Formulário – Obras de Escavação MEC-Geotecnia

FORMULÁRIO – OBRAS DE ESCAVAÇÃO

EUROCÓDIGO 7
Acções (γF) Propriedades do terreno (γM)
Estados
Permanentes Variáveis
Limites Combinações
(γgi) (γqi) tgφ' c' cu qu γ
Últimos
Desf Fav. Desf Fav.
Rotura 1 1.35 1.00 1.50 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
(AC1) 2 1.00 1.00 1.30 0.00 1.25 1.25 1.40 1.40 1.00

TEORIA DE PRESSÕES DE TERRAS

1. Coeficiente de impulso em repouso
𝜐𝜐
Elástico – 𝐾𝐾0 =
1−𝜐𝜐

Fórmula da Jaky (1944) – 𝐾𝐾0 = 1 − sin 𝜙𝜙′

Fórmula de Mayne & Kulhawy (1982) – 𝐾𝐾0 = (1 − sin 𝜙𝜙 ′) ∙ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 0.5

2. Teoria de Rankine
1 − sin 𝜙𝜙′
𝐾𝐾𝑎𝑎 =
1 + sin 𝜙𝜙′
1 + sin 𝜙𝜙′
𝐾𝐾𝑝𝑝 =
1 − sin 𝜙𝜙′

3. Teoria de Coulomb

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝜙𝜙 ′ − 𝜆𝜆)

𝐾𝐾𝑎𝑎 = 2
⁄
1 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙 ′ + 𝛿𝛿 ) ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙 ′ − 𝛽𝛽 )
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜆𝜆 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛿𝛿 + 𝜆𝜆) ∙ �1 + � � �
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽 − 𝜆𝜆) ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛿𝛿 + 𝜆𝜆)
2( ′
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜙𝜙 + 𝜆𝜆)
𝐾𝐾𝑝𝑝 = 2
⁄
1 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙 ′ + 𝛿𝛿 ) ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙 ′ + 𝛽𝛽 )
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜆𝜆 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛿𝛿 − 𝜆𝜆) ∙ �1 − � � � Ângulos positivos
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽 − 𝜆𝜆) ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛿𝛿 − 𝜆𝜆)

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ESCAVAÇÕES SUPERFICIAIS
1. Rotura do fundo de escavação

Método de Terzaghi generalizado a maciços estratificados

𝐵𝐵√2
𝑁𝑁𝑐𝑐 𝐶𝐶𝑢𝑢
𝐹𝐹 = 2
𝐵𝐵√2
(𝛾𝛾𝑎𝑎 ℎ𝑎𝑎 + 𝛾𝛾𝑐𝑐 ℎ𝑐𝑐 ) − (𝐶𝐶𝑢𝑢 ℎ𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑎𝑎 )
2

𝑁𝑁𝑐𝑐 = 5.14

𝑓𝑓𝑎𝑎 = 𝐼𝐼𝑎𝑎 ∙ tan 𝜙𝜙 ′

Método de Bjerrum & Eide

𝑄𝑄𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑁𝑁𝑐𝑐 ∙ 𝐶𝐶𝑢𝑢
𝐹𝐹 = =
𝑄𝑄𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝛾𝛾 ∙ ℎ

2. Diagramas de Terzaghi & Peck

Areia
𝑝𝑝1 = 0.65𝐾𝐾𝑎𝑎 𝛾𝛾𝛾𝛾

Argila
𝑁𝑁𝑠𝑠 ≈ 2 𝑎𝑎 4 → 𝑝𝑝2 = (0.2 𝑎𝑎 0.4)𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑁𝑁𝑠𝑠 ≈ 5 𝑎𝑎 9 → 𝑝𝑝3 = 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 4𝐶𝐶𝑢𝑢

𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑁𝑁𝑠𝑠 =
𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 𝐶𝐶𝑢𝑢

3. Cortinas autoportantes

� 𝑀𝑀𝑜𝑜 = 0 → 𝑑𝑑′

� 𝐹𝐹ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 0 → 𝑅𝑅𝑑𝑑

Método tradicional
𝐼𝐼𝑝𝑝
𝐼𝐼𝑝𝑝∗ =
1.5 𝑎𝑎 2

𝑀𝑀𝑑𝑑 = 1.35 ∙ 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

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4. Cortinas monoapoiadas

� 𝑀𝑀𝑃𝑃 = 0 → 𝑑𝑑

� 𝐹𝐹ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = 0 → 𝐹𝐹ℎ

Método tradicional
𝐼𝐼𝑝𝑝
𝐼𝐼𝑝𝑝∗ =
1.5 𝑎𝑎 2

𝑀𝑀𝑑𝑑 = 1.35 ∙ 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

𝐹𝐹𝑑𝑑 = 2.0 ∙ 𝐹𝐹ℎ

5. Acréscimos de tensão assumindo maciço elástico, isotrópico e homogéneo

∆qs
∆𝜎𝜎𝑧𝑧 = ∙ [𝛼𝛼 + sin 𝛼𝛼 ∙ cos(𝛼𝛼 + 2𝛿𝛿)]
𝜋𝜋

∆qs
∆𝜎𝜎𝑥𝑥 = ∙ [𝛼𝛼 − sin 𝛼𝛼 ∙ cos(𝛼𝛼 + 2𝛿𝛿)]
𝜋𝜋

α e δ devem entrar em radianos nas expressões

δ é positivo se o ponto estiver situado fora das linhas verticais que

(Poulos & Davis, 1974) delimitam o carregamento sendo negativo na restante zona

6. Movimentos: escavações superficiais

Curva tímpano D−y 2

δ(y) = δmax ∙ � �
D

δmax – deslocamento máximo

𝐷𝐷 – largura da bacia de subsidência
𝐻𝐻 – altura total da escavação

Curva de Gauss −�y−

i 2
0.85�
δ(y) = δmax ∙ e 2∙i2

δmax – deslocamento máximo

𝑖𝑖 – distância ao ponto de inflexão da curva de Gauss
𝐻𝐻 – altura total da escavação

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ESCAVAÇÕES SUBTERRÂNEAS
1. Estabilidade da frente da escavação

Condições drenadas
• Método de Atkinson & Mair 𝐾𝐾𝑝𝑝
𝑇𝑇𝛾𝛾 =
�𝐾𝐾𝑝𝑝2
− 1�
𝑠𝑠 = 𝑇𝑇𝑠𝑠 ⋅ 𝜎𝜎𝑠𝑠 + 𝑇𝑇𝛾𝛾 ⋅ 𝛾𝛾 ⋅ 𝐷𝐷 2. 𝐶𝐶 (1−𝐾𝐾𝑝𝑝)
𝑇𝑇𝑠𝑠 = �1 + �
𝐷𝐷
s – pressão de solo na frente
Ts, Tγ – fatores de estabilidade do túnel 1 + sin 𝜙𝜙′
𝐾𝐾𝑝𝑝 =
σs – sobrecarga superficial 1 − sin 𝜙𝜙′
γ – peso volúmico C – recobrimento do túnel
D – diâmetro do túnel 𝜙𝜙′ – ângulo de resistência ao corte

• Método de Anagnostou & Kovári

𝑠𝑠𝑇𝑇,𝑑𝑑 – pressão total de dimensionamento a aplicar na frente
𝑢𝑢𝑑𝑑 – pressão de água de dimensionamento
𝑠𝑠𝑑𝑑 – pressão de solo de dimensionamento
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢 – fator de segurança hidrostático (=1.05)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑠𝑠 – fator de segurança solo (=1.50)

𝑢𝑢 - pressão de água
𝛾𝛾𝑤𝑤 – peso volúmico da água (=10kN/m3)
𝐶𝐶𝑤𝑤 – altura de água acima do eixo do túnel

s – pressão de solo na frente

S – força exercida pelo solo
𝑠𝑠𝑇𝑇,𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑑𝑑 + 𝑠𝑠𝑑𝑑
𝜑𝜑′ – ângulo de resistência ao corte
c’ – coesão efetiva
𝑢𝑢𝑑𝑑 = 𝑢𝑢 ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢 ; 𝑠𝑠𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑠𝑠 ′
𝜎𝜎𝑣𝑣,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 – tensão efetiva vertical ao nível do coroamento
𝛾𝛾 – peso volúmico do solo
𝑢𝑢 = 𝛾𝛾𝑤𝑤 ∙ (𝐶𝐶𝑤𝑤 + 𝐷𝐷/2) 𝛾𝛾′ – peso volúmico sumerso do solo
𝜎𝜎𝑠𝑠 – sobrecarga superficial
𝑆𝑆 D – diâmetro do túnel
𝑠𝑠 = C – recobrimento do túnel
𝐷𝐷 2
𝑤𝑤 – ângulo da cunha de solo mais desfavorável

(𝑃𝑃𝑣𝑣 + 𝐺𝐺2 ) ∙ cos(𝑤𝑤 + 𝜑𝜑′) − 𝑇𝑇2 ∙ cos 𝜑𝜑′

𝑆𝑆 =
sin(𝑤𝑤 + 𝜑𝜑′)

′
o 𝑃𝑃𝑣𝑣 = 𝐺𝐺1 − 𝑅𝑅1 = 𝜎𝜎𝑣𝑣,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝐷𝐷 2 ⋅ tan 𝑤𝑤

′
𝐶𝐶 < 2𝐷𝐷: 𝜎𝜎𝑣𝑣,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝛾𝛾 ∙ (𝐶𝐶 − 𝐶𝐶𝑤𝑤 ) + 𝛾𝛾′ ∙ 𝐶𝐶𝑤𝑤 + 𝜎𝜎𝑠𝑠
𝛾𝛾 ′ r-c′ C
−0.8 tan 𝜑𝜑′ w�r
𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝑐𝑐 ′ ′ Cw ′C ′C
′
𝐶𝐶 > 2𝐷𝐷: 𝜎𝜎𝑣𝑣,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = �1 − 𝑒𝑒 � + �𝑒𝑒 −0.8 tan 𝜑𝜑 �r − 𝑒𝑒 −0.8 tan 𝜑𝜑 �r � + 𝜎𝜎𝑠𝑠 ∙ 𝑒𝑒 −0.8 tan 𝜑𝜑 �r
0.8 tan 𝜑𝜑′ 0.8 tan 𝜑𝜑 ′
0,5 ⋅ 𝐷𝐷 ⋅ tan 𝑤𝑤
𝑟𝑟 =
1 + tan 𝑤𝑤

1
o 𝐺𝐺2 = ∙ 𝐷𝐷 3 ∙ 𝛾𝛾 ′ ∙ tan 𝑤𝑤
2

𝐷𝐷2
o 𝑇𝑇2 = �𝑐𝑐 ′ + 𝜏𝜏𝜑𝜑 � ∙ 𝐷𝐷 2 ∙ tan 𝑤𝑤 + 𝑐𝑐 ′
cos 𝑤𝑤

1 2 ′
𝜏𝜏𝜑𝜑 = 0.4 � 𝛾𝛾 ′ 𝐷𝐷 + 𝜎𝜎𝑣𝑣,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 � tan 𝜑𝜑′
3 3

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Condições não drenadas

• Método de Atkinson & Mair
Tc
P/D
10
1 𝐶𝐶 0

𝑠𝑠 = 𝜎𝜎𝑠𝑠 + ⋅ 𝛾𝛾 ⋅ 𝐷𝐷 �1 + 2 ⋅ � − 𝑇𝑇𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐𝑢𝑢 8 0,5

2 𝐷𝐷 6
1
2

s – pressão na frente 4

σs – sobrecarga superficial 2

γ – peso volúmico 0
1 2 3 C/D
D – diâmetro do túnel Factor de estabilidade do túnel ( Tc )

C – recobrimento do túnel
Tc – fatores de estabilidade do túnel P – comprimento da frente não revestida
cu – resistência não drenada

• Números de estabilidade
𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑁𝑁 =
𝑠𝑠 = 𝜎𝜎𝑣𝑣 − 𝑁𝑁 ⋅ 𝑐𝑐𝑢𝑢 ≥ 𝑢𝑢𝑑𝑑 𝐹𝐹𝐹𝐹

s – pressão na frente 𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐 = 5.8613 ⋅ (𝐶𝐶/𝐷𝐷)0.4146

σv – tensão vertical ao nível do eixo do túnel
N – número de estabilidade 𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐 – número de estabilidade crítico
C – recobrimento do túnel FS – fator de segurança (=1.5)
D – diâmetro do túnel
cu – resistência não drenada 𝑢𝑢𝑑𝑑 = (𝐶𝐶𝑤𝑤 ⋅ 𝛾𝛾𝑤𝑤 ) ⋅ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑑𝑑 – pressão da água ao nível do eixo do túnel 𝐶𝐶𝑤𝑤 – altura de água acima do eixo do túnel
𝛾𝛾𝑤𝑤 – peso volúmico da água (=10kN/m3)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢 – fator de segurança hidrostático (=1.05)

• Método de Anagnostou & Kovári

𝑠𝑠𝑑𝑑 – pressão de solo de dimensionamento

𝐹𝐹𝐹𝐹𝑠𝑠 – fator de segurança solo (=1.50)

s – pressão de solo na frente

S – força exercida pelo solo
cu – resistência não drenada
𝛾𝛾 – peso volúmico do solo
𝜎𝜎𝑠𝑠 – sobrecarga superficial
D – diâmetro do túnel
C – recobrimento do túnel
𝑤𝑤 – ângulo da cunha de solo mais desfavorável
𝑆𝑆
𝑠𝑠𝑑𝑑 = 𝑠𝑠 ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑠𝑠 = ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑠𝑠
𝐷𝐷 2

(𝐺𝐺1 − 𝑅𝑅1 + 𝐺𝐺2 ) ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 − 𝑇𝑇2

𝑆𝑆 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤)

o 𝐺𝐺1 = 𝐷𝐷 2 ⋅ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑤𝑤 ∙ (𝛾𝛾 ∙ 𝐶𝐶 + 𝜎𝜎𝑆𝑆 )

o 𝑅𝑅1 = 2 ⋅ 𝐷𝐷 ∙ 𝐶𝐶 ∙ 𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑤𝑤 + 1)
o 𝐺𝐺2 = 1/2 ∙ 𝐷𝐷 3 ∙ 𝛾𝛾 ∙ tan 𝑤𝑤
o 𝑇𝑇2 = 𝐷𝐷 2 ∙ 𝑐𝑐𝑢𝑢 ∙ (1/cos 𝑤𝑤 + tan 𝑤𝑤)

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2. Dimensionamento do suporte

Método de convergência-confinamento

D – diâmetro do túnel
R – raio do túnel
Em – módulo de deformabilidade do maciço
𝜈𝜈 – coeficiente de poisson
𝜑𝜑′ – ângulo de resistência ao corte
c’ – coesão efetiva
𝑝𝑝0 – tensão inicial
𝑝𝑝i – tensão interior

• Curva caraterística do maciço

𝑟𝑟0 (1+𝜈𝜈)
Fase elástica: 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = (𝑝𝑝0 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 )
𝐸𝐸𝑚𝑚

𝑟𝑟0 (1+𝜈𝜈) 𝑟𝑟𝑝𝑝 2

Fase plástica: 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = �2(1 − 𝜈𝜈)(𝑝𝑝0 − 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 ) � � − (1 − 2𝜈𝜈)(𝑝𝑝0 − 𝑝𝑝𝑖𝑖 )�
𝐸𝐸𝑚𝑚 0𝑟𝑟

1
2𝑝𝑝0 − 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑐𝑐′ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜑𝜑 ′ (1 + sin 𝜑𝜑 ′) 2(𝑝𝑝0 (𝑘𝑘 − 1) + 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ) (𝑘𝑘−1)
𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 = ; 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 = ; 𝑘𝑘 = ; 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 𝑟𝑟0 � �
1 + 𝑘𝑘 (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜑𝜑 ′) (1 − sin 𝜑𝜑 ′) (1 + 𝑘𝑘)�(𝑘𝑘 − 1)𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 �

• Perfil longitudinal de deformação

1 𝑝𝑝
𝑢𝑢𝑖𝑖0 = ∙ 𝑢𝑢 𝑥𝑥 =
[1 + 𝑒𝑒 −(𝑥𝑥⁄0.55) ]1.7 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐷𝐷
𝑝𝑝 – atraso com que é colocado o suporte

• Curva de confinamento

𝑝𝑝𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑠𝑠 – rigidez do suporte

𝑢𝑢𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑖𝑖0 +
𝐾𝐾𝑠𝑠

Anel de betão:
𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ (𝑅𝑅 2 − (𝑅𝑅 − 𝑡𝑡𝑐𝑐 )2 ) 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑅𝑅 − 𝑡𝑡𝑐𝑐 )2 𝐸𝐸𝑐𝑐 – módulo de Young do betão
𝐾𝐾𝑠𝑠 = 2 ; 𝑝𝑝𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = ∙ �1 − � 𝑡𝑡𝑐𝑐 – espessura do betão
2 ∙ (1 − 𝜐𝜐𝑐𝑐 ) ∙ (𝑅𝑅 − 𝑡𝑡𝑐𝑐 ) ∙ 𝑅𝑅 2 2 𝑅𝑅2
𝜐𝜐𝑐𝑐 – coeficiente de Poisson do betão
𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 – tensão admissível do betão
Cambotas metálicas
𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ 𝐴𝐴𝑠𝑠 𝐴𝐴𝑠𝑠 𝐸𝐸𝑠𝑠 – módulo de Young das cambotas
𝐾𝐾𝑠𝑠 = ; 𝑝𝑝𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝐴𝐴𝑠𝑠 – área das cambotas
𝑠𝑠𝑙𝑙 ∙ 𝑅𝑅2 𝑠𝑠𝑙𝑙 ∙ 𝑅𝑅
𝑠𝑠𝑙𝑙 – afastamento longitudinal
𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 – tensão admissível das cambotas
Pregagens:
𝐸𝐸𝑝𝑝 ∙ 𝐴𝐴𝑝𝑝 𝑄𝑄𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝐸𝐸𝑠𝑠 – módulo de Young das pregagens
𝐾𝐾𝑠𝑠 = ; 𝑝𝑝𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝑝𝑝 – área das pregagens
𝑙𝑙 ∙ 𝑠𝑠𝑙𝑙 ∙ 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑙𝑙 ∙ 𝑠𝑠𝑑𝑑
𝑙𝑙 – comprimento das pregagens
𝑠𝑠𝑙𝑙 – afastamento longitudinal
𝑠𝑠𝑑𝑑 – afastamento transversal
𝑄𝑄𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 – Resistência das pregagens
• Fator de segurança

𝑝𝑝𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐹𝐹𝐹𝐹 =
𝑝𝑝𝐸𝐸𝐸𝐸

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Solução de Kirsh
p2 Tensões:

𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 𝑟𝑟02 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 4𝑟𝑟02 3𝑟𝑟04

σθ σr 𝜎𝜎𝑟𝑟 = �1 − 2 � + �1 − 2 + 4 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃
2 𝑟𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟𝑟
θ 𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 𝑟𝑟02 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 3𝑟𝑟04
p1 𝜎𝜎𝜃𝜃 = �1 + 2 � − �1 + 4 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃
2 𝑟𝑟 2 𝑟𝑟
2 4
𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 2𝑟𝑟0 3𝑟𝑟0
𝜏𝜏𝑟𝑟𝑟𝑟 = − �1 + 2 − 4 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝜃𝜃
2 𝑟𝑟 𝑟𝑟

Deslocamentos:
𝑝𝑝1 – pressão vertical
𝑝𝑝2 – pressão horizontal 𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 𝑟𝑟02 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 𝑟𝑟02 𝑟𝑟02
𝑢𝑢𝑟𝑟 = + �4(1 − 𝜈𝜈) − 2 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃
r0 – raio do túnel 4𝐺𝐺 𝑟𝑟 4𝐺𝐺 𝑟𝑟 𝑟𝑟
G – módulo de distroção do maciço 𝑝𝑝1 − 𝑝𝑝2 𝑟𝑟02 𝑟𝑟02
𝜈𝜈 – coeficiente de poisson 𝑣𝑣𝜃𝜃 = − �2(1 − 2𝜈𝜈) + 2 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝜃𝜃
4𝐺𝐺 𝑟𝑟 𝑟𝑟

Rotação das tensões principais

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦
𝜎𝜎𝑛𝑛 = + cos 2𝛼𝛼 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 sin 2𝛼𝛼
2 2
𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑦𝑦
𝜏𝜏𝑛𝑛 = − sin 2𝛼𝛼 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 cos 2𝛼𝛼
2
𝜎𝜎 1 𝜎𝜎𝑥𝑥 +𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜎𝜎𝑥𝑥 −𝜎𝜎𝑦𝑦 2 2𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦
� �= ± �� 2 ; 𝜃𝜃 = 1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 �
� + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 �
𝜎𝜎2 2 2 2 𝜎𝜎𝑥𝑥 −𝜎𝜎𝑦𝑦

3. Movimentos: escavações subterrâneas

Perfil transversal de assentamentos à superfície

ix 𝑉𝑉𝑆𝑆
𝛿𝛿𝑣𝑣,max =
x √2 ⋅ 𝜋𝜋 ⋅ 𝑖𝑖𝑥𝑥
δv (x) δvmax

ponto de máximo declive

𝑉𝑉𝑆𝑆
𝑉𝑉𝐿𝐿 =
H (0,606 δ vmax ) 𝜋𝜋 ∙ 𝐷𝐷2 /4

𝐻𝐻 𝑏𝑏
𝑖𝑖𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑅𝑅 ∙ � �
2 ∙ 𝑅𝑅

D=2R
VS – volume de solo
VL – volume de solo normalizado
D – diâmetro do túnel
𝛿𝛿𝑣𝑣 (𝑥𝑥) = 𝛿𝛿𝑣𝑣,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋅ exp(−𝑥𝑥 2 ⁄(2 ⋅ 𝑖𝑖𝑥𝑥2 )) 𝑅𝑅 – raio do túnel
H – altura ao eixo do túnel
𝛿𝛿𝑣𝑣,max – deslocamento máximo vertical a – solos argilosos: 1.0 / solos arenosos: 0.5
𝑖𝑖𝑥𝑥 – distância ao ponto de inflexão da curva b – solos argilosos: 0.8 / solos arenosos: 1.0

Perfil de deslocamentos horizontais à superfície

𝑥𝑥 ⋅ 𝛿𝛿𝑣𝑣 (𝑥𝑥)
𝛿𝛿h (𝑥𝑥) =
H

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Extensões verticais e horizontais à superfície

𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2
𝜀𝜀𝑣𝑣 (𝑥𝑥) = − ⋅ 𝛿𝛿 (𝑥𝑥) ; 𝜀𝜀h (𝑥𝑥) = ⋅ �1 − 2 � ⋅ 𝛿𝛿𝑣𝑣 (𝑥𝑥)
𝑖𝑖𝑥𝑥2 𝑣𝑣 𝐻𝐻 𝑖𝑖𝑥𝑥

Perfil de deslocamentos verticais sub-superficiais

2
𝛿𝛿𝑣𝑣,𝑧𝑧 (𝑥𝑥) = 𝛿𝛿𝑣𝑣,𝑧𝑧,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⋅ exp�−𝑥𝑥 2 ⁄(2 ⋅ 𝑖𝑖𝑥𝑥,𝑧𝑧 )� 𝐻𝐻 0,8 𝐻𝐻 − 𝑧𝑧 𝑚𝑚
𝑖𝑖𝑥𝑥,𝑧𝑧 = 𝑅𝑅 ⋅ � � � �
2 ∙ 𝑅𝑅 𝐻𝐻
𝑉𝑉𝑆𝑆
𝛿𝛿𝑣𝑣,𝑧𝑧,max =
√2 ⋅ 𝜋𝜋 ⋅ 𝑖𝑖𝑥𝑥,𝑧𝑧
m – solos argilosos: 0.8 / solos arenosos: 0.4
z – profundidade

ANÁLISE DE RISCO
1. Modos de deformação

Compressão (zona convexa) Tração (zona côncava)

δA / δB – assentamentos verticais nos pontos A e B do edifício

∆max – Deflexão máxima do edifício
ωAB – rotação de corpo rígido do edifício
βA / βB – distorção angular nos pontos A e B do edifício
θmax=βmax+ωAB – rotação máxima do edifício

2. Conversão de um edifício em viga elástica

(𝐸𝐸𝐸𝐸)𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸í𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝐴𝐴𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ (𝑚𝑚 + 1) 3

𝑡𝑡𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝐿𝐿
𝑚𝑚+1 𝐼𝐼𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 =
12
2
(𝐸𝐸𝐸𝐸)𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸í𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ � �𝐼𝐼𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝐴𝐴𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ ℎ𝑚𝑚 �
𝐴𝐴𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑡𝑡𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 ∙ 𝐿𝐿
𝑖𝑖

12 ∙ (𝐸𝐸𝐸𝐸)𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸í𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ELaje – módulo de Young de cada laje

𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = � ALaje – módulo de Young de cada laje
(𝐸𝐸𝐸𝐸)𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸í𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 m – número de andares
ILaje – inércia de cada laje
(𝐸𝐸𝐸𝐸)𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 hm – distância ao eixo neutro do edifício (meia altura)
𝐸𝐸𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = L – largura do edifício
𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ∙ 𝐿𝐿
𝑡𝑡𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 – espessura de cada laje

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3. Extensão limite de tração

𝜀𝜀𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = max (𝜀𝜀𝑏𝑏𝑏𝑏 ; 𝜀𝜀𝑑𝑑𝑑𝑑 ) εh – extensão horizontal na base do edifício
∆max – Deflexão máxima do edifício
∆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⁄𝐿𝐿 L – largura do edifício
𝜀𝜀𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝜀𝜀ℎ + H – altura da viga elástica equivalente
𝐿𝐿 3 ∙ 𝐼𝐼 𝐸𝐸
+ ∙ E – módulo de Young da viga elástica equivalente
12 ∙ 𝑡𝑡 2 ∙ 𝑡𝑡 ∙ 𝐿𝐿 ∙ 𝐻𝐻 𝐺𝐺
G – módulo distorcional da viga elástica equivalente
2 ν – coeficiente de Poisson da viga elástica equivalente
1 − 𝜈𝜈 1 + 𝜈𝜈 2 ∆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⁄𝐿𝐿 I – inércia do edifício: H3/3 – tração; H3/12 - compressão
𝜀𝜀𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜀𝜀ℎ ∙ + �𝜀𝜀ℎ2 ∙ � � +� � t – máxima distância ao eixo neutro do edifício: H - tração;
2 2 𝐻𝐻 ∙ 𝐿𝐿2 𝐺𝐺
1 + 18 ∙ 𝐼𝐼 ∙ 𝐸𝐸 H/2 - compressão

4. Critérios de dano e categorias de risco

Categoria de Extensão limite

Tipo de dano Descrição do dano
risco de tração (%)

Pequenas fissuras muito finas e insignificantes que podem ser

0 (estético) Irrelevante 0 - 0.05
desprezadas - < 0.1mm

Eventuais fissurações isoladas no interior da edificação. As

fissuras na alvenaria de pedra (ou tijolo) no exterior da
1 (estético) Muito Ligeiro 0.05 - 0.075
edificação só podem ser percebidas através de uma inspeção
minuciosa - < 1mm

Muitas fissurações no interior da edificação. As fissuras são

2 (estético) Ligeiro visíveis também no exterior. Portas e janelas podem 0.075 - 0.15
apresentar dificuldades em ser fechadas - < 5mm

3 (estético / Danos em portas e janelas. Danos ligados à infiltração de

Médio 0.15 - 0.3
funcional) humidade. A tubagem pode ser danificada - 5 - 15mm

Distorção das caixilharias, soalhos inchados, paredes com

4 (funcional) Elevado ondas e inchadas. Alguma perda da capacidade portante das > 0.3
vigas. Tubagem danificada, não utilizável - 15 - 25mm

Perda notável da capacidade resistente das vigas. Paredes

Muito
5 (estrutural) inchadas e instáveis. Janelas deformadas e partidas. Perigo de > 0.3
elevado
instabilidade das estruturas - > 25mm

5. Índice de vulnerabilidade

Fator de redução a aplicar aos

Índice de vulnerabilidade Vulnerabilidade do edifício
critérios de danos

0 – 20 Irrelevante 1.0

20 – 40 Baixa 1.3

40 – 60 Média 1.5

60 – 80 Alta 1.8

80 – 100 Elevada 2.0

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