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Aula12 Fluidos 2024
Aula12 Fluidos 2024
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Aula 11
Fluidos
1. O que é um Fluido?
A física dos fluidos é a base da engenharia hidráulica, um ramo da engenharia com muitas
aplicações práticas. Um engenheiro nuclear pode estudar o escoamento de um fluido no sistema
hidráulico de um reator nuclear após alguns anos de uso, enquanto um bioengenheiro pode estudar o
fluxo de sangue nas artérias de um paciente idoso. Um engenheiro ambiental pode estar preocupado com
a contaminação das vizinhanças de um depósito de lixo ou com a eficiência de um sistema de irrigação.
Um engenheiro naval pode estar interessado em investigar o risco de mergulho em águas profundas ou a
possibilidade de salvar a tripulação de um submarino danificado. Um engenheiro aeronáutico pode estar
interessando em projetar o sistema hidráulico dos flaps que ajudam o avião a pousar. A engenharia
hidráulica é usada até em espetáculos da Brodway, onde enormes cenários são rapidamente montados e
desmontados por sistemas hidráulicos.
Mas antes de estudar as aplicações da física dos fluidos, precisamos responder à seguinte
pergunta: o que é um fluido?
Um fluido, ao contrário de um sólido, é uma substância que pode escoar. Os fluidos assumem a
forma do recipiente onde são colocados. Eles se comportam dessa forma porque um fluido não é capaz
de resistir a uma força paralela à sua superfície. Ou seja, o fluido escoa porque não é capaz de resistir a
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uma tensão de cisalhamento. Algumas substâncias, como o piche, levam um longo tempo para se
amoldar aos contornos de um recipiente, mas acabam por fazê-lo.
Você talvez se pergunte por que os líquidos e gases são agrupados na mesma categoria e
chamados de fluidos. Afinal, você pode pensar que a água é tão diferente do vapor quanto o gelo. Isso,
porém, não é verdade. O gelo, como outros sólidos cristalinos, tem seus átomos organizados em uma
estrutura tridimensional bastante rígida e bem definida, chamada rede cristalina. Nem no vapor nem na
água em estado liquido, percebemos a presença de um arranjo com ordem de longo alcance como este.
m
V
Pressão
Considere um pequeno sensor de pressão suspenso em um recipiente cheio de
fluido, como mostra a figura seguinte. O sensor é formado por um êmbolo de área
A que pode deslizar no interior do cilindro fechado que repousa sobre uma mola.
Um mostrador registra o deslocamento sofrido pela mola ao ser comprimida pelo
fluido, indicando assim o módulo F da força normal que age sobre o êmbolo.
Definimos pressão do fluido sobre o êmbolo como
F
p
A
Teoricamente, a pressão em qualquer ponto do fluido é o limite da razão acima
quando a área A de um êmbolo com o centro neste ponto tende a zero.
Entretanto, se a força é uniforme em uma superfície plana de área A, podemos
reescrever a equação anterior como
F
p
A
onde F é o módulo da força normal a que está sujeita a superfície de área A. Quando dizemos que a força
é uniforme em uma superfície, significa que a força está uniformemente distribuída por todos os pontos
da superfície.
Observamos experimentalmente que em um dado ponto do fluido em repouso, a pressão p
definida pela equação anterior tem o mesmo valor, qualquer que seja a orientação do êmbolo. A pressão
é uma grandeza escalar, de forma que suas propriedades não dependem da orientação. A força que age
sobre o êmbolo do sensor é uma grandeza vetorial, mas a equação anterior envolve apenas o módulo da
força, que é uma grandeza escalar.
A unidade de pressão no SI é o newton por metro quadrado, que também é conhecida como
pascal (Pa). Existem outras unidades de medida de pressão. A atmosfera (atm) é, como indica o nome, a
pressão média aproximada da atmosfera ao nível do mar. O torr (nome dado em homenagem a
Evangelista Torricelli, que inventou o barômetro de mercúrio em 1674) também é conhecido como
milímetro de mercúrio (mmHg). Temos também a libra por polegada (psi).
3. Fluidos em Repouso
A figura seguinte mostra um tanque de água (ou outro liquido qualquer) aberto para a atmosfera.
Como todo mergulhador sabe, a pressao aumenta com a profundidade, abaixo da interface ar-água. O
medidor de profundidade usado pelos mergulhadores, na verdade, é um sensor de pressão semelhante ao
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que vimos na figura anterior. Como todo alpinista sabe, a pressão diminui com a altitude acima do nivel
do mar. As pressões encontradas por mergulhares e alpinistas são chamadas pressão hidrostática porque
se devem a fluidos estáticos (em repouso). Vamos agora encontrar uma expressão para a pressão
hidrostática em função da profundidade ou altitude.
F2 F1 mg
Mas, lembrando da definição de pressão, podemos reescrever as forças da equação anterior como:
F1 p1 A e F2 p 2 A
A massa m de água contida no cilindro pode ser escrita em função da sua densidade, tal que
escrito como o produto da área da sua base e sua altura. Logo, podemos reescrever a massa m como
m A y1 y 2 . Portanto, temos
p 2 A p1 A gA y1 y 2 p 2 p1 g y1 y 2
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Esta expressão pode ser usada para determinar a pressão tanto em um líquido (em função da
profundidade) como na atmosfera (em função da altitude). No primeiro caso, suponha que estamos
interessados em conhecer a pressão p a uma profundidade h abaixo da superficie do líquido. Neste caso,
escolhemos o nível 1 como sendo a superfície e o nível 2 como sendo a distância h abaixo do nível 1.
Chamando p0 a pressão atmosférica na superfície, temos
y1 0, p1 pO , y 2 h, p 2 p
Portanto:
p p 0 gh
Portanto, a expressão que vimos é válida para determinar a pressão hidrostática para um fluido
contido em qualquer recipiente.
4. O Princípio de Pascal
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pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal (em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do
SI):
p p ext gh
Vamos adicionar mais algumas bolinhas de chumbo ao recipiente, de modo a aumentar a pext de um
valor pext. Como os valores dos parâmetros , g e h da expressão anterior são constantes, a variação da
pressão no ponto P é dada por
p pext
Como esta variação de pressão não depende de h, é a mesma para todos os pontos do interior do liquido,
como afirma o princípio de Pascal.
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equilíbrio, deve existir uma força para baixo de módulo Fs no êmbolo de saída, exercida por uma carga
externa. A força Fe aplicada no lado esquerdo e a força Fs para baixo exercida pela carga no lado
Fe Fs
p
Ae As
e portanto
As
Fs Fe
Ae
A equação acima mostra que a força de saída Fs exercida sobre a carga é maior que a força de
entrada Fs se As > Ae, como acontece na figura anterior.
Se deslocarmos o êmbolo de entrada para baixo de uma distância de, o êmbolo de saída se desloca para
cima de uma distância ds de modo que o mesmo volume de líquido incompressível é deslocado pelos
dois êmbolos. Logo,
V Ae d e As d s
Ae
ds de .
As
Isso mostra que, se As > Ae, o êmbolo de saída percorre uma distância menor que o êmbolo de entrada.
A A
W Fs d s Fe s d e e Fe d e
Ae As
que mostra que o trabalho W realizado sobre o êmbolo de entrada pela força aplicada é igual ao trabalho
realizado pelo êmbolo de saída ao levantar uma carga.
Com um macaco hidráulico, uma certa força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser
transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor.
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Como o produto da força pelo deslocamento permanece inalterado, o trabalho realizado é o
mesmo. Entretanto, é uma grande vantagem poder exercer uma força maior. Muitos de nós, por exemplo,
não temos força para levantar um automóvel, mas podemos fazê-lo usando um macaco hidráulico, ainda
que tenhamos que movimentar a alavanca do macaco por uma distância muito menor que a percorrida
pelo automóvel em uma série de movimentos curtos.
5. O Princípio de Arquimedes
A figura seguinte mostra uma estudante em uma piscina, manuseando em saco de plástico muito
fino (de massa desprezível) cheio de água. Ela observa que o
saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático, ou
seja, não tendem a subir ou a descer. A força gravitacional
para baixo Fg que a água contida no saco está submetida
Esta força resultante para cima é uma força FE que
recebe o nome de força de empuxo. Ela existe porque a pressão da água que envolve o saco aumenta
com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior do saco é maior que na parte superior, o que
equivale a dizer que as forças a que o saco está submetido devido à pressão são maiores em módulo na
parte inferior do saco do que na parte superior. Algumas destas forças estão
representadas na figura ao lado, onde o espaço ocupado pelo saco foi deixado
vazio. Note que os vetores que representam as forças na parte inferior do saco
são mais compridos que os vetores que representam as forças na parte
superior do saco. Quando somamos vetorialmente todas as forças exercidas
pela água sobre o saco, as componentes horizontais se cancelam e a soma das
componentes verticais é o empuxo FE que age sobre o saco.
Como o saco de água está em equilíbrio estático, o módulo de FE é
igual ao módulo mfg da força gravitacional Fg que age sobre o saco com
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Na figura (b) anterior, trocamos o saco de água por uma pedra que ocupa um volume exatamente
igual ao espaço vazio da figura (a) anterior. Dizemos que a pedra desloca a água, ou seja, ocupa o
espaço que de outra forma seria ocupado pela água. Como a forma da cavidade não foi alterada, as
forças na superfície da cavidade são as mesmas que quando o saco com água estava no lugar. Assim, o
mesmo empuxo para cima que agia sobre o saco com água agora age sobre a pedra, ou seja, o módulo
FE do empuxo é igual a mfg, o peso da água deslocada pela pedra.
Ao contrário do saco com água, a pedra não está em equilíbrio estático. A força gravitacional Fg
para baixo que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima, como mostra o
diagrama do corpo livre na figura (b). Assim a pedra acelera para baixo, descendo até o fundo da piscina.
Vamos agora preencher a cavidade da figura (a) com um pedaço de madeira como mostra a
figura (c). Mais uma vez, nada mudou em relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade, de
modo que o módulo FE do empuxo é igual a mfg, o peso da água deslocada. Como a pedra, o pedaço de
madeira não está em equilíbrio estático. Neste caso, porém, o módulo da força gravitacional Fg é menor
que o módulo FE do empuxo, de modo que a madeira acelera para cima, subindo até a superfície.
Nossos resultados para o saco, a pedra e a madeira se aplicam a qualquer fluido e podem ser
resumidos no princípio de Arquimedes:
Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido, uma força de empuxo FE exercida
pelo fluido age sobre o corpo. A força é dirigida para cima e tem um módulo igual ao peso mfg do fluido
deslocado pelo corpo.
FE m f g
Flutuação
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Considere um recipiente contendo um líquido em repouso - por exemplo, água em um balde.
Agora imagine uma porção de volume deste líquido, como mostrado na figura ao lado. Devido à 2ª lei
de Newton, as forças que atuam sobre esta porção de massa se anulam. Quais são estas forças? A
primeira, o peso, atuando para baixo; a segunda, atuando para cima, causada pela diferença de pressão
entre a parte inferior e superior desta porção. A este último tipo de força dá-se o nome de empuxo e
deve-se às diferenças de pressão ao longo da direção vertical em um fluido.
Quando um corpo flutua em um líquido, o módulo FE da força de empuxo que age sobre o corpo é igual
ao módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido.
Mesmo sem entenderem nada a respeito do empuxo e muito menos sobre Arquimedes, os peixes sobem
e descem dentro d’água se utilizando deste fenômeno físico. Constituídos de uma bolsa de ar, eles
regulam a densidade de seus corpos inflando e secando de ar esta bolsa. Assim, para mover para cima, o
peixe aumenta seu volume (diminui sua densidade), e para baixo
contrai seu volume (aumenta sua densidade). Já no caso dos
submarinos, o movimento vertical é controlado pelo aumento ou
diminuição do peso.
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Tente fazer um ovo flutuar na água. Depois dissolva sal
de cozinha na água, até que o ovo flutue. Qual a densidade do
ovo comparada à densidade da água da torneira? E quando
comparada à densidade da água salgada? Você já deve ter
ouvido falar que, no Mar Morto, na Palestina, uma pessoa pode
flutuar facilmente com parte considerável do seu corpo fora da
água. Que propriedade específica dessa água torna isso
possível?
Até aqui tratamos apenas do estudo em fluidos estáticos, em repouso. Esta área do conhecimento
da Física chama-se Hidrostática. Agora vamos considerar o
escoamento de fluidos. Podemos citar vários exemplos de
movimentos de fluidos: na superfície da Terra, os ventos são
um exemplo de escoamento do ar atmosférico; no mar, temos
as correntes marítimas; na sua casa, a água que passa pelas
tubulações hidráulicas; no seu corpo, a circulação sangüínea.
Falando nisso, você “já tirou sua pressão?”
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2. Escoamento incompressível. Supomos, como para fluidos em repouso, que nosso fluido ideal é
incompressível, ou seja, que sua densidade tem um valor uniforme e constante, independente de
pressões externas.
4. Escoamento irrotacional. Embora, a rigor, não seja necessário, vamos também supor que o
escoamento é irrotacional. Para entender o que significa esta propriedade, suponha que um pequeno grão
de areia se move com o fluido. Se o escoamento é irrotacional, este grão de areia não gira em torno de
um eixo que passa pelo seu centro de massa, embora possa girar em torno de um outro eixo qualquer. O
movimento de uma roda gigante, por exemplo, é rotacional, enquanto o movimento dos passageiros é
irrotacional.
Podemos observar o escoamento de um fluido traçador, que pode ser constituído por gotas de
corante injetadas em vários pontos de um liquido ou por partículas de fumaça misturadas a um gás. Cada
gota ou partícula de um traçador torna visível uma linha de fluxo, que é a trajetória seguida por um
pequeno elemento do fluido. Sabemos que a velocidade de uma partícula é sempre tangente à sua
trajetória. Neste caso, a partícula é o elemento de fluido e sua velocidade v é sempre tangente a uma
linha de fluxo. Por esta razão, duas linhas de fluxo jamais se cruzam; se o fizessem, uma partícula que
chegasse ao ponto de intersecção poderia ter, ao mesmo tempo, duas velocidades distintas, o que seria
um absurdo.
7. Equação da Continuidade
Você provavelmente já observou que é possível aumentar a velocidade da água que sai de uma
mangueira de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com seu dedo polegar. Esta é uma
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demonstração prática do fato de que a velocidade v da água depende da área da secção transversal reta
através da qual a água escoa.
V Ax Avt
Aplicando a equação acima às duas extremidades do segmento do tubo da figura anterior, temos:
V A1v1 t A2 v 2 t
ou seja,
A1v1 A2 v 2
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Esta relação entre a velocidade e a área da secção reta é chamada de equação da continuidade para o
escoamento de um fluido ideal. Ela nos diz que a velocidade do escoamento aumenta quando a área da
secção reta através da qual o fluido escoa é reduzida (como acontece quando fechamos parcialmente o
bico da mangueira de jardim com o dedo).
RV Av constante
onde RV é a vazão do fluido (volume que passa por uma secção reta por unidade de tempo). A unidade
de vazão no SI é o metro cúbico por segundo (m3/s). Se a densidade do fluido for uniforme, podemos
multiplicar pela massa para obter a vazão mássica Rm (massa por unidade de tempo):
A unidade de vazão mássica no SI é o quilograma por segundo (kg/s). A equação anterior nos diz que a
massa que entra no segmento do tubo da figura anterior por segundo deve ser igual à massa que sair do
segmento, por segundo. Ou seja, a equação da continuidade representa a conservação da massa.
8. A Equação de Bernoulli
A figura seguinte mostra um tubo através do qual um fluido ideal escoa com vazão constante.
Suponha que, em um intervalo de tempo t, um volume V do fluido, de cor violeta na figura, entra pela
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extremidade esquerda (entrada) do tubo e um volume igual, de cor verde sai pela extremidade direita
(saída). Como o fluido é incompressível, com uma massa especifica constante , o volume que sai deve
ser igual ao volume que entra.
1 2 1
p1 v1 gy1 p 2 v 22 gy 2
2 2
1 2
onde o termo v é chamado de energia cinética específica (energia
2
cinética por unidade de volume) do fluido. A equação anterior pode
ser escrita na forma
1 2
p v gy constante
2
p 2 p1 g ( y1 y 2 )
Uma previsão importante da equação de Bernoulli surge quando supomos que y é constante (y =
0, por exemplo), ou seja, a altura do fluido não varia. Neste caso, temos:
1 2 1
p1 v1 p 2 v 22
2 2
ou seja,
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Se a velocidade de um fluido aumenta enquanto ele se move horizontalmente ao longo de uma linha de
fluxo, a pressão do fluido diminui, e vice-versa.
Isso significa que nas regiões em que as linhas de fluxo estão mais concentradas (ou seja, em que a
velocidade é maior) a pressão é menor, e vice-versa.
A relação entre variações de velocidade e variações de pressão faz sentido quando consideramos
um elemento de fluido. Quando um elemento se aproxima de uma região estreita, a pressão mais elevada
atrás dele o acelera, de modo que ele adquire maior velocidade. Quando o elemento se aproxima de uma
região mais larga, a pressão maior à frente o desacelera, de modo que ele adquire uma velocidade menor.
E equação de Bernoulli é estritamente válida apenas para fluidos ideais. Quando forças viscosas
estão presentes, parte da energia é convertida em energia térmica. Na demonstração que se segue, vamos
supor que o fluido é ideal.
W K
1 1
K mv 22 mv12
2 2 ,
1
K V v 2 v1
2
2 2
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onde m V é a massa do fluido que entra em uma extremidade e sai pela outra extremidade
durante um pequeno intervalo de tempo t.
O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens. O trabalho Wg realizado pela força
gravitacional ( mg ) sobre o fluido de massa m durante a subida da massa do nível de entrada até o
nível de saída, que é dado por
W g mg y 2 y1
.
W g gV y 2 y1
Este trabalho é negativo, por o deslocamento acontece para cima e a força gravitacional aponta para
baixo.
Algum trabalho também precisa ser realizado sobre o sistema (na extremidade de entrada) para
empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema (na extremidade de saída) para empurrar o fluido
que está mais adiante no tubo. O trabalho realizado por uma força de módulo F, agindo sobre uma
amostra do fluido contida em um tubo de área A para mover o fluido a uma distância x é:
WP p 2 V p1 V
WP p 2 p1 V
W W g WP K
gV y 2 y1 p 2 p1 V
1
2
V v 22 v12
1 1
gy 2 p 2 v 22 gy1 p1 v12
2 2
ou seja
1 2 1
p1 v1 gy1 p 2 v 22 gy 2
2 2
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As aplicações do princípio de Bernoulli estão fortemente presentes em nossa volta. Da tecnologia
aeronáutica aos esportes. Basta olhar para um avião que voa para dar um dos exemplos, ou um efeito na
bola dado por um jogador de tênis ou de futebol. Para o caso dos aviões, suas asas são projetadas para
que o ar mova-se acima com mais rapidez do que em baixo. Isto provoca uma diferença de pressão de
baixo para cima, gerando uma força de pressão de sustentação. A figura abaixo mostra o princípio de
sustentação de uma asa. O fluxo de ar sobre a asa é mais rápido do que na parte inferior. Pelo princípio
de Bernoulli, a pressão na parte de cima da asa fica menor do que em baixo. Devido a esta diferença de
pressão, uma força de baixo para cima FS, como o empuxo, faz com que a asa tenha sustentação
aerodinâmica.
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