Pdfjoiner
Pdfjoiner
Pdfjoiner
NATIONAL
PENTRU CURRICULUM S
A I EVALUARE
A 62-a OLIMPIADA DE MATEMATICA A REPUBLICII MOLDOVA
Chisinau, 2 5 martie, 2018
CLASA IX-a, prima zi
9.1. Fie A multimea tuturor produselor de trei numere naturale impare consecutive, iar B multimea
tuturor produselor de doua numere naturale impare consecutive. Sa se determine, daca A contine
vre-un numar, care ar cu 2018 mai mare decat un careva numar din B. S a se argumenteze
raspunsul.
k(k + 1)
9.2. Numerele de forma , unde k ∈ N, se numesc triunghiulare (sau numere Gauss). Sa se
2
stabileasca, daca 2018 este suma a doua numere triunghiulare.
9.3. In triunghiul ABC cu m(∠A) = 900 construim AD ⊥ BC (D ∈ (BC)) si bisectoarea AE,
(E ∈ (BC)). Notam cu L si F proiectiile ortogonale ale punctului E pe catetele [AB] si,
respectiv [AC]. Sa se demonstreze, ca dreptele AD, BF si CL sunt concurente.
1 1 x+y 1
9.4. Fie a > 0 si x, y ∈ R astfel, ncat |x| < si |y| < . Sa se arate, ca
< .
a a 1 + a2 xy a
Timp alocat 4 ore astronomice
Fiecare problem
a rezolvat
a corect se apreciaz
a cu 7 puncte Mult succes!
9.1. Ïóñòü A ìíîæåñòâî âñåõ ïðîèçâåäåíèé òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ íå÷åòíûõ ÷è-
ñåë, à B ìíîæåñòâî âñåõ ïðîèçâåäåíèé äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë.
Îïðåäåëèòü, åñëè A ñîäåðæèò ÷èñëî, êîòîðîå íà 2018 áîëüøå íåêîòîðîãî ÷èñëà èç B. Îáîñ-
íîâàòü îòâåò.
k(k + 1)
9.2. ×èñëà âèäà , ãäå k ∈ N, íàçûâàþòñÿ òðåóãîëüíûìè (èëè ÷èñëàìè Ãàóññà). Îïðåäå-
2
ëèòü, åñëè ÷èñëî 2018 åñòü ñóììà äâóõ òðåóãîëüíûõ ÷èñåë.
9.3. Â òðåóãîëüíèêå ABC ñ m(∠A) = 900 ñòðîèì AD ⊥ BC (D ∈ (BC)) è áèññåêòðèñó AE,
(E ∈ (BC)). Îáîçíà÷èì ÷åðåç L è F îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè òî÷êè E íà êàòåòû [AB] è
[AC] ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå AD, BF è CL ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
1 1 x+y 1
9.4. Ïóñòü a > 0 è x, y ∈ R òàêèå, ÷òî |x| < è |y| < . Ïîêàçàòü, ÷òî < .
a a 1 + a2 xy a
Âðåìÿ âûïîëíåíèÿ 4 añòðîíîìè÷åñêèõ ÷àñà
Ïðàâèëüíîå ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è îöåíèâàåòñÿ â 7 áàëëîâ Æåëàåì óñïåõîâ!
AGENTIA
NATIONAL
a PENTRU CURRICULUM S I EVALUARE
A 62-a OLIMPIADA DE MATEMATICA A REPUBLICII MOLDOVA
Chisinau, 2 5 martie, 2018
CLASA IX-a, ziua a doua
9.5. M este o multime de 2018 numere naturale distincte, nici unul dintre care nu se divide cu 2018.
Sa se arate, c
a exist
a o submultime a lui M , care are suma elementelor divizibil a cu 2018.
9.6. Sa se arate, ca pentru oricare numar natural n exista numerele naturale x si y astfel, ncat
2(n − xy) = x(x + 1) + y(y + 3).
9.7. Se da triunghiul ascutitunghic ABC , nscris n cercul de centru O. Construim naltimea AD,
(D ∈ BC), si bisectoarea AE , (E ∈ BC), care intersecteaza cercul n punctul F . Notam cu L
intersectia dreptei AO cu cercul. S a se demonstreze, c a dreptele F D si LE se intersecteaz
a pe
cercul, circumscris triunghiului ABC .
9.8. Sa se arate, ca daca numerele reale a, b, c ∈ [0, 1], atunci
3a2 − 2a 3b2 − 2b 3c2 − 2c
+ + 6 1.
1 + b 3 + c 3 1 + a3 + c 3 1 + a3 + b 3
AC AD 1p.
pentru CAD LAB AC AB AD AL ;
9.7. 7p. AL AB
obţine căCFA EBA implică AC AB AE AF ; 1p.
AD AF 1p
obţine ;
AE AL
1p.
obţine DAF EAL DFA ELA ;
unghiurile înscrise se sprijjină pe acelaşi arc, deci FD și EL se 1p.
intersectează pe cercul de centru O.
Inegalitatea este adevărată pentru a b c 0 ; 1p.
3 2
se arată că pentru x [0,1], x 3x 2 x ; 2p.
9.8. 7p. se evaluaează partea stângă a inegalităţii:
mărind numărătorul; 1p.
micşorând numitorul; 2p.
se ajunge la concluzia cerută în enunţul problemei. 1p.
AGENTIA
NATIONAL
PENTRU CURRICULUM S
A I EVALUARE
A 62-a OLIMPIADA DE MATEMATICA A REPUBLICII MOLDOVA
Chisinau, 2 5 martie, 2018
CLASA IX-a, prima zi
9.1. Fie A multimea tuturor produselor de trei numere naturale impare consecutive, iar B multimea
tuturor produselor de doua numere naturale impare consecutive. Sa se determine, daca A contine
vre-un numar, care ar cu 2018 mai mare decat un careva numar din B. S a se argumenteze
raspunsul.
k(k + 1)
9.2. Numerele de forma , unde k ∈ N, se numesc triunghiulare (sau numere Gauss). Sa se
2
stabileasca, daca 2018 este suma a doua numere triunghiulare.
9.3. In triunghiul ABC cu m(∠A) = 900 construim AD ⊥ BC (D ∈ (BC)) si bisectoarea AE,
(E ∈ (BC)). Notam cu L si F proiectiile ortogonale ale punctului E pe catetele [AB] si,
respectiv [AC]. Sa se demonstreze, ca dreptele AD, BF si CL sunt concurente.
1 1 x+y 1
9.4. Fie a > 0 si x, y ∈ R astfel, ncat |x| < si |y| < . Sa se arate, ca
< .
a a 1 + a2 xy a
Timp alocat 4 ore astronomice
Fiecare problem
a rezolvat
a corect se apreciaz
a cu 7 puncte Mult succes!
9.1. Ïóñòü A ìíîæåñòâî âñåõ ïðîèçâåäåíèé òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ íå÷åòíûõ ÷è-
ñåë, à B ìíîæåñòâî âñåõ ïðîèçâåäåíèé äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë.
Îïðåäåëèòü, åñëè A ñîäåðæèò ÷èñëî, êîòîðîå íà 2018 áîëüøå íåêîòîðîãî ÷èñëà èç B. Îáîñ-
íîâàòü îòâåò.
k(k + 1)
9.2. ×èñëà âèäà , ãäå k ∈ N, íàçûâàþòñÿ òðåóãîëüíûìè (èëè ÷èñëàìè Ãàóññà). Îïðåäå-
2
ëèòü, åñëè ÷èñëî 2018 åñòü ñóììà äâóõ òðåóãîëüíûõ ÷èñåë.
9.3. Â òðåóãîëüíèêå ABC ñ m(∠A) = 900 ñòðîèì AD ⊥ BC (D ∈ (BC)) è áèññåêòðèñó AE,
(E ∈ (BC)). Îáîçíà÷èì ÷åðåç L è F îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè òî÷êè E íà êàòåòû [AB] è
[AC] ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå AD, BF è CL ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
1 1 x+y 1
9.4. Ïóñòü a > 0 è x, y ∈ R òàêèå, ÷òî |x| < è |y| < . Ïîêàçàòü, ÷òî < .
a a 1 + a2 xy a
Âðåìÿ âûïîëíåíèÿ 4 añòðîíîìè÷åñêèõ ÷àñà
Ïðàâèëüíîå ðåøåíèå êàæäîé çàäà÷è îöåíèâàåòñÿ â 7 áàëëîâ Æåëàåì óñïåõîâ!
AGENTIA
NATIONAL
a PENTRU CURRICULUM S I EVALUARE
A 62-a OLIMPIADA DE MATEMATICA A REPUBLICII MOLDOVA
Chisinau, 2 5 martie, 2018
CLASA IX-a, ziua a doua
9.5. M este o multime de 2018 numere naturale distincte, nici unul dintre care nu se divide cu 2018.
Sa se arate, c
a exist
a o submultime a lui M , care are suma elementelor divizibil a cu 2018.
9.6. Sa se arate, ca pentru oricare numar natural n exista numerele naturale x si y astfel, ncat
2(n − xy) = x(x + 1) + y(y + 3).
9.7. Se da triunghiul ascutitunghic ABC , nscris n cercul de centru O. Construim naltimea AD,
(D ∈ BC), si bisectoarea AE , (E ∈ BC), care intersecteaza cercul n punctul F . Notam cu L
intersectia dreptei AO cu cercul. S a se demonstreze, c a dreptele F D si LE se intersecteaz
a pe
cercul, circumscris triunghiului ABC .
9.8. Sa se arate, ca daca numerele reale a, b, c ∈ [0, 1], atunci
3a2 − 2a 3b2 − 2b 3c2 − 2c
+ + 6 1.
1 + b 3 + c 3 1 + a3 + c 3 1 + a3 + b 3
AC AD 1p.
pentru CAD LAB AC AB AD AL ;
9.7. 7p. AL AB
obţine căCFA EBA implică AC AB AE AF ; 1p.
AD AF 1p
obţine ;
AE AL
1p.
obţine DAF EAL DFA ELA ;
unghiurile înscrise se sprijjină pe acelaşi arc, deci FD și EL se 1p.
intersectează pe cercul de centru O.
Inegalitatea este adevărată pentru a b c 0 ; 1p.
3 2
se arată că pentru x [0,1], x 3x 2 x ; 2p.
9.8. 7p. se evaluaează partea stângă a inegalităţii:
mărind numărătorul; 1p.
micşorând numitorul; 2p.
se ajunge la concluzia cerută în enunţul problemei. 1p.
MINISTERUL EDUCAȚIEI AL REPUBLICII MOLDOVA
AGENȚIA NAȚIONALĂ PENTRU CURRICULUM ȘI EVALUARE
A 61-a OLIMPIADĂ REPUBLICANĂ DE MATEMATICĂ
Chişinău, 3 martie – 6 martie 2017
Clasa a IX-a, prima zi
9.1 Aflați cel mai mare număr de elemente care pot fi alese din mulțimea 1; 2;...; 2017 astfel
că diferența oricăror două dintre ele să fie diferită de 17.
9.2 Fie x și y numere reale ce satisfac relația 9 x 2 4 y 2 1 0 . Aflați cea mai mare valoare
numerică a expresiei x , y 9 x 2 6 xy 4 y 2 3x 2 y .
9.3 Fie ABCD trapez dreptunghic cu AB ׀׀CD şi m B 75 . Punctul H aparține dreptei
BC astfel, că AH BC și CD BH . Aflați aria trapezului ABCD, dacă AD AH 8 .
SOLUȚII
Ele sunt disjuncte 2 câte 2 și reuniunea lor coincide cu mulțimea {1; 2; ....; 2017}.
Deoarece nu putem alege mai mult de un element din fiecare dintre ele, rezultă că
nu putem alege mai mult de 59 × 17 + 11 = 1003 + 11 = 1014. Pe de altă parte,
alegând din fiecare din aceste mulțimi pe cel mai mic element, căpătăm exact 1014
elemente ce satisfac condiția problemei
F (a;b) = a2 + ab + b2 + a + b în condiția a2 + b2 = 1
Deoarece ab ≤ = și a + b ≤ = , avem:
F (a; b) = a2 + ab + b2 + a + b ≤ 1 + + = +
Deoarece F( ; )= + + ,
ME = = =4
Deci ∆EDH este isoscel și avem:
1 1 4 4 4 1 1 1 1 1
1 . . . . . . = 1 . . . . . . =
2 1613 4 8 1612 2 1613 1 2 403
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... = . . . =
404 405 1612 1613 404 1613 405 1612 1008 1009
1008
1
2017
k 404 k (2017 k )
.
Deoarece 2017 este numar prim atunci numitorii k (2017 - k) sunt reciproc primi
cu 2017. Deci, cel mai mic multiplu comun al acestor numitori - nu este multiplu
de 2017. Prin urmare, numărărtorul fracției ireductibile , va conține
factorul 2017.
BAREME
9.1
se acordă 2 puncte
9.2
1
a) Pentru estimația a b 2p
2
b) Demonstrează inegalitatea a b 2 2p
3
c) Demonstrează inegalitatea F (a, b) 2 2p
2
2 2 3
d) Arată că F ; 2 1p
2 2 2
Total: 7p
9.3
Total: 7p
9.4
a) S 1 . . .
1 1 4 4 4
. . . 1p
2 1613 4 8 1612
1 1 1 1
b) S ... 1p
404 405 1612 1613
c) S
1 1 1 1 1 1
. . . 1p
404 1613 405 1612 1008 1009
1008
1
d) S 2017
k 404 k (2017 k )
1p
9.5 Numerele reale diferite 𝑎 și 𝑏 sunt astfel, încât ecuația (𝑥 2 + 20𝑎𝑥 + 10𝑏)(𝑥 2 + 20𝑏𝑥 + 10𝑎) = 0
n-are soluții. Demonstrați, că numărul 20(𝑏 − 𝑎) nu este întreg.
𝑥2 𝑦2 𝑧2
9.6 Dacă 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 > 0, demonstrați că + + ≥ 4(𝑥 − 𝑡).
𝑦 𝑧 𝑡
9.7 În triunghiul ascuțitunghic 𝐴𝐵𝐶, mediana 𝐴𝑀 este mai mare decât latura 𝐴𝐵. Demonstrați, că
triunghiul 𝐴𝐵𝐶 poate fi tăiat în trei părți din care se poate forma un romb.
9.8 Pe o masă se află 2017 monede. Doi jucători fac mișcări pe rând. La o mișcare primul poate să ia de pe
masă orice număr impar de monede de la 1 la 99, al doilea – orice număr par de monede de la 2 la 100.
Pierde cel care nu mai poate face mișcarea. Cine câștigă într-un joc corect?
Timp alocat - 4 ore astronomice
Fiecare problemă rezolvată corect se apreciază cu 7 puncte.
***
9.8 На столе лежат 2017 монет. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За ход первый
может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй - любое четное число монет от 2
до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Время выполнения – 4астрономических часа
Правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов.
...............................................................................................................................................................................
Soluții
9.5 Presupunem că 20(𝑏 − 𝑎) este un număr întreg. Considerăm 𝑏 > 𝑎, atunci 20(𝑏 − 𝑎) ≥ 1 sau
1
𝑏−𝑎 ≥ . Din enunț, ecuația (𝑥 2 + 20𝑎𝑥 + 10𝑏)(𝑥 2 + 20𝑏𝑥 + 10𝑎) = 0 n-are soluții. Rezultă
20
că ecuațiile 𝑥 2 + 20𝑎𝑥 + 10𝑏 = 0 și 𝑥 2 + 20𝑏𝑥 + 10𝑎 = 0 n-au soluții. În aceste condiții
discriminantul fiecărei ecuații este negativ. Deci 400𝑎2 − 40𝑏 < 0 și 400𝑏2 − 40𝑎 < 0. Utilizând
1 1
inegalitățile 400𝑏2 − 40𝑎 < 0 și 𝑏 − 𝑎 ≥ obținem 10𝑏2 − 𝑏 + < 0.
20 20
1
Fie 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑏) = 10𝑏2 − 𝑏 + . Reprezentarea grafică a funcției 𝑓 este o parabolă cu
20
ramurile orientate în direcția pozitivă a axei ordonatelor, plasată mai sus de axa absciselor. Deci
1 1
10𝑏2 − 𝑏 + > 0 pentru orice număr real 𝑏. Contradicție cu concluzia 10𝑏2 − 𝑏 + <0 ⇒
20 20
20(𝑏 − 𝑎) nu este întreg.
1
Dacă 𝑎 > 𝑏, atunci 20(𝑏 − 𝑎) ≤ −1 ⇔ 𝑏 − 𝑎 ≤ − . În continuare, analog se obține
20
contradicție, utilizând inegalitatea 400𝑎2 − 40𝑏 < 0.
𝑥2
9.6 Vom arăta că pentru 𝑥, 𝑦 > 0 este adevărată inegalitatea ≥ 4(𝑥 − 𝑦 ).
𝑦
𝑥2
Înmulțim ambii membri ai inegalității indicate cu 𝑦, atunci: ≥ 4(𝑥 − 𝑦) ⇔ 𝑥 2 ≥ 4𝑦(𝑥 − 𝑦)
𝑦
⇔ (𝑥 − 2𝑦)2 ≥ 0 – inegalitate adevărată.
𝑦2 𝑧2
Analog ≥ 4(𝑦 − 𝑧) și ≥ 4(𝑧 − 𝑡 ). Adunăm cele trei inegalități și obținem:
𝑧 𝑡
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+ + ≥ 4(𝑥 − 𝑦) + 4(𝑦 − 𝑧) + 4(𝑧 − 𝑡 ) = 4(𝑥 − 𝑡 ).
𝑦 𝑧 𝑡
9.7 Fie 𝑁 mijlocul laturii 𝐴𝐶, iar punctul 𝐾 un punct pe dreapta 𝑀𝑁 astfel încât 𝑀𝐾 = 𝑀𝑁
(fig. 1).Triunghiul 𝑀𝑁𝐶 este congruent cu triunghiul 𝑀𝐾𝐵 (LUL). Efectuăm tăierea după linia
mujlocie 𝑀𝑁. Transferăm triunghiul 𝑀𝑁𝐶 astfel încât el să coincidă cu triunghiul 𝑀𝐾𝐵. Obținem
paralelogramul 𝐴𝑁𝐾𝐵. Dacă 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵 rombul deja este obținut.
Fie 𝐴𝑁 < 𝐴𝐵 (fig. 2). Construim cercul cu centrul în punctul 𝐴 și raza 𝐴𝐵. Atunci punctul 𝑁 se
află în interiorul cercului, iar punctul 𝑀 în afara cercului cu raza 𝐴𝐵. Din aceste considerente cercul
intersectează segmentul 𝑀𝑁 într-un punct. Fie acest punct 𝑃. Tăind de la paralelogramul 𝐴𝑁𝐾𝐵
triunghiul 𝐴𝑃𝑁 și deplasându-l în așa mod, încât segmentul 𝐴𝑁 să coincidă cu segmentul 𝐵𝐾, vom
obține romb.
Fie 𝐴𝑁 > 𝐴𝐵. Deoarece triunghiul 𝐴𝐵𝐶 este ascuțitunghic, piciorul înălțimii 𝐶𝐻 aparține
segmentului (𝐴𝐵). În continuare, punctul 𝑇 - piciorul perpendicularei din 𝑁 dusă la 𝐴𝐵, este
mijlocul segmentului 𝐴𝐻. Deci 𝐵𝑇 > 𝐴𝑇 ⇒ 𝐵𝑁 > 𝐴𝑁. Din aceste considerente, cercul cu centrul
în punctul 𝐵 și raza 𝐴𝑁, intersectează latura 𝐴𝑁 într-un punct. Fie acest punct 𝑆. Cele descrise
anterior au loc deoarece punctul 𝑁 este în exsteriorul acestui cerc, iar punctul 𝐴 în interiorul lui (fig.
3). Tăiem de la paralelogramul 𝐴𝑁𝐾𝐵 triunghiul 𝐴𝐵𝑆 și deplasându-l astfel încât segmentul 𝐴𝐵 să
coincidă cu segmentul 𝑁𝐾, vom obține romb.
9.8 Câștigă primul jucător (cel care începe jocul). Descriem strategiea de victorie a primului jucător.
La prima mișcare el trebuie să ia de pe masă 97 monede. La fiecare mișcare următoare, dacă
jucătoru al doilea ia 𝑥 monede, atunci primul trebuie să ia 101 − 𝑥 monede. Este posibil ca primul
să facă așa mișcări, deoarece dacă 𝑥 este un număr par de la 2 la 100, atunci 101 − 𝑥 este un număr
impar de la 1 la 99. Numărul 2017 poate fi scris în felul următor: 2017 = 101 ∙ 19 + 98 = 101 ∙
19 + 97 + 1. După ce primul a luat 97 monede, apoi jucătorii au efectuat 19 mișcări în pereche de
tipul menționat mai sus, pe masă a rămas o singură monedă. Jucătorul al doilea nu poate face
mișcarea următoare și pierde.
A 61-a OLIMPIADĂ DE MATEMATICĂ A REPUBLICII MOLDOVA
Chișinău, 03 – 06 martie 2017
Clasa a IX-a, ziua a doua
Barem de corectare
Subiectul 9.5
A presupus că 20(𝑏 − 𝑎) este număr întreg . . . . . . . . 1p
În cazul 𝑏 > 𝑎 a obținut concluzia 20(𝑏 − 𝑎) ≥ 1 . . . . . . . 1p
A indicat 400𝑎2 − 40𝑏 < 0 și 400𝑏 2 − 40𝑎 < 0 . . . . . . 1p
1
A obținut argumentat că 10𝑏 2 − 𝑏 + 20 < 0. . . . . . . . 1p
1
A indicat funcția 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑏) = 10𝑏 2 − 𝑏 + 20 . . . . . . . 1p
1
A obținut argumentat că 10𝑏 2 − 𝑏 + 20 > 0, pentru orice număr real 𝑏. Concluzie. . . 1p
În cazul 𝑎 > 𝑏 a argumentat că 20(𝑏 − 𝑎) nu este număr întreg. . . . . 1p
Subiectul 9.6
𝑥2
A indicat că pentru 𝑥, 𝑦 > 0 avem ≥ 4(𝑥 − 𝑦 ) . . . . . . . 1p
𝑦
𝑥2
A argumentat echivalența ≥ 4(𝑥 − 𝑦) ⇔ (𝑥 − 2𝑦)2 ≥ 0 . . . . . 2p
𝑦
𝑦2 𝑧2
A indicat inegalitățile ≥ 4(𝑦 − 𝑧) și ≥ 4(𝑧 − 𝑡 ) . . . . . . 2p
𝑧 𝑡
𝑥2 𝑦2 𝑧2
A obținut inegalitatea + + ≥ 4(𝑥 − 𝑦 ) + 4( 𝑦 − 𝑧 ) + 4(𝑧 − 𝑡 ) . . . 1p
𝑦 𝑧 𝑡
A finalizat corect . . . . . . . . . . . 1p
Subiectul 9.7
A indicat tăierea după linia mijlocie 𝑀𝑁, unde 𝑁 ∈ (𝐴𝐶) și obținerea paralelogramului 𝐴𝑁𝐾𝐵,
𝐾 ∈ 𝑀𝑁, 𝑁𝑀 = 𝑀𝐾 (vezi fig.1 din soluție) . . . . . . . . 1p
A indicat concluzia: dacă 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵, atunci 𝐴𝑁𝐾𝐵 este romb . . . . . 1p
În cazul 𝐴𝑁 < 𝐴𝐵 a obținut argumentat punctul 𝑃 pe (𝑁𝑀) astfel încât 𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 . . 1p
A indicat tăierea după segmentul 𝐴𝑃 și obținerea rombului . . . . . 1p
În cazul 𝐴𝑁 > 𝐴𝐵 a argumentat că 𝐴𝑁 < 𝐵𝑁 . . . . . . . 1p
A obținut punctul 𝑆, 𝑆 ∈ (𝐴𝑁) astfel încât 𝐵𝐾 = 𝐵𝑆 . . . . . . 1p
Indicarea tăierii după segmentul 𝐵𝑆 și obținerea rombului . . . . . . 1p
Subiectul 9.8
A argumentat că dacă 𝑥 este număr par de la 2 la o 100, atunci 101 − 𝑥 este număr impar de la
1 la 99 . . . . . . . . . . . . . 1p
A scris egalitatea 2017 = 101 ∙ 19 + 98 = 101 ∙ 19 + 97 + 1 . . . . . 2p
A indicat că primul jucător la prima mișcare ia 97 de monede . . . . . 1p
A indicat că dacă al doilea ia 𝑥 monede, atunci primul trebuie să ia 101 − 𝑥 monede . 1p
A argumentat, că după 19 mișcări în perechi pe masă rămâne o singură monedă . . 1p
Concluzie corectă . . . . . . . . . . . 1p