Квантор

Обозначим ${\displaystyle P(x)}$  предикат «x делится на 9 без остатка». Используя квантор всеобщности, можно формально записать следующие высказывания (ложные):

1. любое натуральное число кратно 9;
2. каждое натуральное число кратно 9;
3. все натуральные числа кратны 9;

следующим образом:

${\displaystyle (\forall x\in \mathbb {N} )P(x)}$ .

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

1. существуют натуральные числа, кратные 9;
2. найдётся натуральное число, кратное 9;
3. хотя бы одно натуральное число кратно 9.

Их формальная запись:

${\displaystyle (\exists x\in \mathbb {N} )P(x)}$ .

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$  простых чисел задан предикат ${\displaystyle P(x)}$ : «Простое число ${\displaystyle x}$  нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число ${\displaystyle x}$  нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом ${\displaystyle P(x)}$  слово «существует», получим истинное высказывание «Существует простое число ${\displaystyle x}$ , являющееся нечётным» (например, ${\displaystyle x=3}$ ).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.

• Высказывание ${\displaystyle \forall xP(x)}$  означает, что область значений переменной ${\displaystyle x}$  включена в область истинности предиката ${\displaystyle P(x)}$ .

(«При всех значениях ${\displaystyle x}$  утверждение верно»).

• Высказывание ${\displaystyle \exists xP(x)}$  означает, что область истинности предиката ${\displaystyle P(x)}$  не пуста.

(«Существует ${\displaystyle x}$ , при котором утверждение верно»).

Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Свободные переменные.

• Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
• свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,
• переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
• все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Замкнутая формула.

• Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Связанная переменная.

• Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.

Связанное переименование, свободное переименование

Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

${\displaystyle \lnot (\forall x)P(x)=(\exists x)\lnot P(x)}$ 
${\displaystyle \lnot (\exists x)P(x)=(\forall x)\lnot P(x)}$ 

(Общее правило можно сформулировать так: если перед квантором появляется знак отрицания, то квантор перебрасывает его через себя, а сам меняется на другой)

Стоит отметить, что данное правило применимо только в классической логике, в интуиционистской логике правые части равенств влекут левые, но не наоборот.

Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имён^[1].

Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 г., в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ${\displaystyle \exists }$  для квантора существования (перевёрнутая первая буква англ. Exists — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 г., и ${\displaystyle \forall }$  для квантора общности (нем. Alle^{[источник не указан 3788 дней]} — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в 1935 г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.

• Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138
• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с.
• Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

• Кванторы