927 La componente Er del campo secondo il piano xy è diretta radialmente e dipende, nel piano xy, dalla sola r. Avremo Ex = Ey = x Er , r y Er . r (1.168) (1.169) Derivando e sostituendo nell’equazione di Laplace12 si ricava µ ¶ Er ∂Er 2πρ 3 r2 3 15 r4 3 15 35 r6 + = 1 + · 2 + · · 4 + · · · 6 + ... . r ∂r R 4 R 4 16 R 4 16 36 R (1.170) Questa equazione permette di sviluppare in serie Er secondo le potenze di r. Si ottiene: µ ¶ 1 3 r3 πρ 1 3 15 r5 1 3 15 35 r7 Er = r + · · 2 + · · · 4 + · · · · 6 + ... . R 2 4 R 3 4 16 R 4 4 16 36 R (1.171) Il potenziale alla distanza r dal centro sarà: Z r V = V0 − Er dr 0 µ Q 1 r2 1 1 3 r4 1 1 3 15 r6 = 2− · 2 − · 2· · 4 − · 2· · · 6 R 2 R 2 2 4 R 2 3 4 16 R ¶ 8 1 1 3 15 35 r − · 2· · · · 8 + ... 2 4 4 16 36 R · µ 2 1 r 1 3 r4 1 3 15 r6 Q 2− · + · · + · · · = R 2 R2 4 4 R4 9 4 16 R6 ¶¸ 1 3 15 35 r8 + · · · · 8 + ... 16 4 16 36 R Z π Q 2 1 + (r/R) cos α p = (1.172) dα. R π 0 1 + 2(r/R) cos α + (r2 /R2 ) Il potenziale VR alla periferia risulta: · µ ¶¸ Q 1 8 Q 4 Q VR = 2 − 4 − = = 1.2732 . R 2 π R π R 12 O, più precisamente, nella prima equazione di Maxwell. 37 (1.173) Volumetto 1: 8 marzo 1927 Il potenziale medio Vm sarà: Z R Z R Vm = V r dr/ r dr 0 · µ0 Q 1 1 1 3 1 3 15 = 2− · + · + · · + ... R 2 1·2 4·3 4 9·4 4 16 1 3 15 35 63 4(n − 1)2 − 1 · · · · ·s ·s + . . . 2 n (n − 1) 4 16 36 64 4(n − 1)2 · µ ¶¸ Q 1 32 Q 16 16 2− 4 − = = Rρ R 2 3π R 3π 3 4 Q VR = 1.69765 . 3 R ¶¸ + = = (1.174) L’energia della distribuzione sarà dunque: E = 1 Q2 8 Q2 Q Vm = = 0.84883 . 2 R 3π R (1.175) È interessante notare, a titolo di confronto, che la quantità di elettricità Q, distribuita su una lamina conduttrice circolare di raggio R, assumerebbe, in assenza di altri conduttori, il potenziale (π/2)Q/R. Segue che l’energia inerente alla distribuzione uniforme sta all’energia inerente alla distribuzione a cui corrisponde il minimo di energia nel rapporto Vm 16/3π 32 = = = 1.08076. πQ/2R π/2 3π 2 1.20 (1.176) Autoinduzione di una bobina ad asse rettilineo e di limitata lunghezza Qualunque sia la forma della sezione e lo spessore dell’avvolgimento, se la bobina fosse di lunghezza infinita il campo in un punto generico P avrebbe la direzione della bobina e il valore 4πni, essendo i l’intensità della corrente e n il numero di spire esterne a P per ogni unità di lunghezza. Se invece 38 Volumetto 1: 8 marzo 1927 la bobina è di lunghezza limitata, al campo suddetto va aggiunto quello dovuto a due distribuzioni superficiali di masse magnetiche, σ1 e σ2 , poste rispettivamente sulla sezione esterna anteriore e posteriore della bobina e di densità superficiale rispettivamente ni e −ni. Supponiamo che la bobina sia percorsa dalla corrente unitaria. Le distribuzioni σ1 e σ2 avranno la densità n e −n. Fissato un sistema d’assi con l’asse delle x nella direzione della bobina e chiamate Hx0 , Hy0 , Hz0 le componenti del campo dovuto alle distribuzioni σ1 e σ2 , le componenti del campo complessivo saranno in un punto qualunque dello spazio: Hx = 4π n + Hx0 Hy = Hy0 Hz = Hz0 L’energia totale del sistema sarà Z 1 ² = (Hx2 + Hy2 + Hz2 ) dV, 8π (1.177) (1.178) essendo l’integrale esteso a tutto lo spazio. Ma poiché la corrente è unitaria avremo: 1 ² = L (1.179) 2 e quindi Z 1 L = (Hx2 + Hy2 + Hz2 ) dV 4π Z Z Z 1 (Hx02 + Hy02 + Hz02 ) dV + 2n Hx0 dV. = 4π n2 dV + 4π (1.180) Il primo termine del secondo membro è l’autoinduzione L1 che competerebbe alla bobina se le sue dimensioni trasversali fossero trascurabili di fronte alla sua lunghezza, o meglio se il flusso che attraversa ogni spira fosse uguale a quello che l’attraverserebbe nel caso di una bobina infinitamente lunga. Il secondo termine è il doppio dell’energia propria ²0 che spetta all’insieme della distribuzione σ1 e σ2 . Quanto al terzo termine osserviamo che n deve ritenersi nullo non solo fuori della bobina, ma anche al di là della sezioni estreme. La funzione integranda è quindi diversa da zero solo in un tronco di cilindro che ha per 39 Volumetto 1: 8 marzo 1927 basi le sezioni estreme della bobina. Integrando prima rispetto x e detta ` la lunghezza della bobina e S la sua sezione avremo Z Z Z a+` 2n Hx0 dV = dy dz 2n Hx0 dx, (1.181) S a R a+` essendo a l’ascissa della faccia negativa della bobina. Ora a Hx0 dx non è che la differenza di potenziale magnetico, dovuta alle sole distribuzioni σ1 e σ2 , fra due punti corrispondenti nelle sezioni estreme della bobina. Ma, poiché, per regioni di simmetria, se E è il potenziale magnetico dovuto alle distribuzioni σ1 e σ2 in un punto della faccia positiva, il potenziale nel punto corrispondente della faccia negativa sarà −E, avremo, badando ai segni Z Z (1.182) 2n Hx0 dV = − 4n E dy dz. S R ed essendo ovviamente S nEdydz = ²0 , sostituendo nella (1.180) si ha L = L1 + 2²0 − 4²0 = L1 − 2²0 , e ponendo L = K L1 sarà K = 1 − 1.21 2²0 . L1 (1.183) (1.184) Distanze medie di elementi di volume o superficiali o lineari (Si veda il paragrafo 2.39.6.) (1) Media armonica delle distanze tra volume di una sfera di raggio R: dm = 5 R = 0.8333 R. 6 (1.185) (2) Media armonica delle distanze fra gli elementi di superficie di un cerchio di raggio R: dm = 3π R = 0.58905 R. 16 40 (1.186) Volumetto 1: 8 marzo 1927 (3) Media geometrica delle distanze fra gli elementi di superficie di un cerchio di raggio R: dm = R e−1/4 = 0.7788 R. (1.187) (4) Distanza media geometrica fra gli elementi di segmento rettilineo lungo a: dm = R e−3/2 = 0.2231 a. (1.188) (5) Media aritmetica delle distanze fra gli elementi di superficie di un cerchio di raggio R: dm = 128 R = 0.9054 R. 45π (1.189) (6) Radice quadrata della media dei quadrati delle distanze fra gli elementi di superficie di un cerchio di raggio R: dm = R. (1.190) (7) Radice n-esima della media delle potenze n-esime delle distanze fra gli elementi di superficie di un cerchio di raggio R: se n è pari s dm = 2R n 16 1·3·5··s·(n + 1) , (n + 2)(n + 4) 2·4·6··s·(n + 2) (1.191) 2·4·6··s·(n + 1) 32 . π(n + 2)(n + 4) 3·5·7··s·(n + 2) (1.192) se n è dispari s dm = 2R 1.22 n Somma di alcune serie (Si vedano i paragrafi 2.28 del 2◦ vol.; e 3.1 del 3◦ vol.) 41 Volumetto 1: 8 marzo 1927 µ (1) 1− 2 π ¶ + 1 2 µ 3 2 − 4 π = (2) 1+ ¶ + (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 3 15 2 − 4 16 π ¶ + ... (1.193) 1 3 1 3·15 1 3·15·35 1 3·15·35·63 · + · + · + · + ... 4 4 9 4·16 16 4·16·36 25 4·16·36·64 8 π (1.194) 1 1 3 1 1 3·15 1 1 3·15·35 1 1 · + · 2· + · 2· + · 2· + ... 2 12 3 2 4 4 3 4·16 5 4 4·16·36 = 4− (4) µ 4 log 2 − 2 π/2 = 4− (3) 1 3 1+ 32 3π 1 1 π2 + + ... = = 1.64493407 4 9 6 1 1 1 1+ + + ... = 8 27 64 1 1 1 π4 + + + ... = 16 81 256 90 1 2 1 + x + x + ... = 1−x x 2 3 x + 2x + 3x + . . . = (1 − x)2 x(1 + x) x + 4x2 + 9x3 + 16x4 + . . . = (1 − x)3 1+ x(1 + 4x + x2 ) (1 − x)4 1 1 π sin x + sin 3x + sin 5x + . . . = , 0 < x < π 3 5 4 1 1 π−x sin x + sin 2x + sin 3x + . . . = , 0 < x < 2π 2 3 2 x + 8x2 + 27x3 + 64x4 + . . . = 42 (1.195) (1.196) (1.197) (1.198) (1.199) (1.200) (1.201) (1.202) (1.203) (1.204) Volumetto 1: 8 marzo 1927 (13) cos x + cos 2x + cos 3x + . . . + cos nx = (14) (15) sin (n + 1/2) x 1 − 2 sin x/2 2 sin2 x sin2 2x sin2 3x π−x + + + ... = x , 1 4 9 2 sin2 x + (1.205) 0<x<π sin2 5x sin2 7x π sin2 3x + + + ... = x, 9 25 49 4 0 < x < π/2 (16) (1.207) cos x cos 2x cos 3x 1 2 π 1 + + + ... = x − x + π2 , 1 4 9 4 2 6 0 < x < 2π. 1.23 (1.206) (1.208) Autoinduzione di una bobina rettilinea di lunghezza limitata a sezione circolare e avvolgimento di piccolo spessore (Questo paragrafo è la continuazione del numero 1.20.) Se N è il numero delle spire, ` la lunghezza della bobina, d il suo diametro, il coefficiente di autoinduzione può porsi sotto la forma: L = K π 2 d2 N2 , ` (1.209) essendo K un coefficiente numerico minore di uno e tanto più prossimo all’unità quanto più è piccolo il rapporto d/`. Il coefficiente K può essere 43 Volumetto 1: 8 marzo 1927 calcolato in base all’espressione data nel paragrafo 1.20. Per d/` ≤ 1, vale lo sviluppo in serie K = µ ¶2 µ ¶4 µ ¶6 4 d 1 d 1 d 5 d + − + 3π ` 8 ` 64 ` 1024 ` µ ¶8 µ ¶10 35 d 147 d − + + ... 16384 ` 131072 ` µ ¶2 µ ¶2n 1 1·3·5·s(2n − 1) d ± ∓ .... (n + 1)(2n − 1) 2·4·6·s2n ` 1 − (1.210) Se invece si pone: p = d2 /(`2 + d2 ) vale in ogni caso lo sviluppo in serie: K = 1 − + 4 d 1 7 2 101 3 1485 4 + p + p + p + p 3π ` 8 64 1024 16384 11059 5 83139 6 p + p + .... 131072 1048576 (1.211) Se si chiama genericamente bn pn il termine in pn di questa serie e an (d/`)2n il termine in (d/`)2n nella serie scritta in (1.210) vale la relazione: n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) a3 − a4 + . . . ± n an−1 ∓ an . 2 3! (1.212) Al limite n → ∞ si ha: b n = a1 − n a 2 + √ bn − 4/3π πn lim = 0. n→∞ bn (1.213) Con sette decimali i primi termini dello sviluppo sono: K = 1 − 0.4244132 d/` + 0.125 p + 0.109375 p2 + 0.0986328 p3 + 0.0906372 p4 + 0.0843735 p5 + 0.0792875 p6 + . . . . (1.214) Per d/` grandissimo si può usare la formola approssimata: K = 2 π d/` · µ ¶ ¸ · µ ¶ ¸ d 1 2 d log 4 − = log π − 0.258 . (1.215) ` 2 π d/` ` 44 Volumetto 1: 8 marzo 1927 che si deduce facilmente dalla nota espressione del coefficiente d’autoinduzione per una spira circolare. Nella tabella13 sono riportati i valori di K per d/` ≤ 10. d/` 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 K 0.9588 0.9201 0.8838 0.8499 0.8181 0.7885 0.7609 0.7351 0.7110 0.6884 Tornano utili le seguenti formole approssimate da usarsi successivamente al crescere di d/ell: K = K = 4 3π 4 1 − 3π 1 − d p + , ` 8 − 7p d 48p − 29p2 + . ` 384 − 568p + 194p2 Se d/` supera alcune unità la serie (1.214) converge assai lentamente ed è inoltre laborioso il calcolo dei coefficienti. Conviene in tal caso usare il seguente sviluppo:14 r µ d2 d 4 1 1·3 K = 1+ 2 − + c1 − c2 + . . . 4` ` 3π 2·4 2·4·6 ¶ 1·3·(2n − 1) ± cn ∓ . . . , (1.216) 2·4·s(2n + 2) 13 Nel manoscritto originale questa tabella contiene 40 righe (da d/` = 0.1 a d/` = 10) ma solo per le prime 10 sono riportati i corrispondenti valori di K. Qui preferiamo non includere i restanti valori nella tabella, poiché non è chiaro quale formula l’Autore avrebbe usato per calcolare K per d/` più grande di uno. Probabilmente i valori riportati sono stati ottenuti dalla (1.210) con n = 10. 14 Si noti che l’Autore sta di nuovo usando uno sviluppo in serie di Taylor, sebbene di un particolare tipo, come può essere dedotto dall’espressione per cn . 45 Volumetto 1: 8 marzo 1927 dove si è posto cn ¯ √ ¯ 1 d2n 1 + x2 ¯ = ¯ 2n ¯ (2n)! dx (1.217) x= 2` d Calcolando i primi termini si ottiene Ã q d 4 1 1 2 K = 1 + (d/2`) − + ` 3π 16 £1 + (2`/d)2 ¤3/2 + 1 1 − 4 (2`/d)2 5 1 − 12 (2`/d)2 + 8 (2`/d)4 + £ ¤ £ ¤11/2 128 1 + (2`/d)2 7/2 2048 1 + (2`/d)2 ! 7 5 − 120 (2`/d)2 + 240 (2`/d)4 − 64 (2`/d)6 + + ... . £ ¤15/2 32768 1 + (2`/d)2 1.24 Variazione del coefficiente di autoinduzione in seguito all’effetto pellicolare L’autoinduzione di una conduttura elettrica a sezione circolare si può dividere in due parti; l’una, generalmente più importante, è dovuta al flusso che circola esternamente al conduttore e non dipende dalla frequenza, l’altra è dovuta alle linee di induzione che si chiudono entro il conduttore e dipende dall’entità dell’effetto pellicolare e quindi, per un dato conduttore, dalla frequenza. Detta ` per unità di lunghezza questa seconda parte del coefficiente d’autoinduzione, si ha notoriamente allorché è trascurabile lo skineffect: 1 ` = (1.218) µ. 2 In generale se E è, in simboli complessi, il campo elettrico alla superficie del conduttore (campo totale dovuto alla caduta di tensione e alle variazioni del flusso esterno), R1 la resistenza a corrente alternata dell’unità di lunghezza del conduttore, ω la frequenza angolare, i = a + bj la corrente 46 Volumetto 1: 8 marzo 1927 totale avremo:15 E = (a + b j) (R1 + ` ω j) . (1.219) Ponendo p = µωS/ρ (S sezione del conduttore, ρ resistività) ovvero in unità pratiche: µω p = , (1.220) 1010 R essendo R la resistenza in ohm a corrente continua per Km di conduttore si avrà (vedi paragrafo 1.4): µ ¶ 1 1 1 a = m p − 2 p3 + 2 p5 − 2 p7 + . . . , (1.221) 2! ·3 4! ·5 6! ·7 µ ¶ 1 2 1 1 1 b = m p − 2 p4 + 2 p6 − 2 p8 + . . . . (1.222) 2 3! ·4 5! ·6 7! ·8 Quanto a E esso si ottiene dalla densità di corrente in superficie moltiplicando per ρ; ma nelle unità di misura usate nel paragrafo 1.4, abbiamo ρ = µω, e cosı̀ si ottiene: µ ¶ p2 p4 p6 E = mµω 1 − 2 + 2 − 2 + ... 2! 4! 6! µ ¶ p3 p5 p7 +mµωj p − 2 + 2 − 2 + ... . (1.223) 3! 5! 7! Eliminando R1 nella (1.219), essendo già nota (vedi paragrafo 1.4) la sua espressione, e posto E = u + vj si ottiene: `ω = av − bu , a2 + b 2 (1.224) da cui si può ricavare: p2 p4 p6 p8 µ 1 + 2!2 ·3! + 3!2 ·5! + 4!2 ·7! + 5!2 ·9! + . . . ` = . 2 p2 p4 p6 p8 1+ + + + + ... 2!3! 2!3!5! 3!4!7! 4!5!9! (1.225) In base a questa formola e a quella analoga del paragrafo 1.4 si sono calcolati i seguenti valori di R1 /R e `/µ in funzione di p:16 nella tabella 15 L’Autore sta usando la nozione elettrotecnica j per l’unità immaginaria. testo originale i valori di questa tabella corrispondenti a p = 4.5 ÷ 100 mancano. Inoltre, alcuni valori di R1 /R differiscono leggermente da quelli qui riportati, che sono stati ottenuti secondo quanto indicato nel testo. 16 Nel 47 Volumetto 1: 8 marzo 1927 p 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 1.25 R1 /R 1.0008 1.0033 1.0075 1.0132 1.0205 1.0293 1.0395 1.0512 1.0641 1.0782 1.0934 1.1096 1.1267 1.1447 1.1634 1.1827 1.2026 1.2229 1.2436 1.2646 `/µ 0.4998 0.4992 0.4981 0.4967 0.4949 0.4927 0.4901 0.4873 0.4841 0.4806 0.4768 0.4728 0.4686 0.4642 0.4597 0.4550 0.4501 0.4452 0.4403 0.4352 p 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40 50 60 80 100 R1 /R 1.372 1.479 1.581 1.678 1.768 1.853 2.007 2.146 2.274 2.394 2.507 3.005 3.427 3.799 4.135 4.732 5.256 5.736 6.537 7.328 `/µ 0.4100 0.3857 0.3633 0.3432 0.3253 0.3096 0.2836 0.2630 0.2464 0.2326 0.2210 0.1814 0.1582 0.1430 0.1327 0.1203 0.1135 0.1096 0.1055 0.1036 Errore medio nella determinazione della probabilità di un evento mediante un numero finito di prove Sia p la probabilità di un evento; se in una serie di n prove esso ha avuto luogo m volte assumendo come valore approssimato di p il rapporto m/n, si commette un errore e definito dalla relazione m p = + e (1.226) n di cui si tratta di valutare il valore medio quadratico. Sia X una quantità relativa a ogni prova e ad essa si attribuisca il valore 1 − p quando ha luogo 48 Volumetto 1: 8 marzo 1927 l’evento e il valore −p quando l’evento non ha luogo. Il valore medio di X è 2 nullo, e il valore medio del suo quadrato sarà p(1−p) +p2 (1−p) = p(1−p). P Considerando una serie di n prove lapsomma i Xi delle X relative ad esse avrà per valore medio quadratico np(1 − p). Ma se l’evento ha avuto luogo m volte sarà: X (1.227) Xi = m (1 − p) − (n − m) p = m − n p = − n e. i p Si deduce che il valore medio di e sarà p(1 − p)/n, cioè secondo le notazioni usuali, r m p(1 − p) p = ± . (1.228) n n Se p è incognita e se ne conosce solo l’espressione approssimata m/n e si è inoltre certi che la differenza tra p e m/n sia cosı̀ piccola che, sostituendo nell’espressione dell’errore al primo di questi valori il secondo, tale espressione non cambi sensibilmente si potrà scrivere approssimativamente: r m 1 m(n − m) p = ± . (1.229) n n n Se n è molto grande rispetto a m si avrà approssimativamente: √ ³m ´ m m p = ± piccolo . n n n Moltiplicando per n le precedenti relazioni esse diventano r m(n − m) np = m± , n ³ ´ √ m np = m± m piccolo . n 1.26 (1.230) (1.231) (1.232) Squilibrio di un sistema trifase puro Siano V1 , V2 ,V3 i valori intensivi di tre grandezze alternative costituenti un sistema trifase puro, diretto, non equilibrato. Tale sistema può decomporsi 49 Volumetto 1: 8 marzo 1927 nella somma di altri due sistemi equilibrati, l’uno, diretto, di intensità A, l’altro, inverso, di intensità B. Qualora lo squilibrio non sia eccessivo, A e B possono calcolarsi con le seguenti formole approssimate: 1.27 A = B = (1/3) (V1 + V2 + V3 ) p (2/3) [(V1 − A)2 + (V2 − A)2 + (V3 − A)2 ]. (1.233) (1.234) Tavola per il calcolo della funzione x! 17 x 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 x! 1.0000 0.9735 0.9514 0.9330 0.9182 0.9064 0.8975 0.8911 0.8873 0.8857 0.8862 x 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 x! 0.8889 0.8935 0.9001 0.9086 0.9191 0.9314 0.9456 0.9618 0.9799 1.0000 17 Non è chiaro come l’Autore ottenga i valori nella tabella, poiché in questa sezione egli considera solo il limite per grande x della funzione x!. Probabilmente, alcuni valori sono stati derivati dalla formula x! (1 − x)! = π x (1 − x) , sin π x che appare vicino a questa tabella nel manoscritto originale. 50 Volumetto 1: 8 marzo 1927 La differenza log n! − n(log n − 1) − (1/2) log n tende per n = ∞ ad un limite finito ciò significa che per n grandissimo può porsi:18 ³ n ´n √ n! = C n . (1.235) e Determiniamo C. Sia x la probabilità che in 2n prove un evento di probabilità 1/2 abbia luogo t volte. Per 2n grandissimo possiamo rappresentare la funzione x = x(t) con una curva degli errori; questa si determina badando che l’area da essa compresa vale 1, che il valore medio di t è n e che il quadrato medio dello spostamento di t da n deve essere n/2 (vedi paragrafo 1.25). Si trova: ½ ¾ 1 (t − n)2 x = √ exp − . (1.236) n πn √ L’ordinata massima vale: x0 = 1/ πn. Possiamo determinare x0 direttamente con la teoria delle combinazioni: µ ¶ 1 (2n)! 2n x0 = 2n = 2n . (1.237) n 2 2 (n!)2 Sostituendo ai potenziali l’espressione (1.235) e confrontando con (1.236), si ha C = 2π; e quindi, al limite: ³ n ´n √ n! = 2π n (1.238) . e Per n grande si avrà anche: √ 22n (n!)2 = π n. (2n)! 18 Qui e è il numero di Nepero. 51 (1.239) Volumetto 1: 8 marzo 1927 N 1 2 L p S h L S p+dp S 1.28 Influenza di un campo magnetico sul punto di fusione Si consideri il sistema in equilibrio rappresentato in figura. Se, con un mezzo qualunque, si trasporta l’unità di volume di solido dal recipiente 2 al recipiente 1 disponendolo in strati sottili alla superficie di separazione fra solido e liquido, bisogna compiere, per vincere la gravità, un lavoro L1 = h (γ1 − γ2 ) (1.240) essendo γ1 e γ2 i pesi specifici rispettivamente del solido e del liquido. Se si suppone, per un momento, che il solido sia magnetico e il liquido no, si trova facilmente che il campo magnetico compie sull’unità di volume di solido nell’accennato trasporto un lavoro che si calcola facilmente: L2 = H 2 µ1 − 1 , 8π µ1 (1.241) essendo µ1 la permeabilità del solido. Ad escludere la possibilità di moto perpetuo è necessario che sia: 52 Volumetto 1: 8 marzo 1927 L1 = L2 , (1.242) da cui si ricava H 2 µ1 − 1 1 . (1.243) 8π µ1 γ1 − γ2 e poiché il liquido si è supposto non magnetico e la distribuzione delle pressioni nel suo interno è quindi idrostatica, si ricava (v. fig.) h = ∆p = h γ2 = H 2 µ1 − 1 γ2 , 8π µ1 γ1 − γ2 (1.244) e mettendo in evidenza i volumi specifici: ∆p = H 2 µ1 − 1 V1 . 8π µ1 V2 − V1 (1.245) Detta T la temperatura di fusione fuori dall’azione del campo magnetico alla pressione p, e T + ∆T la temperatura di fusione alla stessa pressione, ma sotto l’azione del campo magnetico, si trova dunque che T +δT è uguale alla temperatura di fusione, in condizioni ordinarie e alla pressione p + ∆p. Ma per la formola di Clapeyron µ ¶ T ∆T = (V2 − V1 )∆p, (1.246) ρ Sostituendo nella (1.245) si ottiene ∆T = T H 2 µ1 − 1 V 1 . 8π µ1 ρ (1.247) Le formole (1.244) e (1.247) si completano ovviamente nel caso che il liquido abbia permeabilità qualunque µ2 : µ ¶ H 2 µ1 − 1 γ2 µ2 − 1 γ1 ∆p = (1.248) + 8π µ1 γ1 − γ2 µ2 γ 2 − γ 1 µ ¶ H 2 µ1 − 1 V1 µ2 − 1 V 2 . ∆T = T − (1.249) 8π µ1 ρ µ2 ρ Se µ1 = µ2 = µ, si ottiene ∆p = ∆T = H2 µ − 1 8π µ T H 2 µ − 1 V1 − V2 . 8π µ ρ − 53 (1.250) (1.251) Volumetto 1: 8 marzo 1927 In questo caso le superfici di separazione fra solido e liquido, nei due casi rappresentati in figura sarebbero allo stesso livello, ma non essendo idrostatica la distribuzione delle pressioni a causa della magnetizzazione del liquido, si avrebbe ∆p 6= 0. Formole analoghe valgono se al campo magnetico si sostituisce un campo elettrico o al contatto solido-liquido quello liquido-vapore o solidovapore. 1.29 Calore specifico di un oscillatore L’energia media di un oscillatore di frequenza ν vale a temperatura T : ² = hν ehν/kT − 1 , (1.252) essendo h il quanto d’azione e19 k = R/N la costante di Boltzmann. Derivando rispetto alla temperatura posto per brevità p = hν/kT = T0 /T , si ottiene la seguente espressione del calore specifico: c = d² kp2 ep = = k dT (ep − 1)2 µ p ep/2 − e−p/2 ¶2 . (1.253) Il rapporto c/k, sempre minore di 1, è dato nella tabella in funzione di p 20 . Per T grandissimo, la (1.252) diventa: 19 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla in termini di ~. 20 Nel manoscritto originale, questa tabella è quasi completamente vuota. A parte i valori nelle prime due colonne (che sono valori iniziali di riferimento), l’autore scrive solo il primo e l’ultimo valore nella terza colonna e il primo valore nella quarta colonna. 54 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1 T = p T0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.5 3 4 5 10 ∞ p = T0 T ∞ 5 2.5 1.67 1.75 1 0.83 0.71 0.625 0.556 0.500 0.400 0.333 0.250 0.200 0.100 0 c k 0 0.1707 0.6089 0.7967 0.8794 0.9207 0.9445 0.9590 0.9681 0.9746 0.9794 0.9868 0.9908 0.9948 0.9967 0.9992 1 ² kT 0.0000 0.0338 0.2236 0.3873 0.5019 0.5820 0.6417 0.6867 0.7198 0.7476 0.7707 0.8133 0.8427 0.8802 0.9033 0.9508 1 1 ² = kT − hν = k 2 µ ² kT0 0.0000 0.0068 0.0894 0.2319 0.4016 0.5820 0.7732 0.9671 1.1517 1.3447 1.5415 2.0332 2.5307 3.5208 4.5167 9.5083 ∞ kT − ² kT0 0.0000 0.1932 0.3106 0.3669 0.3984 0.4180 0.4316 0.4413 0.4483 0.4539 0.4585 0.4668 0.4723 0.4792 0.4833 0.4917 0.5000 ¶ 1 T − T0 , 2 essendo T0 = hν/k cioè la temperatura per cui l’energia media, calcolata con la meccanica classica, coincide con quella del più basso livello energetico quantistico. 55 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.30 Se i figli dei medesimi genitori tendano ad appartenere allo stesso sesso La probabilità a priori che in una determinata regione un nascituro sia maschio può porsi sotto la forma: 1 + α, (1.254) 2 essendo α in generale positivo. La probabilità invece che da determinati genitori nasca un figlio maschio può essere diversa da W , la porremo sotto la forma 1 + α + β. W1 = W + β = (1.255) 2 Il valor medio di β è nullo, mentre il suo valor medio quadratico fornisce una misura della tendenza a procreare figli dello stesso sesso. Indicando con β tale valor medio la (1.255) può scriversi secondo notazioni usuali: W = W1 = W ± β = 1 + α ± β. 2 (1.256) Per determinare β mediante rilievi statistici la via più semplice è la seguente: Si consideri una determinata coppia di genitori che abbia dati alla luce n figli. Indicando con ` il numero dei maschi e con m quello delle femmine si calcola facilmente il valore probabile dell’espressione21 di (` − m)2 (si veda il paragrafo 1.25) valoreprob. di (` − m)2 = n + 4(α + β)2 (n2 − n). (1.257) Se scriviamo la stessa espressione per un gran numero di famiglie, e sommiamo membro a membro, alla somma dei valori probabili di (` − m)2 possiamo, con errore relativo tendente a zero, restituire la somma dei valori effettivi di (` − m)2 ; allora otteniamo: X X X (` − m)2 = n +4 (α + β)2 (n2 − n) (1.258) X X X 2 2 2 2 = n + 4α (n − n) + 4 β (n − n) X +8α β (n2 − n). (1.259) 21 Cioè n per la probabilità che l’evento accada. 56 Volumetto 1: 8 marzo 1927 Poiché si è supposto implicitamente che β abbia valore medio nullo qualunque sia n, il valore medio dell’ultimo termine del secondo membro della (1.259) sarà nullo; potremo quindi al limite trascurarlo e scrivere: X X X 2 X 2 2 (` − m)2 = n + 4 α2 (n − n) + 4 β (n − n) (1.260) o anche, poiché si suppone sempre che β sia indipendente da n, X X 2 X (` − m)2 = n + 4 (α2 + β ) (n2 − n). (1.261) α può essere noto per più estesi rilievi statistici, e in tal caso si determina β mediante la (1.261): sP P (` − m)2 − n P 2 − α2 . β = (1.262) 4 (n − n) Se α non è noto si può calcolare approssimativamente con la formola: P ` 1 α = P − ; (1.263) n 2 sostituendo nella (1.262) si ha P β 2 = ¶2 µP P (` − m)2 − n 1 ` P 2 . − P − 4 (n − n) n 2 (1.264) a cui, a rigore, deve sostituirsi un’espressione più approssimata, ma più complicata, ottenuta tenendo conto pP che α nella (1.263) è determinato con un errore medio prossimo a 1/2 n (vedi paragrafo 1.25): P β 2 = µP ¶2 P (` − m)2 − n 1 ` 1 P 2 − P − + P . 4 (n − n) n 2 4 n 57 (1.265) Volumetto 1: 8 marzo 1927 l P x O 1.31 Propagazione del calore posto in una sezione di una sbarra indefinita, di cui un’altra sezione è tenuta a zero. Similitudine dei grilli. Si supponga che N individui siano inizialmente concentrati nel punto O della retta x e che ognuno di essi ad intervalli di tempo infinitesimi dt salti, con pari probabilità a destra o a sinistra, di un intervallo dx in modo che sia finito il rapporto dx2 /dt = µ2 . Si supponga ancora che a una distanza ` a destra di O esista un trabocchetto mortale. Si tratta di determinare quale sarà al tempo t e nel punto di ascisse x la densità lineare dei sopravviventi U (x, t). Si osservi che se non esistesse il trabocchetto si avrebbe una densità, che per distinguere da quella vera chiameremo U0 , data dall’espressione: U0 (x, t) = 2 2 N √ e−x /2µ t . µ 2πt (1.266) Si osservi inoltre che gli individui che in P vengono a mancare possiamo considerarli vivi e saltellanti anche dopo la morte purché, a partire da questo istante, si leghi indissolubilmente a ognuno di essi un altro individuo affetto da segno negativo. Allora per avere la densità vera U , basterà sottrarre a U0 la densità U1 degli individui negativi. Questa si calcola facilmente; basta osservare che per x > ` si ha evidentemente: U1 (x, t) = U0 (x, t) (1.267) e, per ragioni di simmetria, se x < `: U1 (x, t) = U1 (2` − x, t) = U0 (2` − x, t) 58 (1.268) Volumetto 1: 8 marzo 1927 e quindi: U (x, t) = = U0 (x, t) − U0 (2` − x, t) · ¸ 2 2 2 2 N √ e−x /2µ t − e−(2` − x) /2µ t ; µ 2πt (1.269) e per grandi valori di t si può scrivere: U (x, t) = 2N `(` − x) −(` − x)2 /2µ2 t −`2 /2µ2 t √ e e µ3 t 2πt (1.270) da cui si deduce per un dato valore di t: √ 2N ` e−1/2 −`2 /2µ2 t √ e , Umax = U (` − µ t, t) = µ2 t 2π (1.271) e il numero dei sopravviventi, sempre per t grande Nv = 2 2 2N ` √ e−` /2µ t . µ 2πt Se se ne prende il momento rispetto a P si trova: Z (` − x) dNv = N `, (1.272) (1.273) cioè il baricentro dei vivi e dei morti, supposti questi concentrati in P , resta fisso in 0 come era evidente a priori. La curva dei soppravviventi presenta in un primo tempo un flusso fra 0 e P che si sposta continuamente verso destra e scompare nell’istante t = `2 /3µ2 ; in tale istante, in cui ha luogo la mortalità massima, sono morti N/12 individui. La U0 obbedisce all’equazione differenziale: ∂U0 µ2 ∂ 2 U 0 = ∂t 2 ∂x2 (1.274) e quindi è atta a rappresentare come si distribuisce una certa quantità di calore Q = N posta in una sezione di una sbarra indefinita, purché si ponga µ2 = 2c , γδ (1.275) c coefficiente di trasmissione, γ calore specifico, δ la densità. Si noti che µ2 , dato dalla (1.275), rappresenta il quadrato medio dello spostamento del 59 Volumetto 1: 8 marzo 1927 calore nell’unità di tempo e in ogni direzione. Il quadrato dello spostamento totale nello spazio sarà, nell’unità di tempo: 3µ2 = 6c/γδ. 1.32 Combinazioni (Si veda il paragrafo 2.39.5.) La somma delle probabilità che un evento di probabilità 1/2 abbia luogo n volte in n prove, o in n + 1 prove o in n + 2 prove o. . . , o in 2n prove vale 1. In simboli: µ ¶ n X 1 n+r (1.276) = 1. n 2n+r r=0 Infatti: ¶ n+1+r n+1 2n+1+r r=0 µ ¶ n+1 1 X 1 n+r = + n 2 r=0 2n+r µ ¶ n 1 X 1 n+r = + n 2 r=0 2n+r µ ¶ n+2 1 X 1 n+r + n+1 2 2n+r n+1 X µ 1 r=1 µ ¶ n+1 1 X 1 n+r n+1 2 r=1 2n+r µ ¶ 1 2n + 1 n 22n+2 µ ¶ 1 2n + 2 − 2n+3 ; n+1 2 e poichè: µ 1 22n+2 n+2 X r=1 1 2n + 1 n µ 2n+r n+r n+1 ¶ = ¶ = ¶ 2n + 2 , n+1 22n+3 µ ¶ n+1 X 1 n+1+r , n+1 2n+1+r 1 µ r=0 risulta: n+1 X r=0 1 2n+1+r µ n+1+r n+1 ¶ = n X r=0 60 1 2n+r µ n+r n ¶ ; (1.277) Volumetto 1: 8 marzo 1927 cioè, se la (1.276) vale per n = k, vale anche per n = k + 1; e poiché essa vale per n = 1, varrà qualunque sia n. Analogamente si dimostra la relazione: ∞ X r=0 1.33 1 2n+r µ n+r n ¶ = 2. (1.278) Energia e calore specifico del rotatore Sia I il momento d’inerzia del rotatore; le condizioni di Sommerfeld impongono22 nh Iω = , (n = 0, 1, . . .), (1.279) 2π e quindi23 ² = ν = n2 h2 nhν 1 I ω2 = = 2 8π 2 I 2 nh ω = . 2π 4π 2 I (1.280) (1.281) L’energia media sarà alla temperatura T , per la legge di Boltzmann ¾ ½ ½ ¾ ∞ ∞ X X hν0 2 n2 h2 n2 h2 hν0 2 exp − n exp − n 8π 2 I 8π 2 IkT 2 2kT = n=0 ∞ ² = n=0 ∞ ¾ ½ ½ ¾ 2 2 X X n h hν0 2 exp − 2 exp − n 8π IkT 2kT n=0 n=0 (1.282) essendo ν0 = h/4π 2 I la frequenza fondamentale. Si ponga: p = 1 hν0 h2 = ; 2 2 kT 8π IkT 22 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla in termini di ~. 23 Qui ² e ν sono l’energia e la frequenza del rotatore, mentre ω è la sua frequenza angolare. 61 Volumetto 1: 8 marzo 1927 risulta ² = kT ∞ X , 2 pn e −pn2 n=0 ∞ X 2 e−pn . (1.283) n=0 Naturalmente se p → 0, T → ∞, si ricava: lim ² = p→0 1 kT. 2 (1.284) Derivando la (1.283) rispetto a T , tenuto conto che dp/dT = −p/T , si ottiene il calore specifico:   ∞   ∞ X X 2 −pn2 2 2 n4 e−pn n e       n=0   d² 2  n=0   . = kp  ∞ c = −  ∞   X X dT 2 2     −pn −pn e e n=0 (1.285) n=0 Detta T0 la temperatura per cui l’energia del primo stato quantico con energia diversa da zero è uguale all’energia media calcolata con la teoria classica, avremo: T0 = p = 1 hν0 h2 = 2 k 8π 2 Ik T0 . T (1.286) (1.287) Nella tabella sono riportati il calore specifico e l’energia media a diverse temperature.24 24 Nel manoscritto originale, i valori nella terza e quarta colonna mancano. 62 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1 T = p T0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 4.0 1.34 T0 T 5.00 2.50 1.67 1.25 1.00 0.83 0.71 0.62 0.56 0.50 0.33 0.25 p= Á ² 1 kT 2 1.3375 1.5548 1.7763 2.0182 2.2896 2.5927 2.9244 3.2784 3.6486 4.0297 6.0022 8.0001 Á 1 k 2 1.1118 1.1235 1.0867 0.9955 0.8525 0.6829 0.5169 0.3740 0.2613 0.1776 0.0200 0.0018 c Attrazione dell’ellissoide Si consideri sull’ellissoide: x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 a2 b c (1.288) una distribuzione di masse omeoidica, cioè tale che la densità superficiale σ sia in ogni punto proporzionale alla proiezione del raggio vettore che parte dal centro dell’ellissoide sulla normale alla superficie: .p σ = ρ x2 /a4 + y 2 /b4 + z 2 /c4 . (1.289) La massa totale m si calcola facilmente. In effetti la nostra distribuzione può considerarsi come il limite per α → 0 di una distribuzione spaziale uniforme di densità cubica ρ/α occupante lo spazio compreso fra l’ellissoide di semiassi a, b, c e quello di semiassi a(1 + α), b(1 + α), c(1 + α). Avremo quindi: m = lim α→0 £ ¤ ρ 4 π a b c (1 + α)3 − 1 = 4π a b c ρ. α 3 63 (1.290) Volumetto 1: 8 marzo 1927 L’ellissoide in (1.288) è notoriamente equipotenziale, quindi il campo è nullo nel suo interno, mentre all’esterno e in prossimità della superficie è normale a questa e vale, se K è il coefficiente della formola di Newton: £ ¤−1/2 F = 4π σ K = 4π K ρ x2 /a4 + y 2 /b4 + z 2 /c4 , (1.291) e mettendo in evidenza la massa totale:25 ¤−1/2 mK £ 2 2 F = x /a + y 2 /b2 + z 2 /c2 . (1.292) abc In particolare, agli estremi degli assi di simmetria la forza sarà rispettivamente: mK mK mK Fa = , Fb = , Fc = , (1.293) bc ca ab Costruiamo la superficie equipotenziale infinitamente prossima al nostro ellissoide; per far ciò basterà prendere sulla normale esterna ad ogni punto P0 (x0 , y0 , z0 ) un punto P distante dal primo di un segmento r dU a b c x2 y2 z2 ds = − = − dU + 2 + 2. 2 F mK a b c Le coordinate del punto P saranno x = y = z = abc mK abc y0 + (− dU ) mK abc z0 + (− dU ) mK x0 + (− dU ) Ovvero ponendo dt = − 2 e x = y = z = abc dU, mK 1 2 1 y0 + 2 1 z0 + 2 x0 + x0 dt a2 y0 dt b2 z0 dt; c2 x0 a2 y0 b2 z0 . c2 (1.294) (1.295) (1.296) 25 Si noti che F è il campo della forza gravitazionale collegato al potenziale gravitazionale U (si veda più avanti). L’equazione (1.291) è allora una relazione analoga al teorema di Coulomb per il campo elettrostatico in prossimità di un conduttore. 64 Volumetto 1: 8 marzo 1927 cioè a meno di infinitesimi di ordine superiore: x a2 + dt y √ 2 b + dt z √ c2 + dt √ = = = x0 a y0 b z0 . c (1.297) Quadrando e sommando si ottiene l’espressione della superficie equipotenziale infinitamente prossima: a2 x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 + dt b + dt c + dt (1.298) che è anch’essa un ellissoide, con un errore infinitesimo d’ordine superiore al primo. Alla nuova superficie equipotenziale sono applicabili le considerazioni svolte sulla prima. E cosı̀ si trova che a meno di un altro errore infinitesimo d’ordine maggiore del primo, la superficie x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 a2 + 2dt b + 2dt c + 2dt (1.299) è anch’essa equipotenziale. In generale a meno di n errori infinitesimi d’ordine superiore al primo, la superficie x2 y2 z2 + + = 1 a2 + ndt b2 + ndt c2 + ndt (1.300) sarà equipotenziale. Ciò vuol dire che il rapporto fra errore e n dt permane infinitesimo qualunque sia n dt. Facendo tendere n all’infinito in modo che n dt = t sia finito sarà equipotenziale, rigorosamente, la superficie x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 +t b +t c +t a2 (1.301) sarà equipotenziale. È questa l’espressione generale delle superfici equipotenziali esterne all’omeoide; t può assumere qualunque valore positivo.26 26∗ Di ciò potrebbe aversi la riprova formale mostrando che è possibile costruire una funzione U = U (t) del posto, attraverso t, che obbedisca all’equazione di Laplace ∆ U = 0 e si annulli per t = ∞. 65 Volumetto 1: 8 marzo 1927 Dalle (1.297) si ricava l’espressione generale delle linee di forza: √ x = α a2 + t √ y = β b2 + t √ z = γ c2 + t (1.302) (α2 + β 2 + γ 2 = 1). Le costanti α, β, γ sono evidentemente i coseni direttori degli asintoti delle linee di forza, i quali sono rette passanti per il centro dell’ellissoide. Per calcolare il potenziale U = U (t) sull’ellissoide in (1.301), si osservi che dalla (1.295) si deduce in generale la differenza di potenziale fra due superfici equipotenziali infinitamente vicine. Integrando tra t = ∞ e t = t0 , si ottiene: Z ∞ mK dt p (1.303) U (t0 ) = . 2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 2 (a t0 In particolare, sull’ellissoide in (1.288) il potenziale sarà Z ∞ mK dt p U (0) = . 2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 2 (a 0 (1.304) Poiché agli effetti esterni dell’ellissoide si può sostituire alla distribuzione x2 y2 z2 omeoidica, di massa totale m, sull’ellissoide 2 + 2 + 2 = 1, un’altra a b c distribuzione omeoidica di pari massa, posta su un ellissoide omofocale, si può estendere ai punti esterni l’espressione (1.292) del campo: F = mK (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 1 × p . (1.305) 2 2 2 2 x /(a + t) + y /(b2 + t)2 + z 2 /(c2 + t)2 p Dalla (1.304) si deduce immediatamente la capacità dell’ellissoide; essa vale nel moto: !−1 ÃZ ∞ dt p . C =2 (1.306) (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 0 Si consideri ora l’ellissoide piano x2 y2 z2 + 2 + 2 < 1 2 a b c 66 Volumetto 1: 8 marzo 1927 di densità cubica uniforme ρ. La forza nel suo interno è funzione lineare delle coordinate e le sue componenti secondo gli assi x, y,z valgono rispettivamente: − L x, − M y, − N z; L + M + N = 4π K ρ. (1.307) In particolare all’estremo del semiasse a, la forza, tutta diretta secondo la normale interna, vale in valore assoluto La. Per calcolare L scomponiamo il nostro ellissoide in omeoidi mediante una serie di infinite superfici ellissoidiche e omotetiche che obbediscono all’equazione: x2 y2 z2 + 2 2 + 2 2 = 1, 2 2 p a p b p c (1.308) potendo p variare tra 0 e 1. L’omeoide compreso fra i due ellissoidi di semiassi, rispettivamente, pa, pb, pc e (p + dp)a, (p + dp)b, (p + dp)c, ha la massa: dm = 4π a b c p2 ρ dp. (1.309) La forza da esso esercitata sull’unità di massa posta nel punto (a, 0, 0) è diretta secondo l’asse x e vale, salvo il segno: dF = p = p K dm [a2 + p2 (b2 − a2 )] [a2 + p2 (c2 − a2 )] [a2 + 4π a b c ρ K p2 dp ; − a2 )] [a2 + p2 (c2 − a2 )] p2 (b2 ovvero ponendo p = √ e quindi a a2 + t (1.310) (1.311) t = µ ¶2 a (1 − p2 ) p (1.312) dF = 4π a2 b c K ρ dt p √ 2 ( a2 + t) (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) (1.313) dF = − 4π a2 b c K ρ dt ∂ 1 p . ∂a2 (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 67 (1.314) Volumetto 1: 8 marzo 1927 Per comprendere tutti gli omeoidi in cui si è diviso l’ellissoide bisogna far variare p fra 0 e 1, o t fra 0 e ∞; si ottiene cosı̀ l’espressione della forza totale: Z ∞ ∂ dt p L a = − 4π a2 b c K ρ 2 (1.315) ∂a 0 (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) cioè: L = − 4π a b c K ρ ∂ ∂a2 Z ∞ p 0 dt (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) (1.316) e analoghe relazioni per M e N . Cosı̀ risulta completamente determinata la forza all’interno e sulla superficie dell’ellissoide: F = −Lxi − M yj − N zk. (1.317) Per avere la forza nei punti esterni si osservi che se m è la massa dell’ellissoide, l’equazione (1.316) può porsi sotto la forma: Z ∞ ∂ dt p L = − 3K m 2 , (1.318) 2 ∂a 0 (a + t)(b2 + t)(c2 + t) e analogamente per M e N . Si verifica inoltre immediatamente, mediante la scomposizione in omeoidi, che un ellissoide omogeneo equivale, per gli effetti esterni, a un qualunque altro ellissoide omofocale al primo e di pari massa totale. Dato quindi un punto esterno P (x, y, z) e determinato t in modo che sia: x2 y2 z2 (1.319) + 2 + 2 = 1; 2 a +t b +t c +t la forza agente sull’unità di massa posta in P sarà: F = − L(t) i x − M (t) j y − N (t) k z, essendo L(t) = − 4π a b c K ρ ∂ ∂a2 Z ∞ dt . (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) p t (1.320) (1.321) In particolare, per t = 0, cioè sulla superficie dell’ellissoide, si ritrova l’espressione (1.316) per L, e le altre analoghe per M e N . 68 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.35 Casi particolari: ellissoide con un asse molto allungato; ellissoide rotondo I. – Supponiamo a, b ¿ c. L’espressione: Z ∞ dt p 2 (a + t)(b2 + t)(c2 + t) 0 se si pone t1 = ´ p 1 ³ t + (a2 + t)(b2 + t) − a b 2 (1.322) (1.323) diventa: Z ∞ £ 0 r dt1 2 (1/4)(a + b) + t1 ¤p (c2 + t1 ) c2 + t 1 . c2 + t (1.324) Ora la differenza tra tp e t1 è dell’ordine a2 o b2 e, poiché c è molto maggiore di a o di b, il fattore (c2 + t1 )/(c2 + t) che sta sotto il segno integrale al secondo membro è sempre molto prossimo all’unità. Tenuto conto che gli altri fattori sono di segno costante, al limite, per c grandissimo, si potrà scrivere Z ∞ Z ∞ dt dt1 p = £ ¤p (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) (1/4)(a + b)2 + t1 (c2 + t1 ) 0 0 p 2 c + c2 − (1/4)(a + b)2 = p log , (1.325) (1/2)(a + b) c2 − (1/4)(a + b)2 ovvero, poiché il procedimento seguito vale solo per formole limiti di prima approssimazione: Z ∞ dt 2 4c p = (1.326) log . 2 2 2 c a +b (a + t)(b + t)(c + t) 0 Il potenziale dell’omeoide di massa m sarà: U0 = mK 4c log c a+b 69 (1.327) Volumetto 1: 8 marzo 1927 e la capacità dell’ellissoide: C = c . log [4c/(a + b)] (1.328) Le costanti L, M, N per l’attrazione all’interno dell’ellissoide pieno e le funzioni L(t), M (t), N (t) per l’attrazione nei punti esterni, posti a una distanza dall’ellissoide piccola rispetto al semiasse c, risultano in prima approssimazione: L = M = N = L(t) = M (t) = N (t) = b a+b a 4π K ρ a+b µ ¶ ab 4c 4π K ρ 2 log − 1 c a+b 4π K ρ a b √ √ 4π K ρ √ a2 + t a2 + t + b 2 + t b a √ √ 4π K ρ √ b2 + t a2 + t + b2 + t µ ¶ 4c ab √ 4π K ρ 2 log √ −1 . c a2 + t + b 2 + t (1.329) (1.330) II. – Si supponga ora a = b, e c arbitrario. Avremo Z ∞ Z ∞ dt dt p p = (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) (a2 + t) (c2 + t) 0 0 √  2 c + c 2 − a2   √ log , (c > a)   a c2 − a2 = (1.331)   2 c   √ arccos , (c < a) a a2 − c 2 Ovvero, mettendo in evidenza l’eccentricità dell’ellisse meridiana:  1 1+e   Z ∞  c e log 1 − e , (c > a) dt p =  (a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 0   2 arcsin e, (c < a) ae 70 (1.332) Volumetto 1: 8 marzo 1927 Il potenziale dell’omeoide di massa m e la capacità elettrostatica dell’ellissoide risultano rispettivamente:  mK 1+e   log , (c > a)   2ce 1−e U0 = (1.333)    m K arcsin e, (c < a)  ae e     c C = 2e , log (1 + e)/(1 − e) c>a (1.334) e , c<a arcsin e Le costanti L, M, N [e le funzioni L(t), M (t), N (t)] diventano nel caso degli ellissoidi rotondi: se c > a: µ ¶ 2π K ρ 1 − e2 1+e L = M = 1 − log 2 2e ¶ 1−e µe (1.335) 1+e 1 − e2 1 N = log − 1 4π K ρ 2 e 2e 1−e    a e se c < a: L = N = √ µ ¶ √ 1 − e2 arcsin e 2 M = 2π K ρ − 1 − e e2 e ¶ µ arcsin e √ 4π K ρ 1 − 1 − e2 . e2 e (1.336) Le funzioni L(t), M (t), N (t) in un punto esterno P si calcolano sostituendo nelle espressioni precedenti i valori di ρ e di e, corrispondenti all’ellissoide omotetico di massa pari a quello dato e passante per P . 71 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.36 Equilibrio di un liquido rotante Un liquido rotante può assumere come posizione di equilibrio la forma di un ellissoide di rivoluzione. Perché l’ellissoide liquido di equazione: x2 + y 2 z2 + 2 = 1 2 a c (1.337) rotante con velocità angolare ω intorno all’asse z sia in equilibrio è necessario che in tutti i punti della superficie sia costante la somma del potenziale d’attrazione e di quello della forza centrifuga; cioè che in tutti i punti della superficie si abbia: ¢ ¢ 1 ¡ 1 1 2¡ 2 ω x + y 2 − L x2 + y 2 − N z 2 = costante, 2 2 2 e anche: ¡ L − ω2 ¢¡ ¢ x2 + y 2 + N z 2 = costante. (1.338) (1.339) per il che deve sussistere l’eguaglianza: L − ω2 c2 = 2 = 1 − e2 , N a (1.340) essendo e l’eccentricità della sezione meridiana. Sostituendo a L e N i loro valori dalle equazioni (1.336), si ricava: √ (3 − 2e2 ) 1 − e2 arcsin e − 3e + 3e3 ² = (1.341) , e3 essendosi posto: ² = ω2 2ω 2 = . 2π K ρ 4π K ρ (1.342) In seguito porremo: η = s = 3 ω2 ² = 2 (4/3) π K ρ √ 1 − 1 − e2 ; (1.343) (1.344) s è lo schiacciamento; ² è il rapporto fra la divergenza del campo delle forze di trascinamento e la convergenza, entro l’ellissoide materiale, del campo di gravitazione; η = (3/2)² è il rapporto fra la forza centrifuga che si esercita 72 Volumetto 1: 8 marzo 1927 su una massa m posta a distanza r dall’asse di rotazione e la forza di attrazione che si eserciterebbe sulla stessa massa posta sulla superficie di una sfera di raggio r e di densità ρ. Il dato del problema è in generale ² (o η). L’equazione (1.341) mostra che a ogni valore di e corrisponde un solo valore di ²; al contrario a un dato valore di ² purché inferiore a un certo limite, corrispondono 2 valori di e, sono cioè possibili 2 posizioni di equilibrio di cui una, a modesto schiacciamento, è stabile, l’altra a forte schiacciamento è probabilmente instabile. Aumentando ² le due soluzioni vanno riavvicinandosi, finché per un certo valore di ² coincidono. Al di sopra di questo limite, cioè, per una data densità, al di sopra di una certa velocità angolare, l’equilibrio non è più possibile. Per piccoli schiacciamenti si ha: 1 2 15 5 s = e = ² = η. (1.345) 2 8 4 Nella tabella27 sono riportati in funzione dello schiacciamento i valori di ², η e di 1000/ρT 2 , essendo ρ la densità rispetto all’acqua e T il periodo in ore; per il calcolo di tale espressione si è ritenuto K= 1/(1.5×107 ) (c.g.s.), di modo che 1000/ρT 2 = (432/π)² = 137.51². 27 Nel manoscritto originale sono riportati i soli valori di s (prima colonna). I valori corrispondenti per le rimanenti colonne sono stati calcolati dalle equazioni (1.341), (1.343) e (1.342). 73 Volumetto 1: 8 marzo 1927 s ² η 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.005322 0.01062 0.01589 0.02114 0.02636 0.03155 0.03672 0.04185 0.04696 0.05203 0.05706 0.06207 0.06703 0.07196 0.07685 0.08170 0.08651 0.09128 0.09600 0.1007 0.1053 0.1099 0.1144 0.1189 0.1233 0.1277 0.1320 0.1362 0.1404 0.1445 0.1486 0.1525 0.1564 0.1603 0.1640 0.1677 0.07983 0.01593 0.02384 0.03171 0.03954 0.04733 0.05508 0.06278 0.07043 0.07804 0.08569 0.09310 0.1005 0.1079 0.1153 0.1223 0.1298 0.1369 0.1440 0.1510 0.1580 0.1648 0.1716 0.1783 0.1850 0.1915 0.1980 0.2043 0.2106 0.2168 0.2228 0.2288 0.2347 0.2404 0.2461 0.2516 74 1000 ρT 2 0.7318 1.450 2.185 2.907 3.625 4.339 5.049 5.755 6.457 7.154 7.847 8.535 9.218 9.896 10.57 11.24 11.90 12.55 13.20 13.84 14.48 15.11 15.73 16.35 16.96 17.56 18.15 18.73 19.31 13.87 20.43 20.98 21.51 22.04 22.56 23.06 Volumetto 1: 8 marzo 1927 s ² η 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 0.1713 0.1748 0.1782 0.1816 0.1848 0.1880 0.1910 0.1939 0.1968 0.1995 0.2021 0.2046 0.2067 0.2092 0.2113 0.2133 0.2151 0.2168 0.2184 0.2197 0.2210 0.2220 0.2229 0.2236 0.2242 0.2245 0.2247 0.2246 0.2243 0.2196 0.2084 0.1895 0.1613 0.1220 0.06919 0.0000 0.2570 0.2622 0.2674 0.2724 0.2772 0.2819 0.2865 0.2909 0.2952 0.2992 0.3031 0.3069 0.3104 0.3138 0.3170 0.3199 0.3227 0.3252 0.3275 0.3296 0.3315 0.3330 0.3344 0.3354 0.3362 0.3367 0.3370 0.3369 0.3365 0.3294 0.3126 0.2842 0.2419 0.1830 0.1038 0.0000 75 1000 ρT 2 23.56 24.04 24.51 24.97 25.41 25.85 26.26 26.67 27.06 27.43 27.79 28.13 28.46 28.77 29.06 29.33 29.58 29.81 30.03 30.22 30.39 30.53 30.65 30.75 30.83 30.87 30.89 30.89 30.85 30.20 28.66 26.06 22.18 16.77 9.514 0.0000 Volumetto 1: 8 marzo 1927 Il massimo valore28 di ² si ha per s = 0.6 ed è ²max = 0.224. Per il calcolo di ² vale lo sviluppo: · 8 44 2 4 3 32·17 4 800 ² = (1 − s) s+ s + s + s + s5 15 105 15 5·7·9·11 7·9·11·13 ¸ 736 + s6 + . . . + kn sn + . . . , (1.346) 3·5·7·11·13 n(3n + 5) n! essendo kn = . (1.347) 1·3·5·7·s(2n + 3) 1.37 Alcuni integali definiti (Vedi paragrafo 2.27.) Z ∞ 2 2 1 sin nr e−k r dr (1) r 0 = √ Z n/2k π 0 π ³ n ´ 29 θ 2 2k √ π −n2 /4k2 30 −k2 r 2 cos nr e dr = e k Z = Z (2) +∞ −∞ (1.350) x sin x dx = π 2 − 2·2 (1.351) x3 sin x dx = π 3 − 6π (1.352) x sin x dx = π 4 − 12π 2 + 2·24 (1.353) (4) Z0 π (6) (7) Z π 0 (1.349) x sin x dx = π. Z Z (1.348) π (3) (5) 2 e−x dx π π 0 2 0 4 0 µ ¶ π3 π 2n+1 x2n+1 sin x dx = (−1)n (2n+1)! π − + ...± (1.354) 3! (2n + 1)! 28 Più precisamente, il massimo si raggiunge a s = 0.632, corrispondente a ²max = 0.22467. 30∗ Si noti che la quantità k al secondo membro è positiva. 76 Volumetto 1: 8 marzo 1927 µ ¶ π2 π4 π 2n x2n sin x dx = (−1)n (2n)! 1·1 − + − ...± . 2! 4! (2n)! 0 (1.355) n intero ≥ 0 [e (−1)0 = 1] (9) Tenendo conto degli sviluppi in serie che danno sin π e cos π, la (1.354) e (1.355) si possono raccogliere in un’unica espressione: µ ¶ Z π π2 π4 π6 n n x sin x dx = n!π − + − ... , (n + 2)! (n + 4)! (n + 6)! 0 (1.356) che vale probabilmente per n > −1, anche non intero. Per n grandissimo si ricava in prima approssimazione: Z π π n+2 xn sin x dx = (1.357) (n + 1)(n + 2) 0 Z π (8) Z (10) +∞ −∞ +∞ Z 2 e−x cos nx dx √ π 2 /4 2 /4k = e−n = e−n r 2 e−kx cos nx dx 0 (11) Z +∞ −∞ x3 dx ex − 1 = k=1 µ = si veda la (1.198). (12) ∞ Z X Z +∞ −∞ 6 +∞ 1 1 + 4 + ... 24 3 sin2 kx dx = k π. x2 77 π k (1.359) x3 e−kx dx −∞ 1+ (1.358) ¶ = π4 15 (1.360) (1.361) Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.38 Propagazione del calore in un mezzo isotropo e omogeneo Sia c il coefficiente di trasmissione, γ il calore specifico, δ la densità; il quadrato medio dello spostamento del calore (si veda la (1.275)) in una data direzione e nell’unità di tempo, vale: µ2 = 2c γδ (1.362) e l’equazione differenziale a cui obbedisce la temperatura si può scrivere: 1 2 ∂T = µ ∆ T. (1.363) ∂τ 2 Per trovare la distribuzione delle temperature gioverà, a seconda dei dati del problema, o valersi del metodo delle sorgenti o ricorrere a soluzioni particolari che danno la temperatura come prodotto di una funzione del tempo per una funzione del posto. Esaminiamo quantitativamente la propagazione secondo una, secondo due, o secondo tutte e tre le dimensioni.31 1.38.1 Propagazione in una dimensione Metodo delle sorgenti. La quantità dQ di calore posta nella sezione di ascissa x0 di una sbarra indefinita di sezione unitaria, si distribuisce, per l’equazione (1.362), in guisa che la densità cubica di calore, un punto d’ascissa x sia al tempo τ : ½ ¾ dQ (x − x0 )2 ρ(x, τ ) = √ exp − . (1.364) 2µ2 τ µ 2πτ Se T0 è la temperatura nell’istante iniziale e nel punto x0 , fra le sezioni x0 e x0 + dx0 si trova accumulata la quantità di calore T0 dx0 γδ. Sostituendo questa espressione a dQ nell’equazione (1.364) e integrando, è possibile 31 In realtà, nel manoscritto originale è studiato solo il caso unidimensionale. 78 Volumetto 1: 8 marzo 1927 ottenere la densità del calore e, dividendo per γδ, la temperatura in un punto qualsiasi e in un istante qualsiasi: ½ ¾ Z +∞ T0 (x − x0 )2 √ T (x, τ ) = exp − dx0 . (1.365) 2µ2 τ 2πτ −∞ µ Se la sbarra non fosse indefinita, bisognerebbe badare alle condizioni ai limiti. In alcuni casi il problema si riconduce facilmente a quello della sbarra indefinita. Facciamo un esempio: Sia una sbarra limitata fra le sezioni S1 e S2 di ascisse x1 e x2 , essendo x1 < x2 ; sia T0 (x0 ) la temperatura iniziale nel punto x0 , essendo x1 < x0 < x2 , e si ponga la condizione che le temperature T1 e T2 delle sezioni estreme siano costanti. Si vuol determinare dopo un tempo qualsiasi τ la temperatura T (x, τ ) in un punto qualunque x compreso tra x1 e x2 . Per far ciò, si approfitti della linearità delle espressioni che reggono la propagazione del calore, decomponendo la distribuzione delle temperature, in un istante qualsiasi, nella somma di altre due di cui una rappresenti quella distribuzione permanente nel tempo che è compatibile con le sole condizioni ai limiti; si ponga cioè : T (x, τ ) = T0 (x0 ) = x − x1 (T2 − T1 ) + T 0 (x, τ ) x2 − x1 x0 − x1 T1 + (T2 − T1 ) + T00 (x0 ). x2 − x1 T1 + (1.366) (1.367) Il problema è cosı̀ ridotto alla determinazione della temperatura nei punti di una sbarra di cui gli estremi sono tenuti a zero, essendo date le condizioni iniziali. Per determinare T 0 (x, τ ), si consideri una sbarra indefinita e sia T00 la temperatura iniziale nel punto x0 ; la T00 , qualunque sia la sua espressione analitica, deve intendersi definita, per ora soltanto per x0 compreso x1 e x2 . Se x1 < x0 < x2 e n è pari, porremo: T00 [x0 + n(x2 − x1 )] = T00 (x0 ), (1.368) T00 [x0 + n(x2 − x1 )] = − T00 (x1 + x2 − x0 ) . (1.369) e se n è dispari La temperatura iniziale resta cosı̀ definita per tutte le sezioni della sbarra, salvo che per un numero discreto di esse, ciò che non porta ostacolo alla soluzione del problema. Si osservi che la temperatura iniziale assume valori 79 Volumetto 1: 8 marzo 1927 opposti per coppie di punti simmetrici rispetto alla sezione S1 o alla sezione S2 e quindi la temperatura di tali sezioni sarà costantemente nulla. Segue che la distribuzione delle temperature nella barra indefinita è per i punti compresi fra x1 e x2 , proprio la T 0 (x, τ ) che cerchiamo. Ora dall’equazione (1.365), si ricava: ½ ¾ Z +∞ T0 (x − x0 )2 √0 T 0 (x, τ ) = exp − dx0 ; (1.370) 2µ2 τ 2πτ −∞ µ il problema è quindi risolto. Soluzioni particolari. Ponendo T (x, τ ) = X(x)Y (τ ), si ricava: µ2 1 d 2 Y 1 dY = = λ; Y dτ 2 X dx2 (1.371) si deducono le soluzioni particolari: µ√ T = A e−c1 τ sin 2c1 x − c2 µ ¶ (1.372) che, per λ < 0, si può anche scrivere: T = A e−ω T = Ae √ − ωx/µ 2 µ2 τ /2 sin (ω x − c) ¶ √ ω sin ω τ − x+ c . µ (1.373) µ (1.374) Le soluzioni nelle equazioni (1.373) e (1.374) sono casi particolari delle seguente, da cui si deducono ponendo rispettivamente α = 0 e α = β: µ ¶ 2 2 β T = A e(α −β )τ /2 e−αx/µ sin α β τ − x + c . (1.375) µ L’equazione (1.375) rappresenta nello spazio x, τ, T una superficie. Segandola con piani paralleli a T si ottengono in generale delle sinusoidi smorzate, salvo che per i piani paralleli a αβ τ − β x = 0, µ che danno come sezioni delle curve esponenziali, e per i piani paralleli a α τ 2 (α − β 2 ) τ − x = 0, 2 µ 80 Volumetto 1: 8 marzo 1927 che forniscono sezioni sinusoidali. La particolarità geometrica delle soluzioni (1.373) e (1.374) sta in ciò, che la (1.373) presenta le sezioni sinusoidali parallelamente al piano τ = 0 e la (1.374) parallelamente al piano x = 0. Il problema del raffreddamento di una sbarra limitata di cui gli estremi sono tenuti a zero, che abbiamo risolto più su con il metodo delle sorgenti, può ben risolversi anche con soluzioni del tipo (1.373). Basta decomporre la T00 secondo le autofunzioni della forma (1.373), in cui si ponga τ = 0, relative all’intervallo x1 − x2 , cioè secondo sinusoidi che si annullano per x = x1 e x = x2 ed hanno per periodo: 2(x2 − x1 )/1, 2(x2 − x1 )/2, 2(x2 − x1 )/3, 2(x2 − x1 )/4, etc. Se lo sviluppo di T00 è il seguente: T00 = A1 sin π x − x1 x − x1 + A2 sin 2π + ..., x2 − x1 x2 − x1 (1.376) si avrà evidentemente ½ 0 T (x, τ ) 1.39 = ¾ π 2 µ2 τ x − x1 A1 exp − sin π 2(x2 − x1 )2 x2 − x1 ½ ¾ x − x1 4π 2 µ2 τ sin 2π + . . . . (1.377) + A2 exp − 2(x2 − x1 )2 x2 − x1 Trasformazioni conformi Sia x01 = x01 (x1 , . . . , xr , . . . , xn ) = x0r (x1 , . . . , xr , . . . , xn ) = x0n (x1 , . . . , xr , . . . , xn ) ... x0r (1.378) ... x0n una trasformazione tale che , X 02 X 2 dxi dxi = f (x1 , . . . , xn ). i i 81 (1.379) Volumetto 1: 8 marzo 1927 Tale condizione si può esprimere analiticamente scrivendo che i gradienti delle x0 hanno nello stesso punto lo stesso valore assoluto e che i prodotti scalari di tali gradienti, presi due a due, sono nulli; cioè:   f (x1 , . . . , xn ), se i = j grad x0i × grad x0j = m = (1.380)  0, se i 6= j Poniamo ∂ 2 x0i = k(i, r, s). ∂xr ∂xs Il teorema sulla simmetria delle derivate miste32 , la condizione che le derivate dei valori assoluti dei gradienti delle x0 , rispetto alla stessa variabile, siano tutte uguali tra loro e la condizione che tutte le derivate di tali prodotti scalari siano nulle importano le uguaglianze (purchè si scelgano gli assi delle x paralleli ai gradienti delle x0 ): k(i, r, s) = k(i, s, r) k(i1 , i1 , s) = k(i2 , i2 , s) k(i, r, s) = − k(r, i, s), Poniamo pr = (1.381) se i 6= r. ∂ 2 x0r . ∂x2r È facile allora mostrare che tutte le derivate di x0 possono esprimersi in funzione delle pr . Infatti, dalla (1.381) si supponga (a) i, r, s tutti diversi dalle (1.381) si deduce: k(i, r, s) = k(i, s, r) = − k(s, i, r) = − k(s, r, i) = k(r, s, i) = k(r, i, s) = − k(i, r, s) = 0 ; (1.382) (b) se r = i k(i, i, s) = k(s, s, s) = 32 Cioè il teorema di Schwarz. 82 ∂ 2 x0s = ps ; ∂x2s (1.383) Volumetto 1: 8 marzo 1927 (c) se s = i k(i, r, i) = k(i, i, r) = pr ; (1.384) k(i, r, r) = − k(r, i, r) = − pi . (1.385) (d) se r = s 6= i Si può verificare che qualunque siano le n quantità p1 , p2 , . . ., pn , le k(i, r, s) date dalle (1.382), (1.383), (1.384) e (1.385) soddisfano l’equazione (1.381). Se si pone nel posto r, s di una matrice la derivata k(i, r, s), si possono costruire n matrici coordinate alle n x0 . Esse hanno la forma seguente33 :   p1 p2 . . . pn−1 pn  p2 −p1 . . . · 2 0 ¸ 0 0    ∂ x1  . . . =    ∂xr ∂xs  pn−1 0 . . . −p1 0  pn 0 ... 0 −p1  · ∂ 2 x0i ∂xr ∂xs ¸ =              −pi 0 0 0 −pi 0 0 0 −pi ... p1 p2 p3 ... 0 0 0 ... 0 0 0 . . . p1 . . . p2 p3 ... ... 0 0 0 0 0 0 ... . . . pk 0 ... pi 0 . . . pn . . . 0 −pi pi . . . pk        .       Si ricava: ∆ x0i = − (n − 2) pi . (1.386) 0 Segue che le x non sono in generale funzioni armoniche; perché fossero tali occorrerebbe che fosse o n = 2 oppure che le p fossero costantemente nulle in modo che la (1.378) rappresentasse una semplice similitudine. 33 La generica matrice indicata con i è quella la cui i-esima riga o colonna è data da (p1 , p2 , p3 , . . . , pn ), mentre gli elementi sulla diagonale sono uguali a −pi . 83 Volumetto 1: 8 marzo 1927 Se n = 2, le x0 sono sempre funzioni armoniche. Allora se U 0 (x0 , y 0 ) è una funzione armonica, ponendo U (x, y) = U 0 (x0 , y 0 ), si deduce dalla (1.380), (1.386) (1.73) che anche U (x, y) è una funzione armonica. La trasformazione del piano xy nel piano x0 y 0 dicesi trasformazione conforme di un piano su un piano. Tale trasformazione conserva la forma delle figure infinitesime; essa può invertire o no il senso di rotazione. Per avere una trasformazione conforme basta porre: oppure x0 + i y 0 = f (x + iy) (1.387) x0 − i y 0 = f (x + iy), (1.388) essendo f (x + iy) una funzione analitica qualunque; nel primo caso il senso di rotazione è conservato, nel secondo caso viene invertito. Dalle considerazioni analitiche svolte più sopra può aversi un’interessante conferma sintetica. Si consideri la trasformazione conforme (1.378) che a un punto dello spazio S a n dimensioni fa corrispondere un punto dello spazio S 0 . La condizione (1.379) stabilisce che figure p infinitesime corrispondenti sono simili e dà il rapporto di similitudine k = f (x1 , . . . , xn ), in generale variabile da un punto a punto. Sia U una funzione delle x e poniamo: (1.389) U 0 (x01 , . . . , x0n ) = U (x1 , . . . , xn ). Il flusso del gradiente di U attraverso un elemento di superficie dS può essere scritto dϕ = |grad U | dS cos α, (1.390) e il flusso di grad U 0 attraverso l’elemento corrispondente: ¯ ¯ dϕ0 = ¯grad U 0 ¯ dS 0 cos α0 . (1.391) ma essendo la trasformazione conforme, abbiamo evidentemente: ¯ ¯ ¯grad U 0 ¯ 0 ds e quindi = = 1 |grad U | k n−1 k dS dϕ0 = kn−2 dϕ. (1.392) (1.393) (1.394) Segue che se n = 2 e il flusso di U attraverso una superficie chiusa è nullo, sarà nullo del pari il flusso di U 0 attraverso ogni superficie chiusa, cioè le trasformazioni conformi di un piano su un piano conservano l’armonicità 84 Volumetto 1: 8 marzo 1927 delle funzioni armoniche. Se n è diverso da 2, l’armonicità non è necessariamente conservata, salvo il caso che K sia costante. Ma in tal caso la trasformazione conforme si riduce a una semplice similitudine. 1.40 Meccanica ondulatoria del punto materiale in un campo conservativo. Variazione degli autovalori Sia E un autovalore dell’equazione:34 ∆ψ + 8π 2 m (E − U ) ψ = 0. h2 (1.395) Diamo a U una variazione δU perché la (1.395) ammetta una soluzione finita e monodroma, E dovrà subire una variazione δE. Poniamo ψ1 = ψ (1 + α) la soluzione della (1.395) variata. Sostituendo nella (1.395), si ricava l’equazione a cui deve soddisfare α: ψ ∆ α + 2 grad ψ × grad α + e moltiplicando per ψ: 8π 2 m (δE − δU ) ψ = 0 h2 (1.396) 35 ¡ ¢ 8π 2 m div ψ 2 grad α + (δE − δU ) ψ 2 = 0. h2 (1.397) Poiché ψ 2 grad α è in generale infinitesimo d’ordine superiore al secondo, integrando in tutto lo spazio S si ricava Z (δE − δU ) ψ 2 dS = 0, (1.398) 34 Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui denotiamo la stessa quantità con ~. 35 Si noti che se ψ è complesso, si deve moltiplicare per ψ ∗ , per cui ψ 2 deve essere sostituito con |ψ|2 . 85 Volumetto 1: 8 marzo 1927 cioè, 1.41 ÁZ Z ψ 2 δU dS δE = ψ 2 dS . (1.399) Massa elettromagnetica dell’elettrone Supponiamo 36 la carica e distribuita su una sfera di raggio a. Ammettendo la contrazione di Lorentz nella direzione del movimento si ottengono le seguenti espressioni dell’energia elettrica e dell’energia magnetica: Ã ! p 2 e2 p Es = + 1 − v 2 /c2 (1.400) 6a 1 − v 2 /c2 Em e2 v2 p , 2 3ac 1 − v 2 /c2 = (1.401) In riposo risulta: Eem = Es + Em e2 = 6a Ã p 1 + v 2 /c2 2p + 1 − v 2 /c2 2 2 1 − v /c Es00 = Em0 = e2 2a 0 ! (1.402) (1.403) (1.404) 2 E0 em = e . 2a (1.405) La quantità di movimento elettromagnetico risulta: Q = 2 2e2 v p Em = , v 3ac2 1 − v 2 /c2 (1.406) 36 È interessante leggere su questo argomento, per esempio, l’articolo di E. Fermi, “Correzione di una contraddizione tra la teoria elettrodinamica e quella relativistica delle masse elettromagnetiche”, Nota Interna della Scuola Normale Superiore di Pisa (1924). Per altri articoli scritti dai membri del gruppo di Fermi si veda, per esempio, P. Caldirola, Nuovo Cimento A 4, 497 (1979). 86 Volumetto 1: 8 marzo 1927 e se si ammette che il sostegno della carica elettrica non abbia coefficiente di inerzia, la massa dell’elettrone sarà:37 m = 2 e2 1 m0 p = p , 3 ac2 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2 (1.407) essendo m0 la massa di quiete che vale dunque: m0 = 4 Eem 2 e2 = . 3 ac2 3 c2 (1.408) L’equivalenza, a meno del fattore c2 , fra massa ed energia porta a concludere che nell’ipotesi fatta che il sostegno abbia inerzia nulla, esso deve possedere un’energia in quiete:38 E00 = e2 1 Eem = , 3 6a (1.409) e in movimento: E 0 = mc2 − Eem = = 2 e2 1 p 3 a 1 − v 2 /c2 Ã ! p e2 1 + v 2 /c2 − 2p + 1 − v 2 /c2 6a 1 − v 2 /c2 p e2 p 1 − v 2 /c2 = E00 1 − v 2 /c2 6a (1.410) cioè, l’energia propria è proporzionale al suo volume.39 Ammettere che il nucleo dell’elettrone possiede questa energia non è in contraddizione con l’ipotesi ammessa che il suo coefficiente di inerzia sia nullo; infatti esso si trova in uno stato di tensione che fa equilibrio alla tensione della carica elettromagnetica, la quale per azione del campo elettromagnetico tenderebbe a disperdersi; questo importa che quella parte della carica che si trova più innanzi, nel senso del movimento, risente 37 Cioè, l’intera massa dell’elettrone è di natura elettromagnetica. considera l’energia totale E di un elettrone come formata da due termini: quello elettromagnetico, Eem , e quello di auto-energia, E 0 : E = Eem + E 0 . L’energia E 0 è ottenuta considerando che E = mc2 . 39 L’energia propria corrisponde all’energia del “nucleo” dell’elettrone, che viene cosı̀ ad essere proporzionale al volume del nucleo stesso. 38 L’Autore 87 Volumetto 1: 8 marzo 1927 un’azione frenante da parte del sostegno, mentre quella parte della carica che si trova più indietro viene accelerata per azione del sostegno. Segue che attraverso il nucleo ha luogo un flusso di energia in senso opposto al movimento dell’elettrone, la cui quantità di moto deve essere uguale e opposta a quella dell’energia. È mobile con la stessa velocità dell’elettrone. Di ciò potrebbe del resto aversi una verifica diretta, supponendo che il vincolo sia costituito in un modo qualunque, per esempio, mediante fili che tengono le cariche distribuite su una superficie sferica a una distanza fissa del centro; in tal caso basta calcolare la tensione del filo e moltiplicarla per la velocità dell’elettrone nel senso del filo stesso per avere il flusso di energia attraverso ad ogni sezione; dividendo per E 0 si ha la quantità di moto per ogni unità di lunghezza. Basta allora sommare vettorialmente le quantità di moto inerenti ai singoli fili (la quantità di moto elementare in ogni filo ha la direzione del filo stesso), per ottenere la quantità di moto totale inerente al flusso di energia attraverso il nucleo. Ma ad un’altra considerazione si presta la (1.410): essa mostra infatti che l’energia del sostegno diminuisce con la velocità e si annulla per velocità prossime a quelle della luce. Sorge allora il problema del bilancio energetico del nucleo stesso. Si riconosce facilmente che la dissipazione dell’energia nucleare con l’aumento della velocità è dovuta alla contrazione dell’elettrone nel senso del movimento. Dividiamo infatti l’elettrone in due parti mediante un piano yz passante per il centro in cui poniamo l’origine degli assi e normale al senso del movimento. Le cariche distribuite in ognuno dei due elementi di superficie della sfera che si proiettino in tale piano nell’elemento dy dz valgono: de = dy dz p a2 a e e dy dz p = . 2 2 2 4πa −y −z 4πa a2 − y 2 − z 2 (1.411) Ora possiamo immaginare che il nucleo sia costituito da fili longitudinali che rilegano a due a due le cariche elementari simmetriche rispetto al piano yz ed equilibrano le azioni che esse subiscono da parte delle componenti del campo elettrico secondo la direzione del movimento, e da fili traversali che equilibrano le azioni del campo elettrico trasverso e quelle del campo magnetico sull’elettricità in moto che risultano anche esse normali alla direzione del movimento. La tensione del filo che lega i due elementi considerati più sopra è: p a2 − y 2 − z 2 1 e e2 dt = de = dy dz, (1.412) 2 2 a a 8πa4 88 Volumetto 1: 8 marzo 1927 indipendente dalla velocità, e la lunghezza del filo: p p ` = 2 a2 − y 2 − z 2 1 − v 2 /c2 . (1.413) Se la velocità dell’elettrone aumenta di dv, senza cambiare direzione, i fili trasversali restano di lunghezza immutata e quindi la loro energia non subisce variazioni; al contrario i fili longitudinali si accorciano e la variazione di energia dα di uno di essi si ottiene moltiplicandone la tensione per la variazione della lunghezza: d (dα) = dt d` = − = − e2 v p p 2e2 (v/c2 ) dv 2 − y2 − z2 p dy dz a 8πa4 1 − v 2 /c2 a2 − y 2 − z 2 p dy dz dv, 4πa c 1 − v 2 /c2 4 2 e integrando prima rispetto y e z, e notando che Z dα = E 0 , (1.414) (1.415) yz si ottiene dE 0 = − e2 v p dv. 6a c 1 − v 2 /c2 2 (1.416) Allo stesso risultato si giunge differenziando la (1.410), ciò che prova che la dissipazione dell’energia del sostegno è effettivamente dovuta alla contrazione di Lorentz. La porzione dell’energia totale concentrata nel nucleo vale: µ ¶ E0 1 v2 = 1 − , mc2 4 c2 Essa è dunque 1/4 per piccole velocità. Al crescere della velocità diminuisce per doppia ragione, ciò per la diminuzione di energia concentrata e per l’aumento di energia elettromagnetica, finché alla velocità limite della luce tutta l’energia dell’elettrone ha la forma elettromagnetica. 89 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.42 Polinomi di Legendre I polinomi di Legendre sono definiti dalla relazione: Pn = 1 2n n! dn (x2 − 1)n dxn (1.417) Essi soddisfanno alle relazioni   Z 1  0 , per m 6= n Pm Pn dx = 2  −1  , per m = n 2n + 1 Inoltre, . Pn (−1) = (−1)n . Pn (1) = 1 , (1.418) (1.419) I primi di tali polinomi hanno l’espressione: Z P0 = 1 1 Pn2 dx = 2 −1 P1 = x 2 3 P2 = 3 2 1 x − 2 2 2 5 P3 = 5 3 3 x − x 2 2 2 7 P4 = 35 4 15 2 3 x − x + 8 4 8 2 9 P5 = 63 5 35 3 15 x − x + x 8 4 8 2 11 P6 = 231 6 315 4 105 2 5 x − x + x − 16 16 16 16 2 13 P7 = 429 7 693 5 315 3 35 x − x + x − x 16 16 16 16 2 15 90 Volumetto 1: 8 marzo 1927 1.43 ∆ in coordinate sferiche Sia V una funzione di x, y, z, attraverso r, θ, ϕ, essendo: p r = x2 + y 2 + z 2 θ = arccos z/r ϕ = arctan y/r. (1.420) Poiché valgono le relazioni: |grad r| = 1, |grad θ| = 1 , r |grad ϕ| = 1 r sin θ (1.421) grad r × grad θ = grad θ × grad ϕ = grad ϕ × grad r = 0 (1.422) ∆r = 2 , r ∆θ = cot θ , r2 ∆ϕ = 0 (1.423) si deduce dalla (1.73): ∆V = 1 ∂2V 2 ∂V + + 2 ∂r2 r ∂r r µ ¶ 1 ∂2V ∂2V ∂V + + cot θ . (1.424) 2 ∂θ2 ∂θ sin θ ∂ϕ2 91 2 VOLUMETTO 2.1 23 aprile 1928 ∆ in coordinate polari Sia V una funzione di x e y attraverso r e ϕ ossia: p r = x2 + y 2 y ϕ = arctan . x Poiché: |grad r| = 1 , |grad ϕ| = (2.1) (2.2) 1 r grad r × grad ϕ = 0 ∆2 r = 1 , r ∆2 ϕ = 0, (2.3) (2.4) (2.5) allora, dalla (1.73): ∆2 V = 2.2 ∂2V 1 ∂V 1 ∂2V + + 2 . ∂z 2 r ∂r r ∂ϕ2 (2.6) Sviluppo di una funzione armonica nel piano Supponiamo di sviluppare in serie una funzione armonica V intorno al punto O(0, 0). Avremo: V = P0 + P 1 + P2 + P3 + . . . + Pn + . . . , 93 (2.7) Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo Pn un polinomio intero omogeneo di grado n in x e y. Poiché ∆2 V = 0, si ricava: ∆2 Pn = 0, (2.8) cioè Pn è una funzione armonica. Ora Pn ha n+1 coefficienti, mentre ∆2 Pn che è un polinomio di grado n − 2, ne ha n − 1, legati da relazioni lineari a quelli di Pn e che devono annullarsi; segue che solo due dei coefficienti di Pn possono essere scelti in modo arbitrario, salvo P0 che è una costante arbitraria. L’espressione più generale di Pn è dunque Pn = an Pn0 + bn Pn00 , (2.9) essendo Pn0 e Pn00 due polinomi noti, interi ed omogenei di grado n. Ora possiamo porre Pn = rn µn (ϕ), Pn0 = rn µ0n (ϕ), Pn00 = rn µ00n (ϕ) (2.10) e quindi µn (ϕ) = an µ0n (ϕ) + bn µ00n (ϕ). Pn0 (2.11) Pn00 e esiste sufficiente arbitrarietà per supporre che Ora nella scelta di µ0n e µ00n siano ortogonali nell’intervallo (0, 2π); è facile allora che le µ0 e le µ00 formino un sistema ortogonale. Basterà provare che se m 6= n, si ha sempre Z 2π µm µn dϕ = 0, m 6= n. (2.12) 0 Per far ciò, consideriamo il flusso uscente attraverso un cerchio di raggio r del vettore (2.13) rm µm grad rn µn − rn µn grad rm µm . Ora dalla (2.10), segue: ∂ m r µm ∂r ∂ n r µn ∂r = m rm−1 µm (2.14) = nr n−1 µn . Cosı̀ il flusso uscente è dato dall’espressione Z 2π F = (n − m) rn+m−1 µm µn dϕ. 0 94 (2.15) Volumetto 2: 23 aprile 1928 D’altronde la divergenza del vettore in (2.13) vale: div (rm µm grad rn µn − rn µn grad rm µm ) = rm µm ∆2 rn µn − rn µn ∆2 rm µm = 0, (2.16) da cui segue la (2.12). 2.3 Quantizzazione dell’oscillatore lineare armonico Se m è la massa dell’oscillatore e −Kq la forza attrattiva, l’Hamiltoniana si può scrivere: 1 p2 H(q, p) = K q2 + = E (2.17) 2 2m e la frequenza dell’oscillatore sarà: r 1 K . (2.18) ν = 2π m Le matrici di p e q, e delle loro funzioni, oltre alle regole di somma e prodotto soddisfanno alle condizioni: (a) regola di derivazione rispetto al tempo: Ṁrs = (i/~) (Er − Es ) Mrs ; (b) p q − q p = ~/i; (c) H deve avere i suoi elementi diagonali: (E1 , E2 , . . .); (d) le matrici devono essere Hermitiane. Da tali condizioni segue che sono soddisfatte le equazioni di Hamilton: q̇ = ṗ = ∂H ∂p ∂H − . ∂q 95 (2.19) (2.20) Volumetto 2: 23 aprile 1928 La condizione (a) combinata con le altre si può anche scrivere Ṁ = i (H M − M H) . ~ (2.21) Nel nostro caso le equazioni (2.19) e (2.20) diventano: m q̇ = p (2.22) ṗ = − K q. (2.23) Dalla (2.22), segue che tra gli elementi di p e q passa la relazione prs = qrs im (Er − Es ) . ~ (2.24) Inoltre, poiché m q̈ + K q = 0, si ricava: (2.25) h i m (Er − Es )2 qrs = 0. 2 ~ può essere diverso da zero soltanto se K − Segue che qrs K = m (Er − Es )2 , ~2 (2.26) (2.27) cioè se Er − Es = ± hν. (2.28) Calcoliamo ora l’elemento (r, r) della matrice pq −qp. Per la condizione (b) abbiamo: X ~ (2.29) = (prα qαr − qrα pαr ) , 2πi α o, per la (2.24): X ~ im = (Er − Eα ) (qrα qαr + qαr qrα ) . 2πi ~ α cioè X (Eα − Er ) |qrs |2 = α 96 ~2 . 2π 2 m (2.30) (2.31) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Tutti i termini della sommatoria si annullano, salvo al più due per i quali si abbia rispettivamente: Eα = Er + hν (2.32) Eα = Er − hν. (2.33) Segue che se esiste un autovalore Er deve almeno esistere uno dei due autovalori Er − hν e Er + hν. Ora a causa della forma di H esiste almeno un autovalore E0 tale che non esista l’autovalore E0 − hν. Esiste quindi anche l’autovalore E1 = E0 + hν. Allora, ponendo r = 0 nella (2.31), si ricava: ~2 , h ν |q01 |2 = (2.34) 2π 2 m cioè ~ . |q01 |2 = (2.35) 4π 2 mν Ponendo r = 1 nella (2.31) si trova che deve esistere anche l’autovalore E2 = E1 + hν = E0 + 2hν, e si ricava: |q12 |2 = 2~ . 4π 2 mν (2.36) Mediante l’uso ripetuto della (2.31) per induzione si prova che esiste l’autovalore E0 + nhν, essendo n un intero qualsiasi, e si trova inoltre: |qn−1,n |2 = n~ . 4πmν (2.37) Segue che la matrice q e, per la (2.24), anche quella della p, hanno tutti i termini nulli ad eccezione di quelli contigui agli elementi della diagonale principale. Essendo ormai note le matrici di q e, per la (refv2-3-8), di p, salvo una indeterminazione inessenziale, uguale ed opposta all’argomento dei complessi coniugati qrs e qsr , prs e psr , possimao costruire la matrice di H e verificare che la condizione (c) è soddisfatta e nello stesso tempo determinare E0 . Per la (2.17) abbiamo: X 1 1 X Hrs = K qrα qαs + prα pαs , (2.38) 2 2m α α ovvero, per la (2.24): ¸ X ·1 m Hrs = K + (E − E ) (E − E ) qrα qαs . r α s α 2 2~2 α 97 (2.39) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Tutti i termini della sommatoria sono nulli salvo al più quelli per cui α differisce di un’unità tanto da r che da s. Perché α possa assumere un tale valore bisogna che abbia luogo uno dei tre casi: (I) r = s+2 (II) r = s = n (III) r = s − 2. (2.40) Nel caso I la sommatoria si riduce a un termine che si ottiene ponendo α = s + 1. Si trova: · ¸ m 1 Hs+2,s = K + (E − E )(E − E ) qs+2,s+1 qs+1,s s+2 s+1 s s+1 2 2~2 ¶ µ 1 = K − 2π 2 ν 2 m qs+2,s+1 qs+1s = 0. (2.41) 2 Analogamente nel caso III, e quindi la matrice è diagonale. Nel caso II sono diversi da zero due termini della sommatoria che si ottengono ponendo α = r − 1 = s − 1 = n − 1 oppure α = r + 1 = s + 1 = n + 1. Si trova allora: ¸ · 1 m 2 K + (En − En−1 ) qn,n−1 qn−1,n Hn = E n = 2 2~2 · ¸ 1 m 2 + K + (E − E ) qn,n+1 qn+1,n . (2.42) n n+1 2 2~2 cioè, poiché per le equazioni (2.36) e (2.37): (En − En−1 )2 = qn−1,n qn,n−1 = qn,n+1 qn+1,n = si ricava (En − En+1 )2 = h2 ν 2 n~ |qn−1,n |2 = 4πmν (n + 1)~ |qn,n+1 |2 = , 4πmν (2.44) (2.45) µ En = ¶ 1 n~ 2 2 K + 2π m ν 2 4πmν µ ¶ 1 (n + 1)~ + K + 2π 2 m ν 2 ; 2 4πmν (2.43) 98 (2.46) Volumetto 2: 23 aprile 1928 ed essendo 1 K + 2π 2 m ν = K, 2 si ricava: En K ν = (2 n + 1) h = (2 n + 1) h = h ν 8π 2 mν 2 In particolare: E0 = 2.4 µ 1 n + 2 ¶ . (2.47) 1 h ν. 2 (2.48) Riduzione a diagonale di una matrice Sia H una matrice qualunque Hermitiana; S una matrice tale che si abbia S S −1 = 1, (2.49) essendo S −1 definita dalla relazione −1 ∗ Srs = Ssr . (2.50) La condizione (2.49) si può allora scrivere: X X −1 ∗ Sri Sis = δrs o Sri Ssi = δrs , i (2.51) i dove40 ½ δrs = 1, 0, r = s r 6= s. La matrice SHS −1 è la trasformata di H. Avremo X X X ¡ ¢ ¡ ¢ −1 S H S −1 rs = Sri H S −1 is = Sri Hik Sks i = XX i i ∗ Hik Sri Ssk ; k (2.52) k 40 Nel manoscritto originale la definizione del simbolo di Kronecker è data dall’equazione (2.53). 99 Volumetto 2: 23 aprile 1928 e poiché la matrice W = SHS −1 deve essere diagonale, avremo: XX ∗ Hik Sri Ssk = Er δrs . i (2.53) k Ponendo a posto di r e s rispettivamente m e l e moltiplicando per Sln si ricava: XX ∗ (2.54) Hik Smi Slk Sln = Em Sln δml ; i k e sommando rispetto a l: XXX i k ∗ Sln = Em Smn . Hik Smi Slk (2.55) l Il primo membro si può anche scrivere: XX X ∗ XXX ∗ Sln = Hik Smi Slk Sln Hik Smi Slk i = k i = l XX X X Hik Smi k i ∗ Skl Snl k XX = i l l Hik Smi δkn k Smi Hin , i e l’equazione (2.55) diventa X Smi Hin = Em δmn , (2.56) Smi (Hin − δin Em ) = 0. (2.57) i cioè X i Alla formola (2.56), e quindi alla (2.57), si giungerà rapidamente sfruttando la proprietà associativa del prodotto di matrici. Per dimostrare tale proprietà basterà provare che essendo a, b, e c tre matrici qualunque si ha (a b) c = a b c. Infatti, [(a b] c)rs = X (a b)ri cis = i = X k = ark X (2.58) XX i bki cis = X i [a (b c)]rs = (a b c)rs ; 100 ark bki cis k ark (b c)ks k c.d.d. Volumetto 2: 23 aprile 1928 Dalla relazione S H S −1 = W, (2.59) si ricava allora WS = ¡ ¢ S H S −1 S = S H S −1 S = S H, (2.60) da cui discende immediatamente l’equazione (2.56). Se la matrice è finita e comprende solo N righe e colonne, variando nella (2.57) l’indice n da 1 a N , si ottengono N equazioni lineari ed omogenee tra gli N elementi della riga n-esima di S e poiché gli Smn non possono essere tutti nulli, a causa della (2.51), dovrà essere nullo il determinante dei coefficienti di tali equazioni omogenee. Dovrà cioè aversi:    det    H11 − Em H21 H31 ... HN 1 H12 H22 − Em H32 H13 H23 H33 − Em ... ... ... H1N H2N H3N HN 2 HN 3 ... H N N − Em     = 0   (2.61) Segue che la matrice W non può contenere in diagonale che le radici della (2.61). Se le radici sono distinte si può formare la W con tutte le E in diagonale. La S si può allora costruire mediante la (2.57). Infatti, risolvendo l’accennato sistema di equazioni lineari si determinano, a meno di un fattore costante, gli elementi della riga n di S; il fattore costante viene poi fornito dalla normalizzazione imposta dalla (2.51). Si possono cosı̀ trovare tutte le righe di S, ognuna delle quali è coordinata a una delle radici della (2.61). Si dimostra allora che la condizione di ortogonalità fra le righe di S richiesta dalla (2.51), è automaticamente soddisfatta purché H sia Hermitiana. Se q radici coincidono si può in infiniti modi costruire q righe di S coordinate alle q radici coincidenti.41 41 Nel manoscritto originale, dopo questo paragrafo, l’Autore progettò di scrivere un paragrafo sui polinomi di Laguerre. Tuttavia, tale nuovo paragrafo non venne mai scritto. 101 Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.6 Quantizzazione ondulatoria di un punto attratto con forza costante verso una parete perfettamente elastica Consideriamo il movimento in una sola direzione, normale alla superficie elastica. Se x è la distanza dalla parete e g l’accelerazione a cui è soggetto il punto, l’energia potenziale si può scrivere: ½ m g x, x > 0 U = (2.62) ∞, x < 0 e l’equazione di Schrödinger  2 d ψ 2m   + 2 (E − m g x) ψ = 0, dx2 ~   ψ = 0, x ≤ 0 x>0 . (2.63) Supponiamo che ψ sia una soluzione di tale equazione corrispondente all’autovalore E. Posto: p x1 = (m g x − E) 3 2/(m~2 g 2 ). (2.64) La (2.63) diventa, se si considera ψ come funzione di x1 :  2 d ψ   = x1 ψ  dx21    ψ(x1 = α) = 0 dove42 α = −E p 3 (2.65) 2/(m~2 g 2 ). La funzione ψ deve inoltre essere regolare e finita per α < x1 ; ma questa condizione determina completamente, come vedremo, a meno di una costante di proporzionalità la ψ come funzione di x1 . Se F (x1 ) è una tale 42 La seconda equazione (2.65) corrisponde a ψ(x = 0) = 0; ovviamente, la funzione d’onda si annulla anche per x < 0 o x1 < α. 102 Volumetto 2: 23 aprile 1928 funzione, la seconda parte delle condizioni (2.65) si esprime dicendo che α è uno zero della funzione ψ. Se dunque α è uno qualunque di tali zeri, si ottengono tutti i possibili livelli energetici dalla relazione: p E = − α 3 m~2 g 2 /2. (2.66) Possiamo anche calcolare il modulo di periodicità dell’azione relativa al modello puntiforme, che indicheremo semplicemente con S. Ciò servirà a confrontare i risultati della meccanica ondulatoria con quelli a cui conducono le condizioni di Sommerfeld. Avremo r Z E/mg r 4 2 2 3/2 (E − mgx) dx = E . S = 2 m (2.67) m 3g m 0 Ovvero, eliminando E mediante la (2.66): S 2 = (−α)3/2 , h 3π mentre le condizioni di Sommerfeld darebbero: S/h = n, (2.68) (2.69) (n intero positivo o nullo). Vediamo ora di costruire effettivamente la funzione F (x) = y. Due soluzioni particolari della (2.65) sono (vedi paragrafo 2.32): M = 1 + 1 3 1 1 x + x6 + x9 + . . . 2·3 2·3·5·6 2·3·5·6·8·9 (2.70) 1 4 1 1 7 10 N = x+ x + x + x + ... 3·4 3·4·6·7 3·4·6·7·9·10 La soluzione generale è una combinazione di M e di N e poiché M ed N tendono all’infinito per x → ∞, dovrà essere, a meno di un fattore costante: y = M − λ N, (2.71) essendo M . (2.72) N Che λ sia finito lo proveremo tra poco; che poi y tenda effettivamente a zero per x → ∞, e con sufficiente rapidità, si dimostra nel modo seguente. Poniamo una soluzione qualunque della (2.65) sotto la forma: λ = lim x→∞ y = eu . 103 (2.73) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Avremo u00 + u02 = x (2.74) √ u0 = ± x. (2.75) e al limite per x grandissimo, Il segno superiore corrisponde a soluzioni infinite d’ordine infinitamente grande, mentre il segno inferiore corrisponde a soluzioni infinitesime d’ordine infinitamente grande. Ora si constata facilmente che lo sviluppo di u √ secondo le potenze discendenti di x è identico, a meno di una costante additiva, per tutte le y che tendono all’infinito; segue che il limite del rapporto tra due soluzioni che tendono all’infinito è una costante diversa da zero. Ma se y ha la forma (2.71) abbiamo: lim x→∞ y M − λN = lim y → ∞ = = 0, M M (2.76) e y tende quindi a zero d’ordine infinitamente grande. Per determinare λ cominciamo a porre: ϕ(0) = 1; ϕ(3) = 1 ; 2·3 ϕ(3n) = 1 . 2·3·5·6·s(3n − 1)·(3n) (2.77) Allora avremo M = ϕ(0) + ϕ(3) x3 + ϕ(6) x6 + ϕ(9) x9 . . . (2.78) Possiamo definire ϕ(x) per ogni x > −2 valendoci dell’equazione funzionale: ϕ(x) ϕ(x + 3) = (2.79) (x + 2)(x + 3) e stabilendo di calcolare ϕ(x) al limite per x grandissimo mediante interpolazione lineare logaritmica fra ϕ(3n) e ϕ(3n + 3) essendo 3n < x < 3n + 3. Al limite avremo evidentemente: x2/3 ϕ(x + 1) = 1 ϕ(x) (2.80) o più generalmente lim x2α/3 ϕ(x + α) = 1, ϕ(x) 104 (2.81) Volumetto 2: 23 aprile 1928 da cui si deduce facilmente: lim x→∞ ϕ(0) + ϕ(3)x3 + ϕ(6)x6 + ϕ(9)x9 + . . . = 1 ϕ(α)xα + ϕ(α + 3)xα+3 + ϕ(α + 6)xα+6 + . . . (2.82) (α > −2). In particolare, ϕ(0) + ϕ(3)x3 + ϕ(6)x6 + ϕ(9)x9 + . . . x→∞ ϕ(1)x + ϕ(4)x4 + ϕ(7)x7 + ϕ(10)x10 + . . . M = lim = 1, x→∞ ϕ(1) N lim (2.83) da cui λ = ϕ(1). Sotto forma di prodotto infinito [vedi la voce (3) nel paragrafo 3.7]: λ3 = [ϕ(1)]3 = 1 42 ·7 72 ·10 102 ·13 132 ·16 · · 3 · · ·s, 2 53 8 113 143 da cui si ricava λ = ϕ(1) = √ Γ(2/3) 3 3 = Γ(1/3) (2.84) √ 3 3 (2/3)! = 0.729. 2 (1/3)! (2.85) Abbiamo dunque F (x) = ϕ(0) − ϕ(1) x + ϕ(3) x3 − ϕ(4) x4 + ϕ(6) x6 − ϕ(7) x7 + . . . (2.86) Per x > 0 si ha sempre F (x) > 0; F 0 (x) < 0; F 00 (x) > 0. Per x < 0 F si annulla infinite volte. Badando all’equazione differenziale di F , si dimostra ovviamente che se αn e αn+1 sono due zeri consecutivi con αn > αn+1 vale la relazione π αn − αn+1 = √ , essendo αn+1 < − ξ < αn . (2.87) ξ Segue: s Sn+1 − Sn = h ξ1 , ξ essendo αn+1 < − ξ1 < αn . (2.88) Per grandi numeri quantici si avrà: (Sn+1 − Sn ) /h = 1, 105 (2.89) Volumetto 2: 23 aprile 1928 in accordo con le condizioni di Sommerfeld. Il primo zero di F si ha per43 − α1 ' 2.33 (2.90) 44 a cui corrisponde:  S1 ' 0.76 h      µ ¶   2 √ Γ 3 √ 3 3  3  λ= 3 µ ¶ =    2 1   Γ 3 2.7 2 ! 3 = 0.729 1 ! 3 (2.91) Hamiltoniana relativista per il movimento di un elettrone Sia ϕ il potenziale scalare e Vx , Vy , Vz le componenti del potenziale vettore. Posto C0 = ϕ, C1 = − i Vx , x0 = i c t, C 2 = − i Vy , x1 = x, x2 = y, P 2 ds2 = i dxi , C3 = − i Vz , x3 = z, e consideriamo nello spazio-tempo l’azione45 : Z Z cP = mc2 ds + e Ci dxi . i Avremo: µ ¶ Z Z Z cP ∂Ci δ = mc2 ẋi dδxi + e Ci dδxi + e δxj dxi , i ∂xj 43 Un (2.92) (2.93) calcolo più preciso fornisce −α1 ' 2.33811. realtà il calcolo accurato dà un valore di S1 ' 7.49 h. 45 In questo paragrafo, l’Autore ha adottato la convenzione di somma sugli indici ripetuti. 44 In 106 Volumetto 2: 23 aprile 1928 cioè: µ δ cP i ¶ = Z ¢ ¤b mc2 ẋi + e Ci δxi a − mc2 ẍi δxi ds Z Z ∂Ci ∂Ci −e δxi ẋj ds + e δxj ẋi ds. (2.94) ∂xj ∂xj £¡ La condizione perché P sia stazionaria è: µ ¶ ∂Cj ∂Ci 2 mc ẍi = e ẋj , − ∂xi ∂xj (2.95) che si scinde nelle quattro equazioni: µ ¶ e ∂Cx ∂x ∂Cy ∂y ∂Cz ∂z d mc2 p = − + + dt 1 − v 2 /c2 c ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t µ −e d m dx/dt p dt 1 − v 2 /c2 = −e − d m dy/dt p dt 1 − v 2 /c2 = d m dz/dt p dt 1 − v 2 /c2 = e ∂Cx e dy ∂ϕ − + ∂x c ∂t c dt e dz c dt −e − ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z + + ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t µ ∂Cx ∂Cz − ∂z ∂x µ ∂Cy ∂Cx − ∂x ∂y e dy c dt µ ∂Cz ∂Cy − ∂y ∂z ¶ µ ∂Cz ∂Cy − ∂y ∂z ¶ ¶ ∂ϕ e ∂Cz e dx −e − + ∂z c ∂t c dt − ∂Cx ∂Cy − ∂x ∂y ¶ ∂ϕ e ∂Cy e dz − + ∂y c ∂t c dt e dx c dt µ ¶ µ ∂Cx ∂Cz − ∂z ∂x ¶ ¶ , che sono appunto le equazioni del movimento dell’elettrone. Data una superficie qualunque (che può anche ridursi a un punto), l’azione P calcolata 107 Volumetto 2: 23 aprile 1928 su una linea che termina in un punto determinato e parte da un punto della superficie tale che la δP al limite inferiore sia stazionaria, è una funzione del posto. Spostando il limite superiore di un vettore di un vettore infinitesimo (dx0 , dx1 , dx2 , dx3 ), la variazione di P essendo stazionaria per limiti fissi e stazionaria al limite inferiore, si riduce alla variazione al limite superiore; cioè, per la (2.94)) si riduce a: ¡ ¢ d (cP/i) = mc2 ẋi + e Ci dxi , (2.96) cioè: dP = −p Ã mc2 1 − v 2 /c2 dt − e ϕ dt + ! m dx e p − Cx 2 2 dt c 1 − v /c ! e dy − Cy dy c 1 − v 2 /c2 dt Ã ! m dz e + p − Cz dz. c 1 − v 2 /c2 dt Ã + p dx m (2.97) Definiamo come momenti coniugati a t, x, y, z le espressioni mc2 pt = −p px = m dx e p + Cx 2 2 dt c 1 − v /c 1 − v 2 /c2 − eϕ = −W py = dy e p + Cy c 1 − v 2 /c2 dt pz = m dz e p + Cz . c 1 − v 2 /c2 dt (2.98) m Dalla (2.97) segue allora che ∂P = − W = pt , ∂t ∂P = px , ∂x ∂P = py , ∂y I quattro momenti (2.98) sono legati dalla relazione: µ ¶2 ´2 ³ W e e − − ϕ + px − Cx c c c 108 ∂P = pz . ∂z (2.99) Volumetto 2: 23 aprile 1928 ³ ´2 ³ ´2 e e + py − Cy + pz − Cz + m2 c2 = 0. c c (2.100) La (2.100) può considerarsi, a meno del fattore 1/2m, come la Hamiltoniana del sistema. Infatti, detto τ il tempo proprio, si ha, se M è il primo membro della (2.100) diviso per 1/2m, ∂M ∂pt = − ∂M ∂px = 1 dx dx p = = ẋ 2 2 dt dτ 1 − v /c ∂M ∂py = ẏ, ∂M ∂t = = ∂M ∂x ∂M 1 dt = p = = ṫ ∂W dτ 1 − v 2 /c2 ∂M = ż ∂pz (2.102) (2.103) e ∂ϕ e 1 dCx dx p − p 2 2 2 2 ∂t c 1 − v /c 1 − v /c dt dt e e 1 dCy dy 1 dCz dz − p − p c 1 − v 2 /c2 dt dt c 1 − v 2 /c2 dt dt · µ ¶ e 1 dCx dx dCy dy dCz dz 1 dϕ p − + + c 1 − v 2 /c2 dt c dt dt dt dt dt dt ¸ ∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz − − − ∂x dt ∂y dt ∂z dt dϕ d mc2 dW p + = = Ẇ = − ṗt dτ dτ dτ 1 − v 2 /c2 = e = e ∂ϕ p 2 2 1 − v /c ∂x (2.104) ¶ µ e 1 ∂Cx dx ∂Cy dy ∂Cz dz p + + c 1 − v 2 /c2 ∂x dt ∂x dt ∂x dt e ∂ϕ ∂Cx e 1 p + p c 1 − v 2 /c2 ∂t 1 − v 2 /c2 ∂x µ ¶ 1 dy ∂Cy ∂Cx e − − p c 1 − v 2 /c2 dt ∂x ∂y µ ¶ e e 1 ∂Cz 1 dz ∂Cx dCx p + − p − c 1 − v 2 /c2 dt ∂z ∂x c 1 − v 2 /c2 dt − = (2.101) 109 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Ã e = d −p 1 − v 2 /c2 dt = − ! m dx e p + Cx c 1 − v 2 /c2 dt dpx = − ṗx , dτ (2.105) e analogamente per y e z. In tutto ciò che precede si è attribuito a e il suo valore algebrico; specificando che si tratta di elettroni negativi e indicando ora con e il valore assoluto della carica, le equazioni (2.98) e (2.100) diventano mc2 pt = −p px = e dx m p − Cx c 1 − v 2 /c2 dt py = dy e p − Cy 2 2 dt c 1 − v /c pz = m dz e p − Cz ; 2 2 dt c 1 − v /c 1 − v 2 /c2 + eϕ = −W (2.106) m µ ¶2 ³ ´2 ³ ´2 W e e e − + ϕ + px + Cx + py + Cy c c c c ´2 ³ e 2 2 (2.107) + m c = 0. + pz + Cz c 110 Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.8 x 0 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Funzione di Fermi 7 ϕ(x) 1 0.936 0.882 0.793 0.721 0.660 0.607 0.561 0.521 0.486 0.453 0.424 −ϕ0 (x) 1.58 1.15 0.995 0.79 0.66 0.56 0.49 0.43 0.38 0.34 0.31 0.29 ϕ3/2 ϕ00 = √ , x x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 7 8 ϕ(x) 0.398 0.374 0.353 0.333 0.315 0.243 0.193 0.157 0.129 0.108 0.079 0.059 0.046 0.036 ϕ(0) = 1, ϕ(∞) = 0. x 9 10 12 14 16 18 20 25 30 40 50 60 80 100 ϕ(x) 0.029 0.024 0.017 0.012 0.009 0.007 0.0056 0.0034 0.0022 0.0011 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001 (2.108) 7 L’argomento di questo paragrafo è più comunemente noto come la funzione di Thomas-Fermi. L’Autore qui si riferisce a E. Fermi, Z. Phys. 48 (1928) 73. Come Majorana ottenga i valori numerici della funzione di Thomas-Fermi riportati nella tabella che segue non è chiaro; tuttavia essi risultano molto precisi. 111 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Posto:8 t = 1 − ϕ = exp 1 p 3 x ϕ 12 ½Z si trova: du dt u(0) = ϕ = ¾ u(t) dt µ ¶ 16 1 + 8+ u 3(1 − t) 3(1 − t) ¶ µ 2 7 − 4t u2 − t(1 − t) u3 + 3 3 ∞ ½Z t ¾ exp u(t) dt . = (2.109) (2.110) (2.111) (2.112) (2.113) 1 Se invece si pone9 t = 144−1/6 x1/2 ϕ1/6 (2.114) 8 L’Autore cerca una soluzione parametrica dell’equazione di Thomas-Fermi nella forma x = x(t), ϕ = ϕ(t), dove t è un parametro. A questo punto, esegue il cambio di variabili rappresentato dalle equazioni (2.109) e (2.110). Schematicamente, il metodo è allora il seguente: Si considerino x e ϕ come funzioni di t, date rispettivamente dalle equazioni (2.109) e (2.110) (in maniera implicita). Successivamente, si calcolino da esse le loro derivate prime e seconde rispetto a t, e si sostituiscano i risultati nell’equazione di Thomas-Fermi (2.108); si noti che questa equazione contiene derivate di ϕ rispetto a x. Il risultato è un’equazione differenziale del primo-ordine (del tipo di Abel) per la funzione incognita u(t), cioè la (2.111). Le condizioni ai limiti (2.108) sono infine prese in considerazione nelle equazioni (2.112) e (2.113). 9 Nel seguito di questo paragrafo vengono considerate solo le sostituzioni in (2.114) e (2.115). Si noti che il metodo usato qui dall’Autore è alquanto differente da quello precedente, sebbene sia molto simile. L’Autore considera la descrizione parametrica di x e ϕ: x = x(t), ϕ = ϕ(x(t)) (si noti che ora ϕ dipende da t solo tramite x). Quindi il problema viene riformulato in termini di t e u(t) usando le equazioni (2.114) e (2.115). La procedura adottata è la seguente: si calcola la derivata rispetto a t dell’equazione (2.115) [considerando ϕ = ϕ(x(t))] e si sostituisce in essa l’equazione di Thomas-Fermi 112 Volumetto 2: 23 aprile 1928 u = − p 3 16/3 ϕ−4/3 ϕ0 (2.115) vale la seguente relazione: du tu2 − 1 = 8 . dt 1 − t2 u (2.116) p Per x = 0, si ha: t = 0, u(0) = − 3 16/3 ϕ00 . Per x = ∞, dallo sviluppo asintotico di ϕ si trova u = 1, t = 1. Il tratto della u corrispondente alla ϕ è limitato fra i punti di ascissa t = 0 e t = 1. Questo tratto può essere ottenuto da uno sviluppo in serie sempre convergente a partire dall’estremo di destra. Precisamente posto t1 = 1−t, si ha:10 u = a0 + a1 t1 + a2 t21 + a3 t31 + . . . (2.117) (2.108). Allora dall’equazione (2.114) si ottiene x (e la sua derivata rispetto t), la quale viene sostituita nella relazione appena ottenuta. Il risultato è un’equazione differenziale del primo-ordine per u(t) (con le condizioni ai limiti riportate nel testo), che viene risolta mediante uno sviluppo in serie (vedi sotto). Una volta ottenuta u(t), l’Autore non deduce l’espressione per la funzione di Thomas-Fermi ϕ dalle equazioni (2.114) e (2.115), ma di nuovo cerca una soluzione parametrica del tipo x = x(t), ϕ = ϕ(t), ponendo ½Z ϕ(t) = exp ¾ w(t)dt , in cui w(t) è una funzione che può essere espressa in termini di u(t) sostituendo l’espressione di sopra per ϕ(t) nelle equazioni (2.114) e (2.115). Il risultato finale è espresso dalle equazioni (2.120) e (2.121), dove si tiene conto anche delle condizioni ai limiti. 10 Nel manoscritto originale gli esponenti della variabile t vengono dimenticati. 1 113 Volumetto 2: 23 aprile 1928 √ in cui a0 = 1, a1 = 9 − 73, e gli altri coefficienti si calcolano con la relazione ricorrente lineare nell’ultimo:11 m X 1 [(m − n + 1) am−n+1 (δn − (an − 2 an−1 + an−2 )) 2 n=0 + (n + 1) an+1 (δm−n − (am−n − 2 am−n−1 + am−n−2 )) +16 am−n an − 8 (am−n an−1 + an am−n − 1)] = 0. (2.118) I primi coefficienti valgono:12 a0 a2 a4 a6 a8 a10 ' ' ' ' ' ' 1.000000, 0.304455, 0.168212 (4), 0.101300, 0.0629230, 0.0396962. a1 a3 a5 a7 a9 ' ' ' ' ' 0.455996 (3), 0.222180 [796], 0.129804, 0.0796351, 0.0499053, Se nello sviluppo (2.117) si pone t1 = 1 si ricava per la (2.115): µ − ϕ00 = 3 16 ¶1/3 (1 + a1 + a2 + . . .) . (2.119) La serie di destra è a termini positivi e a convergenza geometrica; il rapporto di un termine e il precedente tende a circa 4/5. 11 L’Autore ha risolto per serie la (2.116); sostituendo (2.117) nella (2.116), si ottiene una relazione iterativa per i coefficienti a1 , a2 , a3 , . . . (il primo coefficiente a0 è dato dalla condizione al limite per x = 0). Usando questa procedura, si ottiene la relazione iterativa riportata nella (2.118). Stranamente, questa risulta diversa da quella riportata nel manoscritto originale, ossia: a1 (an − 2an−1 + an−2 ) + 2a2 (an−1 − 2an−2 + an−3 ) +3a3 (an−2 − 2an−3 + an−4 ) + . . . + nan (a1 − 2a0 ) +8(a0 an + a1 an−1 + . . . + an a0 ) −8(a0 an−1 + a1 an−2 + . . . + an−1 a0 ) = 0. Tuttavia, la restante discussione e i risultati presenti nel manoscritto sono tutti corretti; ciò potrebbe indicare che l’eventuale errore di scrittura sia stato causato semplicemente da una svista. Si noti pure che, come affermato dall’autore, le equazioni che determinano i coefficienti a2 , a3 , . . . sono lineari; mentre l’equazione √ per a1 è quadratica, e si deve scegliere la soluzione più piccola, cioè, a1 = 9− 73. 12 Nel manoscritto originale vengono riportati solo i primi cinque coefficienti. 114 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Dalla u si passa all’equazione parametrica della ϕ con sole quadrature. Si trova: ¾ ½ Z t 6ut ϕ = exp − dt (2.120) 2 0 1−t u µ ¶1/3 144 x = t2 . (2.121) ϕ Gli altri coefficienti dello sviluppo sono:13 a11 a13 a15 a17 a19 2.9 ' ' ' ' ' 0.0396962, 0.0202322, 0.0130101, 0.00840558, 0.00545216, a12 a14 a16 a18 a20 ' ' ' ' ' 0.0252838, 0.0162136, 0.0104518, 0.00676660, 0.00439678. Il potenziale infratomico senza statistica A una soluzione di prima approssimazione del problema della distribuzione degli elettroni negli atomi pesanti, si può giungere nel modo seguente: Si prescinda dalle inversioni del sistema periodico e si supponga che tutte le orbite siano circolari; allora si avranno per il principio di Pauli 2 elettroni in orbita circolare di quanto 1, 8 elettroni in orbita di quanto 2 . . . 2n2 elettroni in orbita di quanto n. Se Z è il numero atomico sarà: n X Z = 2n2 (2.122) 1 e limitandoci al caso limite di Z grandissimo, Z = 13 Nel 2 3 n . 3 (2.123) manoscritto originali mancano i valori numerici di tutti questi coefficienti. 115 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Il p-esimo elettrone si troverà in un’orbita di quanto p Q = 3 3p/2; (2.124) e poiché su esso agisce la carica efficace Z − p la sua distanza dal nucleo sarà: ~2 (3p/2)2/3 r = . (2.125) m e2 (Z − p) Ovvero se si pone: r 1 r ³ π ´2/3 x x1 = = ' , (2.126) µ1 2 µ 2 1.480 essendo14 ~2 (3/2)2/3 ' 6.93×10−9 Z −1/3 m e2 Z 1/3 (2.127) (3π)2/3 ~2 ' 4.7×10−9 Z −1/3 , 27/3 m e2 Z 1/3 (2.128) Ze ϕ1 , r (2.129) (1 − ϕ1 + xϕ01 )2/3 . ϕ1 − xϕ01 (2.130) µ1 = e come è noto: µ = e inoltre V1 = si ricava: x1 = Infatti, Se si pone Z −p = ϕ1 − x ϕ01 . Z (2.131) t = ϕ1 − x ϕ01 (2.132) 15 e quindi x1 = (1 − t)2/3 , t (2.133) 14 Il valore numerico riportato nel manoscritto originale è leggermente differente: 6.96×10−9 . Come già detto, qui vengono riscritte tutte le equazioni in termini della costante ridotta di Planck ~, invece di usare h. 15 Qui l’Autore ha applicato lo stesso metodo usato nella sezione precedente (un cambio di variabile) per trovare la funzione ϕ1 (una variante di quella di Thomas-Fermi). 116 Volumetto 2: 23 aprile 1928 si avrà, tenuto conto che ϕ1 (∞) = 0,16 Z ϕ1 = − x1 x1 ∞ t dx x2 (2.134) ed eseguendo l’integrazione: ϕ1 = i 9 h 3 t 1 − (1 − t)2/3 − + , 4t 2 4 (2.135) µ ¶2/3 (1 − t)2/3 2 , π t (2.136) che insieme con l’altra: x = 2 fornisce l’equazione parametrica della ϕ1 nelle unità introdotte da Fermi. È interessante il confronto con la ϕ di Fermi (vedi tabella).17 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 ϕ 1 0.883 0.793 0.722 0.660 0.607 0.562 0.521 0.486 0.453 0.424 0.243 ϕ1 1 0.883 0.793 0.721 0.660 0.608 0.564 0.525 0.491 0.462 0.435 0.276 Si deduce da tale confronto che il nostro metodo approssimativo dà per la densità degli elettroni in prossimità del nucleo un valore di circa un sesto 16 Infatti si noti che − d ϕ1 t ϕ1 ϕ0 . = − 2 + 1 = x2 x x dx x 17 Nel manoscritto originale mancano i valori numerici corrispondenti a x = 0.2, 0.4, 0.5, 0.7, 0.8, 0.9. Si noti che alcuni valori numerici per ϕ sono leggermente differenti da quelli riportati nella tabella del paragrafo precedente. 117 Volumetto 2: 23 aprile 1928 minore del vero e per il potenziale delle sole cariche negative in vicinanza del nucleo un valore minore del vero per circa il 4%. Ancora il potenziale che abbiamo determinato in via approssimativa è presso che esattamente utilizzabile per le serie K e L e con lieve errore anche con la serie M . Esso dà invece indicazioni errate per le regioni più esterne dell’atomo. La causa è duplice: si sono trascurate le inversioni del sistema periodico e si sono sostituite con orbite circolari le orbite allungate che nel caso di campi fortemente non coulombiani, quali si hanno nelle zone meno profonde, sono, a parità di quanti totali, essere più interne di quelle circolari. Sviluppo della ϕ e della ϕ1 : 2.10 ϕ = ϕ1 = 4 3/2 x + ..., 3 3/2 1 − 1.52 x + 1.11 x + .... 1 − 1.58 x + (2.137) (2.138) Applicazione del potenziale di Fermi In un atomo pesante, se si assume come unità di carica quella del nucleo e come unità di 1/µ essendo al solito µ = (3π)2/3 ~2 = 4.7×10−9 Z −1/3 , 27/3 m e2 Z 1/3 (2.139) il potenziale alla distanza x vale: V = ϕ x e il campo: (2.140) ϕ − xϕ0 (2.141) . x2 Ciò significa che oltre la distanza x esiste una carica negativa ϕ − xϕ0 . Vediamo ora come si possa calcolare statisticamente l’energia potenziale cinetica dell’atomo. Cominciamo prima a stabilire una relazione fra la tendenza iniziale della ϕ e l’energia totale; ciò servirà di verifica al calcolo E= 118 Volumetto 2: 23 aprile 1928 diretto dell’energia potenziale cinetica. Dall’espressione di µ, si ricava che l’energia dell’atomo è proporzionale alla potenza 7/3 del numero atomico: ² = K Z 7/3 . (2.142) Se dal numero atomico Z, passiamo al numero α = log Z il differenziale di energia sarà: 7 d² = ² dα. (2.143) 3 Possiamo immaginare di compiere tale passaggio aggiungendo al nucleo una carica positiva Ze dα e aumentando il numero degli elettroni di Z dα. Nelle nostre unità perché Ze = 1 basterà supporre di portare nel nucleo una carica dα, e di aggiungere all’esterno tanti elettroni da formare un’uguale carica negativa. Se si suppone come è verosimile che i numeri quantici degli elettroni preesistenti non vengano alterati18 (non basta a ciò il principio delle adiabatiche) e si bada che la variazione dell’energia per introduzione di nuovi elettroni nella regione più esterna è infinitesima del secondo ordine, la conservazione di energia si scriverà: d² = V00 dα, (2.144) in cui V00 è il potenziale del nucleo dovuto alle sole cariche elettroniche. Ora la densità lineare delle cariche negative alla distanza x è xϕ00 e quindi: Z ∞ 1 V00 = x ϕ00 dx = ϕ00 . (2.145) x 0 Dalle equazioni (2.143), (2.144), e (2.145) si deduce: ² = 3 0 ϕ0 . 7 (2.146) Il calcolo dell’energia potenziale è immediato; supposto di portare gli elettroni all’infinito con flusso costante da ogni punto e proporzionale alla densità iniziale, il potenziale alla distanza x varierà linearmente dal valore ϕ/x al valore 1/x. L’energia potenziale è quindi: Z ∞ Z 1+ϕ 1 ∞ 02 U = − (2.147) xϕ00 dx = ϕ00 + ϕ dx. 2x 2 0 0 18∗ Anche se questa ipotesi non fosse esatta, le conclusioni che abbiamo dedotto da essa sarebbero ancora valide perché, in ogni caso, le variazioni di energia sarebbero del secondo ordine. 119 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Se invece vogliamo considerare la somma dell’energia potenziale dei singoli elettroni avremo: Z ∞ Z ∞ ϕ U1 = − xϕ00 dx = ϕ00 + ϕ02 dx. (2.148) x 0 0 Meno semplice è il calcolo dell’energia cinetica; esso si fonda sul fatto che benché in un gas perfetto non si possa parlare di pressioni si può tuttavia considerare una fittizia omografia degli sforzi formalmente identica a quella dei fluidi ordinari. Poiché tale omografia deve avere un asse di simmetria secondo la direzione radiale dovremo limitarci a considerare una pressione radiale p0 ed una pressione trasversale p00 . Le equazioni della statica si riducono allora all’espressione: · ¸ ¡ ¢ dp0 ϕϕ00 4π x2 + 2x p0 − p00 = − + ϕ0 ϕ00 . (2.149) dx x Indicando con t0 l’energia cinetica dovuta alla velocità radiale e con t00 quella dovuta alla velocità trasversa, valgono le relazioni: p0 = 2T 0 (2.150) 00 = T 00 . (2.151) p Allora la (2.149), moltiplicandone i due membri per x/2, dà: µ 4π x3 dt0 + 2x2 t0 − x2 t00 dx ¶ = 1 (− ϕϕ00 + x ϕ0 ϕ00 ); 2 (2.152) moltiplicando per dx e integrando tra 0 e ∞, si ricava l’espressione dell’energia cinetica: Z ∞ Z ¡0 1 0 1 ∞ 02 00 ¢ T = 4π t + t dx = − ϕ0 − ϕ dx. (2.153) 2 4 0 0 Dalle equazioni (2.147) e (2.153) si deduce: ² T U = = 1 0 1 T + U = ϕ0 + 2 4 1 − . 2 120 Z ∞ ϕ02 dx (2.154) 0 (2.155) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Confrontando la (2.146) con la (2.154) si deduce:19 Z ∞ 2 ϕ02 dx = − ϕ00 . 7 0 (2.156) Le equazioni (2.147), (2.148), e (2.153) assumono quindi la forma semplicissima: U = U1 = T = T U T U1 = = 6 0 ϕ0 7 5 0 ϕ0 7 3 − ϕ00 7 1 − 2 3 − . 5 (2.157) (2.158) (2.159) (2.160) (2.161) La somma delle energie di tutti gli elettroni considerati separatamente, che indicheremo con ²1 = T + U1 , vale i 2/3 dell’energia totale dell’atomo: ² = 3 0 ϕ0 , 7 ² = 2 0 ϕ0 ; 7 (2.162) e passando dalle nostre unità convenzionali a quelle ordinarie ed esprimendo l’energia in unità di Rydberg (2.15×10−11 erg): ² = ²1 = 48 ϕ00 Z 7/3 ' − 1.53 Z 7/3 7 (6π)2/3 32 ϕ00 Z 7/3 ' − 1.02 Z 7/3 . 7 (6π)2/3 (2.163) (2.164) Il confronto di quest’ultima relazione con l’esperienza mostra che essa dà, in valore assoluto, valori un po’ superiori al vero. Ciò dipende dal fatto che la 19 Il manoscritto originale contiene, a questo punto, il seguente paragrafo: “Non ho potuto dimostrare direttamente questa relazione con metodo matematico. Comunque, ho direttamente verificato che è corretta entro un’approssimazione dell’1%. Le formole che seguono sono esatte se la (2.156) è esatta; altrimenti sono soltanto approssimate.” Questo paragrafo è stato successivamente cancellato, mentre appare la scritta “dimostrata”. 121 Volumetto 2: 23 aprile 1928 statistica dà in prossimità del nucleo una densità infinita, mentre in realtà per Z finito si ha una densità finita. Per gli elementi meno pesanti di cui si conoscono dati sperimentali, l’errore equivale circa al termine fondamentale di uno degli elettroni più profondi. Per gli elementi più pesanti l’errore relativo è notevolmente minore anche per effetto della correzione relativista che agisce in senso opposto. 2.11 Curva statistica dei termini fondamentali negli atomi neutri Assunte al solito come unità di lunghezza µ e come unità di carica quella del nucleo, il numero degli elettroni compresi fra la distanza x e x + dx dal nucleo vale: Z x ϕ00 dx, (2.165) e l’energia potenziale di uno di essi: U = − 1 ϕ . Z x (2.166) Degli elettroni (2.165) hanno un’energia cinetica T < −kU (k < 1), un numero: Z x ϕ00 k3/2 dx (2.167) Segue che gli elettroni il cui termine è minore di T sono: Z ∞ nT = µ ¶3/2 x 1 − y dx, ϕ Z x ϕ00 0 y = T Z (2.168) e posto: α = nT /Z: Z α ∞ = Z0 ∞ = µ x ϕ00 1 − x y ϕ ¶3/2 dx √ x (ϕ − x y)3/2 dx = F −1 (y) (2.169) 0 y = F (α). (2.170) 122 Volumetto 2: 23 aprile 1928 E poiché T = Zy è manifestamente il termine del (Zα)-esimo elettrone, si ricava l’espressione generale del termine dell’ennesimo elettrone, supposto di ordinare gli elettroni secondo i termini decrescenti: T = Z F (α), con α = n/Z; (2.171) e passando alle unità ordinarie, esprimendo cioè i termini in unità di Rydberg: 16 T = Z 4/3 F (α) = 2.2590 Z 4/3 F (α). (2.172) (6π)2/3 α 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 2.12 F (α) α 0.018 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.050 0.060 F (α) α 0.07 0.08 0.09 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 F (α) α 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 F (α) Quinte potenze 20 x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 x5 286.29 335.54 391.35 454.35 525.22 604.66 693.44 792.35 902.24 1024. x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 x5 1158.56 1306.91 1470.08 1649.16 1845.28 2059.63 2293.45 2548.04 2824.75 3125. x 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 x5 3450.25 3802.04 4181.95 4591.65 5032.84 5507.32 6016.92 6563.57 7149.24 7776. 20 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla quinta potenza con seconda cifra dispari, cosı̀ come quelli da 8.5 a 10.0. 123 Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.13 x 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0 x5 8445.96 9161.33 9924.36 10737.42 11602.91 12523.33 13501.25 14539.34 15640.31 16807. x 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 x5 18042.29 19349.18 20730.72 22190.07 23730.47 25355.25 27067.84 28871.74 30770.56 32768. x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 x5 34867.84 37073.98 39390.41 41821.19 44370.53 47042.70 49842.09 52773.19 55840.59 59049. x 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10. x5 62403.21 65908.15 69568.84 73390.40 77378.09 81537.27 85873.40 90392.08 95099.00 100000 Molecola biatomica a nuclei uguali Sia xy una sezione meridiana, x l’asse della molecola, y, la traccia dell’equatore. Siano ancora V1 e V2 i potenziali che sarebbero dovuti rispettivamente a ciascuno dei due atomi se fossero isolati. Posto il potenziale effettivo sotto la forma 2V1 V2 V = V1 + V2 − α (2.173) , V1 + V2 α deve obbedire all’equazione ∆2 V = V 3/2 , 124 (2.174) Volumetto 2: 23 aprile 1928 trascurando la costante di proporzionalità a causa di una conveniente scelta delle unità. Supposto per approssimazione che il valore di α dipenda solo dalla distanza dal centro della molecola e volendo che la Eq. (2.174) si soddisfatta sul piano equatoriale, si trae l’equazione differenziale V 3/2 = ∆2 V, (2.175) in cui: V = ∆2 V = (2 − α) V1 , µ ¶ 2V1 V2 α 2 ∆2 V1 − ∆2 V1 + V2 µ ¶ ∂V1 dα d2 α V1 −2 + − V1 . y ∂y dy dy 2 (2.176) (2.177) Le costanti si determinano in modo che α(0) sia finito e sia anche finito (e precisamente uguale a 1) il limite di α per y = ∞. L’ipotesi che α dipenda solo dalla distanza dal centro della molecola è però eccessivamente lontana dal vero. 2.14 Seste potenze 21 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2. x6 1.8 3. 4.8 7.5 11.4 16.8 24.1 34. 47. 64. x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3. x6 85.8 113.4 148. 191.1 244.1 308.9 387.4 481.9 594.8 729. x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4. x6 887.5 1073.7 1291.5 1544.8 1838.3 2176.8 2565.7 3010.9 3518.7 4096. 21 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla sesta potenza con seconda cifra dispari, cosı̀ come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0. 125 Volumetto 2: 23 aprile 1928 x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5. x 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8. x6 4750.1 5489. 6321.4 7256.3 8303.8 9474.3 10779.2 12230.6 13841.3 15625. x 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6. x6 17596.3 19770.6 22164.4 24794.9 27680.6 30841. 34296.4 38068.7 42180.5 46656. x6 128100.3 139314.1 151334.2 164206.5 177978.5 192699.9 208422.4 225199.6 243087.5 262144. x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9. x6 282429.5 304006.7 326940.4 351298. 377149.5 404567.2 433626.2 464404.1 496981.3 531441. 126 x 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7. x 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10. x6 51520.4 56800.2 62523.5 68719.5 75418.9 82654. 90458.4 98867.5 107918.2 117649. x6 567869.3 606355. 646990.2 689869.8 735091.9 782757.8 832972. 885842.4 941480.1 1000000 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Settime potenze 22 2.15 x7 1.9 3.6 6.3 10.5 17.1 26.8 41. 61.2 89.4 128. x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3. x7 180.1 249.4 340.5 458.6 610.4 803.2 1046. 1349.3 1725. 2187. x7 19475.4 23053.9 27181.9 31927.8 37366.9 43581.8 50662.3 58706.8 67822.3 78125. x 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6. x7 89741.1 102807.2 117471.1 133892.5 152243.5 172709.5 195489.7 220798.4 248865.1 279936. x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2. x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5. x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4. x 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7. x7 2751.3 3436. 4261.8 5252.3 6433.9 7836.4 9493.2 11441.6 13723.1 16384. x7 314274.3 352161.5 393898.1 439804.7 490222.8 545516.1 606071.2 672298.9 744635.3 823543. 22 Nel manoscritto originale mancano i numeri alla settima potenza con seconda cifra dispari, cosı̀ come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0. 127 Volumetto 2: 23 aprile 1928 x 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8. 2.16 x7 909512. 1003061.3 1104739.9 1215128. 1334838.9 1464519.5 1604852.3 1756556.9 1920390.9 2097152. x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9. x7 2287679.2 2492854.7 2713605.1 2950903.5 3205770.9 3479278.2 3772547.9 4086756. 4423133.5 4782969. x 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10. x7 5167610.2 5578466. 6017008.7 6484775.9 6983373. 7514474.8 8079828.4 8681255.3 9320653.5 10000000 Potenziale nell’atomo in seconda approssimazione Dalla relazione statistica fra potenziale efficace e densità23 ρ = K (V − C)3/2 (2.178) dall’equazione di Poisson a cui obbedisce il potenziale locale: : ∆22 V0 = − 4π ρ, (2.179) e dalla relazione approssimativamente verificata, nel caso dell’atomo Z ionizzato n volte: Z −n−1 ∆2 V = grad 2 V0 (2.180) Z −n si deduce eliminando la (2.179): ∆2 V = − 4π ρ Z −n−1 Z −n (2.181) e il potenziale nell’interno dello ione: V = 23 Qui Ze ϕ r µ ¶ r + C, µ C è una costante di integrazione; vedi nel seguito. 128 (2.182) Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo: µ 2.17 µ = ϕ00 = − x0 ϕ0 (x0 ) = C = 0.47 Z −1/3 Z −n Z −n−1 ¶2/3 o A ϕ3/2 √ , ϕ(0) = 1 x n+1 , ϕ(x0 ) = 0 2 (n + 1)e . µx0 (2.183) (2.184) (2.185) (2.186) Polarizzabilità dell’atomo Il potenziale all’interno di un atomo in prima approssimazione o in seconda (come mostrato nella sezione precedente) soddisfa a un’equazione del tipo: ∆2 V = K (V − C)3/2 . (2.187) Poniamo l’atomo in un campo debole E. A causa della dipendenza reciproca tra le variazioni delle grandezze atomiche e il campo,24 finché questo è debole, si deduce: δV = − f (r) E r cos(r·E) (2.188) δC = 0. (2.189) Supponiamo il campo −E diretto secondo l’asse x. Avremo: V1 2 grad V1 (V1 − C) = 3/2 = (V1 − C) = = V + E x f (r) ³ ´ x grad V + E xf 00 (r) + 3 f 0 (r) r 2 (2.190) (2.191) (V − C) + E x f (r) (2.192) 3 3/2 1/2 (V − C) + (V − C) E x f (r) + . . . (2.193) 2 24 Il manoscritto originale è alterato, per cui la nostra interpretazione è solo plausibile. 129 Volumetto 2: 23 aprile 1928 1 0 f (r) r = r3/2 f 00 (r) + 3 r1/2 f 0 (r) = f 00 (r) + 3 3 K (V − C)1/2 f (r) (2.194) 2 3 K (V − C)1/2 r3/2 f (r) (2.195) 2 posto: y = y 00 = y r3/2 f (r), f (r) = 3/2 r µ ¶ √ 3 1 K V −C + y 2 2r2 (2.196) (2.197) e la (2.190) diventa: x y E. (2.198) r3/2 La condizione che sia finito f (0) permette di ottenere f o y a meno di un fattore costante. Questo si determina esprimendo che il valore medio di −∂V /∂x sulla superficie dello ione è uguale a −E, cioè, al campo esterno. Tale condizione si scrive: 1 f (r0 ) + r0 f 0 (r0 ) = 1. (2.199) 3 Il momento elettrico dello ione vale: V1 = V + M = E r03 (1 − f (r0 )) . 2.18 Sviluppi e integrali di Fourier (1) Per x > 0, abbiamo e−kx Z ∞ = Z 0 ∞ = Z0 ∞ = Z −∞ ∞ = −∞ 4k cos(2πνx) dν k2 + 4πν 2 8πν sin(2πνx) dν k2 + 4πν 2 2k e2πνix dν k2 + 4πν 2 1 8πν e2πνix dν; 2i k2 + 4πν 2 130 (2.200) Volumetto 2: 23 aprile 1928 invece, per x < 0, i quattro integrali valgono rispettivamente: e+kx , −e+kx , e+kx , −e+kx . Ancora, per x > −α: e−kx = ekα = kα e Z ∞ Z −∞ ∞ −∞ 2k e2πνi(x+α) dν k2 + 4πν 2 1 8πν e2πνi(x+α) dν, 2i k2 + 4πν 2 etc. facendo tendere α → ∞ si ricaccia sempre più indietro la discontinuità nel punto x = −α. (2) Abbiamo: r 2 e−kx 2 e−x = = = 2 π k Z Z ∞ e−π 2 2 ν /k cos(2πνx) dν 0 ∞ √ 2 2 π e−π ν cos(2πνx) dν 0 Z ∞ 2 1 √ e−w /4 cos(wx) dw. π 0 2 (3) Abbiamo: 1 π Z ∞ −∞ 1 π Z ∞ = µ −∞ ½ = 1 π sin[2π(ν − ν0 )a] 2πνix e dν = ν − ν0 Z e2πν0 ix , x2 < a2 0, x2 > a2 sin[2π(ν − ν0 )a] sin[2π(ν + ν0 )a] + ν − ν0 ν + ν0 ¶ cos(2πνx) dν cos(2πν0 x), x2 < a2 0, x2 > a2 ∞ −∞ ½ ½ µ sin[2π(ν − ν0 )a] sin[2π(ν + ν0 )a] − ν − ν0 ν + ν0 sin(2πν0 x), x2 < a2 0, x2 > a2 131 ¶ sin(2πνx) dν Volumetto 2: 23 aprile 1928 Se a = k/2ν0 , essendo k intero, gli integrali diventano Z ∞ 1 sin(kπν/ν0 ) 2πνix (−1)k e dν π −∞ ν − ν0 Z ∞ 1 2ν0 sin(kπν/ν0 ) (−1)k cos(2πνx) dν π −∞ ν 2 − ν02 Z ∞ 2ν0 sin(kπν/ν0 ) 1 (−1)k sin(2πνx) dν. π −∞ ν 2 − ν02 2.19 Corpo nero Sia E l’energia emessa per cm2 e per unità di tempo, e Eν e Eλ la stessa energia per unità di frequenza o di lunghezza d’onda. Si ha25 Z ∞ Z ∞ E(T ) = (2.201) Eν (ν, T ) dν = Eλ (λ, T ) dλ 0 Eν = Eλ = 0 2πhν 3 1 c2 ehν/kT − 1 2πc2 h 1 , λ5 ehc/λkT − 1 (2.202) (2.203) dove Eλ = Eν = c Eν λ2 c Eλ . ν2 (2.204) (2.205) Allora26 (si veda la (1.360)): Z ∞ 2πhν 3 dν E(T ) = 2 hν/kT − 1 c e 0 25 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla in termini di ~. 26 Il valore numerico riportato nel manoscritto originale è leggermente differente (5.55) da quello qui riportato (5.67). 132 Volumetto 2: 23 aprile 1928 = 2πk 4 T 4 c2 h3 ' ∞ 0 4 1 ehν/kT − 1 µ hν kT ¶3 µ d hν kT ¶ π 2 π5 4 4 = k T 15 15 c2 h3 erg W 5.67 × 10−5 T 4 = 5.67 × 10−12 T 4 . cm2 s cm2 4 = Z 2πk T c2 h3 4 (2.206) Energia per unità di volume: E0 = 4 8 π5 4 4 E = k T . c 15 c3 h3 (2.207) Pressione di radiazione (nel caso di equilibrio termico con l’ambiente; se il corpo non si trova circondato da altri corpi neri allo zero assoluto o in generale in uno spazio libero da altre radiazioni, dividere per 2)27 p = 2.20 1 0 4 E 8 π5 4 4 erg E = = k T ' 2.52 × 10−15 T 4 . 3 3 c 45 c3 h3 cm3 (2.208) Teoria dell’irraggiamento In uno spazio Ω chiuso da pareti riflettenti la radiazione esistente si può scomporre secondo le frequenze caratteristiche. Il numero di tali frequenze comprese fra ν e ν + dν è, tenendo conto che la radiazione di una determinata frequenza si può decomporre in due componenti polarizzate rettilinearmente 8πν 2 dN = Ω 3 dν. (2.209) c Ciò significa che la densità delle onde nello spazio (volumi × frequenze orientate) vale 2/c3 . Considerando un’onda stazionaria come rappresentante un possibile stato stazionario di un quanto di luce, si ha indicando con E 27 Il valore numerico riportato nel manoscritto originale (2.47) è leggermente differente da quello qui riportato (2.52). 133 Volumetto 2: 23 aprile 1928 l’energia del quanto, di modo che E = hν: dN = Ω 28 8πE 2 dE. c3 h3 (2.210) D’altra parte, se α1 , α2 , α3 sono i coseni di direzione della traiettoria del quanto, si ha: px = E cos α1 , c py = E cos α2 , c pz = E cos α3 , c (2.211) e quindi: q 8πΩ 2 (px + p2y + p2z ) d p2x + p2y + p2z , (2.212) h3 cioè la densità degli stati stazionari nello spazio delle fasi è, per il gas di quanti di luce 2/h3 , esattamente come per un gas di elettroni. L’analogia non va più oltre perché il primo obbedisce alla statistica di Einstein, il secondo a quella di Fermi. Sia: dN = C = C0 sin (2πνt − α) A (2.213) in cui A è un vettore unitario, C0 una funzione del posto, e α una costante, il potenziale vettore relativo a una particolare frequenza. Avremo C = u A, con u = C0 sin (2πνt − α) , (2.214) Indicheremo con u e C0 i valori quadratici medi di tali grandezza nel volume Ω. Avremo: u = C 0 sin (2πνt − α) . (2.215) L’energia totale del campo elettrico al tempo t è: We = Ω 4π 2 ν 2 2 Ω u02 C 0 cos2 (2πνt − α) = , 2 8π c 8π c2 (2.216) e quindi l’energia magnetica: Wm = Ω 4π 2 ν 2 2 Ω 4π 2 ν 2 2 2 C sin (2πνt − α) = u . 0 8π c2 8π c2 (2.217) 28 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla in termini di ~. 134 Volumetto 2: 23 aprile 1928 L’energia totale diventa: W = ¢ Ω ¡ 2 2 2 4π ν u + u02 . 2 8πc Poniamo: r q = u Ω u = 4πc2 2c si ricava: W = π2 ν 2 q2 + e ponendo: p = r Ω ; π 1 2 q̇ 2 ∂W = q̇, ∂q (2.218) (2.219) (2.220) (2.221) troviamo ¢ 1 ¡ 2 (2.222) p + 4π 2 ν 2 q 2 . 2 che può considerarsi come l’Hamiltoniana del sistema. Ponendo: ¢ 1 ¡ 2 Hs = ps + 4π 2 ν 2 qs2 , 2 in cui l’indice s = 1, 2, 3, . . . numera tutte le possibili onde stazionarie, e H0 = W0 essendo la Hamiltoniana di un atomo posto entro Ω, la Hamiltoniana complessiva trascurando l’interazione sarà: W = H = ∞ X Hs = W. (2.223) s=0 Possiamo invece intendere che in H0 sia compresa l’interazione; per evitare confusione poniamo: H00 = H0 + interazione. La forma da dare a H00 in prima approssimazione, e quando si consideri un solo elettrone luminoso, si deduce dall’Hamiltoniana relativistica dell’elettrone29 (si veda il paragrafo 2.6): W0 = −e ϕ + 1 2 e e pi + pi Ci = H0 + pi Ci . 2m mc mc (2.224) È indifferente porre pi Ci o Ci pi perché: pi Ci − Ci pi = (h/2πi)div C = 0, essendo ϕ (potenziale interno all’atomo) costante e quindi div C = − 29 Ovviamente, 1 ∂ϕ = 0. c ∂t l’Autore ha assunto qui H00 = W0 . 135 Volumetto 2: 23 aprile 1928 L’Hamiltoniana totale, tenuto conto dell’interazione, diventa: W = ∞ X Hs + s=0 ∞ X e pi Ci . mc i=1 (2.225) Supponiamo che all’origine dei tempi lo spazio Ω sia libero da radiazione; l’elettrone descriverà, classicamente, un movimento smorzato. Possiamo ritenere in prima approssimazione che il suo movimento sia periodico; formalmente basta introdurre nell’Hamiltoniana dei piccoli termini correttivi dipendenti solo dal tempo e dalle p e q dell’elettrone. Scomponiamo in armoniche il suo movimento e consideriamone una, diretta secondo l’asse x. Nello sviluppo di px , di frequenza ν0 , comparirà un termine: p0x = p0 sin (2π ν0 t + β) . (2.226) Tralasciando le altre armoniche e fissando l’attenzione sull’oscillatore elettromagnetico s, l’Hamiltoniana si può scrivere: ¢ 1 ¡ 2 e Cxs p0x W = ps + 4π 2 νs2 qs2 + 2 mc + termini indipendenti da qs e ps . (2.227) Cxs è la componente del potenziale vettore secondo potenziale!vettore x, e sarà in un determinato punto dello spazio proporzionale a qs . Poniamo: Csx = bxs qs . (2.228) In generale, bs è funzione del posto. Ritenendo che le oscillazioni dell’elettrone siano di piccola ampiezza rispetto alle lunghezze d’onda emesse, si può supporre bs costante e uguale al valore che essa assume nel centro dell’atomo. Il valore medio del suo quadrato vale statisticamente, cioè quando se ne prenda la media per molte frequenze vicine:30 bx2 = s 1 u2s 4 πc2 = . 2 3 qs 3 Ω (2.229) Sostituendo nella (2.227) le equazioni (2.228) e (2.226): ¢ 1 ¡ 2 e s W = ps + 4π 2 νs2 qs2 + bx p0 sin (2πν0 t + β) qs 2 mc + terminiindipendenti da qs e ps . (2.230) 30 La seguente formula è ottenuta mediando il quadrato della (2.228) e usando le equazioni (2.215) e (2.219). Si noti che nel manoscritto originale manca l’esponente 2 della us . 136 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Si deduce: q̇s ṗs = = ps (2.231) − 4π 2 νs2 e s qs − bx p0 sin (2πν0 t + β) mc e s bx p0 sin (2πν0 t + β) , q̈s + 4π 2 νs2 qs = − mc il cui integrale generale è: qs = As sin 2πνs t + Bs cos 2πνs t e bsx p0 sin (2πν0 t + β) . − mc 4π 2 (νs2 − ν02 ) (2.232) (2.233) (2.234) Supponiamo per semplicità β = 0 e imponiamo la condizione che all’origine dei tempi non esistano radiazioni: qs (0) = q̇s (0) = 0. (2.235) Ciò equivale a contare i tempi dall’istante −β/2πν0 e a supporre che in tale istante lo spazio Ω sia vuoto. Ponendo t1 = t + (β/2πν0 ) e scrivendo nuovamente t al posto di t1 la (2.234) diviene: qs = As sin 2πνs t + Bs cos 2πνs t e bsx p0 sin 2πν0 t − , mc 4π 2 (νs2 − ν02 ) (2.236) ed è rispetto alla nuova variabile indipendente che devono essere soddisfatte le (2.235). Si deduce Bs = qs = = = ν0 e bsx p0 , (2.237) 2 νs mc 4π (νs2 − ν02 ) µ ¶ e bsx p0 sin 2πν0 t ν0 sin 2πν t − sin 2πν t s 0 2 mc 4π 2 (νs2 − ν0 ) νs µ s e bx p0 sin 2πν0 t sin 2πνs t − sin 2πν0 t mc 4π 2 (νs2 − ν02 ) ¶ νs − ν0 sin 2πνs t − νs e bsx p0 sin 2πν0 t ³ νs − ν0 νs + ν0 t sin 2π t 2 cos 2π mc 4π 2 (νs2 − ν02 ) 2 2 ¶ νs − ν0 (2.238) − sin 2πνs t . νs 0, As = 137 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Se Ws indica l’energia accumulata al tempo t nell’oscillatore s l’energia totale accumulata sarà: Z νs =M Z M X 8π Ws = Ws dN = 3 Ws ν 2 Ω dνs . (2.239) c ν =0 0 s s L’integrale va esteso fino a un limite arbitrario ma finito perché nel dedurre le formole precedenti abbiamo ammesso a priori che le lunghezze d’onda eccitate siano di grande lunghezza d’onda rispetto all’ampiezza dell’oscillazione dell’elettrone; è quindiPda escludere che le frequenze possano superare qualunque limite. Ora s Ws tende a crescere linearmente col tempo e quindi a superare qualunque limite; d’altra parte ogni Ws ha un massimo come si deduce dalla (2.238), ciò che non è in contraddizione con quanto si è detto, perché se nell’integrale nella (2.239) si sostituiscono alle Ws i loro valori massimi, l’integrale diviene divergente; rimane invece convergente se dal campo di integrazione si toglie un piccolo intervallo contenente ν0 . Segue che dopo un tempo abbastanza lungo la massima parte della radiazione emessa sarà concentrata in un intervallo di frequenze contenenti ν0 piccolo quanto si vuole. Le frequenze νs che interessano differiscono dunque poco da ν0 , cosı̀ che nella (2.238) sostituiremo a (νs + ν0 )/2, ν0 . 31 Avremo: qs = e b2s p0 mc 8π 2 ν0 (νs − ν0 ) · ¸ νs − ν0 × 2 sin π(νs − ν0 )t cos 2πν0 t − sin 2πν0 t . (2.245) ν0 L’ultimo termine è trascurabile poiché, come si vedrà, fissato t grande, il campo di frequenze in cui la radiazione ha un valore sensibile è dell’ordine di 1/t e quindi il primo termine in parentesi è dell’ordine dell’unità in generale, mentre il secondo è piccolo quanto si vuole allorché t tende all’infinito. Segue al limite: qs = e bxs p0 sin π(νs − ν0 )t cos 2πν0 t mc 4π 2 ν0 νs − ν0 (2.246) 31 Il manoscritto originale continua come segue: “Possiamo anche sostituire sin 2π(νs − ν0 )/2 con 2π(νs − ν0 )/2. Avremo µ ¶ e bs p0 νs − ν0 qs = 2π(νs − ν0 )t cos 2πν0 t − sin 2πν0 . 2 2 2 mc 4π (νs − ν0 ) ν0 (2.240) 138 Volumetto 2: 23 aprile 1928 ps = Ws = = X Ws = = = = e bxs p0 sin π(νs − ν0 )t sin 2πν0 t (2.247) mc 4π 2 ν0 νs − ν0 ¡ ¢ 1 2 ps + 4π 2 νs2 qs2 2 bx2 p2 sin2 π(νs − ν0 )t e2 , (2.248) 2π 2 ν02 2 2 s 4 02 m c 16π ν0 (νs − ν0 )2 Z e2 bx2 p2 sin2 π(νs − ν0 )t 8πν02 2π 2 ν02 2 2 s 4 02 Ω dνs m c 16π ν0 (νs − ν0 )2 c3 Z Ω e2 ν02 2 x2 sin2 π(νs − ν0 )2 p b dνs 0 s πc3 m2 c2 (νs − ν0 )2 − 2πν0 Ω e2 ν02 2 4 πc2 2 π t p0 πc3 m2 c2 3 Ω 4 e2 ν02 2 2 π p0 t. 3 m 2 c3 (2.249) Per il moto dell’elettrone abbiamo: px = ẋ m, (2.250) 2 p2x = m ẍ2 4π 2 ν02 (2.251) Possiamo supporre ν0 t grande, cioè considerare un tempo lungo rispetto al periodo dell’oscillazione; allora il secondo termine nella parentesi di destra è trascurabile e otteniamo: qs = ps = e bs p0 t cos 2πν0 t mc 2π(νs − ν0 ) µ ¶ e bs p0 t cos 2πν0 t − 2πν0 sin 2πν0 t + . mc 2π(νs − ν0 ) t (2.241) (2.242) Trascurando l’ultimo termine nell’espressione di ps per t grande, ps = − 2πν0 e bs p0 t sin 2πν0 t; mc 2π(νs − ν0 ) (2.243) e quindi Ws = ¢ e2 1 ¡ 2 b2s p20 t2 p + 4π 2 νs2 qs2 = 2π 2 νs2 2 2 . 2 s m c 4π 2 (νs2 − ν02 ) (2.244) Comunque, le espressioni precedenti non valgono quando la quantità (νs − ν0 )t è grande, poiché si è sostituito sin π(νs − ν0 )t con π(νs − ν0 )t.” Tuttavia, questa parte è stata cancellata dall’Autore. 139 Volumetto 2: 23 aprile 1928 p20 e quindi: = X 2 p2x = m2 ẍ2 2π 2 ν02 2 e2 ẍ2 t 3 c3 e l’energia irradiata nell’unità di tempo: E = Ws = X Ẇs = 2 e2 ẍ2 , 3 c3 (2.252) (2.253) (2.254) in accordo con la formola di Balmer. . 2.21 Momento di inerzia della Terra Se m è la massa della terra, misurata in tali unità che il coefficiente della formola di Newton risulti uguale a 1, Ip il momento di inerzia polare, Ie quello equatoriale, il potenziale della forza di gravità in un punto esterno distante R dal centro O della terra, e tale che il raggio vettore R formi un angolo θ con l’equatore, vale (si veda il paragrafo 1.7): µ ¶ m 1 3 V = (2.255) + 3 I0 − Iθ , R R 2 dove I0 è il momento centrale di inerzia e Iθ il momento di inerzia rispetto ad un asse che forma un angolo θ con l’equatore. Poiché: I0 = Iθ = 1 3 1 Ip = Ie + (Ip − Ie ) , (2.256) 2 2 2 Ie cos2 θ + Ip sin2 θ = Ie + (Ip − Ie ) sin2 θ, (2.257) Ie + segue: V = 1 m + 3 (Ip − Ie ) R R µ ¶ 1 3 − sin2 θ . 2 2 (2.258) Per calcolare Ip e Ie esprimiamo che il potenziale sulla superficie terrestre, tenendo conto della forza centrifuga, è lo stesso al polo e all’equatore. Se 140 Volumetto 2: 23 aprile 1928 re e rp sono il raggio equatoriale e polare il potenziale all’equatore e al polo vale rispettivamente in prima approssimazione: Ve = Vp = m 1 Ip − I e β m + + re 2 r3 2 r m Ip − Ie − rp r3 (2.259) (2.260) in cui r che figura nei termini correttivi è il raggio medio della terra che si è sostituito a re , rp o a valori prossimi a questi, poiché per la prima approssimazione è indifferente. Uguagliando Ve e Vp e ponendo ancora approssimativamente: 1 s 1 − = , (2.261) rp re r dove s è lo schiacciamento della terra, si trae: µ ¶ m β 3 Ip − I e s− = (2.262) r 2 2 r3 µ ¶ 2 β Ip − Ie = s − mr2 , (2.263) 3 2 e ponendo s = 1/297 e β = 1/289 si trova: Ip − Ie = 1 mr2 ; 916 sostituendo nella (2.258) si ricava: · µ ¶¸ m 1 1 1 3 2 2 V = + 3 mr − sin θ . R R 916 2 2 Su un corpo celeste di massa M il potenziale della forza sarà: · µ ¶¸ Mm M 1 1 3 F =MV = + 3 mr2 − sin2 θ . R R 916 2 2 (2.264) (2.265) (2.266) Esisterà allora una componente della forza normale al raggio vettore di intensità: 3 M mr2 F = − sin θ cos θ, (2.267) 916 R4 e la terra sarà sottoposta a una coppia raddrizzante: C = 3 M mr 2 sin θ cos θ. 916 R3 141 (2.268) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Questa coppia tende a spostare l’asse terrestre sul meridiano celeste in cui si trova l’astro perturbante. Se questo è il sole, tenderà ad avvicinare, nei solstizi, l’asse terrestre al polo dell’eclittica. In altri periodi dell’anno il meridiano in cui è contenuta la coppia farà invece un certo angolo con il meridiano normale all’eclittica. Detto ² tale angolo fra meridiano in cui è contenuto l’astro e meridiano normale all’eclittica, e detti α e β rispettivamente l’inclinazione dell’asse terrestre e l’arco di eclittica percorso dal sole dopo l’equinozio di primavera, avremo: ² = 90 + ϕ, (2.269) dove ϕ è la longitudine misurata come si usa a partire dal meridiano normale a quello che contiene il polo dell’eclittica, dal meridiano cioè in cui si trova il sole all’equinozio, e: tan ϕ = tan β cos α. (2.270) Assimilando la terra a un giroscopio, il suo asse si sposta approssimativamente in ogni istante normalmente al meridiano che contiene l’astro, con una velocità angolare: : η = C , Ip ω (2.271) essendo ω la velocità angolare della terra. La componente normale al meridiano che contiene il polo dell’eclittica vale: η1 = η2 = C C C tan β cos α p cos ² = − sin ϕ = (2.272) Ip ω Ip ω Ip ω 1 + tan2 β cos2 α C C C 1 p . (2.273) sin ² = cos ϕ = Ip ω Ip ω Ip ω 1 + tan2 β cos2 α Sostituendo a C la sua espressione (2.268) e ricordando che: sin θ = sin α sin β, troviamo p 3 M mr2 tan β sin β 1 − sin2 α sin2 β p η1 = sin α cos α (2.274) 916 R3 Ip ω 1 + tan2 β cos2 α p 3 M mr2 sin β 1 − sin2 α sin2 β p η2 = sin α . (2.275) 916 R3 Ip ω 1 + tan2 β cos2 α 142 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Se si trascura l’eccentricità dell’orbita il valore di η2 è nullo, perché scambiando β in −β, η2 cambia segno. Considerando α infinitamente piccolo le formole precedenti diventano: ϕ = β (2.276) θ = α sin β (2.277) η = 3 M mr2 α sin β 916 R3 Ip ω (2.278) η1 = 3 M mr2 α sin2 β 916 R3 Ip ω (2.279) η2 = 3 M mr2 α sin β cos β. 916 R3 Ip ω (2.280) Ritenendo l’orbita circolare, il valore medio di η1 e η2 è η1 = η2 = 1 3 M mr2 α 2 916 R3 Ip ω 0. (2.281) (2.282) L’asse terrestre ruota intorno all’asse dell’eclittica con velocità angolare n = η 1 / sin α ovvero, poiché si suppone α piccolo: n = η1 1 3 M mr 2 3 M Ip − Ie = = . α 2 916 R3 Ip ω 2 R3 ω Ip Aggiungendo l’effetto della luna e trascurando la nutazione: µ ¶ 3 Ip − Ie M M0 n = + 2 Ip R3 ω R03 ω da cui Ip 3 (Ip − Ie ) = 2 µ M0 M + 03 3 R R ¶ (2.283) (2.284) 1 1 . n ω (2.285) ω = 366. (2.286) Misurando il tempo in anni/2π: M = 1, R3 M0 =∼ 2.25, R03 1 =∼ 25800, n Segue: Ip ' 344 (Ip − Ie ) 143 (2.287) Volumetto 2: 23 aprile 1928 e, poiché, come si è visto, Ip − Ie = mr2 /916: Ip = 344 m r 2 = 0.375 m r2 , 916 (2.288) valore troppo alto, in quanto Ip /(Ip − Ie ) = 305. 2.22 Teoria dell’irraggiamento Riprendiamo l’Hamiltoniana ¶ ∞ ∞ µ X X e ~ ∂q 1 2 · = H0 + ps + 2π 2 νs2 qs2 + p × ·bs qs , i ∂r 2 mc s=1 s=1 (2.289) Essendo bs un vettore32 funzione del posto e tale che il valore medio |bs |2 = 4πc2 . Ω (2.290) Indicando con ψn l’autofunzione relativa allo stato stazionario ennesimo dell’atomo imperturbato, con ψsrs quella relativa allo stato erresimo dell’oscillatore s imperturbato, l’autofunzione relativa all’intero sistema sarà, trascurando l’interazione: X ψ = an,r1 ,r2 ,r3 ,r4 ,...ri ... ψn ψ1r1 ψ2r2 . . . ψrri . . . , (2.291) n,r1 ,r2 ,... con le a costanti. A causa dell’interazione le a saranno funzioni del tempo, e obbediranno alle equazioni differenziali: X ~ ȧn,r1 ,r2 ,... = an0 ,r10 ,r20 ,... An,r1 ,r2 ,...,n0 ,r10 ,r20 ,... , i (2.292) 32 Si noti che qui l’Autore sta considerando una sorta di generalizzazione di ciò che è stato fatto nel paragrafo 2.19. Il potenziale vettore è scritto come C = bq, trattando q come una quantità scalare (in un certo senso). 144 Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo A la matrice dell’interazione. Si ricava immediatamente che possono essere diversi da zero solo quei termini che corrispondono alla variazione dello stato dell’atomo e alla variazione di un’unità del numero quantico di uno degli oscillatori. Per rs0 = rs ±1 avremo: = An,r1 ,r2 ,...rs ...,n0 ,r1 ,r2 ,...rs0 ... ¡ e x y y z z ¢ 0 + bs η 2πi (νn − νn0 ) bxs ηnn nn0 + bs ηnn0 c r ~(rs + 1/2 ± 1/2) × exp {2πi(νn − νn0 ±νs )t}, 4πνs (2.293) essendo ηx , ηy , ηz le matrici di polarizzazione secondo x, y, z dell’atomo imperturbato; νn i termini dell’atomo, cioè νn = En /h, ed essendosi inoltre supposto bs costante. Supponiamo inizialmente l’atomo nello stato n, e gli oscillatori a livello zero. Basterà supporre tutte lea nulle ad eccezione di: an,0,0,0,... = 1. (2.294) Per un tempo abbastanza breve avremo: i An0 ,0,...,0,1,0,...,n,0,...,0,... ~ r e 2π ~ νnn0 bs ·η nn0 exp {2πi(νnn0 − νs )t}, (2.295) = − c ~ 4πνs ȧn0 ,0,...,0,1,0,... = essendosi posto νnn0 = νn0 − νn . E quindi: r e i ~ e2πi(νnn0 −νs )t − 1 an0 ,0,...,0,1,0,... = νnn0 bs ·η nn0 , c ~ 4πνs νnn0 − νs (2.296) cosicché: |an0 ,0,...,0,1,0,... | 2 r = e2 1 2 ν 0 |bs ·η nn0 |2 c2 ~2 nn = 2 e2 νnn sin2 π(νnn0 − νs )t 0 . |bs ·η nn0 |2 2 c π~νs (νnn0 − νs )2 ~ 4 sin2 π(νnn0 − νs )t 4πνs (νnn0 − νs )2 (2.297) Poiché il valore medio di |bs ·η nn0 |2 è |bs ·η nn0 |2 = 145 4 πc2 2 |η| 3 Ω (2.298) Volumetto 2: 23 aprile 1928 e il valore di νs è prossimo a νnn0 , la probabilità di trovare l’atomo nello stato n0 sarà Z 2 2 8πνnn 4 e2 πc2 2 1 0 Ω sin π(νnn0 − νs )t 0 P = |η| ν dνs nn 3 c2 Ω π~ c3 (νnn0 − νs )2 = 3 64 2π 5 e2 |η|2 νnn 0 t, 3 3 ~ c (2.299) e la mortalità dovuta al passaggio n → n0 è:33 3 2 4 2 dP 64π 4 e2 νnn 16π 4 e2 νnn 1 0 |η| 0 |2η| . = = dt 3hc3 3c3 hνnn0 2.23 (2.300) Sulle matrici Una grandezza fisica A si può misurare con un operatore lineare che trasforma vettori in vettori, in uno spazio a infinite dimensioni. Immaginiamo di fissare un sistema d’assi arbitrario e indichiamo con ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n , . . . vettori unitari diretti secondo tali assi. Essi possono essere anche complessi. In questo caso scriveremo le relazioni di ortonormalità: ψ i ·ψ ∗k = δik . (2.301) All’operatore A si può associare una matrice Ars , che dipende però dalla scelta fatta degli assi coordinati. I suoi elementi34 sono definiti dalla relazione:35 A ψ s = Ars ψ r . (2.304) 33 Nell’ultima formula abbiamo reintrodotto la costante di Planck h, come nel manoscritto originale. 34 Si noti che l’Autore indica con lo stesso simbolo l’operatore e la sua matrice rappresentativa. Comunque, ogni confusione è evitata notando che una matrice ha sempre due indici che indicano esplicitamente la riga e la colonna. 35∗ Si deduce la regola di moltiplicazione: A B ψ s = A Brs ψ r = Atr Brs ψ t , (2.302) (A B)ts = Atr Brs . (2.303) cioè: 146 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Assumiamo un nuovo sistema di assi e siano χ1 , χ2 , . . . , χn , . . . i vettori unitari diretti secondo i nuovi assi. L’operatore S che fa passare dai vettori ψ ai vettori χ, si riduce ad una rotazione nel caso di assi reali. La sua matrice è definita dalla relazione: χk = Sik ψ i (2.305) e, per la (2.301), che vale anche quando a ψ si sostituisce χ: ∗ Sik Sil = δkl . (2.306) Se S −1 è l’operatore inverso di S, avremo: −1 χk ψ j = Skj (2.307) −1 χl . χk = Sik Sli (2.308) −1 Sik Sli = δkl , (2.309) e, sostituendo nella (2.305): Allora relazioni che sono soddisfatte se: Infatti, in tal caso, ∗ −1 . = Ssr Srs (2.310) −1 ∗ Sik Sli = Sik Sil . (2.311) L’equazione (2.309) si deduce immediatamente dalla relazione S −1 S = 1, (2.312) −1 −1 Sli Sik = Sik Sli = δkl . (2.313) che si può scrivere appunto: Dalla condizione (2.312), segue che −1 ∗ Ski Sil = Ski Sli = δkl , (2.314) equazione analoga alla (2.306) ma riferita alle righe anziché alle colonne. Riprendiamo la (2.304) e sostituiamo ai vettori ψ le loro espressioni date dalla (2.307): −1 −1 A Srs χr = Ars Sir χi ; (2.315) 147 Volumetto 2: 23 aprile 1928 e ponendo36 = A0rs χr (2.316) χi = −1 Ars Sir χi , (2.317) −1 A0ir Srs = −1 Sir Ars (2.318) Ssj = Ars Ssj (2.319) A0ij = −1 Sir −1 Sir Ars Ssj . (2.320) A χs A0ir −1 Srs cioè: A0ir −1 Srs Analogamente, sostituendo la (2.305) nella (2.316), si troverebbe: A Srs ψ r = A0rs Sir ψ i (2.321) Air Srs ψ i = A0rs Sir ψ i (2.322) Air Srs = (2.323) Aij = Sir A0rs Sir A0rs Ssj . (2.324) Formole simmetriche a quelle scritte più sopra e che da quelle si deducono immediatamente; segue ad esempio dalla (2.320): −1 Sai A0ij Sjb Ars = −1 −1 Sai Sir Ars Ssj Sjb (2.325) = Sai A0ij (2.326) −1 Sjb , identica alla (2.324). Indicando con [A] e con [A0 ] le matrici corrispondenti all’operatore A nei due sistemi di coordinate, e con [S] e [S −1 ] le matrici di elementi Srs e −1 Srs , avremo: [A] [S] £ 0¤ A = [S] [A0 ] (2.327) = [S −1 ] [A] [S]. (2.328) Abbiamo supposto prima che S sia l’operatore che trasforma i vettori ψ nei vettori χ, abbiamo cioè immaginato di poter scrivere: χi = S ψ i . (2.329) 36 Si osservi che la (2.316) definisce la matrice (A0 ) che rappresenta l’operatore rs A nella base {χ}. 148 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Ciò richiede che i vettori χ e ψ siano numerati con lo stesso sistema di indici; ma una tale limitazione non è necessaria. Possiamo perciò coordinare la matrice [S] non già a un operatore ma a una semplice funzione Srs di due variabili, gli indici r e s dei vettori ψ r e χs , la quale soddisfi alle condizioni: χs = Srs ψ r . 2.24 (2.330) Teoria dell’irraggiamento Supponiamo ancora l’atomo inizialmente nello stato n e gli oscillatori a riposo. Se esiste un solo stato n0 più profondo di n potremo in prima approssimazione prescindere dall’esistenza di altri stati stazionari dell’atomo. Facendo poi tendere all’infinito il volume che racchiude il nostro atomo, la probabilità di trovare eccitata una singola frequenza νs tende a zero; cioè possiamo supporre quasi tutti gli oscillatori a riposo per tutta la durata dell’emissione.37 Avremo per la (2.293): ȧn0 ,0,...0,1,0... = ȧn,0,...0,0,0... = e 2π νnn0 bs ·η n0 n c ~ r ~ × e2πi(νnn0 −νs )t an,0,...0,0,0... (2.331) 4πνs X e 2π νnn0 bs ·η nn0 c ~ s r ~ × e−2πi(νnn0 −νs )t an0 ,0,...0,1,0... . (2.332) 4πνs − Possiamo supporre η nn0 reale e quindi η nn0 = η n0 n . Vedremo di soddisfare a queste equazioni ponendo: an,0,...0,0,0... = exp{−γt/2}. Avremo: ȧn0 ,0,...0,1,0... = − e 2π νnn0 bs ·η nn0 c ~ 37∗ Più precisamente, escludiamo quegli stati quantici che corrispondono a due o più oscillatori eccitati. 149 Volumetto 2: 23 aprile 1928 r × ~ e2πi(νnn0 −νs )t e−γt/2 4πνs (2.333) e quindi: an0 ,0,...0,1,0... ȧn,0,...0,0,0... = = e 2π νnn0 bs ·η nn0 c ~ r ~ e2πi(νnn0 −νs −γ/2)t − 1 × 4πνs 2πi(νnn0 − νs ) − γ/2 X e2 4π 2 ~ 2 2 0 |bs ·η nn0 | − νnn 2 ~2 4πν c s s (2.334) e−γt/2 − e2πi(νnn0 −νs )t −γt/2 e . 2πi(νnn0 − νs ) − γ/2 (2.335) − × Supponendo al solito che νs sia prossimo a νnn0 e che la (2.298) valga, e trasformando al limite la somma in un integrale: 4 πc2 e2 4π 2 ~ 2 0 νnn |ηnn0 |2 2 2 c ~ 4πνs 3 Ω Z −γt/2 2 8πνnn e − e2πi(νnn0 −νs )t 0 −γt/2 × dνs Ω e c3 2πi(νnn0 − νs ) − γ/2 Z 3 2 32π 3 e2 νnn e−γt/2 − e2πi(νnn0 −νs )t 0 |ηnn0 | = − e−γt/2 dνs ; (2.336) 3 3~c 2πi(νnn0 − νs ) − γ/2 ȧn,0,...0,0,0... = − e poiché ȧn,0,...0,0,0... = − γ −γt/2 e , 2 si ricava: 3 2 γ 32π 3 e2 νnn 0 |ηnn0 | = 3 2 3~c Z e−γt/2 − e2πi(νnn0 −νs )t dνs . 2πi(νnn0 − νs ) − γ/2 (2.337) Basta dimostrare che l’integrale di destra è uguale a 1/2, e cosı̀38 γ = 3 2 32π 3 e2 νnn 0 |ηnn0 | . 3 3~c (2.338) 38 Nel manoscritto originale questo paragrafo si chiude con un accenno di calcolo di questo risultato (l’esponenziale complesso è sviluppato in termini delle funzioni trigonometriche). Qui riporteremo solo la seguente parole: “La parte immaginaria dell’integrale è indeterminata ma a noi interessa solo la parte reale di γ, poiché essa sola entra nell’espressione di |an |2 , che ha solo significato fisico”. 150 Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.25 Moto kepleriano piano perturbato Sia un punto di massa 1 attratto con forza M/r2 verso un centro fisso O. L’equazione della traiettoria è: k , 1 + e cos(θ − α) r = (2.339) essendo k, e e α costanti. Infatti, se si pone: r r2 Vt2 (k − r)2 Vt2 + k2 Vr2 k = e= M kM α = θ − arctan kVr (k − r)Vt = θ − arcsin k Vr k−r = θ − arccos , re Vt re (2.340) essendo Vr e Vt le velocità, radiale e trasversa, e si sostituisce in (2.339) questa risulta identicamente soddisfatta; inoltre le k, e, α date dalla (2.340) sono costanti. Infatti: ´ d r4 θ̇2 2R3 θ̇ ³ 2r3 θ̇ k̇ = = 2ṙθ̇ + rθ̈ = at = 0 dt M M M · µ ¶ ¸ ṙ k k 1 −k 2 − 1 + ṙ r̈ ė = e r r M (2.341) µ µ ¶ ¶ M M kṙ kṙ 2 r̈ − r θ̇ + 2 ar + 2 = = = 0 eM r eM r α̇ = θ̇ − r e Vt kṙ Vt = θ̇ − = 0. kṙ er2 r Si deducono l’espressione del semiasse maggiore: a = = k2 M k = 2 1−e kM − (k − r)2 Vt2 − k2 Vr2 kM − k2 M M = + 2krVt2 − kM 2M/r − V 2 k2 V 2 151 Volumetto 2: 23 aprile 1928 r r V02 = = r , (2.342) 2 2 2 − rV 2 /M 2 − V 2 /V0 2V0 − V 2 p p in cui V = Vr2 + Vt2 è la velocità totale e V0 = M/r è la velocità corrispondente al moto circolare. Il semiasse minore sarà: = b = = √ k r3/2 Vt = ka = √ p 1 − e2 M 2 − rV 2 /M rVt Vt p = rp 2 . 2M/r − V 2 2V0 − V 2 √ (2.343) Il raggio k normale all’asse maggiore si potrà anche scrivere: k = r2 Vt2 V2 = r t2 . M V0 (2.344) La distanza del secondo fuoco dal punto mobile sarà: r2 V 2 /M V2 = r , 2 2 2 − rV /M 2V0 − V 2 (2.345) 2π 2πab 2πM = ¡ = √ a3/2 . 2 ¢3/2 rVt M 2M/r − V (2.346) r0 = 2a − r = e il periodo di rivoluzione: T = Supponiamo ora che al campo newtoniano si sovrapponga un altro campo arbitrario, e siano χr e χt le componenti radiale e trasversa della forza aggiunta. La (2.339) sarà ancora valida intendendo che k, e, α non siano costanti. Esse sono funzioni variabili che dipendono da r, θ, Vr e Vt , e sono definite dalle equazioni (2.340). Avremo evidentemente: k̇ = ė = = α̇ = ȧ = ∂k ∂k r2 Vt χt χr + χt = 2 χt = 2k ∂Vr ∂Vt M Vt ∂e ∂e χr + χt ∂V ∂Vt µ r ¶ k−r 2 k χt k 2 Vt + Vr2 + Vr χr eM eM Vt eM k+r k−r Vr χt − 2 Vt χr , e2 M e M 2 2 a (Vr χr + Vt χt ) . M 152 (2.347) (2.348) (2.349) (2.350) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Supponiamo dati χr e χt in funzione di r, θ e t; a causa della (2.339) potremo esprimerli in funzione di k, e, α, θ e t. Anche Vr e Vt si possono esprimere mediante le stesse lettere: √ kM Vt = = Vt (k, e, α, θ) (2.351) r re Vr = Vt sin (θ − α) = Vr (k, e, α, θ). (2.352) M Sostituendo nelle tre equazioni indipendenti (2.347), (2.348), (2.349) [la (2.350) deriva naturalmente dalle precedenti], si trova: k̇ = k̇(k, e, α, θ, t) (2.353) ė = ė(k, e, α, θ, t) (2.354) α̇ = α̇(k, e, α, θ, t). (2.355) Occorre quindi un’altra equazione per determinare il moto. Questa è fornita dalla prima delle equazioni (2.340): √ θ̇ = kM = θ̇(k, e, α, θ). r2 (2.356) Dati i valori iniziali all’istante t0 delle quattro variabili: k0 , e0 , α0 , θ0 le equazioni (2.353)-(2.356) permettono di calcolarne i valori a un istante qualunque. Se la perturbazione è piccola il problema si risolve per successive approssimazioni. Indicando con θ0 il valore che assumerebbe θ in un istante generico e in assenza di perturbazioni, quali risulta dall’equazione del tempo di Keplero, avremo in approssimazione zero: θ = θ0 , k = k0 , e = e0 , α = α0 . (2.357) In prima approssimazione: k = k1 , e = e1 , α = α1 , θ = θ1 , essendo: Z ∞ k̇(k0 , e0 , α0 , θ0 , t) dt k1 = k0 + Z e1 = t0 ∞ e0 + t Z 0∞ α1 = α0 + ė(k0 , e0 , α0 , θ0 , t) dt α̇(k0 , e0 , α0 , θ0 , t) dt. t0 153 (2.358) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Per θ non si può scrivere una formola analoga, perché nell’espressione esatta: Z ∞ θ = θ0 + θ̇(k, e, α, θ, t) dt (2.359) t0 i due termini del secondo membro sono dello stesso ordine di grandezza, cosicché ponendo a destra un valore approssimato per θ, non se ne ottiene uno più approssimato a sinistra. Si può pensare di trasformare la (2.356). Per ciò osserviamo che la forma di θ̇(k, e, α, θ) non dipende dalle forze perturbative ed è quindi la stessa che si avrebbe in assenza di perturbazioni; avremo quindi evidentemente: θ̇0 = θ̇(k0 , e0 , α0 , θ 0 ); (2.360) θ = θ0 + γ, (2.361) e posto: avremo: γ̇ = θ̇(k, e, α, θ) − θ̇(k0 , e0 , α0 , θ0 ) = θ̇(k, e, α, θ) − θ̇0 = γ̇(k, e, α, θ, t). (2.362) In luogo della (2.356) si utilizzerebbe dunque l’altra: θ̇ = θ̇0 + γ̇(k, e, α, θ, t), (2.363) ma neanche questa si presta al calcolo per successive approssimazioni, perché ponendo in γ̇(k, e, α, θ, t) un valore approssimato per θ, non si ottiene un valore approssimato per γ̇ e ciò perché γ̇ non si annulla, in assenza di forze perturbanti, se non ponendo per θ il suo valore esatto θ0 . Per calcolare θ1 occorre invece ricavarlo dall’espressione39 Z 2π t = t0 + dθ1 θ̇(k10 , e01 , α10 , θ1 ) θ0 (2.364) , in cui si porrà 0 k10 = k1 [θ (θa )], 0 e01 = e1 [θ (θa )], 0 α01 = α1 [θ (θa )], (2.365) 39 Nel manoscritto originale il limite superiore dell’integrale non è esplicitamente dato. 154 Volumetto 2: 23 aprile 1928 0 essendo θ0 = θ0 (t), t = θ (θ0 ), k1 = k1 (r), . . . ecc. In generale per l’approssimazione n (n > 1) valgono le formole: Z ∞ kn = k0 + k̇ (kn−1 , en−1 , αn−1 , θn−1 , t) dt t0 Z en = ∞ ė (kn−1 , en−1 , αn−1 , θn−1 , t) dt e0 + t0 Z αn = (2.366) ∞ α0 + α̇ (kn−1 , en−1 , αn−1 , θn−1 , t) dt t0 Z t = 2π t0 + θ0 essendo ¡ ¢ kn0 = kn θn−1 (θn ) , dθn 0 ,θ ) θ̇(kn0 , e0n , αn n , ¡ ¢ e0n = en θn−1 (θn ) , kn = kn (t), en = en (t), ¡ ¢ 0 αn = αn θn−1 (θn ) αn = αn (t). L’ultima delle equazioni (2.366) è giustificata dal fatto che conoscendo k, e, α in funzione di t e in approssimazione n (cioè a meno di infinitesimi d’ordine maggiore di n, quando le forze perturbative tendono a zero) e t in funzione di θ in approssimazione n − 1, si ricavano k, e e α in funzione di θ in approssimazione n, in quanto dk/dt, de/dt, dα/dt sono esse stesse infinitesimi del primo ordine. Supponiamo ora che le forze perturbanti siano costanti nel tempo, o che si possano considerare come tali per un tratto di tempo lungo rispetto al periodo di rivoluzione; supponiamo inoltre che siano abbastanza piccole cosı̀ che k, e e α varino poco in un periodo. Indicheremo con k̇, ė e α̇ le variazioni secolari di tali grandezze, cioè i valori medi k̇, ė, α̇ sull’intero periodo. Avremo evidentemente: k̇ = k̇(k, e, α, t), ė = ė(k, e, α, t), α̇ = α̇(k, e, α, t). (2.367) La forma delle equazioni (2.367) dipende dalla forma delle funzioni χr = χr (r, θ, t), χt = χt (r, θ, t), (2.368) e la dipendenza dal tempo si ha solo quando χr e χt variano col tempo, con la restrizione beninteso che varino lentamente. 155 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Facciamo alcuni casi particolari: χt = 0; χr = ² rn . Si deduce dalle equazioni (2.347), (2.348), (2.349), k̇ = 0, r−k α̇ = 2 Vt ² rn e M k Vr ² rn eM r ¢ 1 k ¡ n = 2 r − k rn−1 ² e M ė = (2.369) e quindi k̇ = 0, ė = 0, 1 α̇ = 2 e r ´ k ³ n r − k rn−1 ², M (2.370) essendo ovviamente: rn = (1 − e2 )3/2 n k 2π Z 2π 0 dθ . (1 + e cos θ)n+r (2.371) si deduce r−1 = r−2 = r−3 = r−4 = r−5 = r−6 = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ 1 − e2 k−1 1 − e2 1 − e2 1 − e2 1 − e2 1 − e2 ¢3/2 ¢3/2 ¢3/2 ¢3/2 ¢3/2 k−2 k−3 µ 1+ 1 2 e 2 1+ 3 2 e 2 µ ¶ ¶ µ 1 + 3 e2 + 156 (2.372) k−4 k−5 3 4 e 8 ¶ k−6 , Volumetto 2: 23 aprile 1928 e40 r = r2 = r3 = r4 r5 = = r6 = r7 = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1 − e2 1 − e2 1 − e2 ¢−1 ¢−2 ¢−3 2 ¢−4 µ ¢−7 3 2 e 2 µ = ¡ 1 − e2 ¢−8 k2 3 4 e 8 ¶ 15 4 1 + 5e + e 8 µ k3 ¶ k4 µ 15 2 45 4 5 6 1+ e + e + e 2 8 16 ¶ 21 2 105 4 35 6 1+ e + e + e 2 8 16 µ 1 + 14 e2 + 1 + 18 e2 + k5 (2.373) ¶ k 6 105 4 e 4 35 6 35 8 e + e 4 128 µ + 40 Nel ¶ 2 + r8 k 1 + 3 e2 + 1 − e 1 − e2 1+ ¶ µ 1 − e 2 ¢−6 1 2 e 2 µ 1 − e 2 ¢−5 1+ ¶ k7 189 4 e 4 105 6 315 8 e + e 4 128 ¶ k8 . manoscritto originale mancano le espressioni esplicite per r, r2 , . . . , r8 . 157 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Segue che se r n = 0, α̇ = r n = −1, α̇ = n = −2, α̇ = 0 n = −3, α̇ = − k ² M √ k ¡ 1 − e2 ² 2¢ 1 − 1 − e M e2 k r r n = −4, α̇ = − r n = −5, 2.26 α̇ = − ¢3/2 1 ² k ¡ 1 − e2 M 2 k3 ¢3/2 ² k ¡ 1 − e2 M k4 ¢3/2 k ¡ 1 − e2 M µ 3 3 + e2 2 8 ¶ ² . k5 Teoria dell’irraggiamento Consideriamo due stati quantici dell’atomo di indici 1 e 2 e sia ν la frequenza di transizione. Sia A21 la probabilità che un atomo nello stato 2 passi spontaneamente e nell’unità di tempo allo stato 1, B21 U la probabilità che vi passi a causa della radiazione di frequenza ν, esistente nello spazio, essendo U l’energia per unità di frequenza e di volume; sia ancora B12 U la probabilità del passaggio inverso, N1 e N2 il numero degli atomi nello stato 1 e 2. Avremo in caso di equilibrio: N1 A21 + B21 U = . N2 B12 U (2.374) Se la temperatura ambiente è T e ammettiamo la legge di Boltzmann si 158 Volumetto 2: 23 aprile 1928 ha:41 N2 N1 = e−hν/kT , (2.375) U = 8π ν3h , hν/kT 3 c e −1 (2.376) da cui B12 8π ν3h c3 ehν/kT − 1 = A21 e−hν/kT + B21 8π ν3h e−hν/kT , hν/kT 3 c e −1 (2.377) che è sempre soddisfatta solo se: B12 = A21 = B21 , 8π 3 ν h B12 . c3 (2.378) (2.379) Vediamo di dimostrare queste formole in base alla nostra teoria dell’irraggiamento. Sia X ψ0 = ψn,r1 ,...,rs ,... an,r1 ,...,rs ,... (2.380) n,r1 ,...,rs ,... l’autofunzione in un istante arbitrario. Avremo (prescindendo da tutti gli altri stati quantici oltre 1 e 2) r X e 4π 2 h(ns + 1) ȧ1,...,ns +1,... = − ν bs ·η 12 c h 8π 2 νs × exp {2πi(ν − νs )t} a2,...,ns −1,... , (2.381) in quanto si può ritenere a priori che nel passaggio 2 → 1 venga emessa energia e di frequenza prossima a ν. Analogamente: r e 4π 2 hns ȧ2,...,ns −1,... = ν bs ·η 12 c h 8π 2 ν × exp {2πi(νs − ν)t} a1,...,ns ,... . (2.382) 41 In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverla in termini di ~. 159 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Ora N1 = N2 e quindi Ṅ1 = = X¡ X X |a1,... |2 (2.383) 2 (2.384) |a2,... | , ¢ a1,... ȧ∗1,... + ȧ1,... a∗1,... . (2.385) Supponiamo però per semplicità di calcolo che tutte le a1 siano inizialmente nulle. L’equazione precedente sembrerebbe dare Ṅi = 0, ma si tratta di un risultato illusorio, in quanto si pensa scorrettamente al limite per un numero di frequenze infinite. Il calcolo va fatto come nel paragrafo 2.21. Ne differisce soltanto perché sotto il segno di radice si pone ns + 1 in luogo di 1. Poiché nella formola finale tale radice compare a quadrato avremo solo da moltiplicare il risultato per il valore medio di ns + 1. Indicando con n il valore medio di ns si trova: Ṅ1 = N2 64π 4 ν 3 e2 |η12 |2 (n + 1) . 3hc3 (2.386) Analogamente se si suppongono inizialmente tutti gli atomi nello stato 1 si trova la stessa formola, salvo a scambiare N1 e N2 , e a porre n in luogo di n + 1, perché nella (2.382) compare ns e non ns + 1: Ṅ2 = N1 64π 4 ν 3 e2 |η12 |2 n. 3hc3 (2.387) da cui derivano gli A e B di Einstein: A21 = B21 = 64π 4 ν 3 e2 |η12 |2 3hc3 nA21 A21 B12 = = , U (8π/c3 )ν 3 h in accordo con le equazioni (2.378) e (2.379). 160 (2.388) (2.389) Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.27 Integrali definiti (Si veda il paragrafo 1.37.) (13) Z 1 ¡ ¢n 1 − x2 = 1 22n n!2 . 2n + 1 (2n)! 0 Per n grande, il primo membro è prossimo a r Z ∞ 2 1 π e−nx dx = , 2 n 0 (2.390) da cui segue per n grande: √ n!2 22n = πn + . . . , (2n)! (2.391) come si deduce immediatamente dalla formola di Stirling (vedi il paragrafo 1.27). (14) Z ∞ −∞ (15)  −a  2π e , a > 0 eix dx =  a + ix 0, a < 0 Z ∞ −∞ (16) Z ∞ −∞ (17) Z ∞ −∞ (18) Z cos x π −a dx = e a2 + x2 a (2.393) x sin x dx = π e−a a2 + x2 (2.394) eiax π −a/k dx = e , 1 + k2 x2 k ∞ −∞ (2.392) k > 0, iπ xeiax dx = 2 e−a/k , 1 + k2 x2 k a > 0 a > 0 k 42 (2.395) (2.396) 42 Più precisamente, questo risultato vale per a > 0 (mantenendo a/k > 0), mentre per a < 0 abbiamo semplicemente l’opposto. 161 Volumetto 2: 23 aprile 1928 (19) Z ∞ 2 eix dx = −∞ 1+i √ √ π. 2 (2.397) (14bis)  −k  2π e , k > 0 eikx dx = (2.398)  −∞ 1 + ix 0, k < 0 p (20) Ponendo dq1 = dx1 dy1 dz1 , e r1 = x21 + y12 + z12 , si ha:43 Z 8π (2.399) e−ar1 dq1 = , a > 0 a3 Z 1 −ar1 8π a , a > 0 (2.400) e dq1 = r1 a3 2 Z ∞ (21) r1 dτ = dx1 dy1 dz1 dx2 dy2 dz2 p r12 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 p p 2 = x1 + y12 + z12 , r2 = x22 + y22 + z22 , a, b > 0 Z e−ar1 e−br2 dτ = Z 1 −ar1 −br2 e e dτ r1 Z 1 −ar1 −br2 e e dτ r12 2.28 = = 64π 2 (2.401) a3 b3 2 64π a (2.402) a3 b3 2 64π 2 a2 + 3ab + b2 ab. (2.403) a3 b3 2(a + b)3 Sviluppi in serie (Si vedano i paragrafi 1.22 e 3.1.) 43 Gli integrali che seguono sono calcolati sull’intero asse reale per ogni variabile. 162 Volumetto 2: 23 aprile 1928 (1) Consideriamo la seguente funzione di x: ∞ X f (n)xn (−1)n . n! n=0 y = (2.404) Sotto certe condizioni, si ha: lim x→∞ xr y = 0 ex (2.405) qualunque sia r. Se f (n) = costante, la (2.405) è sicuramente soddisfatta. Se f (n) = n, si ha y = −xe−x e la (2.405) è ancora soddisfatta. Analogamente si prova che è soddisfatta se f (n) = n(n − 1) oppure f (n) = n(n − 1)(n − 2), ecc. . . O anche se f (n) = 1/(n + 1) o 1/(n + 1)(n + 2) o 1/(n + 1)(n + 2)(n + 3), ed ecc. . . Segue allora che la (2.405) è soddisfatta se f (n) è una qualsiasi funzione razionale di n o, più in generale, una funzione di n che da un certo punto in poi sia sviluppabile secondo le potenze discendenti di n a partire da una potenza arbitraria nk (con k intero). L’equazione (2.405) è ancora valida se f (n) può essere estesa secondo le potenze discendenti di n, scalato ad esempio di un’unità, a partire da una potenza irrazionale o razionale nc . In tal caso infatti la serie y + y0 = X f1 (n)xn n! avrà f1 (n) sviluppabile a partire da nc−1 . Allora fissato comunque r, la (2.405) sarà soddisfatta quando in luogo di y si ponga: y + k y0 + k(k − 1) 00 y + . . . + y (k) , 2 (2.406) dipendendo k da r. Ora, se: lim x→∞ xr (z + z 0 ) = 0, ex (2.407) cioè essendo α infinitesimo: z + z 0 = α x−r ex , (2.408) segue: Z z = e−x α x−r e2x dx = e−x β x−r e2x = β x−r ex , 163 (2.409) Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo β un altro infinitesimo. Ripetendo k volte il ragionamento, si trova che la (2.405) è anche soddisfatta da y. È ancora valida la (2.405) se f (n) è il prodotto di log n e una funzione algebrica di n, e ciò può essere provato come si è fatto sopra. Più in generale se: f (n) − k f (n − 1) + − k(k − 1) f (n − 2) 2 k(k − 1)(k − 2) f (n − 3) + . . . ± f (n − k), (2.410) 6 si può, scegliendo k opportunamente, rendere y infinitesimo (per n grande) di un ordine elevato quanto si vuole, e la (2.405) è ancora soddisfatta. (2) In prima approssimazione, per n grande e ²/n piccolo si ha: r µ ¶ n! 2 −2²2 /n n n = = 2 e . n/2 + ² (n/2 + ²)! (n/2 − ²)! πn (2.411) (3) Per x grande, sviluppo (sempre divergente) di θ: Z x 2 2 θ(x) = √ e−x dx π 0 µ ¶ 2 1 1 1 3 15 105 = 1 − √ e−x − + − + − . . . . x 2x3 4x5 8x7 16x9 π Sviluppo utilizzabile, benché divergente perché fornisce alternativamente valori per eccesso e per difetto. 2.29 Teoria dell’irraggiamento: diffusione dell’elettrone libero Abbiamo considerato le onde stazionarie che si possono formare nel volume Ω, senza fare nessuna ipotesi né sulla forma di tale volume, né su quella 164 Volumetto 2: 23 aprile 1928 delle onde. Per semplicità assumeremo che il potenziale Cs relativo alla radiazione νs sia della forma, compatibile con la (2.219): p 0 00 000 Cs = 4πc2 /Ω qs e2πi(γs x+γs y+γs z) As , (2.412) in cui As è un vettore unitario normale alla direzione di propagazione, e la frequenza sarà data da: p νs = c γs02 + γs002 + γs0002 , (2.413) e il numero di oscillatori relativo agli intervalli di numeri d’onde γs0 − γs0 + dγs0 , γs00 − γs00 + dγs00 , e γs000 − γs000 + dγs000 , sarà: dN = 2 Ω dγs0 dγs00 dγs000 . (2.414) Come autofunzione per l’elettrone libero assumeremo: ª © 1 Un = √ exp 2πi(δn0 x + δn00 y + δn000 z) , Ω e il loro numero sarà: dn = Ω dδn0 dδn00 dδn000 . (2.415) (2.416) I movimenti corrispondenti alla (2.415) saranno: 0 pn x = − h δn , 00 pn y = − hδn , 000 pn z = − hδn . (2.417) Analogamente i movimenti dei quanti di luce sono per la (2.412): psx = − h γs0 , psy = − hγs00 , psz = − hγs000 . (2.418) I termini di interazione di primo e secondo ordine nell’Hamiltoniana complessiva saranno (si veda il paragrafo 2.6): r X e 0 00 000 4πc2 p·As qs e2πi(γs x+γs y+γs z) mc Ω s + 0 0 00 00 000 000 e2 4πc2 X qr qs Ar ·As e2πi[(γr +γs )x+(γr +γs )y+(γr +γs )z] . (2.419) 2mc2 Ω r,s Nella matrice di perturbazione hanno importanza solo i termini che derivano dal secondo termine di perturbazione, perché quelli che derivano dal primo o sono piccoli o rapidamente variabili. Trascurando i primi saranno diversi 165 Volumetto 2: 23 aprile 1928 da zero solo gli elementi della matrice corrispondente a un cangiamento qualunque dell’elettrone e a un mutamento di un numero quantico in su o in giù, di due e due soli oscillatori. Poiché ci interessano solo i termini grandi e poco rapidamente variabili dovremo ammettere che uno degli oscillatori, e sia l’erresimo, passi dal numero quantico kr a kr + 1, e l’altro, sia l’essesimo, passi dal numero quantico ks a ks − 1. L’elemento della matrice corrispondente a tale passaggio sarà: r r 4πe2 ~(r + 1) ~s Ar ·As Bn,kr ,ks ;n0 ,kr +1,ks −1 = 2mΩ2 4πνr 4πνs Z 0 0 0 0 × e2πi[(γr −γs −δn +δn0 )x+...] dτ e2πi(νn0 −νn +νr −νs )t . (2.420) Supponiamo che il volume di Ω sia un cubo di lato a. Allora l’integrale vale in valore assoluto: sin π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 )a sin π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 )a π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 ) π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 ) × sin π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 )a . π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 ) (2.421) Supponiamo inoltre che all’istante iniziale tutti gli atomi si trovino allo stato n e gli oscillatori allo stato 0, eccetto l’oscillatore s che è nello stato ks ; attribuiremo all’autofunzione corrispondente a questo stato complessivo il coefficiente 1 e il coefficiente 0 a tutti gli altri. Per un tempo breve avremo: indicando con an0 ,1,ks −1 il coefficiente dell’autofunzione corrispondente all’atomo nello stato n0 , l’oscillatore erresimo nello stato 1, e l’oscillatore s nello stato ks − 1, ȧn0 ,1,ks −1 = i Bn0 ,1,ks −1;n,0,ks , ~ (2.422) cioè, a meno di un fattore costante di modulo 1: r e2 ks 2πi(νn −νn0 +νs −νr )t ȧn0 ,1,ks −1 = Ar ·As e 2mΩ2 νr νs sin π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 )a sin π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 )a × π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 ) π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 ) × sin π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 )a , π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 ) 166 (2.423) Volumetto 2: 23 aprile 1928 e quindi: ks e4 4m2 Ω4 νr νs sin π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 )a sin π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 )a × π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 ) π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 ) |an0 ,1,ks −1 |2 = |Ar ·As |2 × sin π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 )a sin π(νn − νn0 + νs − νr )t . π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 ) π 2 (νn − νn0 + νs − νr )2 (2.424) Sommando per tutti i valori di r e n0 e trasformando la somma in un integrale: Z X e4 ks |Ar ·As |2 |an0 ,1,ks −1 |2 = 2 2 dγs0 dγs00 dγs000 dδn0 dδn00 dδn000 Ω m νs νs 0 n ,r × sin π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 )a sin π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 )a π(γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 ) π(γr00 − γs00 − δn00 + δn000 ) × sin π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 )a sin π(νn − νn0 + νs − νr )t . π(γr000 − γs000 − δn000 + δn0000 ) π 2 (νn − νn0 + νs − νr )2 (2.425) Supponiamo a molto grande. La funzione integranda avrà un valore notevole solo per le transizioni che soddisfano sensibilmente alla conservazione della quantità di moto, per le quali cioè: γr0 − γs0 − δn0 + δn0 0 = 0 (2.426) (e similmente per gli altri componenti). Integrando rispetto a dγr0 , dγr00 e dγr000 , avremo: Z X e4 ks |an0 ,1,ks −1 |2 = dδn0 dδn00 dδn000 Ω2 m2 νs 0 n ,r × |Ar ·As |2 sin π(νn − νn0 + νs − νr )t , (2.427) Ω 2 νs π (νn − νn0 + νs − νr )2 essendo νr = c p γr02 + γr002 + γr0002 (2.428) con la γr data dalla (2.426). Supponiamo anche t grande; dovrà essere: νn − νn0 + νs − νr ' 0. 167 (2.429) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Potremo quindi limitarci a integrare rispetto a quei valori di δn0 che, attraverso le equazioni (2.426) e (2.428), soddisfano la (2.429). Per il calcolo dell’intensità, riferiamoci a quanti non troppo energici ed elettroni lenti. Sarà: νr ' νs ; (2.430) θ e se θ è l’angolo fra quanto incidente e quanto diffuso, sarà θ sin l’angolo 2 che (pn0 − pn ) forma con la direzione del quanto incidente. Inoltre: |Ar ·As |2 = 1 |pn0 − pn | ~ = 1 1 θ − sin2 2 4 2 νs θ − 4π sin , c 2 (2.431) (2.432) cosı̀ che l’integrale nella (2.427) diviene: Z X θ 4e4 ks θ |an0 ,1,ks −1 |2 = π cos dθ sin2 2 Ωc2 m 2 2 n0 ,r µ ¶ 1 θ sin2 πcrt sin θ/2 1 × − sin2 dr 2 4 2 π 2 c2 r2 sin2 θ/2 µ ¶ Z π 4e4 ks θ 1 1 θ θ = πt 2 3 cos sin − sin2 dθ m Ωc 0 2 2 2 4 2 = πt 4e4 KS 4 πe4 t u = , 2 3 3m c Ω 3 m2 c3 hνs (2.433) u, energia per unità di volume. 2.30 Onde di De Broglie L’espressione Z ∞ ψ = e−i2πγx ei2πνt −∞ dγ α + i 2π(γ − γ0 ) rappresenta un gruppo d’onde, essendo la velocità di fase: vf = ν/γ. 168 (2.434) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Se α tende a zero, la (2.434) si riduce a: Z ∞ ψ = e−i2πγ0 x ei2πν0 t exp {i2π(γ − γ0 ) (t dν0 /dγ0 − x)} −∞ = d(γ − γ0 ) × α + i 2π(γ − γ0 ) Z ∞ −i2πγ0 x i2πν0 t e e −∞ eiy dy . 2π [(t dν0 /dγ0 − x) α + iy] Facendo tendere α verso zero, si ricava (vedi (2.392)): per α > 0:  −i2πγ x i2πν t 0 0 e , per t dν0 /dγ0 − x > 0,  e ψ =  0, per t dν0 /dγ0 − x < 0. (2.435) (2.436) che rappresenta un’onda piana limitata fra x = −∞ e x = (dν0 /dγ0 )t e il cui fronte anteriore marcia con la velocità di gruppo vgr = dν0 ; dγ0 se invece α < 0:   0, per t dν0 /dγ0 − x > 0, ψ =  −i2πγ0 x i2πν0 t e e , per t dν0 dγ0 − x < 0 (2.437) (2.438) e rappresenta un’onda piana limitata fra x = (dν0 /dγ0 )t e x = +∞, il cui fronte posteriore si muoverà con la velocità di gruppo (2.437). 2.31 e2 ' hc ? Consideriamo due elettroni A e B posti a distanza `. L’etere circostante44 sarà in qualche modo quantizzato. Possiamo in via d’approssimazione 44 Si osservi che l’Autore sembra già conoscere la nozione di polarizzazione del vuoto. 169 Volumetto 2: 23 aprile 1928 schematizzarlo come un punto materiale muoventesi con la velocità di gruppo che sarà uguale alla velocità della luce. Supponiamo, il che è alquanto arbitrario, che detto punto si muova perpendicolarmente da A a B e da B ad A. Supponiamo ancora che esso sia libero durante tutto il suo movimento salvo agli estremi dell’intervallo AB nei quali esso inverte la propria velocità per urto alternativamente contro l’elettrone A e contro l’elettrone B. Se esso è quantizzato avremo: |p| = nh/2` (2.439) |p| = h/2`. (2.440) e supponendo n = 1, Ad ogni urto un elettrone riceve la spinta 2 |p| = h/` (2.441) e il numero di urti nell’unità di tempo sarà: 1 c = , T 2` (2.442) cosicché su ogni elettrone agisce una forza continua: F = 2|p| hc = . T 2`2 (2.443) Se identifichiamo la (2.443) con la legge di Coulomb F = si trae e2 , `2 r e = valore 21 volte più grande del vero. 170 hc , 2 (2.444) (2.445) Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.32 L’equazione y 00 + P y = 0 Se nell’equazione: si pone y 00 + P y = 0 (2.446) ½ Z ¾ y = u exp i (k/u2 ) dx , (2.447) si trae: µ y0 = y 00 = ½ Z ¾ exp i (k/u2 ) dx ¶ ½ Z ¾ µ k2 u00 − 3 exp i (k/u2 ) dx u u0 + i k u ¶ k2 + u P = 0. u3 Dati i valori iniziali y0 e y00 per x = x0 , si ponga: u00 − u0 = |y0 |, (2.448) (2.449) (2.450) (2.451) con che resta fissata la costante additiva (reale) per l’integrale che figura nella (2.447) a meno di multipli di 2π. Si ponga quindi, nell’ipotesi che y0 6= 0: µ ¶ y0 k y00 = u00 + i . (2.452) |y0 | |y0 | come prescrive la (2.448). Possiamo supporre u00 e k reali. Allora se P è reale, l’integrazione della (2.446) con variabili complesse viene ridotta all’integrazione della (2.450) con una variabile reale. Si noti che, se y00 /y0 è reale, allora k = 0 e la (2.450) si riduce a (2.446). Data una soluzione qualunque della (2.450) con un valore arbitrario di k, soddisferà non solo la funzione y nella (2.447), ma anche la sua coniugata: ½ Z ¾ y = u exp −i (k/u2 ) dx , (2.453) cosicché la soluzione generale alla (2.446) è: · ½ Z ¾ ½ Z ¾¸ y = u A exp i (k/u2 ) dx + B exp −i (k/u2 ) dx . 171 (2.454) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Se si pone √ u1 = u/ k, si ricava: u001 − 1 + u1 P = 0, u31 e la soluzione generale sarà ancora del tipo: · ½ Z ¾ ½ Z ¾¸ y = u1 A exp i dx/u21 + B exp −i dx/u21 . (2.455) (2.456) (2.457) Segue che possiamo sempre ridurci al caso k = 1. Quando siano dati i valori iniziali per y e y 0 , si potrà procedere come in principio, poiché la (2.447) diventa: ¸ · Z √ y = k u1 i dx/u21 , (2.458) √ e le costanti k, e costanti d’integrazione nonché i valori iniziali u1 0 e u01 0 si determineranno in base alle equazioni (2.451), (2.452), e (2.455), ovvero, più comodamente si ricava una soluzione qualunque della (2.456), si fissa in modo arbitrario la costante dell’integrale, e si determinano i coefficienti A e B in guisa da soddisfare alle condizioni iniziali per y0 e y00 . Se P è lentamente variabile, si avrà in prima approssimazione che è una soluzione della (2.456) la funzione: u = P −1/4 e si otterranno le soluzioni generali di prima approssimazione:  ¶ µ Z √ Z √ 1   √ y = P dx + B sin P dx , P >0 A cos  4   P     · ½Z ¾ √ 1 √ y = A exp −P dx   4  −P  ¾¸ ½ Z   √   −P dx , P < 0 +B exp −  (2.459) (2.460) La condizione che P sia lentamente variabile si precisa dicendo che ¯ 0¯ ¯P ¯ ¯ ¯ ¿ 1. ¯P ¯ 172 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Per avere la seconda approssimazione possiamo sostituire a u00 nella (2.456) il valore che si ottiene ritenendo verificata la (2.459). Cioè: si avrà in seconda approssimazione: − 1 00 −5/4 5 02 −9/4 1 P P + P P − 3 + u P = 0. 4 16 u (2.461) Ponendo in luogo di u, P −1/4 + ∆u e scrivendo per approssimazione: 1 ' P 3/4 − 3 P ∆u, u3 (2.462) la (2.461) diventa − 5 02 −9/4 1 00 −5/4 P P + P P + 4 P ∆u = 0, 4 16 (2.463) da cui 1 00 −9/4 5 02 −13/4 P P − P P 16 64 µ ¶ P P 00 − (5/4) P 02 −1/4 . 1+ u = P 16 P 3 Sempre in via d’approssimazione segue: µ ¶ 1 P P 00 − (5/4) P 02 1/2 = P 1 − u2 8P3 µ ¶ Z Z √ dx P0 P 02 = − + P 1 − dx, u2 8P 3/2 32P 3 ∆u = (2.464) (2.465) (2.466) (2.467) e si avranno per y soluzioni del tipo: µ ¶ P P 00 − (5/4) P 02 1 √ 1 + y = 4 16 P 3 P ¶ ¸ ½ · Z √ µ 0 P 02 P sin P 1 − + dx , (2.468) × − cos 8P 3/2 32P 3 corrispondenti a P > 0. Per P < 0 si avranno soluzioni analoghe: µ ¶ P P 00 − (5/4) P 02 1 1 + y = √ 4 16 P 3 −P µ ¶ ¸¾ ½ · Z √ P 02 P0 −P 1 − (2.469) + dx × exp ± − 8(−P )3/2 32P 3 173 Volumetto 2: 23 aprile 1928 ovvero ponendo P1 = −P , y µ ¶ P1 P100 − (5/4) P102 1 − 16 P13 ( " µ ¶ #) Z √ P10 P102 × exp ± + P1 1 + dx . 3/2 32P13 8P1 1 √ 4 P1 = (2.470) Supponiamo P < 0 e quindi P1 > 0. La (2.446) si può scrivere: y 00 − P y = 0. Poniamo ½Z y = z exp √ ¾ P1 dx ; (2.471) (2.472) avremo: y0 = y 00 = ½Z ¾ ³ √ ´ √ z 0 + z P1 exp P1 dx (2.473) · µ ¶¸ ½Z ¾ √ √ P0 z 00 + 2z 0 P1 + z P1 + √1 exp P1 dx (2.474) 2 P1 z 00 + 2z 0 √ P0 P1 + z √1 = 0 2 P1 z0 z 00 1 P10 √ + + = 0. z 4 P1 2 P1 z (2.475) (2.476) Per P lentamente variabile si può porre in prima approssimazione: −1/4 z = P1 ; (2.477) √ e attribuendo a P1 , il doppio segno si ricade nelle formole (2.460). Se y1 è una soluzione della (2.447), la soluzione generale è: Z dx y = A y1 + B y 1 (2.478) . y12 Infatti posto Z y2 = y1 174 dx , y12 Volumetto 2: 23 aprile 1928 sarà: Z y20 = y200 = e quindi 0 = y200 − 2.33 dx 1 + y12 y1 Z dx y100 , y12 y10 y100 y2 = y200 + P y2 . y1 (2.479) Indeterminazione del potenziale vettore e scalare Supponiamo dati il campo elettrico e magnetico in una regime dello spaziotempo. Il potenziale ϕ e C resta alquanto indeterminato e potremo porre: H = E = rot C = rot C1 1 ∂C1 1 ∂C = grad ϕ1 − , − grad ϕ − c ∂t c ∂t (2.480) (2.481) essendo ϕ1 6= ϕ e C1 6= C. In corrispondenza potremo scrivere due equazioni d’onda per un elettrone: " µ − " µ − W e + ϕ c c ¶2 W e + ϕ1 c c ´2 X³ e + pi + Ci + m 2 c2 c i ¶2 #2 ´2 X³ e + pi + C1 i + m2 c2 c i ψ = 0 (2.482) #2 ψ1 = 0. (2.483) Si può sempre porre: C1 − C = ϕ1 − ϕ = 175 grad A 1 ∂A − , c ∂t (2.484) (2.485) Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo A una funzione qualunque dello spazio e del tempo, se non si impone la cosiddetta condizione di continuità:45 div C + 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ1 = div C1 + = 0, c ∂t c ∂t (2.486) altrimenti dovrà essere 1 ∂2A = 0. c2 ∂t2 grad 2 A − Essendo ½ W exp ½ pi exp i e A ~c i e A ~c ¾ ½ = exp ¾ ½ = exp si deduce µ ¶ ½ ¾ W e i e + ϕ1 exp A c c ~c µ ¶2 ½ ¾ e W i e + ϕ1 exp A c c ~c ¾ [W + e (ϕ1 − ϕ)] (2.488) ¾ h i i e e A pi + (C1 i − Ci ) , (2.489) ~c c ½ = exp ½ = exp = exp e che ½ ¾ ³ ´ e i e pi + C1 i exp A c ~c ½ ¾ ³ ´2 e i e pi + C1 i exp A c ~c i e A ~c ½ = (2.487) i e A ~c i e A ~c ¾ µ ¾ µ W e + ϕ c c e W + ϕ c c ¾ ³ pi + ½ ¾ ³ i e exp A pi + ~c i e A ~c ¶ (2.490) ¶2 (2.491) e ´ Ci (2.492) c e ´2 Ci . (2.493) c Segue che se ψ è una soluzione della (2.482), sarà ½ ¾ i e ψ1 = ψ exp A ~c (2.494) una soluzione della (2.483). Con ciò resta dimostrata l’equivalenza delle due Hamiltoniane, essendo lo spostamento di fase della ψ dato dalla (2.494) privo di significato fisico, in quanto è identico nello stesso punto nello stesso istante per tutte le autofunzioni. 45 Questa è meglio conosciuta come la condizione di gauge di Lorentz. 176 Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.34 Sulla ionizzazione spontanea di un atomo di idrogeno posto in una regione a potenziale elevato Sia un atomo di idrogeno posto nel centro comune di due sfere di raggi R e R + dR. Poniamo sulla prima la carica −Q0 /dR e sulla seconda la carica (Q0 /dR) − e (poniamo Q0 = QR); facciamo quindi tendere dR a zero. L’elettrone dell’atomo sarà sottoposto al potenziale   V = e/x − A,  x < R (2.495) V = 0, x > R essendo x la distanza dal centro, e A = Q2 /R2 .46 Assumiamo per semplicità, come unità di lunghezza il raggio del primo cerchio di Bohr, come unità di carica e e come unità d’azione ~/2π. La nostra unità d’energia sarà me4 /~2 = 4πRy ~, e quindi 1/(4πRy ) è la nostra unità di tempo, Ry essendo la frequenza di Rydberg. Inoltre, scegliamo la massa dell’elettrone come unità di massa. L’equazione di Schrödinger nel caso di quanti azimutali zero e ponendo χ = ψ/x, sarà: µ χ00 + 2 00 E − A + χ + 2E χ = 0, 1 x ¶ χ = 0, x < R (2.496) x > R. Poniamo E − A = E1 . Se l’atomo è nello stato normale sarà E1 prossimo a −1/2.47 Porremo: 1 1 − E1 = + α, (2.497) 2 2 46 Per ragioni dimensionali, questo valore è sbagliato. La costante A può essere fissata richiedendo la continuità del potenziale; in questo caso abbiamo A = e/R. 47 L’energia dello stato fondamentale di un atomo di idrogeno è −e2 /2a , dove B aB è il raggio di Bohr. Nelle unità adottate, questa energia equivale a −1/2. 177 Volumetto 2: 23 aprile 1928 e le equazioni (2.496) diventano µ ¶ 2 χ00 + 1 − α + χ = 0, x 00 χ + (2A − 1 − α) χ = 0, x < R (2.498) x > R. Una soluzione della prima di queste equazioni per α = 0 è χ = x e−x . (2.499) Poniamo la soluzione per α 6= 0 sotto la forma χ = x e−x + α y, (2.500) e imponiamo ancora la condizione che sia y(0) = 0, y 0 (0) = 0. Sostituendo nella (2.498), si trova ¶ µ 2 00 −x y, y = xe + 1+ α − (2.501) x che mostra come y dipenda anche da α. Essendo state assegnate le condizioni ai limiti la y è completamente determinata. Per grandi valori di x essa assume l’espressione asintotica: y = kα ex √ 1+α √ 1+α /x1/ . (2.502) Poiché abbiamo supposto α piccolo, potremo in via d’approssimazione porre kα = k0 , e k0 si calcolerà in base all’espressione asintotica della funzione y che si annulla insieme con la sua derivata per x = 0 e obbedisce all’equazione differenziale: µ ¶ 2 y 00 = x e−x + 1 − (2.503) y. x La quale espressione asintotica dovrà essere del tipo: y = k0 ex . x (2.504) Vediamo dunque di calcolare k0 . La y si può sviluppare secondo la potenza ascendente di x: y = 1 3 1 x − x4 + . . . + an xn + . . . , 6 9 178 (2.505) Volumetto 2: 23 aprile 1928 e i coefficienti dello sviluppo si calcolano dalla relazione ricorrente: an = − (−1)n n−2 an−2 − 2an−1 + . n! (n − 1)n Essi possono allora porsi a partire da a2 sotto la forma: · µ ¶¸ 1 2n + 2 1 1 1 a2n+1 = n − 1 + + + ... + (2n)! 2n + 1 3 5 2n − 1 · µ ¶¸ 1 1 1 1 a2n = − n − 1 + + + ... + . (2n − 1)! 3 5 2n − 1 (2.506) (2.507) (2.508) Infatti, se le equazioni (2.507) e (2.508) sono valide fino a un determinato valore di n (e si verifica direttamente che valgono per n = 1), la (2.508) sarà ancora valida ponendo n+1 in luogo di n perché dalla (2.506) si ricava: µ ¶ n n 1 1 1 − (2n + 1)! a2n+2 = − 1 + + + ... + n+1 n+1 3 5 2n − 1 µ ¶ 2 1 1 1 1 n 2n − 1 + + + ... + + + n+1 3 5 2n − 1 n+1 2n + 1 µ ¶ 1 1 1 = n + 1 − 1 + + + ... + , 3 5 2n + 1 cioè la (2.508) è valida anche per a2n+2 . Analogamente, applicando ancora la (2.506), si ha: µ ¶ 2n + 1 1 2n + 1 1 1 (2n + 2)! a2n+3 = 1 + + + ... + − 2n + 3 2n + 3 3 5 2n − 1 µ ¶ 2 1 2n + 2 1 1 2n + 2 − 1 + + + ... + +n + 2n + 3 3 5 2n − 1 2n + 3 2n + 3 ¶ µ 2n + 2 1 1 1 , = (n + 1) − 1 + + + ... + 2n + 3 3 5 2n + 1 di modo che la (2.507) vale anche per a2n+3 e quindi le equazioni (2.507) e (2.508) sono sempre valide. Lo sviluppo (2.505) è indefinitamente derivabile termine a termine. Si può quindi porre: y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = ∞ X 0 179 br xr (2.509) Volumetto 2: 23 aprile 1928 e, in generale, sarà: br = ar + 2(r + 1)ar+1 + 3(r + 1)(r + 2)ar+2 + (r + 1)(r + 2)(r + 3)ar+3 , (2.510) ovvero, a causa delle equazioni (2.507) e (2.508): (2n + 1)! b2n = − 2n2 (2n + 1) + 3n(2n + 1)(2n + 2) − 3(n + 1)(2n + 1)(2n + 2) + (n + 1)(2n + 1)(2n + 4) µ ¶ 1 1 + 2n(2n + 1) 1 + + . . . + 3 2n − 1 µ ¶ 1 1 2 − 3(2n + 1) 1 + + . . . + 3 2n − 1 ¶ µ 1 1 + 3(2n + 1)(2n + 2) 1 + + . . . + 3 2n + 1 µ ¶ 1 1 − (2n + 1)(2n + 3) 1 + + . . . + = 1, 3 2n + 1 (2.511) (2n + 2)! b2n+1 = n(2n + 2)2 − 3(n + 1)(2n + 2)2 + 3(n + 1)(2n + 2)(2n + 4) − (n + 2)(2n + 2)(2n + 4) µ ¶ 1 1 − (2n + 1)(2n + 2) 1 + + . . . + 3 2n − 1 µ ¶ 1 1 + 3(2n + 1)2 1 + + . . . + 3 2n + 1 µ ¶ 1 1 − 3(2n + 2)(2n + 3) 1 + + . . . + 3 2n + 1 µ ¶ 1 1 1 +(2n + 2)(2n + 4) 1 + + . . . + = 1 − . (2.512) 3 2n + 3 2n + 3 Segue: ∞ X br xr = ∞ ∞ X X xs−1 x2s+1 − s! (2s + 3)! 1 0 = ∞ ∞ 1 X xs 1 X x2s+1 − 2 x 1 s! x 1 (2s + 1)! 0 180 Volumetto 2: 23 aprile 1928 = = = ex − 1 ex − e−x − 2x − x 2x2 ex ex − e−x − x µ 2x2 ¶ 1 1 − 1 ex − + e 2x2 . x 2x2 (2.513) Sostituendo nella (2.509) e scrivendo il primo membro sotto altra forma: µ ¶ ¡ 00 ¢ ¢ d ¡ 00 1 1 1 y + 2y 0 + y + y + 2y 0 + y = ex − + e−x 2 , dx x 2x2 2x (2.514) e quindi: µ ½Z · ¶ ¸ ¾ 1 1 1 e2x y 00 + 2y 0 + y = e−x − + dx + C . (2.515) x 2x2 2x2 e tenuto conto che per x = 0, abbiamo y = 0, y 0 = 0, y 00 = 0: µ ¶ 1 00 0 x 1 −x y + 2y + y = e − e +1 , 2x 2x cioè: ¡ 0 ¢ ¢ d ¡ 0 1 y +y + y + y = ex − e−x dx 2x µ ¶ 1 +1 , 2x (2.516) (2.517) e quindi: ½Z · 0 y +y = e −x e2x − 2x µ 1 +1 2x e tenuto conto delle condizioni ai limiti Z x y 0 + y = − x e−x + e−x 0 e finalmente: y = e−x ·Z µ Z −x + x 0 ¶¸ ¾ dx + C . e2x − 1 dx 2x ¶ ¸ e2x − 1 dx dx + C , 2x e tenuto ancora conto delle condizioni ai limiti: Z x Z x1 2x2 1 e −1 y = − x2 e−x + e−x dx1 dx2 . 2 2x2 0 0 181 (2.518) (2.519) (2.520) (2.521) Volumetto 2: 23 aprile 1928 A riprova calcoliamo y 0 e y 00 : y0 = − x e−x + Z +e x −x 0 y 00 = Z − 2e x 0 Ora Z Z x x1 dx1 0 0 Z x x1 dx1 0 0 e2x − 1 dx 2x − e−x + 2x e−x − −x Z 1 2 −x x e − e−x 2 (2.522) 1 2 −x x e + e−x 2 Z Z x Z x 0 x1 dx1 0 e2x − 1 ex − e−x dx + . 2x 2x e2x2 − 1 dx2 = x 2x2 e2x2 − 1 dx2 2x2 0 e2x2 − 1 dx2 2x2 (2.523) 1 1 1 e2x − 1 dx − e2x + x + , 2x 4 2 4 cosı̀ che le formole precedenti diventano: ¶ µ Z x 2x e −1 1 1 1 1 y = x e−x dx − ex + + x − x2 e−x (2.524) 2x 4 4 2 2 0 Z x 2x e − 1 1 y 0 = (1 − x) e−x dx + ex 2x 4 0 ¶ µ 1 3 1 (2.525) + − − x + x2 e−x 4 2 2 ¶ µ Z x 2x 1 e −1 1 y 00 = (x − 2) e−x dx + ex − 2x 2x 4 0 µ ¶ 1 3 5 1 + e−x − − + x − x2 , (2.526) 2x 4 2 2 segue che µ y 00 = 1 − 2 x ¶ y + x e−x , (2.527) cioè l’equazione differenziale (2.503) è soddisfatta. Inoltre manifestamente: y(0) = y 0 (0) = 0, come si desiderava. Per x → ∞ si ha: Z x 2x e −1 dx 2x 0 182 (2.528) Volumetto 2: 23 aprile 1928 µ = e 2x ¶ 1 1 + + infinitesimi d’ordine superiore (2.529) 4x γx2 si deduce l’espressione asintotica di y: y = 1 ex , 8 x (2.530) da cui possiamo ottenere la costante k0 nella (2.504): k0 = 1 . 8 (2.531) Avremo dunque che per grandi valori di x, la soluzione delle equazioni (2.495) e (2.496) è approssimativamente: χ = x e−x + α x√1+α 1/√1+α e /x . 8 (2.532) Ora noi vogliamo supporre R grande nella nostra unità, grande cioè rispetto alla diminuzione atomiche. Avremo dunque: √ χ(R) = χ00 (R) = α eR 1+α √ (2.533) 8 R1/ 1+α √ µ ¶ √ α eR 1+α 1 √ (1 − R) e−R + 1+α − √ . (2.534) 8 R1/ 1+α R 1+α R e−R + Per ragioni che vedremo, ci interessano valori di α cosı̀ piccoli che il secondo termine nell’espressioni di χ(R) sia dello stesso ordine di grandezza del primo. Cioè α deve essere dell’ordine di R2 e√−2R . Allora si può sostituire dovunque, anche nell’esponente, l’unità a 1 + α; trascurando naturalmente l’unità di fronte a R le formole superiori diventano: χ(R) χ00 (R) = = R e−R + − R e−R α eR 8 R (2.535) α eR + . 8 R L’equazione (2.532) prende una forma semplice per valori di x grandi, ma minori di R: α ex χ = x e−x + . (2.536) 8 x 183 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Per x > R deve essere soddisfatta la seconda equazione in (2.496). Supponiamo E > 0, perché altrimenti non si avrebbe ionizzazione spontanea. Poiché 1 1 E = A − − α, (2.537) 2 2 basta che sia A alquanto maggiore di 1/2. La seconda equazione in (2.496) ammette soluzioni di tipo sinusoidali. Avremo dunque per x maggiore di R: µ ¶ √ α eR χ = R e−R + cos 2E(x − R) 8 R µ ¶ √ α eR 1 − R e−R + sin 2E(x − R). (2.538) +√ 8 R 2E Poniamo: 1 A−1 + 4R2 e−2R . (2.539) 2 A Le quantità E, B e A − 1/2 sono tutte molto prossime tra loro, e dove compaiono a fattori si può senz’altro sostituire l’una all’altra per semplificare le formole. Sotto i segni di seno e coseno occorre invece un’ulteriore approssimazione; e poiché: B = A − E = B − 4(A − 1) 2 −2R 1 R e − α, A 2 (2.540) porremo: √ √ 1 2E = 2B − √ 2B µ ¶ 4(A − 1) 2 −2R 1 R e + α ; A 2 indicheremo con γ il secondo termine diviso per 2π: 48 µ ¶ 1 4(A − 1) 2 −2R 1 1 √ R e + α , γ = − 2π 2B A 2 da cui α = − 4π √ 8(A − 1) 2 −2R 2B γ − R e . A (2.541) (2.542) (2.543) 48 L’Autore considera questa γ come (la correzione a) il momento del sistema preso in considerazione (nelle unità adottate). 184 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Sostituendo nella (2.538) e usando delle approssimazioni annunciate: √ µ ¶ ³√ ´ 1 2B eR −R χ= Re − 2πγ cos 2B + 2πγ (x − R) A 4 R µ √ ¶ ³√ ´ 2B 1 eR + − R e−R − 2πγ sin 2B + 2πγ (x − R) (2.544) A 4 R ovvero, sempre in via approssimata: r 2 2 −2R A −2 2R 2 2 χ = R e + R e 4π γ A 8 ´ i h³√ 2B + 2πγ (x − R) + z , × cos (2.545) essendo z un angolo che dipenda da γ. Se vogliamo le χ normalizzate rispetto a dx, occorre moltiplicarle per un fattore N : u = Nχ in modo che sia: r N In effetti 2 2 −2R A −2 2R 2 2 R e + R e 4π γ = 2. A 8 Z Z ∞ (2.546) (2.547) +² 1 . (2.548) 2 N 0 −² Avremo allora rispettivamente per x < R e per x > R le autofunzioni normalizzate: r A eR ¶ µ √ α ex 2 R u = r eiBt e2πi 2Bγt 2x e−x + 4 x π 2 A2 e4R 2 (2.549) 1+ γ 4 R4 h³√ ´ i √ u = 2 cos 2B + 2πγ (x − R) + z eiBt e2πi 2Bγt . lim ²→0 χ(γ) dx χ(γ + ²) d² = Qui si √ è tenuto conto della dipendenza dal tempo e del fatto che E = B + 2π 2Bγ. Si noti che nella prima delle (2.549) si è posto in evidenza il fattore 2xe−x + (α/4)(ex /x) poiché: ¶2 Z R µ Z R ¡ ¢2 α ex 2x e−x + 2x e−x dx ' 1, (2.550) dx ' 4 x 0 0 185 Volumetto 2: 23 aprile 1928 che rappresenta quindi per piccoli valori di x, l’autofunzione relativa allo stato quasi stazionario 1s, normalizzata nel modo ordinario. Supponiamo ora che inizialmente l’elettrone si trovi nello stato fondamentale. La sua autofunzione godrà di simmetria sferica approssimativamente, cosı̀ che possiamo scrivere: ψ = U (x) , x (2.551) e per ciò che si è detto sarà al tempo 0: U0 ' 2x e−x . (2.552) Sviluppiamo U0 secondo le u al tempo t = 0, che indicheremo con u0 . . . : Z ∞ U0 = (2.553) c u0 dγ. −∞ Avremo: r Z ∞ c = 0 A eR 2 R U0 u0 dx ' r ; 2 π A2 e4R 2 1+ γ 4 R4 (2.554) e poiché per t qualunque: Z ∞ U = c u dγ, (2.555) −∞ sostituendo le equazioni (2.551) e (2.554), troviamo per x minore di R : U = e iBt e2R A 2 R µ xe −x α ex + 8 x ¶Z ∞ −∞ √ e2πi 2Bγt dγ , (2.556) 1 + (π 2 A2 e4R /4R4 )γ 2 dove è semplice dimostrare (dalla (2.543)) che α = − A−1 8R2 e−2R − A √ 2B 8R2 e−2R A (2.557) coincide con α relativa allo stato fondamentale stazionario considerato qui; la dimostrazione è simile a quella esposta in ciò che segue, condurrà alla 186 Volumetto 2: 23 aprile 1928 (2.564).49 Ora Z ∞ −∞ = √ e2πi 2Bγt dγ 1 + (π 2 A2 e4R /4R4 )γ 2 4 2 −2R R e R Z ∞ −∞ ³ ´ d Ae2R γ/4R2 ³ ´2 1 + 4π 2 Ae2R γ/4R2 √ 2Bγt e2πi  ½ 2√ ¾ 2 2 −2R 4R 2B   R e exp t ,    A Ae2R = √ ½ ¾    4R2 2B 2 2   R exp − t , A Ae2R per t < 0 (2.558) per t > 0. Solo la soluzione per t > 0 ci interessa, perché noi vogliamo fissare le condizioni iniziali rinunziando a qualunque ipotesi sul modo con cui si sono prodotte. Avremo quindi per t > 0 e x < R: ¶ µ n o √ α ex eiBt exp −4R2 2B t/Ae2R ; U = x e−x + (2.559) 8 x per x > R avremo invece: h³√ ´ i √ r Z ∞ cos 2B + 2πγ (x − R) + z e2πi 2Bγt A eR iBt p U = e 2 dγ, 2 R −∞ 1 + (π 2 A2 e4R /4R4 )γ 2 (2.560) "Z √ 2R 2 ∞ R e 1 − (πA 2Be /2R )γ U = eiBt 2 2 4R R /4R4 )γ 2 −∞ 1 + (π A e ³√ ´ √ × cos 2B + 2πγ (x − R) e2πi 2Bγt dγ # Z ∞ √ ´ ³√ √ 2B + (πAe2R /2R2 )γ 2πi 2Bγt − 2B + 2πγ (x − R) e dγ sin 2 2 4R /4R4 )γ 2 −∞ 1 + (π A e · √ Z ∞ eR M + N i 2πi[√2Bt+(x−R)]γ = eiBt ei 2B(x−R) e dγ R 2 −∞ ¸ Z ∞ √ M − N i 2πi[√2Bt−(x−R)]γ + e−i 2B(x−R) e dγ , (2.561) 2 −∞ 49 Questa frase è aggiunta come nota posposta nel manoscritto originale. 187 Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo: M = N = √ 1 − (πA 2Be2R /2R2 )γ 1 + (π 2 A2 e4R /4R4 )γ 2 √ 2B + (πAe2R /2R2 )γ ; 1 + (π 2 A2 e4R /4R4 )γ 2 (2.562) (2.563) e poiché: Z ∞ −∞ √ e2πi[ 2Bt±(x−R)]γ dγ π 2 A2 e4R 2 1+ γ 4 R4 ½ ¾  2 R2 4 R2 √   exp + [ 2Bt±(x − R)]   A e2R A e2R  √    2B t ± (x − R) < 0 per  = ½ ¾   2 R2 4 R2 √    2Bt±(x − R)] exp − [   A e2R A e2R  √  per 2B t ± (x − R) > 0. (2.564) Inoltre:50 Z ∞ −∞           = √ γ e2πi[ 2Bt±(x−R)]γ dγ 1 + (π 2 A2 e4R /4R4 )γ 2 ¾ ½ 4 R4 4 R2 √ 2Bt±(x − R)] −i exp + [ 2 4R πA A e2R √ e per 2B t ± (x − R) < 0 ¾ ½   4 R4 4 R2 √    i exp − [ 2Bt±(x − R)]  2 e4R  πA√ A e2R   per 2B t ± (x − R) > 0. (2.565) Se ci interessano solo √ le soluzioni per x > R e t > 0, dovremo distinguere due casi, secondo che 2Bt − (x − R) è positivo o negativo, essendo sempre 50 Nel manoscritto originale i segni dei risultati dell’integrale sono rovesciati; qui vengono invece riportate le espressioni corrette. 188 Volumetto 2: 23 aprile 1928 √ 2Bt + (x − R). Avremo rspettivamente, tenuto conto che: Z ∞ M + N i 2πi[√2Bt+(x−R)]γ dγ e 2 −∞ (2.566) è identicamente nullo a causa delle equazioni (2.564) e (2.565) quando √ 2B + x − R > 0:51  r n o p √ 8 R iBt    e exp −i arcsin (2A − 1)/2A − i 2B(x − R)   A eR n o  √   × exp 4R2 (x − R)/(Ae2R ) − 4R2 2B t/(Ae2R ) U = √    per 2Bt − (x − R) > 0     √  0, per 2Bt − (x − R) < 0, (2.567) essendosi√nuovamente usata dov’era lecito l’approssimazione 2B = 2A − 1. Per 2Bt − (x − R) > 0, indipendentemente dal piccolo fattore di smorzamento temporale e di esaltazione spaziale, la (2.567) rappresenta un’onda piana progressiva verso gli alti valori di x. Per valori abbastanza piccoli di t e quindi di x − R, il flusso di elettroni per unità di tempo sarà: √ 8R2 2B F = (2.568) . Ae2R D’altra parte il fattore di smorzamento nel tempo si può mettere sotto la forma: e−t/2T , (2.569) essendo T la vita media;52 segue, come è naturale: F = 1 , T T = Ae2R √ . 8R2 2B (2.570) Gamov nelle sue deduzioni sulla vita media delle particelle α nei nuclei radioattivi53 ha postulato la dipendenza esponenziale del tempo, ha supposto inoltre che a grande distanza dal nucleo l’autofunzione relativa alla 51 Si noti che l’Autore ha omesso un fattore 2 nella seguente espressione. osservi che T è una costante di tempo piuttosto che la vita media. 53 L’Autore si riferisce qui a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204. Egli ha già lavorato sulla teoria di Gamov anche in relazione alla sua tesi [E. Majorana, La teoria quantica dei nuclei radioattivi; Relatore: E. Fermi; non pubblicata]. 52 Si 189 Volumetto 2: 23 aprile 1928 particella α rappresenti un’onda sferica progressiva e ha determinato T in base alla (2.570). Le considerazioni che precedono mostrano come il suo procedimento sia giustificato. Cadono le obiezioni di Kudar che sentiva odor di paradosso nel fattore di esaltazione spaziale che entra in U per la (2.567). Infatti la prima delle (2.567) vale solo fino alla distanza √ x − R = 2B t, (2.571) mentre al di là di U = 0, e quindi in tempi prossimi a t = 0, la (2.567) è verificata solo in una regione vicina ai nuclei, mentre in progresso di tempo vale, tenendo conto delle approssimazioni di calcolo, fino a una distanza √ 2Bt = vt, poiché v è precisamente la velocità con cui vengono emesse le particelle. Il fatto che il fronte dell’onda si presenti netto benché la velocità di emissione a causa della vita finita dello stato quasi stazionario è lievemente incerta, deriva unicamente dalle approssimazioni di calcolo. Mostreremo fra poco come spingendo oltre l’approssimazione si possa mettere in evidenza tale incertezza di v e determinare la curva delle velocità indipendentemente dai generali principi statistici della nuova meccanica. Le formole ora trovate suggeriscono interessanti considerazioni. I. Verificato che la prima delle equazioni (2.567) vale per distanze brevi fin quasi dai primi istanti, possiamo cercare fin dall’inizio una soluzione di tal forma senza preoccuparci di quel che accade a distanza maggiori. È il metodo di Gamov. In altre parole supponiamo che la dipendenza dal tempo sia a qualunque distanza del tipo: e2πiνt e−t/2T = e2πit(ν−1/4πiT ) , (2.572) cosı̀ che la ψ viene formalmente a rappresentare uno stato stazionario con autovalore complesso. Ora la soluzione generale per gli stati stazionari è per le equazioni (2.536) e (2.538) e tenendo conto della dipendenza del tempo, con un’adatta normalizzazione approssimata µ ¶  x   eiEt 2 x e−x + α e , per x < R,   8 x      ¶ ·µ √ R α eR U = iEt cos 2E(x − R) e 2 +   R  eµ 8 R  ¸ ¶   √ 1 α eR    +√ −Re−R + sin 2E(x − R) , per x > R. 8 R 2E (2.573) 190 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Potremo anche scrivere per x > R: ½· µ ¶¸ √ R α eR i R α eR √ + − − + ei 2E(x−R) eR 8 R eR 8 R 2E · µ ¶¸ ¾ √ R α eR i R α eR −i 2E(x−R) √ + + + − + e . (2.574) eR 8 R eR 8 R 2E U = eiEt Se vogliamo che manchi l’onda in arrivo dovrà essere: µ ¶ R α eR = 0, − R + e 8 R i R α eR − √ + eR 8 R 2E (2.575) da cui: √ 2E + i α = −√ 8R2 e−2R , 2E − i √ √ e ponendo in prima approssimazione 2E = 2A − 1: α = − A−1 8R2 e−2R − i A √ 2A − 1 8R2 e−2R A (2.576) (2.577) e quindi: E = A − 1 1 − α = B + i 2 2 √ 2A − 1 8R2 e−2R , A (2.578) oppure, nello stesso ordine di approssimazione: √ E = B + i 2B 4R2 e−2R . A (2.579) Segue per x < R: U = √ · µ ¶ ¸ A − 1 2 −2R 2B 2 −2R ex eiBt 2 x e−x − R e +i R e A A x √ 2B 2 −2R − 4R e A ×e , (2.580) come si era già trovato. Anche per questa via si può quindi determinare la 191 Volumetto 2: 23 aprile 1928 vita media T :54 A e2R T = √ . 2B 8R2 (2.581) II. √ L’espressione della vita media T mostra come essa sia proporzionale a A/ 2B, in cui B ricordiamo è l’energia media dell’elettrone, o ciò che è lo stesso, l’energia cinetica media che esso possiede quando attraversa la sfera di raggio R. E poiché, con grandissima approssimazione B '√A−1/2, avremo anche che la vita media è proporzionale a (B + 1/2)/ 2B. Se facciamo A = 1/2, cioè uguale proprio al potenziale di ionizzazione sarà B = 0, e la vita media diventa naturalmente infinita. Ciò che sorprende è però che al crescere di B le probabilità di ionizzazione nell’unità di tempo crescono fino a toccare il massimo per un determinato valore di B e poi decrescono tendendo a zero per B che tende all’infinito. Si ha il massimo per B = 1/2 e quindi A = 1, cioè al doppio del potenziale di ionizzazione. La vita media minima sarà dunque: T = e2R . 8R2 (2.582) La spiegazione del paradosso risiede nel fatto generale che, se esiste una superficie netta di separazione fra due regioni a potenziale diverso, essa si comporta come superficie riflettente non solo per le particelle provenienti dalla regione a più bassa energia potenziale, ma anche per quelle provenienti dalla parte opposta, purché l’energia cinetica, positiva o negativa, sia in valore assoluto piccola rispetto al salto brusco dell’energia potenziale. III. Abbiamo visto che l’energia E dell’elettrone non è rigorosamente determinata. Possiamo parlare di probabilità che essa sia compresa tra E e E + dE o, ciò che è lo stesso, di probabilità che la velocità di uscita dell’elettrone sia compresa tra v e v + dv. Avremo per la (2.541) √ √ v = 2E ' 2B + 2π γ (2.583) dv 54∗ ' 2π dγ, (2.584) T si trova senza difficoltà in base alla (2.543): √ A − 1 2 −2R 2B α= 8R e −i 8R2 e−2R A A α coincide con α relativo allo stato parzialmente stazionario considerato in questa pagina. La dimostrazione è analoga a quella che richiede la (2.564). 192 Volumetto 2: 23 aprile 1928 ma la probabilità che γ sia compreso fra γ e γ + dγ è c2 dγ ; dalla (2.554), la probabilità che v sia compreso tra v, v + dv sarà: (Ae2R /4πR2 )dv (Ae2R /4πR2 )dv √ ' . 1 + (π 2 A2 e4R /4R4 )γ 2 1 + (A2 e4R /16R4 ) (v − 2B)2 (2.585) La curva delle energie è naturalmente della stessa forma in prima approssimazione. La probabilità per unità d’energia è: √ Ae2R /4π 2BR2 K1 /π = 1 + K22 (E − B)2 1 + (A2 e4R /32BR4 ) (E − B)2 1/πK = . (2.586) 1 + (E − B)2 /K 2 Come faremo vedere in seguito, a proposito dei fenomeni radioattivi, si trova sempre la stessa curva quando si ha a che fare con stati quasi stazionari, qualunque sia la distribuzione (con simmetria sferica) del potenziale. Il parametro K che ne definisce l’ampiezza, è legato alla vita media dalla relazione 1 K = = τ, (2.587) 2T e, ricordando che nelle nostre unità h = 2π, passando alle unità solite: K = ~ , 2T (2.588) conforme qualitativamente alle generali relazioni d’incertezza. IV. Spingiamo oltre l’approssimazione per x > R. Manteniamo la definizione (2.542) di γ. Avremo: √ E = B + 2π 2B γ (2.589) e in luogo della (2.541), in seconda approssimazione: √ √ 2π 2 2 γ 2E = 2B + 2π γ − √ 2B e in luogo della (2.561) dovremo scrivere: · √ Z ∞ eR M + Ni U = eiEt ei 2B(x−R) R 2 −∞ 193 (2.590) Volumetto 2: 23 aprile 1928 ½ ¾ √ 2π 2 iγ 2 × exp 2πi[ 2Bt + (x − R)]γ − √ (x − R) dγ 2B Z ∞ √ M − Ni −i 2B(x−R) +e 2 −∞ ½ ¾ ¸ √ 2π 2 iγ 2 × exp 2πi[ 2Bt − (x − R)]γ + √ (x − R) dγ . 2B 2.35 (2.591) Urto di una particella α contro un nucleo radioattivo Consideriamo una particella α in punto di essere emessa da un nucleo radioattivo, come formante un’onda quasi stazionaria. Quest’onda, come ha mostrato Gamov, si disperde praticamente all’infinito dopo un certo tempo; in altre parole la particella si trova instabilmente in prossimità del nucleo e dopo qualche tempo finisce per allontanarsene indefinitamente. Noi cominceremo a studiare minutamente i caratteri di quest’onda quasi stazionaria, per poi affrontare il problema inverso a quello propostosi da Gamov:55 determinare la probabilità che una particella α urtando, in date condizioni contro un nucleo che ha subito una trasformazione radioattiva α, venga da esso catturata in modo da ricostituire un nucleo della sostanza che precede nella genealogia radioattiva. La questione è stata accennata poco seriamente da Kudar, e si ricollega direttamente alla nota ipotesi secondo la quale in condizioni fisiche affatto differenti da quelle che siamo avvezzi a considerare, può aver luogo un processo di reintegrazione degli elementi radioattivi; dai più semplici ai più complessi. Supponiamo, seguendo Gamov, che il quanto azimutale della particella a contatto del nucleo sia nullo, cosı̀ che venga realizzata la simmetria sferica. Prescindiamo ancora dal trascinamento del resto nucleare, e ciò solo per semplicità di discorso perché il tenerne conto non presenta alcuna difficoltà; anzi ai risultati esatti si perviene senz’altro con ovvie modificazioni delle 55 Di nuovo l’Autore si riferisce a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204: vedi la nota precedente. 194 Volumetto 2: 23 aprile 1928 formole finali. Ponendo al solito ψ = χ/x, avremo per gli stati stazionari a simmetria sferica: d2 χ 2m + 2 (E − U ) χ = 0. dx2 ~ (2.592) Oltre una distanza R, abbastanza grande che potremo supporre dell’ordine delle dimensioni atomiche, U praticamente si annulla. La funzione χ sarà allora simmetrica per E > 0. La chiarezza delle nostre dimostrazioni richiede che per x > R si possa ritenere rigorosamente U = 0, ma sarà chiaro che nessuna sostanziale causa di errore potrà essere per tal via introdotta nei nostri calcoli. Consideriamo per ora le χ come funzioni solo del posto e le supposizioni, come è lecito, reali. Conveniamo ancora di normalizzare in guisa che: Z R χ2 dx = 1. (2.593) 0 Si immagini ora che esista uno stato quasi stazionario e parimenti che si possa costruire una funzione u0 la quale si annulli per x > R, soddisfi alla condizione: Z R |u0 |2 dx = 1, (2.594) 0 e inoltre nei punti in cui u0 è grande obbedisca56 all’incirca all’equazione differenziale (2.592). Questa funzione u0 sarà adatta a rappresentare la particella α nell’istante iniziale. Potremo svilupparla secondo le funzioni χ che si ottengono facendo variare E entro un tempo ristretto. Porremo: E = E0 + W. (2.595) La possibilità dello stato quasi stazionario sarà rivelata dal fatto che per x < R le funzioni χ, normalizzate secondo la (2.593), e le loro derivate sono piccole quando W è piccolo. In prima approssimazione potremo porre per x < R: 56∗ χW = χ0 + W y(x) χ0W = χ00 + W y 0 (x) (2.596) Per un valore approssimativamente determinato di t, mentre è quasi reale. 195 Volumetto 2: 23 aprile 1928 e ciò, per poco che U abbia un andamento ragionevole, con approssimazione esuberante e per tutto il campo di variabilità di W che ha praticamente interesse. In particolare per x = R: χW (R) = χ0 (R) + W y(R) χ0W (R) = χ00 (R) + W y 0 (R). (2.597) E ricordando che per x > R la (2.592) si riduce semplicemente nella forma d2 χW 2m + 2 (E0 + W ) χW = 0 dx2 ~ (2.598) si avrà per x > R χW = (a + bW ) cos 1p 2m(E0 + W )(x − R) ~ 1p 2m(E0 + W )(x − R), + (a1 + b1 W ) sin ~ (2.599) essendosi posto: a = χ0 (R), a1 = p ~ χ00 (R) , 2m(E0 + W ) b = y(R) b1 = p ~ y 0 (R) . 2m(E0 + W ) (2.600) Come si vede a1 e b1 non sono rigorosamente costanti; ma nell’ordine d’approssimazione entro cui il nostro problema è determinato possiamo considerarle come tali e sostituire alle ultime dalla (2.600): ~ χ0 (R) a1 = √ 0 , 2mE0 ~ y 0 (R) b1 = √ . 2mE0 (2.601) Inoltre, poiché E0 non è completamente determinato, possiamo sceglierlo in guisa da semplificare la (2.599); possiamo √ allo stesso scopo spostare R di una frazione della lunghezza d’onda h/ 2mE0 . Si troverà allora che è sempre possibile sostituire alla (2.599) l’espressione più semplice: p χW = α cos 2m(E0 + W ) (x − R)/ ~ (2.602) p + βW sin 2m(E0 + W ) (x − R)/ ~. 196 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Porremo: p √ 2m(E0 + W ) / ~ = 2mE0 / ~ + 2π γ = C + 2π γ, (2.603) e sarà in prima approssimazione: 2π γ ' W W p = , ~v ~ 2E0 /m (2.604) essendo v la velocità (media) con cui le particelle vengono espulse. Sostituendo nella (2.602) avremo approssimativamente: χW = α cos(C + 2πγ)(x − R) + β 0 γ sin(C + 2πγ)(x − R), essendo: β 0 = β 2π~ p 2E0 /m. (2.605) (2.606) Le χW sono per ora normalizzate in modo che Z R χ2W dx = 1. 0 Indicheremo con ηW le stesse autofunzioni normalizzate rispetto a dγ. Otteniamo sempre per x > R: ηW = p α2 2 [α cos(C + 2πγ)(x − R) + β 02 γ 2 ¤ + β γ sin(C + 2πγ)(x − R) = p 2 χW . α2 + β 02 γ 2 0 (2.607) Sviluppiamo ora u0 , che rappresenta come si è detto la particella α nell’istante iniziale, secondo le ηW ; avremo: Z ∞ Kγ ηW dγ u0 = (2.608) −∞ e poiché u0 = χW per x ≤ R e perciò Z ∞ Z R 2 2 Kγ = ηW u0 dx = p χ2W dx = p , α2 + β 02 γ 2 0 α2 + β 02 γ 2 0 (2.609) 197 Volumetto 2: 23 aprile 1928 sostituendo nella (2.608) otteniamo Z ∞ u0 = −∞ 4 χW dγ. α2 + β 02 γ 2 (2.610) Ora, per piccoli valori di x, le χW coincidono tra loro e coincidono del pari con u0 ; dovrà quindi essere: Z ∞ 4 4π 1 = dγ = ± , (2.611) 2 02 2 αβ 0 −∞ α + β γ (si riconosce senza difficoltà che dovremo scegliere il segno inferiore); cioè esiste necessariamente la relazione: β0 = − 4π α (2.612) A causa della (2.604), introducendo la dipendenza dal tempo avremo approssimativamente: n p o Z ∞ 4χW exp 2πi 2E0 /m γt iEt/~ u = e dγ. (2.613) α2 + 16π 2 γ 2 /α2 −∞ Per piccoli valori di x, confondendosi le χW con u0 si avrà: n o p u = u0 eiE0 t/~ exp −α2 2E0 /m t/2 , (2.614) ovvero u = u0 eiE0 t/~ e−t/2T , (2.615) essendo T la vita media. Si ricava: T = α2 p 1 1 = 2 . α v 2E0 /m (2.616) Cosı̀, ricordando la (2.612), tanto α che β 0 vengono espressi in funzione soltanto di T : α = β0 = ±1 ±1 √ = p 4 vT 2(E/m)T 2 p √ ∓4π vT = ∓4π 4 2(E/m)T 2 . 198 (2.617) (2.618) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Si rileverà che ad uno stato stazionario corrisponde nella teoria classica un’orbita di tipo iperbolico. Il periodo di rivoluzione, o meglio l’intervallo fra i due passaggi attraverso la sfera di raggio r è data da PW = 4 , (α2 + β 02 γ 2 )v (2.619) e il valore massimo si ha per W = 0: PW = 4 = 4T. α2 v (2.620) La probabilità che si presentino i singoli stati stazionari sono, per la (2.609), proporzionali a detti periodi di rivoluzione, come un ragionamento puramente classico farebbe prevedere. Si può ancora determinare T ragionando classicamente. Infatti se una particella si trova nell’orbita W e, per ipotesi, all’interno della sfera di raggio R, vi rimane ancora, in media, per un tempo TW = (1/2)PW = (2/v)/(α2 + β 02 γ 2 ), e il valore medio di TW sarà: Z ∞ 2 dγ TW 1 0 TW = Z ∞ = 2 = T. (2.621) α v TW dγ 0 Si deve però avvertire che se si spingesse oltre il ragionamento analogico fino a determinare la forma della curva di sopravvivenza, si andrebbe incontro a un risultato errato. L’autofunzione u ha l’espressione nella (2.614) solo per piccoli valori di x. Trascurando ciò che avviene per x non molto piccolo, ma minore di R, e venendo senz’altro al caso x > R, si ha per le (2.606) e (2.610): ·Z ∞ 4α cos(C + 2πγ)(x − R) 2πivγt u = eiE0 t/~ e dγ α2 + β 02 γ 2 0 ¸ Z ∞ 4β 0 γ sin(C + 2πγ)(x − R) 2πivγt + e dγ , (2.622) α2 + β 02 γ 2 0 in cui α e β 0 dipendono da T secondo le equazioni (2.617), (2.618). La (2.622) si può scrivere: · Z ∞ (2α − 2iβ 0 γ) 2πi(vt+x−R)γ iE0 t/~ u = e eiC(x−R) e dγ α2 + β 02 γ 2 0 ¸ Z ∞ (2α + 2iβ 0 γ) 2πi[vt−(x−R)]γ (2.623) + e−iC(x−R) e dγ α2 + β 02 γ 2 0 199 Volumetto 2: 23 aprile 1928 e ricordando che α e β 0 sono di segno opposto e che per t > 0 e x > R, sarà vt + x − R > 0, si trova che il primo integrale si annulla, mentre il secondo vale: Z ∞ Z ∞ 2πi[vt−(x−R)]γ (2α + 2iβ 0 γ) 2πi[vt−(x−R)]γ e e dγ = 2 dγ 2 + β 02 γ 2 α α − iβ 0 γ 0 0  4π 2 4π 2π(α/β 0 )[vt−(x−R)]  = − 0 e−(α /2)[vt−(x−R)]  − 0 e β β =   0 (2.624) Sostituendo nella (2.625) e ricordando che per la (2.603) C = mv/~, si ha infine:   α eiE0 t/~ e−imv(x−R)/~ e−t/2T e(x−R)/(2vT ) u = (2.625)  0 per vt − (x − R) > 0 e per vt − (x − R) < 0. Vogliamo ora supporre che il nucleo abbia perduto la particella α; ciò significa che sarà inizialmente u0 = 0 in prossimità del nucleo. Si tratta di valutare la probabilità che il nucleo riassorba una particella α quando venga bombardato con un fascio parallelo di particelle. Per caratterizzare il raggio incidente, dovremo assegnare l’intensità per unità d’area, l’energia d’ogni particella e la durata del bombardamento. Ora le sole particelle che abbiano elevata probabilità di essere assorbite sono quelle che hanno un’energia prossima a E0 , con un’incertezza dell’ordine di h/T ; d’altra parte la durata τ del bombardamento, per la chiara interpretabilità dei risultati, deve essere piccola di fronte a T ; segue che l’energia delle particelle restanti non può essere determinata, per la relazione d’incertezza, che con un errore molto più grande di h/T . In luogo di parlare di intensità per unità d’area, dovremo dunque parlare di intensità per unità d’area e unità di energia per valori prossimi a E0 . Sia N il numero delle particelle passate in tutta la durata τ del bombardamento per unità d’area e di energia. Sia inizialmente l’onda piana incidente compresa fra due piani paralleli di ascissa (distanza dal nucleo) d1 e d2 = d1 + `. Per l’ipotesi fatta che l’onda sia inizialmente piana sarà: u0 = u0 (ξ), 200 (2.626) Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo ξ l’ascissa di un piano generico parallelo ai primi due. Per ξ < d1 oppure ξ > d2 , sarà u0 = 0. Vogliamo inoltre supporre d1 > R ed anche, ciò che non implica nuove restrizioni, ` = ρ m p h h = ρ = ρ λ, mv 2E0 /m (2.627) essendo ρ un numero intero e λ la lunghezza d’onda della particella α emessa. Possiamo sviluppare ψ0 tra d1 e d2 in serie di Fourier e quindi in una somma di termini del tipo kσ eσ2πi(ξ−d1 )/` (2.628) con σ intero. I termini con σ negativo rappresentano, grosso modo, particelle che si allontanano; possiamo supporli nulli. Fissiamo l’attenzione sul termine kρ eρ2πi(ξ−d1 )/` = kρ eimv(ξ−d1 )/~ (2.629) e poniamo57 u0 = ψ0 + kρ eimv(ξ−d1 )/~ . (2.630) Le autofunzioni di una particella libera, mobile in direzione normale all’onda in arrivo, sono normalizzate rispetto a dE: 58 √ 1 ei 2mE(ξ−d1 )/~ . 2hE/m ψσ = p (2.631) Si deve intendere che E vari due volte tra zero e infinito attribuendo al radicale che figura all’esponente una volta il segno positivo e una volta il negativo; a noi interessano solo le autofunzioni al radicale positivo, le quali rappresentano particelle in marcia verso le ξ decrescenti. Possiamo porre: Z ∞ ψ0 = cE ψρ dE (2.632) 0 e sarà Z cE = d2 ψ0 ψρ∗ dξ. (2.633) d1 57 Si noti che l’Autore ha diviso la funzione d’onda della particella incidente in un termine corrispondente all’energia principale E0 (il secondo termine nella (2.630)) più un altro termine che sarà sviluppato a partire dalla (2.632). 58 Nel manoscritto originale queste autofunzioni sono indicate con ψ , ma qui, ρ per chiarezza, saranno indicate con ψσ . 201 Volumetto 2: 23 aprile 1928 In particolare: Z cE0 = = d2 1 ψ0 √ e−imv(ξ−d1 )/~ dξ hv d1 Z d2 kρ ` 1 kρ ` √ + ψ0 √ e−imv(ξ−d1 )/~ dξ = √ . (2.634) hv hv hv d1 e poiché evidentemente: N = c2E0 , (2.635) si trae: kρ2 `2 . (2.636) hv Immaginiamo ora di sviluppare u0 secondo le autofunzioni relative al campo centrale prodotte dal resto nucleare. A noi interessa solo quella parte dello sviluppo che si riferisce alle autofunzioni dotate di simmetria sferica con autovalore molto prossimo a E0 , perché, nelle nostre ipotesi, solo esse assumono grandi valori in prossimità del nucleo. Di tali autofunzioni conosciamo l’espressione per x > R data dalle equazioni (2.607), (2.617), (2.618). In realtà le ηW date dalla (2.607) sono le autofunzioni relative al problema ridotto in una dimensione. Per avere le autofunzioni spaziali, sempre normalizzate rispetto a dγ, si dovrà porre: N = ηW . gW = √ 4πx (2.637) Dovremo dunque porre: Z ∞ ψ0 = pγ gW dγ + . . . (2.638) 0 e sarà ZZZ pγ = Z dS gW ψ0 = d2 Z x 2π x gW dx d1 ψ0 dξ. (2.639) d1 Possiamo porre: h i 1 gW = √ Aγ ei(C+2πγ)(x−d1 ) + Bγ e−i(C+2πγ)(x−d1 ) , 4πx 202 (2.640) Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo per la (2.607). Aγ Bγ = α − iβ 0 γ p ei(C+2πγ)(d1 −R) α2 + β 02 γ 2 = α + iβ 0 γ p e−i(C+2πγ)(d1 −R) . α2 + β 02 γ 2 (2.641) Ora noi possiamo supporre d1 , e quindi d2 , grandi quanto si vuole; non cosı̀ ` = d2 − d1 perché la durata del bombardamento, che è dell’ordine di `/v, deve essere trascurabile di fronte a T . Sarà allora trascurabile, in senso assoluto, 2πγ` perché 2πγ è dell’ordine di α2 , ovvero (2.616) di 1/vT . Per d1 < x < d2 allora è possibile riscrivere la (2.640) come: h i 1 Aγ eimv(x−d1 )/~ + Bγ e−imv(x−d1 )/~ , gW = √ (2.642) 4πx ferme restando le posizioni (2.641). Sostituiamo nella (2.639), e teniamo conto delle equazioni (2.630) e (2.636). Avremo semplicemente: Z d2 Z x 2πBγ pγ = √ e−imv(x−d1 )/~ dx eimv(ξ−d1 )/~ dξ 4π d1 d1 √ Bγ h3/2 N hBγ kρ ` √ = √ (2.643) = √ = q Bγ , i 4π m v i 4π m v essendo h3/2 N 1/2 √ . i m v 1/2 4π q = (2.644) Sostituendo nella (2.638), Z ∞ ψ0 = q Bγ gW dγ + . . . (2.645) 0 e in un istante qualunque: Z ∞ ψ = eiE0 t/~ q Bγ gW e2πivγt dγ + . . . , (2.646) 0 e tenendo conto delle equazioni (2.637) e (2.607): Z ∞ q 2Bγ iE0 t/~ p √ ψ = e χW e2πivγt dγ + . . . 4πx 0 α2 + β 02 γ 2 203 (2.647) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Vogliamo ora indagare il comportamento di ψ in prossimità del nucleo; i termini non scritti del suo sviluppo possono dare ivi un contributo notevole solo per un tempo breve dopo il passaggio dell’onda; almeno se escludiamo che esistano altri stati quasi stazionari oltre quello in esame. Trascurandoli, avrà ψ simmetria sferica in prossimità del nucleo. Porremo: ψ = √ u , 4πx (2.648) in modo che il numero di particelle eventualmente catturate sarà espresso da Z (2.649) |u2 | dx (esteso fino a una distanza ragionevole, ad es. R). Sostituendo nella (2.647), avremo, badando che per x piccolo, è approssimativamente χw = χ0 : Z ∞ 2 u = q χ0 eiE0 t/~ (2.650) e2πi[vt−(d1 −R)]γ dγ α − iβ 0 γ 0 e poiché come si è già notato αβ 0 < 0, e ponendo d = d1 −R, dalle equazioni (2.617), avremo:  t − d/v t − d/v   − d   q α χ0 eiE0 t/~ e− 2T 2T , per t >  = q α e−iCd e v u =      0, per t < d v (2.651) Il significato di queste formole è chiarissimo: il raggio di particelle α, che abbiamo supposto di breve durata, investe il nucleo nell’istante t = d/v, e vi è la probabilità |qα|2 che una particella sia catturata (naturalmente dovrà essere q 2 α2 ¿ 1). Dopo di ciò, cessa l’azione del raggio incidente e se una particella è stata catturata, viene espulsa dopo un certo tempo secondo le leggi dei fenomeni radioattivi. Ponendo n = |qα|2 , si ha dalle (2.616) e (2.644) n = 2π 2 ~3 N, m2 v 2 T (2.652) cioè le probabilità d’assorbimento sono del tutto indipendenti da qualunque ipotesi sull’andamento del potenziale in prossimità del nucleo e sono 204 Volumetto 2: 23 aprile 1928 legate alla vita media T . 59 Alla formola (2.652), che è stata tratta da considerazioni esclusivamente meccaniche, si arriva anche per via termodinamica. Si immagini uno dei nostri nuclei radioattivi immerso in un’atmosfera di particelle α in agitazione termica. Nell’ordine d’approssimazione in cui abbiamo trattato fin qui il problema, si può ritenere il nucleo fermo. Una particella in contatto con esso si trova in uno stato quantico di peso statistico semplice, essendosi supposta la simmetria sferica; il fatto che tale stato quantico, di energia E0 , non sia rigorosamente stazionario, ma abbia una vita media finita, deve considerarsi, come in tutti i casi analoghi, quale un effetto di 59 Il manoscritto originale continua con due lunghe frasi che sono state, tuttavia, cancellate dall’Autore. La prima è la seguente: “Poiché sono assorbite solo le particelle d’energia prossima a E0 , possiamo ammettere, cadendo un po’ nella metafisica, che ad ogni energia E0 + W corrisponda un diverso coefficiente d’assorbimento `W , che `W sia proporzionale alla probabilità che una particella nello stato quasi stazionario abbia l’energia E0 + W ; cioè per le equazioni (2.604), (2.612), (2.616) e (2.609): `W = D . 1 + 4T 2 W 2 /~2 (2.653) e poiché le particelle incidenti per unità d’area e di energia compresa tra (E0 +W ) e (E0 + W ) + dW sono in numero di N dW , dovrà essere: Z ∞ π~ , (2.654) n = N `W dW = N D 2T −∞ da cui, confrontando con (2.652), D = 1 h2 λ2 , = π m2 v 2 π (2.655) che dà in forma semplicissima la sezione di assorbimento per le particelle di energia E0 , cioè per quelle che hanno il massimo coefficiente d’assorbimento. Ponendo: N0 = N π~ , 2T (2.656) la (2.652) diventa: λ2 0 N , (2.657) π 0 che significa che l’assorbimento di N di particelle di energia E0 è equivalente all’assorbimento di N di particelle per unità di energia.” Il secondo paragrafo non verrà qui riprodotto, in quanto appare essere incompleto. n = 205 Volumetto 2: 23 aprile 1928 secondo ordine. Se la densità e temperatura del gas di particelle α è tale che ne esistono D per unità di volume e unità di energia, prossima a E0 , ne esisteranno per unità di volume e in un intervallo di energia dE: D dE (2.658) e indicando con p la quantità di moto, sarà: p = dp = √ 2mE0 r m dE, 2E0 (2.659) (2.660) nelle quali si è scritto sotto i segni di radice E0 in luogo di E appunto perché dobbiamo considerare le particelle di energia prossime a E0 . Le DdE particelle occupano nello spazio ordinario un volume 1 e in quello dei momenti il volume compreso tra due sfere di raggi p e p+dp; cioè occupano nello spazio delle fasi il volume: p (2.661) 4π p2 dp = 4π m2 2E0 /m dE = 4π m2 v dE. In tale volume è compreso un numero di stati quantici pari a m2 v dE 2π 2 ~3 (2.662) Segue che in ogni stato quantico di energia prossima a E0 , si trovano in media 2π 2 ~3 D (2.663) m2 v particelle. Altrettanto se ne troveranno in media nel nucleo, purché l’espressione (2.663) abbia un valore molto piccolo di fronte all’unità, ché solo in tal senso è lecito trascurare l’interazione fra le particelle. Poiché le particelle nel nucleo hanno una vita media T , ne saranno espulse nell’unità di tempo 2π 2 ~3 D n = (2.664) m2 vT e altrettante ne debbono essere assorbite per l’equilibrio. Ora D particelle per unità di volume e di energia equivalgono riguardo alla probabilità di urto con il nucleo e quindi di assorbimento da parte di esso, a un fascio 206 Volumetto 2: 23 aprile 1928 parallelo di N = Dv particelle per unità d’area, di energia e di tempo. Sostituendo si trova: 2π 2 ~3 n = N, (2.665) m2 v 2 T che è appunto la formola (2.652). 2.36 Potenziale ritardato (Si veda il paragrafo 1.2.) Consideriamo una soluzione periodica della (1.21) e sia: H = u sin ωt, (2.666) essendo u indipendente dal tempo. Varrà l’equazione: ω2 u = 0 c2 (2.667) grad 2 u + k2 u = 0. (2.668) grad 2 u + e ponendo k2 = ω 2 /c2 , troviamo e la (1.33) diventa: u sin ωt = 1 4π Z · µ ∂u sin ω(t − r/c) u cos ϕ + r ∂n i dσ ωr + u cos ϕ cos ω(t − r/c) , c r2 ¶ (2.669) e quindi: µ ¶ ¸ ∂u ωr ωr dσ u cos ϕ + r + u cos ϕ sin . ∂n c c r2 (2.670) Se le distanze che si considerano (r) sono grandi rispetto alla lunghezza d’onda si avrà semplicemente: µ ¶ Z 1 1 ∂u ωr ω ωr u = dσ, (2.671) cos + u cos ϕ sin 4π r ∂n c c c 1 u = 4π Z · ωr cos c 207 Volumetto 2: 23 aprile 1928 σ φ r O ovvero, introducendo la lunghezza d’onda: u = 1 2λ Z 1 r µ λ ∂u 2πr 2πr cos + u cos ϕ sin 2π ∂n λ λ ¶ dσ, (2.672) in cui, si badi bene, si ha a che fare con onde stazionarie 2.37 L’equazione y 00 = xy Di tale equazione differenziale è facile trovare soluzioni approssimate con il metodo di Wentzel (vedi il paragrafo 2.32 e anche 2.6).Tali soluzioni cadono in difetto per x prossimo a zero; sorge cosı̀ il problema del raccordo tra le espressioni asintotiche valevoli per x maggiore di zero (almeno di qualche unità) e quelle valevoli per x < 0. Poiché l’equazione è omogenea, basta conoscere il raccordo per due particolari soluzioni per saperlo costruire, in generale, per una soluzione qualunque. Consideriamo le soluzioni 208 Volumetto 2: 23 aprile 1928 particolari: M N x3 x6 x9 + + + ... 2·3 2·3·5·6 2·3·5·6·8·9 = 1+ = x7 x10 x4 + + + ... x + 3·4 3·4·6·7 3·4·6·7·9·10 (2.673) Per |x| > 4 le espressioni asintotiche di prima e ancor meglio di seconda approssimazione sono praticamente esatte. Basta quindi calcolare, in base alla (2.673), i valori di M, N, M 0 , N 0 per x = ±4. I valori sono riportati nella tabella. 60 x −4 0 4 M 0.2199 1 68.1777 M0 −1.2082 0 131.6581 N 0.5732 0 93.5172 N0 1.3972 1 180.6092 L’andamento grafico nell’intervallo −4 < x < 0 è qui all’ingrosso rappresentato. 60 Si noti che i valori numerici riportati nella tabella, cosı̀ come sono scritti nel manoscritto originale, sono stati ottenuti dalle equazioni (2.673) prendendo gli sviluppi fino al decimo termine non nullo (e lo stesso vale per le derivate), il che significa fino ai termini di potenza x27 e x28 per M e N (e x29 , x30 per M 0 e N 0 , rispettivamente). 209 Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.38 Degenerazione di risonanza con più elettroni Consideriamo n elettroni q1 , q2 , . . . , qn in n orbite definite dalle autofunzioni ψ1 , ψ2 , . . . , ψn con autovalori in generale diversi. Se trascuriamo in approssimazione zero l’interazione potremo assumere come autofunzione del sistema il prodotto delle singole autofunzioni e poiché si possono ordinare in n! modi differenti i vari elettroni avremo n! autofunzioni indipendenti, di cui una generica è data da: Ψr = ψ1 (qr1 ) ψ2 (qr2 ) ·s ψn (qrn ), (2.674) essendo r1 , r2 , . . . , rn una qualunque permutazione dei primi n numeri. Indichiamo con Pr la sostituzione: µ ¶ 1 2 3 ... n . (2.675) a1 a2 a3 . . . a n Definiamo altresı̀ Pr come operatori su una funzione di n variabili e di n gruppi di variabili, che indichiamo brevemente con q: Pr f (q) = f (Pr q), (2.676) in cui Pr va inteso al primo membro come operatore e al secondo come sostituzione che altera l’ordine delle variabili indipendenti. È chiaro che il suo doppio significato non dà mai luogo a equivoci. Conveniamo inoltre che P1 sia la permutazione identica. Segue dalla (2.674): Ψ1 = ψ1 (q1 ) ψ2 (q2 ) ·s ψn (qn ), (2.677) e dalle equazioni (2.674), (2.676) e (2.677), Ψr = Pr Ψ1 . (2.678) Introduciamo nell’Hamiltoniana, come termine di perturbazione, l’interazione H, che dovremo supporre simmetrica rispetto alla q, di modo che Pr H(q) = H(q) r = 1, 2, . . . , n! Il termine Hrs della matrice di perturbazione sarà: Z Z Hrs = Ψ∗r H Ψs dq = Pr ψ1∗ H Ps ψ1 dq, 210 (2.679) (2.680) Volumetto 2: 23 aprile 1928 essendo dq ovviamente l’elemento di volume nello spazio delle q. Osserviamo che l’ultimo integrale va da −∞ a ∞ per tutte le variabili e non dipende quindi dalle q, cosicché l’operatore Pr si riduce all’unità quando si applica ad esso. Avremo in particolare: (. . . )61 2.39 Formole varie 2.39.1 Formole di Schwarz Formole di Schwarz:: ¯ n ¯2 n n ¯X ¯ X X ¯ ¯ ai b i ¯ ≤ a2i · b2i . ¯ ¯ ¯ i=1 i=1 (2.681) i=1 Infatti: n X a2i i=1 · n X i=1 b2i ¯ ¯2 n n ¯X ¯ 1 X ¯ ¯ − ¯ a i bi ¯ = (ai bj − aj bi )2 . ¯ ¯ 2 i=1 i,j=1 (2.682) Se si intende che ogni coppia di valori i, j vada presa una volta sola per il che, notando che i termini per cui i = j si annullano, basterà aggiungere 1X ad es. la condizione i < j, si può in luogo di (ai bj − aj bi )2 scrivere: 2 i,j X (ai bj − aj bi )2 . i<j Seconda formola di Schwarz: ¯Z b ¯2 Z ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ y z dx ¯ ¯ a b a Z y 2 dx b z 2 dx (2.683) a (con b > a). 61 Questo paragrafo è stato evidentemente lasciato incompleto dall’Autore. 211 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Infatti: Z b Z y 2 dx a = 2.39.2 1 2 b ¯Z ¯ z 2 dx − ¯¯ a x=b Z ξ=b Z x=a b a ¯2 ¯ y z dx¯¯ [y(x) z(ξ) − y(ξ) z(x)]2 dx dξ. (2.684) ξ=a Valor massimo di variabili casuali Siano x1 , x2 , . . . , xn n variabili casuali indipendenti che obbediscono alla stessa legge normale di distribuzione: 2 1 Px = √ e−x π (2.685) o, se si vuole, n determinazioni indipendenti dalla variabile normale x. Indichiamo con y la più grande (in valore algebrico) della x. La sua legge di distribuzione sarà evidentemente: µ ¶n d 1 − θ(y) Py = (2.686) dy 2 essendo: 2 θ(y) = √ π Z y 2 e−y dy. (2.687) 0 Se n è grande, saranno anche grandi i valori di x per cui Py ha un valore sensibile. Limitandoci a questa parte della curva che rappresenta Py , possiamo ricercarne l’andamento asintotico per n grande, in base alla formola 3) del paragrafo 2.27. Avremo in prima approssimazione: Ã Py d = dy e−y 1 − 2 π y 1 √ 2 !n , (2.688) ovvero approssimativamente: Py ) ( 2 d ne−y = ; exp − √ dy 2 2y 212 (2.689) Volumetto 2: 23 aprile 1928 e con una nuova approssimazione: ( Ã !) 2 n ne−y √ Py = √ exp − + y2 . π 2 2y Indichiamo con y0 l’ascissa per cui Py è massimo. Poiché: Ã ! 2 2 2 n n e−y d n e−y 2 √ + y = − √ e−y − √ + 2y, dy 2 π y π 2 π y2 sarà in prima approssimazione: √ y0 = log n, 2 n √ e−y0 2 π √ log n, (2.691) errore assoluto → 0 errore assoluto → 0 2 e−y0 2 π y0 n √ = (2.690) 2 e−y0 = 1 = √ 2 π log n , n errorerelativo → 0. Segue: Py0 ( ) √ 2 n −y02 n e−y0 2 log n = √ e exp − √ = . e π 2 π y (2.692) cosicché di Py conosciamo l’ordinata massima e l’ascissa corrispondente: p y0 = log n (2.693) √ 2 log n 2y0 Py0 = (2.694) = . e e Segue ancora che l’ampiezza di Py (intervallo in cui Py è grande) √ è dell’ordine di 1/y0 . Non abbiamo ancora stabilito se y0 sia data da log n con approssimazione d’ordine maggiore di 1/y0 , come è desiderabile. Conviene procedere per altra via. Poiché: µ ¶n Z y 2 d 1 √ Py = e−y dy (2.695) , dy π −∞ 213 Volumetto 2: 23 aprile 1928 se deve essere Py0 0 = 0, abbiamo: Z 2 (n − 1) e−y0 = 2y0 y 2 e−y dy, (2.696) −∞ cioè con errore relativo tendente a zero 2 n √ e−y0 = y0 . 2 π (2.697) Passando ai logaritmi, a meno di infinitesimi: √ log n − log 2 π − y 2 = log y. Poniamo y0 = √ log n + ²; si avrà in prima approssimazione: p p √ − log 2 π − 2² log n = log log n, cioè ² = − √ log 2 π log n √ , 2 log n cioè l’espressione di y0 in seconda approssimazione è: √ p log 2 π log n √ y0 = log n − . 2 log n (2.698) (2.699) (2.700) (2.701) Segue che il termine correttivo tende a zero meno rapidamente dell’am√ piezza pratica della curva che rappresenta Py che è dell’ordine 1/ log n; conviene quindi tenerne conto. √Un’ulteriore approssimazione non darebbe correzioni comparabili con 1/ log n. Conviene quindi assumere come determinazioni di prima approssimazione per y0 e Py0 : √ p log 2 π log n √ y0 = log n − (2.702) 2 log n √ 2 log n Py 0 = , (2.703) e oppure: Py0 = 214 2y0 . e (2.704) Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.39.3 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Coefficienti binomiali 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 462 1 924 1 1 1716 13 1 3003 91 1 5005 455 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56 84 120 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 1 7 28 84 210 1 8 36 120 11 330 12 792 55 165 66 495 165 55 220 220 330 11 495 66 462 1 792 12 13 1716 1 14 3432 14 15 6435 105 78 1287 286 715 715 286 1287 78 91 3003 1 105 6435 15 364 2002 1001 1001 2002 364 455 5005 1 1365 3003 3003 1365 215 1 9 45 1 10 1 Volumetto 2: 23 aprile 1928 n 16 17 18 19 20 1 8008 1820 1 12376 6188 1 18564 18564 1 1 27132 50388 19 1 38760 125970 190 16 11440 560 17 19448 2380 18 31824 8568 120 12870 120 136 24310 680 153 43758 3060 560 11440 16 680 24310 136 816 48620 816 1820 8008 1 2380 19448 17 3060 43758 153 6188 12376 1 8568 31824 18 19 50388 27132 1 20 77520 77520 20 171 75582 11628 969 92378 3876 3876 92378 969 11628 75582 171 190 125970 38760 1 1140 167960 15504 4845 184756 4845 15504 167960 1140 216 4368 4368 Volumetto 2: 23 aprile 1928 2.39.4 Coefficienti dello sviluppo di 1/(1 − x)n Abbiamo ¶ ¶ ∞ µ ∞ µ X X 1 n+r−1 n+r−1 r = x = xr . r n−1 (1 − x)n r=0 r=0 Segue che µ cioè n+r−1 r ¶ ¶ r µ X n+r−2 , r = (2.705) (2.706) r=0 ¶ µ ¶ r µ X k−1+r k+r = . r r (2.707) r=0 Nella tabella riportiamo alcuni coefficienti dell’espansione di 1/(1 − x)n . r = n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.39.5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 3 0 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 4 0 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 5 0 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 6 0 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 7 0 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 11440 8 0 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310 9 0 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620 Relazione tra i coefficienti binomiali µ n−1 r−1 n X r=0 ¶ µ n−1 r + 1 2n+r µ n+r n 217 ¶ µ = n r ¶ (2.708) ¶ = 1 (2.709) Volumetto 2: 23 aprile 1928 (vedi paragrafo 1.32); ∞ X r=0 µ 1 2n+r n+r n ¶ = 2 (2.710) (vedi paragrafo 1.32). Segue che ∞ X r=1 1 µ 22n+r 2n + r n ¶ = 1 (2.711) ¶ µ ¶ l µ X n+r n+l+1 = r l (2.712) r=0 (vedi il punto precedente); cioè: ¶ µ ¶ l µ X n+r n+l+1 = n n+1 (2.713) r=0 2r>n X r=0 2.39.6 1 2r + 1 µ n 2r ¶ = 2n . n+1 (2.714) Valori medi di rn tra superfici sferiche concentriche (Si veda il paragrafo 1.21.) Sia P un punto di coordinate α = 0, β = 0, γ = 1, e P1 un punto della sfera di equazione α2 + β 2 + γ 2 = x2 < 1. (2.715) Detta r la distanza fra P e P1 , indicheremo con Sn il valore medio62 di rn : Sn = 1 4πx2 Z 4πx2 rn dσ = 0 1 4π Z 4π rn dω. (2.716) 0 62 In ciò che segue l’Autore indica con dσ, dω e dS, rispettivamente, l’elemento di superficie, l’elemento di angolo solido, e l’elemento di volume. 218 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Segue: x2 dSn dx = dSn dx = 1 4π 1 4π Z Z 4π grad rn ·u dω (2.717) 0 4πx2 grad rn ·u dσ, (2.718) 0 essendo u un vettore unitario normale alla sfera. Segue dalla (2.718), x2 dSn dx = = µ ¶ d 2 dSn x dx dx = = 1 4π 1 4π Z Z 4πx3 grad 2 rn dS 0 4πx3 0 n(n + 1) 4π n(n + 1) rn−2 dS Z 4πx2 (2.719) rn−2 dσ 0 n(n + 1) x2 Sn−2 . (2.720) cioè d2 Sn 2 dSn + = n(n + 1) Sn−2 , dx2 x dx che si può anche scrivere: 1 d2 (xSn ) = n(n + 1) Sn−2 . x dx2 D’altra parte, la (2.717) si può scrivere: Z 4π dSn 1 r 2 + x2 − 1 = n rn−1 dω, dx 4π 0 2xr (2.721) (2.722) (2.723) cioè: dSn n 1 − x2 = Sn − n Sn−2 . (2.724) dx 2x 2x Derivando ancora rispetto a x e sostituendo nella (2.721), si ricava la relazione in termini finiti: (n + 2) Sn − 2n (1 + x2 ) Sn−2 + (n − 2) (1 − x2 )2 Sn−4 = 0. (2.725) Le equazioni (2.722) e (2.725), quando si aggiungano le ovvie relazioni: S0 = 1, S−1 = 1, 219 Sn (0) = 1, (2.726) Volumetto 2: 23 aprile 1928 permettono il calcolo di tutte le Sn . Calcoliamo S1 ; dalle equazioni (2.722) e (2.726) segue: d2 (xS1 ) dx2 d(xS1 ) dx = 2x = 1 + x2 x S1 = S1 = 1 3 x 3 1 1 + x2 . 3 x+ (2.727) Ponendo n = 0 nella (2.725), si ricava: 2 − 2(1 − x2 )2 S−4 = 0, (2.728) da cui: 1 . (1 − x2 )2 S−4 = (2.729) Segue per la (2.722): d2 (xS−2 ) dx2 d(xS−2 ) dx = = x S−2 = S−2 = 2x (1 − x2 )2 1 1 − x2 1 1+x log 2 1−x 1 1+x log . 2x 1−x (2.730) Noti i valori di S1 , S−4 , e S−2 dalle equazioni (2.727), (2.729) e (2.730), tutte le altre Sn si calcolano mediante l’uso della sola (2.725). Per esempio ponendo n = 2: 4S2 − 4(1 + x2 ) = 0, (2.731) S2 = 1 + x2 , (2.732) da cui 220 Volumetto 2: 23 aprile 1928 come si verifica direttamente in modo immediato S0 = 1 S0 (1) = 1 S1 = 1+ S1 (1) = 4 3 S2 = 1 + x2 = S2 (1) = 2 S3 = 1 + 2x2 + 1 4 x = ... 5 S3 (1) = 16 5 S4 = 1+ 10 2 x + x4 = . . . 3 S4 (1) = 16 . 3 (1 + x)3 − (1 − x)3 1 2 x = 3 6x (1 + x)4 − (1 − x)4 8x In generale, per n > −2, abbiamo Sn (1) = 2n+1 . n+2 (2.733) In questa formola Sn (1) è evidentemente il valore medio fra le potenze n-esime delle distanze di due elementi di superficie di una sfera di raggio unitario (vedi il paragrafo 1.21 e le formole analoghe per gli elementi di superficie di un cerchio). Per n negativo, abbiamo invece: S0 = 1 S0 (1) = 1 S−1 = 1 S−1 (1) = 1 S−2 = 1 1+x log 2x 1−x S−2 (1) = ∞ S−3 = 1 1 = 1 − x2 2x S−4 = S−5 = µ 1 1 − 1−x 1+x ¶ µ ¶ 1 1 1 1 = − (1 − x2 )2 4x (1 − x)2 (1 + x)2 1 2 µ ¶ 1+ x 1 1 1 3 = − . (1 − x2 )3 6x (1 − x)3 (1 + x)3 221 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Si noti che, con l’eccezione di S−2 , le quantità Sn (con n intero) sono funzioni razionali. Poniamo: ∞ X Sn = arn x2r , (2.734) r=0 e sarà sempre (vedi (2.726)) a0n = 1. (2.735) L’equazione (2.722) si può scrivere, più in generale: 1 d2k (xSn ) = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2k + 2) Sn−2k . x dx2k (2.736) Segue per la (2.726) arn (2r + 1)! = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2), (2.737) da cui: arn = Sn = (n + 1)n(n − 1)·(n − 2r + 2) (2r + 1)! ∞ X (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2) (2r + 1)! r=0 (2.738) x2r . (2.739) L’ultima equazione può essere anche scritta: Sn = ¶ ∞ µ X x2r n+1 . 2r 2r + 1 r=0 (2.740) Per n > −2 intero, la somma si riduce a un polinomio finito. Si trova in particolare la (2.733) (cfr. la (2.714)): 2r≥n+1 Sn (1) = X r=0 µ n+1 2r ¶ 222 1 2n+1 = . 2r + 1 n+2 (2.741) Volumetto 2: 23 aprile 1928 Segue: S6 = 1 + 7x2 + 7x4 + x6 S5 = 1 + 5x2 + 3x4 + S4 = 1+ S3 = 1 + 2x2 + S2 = 1 + x2 = S1 = 1+ S0 = S−1 S6 (1) = 16 1 6 x 7 S5 (1) = 64 7 10 2 x + x4 = . . . 3 S4 (1) = 16 3 1 4 x = ... 5 S3 (1) = 16 5 S2 (1) = 2 S1 (1) = 4 3 1 S0 (1) = 1 = 1 S−1 (1) = 1 S−2 = 1+ S−3 = 1 + x2 + x4 + x6 + . . . S−4 = 1 + 2x2 + 3x4 + 4x6 + . . . S−5 = 1+ (1 + x)4 − (1 − x)4 8x (1 + x)3 − (1 − x)3 1 2 x = 3 6x 1 2 1 4 1 6 x + x + x + ... 3 5 7 2·5 2 3·7 4 4·9 6 x + x + x + ... 3 3 3 4·5·6 2 6·7·8 4 8·9·10 6 x + x + x + ... 4! 4! 4! L’equazione (2.739) si può scrivere nel caso n > −2 oppure n < −2:63 ¶ 2r=n+1/2±1/2 µ X x2r n+1 Sn = , n > −2 (2.742) 2r 2r + 1 r=0 S−6 = 1+ 63 Il segno + nel limite superiore della sommatoria si riferisce a n dispari, mentre il segno − si riferisce a n pari. 223 Volumetto 2: 23 aprile 1928 Sn = ∞ X r=0 1 −n − 2 µ −n − 2 + 2r −n − 3 ¶ x2r , n < −2. (2.743) Sia y dr la probabilità che r sia compreso tra r e r + dr. Sarà y = 0, per |r − 1| > x. (2.744) Altrimenti consideriamo il punto con coordinate α = 0, β = 0, γ = x su una sfera interna. Centro in esso, tracciamo la sfera di raggio r α2 + β 2 + (γ − x)2 = r2 (2.745) e intersechiamo con la sfera esterna α2 + β 2 + γ 2 = 1. (2.746) Si deduce per il cerchio comune alle due sfere: 2γ x − x2 = 1 − x2 1 + x2 r2 γ = − 2x 2x e sarà: y = Riassumendo: (2.747) ¯ ¯ ¯ dγ ¯ ¯ ¯ = r . ¯ dr ¯ 2x 1 2 (2.748)  0, per r < 1 − x       r , per 1 − x < r < 1 + x y = 2x       0, per 1 + x < r, e, in particolare: Si deduce: y(1 − x) = 1−x 2x y(1 + x) = 1+x . 2x Z Sn ∞ = Z rn y dr = −∞ n+2 = (1 + x) 1+x (2.750) rn+1 dr 2x 1−x n−2 − (1 − x) 2(n + 2)x 224 (2.749) , (2.751) Volumetto 2: 23 aprile 1928 che riassume le formole (2.733), (2.739), (2.742) e (2.743). (2.751) cade in difetto per n = −2, in qual caso si ha: Z 1+x 1 1 1+x S−2 = dr = log , 2rx 2x 1−x 1−x come si era già trovato. 225 L’equazione (2.752) 3 VOLUMETTO 3.1 28 giugno 1929 Somma di alcune serie ∞ X 1 −ry sin x e sin rx = arctan y r e − cos x r=1 (17) = arctan x tan x/2 − , tanh y/2 2 (3.1) ovvero, ponendo K = e−y ¿ ∞ X Kr K sin x sin rx = arctan r 1 − K cos x r=1 µ = arctan 1+K x tan 1−K 2 ¶ − x . 2 (3.2) Casi particolari: (a) K=1: ∞ X sin rx π x = − ; r 2 2 r=1 (3.3) che è la formola (12). (b) x = π/2: 1 3 1 K + K 5 + . . . = arctan K. 3 5 (c) da (a), ponendo x = π/4, si ricava con facili riduzioni: K − 2 2 2 2 π − + − + . . . = √ − 1. 3·5 7·9 11·13 15·17 2 2 227 (3.4) (3.5) Volumetto 3: 28 giugno 1929 2 2 2 2 + + + + ... = 1 1·3 3·5 5·7 7·9 (18) 2 2 2 π + + + ... = 1·3 5·7 9·11 4 2 2 2 2 π + + + + ... = 1 − 3·5 7·9 11·13 15·17 4 √ 2 2 2 2 2−1 + + + + ... = π 3·5 11·13 19·21 27·29 8 √ 2 2 2 2 2+1 + + + + ... = 1 − π . 7·9 15·17 23·25 31·33 8 (19) 2 2 2 + + + ... 82 (82 − 1) 162 (162 − 1) 242 (242 − 1) √ = 1 − π (20) 2 2 2 + + + ... 84 (84 − 1) 164 (164 − 1) 244 (244 − 1) √ = 1 − π (21) π2 2+1 − . 8 192 π2 π4 2+1 − − . 8 192 90·2048 ¶ ∞ µ X x2r (1 + x)n+2 − (1 − x)n+2 n+1 = 2r 2r + 1 2(n + 2)x r=0 per x ≤ 1; si veda il paragrafo 2.38.6. Se n è intero e positivo, la serie si riduce a una somma finita fino a 2r = n + 1/2 ± 1/2. Casi particolari: (a) x = 1: ¶ ∞ µ X 1 22n+1 n+1 = ; 2r 2r + 1 n+2 r=0 228 (3.6) Volumetto 3: 28 giugno 1929 (b) la formola cade in difetto per n = −2; passando al limite: 1+ 1 2 1 1 1 1+x x + x4 + x6 + . . . = log ; 3 5 7 2x 1−x (3.7) (c) per altre espressioni particolari relative a n intero si veda il paragrafo 2.38.6. ∞ X cos rx x = − log 2 − log sin r 2 r=1 (22) per 0 < x < 2π. (23) Se nella (3.274) si scambia k, supposto non intero, in −k e si somma, notando che y(k) + y(−k) = 0, si ricava: 1 3 5 7 2n + 1 − + − + ... ± + ... 1 − k2 9 − k2 25 − k2 49 − k2 (2n + 1)2 − k2 π (3.8) = 4 cos kπ/2 3.2 L’equazione ¤H = r Prendiamo una formola relativa all’equazione più semplice: ∆ V = p. (3.9) Poiché 1/r è una funzione armonica avremo: µ ¶ 1 1 1 1 1 ∆V = ∆V − V ∆ = div grad V − V grad ; r r r r r e per la (3.9): µ div 1 1 grad V − V grad r r 229 ¶ = p . r (3.10) (3.11) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Se con r intendiamo la distanza di un punto generico P dal punto P0 , integrando in uno spazio S 0 compreso fra una superficie σ chiusa intorno a P0 e una sferetta di raggio ² con centro in P0 : Z Z µ 1 V (P0 ) = − 4π ∂V V cos α + r ∂n ¶ Z S p 1 dS + r 4π dσ − r2 Z 4π²2 µ Z µ σ ∂V V + ² ∂n ¶ dσ , ²2 σ 0 (3.12) essendo n la normale esterna e α l’angolo fra detta normale e il raggio vettore. Facendo tendere ² a zero, S 0 tende all’intero spazio S limitato da σ e la (3.12) diventa: S0 p dS = r ∂V V cos α + r ∂n ¶ dσ . r2 (3.13) Premesso ciò, consideriamo l’equazione differenziale: ∆H − 1 ∂2H = r, c2 ∂t2 (3.14) essendo r funzione nota dello spazio e del tempo. Indicata come prima con r la distanza da un punto fisso P0 , definiamo la funzione H1 : ³ r´ H1 (P, t) = H P, t − , c (3.15) Segue: H(P, t) = Hx0 (P, t) = 00 Hxx (P, t) = ∆ H(P, t) = 1 00 Htt (P, t) c2 = H1 (P, t + r/c) x 0 H1 t (P, t + r/c) rc 2x 00 H100xx (P, t + r/c) H1 xt (P, t + r/c) rc x2 r2 − x2 0 + 2 2 H100tt (P, t + r/c) + H1 t (P, t + r/c) r c r3 c 1 ∆ H1 (P, t + r/c) + 2 H100tt (P, t + r/c) c 2 2 0 + H100tr (P, t + r/c) + H1 t (P, t + r/c) c rc 1 00 Htt (P, t + r/c). c2 H10 x (P, t + r/c) + 230 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Segue per la (3.14): 2 00 2 0 H1 tr (P, t + r/c) + H1 t (P, t + r/c), c rc (3.16) ovvero, ponendo t in luogo di t + r/c: r(P, t) = ∆ H1 (P, t + r/c) + 2 00 2 0 H1 tr (P, t) + H1 t (P, t) = r(P, t − r/c). c rc Se A è una funzione qualunque del posto e del tempo, porremo: ∆ H1 (P, t) + A(P, t) = A(P, t − r/c), (3.17) (3.18) e la (3.17) diventa: ∆ H1 + 2 ∂H1 2 ∂ 2 H1 + = r. c ∂t∂r rc ∂t Poniamo: p = r − 2 ∂ 2 H1 2 ∂H1 − ; c ∂t∂r rc ∂t (3.19) (3.20) la (3.19) diventa: ∆ H1 = p. (3.21) Per un dato valore di t, H1 e p sono funzioni dello spazio e possiamo applicare la (3.13). Risulta: ¶ Z Z µ 1 p 1 ∂H1 dσ H1 (P0 , t) = − dS + H1 cos α + r 4π S r 4π σ ∂n r2 ¶ Z Z µ 2 1 1 2 1 ∂H1 dS r ∂ H1 = − dS + + 4π S r 4π c S ∂t∂r r ∂t r ¶ Z µ 1 ∂H1 dσ + H1 cos α + r . (3.22) 4π σ ∂n r2 D’altra parte: ¶ Z µ 2 ∂ H1 1 ∂H1 dS + ∂t∂r r ∂t r S ¶ Z µ 2 ∂ H1 ∂H1 r + dr ∂t∂r ∂t µ ¶ Z Z ∂ ∂H1 dω r dr ∂r ∂t Z ∂H1 dω r ∂t Zσ ∂H1 dσ (3.23) r cos α 2 . ∂t r σ Z = = = = 231 dω Volumetto 3: 28 giugno 1929 Sostituendo nella (3.22), si trova: Z 1 r H1 (P0 , t) = − dS 4π S r ¶ Z µ 1 ∂H1 2r ∂H1 dσ + H1 cos α + r + cos α . 4π σ ∂n c ∂t r2 (3.24) D’altra parte: H1 (P0 , t) = H(P0 , t), H1 (P, t) = H(P, t − r/c) = H(P, t), ∂H1 (P, t) ∂n = ∂H(P, t − r/c) cos α ∂H(P, t) ∂H(P, t) = − ; ∂n ∂n c ∂t da cui sostituendo nella (3.24): Z 1 r H(P0 , t) = − dS 4π S r ¶ Z µ r ∂H 1 ∂H dσ + H cos α + r + cos α , 4π σ ∂n c ∂t r2 (3.25) che esprime manifestamente, ponendo r = 0, un principio più generale di quello di Huygens. Consideriamo delle soluzioni periodiche della (3.14): H = u eiσt . Se si pone k = la (3.14) diventa: Poniamo ancora σ , c (3.26) (3.27) ∆ u + k2 u = r e−iσt . (3.28) r = y eiσt , (3.29) e dovrà essere y funzione solo di spazio segue: ∆ u + k3 u = y. 232 (3.30) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Se le equazioni (3.26) e (3.29) sono soddisfatte a ogni soluzione della (3.14) corrisponde una soluzione della (3.30), e inversamente; e lo stesso dicasi se in luogo delle equazioni (3.26) e (3.29) sono soddisfatte le equazioni che si ottengono cambiando segno a i dove compare esplicitamente. Se u è una soluzione della (3.30), si avrà dunque per le equazioni (3.25), (3.26), e (3.29): Z 1 e−ikr y dS u(P0 ) = − 4π S r ¶ Z µ 1 ∂u dσ + u (1 + ikr) cos α + r e−ikr 2 . (3.31) 4π σ ∂n r Cangiando segno all’immaginario i in −i, si ottiene una seconda espressione di u: Z 1 eikr u(P0 ) = − y dS 4π S r ¶ Z µ 1 ∂u dσ + u (1 − ikr) cos α + r eikr 2 . (3.32) 4π σ ∂n r Sommando e dividendo per due si ha una terza espressione di u, nella quale non compare l’immaginario: Z Z µ 1 cos kr 1 u(P0 ) = − y dS + u cos kr cos α 4π S r 4π σ ¶ ∂u dσ (3.33) + u kr sin kr cos α + r cos kr . ∂n r2 Per differenza e dividendo per 2i, si ottiene invece una notevole identità Z 1 sin kr 0 = − y dS 4π S r µ ¶ Z 1 ∂u dσ + u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r sin kr , 4π σ ∂n r2 cioè: Z sin kr y dS r S ¶ Z µ ∂u dσ = u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r sin kr . ∂n r2 σ (3.34) 233 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Se si fa tendere k a zero, la (3.30) si riduce alla (3.9) e la (3.33) alla (3.13). Sostituendo mediante la (3.30) in (3.34), si ha: Z ¢ sin kr ¡ ∆ u + k2 u dS r S ¶ Z µ ∂u dσ = u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r sin kr , ∂n r2 σ (3.35) che è una pura identità valevole per una funzione arbitraria u. In particolare supponiamo nella (3.35) k infinitesimo e sviluppiamo i singoli termini secondo le potenze di k. Uguagliando gli infinitesimi del primo ordine si trova: Z Z ∂u ∆ u dS = dσ, (3.36) ∂n S σ che esprime il ben noto teorema della divergenza.. Altre identità si ottengono eguagliando gli infinitesimi di ordine più elevato; per esempio si ha per gli infinitesimi del terzo ordine: ¶ ¶ Z µ Z µ 1 1 ∂u 1 u − r2 ∆ u dS = u r cos α − r2 dσ, (3.37) 6 3 6 ∂n S σ formola di facile verifica diretta quando si badi che u− ¢ 1 2 1 ¡ r ∆u = u ∆ r2 − r2 ∆ u . 6 6 (3.38) Riprendiamo la (3.31) e facciamo delle approssimazioni. Supponiamo in primo luogo r grande rispetto alla lunghezza d’onda, con che si può trascurare l’unità di fronte a ikr; supponiamo inoltre che σ sia una superficie d’onda di un’onda progressiva, con raggio minimo di curvatura grande anch’esso rispetto alla lunghezza d’onda; si potrà allora considerare l’onda come piana per un tratto breve e sarà approssimativamente: ∂u = ± i k u, ∂n (3.39) secondo che l’onda si avvicina a P0 o se ne allontana. La (3.31) si riduce allora con le fatte approssimazioni a: Z ki e−i kr u(P0 ) = (3.40) u (cos α ± 1) dσ 4π σ r 234 Volumetto 3: 28 giugno 1929 ovvero, introducendo la lunghezza d’onda in base alla relazione: k = 2π , λ (3.41) Z 2πi i cos α ± 1 u e− λ r dσ. λ σ 2 r Se α è piccolo e l’onda si avvicina: u(P0 ) = u(P0 ) = 3.3 i λ Z e− σ 2πi λ r (3.42) r u dσ. (3.43) Equilibrio di una massa liquida eterogenea in rotazione (Problema di Clairaut) Si suppone che la massa rotante risulti dalla sovrapposizione di stati liquidi incompressibili di densità differenti. La velocità angolare di rotazione ω si suppone piccola; le deformazioni che la massa subisce per effetto della rotazione sono allora dell’ordine di ω 2 . Si riguarderà perciò ω 2 come infinitesimo principale. Le particelle liquide si attirano secondo la legge di Newton, in cui si supporrà di ridurre il coefficiente d’attrazione, mediante una conveniente scelta di unità. Finché la massa è in riposo sarà la densità una funzione mai crescente della distanza dal centro: ρ = ρ(r), ρ0 ≤ 0. (3.44) Analogamente il potenziale newtoniano (funzione delle forze) dipenderà da r: V0 = V0 (r). (3.45) Indicheremo con D la densità media della massa che si trova a distanza minore di r: Z r ρ r2 dr 0 D = . (3.46) r3 /3 235 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Segue: Z r3 D = r 3 ρ r2 dr (3.47) 0 3r2 D + r3 D0 = 3 ρ r2 , (3.48) cioè: 3 ρ = 3D + r D0 ; (3.49) 3 ρ0 = 4D0 + r D00 , (3.50) da cui derivando: che servirà in seguito. La forza che si esercita a distanza r su una massa unitaria sarà µ ¶Z r 4 1 4πr2 ρ dr = π r D, (3.51) r2 3 0 cosicché: 4 V00 = − π r D. (3.52) 3 Si ponga ora la massa in rotazione; una particella che si trovava in P si porterà in P 0 nella nuova configurazione di equilibrio. Poniamo: ¡ ¢ η = P P 0 cos r , P P 0 . (3.53) Lo spostamento normale η si potrà sviluppare secondo le funzioni sferiche Y: X η = H Y, (3.54) essendo le H funzioni del raggio. Se la rotazione ha luogo intorno all’asse z compariranno nello sviluppo (3.54) solo le funzioni sferiche simmetriche intorno all’asse z, le quali saranno esprimibili mediante i polinomi di Legendre: Pn (cos θ). (3.55) Inoltre scambiando z in −z, η deve rimanere inalterato. Dovremo quindi limitarci alle funzioni sferiche d’ordine pari. Inoltre sulla superficie sferica di raggio r dovrà essere: Z η dσ = 0. 236 (3.56) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Deve quindi mancare la funzione sferica, d’ordine zero. La prima ad apparire sarà la funzione di secondo ordine che prenderemo sotto la forma: Y = (x2 + y 2 − 2z 2 )/r2 . (3.57) Noi vogliamo supporre che per tutte le altre sia H = 0. Questo equivale a supporre che le superfici di egual densità sono in prima approssimazione degli ellissoidi. Tale ipotesi è evidentemente verificata per la superficie libera. L’equazione (3.54) si riduce allora a: η = H Y, (3.58) con Y definita dalla (3.57). Lo schiacciamento della superficie di egual densità e di raggio medio r è evidentemente: s = 3H/r. (3.59) Analogamente supporremo che il potenziale newtoniano sia in prima approssimazione: V = V0 + L Y. (3.60) Aggiungendo il potenziale della forza centrifuga si ottiene il potenziale totale che deve essere considerato per l’equilibrio relativo: U = = ¢ 1 2¡ 2 ω x + y2 2 µ ¶ 1 1 V0 + ω 2 r2 + L + ω 2 r2 Y . 3 6 V + (3.61) La densità ρ1 del fluido in rotazione sarà in prima approssimazione, a causa delle equazioni (3.53) e (3.58): ρ1 = ρ − η ρ0 = ρ − H ρ0 Y. (3.62) Per determinare H e L, che sono attualmente le incognite del nostro problema, dobbiamo valerci dell’equazione di Poisson e della condizione che le superfici di egual densità coincidano con le superficie equipotenziali. L’equazione di Poisson ci dà: ∆ V = − 4π ρ1 , 237 (3.63) Volumetto 3: 28 giugno 1929 cioè essendo ∆ V0 = 4π ρ (3.64) V − V0 = LY (3.65) ρ1 − ρ = − H ρ0 Y (3.66) semplicemente: ∆ L Y = 4π H ρ0 Y. (3.67) Ovvero, dividendo per Y : 4π H ρ0 = L00 + 2 0 6 L − 2 L. r r (3.68) Le superfici equipotenziali (U = cost.) sono in prima approssimazione degli ellissoidi di rivoluzione intorno a z. Lo schiacciamento della sezione meridiana sarà in prima approssimazione: sU = −3 L + (1/6) ω 2 r2 L + (1/6) ω 2 r2 = +3 . 0 r V0 (4/3)π r 2 D (3.69) Le superfici di egual densità sono, come si è visto, anche esse ellissoidi di rivoluzione, il cui schiacciamento è dato dalla (3.59). Perché le due famiglie di superficie coincidano dovrà essere: s = sU , cioè: H = L + (1/6) ω 2 r2 . (4/3)π r D (3.70) (3.71) Risolvendo la (3.71) rispetto a L si ha: L = L0 = L00 = 4 1 π r D H − ω2 r2 3 6 4 4 4 1 π D H + π r D0 H + π r D H 0 − ω2 r 3 3 3 3 8 8 8 0 0 0 0 πD H + πDH + πrD H 3 3 3 4 4 1 00 + π r D H + π r D H 00 − ω 2 . 3 3 3 238 (3.72) (3.73) (3.74) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Sostituendo nella (3.68), si elimina L: 3 H ρ0 = 4DH + 4 D0 H + 4 D H 0 + 2r D0 H 0 r + r D00 H + r D H 00 ; (3.75) 3 H ρ0 = 4 D0 H + r D00 H, (3.76) 4DH + 4 D H 0 + 2r D 0 + r D H 00 , r (3.77) − ma per la (3.50), cosı̀ che rimane: 0 = − o anche: µ D −4 + 4r H0 H 00 + r2 H H ¶ + 2r D0 r H0 = 0. H (3.78) Poniamo: q = r s0 /s; (3.79) ricordando che s = 3H/r, sarà: s0 s = q = H0 1 − H r H0 − 1 r H (3.80) (3.81) da cui: r 0 00 H H + r − r H H r H0 H 00 + r2 − r2 H H 1 + q + r2 µ µ H0 H ¶ 0 2 = 1+ q (3.82) H H = q0 (3.83) H H = r q0 (3.84) = r q0 (3.85) = r q0 + q + q2 . (3.86) ¶ 0 2 H 00 − (1 + q)2 H H 00 r2 H 239 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Sostituendo mediante (3.82) e (3.86) nella (3.78), si trova: ¡ ¢ D r q 0 + 5 q + q 2 + 2r D0 (1 + q) = 0, (3.87) che è l’equazione di Clairaut. . Se rD 0 /D tende a 0 per r che tende a 0, dovrà essere per r = 0 5 q + q 2 = 0, (3.88) q = 0, q = −5. (3.89) cioè: Ora nel centro della massa rotante si avrà sviluppando V : ¡ ¢ V = V (0) + A x2 + y 2 + B z 2 + . . . . (3.90) 0 Se si suppone ρ (0) finito (in particolare nullo), V sarà sviluppabile secondo x, y, z e per ragioni di simmetria mancheranno i termini di grado dispari. Indicando con ² una funzione infinitesima con r del quarto ordine, avremo: ¡ ¢ ¡ ¢ 1 U = V (0) + A x2 + y 2 + ω 2 x2 + y 2 + B z 2 + ², 2 (3.91) e sarà naturalmente: 4A + 2B = − 4π ρ(0). (3.92) U = cost.; (3.93) Poniamo: sarà (A1 = −A, B1 = −B) µ ¶ ¢ 1 2 ¡ 2 A1 − ω x + y 2 + B1 z 2 + ² = cost. 2 E a meno di infinitesimi del secondo ordine sarà: s p √ 1/ A1 − ω 2 /2 − 1/ B1 A1 − ω 2 /2 p s = = 1 − . B1 1/ A1 − ω 2 /2 Sarà quindi: s0 (0) = 0 e a fortiori, q(0) = r s0 (0) = 0. s(0) 240 (3.94) (3.95) (3.96) (3.97) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Il punto (r, q) = (0, 0). (3.98) La curva integrale di (3.87) che risolve il problema passa per il punto: r = 0 , q = 0. Supponiamo che D possa svilupparsi secondo le potenze pari di r: D = D(0) + ar2 + br4 + cr6 + . . . (3.99) q = q0 + αr2 + βr4 + γr6 + . . . (3.100) e analogamente: ovvero, ponendo: a0 = D0 (3.101) a2 = a (3.102) a4 = b (3.103) a6 = c (3.104) α0 = q0 = 0 (3.105) α2 = α (3.106) α4 = β (3.107) α6 = γ (3.108) ... ... D q = = X X a2n r2n (3.109) α2n r2n ; (3.110) e sostituendo nella (3.87): ³X ´ ·X ¡ ³X ´2 ¸ ¢ a2n r2n 2n α2n r2n + 5α2n r2n + α2n r2n ³ ´ X X +2 2n α2n r2n 1 + α2n r2n = 0. (3.111) 241 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Calcoliamo i primi coefficienti dello sviluppo di q. Avremo: D = D0 + ar2 + br4 + cr6 + . . . (3.112) 0 = 2ar2 + 4br4 + 6cr6 + . . . (3.113) rD 2 4 6 q = αr + βr + γr + . . . (3.114) r q0 = 2αr 2 + 4βr 4 + 6γr6 + . . . (3.115) 2 = α r + 2αβr + . . . r q0 + 5 q + q2 = 7αr 2 + (9β + α2 )r4 + . . . q 2 4 6 +(11γ + 2αβ)r6 + . . . 1+ q ¡ 0 ¢ D r q + 5 q + q2 = = 2 r D (1 + q) = (3.117) 1 + αr2 + βr4 + γr6 + . . . (3.118) ¡ ¢ 4 2 2 7α D0 r + (9β + α )D0 + 7αa r ¡ + (11γ + 2αβ)D0 + (9β + α2 )a + 7αb) r6 + . . . 0 (3.116) (3.119) 2 4ar + (4αa + 8b)r 4 + (4βa + 8αb + 12c)r6 + . . . (3.120) Segue: 7α D0 + 4a = 0 (3.121) (9β + α2 )D0 + 7αa + 4αa + 8b = 0 (3.122) 2 (11γ + 2αβ)D0 + (9β + α )a + 7αb + 4βa + 8αb + 12c = 0. (3.123) Se M è la massa del pianeta, l’attrazione in punti esterni, in particolare sulla superficie libera, ammette per potenziale in prima approssimazione: V = M I0 − 3 I/2 + r r3 (3.124) I è il momento d’inerzia rispetto alla retta OP 64 e I0 è il momento d’inerzia (non assiale, ma polare) rispetto al baricentro. Sulla superficie libera sarà: U = 64 Retta ¡ ¢ M I0 − 3 I/2 1 + + ω 2 x2 + y 2 = cost. r r3 2 che unisce il centro del pianeta al punto esterno considerato. 242 (3.125) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Indicando con Rp il raggio polare e con Re il raggio equatoriale, sarà: M C −A M 1 C − A 1 − = + + ω 2 Re2 , Rp Rp3 Re 2 Re3 2 (3.126) essendosi indicato con C il momento d’inerzia rispetto all’asse polare e con A il momento d’inerzia65 rispetto a un asse equatoriale; di modo che 1 C. (3.127) 2 Indichiamo con f il rapporto tra forza centrifuga e gravità all’equatore e con r1 il raggio medio del pianeta; sarà in prima approssimazione I0 = A + f = ω 2 r13 . M Segue dalla (3.126), in prima approssimazione: µ ¶ 1 1 3 C − A 1 f M − = + M; Rp Re 2 r13 2 r1 (3.128) (3.129) e ponendo al solito: Re − Rp Re sarà, sempre in prima approssimazione: s1 = 3 C − A 1 + f, 2 M r12 2 s1 = (3.130) (3.131) o anche indicando con D1 la densità media dell’intero pianeta: s1 − 1 9 (C − A) f = . 2 8π r15 D1 Il momento d’inerzia medio della terra sarà: Z r1 8π I = ρ r4 dr. 3 0 Ora: Z r1 = 0 = 65 Più ¶ µ Z r1 1 3 r D r2 ρ r2 dr = r2 d 3 0 0 Z 1 5 2 r1 4 r1 D1 − r D dr, 3 3 0 Z ρ r4 dr (3.132) (3.133) r1 sopra questa quantità è stata indicata con I. 243 (3.134) Volumetto 3: 28 giugno 1929 segue: I = 8π 9 µ Z r1 r15 D1 − 2 ¶ r4 D dr . (3.135) 0 In prima approssimazione sarà: C ' I; (3.136) e sostituendo nella (3.132) si trova: µ ¶ Z 1 C − A 2 s1 − f = 1 − 5 r4 D dr . 2 C r1 D1 (3.137) Riprendiamo l’equazione di Clairaut (3.87) e calcoliamo l’espressione: ´ d ³ 5 p r D 1+q dr 5 r4 D = p 1 + q + r5 D0 p 1+q q0 √ 2 1+q µ ¶ 5 r4 D rD0 rq 0 √ 1+ q + (1 + q) + (3.138) 5D 10 1+q + r5 D = Poiché dalla (3.87) si trova: rD0 rq 0 q q2 (1 + q) = − − − , 5D 10 2 10 (3.139) sostituendo nella (3.138) si ricava: µ ¶ ´ d ³ 5 p 1 5 r4 D 1 2 1+ q − r D 1+q = √ q , dr 2 10 1+q (3.140) da cui:66 r15 D1 Z p r1 1 + q1 = 0 5 r4 D √ 1+q Poniamo: K = µ 1+ 1 1 2 q − q 2 10 1 + q/2 − q 2 /10 √ 1+q ¶ dr. (3.141) (3.142) 66 Nel manoscritto originale, il limite superiore dell’integrale è r; tuttavia, è evidente che il limite appropriato è r1 . 244 Volumetto 3: 28 giugno 1929 la (3.141) diventa:67 r15 D1 p Z r1 1 + q1 = 5 r4 D K dr. (3.143) 0 Se q è abbastanza piccolo, K è molto prossimo all’unità:68 q k 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 1 1.00018 1.00051 1.00072 1.00066 1.00021 0.99928 0.99782 0.99580 0.99317 0.98995 0.92376 0.8 Il valore massimo di q si ha in superficie q = q1 ; il valore minimo al centro: (r , q) = (0 , 0). Calcoliamo q1 ; su una superficie equipotenziale all’esterno del pianeta si ha, come si è visto dalla (3.131): s = 1 3 C − A f + . 2 2 M r2 (3.144) Il primo termine del secondo termine cresce in prima approssimazione come r3 . Si ha quindi derivando: r s0 = 3 C − A f − 3 . 2 M r2 67 Si (3.145) veda la nota precedente. tabella, l’Autore riporta solo i valori per K = 1, 1.00074, 1.00021, 0.98995 corrispondenti rispettivamente a q = 0, 0.3, 0.5, 0.9. Un’evidenza particolare è data al valore di q = 0.3. 68 Nella 245 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Confrontando con la (3.144) r s0 + 2s = r s0 = r s0 s = q = 5 2 5 2 5 2 f f − 2s (3.146) f − 2. s In particolare, riferendo f alla superficie libera del pianeta: q1 = 5 f − 2. 2 s1 (3.147) Nel caso della terra si ha q1 = 0.57. Sarà allora K sempre molto prossimo all’unità. Supponendo K = 1 (e tale ipotesi è lecita tutte le volte che la densità del pianeta non sia eccessivamente disuniforme), la (3.143) diventa: r Z 5 f r15 D1 − 1 ' 5 r4 D dr, (3.148) 2 s1 ovvero, confrontando con la (3.137): r µ ¶ 5 f 5 5 C 1 − 1 ' − s1 − f . 2 s1 2 2 C − A 2 (3.149) Nel caso della terra si ha: f C C − A = 1/288 (3.150) = 305; (3.151) si trova allora: s1 = 1/297, (3.152) in perfetto accordo con l’esperienza. Sostituendo nella (3.145) si ha: 1 1 1 3 C − A = + , 297 2 288 2 M r12 da cui: C −A = 1 M r12 , 920 246 (3.153) (3.154) Volumetto 3: 28 giugno 1929 e per la (3.151): C = 0.332 M r12 (3.155) mentre se la densità fosse costante si avrebbe I = 0.4M r12 . Valori stabiliti dalla conferenza di Madrid:69 Re ' 6378 (3.156) Rp = 6357 (3.157) s = 1/297 (3.158) D1 = 5.515. (3.159) Supponiamo che la densità all’interno della terra sia esprimibile sotto la forma ρ = a + b r2 + c r4 . (3.160) Vogliamo determinare i coefficienti con le condizioni: D1 = 5.515 ρ1 = 2.5 I = 0.332 M r12 . (3.161) Si avrà: ρ1 = 1 3 r1 D1 3 = a + b r12 + c r14 Z r1 ¡ 2 ¢ a r + b r4 + c r6 dr (3.162) 0 = 1 1 1 a r13 + b r15 + c r17 3 5 7 cioè: D1 = a + 3 2 3 b r1 + c r14 . 5 7 (3.163) (3.164) Inoltre: I = = 69 L’Autore Z r1 ¡ 4 ¢ 8π a r + b r6 + c r8 dr 3 0 µ ¶ 8π 1 1 7 1 9 5 a r1 + b r 1 + c r 1 , 3 5 7 9 non fornisce dettagli su questa conferenza. 247 (3.165) Volumetto 3: 28 giugno 1929 cioè: I 8π = r15 3 µ ¶ 1 1 1 a + b r12 + c r14 . 5 7 9 (3.166) D’altra parte M 4 4 = π D1 + M r13 3 3 µ a+ da cui segue: I 2 a+ = M r12 5 a+ 5 7 3 5 ¶ 3 2 3 b r1 + c r14 , 5 7 (3.167) b r12 + b r12 + (3.168) 5 9 3 7 c r14 . c r14 I primi membri delle equazioni (3.162), (3.164), (3.168) riguardandosi come noti, abbiamo il sistema di equazioni lineari nelle incognite a, br12 , cr14 : a + b r12 + c r14 = ρ1 µ ¶ µ ¶ 5 3 5 3 a (1 − δ) + br12 + cr14 =0 − δ − δ 7 5 9 7 3 3 a + b r12 + c r14 = D1 5 7 nella seconda delle quali si è posto: (3.169) 5 I . 2 M r12 (3.170) ² = ρ1 /D1 . (3.171) δ = Poniamo inoltre: Segue dalle equazioni (3.169): µ ¶ µ ¶ 5 3 5 3 + cr14 a (1 − δ) + br12 − δ − δ 7 5 9 7 µ a (1 − ²) + br12 3 1 − ² 5 ¶ µ + cr14 3 1 − ² 7 = 0 (3.172) ¶ = 0, da cui: br12 = 4 4 8 − δ + ² 9 7 63 − a 10 6 4 − δ + ² 63 35 147 248 (3.173) Volumetto 3: 28 giugno 1929 cr14 2 2 4 − δ + ² 7 5 35 a. 10 6 4 − δ + ² 63 35 147 = (3.174) Segue: a = ` (175 − 189 δ + 30 ²) br12 = − ` (490 − 630 δ + 140 ²) cr14 = ` (315 − 441 δ + 126 ²) . (3.175) Sostituendo nella (3.169), si ha: 16 ² ` = ρ1 0 = 0 16 ` = D1 . (3.176) Da cui, ricordando la (3.171) l = D1 /16. (3.177) Risulta infine: ρ = (175 − 189 δ + 30 ²) D1 16 (490 − 630 δ + 140 ²) D1 r2 − 16 r12 + (3.178) (315 − 441 δ + 126 ²) D1 r4 16 r14 con δ e ² definite mediante l’equazioni (3.170) e (3.171). Nel caso della terra segue che dalle equazioni (3.175): δ = 0.83, ² = 0.45. Sostituendo questi valori nella (3.178), si ha: µ ¶ r2 r4 ρ = D1 1.977 − 1.881 2 + 0.354 4 . r1 r1 (3.179) (3.180) La densità massima (al centro della terra) risulterebbe: ρ0 = 1.977 D1 = 1.977 · 5.515 = 10.90. 249 (3.181) Volumetto 3: 28 giugno 1929 1.977 − 1.881 + 0.354 3 3 1.977 − 1.881 · + 0.354 · 5 7 2 2 2 1.977 · − 1.881 · + 0.354 · 5 7 9 cioè se si pone µ ρ = D1 α + β = 0.45 (3.182) = 1.000 (3.183) = 0.332, (3.184) r2 r4 2 + γ 4 r1 r1 ¶ , (3.185) i coefficienti α, β, γ soddisfanno alle equazioni: α + β + γ 3 3 β + γ 5 7 2 2 2 α + β + γ 5 7 9 α + più semplici delle equazioni (3.169). 250 = ρ1 , D1 = 1, = I , M r12 (3.186) Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.4 Determinazione di una funzione quando sono noti i momenti Sia y una funzione di x: y = y(x), 2 (3.187) 2 e supponiamo che per x > a si abbia y = 0; supponiamo inoltre che sia finito l’integrale Z ∞ |y| dx (3.188) −∞ Definiamo i momenti µ0 , µ1 , . . ., µn rispettivamente d’ordine 0, 1, 2, . . . , n: Z µ0 = y dx Z µ1 = x y dx ... µn (3.189) Z n = x y dx Poniamo: Z y eixt dx, z(t) = e sarà: 1 2π y = Z ∞ (3.190) e−ixt z dt. (3.191) −∞ Segue dalla (3.190): Z dz dt = x y eixt dx i ... dn z dtn = (3.192) Z n n i x ye ixt dx. Per t = 0, si avrà z(0) = µ0 µ dn z dtn ¶ = in µn . 0 251 (3.193) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Per le ipotesi fatte z è sviluppabile in serie di Mac-Laurin, assolutamente convergente: ∞ X (it)n µn z = . (3.194) n! 0 Sostituendo nella (3.191) si avrà: y = 1 2π Z ∞ e−ixt −∞ ∞ X µn 0 (it)n dt, n! (3.195) in cui i segni dell’integrale e le serie non sono naturalmente invertibili. Si può anche scrivere: y 1 π = Z + ∞ cos xt ∞ X 0 1 π (−1)r µ2r 0 Z ∞ sin xt 0 ∞ X t2r dt (2r)! (−1)r µ2r+1 0 t2r+1 dt. (2r + 1)! (3.196) Esempio 1. Sia y = 1 per 0 < x < 1 e y = 0 per x < 0, oppure per x > 1. I momenti saranno: µ0 = 1, µ1 = 1 1 , . . . µn = . 2 n+1 Sostituiamo nella (3.196) notando che in questo caso: ∞ X (−1)r µ2r 0 = ∞ X ∞ X t2r t2r = (−1)r (2r)! (2r + 1)! 0 ∞ t2r+1 1 X sin t (−1)r = t 0 (2r + 1)! t (3.197) ∞ 1 X t2r+2 t2r+1 = (−1)r (2r + 1)! t 0 (2r + 2)! 0 Ã ! ∞ X 1 t2r 1 − cos t = 1 − (−1)r = . t (2r)! t 0 (−1)r µ2r+1 252 (3.198) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Si avrà: y = = Z ∞ 1 cos xt sin t + sin xt (1 − cos t) dt π 0 t Z ∞ Z ∞ 1 sin (1 − x)t 1 sin xt dt + dt. π 0 t π 0 t (3.199) Il primo integrale vale π/2 per x < 1 e −π/2 per x > 1. Il secondo integrale vale −π/2 per x < 0 e π/2 per x > 0. Si avrà dunque: per x < 0, y = 1 1 − = 0 2 2 per 0 < x < 1, y = 1 1 + = 1 2 2 per x > 1, y = − (3.200) 1 1 + = 0 2 2 come si era supposto. Esempio 2. Sia y = 0 per x < 0 e y = e−x per x > 0. Non siamo nelle condizioni supposte e bisogna alquanto rinunciare al rigore matematico. Si avrà: µn = n! (3.201) Sostituendo ad esempio nella (3.195), sarà: ∞ X 0 µn ∞ X 1 (it)n = (it)n = , n! 1 − it 0 (3.202) formola in realtà valida solo per t2 < 1, ché altrimenti lo sviluppo non converge. Supporremo tuttavia che si possa sempre scrivere: ∞ X (it)n = 0 1 , 1 − it (3.203) e−ixt dt. 1 − it (3.204) con che la (3.195) diventa: y = 1 2π Z ∞ −∞ 253 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Se nella nota formola ((14bis) nel paragrafo 2.26),  −a Z ∞ ix  2π e , a > 0 e dx =  −∞ a + ix 0, a < 0 poniamo x in luogo di a e −tx in luogo di x, si ha: Z ∞ −ixt Z ∞ −ixt e x dt e dt = −∞ x − itx −∞ 1 − it ½ 2π e−x , per x > 0 = . 0, per x < 0, Sostituendo otteniamo: y =  −x  e ,  (3.205) (3.206) per x > 0, (3.207) 0, per x < 0, come si era supposto. 2 Esempio 3. Sia y = e−x . Sarà: µ2r+1 = µ2r = = = 0 µ ¶ 2r − 1 ! 2 √ 1 3 2r − 1 π· · · ... · 2 2 2 √ (2r)! . π r! · 22r (3.208) (3.209) Segue ∞ X (−1)r µ2r 0 ∞ √ X √ t2 t2r t2r = π (−1)r 2r = πe− 4 . (2r)! 2 r! 0 Sostituendo nella (3.195): y = = Z ∞ t2 1 √ e−ixt e− 4 dt 2 π −∞ Z ∞ 2 2 t 1 √ e−x e−( 2 +ix) dt 2 π −∞ 254 (3.210) Volumetto 3: 28 giugno 1929 = = 2 1 √ e−x π Z ∞ e 2 t +ix −( 2 ) µ d −∞ ¶ t + ix 2 2 e−x . (3.211) come si era supposto. Esempio 4. Proponiamoci di trovare la funzione i cui momenti sono: µ0 = µ1 = µ2 = 1 1 4 1 9 ... µn 1 . (n + 1)2 = (3.212) (3.213) (3.214) (3.215) Avremo: z z it ¡ ¢ i z0t + z ¡ ¢ it z 0 t + z = = = = ∞ X 0 ∞ X i 1 ∞ X = − ∞ X (it)n (it)n = n! (n + 1)! (n + 1) 0 (it)q q! q 1 ∞ X 1 z0 µn (it)q−1 q! (it)q = eit − 1 q! z eit − 1 + . t it2 Segue, badando che per t = 0 deve essere z = 1: Z 1 t eit − 1 z = dt. t 0 it Sostituendo nella (3.195) o in (3.191): Z ∞ Z 1 1 t eit1 − 1 y = e−ixt dt · dt1 2π −∞ t 0 it1 255 (3.216) (3.217) (3.218) (3.219) (3.220) (3.221) Volumetto 3: 28 giugno 1929 = = = µZ Z t cos xt sin t1 dt dt1 t t1 0 0 ¶ Z ∞ Z t sin xt 1 − cos t1 + dt dt1 t t1 0 0 Z π Z ∞µ ¶ 4 dθ 1 1 [cos (xr cos θ) sin (r sin θ) π 0 sin θ cos θ 0 r + sin (xr cos θ) (1 − cos (r sin θ))] dr Z π 4 1 dθ · π 0 sin θ cos θ Z ∞ 1 {sin [r(sin θ − x cos θ)] + sin (rx cos θ)} dr. (3.222) · r 0 1 π ∞ Il secondo integrale vale per 0 < θ < π/4: 0, π, se x < 0 se 0 < x < tan θ. Per 0 < x < 1, avremo quindi Z π π 4 dθ 4 y = = [log tan θ]arctan x = − log x. sin θ cos θ arctan x (3.223) (3.224) Resta cosı̀ determinata la funzione y per tutti i valori di x: per x < 0, y = 0 per 0 < x < 1, y = − log x per x > 1, y = 0. (3.225) È facile verificare che la funzione y cosı̀ definita soddisfa alle condizioni proposte. Esempio 5. Sia y dx la probabilità che due punti (elementi di superficie) di un cerchio di raggio unitario abbiano distanza compresa tra x e x + dx. I momenti di y, per la formola (7) nel paragrafo 1.21, saranno: µn = 4 (n + 1)! . n + 4 (1 + n/2)! (1 + n/2)! (3.226) In particolare, µ0 = 256 1 (3.227) Volumetto 3: 28 giugno 1929 µ1 = µ2 = 128 45π 1 (3.228) (3.229) ... Sostituendo in (3.194): z ∞ X = µn 0 ∞ X = ∞ X (it)n n +1 (it)n = 4 n! n + 4 (1 + n/2)! (1 + n/2)! 0 2 (n + 1)(it)n . (1 + n/2)! (2 + n/2)! 0 (3.230) Poniamo z = z1 + iz2 . Si avrà: z1 Z = t z1 dt = 0 Z t t2 z1 dt = ∞ X 0 ∞ X 0 ∞ X 0 (−1)r 2 (2r + 1) (−1)r 2 t2r+1 (r + 1)! (r + 2)! (−1)r 2 t2r+3 (r + 1)! (r + 2)! 0 = − t2r (r + 1)! (r + 2)! ∞ X (−1)s 2 t2s+1 s! (s + 1)! (−1)s 2 (2t/2)2s+1 s! (s + 1)! 1 ∞ X = − = 2t − 2I1 (2t), 1 (3.231) (3.232) (3.233) da cui segue: Z t z1 dt = z1 = 0 2 I1 (2t) − 2 t t2 2 I 0 (2t) I1 (2t) − 2 − 4 12 + ; t t t3 e poiché: I10 (2t) = I0 (2t) − 257 1 I1 (2t), 2t (3.234) (3.235) (3.236) Volumetto 3: 28 giugno 1929 segue: 2 + 4 I0 (2t) I1 (2t) +6 3 . t2 t z1 = − (3.237) Quanto a z2 si avrà: z2 = ∞ X (−1)r 4 (r + 1) 0 Z t z2 dt = 0 Z t t2 z2 dt = ∞ X 0 ∞ X 0 t2r+1 (3.238) (r + 3/2)! (r + 5/2)! (−1)r 2 t2r+2 (r + 3/2)! (r + 5/2)! (3.239) (−1)r 2 t2r+4 (r + 3/2)! (r + 5/2)! (3.240) 0 ecc. . Esempio 6. Sia y(r) dr la probabilità che la distanza tra due punti di superfici sferiche concentriche, l’una di raggio unitario, l’altra di raggio a < 1, sia compresa fra r e r + dr. I momenti sono in questo caso: µ0 µ1 = 1 (3.241) = 1 1 + a2 3 (3.242) = (1 + a)n+2 − (1 − a)n+2 2(n + 2)a (3.243) ·s µn ·s; (si veda il paragrafo 2.38.6). Sostituendo nella (3.194), ricaviamo: z = ∞ (1 + a)2 X (1 + a)n (it)n 2a n! (n + 2) 0 − Z t z dt 0 = ∞ (1 − a)2 X (1 − a)n (it)n , 2a n! (n + 2) 0 (3.244) ∞ 1 + a X (1 + a)n+1 (it)n+1 2a i 0 (n + 2)! − ∞ 1 − a X (1 − a)n+1 (it)n+1 , 2a i 0 (n + 2)! 258 (3.245) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Z t t z dt = − 0 ∞ 1 X (1 + a)n+2 (it)n+2 2a 0 (n + 2)! ∞ 1 X (1 − a)n+2 (it)n+2 2a 0 (n + 2)! ³ ´ 1 − ei (1+a) t − 1 − i (1 + a) t 2a ´ 1 ³ i (1−a) t + e − 1 − i (1 − a) t 2a ei (1−a) t − ei (1+a) t + i t, 2a i (1−a) t i (1+a) t e − e + i, 2at + = = Z t z dt = z = 0 (3.246) (3.247) ei (1+a) t − ei (1−a) t 2at2 (1 + a) ei (1+a) t − (1 − a) ei (1−a) t . −i 2at (3.248) D’altronde: Z ∞ · z e−i r t dt Z −∞ Z z dt 0 ∞ −∞ −∞ · µ e−i r t ir + 2a ir 2a Z −r Z t −i r e−i r t dt − = ¸∞ t e−i r t = Z Z z(t1 ) dt1 0 ei (1−a) t − ei (1+a) t +i 2at ∞ −∞ ∞ − −∞ ∞ ¶¸∞ −∞ ei (1−a−r) t − 1 dt t ei (1+a−r) t − 1 dt t e−i r t dt. (3.249) −∞ Il primo e il quarto termine nel secondo membro sono indeterminati e il 259 Volumetto 3: 28 giugno 1929 loro valore medio è zero. Il secondo vale: r , 2a −π per r < 1 − a, (3.250) π r , 2a per r > 1 − a. π r , 2a per r < 1 + a, Il terzo vale: r , per r > 1 + a. 2a Segue dalla (3.191), ponendo r in luogo di x: (3.251) −π y = 0, y = per r < 1 − a, r , 2a per 1 − a < r < 1 + a, y = 0, (3.252) per r > 1 + a; (si veda il paragrafo 2.38.6.) 3.5 Curve di probabilità (1) Probabilità che 2 punti di due superfici sferiche concentriche di raggi a e b < a abbiano la distanza r: y = dP/dr (densità di probabilità), si ha: y = 0, y = per r < a − b r , 2ab y = 0, per a − b < r < a + b per r > a + b; (si vedano i paragrafi 2.39.6 e 3.4.) 260 (3.253) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Seguono i momenti: Z (a + b)n+2 − (a − b)n+2 . µn = rn y dr = 2ab(n + 2) (3.254) In particolare: µ−1 = µ0 = µ1 = µ2 = 1 a 1 (3.255) (3.256) 1 b2 a+ 3 a a2 + b 2 (3.257) (3.258) ... (2) Densità della probabilità che due punti di un segmento di lunghezza ` abbiano la distanza r: y(r) = 2(` − r) , `2 y(r) = 0, 0 < r < `, (3.259) altrimenti. I momenti saranno: µn = 2`n . (n + 1) (n + 2) (3.260) In particolare: µ0 = µ1 = µ2 = ... 1 ` 3 `2 6 (3.261) (3.262) (3.263) (3) Densità della probabilità che due punti appartenenti a due circonferenze complanari e concentriche, l’una di raggio a, l’altra di raggio b < a, abbiano la distanza r: y = π p 2r . − (a2 − b2 )2 + 2(a2 + b2 )r2 − r4 261 (3.264) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Se b = a, si ha semplicemente: y = 3.6 π √ 2r . 4a2 r2 − r4 L’integrale definito (3.265) R π/2 sin kx 0 sin x dx Dalla relazione: sin (k + 2) x − sin kx = 2 cos (k + 1) x sin x (3.266) si deduce: sin kx sin (k + 2) x = + 2 cos (k + 1) x. sin x sin x Integrando fra 0 e π/2 e ponendo: Z π/2 y(k) = 0 sin kx dx, sin x (3.267) (3.268) si ha: 2 (k + 1) π sin . (3.269) k+1 2 Scrivendo le relazioni analoghe con k + 2, k + 4, . . ., k + 2n in luogo di K e notando che Z π/2 Z ∞ sin kx sin kx lim dx = lim dx k→∞ 0 k→∞ 0 sin x x Z ∞ sin x π = dx = , (3.270) x 2 0 y(k) − y(k + 2) = − cioè: y(∞) = π , 2 (3.271) si ricava: y(k) = ∞ X π 2 (k + 1 + 2r) π − sin , 2 k + 1 + 2r 2 0 262 (3.272) Volumetto 3: 28 giugno 1929 cioè: y(k) = ∞ π (k + 1) π X 2(−1)r − sin . 2 2 (k + 1) + 2r 0 (3.273) In altre parole: y(k) = π −2 2 µ 1 1 1 − + − ... k+1 k+3 k+5 ¶ sin (k + 1)π . (3.274) 2 Consideriamo la funzione definita per α positivo: φ(α) = 1 − 1 1 1 + − + ..., 1+α 1 + 2α 1 + 3α (3.275) per α = 0 porremo: 1 . 2 Tale funzione è sempre crescente e compresa fra 1/2 e 1. Da notare l’identità: µ ¶ 1 α φ(α) + φ = 1, 1+α 1+α φ(0) = lim φ(α) = (3.276) α→0 (3.277) che permette di determinare lo sviluppo in serie di φ(α) per α → 0. Si può anche porre φ(α) sotto forma integrale: Z 1 φ(α) = 0 dx , 1 + xα (3.278) e si deducono come casi particolari: φ(0) = lim φ(α) = α→0 1 , 2 φ(1) = log 2, φ(2) = π . 4 Per α intero si ha: µ ¶ 1 1 1 1 1 = + + ... + , 1 + xα 1 − xδ 1 − x δ3 1 − x δ 2α−1 α (3.279) (3.280) essendo δ = eiπ/α , cioè la prima radice α-esima di −1. L’equazione (3.280) si dimostra immediatamente sviluppando i due membri in serie di potenze di x o di 1/α, secondo che α sia minore o maggiore di 1. 263 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Sostituendo in (3.278) mediante (3.280), per α intero si ha: · 1 1 1 φ(α) = − log (1 − δ) + 3 log (1 − δ 3 ) + . . . α δ δ ¸ 1 + 2α−1 log (1 − δ 2α−1 ) ; (3.281) δ ovvero, notando che δ 2α = 1, φ(α) = 1 £ 2α−1 δ log (1 − δ) + δ 2α−3 log (1 − δ 3 ) + . . . α ¤ + δ log (1 − δ 2α−1 ) . (3.282) − (Con l’avvertenza che la parte immaginaria in ognuno dei logaritmi che figurano al secondo membro della (3.282) è determinata univocamente dalla condizione che sia compresa fra (−iπ/2, iπ/2)). Se si bada che nel secondo membro della (3.282) i termini sono a due a due complessi coniugati e che ³ rπ π rπ´ + i − i log (1 − δ r ) = log 2 sin (3.283) 2 2α 2 rπ rπ δ 2α−r = cos − i sin , (3.284) α α la (3.282) diventa: φ(α) = ³ π π ´ log 2 sin α µ 2α ¶ 3π 3π + cos log 2 sin + ... α 2α µ ¶ (2α − 1)π (2α − 1)π + cos log 2 sin α 2α π π 3π 3π + sin + sin + ... 2α α 2α α (2α − 1)π (2α − 1)π + sin . α α cos (3.285) Si deducono come casi particolari: φ(0) = φ(3) = 1 π , φ(1) = log 2, φ(2) = , 2 4 √ 1 3 log 2 + π, φ(4) = . . . . 3 9 264 (3.286) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Si può cosı̀ calcolare φ(α) per α intero; ma l’uso ripetuto della (3.277) permette di calcolare tale funzione per tutti i valori della variabile indipendente del tipo α/(1 + nα), con α e n interi. Escludendo il caso triviale α = 0, si ha per ogni valore di n e al variare di α tra 1 e ∞, un gruppo discreto di valori della variabile indipendente per i quali è possibile calcolare la funzione; il più piccolo di tali valori è 1/(n + 1), e il loro limite superiore è 1/n. L’insieme dei valori per i quali la funzione si può calcolare ammette quindi un insieme discreto di punti limiti della forma 1/n; non è quindi possibile valutare l’intera funzione in base alle considerazioni che precedono e alla continuità. Se si vuol conoscere il valore di φ(α) per un valore arbitrario di α, applicando la (3.277) ci si può sempre ridurre al caso α < 1, in quanto sarà sempre α/(1 + α) < 1. Applicando due volte la (3.277) ci si porta al caso α < 1/2. Si può allora utilizzare la seguente tavola:70 α 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 φ(α) 0.50000 0.50500 0.51000 0.51498 0.51994 0.52488 0.52979 0.53467 0.53951 0.54431 0.54907 0.55378 0.55843 α 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 φ(α) 0.56304 0.56759 0.57201 0.57652 0.58089 0.58521 0.58946 0.59366 0.59779 0.60186 0.60587 0.60982 0.61371 Per α piccolo, giova lo sviluppo: 1 1 1 1 17 7 + α − α3 + α 5 − α + .... 2 4 8 4 16 Sostituendo la (3.275) nella (3.274), si ricava: ¶µ ¶ µ 2 (k + 1)π π 2 sin y(k) = − φ . 2 k+1 k+1 2 φ(α) = (3.287) (3.288) 70 Nel manoscritto originale, nella tabella vengono riportati solo i valori corrispondenti a α = 0, α = 0.40, e α = 0.50. 265 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Si deduce: y(0) = 0 y(2) = 2 y(4) = 2 y(6) = 2 y(8) = 2 µ 1 3 1 − 1 1 + 3 5 1 − 1 1 1 + − 3 5 7 µ µ µ ¶ 1 − = 4 3 ¶ ¶ 1 1 1 1 + − + 1 − 3 5 7 9 ¶ y(10) = 2 y(1) = y(3) = y(5) = . . . = y(2n + 1) = π . 2 Questa relazione è di evidenza immediata quindi k = 1, e segue direttamente dalla (3.269) quando k è un intero dispari qualsiasi. Si deduce: Z ∞ 0 3.7 sin x dx = lim k→∞ x Z π/2 0 sin kx π dx = . sin x 2 (3.289) Prodotti infiniti (1) 2 2 4 4 6 6 π · · · · · · ... = . 1 3 3 5 5 7 2 (3.290) (2) µ (1 − k) 1− k 4 ¶µ 1 − k 9 ¶µ 1 − k 16 ¶ ... = √ sin π k √ (3.291) π k [0 < k] 266 Volumetto 3: 28 giugno 1929 √ Se si pone x = π k, k = x2 /π 2 , si può scrivere: µ ¶µ ¶µ ¶ k k k sin x = (1 − k) 1 − 1 − 1 − ... x 4 9 16 (3.292) Per x = π/2 e quindi (k = 1/4) segue la formola 1) di Wallis. (1). (3) 1 42 ·7 72 ·10 102 ·13 132 ·16 · · 3 · · · ... = 2 53 8 113 143 µ lim x→∞ P1 P2 ¶3 = λ3 (3.293) (si veda il paragrafo 2.5), essendo P100 (x) = x P1 (x), P1 (0) = 1, P10 (0) = 0, P200 (x) = x P2 (x), P2 (0) = 0, P20 (0) = 1. Ed essendo: Z ∞ P 2 = P1 0 segue: 3.8 1 = λ Z ∞ 0 dx P12 dx . P12 (3.294) (3.295) Polinomi e numeri di Bernoulli I polinomi di Bernoulli si possono far derivare dalla funzione generatrice: ψ(x, t) = ∞ X t ext Bn (x) n = t . t e −1 n! 0 (3.296) I numeri di Bernoulli sono i termini costanti dei polinomi di Bernoulli Bn (x): Bn = Bn (0). (3.297) Ponendo x = 0 nella (3.296), si ricava la definizione diretta dei numeri di Bernoulli: ∞ X t Bn n (3.298) = t . et − 1 n! 0 267 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Diamo l’espressione dei primi numeri e polinomi di Bernoulli: 1 B1 = − , 2 B0 = 1, B4 = − B8 = − 1 , 30 B2 = 1 , 6 B6 = 1 , 42 B7 = 0, B10 = 5 , 66 B11 = 0. B5 = 0, 1 , 30 B9 = 0, B3 = 0, B0 (x) = 1, B1 (x) = x − 1 , 2 B2 (x) = x2 − x + B3 (x) = x3 − 1 , 6 3 2 1 x + x, 2 2 B4 (x) = x4 − 2x3 + x2 − B5 (x) = x5 − 5 4 5 1 x + x3 − x, 2 3 6 B6 (x) = x6 − 3 x5 + B7 (x) = x7 − 5 4 1 1 x − x2 + , 2 2 42 7 6 7 7 1 x + x5 − x3 + x, 2 2 6 6 B8 (x) = x8 − 4 x7 + B9 (x) = x9 − 1 , 30 14 6 7 2 1 x − x4 + x2 − , 3 3 3 30 9 8 21 5 3 x + 6 x7 − x + 2 x3 − x, 2 5 10 B10 (x) = x10 − 5 x9 + 15 8 3 5 x − 7 x6 + 5 x4 − x2 + , 2 2 66 268 Volumetto 3: 28 giugno 1929 B11 (x) = x11 − 3.9 11 10 55 9 11 3 5 x + x − 11 x7 + 11 x5 − x + x. 2 6 2 6 Parentesi di Poisson Si definisce come parentesi di Poisson di a e b, nella meccanica quantistica, l’espressione:71 [a , b] = i (a b − b a) = − [b , a] . ~ (3.299) Se q e p sono le variabili canoniche, si avrà, notando che p = −(~/i)∂/∂q, [qi , pi ] [a , b] [x , H] = = = = 1 X µ ∂a ∂qi i X µ ∂x ∂qi i X µ ∂x ∂qi i ∂b ∂a ∂b − ∂pi ∂pi ∂qi ¶ ¶ ∂H ∂x ∂H − ∂pi ∂pi ∂qi ¶ ∂x q̇i + ṗi = ẋ. ∂pi (3.300) (3.301) (3.302) Diamo l’espressione delle parentesi di Poisson per alcune coppie di grandezze: (1) Sia: ux = qy pz − qz py (3.303) uy = qz px − qx pz (3.304) uz = qx py − qy px . (3.305) 71 Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui denotiamo la stessa quantità con ~. 269 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Segue: [ux , uy ] = − [uy , ux ] = uz (3.306) [uy , uz ] = − [uz , uy ] = ux (3.307) [uz , ux ] = − [ux , uz ] = uy (3.308) £ 2 ux , £ 2 ux , £ ux , £ ux , ¤ u y = ux uz + uz ux ¤ u z = − ux uy − uy u x , ¤ u2y = uy uz + uz uy ¤ u2z = − ux uy − uy ux , (3.309) (3.310) etc. (3.311) etc. (3.312) £ 2 ¤ ux + u2y + u2z , ux = 0 − uy uz − u z uy + uz uy + uy uz = 0 etc. (3.313) (2) Sia: qx = r sin θ cos φ (3.314) qy qz = r sin θ sin φ (3.315) = r cos θ. (3.316) Si avrà: [r , px ] = [r , py ] = [r , pz ] = [cos θ , px ] = [cos θ , py ] = [cos θ , pz ] = [sin θ , px ] = qx = sin θ cos φ r qy = sin θ sin φ r qz = cos θ r qx qz sin θ cos θ cos φ − 3 = − r r qy qz sin θ cos θ sin φ − 3 = − r r sin2 θ r2 − qz2 = r3 r 2 cos θ cos φ r 270 (3.317) (3.318) (3.319) (3.320) (3.321) (3.322) (3.323) Volumetto 3: 28 giugno 1929 [sin θ , py ] = [sin θ , pz ] = [θ , px ] = [θ , py ] = [θ , pz ] = [cos φ , px ] = [cos φ , py ] = [cos φ , pz ] = [sin φ , px ] = [sin φ , py ] = [sin φ , pz ] = [φ , px ] = [φ , py ] = [φ , pz ] = cos2 θ sin φ r sin θ cos θ − r cos θ cos φ r cos θ sin φ r sin θ − r sin2 φ r sin θ cos φ sin φ − r sin θ 0 cos φ sin φ − r sin θ cos2 φ r sin θ 0 sin φ − r sin θ cos φ r sin θ 0. (3.324) (3.325) (3.326) (3.327) (3.328) (3.329) (3.330) (3.331) (3.332) (3.333) (3.334) (3.335) (3.336) (3.337) (3) Ponendo per semplicità: X = ux (3.338) Y = uy (3.339) Z = uz . (3.340) Se k è il quanto azimutale, m (o n) il quanto equatoriale, si hanno in unità ~ le matrici di degenerazione: Zm,n = Xm,n = δm,n m (3.341) p 1 (δm+1,n + δm,n+1 ) k(k + 1) − mn (3.342) 2 271 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Ym,n = p i (δm+1,n − δm,n+1 ) k(k + 1) − mn. (3.343) 2 Ad esempio per k = 2    Z =     2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1   1   X =  0    0 0  0   −i   Y =  0    0 0 0 0 0 0 0 0 q q0 3 2 0 q 0 0 −i 0 q i 3 2 0 0    Z2 =    4 0 0 0 0 X2 0 3 2 3 2 0 1 0 0 0 q 0 0 0 0 0 −1 0 3 2 0 3 q0 0 272 3 2   0    0    i  0 0 0 0 0 4 (3.345) (3.346)       (3.347)  0 0 0  0 5 2 3 2 (3.344) 0 1 3 2 0 −i 3 2      0 0 q i 32 0 0 0 0 0   0    0    1  0 0 q 3 2 0 q −i 32 0  1   0  q  3 =  2   0  0 0 0 0 0 −2 0 i 0 q 0 0 0 −1 0 0 q0 5 2 0 0 1 3 2         (3.348) Volumetto 3: 28 giugno 1929 q  Y2 1 0 q     =  −   0  0 0 3 2 X2 + Y 2 + Z2 − 5 2 0 0 − 32 3 0 q 0 −  6  0  =   0  0 0  −i 0 q 0 − 12 i 3 2  0 − 23 0 0 q 0 − 5 2 0 3 2 0 1 0 6 0 0 0 q i 32 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 3 2               (3.350)  0 3 i 2 0 0 q        3 3  X Y =  −i 2 0 0 0 i 2    1  0 i 0  0 − 32 i 2   q 0 0 −i 32 0 i q   i 0 i 32 0 0   3 1  i 0 i 0  0 2 2   q q   Y X =  −i 32 0 0 0 i 32     0 − 12 i 0  0 − 23 i   q 0 0 −i 32 0 −i   0 1 0 0 0  2 0 0 0    q0 q   3 3 XZ =  0  0 − 0 2 2    0 0 0 0 −2  0 0 0 −1 0   0 2 0 0 q0   3 0 0   1 0 2   0 0 0  ZX =    0 0 q    0 0 − 32 0 −1  0 0 0 −2 0 273 (3.349) (3.351) (3.352) (3.353) (3.354) Volumetto 3: 28 giugno 1929  0  −2i   Y Z =  0   0 0 i 0 q −i 0 0 3 2 0 0 0 0 0  0   −i  ZY =   0   0 0 0 0 q 2i −i 0 0 0 0    0   −2i  0 3 2 0 i 0 q i 32 0 q 0 i    [X , Y ] = i (X Y − Y X) =    2 0 0 0 0       −i  0 0 0 0 2i 0 0 1 0 0 0 (3.355)  0 0 0 3 2  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 (3.356) 0 0 0 0 −2     = Z   (3.357)  0   1   [Y , Z] = i (Y Z − Z Y ) =  0    0 0  0   −i   [Z , X] = i (Z X − X Z) =  0    0 0 274 1 0 q q0 3 2 0 q 0 0 0 3 2 0 q 3 2 i 0 0 3 2 0 1 0 0 q −i 32 0 0 q i 3 2 0 q −i 32 0   0    0  = X   1  0 (3.358)  0 0  0 0   q  i 32 0    0 i  −i 0 (3.359) Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.10 Grandezze fisiche elementari Le grandezze sono date in unità assolute. Sono segnate con asterisco le grandezze sperimentali che sono servite di base per il calcolo di tutte le altre.72 Grandezze Valori e (carica dell’elettrone) 4.774×10−10 m (massa di riposo dell’elettrone) 0.90017×10−27 h (quanto d’azione) 6.5463×10−27 h/2π 1.04188×10−27 * k = R/N (costante di Boltzmann) R (costante dei gas perfetti) 8.25×107 N (numero di Avogadro) 6.0597×1023 MH = 1/N (massa di O/16) 1.65025×10−24 e/mc 1.769×107 * c (velocità della luce) 2.998×1010 * F = eN/c (costante di Faraday) 9649.4 * R/c = (2π 2 me4 )/(h3 c) (Rydberg in numero d’onda) 109737.1 * R = (2π 2 me4 )/h3 (frequenza di Rydberg) 3.2899×1015 * 72 L’Autore misura la lunghezza in m, la massa in g, il tempo in s e la carica elettrica in esu. Altre unità sono derivate da queste. Si osservi che i valori sperimentali attualmente accettati differiscono leggermente da quelli riportati. 275 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Grandezze Valori Rh = (2π 2 me4 )/h2 (energia di Rydberg) r = h2 /(4π 2 me2 ) (primo raggio di Bohr) µ = (eh)/(4πmc) (magnetone di Bohr) ν = e/(4πmc) (frequenza di Larmor in un campo unitario) e/(4πmc2 ) (idem in numero d’onda in un campo unitario) (hc2 )/(104 e) (volts corrispondenti a 1µ) (Rhc)/(108 e) (volts corrispondenti a 1 Rydberg) (mc3 )/(108 e) (volts corrispondenti a m) (108 e)/(ck) (temperatura corrispondente a 1V ) (104 ch)/k (temperatura corrispondente a 1µ) 3.11 Curva del cane Un punto Q si muove sull’asse x con velocità costante u in modo che le sue coordinate rettangolari sono: Q(ut, 0). Un punto P (x, y) si muove con velocità costante v in direzione di Q; si tratta di determinare la traiettoria di P . La tangente a detta traiettoria per P in un istante qualunque passa per Q; l’inviluppo delle rette P Q rappresenta quindi la curva percorsa dall’inseguitore. Introduciamo come parametro l’angolo tra P Q e l’asse x, 276 Volumetto 3: 28 giugno 1929 che chiameremo α. Le coordinate di P soddisferanno all’equazione della retta passante per P e Q: y = (u t − x) tan α; (3.360) e poiché P appartiene all’inviluppo di tali rette, x e y soddisfanno anche la densità della (3.360) rispetto al tempo:73 ¡ ¢ dα (u t − x) 1 + tan2 α + u tan α = 0; dt (3.361) da cui segue: x = ut + u y = −u dt sin α cos α dα dt sin2 α dα (3.362) (3.363) e derivando: d2 t dα sin α cos α dα2 dt 2 d t dα ẏ = − 2 u sin α cos α − u sin2 α. dα2 dt D’altra parte dev’essere: ẋ 2 u cos2 α + u = ẋ = v cos α, ẏ = − v sin α, (3.364) (3.365) (3.366) da cui confrontando con la (3.364) o con (3.365): 2 cos α + d2 t dα v sin α = , dα2 dt u (3.367) cioè: d dt log dα dα dt log dα dt dα t 73 Si = = = = v cos α − 2 u sin α sin α v α log tan − 2 log sin α + cost. u 2 (tan α/2)v/u c1 sin2 α Z (tan α/2)v/u c1 dα + c2 , sin2 α veda anche la (3.366). 277 (3.368) (3.369) Volumetto 3: 28 giugno 1929 e confrontando con le equazioni (3.362) e (3.363): "Z # (tan α/2)v/u cos α v/u x = u c1 dα + (tan α/2) + u c2 (3.370) sin α sin2 α y = − u c1 (tan α/2)v/u . (3.371) La forma delle curve dipende, come è naturale, solo dal rapporto v/u. Supponiamo per esempio u = v; avremo: Z α 1 α 1 1 tan α/2 log tan + tan2 − dα + (3.372) 2 2 4 2 4 sin2 α e ponendo u = v = 1, c1 = −1, c2 = 0, (3.373) si ha: t = x = y = α 1 α 1 1 log tan − tan2 + 2 2 4 2 4 tan α/2 t − tan α α tan ; 2 − (3.374) (3.375) (3.376) eliminando α mediante quest’ultima: t = x = 1 1 1 log y − y 2 + 2 4 4 1 1 2 1 − log y + y − . 2 4 4 − (3.377) (3.378) Poiché per t = 0, si ha x = 0, y = 1, t misura l’arco di curva tra il punto (0, 1) e il punto generico (x, y). Dalle equazioni (3.377) e (3.378), segue: t = x+ 1 1 − y2 . 2 2 (3.379) Segue dalla (3.378) che il valore minimo di x è 0 (per y = 1); il punto (0, 1), preso come origine degli archi, è dunque il punto in cui la tangente alla curva è verticale. 278 Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.12 Potenziale statistico nelle molecole Il potenziale entro un gas di elettroni soddisfa staticamente all’equazione differenziale: ∆ V = − kV 3/2 . (3.380) La determinazione approssimata di V , quando si conoscano approssimativamente le superfici equipotenziali, può farsi nel modo seguente. Sia f (x, y, z) = p (3.381) l’espressione approssimata della superficie equipotenziale in funzione di un parametro p. Poniamo: V = V (p), (3.382) avremo: dV grad p dp e indicando con n la normale esterna alla superficie Z Z ∂V dV ∂p dV dσ = dσ = y1 (p) , dp σ ∂n dp σ ∂n grad V = (3.383) (3.384) in cui y1 (p) è una funzione nota. Integrando poi la (3.380) nello spazio fra due superfici equipotenziali corrispondenti a p e p + dp, V 3/2 viene fuori dall’integrale: Z Z µ ¶−1 ∂p ∆ V dS = − k V 3/2 dp dσ = − k V 3/2 y2 (p) dp, ∂n ∆S σ (3.385) in cui µ ¶ Z −1 ∂p y2 (p) = (3.386) dσ ∂n σ è ancora una funzione nota di p. D’altra parte per la formola della divergenza: Z Z Z ∂V ∂V dσ(p + dp) − dσ(p) ∆ V dS = ∆S σ(p) ∂n σ(p+dp) ∂n = = y1 (p + dp) V 0 (p + dp) − y1 (p) V 0 (p) ¡ ¢ y1 V 00 + y10 V 0 dp, 279 Volumetto 3: 28 giugno 1929 e confrontando con la formola (3.385): y1 V 00 + y10 V 0 = − k V 3/2 y2 (3.387) che permette la determinazione di V (p) quando siano assegnate le condizioni ai limiti. Consideriamo per esempio la molecola biatomica con nuclei uguali e assumiamo come approssimate superfici equipotenziali: p = r1 r2 = r1 + r2 µ 1 1 + r1 r2 ¶−1 ; (3.388) avremo: grad p = − p2 grad 1 1 1 = − p2 grad − p2 grad p r1 r2 (3.389) e indicando rispettivamente con u e v due vettori unitari diretti secondo r1 e r2 : grad p = p2 p2 u+ 2v 2 r1 r2 (3.390) ∂p ∂n = |grad p| , (3.391) da cui si può calcolare y1 e y2 . Ma conviene eseguire il calcolo in coordinate ellittiche, badando anche che y2 = ∂S , ∂p (3.392) essendo S il volume racchiuso dalla superficie equipotenziale p. Inoltre y1 è il flusso uscente di grad p = −p2 grad (1/p); e poiché 1/p è armonica con le singolarità del tipo 1/r1 e 1/r2 nei nuclei il flusso uscente di grad (1/p) vale −8π; segue: y1 (p) = 8π p2 . (3.393) Consideriamo una sezione meridiana del volume racchiuso dalla superficie p; in coordinate cartesiane x e z, siano i nuclei sull’asse x nei punti (a, 0) e (−a, 0). Introducendo le coordinate ellittiche: u = (r1 + r2 ) /2, v = (r1 − r2 ) /2, 280 (3.394) Volumetto 3: 28 giugno 1929 sarà: r1 = u + v, y2 = uv a Z S = π y 2 dx, r2 = u − v, (u2 − a2 )(a2 − v 2 ) , a2 x = (3.395) s l’integrale essendo esteso al contorno della semisezione meridiana (y > 0). L’equazione (3.388) che deve essere soddisfatta al contorno diventa: ¡ ¢± p = u2 − v 2 2u, (3.396) con v 2 = u2 − 2 u p, v=± p u2 − 2 u p, u=p + p p2 + v 2 , u > 0. (3.397) Si ha y = 0 nei punti: u u u u = = = = p p + pp2 + a2 , p + p2 + a2 , a, a, v v v v = = = = a −a p a2 − 2ap p − a2 − 2ap. I primi due sono sempre reali; gli ultimi due sono reali e distinti solo se p < a/2, coincidono in (u , v) = (a , 0) se p = a/2. Introduciamo la variabile: v t = , (3.398) u u e v si esprimono razionalmente in funzione di t: 2p 2pt u = , v = ; (3.399) 1 − t2 1 − t2 e poiché x = uv/a, segue: dx = 1 2p t 2p 1 + 3t2 d (uv) = d = dt. a a (1 − t2 )2 a (1 − t2 )3 (3.400) Segue, se estendiamo l’integrale ai soli valori positivi permessi di t: ¶µ ¶ Z µ 4πp 4p2 t2 4p2 1 + 3t2 2 2 S = − a a − dt, (3.401) 3 2 2 2 2 a (1 − t ) (1 − t ) (1 − t2 )3 in cui il limite inferiore dell’integrale è zero se p ≥ a/2, mentre vale p p a2 − 2ap/a se p < a/2; il limite superiore è in ogni caso a/(p+ p2 + a2 ). 281 Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.13 Gruppo delle trasformazioni unitarie in due variabili Consideriamo il gruppo U (2) delle trasformazioni unitarie in due variabili ξ e η, con determinante 1. Se µ ¶ α β γ δ è la matrice appartenente a una singola trasformazione, se cioè: ξ 0 = α ξ + β η, η 0 = γ ξ + δ η, (3.402) dovranno valere le relazioni: α∗ α + β ∗ β γ ∗ γ + δ∗ δ = = α∗ γ + β ∗ δ αδ − βγ 1, 1, = = 0, 1. (3.403) Posto: α = α1 + i α2 , β = β1 + i β 2 , γ = γ 1 + i γ2 , δ = δ1 + i δ 2 , sostituendo nella (3.403) dovranno valere le relazioni, fra grandezze reali: α21 + α22 + β12 + β22 = 1 δ22 = 1 α1 γ1 + α2 γ2 + β1 δ1 + β2 δ2 = 0 α1 γ2 − α2 γ1 + β1 δ2 − β2 δ1 = 0 α1 δ1 − α2 δ2 − β1 γ1 + β2 γ2 = 1 α1 δ2 + α2 δ1 − β1 γ2 − β2 γ1 = 0. γ12 + γ22 + δ12 + Moltiplicando la terza equazione per α, la quarta per −α2 , la quinta per −β1 , la sesta per −β2 , e sommando si ha, tenuto conto della prima: γ1 = − β1 . 282 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Analogamente si trova: γ2 = β2 , δ 1 = α1 , δ2 = − α2 . si possono dunque scegliere ad arbitrio α1 , α2 , β1 , β2 in modo che soddisfacciano alla prima equazione e determinare le altre incognite in base alle relazioni ora scritte: tutte le altre equazioni, compresa la seconda di cui non si è tenuto espressamente conto, saranno allora automaticamente soddisfatte. Porremo: α1 = x, α2 = λ, β1 = − µ, β2 = ν, in cui x, λ, µ, ν sono numeri reali qualunque soddisfacenti all’equazione: x2 + λ2 + µ2 + ν 2 = 1, (3.404) e le componenti della più generale matrice unitaria con determinante 1 saranno: α = x + i λ, β = − µ + i ν, γ = − β ∗ = µ + i ν, δ = α∗ = x − i λ. (3.405) Ogni trasformazione del gruppo è definita dai quattro numeri reali x, λ, µ, ν; la indicheremo brevemente con (x , λ , µ , ν) . Consideriamo due trasformazioni del gruppo e il loro prodotto: µ ¶ µ 0 ¶ x + iλ −µ + iν x + i λ 0 − µ0 + i ν 0 A= , B= , 0 0 0 0 µ + iν x − iλ µ + iν x − iλ µ 00 ¶ x + i λ00 − µ00 + i ν 00 AB = , µ00 + i ν 00 x00 − i λ00 cioè, posto: x00 λ00 µ00 ν 00 = = = = xx0 − λλ0 − µµ0 − νν 0 xλ0 + λx0 − µν 0 + νµ0 xµ0 + λν 0 + µx0 − νλ0 xν 0 − λµ0 + µλ0 + νx0 ; (3.406) segue: ¡ ¢ ¡ ¢ (x , λ , µ , ν) x0 , λ0 , µ0 , ν 0 = x00 , λ00 , µ00 , ν 00 , 283 (3.407) Volumetto 3: 28 giugno 1929 che coincide con la regola di moltiplicazione dei quaternioni. Consideriamo nello spazio a v + 1 = 2j + 1 dimensioni il vettore di componenti ξ r η v−r (3.408) , r = 0, 1, ..., v. f (v, r) Una trasformazione del nostro gruppo cangi tale vettore nel vettore di componenti: ξ 0 r η 0 v−r (3.409) , r = 0, 1, ..., v. f (v, r) A causa delle equazioni (3.402), le componenti del vettore trasformate si ottengono come combinazioni lineari di quelle del primo, e in verità in modo unico perché i v + 1 monomi ξ r η v−r (r = 0, 1, . . . , v) sono linearmente indipendenti. Si ha cosı̀ una rappresentazione Dj a (2j + 1) dimensioni del nostro gruppo. La stessa rappresentazione vale naturalmente anche per il gruppo di tutte le trasformazioni del tipo (3.402), cioè per tutte le trasformazioni lineari affini in due dimensioni, o per il sottogruppo O(2) di tutte le trasformazioni lineari con determinante 1, di cui il nostro gruppo U (2) è a sua volta sottogruppo. La funzione f (v, r) può determinarsi in modo che le trasformazioni unitarie del gruppo U (2) siano rappresentate con trasformazioni unitarie. A tal fine è necessario che: X |ξ r η v−r |2 (3.410) f 2 (v, r) r (supponiamo f reale) dipenda soltanto da |ξ|2 + |η|2 ; cioè, posto: |ξ|2 = a e |η|2 = b, che X ar bv−r (3.411) f 2 (v, r) r sia una funzione di a + b. Basterà per ciò porre la prima quantità uguale alla potenza v-esima della seconda, con che:74 µ ¶−1/2 p v f (v, r) = r!(v − r)!/v! (3.412) = r o più semplicemente, poiché è sempre lecito moltiplicare f (v, r) per una quantità costante (rispetto a r): p f (v, r) = r!(v − r)!. (3.413) 74 L’Autore vuole ottenere la formula per la potenza di un binomio. 284 Volumetto 3: 28 giugno 1929 E cosı̀ ξ e η definiscono un vettore nello spazio a 2j + 1 dimensioni di componenti: ξ r η v−r p , r = 0, 1, . . . , v. (3.414) r!(v − r)! Consideriamo la trasformazione: (x, ²a, ²b, ²c) . (3.415) Dati ²a, ²b, ²c resta determinato x a meno del segno che conveniamo di scegliere positivo. Supponiamo che ² sia infinitesimo; x differirà dall’unità per un infinitesimo di secondo ordine, onde lim ²→0 (x, ²a, ²b, ²c) − (1, 0, 0, 0) = (0, a, b, c) . ² (3.416) La trasformazione (0, a, b, c), la cui definizione risulta dalle equazioni (3.405), è una “trasformazione infinitesima”. Essa non fa parte in generale di U (2), ma è sempre multipla reale di una trasformazione unitaria con determinante 1. Al contrario apparterrà a U (2) la trasformazione: (x, λ, µ, ν) = e(0,a,b,c) t (3.417) 2 dove t è un numero reale qualsiasi; si avrà cioè necessariamente: x + λ2 + µ2 + ν 2 = 1. Dati a, b, c, le quantità x, λ, µ, ν sono, a causa della (3.417)), funzioni di t. E si avrà: µ ¶ dx dλ dµ dν = (x, λ, µ, ν) (0, a, b, c) , , , dt dt dt dt = (0, a, b, c) (x, λ, µ, ν) , (3.418) cioè: dx dt dλ dt dµ dt = −aλ − bµ − cν = ax − cµ + bν = ax + cµ − bν = ax = b x, (3.419) dν = c x. dt Derivando la prima rispetto a t: ¡ ¢ d2 x = − a2 + b2 + c2 x, dt2 285 (3.420) Volumetto 3: 28 giugno 1929 da cui: x = λ = µ = ν = cos t √ a2 + b 2 + c 2 a √ sin a2 + b2 + c2 b √ sin a2 + b2 + c2 c √ sin 2 a + b2 + c2 (3.421) t t t √ √ √ a2 + b 2 + c 2 a2 + b 2 + c 2 (3.422) a2 + b 2 + c 2 . Segue, facendo t = 1, che dalla trasformazione infinitesima (0, a, b, c) si deduce la trasformazione: (x, λ, µ, ν) = e(0,a,b,c) (3.423) ponendo: √ a2 + b 2 + c 2 x = cos λ = √ √ a sin a2 + b2 + c2 a2 + b 2 + c 2 µ = √ √ b sin a2 + b2 + c2 a2 + b 2 + c 2 ν = √ √ c sin a2 + b2 + c2 . a2 + b 2 + c 2 (3.424) Segue dalle equazioni (3.424) che qualunque trasformazione di U (2) può porsi sotto la forma della (3.423), e le costanti a, b, c si possono determinare univocamente con le condizioni: a , b , c ≥ 0, 0 ≤ √ a2 + b2 + c2 ≤ 2π. (3.425) Consideriamo una rappresentazione qualunque del gruppo U (2). Poniamo: lim ²→0 U(x, ²a, ²b, ²c) − 1 = a P 1 + b P2 + c P3 . ² 286 (3.426) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Sarà in conseguenza: ea P1 + b P2 + c P3 = = = lim (1 + ² (a P1 + b P2 + c P3 ))1/² ²→0 lim (U(x, ²a, ²b, ²c))1/² = lim U(x, ²a, ²b, ²c)1/² ²→0 ³ ´ lim U ((1, 0, 0, 0) + ²(0, a, b, c))1/² = U e(0,a,b,c) ²→0 ²→0 e a causa della (3.423), ³ U(x, λ, µ, ν) = U e(0,a,b,c) ´ = ea P1 + b P2 + c P3 , (3.427) ferme restando le (3.424). Segue che basta conoscere le matrici P1 , P2 , P3 per avere la rappresentazione di tutto il gruppo U (2). Le matrici P1 , P2 , P3 non possono tuttavia scegliersi ad arbitrio; in primo luogo perché togliendo, per ragioni di continuità, la limitazione (3.425) uno stesso elemento di U (2) può essere rappresentato con differenti terne (a, b, c), (a0 , b0 , c0 ), . . ., e deve essere identicamente, per l’univocità della rappresentazione: 0 ea P1 + b P2 + c P3 = ea P1 + b0 P2 + c0 P3 = .... (3.428) e in secondo luogo occorre che al prodotto di due elementi corrisponda il prodotto delle trasformazioni corrispondenti. Supponiamo la prima condizione soddisfatta, sarà allora per t = 0: ³ ´ 0 0 0 0 0 0 U e(0,at,bt,ct) e(0,a t,b t,c t) = e(a P1 + b P2 + c P3 )t e(a P1 + b P2 + c P3 )t . (3.429) Poniamo: 0 e(0,at,bt,ct) e(0,a t,b0 t,c0 t) = e(0,x,y,z) . (3.430) Le x, y, z saranno funzioni di t che possono determinarsi in infiniti modi mediante (3.423) e (3.424); ma a cui imporremo la condizione della continuità e x = y = z = 0 per t = 0. La (3.429) diventa a causa della (3.427): 0 ex P1 + y P2 + z P3 = e(a P1 + b P2 + c P3 )t e(a P1 + b0 P2 + c0 P3 )t Sviluppando la (3.430) in serie si ricava: 1 + xP1 + yP2 + zP3 + 1£ 2 2 x P1 + y 2 P22 + z 2 P32 2 287 . (3.431) Volumetto 3: 28 giugno 1929 +xy (P1 P2 + P2 P1 ) + yz (P2 P3 + P3 P2 ) + zx (P1 P3 + P3 P1 )] ¡ ¢ 1£ + x3 P13 + y 3 P23 + z 3 P33 + x2 y P12 P2 + P1 P2 P1 + P2 P12 6 ¡ ¢ ¡ ¢ +xy 2 P1 P22 + P2 P1 P2 + P22 P1 + y 2 z P22 P2 + P2 P3 P2 + P3 P22 ¢ ¡ ¢ ¡ +yz 2 P2 P32 + P3 P2 P3 + P32 P2 + z 2 z P32 P1 + P3 P1 P3 + P1 P32 ¡ ¢ +x2 z P3 P12 + P1 P3 P1 + P12 P3 + xyz (P1 P2 P3 + P2 P3 P1 +P3 P1 P2 + P1 P3 P2 + P2 P1 P3 + P3 P2 P1 )] + . . . ¡ ¢ = 1 + t aP1 + bP2 + cP3 + a0 P1 + b0 P2 + c0 P3 t2 £ 2 2 + a P1 + b2 P22 + c2 P32 + ab (P1 P2 + P2 P1 ) + bc (P2 P3 + P3 P2 ) 2 +ca (P1 P3 + P3 P1 ) + a02 P12 + b02 P22 + c02 P32 + a0 b0 (P1 P2 + P2 P1 ) +b0 c0 (P2 P3 + P3 P2 ) + c0 a0 (P1 P3 + P3 P1 ) + 2aa0 P12 + 2bb0 P22 +2cc0 P32 + 2ab0 P1 P2 + 2bc0 P2 P3 + 2ca0 P3 P1 ¤ +2ac0 P1 P3 + 2ba0 P2 P1 + 2cb0 P3 P2 + . . . . 0 (3.432) 0 0 Poiché x, y, z sono infinitesimi con t e a, b, c, a , b , c sono costanti arbitrarie, uguagliando i termini dello stesso grado nei due membri della (3.432), si trovano successive relazioni a cui devono soddisfare P1 , P2 , P3 . Vogliamo trovare effettivamente i primi termini dello sviluppo di x, y, z secondo t; per far ciò sviluppiamo (3.430) in serie fino agli infinitesimi di secondo ordine. Troviamo: 1 1 + (0, at, bt, ct) + (0, a0 t, b0 t, c0 t) + (0, at, bt, ct)2 2 1 0 0 0 2 + (0, a t, b t, c t) + (0, at, bt, ct)(0, a0 t, b0 t, c0 t) + . . . 2 1 = (1, 0, 0, 0) + (0, x, y, z) + (0, x, y, z)2 + . . . 2 da cui uguagliando separatamente le quattro componenti dei quaternioni: ¤ 1 £ 1 − t2 (a + a0 )2 + (b + b0 )2 + (c + c0 )2 + . . . 2 ¢ 1¡ 2 = 1− x + y 2 + z 2 + . . . (3.433) 2 (a + a0 )t + (cb0 − bc0 )t2 + . . . = x + 0t + . . . (3.434) (b + b0 )t + (ac0 − ca0 )t2 + . . . 0 0 0 2 (c + c )t + (ba − ab )t + . . . = y + 0t + . . . (3.435) = z + 0t + . . . (3.436) 288 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Dalle ultime tre (la prima ne è naturalmente conseguenza), si deducono gli sviluppi fino al secondo ordine di x, y, z. Sostituendo nella (3.432), si trova che fino agli infinitesimi di primo ordine è identicamente soddisfatta, mentre uguagliando gli infinitesimi di secondo ordine si ha: (cb0 − bc0 )P1 + (ac0 − ca0 )P2 + (ba0 − ab0 )P3 1£ + (a + a0 )2 P12 + (b + b0 )2 P22 + (c + c0 )2 P32 2 +(a + a0 )(b + b0 )(P1 P2 + P2 P1 ) + (b + b0 )(c + c0 )(P2 P3 + P3 P2 ) ¤ +(c + c0 )(a + a0 )(P3 P1 + P1 P3 ) 1£ = (a + a0 )2 P12 + (b + b0 )2 P22 + (c + c0 )2 P32 2 +(a + a0 )(b + b0 )(P1 P2 + P2 P1 ) + (b + b0 )(c + c0 )(P2 P3 + P3 P2 ) +(c + c0 )(a + a0 )(P3 P1 + P1 P3 ) + (ab0 − ba0 )(P1 P2 − P2 P1 ) ¤ +(bc0 − cb0 )(P2 P3 − P3 P2 ) + (ca0 − ac0 )(P3 P1 − P1 P3 ) . (3.437) Poiché queste relazioni devono essere soddisfatte per valori arbitrari delle costanti, si deducono le relazioni di scambio: P 1 P2 − P2 P1 = −2P3 P 2 P3 − P3 P2 = −2P1 P 3 P1 − P1 P3 = −2P2 . (3.438) Consideriamo le rappresentazioni Dj del gruppo U (2) le quali consistono in trasformazioni agenti sul vettore (3.414). Il vettore di componenti: ξ r η v−r p r!(v − r)! è trasformato da P3 nel vettore di componenti # " r i ξ r−1 η v−r+1 d (ξ − i²η)r (η + i²ξ)v−r p = p d² r!(v − r)! r!(v − r)! ²=0 p (v − r)ξ r+1 η v−r−1 ξ r−1 η v−r+1 p = i r(v − r + 1) p r!(v − r)! (r − 1)!(v − r + 1)! r+1 v−r−1 p ξ η + i (r + 1)(v − r) p , (r + 1)!(v − r − 1)! + 289 Volumetto 3: 28 giugno 1929 cosı̀ che ponendo m = v/2 − r = j − r, si ha la matrice P3 : p p (P3 )m,m−1 = i (j + m)(j − m + 1) = i j(j + 1) − m(m − 1) p p (P3 )m,m+1 = i (j + m + 1)(j − m) = i j(j + 1) − m(m + 1) (3.439) (con m = −j, −j + 1, . . .), essendo tutte le altre componenti nulle; la matrice è naturalmente emisimmetrica, cioè moltiplicata per i dà luogo a una matrice Hermitiana. In altre parole P3 è, come tutte le trasformazioni unitarie infinitesime, una grandezza immaginaria pura. Lo stesso vettore (3.414) è trasformato da P2 nel vettore di componenti: " # d (ξ − ²η)r (η + ²ξ)v−r − r ξ r−1 η v−r+1 p p = d² r!(v − r)! r!(v − r)! ²=0 p (v − r)ξ r+1 η v−r−1 ξ r−1 η v−r+1 p = − r(v − r + 1) p r!(v − r)! (r − 1)!(v − r + 1)! p ξ r+1 η v−r−1 + (r + 1)(v − r) p . (r + 1)!(v − r − 1)! + Segue che le sole componenti diverse da zero nella matrice P2 sono: p p (P2 )m,m−1 = − (j + m)(j − m + 1) = − j(j + 1) − m(m − 1) p p (P2 )m,m+1 = (j + m + 1)(j − m) = j(j + 1) − m(m + 1). (3.440) La matrice P1 trasforma il vettore (3.414) nel vettore di componenti: " # d (ξ + i²ξ)r (η − i²η)v−r p d² r!(v − r)! ²=0 (v − r) i ξ r η v−r r i ξ r η v−r p − . = p r!(v − r)! r!(v − r)! Segue che in P1 sono diversi da zero i soli elementi diagonali, essendo: (P1 )m,m = 2 m i. Si hanno cosı̀ le rappresentazioni: 290 (3.441) Volumetto 3: 28 giugno 1929 •j = 0 P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0. 1 2 •j = µ P1 = i 0 ¶ 0 −i µ , P2 = 0 1 ¶ −1 0 µ , P3 = √0 =  2 0 √ − 2 √0 2 0 i i 0 ¶ . •j = 1  P1 2i =  0 0 0 0 0  0 0 , −2i  P2  P3 •j =  P1 0 √ =  i 2 0 √ i 2 0 √ i 2  0 √ − 2 , 0  0 √ i 2 . 0 3 2 3i  0  =  0 0 0 i 0 0 0 0 −i 0  0 0  , 0  −3i  P3 0 √  i 3  =  0 0  P2 √0  3  =  0 0 √ i 3 0 2i 0 0 2i 0 √ i 3 291 √ − 3 0 2 0  0 0  . √ i 3  0 0 −2 √0 3  0 0  , √ − 3  0 Volumetto 3: 28 giugno 1929 •j = 2    P1 =       P2 =     P3   =    4i 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2i 0 0 0 0 2i 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 √0 6 0 0 0 0 0 −2i 0 0 √ − 6 √0 6 0 2i 0 √ i 6 0 0 0 √ i 6 0 √ i 6 0 0 0 0 0 −4i 0 0 √ − 6 0 2 0 0 √ i 6 0 2i    ,   0 0 0 −2 0 0 0 0 2i 0    ,      .   Si constata facilmente che sono soddisfatte le relazioni di scambio. In effetti le componenti delle tre matrici si possono scrivere, senza esclusione di quelle nulle: (P1 )m,n = (P2 )m,n = (P3 )m,n = 2 m i δm,n p j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1 ) p j(j + 1) − mn (iδm,n−1 + iδm,n+1 ) . (3.442) Segue: (P1 P2 )m,n = (P2 P1 )m,n = (P1 P2 − P2 P1 )m,n = = (P2 P3 )m,n = p 2 m i j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1 ) p 2 n i j(j + 1) − mn (δm,n−1 − δm,n+1 ) p j(j + 1) − mn (− 2 i δm,n−1 − 2 i δm,n+1 ) − 2 (P3 )m,n p i j(j + 1) − m(m + 1) 292 Volumetto 3: 28 giugno 1929 × (P3 P2 )m,n = (P2 P3 − P3 P2 )m,n = (P3 P1 )m,n = (P1 P3 )m,n = (P3 P1 − P1 P3 )m,n 3.14 p j(j + 1) − (m + 1)(m + 2) δm+2,n p − 2 m i δm,m − i j(j + 1) − m(m − 1) p × j(j + 1) − (m − 1)(m − 2) δm−2,n , p i j(j + 1) − m(m + 1) p × j(j + 1) − (m + 1)(m + 2) δm+2,n p + 2 m i δm,m − i j(j + 1) − m(m − 1) p × j(j + 1) − (m − 1)(m − 2) δm−2,n , = − 4 m iδm,m = − 2 (P1 ))m, n p 2 n i j(j + 1) − mn (i δm,n−1 + i δm,n+1 ) p 2 m i j(j + 1) − mn (i δm,n−1 + i δm,n+1 ) p j(j + 1) − mn (− 2 δm,n−1 + 2 δm,n+1 ) = − 2 (P2 )m,n . Relazioni di scambio fra trasformazioni infinitesime nelle rappresentazioni di gruppi continui Sia dato un gruppo continuo a n parametri: s = (q1 , q2 , . . . , qn ) . (3.443) Conveniamo di scegliere i parametri in modo che le coordinate dell’elemento unità siano tutte nulle: 1 = (0, 0, . . . , 0) . (3.444) Sia assegnata una rappresentazione del gruppo: U(s) = U (q1 , q2 , . . . , qn ) . 293 (3.445) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Una trasformazione infinitesima è definita da lim ²→0 U(²a1 , ²a2 , . . . , ²an ) − 1 = a 1 P 1 + a 2 P2 + . . . + a n Pn , ² (3.446) cioè le trasformazioni infinitesime si esprimono come combinazioni lineari di n particolari. Tra le matrici P1 , P2 , ..., Pn passano certe relazioni algebriche che sono indipendenti dal numero di dimensioni e dalla natura della rappresentazione, ma dipendono dalla natura del gruppo astratto. Tra queste sono le relazioni di scambio. Consideriamo il “commutatore”: c = (x1 , x2 , . . . , xn ) = (α, 0, 0, . . . , 0) (0, β, 0, . . . , 0) × (α, 0, 0, . . . , 0)−1 (0, β, 0, . . . , 0)−1 , (3.447) cioè posto: s = (α, 0, 0, . . . , 0) , t = (0, β, 0, . . . , 0) , (3.448) c = s t s−1 t−1 , (3.449) st = cts (3.450) U(s) U(t) = U(c) U(t) U(s). (3.451) avremo: Derivando rispetto ad α: dU(s) U(t) dα = X ∂xi ∂U(s) U(t) U(s) ∂α ∂xi i + U(c) U(t) dU(s) . dα (3.452) Derivando ancora rispetto a β: X ∂ 2 xi ∂U(s) dU(s) dU(t) = U(t) U(s) dα dβ ∂α∂β ∂xi i + X ∂xi ∂xk ∂ 2 U(c) U(t) U(s) ∂α ∂β ∂xi ∂xk i,k X ∂xi ∂U (c) ∂U(t) X ∂xi ∂U(c) ∂U(s) + U (s) + U(t) ∂α ∂x ∂β ∂β ∂x ∂α i i i i + U(c) ∂U(t) ∂U(s) . ∂β ∂α (3.453) 294 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Annullando separatamente α o β, il commutatore coincide con l’elemento unità. Per α = β = 0 sarà dunque: i = 1, 2, . . . , n, U(c) ∂xi ∂α 2 ∂ xi ∂α∂β = = = 1 ∂xi = 0 ∂β (3.454) a1,2 i (3.456) (3.455) (gli indici 1 e 2 nella (3.456) significano che α e β sono rispettivamente la prima coordinata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento s e la seconda coordinata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento t; formole analoghe valgono per una coppia qualunque r, s di coordinate e le ar,s sono manifesi tamente antisimmetriche negli indici superiori) ∂U(c) ∂xi ∂U(s) ∂α ∂U(t) ∂β U(s) = Ri (3.457) = P1 (3.458) = P2 (3.459) = U(t) = 1, (3.460) e la formola precedente (3.453) diventa: P1 P2 = X a1,2 i Pi + P2 P 1 , (3.461) i cioè: P1 P2 − P2 P1 = X a1,2 i Pi (3.462) ar,s i Pi , (3.463) i o più in generale: P r Ps − P s Pr = X i che sono le cosiddette relazioni di scambio. 295 Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.15 Formole empiriche per l’energia di atomi con due elettroni Sia un atomo di carica Z con due elettroni nello stato fondamentale. Poniamo: a = < 1/r1 > = < 1/r2 > il valore medio dell’inverso della distanza di ciascuno dei due elettroni dal nucleo, b =< 1/r12 > il valore medio dell’inverso della distanza dei due elettroni fra loro. Se esprimiamo le distanze nelle unità elettroniche e l’energia in Ry, sarà: E = −2 a Z + b, (3.464) poiché l’energia è uguale alla metà del valore medio dell’energia potenziale. Passiamo dall’atomo di numero Z a quello di numero Z + dZ; il metodo delle perturbazioni dà: dE = − 4 a dZ, (3.465) e abbiamo cosı̀ due equazioni fra le tre funzioni incognite di Z: E, a, b. Aggiungiamo un’ulteriore relazione empirica, presumibilmente ben approssimata, fra a e b: b = (2Z − 2a) (2a − Z). (3.466) che si giustifica cosı̀: per Z grande il metodo delle perturbazioni dà: E = −2 Z 2 + d’altra parte: b = 5 Z + ...; 4 5 Z + ..., 8 (3.467) (3.468) da cui per la (3.464): 5 + ..., (3.469) 16 onde la (3.466) è in prima approssimazione soddisfatta. Per Z molto piccolo uno degli elettroni è in prossimità del nucleo mentre l’altro è praticamente a distanza infinita, onde si ha: a ' Z/2, b ' 0, onde la (3.466) è ancora soddisfatta. Per valori intermedi di Z la proponiamo come verosimilmente bene approssimata. Sostituendo la (3.466) nella (3.464), si ha: a = Z − E = −2 a Z + (2Z − 2a) (2a − Z) = − 2 Z 2 + 4 a Z − 4 a2 . 296 (3.470) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Differenziando si ricava: dE = − 4 Z dZ + 4 a dZ + 4 Z da − 8 a da; (3.471) e confrontando con la (3.465): dZ = da, (3.472) da cui, poiché conosciamo il valore di a per Z infinito: a = Z − 5 , 16 (3.473) cioè, sostituendo in (3.470): E = −2 Z 2 + 5 25 Z − . 4 64 (3.474) formola utilizzabile per Z ≥ 5/8, poiché per Z = 5/8 risulta b = 0. Per l’elio (Z = 2), si trova: E = −5.89, di fronte al valore sperimentale 5.807, con un errore per eccesso, nel potenziale di ionizzazione, di 1.13 V (25.59 V in luogo di 24.46 V). Per l’idrogeno (Z = 1) E = −1.141, onde risulterebbe un potenziale di ionizzazione di 1.91 (affinità elettronica).75 Il procedimento indicato è però soddisfacente perché per Z molto piccolo b deve tendere a zero come infinitesimo di ordine superiore al primo e non diventare negativo. Scegliamo come terza relazione approssimata in luogo della (3.466): b = 5√ 2 5 k + Z 2 − k, 8 8 (3.475) riservandoci di determinare k. Sostituendo in (3.464), si ha: E = −2 a Z + 5√ 2 5 k + Z 2 − k; 8 8 (3.476) e differenziando: dE = −2 a dZ − 2 Z da + 5Z dZ √ , 8 k2 + Z 2 (3.477) 75 Si noti che gli attuali valori sperimentali per il potenziale di ionizzazione dell’idrogeno, dell’atomo di elio neutro e ionizzato una volta sono rispettivamente 13.5984 V, 24.5874 V, e 54.4178 V, corrispondenti ad un’energia di ionizzazione di 0.9995, 1.8072, e 3.9998 (misurata in Ry, come usato nel testo). L’affinità elettronica dell’idrogeno (cioè, la differenza tra le energie dello stato fondamentale dell’atomo neutro e ionizzato una volta) è 0.7542 eV. 297 Volumetto 3: 28 giugno 1929 da cui, confrontando con (3.465): − 4 a dZ = −2 a dZ − 2 Z da + 2 Z da = 2 a dZ + da dZ = 5Z dZ √ 8 k2 + Z 2 5Z dZ √ 8 k2 + Z 2 a 5 √ + , Z 16 k2 + Z 2 onde, badando che per Z → ∞, a/Z deve tendere a 1: ¶ µ Z ∞ 5 dZ √ , a = Z 1+ 16 Z k2 + Z 2 0 (3.478) (3.479) con che si va incontro all’inconveniente che per Z piccolo a diventa negativo; per eliminare siffatto inconveniente è necessario che b tenda a zero, per Z piccolo, come infinitesimo d’ordine superiore al secondo. Scegliamo per b, in luogo di (3.475), la forma: b = 5 Z e−k/Z , 8 (3.480) con che la (3.464) diventa: E = −2 a Z + 5 Z e−k/Z 8 (3.481) e differenziando: dE = −2 a dZ − 2 Z da + 5 −k/Z 5k −k/Z e dZ + e dZ; 8 8Z (3.482) e confrontando con la (3.465): da a 5 −k/Z 5k −k/Z = + e + e , dZ Z 16 Z 16 Z 2 da cui µ Z a = Z 1+ ∞ 0 ¶ 5Z + 5k −k/Z e dZ . 16 Z 3 (3.483) (3.484) Poiché per Z piccolo deve essere, come si è già notato, a ' Z/2, si può determinare k in modo che: Z ∞ 5Z + 5k −k/Z 1 (3.485) e dZ = , 16 Z 3 2 0 298 Volumetto 3: 28 giugno 1929 con che si avrebbe k = 5/4, ma si giunge per questa via a un’approssimazione insufficiente. Si avrebbe: a = b = E = µ ¶ Z Z 5 + + e−1.25/Z 2 2 16 5 Z e−1.25/Z 8 − Z 2 − Z 2 e−1.25/Z , (3.486) (3.487) (3.488) che per l’elio (Z = 2) darebbe: E = −6.14, troppo disforme dal valore sperimentale. Poniamo: ´ 5 ³√ 3 b = k3 + Z 3 − k . (3.489) 8 La (3.464) diventa: E = −2aZ + 5√ 5 3 k3 + Z 3 − k, 8 8 (3.490) e differenziando: dE = − 2 a dZ − 2 Z da − 5Z 2 dZ + Z 3 )2/3 8 (k3 (3.491) e confrontando con la (3.465): da a 5Z = + , dZ Z 16 (k3 + Z 3 )2/3 da cui: µ Z ∞ a = Z 1+ 0 5 dZ 16 (k3 + Z 3 )2/3 (3.492) ¶ , (3.493) in cui k si potrebbe determinare con condizione analoga alla (3.485). Ma formole analoghe alla (3.489) se ne possono scrivere infinite senza che vi sia alcun mezzo per preferire a priori l’una o l’altra. 299 Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.16 Gruppo delle rotazioni O(3) 13 Proiettando un punto (x, y, z) di una sfera unitaria dal polo sud (0, 0, −1) sul piano equatoriale z = 0, le sue coordinate sono legate a quelle del punto immagine (x, y, z) dalle relazioni: x = 2x0 , 1 + x02 + y 02 2y 0 , 1 + x02 + y 02 y = Ponendo: z = 1 − x02 − y 02 . (3.494) 1 + x02 + y 02 x0 + i y 0 = η/ξ, (3.495) le relazioni (3.494) diventano: 2 ηξ ∗ , ξξ ∗ + ηη ∗ ξξ ∗ − ηη ∗ . ξξ ∗ + ηη ∗ (3.496) Consideriamo una trasformazione unitaria con determinante 1 del gruppo SU (2) applicata a ξ e η; essa porta questa variabile in: x + iy = x − iy = 2 η∗ ξ , ξξ ∗ + ηη ∗ ξ1 = xξ + iλξ − µη + iν η η1 = µξ + iν ξ + xη − iλη z = (con x2 + λ2 + µ2 + ν 2 ), e in conseguenza il punto (x, y, z) nel punto (x1 , y1 , z1 ): x1 + iy1 = x1 − iy1 = (xµ + λν + ixν − iλµ)(ξξ ∗ − ηη ∗ ) ξξ ∗ + ηη ∗ 2 2 (x − λ − 2ixλ)ηξ ∗ + (−µ2 + ν 2 − 2iµν)ξη ∗ +2 ξξ ∗ + ηη ∗ (xµ + λν − ixν + iλµ)(ξξ ∗ − ηη ∗ ) 2 ξξ ∗ + ηη ∗ 2 2 (x − λ + 2ixλ)ηξ ∗ + (−µ2 + ν 2 + 2iµν)ξη ∗ +2 ξξ ∗ + ηη ∗ 2 13 Nel manoscritto originale, questo gruppo è indicato con δ ; tuttavia qui usi3 amo la notazione moderna O(3). Si noti anche che a volte l’Autore usa la stessa notazione per un gruppo e per la sua restrizione alle trasformazioni con determinante uguale a 1 (che, nelle moderne notazioni, è indicata con una S che precede il nome del gruppo; per esempio O(3) e SO(3)). 300 Volumetto 3: 28 giugno 1929 z1 (x2 + λ2 − µ2 − ν 2 )(ξξ ∗ − ηη ∗ ) ξξ ∗ + ηη ∗ (−xµ + λν + ixν + iλµ)ηξ ∗ + (−xµ + λν − ixν − iλµ)ξη ∗ +2 , ξξ ∗ + ηη ∗ = cioè: x1 + iy1 = 2 (xµ + λν + ixν − iλµ) z + (x2 − λ2 − 2ixλ)(x + iy) + (−µ2 + ν 2 − 2iµν)(x − iy) x1 − iy1 = 2 (xµ + λν − ixν + iλµ) z + (x2 − λ2 + 2ixλ)(x − iy) + (−µ2 + ν 2 + 2iµν)(x + iy) z1 = (x2 + λ2 − µ2 − ν 2 ) z + 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)(x + iy) + (−xµ + λν − ixν − iλµ)(x − iy), cioè: x1 = (x2 − λ2 − µ2 + ν 2 )x + 2(xλ − µν)y + 2(xµ + λν)z y1 = −2(xλ + µν)x + (x2 − λ2 + µ2 − ν 2 )y + 2(xν − λµ)z z1 = 2(−xµ + λν)x + 2(−xν − λµ)y + (x2 + λ2 − µ2 − ν 2 )z. (3.497) che rappresenta una rotazione nello spazio a tre dimensioni e in verità la più generale rotazione; anzi per ogni rotazione nello spazio si possono scegliere in due modi le costanti x, λ, µ, ν che si deducono l’uno dall’altro mediante cambiamenti di segni delle componenti del quaternione. Le equazioni (3.497) non sono altro che la rappresentazione D1 del gruppo SU (2). Invertendola (con che perde l’univocità) si possono considerare Dj come rappresentazioni di O(3); e saranno univoche quelle con j intero perché in tali rappresentazioni a due quaternioni uguali e opposti corrisponde la stessa trasformazione, duplici quelle con j non intero. In queste ultime, tra le quali Dj , che deriva dall’inversione di (3.497), a ogni rotazione nello spazio tridimensionale corrispondono due matrici uguali e opposte. Una rotazione di un angolo infinitesimo ² intorno all’asse z corrisponde (scegliendo dei due quaternioni possibili, uguali e opposti, quello prossimo all’unità) il quaternione: µ ¶ 1 1, − ², 0, 0 . 2 301 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Analogamente alla rotazione di un angolo infinitesimo ² intorno all’asse x corrisponde il quaternione: µ ¶ 1 1, 0, 0, − ² , 2 e alla rotazione dell’angolo ² intorno all’asse y, il quaternione: µ ¶ 1 1, 0, ², 0 . 2 Segue che in una rappresentazione qualunque di U (2) considerata come rappresentazione (univoca o duplice) del gruppo O(3), le rotazioni infinitesime intorno agli assi x, y, e z, si esprimono mediante le trasformazioni infinitesime fondamentali P1 , P2 , e P3 in base alle semplici relazioni: Rz = − 1 P1 , 2 Rx = − 1 P3 , 2 Ry = 1 P2 . 2 (3.498) Seguono a causa delle equazioni (3.438), le relazioni di scambio: Rx Ry − Ry Rx = Rz Ry R z − Rz Ry = Rx Rz Rx − Rx Rz = Ry . (3.499) Seguono dalle equazioni (3.442) le espressioni delle matrici Rx , Ry , Rz nelle rappresentazioni Dj (cangiando il segno di m e n, cioè ponendo m = j − r): µ µ µ Rz i Rx i Ry i ¶ ¶ ¶ = m δm,n = − m,n m,n = m,n ip j(j + 1) − mn (δm+1,n + δm−1,n ) (3.500) 2 ip j(j + 1) − mn (δm+1,n − iδm−1,n ) . 2 Si hanno cosı̀ le matrici: 302 Volumetto 3: 28 giugno 1929 •j = 0 Rz = 0, i •j = Ry = 0. i 1 2 µ Rz = i Rx = 0, i 1 2 0 ¶ 0 − 12 , µ Rx = i ¶ − 12 0 0 1 2 Ry = i , µ 0 i 2 − 2i 0 ¶ . •j = 1  1 =  0 0 Rz i 0 0 0   0 0 , −1 Rx  =  − i  0 Ry  √ =  i 22 i 0 •j = √ −i 22 i 0 √ 2 2 0√ − 0 −  2 2 √ 2 2 0√ − 2 2 0√ 2 2   , 0 0√  −i 22  . 0 3 2  3 2  0 Rz =   0 i 0 0 1 2 0 0  0 0  , 0  − 32 0 0 − 12 0   Ry  =  i  0 √ i 23 0 0  0√  Rx  − 23 =  i  0 0 √ −i 23 0 i 0 303 0 −i 0 √ i 23 0 0√ −i 23 0 − √ 3 2 0 −1 0    .  0 −1 0√ − 23 − 0 0√ 3 2 0    ,  Volumetto 3: 28 giugno 1929 •j = 2  2 0 0 0 0   Rz =   i     Rx  =   i  0 −1 0 0 0  Ry i •j = 0  i   =  0   0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2    ,    0 − 26 0    6 0√ − 2 0 ,  6 − 2 0 −1  0 −1 0  0√ 0 0 −i 26 0√ 0    6 . 0 −i 0 2 √  6 i 2 0 −i  0 i 0 −1 0√ − 26 0 0 −i 0 √ i 26 0 0 0 0 0 −1 0 0√ 0 0√ 5 2     Rz =   i    Rx i 0√  − 5  2   0 =   0   0 0 5 2 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − √ 5 2 0 √ − 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 − 21 0 0 0 √ − 2 0 − 32 0 0 304 0 0 0 0 − 32 0 0 0 − 32 0 √ − 2 0 0 0 0 0 0 − 52 0 0 0 √ − 2 0√ − 25     ,    − 0 0 0 0√ 5 2 0      ,    Volumetto 3: 28 giugno 1929      =     Ry i √ −i 25 0 √ i 2 0 0 0 0 √ i 25 0 0 0 0 0 √ −i 2 0 i 32 0 0 0 0 −i 32 0 √ i 2 0 0 0 0√ −i 2 0 √ i 25 0 0 0 0√ −i 25 0      .    •j = 3  Rz i     =      0√ −  Rx i   − 26   0  =   0  0    0 0  0 √ Ry i   i 26   0  =   0  0    0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 √ 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 √ − 210 0 0 0 0 0 √ − 3 0 0 0 √ − 210 √ −i 26 0 √ i 210 0 0 0 0 −i 0√ 10 2 0 √ i 3 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 √ − 3 0 √ − 3 0 0 0 0 0 √ − 3 0 √ − 210 0 0 0 √ −i 3 0 √ i 3 0 0 0 0 0√ −i 3 0 √ i 210 0 305  0 0 0 0 0 0 −3 −     ,     0 0 0 0 √ 10 2 6 2 0√ − 0 0 0 0√ 0 0 0 0 0√ −i 26 0 − −i 0 0 0 0 0√ 6 2 10 2 0 √ i 26       ,      0       .      Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.17 Gruppo di Lorentz È costituito dalle trasformazioni ortogonali delle variabili ct, x y z , , . i i i Limitandoci alle trasformazioni ortogonali con determinante 1 (escludendo quindi quelle con determinante −1) si ha il gruppo delle rotazioni proprie (reali o complesse) SO(4) nello spazio a quattro dimensioni. Consideriamo le variabili x1 , x2 , x3 , x4 nello spazio a quattro dimensioni e siano ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 le variabili dello spazio duale da trasformarsi in modo controgradiente. Siano cioè le x mediante una trasformazione lineare portate in x01 , x02 , x03 , x04 ; le ξ debbono allora intendersi trasformate in modo che sia identicamente x1 ξ1 + x2 ξ2 + x3 ξ3 + x4 ξ4 = x01 ξ10 + x02 ξ20 + x03 ξ30 + x04 ξ40 . (3.501) Sia x0i = X aik xk . (3.502) k Sostituendo nella (3.501), si ricava: X i x i ξi = X aik ξi0 xk = i,k X k xk X aik ξi0 , (3.503) i la quale dovendo valere per valori arbitrari cosı̀ delle x come delle ξ si deduce: X ξk = aik ξi0 (3.504) i che esprime la legge di variazione controgradiente delle ξ. Una trasformazione che trasforma tra loro solo alcune delle x, per esempio su x1 e x2 , agisce del pari nello spazio duale solo sulle ξ corrispondenti, nel nostro caso ξ1 e ξ2 reciprocamente. Ciò segue dalle equazioni (3.502) e (3.504). Si sottopongano x1 e x2 tra loro a una trasformazione σ12 del gruppo SL(2, C) 14 cioè delle trasformazioni lineari omogenee di determinante 1 in 14 Nel manoscritto originale questo gruppo è indicato con c ; tuttavia, qui usi2 amo la notazione moderna SL(2, C). 306 Volumetto 3: 28 giugno 1929 due variabili, e x3 e x4 tra loro a un’altra trasformazione dello stesso gruppo σ34 . La trasformazione che subiscono le quattro variabili x1 , x2 , x3 , x4 : σ = (σ12 , σ34 ) , (3.505) costituisce una rappresentazione del gruppo astratto (SL(2, C))2 i cui elementi sono coppie (σ, τ ) di elementi di SL(2, C) e soddisfano alla regola di composizione: ¡ ¢ ¡ ¢ (3.506) (σ, τ ) σ 0 , τ 0 = σ σ 0 , τ τ 0 . Consideriamo le espressioni: z1 = x1 ξ3 , z2 = x2 ξ3 , z3 = x1 ξ4 , z4 = x2 ξ4 , (3.507) le quali annullano la forma quadratica: z1 z4 − z2 z3 . (3.508) Sotto l’influsso di σ si trasformano le x e le ξ in: x01 x03 = = αx1 + βx2 , α1 x3 + β1 x4 , x02 x04 = = γx1 + δx2 , γ1 x3 + δ1 x4 , (3.509) −βξ1 + αξ2 , −β1 ξ3 + α1 ξ4 . (3.510) con αδ − βγ = α1 δ1 − β1 γ1 = 1, e ξ10 ξ30 = = δξ1 − γξ2 , δ1 ξ3 − γ1 ξ4 , ξ20 ξ40 = = Sostituendo nelle equazioni (3.507), si ricava: z10 z20 z30 z40 si deduce: = = = = αδ1 z1 + βδ1 z2 + αγ1 z3 − βγ1 z4 γδ1 z1 + δδ1 z2 − γγ1 z3 − δγ1 z4 −αβ1 z1 − ββ1 z2 + αα1 z3 + βα1 z4 −γβ1 z1 − δβ1 z2 + γα1 z3 + δα1 z4 , z10 z40 − z20 z30 = z1 z4 − z2 z3 , cioè la forma (3.508) è invariante rispetto a (3.511). La deriva dal prodotto (commutabile) delle matrici:    δ1 0 −γ1 0 α β 0 0  γ δ 0 0   0 δ 0 −γ 1 1     0 0 α β  ·  −β1 0 α1 0 0 −β1 0 α1 0 0 γ δ 307 (3.511) (3.512) matrice di (3.511)   ,  (3.513) Volumetto 3: 28 giugno 1929 onde il suo determinante è 1, e le equazioni (3.511) costituiscono una rappresentazione di (SL(2, C))2 . Ogni trasformazione omogenea, con determinante 1, che lasci invariante la forma (3.508) può porsi nella forma (3.511) esattamente in due modi (potendosi cambiare il segno delle otto costanti α, β, γ, δ, α1 , β1 , γ1 , δ1 ). Le quattro grandezze z10 = x4 ξ2 , z20 = − x4 ξ1 , z30 = − x3 ξ2 , z40 = x3 ξ1 (3.514) si trasformano come le zi , perché, data l’unimodularità di σ12 e σ34 , le grandezze x1 e x2 si trasformano come ξ2 e −ξ1 , e le grandezze ξ3 e ξ4 come x4 e −x3 . Allo stesso modo si trasformerà qualsiasi combinazione lineare, in particolare la somma, dei vettori z e z 0 che ha per componenti: z100 = z1 + z10 , z200 = z2 + z20 , z300 = z3 + z30 , z400 = z4 + z40 . (3.515) Introduciamo le grandezze ct, x/i, y/i, z/i intendendo che la loro legge di trasformazione sia definita da ct x/i y/i z/i ∼ ∼ ∼ ∼ z1 + z4 (z2 + z3 )/i z3 − z2 (z1 − z4 )/i ∼ ∼ ∼ ∼ z100 + z400 (z200 + z300 )/i z300 − z200 00 (z1 − z400 )/i. (3.516) Segue dalla (3.516): ¡ ¢ c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 ∼ 4 z100 z400 − z200 z300 ; (3.517) e poiché il secondo membro è invariante, segue che le variabili spaziotemporali x, y, z, t subiscono sotto l’influsso di σ una trasformazione di Lorentz. In luogo di (3.516) si può scrivere: ct x/i y/i z/i ∼ ∼ ∼ ∼ ξ1 x3 + ξ2 x4 iξ1 x4 + iξ2 x3 ξ1 x4 − ξ2 x3 iξ1 x3 − iξ2 x4 + ξ3 x1 + ξ4 x2 − iξ3 x2 − iξ4 x1 − ξ3 x2 + ξ4 x1 − iξ3 x1 + iξ4 x2 . Posti i secondi membri della (3.518) sotto la forma X α γik ξi xk , α = 1, 2, 3, 4 ik 308 (3.518) (3.519) Volumetto 3: 28 giugno 1929 α le matrici γik godono delle seguenti proprietà: sono Hermitiane e soddisfano la relazione 1 (3.520) (γα γβ + γβ γα ) = δαβ 2 e inoltre, se σ è una matrice definita dalle equazioni (3.511), le matrici trasformate σ −1 γα σ corrispondenti a ct0 , x0 /i, y 0 /i, z 0 /i sono combinazioni lineari di quelle corrispondenti a ct, x/i, y/i, z/i (si veda la prossima sezione). 3.18 Matrici di Dirac e gruppo di Lorentz Si debbano costruire in uno spazio a n dimensioni p operatori Hermitiani α1 , α2 , . . . , αp (3.521) con le condizioni: αi αk + αk αi = δik . (3.522) 2 Dati n e p può darsi che il problema non ammetta soluzioni, o che ne ammetta una sola fondamentale (che cioè tutte le possibili serie di matrici α1 , α2 , . . . , αp ; α10 , α20 , . . . , α0p ; . . . si ottengono l’una dall’altra per trasformazione unitaria) e può darsi che ammetta parecchie soluzioni fondamentali non riducibili l’una all’altra per trasformazione unitaria. 1) Supponiamo p = 1; una unica condizione da soddisfare è allora α12 = 1, (3.523) per il che basta e occorre che gli autovalori di α1 siano tutti 1 oppure −1. 00 Lo spazio Rn si spezza cosı̀ nella somma Rr0 +Rn−r ; il primo a r dimensioni (0 ≤ r ≤ n), corrisponde all’autovalore positivo +1, r − 1 volte degenerato, il secondo all’autovalore negativo −1, n−r−1 volte degenerato. Assumendo come primi r vettori fondamentali r vettori unitari e ortogonali qualsiasi di Rr0 e come ultimi n − r vettori fondamentali, n − r vettori unitari e 00 ortogonali di Rn−r , la matrice di α1 , sarà diagonale, con i primi r elementi diagonali uguali a 1, e gli ultimi n − r uguali a −1. Facendo variare r, da n 309 Volumetto 3: 28 giugno 1929 a 0, si ottengono le n + 1 soluzioni fondamentali che il problema ammette in questo caso speciale. 2) Supponiamo p = 2. Le condizioni da soddisfare sono α12 = 1, α22 = 1, α1 α2 + α2 α1 = 0. (3.524) 00 Sia Rr0 lo spazio corrispondente all’autovalore +1 di α1 , e Rn−r quello 0 corrispondente all’autovalore −1. Sia a un vettore di Rr ; per l’ultima delle (3.524) dovrà essere: (α1 α2 + α2 α1 ) a = 0, (3.525) cioè: (α1 + 1) α2 a = 0. Segue che α2 a appartiene a zero, sarà: 00 Rn−r , e perché α2 ha determinante diverso da n − r ≥ r. Sia b un vettore di 00 Rn−r ; (3.526) (3.527) dall’ultima equazione del (3.524), sarà: (α1 − 1) α2 b = 0, (3.528) cioè α2 b appartiene a Rr0 ; segue: r ≥ n − r. (3.529) r = n/2. (3.530) e combinando con (3.527): Segue che il caso p = 2 ammette soluzione solo se n è pari. Supposto n = 2r pari in modo che r risulti intero, scegliamo come primi r vettori fondamentali r vettori unitari ortogonali qualsiasi di Rr0 e come ultimi r vettori fondamentali i vettori trasformati15 α2 ≤ 1, α2 ≤ 2, . . ., α2 ≤ r che saranno naturalmente ortogonali ai primi perché appartengono a Rr00 che è ortogonale a Rr0 ), ma anche unitari e ortogonali tra loro perché essendo α2 Hermitiana e uguale alla sua inversa appartiene a un particolare tipo 15 Cioè, i vettori α2 a. 310 Volumetto 3: 28 giugno 1929 di trasformazioni unitarie.   1 0   0 1     ... ...   0 0  α1 =     0 0    0 0     ... ... 0 0   α2 0   0     ...   0  =     1    0     ... 0 Le matrici α1 e α2 assumono   ... 0 0 0 ...  0 0 ... ... 0     ... ... ... ... ...  ... 1 0 0 ... ... ... ... ...  0 0   ...  0  −1  0   ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ...  0 0   ...  0  0 1 ... 0 ... ... ... ...  0 0   ...  1  1  0   ... 0 0  0   ... 0 0 −1 ... 0 ... ... ... ... 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... allora l’aspetto:   0  0    ...     0    ,  0   0      ... −1   0  0      ...   1    .  0   0    ...   0 (3.531) Per p = 2 e n pari il problema ammette cosı̀ una sola soluzione fondamentale, mentre per n dispari non ne ammette. 3) Si supponga p > 2. Avremo le p matrici α1 , α2 , α3 , . . . , αp . (3.532) Scegliamo come prima i primi r = n/2 vettori fondamentali nello spazio Rr0 corrispondente all’autovalore positivo +1 di α1 , e gli ultimi n − r nello spazio Rr00 li otteniamo trasformando i primi mediante α2 . Unica differenza rispetto al caso precedente è che invece di scegliere ad arbitrio i primi r vettori fondamentali nello spazio Rr0 , ne adatteremo la scelta alla rappresentazione di α3 , α4 , . . . , αp . Per far ciò poniamo: α2 α3 α2 α4 ··· α2 αp = = iβ1 iβ2 α3 α4 = = iα2 β1 iα2 β2 = iβp−2 αp = iα2 βp−2 . 311 (3.533) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Gli operatori β1 , β2 , . . . , βp−2 trasformano vettori di Rr0 in vettori di Rr0 , e vettori di Rr00 in vettori di Rr00 . Le loro matrici avranno quindi l’aspetto: µ ¶ 0 iγi αi+2 = , (3.534) iδi 0 µ ¶ δi 0 βi = , i = 1, 2, . . . , p − 2, (3.535) 0 γi essendo γi e δi matrici di ordine n/2. Inoltre, da αi+2 αk+2 + αk+2 αi+2 = δik 2 (3.536) si deduce per le ultime delle equazioni (3.533): 1 (α2 βi α2 βk + α2 βk α2 βi ) = − δik ; 2 (3.537) e poiché deve essere per le prime delle (3.533) iβ1 α2 = α2 αi+2 α2 = α2 (αi+2 α2 ) = − α2 (α2 αi+2 ) = − αi+2 = −i α2 βi , segue: βi α 2 = − α 2 β i , βk α2 = − α2 βk (3.538) e le (3.537) diventano: − α2 βi α2 βk + α2 βk α2 βi = − α2 (βi α2 ) βk + α2 (βk α2 ) βi = α2 (α2 βi ) βk + α2 (α2 βk ) βi = β1 βk + βk βi = 2 δik , (3.539) cioè le β soddisfanno a condizioni analoghe alle equazioni (3.522). Con ciò tutte le condizioni non sono ancora riempite. Resta precisamente da soddisfare quella delle (3.522) in cui una delle α è α2 e l’altra αi+2 (i + 1, 2, . . . , p − 2). Cioè, per le equazioni (3.533), la (3.538), sulla cui validità sono del resto fondate le (3.539). Ora data la forma (3.531) di α2 , la (3.538) importa solamente che fra le matrici parziali a n/2 dimensioni γi , δi sussista l’equazione: γi = − δi , (3.540) e perché siano soddisfatte le (3.539) basta ancora che sia γi γk + γk γi = 2 δik , 312 i, k = 1, 2, . . . , p − 2. (3.541) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Perché le αi+2 siano Hermitiane si richiede solo che lo siano le γi , e con ciò il nostro problema è pienamente ricondotto a quello analogo con n0 = n/2 e p0 = p − 2. Se ancora p0 > 2, si può procedere finché si ricade in uno dei casi già noti: n dispari in cui si hanno n + 1 soluzioni fondamentali se contemporaneamente è p = 1, mentre altrimenti non se ne hanno, oppure p0 ≤ 2 che abbiamo risolto sotto 1) e 2). Abbiamo cosı̀ risolto il problema ottenendo un procedimento che permette di costruire tutte le possibili soluzioni fondamentali. La risposta generale sulla possibilità e numero delle soluzioni suona ovviamente: Posto p sotto la forma p = 2k oppure p = 2k + 1, il problema ammette soluzioni solo se n è divisibile per 2k e precisamente ne ammette una sola se p è pari mentre se p è dispari ne ammette (n/2k ) + 1. Come casi particolari si hanno le conclusioni già segnalate per p = 1 e p = 2. Come caso particolare possiamo considerare quello in cui p ha il valore massimo possibile, essendo dato n. La risposta suona: sia t l’esponente di 2 nella scomposizione in fattori primi di n; si avrà: pmax = 2t + 1 e il numero delle soluzioni fondamentali è (n/2t ) + 1 ≥ 2, (valendo il segno di uguaglianza solo se n è potenza intera di 2). Operatori non Hermitiani. Togliamo la restrizione che α1 , α2 , . . . , αp siano operatori Hermitiani. Ascriveremo allora a un’unica soluzione fondamentale tutte le soluzioni che si ottengono l’una dall’altra, per trasformazione qualunque di coordinate. Cioè data una soluzione αi riguarderemo come equivalente la soluzione αi0 = Sαi S −1 , in cui S è un operatore qualunque con determinante diverso da zero. Per la rappresentazione delle αi scegliamo un sistema non normale di coordinate procedendo esattamente come nel caso precedente, tolta dove occorre la condizione di ortonormalità dei vettori fondamentali e sostituita con quella di “indipendenza”. Giungiamo allora alle stesse matrici Hermitiane che abbiamo ottenuto prima: soltanto non essendo normale il sistema di coordinate, esse non rappresentano in generale operatori Hermitiani. Tornando alle coordinate normali, le matrici degli operatori Hermitiani si ottengono per trasformazione unitaria da certe fondamentali, mentre le matrici degli operatori non Hermitiani si ottengono per trasformazione non unitaria delle stesse fondamentali; tali matrici non saranno in generale Hermitiane. Esempi. Diamo alcuni esempi di matrici fondamentali limitatamente al caso: n = 2t , p = 2t + 1 in cui p ha dunque il valore massimo possi- 313 Volumetto 3: 28 giugno 1929 bile. Avremo sempre due soluzioni fondamentali che differiscono tra loro unicamente per il segno dell’ultima matrice. • n = 1, p = 1 αi = ± 1 • n = 2, p = 3 µ α1 = 1 0 0 −1 ¶ µ , α2 = 0 1 1 0 ¶ µ , 0 −i α3 = ± i 0 ¶ • n = 4, p = 5  1  0 α1 =   0 0  0  0  α3 =  −i 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 i i 0 0 0 α5 =  0 0  , 0  −1  0 −1  , 0  0  0  0 ±  0 −1  0 0  0 0 α2 =   1 0 0 1  0 0  0 0  α4 =  0 −i −i 0  0 0 −1 0 1 0  . 1 0 0  0 0 0 1 0 0 0 0 i 0 0 • n = 8, p = 7  α1      =       1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 314 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1       ,       0 1  , 0  0  i 0  , 0  0 . Volumetto 3: 28 giugno 1929  α2  α3      =        α4      =        α5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 i i 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 −i 0 0 0      =            =       0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 315 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0       ,      0 0 0 −i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0       ,            ,            ,      Volumetto 3: 28 giugno 1929  0  0   0   0 α6 =   0   0   0 −1  0  0   0   0 α7 = ±   0   0   0 i 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0       ,            .      Interpretazione secondo la teoria dei gruppi. Consideriamo più operatori α1 , α2 , . . . , αp , (3.542) soddisfacenti alle solite condizioni αi αk + αk αi = 2 δik , (3.543) e gli operatori composti che si ottengono moltiplicando quante si vogliano delle α in un ordine qualsiasi. Essi formano gruppo e in realtà un gruppo finito g perché a causa delle (3.543) possono sempre ricondursi al tipo: g: ² ± α1²1 α2²2 . . . αpp , (3.544) in cui le ²i sono capaci dei valori 0 e 1. Gli operatori (3.544) possono riguardarsi in astratto come elementi di un gruppo contenente 2p+1 elementi. Per avere una rappresentazione del gruppo basta trovare p matrici soddisfacenti alla (3.543); esse corrispondono a p elementi fondamentali del gruppo (3.544), cioè alle α stesse che si ottengono da (3.544) scegliendo il segno + e ponendo tutte le ² tranne una uguali a zero. Da queste matrici fondamentali per prodotto si ottengono quelle che corrispondono a tutti gli altri elementi del gruppo. Il problema di determinare p matrici soddisfacenti alle (3.543) lo abbiamo già risolto per tutti i valori di n per cui è 316 Volumetto 3: 28 giugno 1929 possibile risolverlo e in tutti i modi possibili per un dato n. Abbiamo cosı̀ altrettante rappresentazioni del gruppo g. Esse non sono tuttavia tutte le rappresentazioni possibili. In realtà la regola di composizione per gli elementi del gruppo è stata dedotta dalle (3.543), ma queste a loro volta non si deducono dalla regola di composizione se non nel caso speciale che a elementi del gruppo contrassegnati dalle stesse ² ma da segno opposto, corrispandono matrici opposte. Badiamo in particolare alle rappresentazioni irriducibili. L’elemento (3.545) − α10 α20 . . . αp0 è commutabile con tutti gli elementi del gruppo e poiché il suo quadrato è l’elemento unità, nelle rappresentazioni irriducibili corrisponderà ad esso o la matrice unità, o la matrice unità cambiata di segno. Solo nel secondo caso le (3.543) saranno soddisfatte dalle matrici fondamentali e perché siano soddisfatte in una rappresentazione qualunque occorre e basta che questa si scomponga in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo. Le rappresentazioni irriducibili del primo tipo sono necessariamente unidimensionali perché sono rappresentazioni abbreviate di g, o rappresentazioni del gruppo Abeliano g 0 che si ottiene identificando in (3.544) gli elementi che differiscono solo per il segno, cioè elementi equivalenti rispetto al sotto gruppo invariante formato dall’elemento unità e dall’elemento in (3.545). Poiché il gruppo g 0 contiene 2p elementi, le rappresentazioni irriducibili unidimensionali del primo tipo sono in numero di 2p . I caratteri irriducibili sono ovviamente: ² η1²1 η2²2 . . . ηpp . (3.546) Supponiamo inoltre che esistano s rappresentazioni irriducibili del secondo tipo. Per il teorema di “completezza” dovrà essere: n21 + n22 + . . . + n2s = 2p+1 − 2p = 2p . (3.547) Si supponga che le ni siano disposte in ordine non decrescente; sarà allora n1 , il più piccolo valore di n per cui è possibile trovare p matrici soddisfacenti alla (3.543). Se p = 2k è pari supponiamo che detto valor minimo è n = 2k = 2p/2 ; onde per la (3.547) esiste una sola rappresentazione irriducibile del secondo tipo con n = 2p/2 = 2k , p = 2k. (3.548) Se invece p = 2k + 1 è dispari sarà ancora n1 = 2k , ma dovrà esistere una seconda rappresentazione irriducibile dello stesso ordine. Si hanno cosı̀ per 317 Volumetto 3: 28 giugno 1929 p dispari due rappresentazioni irriducibili del secondo tipo con n1 = n2 = 2 p−1 2 = 2k , p = 2k + 1. (3.549) Poiché una rappresentazione in cui sono soddisfatte le (3.543) si scompone in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo si comprende l’affermazione del teorema (si veda il paragrafo Operatori non Hermitiani), che cioè il problema di trovare p matrici di ordine n soddisfacenti alla (3.543) ammette soluzioni solo se n è divisibile per 2k ; si comprende inoltre come questa soluzione è unica (a meno di trasformazioni) se p è pari, perché unica è la scomposizione possibile in matrici irriducibili, mentre vi sono n/2k + 1 soluzioni fondamentali se p è dispari perché nella scomposizione della rappresentazione di ordine n in rappresentazioni irriducibili di secondo tipo, essendo queste due dello stesso ordine 2k , una di esse può entrare un numero intero di volte da 0 a n/2k . Quando n è multiplo di 2k , si possono adattare le coordinate alla scomposizione in rappresentazioni irriducibili e si ottengono allora per le α matrici che sono più semplici di quelle considerate nella trattazione diretta perché si spezzano in matrici parziali di ordine 2k che con opportuna scelta delle coordinate si riconducono a quelle già considerate per il caso n = 2k . (Vedi per la connessione delle matrici di Dirac con il gruppo di Lorentz, al luogo: Invarianza delle equazioni di Dirac.)16 3.19 Elettrone rotante Scriviamo le equazioni di Dirac sotto la forma: · µ ¶ ³ α1 W e e ´ Hψ ≡ mc + + φ + α2 px + Ax i c c c ³ ³ e ´ e ´ mc i + α3 py + Ay + α4 pz + Az + ψ = 0, c c i (3.550) in cui le α sono le prime quattro delle α considerate nel paragrafo 3.18 sotto n = 4, p = 5. Sia H1 l’operatore che si ottiene da H scambiando 16 Nonostante il riferimento con cui l’Autore chiude questo paragrafo, nei cinque Volumetti non v’è alcuna sezione che tratti questo argomento. 318 Volumetto 3: 28 giugno 1929 l’ultimo termine mc/i in −mc/i, e formiamoci la quantità H1 Hψ 17 : " µ ¶2 ³ W e e ´2 − mc + + φ + px + Ax c c c ³ ´ ³ ´ 2 2 e e + py + Ay + pz + Az + m2 c2 c c e~ e~ e~ + α1 α2 Ex + α1 α3 Ey + α1 α4 Ez c c c ¸ e~ e~ e~ − α2 α3 Hz − α3 α4 Hx − α4 α2 Hy ψ = 0. (3.551) ci ci ci I primi cinque termini danno l’Hamiltoniana relativistica senza elettrone rotante, gli altri rappresentano la correzione di elettrone rotante. Notando che le matrici α1 α2 , α1 α3 , α1 α4 , α2 α3 , α3 α4 , α4 α2 hanno per quadrato −1, e quindi per autovalori ±i, e inoltre che l’Hamiltoniana classica è, in prima approssimazione, H1 H/2m, si deduce che l’elettrone appare provvisto di un momento magnetico e~/2mc e di un momento elettrico immaginario pari a e~/2mci. Scriviamo in luogo delle (3.550) le equazioni equivalenti ma più comode: · µ ¶ ³ W e e ´ − mc + + φ + α1 mc + α2 px + Ax c c c ³ ³ e ´ e ´i + α3 py + Ay + + α4 pz + Az ψ = 0, (3.552) c c che si possono portare nella forma: h ³ e e ´ Hψ ≡ (α1 − 1) mc2 − φ + α2 c px + Ax c c ³ ³ e ´i e ´ + α3 c py + Ay + α4 c pz + Az ψ = W ψ. c c (3.553) Supponiamo che il campo magnetico sia costante di intensità H e diretto secondo l’asse z. Potremo porre: Ax = − 1 y H, 2 Ay = 1 x H, 2 Az = 0, (3.554) 17 Nel manoscritto originale viene usata la vecchia notazione h/2π per la quantità qui denotata con ~. Si noti anche che φ e A sono rispettivamente il potenziale scalare e vettore del campo elettromagnetico, mentre nel seguito con E e H si indicano rispettivamente il campo elettrico e magnetico. 319 Volumetto 3: 28 giugno 1929 e le (3.553) diventano: h ³ ´ e e Hψ ≡ (α1 − 1) mc2 − φ + α2 c px − yH c ´ 2c ³ i e + α3 c py + xH + α4 c pz ψ = W ψ. 2c (3.555) Indichiamo con ψ n le soluzioni scalari dell’equazione di Schrödinger − ~2 ∆ ψ n − e φ ψ n − Wn ψ n = 0 2m (3.556) e con xnn0 , ynn0 , znn0 (3.557) le matrici di polarizzazione. Scriviamo per disteso le (3.555): ³ ´ ³ ´ e e −e φ ψ1 + c px − yH ψ3 + c i py + xH ψ3 2c 2c + c i p z ψ4 = W ψ 1 (3.558) ³ ´ ³ ´ e e yH ψ4 − c i py + xH ψ4 −e φ ψ2 + c px − 2c 2c + c i p z ψ3 = W ψ 2 (3.559) ³ ´ e −2mc2 ψ3 − e φ ψ3 + c px − yH ψ1 2c ³ ´ e − c i py + xH ψ1 − c i pz ψ2 = W ψ3 2c ³ ´ e −2mc2 ψ4 − e φ ψ4 + c px − yH ψ2 2c ³ ´ e + c i py + xH ψ2 − c i pz ψ1 = W ψ4 . 2c (3.560) (3.561) In prima approssimazione risolve le equazioni di Dirac il duplice sistema di funzioni vettoriali ψ n1 e ψ n2 le cui componenti sono: ψ n1 ψ n2 1a comp. 2a comp. ψn 0 0 ψn 3a comp. 4a comp. (2mc)−1 (px − ipy )ψ n −(2mc)−1 ipz ψ n −(2mc)−1 ipz ψ n (2mc)−1 (px + ipy )ψ n (3.562) 320 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Tali funzioni sono ortogonali e, in prima approssimazione, normalizzate. Per la determinazione degli controvalori in seconda approssimazione (cioè tenendo conto in prima approssimazione degli effetti di relatività, elettrone rotante e campo magnetico) sostituiamo nelle (3.558)-(3.561) tenuto conto delle (3.556). Avremo rispettivamente per i singoli tipi ψ n1 e ψ n2 : (a) Tipo ψ n1 : (3.563) ³ ´ ³ ´ e e −e φ ψ1 + c px − y H ψ3 + c i p y + x H ψ3 2c 2c + c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ)1 ieH eH (x py − y px ) ψ n + (x px + y py ) ψ n ; = 4mc 4mc ³ ´ ³ ´ e e −e φ ψ2 + c px − yH ψ4 − c i py − xH ψ4 2c 2c + c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ)2 eH = − (x − i y) pz ψ n ; 4mc ³ ´ e −2mc2 ψ3 − e φ ψ3 + c px − yH ψ1 2c ³ ´ e − c i py + xH ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ)3 2c 1 ieH = − (Wn + e φ) (px − i py ) ψ n − (x − i y) ψ n ; 2mc 2 ³ ´ e −2mc2 ψ4 − e φ ψ4 + c px − yH ψ2 2c ³ ´ e + c i py + xH ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ)4 2c i (Wn + e φ) pz ψ n . = 2mc (b) Tipo ψ n2 : (3.564) ³ ´ ³ ´ e e −e φ ψ1 + c px − y H ψ3 + c i p y + x H ψ3 2c 2c 321 Volumetto 3: 28 giugno 1929 + c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ)1 eH = (x + i y) pz ψ n ; 4mc ³ ´ ³ ´ e e −e φ ψ2 + c px − yH ψ4 + c i py + xH ψ4 2c 2c + c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ)2 eH ieH = (x py − y px ) ψ n − (x px + y py ) ψ n ; 4mc 4mc ´ ³ e yH ψ1 −2mc2 ψ3 − e φ ψ3 + c px − 2c ³ ´ e − c i py + xH ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ)3 2c i = (Wn + e φ) pz ψ n 2mc ³ ´ e = −2mc2 ψ4 − e φ ψ4 + c px − yH ψ2 2c ³ ´ e + c i py + xH ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ)4 2c ieH 1 = − (Wn + e φ) (px + i py ) ψ n + (x + i y) ψ n . 2mc 2 Supponiamo che Wn sia multiplo q volte e siano y1 , y2 , . . . , yq (3.565) le autofunzioni ortonormalizzate di Schrödinger corrispondenti all’autovalore Wn . A causa dell’elettrone rotante si avranno invece 2q autofunzioni vettoriali con autovalore prossimo a Wn . In prima approssimazione esse si ottengono come combinazioni lineari delle 2q autofunzioni approssimate y 11 , y 21 , . . . , y q1 , y 12 , y 22 , . . . , y q2 che risultano da (3.562) quando in luogo di ψ n si ponga successivamente y 1 , y 2 , . . . , y q . Abbiamo posto genericamente y n1 = ψ n1 , y n2 = ψ n2 . Le variazioni dell’autovalore si avranno cosı̀, in prima approssimazione, come autovalori della matrice a 2s dimensione di δH. Calcoleremo anche questa in prima approssimazione (maggiore esattezza essendo illusoria) ponendo: δHri,sk = 4 Z X ³ ´ yγri∗ δH y sk dτ γ γ=1 322 (3.566) Volumetto 3: 28 giugno 1929 (i, k = 1, 2 e r, s = 1, 2, . . . , q), l’approssimazione consistendo in ciò che consideriamo le y r1 (o y sk ) espresse mediante (3.562) come normalizzate, benché siano tali solo in prima approssimazione. Potremo spezzare la matrice di perturbazione δHri,sk nella somma di due di cui la prima indipendente dal campo magnetico e la seconda proporzionale a questa: δHri,sk = Ari,sk + H Bri,sk . (3.567) Cominciamo da un caso particolare; supponiamo cioè il campo magnetico assente e Wn semplice come autovalore dell’equazione di Schrödinger.18 Poiché q = 1, le funzioni base si riducono a 2:y 11 e y 12 , essendo y 1 l’autofunzione di Schrödinger. Trascurando gli indici r e s, che sono costantemente uguali a 1, le (3.566) diventano, quando si tenga conto dell’espressione (δH y 1 )γ e (δH y 2 )γ (γ = 1, 2, 3, 4) nelle (3.563) e (3.564), dalla (3.566): ·Z ¡ ∗ ¢ 1 δH11 = − px + ip∗y y 1∗ · (Wn + eφ) (px − ipy ) y 1 dτ 4m2 c2 ¸ Z + p∗z y 1∗ · (Wn + eφ) pz y 1 dτ ·Z 1 = − y 1∗ (px + ipy ) (Wn + eφ) (px − ipy ) y 1 dτ 4m2 c2 ¸ Z + y 1∗ pz (Wn + eφ) pz y 1 dτ Z ¡ ¢ 1 = − y 1∗ (Wn + eφ) p2x + p2y y 1 dτ 2 2 4m c ¶ µ Z 1 4e 1∗ ∂φ ∂φ (px − ipy ) y 1 dτ − − y + i 4m2 c2 2πi ∂x ∂y Z 1 − y 1∗ (Wn + eφ) p2z y 1 dτ 2 2 4m c Z 1 4e 1∗ ∂φ − − y pz y 1 dτ, 2 2 4m c 2πi ∂z ovvero ponendo V = −eφ e notando che per l’equazione di Schrödinger ¡ 2 ¢ px + p2y + p2z y 1 = 2m (Wn − V ) y 1 , (3.568) 18 Si noti che l’Autore considera solo la degenerazione non indotta dallo spin; come discusso più avanti (si veda la discussione che porta alla (3.575)), lo spin rende tutti i livelli energetici doppiamente degeneri. 323 Volumetto 3: 28 giugno 1929 si ha: δH11 = Z 1 y 1∗ (Wn − V )2 y 1 dτ 2mc2 Z ¡ ¢ ~2 − y 1∗ grad V × grad y 1 dτ 2 2 4m c µ ¶ Z i~2 ∂V ∂y 1 ∂V ∂y 1 1∗ + y − dτ. 4m2 c2 ∂x ∂y ∂y ∂x − (3.569) (3.570) Uscendo dall’ipotesi che non esista degenerazione, y 1 dovrà essere reale onde si confonde con y 1∗ ; allora in (3.569) il secondo integrale si semplifica mediante integrazione per parti mentre il terzo va a zero; e si ha semplicemente: Z Z 1 ~2 2 1 2 δH11 = − (W − V ) (y ) dτ + (y 1 )2 ∆ V dτ, n 2mc2 8m2 c2 (3.571) intendendo naturalmente che dove V ha una singolarità di tipo −k/r, Z (y 1 )2 ∆ V dτ estesa a uno spazio infinitesimo ∆τ intorno alla singo∆τ larità sia uguale a 4π k (y 1 )2 (P0 ). L’espressione di δH22 si ottiene da (3.569) cangiando i in −i nel terzo integrale e poiché questo è nullo coincide con quella (3.571) di δH11 . Calcoliamo δH12 . Avremo: ·Z ¡ ∗ ¢ i δH12 = px + ip∗y y 1∗ (Wn − V ) pz y 1 dτ 4m2 c2 ¸ Z − p∗z y 1∗ (Wn − V ) (px + ipy ) y 1 dτ ·Z i = y 1∗ (px + ipy ) (Wn − V ) pz y 1 dτ 4m2 c2 ¸ Z − y 1∗ pz (Wn − V ) (px + ipy ) y 1 dτ ·µ ¶ Z i ~2 ∂V ∂V ∂y 1 1∗ = y + i 2 2 4m c ∂x ∂y ∂z µ ¶¸ ∂V ∂y 1 ∂y 1 dτ . (3.572) − +i ∂z ∂x ∂y 324 Volumetto 3: 28 giugno 1929 (δH21 si ottiene da δH12 cangiando i in −i solo sotto il segno dell’integrale), mentre naturalmente δH21 = δH12 . (3.573) 1 Nel nostro caso essendo y reale, si ha δH12 = δH21 = 0. Gli autovalori della matrice di perturbazione coincidono allora e si ha semplicemente δWn = δH11 = δH22 . (3.574) L’elettrone rotante non spezza il termine originariamente semplice. I due livelli degenerati sono tuttavia separati dal campo magnetico. Senza campo magnetico tutti i livelli sono almeno doppi, non solo in prima approssimazione, ma esattamente perché in tal caso da una soluzione delle (3.558)(3.561) se ne ottiene un’altra ponendo ψ10 = − ψ2∗ , ψ20 = ψ1∗ , ψ30 = ψ4∗ , ψ40 = − ψ3∗ . (3.575) Poiché δWn senza campo e senza degenerazione è uguale a δH11 , la sua espressione data dalla (3.571) consta di due termini di cui il primo rappresenta la correzione relativistica e il secondo rappresenta la correzione per l’elettrone rotante. Come esempio calcoliamo la correzione in seconda approssimazione per l’energia dello stato fondamentale di un atomo di carica Z con un solo elettrone; si avrà: Wn = 1 = y me4 Z 2 − Z2 R h = − 2~2 ¡ 3 ¢√ 2 2 −Zr/a ce = e mZ/~3 πmZ e−me Zr/~ (3.576) (3.577) 5 Wn2 Wn2 1 Wn2 δWn = − + 2 = − . (3.578) 2 mc2 mc2 2 mc2 L’effetto di relatività è ridotto a un quinto a causa dell’elettrone rotante. Deduciamo la (3.578) dalla nota formola della struttura fina: struttura fina " #−1/2 W α2 Z 2 p = 1+ − 1 (3.579) mc2 (n − j − 1/2 + (j + 1/2)2 − α2 Z 2 )2 essendo n il quanto principale e α = e2 /~c la costante di struttura fina. Sviluppando in serie e fermandosi alla seconda approssimazione e indicando con Wn = −R hZ 2 /n2 il termine Balmeriano: µ ¶ 2n 3 Wn2 W = Wn − (3.580) − , j + 1/2 2 mc2 325 Volumetto 3: 28 giugno 1929 e poiché nel nostro caso n = 1, j = 1/2, segue la (3.578). La correzione relativistica (falsa) senza elettrone rotante si avrebbe ponendo in (3.579) e in (3.580) il quanto azimutale k in luogo di j. Nel nostro caso k = 0 e si avrebbe in prima approssimazione δWn = −(5/2)Wn /mc2 , come si è già trovato. La (3.580) si può scrivere, poiché Wn = RhZ 2 1 2 2 2 = α mc Z n2 2n2 sotto la forma: W = − R hZ 2 Z 2 α2 − 2 n n3 µ 1 3 − j + 1/2 4n ¶ R h. (3.581) Passiamo al caso del campo centrale e sia Wn degenerato per rotazione e precisamente multiplo 2k + 1 volte se k > 0 è il quanto azimutale. Le autofunzioni degenerate di prima approssimazione saranno y 11 , y 21 , . . . , y (2k+1)1 , y 12 , y 22 , . . . , y (2k+1)2 , o più comodamente distinguendo le 2kr0 autofunzioni di Schrödinger mediante il quanto equatoriale: y m1 , y m2 , con m = k, k − 1, . . . , −k + 1, −k. (3.582) La matrice di perturbazione si spezza nella somma di due, di cui la prima contenente il solo termine diagonale Z 1 0 0 δHm1,m1 = δHm2,m2 = − (Wn − V )2 ψ ψ ∗ dτ 2mc2 ¶ Z µ 1 dV 1 d2 V ~2 + ψ ψ ∗ dτ , (3.583) + 4m2 c2 r dr 2 dr2 e dipendente da m è una costante assoluta da aggiungersi agli autovalori della seconda matrice δH00 . Gli elementi di questa sono: Z ~ 1 dV 00 δHm1,n1 = (3.584) uz mn ψ ψ ∗ dτ, 2 2 4m c r dr essendo uz l’impulso orbitale intorno all’asse z. Analogamente Z ~ 1 dV 00 δHm1,n2 = (−u + iu ) ψ ψ ∗ dτ y mn x mn 4m2 c2 r dr 326 (3.585) Volumetto 3: 28 giugno 1929 = 00 δHm2,n1 = = 00 δHm2,n2 = Z ¡ ∗ ¢ ~ 1 dV ∗ 00 −u + iu ψ ψ ∗ dτ = δHn2,m1 y nm x nm 4m2 c2 r dr Z 1 dV ~ (3.586) (−u − iu ) ψ ψ ∗ dτ y mn x mn 4m2 c2 r dr Z ¡ ∗ ¢ 1 dV ~ 00 −uy nm − iu∗x nm ψ ψ ∗ dτ = δHn1,m2 4m2 c2 r dr Z ~ 1 dV − u ψ ψ ∗ dτ . (3.587) z mn 4m2 c2 r dr Come matrici (2k + 1) dimensionali per uz , ux , uy potremo assumere, a meno del fattore ~, le matrici Rz /i, Rx /i, Ry /i delle (3.500), in cui in luogo di j si ponga k. Ma per evitare immaginari porremo, come è lecito: uz = ux = uy = Rz = ~ Tz i Ry −~ = − ~ Ty i Rx = ~ Tx . ~ i ~ (3.588) Rx Ry Rz , Tx = , Ty = i i i Z 2 ~ dV 1 00 δHmr,ns = Qmr,ns ψ ψ ∗ dτ. 4m2 c2 r dr Poniamo inoltre: Tz = (3.589) La matrice (4k + 2) dimensionale assume l’aspetto: µ ¶ Tz −Tx − iTy Q = , −Tx + iTy −Tz (3.590) ovvero per le formole (3.500): Qm1,n1 = m δm,n (3.591) Qm2,n2 = (3.592) Qm1,n2 = Qm2,n1 = − m δm,n p k(k + 1) − mn δm+1,n = Qn2,m1 p k(k + 1) − mn δm−1,n = Qn1,m2 . (3.593) (3.594) Segue che la matrice Q si spezza nelle 2k + 1 matrici parziali composte dalle righe e colonne: k, 1; k − 1, 1 e k, 2; k − 2, 1 327 e k − 1, 2; ...; Volumetto 3: 28 giugno 1929 k − r, 1 −k, 1 e e k − r + 1, 2; − k + 1, 2; ...; (3.595) −k, 2. la prima e l’ultima di un solo elemento |k| hanno per autovalore k. Le 2k intermedie (r = 1, 2, . . . , 2k) hanno la forma: p µ ¶ k−r k(k + 1) − (k − r)(k − r + 1) p , k(k + 1) − (k − r)(k − r + 1) −k + r − 1 (3.596) i cui autovalori sono k e −(k + 1). Si hanno cosı̀ in tutto 2k + 2 autofunzioni corrispondenti all’autovalore k di Q e 2k autofunzioni corrispondenti all’autovalore −(k + 1) di Q; alle prime compete il quanto interno j = k + 1/2; alle seconde il quanto interno j = k − 1/2. Il termine è cosı̀ sdoppiato dall’elettrone rotante ma la degenerazione persiste per entrambi i termini, poiché anche nel migliore dei casi, cioè per k = 1, il termine più elevato è quadruplo e il più profondo è doppio. Ciò è in armonia con quanto si è rilevato (3.575) e cioè che senza campo magnetico tutti i termini sono almeno doppi. Se in (3.596) poniamo ` = k + detta matrice assume la forma µ p ` − 1/2 (k + 1/2)2 − `2 1 − r, 2 p (k + 1/2)2 − `2 −(` + 1/2) (3.597) ¶ . (3.598) ` rappresenta l’impulso totale intorno all’asse z che è comune alle due soluzioni di (3.598). Le autofunzioni corrispondenti a j = k + 1/2 sono in prima approssimazione: ³p ´ p 1 k + ` + 1/2 y `−1/2,1 − k − ` + 1/2 y `+1/2,2 . 2k + 1 (3.599) Facendo variare ` fra j (= k + 1/2) e −j (= −k − 1/2), si ottengono oltre alle soluzioni che derivano dalle (3.596) anche quelle contrassegnate da l = ±(k + 1/2) che derivano dalla prima e dall’ultima matrice (3.595) con un solo elemento. A tali soluzioni estreme competendo un impulso intorno all’asse z pari a j2 = k − 1/2 esse non trovano riscontro nelle soluzioni con ψ 0` = √ 328 Volumetto 3: 28 giugno 1929 j2 = k − 1/2. Queste ultime in numero di 2j2 + 1 = 2k sono in prima approssimazione: ´ ³p p 1 ψ 00` = √ k − ` + 1/2 y `−1/2,1 + k + ` + 1/2 y `+1/2,2 , 2k + 1 (3.600) in cui ` varia per salti di un’unità fra j2 e −j2 . Malgrado l’apparente simmetria di (3.599) e (3.600), si hanno 2k +2 soluzioni del primo tipo e 2k del secondo. In realtà se si ponesse nelle (3.600) ` = ±(k + 1/2) esse perderebbero significato, essendo le y s1 e y s2 definite solo per |s| < k; ciò non ha luogo per le (3.598) perché in queste le autofunzioni soprannumerarie di Schrödinger sono affette dal coefficiente 0. A causa di (3.583) e (3.589), le variazioni dell’autovalore per effetti relativistici e di elettrone rotante sono, in prima approssimazione: per j = k + 1/2: δWn0 = Z 1 (Wn − V )2 ψ ψ ∗ dτ 2mc2 ¶ Z µ ~2 k + 1 dV 1 d2 V + + ψ ψ ∗ dτ (3.601) 4m2 c2 r dr 2 dr2 − per j = k − 1/2: δWn00 = Z 1 (Wn − V )2 ψ ψ ∗ dτ 2mc2 ¶ Z µ ~2 −k dV 1 d2 V + + ψ ψ ∗ dτ . 4m2 c2 r dr 2 dr2 − Lo sdoppiamento del termine sarà in prima approssimazione: Z (2k + 1)~2 1 dV δWn0 − δWn00 = ψ ψ ∗ dτ, 4m2 c2 r dr (3.602) (3.603) ovvero, in numero d’onde: ∆n = (2k + 1)~ 4m2 c3 Z 329 1 dV ψ ψ ∗ dτ. r dr (3.604) Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.20 Caratteri della Dj e riduzione di Dj ×Dj0 19 Le rappresentazioni Dj di O(3), univoche e duplici, possono sempre riguardarsi come rappresentazioni irriducibili, univoche del gruppo SU (2) delle trasformazioni unitarie con determinante 1 in due dimensioni. In particolare O(3), come equivalente a Dj , è una rappresentazione irriducibile di SU (2). La legge di rappresentazione è espressa dalla formola (3.497). Ogni elemento di SU (2) può ricondursi a forma diagonale µ ¶ ² 0 , (3.605) 0 ²−1 con |²| = 1, mediante trasformazione unitaria. La matrice (3.605) è ancora un elemento di SU (2), e poiché possiamo sempre richiedere che la trasformatrice unitaria abbia determinante 1 e faccia quindi parte di SU (2), il nostro elemento sarà coniugato all’elemento principale (3.605). Tutti gli elementi coniugati a (3.605) costituiscono una classe e precisamente, facendo variare ² con la condizione |²| = 1, la più generale classe di elementi coniugati. Ogni classe è cosı̀ distinta dagli autovalori ² e 1/², determinati a meno del loro ordine, di un suo qualunque elemento. Ponendo: ² = eiω , 1 = e−iω , ² (3.606) l’angolo ω, determinato a meno del segno, definisce una classe. Poiché il carattere è una funzione di classe, possiamo limitarci ai caratteri degli elementi principali della forma (3.605). Nella rappresentazione Dj (di grado 2j + 1 = v + 1) di SU (2) la matrice corrispondente all’elemento (3.605) trasforma il vettore di componenti: ξ r η v−r p , r!(v − r)! nel vettore di componenti: v = 2j, r = 0, 1, . . . , v, ξ 0r η 0v−r ξ r η v−r p = p ²2r−v , r!(v − r)! r!(v − r)! r = 0, 1, . . . , v. (3.607) (3.608) 19 Nella consueta terminologia moderna, il termine “carattere” è sinonimo di “traccia.” 330 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Detta matrice è quindi diagonale con gli elementi diagonali: ²2r−2j , cioè: r = v, v − 1, . . . , 0 ²2j , ²2j−2 , . . . , ²−2j . (3.609) (3.610) Il carattere è cosı̀ dato da: χi = ²2j + ²2j−2 + . . . + ²−2j = ²2j+1 − ²−(2j+1) . ² − ²−1 (3.611) Di un gruppo astratto h siano date due rappresentazioni G e G 0 , la prima a n dimensioni e la seconda a n0 dimensioni. All’elemento σ del gruppo corrisponde in G la matrice S che agisce sulle variabili x: X (3.612) Sik xk , i, k = 1, 2, . . . , n, x0i = k 0 0 e in G la matrice S che agisce sulle variabili y: X 0 yr0 = Srs xs , r, s = 1, 2, . . . , n0 . (3.613) s Le matrici S×S 0 a nn0 dimensioni sono definite come quelle che trasformano i prodotti xi yr nei prodotti x0i yr0 . Esse costituiscono evidentemente una rappresentazione, che indicheremo con S×S 0 , dello stesso gruppo astratto. A causa di (3.612) e (3.613), sarà: X 0 x0i yr0 = Sik Srs xk ys , (3.614) k,s da cui risulta la definizione esplicita delle S×S 0 : ¡ ¢ 0 S×S 0 ir,ks = Sik Srs . (3.615) Ponendo k = i e s = r, si ottengono gli elementi diagonali di S×S 0 : ¡ ¢ 0 S×S 0 ir,ir = Sii Srr , i = 1, 2, . . . , n; r = 1, 2, . . . , n0 , (3.616) da cui risulta semplicemente: χ(S×S 0 ) = χS χS 0 . 331 (3.617) Volumetto 3: 28 giugno 1929 Consideriamo le rappresentazioni Dj ×Dj0 del gruppo SU (2). Il loro carattere sarà dato da χj χj 0 . Scomponiamo Dj ×Dj0 nelle rappresentazioni irriducibili Dτ ; avremo: X χj χj 0 = χτ . (3.618) Cioè a causa di (3.611) e moltiplicando per ² − ²−1 : ³ ´³ 0 ´ 0 ²2j + ²2j−2 + . . . + ²−2j ²2j +1 − ²−(2j +1) ´ X ³ 2τ +1 = ² − ²−(2τ +1) (3.619) e poiché il primo membro di (3.619) si può scrivere:20 ²1+2j 0 +2j − ²−(1+2j 0 +2j) 1+2j 0 −2j + ... + ² + ²1+2j −² 0 +2j−2 −(1+2j 0 −2j) − ²−(1+2j 0 +2j−2) , (3.620) segue che la (3.619) può essere identicamente soddisfatta solo se compaiono, e ciascuno una sola volta, i soli valori di τ : j 0 + j, j 0 + j − 1, . . . , j 0 − j, j + j 0 , j + j 0 − 1, . . . , j − j 0 se j 0 ≥ j se j ≥ j 0 (3.621) derivando la seconda parte di (3.621) da evidenti ragioni di simmetria, poiché in (3.619) e quindi in (3.620) si possono scambiare j e j 0 . Si noti che al principale elemento della (3.605) corrisponde una rotazione nello spazio ordinario. Tale rotazione, secondo la formola (3.497) in cui si ponga: x = cos ω, è data da: x0 y0 z0 = = = λ = sin ω, µ = ν = 0 x cos 2ω + y sin 2ω − x sin 2ω + y cos 2ω z, (3.622) (3.623) che esprimono una rotazione intorno all’asse z dell’angolo −2ω. 20 La (3.620) può essere ottenuta dalla (3.619) moltiplicando il primo termine nella prima parentesi con il primo termine nella seconda parentesi e l’ultimo nella prima parentesi con il secondo nella seconda parentesi e cosı̀ via. 332 Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.21 Regole di selezione e di intensità in campo centrale Consideriamo un termine con quanto interno j e quindi multiplo di 2j + 1 volte per rotazione e supponiamo che non esista ulteriore degenerazione. Si faccia agire una perturbazione simmetrica intorno all’asse z; distinguendo 2j + 1 stati quantici indipendenti mediante il quanto magnetico m (= j, j − 1, . . . , −j) la matrice di perturbazione W (m, m0 ) è necessariamente diagonale perché la forma Hermitiana X W (m, m0 ) x∗m x0m0 (3.624) deve restare inalterata quando si opera una rotazione intorno all’asse z, cioè (si veda la sezione precedente), quando si passa dalle xm alle ym = ²2m xm . (3.625) Segue che la perturbazione simmetrica intorno all’asse z spezza in generale il termine degenerato in 2j + 1 termini vicini distinti dal quanto magnetico. Esiste un secondo termine j 0 , anch’esso spezzato dalla perturbazione in 2j 0 +1 termini distinti dal quanto magnetico m0 . Sia q il momento elettrico dell’atomo che ha per componenti qx , qy , qz : qx = − e (x1 + x2 + . . .) , etc. (3.626) L’intensità della linea jm − j 0 m0 è proporzionale al quadrato dell’elemento (m, m0 ) di quella parte della matrice di q: q(m, m0 ) (3.627) che corrisponde al passaggio Rj − Rj 0 . Operiamo nel sistema una rotazione s, la funzione Hermitiana X q(m, m0 ) x∗m x0m0 . (3.628) subisce la trasformazione corrispondente a s nella rappresentazione Dj ×Dj0 . D’altra parte le componenti qx , qy , qz della forma vettoriale (3.628) sotto l’influsso di detta trasformazione devono scambiarsi tra loro come 333 Volumetto 3: 28 giugno 1929 x, y, z sotto l’influsso di s; ciò segue dalle (3.626) ed esprime che q è un vettore. La grandezza (3.628) dicesi una grandezza vettoriale nello spazio rappresentativo di Dj ×Dj0 e di Dj ×Dj0 , (poiché le Dj sono definite a meno di una trasformazione [unitaria] e D e Dj sono equivalenti in senso [ristretto]). A sua volta la trasformazione s che subiscono qx , qy , qz è equivalente a Dj . La questione se i quanti linearmente indipendenti di siffatte grandezze vettoriali possono esistere, si può ricondurre a una regola generale: sia d una grandezza vettoriale, cioè definita da r componenti: d1 d2 ·s dr = = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1r xr a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2r xr = ar1 x1 + ar2 x2 + . . . + arr xr , (3.629) che siano combinazioni lineari di m (≥ r) variabili xj , e siano date due rappresentazioni di un gruppo g, l’una h a r dimensione sia irriducibile e l’altra H sia a n dimensioni. A un elemento σ del gruppo corrispondono le matrici: s in h e S in H. (3.630) Assoggettando le x alla trasformazione S potrà accadere che le di espresse mediante (3.629) si trasformino tra loro come sotto l’influsso di s; in tal caso la grandezza vettoriale d dicesi covariante della specie h. Si domanda quante di siffatte grandezze covarianti linearmente indipendenti esistano. Per risolvere il quesito, adottiamo le coordinate, nello spazio rappresentativo di H, alla scomposizione in rappresentazioni irriducibili di y e sia la rappresentazione irriducibile h presente k volte. Delle nuove n variabili ne avremo (k r) che formano la base delle rappresentazioni irriducibili h: x11 , x12 , . . . , x1r ; x21 , x22 , . . . , x2r ; . . . ; xk1 , xk2 , . . . , xkr (3.631) più eventualmente altre su cui operano le restanti rappresentazioni irriducibili. Le componenti y di una grandezza covariante del nostro tipo si potranno esprimere con le formole: y = A1 x1 + A2 x2 + . . . + Ak xk + . . . + Ak+l xx+l + . . . , (3.632) essendo le A1 , A2 , Ak matrici quadrate d’ordine kr , mentre le Ak+l sono matrici con r righe e pl colonne, se pl è il numero delle variabili xk+l k+l k+l (xk+l 1 , x2 , . . . , xpl ) su cui opera una delle rappresentazioni irriducibili 334 Volumetto 3: 28 giugno 1929 inequivalenti a h, presenti nella scomposizione di H. Per la definizione di grandezza covariante dello spazio h dovremo avere: A1 sx1 + A2 sx2 + . . . + Ak sxk + . . . + Ak+l sl xx+l + . . . = sy = sA1 x1 + sA2 x2 + . . . + sAk xk + . . . + Ak+l sxx+l + . . . , (3.633) da cui essendo x arbitrarie: sA1 = A1 s; sA2 = A2 s; sAk+l = Ak+l sl ; ...; sAk = Ak s; .... ...; (3.634) Per il teorema fondamentale sulla rappresentazioni irriducibili,21 badando che s e sl sono rappresentazioni irriducibili inequivalenti del gruppo g, si deduce: A1 , A 2 , . . . , A k Ak+l , . . . sono multipli della matrice unita , sono nulle. (3.635) Segue che tutte le grandezze covarianti del nostro tipo sono combinazioni lineari di k indipendenti; infatti dovendo essere: di = a1 x1i + a2 x2i + ak xki (3.636) (con a costante), si può porre: d = α1 d1 + α2 d2 + . . . + αk dk , (3.637) essendo dγ (γ = 1, 2, . . . , k) le componenti: dγi = xγi , γ = 1, 2, . . . , k; i = 1, 2, . . . , r, (3.638) ed essendo quindi tra loro linearmente indipendenti. Il numero delle dγ è pari al numero di volte che la rappresentazione irriducibile h è contenuta in H, e ciò risolve il nostro quesito. Tornando alla nostra grandezza (3.628), covariante della specie Dj nello spazio della rappresentazione Dj ×Dj 0 del gruppo SU (2), la questione di 21 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda W. pagina 124. Molto probabilmente l’Autore si riferisce alla p. 124 di Gruppentheorie und Quantenmechanik di H. Weyl (Hirzel, Leipzig, 1928). Per la versione inglese si veda p.153 di H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (Dover, New York, 1931). 335 Volumetto 3: 28 giugno 1929 sapere quante sono siffatte grandezze linearmente indipendenti si riduce all’altra: quante volte Dj è contenuta in Dj ×Dj 0 . In base alla regola stabilita precedentemente non esisteranno grandezze del tipo (3.628) non identicamente nulle che nei tre casi: j 0 = j − 1, j 0 = j 6= 0, j 0 = j + 1, (3.639) ciò che esprime la regola di selezione per il quanto interno. Nei casi (3.639) poi la (3.628) è determinata, a meno di un fattore costante, in base a considerazioni ricavate dalla teoria dei gruppi.22 La regola di selezione per il quanto magnetico è altrettanto semplice. La componente qz deve restare invariata di fronte a una rotazione intorno all’asse z onde qz (m, m0 ) deve essere diagonale; qx + iqy mediante la rotazione viene moltiplicato per ²−2 e qx − iqy per ²2 . A sua volta, il prodotto x∗m x0m0 sotto l’influsso 0 della rotazione viene moltiplicato ²−2(m −m) . Si hanno cosı̀ i soli passaggi permessi: per qz , m → m per qx + iqy , m → m +1 (3.640) per qx − iqy , m → m − 1. Determiniamo23 la forma vettoriale (3.628), a meno di un fattore costante, nei casi (3.628) in cui è diversa da zero. A tal fine consideriamo l’espressione: ¢k 1 ¡ ∗ 0 ξ ξ + η∗ η0 , (3.641) k! che è invariante se si sottopongono ξ,η e ξ 0 ,η 0 a una trasformazione unitaria del gruppo SU (2). Dalle formole (3.496), risulta che x + iy, x − iy e z si trasformano come ηξ ∗ , η ∗ ξ, e ξξ ∗ − ηη ∗ . D’altra parte una trasformazione del gruppo SU (2) si può porre sotto la forma: η1 = − β ∗ ξ + α∗ η, ξ1 = α ξ + β η, da cui: ξ1∗ = α∗ ξ ∗ + β ∗ η ∗ , η1∗ = − β ξ ∗ + α η ∗ , (3.642) (3.643) 22 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda W. pagina 158. Molto probabilmente l’Autore si riferisce di nuovo al libro di Weyl (p. 158 nella versione tedesca, o p. 199 nella edizione inglese). 23 Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda W. p. 154. Molto probabilmente l’autore si riferisce ancora al libro di Weyl (p. 154 della versione tedesca, o p. 197 e seguente della edizione inglese.) 336 Volumetto 3: 28 giugno 1929 cioè: η1∗ = α η ∗ + β (− ξ ∗ ) , − ξ1∗ = − β ∗ η ∗ + α∗ (− ξ ∗ ) , ∗ (3.644) ∗ cioè (ξ, η) si trasformano come (η , −ξ ). Cambiando segno alla prima delle (3.642), si ha: η1 = α∗ η + β ∗ (− ξ) , − ξ1∗ = − β η + α (− ξ) , (3.645) cioè inversamente, a causa di (3.643), (ξ ∗ , η ∗ ) si trasformano come (η, −ξ). Segue che (x + iy, x − iy, z) si trasformano come (η 2 , −ξ 2 , ξη) o (−ξ ∗2 , η ∗2 , ξ ∗ η ∗ ): x + i y ∼ η2 , ∗2 x + iy ∼ −ξ , x − i y ∼ − ξ2, z ∼ ξη (3.646) x − i y ∼ − η ∗2 , z ∼ ξ∗ η∗ . (3.647) Se (ξ 0 , η 0 ) si trasformano come (ξ, η), si avrà anche: x + i y ∼ 2η 0 ξ ∗ , x − i y ∼ 2ξ 0 η ∗ , 02 02 x + iy ∼ η , x − iy ∼ −ξ , z ∼ ξ0 ξ∗ − η0 η∗ (3.648) z ∼ ξ0 η0 . (3.649) Moltiplicando l’invariante (3.631) per i secondi membri delle (3.647), o (3.648), o (3.649), si ottengono ogni volta la componenti di una grandezza vettoriale, le quali si trasformano come x + iy, x − iy, z. Poniamo dapprima in (3.641) k = 2j − 2 = 2j 0 , con cui ci riferiamo al primo dei casi (3.639) e moltiplichiamo per (3.647); ne risultano le formole Hermitiane: (qx + i qy ) (m, m0 ) x∗m x0m0 (qx − i qy ) (m, m0 ) x∗m x0m0 (3.650) qz (m, m0 ), x∗m x0m0 essendo: ξ j−m η j+m , (j − m)!(j + m)! xm = p x0m0 = p 0 0 0 m = j, j − 1, . . . , −j (3.651) 0 ξ 0j −m η 0j +m , (j 0 − m0 )!(j 0 + m0 )! m0 = j 0 , j 0 − 1, . . . , −j 0 , (3.652) e trasformandosi quindi i monomi x∗m x0m0 secondo Dj ×Dj 0 . Segue che le (3.650) sono, a meno di un fattore costante, le componenti del vettore (3.628) nel caso j → j 0 = j − 1. Eseguendo effettivamente i prodotti 337 Volumetto 3: 28 giugno 1929 di (3.641) per i secondi membri delle (3.647) si ottengono le matrici di polarizzazione relative al passaggio: j → j 0 = j − 1: p (qx + i qy ) (m, m0 ) = (j − m)(j − m0 ) δm+1,m0 p 0 (qx − i qy ) (m, m ) = (j + m)(j + m0 ) δm−1,m0 (3.653) p 0 qz (m, m ) = (j + m)(j − m) δm,m0 . Per il secondo dei casi (3.639) si ottiene con procedimento analogo, moltiplicando (3.641) con k = 2j − 1 = 2j 0 − 1, per i secondi membri delle (3.648): j → j 0 = j 6= 0, p (j − m)(j + m0 ) δm+1,m0 (qx + i qy ) (m, m0 ) = p 0 (qx − i qy ) (m, m ) = (j + m)(j − m0 ) δm−1,m0 qz (m, m0 ) = − m δm,m0 . Queste formole coincidono con quelle (3.500) delle rotazioni elementari −(Rx +iRy )/i, −(Rx −iRy )/i, −Rz /i nella rappresentazione Dj ; e cosı̀ deve essere perché siffatte rotazioni elementari possono anche esse riguardarsi come componenti di una grandezza vettoriale nello spazio delle rappresentazioni Dj ×Dj . Nell’ultimo dei casi (3.639) occorre moltiplicare con k = 2j = 2j 0 − 2 per i secondi membri di (3.649); e si trova: j → j 0 = j + 1: p (qx + i qy ) (m, m0 ) = (j + m + 1)(j + m0 + 1) δm+1,m0 p (qx − i qy ) (m, m0 ) = − (j − m + 1)(j − m0 + 1) δm−1,m0 p qz (m, m0 ) = (j + m + 1)(j − m + 1) δm,m0 . Si osserverà che risultano soddisfatte le regole di selezione (3.640) per il quanto magnetico. Allargando SO(3) in O(3) con l’inclusione delle rotazioni improprie, si hanno le rappresentazioni irriducibili Dj+ e Dj− . Un vettore polare quale è per esempio il momento elettrico è covariante della specie Dj− e nelle sua matrice mancano le componenti nell’incrocio di due − − + spazi irriducibili R+ j e Rj 0 oppure Rj e Rj 0 ; si ha cosı̀ la regola di selezione per la segnatura: j → −j e +j sono i soli passaggi permessi. La teoria ondulatoria scalare dell’elettrone dà solo le rappresentazioni irriducibili univoche (con j intero) per il gruppo O(3) e la segnatura (per la proprietà di simmetria delle funzioni sferiche) è +1 per j pari e −1 per j dispari; cossicché la regola di soluzione per le segnature esclude il passaggio j → j 0 = j; 338 Volumetto 3: 28 giugno 1929 con l’elettrone rotante tale restrizione è tolta, o meglio rimane, in modo approssimato, sotto forma di divieto del passaggio k → k0 = k, essendo k l’impulso orbitale, e non più il quanto interno, per il quale valgono approssimativamente le regole di selezione da aggiungersi a quelle rigorose (3.639): (3.654) k → k0 = k + 1, k → k0 = k − 1. 3.22 Effetto Zeeman anomalo (secondo la teoria di Dirac) (Si veda paragrafo 3.19.) Riprendiamo le equazioni di Dirac (3.558)-(3.561) e le soluzioni di prima approssimazione, appartenenti a uno stesso autovalore dell’equazione di Schrödinger, considerate in (3.563), (3.564). Ci poniamo ancora nel caso del campo centrale, ma supponiamo che inoltre esista un campo magnetico costante nella direzione dell’asse z. Della matrice di perturbazione (3.567) abbiamo calcolato solo la parte indipendente dal campo, che consta a sua volta della somma del termine diagonale costante δH0 data da (3.583) e della matrice Z ~2 dV δH00 = Q r−1 ψψ ∗ dτ, 4m2 c2 dr essendo Q descritta da (3.591)-(3.594). Calcoliamo la matrice Bri,sk che entra in (3.567). Avremo: Br1,s1 = Br2,s2 = Br1,s2 = e~ (r + 1) δrs 2mc e~ (r − 1) δrs 2mc Br2,s1 = 0. (3.655) (3.656) (3.657) 00 Si tratta di rendere diagonale δH + HB od anche ponendo ² ~ B = 2emcH Z = (3.658) r−1 (dV /dr) ψψ ∗ dτ e~ T, 2mc 339 (3.659) Volumetto 3: 28 giugno 1929 cosı̀ che, a causa delle (3.655)-(3.657), Tr1,s1 = (r + 1) δrs Tr2,s2 = (r − 1) δrs Tr1,s2 = Tr2,s1 = 0, (3.660) di rendere diagonale ~2 4m2 c2 Z 1 dV ψψ ∗ dτ (Q + ² T ) r dr (3.661) o semplicemente Q + ² T = S. (3.662) Dalle formole (3.591)-(3.594) e (3.660) risulta: Sm1,m0 1 = (m + ² m + ²) δmm0 (3.663) Sm2,m0 2 = (3.664) Sm1,m0 2 = Sm2,m0 1 = (− m + ² m − ²) δmm0 p k(k + 1) − mm0 δm+1,m0 p k(k + 1) − mm0 δm−1,m0 . (3.665) (3.666) La matrice S si spezza in 2k + 2 matrici la prima e l’ultima di un solo elemento, le altre di due righe e colonne, precisamente come in (3.595) si spezzava la Q da sola. In realtà il termine ²T che si aggiunge a Q non altera le condizioni di riducibilità poiché esso è diagonale quando le coordinate sono adattate allo spezzamento di Q nel modo anzidetto. La prima matrice formata dall’unico elemento k1, k1, ha per autovalore: k1, k1 : k + ² (k + 1) , ` = k + 1 . 2 (3.667) L’ultima formata dall’unico elemento −k2, −k2, ha per autovalore: −k2, −k2 : k − ² (k + 1) , ` = −k − 1 . 2 (3.668) Le altre 2k matrici quadrate con due righe le distingueremo, come (3.597) e (3.598)), mediante l’impulso totale ` intorno all’asse z (` = k − 1/2, k − 3/2, . . . , −k + 1/2). Esse hanno la forma: p µ ¶ `p − 1/2 + ²(` + 1/2) (k + 1/2)2 − `2 (3.669) . (k + 1/2)2 − `2 −(` + 1/2) + ²(` − 1/2) 340 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Gli autovalori di (3.669) sono: 1 − + `² ± 2 sµ k+ 1 2 ¶2 + ²` + 1 2 ² . 4 (3.670) Prendendo per unità di energia il fattore di Q+²T = S in (3.661) e per unità di frequenza la frequenza corrispondente secondo la legge di Einstein24 , la separazione del doppietto senza campo sarà espressa da 2k + 1 e la frequenza di Larmor da ². Onde per ² ¿ 2k + 1, varranno le formole relative a campi deboli e per ² À 2k + 1 le formole relative a campo forte (effetto Paschen–Back). Supponiamo ² piccolo e sviluppiamo gli autovalori secondo ² fino alla prima potenza; i due autovalori particolari (3.667) e (3.668) sono rappresentati esattamente con tale sviluppo; per gli autovalori (3.670) avremo invece, secondo il segno del radicale: 2k + 2 2k + 1 2k −k − 1 + ²` 2k + 1 k + ²` 2k + 2 2k + 1 2k = . 2k + 1 = k + ² g 0 `, g0 = (3.671) = k + ² g 00 `, g 00 (3.672) Gli autovalori del primo tipo, come anche i due autovalori particolari (3.667) e (3.668), corrispondono per H → O al quanto interno j = k + 1/2; poiché anche gli autovalori particolari possono porsi sotto la forma (3.671) con ` = k + 1/2 e, rispettivamente, ` = −k − 1/2 e lo stesso valore di g 0 , si ottengono le formole riassuntive per il campo debole: j = k + 1 2 autovalori : k + ² g 0 ` µ ¶ 1 1 1 ` = k + , k − , ..., − k − , 2 2 2 j = k − 24 Questa 1 2 è più conosciuta come legge di Planck E = hν. 341 (3.673) Volumetto 3: 28 giugno 1929 autovalori : − k − 1 + ² g 00 ` µ ¶ 1 3 1 ` = k − , k − , ..., − k + . 2 2 2 (3.674) Le costanti di separazione g 0 e g 00 date da (3.671) e (3.672) si possono raccogliere nell’unica espressione g = 2j + 1 2k + 1 (3.675) e si avrà sempre g 0 > 1, g 00 < 1, g 0 + g 00 = 2. (3.676) Per esempio, per k = 1 si ha g 0 = 4/3, g 00 = 2/3. Si possono anche porre g 0 e g 00 sotto la forma generale valevole per un numero qualunque di elettroni: g = 1 + j(j + 1) + s(s + 1) − k(k + 1) . 2j(j + 1) (3.677) Segue infatti da (3.677), g0 = = g 00 = = (k + 1/2)(k + 3/2) + 3/4 − k(k + 1) (2k + 1)(k + 3/2) 2k + 2 2k + 1 (k − 1/2)(k + 1/2) + 3/4 − k(k + 1) 1 + 2(k − 1/2)(k + 1/2) 2k , 2k + 1 1 + (3.678) (3.679) in accordo con (3.671) e (3.672). Consideriamo l’altro caso limite ² → ∞. Gli autovalori di S sono infiniti del primo ordine; li svilupperemo fino al termine indipendente da ². Anche qui i due autovalori privilegiati (3.667) e (3.668) sono espressi esattamente dallo sviluppo arrestato al secondo termine. Per gli autovalori (3.670), avremo secondo il segno del radicale: µ ¶ 1 1 `+ ² + ` − (3.680) 2 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 `− ² − ` + . (3.681) 2 2 342 Volumetto 3: 28 giugno 1929 L’autovalore (3.667) rientra nel tipo (3.680), e l’autovalore (3.668) nel tipo (3.681), onde abbiamo in tutto due sistemi di autovalori ciascuno di 2k + 1 elementi: µ ¶ 1 1 `+ ² + ` − (3.682) 2 2 (per ` = k + 1/2, k − 1/2, . . . , − k + 1/2), µ `− 1 2 ¶ µ ² − ` + 1 2 ¶ (3.683) (per ` = k − 1/2, k − 3/2, . . . , − k − 1/2) tra i quali al limite non vi è approssimativamente transizione perché il primo corrisponde allo “spin” dell’elettrone orientato secondo il campo; e il secondo allo “spin” orientato contro il campo. Segue l’effetto Zeeman normale (effetto Paschen–Back). Poiché per ² grande predomina il secondo termine nel primo membro di (3.662) e T è diagonale insieme (approssimativamente) con l’impulso orbitale intorno all’asse z, segue che in prima approssimazione, oltre a ` anche l’impulso orbitale m è costante. Distinguendo gli autovalori secondo m, avremo allora in luogo di (3.682) e (3.683): (m + 1) ² + m, m = k, k − 1, . . . , − k (3.684) (m − 1) ² − m, m = k, k − 1, . . . , − k. (3.685) La somma degli autovalori è uguale alla somma dei termini diagonali di S, ed è quindi costantemente nulla. Lo schema seguente mostra il passaggio dall’effetto Zeeman anomalo all’effetto Paschen–Back per k = 1.25 Al limite, per campi forti, i termini del primo tipo sono distanziati tra loro di ² + 1, essendo ² la frequenza di Larmor in tali unità che sia 2k + 1 la separazione del doppietto, mentre i termini del secondo tipo sono distanziati fra loro di ² − 1. 25 La figura riproduce qualitativamente lo schema riportato nel manoscritto originale. È interessante sottolineare il fatto che l’analisi fatta nel testo si applica solo nel limite di campo debole (² < 1) o in quello di campo forte (² À 1), mentre la regione intermedia deve essere studiata necessariamente risolvendo numericamente l’equazione di Dirac. Si osservi, allora, che nella figura l’Autore riporta lo spettro anche per la regione intermedia. 343 Volumetto 3: 28 giugno 1929 ε = 0.0 ε = 0.2 ε = 0.5 ε = 1.0 ε = 1.5 ε = 2.0 ε = 3.0 ε = 4.0 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 344 Volumetto 3: 28 giugno 1929 3.23 Sistemi completi di equazioni differenziali del primo ordine 26 Siano A1 , A2 , . . . , Aj , . . . , Ar operatori differenziali lineari omogenei su 2n variabili: 2n X ∂ Aj = akj , (3.686) ∂xk k=1 essendo le akj funzioni di x1 , x2 , . . . , x2n . Si tratta di trovare le soluzioni comuni del sistema di equazioni: Aj y = 0, (3.687) j = 1, 2, . . . , r. Supponiamo le Aj linearmente indipendenti (i coefficienti delle combinazioni lineari potendo essere in generale funzioni del posto), onde sarà necessariamente r ≤ 2n. Dalle (3.687) si possono dedurre altre equazioni differenziali lineari omogenee a cui deve soddisfare y, nel modo che segue: si applichino a y gli operatori Aj e Aj 0 , una volta in un certo ordine e una volta nell’ordine inverso; a causa di (3.687) sarà: (Aj Aj 0 − Aj 0 Aj ) y = 0. (3.688) Poniamo: Bjj 0 = Aj Aj 0 − Aj 0 Aj ; Bjj 0 y = 0, (3.689) segue a causa di (3.686): Ã 2n ! Ã 2n ! X k ∂ X k0 ∂ aj Bjj 0 = aj 0 ∂xk ∂xk0 k=1 k0 =1 ! Ã 2n Ã 2n ! X k ∂ X k0 ∂ aj − aj 0 ∂xk0 ∂xk 0 k=1 k =1 = X k,k0 akj 0 akj 0 0 X k ∂akj 0 ∂ ∂ + aj ∂xk ∂xk0 ∂xk ∂xk0 0 2 k,k 26 Nel manoscritto originale compare qui un riferimento bibliografico: si veda Franck, Physikal. 15, April 1929. Molto probabilmente l’Autore si riferisce al seguente articolo (in tedesco): Philipp Franck, Phys. Z. 30 (8), 209 (15 April 1929). 345 Volumetto 3: 28 giugno 1929 X k0 ∂akj ∂ ∂2 − aj 0 ∂xk0 ∂xk ∂xk0 ∂xk k,k0 k,k0 Ã ! k k XX 0 ∂aj 0 0 ∂aj ∂ akj − akj 0 ∂xk0 ∂xk0 ∂xk 0 k k ´ ∂ X³ X k ∂ Aj akj0 − Aj 0 akj ≡ bjj 0 , ∂xk ∂xk − = = X 0 akj 0 akj k essendo (3.690) k bkjj 0 = Aj akj0 − Aj 0 akj . (3.691) Segue che la (3.688) potendosi scrivere sotto la forma: Bjj 0 y = X bkjj 0 k ∂y y = 0, ∂xk (3.692) è ancora un’equazione del tipo (3.687), a cui deve soddisfare la y. Ripetendo il procedimento per tutte le coppie di operatori Aj e Aj 0 indi per tutte le nuove coppie di operatori A, B e B, B 0 che sono a nostra disposizione, otteniamo sempre nuove equazioni differenziali lineari a cui y deve soddisfare. Ma se portiamo in conto solo le equazioni linearmente indipendenti, dovendo il loro numero essere ≤ 2n, il procedimento deve a un certo momento cessare di fornire equazioni nuove. Il sistema di equazioni differenziali lineari a cui si perviene, dicesi allora completo. Supponiamo per semplicità che il sistema (3.687) sia già completo; le condizioni perché ciò avvenga saranno: X r cjj 0 Ar , Aj Aj 0 − Aj 0 Aj = (3.693) r con le c funzioni del posto. Vale allora il teorema27 che il sistema completo (3.687) ammette esattamente 2n − r soluzioni indipendenti. Tutte le possibili soluzioni sono allora funzioni arbitrarie della detta 2n − r parentesi di Poisson. Dividiamo le variabili indipendenti, finora designate con x1 , x2 , . . ., in due gruppi: q1 , q 2 , . . . , q n , p1 , p2 , . . . , p n . 27 Nel (3.694) manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si veda per esempio Goursat, Vorlesungen über die Integration. . . . Tuttavia, non è chiaro a quale testo l’Autore si riferisca. 346 Volumetto 3: 28 giugno 1929 Siano F e G due funzioni qualunque delle q e p; definiamo come parentesi di Poisson di F e G l’espressione ¶ n µ X ∂F ∂G ∂F ∂G [F, G] = (3.695) − . ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i=1 Seguono le proprietà: [F, G] = − [G, F ] , [qi , qk ] = 0, [pi , pk ] = 0, [F, F ] = 0 [qi , pk ] = δik . A causa delle (3.697) la (3.695) si può scrivere: X ∂(F, G) [F, G] = [xr , xs ] , ∂(xr , xs ) s>r (3.696) (3.697) (3.698) essendosi posto: x1 = q1 , x2 = q2 , . . . , xn = qn xn+1 = p1 , . . . , x2n = pn . (3.699) In (3.698) può estendersi la sommatoria a tutte le coppie di indici per cui sia s < r, ché il sistema non cambia; l’essenziale è evidentemente che ogni coppia di variabili xr e xs sia portata in conto una volta sola, in un ordine qualsiasi. Supponiamo G assegnata; si può allora riguardare [F, G] come il risultato di una operazione eseguita su F . Tale operazione presenta stretta analogia con quella di derivazione, come risulta dal fatto che se F è funzione di f , vale la regola: [F, G] = dF [f, G] ; df (3.700) e più in generale se F è funzione di a funzioni f1 , f2 , . . . , fa , vale la regola: [F, G] = a X dF [fi , G] df i i=1 (3.701) perfettamente analoga alla regola di derivazione delle funzioni composte. La (3.698) è suscettibile di un’ampia generalizzazione che comprende anche, come caso particolare, la (3.701). Supponiamo che F e G siano funzioni di b funzioni del posto: g1 , g2 , . . . , gb . Segue allora da (3.695): X ∂(F, G) [F, G] = [gr , gs ] , (3.702) ∂(gr , gs ) s>r 347 Volumetto 3: 28 giugno 1929 da cui seguono come casi particolari tanto la (3.698) che la (3.701). Per avere quest’ultima basta porre b = a + 1, f1 = g1 , f2 = g2 , . . . , fa = ga , F = F (g1 , g2 , . . . , ga ), G = fb . Date tre funzioni arbitrarie del posto: F, G, H, vale l’identità di Jacobi: [F, [G, H]] + [G, [H, F ]] + [H, [F, G]] = 0. (3.703) Notare anche la regola seguente, che è caso particolare della (3.701): [a b, F ] = a [b, F ] + b [a, F ] . (3.704) Due funzioni f e g si dicono in involuzione se [f, g] = 0; più in generale, molte funzioni sono chiamate involute quando ogni coppia di funzioni è involuta, cosı̀ le q e le p separatamente sono, a causa della (3.697) in involuzione. Si dice invece che f e g sono coniugate se [f, g] = 1; cosı̀ qi e pi sono coniugate. Siano assegnate r funzioni del posto F1 , F2 , . . . , Fr e si tratti di trovare le funzioni in involuzione con tutte le F . Sia g una soluzione (se esiste) del problema; saranno soddisfatte le equazioni: [g, F1 ] = [g, F2 ] = . . . = [g, Fr ] = 0. (3.705) Nel caso particolare r = 1 e F1 = H, il nostro problema si riduce al problema generale della meccanica classica: trovare gli integrali di un sistema meccanico definito dall’Hamiltoniana H. Infatti la condizione [g, H] = 0 quando si scriva esplicitamente e si tenga conto dell’equazione di Hamilton esprime appunto che g è costante nel tempo. In questo caso particolare avendosi 2n funzioni (q e p) del tempo le quali soddisfanno a un sistema di 2n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, si avranno anche 2n costanti arbitrarie a disposizione per fissare i valori iniziali delle q e p; onde esisteranno 2n funzioni indipendenti soddisfacenti alla condizione [g, H] = 0. Torniamo al caso generale (3.705). Scrivendo esplicitamente, ad esempio, j-esima in (3.705) avremo: X ∂Fj ∂g X ∂Fj ∂g − = Aj g = 0, ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi i i (3.706) essendo Aj un operatore differenziale lineare omogeneo del primo ordine. Facendo variare j da 1 a r, si ottiene un sistema di r equazioni. A quali condizioni devono soddisfare le F perché il sistema risulti completo? Basterà 348 Volumetto 3: 28 giugno 1929 sostituire in (3.693) le espressioni delle Aj in funzione delle F . Badando alle equazioni (3.689) e (3.690) segue: − ∂ [Fj , Fj 0 ] ∂ps ∂ [Fj , Fj 0 ] ∂qs = X crjj 0 r = − X r ∂Fr , ∂ps (3.707) crjj 0 ∂Fr , ∂qs o raccogliendo in un’unica equazione vettoriale: X r cjj 0 grad Fr . grad [Fj , Fj 0 ] = − (3.708) r Poiché le crjj 0 sono funzioni arbitrarie del posto, il contenuto della (3.708) si riduce a questo, che spostandosi in un sottospazio a 2n − r dimensioni in cui tutte le F sono costanti, sono altresı̀ costanti anche tutte le parentesi di Poisson [Fi , Fj ], cioè queste ultime sono funzioni delle F : [Fj , Fj 0 ] = fjj 0 (F1 , F2 , . . . Fr ) . (3.709) Se sono soddisfatte le (3.709) il sistema di equazioni differenziali (3.705) è dunque completo. Esso ammette allora esattamente 2n − r soluzioni indipendenti. Le r funzioni F1 , F2 , . . . , Fr , soddisfacenti a (3.709), formano la base di un gruppo costituito da tutte le funzioni delle F . La parentesi di Poisson di due funzioni del gruppo, a causa di (3.702) e di (3.709) appartiene ancora al gruppo. Lie ha dimostrato che la 2n − r soluzioni di (3.705) che sono presenti nel caso (3.709) costituiscono anche esse gruppo, valgono cioè per esse equazioni analoghe alle (3.709). Come caso particolare si ha il noto teorema che la parentesi di Poisson di due integrali di un problema meccanico è anche essa un integrale. 349 4 VOLUMETTO 4.1 24 aprile 1930 Relazione fra suscettibilità e momento elettrico variabile nello stato fondamentale di un atomo Sia un atomo con n elettroni nello stato fondamentale, che supponiamo un termine s, descritto dalla autofunzione ψ0 appartenente all’autovalore E0 . La componente del momento elettrico secondo l’asse z sarà data da: M = − e (z1 + z2 + . . . + zn ) = − e z, (4.1) con z = z1 + z2 + . . . + zn . Un campo elettrico di intensità E agente secondo l’asse z provoca una perturbazione che dipende dal potenziale EM = H. Se, come vogliamo supporre, lo stato fondamentale non è degenerato o, più esattamente, non esistono termini p appartenenti all’autovalore E0 , l’elemento M00 della matrice di perturbazione è certamente nullo, onde la variazione dell’autovalore per campi deboli si ricaverà dalla formola di seconda approssimazione: δE0 = ∞ ∞ X X |M0k |2 |zk |2 = e2 E 2 , E0 − Ek E0 − Ek 1 1 essendo z ψ0 = X zk ψk . (4.2) (4.3) k D’altra parte se α è la suscettibilità elettrica dell’atomo la variazione di energia è data in prima approssimazione da δE0 = − 1 2 E α, 2 351 (4.4) Volumetto 4: 24 aprile 1930 da cui confrontando con (4.2): α = 2 e2 X k |zk |2 . Ek − E0 (4.5) Inoltre da (4.3) si deduce: Z X |zk |2 = z 2 ψ02 dτ = z 2 . (4.6) k Il numero degli elettroni di dispersione f = n (per un noto teorema) è dato da:28 ∞ X n = (2m/~2 )(Ek − E0 ) |zk |2 . (4.7) 1 Consideriamo le espressioni: A = B = X (Ek − E0 ) |zk |2 = k X n~2 2m |zk |2 = z 2 (4.8) |zk |2 α = ; Ek − E0 2e2 (4.9) k C = X k sarà necessariamente: B ≤ √ AC (4.10) cioè (il segno di uguaglianza non intervenendo che nel caso irrealizzabile in cui zk sia diverso da zero solo per un determinato valore di Ek − E0 ): r √ nαa0 nα~2 2 = , z < (4.11) 4me2 2 essendo a0 = ~2 /me2 il raggio dell’orbita di Bohr nello stato fondamentale dell’idrogeno. Finché si suppone che le differenze Ek − E0 che entrano nei termini più importanti delle espressioni A, B e C non sono molto differenti tra loro (ed è questo il caso per gli atomi di tipo H e He ma non più per quelli di tipo Li), la (4.11) si può precisare in: √ nαa0 z2 < . (4.12) ∼ 2 28 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di ~. 352 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Cosı̀ per l’idrogeno: n = 1; α dedotta dalle formole dell’effetto Stark vale 4.5 a30 , onde: z 2 < 1.06 a20 (4.13) (in realtà il calcolo diretto dà z 2 = a20 ). Per l’elio n = 2, α ' 1.44 a30 (dedotto in base al valore della costante dielettrica), segue: z 2 < 0.85 a20 . (4.14) Essendo lo stato fondamentale dell’elio conosciuto con buona approssimazione, si può calcolare direttamente z 2 . Ci limitiamo a una valutazione sommaria in base alla nota autofunzione ¾ ½ 27 z1 + z2 , c exp − 16 a0 che corrisponde a movimenti indipendenti dei due elettroni, con che z 2 = z12 + z22 , mentre dovrebbe essere z 2 < z12 + z22 ; d’altra parte essa dà per z12 e z22 valori certamente minori del vero, onde, essendo i due errori di segno opposto, si può presumere una buona approssimazione per z 2 . Si trova: µ ¶2 16 z2 = 2 a20 = 0.70 a20 , (4.15) 27 che conferma ancora la (4.12). L’approssimazione è naturalmente un po’ meno buona che nel caso dell’idrogeno. Consideriamo infine un atomo di tipo He con z infinito. Sarà α = 2 · 4.5 a30 /Z 4 = 9a30 /Z 4 (volendo ottenere α = 1.44a30 per l’elio da questa formola limite bisogna porre in essa Z 4 = 1.58) e, per la (4.12), 3 a20 2a20 z2 < √ = 1.06 , Z2 2 Z2 (4.16) mentre il calcolo diretto dà z 2 = 2a20 /Z 2 . L’errore della (4.12) torna cosı̀ ad essere identico a quello che si aveva nel caso dell’idrogeno.29 29 Nel manoscritto originale questo paragrafo termina con la seguente osservazione: “Una valutazione più esatta di z 2 ridurrebbe forse l’errore per l’elio, 353 Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.2 Probabilità di ionizzazione di un atomo di idrogeno in campo elettrico Sia un atomo di tipo idrogeno di carica Z. Convenendo di usare le unità elettroniche (e = 1, ~ = 1, raggio della prima orbita di Bohr dell’idrogeno a0 = 1; unità di energia risulta allora e2 /a0 = 2Ry), l’autofunzione dell’elettrone soddisfa l’equazione differenziale µ ¶ Z ψ = 0. (4.17) ∆ψ + 2 E + r Aggiungendo un campo elettrico F (F = −dV /da) secondo l’asse x, la (4.17) diventa: ¶ µ Z ∆ψ + 2 E + − F x ψ = 0. (4.18) r Introduciamo le coordinate paraboliche ξ = r + x, 1 x = (ξ − η), 2 η = r − x, y = p ξ η cos φ, tan φ = z = p x ; y (4.19) ξ η sin φ; sarà ∆ψ = ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∆ξ + ∆η + ∆φ ∂ξ ∂η ∂φ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ |grad ξ|2 + |grad η|2 + |grad φ|2 + 2 2 ∂ξ ∂η ∂φ2 ∂2ψ ∂2ψ +2 grad ξ · grad η + 2 grad ξ · grad φ ∂ξ∂η ∂ξ∂φ ∂2ψ +2 grad η · grad φ; (4.20) ∂η∂φ che deve tuttavia restare sensibilmente più grande che nel caso limite z = ∞, perché nell’elio sono consentiti salti estemporanei dei due elettroni a causa dell’interdipendenza dei loro movimenti e con ciò il campo pratico di variabilità di Ek − E0 resta alquanto accresciuto”. Tale annotazione è seguita da un punto interrogativo, a conferma del suo significato poco chiaro. 354 Volumetto 4: 24 aprile 1930 e poiché: ∆ξ = |grad ξ|2 = 2ξ , r grad ξ · grad η = 0, risulta ∆ψ = 2 r µ 2 , r ∆η = |grad η|2 = 2 , r ∆ φ = 0, 2η , r |grad φ|2 = grad ξ · grad φ = 0, 1 , r2 − x2 grad η · grad φ = 0, ∂ψ ∂ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ r + + ξ 2 + η 2 + 2 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2(r − x ) ∂φ2 Ponendo ψ = eimφ y(ξ, η) ¶ . (4.21) (4.22) e sostituendo in (4.17): ∂2y ∂2y m2 1 ∂y ∂y + η 2 + − (ξ + η) y + (ξ + η) E y + 2 ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η 4ξη 2 ¢ F ¡ 2 +Z y − ξ − η 2 y = 0, (4.23) 4 ξ che permette l’ulteriore separazione: y = P (ξ) Q(η), (4.24) essendo30 m2 1 1 F 2 P + ξEP + (Z + λ) P − ξ P = 0 4ξ 2 2 4 2 m 1 1 F 2 η Q00 + Q0 − Q + ηEQ + (Z − λ) Q + η Q = 0. 4η 2 2 4 (4.25) Le (4.25) sono autoaggiunte. Rinunziando a tale condizione si può scrivere più semplicemente: µ ¶ 1 0 m2 1 Z +λ F 00 P + P + − 2 + E + − ξ P = 0 ξ 2 2ξ 4 ¶ µ 4ξ2 (4.26) m 1 Z −λ F 1 + η Q = 0. Q00 + Q0 + − 2 + E + η 4η 2 2η 4 ξ P 00 + P 0 − 30 Si noti che λ è un parametro arbitrario. 355 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Lo stato fondamentale è determinato dalle condizioni m = 0 e mancanza di nodi in P e Q. Avremo quindi, ponendo 2² in luogo di F per indicare che il campo è piccolo: F = 2² (4.27) µ ¶ 1 1 Z +λ P 00 + P 0 + E + − ²ξ P = 0 ξ 2µ ξ ¶ (4.28) 1 1 Z −λ Q00 + Q0 + E + + ² η Q = 0. η 2 η Poniamo: √ √ P = u e− −E/2 ξ , Q = v e− −E/2 η . (4.29) La prima delle (4.28) diventa Ã u00 + u0 1 − 2 ξ ! r − E 2 r  Z + λ − 2 + u  2ξ −  E 2 − ² ξ  = 0, (4.30) 2  e un’equazione analoga che deriva dalla seconda delle (4.28) si ottiene sostituendo u e ξ rispettivamente con v e η e cangiando segno a λ e ². Dalle conseguenze che tireremo dalla (4.30) se ne deducono quindi altre operando le dette sostituzioni. Nello stato fondamentale e in assenza di campo (² = 0), si ha λ = 0, E = −Z 2 /2, u = 1 (a meno di un fattore di normalizzazione). Quando è presente il campo porremo u = 1 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + . . . ; e a causa della (4.30) i coefficienti si determinano dalla relazione: i √ 1 h ² an = (2n − 1) an−3 . −2E − (Z + λ) an−1 + 2n2 2n2 (4.31) (4.32) Ma non possiamo più imporre la condizione che u sia un polinomio finito, anche perché in campo elettrico non esistono stati discreti rigorosamente stazionari. Occorre perciò seguire un metodo di successive approssimazioni soddisfacendo alla condizione che u sia un polinomio finito a meno di termini che tendono a zero con ² più rapidamente di ²n ; ciò significa trascurare non quantità assolutamente piccole ma quantità che divengono apprezzabili a distanza tanto maggiore dal nucleo quanto più è piccolo ². Porremo dunque (1) 2 (2) 3 (3) an = a(0) (4.33) n + ² a n + ² an + ² an + . . . , 356 Volumetto 4: 24 aprile 1930 (i) e ogni serie i di costanti an dovrà interrompersi per un determinato n. Cosı̀ per le costanti a(0) abbiamo (0) a0 = 1, (0) a1 (0) = a2 = . . . = a(0) = 0. n (4.34) Porremo inoltre √ λ = ² λ1 + ²2 λ2 + ²3 λ3 + . . . (4.35) −2E = Z + ² k1 + ²2 k2 + ²3 k3 + . . . . (4.36) (0) Ricordiamo inoltre che valendo a0 = a0 = 1, dovrà essere per r > 1 (r) a0 = 0, r > 1. (4.37) Sostituiamo in (4.32) mediante le precedenti relazioni e abbiamo per la parte indipendente da ²: a(0) = n n−1 (0) Z an−1 , n2 (4.38) che sono soddisfatte dalle (4.34). Considerando invece gli infinitesimi di primo ordine giungiamo alla relazione: = a(1) n n−1 1 1 (0) (1) (0) Z an−1 + [(2n − 1) k1 − λ1 ] an−1 + a . (4.39) n2 2n2 2n2 n−3 La condizione che la serie delle costanti a(1) si interrompa a un certo (1) (1) punto impone che a3 = 0; sarà allora identicamente a3+r = 0. D’altra parte abbiamo a0 (1) = (1) a1 = (1) = (1) = a2 a3 da cui 0 1 (k1 − λ1 ) 2 1 (k1 − λ1 ) Z 8 k1 − λ1 2 1 Z + = 0, 36 18 k1 − λ1 + 2/Z 2 = 0. (4.40) (4.41) (4.42) (4.43) (4.44) √ Per passare da s a q dobbiamo lasciare inalterato −2E e cangiar segno a λ e ² onde dalle (4.29) e dalle relazioni analoghe se ne ottengono altre 357 Volumetto 4: 24 aprile 1930 cangiando il segno di ki o di an se i è dispari e lasciando inalterato se i è pari e inoltre cangiando il segno di λi se i è pari e lasciandolo inalterato se i è dispari. Alla (4.44) va quindi aggiunto − k1 − λ1 + 2 = 0, Z2 (4.45) da cui K1 = 0, 2 , Z2 λ1 = (1) a1 = − 1 , Z2 (1) a2 = − 1 . 4Z (4.46) Riassumendo, la prima approssimazione fornisce ¶ µ 1 1 2 u = 1 − ² ξ ξ + Z2 4Z µ 1 1 2 ξ + ξ Z2 4Z v = 1 − ² √ −2E = Z + ²·0 λ = 2 ², Z2 ¶ (4.47) F = 2 ². La terza delle (4.47) attesta la mancanza dell’effetto Stark di primo ordine nello stato fondamentale. Passiamo alla seconda approssimazione. Eguagliando i termini in ²2 nei due membri di (4.32), si ottiene a(2) n n−1 1 (2) (1) Z an−1 + [(2n − 1) k1 − λ1 ] an−1 n2 2n2 1 1 (1) (0) + 2 [(2n − 1) k2 − λ2 ] an−1 + a . 2n 2n2 n−3 = (4.48) (4.49) Perché la serie delle a(2) sia finita, si verifica facilmente che deve essere (2) (2) a5 = 0, da cui segue a5+r = 0. Badando a (4.34), (4.37), e (4.47), abbiamo a0 (2) = (2) a1 = (2) = a2 0 1 (k2 − λ2 ) 2 k2 − λ2 1 Z + 8 4Z 4 358 (4.50) (4.51) (4.52) Volumetto 4: 24 aprile 1930 (2) a3 k2 − λ2 36 k2 − λ2 36 k2 − λ2 192 k2 − λ2 192 k2 − λ2 1200 k2 − λ2 1200 = = (2) a4 = = (2) a5 = = Z2 + Z2 + Z3 + Z3 − Z4 − Z4 − 1 18Z 3 1 12Z 3 1 64Z 2 1 64Z 2 1 400Z 3 400Z + 1 36Z 3 (4.53) − 1 32Z 2 (4.54) − 1 200Z = 0, (4.55) da cui 9 = 0, (4.56) 25 che deve valere insieme a quella che si ottiene lasciando inalterato k2 e cangiando segno a λ2 : k2 − λ2 − k2 + λ2 − 9/25 = 0, (4.57) λ2 = 0, (4.58) da cui k2 = 9/25, e (2) a1 = 9 , 2Z 5 (2) a2 = 11 , 8Z 4 (2) a3 = 1 , 3Z 3 (2) a1 = 1 . 32Z 2 (4.59) I risultati della seconda approssimazione si riassumono ricordando che ² = F/2 µ ¶ 1 1 2 u = 1 − F ξ + ξ 2Z 2 8Z µ ¶ 9 11 1 1 2 3 4 +F2 ξ + ξ + ξ + ξ 8Z 5 32Z 4 12Z 3 128Z 2 µ ¶ 1 1 2 v = 1 + F η + η 2Z 2 8Z µ ¶ 11 2 1 1 9 2 3 4 (4.60) +F η + η + η + η 8Z 5 32Z 4 12Z 3 128Z 2 √ 9 −2E = Z + F 2 4Z 5 359 Volumetto 4: 24 aprile 1930 1 2 9 Z − F2 2 4Z 4 E = − λ = 1 F + 0 F 2. Z2 L’autofunzione completa di seconda approssimazione sarà per (4.24) e (4.29): ½ µ ¶ ¾ 9 ξ+η 2 ψ = exp − Z + F u(ξ) v(η), (4.61) 4Z 5 r essendo u e v date da (4.60). Ripassando alle coordinate cartesiane mediante (4.19) si ha, trascurando termini in F 3 : ¶ ¾ · µ ¶ ½ µ 9 1 1 2 r 1 − F rx ψ = exp − Z + F x + 4Z 5 Z2 2Z µ ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ 9 1 1 +F2 r + 7r2 + 15x2 + r3 + 15rx2 5 4 3 4Z 16Z 24Z ¶¸ 1 2 2 . + r x (4.62) 8Z 2 Conviene sviluppare ψ secondo le funzioni sferiche. Se θ è l’angolo r · x si trova (vedi il paragrafo che segue): ¶ ¾ ½ µ 9 2 F r ψ = exp − Z + 4Z 5 · µ ¶ 9r 3r2 r3 r4 × 1 + F2 + + + 4Z 5 4Z 4 4Z 3 24Z 2 µ ¶ 2 r r −F + P1 (cos θ) Z2 2Z µ 2 ¶ ¸ 5r 5r3 r4 +F2 + + P (cos θ) , (4.63) 2 8Z 4 12Z 3 12Z 2 o, ciò che è lo stesso quando si trascurano termini in F 3 · µ 2 ¶ 3r r3 r4 ψ = e−Zr 1 + F 2 + + 4Z 4 4Z 3 24Z 2 µ ¶ 2 r r −F + P1 (cos θ) Z2 2Z µ 2 ¶ ¸ 5r 5r3 r4 +F2 + + P (cos θ) . 2 8Z 4 12Z 3 12Z 2 360 (4.64) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Facilmente (vedi nel prossimo paragrafo) si può costruire ψ 2 in seconda approssimazione: · ψ 2 = e −2Zr µ µ 1+ F 2 11r2 5r3 r4 + + 4 3 6Z 6Z 6Z 2 ¶ ¶ 2r r2 + P1 (cos θ) Z2 Z µ ¶ ¸ 23r2 3r3 r4 2 +F + + P2 (cos θ) . 12Z 4 2Z 3 3Z 2 −F 4.3 (4.65) Sviluppo di un polinomio in −1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi di Legendre (Si veda Vol.1, §1.42.) 1 = P0 x = 2 x = x3 = x4 = xn = P1 2 1 P2 + P0 3 3 2 3 P3 + P1 5 5 8 4 1 P4 + P2 + P0 35 7 5 ... 2α≤n X n−2α 2 (2n − 4α + 1) α=0 361 (n − α)! n! Pn−2α (x). α! (2n − 2α + 1)! Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.4 Regole di moltiplicazione dei polinomi di Legendre Si ha31 P0 P1 P2 P3 P4 P0 P0 P1 P2 P3 P4 P1 P1 2 1 P0 + P 2 3 3 2 3 P1 + P3 5 5 3 4 P2 + P4 7 7 4 5 P3 + P5 9 9 P2 P2 2 3 P1 + P 3 5 5 1 2 18 P0 + P2 + P4 5 7 35 P2 P3 P2 P4 P3 P3 P3 P1 P3 P 2 P3 P3 P3 P4 P4 P4 P4 P1 P4 P 2 P4 P3 P4 P4 31 Nel manoscritto originale la forma esplicita dei prodotti P P , P P , P P , 2 3 2 4 3 1 P3 P2 , P3 P3 , P3 P4 , P4 P1 , P4 P2 , P4 P3 , P4 P4 non è riportata. La si ripropone qui di seguito: 9 4 10 P1 + P3 + P5 35 15 21 20 5 2 P4 + P6 = P2 + 7 77 11 P2 P3 = P3 P2 = P2 P4 = P4 P2 P3 P1 = P3 P3 = P3 P4 = P4 P4 = P1 P3 4 18 100 1 P0 + P2 + P4 + P6 7 21 77 231 2 20 175 4 P1 + P3 + P5 P7 P4 P3 = 21 11 91 429 1 100 162 20 490 P0 + P2 + P4 + P6 + P8 . 9 693 1081 99 1287 362 Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.5 Funzione di Green per l’equazione differenziale y 00 + (2/x − 1) y + φ(x) = 0 L’equazione differenziale µ y 00 + 2 − 1 x ¶ y = − φ(x), (4.66) con le condizioni ai limiti y(0) = y(∞) = 0, (4.67) ammette soluzioni nel campo [0, ∞) solo se −φ(x) è ortogonale alla soluzione χ dell’equazione (resa) omogenea: µ ¶ 2 χ00 + − 1 χ = 0, (4.68) x con la condizione ai limiti (4.67). Una soluzione non nulla di (4.68) esiste ed è, normalizzata, χ = 2x e−x . (4.69) Segue che se φ(x) è una qualsiasi funzione continua, l’equazione differenziale: µ ¶ Z ∞ 2 φ(x) x e−x dx y 00 + − 1 y = − φ(x) + 4x e−x (4.70) x 0 ammette soluzioni soddisfacenti a (4.67). Possiamo porre Z y(x) = G(x, ξ) φ(ξ) dξ. (4.71) Tanto y che G(x, ξ), quest’ultima riguardata come funzione di x per ogni valore di ξ, sono definite a meno di una funzione proporzionale a χ. Toglieremo ogni arbitrarietà imponendo che G, e di conseguenza y, sia ortogonale a χ. Allora la funzione di Green G(x, ξ) è necessariamente simmetrica in x e ξ. Ponendo µ ¶ d2 2 L = (4.72) + − 1 , dx2 x 363 Volumetto 4: 24 aprile 1930 la funzione di Green soddisfa all’equazione differenziale L G(x, ξ) = 4x e−x ξ e−ξ , (4.73) ed inoltre deve avere una discontinuità nella derivata prima per x = ξ in modo che sia: · ¸ · ¸ d d G(x, ξ) − G(x, ξ) = − 1. (4.74) dx dx x=ξ+0 x=ξ−0 Poniamo G(x, ξ) = 4ξ e−ξ p(x, ξ) (4.75) e riguardiamo per il momento p come funzione di x essendo ξ costante. Avremo per la (4.74): L p = x e−x . (4.76) La soluzione generale di (4.76) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare la soluzione generale dell’equazione omogenea L p = 0. (4.77) La soluzione generale di (4.76) è a sua volta combinazione lineare di due (soluzioni) indipendenti di cui l’una è la stessa χ data da (4.69) e l’altra può essere notoriamente: Z Z 2x dx e x −x χ1 = χ = − e + 2x e dx (4.78) χ2 x od anche, poiché possiamo fissare arbitrariamente il limite inferiore dell’integrale: Z x 2x e −1 χ1 = 2x e−x dx + 2x e−x log x − ex . (4.79) x 0 Una soluzione particolare di (4.76), e precisamente quella che si annulla insieme con la sua prima derivata per x = 0 (vedi tesi) è la seguente: µ ¶ Z x 2x 1 e −1 1 1 1 1 p0 = x e−x dx − ex + + x − x2 e−x . (4.80) 2 x 4 4 2 2 0 Segue per la (4.75) che la funzione di Green può porsi sotto la forma: G(x, ξ) = 4ξ e−ξ p0 (x) + ai (ξ) χ(x) + bi (ξ)χ1 (x), 364 (4.81) Volumetto 4: 24 aprile 1930 intendendo che l’indice i assuma il valore 1 per x < ξ e il valore 2 per x > ξ, cosicché il problema è ormai ridotto alla determinazione delle grandezze a1 (ξ), b1 (ξ), a2 (ξ), b2 (ξ) costanti rispetto a x. Esse si determinano mediante le condizioni ai limiti G = 0 per x = 0 e x = ∞, la condizione di discontinuità (4.74) per x = ξ e la condizione di ortogonalità fra la funzione di Green e la soluzione χ dell’equazione omogenea che soddisfa alle condizioni ai limiti. La condizione G(0, ξ) = 0 importa: b1 = 0. (4.82) La condizione G(∞, ξ) = 0 è soddisfatta se: b2 = − ξ e−ξ . (4.83) (a1 − a2 ) χ0 (ξ) + (b1 − b2 ) χ01 (ξ) = 1, (4.84) Dalla condizione (4.74) segue cioè, tenuto conto di (4.82) e (4.83): a2 = a1 + ξ e−ξ χ01 (ξ) 1 − 0 ; χ0 (ξ) χ (ξ) (4.85) ed eseguiti i calcoli: Z ξ a2 = a1 + ξ e−ξ 0 eξ e2ξ − 1 dξ + ξ e−ξ log ξ − . ξ 2 (4.86) Lasciando ancora indeterminata a1 , abbiamo cosı̀ le seguenti espressioni per la funzione di Green secondo che x < ξ o x > ξ: · Z x 2x e −1 G(x, ξ) = ξ e−ξ 2x e−x dx − ex x 0 ¡ ¢ ¤ + 1 + 2x − 2x2 e−x G(x, ξ) = + 2 a1 (ξ) x e−x , x < ξ; (4.87) µ ¶ Z ξ 2ξ e − 1 x e−x 2ξ e−ξ dξ − eξ ξ 0 ¡ ¢ + ξ e−ξ 1 + 2x − 2x2 + 2ξ e−ξ x e−x (log ξ − log x) + 2 a1 (ξ) x e−x , x > ξ. 365 (4.88) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Resta da determinare a1 in base alla condizione di ortogonalità: Z χ(x) G(x, ξ) dx = 0. Si trova: µ a1 = 1 5 + ξ − ξ2 2 2 ¶ e−ξ − C ξ e−ξ − ξ e−ξ log 2ξ, (4.89) con C costante di Eulero. Sostituendo in (4.87) e in (4.88) si hanno le espressioni definitive per la funzione di Green: ¡ ¢ G(x, ξ) = e−ξ e−x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x2 Z x 2x e −1 dx + 2ξ e−ξ xe−x x 0 G(x, ξ) = − ξ e−ξ ex − 2ξ e−ξ x e−x log 2ξ, x < ξ; (4.90) ¡ ¢ e e−x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x2 Z ξ 2ξ e −1 + 2ξ e−ξ xe−x dξ ξ 0 −ξ − x e−x eξ − 2ξ e−ξ x e−x log 2x, x > ξ. (4.91) La G(x, ξ) è, come deve essere, simmetrica in x e ξ, poiché (4.91) si ottiene da (4.90) scambiando x e ξ. 4.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmo integrale Il logaritmo integrale è definito dalla relazione Ei(−x) = − A(x), essendo: 32 Z ∞ A(x) = x 32 Questa e−ξ dξ. ξ (4.92) (4.93) funzione è anche nota come funzione gamma incompleta Γ(0, x). 366 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Possiamo sviluppare 1/ξ per ξ > x in serie di polinomi secondo le formole del calcolo alle differenze finite richiedendo che i primi n termini dello sviluppo diano il valore esatto di 1/ξ per ξ = x, x + 1, . . . , x + n − 1. Si trova ponendo: ξ = x + y, (4.94) la formola: 1 1 y y(y − 1) = − + − ..., ξ x x(x + 1) x(x + 1)(x + 2) (4.95) e la (4.93) diventa Z  A(x) = e  1 − x  −x Z ∞ ∞ y e−y dy 0 x+1 + y (y − 1) e−y dy 0 (x + 1)(x + 2) − ...  ... ±  In ∓ . . . , (x + 1)(x + 2)· · ·(x + n) (4.96) essendosi posto: Z ∞ In = y (y − 1) · · · (y − n + 1) e−y dy. (4.97) 0 Si trova I1 = 1, I2 = 1, I3 = 2, I6 = 38, Sostituendo la (4.96) diventa: µ Z ∞ −ξ e−x e 1− dξ = ξ x x 2 − + (x + 1)(x + 2)(x + 3) 14 − (x + 1)(x + 2)· · ·(x + 5) 216 − (x + 1)(x + 2)· · ·(x + 7) I4 = 4, I7 = 216, I5 = 14, I8 = 600, . . . . (4.98) 1 1 + x+1 (x + 1)(x + 2) 4 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 38 + (x + 1)(x + 2)· · ·(x + 6) ¶ 600 + − . . . . (4.99) (x + 1)(x + 2)· · ·(x + 8) 367 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Se in (4.94) facciamo x = 1, la (4.95) diventa: 1 1+y = y y(y − 1) y(y − 1)(y − 2) + − 2! 3! 4! y − (y − 1) · · · (y − n + 2) +... ± ∓ ... n! 1− (4.100) Si deduce lo sviluppo del logaritmo di (1 + y): log (1 + y) = y − 2y 3 − 3y 2 y 4 − 4y 3 + 4y 2 y2 + − + ... 4 36 96 (4.101) Lasciando x indeterminato in (4.94) si ottiene la generalizzazione della (4.101): ³ y´ log 1 + x = y y2 2y 3 − 3y 2 − + x 2x(x + 1) 6x(x + 1)(x + 2) − y 4 − 4y 3 + 4y 2 + ... 4x(x + 1)(x + 2)(x + 3) (4.102) Poniamo t = y/x e conveniamo di usare n termini dello sviluppo (4.102) ponendo y = n − 1 e in conseguenza x = (n − 1)/t salvo che per n = 1, nel qual caso lasciamo y arbitrario; si ottengono allora successivamente le seguenti formole di approssimazione per log (1 + t): n = 1: log (1 + t) = t (4.103) n = 2: t2 log (1 + t) = t − 2(1 + t) (4.104) n = 3: log (1 + t) = t − t2 t3 + 2+t 3(2 + t)(2 + 2t) n = 4: log (1 + t) = t − 3t3 3t2 + 2(3 + t) 2(3 + t)(3 + 2t) − 3t4 . 4(3 + t)(3 + 2t)(3 + 3t) 368 (4.105) (4.106) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Ad esempio, le dette espressioni diventano per log 2 (t = 1) e log 10 (t = 9): 4.7 n log 2 log 10 1 2 3 4 1.0000 0.7500 0.6944 0.6937 9.00 4.95 2.74 2.56 Caratteri primitivi del gruppo delle permutazioni di f oggetti Si ha33 f = 1 (P.N. = 1) nk 1+ Partitio → Classe ↓ (1) 1 1 f = 2 (P.N. = 2) nk 1+ 1− Partitio → Classe ↓ (1)(2) (12) 2 1 1 1+ 1 1 -1 33 In quel che segue, la notazione P.N. indica la “Partitio Numerorum”, cioè il numero di modi in cui si possono collocare f oggetti. Nelle tabelle, ogni “partitio” è definita nella prima riga dalla terza colonna in poi. Nella seconda colonna sono invece definite le classi dei cicli di permutazioni degli f oggetti. Nella prima colonna è infine indicato il numero di cicli della classe considerata. In ciascuna tabella - dalla terza colonna in avanti e dalla seconda riga in poi - sono mostrati i caratteri corrispondenti ad una data classe e “partitio”. 369 Volumetto 4: 24 aprile 1930 f = 3 (P.N. = 3) nk 1+ 3− 2+ Partitio → Classe ↓ (1)(2)(3) (12)(3) (123) 3 1 1 1 2+ 1 2 0 -1 1+ 1+ 1 1 -1 1 f = 4 (P.N. = 5) nk 1+ 6− 3+ 8+ 6− Partitio → Classe ↓ (1) . . . (12) . . . (12)(34) (123) . . . (1234) 4 1 1 1 1 1 3+ 1 3 1 -1 0 -1 2+ 2 2 0 2 -1 0 2+ 1+ 1 3 -1 -1 0 1 1+ 1+ 1+ 1 1 -1 1 1 -1 f = 5 (P.N. = 7) nk 1+ 10− 15+ 20+ 20− 30− 24+ Partitio → Classe ↓ (1) . . . (12) . . . (12)(34) . . . (123) . . . (123)(45) (1234) . . . (12345) 5 1 1 1 1 1 1 1 4+ 1 4 2 0 1 -1 0 -1 370 3+ 2 5 1 1 -1 1 -1 0 3+ 1+ 1 6 0 -2 0 0 0 1 2+ 2+ 1 5 -1 1 -1 -1 1 0 2+ 1+ 1+ 1 4 -2 0 1 1 0 -1 1+ 1+ 1+ 1+ 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 Volumetto 4: 24 aprile 1930 f = 6 (P.N. = 11) nk 1+ 15− 45+ 15− 40+ 120− 40+ 90− 90+ 144+ 120− Partitio → Classe ↓ (1) . . . (12) . . . (12)(34) . . . (12)(34)(56) (123) . . . (123)(45) . . . (123)(456) (1234) . . . (1234)(56) (12345) . . . (123456) nk 1+ 15− 45+ 15− 40+ 120− 40+ 90− 90+ 144+ 120− 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5+ 1 5 3 1 -1 2 0 -1 1 -1 0 -1 Partitio → Classe ↓ (1) . . . (12) . . . (12)(34) . . . (12)(34)(56) (123) . . . (123)(45) . . . (123)(456) (1234) . . . (1234)(56) (12345) . . . (123456) 4+ 2 9 3 1 3 0 0 0 -1 1 -1 0 2+ 2 5 -1 1 3 -1 -1 2 1 -1 0 0 371 4+ 1+ 1 10 2 -2 -2 1 -1 1 0 0 0 1 2+ 2+ 1+ 1 9 -3 1 -3 0 0 0 1 1 -1 0 3+ 3 5 1 1 -3 -1 1 2 -1 -1 0 0 2+ 1+ 1+ 1+ 1 5 -3 1 1 2 0 -1 -1 -1 0 1 3+ 2+ 1 16 0 0 0 -2 0 -2 0 0 1 0 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 3+ 1+ 1+ 1 10 -2 -2 2 1 1 1 0 0 0 -1 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Partitio numerorum f P.N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 5 7 11 15 Gradi delle rappresentazioni irriducibili e sistemi reciproci34 f=2 2 1+1 1 1+1 2 1 f=3 3 1+1+1 1 2+1 2+1 2 1+1+1 3 1 f=4 34 Nelle tabelle che seguono, nella prima riga è riportata la rappresentazione irriducibile considerata, la seconda riga indica il sistema reciproco corrispondente, mentre la terza specifica il grado della rappresentazione considerata. 372 Volumetto 4: 24 aprile 1930 4 1+1+1+1 1 3+1 2+1+1 3 2+2 2+2 2 2+1+1 3+1 3 1+1+1+1 4 1 f=5 5 1+1+1+1+1 1 2+2+1 3+2 5 4+1 2+1+1+1 4 2+1+1+1 4+1 4 3+2 2+2+1 5 3+1+1 3+1+1 6 1+1+1+1+1 5 1 f=6 6 1+1+1+1+1+1 1 3+3 2+2+2 5 2+2+1+1 4+2 9 5+1 2+1+1+1+1 5 3+2+1 3+2+1 16 4+2 2+2+1+1 9 3+1+1+1 4+1+1 10 2+1+1+1+1 5+1 5 373 4+1+1 3+1+1+1 10 2+2+2 3+3 5 1+1+1+1+1+1 6 1 Volumetto 4: 24 aprile 1930 f=7 7 1+1+1+1+1+1+1 1 4+3 2+2+1 14 4+2+1 3+2+1+1 35 6+1 2+1+1+1+1+1 6 4+1+1+1 4+1+1+1 20 3+1+1+1+1 5+1+1 15 3+3+1 3+2+2 21 2+2+2+1 4+3 14 2+1+1+1+1+1 6+1 6 4.8 5+2 2+2+1+1+1 14 3+2+2 3+3+1 21 5+1+1 3+1+1+1+1 15 3+2+1+1 4+2+1 35 2+2+1+1+1 5+2 14 1+1+1+1+1+1+1 7 1 Sviluppo dell’onda piana secondo le funzioni sferiche L’onda piana u = eikz = eikr cos θ (4.107) obbedisce all’equazione differenziale ∆ u + k2 u = 0. 374 (4.108) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Ogni soluzione di (4.108) si può esprimere come combinazioni lineari delle soluzioni particolari 1 i (4.109) √ In+1/2 (ρ) ϕn (θ, φ) ρ (ρ = kr; n = 0, 1, 2, . . .; i = −n, −n + 1, . . . , n), essendo In+1/2 la funzione di Bessel di ordine n + 1/2 e ϕin una generica funzione sferica superficiale di ordine n. La u data dalla (4.107) è simmetrica intorno all’asse z onde nel suo sviluppo compariranno solo termini che portano a fattore funzioni sferiche zonali: u = eikz = eiρ cos θ = ∞ X an √ In+1/2 (ρ) Pn (cos θ), ρ n=0 (4.110) essendo Pn i polinomi di Legendre. Per determinare le costanti an moltiplichiamo i due membri di (4.110) per Pn (cos θ) e integriamo su una sfera di raggio r = ρ/k; dividendo quindi i due membri per 2πr2 troviamo Z 1 eiρt Pn (t) dt = −1 2 an √ In+1/2 (ρ). 2n + 1 ρ (4.111) Facciamo tendere ρ a zero e sviluppiamo secondo le potenze di ρ. Al primo membro otteniamo come primo termine differente da zero (vedi §4.3): i n ρn n! Z 1 tn Pn (t) dt = n 2 in ρn 2 3 · ··· · n! 3 5 2n − 1 2n + 1 = 2n+1 n! n n i ρ , (2n + 1)! −1 (4.112) mentre al secondo membro otteniamo: ³ ρ ´n + 1/2 2 an 1 = √ 2n + 1 ρ (n + 1/2)! r 2 2n + 1 = an 2n + 1 r r da cui, confrontando con l’espressione precedente: r π n an = (2n + 1) i . 2 375 2 an ρn π 1·3· · ·(2n + 1) 2 2n+1 n! n ρ π (2n + 1)! (4.113) (4.114) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Sostituendo in (4.111), si ricava la relazione notevole: r Z 1 ρ In+1/2 (ρ) = (−i)n eiρt Pn (t) dt. 2π −1 (4.115) Esempi: r I1/2 (ρ) = I3/2 (ρ) = 2 sin ρ, kz = ρ cos θ πρ r µ ¶ 1 2 − cos ρ + sin ρ . πρ ρ (4.116) (4.117) Sostituendo invece con (4.114) in (4.110) si ha lo sviluppo dell’onda piana: r ∞ X 2n + 1 πρ n i In+1/2 (ρ) Pn (cos θ). (4.118) eikz = ρ 2 n=0 Scriviamo la (4.115) sotto la forma analoga a (4.111): r Z 1 2π n eiρt Pn (t) dt = i In+1/2 (ρ) ρ −1 (4.119) e sviluppiamo i due membri secondo le potenze di ρ. È facile convincersi che sono differenti da 0 solo i termini in ρn+2α (α = 0, 1, 2, . . .) . Uguagliando nei due membri i coefficienti di ρn+2α si ha: √ Z 1 in+2α 2π in (−1)α n+2α t Pn (t) dt = , (4.120) (n + 2α)! −1 α! (n + α + 1/2)! 2n+2α+1/2 cioè semplificando: √ Z 1 1 π tn+2α Pn (t) dt = (n + 2α)! −1 α! (n + α + 1/2)! 2n+2α e badando che µ ¶ 1 n + α + ! 2 ¶ µ π 3 5 1 · · ··· n + α + 2 2 2 2 √ π 1 ·3·5·7· · · (2n + 2α + 1) 2 2n+α √ π (2n + 2α + 1)! , (4.122) 2 (n + α)! 22n+2α √ = = = (4.121) 376 Volumetto 4: 24 aprile 1930 si ha infine: Z 1 tn+2α Pn (t) dt = 2n+1 −1 (n + α)! (n + 2α)! . α! (2n + 2α + 1)! Ponendo in (4.123) n in luogo di n − 2α si ha: Z 1 (n − α)! n! tn Pn−2α (t) dt = 2n−2α+1 α! (2n − 2α + 1)! −1 (4.123) (4.124) (con 2α ≤ n); da cui, badando alla condizione di normalizzazione dei polinomi di Legendre Z 1 2 , Pn2 (t) dt = 2n + 1 −1 si ricava lo sviluppo di tn (n − 1 ≤ t ≤ 1) secondo i polinomi di Legendre: 2α≤n tn = X 2n−2α (2n − 4α + 1) α=0 4.9 (n − α)! n! Pn−2α (t). α! (2n − 2α + 1)! (4.125) Formola di Rutherford dedotta con la meccanica classica Si abbia una corrente uniforme di particelle di carica Z 0 e e di massa m, muoventisi secondo l’asse z con velocità v. Sia io /v il numero di particelle per unità di volume e quindi io il flusso per unità di superficie normale all’asse z nell’unità di tempo. Si supponga inoltre che nell’origine delle coordinate sia posto un corpo diffondente di carica Ze; si domanda il numero di particelle che vengono deviate di un angolo θ per unità di tempo e di angolo solido. Tale numero può porsi sotto la forma f (θ) io , e avrà f (θ) le dimensioni di una superficie (sezione d’urto). Per risolvere il problema osserviamo che ogni particella si muove in un piano passante per l’asse z. Scegliendo in questo coordinate polari avremo ρ̈ − ρ θ̇2 = ρ2 θ̇ = c. k , ρ2 377 k = ZZ 0 e2 ; m (4.126) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Eliminando θ: ρ̈ = k c2 + 3. 2 ρ ρ (4.127) Assumendo come nuova variabile y = 1/ρ, troviamo ρ = 1 y ρ̇ = − ρ̈ = (4.128) 1 dy 2 dy ẏ = − ρ θ̇ = − c y2 dθ dθ 2 d2 y d y − c 2 θ̇ = − c2 y 2 2 , dθ dθ (4.129) (4.130) da cui sostituendo in (4.127) k d2 y + y + 2 = 0, dθ2 c (4.131) che ammette come soluzione generale: k 1 = y = − 2 + a cos θ + b sin θ. ρ c (4.132) Determiniamo le costanti in base alle condizioni ai limiti. Per θ = π deve essere ρ = ∞, poiché noi immaginiamo che le particelle provengano dall’infinito nella direzione negativa dell’asse z. Questo importa: a = − k/c2 . (4.133) Ancora, per θ = π dev’essere, secondo l’ipotesi, ρ̇ = −v e poiché per la (4.129) ρ̇ = −c dy/dθ, segue cb = −v cioè b = − v/c, (4.134) cosicché la (4.132) diventa 1 k k v = − 2 − 2 cos θ − sin θ, ρ c c c (4.135) che rappresenta un’iperbole i cui asintoti hanno le direzioni θ1 = π e θ2 = −2 arctan (k/vc). Resta da esplicitare il significato geometrico di c, che si può dedurre dalla seconda delle (4.126), ma preferiamo partire dalla (4.135) 378 Volumetto 4: 24 aprile 1930 introducendo le coordinate cartesiane nel piano dell’orbita: z = ρ cos θ e ξ = ρ sin θ con che la (4.135) diventa 1− k p 2 k v z + ξ 2 + 2 z + ξ = 0, c2 c c (4.136) ovvero, in forma intera: µ z2 + ξ2 = z + vc c2 ξ + k k ¶2 , (4.137) cioè µ 1 − v 2 c2 k2 ¶ ξ2 − 2 vc c2 vc3 c4 ξz − 2 z − 2 2 ξ − 2 = 0, k k k k (4.138) da cui si deduce l’equazione del primo asintoto: ξ = − c/v. (4.139) Il valore assoluto di ξ è uguale alla distanza iniziale della particella dall’asse z parallelamente al quale si muove; scegliendo il verso dell’asse ξ in modo che ξ sia inizialmente [e quindi durante tutto il moto, se ZZ 0 > 0] positiva, avremo: c = − v δ. (4.140) La deviazione angolare della particella sarà quindi per quanto si è detto sopra sulla direzione del secondo asintoto: θ = 2 arctan(k/v 2 δ). (4.141) L’angolo di diffusione θ cresce al diminuire di δ e le particelle deviate di un angolo maggiore di θ sono quelle che per grandi valori negativi di z attraversano un cerchio di raggio δ normale all’asse z, cioè, nell’unità di tempo n = π δ 2 io , (4.142) cioè, essendo per la (4.141) δ = n = k v 2 tan θ/2 v4 π k 2 io . tan2 θ/2 379 (4.143) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Il numero delle particelle diffuse per unità di angolo solido sarà dn dn = dω −2π sin θ dθ e notando che dn/dω = f (θ) io , avremo, differenziando la (4.135) e dividendo per −2πio sin θdθ: f (θ) = Z 2 Z 02 e4 Z 2 Z 02 e4 = , 4 4m2 v 4 sin θ/2 16W 2 sin4 θ/2 (4.144) essendo W l’energia cinetica della particella libera. Ponendo: W = Z Z 0 e2 , l (4.145) sarà l una lunghezza, positiva o negativa secondo che Z e Z 0 hanno o non hanno lo stesso segno. Sostituendo in (4.144) si ha la formola espressiva per la sezione di urti: l2 f (θ) = . (4.146) 16 sin4 θ/2 Possiamo definire una seconda sezione d’urto F (θ) come rapporto fra il numero n di particelle deviate di un angolo maggiore di θ nell’unità di tempo e io . Tale numero è per la (4.143): n = π Z 2 Z 02 e4 io π Z 2 Z 02 e4 io π l 2 io = = , 2 2 m2 v 4 tan θ/2 4W 2 tan θ/2 4 tan2 θ/2 (4.147) da cui segue: F (θ) = π l2 . 4 tan2 θ/2 (4.148) Fra f (θ) e F (θ) passa l’ovvia relazione: F 0 (θ) = − 2π sin θ f (θ). (4.149) La relazione fra θ e δ espressa da (4.141) si può porre sotto la forma: tan θ ² = , 2 2 essendo ² = l/δ. 380 (4.150) Volumetto 4: 24 aprile 1930 ² 0 1 2 3 4 5 4.10 θ 0 arctan 4/3 π/2 π − arctan 12/5 π − arctan 4/3 π − arctan 21/20 La formola di Rutherford come prima approssimazione del metodo di Born Consideriamo l’onda piana35 ψ0 = e+iγz , (4.151) che rappresenta un flusso uniforme di particelle nella direzione dell’asse z. Se m è la loro massa, ad ognuna compete l’energia cinetica W = ~2 2 γ . 2m (4.152) Nell’origine delle coordinate sia il punto diffondente di carica Ze, mentre la carica delle particelle diffuse sia Z 0 e. L’equazione differenziale a cui soddisfa la funzione d’onda se l’energia è espressa dalla (4.152) sarà: µ ¶ 2m2 k ZZ 0 e2 ∆ ψ + γ2 − (4.153) ψ = 0, k = . ~2 r m Riguardando il potenziale dovuto al punto diffondente come piccolo, potremo considerare la (4.151) come autofunzione imperturbata e porre ψ = ψ0 + ψ1 , 35 Nel (4.154) manoscritto originale viene riportata la relazione di commutazione fondamentale pq − qp = ~/i vicino l’equazione (4.151). Come in precedenza, qui e nel seguito si è preferito adottare la notazione moderna ~ in luogo di h/2π. 381 Volumetto 4: 24 aprile 1930 essendo ψ1 un piccolo termine correttivo. Sostituendo in (4.153) e trascurando quantità di secondo ordine avremo in prima approssimazione: ∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 2m2 k iγz e . ~2 r (4.155) Per rendere unica la soluzione di (4.155) richiediamo: 1◦ ) che ψ1 si annulli all’infinito, ciò che significa che a grande distanza dal corpo diffondente ψ deve tendere all’onda imperturbata ψ0 ; 2◦ ) che ψ1 rappresenti un’onda sferica divergente, e ciò per il suo significato fenomenologico. La soluzione della forma desiderata si ottiene con il metodo di Green usando come funzione caratteristica - eiγr /4πr. Si presentano tuttavia difficoltà di convergenza per evitare le quali supporremo che il campo diffondente agisce fino alla distanza R, salvo in seguito a far tendere R all’infinito. La (4.155) va allora modificata nel modo seguente: µ ¶ 2m2 k 1 1 − eiγz , per r < R, ∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = ~2 r R (4.156) ∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = 0, per r > R. Vogliamo scrivere le (4.156) in una forma un po’ differente introducendo la velocità delle particelle libere: v = γ ~ , m (4.157) con che le (4.156) diventano: ∆ ψ1 + γ 2 ψ1 ∆ ψ1 + γ 2 ψ1 = = 2γ 2 k v2 0, µ 1 1 − r R ¶ eiγz , per r < R, (4.158) per r > R; e per ciò che si è detto sarà: ¶ µ Z 1 1 1 2γ 2 k 1 − eiγ(|r1 − r| + z) dτ, (4.159) ψi (P1 ) = 4π S v 2 r R |r1 − r| l’integrale essendo esteso entro una sfera di raggio R. (Siano r1 , θ1 , φ1 le coordinate di P1 , mentre r, θ, φ sono le coordinate di un punto generico del campo di integrazione). Vogliamo supporre r1 À R e trascurare in 382 Volumetto 4: 24 aprile 1930 ψ1 termini dell’ordine di 1/r2 ; possiamo allora sostituire al denominatore 1/|r1 − r| semplicemente 1/r1 , e la (4.159) diventa ¶ Z µ γ2 k 1 1 ψ1 (P1 ) = − eiγ(|r1 − r| + z) dτ. (4.160) 2π v 2 r1 S r R e badando che entro l’integrale possiamo trascurare termini dell’ordine di 1/r possiamo porre: |r1 − r| ' r1 − r (cos θ1 cos θ + sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) (4.161) [e, d’altra parte: z = r cos θ, con che l’integrale che comparisce in (4.160) diventa ¶ Z µ 1 1 iγr 1 e − eiγr ((1 − cos θ1 ) cos θ − sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) dτ. r R s (4.162) Possiamo supporre senza restrizione φ1 = 0, ma ciò l’integrale non resta essenzialmente semplificato]. Conviene scegliere un nuovo sistema di coordinate polari - nel verso che forma angolo acuto con δ1 ϕ1 - assumendo come nuovo asse polare la bisettrice esterna dell’angolo (rr1 ). Se come piano meridiano (Φ = 0) assumiamo quello che passa per l’asse z e per P1 , le coordinate polari di quest’ultimo punto saranno: r1 , Θ1 = π θ1 − , 2 2 Φ1 = 0, (4.163) e sarà inoltre cos θ = − sin(θ1 /2) cos Θ + cos(θ1 /2) cos Φ sin Θ, (4.164) di modo che z = − r sin(θ1 /2) cos Θ + r cos(θ1 /2) cos Φ sin Θ (4.165) |r1 − r| ' r1 − r (sin(θ1 /2) cos Θ + cos(θ1 /2) cos Φ sin Θ) (4.166) z + |r1 − r| ' r1 − 2 sin(θ1 /2) r cos Θ. Sostituendo l’integrale che figura in (4.160) diventa ¶ Z µ 1 1 e−2iγr sin(θ1 /2) cos θ dτ. eiγr1 − r R S 383 (4.167) (4.168) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Integrando rispetto a Φ quando si scriva dτ = r2 dr d cos Θ dΦ abbiamo ¶ µ Z 1 Z R 1 1 dr e−2iγr sin(θ1 /2) cos θ d cos Θ 2π eiγr1 − r2 r R −1 0 ¶ Z R µ 2π eiγr1 1 1 = − r sin (2 γ r sin(θ1 /2)) dr γ sin(θ1 /2) 0 r R · µ ¶¸ 2π eiγr1 1 sin (2 γ R sin(θ1 /2)) = 1 − . (4.169) γ sin(θ1 /2) 2γ sin(θ1 /2) 2 γ R sin(θ1 /2) Facendo tendere R a infinito, il termine con R al denominatore si annulla (purché θ1 6= 0); si ha allora sostituendo in (4.160) e scrivendo θ in luogo di θ1 : k eiγr1 ψ1 (P1 ) = . (4.170) 2 2 v r1 sin2 (θ/2) Ciò che interessa è il rapporto i1 |ψ1 |2 = i0 |ψ0 |2 fra onda diffusa e onda incidente. Ricordando l’espressione (4.151) di ψ0 e introducendo l’energia della particella in luogo della velocità, si trova i1 = Z 2 Z 02 e4 i0 , 16 W 2 r12 sin4 (θ/2) (4.171) che coincide con la formola (4.144), se si bada che sezione d’urto colà introdotta è per definizione: f (θ) = r12 384 i1 . i0 (4.172) Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.11 L’equazione di Laplace Intendiamo l’equazione differenziale: µ ¶ ³ δ1 ²1 ´ u00 + δ0 + u0 + ²0 + u = 0. r r Applichiamo la trasformazione di Laplace: Z u = f (z) ezr dz. (4.173) (4.174) L Sarà: Z u0 = Z u00 z f (z) ezr dz (4.175) z 2 f (z) ezr dz. (4.176) L = L Sostituendo in (4.173) si ricava µ ¶ Z · δ1 0 = z 2 f (z) ezr + δ0 + z f (z) ezr r L i ³ ²1 ´ + ²0 + f (z) ezr dz; (4.177) r ovvero, moltiplicando per r l’equazione precedente e tenendo presente che r ezr = si trova: 0 d zr e , dz Z · = = d zr δ1 z f (z) ezr + ²1 f (z) ezr + z 2 f (z) e dz L ¸ d zr d zr + δ0 z f (z) e + ²0 f (z) e dz dz dz Z · δ1 z f (z) + ²1 f (z) L ¸ ¢ d ¡ 2 − z f (z) + δ0 z f (z) + ²0 f (z) ezr dz dz Z ¢ d ¡ 2 + z f (z) ezr + δ0 z f (z) ezr + ²0 f (z) ezr dz. L dz 385 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Scegliendo un cammino di integrazione tale che agli estremi l’espressione: ¡ ¢ z 2 f (z) + δ0 z f (z) + ²0 f (z) ezr (4.178) acquisti lo stesso valore, basta per la validità di (4.174) che sia soddisfatta l’equazione differenziale: δ1 z f (z) + ²1 f (z) − ¢ d ¡ 2 z f (z) + δ0 z f (z) + ²0 f (z) = 0. dz (4.179) La (4.179) si può scrivere (δ1 − 2)z + ²1 − δ0 f 0 (z) β1 β2 = = + , f (z) z 2 + δ0 z + ²0 z − c1 z − c2 (4.180) essendo c1 e c2 le radici dell’equazione z 2 + δ0 z + ²0 = 0. (4.181) Dal confronto fra il secondo e il terzo membro di (4.180) segue β1 + β 2 = δ1 − 2, (4.182) β 1 c 2 + β2 c 1 = δ0 − ²1 , (4.183) da cui β1 = c1 δ1 − 2c1 − δ0 + ²1 , c1 − c2 (4.184) c2 δ1 − 2c2 − δ0 + ²1 β2 = , c2 − c1 e badando che, per la (4.181), δ0 = −(c1 + c2 ): β1 = ²1 + δ1 c1 − 1, c1 − c2 β2 = ²1 + δ1 c2 − 1, c2 − c1 (4.185) ovvero ponendo per comodità: β1 = α1 − 1, con che: α1 = ²1 + δ1 c1 , c1 − c2 β2 = α2 − 1, α2 = 386 ²1 + δ1 c2 . c2 − c1 (4.186) (4.187) Volumetto 4: 24 aprile 1930 si ha, integrando la (4.180) e contentandoci di una soluzione particolare: f (z) = (z − c1 )α1 − 1 (z − c2 )α2 − 1 . La rappresentazione integrale (4.174) assume allora la forma Z u = ezr (z − c1 )α1 − 1 (z − c2 )α2 − 1 dz, (4.188) (4.189) L e la condizione a cui il cammino di integrazione L deve soddisfare perché la (4.189) sia valida, che cioè l’espressione (4.178) riacquisti il valore iniziale alla fine dell’intervallo di integrazione, si pone nella forma semplice: Z ¢ d ¡ zr e (z − c1 )α1 (z − c2 )α2 dz = 0. (4.190) dz L quando si badi che r2 + δ0 z + ²0 = (z − c1 )(z − c2 ) 4.12 Forze di polarizzazione fra atomi di idrogeno Usiamo le consuete unità elettroniche (~ = e = m = 1; unità di energia e2 /a0 = 2Ry). Consideriamo i due atomi alla distanza R, che supporremo grande (R misura la distanza in raggi di Bohr). Poiché le autofunzioni dei singoli atomi diminuiscono esponenzialmente con il raggio, sarà lecito - per lo studio di un’interazione che tende a zero secondo una potenza finita negativa di R - supporre gli atomi perfettamente separati e di piccole dimensioni rispetto a R. In particolare non ha luogo la distinzione fra soluzione simmetrica negli elettroni o antisimmetrica negli stessi (riguardiamo i protoni come fissi per riguardo alla loro massa). In realtà la separazione di risonanza fra ortoidrogeno e paraidrogeno diminuisce esponenzialmente con R. Gli atomi essendo neutri l’interazione è nulla in prima approssimazione. Noi vogliamo calcolare “approssimativamente” la seconda approssimazione valendoci del cosiddetto metodo di Ritz. L’autofunzione imperturbata negli elettroni è (a meno del fattore di normalizzazione): ψ0 = e−(r1 + r2 ) , 387 (4.191) Volumetto 4: 24 aprile 1930 essendo r1 la distanza del primo elettrone dal primo nucleo e r2 quella del secondo elettrone dal secondo nucleo; ψ0 è cosı̀ semplicemente il prodotto dell’autofunzione del primo elettrone per l’autofunzione del secondo e ciò è lecito per la trascurabilità della risonanza in questo caso limite. Le autofunzioni imperturbate corrette si otterrebbero notoriamente da ψ0 scambiando l’ufficio dei due elettroni e quindi sommando (soluzione simmetrica) o sottraendo (soluzione antisimmetrica). L’espressione dell’Hamiltoniana imperturbata è nelle nostre unità: H = − 1 1 1 1 0 ∆2 − ∆002 − − . 2 2 r1 r2 (4.192) La perturbazione dovuta alla mutua presenza di 2 atomi deriva dai dipoli variabili degli atomi stessi e vale per grandi R: δH = − 2x1 x2 − y1 y2 − z1 z2 , R3 (4.193) con ovvio significato delle lettere. Noi ci proponiamo di determinare approssimativamente l’autofunzione perturbata con la posizione ψ = ψ0 + c δH ψ0 , (4.194) essendo c una costante per ora arbitraria. Per calcolare c consideriamo l’energia media ÁZ Z W = ψ (H + δH) ψ dτ ψ 2 dτ (4.195) e badando che Hψ0 = −ψ0 ; inoltre che Z ψ02 δH dτ = 0 Z Z 6 (δH)2 ψ02 dτ = 6 ψ02 dτ R Z (δH)3 ψ02 dτ = 0 e infine che: Z ψ0 (δH) H (δH) ψ0 dτ = − (δH)2 ψ02 dτ Z + ψ0 (δH) (H (δH) − (δH) H) ψ0 dτ = 0, (4.196) (4.197) (4.198) Z 388 (4.199) Volumetto 4: 24 aprile 1930 segue con facili calcoli: W = − 1 − 12c/R6 , 1 + 6c2 /R6 (4.200) ovvero, poiché ci siamo posti nel caso limite R → ∞ W = −1 + 12 6 c + 6 c2 R6 R (4.201) la condizione dW/dc = 0 importa c = −1; in conseguenza W = − 1 − 6/R6 . (4.202) Il metodo dà dunque, nelle ordinarie unità, −6e2 /a0 R6 come potenziale delle forze di polarizzazione; questo risultato è abbastanza vicino a quello esatto ottenuto da Landau per altra via (−6.47e2 /a0 R6 ) e il senso dell’errore quale deve essere per una nota proprietà dei metodi di minimo applicati allo stato fondamentale di un sistema. Per le autofunzioni perturbate si avrà approssimativamente, ponendo c = −1 in (4.194): ψ = e−(r1 + r2 ) + (1/R3 )(2x1 x2 − y1 y2 − z1 z2 ) e−(r1 + r2 ) . (4.203) L’approssimazione per l’autofunzione sarà naturalmente meno soddisfacente che per l’autovalore. 4.13 Rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel L’equazione differenziale delle funzioni di Bessel: µ ¶ 1 λ2 y 00 + y 0 + 1 − 2 y = 0, x x (4.204) si semplifica ponendo y = xλ u. 389 (4.205) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Infatti, sostituendo in (4.204) e dividendo per xλ , si ottiene u00 + 2λ + 1 0 u + u = 0. x (4.206) che è un caso particolare dell’equazione di Laplace (4.173) con i valori delle costanti: δ0 = 0, δ1 = 2λ + 1, ²0 = 1, ²1 = 0. È quindi trasportabile al nostro caso lo sviluppo (4.189). Le costanti che ivi appariscono saranno nel nostro caso per le (4.181) e (4.187) del §11: c1 = i, c2 = −i, α1 = α2 = 2λ + 1 , 2 con che, disponendo di un’arbitraria costante moltiplicativa: Z ¡ ¢λ − 1/2 u = k ezx z 2 + 1 dz, (4.207) (4.208) L con la condizione complementare: · ¸ ¡ ¢λ + 1/2 B ezx z 2 + 1 = 0, (4.209) A essendo A e B gli estremi del campo di integrazione. Punti di diramazione della funzione integranda sono i punti +i e −i. Ponendo z = it, punti di diramazione saranno i punti ±1 e in luogo di (4.208) e (4.209) dovremo porre: Z ¡ ¢λ − 1/2 u = k eitx t2 − 1 dt, (4.210) C · ¸ ¡ ¢λ + 1/2 eitx t2 − 1 = 0. (4.211) C ¡ ¢λ+1/2 Per definire t2 − 1 nel piano complesso dobbiamo dare una definizione univoca di log(t2 − 1). Dividiamo pertanto il piano complesso mediante due semirette che partono dai punti di diramazione ±1, verso l’asse positivo degli immaginari, e definiamo log(t2 − 1) positivo (e reale) per t > 1, mentre negli altri casi assume i valori che si deducono per continuità senza attraversare le linee di diramazione. Definiamo poi la funzione di Hankel Hλ1 : Z ¡ ¢λ − 1/2 Γ (1/2 − λ) (1/2x)λ Hλ1 = eitx t2 − 1 dt. (4.212) π i Γ (1/2) 390 Volumetto 4: 24 aprile 1930 2 1 Hλ Hλ -1 +1 La condizione (4.211) essendo riempita, sarà Hλ1 una soluzione di (4.204). In modo analogo si definisce Hλ2 sul cammino di sinistra. Per x reale si ha Hλ1 = Hλ1∗ e in generale, come si deduce dal comportamento per x → 0: Iλ = 1 1 (Hλ + Hλ2 ), 2 Nλ = 1 (Hλ1 − Hλ2 ), 2i (4.213) essendo Iλ e Nλ funzioni rispettivamente di Bessel e di Neumann. Segue per x reale: Hλ1 (x) = Iλ (x) + i Nλ (x); (4.214) e saranno Iλ e Nλ due soluzioni reali di (4.204), la prima regolare per x = 0 e la seconda in quadratura con la prima, per x → ∞. Vogliamo ora calcolare l’andamento asintotico di Hλ1 (x) per x → ∞ (x reale). Poniamo t = t2 − 1 = s , x s s2 2i − 2 , x x 1+ i (4.215) (4.216) s andrà da ∞ a 0 e poi da 0 a ∞; giusta le convenzioni fatte log(t2 − 1) avrà nel primo tratto il suo valore principale diminuito di 2π, e nel secondo tratto il suo valore principale (cioè parte immaginaria in valore assoluto π). Segue, dopo varie trasformazioni r 2 exp {i (x − λπ/2 − π/4)} 1 Hλ (x) = πx Γ (λ + 1/2) 391 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Z ∞ × e−s sλ − 1/2 µ 1+ 0 is 2x ¶λ − 1/2 ds. (4.217) Segue asintoticamente per x → ∞: r Hλ1 (x) ∼ 4.14 2 exp {i (x − λπ/2 − π/4)} . πx (4.218) Simmetria cubica Le 24 rotazioni (proprie) che trasportano gli assi x, y, z negli stessi assi, astrazion fatta dall’ordine e dal verso, costituiscono un gruppo olomorfo al gruppo delle permutazioni di 4 oggetti. La corrispondenza olomorfa può stabilirsi nel modo seguente: I - Classe identica (1+) rotazioni coseni direttori della rotazione permutazioni angolo di rotazione 0 permutazione identica II - Classe 21 (6−) rotazioni coseni direttori angolo della rotazione di rotazione √ √ 0√ 1/ 2 1/√2 180o 1/√2 0√ 1/ 2 180o 1/ 2 1/√2 0√ 180o 180o 0√ 1/ 2 −1/√ 2 180o −1/√ 2 0√ 1/ 2 180o 1/ 2 −1/ 2 0 392 permutazioni (14) (24) (34) (23) (31) (12) Volumetto 4: 24 aprile 1930 III - Classe 02 (3+) rotazioni coseni direttori della rotazione 1 0 0 0 1 0 0 0 1 permutazioni angolo di rotazione 180o 180o 180o IV - Classe 101 (8+) rotazioni coseni direttori angolo della rotazione di rotazione √ √ √ 1/√3 1/√3 1/√3 120o 240o 1/ 3 1/ 3 1/ 3 (14) (23) (24) (31) (34) (12) permutazioni (123) (321) (234) (314) (124) (324) (134) (214) V - Classe 0001 (6−) rotazioni coseni direttori della rotazione permutazioni angolo di rotazione (1234) (2314) (3124) (3214) (1324) (2134) Per la dimostrata identità del nostro gruppo con quello delle permutazioni di 4 oggetti, esso ammette 5 rappresentazioni irriducibili χs (s = 1, 2, 3, 4, 5), i cui caratteri sono dati nel §4.7 (f = 4). Una rappresentazione irriducibile Dj (j intero) del gruppo totale delle rotazioni spaziali è altresı̀ una rappresentazione, in generale riducibile, del nostro 393 Volumetto 4: 24 aprile 1930 gruppo. Riducendo questa si otterrà ns volte la rappresentazione χs , se ns è il valor medio di χj ·χ∗s preso negli elementi del nostro gruppo. I caratteri Dj valgono sin(2j + 1)ω/ sin ω, se ω = α/2 è la metà dell’angolo di rotazione. Per le 5 classi del nostro gruppo avremo quindi ordinatamente come valori di χj 2 j + 1, 1 − resto di j , 3 (−1)j , (−1)j ; 1 + resto di j j − resto di . 2 4 Abbiamo cosı̀ tutti gli elementi per il calcolo delle frequenze ns delle singole rappresentazioni irriducibili; considerando queste nell’ordine che risulta dalla tabella del §4.7, per f = 4, si trova n1 = n2 = n3 = n4 = n5 = µ ¶ µ ¶ 1 j 1 j j +1 − resto di − resto di 12 2 2 3 3 µ ¶ 1 j − resto di 4 4 µ ¶ µ ¶ j 1 j 1 j − resto di + resto di 4 2 2 4 4 µ ¶ µ ¶ j 1 j 1 j − resto di + resto di 6 2 2 3 3 µ ¶ µ ¶ j j 1 j + resto di − resto di 4 2 4 4 µ ¶ µ ¶ j 1 j 1 j − resto di + resto di . 12 3 3 4 4 (4.219) (4.220) (4.221) (4.222) (4.223) Badando che i gradi delle rappresentazioni irriducibili sono ordinatamente 1,3,2,3,1, si ha naturalmente n1 + 3 n2 + 2 n3 + 3 n4 + n5 = 2 j + 1. (4.224) Si constaterà che al limite per grandi valori di j la frequenza con cui si presentano le varie irriducibili è proporzionale ai loro gradi, come nella rappresentazione normale. Noti i valori ns per un certo valore di j si passa immediatamente a quelli corrispondenti a j + 12q mediante la tabella: 394 Volumetto 4: 24 aprile 1930 j0 = j + 12 q n01 n02 n03 n04 n05 = = = = = n1 n2 n3 n4 n5 + + + + + 1·q 3·q 2·q 3·q 1·q in cui i fattori di q sono precisamente i gradi delle rappresentazioni irriducibili. Basterà quindi calcolare gli ns da j = 0 a j = 11. La seguente tabella riassume i risultati: j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... n1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1+1 0+1 ... n2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 0+3 0+3 ... 395 n3 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 2 0+2 0+2 ... n4 0 1 0 1 1 2 1 2 2 3 2 3 0+3 1+3 ... n5 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0+1 0+1 ... Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.15 Formole (1) Volume e superficie di una sfera a n dimensioni di raggio R: Vn = π n/2 n R , (n/2)! = n π n/2 n−1 2π Vn = n R = Vn−2 . R (n/2)! R (4.225) Sn 2π R Sn+2 , Sn = Vn−2 2π R n R Sn , S n = Vn Vn = n R 2π 2π Vn = Vn−2 , Sn = Sn−2 . n n−2 Vn = n Vn /Rn 1 2 2 π 1 π 2 2π π 3 4 π 3 4 3 4π 2 4 1 2 π 2 3 π 8 2π 2 1 π 2 5 8 2 π 15 16 15 8 2 π 3 4 3 6 1 3 π 6 5 π 16 π3 3 π 8 Vn /Vn−1 Sn /Rn−1 (4.226) (4.227) (4.228) Sn /Sn−1 2 (2) Siano a e b numeri positivi o nulli interi o mezzi e c uno dei numeri: c = a + b, a + b − 1, a + b − 2, 396 ..., |a − b|. (4.229) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Vale l’identità: a+b−c X s=0 (c + a − b + s)! (2b − s)! s! (a + b − c − s)! = (a + b + c + 1)! (c + a − b)! (c + b − a)! . (2c + 1)! (a + b − c)! (4.230) Il primo membro della (4.230) è, come il secondo, simmetrico in a e b; per verificarlo basta porre in luogo di s: a + b − c − s. Poniamo per semplicità f (a, b, c) in luogo del primo membro della (4.230) e supponiamo l’identità dimostrata fino a un certo valore di a; dimostriamo allora che vale anche per a + 1/2. Infatti: f (a + 1/2, b, c + 1/2) = a+b−c X (c + a − b + s + 1) s=0 (c + a − b + s)! (2b − s)! s! (a + b − c − s)! = (c + a − b + s) f (a, b, c) + a+b−c−1 X s=0 (c + a − b + 1 + s)! (2b − 1 − s)! s! (a + b − 1 − 1 − s)! = (c + a − b + s) f (a, b, c) + f (a, b − 1/2, c + 1/2) . (4.231) Sostituendo nei secondi membri, mediante (4.230) troviamo immediatamente che l’identità è soddisfatta anche per f (a+1/2, b, c+1/2). Quando la condizione α non è soddisfatta in uno dei termini del secondo membro si può porre f (a, b, c) = 0, e la (4.231) è ancora valida. Per completare la dimostrazione dell’identità (4.230) basterà quindi provare che essa regge per a = 0 e, necessariamente, b = c. In questo caso la sommatoria si riduce a un termine solo: (2c)!, e tale è anche il valore del secondo membro. 397 Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.16 Onde piane secondo la teoria di Dirac Scegliendo le componenti in modo che sia soddisfatta l’equazione [prima e seconda coppia di ψ invarianti relativisticamente] µ ¶ W + ρ3 (σ·p) + ρ1 m c ψ = 0 (4.232) c si hanno, per dati valori di px , py , pz due onde positive p W/c = p2 + m2 c2 e due onde negative p W/c = − p2 + m2 c2 . In un punto dato possiamo porre: µ ¶ 1 1 W ψ 0 = 1·ψ1 + 0·ψ2 − + pz ψ3 − (px + ipy ) ψ4 mc c mc ψ 00 = 1 1 (px − ipy ) ψ1 − mc mc µ W + pz c ¶ ψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4 , (4.233) avendosi per W > 0 le onde positive e per W < 0 le onde negative; le quattro onde sono ortogonali e inoltre fra le due onde positive, oppure fra le due onde negative, si annulla la corrente di transizione. Scegliamo le componenti di ψ in modo che in luogo della (4.232) valga l’equazione (originale di Dirac)36 : µ ¶ W (4.234) + ρ1 (σ·p) + ρ3 m c ψ = 0 c (ψ1 e ψ2 componenti piccole per piccole velocità; ψ3 e ψ4 componenti grandi). In un punto e in un istante dato si può porre: ψ0 ψ 00 pz px + ipy ψ1 − ψ2 + 1·ψ3 + 0·ψ4 W/c + mc W/c + mc = − = px − ipy pz − ψ1 + ψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4 ; W/c + mc W/c + mc (4.235) 36∗ Per p = 0, la prima coppia di componenti di ψ rappresenta gli stati negativi, la seconda coppia gli stati positivi. 398 Volumetto 4: 24 aprile 1930 p per W/c = ± p2 + m2 c2 onde positive e negative, rispettivamente. Ponendo φ1 = (1 , 0 , 0 , 0), φ2 = (0 , 1 , 0 , 0) φ3 = (0 , 0 , 1 , 0), φ4 = (0 , 0 , 0 , 1) e quindi ψ = (ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 ) = ψ1 φ1 + ψ2 φ2 + ψ3 φ3 + ψ4 φ4 , nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.232), e analogamente ³ ´ ψ̃ = ψ̃1 , ψ̃2 , ψ̃3 , ψ̃4 = ψ̃1 φ̃1 + ψ̃2 φ̃2 + ψ̃3 φ̃3 + ψ̃4 φ̃4 , nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.234), fra le autofunzioni φ e φ̃ passano, a meno di un arbitrario fattore di fase, le relazioni: φ̃1 = 1 √ (φ1 + φ3 ), 2 φ1 = 1 √ (φ̃1 + φ̃3 ) 2 φ̃2 = 1 √ (φ2 + φ4 ), 2 φ2 = 1 √ (φ̃2 + φ̃4 ) 2 φ̃3 = 1 √ (φ1 − φ3 ), 2 φ3 = 1 √ (φ̃1 − φ̃3 ) 2 φ̃4 = 1 √ (φ2 − φ4 ), 2 φ4 = 1 √ (φ̃2 − φ̃4 ). 2 (4.236) Seguono le relazioni ψ̃ = ²ψ e ψ = ²−1 ψ̃ = ²ψ̃, con √ √   1/ 2 0√ 1/ 2 0√  0 1/ 2 0√ 1/ 2   = ²−1 = √1 (ρ1 + ρ3 ) . √ ² =   1/ 2 0√ −1/ 2 0√  2 0 −1/ 2 0 1/ 2 (4.237) Dati i valori di (px , py , pz ) = p, indichiamo con yp1 e yp2 le onde piane positive (4.233) e con yp3 e yp4 le onde piane negative che si ottengono 399 Volumetto 4: 24 aprile 1930 scambiando W in −W ; analogamente, indichiamo con zp1 e zp2 le onde positive (4.235) e con zp3 e zp4 le onde negative. Intendiamo che tutte siano normalizzate con densità 1 (ψ ∗ ψ = 1). In un certo istante fra le y e le z passano le relazioni: X zp∗ = Sik ypi , (4.238) i yp∗ = X −1 i Sik zp , (4.239) i essendo  S = S −1 pz A+ √ mc 2AB       px − ipy    √mc  2AB  =      0        0  px + ipy √mc 2AB 0 pz A+ mc − √ 2AB 0 0 pz A0 − mc −√ 2A0 B 0 0 px − ipy √ mc 2A0 B 0          0     px + ipy    √ mc  2A0 B 0     p z 0  A −  √ mc 0 0 2A B (4.240) 0 con p p2 + m2 c2 + mc , mc p p2 + m2 c2 + pz B = , mc A = p p2 + m2 c2 − mc mc p p2 + m2 c2 − pz B0 = mc A0 = (4.241) (segue: A + A0 = B + B 0 . Per p = 0 si ha: A = 2, A0 = 0, B = 1, B 0 = 1.) Chiameremo brevemente rappresentazione R1 quella in cui vale l’equazione (4.232) e rappresentazione R2 quella in cui vale l’equazione (4.234). Le matrici σx , σy , σz descrivono ovviamente gli stessi operatori Sx , Sy , Sz sia nella rappresentazione R1 che nella rappresentazione R2 a causa della 400 Volumetto 4: 24 aprile 1930 proprietà: ρ1 + ρ3 ρ1 + ρ3 √ √ = σ. (4.242) 2 2 Al contrario, uno stesso operatore γ, è rappresentato da ρ3 in R1 e da ρ1 in R2 e un secondo operatore γ1 è rappresentato d ρ1 in R1 e da ρ3 in R2. L’equazione di Dirac può cosı̀ scriversi in entrambe le rappresentazioni: µ ¶ W + γ (ξ·p) + γ1 m c ψ = 0. (4.243) c σ Gli operatori ξ e γ trasformano fra loro le combinazioni delle quattro onde piane corrispondenti a dai valori di p. Le matrici che li rappresentano sono naturalmente diverse secondo che si considerino come vettori unitari ortogonali le onde piane normalizzate (4.233), cioè le ypi , ovvero le onde piane normalizzate (4.235), cioè le zpi , le matrici corrispondenti al secondo caso ottenendosi da quelle corrispondenti al primo per trasformazione mediante S [da non confondere con lo spin (4.240) S = (Sx , Sy , Sz )]. Nel primo caso (onde piane ypi ) abbiamo:   a   a   a sz sbz sx sbx sy sby , Sx =  , Sy =   (i) Sz =  b † c b † c b † c sz sz sx sx sy sy (4.244) in cui le sotto-matrici sono date da [(aij )† = (aji )∗ ]   px − ipy 2 0  2 + B − BB  mc 2    B(B + B 0 ) B(B + B 0 )    saz =     px + ipy   2 0   2 + B − BB mc 2 B(B + B 0 ) B(B + B 0 )   p − ip sbz = BB 0 − 1  −2 √   (B + B 0 ) BB 0    px + ipy   mc√ 2 (B + B 0 ) BB 0 x y  mc√ 2  (B + B 0 ) BB 0       BB 0 − 1 √ 2 (B + B 0 ) BB 0 401 Volumetto 4: 24 aprile 1930  02 scz = sax = sbx = scx = say = 0 px − ipy 2 0 mc 0 B (B + B )   2 + B − BB     B 0 (B + B 0 )        px + ipy   02 0   2 + B − BB 2 0 mc 0 B (B + B ) B 0 (B + B 0 )   px 2  2 mc  −  B + B0 B + B0        p x   2 mc − −2 B + B0 B + B0  py pz pz px i 2 2 2 2 m c√ mc mc  √ √ −  (B + B 0 ) BB 0 + BB 0 (B + B 0 ) BB 0    pz py pz px  2 2 2 2 i  mc√ m c√ − + √ mc (B + B 0 ) BB 0 (B + B 0 ) BB 0 BB 0   px 2  −2 mc  0  B + B B + B0        p x   2 mc 2 B + B0 B + B0   py 2  2 mc  i  B + B0 B + B0        p y   2 mc −i −2 B + B0 B + B0 402         Volumetto 4: 24 aprile 1930  sby scy (ii)  px pz pz py i 2 2 c2 m mc mc   √ √ √ i  (B + B 0 ) BB 0 − BB 0  (B + B 0 ) BB 0     =   p p p p z z y x   2 2 2 2 i   mc√ m c√ −i − − √ mc 0 0 0 0 0 (B + B ) BB (B + B ) BB BB   py 2   −2 mc −i 0  B + B B + B0    =     p y   2 2 mc 0 i 0 B+B B+B    a  a b γ1b γ1 γ γ   , γ1 =  γ =  (4.245) γb † γc γ1b † γ1c 2 con  γa γb γc = = = 2  −1   B(B + B 0 )    px + ipy   mc 2 B(B + B 0 )  2  √   (B + B 0 ) BB 0    px + ipy   mc√ 2 (B + B 0 ) BB 0  2  − 1   B 0 (B + B 0 )    px + ipy   mc 2 B(B + B 0 ) 403 px − ipy mc 2 B(B + B 0 ) 1 − 2 B(B + B 0 )          px − ipy mc√ 2 (B + B 0 ) BB 0 − 2 √ (B + B 0 ) BB 0 px − ipy 2 0 mc 0 B (B + B ) 1 − 2 B 0 (B + B 0 )                   Volumetto 4: 24 aprile 1930   γ1a = 2  − B + B0    0 0 − 2 B + B0      pz  − mc√   (B + B 0 ) BB 0  =   px + ipy   √mc BB 0  2 0  B + B0  =   2 0 B + B0   a γz γzb  , γ Sx =  γzb † γzc γ1b γ1c (iii) γ Sz  γ Sy =  γya γyb γyb † con  γza = pz  − mc  B + B0     0  γzb =  2 √ 2 BB 0  B + B0     0 0 pz mc − B + B0  2 0 √ 2 BB 0 B + B0            404 γyc  px − ipy − √mc BB 0 2 pz mc √ − (B + B 0 ) BB 0  2              =   , γxa γxb γxb † γxc  , (4.246) Volumetto 4: 24 aprile 1930  γzc = γxa = γxb = γxc = γya = γyb =  pz mc   0  B + B0        p z   2 mc 0 0 B+B   px 2 mc  −  0  B + B0        p x   2 mc 0 − 0 B+B  pz px py 2 2 2 i m c mc  − √ √  (B + B 0 ) BB 0 − BB 0      1 −√ BB 0   px 2 mc   0  B + B0        p x   2 mc 0 0 B+B   py 2  − mc  0  B + B0        p y   2 mc 0 − B + B0  pz py px 2 2 2 i m c√ mc  − √  (B + B 0 ) BB 0 + BB 0      i −√ BB 0 2 405  1 √ BB 0 pz px py i 2 c2 m mc √ − + √ (B + B 0 ) BB 0 BB 0 2         i −√ BB 0 pz py px i 2 c2 m mc √ √ − − (B + B 0 ) BB 0 BB 0 2        Volumetto 4: 24 aprile 1930  γyc =  py mc   B + B0     0 2 0 py mc B + B0 2    .   Se assumiamo come vettori unitari le onde piane (4.234) normalizzate all’unità di densità (ψ ∗ ψ = 1), le matrici che rappresentano gli operatori Sz , Sx , Sy , γ, γ1 , γSz , γSx , γSy si ottengono dalle precedenti per trasformazione mediante S [(v. (4.240)]. È più comodo calcolarle direttamente; esse hanno la forma seguente: β = βx = βy = βz = p v = p 2 c p + m 2 c2 vx px = p 2 c p + m 2 c2 vy py = p 2 c p + m2 c2 vz pz = p 2 c p + m2 c2 [velocità dell’elettrone positivo: (vx , vy , vz ); velocità dell’elettrone negativo: (−vx , −vy , −vz ); velocità assoluta nei due casi v]  Sz =  saz sbz sbz † scz  ,  Sx =  sax sbx sbx † scx   , Sy =  say sby sby † scy   (4.247) con  saz = βx2 + βy2 p  1 − 1 + 1 − β2     βz (βx + iβy )  p 1 + 1 − β2 406 βz (βx − iβy ) p 1 + 1 − β2 −1 + βx2 + βy2 p 1 + 1 − β2        Volumetto 4: 24 aprile 1930  sbz =      βx2 + βy2 β − − βz (βx + iβy ) β  βz (βx − iβy )  β     βx2 + βy2 − β  scz =  sax =       sbx =       scx =      βx2 + βy2 p  1 − 1 − 1 − β2     βz (βx + iβy )  p 1 − 1 − β2 βz (βx − iβy ) p 1 − 1 − β2 −1 + βx2 + βy2 p 1 − 1 − β2     ,    β 2 − βx (βx − iβy ) p  1 + 1 − β2    2  β − βx (βx + iβy ) βz βx p p 1 − 2 2 1+ 1−β 1+ 1−β  βz βx β 2 − βx (βx − iβy ) −  β β    2  β − βx (βx + iβy ) βz βx β β  βz βx β 2 − βx (βx − iβy ) p p 1 −  1 − 1 − β2 1 − 1 − β2    2  βz βx β − βx (βx + iβy ) p p − 1 − 2 2 1− 1−β 1− 1−β βz βx p 1 + 1 − β2 1 − e cosı̀ via. Scriviamo l’equazione di Dirac senza campo: µ W + (α·p) + β m c c ¶ ψ = 0. (4.248) Le funzioni di spin di un’onda piana con momenti px , py , pz si ottengono da quelle pertinenti alle onde con momento nullo mediante una trasformazione 407 Volumetto 4: 24 aprile 1930 relativistica (rotazione nel piano tp ). Si trova in base alle note leggi di trasformazione degli spinori:   s p 2  1 + 1 + (p/mc)  α·p/mc  up =  ∓ r ³ ´  u0 , (4.249)  p 2 2 2 1 + 1 + (p/mc) il segno superiore valendo per le onde positive, quello inferiore per le onde negative. Le funzioni di spin cosı̀ ottenute sono normalizzate nel senso invariante: ³ ´2 ³ ´2 ³ ´2 ³ ´2 u†p up − u†p αx up − u†p αy up − u†p αz up = 1. (4.250) 0 Le funzioni di spin normalizzate nel modo ordinario (u0† p up = 1) saranno invece date da: u0p = = up (4.251) 1 + (p/mc)2 s Ãs ! p p 1 + 1 + (p/mc)2 −1 + 1 + (p/mc)2 α·p p p ∓ u0 . p 2 1 + (p/mc)2 2 1 + (p/mc)2 p 4 (4.252) 4.17 Operatori impropri Sia u(x, y, z) una funzione arbitraria di x, y, z che potremo sviluppare in componenti armoniche: Z u(γ1 , γ2 , γ3 ) = α(x, y, z) e2πi (γ1 x + γ2 y + γ3 z) dγ1 dγ2 dγ3 , (4.253) essendo Z α(γ1 , γ2 , γ3 ) = u(x, y, z) e−2πi (γ1 x + γ2 y + γ3 z) dx dy dz. 408 (4.254) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Chiameremo F r l’operatore che trasforma u in una funzione v: v(x, y, z) = F r u(x, y, z) (4.255) definita dallo sviluppo in integrale di Fourier: Z v(γ1 , γ2 , γ3 ) = λr α(x, y, z) e2πi (γ1 x + γ2 y + γ3 z) dγ1 dγ2 dγ3 , (4.256) essendo: 1 1 = p 2 γ γ1 + γ22 + γ32 λ = (4.257) la lunghezza d’onda di ogni componente armonica (γ1 , γ2 , γ3 ). Valgono evidentemente le proprietà F r F s = F s F r = F r+s , F 0 = 1. Salvo eventuali difficoltà di convergenza potremo porre Z v(x, y, z) = Kr (x, y, z; x0 , y 0 , z 0 ) u(x0 , y 0 , z 0 ) dx0 dy 0 dz 0 . (4.258) (4.259) Sostituendo nell’espressione (4.256) di v(x, y, z) il coefficiente a(γ1 , γ2 , γ3 ) mediante la sua espressione (4.254) troviamo: Z Z £ 0 0 0 ¤ v(x, y, z) = λr e2πi γ1 (x − x ) + γ2 (y − y ) + γ3 (z − z ) × u(x0 , y 0 , z 0 ) dγ1 dγ2 dγ3 dx0 dy 0 dz 0 , (4.260) da cui Z Kr (x, y, z, x0 , y 0 , z 0 ) = λr e2πi (γ1 ξ + γ2 η + γ3 ζ) dγ1 dγ2 dγ3 , (4.261) essendo ξ = x − x0 , η = y − y0 , ζ = z − z0. (4.262) Eseguendo l’integrale (4.261) dapprima su una sfera di raggio D = 1/λ = p γ12 + γ22 + γ32 e ponendo R = p ξ2 + η2 + ζ 2 = p (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 , 409 (4.263) Volumetto 4: 24 aprile 1930 troviamo Kr (x, y, z, x0 , y 0 , z 0 ) = Kr (R) Z ∞ Z ∞ (2πR)r−1 sin t 2 sin 2πsR ds = dt. (4.264) = r−1 2 r−1 R s πR t 0 0 Questa formola è utilizzabile per 1 ≤ r < 3; l’espressione valida per r = 1 si otterrà passando al limite da r = 1 + ² per ² → 0 o, ciò che è lo stesso, assumendo il valor medio dell’integrale a secondo membro quando il limite superiore si lascia indeterminato. Troviamo cosı̀: K1 = 1/πR2 (4.265) K2 = π/R (4.266) cioè Z F 1 u(x, y, z) = (1/πR2 ) u(x0 , y 0 , z 0 ) dx0 dy 0 dz 0 (4.267) (π/R) u(x0 , y 0 , z 0 ) dx0 dy 0 dz 0 . (4.268) Z F 2 u(x, y, z) = Applicando l’operatore Laplaciano ai due membri della (4.268), troviamo ∆ F 2 = − 4π 2 (4.269) da cui, essendo F 2 invertibile, ∆ = − 4π 2 F −2 ; (4.270) relazione √ che segue immediatamente dalla (4.256). Possiamo definire l’operatore ∆ ponendo: √ ∆ = 2πi F −1 , (4.271) che in virtù della (4.270) e della (4.260) potremo scrivere: √ ∆ = 2πi F 1 F −2 = Segue allora dalla (4.267) Z √ ∆ u(x, y, z) = 1 F1 ∆. 2πi 1 ∆ u(x0 , y 0 , z 0 ) dx0 dy 0 dz 0 . 2π 2 R2 i 410 (4.272) (4.273) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Inoltre da (4.271) ricaviamo: 1 1 √ = F 1, 2πi ∆ (4.274) 1 u(x0 , y 0 , z 0 ) dx0 dy 0 dz 0 . 2π 2 R2 i (4.275) da cui: 1 √ u(x, y, z) = ∆ 4.18 Z Rappresentazione integrale delle autofunzioni dell’idrogeno Unità elettroniche (e = m = ~ = 1); χ(r) parte radiale delle autofunzioni moltiplicata per r; ` quanti azimutali, unità di energia 2Rh. Segue: µ ¶ 2 `(` + 1) χ00 + 2E + χ = 0. (4.276) − r r2 Poniamo χ = rl+1 u. (4.277) Segue per u l’equazione differenziale: u00 + 2 `+1 0 u + r µ 2E + 2 r ¶ u = 0 (4.278) che è del tipo di Laplace (vedi §4.11) con i seguenti valori delle costanti: δ0 = 0, δ1 = 2 (` + 1), ²0 = 2E, ²1 = 2. (4.279) Le costanti definite nella (4.189) e di cui si ha bisogno per la rappresentazione integrale di u sono, nel nostro caso (supponiamo E > 0): √ √ c1 = i 2E, c2 = −i 2E, (4.280) √ √ α1 = ` + 1 − i/ 2E, α2 = ` + 1 + i/ 2E. (4.281) 411 Volumetto 4: 24 aprile 1930 i 2E- i 2E I - i 2 E- - i 2E II Sostituendo nelle ultime formole (4.189), avremo, a meno di un fattore costante: √ √ Z ³ √ ´` − i/ 2E ³ √ ´` + i/ 2E t r u ∼ e t − i 2E t + i 2E dt, (4.282) C purché sia soddisfatta la condizione: √ √ # " Z ³ √ ´` + 1 − i/ 2E ³ √ ´` + 1 + i/ 2E d t r e t − i 2E t + i 2E dt C dt = 0. (4.283) Per r reale e positivo la condizione (4.283) è soddisfatta se gli estremi del campo di integrazione giacciono all’infinito nella direzione negativa dell’asse reale. Fissato il campo C √ di integrazione, dobbiamo ancora dare una definizione √ univoca di log(t − i 2E) e log(t + i 2E) per determinare la funzione integranda. √ Stabiliamo che √ sia la parte immaginaria del logaritmo, cosı̀ di (t − i 2E) come di (t + i 2e), minore o uguale di π. Avremo √ allora come linee di discontinuità due semirette passanti dai punti ±i 2E e parallele al semiasse reale negativo. Indichiamo con u1 l’integrale (4.282) esteso al cammino I (vedi figura); analogamente definiamo u2 e χ1 in relazione al campo II. Introduciamo una variabile di integrazione più conveniente ponendo t = √ i 2Et1 . Scrivendo nuovamente t in luogo di t1 avremo: √ √ Z √ i 2Etr l − i/ 2E l + i/ 2E dt. u = k e (4.284) (t − 1) (t + 1) I cammini di integrazione I e II risultano dalla figura. Il logaritmo di t − 1 e t + 1 si intende reale rispettivamente per t − 1 > 0 e t + 1 > 0, linee 412 Volumetto 4: 24 aprile 1930 -1 + i 1+i II I -1 +1 di discontinuità essendo rispettivamente le semirette 1 + ai e 1 − ai, con a > 0. 4.19 Deviazione di un raggio α dovuta a un nucleo pesante (meccanica classica) (Si veda il §4.9.) Sostituendo nella (4.135) mediante la (4.140), troviamo k k 1 1 = − 2 2 − 2 2 cos θ + sin θ. ρ v δ v δ δ (4.285) L’inviluppo delle iperboli (4.285) soddisfa alla (4.285) e all’equazione che si ottiene differenziando rispetto a δ; introducendo la distanza l di massimo avvicinamento [formola (4.146)], e badando che ivi W = M v 2 /2, e data l’espressione (4.126) di k avremo: k l = , v2 2 413 Volumetto 4: 24 aprile 1930 e la (4.285) diventa: 1 l l 1 = − 2 − cos θ + sin θ. ρ 2δ 2δ 2 δ (4.286) Differenziando rispetto a δ e uguagliando a 0 troviamo: l l + cos θ − sin θ = 0, δ δ (4.287) δ 1 + cos θ = . l sin θ (4.288) da cui 4.20 Diffusione dovuta a un centro a/r − b/r2 Una particella di massa 1 e velocità k attraversa un campo di potenziale 1 ³ r0 ´ 1 − , (4.289) r r repulsivo per r > 2r0 , attrattivo per r < 2r0 . Si domanda la sezione d’urto per la diffusione sotto un angolo θ. Nella meccanica classica le equazioni del movimento in coordinate polari saranno: r2 θ̇ = r̈ − r θ̇2 = c µ ¶ 1 2r0 1 2r0 − = 1 − . r2 r3 r2 r (4.290) (4.291) Avremo r̈ = 2 = r θ̇ da cui c2 d2 1 , r2 dθ2 r 2 3 c /r , − d2 1 1 1 + + 2 dθ2 r r c µ 414 1 − 2r0 r (4.292) (4.293) ¶ = 0, (4.294) Volumetto 4: 24 aprile 1930 cioè d2 1 + dθ2 r µ 1 − 2r0 c2 ¶ 1 1 + 2 = 0. r c (4.295) Segue: 1 1 = − 2 2 + A cos γθ + B sin γθ r c γ con |c| > √ 2r0 , (4.296) r 2r0 , c2 √ √ purché sia c < 2r0 . Altrimenti, se c < 2r0 : γ = 1 − 1 1 = 2 2 + C e²θ + D e−²θ , r c ² essendo r ² = Infine, se c = √ con |c| < (4.297) √ 2r0 2r0 − 1. c2 (4.298) (4.299) 2r0 : 1 2 1 = − θ + f θ + G. r 4r0 (4.300) Poniamo: z = r cos θ , ξ = r sin θ e supponiamo che le particelle provengano dall’infinito negativo dell’asse z a una distanza δ dall’asse stesso e con velocità k; supponiamo quindi che la retta ξ = δ sia un asintoto della traiettoria (supporremo, ovvero δ positivo). Sarà evidentemente c = −kδ. Dovrà essere inoltre per θ = π: ṙ = ∞ ; ṙ = dr d 1 d 1 θ̇ = − r2 θ̇ = −c = − k, dθ dθ r dθ r (4.301) cioè, d 1 1 = − , dθ r δ Segue di qua, secondo il valore di δ: √ 2r0 : (1) δ > k 1 r = γ = θ = π. −1 cos γ(π − θ) sin γ(π − θ) + 2 2 + k2 δ 2 − 2r0 k δ − 2r0 δγ r 2r0 1 − 2 2 k δ 415 (4.302) (4.303) (4.304) Volumetto 4: 24 aprile 1930 √ (2) δ = √ (3) δ < 2r0 : k 1 1 1 = − (π − θ)2 + (π − θ) r 4r0 δ (4.305) 2r0 : k 1 r = ² = −1 cosh ²(π − θ) sinh ²(π − θ) − + 2r0 − k2 δ 2 2r0 − k2 δ 2 δ² r 2r0 − 1. k2 δ2 (4.306) (4.307) La particella verrà diffusa nella direzione θ del secondo asintoto: µ ¶ 2 2 1 1 2 (1) θ = π − arctan γk δ = arctan 2 − π −1 . γ γ γk δ γ 4r0 . (2) θ = π − 2k2 δ = π − δ 4.21 Il sistema di funzioni ortogonali definito da ya00 = (x − a)ya Ponendo: ξ = x − a; y 00 (ξ) = ξy, le soluzioni secolari di ya00 = (x − a) ya (4.308) potranno mettersi nella forma: ya (x) = y(x − a) = y(ξ) (4.309) ya (ξ + a) = y(ξ), (4.310) cioè: cosicché la determinazione di tutte le soluzioni regolari di (4.308), corrispondenti a tutti gli autovalori di a, si riduce alla determinazione dell’unica soluzione regolare di y 00 (ξ) = ξ y(ξ). (4.311) 416 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Se vogliamo che le ya siano normalizzate rispetto a da dovrà essere: Z a+∆ Z ∞ ya∗ (x) dx ya (x) da = 1, (4.312) −∞ cioè, per le (4.309): Z +∞ a−∆ Z ∆ y ∗ (ξ) dξ y(ξ + ²) d² = 1. (4.313) −∆ −∞ Poiché y tende a 0 esponenzialmente per ξ → ∞, il grosso dell’integrale per ∆ → 0 proverrà dai grandi valori negativi di ξ. L’espressione asintotica per ξ → ∞ di y sarà della forma: ¶ µ A 2 3/2 (−ξ) + α . ξ → −∞ : y ∼ √ sin (4.314) 4 3 −ξ Per (² piccolo) e ξ → −∞ avremo: (− ξ − ²)3/2 ∼ (− ξ )3/2 − 3 ² (− ²)1/2 + . . . , 2 e quindi: ξ → −∞ : e cosı̀: Z A y(−ξ + ²) ∼ √ sin 4 −ξ · µ (4.315) ¶ 2 3/2 1/2 (−ξ) − ² (− ξ) + α 3 (4.316) µ ¶ 2 3/2 1/2 y(ξ + ²) d² ∼ (− ξ) cos (−ξ) − ∆ (− ξ) + α 3 −∆ µ ¶¸ 2 (4.317) − cos (−ξ)3/2 + ∆ (− ξ)1/2 + α . 3 ∆ −3/4 Poniamo: − ξ = ζ2, Avremo, per ξ → −∞: Z y ∼ y(ξ + ²) d² ∼ ∆ −∆ dξ = − 2 ζ dζ. µ ¶ A 2 3 √ sin ζ + α , 3 ζ · µ ¶ 1 2 3 cos ζ − ∆ ζ + α ζ 3/2 3 µ ¶¸ 2 3 − cos ζ + ∆ζ + α . 3 417 (4.318) (4.319) (4.320) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Da questo segue facilmente, per ∆ → 0: Z ∞ Z ∆ y ∗ (ξ) dξ y(ξ + ²) d² = π A∗ A. −∞ (4.321) −∆ Per avere la soluzione normalizzata secondo la (4.312) possiamo quindi assumere: √ (4.322) A = 1/ π. Applicando la trasformazione di Laplace a (4.311) otteniamo facilmente per ξ la rappresentazione integrale: i y = 2π Z ∞ eiφ2 ∞ eiφ1 3 e−t /3 etξ dt, (4.323) π 5 7 3 < φ1 < π, π < φ2 < π. (4.324) 2 6 6 2 Specializzando il cammino di integrazione in (4.323), si possono avere rappresentazioni adatte per il calcolo di y e y 0 nel punto zero (I); o dello sviluppo asintotico per ξ → ∞ (II); o dello sviluppo asintotico per ξ → −∞ (III) 37 : Z ∞ 3 1 (I) y = e−p /3 − pξ/2 π 0 √ √ µ√ ¶ 3 3 3 1 × cos pξ − sin pξ dp. 2 2 2 2 µ ¶ √ Z ξ −2ξ 3/2 /3 ∞ −p2 ξ 3/2 1 3 3/2 e e cos p ξ dξ. (II) y = 2π 3 −∞ √ Z ∞ ¡ 2 ¢ 3 3/2 −2ξ e− 2p + 2p /3 (−ξ) (III) y = π −1 ·µ ¶ ¸ 2 2 3 π 3/2 × sin + p (− ξ) + dp. 3 3 4 37 Nel manoscritto originale questo paragrafo è incompleto. Esso si conclude con la seguente frase: “Per ξ prossimo a zero, sviluppiamo Ã √in I la funzione integranda 3 1 3 secondo le potenze ascendenti di ξ; avremo: e− 3 p ......” 2 418 Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.22 Sviluppi in integrali di Fourier (1) Z 1 = r 1 2πi γ·r e dγ πγ 2 (4.325) con dγ = dγ1 dγ2 dγ3 . (2) eikr r = e−ikr r = µ ¶2 !#−1 Z " Ã k + ²i 2 π γ − 2π ¶2 !#−1 µ Z " Ã k − ²i 2 π γ − 2π e2πi γ·r dγ (4.326) e2πi γ·r dγ (4.327) (con ² > 0, ² → 0). Segue: Z sin kr 8π k ² = e2πi γ·r dγ r (4π 2 γ 2 − k2 + ²2 )2 + 4k2 ²2 (con ² > 0, ² → 0), cioè: µ ¶ Z sin kr k 1 = δ |γ| − e2πi γ·r dγ r 2γ 2π µ ¶ Z k k = δ |γ| − e2πi γ·r dγ. 4πγ 2π (3) 1 = r2 Z π 2πi γ·r e dγ γ (4.328) (4.329) (4.330) (si deduce da (4.325) invertendo l’integrale di Fourier). (4) ½ F = Z <F >= 0, 1/r, per r < R, per r > R, (4.331) cos 2πγR 2πi γ·r e dγ. πγ 2 (4.332) 419 Volumetto 4: 24 aprile 1930 (5) ½ F = Z <F >= 1, 0, per r < R, per r > R, (4.333) (1/2π 2 γ 3 )(sin 2πγR − 2πγR cos 2πγR) e2πi γ·r dγ. (4.334) (6) F = e−αr 2 = Z ³ ´3/2 2 2 π e−π γ /α e2πi γ·r dγ. α (7) Z 8πk e2πi γ·r dγ. (k2 + 4π 2 γ 2 ) e−kr = (4.335) (4.336) (8) Sia Z f (q) = Z f 0 (q) = φ(γ) e2πi γ·q dγ, (4.337) U(|γ|) φ(γ) e2πi γ·q dγ, (4.338) p con q12 + q22 + q32 , Γ = p q = (q1 , q2 .q3 ), γ = (γ1 , γ2 .γ3 ), Q = 2 2 2 γ1 + γ2 + γ3 , allora è: Z f 0 (q) = U(Γ) φ(γ) e2πi γ·r dγ Z Z 0 = U(Γ) e2πi γ·q f (q 0 ) e−2πi γ ·q dγ dq 0 Z Z 0 = f (q 0 ) dq 0 U(Γ) e−2πi γ ·(q −q) dγ. (4.339) e se Z U(Γ) = Z Y (q) = risulta: Y (q) e2πi q·γ dq, (4.340) U(Γ) e−2πi γ ·q dγ, (4.341) Z f 0 (q) = Y (q 0 − q) f (q 0 ) dq 0 . 420 (4.342) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Ponendo Y (q 0 − q) = y(|q0 − q|) (come è lecito), si ha infine: Z f 0 (q) = 4.23 y(|q − q0 |) f (q 0 ) dq 0 . (4.343) Integrali circolari I seguenti integrali si estendono da 0 a 2π Z 2π Z 0 Z 0 Z 0 2π 2π dφ 2π = √ , [a > |b| > 0] a + b cos φ a2 − b 2 dφ 2π = √ , [a > b > 0] a2 − b2 cos2 φ a a2 − b 2 dφ 2π = , [a , b > 0] ab a2 cos2 φ + b2 sin2 φ (4.344) (4.345) (4.346) 2π dφ 2π = n 2 − b2 )n/2 (a + b cos φ) (a 0 √ n−1 X µ n − 1 ¶ µ −n ¶ µ −a + a2 − b2 ¶r √ × , (4.347) r r 2 a2 − b 2 r=0 con a > |b| > 0. Esempi: Z Z 2π 0 2π 0 dφ 2π = √ , a + b cos φ a2 − b 2 √ µ ¶ dφ 2π a − a2 − b 2 √ = 1 + (a + b cos φ)2 a2 − b 2 a2 − b 2 2πa . (4.348) = (a2 − b2 )3/2 421 Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.24 Frequenze d’oscillazione dell’ammoniaca I tre atomi H occupano i vertici di un triangolo equilatero; l’atomo N è sull’asse fuori del piano. Gli spostamenti linearmente indipendenti che danno origine a forze elastiche di richiamo sono sei e si ottengono dai dodici spostamenti dei quattro atomi con la condizione che la risultante dei vettori applicati in δPi nei punti di riposo Pi0 sia nulla. Definiamo lo spostamento q1 = 1, q2 = q3 = . . . = q6 = 0 come quello in cui l’atomo H 1 si sposta nella direzione N H 1 di MN /(MN + MH ) e l’atomo N nella direzione opposta di una lunghezza MH /(MN + MH ). Analogamente, definiamo gli spostamenti qi = δi2 e qi = δi3 . Definiamo poi come spostamento qi = δi4 quello in cui l’atomo H 3 si sposta di 1/2 nella direzione H 2 H 3 e l’atomo H 2 di 1/2 nella direzione opposta; per permutazione circolare definiamo infine gli spostamenti qi = δi5 e qi = δi6 . Indichiamo con α l’angolo (nella posizione di equilibrio) N\ H 1 H 2 e con 1 2 \ β l’angolo H N H . Se D è la distanza di equilibrio N H e d la distanza H 1 H 2 , sarà: ¶ µ d2 1 d d , cos β = 1 − sin β = . (4.349) cos α = 2D 2D2 2 2D L’energia cinetica è espressa da: · 2 ¡ 2 MH MN 1 T = q̇1 + q̇22 + q̇32 + 2q̇1 q̇2 cos β + 2q̇2 q̇3 cos β 2 2 (MN + MH ) 2 ¡ 2 ¢ MN MH + 2q̇3 q̇1 cos β) + q̇1 + q̇22 + q̇32 (MN + MH )2 MN MH cos α + (q̇1 q̇5 + q̇1 q̇6 + q̇2 q̇6 + q̇2 q̇4 + q̇3 q̇4 + q̇3 q̇5 ) MN + MH 2 µ ¶¸ 1 1 1 1 + MH q̇4 + q̇5 + q̇6 + q̇4 q̇5 + q̇5 q̇6 + q̇6 q̇4 . (4.350) 2 2 2 2 Assumiamo per semplicità MH = 1 e MN = 14; allora ponendo: T = 1 X bik q̇1 q̇k , 2 i,k 422 (bik = bki ), (4.351) Volumetto 4: 24 aprile 1930 avremo: b11 = b22 = b33 = 14/15 (4.352) b44 = b55 = b66 = 1/2 (4.353) b12 = b23 = b31 = b21 = b32 = b23 = 14/225 cos β (4.354) b45 = b56 = b64 = b54 = b65 = b46 = 1/8 (4.355) b14 = b25 = b36 = b41 = b52 = b63 = 0 (4.356) b15 = b26 = b34 = b16 = b24 = b35 = b51 = b62 = b43 = b61 = b42 = b53 = 7/15 cos α. (4.357) La coincidenza di molti elementi della matrice hik è dovuta ad ovvie ragioni di simmetria; basta quindi conoscere sei elementi tipici: b11 = B1 = 14/15, b45 = B4 = 1/8, b44 = B2 = 1/2, b14 = B5 = 0, b12 = B3 = 14/225 cos β b15 = B6 = 7/15 cos α. Analogamente, la matrice che definisce l’energia potenziale 1 X V = aik q1 qk 2 (4.358) ik dipenderà da sei elementi tipici: a11 = A1 , a44 = A2 , a12 = A3 a45 = A4 , a14 = A5 , a15 = A6 . Eseguiamo la trasformazione: r 1 q1 = Q1 3 r 1 Q1 q2 = 3 r 1 q3 = Q1 3 r 1 q4 = Q2 3 r 1 q5 = Q2 3 r 1 q6 = Q2 3 r + r − r − r + r − r − 423 2 Q3 3 1 Q3 + 6 1 Q3 − 6 2 Q4 3 1 Q4 + 6 1 Q4 − 6 (4.359) (4.360) r r 1 0 Q3 2 (4.361) 1 0 Q3 2 (4.362) (4.363) r r 1 0 Q4 2 (4.364) 1 0 Q4 . 2 (4.365) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Avremo allora: q12 + q22 + q32 = Q21 + Q23 + Q02 3 (4.366) q42 (4.367) + q52 + q62 = Q22 q1 q2 + q2 q3 + q3 q1 q4 q5 + q5 q6 + q6 q4 q1 q4 + q2 q5 + q3 q6 + Q24 + Q02 4 1 1 = − Q23 − Q02 3 2 2 1 1 = Q22 − Q24 − Q02 4 2 2 = Q1 Q2 + Q3 Q4 + Q03 Q04 Q21 (4.368) (4.369) (4.370) q1 q5 + q2 q6 + q3 q4 + q1 q6 + q2 q4 + q3 q5 = 2Q1 Q2 − Q3 Q4 − Q03 Q04 . (4.371) L’espressione dell’energia cinetica nelle nuove coordinate sarà data quindi da: ³ ´ ³ ´ 2T = B1 Q̇21 + Q̇23 + Q̇02 + B2 Q̇21 + Q̇24 + Q̇02 3 4 ¶ µ ¶ µ 1 02 1 2 1 02 1 2 2 2 + 2B3 Q̇1 − Q̇3 − Q̇3 + 2B4 Q̇2 − Q̇4 − Q̇4 2 2 2 2 ´ ³ 0 0 + 2B5 Q̇1 Q̇2 + Q̇3 Q̇4 + Q̇3 Q̇4 ³ ´ + 2B6 2Q̇1 Q̇2 − Q̇3 Q̇4 − Q̇03 Q̇04 = (B1 + 2B3 ) Q̇21 + 2 (B5 + 2B6 ) Q̇1 Q̇2 + (B2 + 2B4 ) Q̇22 + (B1 − B3 ) Q̇23 + 2 (B5 − B6 ) Q̇3 Q̇4 + (B2 − B4 ) Q̇24 + 0 0 02 (B1 − B3 ) Q̇02 3 + 2 (B5 − B6 ) Q̇3 Q̇4 + (B2 − B4 ) Q̇4 . (4.372) Analogamente: 2V = (A1 + 2A3 ) Q21 + 2 (A5 + 2A6 ) Q1 Q2 + (A2 + 2A4 ) Q22 + (A1 − A3 ) Q23 + 2 (A5 − A6 ) Q3 Q4 + (A2 − A4 ) Q24 + 0 0 02 (A1 − A3 ) Q02 3 + 2 (A5 − A6 ) Q3 Q4 + (A2 − A4 ) Q4 . (4.373) Avremo quindi due vibrazioni semplici che riguardano le coordinate Q1 e Q2 e due vibrazioni doppie che coinvolgono le coordinate Q3 e Q4 , oppure Q03 e Q04 . I quadrati delle velocità angolari: λ = 4π 2 ν 2 424 (4.374) Volumetto 4: 24 aprile 1930 delle vibrazioni semplici si otterranno dall’equazione secolare: µ ¶ A1 + 2A3 − λ(B1 + 2B3 ) A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6 ) det = 0, A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6 ) A2 + 2A4 − λ(B2 + 2B4 ) (4.375) mentre le grandezze corrispondenti relative alle vibrazioni degeneri risultano da: µ ¶ A1 − A3 − λ(B1 − B3 ) A5 − A6 − λ(B5 − B6 ) det = 0. (4.376) A5 − A6 − λ(B5 − B6 ) A2 − A4 − λ(B2 − B4 ) 4.25 Funzioni sferiche con spin (s = 1) Sono funzioni di θ e φ a tre componenti che si trasformano secondo D1 e appartengono a determinati valori di j, l, m; il momento angolare totale j può assumere i valori 0, 1, 2, . . .; il momento orbitale l può avere i valori j − 1, j, j + 1. Solo per j = 0 la variabilità di l è limitata all’unico valore l = 1. Si può porre: Ãs (j + m)(j + m − 1) m−1 m ϕj,j−1 = ϕj−1 , 2j(2j − 1) s (j + m)(j − m) m ϕj−1 , j(2j − 1) s ! (j − m)(j − m − 1) m+1 ϕj−1 , 2j(2j − 1) Ãs ϕm j,j = (j + m)(j − m + 1) m−1 ϕj , 2j(2j + 1) m −p ϕm j , j(j + 1) s ! (j + m + 1)(j − m) m+1 − ϕj , 2j(2j + 1) 425 (4.377) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Ãs ϕm j,j+1 = (j − m + 1)(j − m + 2) m−1 ϕj+1 , 2(j + 1)(2j + 3) s (j + m + 1)(j − m + 1) m − ϕj+1 , (j + 1)(2j + 3) s ! (j + m + 1)(j + m + 2) m+1 ϕj+1 . 2(j + 1)(2j + 3) Le funzioni cosı̀ ottenute sono normalizzate e danno luogo alle rappresentazioni ordinarie dei momenti angolari. Le ϕm l sono qui le ordinarie funzioni sferiche normalizzate: s ¡ 2 ¢l l−m cos θ − 1 1 (2l + 1)(l + m)! m −m d ϕl = l (sin θ) eimφ . 2 l! 4π(l − m)! (d cos θ)l−m (4.378) Fra le funzioni sferiche con spin ϕm appartenenti a determinati valori j,l di j e m e a l = j − 1, j, j + 1 passano relazioni di frequente uso. Consideriamo ad esempio l’operatore: sr = = x y z sx + sy + sz r r r 1 x + iy z 1 x − iy (sx + isy ) + (sx − isy ) + sz , 2 r 2 r r essendo al solito  0√ sx =  1/ 2 0 √ 1/ 2 0√ 1/ 2  0√ 1/ 2  , 0  sy  sz 1 =  0 0 0 0 0 0 √ =  i/ 2 0 √ −i/ 2 0 √ i/ 2 (4.379)  0√ −i/ 2  , 0  0 0 . −1 (4.380) Questo operatore è evidentemente scalare e quindi commutabile con j e m. Si verificano le seguenti relazioni: r j+1 m sr ϕm = ϕj,j j,j−1 2j + 1 426 Volumetto 4: 24 aprile 1930 r sr ϕm j,j = r sr ϕm j,j+1 = j+1 m ϕj,j−1 + 2j + 1 r j ϕm j,j+1 2j + 1 (4.381) j ϕm j,j . 2j + 1 Gli autovalori di sr , cioè gli autovalori di matrici della forma: r   j+1 0 0   2j + 1 r   r   j+1 j   0  2j + 1 r 2j + 1      j 0 0 2j + 1 (4.382) sono naturalmente ±1, 0, come quelli della componente dello spin in una direzione fissa. Per j = 0 l’unico stato rotazionale permesso (j = 1) corrisponde a sr = 0. Consideriamo ora funzioni a tre valori di θ, φ e r e introduciamo l’operatore µ ¶ µ ¶ 1 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ s·grad = (sx + isy ) −i + (sx − isy ) +i i 2i ∂x ∂y 2i ∂x ∂y 1 ∂ + sz . (4.383) i ∂z Ponendo, per brevità, px = 1 ∂ , i ∂x py = 1 ∂ , i ∂y pz = 1 ∂ , i ∂z avremo (1/i)s·grad = s·p. Notando che ³x y z ´ px + py + pz ϕm j,l = 0, r r r (4.384) sarà: · (s·p) ϕm j,l = = ¸ x2 + y 2 + z 2 1 ³x y z ´ m (s·p) − p + p + p s x y z r ϕj,l r2 r r r r ³y 1 h³ x y ´ x ´ sy − sx (xpy − ypx ) + sz − sy (ypz − zpy ) r r³ r r i r z x ´ m + sx − sz (zpx − xpz ) ϕj,l , r r 427 Volumetto 4: 24 aprile 1930 (s·p) ϕm j,l ³y 1 h³ x y ´ x ´ sy − sx lz + sz − sy lx r r³ r r r z x ´ i + sx − sz ly ϕm , j,l r r = (4.385) che si può anche scrivere ½ · ¸ 1 1 x + iy 1 x − iy s (s·p) ϕm = (l − il ) − (l + il ) z x y x y j,l ir 2 r 2 r · ¸ 1 x − iy z (4.386) + (sx + isy ) lz − (lx − ily ) 2 r r · ¸¾ 1 x + iy z + (sx − isy ) (lx + ily ) − lz ϕm j,l , 2 r r forma più conveniente per il calcolo: lx , ly , lz sono le componenti del momento angolare orbitale in unità h/2π. Si trova cosı̀: r i j+i m 1 (s·grad ) ϕm = (j − 1) ϕj,j , j,j−1 i r 2j + 1 1 (s·grad ) ϕm j,j i = − i (j + 1) r i + j r 1 (s·grad ) ϕm j,j+1 i = − r r j+i m ϕj,j−1 2j + 1 (4.387) j ϕm j,j+1 , 2j + 1 i (j + 2) r r j ϕm j,j . 2j + 1 Le formole (4.381) e (4.387) si possono generalizzare applicando gli operatori sr e (1/i)s·grad a funzioni del tipo f (r)ϕm j,l , poiché si ha evidentemente: sr f (r) ϕm j,l = 1 (s·grad ) f (r) ϕm j,l i = f (r) sr ϕm j,l , 1 1 0 (s·grad ) ϕm f (r) sr ϕm j,l + j,l . i i (4.388) Passiamo a una applicazione delle funzioni sferiche con spin. Noi vogliamo trovare le autofunzioni definite dalla equazione differenziale f (r) 1 (s·grad ) ψ + k ψ = 0. i 428 (4.389) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Se poniamo ψ1 = ψ2 = ψ3 = −ψx + iψy √ , 2 ψz , ψx + iψy √ , 2 ψx = ψy = ψz = ψ3 − ψ1 √ , 2 ψ1 + ψ3 √ , 2 ψ2 , (4.390) e riguardiamo ψx , ψy , ψz come componenti di ψ; si ha 1 (s·grad ) ≡ rot , i (4.391) e la (4.389) si scrive semplicemente: rot ψ + k ψ = 0. (4.392) Le soluzioni di (4.392) sono di due tipi: per k 6= 0 si ha div ψ = 0, per k = 0 rot ψ = 0 e quindi ψ = grad Φ, essendo Φ completamente arbitrario. Nel primo caso, badando che: rot rot = grad (div) − ∆ , (4.393) ∆ ψ + k2 ψ = 0, (4.394) sarà con la condizione aggiunta div ψ = 0. Le soluzioni di (4.394) ortogonali alle soluzioni precedenti si pongono nella forma ψk = grad Φk , essendo ∆ Φk + k2 Φk = 0, (4.395) e tutte insieme soddisfano alla (4.392) corrispondentemente all’unico autovalore k = 0. [Considerando soluzioni di (4.394) relative a un determinato k 6= 0, si ha infatti (grad (div))2 = k2 grad (div), cosicché gli autovalori di grad (div) possono essere k2 e 0; nel secondo caso sarà (rot)2 = k2 e quindi rot = ±k, abbiamo cioè soluzioni di (4.392) per k 6= 0 e quindi sarà divψ = 0. Nel primo caso sarà (rot)2 = 0 e quindi rot ψk = 0, e cosı̀ ψk = grad Φk .] Ritorniamo ora alla rappresentazione originaria delle componenti di ψ e riprendiamo la (4.389) supponendo k diverso da zero. Da quanto si è 429 Volumetto 4: 24 aprile 1930 detto nella precedente digressione risulta che dovrà essere div ψ = 0, cioè nella nostra rappresentazione: µ ¶ µ ¶ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ −√ +i ψ1 + ψ2 + √ −i ψ3 = 0. (4.396) ∂y ∂z ∂y 2 ∂x 2 ∂x Una soluzione di (4.389) appartenente a dati valori di j e m potrà porsi nella forma u m v w m ψ = ϕj,j−1 + i ϕm ϕj,j+1 . (4.397) j,j + r r r A causa di (4.394), possiamo prevedere che u, v, w sono, a meno del √ fattore comune r e a meno di fattori costanti, funzioni di Bessel o di Hankel di ordine rispettivamente j − 1/2, j + 1/2, j + 3/2. In realtà sostituendo mediante (4.397) in (4.389) e tenendo conto di (4.388), (4.387), e (4.381), troviamo:38 r µ ¶ j j+1 v0 + v = 0 ku + 2j + 1 r r r µ ¶ µ ¶ j+1 j j j+1 kv − u0 − u − w0 + w = 0 (4.398) 2j + 1 r 2j + 1 r r µ ¶ j + 1 j kw + v0 − v = 0. 2j + 1 r Da questo segue, per k 6= 0 (combinando la prima e la terza delle (4.398) e le loro derivate) µ µ ¶ ¶ p p j j+1 j u0 − u − j + 1 w 0 + (4.399) w = 0, r r che è una traduzione nel nostro caso particolare della (4.396). Dati i valori iniziali di u e v, ad esempio, restano determinate algebricamente da (4.398) e (4.399) w, u0 , v 0 , w0 , cosicché il sistema (4.398) ammette due sole soluzioni, indipendenti. Possiamo eliminare w0 + (w/r)(j+1) mediante la (4.399). Troviamo r µ ¶ j+1 j ku + v0 + v = 0 2j + 1 r (4.400) r µ ¶ 2j + 1 j 0 kv − u + u = 0. j+1 r 38∗ Per j = 0, u e v non esistono e si ha semplicemente kw = 0 o, per k 6= 0, w = 0. 430 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Eliminando finalmente u, abbiamo: µ ¶ j(j + 1) v 00 + k2 − v = 0. (4.401) r2 √ Unica soluzione regolare di (4.401) è r Jj+1/2 (|k|r); sostituendo nella prima e nell’ultima delle (4.398), otteniamo immediatamente u e w. Basta ricordare le relazioni: n In0 (x) + In (x) = In−1 (x) x (4.402) n In0 (x) − In (x) = − In+1 (x), x √ o, ponendo F = x I, µ ¶ 1 Fn (x) Fn0 (x) + n − = Fn−1 (x) 2 x (4.403) µ ¶ 1 Fn (x) 0 Fn (x) − n + = − Fn+1 (x). 2 x Segue che l’unica soluzione regolare per r = 0 del sistema (4.398) è data, a meno di un fattore costante, da r j+1 √ k u = − r Ij−1/2 (|k|r) · 2j + 1 |k| √ v = r Ij+1/2 (|k|r) (4.404) r √ k j w = r Ij+3/2 (|k|r) · . 2j + 1 |k| Due soluzioni singolari indipendenti delle (4.398) si otterranno naturalmente sostituendo alle funzioni di Bessel le funzioni di Hankel di prima e di seconda specie r j+1 √ k 1,2 u1,2 = − r Hj−1/2 (|k|r) · 2j + 1 |k| √ 1,2 v 1,2 = r Hj+1/2 (|k|r) (4.405) r √ j k 1,2 w1,2 = r Hj+3/2 (|k|r) · . 2j + 1 |k| 431 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Consideriamo il caso più semplice: j = 1 (per j = 0 non esistono soluzioni di (4.389) con k 6= 0). Nell’espressione (4.397) di ψ entrano le m m ϕm 1,0 , ϕ1,1 e ϕ1,2 , e le funzioni di Bessel e di Hankel di ordine 1/2, 3/2, 5/2. Raccogliamo qui le espressioni esplicite di tali funzioni: r 1 1 ϕ1,0 = (1 , 0 , 0) (4.406) 4π r 1 ϕ01,0 = (0 , 1 , 0) (4.407) 4π r 1 ϕ−1 = (0 , 0 , 1) (4.408) 1,0 4π ! Ãr r r 1 3 3 ϕ11,1 = cos θ , sin θ eiφ , 0 (4.409) 4π 2 4 ! Ãr r r 1 3 3 −iφ iφ 0 ϕ1,1 = sin θ e , 0, sin θ e (4.410) 4π 4 4 Ã ! r r r 1 3 3 −1 −iφ ϕ1,1 = sin θ e , − cos θ (4.411) 0, 4π 4 2 Ãr r r 1 9 1 3 1 2 ϕ1,2 = cos θ − , sin θ cos θ eiφ , 4π 8 8 2 ! r 9 2 2iφ sin θ e (4.412) 8 Ã r r r 3 1 9 1 0 −iφ 2 ϕ1,2 = sin θ cos θ e , − cos θ + , 4π 2 2 2 ¶ 3 − sin θ cos θ eiφ (4.413) 2 Ã r r 1 9 3 ϕ−1 = sin2 θ e−2iφ , − sin θ cos θ e−iφ , 1,2 4π 8 2 r r ! 9 1 cos2 θ − (4.414) 8 8 r 2 I1/2 (x) = (4.415) sin x πx 432 Volumetto 4: 24 aprile 1930 r I3/2 (x) = r I5/2 (x) = 1 H1/2 (x) = 1 H3/2 (x) = 1 (x) H5/2 = 2 (x) H1/2 = 2 H3/2 (x) = 2 H5/2 (x) = 2 πx 2 πx r µ − cos x + µ sin x x − sin x − 3 ¶ cos x sin x +3 2 x x (4.416) ¶ 2 ix e πx µ ¶ 2 ix i e −1 − πx x r µ ¶ 3 2 ix 3i e − 2 i− πx x x r 2 −ix i e , πx r µ ¶ 2 −ix i e −1 + πx x r µ ¶ 3 2 −ix 3i e −i − + 2 . πx x x −i r (4.417) (4.418) (4.419) (4.420) (4.421) (4.422) (4.423) Sostituiamo con queste in (4.397) trascurando un fattore costante; abbiamo per la soluzione regolare all’origine: soluzione regolare segno superiore per k > 0, inferiore per k < 0 ξ = |kr| 39 (a) m = 1: ψ1 = " r r 3 ¡ i 3 2 ¢ ∓ 1 + cos θ + cos θ 8 ξ 2 " r r µ ¶# 1 3 3 1 cos ξ 3 −i ± 2 cos2 θ − + cos θ ξ 2 2 2 r 2 r µ ¶# 1 1 3 3 2 cos θ − ∓ (4.424) ξ 2 2 2 sin ξ r 39 Nel manoscritto originale compare l’annotazione: “(sopprimere dovunque un r 3 per semplificare le formole).” fattore ± 8 433 Volumetto 4: 24 aprile 1930 ψ2 = ψ3 = " r r 3 i 3 sin θ cos θ eiφ + sin θ eiφ 4 ξ 4 # " r r 1 27 cos ξ 3 iφ ± 2 sin θ cos θ e + −i sin θ eiφ ξ 4 r 4 # r 1 27 iφ ∓ sin θ cos θ e (4.425) ξ 4 " r # r sin ξ 3 1 27 ∓ sin2 θ e2iφ ± 2 sin2 θ e2iφ r 8 ξ 8 # " r cos ξ 1 27 + sin2 θ e2iφ . (4.426) ∓ r ξ 8 sin ξ r ∓ (b) m = 0: ψ1 = ψ2 = ψ3 = " r r 3 i 3 sin θ cos θ e−iφ + sin θ e−iφ 4 ξ 4 # " r r 1 27 cos ξ 3 −iφ ± 2 sin θ cos θe + −i sin θ e−iφ ξ 4 r 4 # r 1 27 −iφ ∓ sin θ cos θ e (4.427) ξ 4 " r !# Ãr ¢ sin ξ 3 ¡ 1√ 3 1 ∓ 1 − cos2 θ ∓ 2 6 cos2 θ − r 2 ξ 2 2 · ¶¸ µ cos ξ 1√ 1 3 + ± 6 cos2 θ − (4.428) r ξ 2 2 " r r sin ξ 3 i 3 ± sin θ cos θ eiφ + sin θ eiφ r 4 ξ 4 # " r r 1 27 cos ξ 3 iφ ∓ 2 sin θ cos θe + −i sin θ eiφ ξ 4 r 4 # r 1 27 iφ ± sin θ cos θ e . (4.429) ξ 4 sin ξ r ∓ 434 Volumetto 4: 24 aprile 1930 (c) m = − 1: ψ1 = ψ2 = ψ3 = # r 3 1 27 2 −2iφ 2 −2iφ ∓ sin θ e ± 2 sin θ e 8 ξ 8 " # r cos ξ 1 27 + ∓ sin2 θ e−2iφ (4.430) r ξ 8 " r r sin ξ 3 i 3 ± sin θ cos θ e−iφ + sin θ e−iφ r 4 ξ 4 # " r r 1 27 cos ξ 3 −iφ ∓ 2 sin θ cos θe + sin θ eiφ −i ξ 4 r 4 # r 1 27 −iφ ± sin θ cos θ e ξ 4 " r r ¢ sin ξ 3 ¡ i 3 ∓ 1 + cos2 θ − cos θ r 8 ξ 2 "r r µ ¶# 1 3 3 1 cos ξ 3 2 ± 2 cos θ − + i cos θ ξ 2 2 2 r 2 r µ ¶# 1 3 3 1 2 ∓ cos θ − . (4.431) ξ 2 2 2 sin ξ r " r La funzione d’onda ψ definisce due campi di vettori reali nello spazio ordinario. Possiamo infatti passare mediante le (4.390) alle componenti di ψ secondo gli assi cartesiani x, y, z e porre ψ = A + i B, (4.432) essendo A e B vettori reali. Cioè: ψx = Ax + i B x (4.433) ψy = Ay + i B y (4.434) ψz = Az + i B z . (4.435) Sostituendo nelle espressioni p precedenti attraverso (4.390) troviamo a meno di un fattore costante (± 3/4): 435 Volumetto 4: 24 aprile 1930 ξ = |kr|; soluzione regolare segno superiore k > 0; segno inferiore k < 0 (a) m = 1: · ¸ sin ξ 1 ¡ 2 2 2 2 ¢ Ax = 1 − sin θ cos φ − 2 1 − 3 sin θ cos φ r ξ ¢ cos ξ ¡ 1 − 3 sin2 θ cos2 φ , + ξr µ 1 sin ξ − sin2 θ sin φ cos φ± cos θ Ay = r ξ µ ¶ ¶ 3 cos ξ 3 + 2 · sin2 θ sin φ cos φ + ∓ cos θ − · sin2 θ sin φ cos φ , ξ r ξ µ sin ξ 1 Az = − sin θ cos θ cos φ ∓ sin θ sin φ r ξ ¶ µ ¶ 3 3 cos ξ + 2 · sin θ cos θ cos φ + ± sin θ sin φ − · sin θ cos θ cos φ ; ξ r ξ µ sin ξ 1 2 Bx = − sin θ sin φ cos φ ∓ cos θ r ξ µ ¶ ¶ 3 3 cos ξ ± cos θ − · sin2 θ sin φ cos φ , + 2 · sin2 θ sin φ cos φ + ξ r ξ · ¸ ¡ ¢ sin ξ 1 By = 1 − sin2 θ sin2 φ − 2 1 − 3 sin2 θ sin2 φ r ξ cos ξ ¡ 2 2 ¢ 1 − 3 sin θ sin φ , + ξr µ sin ξ 1 Bz = − sin θ cos θ sin φ± sin θ cos φ r ξ ¶ µ ¶ 3 cos ξ 3 + 2 · sin θ cos θ sin φ + ∓ sin θ cos φ − · sin θ cos θ sin φ . ξ r ξ (b) m = 0 Una formola sulle funzioni sferiche ordinarie: µ ¶ ∂ ∂ f (r) ϕm −i l ∂x ∂y µ ¶s l+1 (l + m)(l + m − 1) m−1 0 = − f (r) + f (r) ϕl−1 r (2l + 1)(2l − 1) 436 Volumetto 4: 24 aprile 1930 ¶s l (l − m + 1)(l − m + 2) m−1 + f (r) − f (r) ϕl+1 , r (2l + 1)(2l + 3) µ ¶ ∂ ∂ +i f (r) ϕm l ∂x ∂y µ ¶s l+1 (l − m)(l − m − 1) m+1 0 = f (r) + f (r) ϕl−1 , r (2l + 1)(2l − 1) µ ¶s l (l + m + 1)(l + m + 2) m+1 0 − f (r) − f (r) ϕl+1 , r (2l + 1)(2l + 3) µ 0 ∂ f (r) ϕm l ∂z µ ¶s l+1 (l + m)(l − m) m 0 = f (r) + f (r) ϕl−1 r (2l + 1)(2l − 1) µ ¶s l (l + m + 1)(l − m + 1) m 0 + f (r) − f (r) ϕl+1 . r (2l + 1)(2l + 3) (4.436) Se u è una funzione a un valore, poniamo ψ = (ψ1 , ψ2 , ψ3 ) = grad u, se ¶ µ ∂u 1 ∂u − i ψ1 = − √ ∂y 2 ∂x ∂u ψ2 = (4.437) ∂z µ ¶ 1 ∂u ∂u . ψ3 = √ + i ∂y 2 ∂x Segue dalle formole precedenti e dalle (4.377): r µ ¶ l+1 l m f 0 (r) + grad f (r) ϕl = f (r) ϕm l,l−1 2l + 1 r r µ ¶ l+1 l − f 0 (r) f (r) ϕm l,l+1 2l + 1 r (continua nel §4.29). 437 (4.438) Volumetto 4: 24 aprile 1930 4.26 Diffusione di elettroni veloci (metodo di Born relativistico) Consideriamo l’equazione di Dirac senza campo: µ ¶ W + ρ1 σ·p + ρ3 mc ψ = 0 c (4.439) e risolviamo anzitutto il problema seguente: data una funzione a 4 valori P (q), che si annulla all’infinito, determinare una soluzione dell’equazione differenziale: µ ¶ W + ρ1 σ·p + ρ3 mc ψ = P (4.440) c (W = costante), con la condizione ai limiti che ψ rappresenti al’infinito un’onda divergente. Applichiamo ai due membri di (4.440) l’operatore W − ρ1 σ·p − ρ3 mc troviamo: c µ 2 ¶ µ ¶ W W 2 2 2 ψ = − ρ σ·p − ρ mc P. − m c − p (4.441) 1 3 c2 c Esplicitando l’operatore p e introducendo la costante 1 1p 2 2 W /c − m2 c2 = |p|, k = ~ ~ si ha: · µ ¶ ¸ 1 i W ∆ ψ + k2 ψ = − ρ mc + ρ σ·grad P. 3 1 ~2 c ~ (4.442) (4.443) Da questa segue, come è noto, che la soluzione di (4.443) soddisfacente alla detta condizione ai limiti ha la forma: µ ¶ ¸ Z ik|q−q0 | · 1 1 e W i ψ(q) = − − ρ mc + ρ σ·grad 3 1 4π |q − q0 | ~2 c ~ ×P (q 0 ) dq 0 , (4.444) che può essere semplificata mediante integrazione per parti; troviamo cosı̀, tenendo conto che grad è una variabile sulla variabile indipendente q 0 : µ ¶ ik|q−q0 | 0 eik|q−q | 1 e q − q0 grad ik − (4.445) = − , |q − q0 | |q − q0 | |q − q0 | |q − q0 | 438 Volumetto 4: 24 aprile 1930 la soluzione desiderata: r = |q − q 0 | ψ(q) = ¶ W − ρ3 mc c ¸ 1 k + i/r 0 − ρ1 σ·(q − q ) P (q 0 ) dq 0 . ~ r − 1 4π Z eikr r · 1 ~2 µ (4.446) Cambiando il segno di k si avrebbe la soluzione di (4.440) che all’infinito rappresenta un’onda convergente. Supponiamo ora che un’onda piana di elettroni incontri un campo di potenziale V (se questo deriva da un potenziale scalare sarà V = −eφ). L’equazione di Dirac si può scrivere µ ¶ V W + ρ1 σ·p + ρ3 mc ψ = ψ. (4.447) c c Questa equazione può essere risolta per successive approssimazioni mediante il metodo di Born, ponendo ψ = ψ0 + ψ1 + ψ2 + . . . , (4.448) dove ψ0 è l’onda piana imperturbata e ψ1 , ψ2 , . . . si calcolano successivamente risolvendo l’equazione differenziale µ ¶ W V (4.449) + ρ1 σ·p + ρ3 mc ψn = ψn−1 c c nel modo che si è detto. Limitiamoci alla prima approssimazione e sia ψ0 un’onda piana diretta secondo l’asse z: p ψ0 = u eikz , k = , (4.450) ~ dove u è una funzione di spin che supponiamo normalizzata. Vogliamo determinare ψ1 , a grande distanza R dal punto 0, in prossimità del quale si trova il campo diffondente, e nella direzione θ, φ. Indichiamo con t un vettore unitario diretto secondo z e con t1 un vettore unitario diretto secondo θ, φ. Avremo ψ0 (q 0 ) = u exp{ikq0 ·t} e, per R → ∞: |q − q0 | = R − q0 ·t1 , 439 (R → ∞). (4.451) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Sostituendo in (4.446) con ψ1 in luogo di ψ e (V /c) ψ0 in luogo di P , troviamo per R → ∞ · µ ¶ Z 0 eikR 1 W ψ1 (R; θ, φ) = − e−iq ·(kt1 −kt) − ρ mc 3 4πR ~2 c ¸ 0 1 V (q ) − k ρ1 σ·t1 u dq 0 . (4.452) ~ c Supponiamo per semplicità che nel campo diffondente sia diverso da zero solo il potenziale scalare φ. Allora V = −eφ e non contiene le variabili di spin. Possiamo cosı̀ scrivere uV (q 0 ) in luogo di V (q 0 )u e portare fuori da (4.452) la parte costante. Ricaviamo allora: Z 0 eikR ψ1 (R; θ, φ) = − e−iq ·(kt1 −kt) V (q 0 ) dq 0 4πR · µ ¸ ¶ 1 W 1 k × − ρ3 m − ρ1 σ·t1 u. (4.453) ~2 c2 ~ c Ora dobbiamo ricordare che u è la funzione di spin di un’onda piana con momento px = py = 0, pz = ~k. Cosicché avremo µ ¶ W + ~k ρ1 σz + ρ3 mc u = 0. (4.454) c Poniamo u = (a, b), essendo a e b rispettivamente la prima e la seconda coppia di valori di u. Allora la (4.454) si scrive: µ ¶ W + mc a + ~k σz b = 0, c (4.455) µ ¶ W − mc b + ~k σz a. = 0. c Dalla prima o dalla seconda ricaviamo: a = −~ k σz b, W/c + mc b = −~ Avremo inoltre: · µ ¶ ¸ 1 W 1 k − ρ m − ρ σ·t u 3 1 1 ~2 c2 ~ c 440 k σz a. W/c − mc (4.456) Volumetto 4: 24 aprile 1930 µ ¶ 1 k σ·t1 1 W + mc2 1 k σ·t1 1 W − mc2 a − b, b − a ~2 c2 ~ c ~2 c2 ~ c µ 2 2 1 W − mc + (W + mc )σ·t1 σz = 2 a, ~ c2 ¶ W + mc2 + (W − mc2 )σ·t1 σz (4.457) b ; c2 = e ponendo per semplicità σ·t1 = σR e a0 b 0 = W − mc2 + (W + mc2 )σR σz a, ~2 c2 = W + mc2 + (W − mc2 )σR σz b, ~2 c2 (4.458) sarà: · 1 ~2 µ W − ρ3 m c2 ¶ − ¸ ¡ ¢ 1 k ρ 1 σ R u = a0 , b 0 . ~ c (4.459) Avremo ancora, badando che σR σz + σz σR = 2 cos θ: 0† 0 a a = = "µ ¶2 W + mc2 c2 ¸ W 2 − m2 c4 +2 cos θ a† a c4 · ¸ 2m2 W2 (1 + cos θ) + (1 − cos θ) a† a. (4.460) ~4 m2 c4 1 ~4 W − mc2 c2 ¶2 µ + Analogamente: b0† b0 = 2m2 ~4 · ¸ W2 (1 + cos θ) + (1 − cos θ) b† b. m2 c4 (4.461) La sezione efficace per la diffusione entro l’unità di angolo nella direzione θ, φ è data da |ψ1 |2 S(θ, φ) = R2 , R → ∞. (4.462) |ψ0 |2 441 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Sostituendo in (4.453) troviamo: · ¸ m2 W2 S(θ, φ) = (1 + cos θ) + (1 − cos θ) 8π 2 ~4 m2 c4 ¯2 ¯Z ¯ ¯ · ¯¯ e−iq·(kt1 −kt) V (q) dq ¯¯ . (4.463) Questa formola assume nel caso non relativistico la forma elementare ben nota: ¯2 ¯Z ¯ p m2 ¯¯ −iq·(kt1 −kt) e V (q) dq ¯¯ , k = . (4.464) S(θ, φ) = 4π 2 ~4 ¯ ~ Torniamo alla (4.463) e supponiamo il campo coulombiano: Allora è notoriamente: Z e−ikq·(t1 −t) V (q) dq V = − Ze2 . r = − 4π Ze2 4π Ze2 = − 2 2 k · 4 sin2 θ/2 1 − t| = − π Ze2 . k2 sin2 (θ/2) (4.465) k2 |t (4.466) Introduciamo il momento dell’elettrone libero p = ~k e la velocità da v = c2 p, W W2 = con m2 c4 ; 1 − v 2 /c2 (4.467) ricaviamo infine: S(θ) = Z 2 e4 4p2 v 2 sin4 (θ/2) µ v2 2c2 − v 2 + cos θ 2c2 2c2 ¶ (4.468) da confrontare con l’espressione classica: Scl (θ) = Z 2 e4 . sin4 θ/2 4p2 v 2 (4.469) Cosı̀ per piccole deviazioni la diffusione relativistica è uguale a quella di un elettrone classico avente lo stesso valore di pv, ma per ampie deviazioni 442 Volumetto 4: 24 aprile 1930 è alquanto minore. Possiamo meglio confrontare le diffusioni classiche e relativistiche (queste ultime sono date dal metodo di Born solo in prima approssimazione) per elettroni di data energia. Indicando con E l’energia diminuita dell’energia di riposo: mc2 − mc2 , 1 − v 2 /c2 (4.470) mc2 , mc2 + E (4.471) E = W − mc2 = p e ponendo, per brevità s = p 1 − v 2 /c2 = avremo p v = E (1 + s) ; (4.472) con che la (4.468) diventa: S(θ) = Z 2 e4 2 16E sin4 θ/2 µ ¶ 2 + 2s2 2 − 2s2 + cos θ , (1 + s)2 (1 + s)2 (4.473) da confrontare con l’espressione classica (s = 1) Scl (θ) = 16E 2 Z 2 e4 . sin4 (θ/2) (4.474) A parità di energia la diffusione relativistica è dunque maggiore di quella classica per le piccole deviazioni e minore per le grandi deviazioni. Poiché: S 2 + 2s2 2 − 2s2 = + cos θ, (4.475) Scl (1 + s)2 (1 + s)2 la deviazione θ per cui la formola classica e relativistica coincidono è data da: 1−s cos θ0 = − , (4.476) 2(1 + s) cosı̀ θ0 = 90o per s → 1 e θ0 = 120o per s → 0. Diamo per alcuni valori di s il rapporto fra la diffusione relativistica e classica S(θ)/Scl (θ) calcolata per alcuni valori di θ: 443 Volumetto 4: 24 aprile 1930 θ θ θ θ θ θ θ 4.27 = 0o = 30o = 60o = 90o = 120o = 150o = 180o s=1 1 1 1 1 1 1 1 s = 1/2 1.78 1.69 1.44 1.11 0.78 0.53 0.44 s = 1/3 2.25 2.12 1.75 1.25 0.75 0.38 0.25 s=0 4.00 3.73 3.00 2.00 1.00 0.27 0.00 Grandezze atomiche di uso frequente (1) Oscillatori armonici. ν frequenza di oscillazioni in cm−1 , A/N massa della particella oscillante (N numero di Avogadro), a elongazione massima classica in un’orbita di quanto n: r r r n N~ n 6.7 a = = · 10−8 cm. (4.477) A πcν A ν Esempio: per la molecola di idrogeno, massa ridotta A = 1/2, ν ∼ √ 4400, segue a ∼ 0.175 n·10−8 (valida per valori di n assai piccoli) (2) Relazioni fra energie e lunghezze d’onda40 Energia di una particella α di lunghezza d’onda: λ0 = 10−12 cm: E0 = 300·N π 2 ~2 V = 2.05·106 V. 2λ20 ·e (4.478) Energia di un elettrone di lunghezza d’onda λ0 = 10−8 cm: E0 = 2π 2 ~2 ·300 V = 150 V. mλ20 ·e (4.479) 40 Si osservi che il valore numerico attualmente accettato (2.09·106 , 153 e 2.108·106 , rispettivamente) per le energie qui di seguito considerate differisce leggermente da quelli riportati dall’Autore. 444 Volumetto 4: 24 aprile 1930 (3) Relazioni fra velocità ed energia. Energia di una particella α di velocità v = 109 cm/s: E0 = 4.28 3.3·10−6 = 2.08·106 V. 1.59·10−12 (4.480) Stati quasi-stazionari In un sistema imperturbato esista uno stato finito ψ0 di energia E0 e uno spettro continuo ψW di energia E0 + W . Introduciamo una perturbazione che collega lo stato finito ψ0 e gli stati continui definita da: Z IW = ψ 0 Hp ψW dτ. (4.481) Per effetto della perturbazione lo stato finito ψ0 viene assorbito nello spet0 tro continuo. Si tratta di trovare le autofunzioni perturbate ψW . Se H è l’Hamiltoniana totale dovremo avere: Z H ψ 0 = E 0 ψ0 + I W ψW dW (4.482) H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0 0 0 H ψW = (E0 + W ) ψW . (4.483) 0 Il problema può essere risolto esattamente; le autofunzioni perturbate ψW , normalizzate rispetto a dW , come abbiamo supposto le ψW , sono: 0 ψW = 1 a ψ0 + p ψW |a|2 + |b|2 |a|2 + |b|2 Z ψW 0 1 IW 0 −p dW 0 , 0 −W 2 2 W |a| + |b| p l’integrale avendo il suo valore principale ed essendo inoltre ¶ µ Z dW 0 −1 ; b = π IW a = IW W + |IW 0 |2 W0 − W 445 (4.484) (4.485) Volumetto 4: 24 aprile 1930 L’integrale in a ha ancora il valore principale. Poniamo p Nw = |a|2 + |b|2 , con che la (4.484) diventa: µ ¶ Z 1 ψW 0 0 0 ψW = ψ0 − IW 0 dW + a ψ . W NW W0 − W 0 Possiamo sviluppare lo stato finito ψ0 secondo le ψW ; avremo Z 1 0 dW. ψW ψ0 = NW (4.486) (4.487) (4.488) Procediamo ormai a qualche approssimazione trascurando termini d’ordine maggiore del secondo in IW . Poiché i valori di W che interessano, cioè quelli che entrano in modo essenziale in (4.488), tendono a zero come I 2 , possiamo considerare come costanti nelle formole precedenti Z dW 0 IW = I, |IW 0 |2 = k. (4.489) W0 − W Ponendo ancora: W = ² − k, ² = W + k, (4.490) sarà in questa approssimazione: a = 0 ψW = p ² , I b = π I, 1 ²2 /|I|2 + π 2 |I|2 N = µ Z ψ0 − I Z ψ0 = p p 0 ψW 2 2 ² /|I| + ²2 /|I|2 + π 2 |I|2 , ψW 0 ² dW 0 + ψW W0 − W I π 2 |I|2 ¶ d². (4.491) Sostituendo nell’ultima delle (4.491) mediante la penultima, vale a dire 0 eliminando le ψW , otteniamo naturalmente una identità. Consideriamo ora la dipendenza dal tempo delle autofunzioni, intendendo che le relazioni precedenti valgono per t = 0. Assumiamo quindi come 0 fattore che descrive la dipendenza dal tempo di ψW : e−iEt/~ = e−i(E0 −k)t/~ e−i²t/~ 446 (4.492) Volumetto 4: 24 aprile 1930 e supponiamo che nell’istante t = 0 lo stato del sistema sia ψ0 . Mettendo in evidenza il fattore di dipendenza dal tempo delle ψ 0 avremo in un istante generico, per l’ultima delle (4.491) e la (4.492): Z ψ = e−i(E0 −k)t/~ p e−i²t/~ 0 ψW d², ²2 /|I|2 + π 2 |I|2 (4.493) da cui, sostituendo mediante la penultima delle (4.491), ψ h e−i(E0 −k)t/~ e−t/2T ψ0 ¸ Z ´ ³ I −i²t/~ −t/2T ψW d² , e − e + ² + iπ|I|2 = (4.494) (con 1/T = (2π/~)|I|2 ). È naturale chiedersi se la (4.494) può dedursi 0 direttamente dalle (4.482) senza passare attraverso gli stati stazionari ψW e ponendo fin dal principio IW = I = costante. Poiché con questa posizione k diviene indeterminata (vedi formola (4.489)), possiamo sperare in questo modo di giungere alla (4.494) salvo un’indeterminazione che dipende dall’incognito valore di k.41 In realtà questa si può scrivere (² = W + k) 42 ψ = e−iE0 t/~ eikt/~ e−t/2T ψ0 Z ³ ´ IψW + e−iEt/~ 1 − ei(W +k)t/~ e−t/2T dW ; (4.495) 2 (W + k) + iπ|I| e se poniamo Z ψ = c ψ0 e−iE0 t/~ cW ψW e−iEt/~ dW (4.496) segue dalle (4.482) con I in luogo di IW : ċ = − i I ~ Z e−iW t/~ cW dW, ċW = − i I e−iW t/~ c. ~ (4.497) 41 In altri termini, adoperando il metodo “diretto”, gli autovalori (perturbati) dell’energia restano indeterminati. 42 Nel manoscritto originale, nella seguente equazione l’integrazione è eseguita rispetto a d²; è però evidente che dovrebbe invece essere eseguita rispetto a dW . 447 Volumetto 4: 24 aprile 1930 Possiamo trovare soluzioni di queste equazioni della forma µ c cW 1 4π 2 2 = |I | T h ¶ = eixt/~ e−t/2T , = ³ ´ I 1 − ei(W +x)t/~ e−t/2T , 2 W + x + iπ|I| (4.498) con x arbitrario, benché le condizioni iniziali siano determinate (c = 1, cW = 0), questa arbitrarietà dipendendo dalla non convergenza dell’integrale nella prima delle (4.497). Le (4.498) danno per ψ al tempo t un’espressione identica a (4.495), salvo la sostituzione della quantità arbitraria x alla grandezza determinata k. Supponiamo ora che nel sistema imperturbato esista uno stato finito ψ0 di energia E0 e due serie di stati infiniti ψW e φW di energia E0 + W , e immaginiamo che una perturbazione colleghi lo stato ψ0 con entrambe le serie di stati infiniti ψW e φW : Z IW = Z ψ 0 Hp ψW dτ, LW = ψ 0 Hp φW dτ. (4.499) In luogo delle (4.482) avremo: Z Z H ψ0 = E 0 ψ0 + I W ψW dW + H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0 H φW = (E0 + W ) φW + LW ψ0 . LW φW dW (4.500) Anche qui, per effetto della perturbazione, lo stato finito ψ0 verrà assorbito nello spettro continuo, ma ora per ogni valore di W avremo due stati 1 2 stazionari ZW e ZW : 1 1 2 2 H ZW = (E0 + W ) ZW , H ZW = (E0 + W ) ZW . 448 (4.501) Volumetto 4: 24 aprile 1930 1 2 Possiamo scegliere ZW e ZW ortogonali e normalizzati nel modo seguente: µ Z 1 I W 0 ψW 0 1 ZW = ψ + a ψ + A φ − dW 0 0 W W 0 NW W0 − W Z − 2 ZW LW 0 φW 0 dW 0 W0 − W ¶ (4.502) L W ψW IW φW − p , |IW |2 + |LW |2 |IW |2 + |LW |2 p = gli integrali avendo, al solito, i loro valori principali ed essendo ora: µ Z dW 0 IW W + |IW 0 |2 a = 2 2 |IW | + |LW | W0 − W ¶ Z 0 dW + |LW 0 |2 (4.503) W0 − W µ Z LW dW 0 A = W + |IW 0 |2 2 2 |IW | + |LW | W0 − W ¶ Z 0 dW + |LW 0 |2 (4.504) W0 − W 0 NW = p |a|2 + |A|2 + π 2 |IW |2 + π 2 |LW |2 . (4.505) 2 Gli stati ZW sono ortogonali a ψ0 , cosicché ψ0 è sviluppabile in modo 1 analogo a (4.488), secondo i soli stati ZW : Z 1 0 (4.506) ψ0 = ZW /NW dW. Facciamo ora approssimazioni analoghe a (4.489), (4.490), e (4.491) ponendo: IW = I, Z |IW 0 |2 dW 0 + W0 − W LW = L, Z |LW 0 |2 W = ² − k, dW 0 = k, W0 − W ² = W + k, 449 (4.507) (4.508) Volumetto 4: 24 aprile 1930 da cui: a = I² , |I|2 + |L|2 A = L² |I|2 + |L|2 (4.509) s 1 ZW 2 ZW ²2 0 NW = + π 2 (|I|2 + |L|2 ) 2 |I| + |L|2 µ Z 1 ²I ψW 0 ψ0 + I ψ − dW 0 W 0 0 −W NW |I|2 + |L|2 W ¶ Z ²L φW 0 φW − L + 2 dW 0 |I| + |L|2 W0 − W = = ψ0 L ψW − I φW p , |I|2 + |L|2 Z 1 1 p = ZW d². 2 2 2 ² /(|I| + |L| ) + π 2 (|I|2 + |L|2 ) (4.510) (4.511) Le (4.510) e (4.511) sono strettamente analoghe alle (4.491); possiamo dedurne subito che se il sistema è rappresentato inizialmente da ψ0 , la sua autofunzione al tempo t sarà espressa in modo analogo a (4.495) da: ψ = e−i(E0 −k)t/~ e−t/2T ψ0 Z ³ ´ ψW e−iEt/~ + I 1 − ei(W +k)t/~ e−t/2T dW (4.512) 2 2 W + k + iπ(|I| + |L| ) Z ³ ´ φW e−iEt/~ + L 1 − ei(W +k)t/~ e−t/2T dW, 2 2 W + k + iπ(|I| + |L| ) essendo ora ¢ 1 2π ¡ 2 = |I| + |L|2 . (4.513) T ~ La probabilità di transizione nell’unità di tempo dallo stato ψ0 agli stati ψW è cosı̀ 2π|I|2 /~ e quella da ψ0 agli stati φW : 2π|I|2 /~, come era da aspettarsi. Vogliamo ora considerare un altro problema. Supponiamo che inizialmente il sistema sia nello stato infinito ψW e vogliamo calcolare la probabilità relativa (intesa nel modo usuale, fatta cioè uguale a 1 la probabilità ¯Z ¯2 ¯ ¯ ¯ che il sistema sia in un generico stato se Y se ¯ Y ψ dτ ¯¯ = 1, cosicché |ψ|2 è la densità di probabilità nello spazio delle configurazioni τ ) che il 450 Volumetto 4: 24 aprile 1930 sistema si trovi al tempo t nello stato ψ0 o negli stati ψW , o in stati ψW 0 , con W 0 differente da W . In luogo di probabilità relativa che il sistema si trovi in un certo stato, parleremo di “numero di sistemi” in quello stato. Ora, benché lo stato infinito ψW non sia rigorosamente stazionario e rappresenti un numero infinito di sistemi, solo un numero finito di questi ha energia differente da E0 +W per una quantità finita, cosicché dobbiamo aspettarci che crescano indefinitamente, e possiamo presumere linearmente, nel tempo, solo transizioni a stati infinitamente prossimi a ψW e φW . Trat1 2 teremo il problema servendoci degli stati stazionari ZW e ZW e usando 1 delle approssimazioni (4.507) e (4.509). Sviluppando ψW secondo ZW e 2 ZW , abbiamo: Z 1 ²I ZW 1 0 1 dW 0 Z + I ψW = W 0 0 2 2 NW |I| + |L| NW 0 (W 0 − W ) + L 2 . ZW |I|2 + |L|2 (4.514) L’integrale ha al solito il suo valore principale. Se al tempo t = 0 ψ = ψW , possiamo calcolare immediatamente ψ al tempo t servendoci dello sviluppo (4.514): Z 1 ²I ZW 1 0 −iEt/~ 1 −iE 0 t/~ ψ = e Z + I e dW 0 W 0 0 NW |I|2 + |L|2 NW 0 (W 0 − W ) + L 2 e−iEt/~ ZW , |I|2 + |L|2 (4.515) essendo E = E0 + W , E 0 = E0 + W 0 . Sostituendo in (4.515) mediante (4.510) possiamo ottenere l’espressione di ψ a mezzo degli stati imperturbati ψ0 , ψW , φW . Ad evitare difficoltà derivanti dalle singolarità degli integrali, giova sostituire dovunque ad espressioni del tipo (1/W 0 − W ) altre della forma W0 − W (W 0 − W )2 + α2 e per quindi α → 0. Per t > 0 conviene rappresentare ψ come somma di due soluzioni particolari: ψ = ψ1 + ψ2 , tali che per t = 0 ψ1 + ψ2 = ψW , e delle quali ψ1 descrive essenzialmente il fenomeno per tempi sufficientemente lunghi, mentre ψ2 è uno stato finito della forma (4.512). Si trova cosı̀ t > 0, ψ = ψ1 + ψ2 , 451 Volumetto 4: 24 aprile 1930 ψ1 = ψ2 = I e−iEt/~ ψW + e−iEt/~ ψ0 ² + iπQ2 Z ´ I IψW 0 + LφW 0 −iEt/~ ³ i(E−E 0 )t/~ − e 1 − e dE 0 ² + iπQ2 ²0 − ² · I ei(E0 −k)t/~ e−t/2T ψ0 − ² + iπQ2 ¸ Z ´ IψW 0 + LφW 0 −iE 0 t/~ ³ i(E 0 −E0 +k)t/~ −t/2T 0 + e 1 − e e dE , ²0 + iπQ2 (4.516) con Q = p |I|2 + |L|2 , 2π 2 1 = Q , T ~ ²0 = E 0 − E0 + k. ² = E − E0 + k, Il numero di transizioni nell’unità di tempo dallo stato ψW a stati ψW 0 e φW 0 di energia prossima a E dipende per tempi sufficientemente lunghi dal denominatore di risonanza 1/(²0 − ²) nell’espressione di ψ1 . Indicando con A il numero di transizioni nell’unità di tempo a stati ψW 0 (W 0 6= W ) e con B il numero di transizioni a stati φW 0 , troviamo: A= 2π 2 |I|2 |I| 2 , ~ ² + π 2 Q4 B= 2π |I|2 |L|2 2 . ~ ² + π 2 Q4 (4.517) Riprendiamo le equazioni esatte (4.502) e introduciamo alcune notazioni semplificanti. Poniamo Z ²W QW |IW 0 |2 = W + = W + kW , = p dW 0 + W0 − W Z |LW 0 |2 dW 0 W0 − W (4.518) |IW |2 + |LW |2 , (4.519) con che (4.503), (4.504), e (4.505) diventano: s a = ²W IW , Q2W A = ²W LW , Q2W 0 NW 452 = ²2W + π 2 Q2W , Q2W (4.520) Volumetto 4: 24 aprile 1930 e le (4.502): 1 ZW = µ 1 0 NW ψ0 + ²W Z − 2 ZW = IW 0 IW LW ψW + ²W 2 φW Q2W QW Z ψW 0 dW 0 − W0 − W LW 0 φW 0 dW 0 W0 − W ¶ (4.521) LW IW ψW − φW . QW QW Conviene introdurre certe combinazioni degli stati ψW e φW che in varie applicazioni hanno un significato fisico speciale. Porremo: ψW = u1W + u2W , 2 1 , + vW φW = vW (4.522) essendo: = 1 i ψW − 2 2π u2W = 1 i ψW + 2 2π 1 vW = 1 φW 2 = 1 i φW + 2 2π u1W 2 vW Z I W 0 ψW 0 dW 0 IW W 0 − W Z I W 0 ψW 0 dW 0 ; IW W 0 − W Z i LW 0 φW 0 − dW 0 2π LW W 0 − W Z (4.523) (4.524) LW 0 φW 0 dW 0 . LW W 0 − W Oltre alle (4.522), varranno le relazioni: Z ψW 0 IW 0 dW 0 = iπ I W W0 − W Z φW 0 LW 0 dW 0 = iπ LW W0 − W ¡ 1 ¢ uW − u2W ¡ 1 2 ¢ vW − vW . (4.525) Sostituendo mediante queste e le (4.522), le (4.521) diventano: µ ¶ µ ¶ 1 IW ²W IW ²W 1 1 ZW = ψ + − iπ u + + iπ u2W 0 W 0 0 0 NW NW Q2W NW Q2W 453 Volumetto 4: 24 aprile 1930 + 2 ZW = µ µ ¶ ¶ LW ²W LW ²W 1 2 − iπ v + + iπ vW , W 0 0 NW Q2W NW Q2W LW 1 LW 2 IW 1 IW 2 uW + uW − vW − vW . QW QW QW QW (4.526) Il più generale stato stazionario appartenente all’energia E0 + W è una 1 2 combinazione di ZW e ZW : 1 2 ZW = λ Z W + µ ZW . (4.527) Potremo quindi porre: 2 1 , + C2 vW ZW = c ψ0 + c1 u1W + c2 u2W + C1 vW (4.528) essendo: c = λ 0 NW c1 = λ = IW λ 0 NW c2 C1 C2 IW 0 NW LW 0 NW = λ = LW λ 0 NW µ µ µ µ ²W − iπ Q2W ²W + iπ Q2W ²W − iπ Q2W ²W + iπ Q2W ¶ + µ LW QW + µ LW QW − µ IW QW − µ IW . QW ¶ ¶ ¶ (4.529) Da notare l’identità: |c1 |2 + |C1 |2 = |c2 |2 + |C2 |2 = |λ|2 + |µ|2 . (4.530) Vogliamo trovare stati stazionari della forma (4.528) con C2 = 0. Basta per ciò porre nelle (4.529): µ ¶ IW LW ²W λ = , µ = + iπ . (4.531) 0 QW NW Q2W Notiamo per l’applicazione della (4.530) che essendo ¯ ¯ 0 ¯ ²W ¯ ¯ ¯ = NW , + iπ ¯ Q2 ¯ Q W W 454 Volumetto 4: 24 aprile 1930 segue dalle (4.531): |λ| = |IW | , QW |µ| = |LW | , QW |λ|2 + |µ|2 = 1, (4.532) cosicché le (4.530) divengono, essendo C2 = 0: |c1 |2 + |C1 |2 = 1, |c2 |2 = 1. (4.533) L’espressione dello stato che consideriamo sarà della forma: 1 , ZW = c ψ0 + c1 u1W + c2 u2W + C1 vW (4.534) e i valori delle costanti si otterranno sostituendo in (4.529) con (4.531): c = c1 = C1 = c2 = IW 0 QW NW £ 1 0 NW QW ¢¤ ¡ ²W − iπ |IW |2 − |LW |2 (4.535) IW LW − 2iπ 0 NW QW ¡ 1 0 NW QW Segue ¢ ²W + iπ Q2W . |c1 |2 = ²2W + π 2 (|IW |2 − |LW |2 )2 ²2W + π 2 Q4W |C1 |2 = 4π 2 |IW |2 |LW |2 ²2W + π 2 Q4W |c2 |2 = 1, (4.536) |c1 |2 + |C1 |2 = 1. Nell’approssimazione in cui si possono ritenere costanti IW = I e LW = L il rapporto |C1 |2 /|c2 |2 ha il suo valore massimo per ²W = 0. Tale valore massimo è dato da: µ ¶ µ 2 ¶2 |C1 |2 4|I|2 |L|2 |I| − |L|2 4|I|2 |L|2 (4.537) = = 1 − = |c2 |2 0 Q4 (|I|2 + |L|2 )2 |I|2 + |L|2 455 Volumetto 4: 24 aprile 1930 cosı̀ vale 1 se |I|2 = |L|2 , altrimenti è minore d’uno. Poniamo: µ ¶ |C1 |2 |I|2 p0 = , k = . |c2 |2 0 |L|2 2 3 6 10 100 k 1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/6 ; 1/10 ; 1/100 (4.538) p0 1 0.889 0.750 0.490 0.331 0.039 sarà allora: p0 = 4k 4 4 = , = (k + 1)2 (1 + k)(1 + 1/k) k + 2 + 1/k (4.539) e cosı̀ p0 (k) = p0 (1/k). Riguardiamo |C1 |2 /|c2 |2 come funzione di ² e poniamo p = p(²) = |C1 |2 . |c2 |2 (4.540) Nella solita approssimazione IW = I, LW = L, sarà: p = 4π 2 |I|2 |L|2 . ²2 + π 2 Q4 (4.541) R L’integrale p(²)d² ha una speciale importanza nelle applicazioni. Si trova immediatamente: Z 4π 2 |I|2 |L|2 |I|2 |L|2 2 (4.542) p(²) d² = = 4π 2 Q . 2 Q Q4 Introducendo la probabilità di disintegrazione 1 2π 2 = Q T ~ dello stato instabile ψ0 e le probabilità parziali di disintegrazione per passaggio negli stati ψW e φW : 1 2π 2 = |I| , T1 ~ 1 2π = |L|2 T2 ~ 456 Volumetto 4: 24 aprile 1930 avremo: 1 1 1 = + , T T1 T2 e la (4.542) si può scrivere: Z p(²) d² = = 1 k 1 = , T1 k+1 T 1 1 1 = , (4.543) T2 k+1 T 2π~ p0 2π~ k = T 4 T (k + 1)2 2π~ 1 2π~ k = . T1 k + 1 T2 k + 1 (4.544) Passiamo a un’applicazione delle formole precedenti al problema della disintegrazione di risonanza dei nuclei leggeri con cattura della particella α incidente ed emissione di un protone.43 Vogliamo considerare perciò il caso più semplice che esista uno stato instabile del sistema nucleo + particella α (ψ0 ) il quale dia luogo spontaneamente a transizioni in cui viene espulsa una particella α, oppure a transizioni in cui sia espulso un protone e supponiamo per semplicità che il protone o la particella α risultanti dalla disintegrazione di ψ0 siano messi in orbita s e inoltre che il nucleo residuo sia lasciato sempre nello stato fondamentale. Per la posizione matematica del problema dobbiamo considerare, oltre allo stato instabile ψ0 , certi stati ψW che rappresentano il nucleo originario e una particella α in un’orbita iperbolica s, e certi stati ψW che rappresentano il nucleo trasformato e un protone libero in un’orbita s. Lo stato ψ0 è accoppiato cosı̀ agli stati ψW come agli stati φW da una perturbazione Hp definita dalle (4.499). Se intendiamo ψW normalizzata rispetto a dW (e trascuriamo la mobilità del nucleo) è facile convincersi che esso rappresenta un flusso convergente o divergente di particelle α pari a 1/2π~ (particelle nell’unità di tempo) e cosı̀ pure44 φW rappresenta un flusso entrante o uscente di protoni pari 1/2π~. Al contrario gli stati non stazionari u1W e u2W definiti dalle (4.523) rappresentano a grande distanza solo flusso uscente [rispettivamente, entrante] di particelle 1 2 α sempre di intensità 1/2π~. Analogamente, vW e vW definiti da (4.524) rappresentano flusso uscente o entrambi di protoni. Supponiamo ora che un’onda piana di particelle di determinata energia rappresentante un flusso unitario per unità d’area cada sul nucleo non disintegrato e vogliamo determinare come vengono diffuse le particelle α e quante di esse diano luogo a processi di disintegrazione. Basta per 43 In linguaggio moderno, ciò significa una reazione (α, p): N + α → p + N 0 . punto è alquanto oscuro nel manoscritto originale. 44 Questo 457 Volumetto 4: 24 aprile 1930 ciò costruire uno stato stazionario che rappresenti l’onda piana incidente più un’onda sferica divergente di protoni. Un tale stato può aversi come somma di soluzioni particolari. Le soluzioni particolari corrispondenti al nucleo originario più particelle α con quanti azimutali differenti da zero rappresentano ordinari processi di diffusione e hanno la forma ben nota dalla teoria della diffusione in campo coulombiano. Ma nel nostro stato deve entrare anche una soluzione particolare che rappresenti particelle α incidenti con l = 0 e non solo un’onda divergente di particelle α con l = 0 ma, anche a causa dell’accoppiamento con ψ0 e di questo con gli stati φW , lo stesso stato eccitato in un certo grado nonché un’onda divergente di protoni. Una tale soluzione particolare avrà la forma (4.534), ed i valori delle costanti sono dati dalla (4.535) a meno di un fattore di proporzionalità. Ora c2 può essere determinato dalla condizione che il flusso entrante di particelle α sia quello dovuto all’onda piana incidente. Questo flusso entrante vale |c2 |2 /2π~; d’altra parte il numero di particelle α con l = 0 che passano in prossimità del nucleo nell’unità di tempo è uguale al flusso attraverso una sezione circolare normale alla direzione di propagazione dell’onda e di raggio λ/2π (λ = lunghezza d’onda delle particelle α). Poiché la nostra onda incidente rappresenta un flusso unitario per unità di area, sarà: µ ¶2 |c2 |2 λ π~2 λ2 = π = = , (4.545) 2π~ 2π 4π M 2 v2 da cui, a meno di una costante di fase: c2 = √ λ 2π 2 ~ . 2π (4.546) Attraverso (4.535) potremo ottenere c, c1 e C1 moltiplicando per il valore (4.546) di c2 diviso il valore di c2 nel caso (4.535). A noi interessano qui solo i moduli delle quantità c1 e C1 , poiché ci occupiamo solo della frequenza dei processi di disintegrazione e non delle anomalie della diffusione, che dipendono anche dalla fase di c1 . Segue dalle (4.536) e da (4.546) |c1 |2 = ~λ2 ²2 + π 2 (|IW |2 − |LW |2 )2 2 ²2 + π 2 Q4W |C1 |2 = ~λ2 4π 2 |IW |2 |LW |2 2 ²2 + π 2 Q4W |c2 |2 = ~λ2 , 2 λ = 2π~/M v. 458 (4.547) Volumetto 4: 24 aprile 1930 Il flusso uscente di protoni è dato da |C1 |2 /2π~, e misura la sezione efficace per la disintegrazione S(²): S(²) = λ2 4π 2 |IW |2 |LW |2 . 4π ²2 + π 2 Q4W (4.548) In prima approssimazione potremo supporre λ, IW e LW indipendenti da ² e la (4.548) diventa: S(²) = λ2 4π 2 |I|2 |L|2 , 4π ²2 + π 2 Q4 (4.549) ovvero introducendo p(²) mediante (4.541): S(²) = λ2 p(²). 4π (4.550) Poiché λ2 /4π dà la sezione efficace per particelle α di quanto azimutale nullo, p(²) è la probabilità che una di tali particelle provochi la disintegrazione. Per ² = 0, cioè per il valore più favorevole dell’energia, questa probabilità è massima; l’espressione di p(0) è data come si è visto da (4.539). È interessante che p(0) può giungere al valore 1 quando k = 1. Cioè se lo stato ψ0 ha la stessa probabilità di risolversi nell’emissione di un protone o di una particella α e l’energia delle particelle α incidenti ha il valore più favorevole, allora tutte le particelle incidenti con quanto azimutale nullo danno luogo a disintegrazione. La sezione S(²) corrispondente a particelle di energia determinata E0 + k + ² è spesso inaccessibile R all’osservazione e solo S(²)d² è misurabile. Sostituendo in (4.544) si ha: Z S(²) d² = 4.29 ~λ2 p(0) ~λ2 k λ2 π~ = = p(0). 2 2T 4 2T (k + 1) 4π 2T (4.551) Funzioni sferiche con spin (II) Data una funzione a tre valori che si trasformano secondo D1 , le formole (4.390) permettono di passare alle ordinarie coordinate cartesiane. Giova 459 Volumetto 4: 24 aprile 1930 talvolta conoscere le componenti secondo il raggio vettore r, secondo il meridiano (verso θ crescente, cioè congruente a −r) e secondo il parallelo (φ crescente). Si ha evidentemente, tenendo presenti le formole (4.390), ψr ψθ ψφ = x y z ψx + ψy + ψz r r r = 1 x + iy z 1 x − iy −√ ψ1 + ψ2 + √ ψ3 r r r 2 2 = cos θ cos φ ψx + cos θ sin φ ψy − sin θψz = 1 x x + iy p −√ ψ1 − 2 r x2 + y 2 = − sin φ ψx + cos φ ψy = i i x + iy x − iy −√ p ψ1 − √ p ψ3 . 2 x2 + y 2 2 x2 + y 2 p x2 + y 2 1 z x − iy p ψ2 + √ ψ3 r 2 r x2 + y 2 (4.552) Vogliamo trovare le componenti (r, θ, φ) delle funzioni sferiche (4.377). Per applicare comodamente le formole (5.163) poniamo le (4.552) nella forma: ψr = ψθ = ψφ = 1 x + iy z 1 x − iy −√ ψ1 + ψ2 + √ ψ3 r r r 2 2 µ ¶ 1 1 z x + iy x2 + y 2 1 z x − iy √ √ − ψ1 − ψ2 + ψ3 sin θ r r2 r 2 r 2 r µ ¶ i x + iy i x − iy 1 −√ ψ1 − √ ψ3 . sin θ r r 2 2 (4.553) 460 5 VOLUMETTO 5.1 Rappresentazioni del gruppo di Lorentz Il gruppo delle trasformazioni reali di Lorentz agenti sulle variabili ct, x, y, z può essere costruito per composizione delle trasformazioni infinitesime     0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0   0  0 0 1   0 , Sx =   0 0 0 −1  , Sy =  0 0 0 0  0 0 1 0 0 −1 0 0   0 0 0 0  0 0 −1 0  , Sz =   0 1 0 0  0 0 0 0     0 0 1 0 0 1 0 0  0 0 0 0   1 0 0 0     Tx =   0 0 0 0  , Ty =  1 0 0 0  , 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 1  0 0 0 0   Tz =   0 0 0 0 . 1 0 0 0 Esse soddisfano alle seguenti relazioni di scambio, quelle che si deducono per permutazioni circolari di x, y, z da una già scritta essendo indicate con puntini: Sx Sy − Sy Sx .................. 461 = Sz , ...... Volumetto 5 Tx Ty − Ty Tx = .................. Sx Tx − Tx Sx = .................. Sx Ty − Ty Sx 0, (5.1) ...... = .................. Sx Tz − Tz Sx − Sz , ...... Tz , ...... = − Ty , etc .................. ...... Del gruppo di Lorentz possono darsi due rappresentazioni irriducibili inequivalenti mediante matrici del secondo ordine di determinante 1: le chi0 , rispettivamente. Una rappresentazione irriducibile ameremo D1/2 e D1/2 Dj delle matrici appartenenti a D1/2 è ancora una rappresentazione irriducibile del gruppo di Lorentz; analogamente si possono costruire le rapp0 resentazioni irriducibili D1/2 . La più generale rappresentazione irriducibile del gruppo di Lorentz è data probabilmente da: 1 3 Djj 0 = Dj ×Dj0 0 , j, j 0 = 0, , 1, , . . . . (5.2) 2 2 0 (se j + j è intero rappresentazioni univoche, altrimenti a due valori). 0 Vediamo ora come si possano costruire D1/2 e D1/2 . Consideriamo un vettore p = (p0 , px , py , pz ) le cui componenti si intende che si trasformino come ct, x, y, z, e coordiniamo ad esso una matrice del secondo ordine che indichiamo ancora con p: µ ¶ p0 + pz px − i py p = p0 + px σx + py σy + pz σz = . (5.3) px + i py p0 − pz È chiaro che inversamente a ogni matrice del secondo ordine corrisponde un determinato quadrivettore p. Avremo det p = p20 − p2x − p2y − p2z . (5.4) Siano ora S e T due matrici arbitrarie del secondo ordine di determinante 1:45 S = S0 + Sx σx + Sy σy + Sz σz , T = T0 + Tx σx + Ty σy + Tz σz , 45 Nel S02 − Sx2 − Sy2 − Sz2 = 1, T02 − Tx2 − Ty2 − Tz2 = 1. (5.5) manoscritto originale è annotato: “in luogo di S e T , usare altre lettere, 462 Volumetto 5 La trasformazione p → p0 è una trasformazione di Lorentz se per le matrici corrispondenti vale la relazione: Si ha infatti: cioè: p0 = S p T . (5.6) det p0 = det S det p det T = det p, (5.7) 02 02 02 2 2 2 2 p02 0 − px − py − pz = p0 − px − py − pz . (5.8) Si può dimostrare che mediante (5.6) si ottiene la più generale trasformazione di Lorentz e ognuna esattamente due volte poiché alla stessa trasformazione si arriva cambiando segno simultaneamente a S e T . Le trasformazioni (5.6) sono tutte le trasformazioni proprie soddisfacenti a (5.8), dunque tutte le trasformazioni reali o immaginarie di Lorentz. Se vogliamo limitarci alle trasformazioni reali dobbiamo imporre certe relazioni fra S e T . Al più generale quadrivettore reale p corrisponde la più generale matrice Hamiltoniana del secondo ordine; se vogliamo dunque che la (5.6) definisca una trasformazione reale dovrà essere p0 Hermitiana se tale è p. Dovrà quindi essere per p Hamiltoniana arbitraria: S p T = (S p T )† = T † p† S † = T † p S † , (5.9) cioè: ³ ´−1 T† S p = p S † T −1 , ¡ ¢−1 e ponendo R = S † T −1 , R† = T † S: R† p = p R. (5.10) (5.11) Ponendo p = 1, ricaviamo R = R† , cioè R è essa stessa Hermitiana. Sarà quindi Rp = pR qualunque sia la matrice Hermitiana p e questo importa che p sia multipla della matrice unità. Inoltre deve essere det R = det S/ det T = 1, e quindi infine R = ±1. Abbiamo quindi trasformazioni reali di Lorentz nei due casi: T T = = S† (5.12) † −S . (5.13) ad esempio P e Q.” Sebbene la notazione adottata nel testo possa ingenerare confusione, si è preferito non modificarla, dal momento che le matrici qui considerate sono del tipo 2 × 2, laddove quelle all’inizio del paragrafo sono 4 × 4. 463 Volumetto 5 Nel secondo caso tuttavia si giunge a trasformazioni che non hanno senso fisico perché invertono l’asse del tempo. La più generale trasformazione avente senso fisico è data quindi da: p0 = S p S † , (5.14) essendo S soggetta all’unica condizione det S = 1. Si ha il sottogruppo delle rotazioni reali o immaginarie se T = S −1 poiché allora è identicamente p00 = p0 . Nelle rotazioni reali dovendo essere inoltre T = S † , sarà S una matrice unitaria di determinante 1 e precisamente la più generale matrice di questo tipo. Una trasformazione reale di Lorentz determina dunque (a meno del segno) una matrice S del gruppo SU (2).46 Le matrici S costituiscono ovviamente una rappresentazione irriducibile (a due valori) del gruppo di 0 Lorentz che chiameremo D1/2 ; una seconda rappresentazione irriducibile inequivalente di grado 2 è data dalle matrici (S † )−1 , e chiameremo questa D1/2 . Come rappresentazioni del sottogruppo d3 le due rappresentazioni coincidono poiché allora S = (S † )−1 , essendo le S unitarie. È facile derivare 0 . Si trova: le espressioni delle trasformazioni infinitesime in D1/2 e D1/2 (a) rappresentazione D1/2 : Sx = 1 2i Tx = − 1 2 µ µ 0 1 1 0 0 1 1 0 ¶ , Sy = 1 2i ¶ , Ty = − 1 2 µ 0 i µ −i 0 ¶ , 0 i −i 0 0 i −i 0 Sz = 1 2i ¶ , Tz = − µ 1 2 1 0 µ 0 −1 1 0 ¶ , ¶ 0 . −1 (5.15) 0 (b) rappresentazione D1/2 : Sx = 1 2i Tx = + 1 2 µ µ 0 1 1 0 0 1 1 0 ¶ , Sy = 1 2i ¶ , Ty = + 1 2 µ µ 0 i ¶ −i 0 , Sz = 1 2i ¶ , Tz = + µ 1 2 1 0 µ 0 −1 1 0 ¶ , ¶ 0 . −1 (5.16) 46 Nel manoscritto originale questo gruppo è indicato con u : abbiamo qui 2 preferito adottare la notazione moderna SU (2). 464 Volumetto 5 [non confondere le rotazioni infinitesime con le componenti delle trasformazioni S = S0 + Sx σx + Sy σy + Sz σz . . .] Fra le rotazioni infinitesime spaziali e quelle spazio temporali passano dunque le seguenti relazioni: D1/2 : (Tx , Ty , Tz ) = −i (Sx , Sy , Sz ) , 0 D1/2 : (Tx , Ty , Tz ) = +i (Sx , Sy , Sz ) . (5.17) Sia ψ = (ψ1 , ψ2 ) un vettore che si trasforma secondo D1/2 , cioè ψ 0 = (S † )−1 ψ. Poniamo: φ = σy ψ ∗ , ψ ∗ = σy φ (5.18) sarà: φ0 = σy (S T )−1 ψ ∗ = σy (S T )−1 σy φ ; (5.19) ora, essendo det S = 1 S = S0 + Sx σx + Sy σy + Sz σz , (5.20) S −1 = S0 − Sx σx − Sy σy − Sz σz (5.21) (S T )−1 = S0 − Sx σx + Sy σy − Sz σz (5.22) segue T −1 σy (S ) e quindi σy = S (5.23) φ0 = S φ, (5.24) 0 D1/2 . cioè φ si trasforma secondo Inversamente, se φ si trasforma secondo 0 D1/2 , σy φ∗ si trasforma secondo D1/2 . Poniamo ´ 1 ³ † p = φ φ† = φ φ + φ† σx φ σx + φ† σy φ σy + φ† σz φ σz , (5.25) 2 sarà: p0 = Sφ φ† S † = SpS † . (5.26) Segue per la (5.14) che i quadrivettori coordinati a p e p0 si ottengono il secondo dal primo per trasformazione di Lorentz. Badando che φ† φ=ψ † ψ, φ† σx φ=−ψ † σx ψ, φ† σy φ=−ψ † σy ψ, φ† σz φ=−ψ † σz ψ, avremo: ψ † ψ, φ† ψ, ct, −ψ † σx ψ, φ† σx φ, x, −ψ † σy ψ, φ† σy φ, y, 465 −ψ † σz ψ, φ† σz φ, z, (5.27) Volumetto 5 in cui, ricordiamo, ψ è un generico vettore che si trasforma secondo D1/2 0 (ψ 0 = (S † )−1 ψ) e φ un vettore che si trasforma secondo D1/2 (φ0 = Sφ). Si trasformi ψ secondo D1/2 , e sia inoltre funzione di ct, x, y, z; allora µ ¶ 1∂ ∂ ∂ ∂ φ = − σx − σy − σz ψ (5.28) c ∂t ∂x ∂y ∂z 0 si trasforma secondo D1/2 . Infatti sia χ un vettore costante del tipo D1/2 . Moltiplicando a sinistra i due membri di (5.28) per χ† ricaviamo: ´ ∂ ³ † 1∂ ³ † ´ χ φ + −χ σx ψ χ† φ = (5.29) c ∂t ∂x ³ ´ ³ ´ ∂ ∂ + −χ† σy ψ + −χ† σz ψ . (5.30) ∂y ∂z Per la prima delle (5.27) (che valgono naturalmente anche se a ψ † o φ† si sostituiscono vettori che si trasformino allo stesso modo), il secondo membro della (5.30) è la divergenza di un vettore, quindi un invariante. Segue che è invariante χ† φ, cioè qualunque sia χ, donde: χ† S −1 φ0 = χ† φ (5.31) φ0 = S φ, (5.32) come si voleva dimostrare. 0 Analogamente, se φ si trasforma secondo D1/2 , allora µ ¶ 1∂ ∂ ∂ ∂ ψ = + σx + σy + σz φ c ∂t ∂x ∂y ∂z si trasforma secondo D1/2 . Nelle equazioni di Dirac µ ¶ ³ W e e ´ + A0 ψ + σ· p + A ψ + mc φ c c c µ W e + A0 c c ¶ ³ e ´ φ − σ· p + A φ + mc ψ c = (5.33) 0, (5.34) = 0, la prima coppia ψ si trasforma secondo D1/2 , e la seconda coppia φ secondo 0 D1/2 . Le (5.34) si scrivono compendiosamente: µ ¶ ³ W e e ´ (5.35) + A0 ψ + ρ3 σ· p + A ψ + ρ1 mc ψ = 0. c c c 466 Volumetto 5 (continua nel §5.6). 5.2 Urto fra protoni e neutroni Consideriamo il moto relativo di un protone e di un neutrone e supponiamo che si possa prescindere dallo spin del protone e, se esiste, da quello del neutrone. Indichiamo con m la massa ridotta del sistema (m ∼ 1/2MN ), e supponiamo che l’interazione delle due particelle sia rappresentabile mediante un potenziale V (r) funzione della distanza. L’equazione di Schrödinger per quanti azimutali ` e per la parte radiale dell’autofunzione sarà:47 ¶ µ `(` + 1) 2 2m u = 0. u00 + u0 + (E − V ) − (5.36) r ~2 r2 Facciamo per V un’ipotesi eccessivamente semplice: V V = = − A, per r < R, 0, per r > R. Soluzione di (5.36) regolare all’origine è allora per r < R Ãr ! 1 2m u = √ I`+1/2 (E + A) r , ~2 r (5.37) (5.38) mentre per r > R dobbiamo cercare fra le combinazioni lineari di Ãr ! 1 2m √ I`+1/2 Er ~2 r 1 √ N`+1/2 r Ãr ! (5.39) 2m Er ~2 la soluzione che si raccorda in R con (5.38). Ponendo per brevità: k2 = 47 Nel 2m E, ~2 k02 = 2m (E + A) ~2 (5.40) manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di ~. 467 Volumetto 5 e disponendo di un’arbitraria costante moltiplicativa perveniamo quindi alla seguente soluzione di (5.36), regolare all’origine: u` u` = C` √ I`+1/2 (k0 r), r = ¢ C` ¡ √ a I`+1/2 (kr) + b N`+1/2 (kr) , r r < R, (5.41) r > R, con i seguenti valori delle costanti a e b ¶ µ k0 0 πx 0 (kr) − a = I`+1/2 (k0 r) N`+1/2 I`+1/2 (k0 r) N`+1/2 (kr) 2 k ¶ k 0 0 (kr) I`+1/2 (k0 r) . (k0 r) − I`+1/2 I`+1/2 (kr) I`+1/2 k0 (5.42) Le costanti C` vogliamo determinarle in modo che b = πx 2 µ u = ∞ X u` P` (cos θ) (5.43) `=0 rappresenti a grande distanza l’onda piana (I) eikz = eikr cos θ più un’onda divergente (S). Notoriamente si ha: r ∞ X π (5.44) I = i` (2` + 1) I`+1/2 (kr) P` (cos θ), 2kr `=0 e S = u − I, per r > R, deve avere la forma: S = ∞ X ²` 1 √ H`+1/2 (kr) P` (cos θ), r `=0 (5.45) 1 essendo H`+1/2 = I`+1/2 + iN`+1/2 . Ricaviamo di qua: C` ²` r = i` (2` + 1) a + ib = 2ibi` 2` + 1 − a + ib 2 468 π 2k r (5.46) π . 2k Volumetto 5 L’effetto del diffusore sull’onda sferica d’ordine ` è interamente determinato dall’angolo θ` che segna l’anticipo di fase di u` rispetto a I`+1/2 per grandi distanze: tan θ` = − b` /a` , (5.47) poiché l’ultima delle (5.46) si può scrivere: ³ ²` = ´ 2` + 1 r π e2iθ` − 1 i` . 2 2k Riportiamo per comodo l’espressione delle prime funzioni di Bessel mann d’ordine mezzo : r 2 sin x I1/2 (x) = πx r µ ¶ sin x 2 I3/2 (x) = − cos x + πx x r µ ¶ 2 cos x sin x − sin x − 3 +3 2 ; I5/2 (x) = πx x x r 2 N1/2 (x) = − cos x πx r cos x ´ 2 ³ N3/2 (x) = − sin x − πx x r µ ¶ sin x cos x 2 cos x − 3 − 3 2 ; N5/2 (x) = πx x x r 2 ±ix 1,2 H1/2 = ∓i e πx r ¶ µ 2 ±ix i 1,2 e −1 ∓ H3/2 = πx x r µ ¶ 2 ±ix 3 3i 1,2 H5/2 = e ±i − ∓ 2 , πx x x (5.48) e Neu- (5.49) (5.50) (5.51) valendo in queste ultime il segno superiore per le funzioni di Hankel di prima specie e il segno inferiore per le funzioni di seconda specie. 469 Volumetto 5 5.3 Zeri delle funzioni di Bessel d’ordine mezzo Ponendo I`+1/2 (πxi ) = 0 si hanno i seguenti valori numerici di xi , astraendo da xi = 0: 5.4 5.4.1 I1/2 : 1.000, 2.000, 3.000, 4.000; I3/2 : 4.494 , π 7.726 , π 10.904 , π 14.066 ; π I5/2 : 5.763 , π 9.095 , π 12.324 ; π I7/2 : 6.985 , π 10.416 . π Statistica e termodinamica Entropia di un sistema in equilibrio termico Siano E0 , E1 , E2 , · · · le energie degli stati stazionari; indichiamo con E l’energia media. Sarà: E = Σ0 /Σ, (5.52) essendo Σ = X e−Ei /kT , (5.53) Ei e−Ei /kT , (5.54) i Σ0 = X i dove k è la costante di Boltzmann. La probabilità che il sistema sia nello stato i sarà: Pi = A e−Ei /kT = P (Ei ), (5.55) 470 Volumetto 5 essendo ovviamente A = 1/Σ. (5.56) Definiamo l’entropia da: Z T S = 0 1 dE dT. T dT (5.57) L’integrale si effettua facilmente badando che Σ0 = kT 2 si trova infatti: Z 1 dE S = dT T dT = = dΣ , dT (5.58) Z Z E 1 1 Σ0 E + + dT E dT = 2 T T T T2 Σ Z E E dΣ +k = k log Σ + (5.59) T Σ T e poiché questa espressione si annulla per T = 0, come è facile verificare, si ha semplicemente: S = k log Σ + = k log 1 E/kT E = k log e T A 1 ; P (E) (5.60) si ha cosı̀ che S/k è il logaritmo del numero di stati quantici differenti che si alternano nella vita del sistema in equilibrio termico. 5.4.2 Gas perfetti Il numero di particelle che si trovano in uno stato di energia Es è dato secondo la statistica di Fermi o di Bose da: ns 1 − ns = A e−Es /kT , ns = (5.61) ns 1 + ns = A e−Es /kT , ns (5.62) 471 1 (Fermi) 1 −Es /kT e +1 A 1 = (Bose). 1 −Es /kT e −1 A Volumetto 5 L’entropia del gas risulta: Xµ S = k log s S = k Xµ log s 1 ns − ns log 1 − ns 1 − ns 1 + ns 1 + ns + ns log 1 ns ¶ (Fermi) (5.63) (Bose). (5.64) ¶ Per temperature elevate e densità piccole (ns P → 0), e riferendosi a un grammomolecola (N particelle, R = N k, U = s ns Es energia del gas), entrambe le statistiche danno: U (5.65) S = R (1 − log A) + . T In questo caso limite le particelle possono considerarsi come indipendenti e cosı̀ l’entropia del gas deve essere semplicemente la somma delle entropie delle singole particelle diminuita di k log N ! a causa della riduzione di stati quantici dovuta all’identità delle particelle. L’entropia di una particella singola è a causa di (5.60): A −U/N kT U e = k (log N − log A) + , (5.66) N NT e l’entropia del gas risulta, se si tiene conto delle quantità dell’ordine di N che sole hanno importanza per la definizione di entropia: S 0 = − k log S = N S 0 − k log N ! = R (log N − log A) + = R (1 − log A) + U , T U − R log N + R T (5.67) che coincide appunto con la (5.65). 5.4.3 Gas monoatomico Supponiamo lo stato fondamentale distanziato dagli altri livelli e sia g la sua molteplicità [g = (2j + 1) oppure g = (2j + 1)(2i + 1) se esiste uno spin nucleare debolmente accoppiato]. Per temperature elevate e densità modeste si ha notoriamente: A = N h3 g v (2π m kT )3/2 472 (5.68) Volumetto 5 e U = 3 R T. 2 (5.69) Segue per la (5.67): µ S = R 3 5 log T + log v + log g + 2 2 ¶ 3 + log (2π m k) − log N − 3 log h . 2 5.4.4 (5.70) Gas biatomico Supponiamo nullo il momento elettronico, mentre teniamo conto dell’eventuale spin nucleare. Si ha in questo caso, per temperature sufficientemente elevate, o densità sufficientemente piccole (ns → 0), A = N h3 v (2π m kT )3/2 (g0 Σ0 + g1 Σ1 ) (5.71) U = g0 Σ0 U0R + g1 Σ1 U1R 3 3 + R T = UR + R T g0 Σ0 + g1 Σ1 2 2 (5.72) in cui Σ0 e Σ1 sono le somme di stato relative agli stati rotazionali pari e dispari rispettivamente; U0R e U1R sono le energie rotazionali quali risulterebbero se esistessero soltanto i livelli pari o dispari rispettivamente; infine g0 e g1 sono i pesi dei livelli pari o dispari in dipendenza dello spin nucleare. Per nuclei differenti si ha quindi: g0 = g1 = (2i + 1)(2i0 + 1), (5.73) mentre per nuclei uguali si ha l’uno o l’altro dei casi: ½ ½ g0 = i(2i + 1), g0 = (i + 1)(2i + 1), oppure g1 = (i + 1)(2i + 1), g1 = i(2i + 1), (5.74) a seconda della statistica dei nuclei e della parità del termine elettronico. Le quantità Σ0 e Σ1 , e cosı̀ pure U0R /RT e U1R /RT , sono funzioni di ² = T0 /T, 473 (5.75) Volumetto 5 essendo T0 definita da k T0 = h2 /8π 2 I, (5.76) la temperatura corrispondente alla semidifferenza seconda dei livelli rotazionali. I dati approssimativi della tabella danno un’idea dell’andamento di dette grandezze per valori piuttosto grandi ² (basse temperature). T0 T ∞ 1 0.8 0.6 0.4 0.2 ²= Σ0 Σ1 Σ0 + Σ1 1 1.01 1.04 1.14 1.46 2.68 0 0.41 0.61 0.91 1.41 2.67 1 1.42 1.65 2.05 3.87 5.35 U0R RT 0 0.08 0.19 0.44 0.77 0.93 U1R RT ∞ 2.00 1.60 1.23 0.96 0.94 Σ0 U0R + Σ1 U1R (Σ0 + Σ1 )RT 0 0.63 0.71 0.79 0.86 0.93 Per alte temperature si calcolano (² → 0) senza difficoltà le espressioni asintotiche delle stesse grandezze. Arrestandoci ai primi termini degli sviluppi troviamo: 1 1 Σ0 = + + ... 2² 6 Σ1 = 1 1 + + ... 2² 6 (5.77) 1 1 + + ... ² 3 ³ ´ ² U0R = RT 1 − − ... 3 ³ ´ ² U1R = RT 1 − + ... 3 e cosı̀ a meno di quantità infinitesime per T → ∞: Σ = Σ 0 + Σ1 = U R = RT − e l’energia totale: µ U = RT 1 RT0 , 3 5 ² − 2 3 474 (5.78) (5.79) ¶ + .... (5.80) Volumetto 5 L’entropia risulta per la (5.65), a meno di quantità che si annullano più rapidamente di T0 /T : µ 3 T S = R log T + log + log v + log g 2 T0 ¶ 7 3 + + log (2π m K) − log N − 3 log h , (5.81) 2 2 in cui 5.4.5 g = (2i + 1)(2i0 + 1), g = 1 (2i + 1)2 , 2 per nuclei differenti, (5.82) per nuclei uguali. Formole numeriche per l’entropia dei gas L’entropia (5.70) di un grammomolecola di gas monoatomici si può scrivere: µ ¶ 3 S = R log T + log v + B . (5.83) 2 La costante R vale 1.97 cal mol−1 K−1 , 48 mentre la costante numerica B dipende da g e dal peso atomico P = N m. Introducendo in (5.70) i valori numerici si ha:49 B = − 5.575 + log g + 3 log P. 2 (5.84) Per l’idrogeno atomico (H), ad esempio: g = 4, P = 1, B = −4.189. (5.85) g = 1, P = 4, B = −3.496. (5.86) Per l’elio (He): 48 Nel manoscritto originale le unità di misura di R sono genericamente definite come cal/grado. 49 Si noti che il valore numerico −5.575 della (5.84) è ottenuto ponendo R = 8.31·107 erg mol−1 K−1 , N = 6.022·1023 , e h = 6.626·10−27 erg s. 475 Volumetto 5 Per il sodio atomico (Na), prescindendo dallo spin nucleare: g = 2, P = 23, B = −0.179. (5.87) L’entropia di un gas biatomico per temperatura elevata (5.81) può anche scriversi: µ ¶ 5 S = R log T + log v + B . (5.88) 2 La costante B dipende ora da g (5.82), dal peso molecolare P = N M = M/MH , e dalla temperatura T0 che segna il disgelo dei gradi di libertà rotazionali: 3 B = − 4.575 − log T0 + log g + log P. (5.89) 2 Per la molecola di idrogeno, ad esempio: g = 2, P = 2, T0 ' 85 K, B = −7.28. (5.90) −Es /KT La costante A, che entra nella funzione di distribuzione us = Ae segna, nella nostra normalizzazione dell’energia, il coefficiente di occupazione degli stati (individuali) di minima energia. La condizione per la validità delle formole precedenti, in quanto fondate sulla statistica classica, è quindi A ¿ 1. Per il gas monoatomico si ha, sostituendo in (5.68) i valori numerici: A = 3212 , g P 3/2 v T 3/2 (5.91) con P peso atomico. E per il gas biatomico si ha la stessa espressione, con g0 in luogo di g, per le temperature estremamente basse, in cui A può divenire dell’ordine dell’unità poiché allora i gradi di libertà rotazionali sono gelati. Da notare per la precisione che per molecole biatomiche a nuclei uguali in cui fosse g0 = 0, il coefficiente d’occupazione degli stati più profondi non sarebbe dato da A ma da ¡ ¢ A exp −2h2 /8π 2 IkT , (5.92) e avrebbe ancora l’espressione (5.91) con g1 in luogo di g. Da notare ancora che per temperature assai basse il momento nucleare può essere accoppiato con il momento elettronico. Se p0 è la pressione in atmosfere (1 atmosfera = 1.013 dyne/cm2 ), ed eliminiamo v in (5.91) mediante la relazione dei gas perfetti, troviamo: 39.5 p0 A = . (5.93) g P 3/2 T 5/2 476 Volumetto 5 5.4.6 Energia libera dei gas biatomici Energia libera dei gas biatomici u− Ts ∂ 1 (U − T S) = (U − T S + P V ) ∂N µ N ¶ 5 T T − kT log + ² log − log P . 2 T0 T1 = = (5.94) (P è la pressione, in atmosfere; T0 = 4.31·M −3/5 , essendo M il peso molecolare; ² = 0, 1, 3/2 per molecole monoatomiche, biatomiche o poliatomiche). Per le molecole biatomiche kT1 = h2 . 8π 2 I (5.95) Per gran numero di molecole sono da aggiungere a (5.94), già a temperatura ordinaria, termini correttivi dipendenti dalle oscillazioni. 5.5 5.5.1 Polinomi di uso frequente Polinomi di Legendre Pn (x) = 1 dn (x2 − 1)n , 2n n! dxn (5.96) P0 (x) = 1 (5.97) P1 (x) = (5.98) P2 (x) = P3 (x) = P4 (x) = x 3 2 1 x − 2 2 5 3 3 x − x 2 2 35 4 15 2 3 x − x + 8 4 8 477 (5.99) (5.100) (5.101) Volumetto 5 5.6 P5 (x) = P6 (x) = P7 (x) = P8 (x) = 63 5 35 3 15 x − x + x 8 4 8 231 6 315 4 105 2 5 x − x + x − 16 16 16 16 429 7 693 5 315 3 35 x − x + x − x 16 16 16 16 6435 8 3003 6 3465 4 315 2 35 x − x + x − x + . 128 32 64 32 128 (5.102) (5.103) (5.104) (5.105) Trasformazioni di spinori Riprendiamo le formole del §5.1 per completarle. Al quadrivettore (5.106) p = (p0 , px , py , pz ) coordiniamo la matrice del secondo ordine p = p0 + px σx + py σy + pz σz . (5.107) La più generale trasformazione reale di Lorentz otteniamo facendo corrispondere al vettore p il vettore p0 tale che per la matrice corrispondente: p0 = S p S † , det S = 1. (5.108) Intendiamo che sia p un vettore contravariante: (p0 , px , py , pz ) ∼ (ct, x, y, z) . (5.109) Se q è un vettore covariante (q0 , qx , qy , qz ) ∼ (ct, −x, −y, −z) , (5.110) qx = − px , (5.111) possiamo porre q0 = p0 , qy = − p y , qz = − pz , e per le matrici corrispondenti: q = q0 + qx σx + qy σy + qz σz = p−1 / det p ∼ p−1 , 478 (5.112) Volumetto 5 poiché det p è invariante. Eseguendo una trasformazione di Lorentz abbiamo per la (5.108): p0−1 = S −1† p−1 S −1 , (5.113) e cosı̀, per la (5.112): q 0 = S −1† q S −1 , det S = 1 (5.114) −1† Le matrici S costituiscono la rappresentazione D1/2 e le matrici S la rap0 presentazione D1/2 . Se ψ è una grandezza del tipo D1/2 e φ una grandezza 0 del tipo D1/2 : (5.115) ψ 0 = S †−1 ψ, φ0 = S φ, si ha (v §5.1): cioè: σy ψ ∗ ∼ φ, σy φ∗ ∼ ψ, φ1 , φ2 ∼ ψ2∗ , − ψ1∗ , ψ1 , ψ2 ∼ φ∗2 , − φ∗1 . (5.116) (5.117) Siano a = (a1 , a2 ) e b = (b1 , b2 ) grandezze a due componenti. Si ha: 1 ∗ (b a + b∗ σx a σx + b∗ σy a σy + b∗ σz a σz ) , 2 cosı̀ alla matrice ab∗ è coordinato il quadrivettore: a b∗ = (5.118) 1 ∗ (5.119) (b a, b∗ σx a, b∗ σy a, b∗ σz a) . 2 Indichiamo con ψ, Ψ, . . . grandezze del tipo D1/2 e con φ, Φ, . . . grandezze 0 del tipo D1/2 . Si ha allora: ψ 0 Ψ0† = S −1† ψ Ψ† S −1 φ0 Φ0† = S φ Φ† S † , (5.120) e cosı̀ per (5.108), (5.114), (5.118), e (5.116): Ψ† ψ, −Ψ† σx ψ, −Ψ† σy ψ, −Ψ† σz ψ; ∼ Φ† φ, Φ† σx φ, Φ† σy φ, Φ† σz φ; ∼ ct, x, y, z; ∼ i ψ ∗ σy φ, ψ ∗ σz φ, iψ ∗ φ, −ψ ∗ σx φ. (5.121) 479 Volumetto 5 0 Segue che i quadrivettori si trasformano secondo D1/2 ×D1/2 = D1/2,1/2 (a meno di un cambiamento di coordinate). Le componenti dei tensori di ordine più elevato non si trasformano secondo rappresentazioni irriducibili nemmeno se si considerano tensori aventi speciali caratteri di simmetria. Cosı̀ delle 10 componenti del tensore simmetria di secondo ordine una è invariante e nove si trasformano secondo D1,1 , mentre delle sei componenti del tensore emisimmetrico di secondo ordine se ne trasformano tre secondo D1,0 ≡ D1 , e tre secondo D0,1 ≡ D10 . Le formole (5.121) considerano in alcuni casi tipici come si trasformano i prodotti delle componenti di una grandezza ψ per le componenti di una grandezza φ. Essi danno luogo a una rappresentazione irriducibile D1/2,1/2 . Vogliamo ora considerare la legge di trasformazione di prodotti di grandezze dello stesso tipo ψ (o φ). Avremo rappresentazioni non più irriducibili equivalenti a: D1/2 ×D1/2 = D0 + D1 0 0 ×D1/2 = D0 + D10 , oppure D1/2 e potremo quindi costruire da combinazioni di detti prodotti un invariante e tre variabili che si trasformano come certe tre (o le altre tre) delle componenti del tensore emisimmetrico di secondo ordine. Gli invarianti nei casi tipici precedentemente considerati si trovano immediatamente; infatti da ψ 0 = S −1† ψ e φ0 = S φ, segue ψ 0† φ0 = ψ † S −1 S φ = ψ † φ. Facendo uso, al solito, di (5.116), abbiamo cosı̀ che sono invarianti: ³ ´† ψ † φ = φ† ψ = ψ1† φ1 + ψ2† φ2 i Ψ ∗ σy ψ = Ψ 1 ψ2 − Ψ 2 ψ1 ∗ = Φ1 φ2 − Φ2 φ1 . i Φ σy φ (5.122) A causa di (5.122) sarà: (5.123) ψi Ψk ∼ ψi Ψk (φ1 Φ2 − φ2 Φ1 ) . Notando che l’ultima delle (5.121) si può scrivere ψ1 φ1 , ψ1 φ2 , ψ2 φ1 , ψ2 φ2 , x − iy, ct − z, −ct − z, −x − iy, (5.124) ∼ 480 Volumetto 5 e sostituendo nel secondo membro di (5.123), dove figurano prodotti del tipo (ψi φ` )(Ψk Φm ), ricaviamo, dopo eliminazione dell’invariante ψ1 Ψ2 − ψ2 Ψ1 (che risulta nel fatto tale poiché si trasforma come: c2 tt1 − xx1 − yy1 − zz1 , che è invariante) ψ1 Ψ1 ∼ −c(tx1 − xt1 ) + i(yz1 − zy1 ) + ic(ty1 − yt1 ) +(zx1 − xz1 ), 1 (ψ1 Ψ2 + ψ2 Ψ1 ) 2 ψ2 Ψ2 ∼ ∼ c(tz1 − zt1 ) − i(xy1 − yx1 ), (5.125) c(tx1 − xt1 ) − i(yz1 − zy1 ) + ic(ty1 − yt1 ) +(zx1 − xz1 ). I vari termini del secondo membro si trasformano come le componenti del campo elettromagnetico; precisamente: Ex , E y , E z ∼ c(tx1 − xt1 ), c(ty1 − yt1 ), c(tz1 − zt1 ); Hx , H y , H z ∼ yz1 − zy1 , zx1 − xz1 , xy1 − yx1 , (5.126) cosicché le (5.125) si possono scrivere: ψ1 Ψ1 1 (ψ1 Ψ2 + ψ2 Ψ1 ) 2 ψ2 Ψ2 ∼ −(Ex − iHx ) + i(Ey − iHy ) ∼ Ez − iHz ∼ (Ex − iHx ) + i(Ey − iHy ). (5.127) Facendo uso di (5.116), ricaviamo le formole analoghe: φ1 Φ1 1 (φ1 Φ2 + φ2 Φ1 ) 2 φ2 Φ2 ∼ −(Ex + iHx ) + i(Ey + iHy ) ∼ Ez + iHz ∼ (Ex + iHx ) + i(Ey + iHy ); φ† σx ψ ∼ Ex − iHx φ† σy ψ ∼ Ey − iHy φ σz ψ ∼ Ez − iHz ; ψ † σx φ ∼ Ex + iHx † 481 (5.128) (5.129) Volumetto 5 ψ † σy φ ∼ Ey + iHy ψ † σz φ ∼ Ez + iHz . (5.130) Ponendo Ψ = (ψ, φ), segue da (5.129) e (5.130): Ψ† ρ1 σx Ψ Ψ† ρ1 σy Ψ Ψ† ρ1 σz Ψ Ψ† ρ2 σx Ψ Ψ† ρ2 σy Ψ Ψ† ρ2 σz Ψ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ Ex Ey Ez Hx Hy Hz ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ − Hx − Hy − Hz Ex Ey Ez . (5.131) Nella nostra rappresentazione si ha: α = ρ3 σ, β = ρ1 . (5.132) Per passare a una rappresentazione generica corrispondente alle equazioni µ W + α·p + β mc c ¶ Ψ = 0, (5.133) basta eseguire nelle formole precedenti le sostituzioni: ρ1 → β, σx → − i αy αz , ρ2 → β αx αy αz , σy → − i αz αx , ρ3 → − i αx αy αz , σz → − i α x αy . (5.134) Si trovano cosı̀ in generale le seguenti leggi di trasformazione per tutte le combinazioni di prodotti Ψ∗r Ψs : Ψ† Ψ ∼ −iΨ† αx αy αz Ψ ∼ ct −Ψ† αx Ψ ∼ iΨ† αy αz Ψ ∼ x (5.135) −Ψ† αy Ψ ∼ iΨ† αz αx Ψ ∼ y −Ψ† αz Ψ ∼ iΨ† αx αy Ψ ∼ z. 482 Volumetto 5 iΨ† βαx Ψ ∼ Ex , iΨ† βαy Ψ ∼ Ey , iΨ† βαz Ψ ∼ Ez , (5.136) iΨ† βαy αz Ψ ∼ Hx , iΨ† βαz αx Ψ ∼ Hy , iΨ† βαx αy Ψ ∼ Hz , Ψ† βΨ ∼ Ψ† βαx αy αz Ψ ∼ 1. (5.137) Poniamo F1 = Ψ† Ψ, F9 = iΨ† βαx Ψ F2 = −Ψ† αx Ψ, F 10 = iΨ† βαy Ψ F3 = −Ψ† αy Ψ, F 11 = iΨ† βαz Ψ F4 = −Ψ† αz Ψ, F 12 = +iΨ† βαy αz Ψ F5 = −iΨ† αx αy αz Ψ, F 13 = +iΨ† βαz αx Ψ F6 = iΨ† αy αz Ψ, F 14 = +iΨ† βαx αy Ψ F7 = iΨ† αz αx Ψ, F 15 = Ψ† βΨ F8 = iΨ† αx αy Ψ, F 16 = Ψ† βαx αy αz Ψ. Ponendo, in generale Fp = X p Frs Ψ∗r Ψs , (5.138) r,s le matrici Hermitiane Frs risultano unitarie e dalla considerazione del gruppo delle 32 matrici distinte della forma 3 ± β n0 αxn1 αyn2 αzn , (5.139) seguono le relazioni di ortogonalità: 16 X p∗ p Frs Fr0 s0 = 4 δrr0 δss0 p=1 483 (5.140) Volumetto 5 da cui segue: Ψ∗r Ψs = 5.7 16 1 X p p Frs F . 4 p=1 (5.141) Funzioni sferiche con spin s = 1/2 Siano ϕm ` le funzioni sferiche ordinarie normalizzate e con le costanti di fase cosı̀ scelte da dar luogo alla rappresentazione ordinaria del momento angolare rispetto agli assi x, y, z. Per esempio: s 2` + 1 (` − m)! m m m P` (cos θ) eimφ , ϕ` = (−1) (5.142) 4π (` + m)! essendo P`m i polinomi di Legendre: P`m (t) = ¢m/2 d`+m (t2 − 1)` 1 ¡ 1 − t2 . `! dt`+m 2` (5.143) Si ha ϕm = (−1)m ϕ−m∗ , ` ` e in luogo di (5.142) si può anche scrivere s 2` + 1 (` + m)! −m m ϕ` = P (cos θ) eimφ . 4π (` − m)! ` (5.144) (5.145) Le funzioni sferiche con spin s = 1/2 a due valori che si trasformano secondo Dj (j = 1/2, 3/2, 5/2, . . .) con determinata segnatura e appartengono quindi a valori fissati di j e di ` = j ∓ 1/2) sono definite da: Ãr ! r k + m − 1/2 m−1/2 k − m − 1/2 m+1/2 m k+`+1 Sk = ϕ` , (−1) ϕ` . 2k − 1 2k − 1 (5.146) Il numero intero, positivo o negativo, k (k = ±1, ±2, ±3, . . .) definisce j e ` mediante la relazione:  per j = ` + 1/2,  ` + 1, 1 k = j(j + 1) − `(` + 1) + (5.147) =  4 − `, per j = ` − 1/2. 484 Volumetto 5 (a) relazioni varie fra `, j, k: σ·L = k −1 `(` + 1) = (k − 1)k (j + m)(j − m + 1) = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) (` + m + 1/2) (` − m + 1/2) = (k + m − 1/2) (k − m − 1/2) (` − a)(` + 1 + a) = (k − 1 − a)(k + a); (5.148) (b) matrici di momenti angolari: p (Jx − i Jy ) Skm = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) Skm−1 p m (Jx + i Jy ) Sk = (k + m + 1/2) (k − m − 1/2) Skm+1 (5.149) Jz Skm = m Skm ; m (c) legame fra Skm , S−k , e Sk−m : m S−k Sk−m = = σz Skm (5.150) i σy (−1) k+`+m−1/2 Skm ∗ ; (5.151) (d) sull’operatore (σ · p):50 σ·p f (r) Skm σ·p m f (r) S−k = ~ i = ~ i µ µ d k−1 − dr r d k+1 + dr r ¶ m f (r) S−k (5.152) ¶ f (r) Skm ; (e) le funzioni sferiche con spin di ordine più basso: k = 1; S1 1/2 = −1/2 = S1 50 Nel j= 1 , 2 `=0 ¶ 1 √ , 0 4π µ ¶ ¡ ¢ 1 0, ϕ00 = 0, √ ; 4π ¡ 0 ¢ ϕ0 , 0 = µ manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di ~. 485 Volumetto 5 k = −1; = −1/2 = S−1 1 0 ϕ1 , − 3 3/2 S2 = S2 1/2 = −1/2 = −3/2 = S2 `=1 r k = 2; S2 1 , 2 ! µ ¶ 2 1 1 1 ϕ1 = √ cos θ, √ sin θ eiφ 3 4π 4π Ãr ! r µ ¶ 2 −1 1 0 1 1 ϕ1 , − ϕ1 = √ sin θ e−iφ , − √ cos θ ; 3 3 4π 4π Ãr 1/2 S−1 j= j= Ã r j= = = 1/2 = 3 , 2 `=2 ! r 1 1 4 2 ϕ2 , − ϕ2 5 5 Ã r ! r 3 3 iφ 2 2iφ − sin θ cos θ e , − sin θ e 8π 8π Ãr ! r 2 0 3 1 ϕ2 , − ϕ2 5 5 Ãr S−2 `=1 ! 3 iφ − sin θ e , 0 8π Ãr ! r µ ¶ 2 0 1 1 1 1 ϕ1 , ϕ1 = √ cos θ, − √ sin θ eiφ 3 3 2π 8π Ãr ! r µ ¶ 1 −1 2 0 1 1 ϕ1 , ϕ1 = √ sin θ e−iφ , √ cos θ 3 3 8π 2π Ã r ! ¡ ¢ 3 0, ϕ−1 = 0, sin θ e−iφ ; 1 8π ¡ 1 ¢ ϕ1 , 0 = k = −2; 3/2 S−2 3 , 2 486 Volumetto 5 Ãr = −1/2 S−2 = = −3/2 S−2 = = ! r ¶ 3 1 9 2 iφ cos θ − , − sin θ cos θ e 2 2 8π Ãr ! r 3 −1 2 0 ϕ , − ϕ2 5 2 5 Ãr r µ ¶! 9 1 3 1 −iφ 2 sin θ cos θ e , − cos θ − 8π 2π 2 2 ! Ãr r 4 −2 1 −1 ϕ , − ϕ 5 2 5 2 Ãr ! r 3 3 2 −2iφ −iφ sin θ e , − sin θ cos θ e ; 8π 8π 1 2π µ (f) matrici di x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche ordinarie: s x − iy m ϕ` = sin θ e−iφ ϕm ` r = s + s x + iy m ϕ` = sin θ eiφ ϕm ` r = s − s z m ϕ` = cos θ ϕm ` r (` + m)(` + m − 1) m−1 ϕ`−1 (2` + 1)(2` − 1) − = s + (` − m + 1)(` − m + 2) m−1 ϕ`+1 (2` + 1)(2` + 3) (` − m)(` − m − 1) m+1 ϕ`−1 (2` − 1)(2` + 1) (` + m + 1)(` + m + 2) m+1 ϕ`+1 (2` + 1)(2` + 3) (` − m)(` + m) m ϕ`−1 (2` − 1)(2` + 1) (` − m + 1)(` + m + 1) m ϕ`+1 ; (2` + 1)(2` + 3) (g) matrici x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche con spin: x − iy m Sk r = 1 − 2k − 1 sµ k+m− 487 1 2 ¶µ k+m− 3 2 ¶ m−1 Sk−1 Volumetto 5 + + x + iy m Sk r = − + z m Sk r = + + sµ ¶µ ¶ 1 3 m−1 k−m+ k−m+ Sk+1 2 2 sµ ¶µ ¶ 2 1 1 m−1 k−m+ k+m− S−k (2k − 1)(2k + 1) 2 2 sµ ¶µ ¶ 1 1 3 m+1 k−m− k−m− Sk−1 2k − 1 2 2 sµ ¶µ ¶ 1 1 3 m+1 k+m+ k+m+ Sk+1 2k + 1 2 2 sµ ¶µ ¶ 1 1 2 m+1 k−m− k+m+ S−k (2k − 1)(2k + 1) 2 2 sµ ¶µ ¶ 1 (−1)k+`+1 1 m k+m− k−m− Sk−1 2k − 1 2 2 sµ ¶µ ¶ (−1)k+`+1 1 1 m k+m+ k−m+ Sk+1 2k + 1 2 2 1 2k + 1 2 m m S−k ; (2k − 1)(2k + 1) (h) matrici di Lx , Ly , Lz (si noti che |2k − 1| = 2` + 1): (Lx − iLy ) Skm = + (Lx + iLy ) Skm = − Lz Skm = 2k − 2 2k − 1 sµ k+m− 1 2 ¶µ k−m+ 1 2 ¶ Skm−1 sµ ¶µ ¶ 1 3 1 m−1 k+m− S−k+1 k+m− |2k − 1| 2 2 sµ ¶µ ¶ 2k − 2 1 1 k+m+ k−m− Skm+1 2k − 1 2 2 sµ ¶µ ¶ 1 1 3 m+1 k−m− k−m− S−k+1 |2k − 1| 2 2 2k − 2 m Skm 2k − 1 488 Volumetto 5 1 |2k − 1| − sµ 1 k+m− 2 ¶µ 1 k−m− 2 ¶ m S−k+1 ; (i) matrici di σx , σy , σz : (σx − iσy ) (σx + iσy ) Skm Skm σz Skm = − 2 |2k − 1| = 2 |2k − 1| + 1 |2k − 1| = − 5.8 sµ 2 2k − 1 k+m− sµ 1 2 ¶µ k−m+ k+m− 1 2 k+m+ 1 2 k−m− 1 2 sµ sµ 1 2 ¶µ ¶ Skm−1 k+m− 3 2 k−m− 1 2 k−m− 3 2 ¶µ ¶µ ¶ m−1 S−k+1 ¶ Skm+1 ¶ m+1 S−k+1 2 m Skm 2k − 1 sµ ¶µ ¶ 1 1 1 m . k−m− S−k+1 k+m− |2k − 1| 2 2 Rappresentazioni unitarie in infinite dimensioni del gruppo di Lorentz Le rappresentazioni del gruppo di Lorentz considerate nel §5.1 sono, ad eccezione della rappresentazione identica, essenzialmente non unitarie, cioè non possono rendersi tali per trasformazione. L’impossibilità di avere rappresentazioni unitarie fedeli del gruppo di Lorentz deriva dall’essere questo gruppo aperto. I gruppi aperti però possono avere, a differenza dei gruppi chiusi, rappresentazioni irriducibili, anche unitarie, in infinite dimensioni. Per ciò che riguarda il gruppo di Lorentz diamo più sotto due classi di tali rappresentazioni unitarie. Una rappresentazione può essere definita dalle 489 Volumetto 5 trasformazioni infinitesime soddisfacenti alle relazioni di scambio (5.1). In luogo di Sx , Sy , Sz , Tx , Ty , Tz possiamo introdurre le matrici: ax = i S x , bx = −i Tx , .... (5.153) Queste saranno Hermitiane in una rappresentazione unitaria e viceversa. Obbediranno inoltre alle relazioni51 [ax , ay ] = i az [bx , by ] = −i az [ax , bx ] = 0 [ax , by ] = i bz [bx , ay ] = i bz (5.154) etc. Ognuna delle nostre rappresentazioni opera in uno spazio a infinite dimensioni i cui vettori unitari sono distinti da due numeri j e m (nelle rappresentazioni della prima classe j = 1/2, 3/2, 5/2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j; nelle rappresentazioni della seconda classe j = 0, 1, 2, . . ., m = j, j − 1, . . . , −j). Oltre a ciò ogni rappresentazione è contrassegnata da un numero reale Z0 suscettibile di tutti i valori positivi o negativi e di cui vedremo appresso il significato. Le componenti diverse da zero di ax −iay , ax +iay , az , bx −iby , bx + iby , bz si deducono dallo schema seguente52 : p < j, m | ax − iay | j, m + 1 > = (j + m + 1)(j − m) p < j, m | ax + iay | j, m − 1 > = (j + m)(j − m + 1) < j, m | az | j, m > = m < j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = − 1p (j + m + 1)(j + m + 2) 2 51 Negli appunti originali il commutatore è indicato con parentesi tonde: (a, b). Anche in questo caso abbiamo preferito adottare la notazione moderna [a, b]. A margine del manoscritto sono anche riportate le proprietà di trasformazione delle matrici a, b (che sono in relazione con le proprietà di trasformazione del campo elettromagnetico): (ax , ay , az , bx , by , bz ) ∼ (Ex , Ey , Ez , Hx , Hy , Hz ) ∼ (−Hx , −Hy , −Hz , Ex , Ey , Ez ). 52 Nell’originale, questi prodotti scalari sono indicati mediante parentesi tonde: (. . . | . . . | . . .). Seguendo la notazione di Dirac, si è preferito invece scrivere: < . . . | . . . | . . . >. 490 Volumetto 5 < j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > = < j, m | bx + iby | j + 1, m − 1 > = < j, m | bx + iby | j − 1, m − 1 > = < j, m | bz | j + 1, m > = < j, m | bz | j − 1, m > = 1p (j − m)(j − m − 1) (5.155) 2 1p (j − m + 1)(j − m + 2) 2 p 1 − (j + m)(j + m − 1) 2 p 1 (j + m + 1)(j − m + 1) 2 1p (j + m)(j − m). 2 Notare le relazioni: a2x + a2y + a2z = j (j + 1) b2x + b2y + b2z = j (j + 1) + 3/4; (5.156) ax b x + ay b y + az b z = 0 b2x + b2y + b2z − a2x − a2y − a2z = 3/4. (5.157) Noi vogliamo ora determinare le matrici α0 , αx , αy , αz in un modo che le equazioni: · µ α0 ¶ ¸ ³ W0 e e ´ + φ + α· p + C − mc ψ = 0 c c c (5.158) siano invarianti. Per ciò è necessario che gli operatori α0 , αx , αy , αz o le forme Hermitiane ad essi collegate (si tratta di trasformazioni unitarie!) si trasformino come le componenti di un vettore covariante (α0 , αx , αy , αz ∼ ct, −x, −y, −z). Per ciò occorre e basta che siano soddisfatte le relazioni 491 Volumetto 5 di scambio: [α0 , ax ] = 0 [α0 , bx ] = i αx [αx , ax ] = 0 [αx , ay ] = i αz [αx , az ] = −i αy [αx , bx ] = i α0 [αx , by ] = 0 [αx , bz ] = 0 (5.159) etc. Dalle prime delle (5.159) segue che α0 è funzione di j: (5.160) α0 = cj , e dalle seconde e quinte: [[α0 , bx ] , bx ] = − α0 , cioè: etc., − α0 = b2x α0 − 2 bx α0 bx + α0 b2x . (5.161) (5.162) Considerando, ad esempio, bz , segue da (5.162): cj cj − 2cj+1 + cj+2 = 0, ¢ ¢ 1¡ 2 1¡ 2 = j − m2 + 2j + 1 (cj+1 − cj ) − j − m2 (cj − cj−1 ) , 2 2 da cui a meno di un fattore costante: cj = j + 1/2, (5.163) da cui, per (5.160), la seconda delle (5.159) e delle (5.155) segue come unica determinazione per le matrici α0 , αx , αy , αz , a meno di un fattore 492 Volumetto 5 costante: α0 = < j, m | αx − iαy | j + 1, m + 1 > = < j, m | αx − iαy | j − 1, m + 1 > = < j, m | αx + iαy | j + 1, m − 1 > = < j, m | αx + iαy | j − 1, m − 1 > = < j, m | αz | j + 1, m > = < j, m | αz | j − 1, m > = 1 2 ip − (j + m + 1)(j + m + 2) 2 p i − (j − m)(j − m − 1) 2 ip (j − m + 1)(j − m + 2) 2 p i (j + m)(j + m − 1) 2 ip (j + m + 1)(j − m + 1) 2 p i − (j + m)(j − m), 2 j + le componenti non indicate essendo nulle. Nelle rappresentazioni con Z0 = ax bx + ay by + az bz reale e arbitrario le ax , ay , az hanno ancora l’espressione (5.155) come nel caso particolare Z0 = 0, mentre le componenti diverse da zero di bx , by , bz sono date nel caso generale da: p 4Z02 + (j + 1)2 < j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = − 2(j + 1) p × (j + m + 1)(j + m + 2) p Z0 < j, m | bx − iby | j, m + 1 > = (j + m + 1)(j − m) j(j + 1) p 4Z02 + j 2 p < j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > = (j − m)(j − m − 1) 2j p 4Z02 + (j + 1)2 < j, m | bx + iby | j + 1, m − 1 > = 2(j + 1) p × (j − m + 1)(j − m + 2) Z0 < j, m | bx + iby | j, m − 1 > = (5.164) j(j + 1) p × (j + m)(j − m + 1) p 4Z02 + j 2 p < j, m | bx + iby | j − 1, m − 1 > = − (j + m)(j + m − 1) 2j 493 Volumetto 5 p 5.9 < j, m | bz | j + 1, m > = < j, m | bz | j, m > = < j, m | bz | j − 1, m > = 4Z02 + (j + 1)2 2(j + 1) p × (j + m + 1)(j − m + 1) Z0 m j(j + 1) p 4Z02 + j 2 p (j + m)(j − m). 2j L’equazione (¤ + λ)A = p Definiamo il simbolo ¤ da ¤ ≡ 1 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 − − − 2 2 2 2 c ∂t ∂x ∂y ∂z 2 (5.165) e supponiamo λ una costante positiva (dimensionalmente [L]−2 ), mentre p = p(x, y, z, t) è una funzione arbitraria del posto. La soluzione generale dell’equazione: (¤ + λ) A = p(x, y, z, t) (5.166) si otterrà da una soluzione particolare aggiungendo la soluzione generale dell’equazione resa omogenea ponendo p = 0. Una soluzione particolare si può porre nella forma: Z A(q, t) = F (q, t; q 0 , t0 ) p(q 0 , t0 ) dq 0 dt0 , (5.167) e si può richiedere per simmetria che sia: F (q, t; q 0 , t0 ) = F (R, T ), √ (5.168) se R = X 2 + Y 2 + Z 2 e X = x − x0 , Y = y − y 0 , Z = z − z 0 , T = t − t0 . Si può inoltre esigere che F (R, T ) sia diversa da zero solo per T ≥ R/c. F deve soddisfare all’equazione (5.166) resa omogenea (considerata come funzione di q e t, o di q 0 e t0 ) salvo che per T = 0 e quindi R = 0, nel qual punto deve avere una appropriata singolarità. La funzione che 494 Volumetto 5 soddisfa alle condizioni volute presenta singolarità anche al contorno del campo di integrazione, cioè per T = R/c, e cosı̀ l’integrale (5.167) si spezza nella somma di un integrale preso sul cono ottico negativo, e di un integrale quadridimensionale preso all’interno del detto semicono ottico. Si trova la formola seguente che verificheremo più avanti: µ ¶ Z Z 1 1 R cλ I1 (ω) 0 0 A(q, t) = p q ,t − dq − p(q 0 , t0 ) dq 0 dt0 , 4π R c 4π T >R/c ω (5.169) essendo I1 la funzione di Bessel d’ordine 1 e p ω = λ (c2 T 2 − R2 ). (5.170) Per λ = 0 sopravvive in (5.169) solo il primo integrale che dà la consueta espressione dei potenziali ritardati. Per verificare la (5.169), poniamo per q e t fissi: Z t A(q, t) = (5.171) u(t0 ) dt0 , −∞ 0 0 essendo u(t )dt il contributo dato nei due integrali a secondo membro di (5.169) da tutti i punti dei due campi di integrazione appartenenti a t0 compreso fra t0 e t0 + dt0 . Vogliamo dimostrare che u(t0 ) può porsi nella forma: dv(t0 ) u(t0 ) = (5.172) , dt0 0 la funzione v(t ) potendosi esprimere come somma di due integrali presi nello spazio t0 = costante, l’uno sulla superficie sferica |q − q 0 | = R = cT = c(t − t0 ) e l’altro all’interno della stessa sfera. Precisamente, si può porre: Z 4πc2 T 2 · 1 1 ∂A(q 0 , t0 ) 1 ∂A(q 0 , t0 ) v(t0 ) = + 0 4π 0 cR ∂t R ∂R µ ¶ ¸ Z 4 πc3 T 3 · 3 1 ∂A(q 0 , t0 ) I1 (ω) 1 λ λ + − A(q 0 , t0 ) dσ − 2 R 2 4π 0 c ∂t0 ω ¸ 0 0 0 I1 (ω) − ωI1 (ω) 0 (5.173) − λ cT A(q , t ) dq ; ω3 [∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna!] Per dimostrare questa formola bisogna provare che u(t0 ) ottenuta per derivazione di v(t0 ) secondo la (5.172) coincide con il vettore calcolato 495 Volumetto 5 in base alla sua definizione (5.171). Per il calcolo diretto di u(t0 ) basta sostituire in (5.169) a p(q 0 , t0 ) la sua espressione (¤ + λ)A(q 0 , t0 ) in base all’equazione differenziale (5.166). Sostituendo in (5.172) mediante (5.173), troviamo che anche u(t0 ) si esprime come somma di un integrale esteso sulla sfera |q − q 0 | = R = cT e di un altro integrale preso all’interno della sfera: Z 4πc2 T 2 · 1 ∂ 2 A(q 0 , t0 ) 1 c ∂ 2 A(q 0 , t0 ) u(t0 ) = − 02 4π 0 cR ∂t R ∂R2 ¶ ¸ µ 0 0 cλ ∂A(q 0 , t0 ) 2c ∂A(q , t ) 1 λR c λA(q 0 , t0 ) + dσ − 2 + − R ∂R R 8 2 ∂R Z 4 πc3 T 3 · 3 cλ I1 (ω) − (¤ + λ) A(q 0 , t0 ) 4π 0 ω ¶¸ 0 X ∂ µ I1 (ω) ∂A(q 0 , t0 ) 0 0 I1 (ω) − ωI1 (ω) + + λ × A(q , t ) dq 0 ∂x0 ω ∂x0 ω3 (x,y,z) = 1 4πT − Z 4πc2 T 2 0 cλ 4π Z (¤ + λ) A(q 0 , t0 ) dσ 4 πc3 T 3 3 0 I1 (ω) (¤ + λ) A(q 0 , t0 ) dq 0 . ω (5.174) Per la deduzione di questa relazione si è tenuto conto dell’equazione differenziale a cui soddisfa I1 (ω), µ ¶ 1 0 1 I100 (ω) + I1 (ω) + 1 − 2 I1 (ω) = 0, (5.175) ω ω come anche della (5.170) e delle relazioni: lim ω→0 I1 (ω) 1 = , ω 2 lim ω→0 I1 (ω) − ωI10 (ω) 1 = . ω3 8 (5.176) Si verifica immediatamente che u(t0 ) è precisamente la funzione che abbiamo introdotto più sopra per dedurre (5.171) da (5.169); basta per ciò introdurre nella (5.169) in luogo di p la sua espressione (¤ + λ)A, secondo l’equazione differenziale (5.166). Resta cosı̀ provato che il secondo membro di (5.169) vale: A0 (q, t) = lim v(t0 ) − 0 t →t 496 lim t0 →−∞ v(t0 ). (5.177) Volumetto 5 Segue da (5.173): lim v(t0 ) = A(q, t), t0 →t (5.178) mentre se ammettiamo che A(q, t) per t → −∞ si annulli con sufficiente rapidità: lim v(t0 ) = 0 . (5.179) 0 t →−∞ Segue A0 (q, t) = A(q, t), (5.180) e cosı̀ la (5.169) resta dimostrata, poiché verifichiamo a posteriori che la condizione supposta è verificata se A(q, t) è definita da (5.169) e p(q, t) si annulla per valori sufficientemente piccoli di t. Ma anche se p permane diversa per valori comunque piccoli di t la (5.169) sarà ancora nella forma (5.171), purché non sorgano difficoltà di convergenza. In luogo di (5.169) si può usare quando occorre un’altra soluzione particolare di (5.166) che si ottiene invertendo l’asse del tempo: µ ¶ Z Z R cλ I1 (ω) 1 1 B(q, t) = p q0 , t + dq 0 − p(q 0 , t0 ) dq 0 dt0 4π R c 4π T <R/c ω (5.181) e sarà naturalmente in generale B 6= A, mentre la differenza B − A obbedisce all’equazione differenziale (5.166) resa omogenea ponendo p = 0. Le soluzioni (5.169) e (5.181) della (5.166) possono servire anche per determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea: (¤ + λ) A = 0. (5.182) La soluzione più generale delle (5.182) si ha assegnando ad arbitrio per t = 0 i valori della funzione e della sua derivata temporale: A(q, 0), Ȧ(q, 0). Introduciamo una funzione singolare A1 (q, t) tale che: ½ A(q, t), per t > 0, A1 (q, t) = 0, per t < 0, (5.183) (5.184) cosı̀ che la conoscenza di A1 permette di determinare A per t > 0. Se ora poniamo: (¤ + λ) A1 = p(q, t), (5.185) 497 Volumetto 5 sarà p una funzione singolare per t = 0 e che si annulla per t > 0 e t < 0. La funzione A1 è precisamente quella soluzione particolare di (5.185) che si lascia porre nella forma (5.169). Quanto alla funzione singolare p(q, t) essa è costituita da uno strato semplice giacente in t = 0 di densità: s0 = 1 Ȧ(q, 0) c2 (5.186) e da un doppio strato giacente nello stesso spazio t = 0 di densità: s1 = − 1 A(q, 0). c2 (5.187) Sostituendo in (5.169) e badando a (5.184), si avrà per t > 0 Z 4πc2 t2 Z 4 πc3 t3 3 1 cλ I1 (²) A(q, t) = s0 (q 0 ) dq 0 s0 (q 0 ) dσ − 4πt 0 4π 0 ² # " Z 4πc2 t2 Z 4 πc3 t3 3 1 ∂ cλ I1 (²) 0 0 0 s1 (q ) dq , (5.188) − s1 (q ) dσ − ∂t 4πt 0 4π 0 ² essendo ² = p λ(c2 t2 − R2 ), (5.189) mentre gli integrali sono estesi sulla superficie sferica o all’interno della sfera di raggio ct e centro q. Sostituendo a s0 (q) e s1 (q), le loro espressioni (5.186) e (5.187) si trova dopo qualche trasformazione: µ ¶ Z 4πc2 t2 · 1 λR2 0 t Ȧ(q , 0) + 1 − A(q 0 , 0) 4πc2 t2 0 2 ¸ Z 4 πc3 t3 · 3 λ2 ct ∂A(q 0 , 0) I1 (²) − ²I10 (²) dσ + + R A(q 0 , 0) ∂R 4π 0 ²3 ¸ 1 I1 (²) 0 − Ȧ(q , 0) dq 0 (t > 0). (5.190) λc2 t ² A(q, t) = In questa espressione ∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna alla sfera di raggio ct. In modo analogo si può ottenere A per t < 0 utilizzando le soluzioni particolari (5.181) della (5.166). Il risultato si può prevedere senz’altro data l’invarianza della (5.182) rispetto all’inversione dell’asse temporale; si 498 Volumetto 5 otterrà la stessa espressione (5.190), in cui gli integrali saranno ora estesi sulla superficie o all’interno della sfera di raggio −ct e centro q e dovrà inoltre cambiarsi segno nei termini delle funzioni integrande che portano a fattore Ȧ(q 0 , 0). 5.10 Formole varie relative ad autofunzioni atomiche (1) Equazioni di Dirac in campo centrale: · ¸ W −V + ρ1 σ·p + ρ3 mc ψ = 0; c ½ k = (2j + 1)(j − `) = ` + 1, per j = ` + 1/2, −`, per j = ` − 1/2; (ψ3 , ψ4 ) = (ψ1 , ψ2 ) = u(r) m Sk r v(r) m i S−k r (5.191) (5.192) (5.193) (5.194) (si veda nel §5.7);53 Z µ µ 53 Nel d k − dr r d k + dr r ¡ ¢ u2 + v 2 dr = 1, ¶ u = u = ¶ ¢ 1 ¡ W − V + mc2 v, ~c ¢ 1 ¡ − W − V − mc2 u. ~c (5.195) (5.196) (5.197) manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di ~. 499 Volumetto 5 (2) Soluzione di µ 00 y + 2Z `(` + 1) − x x2 ¶ y = 0; (5.198) condizioni ai limiti: y(0) = 0, è y = lim x→0 y = 1, x`+1 (5.199) ³ √ ´ (2` + 1)! √ 2Zx I 2 2Zx . 2`+1 (2Z)`+1 (5.200) (3) Formola della struttura fina: E = mc2 µ 1 + Z 2 α2 √ (S + k2 − Z 2 α2 )2 ¶−1/2 − mc2 , (5.201) con S S = = 0, 1, 2, . . . , 1, 2, 3, . . . , per k > 0, per k < 0. (5.202) 1a approssimazione: E = − Z2 Z4 Rh − 3 2 n n µ 1 3 − |k| 4n ¶ α2 Rh (5.203) r−3 α2 Rh, (5.204) (α2 Rh = 5.82 cm−1 ). Separazione dei doppietti: Z4 ∆E = 3 α2 Rh = Z a30 n `(` + 1) µ 1 `+ 2 ¶ con r−3 = Z3 1 . a30 n3 `(` + 1/2)(` + 1) 500 (5.205) Volumetto 5 5.11 Teoria classica della radiazione di multipolo Consideriamo un sistema elettrico oscillante con frequenza ν, tale cioè che la densità di carica e di corrente possa essere espressa mediante le formole: ρ = ρ0 e−2πνit + ρ∗0 e2πνit , I = I0 e−2πνit + I∗0 e2πνit . (5.206) Conveniamo, una volta per tutte, di misurare le correnti in unità elettromagnetiche. Dall’equazione di continuità segue: ρ0 = c div I0 , 2πνi (5.207) cosicché il sistema è interamente definito dalla funzione vettoriale arbitraria I0 . L’irradiazione di tale sistema può calcolarsi o cercando una soluzione delle equazioni: ¤ φ = 4π ρ, (5.208) ¤ A = 4π I, con la “condizione di continuità” 54 1 ∂φ + div A = 0, c ∂t (5.209) che si lasci porre in forma analoga a (5.206) e soddisfi inoltre alla condizione ai limiti di rappresentare a grande distanza un’onda divergente (metodo degli stati stazionari); ovvero supponendo che nell’istante iniziale lo spazio sia libero da radiazione e calcolando la distribuzione di questa sulle varie frequenze dopo un certo tempo t (metodo della variazione delle costanti). In ogni caso la conoscenza delle correnti basta a definire il sistema irradiante e quella del potenziale vettore a calcolare l’energia irradiata. Basterà quindi limitarsi a considerare le relazioni che passano fra I e A che sono grandezze vettoriali che si trasformano secondo una rappresentazione equivalente a D1 . Scegliendo opportune combinazioni lineari delle ordinarie 54 Con terminologia moderna si direbbe “condizione di gauge”; in particolare, l’Autore sta considerando la gauge di Lorentz. 501 Volumetto 5 componenti vettoriali giova introdurre grandezze I = (I1 , I2 , I3 ) e A = (A1 , A2 , A3 ), che si trasformano esattamente secondo D1 : ³ √ ´ ³ √ ´ I1 = 1/ 2 (−Ix + iIy ) , A1 = 1/ 2 (−Ax + iAy ) , I2 = Iz , ³ I3 = A 2 = Az , √ ´ 1/ 2 (Ix + iIy ) , ³ A3 = √ ´ 1/ 2 (Ax + iAy ) . (5.210) Conviene stabilire un opportuno sistema completo di funzioni ortogonali rispetto a cui una generica funzione vettoriale V = (V1 , V2 , V3 ) sia sviluppabile. Scegliamo perciò le soluzioni regolari di: ∆ V + k2 V = 0, k > 0, (5.211) e le numeriamo oltre che con l’indice continuo k con gli indici discreti j e m, che hanno il significato consueto. È facile vedere che per ogni valore di k e fissato j (intero) e m esistono tre soluzioni regolari indipendenti di (5.211) tranne per j = 0, nel qual caso se ne ha una sola. Introducendo infatti il momento “orbitale” ` (in unità ~), si hanno evidentemente per ogni valore di k, 3·(2` + 1) soluzioni indipendenti di (5.211), regolari nell’origine che si ottengono ponendo una delle componenti di V uguale a 1 m Vi = √ I`+1/2 (kr) ϕ` ` , r i = 1, 2, 3; m` = `, ` − 1, . . . , −`, (5.212) e le altre due uguali a zero: Vi0 = 0, i0 6= i. (5.213) Queste 3·(2` + 1) funzioni vettoriali si trasformano secondo D` ×D1 e si lasciano quindi esprimere come combinazioni di tre sistemi di funzioni indipendenti che si trasformano secondo: D`−1 , D` , D`+1 (5.214) escluso il caso ` = 0, in cui sopravvive, dei sistemi (5.214), quello indicato con D`+1 . Ogni rappresentazione irriducibile Dj , con soluzioni regolari di (5.211) appartenenti a un dato valore di k, si presenta quindi in generale tre volte, potendo essa derivare da ` = j + 1, j, j − 1, tranne nel caso j = 0, in 502 Volumetto 5 cui se ne ha una sola che deriva da ` = 1. Fissati k, j, e m si hanno dunque tre soluzioni di (5.211), nel caso generale, e dobbiamo ancora stabilire un criterio per distinguerle se vogliamo giungere alla numerazione completa di tutte le soluzioni indipendenti di (5.211). Il criterio più semplice è quello che deriva dalla dimostrazione precedente e consiste nell’assegnare oltre a j e a m anche il momento “orbitale” `, che può assumere i valori j +1, j, j −1 (per j = 0 solo ` = 1), ma non è il più conveniente perché non rispetta la distinzione assai importante dal punto di vista applicativo fra onde longitudinali e onde trasversali. Le soluzioni regolari di (5.211) possono infatti esprimersi, come è noto, come combinazioni di soluzioni particolari appartenenti a due sistemi differenti: il sistema delle onde longitudinali che soddisfanno alla condizione aggiunta rot V ≡ 1 · grad V = 0, i (5.215) da cui segue V = grad v, (5.216) e il sistema delle onde trasversali che soddisfanno alla condizione div V = 0. (5.217) Onde dei due sistemi sono ortogonali. Ora è facile vedere che per ogni valore di k, j, e m (anche per j = 0) si ha una e una sola onda longitudinale che si ottiene evidentemente da (5.216) ponendo a meno di un fattore costante: 1 v = √ Ij+1/2 (kr) ϕm j . kr (5.218) Dalle proprietà di simmetria per riflessione nel centro segue che l’onda longitudinale è una combinazione delle soluzioni di (5.211) appartenenti a ` = j + 1 e ` = j − 1; l’altra combinazione delle stesse soluzioni ortogonale all’onda longitudinale (esiste per j > 0) sarà invece un’onda trasversale che chiameremo, per ragioni da spiegare in seguito, “onda di multipolo elettrico di ordine j”. Infine la soluzione appartenente a ` = j (esiste anche essa solo per j > 0) costituirà un’altra onda trasversale che vogliamo chiamare “onda di multipolo magnetico di ordine j”. Eseguendo i calcoli impliciti nella dimostrazione precedente troviamo come espressione esplicita per i tre tipi di onde: 503 Volumetto 5 (a) onde longitudinali: r L Vk,j,m = k r r + ·r j Ij−1/2 (kr) ϕm j,j−1 2j + 1 ¸ j+1 m Ij+3/2 (kr) ϕj,j+1 ; 2j + 1 (b) onde di multipolo elettrico: r ·r k j+1 E Vk,j,m = Ij−1/2 (kr) ϕm j,j−1 r 2j + 1 r ¸ j − Ij+3/2 (kr) ϕm j,j+1 ; 2j + 1 (5.219) (5.220) (c) onde di multipolo magnetico: r M Vk,j,m = k Ij+1/2 (kr) ϕm j,j . r (5.221) Come si è detto, e come è chiaro anche dalle espressioni precedenti, le onde trasversali esistono solo per j > 0. Il sistema di funzioni vettoriali ortogonali composto da (5.219), (5.220), e (5.221) è completo e normalizzato rispetto a dk. Quest’ultima proprietà risulta facilmente dall’espressione asintotica delle funzioni di Bessel. Sviluppiamo in (5.206) I0 secondo detto sistema di funzioni ortogonali: i XZ ∞h L L E E M M Ik,j,m Vk,j,m + Ik,j,m Vk,j,m + Ik,j,m Vk,j,m dk, I0 = 0 j,m (5.222) essendo le Ik,j,m delle costanti, e analogamente immaginiamo di porre in ogni istante: ´ XZ ∞ X ³ χ ikct χ Ak,j,m e−ikct + A0χ Vk,j,m dk, A = k,j,m e j,m Ȧ = 0 XZ j,m χ=L,E,M ∞ 0 X (5.223) ³ ´ ikct −ikct χ ikc A0χ − Aχ Vk,j,m dk. k,j,m e k,j,m e χ=L,E,M (5.224) 504 Volumetto 5 La condizione di realità delle componenti (cartesiane) di A importa: m χ∗ A0χ k,j,m = ± (−1) Ak,j,−m , + per χ = L, E, − per χ = M. (5.225) Con la stessa regola si può ottenere da (5.222) lo sviluppo di I0∗ . Poniamo L Vk,j,m = grad vk,j,m . (5.226) La funzione scalare v è data da (5.218). Le vk,j,m non sono normalizzate rispetto a dk, tali sono invece le stesse funzioni moltiplicate per k: pk,j,m = kvk,j,m . Sviluppiamo il potenziale scalare e la sua derivata temporale secondo le vk,j,m , ponendo ´ XZ ∞³ φk,j,m e−ikct + φ0k,j,m eikct vk,j,m dk, φ = (5.227) j,m φ̇ = XZ j,m 0 ∞ ³ ´ ikc φ0k,j,m eikct − φk,j,m e−ikct vk,j,m dk. (5.228) 0 La condizione di realità impone φ0k,j,m = (−1)m φ∗k,j,m . (5.229) Dalla condizione di gauge55 φ̇ = −c div A, osservando che le onde trasversali sono prive di divergenza e che div grad vk,j,m = ∆ vk,j,m = −k2 vk,j,m , ricaviamo: ³ ´ −ikct ikct φk,j,m e−ikct − φ0k,j,m eikct = ik AL + A0L . (5.230) k,j,m e k,j,m e Poniamo inoltre ρ = XZ j,m ∞ ρk,j,m vk,j,m dk, (5.231) 0 e badiamo che la prima delle (5.208) può scriversi per la condizione di gauge: 1 ¤ φ ≡ − div A − ∆ φ = 4π ρ, (5.232) c 55 Per chiarezza, qui e nel seguito la (5.209) verrà indicata come “condizione di gauge”, laddove nel testo originale essa viene definita “equazione di continuità” (per i potenziali). 505 Volumetto 5 da cui segue, sviluppando secondo le soluzioni scalari di (5.211): φk,j,m e−ikct + φ0k,j,m eikct ³ ´ 4π −ikct ikct = ik AL − A0L + 2 ρk,j,m . k,j,m e k,j,m e k (5.233) Combinando (5.230) e (5.233), ricaviamo φk,j,m = ik AL k,j,m + 2π ikct e ρk,j,m . k2 (5.234) Vogliamo ora trovare l’espressione dell’energia totale del campo elettromagnetico quando sia noto lo sviluppo (5.223) del potenziale vettore e, attraverso (5.234), del potenziale scalare. Poniamo perciò XXZ ∞ χ χ Ek,j,m Vk,j,m dk E = (5.235) χ H = j,m XXZ χ j,m 0 ∞ 0 χ χ Hk,j,m Vk,j,m dk. (5.236) Badando a (5.233) e alle formole L rot Vk,j,m = 0 E rot Vk,j,m = M + i k Vk,j,m = E Vk,j,m M rot Vk,j,m −ik (5.237) troviamo facilmente: 4π ρk,j,m k³2 L Ek,j,m = E Ek,j,m = M Ek,j,m = ´ −ikct ikct i k AE − A0E k,j,m e k,j,m e ³ ´ −ikct ikct i k AM − A0M ; k,j,m e k,j,m e L Hk,j,m = 0 E Hk,j,m = M Hk,j,m = − ³ ´ −ikct ikct − i k AM + A0M k,j,m e k,j,m e ³ ´ −ikct ikct i k AE + A0E . k,j,m e k,j,m e 506 (5.238) (5.239) Volumetto 5 L’energia totale si può quindi scomporre in due parti: W = Wels + WR , (5.240) essendo l’energia elettrostatica data da: X Z ∞ 2π Wels = |ρk,j,m |2 dk k4 j,m 0 Z 1 1 = ρ(q) ρ(q 0 ) dq dq 0 , 2 |q − q 0 | mentre l’energia raggiante risulta da µ¯ Z ¯ ¯ ¯ ¶ 1 X ∞ 2 ¯ E ¯2 ¯ M ¯2 dk. WR = k ¯Ak,j,m ¯ + ¯Ak,j,m ¯ 2π j,m 0 (5.241) (5.242) Riprendiamo ora il nostro sistema oscillante (5.206) e calcoliamo l’energia da esso irraggiata con il metodo della variazione delle costanti. L’energia elettrostatica oscilla periodicamente con frequenza ν limiti finiti e possiamo trascurarla. Quanto all’energia raggiante, supponiamo che essa M si annulli nell’istante iniziale e che quindi sia inizialmente AE k,j,m = Ak,j,m per tutti i valori di k, j, m. Dalla seconda delle (5.208) e dalle (5.223) e (5.224), segue ikct ȦYk,j,m e−ikct − Ȧ0Y k,j,m e ³ ´ Y 0Y = (4π ic/k) Ik,j,m e−2πνit + Ik,j,m e2πνit , ikct ȦYk,j,m e−ikct + Ȧ0Y = 0, k,j,m e (5.243) Y = E, M, essendo, in analogia con (5.225), 0Y Y∗ Ik,j,m = ± (−1)m Ik,j,−m ; + per Y = E, − per Y = M. (5.244) Di qui ricaviamo: ȦYk,j,m = ´ 2π ic ³ Y 0Y Ik,j,m ei(kc−2πν)t + Ik,j,m ei(kc+2πν)t k Ã AYk,j,m = 2π c k Y Ik,j,m (5.245) ! ei(kc−2πν)t − 1 ei(kc+2πν)t − 1 0Y (5.246) + Ik,j,m kc − 2πν kc + 2πν 507 Volumetto 5 Per t → ∞ tutto l’integrale (5.242) proviene, a meno di quantità che non superano limiti costanti, da valori di k prossimi a k0 = 2πv/c. Ma per k prossimi a k0 segue da (5.246): ¯ ¯ ¯ ¯ 4π sin(k − k0 )ct/2 ¯ Y ¯ ¯ ¯ Y ¯Ak,j,m ¯ = ¯Ik0 ,j,m ¯ , k0 k − k0 (5.247) da cui sostituendo in (5.242) e integrando, come è lecito, al limite, da −∞ a +∞, anziché da 0 a ∞: ¯2 ¯ ¯2 ¶ X µ¯¯ E ¯ ¯ M ¯ WR = 4π 2 c t (5.248) ¯Ik0 ,j,m ¯ + ¯Ik0 ,j,m ¯ . j,m Segue per l’energia irraggiata nell’unità di tempo: ¯ ¯2 ¶ ¯2 X µ¯¯ E WR ¯ M ¯ ¯ wR = = 4π 2 c ¯Ik0 ,j,m ¯ + ¯Ik0 ,j,m ¯ . t j,m (5.249) L’energia irraggiata si può quindi calcolare scomponendo il sistema oscillante in multipoli trasversali, elettrici e magnetici, dei vari ordini, e supponendo che essi irradino senza interferire. I multipoli longitudinali non irradiano naturalmente energia. Ad ogni multipolo corrisponde un’onda sferica con una determinata distribuzione di intensità e polarizzazione secondo le varie direzioni. I numeri j e m rappresentano nell’interpretazione quantistica il momento angolare totale e nella direzione z (in unità ~) del quanto emesso. La loro conoscenza non è sufficiente a determinare completamente il tipo dell’onda emessa potendosi ancora trattare di onda di multipolo elettrico e magnetico, e questa doppia possibilità va intesa come un’alternativa nel tipo di accoppiamento fra momento orbitale e momento intrinseco del quanto emesso. Il momento intrinseco, come è noto, vale ±~ nella direzione del movimento, mentre il valore 0 è escluso. L’intensità di un determinato multipolo è per la (5.249): ¯ ¯2 ¯ ¯ Y wj,m = 4π 2 c ¯IkY0 ,j,m ¯ , Y = E, M, (5.250) cioè calcolando il coefficiente IkY0 ,j,m con la solita regola dei coefficienti dello sviluppo secondo un sistema di funzioni ortogonali: ¯Z ¯2 ¯ ¯ Y (5.251) wj,m = 4π 2 c ¯¯ VkY0†,j,m · I0 dq ¯¯ . 508 Volumetto 5 Presenta un grande interesse pratico il caso che il sistema irradiante sia di dimensioni atomiche e assai piccolo rispetto alla lunghezza d’onda irradiata Y (2π/k0 ). Si può allora calcolare in prima approssimazione la wj,m sostituendo sotto l’integrale le funzioni di Bessel che figurano nelle espressioni Y della wj,m ) con il primo termine del loro sviluppo in serie, purché si intenda beninteso che il sistema irradiante sia posto in prossimità dell’origine. Nel caso dei multipli elettrici figurano sotto l’integrale delle funzioni di Bessel di ordine j +3/2 accanto ad altre di ordine j −1/2; si possono allora trascurare le prime e conservare il primo termine dello sviluppo delle seconde. Ci interessano solo funzioni di Bessel di ordine n + 1/2 con n intero. Per queste si ha in prima approssimazione: r 2 2n ·n! In+1/2 = xn+1/2 + . . . π (2n + 1)! r µ ¶ 1 1 1 2 = 1· · ··· xn+1/2 + . . . . (5.252) π 3 5 2n + 1 Ricaviamo cosı̀ le formole di prima approssimazione: E wj,m M wj,m = = 1 1 1 j+1 · ··· · 8π c 32 52 (2j − 1)2 2j + 1 ¯2 ¶2j ¯Z µ ¯ ¯ 2πν ¯ rj−1 ϕm† · I0 dq ¯ , × j,j−1 ¯ ¯ c 1 1 1 1· 2 · 2 ··· · 8π c 3 5 (2j + 1)2 ¯2 µ ¶2j+2 ¯Z ¯ ¯ 2πν j m† ¯ ¯ × ¯ r ϕj,j · I0 dq ¯ . c 1· (5.253) (5.254) La (5.253) può porsi in una forma diversa, che è in generale più comoda per il calcolo e in cui figura solo la densità di carica ρ0 in luogo della densità di corrente. Passando infatti alle coordinate cartesiane la funzione integranda in (5.253) può scriversi: j−1 m∗ rj−1 ϕm† ϕj,j−1 · I0 j,j−1 · I0 = r (5.255) ed osservando che per una formola generale [v. (4.436)] si ha: grad rj ϕm = j p j(2j + 1) rj−1 ϕm j,j−1 , 509 (5.256) Volumetto 5 e tenendo conto della (5.207) Z Z rj−1 ϕm† · I dq = rj−1 ϕm∗ 0 j,j−1 · I0 dq j,j−1 Z 1 = p grad rj ϕm∗ · I0 dq j j(2j + 1) Z 1 = −p rj ϕm∗ div I0 dq j j(2j + 1) Z 1 2π ν i = −p rj ϕm∗ ρ0 dq. (5.257) j j(2j + 1) c Sostituendo con questa in (5.253), abbiamo infine: E wj,m = 1 1 j+1 1 · 8π c · ··· 32 52 (2j + 1)2 j ¯2 µ ¶2j+2 ¯Z ¯ ¯ 2πν ¯ . ¯ rj ϕm∗ ρ dq × 0 j ¯ ¯ c 1· (5.258) Vogliamo ora studiare l’irraggiamento del nostro sistema oscillante con il metodo delle onde stazionarie, o meglio delle soluzioni periodiche. Ricerchiamo perciò una soluzione della (5.208) che in analogia a (5.206), abbia la forma φ = φ0 e−2πνit + φ∗0 e2πνit , (5.259) A = A0 e−2πνit + A∗0 e2πνit , con la condizione aggiunta che il potenziale scalare e vettore rappresentino all’infinito un’onda divergente. Poniamo: XX χ A0 = Aj,m (r) Uχ (5.260) k0 ,j,m , χ φ0 = X j,m φj,m (r) uk0 ,j,m , χ = L, E, M. (5.261) j,m χ Le Uχ k0 ,j,m e uk0 ,j,m si ottengono dalle Vk0 ,j,m [formole (5.219), (5.220), e (5.221)] e dalle vk0 ,j,m [formola (5.226)] sostituendo dovunque alle funzioni di Bessel le funzioni di Hankel di prima specie. La condizione che all’infinito esista solo un’onda divergente importa allora che esistano i limiti: Aχ j,m (∞) = χ Bj,m (5.262) φj,m (∞) = Φj,m . (5.263) 510 Volumetto 5 Dall’equazione di continuità (5.209), ricaviamo in analogia a (5.207): φ0 = 5.12 c div A0 . 2π ν i (5.264) Autofunzioni dell’idrogeno Nelle unità elettroniche si ha: µ ∆ψ + 2 r 2E + ¶ ψ = 0, (5.265) e posto ψ = (y/r) ϕm ` : µ y 00 + 2E + 2 `(` + 1) − r r2 ¶ y = 0. (5.266) A) Spettro discreto: E = Ny = 1 1 , n = ` + 1, ` + 2, . . . , 2 n2 ¶`−n µ ¶`+n Z µ 1 1 A r`+1 t + t − etr dt, n n C − essendo A = − ³ n ´2`+1 Á 2 µ 2πi n+` 2` + 1 (5.267) (5.268) ¶ . (5.269) Ed eseguendo l’integrazione con il metodo dei residui Ny = n−`−1 X (−1)p p=0 × (n − ` − 1)(n − ` − 2)· · ·(n − ` − p) (2` + 2)(2` + 3)· · ·(2` + 1 + p) r`+1+p −r/n e . p! La costante di normalizzazione è data da: µ ¶ (2` + 1)! (n − ` − 1)! n2`+4 N2 = . 2`+1 (n + `)! 511 µ ¶p 2 n (5.270) (5.271) Volumetto 5 1 n O 1 n C Per ` = 0, si ha ad esempio: 1 3 n . 4 (5.272) 9 n5 . 4 n2 − 1 (5.273) N2 = Per ` = 1: N2 = Per ` = 2: N 2 = 225 (n2 n7 . − 1)(n2 − 4) (5.274) Esempi di autofunzioni µ 1s : Ny = 2s : Ny = 3s : Ny 2p : Ny r e−r µ N= ¶ r − 1 2 r 2 = r − 2 2 2 3 r + r 3 27 = r2 e−r/2 µ 1 2 ¶ ³ √ ´ N= 2 e−r/2 ¶ √ µ e−r/3 N= 27 2 ¶ ³ √ ´ N = 24 512 Volumetto 5 µ 3p : Ny 1 r − r3 6 = Ã ¶ 2 e −r/3 r N= Ã 3d : Ny = 3 r e −r/3 ! 2187 32 r N = 81 ! 15 8 . Espressione asintotica di r → ∞: y ∼ (−1)n−`−1 nn+1 p 2n rn e−r/n . (n + `)!(n − ` − 1)! 513 (5.275) Indice analitico ammoniaca, frequenze di oscillazione, 422 asse di rotazione della Terra, 143 atomo con due elettroni, 296 con molti elettroni, 210 in un campo elettromagnetico, 146 polarizzabilità, 129 potenziale locale, 115, 118, 128 suscettibilità elettrica, 351 termini fondamentali, 122 atomo di idrogeno autofunzioni, 411 forze di polarizzazione, 387 in un campo elettrico, 354 ionizzazione spontanea, 177 autofunzioni atomiche, 499 autofunzioni dell’idrogeno, 511 autoinduzione variazione del coefficiente dovuto all’effetto pellicolare, 46 in una bobina con lunghezza finita, 43 Balmer, formula di, 140 Balmer, termine di, 325 Bernoulli numeri di, 267 polinomi di, 267 bobina autoinduzione, 35, 38, 43 515 lunghezza finita, 43 Bohr magnetone, 276 raggio, 276 Boltzmann costante, 275 legge, 158 calore specifico, 54, 61 campo centrale, regole di selezione, 333 campo elettromagnetico energia, 506 energia raggiante, 507 Hamiltoniana, 135 spin, 508 campo magnetico influenza sul punto di fusione, 52 carica elettrica, 169 Clairaut equazione di, 240 problema di, 235 coefficienti binomiali, 164, 215, 217 commutatore, 294 commutatori, 269 condensatori, 33 conduttore elettrico, 11, 16 autoinduzione, 46 coordinate paraboliche, 354 corpo nero, 132 costante di Boltzmann, 275 costante di Eulero, 366 Indice analitico costante di Faraday, 275 costante gravitazionale di Newton, 140 Coulomb, legge di, 170 curva del cane, 276 De Broglie, onde di, 168 densità di carica, 501 densità di corrente, 501 diffusione da un potenziale, 414 particelle α su un nucleo, 194 disintegrazione di risonanza dei nuclei leggeri, 457 distanze medie tra elementi di linea, 40, 41 tra elementi di superficie, 40, 41 tra elementi di volume, 40, 41 effetto pellicolare, 7 debole, 31 limite, 20, 25, 28 effetto Stark, 353, 358 effetto Zeeman anomalo, 339 normale, 343 elettrone carica, 275 diffusione sulla radiazione, 164 Hamiltoniana relativistica, 106, 135 massa, 86, 275 spin, 318 energia di Rydberg, 276 energia elettrica della radiazione, 134 energia elettrostatica, 507 516 energia libera di un gas biatomico, 477 energia magnetica della radiazione, 134 entropia di un sistema in equilibrio, 470 equazione di Bessel, 496 equazione di continuità, 501 equazione di Dirac, 318, 466, 482 campo centrale, 499 soluzione per l’onda piana, 398 equazione di Laplace, 65, 385, 390, 411 equazione di Poisson, 128, 237 equazione di Schrödinger, 85, 320, 467 equazioni della statica per un fluido perfetto carico, 120 equazioni differenziali, 171, 208, 229, 363, 385, 389, 416, 494 insieme completo, 345 Faraday, costante di, 275 fattoriale, 50 formula di Rutherford Meccanica Classica, 377, 413 metodo di Born, 381 forza centrifuga, 140 fotone, spin, 508 frequenza di Larmor, 276 frequenza di Rydberg, 275 fronte d’onda, 169 funzione degli errori, sviluppo in serie, 164 funzioni armoniche, 93 Indice analitico funzioni di Bessel, 375, 391, 430, 504 di ordine mezzo, 469 di ordine mezzo (zeri), 470 rappresentazione integrale, 389 funzioni di Green, 363 funzioni di Hankel, 390, 430 di ordine mezzo, 469 funzioni di Neumann, 391 di ordine mezzo, 469 funzioni di spin, 407 funzioni ortogonali, 416 funzioni sferiche, 360, 374 con spin, 425, 459, 484 gas di elettroni, 279 gas perfetto, 471 biatomico, 473 costante R, 475 monoatomico, 472 gauge condizione, 501 Lorentz, 176, 501 trasformazioni, 175 gruppi O(3), 300, 330 SU (2), 330, 464 continui, 293 Lorentz, 306, 309, 461, 489 permutazioni, 369, 392 rotazioni, 300, 392, 464 trasformazioni infinitesime, 293 Hamiltoniana per il campo elettromagnetico, 135 per l’elettrone, 106, 135 Huygens, principio di, 232 517 integrali circolari, 421 integrali definiti, 76, 161, 262 laplaciano in coordinate paraboliche, 354 in coordinate polari, 93 in coordinate sferiche, 91 linee di forza, 66 logaritmo integrale, sviluppo in serie, 366 Lorentz gauge, 176, 501 gruppo, 306, 309 trasformazione reale, 478 magnetone di Bohr, 276 matrici di Dirac e gruppo di Lorentz, 309 metodo degli stati stazionari, 501 metodo dei residui, 511 metodo del Π, 19 metodo del T, 19 metodo della variazione delle costanti, 501, 507 metodo delle onde stazionarie, 510 metodo delle soluzioni periodiche, 510 metodo di Born, 381 limite relativistico, 438 metodo di Ritz, 387 molecola biatomica, 124 potenziale, 279 momenti di una funzione, 251 momento angolare, 484 momento di dipolo elettrico, per un atomo nel suo stato fondamentale, 351 momento di inerzia, 140, 242 Indice analitico momento di inerzia della Terra, 140, 144, 243 momento elettronico, 473 moto kepleriano cinematica, 151 periodo di rivoluzione, 152 perturbato, 151 perturbato (approssimazione adiabatica), 155 multipoli longitudinali, 508 trasversali, 508 peso molecolare, 476 pile termoelettriche, 10 Planck, relazione di, 133, 341 polarizzabilità atomica, 129 polinomi di Legendre, 90, 361, 375, 477, 484 regole di moltiplicazione, 362 potenziale elettrico, 1 gravitazionale, 140 in un atomo, 115, 118, 128 in una molecola, 279 newtoniano, 235 ritardato, 4, 207, 495 vettore, 134, 136 principio d’indeterminazione, 193 probabilità, 48 curve di, 260 prodotti infiniti, 266 propagazione del calore, 58, 78 protone, 467 neutrone, 467 Newton, legge di, 235 numero quantico azimutale, 271, 467 equatoriale, 271 onda piana, 169 sviluppo in funzioni sferiche, 374 teoria di Dirac, 398 onde longitudinali, 503 trasversali, 503 operatore di D’Alembert, 494 operatori impropri, 408 oscillatore armonico, 444 quantizzazione, 95 oscillatori elettromagnetici, 135 osservabili e matrici, 146 quaternioni, 284, 301 radiazione energia elettrica, 134 energia magnetica, 134 multipolo (teoria classica), 501 rappresentazioni unitarie del gruppo di Lorentz, 489 regole di selezione, 333 Rydberg energia, 276 frequenza, 275 numero d’onda, 275 pacchetto d’onde, 168 parentesi di Poisson, 269, 346 permutazioni, 369 circolari, 461 pesi (statistici), 473 peso atomico, 475 schiacciamento della Terra, 141 Schwarz, formula di, 211 Schwarz, teorema di, 82 518 Indice analitico skineffect limite, 20, 25 spin, 318 fotone, 508 nucleare, 473 spinori, trasformazioni di, 478 stati quasi-stazionari, 445 statistica di Bose–Einstein, 471 statistica di Fermi–Dirac, 471 Stirling, formula di, 161 struttura fina, 325, 500 superfici equipotenziali, 237, 279 suscettibilità elettrica, per un atomo nel suo stato fondamentale, 351 sviluppi in serie, 42, 163, 227 sviluppo in integrali di Fourier, 130, 419 applicazione ad atomi pesanti, 118 seconda approssimazione per il potenziale in un atomo, 128 trasformazione di Laplace, 385, 418 trasformazioni conformi, 81 infinitesime, 464 Lorentz, 461, 478 ortogonali, 306 spinori, 478 unitarie in due variabili, 282 urto fra protoni e neutroni, 467 variabili casuali, 212 velocità angolare della Terra, 142 velocità di fase, 168 velocità di gruppo, 169 velocità della luce, 275 tasso di mortalità per un atomo in un campo elettromagnetico, 146 teorema del rotore, 15 teorema della divergenza, 15, 234 teorema di Schwarz, 82 teoremi di Green, 15 teoria dell’irraggiamento, 133, 144, 149, 158, 164 coefficienti di Einstein, 158 termodinamica, teoria statistica, 470 Terra asse di rotazione, 143 momento di inerzia, 140, 144, 243 schiacciamento della, 141 velocità angolare, 142 Thomas-Fermi, funzione di, 111 Wallis, formula di, 267 519

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