Symetrická diferencia

Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.^[1]

Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako

${\displaystyle A\,\triangle \,B}$ ^[1]

alebo

${\displaystyle A\div B}$ ^{[chýba zdroj]}

alebo

${\displaystyle A\oplus B.}$ ^{[chýba zdroj]}

Napríklad symetrická diferencia množín ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ a ${\displaystyle \{3,4\}}$ je množina ${\displaystyle \{1,2,4\}}$. Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.

Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)}$ ^[1]

a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B)}$ ^[2]

alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}$ ^[1]

Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:

${\displaystyle A\triangle B\subseteq A\cup B,}$

pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ sú disjunktné množiny.

Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:

${\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,}$

${\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).}$ ^[1]

Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:

${\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C).}$ ^[2]

Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:

${\displaystyle A\,\triangle \,\varnothing =A,}$

${\displaystyle A\,\triangle \,A=\varnothing .}$ ^[1]

Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.^[2]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Symetrická diference na českej Wikipédii.