Analiza e variacionit

Analiza e variacionit është një fushë e matematikës që merret me ekstremizimin e funksionaleve, në krahasim me analizën e thjeshtë e cila merret me funksionet. Një funksional është zakonisht një relacion nga një bashkësi funksionesh tek numrat realë. Funksionalët janë formuar shpesh si integrale të caktuara të cilat përfshijnë funksionet e panjohura dhe derivatet e tyre. Interesi është në funksionet ekstremale që e bëjnë funksionalin të arrijë një vlerë maksimale apo minimale - ose funksionet stacionare - ku shkalla e ndryshimit të funksionalit është pikërisht zero.

Ndoshta shembulli më i thjeshtë i një problemi të tillë është për të gjetur kurbën me gjatësi më të shkurtër, ose gjeodezikun, që lidh dy pika. Nëse nuk ka kondita, zgjidhja është padyshim një vijë e drejtë në mes të pikave. Megjithatë, në qoftë se kurba është e detyruar që të shtrihen në një sipërfaqe në hapësirë, atëherë zgjidhja është pak më e vështirë, dhe ka raste që shumë zgjidhje mund të ekzistojnë. Zgjidhjet të tilla janë të njohur si gjeodezikë. Një problem i njgjashëm është paraqitur nga parimi i Ferma: drita ndjek rrugën optike me gjatësi më të shkurtër që lidh dy pika, ku gjatësia optike varet nga lënda e mjedisit ku drita shpërhapet. Një koncept përkatës në mekanikë është parimi i veprimit minimal.

Shumë probleme të rëndësishme përfshijnë funksionet me disa variablave. Zgjidhjet e problemeve me vlera kufitare për ekuacionin e Laplasit përmbushur parimin e Dirichlet. Problemi i Platos kërkon gjetjen e një zone me sipërfaqe minimale që përfshin një kontur të caktuar në hapësirë: zgjidhja apo zgjidhjet shpesh mund të gjenden duke zhytur një kornizë teli në një solucion me ujë me sapun. Edhe pse eksperimente të tilla janë relativisht të lehta për të kryer, interpretimi i tyre është shumë i thjeshtë nga ana matematikore : mund të ketë më shumë se një sipërfaqe lokale të minimizuar , dhe ato mund të kenë topologji që nuk janë të lehta.

Disa aplikime te analizës së variacionit përfshijnë:

• Derivimin e formës Katenare
• Problemin e Brakistokronës
• Problemi izoperimetrik
• Gjeodesikët mbi sipërfaqe
• Sipërfaqet minimale dhe Problemin e Platos
• Kontrolli optimal

Parimi i Fermatit pohon se drita merr atë shteg që (lokalisht) minimizon distancen optike midis dy pikave fundore. Nqs koordianta x merret si parametri përgjatë trajektores , dhe ${\displaystyle y=f(x)}$ përgjatë trajektores, atëhere distanca optike jepet nga

${\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,\,}$

ku indeksi refaktiv ${\displaystyle n(x,y)}$ varet nga materiali . Nqs marrim ${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x)}$ atëhere variacioni i parë i A (derivati i A në lidhje me ε) është

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$

Pas integrimit me pjesë të termit të parë brenda kllapave, ne marrim ekuacionin e Ojler-Lagranzhit

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.\,}$

trajektorja e rrezeve të dritës merret duke integrauar këtv ekuacion.

Kur drita hyn ose del nga një lente ajo has në një prerje të vazhdimësisë të indeksit refraktiv. Le të kemi

${\displaystyle n(x,y)=n_{-}\quad {\hbox{if}}\quad x<0,\,}$

${\displaystyle n(x,y)=n_{+}\quad {\hbox{if}}\quad x>0,\,}$

ku ${\displaystyle n_{-}}$ dhe ${\displaystyle n_{+}}$ janë konstante. Atvhere ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i vlefshëm si më parë në një rajon ku x<0 ose x>0, dhe në fakt në këtë rast trajektorja është një vijë e drejtë, meqënëse indeksi refraktiv është konstant. Tek x=0, f duhet të jetë një funksion i vazhdueshëm, por ka raste që f' mund të jetë jo i vazhdueshëm. Pas zbatojmë integrimin me pjesë në rajonet e ndara dhe pasi zbatojmë ekuacionet e Ojler-Lagranzhit, variacioni i parë merr formën

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right].\,}$

Faktori shumëzues ${\displaystyle n_{-}}$ është sinus i kvndit të rrezes rrëvnëse me boshtin e abshisave x , dhe faktori shumëzues ${\displaystyle n_{+}}$ është sinus i këndit të rrezes së përthyer me boshtin x . Ligji i Snellit për refraktimin e dritës kërkon që këto terma të jenë të njëjta. Siç u tregua nga kjo llogaritje, ligji i Snellit është ekuivalent me zhdukjen e variacionit të parë të gjatësisë së distancës optike.

Veprimi i përcaktua nga Hamiltoni si integrali i funksionit Lagranzhian, L, i cili përcaktohet si diferenca e energjive:

${\displaystyle L=T-U,\,}$

ku T është energjia kinetike e sistemit mekanik dhe U është energjia potenciale. Principi i Hamiltonit (ose parimi i veprimit) pohon se lëvizja e një sistemi mekanik konservativ holonomik (me kondita të integrueshme) është e tillë qv integrali i veprimit

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)dt\,}$

vshtë stacionar në lidhje me variacionet përgjatë shtegut x(t). Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit për këtë sistem janë të njohura si ekuacionet e Lagranzhit:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},\,}$

kështu që ato janë ekuivalente me ekuacionet e lëvizjes të Njutonit (për sisteme të tilla).

Impulset e konjugura P përcaktohen nga

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.\,}$

Për shembull, nqs

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},\,}$

atëhere

${\displaystyle p=m{\dot {x}}.\,}$

mekanika e Hamiltonit rezulton nqs impulset e konjuguara vendosen në vend të ${\displaystyle {\dot {x}}}$, dhe Lagranzhiani L zëvendësohet me Hamiltonianin H i përcaktuar nga

${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t)\,}$

Hamiltonianani është energjia totale e sistemit: H = T + U. Analogjia me parimin e Fermat sugjeron se zgjedhjet e ekuacioneve të Lagranzhit (trajektorja e thërrmijave) mund të paraqitet në terma të sipërfaqeve të një funksioni X. Ky funksion është një zgjidhje e ekuacionit të Hamilton-Jakobit:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t)=0.\,}$

• Gelfand, I.M. and Fomin, S.V.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000.
• Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
• Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987.
• Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960.
• Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
• Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974.
• Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
• Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
• Courant, R. and D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics, Vol I. Interscience Press, 1953.
• Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962.
• Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.
• Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library [1]. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.

• Jon Fischer, Introduction to the calculus of variations, a quick and readable guide. (Note: There are typos in the Euler-Lagrange Equation on page 5 of the document.)
• Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg, Chapter III: Introduction to the calculus of variations^{[lidhje e vdekur][lidhje e vdekur]} (undated).
• Calculus of variations example problems.
• Chapter 8: Calculus of Variations, from Optimization for Engineering Systems, by Ralph W. Pike, Louisiana State University.