I. SucessÃ o NumÃ© Rica. Limite de Uma SucessÃ o

I. Sucessão Numérica.
Limite de uma Sucessão

1. Sucessão numérica
1.1. Noção de sucessão
Uma sucessão de números reais pode ser entendida como uma lista de números reais escritos
numa ordem definida:
, , , , , ,
O número é chamado primeiro termo ou termo de ordem 1, é o segundo termo ou termo de
ordem 2 e, em geral, é o -ésimo termo, termo de ordem ou termo geral da sucessão.
Note que, para cada inteiro positivo , existe um número correspondente e, dessa forma, uma
sucessão pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos.
Mas geralmente escrevemos em vez da notação de função para o valor da função do
número .
Definição (1): Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicação de em , onde
={Números inteiros positivos}= e ={números reais}.
Notação: A sucessão é denotada por .

Uma sucessão pode ser descrita indicando-se o termo geral ou escrevendo-se alguns dos seus
termos. Tenha-se em atenção que o primeiro termo nem sempre correnponde a igual a 1.
Definição (2): Chama-se subsucessão de uma sucessão a qualquer sucessão que dela se pode
obter por supressão de termos.
Seja a sucessão dos números inteiros positivos, isto é, .
1
A sucessão dos números ímpares é uma subsucessão de .
A sucessão dos números pares é uma subsucessão de .
Problemas resolvidos
1. Considere a sucessão de termo geral
1.1. 1.2.
1.3. 1.4.
a) Calcule os primeiros quatro termos da sucessão.

Resolução
1.1.
1.2. Observe-se que . Então:
1.3.
1.4.
2
b) Escreva o termo de ordem .
Resolução
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2. Considere a sucessão de termo geral
a) Calcule os primeiros quatro termos da sucessão.

Resolução
b) Escreva o termo de ordem .

Resolução
c) Verifique se:
i) 0,51 é termo da sucessão.
Resolução
Ent
ão 0,51 é termo da sucessão.

ii) 0,4 é termo da sucessão.
Resolução
3
Então 0,4 não é termo da sucessão.
3. Determine o termo geral da sucessão .
Resolução
É nos dado que ; ; ; ;
, ....
Observe que os numeradores dessas frações começam com 3 e são adicionados por 1 à medida
que avançamos para o termo seguinte. O segundo termo tem numerador 4; o terceiro, numerador
5; etc. Generalizando, o -ésimo termo terá numerador .
Os denominadores são potências de base 5, logo tem denominador .
Os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo, assim precisamos multiplicar por uma
potência de base . Sendo o primeiro termo positivo usamos ou . Portanto,
4. Represente graficamente a sucessão de termo geral .
Resolução
A imagem gráfica de uma sucessão é um conjunto de pontos discretos (soltos)!
1.2. Sucessões monótonas

Definição (3): Uma sucessão de números reais diz-se crescente se e
decrescente se .
4
Se , a sucessão diz-se estritamente crescente e se , a sucessão diz-se
estritamente decrescente.
Definição (4): Uma sucessão diz-se monótona se é estritamente crescente ou estritamente
decrescente.
5. Estude a monotonia das sucessões:
a)
Resolução
a sucessão é monótona decrescente.

b)
Resolução
, a sucessão é monótona
decrescente.
c)
Resolução
, a sucessão é monótona crescente.
d)
Resolução
, a sucessão é
monótona crescente.
e)
5
Resolução
, a sucessão é crescente.
6. Prove que a sucessão de termo geral é monótona decrescente.
Resolução
Devemos provar que , para todo o número inteiro positivo.
É óbvio que para todo , é uma proposição verdadeira. Portanto, , para

todo e assim é monótona decrescente.
Definição (5): Uma sucessão real diz-se limitada se existe um número real positivo tal
que, para todo , .
7. Considere a sucessão .
a) Mostre que é verdadeira a proposição .

b) O que se pode concluir com a veracidade da proposição anterior?
Resolução
a)
Portanto a proposição é verdadeira.

b) Como , pode-se concluir que a sucessão é
limitada.
1.3. Progressão Aritmética
Definição (6): Chama-se progressão aritmética a toda a sucessão de números reais em que cada
termo, a partir do segundo, obtem-se adicionando ao precedente uma constante, isto é, ,
6
, onde é uma constante. Ao número dá-se o nome de razão da
progressão.
1.3.1. Expressão do termo geral
Seja o termo geral de uma progressão aritmética e a razão da progressão. Então:
Generalizando, tem-se:
; Expressão do termo geral de uma progressão aritmética.
1.3.2. Soma dos primeiros termos consecutivos

Um professor de matemática, tentando manter a turma quieta, propôs o seguinte problema:
“Calcular a soma de todos os números naturais de 1 até 100”.
Para surpresa do professor, em seguida, um aluno chamado Karl Friedrich Gauss (com apenas
10 anos) deu a resposta:
.
Surpreso, o professor perguntou como Gauss conseguira o
resultado tão rapidamente ao que ele explicou ter notado
que o primeiro número mais o último era igual a 101 e que
a soma do segundo com o penúltimo era 101, …,
montando o esquema:
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Donde
Observe que, deste raciocínio do menino prodígio Gauss, resulta que “a soma de dois termos
equidistantes dos extremos, desta progressão aritmética de razão 1, é igual à soma dos
extremos”.
Mas será uma simples coincidência?
Não!!
7
Se generalizarmos para uma progressão aritmética de termos, com razão , tem-se:
, onde .
Sendo e dois termos quaisquer, equidistantes dos extremos, vem:
, donde resulta o
Teorema (1): Numa progressão aritmética a soma de dois termos equidistantes dos extremos é
igual à soma dos extremos.
Seja o termo geral de uma progressão aritmética e a razão da progressão. Então, a soma dos
primeiros termos consecutivos da progressão é:
, donde:
Como do Teorema (1), , vem:
; expressão da soma dos primeiros
termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Teorema (2): Numa progressão aritmética, cada termo é a média aritmética dos seus termos
adjacentes, isto é .
Seja , uma progressão aritmética.

e , dizem-se termos adjacentes ao termo .
(1)
(2)
Adicionando (1) e (2) membro a membro, tem-se:
8
8. O preço de uma alfaia agrícola nova é 150000,00 meticais.
Com o uso, o seu valor sofre uma depreciação de 2500,00 meticais por ano.
Assumindo que a vida útil da alfaia é de 10 anos, determine o seu valor residual.
Resolução
A sucessão é uma progressão aritmética de razão
Usando a fórmula do termo geral da progressão aritmética, , podemos encontrar
o valor pedido.
Substituindo os valores, temos:
Resposta: O valor residual da alfaia agrícola é de 127500,00 meticais.

9. Determine o valor de tal que , nessa ordem, seja uma progressão
aritmética monótona crescente.
10 Processo:
Como a progressão aritmética deve ser monótona crescente, então, (Tenha em atenção que
se , resulta numa sucessão constante!)
Como é o termo de ordem 4 vem:
20 Processo:
A sucessão dada é uma progressão aritmética de razão e pretende-se calcular
o 40 termo .
Como a progressão aritmética deve ser monótona crescente, então, (Tenha em atenção que
se , resulta numa sucessão constante!).
9
Como é o termo de ordem 4 vem:
10. Seja uma progressão aritmética.

Determine , se e
Resolução
Como a sucessão é uma progressão aritmética, tem o termo geral da forma
11. Um parque de estacionamento cobra 15 meticais pela primeira hora.

A partir da segunda hora, cujo valor é de 12 metical, os preços decrescem em progressão
aritmética.
Se ao proprietário de um automóvel foi cobrado 42 meticais, determine o tempo mínimo de que
fez uso do parque?
Resolução
Formemos a progressão aritmética , cuja soma é .
Resposta: O tempo mínimo de que faz uso do parque foi de 4 horas.

1.4. Progressão Geométrica
Definição (7): Chama-se progressão geométrica a toda a sucessão de números reais em que cada
termo, a partir do segundo obtem-se multiplicando o precedente por uma constante, isto é
, ; onde é uma constante. Ao número dá-se o nome de razão
da progressão geométrica.
1.4.1. Expressão do termo geral
Seja o termo geral de uma progressão aritmétrica e a razão da progressão. Então:
10
Generalizando, vem:
. Expressão do termo geral de uma progressão geométrica.
1.4.2. Soma dos primeiros termos consecutivos

Seja o termo geral de uma progressão geométrica e a razão da progressão. Então, a soma
dos primeiros termos consecutivos da progressão é:
(1)
Multiplicando a igualdade (1) por , vem:
(2)
Subtraido (1) e (2) membro a membro tem-se:
é a expressão da soma dos primeiros termos consecutivos de uma
progressão geométrica.
Teorema (3): Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é a média
geométrica dos seus termos adjacentes, isto é .
Seja , uma progressão geométrica de
termos positivos, cujo termo geral é .

e , dizem-se termos adjacentes ao termo .
(1)
(2)
Multiplicando (1) e (2) vem:
11
12. Numa progressão geométrica de termos positivos o sétimo termo é o quádruplo do quinto
termo e o décimo termo é 96.
Calcule a razão e o primeiro termo da progressão.
Resolução
Seja o termo geral da referida progressão.
Resposta: O primeiro termo da progressão é e a razão é .
13. Torne irredutível a fracção , sabendo que é um número real maior
do que 1.
Resolução
Observe-se que os termos da fracção são somas dos termos de progressões geométricas, finita no
numerador e infinita no denominador.
14. Numa progressão geométrica, o quarto termo é 135 e o sétimo termo é 3645.
Determine a soma dos oito primeiros termos.
Resolução
Dividindo as equações do sistema, membro a membro, tem-se:
12
15. Várias tábuas iguais estão numa carpintaria. A espessura de cada tábua é 0,5 centímetros.
Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das
pilhas seguintes, sobrepõem-se tantas quantas já houverem sido sobrepostas na anterior pilha,
conforme indica a figura.
Determine a altura, em metros, da pilha, ao final de 9 dessas operações

Resolução
A quantidade de tábuas em pilha sucessivas, em função do número de vezes em que se repetiu a
operação descrita, é dada pela sucessão , uma progressão geométrica de
razão 2.
Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é .
Deste modo, a altura da pilha será de .
2. Limite de uma sucessão
2.1. Conceito de limite de uma sucessão
O limite de uma sucessão é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá
uma definição rigorosa à ideia de uma sucessão que converge até um ponto chamado limite. De
forma intuitiva, supondo que se tem uma sucessão de pontos (por exemplo, um conjunto infinito
de pontos numerados utilizando os números inteiros positivos) em algum tipo de objecto
matemático (por exemplo, os números reais) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de
“todos os pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo”) um ponto L é o limite da
sucessão se para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da sucessão (com a possível
excepção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se
houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e
para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.
Seja a sucessão de termo geral cujo gráfico é
13
Observando o gráfico é possível notar que os termos da sucessão de termo geral estão
se aproximando de 1 quando se torna grande. De facto,
pode ser tão perto de 1 quanto se desejar tomando-se suficientemente grande. Indicamos isso
escrevendo:
Em geral, a notação , significa que os termos da sucessão aproximam-se de
quando torna-se grande.
Definição (8): Uma sucessão tem o limite e escrevemos , se podemos fazer os
termos da sucessão tão perto de L quanto se queira ao se fazer suficientemente grande.

Uma versão mais precisa da definição (8) é a seguinte:
Definição (9): Diz-se que a sucessão real converge para o número real ou que é o limite
da sucessão ao tender para o infinito, e escreve-se , quando a todo o
corresponde um natural tal que, para todos os termos de ordem se tenha

.
Consideremos, por exemplo, a sucessão real representada graficamente:
14
Todos os pontos do gráfico de sucessão real estão entre as rectas horizontais e
se , isto é, existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão
são valores aproximados de a menos de . Não importa quão pequeno seja escolhido, mas
geralmente quanto mais pequeno é maior é o valor de .
Simbolicamente escreve-se:
16. Considere a sucessão de termo geral .
a) Verifique se é termo da sucessão.
Resolução
Então, não existe um número imteiro positivo (uma ordem) para o qual .
Logo não é termo da sucessão.
b) Faça o estudo da monotonia da sucessão.

Resolução
15
, então a sucessão é
monótona decrescente.
c) Prove, a partir da definição de limite de uma sucessão, que .
Resolução
Dado arbitrário, escolhe-se para o primeiro número natural maior do que .
d) A partir de que ordem todos os termos da sucessão são valores aproximados de a menos de
?
Resolução
. A partir 32520 termo, todos os termos da sucessão são
valores aproximados de a menos de .
17. Considere a sucessão de termo geral .
a) Verifique se é termo da sucessão.
Resolução
Se for um número ímpar vem:
Então, não existe um número natural ímpar (uma ordem ímpar) para o qual .
Se for um número par tem-se:
16
, então, existe um número natural par (uma ordem par) para
o qual . Logo é termo da sucessão.
b) Faça o estudo da monotonia da sucessão.

Resolução
então não é nem crescente nem decrescente.
c) Prove, a partir da definição de uma sucessão, que .
Resolução
Dado arbitrário, escolhe-se para o primeiro número natural maior do que .
d) A partir de que ordem todos os termos da sucessão são valores aproximados de a menos de
?
Resolução
. A partir 3000 termo, todos os termos da sucessão são valores
aproximados de a menos de .
18. Mostre, a partir da definição de limite de uma sucessão que, não é verdade que:
17
a)
Resolução
Ora para que é necessário que os termos desta fracção sejam do mesmo
sinal, isto é,
Assim somente para . No entanto, esta conclusão leva a uma
inconsistência!, pois isto não acontece para todo como é requerido pela definição. Ademais,
só faz sentido pensar em valores muito pequenos de .
b)
Resolução
. Uma inconsistência! Não se consegue .O
resultado a que se chega é absurdo.
2.2. Classificação das sucessões
Quanto à natureza e existência do limite, as sucessões classificam-se:
Definição (10): Uma sucessão diz-se convergente se possui limite finito, isto é, ,
Definição (11): Uma sucessão diz-se divergente infinita se com
Definição (12): Uma sucessão diz-se divergente oscilante se possui pelo menos duas
subsucessoões com limites diferentes.
2.3. Operações com sucessões convergentes
Se e são sucessões reais convergentes e , então:
18
a) b)
c) , com d) , com
e) f)
g) h) .
Teorema (4) (do limite da média aritmética):
Se , então ( finito ou infinito).
Teorema (5) (do limite da média geométrica):
Se e (finito ou infinito) então .
Teorema (6): Em cada um dos casos seguintes, sempre que o segundo limite existe o primeiro
também existe e tem o mesmo valor (o recíproco não é verdadeiro).
a) b) c)
19. Calcule os seguintes limites:
a)
Resolução
Resolução
b)
Resolução
19
c)
Resolução
d)
Resolução
e)
Resolução
f)
Resolução
10 Processo
Tendo em conta que o numerador é composto por uma soma de termos sucessivos de uma
progressão aritmética, .
20
Seja
então , donde:
20 Processo
Seja então
, donde:
21
g)
Resolução
Seja , logo . Como , então:
2.4. Limites notáveis
a) , se . O valor de é aproximadamente:
= 2,7182818284…
b) , se
c) , se
d) , se
e) , se
Teorema (7): Se e então .
20. Calcule os limites
22
a)
Resolução
10 processo
20 processo
b)
Resolução
c)
Resolução
Seja . Então .
23
d)
Resolução
e)
Resolução
10 processo
20 processo
24
f)
Resolução
3. Operações financeiras
3.1. Conceitos básicos
3.1.1. Percentagem
A expressão por cento, que costuma ser usada na linguagem comum, e é indicada pelo símbolo
%, pode ser entendida com o mesmo significado de centésimo.
Uma percentagem representa uma razão de consequente (denominador) 100, isto é .
Assim, quando se diz que dos 80 milhões de habitantes adultos de um certo país, 30% são
analfabetos, significa que os analfabetos representam uma fracção igual a do total dos
habitantes adultos, o que corresponde a 24 milhões dos habitantes. De facto, 30% de 80 é:
25
21. Um quilograma de arroz sofreu dois aumentos de preço. O primeiro aumento foi de 20% e o
segundo de 25%. O preço final ficou em 126 meticais.
Qual era o preço inicial do quilograma de arroz, antes daqueles aumentos?
Resolução
Seja o preço inicial antes daqueles aumentos. Então:
Resposta: O preço inicial antes daqueles aumentos era de 84 meticais o quilograma.

22. O preço de um quilograma de carne de vaca sofreu um acréscimo com a inflação, passando
de 180 meticais para 207 meticais.
Qual é a taxa de aumento que sofreu o preço do quilograma de carne de vaca?
Resolução
Seja a taxa de aumento, o prerço antes da inflação e o acréscimo com a inflação.
Resposta: A taxa de aumento que o preço do quilograma de carne de vaca sofreu foi de 25%.
23. Um parque de alfaias agrícolas recebeu uma charrua cujo valor era de 600 mil meticais.
No dia seguinte recebeu indicação para aumentar o custo da charrua em 8%. Como a charrua não
foi vendida no prazo previsto, recebeu de novo uma instrução para baixar o seu preço em 8%.
Quanto custa, agora, a charrua?
Resolução
Seja o preço actual da charrua
Resposta: O preço actual da charrua é de 596160,00 meticais.

3.1.2. Capital
Qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa
operação financeira, recebe o nome de capital, valor actual ou valor presente. A notação que será
26
usada para indicar o capital será (inicais de present value, equivalente a valor presente na
língua inglesa).
3.1.3. Juros
O capital é um factor de produção e, como tal, é remunerado. Assim, à semelhança do trabalho
que é remunerado com o salário, da capacidade administrativa que é remunerada com o lucro,
das artes e cultura que são remunerados com os direitos autorais, o capital é remunerado com
juros. Os juros são, portanto, o custo do capital durante determinado período de tempo. A
notação que será usada para indicar os juros será .
3.1.4. Taxa de juros
A unidade de medida de juros é chamada taxa de juros ou simplesmente taxa. A taxa
corresponde à remuneração paga pelo uso, durante determinado período de tempo, de uma
unidade de capital. A taxa será indicada por (inicial de interest equivalente a juros na língua
inglesa).
Assim, .
A fixação da taxa de juros leva em conta, além do lucro do possuidor do capital que quer ser
remunerado pela privação do uso imediato do seu dinheiro, também pelo risco de perda no caso
do não pagamento do empréstimo, as despesas decorrentes de eventuais contratos ou cobranças e
a desvalorização do próprio capital que, em épocas de inflação, perde o seu valor aquisitivo.
24. O capital de 50 mil meticais ficou aplicado durante seis meses e rendeu 3 mil meticais de
juros. A que taxa esteve sujeito?
Resolução
Resposta: O capital esteve aplicado a 6% ao semestre.

25. O capital de 200 mil meticais foi aplicado por 60 dias à taxa de 14,5% no período. Quais os
juros produzidos por esse investimento?
Resolução
Resposta: O capital produziu 29 mil meticais de juros.

27
3.1.5. Montante
Quando um investidor aplica um capital por certo tempo a determinada taxa, no final desse
período de tempo tem à sua disposição não só o valor inicial (valor presente ou capital) aplicado,
mas também os juros que lhe são devidos. Esse total, soma de capital e juros, é chamado de
montante.
O montante pode, então, ser considerado como o valor final do capital aplicado, sendo também
chamado de valor futuro.
Será indicado por (iniciais de future value, equivalente a valor futuro na língua inglesa).
Assim, .
A taxa para todo o período de aplicação também pode ser calculada a partir do montante, pois
.
Sendo , vem .
26. Um capital de 150 mil meticais esteve aplicado durante um trimestre e rendeu 49500,00 Mt
de juros.
a) Qual o montante final?
Resolução
Resposta: O montante final foi de 199500,00 Mt.

b) A que taxa o referido capital esteve aplicado neste período?
Resolução
10 processo
20 processo
Resposta: O capital esteve aplicado a uma taxa de 33%.

27. O valor do equipamento A, adquirido por 10 milhões de meticais, sofre uma amortização de
5% após o primeiro ano de uso e 6% após o segundo ano de uso. O valor do equipamento B,
28
adquirido no mesmo dia em que o equipamento A foi adquirido, sofre uma depreciação de 7%
após o primeiro ano de uso e 9% após o segundo ano de uso.
Calcule o valor de aquisição do equipamento B, sabendo que, após 2 anos da aquisição e uso dos
dois equipamentos, os seus valores, já depreciados, são iguais.
Resolução
Equipamento A Equipamento B
Va
V1
V2
Onde:
Va é o valor de aquisição.
V1 é o Valor depois da 1a amortização.
V2 é o Valor depois da 2a amortização.
Do enunciado informou-se que os equipamentos A e B, após a segunda amortizaação, terão
mesmo valor. Portanto,
Resposta: o valor de aquisição do equipamento B é de, aproximadamente, 10 551 813,78 MT.

3.2. Regimes de capitalização
A operação de adição de juros ao capital, tem o nome de capitalização.
Existem dois regimes de capitalização: o regime de capitalização simples e o regime de
capitalização composta.
3.2.1. Capitalização simples (Capitalização a juros simples)
O regime de capitalização simples ou de capitalização a juros simples, consiste em adicionar os
juros ao capital uma única vez, no fim do prazo contratado. Os juros para o período do contrato
são calculados como , onde é o capital aplicado e a taxa de juros para o período.
Se ficar aplicado por períodos iguais, os juros para cada um desses períodos também serão
iguais. . Os juros totais para os períodos serão .
Por definição, o montante é a soma do capital aos juros. Assim:
.
(Nos seguintes problemas, considere a capitalização a juros simples)
29
28. Quais os juros de um capital de 185 mil meticais aplicado a 6,5% mensais, durante 12 meses?
Resolução
Resposta: Os juros são de 144300,00 Mt.

29. Qual é o capital que, aplicado à taxa de 45% semestrais durante quatro semestres, rendeu
2250 mil meticais de juros?
Resolução
Resposta: O capital aplicado é de 1250 mil meticais.

30. A que taxa mensal um capital no valor de 980 mil meticais aplicado durante três meses
rendeu 249900,00 Mt de juros?
Resolução
Resposta: O capital foi aplicado a 8,5% mensais.

31. Durante quanto tempo um capital de um milhão de meticais ficou aplicado a 25% trimestrais
para render 1750 mil meticais de juros?
Resolução
Resposta: O capital ficou aplicado durante sete trimestres ou seja, um ano e nove meses.
32. Um artigo de preço à vista igual a 700 meticais pode ser adquirido com entrada de 20% mais
um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% ao mês, qual o valor do
pagamento devido?
Resolução
Valor pago à entrada:
Duração do empréstimo: meses
30
Taxa de juros:
Pede-se:
Resposta: O o valor do pagamento devido é de 627,20 MT.

33. Um capital colocado à taxa de juro de 9% durante um certo prazo produziu o capital
acumulado de 17 400 meticais. Colocado a 10% durante esse prazo menos um ano, esse mesmo
capital daria origem a 4800 meticais de juros.
Determine o capital e a duração da primeira aplicação em regime de juros simples.
Resolução
Primeira aplicação:
Segunda aplicação:
Resposta: O prazo de aplicação é de 5 anos; o capital que foi colocado na primeira aplicação foi
de 12 000 meticais.
34. Qual o capital que aplicado à taxa de 117,6% anuais, durante cinco meses, deu um retorno de
161665,00 Mt?
Resolução
5 meses correspondem a anos.
Resposta: O capital é de 108500,00 Mt.

3.2.2. Capitalização composta (Capitalização a juros compostos)
No regime de capitalização composta ou a juros compostos, é contratado o período de
capitalização.
31
Se o prazo total em que é feito o investimento tiver vários desses períodos, no final de cada
período os juros serão capitalizados e o montante assim constituido passará a render juros
durante o período seguinte.
Assim, se um capital for aplicado a juros compostos a uma taxa dada, para um certo
período, os montantes consecutivos no fim de cada um dos períodos em que o capital ficar
aplicado serão, respectivamente:
Generalizando, tem-se:
O montante no fim dos períodos, chamado apenas , será .

Observe que a diferença entre o regime de capitalização a juros simples e o regime de
capitalização a juros compostos é exponencial, pois, com o decorrer do tempo, o “coeficiente
angular” dos juros compostos aumenta cada vez mais, enquanto que o valor dos juros simples
permanece o mesmo até o final da operação. O gráfico traz uma comparação entre ambos os
regimes de capitalização.
Pelo gráfico tem-se que:

• Para : Capitalização Composta > Capitalização Simples;
• Para : Capitalização Composta < Capitalização Simples;
• Para : Capitalização Composta = Capitalização Simples.
Nota: Nos problemas de capitalização tomaremos o ano comercial que tem 360 dias e o mês de
30 dias indistintamente.
32
35. Qual o montante produzido por um capital de 250 mil meticais que ficou aplicado durante
um ano e dois meses à taxa de 7,5% mensais, de juros compostos?
Resolução
Resposta: O montante é de 688111,01 Mt.

36. Qual é o capital que, aplicado a 8,2% mensais, durante seis meses, rende juros compostos de
75573,51 Mt?
Resolução
Resposta: O capital aplicado é de 125000,00 Mt.

37. Um investidor aplicou 320 mil meticais que lhe proporcionarão um resgate de 397535,00 Mt
após 90 dias de aplicação. A que taxa mensal de juros compostos está aplicado o seu capital?
Resolução
Resposta: O capital está aplicado a 7,5%.

38. Se a inflação mensal está em torno de 7%, em quanto tempo uma mercadoria que custa 15
mil meticas atingirá o preço de 26670 meticais?
Resolução
Resposta: A mercadoria atingirá esse preço em oito meses e meio.

39. Uma pessoa tinha um capital de 11 000 000 meticais e o empregou na compra de um
apartamento que ficou dois meses fechado, dando uma despesa de 21 300,00 Mt por mês. A
33
partir do início do terceiro mês, conseguiu arrendá-lo por 80 mil meticais pagos no início de cada
mês. Um ano após a compra, vendeu-o para o inquilino por 30 000 mil meticais, isentos de
impostos.
Teria feito melhor negócio se tivesse aplicado o seu capital, a juros compostos, durante esse ano
a 8,8% de juros mensais?
Resolução
Rendimentos da aplicação do capital na compra e arrendamento do apartamento
Rendimentos da aplicação do capital a juros compostos
. Portanto, não teria feito bom negócio se tivesse aplicado o seu capital, a juros
compostos.
40. Um capital aplicado em regime de juros compostos à taxa de juro de 10% produziu ao fim do
50 ano um valor acumulado de 1 610 510,00 Mt.
Determine:
a) O capital inicial.
Resolução
Pede-se:
Resposta: O capital inicial é de 1 000 000,00 meticais.

b) O juro do quarto ano.
Resolução
Pede-se:
34
Resposta: O juro do quarto ano é de 133 100,00 Mt.
c) O juro dos quatro primeiros anos.
Resolução
Resposta: O juro dos quarto primeiros anos é de 464 100 meticais

3.2.3. Valor presente líquido
O Valor Presente Líquido, que será indicado por (iniciais de Net Present Value,
equivalente a valor presente líquido na língua inglesa). é a diferença entre o valor presente
e o capital a investir . Assim, .
Se , o investimento é viável;
Se , o investimento não é viável.
41. Uma indústria pretende adquirir equipamentos no valor de 55000 milhares de meticais, que
deverão proporcionar receitas líquidas a partir de 2018 conforme tabela a seguir:
Receita líquida
Ano (em milhares de meticais)
2018 15500
2019 18800
2020 17200
2021 17200
2022 17200
2023 13500
Sabendo-se que o valor de revenda dos equipamentos no ano 2023 é estimado em 9000 milhares
de meticais, analisar se o investimento planificado é rentável se:
a) a taxa de retorno esperada é igual a 21% ano.
35
Resolução
Investimento inicial :
Receitas: , , ; no sexto ano a receita será
, pois teremos 13500 do ano mais o preço de revenda 9000.
Teremos então:
para uma taxa de juros anuais
Substituindo na fórmula do vem:
Ora, como o Valor Presente Líquido, , é um valor positivo, infere-se que o investimento é
rentável e poderá ser feito, pois a taxa efectiva de retorno será certamente superior aos 21% ao
ano esperados pela indústria.
b) a taxa de retorno esperada é igual a 25% ano.
Resolução
para uma taxa de juros anuais
Substituindo na fórmula do vem:
Como o Valor Presente Líquido é negativo, o investimento não seria rentável pois neste caso, a
taxa efectiva de retorno seria menor do que os 25 % anuais esperados pela indústria.
36
Problemas propostos (1)
1. Escreva os primeiros cinco termos das sucessões de termo geral:
a) b)
c) d)
2. Determine o termo geral das seguintes sucessões, assumindo que o padrão dos primeiros
termos continua.
b)
a)
c) d)
f)
e)
3. Considere as sucessões de termo geral,
a) b)
c) d)
e determine , , e
4. Dada a sucessão de termo geral .
a) Determine o termo de ordem 1 e o de ordem 10.
b) Averigue se é termo da sucessão.
c) Prove que .
5. Estude a monotonia da sucessão de termo geral.
a) b) a) c)
6. Prove que a sucessão de termo geral é monótona crescente.
7. Prove que a sucessão de termo geral é monótona decrescente.
37
8. Mostre que as seguintes sucessões não são monótonas
b)
a)
9. Dada a sucessão
a) Mostre que é termo da sucessão.
b) Verifique se a sucessão tem algum termo nulo.
c) Mostre que a sucessão é decrescente
d) Determine o maior termo da sucessão.
10. Para todo natural não nulo, sejam as sucessões:
com , determine .
11. A sucessão é uma progressão aritimética de razão , onde,
entre 2 e 50, foram colocados termos.

Determine o valor de .
12. Considere uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1o termo é igual a 5.
Determine o décimo termo, sabendo que a soma de todos os termos dessa progressão aritmética é
480.
13. Numa progressão aritmética, de termo geral , e .
Determine o termo de ordem 20 da progressão.
14. Se dividirmos o décimo primeiro termo de uma progressão aritmética pelo seu terceiro termo,
obtemos 4, enquanto, se dividirmos o nono termo dessa progressão pelo seu quarto termo,
obtemos 2 e o resto 4.
Determine a soma dos 20 primeiros termos dessa progressão.
15. As raízes da equação , colocadas em ordem crescente, são os termos
iniciais de uma progressão aritmética.
Determine a soma dos 10 primeiros da progressão.
16. Seja a função natural de variável natural definida por .
38
Determine a soma .
17. Resolva a equação .
18. Dadas as progressões aritméticas e .
Determine o número de termos de cada uma das progressões para que as somas dos primeiros
termos sejam iguais.
19. Numa progressão aritmética de 17 termos, e .
Determine a soma de todos os termos da progressão.
20. e são, respectivamente, as somas dos três e quatro primeiros termos de uma
progressão aritmética.
Determine a soma dos cinco primeiros termos da progressão.
21. Uma criança anémica pesava 8,3 kg.
Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses de
quatro semanas cada mês.
Quanto pesava ao término da 15a semana de tratamento?
22. Um agricultor estava a perder a sua plantação, em virtude da acção de uma praga. Ao
consultar um extensionista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma
determinada quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira:
primeiro dia: 1,0 litro;
segundo dia: 1,2 litros;
terceiro dia: 1,4 litros;
... e assim sucessivamente.
Sabendo-se que o total de produto utilizado para o extermínio da praga foi de 63 litros, determine
o número de dias de duração do tratamento nesta plantação.
23. Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na conta de poupança da sua
filha. Pretende começar com 5 meticais e aumentar 5 meticais por mês, ou seja, depositar 10
meticais no segundo mês, 15 meticais no terceiro mês e assim por diante.
Determine o valor acumulado na conta de poupança da sua filha após efectuar o décimo quinto
depósito.
24. Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, produzem, respectivamente, 3000 e 1100 pares
de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em
39
70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, em
que mês a produção da fábrica B superará a produção de A?
25. Observa a tabela que representa a produção e os preços praticados sobre a venda do algodão
pela empresa agrícola “Património Eterno”.
Património Eterno-2017
Produção Preços unitários de venda
(em toneladas) (em milhares de meticais)
Mês Maio Junho Julho Maio Junho Julho
Algodão 80 100 120 45 40 35
Se a variação ocorrida na produção e nos preços unitários das vendas de maio para julho for
estendido aos meses subsequentes, calcule:
a) a quantidade de algodão que será produzida em Dezembro de 2017.
b) a quantidade de algodão que será produzida de Maio a dezembro de 2017.
c) a produção mínima que satura o mercado (anula os preços de venda) e em que altura ocorre.
26. Uma Instituição do Ensino Superior disponibiliza, no seu Edital para os Exames de
Admissão, o número de vagas para os cursos de Contabilidade Pública e Contabilidade e
Auditoria, nos últimos três anos, indicados na tabela:
Número de vagas disponíveis
Ano Contabilidade Pública Contabilidade e Auditoria
2016 960 2070
2017 1200 2125
2018 1440 2180
Mantendo-se a mesma tendência de crescimento para o número de candidatos inscritos em cada
curso, em que ano a Instituição do Ensino Superior disponibilizará o mesmo número de vagas
nos dois Cursos.
27. Moedas idênticas de dois meticais foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo a
disposição apresentada na figura (uma moeda no centro e as restantes a formarem camadas
tangentes)
resultando na sequência .
40
Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, em meticais, do
total de moedas usadas nesta arrumação.
28. Determine o produto de potências de base 2 e expoentes sucessivos naturais
.
29. Sejam uma progressão geométrica e uma progressão aritmética cuja razão é da
razão da progressão geométrica .
Sabendo que e que calcule a soma .
30. Se a sucessão é formada por termos de uma progressão aritmética
alternados com os termos de uma progressão geométrica, calcule o produto do vigésimo pelo
trigésimo primeiro termo dessa sucessão.
31. Uma empresa, que teve no mês de novembro de 2017 uma receita de 300 mil meticais e uma
despesa de 350 mil meticais, tem perspectiva de aumentar mensalmente a sua receita segundo
uma progressão geométrica de razão e prevê que a despesa mensal crescerá segundo uma
progressão aritmética de razão igual a 55 mil meticais.

Neste caso, determine o primeiro mês em que a empresa começará a ter lucros.
32. A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 2 é 150.
Determine o 8° termo.
33. A poluição mais comum encontrada nos nossos rios é a causada pelo lixo que o homem neles
deposita. Produtos químicos e esgotos afectam os lençois de água que formam as nascentes. O
excesso de lixo funciona como um escudo para a luz do sol, afectando o ciclo biológico dos seres
vivos que o habitam, além de “roubar” o oxigênio das suas águas. Com o crescimento da
população e, consequentemente, de consumidores, uma indústria vem duplicando anualmente a
quantidade de litros de poluentes deitados num rio desde a sua inauguração. Sabe-se que, no ano
de 2030, ao que tudo indica (segundo a sucessão), ela deverá lançar no rio 819200 litros de
poluente.
Calcule a quantidade de poluentes, em litros, que essa indústria lançou nesse rio no ano do seu
surgimento em 2016.
41
34. Seja a sucessão de termo geral .
a) Calcule o primeiro termo.

b) Estude a monotonia da sucessão.
c) Prove que . O que se pode concluir da veracidade desta proposição?
d) Calcule a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são valores próximos de zero a
menos de uma milésima.
a) Calcule o décimo termo.

b) Estude a monotonia da sucessão.
c) Prove que . O que se pode concluir da veracidade desta proposição?
d) Calcule a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são valores próximos de 1 a
menos de 0,12.
36. Mostre, com base na definição de limite de uma sucessão, que:
a) b) c)
37. Mostre, recorrendo à definição de limite, que não é verdade que:
a) b)
a) Determine a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são positivos.
b) Calcule
39. Calcule os seguintes limites
a) b)
c) d)
e) f)
42
g) h)
i) j)
k) l)
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
u) v)
x) y)
w) z)
40. Calcule os seguintes limites
a) b)
c) d)
e) f)
h)
g)
43
i)
j)
l) m)
n) o)
p) q)
r) s)
t) u)
v)
41. Determine o número real , tal que
42. A venda de uma mercadoria que custou 612 meticais deu, ao vendedor, um lucro de 40%
sobre o preço de venda.
a) Qual era o preço de venda?
b) De quanto foi o lucro?
43. Um aumento salarial de 15% é seguido de outro de 20%.
Qual foi o efeito dos dois aumentos?
44. No combate à cólera, a higiene é muito importante.
O Ministério da Saúde recomenda que se faça limpeza com solução de água com Javel.
A solução recomendada é de 25% do litro de Javel em cada 5 litros de água.
Quantos litros de Javel é necessário acrescentar a cada tanque de 1000 litros de água?
45. No ano passado, o volume de vendas de uma determinada empresa diminuiu em 20%.
Se este ano houver outra diminuição de 20%, qual será a percentagem da redução das vendas nos
dois anos consecutivos?
44
46. Na época de saldos, a Liliana foi comprar um casaco que custava 1200 meticais, mas tinha
15% de desconto.
Quanto a Liliana pagou pelo casaco?
47. Um relógio custa 2457 meticais. No custo está incluido o Imposto sobre o Valor
Acrescentado (IVA), que é de 17% sobre o valor inicial.
a) Qual é o custo do relógio sem IVA?
b) Qual é o valor do IVA?
48. A Ana ganhava 6 020 meticais por mês e passou a ganhar 6321 meticais.
Qual foi a percentagem de aumento do ordenado?
49. Um investidor dispõe de 3 000 000 de meticais para investimentos. Se aplicar 1 000 000 de
meticais num investimento que paga de juros mensal e o restante do montante o aplicar num
outro investimento que paga o dobro do primeiro, que condições deve ter a taxa de juros para
que o investidor obtenha ganhos maiores que 90 000 meticais?
50. Qual o juro produzido por 60 000,00 Mt emprestados à taxa de juro anual de 10%, durante 3
nos e 2 meses em regime de juros simples?
51. Qual a taxa mensal de juros simples necessária para um capital quadruplicar em um ano?
52. Durante quantos dias esteve emprestado o capital de 17 000, 00 Mt o qual vencia juros à taxa
de 8% ao ano, sabendo que produziu um juro acumulado de 680,00 Mt, em regime de juros
simples?
53. Qual foi o capital que se investiu durante 150 dias, à taxa de juro de 5% ao ano, sabendo que
originou um capital acumulado de 22 350,00 Mt, em regime de juros simples?
54. A quantia de 90 000,00 Mt foi investeda à taxa de juro de 10% ao ano, durante um certo
número de meses. Na data de vencimento o capital acumulado foi reinvestido à taxa de juro de
14% ao ano, pelo prazo de 9 meses, após o qual se obteve a importância de 101 936,25 Mt.
Qual é o tempo de aplicação e qual é o capital acumulado do primeiro investimento em regime
de juros simples?
55. Um pescador, pretende aumentar a sua produção de peixe seguindo esta tabela de vendas
mensais que o seu filho o ajudou a montar:
Mês Massa de peixe para venda
Janeiro 800 quilogramas 400 000
Fevereiro 900 quilogramas 450 000
Março 1 000 quilogramas 500 000
45
Abril 1 100 quilogramas 550 000
E assim sucessivamente…
Tendo um lucro de 500 meticais por quilograma de peixe que vende na peixaria “Peixe Daki”,
quanto tempo o referido pescador poderá ter aproximadamente 50 milhões de meticais para
comprar um novo barco de pesca, supondo períodos sem inflação, ou seja, em que não haverá
variação no preço do peixe?
56. Um capital colocado à taxa de juro de 9% durante um certo prazo produziu o capital
acumulado de 17 400 meticais. Colocado a 10% durante esse prazo menos um ano, esse mesmo
capital daria origem a 4 800 meticais de juros.
Determine o capital e a duração da primeira aplicação em regime de juros simples.
57. Num banco, no início do ano 2000, foram depositados 2 milhões de meticais. O banco paga
4% de juros anualmente. Que valor será acumulado na conta no início do ano 2006?
a) Supondo que o capital foi investido no regime de juros simples. Exprima em percentagem o
crescimento total.
b) Supondo que o capital foi investido no regime de juros compostos. Exprima em percentagem
o crescimento total.
58. Sabendo que ao fim de 1 ano um certo capital valia 125 milhões de meticais e ao fim de 3
anos 180 milhões de meticais, determine o capital inicial e a taxa de juro anual, em regime de
juros compostos.
59. Um equipamento cujo preço de compra foi de 500 000 meticais sofre uma depreciação anual
de 10% sobre o seu valor actual (valor que tem em cada ano).
a) Calcule a depreciação do equipamento nos primeiros 4 anos.
b) Deduza a fórmula que traduz a depreciação total do equipamento passados anos.
c) Qual será o valor do equipamento passados cinco anos?
60. Considere dois projectos A e B cujo capital inicial e retorno de cada projecto no fim de cada
ano, durante 4 anos, estão representados na tabela
Projecto A Projecto B
Capital inicial 80000 100000
Retorno do 10 ano 25000 30000
46
Considerando a taxa anual de 6%, qual dos dois projectos apresenta melhor viabilidade?
Justifique a resposta.
61. Considere dois projectos A e B cujo capital inicial e retorno de cada projecto no fim de cada
ano, durante 4 anos, estão representados na tabela
Projecto A Projecto B
Capital inicial 90000 40000
0
0
Considerando a taxa anual de 9%, qual dos dois projectos apresenta melhor viabilidade?
Justifique a resposta.
Soluções dos Problemas propostos (1)
1. a)
b)
d)
c)
b)
2. a)
c) d)
f)
e)
3. a) ; ; ;
b) ; ; ;
c) ; ; ;
d) ; ; ;
b) É termo de ordem 15.

4. a) ;
5. a) Monótona decrescente b) Monótona crescente
47
c) Monótona crescente 9. b) Tem; o termo de ordem 13
d) 8 10.
11. 12. 23
13. 38 14. 610
15. 100 16. 500500
17. 18.
19. 85 20.
21. 10,55 Kg 22. 21
23. 600,00Mt 24. Outubro
25. a) 220 t b) 1200 t
c) 260 t, em Fevereiro de 2018 26. 2022
27. 1262,00 Mt 28.
29. 77
30.
31.Fevereiro de 2018 32. 10

33. 50 litros.
34. a)
b) Monótona decrescente d) a partir do 990 termo

b) Monótona crescente
35. a)
d) a partir do 300 termo 38. a) a partir do 180 termo

b) 0 39. a) Divergente
b) c)
d) 103 e) Divergente oscilante
f) 0 g) Divergente oscilante
h) i) Divergente oscilante
k) 3
j)
l) 0 m) 0
n) 2 o) 1
p) 0 q) Divergente
48
r) Divergente
s)
t) 2 u) 1
x) Divergente
v)
y) 0
w)
z) 40. a)
b) 0
c)
d) 1 e) 1
f) g) 1
h) 0 i) 6
j) 0 l) 1
n) 3
m)
o) 1 p) 1
q)
r)
s) 1 t) 1
u) 0 v) 2
41. 42. a) 1020,00 Mt
b) 408,00 Mt 43. 38%
44. 50 litros 45. 36%
46. 1020,00 Mt 47.a) 2100,00 Mt
b) 357,00 Mt 48. 5%
49. 50. 19 000,00 Mt
51. 25% 52. 180 dias
53. a) 21 893,88 Mt b) 3,65%
54. Tempo de plicação 1 ano. Capital acumulado do primeiro investimento é de 92 250,00 Mt.
55. 3 anos e 2 meses.
56.a) 5 anos b) anos; Mt
57.a) 2480000,00 Mt; 24% b) 2530638,04 Mt; 26,5%
49
58. 104166667,00 Mt; 20%
59.a) 1° ano: 2° ano:
3° ano: 4°ano:
b) c) 295245,00 Mt
60. O projecto B apresenta melhor viabilidade pois o seu Valor Presente Líquido, ,
apresenta maior valor.
61. O projecto A apresenta melhor viabilidade pois o seu Valor Presente Líquido, ,
apresenta maior valor.
50

I. SucessÃ o NumÃ© Rica. Limite de Uma SucessÃ o

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I. Sucessão Numérica.

Limite de uma Sucessão

Notação: A sucessão é denotada por .

A sucessão dos números pares é uma subsucessão de .

a) Calcule os primeiros quatro termos da sucessão.

1.2. Observe-se que . Então:

2. Considere a sucessão de termo geral

a) Calcule os primeiros quatro termos da sucessão.

b) Escreva o termo de ordem .

ão 0,51 é termo da sucessão.

3. Determine o termo geral da sucessão .

É nos dado que ; ; ; ;

4. Represente graficamente a sucessão de termo geral .

A imagem gráfica de uma sucessão é um conjunto de pontos discretos (soltos)!

1.2. Sucessões monótonas

a sucessão é monótona decrescente.

, a sucessão é monótona crescente.

6. Prove que a sucessão de termo geral é monótona decrescente.

É óbvio que para todo , é uma proposição verdadeira. Portanto, , para

a) Mostre que é verdadeira a proposição .

Portanto a proposição é verdadeira.

1.3.2. Soma dos primeiros termos consecutivos

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Como do Teorema (1), , vem:

; expressão da soma dos primeiros

termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Seja , uma progressão aritmética.

Resposta: O valor residual da alfaia agrícola é de 127500,00 meticais.

Como é o termo de ordem 4 vem:

10. Seja uma progressão aritmética.

11. Um parque de estacionamento cobra 15 meticais pela primeira hora.

Resposta: O tempo mínimo de que faz uso do parque foi de 4 horas.

, ; onde é uma constante. Ao número dá-se o nome de razão

1.4.2. Soma dos primeiros termos consecutivos

é a expressão da soma dos primeiros termos consecutivos de uma

Seja , uma progressão geométrica de

termos positivos, cujo termo geral é .

Resposta: O primeiro termo da progressão é e a razão é .

13. Torne irredutível a fracção , sabendo que é um número real maior

Dividindo as equações do sistema, membro a membro, tem-se:

Determine a altura, em metros, da pilha, ao final de 9 dessas operações

Seja a sucessão de termo geral cujo gráfico é

se aproximando de 1 quando se torna grande. De facto,

Em geral, a notação , significa que os termos da sucessão aproximam-se de

quando torna-se grande.

Definição (8): Uma sucessão tem o limite e escrevemos , se podemos fazer os

termos da sucessão tão perto de L quanto se queira ao se fazer suficientemente grande.

da sucessão ao tender para o infinito, e escreve-se , quando a todo o

corresponde um natural tal que, para todos os termos de ordem se tenha

16. Considere a sucessão de termo geral .

a) Verifique se é termo da sucessão.

Logo não é termo da sucessão.

b) Faça o estudo da monotonia da sucessão.

c) Prove, a partir da definição de limite de uma sucessão, que .

Dado arbitrário, escolhe-se para o primeiro número natural maior do que .

. A partir 32520 termo, todos os termos da sucessão são

valores aproximados de a menos de .

17. Considere a sucessão de termo geral .

a) Verifique se é termo da sucessão.