Komutativni prsten

U teoriji prstena, grani apstraktne algebre, komutativni prsten je prsten u kome je operacija množenja komutativna. Ovo znači da ako su a i b bilo koja dva elementa prstena, dona je a×b=b×a.

Proučavanje komutativnih prstena se naziva komutativna algebra.

• Najvažniji primer je prsten celih brojeva sa operacijama sabiranja i množenja. Uobičajeno množenje celih brojeva je komutativno. Prsten se obično obeležava slovom Z, od nemačke reči Zahlen (brojevi).
• Racionalni, realni i kompleksni brojevi čine komutativne prstene; oni su štaviše polja.
• Opštije, svako polje je komutativni prsten, pa je klasa polja potklasa klase komutativnih prstenova.
• Prost primer nekomutativnog prstena je skup svih matrica dimenzije 2-sa-2 čiji su elementi realni brojevi. Na primer, množenje matrica

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

nije jednako množenju izvedenom suprotnim redosledom:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.}$

• Ako je n pozitivan ceo broj, tada skup Z_n celih brojeva po modulu n čini komutativni prsten sa n elemenata (vidi modularna aritmetika).
• Ako je R dati komutativni prsten, onda je skup svih polinoma promenljive X čiji koeficijenti su iz R gradi novi komutativni prsten koji se označava sa R[X].

• Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co. 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Jacobson, Nathan (1945), „Structure theory of algebraic algebras of bounded degree”, Annals of Mathematics 46 (4): 695–707, DOI:10.2307/1969205, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205 
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised izd.), University of Chicago Press, MR 0345945 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd izd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, pp. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856 
• Pinter-Lucke, James (2007), „Commutativity conditions for rings: 1950–2005”, Expositiones Mathematicae 25 (2): 165–174, DOI:10.1016/j.exmath.2006.07.001, ISSN 0723-0869 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958–60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.  (Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)