Física Geral Mente Fresca 082243 092112

CENTRO PREPARATÓRIO MENTE FRESCA FÍSICA
Elaborado
Elaborado pelo Professor:
pelo Professor: Celestino
Celestino FindoffFindoff
1
Índice
SISTEMAS DE UNIDADES ............................................................................................................................... 03
Capítulo 1 - CINEMÁTICA ............................................................................................................................ 04

Velocidade média .......................................................................................................................................... 04
Movimento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) ................................................................................................... 04
Movimento Rectinlíneo Uniformente Variado (M.R.U.V) .......................................................................... 05
Movimento Circular Uniforme (M.C.U) ...................................................................................................... 11
Movimento Circular Uniforme Variado (M.C.U.V) ........................................................................................ 13
Lançamento de um projectíl ......................................................................................................................... 19
Movimento da Relatividade .......................................................................................................................... 24
Capítulo 2 - DINÂMICA ................................................................................................................................ 26

Plano horizontal ............................................................................................................................................ 28
Plano inclinado .............................................................................................................................................. 29
Capítulo 3 - TRABALHO E ENERGIA ............................................................................................................ 35

Trabalho como medida de energia ............................................................................................................... 35
Rendimento de um trabalho realizado ......................................................................................................... 37
Energia .......................................................................................................................................................... 40
Capítulo 4 - QUANTIDADE DE MOVIMENTO ............................................................................................. 46

Impulso de uma força ................................................................................................................................... 47
Lei da variação da quantidade de movimento .............................................................................................. 47
Capítulo 5 – HIDROSTÁTICA ....................................................................................................................... 51

Capítulo 5 – ELECTROSSTÁTICA ..................................................................................................................62
Capítulo 6 - OSCILAÇÕES MECÂNICAS ....................................................................................................... 68
Movimento Hormónico Simples (M.H.S) ...................................................................................................... 68
Pêndulo Elástico ............................................................................................................................................ 69
Pêndulo Simples ou Gravítico ....................................................................................................................... 70
Elaborado
Pêndulo Balístico ........................................................................................................................................... 71
2
Capítulo 7 - ONDULATÓRIA ........................................................................................................................ 75
Sistema Internacional de Unidades (SI)

Unidades de comprimento
1 km 1 hm 1 dam Metro (m) 1 dm 1 cm 1 mm

1000 m 100 m 10 m S.I 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Exemplos: converter as seguintes unidades em:
a) 3,5 km em m; b) 18,0 hm em km; c) 0,97 m em dam; d) 1,8 mm em dm
Unidades de área ou superfície
1 km2 1 hm2 1 dam2 m2 1 dm2 1 cm2 1 mm2

106 m2 104 m2 102 m2 S.I 10−2 m2 10−4 m2 10−6 m2
Unidades de volume
1 km3 1 hm3 1 dam3 m3 1 dm3 1 cm3 1 mm3

109 m3 106 m3 103 m3 S.I 10−3 m3 10−6 m3 10−9 m3
Unidades de massa
1t 1q 1 dakg 1 kg 1 hg 1 dag Grama(g) 1 dg 1 cg 1 mg

10 kg 102 kg
3 101 kg S.I −1 −2 −3
10 kg 10 kg 10 kg 10 kg 10 kg 10−6 kg
−4 −5
Unidades de tempo
1 dia 1 hora 1 minuto Segundo 1 hora

86400 segundos 3600 segundos 60 segundos S.I 60 minutos
Medidas de capacidades para líquido Regra de três simples
1 kℓ = 103 ℓ = 103 dm3 Converter as seguintes unidades: 5,2 km em metros.
1 hℓ = 102 ℓ = 102 dm3 Resolução

1 daℓ = 101 ℓ = 101 dm3 1 km 1000 m
1 ℓ = litro (SI) = 1 dm3 = 10−3 m3 5,2 km 𝑥
1 dℓ = 10−1 ℓ = 10−4 m3 𝑥 ∙ 1km = 5,2 km ∙ 1000 m ⟹ x = 5200 m
1 cℓ = 10−2 ℓ = 10−5 m3 Usando a regra de três simples, converte as seguintes
unidades:
1 mℓ = 10−3 ℓ = 10−6 m3
a) 4,6 km em m; b) 5,9 g em kg; c) 0,35kℓ em dm3
d) 4,7 h em min; e) 1,5 cm2 em m2
Elaborado
3
CINEMÁTICA
Cinemática: é a parte da Física que faz o estudo do movimento do corpo sem tendo enconta as causas
que produzem estes movimentos.
Trajectória: é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo acupa no decorrer do tempo.
Deslocamento: é a medida do segmento de recta que une a posição inicial ocupada pelo corpo com a
sua posição final.
Movimento: é toda transformação e não só deslocamento de um corpo de um lugar para outro.
Exemplo: O crescimento de uma árvore.
Velocidade média: é a grandeza dada pela variação do deslocamento sobre variação de tempo. A sua
fórmula é:
∆s
vm =
∆t
Sendo: ∆s = s − s0 e ∆t = t − t 0 ; então:
s − s0
vm = ⟹ para um só percurso
t − t0
A sua unidade no SI é metro por segundo (m/s), às vezes encontramos assim: km/h
Resumo de algumas fórmulas (velocidade média):
v1 + v2
vm = ⟹ metade do tempo
2
2v1 ∙ v2
vm = ⟹ metade do percurso
v1 + v2
S1 + S2 + S3 + ⋯ + Sn
vm = ⟹ todo percurso
t1 + t 2 + t 3 + ⋯ + t n
v1 ∙ t1 + 𝑥
vm = ⟹ primeira metade de caminho
t1 + t 2
Movimento Rectilíneo Uniforme (M.R.U): é o movimento em que um corpo sofre deslocamentos
iguais em intervalo de tempo iguais.
• Se o movimento é uniforme, temos:

vm = v = constante ≠ 0; se v = 0, então não existe M.R.U
Equação do Movimento Rectilíneo Uniforme (M.R.U): 𝐒 = 𝐒𝟎 + 𝐯 ∙ 𝐭
• Este movimento classificam em:

o Movimento progressivo: é quando a velocidade é positivo (v > 0).
o Movimento Retrógrado: é quando a velocidade é negativo (v < 0).
Elaborado
4
S (m) S (m) S (m)

S0
S0
S0 𝑣>0 𝑣<0 𝑣=0
0 t (s) 0 t (s) 0 t (s)

Movimento progressivo Movimento retrógrado O corpo está em repouso
Nota:
• Para converter de km/h em m/s, divide-se o valor por 3,6.
Exemplo: 72 km/h ⟹ 72 ÷ 3,6 = 20 m/s
• Para converter de m/s em km/h, multiplica-se o valor por 3,6.

Exemplo: 20 m/s ⟹ 20 × 3,6 = 72 m/s
Movimento Rectinlíneo Uniformente Variado (M.R.U.V): é aquele em que ocorrem variações de

velocidade iguais em intervalos de tempo.
• Neste movimento a aceleração é constante e diferente de zero. 𝑎m = 𝑎 = constante ≠ 0.
Aceleração: é a grandeza que relaciona a variação da velocidade com o tempo gasto nessa variação.
A sua unidade no SI é m/s2.
Equação do Movimento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V): 𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝒂 ∙ 𝐭

𝐯 − 𝐯𝟎
𝐭=
𝒂
De acordo com os sinais da velocidade e da aceleração, podemos ter dois tipos de movimentos:
• Movimento acelerado: é aquele no qual o módulo da velocidade aumenta no decorrer do

tempo. Para que isso ocorra devemos ter a velocidade e a aceleração com o mesmo sinal.
v ∙ 𝑎 > 0; (+) ∙ (+) = +; (−) ∙ (−) = +
• Movimento retardado: é aquele no qual o módulo da velocidade dimimui no decorrer do

tempo. Para que isso ocorra devemos ter a velocidade e a aceleração com sinais contrários.
v ∙ 𝑎 < 0; (+) ∙ (−) = −; (−) ∙ (+) = −
V (m/s) v = v0 + 𝑎 ∙ 𝑡 M.U.A (Movimento Uniforme Acelerado)
𝑎>0
v0
𝑎<0 t (s)
v = v0 − 𝑎 ∙ t M.U.R (Movimento Uniforme Retardado)
Elaborado
5
Equação do espaço no M.U.V.:

Algumas linguagens
𝟏 v = nv0 : n vezes
𝐒 = 𝐒𝟎 + 𝐯𝟎 𝐭 ± 𝐠𝐭 𝟐
𝟐
v = v0 + n: aumentou
Se S0 = 0 e v0 = 0, temos: v = v0 − n: reduziu
1 v0
S = ± 𝑎t 2 v= : n vezes inferior que a inicial
2 n
Isolando t, vem: 1
hn = gt 2 : durante n segundos
2
2S 𝟐𝐒
t2 = ⟹𝐭=√ 1
𝑎 𝒂 hn = g(n − 1)2 : durante n − 1 segundo
2
Equação de Torricelli h = hn − hn−1 : durante último segundo
v 2 = v0 2 ± 2𝑎(S − S0 ) ⟹ 𝐯 𝟐 = 𝐯𝟎 𝟐 ± 𝟐𝒂∆𝐬 𝑥n = hn − hn−1
Isolando outras grandezas vem: 1 1 1

𝑥n = gt 2 − g(n − 1)2 ⟹ 𝑥n = g (n − )
2 2 2
v 2 − v0 2 𝐯𝟐
∆s = se v0 = 0 ⟹ ∆𝐬 = h2n = 2g(n − 1): durante dois últimos segundos
2𝑎 𝟐𝒂
v 2 = 2𝑎∆s ⟹ 𝐯 = √𝟐𝒂∆𝐬
v 2 = v0 2 ± 2𝑎(S − S0 ) ⟹ 𝐯 = √𝐯𝟎 𝟐 ± 𝟐𝒂(𝐒 − 𝐒𝟎 )
Exercícios
1) Um carro percorre um trecho de 30 km de uma estrada horizontal rectilínea, mantendo uma
velocidade de 60 km/h. A seguir, percorre 60 km em linha recta, mantendo uma velocidade
constante de 40 km/h. Qual é a velocidade média, em km/h, para todo o percurso?
2) Em uma estrada, um carro passa pelo marco quilômetro 218 às 10h 15 min e pelo marco 236 às
10h 30 min. Qual a velocidade escalar média do carro entre esses marcos?
3) Os gráficos mostram a posição em função de tempo de dois ciclístas, A e B em movimento sobre

uma trajectória. a) Qual é a S0 dos ciclístas A e B?; b) Qual é a velocidade deles?
S (km) S (km) c) Escreva as suas funções horárias e diz que tipo
120 80 de movimento se trata.
90 A 60
60 40 B
30 10
0 1 2 3 t (h) 0 1 2 3 4 t (h)
Elaborado
6
Exercícios de aplicação sobre M.R.U

1) Dois atletas partem simultaneamente de um mesmo ponto e percorrem a mesma rua, no mesmo
sentido, com velocidade de 4,2 m/s e 5,4 m/s, respectivamente. A distância entre os dois atletas será de
60 m após. R: 50 s
2) Dois trens. A e B, de 200 m e 250 m de comprimento, respectivamente, correm em linhas paralelas com
velocidades de 18 km/h e 27 km/h, em sentidos opostos. O tempo que decorre desde o instante em que
começam a se cruzar até o instante em que termina o cruzamento é de: R: 36 s
3) Duas bolas de dimensões desprezíveis se aproximam uma da outra, executando movimento rectilíneo e
uniforme. Sabendon que as bolas possuem velocidades de 2 m/s e 3 m/s e que, no instante t = 0, a
distância entre elas é de 15 m, podemos afirmar que o instante da colisão é. R: 3 s
4) Um atirador aciona o gatilho de sua arma, que aponta para um alvo fixo na terra. A velocidade da bala
ao sair do cano da arma é 660 m/s. Depois de 2 s ele ouve o barulho da bala atingindo o alvo. Sabendo
que a velocidade do som do ar é 340 m/s, calcule a distância do atirador ao alvo. R: 448,8 m
5) Um corpo passou uma terça de todo caminho com uma velocidade de 36 km/h e o resto de 300 m de
comprimento durante 60 s.
a) Quanto tempo se moveu o corpo? R: 75 s
b) Que percurso passou o corpo? R: 450 m
6) Um carro mantém uma velocidade escalar constante de 72,0 km/h. Em uma hora e dez minutos ele
percorre, em quilômetros, a distância de. R: 84 m
7) O gráfico representa as posições de um corpo em função do tempo numa certa trajectória.

S (m)
80
0 20 30 45 55 75 90 t(s)
−30
Analise este gráfico.
Elaborado
7
8) Um avião para deslocar da terra, deve possuir uma velocidade de 180 km/h. A que distância do ponto
de partida se encontra o avião quando alcança essa velocidade se percorrer a pista com uma
aceleração de 2,5 m/s2? R: 500 m
9) Dois trens partem simultaneamente de um mesmo local e percorrem a mesma trajectória rectilínea
com velocidades, respectivamente, iguais a 300 km/h e 250 km/h. Há comunicação entre os dois trens
se a distância entre eles não ultrapassar 10 km. Depois de quanto tempo após a sa ída os trens
perderão a comunicação via rádio. R: 12 min
10) A primeira parte de um caminho foi percorrida por um comboio com uma velocidade de 54 km/h
durante 2 h e o resto, igual a 216 km durante 3 h. Determine a velocidade média do movimento. R:
64.8 km/h
11) Um carro passou a primeira metade do caminho com uma velocidade de 10 m/s e a segunda, com 15
m/s. Qual a velocidade média do carro. R: 12 m/s.
12) Um automóvel move-se a velocidade de 120 km/h durante a primeira metade do caminho percorrido
e a velocidade de 30 km/h durante a segunda metade. Encontrar a velocidade média do automóvel.
R: 48 km/h
13) O gráfico a seguir representa a posição de um móvel em função de tempo.

S (m)
40
0 1 2 4 6 7 8 t (s)
−40
a) Em que intervalos de tempo o móvel está em repouso?

b) Em que intervalo de tempo o móvel se desloca no sentido negativo da trajectória?
c) Em que instante o móvel passa pela origem das posições?
14) Determine a função horária da seguinte figura, o instante e a posição do seu encontro.
S (m) B
21 A
14
2
0 3 4 t (s)
Elaborado
8
Exercícios de aplicação sobre M.R.U.V

1) Calcule a aceleração de um carro durante o tempo de travagem, sabendo que no inicio deste processo,
a sua velocidade é de 72 km/h e que depois de 100 m de percurso para: R: −𝟐 m/s2
2) Um motorista conduz com a velocidade 72 km/h, trava o seu carro com uma força constante e percebe
que depois de 4 s, o seu carro pára. Calcule a distância percorrida pelo o carro durante o tempo de
travagem. R: 40 m
3) Um comboio começa a andar com velocidade inicial de zero e com aceleração constante de 0,2m/s 2.
Calcula a sua velocidade e a distância percorrida no intervalo de tempo igual a 50 s. R: 36km/h e 250m
4) Um corpo está em movimento rectilíneo e uniformente acelerado com velocidade inicial igual 10 m/s e
com aceleração de 5m/s2. Após certo intervalo de tempo o corpo duplica a sua velocidade (v = 2v0 ).
Qual é a distância percorrida pelo corpo nesse intervalo de tempo. R: 30 m
5) Um corpo movendo com uma aceleração de 1m/s2 durante 5 s percorreu uma distância d2 37,5 m.
Quantas vezes aumentou-se a sua velocidade. R: 2 vezes
6) A função da velocidade de um móvel em movimento rectilíneo é dada pela equação v = 50 + 4t.

a) Qual é a velocidade inicial e a aceleração do móvel? R: 50m/s e 𝒂 = 𝟒 𝐦/s2
b) Qual é a velocidade do móvel no instante 5 s? R: 70 m/s
c) Em que instante a velocidade do móvel é igual a 100 m/s? R: 12,5 s
7) Um móvel realiza um MUV obedecendo a equação S = 10 − 9t + 2t 2 (SI). Determine o espaço e a

velocidade iniciais, a aceleração do movimento, a função horária da velocidade, o instante em que o
móvel muda de sentido e aquele em que o móvel passa pela origem da trajetória.
8) Um avião para descolar da Terra deve possuir uma velocidade de 180 km/h. A que distância do ponto
de partida se encontra o avião quando alcança essa velocidade, se percorrer a pista com aceleração de
2,5 m/s. R: 500 m
9) A velocidade de um objecto que se move ao longo de uma linha recta horizontal está representada em
função de tempo. Qual o deslocamento, em metros, do objecto após os primeiros 5 s?
v (m/s)
6
0 1 2 3 4 5 6 7 t(s)
−6
Elaborado
9
10) O gráfico abaixo representa a variação da velocidade do móvel em função do tempo.

V (m/s)
30
20
10
0 10 30 40 60 t (s)
Com base nas informações do gráfico:
a) Calcule a aceleração nos intervalos de 10 s a 30 s e 30 s a 40 s;

b) Calcule o espaço percorrido ∆s no intervalo de 30 s a 40 s;
c) Descreva o tipo de movimento no intervalo de 40 s a 60 s;
d) Diga o que representa a área sob a curva no intervalo de 0 a 60 s.
11) O gráfico mostra a variação da velocidade de um automóvel em função do tempo. Supondo-se que o
automóvel passe pela origem em t = 0, calcule o deslocamento total, em metros, depois de
transcorridos 25 segundos.
v(m/s)
10
0 5 10 15 20 25 t (s)
−10
12) Um comboio, com a velocidade de72 km/h percorre desde o momento em que trava até o momento
em que pára, 150 m. Se a aceleração é constante, calcular o valor da mesma e o tempo que tarda até
parar. R: 1,3 m/s2 e 15,38 s
13) A expressão analítica da lei de um movimennto uniforme no SI é: S = 6 + 2t + 0,5t 2 .

a) Qual é o valor do espaço inicial? R: 6 m
b) Qual é o valor da velocidade inicial? R: 2 m/s
c) Qual é o valor da aceleração? R: 1 m/s2
d) Escreve a equação da velocidade válida no (SI) e representa graficamente. R: 𝐯 = 𝟐 + 𝐭
e) O espaço percorrido desde o instante inicial até 8 s depois. R: 54 m
Elaborado
10
Movimento Curvilíneo: é o movimento em que o corpo descreve um círculo.
Movimento Circular Uniforme (M.C.U): é quando a trajectória é circular e o módulo do vector

velocidade é constante e diferente de zero.
Período (𝐓): é o tempo necessário para o corpo realizar uma volta completa.
𝟏 ∆𝐭
𝐓= ; 𝐓=
𝒇 𝐧
A sua unidade no SI é segundo (s)
Frequência (𝒇): é o número de voltas dado pelo corpo na unidade de tempo.

𝟏 𝐧
𝒇= ; 𝒇= n: é o número de voltas
𝐓 ∆𝐭
A sua unidade no SI é Hertz (Hz)
• rps: rotação por segundo é o mesmo que Hertz (Hz) ou seja rps = Hz
• rpm: rotação por minuto
Para converter rpm em rps, basta dividirmos o número por 60, pois 1 minuto é igual a 60 segundos.
Exemplo: converter 10 rpm em rps

10 1 1
10 rpm = rps = rps = Hz
60 6 6
Velocidade linear (v): é igual ao comprimento do arco descrito na unidade de tempo.

∆S
v=
∆t
A sua unidade no SI é metros por segundo (m/s)
Para uma volta completa numa circunferência, temos: ∆S = 2π ∙ R. Como o comprimento percorrida
durante o período, é ∆𝛉 = 𝟐𝛑 ∙ 𝐑, então a velocidade é dada por:
⃗⃗⃗⃗
∆S
∆S θ 2π ∙ R 𝟐𝛑 ∙ 𝐑
v= = = ou seja 𝐯 = (I) ∆t ⃗
v
∆t ∆t T 𝐓
1
como T = 𝑓 , substituindo em (I), vem: 𝑎 R
P P0
𝐯 = 𝟐𝛑 ∙ 𝐑 ∙ 𝒇 R
⃗
v
Velocidade angular (𝛚): é a razão entre o ângulo descrito (θ) e o intervalo de tempo (∆t).
Elaborado
11
∆θ
ω= mas se a particula descreve uma volta completa: ∆θ = 2π ; ∆t = T
∆t
Vem: ⃗⃗⃗⃗
∆S
𝟐𝛑
𝛚= ; 𝛚 = 𝟐𝛑 ∙ 𝒇 ∆θ P1 (t1 )
𝐓
P2 (t 2 ) θ2
A sua unidade no SI é rad/s θ1
Relação entre velocidade linear (𝐯) com velocidade angular (𝛚)
Sabendo que, v = 2πR𝑓 e ω = 2π ∙ 𝑓

v ω
v = 2πR𝑓 ⟹ 𝑓 = e ω = 2π𝑓 ⟹ 𝑓 =
2πR 2π
Comparando a frequência das duas equações, vem:
v ω
𝑓=𝑓⟺ = ⟹ 𝐯= 𝛚∙𝐑
2πR 2π
Função horária do Movimento Circular Uniforme (M.C.U): 𝛉 = 𝛉𝟎 + 𝛚 ∙ 𝐭

Característica: ω = constante ≠ 0
Onde:
𝜃 = 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑢 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑟𝑎𝑑;
𝜃0 = 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑢 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑟𝑎𝑑
𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (𝑠)
Movimento Circular Uniforme Variado (M.C.U.V): é o movimento que uma particula descreve uma
trajectória circular de raio R, cujo o módulo da velocidade varia uniformemente por tempo.
Neste movimento a aceleração tangencia é constante.
Aceleração tangencial (𝒂𝐭 ): é a razão entre variação da velocidade linear com variação de tempo.
∆𝐯 𝐯 − 𝐯𝟎
𝒂𝐭 = = se t 0 = 0 𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝒂𝐭 ∙ 𝐭
∆𝐭 𝐭 − 𝐭 𝟎
A sua unidade no SI é m/s2
Aceleração centrípeta ou normal (𝒂𝐜 ): é a razão entre o quadrado da velocidade linear e o raio de
curvatura.
Elaborado
12
𝐯𝟐
𝒂𝐜 =
𝐑
A sua unidade no SI é m/s2
Aceleração angular (𝜶): é a razão entre variação da velocidade angular e variação de tempo.
∆𝛚
𝛂=
∆𝐭
A sua unidade no SI é rad/s2
ω − ω0
Como: ∆ω = ω − ω0 ; ∆t = t − t 0 , então, vem: α =
t − t0
Função horária do Movimento Circular Uniforme (M.C.U.V): 𝛚 = 𝛚𝟎 + 𝛂 ∙ 𝐭
Característica: α = constante ≠ 0
Onde:
𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑟𝑎𝑑/𝑠;
𝜔0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝛼 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2
𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜, 𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (𝑠)
Relação entre aceleração tangencial e aceleração angular
𝒂𝐭 = 𝜶 ∙ 𝐑
Relação entre grandezas angulares e lineares

v2 𝟐
𝑎c = ⟹ 𝒂𝐜 = 𝛚 ∙ 𝐑 𝑎c : 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑝𝑒𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎n )
R
𝒂=𝜶∙𝐑 𝑎: 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟
𝐒=𝛉∙𝐑 𝑆: 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟
𝐯=𝛚∙𝐑 𝑣: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟
𝛉 = 𝐧 ∙ 𝟐𝛑 𝑛: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠
𝟏
Como se trata de M.C.U.V, então temos a seguinte lei das posições angular: 𝛉 = 𝛉𝟎 + 𝛚𝟎 𝐭 ± 𝛂𝐭 𝟐
𝟐
Movimento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A)

1
• Se α > 0, na equação: θ = θ0 + ω0 t + 2 αt 2 , então, estamos diante de M. C. U. A
Movimento Circular Uniformemente Retardado (M.C.U.R)

1
• Se α < 0, na equação: θ = θ0 + ω0 t − 2 αt 2 , então, estamos diante de M. C. U. R
Elaborado
13
Equação de Torricelli
ω2 − ω0 2
θ = θ0 ± ⟹ 𝛚𝟐 = 𝛚𝟎 𝟐 ± 𝟐𝛂∆𝛉
2α
Transmissão de movimento de circular por contacto ou por correia

vA
⃗⃗⃗⃗
B
RA
A Por correia RB vB
⃗⃗⃗⃗
RA RB
Por contacto
Se, v = ω ∙ R e ω = 2π ∙ 𝑓, então:
vA = vB
ωA ∙ R A = ωB ∙ R B
𝑓A ∙ R A = 𝑓B ∙ R B 𝒇𝐀 ∙ 𝐑 𝐀 = 𝒇𝐁 ∙ 𝐑 𝐁
A B
RA RB
Para este tipo de acoplamento, a velocidade angular de um ponto perférico da polia A é igual à
velocidade angular de um ponto periférico da polia B, assim sendo:
𝛚𝐀 = 𝛚𝐁
Sabendo que v = ω ∙ R, então:

v v
vA = ωA ∙ R A ⟹ ωA = RA e vB = ωB ∙ R B ⟹ ωB = RB
A B
vA vB
𝛚𝐀 = 𝛚𝐁 ⟹ R = R ⟹ vA ∙ R B = vB ∙ R A
A B
𝐯𝐀 ∙ 𝐑 𝐁 = 𝐯𝐁 ∙ 𝐑 𝐀
Aceleração resultante (𝒂𝐫 ): 𝑎r = √𝑎t 2 + 𝑎c 2

Exercícios de aplicação sobre M.C.U e M.C.U.V
“Na vida somos tratados de acordo ao que temos para oferecer”
1) Um corpo em MCU efectua 480 voltas numa circunferência de raio 0,5 m em 2 min. Determinar:
a) A frequência; R: 4 Hz b) O período; R: 0,25 s c) A velocidade do corpo. R: 4𝛑 m/s
2) Um ventilador gira com frequência 4 Hz. O que significa esse número? R: 1 volta
Elaborado
14
3) Um corpo dá 300 voltas numa circunferência em 2,5 min. Qual é o período e a frequência do
movimento? R: 0,5 s e 2 Hz
4) Transforma cada uma das frequências em rotações por segundo.

a) 390 rpm; b) 24 rpm; c) 15 rpm; d) 180 rpm; e) 240 rpm
5) Um carrossel gira efectuando uma rotação completa a cada 4 s. Cada cavalo executa MCU.
Encontra:
a) Qual a frequência do movimento dos cavalos ? R: 𝟎, 𝟐𝟓 𝐇𝐳
b) Qual a velocidade angular de cada cavalo ? R: 𝟎, 𝟓𝛑 𝐫𝐚𝐝/𝐬
6) Uma mosca pousa a 3 cm do centro de um disco que está efectuando 40 rpm. Quais as velocidades
𝟒𝛑
angular e linear da mosca? R: 𝐫𝐚𝐝/𝐬 e 𝟒𝛑 𝐜𝐦/𝐬
𝟑
7) Uma partícula que executa 150 rpm (rotações por minuto), escrever no sentido horário uma
trajectória circular de raio 20 cm. Determine:
a) O período; R: 0,4 s
b) A velocidade linear; R: 𝛑 m/s
c) A velocidade angular; R: 5𝛑 rad/s
d) A aceleração centrípeta; R: 𝟓𝛑𝟐 m/s2
e) Para t = 2 s, calcule:
e.1) O comprimento do arco descrito pela partícula; R: 2𝛑 m
e.2) O ângulo descrito pela partícula. R: 10𝛑 rad
8) Uma partícula que descreve uma trajectória circular a velocidade de 8 m/s, completa 20 voltar
em 5 minutos. Calcule:
a) Raio da trajectória descrita pela a partícula; R: 19 m
b) Aceleração normal da partícula; R: 3,3 m/s2
c) A distância percorrida pela a partícula durante 1 min; R: 480 m
d) O ângulo descrito durante 30 s. R: 12 rad
9) Duas rodas R1 = 10 cm e R 2 = 5 cm estão ligados por uma correia, o período da roda é de 0,5 s.
A que velocidade se desloca a correia que se liga. Determine também o período da rotação da
segunda roda. R: 0,2𝛑 m/s e R: 0,5 s
π π
10) Um móvel movimenta-se em MCU segundo a função horária angular θ = 4 + 2 t no SI. Calcule o
instante em que ele passa pela possição θ = π rad. R: 1,5 s
11) A Lua gira em torno da Terra, completando uma revolução em 27,3 dias. Supondo que a sua órbita
seja circular e tenha um raio de 385000 km. Determine a aceleração da Lua nesse movimento. R:
0,0027 m/s2
Elaborado
15
12) O movimento de uma partícula que descreve a posição angular de uma trajectória circular de raio
1 m em θ = 2t + 4t 2 no SI.
a) Escreva a lei que traduz a variação da velocidade da partícula; R: 𝛚 = 𝟐 + 𝟖𝐭
b) Considere par t = 2 s e determine o valor da velocidade angular da partícula; R: 18 rad/s
c) Calcule o comprimento do arco descrita até este instante; R: 20 m
d) O módulo da aceleração. R: 324 m/s2
13) Um partícula que descreve uma circunferência de raio 2 m. A posição angular da partícula é dada
por θ = 4 − 2t + 2t 2 detemine:
a) O valor da aceleração angular da partícula; R: 4 rad/s2
b) Os valores das componêntes normais e transição da aceleração. R: 8 m/s2
14) Uma ventoinha que executa 600 rpm em funcionamento, quando desliga efectua 40 rotações até
parar. Determine a partir do instante em que a ventoinha é desligada:
a) O módulo da aceleração angular, considerando-a constante; R: −𝟐, 𝟓𝛑 rad/s2
b) O intervalo de tempo que leva a parar. R: 8𝛑 s
15) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de R1 = 10 cm e R 2 = 50 cm. Supondo-se que o
cilindro maior tenha uma frequência de rotação 𝑓2 = 60 rpm. Calcule:
a) Qual é a frequência de rotação 𝑓1 do cilindro menor? R: 5 Hz
Lei das posições ou lei do movimento (vector posição)
r = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 ⟹ r(t) = 𝑥(t)𝑒𝑥 + 𝑦(t)𝑒𝑦 + 𝑧(t)𝑒𝑧 A sua unidade no SI é metros (m)
𝑥 e 𝑦, são coordenadas do ponto material
Módulo do vector deslocamento: ⃗⃗⃗⃗ | = √𝐫𝒙 𝟐 + 𝐫𝒚 𝟐 + 𝐫𝒛 𝟐

|∆𝐫
Equações paramétricas: são aquelas que traduzem a variação das coordenada de posição em função
do tempo.
𝑥 = 𝑥(𝑡)
{ onde 𝑥 e 𝑦 são as coordenadas do ponto material em função de tempo.
𝑦 = 𝑦(𝑡)
A partir das equações paramétricas, eliminando o parámetro (𝑡) obtemos a equação cartesiana
da trajectória tomando o formato. 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Vector velocidade: é o deslocamento realizado por um corpo num determinado intervalo de tempo.
𝐝𝐫
𝐯⃗ =
𝐝𝐭
Elaborado
16
Módulo do vector velocidade: |𝐯⃗| = √𝐯𝒙 𝟐 + 𝐯𝒚 𝟐 + 𝐯𝐳 𝟐
Vector aceleação
𝐝𝐯⃗
⃗ =
𝒂
𝐝𝐭
Módulo do vector aceleração: ⃗ | = √𝒂𝒙 𝟐 + 𝒂𝒚 𝟐 + 𝒂𝐳 𝟐

|𝒂
Componêntes tangencial (𝒂𝐭 ) e normal (𝒂𝐧 ) da aceleração
O vector aceleração instantância se orienta sempre para o lado côncavo da trajectória curvelínea.
𝑡
𝑎t
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Fr (𝑎)2 = (𝑎
⃗⃗⃗t )2 + (𝑎
⃗⃗⃗⃗n )2
𝑎
⃗ | = 𝒂 = √𝒂𝐭 𝟐 + 𝒂𝐧 𝟐
|𝒂
𝑎n
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Fn
Aceleração tangencial
𝐝|𝐯⃗|
⃗𝐭=
𝒂
𝐝𝐭
Aceleração normal
𝐯𝟐
⃗𝐧=
𝒂
𝐑
Fórmula para calcular raio da curvatura
√{[𝑥´(𝑡)]2 + [𝑦´(𝑡)]2 }3 𝑥´(𝑡) 𝑥´´(𝑡)

R=| | onde D = | |;D ≠ 0
D 𝑦´(𝑡) 𝑦´´(𝑡)
Noções de derivadas e determinante
𝑦 = 𝑥 n ⟹ 𝑦´ = n𝑥 n−1
Exemplo1: deriva 𝑦 = 𝑥 3 ⟹ 𝑦´ = 3𝑥 3−1 ⟹ 𝑦´ = 3𝑥 2
Exemplo2: deriva a mesma função até a segunda ordem
1ª) ordem: 𝑦 = 𝑥 3 ⟹ 𝑦´ = 3𝑥 3−1 ⟹ 𝑦´ = 3𝑥 2
Elaborado
17
2ª) ordem: 𝑦 = 3𝑥 2 ⟹ 𝑦´´ = (3𝑥 2 )´ ⟹ 𝑦´´ = 2 ∙ 3𝑥 2−1 ⟹ 𝑦´´ = 6𝑥

Derivada da constante é igual a zero
𝑦 = 5 ⟹ 𝑦´ = (5)´ ⟹ 𝑦´ = 0
Determinante
𝑎 𝑏
D=| |= 𝑑∙𝑎−𝑐∙𝑏
𝑐 𝑑
Exemplo: calcule
4 6
D=| | = 10 ∙ 4 − 5 ∙ 6 ⟹ D = 40 − 30 ⟹ D = 10
5 10
Exercícios de aplicação
“A pior decisão de um comandante, é nunca tomar nenhuma decisão.”
1) A lei do movimento de partícula é: r = 2t𝑒𝑥 + 2t 2 𝑒𝑦 no SI. Determine o raio de curvatura da
trajectória no instante t = 1,8 s. R: 52 m
2) A lei do movimento de partícula é: r = 2t 2 𝑒𝑥 + 2t𝑒𝑦 no SI. Determine o raio de curvatura da

trajectória no instante t = 2,3 s. R: 104 m
3) A lei do movimento de partícula é: r = −2t𝑒𝑥 + 2t 2 𝑒𝑦 no SI. Determine o raio de curvatura da

trajectória no instante t = 2 s. R: 70 m
4) A lei do movimento de uma partícula material em relação a um referencial 𝑜𝑥𝑦 é:

r = 5t 2 e⃗𝑥 + 12te⃗𝑦 . Determine para instante 𝑡:
a) A expressão da velocidade da partícula; R: 𝐯⃗ = 𝟏𝟎𝐭𝒆⃗ 𝒙 + 𝟏𝟐𝒆
⃗𝒚
b) A aceleração da partícula no referencial 𝑜𝑥𝑦. R: 10 m/s 2
5) As coordenadas de posição de uma partícula material em movimento no plano 𝑜𝑥𝑦𝑧 no SI são:

𝑥 = 2t 2 − 3t ; 𝑦 = 2t 2 + 1 ; 𝑧 = 1. Determine:
a) O vector de posição no instante t; R: 𝐫(𝐭) = (𝟐𝐭 𝟐 − 𝟑𝐭)𝒆⃗ 𝒙 + (𝟐𝐭 𝟐 + 𝟏)𝒆
⃗𝒚+𝒆⃗𝒛
b) O módulo do vector deslocamento da partícula entre 𝑡 = 1s e 𝑡 = 3s; R: 18,9 m
⃗ 𝒙 + 𝟖𝒆
c) O vector velocidade média da partícula no intervalo de alínea b; R: 𝐯⃗𝐦 = 𝟓𝒆 ⃗𝒚
d) A velocidade da partícula no instante t; R: 𝐯⃗ = (𝟒𝐭 − 𝟑)𝒆
⃗ 𝒙 + 𝟒𝐭𝒆
⃗𝒚
e) O módulo do vector velocidade para instante 𝑡 = 2s. R: 9,4 m/s
Elaborado
18
Lançamento de um projectil
Para o estudo de lançamento de um projectil, temos de considerar os seguintes lançamentos:
• Lançamento vertical;
• Lançamento horizontal;
• Lançamento oblíqua.
• Lançamento vertical
Queda livre: é o movimento de corpos dirigidos de cima para baixo livremente para uma superfície.
Quando um corpo o é deixado cair ou lançado na vertical, e se considerar que a resitência do ar

desprezável, os corpos ficam sujeitos apenas a força gravítica.
Durante a subida a velocidade e aceleração têm sentidos opostos, logo o corpo fica animado no
movimento rectilíneo uniformemente retardado (M.R.U.R).
⃗ =0
v Lei das posições durante a subida:
𝟏
⃗
v 𝐡 = 𝐡𝟎 + 𝐯⃗𝟎 𝐭 − 𝐠𝐭 𝟐
𝟐
h
⃗g 𝐯⃗ = 𝐯⃗𝟎 − 𝐠𝐭
Lei das velocidades durante a subida:
⃗0
v Equação de Torricel durante a subida:
Subida 𝐯 𝟐 − 𝐯𝟎 𝟐
𝐡 = 𝐡𝟎 −
𝟐𝐠
Durante a descida a velocidade e a aceleração têm o mesmo sentido. Logo o corpo fica animado no
movimento rectilíneo uniforme acelerado (M.R.U.A)
Lei das posições durante a descida:
𝟏
⃗
v 𝐡 = 𝐡𝟎 + 𝐯⃗𝟎 𝐭 + 𝐠𝐭 𝟐
𝟐
h
⃗g Lei das velocidades durante a descida: 𝐯⃗ = 𝐯⃗𝟎 + 𝐠𝐭
Equação de Torricel durante a descida:
Descida 𝐯 𝟐 − 𝐯𝟎 𝟐
𝐡 = 𝐡𝟎 +
𝟐𝐠
Elaborado
19
Um corpo em M.R.U.V de direcção vertical de aceleração constante (𝐠) que se chama de gravitacional
(𝐠 = 𝟗, 𝟖 𝐦/𝐬𝟐 ou 10 m/𝒔𝟐 ).
Tempo de queda de um corpo
Tempo de subida (ts): é o tempo que o corpo leva para atingir a altura máxima. Pois a altura máxima
é atingida quando o corpo para, e a sua velocidade é nula v
⃗ = 0.
⃗0
v
⃗ =v
v ⃗ 0 − ⃗gt ⟺ 0 = v
⃗ 0 − ⃗gt s ⟹ ⃗gt s = v
⃗ 0 ⟹ ts = 𝐯⃗𝟎
⃗
g 𝐭𝐬 =
⃗
𝐠
Tempo total: ⃗⃗⃗⃗ 𝟎
𝟐𝐯
𝐭𝐭 =
⃗
𝐠
Nesse tipo de movimento, o tempo de subida e de descida são iguais.

Altura máxima de um corpo
Da equação de Torricelli: v 2 = v0 2 − 2gh, vem:
Quando v 2 = 0, temos a altura máxima, assim sendo, vem:
0 = v0 2 − 2gh ⟹ 2gh = v0 2 ⟹ hmáx =

v0 2 𝐯𝟐𝟎
2g 𝐡𝐦á𝐱 =
⃗
𝟐𝐠
• Lançamento horizontal; Analisando gráfico, vem:

v0𝑦 v = v0 ± gt (I); v𝑦 = v0𝑦 + gt 𝐯𝒚 = 𝐯𝟎𝒚 ± 𝐠𝐭
v0 = v0𝑥 = v𝑥 Quando v0𝑦 = 0, vem: v𝑦 = gt (II)
⃗ 0𝑥
v
v0 = v0x = vx (III); v = vx + vy (IV)
⃗g ⃗𝑦
v ⃗
v
Substituindo (II) e (III) em (IV), vem:
𝑥
v = v0x e⃗x + gte⃗y
No eixo 𝑜𝑥 temos M.R.U Módulo da velocidade
𝒙=𝐯∙𝐭 |𝐯⃗| = √𝐯𝟎𝒙 𝟐 + 𝐠 𝟐 𝐭 𝟐
A velocidade com que atinge o solo v ⃗ 𝒙 + 𝐯𝒚 𝐞

⃗ s é calculada sob forma vectorial: 𝐯⃗𝐬 = 𝐯𝒙 𝐞 ⃗𝒚
|𝐯⃗𝐬 | = √𝐯𝒙 𝟐 + 𝐯 𝟐 𝒚
Elaborado
20
𝑦 Analisando o gráfico, vem:

v0 = v0𝑥 ⃗R=F
F ⃗𝑥+F
⃗𝑦 ; F
⃗𝑥 =0
𝑎t ⃗FR = ⃗F𝑦 ⟹ m ∙ 𝑎 = m ∙ ⃗g ⟹ 𝑎 = ⃗g ⃗ =𝐠
𝒂 ⃗
⃗g a⃗n 𝑎
𝑎2 = 𝑎t 2 + 𝑎n 2 , como 𝑎 = ⃗g, então, vem:
𝑥
g 2 = 𝑎t 2 + 𝑎 n 2 𝒂𝟐 = 𝒂𝐭 𝟐 + 𝒂𝐧 𝟐 𝐠 𝟐 = 𝒂𝐭 𝟐 + 𝒂𝐧 𝟐
Equação cartesiana da trajectória:
𝐠 ∙ 𝒙𝟐
𝒚 = 𝒚𝟎 −
𝟐𝐯 𝟐
Tempo de voo de um projectil lançado horizontalmente: pode ser obtido a partir da seguinte
equação no eixo dos 𝑜𝑦:
1 1
𝑦 = 𝑦0 − 2 gt 2 , quando 𝑦 = 0, vem o seguinte: 𝑦0 = 2 gt 2 v
𝟐𝒚𝟎
𝐭𝟐𝐯 =
𝐠
• Lançamento oblíqua ou parabólico Analisando o gráfico, vem:

𝑦 ⃗v0𝑥
cosθ = ⟹v
⃗ 0𝑥 = v
⃗ 0 ∙ cosθ
⃗𝑦 = 0
v ⃗0
v
ts td ⃗v0𝑦
senθ = ⟹v
⃗ 0𝑦 = v
⃗ 0 ∙ senθ
⃗0
v
⃗ 0𝑦
v ⃗0
v
Da equação de Torricelli, v 2 = v0 2 − 2gh, vem:
hmáx
v 2 𝑦 = v 2 0𝑦 − 2gh, quando v𝑦 = 0, altura é máxima
θ ⃗𝑥
v
2 v2 0𝑦
⃗ 0𝑥
v 𝑥 2ghmáx = v 0𝑦 ⟹ hmáx = 2g
(I)
𝑥 Sabendo que v ⃗ 0 ∙ senθ, substituindo em (I),
⃗ 0𝑦 = v
vem:
⃗𝑦
v ⃗
v 𝐯𝟎 𝟐 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛉
𝐡𝐦á𝐱 =
Tempo de voo é igual o tempo de descida e subida. 𝟐𝐠⃗
Neste movimento o tempo de descida e subida são
iguais.
t v = t s + t d ; t d = t s ⟹ t v = 2t s
𝟐𝐯𝟎 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉
2v
⃗ 0𝑦 𝐭𝐯 =
⃗𝑦 = v
v ⃗ 0𝑦 − gt ⟹ t s = ⃗
𝐠
⃗g
Elaborado
21
Alcance máximo
Alcance: é a distância percorrida entre dois pontos da trajectória, medido na horizontal. No movimento
rectilíneo uniforme (M.R.U).
𝑥 = 𝑥0 + v𝑥 ∙ t quando 𝑥0 = 0, vem: 𝑥 = v𝑥 ∙ t v
• Se o alcance a determinar é o máximo, então, o tempo da sua equação é o tempo do voo. Assim
sendo, 𝒙 = 𝐯𝒙 ∙ 𝐭 𝐯 (I) ; 𝐯⃗𝟎𝒙 = 𝐯⃗𝒙 = 𝐯⃗𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛉 (II)
𝟐𝐯⃗𝟎 ∙𝐬𝐞𝐧𝛉
Sabendo o tempo de voo é: 𝐭 𝐯 = ⃗
(III)
𝐠
Substituindo a (II) e (III) em (I), vem:
2v0 ∙ senθ 2v0 2 ∙ senθ ∙ cosθ

𝑥 = v0 ∙ cosθ ∙ ⟹𝑥=
g g
𝐯𝟎 𝟐 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟐𝛉
Sabendo que: 2senθ ∙ cosθ = sen2θ, substituindo, fica: 𝒙=
𝐠
Exercícios de aplicação sobre lançamento

“Impossível é uma palavra que o homem fraco inventou quando decidiu desistir”
1) Num local onde a resistência do ar é desprezável, é lançado verticalmente para cima a uma altura
de 15 m do solo, um corpo com a velocidade inicial de 20 m/s. Determine:
a) Para t = 2 s a posição; R: 35 m
b) Altura máxima atingida pelo corpo; R: 35 m
c) A velocidade do corpo ao atingir ao solo. R: 26,4 m/s
2) Um corpo lançado verticalmente para cima, atingiu o solo dentro de 6s. Determine:
a) A velocidade inicial; R: 30 m/s
b) A altura máxima. R: 45 m
3) Num lugar em que a aceleração de gravidade g = 10 m/s2, lançamos um projectil com a velocidade
de 100 m/s formando com a horizontal um ângulo de 30°. Calcule a altura máxima do projectil. R:
125 m
4) Um projectil saíndo de um canhão sob o ângulo desconhecido em relação ao horizontal tem um

tempo de voo de 12 s. Aque altura atingiu o projectil. R: 180 m
5) Uma partícula que se move no campo gravitacional da terra ao fim de 1 s do movimento possui a
velocidade v
⃗ = 10𝑒𝑥 − 4𝑒𝑦 m/s. Determine a sua aceleração normal. R: 9,1 m/s
6) Um partícula foi lançada de uma altura que é o dobro do alcance atingida pela partícula
com a velocidade de 36 km/h. De que altura foi lançada a partícula? R: 61 m
Elaborado
22
7) Uma partícula que se move no campo gravitacional da terra ao fim de 1 s do movimento possui a
velocidade v
⃗ = 20𝑒𝑥 − 5𝑒𝑦 m/s. Determine a sua aceleração normal. R: 9,5 m/s
8) Um corpo é lançado na direcção vertical para baixo com velocidade 20 m/s. Calcule a distância que
o corpo deve percorrer para que a sua velocidade v = 2v0 tamando g = 10 m/s2. R: 60 m
9) Quanto tempo durava a queda de um corpo se durante os dois últimos segundos ele passou a
distância de 60 m, g = 10 m/s2. R: 4
10) Um corpo é lançado segundo um ângulo de 30° com a horizontal e atinge o alcance de 6,6 m.
Desprezando a resistência do ar, determine o valor da velocidade do corpo no ponto mais alta da
trajectória. R: 8,7 m/s
11) Uma partícula é lançada de uma altura que é dobro do alcanço atingido pela partícula com a
velocidade de 10 m/s que faz um ângulo de 30° com a horizontal. Determine a altura alcançado
pela partícula. R: 79 m
12) Uma partícula é lançada de uma altura que é dobro do alcanço atingido pela partícula com a
velocidade de 10 m/s que faz um ângulo de 30° com a horizontal. Determine o alcance partícula.
R: 39 m
13) Uma pedra é lançada horizontalmente de um ponto que se encontra a uma altura de 60 m a cima
do nível da terra com velocidade inicial 30e⃗𝑥 m/s considere desprezável a resistência do ar e g =
10 m/s2. para o instante t = 1s. Determine:
a) A posição da pedra; R: 𝐫 = 𝟑𝟎𝒆⃗ 𝒙 + 𝟓𝟓𝒆⃗𝒚
b) A velocidade da pedra; R: 𝐯⃗ = 𝟑𝟎𝒆⃗ 𝒙 − 𝟏𝟎𝒆⃗𝒚
c) O tempo de queda da pedra; R: 3,4 s
d) Calcule a distância entre o ponto de impacto da pedra no solo e da vertical da posição do
lançamento. R: 102 m
14) Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial 20 m/s. desprezando a
resistência do ar e considerando g = 10 m/s2. Determine:
a) Equação do movimento; R: 𝐡 = 𝟐𝟎𝐭 − 𝟓𝐭 𝟐
b) Equação para velocidade; R: 𝐯⃗ = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟎𝐭
c) O tempo de subida; R: 2 s
d) A altura máxima; R: 20 m
e) O tempo total do nmovimento; R: 4 s
f) A velocidade do corpo ao chegar ao solo. R: −𝟐𝟎 m/s
15) Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de v0 = 30 m/s. sendo
g = 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar qual será a velocidade do corpo 2,0 s após o
lançamento?
Elaborado
23
Movimento da Relatividade
Relatividade: é o movimento de um referencial em relação ao segundo referencial que está ligado
com o terceiro.
A B C
AB: é o movimento relativo
BC: é o movimento de arrastamento
AC: é a resultante ou absoluta
Movimento relativo do barco num rio
𝑢 ou vc : velocidade da corrente do rio
v´ ou vB : velocidade do barco
v ou vR : velocidade resultante ou absoluta
L: deslocamento ou largura 𝐯𝐂
𝐋=𝐯∙𝐭 𝒙=𝐋∙
𝐯𝐁
𝐯𝟏 = 𝐯𝐁 + 𝐯𝐂
𝐯𝟐 = 𝐯𝐁 − 𝐯𝐂
Travessia de um barco perpendicularmente a margem do rio
Pelo teorema de Pitágoras, temos:

VC
(vB )2 = (vC )2 + (vR )2 𝐯𝐁 𝟐 = 𝐯𝐂 𝟐 + 𝐯𝐑 𝟐
vB vC
Pelas razões trigonométricas, vem:
vR
vB θ θ vC vR
senθ = ; cosθ =
vR vB vB
𝑥 vC vC 𝐯𝐂
tgθ = ⟹ θ = arctg ( ) 𝛉 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 ( )
vR vR 𝐯𝐑
Elaborado
24
Travessia de um barco perpendicularmente a corrente do rio

Pelo teorema de Pitágoras, temos:
VC
(vR )2 = (vC )2 + (vB )2 𝐯𝐑 𝟐 = 𝐯𝐂 𝟐 + 𝐯𝐁 𝟐
vR vC Pelas razões trigonométricas, vem:
vB vC vB
θ vR θ senθ = ; cosθ =
vR vR
vB
𝑥 vC vC 𝐯𝐂
tgθ = ⟹ θ = arctg ( ) 𝛉 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 ( )
vB vB 𝐯𝐁
Exercícios de aplicação sobre relatividade

“Você só vence amanhã se não desistir hoje”
1) Um barco tem que atravessar um rio com largura de 861 m, perpendicularmente a margem, para
isso o pilóto orienta o barco segundo a uma direcção que faz um ângulo (θ) com a perpendicular
a margens. Qual é o ângulo se a velocidade do barco em água estagnada é de 50 km/h e a travessia
demora 1,1 min. R: 20°
2) Um barco tem de atravessar um rio de largura 600 m que flui com a velocidade de 2,3 m/s
perpendicularmente às margens. Que ângulo faz o vector de velocidade com a perpendicular
referida se a travessia demora 2 min? R: 25°
3) Um barco desce um rio à velocidade de 60 km/h e sobe-o à velocidade de 20 km/h, em relação às

margens quando o motor está a funcionar em potência máxima. A travessia, perpendicularmente
às margens, demora 1,8 min. Qual a largura do rio? R: 1,04 km
4) Um barco tem de atravessar um rio de largura de 600 m que flui com a velocidade do barco em
relação a água se a travessia demora 2 min? R: 5,5 m/s
5) Um barco atravessando um rio move-se perpendicularmente a corrente do rio com uma

velocidade de 4 m/s em relação a água. Determine o deslocamento do barco ao fim da viagem se
a largura do rio é de 800 m e a velocidade da água da corrente é de 1 m/s. R: 200 m
6) Um barco desce de um rio com velocidade de 15 m/s e sobe com velocidade de 10 m/s, em relação
as margens. Quando o motor está funcianar em potência máxima. Quanto tempo demora fazer a
travessa, perpendicularmente as margens, sabendo que o rio tem 2,2 km de largura. R: 180 s
7) Uma embarcação turística faz a viagem entre duas localidades, A e B, que distam 6,0 km na mesma
margem de um rio cuja corrente tem a velocidade de 3,0 km/h . A viagem da ida e volta entre as
duas localidades demora 2 h 40 min, quando o motor está a funcionar em potência máxima.
Quanto tempo demora a viagem de A para B. R: 120 min
Elaborado
25
DINÂMICA
Dinâmica: é a parte da mecânica que estuda o movimento dos corpos tendo em conta as causas que o
provocam.
Inércia: é a propriedade da matéria de resistir a qualquer variação no seu estado de movimento ou de
repouso.
Força: são interações entre corpos, causando variações no seu estado de movimento ou deformação.
A sua unidade no SI é Newton (N)
Força de contacto: é quando as superfícies dos corpos que interagem se tocam.
Exemplo: A força exercída pelo o pé de um jogador sobre a bola.
Força a distância: é quando a interação se manifesta , mesmo que haja uma certa distância entre os corpos.
Uma força pode produzir dois efeitos:
• Efeito dinâmico: se a força produzir apenas aceleração.

Exemplo: quando puxamos um carrinho, fazemos variar a sua velocidade, aplicamos uma força sobre
ele.
• Efeito estático: quando a força não produzir aceleração, mas apenas uma deformação.
Exemplo: quando aplicamos uma força numa mola, a deformação é visível para nós.
Força resultante
Seja um corpo no qual são aplicadas várias forças. Este sistema de forças pode ser substituído por uma
única força, a força resultante capaz de produzir na partícula o mesmo efeito que todas as forças
aplicadas.
𝐅𝐑 = 𝐅𝟏 + 𝐅𝟐 + 𝐅𝟑 + ⋯ + 𝐅𝐧
⃗2
F ⃗R
F
𝐅𝐑 = √𝐅 𝟐 𝟏 + 𝐅 𝟐 𝟐 + 𝟐𝐅𝟏 𝐅𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛉
⃗F1
A Dinâmica desenvolveu-se apoiando em três conceitos chamados leis de Newton.

Princípio da inércia ou 1ª lei de Newton
• Todo o corpo permanece em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme, a menos que sobre
ele actuam forças capazes de alterar o seu referido estado.
Elaborado
26
Nota: Se a resultante das forças que actuam sobre um corpo for nula, o corpo permanecerá em repouso
ou em movimento rectilíneo uniforme.
Princípio fundamental da dinâmica ou 2ª lei de Newton
• A resultante das forças que agem sobre um ponto material é igual ao produto da sua massa pela
aceleração adquirida.
⃗ : Força, a sua unidade é Newton (N)
F
⃗FR m 𝑎 m: Massa, a sua unidade é quilograma (kg)
⃗
𝐅=𝐦∙𝒂
𝑎: Aceleração, a sua unidade é m/s2
Princípio da acção e reacção ou 3ª lei de Newton
• Toda acção corresponde a uma reacção, com a mesma intensidade, mesma direcção e sentido
contrário.
A FBA FAB B 𝐅𝐁𝐀 = −𝐅𝐀𝐁
⃗ =𝐦∙𝐠
Peso de um corpo: é a força de atracção gravitacional que a Terra exerce sobre um corpo. 𝐏 ⃗
A sua unidade no SI é Newton (N).
Força normal ou reacção normal: é toda aquela força que actua no sentido contrário ao peso.
⃗N
⃗
⃗⃗ = 𝐏
⃗ A sua unidade no SI é Newton (N)
𝐍
⃗P
Atrito: é a resistência que todos os corpos ocorrem ao mover-se uns aos outros.
Força de atrito: é a força que surge na superfície de contacto entre dois pontos que se componhem
(contrário) ao movimento dos corpos.
⃗Fat ⃗F
⃗
𝐅 − 𝐅𝐚𝐭 = 𝐦 ∙ 𝒂
Características da força de atrito
• Tem origem na superfície de contacto entre dois corpos, sempre é uma acção externa e tende a
move-los uns em relação ao outro.;
• A sua direcção é paralelo a superfície de contacto e o seu sentido é oposto ao movimento;
• O seu módulo é proporcional ao módulo da normal na superfície de contacto.
Elaborado
27
⃗⃗
𝐅𝐚𝐭 = 𝛍 ∙ 𝐍 μ: Coeficiente de atrito (não tem unidade, e é menor que 1 ; 𝜇 < 1)
⃗⃗ : Força normal (a sua unidade é Newton (N) )
N
⃗Fat : Força de atrito (a sua unidade é Newton (N) )
Plano horizontal
Pela 2ª lei de Newton (1º caso) Projecções
⃗⃗ y
N ⃗ −F
No eixo x: F ⃗ at = m ∙ 𝑎 (I)
No eixo y: ⃗N
⃗ − ⃗P = 0 ⟹ ⃗N
⃗ = ⃗P ⟹ ⃗N
⃗ = m ∙ ⃗g (II)
⃗Fat ⃗F ⃗ at = 𝜇 ∙ N
Sabendo que F ⃗⃗ ⟹ F
⃗ at = 𝜇 ∙ m ∙ ⃗g (III)
𝑥 Substituindo (III) em (I), vem:
⃗P ⃗ − 𝜇 ∙ m ∙ ⃗g = m ∙ 𝑎
F ⃗)
⃗ +𝝁∙𝐠
𝐅 = 𝐦(𝒂
2º) caso
Projecções
⃗N
⃗ y
⃗𝑥−F
No eixo x: F ⃗ at = m ∙ 𝑎 (I)
No eixo y: ⃗N
⃗ + ⃗F𝑦 − ⃗P = 0 ⟹ ⃗N
⃗ = ⃗P − ⃗F𝑦 (II)
⃗𝑦
F ⃗
F
⃗𝑥 =F
F ⃗ ∙ cosθ
{ (III)
⃗F𝑦 = ⃗F ∙ senθ
⃗Fat 𝑎 x
⃗Fat = 𝜇 ∙ ⃗N
⃗ ⟹ ⃗Fat = 𝜇(P
⃗ − ⃗F𝑦 ) (IV)
⃗𝑥
F
Substituindo (III) e (IV) em (I), vem:
⃗ ∙ cosθ − μ(P
F ⃗ −F
⃗ ∙ senθ) = m ∙ 𝑎
⃗
P
𝐅(𝐜𝐨𝐬𝛉 + 𝛍 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉) − 𝝁 ∙ 𝐦 ∙ 𝐠
⃗ = 𝐦∙𝒂
⃗
3º) Caso: Isolando os corpos e fazendo um esquema das forças que agem em
⃗F B cada um, vem:
A
⃗ AB = F
F ⃗ BA = f
NA NB
Corpo A: ⃗F − ⃗FBA = mA ∙ 𝑎
NA e PA se anulam
⃗F ⃗FBA ⃗FAB Corpo B: ⃗FAB = mB ∙ 𝑎
A B
NB e PB se anulam
⃗F − f = mA ∙ 𝑎
{
f = mB ∙ 𝑎
PA PB
𝐅 = (𝐦𝐀 + 𝐦𝐁 )𝒂
⃗
Elaborado
28
4º) Caso: Projecções: Aplicando o princípio fundamental da

Dinâmica, vem:
B Movimento
Corpo A: PA − T = mA ∙ 𝑎
NB T
Corpo B: T = mB ∙ 𝑎
A T Movimento
B A
⃗PA − ⃗T = mA ∙ 𝑎
{
⃗ = mB ∙ 𝑎
T
PB PA
⃗PA = (mA + mB )𝑎
PB e NB se anulam
⃗ = (𝐦𝐀 + 𝐦𝐁 )𝒂
𝐦𝐀 𝐠 ⃗
Plano inclinado
5º) caso: para o corpo não descer Projecções
x ⃗ +F
⃗ at − P
⃗𝑥 = 0
No eixo x: F
⃗N
⃗ y ⃗Fat
No eixo y: ⃗N
⃗ − ⃗P𝑦 = 0 ⟹ ⃗N
⃗ = ⃗P𝑦
⃗𝑥 = P
P ⃗ ∙ senθ
{
⃗P𝑥 ⃗P𝑦 = ⃗P ∙ cosθ
θ ⃗Fat = 𝜇 ∙ ⃗N
⃗ ⟹ ⃗Fat = 𝜇 ∙ ⃗P𝑦 ⟹ ⃗Fat = 𝜇 ∙ ⃗P ∙ cosθ
⃗
F
P ⃗⃗⃗
P𝑦 ⃗ +F
F ⃗ at − P
⃗𝑥 = 0 ⟹ F
⃗ =P
⃗𝑥 − F
⃗ at
⃗F = ⃗P ∙ senθ − 𝜇 ∙ ⃗P ∙ cosθ
⃗ (𝐬𝐞𝐧𝛉 − 𝛍 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛉)
𝐅= 𝐦∙𝐠
6º) caso: para o corpo não subir Projecções

𝑥 ⃗ −F
⃗ at − P
⃗𝑥 = 0
No eixo x: F
⃗N
⃗ y ⃗F
No eixo y: ⃗N
⃗ − ⃗P𝑦 = 0 ⟹ ⃗N
⃗ = ⃗P𝑦
⃗𝑥 = P
P ⃗ ∙ senθ
{
⃗P𝑥 ⃗P𝑦 = ⃗P ∙ cosθ
θ ⃗ at = 𝜇 ∙ N
⃗⃗ ⟹ F
⃗ at = 𝜇 ∙ P
⃗𝑦 ⟹ F
⃗ at = 𝜇 ∙ P
⃗ ∙ cosθ
F
⃗F𝐚𝐭
P ⃗⃗⃗
P𝑦 ⃗ −F
F ⃗ at − P
⃗𝑥 = 0 ⟹ F
⃗ =P
⃗𝑥 + F
⃗ at
⃗ =P
F ⃗ ∙ senθ + 𝜇 ∙ P
⃗ ∙ cosθ
⃗ (𝐬𝐞𝐧𝛉 + 𝛍 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛉)
𝐅=𝐦∙𝐠
Elaborado
29
7º) caso: Projecções
x No eixo x: ⃗Fg − ⃗Fat − ⃗P𝑥 = 0

⃗N
⃗ y ⃗F𝐠
⃗⃗ − P
No eixo y: N ⃗𝑦 = 0 ⟹ N
⃗⃗ = P
⃗𝑦
⃗P𝑥 = ⃗P ∙ senθ
{
⃗𝑦 = P
P ⃗ ∙ cosθ
⃗𝑥
P
θ ⃗ at = 𝜇 ∙ N
F ⃗⃗ ⟹ F
⃗ at = 𝜇 ∙ P
⃗𝑦 ⟹ F
⃗ at = 𝜇 ∙ P
⃗ ∙ cosθ
⃗ 𝐚𝐭
F
⃗Fg − ⃗Fat − ⃗P𝑥 = 0 ⟹ ⃗Fg − ⃗Fat = ⃗P𝑥
P ⃗⃗⃗
P𝑦
⃗g−P
F ⃗ ∙ senθ = 𝜇 ∙ P
⃗ ∙ cosθ
m ∙ ⃗g − m ∙ ⃗g ∙ senθ = 𝜇 ∙ m ∙ ⃗g ∙ cosθ
m ∙ ⃗g(1 − senθ) = 𝜇 ∙ m ∙ ⃗g ∙ cosθ
(𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝛉)
𝝁= (1 − senθ) = 𝜇cosθ
𝐜𝐨𝐬𝛉
Projecções
⃗ −P
No eixo x: T ⃗ 𝑥 = mA ∙ 𝑎
No eixo y: ⃗N
⃗ − ⃗P𝑦 = 0 ⟹ ⃗N
⃗ = ⃗P𝑦
⃗𝑥 = P
P ⃗ A ∙ senθ
8º) caso: Roldana {
⃗P𝑦 = ⃗PA ∙ cosθ
⃗T − ⃗Px = mA ∙ 𝑎 ⟹ ⃗T = mA ∙ 𝑎 + ⃗P𝑥
⃗N
⃗
⃗T ⃗T = mA ∙ 𝑎 + ⃗PA ∙ senθ
⃗
T
⃗P𝑥
B
θ
P ⃗⃗⃗
P𝑦 ⃗PB ⃗ = 𝐦𝐀 ∙ 𝒂
𝐓 ⃗ 𝐀 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉
⃗ +𝐏
Elaborado
30
9º) caso: Roldana
Projecções
⃗T ⃗ Ax = P
P ⃗ A ∙ senθ
{ ⃗ Bx = P
⟹P ⃗ B ∙ cosθ
⃗PBx = ⃗PB ∙ senθ
⃗T
⃗ −P
No corpo A: T ⃗ BA − P
⃗ Ax = mA ∙ 𝑎
⃗ BA
F
⃗ A𝑥
P ⃗ Bx
P C No corpo B: ⃗FAB − ⃗PBx = mB ∙ 𝑎
⃗C − T
No corpo C: P ⃗ = mC ∙ 𝑎 (+)
θ ⃗PC
⃗PC − ⃗PAx − ⃗PBx = (mA + mB + mC )𝑎
⃗F𝐅AB == m ⃗ ++⃗P𝐏
𝐦B𝐁∙ ∙𝑎𝒂 ⃗Bx𝐁 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉
𝐀𝐁
⃗ 𝐂 − 𝐦𝐀 ∙ 𝐠
𝐏 ⃗ ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉 = (𝐦𝐀 + 𝐦𝐁 + 𝐦𝐂 )𝒂
⃗ ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉 − 𝐦𝐁 ∙ 𝐠 ⃗
Exercícios de aplicação sobre Dinâmica

“O único lugar na vida em que o sucesso vem antes do trabalho, é somente no dicionário.”
1) Duas forças concorrentes e coplanares de intensidades 6N e 8N agem sobre um mesmo corpo.

Sabendo-se que essas forças formam entre si um ângulo de 30°, calcular o módulo da força
resultante. R: 13,3 N
2) Sobre um corpo atuam duas forças coplanares de intensidades 7N e 3N, formando entre si um
ângulo de 45°. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre o corpo. R: 9, 35 N
3) Determine a intensidade da resultante de duas forças de intensidade 6N e 8N, cujas direcções

determinam entre si um ângulo de 90°. R: 10 N
4) Com que aceleração máxima pode se mover um carro se o coeficiente de atrito com o solo for a
0,3. Determine aceleração? R: 3 m/s2
5) A força de atracção de uma locomotiva é de 300KN que massa pode levar essa locomoytiva com
aceleração de 0,1 m/s2, se o coeficiente de atrito com carris é de 0,005. R: 2000 Kg
Elaborado
31
6) Consideremos um corpo de massa igual a 2kg inicialmente em repouso sobre um plano horizontal
perfeitamente liso sobre o corpo, passa atuar uma força de intensidade de 16 N, e forma um
ângulo de 60° com a horizontal. Determine:
a) A aceleração do corpo; R: 4 m/s2

b) A reacção normal do plano de apoio. R: 6,14 N
7) Um carro de massa de uma tonelada movendo do estado de repouso atinge a velocidade de 30

m/s durante os primeiros 20 s do seu movimento. Determine a força de atracção do motor se o
coeficiente de atrito com o solo é 0,05. R: 2 N
8) Um corpo de massa 4 kg é lançado num plano horizontal liso, com velocidade inicial de 40 m/s.
determine a intensidade da força resultante que deve ser aplicado sobre o corpo, contra o sentido
do movimento, para pará-lo em 2 s. R: 8 N
9) Um bloco de massa 4 kg desliza sobre um plano horizontal sujeito à acção das forças F⃗1eF⃗ 2,
conforme mostra a figura. Sendo a intensidade das forças ⃗F1 = 15 N e ⃗F2 = 5 N, determine a
aceleração do corpo. R: 2,5 m/s2
⃗F2 ⃗F1
10) Dois blocos de massa mA = 2 kg e mB = 3 kg, apoiados sobre uma superfície horizontal
⃗ de 20 N, conforme mostra a figura.
perfeitamente lisa, são empurrados por uma força constante F
B Determine:
⃗F A
a) A aceleração do conjunto; R: 4 m/s2
b) A intensidade das forças que A e B exercem entre si. R: 12 N
11) Uma estrada tem uma curva com inclinação de 15°, e raio de curvatura 150 m. Determine o valor
máximo da velocidade com que é possível descrever a curvatura? R: 20 m/s
12) Uma estrada tem uma curva com inclinação de 15°, se o valor máximo da velocidade com que é
possível descrever a curva for de 90 km/h qual deve ser o raio de curvatura da curva? R: 240 m
13) Uma estrada tem uma curva com inclinação de θ e raio de curvatura de 152 m. Se o valor máximo
da velocidade com que é possível descrever a curva for de 72 km/h, qual deve ser a inclinação?
R: 15°
14) A figura mostra dois corpos, A e B, ligados entre si por um fio que passa por uma polia. Abandona-
se o sistema em repouso à acção da gravidade, verifica-se que o corpo A desce com uma
Elaborado
32
aceleração de 3 m/s2. Sabendo que mB = 7 kg, calcule a massa do corpo A. Despreze os atritos e
considere g = 10 m/s2. R: 3 kg
15)
A
15) Um bloco de massa de 10 kg encontra-se em repouso no plano inclinado que faz um ângulo de 40°
com a horizontal. O coficiente de atrito em que o bloco e o plano é igual 0,12. Determine o valor
da força para que o bloco não desça. R: 55 N
16) Um bloco de massa 8 kg encontra-se em repouso sobre um plano inclinado que faz um ângulo de
20° em relação àhorizontal. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado é de 0,10.
Determine o menor valor da força para que o bloco não suba. R: 34,8 N
17) Num plano inclinado de 45° relativamente à horizontal está um bloco. Que coeficiente de atrito
entre o bloco e o plano deve ser para que levanta-lo verticalmente será mais do que puxar para
cima ao longo do plano inclinado? O movimento em ambos os casos considere uniforme. R: 0,41
18) A figura abaixo mostra um corpo de A de massa mA = 2 kg apoiando em um plano inclinado e

amarrado a uma corda, que passa por uma roldana e sustenta um outro corpo B de massa mB = 3
kg
Despreze a massa da corda de atritos de qualquer natureza.
a) Esboce o diagrama de forças para casa um dos dois
corpos.
B b) Se o corpo B move-se para baixo com aceleração 𝑎 = 4
m/s2, determine a tração T na corda
30°
19) Um corpo de massa 4kg é lançado ao longo de um plano inclinado, de baixo para cima, com uma
velocidade inicial de 40 m/s. O plano forma um ângulo de 30° com a horizontal. Depois de quanto
tempo a velocidade do móvel será de 7,5 m/s? considere g = 10 m/s2 e despreze os atritos. R: 6,5
s
20) Num local onde a aceleração gravitica tem módulo 10 m/s2, dispõe-se o conjunto abaixo, no qual
o atrito é desprezível, a polia e o fio são ideais. Nestas condições, a intensidade da força que o
bloco A exerce no bloco B é: Dados: mA = 6,0 kg; mB = 4,0 kg; mC= 10 kg; θ = 30° . R: 32 N
Elaborado
33
Elaborado
34
TRABALHO E ENERGIA
Trabalho como medida de energia
A grandeza física usada para medir as transferências de energia associadas a forças, designa-se
trabalho ou trabalho mecânico. Representa-se pela letra W, cuja unidade no SI também é Joule (J).
Trabalho: é a força aplicada a um corpo, na qual o corpo muda de posição ou desloca-se do seu
ponto inicial.
Trabalho realizado por uma força
Uma força realiza trabalho sobre um corpo, quando há deslocamento do seu ponto de aplicação
e a força tem uma componente na direcção do movimento.
W
⃗
F
A 𝑑 B
O valor do trabalho é expresso pela seguinte fórmula: 𝐖 =𝐅×𝐝

Onde:
W – Trabalho realizado, unidade no SI [Joule-J];

F – Intensidade da força aplicada ao corpo, unidade no SI [Newton-N];
d – Deslocamento, unidade no SI [Metro-m].
O trabalho realizado por uma força pode ser:
• O trabalho é Potente ou Positivo (𝐖 > 0), Se a força tiver a mesma direcção e o mesmo
sentido do movimento do corpo.
𝑑 ⃗
F
• O trabalho é Resistente ou Negativo (𝐖 < 0), Se a força tiver a mesma direcção mas
sentido contrário ao do movimento do corpo.
⃗F 𝑑
Elaborado
35
Nota: Se a força aplicada a um corpo não causar deslocamento do corpo, então a força aplicada não
realiza trabalho ou o trabalho realizado é igual a zero (𝐖 = 0).
Trabalho da força de peso
Consideremos um corpo com massa no vacúo, em uma altura h, se abandonarmos o corpo,

veremos que o corpo deslocar-se-à ao solo.
O trabalho realizado quando o corpo bate ao solo, pode ser calculado pela relação de∶
W = ⃗P × ∆h sabendo que ⃗P = m × g , então∶

⃗g
𝐖 = 𝐦 × 𝐠 × ∆𝐡
∆h
Trabalho realizado por uma força no sentido oblíqua

Projecções
𝑦(m)
⃗⃗⃗⃗
F𝑥 = ⃗F ∙ cos θ (I)
⃗⃗⃗⃗
F𝑦 = ⃗F ∙ sen θ (II)
Fórmula do trabalho realizado por uma força:
⃗
F ⃗⃗⃗⃗
F𝑦 W = ⃗F𝑥 ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 (III)
m θ m Substituindo (I) em (III), vem:
⃗⃗⃗⃗
F𝑥
𝑥(m)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐖 = 𝐅 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ∙ ∆𝒙
A B
⃗⃗⃗⃗
∆𝑥
Trabalho realizado sobre um plano inclinado
Os planos inclinados são superfícies planas e rígidas que servem para multiplicar as forças.
Todo o plano inclinado pode ser representado esquematicamente sob a forma de um
triângulo, onde BC é altura do plano inclinado e AB é o seu comprimento, o peso do corpo
P e a força F que impulsiona o corpo para cima pelo plano inclinado.
Elaborado
36
Para um corpo que se encontra sobre uma superfície inclinada, temos de ter em conta
não só a força aplicada ⃗F como também o peso ⃗P do próprio corpo. Analizemos a figura a
baixo∶
𝑦 𝑥
⃗F B
h
⃗⃗⃗𝑥
P θ
P ⃗⃗⃗
P𝑦
A ∆𝑥 C
Nota: Se o ângulo 𝜃 for desconhecifdo, então o
Projeccções da força e peso
trabalho realizado será dado por:
⃗⃗⃗⃗⃗ = ∆𝑥
AC ⃗⃗⃗⃗
h h
senθ = ⟹ ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 =
P=m∙g (I) ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 senθ
P𝑥 = P ∙ sen θ (II) ⃗ − m ∙ g ∙ senθ) ∙ ⃗⃗⃗⃗
Substituindo em W = (F ∆𝑥,
Substituindo (I) em (II), vem: 𝐏𝒙 = 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝛉
vem:
P𝑦 = P ∙ cos θ (III) h
W = ⃗F ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 − m ∙ g ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 ∙
Substituindo (I) em (III), vem: 𝐏𝒚 = 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥
𝑊 = (F ⃗ −P⃗⃗⃗𝑥 ) ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 ⟹ W = (F ⃗ − m ∙ g ∙ senθ) ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 ⃗ ∙ ∆𝑥
W=F ⃗⃗⃗⃗ − m ∙ g ∙ h
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐖 = (𝐅 − 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉) ∙ ∆𝒙 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐡
𝐖 = 𝐅 ∙ ∆𝒙
𝐡
𝐖 = (𝐅 − 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉) ∙
𝐬𝐞𝐧𝛉
Rendimento de um trabalho realizado
O trabalho total é o trabalho realizado pela força aplicado, ele é igual ao trabalho útil para levar
uma carga ao vencer uma resistência.
Na prática, o trabalho total realizado com ajuda de uma máquina é maior que o trabalho útil
𝐖𝐭 > 𝐖𝐮 .
Elaborado
37
O trabalho útil que se desenvolve mediante a qualquer máquina que se utiliza sempre para
constituir uma parte do trabalho total.
Estabeleceu-se duas regras para o cálculo do coeficiente do redimento mecanismo.
1º) O trabalho útil será sempre menor que do trabalho total 𝐖𝐮 < 𝐖𝐭 ;
2º) A razão do trabalho útil sob o trabalho total, será sempre menor que 1.
𝐖𝐮
<1
𝐖𝐭
Assim, o redimento do coeficiente do mecanismo e a relação entre o trabalho útil e o trabalho total.
𝐖𝐮
𝐖𝐭
Designa-se pela letra 𝜼 e exprime-se em percentagem (%).
𝐖𝐮
𝛈= × 100%
𝐖𝐭
GRANDEZAS SIMBOLOS UNIDADES VALOR
Trabalho W Joule = J
Força F Newton = N
Deslocamento d Metro = m
Altura h Metro = m
Massa m Kilograma = kg
Velocidade v m/s
Gravidade g m/s2 9,8 ou 10
Potência de um trabalho P Watts = W
Rendimento de um trabalho 𝜂 Pecentagem = %
Tempo t Segundo = s
Exercícios de aplicação sobre Trabalho

“Quem despede-se muito quer dinheiro de táxi”
1) Calcula o trabalho da força exercida pelo cavalo, considerando que a componente
horizontal da força é constante, tem intensidade de 50N e desloca o seu ponto de aplicação
de 5m na direcção e sentido do deslocamento. R∶ 250 J
Elaborado
38
2) Um corpo é elevado 30m por uma grua, através da aplicação de uma força constante
vertical de intensidade 150N.
a) Calcula o trabalho realizado pela força que eleva o corpo. R∶ 4500 J
b) Diz, justificando, se o trabalho realizado foi Potente ou Resistente?
3) Um corpo sofreu um deslocamento de 2m, tendo a força peso realizado um trabalho de -35J.
a) Diz, justificando, se o trabalho realizado foi Potente ou Resistente?
b) Calcula o valor da força peso do corpo. R∶ −17,5N
4) Calcula o trabalho realizado pela força de 10N quando desloca o ponto de aplicação em 2 Km
na direcção e sentido da força. R∶ 20000 J
5) Que trabalho realiza uma grua quando levanta uma carga de massa igual a 2 toneladas a
uma altura de 5 m? R∶ 100000 J
6) A que altura se elevou um corpo de massa igual a 15 Kg que realiza um trabalho de 60 Joules?
R∶ 0,4 m
7) Uma tonelada de alimento deixa-se cair de um avião que se encontra a 2500 m de altura.
Determine o trabalho realizado durante a queda do objecto. R∶ 25000000 J
8) Um bloco que se encontra sobre uma superfície horizontal de atrito desprezável e que se
desloca 9 m sob força com a intensidade de 20 N. Determine o trabalho, se a direcção da força
é igual a direcção da superfície. R∶ 180 J
9) um bloco que se encontra sobre uma superfÍcie horizontal, de atrito desprezável, e que se
desloca 18 m sob a acção de uma com intensidade de 8 N. Determine o trabalho realizado, se a
direcção da força é igual a direcção da superfície. R: 144 J
10) um funcionário de uma empresa, empurra um corpo com um peso de 900 N, sob acção de
uma força de 320 N. Se o ângulo marcado entre o plano e a superfície é de 20°, e o ponto mais
alto mede 1,5 m de altura, determine o trabalho realizado neste plano inclinado. R: 53,68 J
11) Sobre uma superfície horizontal de 15 m desloca-se um bloco, sob a acção de uma força de
25 N fazendo um ângulo de 30° em relação a superfície. Determine o trabalho desenvolvido
durante o movimento nesta superfície. R: 259,8 J
12) Dado um bloco de massa 3 kg, sobre um plano inclinado, movendo do ponto mais baixo ao
ponto mais alto de 2 m de altura em relação a superfície. O ângulo marcado entre o plano e a
superfície é de 30°, se a força aplicada é de 20 N, determine o trabalho realizado sobre este
plano inclinado. R: 20 J
13) Durante o movimento de um corpo numa superfície de 12 m, sob a acção de uma força com
a intensidade de 8 N, experimenta um trabalho de 105 J. Determine o valor do ângulo definido
pela força e pela direcção do deslocamento. R: 38,62°
Elaborado
39
14) Calcular o rendimento de um trabalho de uma empresa quando o trabalho útil é de 40 J e o

trabalho total é de 160 J. R∶ 25%
15) Calcular o rendimento de uma máquina que possue um trabalho total de 64 J e o trabalho útil
é de 8J. R∶ 12,5%
16) No braço mais pequeno de uma alavanca, suspende-se uma carga de massa igual à 100 kg,
para levantar esta carga aplicou-se ao braço maior uma força de 250 N, a força motriz elevou a uma
altura de 0,08 m e mais tarde baixou a uma altura de 0,4 m. Calcula o coeficiente do rendimento do
mecanismo. R∶ 80%
17) Um motor electrico de rendimento 80%, esteve ligado durante 10 s enrolando 20 m do fio na
qual estava preso um bloco. Durante este movimento o corpo experimentou uma energia mecânica
de 174 J sob acção de uma força que faz um ângulo de 30° em relação a direcção do deslocamento.
Determine∶
a) A intensidade da força exercída pelo fio sobre o bloco; R∶ 10N
b) A potência da força determinada na linha anterior; R∶ 17,4 watt
c) A potência fornecida pelo motor electrico; R∶ 87 watt
d) A potência electrico consumido pelo motor; R∶ 69,6 watt
e) O rendimento deste processo de transferência de energia. R∶ 20%
ENERGIA
Energia: é capacidade de produzir trabalho
Conhecemos também diversas formas de energia em nosso dia a dia, tal como:
• Energia Eléctrica;
• Energia Química;
• Energia Mecânica;
• Energia Luminosa; etc.
Dentre as diversas formas de energia, vamos apenas destacar sobre Energia Mecânica.
Lei da conservação da energia mecânica
Num sistema isolado, a energia mecânica permanece constante desde que apenas haja
transformações de energia cinética em energia potencial ou vice-versa.
A energia não se cria e nem se destrói, simplimente transforma-se de uma forma para outra.
Energia Mecânica (𝐄𝐦 )∶ é a soma da energia cinética (EC ) com a energia potencial (EP ). Isto é:
𝐄𝐦 = 𝐄𝐂 + 𝐄𝐏 ; cuja a unidade no SI é Joule (J).
Elaborado
40
EP = 10
Ec = 0J EP = 30J
EP = 50J Ec = 70J
A Ec = 50J
EP = 0J
B Ec = 10J D
B
C
Energia potencial: é a energia armazenada no corpo, em condições de se poder usar.
A energia potencial classifica-se em:

• Energia potencial gravítica (𝐄𝐏𝐠 ); cuja fórmula é: 𝐄𝐏𝐠 = 𝐦 × 𝐠 × ∆𝐡
⃗ × ∆h sabendo que P
W=P ⃗ = m × g , então∶
⃗g
W = Epg ⟹ Epg = ⃗P ∙ ∆h ⟹ EPg = m ∙ g ∙ ∆h
∆h
∆h = h − h0
h EPg = m ∙ g ∙ ∆h ⟹ 𝐄𝐩𝐠 = 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ (𝐡 − 𝐡𝟎 )
∆h
𝐄𝐩𝐠 = 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ (𝐡 − 𝐡𝟎 )
h0
A sua unidade no SI é Joule (J)
Nota: qualquer corpo de massa 𝐦 elevado a uma altura 𝐡, possui energia potencial gravítica
(𝐄𝐏𝐠 ).
A energia potencial gravítica que um corpo possui, depende da altura a que se encontra o corpo
e da sua massa.
• Energia potencial elástica (𝐄𝐏𝐞𝐥 ): é a forma de energia que se encontra armazenada em

um corpo elástico deformado.
Elaborado
41
A intensidade da elástica é tanto maior

W = ∆EPel ⃗F quanto maior é a deformação produzida.
A força elástica ⃗⃗⃗⃗⃗
Fel é directamente
proporcional a deformação ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥, então:
⃗⃗⃗⃗
𝑥0
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Esta fórmula é conhecida
𝐅𝐞𝐥 = 𝐊 ∙ ∆𝒙
como lei de Hooke.
⃗⃗⃗⃗⃗
Fel
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐅𝐞𝐥 = 𝐊 ∙ ∆𝒙 (I)
Onde:
K = constante de elasticidade (N/m);
𝑥
∆𝑥 = deformação (m)
⃗⃗⃗⃗
𝑥0 ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥
Esta energia é determinada com base no gráfico da força elástica em função da deformação.
F (N) A área do triângulo ∆(EPel ) é igual:
Fel Fel ∙ ∆𝑥
∆EPel = (II)
2
∆(Epel ) Substituindo (I) em (II), vem:
K ∙ ∆𝑥 ∙ ∆𝑥 K ∙ (∆𝑥)2
0 ∆𝑥 𝑥(m) ∆EPel = ⟹ ∆EPel =
2 2
𝐊 ∙ (∆𝒙)𝟐
∆𝐄𝐏𝐞𝐥 =
𝟐
Energia Cinética: é a energia caractérizada pela movimentação dos corpos.
Consideremos uma particula de massa (m) que passa pela velocidade (v⃗⃗⃗0 ) para uma velocidade
(v ⃗ ) constante, num deslocamento (∆𝑥
⃗ ) sob acção de uma força resultante (F ⃗⃗⃗⃗ ).
⃗⃗⃗
v0 ⃗
v
⃗
F m ⃗
F 𝑎 m ⃗
F
𝑥 (m)
⃗⃗⃗⃗
∆𝑥
A B
Elaborado
42
W = EC = ⃗F ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆𝑥 (I)
⃗F = m ∙ 𝑎 (II)
Substituindo (II) em (I), vem:
⃗⃗⃗⃗
EC = m ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑥 (III)
Aplicando a equação de Torricelli, fica:
v2 −v0 2
v 2 = v0 2 + 2𝑎∆𝑥 ⟹ ∆𝑥 = (IV)
2𝑎
Substituindo (IV) em (III), vem:
v2 −v0 2 v2 −v0 2
Ec = m ∙ 𝑎 ∙ ⟹ EC = m ∙ ( )
2𝑎 2
m∙v2 m∙v0 2
∆EC = − = ∆ECT
2 2
∆ECT = ECf − ECi ∶ energia cinética de translação
m∙v2
ECf = : energia cinética final
2
m∙v0 2
ECi = : energia cinética inicial
2
𝐦 ∙ 𝐯𝟐
𝐄𝐂 = A sua unidade no SI é Joule (J)
𝟐
Nota: todo corpo em movimento possui energia cinética.
• A energia cinética que um corpo possui, depende da massa e da velocidade com que se
movimenta.
𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨1 : Dois corpos possuem a mesma massa de 𝐦(A) = 𝐦(B) = 4Kg e, movimentam-se com
velocidades diferentes v(A) = 10 m⁄s, e v(B) = 8 m⁄s. Diga quais dos corpos possui menor
Energia cinética (EC ). R: EC (A) = 200J e EC (B) = 128J.
𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨2 : Dois corpos possuem massas diferentes m(A) = 4kg e m(B) = 5kg, mas
movimentam-se com a mesma velocidade de v(A) = v(B) = 10 m⁄s. Diga quais dos corpos possui
maior Energia cinética (EC ). R: EC (A) = 200J e EC (B) = 250J.
Como energia mecânica é 𝐄𝐌 = 𝐄𝐂 + 𝐄𝐏 , então fica:

Elaborado
43
m∙v2 v2
EM = + m ∙ g ∙ h ⟹ EM = m ( 2 + gh)
2
𝐯𝟐
𝐄𝐌 = 𝐦 ( + 𝐠𝐡)
𝟐
Energia Cinética de Rotação (𝐄𝐂𝐫 )
R
A
R
B
m ∙ v 2 m ∙ v0 2
∆ECT = − (I)
2 2
Tendo em conta o MCU que é descrita por: 𝐯 = 𝛚 ∙ 𝐑 ; 𝐕𝟎 = 𝛚𝟎 ∙ 𝐑 (II)
m ∙ ω2 ∙ R2 m ∙ ω0 2 ∙ R2
∆ECr = −
2 2
∆ECr = ECrf − ECri ∶ energia cinética de rotação
𝐦 ∙ 𝛚𝟐 ∙ 𝐑𝟐
𝐄𝐂𝐫 =
𝟐
Exercícios de aplicação sobre Energia

“ Você sempre pode desistir. Por que tem de ser agora?” (Robert Kiyosack)
1) Enuncia a lei da conservação da energia mecânica.
2) Dois corpos A e B possuem a mesma massa m, e encontram-se em alturas diferentes (h(A) ≠

h(B). Diga quais dos corpos possui maior energia potencial gravítica.
a) Justifique a sua resposta.
3) Dois ciclístas A e B possuem massas diferentes (m(A) ≠ m(B), mas movimentam-se com a
mesma velocidade (v(A) = v(B). Diga qual dos ciclístas possui menor energia cinética.
a) Justifica a sua resposta.
Elaborado
44
4) Uma bola de aço cai de um edifício de 9m de altura, sabendo que a massa da bola é de 2 kg qual
será a energia potencial gravítica? R:180J
5) Um corpo que possui uma massa de 4kg desloca-se com uma velocidade de 7 m/s. Determine a
energia cinética do corpo. R: 98J
6) Uma bola de ferro cai de uma altura de 12 m com uma velocidade de 4 m⁄s. Sabendo que a bola
tem 2 kg de massa. Determine:
a) Energia potencial EP ; R: 240J
b) Energia cinética EC ; R: 16J
c) Energia mecânica Em . R: 256J
7) Um corpo cuja a massa é de 20 kg cai de uma altura de 5 m com uma velocidade de 6 m⁄s.
Determine: Energia potencial ; Energia cinética e Energia mecânica. R: 1000J ; 360J e 1360J.
8) De uma altura de 7m caiu uma pedra que possui um peso de 5N. Determine a energia potencial
que esta pedra possui. R: 35 J
9) Uma bola de aço cai de um edifício de 300m, sabendo que a bola pesa 8N. Qual será a energia
potencial gravítica produzido pela bola? R: 2400 J
10) De uma altura de 11m caiu um corpo, com uma velocidade de 5m⁄s. Sabendo que o corpo tem
uma massa de 6kg. Determina: Energia potencial ; Energia cinética e Energia mecânica deste corpo.
R: 660 J ; 75 J e 735 J.
11) Deixou-se cair de edifício de 150m de altura, uma esfera de 25kg a uma velocidade de 12 m⁄s.
Determina: Energia potencial ; Energia cinética e Energia mecânica da esfera.
R: 37.500J ; 1.800J e 39.300J.
12) Uma criança com massa de 20kg, desliza a partir de repouso, ao longo de um escorrega, de uma
altura de 2 m, atinge a base com uma velocidade de 5 m/s. Determine:
a) O trabalho (energia cinética) realizado pela resultante das forças que actuam sobre a criança,
durante a descida; R: 250 J
b) Qual foi a energia mecânica devido ao atrito entre as superfícies em contacto; R: 150 J
c) Se toda energia mecânica da criança ao atingir a base do escorrega podesse ser aproveitada,
qual seria o rendimento? R: 62,5%
13) A energia total experimentada sobre uma mola elástica, quando seu comprimento é reduzido
de 5 cm é igual a 2,5 J. Determine:
a) A constante de elasticidade da mola; R: 2000 N/m
b) A intensidade da força deformadora, quando a mola está comprida 5 cm. R: 100 N
Elaborado
45
14) Um corpo de massa 250kg, desloca-se a uma velocidade de 2m/s sobre uma superfície horizontal
da atrito desprezável, quando entra em contacto com uma mola, constante de elasticidade
100N/m, que se encontra presa pela outra extremidade. Calcule:
a) A energia potencial elástica máxima da mola; R: 0,5 J
b) A deformação máxima da mola. R: 0,1 m
15) O gráfico a baixo representa o trabalho realizado pela FA e FB, que actuam sobre um corpo que
se desloca ao longo de uma superfície horizontal de 105 J, de atrita desprezável. Determinar:
a) O trabalho realizado por cada uma das forças; R: 320 J e 160 J
b) A variação de energia mecânica experimentada pelo corpo durante o deslocamento total do
seu centro de massa; R: 160 J
c) A caracterização da força média a exercer sobre o corpo com a mesma variação de energia.
R: 120 N
F (N)
FA
80
FB
40
−2 2 4 6 8 10 𝑥 (m)
−20
Q U A N T I D A D E DE M O V I M E N T O OU M O V I M E N T O L I N E A R
É a massa de um corpo (𝐦) que se desloca com uma velocidade (𝐯⃗). E é uma grandeza vectorial dado
por:
m 𝑥 ⃗⃗ = 𝐦 ∙ 𝐯⃗
𝓹
⃗
v
Onde:
𝓅 : quantidade de movimento, a sua unidade no SI é kg ∙ m/s2
⃗ : velocidade, a sua unidade no SI é m/s
v
m: massa, a sua unidade no SI é kg
Características da quantidade de movimento

• A direcção da velocidade;
• O sentido da velocidade;
• O produto da massa pelo módulo da velocidade da partícula.
Elaborado
46
Impulso de uma força ( 𝐈 )

É o produto de uma força resultante (𝐅𝐑 ) aplicada a um corpo pelo seu intervalo de tempo (∆𝐭). É
dado por:
𝐈 = 𝐅𝐑 ∙ ∆𝐭
A sua unidade no SI é 𝑁 ∙ 𝑠
Características do impulso de uma força

• A direcção da força aplicada;
• O sentido da força aplicada;
• O produto da intensidade da força pelo intervalo de tempo.
Variação da quantidade de movimento ( ∆𝓹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) e Impulso de uma força ( 𝐈 )

Considere um corpo de massa (𝐦), que se desloca uma velocidade ( 𝐯⃗𝟎 ) no instante em que colíde
com uma parcela. Apois a colisão a espera desloca-se com uma velocidade ( 𝐯⃗ ).
⃗0
v ⃗
v
m m
m m
Antes da colisão Depois da colisão

⃗⃗ 𝟎 = 𝐦 ∙ 𝐯⃗𝟎
𝓹 ⃗⃗ = 𝐦 ∙ 𝐯⃗
𝓹
⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝓅 = 𝓅 − 𝓅0 ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝓅 = m ∙ v ⃗ 0 ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ −m∙v ∆𝓅 = m(v ⃗ 0 ) ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ −v ∆𝓅 = m ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆v
(I) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐦 ∙ ∆𝐯
∆𝓹 ⃗⃗⃗⃗
Tendo em conta o M.R.U.V, temos o seguinte: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ ∆𝐭, substituindo em (I), vem:
∆𝐯 = 𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ ∆𝐭
∆𝓹 = 𝐦 ∙ 𝒂 (II)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐅 ∙ ∆𝐭
∆𝓹
⃗ , substituindo em (II), fica:
Segundo Newton, 𝐅 = 𝐦 ∙ 𝒂
Sabe-se que, 𝐈 = 𝐅 ∙ ∆𝐭, substituindo em (III), vem: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∆𝓹 = 𝐈
Lei da variação da quantidade de movimento

O impulso da resultante das forças que actuam sobre um corpo, durante o intervalo de tempo, é igual
a variação da quantidade de movimento da partícula durante o mesmo intervalo de tempo. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝓹 = 𝐈
Elaborado
47
Considere um sistema de duas partículas de massas 𝐦𝟏 e 𝐦𝟐 , que se deslocam com velocidades

𝐯⃗𝟏 e 𝐯⃗𝟐 , respectivamente.
As quantidades de movimentos de cada lado das partículas são:
⃗⃗ 𝟏 = 𝐦𝟏 ∙ 𝐯⃗𝟏
𝓹 ⃗⃗ 𝟐 = 𝐦𝟐 ∙ 𝐯⃗𝟐
𝓹
A quantidade de movimento de todo sistema (𝓅sist ) é a soma das
𝐦𝟏 quantidades dos movimentos de cada uma das partículas, assim sendo:
𝐯⃗𝟏 ⃗⃗ 𝐬𝐢𝐬𝐭 = 𝓹
𝓹 ⃗⃗ 𝟏 + 𝓹
⃗⃗ 𝟐 ⟹ ⃗⃗ 𝐬𝐢𝐬𝐭 = 𝐦𝟏 ∙ 𝐯⃗𝟏 + 𝐦𝟐 ∙ 𝐯⃗𝟐
𝓹
𝐦𝟐
𝐯⃗𝟐 Se o sistema for constituido por mais de três partículas, então a
quantidade de movimento será de 𝑛 partículas dada por:
⃗⃗ 𝐬𝐢𝐬𝐭 = 𝐦𝟏 ∙ 𝐯⃗𝟏 + 𝐦𝟐 ∙ 𝐯⃗𝟐 + ⋯ + 𝐦𝐧 ∙ 𝐯⃗𝐧
𝓹
Antes da colisão Em colisão

⃗1
v ⃗2
v ⃗1
F ⃗2
F
m1 m2 m1 m2
Após a colisão
⃗ 1´
v ⃗ 2´
v
m1 m2 𝓅´
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝓹 = 𝐦 ∙ ⃗⃗⃗⃗
∆𝐯
∆𝓅sist = 𝓅1 − 𝓅2 (I)
𝓅 = 𝓅1 + 𝓅2 = m1 ∙ v ⃗ 1 + m2 ∙ v⃗2
{ (II)
𝓅´ = 𝓅1 ´ + 𝓅2 ´ = m1 ∙ v
⃗ 1 ´ + m2 ∙ v
⃗ 2´
∆𝓅sist = (𝓅1 ´ + 𝓅2 ´) − (𝓅1 + 𝓅2 ) ⟹ ∆𝓅sist = 𝓅1 ´ − 𝓅1 + 𝓅2 ´ − 𝓅2
∆𝓅sist = m1 ∙ v
⃗ 1 ´ − m1 ∙ v⃗ 1 + m2 ∙ v ⃗ 2 ´ − m2 ∙ v
⃗2
∆𝓅sist = m1 (v
⃗ 1´ − v⃗ 1 ) + (v ⃗ 2 )m2
⃗ 2´ − v
⃗⃗ 𝐬𝐢𝐬𝐭 = 𝐦𝟏 ∙ ∆𝐯⃗𝟏 + 𝐦𝟐 ∙ ∆𝐯⃗𝟐

𝓹
∆𝓅sist = m1 ∙ ∆v
⃗ 1 + m2 ∙ ∆v
⃗2
Elaborado
48
∆𝓅sist = ∆𝓅1 + ∆𝓅2
Colisão entre corpos

Uma colisão entre corpos é uma interação breve e forte durante o qual, se o resultado das forças
exteriores aos sistemass de partículas for nulo, a conservação da sua quantidade de movimento.
𝓅0 = 𝓅 𝓅sist = constante
Colisão elástica
𝓅0 = 𝓅 ou EC0 = ECf
Colisão inelástica
𝓅0 = 𝓅 e EC0 ≠ ECf
Colisão completamente inelástica
𝓅0 = 𝓅
𝐦𝟎 ∙ 𝐯⃗𝟎 + 𝐦 ∙ 𝐯⃗ = (𝐦𝟎 + 𝐦)𝐯⃗
E C ≠ E Cf
Exercícios de aplicação Quantidade de

Movimento
“Cuidado ao fazer muito pelo ingrato, no final ele diz que não te pediu nada”
1) Um corpo de massa 20g desloca-se com uma velocidade dee 3m/s. Determine a quantidade de
movimento do corpo. R: 0,06 kg∙m/s
2) Dentro de um recipiente, encontramos três bolas de massas 30g, 20g e 35g que se deslocam
com as velocidades de 1,5m/s, 3m/s e 1m/s respectivamente. Qual será a quantidade de
movimento dentro do recipiente? R: 0,14 kg m/s
3) A esfera A, de massa 20g, desloca-se com a velocidade 5m/s no instante em que colide
frontalmente com a esfera B, de massa 100g, velocidade −4m/s. considerando desprezáveis as
forças dissipativas. Determine as velocidades das esferas após a colisão. R: −𝟏 m/s e −𝟏𝟎 m/s
4) Uma esfera de massa 0,85kg, é submetido a uma força de 40N, e desloca-se com uma velocidade
de 1,5m/s. determine o instante em que foi aplicada a força à esfera. R: 0,31 s
Elaborado
49
5) Uma bola de 200g desloca-se com velocidade de módulo 10m/s, no instante em que colide com
uma parede vertical. Após a colisão que durou 0,15s, a bola volta para trás na mesma direcção
e com velocidade de módulo igual a que possuia antes de colidir com a parede, caracterize a
força exercída pela perede sobre a bola. R: −𝟐𝟔, 𝟔𝟕N
6) Sobre acção de uma força de 20N à um corpo durante 8s. qual é o impulso dessa força? R: 160N∙s
7) Um rapaz joga uma bola de 1,5kg à parede com a velocidade de 15m/s. depois de embater a
parede regressa com uma velocidade de 18m/s. qual é a variação da quantidade de movimento
que a bola leva? R: −49,5 kg m/s
8) Um pequeno corpo de massa 160g, está em equilíbrio, suspenso de um fio ideal de 1m de

comprimento. Um projectíl de massa igual a 40g, colide horizontalmente com o corpo, ficando
incrustado nele. O módulo da velocidade do projectíl após a colisão é de 2m/s. determine o
módulo da velocidade do projectíl, antes da colisão. R: 10 m/s
9) Um projectíl de massa 3kg, é desparado verticalmente para cima, e ao atingir a altura máxima,
explode, dando origem a dois estilhaços A e B, de massas, respectivamente, 1kg e 2kg, após a
explosão, o estilhado A sai disparado horizontalmente com velocidade de 50m/s. considerando
desprezável a resistência do ar. Determine:
a) A velocidade do estilhaço B, após a explosão; R: −𝟐𝟓 m/s
b) A variação de energia cinética do sistema durante a explosão. R: 1875 J
Elaborado
50
HIDROSTÁTICA
Hidrostática: é a parte da física que estuda os fluidos em repouso.

Fluido: é toda substância que flui ou escôa com maior ou menor facilidade. Os fluidos podem ser líquidos
ou gases. Geralmente a sua forma depende dos recipientes que os contém.
Forças de Pressão: são forças perpendiculares as superfícies que entram em contacto com os fluidos.
h1 As forças de pressão aumentam com fundidade

1
h2 ⃗F1
2 ⃗F2
Pressão: é o quociente da força de pressão sobre a área da secção transversal.
𝐅 Onde: F- força, sua unidade é Newton(N); S - superfície ou área, sua unidade é (m2)
𝐏=
𝐒 A unidade da pressão no S.I é Pascal (Pa) ou N/m2
Existem outras unidades de pressão usada no dia-a-dia.
Atmosfera (atm) ........................................ 1atm = 1,013 ∙ 105 Pa

Milimetro de mercúrio (mmHg) .................. 1mmHg 133 Pa
760mmHg = 1atm
A pressão num ponto inferior de um fluido de equilbrio hidrostático é a mesma em todas direcções.
Densidade de um corpo: é um valor constante, característico de cada substância, que nos indica a
quantidade de massa de uma determinada substância num determinado volume.
𝐦
𝝆=
𝐯
Onde: 𝝆 - é a densidade; m - é a massa; V - é o volume.

A unidade SI de densidade é o kg/m3, mas habitualmente usa-se g/cm3 ou kg/𝓵.
A densidade é também chamada de massa específica (𝜇), pois ela fornece a quantidade de massa que
existe numa unidade de volume.
A densidade não depende das dimensões do corpo, mas do tipo de substância que forma.
Densidade = massa volúmica
Elaborado
51
Lei fundamental da hidrostática

Consideremos um pequeno volume cilíndrico de um líquido, de altura (∆𝐡) e a área de base (𝐒) em
equilíbrio no interior do líquido, conforme mostra a figura.
Como o fluido se encontra em equilbrio, então a
resultante das forças que actuam sobre ele é nula.
h1 ⃗A
A F
⃗FR = 0
h2
⃗B−F
F ⃗A−F
⃗g=0⟹F
⃗g=F
⃗B−F
⃗A
∆h
m ∙ g = PB ∙ S − PA ∙ S ⟹ P ∙ ∆h ∙ S ∙ g = S(PB − PA )
⃗B B P ∙ ∆h ∙ g = PB − PA ⟺ PB − PA = 𝜌 ∙ ∆h ∙ g
F
PB = PA + 𝜌 ∙ g ∙ ∆h 𝐏𝐁 = 𝐏𝐀 + 𝝆 ∙ 𝐠 ∙ ∆𝐡
P
Lei fundamental da hidrostática
Peso aparente (Pa): é o peso que os corpos possuem dentro dos líquidos.
𝐏𝐚 = 𝐏𝐜 − 𝐅𝐚
Onde:
Pa - Peso aparente, a sua unidade é Newton (N);
Fa – Força de Arquimedes ou (I) - Impulso, a sua unidade é Newton (N);
PC – Peso do corpo, a sua unidade é Newton (N).
Algumas fórmulas já deduzidas sobre peso aparente:
𝝆
𝐏𝐀 = 𝐅𝐀 (𝝆𝐜 − 𝟏) Quando é para calcular o peso aparente
𝓵
𝝆𝐜 ∙ 𝐅𝐀
𝐏𝐀 = Quando é para calcular peso no ar
𝝆𝓵
Lei de Arquimedes
Todo o corpo que se encontra mergulhado num líquido sobre ele actua uma força na posição vertical e
no sentido de baixo para cima. 𝐈=𝝆 ∙𝐯 ∙𝐠 𝓵 𝒊
I − P = 0 ⟺ I = P ⟹ 𝜌ℓ ∙ g ∙ vi = 𝜌C ∙ g ∙ v ⟹ 𝜌ℓ ∙ vi = 𝜌C ∙ v
Sendo v = vi + ve ; substituindo, vem: 𝜌ℓ ∙ vi = 𝜌C (vi + ve )
PC 𝝆𝓵 𝐯𝐢 + 𝐯𝐞 Relação entre as alturas emersa e
𝝆𝓵 ∙ 𝐯𝐢 = 𝝆𝐂 (𝐯𝐢 + 𝐯𝐞 ) =
𝝆𝐂 𝐯𝐢 imersa
Elaborado
52
Onde: vi - volume imensa; ve - volume emerssa; dℓ - densidade do líquido; v𝑖 – volume imenso

volume emersa (𝐯𝐞 ): é a parte do corpo que se encontra fora do fuido.
volume imerso (𝐯𝐢 ): é a parte do corpo que se encontra no interior do fuido.
I I−P=0⟹I=P
h 𝜌ℓ ∙ vi ∙ g = m ∙ g ⟹ 𝜌ℓ ∙ vi = mC ⟹ 𝜌ℓ ∙ vi = 𝜌C ∙ h
𝜌ℓ ∙ hi = 𝜌C ∙ h 𝝆𝐂 ∙ 𝐡
𝐡𝐢 =
P 𝝆𝓵 Fórmula para calcular a parte do cubo mergulhada
Intesidade da tensão no fio

FA FA − T − PC = 0 ⟹ T = FA − PC
T = 𝜌ℓ ∙ vi ∙ g − mC ∙ g ⟹ T = 𝜌ℓ ∙ vC ∙ g − 𝜌C ∙ vC ∙ g
H2O T = vC ∙ g(𝜌ℓ − 𝜌C )
T 𝐓 = 𝐯𝐂 ∙ 𝐠(𝝆𝓵 − 𝝆𝐂 )
PC
FA − T − PC = 0 ⟹ T = FA − PC
T = mℓ ∙ g − mC ∙ g ⟹ T = g(mℓ − mC )
T = g(𝜌C ∙ v − 𝜌ℓ ∙ v) 𝐓 = 𝐠(𝝆𝐂 ∙ 𝐯 − 𝝆𝓵 ∙ 𝐯) Fórmula para calcular intensidade da tensão.
P = P0 + g ∙ 𝜌A ∙ hA + 𝜌B ∙ hB ∙ g
hA
P = P0 + g(𝜌A ∙ hA + 𝜌B ∙ hB )
hB Pressão atmosférica
P = P0 + g(𝜌A ∙ hA + 𝜌B ∙ hB )
1) Um objecto de cobre com densidade igual a 8,9 g/cm3 pesa no ar 4N. Quando totalmente
mergulhado no líquido pesa 3,3 N. Determine a densidade do líquido. R: 1,59 g/cm3
2) Uma peça de cobre (𝜌𝑐 = 8,9 g/cm3) mergulhada num líquido de densidade de 1,63 g/ml tem o peso
de 10,8 N menor do que no ar. Qual o peso dela no ar? R: 59 N
3) Uma peça de cobre (𝜌𝑐 = 11,3 g/cm3) mergulhada num líquido de densidade de 0,92 g/ml tem o
peso de 9,2 N menor do que no ar. Qual o peso aparente dela? R: 104 N
Elaborado
53
4) Um cubo, homogêneo e maciço de aresta 13,4 cm flutua num líquido (dℓ = 0,92 g/cm3). A altura da
parte mergulhada (imerso) do cubo igual a 9,6 cm. Qual a massa volúmica do material do cubo? R:
660 kg/m3
5) Um cubo, homogêneo e maciço de aresta 17,7 cm, feito de um material de massa volúmica de 760
kg/m3 flutua num líquido (dℓ = 1,035 g/cm3). Determine a parte do cubo mergulhado (imersa) no
líquido. R: 13 cm
6) Um cubo de madeira (massa específica = 0,80 g/cm3) flutua num líquido de massa específica 1,2
g/cm3. A relação entre as alturas emersa e imersa é de. R: 0,5
3
7) Um corpo flutua num líquido. A razão de volumes imersa e emerso do corpo é igual a 4. Determine
𝟑
a razão de densidade de material do corpo e do líquido. R: 𝟒
8) Um recipiente contém dois líquidos A e B homogêneos e imescíveis, cujas massas volúmicas são
respectivamente 𝜌A = 1000 kg/m3 e 𝜌B = 880 kg/m3. Um corpo sólido e maciço feito de um
material de massa volúmica 𝜌, está em equilíbrio na interface entre os dois líquidos, tendo metade
do seu volume imerso em cada um dos líquidos. Determinar a massa volúmica do corpo 𝜌. R:
940 kg/m 3
9) Num recipiente contém dois líquidos A e B homogêneos e imescíveis, cujas massas volúmicas
(densidade) são respectivamente 𝜌A = 1,0 kg/m3 e 𝜌B = 1,21 kg/m3. Um corpo sólido e maciço feito
de um material de massa volúmica 𝜌, está em equilíbrio na interface entre os dois líquidos, tendo
metade do seu volume imerso no líquido A é igual a duas vezes menor do que o imerso no líquido B.
Determinar a massa volúmica do corpo. R: 1,14 g/cm3
10) Uma bola com volume de 0,002 m3 de densidade 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um
recipiente que contém água, atravís de um fio conforme a figura. Determine a intensidade da tracção
no fio que segura a bola. (considere g =10 m/s2). R: 16 N
H2O
11) Um corpo de massa 505 g encontra-se num líquido estando suspenso por um fio. As densidades do
líquido e da substância que constituem o corpo são respectivamente 7,8 g/cm3 e 1,63 g/cm3.
Determine o valor da tensão no fio. R: 4 N
12) Um corpo de massa 210 g encontra-se num líquido estando suspenso por um fio. As densidades do
líquido e da substância que constituem o corpo são respectivamente 1,35 g/cm3 e 0,45 g/cm3.
Determine o valor da tensão no fio. R: 4,2 N
Elaborado
54
Vasos comunicantes (Tubo em U)

h1 = ∆h + h2 ⟹ h2 = h1 − ∆h
hA
PA = PC + 𝜌H2O ∙ g ∙ h2
h2 h0 h1
PB = Pa + 𝜌Oleo ∙ g ∙ h1
PC = Pa
PA = PB
PC + 𝜌H2 O ∙ g ∙ h2 = Pa + 𝜌Oleo ∙ g ∙ h1
Pa + 𝜌H2O ∙ g ∙ h2 = Pa + 𝜌Oleo ∙ g ∙ h1
g𝜌H2O (h1 − ∆h) = gh1 𝜌Oleo ⟹ 𝜌H2 O (h1 − ∆h) = h1 𝜌Oleo

𝜌H2O (h1 − ∆h) 𝝆𝐇𝟐 𝐎 (𝐡𝟏 − ∆𝐡)
𝜌Oleo = 𝝆𝐎𝐥𝐞𝐨 =
h1 𝐡𝟏
P0 P0
h 2h
A B
d2 d1
PA = P0 + 𝜌ℓ gH ; 2h = H + h1 ⟹ H = 2h − h1
PA = P0 + 𝜌ℓ ∙ g(2h − h1 )
PB = P0 + 𝜌H2O ∙ g ∙ 2h
PA = PB
P0 + 𝜌ℓ ∙ g(2h − h1 ) = P0 + 𝜌H2 O ∙ g ∙ 2h
𝜌ℓ (2h − h1 ) = 2h ∙ 𝜌H2 O
2h ∙ 𝜌H2 O 𝟐𝐡 ∙ 𝝆𝐇𝟐 𝐎 Fórmula para calcular densidade do líquido no tubo em U.
𝜌ℓ = 𝝆𝓵 =
2h − h1 𝟐𝐡 − 𝐡𝟏
Elaborado
55
P0 P0
∆h
h1
h2
P2 P1
P1 = P0 + d𝜌H2O ∙ g ∙ 2h1
P2 = P0 + 𝜌2 ∙ g ∙ h2
P1 = P2
P0 + dH2O ∙ 2h1 ∙ g = P0 + d2 ∙ g ∙ h2
𝜌H2 O ∙ 2h1 = 𝜌2 ∙ h2 ; sendo h2 = 2h1 − ∆h e substituindo, vem:
𝜌H2 O ∙ 2h1 = 𝜌2 ∙ (2h1 − ∆h)

𝜌H2O ∙ 2h1 𝝆𝐇𝟐 𝐎 ∙ 𝟐𝐡𝟏
𝜌2 = 𝝆𝟐 =
2h1 − ∆h 𝟐𝐡𝟏 − ∆𝐡
P1 = Pa + 𝜌1 ∙ g ∙ h1
P2 = Pa + 𝜌2 ∙ g ∙ h2
h2
2 P3 = P2 + 𝜌H2O ∙ g ∙ ∆h
h1 1
∆h P2 P1 = Pa
Pa + 𝜌1 ∙ g ∙ h1 = P2 + 𝜌H2O ∙ g ∙ ∆h
Pa + 𝜌1 ∙ g ∙ h1 = Pa + 𝜌2 ∙ g ∙ h2 + 𝜌H2O ∙ g ∙ ∆h
P3
𝜌1 ∙ g ∙ h1 = 𝜌2 ∙ g ∙ h2 + 𝜌H2O ∙ g ∙ ∆h
P1
𝜌1 ∙ g ∙ h1 = g(𝜌2 ∙ 𝜌2 + 𝜌H2O ∙ ∆h)
𝜌1 ∙ h1 = 𝜌2 ∙ h2 + 𝜌H2O ∙ ∆h
𝝆𝟐 ∙ 𝐡𝟐 + 𝝆𝟏 ∙ 𝐡𝟏 𝜌1 ∙ h1 − 𝜌2 ∙ h2 𝝆𝟏 ∙ 𝐡𝟏 − 𝝆𝟐 ∙ 𝐡𝟐
∆𝐡 = ∆h = ∆𝐡 =
𝝆𝐇𝐠 𝜌H2 O 𝝆𝐇𝟐 𝐎
Diferença dos níveis do mercúrio Diferença dos níveis e água
Elaborado
56
Algumas ideias para resolver os exercícios 8 e 9 (acima)

v2
A v1 =
2
vc = v1 + v2
IA = 𝜌c ∙ vc ∙ g
IA = IA1 + IA2 ⟹ 𝜌c ∙ vc ∙ g = 𝜌1 ∙ v1 ∙ g + 𝜌2 ∙ v2 ∙ g
𝜌c ∙ vc ∙ g = g(𝜌1 ∙ v1 + 𝜌2 ∙ v2 )
𝜌c (v1 + v2 ) = (𝜌1 ∙ v1 + 𝜌2 ∙ v2 )
v
𝜌1 ∙ v1 + 𝜌2 ∙ v2 𝜌1 ∙ 22 + 𝜌2 ∙ v2 𝜌1 + 2𝜌2
𝜌c = ⟹ 𝜌c = v ⟹ 𝜌c =
v1 + v2 2 3
2 + v2
𝝆𝟏 + 𝟐𝝆𝟐
𝝆𝐜 =
𝟑
vc
v1 =
2
vc
v2 =
2
vc = v1 + v2
IA = 𝜌c ∙ vc ∙ g
IA = IA1 + IA2 ⟹ 𝜌c ∙ vc ∙ g = 𝜌1 ∙ v1 ∙ g + 𝜌2 ∙ v2 ∙ g
𝜌c ∙ vc ∙ g = g(𝜌1 ∙ v1 + 𝜌2 ∙ v2 )
𝜌c (v1 + v2 ) = (𝜌1 ∙ v1 + 𝜌2 ∙ v2 )
v v vc
𝜌1 ∙ 2c + 𝜌2 ∙ 2c (𝜌 )
𝜌c =
𝜌1 ∙ v1 + 𝜌2 ∙ v2
⟹ 𝜌c = ⟹ 𝜌 = 2 1 + 𝜌2 ⟹ 𝜌 = 𝜌1 + 𝜌2
v1 + v2 vc vc c
2vc c
2
+
2 2 2
𝝆𝟏 + 𝝆𝟐
𝝆𝐜 =
𝟐 Algumas densidades
• A densidade do ouro é 19,3 g/cm3
• A densidade do ferro é 7,8 g/cm3
• A densidade da água é 1 g/cm3
• Densidade de mercúrio é 13,6 g/cm3
Elaborado
57
Resumo de algumas fórmulas já deduzidas

𝐦 = 𝟐𝝆 ∙ ∆𝐡 ∙ 𝐒 fórmula para calcular massa em relação estado inicial
𝛑 ∙ 𝐝𝟐
𝐦𝟐 = (𝟐𝝆 ∙ ∆𝐡 − 𝝆𝟏 ∙ 𝐡𝟏 )
𝟒
𝟒𝐠 ∙ 𝐦𝐜
𝒙= deformação da mola
𝐤
𝐯𝐀 𝝆𝐀 − 𝝆
= Razão do volume imerso no líquido B e imerso no líquido A
𝐯𝐁 𝝆 − 𝝆𝐁
PA PB O desnível: ∆𝑥 = 𝑦 − 𝑥
(1) ................................. (2) P1 = PA + 𝜌1 ∙ 𝑦 ∙ g ; P2 = PA + 𝜌2 ∙ 𝑥 ∙ g

P1 = P2
∆𝑥
PA + 𝜌1 ∙ 𝑦 ∙ g = PA + 𝜌2 ∙ 𝑥 ∙ g
𝜌1 ∙ 𝑦 ∙ g = 𝜌2 ∙ 𝑥 ∙ g
𝑦 𝑥 𝝆𝟏 ∙ 𝒚 = 𝝆𝟐 ∙ 𝒙
𝜌1 ∙ 𝑦 = 𝜌2 ∙ 𝑥 (I)
Se a 𝝆𝟏 for quatro vezes menor que a 𝝆𝟐 , fica:
𝜌2
𝜌1 =
4
Algumas dicas
𝑦
Substituindo em (I), vem:
𝑥 é 𝑛 vezes menor que 𝑦: 𝑥 = 𝑛
𝜌2
∙ 𝑦 = 𝜌2 ∙ 𝑥 ⟹ 𝑦 = 4𝑥 𝒚 = 𝟒𝒙
𝑥 é 𝑛 vezes maior que 𝑦: 𝑥 = 𝑛𝑦 4
1) A figura representa em esquema um tubo em U contendo dois líquidos não miscíveis, água e óleo X.
A altura da coluna de óleo é 12,6 cm o desnível entre as superfícies livres dos dois líquidos é 1,52 cm
(𝜌H2O = 1,0 × 103 kg/m3 ). Calcule a massa volúmica do óleo X. R: 880 kg/m3
1,52cm
h2 h2 12,6cm h1
Elaborado
58
2) Num tubo em U abertode ambas as extremidades encontra-se a água. Num dos ramos deita-se um
líquido imisível com água. Noutro ramo a água sobe de 8,3 cm e o seu nível fica de 2,1 cm do nível
do líquido deitado. Determine a densidade do líquido? R: 14,2 kg/m3
3) Num tubo em U aberto em âmbas extremidades inicialmente encontra-se a água numa dele deita-
se um líquido imiscível. No outro joelho a água sobe 10,4 cm em relação ao seu nível inicial e o seu
nível novo fica a 7,8 cm a cima do nível inicial e o seu nível novo. Determine a densidade deste
líquido. R: 1,60 g/cm3
4) Num tubo em U aberto em A nas extremidades encontra-se o mercúrio. Num dos joelhos deita-se
um líquido de densidade 1,6g/ml e de altura igual à 30 cm. A cima do líquido deitado, deitasse mais
um líquido imiscível de densidade 0,85g/cm3 e de altura de 20 cm. Qual é a diferença dos níveis do
mercúrio? R: 4,8 cm
5) Num tubo em U aberto em A nas extremidades encontra-se o mercúrio. Num dos joelhos deita-se
um líquido de densidade 0,95g/ml no outro de densidade 0,78g/cm3. A altura de colunas dos líquidos
deitado nos joelhos é 25cm. Qual é a diferença dos níveis de água no joelho? R: 4,2 cm
6) Num tubo em U aberto em ambas extremidades inicialmente encontra-se a água. Numa parte dele
deita-se um líquido imiscível. No outro joelho a água sobe 10,4 cm em relação ao seu nível inicial e
o seu nível novo fica 7,8 cm acima do nível do líquido deitado. Determine a densidade desse líqquido?
R: 1,60 g/cm3
7) Num tubo em U encontra-se o mercúrio. Num dos ramos deita-se um líquido de densidade de
1,6g/ml. Acima deita-se mais um líquido imiscível de densidade de 0,85 g/ml e de altura de 30 cm. A
diferença dos níveis do mercúrio nos ramos é igual a 11,5 cm. Determine a altura da coluna do
primeiro líquido. R: 82 cm
8) Num tubo em U de diâmetro de 5,0 mm encontra-se o mercúrio. Num dos ramos deitam-se dois
líquidos imiscíveis entre si (𝜌1 = 1,60 g/ml, 𝜌2 = 1,00 g/ml) e com o mercúrio e o nível do mercúrio
no outro ramo sobe de 2.0 cm. Determine a massa do 1° líquido se a altura da coluna do 2° líquido
for de 30 cm. R: 4,8 g
9) Num tubo em U de área da secção transversal de 1,0 cm2 aberto de ambas as extremidades está a
água. Que massa de um líquido de densidade de 1600 kg/m3 é necessário deitar num dos ramos para
que o nível da água noutro ramo subir de 8,0 cm em relação ao estado inicial? R: 16 g
10) Num tubo em U de área da secção transversal de 1,0 cm2 aberto de ambas as extremidades está a
água. Que massa de um líquido de densidade de 800 kg/m3 é necessário deitar num dos ramos para
que o nível da água noutro ramo subir de 16 cm em relação ao estado inicial? R: 32 g
Elaborado
59
11) Num tubo em U de área da secção transversal de 0,5 cm2 aberto de ambas as extremidades encontra-
se o mercúrio. Num dos ramos deitam-se 45 g de um líquido de 1,63 g/ml de densidade, noutro,
deita-se 65 g do líquido de densidade de 1,16 g/ml. Qual a diferença dos níveis do mercúrio nos
ramos? R: 2,9 cm
12) As densidades dos líquidos A e B num vaso aberto são respectivamente 0,8 g/ml e 1,0 g/ml, as alturas
hA = 2,5 m e hB = 4,2 m. Determine a pressão sobre o fundo do vaso se a pressão atmosféra seja
de 100kpa. R: 162 kpa
13) Num recipiente cilíndrico encheu-se com água e óleo de tal forma que a massa da água é dupla em
relação à massa do óleo. A altura da coluna dos líquidos é h = 20 cm. Achar a pressão, exercida pelo
líquidos no fundo do recipiente. A massa volúmica da água é 𝜌1 = 1,0 × 103 kg/m3 e do óleo é 𝜌2 =
0,90 × 103 kg/m3 . R: 1,89 kpa
14) Um recipiente contém dois líquidos homogéneos e imiscíveis A e B com densidades respectivas de A
e B. Uma esfera sólida maciça e homogêneo de 5 kg de massa permanece em equilíbrio sob ação de
uma mola de constante elástica 800 N/m com metade de seu volume imerso em cada um dos
líquidos respectivamente. Sendo que densidade de A é quatro vezes superior a da esfera e densidade
de B seis vezes superior a da esfera. Determina a deformação da mola. R: 0,245 m
15) Um recipiente contém dois líquidos, A e B, homogêneos e imiscíveis, cujas massas volúmicas
(densidades) são respectivamente, 𝜌𝐴 = 1,0 g/cm3 e 𝜌𝐵 = 1,24 g/cm3 . Um corpo sólido e maciço
feito de um material de massa volúmica 𝜌 = 1,08 g/cm3 está em equilíbrio na interface entre os
dois líquidos. Determine a razão do volume imerso no líquido B e imerso no líquido A, VA/VB . R: 2
16) Num sistema de vasos comunicantes estão dois líquidos 1 e 2. A superfície de separação do líquido
menos denso encontra-se à 17 cm da superfície de separação ente os dois líquidos. Qual é o desnível
entre as supefícies livres dos dois líquidos se a massa volúmica do líquido 1 é quatro vezes menor
que a massa volúmica do líquido 2? R: 12,75 cm
Elaborado
60
ELECTROSTÁTICA
Electrostática: estuda os fenómenos eléctricos resultantes das cargas eléctricas em repouso.

Carga eléctrica: é uma grandeza física que caracteriza o estado de electrizado de um determinado corpo.
Os electrões possuem carga eléctrica negativa. No núcleo há protões e neutrões.
• Os neutrões não têm carga eléctrica
• Os protões têm carga eléctrica positiva
Tipos de carga
Existem as cargas eléctricas positivas e negativas. As cargas do mesmo sinal repelem-se e cargas de sinais
contrários se atraem.
Interacção dos corpos electrizados

A força de interacção electrostática entre duas partículas carregadas é proporcional ao produto das
cargas e ao inverso da distância ao quadrado e tem direcção da linha que une as cargas.
q1 q2
⃗ 2.1
F ⃗ 1.2
F
+ −
⃗ 1.2 = F
F ⃗ 2.1 = F
⃗
q1 q2
⃗ 1.2
F ⃗ 2.1
F
+ −
𝑑 ⃗F1.2 = ⃗F2.1 = ⃗F
Este enunciado foi chamado de Lei de Coulomb em homenagem ao seu descobridor.

Matematicamente ela é expressa através da equação:
|𝐪𝟏 | ∙ |𝐪𝟐 |
𝐅=𝐤∙
𝐝𝟐
Onde: 𝐅 é a força entre as cargas 𝐪𝟏 e 𝐪𝟐 , 𝐝 a distância entre elas e 𝐤 é uma constante que precisa
ser determinada a depender do sistema de unidade.
Foi definido que no S.I (sistema internacional) a unidade de carga eléctrica é igual a um Coulomb
(1C). A constante 𝐤 pode ser expressa pelo o valor aproximado, 𝐤 = 𝟗 × 𝟏𝟎𝟗 𝐍 ∙ 𝐦𝟐 /𝐂 𝟐 .
m2
k = 9 × 109 N ∙ → constante eléctrica no vácuo
C2
1
k = 4𝜋𝜀 → constante elécrica fora do vácuo, onde: 𝜀0 = 8,85 × 10−12 F/m
0
𝜀0 → permitividade eléctrica
Elaborado
61
“Antes de conversar sobre um assunto sério com alguém, coma! Senão, podes confundir fome com
raiva do problema” (Manuel Caetano).
1) Duas cargas eléctricas puntiformes de q1 = 5 ∙ 10−5 C e q 2 = 0,3 ∙ 10−6 C, no vácuo, estão
separadas entre si por uma distância de 5 cm. Calcule a intensidade da força de repulsão entre elas.
2) Duas cargas eléctricas puntiformes 𝑞1 e 𝑞2 , são fixadas nos pontos A e B, distantes entre si 0,4 m, no
vácuo. Sendo q1 = 2 ∙ 10−6 C , q 2 = 8 ∙ 10−6 C e k = 9 × 109 N ∙ m2 /C2 . Determine a intensidade
da força eléctrica.
3) Duas cargas puntiformes, q1 = +2,5 × 10−9 C e q 2 = −3,5 × 10−6 C, estão separadas de uma
distância de 40 × 10−3 m . Determine o módulo, sentido e direcção da força eléctrica sobre cada
carga.
Campo eléctrico
Qualquer região do espaço onde uma carga eléctrica em repouso que expermenta uma força é chamada
campo eléctrico.
Se um corpo transportar (q) e for actuada do campo eléctrico como sendo:
𝐅
⃗ =
𝐄 ⃗ - intensidade do campo eléctrico, a sua unidade é N/C;
Onde: 𝐄
𝐪
1º Caso
q1 ∙ q 2 É usual o emprego dos submúltiplos:
+ q F=k∙ d2 • microcoulomb: 1 μC = 10−6 C
q q ∙q
k∙ 1 2 2
d
E= • nanocoulomb: 1 nC = 10−9 C
q
Se q1 = q 2 = q • 11 picocoulomb: 1 pC = 10−12 C
q∙q
k∙
E= d2 ⟹ E = k ∙ q
q d2
kq 𝐤∙𝐪
φ= ∶ diferença de potencial 𝛗=
d 𝐝
W =F∙d⟹ W= E∙q∙d
φ
E=
d
φ 𝐖=𝛗∙𝐪
W= ∙q∙d⟹W=φ∙q Trabalho da força eléctria
d
Elaborado
62
2º Caso
⃗FR = ⃗F1.3 − ⃗F2.3
𝑞1 ⃗F2.3 𝑞3 ⃗F1.3 𝑞2 q1 ∙ q 3 q ∙q
+
⃗F1.3 = k ∙ ; ⃗F2.3 = k ∙ 2 3
+
(d1.3 )2 (d2.3 )2
q1 ∙ q 3 q2 ∙ q3
⃗FR = k ∙ − k ∙
(d1.3 )2 (d2.3 )2
𝑑1.3 𝑑2.3 𝐪𝟏 𝐪𝟐
𝐅𝐑 = 𝐤 ∙ 𝐪𝟑 [ 𝟐
− ]
(𝐝𝟏.𝟑 ) (𝐝𝟐.𝟑 )𝟐
3º Caso
𝑞1 ⃗F2.3 𝑞3 ⃗F1.3 𝑞2
+ + +
𝑥 𝑎
𝑑1.2
⃗FR = ⃗F1.3 − ⃗F2.3 ; ⃗FR = 0
⃗F1.3 = ⃗F2.3
𝑑1.2 = 𝑥 + 𝑎 ⟹ 𝑎 = 𝑑1.2 − 𝑥
q1 ∙ q 3 q2 ∙ q3 q1 q 2
⃗F1.3 = ⃗F2.3 ⟹ k ∙ = k ∙ ⟹ =
𝑥2 𝑎2 𝑥 2 𝑎2
q1 q2 𝐪𝟏 𝐪𝟐
2
= =
𝑥 (𝑑1.2 − 𝑥)2 𝒙𝟐 (𝒅𝟏.𝟐 − 𝒙)𝟐
𝑦 = 𝑑 − 𝑥 ; ER = E2 − E1 ; ER = 0
4º Caso
0 = E2 − E1 ⟹ E2 = E1
P 𝑞1 𝑞2
k ∙ q1 k ∙ q2 k ∙ q2
+ − E1 = 2
; E2 = 2 ⟹ E2 =
𝑥 𝑦 (𝑑 − 𝑥)2
−𝑥 0 𝑑 E2 = E1
𝑦 k ∙ q1 k ∙ q2 q1 q2
2
= 2
⟹ 2=
𝑥 (𝑑 − 𝑥) 𝑥 (𝑑 − 𝑥)2
𝐪𝟏 𝐪𝟐
𝟐
=
𝒙 (𝒅 − 𝒙)𝟐
Elaborado
63
𝑎 =𝑑−𝑥
5º Caso
|𝑞1 | |𝑞2 |
𝑞1 𝑞2 𝜑1 = ; 𝜑2 = ; 𝜑 = 0; 𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 ⟹ 𝜑1 = 𝜑2
𝑥 𝑑−𝑥
0 𝑑 𝑥 |𝑞1 | |𝑞2 | |𝒒𝟏 | |𝒒𝟐 |
= =
𝑎 𝑥 𝑑−𝑥 𝒙 𝒅−𝒙
6º Caso
α = 60° + 60° ⟹ α = 120°

E1 E 2 = E1 2 + E2 2 + 2E1 ∙ E2 ∙ cos α
E = √E1 2 + E2 2 + 2E1 ∙ E2 ∙ cos α
k ∙ q1 k ∙ q2
E1 = 2
; E2 = 2
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
E1 k ∙ q1 2 k ∙ q2 2 k ∙ q1 k ∙ q2
√
E = ( 2 ) + ( 2 ) + 2 ( 2 ) ∙ ( 2 ) ∙ cos α
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑞1 𝑎 𝑞2 𝐤𝐪𝟏 𝟐 𝐤𝐪𝟐 𝟐 𝐤𝐪𝟏 𝐤𝐪𝟐

𝐄 = √( 𝟐 ) + ( 𝟐 ) + 𝟐 ( 𝟐 ) ∙ ( 𝟐 ) ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝛂
𝒂 𝒂 𝒂 𝒂
7º Caso
𝑞2 + P 𝑞1
−
𝑥 𝑎
𝑦
k|q1 | k|q 2 |
E1 = ; E 2 = ; E = E1 + E2
𝑥2 𝑎2
k|q1 | k|q 2 | |q1 | |q 2 | |𝐪𝟏 | |𝐪𝟐 |
E= + ⟹ E = k ( + 2) 𝐄 = 𝐤( 𝟐 + 𝟐 )
𝑥2 𝑎2 𝑥2 𝑎 𝒙 𝒂
Elaborado
64
8º Caso
𝑥 2 = 𝑎2 + 𝑎2 ⟹ 𝑥 2 = 2𝑎2
E3 A 𝑎 𝑞3 kq kq kq
E1 = 2
; E 3 = 2 ; E2 = 2
E1 𝑎 𝑎 𝑥
𝑥
𝑎 𝑎 E13 = √E1 2 + E3 2
2 2 2
𝑞1 𝑎 𝑞2 E = √(kq) + (kq) ⟹ E = √2 (kq) ⟹ E = kq √2
13 13 13
𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎2
kq kq kq kq
ER = E13 + E2 ⟹ ER = √2 + ⟹ E R = √2 +
𝑎2 𝑥2 𝑎2 2𝑎2
kq 1 𝐤𝐪 𝟏
ER = (√2 + ) 𝐄𝐑 = (√𝟐 + )
𝑎2 2 𝒂𝟐 𝟐
9º Caso
T𝑥 = T ∙ senα
𝑦 {T = T ∙ cos 𝛼
𝑦
T𝑦 𝛼 T T𝑥 − Fe = 0 ⟹ T𝑥 = Fe
ℓ m∙g
T ∙ senα = E ∙ q ; T𝑦 = 𝑃 ⟹ T ∙ cos 𝛼 = m ∙ g ⟹ T =
cos 𝛼
m∙g
∙ senα = E ∙ q ⟹ m ∙ g ∙ tgα = E ∙ q
cos 𝛼
F𝑦 E m ∙ g ∙ tgα m ∙ g ∙ tgα
q= ; E=
E q
T𝑥 𝑥
𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐭𝐠𝛂 𝐦 ∙ 𝐠 ∙ 𝐭𝐠𝛂
P 𝐪= 𝐄=
𝐄 𝐪
Elaborado
65
“Fumar mata” esse é o aviso mais sincero e ignorado no mundo. “Bateria fraca” esse ninguém
ignora!
1) Distância entre duas cargas pontuais de 10 nc e 16 nc é igual a 7 mm. Que força actuará na terceira
carga de 2 nc situado a distância de 3 mm da carga menor e a 4 mm da carga maior? R: 2 Nm
2) Num ponto de um campo electrostático sobre uma carga pontual de 2 nc actua a força de 400 nN.
Acha a intensidade do campo neste ponto. R: 200 N/C
3) A distância entre duas cargas pontuais de 90 nc e 10 nc é igual a 4 cm em que ponto em relação a

primeira carga é necessário colocar um carga pontual para que ela passa se encontrar em estado
de equilíbrio. R: 3 cm
4) Duas cargas pontuais 𝑞1 = 50 nc e 𝑞2 = −30 nc distantes de 10 cm estão no eixo do 𝑥 sendo a

carga q1 na origem do referencial. Determine a coordenada do ponto 𝑥 em que a intensidade do
campo eléctrico resultante é nula. R: 44 cm
5) Duas cargas pontuais 𝑞1 = 45 nc e 𝑞1 = −90 nc estão colocadas no vácuo, em dois vértices de um

triângulo equilátero de 20 cm de lado. Detemine a força que actua sobre a carga 𝑞3 = 25 nc no
centro do triângulo. A constante eléctrica (constante dieléctrica do vácuo) 𝜀0 = 8,85 ∙ 10−12 F/m.
R: 0,4 mN
6) Duas cargas pontuais 𝑞1 = 60 nc e 𝑞2 = −30 nc distantes de 20 cm estão no eixo do 𝑥 sendo a

carga 𝑞1 no origem do referencial. Determine a coordenada do ponto 𝑥 em que a intensidade do
campo eléctrico resultante é nula. R: 68 cm
7) Duas cargas pontuais 𝑞1 = 88 nc e 𝑞2 = −22 nc distantes de 𝑑 = 12 cm estão no eixo do 𝑥𝑥 sendo

a carga 𝑞1 no origem do referencial. Determine a coordenada do ponto 𝑥 em que o potencial do
campo eléctrico resultante 𝜑 = 0. R: 9,6 cm
8) Duas cargas pontuais 𝑞1 = −88 nc e 𝑞2 = 22 nc distantes de 𝑑 = 12 cm estão no eixo do 𝑥𝑥 sendo

a carga 𝑞1 no origem do referencial. Determine a coordenada do ponto 𝑥 em que o potencial do
campo eléctrico resultante 𝜑 = 0. R: 12 cm
9) Duas cargas pontuais 𝑞1 = 59 nc e 𝑞2 = −85 nc estão colocadas no vácuo, nos vértices de um

triângulo equilátero de 20 cm de lado. Determine a intensidade do campo eléctrico no terceiro
vértice. A constante eléctrica (constante dieléctrica do vácuo) é: 𝜀0 = 8,85 ∙ 10−12 F/m. R: 17,0
KV/m
10) Duas cargas de −10 nc e 40 nc são separadas de 6,0 cm. Determine a intensidade do campo num
ponto de 2,0 cm em relação à primeira carga na linha que a une. A constante eléctrica é 𝜀0 = 8,85 ∙
10−12 F/m. R: 450 KV/m
Elaborado
66
11) Três cargas pontuais de valor absoluta de 15 nc estão nos três vértice de um quadrado de lado 𝑎 =
15 cm. Determine a norma de vector intensidade do campo eléctrico no vértice 𝑎. A constante
eléctrica (constante dieléctrico no vácuo permitividade do vazio). 𝜀0 = 8,85 ∙ 10−12 F/m. R: 11
KV/m
12) Três cargas pontuais de valor absoluta de 10 nc estão nos três vértice de um quadrado de lado 𝑎 =
10 cm. Determine a norma de vector intensidade do campo eléctrico no vértice 𝑎. A constante
eléctrica (constante dieléctrico no vácuo permitividade do vazio). 𝜀0 = 8,85 ∙ 10−12 F/m. R: 17,2
KV/m
13) Um esfera de massa de 20 g e de carga 5,0 μn encontra-se em equilíbrio suspenso por um fio
isolante, de massa desprezável, que forma um ângulo 𝛼 = 30° com a vertical, sob a acção de um
campo eléctrico uniforme. Determine o valor de intensidade do campo eléctrico. R: 23 KV/m
14) Um esfera de massa de 20 g e de carga 5,0 μn encontra-se em equilíbrio suspenso por um fio
isolante, de massa desprezável. Que forma um ângulo 𝛼 = 30° com a vertical, sob a acção de um
campo eléctrico uniforme de intensidade de 25 KV/m. Determine o valor de intensidade do campo
eléctrico. R: 4,5 𝛍𝐜
15) Num ponto de suspensão são suspenso dois fios de comprimento 0,106 m com as esferas de massa
0,4 g as suas extremidade. Se carregar as esferas os fios formaram um ângulo de 90°, determine.
a) A força de interação entre as cargas. R: 4 mN
b) O valor da carga das esferas. R: 2,95 C
Elaborado
67
OSCILAÇÕES MECÂNICAS
Os movimentos que se repetem nas possibilidades de determinadas possições média, denomina-se
oscilações.
As oscilações são denominadas mecânicas, quando são determinadas pelas variações das grandezas
mecânicas. Exemplo: deslocamento, pressão e etc.
Oscilações periódicas: são aqueles que se repetem intervalos de tempos iguais. Intervalo de tempo
necessário para que os corpos realizam uma oscilação completa.
Conhecendo o periódo pode-se determinar a frequência das oscilações, isto é, o número das
oscilações por unidade de tempo.
𝟏
𝒇=
𝐓
Características do movimento oscilatório de um corpo (posição, velocidade e aceleração)
Péndulo gravítico
Movimento oscilatório
Amplitude (A): é a distância entre uma posição extremo do oscilador e a posição do equilíbrio.
𝑥
T
T
0 t
Movimento Hormónico Simples (M.H.S)

As variações periódica de uma grandeza Física em função oscilatório, segundo a lei dos senos e
cossenos recebem o nome de Movimento Hormónico Simples.
A equação do Movimento Hormónico Simples é dada por: 𝒙 = 𝐀 ∙ 𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗𝟎 )
Elaborado
68
Onde:
𝑥: elengação ; A: amplitude; t: tempo; ω: velocidade angular; φ0 : fase inicial
Equação da velocidade do Movimento Hormónico Simples é dada por: 𝐯⃗ = 𝛚 ∙ 𝐀 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗𝟎 )
𝐯⃗𝐦á𝐱 = 𝛚 ⋅ 𝐀 ou 𝐯⃗𝐦á𝐱 = −𝛚 ⋅ 𝐀
Equação da velocidade do Movimento Hormónico Simples é dada por: ⃗ = −𝛚𝟐 ∙ 𝐀 ∙ 𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗𝟎 )

𝒂
Fórmula para calcular aceleração na presença da elongação: ⃗ = −𝛚𝟐 ∙ 𝒙

𝒂
Fórmula para calcular aceleração máxima no M.H.S: ⃗ 𝐦á𝐱 = 𝛚𝟐 ∙ 𝐀

𝒂
Pêndulo Elástico
De acordo com a lei de Hooke o valor da força elástica é em cada instante direitamente proporcional a
elongação.
⃗FR
⃗FR = −k𝑥
𝑥
𝑥 = A ∙ sen(ωt + φ0 )
𝑎 = −ω2 ∙ A ∙ sen(ωt + φ0 )
⃗
Aplicando a 2º lei de Newton: 𝐅𝐑 = 𝐦 ∙ 𝒂
m ∙ 𝑎 = −k𝑥
−m[ω2 ∙ A ∙ sen(ωt + φ0 )] = −k[A ∙ sen(ωt + φ0 )]
−m ∙ ω2 = −k ⟺ 𝐤 = 𝐦 ∙ 𝛚𝟐 (Iº)
𝐤
𝛚=√
𝐦
2π 2π
ω= ; T= (IIº)
T ω
Substituindo (Iª) em (IIª), vem:
Elaborado
69
2π 𝐤
T= ⟹ 𝐓 = 𝟐𝛑√
𝐦
√k
m
1 𝟏 𝐤
𝑓= ⟹ 𝒇= √
T 𝟐𝛑 𝐦
Pêndulo Simples ou Gravítico

É qualquer corpo suspenso por um fio em que as forças que sobre ele actuam acção de peso e
a tensão do fio.
𝑥
v2
FC = m ∙ ∶ Força centrípeta
θ Fc ℓ R
dv
a T A Ft = M ∙ ∶ Força tangencial
dt
C Analisando as forças do ponto A até B teremos:
h
Fgx B FC = T − Fgy ⟹ m ∙ aC = T − Fg ∙ cosθ
Ft
v2
T=m∙ + m ∙ g ∙ cosθ
Fg Fgy ℓ
ℓ =h+a⟹h=ℓ−a Tensão do fio
a
cosθ = ⟹ a = ℓcosθ
ℓ 𝒗𝟐
𝐓 = 𝐦 ( + 𝐠𝐜𝐨𝐬𝛉)
h = ℓ − ℓcosθ ⟹ h = ℓ(1 − cosθ) 𝓵
mv 2
EmA = EmB ⟹ mgh = ⟹ v 2 = 2gh ⟹ v 2 = 2gℓ(1 − cosθ)
2
mv 2 m2gℓ(1 − cosθ)
T= + mg ⟹ T = + mg ⟹ T = 2mg(1 − cosθ) + mg
ℓ ℓ
Tensão no fio quando o pêndulo passa o ponto inferior da sua trajectória: 𝐓 = 𝟐𝐦𝐠(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝛉) + 𝐦𝐠
(𝐓 − 𝐦𝐠)𝓵
Fórmula para calcular altura máxima: 𝐡𝐦á𝐱 =
𝟐𝐦𝐠
Elaborado
70
Analisando as forças do ponto A até C teremos:

EmA = EmC ⟹ ECA + EPA = ECC + 2EPC ⟹ ECA = ECC + 2EPC
mv 2 A mv 2 C mv 2 A mv 2 C + 4mgh
= + 2mgh ⟹ = ⟹ mv 2 A = m(v 2 C + 4gh)
2 2 2 2
v 2 A = v 2 C + 4gh ⟹ v 2 A = gh + 4gh ⟹ v 2 A = 5gh
ℓ=h
v2 m5gh
T = m∙ +m∙g⟹ T = + mg ⟹ T = 5mg + mg ⟹ T = 6mg
h h
Quando a tensão no fio passa o ponto mais baixo da sua trajectória, tendo no ponto mais alto a
velocidade mínima ou velocidade crítica. 𝐓 = 𝟔𝐦𝐠
𝑥 2π g
senθ = ; T= ; k=ℓ ; k = ω2 ⟹ ω = √k
ℓ √k
P = m ∙ ⃗g ∙ senθ ; ⃗FR = |P|
m ∙ 𝑎 = m ∙ ⃗g ∙ senθ ⟹ ⃗ =𝐠
𝒂 ⃗ ∙ 𝐬𝐞𝐧𝛉
𝑥
𝑎 = ⃗g ∙ ℓ 𝓵
𝐓 = 𝟐𝛑√
𝐠
Fórmula para calcular o periódo do pêndulo simples ou gravítico:
Fórmula para calcular a frequência do pêndulo simples ou gravítico:
𝟏 𝐠
𝒇= √
Pêndulo Balístico 𝟐𝛑 𝓵
Antes depois
B ⃗
v
⃗b
v h
𝑝=0 A
𝑝0 = mb ∙ v
⃗b Lei da energia mecânica
𝑝 = (mb + mp )v
⃗ EmA = EmB
𝑝0 = 𝑝 ECA + EPA = ECB + EPB
mb ∙ v
⃗ b = (mb + mp )v
⃗ ECA = EPB
(mb + mp )v
⃗ 1
⃗b =
v (Iª) m∙ = m ∙ g ∙ h ⟹ v 2 = 2gh ⟹ v = √2gh (IIª)
mb 2
Elaborado
71
Substituindo (IIª) em (Iª), vem:
(𝐦𝐛 + 𝐦𝐩 )√𝟐𝐠𝐡
𝐯⃗𝐛 =
𝐦𝐛
Durante uma oscilação mecânico livre há transformação de energia cinética em energia potencial e vice-
versa, pelo que em cada instante.
Em = EC + EP
1
EC = 2 m ∙ v 2 (Iª)
Equação da velocidade no M.H.S

𝐯 = 𝛚 ∙ 𝐀 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗𝟎 ) (IIª)
sen2 θ + cos2 θ = 1 ⟹ cos2 θ = 1 − sen2 θ ⟹ cos 2 (ωt + φ0 ) = 1 − sen2 (ωt + φ0 ) (IIIª)
Substituindo (IIª) em (Iª), vem:
1 1
EC = 2 m ∙ v 2 ⟹ EC = 2 m ∙ A2 ∙ ω2 ∙ cos2 (ωt + φ0 ) (IVª)
Substituindo (IIIª) em (IVª), vem:

1 1 1
EC = 2 m ∙ A2 ∙ ω2 [1 − sen2 (ωt + φ0 )] ⟹ EC = 2 m ∙ A2 ∙ ω2 − 2 m ∙ ω2 ∙ A2 ∙ sen2 (ωt + φ0 )
𝒙: 𝒆𝒍𝒐𝒏𝒈𝒂çã𝒐
1 1 1
EC = 2 m ∙ A2 ∙ ω2 − 2 m ∙ ω2 ∙ 𝑥 2 ⟹ EC = 2 m ∙ A2 ∙ ω2 (A2 − 𝑥 2 )
Fórmula para calcular energia cinética no M.H.S: 𝟏

𝐄𝐂 = 𝐦 ∙ 𝐀𝟐 ∙ 𝛚𝟐 (𝐀𝟐 − 𝒙𝟐 )
𝟐
Para estabelecer a expressão da energia mecânica ou energia total em cada instante, considera-se a
posição de equilíbrio, em que a energia cinética é máxima, pois a velocidade é máxima e a elongação 𝑥 =
0, e em que e a energia potencial por convicção é nula, assim sendo:
Em = EC + EP ⟹ Em = EC + 0 ⟹ Em = EC
𝟏
𝐄𝐦 = 𝐦 ∙ 𝐀𝟐 ∙ 𝛚𝟐
𝟐
Uma vez que em cada instante:

Em = EC + EP ⟹ EP = Em − EC
1 1
EP = 2 m ∙ A2 ∙ ω2 − 2 m ∙ ω2 (A2 − 𝑥 2 )
1 1 1 1 𝟏
EP = 2 m ∙ A2 ∙ ω2 − 2 m ∙ A2 ∙ ω2 + 2 m ∙ ω2 ∙ 𝑥 2 ⟹ EP = 2 m ∙ ω2 ∙ 𝑥 2 𝐄𝐏 = 𝐦 ∙ 𝛚𝟐 ∙ 𝒙𝟐
𝟐
Elaborado
72
Sendo: 𝑥 = A ∙ sen(ωt + φ0 ), substituindo, termos:
𝟏
𝐄𝐏 = 𝐦 ∙ 𝛚𝟐 ∙ 𝐀𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 (𝛚𝐭 + 𝛗𝟎 )
𝟐
“A sorte que um cão tem de dormir fora todos os dias, o cabrito não pode imitar”.
1) A energia de um oscilador hormónico da lei do movimento 𝑥 = 0,36sen(31,4t) é igual a 21J.
Qual é a sua massa? R: 0,3kg
2) A lei do movimento de um oscilador hormónico de massa de 200g é: 𝑥 = 0,62sen(31,4t) m.

Determine a sua força? R: 122N
3) A lei do movimento de um oscilador hormónico é: 𝑥 = 0,41sen(31,4t) m. A força máxima que

actua sobre ele é igual a 105N. Qual é a massa do oscilador? R: 260g
4) A lei do movimento de um oscilador hormónico de massa de 150g é: 𝑥 = 0,29sen(47,1t) m.

Qual a sua energia total? R: 14J
5) Se aumentar um oscilador hormónico em 100g a frequência das oscilações diminui-se-à 1,41

vezes. Qual foi a massa inicial? R: 100g
6) Considere um oscilador hormónico (sistema massa-mola). Se aumentar a sua massa de 21g o

periódo das oscilações aumentar-se 1,10 vezes. Qual a massa inicial do oscilador? R: 100g
7) Considere um oscilador hormónico (sistema massa-mola) de 200g. Se aumentar a sua massa

o periódo das oscilações aumentar-se 1,10 vezes. Determine o aumento de massa? R: 42g
8) Um oscilador harmónico realiza as oscilações com a frequência de 60Hz. Se diminuir a sua

massa de 166g a frequência torna-se80Hz. Qual é a massa inicial do oscilador? R: 380g
9) Uma ligada com uma mola oscila-se com a frequência de 0,60Hz. Se ligar ao sistema mais uma
massa de 700g a frequência faz-se de 0,45Hz. Qual a massa inicial do sistema oscilante? R: 900g
10) Uma partícula, ligada a uma mola, de constante lastisidade 40 N/m um plano horizontal de
atritos disprezáveis o MHS, de periódo 0,4s sabendo que a energia total é de 2J. Determine:
a) Amplitude do movimento da partícula. R: 0,3m
b) A massa da partícula. R: 1,6𝛑𝟐 kg
Elaborado
73
11) Um corpo de massa que se encontra sobre uma superfície horizontal de atrito disprezável.
Oscila com MHS, de periódo 0,1s. A energia total da partícula é de 8J e a constante elástica da mola
a que a partícula se encontra ligada é de 30 N/m. Determine:
a) A amplitude. R: 0,7 m
b) A massa. R: 7,6 kg
12) Determine a frequência do movimento de um pêndulo constituido por um corpo de massa

100g por uma mola de constante de elastisidade 222 N/m. R: 7,4 Hz.
13) Determine o comprimento do pêndulo de um relógio, num local onde a aceleração de

1
gravidade é de 10 m/s2, bate s. R: 25 cm
2
π
14) Considere a seguinte equação do movimento de uma partícula 𝑥 = 4sen (πt + 3 ) no SI.
a) Determine a frequência angular e o periódo do movimento da partícula. R: 0,5 Hz e 2s
𝛑
b) Escreve as equações da velocidade e aceleração. R: 𝐯 = 𝟒𝛑𝐜𝐨𝐬 (𝛑𝐭 + 𝟑) e 𝒂 =
𝛑
−𝟒𝛑𝟐 𝐬𝐞𝐧 (𝛑𝐭 + )
𝟑
c) Calcule o módulo da velocidade máxima e da aceleração máxima. R: 𝟒𝛑 m/s e −𝟒𝛑𝟐 m/s2
15) Considere um pêndulo de massa 25 kg e comprimento de 2,5 m. O fio suporta a tensão

máxima de 550N. A que altura máxima pode ser largada o pêndulo para que o fio não rebenta nas
oscilações livres. R: 1,5 m
16) Um pêndulo de massa 100g é desviada em relação a vertical num ângulo de 30°. Qual será a
tensão no fio quando o pêndulo passar o ponto inferior da sua trajectória. R: 1,3 N
17) Uma partícula de massa 65g ligada a um fio de comprimento de 60 cm gira num plano vertical.
Determine a tensão no fio quando a partícula passa o ponto mais baixo a sua trajectória tendo no
ponto mais alto a velocidade mínima (velocidade crítica). R: 3,9 N
18) Uma partícula ligada a um fio de comprimento 55 cm gira num plano vertical. Quando a
partícula passa o ponto mais baixo da sua trajectória, tendo no ponto mais alto a velocidade crítica,
a tensão no fio é igual a 5,3 N. Qual é a massa da partícula? R: 90 g
19) Um corpo é suspenso em um fio inextensível e a massa desprezável e realiza as oscilações de

amplitude angular de 45°. A tensão máxima do fio é igual a 4,76 N. Qual é a massa do corpo? R:
300 g
20) Uma bala de massa de 9,0 g e de velocidade de 300 m/s atinge o pêndulo balístico (dispositivo
utilizado para medir a velocidade de projécteis) de massa 1,62 kg, onde fica incrustada. A que altura
sobe o sistema? R: 13,7 m
Elaborado
74
21) Um pêndulo balístico (designado para medir as velocidades de valores elevados de corpos em
vôo) consiste de uma carga de 5,0 kg de massa suspensa a um fio. Uma bala com a massa de 9,6 g
entra na carga e para. Sob a acção da bala o pêndulo sobe à altura de 12,5cm em relação ao seu
estado inicial. Qual é a velocidade da bala? Despreze todas as forças de atrito. R: 8250 m/s
22) Uma bala de massa 9g atinge o pêndulo balístico (dispositivo utilizado para medir a velocidade
de projécteis) de massa 1,55kg, onde fica incrustada. O sistema entra em movimento atingindo a
altura de 15 cm. Determine a velocidade da bala. R: 297 m/s
ONDULATÓRIA
O homem desde sempre teve a necessidade de comunicar-se. A transmissão de informação,
comunicação pode se fazer a curtas ou a longas distâncias.
A propagação de uma pertubação no espaço designa-se onda.
Onda: é o movimento causado por uma pertubação que se propaga através de um meio.
Nota: Uma onda transmite energia sem transporte de de matéria.
As ondas quanto à sua natureza classificam-se em:
Ondas mecânicas: são aquelas que precisam de um meio material para se propagar, não se
propagam no vácuo. Exemplos: ondas em cordas, ondas sonoras e ondas na água.
Ondas electromagnéticas: são geradas por cargas eléctricas oscilántes e não necessitam de um
meio material para se propagar, podendo se propagar no vácuo. Exemplos: ondas de rádio, de
televisão, de luz, raio X, e etc.
As ondas quanto à direcção de propagação classificam-se em:
Ondas unidimensionais: são ondas que ocorrem numa única direcção. Exemplo: ondas em cordas.
Ondas bidimensionais: são ondas que ocorrem um plano. Exemplo: acontece na superfície livre da
água.
Ondas tridimensionais: são ondas que se propagam em todas as direcções. Exemplo: ondas sonoras
no ar atmosférico ou em metais.
As ondas quanto à direcção de vibração classificam-se em:
Ondas longitudinais: são aquelas cujas vibrações coincidem com a direcção de propagação.
Exemplo: ondas em mola, ondas sonoras.
Elaborado
75
Ondas transversais: é quando as oscilações tem o lugar no sentido perpendicular ao sentido de

propagação. Exemplo: ondas em corda.
Elementos de uma onda

As ondas periódicas resultam da propagação de pulsos (pertubações) iguais emitidos em intervalos
de tempos iguais. Ao intervalo de tempo a emissão de dois pulsos consecutivos dá-se o nome de
periódo.
As ondas são descritas pelas seguintes grandezas físicas que são:
Amplitude da onda (𝐴): valor máximo da elongação das partículas.
Comprimento de onda (⋌): é a distância mínima que separa duas partículas que no mesmo instante
possue a mesma vibração.
Frequência (𝑓): número de oscilações das partículas por unidade de tempo.
Periocidade no tempo Periocidade no espaço
𝑦 𝑦
⋌
T A
A
𝑡 𝑥
Velocidade de propagação da onda é igual ao produto do seu comprimento de onda pela frequência
de oscilação.
Comprimento da onda: ⋌= 𝐯⃗ ∙ 𝐓
Lei de propagação: 𝐯⃗ =⋌∙ 𝒇
Elaborado
76
Equação da onda
Para descrever uma equação da onda é necessário que em cada ponto do meio e em cada instante, a
grandeza da propriedade que está a propagar no meio com a determinada velocidade.
Qualquer partícula que faz parte dum mvimento ondulatório encontra-se no M.H.S.
Para reduzir a expressão que permite calcular em qualquer instante a elongação de uma partícula
𝑸, que se encontra a distância 𝒙 o centro de pertubação considera-se:
𝒚𝑷 = 𝐀 ⋅ 𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗𝟎 )
Como a velocidade de propagação é constante, então: 𝒙 = 𝐯⃗ ∙ 𝐭´
A elongação de 𝐐, no instante 𝐭, será igual a elongação e tería a partícula 𝐏 se o seu movimento
tivesse começado em 𝐭 − 𝐭´.
𝑦𝑄 = A ∙ sen(ωt + φ0 )
2π 2π
𝑦𝑄 = A ∙ sen[ω(t − t´) + φ0 ] ⟹ 𝑦𝑄 = A ∙ sen ( T ∙ t − ∙ t´ + φ0 )
T
2πt 2π 𝑥 2πt 2π 𝑥
𝑦𝑄 = A ∙ sen ( − ∙ v⃗ + φ0 ) ⟹ 𝑦𝑄 = A ∙ sen [ − ⋌ ∙ + φ0 ]
⃗
T T T (⃗ ) v
v
2πt 2π𝑥
𝑦𝑄 = A ∙ sen ( − + φ0 )
T ⋌
𝐭 𝒙
Equação da onda: 𝒚 = [𝟐𝛑 ( − ) + 𝛗𝟎 ]
𝐓 ⋌
Refração de um pulso numa corda

Se, apropagando-se numa corda de menor densidade, um pulso passa para outra de maior
densidade, dizemos que ele sofreu uma refração.
𝐯𝐀 𝐯𝐁
𝑓A = 𝑓B ⟹ =
⋌𝐀 ⋌𝐁
Elaborado
77
“É fazendo que se aprende a fazer aquilo que se deve aprender a fazer”.(Aristóteles)
1) Uma onda electromagnética que propagasse no vazio com uma velocidade de 3 × 108 m/s.
Se sabemos que a sua frequência é de 1010 Hz; podemos assegurar que a sua longitude de onda é
de. R: 0,03 m
2) Uma onda electromagnética se propaga no vazio a uma velocidade de 3 × 108 m/s. Se

sabemos que a sua longitude de onde é de 3 cm. Determine:
a) A sua frequência; R: 1010 Hz
b) O seu periódo. R: 𝟏𝟎−𝟏𝟎 s
3) Um rádio receptor opera em duas modalidades: uma, AM, cobre o intervalo de 550 a 1 550
kHz, e outra, FM, de 88 a 108 MHz. A velocidade das ondas eletromagnéticas vale 3×108 m/s.
Quais,aproximadamente, o menor e o maior comprimentos de onda que podem ser captados por
esse rádio? R: 2,8 m e 545 m
4) Você está parado, em um cruzamento, esperando que o sinal vermelho fique verde. A
distância que vai de seu olho até o sinal é de 10 metros. Essa distância corresponde a vinte milhões
de vezes o comprimento de onda da luz emitida pelo sinal. Usando essa informação, você pode
concluir, correctamente, que a freqüência da luz vermelha é, em hertz. R: 𝟔 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 Hz
5) Um menino na beira de um lago observou uma rolha que flutuava na superfície da água,
completando uma oscilação vertical a cada 2 s devido à ocorrencia de ondas. Esse menino estimou
como sendo 3 m a distância entre duas cristas consecutivas. Com essas observações, o menino
concluiu que a velocidade de propagação dessas ondas era de. R: 1,5 m/s
𝑥 t
6) A equação de uma onda é: 𝑦 = 10 ∙ cos [2π (2 − 4)], com x e y dados em metros e t, dado em
segundos. A velocidade de propagação dessa onda em m/s é. R: 0,5 m/s
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALONSO, M., Finn, E. J. Física. Vol2. 1ed. São Paulo: Addison-Wesley, 1999.
SERWAY, R. A., JEWETT Jr, J. W. Princípios de Física. 3 ed. São Paulo: Thomson, 2005. HALLIDAY,
David., RESNICK, Robert., WALKER, Jearl. Fundamentals of Physics – Extended. Vol3. 4 ed. New York:
John Wiley & Sons, 1993, 1306p.
Bosquilha, Alessandra. Minimanual compacto de física : teoria e prática / Alessandra Bosquilha, Márcio
Pelegrini. — 2. ed. rev. — São Paulo : Rideel, 2003.
Bonjorno e Clinton; Física fundamental, volume único.
Física 8ª Classe. Teoria e Prática. Plural Editores.

Testes de admissão: UAN, ISTM, FAN, ISUTIC
Elaborado
78
Professor
Elaborado
Elaborado Celestino
pelo Professor:
pelo Professor: Findoff
Celestino
79

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CENTRO PREPARATÓRIO MENTE FRESCA FÍSICA

Capítulo 1 - CINEMÁTICA ............................................................................................................................ 04

Capítulo 2 - DINÂMICA ................................................................................................................................ 26

Capítulo 3 - TRABALHO E ENERGIA ............................................................................................................ 35

Capítulo 4 - QUANTIDADE DE MOVIMENTO ............................................................................................. 46

Capítulo 5 – HIDROSTÁTICA ....................................................................................................................... 51

Sistema Internacional de Unidades (SI)

1 km 1 hm 1 dam Metro (m) 1 dm 1 cm 1 mm

1 km2 1 hm2 1 dam2 m2 1 dm2 1 cm2 1 mm2

1 km3 1 hm3 1 dam3 m3 1 dm3 1 cm3 1 mm3

1t 1q 1 dakg 1 kg 1 hg 1 dag Grama(g) 1 dg 1 cg 1 mg

1 dia 1 hora 1 minuto Segundo 1 hora

Medidas de capacidades para líquido Regra de três simples

1 kℓ = 103 ℓ = 103 dm3 Converter as seguintes unidades: 5,2 km em metros.

1 hℓ = 102 ℓ = 102 dm3 Resolução

• Se o movimento é uniforme, temos:

• Este movimento classificam em:

S (m) S (m) S (m)

0 t (s) 0 t (s) 0 t (s)

• Para converter de m/s em km/h, multiplica-se o valor por 3,6.

Movimento Rectinlíneo Uniformente Variado (M.R.U.V): é aquele em que ocorrem variações de

Equação do Movimento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V): 𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝒂 ∙ 𝐭

• Movimento acelerado: é aquele no qual o módulo da velocidade aumenta no decorrer do

• Movimento retardado: é aquele no qual o módulo da velocidade dimimui no decorrer do

Equação do espaço no M.U.V.:

v 2 = v0 2 ± 2𝑎(S − S0 ) ⟹ 𝐯 𝟐 = 𝐯𝟎 𝟐 ± 𝟐𝒂∆𝐬 𝑥n = hn − hn−1

Isolando outras grandezas vem: 1 1 1

v 2 = v0 2 ± 2𝑎(S − S0 ) ⟹ 𝐯 = √𝐯𝟎 𝟐 ± 𝟐𝒂(𝐒 − 𝐒𝟎 )

3) Os gráficos mostram a posição em função de tempo de dois ciclístas, A e B em movimento sobre

120 80 de movimento se trata.

Exercícios de aplicação sobre M.R.U

7) O gráfico representa as posições de um corpo em função do tempo numa certa trajectória.

Analise este gráfico.

13) O gráfico a seguir representa a posição de um móvel em função de tempo.

a) Em que intervalos de tempo o móvel está em repouso?

Exercícios de aplicação sobre M.R.U.V

6) A função da velocidade de um móvel em movimento rectilíneo é dada pela equação v = 50 + 4t.

7) Um móvel realiza um MUV obedecendo a equação S = 10 − 9t + 2t 2 (SI). Determine o espaço e a

10) O gráfico abaixo representa a variação da velocidade do móvel em função do tempo.

a) Calcule a aceleração nos intervalos de 10 s a 30 s e 30 s a 40 s;

13) A expressão analítica da lei de um movimennto uniforme no SI é: S = 6 + 2t + 0,5t 2 .

Movimento Curvilíneo: é o movimento em que o corpo descreve um círculo.

Movimento Circular Uniforme (M.C.U): é quando a trajectória é circular e o módulo do vector

Frequência (𝒇): é o número de voltas dado pelo corpo na unidade de tempo.

Exemplo: converter 10 rpm em rps

Velocidade linear (v): é igual ao comprimento do arco descrito na unidade de tempo.

Relação entre velocidade linear (𝐯) com velocidade angular (𝛚)

Sabendo que, v = 2πR𝑓 e ω = 2π ∙ 𝑓

Função horária do Movimento Circular Uniforme (M.C.U): 𝛉 = 𝛉𝟎 + 𝛚 ∙ 𝐭

A sua unidade no SI é m/s2

Função horária do Movimento Circular Uniforme (M.C.U.V): 𝛚 = 𝛚𝟎 + 𝛂 ∙ 𝐭

Relação entre aceleração tangencial e aceleração angular

Relação entre grandezas angulares e lineares

Movimento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A)

Movimento Circular Uniformemente Retardado (M.C.U.R)

Transmissão de movimento de circular por contacto ou por correia

Sabendo que v = ω ∙ R, então:

Aceleração resultante (𝒂𝐫 ): 𝑎r = √𝑎t 2 + 𝑎c 2

4) Transforma cada uma das frequências em rotações por segundo.

Lei das posições ou lei do movimento (vector posição)