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Revisando Números Racionais e Irracionais - Parte 1 Aula 1
Revisando Números Racionais e Irracionais - Parte 1 Aula 1
Revisando Números Racionais e Irracionais - Parte 1 Aula 1
irracionais – Parte 1
1o bimestre – Aula 01
Prof. Fabiana Lima
Ensino Médio
Conteúdo Objetivos
2024_EM_B1_V1
● Reconhecer as diferentes
● Conjunto dos números reais
representações dos números
e seus subconjuntos;
racionais;
● Os números reais na reta ● Identificar um número
racional para sua expansão
numérica.
decimal finita ou infinita
periódica.
Para começar
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Racional ou irracional?
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Correção
1. O número 3,410497784 pode ser representado por meio de uma fração?
a. O número 3,41049778444 pode ser representado por uma fração, da
seguinte maneira: no numerador, podemos indicar o numeral decimal
sem a vírgula e no denominador, indicamos o algarismo 1 (um) seguido
de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado,
então:
Continua...
Para começar
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Correção
2. Este número é um número racional?
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Revisando números racionais e irracionais
Como você já sabe, os conjuntos numéricos foram ampliados dos naturais aos
das quatro operações básicas sem restrições. Essa ampliação pode ser
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Foco no conteúdo
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0, 1, 2, 3, ...
Conjunto dos Naturais ℕ
● Fechado para as operações de adição e + ,−
multiplicação. Fonte: Elaborada pelo autor.
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Ampliação dos Inteiros para os Racionais
● Introdução das frações positivas e negativas, que resultam em números
decimais finitos ou infinitos e periódicos;
● Fechado para adição, subtração, multiplicação e divisão.
1 3 4
ℚ , , − , ⋯ℤ ℕ
2 4 3
+,−,∙,÷
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Foco no conteúdo
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A introdução dos números irracionais permitiu a ampliação do campo dos
racionais para os números reais , representado pelo diagrama a seguir. Note que,
nesse caso, os irracionais são o conjunto complementar aos racionais em relação
aos reais.
Com base no diagrama
apresentado, podemos escrever as
√ 35 seguintes relações entre os
𝕀r 𝜋 2 √ ℚ ℤ ℕ conjuntos numéricos:
℮ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ⊂ ℝ
ℝ ℝ =ℚ − 𝕀 r
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Foco no conteúdo
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O conjunto dos números irracionais é aquele cujos elementos são números
decimais que não podem ser resultado da divisão entre dois números inteiros.
Essa definição é o oposto da definição de número racional, que é qualquer
número que pode ser escrito na forma de fração. Os números irracionais são todos
os decimais infinitos não periódicos.
São exemplos de números irracionais: o número do ouro:
= 11,61803398...; o número = 3,141592653558970...;
= 1,4142135623...; e infinitos outros números.
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Na prática
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Atividade 1
(Aprender Sempre, Vol. 1, Parte 1, p. 103) Represente na reta numérica os
números abaixo e identifique a qual conjunto numérico cada um deles
pertence.
2 3,5
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Correção
Represente na reta numérica os números abaixo e identifique a qual conjunto
numérico cada um deles pertence.
2 3,5
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Correção
Represente na reta numérica os números abaixo e identifique a qual conjunto
numérico cada um deles pertence.
2 3,5
Continua...
Foco no conteúdo
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Os números racionais, como dissemos anteriormente, podem ser
representados na forma fracionária ou decimal, sendo que a representação
decimal traz duas possibilidades: decimal finito e decimal com dízima
periódica. No quadro a seguir estão alguns exemplos:
Decimal Dízima periódica Dízima periódica
finito simples composta
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As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas, dependendo dos números que
aparecem após a vírgula na parte decimal.
Seguem alguns exemplos de como encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica:
• Como converter 0,333... para uma representação fracionária:
Inicialmente, você pode perceber que o número apresentado é uma dízima periódica
simples e que o numeral 3 é repetido infinitamente, portanto, podemos dizer que o
período dessa dízima periódica é igual a 3.
O número 0,333... também pode ser representado por .
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Foco no conteúdo
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Agora vamos encontrar a fração geratriz do número 3333...
• 1o passo:
Para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos tratá-
la como uma incógnita, por exemplo D.
D = 0,3333...
• 2o passo:
Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de
10, cujo expoente é igual à quantidade de algarismos do período da dízima.
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Foco no conteúdo
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Realizando a subtração das expressões (II) e (I), temos:
Continua...
Na prática
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Atividade 2
(Aprender Sempre – Atividade 2, p. 104)
No quadro abaixo, escreva se o número é: natural, inteiro, racional, decimal
finito, dízima periódica simples, dízima periódica composta ou um número
irracional, e represente-os na reta numérica.
1 −9
27
3
0,151515... √5 2,6
Na prática
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Correção
No quadro abaixo, escreva se o número é: natural, inteiro, racional, decimal
finito, dízima periódica simples, dízima periódica composta ou um número
irracional, e represente-os na reta numérica.
27 é um número natural, inteiro e racional.
é um número racional com uma dízima periódica simples.
é um número inteiro.
0,151515... é um número racional com uma dízima periódica simples.
é um número irracional.
2,6 é um número decimal finito e racional.
Na prática
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Correção
No quadro abaixo, escreva se o número é: natural, inteiro, racional, decimal
finito, dízima periódica simples, dízima periódica composta ou um número
irracional, e represente-os na reta numérica.
Observação:
Fração geratriz do número 0,151515...
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Atividade 3
(A) I, II e III.
(B) II, III e V.
(C) II e V.
(D) I, III e IV.
Na prática
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Correção
I. II. 4,121212... III. IV. 0,11223344... V.
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Correção
III. Número irracional
V. Número racional
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Atividade 4
1 2
(A) (C)
2 6
1 6
(B) (D)
6 2
Fonte: Aprender Sempre, C.A, V.1, p. 105, 2024
Na prática
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Correção
A figura abaixo está dividida em seis partes iguais. A parte pintada de preto
corresponde a que fração?
1 2
(A) Incorreto (C) Correto
2 6
1 Incorreto 6
(D) Incorreto
(B) 2
6
Alternativa C
A figura está dividida em 6 partes e, dessas seis partes,
Fonte: Aprender Sempre, C.A, V.1, p. 105, 2024
duas foram pintadas de preto; logo, 2/6 representam a
parte pintada de preto.
Aplicando
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Desafio:
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Correção
Sabemos que o decimal 0,3333... corresponde ao número racional
, então, temos que:
O que aprendemos hoje?
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● A reconhecer as diferentes
periódica.
Referências
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Lista de imagens
Slides 8, 9, 12, 25 e 26 – Aprender Sempre, Volume 1, C.A, Sequência de Atividades 1, Aulas 1 e 2, pp. 102 a 107, 2024.
Slides 13 e 21 – Elaborados pelo autor.
Referências
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LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula.
Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Aprender Sempre: Caderno do Professor, Volume 1, Parte 1,
Sequência de Atividades 1, Aulas 1 e 2, 2023.