Seminar5. Serii Cointegrate - Metod.engle-Granger - modeleVAR.
Seminar5. Serii Cointegrate - Metod.engle-Granger - modeleVAR.
Seminar5. Serii Cointegrate - Metod.engle-Granger - modeleVAR.
2017)
Serii cointegrate. Cointegrare ntr-o singur ecuaie. Metodologia Engle-Granger. Modele VAR.
Serii cointegrate
Cointegrarea arat existena unei relaii de cauzalitate pe termen lung ntre serii nestaionare.
Definitie: Dou serii y t i xt sunt numite cointegrate dac sunt I(1) i exist o combinaie liniar a lor
care este I(0).
Teoria economic sugereaz c seriile de timp economice ar fi caracterizate prin relaii de echilibru pe
termen lung, de tip cauz-efect. Intuitiv, dou serii cronologice considerate drept cointegrate trebuie
percepute ca evolund n acelai ritm. Cointegrarea implic faptul c aceste perechi de variabile au
trenduri stochastice similare. n plus, dinamica variabilelor economice sugereaz c ele pot devia, pe
termen scurt, de la acest echilibru i, atunci cnd variabilele sunt cointegrate, termenul u t este staionar.
n cazul a dou variabile unidimensionale y t i xt care sunt I(1), echilibrul pe termen lung poate fi scris
ca yt = 0 + 1 xt . Seria u t = y t 0 1 xt este I(0).
Teoria economic sugereaz cupluri de variabile a cror evoluie prezint analogii evidente, ca urmare a
tendinei de echilibru pe termen lung.
Exemple de serii economice cointegrate.
- Cheltuielile guvernamentale i Veniturile din taxe
- Veniturile i Consumul
- Indicele de preuri i Indicele salariului mediu
- Indicele de preuri i Rata Dobnzii
- Exportul i Importul
- Preurile aciunilor i Dividendele.
- Cursurile diferitelor aciuni;
- Ratele dobnzilor pentru diferite maturiti;
Aceste posibile relaii de cointegrare trebuie confirmate i de datele empirice.
1
)
3) Se testeaz dac seria reziduurilor u t este staionar. Staionaritatea reziduurilor poate fi analizat cu
ajutorul testelor ADF.
) ) )
Relaia de cointegrare este acceptat dac reziduurile u t = yt 0 1 xt sunt staionare. Dac
reziduurile sunt staionare, cele dou serii sunt cointegrate. Relaia de echilibru pe termen lung este
) )
y t = 0 + 1 xt .
Etapa 2. Construirea unui Model de Corectare a Erorilor (ECM - Error Correction Model)
Abordarea clasic de a construi modele de regresie pentru variabile nestaionare este de a diferenia
seriile cu scopul de a induce staionaritatea i de a analiza relaiile dintre variabilele staionare.
Dac vom diferenia seriile I(1), vom pierde informaiile despre relaia pe termen lung i vom estima
doar relaia pe termen scurt. Dei variabilele sunt nestaionare, este mai bine s estimm relaia dintre
niveluri, fr a diferenia datele, adic, s estimm relaia de cointegrare.
Vom construi un model de corectare a erorilor (MCE), care combin att comportamentul pe termen
lung ct i cel pe termen scurt al variabilelor.
Teorema de reprezentare Granger: Dac dou serii sunt cointegrate, atunci relaia dintre ele poate fi
exprimat sub forma unui model vector de corectare a erorilor
Un model de corectare a erorilor este un model destinat a fi aplicat pentru seriile nestaionare care sunt
cunoscute ca fiind cointegrate.
Pas1: Aplicm MCMMP regresiei de cointegrare: yt = 0 + 1 xt + u t .
Pas2: Se estimeaz prin MCMMP modelul dinamic
yt = 0 + 1 ut 1 + 2 xt + t , 1 < 0
Modelul poate fi rescris sub forma:
yt = 0 + 1 ( y t 1 0 1 xt 1 ) + 2 xt + t deoarece u t 1 = yt 1 0 1 xt 1 .
Parametrul 1 msoar viteza de deplasare ctre noul echilibru.
Mecanismul de corectare a erorilor este yt 1 0 1 xt 1 = u t 1 .
Modelul de corectare a erorilor, de estimat prin MCMMP, va fi
)
y t = 0 + 1u t 1 + 2 xt + t , unde u t reprezint reziduurile din regresia de cointegrare.
Coeficientul 1 (fora de atracie spre echilibru) trebuie s fie semnificativ i negativ. n caz contrar,
mecanismul de corecie a erorii este de sens contrar, i evoluia se ndeprteaz de inta pe termen lung.
Interpretarea modelului de Corectare a Erorilor:
Abaterile de la echilibru, reprezentate prin erorile aleatoare u t , afecteaz y t i xt , astfel nct
variabilele yt i xt se apropie una de alta. Acest mecanism corecteaz erorile din sistem. De aceea
1u t 1 este numit i termenul de corectare a erorilor.
)
Dac 1 este negativ, termenul 1u t 1 va fi negativ i atunci y t va fi negativ pentru a restabili
echilibrul. Adic, dac yt este deasupra valorii de echilibru, va ncepe s scad n urmtoarea perioad
pentru a corecta eroarea de echilibru.
) )
n aceeai msur, dac u t 1 este negativ (adic dac yt este sub valoarea de echilibru), 1u t 1 va fi
pozitiv, ceea ce va face ca y t s fie pozitiv, deci yt va crete n urmtoarea perioad.
Dac 1 = 1 , reechilibrarea sistemului are loc ntr-o perioad.
Coeficientul lui xt (n acest caz 2 ) capteaz relaia pe termen scurt. El arat cum se modific imediat
Y i y , dac X crete cu o unitate.
2
Exemplul_1. Analiza a dou serii de timp cointegrate.
Graficele seriilor arat c seriile au o tendin cresctoare, dei trendul nu este neted. Se observ c
media, variana i autocovarianele fiecrei serii nu par a fi invariante n raport cu timpul. Aceste serii
sunt serii de timp nestaionare.
Dac efectum testul Dickey-Fuller pentru fiecare din cele dou serii (CCP i VPD) gsim c fiecare are
o rdcin unitar, adic sunt serii nestaionare.
ntrebare: Care sunt ipotezele de testat?
Analizai t-statistic i Prob. Care ipotez va fi acceptat?
3
Difereniem cele dou serii i obinem seriile staionare CCP=CCPtCCPt-1 i VPD=VPDtVPDt-1.
Vom aplica testul ADF pentru diferenele de ordin 1 ale celor dou serii. Rezultatele arat c seriile
diferenelor de ordin 1, adic D(CCP) i D(VPD) sunt staionare.
Deoarece seriile CCP i VPD sunt staionare, este bine s regresm CCP n raport cu VPD?
Rspunsul este NU, deoarece, lund diferenele de ordinul nti ale seriilor, putem pierde relaia pe
termen lung dintre variabile, relaie care este dat prin nivelurile variabilelor.
Din graficele celor dou serii se vede c, dei au o tendin cresctoare stochastic, totui, cele dou
serii par a se modifica mpreun, n acelai ritm. Cele dou serii sunt serii cointegrate.
Combinaia liniar a celor dou serii CCP i VPD ar putea fi staionar. Putem scrie modelul:
u t = CCPt 0 1 VPDt .
Gsim c u t ~ I (0) sau staionar.
n concluzie, dac reziduurile, dintr-o regresie cu date serii de timp, reprezint o serie I(0), adic
staionar, metodologia de regresie clasic, ce include testele t i F, este valabil i aplicabil i datelor
de tip serii de timp.
O asfel de regresie se numete regresie de cointegrare, iar parametrul 1 este numit parametru de
cointegrare.
Modelul CCPt = 0 + 1 VPDt + u t a fost estimat (vezi EQ01).
Salvm reziduurile obinute la estimarea modelului din EQ01 sub numele res_eq01 sau ut.
Folosim comanda series res_eq01=resid sau series ut=resid.
4
Aplicm reziduurilor obinute din aceast regresie (res_eq01) testul ADF de rdcin unitar.
) )
Am obinut rezultatele urmtoare: u t = 0,2753 u t 1
t = [3,7582]
p = (0,0003)
(Variabila dependent este D(RES_EQ01) iar constanta este nesemnificativ)
Valoarea statisticii este 3,7582 i este mai mic dect valorile critice (3,5073, 2,8951 i 2,5847,
corespunztoare nivelurilor de semnificaie de 1%, 5% i 10%).
Deoarece Prob=0,0048<0,05 respingem H0 si acceptm H1 seria reziduurilor este staionar.
Rezult c seriile CCP i VPD sunt cointegrate.
3. Cointegrarea i mecanismul de corectare a erorilor
Am artat c seriile CCP i VPD sunt cointegrate, adic exist o relaie de echilibru pe termen lung ntre
ele. Desigur c, pe termen scurt ar putea exista dezechilibru. Se poate trata termenul eroare
ut = CCPt 0 1VPDt ca eroarea de echilibru. Se poate folosi acest termen eroare pentru a pune n
legtur comportamentul pe termen scurt al lui CCP cu valoarea lui pe termen lung. Folosim modelul
CCPt = 0 + 1 ut 1 + 2 VPDt + t .
)
u t 1 este estimaia empiric a termenului eroare de echilibru. Aceast ultim regresie leag modificarea
din CCP de modificarea din VPD i eroarea de echilibru din perioada anterioar. n aceast regresie
)
VPD capteaz perturbaiile pe termen lung din VPD, iar termenul u t 1 capteaz ajustarea ctre
)
echilibrul pe termen lung. Dac 1 este negativ, termenul 1ut 1 va fi negativ i atunci CCPt va fi
negativ pentru a restabili echilibrul. Adic, dac CCPt este deasupra valorii de echilibru, va ncepe s
scad n urmtoarea perioad pentru a corecta eroarea de echilibru. De aici este i denumirea de Error
Correction Mechanism. n aceeai msur, dac u t 1 este negativ (adic dac CCPt este sub valorea de
)
echilibru), 1u t 1 va fi pozitiv, ceea ce va face ca CCPt s fie pozitiv, deci CCPt va crete n
urmtoarea perioad. Astfel, valoarea absolut a lui 1 va arta ct de repede este restabilit echilibrul.
Dac 1 este semnificativ statistic, el arat ce proporie a dezechilibrului din CCP ntr-o perioad, este
)
corectat n perioada urmtoare. Vom estima modelul CCPt = a0 + a1VPDt + a 2 u t 1 + t
n Eviews specificm ecuaia: D(CCP) D(VPD) UT(-1) C EQ02
5
) )
CCPt = 11,69183 + 0,2906 VPDt 0,0867 u t 1
t = [5,3249] [4,1717] [1,6003]
2
R =0,1717, DW=d=1,92334
Statistic, termenul eroare de echilibru este zero, sugernd c CCP se adapteaz la schimbrile din VPD
n aceeai perioad de timp. Schimbrile pe termen-scurt din VPD au un impact pozitiv asupra
schimbrilor pe termen scurt din CCP.
Putem interpreta 2 = 0,2906 ca nclinaie marginal spre consum pe termen-scurt.
)
1 = 0,96725 este nclinaia marginal spre consum pe termen-lung.
Aceste rezultate arat c modificrile pe termen scurt din VPD au efect pozitiv semnificativ asupra seriei
CCP i c 0,0867 din discrepana dintre valoarea actual i cea de echilibru, sau pe termen lung, a lui
CCP este eliminat sau corectat pe fiecare trimestru.
Dar, pentru c p-value pentru coeficientul 1 este 0,1133, acest coeficient nu este semnificativ. Dac
privim regresia de cointegrare, nclinaia marginal spre consum era 0,96725, care sugereaz c exist
practic o relaie unu la unu ntre CCP i VPD i c CCP se ajusteaz la creterea pe termen lung destul
de rapid, ca urmare a unei perturbaii.
6
Robert Engle i Clive Granger au primit premiul Nobel pentru Economie n 2003.
Aceast structur este comun pentru toate modelele ECM. n practic, se evalueaz mai nti relaia de
cointegrare (ecuaia n niveluri) i apoi se introduce aceast relaie n modelul principal (n ecuaia n
diferene).
7
Folosii rezultatele pentru a testa cauzalitatea Granger.
3) Estimai un model VAR(2) dat sub forma:
Y1t = c1 + a11Y1 t 1 + a12 Y2 t 1 + b11Y1 t 2 + b12 Y2 t 2 + 1t
Y2 t = c2 + a 21Y1 t 1 + a 22 Y2 t 1 + b21Y1 t 2 + b22 Y2 t 2 + 2 t
Scriei standard errors n ( ) i t-statistics n [ ].
Folosii rezultatele pentru a testa cauzalitatea Granger.
Rezolvare:
8
Fiecare coloan din tabel corespunde unei ecuaii din modelul VAR. Pentru fiecare variabil din partea
dreapt a ecuaiei Eviews afieaz coeficientul estimat, eroarea sa standard i statistica t.
Pe meniul ecuaiei VAR01 selectm View/Representation i obinem:
9
Variabila Xt influeneaz, n sens Granger, variabila Yt dac valorile curente ale lui Yt pot fi prognozate
mai bine cu valorile decalate ale lui Xt dect fr ele.
Vom admite c Y2 influeneaz Granger pe Y1 dac respingem H0.
3) Vom estima un model VAR(2), deci cu dou lag-uri pentru fiecare variabil:
10
Y1t = 7,2181 0,0521 Y1 t 1 + 0,4758 Y2 t 1 + 0,0858 Y1 t 2 0,0406 Y2 t 2
(2,6082) (0,1369) (0,1127) (0,1078) (0,1145)
[2,7675] [-0,3802] [4,2210*] [0,7967] [-0,3546]
11
Y2 t = 8,5605 + 0,2871 Y1 t 1 + 0,3172 Y2 t 1 + 0,0281 Y1 t 2 0,1551 Y2 t 2
(2,6082) (0,1369) (0,1127) (0,1078) (0,1145)
[2,6900] [1,7187] [2,3060*] [0,2135] [-1,1096]
Not: Coeficienii semnificativi ne arat acei termeni care au influen asupra variabilei endogene.
Vom admite c Y2 influeneaz Granger pe Y1 dac respingem H0.
12