Polynom

Ett polynom är ett matematiskt uttryck inom vilket variabler och konstanter kombineras genom enbart addition, subtraktion och multiplikation. Exempelvis är ${\displaystyle x\cdot x-4x+5}$ ett polynom i variabeln ${\displaystyle x}$ medan ${\displaystyle 1/x}$ inte är det. Genom att samla upprepade produkter som potenser kan varje polynom i en variabel ${\displaystyle x}$ uttryckas på standardformen

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\;=\;a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

där konstanterna ${\displaystyle a_{k}}$ kallas koefficienter. Den högsta förekommande exponenten av ${\displaystyle x}$ (här lika med ${\displaystyle n}$ om ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$) kallas för polynomets grad. Ofta talar man synonymt om polynomet ${\displaystyle P}$ och den funktion som avbildar ${\displaystyle x}$ på ${\displaystyle P(x)}$, polynomet utvärderat för ett givet värde.

Ett polynom med två termer kallas för ett binom.

Ett annat sätt att beskriva är att ett polynom är en koefficient multiplicerad med en variabel upphöjd till ett naturligt tal. Exempelvis är 2*x eller 2x+5 eller 2x^2 eller 1x^1 alla polynom. Ett annat polynom är x^2+2x/3+2. Ett polynom kan inte innehålla någon variabel i sin nämnare, men i täljaren går det bra.

Polynom av grad 0 till 5 benämns ofta enligt följande tabell:

Grad	Benämning	Funktion	Form
0	Nolltegradspolynom (konstant polynom)	Konstant funktion	${\displaystyle a}$
1	Förstagradspolynom (linjärt polynom)	Affin funktion/Linjär funktion	${\displaystyle ax+b}$
2	Andragradspolynom (kvadratiskt polynom)	Kvadratisk funktion	${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$
3	Tredjegradspolynom (kubiskt polynom)	Kubisk funktion	${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$
4	Fjärdegradspolynom (kvartiskt polynom)	Kvartisk funktion	${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$
5	Femtegradspolynom (kvintiskt polynom)	Kvintisk funktion	${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f}$

Dock finns ingen enighet om hur graden av nollpolynomet, det vill säga det polynom vars alla koefficienter är 0, ska definieras. Vissa författare föredrar att definiera graden av detta till −1, andra definierar det som −∞; ytterligare andra låter det vara odefinierat.

Polynom är de enklaste elementära funktionerna. Summor och produkter av polynom är polynom, och även derivator och integraler av polynom är polynom.

En rot eller ett nollställe är ett tal ${\displaystyle r}$ sådan att ${\displaystyle p(r)=0}$. Att hitta rötter till en ekvation, eller att lösa en algebraisk ekvation, är ett av matematikens äldsta problem. En del polynom, som exempelvis ${\displaystyle p(x)=x^{2}+1}$, har ingen reell rot. Men genom att utvidga mängden av möjliga nollställen till de komplexa talen, uppnår man att det alltid finns rötter till ett (icke konstant) polynom (se Algebrans fundamentalsats). Ett konjugat till en imaginär rot är alltid också en rot till ekvationen, förutsatt att alla koefficienter är reella.

Det är intressant att notera, att det är försök att lösa ekvationer som bidragit starkt till att införa de olika utvidgningarna av de naturliga talen: för att lösa till exempel ${\displaystyle x+2=0}$ behövs negativa tal, för att lösa ${\displaystyle 3x=5}$ krävs rationella tal (bråk), ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ behöver irrationella tal (vilket Pythagoras med lärjungar lär ha tyckt sämre om enligt en populär historia), och så slutligen behövs de komplexa talen för att lösa ${\displaystyle x^{2}+2=0}$.

Ett polynom med grad större eller lika med fem har ingen generell kompletteringsformel (jfr kvadratkomplettera). Det betyder att en polynomekvation av grad större eller lika med fem måste ofta lösas numeriskt.

Ett flertal numeriska metoder för beräkning av nollställen till polynom är kända. Generellt tillämpbara metoder är exempelvis Newtons metod, Laguerres metod, och Durand-Kerners metod. Dessvärre kan numerisk rotberäkning för polynom vara ett illakonditionerat problem, och avancerade metoder kan därför krävas för att hantera polynom med högt gradtal.

Om x = a är ett nollställe till polynomet f(x) innebär detta enligt faktorsatsen att x − a är en delare, och endast då, i polynomet f(x).

För att beräkna ett polynomvärde i en viss punkt ${\displaystyle x}$ så evaluerar man inte hela uttrycket. Istället använder man sig av det mer effektiva Horners algoritm. Om man skall beräkna polynomvärden för flera likaseparerade punkter så är Newtons differensschema ännu effektivare.

I flervariabelanalys är polynomen uttryckta i flera variabler. Man säger att totala graden är summan av variablernas maximala potenser i en term. För

${\displaystyle p(x,y,z)=2x^{2}yz^{3}-3y^{2}+5yz-2}$

är den totala graden ${\displaystyle 2+1+3=6}$.

• Chebyshevpolynom
• Ehrhartpolynom
• Hermitska polynom
• Hurwitz polynom
• Legendrepolynom
• Polynominterpolation

Slå upp polynom i ordlistan Wiktionary.