Apostila - Matemática Financeira - FGV
Apostila - Matemática Financeira - FGV
Apostila - Matemática Financeira - FGV
Moises Spritzer
Realização
Fundação Getulio Vargas
FGV Management
Todos os direitos reservados à Fundação Getulio Vargas
Spritzer, Moises
Matemática financeira. 6ª ed. Rio de Janeiro; FGV
Management – Cursos de educação continuada.
61p.
Bibliografia
1
SUMÁRIO
PROGRAMA DA DISCIPLINA 3
1.1 EMENTA 3
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 3
1.3 OBJETIVOS 3
1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 3/4
1.5 METODOLOGIA 5
1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 5
1.7 BIBLIOGRAFIA 6
1.7.1. BIBLIOGRAFIA BÁSICA 6
1.7.2 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
7
1.7.3 FONTES DE CONSULTA NA INTERNET
7/8
1.7.4.CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR
9
TRANSPARÊNCIAS DE AULA 65
2
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA
1.1 Ementa
Juros simples. Juros compostos. Taxas de juros (reais, efetivas e equivalentes).
Descontos simples e compostos. Séries uniformes antecipadas e postecipadas.
Amortização de empréstimos. Séries perpétuas. Taxa over. Conceitos de equivalência,
fluxo de caixa e taxa de atratividade (custo de oportunidade). Avaliação de Fluxos de
Caixa pelos métodos do valor presente (valor atual) e taxa interna de retorno. Cases
(exercícios).
29 horas-aula
1.3 Objetivos
Capacitar os participantes a utilizarem os conceitos e práticas da Matemática
Financeira. Compreender os fundamentos da Matemática Financeira para calcular o
valor do dinheiro no tempo. Utilizar as tecnologias de informação na análise das
informações financeiras para o processo decisório.
• ECONOMIA MONETÁRIA
• ESTRUTURA DO SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
• CONCEITOS FINANCEIROS FUNDAMENTAIS
• FUNDAMENTOS DE JUROS SIMPLES
FUNDAMENTOS DE JUROS COMPOSTOS
• SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO E SISTEMAS DE
AMORTIZAÇÃO
3
1. ECONOMIA MONETÁRIA
1.1 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DA MOEDA
1.2 DINÂMICA DO MERCADO MONETÁRIO
1.3 CARACTERÍSTICAS DOS ATIVOS E RETORNO
4
1.5 Metodologia
Aulas expositivas; leitura de artigos e apresentação de dados do Mercado Financeiro;
exercícios em aula; exercícios com calculadora financeira; debate com a turma toda; e
estudo de casos.
1.7 Bibliografia
5
1.7 2 Bibliografia complementar
MELLAGI Fº, A., Mercado Financeiro e de Capitais: uma Introdução. 3ª ed. São
Paulo: Atlas, 1998.
MELLAGI Fº, A., ISHIKAWA, S., Mercado Financeiro e de Capitais. São Paulo:
Atlas, 2000.
HAZZAN, Samuel & Pompeu, José N. Matemática Financeira. 5ª Ed. São Paulo:
Saraiva, 2001.
LOPES, João C. & ROSSETTI, José P. Economia monetária.6ª Ed. São Paulo: Atlas,
1996.
MELLAGI Fº, Armando. Mercado financeiro e de capitais: uma introdução. 3ª Ed. São
Paulo: Atlas, 1998.
6
1.7.3 Fontes de consulta na internet:
ENDEREÇO SERVIÇO
www.abecip.org.br Histórico, atividades, produtos e serviços,
comissões, estatísticas- séries históricas,
associados, ABRAFI, SFI, LINKS e
DATABECIP.
www.agrif.com.br Informações sobre fundos de investimento
brasileiros
www.andima.com.br Associação Nacional das Instituições do
Mercado Aberto
www.anbid.com.br Associação Nacional de Bancos de
Investimento, disponibiliza informações para
investidores, links, noticiário e atividades
sobre o segmento e outras entidades do
mercado.
www.anefac.com.br Site da Associação Nacional das Factoring
7
www.economist.com Site da The Economist – acesso gartuito da
matéria de capa e alguns artigos selecionados
www.estadao.com.br/ext/economia/financas/inves Site do Jornal o Estado de São Paulo
timentos disponibiliza informações sobre
investimentos e mercado financeiro
www.exame.com.br O site da Exame reúne notícias do mercado
durante o dia além de reportagens sobre o
mundo e a vida dos executivos
www.fenaseg.org.br Site da Federação Nacional de Seguros
www.fiesp.com.br Site da Federação das Indústrias de São Paulo
www.financenter.com.br Simulação de operações no mercado
financeiro, desde as melhores condições de
financiamento imobiliário até elaboração do
orçamento familiar
www.fundos.com Atende a necessidade de informações do
investidor ; apresenta links com desempenho
dos Fundos, Imposto de Renda e Glossário.
www.gazetamercantil.com.br Site do Jornal Gazeta Mercantil
www.infomoney.com.br Site Financeiro
www.investishop.com.br O Desafio ensina como aplicar na bolsa e em
outros investimentos. O Investigame é um
jogo para aprender os conceitos de economia
www.investor.com Site da Microsoft, com indicadores, gráficos,
artigos e corretoras americanas
www.ipea.gov.br Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas
www.lipperweb.com A americana Lipper Analytical é uma das
mais completas fontes sobre fundos
americanos e offshore
www.londonstockexchange.com Site da Bolsa de Londres
www.mpas.com.br Ministério da Previdência e Assistência
Social – informações sobre os fundos de
previdência
www.multex.com Multex Investor- Notícias sobre 10 mil
empresas
www.nyse.com.br Site da Bolsa de Valores de Nova York –
EUA
www.patagon.com.br Site com amplas informações sobre o
mercado financeiro
www.projeção.com.br Site com simulação sobre investimentos
financeiros
www.reuters.com No site da Reuters estão disponíveis cotações
de bolsas de valores internacionais, artigos e
notícias
www.smartmoney.com A revista Smart Money oferece índices de
ações, análise de mercado e ainda tem um
serviço para esclarecer dúvidas
8
Rating, com informações sobre as empresas
brasileiras
www.susep.com.br Superintendência de Seguros Privados
www.uol.com.br Cotação do dólar, inflação no Brasil,
rendimento da poupança e links para revistas
especializadas em finanças
www.yahoo.com/business/ Por meio da página de pesquisa, é possível
acessar diversos sites da área de finanças
9
2. Texto para estudo
ECONOMIA MONETÁRIA
10
SISTEMA DE ESCAMBO
CARNE
PECUARISTA ALFAIATE
ROUPA
FAMÍLIAS EMPRESAS
11
12
DEMANDA DE MOEDA
Motivo transação:
Motivo Precaução
Motivo Especulação
13
VARIAÇÕES INSTITUCIONAIS QUE PODEM
PROVOCAR ALTERAÇÕES NA PROPORÇÃO DA
RENDA MANTIDA SOB A FORMA DE MOEDA
14
Conceitos Monetários:
Meios de Pagamento
(= ) M 1
Mais
Títulos da dívida pública estadual e municipal
Títulos da dívida pública federal
Aplicações do público- FAF, FIFCP e FRFCP
DER
(= ) M 2
Mais
Depósitos de poupança
- Caixa Econômica Federal
- Caixas Econômicas Estaduais
- Sociedade de Crédito Imobiliário
- Rural
-
(= ) M 3
Mais
Depósitos a prazo fixo (CDB, RDB , LC, LI )
- Banco do Brasil
- Bancos Comerciais
- Banco de Investimento
- Bancos de Desenvolvimento
- Bancos Múltiplos
- Caixas Econômicas
(= ) M 4
15
BASE MONETÁRIA E MEIOS DE PAGAMENTO
Percentagem dos saldos em fim de período em relação ao PIB (1)
Final de Base
Período (a) Monetária M1 M2 (2) M3 M4 (3)
1980 3,7 9,3 13,2 19,4 22,9
1981 3,2 9,3 16,6 24,8 29,4
1982 3,2 7,8 15,9 25,4 30,9
1983 1,9 5,1 10,4 20,4 25,8
1984 2,1 4,5 13,1 23,3 29,7
1985 2,0 5,0 16,7 26,5 33,2
1986 4,5 11,6 20,6 29,0 36,4
1987 2,4 4,9 15,8 26,3 30,8
1988 1,5 2,0 13,6 24,4 28,8
1989 1,5 2,2 15,4 22,4 25,5
1990 2,3 3,6 6,3 9,6 13,2
1995 3,2 4,2 15,7 25,1 36,7
1996 2,5 3,7 20,9 29,9 40,3
1997 3,5 5,2 22,4 33,2 43,5
1998 4,4 5,7 28,3 40,4 50,9
1999 4,6 6,0 33,3 43,9 52,7
2000 4,2 6,5 38,6 48,4 56,1
2003 4,5 6,6 43,3 59,8 68,6
ª Média dos últimos 12 meses, utilizando-se as posições de final de período.
Base Monetária = Papel-moeda em circulação + Reservas bancárias
(1) Fonte IBGE
(2) Exclui títulos em carteira do BACEN, dos FAF,FRF-CP, FIF-CP e de Instituições
Financeiras
(3) Inclui Depósitos a Prazo, Letras de Câmbio e Letras Hipotecárias exceto aqueles
em poder dos fundos de aplicação financeira, fundos de investimento financeiro de
curto prazo, dos fundo de renda fixa de curto prazo e em carteiras de instituições
financeiras.
Fonte: Relatório Anual do BACEN-1990/2001.
16
17
TÍTULOS FEDERAIS
18
TÍTULOS PRAZOS MODALIDADE ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA/REMUNERAÇÃO
BTN De 1 e 2 anos Nominativa endossável De acordo com a variação de cotação de venda do dólar dos
Cambial Escritural EUA ou pela TR
BTN-BIB Até 25 anos Nominativo Negociável De acordo com a variação da cotação de venda do dólar dos
Escritural EUA ou pela TR
NTN
Série A: até 25 anos
Série B: mínimo de
2 anos
NTN Série C: mínimo de Nominativo e Negociável NTN-A: cotação de venda do dólar ou IGP-M (FGV)
12 anos (exceto as emitidas para NTN-B: IGP-M (FGV)
Série D: mínimo de aumento de capital e garantia NTN-C: IGP-M (FGV)
3 meses de empréstimos) NTN-D: cotação de venda do dólar dos EUA
Série E: de acordo Escritural NTN-E: TRD
com o cronograma NTN-F: TRD
de devolução do NTN-H: TRD (remuneração)
NCZ$
Série F: 8 anos
Série H: mínimo 90
dias
19
TÍTULOS TAXAS DE JUROS PAGAMENTO DE JUROS SITUAÇÃO ATUAL
/RENDIMENTO /RENDIMENTOS
OTN a) 6% a.a. para OTN 2 anos Tipo 0: semestral Extintas pela Lei nº 7.730/89
b) 7% para OTN de 3 anos Tipo 1: semestral Restam os tipos 0, 1 e 2
c) 8% para OTN de 4 anos Tipo 2: anual
d) 9% para OTN de 5 anos Tipo 3: anual
Data dia 15 do mês do vencimento
NTN Até 6% a.a., exceto para NTN- NTN-A: semestral (15/03 e 15/09) Em circulação exceto NTN-E
H, título no qual os juros estão NTN-B: no resgate do título Utilizada atualmente exceto a
implícitos no desconto de NTN-C: no 3° 9º e 15º mês NTN-E
venda do título NTN-D: semestralmente
NTN-E: pro-rata
NTN-F: anualmente a partir do 2° ano
da emissão
NTN-H no resgate do título
20
HISTÓRICO DAS ALTERAÇÕES DA MOEDA NACIONAL
21
22
SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
SEGMENTAÇÃO DO SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
23
SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
INSTITUIÇÕES NORMATIVAS
24
BANCO CENTRAL DO BRASIL ( BACEN )
25
COMISSÃO DE VALORES MOBILIÁRIOS
26
INSTITUIÇÕES FINANCEIRAS – MNI
27
INSTITUIÇÕES OPERATIVAS
BANCO DO BRASIL
BANCOS COMERCIAIS
BANCOS DE INVESTIMENTO
BANCOS MÚLTIPLOS
MERCADO DE CAPITAIS
BOLSA DE VALORES
SOCIEDADES CORRETORAS
SOCIEDADES DISTRIBUIDORAS
SEGURADORAS
INVESTIDORES INSTITUCIONAIS
FUNDOS DE INVESTIMENTOS
28
Conceitos Básicos
FDV= VF
VP
VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente
29
FLUXO DE CAIXA
30
JUROS
J = VF - VP
TAXA DE JUROS
i = Juros = VF - VP
VP VP
i= VF -1 ⇒ FDV - 1
VP
FDV = VF FDV = 1 + i
VP
31
JUROS
32
CARACTERÍSTICAS DAS FORMAS DE PAGAMENTO
$ 1000
↑ in =20% aos 120 dias 120 dias
|===========================================|
0 ↓1000 devolução
capital
200 juros
Total $ 1200
33
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
JUROS SIMPLES
140
120
100
80
60 $
40
20
0
1° ano 2° ano 3° ano 4° ano
34
JUROS COMPOSTOS
140
120
100
80
60 $
40
20
0
1° ano 2° ano 3°ano 4° ano
Diferença :
Diferença $ 6,41
35
JUROS SIMPLES
J=P.i.n
F = P + P.i.n
F= P(1+in)
Atenção:
• A unidade de medida do Tempo n deve ser a mesma que a utilizada na medida da taxa
de juros (i). Tempo em meses ⇒ Taxa mensal.
n= P1 n 1 + P 2 n2 + ......+ Pk n k
P1 + P 2 + .....+ P k
36
Exercícios:
1. Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais e equivalentes às
seguintes taxas:
Solução
a) 2.500 % a.a. 416,67 % e 625 %
b) 150 % a cada sete meses 42,86 % e 64,29 %
c) 11 % a cada nove dias 73,33 % e 110 %
d) 6.000 % ao triênio 333,33% e 500 %
e) 1,32 % ao dia 79,20% e 118,8 %
2. Calcular o montante de :
37
JUROS COMPOSTOS
Montante = P + P . i = P ( 1 + i )
Montante = P ( 1+ i ) . i = P ( 1+ i ) ( 1+ i ) = P ( 1 + i ) ²
Montante = P ( 1 + i ) ³
n
VF = VP ( 1 + i )
38
EXPRESSÃO GENÉRICA PARA DESCONTO ¨ P ¨ - VALOR
PRESENTE
n
P= F n => F x [ 1 / ( 1 + i ) ]
( 1+i )
39
ESQUEMA PADRÃO PARA TABELAS :
n
F P S ( i, n ) = ( 1 + i )
S = P x FPS ( i , n )
n
F S P ( i, n ) = 1 / ( 1 + i )
P = S x FSP ( i , n )
⇐ FSP
FPS ⇒
P S
|=======|=======|==============================|=== TEMPO
0 1 2 n
40
SÉRIES DE PAGAMENTOS
E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
• Definição:
• Objetivos:
a) Amortização:
Financiamento do PV para pagamento com parcelas futuras PMT
PV
0 1 2 3 n
• • •
_________________
PMT’s
b) Capitalização:
Pagamentos parcelados PMT para um recebimento futuro FV
0 1 2 3 FV
• • • n
_______
PMT’s
41
• Características das Séries:
a) Nº PMT’s →
Finitas ou Infinitas (Perpetuidades)
b) Periodicidade →
Periódicas: com intervalos constantes
não periódicas: com intervalos variáveis
c) Valor →
Uniformes: PMT’s iguais
não uniformes: PMT ‘s diferentes (séries gradientes)
d) Prazo →
com entrada - Antecipado: 1º PMT no momento n = 0 (BEGIN)
sem entrada - Postecipado: 1º PMT no momento n = 1 (END)
42
END - Postecipado
FV
0 1
PV
1ª PMT PMTn
BEGIN - Antecipado
FV
PV
1ª PMT 2ªPMTn
PMTn
POSTECIPADO ANTECIPADO
n = 0 → só PV n = 0 → PV + PMT1
n = 1 → 1ª PMT n = 1 → 2ª PMT2
PMT = PV i (1 + i )n .
(1 + i )n - 1
FV = PMT (1 + i )n - 1
i
PMT = FV i .
(1 + i )n - 1
• EQUAÇÕES DE SÉRIES DE PAGAMENTOS (antecipadas)
PV = PMT [ (1 + i)n – 1] (1 + i)
i (1 + i)n
PMT = PV i (1 + i )n .
[ (1 + i )n – 1] ( 1 + i )
FV = PMT [ (1 + i )n - 1] ( 1 + i)
i
PMT = FV i .
n
[(1 + i ) - 1] ( 1 + i)
PV = PMT
i
PV = PMT(1 + i)
i
SÉRIES DE PAGAMENTOS
E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
⇒ Financiamento em Parcelas Iguais sem Entrada
PV
1 2 3 4 5 6
|=======|=======|=======|=======|=======|=======|== meses
4.524 4.524 4.524 4.524 4.524 4.524
PV = $ 18.600
PMT = $ 4.153,78
i = 13,5 % mês
6. Uma televisão último modelo, à vista é $ 2.800,00, mas pode ser comprada em
6 parcelas iguais, sendo a 1° de entrada e as demais mensalmente com juros de
5,5 % a.m.. Calcule o valor da prestação.
PMT = $ 531,28
PV = ? = > PV = $ 3.000,00
i = ? 6,75 %
PV = ? => PV = $ 3.500,00
⇒ Financiamento em Parcelas Iguais ¨ sem Juros ¨
11. Numa loja um terno de $ 600,00 está sendo anunciado em 3x iguais sem juros,
sendo a 1° de entrada, ou então, você pode levar à vista com 30% de desconto.
Calcular o custo do financiamento.
$ 420
|=======|=======|===== meses
$ 200 200 200
i =? 51,08 %
12. Numa loja feminina, um vestido de $ 300,00 esta em oferta por 3 vezes
mensais iguais, sem entrada e sem juros, ou então, à vista com 30 % de
desconto.
$ 210
|=====|=====|=====|====
$ 0 100 100 100
Quadro de Amortização
⇒ Tabela Price
Considera os juros anuais simples e depois Capitaliza.
Prestações Mensais
Principal
|==========|==========|==========|
Juros n . . . . . . n Principal
N Juros Prestação
0
1 10.000 10.000
2
3
4
5
RISCO E RETORNO
EXEMPLO :
MOEDA NULO
MÁXIMO
IMOBILIZADO VARIÁVEL
MÍNIMO
RISCO DE UM ATIVO INDIVIDUAL
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE:
Exemplo:
ATIVO A B .
Pessimista 13 7
Provável 15 15
Otimista 17 23
Faixa de Retorno 4 16
________________________________________________________
PROBABILIDADE :
Exemplo:
ATIVO A
ATIVO B
FUNDAMENTOS DA AVALIAÇÃO
n = número de períodos
VF = VP x FJVF
VF = PMT x FJVFA
VP = VF x FJVP
VP = PMT x FJVPA
Fórmulas dos fatores de juros
JVF = ( 1 + i ) * n
FJVFA = Ε ( 1 + i ) * n-1
FJVP = 1__
(1 + i ) * n
FJVPA = E 1__
(1 + i ) * n
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Juros simples
1) Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais as seguintes taxas:
1) 250 % a.a.
2) 150 % a cada 6 meses
3) 1 % a cada 15 dias
4) 600 % ao triênio
5) 0,2 % ao dia
8. Uma empresa, para financiar seu capital de giro, levanta um empréstimo pelo
prazo de 2 meses onde é cobrada a taxa de 9% a.m. Determine uma comissão a ser
cobrada no ato da liberação do principal de modo a garantir uma remuneração de 10%
a.m. ao credor.
9. Vamos agora supor que o PIB de um país cresceu 50% em 10 anos. Qual terá
sido neste caso, taxa anual de crescimento (supostamente constante)?
11. Um devedor tem a possibilidade oferecida pelo credor, de liquidar uma dívida
pagando hoje $ 8.000,00 ou $ 10.000,00 de hoje a 5 meses. Com o dinheiro custando
5% a.m., o que ele deve fazer?
12. Vejamos agora o caso de uma pessoa devedora de $ 10.000,00 à taxa composta
de 5% a.m. e que paga $ 6.000,00 no fim de três meses. Que pagamento deverá fazer
dois meses após a fim de liquidar sua dívida?
15. Uma dívida de $ 1.000,00 dever ser paga em 3 parcelas e à taxa composta de 5%
a.m. Se a primeira no valor de $ 500,00, é paga no fim de 30 dias, a segunda no valor
de $ 400,00, no fim de 90 dias, determine o valor da terceira e última parcela sabendo
que deve ser paga no fim de 130 dias
16. Para uma taxa composta de 2% a.m., quanto devemos pagar hoje para liquidar
dois títulos no valor de $500,00 cada, o primeiro vencido há 30 dias e o segundo com
vencimento em 2 meses?
Respostas:
6) Um fogão cujo preço à vista é de $ 480,00 pode ser adquirido com 15% de sinal
mais cinco prestações mensais e iguais de $ 110.00. Qual a taxa de juros mensal
cobrada?
10) Para uma taxa de juros de 4% a.m., quanto você paga hoje por uma série de 25
títulos no valor de $ 500,00 cada com vencimentos mensais e sucessivos o
primeiro de hoje a 6 meses?
12. Certa agência de viagens diz financiar a juros de 1,2% a.m. Sua
sistemática num financiamento de $ 10.000,00 em 12 meses é a seguinte:
Prazo Coeficiente
a) 6 meses 0,18707
b) 12 meses 0,10086
c) 18 meses 0,07230
d) 24 meses 0,05819
e) 30 meses 0,04992
f) 36 meses 0,04455
RESPOSTAS:
1. a) 18.913,93; b) 9.954,00; c) 23.556,25; d) 5.334,93; e) 3.352,16.
2. a) 2.870,67; b) 2.750,70; c) 3.782,79; d) 3.049,39.
3. Indiferente, se o preço à vista < 21.778,13.
4. Comprar a prazo.
5. Comprar à vista.
6. a) 974,87; b) 559,13; c) 1.004,62; d) 458,04; e) 1.627,45; f) 5.761,70
7. 10.493,68
8. a) 0,178526; b) 0,094560; c) 0,066702; d) 0,052871; e) 0,044650; f)
0,039233.
9. Plano a.
10. 3,5% a.m.
11. 15% a.q.
12. 2,13% a.m.
13. 2,4% a.m.
14. a) 3,40% a.m.; b) 3,07% a.m.; c) 2,93% a.m.; d) 2,86% a.m.; e) 2,83% a.m.;
f) 2,82% a.m.