CURS.

VARIABILE ALEATOARE CONTINUE 1

1. Funcţie de repartiţie

Fie (E, K, P ) un câmp infinit de probabilitate. Reamintim că K ⊆ P(E) este o σ-algebră de
părţi ale lui E, deci satisface următoarele condiţii:
(i) A ∈ K pentru orice A ∈ K;
(ii) pentru orice An ∈ K, n ∈ N avem
∪
An ∈ K.
n∈N

Mai mult, are loc şi proprietatea A \ B ∈ K pentru orice A, B ∈ K.

Funcţia P : K → [ 0, 1 ] este o probabilitate, adică satisface următoarele proprietăţi:
(i) P (E) = 1;
(ii) pentru orice şir de mulţimi (An )n ∈ K, cu An ∩ Am = ∅, pentru orice n , m avem
( )
∪ ∑
P An = P (An ).
n∈N n∈N

Definiţia 1.1. O funcţie

X:E→R
se numeşte variabilă aleatoare dacă, pentru orice x ∈ R, are loc
{X ≤ x} = {e ∈ E | X(e) ≤ x} ∈ K. (1)

Dacă X este o variabilă aleatoare atunci au loc:

{X < x} ∈ K, {X > x} ∈ K, {X ≥ x} ∈ K

{x1 < X < x2 } ∈ K, {x1 ≤ X < x2 } ∈ K,

{x1 < X ≤ x2 } ∈ K, {x1 ≤ X ≤ x2 } ∈ K.

Aceasta ı̂nseamnă că putem calcula probabilităţile oricăror evenimente de forma precedentă.

Definiţia 1.2. Variabilele aleatoare X şi Y se numesc variabile aleatoare independente,

dacă pentru orice D1 , D2 mulţimi reale deschise are loc:
( )
P {X −1 (D1 )} ∩ {Y −1 (D2 )} = P {X −1 (D1 )} · P {Y −1 (D2 )},
unde
{X −1 (Di )} = {e ∈ E | X(e) ∈ Di }, i = 1, 2.
1
2 Daniela Roşu

Definiţia 1.3. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X, funcţia reală

F : R → [ 0, 1 ],
F (x) = P {X ≤ x} = P ({e ∈ E | X(e) ≤ x})
pentru orice x ∈ R.

Funcţia de repartiţie F asociază oricărui număr real x probabilitatea ca valorile lui X să fie
mai mici sau cel mult egale cu x.

Observaţia 1.1. Variabila aleatore nu este definită explicit, nu se vede; cunoaşterea funcţiei
reale F permite obţinerea de informaţii de tip statistic relativ la comportarea lui X. De reţinut
că variabile aletoare distincte pot avea aceeaşi funcţie de repartiţie.

Teorema 1.1. Fie X o variabilă aleatoare şi fie F : R → [ 0, 1 ] funcţia sa de repartiţie.

Următoarele afirmaţii sunt adevărate:
1. dacă x1 ≤ x2 , atunci F (x1 ) ≤ F (x2 ), ∀ x1 , x2 ∈ R;
2. F (x + 0) = F (x), ∀ x ∈ R, ( F este continuă la dreapta);
3. lim F (x) = 0;
x→−∞
4. lim F (x) = 1.
x→+∞
Demonstraţie.
1. Dacă x1 < x2 atunci {X ≤ x1 } ⊂ {X ≤ x2 } şi aplicând monotonia funcţiei de probabili-
tate, rezultă
F (x1 ) = P {X ≤ x1 } ≤ P {X ≤ x2 } = F (x2 ).
3. lim F (x) = lim P {X ≤ x} = P (∅) = 0.
x→−∞ x→−∞
4. lim F (x) = lim P {X ≤ x} = P (E) = 1. 
x→+∞ x→+∞

Teorema 1.2. Fie F : R → [ 0, 1 ] funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare X. Atunci

pentru orice numere reale a < b avem:
1. P {X > a} = 1 − F (a),
P {X < a} = F (a − 0),
P {X ≥ a} = 1 − F (a − 0).
2. P {a < X ≤ b} = F (b) − F (a),
P {a < X < b} = F (b − 0) − F (a),
P {a ≤ X < b} = F (b − 0) − F (a − 0),
P {a ≤ X ≤ b} = F (b) − F (a − 0).

Propoziţia 1.1. Dacă X este o variabilă aleatoare şi λ ∈ R atunci următoarele operaţii definesc
variabile aleatoare:
1
X + λ, λX, |X|, X r , r ∈ N, .
X
Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare, atunci
X
X + Y, X − Y, XY, , max(X, Y ), min(X, Y )
Y
 Variabile aleatoare continue 1 3

sunt de asemenea variabile aleatoare.

Exemplul 1.1. Fie X o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este





0 pentru x ≤ 0
 2
x
F (x) = pentru 0 < x < 1

 2

 1 pentru x ≥ 1.
{ }
1
Să se calculeze P X ≤ şi P {X 2 ≥ 1}.
2
Soluţie. Avem
{ } ( )
1 1 1
P X≤ =F = ,
2 2 8
şi { } { }
P X 2 ≥ 1 = 1 − P X 2 < 1 = 1 − P {−1 < X < 1}
1 1
= 1 − F (1 − 0) + F (−1) = 1 − + 0 = .
2 2
2. Densitate de probabilitate

Definiţia 2.1. Spunem că variabila aleatoare X este de tip continuu dacă funcţia de repartiţie
F : R → [ 0, 1 ] este continuă şi există o funcţie f : R → R cu o mulţime cel mult numărabilă
de puncte de discontinuitate de prima speţă astfel ı̂ncât
∫ x
F (x) = f (t) dt (2)
−∞
pentru orice x ∈ R.
Funcţia f se numeşte densitatea de probabilitate a variabilei X.

Are loc
F ′ (x) = f (x) (3)
ı̂n toate punctele de continuitate ale lui f . În sens distribuţional relaţia (3) are loc ı̂n toate
punctele x ∈ R.
Fiind derivata unei funcţii monoton crescătoare, rezultă că f satisface
f (x) ≥ 0, (4)
pentru orice x ∈ R.
Dacă f : R → R+ este densitate de probabilitate pentru o variabilă aleatoare atunci
∫
+∞

f (x) dx = 1. (5)
−∞

Aceasta deoarece
∫
+∞ ∫a
f (x)dx = lim f (x)dx = lim F (a) = 1.
a→+∞ a→+∞
−∞ −∞
4 Daniela Roşu

Geometric condiţia (5) se interpretează prin aceea că aria subgraficului funcţiei densitate de
probabilitate este unitară.
Condiţiile esenţiale ce trebuie verificate ca o funcţie să fie densitate de probabilitate sunt (4)
şi (5).

Pentru o variabilă aleatoare oarecare au loc formulele

∫x2
P {x1 < X ≤ x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) = f (x)dx (6)
x1

P {X = x} = F (x) − F (x − 0). (7)

Dacă variabila este continuă atunci are loc următoarea formulă de calcul

P {x1 < X ≤ x2 } = P {x1 ≤ X ≤ x2 } = P {x1 < X < x2 } =

∫x2
P {x1 ≤ X < x2 } = f (x)dx = F (x2 ) − F (x1 ). (8)
x1
Probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valori ı̂n intervalul [ a, b ] este egală cu aria
subgraficului densităţii de probabilitate f , cuprins ı̂ntre dreptele verticale x = a şi x = b.
De exemplu, dacă X este variabila aleatoare ale cărei valori reprezintă intensitatea curentului
ı̂n cazul măsurării acesteia, probabilitatea ca să ia valori in intervalul [ 14 mA, 15 mA ] este
integrala densităţii de probabilitate a lui X calculată pe acest interval.

Exemplul 2.1. Spunem că variabila aleatoare X este repartizată uniform pe intervalul
[ a, b ], a < b, dacă ea are densitatea de probabilitate f : R → R+ ,

 1

 , dacă x ∈ [ a, b ]
f (x) = b − a



0, ı̂n caz contrar.
Să se verifice că f are proprietăţile densităţii de probabilitate şi să se determine funcţia de
repartiţie.
Soluţie. Verificăm proprietăţile (4) şi (5). Avem evident f (x) ≥ 0, pentru orice x ∈ R şi
∫∞ ∫b
1
f (x) dx = dx = 1.
b−a
−∞ a

Determinăm funcţia de repartiţie F : R → [ 0, 1 ]. Pentru x < a avem

∫x
F (x) = f (t) dt = 0.
−∞

Pentu x ∈ [ a, b ] avem
∫x ∫x
1 x−a
F (x) = f (t) dt = dt = .
b−a b−a
−∞ a
 Variabile aleatoare continue 1 5

Pentru x > b avem

∫x ∫b
1
F (x) = f (t) dt = dt = 1.
b−a
−∞ a
Deci 

 0, dacă x < a





 x−a
F (x) = , dacă x ∈ [ a, b ]
 b−a







1, dacă x > b.

0,5 1

0,4 0,8

0,3 0,6

0,2 0,4

0,1 0,2

0 0
-2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 5
x x

Densitatea uniformă Funcţia de repartiţie uniformă

Figura 1. Repartiţia uniformă

Exemplul 2.2. Spunem că variabila aleatoare X este repartizată exponenţial cu parametrul
λ > 0, dacă densitatea sa de probabilitate este f : R → R+

−λx

 λe , dacă x ≥ 0
f (x) =

 0, dacă x < 0.
Să se verifice că f este o densitate de probabilitate şi să se determine funcţia de repartiţie.
Soluţie. Verificăm proprietăţile (4) şi (5). Avem evident f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R şi
∫∞ ∫∞
f (x) dx = λe−λx dx = 1.
−∞ 0

Determinăm funcţia de repartiţie F : R → [ 0, 1 ]. Pentru x < 0 avem

∫x
F (x) = 0 dt = 0,
−∞

Pentu x ≥ 0 avem
∫x ∫x 
−λt e−λt x
F (x) = f (t) dt = λe dt = λ  = 1 − e−λx .
−λ 0
−∞ 0
Deci {
0, dacă x < 0
F (x) =
1 − e−λx , dacă x ≥ 0.
6 Daniela Roşu

2 1

0,8
1,5

0,6
1

0,4

0,5
0,2

0 0
-1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4
x x

Densitatea exponenţială Funcţia de repartiţie exponenţială

Figura 2. Repartiţia exponenţială

3. Funcţii de variabile aleatoare

Pentru ı̂nceput să considerăm cazul ı̂n care variabila aleatoare X este discretă şi notăm
P {X = x} = f (x). Fie h : R → R o funcţie bijectivă care stabileşte legătura dintre valorile lui
X şi cele ale variabilei Y = h(X). Fie x = h−1 (y) soluţia unică a ecuaţiei y = h(x). Variabila
Y va lua valorea y atunci când X va lua valorea x = h−1 (y). Atunci

{ }
fY (y) = P {Y = y} = P X = h−1 (y) = fX (h−1 (y)).

Exemplul 3.1. Fie X o variabilă aleatoare distribuită geometric ı̂n care

P ({X = k}) = p (1 − p)k , k = 0, 1, 2, 3, . . . .

Să se determine repartiţia variabilei Y = X 2 .

Soluţie. Notăm fX (k) = p (1 − p)k . Deoarece X ≥ 0, funcţia y = x2 este bijectivă pentru

√ √
x ≥ 0 cu inversa x = y deci h−1 (y) = y.

( ) √
P ({Y = k}) = fY (k) = fX h−1 (k) = p (1 − p) k
, k = 0, 1, 2, 3, . . . .

Considerăm cazul ı̂n care variabila X este continuă, cu funcţia de repartiţie FX . Fie h : R → R
o funcţie bijectivă. Atunci variabila aleatoare Y = h(X) are funcţia de repartiţie complet
determinată.

Teorema 3.1. Fie h : R → R o funcţie strict monotonă şi derivabilă. Fie x = h−1 (y) unica
soluţie a ecuaţiei h(x) = y. Fie X o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de probabilitate
fX : R → R. Atunci densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y = h(X) este fY : R → R,
( ) 
 ′
fY (y) = fX (h−1 (y))  h−1 (y)  , y ∈ R.
 Variabile aleatoare continue 1 7

Demonstraţie. Fie FX , FY : R → [ 0, 1 ] funcţiile de repartiţie ale celor două variabile.

Dacă h este strict crescătoare atunci avem:
{ } ( )
FY (y) = P {Y ≤ y} = P {h(X) ≤ y} = P X ≤ h−1 (y) = FX h−1 (y) ,

pentru orice y ∈ R. Rezultă

dFY d ( ( −1 )) d ( ( −1 )) d ( −1 )
fY (y) = (y) = FX h (y) = FX h (y) · h (y)
dy dy dy dy
( )′
= fX (h−1 (y)) h−1 (y) ,

pentru orice y ∈ R.
Dacă h este strict descrescătoare atunci putem scrie:
{ } ( )
FY (y) = P {Y ≤ y} = P {h(X) ≤ y} = P X ≥ h−1 (y) = 1 − FX h−1 (y) ,

pentru orice y ∈ R, ca urmare,

dFY d ( ( )) d ( ( −1 )) d ( −1 )
fY (y) = (y) = 1 − FX h−1 (y) = − FX h (y) · h (y)
dy dy dy dy
( )′
= −fX (h−1 (y)) h−1 (y) ,

pentru orice y ∈ R. 

Exemplul 3.2. Fie X variabila aleatoare distribuită uniform pe intervalul [ 0, 1 ]. Să se deter-
mine densitatea de probabilitate a variabilei Y = 3X.

Soluţie. X are densitatea de probabilitate fX : R → R+ dată de

{
1, dacă x ∈ [ 0, 1 ]
fX (x) =
0, ı̂n caz contrar.

Y = h(X) = 3X, unde h(x) = 3x, h′ (x) = 3 > 0. Funcţia h este continuă şi strict
crescătoare, deci bijectivă. Rezultă că Dacă FX , FY : R → [ 0, 1 ] sunt funcţiile de repartiţie ale
celor două variabile, atunci pentru orice x ∈ R avem
{ } ( )
x x
FY (x) = P {Y ≤ x} = P {3X ≤ x} = P X ≤ = FX .
3 3
Prin derivare ı̂n raport cu x găsim

 1
( ( ))′
x x 1 dacă x ∈ [ 0, 3 ]

 ,
fY (x) = FY′ (x) = FX = fX ( ) · = 3
3 3 3  

0, ı̂n caz contrar.

De aici rezultă că Y este distribuită uniform pe intervalul [ 0, 3 ].

8 Daniela Roşu

4. Funcţii de repartiţie şi densităţi condiţionate

În câmpul de probabilitate {E, K, P } considerăm A ∈ K un eveniment arbitrar cu probabi-

litatea nenulă, P (A) , 0.

Definiţia 4.1. Fie X o variabilă aleatoare continuă. Numim funcţie de repartiţie condiţionată
de evenimentul A funcţia F (·|A) : R → [ 0, 1 ] dată prin
P ({X ≤ x} ∩ A)
F (x|A) = P ({X ≤ x}|A) = , x ∈ R. (9)
P (A)
Toate proprietăţile funcţiei de repartiţie se păstrează; menţionăm

F (+∞|A) = 1; F (−∞|A) = 0.

Exemplul 4.1. Fie X o variabilă aleatoare continuă cu funcţia de repartiţie F şi fie A un

eveniment arbitrar cu probabilitatea nenulă. Să se demonstreze următoarea formulă
P ({a < X ≤ b}|A) = F (b|A) − F (a|A). (10)

Soluţie. Într-adevăr, dacă a < b avem {X < a} ⊂ {X ≤ b} şi

P ({a < X ≤ b} ∩ A)
P ({a < X ≤ b}|A) = =
P (A)

P (({X ≤ b} ∩ A) \ ({X ≤ a} ∩ A))

= =
P (A)

P ({X ≤ b} ∩ A) − P ({X ≤ a} ∩ A)
= = F (b|A) − F (a|A).
P (A)

Ne interesează ı̂n continuare, pentru numeroasele aplicaţii practice, unele cazuri particulare ale
evenimentului A.

1. Dacă A = {X ≤ a} şi F (a) = P ({X ≤ a}) , 0, atunci

P ({X ≤ x} ∩ {X ≤ a})
F (x| {X ≤ a}) =
P {X ≤ a}
În situaţia x ≤ a avem {X ≤ x} ∩ {X ≤ a} = {X ≤ x} iar pentru x > a avem {X ≤ x} ∩ {X ≤
a} = {X ≤ a} şi ca urmare obţinem


 F (x) , dacă x ≤ a
F (x | {X ≤ a}) = F (a) (11)

 1, dacă x > a.

2. Fie A = {a < X ≤ b} astfel ca P (A) = F (b) − F (a) , 0. Deducem imediat că

 Variabile aleatoare continue 1 9



 0, dacă x ≤ a

 F (x) − F (a)
F (x | {a < X ≤ b}) = , dacă a < x ≤ b (12)
 F (b) − F (a)



1, dacă x > b.
Exemplul 4.2. Fie A un eveniment arbitrar ı̂ntr-un câmp de probabilitate şi fie X o variabilă
aleatoare continuă cu funcţia de repartiţie F . Să se demonstreze următoarea relaţie:
[F (b|A) − F (a|A)] · P (A)
P (A | {a < X ≤ b}) = . (13)
F (b) − F (a)
Dacă avem ı̂n vedere formula probabilităţii unei intersecţii
P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)
precum şi relaţia (10), găsim

P (A ∩ {a < X ≤ b})
P (A | {a < X ≤ b}) = =
P {a < X ≤ b}
P ({a < X ≤ b} | A) · P (A) [F (b|A) − F (a|A)] · P (A)
= = .
F (b) − F (a) F (b) − F (a)

Definiţia 4.2. Fie X o variabilă aleatoare continuă şi fie A ∈ K, un eveniment arbitrar cu pro-
babilitatea nenulă, P (A) , 0. Atunci densitatea de probabilitate a lui X, condiţionată
de A este dată, ı̂n punctele ei de continuitate, de derivata funcţiei de repartiţie condiţionată
f (x|A) = F ′ (x|A). (14)

Fie X o variabila aleatoare continuă cu funcţia de repartiţie F şi desitatea de probabilitate

f . În continuare avem ı̂n vedere cazurile particulare considerate mai sus ı̂n legătură cu alegerea
evenimentului A.

1. Dacă A = {X ≤ a}, prin derivarea formulei (11), se obţine



 f (x)

 , dacă x ≤ a
f (x| {X ≤ a}) = F (a) (15)




0, dacă x > a.

2. Dacă A = {a < X ≤ b} prin derivarea relaţiei (12) găsim



 f (x)

 , dacă a < x ≤ b
f (x | {a < X ≤ b}) = F (b) − F (a) (16)




0, ı̂n rest.

În câmpul de probabilitate {E, K, P } fie A ∈ K un eveniment arbitrar, P (A) , 0, fie X o

variabilă aleatoare continuă cu densitatea de probabilitate f şi fie x ∈ R un număr real oarecare.
Definim probabilitatea condiţionată P (A|{X = x}) astfel
10 Daniela Roşu

P (A | {X = x}) = lim P (A | {x < X ≤ x + ∆x}). (17)

∆x→0

Teorema 4.1. (Formula probabilităţii condiţionate totale) Fie X o variabilă aleatoare

continuă cu densitatea de probabilitate f şi fie A ∈ K un eveniment arbitrar. Atunci are loc
formula probabilităţii totale
∫
+∞

P (A) = P (A | {X = x}) · f (x)dx. (18)

−∞

Demonstraţie. Fie x ∈ R arbitrar. Din definiţia (17), dacă avem ı̂n vedere relaţia (13)
putem scrie

[F (x + ∆x|A) − F (x|A)] · P (A)

P (A | {X = x}) = lim
∆x→0 F (x + ∆x) − F (x)

F (x + ∆x|A) − F (x|A)
∆x F ′ (x|A) f (x|A) · P (A)
= lim · P (A) = · P (A) = .
∆x→0 F (x + ∆x) − F (x) ′
F (x) f (x)
∆x
Astfel rezultă

P (A | {X = x}) · f (x) = f (x|A) · P (A).

Integrăm pe R relaţia astfel obţinută şi găsim

∫
+∞ ∫
+∞

P (A | {X = x}) · f (x) dx = f (x|A) · P (A) dx

−∞ −∞

= P (A) · [F (+∞|A) − F (−∞|A)] = P (A).

Teorema 4.2. (Formula lui Bayes) Fie X o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de
probabilitate f şi fie A ∈ K un eveniment arbitrar. Atunci are loc formula lui Bayes
P (A | {X = x})f (x)
f (x|A) = (19)
∫
+∞

P (A | {X = x}) · f (x) dx
−∞

pentru orice x ∈ R.


 Variabile aleatoare continue 1 11

5. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare continue

Ca şi ı̂n cazul variabilei discrete putem defini caracteristicele numerice ale unei variabile
continue. Fie X o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de probabilitate f : R → R+ . Toate
definiţiile de mai jos au sens atâta vreme cât integralele improprii care apar sunt convergente.

Definiţia 5.1. Media variabilei aleatoare continue X este:

∫
+∞

m = M [X] = xf (x) dx. (20)

−∞

Momentul iniţial de ordin r al variabilei X este:

∫
+∞
r
mr = M [X ] = xr f (x) dx. (21)
−∞

Momentul centrat de ordin r al variabilei X este:

∫
+∞

µr = M [(X − M [X]) ] = r
(x − m)r f (x) dx. (22)
−∞

Dispersia variabilei X este momentul centrat de ordinul 2

∫
+∞
2 2
σ = D [X] = µ2 = (x − m)2 f (x) dx. (23)
−∞

Abaterea medie pătratică este

√
σ = D[X] = D2 [X].

Observaţia 5.1. Notăm m = M [X]. Momentul centrat de ordinul trei, M [(X − m)3 ], carac-
terizează asimetria graficului densităţii de probabilitate a variabilei X ı̂n raport cu dreapta
de ecuaţie x = m. Momentul centrat de ordinul patru, M [(X − mX )4 ]ı̂ndică modul ı̂n care este
aplatizat graficul densităţii de repartiţie a lui X adică dacă acest grafic este mai ascuţit sau
mai plat.

Propoziţia 5.1. Dacă X este o variabilă aleatoare continuă care admite medie şi dispersie,
atunci
D2 [X] = M [X 2 ] − (M [X])2 . (24)
Demonstraţie. Avem
∫
+∞ ∫
+∞ ∫
+∞ ∫
+∞
2
D [X] = (x − m) f (x) dx =
2
x f (x) dx − 2m
2
f (x) dx + m 2
f (x) dx
−∞ −∞ −∞ −∞

= M [X 2 ] − 2m2 + m2 = M [X 2 ] − m2 .

Ca şi ı̂n cazul variabilelor discrete, au loc următoarele proprietăţi.
12 Daniela Roşu

Propoziţia 5.2. Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare continue atunci:

M [X + Y ] = M [X] + M [Y ]. (25)
Dacă ı̂n plus X şi Y sunt independente, atunci:

M [X · Y ] = M [X] · M [Y ]. (26)

D2 [X ± Y ] = D2 [X] + D2 [Y ]. (27)

Covarianţa variabilelor X şi Y este definită prin:

Cov[X, Y ] = M [(X − M [X])(Y − M [Y ])] (28)
şi are loc

D2 [X + Y ] = D2 [X] + D2 [Y ] + 2Cov[X, Y ]. (29)

Dacă X este o variabilă aleatoare şi Y = g(X) este o variabilă obţinută printr-o transformare
cu ajutorul funcţiei g : R → R, continuă şi bijectivă, atunci media transformării Y = g(X)
este

∫
+∞

M [Y ] = g(x) · f (x) dx. (30)

−∞

Moda variabilei X este notată xm şi reprezintă acea valoare a variabilei pentru care densi-
tatea de probabilitate f are valoare maximă. Avem f ′ (xm ) = 0 şi f ′′ (xm ) < 0.

Mediana variabilei X este acea valoare x0,5 a lui X pentru care

P ({ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x0,5 }) = 0, 5.

Această relaţie se poate scrie sub forma
∫0.5
x

F (x0,5 ) = f (x) dx = 0, 5,
−∞

adică dreapta x = x0,5 ı̂mparte subgraficul densităţii f ı̂n două părţi cu arii egale.

Definiţia 5.2. Funcţia caracteristică a variabilei aleatoare de tip continuu X este funcţia
φ : R → C definită prin:
[ ] ∫
+∞

φ(t) = M e jtX
= ejtx f (x) dx, t ∈ R, j 2 = −1. (31)
−∞
 Variabile aleatoare continue 1 13

Observaţia 5.2. Să remarcăm faptul că funcţia caracteristică φ a unei variabile continue este
transformata Fourier a densităţii de probabilitate f (care este funcţie absolut integrabilă). Din
formula de inversiune a transformatei Fourier deducem şi relaţia:

1 ∫ −jtx
+∞

f (x) = e · φ(t) dt (32)

2π
−∞

Vom nota uneori φX , pentru a pune ı̂n evidenţă variabila căreia i se asociază. Ca şi ı̂n cazul
variabilelor discrete, au loc următoarele proprietăţi ale funcţiei caracteristice.

Propoziţia 5.3. Dacă variabilele X şi Y sunt independente, atunci

φX+Y (t) = φX (t) · φY (t) (33)

pentru orice t ∈ R.

Propoziţia 5.4. Fie X o variabilă aleatoare continuă şi fie φ : R → C funcţia sa caracteristică.

Atunci momentele iniţiale ale variabilei X sunt date de:
φ(r) (0)
M [X r ] = , r ∈ N. (34)
jr


Teorema 5.1. (Inegalitatea lui Cebâşev) Dacă variabila aleatoare X este de tip continuu
cu media m şi dispersia σ 2 , atunci pentru orice ε > 0 are loc
σ2
P {|X − m| < ε} ≥ 1 − 2 (35)
ε
Inegalitatea (35) este echivalentă cu inegalitatea:
σ2
P {|X − m| ≥ ε} < . (36)
ε2
Demonstraţie. Dispersia este dată de
∫∞
2
σ = (x − m)2 f (x) dx =
−∞
∫
m−ε ∫
m+ε ∫
+∞

(x − m) f (x) dx +
2
(x − m) f (x) dx +
2
(x − m)2 f (x) dx.
−∞ m−ε m+ε
Pentru x ∈ (−∞, m − ε) ∪ (m + ε, +∞) avem (x − m) ≥ ε şi dispersia poate fi minorată prin
2 2
 m−ε   
∫ ∫∞ ∫
m+ϵ

σ 2 ≥ ε2  f (x) dx + f (x) dx = ε2 1 − f (x) dx ,

−∞ m+ε m−ε
∫∞
deoarece f (x) dx = 1.
−∞
14 Daniela Roşu

σ 2 ≥ ε2 (1 − P {m − ε < X < m + ε}) ≥ ε2 (1 − P {|X − m| < ε}),

care este echivalentă cu relaţia (35). 

Exemplul 5.1. Timpul mediu de răspuns al unui calculator este de 15 secunde pentru o
anumită operaţie, cu abaterea medie pătratică de 3 secunde. Să se stimeze probabilitatea ca
timpul de răspuns să se abată cu mai puţin de 5 secunde faţă de medie.
Soluţie. Folosim inegalitatea lui Cebâşev cu ε = 5. Avem
9
P ({|X − 15| < 5}) ≥ 1 − = 0, 64.
25