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Aula 03 - Equação Do 1º e Do 2º Grau - IME e ITA 2024
Aula 03 - Equação Do 1º e Do 2º Grau - IME e ITA 2024
Aula 03 - Equação Do 1º e Do 2º Grau - IME e ITA 2024
Ismael Santos
Matemática Básica
2024
AULA 04
Equações
Sumário
1.0 - Introdução 3
12 - Considerações Finais 89
AULA 04 – EQUAÇÕES 2
Prof. Ismael Santos
1.0 - Introdução
Chegamos a um ponto muito importante para a sua prova. Não que os outros já estudados
não sejam, mas este está presente em quase todas as questões, por se tratar de um
desdobramento natural nas resoluções.
Desta forma, solicito que leiam com muita atenção, bem como façam as questões como
bastante afinco.
Na sua prova, praticamente em todos os anos, caiu ao menos uma questão que verse sobre
esta aula. Já dá para perceber o tamanho da importância de aprender de fato este tema.
O assunto é: EQUAÇÃO DO 1º GRAU. Temas muito importantes para qualquer concurso
militar, ainda mais o seu. Desta forma, peço que preste bastante atenção na teoria, além de
praticar bastante cada propriedade. Estes tópicos irão ajudar lá na frente. Não dê mole. Foco total.
Vamos nessa?
“O segredo do sucesso é a constância no objetivo”
1 - Introdução
Antes de adentrarmos especificamente no estudo das equações do 1º grau, precisamos
bater alguns conceitos importantes para seu aprendizado. Ressalto que, a prova de matemática,
como um todo, se resume em resoluções de equações, ainda que de forma indireta. Assim, preste
bastante atenção nas propriedades, nas classificações, nas nomenclaturas, nos métodos de solução
e nos desdobramentos.
Muitos alunos, confundem alguns conceitos iniciais deste tópico. Bom, para que você fique
esperto quanto a estes pontos, vou destacar os principais, pode ser?
Conjunto Universo É o conjunto mais amplo de Ex: pode ser qualquer um dos
determinado problema. conjuntos fundamentais (N, Z,
Q, I ou R)
AULA 04 – EQUAÇÕES 3
Prof. Ismael Santos
Termos Semelhantes São aqueles que possuem mesma Ex: 9x e 4x (são semelhantes)
incógnita como mesmo expoente,
8y2 e -5y2 (são semelhantes)
ou não possuem incógnita.
10 e -16 (são semelhantes)
2𝑥 + 1 = 10
✓ 1º membro: 2𝑥 + 1
✓ 2º membro: 10
✓ Parte literal: 𝑥
✓ Coeficiente da variável: 2
Em outras palavras, equação do 1º grau é toda igualdade entre expressões algébricas, cuja
identidade numérica se verifica para somente um valor real atribuído a sua variável. Este valor da
variável real que torna a identidade numérica verdadeira pode ser chamado de Conjunto Verdade,
Conjunto Solução, Raiz ou Zero da equação, todos sinônimos. Perceba ainda que o termo da
esquerda da equação constitui o primeiro membro, enquanto os termos da direita da equação
constituem o segundo membro.
Tenha em mente que, a parte literal, ou variável real, que compõe as equações do 1º grau,
pode assumir quaisquer valores reais, porém, somente um deles fará a identidade (igualdade) ser
verdadeira. Veja o exemplo a seguir:
2𝑥 + 1 = 7
a) Tomando x=0
AULA 04 – EQUAÇÕES 4
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2.(0) + 1 = 7
0 +1 = 7
1 = 7 ( falso)
b) Tomando x =1
2.(1) + 1 = 7
2 +1 = 7
3 = 7 ( falso)
c) Tomando x=3
2.(3) + 1 = 7
6 +1 = 7
7 = 7 (verdade)
Veja que, dos possíveis valores assumidos pela variável x, somente um deles deu uma
igualdade verdadeira, qual seja, para x=3. Desta forma, podemos afirmar que o número {3} é o
Conjunto Verdade, Conjunto Solução, Raiz ou Zero da equação.
É claro que, para encontrar as raízes de cada equação dada, não será preciso fazer do modo acima
(tentativa e erro). Nós aprenderemos, nos próximos tópicos, como achar a raiz de uma equação do 1º grau
de uma forma bem mais simples, ok?
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
Caso estas condições não sejam satisfeitas, a equação dada não poderá ser classificada em equação do 1º
grau. Terá por sua vez outras possíveis classificações, as quais serão vistas no próximo tópico.
AULA 04 – EQUAÇÕES 5
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3º - jogue todo o segundo membro para o lado do primeiro, não esquecendo de trocar o sinal.
Veja um exemplo prático de como se colocar uma equação na sua forma reduzida:
7 x + 4 = 2 x + 24
A segunda forma (que acredito ser a mais aconselhável), possui, basicamente, dois passos:
1º - é colocar tanto as partes literais quanto os membros que são constantes num mesmo lado
da igualdade, que, em regra, fica do lado esquerdo (lado do 1º membro).
Veja um exemplo prático de como se colocar uma equação na sua forma reduzida, consoante o
exemplo acima:
2 x + 11 = x + 6
x + 5 = 0 → Forma reduzida
AULA 04 – EQUAÇÕES 6
Prof. Ismael Santos
Você já percebeu que, para que possa apresentar uma equação na sua forma reduzida, ou até
mesmo para encontrar as soluções que as satisfazem, faz-se necessário a mudança de lado de
alguns termos de forma a isolar a variável das constantes. Desta forma, toda vez que você trocar
de lado algum componente, terá que trocar de o sinal do mesmo.
Enquanto na equação do 1º grau apenas um valor faz a igualdade ser verificada, aqui, neste
tópico genérico de equações, existe a possibilidade de um ou mais valores satisfazerem a
igualdade. Isso se faz verdade pois podemos ter equações de diversos formas e graus.
a) RACIONAIS: Serão classificadas em equações racionais quando a variável real não estiver
sob um expoente fracionário, ou seja, não estiver dentro de um radical.
x +1 = 0
3 x − 10
=0
5
1 x2
3+ =
x +1 x +1
1 x +1
=
x 7
- Equação Racional Inteira: se todos os expoentes das incógnitas forem números inteiros
positivos. Veja, abaixo, alguns exemplos:
AULA 04 – EQUAÇÕES 7
Prof. Ismael Santos
2 x 2 + 3x − 1 = 0
7 x 4 + 3x 2 + x − 3 = 0
2x −1 = 0
- Equação Racional Fracionária: se algum, ou até mesmo todos os expoentes das incógnitas
forem números inteiros negativos. Ou ainda, quando a equação apresentar variável no
denominador. Veja, abaixo, alguns exemplos:
3+ x x
+7 =
x x +1
x −1 − 17 = 2 x − 3
2 x +1 = x +1
1
2 x −2 + 7 =
x
Dentro dessas duas classificações, racionais e irracionais, temos outras subdivisões. Vamos
entender e conhecê-las um pouco melhor.
• EQUAÇÕES EQUIVALENTES:
Duas ou mais equações são ditas equivalentes quando admitem as mesmas soluções, ou
ainda, possuem os mesmos conjuntos verdade
x + 7 = 0 → admite -7 como solução
−2 x + 1 = 15 → admite -7 como solução
Quando dizemos que -7 é solução de determinada equação, significa dizer que este valor,
quando substituído na equação resulta uma igualdade verdadeira.
AULA 04 – EQUAÇÕES 8
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• EQUAÇÃO IDENTIDADE:
É toda equação em que quaisquer valores da variável (ou incógnita) a igualdade é
verificada.
4x + 2
2x +1 =
2
Perceba, o exemplo acima, que para qualquer valor de x, a sentença será sempre
verdadeira.
• EQUAÇÃO NUMÉRICA:
É a equação que não possui nenhuma outra letra, a não ser a própria variável real.
x − 7 = −3x + 2 → variável x
• EQUAÇÃO LITERAL:
É toda equação que contém outra letra (chamada de constante ou parâmetro), além da
própria variável.
4ax + 7 = 3ax − 11 → variável x , constante a.
4bcy + 3c = 7b − y → variável y , constantes b e c.
3x − 4 = 2 x + 12 + 3 → Fazendo a distributiva
x = 19 → Encontrando a raiz
AULA 04 – EQUAÇÕES 9
Prof. Ismael Santos
Note que o exemplo acima, trata-se de uma equação possível e determinada, pois somente
o valor de x=19 faz a expressão ser uma igualdade.
3x − 7 = 3( x −1) − 4
3x − 7 = 3x − 3 − 4 → Fazendo a distributiva
Note que o exemplo acima, trata-se de uma equação possível e indeterminada, pois
independentemente do valor de x, após as devidas operações, o resultado será sempre uma
igualdade.
Toda vez que, após a resolução de uma equação, o resultado lhe oferecer a igualdade
0=0, estará você diante de uma equação possível e indeterminada (uma identidade), ou
seja, uma equação com infinitas soluções.
Desta forma, o conjunto solução será formado pelo conjunto dos REAIS.
• EQUAÇÃO IMPOSSÍVEL:
É toda equação que não admite solução. Logo seu conjunto verdade é VAZIO. A grosso
modo, podemos dizer que tem a seguinte forma:
ax + b = 0 ; a=0 e b0
Perceba que se o coeficiente a for igual a zero, restará somente o coeficiente b, o qual estará
igualado a zero. Porém, a condição para que seja impossível a equação é justamente o b ser
diferente de zero, o que faz a expressão ter uma inconsistência.
AULA 04 – EQUAÇÕES 10
Prof. Ismael Santos
Como pode algo ser diferente de zero e ao mesmo tempo igual? Pois é. Por isso este tipo de
equação não possui solução, em outras palavras, é impossível.
Depois de passearmos um pouco nas diversas classificações das equações, vamos voltar nossas
atenções para as EQUAÇÕES DO 1º GRAU, ok??
Num primeiro momento, saiba que, para que seja encontrada a raiz de uma equação, existe
a possibilidade de deixá-la na sua forma reduzida, e após este procedimento, aplicar o seguinte
processo prático:
ax + b = 0
Por outro lado, faz-se necessário realizar alguns protocolos de simplificação da expressão
original para que ela fique numa forma mais amigável, ou seja, para uma mais simples resolução.
Dada a equação para sua devida resolução, lembre-se sempre dos seguintes passos:
AULA 04 – EQUAÇÕES 11
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1) 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟏
Isolam-se num dos membros todos os termos que contêm a variável e, do outro, os valores
que independem das variáveis (os números):
4𝑥 – 2𝑥 = 11 – 3
2) 𝟐𝒂𝒙 – (𝒂 – 𝟐) = 𝟑 + 𝒂𝒙
AULA 04 – EQUAÇÕES 12
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1 + a
S =V =
a
𝟏 𝟑
3) 𝟏 + = −𝟐
𝟐𝒙+𝟏 𝟐𝒙+𝟏
1 3
2 x + 1. 1 + = 2 x + 1. − 2 2 x + 1 + 1 = 3 − 2(2 x + 1)
2x +1 2x +1
2 x + 2 = 3 − 4 x − 2 2 x + 2 = −4 x + 1
Isolam-se num dos membros todos os termos que contêm a variável e, do outro, os
valores que independem das variáveis (os números).
2x + 4x = 1 − 2
Reduzem-se os termos semelhantes
6 x = −1
Dividem-se os dois membros pelo coeficiente da variável
6 x −1 −1
= x=
6 6 6
Representação da solução.
1 1
S = − ou V = −
6 6
Sistemas lineares do 1º grau com duas variáveis são um conjunto de expressões algébricas
de duas variáveis distintas, geralmente definidas por “x” e “y”, representadas da seguinte forma:
AULA 04 – EQUAÇÕES 13
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a.x + b. y = c
(Forma reduzida)
d .x + e. y = f
✓ A parte literal dessas expressões algébricas é representada pelas letras “x” e “y” (variáveis
ou incógnitas) elevadas ao expoente 1 (um) e, por isso, denominadas lineares (seus gráficos
são representados, no plano cartesiano, por retas ou linhas);
✓ a parte numérica, nesse caso, os coeficientes das equações, é representada por “a”, “b”,
“c”, “d”, “e” e “f”.
Tenha sempre em mente que ao resolver determinado sistema, a solução encontrada será comum
a todas as equações. Outro ponto: quando digo forma reduzida, quero deixar claro que a questão
pode trazer o sistema com uma outra cara, não tão simples como essa!!
Os coeficientes “c” e “f” no sistema linear já reduzido na forma anterior são chamados termos
independentes de “x” e de “y”, respectivamente.
Exemplos:
x + 5 y = 13
2 x − 6 y = −2
x + y = 27
x − y = 11
− x + 3 y = 6
x + 5 y = 34
Também podemos representar a parte literal por outras letras, por exemplo, variáveis por “m” e
“n”. Exemplos:
m + 11.n = 19
−2.m − 7.n = −16
m + 8.n = 33
m − 7.n = 1
Deixo registrado que existem cinco métodos de resolução de um sistema linear formado por
equações do 1º grau com duas incógnitas: adição, subtração, substituição, comparação e divisão.
AULA 04 – EQUAÇÕES 14
Prof. Ismael Santos
É aconselhável praticar apenas um dos métodos citados (o que lhe for mais conveniente),
apesar de que, alguns desenvolvimentos podem inferir na utilização de outro método que não seja
aquele com o qual o aluno teve mais afinidade.
3x + 2 y = 14
5 x − 2 y = 18
32
8 x = 32 x = x=4
8
3x + 2 y = 14 3.4 + 2 y = 14 12 + 2 y = 14 2 y = 14 − 12
2
y = y =1
2
O conjunto verdade ou conjunto solução de um sistema linear é representado por um par ordenado de
valores: (x ; y), sendo “x” a abscissa do par e “y” a sua respectiva ordenada. Este ponto, ainda que não tenha
ficado tão claro, será objeto de explicação de aula posterior. Então, apenas registre este comentário!
AULA 04 – EQUAÇÕES 15
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3x + 4 y − 2x − 4 y = 14 −12 3x − 2 y + 4 y − 4 y = 2 x = 2
Método da substituição: utiliza-se o método da substituição quando uma das variáveis aparece
isolada (ou sozinha) em uma das equações, por conseguinte, substitui-se na outra equação o valor
em destaque que aparece isolado. Exemplo:
7 x + 2 y = 13.............(1)
y = 3x.......................(2)
Substituindo-se o termo “3x” (que representa o valor de “y” isolado) na equação (1), tem-se:
7 x + 2 y = 13 7 x + 2.(3x) = 13 7 x + 6x = 13
13
13x = 13 x = x =1
13
AULA 04 – EQUAÇÕES 16
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Método da comparação: utiliza-se o método da comparação quando uma das variáveis aparece
isolada nas duas equações, por conseguinte, comparam-se (ou igualam-se) os valores isolados.
Exemplo:
y = 5 x − 15.............(1)
y = x − 3.................(2)
V = S = {(3;0)},
5
x = 4 y − 75..............(1)
4
10 x = y − 25...............(2)
12
AULA 04 – EQUAÇÕES 17
Prof. Ismael Santos
5x 5x 5x 5x
= 4 y − 75 = 4.15 − 75 = 60 − 75 = −15
4 4 4 4
15.4
x=− x = −12
5
S = {(−12;15)}
A seguir são apresentadas as condições para que o sistema se enquadre em cada uma das
categorias, observada ainda a sua interpretação geométrica, onde cada equação do 1º grau em x
e y representa uma reta no plano, podendo ter ou não interseções entre si.
a 1 x + b1 y = c 1
a 2 x + b 2 y = c 2
temos:
a 1 b1
✓ Se a b 2 , então o sistema é possível e determinado, possui uma única solução e sua
2
a 1 b1 c 1
= =
✓ Se a b c 2 , então o sistema é possível e indeterminado, possui infinitas soluções e
2 2
a 1 b1 c 1
=
✓ Se a b c 2 , então o sistema é impossível, não possui soluções e a sua
2 2
AULA 04 – EQUAÇÕES 18
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4) Discutir o sistema
2x + 6y = 7
−2x − 6y = −10
Comentário:
2 6 7
=
−2 −6 −10
5) Discutir o sistema
2x − y = 4
−2x + y = −4
Comentário:
2 −1 4
= =
−2 1 −4
Isso também pode ser observado somando as equações, o que resulta: 0 = 0 , que é sempre
verdadeira. Portanto, o sistema é possível e indeterminado.
AULA 04 – EQUAÇÕES 19
Prof. Ismael Santos
O quadrado de um número “𝑥 2 ”
AULA 04 – EQUAÇÕES 20
Prof. Ismael Santos
A partir destas modelagens matemáticas, cabe a você praticar muitas questões. Para isso,
selecionei algumas sobre este tema, bem como sobre os temas anteriores.
a) 6 x − 8 = 4 x − 18
AULA 04 – EQUAÇÕES 21
Prof. Ismael Santos
b) 9 x −10 − 3x = x + 10
8x x
c) − =2
7 14
x 2( x − 1)
02. Sendo U = Z, resolva a equação − = 1− x
6 9
22
a) V =
17
14
b) V =
17
c) V =
d) V = −6
e) V = −2
x 3x
03. As equações + = 32 e kx − x = 40 são equivalentes. Calcule o valor de k.
2 5
2x −1 x + 1 5 x
05. (EsSA) As equações − = e + mx = x + 5 são equivalentes se m for igual a:
3 2 6 2
a) 10
b) 0
c) -1
d) 1
e) -5
AULA 04 – EQUAÇÕES 22
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1 3 5
06. (EsSA) Se a equação 2ax − 3 = x + 3 é equivalente a equação − = 2
x − 1 x − 2 x − 3x + 2
a) a = -2
b) a = 2
c) a = 1
d) a = -1
e) a = -4/5
x
07. Sabendo que -1 é raiz de −2kx + = 3, calcule k.
2
2x x
08. Verifique se -3 é raiz de + = −2
6 3
x − 2 x +1
09. (EPSJV-2000) A raiz da equação = é:
5 2
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
e) -3
5 − 3x
10. (EPCAr-2002)O valor de x que é solução da equação 3x − 2( x − 5) − = 0 é tal que:
2
a) -6 < x < 0
AULA 04 – EQUAÇÕES 23
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c) 3 < x < 10
d) 12 < x < 18
11. (EsSA) Uma das raízes da equação 3x 2 − px − q = 0, na qual x é a variável, é o elemento -1. O
valor de p – q é:
a) -1
b) 0
c) -3
d) 3
e) 1
x
12. (CEFET) Dada a sentença y = − 2, se você trocar o x pelo y a nova expressão y será:
3
a) y = x + 2
b) y = 2x − 6
c) y = 6x + 3
d) y = −2x + 3
e) y = 3x + 6
y x −1
13. (CEFET) A sentença − = 1 pode, também ser escrita na forma:
2 3
a) 3 y + 2x − 4 = 0
b) 3 y − 2x + 4 = 0
c) 3 y − 2x − 4 = 0
d) 3 y + 2x + 4 = 0
AULA 04 – EQUAÇÕES 24
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e) 3 y − 2x − 8 = 0
5 x − 3 4 2 x 20 x − 8 7 x
14. (EPCAr-2005) Com base na igualdade − + = − podemos afirmar que:
2 5 3 3 2
(Exercício Modelo)
a) 6 x − 8 = 4 x − 18
b) 9 x −10 − 3x = x + 10
8x x
c) − =2
7 14
Comentário:
a) 6 x − 8 = 4 x −18 6 x − 4 x = −18 + 8
𝟏𝟎
⇒ 𝟐𝒙 = −𝟏𝟎 ⇒ 𝒙 = − ⇒ 𝒙 = −𝟓
𝟐
b) 9 x −10 = 3x = x + 10 9 x − 3x − x = 10 + 10
20
⇒ 5𝑥 = 20 ⇒ 𝑥 = ⇒𝑥=5
4
AULA 04 – EQUAÇÕES 25
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8x x
c) − =2 ;
7 14
Fazendo o MMC (7;14) = 14 , como temos números múltiplos, o MMC será o maior deles. A partir
daí, multiplicando-se toda a expressão pelo MMC, temos:
8𝑥 𝑥
14 ( − ) = 2. (14)
7 14
28
𝑥=
15
(Exercício Modelo)
x 2( x − 1)
02. Sendo U = Z, resolva a equação − = 1− x
6 9
22
a) V =
17
14
b) V =
17
c) V =
d) V = −6
e) V = −2
Comentário:
𝑥 2(𝑥−1)
− = 1 − 𝑥 ; MMC (6;9) = 18 , pois é o menor múltiplo comum entre eles. Logo:
6 9
𝑥 2. (𝑥 − 1)
18. [( − )] = (1 − 𝑥).18
6 9
3𝑥 − 4(𝑥 − 1) = 18 − 18𝑥 ⇒ 3𝑥 − 4𝑥 + 4 = 18 − 18𝑥 ⇒
14
⇒ 21𝑥 − 4𝑥 = 14 ⇒ 17𝑥 = 14 ⇒ 𝑥 =
17
14
Como o conjunto universo da solução deve ser os inteiros, não temos solução, pois:17 ∉ ℤ
Gabarito: B
(Exercício Modelo)
AULA 04 – EQUAÇÕES 26
Prof. Ismael Santos
x 3x
03. As equações + = 32 e kx − x = 40 são equivalentes. Calcule o valor de k.
2 5
Comentário:
Dizer que duas expressões são equivalentes, é o mesmo que falar que possuem a mesma solução.
Temos que nos ater, num primeiro momento no MMC. Já é sabido que quando dois ou mais
números são primos entre si, o MMC será sempre o produto entre eles. Assim:
𝒙 𝟑𝒙
+ 𝟓 = 𝟑𝟐 ; MMC (2;5)=10 ,
𝟐
Logo, multiplicando-se toda a equação pelo MMC, temos:
𝑥 3𝑥
10. ( + ) = 32.10
2 5
5𝑥 + 6𝑥 = 320
320
11𝑥 = 320 ⇒ 𝑥 =
11
Assim, por serem equivalentes, podemos substituir a solução da primeira equação na segunda.
Vamos a ela:
320 320
𝑘. 𝑥 − 𝑥 = 40 ⇒ 𝑘. ( )− = 40
11 11
(Exercício Modelo)
Comentário:
Dizer que duas expressões são equivalentes, é o mesmo que falar que possuem a mesma solução.
Com isso, podemos iniciar a resolução da forma colocando em evidência a variável e a isolando,
ou em outras palavras, encontrando o “x” em função de “a”.
2
−2𝑎𝑥 + 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥(1 − 2𝑎) = 2 ⇒ 𝑥 = 1−2𝑎
Temos ainda que: 2𝑥 − 6 = 𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 − 𝑥 = 1 + 6 ⇒ 𝑥 = 7
Assim, por serem equivalentes, podemos substituir a solução da segunda equação na primeira.
Vamos a ela:
2 2
𝑥= ⇒7= ⇒
1 − 2𝑎 1 − 2𝑎
⇒ 7. (1 − 2𝑎) = 2 ⇒ 7 − 14𝑎 = 2 ⇒
AULA 04 – EQUAÇÕES 27
Prof. Ismael Santos
5
14𝑎 = 7 − 2 ⇒ 14𝑎 = 5 ⇒ 𝑎 =
14
(Exercício Modelo)
2x −1 x + 1 5 x
05. (EsSA) As equações − = e + mx = x + 5 são equivalentes se m for igual a:
3 2 6 2
a) 10
b) 0
c) -1
d) 1
e) -5
Comentário:
Dizer que duas expressões são equivalentes, é o mesmo que falar que possuem a mesma solução.
Assim, num primeiro momento devemos eliminar os denominadores. Vamos a resolução:
2𝑥−1 𝑥+1 5
− = ; MMC (3;2;6). Logo:
3 2 6
2𝑥 − 1 𝑥 + 1 5
6. ( − ) = 6. ( ) ⇒
3 2 6
2. (2𝑥 − 1) − 3(𝑥 + 1) = 5 ⇒ 4𝑥 − 2 − 3𝑥 − 3 = 5 ⇒
⇒ 𝑥 − 5 = 5 ⇒ 𝑥 = 10
Temos ainda:
𝑥 10
+ 𝑚𝑥 = 𝑥 + 5 ⇒ + 10. 𝑚 = 10 + 5 ⇒
2 2
⇒ 5 + 10𝑚 = 15 ⇒ 10𝑚 = 10 ⇒ 𝑚 = 1
Gabarito: D
(Exercício Modelo)
1 3 5
06. (EsSA) Se a equação 2ax − 3 = x + 3 é equivalente a equação − = 2
x − 1 x − 2 x − 3x + 2
a) a = -2
b) a = 2
c) a = 1
d) a = -1
AULA 04 – EQUAÇÕES 28
Prof. Ismael Santos
e) a = -4/5
Comentário:
Nunca esqueça: dizer que duas ou mais equações são equivalente é o mesmo que dizer que as
mesmas possuem a mesma solução. Diante disso, basta encontrar a raiz de uma delas, e , após
isso, substituir na outra.
2𝑎𝑥 − 3 = 𝑥 + 3
6
2𝑎𝑥 − 𝑥 = 3 + 3 ⇒ 𝑥. (2𝑎 − 1) = 6 ⇒ 𝑥 =
2𝑎 − 1
Temos ainda que:
𝟏 𝟑 𝟓
− = 𝟐
𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐
Usando a fatoração, sabemos que:
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Assim, vamos encontrar o MMC:
1 3 5
− = ⇒ 𝑀𝑀𝐶(𝑥 − 1; 𝑥 − 2) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
𝑥 − 1 𝑥 − 2 (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Logo, após multiplicar toda a equação pelo MMC, obtemos o seguinte:
(𝑥 − 2) − 3. (𝑥 − 1) = 5
Fazendo a distributiva e isolando os termos semelhantes, temos:
𝑥 − 2 − 3𝑥 + 3 = 5 ⇒ −2𝑥 = 5 − 1 ⇒ −2𝑥 = 4
2𝑥 = −4 ⇒ 𝑥 = −2
Desta forma, temos que:
6 6
𝑥= ⇒ −2 = ⇒ −4𝑎 + 2 = 6 ⇒
2𝑎 − 1 2𝑎 − 1
⇒ 4𝑎 = −4 ⇒ 𝑎 = −1
Gabarito: D
(Exercício Modelo)
x
07. Sabendo que -1 é raiz de −2kx + = 3, calcule k.
2
Comentário:
Já é sabido que, se determinado valor é raiz de uma equação, então ao substituir este mesmo
valor na equação, temos que obter como resultado uma igualdade, que resulta no valor numérico
igual a ZERO. Neste caso em específico, como não se sabe o valor de K, encontraremos então o
valor deste. Vamos para a resolução em si:
x
−2k .x + = 3; x = −1,
2
AULA 04 – EQUAÇÕES 29
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1 1 7 7
−2k.(−1) − = 3 2k = 3 + 2 k = k =
2 2 2 4
(Exercício Modelo)
2x x
08. Verifique se -3 é raiz de + = −2
6 3
Comentário:
Já é sabido que, se determinado valor é raiz de uma equação, então ao substituir este mesmo
valor na equação, temos que obter como resultado uma igualdade, que resulta no valor numérico
igual a ZERO, como dito na questão anterior. Logo:
2𝑥 𝑥
+ 3 = −2 ; x=-3 ; Assim, ao substituir, temos:
6
2. (−3) 3 −6 3
− = −2 ⇒ − = −2
6 3 6 3
(−1) + (−1) = −2 ⇒ −2 = −2 (igualdade)
Logo, é raiz.
(Exercício Modelo)
x − 2 x +1
09. (EPSJV-2000) A raiz da equação = é:
5 2
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
e) -3
Comentário:
Basta isolar a incógnita, ou seja, encontrar o valor que zera a nossa equação.
x − 2 x +1
= 2.( x − 2) = 5.( x + 1)
5 2
2 x − 4 = 5x + 5 5x − 2 x = −4 − 5
AULA 04 – EQUAÇÕES 30
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9
3x = −9 x = − x = −3
3
Gabarito: E
(Exercício Modelo)
5 − 3x
10. (EPCAr-2002) O valor de x que é solução da equação 3x − 2( x − 5) − = 0 é tal que:
2
a) -6 < x < 0
c) 3 < x < 10
d) 12 < x < 18
Comentário:
Basta isolar a incógnita, ou seja, encontrar o valor que zera a nossa equação. Após isso, verificar
em que intervalo este número pertence. Vamos a sua resolução:
5 − 3x
3x − 2.( x − 5) − =0
2
5 − 3x
3x − 2 x + 10 = ; Multiplicando toda a equação por 2, temos:
2
2.( x +10) = 5 − 3x 2x + 20 = 5 − 3x
2 x + 3x = 5 − 20 5x = −15 x = −3
Logo: −6 −3 0 −6 x 0
Gabarito: A
(Exercício Modelo)
11. (EsSA) Uma das raízes da equação 3x 2 − px − q = 0, na qual x é a variável, é o elemento -1. O
valor de p – q é:
a) -1
AULA 04 – EQUAÇÕES 31
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b) 0
c) -3
d) 3
e) 1
Comentário:
3.(−1)2 − p.(−1) − q = 0 3 + p − q = 0
p − q = −3
Gabarito: C
(Exercício Modelo)
x
12. (CEFET) Dada a sentença y = − 2, se você trocar o x pelo y a nova expressão y será:
3
a) y = x + 2
b) y = 2x − 6
c) y = 6x + 3
d) y = −2x + 3
e) y = 3x + 6
Comentário:
x
y= − 2, Trocando x por y e vice-versa, temos:
3
y y
x= − 2 x + 2 = 3x + 6 = y
3 3
y = 3x + 6
Gabarito: E
AULA 04 – EQUAÇÕES 32
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(Exercício Modelo)
y x −1
13. (CEFET) A sentença − = 1 pode, também ser escrita na forma:
2 3
a) 3 y + 2x − 4 = 0
b) 3 y − 2x + 4 = 0
c) 3 y − 2x − 4 = 0
d) 3 y + 2x + 4 = 0
e) 3 y − 2x − 8 = 0
Comentário:
y x −1
− = 1 , MMC (2;3) = 6. Logo, ao multiplicar toda a equação por 6, temos:
2 3
y x −1
6. − = 1.(16)
2 3
3 y − 2( x − 1) = 6 3 y − 2 x + 2 = 6
3y − 2x − 4 = 0
Gabarito: C
(Exercício Modelo)
5 x − 3 4 2 x 20 x − 8 7 x
14. (EPCAr-2005) Com base na igualdade − + = − podemos afirmar que:
2 5 3 3 2
Comentário:
AULA 04 – EQUAÇÕES 33
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5 x − 3 4 2 x 20 x − 8 7 x
Do enunciado temos: − + = − ; Sabemos que o MMC (2;5;3) = 30, pois são
2 5 3 3 2
primos entre si, logo, MMC será o produto entre eles. Assim, ao multiplicar toda a expressão pelo
MMC, obtemos:
5x − 3 4 2 x 20 x − 8 7 x
30. − + = 30. −
2 5 3 3 2
95x − 69 = 95x − 80
Gabarito: D
Espero que tenha tido uma excelente aula. Revise bastante os pontos e faça todos os exercícios.
Não se esqueça de utilizar o fórum de dúvidas, sem moderação. Estarei à disposição para
quaisquer dúvidas sobre o conteúdo lecionado!
7.1 - Conceito
É uma espécie de trinômio do 2º grau, em que sua expressão é igual a zero, ou seja, é
apresentada da forma:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
AULA 04 – EQUAÇÕES 34
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c → Termo independente
x → Incógnita ou variável a ser procurada na equação
Para que uma expressão algébrica seja uma equação do 2º grau, são necessárias algumas
condições, quais sejam:
𝑎≠0
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇒ {𝑏 ∈ ℝ
𝑐∈ℝ
Perceba que, se o " a " não for diferente de zero, não estaremos diante de uma equação do
2º grau, mas sim, de uma equação do 1º grau. Observe, abaixo, alguns exemplos de equação do 2º
grau:
2𝑥 2 + 3𝑥 − 1 = 0
−7𝑥 2 − 4𝑥 + 10 = 0
4𝑥 2 − 1 = 0
𝑥 2 + 3𝑥 = 0
Você pode perceber que, nos dois últimos exemplos, não estamos diante de equações do
2º grau completas, isto se faz verdade pelo fato de " b " ou "c" assumir o valor nulo, ou seja, zero.
Assim, temos que:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
1) 𝑥 2 − 3𝑥 = 0
AULA 04 – EQUAÇÕES 35
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Comentário:
Assim:
𝑥. (𝑥 − 3) = 0
2º passo: Para um produto de dois termos dar zero, ao menos um deles deverá ser zero. Assim:
𝑥. (𝑥 − 3) = 0
𝑥=0
𝑜𝑢
𝑥−3=0
𝑥=3
𝑥 2 − 3𝑥 = 0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 3
Raiz de uma equação é toda a variável que, ao ser substituída na equação original, retorna um valor igual
a ZERO. Perceba no exemplo abaixo:
𝑥 2 − 3𝑥 = 0 ⇒ (0)2 − 3. (0) = 0 − 0 = 0
𝑥 2 − 3𝑥 = 0 ⇒ (3)2 − 3. (3) = 9 − 9 = 0
Logo, 0 e 3 são raízes.
2) 4𝑥 2 − 1 = 0
Comentário:
2
1º passo: Isolar o termo dominante x
4𝑥 2 − 1 = 0
4𝑥 2 = 1
1
𝑥2 =
4
2º passo: Extrair a raiz quadrada do termo da direita da igualdade
AULA 04 – EQUAÇÕES 36
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1
𝑥2 =
4
1 1
𝑥 = ±√ ⇒ 𝑥 = ±
4 2
Ao extrair a raiz quadrada de qualquer termo positivo, o resultado sempre será da forma + 𝒐𝒖 –
Exemplo:
𝑥 2 = 4 ⇒ 𝑥 = ±√4 ⇒ 𝑥 = ±2
𝑥 2 = 9 ⇒ 𝑥 = ±√9 ⇒ 𝑥 = ±3
𝑥 2 = 7 ⇒ 𝑥 = ±√7
Observe que precisamos ter sempre uma incógnita elevado ao expoente par.
Pensando numa outra forma de demostrar a resolução de uma equação incompleta, na qual
o “c” é zero, porém de forma genérica, podemos dizer que:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇒ 𝑥. (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑏
𝑎𝑥 = −𝑏 ⇒ 𝑥 = −
𝑎
𝑏
Assim, o conjunto solução é 𝑆 = {0; − }
𝑎
3) 2𝑥 2 − 9𝑥 = 0
Comentário:
2𝑥 2 − 9𝑥 = 0
𝑥=0
𝑏 (−9) 9
𝑥=− ⇒− =
𝑎 2 2
9
Logo: 𝑆 = {0; }
2
AULA 04 – EQUAÇÕES 37
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4) −𝑥 2 + 4𝑥 = 0
Comentário:
−𝑥 2 + 4𝑥 = 0
𝑥=0
𝑏 (−4)
𝑥=− ⇒− =4
𝑎 −1
Logo: 𝑆 = {0; 4}
5) 𝑥 2 − 7𝑥 = 0
Comentário:
𝑥 2 − 7𝑥 = 0
𝑥=0
𝑏 (−7)
𝑥=− ⇒− =7
𝑎 1
Logo: 𝑆 = {0; 7}
Nas equações acima, podemos perceber que, sempre que " c " for igual a ZERO, umas das raízes da
equação será também ZERO.
𝑐
𝑥 = ±√−
𝑎
AULA 04 – EQUAÇÕES 38
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𝑐 𝑐
Assim, o conjunto solução é 𝑆 = {−√− ;+ √− }
𝑎 𝑎
6) 𝑥 2 − 9 = 0
Comentário:
𝑥2 − 9 = 0
9
𝑥1 = −√ = −√9 = −3
1
9
𝑥2 = +√ = +√9 = +3
1
Logo: 𝑆 = {−3; 3}
7) 𝑥 2 − 7 = 0
Comentário:
𝑥2 − 7 = 0
𝑐 (−7)
𝑥1 = −√− ⇒ −√− = −√7
𝑎 1
𝑐 (−7)
𝑥2 = +√− ⇒ +√− =+ √7
𝑎 1
As equações do 2º grau desse tipo (ax 2 + c = 0) só terão raízes reais se, somente se, o termo, após
ser isolado à direita da igualdade, for positivo, ou seja:
𝑐 𝑐
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑥 = ±√− ⇒− >0
𝑎 𝑎
8) 𝑥 2 + 3 = 0
AULA 04 – EQUAÇÕES 39
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Comentário:
Perceba que:
𝑐 (3)
− ⇒− = −3, que não é maior que zero, logo, podemos afirmar que a equação
𝑎 1
Dizer que uma equação não possui raízes reais é diferente de dizer que tal equação não possui
raízes, ok? Não confunda!
Toda e qualquer equação do 2º grau, pode ser resolvida, ou seja, encontrada as raízes pela
fórmula geral de Báskara:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
−𝑏 − √𝛥
𝑥1 =
2𝑎
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
−𝑏 + √𝛥
𝑥2 =
2𝑎
Ressalto que o valor de (delta) pode ser chamado também de discriminante. Mia a frente
vermos a análise de sinal do discriminante, que nos ajuda a saber quantas raízes reais determinada
raiz possui! Vejamos alguns exemplos de resolução da equação do 2º grau por meio de báskara.
AULA 04 – EQUAÇÕES 40
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9) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
Comentário:
𝑎=1
𝑏 = −5
𝑐=6
Utilizando a fórmula, temos:
−(−5) ± √(−5)2 − 4. (1). (6)
⇒
2.1
5 ± √25 − 24
⇒ ⇒
2
5 ± √1 5 ± 1
⇒ ⇒ ⇒
2 2
5−1
𝑥1 = =2
2
5+1
𝑥2 = =3
2
𝑆 = {2,3}
10) 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 = 0
Comentário:
𝑎=1
𝑏=7
𝑐 = 12
−7 ± √49 − 4.12
⇒ ⇒
2
AULA 04 – EQUAÇÕES 41
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−7 ± √49 − 48
⇒ ⇒
2
−7 ± √1 −7 ± 1
⇒
2 2
−7 − 1
𝑥1 = = −4
2
−7 + 1
𝑥2 = = −3
2
𝑆 = {−4, −3}
Perceba que, resolver uma equação do 2º grau, nada mais é que achar as raízes, ou seja,
encontrar os valores de “x” para os quais a equação resulta zero. Assim, fica fácil perceber que ao
substituir casa solução na equação original, encontramos a igualdade 0 = 0.
Exemplo:
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑆 = {2; 3}
Logo,
𝑥 = 2 ⇒ (2)2 − 5. (2) + 6 = 0
4 − 10 + 6 = 0
00 = 0
AULA 04 – EQUAÇÕES 42
Prof. Ismael Santos
11) 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 = 0
Comentário:
Calculando o :
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = (7)2 − 4.1.12
𝛥 = 49 − 48
𝛥=1
𝛥>0
Assim:
12) 9𝑥 2 + 12𝑥 + 4 = 0
Comentário:
Calculando o :
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = (12)2 − 4. (9).4
𝛥 = 144 − 144
𝛥=0
Assim,
9𝑥 2 + 12𝑥 + 4 ⇒ duas raízes iguais
AULA 04 – EQUAÇÕES 43
Prof. Ismael Santos
13) 2𝑥 2 + 5𝑥 + 9 = 0
Comentário:
Calculando o , temos:
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = (5)2 − 4. (2).9
𝛥 = 25 − 72
𝛥 = −47
𝛥<0
Assim,
2𝑥 2 + 5𝑥 + 9 = 0 ⇒duas raízes não reais ou nenhuma raiz real
d) 𝑥 2 + 8𝑥 + 𝑚 = 0
Calculando o , temos:
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = (8)2 − 4. (1). 𝑚
𝛥 = 64 − 4𝑚
Assim,
𝛥 > 0 ⇒ 64 − 4𝑚 > 0 ⇒ 40 < 64 ⇒ 𝑚 < 16
𝛥 = 0 ⇒ 64 − 4𝑚 = 0 ⇒ 4𝑚 = 64 ⇒ 𝑚 = 16
𝛥 < 0 ⇒ 64 − 4𝑚 < 0 ⇒ 4𝑚 > 64 ⇒ 𝑚 > 16
Existem algumas relações entre raízes que podem ser achadas utilizando os coeficientes da
equação do 2º grau. Este tema cai muito em sua prova, então, DECORE!!!
AULA 04 – EQUAÇÕES 44
Prof. Ismael Santos
Exemplo:
2
𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0, possui como soma de raízes:
−𝑏 −5
𝑆= ⇒− =5
𝑎 1
Logo:
𝑥1 + 𝑥2 = 5
Exemplo:
2
𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0, possui como produto das raízes:
𝑐 6
𝑃= ⇒ =6
𝑎 1
Logo:
𝑥1 . 𝑥2 = 6
√𝜟
𝑫=| |
𝒂
Exemplo:
AULA 04 – EQUAÇÕES 45
Prof. Ismael Santos
Logo:
|𝑥1 − 𝑥2 | = 1
𝒙𝟏 +𝒙𝟐
✓ Média aritmética das raízes ( )
𝟐
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 −𝒃
𝑴𝑨 = ⇒
𝟐 𝟐𝒂
Exemplo:
𝒄
𝑴𝑮 = √𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 ⇒ √𝑷, sendo " P " o produto das raízes, ou seja, 𝑷 =
𝒂
Exemplo:
AULA 04 – EQUAÇÕES 46
Prof. Ismael Santos
𝟏 𝟏
✓ Soma dos inversos das raízes ( + )
𝒙𝟏 𝒙𝟐
𝟏 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝑺
𝑺𝒊 = + ⇒ ⇒
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 𝑷
Onde:
"𝑆" é a soma e "𝑃" é produto das raízes
Exemplo:
−𝑏
𝑆 −𝑏 𝑎 −𝑏 −(−5) 5
𝑆𝑖 = ⇒ 𝑎𝑐 = . = = =
𝑃 𝑎 𝑐 𝑐 6 6
𝑎
Logo:
5
𝑆𝑖 =
6
AULA 04 – EQUAÇÕES 47
Prof. Ismael Santos
𝑥 2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
Onde:
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 → Soma das Raízes
𝑃 = 𝑥1 . 𝑥2 → Produto das Raízes
14) Qual a equação do 2° grau completa cuja soma e produto valem, respectivamente, 5 e 6?
Comentário:
𝑆=5
𝑃=6
Logo:
𝑥 2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥 2 − (5)𝑥 + (6) = 0
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
Comentário:
𝑆 = 2 + (−3) ⇒ 𝑆 = −1
𝑃 = 2. (−3) ⇒ 𝑃 = −6
Logo:
𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥 2 − (−1)𝑥 + (−6) = 0
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
Para utilizar a Equação de Stiven, faz-se necessário o coeficiente do termo dominante. (“a”) ser igual a 1.
Caso não seja, não será possível o cálculo da equação por soma e produto.
AULA 04 – EQUAÇÕES 48
Prof. Ismael Santos
Toda equação completa do 2° grau pode ser escrita sob a forma fatorada, dada por:
𝑎. (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0 ⇒ 𝑎 ≠ 0
Com:
a → coeficiente do termo dominante
x → variável real
x1 → raiz
x2 → raiz
1
16) Encontre a equação do 2° grau na sua forma fatorada, sabendo-se que 𝑎 = 6, 𝑥1 = ,
2
1
𝑥2 =
6
Comentário:
𝑎. (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0
1 1
6. (𝑥 − )(𝑥 − ) = 0
2 6
A equação acima está na forma fatorada. Esta equação produz a seguinte equação após o devido
processo de distributiva
1 1
6(𝑥 − )(𝑥 − ) = 0
2 6
𝑥 𝑥 1
6. (𝑥 2 − − + ) = 0
6 2 12
4𝑥 1
6. (𝑥 2 − + )=0
6 12
1
6𝑥 2 − 4𝑥 + =0
2
AULA 04 – EQUAÇÕES 49
Prof. Ismael Santos
(EAM – 2006) Qual o valor de m + n para que ( x 2 + mx).( x 2 − x) + nx 2 seja igual a x4 − 3x3 + 7 x2 ?
(Lembre-se, coeficientes de termos com o mesmo grau são iguais)
a) 5
b) 3
c) 2
d) -3
e) -7
(EAM – 2006) Assinale a opção que representa a equação que possui raízes reais distintas.
a) 2x + 6x = 20
2
b) 3x −12x = −12
2
c) − x + 5x = 10
2
d) −2x −12x = 18
2
e) x + 4 = 0
2
(EAM – 2007) A raiz da equação 3x2 −13x −10 = 0 representa a medida em centímetros do lado de um
quadrado. Quanto mede, em centímetros quadrados, a área desse quadrado?
a) 20
b) 25
c) 30
d) 36
e) 225
AULA 04 – EQUAÇÕES 50
Prof. Ismael Santos
(EAM – 2008) O triplo da raiz quadrada de um número real positivo x, diminuído de duas unidades, é
igual ao próprio número x. A soma das raízes dessa equação é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
(EAM – 2010) Sejam “S” e “P” a soma e o produto, respectivamente, das raízes da equação x2 − 5x + 6
. O valor do produto “S P” é:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
(EAM – 2010) Se o produto ( x − 3).( x + 1) tem o mesmo resultado de 5x −13, então o valor de x é
sempre:
a) par
b) primo
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 13
e) ímpar
(EAM – 2012) Sendo a e b raízes reais da equação x2 − 4x + 2 = 0 , o valor numérico de (ab 2 + a 2b) é:
a) 1
b) 4
c) 5
AULA 04 – EQUAÇÕES 51
Prof. Ismael Santos
d) 6
e) 8
(EAM – 2012) O valor de k 0 na equação x 2 + 2kx + 16 = 0, de modo que a diferença entre as suas
raízes seja 6, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
(EAM – 2013) Qual é o valor de k , para que a equação 3x2 − 2x + k = 0 possua raízes reais e iguais?
1
a) 3
2
b) 3
c) 3
1
−
d) 3
e) -3
(EAM – 2014) Assinale a opção que corresponde ao maior número que é solução da equação
x2 − 3x + 2 = 0
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
AULA 04 – EQUAÇÕES 52
Prof. Ismael Santos
(FN – 2008) A soma dos possíveis valores de x que verificam a igualdade x2 = 5x é um:
a) número par
b) divisor de 8
c) número primo
d) múltiplo de 8
e) número negativo
AULA 04 – EQUAÇÕES 53
Prof. Ismael Santos
e) 1
10 x+4 x+2
(FN – 2013) Calcule, em R, o valor de x que satisfaz a equação + =
x −9 x +3 x −3
2
a) – 2
b) 5 2
c) 3 2
d) 2
e) 5
b) x2 + x − 5 = 0
c) x2 + x − 6 = 0
d) x2 + x − 7 = 0
e) m2 + 2m −12 = 0
(FN – 2017) Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas
raízes da equação x2 −10x +16 = 0 . Nessas condições, determine a medida da hipotenusa.
a) 2cm
b) 8cm
c) 8 17 cm
d) 6 8 cm
e) 2 17 cm
(FN – 2017) Paulo descobriu que a quadra do salão de seu colégio tem área de 384 m2 e perímetro 80
m.
AULA 04 – EQUAÇÕES 54
Prof. Ismael Santos
X = comprimento da quadra
Y = largura da quadra
Com base nas informações acima, qual a equação que determina as dimensões dessa quadra?
a) y 2 + 40 y − 384 = 0
b) y 2 − 35 y + 397 = 4
c) y 2 + 47 y − 574 = 66
d) y 2 − 40 y + 384 = 0
e) y 2 + 50 y − 277 = 0
(FN – 2018) Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas
raízes da equação x2 − 8x + 12 = 0 . Nessas condições, determine a medida da hipotenusa.
a) 20 cm
b) 40 cm
c) 2 10 cm
d) 5 4 cm
e) 2 17 cm
(FN – 2018) Determine a função quadrática que expressa a área y do triângulo em função de x.
a) x2 + 8x + 15 = 0
b) x2 + 8x + 8 = 0
c) x2 + 5x + 3 = 0
d) 5x2 − 5x + 8 = 0
e) x2 − 8x + 12 = 0
8.1 – Gabarito
AULA 04 – EQUAÇÕES 55
1. D 9. E 18. B
2. B 10. A 19. A
3. A 11. D 20. C
4. B 12. A 21. E
5. D 13. D 22. D
6. E 14. A 23. C
7. A 15. E 24. A
8. B 16. C
17. C
Comentário:
Soma das raízes: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
−𝑏
𝑆=
𝑎
Logo:
−[−(2√2+2)] 2√2+2
𝑆= = , racionalizando temos:
√2 √2
(2√2 + 2 √2 2√2. √2 + 2√2 2√4 + 2√2
. ⇒ = ⇒
√2 √2 √2. √2 √4
4 + 2√2 2. (2 + √2)
⇒ ⇒ = 2 + √2
2 2
Gabarito: D
(EAM – 2006) Qual o valor de m + n para que ( x 2 + mx).( x 2 − x) + nx 2 seja igual a x4 − 3x3 + 7 x2 ?
(Lembre-se, coeficientes de termos com o mesmo grau são iguais)
a) 5
b) 3
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c) 2
d) -3
e) -7
Comentário:
Fazendo a distributiva:
(𝑥 2 + 𝑚𝑥). (𝑥 2 − 𝑥) + 𝑛𝑥 2 ⇒
⇒ 𝑥 2 . 𝑥 2 − 𝑥 2 . 𝑥 + 𝑚𝑥. 𝑥 2 − 𝑚𝑥. 𝑥 + 𝑛𝑥 2 ⇒
𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑚𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 + 𝑛𝑥 2 ⇒ 𝑥 4 − 𝑥 3 (1 − 𝑚) + 𝑥 2 (𝑛 − 𝑚)
Assim:
𝑥 4 − (1 − 𝑚)𝑥 3 + (𝑛 − 𝑚)𝑥 2 = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 7𝑥 2 , temos
1 − 𝑚 = 3 ⇒ 𝑚 = −2
{𝑛 − 𝑚 = 7 ⇒ 𝑛 − (−2) = 7 ⇒ 𝑛 + 2 = 7 ⇒ 𝑛 = 7 − 2 = 5
𝑚 + 𝑛 = −2 + 5 = 3
Gabarito: B
(EAM – 2006) Assinale a opção que representa a equação que possui raízes reais distintas.
a) 2x + 6x = 20
2
b) 3x −12x = −12
2
c) − x + 5x = 10
2
d) −2x −12x = 18
2
e) x + 4 = 0
2
Comentário:
Raízes reais distintas: 𝛥 > 0
Logo: 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0
a)
2𝑥 2 + 6𝑥 − 20 = 0
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0
𝛥 = (3)2 − 4. (1). (−10)
𝛥 = 9 + 40
𝛥 = 49 > 0
Resolver por sinal de a e c (contrários)
Gabarito: A
(EAM – 2007) A raiz da equação 3x2 −13x −10 = 0 representa a medida em centímetros do lado de um
quadrado. Quanto mede, em centímetros quadrados, a área desse quadrado?
a) 20
b) 25
c) 30
57
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d) 36
e) 225
Comentário:
Vamos achar as raízes utilizando “Báskara”:
3𝑥 2 − 13𝑥 − 10 = 0
13 − 17
𝑥2 =
6
30
𝑥1 = =5
6
−4 −2
𝑥2 = = (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)
6 3
Logo, o quadrado possui lado 5 e área 25.
Gabarito: B
(EAM – 2008) O triplo da raiz quadrada de um número real positivo x, diminuído de duas unidades, é
igual ao próprio número x. A soma das raízes dessa equação é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Comentário:
3. √𝑥 − 2 = 𝑥
3√𝑥 = 𝑥 + 2 (𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜)
(3√𝑥)2 = (𝑥 + 2)2
9. 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
𝑥 2 + 4𝑥 − 9𝑥 + 4 ⇒ 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 0
58
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−𝑏 −(−5)
Soma = ⇒ =5
𝑎 1
Gabarito: D
(EAM – 2009) O valor de K na equação (k − 1) x 2 − (k + 6) x + 7 = 0, de modo que a soma de suas raízes
seja 8, é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
Comentário:
−𝑏
Já sabemos que a soma das raízes é dada por 𝑎 . Logo:
(𝑘 − 1)𝑥 2 − (𝑘 + 6)𝑥 + 7 = 0
⇒ 𝑘 + 6 = 8𝑘 − 8 ⇒ 8𝑘 − 𝑘 = 6 + 8 ⇒ 7𝑘 = 14
𝑘=2
Gabarito: E
(EAM – 2010) Sejam “S” e “P” a soma e o produto, respectivamente, das raízes da equação x2 − 5x + 6
. O valor do produto “S P” é:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
Comentário:
Já sabem que:
−𝑏
𝑆=
𝑎
𝑐
𝑃=
𝑎
Logo:
59
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−𝑏 𝑐 −𝑏. 𝑐
𝑆. 𝑃 = . = 2
𝑎 𝑎 𝑎
Dada a equação: x 2 − 5 x + 6, temos:
−(−5).6
𝑆. 𝑃 = ⇒ 𝑆. 𝑃 = 30
1.1
Gabarito: A
(EAM – 2010) Se o produto ( x − 3).( x + 1) tem o mesmo resultado de 5x −13, então o valor de x é
sempre:
a) par
b) primo
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 13
e) ímpar
Comentário:
Temos que:
(𝑥 − 3). (𝑥 + 1) = 5𝑥 − 13
𝑥 2 + 𝑥 − 3𝑥 − 3 = 5𝑥 − 13
𝑥 2 − 2𝑥 − 5𝑥 − 3 + 13 = 0
𝑥 2 − 7𝑥 + 10 = 0
Resolvendo a equação por soma e produto, temos:
Soma: 7
Produto: 10
𝑥1 = 2
𝑥2 = 5
Podemos afirmar que x é sempre primo.
Gabarito: B
(EAM – 2012) Sendo a e b raízes reais da equação x2 − 4x + 2 = 0 , o valor numérico de (ab 2 + a 2b) é:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
Comentário:
Temos que:
𝑥 2 − 4𝑥 + 2 = 0
Sabemos que:
60
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−𝑏 −(−4)
𝑆= ⇒ =4
𝑎 1
𝑐 2
𝑃= ⇒ =2
𝑎 1
Temos ainda que, após a evidenciação:
(𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏) → 𝑎𝑏(𝑏 + 𝑎) → 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
Assim:
𝑎. 𝑏 = 𝑃
(𝑎 + 𝑏) = 𝑆
𝑃. 𝑆 = 2.4 = 8
Gabarito: E
(EAM – 2012) A solução da equação irracional 1 + 4 x + x − 1 = 0 é:
a) {0}
b) {6}
c) {0,4}
d) {0,5}
e) {0,6}
Comentário:
Isolando o radical e elevando ao quadrado, temos que:
√1 + 4𝑥 + 𝑥 − 1 = 0 ⇒ √1 + 4𝑥 = 1 − 𝑥
(√1 + 4𝑥) = (1 − 𝑥)2 ⇒ 1 + 4𝑥 = 1 − 2𝑥 + 𝑥 2 ⇒ 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 1 − 4𝑥
2
𝑥 2 − 6𝑥 = 0
𝑥. (𝑥 − 6) = 0
Produto de dois números dando zero, logo um deles será zero.
𝑥=0
𝑥−6=0
𝑥=6
Por fim, temos que testar as raízes encontradas na equação original.
√1 + 4𝑥 + 𝑥 − 1 = 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0
√1 + 4. (0) + 0 − 1 = 0
√1 + 0 + 0 − 1 = 0
1−1=0
0 = 0 (𝑥 = 0 é 𝑟𝑎𝑖𝑧)
√1 + 4𝑥 + 𝑥 − 1 = 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 6
√1 + 4. (6) + 6 − 1 = 0
√1 + 24 + 6 − 1 = 0
√25 + 5 = 0
5 + 5 = 10
61
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10 ≠ 0 (𝑥 = 6 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑎𝑖𝑧)
Gabarito: A
(EAM – 2012) O valor de k 0 na equação x 2 + 2kx + 16 = 0, de modo que a diferença entre as suas
raízes seja 6, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
Comentário:
Sabemos que a diferença das raízes é dada por:
√𝛥
𝐷=| |
𝑎
Logo:
𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝛥 = (2𝑘)2 − 4.1.16
𝛥 = 4𝑘 2 − 64
Temos então:
√4𝑘 2 − 64
=6
1
√4𝑘 2 − 64 = 6
2
4𝑘 − 64 = 36 (𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 4)
𝑘 2 − 16 = 9
𝑘 2 = 25
𝑘 = ±5
Como 𝑘 > 0, temos que 𝑘 = 5
Gabarito: D
(EAM – 2013) Qual é o valor de k , para que a equação 3x2 − 2x + k = 0 possua raízes reais e iguais?
1
a) 3
2
b) 3
c) 3
1
−
d) 3
62
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e) -3
Comentário:
Para termos raízes reais e iguais, 𝛥 = 0
Assim:
3𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑘 = 0
𝛥 = (−2)2 − 4.3. 𝑘
𝛥 = 4 − 12𝑘 = 0
12𝑘 = 4
4
𝑘=
12
1
𝑘=
3
Gabarito: A
(EAM – 2014) Assinale a opção que corresponde ao maior número que é solução da equação
x2 − 3x + 2 = 0
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
Comentário:
Achando a solução, temos:
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0, fazendo por soma e produto, temos:
Soma: 3
Produto: 2
𝑥1 = 1
𝑥2 = 2
Logo a maior raiz é 2.
Gabarito: D
(EAM – 2015) A soma das raízes da equação 4x2 −11x + 6 = 0 é:
11
a) 4
b) 11
c) 6
3
d) 2
63
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e) 4
Comentário:
−𝑏
Sabemos que a soma das raízes é 𝑎
Assim:
4𝑥 2 − 11𝑥 + 6 = 0
−𝑏 −(−11) 11
𝑆= = =
𝑎 4 4
Gabarito: A
(EAM – 2016) A média das raízes da equação 2x2 − 22x + 56 = 0 é:
a) 1,5
b) 2,5
c) 3,5
d) 4,5
e) 5,5
Comentário:
−(−22) 22 11
𝑀𝐴 = = =
2. (2) 4 2
Gabarito: E
64
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e) um múltiplo de 13
Comentário:
Sabemos da Teoria dos Conjuntos que:
𝑛(𝐴𝑥𝐵) = 𝑛(𝐴). 𝑛(𝐵), logo:
(2𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 𝑥 2 + 10𝑥 − 27
2𝑥 2 − 10𝑥 − 3𝑥 + 15 = 𝑥 2 + 10𝑥 − 27
2𝑥 2 − 𝑥 2 − 10𝑥 − 3𝑥 − 10𝑥 + 15 + 27 = 0
𝑥 2 − 23𝑥 + 42 = 0
Fazendo soma e produto, temos:
𝑥 2 − 23𝑥 + 42 = 0
Soma: 23
Produto: 42
𝑥1 = 2
𝑥2 = 21
É fácil notar que 𝑥 ≠ 2, pois, se assim não for o conjunto B, por exemplo, terá uma quantidade de
elementos negativo.
Assim, 𝑥 = 21, que é múltiplo de 7.
Gabarito: C
(FN – 2008) A soma dos possíveis valores de x que verificam a igualdade x2 = 5x é um:
a) número par
b) divisor de 8
c) número primo
d) múltiplo de 8
e) número negativo
Comentário:
𝑥 2 = 5𝑥 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎)
𝑥 2 − 5𝑥 = 0 (colocando x em evidência)
𝑥(𝑥 − 5) = 0
𝑥=0
𝑜𝑢
𝑥=5
Assim:
0+5=5
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
65
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Gabarito: C
(FN – 2012) Determine o valor real de x para que se tenha x + x −1 = 2x − 3
a) 10
b) (2, 5)
c) 5
d) 7, 5)
e) 1
Comentário:
Elevando ao quadrado a expressão, temos:
𝑥 − 1 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9
𝑥 2 − 6𝑥 − 𝑥 + 9 + 1 = 0
𝑥 2 − 7𝑥 + 10 = 0
Soma: 7
Produto: 10
𝑥1 = 2
𝑥2 = 5
Gabarito: B
10 x+4 x+2
(FN – 2013) Calcule, em R, o valor de x que satisfaz a equação + =
x −9 x +3 x −3
2
a) – 2
b) 5 2
c) 3 2
d) 2
e) 5
Comentário:
Abrindo o denominador da primeira fração:
10 𝑥+4 𝑥+2
+ = (𝑡𝑖𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑚𝑚𝑐)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) (𝑥 + 3) 𝑥 − 3
10 + (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
66
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10 + 𝑥 2 − 3𝑥 + 4𝑥 − 12 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6
−2 + 𝑥 = 5𝑥 + 6
5𝑥 − 𝑥 = −2 − 6
4𝑥 = −8
𝑥 = −2
Gabarito: A
(FN – 2015) Indique qual da equação abaixo tem 2 e -3 como raízes.
a) y − 5 y + 6 = 0
2
b) x2 + x − 5 = 0
c) x2 + x − 6 = 0
d) x2 + x − 7 = 0
e) m2 + 2m −12 = 0
Comentário:
𝑥1 = 2
𝑥2 = −3
Soma = -1
Produto = -6
Logo:
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
Gabarito: C
(FN – 2017) Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas
raízes da equação x2 −10x +16 = 0 . Nessas condições, determine a medida da hipotenusa.
a) 2cm
b) 8cm
c) 8 17 cm
d) 6 8 cm
e) 2 17 cm
Comentário:
Fazendo por soma e produto
Soma = 10
Produto = 16
𝑥1 = 2
𝑥2 = 8
Logo:
67
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ℎ2 = 𝑐12 + 𝑐22
ℎ2 = 22 + 82
ℎ2 = 4 + 64
ℎ2 = 68
ℎ = √68
ℎ = √4.17
ℎ = 2√17
Gabarito: E
(FN – 2017) Paulo descobriu que a quadra do salão de seu colégio tem área de 384 m2 e perímetro 80
m.
X = comprimento da quadra
Y = largura da quadra
Com base nas informações acima, qual a equação que determina as dimensões dessa quadra?
a) y 2 + 40 y − 384 = 0
b) y 2 − 35 y + 397 = 4
c) y 2 + 47 y − 574 = 66
d) y 2 − 40 y + 384 = 0
e) y 2 + 50 y − 277 = 0
Comentário:
Temos que:
Perímetro = 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 = 80 ⇒
⇒ 2(𝑥 + 𝑦) = 80 ⇒
⇒ (𝑥 + 𝑦) = 40
Área = 𝑥. 𝑦 = 384
Assim:
𝑦 2 − 𝑆𝑦 + 𝑃 = 0, sendo S (soma) e P (produto)
68
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Então:
𝑦 2 − 40𝑦 + 384 = 0
Gabarito: D
(FN – 2018) Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas
raízes da equação x2 − 8x + 12 = 0 . Nessas condições, determine a medida da hipotenusa.
a) 20 cm
b) 40 cm
c) 2 10 cm
d) 5 4 cm
e) 2 17 cm
Comentário:
Fazendo por soma e produto, temos:
Soma: 8
Produto: 12
𝑥1 = 2
𝑥2 = 6
Assim:
ℎ2 = 𝑐12 + 𝑐22
ℎ2 = 22 + 62
ℎ2 = 4 + 36
ℎ2 = 40
ℎ = √40
ℎ = 2√10
Gabarito: C
(FN – 2018) Determine a função quadrática que expressa a área y do triângulo em função de x.
a) x2 + 8x + 15 = 0
69
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b) x2 + 8x + 8 = 0
c) x2 + 5x + 3 = 0
d) 5x2 − 5x + 8 = 0
e) x2 − 8x + 12 = 0
Comentário:
Área do retângulo: base x altura
Temos que:
Base: 𝑥 + 5
Altura: 𝑥 + 3
Assim:
(𝑥 + 5). (𝑥 + 3) = Á𝑟𝑒𝑎
Área:
𝑥 2 + 5𝑥 + 5𝑥 + 15
𝑥 2 + 8𝑥 + 15
Logo:
𝑥 2 + 8𝑥 + 15
Gabarito: A
a) 0 ou 2
b) 1 ou 2
c) 0 ou 1
d) 2 ou 3
e) 0 ou 3
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙
Seja (𝟏 − 𝟑𝟐 ) (𝟏 − 𝟒𝟐 ) (𝟏 − 𝟓𝟐 ) … (𝟏 − 𝟐𝟎𝟎𝟔𝟐 ) = 𝟐𝟎𝟎𝟔. O valor de 𝒙 é igual a:
70
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a) 𝟏𝟑𝟑𝟔
b) 𝟏𝟑𝟑𝟕
c) 𝟏𝟑𝟑𝟖
d) 𝟐𝟎𝟎𝟔
e) 𝟐𝟎𝟎𝟕
(FUVEST 2003)
𝒙−𝒂 𝒙+𝒂 𝟐(𝒂𝟒 +𝟏)
As soluções da equação 𝒙+𝒂 + 𝒙−𝒂 = 𝒂𝟐 (𝒙𝟐 −𝒂𝟐 ), onde 𝒂 ≠ 𝟎, são:
𝒂 𝒂
a) − 𝟐 e 𝟒
𝒂 𝒂
b) − 𝟒 e 𝟒
𝟏 𝟏
c) − 𝟐𝒂 e 𝟐𝒂
𝟏 𝟏
d) − 𝒂 e 𝟐𝒂
𝟏 𝟏
e) − 𝒂 e 𝒂
(CMRJ 2011)
a) 3
b) 2
71
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c) 0
d) -2
e) -3
(CMRJ 2012)
Quatro irmãos possuem, juntos, um total de 𝑹$𝟕𝟏, 𝟎𝟎. Se a quantidade de dinheiro do primeiro fosse
aumentada de 𝑹$𝟒, 𝟎𝟎, a do segundo diminuída de 𝑹$𝟑, 𝟎𝟎, a do terceiro reduzida a metade e, ainda
a do quarto fosse duplicada, todos os irmãos teriam a mesma importância. O valor da importância final
de cada um dos irmãos, em reais, é:
a) 𝑹$𝟏𝟑, 𝟎𝟎
b) 𝑹$𝟏𝟒, 𝟎𝟎
c) 𝑹$𝟏𝟓, 𝟎𝟎
d) 𝑹$𝟏𝟔, 𝟎𝟎
e) 𝑹$𝟏𝟕, 𝟎𝟎
(EPCAR 1983)
𝟏
Resolvendo-se a equação 𝟑 = 𝟏 vale afirmar que a sua raiz é um número:
𝟏− 𝟏
𝟏+ 𝟏
𝟏−𝒙
a) múltiplo de 3
e) inteiro negativo
(EPCAR 1984)
𝟓(𝒙−𝟒) 𝟑𝒙−𝟐𝟒
Sendo 𝑼 = ℚ, assinale o conjunto verdade da equação 𝒙 + − =𝟎
𝟏𝟐 𝟏𝟔
a) 𝑽 = {∅}
𝟏𝟖
b) 𝑽 = {𝟑𝟗}
72
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𝟏𝟒𝟐
c) 𝑽 = { 𝟒𝟗 }
𝟖
d) 𝑽 = {𝟓𝟗}
𝟏𝟓𝟐
e) 𝑽 = { 𝟓𝟗 }
(EPCAR 1985)
𝒙+𝒂 𝒙−𝒂 𝟑
O conjunto solução da equação − = 𝟓, sendo 𝑼 = ℚ e onde “a” é o menor fator primo de 221
𝟐 𝟑
é:
𝟑𝟎𝟕
a) {− }
𝟓
𝟐𝟎𝟕
b) {− }
𝟓
𝟑𝟐𝟏
c) {− }
𝟒
𝟐𝟎𝟏
d) {− }
𝟒
e) {∅}
(EPCAR 1986)
𝒎 𝒎 𝒏 𝒏
Resolver a equação (𝟏 − 𝒙 ) + 𝒎 (𝟏 − 𝒙 ) = 𝟏. Se a solução da mesma é 7 e 𝒎 − 𝒏 = 𝟑, então 𝒎𝒏
𝒏
é igual a:
a) 32
b) 25
c) 49
d) 36
e) 63
(EPCAR 1987)
𝟐𝒙−𝟑 𝒙+𝟔 𝟏
Para que a equação − = 𝟐 − 𝒌𝒙 seja impossível o valor de k deverá ser:
𝟓 𝟏𝟎
a) -3
𝟑
b) 𝟏𝟎
c) 3
73
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𝟓
d) − 𝟏𝟎
𝟑
e) − 𝟏𝟎
(EPCAR 2002)
𝟓−𝟑𝒙
O valor de x que é solução da equação 𝟑𝒙 − 𝟐(𝒙 − 𝟓) − = 𝟎 é tal que:
𝟐
a) −𝟔 < 𝒙 < 𝟎
c) 𝟑 < 𝒙 < 𝟏𝟎
d) 𝟏𝟐 < 𝒙 < 𝟏𝟖
(ITA 2009)
Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “flex”
(que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros,
36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “flex” sofrem conversão para
também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta
empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a
a) 246
b) 252
c) 260
d) 268
e) 284
a) a média aritmética de a e b.
b) a média geométrica de a e b.
c) a média harmônica de a e b.
74
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b) 𝒂𝒃𝒄
c) 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
d) 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄
𝒂𝒃 𝒂𝒄 𝒃𝒄
e) 𝒂+𝒃 + 𝒂+𝒄 + 𝒃+𝒄
a) 𝒎 < −𝟑
b) 𝒎 > 𝟑
c) 𝒎 < 𝟏
d) 𝒎 < 𝟏 ou 𝒎 > 𝟑
e) 𝒎 < −𝟑 ou 𝒎 > −𝟏
10.1 Gabarito
1. “a”. 7. “e”. 13. “b”.
75
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a) 0 ou 2
b) 1 ou 2
c) 0 ou 1
d) 2 ou 3
e) 0 ou 3
Comentários
2𝑚 − 𝑚2 = 0 ⇨ 𝑚 ∗ (2 − 𝑚) = 0
⇨ 𝑚 = 0 ou 𝑚 = 2
Gabarito “a”.
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙
Seja (𝟏 − 𝟑𝟐 ) (𝟏 − 𝟒𝟐 ) (𝟏 − 𝟓𝟐 ) … (𝟏 − 𝟐𝟎𝟎𝟔𝟐 ) = 𝟐𝟎𝟎𝟔. O valor de 𝒙 é igual a:
a) 𝟏𝟑𝟑𝟔
b) 𝟏𝟑𝟑𝟕
c) 𝟏𝟑𝟑𝟖
d) 𝟐𝟎𝟎𝟔
e) 𝟐𝟎𝟎𝟕
Comentários
76
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1 𝑛2 − 1 (𝑛 − 1)(𝑛 + 1)
1− 2 = =
𝑛 𝑛2 𝑛2
Logo, a expressão pode ser manipulada da seguinte forma:
1 1 1 1 𝑥
(1 − 2
) (1 − 2 ) (1 − 2 ) … (1 − 2
)= ⇨
3 4 5 2006 2006
2∗4 3∗5 4∗6 2005 ∗ 2007 𝑥
⇨ ( 2 )( 2 )( 2 )…( ) = ⇨
3 4 5 20062 2006
2∗3 4∗4 5∗5 2006 ∗ 2007 𝑥 2 2007 𝑥
⇨ ( 2 )( 2 )( 2 )…( 2
)= ⇨ ( ) (1)(1) … ( )=
3 4 5 2006 2006 3 2006 2006
⇨
2 ∗ 2007 𝑥 2 ∗ 669 𝑥
⇨ = ⇨ = ⇨
2006 ∗ 3 2006 2006 2006
⇨ 𝑥 = 1338
Gabarito “c”.
𝟐𝒙𝟐 𝟑𝒙−𝟏 𝟐𝒙𝟐 +𝟏
Resolvendo a equação − = encontramos para conjunto solução:
𝒙𝟐 −𝟑𝒙 𝟑𝒙+𝟗 𝟐𝒙𝟐 −𝟏𝟖
𝟗
a) {𝟓𝟔}
𝟗
b) {𝟎, 𝟓𝟔}
𝟑
c) {𝟓𝟔}
𝟑
d) {𝟎, 𝟓𝟔}
𝟑 𝟗
e) {𝟎, 𝟓𝟔 , 𝟓𝟔}
Comentários
2𝑥 2 3𝑥 − 1 2𝑥 2 + 1 2𝑥 ∗ 𝑥 3𝑥 − 1 2𝑥 2 + 1
− = ⇨ − = ⇨
𝑥 2 − 3𝑥 3𝑥 + 9 2𝑥 2 − 18 𝑥(𝑥 − 3) 3(𝑥 + 3) 2(𝑥 2 − 9)
2𝑥 𝑥+3 3 3𝑥 − 1 𝑥 − 3 2𝑥 2 + 1
⇨ ∗ ∗ − ∗ = ⇨
(𝑥 − 3) 𝑥 + 3 3 3(𝑥 + 3) 𝑥 − 3 2(𝑥 2 − 9)
77
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6𝑥 (𝑥 + 3) − (3𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 2𝑥 2 + 1
⇨ = ⇨
3(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 2(𝑥 2 − 9)
⇨ 6𝑥 2 + 56𝑥 − 6 = 6𝑥 2 + 3 ⇨ 56𝑥 = 9 ⇨
9
⇨𝑥=
56
Gabarito “a”.
FUVEST 2003)
𝒙−𝒂 𝒙+𝒂 𝟐(𝒂𝟒 +𝟏)
As soluções da equação 𝒙+𝒂 + 𝒙−𝒂 = 𝒂𝟐 (𝒙𝟐 −𝒂𝟐 ), onde 𝒂 ≠ 𝟎, são:
𝒂 𝒂
a) − 𝟐 e 𝟒
𝒂 𝒂
b) − 𝟒 e 𝟒
𝟏 𝟏
c) − 𝟐𝒂 e 𝟐𝒂
𝟏 𝟏
d) − 𝒂 e 𝟐𝒂
𝟏 𝟏
e) − 𝒂 e 𝒂
Comentários
78
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Gabarito “e”.
(CMRJ 2011)
a) 3
b) 2
c) 0
d) -2
e) -3
Comentários
3(𝑚𝑥 − 𝑝 + 1) − 4𝑥 = 2(−𝑝𝑥 + 𝑚 − 4) ⇨
⇨ 𝑥(3𝑚 − 4 + 2𝑝) = 2𝑚 − 8 + 3𝑝 − 3 ⇨
⇨ 𝑥(3𝑚 − 4 + 2𝑝) = 2𝑚 + 3𝑝 − 11 ⇨
3𝑚 − 4 + 2𝑝 = 0 ⇨ 3𝑚 + 2𝑝 = 4 (1)
2𝑚 + 3𝑝 − 11 = 0 ⇨ 2𝑚 + 3𝑝 = 11 (2)
De (2)*2-(1)*3, temos:
⇨ 4𝑚 + 6𝑝 − 9𝑚 − 6𝑝 = 22 − 12 ⇨ −5𝑚 = 10 ⇨
⇨ 𝑚 = −2 e 𝑝 = 5
Portanto,
𝑚 + 𝑝 = −2 + 5 = 3
Gabarito “a”.
79
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(CMRJ 2012)
Quatro irmãos possuem, juntos, um total de 𝑹$𝟕𝟏, 𝟎𝟎. Se a quantidade de dinheiro do primeiro fosse
aumentada de 𝑹$𝟒, 𝟎𝟎, a do segundo diminuída de 𝑹$𝟑, 𝟎𝟎, a do terceiro reduzida a metade e, ainda
a do quarto fosse duplicada, todos os irmãos teriam a mesma importância. O valor da importância final
de cada um dos irmãos, em reais, é:
a) 𝑹$𝟏𝟑, 𝟎𝟎
b) 𝑹$𝟏𝟒, 𝟎𝟎
c) 𝑹$𝟏𝟓, 𝟎𝟎
d) 𝑹$𝟏𝟔, 𝟎𝟎
e) 𝑹$𝟏𝟕, 𝟎𝟎
Comentários
Supondo que o dinheiro dado ao primeiro seja numericamente igual a ‘a’, o dado ao segundo
numericamente igual a ‘b’, o dado ao terceiro igual a ‘c’ e o dado a quarto igual a ‘d’, temos:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 71
𝑎 = 2𝑑 − 4; 𝑏 = 2𝑑 + 3; 𝑐 = 4𝑑
2𝑑 − 4 + 2𝑑 + 3 + 4𝑑 + 𝑑 = 71 ⇨ 9𝑑 = 72 ⇨
⇨𝑑=8
2𝑑 = 𝑅$ 16,00
Gabarito “d”.
(EPCAR 1983)
80
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𝟏
Resolvendo-se a equação 𝟑 = 𝟏 vale afirmar que a sua raiz é um número:
𝟏− 𝟏
𝟏+ 𝟏
𝟏−
𝒙
a) múltiplo de 3
e) inteiro negativo
Comentários
1 1 1 1 2
3= ⇨1− = ⇨ = ⇨
1 1 3 1+ 1 3
1− 1 1+ 1 1
1+ 1 1−𝑥 1−𝑥
1−𝑥
3 1 1 1 1 1
⇨ =1+ ⇨ = ⇨ 2 = 1 − ⇨ = −1
2 1 1
1−𝑥 2 1−𝑥 𝑥 𝑥
⇨ 𝑥 = −1
Gabarito “e”.
(EPCAR 1984)
𝟓(𝒙−𝟒) 𝟑𝒙−𝟐𝟒
Sendo 𝑼 = ℚ, assinale o conjunto verdade da equação 𝒙 + − =𝟎
𝟏𝟐 𝟏𝟔
a) 𝑽 = {∅}
𝟏𝟖
b) 𝑽 = {𝟑𝟗}
𝟏𝟒𝟐
c) 𝑽 = { 𝟒𝟗 }
𝟖
d) 𝑽 = {𝟓𝟗}
𝟏𝟓𝟐
e) 𝑽 = { 𝟓𝟗 }
Comentários
81
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144 5(𝑥 − 4) 12 3𝑥 − 24 9
𝑥∗ + ∗ − ∗ =0⇨
144 12 12 16 9
144𝑥 + 60(𝑥 − 4) − 9(3𝑥 − 24)
⇨ =0⇨
144
144𝑥 + 60𝑥 − 240 − 27𝑥 + 216
⇨ =0⇨
144
144𝑥 + 60𝑥 − 240 − 27𝑥 + 216 177𝑥 − 24 24
⇨ =0⇨ =0⇨𝑥= ⇨
144 144 177
8
⇨𝑥=
59
Gabarito “d”.
(EPCAR 1985)
𝒙+𝒂 𝒙−𝒂 𝟑
O conjunto solução da equação − = 𝟓, sendo 𝑼 = ℚ e onde “a” é o menor fator primo de 221
𝟐 𝟑
é:
𝟑𝟎𝟕
a) {− }
𝟓
𝟐𝟎𝟕
b) {− }
𝟓
𝟑𝟐𝟏
c) {− }
𝟒
𝟐𝟎𝟏
d) {− }
𝟒
e) {∅}
Comentários
𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 3 𝑥 + 𝑎 3 𝑥 − 𝑎 2 3 3𝑥 + 3𝑎 − 2𝑥 + 2𝑎 3
− = ⇨ ∗ − ∗ = ⇨ = ⇨
2 3 5 2 3 3 2 5 6 5
𝑥 + 5𝑎 3 18
⇨ = ⇨ 𝑥 + 5𝑎 =
6 5 5
Mas ‘a’ é o menor fator primo de 221, como a fatoração de 221 é dada por:
221 = 13 ∗ 17
82
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18 18 −325 + 18
𝑥 + 5 ∗ 13 = ⇨ 𝑥 = −65 + ⇨𝑥=
5 5 5
307
⇨𝑥=−
5
Gabarito “a”.
(EPCAR 1986)
𝒎 𝒎 𝒏 𝒏
Resolver a equação (𝟏 − 𝒙 ) + 𝒎 (𝟏 − 𝒙 ) = 𝟏. Se a solução da mesma é 7 e 𝒎 − 𝒏 = 𝟑, então 𝒎𝒏
𝒏
é igual a:
a) 32
b) 25
c) 49
d) 36
e) 63
Comentários
𝒎𝟐 (𝒙 − 𝒎) + 𝒏𝟐 (𝒙 − 𝒏)
⇨ =𝟏⇨
𝒎𝒏𝒙
⇨ 𝒎𝟐 (𝟕 − 𝒎) + 𝒏𝟐 (𝟕 − 𝒏) = 𝒎𝒏 ∗ 𝟕 ⇨
83
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𝑚−5=0⇨𝑚 =5
𝑚𝑛 = 52 = 25
Gabarito “b”.
(EPCAR 1987)
𝟐𝒙−𝟑 𝒙+𝟔 𝟏
Para que a equação − = 𝟐 − 𝒌𝒙 seja impossível o valor de k deverá ser:
𝟓 𝟏𝟎
a) -3
𝟑
b) 𝟏𝟎
c) 3
𝟓
d) − 𝟏𝟎
𝟑
e) − 𝟏𝟎
Comentários
2𝑥 − 3 𝑥 + 6 1 2𝑥 − 3 2 𝑥 + 6 1
− = − 𝑘𝑥 ⇨ ∗ − = − 𝑘𝑥 ⇨
5 10 2 5 2 10 2
3𝑥 − 12 1
⇨ = − 𝑘𝑥 ⇨ 3𝑥 − 12 = 5 − 10𝑘𝑥 ⇨ 𝑥(3 + 10𝑘) = 17 ⇨
10 2
17
⇨𝑥=
3 + 10𝑘
84
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3
3 + 10𝑘 = 0 ⇨ 𝑘 = −
10
Gabarito “e”.
(EPCAR 2002)
𝟓−𝟑𝒙
O valor de x que é solução da equação 𝟑𝒙 − 𝟐(𝒙 − 𝟓) − = 𝟎 é tal que:
𝟐
a) −𝟔 < 𝒙 < 𝟎
c) 𝟑 < 𝒙 < 𝟏𝟎
d) 𝟏𝟐 < 𝒙 < 𝟏𝟖
Comentários
2 2 5 − 3𝑥 6𝑥 − 4(𝑥 − 5) − (5 − 3𝑥)
3𝑥 ∗ − 2(𝑥 − 5) ∗ − =0⇨ =0⇨
2 2 2 2
6𝑥 − 4𝑥 + 20 − 5 + 3𝑥 5𝑥 + 15
⇨ =0⇨ =0⇨
2 2
15
⇨ 5𝑥 + 15 = 0 ⇨ 𝑥 = − ⇨
5
⇨ 𝑥 = −3
Portanto,
−6 < 𝑥 < 0
Gabarito “a”.
(ITA 2009)
Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “flex”
(que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros,
36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “flex” sofrem conversão para
também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta
empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a
85
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a) 246
b) 252
c) 260
d) 268
e) 284
Comentários
𝑛∗ 100% − 36%
⏟ + (1000 − 𝑛) ∗ 36%
⏟ = 556 ⇨
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒
𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑓𝑙𝑒𝑥 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑎 𝑔𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎
(𝑛ã𝑜 𝑓𝑒𝑧 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜) (𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑒𝑧 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜)
⇨ 𝑛(0,28) = 196 ⇨
⇨ 𝑛 = 700
Logo, existiam 700 carros bicombustíveis antes da conversão. Os carros tricombustíveis(T) após a
conversão serão tal que:
⇨ 𝑇 = 252
Gabarito “b”.
𝒙+𝒂−𝒃 𝒂𝟐 +𝒃𝟐 𝒙+𝒂+𝒃
Resolvendo a equação em 𝒙: − 𝒙𝟐 −𝒂𝟐 = uma das raízes obtidas é
𝒙−𝒂 𝒙+𝒂
a) a média aritmética de a e b.
b) a média geométrica de a e b.
c) a média harmônica de a e b.
86
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Comentários
𝑥 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 − 𝑎 𝑎2 + 𝑏 2 𝑥 + 𝑎 + 𝑏
− 2 = ⇨
𝑥−𝑎 𝑥 − 𝑎2 𝑥+𝑎
𝑥 − 𝑎 (2𝑎 − 𝑏) 𝑎2 + 𝑏 2 𝑥 + 𝑎 𝑏
⇨ + − 2 = + ⇨
𝑥−𝑎 𝑥−𝑎 𝑥 − 𝑎2 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎
(2𝑎 − 𝑏) 𝑎2 + 𝑏 2 𝑏
⇨1+ − 2 2
=1+ ⇨
𝑥−𝑎 𝑥 −𝑎 𝑥+𝑎
(2𝑎 − 𝑏) 𝑎2 + 𝑏 2 𝑏
⇨ − 2 2
= ⇨
𝑥−𝑎 𝑥 −𝑎 𝑥+𝑎
(2𝑎 − 𝑏) 𝑥 + 𝑎 𝑎2 + 𝑏 2 𝑏 𝑥−𝑎
⇨ ∗ − 2 = ∗ ⇨
𝑥−𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎2 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎
(2𝑎𝑥 + 2𝑎2 − 𝑏𝑥 − 𝑎𝑏) 𝑎2 + 𝑏 2 𝑏𝑥 − 𝑎𝑏
⇨ − 2 = ⇨
𝑥 2 − 𝑎2 𝑥 − 𝑎2 𝑥 2 − 𝑎2
⇨ 2𝑎𝑥 + 2𝑎2 − 𝑏𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑏𝑥 − 𝑎𝑏 ⇨ 2𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑏𝑥 ⇨
𝑎2 − 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
⇨𝑥= ⇨𝑥= ⇨
2𝑏 − 2𝑎 −2(𝑎 − 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)
⇨𝑥=−
2
Portanto, x é o simétrico da média aritmética de a e b.
Gabarito “d”.
𝒙−𝒂𝒃 𝒙−𝒂𝒄 𝒙−𝒃𝒄
A equação + + = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 possui solução única, podemos afirmar que x é igual a:
𝒂+𝒃 𝒂+𝒄 𝒃+𝒄
𝟏 𝟏 𝟏
a) 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
b) 𝒂𝒃𝒄
c) 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
d) 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄
𝒂𝒃 𝒂𝒄 𝒃𝒄
e) 𝒂+𝒃 + 𝒂+𝒄 + 𝒃+𝒄
87
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Comentários
𝑥 − 𝑎𝑏 𝑥 − 𝑎𝑐 𝑥 − 𝑏𝑐
+ + =𝑎+𝑏+𝑐 ⇨
𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐
𝑥 𝑎𝑏 𝑥 𝑎𝑐 𝑥 𝑏𝑐
⇨ − + − + − = 𝑎+𝑏+𝑐 ⇨
𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 𝑏+𝑐
1 1 1 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐
⇨ 𝑥( + + )=𝑎+𝑏+𝑐+ + + ⇨
𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑎+𝑐
1 1 1 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐
⇨ 𝑥( + + )=𝑐+ +𝑎+ +𝑏+ ⇨
𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑎+𝑐
1 1 1 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
⇨ 𝑥( + + )= + + ⇨
𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑎+𝑐
1 1 1 1 1 1
⇨ 𝑥( + + ) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 ( + + )⇨
𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑎+𝑐
⇨ 𝑥 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
Gabarito “d”.
88
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12 - Considerações Finais
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