Geometria

Elementos de Geometria Euclidiana

Ariadine C.Ozan
Sônia F.L.Toffoli
Ulysses Sodré
Material desta página

 1 Introdução à Geometria Euclidiana

 2 Ponto, Reta e Plano
 3 Pontos Colineares e semirretas
 4 Segmentos consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes
 5 Ponto Médio de um segmento
 6 Ângulos Congruentes em um plano
 7 Posições relativas de duas retas em um plano
 8 Retas paralelas
 9 Retas concorrentes
 10 Retas perpendiculares
 11 Retas transversais e ângulos especiais
 12 Alguns exercícios resolvidos

1 INTRODUÇÃO À GEOMETRIA EUCLIDIANA

Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, mas existem outros tipos de Geometria. A
morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército
grego mas em 306306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de
Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido
como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre
eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior
sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides
(300300 a.C.), cuja vida e até mesmo o local de nascimento é algo dúbio. Ele é
conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.

2 PONTO, RETA E PLANO

Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre na Geometria. Os conceitos
geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são
adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar conceitos de ponto, reta e
plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes ideias para entender alguns conceitos primitivos em
Geometria:

1. Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, etc

2. Reta: fio esticado, lados de um quadro, etc

3. Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, etc

Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser

realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:

1. Pontos: A, B, L e M representados por letras maiúsculas

latinas;
 2. Retas: r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas

latinas;
3. Planos: α𝛼, β𝛽 e γ𝛾 representados por letras gregas minúsculas.

O plano α𝛼 é figura rosa, o plano β𝛽 é

a figura de fundo branco e o plano γ𝛾 é a figura amarela.
Nota: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático,
imagine o Polo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passam por
este ponto. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos, mas dois pontos
distintos determinam uma única reta.

Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.

As expressões infinitos pontos ou infinitas retas, significam tantos pontos ou retas

quantas você desejar.
3 PONTOS COLINEARES E SEMIRRETAS
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da
esquerda, os pontos A𝐴, B𝐵 e C𝐶 são colineares, pois todos pertencem à mesma
reta r𝑟. Na figura da direita, os pontos R𝑅, S𝑆 e T𝑇 não são colineares, pois T𝑇 não
pertence à reta s𝑠.

Semirretas: Um ponto O𝑂 sobre uma reta s𝑠, divide esta reta em duas semirretas. O
ponto O𝑂 é a origem comum às duas semirretas que são denominadas semirretas
opostas.

O ponto A𝐴 é a origem da semirreta que contém os pontos A𝐴 e B𝐵 e também é a

origem da semirreta que contém os pontos A𝐴 e C𝐶, nas duas figuras saeguintes. A
semirreta que contém os pontos A𝐴 e B𝐵 e a semirreta que contém os
pontos A𝐴 e C𝐶 são semirretas opostas. A notação XY𝑋𝑌 para uma semirreta
significa uma semirreta que contém os pontos X𝑋 e Y𝑌.
As semirretas AB𝐴𝐵 e AC𝐴𝐶 estão na mesma reta, têm a mesma origem e são
infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam
infinitamente.

4 SEGMENTOS CONSECUTIVOS, COLINEARES,

CONGRUENTES E ADJACENTES
Dada uma reta s𝑠 e dois pontos distintos A𝐴 e B𝐵 sobre esta reta, o conjunto de
todos os pontos localizados entre A𝐴 e B𝐵, inclusive os próprios A𝐴 e B𝐵, recebe
o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB.𝐴𝐵. Às vezes, é
interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto
denominado origem e terminam em outro ponto denominado extremidade. Os
segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e
adjacentes.

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade

de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide
com uma extremidade do outro.

1. AB e BC são consecutivos
2. MN e NP são consecutivos
3. EF e GH não são consecutivos
Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma
reta.

1. AB e CD são colineares
2. MN e NP são colineares

3. EF e FG não são colineares

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:

Os segmentos AB𝐴𝐵, BC𝐵𝐶 e CD𝐶𝐷 são consecutivos e colineares, mas os

segmentos AB𝐴𝐵 e CD𝐶𝐷 não são consecutivos embora sejam colineares, mas os
segmentos de reta EF𝐸𝐹 e FG𝐹𝐺 são consecutivos e não são colineares

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho

seguinte AB𝐴𝐵 e CD𝐶𝐷 são congruentes. A congruência entre os
segmentos AB𝐴𝐵 e CD𝐶𝐷 é denotada por AB≅CD𝐴𝐵≅𝐶𝐷, que se
lê: AB𝐴𝐵 é congruente a CD𝐶𝐷, onde ≅≅ é o símbolo de congruência.

Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se

possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em
comum. MN𝑀𝑁 e NP𝑁𝑃 são adjacentes, tendo somente N𝑁 em
comum. MP𝑀𝑃 e NP𝑁𝑃 não são adjacentes, pois existem muitos pontos em
comum.

5 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

M𝑀 é o ponto médio do segmento de reta AB𝐴𝐵, se M𝑀 divide o
segmento AB𝐴𝐵 em dois segmentos congruentes, ou seja, AM≅MB𝐴𝑀≅𝑀𝐵.
O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.

Na sequência, vamos obter o ponto médio M𝑀 de um segmento de reta AB𝐴𝐵,

usando com régua e compasso.
 1. Com o compasso centrado no ponto A𝐴, traçamos um arco com

o raio igual à medida do segmento AB𝐴𝐵;

2. Com o compasso centrado em B𝐵, traçamos um outro arco com
o mesmo raio que antes;
3. Os arcos terão interseção em dois pontos localizados fora do
segmento AB𝐴𝐵;
4. Traçamos a reta (vermelha) ligando os pontos obtidos na
interseção dos arcos;
5. O ponto médio M𝑀 é a interseção da reta (vermelha) com o
segmento AB𝐴𝐵.

6 ÂNGULOS CONGRUENTES EM UM PLANO

Ângulos congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. No desenho
seguinte, os ângulos a𝑎 e b𝑏 são congruentes e os ângulos c𝑐 e d𝑑 também são
congruentes.

1. Ângulos complementares são aqueles cuja soma das medidas

vale 9090 graus .
2. Ângulos suplementares são aqueles cuja soma das medidas
vale 180180 graus .
7 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM UM
PLANO
Com relação às posições relativas de duas retas no plano, existem pelo menos três
situações importantes, que são as retas paralelas, concorrentes e perpendiculares. As retas
perpendiculares representam casos especiais de retas concorrentes. Na sequência,
estudaremos cada uma dessas posições relativas.

8 RETAS PARALELAS
Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto
em comum. Se as retas são coincidentes (a mesma reta) elas são paralelas.

É usual a notação a//b𝑎//𝑏, para indicar que as retas a𝑎 e b𝑏 são paralelas.

Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser
traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria
Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.

Construção de paralela com régua e compasso

Dada uma reta r𝑟 e um ponto C𝐶 fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela
à reta dada que passa por C𝐶. Este tipo de construção gerou muitas controvérsias e
culminou com outras definições de geometrias denominadas não Euclidianas, que
mesmo sendo utilizadas na prática, não se comportam da forma usual como um ser
humano olha localmente para um objeto geométrico.
 1. Centrar o compasso em C𝐶, traçar um arco que corta a reta

em E𝐸.
2. Com a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do
mesmo no ponto E𝐸 e traçar um outro arco cortando a reta
em F𝐹.
3. Do ponto E𝐸, com abertura igual à corda CF𝐶𝐹, traçar um arco
para obter D𝐷.
4. Traçar uma reta ligando os pontos C𝐶 e D𝐷 e notar que a reta
que passa em CD𝐶𝐷 é paralela à reta que passa em EF𝐸𝐹.

9 RETAS CONCORRENTES
Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de
retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de
uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).

10 RETAS PERPENDICULARES
Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes.
Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.

Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus.

Usamos a notação a⊥b𝑎⊥𝑏 para indicar que as retas a𝑎 e b𝑏 são perpendiculares.
Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada,
pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.

Construção da perpendicular com régua e compasso (1)

Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta
perpendicular à primeira, da seguinte forma:

1. Centrar o compasso em P e com uma abertura maior que a

distância de P à reta, traçar um arco cortando a reta em dois

pontos A e B;
2. Centrar o compasso no ponto A e com um raio igual à medida
do segmento AB traçar um arco;
3. Centrar o compasso no ponto B e com a mesma abertura que
antes traçar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C;
4. A reta que une os pontos P e C é perpendicular à reta dada,
Portanto AB é perpendicular a PC.
Construção da perpendicular com régua e compasso (2)
Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular à reta
dada, do seguinte modo:

1. Centrar o compasso em P e marcar os pontos A e B sobre a reta

que estão à mesma distância de P;

2. Centrar o compasso no ponto A e raio igual à medida de AB

para traçar um arco;
3. Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, traçar um
outro arco;
4. Os arcos cruzam-se em C;
5. A reta contendo PC é perpendicular à reta contendo o segmento
AB.

11 RETAS TRANSVERSAIS E ÂNGULOS ESPECIAIS

Uma Reta transversal a outras retas, é uma reta que tem interseção com as outras retas
em pontos diferentes.

Na figura anterior, a reta t𝑡 é transversal às retas m𝑚 e n𝑛 e estas três retas

formam 88 ângulos, sendo que os ângulos 3,4,5,63,4,5,6 são ângulos internos e os
ângulos 1,2,7,81,2,7,8 são ângulos externos. Cada par destes ângulos, recebe
nomes de acordo com a localização em relação à reta transversal e às retas m𝑚 e n𝑛.

1. Ângulos Correspondentes: Estão do mesmo lado da reta

transversal. Um deles é interno e o outro é externo. Os pares
são: (1,5),(2,6),(3,7),(4,8)(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)
2. Ângulos Alternos: Estão em lados opostos da reta transversal.
Ambos são externos ou ambos são internos. Os pares
são: (1,8),(2,7),(3,6),(4,5)(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)
3. Ângulos Colaterais: Estão do mesmo lado da reta transversal.
Ambos são externos ou ambos são internos. Os pares
são: (1,7),(2,8),(3,5),(4,6)(1,7),(2,8),(3,5),(4,6)
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:

alternoscolateraisinternosinternos(3,6)e(4,5)
(3,5)e(4,6)externosexternos(1,8)e(2,7)
(1,7)e(2,8)alternosinternos(3,6)𝑒(4,5)externos(1,8)𝑒(2,7)colateraisintern
os(3,5)𝑒(4,6)externos(1,7)𝑒(2,8)
Propriedades das retas tranversais

Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os
ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.

Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos
internos são congruentes.

Na figura, o ângulo 33 também é congruente aos ângulos 11 e 22.

Quando duas retas r𝑟 e s𝑠 são paralelas e uma reta transversal t𝑡 é perpendicular a
uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.

Ângulos com lados paralelos: Sejam os ângulos A𝐴 e A′𝐴′ suplementares cujos

lados são indicados pelas retas A1𝐴1 e A2𝐴2, e os ângulos B𝐵 e B′𝐵
′ suplementares cujos lados são indicados pelas retas B1𝐵1 e B2𝐵2.

Se a reta A1𝐴1 é paralela à reta B1𝐵1 e a reta A2𝐴2 é paralela à reta B2𝐵2, então
os ângulos A𝐴 e B𝐵 são congruentes e os ângulos A′𝐴′ e B′𝐵′ também são
congruentes.

Ainda temos uma outra informação que os ângulos A𝐴 e B′𝐵′ são suplementares, da
mesma forma que os ângulos A′𝐴′ e B𝐵 são suplementares.

Um ângulo é obtido pela rotação do outro em torno do seu vértice: CSeja a situação
em que dois ângulos A𝐴 e B𝐵 possuem lados paralelos, como no caso acima.

Se a reta B1𝐵1 for rodada de um ângulo θ=0𝜃=0 em torno do vértice Vb𝑉𝑏 para
obter a reta R1𝑅1 e a reta B2𝐵2 for rodada de um ângulo θ𝜃 em torno do
vértice Vb𝑉𝑏 para obter a reta R2𝑅2, ocorre a formação de dois ângulos
suplementares R𝑅 e R′𝑅′. Assim, os ângulos A𝐴 e R𝑅 são congruentes e os
ângulos A′𝐴′ e R′𝑅′ também são congruentes.
A outra informação é que os ângulos A𝐴 e R′𝑅′ são suplementares, da mesma forma
que os ângulos A′𝐴′ e R𝑅 são suplementares. Um importante caso particular deste
fato, é quando θ=90𝜃=90 graus , que será explicitado abaixo.

Ângulos que possuem lados perpendiculares:

Sejam os ângulos A𝐴 e A′𝐴′ suplementares cujos lados são indicados pelas

retas A1𝐴1 e A2𝐴2 e, os ângulos B𝐵 e B′𝐵′ suplementares cujos lados são
indicados pelas retas B1𝐵1 e B2𝐵2.

Se a reta A1𝐴1 é perpendicular à reta B1𝐵1 e a reta A2𝐴2 é perpendicular à

reta B2𝐵2, então os ângulos A𝐴 e B𝐵 são congruentes e os ângulos A′𝐴′ e B′𝐵
′ também são congruentes.

Temos outra informação que os ângulos A𝐴 e B′𝐵′ são suplementares, da mesma

forma que os ângulos A′𝐴′ e B𝐵 são suplementares.

Ângulos de lados perpendiculares: são ângulos cujos lados são perpendiculares e nesse
caso, podem ser congruentes ou suplementares.

12 ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Nos exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, a partir de cada figura
anexada.

1. Calcular a medida do ângulo x𝑥.

Solução: x/2=40𝑥/2=40 graus , pois são ângulos agudos de

lados perpendiculares x=80𝑥=80 graus .

2. Calcular a medida do ângulo x𝑥 graus.
Solução: 2x+40=1802𝑥+40=180 graus (ângulos de lados
 perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso),

logo x=70𝑥=70 graus .

3. Calcular as medidas dos ângulos x𝑥 e y𝑦.
Solução: Como x+(2/3)x=180𝑥+(2/3)𝑥=180 graus (ângulos
colaterais externos), então 3x+2x=5403𝑥+2𝑥=540 graus,
logo x=108𝑥=108 graus. Mas, y=(2/3)x𝑦=(2/3)𝑥 (ângulos

opostos pelos vértices) e temos que y=72𝑦=72 graus.

4. Calcular as medidas dos ângulos a𝑎, b𝑏 e c𝑐.
Solução: Como b+120=180𝑏+120=180 graus (ângulos com
lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso),
então b=60𝑏=60 graus, mas a=c𝑎=𝑐 (ângulos agudos com
lados perpendiculares) e a+b+90=180𝑎+𝑏+90=180 graus
(soma dos ângulos de um triângulo). Assim: a=30𝑎=30 graus

e c=30𝑐=30 graus.
5. Calcular as medidas dos ângulos a𝑎 e b𝑏, se as
retas r𝑟, s𝑠 e t𝑡 são paralelas.
Solução: Como a=35𝑎=35 graus (r||s𝑟||𝑠 e os ângulos
correspondentes), segue que b−a=70𝑏−𝑎=70 graus (s||t𝑠||𝑡 e
os ângulos correspondentes). Assim b=105𝑏=105 graus.

6. Se as retas r𝑟 e t𝑡 são paralelas, obter as medidas dos

ângulos a𝑎 e b𝑏.
Solução: a+125∘=180𝑎+125∘=180 graus (ângulos com lados
paralelos um agudo e outro obtuso)
e b+60=125𝑏+60=125 graus (ângulos agudos com lados
paralelos). Logo a=55𝑎=55 graus e b=65𝑏=65 graus .