Curs Si Seminar 3 Daip
Curs Si Seminar 3 Daip
Curs Si Seminar 3 Daip
Operația de înmulțire
Înmulțirea a două numere naturale reprezintă intuitiv cardinalul produsului cartezian a
două mulțimi, una având cardinalul egal cu primul factor și cea de a doua având cardinalul egal
cu cel de al doilea factor.
Exemplu: A={a,b},B={1,2,3}, atunci A×B={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. |A|=2, |B|
=3 și |A×B|=6
Sensurile înmulțirii:
1. Adunare repetată cu:
Acțiune repetată
Exemplu: Eu mănânc 2 mere pe zi. Câte mere mănânc într-o săptămână ? (Adun pe 2 de 7
ori, deci 7×2 sau adun de 7 ori pe 2, deci 7×2).
Reuniune repetată
Exemplu : Mama a făcut 4 prăjituri. Ea pune pe fiecare dintre ele câte trei bomboane.
Câte bomboane a folosit mama ? (Adun pe 3 de 4 ori, deci 4×3 sau adun de 4 ori pe 3, deci 4×3)
2. Produs cartezian sau număr de asociații
Exemplu : Maria are 2 bluze și 3 fuste. În câte moduri diferite se poate ea îmbrăca ?
b1 f1
f2
b2 f3
3. Compararea multiplicativă : Expresiile de atâtea ori mai mult, de atâtea ori mai puțin care
conduc la operația de înmulțire.
Exemplul 1: Maria are 3 mere. Sandu are de 5 ori mai multe. Câte mere are Sandu ? (5×
3)
Exemplul 2: Ana are 4 bile. Aflați câte bile are Maria, știind că Ana are de două ori mai
puține decât Maria. (2×4)
4. Dispunerea dreptunghiulară Așezarea într-o configurație geometrică a obiectelor.
Exemplu : Într-o clasă sunt 3 rânduri a câte 5 bănci. Câte bănci sunt în clasă ?
1
n+ n+…+n
m × n=⏟
de mori
În această etapă se precizează că numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar
rezultatul înmulțirii se numește produs, dar nu se scrie pe caiete, ci doar se precizează oral.
b. Folosind produsul cartezian (mulțimea tuturor perechilor ordonate cu primul element
din prima mulțime și al doilea element din a doua mulțime).
Se aleg două mulțimi M ={ x 1 ,… , x m }și N={ y 1 , … , y n }, cu cardinalele m, respectiv n, apoi
se formează mulțimea produs cartezian : M × N={( x1 , y 1) , … , ( x m , y n ) }.
y3
y2
y1
x1 x2 x3
…
⏟ ….….
4 bile
Trei grupe a patru bile înseamnă de trei ori câte patru, adică 3 grupe a câte 4 bile fac 12
bile, deci 3×4=12.
b.Exerciții care să evidențieze comutativitatea operației de înmulțire.
II. Faza de structurare noțională
Etapa semiabstractă :
a. Exerciții de numărare a grupelor cu același număr de elemente și a numărului de
elemente din fiecare grup, pentru intuirea operației de înmulțire.
”Ai 5 grupe a câte 3 bile. Câte bile sunt în total?”
Scrie operația de înmulțire corespunzătoare desenului :
…
⏟ ….
R: de 5 ori câte 3=5 × 3 = 15.
3 elemente
1
La aceste conținuturi interesează numai concentrul 0-100.
2
b. Exerciții de numărare cu pas dat, cu sprijin pe obiecte sau desene, pentru intuirea
operației de înmulțire.
Exemplu de numărare cu pasul 2 :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
.⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟.
2 2 2 2 2 2
Câte numere am numărat, dacă am 6 grupe a câte 2 numere? 6 × 2 = 12 (numere)
III. Faza de aplicare și exersare direcționată:
Etapa abstractă
a. Exerciții de scriere în cât mai multe moduri ale unui număr ca sumă repetată de
termeni egali:
6 = 1×6 (o grupă de 6 elemente)
3 + 3 = 2 × 3 (două grupe de câte trei elemente)
2 + 2 + 2 = 3×2 (trei grupe de câte două elemente)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 × 1 (șase grupe de câte un element)
b. Probleme simple care modelează operația de înmulțire:
Câte creioane sunt în 5 grupe de câte două creioane? Câte creioane sunt în 2 grupe de
câte 5 creioane?
c. Copiii compun probleme care modelează operația de înmulțire.
d. Se precizează terminologia: factorul 1, factorul 2 și produsul (rezultatul înmulțirii), se
scrie formula :
F1 ×F2 = P. Se scriu probele înmulțirii: F 2 ×F1 = P (comutativitatea o demonstrăm folosin
dispunerea dreptunghiulară sau prin scrierea ca sumă repetată de termeni egali) și, după învățarea
împărțirii, P : F1= F2 sau P : F2= F1.
e. Se evidențiază proprietățile înmulțirii (1 este element neutru, comutativitatea,
asociativitatea și distributivitatea înmulțirii față de adunare sau scădere, fără terminologie, ci
doar prin exemple)
f. Tabla înmulțirii
3
c. Se scriu ca produs
2=2=1×2
2+2=4=2×2
2+2+2=6=3×2
2+2+2+2=8=4×2
…
d. Se șterg sumele pentru a rămâne doar tabla înmulțirii
2=1×2
4=2×2
6=3×2
8=4×2
…
e. Se întărește terminologia specifică 2:
factor (numere care se înmulțesc);
produs (rezultatul înmulțirii);
proba înmulțirii (prin comutativitate).
f. Se evidențiază proprietățile înmulțirii numerelor naturale:
comutativitate (produsul nu se schimbă dacă se schimbă ordinea factorilor);
element neutru (produsul dintre 1 și orice număr natural este acel număr);
element absorbant (produsul dintre 0 și orice număr natural este 0);
distributivitatea înmulțirii față de adunare sau scădere (când înmulțim un factor cu o
sumă (diferență), factorul se distribuie fiecărui termen):
a × (b + c) = a × b + a × c ; a × (b - c) = a × b – a × c .
g. Se fac exerciții de aflare a produsului când se cunosc cei doi factori.
h. Se fac exerciții de aflare a unui factor necunoscut când se cunosc celălalt factor și
produsul (se pot folosi tabele, în care se cunosc un factor și produsul sau se cunosc ambii
factori):
a 4 2
b 5 7
a×b 16 35
4+4=8
8+4=12
12+4=16
4×4=16
i. Se face proba înmulțirii : prin înmulțire, folosind comutativitatea și, după studierea
împărțirii, prin împărțire;
j. Se rezolvă probleme care conduc la operația de înmulțire, în al căror enunț intervin
expresii specifice (de exemplu, pentru înmulțirea cu 2: dublul, de două ori mai mare/mic, mărit
de două ori, îndoitul etc.).
4
1.Înmulțirea cu 10, 100, 1000…prin copierea zerourilor factorului format numai din
zeci, sute, mii etc., la sfârșitul produsului
17×1000=17000
2.Înmulțirea cu un factor care este format numai din zeci (prin descompunerea sa în
sumă de zeci, folosindu-se scrierea sistemică (prin descompunerea în baza zece și apoi folosind
distributivitatea înmulțirii față de adunare) De exemplu :
× (10+10+ 10) 7 ×10+7 ×10+7 × 10
7 × 30 = 7 ⏟ = ⏟
scrierea sistemică a lui30 distributivitatea înmulțiriifață de adunare
Când înmulțim un factor cu o paranteză, el se înmulțește cu fiecare termne din
paranteză.
3.Înmulțirea a doi factori din care unul este de o cifră și celălalt de două cifre (prin
descompunerea celui de două cifre în scrierea sistemică, ce folosește descompunerea în baza
zece) De exemplu : 7 × 21 = 7 × (20 + 1) = 7 × 20 + 7 × 1 = 147.
4.Înmulțirea a doi factori când ambii factori sunt de două sau mai multe cifre (prin
descompunere, folosind scrierea sistemică) .
De exemplu : 14 × 21 =
×
(10 + 4) (20 + 1) =
10 ×(20+1)+4×(20+1)=
10 × 20 + 10 × 1 + 4 × 20 + 4 × 1 = 294.
5
1.Calculului înmulțirii unui număr care se termină prin 5, cu el însuși :
35×35 = (3 ×´4) 25= 1225
85×85=(8 ×´9) 25=
2. Înmulțirea cu 11 : Se copiază ultima cifră a numărului, apoi se adună două câte două
cifrele de la dreapta la stânga, având grijă la trecerea peste ordin, să se adauge la ordinul
superior și zecile obținute:
294×11=(1+2) ;(1+2+9);(9+4) 4=3234.
385×11= 4235
379×11= 4169
128×11= 1408
3. Înmulțirea cu 10 n – 1
45×9 = 45 ×(10-1)= 45 ×10 – 45 = 450 – 45 = 405
45×99 =45 ×(100-1)= 45 ×100 – 45 = 4500 – 45 = 4505
23×9=23×(10-1)=23×10-23×1=230-23=207
47×99=47×(100-1)=47×100-47×1=4700-47=4653
Distributivitatea înmulțirii față de scădere
6
Etapa I.
Întâi se numerotează fiecare tip de deget de la fiecare mână, astfel: degetul mic se
numerotează cu 6, inelarul se numerotează cu 7, degetul mijlociu se numerotează cu 8, indicele
(degetul arătător) se numerotează cu 9 și policele (degetul mare) se numerotează cu 10.
Etapa a II-a.
Fiecărei mâini îi este asociat un factor al produsului ce se dorește.
De exemplu, 8 × 7, așadar, mâna stângă îl va reprezenta pe 8, iar mâna dreaptă îl va
reprezenta pe 7.
Mâna stângă Mâna dreaptă
8 × 7
3 (trei degete sub 8, inclusiv) 2(degete deasupra) 2(două degete sub 7, inclusiv) 3(trei degete deasupra)
Se ating degetele care reprezintă factorii, ca în figura de mai jos.
Etapa a III-a.
Fiecare deget de dedesubt are valoarea zece și se sumează, iar cele două numere
corespunzătoare numerelor de degete de deasupra de la fiecare mână se înmulțesc. La final se
adună rezultatele.
(3 + 2) × 10 + 2×3 = 56
1 (un deget ridicat) 4(degete strânse) 2(două degete ridicate) 3(trei degete strânse)
Numărul total de degete ridicate reprezintă numărul de zeci, iar produsul degetelor
strânse în podul palmei se adună cu numărul zecilor pentru a obține rezultatul.
(1 + 2) × 10 + 4×3 = 42
9. Tehnica tabelului lui Pitagora4
Se construiește tabelul lui Pitagora astfel:
4
http://www.copiicreativi.com/mici-trucuri-pentru-ca-sa-inveti-tabla-inmultirii/
7
pe prima linie se scriu numerele de la 0 la 10;
pe a doua linie se scriu produsele cu 2 ale numerelor de la 0 la 10;
pe a treia linie se scriu produsele cu 3 ale numerelor de la 0 la 10;
ș.a.m.d.
pe a noua linie se scriu produsele cu 9 ale numerelor de la 0 la 10.
Pentru a calcula, de exemplu 2 ×7, se caută intersecția dintre linia a doua și coloana a
șaptea și se obține 14.
Pentru a calcula, de exemplu 4 ×4, se caută intersecția dintre linia a patra și coloana a
patra și se obține 16.
Operația de împărțire
Împărțirea a două numere naturale reprezintă intuitiv divizarea unei mulțimi în
submulțimi cu același cardinal, disjuncte două câte două, și numărarea submulțimilor (când se
cunoaște cardinalul lor, la împărțirea prin cuprindere), respectiv aflarea cardinalului fiecărei
submulțimi (când se cunoaște numărul de submulțimi, la împărțirea în părți egale).
Sensurile împărțirii
1. Împărțirea prin cuprindere, la care cunoaștem numărul de elemente ale
fiecărei submulțimi și dorim să aflăm câte submulțimi se formează. Prin urmare împărțitorul
este numărul de elemente ale fiecărei submulțimi și câtul este numărul de submulțimi.
Exemplu : Diana împarte unor copii câte 4 creioane din cele 12 creioane. Câți copii sunt ?
2. Împărțirea în părți egale, la care cunoaștem numărul de submulțimi și se
dorește aflarea numărului de elemente ale fiecărei submulțimi. Prin urmare, împărțitorul este
numărul de submulțimi și câtul este numărul de elemente ale fiecărei submulțimi .
Exemplu : Dana împarte în mod egal 12 creioane la 4 copii. Câte creioane primește
fiecare copil?
Introducerea împărțirii:
1. Prin scădere repetată de scăzători egali:
Exemplu : 12 : 4 = 3 (de câte ori l-am scăzut pe 4)
12 – 4 = 8 (prima scădere)
8 – 4 = 4 (a doua scădere)
8
4 – 4 = 0 (a treia scădere)
2. Pe baza tablei înmulțirii:
12 : 4 = ?
4 × ? =12
4 × 3 = 12
Așadar, 12 : 4 = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
.⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟. .⏟.
2 2 2 2 2 2
III. Faza de aplicare și exersare direcționată:
9
Etapa abstractă
a. Exerciții de scriere în cât mai multe moduri a unui număr ca diferență repetată de
numere egale:
6 – 6 = 0 (o grupă de 6 elemente), deci 6 : 6 = 1
6 - 3 - 3 = 0 (două grupe de câte trei elemente), deci 6 : 3 = 2
6 - 2 - 2 - 2 = 0 (trei grupe de câte două elemente), deci 6 : 2 = 3
6 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 = 0 (șase grupe de câte un element), deci 6 : 1 = 6
b. Probleme simple care modelează operația de împărțire:
Câte grupe de câte 5 creioane se pot forma din 15 creioane? (împărțire prin cuprindere)
Câte creioane are fiecare grupă, dacă împărțim 35 de creioane în 7 grupe? (împărțire în
părți egale)
c. Compunerea de probleme care modelează operația de împărțire.
d. Se accentuează faptul că împărțirea la zero este operație fără sens.5
e. Se precizează terminologia : deîmpărțitul (numărul care se împarte), împărțitorul
(numărul la care se împarte și trebuie să fie totdeauna diferit de zero) și câtul (rezultatul
împărțirii), se scrie formula : D : Î= C. Se scriu probele împărțirii: D = Î × C, Î = D : C.
f. Tabla împărțirii
10
de aflare a unui număr necunoscut când se cunosc celălalt număr și câtul (se pot folosi
tabele)
a 16 42 14
b 5 7
a:b 8 7 7
f. Se face proba împărțirii : prin înmulțire (D = I × C) și prin împărțire (Î = D : C)
g. Rezolvarea de probleme care conduc la operația de împărțire, folosind expresii
specifice (de exemplu, pentru împărțirea la 2: doimea, de două ori mai mic/mare, micșorat de
două ori etc.)
h. Metode de calcul rapid:
Împărțirea succesivă: 330 : 15 =
(330 : 3) : 5 =
110 : 5 = 22
i. Se fac exerciții de compunere de probleme, în care să se facă diferența între cu atâtea
mai puțin și de atâtea ori mai puțin.
j. Se fac exerciții în care intervin cele patru operații și ordinea rezolvării lor, exerciții cu
paranteze etc.
11
În calcule care cuprind atât operații de ordinul I (adunarea și scăderea), cât și operații de
ordinul al doilea (înmulțiri și împărțiri), dar și paranteze, atât în paranteze, cât și în afara
parantezelor, se aplică setul de reguli privind ordinea efectuării operațiilor:
1. Întâi se efectuează operațiile din paranteză.
2. Operațiile de același ordin se efectuează în ordinea în care sunt scrise.
3. Se efectuează întâi operațiile de ordinul II și apoi cele de ordinul I.
a. Se exemplifică regulile enunțate cu ajutorul unor probleme simple, care să ilustreze
necesitatea acestora:
1.Cristina are 27 de timbre, ea dă 11 timbre fratelui ei și 8 timbre, surorii ei. Câte timbre
are acum Cristina?
Exercițiul problemei este: 27 – 11 – 8 =
(27 – 11) – 8=
16 - 8= 8
b. Se observă că este foarte importantă așezarea parantezelor. În contextul problemei
noastre, corect este să așezăm paranteza ca să cuprindă prima operație (27-8). Dacă însă, se
așează paranteza astfel încât să cuprindă a doua operație, rezultatele sunt total diferite:
27 – (11 – 8) =
27 – 3= 24
Se poate compune o problemă care să modeleze acest exercițiu.
2. Cristina are 27 de timbre, ea face schimb de 11 timbre cu fratele ei și dă surorii
ei cu 8 timbre mai puțin decât a dat fratelui ei. Câte timbre are acum Cristina?
Exercițiul problemei este: 27 – 11 +11 - (11– 8) =
27 – (11 – 8)=
27 – 3=24
3. Dragoș avea luna trecută 28 de lei, dar luna aceasta are de trei ori mai mult6. Irina
are jumătate din 14 lei. Cu câți lei are mai mult Dragoș decât Irina?
Exercițiul problemei este: 3 × 28 – 14 : 2 =
84 – 7 = 77
După același exercițiu se poate compune o problemă cu un caracter mai mare de
generalitate.
4. Află diferența dintre produsul numerelor 3 și 28 și câtul numerelor 14 și 2.
Exercițiul problemei este 3 × 28 – 14 : 2 =
84 – 7 = 77
c. Se fac exerciții care necesită aplicarea setului de reguli privind ordinea efectuării
operațiilor:
3 + 27 : (11 + 4 × 7 : 2 - 22) : 9 =
3 + 27 : (11 + 28 : 2 - 22) : 9=
3 + 27 : (11 + 14 - 22) : 9=
3 + 27 : (25-22) : 9=
3 + 27 : 3 : 9=
3 + 9 : 9=
3 + 1= 4
6
Expresia de trei ori mai mult, în acest context, semnifică faptul că primul factor al înmulțirii este 3.
12
Rezolvarea de probleme prin metode aritmetice: metoda figurativă (de tipul sumă și
diferență, de tipul sumă și cât, de tipul diferență și cât), metoda falsei ipoteze, metoda
retrogradă, metoda lui Dirichlet, metode specifice problemelor de mișcare
7
Algoritmii de identificare țin de cunoștințele declarative de tipul factuale (includ fragmente izolate de informaţii,
cum ar fi definiţiile cuvintelor şi cunoştinţe despre detalii specifice) și conceptuale (constau în sisteme de informaţii,
cum ar fi clasificările şi categoriile, conceptele, noțiunile) și sunt specifici pentru situaţiile de decelare a
informațiilor unei probleme aritmetice, de precizare a conexiunilor între informații și de stabilire a modalităților de
rezolvare a problemei. Algoritmii de lucru, procedurali țin de cunoștințele procedurale și implică strategii diferite de
calcul, care pot fi lineare (ca în adunare şi scădere) sau ciclice (ca în înmulţire şi împărţire ). Algoritmii de controlțin
de cunoștințe metacognitive și se utilizează în calculele aritmetice, în activităţile intelectuale, care se supun unor
reguli implicite, reprezentând grupări de reversibilităţi și de echivalențe logice.
13
Realizarea desenului problemei, stabilirea tipului de metodă folosită și existența metodelor
alternative8
Construirea falsei ipoteze - doar pentru metoda falsei ipoteze
Construirea planului logico-operațional (rezolvarea scrisă)9
Verificarea răspunsului
Rezolvarea problemei prin alte metode-atunci când este posibil
Redactarea răspunsului
Scrierea problemei în exercițiu10
Generalizarea problemei11
Compunerea de probleme după același exercițiu, dar schimbând contextul12
Compunerea de probleme după același context cu cel inițial, dar schimbând numerele13
Metoda figurativă de tipul sumă și diferență
Probleme rezolvate
Sofia are 48 de flori in 2 vaze. In prima vaza sunt cu 14 flori mai multe decat in a doua. Cate
flori sunt in fiecare vaza?
14 (diferența)
a
b 48 (suma)
14
Verificare: 48-31=17 (A)
Răspuns: a=31, b=17
Scrierea în exercițiu:
I. 48-31=17
48-62:2=17
48-(48+14):2=17 (A)
Exercițiul problemei este 48-(48+14):2
II. (48+14):2-14
Generalizarea: Notăm S=48, D=14, C=1
I. S-(S+D):(C+1)
II. (S+D): (C+1)-D
Metoda prin scădere: suma diferența
a-14
b 48-14
Problema 1: Sanda are cu 48 lei mai mult decât Sandu. Ei au împreună 246 lei. Câți lei are
fiecare?
15
Problema 2: Suma a două numere este 47, iar diferența lor este 9. Aflați numerele.
9
a
b 47
16
II. (S-D): (C+1)+D
Pentru compunerea unei probleme de tipul sumă și raport, se face un desen după cum se dorește
să arate rezolvarea:
de exemplu:
Se alege o valoare pentru segment, să spunem că valoarea este 123 și atunci primul număr devine
123, al doilea devine 123∙3+12=381 și, în continuare, se calculează suma și catul (raportul) lor,
astfel se obține că suma celor două numere este 381, iar dacă se împarte numărul mai mare la
numărul mai mic se obțin câtul 3 și restul 12.
Problema compusă va fi:
Suma a două numere este 381, iar dacă împart numărul mai mare la numărul mai mic, se obține
câtul 3 și restul 12. Care sunt cele două numere?
sau
Doi copii au împreună 381 de mere. Al doilea copil are triplul numărului de mere ale primului
copil plus încă 12 mere. Câte mere are fiecare copil?
Suma a două numere este 127, iar diferența lor este 83. Aflați numerele.
Maria repartizează 42 de creioane colorate în două cutii, astfel încât în prima cutie să fie cu
14 creioane mai multe decât în a doua. Câte creioane sunt în fiecare cutie?
Ana are cu 148 lei mai puțin decât Maria. Ele au împreună 246 lei. Câți lei are fiecare?
Maria are un coș cu mere și pere, în total 56 de fructe. Dacă s-ar lua 8 mere și s-ar pune 16
pere, atunci numărul merelor ar fi egal cu numărul perelor. Aflați câte fructe sunt de fiecare
tip. (Trebuie aplicate simultan și metoda prin adunare și cea prin scădere)
Plan de rezolvare:
1. Cât ar fi dublul numărului de mere sau de pere, în ipoteza dată în problemă?
56-8+16=48 (2(m-8) sau 2(p+16))
2. Cât este numărul de mere?
48:2+8=32 (m)
3. Cât este numărul de pere?
48:2-16=8 (p)
Verificare: 32-8=8+16 (A)
J+G=52,8
J=3G-4
J, G=?
G -4 52,8
17
G 52,8+4
J+4
Planul logico-operațional
Scrierea în exercițiu:
I. 3∙(52,8+4):4-4=38,6 (A)
II. 52,8-(52,8+4):4=38,6 (A)
Generalizarea: Notăm S=52,8, P=4, C=2 (pentru că sunt doar două segmente întregi, iar din
al treilea lipsește 4)
I. (C+1)∙(S+P): (C+2)-P
II. S-(S+P): (C+2)
Doi colecționari au împreună 1067 timbre. Dacă s-ar împărți numărul timbrelor primului
18
colecționar la numărul celui de-al doilea, s-ar obține câtul 16 și restul 13. Aflați câte timbre
are fiecare.
Rezolvare:
a+b=1067
a:b=16 rest 13
a,b=?
b
1067
13
a
Metoda prin scădere
Planul logico-operațional
1. Cât reprezintă de șaptesprezece ori (înșaptesprezecitul) b?
1067-13=1054 (17b)
2. Cât reprezintă b?
1054:17=62 (b)
3. Cât este a?
a. 62∙16+13=1005 (a) Verificare: 1005+62=1067 (A)
b. 1067-62=1005 (a) Verificare: 1005: 62=16 rest 13 (A)
Răspuns: a=1005, b=62
Scrierea în exercițiu:
a. 62∙16+13=1054:17∙16+13=(1067-13): 17∙16+13
[(1067-13): 17¿ ∙16+13
b. 1067-62=1067-1054:17=1067-(1067-13):17
1067-(1067-13):17
Cum lucrăm pe calculator: 1005: 62=16,...
16∙ 62-1005=- restul
Generalizare: Notăm: S=1067, R=13, C=16, C+1=17
a. [(S-R): (C+1)¿ ∙C+R
b. S-(S-R):(C+1)
Compunerea de probleme după același exercițiu:
Maria
Ana are 1067 de mere și mănâncă 13. Ea împarte restul merelor celor 17 frați. Maria are
de 16 ori mai multe mere decât unul din frați, plus 13 mere. Câte mere are Maria?
Radu
19
b. 1067-(1067-13):17
Ionuț Maria
Ionuț are 1067 de lei. Maria are aceeași sumă (nr. de lei) ca Ionuț, mai puțin cu 13 lei.
Radu are de 17 ori mai puțin decât Maria. Care este diferența dintre suma lui Ionuț și
suma lui Radu.
1067-(1067-13):17
Ionuț Maria
Ionuț are 1067 de lei. Maria are de 17 ori mai puțin decât suma (nr. de lei) lui Ionuț, mai
puțin cu 13 lei (diferența dintre suma lui Ionuț și 13 lei). Care este diferența dintre suma
lui Ionuț și suma lui Radu. Cu câți lei are mai mult Ionuț decât Maria?
Compunerea de probleme după același context
a+b=1067
a:b=16 rest 13
a=103, b=11
a+b=114
a:b=9 rest 4
Suma a două numere este 114, dacă s-ar împărți primul număr la al doilea, s-ar obține
cîtul 9 și restul 4. Aflați numerele.
Doi copii au împreună 475 de lei. Primul are cu 15 mai mult decât decât triplul sumei celui
de al doilea. Ce sumă are fiecare copil?
În două coșuri sunt 80 de kilograme de fructe. Dacă se transferă din primul coș în al doilea
coș 10 kg, atunci în primul rămâne triplul cantității din al doilea. Aflați câte kg de fructe
sunt în fiecare coș.
Plan logico-operațional
1. Cu cât ar fi mai mare cantitatea de fructe din al doilea coș?
80-10-10-10-10=40 (âmpătritul cantității din al doilea coș)
2. Cât este cantitatea din al doilea coș?
40:4=10 (cantitatea din al doilea coș)
3. Cât este cantitatea din primul coș?
80-10=70 (cantitatea din primul coș)
Verificare: 70-10=3(10+10) (A)
C=c+36
C=5c
C, c=? diferența
c
C
36
Planul logico-operațional
1. Cât este c?
36:4=9 (c)
2. Cât costă o carte?
20
I. 9∙5=45 (C)
II. 9+36=45 (C)
Scrierea în exercițiu
I. (36:4)∙5=45 (A)
II. 36:4+36=45 (A)
Generalizarea: Notăm D=36, C=5
I. D: (C-1)∙C
II. D: (C-1)+D
Compunerea de probleme după același exercițiu
I. O mamă are zilnic 36 de fructe. Ea le împarte la cei 4 copii în mod egal zilnic. Câte
fructe va avea un copil după 5 zile?
II. Un copil are de rezolvat 36 de probleme în 4 zile, dar în ultima zi mai primește încă 36
de probleme. Câte probleme are de rezolvat în ultima zi?
p
P
36
Planul logico-operațional
3. Cât este p?
36:6=6 (p)
4. Cât costă P?
I. 6∙7=42 (P)
II. 6+36=42 (P)
Scrierea în exercițiu
I. (36:6)∙7=42 (A)
II. 36:6+36=42 (A)
Generalizarea: Notăm D=36, C=7
I. D: (C-1)∙C
II. D: (C-1)+D
Compunerea de probleme după același exercițiu
I. Anca are 36 de bomboane pe care le împarte celor 6 prietene ale sale. Maria are de 7 ori
mai multe decât o prietenă. Câte bomboane are Maria?
21
II. Andrei are 36 ha de pământ pe care le împarte în mod egal celor 6 frați. Unul din frați
primește încă 36 ha. Câte ha va avea fratele?
Un colecționar are cu 167 timbre mai multe decât altul. Dacă s-ar împărți numărul
timbrelor primului colecționar la numărul celui de-al doilea, s-ar obține câtul 6 și restul 12.
Aflați câte timbre are fiecare.
Un colecționar are cu 167 timbre mai puține decât altul. Dacă s-ar împărți numărul
timbrelor primului colecționar la numărul celui de-al doilea, s-ar obține câtul 6 și restul 12.
Aflați câte timbre are fiecare.
În două coșuri sunt fructe. Se știe că numărul kilogramelor de fructe din primul coș este cu
46 kg mai mare decât numărul kilogramelor de fructe din cel de al doilea coș. Dacă se
transferă din primul coș în al doilea 12 kg, atunci în primul rămâne dublul cantității din al
doilea. Aflați câte kg de fructe sunt în fiecare coș.
Plan de rezolvare
1. Cu cât ar fi mai mare cantitatea de fructe din al doilea coș?
46-12-12-12=10 (cantitatea din al doilea coș, deoarece primul este dublul celui de al
doilea!)
2. Cât este cantitatea din primul coș?
10+46=56 (cantitatea din primul coș)
Verificare: 56-12=2(10+12)(A)
5 5 ….. 5 5 III
22
Atunci când se vor așeza câte 6 în bărci, se vor ocupa toate bărcile, iar când se vor așeza câte 5 în
bărci, vor fi în plus 3 + 6 = 9 excursioniști.
La fiecare barcă, în schimb, este câte un excursionist în plus.
Plan logico-operațional
1. Câți excursioniști sunt în plus în total?
3+6∙1=9 (excursioniști în plus în total)
2. Câți excursioniști sunt în plus la o barcă?
6-5=1 (excursionist în plus la o barcă)
3. Câte bărci sunt?
9:1=9 (bărci)
4. Câți excursioniști sunt?
I. (9-1)∙6=48 (excursioniști)
Verificare: 9∙5+3=48 (A)
II. 9:1 ∙5+3=48 (excursioniști)
Verificare: (9 - 1) · 6 = 48 (A)
Răspuns: 9 bărci, 48 excursioniști
Scrierea în exercițiu:
I. [(3+6∙1): (6-5)-1]∙6=48 (A)
II. (3+6∙1):(6-5)∙5+3=48 (A)
Generalizarea (folosim ceea ce știm din ipoteză): Notăm a=nr. excursioniști așezați într-o barcă
în prima ipoteză=6, b= nr. excursioniști așezați într-o barcă în a doua ipoteză=5, c=nr.
excursioniști în picioare=3, d=nr. bărci libere=1
I. [(c+a∙d): (a-b)-d]∙a
II. (c+a∙d):(a-b)∙b+c
Compunerea de probleme după același exercițiu:
I. Daniela are 3 cărți și mai primește 6, Corina are 6 cărți dintre care împrumută 5 unor
colege, iar Ioana are de 6 ori diferența cărților celor două fete. Câte cărți are Ioana?
II. Maria are 3 lei și mai primește 6, Cătălin are 6 lei și pierde 5 lei. Ion are 3 lei plus de
cinci ori câtul sumelor Mariei și a lui Cătălin. Câți lei are Ion?
Compunerea de probleme după același context
Un grup de elevi merg la muzeu. Dacă se așează câte 7 într-o mașină, rămân 2 elevi pe trotuar,
dacă se așează câte 8 într-o mașină, rămâne o mașină liberă. Câte mașini și câți elevi sunt?
e=nr elevi
m=nr mașini
7m+2=e
8(m-1)=e
m,e=?
Problema: 8 8 ….. 8
7 7 ….. 7 7 II
Plan logico-operațional
1. Câți spectator sunt în plus în total?
2∙ 5+10=20 (spectatori în plus în total)
24
2. Câți spectatori sunt în plus la o masă?
5-4=1 (spectator în plus la o masă)
3. Câte mese sunt?
20:1=20 (mese)
4. Câți spectatori sunt?
I. 5∙(20-2)=90 (spectatori)
Verificare: 4∙20+10=90 (A)
II. 4∙20+10=90 (spectatori)
Verificarea: 5∙(20-2)=90 (A)
Răspuns: s=90, m=20
Scrierea în exercițiu:
I. 5∙(20-2)=5∙[20 :1−2]=5∙[(2∙5+10):(5-4)-2]
II. 4∙20+10=4∙(20:1)+10=4∙[(2∙5+10): (5-4)]+10
Generalizarea: Notăm a=nr. spectatori așezați la o masă în prima ipoteză=5, b= nr.spectatori
așezați la o masă în a doua ipoteză=4, c=nr. spectatori în picioare=10, d=nr.mese=2
I. a∙[(d∙a+c):(a-b)-d]
II. b∙[(d∙a+c): (a-b)]+c
Compunerea de probleme după același exercițiu
Ana are 10 plăcinte și mai primește de două ori jumătatea plăcintelor sale de la sora ei. Ioana are
5 plăcinte dintre care fratele ei îi mănâncă 4. Sabina are cu 2 plăcinte mai puțin față de câtul
numerelor de plăcinte ale fetelor. Doru are de 5 ori numărul plăcintelor Sabinei. Câte plăcinte are
Doru?
Într-o clasă sunt mai mulți elevi. Dacă aceștia sunt așezați câte 4 într-o bancă, rămâne un
elev în picioare. Dacă sunt așezați câte 7, rămân cinci banci libere. Câți elevi și câte bănci
sunt?
Într-o excursie, mai mulți elevi vor să traverseze un râu. Dacă se așează câte 5 în barcă,
rămân trei bărci libere, dacă se așează câte 2, rămân 33 elevi în picioare. Câte bărci și câți
elevi sunt?
Într-o curte sunt găini și capre, în total 12 capete și 30 de picioare. Câte găini și câte capre
sunt?
Într-un bloc sunt 15 apartamente cu 4 camere sau cu 1 cameră, în total 27 de camere. Câte
apartamente de fiecare fel sunt?
La un showroom sunt expuse mașini cu 5 uși și cu 2 uși, în total 18 autoturisme și 51 uși.
Câte mașini de fiecare tip sunt?
Metoda retrogradă
Am ales un număr, l-am adunat cu 5, rezultatul l-am înmulțit cu 12, din produs am scăzut 17,
rezultatul l-am adunat cu 28 și am obținut 347. Care este numărul inițial?
Rezolvare:
x +5 S ·12 P -17 D +28 347
R: x
număr suma produs diferență
=
23
Planul logico-operațional
25
1. Cât este diferența? (D+28=347) D este un termen și se află prin scădere, scăzând din
sumă (347) pe termenul cunoscut (28).
347 – 28 = 319 (D)
2. Cât este produsul? (P-17=319) P este descăzutul și se află prin adunare, adunând suma (319)
cu scăzătorul (17).
319+17=336
3. Cât este suma? (S∙ 12=336) S este un factor care se află prin împărțire, împărțind produsul
(336) la factorul cunoscut (12).
336:12 = 28 (S)
4. Cât este numărul inițial? (x+5=28) x este un termen care se află prin scădere, scăzând cin
sumă (28) pe termenul cunoscut (5)
28 – 5 = 23 (x)
Verificarea: (23 + 5) · 12 – 17 + 28 = 347 (A)
Răspuns: x=23
Scrierea în exercițiu : 28 – 5=336:12-5=(319+17):12-5=(347-28+17):12-5
Generalizarea: Notăm R=rezultatul final=347, T=termenul cunoscut=28, S=scăzătorul =17,
F=factorul=12, t=primul termen cunoscut=5
(R-T+S):F-t
Compunerea de probleme după același exercițiu:
Bunica are 347 de trandafiri, îi oferă vecinei 28 și mai primește 17. Ea împarte în mod egal
numărul de trandafiri rămași la 12 vecine. Uneia din vecine i se ofilesc 5 trandafiri. Câți
trandafiri are acum acea vecină.
Compunerea de probleme după același context:
Mă gândesc la un număr, îl adun cu 5, rezultatul îl înmulțesc cu 12, din rezultatul obținut scad
10, apoi noul rezultat îl adun cu 6 și obțin 92. Cât este numărul inițial?
Schema, planul logico-operațional, verificarea, răspunsul, scrierea în exercițiu, compunerea de
probleme după același exercițiu, compunerea de probleme după același context.
Rezolvare:
x +5 S ·12 P -10 D +6 92
număr suma produs diferență
Planul logico-operațional
1. Cât este diferența?
92-6=86
2. Cât este produsul?
86+10=96
3. Cât este suma?
96:12=8
4. Cât este numărul inițial?
8-5=3
V: (3+5) ·12-10+6=92 (A)
R: x=3
Scrierea în exercițiu: 8-5=96:12-5=(86+10):12-5=(92-6+10):12-5
26
Generalizarea: Notăm R=rezultatul final=92, T=termenul cunoscut=6, S=scăzătorul =10,
F=factorul=12, t=primul termen cunoscut=5
(R-T+S):F-t
Compunerea de probleme după același exercițiu:
Am 92 de flori, îi dau Mariei 6, mai primesc 10 flori. Totalul de flori îl împart celor 12 surori.
Una din ele pierde 5 flori. Cu câte flori rămâne sora care a pierdut cele 5 flori?
Ioana are 92 de fluturi din care eliberează 6. După ce a observat fluturii rămași, pe geam mai
intră 10 fluturi. Ea așează fluturii din încăpere în 12 grupe, în funcție de specie. În ultima grupă
de fluturi dispar 5 dintre fluturi. Câți fluturi au rămas în ultima grupă?
Maria se gândește la un număr, îl înmulțește cu 2, din noul rezultat scade 26, împarte totul
la 3 și scade 6 din ultimul rezultat, obținând 4. Care este numărul la care s-a gândit Maria?
∙2 -26 :3 -6
x P D C 4
R: x
Maria are o sumă de bani, ea primește aceeași sumă de la mama, din=noua sumă cheltuie
23 cheltuie 6 lei din
26 de lei, apoi împarte totul la cei 7 colegi de clasă, iar colegul de bancă
suma primită de la Maria și rămâne cu 4 lei. Care este suma de bani a Mariei?
x ∙2 P -26 D :7 C -6 4
R: x
=
23
27