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APOSTILA 1° ANO 2° Bimestre
APOSTILA 1° ANO 2° Bimestre
APOSTILA 1° ANO 2° Bimestre
Você já ouviu a expressão “Eu não vivo em A Função do 1° Grau é uma lei matemática
função de você”? que relaciona os valores x e y.
Essa palavra se refere ao valor de x que irá zerar Vamos tomar a função f(x)= x – 3 como
a função, ou seja, qual é o valor que eu preciso exemplo e seguiremos alguns passos:
colocar em x para que o y seja 0.
A função de 1° Grau só tem um raiz que é dada 1. Encontre os Pares Ordenados
por: Para encontrar os pares ordenados,
escolhemos dois valores aleatórios para a
x= variável independente (x) e descobrir seus
correspondentes através da função. Para
A última coisa que precisamos saber é o nome isso, tomamos x = 1 e x = 2. Então temos:
das letras “a” e “b” e o que elas significam:
a = coeficiente angular
É o número que multiplica o “x” e vai ser
importante na hora de desenhar o gráfico dessa
função.
Perceba que o “a” nunca pode valer 0. Se isso 2. Desenhe o gráfico no Plano Cartesiano
acontecer, o “x” também será 0 e não existirá Para obtermos o gráfico no plano cartesiano,
função alguma! basta colocar os pontos A, que corresponde
às coordenadas (1,-2), e B, que corresponde
b = coeficiente linear ou termo independente às coordenadas (2,-1) e então desenhar a
É o número que não interfere diretamente no x, só reta que representa geometricamente a
no y. Por isso, ele pode valer 0. função f(x)= x – 3.
Ele também tem um papel importante na hora de
desenhar o gráfico.
Exemplos:
a)f(x) = 5x ‒ 3, no qual a = 5 e b = ‒ 3;
b)f(x) = ‒ 2x + 7, no qual a = ‒ 2 e b = 7;
c)f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0.
Observações:
• f: R → R significa que a função é definida do b) y = – x + 2
domínio números reais ao contra domínio
números reais;
3
FUNÇÃO AFIM - (EM13MAT302A); (EM13MAT401); (EM13MAT501)
b) y = – 2x + 6
• Para x = 4, por exemplo, y = – 1 y<0
• Para x = 3, por exemplo, y = 0 3 é raiz
• Para x = 2, por exemplo, y = 2 y>0
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FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO CONSTANTE - (EM13MAT302A); (EM13MAT401); (EM13MAT501)
b) y = – 2x + 5
Exemplo 1: f(x) = 2
O gráfico da função f(x) = 2 é uma reta
paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no
ponto (0, 2).
Exemplo 2: f(x) = 0
O gráfico da função f(x) = 0 é uma reta
coincidente ao eixo x que intercepta o eixo y
7 - Estude a variação de sinal das seguintes
na origem.
funções:
a) y = 7x – 14 c) y = 3x + 5 e) y = – 2x + 6
b) y = x – 1 d) y = – x + 3 f) y = – 3x – 7
FUNÇÃO CONSTANTE
A função constante diferencia-se das funções do
1° grau por não poder ser caracterizada como
crescente ou decrescente, sendo, por isso,
constante. Podemos afirmar que uma função
constante é definida pela seguinte fórmula:
FUNÇÃO IDENTIDADE
Chamamos de função Identidade à função de R em
R definida por f(x) = x
Resumindo a definição:
FUNÇÃO LINEAR
Dada à função polinomial do 1° grau f(x) = ax
+ b quando b = 0 a função é chamada função
linear. Geometricamente,
Observações:
• O gráfico da função linear passa sempre
pela origem (0,0).
• Se a função não for linear é chamada
função afim.
7
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU (EM13MAT302A); (EM13MAT401); (EM13MAT501)
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU
Exemplos: 1 - Resolva a inequação:
Dada a função do 1º grau y = ax + b, chama-se
– 8x + 16 > 0
raiz ou zero da função, o valor de x para o qual ax
+ b = 0, ou seja, o valor de x que anula a função.
Então, para determinarmos a raiz ou o zero da
função, fazemos y = 0 e resolvemos a equação
2 - Resolva a inequação 2x + 5 0
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INEQUAÇÃO DO 1° GRAU – (EM13MAT302A); (EM13MAT401); (EM13MAT501)
13 - Resolva as inequações:
a) (x + 4) ( x – 3) 0
b) (x – 1) ( x + 1) > 0
c) (x + 2) (– x – 1) > 0
12 - Resolva as inequações: d) (x – 1) ( x + 1) < 0
a) x – 5 > 0 e) 2x – 8 0 e) (– x + 2) (x – 1) < 0
b) 3x + 7 > 0 f) – x + 5 > 0 f) (– 2x – 4) (3x + 9) 0
c) – 2x + 8 > 0 g) – 3x – 5 < 0
d) – 8x + 16 0 h) x + 1 > 0 SEQUÊNCIA NUMÉRICA
Na matemática, a sequência numérica ou
EXEMPLOS: sucessão numérica corresponde a uma
e) Resolva a inequação (x + 3) ( x – 2) 0 função dentro de um agrupamento de
Devemos lembrar que um produto (x + 3) (x – 2) é números.
positivo ou nulo quando as duas funções De tal modo, os elementos agrupados numa
= x + 3 e = x – 2 têm o mesmo sinal ou quando sequência numérica seguem uma sucessão,
uma das funções é nula. ou seja, uma ordem no conjunto.
Estudando o sinal de cada uma das funções,
temos:
CLASSIFICAÇÃO
As sequências numéricas podem ser finitas
ou infinitas, por exemplo:
= (2, 4, 6, ..., 8)
= (2,4,6,8...)
.
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SEQUÊNCIA NUMÉRICA - (EM13MAT507)
O último termo da sequência é chamado de CLASSIFICAÇÃO DA SEQUÊNCIA
enésimo, sendo representado por . Nesse caso, o NUMÉRICA DE ACORDO COM O
da sequência finita acima seria o elemento 8. COMPORTAMENTO DA SEQUÊNCIA
Assim, podemos representá-la da seguinte
maneira: • Sequência numérica crescente - A
= (, ...,an) = (, , , ...) sequência é crescente se um termo for
sempre maior que o seu antecessor.
Exemplos:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
5 - Determine o 1º termo de uma P.A., onde a6 = 10 - Calcule a razão de uma P.A., sabendo-se
17 e r = -4. que = 100 e = – 40.
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EQUAÇÃO DO 2° GRAU E FUNÇÃO QUADRÁTICA (EM13MAT302B)
Exemplos:
1. f(x) = 5x² + 3x – 2 a=5b=3c=–2
2. f(x) = x² + 2x – 3 a=1b=2c=–3
3. f(x) = – x² + 7x a=–1b=7c=0
4. f(x) = x² – 9 a=1b=0c=–9
b) Esboço.
a = 1 (positivo) - a parábola tem concavidade
voltada para cima.
= 1 ( > 0) - a parábola “corta” o eixo x em
dois pontos.
1 - Esboce os gráficos das funções seguintes,
atribuindo a x os valores: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3
a) f(x) = x² c) f(x) = x² – 2x + 1
b) f(x) = x² + 2x d) f(x) = – x² + 1
2) Dada a função y = – x²+ 6x – 9:
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA a) Obtenha os zeros da função.
Na representação gráfica a função quadrática, b) Com os zeros obtidos esboce o gráfico da
notamos que: função.
a > 0 concavidade voltada para “cima”
a < o concavidade voltada para “baixo”
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FUNÇÃO QUADRÁTICA (EM13MAT502); (EM13MAT503)
b) Esboço. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS
• a = – 1 (negativo) - a parábola tem RAÍZES
concavidade voltada para baixo. Sendo as raízes os valores de x para os quais
• = 0 - a parábola tangencia o eixo x em um y = 0, geometricamente as raízes vão
ponto. representar os pontos onde a parábola corta
ou tangencia o eixo x. Como a existência e a
natureza das raízes dependem do ,
poderemos ter:
Se > 0, a equação tem duas raízes reais e
diferentes.
3 - Dada a função y = x² – 2x + 5:
a) Obtenha os zeros da função.
b) Com os zeros obtidos esboce o gráfico da
função.
b) y = – x² + 2x – 2.
V = (– 1, – 4) Sendo a = – 1 (a < 0), então a função admite
um máximo)
c) y = 2x² – 3x – 2.
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FUNÇÃO QUADRÁTICA (EM13MAT502); (EM13MAT503)
14 - A função y = ax² + 8x – 7 admite um valor
mínimo se:
a) a ≠ 0 c) a < 0
b) a > 0 d) N. R. A.
7 - Escreva se a função admite um máximo ou um
mínimo e determine esse máximo ou esse
VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇÃO
mínimo:
QUADRÁTICA
a) y = x² – 3x + 4. c) y = – 5x² + 2x – 3.
Como vimos na função do 1º grau, o estudo
b) y = x²– 4x + 4. d) y = – x² + 2x – 3.
da variação de sinal de uma função consiste
em se determinar para que valores de x a
8 - Determine o conjunto imagem das seguintes
função é positiva, negativa ou nula. Para
funções:
estudar a variação de sinal da função
c) y = – 3x² – 3x – 1. d) y = – x²
quadrática y = ax² + bx + c, vamos considerar
d) y = x² – 2x + 1. e) y = – x² + 2x – 2.
três casos:
e) y = 5x² f) y= x² – 4x.
1º Caso: > 0
Se > 0, a função admite duas raízes reais e
9 - Determine para cada uma das funções
distintas.
abaixo:
Determinamos essas raízes e:
➢ As raízes;
Para valores de x entre as duas raízes e , a
➢ As coordenadas do vértice:
função tem sinal contrário de a; para valores
➢ O conjunto imagem.
de x situado fora do intervalo das raízes, a
a) y = – x² + 12x – 20 d) y = 3x² + 4x
função tem o mesmo sinal de a.
b) y = x² – 25 e) y = x² – 8x + 7
c) y = 2x² – 12x + 18 f) y = x² + 3x + 6
3º Caso: < 0
Se < 0, a função não admite raízes reais.
Para qualquer valor real de x a função tem o
mesmo sinal de a.
Resumo geral:
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INEQUAÇÃO DO 2° GRAU – (EM13MAT502); (EM13MAT503)
Como queremos que a função seja negativa,
– x² – 7x – 10 < 0, então devemos ter x < – 5
ou x > – 2.
Logo: V = {x R | x < – 5 ou x > – 2}
15 - Estude a variação de sinal das seguintes
funções:
a) y = x² – 3x + 2 e) y = 2x² + 3x + 1
b) y = – x²– x + 30 f) y = x² – 4x + 4
c) y = – x² + 5x – 10 g) y = x² – 2x + 8
d) y = x² + 2x + 1 h) y = 3x² – 4x + 2
RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES
Exemplos:
1 - Determine o conjunto verdade das seguintes
inequações do 2º grau em R:
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RECAPITULANDO – 2° BIMESTRE
1 - Um comerciante comprou uma caixa de um
determinado produto, teve um custo fixo com
transporte de R$ 230,00. Venderá cada unidade
por R$ 5,00, o lucro final será dado em função
das x unidades vendidas. Sabendo que Lucro = O número que Luísa marcou é igual a:
venda ‒ custo a) 27 b) 39 c) 40 d) 43
Responda:
a) Qual é a lei dessa função f? 4 - (FACI) A associação de professores de
b) Se o comerciante vender 1 unidade desse uma escola comprou um sítio dando R$ 2
produto terá lucro ou prejuízo? 000,00 de entrada e o restante em 24
c) Se o comerciante vender 10 unidades desse prestações mensais consecutivas. Ficou
produto terá lucro ou prejuízo? acertado que a 1a prestação seria de R$
d) Se o comerciante vender 40 unidades desse 400,00 e todas as demais sofreriam um
produto terá lucro ou prejuízo? aumento de R$ 100,00 mensalmente em
e) Se o comerciante vender 50 unidades desse relação à prestação anterior. Assim, qual o
produto terá lucro ou prejuízo? preço total pago pelo sítio?
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