Cuadrică

În matematică, cuadricele sunt suprafețe algebrice de gradul al doilea, adică suprafețe ale spațiului afin euclidian tridimensional, a căror ecuație se obține prin anularea unui polinom de gradul al doilea în trei variabile.^[1]

Prin generalizare, se poate vorbi de suprafețe n-dimensionale în spațiul cu n + 1 dimensiuni generate de locul geometric al soluțiilor unui polinom de gradul doi. În coordonate {x₁, x₂, ..., x_n+1}, cuadrica generată este definită de o ecuație algebrică de forma:^[2]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{n+1}P_{i}x_{i}+R=0}$

care poate fi scrisă compact în notație matricială:

${\displaystyle xQx^{T}+Px^{T}+R=0\,}$

unde x = {x₁, x₂, ..., x_n+1} este o matrice vector linie, x^T este transpusa lui x (un vector coloană), Q este o matrice (n + 1)×(n + 1), P este un vector linie (n + 1)-dimensional, iar R este o constantă scalară. Valorile din Q, P și R sunt de obicei numere reale sau complexe, dar de fapt o cuadrică poate fi definită pe orice inel. În general, locurile geometrice ale soluțiilor polinoamelor sunt varietăți algebrice și fac obiectul geometriei algebrice.

În planul euclidian cuadricele au o singură dimensiune (n = 1), adică sunt linii, curbe. Aceste cuadrice sunt identice cu secțiunile conice și sunt cunoscute sub numele de conice.

În spațiul euclidian cuadricele au două dimensiuni (n = 2), și formează suprafețe cuadice. Printr-o schimbare de variabilă potrivită (transformare izometrică) și alegerea direcțiilor axelor orice cuadrică din spațiul euclidian poate fi adusă la forma canonică.^[3] În spațiul euclidian tridimensional există 16 asemenea forme. Dintre acestea, 11 sunt degenerate. Formele degenerate conțin planuri, linii, puncte sau chiar nimic din acestea.^[4]

Cuadrice nedegenerate
Elipsoid[5]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Sferoid (caz particular al elipsoidului)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Sferă (caz particular al sferoidului)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Paraboloid eliptic[6]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Paraboloid de rotație (caz particular al paraboloidului eliptic)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}$
Paraboloid hiperbolic[7]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Hiperboloid cu o pânză[5]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Hiperboloid cu două pânze[6]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,}$
Cuadrice degenerate
Con[7]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
Con de rotație (caz particular al conului)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
Cilindru eliptic[8]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Cilindru de rotație (caz particular al cilindrului eliptic)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Cilindru hiperbolic[8]	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Cilindru parabolic[9]	${\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}$

• Liliana Brăescu, Eva Kaslik, Simina Mariș, Simona Epure, Ioan Rodilă, Curs de geometrie Arhivat în 3 iulie 2010, la Wayback Machine., Universitatea de Vest din Timișoara, Facultatea de Matematică și Informatică, Departamentul de Informatică

Portal Matematică

• Conice și cuadrice Arhivat în 5 octombrie 2011, la Wayback Machine.
• en Modele interactive Java 3D pentru toate cuadricele Arhivat în 29 septembrie 2007, la Wayback Machine.