Antiparalela in Triunghi
Antiparalela in Triunghi
Antiparalela in Triunghi
ANTIPARALELA ÎN TRIUNGHI
DEFINIȚIE:
TEOREMA 1:
Fie un cerc dus prin vârfurile B și C ale ∆ ABC care intersectează laturile AB și AC în două
puncte S și respectiv P, atunci SP este antiparalelă cu latura BC.
Figure 1
Demonstrație:
Știm din ipoteză că patrulaterul PBCS este inscriptibil, deci suma unghiurilor ∢BCS și ∢BPS
este: ∢BCS+∢BPS=180°⇒ ∢BCS=∢APS deci PS este antiparalelă cu BC.
TEOREMA 2
Demonstrație:
În ∆ABC fie SP o antiparalelă la latura BC, dreapta (t) – tangenta în punctul A la cercul
circumscris triunghiului și punctul T∊(t) (figura 2), atunci:
}
1^
deoarece SP este antiparalelă ⇒∢ ASP=∢ ABC = AC
2
1
∢ TAS este unghi între tangenta t și coarda AC a cercului circumscris ⇒∢ TAS = ^AC
2
TEOREMA 3
Demonstrație:
Fie în ∆ABC, PS antiparalelă cu latura BC, A 1 – punctul diametral opus lui A pe cercul
circumscris triunghiului iar punctul K intersecția antiparalelei cu diametrul AA 1, (figura 3)
atunci:
Figure 3
APLICAȚIE 1
Fie ABC un triunghi ascuțitunghic, fie A’, B’, C’ proiecțiile ortogonale ale vârfurilor A, B, C pe
dreptele BC, CA, respectiv AB, și P un punct situat pe dreapta AA’. Fie ∁ B cercul care trece
prin punctele B și X și are centrul situat pe dreapta BC, iar ∁ C cercul care trece prin punctele
C ¸si X și are centrul situat pe dreapta BC. Cercul ∁ B intersectează a doua oară dreptele AB și
BB’ în punctele M, respectiv M’ , iar cercul ∁ C intersectează a doua oară dreptele AC ¸si CC’ în
punctele N, respectiv N’ . Arătați că punctele M, M’ , N și N’ sunt coliniare.
Soluție:
Centrele celor două cercuri se află pe dreapta BC iar AA’⊥BC, rezultă că AA’ este axa
radicală a celor două cercuri (locul geometric al punctelor din plan care au puteri egale față
de cele două cercuri) (figura 4).
Ortocentrul ∆ ABC, H∈AA’ și AA- axă radicală ⇒ HM’∙HB=HN’∙HC, de unde rezultă din
teorema coardelor concurente că BN’M’C este patrulater inscriptibil, deci N’M’ este
antiparalelă cu BC . ①
Dar și A∈AA’ – axă radicală ⇒
AM∙AB=AN∙AC, astfel că BMNC este tot
patrulater inscriptibil de unde rezultă
că și MN este antiparalela cu BC.②
Figure 4
APLICAȚIE 2