Unidade 3

P ( −1 ) = − ( −1 ) + 2 × ( −1 ) + ( −1 ) − 2 = − ( −1 ) + 2 × 1 − 1 − 2 = 0;
Aplicando a regra de Ruffini, tem-se: 2 n +1 2n

1 6 4 −6 −5
P ( 1 ) = −12 n+1 + 2 × 12 n + 1 − 2 = −1 + 2 × 1 + 1 − 2 = 0 ;
1 1 7 11 5
P ( −2 ) = − ( −2 ) + 2 × ( −2 ) + ( −2 ) − 2 =
2 n +1 2n
1 7 11 5 0
= − ( −1 ) × 2 2 n +1 + 2 × ( − 1 ) × 2 2 n − 4 =
2 n +1 2n
−1 −1 −6 −5
1 6 5 0 = − ( −1 ) × 22 n × 2 + 2 × 1 × 22 n − 4 = 22 n × 2 + 2 × 22 n − 4 =
Quociente: Q ( x ) = x 2 + 6 x + 5 = 4 × 22 n − 4 ≠ 0 ;

Então, P ( x ) = ( x − 1 )( x + 1 ) ( x 2 + 6 x + 5 ) . P ( 2 ) = −22 n+1 + 2 × 22 n + 2 − 2 = −22 n × 2 + 2 × 22 n = 0 .

Em seguida, vamos determinar os zeros do polinómio Logo, − 1, 1 e 2 são as raízes inteiras de P ( x ) .

x2 + 6 x + 5 .
35.2. P ( x ) = − x 2 n+1 + 2 x 2 n + x − 2 = − x 2 n × x + 2 x 2 n + x − 2 =
−6 ± 36 − 20
)=
x + 6x + 5 = 0 ⇔ x = ⇔ x = −1 ∨ x = −5
(
2

= − x 2 n ( x − 2 ) + x − 2 = ( x − 2 ) ( − x 2 n + 1 ) = ( x − 2 ) 12 − ( x n )
2
2
P ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1 )( x + 1 ) ( x 2 + 6 x + 5 ) = 0
= ( x − 2 ) ( 1 − x n )( 1 + x n )
⇔ x − 1 = 0 ∨ x + 1 = 0 ∨ x2 + 6 x + 5 = 0
⇔ x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = −1 ∨ x = −5
Proposta 36
Zeros de P ( x ) : −5, − 1 e 1 Como ∀x ∈ R , P ( x ) ( −1 − x 2 ) < 0 ⇔ x ∈ R e

33.2. P ( x ) < 0 ⇔ ( x − 1 )( x + 1 ) ( x 2 + 6 x + 5 ) < 0 ⇔ ∀x ∈ R , − 1 − x 2 < 0 ⇔ x ∈ R , conclui-se que

∀x ∈ R, P ( x ) > 0 ⇔ x ∈ R .
⇔ ( x − 1 )( x + 1 )( x + 1 )( x + 5 ) < 0
P ( x ) ( x 4 − 3 x 2 − 4 ) < 0 ⇔ x 4 − 3 x 2 − 4 < 0 , porque
Para resolver a inequação P ( x ) < 0 , vamos construir uma tabela
onde é apresentado o estudo do sinal de cada um dos fatores e ∀x ∈ R, P ( x ) > 0 .
do produto. Em seguida, vamos determinar os zeros do polinómio
−∞ −5 −1 1 +∞ x 4 − 3x2 − 4 .
x −1 – – – – – 0 + Fazendo x 2 = y , tem-se:
x +1 – – – 0 + + +
3 ± 9 + 16
x +1 – – – 0 + + + y 2 − 3y − 4 = 0 ⇔ y = ⇔
x+5 – 0 + + + + + 2
P(x) + 0 – 0 – 0 + ⇔y=4 ∨ y = −1
Como y = x 2 , tem-se:
Por observação do quadro, tem-se:
P ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ] −5, − 1[ ∪ ]−1, 1[ x2 = 4 ∨ 
2
x =
−1 ⇔ x = 2 ∨
 x = −2
equação impossível

Então, x 4 − 3 x 2 − 4 = ( x − 2 )( x + 2 ) ( x 2 + 1 ) .
Proposta 34
Seja P ( x ) o polinómio que satisfaz as condições exigidas. x 4 − 3 x 2 − 4 < 0 ⇔ ( x − 2 )( x + 2 ) ( x 2 + 1 ) < 0

P ( x ) = ( x 2 + 1 ) × ( a x + b ) , a ∈ R \ {0} . Para resolver a inequação ( x − 2 )( x + 2 ) ( x 2 + 1 ) < 0 , vamos

P ( x ) dividido por x − 1 dá resto 2, então P ( 1 ) = 2 . construir uma tabela onde é apresentado o estudo do sinal de
cada um dos fatores e do produto.
P ( x ) dividido por x + 1 dá resto 1, então P ( −1 ) = 1 .
−∞ −2 2 +∞

(
 12 + 1 ) ( a × 1 + b ) = 2 x −2
 P ( 1 ) = 2  2 ( a + b ) = 2
– – – 0 +
 ⇔ ⇔ x +2 – 0 + + +
 P ( − 1 ) = 1 ( 2
)
 ( −1 ) + 1 ( a × ( −1 ) + b ) = 1 2 ( −a + b ) = 1 x2 + 1 + + + + +

 3 ( x − 2 )( x + 2 ) ( x 2
+1 ) + 0 – 0 +
b=
 2a + 2b = 2  2b = 2 − 2a  2b = 2 − 2a  4
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Por observação do quadro, conclui-se que x ∈ ]−2, 2[ .
 −2a + 2b = 1  −2a + 2 − 2a = 1 −4a = −1 a = 1
 4
Pág. 128
1 3 1 3 3 2 1
Então, P ( x ) = ( x + 1 ) ×  x +  = x + x + x + .
2 3
4 4 4 4 4 4 1. Como ( x 2 − 3 x ) × T ( x ) é um polinómio de grau 5 e x 2 − 3 x é

Proposta 35 um polinómio de grau 2, então o polinómio T ( x ) tem grau 3

35.1. Conjunto dos divisores do termo independente do ( 5 − 2) .

polinómio: D = {−1, 1, − 2, 2} .
As raízes inteiras do polinómio pertencem ao conjunto D.

70
 Polinómios

Como P ( x ) T ( x ) é um polinómio de grau 7 e T ( x ) é um Portanto, P ( 0 ) = −2 ( 0 − 1 ) × ( 0 + 2 ) = 2 × 4 = 8 .

2

polinómio de grau 3, então o polinómio P ( x ) tem grau 4 A opção correta é a (C).

( 7 − 3) . Pág. 129
A opção correta é a (C).
1.1. Como na divisão inteira de A ( x ) por B ( x ) o quociente é
2. Recorrendo ao algoritmo da divisão inteira de polinómios,
tem-se: Q ( x ) e o resto é R ( x ) , tem-se:
2 x + 0 x − 3x + 1
3 2
x +x
2
A( x ) = B( x ) ×Q( x ) + R ( x )
−2 x − 2 x
3 2
2x − 2 2 x 3 − 3x 2 + x − 1 = B ( x ) × ( 2 x + 1) + 3x − 1 ⇔
− 2 x2 − 3x + 1 ⇔ 2 x 3 − 3x 2 + x − 1 − 3x + 1 = B ( x ) × ( 2 x + 1)
2x + 2x
2
2 x 3 − 3x 2 − 2 x
⇔ 2 x 3 − 3x2 − 2 x = B ( x ) × ( 2 x + 1) ⇔ = B( x )
− x +1 2x + 1
Então, R ( x ) = − x + 1 . Recorrendo ao algoritmo da divisão inteira de polinómios, tem-
-se:
A opção correta é a (B).
2x3 − 3x2 − 2x + 0 2 x + 1
3. Como ( P ( x ) ) = P ( x ) × P ( x ) e P ( x ) é um polinómio de grau
2
−2 x 3 − x 2 2x − 2

n, então ( P ( x ) ) é um polinómio de grau n + n , ou seja, 2n . − 4 x − 2x + 0

2 2

4 x2 + 2x
Sendo x 2 − 8 um polinómio de grau 8 e ( P ( x ) ) um polinómio
2

0
de grau 2n , então T ( x ) = ( x 8 − 1 ) ( P ( x ) ) é um polinómio de
2
B ( x ) é o quociente da divisão de 2 x 3 − 3 x 2 − 2 x por 2 x + 1 , ou
grau 8 + 2n .
seja, B ( x ) = x 2 − 2 x .
Assim sendo, T ( x ) é um polinómio de grau par, superior a 8.
Logo, das quatro opções de resposta só 18 pode corresponder ao 1.2. O quociente da divisão inteira de um polinómio P ( x ) por
grau do polinómio T ( x ) .
R ( x ) é 2 x 3 − 6 x + 3 , logo tem-se:
A opção correta é a (D).
P ( x ) = ( 3 x − 1 ) × ( 2 x 3 − 6 x + 3 ) + R1 ( x ) , sendo R1 ( x ) o resto da
4. Comecemos por determinar os zeros do polinómio x − x − 2 . 2

divisão inteira de P ( x ) por R ( x ) .

1± 1+8
x − x −2 = 0 ⇔ x = ⇔ x =2 ∨ x = −1 Ora, P ( x ) = ( 3 x − 1 ) × ( 2 x 3 − 6 x + 3 ) + R1 ( x ) =
2

2
Portanto, x2 − x − 2 = ( x − 2 )( x + 1 ) .  1
= 3  x −  × ( 2 x 3 − 6 x + 3 ) + R1 ( x ) =
 3
P ( x ) = ( x − 1) ( x − 2) ( x2 − x − 2) =
3 2

 1
=  x −  × 3 × ( 2 x 3 − 6 x + 3 )  + R1 ( x ) =
= ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 2 )( x + 1 ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 1 )
3 2 3 3
 3
Conclui-se, então, que 1 e − 2 são raízes de P ( x ) de  1
=  x −  × ( 6 x 3 − 18 x + 9 ) + R1 ( x )
multiplicidade 3 e −1 é uma raiz simples (de multiplicidade 1) de  3
P(x) . Assim sendo, o quociente da divisão inteira de P ( x ) por x −
1
é
A opção correta é a (C). 3
6 x 3 − 18 x + 9 .
5. P ( x ) é divisível por x + 1 se o resto da divisão de P ( x ) por
2.1. Aplicando a regra de Ruffini, vamos determinar o quociente
x + 1 for igual a 0, ou seja, se P ( −1) = 0 .
e o resto da divisão de Q ( x ) por x − 3 .
P ( −1 ) = 0 ⇔ 2 × ( − 1 ) − 3 a × ( −1 ) + 2 a = 0 ⇔
4 3
−1 −1 4 4
⇔ 2 × 1 − 3a × ( −1 ) + 2a = 0 ⇔ 2 + 3a + 2a = 0 ⇔ 3 −3 −12 −24
2 −1 −4 −8 −20
⇔ 5a = −2 ⇔ a = − ⇔ a = −0,4
5 Quociente: Q ( x ) = − x 2 − 4 x − 8
A opção correta é a (A).
Resto: R ( x ) = −20
6. Seja P ( x ) o polinómio que satisfaz as condições exigidas.
2.2. Vamos começar por determinar as raízes do polinómio
P ( x ) = a ( x − 1 ) × ( x + 2 ) , a ∈ R \ {0} .
2

P(x) .
P ( −1 ) = 4 ⇔ a ( −1 − 1 )( −1 + 2 ) = 4 ⇔ a × ( −2 ) × 1 = 4 ⇔
2

⇔ −2a = 4 ⇔ a = −2

71
Unidade 3

1± 1+8 3.2. Atendendo à regra de Ruffini apresentada no quadro, tem-

P ( x ) = 0 ⇔ − x2 − x + 2 = 0 ⇔ x = ⇔ x = −2 ∨ x = 1
−2 -se: P ( x ) = ( x − 1 )( x − 1 )( x − 2 )( x + 3 ) .
Temos, agora, de descobrir qual das raízes é comum a Q ( x ) .
3.3. P ( x ) ≤ 0 ⇔ ( x − 1)( x − 1 )( x − 2 )( x + 3) ≤ 0
Q ( −2 ) = − ( −2 ) − ( −2 ) + 4 × ( −2 ) + 4 = 8 − 4 − 8 + 4 = 0
3 2

Logo, − 2 é raiz comum aos polinómios P ( x ) e Q ( x ) . Para resolver a inequação P ( x ) ≤ 0 , vamos construir uma tabela
onde é apresentado o estudo do sinal de cada um dos fatores e
Em seguida, vamos decompor em fatores o polinómio Q ( x ) .
do produto.
Sendo − 2 uma raiz do polinómio Q ( x ) , então Q ( x ) é divisível −∞ –3 1 2 +∞
por x + 2 . x −1 – – – 0 + + +
Aplicando a regra de Ruffini determina-se o quociente da divisão x −1 – – – 0 + + +
x −2 – – – – – 0 +
de Q ( x ) por x + 2 . x+3 – 0 + + + + +
−1 −1 4 4 P(x) + 0 – 0 – 0 +
−2 2 −2 −4
Por observação do quadro, conclui-se que P ( x ) ≤ 0 ⇔ x ∈[ −3,2] .
−1 1 2 0

Então, o quociente da divisão de Q ( x ) por x + 2 é − x2 + x + 2 . 4.1. P ( − 1 ) = 2 × ( − 1 )4 − ( −1 )3 + a × ( − 1 )2 + a × ( −1 ) − 6 =

Q ( x ) = ( x + 2) × ( − x2 + x + 2) = 2 + 1 + a − a − 6 = −4
Como P ( −1) ≠ 0 , conclui-se que, independentemente do valor
Seguidamente vamos determinar as raízes do polinómio
− x2 + x + 2 . de a, − 1 não é raiz de P ( x ) .
−1 ± 1 + 8 Portanto, P ( x ) não é divisível por x + 1 .
− x2 + x + 2 = 0 ⇔ x = ⇔ x = −1 ∨ x = 2
−2
Assim, tem-se: − x + x + 2 = − ( x + 1 )( x − 2 ) = ( x + 1 )( − x + 2 ) e
2 4.2. P ( x ) é divisível por x − a se e só se P ( a ) = 0 .

Q ( x ) = ( x + 2 )( x + 1)( − x + 2 ) . P ( a ) = 0 ⇔ 2a4 − a3 + a × a2 + a × a − 6 = 0 ⇔

Q ( x ) ≤ 0 ⇔ ( x + 2 )( x + 1 )( − x + 2 ) ≤ 0 ⇔ 2a 4 − a 3 + a 3 + a 2 − 6 = 0 ⇔ 2a 4 + a 2 − 6 = 0
Fazendo a 2 = y , tem-se:
Para resolver a inequação Q ( x ) ≤ 0 , vamos construir uma tabela
2y 2 + y − 6 = 0
onde é apresentado o estudo do sinal de cada um dos fatores e
do produto. −1 ± 1 + 48
⇔y=
−∞ 4
−2 −1 2 +∞
x +2 – 0 + + + + + 3
⇔y= ∨ y = −2
x +1 – – – 0 + + + 2
−x + 2 + + + + + 0 – Como y = a2 , tem-se:
Q(x) + 0 – 0 + 0 – 3
a2 = ∨ a
2
= −2

Por observação do quadro, conclui-se que Q ( x ) ≤ 0 2 equação impossível

⇔ x ∈[ −2, −1] ∪ [2, +∞[ . ⇔a=

3
∨ a=−
3
2 2
3.1. Tendo em atenção a resolução apresentada no quadro, 3 3
⇔a= ∨ a=−
conclui-se que P ( x ) é um polinómio de grau 4, sendo 1, − 1, − 7, 2 2
13 e − 6 os coeficientes dos termos de grau 4, 3, 2, 1 e 0, 3× 2 3× 2
⇔a= ∨ a=−
respetivamente. 2× 2 2× 2
Então, P ( x ) = x 4 − x 3 − 7 x 2 + 13 x − 6 . 6 6
⇔a= ∨ a=−
2 2

72