Gaussova konstanta

Gaussova konstánta [gáusova ~] (oznaka G) je v matematiki konstanta, določena kot obratna vrednost aritmetično-geometrične sredine števila 1 in kvadratnega korena števila 2 (OEIS A014549):

${\displaystyle G={\frac {1}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268416740731862814297327990468\ldots \!\,.}$

Imenuje se po Carlu Friedrichu Gaussu, ki je 30. maja 1799 odkril zvezo:

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\!\,,}$

tako, da je:

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\operatorname {\mathrm {B} } \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \mathrm {B} \,}$ funkcija Β.

Gaussove konstante se ne sme zamenjevati z Gaussovo gravitacijsko konstanto.

Z Gaussovo konstanto se lahko izrazi funkcijo Γ za argument 1/4:

${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}\!\,.}$

Ker sta π in Γ(1/4) algebrsko neodvisna, kjer je Γ(1/4) iracionalno število, je Gaussova konstanta transcendentna. Transcendentnost Gaussove konstante je leta 1937 dokazal Theodor Schneider.^[1]

S pomočjo Gaussove konstante se lahko določi lemniskatini konstanti:

${\displaystyle L_{1}=\pi G={\frac {\pi }{M}}\!\,,}$

${\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}={\frac {M}{2}}\!\,,}$

ki se pojavljata pri določevanju dolžine loka (Bernoullijeve) lemniskate. Tu je M obratna vrednost Gaussove konstante (OEIS A053004):

${\displaystyle M={\frac {1}{G}}=1,1981402347355922074399224922803238\!\,.}$

Gauss je izvirno obravnaval prvo lemniskatino konstanto ${\displaystyle L_{1}\,}$ in jo označeval z ϖ, po analogiji z vrednostima integralov:

${\displaystyle \varpi \equiv L_{1}=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}=2,6220575542921198104648395898911194\ldots \!\,,}$ (OEIS A062539),

${\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\!\,.}$

Algebrsko neodvisnost ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (1/4)\,}$ in ${\displaystyle G\,}$ od ${\displaystyle \pi \,}$ je leta 1975 pokazal Gregory Chudnovsky.^[2][3]

Formula za G z Jacobijevo funkcijo ϑ je:

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })\!\,,}$

ter tudi s hitro konvergentno neskončno vrsto:

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}\,e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}\!\,.}$

Gaussova konstanta je podana tudi z neskončnim produktom:

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}{\frac {\pi m}{2}}\!\,.}$

Pojavi se pri izračunavanju integralov:

${\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos x}}\,\mathrm {d} x\!\,,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh \pi x}}}\!\,.}$

Neskončni verižni ulomek Gaussove konstante je (OEIS A053002):

${\displaystyle G=[0;1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,\cdots ]\!\,.}$

Ker Gaussova konstanta G ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

• lemniskatna eliptična funkcija
• lemniskatni sinus

• Chudnovsky, Gregory (1975), »Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis«, Notices of the AMS, 22: A-486
• Chudnovsky, Gregory (1984), Contributions to the theory of transcendental numbers, Ameriško matematično društvo, ISBN 0-8218-1500-8
• Schneider, Theodor (1937), »Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale«, Mathematische Annalen, 113: 1–13

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Gauss's Constant«. MathWorld.