Mat B 10 - VF

APRENDIZAGENS ESSENCIAIS | ARTICULAÇÃO COM O PERFIL DOS ALUNOS JANEIRO 2023
10.º ANO | ENSINO SECUNDÁRIO
Matemática B
(Matemática Aplicada às Artes Visuais)
INTRODUÇÃO
Este documento curricular apresenta as Aprendizagens Essenciais de Matemática a que os alunos do Ensino Secundário, na
disciplina de Matemática B, devem ter acesso, em articulação com o Ensino Básico e enquadradas no Perfil dos Alunos à Saída
da Escolaridade Obrigatória. Foi elaborado por uma equipa pluridisciplinar, composta por especialistas em Matemática e em
Didática da Matemática e por professores experientes nas diferentes vertentes curriculares do Ensino Secundário: Jaime
Carvalho e Silva (Coordenador), Alexandra Rodrigues, António Domingos, Carlos Albuquerque, Cristina Cruchinho, Helder
Martins, João Almiro, Luís Gabriel, Maria Eugénia Graça Martins, Maria Teresa Santos, Nélida Filipe, Paulo Correia, Rui Gonçalo
Espadeiro e Susana Carreira.
APRENDIZAGENS ESSENCIAIS | ARTICULAÇÃO COM O PERFIL DOS ALUNOS 10.º ANO | SECUNDÁRIO |Matemática B
1. Matemática Escolar Orientada para o Futuro
A formação de indivíduos matematicamente competentes é um propósito fundamental do currículo de Matemática para o

Ensino Secundário. A sociedade e o mundo contemporâneos, marcados pela globalização, pela crescente digitalização,
conectividade e automatização, e por uma aceleração do desenvolvimento tecnológico, enfrentam desafios nos quais o
conhecimento matemático adquire um papel essencial, proporcionando conceitos, métodos, modelos e formas de pensar. Esse
poder matemático deve ser parte integrante da educação de todos os cidadãos, incluindo conhecimentos e capacidades
necessários para a sua vida pessoal, social e profissional.
Empreender uma formação matemática, abrangente, relevante e inovadora, neste ciclo de escolaridade, significa desenvolver
nos alunos a capacidade de identificar conceitos matemáticos para resolver problemas reais, aplicar procedimentos
matemáticos adequados, e interpretar os resultados em contextos diversos. O raciocínio matemático está na base dos
processos de compreensão dos conceitos e objetos matemáticos, que podem e devem ser analisados, representados e
relacionados de diferentes formas. São igualmente importantes a formulação de hipóteses, a testagem de conjeturas, a
generalização e a abstração, na construção de argumentos lógicos e conclusões, cuja comunicação de forma apropriada é cada
vez mais importante no mundo atual.
O currículo consagra o propósito de preparar os alunos para formularem juízos e tomarem decisões fundamentadas,
contribuindo para que se tornem cidadãos reflexivos, empenhados e participativos. Visa também contribuir para que os jovens
apreciem o papel da Matemática no mundo e o seu carácter de ciência em evolução e renovação permanente, apreciando a
sua dimensão estética a par do seu legado histórico.
Assim, o currículo de Matemática B orienta-se para o desenvolvimento de áreas de competências, à luz do que é preconizado
no Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória, nomeadamente no que se refere ao pensamento crítico aliado à
resolução de problemas, promovendo a criatividade e a comunicação, além de acentuar a pertinência do trabalho
colaborativo.
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2. Ideias Inovadoras do Currículo
● Matemática para a Cidadania
O reconhecimento do Ensino Secundário como um ciclo que é parte integrante da formação geral dos jovens, incluído na
escolaridade obrigatória, cria um contexto em que todas as disciplinas, incluindo a Matemática, devem contribuir para o
desenvolvimento dos alunos enquanto cidadãos ativos, conscientes, informados e interventivos.
A crescente relevância do papel da Matemática na sociedade atual realça a importância e a necessidade de dotar os alunos de
ferramentas matemáticas de análise dos processos sociais, que estão na base do exercício de uma cidadania ativa. Assim, estas
Aprendizagens Essenciais exploram modelos matemáticos de processos eleitorais e a análise matemática de modelos
financeiros e valorizam o desenvolvimento da literacia estatística.
● Pensamento Computacional
Os aspetos comuns entre o Pensamento Matemático e o Pensamento Computacional, bem como a relevância atual do
Pensamento Computacional na ciência e na sociedade, justificam que o currículo de Matemática valorize esta abordagem
conceptual na resolução de problemas. As Aprendizagens Essenciais de Matemática B promovem o desenvolvimento de práticas
como a abstração, a decomposição, o reconhecimento de padrões, a análise e definição de algoritmos, bem como a aquisição
de hábitos de depuração e otimização dos processos envolvidos na atividade matemática. Deste modo, a aposta no Pensamento
Computacional revela a aproximação do currículo às recomendações internacionais, designadamente em relatórios da União
Europeia, e também o alinhamento com o currículo de Matemática do Ensino Básico, favorecendo o desenvolvimento desta
capacidade de forma integrada, coerente e progressiva.
● Diversificação de temas no currículo
Para além do desenvolvimento de competências no âmbito da cidadania, pretende-se continuar a disponibilizar aos alunos um
conjunto variado de ferramentas matemáticas. Assim, aposta-se na diversificação de temas matemáticos e nas abordagens de
cada tema, valorizando o recurso à tecnologia, e a inclusão de temas com pouca tradição no ensino secundário em Portugal,
com diferentes graus de aprofundamento. Desta forma, pretende-se dotar os alunos de competências de índole científica que
permitam sustentar diferentes percursos académicos e profissionais.
● Papel central da Geometria
O Curso de Artes Visuais dos cursos científico-humanísticos do ensino secundário necessita de uma disciplina de Matemática
especialmente desenhada tendo em vista esse curso. Neste contexto, a área da Geometria deve desempenhar um papel muito
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importante. Com efeito, a Geometria está de tal modo presente na natureza, que a Arte frequentemente se sustenta na
Geometria para a descrever. Pareceria assim estranho que um artista não tivesse uma forte formação em Geometria, para
além do que é estudado no ensino básico. A abordagem da Geometria inclui assuntos elementares de geometria analítica e
sintética, padrões geométricos e trigonometria, com as competências de resolução de problemas métricos, com permanentes
preocupações de contextualização, indo assim ao encontro das motivações e interesses dos alunos e também do perfil dos
alunos dos Cursos de Artes Visuais.
● Aproximação aos Cursos Artísticos Especializados
Desde 2007 que os Cursos Artísticos Especializados possuem a sua própria disciplina de Matemática que, embora com menor
carga horária, tem vindo a proporcionar uma formação matemática adequada aos alunos das Escolas Artísticas Soares dos Reis
e António Arroio. Assim, as Aprendizagens Essenciais de Matemática B aproximam-se do programa dessa disciplina e
acrescentam alguns temas também relevantes para a formação dos alunos desta área.
● Aproximação aos Cursos Profissionais
As Aprendizagens Essenciais de Matemática B integram os seis módulos obrigatórios da disciplina de Matemática dos Cursos
Profissionais de 300 horas, possibilitando que, para efeitos de prosseguimento de estudos de nível superior, a prova de exame
para a Matemática B e da Matemática dos Cursos Profissionais, seja centrada nesses seis módulos obrigatórios e igual nas duas
disciplinas.
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3. Ideias chave das Aprendizagens Essenciais

As Aprendizagens Essenciais de Matemática no ensino secundário dão continuidade às aprendizagens do ensino básico e
assumem um conjunto de princípios e orientações metodológicas, cuja concretização e especificação é feita para cada ano de
escolaridade e tema matemático. A seguir, enunciam-se e apresentam-se as nove ideias-chave preconizadas nas Aprendizagens
Essenciais, esquematizadas na Figura 1:
Figura 1. Ideias chave das aprendizagens essenciais
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1) Resolução de problemas, modelação e conexões

Dar sentido à Matemática e enfatizar a modelação e as aplicações
A resolução de problemas, tal como a modelação, devem constituir o contexto para o estabelecimento de conexões entre
diferentes conceitos e áreas da matemática, assim como entre esta e outras áreas do saber, permitindo uma abordagem
integrada e significativa para os alunos na sua atividade matemática. É fundamental que os alunos tenham contacto com o
processo de modelação e sejam capazes de criticar, validar e aperfeiçoar modelos matemáticos. Preconizando a exploração de
ideias e conceitos matemáticos, pretende-se que a aprendizagem não se reduza à memorização de regras, treino de
procedimentos ou conhecimento de resultados ou à execução de procedimentos sem compreensão. É essencial que as
definições, os resultados e os procedimentos matemáticos adquiram sentido e que os alunos os saibam mobilizar e aplicar
adequadamente para resolver problemas do mundo real, em situações do dia a dia ou de outras disciplinas. Uma das áreas de
competências no Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória, fortemente ligada à Matemática - Raciocínio e
resolução de problemas - implica que os alunos sejam capazes de: i) interpretar informação, planear e conduzir pesquisas; ii)
gerir informações e tomar decisões; iii) desenvolver processos conducentes à construção de conhecimento, usando recursos
diversificados.
2) Raciocínio matemático
Incentivar processos de raciocínio dedutivo, integrando a lógica matemática nos diversos temas
O aluno deve ser sistematicamente incentivado a justificar processos de resolução, a encadear raciocínios e a testar
conjeturas. Os conceitos e métodos relativos à lógica matemática não constituem um tema específico das Aprendizagens
Essenciais, mas devem, de forma natural, ser integrados nos vários temas abordados. Noções elementares de Lógica podem e
devem ser introduzidas à medida que forem relevantes para a clarificação de processos e de raciocínios. Pretende-se, assim,
que o aluno adquira a capacidade de raciocinar dedutivamente e de forma autónoma, usando os princípios e a simbologia
inerentes à lógica matemática. O grau de formalização a utilizar deve ter sempre em conta o nível de maturidade matemática
dos alunos e deve surgir, se possível, como uma necessidade, garantindo que o processo de formalização acompanha a
apropriação dos conceitos. Diversos temas, como, por exemplo, Geometria, Funções e Probabilidade, em contexto de
resolução de problemas, podem constituir-se como excelentes oportunidades para desenvolver o raciocínio dedutivo.
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3) Recurso sistemático à tecnologia

Incentivar a exploração de ideias e conceitos, integrando a tecnologia como alavanca para a compreensão e
resolução de problemas.
A abordagem exploratória de ideias e conceitos matemáticos apresenta-se como determinante, o que pressupõe levar o aluno
a participar ativamente num processo de construção e aprofundamento, motivado por questões desafiadoras, problemas e
procura de justificações. A integração da tecnologia é considerada como indispensável nesse processo, pelas possibilidades que
oferece de experimentação, visualização, representação, simulação, interatividade, bem como, evidentemente, de cálculo
numérico e simbólico. O recurso a ambientes de geometria dinâmica (AGD), a folha de cálculo e a aplicativos digitais,
explorados em computadores, smartphones ou calculadora gráfica, deve ser feito de forma sistemática. As atividades de
programação devem ser integradas com uma complexidade progressiva, sendo relevantes para o desenvolvimento de processos
algorítmicos, de um pensamento estruturado e do raciocínio lógico, proporcionando um vasto campo de aplicação da
Matemática e envolvendo genuinamente a formulação e a resolução de problemas, além de promover o desenvolvimento do
pensamento computacional.
4) Tarefas e recursos educativos
Apoiar a aprendizagem em tarefas, contextos e recursos diversificados

A construção de tarefas de aprendizagem constitui uma das ações decisivas do professor. Uma tarefa matemática
enriquecedora pode assumir a forma de um problema, uma questão exploratória, um exercício de aplicação, um pequeno
projeto ou uma pesquisa de aprofundamento, sempre que observe os seguintes critérios: ser interessante e desafiante,
envolver matemática relevante, criar oportunidades para aplicar e ampliar conhecimentos, permitir diferentes estratégias,
tornar possível monitorizar a compreensão dos alunos e apoiar o seu progresso. As tarefas devem ser, ainda, diversificadas e
ajustadas aos objetivos de aprendizagem e a sua planificação deve prever diferentes tipos de organização do trabalho dos
alunos. A utilização de recursos variados, nomeadamente da tecnologia, bem como a diversificação de contextos de
aprendizagem, incluindo espaços fora da sala de aula, museus de ciência e outros, deverão merecer especial atenção na
construção de tarefas.
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5) História da Matemática
Valorizar a importância da Matemática na evolução da sociedade
O recurso a episódios e problemas marcantes da História da Matemática deve motivar pesquisas, estudos ou debates, não de
caráter enciclopédico, mas contribuindo para que o progresso da Matemática seja apreciado e compreendido. Para além do seu
valor intrínseco, enquanto património cultural que importa valorizar, existem numerosos factos, aspetos particulares e
episódios da História da Matemática que, pelo seu potencial pedagógico, devem ser explorados em tarefas dentro e fora da
sala de aula. Os professores devem aproveitar os factos contemporâneos da História da Matemática para levar os alunos a
entender o papel determinante da Matemática na sociedade atual. Por exemplo, podem ser referidas as primeiras Medalhas
Fields atribuídas a mulheres matemáticas, a importância dos modelos matemáticos para entender a crise climática, a evolução
das epidemias ou a exploração espacial.
6) Práticas enriquecedoras e criatividade
Inovar e investir em práticas enriquecedoras, favorecendo o desenvolvimento da criatividade e atitudes

positivas face à Matemática
O currículo integra propostas inovadoras, que incluem a realização de projetos ajustados às condições existentes e aos alunos.
É igualmente recomendado que os alunos se envolvam na resolução de questões e problemas autênticos em contextos de
interdisciplinaridade. A programação, tal como a modelação ou o trabalho de projeto, abrem inúmeras vias de trabalho
promissoras que não devem ser ignoradas. Também a beleza da matemática, a sua aplicabilidade e a história fascinante que
envolve a matemática são fortes motivos para inovar através de práticas de enriquecimento das aprendizagens. É importante
que os alunos experimentem o prazer da descoberta em matemática e que desenvolvam o gosto pelo desafio, pela procura de
soluções e pela sua comunicação. Dar aos alunos oportunidades de aprenderem matemática significativa contribui para que
desenvolvam atitudes positivas em relação à disciplina. Estimular a curiosidade, o interesse, a motivação e a criatividade é
essencial para que reconheçam a importância da Matemática na sua formação pessoal e académica e adquiram autoconfiança,
sentindo-se capazes de raciocinar e comunicar matematicamente. O contexto socioemocional que permeia a aprendizagem da
Matemática tem grande influência sobre a imagem que os jovens constroem da disciplina, sendo determinante na formação de
cidadãos críticos, reflexivos, que se sintam capazes de tomar decisões e de formular e resolver problemas de forma criativa e
eficiente.
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7) Organização do trabalho dos alunos

Valorizar o trabalho colaborativo num ambiente de entreajuda e corresponsabilização, cultivando
comunidades de aprendizagem
A valorização do trabalho colaborativo é assumida enquanto estratégia de aprendizagem e enquanto competência a
desenvolver nos jovens na sociedade atual. A colaboração é especialmente indicada em tarefas nas quais os alunos possam
discutir e definir abordagens e processos de resolução, confrontar ideias e contribuir para um objetivo comum. É também uma
forma de trabalho em que os alunos se devem apoiar mutuamente, envolvendo-se em processos matemáticos, argumentação e
comunicação, valorizando as competências individuais de cada um. Assim, o trabalho em pares e em pequenos grupos é
adequado em múltiplas situações de aprendizagem, desde a realização de tarefas curtas, passando por situações que envolvem
pesquisa, recolha de dados, modelação, até ao desenvolvimento de projetos.
8) Comunicação matemática
Comunicar recorrendo a representações múltiplas, com clareza e rigor e um nível de formalização adequado
A comunicação matemática, a par do raciocínio e do pensamento crítico, está presente quando os alunos interpretam gráficos,
esquemas, diagramas ou dados, justificam afirmações, utilizam diferentes representações, escrevem e criticam explicações e
argumentos matemáticos, com simbologia adequada e produzindo encadeamentos lógicos. Importa pôr em prática diversos
tipos de comunicação, dando espaço às discussões coletivas e em pequenos grupos, apresentações orais e/ou escritas,
elaboração de relatórios e composições, publicações e exposições, que são essenciais no processo de desenvolvimento de
conceitos ou processos matemáticos. A simbologia constitui um sistema de representação matemática robusto que deve ser
relacionado com outros modos de representação, tendo em vista a sua utilização oportuna, nomeadamente no âmbito da
comunicação matemática. A formalização de conceitos e resultados matemáticos é uma etapa importante da aprendizagem
que não se alcança por meio do excesso de manipulação simbólica ou pela prática de artifícios de cálculo demasiadamente
técnicos.
9) Avaliação para a aprendizagem

Privilegiar a avaliação formativa na regulação do processo de aprendizagem
A abordagem exploratória que se privilegia implica a integração da avaliação no processo de aprendizagem. É necessário que a
avaliação seja um processo e não um fim, e que esteja ao serviço da aprendizagem dos alunos de modo a favorecê-la. A
diversificação de formas e instrumentos de avaliação é uma das práticas de avaliação recomendadas. Constituem boas tarefas
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de avaliação formativa as resoluções detalhadas de tarefas, os relatórios e os cartazes. A produção de documentos de natureza
audiovisual é igualmente válida e apelativa, designadamente sob a forma de pequenos vídeos, criação de páginas e blogs,
tirando partido de ferramentas digitais. As partilhas de ideias e conclusões em sala de aula, bem como as apresentações orais,
constituem boas oportunidades para monitorizar e acompanhar o desenvolvimento das aprendizagens e identificar dificuldades
e obstáculos.
4. Operacionalização das Aprendizagens Essenciais

A disciplina de Matemática B destina-se aos alunos do Curso Científico-Humanístico de Artes Visuais, como disciplina bienal de
opção, ou a alunos de outros cursos que, nos termos da legislação aplicável, optem por um percurso formativo próprio.
Pretende-se que os alunos desenvolvam conhecimentos, capacidades e atitudes que lhes permitam adquirir um conjunto de
competências, tendo em vista a construção do Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória. Os temas a abordar são
Modelos Matemáticos para a Cidadania, Geometria, Trigonometria, Estatística, Probabilidade e Funções.
As Aprendizagens Essenciais do 10.º ano integram uma vertente de formação matemática para a cidadania, em consonância
com as restantes disciplinas de Matemática do Ensino Secundário. Esta vertente é concretizada nos temas Modelos
Matemáticos para a Cidadania e Estatística. Para além destes temas, no 10.º ano, os alunos estudam Geometria Analítica (no
plano e no espaço), Padrões Geométricos e Funções numa lógica de ampliar e aprofundar as abordagens do Ensino Básico.
No 11.º ano as Aprendizagens Essenciais integram os temas Taxa de Variação e Otimização, Geometria Sintética,
Probabilidade, Distâncias Inacessíveis e o tema Matemática e a Arte. A abordagem das funções considerará sempre estudos dos
diferentes pontos de vista: gráfico, numérico e algébrico, valorizando o recurso à tecnologia.
O trabalho de projeto assume uma dimensão relevante, surgindo explicitamente no 10.º ano e no 11.º ano. No 10.º ano são
apresentadas propostas de projetos nos temas Modelos Matemáticos para a Cidadania, Estatística e Geometria Analítica no
plano e no espaço, Funções e Padrões Geométricos. No 11.º ano são apresentadas propostas de projetos nos temas Distâncias
Inacessíveis e Geometria Sintética, podendo ser recuperado um trabalho de projeto do 10.º ano ou dada continuidade ao
mesmo. Em cada um destes anos deverá ser desenvolvido pelo menos um projeto em cada tema indicado, podendo em
alternativa ser desenvolvida outra proposta de trabalho de projeto em qualquer tema que o professor considere adequado.
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As Aprendizagens Essenciais relativas à Matemática B (Matemática Aplicada às Artes Visuais) dos Cursos Científico-Humanísticos
de Artes Visuais concretizam-se em dois documentos distintos. A organização das Aprendizagens Essenciais é apresentada em
quatro áreas:
● Temas, Tópicos e Subtópicos matemáticos, em que são identificados os conceitos matemáticos a abordar.
● Objetivos de aprendizagem, conhecimentos, capacidades e atitudes que o aluno deve revelar, em que são
concretizadas, para cada tópico matemático, as aprendizagens visadas com a indicação do foco e da especificação
preconizada.
● Ações estratégicas de ensino do professor, onde é clarificado o papel do professor e as indicações metodológicas que
são consideradas adequadas para a obtenção dos objetivos de aprendizagem definidos, bem como a sugestão de
exemplos para a concretização das atividades a propor aos alunos.
● Áreas de competência do perfil do aluno, em que é estabelecida uma ligação entre as aprendizagens matemáticas
visadas, as indicações metodológicas e as competências, capacidades e atitudes definidas no Perfil dos Alunos à Saída
da Escolaridade Obrigatória.
Quando nas Aprendizagens Essenciais se refere recurso a tecnologia gráfica, deve entender-se a utilização de folhas de cálculo
ou qualquer versão de calculadora gráfica, física ou sob a forma de emulador, bem como o uso do Geogebra ou outro Ambiente
de Geometria Dinâmica (AGD), nas suas diversas versões disponíveis em qualquer dispositivo digital. Considera-se também o
recurso a aplicativos digitais específicos (apliquetas), disponíveis na internet ou em fóruns temáticos.
Para cada tema são incluídas notas clarificadoras, nomeadamente no que se refere à sugestão de: atividades para o
desenvolvimento do Pensamento Computacional, com recurso a exemplos; propostas de possíveis aprofundamentos de alguns
temas ou de abordagens alternativas; referências bibliográficas que incluem documentos e recursos para apoio ao trabalho do
professor.
A ordem dos temas apresentados nestas Aprendizagens Essenciais constitui um exemplo de uma sequência que se considera
adequada no âmbito do processo de gestão e desenvolvimento do currículo.
Na tabela abaixo apresenta-se uma possível distribuição dos tempos letivos pelos tópicos das Aprendizagens Essenciais,
tomando como referência vinte e oito semanas letivas, num total de trinta e duas ou trinta e três semanas previstas
usualmente no calendário escolar. Considerou-se cada semana com cinco tempos letivos de cinquenta minutos.
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Temas Tópicos Aulas (50 min) Semanas

Modelos matemáticos nas eleições 5
Modelos matemáticos
Modelos matemáticos na partilha 5 4
para a cidadania
Modelos financeiros 10
Problema estatístico. População, amostra e variável 4
Dados univariados 15
Estatística 8
Dados bivariados 10
[Trabalho de projeto] 11
Geometria Analítica Geometria analítica no plano 15

5
no plano e no espaço Geometria analítica no espaço 10
Generalidades acerca de funções 9
Funções polinomiais de grau não superior a 3 8
Funções 6
Funções inversas 8
Modelação com funções 5
A matemática no património 5
Padrões Geométricos Pavimentações e padrões 10 5
Isometrias, frisos e rosáceas 10
Total 28
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ÁREAS DE
COMPETÊNCIAS
DO PERFIL DOS
ALUNOS (ACPA)
A
Linguagens e textos
Informação e
B comunicação
Raciocínio e resolução
C
de problemas
Pensamento crítico e
D
pensamento criativo
APRENDIZAGENS ESSENCIAIS | ARTICULAÇÃO COM O PERFIL DOS ALUNOS
Relacionamento
E
interpessoal
Desenvolvimento
F
pessoal e autonomia
Bem-estar, saúde e
G
ambiente
Sensibilidade estética e
H
artística
I
Saber científico,
técnico e tecnológico
Consciência e domínio
J
do corpo
10.º ANO | SECUNDÁRIO |Matemática B
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OPERACIONALIZAÇÃO DAS APRENDIZAGENS ESSENCIAIS (AE)
TEMAS, Tópicos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR Áreas de

e Subtópicos Conhecimentos, Capacidades e Competência do
matemáticos Atitudes que o aluno deve revelar Perfil dos Alunos
MODELOS
MATEMÁTICOS
PARA A Reconhecer o papel da matemática Compreende,
Contribuir para o reconhecimento da necessidade da matemática para definir
CIDADANIA na escolha de representantes em métodos eleitorais. interpreta e
sistemas políticos e sociais. comunica
Modelos Contribuir para a clarificação da importância da participação de cada cidadão utilizando
matemáticos Perceber que existem modelos na eleição dos seus representantes (delegado de turma, associação de linguagem
nas eleições matemáticos que permitem criar estudantes, estruturas sindicais e poderes políticos). matemática (A)
procedimentos para transformar as
preferências individuais numa decisão Promover a análise, a interpretação e a discussão de sistemas eleitorais que
coletiva. valorizem a existência de uma segunda volta, como é o caso da eleição do
Presidente da República de Portugal, nomeadamente a referência à eleição Recorre à
Maioria simples Identificar o vencedor de um informação
presidencial de 1986.
processo eleitoral através de maioria disponível em
Maioria absoluta simples e maioria absoluta. fontes
Sugerir a construção de um programa simples em Python, de iniciação à
linguagem, que permita determinar o número de votos que garante a maioria documentais
absoluta, sendo inseridas as votações em 3 candidatos. físicas e digitais,
avaliando,
Propor a análise de situações que evidenciem claramente o facto de métodos validando e
eleitorais diferentes gerarem escolhas diferentes para a mesma votação, organizando a
recorrendo a contextos eleitorais concretos, como por exemplo: informação
Método de Borda Identificar o vencedor de processos recolhida (B)
- eleição do delegado de turma;
eleitorais que recorram a boletins de - eleição para a Associação de Estudantes;
preferência (método de Borda). - eleições para os órgãos sociais de clubes desportivos.
Referir que todos os métodos eleitorais têm limitações, nomeadamente,

encorajar o debate de situações em que existe e em que não existe
transitividade das escolhas.
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Modelos Usa modelos para

matemáticos na explicar um
partilha Perceber que existem modelos Analisar com os alunos os contextos eleitorais das eleições autárquicas e das determinado
matemáticos que permitem criar eleições para a Assembleia da República, suscitando a compreensão da sistema, para
procedimentos para fazer necessidade de um método de partilha proporcional. estudar os efeitos
distribuições proporcionais. das variáveis e
Incentivar os alunos a confirmar o processo da distribuição de mandatos num para fazer
organismo local (eleições com um número reduzido de mandatos - até 6 previsões do
Método de Hondt Conhecer e aplicar o método de mandatos). comportamento
Hondt e o método de St. Laguë. do sistema em
Método de St. Promover a exploração, com recurso à tecnologia gráfica (folha de cálculo), estudo (C)
Laguë Identificar vantagens e limitações dos de distribuições de mandatos em cenários nacionais (eleições com um número
métodos de Hondt e St. Laguë. elevado de mandatos, por exemplo, a distribuição de mandatos por círculo
eleitoral).
Usa critérios para
Propor a análise de situações concretas que evidenciem claramente que apreciar ideias,
métodos de partilha diferentes geram distribuições diferentes para a mesma processos ou
eleição, por exemplo, as eleições europeias de 1987. produtos,
Promover a análise de casos em outras situações, como por exemplo, a construindo
distribuição de um número de computadores por departamentos com argumentos para a
diferentes dimensões. fundamentação
das tomadas de
Promover discussões sobre problemas de partilha, identificando os modelos posição (D)
matemáticos que contribuem para as diversas soluções e limitações na sua
aplicação.
Modelos Calcular o valor dos salários mensal, Dinamizar a realização de simulações relacionadas com processamento de Trabalha em
anual e por hora, dadas as condições salários (em que sejam utilizados os conceitos de vencimento líquido, salário equipa e aprende
matemáticos
de um contrato. bruto, abonos e descontos), promovendo a construção de uma folha de a considerar
em finanças diversas
cálculo.
Reconhecer a diferença entre salário perspetivas e a
Matemática nos bruto e salário líquido. construir
Sugerir em grande grupo:
salários consensos (E)
- uma discussão que inclua a identificação de diferentes formas de referência
Calcular contribuições obrigatórias
aos rendimentos e dificuldades de comparação (ex: rendimento anual, salário
para sistemas de segurança social.
mensal, rendimento por hora);
Calcular retenção na fonte para IRS. - a análise de exemplos relacionados com o processamento dos vencimentos
(ex: recibos);
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Calcular o IRS anual em casos simples - a pesquisa e análise de tabelas de IRS, identificação dos escalões aplicáveis
em função do rendimento coletável. e discussão sobre a progressividade deste imposto. Preocupa-se com
a construção de
Compreender o caráter provisório da um futuro
taxa mensal de retenção na fonte sustentável e
(IRS). envolve-se em
projetos de
Identificar a progressividade do IRS e cidadania ativa
a relevância dos escalões. (G)
Matemática na Calcular juro simples e juro composto Promover, com recurso à tecnologia, o cálculo de juros simples e compostos
poupança e no (com diferentes períodos de em diferentes situações. Trabalha com
crédito capitalização dos juros). recurso a
Promover, em casos simples, usando a folha de cálculo, o cálculo do: materiais,
-capital obtido, através de uma capitalização de juro simples, num dado instrumentos,
tempo, o capital final; ferramentas,
-capital obtido, com diferentes capitalizações (mensal, anual, semestral) máquinas e
usando juro composto, num dado tempo, o capital final. equipamentos
tecnológicos,
Sugerir a construção de um programa simples em Python que permita relacionando
determinar o cálculo de juros simples e o cálculo de juros compostos. conhecimentos
técnicos e
Analisar a rentabilidade de diferentes depósitos a prazo, durante um prazo científicos (I)
predefinido, recorrendo à folha de cálculo e ao uso de simuladores
disponíveis na Internet.
Promover, em casos simples, o cálculo de:

- capital inicial a depositar para, ao fim de um dado tempo, ter um certo
capital final com uma taxa de juro fixa;
- tempo mínimo de capitalização, dados os capitais inicial e final e a taxa de
juro.
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Pensamento Computacional
Quando se trabalharem algoritmos, convém incentivar hábitos de rigor nos alunos e fomentar práticas sistemáticas de verificação e controlo. Será importante
promover nos alunos a abstração, incentivando-os a recolher a informação essencial para a resolução da tarefa (ou situação) proposta. Os alunos devem ser
encorajados a identificar os elementos importantes, no processo de criação do algoritmo, e estabelecer a ordem entre eles.
Antes de redigir o programa na linguagem Python, convém fazer uma descrição do algoritmo em linguagem natural.
Exemplo de programa em Python que permite determinar o número de votos que garante a maioria absoluta, sendo inseridas as votações de 3 candidatos (270
para o candidato A, 153 votos para o candidato B e 201 para o candidato C) .
cA=270
cB=153
cC=201
ma=int((cA+cB+cC)/2)+1
print(ma)
A conclusão é que para obter maioria absoluta são precisos 𝑚𝑎 votos. Algum dos candidatos ultrapassou esse valor?
Numa possível extensão a este programa poderá ser verificado se algum dos candidatos obteve maioria absoluta.
Exemplo de programa em Python que permite, sendo inseridas as votações de 3 candidatos, determinar o número de votos que garante a maioria absoluta e
verificar se algum dos candidatos obteve essa maioria.
cA=int(input("N.º de votos do candidato A:"))

cB=int(input("N.º de votos do candidato B:"))
cC=int(input("N.º de votos do candidato C:"))
ma=int((cA+cB+cC)/2)+1
print("Serão necessários pelo menos",ma,"votos para obter maioria absoluta.")
if cA>=ma:
print("O candidato A obteve maioria absoluta com",cA,"votos.")
elif cB>=ma:
print("O candidato B obteve maioria absoluta com",cB,"votos.")
elif cC>=ma:
print("O candidato C obteve maioria absoluta com",cC,"votos.")
else:
print("Nenhum dos candidatos obteve maioria absoluta.")
Nota: O programa foi criado em Python IDLE 3.11.0 para computador.
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Em alternativa à folha de cálculo, as simulações referentes à distribuição de mandatos pelo método de Hondt poderão ser realizadas através de pequenos
programas em Python, procurando por exemplo o número mínimo e máximo de votos para um partido obter um número predeterminado de lugares (por exemplo,
todos os mandatos serem atribuídos ao mesmo partido). Uma simulação do método de Hondt pode ser encontrada em:
https://www.sg.mai.gov.pt/AdministracaoEleitoral/MetodoHondt/Paginas/default.aspx
Podem propor-se vários tipos de programas em Python para concretizar os Modelos Financeiros; por exemplo o cálculo de uma capitalização anual ou uma
capitalização mensal, dado um capital inicial.
Exemplo de programa em Python para calcular a capitalização anual, dado um capital inicial:
ci=1000 #valor inicial

r=0.03 #taxa de juro anual
cf=ci+ci*r
print('O capital final é ',cf,'€')
Exemplo de programa em Python para calcular a capitalização mensal passados n meses, dado um capital inicial:
ci=300 #valor inicial

r=0.03 #taxa de juro anual
n=10 #número de períodos de capitalização
cf=ci*(1+r/12)**n
print('O valor final ao fim de ',n,' meses é', cf,'€')
Como possíveis alterações a este programa sugere-se a variação da periodicidade e do número de períodos de capitalização.
Possíveis aprofundamentos
Se for possível e oportuno, poderão ser abordados outros métodos eleitorais como, por exemplo, o método de Condorcet e a sua alegada proposta (em 1888) de
um método eleitoral superior a todos os outros.
Exemplo de um caso interessante a estudar: a mudança do uso de maioria simples para a maioria absoluta ao longo dos anos na Ordem dos Médicos e na Ordem
dos Advogados.
Também pode ser feita a comparação com o método usado nas eleições para a Ordem dos Enfermeiros em que a lista vencedora é a que obtiver mais votos, sem
exigência de maioria absoluta (e só com uma volta). Neste último caso pode ser consultada a página
https://www.ordemenfermeiros.pt/arquivo/comunicacao/Paginas/ProclamacaoEleicoes onde se encontra a proclamação dos resultados definitivos das Eleições
de 12 de dezembro de 2011.
Avaliação financeira de um projeto de investimento, através do cálculo do valor atual de fluxos financeiros futuros previstos.
Cálculo das prestações constantes em empréstimos e comparação com os simuladores em sites de bancos e empresas financeiras.
PÁG. 18
Bibliografia de referência
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TEMAS, Tópicos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: Conhecimentos, AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR Áreas de
e Subtópicos Capacidades e Atitudes que o aluno deve revelar Competência do
matemáticos Perfil dos Alunos
ESTATÍSTICA
Reconhecer o papel relevante desempenhado pela Promover a discussão na turma para identificar e formular Recorre à
Problema
Estatística em todos os campos do conhecimento. questões estatísticas, cujas respostas dependam da informação
estatístico recolha de dados. disponível em
Reconhecer a variabilidade como um conceito chave de fontes
Variabilidade um problema estatístico. Propor a discussão de situações do mundo real envolvente documentais
em que a variabilidade está presente. Por exemplo, o físicas e digitais,
Conhecer e interpretar situações do mundo que nos político questiona se valerá a pena candidatar-se às avalia, valida e
rodeia em que a variabilidade está presente. próximas eleições autárquicas para o seu concelho; o organiza a
diretor de um agrupamento escolar questiona a informação
percentagem de alunos que almoçam diariamente na recolhida (B)
escola; o padeiro questiona quantos pães deve fazer por
dia; o gerente de uma fábrica têxtil questiona qual o
tamanho das camisas em que deverá investir.
Coloca e analisa
questões a
População, investigar,
amostra e distinguindo o que
variável Identificar num estudo estatístico, população, amostra e Alertar que os termos população e amostra se referem a se sabe do que se
a(s) caraterística(s) a estudar, que se designa(m) por conjuntos de unidades estatísticas, mas que estes termos pretende
variável(variáveis). também são usados para identificar os conjuntos de descobrir (C)
valores assumidos pela variável em estudo.
Fases de um Reconhecer as fases de um procedimento estatístico: Propor a recolha de informação nos jornais ou na internet
procedimento - Produção ou aquisição de dados; sobre notícias que permitam:
estatístico - Organização e representação de dados; - diferenciar os processos de recenseamento e sondagem
- Interpretação tendo por base as representações (recolher dados sobre toda a população ou sobre uma
obtidas. amostra);
- identificar exemplos de amostras enviesadas,
Reconhecer os métodos existentes para a seleção de nomeadamente amostras por conveniência e por resposta
amostras, no sentido de que estas sejam representativas voluntária.
das populações subjacentes, e de modo a evitar amostras Alertar para a necessidade de recolha de dados reais,
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enviesadas cujo estudo levaria a inferir conclusões como forma de responder a questões concretas.
erradas para as populações.
Promover a discussão sobre a dimensão da amostra a Analisa
Intuir que os problemas estatísticos em que se recorre a recolher, informando que esta dimensão depende muito da criticamente as
amostras para inferir para a população subjacente, não variabilidade presente na população subjacente e deverá conclusões a que
têm uma solução matemática única que se possa ser tanto maior quanto maior for a dimensão da chega,
exprimir como verdadeiro ou falso. população. Informar que existem técnicas para definir reformulando, se
quais as dimensões mínimas para garantir a precisão dos necessário, as
processos em que se pretende inferir para a população as estratégias
propriedades verificadas na amostra. Chamar a atenção adotadas (C)
para que existem processos apropriados para a seleção das
amostras de forma a garantir a aleatoriedade e a
representatividade da população subjacente.
Desenvolve ideias
Informar que a utilização da probabilidade vai permitir e projetos
tomar uma decisão para a população, a partir do estudo da criativos com
amostra, quantificando o erro cometido ou o grau de sentido no
confiança nessa decisão, exemplificando com a forma contexto a que
como se transmite o resultado de uma sondagem eleitoral. dizem respeito, e
testa e decide
Dados sobre a sua
univariados exequibilidade (D)
Informar que quando se está a recolher dados
Dados quantitativos, isto é, a “medir” a variável em estudo sobre
quantitativos Identificar dados quantitativos discretos ou contínuos. as unidades estatísticas selecionadas para a amostra,
discretos ou confrontamo-nos com duas situações: ou a variável assume Trabalha em
contínuos um número finito ou infinito numerável de valores equipa e aprende
distintos, caso em que se diz discreta, e a observação a considerar
assume a forma de uma contagem; ou a variável pode diversas
assumir qualquer valor num intervalo em ℝ, caso e que se perspetivas e a
diz contínua, e a observação assume a forma de uma construir
medição. consensos (E)
Salientar que a natureza dos dados não é uma caraterística

necessariamente inerente à variável em estudo, porque
pode depender da forma como é medida. Exemplificar
com a variável Idade que é de tipo contínuo e que pode
ser utilizada de forma discreta (10, 15, 23,...), uma peça
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de roupa, cujo “tamanho” é uma variável contínua, mas é

frequentemente classificada em categorias (XS, S, M, L,
XL, ...), isto é, dados de tipo qualitativo. Preocupa-se com
a construção de
Organização de Organizar e representar a informação contida em dados Promover a utilização da tecnologia para construir tabelas um futuro
dados quantitativos discretos e contínuos em tabelas de e gráficos. sustentável e
frequências absolutas, absolutas acumuladas, relativas e envolve-se em
relativas acumuladas e interpretá-las. projetos de
cidadania ativa
Selecionar representações gráficas adequadas para cada Realçar a utilidade do diagrama de caule-e-folhas para (G)
tipo de dados identificando vantagens/inconvenientes, uma ordenação rápida dos dados e salientar a importância
relembrando a construção de gráficos de barras, do diagrama de extremos-e-quartis para comparar várias
diagramas de caule-e-folhas e diagramas de extremos-e- distribuições de dados.
quartis. Trabalha com
recurso a
Histograma Reconhecer que o histograma é um diagrama de áreas, e Salientar que o aspeto do histograma depende do número equipamentos
que para a sua construção é necessária uma organização de classes considerado, da amplitude de classe e do ponto tecnológicos,
prévia dos dados em classes na forma de intervalos. onde se começa a considerar a construção da primeira relacionando
classe (discutir com os alunos o que se entende por um conhecimentos
Construir histogramas, considerando classes com a número adequado de classes, chamando a atenção para técnicos e
mesma amplitude. que uma representação com muitas classes apresentará científicos (I)
muita da variabilidade presente nos dados, não
conseguindo fazer sobressair o padrão que se procura,
enquanto que um número muito pequeno de classes
esconderá esse padrão).
Salientar a importância do gráfico de barras e do

histograma para uma posterior seleção do modelo da
população subjacente à amostra, respetivamente discreto
ou contínuo.
Medidas de Interpretar as medidas de localização: média (𝑥̅ ), Incentivar a utilização da tecnologia para o cálculo das
localização mediana (𝑀𝑒 ), moda(s) (𝑀𝑜 ) e percentis (quartis como diversas medidas, em particular quando a dimensão da
caso especial) na caraterização da distribuição dos amostra é razoavelmente grande, não negligenciando
dados, relacionando-as com as representações gráficas antecipadamente o cálculo dessas medidas usando papel e
obtidas. lápis para amostras de dimensão reduzida.
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Sugerir a elaboração de um programa simples em Python

que permita recolher as idades de, por exemplo, 5 alunos
de uma turma na disciplina de Matemática, organizá-las
sob a forma de uma lista, retornando a média, a mediana,
o máximo e o mínimo.
Medidas de Interpretar as medidas de dispersão, amplitude, Promover a utilização da tecnologia para explorar as
dispersão amplitude interquartil e desvio padrão amostral, 𝑠, propriedades das medidas, nomeadamente as alterações
(variância amostral, 𝑠 2 ) na caraterização da distribuição provocadas nas medidas de localização e dispersão por
dos dados, relacionando-as com as representações transformação dos dados pela multiplicação de cada um
gráficas obtidas. por uma constante “a” e pela adição de uma constante
“b”. Realçar a utilização enganadora da média, em casos
em que existem outliers (dados muito diferentes do
padrão dos restantes), devido à grande influência desses
dados.
Propriedades das Compreender os conceitos e as seguintes propriedades Incentivar os alunos a interpretar os conceitos e as
medidas das medidas: propriedades das medidas, privilegiando a sua
- Pouca resistência da média e do desvio padrão; compreensão, em detrimento do uso de fórmulas e de
- Soma dos desvios dos dados relativamente à média é procedimentos para as calcular. Por exemplo, depois de
igual a zero; compreender o conceito de percentil, utilizar a função
- Desvio padrão é igual a zero se e só se todos os dados cumulativa ou as tabelas de frequências relativas
forem iguais; acumuladas para calcular valores aproximados dessas
- Amplitude interquartil igual a zero, não implica a não medidas.
existência de variabilidade;
Promover a utilização da tecnologia para determinar os
Conhecer que se os dados forem fornecidos já agrupados percentis, e exemplificar a sua utilização com as tabelas
em classes, na forma de intervalos, torna-se necessário de crescimento da Direção Geral de Saúde.
adequar as fórmulas ou os procedimentos existentes para (https://www.dgs.pt/upload/membro.id/ficheiros/i007811.pdf),
dados não agrupados, para obter valores aproximados da relacionando o “peso” e a “estatura” com a “idade”.
média e do desvio padrão.
Sugerir a elaboração de um programa em Python para
Reconhecer que existem situações em que é preferível permitir o cálculo da amplitude e do desvio padrão e
utilizar, como medida de localização do centro da estudar as propriedades dessas medidas, efetuando
distribuição dos dados, a mediana em vez da média, e alterações nos dados.
como medida de dispersão a amplitude interquartil em
vez do desvio padrão, apresentando exemplos simples.
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Reconhecer que algumas representações gráficas são Conduzir os alunos na interpretação das representações
mais adequadas que outras para comparar conjuntos de gráficas e das medidas, no contexto do problema, que
dados, nomeadamente o diagrama de extremos e quartis, levou à recolha dos dados.
para comparar a distribuição de dois ou mais conjuntos
de dados, realçando aspetos de simetria, dispersão,
concentração, etc.
Dados
bivariados
Dados Reconhecer que, para estudar a associação entre duas Conduzir os alunos a explorar situações em que tenha
quantitativos variáveis quantitativas de uma população, se observam interesse estudar a associação entre duas variáveis sobre
essas variáveis sobre cada unidade estatística, obtendo- as mesmas unidades estatísticas.
se uma amostra de pares de dados.
Diagrama de Reconhecer a importância da representação dos dados no Envolver os alunos na discussão sobre a construção do
dispersão diagrama de dispersão, nuvem de pontos, para diagrama de dispersão, em especial na identificação da
interpretar a forma, direção e força da associação variável independente ou explanatória. Por exemplo,
(linear) entre as duas variáveis. pretendendo-se estudar a associação entre as variáveis
“idade” e “altura”, a variável independente ou
explanatória deverá ser a “idade” e a variável “altura” a
variável dependente ou resposta.
Coeficiente de Identificar o coeficiente de correlação linear r, como Apresentar a expressão do coeficiente de correlação e
correlação linear medida dessa direção e grau de associação (linear), e utilizá-la para interpretar a associação linear entre as
saber que assume valores pertencentes a [-1, 1], variáveis como positiva, negativa ou nula.
dizendo-se com base nesse valor que a correlação é
positiva, negativa ou nula. Recorrer à tecnologia para Realçar que o coeficiente de correlação só assume os
proceder ao cálculo do coeficiente de correlação linear. valores -1 ou 1, quando os pontos no diagrama de
dispersão estão alinhados numa reta.
Realçar e exemplificar que a correlação linear só mede a

associação linear entre as variáveis, já que o coeficiente
de correlação pode ser próximo de zero e as variáveis
estarem fortemente correlacionadas, não linearmente.
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Reta de Compreender que no caso do diagrama de dispersão Realçar que só no caso de se visualizar uma associação
regressão mostrar uma forte associação linear entre as variáveis, aproximadamente linear entre os pontos do diagrama de
– variável essa associação pode ser descrita pela reta de regressão dispersão é que tem sentido utilizar a tecnologia para
independente ou ou reta dos mínimos quadrados. Utilizar a tecnologia calcular o coeficiente de correlação, bem como construir a
explanatória para determinar uma equação da reta de regressão. reta de regressão.
- variável
dependente ou Compreender que na construção da reta de regressão não Comentar com os alunos a razão de se chamar à reta de
resposta. é indiferente qual das variáveis é que se considera como regressão, reta dos mínimos quadrados.
variável independente ou explanatória.
Compreender que a existência de outliers influencia Propor a construção da reta de regressão, recorrendo à
estes procedimentos. tecnologia e explorar a forma como é afetada por outliers.
Exemplificar com os chamados “conjuntos de dados de
Utilizar a reta de regressão para inferir o valor da Anscombe”, que embora apresentem as mesmas
variável dependente ou resposta, para um dado valor da caraterísticas amostrais, têm representações gráficas
variável independente ou explanatória, quando existe muito diferentes, realçando a importância de uma
uma forte associação linear entre as variáveis, quer visualização prévia dos dados antes de proceder ao cálculo
positiva, quer negativa, e desde que este esteja no do coeficiente de correlação ou à construção da reta de
domínio dos dados considerados. regressão.
Compreender que não se pode confundir correlação com Explorar o modelo da reta de regressão no contexto do
relação causa-efeito, pois podem existir variáveis estudo, nomeadamente inferindo valores da variável
“perturbadoras” que podem provocar uma aparente resposta para determinados valores para a variável
associação entre as variáveis em estudo. explanatória.
Propor a pesquisa na internet de situações em que existem

variáveis “perturbadoras”.
Gráfico de linhas Entender que um gráfico de linhas é um caso particular Promover a exploração de alguns exemplos concretos de
de um diagrama de dispersão, em que se pretende gráficos de linhas, como a evolução da temperatura
estudar a evolução de uma das variáveis relativamente a medida numa determinada hora, ao longo de um mês, em
outra variável, de um modo geral o tempo, e em que se determinado local.
unem, por linhas, os pontos representados.
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Aprofundamento Aplicar e aprofundar conceitos e processos associados à Discutir e estabelecer a elaboração de um trabalho de
do estudo de Estatística num problema contextualizado, projeto, contemplando as diversas fases (formulação de
Estatística com desenvolvendo competências de representação e um problema, planificação, realização de pesquisas,
trabalho de comunicação matemática. recolha de informações e dados, análise e interpretação
projeto (*) de resultados e conclusões).
Desenvolver hábitos de pesquisa.
Reservar momentos de trabalho na sala de aula para o
Interpretar de forma crítica, informação, modelos e desenvolvimento e acompanhamento, em grupo, do
processos. trabalho de projeto, incluindo a escrita do respetivo
relatório.
Conhecer, aplicar e criar modelos presentes na
Estatística, tirando partido da tecnologia. Propor a discussão da pertinência e da necessidade de usar
recursos e tecnologia.
Desenvolver a criatividade e a comunicação, através da
apresentação do projeto em palestras, pósteres, vídeos Promover a divulgação, em grupo, destes trabalhos,
ou outros suportes. podendo essa etapa acontecer na sala de aula ou ser
alargada a outros espaços da escola e para além desta.
Estimular a discussão do tema de cada investigação que

pode ser escolhido de entre uma lista de opções, como por
exemplo:
- A minha região em números! O que diz o Censos 2021…;
- A nossa Cantina Escolar em números!;
- O Papel da Mulher na Sociedade;
- Alterações climáticas. Os negacionistas têm razão ou há
estatísticas a provar que não?;
- Como estão os nossos oceanos? (Plasticus maritimus,
Planeta tangerina,...);
- Somos oito mil milhões. Como estamos distribuídos?
Valorizar aspetos relevantes da História da Matemática, ou

o recurso à programação, sempre que for considerado
relevante.
(*) Este tópico pode ser substituído por tópico idêntico noutros temas do 10.º ano tal como é exemplificado nas propostas apresentadas abaixo.
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Exemplo de programa em Python que permite calcular a média, a mediana, o máximo e o mínimo das idades de 5 alunos de uma turma:
idades=[14,16,14,15,17]
idades.sort()
soma=0
for i in range(5):
soma=soma+idades[i]
print('Idades:',idades)
print('Media:',soma/5)
print('Mediana:',idades[2])
print('Máximo:',idades[4])
print('Mínimo:',idades[0])
Como possível extensão poderá propor-se aos alunos uma generalização do programa de modo que a dimensão da lista possa ser variável. Sugere-se a utilização da
função len() que permitirá determinar o número de elementos da lista.
Exemplo de programa em Python que permita determinar o desvio-padrão e a amplitude de uma lista de idades com um n.º de elementos variável:
import math
idades=[14,16,14,15,17,23]
idades.sort()
n=len(idades)
soma=0
for i in range(n):
soma=soma+idades[i]
media=soma/n
desvios=0
for i in range(n):
desvios = desvios + (idades[i]-media)**2
desvio_padrao=math.sqrt(desvios/n)
amplitude=idades[n-1]-idades[0]
print('Desvio padrao:', desvio_padrao)
print('Amplitude:', amplitude)
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Explorar a utilização de tabelas de contingência (tabelas de dupla entrada) para representar amostras de dados bivariados qualitativos. Ter em consideração que
embora se fale de dados qualitativos, eles podem ser resultado da observação de variáveis quantitativas (Exemplo a variável Idade, que é quantitativa contínua,
mas em que os dados podem ser apresentados em classes etárias, ou a variável Tamanho de uma camisola, que pode ser medida nas categorias XS, S, M, L, XL,
2XL ou 3XL). Considerar as distribuições marginais e as distribuições condicionais e explorar a possível associação entre as variáveis. Utilizar representações
gráficas adequadas.
Explorar no contexto da correlação a existência de variáveis “perturbadoras”, exemplificando.
Explorar diferentes tipos de amostragem que conduzam a amostras representativas das populações subjacentes, por oposição a processos que conduzam a
amostras enviesadas.
ActivAlea – Associação entre variáveis quantitativas. O coeficiente de correlação. Obtido de

http://www.alea.pt/index.php?option=com_content&view=article&id=272&Itemid=1651&lang=pt
ActivAlea – Associação entre variáveis qualitativas. Obtido de
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ALEA - Noções de Estatística. Obtido de https://www.alea.pt/index.php?option=com_content&view=article&id=131&Itemid=1203&lang=pt
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Obtido de https://www.dge.mec.pt/recursos-multimedia-online
Graça Martins, M. E. (2005). Introdução à Probabilidade e à Estatística, com complementos de Excel. Sociedade Portuguesa de Estatística.
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Rossman, A., e Chance, B. L. (2011). Workshop Statistics: Discovery with Data. Hoboken, NJ: Wiley.
PÁG. 28
PROPOSTA 1
TEMAS, Tópicos e OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR Áreas de
Subtópicos Conhecimentos, Capacidades e Competência do
Aprofundamento Aplicar e aprofundar conceitos e Discutir e estabelecer a elaboração de um trabalho de projeto, Desenvolve ideias
do estudo de processos associados aos Modelos contemplando as diversas fases (formulação de um problema, e projetos
Modelos Matemáticos para a Cidadania num planificação, realização de pesquisas, recolha de informações e dados, criativos com
Matemáticos para problema contextualizado, análise e interpretação de resultados e conclusões). sentido, no
desenvolvendo competências de contexto a que
a Cidadania com
representação e comunicação Reservar momentos de trabalho na sala de aula para o desenvolvimento e dizem respeito, e
trabalho de matemática. acompanhamento, em grupo, do trabalho de projeto, incluindo a escrita testa e decide
projeto do respetivo relatório. sobre a sua
Desenvolver hábitos de pesquisa. exequibilidade (D)
Propor a discussão da pertinência e da necessidade de usar recursos e
Interpretar de forma crítica, tecnologia.
informação, modelos e processos.
Promover a divulgação, em grupo, destes trabalhos, podendo essa etapa Trabalha com
Conhecer, aplicar e criar Modelos acontecer na sala de aula ou ser alargada a outros espaços da escola e recurso a
Matemáticos importantes para a para além desta. materiais,
Cidadania, tirando partido da instrumentos,
tecnologia. Estimular a discussão do tema de cada investigação que pode ser ferramentas,
escolhido de entre uma lista de opções, como por exemplo: máquinas e
Desenvolver a criatividade e a - Eleições com círculos eleitorais uninominais ou regionais versus um equipamentos
comunicação, através da apresentação círculo nacional único; tecnológicos,
do projeto em palestras, pósteres, - Casos concretos de eleições com colégio eleitoral (Estados Unidos, relacionando
vídeos ou outros suportes. Estónia, Índia,...); conhecimentos
- Eleições com dados “falsificados” (Lei de Benford); técnicos e
- Estudo de diferentes modos de eleger uma Associação de Estudantes, científicos (I)
um delegado ou um subdelegado das turmas da escola;
- Análise de um projeto de investimento, através do cálculo do valor
atual de fluxos financeiros futuros previstos.
- Cálculos das prestações constantes em empréstimos e comparação com
os simuladores em sites de bancos e empresas financeiras.
Valorizar aspetos relevantes da História da Matemática, ou o recurso à

programação, sempre que for considerado relevante.
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Proposta 2
do estudo de processos associados à Geometria num contemplando as diversas fases (formulação de um problema, e projetos
Geometria problema contextualizado, planificação, realização de pesquisas, recolha de informações e dados, criativos com
Analítica com desenvolvendo competências de análise e interpretação de resultados e conclusões). sentido, no
generalização, representação e contexto a que
trabalho de
comunicação matemática. Reservar momentos de trabalho na sala de aula para o desenvolvimento dizem respeito, e
projeto e acompanhamento, em grupo, do trabalho de projeto, incluindo a testa e decide
Desenvolver hábitos de pesquisa. escrita do respetivo relatório. sobre a sua
exequibilidade (D)
Interpretar de forma crítica, Propor a discussão da pertinência e da necessidade de usar recursos e
informação, modelos e processos. tecnologia.
Conhecer, aplicar e criar modelos Promover a divulgação, em grupo, destes trabalhos, podendo essa etapa Trabalha com
presentes na Geometria, tirando acontecer na sala de aula ou ser alargada a outros espaços da escola e recurso a
partido da tecnologia. para além desta. materiais,
instrumentos,
Desenvolver a criatividade e a Estimular a discussão do tema de cada investigação que pode ser ferramentas,
comunicação, através da apresentação escolhido de entre uma lista de opções, como por exemplo: máquinas e
do projeto em palestras, pósteres, - História da Geometria Analítica com Descartes e Fermat; equipamentos
vídeos ou outros suportes. - Trabalhar coordenadas polares; tecnológicos,
- Orientar os alunos para o reconhecimento de referenciais relacionando
tridimensionais em contextos reais. Por exemplo: impressoras 3D, conhecimentos
culturas hidropónicas, software de CAD/CAM, de SIG, de navegação técnicos e
aérea ou de realidade virtual e aumentada; científicos (I)
- Ideias para resolução de problemas em Geometria.

PÁG. 30
Proposta 3
do estudo de processos associados às Funções num contemplando as diversas fases (formulação de um problema, e projetos
Funções com problema contextualizado, planificação, realização de pesquisas, recolha de informações e dados, criativos com
trabalho de desenvolvendo competências de análise e interpretação de resultados e conclusões). sentido, no
modelação, representação e contexto a que
projeto
comunicação matemática. Reservar momentos de trabalho na sala de aula para o desenvolvimento dizem respeito, e
e acompanhamento, em grupo, do trabalho de projeto, incluindo a testa e decide
Desenvolver hábitos de pesquisa. escrita do respetivo relatório. sobre a sua
exequibilidade (D)
Interpretar de forma crítica, Propor a discussão da pertinência e da necessidade de usar recursos e
informação, modelos e processos. tecnologia.
Conhecer, aplicar e criar modelos Promover a divulgação, em grupo, destes trabalhos, podendo essa etapa Trabalha com
presentes nas Funções, tirando partido acontecer na sala de aula ou ser alargada a outros espaços da escola e recurso a
da tecnologia. para além desta. materiais,
instrumentos,
Desenvolver a criatividade e a Estimular a discussão do tema de cada investigação que pode ser ferramentas,
comunicação, através da apresentação negociado ou escolhido de entre uma lista de opções, como por máquinas e
do projeto em palestras, pósteres, exemplo: equipamentos
vídeos ou outros suportes. - Funções e gráficos de funções na comunicação social; tecnológicos,
- Funções ao longo da história (Oresme, Kepler, Newton,...); relacionando
- Modelação de funções a partir de dados recolhidos com sensores; conhecimentos
- Modelação de funções a partir de dados consultados na Internet técnicos e
(Pordata, INE, OCDE, UNESCO,...); científicos (I)
- Funções associadas às viagens espaciais (Projeto ARTEMIS, Projeto
DART,...).

PÁG. 31
Proposta 4
do estudo de processos associados aos padrões contemplando as diversas fases (formulação de um problema, e projetos
Padrões geométricos num problema planificação, realização de pesquisas, recolha de informações e dados, criativos com
Geométricos com contextualizado, desenvolvendo análise e interpretação de resultados e conclusões). sentido, no
competências de generalização, contexto a que
trabalho de
representação e comunicação Reservar momentos de trabalho na sala de aula para o desenvolvimento dizem respeito, e
projeto matemática. e acompanhamento, em grupo, do trabalho de projeto, incluindo a testa e decide
escrita do respetivo relatório. sobre a sua
Desenvolver hábitos de pesquisa. exequibilidade (D)
Propor a discussão da pertinência e da necessidade de usar recursos e
Interpretar de forma crítica, tecnologia.
informação, modelos e processos.
Promover a divulgação, em grupo, destes trabalhos, podendo essa etapa Trabalha com
Conhecer, aplicar e criar modelos acontecer na sala de aula ou ser alargada a outros espaços da escola e recurso a
presentes em padrões geométricos, para além desta. materiais,
tirando partido da tecnologia. instrumentos,
Estimular a discussão do tema de cada investigação que pode ser ferramentas,
Desenvolver a criatividade e a escolhido de entre uma lista de opções, como por exemplo: máquinas e
comunicação, através da apresentação - Trabalho de investigação sobre a vida e obra de M. C. Escher. equipamentos
do projeto em palestras, pósteres, - Relação de fractais com a arte e a natureza. tecnológicos,
vídeos ou outros suportes. - Programação em Phyton para a criação de um padrão. relacionando
- Entre aspetos da cultura tipicamente portuguesa, tal como tapetes de conhecimentos
arraiolos, calçada portuguesa, azulejo português, estudar e relacionar técnicos e
com padrões geométricos. científicos (I)

PÁG. 32
Bibliografia de referência (trabalhos de projeto)
Abrantes, P. (1994). O trabalho de projecto e a relação dos alunos com a matemática: a experiência do projecto mat789. (Tese de Doutoramento). Lisboa:
Associação de Professores de Matemática.
Amado, N., e Carreira, S. (2019). Trabalho de Projeto. Obtido de: http://hdl.handle.net/10400.1/15482.
George Lucas Educational Foundation (2021). Project-Based Learning (PBL). Obtido de: https://www.edutopia.org/project-based-learning.
Mestre, A. P. (2011). Histórias com matemática: trabalho de projecto no 2º ciclo do ensino básico. (Dissertação de Mestrado). Obtido de:
http://hdl.handle.net/10400.1/6872.
Ponte, J. P., Brunheira, L., Abrantes, P., e Bastos, R. (1998). Projetos Educativos: matemática - ensino secundário. Ministério da Educação.
PÁG. 33

GEOMETRIA
ANALÍTICA
Identificar coordenadas de pontos do plano Propor atividades que evidenciem a necessidade do uso de um Compreende, interpreta
Geometria num referencial cartesiano ortogonal e referencial no plano. Por exemplo: na resolução de um problema, e comunica utilizando
analítica no monométrico. encontrar o referencial mais adequado à figura apresentada. linguagem matemática.
plano (A)
Reconhecer, analisar e aplicar na
Referenciais resolução de problemas: Usar software de geometria dinâmica para explorar, por
cartesianos - Simetrias de pontos, em relação a retas exemplo:
ortogonais e horizontais, a retas verticais e à origem, - coordenadas de pontos simétricos em relação à origem, aos Usa modelos para
monométricos no através de coordenadas; eixos coordenados e a retas paralelas aos eixos coordenados; explicar um
plano - Coordenadas do ponto médio de um - condições que definam conjuntos de pontos (incluindo o determinado sistema,
segmento de reta. conjunto vazio). para estudar os efeitos
Coordenadas de das variáveis e para
pontos num Identificar, analisar e aplicar na resolução fazer previsões do
referencial de problemas condições que definem comportamento do
cartesiano conjuntos de pontos: sistema em estudo. (C)
- semiplanos;
Conjuntos de - outros conjuntos definidos por
pontos e condições conjunções e disjunções em casos simples.
Usa critérios para
Equação reduzida Reconhecer, analisar e aplicar, a equação Promover a resolução de problemas para determinar a equação apreciar ideias,
da reta no plano e de uma reta, na resolução de problemas. de uma reta ou as coordenadas do ponto de interseção entre processos ou produtos,
a equação x = x0 duas retas. construindo argumentos
para a fundamentação
Sugerir a construção de um programa simples em Python que das tomadas de
permita determinar a equação reduzida de uma reta, dadas as posição. (D)
coordenadas de dois pontos.
Propor problemas de modelação matemática, recorrendo à

tecnologia, por exemplo:
- Encontrar a melhor localização para propagadores de sinal de
PÁG. 34
Wifi num local; Desenha, implementa e

- Encontrar localizações em mapas geográficos (atividades tipo avalia, com autonomia,
Mapa do Tesouro); estratégias para atingir
- Encontrar localizações numa cidade (por exemplo, muitas as metas e desafios que
cidades americanas têm ruas e avenidas numeradas - 17th street, estabelece para si
5th avenue, etc.); próprio. (F)
- Escrever a equação da reta que melhor se ajusta a um conjunto
de pontos utilizando a regressão linear.
Trabalha com recurso a
Geometria materiais,
analítica no instrumentos,
espaço Identificar coordenadas de pontos do Propor atividades aos alunos que evidenciem a necessidade do ferramentas, máquinas
espaço num referencial cartesiano uso de um referencial no espaço. Por exemplo: na resolução de e equipamentos
Referenciais ortonormado e monométrico. um problema, encontrar o referencial mais adequado à figura tecnológicos,
cartesianos apresentada. relacionando
ortogonais e Desenvolver a capacidade de visualização conhecimentos técnicos
monométricos no no espaço tridimensional. Incentivar os alunos a construírem modelos tridimensionais e científicos. (I)
espaço usando materiais simples (cartão, palhinhas, rede, etc.).
Reconhecer, analisar e aplicar na
Coordenadas de resolução de problemas: Estimular os alunos a utilizarem o Geogebra 3D para visualizar, Domina a capacidade
pontos num - equações de planos paralelos aos planos explorar e estabelecer conjeturas, envolvendo geometria no percetivo-motora
referencial coordenados; espaço. (imagem corporal,
cartesiano - equações cartesianas de retas paralelas a direccionalidade,
um dos eixos. Orientar os alunos para o reconhecimento de referenciais afinamento percetivo e
tridimensionais em contextos reais. Por exemplo: impressoras 3D, estruturação espacial e
culturas hidropónicas, software de CAD/CAM, de SIG, de temporal). (J)
navegação aérea ou de realidade virtual e aumentada.
PÁG. 35
Exemplo de programa em Python para determinar o declive, a ordenada na origem, a equação reduzida e uma equação vetorial da reta que passa por 2 pontos, a
partir das suas coordenadas.
xA=3
yA=-1
xB=-4
yB=-2
if xA==xB:
print('A reta que une os dois pontos é vertical: x=',xA)
else:
m=(yB-yA)/(xB-xA)
b= yA-m*xA
print('Declive da reta: ',m)
print('Ordenada na origem: ',b)
print('y=',m,'x+',b)
Nota: O programa foi criado em Python IDLE 3.11.0
Sugerem-se outros temas para ir mais além (ou para aprofundamento):

- Pontos notáveis de um triângulo.
- Resolução de problemas de Olimpíadas de Matemática usando pontos notáveis do triângulo.
- História da Matemática: os primórdios da Geometria Analítica com Descartes e Fermat
- Ideias para resolução de problemas em Geometria
- Papel da demonstração em Matemática
Ideias para composições matemáticas: A Geometria na “República” de Platão, a Geometria dos ORIGAMI, a Geometria dos templos japoneses.
Cássio, J. (2019). Aprendendo Geometria Plana com a Plataforma GeoGebra. Obtido de https://www.geogebra.org/m/hsXHDRX7
Khan Academy (s/d). Geometria Analítica. Obtido de https://pt.khanacademy.org/math/geometry-home/analytic-geometry-topic
Loureiro, C. et al. (1997). Geometria 10º ano de escolaridade. Ministério da Educação, Departamento do Ensino Secundário.
Loureiro, C. et al. (1998). Geometria 11º ano de escolaridade. Ministério da Educação, Departamento do Ensino Secundário.
Sebastião e Silva, J. (1970). Geometria Analítica Plana. Lisboa: Empresa Literária Fluminense.
Veloso, E. (1998). Geometria - Temas atuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional.
PÁG. 36

Subtópicos Conhecimentos, Capacidades e Atitudes que o Competência do
matemáticos aluno deve revelar Perfil dos Alunos
FUNÇÕES
Generalidades Identificar gráfico e a representação gráfica de Tirar partido da utilização da tecnologia (calculadora Compreende,
uma função; usar o teste da reta vertical. gráfica, folhas de cálculo, aplicações interativas, ou interpreta e comunica,
acerca de funções
outras), nomeadamente para resolver problemas, utilizando linguagem
Determinar o domínio e o contradomínio de explorar, investigar e comunicar. matemática. (A)
funções definidas em intervalos reais ou união
finita de intervalos reais. Usar exemplos com significado para os alunos, quando
possível.
Determinar pontos notáveis tendo por base a Apresenta e explica
representação gráfica de funções (interseções com Fomentar a interpretação da informação em situações do conceitos em grupos,
os eixos coordenados, extremidades dos intervalos quotidiano (tabelas, gráficos, textos) e analisar ideias e projetos
do domínio, máximos e mínimos). criticamente dados, informações e resultados obtidos. diante de audiências
reais, presencialmente
Construir tabelas de variação de sinal e de ou a distância. (B)
monotonia.
Funções
Polinomiais Usa modelos para
Estudar intuitivamente propriedades (domínio, Promover a comunicação, utilizando linguagem explicar um
Funções polinomiais contradomínio, pontos notáveis, monotonia e matemática, oralmente e por escrito, para descrever, determinado sistema,
de grau não superior extremos) de uma função polinomial de grau não explicar e justificar procedimentos, raciocínios e para estudar os efeitos
a3 superior a 3. conclusões. das variáveis e para
fazer previsões acerca
Conhecer a fórmula resolvente para resolver Dinamizar a resolução de problemas, em contexto real, do comportamento do
equações do 2.º grau. para calcular os zeros de uma equação de 2.º grau, sistema em estudo. (C)
aplicando a fórmula resolvente.
Sugerir a elaboração de um programa em Python para

determinação das soluções de uma equação quadrática.
PÁG. 37
Interpretar e prever as alterações no gráfico de Conduzir os alunos a interpretar e prever as alterações Usa critérios para
uma função 𝑓(𝑥) + 𝑎 e 𝑓(𝑥 + 𝑏), com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ a no gráfico de uma função 𝑓(𝑥) + 𝑎 e 𝑓(𝑥 + 𝑏), com 𝑎, 𝑏 ∈ apreciar ideias,
partir do gráfico de uma função 𝑓(𝑥), e descrever ℝ a partir do gráfico de uma função 𝑓(𝑥), e descrever o processos ou produtos,
o resultado com recurso à linguagem das resultado com recurso à linguagem das transformações construindo
transformações geométricas. geométricas. argumentos para a
fundamentação das
Funções Inversas tomadas de posição.
(D)
Generalidades Identificar funções invertíveis e não invertíveis: Tirar partido da utilização da tecnologia (calculadora
usar o “teste da reta horizontal”. gráfica, folhas de cálculo, aplicações interativas, ou É confiante, resiliente
outras) para estudar funções invertíveis e comparar e persistente,
Conhecer e interpretar a relação entre o domínio e gráficos de funções e das suas inversas. construindo caminho
contradomínio de funções inversas e a simetria das personalizado de
suas representações gráficas relativamente à aprendizagem de
bissetriz dos quadrantes ímpares. médio e longo prazo,
com base nas suas
Função raiz Estudar intuitivamente, com auxílio da tecnologia Propor o estudo de modelos simples de funções definidas vivências. (F)
quadrada e raiz gráfica, o comportamento de funções com radicais por um radical quadrático ou por um radical cúbico, a
cúbica quadráticos e radicais cúbicos. partir da compreensão das relações numéricas entre duas Trabalha com recurso
variáveis que verificam uma relação de dependência a materiais,
Utilizar métodos gráficos para resolver equações e quadrática ou cúbica. instrumentos,
inequações, no contexto da resolução de ferramentas, máquinas
problemas. e equipamentos
tecnológicos,
Modelação com Resolver problemas simples de modelação Criar condições de aprendizagem para que os alunos, em relacionando
funções matemática, no contexto da vida real, que experiências individuais e colaborativas, tenham conhecimentos
envolvam funções polinomiais e funções com oportunidade de resolver problemas e atividades de técnicos e científicos.
radicais quadráticos e cúbicos. modelação ou desenvolver projetos, com ênfase especial (I)
no trabalho em grupo.
PÁG. 38
Exemplo de programa em Python para determinar as soluções de uma equação do 2.º grau:
import math
a=2
b=1
c=-3
delta=b**2-4*a*c
if delta<0:
print("Não tem soluções")
elif delta==0:
x1=(-b-math.sqrt(delta))/(2*a)
print('Tem só uma solução: ',x1)
else:
x1=(-b-math.sqrt(delta))/(2*a)
x2=(-b+math.sqrt(delta))/(2*a)
print('Tem 2 soluções: ',x1,' e ',x2)
Nota: O programa foi criado em Python IDLE 3.11.0
Caracterizar o gráfico de uma função quadrática como sendo o conjunto de pontos a igual distância de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz).
Caraça, B.J. (1998). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva.

Copérnico, N. (2014). A revolução das orbes celestes. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.
Estrada, M. F. et al. (2000). História da Matemática. Universidade Aberta.
Guichard, J. P. (1986). História da Matemática no ensino da Matemática. Em A. Bouvier (coord), Didactique des Mathématiques, Cedic/Nathan,1986 (Adaptação
livre de Arsélio Martins). Obtido de https://www.mat.uc.pt/~jaimecs/mhist.html.
Grupo de Trabalho T3 (2011). Funções no 3.º Ciclo com Tecnologia. Lisboa: APM.
Icart, J. (2021). Fonctions: Une Perspective Historique. Revue MathémaTICE, nº 75, maio 2021. Obtido de http://revue.sesamath.net/spip.php?article1414.
SESAMATH (2019). Manuel MATHS première. Magnard. Obtido de https://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/?ouvrage=ms1spe_2019.
Teixeira, P. et al. (1997). Funções - 10º ano. Lisboa: Ministério da Educação.
Teixeira, P. et al. (1998). Funções - 11º ano. Lisboa: Ministério da Educação.
PÁG. 39
TEMAS, Tópicos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR Áreas de Competência
e Subtópicos Conhecimentos, Capacidades e do Perfil dos Alunos
matemáticos Atitudes que o aluno deve revelar
PADRÕES
GEOMÉTRICOS
Analisar geometricamente problemas Propor a elaboração de um trabalho de pesquisa, selecionando Compreende, interpreta
históricos ou exemplares do problemas históricos ou exemplares do património artístico, como por e comunica, utilizando
A Matemática património artístico. exemplo, recorrer ao SIPA (Sistema de Informação do Património linguagem matemática.
no património Arquitetónico) e escolher 2 edifícios emblemáticos do nosso (A)
património, descrevendo as pavimentações existentes.
Desenvolver a visualização e o Apresenta e explica
raciocínio geométrico no estudo de Promover o estudo de um artista ou pintor que utilize pavimentações conceitos em grupos,
problemas históricos ou do no seu trabalho, escolher duas obras do mesmo e descrever as ideias e projetos diante
património artístico. pavimentações existentes (por exemplo, Amadeo Souza-Cardoso, de audiências reais,
Almada Negreiros ou Maurits Escher). presencialmente ou a
distância. (B)
Apresentar e descrever um problema histórico com a aplicação de
pavimentações (por exemplo, o puzzle Stomachion de Arquimedes, o Analisa criticamente as
teorema das quatro cores ou padrões de degrau encontrados em conclusões a que chega,
manuscritos Celtas). reformulando, se
necessário, as
Dar a conhecer o conceito de fractal e apresentar alguns exemplos, estratégias adotadas. (C)
tais como o triângulo de Sierpynsky ou o floco de neve de Koch.
Desenvolve ideias e
projetos criativos com
Pavimentações Determinar a amplitude dos ângulos Propor a identificação de uma pavimentação regular e uma sentido no contexto a
internos de um polígono regular. semirregular, no meio circundante (escola, cidade, habitação, etc.), ou que dizem respeito, e
na calçada portuguesa e estudar as suas características, tais como: as testa e decide sobre a
Padrões Reconhecer e construir as figuras geométricas que as compõem e calcular a área das figuras da sua exequibilidade. (D)
pavimentações regulares e região fundamental.
semirregulares no plano e classificá- Trabalha em equipa e
las. Promover o estudo de pavimentações regulares e semirregulares, aprende a considerar
recorrendo a materiais manipuláveis. diversas perspetivas e a
PÁG. 40
Isometrias Reconhecer e aplicar isometrias no Incentivar a construção de frisos e rosáceas, utilizando transformações construir consensos. (E)
plano. geométricas num software de geometria dinâmica para investigar as
Frisos propriedades das transformações geométricas (translação, rotação, Desenha, implementa e
Compreender e ser capaz de utilizar reflexão, reflexão deslizante). avalia, com autonomia,
propriedades e relações relativas a estratégias para atingir
Rosáceas
figuras geométricas. Fomentar a recolha de imagens da arte decorativa, nomeadamente as metas e desafios que
entre as do património artístico nacional ou dos países de origem dos estabelece para si
Estudar padrões geométricos planos, alunos, para analisar simetrias e classificar os frisos, utilizando um próprio. (F)
em particular frisos e rosáceas. fluxograma ou uma chave dicotómica.
Aprecia criticamente as
Representar e construir modelos de realidades artísticas, em
composição de objetos geométricos diferentes suportes
no plano. tecnológicos, pelo
contacto com os diversos
universos culturais. (H)
Podem ainda ser referidas as pavimentações não regulares do plano desenvolvidas pelo matemático e físico Roger Penrose (Prémio Nobel da Física em 2020).
Pode ser realizada em sala de aula uma atividade semelhante à relatada em:
Terroso, J. (2015). A exploração de isometrias nas Pavimentações de Penrose numa turma de 8.º ano, Educação & Matemática, nº 134, p. 17-22. Obtido de
https://em.apm.pt/index.php/em/article/view/1484.
O uso do software português GECLA (abreviatura de Gerador e Classificador) desenvolvido pelo Atractor fornece uma excelente oportunidade para explorar
padrões, frisos e rosáceas. Permite gerar no plano um padrão, um friso, ou uma rosácea, com um determinado tipo de simetria previamente escolhido, a partir de
um motivo assimétrico. Permite também classificar (com ou sem ajuda do programa) padrões, frisos, ou rosáceas assim obtidos. Pode ser usado também no
formato competição. O software GECLA pode ser descarregado aqui: https://www.atractor.pt/mat/GeCla/
Atractor. (2018). A Matemática dos Azulejos. Gazeta de Matemática, nº 186, p. 3-9. Obtido de https://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=1484
Bastos, R. (2006). Simetria. Educação & Matemática, nº 88, p. 9-11. Obtido de https://em.apm.pt/index.php/em/article/view/1484
Ricardo Teixeira (s/d). http://sites.uac.pt/rteixeira/simetrias/
Rota das Simetrias da Calçada Portuguesa de Lisboa. Obtido de https://www.mat.uc.pt/mpt2013/files/RotaSimetrias_INFO.pdf
Science for All: Symmetries and Group Theory. Obtido de http://www.science4all.org/article/symmetries/
Tessellation Artists around the Globe. Obtido de https://tessellations.ca/2017/02/24/tessellation-artists-around-the-globe/
Transformações geométricas nos Programas de Matemática do Ensino Básico e Secundário. Obtido de http://www.mat.uc.pt/~mat0232/Formularios/Transf.pdf
PÁG. 41
Veloso, E. (1998). Geometria - Temas atuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional.

Veloso, E. (2012). Simetria e Transformações Geométricas. Lisboa: APM.
Veloso, E. et al. (2009). Isometrias e Simetria com materiais manipuláveis. Educação & Matemática, nº 101, p. 23-28. Obtido de
https://em.apm.pt/index.php/em/article/view/1746
PÁG. 42

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APRENDIZAGENS ESSENCIAIS | ARTICULAÇÃO COM O PERFIL DOS ALUNOS JANEIRO 2023

10.º ANO | ENSINO SECUNDÁRIO

1. Matemática Escolar Orientada para o Futuro

A formação de indivíduos matematicamente competentes é um propósito fundamental do currículo de Matemática para o

2. Ideias Inovadoras do Currículo

● Matemática para a Cidadania

● Diversificação de temas no currículo

● Papel central da Geometria

● Aproximação aos Cursos Artísticos Especializados

● Aproximação aos Cursos Profissionais

3. Ideias chave das Aprendizagens Essenciais

Figura 1. Ideias chave das aprendizagens essenciais

1) Resolução de problemas, modelação e conexões

3) Recurso sistemático à tecnologia

4) Tarefas e recursos educativos

Apoiar a aprendizagem em tarefas, contextos e recursos diversificados

6) Práticas enriquecedoras e criatividade

Inovar e investir em práticas enriquecedoras, favorecendo o desenvolvimento da criatividade e atitudes

7) Organização do trabalho dos alunos

9) Avaliação para a aprendizagem

4. Operacionalização das Aprendizagens Essenciais

Temas Tópicos Aulas (50 min) Semanas

Geometria Analítica Geometria analítica no plano 15

OPERACIONALIZAÇÃO DAS APRENDIZAGENS ESSENCIAIS (AE)

TEMAS, Tópicos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR Áreas de

Referir que todos os métodos eleitorais têm limitações, nomeadamente,

Modelos Usa modelos para

Promover, em casos simples, o cálculo de:

cA=int(input("N.º de votos do candidato A:"))

ci=1000 #valor inicial

ci=300 #valor inicial

Aspas, R. (2020). Tipos de impostos: diretos e indiretos. Obtido de https://www.doutorfinancas.pt/financas-pessoais/impostos-em-portugal-diretos-e-indiretos/

Salientar que a natureza dos dados não é uma caraterística

de roupa, cujo “tamanho” é uma variável contínua, mas é

Salientar a importância do gráfico de barras e do

Sugerir a elaboração de um programa simples em Python

Realçar e exemplificar que a correlação linear só mede a

Propor a pesquisa na internet de situações em que existem

Estimular a discussão do tema de cada investigação que

Valorizar aspetos relevantes da História da Matemática, ou

ActivAlea – Associação entre variáveis quantitativas. O coeficiente de correlação. Obtido de

Valorizar aspetos relevantes da História da Matemática, ou o recurso à

Valorizar aspetos relevantes da História da Matemática, ou o recurso à

Valorizar aspetos relevantes da História da Matemática, ou o recurso à

Valorizar aspetos relevantes da História da Matemática, ou o recurso à

Bibliografia de referência (trabalhos de projeto)

TEMAS, Tópicos e OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR Áreas de

Propor problemas de modelação matemática, recorrendo à

Wifi num local; Desenha, implementa e

Sugerem-se outros temas para ir mais além (ou para aprofundamento):

TEMAS, Tópicos e OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR Áreas de

Sugerir a elaboração de um programa em Python para

Caraça, B.J. (1998). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva.

Veloso, E. (1998). Geometria - Temas atuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional.

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