Теорема Париса — Харрингтона
Теорема Па́риса — Ха́ррингтона (или Пэ́риса — Ха́ррингтона) — теорема в математической логике, ставшая первым в истории математики естественным и относительно несложным примером утверждения о натуральных числах, которое истинно, но недоказуемо в аксиоматике Пеано. Существование недоказуемых теорем арифметики прямо вытекает из первой теоремы Гёделя о неполноте (1930 год). Кроме того, вторая теорема Гёделя, (опубликованная вместе с первой), даёт конкретный пример такого утверждения: а именно утверждение о непротиворечивости арифметики. Однако долгое время не было известно «естественных» примеров таких утверждений, то есть таких утверждений, которые бы возникали не из утверждений о некоторой логике, а были бы естественными математическими утверждениями о числах.
Данная теорема и её доказательство были опубликованы в 1977 году Джеффри Парисом (Великобритания) и Лео Харрингтоном (США).
Усиленная теорема Рамсея
[править | править код]Результат Париса—Харрингтона опирается на несколько модифицированную комбинаторную теорему Рамсея[1]:
|
Для любых натуральных чисел можно указать натуральное со следующим свойством: если мы окрасим каждое из -элементных подмножеств в один из цветов, то в существует подмножество содержащее не менее элементов таких, что все -элементные подмножества имеют один и тот же цвет, а количество элементов не меньше, чем наименьший элемент |
Без условия «количество элементов не меньше, чем наименьший элемент » это утверждение вытекает из конечной теоремы Рамсея. Отметим, что усиленный вариант теоремы Рамсея может быть записан на языке логики первого порядка[2].
Формулировка
[править | править код]Теорема Париса-Харрингтона утверждает:
|
Сформулированная выше усиленная теорема Рамсея не доказуема в аксиоматике Пеано. |
В своей статье Парис и Харрингтон показали, что из этой теоремы вытекает непротиворечивость аксиоматики Пеано; однако, как показал Гёдель, арифметика Пеано не в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому теорема Париса-Харрингтона в ней недоказуема. С другой стороны, используя логику второго порядка или аксиоматику теории множеств ZF, несложно доказать, что усиленная теорема Рамсея истинна[2].
Другие примеры недоказуемых теорем арифметики
[править | править код]Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Paris J., Harrington L. A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic // Handbook of Mathematical Logic. — Amsterdam: North-Holland, 1977. — ISBN 072042285X. (первая авторская публикация теоремы)
- Marker, David. Model Theory: An Introduction (англ.). — New York: Springer[англ.], 2002. — ISBN 0-387-98760-6.
Ссылки
[править | править код]- Кочетков Ю. Ю. Вычислимые функции. Глава 19. Теоремы, недоказуемые в аксиоматической арифметике. Дата обращения: 17 августа 2018.
- Bovykin, Andrey, Weisstein, Eric W. Paris-Harrington Theorem (англ.). Дата обращения: 17 августа 2018. на сайте MathWorld (англ.).
- Bovykin, Andrey. Brief introduction to unprovability (содержит доказательство теоремы).