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ESCOLA DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Porto Alegre
outubro 2015
BRUNA MANICA LAZZARI
Porto Alegre
outubro 2015
BRUNA MANICA LAZZARI
Esta Dissertação de Mestrado foi julgada adequada como pré-requisito para a obtenção do
título de MESTRE EM ENGENHARIA, na área de ESTRUTURAS e aprovada em sua forma
final pelo Professor Orientador e pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
BANCA EXAMINADORA
Agradeço em primeiro lugar a Deus, por sempre ter me dado muita força e determinação,
mesmo nos momentos de extrema dificuldade vividos nesta caminhada, iluminando o meu
caminho e me ajudando a vencer os desafios em busca da realização dos meus sonhos.
Agradeço ao grande mestre Professor Américo Campos Filho pela amizade, motivação e
incentivo, pela paciência e disponibilidade para orientação, pela vasta experiência transmitida
e pela enorme contribuição técnica que foram fundamentais para a elaboração desta dissertação.
Agradeço a toda minha querida família, em especial aos meus pais, Arduino (in memoriam) e
Teresinha, e a minha irmã, Paula, pelo bom exemplo transmitido sempre, pelo constante apoio
e incentivo nas minhas decisões, e pela compreensão, carinho e amor incondicional dedicados
ao longo de toda a minha vida. A minha irmã Paula, também colega de profissão e de pós-
graduação, agradeço em especial pela ajuda na utilização do software ANSYS, pela troca de
ideias e por todo o acompanhamento e suporte técnico, que muito contribuíram para a realização
deste trabalho.
Agradeço a todas as pessoas especiais na minha vida: ao Pedro pelo carinho, compreensão e
incentivo; às minhas amigas do coração Débora, Verônica e Renata, que sempre estiveram ao
meu lado, mesmo nos momentos complicados, me proporcionando carinho e atenção bem como
momentos únicos de alegria e descontração. Agradeço de forma geral a todos os meus amigos
que me deram muita força, para seguir nesta caminhada.
This work presents the development of a computational model, based on the finite element
method, through the ANSYS platform, version 14.5, for the study of reinforced and prestressed
concrete structures, under plane stress states. This work is justified by the importance of
reinforced concrete material in the structural engineering, which is subject of ongoing studies
due to the very complex behavior when subjected to requests. The difference between the
tension and compression strength, the nonlinearity of the stress-strain relation, the cracking,
and phenomena related to time as creep and shrinkage of concrete, beyond the plasticity of steel
and concrete are the causes of this nonlinearity. The ultimate goal of this work is to implement
two different procedures in the computational model, based on an elasto-viscoplastic model. At
the first, the response of the structure is given for an instantaneous loading, considering the
material with an elastoplastic behavior. At the second, the response of the structure is given
over time, considering, in this case, that the material has a viscoelastic behavior. A distributed
cracking model makes the representation of the cracked concrete and the reinforcement is
introduced through an embedded formulation. Initially, the constitutive relations of each
constituent material were studied, in order to best represent them in the numerical model. For
the representation of the constitutive equations of concrete and steel, it was implemented a new
model of material with the help of the customization tool UPF (User Programmable Features)
of ANSYS, where new subroutines were added to the main program in FORTRAN language.
The implementation of this new model enabled the use of two-dimensional quadratic elements
of 8 nodes (PLANE183) with embedded reinforcement (REINF263), making the solution of
the problem faster and more effective. In order to validate the subroutines added to the system,
numerical results have been compared to experimental values available on technical literature,
which have shown satisfactory results.
LISTA DE TABELAS
LISTA DE SÍMBOLOS
Δ – incremento
𝛴 – somatório
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 33
1.1 BREVE HISTÓRICO DO CONCRETO PROTENDIDO.......................................... 35
1.2 SISTEMAS DE PROTENSÃO....……....................................................................... 38
1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA...…….......................................................................... 44
1.3.1 Objetivo principal.................................................................................................. 44
1.3.2 Objetivos secundários............................................................................................ 45
1.4 DELINEAMENTO DA PESQUISA.......................................................................... 45
2 MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS................................................ 47
2.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 47
2.2 MODELO CONSTITUTIVO PARA O CONCRETO............................................... 48
2.2.1 Modelo para concreto comprimido...................................................................... 49
2.2.1.1 Critério de ruptura................................................................................................. 49
2.2.1.2 Critério de plastificação........................................................................................ 53
2.2.1.3 Regra de endurecimento........................................................................................ 53
2.2.1.4 Vetor de fluxo plástico.......................................................................................... 56
2.2.2 Modelo para concreto tracionado......................................................................... 57
2.2.2.1 Critério de fissuração............................................................................................ 57
2.2.2.2 Colaboração do concreto entre fissuras................................................................. 58
2.2.2.3 Modelo para transferência das tensões de corte.................................................... 59
2.3 MODELO CONSTITUTIVO PARA A ARMADURA.............................................. 60
3 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS DEPENDENTES DO TEMPO.................. 63
3.1 FLUÊNCIA E RETRAÇÃO DO CONCRETO.......................................................... 63
3.1.1 Modelo das camadas superpostas......................................................................... 67
3.1.1.1 Descrição do modelo............................................................................................. 67
3.1.1.2 Formulação matemática do modelo de Maxwell.................................................. 68
3.1.2 Inclusão da fluência no modelo............................................................................. 69
3.1.2.1 Lei do tipo integral para fluência.......................................................................... 69
3.1.2.2 Lei do tipo integral para relaxação........................................................................ 70
3.1.2.3 Relação entre as funções de fluência e relaxação.................................................. 71
3.1.3 Determinação dos parâmetros 𝑬𝝁 (𝒕) e 𝜼𝝁 (𝒕)....................................................... 72
3.1.4 Determinação dos parâmetros da função de fluência......................................... 74
3.1.4.1 Equação básica...................................................................................................... 74
3.1.4.2 Coeficiente de fluência.......................................................................................... 76
3.1.4.3 Efeito do tipo de cimento e variação da temperatura............................................ 77
3.1.5 Inclusão da retração no modelo............................................................................ 79
3.2 RELAXAÇÃO DAS ARMADURAS PROTENDIDAS............................................ 81
4 MODELAGEM COMPUTACIONAL....................................................................... 85
4.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E O SISTEMA ANSYS.......................... 85
4.2 ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS.................................................................... 86
4.2.1 PLANE183.............................................................................................................. 86
4.2.2 REINF263............................................................................................................... 88
4.2.3 LINK180.................................................................................................................. 92
4.3 MODELAGEM DO CONCRETO.............................................................................. 93
4.4 MODELAGEM DO AÇO........................................................................................... 101
4.5 ASPECTOS DA ANÁLISE NÃO-LINEAR.............................................................. 104
4.6 FLUXOGRAMA DO ALGORITMO COMPUTACIONAL..................................... 105
5 ANÁLISE DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO............................................... 109
5.1 VIGAS DE LEONHARDT E WALTHER (1962)..................................................... 109
5.1.1 Características estruturais.................................................................................... 109
5.1.2 Análise dos resultados obtidos na simulação numérica...................................... 111
5.2 VIGAS DE BRESLER E SCORDELIS (1963).......................................................... 121
5.2.1 Características estruturais.................................................................................... 121
5.2.2 Análise dos resultados obtidos na simulação numérica...................................... 125
6 ANÁLISE DE VIGAS EM CONCRETO PROTENDIDO, SUBMETIDAS À 137
PRÉ-TRAÇÃO OU PÓS-TRAÇÃO SEM ADERÊNCIA......................................
6.1 TIPOS DE PROTENSÃO UTILIZADOS.................................................................. 137
6.2 CARACTERÍSTICAS ESTRUTURAIS.................................................................... 138
6.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS NA SIMULAÇÃO NUMÉRICA........ 141
6.3.1 Evolução das flechas ao longo do carregamento................................................. 142
6.3.2 Representação gráfica dos resultados obtidos pelo modelo computacional..... 144
6.3.2.1 Deformada da estrutura antes e depois do carregamento...................................... 144
6.3.2.2 Evolução da componente de tensão σx dos elementos de concreto ao longo do 149
carregamento................................................................................................................
6.3.2.3 Evolução das tensões na armadura passiva e estribos ao longo do carregamento 156
6.3.2.4 Evolução das tensões na armadura protendida...................................................... 163
7 CONCLUSÕES............................................................................................................ 167
7.1 CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................................... 167
7.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS...................................................... 168
REFERÊNCIAS …….……………………..………........................................................ 169
APÊNDICE A …...….……………………..………........................................................ 173
APÊNDICE B …...….……………………..………........................................................ 187
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1 INTRODUÇÃO
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Para a representação do comportamento dos materiais aço e concreto, foi utilizado o modelo de
camadas superpostas. Os materiais foram então divididos em 5 camadas, de maneira a obter um
comportamento composto, capaz de exibir características semelhantes à resposta real dos
mesmos.
O modelo numérico foi desenvolvido através do método dos elementos finitos, utilizando a
linguagem de programação FORTRAN, e a plataforma ANSYS, versão 14.5. Para a
representação do modelo constitutivo do concreto e da armadura, utilizou-se a ferramenta de
customização UPF (User Programmable Features) do ANSYS, onde foram adicionadas ao
programa principal as novas sub-rotinas. Quanto aos elementos finitos, a plataforma ANSYS
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
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Vale destacar que o software ANSYS é um programa muito bem aceito no meio acadêmico,
justamente pelo constante desenvolvimento tecnológico e investimentos em novas pesquisas
feito pela empresa, proporcionando um leque muito variado de opções para o seu usuário. Esta
dissertação segue, portanto, a linha dos recentes trabalhos desenvolvidos no PPGEC com o uso
desta plataforma. Entre estes trabalhos acadêmicos é possível destacar Kunzler (2013), que
utilizou o programa para a análise paramétrica de vigas de concreto armado e protendido pré-
tracionadas com abertura na alma; Fiore (2015), que realizou um modelo tridimensional para
modelagem de túneis; e Brinkhus (2015), que modelou vigas casteladas e vigas casteladas
mistas.
A ideia de protensão, que consiste na criação de um estado prévio de tensões visando a melhorar
a resistência e o comportamento de determinado material, sob diversas condições de
carregamento, vem sendo utilizada há muitos séculos. Como exemplo clássico de emprego
deste conceito, pode-se citar a confecção de barris de madeira. Conforme ilustrado na figura 2,
os aros metálicos, com um determinado diâmetro, são forçados, através de um processo
mecânico, a ocuparem uma seção transversal do barril de diâmetro superior ao seu. Os aros
ficam, portanto, submetidos a esforços de tração e tendem a voltar à sua posição original,
gerando, consequentemente, esforços radiais de compressão que forçam os gomos de madeira
a manterem-se unidos. Através da instalação prévia de um estado de tensões consegue-se
solidarizar as partes do barril, que passa também a suportar a pressão hidrostática do líquido
em seu interior (HANAI, 2005).
O concreto protendido, por sua vez, vem sendo estudado e desenvolvido desde o início do
século passado, sendo o seu emprego em obras correntes consolidado a partir dos anos quarenta.
A sua utilização trouxe grandes vantagens entre elas a redução das deformações e da incidência
de fissuras na estrutura, facilitando a sua aplicação em peças pré-fabricadas; a redução das
quantidades necessárias de concreto e aço, devido ao estado prévio de tensões introduzido na
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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estrutura que aumenta sua capacidade resistente; e a possibilidade de vencer vãos maiores ou
reduzir a altura necessária da peça em comparação com o concreto armado convencional.
A partir de então, foram diversas as tentativas de se aplicar protensão no concreto, porém foi
somente em 1928 que surgiu o primeiro trabalho consistente sobre o assunto, realizado pelo
engenheiro francês Eugène Freyssinet. Segundo Freyssinet, para se projetar estruturas de
concreto protendido e assegurar um efeito duradouro da protensão, deve-se utilizar aço de alta
resistência, concreto de alta resistência e baixa deformabilidade, além de submeter o aço de
protensão a elevadas tensões iniciais. Este engenheiro, foi uma das figuras de maior destaque
no desenvolvimento da tecnologia do concreto protendido, inventando e patenteando métodos
construtivos, equipamentos, aços e concretos especiais (VERÍSSIMO; CÉSAR, 1998).
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
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A primeira obra oficialmente realizada com concreto protendido foi projetada por Freyssinet,
em 1941. Trata-se de uma ponte rodoviária de 55 metros de vão sobre o rio Marne em Lucancy,
norte da França (figura 3).
No Brasil, o concreto protendido foi utilizado pela primeira vez na construção da Ponte do
Galeão, em 1948, no Rio de Janeiro, ligando a Ilha do Governador até a Ilha do Fundão, com
380 metros de comprimento. Na ocasião, todos os materiais e equipamentos foram importados
da França. Em 1952 foi iniciada, no Brasil, a fabricação do aço de protensão pela Companhia
Siderúrgica Belgo-Mineira e, assim, a segunda obra de concreto protendido realizada no país,
a Ponte Presidente Dutra, que liga os estados de Pernambuco e Bahia, já foi executada com aço
brasileiro (figura 4).
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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As peças que apresentam protensão com aderência inicial são muito observadas na produção
de elementos pré-fabricados em pistas de protensão (figura 5). Neste sistema, é feito um
alongamento dos cabos de protensão em uma pista de comprimento usual entre 80 e 200 metros,
conforme a capacidade de produção da fábrica. O concreto então é lançado sobre os cabos já
tensionados, e após o seu endurecimento, as extremidades do aço de protensão são cortadas de
modo que surjam tensões de compressão na peça de concreto. Este tipo de protensão permite a
produção em larga escala de elementos estruturais lineares e de seção transversal pouco
variável, como é o caso de vigas, estacas, painéis de pisos e de fechamento lateral; além de
proporcionar um melhor controle de qualidade e de execução destas peças. Por este motivo, é
altamente empregado em fábricas de componentes para edifícios, estruturas especiais
(passarelas, pontes e viadutos) e fundações.
A protensão com aderência posterior, é aplicada em quase todo o campo da construção civil,
sobretudo em obras como pontes, barragens, grandes reservatórios de água, contenção de
taludes e coberturas de grandes vãos. Para a execução de peças através deste sistema, durante a
montagem das formas e armaduras, são instaladas também bainhas metálicas pelas quais são
introduzidos os cabos de protensão. Depois da concretagem e de o concreto atingir a resistência
suficiente, os cabos de aço de protensão passantes pela bainha são tracionados por meio de
macacos hidráulicos. É efetuada, então, a ancoragem dos mesmos, utilizando-se dispositivos
especiais. Para garantir a aderência entre os cabos, a bainha e todo o elemento estrutural de
concreto é efetuada a injeção de nata de cimento no interior das bainhas de modo a preenchê-
las completamente (figura 6).
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Assim como no caso de protensão com aderência inicial, caso um cabo for cortado ou romper,
a perda de força será localizada e o comprimento remanescente do cabo de protensão absorverá
as tensões resultantes do rompimento, garantindo assim a segurança da estrutura. O diferencial
deste sistema de protensão com aderência posterior, é a possibilidade de colocação das
cordoalhas dentro das bainhas antes ou depois da concretagem. Isso permite, por exemplo, que
elementos pré-fabricados sejam unidos por meio da protensão. Na figura 7 é possível observar
um exemplo de vigas submetidas à protensão com aderência posterior em fase de montagem no
canteiro de obras, com as bainhas metálicas corrugadas já inseridas na armadura passiva
(RUDLOFF INDUSTRIAL LTDA., 2015).
Na protensão sem aderência, os cabos são compostos basicamente por uma ancoragem em
cada extremidade e uma cordoalha envolta com graxa e capa de polietileno de alta densidade
(figura 8). A protensão não aderente pode ser executada a partir de equipamentos leves,
portáteis, de fácil manipulação e com operação rápida, possibilitando a grande competitividade
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deste tipo de protensão em relação às protensões com aderência. Além disso, os cabos
engraxados são leves e flexíveis, o que permite a colocação dos mesmos de forma simples e
precisa mesmo com a existência de curvas em sua disposição. A graxa que envolve a cordoalha
promove o seu livre deslocamento, ajuda na redução de perdas iniciais da força de protensão, e
ainda protege quimicamente a armadura. Este tipo de protensão é amplamente utilizado em
edificações residenciais, comerciais, em fundações e em pisos industriais, onde as cordoalhas
podem ser desviadas para a passagem de instalações, sendo permitidas grandes curvaturas dos
cabos também no plano horizontal (figura 9).
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número de fissuras de pequena abertura, sendo esta última situação preferível em termos de
corrosão das armaduras e aspectos estéticos (figura 12) (LEONHARDT, 1979).
Figura 12 – Configuração das fissuras nas vigas, ao ser atingida a carga limite, na
região situada entre as cargas
Ainda assim, além das vantagens econômicas em relação à protensão com aderência, a
utilização de cabos não aderentes prevê inúmeras outras facilidades citadas anteriormente. O
seu emprego está cada vez mais comum na engenharia estrutural, principalmente em situações
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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O trabalho foi realizado através das etapas representadas na figura 14, as quais estão descritas
no próximo parágrafo.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Em primeiro lugar, foi realizada uma extensa revisão bibliográfica que, como pode-se observar
no fluxograma, foi essencial em todas as etapas da pesquisa e prolongou-se durante todo o
período de desenvolvimento desta dissertação de mestrado. Em seguida, se deu início ao
desenvolvimento do modelo computacional, onde foram estudadas as ferramentas e
funcionalidades do software ANSYS, versão 14.5, e definidos os tipos de elementos atribuídos
a cada material. Como foram utilizados elementos envolvendo os materiais concreto e aço, foi
feito um estudo de quais modelos constitutivos seriam os mais adequados para melhor
representar os seus comportamentos. Após esta análise, implementou-se um modelo elasto-
viscoplástico com dois casos particulares: o viscoelástico, onde os efeitos ligados ao tempo,
como fluência e retração do concreto e relaxação do aço são analisados; e o elastoplástico, que
busca o estado de deformações após a aplicação de um determinado carregamento instantâneo.
A fim de validar as sub-rotinas implementadas através da interface com o programa principal,
foram testadas vigas de concreto armado, ensaiadas por Leonhardt e Walther (1962) e por
Bresler e Scordelis (1963); e vigas de protendido ensaiadas por Gongchen e Xuekang (1988).
Por último, através de uma análise final dos resultados obtidos, foram feitas as considerações
finais sobre o trabalho.
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2.1 INTRODUÇÃO
O concreto estrutural, que foi utilizado ao longo das simulações numéricas, é um material
constituído da mistura de um conjunto de agregados e uma pasta de cimento associados com
barras de armadura. Por serem formados por vários materiais, estas estruturas comportam-se de
maneira altamente complexa, apresentando uma resposta não-linear.
Desta forma, o conhecimento das equações constitutivas que traduzem o comportamento dos
materiais, como o concreto e o aço, é essencial para a análise de estruturas. Estes modelos são
compatíveis com a idealização da estrutura, modelam o comportamento dos materiais nas
condições de carregamento previsto e envolvem um número reduzido de variáveis, sem
prejudicar a eficiência computacional.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Para a situação em que se tem a ação de cargas instantâneas, interessando apenas o efeito
imediato, é utilizado, portanto, um modelo elastoplástico, até que seja atingida a superfície de
ruptura. A partir deste momento considera-se que o ponto de integração esteja fissurado ou
esmagado. Para o caso do concreto fissurado, leva-se em conta a contribuição do concreto entre
as fissuras para a rigidez total da estrutura.
𝑓(𝐼1 , 𝐽2 , 𝐽3 ) = 0 (1)
Onde:
I1 = primeiro invariante do tensor de tensões;
J2 = segundo invariante do tensor desviador de tensões;
J3 = terceiro invariante do tensor desviador de tensões.
1 2 2
𝐽2 = [(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 ) + (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧 ) + (𝜎𝑧𝑧 − 𝜎𝑥𝑥 )2 ] + 𝜏𝑥𝑦
2 2
+ 𝜏𝑦𝑧 2
+ 𝜏𝑥𝑧 (3)
6
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Onde sxx, syy e szz são as tensões desviadoras. Estas tensões são determinadas pelas expressões
(5), (6) e (7).
Para este trabalho, optou-se pelo uso do critério de ruptura proposto por Ottosen (1977),
expresso pela equação (8), o qual também é recomendado pelo Código Modelo fib 2010 (2012).
A função λ é definida pela expressão (9), onde cos3θ é dado pela expressão (10).
𝐽2 √𝐽2 𝐼1
𝛼 +𝜆 +𝛽 −1=0 (8)
2
𝑓𝑐𝑚 𝑓𝑐𝑚 𝑓𝑐𝑚
1
𝜆 = 𝑐1 . 𝑐𝑜𝑠 [ . 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑐2 . 𝑐𝑜𝑠3𝜃)] (9)
3
3√3 𝐽3
𝑐𝑜𝑠3𝜃 = . (10)
2 𝐽3/2
2
Onde:
fcm = resistência média de compressão do concreto;
α, β, c1 e c2 = parâmetros do material;
λ = função que depende do ângulo θ;
θ = ângulo de similaridade do concreto.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Os quatro parâmetros do material (𝛼, 𝛽, 𝑐1 e 𝑐2 ) são calculados a partir dos seguintes valores:
compressão uniaxial (𝑓𝑐𝑚 ), tração uniaxial (𝑓𝑐𝑡𝑚 ), compressão biaxial (𝑓𝑐2𝑐𝑚 ) e um estado de
ruptura no meridiano de compressão (𝜎1 = 𝜎2 > 𝜎3 ) descrito por 𝜏𝑐𝑜𝑚 . Os parâmetros 𝛼 e 𝛽
são determinados através das equações (11) e (12). As expressões (13) a (16) indicam os
coeficientes 𝑘, 𝑓2𝑐 , 𝑥, 𝑦, ℎ, 𝑓𝑐2𝑐 e 𝜏𝑐𝑜𝑚 para o cálculo de 𝛼 e 𝛽. As expressões (17) e (18)
apresentam, respectivamente, o valor da resistência média à compressão (𝑓𝑐𝑚 ), e o valor da
resistência média à tração do concreto (𝑓𝑐𝑡𝑚 ).
ℎ. 𝛽 − √2
𝛼= (11)
𝑦
3. 𝑦
√2 − 𝑘. 𝑓
2𝑐
𝛽= (12)
9. 𝑦
ℎ−
𝑓2𝑐 − 𝑘
√2. 𝑥 + 𝑦
ℎ=− (14)
𝑦 1
−
√2 3
𝑓𝑐
𝑓𝑐2𝑐 = (1,2 − ) . 𝑓𝑐 (𝑓𝑐 = 𝑓𝑐𝑚 para 𝑓𝑐2𝑐 = 𝑓𝑐2𝑐𝑚 ) (15)
1000
𝜆𝑐 1
𝑐1 = [2. 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1]. 𝜆𝑡 + 4. [1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃]. 𝜆𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎 ≤
𝜆𝑡 2
𝜆𝑐 𝜆𝑐 1 (19)
𝑐1 = 𝑝𝑎𝑟𝑎 >
𝜋 1 𝜆𝑡 2
{ 𝑐𝑜𝑠 [ − . 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑐2 )]
3 3
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𝜆𝑐 1
𝑐2 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 ≤
𝜆𝑡 2
𝜆𝑐 (20)
(2. − 1) 𝜆𝑐 1
𝜆𝑡
𝑐2 = 𝑐𝑜𝑠 {3. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 [ ]} 𝑝𝑎𝑟𝑎 >
√3 𝜆𝑡 2
{
ℎ √2
𝜆𝑐 = 𝜆(𝜃 = 60𝑜 ) = (1 − ) . √3. 𝛽 + √3 + (21)
3. 𝑦 √3. 𝑦
Admite-se, neste trabalho, que o concreto comprimido tenha endurecimento isotrópico e que as
superfícies de plastificação tenham a mesma forma da superfície de ruptura. Considerando a
tensão efetiva igual à resistência média de compressão do concreto (σef = fcm) e isolando este
valor na equação (8), obtém-se a expressão (23) para a superfície de plastificação.
2
𝜆√𝐽2 + 𝛽. 𝐼1 + √(𝜆√𝐽2 + 𝛽. 𝐼1 ) + 4. 𝛼. 𝐽2 (23)
𝐹= = 𝜎𝑒𝑓
2
Considerando a tensão de plastificação inicial nula, o domínio plástico, onde o material possui
comportamento elastoplástico com endurecimento, ocorre para os valores de σef contidos dentro
do intervalo 0 ≤ σef ≤ fcm. A figura 17 ilustra esta superfície.
𝜎𝑐 𝑘. 𝜂 − 𝜂 2
= −( ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝜀𝑐 | < |𝜀𝑐,𝑙𝑖𝑚 | (24)
𝑓𝑐𝑚 1 + (𝑘 − 2). 𝜂
𝜀𝑐
𝜂= (25)
𝜀𝑐1
𝐸𝑐𝑖
𝑘= (26)
𝐸𝑐1
Onde:
εc = deformação de compressão;
εc1 = deformação na máxima tensão de compressão;
εc,lim = deformação última de compressão;
Eci = módulo de elasticidade do concreto;
Ec1 = módulo secante correspondente à máxima tensão de compressão;
k = número plástico.
A fim de se obter uma relação 𝜎𝑐 = 𝜎𝑐 (𝐸𝑐𝑖 , 𝑘, 𝑓𝑐𝑚 , 𝜀𝑐1 , 𝜀𝑝 ), substitui-se a equação (27),
apresentada a seguir, na expressão (24). Isolando os termos obtém-se a expressão (28) e as
expressões dos coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐, indicados nas equações (29), (30) e (31) respectivamente.
𝜎𝑐
𝜀𝑐 = + 𝜀𝑝 (27)
𝐸𝑐𝑖
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4. 𝑎. 𝑐
𝑎. 𝜎𝑐2 + 𝑏. 𝜎𝑐 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝜎𝑐 = (28)
2. 𝑎
1 𝑘−2 1
𝑎= .( + ) (29)
𝜀𝑐1 . 𝐸𝑐𝑖 𝑓𝑐𝑚 𝜀𝑐1 . 𝐸𝑐𝑖
1 𝜀𝑝 . (𝑘 − 2) 1 2. 𝜀𝑝
𝑏= . (1 + )− . (𝑘 − ) (30)
𝑓𝑐𝑚 𝜀𝑐1 𝜀𝑐1 . 𝐸𝑐𝑖 𝜀𝑐1
𝜀𝑝 𝜀𝑝
𝑐=− . (𝑘 − ) (31)
𝜀𝑐1 𝜀𝑐1
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Não havendo muitas evidências experimentais disponíveis, considera-se, por motivos práticos,
a plasticidade associada no modelo implementado (OWEN; HINTON, 1980). Dentro do
domínio plástico, na relação tensão-deformação, o vetor de fluxo plástico é, portanto, normal à
superfície de plastificação. Assim, este vetor é obtido em termos da função de plastificação,
através da expressão (32), sendo 𝜎 igual à expressão (33).
𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐼1 𝜕𝐹 𝜕√𝐽2 𝜕𝐹 𝜕𝜃
𝑎= = + + = 𝐶1 𝑎1 + 𝐶2 𝑎2 + 𝐶3 𝑎3 (32)
𝜕𝜎 𝜕𝐼1 𝜕𝜎 𝜕√𝐽2 𝜕𝜎 𝜕𝜃 𝜕𝜎
𝜕𝐼1
𝑎1 = = {1,1,1,0,0,0} (34)
𝜕𝜎
𝜕√𝐽2
𝑎2 = {𝑠 , 𝑠 , 𝑠 , 2𝜏 , 2𝜏 , 2𝜏 } (35)
𝜕𝜎 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑥𝑦 𝑥𝑧 𝑦𝑧
2
𝐽2
(𝑠𝑦𝑦 𝑠𝑧𝑧 − 𝜏𝑦𝑧 + ) , 2(𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑥𝑦 − 𝑠𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑧 ),
3
𝜕𝐽3 2
𝐽2
𝑎3 = = (𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑧𝑧 − 𝜏𝑥𝑧 + ) , 2(𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 − 𝑠𝑦𝑦 𝜏𝑥𝑧 ), (36)
𝜕𝜎 3
2
𝐽2
{ (𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑦𝑦 − 𝜏𝑥𝑦 + 3 ) , 2(𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑥𝑧 − 𝑠𝑧𝑧 𝜏𝑥𝑦 ) }
Os coeficientes C1, C2 e C3 são determinados pelas equações (37), (38) e (39). Substituindo-se
a função F, determinada pela equação (23), nas expressões acima, encontram-se as
componentes do vetor de fluxo plástico.
𝜕𝐹
𝐶1 = (37)
𝜕𝐼1
𝜕𝐹 𝑡𝑔3𝜃 𝜕𝐹
𝐶2 = − (38)
𝜕√𝐽2 √𝐽2 𝜕𝜃
√3 1 𝜕𝐹
𝐶3 = − (39)
2𝑐𝑜𝑠3𝜃 (𝐽2 )3/2 𝜕𝜃
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57
No presente trabalho, o concreto tracionado é modelado como sendo um material elástico com
amolecimento, ou seja, antes de fissurar, comporta-se como um material elástico linear e, após
a fissuração, utiliza-se o modelo de fissuras distribuídas. O modelo de fissuração utilizado é
baseado na formulação apresentada por Hinton (1988) e modificada por Martineli (2003). Nos
próximos itens, são descritos os critérios utilizados no modelo de fissuras distribuídas.
Onde 𝜎1 é a tensão principal de tração, que pode ser determinada pela expressão (40).
2. √𝐽2 2. 𝜋 𝐼1
𝜎1 = . sin (𝜃 + )+ (40)
√3 3 3
permitida para cada ponto no interior do elemento de concreto. Desta forma, para
carregamentos posteriores, caso se verifique a ocorrência de uma segunda fissura (ortogonal à
primeira) em um ponto já fissurado, o concreto deixa de colaborar para a resistência da
estrutura, tendo suas tensões anuladas no ponto em questão.
A relação constitutiva adotada neste trabalho foi a mesma utilizada por Martineli (2003), a qual
é expressa pela equação (41). Nesta expressão, 𝛼 é um parâmetro que define a inclinação do
ramo linear descendente e 𝜀𝑐𝑇𝑈 é um parâmetro que indica a deformação limite para a qual a
colaboração do concreto entre fissuras não deve mais ser considerada. Adotaram-se os valores
de 0,6 e 0,001 para 𝛼 e 𝜀𝑐𝑇𝑈 , respectivamente.
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59
𝜀
𝜎 = 𝛼. 𝑓𝑐𝑚 . (1 − ) (41)
𝜀𝑐𝑇𝑈
𝜎𝑟𝑒𝑓
𝜎= 𝜀 (42)
𝜀𝑟𝑒𝑓
A trajetória desta “descarga” secante devido ao fechamento da fissura pode ser observada na
figura 19. A reabertura da fissura segue a mesma direção até 𝜀𝑟𝑒𝑓 ser excedida, após a qual
segue a trajetória descendente definida pela equação (42).
De maneira geral, as primeiras fissuras que surgem no concreto sob tração, são perpendiculares
à direção da mais alta tensão principal de tração do concreto 𝜎1 . Devido a mudanças no
carregamento, ou por não-linearidades na estrutura, as direções principais se modificam,
produzindo deslocamentos relativos entre as faces rugosas da fissura. Isto causa o surgimento
de tensões de corte no plano da fissura, cujo valor depende das condições locais desta fissura.
No concreto as tensões de corte podem ser transmitidas através das fissuras, sendo que o
aumento da abertura das mesmas implica na diminuição da capacidade de transferência de corte.
Existem dois mecanismos principais de transferência de esforços verticais, os quais estão
apresentados a seguir:
Os mecanismos mencionados acima não podem ser incluídos diretamente no modelo de fissuras
distribuídas. Por isso, utilizou-se uma aproximação adotada por Hinton (1988), que consiste em
utilizar um valor reduzido para o módulo de elasticidade transversal do concreto correspondente
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
60
ao plano fissurado, 𝐺0 , através de um fator 𝛽 que varia entre 0 e 1. O novo valor para o módulo
de elasticidade transversal, 𝐺𝐶 , é dado pela equação (43).
𝐺𝐶 = 𝛽. 𝐺0 (43)
𝜀𝑇 0,3
𝛽 = 1−( ) (44)
0,005
𝐸𝑐
𝐺0 = (45)
(1
2. + 𝜈)
Analisando as expressões acima, pode-se observar que, quanto maior a deformação específica
𝜀𝑇 , menor será 𝛽 e 𝐺𝐶 e, consequentemente, menor será a tensão de corte transferida através da
fissura. Caso a fissura feche, o módulo inicial 𝐺0 é novamente adotado.
Neste trabalho, utiliza-se um modelo uniaxial para representar o comportamento das armaduras.
Considera-se que as barras de aço resistam apenas a esforços axiais. O aço é representado como
um material elastoplástico perfeito, ou seja, apresenta o mesmo comportamento em tração e
compressão. A representação se dá por um diagrama tensão-deformação bilinear.
0,15. 𝑓𝑦
𝐻𝑠 =
𝑓𝑦 (46)
10‰ −
𝐸𝑠
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61
Para as armaduras ativas, o material tem um comportamento elástico linear até atingir 90% do
valor da tensão de ruptura fptk. Após atingido este valor, apresenta um comportamento com
endurecimento linear, conforme apresentado na figura 21.
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63
O concreto, ao ser solicitado por cargas de longa duração, apresenta inicialmente uma
deformação instantânea, seguida de uma deformação lenta, que se desenvolve ao longo do
tempo, conforme apresentado na figura 22. O efeito que descreve esta deformação lenta é
chamado de fluência (creep), cuja principal característica consiste no aumento das deformações
com o decorrer do tempo, mesmo sob tensões constantes.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
64
Após a concretagem e cura do elemento estrutural, na prática, ainda observa-se uma certa
quantidade de água localizada em vasos capilares no interior da peça de concreto. Esta
quantidade de água acumulada é referente à reação de hidratação do cimento, que ocorre devido
ao fator água/cimento utilizado na reação de hidratação ser menor que o mínimo necessário
para se trabalhar com o concreto. Após um determinado período, esta água começa a evaporar,
e, como os vasos capilares têm sua pressão interna reduzida, tende a ocorrer o esmagamento
dos mesmos. Este efeito provoca uma perda de volume, chamada de retração (shrinkage),
conforme ilustrado na figura 23 (MACHADO, 2002).
Segundo o Código Modelo fib 2010 (2012), a deformação total no tempo t, 𝜀𝑐 (𝑡), de uma peça
em concreto, uniaxialmente carregada a partir de um tempo t’, com uma tensão constante 𝜎𝑐 (𝑡′),
pode ser expressa segundo a equação (47).
𝜀𝑐 (𝑡) = 𝜀𝑐𝑖 (𝑡′) + 𝜀𝑐𝑐 (𝑡) + 𝜀𝑐𝑠 (𝑡) + 𝜀𝑐𝑇 (𝑡) (47)
Onde:
𝜀𝑐𝑖 (𝑡′) = deformação inicial devido ao carregamento;
𝜀𝑐𝑐 (𝑡) = deformação por fluência, para um tempo t > t’;
𝜀𝑐𝑠 (𝑡) = deformação por retração;
𝜀𝑐𝑇 (𝑡) = deformação térmica.
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65
As parcelas das deformações indicadas pela expressão (47) podem ser agrupadas em duas
deformações conforme expressa a equação (48). Os valores dos termos 𝜀𝑐𝜎 (𝑡) e 𝜀𝑐𝑛 (𝑡),
somados nesta equação, estão expressos respectivamente pelas relações (49) e (50).
Com base nas equações apresentadas até o momento, é possível observar que, entre as
deformações tensão-dependentes, são realizadas duas análises de forma independente. Na
primeira delas, atribui-se ao concreto um modelo elastoplástico para o cálculo da deformação
inicial devido ao carregamento 𝜀𝑐𝑖 (𝑡′), conforme apresentado no capítulo 2. Já na segunda
análise, para o cálculo da deformação por fluência 𝜀𝑐𝑐 (𝑡), considera-se um modelo
viscoelástico, o qual será melhor detalhado no decorrer deste capítulo.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
66
A figura 25 mostra a resposta do modelo de Maxwell quando submetido a uma tensão constante.
Já na figura 26, observa-se a resposta deste modelo a imposição de uma deformação constante.
Este modelo, entretanto é muito simples para representar o comportamento de um material tão
complexo quanto o concreto. No presente trabalho, para realizar esta aproximação, foi utilizado
o modelo das camadas superpostas, através de um conjunto de elementos tipo Maxwell,
conforme descrito a seguir.
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67
No modelo das camadas superpostas define-se que o sólido analisado é composto por várias
camadas, superpostas entre si, sendo que cada camada pode possuir tanto espessuras quanto
propriedades mecânicas diferentes, conforme apresenta a figura 27. As camadas sofrem juntas
a mesma deformação total, sendo que cada uma contribui com uma parcela, conforme sua
espessura ei. Para este trabalho, o modelo reológico adotado para simular o comportamento
viscoelástico do concreto, foi uma cadeia de 5 elementos de Maxwell, associados em paralelo,
de acordo com a figura 28.
Cada unidade μ da cadeia é composta, portanto, por molas elásticas, com módulo de elasticidade
𝐸𝜇 (𝑡), que depende da idade t do material; conectadas em série com amortecedores viscosos,
com coeficientes de viscosidade 𝜂𝜇 (𝑡). Este modelo não possui a componente plástica, ou seja,
todos os elementos de atrito possuem tensão de plastificação nula. A formulação utilizada é
baseada no trabalho de Bazant e Wu (1974).
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
68
Os tempos de relaxação de cada unidade μ, de acordo com o período de tempo que se deseja
descobrir, após a aplicação da carga, são obtidos por:
Considera-se, na unidade μ = 5, cuja mola não está acoplada a nenhum amortecedor, que
𝜏5 =1030 , ou seja, 𝜏5 → ∞ e 𝜂5 → ∞. Desta forma, a deformação torna-se assintoticamente
−(𝑡−𝑡′)
𝜎(𝑡, 𝑡 ′ ) = 𝜎𝜇 (𝑡 ′ )𝑒 𝜏𝜇 (55)
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69
A função de relaxação do modelo R(t,t’), que representa a tensão resultante para uma
deformação unitária, imposta em t igual a t’ e mantida constante para t maior que t’, pode ser
calculada por:
5 −(𝑡−𝑡′)
′)
𝑅(𝑡, 𝑡 = ∑ 𝐸𝜇 (𝑡 ′ )𝑒 𝜏𝜇
(56)
𝜇=1
No domínio das tensões de cargas de serviço, devido a tensões em dois instantes diferentes, as
deformações por fluência podem ser consideradas como aditivas, obedecendo ao princípio da
superposição de efeitos (CREUS, 1986). De acordo com o Código Modelo fib 2010 (2012), a
superposição linear de deformações é normalmente aceita, quando se trabalha com níveis de
tensão menores que 40% do valor da resistência média à compressão do concreto.
Para uma história prescrita de tensões, o somatório das respostas lineares de deformação, devido
aos pequenos incrementos de tensão uniaxiais aplicados antes do tempo t, induz a uma lei do
tipo integral para fluência:
𝑡
𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡) − 𝜀𝑛 (𝑡) = ∫ 𝐽(𝑡, 𝜏)𝑑𝜎(𝜏) (57)
0
Onde:
t = idade atual do concreto, em dias;
𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡) = deformação axial total (inclui as parcelas dependentes e independentes do tempo);
𝜀𝑛 (𝑡) = deformação axial inelástica (decorrente da fluência, retração, dilatação térmica, etc.);
𝐽(𝑡, 𝜏) = deformação no tempo t, causada por uma tensão unitária constante, agindo no
intervalo entre τ e t;
σ = tensão uniaxial.
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70
Assim como o módulo de elasticidade longitudinal dos materiais elásticos, a função fluência
relaciona a tensão aplicada com a deformação ocorrida. Esta, porém, não é somente um número,
mas sim uma função dependente do tempo e da idade do material, no instante da aplicação da
carga.
Seja 𝜎(𝑡) caracterizado por um valor inicial 𝜎(𝑡′) para τ = t’, isto é:
𝑡
𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡) − 𝜀𝑛 (𝑡) = 𝜎(𝑡 ′ )𝐽(𝑡, 𝑡 ′ ) + ∫ 𝐽(𝑡, 𝜏)𝑑𝜎(𝜏) (59)
𝑡′
Onde τ é o tempo no qual os incrementos de tensão 𝑑𝜎(𝜏) são aplicados. O valor de τ está
contido, portanto, no intervalo t’ ≤ τ ≤ t. Se 𝜎(𝑡′) varia em passos discretos 𝛥𝜎(𝑡𝑖 ), tem-se que:
𝑛
′ )𝐽(𝑡, ′ )
𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡) − 𝜀𝑛 (𝑡) = 𝜎(𝑡 𝑡 + ∑ 𝐽(𝑡, 𝑡𝑖 )𝛥𝜎(𝑡𝑖 ) (60)
𝑖=1
Para uma história prescrita de deformações, o somatório das respostas lineares de tensão, devido
aos pequenos incrementos de deformações uniaxiais aplicados antes do tempo t, induz a uma
lei do tipo integral para relaxação:
𝑡
𝜎(𝑡) = ∫ 𝑅(𝑡, 𝜏)𝑑[𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝜏) − 𝜀𝑛 (𝜏)] (61)
0
Nesta equação, R(t,τ) é a tensão no tempo t causada por uma deformação unitária constante
agindo no intervalo entre τ e t, também conhecida como função de relaxação. Seja a deformação
dependente da tensão, 𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡) − 𝜀𝑛 (𝑡), caracterizada por um valor inicial, 𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡′) − 𝜀𝑛 (𝑡′),
para τ = t, isto é:
Onde τ é o tempo no qual os incrementos de deformação 𝑑[𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝜏) − 𝜀𝑛 (𝜏)] são aplicados. O
valor de τ está contido, portanto, no intervalo t’ ≤ τ ≤ t. Se 𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡) − 𝜀𝑛 (𝑡) varia em passos
discretos 𝛥𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡𝑖 ) − 𝜀𝑛 (𝑡𝑖 ), tem-se:
𝑛
′)
𝜎(𝑡, 𝑡′) = [𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡′) − 𝜀𝑛 (𝑡′)]𝑅(𝑡, 𝑡 + ∑ 𝑅(𝑡, 𝜏)𝑑[𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡𝑖 ) − 𝜀𝑛 (𝑡𝑖 )] (64)
𝑖=1
A relação entre as funções de fluência e relaxação pode ser obtida considerando-se a história
de deformações na equação (59) como sendo uma função do tipo salto unitário, ou seja:
A resposta de tensão é definida por σ(t,t’) = R(t,t’). Substituindo a resposta de tensão na equação
(59), e considerando que R(t,t’) é igual ao módulo de elasticidade longitudinal Ec(t’) do concreto
no tempo t’:
𝑡
𝐸𝑐 (𝑡′)𝐽(𝑡, 𝑡 ′ ) + ∫ 𝐽(𝑡, 𝜏) 𝑑𝑅(𝜏) = 1 (66)
𝑡′
Através da equação (66) é possível determinar a função relaxação a partir da função fluência.
Esta relação é necessária para a obtenção dos módulos de elasticidade dos elementos do modelo
de Maxwell, vistos no item 3.1.1.2 deste capítulo. Estes valores são obtidos a partir de uma
função de relaxação 𝑅̃𝑖 (ti,t’), cujos valores discretos, nos tempos ti, são conhecidos. Para a
resolução da equação (66) é necessário uma regra de aproximação. Utiliza-se, neste trabalho, a
regra trapezoidal, por induzir uma precisão mais adequada para histórias usuais de deformação,
definida por:
𝐾
1
𝜀𝑡𝑜𝑡 (𝑡𝑘 ) − 𝜀𝑛 (𝑡𝑘 ) = ∑ [𝐽(𝑡𝑘 , 𝑡𝑖 ) + 𝐽(𝑡𝑘 , 𝑡𝑖−1 )]𝛥𝜎(𝑡𝑖 ) (67)
2
𝑖=1
Usando esta regra para aproximar a equação (66), sua solução fica:
∑𝑖−1 ̃
𝑗=1 𝛥𝑅𝑖 [𝐽(𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 ) + 𝐽(𝑡𝑖 , 𝑡𝑗−1 ) − 𝐽(𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑗 ) − 𝐽(𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑗−1 )]
Δ𝑅̃𝑖 = (68)
−[𝐽(𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 ) + 𝐽(𝑡𝑖 , 𝑡𝑗−1 )]
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72
Desta forma, conhecendo-se os valores de J(ti,t’) para quaisquer valores de t’ e t-t’, dentro da
faixa de tempo considerada, obtêm-se os respectivos valores de 𝑅̃ (ti,t’) nos N tempos discretos.
Entre os valores de t’ e t-t’, considera-se uma variação linear com log(t’) e log(t-t’).
Os valores de t-t’ de duração de carga, foram escolhidos por uma razão constante crescente, em
escala logarítmica, do tipo:
1
(𝑡𝑖 − 𝑡 ′ ) = 1010 (𝑡𝑖−1 − 𝑡 ′ ) (70)
Onde:
(𝑡1 − 𝑡 ′ ) = 3,52 dias;
(𝑡30 − 𝑡 ′ ) = 2224,12 dias.
Para uma idade t’, a equação da curva de relaxação pode ser determinada pelo método dos
mínimos quadrados, a partir dos pontos conhecidos 𝑅̃ (ti,t’). A aplicação deste método é feita
através da minimização da soma dos quadrados do desvio 𝜙, ou seja:
30
3 2
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73
2
30 5 −(𝑡−𝑡 ′)
𝜙 = ∑ [∑ 𝐸𝜇 (𝑡 ′ )𝑒 𝜏𝜇
− 𝑅̃(𝑡𝑖 , 𝑡′)] (74)
𝑖=1 𝜇=1
∂𝜙
= 0 , μ = 1,...,5 (75)
∂𝐸𝜇
A equação (75) forma um sistema de cinco equações com cinco incógnitas. Como a curva de
relaxação é positiva, a resolução deste sistema conduz a valores positivos de 𝐸𝜇 (𝑡 ′ ). A solução
j deste sistema é indicada na equação (76).
30 5 −(𝑡−𝑡 ′) 30 −(𝑡−𝑡 ′)
∑ [∑ 𝐸𝜇 (𝑡 ′ )𝑒 𝜏𝜇
− 𝑅̃ (𝑡𝑖 , 𝑡′)] ∑ 𝑒 𝜏𝑗
=0 (76)
𝑖=1 𝜇=1 𝑖=1
[A]{E}={B} (78)
Onde:
𝑡−𝑡′ 𝑡−𝑡′
−( + )
𝐴𝑗𝑘 = ∑30
𝑖=1 𝑒
𝜏𝜇 𝜏𝑗
, k = 1,...,5;
𝐸𝑗 = 𝐸𝑗 (𝑡 ′ );
(79)
30 −(𝑡−𝑡 ′)
𝐵𝑗 = ∑ 𝑅̃ (𝑡𝑖 , 𝑡′)𝑒 𝜏𝑗
𝑖=1
Inserindo o termo residual 𝛺, de ajuste da função, nas equações da expressão (75), os elementos
Ajk da matriz [A] devem ser corrigidos conforme a tabela 1:
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
74
𝐴1,1 𝐴1,1 + 𝜛1 + 𝜛2
𝐴1,2 𝐴1,2 − 𝜛1 + 2𝜛2
𝐴1,3 𝐴1,3 + 𝜛2
𝐴2,1 𝐴2,1 − 𝜛1 − 2𝜛2
𝐴2,2 𝐴2,2 + 2𝜛1 + 5𝜛2
𝐴2,3 𝐴2,3 − 𝜛1 − 4𝜛2
𝐴2,4 𝐴2,4 + 𝜛2
𝐴3,1 𝐴3,1 + 𝜛2
𝐴3,2 𝐴3,2 − 𝜛1 + 4𝜛2
𝐴3,3 𝐴3,3 + 2𝜛1 + 5𝜛2
𝐴3,4 𝐴3,4 − 𝜛1 − 2𝜛2
𝐴4,3 𝐴4,3 − 𝜛1 − 2𝜛2
𝐴4,4 𝐴4,4 + 𝜛1 + 𝜛2
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75
submetidos a uma tensão máxima menor que 0,4fcm e sob um carregamento aplicado no tempo
t’, conforme exposto na equação (81).
1 𝜙(𝑡,𝑡 ′ )
𝐽(𝑡, 𝑡′) = + (81)
𝐸𝑐 (𝑡 ′) 𝐸𝑐
Onde:
t = idade atual do concreto, em dias;
t’ = idade do concreto no início da aplicação da carga, em dias;
𝐽(𝑡, 𝑡′) = deformação no tempo t, causada por uma tensão unitária constante, agindo no
intervalo entre t e t’;
𝐸𝑐 (𝑡′) = módulo de elasticidade no tempo t’;
𝜙(𝑡, 𝑡 ′ ) = coeficiente de fluência;
𝐸𝑐 = módulo de elasticidade do concreto aos 28 dias de idade, que pode ser determinado a
partir da resistência característica à compressão do concreto aos 28 dias 𝑓𝑐𝑚 , e pelo tipo de
agregado presente no concreto, através da equação (82).
1
𝑓 3
𝐸𝑐 = 25800 ( 𝑐𝑚 ) , 𝑓𝑐𝑚 em MPa, para agregados do tipo basalto;
10
1
𝑓 3
𝐸𝑐 = 21500 ( 𝑐𝑚 ) , 𝑓𝑐𝑚 em MPa, para agregados do tipo quartzo;
10
(82)
1
𝑓 3
𝐸𝑐 = 19400 ( 𝑐𝑚 ) , 𝑓𝑐𝑚 em MPa, para agregados do tipo calcário;
10
1
𝑓 3
𝐸𝑐 = 15100 ( 𝑐𝑚 ) , 𝑓𝑐𝑚 em MPa, para agregados do tipo arenito
10
Com base no valor de 𝐸𝑐 é possível estimar o 𝐸𝑐 (𝑡 ′ ) para uma idade t’ qualquer, através da
equação (83).
1
𝐸𝑐 (𝑡 ′ ) = 𝛽𝑐𝑐 (𝑡 ′ ) 2 𝐸𝑐 (83)
1
28 2
𝛽𝑐𝑐 (𝑡 ′ ) = exp {s [1 − ( ) ]} (84)
𝑡′ 𝑇
Onde:
𝑡′ 𝑇 = é um ajuste do tempo, em função de efeitos providos de temperaturas diferentes de
20 ºC, com limite entre 0 ºC e 80 ºC;
s = parâmetro dependente do tipo de cimento utilizado no concreto, assumindo o valor de 0,20
para cimento de endurecimento rápido e alta resistência inicial; 0,25 para cimento de
endurecimento rápido e normal; e 0,38 para cimento de endurecimento lento. Para concretos
com 𝑓𝑐𝑚 > 60MPa, s=0,20.
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76
Para a obtenção de 𝜑(𝑡, 𝑡 ′ ), vários parâmetros devem ser levados em consideração e sua
obtenção é demonstrada pelas equações a seguir.
1,8
𝛽𝑏𝑐 (𝑓𝑐𝑚 ) = (87)
(𝑓𝑐𝑚 )0,7
2
30
𝛽𝑏𝑐 (𝑡, 𝑡′) = 𝑙𝑛 [( + 0,035) (𝑡 − 𝑡 ′ ) + 1] (88)
𝑡0,𝑎𝑑𝑗
Por sua vez, o coeficiente de fluência por secagem, que é uma variável dependente
principalmente da umidade do ar e da espessura fictícia da peça, é calculado através da equação
(89).
412
𝛽𝑑𝑐 (𝑓𝑐𝑚 ) = (90)
(𝑓𝑐𝑚 )1,4
𝑅𝐻
1−
𝛽(𝑅𝐻) = 100
(91)
√0,1 ℎ
3
100
1
𝛽𝑑𝑐 (𝑡′) = (92)
0,1 + 𝑡0,𝑎𝑑𝑗 0,2
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77
𝛾(𝑡 ′) (93)
(𝑡 − 𝑡′)
𝛽𝑑𝑐 (𝑡, 𝑡′) = ( )
𝛽ℎ + (𝑡 − 𝑡′)
Onde:
𝑓𝑐𝑚 = resistência à compressão média do concreto aos 28 dias, em MPa;
RH = umidade relativa do ar, em %;
2𝐴
ℎ = 𝑢 𝑐 = espessura fictícia da peça, em mm, onde 𝐴𝑐 é a área da seção transversal e u é o
perímetro em contato com a atmosfera;
𝛾(𝑡 ′ ) e 𝛽ℎ = variáveis calculadas de acordo com as equações (94) e (95), respectivamente.
1
𝛾(𝑡 ′ ) =
3,5 (94)
2,3 +
𝑡
√ 0,𝑎𝑑𝑗
𝛼
9
𝑡0,𝑎𝑑𝑗 = 𝑡 ′ 𝑇 ( + 1) ≥ 0,5𝑑𝑖𝑎𝑠 (97)
2 + (𝑡 ′ 𝑇 )1,2
Onde:
𝑡 ′ 𝑇 = ajuste do tempo, em função de efeitos providos de temperaturas diferentes de 20 ºC,
com limite entre 0 ºC e 80 ºC, determinado pela expressão (98);
𝛼 = parâmetro dependente do tipo de cimento utilizado na elaboração do concreto, sendo
admitidos os valores de 1 para cimento de endurecimento rápido e alta resistência inicial; 0
para cimento de endurecimento rápido e normal; e -1 para cimento de endurecimento lento.
𝑛
′
4000
𝑡 𝑇 = ∑ 𝛥𝑡𝑖 𝑒𝑥𝑝 [13,65 − ] (98)
273 + 𝑇(𝛥𝑡𝑖 )
𝑖=1
Onde:
𝛥𝑡𝑖 = número de dias em que a temperatura T prevaleceu;
T(𝛥𝑡𝑖 ) = temperatura média atuante por um período de 𝛥𝑡𝑖 dias.
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78
𝛽𝐻,𝑇 = 𝛽ℎ 𝛽𝑇 (99)
Onde:
𝛽𝐻,𝑇 = coeficiente dependente da temperatura que substitui o coeficiente 𝛽ℎ na equação (93);
𝛽𝑇 = coeficiente de correção expresso por:
1500
𝛽𝑇 = 𝑒𝑥𝑝 [ − 5,12] (100)
273 + 𝑇
Onde:
𝑇 = temperatura em ºC.
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79
Onde:
𝐸𝑐 (𝑇) = módulo de elasticidade a uma temperatura T;
𝐸𝑐 = módulo de elasticidade a uma temperatura de 20ºC;
𝑇 = temperatura em ºC.
Os valores de 𝛽𝑅𝐻 são definidos pela expressão (109), e dependem da umidade relativa do ar:
__________________________________________________________________________________________
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80
Os coeficientes 𝛽𝑠1 e 𝛽𝑠1,𝑇 da equação (111) são obtidos por (112) e (113), respectivamente.
35 0,1
𝛽𝑠1 = ( ) ≤ 1,0 (112)
𝑓𝑐𝑚
𝑇 − 20 3
𝛽𝑠1,𝑇 = ( ) (113)
25
Onde:
𝑓𝑐𝑚 = resistência à compressão aos 28 dias em MPa;
𝑇 = temperatura em ºC.
0,5
(𝑡 − 𝑡𝑠 )/𝑡1
𝛽𝑠 (𝑡 − 𝑡𝑠 ) = [ ] (114)
𝛼𝑠𝑡 + (𝑡 − 𝑡𝑠 )/𝑡1
Sendo:
Quando o efeito da temperatura é considerado, algumas correções necessitam ser feitas, como
a substituição da equação (115) pela função (116). Da mesma forma, o valor de 𝛽𝑅𝐻 da equação
(107) precisa ser alterado para 𝛽𝑅𝐻,𝑇 , obtido pela expressão (117). A temperatura padrão é de
20 ºC.
Onde:
𝛼𝑠𝑡 (𝑇) = coeficiente dependente da temperatura que substitui 𝛼𝑠𝑡 na equação (114);
𝛽𝑅𝐻,𝑇 = coeficiente dependente da temperatura que substitui 𝛽𝑅𝐻 na equação (107);
𝛽𝑠𝑡 = fator de correção expresso pela equação (118):
4 𝑇(𝛥𝑡𝑖 ) − 20
𝛽𝑠𝑡 = 1 + ( )[ ] (118)
103 − 𝑅𝐻 40
O fenômeno de relaxação do aço protendido provoca uma perda de tensão das barras ao longo
do tempo. A fim de representar este efeito na análise numérica, utilizou-se o modelo reológico
com 5 elementos tipo Maxwell, o mesmo modelo adotado para o efeito da fluência no concreto.
A determinação da função de relaxação R(t,t’) é obtida a partir dos termos 𝐸𝜇 (𝑡 ′ ) que pode ser
feita a partir de uma função de relaxação 𝑅̃𝑖 (𝑡𝑖 , 𝑡 ′ ), cujos valores discretos nos tempos ti são
conhecidos.
Ao contrário do que ocorre para o concreto, existem formulações específicas para a obtenção
do efeito da relaxação na armadura protendida. Desta forma, dispensa-se o uso das curvas de
fluência para a determinação dos pontos discretos 𝑅̃𝑖 (𝑡𝑖 , 𝑡 ′ ). Para isto, utilizou-se a formulação
apresentada pelo Código Modelo fib 2010 (2012) para a relaxação do aço.
3𝑡 𝑘
𝜌𝑡 = 𝜓1000 ( ) (119)
125
Onde:
𝜓1000 = relaxação das barras após 1000 horas a 20 ºC;
𝑡 = tempo em horas;
k = 0,12 para relaxação normal e 0,25 para relaxação baixa.
A determinação de 𝜓1000 é feita através dos coeficientes 𝜓60 , 𝜓70 , 𝜓80 , que são resultados de
medidas de tensão, após 1000 horas, a 20 ºC, de amostras de aço mantidas com comprimento
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constante e submetidas, inicialmente a tensões de tração de, respectivamente, 60%, 70% e 80%
da tensão de ruptura fptk. Sendo assim, determina-se 𝜓1000 pela seguinte equação:
2
𝜎𝑝0 𝜎𝑝0
𝜓1000 = 𝑎 ( ) +𝑏( )+𝑐 (120)
𝑓𝑝𝑡𝑘 𝑓𝑝𝑡𝑘
Onde:
Sendo os valores de 𝜓60 , 𝜓70 e 𝜓80 para cordoalhas dados pela NBR 6118/2014 e mostrados
na Tabela 2.
A função de relaxação dos pontos discretos 𝑅̃𝑖 (𝑡𝑖 , 𝑡 ′ ) é obtida a partir da seguinte expressão:
3(𝑡𝑖 − 𝑡) 𝑘
𝑅̃𝑖 (𝑡𝑖 , 𝑡 ′ ) = 𝐸𝑝 [1 − 𝜓1000 ( ) ] (124)
125
Onde:
Ep = módulo de elasticidade longitudinal.
Os valores de duração de carga (t-t’) foram escolhidos da mesma forma que para o efeito de
fluência, em escala logarítmica, conforme a equação (125).
1
(𝑡𝑖 − 𝑡 ′ ) = 1010 (𝑡𝑖−1 − 𝑡 ′ ), com i=2,...,40 (125)
Onde:
(t1-t’) = 3,52 dias;
(t40-t’) = 22241,2 dias;
t’ = 2,8 dias.
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Uma vez conhecidos os pontos discretos 𝑅̃𝑖 (𝑡𝑖 , 𝑡 ′ ), pode-se calcular os valores de 𝐸𝜇 através do
procedimento mostrado no item 3.1.3, adotando-se os valores dos fatores peso 𝜛1 e 𝜛2 como
0,08 e 0,25; respectivamente. Os módulos 𝐸𝜇 permanecem constantes ao longo do tempo, sendo
os valores obtidos pela resolução do sistema da expressão (78) utilizados para qualquer idade
de análise. Os coeficientes de viscosidade 𝜂𝜇 dos elementos da cadeia de Maxwell são
calculados pela equação (53) e os tempos de relaxação são considerados constantes e definidos
pela equação (54).
O incremento de tensão, em cada intervalo de tempo, para cada elemento da cadeia de Maxwell,
é dado por:
Onde:
𝛥𝜀𝑡𝑜𝑡 = incremento de deformação total da armadura;
𝛥𝜀𝑣𝜇 = incremento de deformação viscoelástica da unidade μ da armadura, obtido pela
expressão (127).
𝜎𝜇
𝛥𝜀𝑣𝜇 = 𝛥𝑡 (127)
𝜂𝜇
Onde:
𝜎𝜇 = somatório de todos os incrementos de tensão da unidade μ em todos os incrementos de
tempo;
Δt = valor do incremento de tempo considerado.
A tensão total que atua na armadura protendida, até um tempo t, é escrita como:
Onde:
σP0 = tensão inicial de protensão após as perdas iniciais;
ΔσPtot = incremento de tensão da armadura ativa, que representa a perda de tensão pelo efeito
da relaxação.
Após um certo período de tempo, a deformação viscoelástica total, ou seja, a soma de todos os
incrementos de deformação viscoelástica de uma unidade μ, pode vir a ultrapassar o valor da
deformação total. Neste caso, a partir deste instante de tempo, a unidade μ não contribuirá mais
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com a parcela de incremento de tensão Δσμ para a obtenção do incremento de tensão total ΔσPtot.
Desta forma:
Sendo N o número de unidades ativas do modelo reológico de Maxwell, que contribuem com
uma parcela de tensão.
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4 MODELAGEM COMPUTACIONAL
O método dos elementos finitos é uma das ferramentas numéricas mais utilizadas na atualidade
para a análise de problemas estruturais. A ideia principal deste método consiste na discretização
de um meio contínuo em um número finito de elementos conectados por nós, formando, assim,
uma malha de elementos. A partir do cálculo dos deslocamentos nodais são fornecidas as
tensões e deformações no interior dos elementos, bem como as reações nos pontos de apoio.
Para este trabalho, optou-se por utilizar o método dos elementos finitos, pois é uma das
maneiras mais eficientes de realizar análises não-lineares do comportamento de estruturas de
concreto armado e protendido. Este tipo de análise numérica permite a consideração do
comportamento não-linear dos materiais concreto e aço, incluindo os processos de fissuração
do concreto e de plastificação do concreto e do aço (SORIANO; LIMA, 1998).
Para a criação do modelo numérico deste trabalho, foi utilizado o programa ANSYS (Analysis
Systems Incorporated), versão 14.5. Este software, já muito bem aceito no meio acadêmico,
permite fazer análises estáticas, dinâmicas, de fluídos de materiais lineares ou não-lineares,
atribuindo comportamentos elástico, plástico, viscoso ou uma combinação dos mesmos.
Acoplado ao software ANSYS APDL, existe uma ferramenta de desenho para modelagem dos
elementos estruturais de maneira simplificada. Outra opção para a entrada de dados é através
da leitura de um arquivo no formato texto (arquivos com extensão .txt). Este arquivo pode
conter informações sobre a geometria, restrições vinculares, carregamentos e método de análise
estrutural, através da listagem dos comandos do ANSYS.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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A plataforma ANSYS oferece também opções diversificadas para a escolha de elementos finitos
e de modelos constitutivos. Além disso, o sistema disponibiliza ainda uma ferramenta de
customização UPF (User Programmable Features), que permite, por exemplo, a
implementação numérica de novos materiais e novos elementos finitos através de programação
em linguagem FORTRAN.
A seguir são mostrados detalhes de como é feita a compilação entre as rotinas implementadas
e o programa principal. São apresentados também os elementos finitos utilizados, as
características da modelagem do concreto e do aço e alguns aspectos da análise não-linear.
Neste item estão apresentadas as características dos elementos finitos utilizados para a
representação do aço e do concreto do modelo computacional. Os elementos foram
selecionados de acordo com o seu número de graus de liberdade, tipo de deformação possível
e demanda de esforço computacional. Todos os elementos empregados integram a biblioteca
de elementos finitos do ANSYS. O Apêndice B, do presente trabalho, mostra um descritivo dos
elementos empregados retirado do Help do ANSYS.
4.2.1 PLANE183
Este elemento foi escolhido por proporcionar bons resultados, sem a necessidade de um grande
refinamento da malha de elementos, reduzindo-se significativamente o esforço computacional
necessário para as análises. Além disso, o mesmo possui compatibilidade com o elemento
REINF263, o qual foi utilizado para representar as barras de armadura ao longo das peças de
concreto estrutural, de forma incorporada. A figura 30 mostra a janela de opções do elemento
PLANE183 e como é feito o seu lançamento através da programação. Na figura 31 está indicado
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como adicionar este elemento através do menu principal e um exemplo de discretização de uma
das vigas de Bresler e Scordelis (1963) com apenas 20 elementos.
4.2.2 REINF263
O elemento de reforço REINF263 pode ser utilizado juntamente com determinados elementos
planos ou de casca da biblioteca do ANSYS. Este elemento é adequado para simulação de fibras
de reforço com uma única orientação. Cada fibra é modelada separadamente, conforme o seu
material e seção transversal, como uma barra que possui apenas rigidez axial, podendo-se
especificar várias fibras de reforço REINF263 em um único elemento base. As coordenadas
nodais, graus de liberdade, e conectividades do elemento de reforço são idênticas às do
elemento base.
Na figura 32 são indicados os tipos de elementos finitos que suportam o elemento de reforço
REINF263, nomeadamente o SHELL208, SHELL209, PLANE182 e PLANE183. Os
elementos REINF263 e PLANE183 podem ser utilizados para modelar o concreto e a armadura,
e permitem a formulação de materiais com plasticidade, viscoelasticidade e grandes
deformações.
Este elemento foi utilizado para representar as barras de armadura passiva ao longo das vigas
de concreto estrutural. Além disso, por estar incorporada ao elemento, e, desta forma, possuir
conectividades idênticas às do elemento base, foi utilizada também para a representação da
armadura ativa nas vigas submetidas à pré-tração com aderência inicial.
Como a base deste trabalho é a análise de peças sob estados planos de tensão, a armadura das
vigas foi condensada na modelagem computacional, conforme apresentado na figura 33. Esta
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mesma figura indica ainda como adicionar este reforço através do menu principal e um exemplo
de discretização da viga A1 de Bresler e Scordelis (1963) com transparência, a fim de visualizar
os elementos de reforço REINF263.
A programação é o método mais eficiente para o lançamento dos elementos de reforço, pois
desta forma, torna-se mais fácil a verificação de possíveis erros. A figura 34 apresenta um
exemplo de implementação do elemento REINF263 para as armaduras longitudinais superior e
inferior da mesma viga indicada na figura 33. A figura 35, por sua vez, mostra o lançamento
dos estribos repetidos no modelo computacional. É importante lembrar que os elementos de
reforço devem ser indicados em cada elemento.
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4.2.3 LINK180
Na modelagem da armadura ativa, para o caso de pós-tração sem aderência, não foi possível
utilizar o elemento de reforço REINF263. Para simular a falta de aderência entre os materiais
aço e concreto, foi utilizado, neste trabalho, o elemento finito LINK180, cuja geometria está
apresentada na figura 36. O LINK180 é um elemento unidimensional com três graus de
liberdade em cada nó (translação segundo X, Y e Z), onde plasticidade, viscoelasticidade e
grandes deformações podem ser consideradas.
Na figura 37 está indicado como adicionar este elemento através do menu principal e um
exemplo de discretização de uma das vigas de Gongchen e Xuekang (1988) referente ao grupo
A. Na figura a seguir, os elementos de concreto (PLANE183) estão translúcidos para a
visualização da armadura transversal e longitudinal passiva (REINF263) e da armadura ativa
(LINK180). É importante lembrar que a utilização deste elemento muitas vezes implica em uma
limitação da malha de elementos finitos de concreto, em função da distribuição da armadura.
Isto ocorre porque a armadura lançada com o elemento LINK180 comporta-se de forma
discreta, onde os nós do elemento LINK180 devem coincidir com os nós dos elementos
PLANE183.
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93
Além de uma grande variedade de elementos finitos, o ANSYS disponibiliza também alguns
modelos constitutivos para a representação do comportamento de cada material. Para o
concreto, por exemplo, o programa utiliza um modelo elastoplástico com a superfície de ruptura
de cinco parâmetros de Willam e Warnke. Entretanto, este modelo só é disponibilizado para os
elementos SOLID65, SOLID164 e SOLID168, os quais não permitem o uso de armadura
incorporada, exigem uma quantidade muito maior de elementos finitos para a representação da
estrutura, além de serem extremamente difíceis de controlar a convergência. Desta forma, as
simulações numéricas em concreto estrutural tornam-se extremamente pesadas, exigindo
máquinas com alta capacidade computacional.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Este novo modelo para o concreto tornou possível, portanto, a utilização de elementos com
armadura incorporada, diminuindo de forma significativa o tempo de análise. Conforme
apresentado anteriormente, o sistema UPF permite ao usuário escrever as suas próprias rotinas,
sejam elas referentes à definição de um novo comportamento do material, à criação de um
elemento finito especial, de um modelo de contato, ou ainda de um critério de ruptura. Para que
este sistema esteja disponível, deve-se instalar o ANSYS, ativando o item ANSYS
Customization Files, sendo criadas automaticamente as pastas custom e customize dentro do
diretório C:\Program Files\ANSYS Inc\v145\ansys, conforme indica a figura 41.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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Com os programas instalados, é possível acessar a rotina USERMAT, e assim escrever as novas
equações constitutivas do material. Para o caso do concreto, o novo modelo foi criado dentro
da sub-rotina USERMATPS, que é chamada pela rotina USERMAT nos casos de elementos
sob estados planos de tensão. Esta rotina USERMAT contém outras três sub-rotinas editáveis:
a USERMAT3D, para elementos axissimétricos e sob estados planos de deformação; a
USERMATBM, para elementos tridimensionais da categoria BEAM; e a USERMAT1D, para
elementos unidimensionais. Além do elemento PLANE183, esta rotina também está disponível
para uma série de elementos como LINK180, SHELL181, PLANE182, SOLID185, SOLID186,
SOLID187, BEAM188 e BEAM189 (ANSYS, 2015).
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O parâmetro correspondente às etapas de cálculo, presente na figura 43, é referente aos dois
procedimentos distintos utilizados para simular o comportamento elasto-viscoplástico do
concreto. O primeiro deles, denominado etapa 1, visa a calcular o estado de deformação da
estrutura, decorrido um certo período de tempo da aplicação do carregamento; já o segundo,
denominado etapa 2, procura obter a resposta da estrutura submetida a um carregamento
instantâneo. No modelo computacional, permite-se que sejam aplicados tantos carregamentos
quanto necessários, sendo as etapas executadas sucessivamente, de acordo com as datas
especificadas dos carregamentos. No exemplo apresentado na figura 43, o parâmetro que indica
a quantidade e a ordem de execução destas etapas está representado pelo número 21.002; onde
os números localizados à esquerda do ponto representam as etapas de cálculo, ordenadas da
direita para a esquerda; e os números localizados à direita do ponto representam o número total
de carregamentos.
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Para utilizar esta subrotina USERMAT, contendo o novo modelo de concreto implementado, é
necessário fazer a sua compilação e ligação com o programa principal ANSYS. Este
procedimento foi executado através da criação de uma Dynamic-Link Library (DLL). Para isto,
inicialmente, criou-se uma nova pasta (PASTA) em algum diretório do WINDOWS e
adicionou-se o arquivo em FORTRAN a ser compilado, e o arquivo ANSUSERSHARED.bat
localizado no caminho: C:\Program Files\ANSYS Inc\v145\ansys\custom\user\winx64. Na
figura 45 tem-se, na primeira janela, a localização do arquivo com extensão .bat e, na segunda,
os dois arquivos adicionados à pasta criada na área de trabalho.
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101
É sabido que em uma peça de concreto estrutural, as barras de aço resistem, fundamentalmente,
a esforços axiais. Portanto é necessário apenas um modelo uniaxial para descrever o seu
comportamento. As barras de aço podem ser modeladas de três formas: discreta, incorporada
ou distribuída:
Devido às vantagens vistas no início deste capítulo em utilizar armadura incorporada nos
modelos computacionais, em grande parte das análises realizadas neste trabalho foi adotada
esta forma para representação da armadura. A exceção disto, ficou por conta das armaduras
pós-tracionadas, sem aderência, as quais foram modeladas de forma discreta.
Nesta dissertação, utilizam-se dois modelos constitutivos diferentes para o aço. Nas armaduras
passivas foi utilizado o modelo BISO (Bilinear Isotropic Hardening), disponível na biblioteca
interna do ANSYS; e nas armaduras protendidas foi utilizado o modelo criado a partir do
sistema UPF, usando a sub-rotina USERMAT1D.
O modelo constitutivo bilinear, BISO, utilizado para a armadura passiva, é definido conforme
a figura 47. A inclinação inicial da curva tensão-deformação é dada pelo módulo de elasticidade
do material (E). Após a tensão de escoamento inicial (σ0), o diagrama continua ao longo de uma
linha com inclinação definida pelo módulo tangente (ET), que é o módulo de endurecimento,
especificado pelo usuário. O módulo tangente não pode ser inferior a zero, ou maior do que o
módulo de elasticidade inicial.
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103
Com o objetivo de prever uma tensão inicial na armadura, e, desta forma, modelar
computacionalmente o aço de protensão em peças de concreto, houve a necessidade de criar
um novo modelo para o aço, implementado a partir da sub-rotina USERMAT1D. Com ajuda
desta ferramenta, foi possível a implementação numérica de um novo material com
propriedades dependentes do tempo, considerando o efeito de relaxação do aço protendido
conforme as recomendações do Código Modelo fib 2010 (2012).
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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O comportamento dos materiais não pode ser considerado linear em todos os casos. O aço e o
concreto, por exemplo, são materiais para os quais deve-se levar em conta o estudo da não-
linearidade. O emprego do método dos elementos finitos na análise de estruturas de concreto
resulta na montagem de um sistema de equações não-lineares, cuja solução implica a utilização
de um método numérico.
A solução destes sistemas não-lineares, para este trabalho, se dá através do Método de Newton-
Raphson, o qual já está disponibilizado no sistema ANSYS e se mostra um método numérico
de convergência bastante eficaz. Sua formulação consiste em um processo iterativo e pode ser
escrita conforme as expressões (130) e (131) (BATHE, 1996).
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105
Para a obtenção da curva carga-deslocamento completa das vigas foi empregado o método de
incremento de deslocamentos ao invés do método de incremento de carga. Após o
processamento, o programa oferece os resultados de forma gráfica, diagramas, animações ou
através de listagem de resultados. Um exemplo de rotina de pós-processamento está descrito no
Apêndice A.2.
Nas análises, é possível considerar vários carregamentos aplicados em datas distintas, entre as
quais ocorrem os fenômenos dependentes do tempo. Assim, à medida em que as cargas são
lançadas nas suas respectivas datas, as duas etapas são executadas de forma sucessiva. Quando
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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se passa de uma fase para outra, é feita uma conversão das tensões correspondente ao número
de camadas utilizadas em cada uma das etapas.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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De acordo com a figura 56, todas as vigas possuem a mesma armadura longitudinal. Esta
consiste, inferiormente, de quatro barras de 20 mm de diâmetro (fY = 42,8 kN/cm²), sendo duas
localizadas a 3 cm da borda inferior e duas localizadas a 6 cm da mesma borda e, superiormente,
de duas barras de 8 mm de diâmetro (fY = 46,5 kN/cm²), localizadas a 3 cm da borda superior.
Todas as barras são de aço encruado a frio (antiga classe B).
Os estribos verticais são constituídos por barras de 6 mm de diâmetro (fY = 32 kN/cm²), em aço
com dureza natural (antiga classe A), e estão espaçados conforme o esquema apresentado na
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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figura 56. O módulo de elasticidade do aço ES, é considerado igual a 210 GPa para o aço classe
A e 195 GPa para o aço da antiga classe B.
Para as armaduras, foi utilizado o modelo constitutivo bilinear BISO, disponível na biblioteca
do ANSYS. Já para o concreto, foi utilizado o novo modelo implementado através da rotina
USERMAT.
Na figura 59 é possível observar as curvas carga-deslocamento das vigas ET1, ET2, ET3 e ET4,
e a evolução das flechas ao longo do carregamento. Para simular o carregamento instantâneo
destas vigas até a sua ruptura, foi aplicado um deslocamento vertical no ponto em que, no ensaio
experimental, a carga concentrada estava localizada. Desta forma, o eixo das cargas do
diagrama carga-deslocamento foi obtido multiplicando por dois o valor das reações verticais no
nó de apoio, uma vez que apenas metade da estrutura foi representada no modelo numérico.
Para o eixo dos deslocamentos, mediu-se o deslocamento vertical no nó inferior de extremidade,
do elemento localizado no centro do vão da estrutura (elemento 5). Os resultados do diagrama
carga-deslocamento mostram boa correlação entre as curvas apresentadas.
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113
No diagrama de tensões axiais da armadura, quadros 6 a 9, pode-se observar que, na viga ET1,
quando se atinge a carga de ruptura, a armadura inferior já se encontra no patamar de
escoamento enquanto que os estribos estão levemente tracionados. Nas vigas ET2 e ET3 pode-
se verificar que a armadura inferior atinge tensões próximas ao patamar de escoamento, e a
tensão média nos estribos atinge a sua tensão axial máxima. Já a viga ET4 atinge a tensão
máxima nos estribos antes de iniciar o processo de escoamento da armadura inferior. Desta
forma fica evidente que a viga ET1 rompe por flexão, as vigas ET2 e ET3 rompem por
cisalhamento, apesar da ruptura à flexão ocorrer quase ao mesmo tempo, e a viga ET4 rompe
por cisalhamento.
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Quadro 3 – Deformadas finais das vigas ET1, ET2, ET3 e ET4, obtidas pelo modelo
computacional (unidades em cm)
VIGA ET1
Máximo deslocamento
VIGA ET2
Máximo deslocamento
VIGA ET3
Máximo deslocamento
VIGA ET4
Máximo deslocamento
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115
P = 75 kN
P = 235 kN
VIGA ET2
P = 25 kN
P = 75 kN
P = 235 kN
__________________________________________________________________________________________
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116
P = 75 kN
P = 235 kN
VIGA ET4
P = 25 kN
P = 60 kN
P = 180 kN
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117
Quadro 6 – Evolução das tensões na armadura longitudinal e estribos das vigas ET1
e ET2, segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA ET1
P = 25 kN
P = 75 kN
P = 235 kN
VIGA ET2
P = 25 kN
P = 75 kN
P = 235 kN
__________________________________________________________________________________________
Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
118
Quadro 7 – Evolução das tensões na armadura longitudinal e estribos das vigas ET3
e ET4, segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA ET3
P = 25 kN
P = 75 kN
P = 235 kN
VIGA ET4
P = 25 kN
P = 60 kN
P = 180 kN
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119
Quadro 8 – Evolução das tensões na armadura transversal das vigas ET1 e ET2,
segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA ET1
P = 25 kN
P = 75 kN
P = 235 kN
VIGA ET2
P = 25 kN
P = 75 kN
P = 235 kN
__________________________________________________________________________________________
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120
Quadro 9 – Evolução das tensões na armadura transversal das vigas ET3 e ET4,
segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA ET3
P = 25 kN
P = 75 kN
P = 235 kN
VIGA ET4
P = 25 kN
P = 60 kN
P = 180 kN
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As doze vigas em concreto armado ensaiadas por Bresler e Scordelis (1963) foram divididas
em quatro grupos (OA, A, B e C) e três séries (1, 2 e 3). Cada grupo possui a mesma seção
transversal de concreto e cada série se diferencia pela quantidade de armadura longitudinal,
pelo comprimento do vão e pela resistência e módulo de elasticidade do concreto (figura 60).
Vale salientar que as vigas da série OA não contêm estribos. Todas as vigas foram submetidas
a cargas concentradas monotonicamente aplicadas em seu centro, como pode ser observado na
figura 61.
Figura 60 – Detalhes das seções transversais das vigas de Bresler e Scordelis (1963)
(cotas e medidas em centímetros)
Detalhes sobre a seção transversal, vão e características do concreto de cada viga são
apresentados na tabela 3. Observa-se que o vão das vigas da série 1 é o menor, com 3,66 m,
aumentando para 4,57 m nas vigas da série 2, e para 6,4 m para as vigas da série 3. Conforme
indicado na tabela, todas as vigas possuem a mesma altura h, que é igual a 56 cm.
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armadura comprimida, um diâmetro de 12,7 mm. Quando usados, os estribos tem uma bitola
de 6,4 mm.
AS A'S ESTRIBOS
SÉRIES
fY (kN/cm²) ES (kN/cm²) fY (kN/cm²) ES (kN/cm²) fY (kN/cm²) ES (kN/cm²)
1 55,5 21.787
2 55,5 21.787 34,54 20.133 32,54 18.961
3 55,3 20.546
AS A'S
VIGAS ESTRIBOS
Área (cm²) Barras Área (cm²) Barras
OA1 25,88 4 ϕ 28,7 mm
OA2 32,35 5 ϕ 28,7 mm - - -
OA3 38,81 6 ϕ 28,7 mm
A1 25,88 4 ϕ 28,7 mm
A2 32,35 5 ϕ 28,7 mm 2,53 2 ϕ 12,7 mm ϕ 6,4 mm c/ 21 cm
A3 38,81 6 ϕ 28,7 mm
B1 25,88 4 ϕ 28,7 mm
B2 25,88 4 ϕ 28,7 mm 2,53 2 ϕ 12,7 mm ϕ 6,4 mm c/ 19 cm
B3 32,35 5 ϕ 28,7 mm
C1 12,94 2 ϕ 28,7 mm
C2 25,88 4 ϕ 28,7 mm 2,53 2 ϕ 12,7 mm ϕ 6,4 mm c/ 21 cm
C3 25,88 4 ϕ 28,7 mm
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
124
Para as armaduras, foi utilizado o modelo constitutivo bilinear BISO. Já para o concreto, foi
utilizado o modelo implementado através da rotina USERMAT. Um exemplo de script para
entrada de dados da viga A1 está descrito no Apêndice A.1.
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Nas figuras 64 a 66 é possível observar a curva carga-deslocamento das vigas AO, A, B e C das
séries 1, 2 e 3, respectivamente. Para simular o carregamento instantâneo destas vigas até a sua
ruptura, foi aplicado um deslocamento vertical no ponto em que, no ensaio experimental, a
carga concentrada estava localizada. Desta forma, o eixo das cargas do diagrama carga-
deslocamento foi obtido multiplicando por dois o valor das reações verticais no nó de apoio,
uma vez que apenas metade da estrutura foi representada no modelo numérico. Para o eixo dos
deslocamentos, mediu-se o deslocamento vertical no nó inferior de extremidade, do elemento
localizado no centro do vão da estrutura (elemento 5). De um modo geral obteve-se boa
correlação entre as respostas numéricas e os resultados experimentais de Bresler e Scordelis
(1963).
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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127
Com base nestas curvas, observa-se que os menores valores das cargas de ruptura foram obtidos
pelas vigas do grupo C, ou seja, as vigas com menores dimensões de seções transversais. As
vigas que suportaram maior valor de carga, em contrapartida foram as vigas do grupo A.
As vigas de maiores comprimentos de vão (série 3) rompem por flexão, ocorrendo uma pequena
influência do cisalhamento. Nestas vigas é possível observar que as armaduras inferiores já
estão entrando em escoamento (quadro 18). Já, as vigas de comprimentos de vão curtos e
intermediários (séries 1 e 2) rompem por flexão e cisalhamento, apresentando estribos mais
solicitados na região de fissuras inclinadas.
É importante observar que para as cargas de ruptura de algumas vigas, os valores de tensão de
compressão máxima estão levemente acima do valor da resistência do concreto. Esta imprecisão
deve-se à extrapolação das tensões dos pontos de Gauss para os nós do elemento finito.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
128
Quadro 10 – Deformadas finais das vigas OA1, A1, B1 e C1, obtidas pelo modelo
computacional (unidades em cm)
VIGA OA1
Máximo deslocamento
VIGA A1
Máximo deslocamento
VIGA B1
Máximo deslocamento
VIGA C1
Máximo deslocamento
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129
Quadro 11 – Deformadas finais das vigas OA2, A2, B2 e C2, obtidas pelo modelo
computacional (unidades em cm)
VIGA OA2
Máximo deslocamento
VIGA A2
Máximo deslocamento
VIGA B2
Máximo deslocamento
VIGA C2
Máximo deslocamento
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
130
Quadro 12 – Deformadas finais das vigas OA3, A3, B3 e C3, obtidas pelo modelo
computacional (unidades em cm)
VIGA OA3
Máximo deslocamento
VIGA A3
Máximo deslocamento
VIGA B3
Máximo deslocamento
VIGA C3
Máximo deslocamento
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131
VIGA A1
P = 600 kN
VIGA B1
P = 540 kN
VIGA C1
P = 330 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
132
VIGA A2
P = 550 kN
VIGA B2
P = 400 kN
VIGA C2
P = 300 kN
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133
VIGA A3
P = 520 kN
VIGA B3
P = 385 kN
VIGA C3
P = 300 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
134
VIGA A1
P = 600 kN
VIGA B1
P = 540 kN
VIGA C1
P = 330 kN
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135
VIGA A2
P = 550 kN
VIGA B2
P = 400 kN
VIGA C2
P = 300 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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VIGA A3
P = 520 kN
VIGA B3
P = 385 kN
VIGA C3
P = 300 kN
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137
O artifício da protensão, para o caso do concreto, consiste em introduzir esforços que anulem
ou limitem drasticamente as tensões de tração do concreto. Desta forma, a força de protensão
desloca a faixa de trabalho do concreto para a região das tensões de compressão, onde o material
é mais eficiente. Entretanto, pelo fato das armaduras ativas serem ancoradas e em forma de
cabos, é possível utilizar aços de alta resistência, trabalhando com tensões elevadas. Sendo
assim, a tendência é que haja uma compatibilização entre o trabalho simultâneo destes dois
materiais, um com elevada resistência à compressão, e o outro com elevada resistência à tração.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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139
constituída apenas de armadura passiva. Em ambos os conjuntos, são aplicadas duas cargas
concentradas até a ruptura, cuja posição pode ser vista na figura 68, assim como as suas
dimensões e disposições das armaduras.
De acordo com a figura 68, todas as vigas possuem a mesma armadura longitudinal passiva
superior. Esta consiste de duas barras de 6,3 mm de diâmetro, localizadas a 3 cm da borda
superior (A’S = 0,623 cm²). As armaduras longitudinais passivas inferiores, assim como as
armaduras de protensão possuem diâmetros variáveis conforme o tipo de viga ensaiada, e estão
localizadas respectivamente a 3 cm e a 6 cm da borda inferior. Os estribos verticais têm 6,3 mm
de diâmetro e encontram-se uniformemente espaçados de 10 cm. Para cada viga, os valores das
resistências médias à compressão do concreto (fcm), das áreas das armaduras longitudinais
passivas tracionadas (AS), das áreas das armaduras protendidas (AP), das tensões iniciais de
protensão (σP0), das tensões de escoamento do aço das armaduras passivas (fY), das tensões de
ruptura das armaduras protendidas (fptk) e dos módulos de elasticidade das armaduras passivas
(ES) e de protensão (EP), que são fornecidos por Gongchen e Xuekang (1988), estão listados na
tabela 6.
Para a análise numérica, considerou-se que todos os ensaios foram realizados aos 28 dias de
idade, quando também foi aplicada a força de protensão na armadura ativa. Adotou-se uma
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
140
grupo D, quanto a armadura passiva dos dois conjuntos de vigas. Para representar fielmente a
não aderência entre a armadura submetida a pós-tração e a matriz de concreto, para cada uma
das nove vigas do grupo A, foi utilizado um único elemento LINK180, conectado apenas nas
extremidades de cada peça. A figura 70 apresenta uma vista isométrica dos elementos do
ANSYS utilizados em cada conjunto de vigas. Em relação às restrições, foi adicionado um
apoio simples, na direção Y, ao nó inferior do elemento de extremidade da viga (elemento 1) e
apoios simples, na direção X, em todos os nós localizados no meio do vão da peça (elementos
6, 12, 18 e 24). Um exemplo de script para entrada de dados da viga A-9 está descrito no
Apêndice A.3.
Para as armaduras passivas, foi utilizado o modelo constitutivo bilinear BISO, disponível na
biblioteca do ANSYS. Já para as armaduras ativas e para o concreto, foi utilizado o novo
modelo implementado através da rotina USERMAT.
considerado carga de curta duração, uma vez que os ensaios eram montados aproximadamente
28 dias após a concretagem. Os valores comparados a seguir são valores líquidos, ou seja, estão
descontadas as parcelas correspondentes ao peso próprio.
Para simular o carregamento instantâneo destas vigas até a sua ruptura, foi aplicado um
deslocamento vertical no ponto em que, no ensaio experimental, a carga concentrada estava
localizada. Desta forma, o eixo das cargas do diagrama carga-deslocamento foi obtido
multiplicando por dois o valor das reações verticais no nó de apoio, uma vez que apenas metade
da estrutura foi representada no modelo numérico. Para o eixo dos deslocamentos, mediu-se o
deslocamento vertical no nó inferior de extremidade, do elemento localizado no centro do vão
da estrutura, denominado elemento 6, conforme a figura 69. Nas figuras 71 e 72 mostra-se o
resultado dos ensaios e do modelo computacional incorporado ao ANSYS, apresentando a
evolução das flechas ao longo do carregamento para os dois conjuntos de vigas, A e D.
0,1. 𝑓𝑝𝑡𝑘
𝐻𝐴 =
𝑓𝑝𝑡𝑘 (132)
10% −
𝐸𝑝
0,15. 𝑓𝑝𝑡𝑘
𝐻𝐷 =
𝑓𝑝𝑡𝑘 (133)
10‰ −
𝐸𝑝
Onde:
HA e HD = parâmetros de endurecimento da armadura ativa utilizados respectivamente para o
grupo de vigas A e D;
fptk = tensão de ruptura das armaduras protendidas;
EP = módulo de elasticidade da armadura de protensão.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
144
Como pôde ser visto, os resultados dos diagramas carga-deslocamento apresentam boa
correlação entre as curvas apresentadas, possuindo também uma carga de ruptura semelhante à
encontrada nos ensaios experimentais.
Neste item, pode-se observar os resultados gráficos obtidos pelo modelo computacional para os
dois conjuntos de vigas. Estão apresentadas a deformada da estrutura, a evolução do estado de
tensão (σx) dos elementos de concreto, e a evolução da tensão uniaxial na armadura, ao longo
do carregamento aplicado.
Quadro 19 – Deformadas das vigas A-1, A-2 e A-3 no início e fim da aplicação do
carregamento, obtidas pelo modelo computacional (unidades em cm)
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145
VIGA A-1
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA A-2
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA A-3
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
146
Quadro 20 – Deformadas das vigas A-4, A-5 e A-6 no início e fim da aplicação do
carregamento, obtidas pelo modelo computacional (unidades em cm)
VIGA A-4
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA A-5
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA A-6
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
__________________________________________________________________________________________
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147
Quadro 21 – Deformadas das vigas A-7, A-8 e A-9 no início e fim da aplicação do
carregamento, obtidas pelo modelo computacional (unidades em cm)
VIGA A-7
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA A-8
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA A-9
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
148
Quadro 22 – Deformadas das vigas D-0, D-1 e D-3 no início e fim da aplicação do
carregamento, obtidas pelo modelo computacional (unidades em cm)
VIGA D-0
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA D-1
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
VIGA D-3
Somente peso próprio
Máximo deslocamento
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149
Máximo deslocamento
Com base nas deformadas das treze vigas é possível concluir que, com exceção da viga D-0,
que é constituída apenas por armaduras passivas, todas as demais vigas apresentam uma flecha
positiva no início da aplicação do carregamento, evidenciando o efeito da protensão na peça.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
150
P = 20 kN
P = 40 kN
VIGA A-2
Somente peso próprio
P = 27 kN
P = 60 kN
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151
P = 38 kN
P = 75 kN
VIGA A-4
Somente peso próprio
P = 20 kN
P = 50 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
152
P = 30 kN
P = 60 kN
VIGA A-6
Somente peso próprio
P = 40 kN
P = 90 kN
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153
P = 17 kN
P = 49 kN
VIGA A-8
Somente peso próprio
P = 25 kN
P = 80 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
154
P = 44 kN
P = 102 kN
P = 15 kN
P = 79 kN
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155
P = 22 kN
P = 42 kN
VIGA D-3
Somente peso próprio
P = 45 kN
P = 85 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
156
P = 50 kN
P = 96 kN
A visualização das tensões para as armaduras passivas e estribos seria difícil de ser identificada
caso as armaduras de protensão fossem inseridas no mesmo diagrama, devido ao elevado valor
da tensão na armadura protendida. Para não prejudicar a análise do comportamento destas
barras, nos quadros 32 ao 39 apresenta-se a evolução das tensões axiais somente para a
armadura passiva e estribos dos dois conjuntos de vigas, A e D, ao longo da aplicação do
carregamento, segundo resultados obtidos pelo modelo computacional. Para uma visualização
mais clara dos diagramas, foi utilizado um fator de amplificação variando de 10% a 20% para
a espessura das armaduras.
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Quadro 32 – Evolução das tensões na armadura passiva e estribos das vigas A-1 e
A-2, segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA A-1
Somente peso próprio
P = 20 kN
P = 40 kN
VIGA A-2
Somente peso próprio
P = 27 kN
P = 60 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
158
Quadro 33 – Evolução das tensões na armadura passiva e estribos das vigas A-3 e
A-4, segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA A-3
Somente peso próprio
P = 38 kN
P = 75 kN
VIGA A-4
Somente peso próprio
P = 20 kN
P = 50 kN
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159
Quadro 34 – Evolução das tensões na armadura passiva e estribos das vigas A-5 e
A-6, segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA A-5
Somente peso próprio
P = 30 kN
P = 60 kN
VIGA A-6
Somente peso próprio
P = 40 kN
P = 90 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
160
Quadro 35 – Evolução das tensões na armadura passiva e estribos das vigas A-7 e
A-8, segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA A-7
Somente peso próprio
P = 17 kN
P = 49 kN
VIGA A-8
Somente peso próprio
P = 25 kN
P = 80 kN
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161
P = 44 kN
P = 102 kN
P = 15 kN
P = 79 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
162
Quadro 38 – Evolução das tensões na armadura passiva e estribos das vigas D-1 e
D-3, segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA D-1
Somente peso próprio
P = 22 kN
P = 42 kN
VIGA D-3
Somente peso próprio
P = 45 kN
P = 85 kN
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
163
P = 50 kN
P = 96 kN
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164
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165
Quadro 40 – Evolução das tensões na armadura protendida das vigas D-1 e D-3,
segundo o modelo computacional (unidades em kN/cm²)
VIGA D-1
Somente peso próprio
P = 22 kN
P = 42 kN
VIGA D-3
Somente peso próprio
P = 45 kN
P = 85 kN
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
166
P = 50 kN
P = 96 kN
Apenas a título de curiosidade, as três vigas protendidas do grupo D foram analisadas utilizando
duas maneiras diferentes de discretização da armadura ativa. No primeiro modelo, descrito no
início deste capítulo, usou-se o elemento REINF263 incorporado ao elemento de concreto. Já
no segundo modelo, utilizou-se o elemento LINK180 conectado a todos os nós dos elementos
de concreto, a fim de simular a aderência entre os dois elementos. Os resultados obtidos na
análise das estruturas com os dois tipos de elementos foram rigorosamente idênticos.
Entretanto, a utilização do elemento REINF263 torna-se vantajosa em relação ao elemento
LINK180, a medida que não exige uma grande discretização da malha de elementos finitos,
otimizando o tempo de análise. Esta vantagem é, particularmente interessante, para a simulação
numérica de vigas protendidas por cabos de diferentes traçados, sejam eles curvos ou retilíneos.
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
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7. CONCLUSÕES
Nesta dissertação, que teve como base o trabalho desenvolvido por Machado (2002) dentro do
PPGEC/UFRGS, foram revisados e atualizados todos os modelos implementados para a
simulação do comportamento de peças de concreto estrutural, submetidas a cargas de curta e
longa duração, conforme o Código Modelo fib 2010 (2012). Feito isto, foi apresentado o
procedimento de conexão entre a plataforma ANSYS e o programa desenvolvido na rotina
USERMAT, em linguagem FORTRAN, contendo os novos modelos constitutivos para cada
material.
A partir deste trabalho, foi possível gerar, no software ANSYS, um modelo computacional que
utiliza elementos de armadura incorporados aos elementos de concreto, o que diminuiu
significativamente o esforço computacional e tornou a análise extremamente versátil. O
software ANSYS mostrou-se muito eficiente para a implementação deste modelo, além de
proporcionar uma ampla biblioteca de elementos finitos disponíveis internamente e ferramentas
gráficas interessantes para a visualização dos resultados obtidos.
tração ou pós-tração sem aderência, para um conjunto de treze vigas ensaiadas por Gongchen e
Xuekang (1988). Foram observadas as tensões no concreto e nas barras de armadura, as
deformadas da estrutura, os diagramas de carga-deslocamento nos centros dos vãos das vigas,
as cargas de ruptura, e os diagramas de deslocamento-tensão nas armaduras protendidas.
Conforme o relatório apresentado no presente trabalho, a comparação entre as análises
numéricas e experimentais mostraram resultados bastante satisfatórios.
Com os bons resultados obtidos através deste modelo, verifica-se a possibilidade de se simular
computacionalmente o funcionamento real de diferentes peças de concreto estrutural. Assim,
pode-se concluir que a ferramenta UPF, disponibilizada pelo ANSYS, permite uma análise do
comportamento destas estruturas em um tempo reduzido e de forma precisa, otimizando o
aproveitamento dos materiais.
A fim de se obter uma maior aplicabilidade deste trabalho, como contribuição futura, está
prevista a utilização deste modelo na análise e projeto de uma estrutura real, em comparação
com o cálculo analítico e com algum outro programa em elementos finitos.
Como sugestões para a continuação desta linha de pesquisa, sugere-se a análise de estruturas
com protensão aderente e não-aderente ao longo do tempo, tanto na área experimental, que
possui escassos resultados, quanto na área numérica. Outro ponto interessante de ser analisado
seria a consideração da aderência imperfeita entre o concreto e o aço, bem como o
desenvolvimento de resultados gráficos para a fissuração.
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REFERÊNCIAS
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SORIANO, H. L.; LIMA S. S. Método dos elementos finitos em análise de estruturas. 392
p. 1998.
WILLAM, K.J.; WARNKE, E.P. Constitutive models for the triaxial behavior of concrete.
International Association of Bridge Structures, Proceeding, v. 19, p. 1-30, 1975.
__________________________________________________________________________________________
Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
173
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
175
! *******************************************************************
! Programador: Bruna Manica Lazzari
! Data: 21/07/15
! Nome arquivo: VIGAS DE BRESLER E SCORDELIS (1963)
! unidades: cm, kN
! *******************************************************************
!
/NOPR ! Suppress printing of UNDO process
/PMACRO ! Echo following commands to log
FINISH ! Make sure we are at BEGIN level
/CLEAR,NOSTART ! Clear model since no SAVE found
/NOPR
/PMETH,OFF,0
!
! ------------------------------------------------------------------
! DEFINIÇÃO DO TIPO DE ANÁLISE
! ------------------------------------------------------------------
!
KEYW,PR_SET,1
KEYW,PR_STRUC,1
/GO
!
! ------------------------------------------------------------------
! DEFINIÇÃO ELEMENTOS
! ------------------------------------------------------------------
!
/PREP7
!
ET,1,PLANE183 ! Element type
!
KEYOPT,1,1,0 ! Element type,element shape,quadrilateral
KEYOPT,1,3,3 ! Element type,element behavior,plane stress w/ thk
KEYOPT,1,6,0 ! Element type,element formulation,pure displacement
!
R,1,31, ! Real constant,thickness
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! ------------------------------------------------------------------
! PARÂMETROS DOS MATERIAIS
! ------------------------------------------------------------------
!
! ----------------------------------------------
! CONCRETO - USER - material 1
! ----------------------------------------------
!
! Modelo constitutivo do material do usuário
!
tb,user,1,2,5 ! Material 1, 2 temperaturas, 5 constantes (prop)
tbtemp,1.0 ! Primeira temperatura
tbdata,1,2413,0.2,2.41,2,21.002 ! Temperatura 1, E, Poisson, fc, agregado (4 tipos), etapas de cálculo
! ! Agreg. 1: basalto, 2: quartzo, 3: calcário, 4: arenito
tb,state,1,,9 ! Define 9 variáveis de estado
!
! ----------------------------------------------
! ARMADURA BARRAS INFERIOR – BISO - material 2
! ----------------------------------------------
!
v1 = 0.3
ES2 = 21787
FY2 = 55.5
EPSLONY2 = FY2/ES2
EPSLONU2 = 0.1 ! 10%
ES22 = ES2/100
FU2 = (EPSLONU2-EPSLONY2)*ES22+FY2
!
! Modelo Linear Isotrópico
!
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,2,,ES2
MPDATA,PRXY,2,,v1
!
! Modelo Bilinear - entra com a curva tensao x def
!
TB,BISO,2,1,2, ! Material 2, 1 temperatura, 2 constantes
TBTEMP,0
TBDATA,,FY2,ES22,,,,
!
! ----------------------------------------------
! ARMADURA BARRAS SUPERIOR – BISO - material 3
! ----------------------------------------------
!
v2 = 0.3
ES3 = 20133
FY3 = 34.54
EPSLONY3 = FY3/ES3
EPSLONU3 = 0.1 ! 10%
ES33 = ES3/100
FU3 = (EPSLONU3-EPSLONY3)*ES33+FY3
!
__________________________________________________________________________________________
Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
176
! Modelo Linear Isotrópico
!
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,3,,ES3
MPDATA,PRXY,3,,v2
!
! Modelo Bilinear - entra com a curva tensao x def
!
TB,BISO,3,1,2, ! Material 3, 1 temperatura, 2 constantes
TBTEMP,0
TBDATA,,FY3,ES33,,,,
!
! ----------------------------------------------
! ARMADURA ESTRIBOS – BISO - material 4
! ----------------------------------------------
!
v3 = 0.3
ES4 = 18961
FY4 = 32.54
EPSLONY4 = FY4/ES4
EPSLONU4 = 0.1 ! 10%
ES44 = ES4/100
FU4 = (EPSLONU4-EPSLONY4)*ES44+FY4
!
! Modelo Linear Isotrópico
!
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,4,,ES4
MPDATA,PRXY,4,,v3
!
! Modelo Bilinear - entra com a curva tensao x def
!
TB,BISO,4,1,2, ! Material 4, 1 temperatura, 2 constantes
TBTEMP,0
TBDATA,,FY4,ES44,,,,
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! ------------------------------------------------------------------
! GEOMETRIA
! ------------------------------------------------------------------
!
! ÁREAS DE CONCRETO (coordenada X, coordenada y, comprimento x, comprimento y)
!
BLC4,0,0,183,14
BLC4,0,14,183,14
BLC4,0,28,183,14
BLC4,0,42,183,14
!
! Visualização
!
/VIEW,1,1,1,1
/ANG,1
/REP,FAST
/PNUM,KP,1
/PNUM,LINE,0
/PNUM,AREA,0
/PNUM,VOLU,0
/PNUM,NODE,0
/PNUM,TABN,0
/PNUM,SVAL,0
/NUMBER,0
!
/PNUM,ELEM,0
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! ------------------------------------------------------------------
! MESH
! ------------------------------------------------------------------
!
! ----------------
! MESH CONCRETO:
! ----------------
!
! Especifica as características dos elementos 2D:
!
TYPE, 1 ! Element type
MAT, 1 ! Material number
REAL, 1 ! Real constant
ESYS, 0 ! Element coordinate system number (0: global cartesian)
SECNUM,
!
! x
!
LESIZE,1, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 1 e divide em 5 partes
LESIZE,3, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 3 e divide em 5 partes
!
! y
!
LESIZE,2, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 2 e divide em 1 parte
LESIZE,4, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 4 e divide em 1 parte
!
! Opções da malha:
__________________________________________________________________________________________
Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
177
MSHAPE,0,2D ! Define problema 2D
MSHKEY,1 ! Define malha mapeada
!
AMESH,1 ! Aplica a mesh 1
!
! Especifica as características dos elementos 2D:
!
TYPE, 1 ! Element type
MAT, 1 ! Material number
REAL, 1 ! Real constant
ESYS, 0 ! Element coordinate system number (0: global cartesian)
!
! x
!
LESIZE,5, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 5 e divide em 5 partes
LESIZE,7, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 7 e divide em 5 partes
!
! y
!
LESIZE,6, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 6 e divide em 1 parte
LESIZE,8, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 8 e divide em 1 parte
!
! Opções da malha:
!
MSHAPE,0,2D ! Define problema 2D
MSHKEY,1 ! Define malha mapeada
!
AMESH,2 ! Aplica a mesh 2
!
! Especifica as características dos elementos 2D:
!
TYPE, 1 ! Element type
MAT, 1 ! Material number
REAL, 1 ! Real constant
ESYS, 0 ! Element coordinate system number (0: global cartesian)
!
! x
!
LESIZE,9, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 9 e divide em 5 partes
LESIZE,11, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 11 e divide em 5 partes
!
! y
!
LESIZE,10, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 10 e divide em 1 parte
LESIZE,12, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 12 e divide em 1 parte
!
! Opções da malha:
!
MSHAPE,0,2D ! Define problema 2D
MSHKEY,1 ! Define malha mapeada
!
AMESH,3 ! Aplica a mesh 3
!
! Especifica as características dos elementos 2D:
!
TYPE, 1 ! Element type
MAT, 1 ! Material number
REAL, 1 ! Real constant
ESYS, 0 ! Element coordinate system number (0: global cartesian)
!
! x
!
LESIZE,13, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 13 e divide em 5 partes
LESIZE,15, , ,5, , , , ,1 ! Seleciona linha 15 e divide em 5 partes
!
! y
!
LESIZE,14, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 14 e divide em 1 parte
LESIZE,16, , ,1, , , , ,1 ! Seleciona linha 16 e divide em 1 parte
!
! Opções da malha:
!
MSHAPE,0,2D ! Define problema 2D
MSHKEY,1 ! Define malha mapeada
!
AMESH,4 ! Aplica a mesh 4
!
! Esse comando executa um merge dos nós - elimina nós repetidos
! Faz a renumeração dos nós
!
NUMMRG,NODE, , , ,LOW
NUMCMP,NODE
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! ------------------------------------------------------------------
! ARMADURA INCORPORADA - REINF263
! ------------------------------------------------------------------
!
! -------------------------------------
! ARM INFERIOR - 2 camadas - SEC 2 e 3
! -------------------------------------
! Define a seção do elemento de reforço
__________________________________________________________________________________________
Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
178
sect,2,REINF,SMEAR ! Reforço seção 2
secdata,2,12.94,31,0,0,EDGo,1,0.46,0.46 ! Material 2, área da seção trans.:12.94cm²,
! ! distância entre fibras adj.:31, localizado a 46%
! ! da distância y do elemento
! Cria o elemento de reforço via EREINF
!
FLST,5,2,2,ORDE,2
FITEM,5,1 ! Seleciona elementos 1 a 5
FITEM,5,-5
ESEL,S, , ,P51X
SECN,2 ! Define os elementos selecionados como seção 2
EREINF ! Gera reforço nos elementos selecionados
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! Define a seção do elemento de reforço
!
sect,3,REINF,SMEAR ! Reforço seção 3
secdata, 2,12.94,31,0,0,EDGo,1,0.92,0.92 ! Material 2, área da seção trans.:12.94cm²,
! ! distância entre fibras adj.:31, localizado a 92%
! ! da distância y do elemento
! Cria o elemento de reforço via EREINF
!
FLST,5,2,2,ORDE,2
FITEM,5,1 ! Seleciona elementos 1 a 5
FITEM,5,-5
ESEL,S, , ,P51X
SECN,3 ! Define os elementos selecionados como seção 3
EREINF ! Gera reforço nos elementos selecionados
!---------------------------------------------------------------------------------------------
!
! -------------------------------------
! ARM SUPERIOR - 1 camada - SEC 4
! -------------------------------------
! Define a seção do elemento de reforço
!
sect,4,REINF,SMEAR ! Reforço seção 4
secdata, 3,2.53,31,0,0,EDGo,1,0.64,0.64 ! Material 3, área da seção trans.:2.53cm²
! ! distância entre fibras adj.:31, localizado a 64%
! ! da distância y do elemento
! Cria o elemento de reforço via EREINF
!
FLST,5,2,2,ORDER,2
FITEM,5,16 ! Seleciona elementos 16 a 20
FITEM,5,-20
ESEL,S, , ,P51X
SECN,4 ! Define os elementos selecionados como seção 4
EREINF ! Gera reforço nos elementos selecionados
!---------------------------------------------------------------------------------------------
!
! -------------------------------------
! ESTRIBOS – SEC 5 e 6
! -------------------------------------
! Define a seção do elemento de reforço
!
sect,5,REINF,SMEAR ! Reforço seção 5
secdata, 4,0.56,31,0,0,EDGo,2,0.0,0.0 ! Material 4, área da seção trans.:0.56cm²
! ! distância entre fibras adj.:31, localizado a 0%
! ! da distância x do elemento
! Cria o elemento de reforço via EREINF
!
FLST,5,8,2,ORDE,8
FITEM,5,1 ! Seleciona elementos 1 a 20
FITEM,5,-5
FITEM,5,6
FITEM,5,-10
FITEM,5,11
FITEM,5,-15
FITEM,5,16
FITEM,5,-20
ESEL,S, , ,P51X
SECN,5 ! Define os elementos selecionados como seção 5
EREINF ! Gera reforço nos elementos selecionados
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! Define a seção do elemento de reforço
!
sect,6,REINF,SMEAR ! Reforço seção 6
secdata, 4,0.56,31,0,0,EDGo,2,0.5,0.5 ! Material 4, área da seção trans.:0.56cm²
! ! distância entre fibras adj.:31, localizado a 50%
! ! da distância x do elemento
! Cria o elemento de reforço via EREINF
!
FLST,5,8,2,ORDE,8
FITEM,5,1 ! Seleciona elementos 1 a 20
FITEM,5,-5
FITEM,5,6
FITEM,5,-10
FITEM,5,11
FITEM,5,-15
FITEM,5,15
FITEM,5,-20
ESEL,S, , ,P51X
SECN,6 ! Define os elementos selecionados como seção 6
EREINF ! Gera reforço nos elementos selecionados
!---------------------------------------------------------------------------------------------
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
179
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! Inspect newly created reinforcing elements
esel,s,type,,1
! adjust the translucency level of the base element to reveal the embedded reinforcing elements
/trlcy,elem,0.9
esel,all
/view,1,1,1,1
! Turn on the expaned element shapes
/eshape,1
eplot
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! ------------------------------------------------------------------
! RESTRIÇÕES NOS APOIOS
! ------------------------------------------------------------------
!
nsel,s,loc,x,0 ! Seleciona os nós cuja coordenada x é 0
nsel,r,loc,y,0 ! Entre os nós selecionados anteriormente, mantém
! ! selecionados apenas os nós cuja coordenada y é 0
d,all,uy ! Restringe o deslocamento na direção y para os nós
! ! selecionados
!
nsel,s,loc,x,183 ! Seleciona os nós cuja coordenada x é 183
d,all,ux ! Restringe o deslocamento na direção x para os nós
! ! selecionados
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! ------------------------------------------------------------------
! CARREGAMENTO
! ANÁLISE NÃO-LINEAR
! ------------------------------------------------------------------
!
! ------------------------------------------------------------------
! 1o CASO DE CARGA - Etapa 1 - Incremento de TEMPO 0 - 28 dias
! ------------------------------------------------------------------
!
nsel,s,loc,x,183 ! Seleciona os nós cuja coordenada x é 183
nsel,r,loc,y,56 ! Entre os nós selecionados anteriormente, mantém
! ! selecionado apenas o nó cuja coordenada y é 56
d,all,uy,-0.000000000000001 ! Aplica deslocamento na direção y para o nó
! ! selecionado
allsel
!
antype,0 ! Análise estática
solcontrol,on
nropt,MODI ! Ferramenta N-R modificado para convergência
!
autots,on ! Propriedades da não-linearidade
nsubst,28,1000,28 ! Especifica o número de substeps do load step
ncnv,2,,3000 ! Critério de parada para terminar a análise
neqit,100 ! Número máximo de equações de equilíbrio
!
CNVTOL,F, ,0.01,2, , ! Tolerância em termos de força
CNVTOL,U, ,0.01,2, , ! Tolerância em termos de deslocamento
!
outres,all,all
!
time,28 ! Time step prescrito
eresx,no
!
LSWRITE,1, ! Número do load step
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
! -------------------------------------------------------------
! 2o CASO DE CARGA - Etapa 2 - Incremento de DESLOCAMENTO
! -------------------------------------------------------------
!
nsel,s,loc,x,183 ! Seleciona os nós cuja coordenada x é 183
nsel,r,loc,y,56 ! Entre os nós selecionados anteriormente, mantém
! ! selecionado apenas o nó cuja coordenada y é 56
d,all,uy,-3 ! Aplica deslocamento na direção y para o nó
! ! selecionado
allsel
!
antype,0 ! Análise estática
solcontrol,on
nropt,MODI ! Ferramenta N-R modificado para convergência
!
autots,on ! Propriedades da não-linearidade
nsubst,400,1000,400 ! Especifica o número de substeps do load step
ncnv,2,,3000 ! Critério de parada para terminar a análise
neqit,100 ! Número máximo de equações de equilíbrio
!
CNVTOL,F, ,0.2,2, , ! Tolerância em termos de força
CNVTOL,U, ,0.2,2, , ! Tolerância em termos de deslocamento
!
outres,all,all
!
time,1 ! Time step prescrito
eresx,no
!
LSWRITE,2, ! Número do load step
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
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! --------------------------------------------------------------------------------------------
! 2o CASO DE CARGA - Etapa 2 - Incremento de DESLOCAMENTO
! --------------------------------------------------------------------------------------------
!
/PREP7
!
nsel,s,loc,x,140 ! Seleciona os nós cuja coordenada x é 140
nsel,r,loc,y,28 ! Entre os nós selecionados anteriormente, mantém
! ! selecionados apenas os nós cuja coordenada y é 28
d,all,uy,-5 ! Aplica deslocamento na direção y para o nó
! ! selecionado
allsel
!
ANTYPE,0 ! Análise estática
LNSRCH,0 ! Ferramenta linesearch para convergência
NLGEOM,ON ! Ativa/desativa linearidade geométrica
NROPT,FULL,,ON ! Ferramenta N-R completo para convergência
nsubst,400,1000,400 ! Especifica o número de substeps do load step
NCNV,0,0,3000,0,0
neqit,100 ! Número máximo de equações de equilíbrio
CNVTOL,F, ,0.2,2, , ! Tolerância em termos de força
CNVTOL,U, ,0.2,2, , , ! Tolerância em termos de deslocamento
!
AUTOTS,on ! Propriedades da não-linearidade
!
TIME,1 ! Time step prescrito OUTRES,ERASE
OUTRES,ALL,1
!
LSWRITE,2, ! Número do load step
!
!---------------------------------------------------------------------------------------------
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
188
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189
PLANE183 is a higher order 2-D, 8-node or 6-node element. PLANE183 has quadratic
displacement behavior and is well suited to modeling irregular meshes (such as those produced
by various CAD/CAM systems).
This element is defined by 8 nodes or 6 nodes having two degrees of freedom at each node:
translations in the nodal x and y directions. The element may be used as a plane element (plane
stress, plane strain and generalized plane strain) or as an axisymmetric element. This element
has plasticity, hyperelasticity, creep, stress stiffening, large deflection, and large strain
capabilities. It also has mixed formulation capability for simulating deformations of nearly
incompressible elastoplastic materials, and fully incompressible hyperelastic materials. Initial
state is supported. Various printout options are also available.
Although a degenerated triangular-shaped element may be formed by defining the same node
number for nodes K, L and O when KEYOPT(1) = 1, it is better to use KEYOPT(1) = 1 for
triangular shaped elements. In addition to the nodes, the element input data includes a thickness
(TK) (for the plane stress option only) and the orthotropic material properties. Orthotropic
material directions correspond to the element coordinate directions.
Pressures may be input as surface loads on the element faces. Positive pressures act into the
element. Temperatures may be input as element body loads at the nodes. The node I temperature
T(I) defaults to TUNIF. If all other temperatures are unspecified, they default to T(I). If all
corner node temperatures are specified, each midside node temperature defaults to the average
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
190
temperature of its adjacent corner nodes. For any other input temperature pattern, unspecified
temperatures default to TUNIF.
The nodal forces, if any, should be input per unit of depth for a plane analysis (except for
KEYOPT(3) = 3 or KEYOPT(3) = 5) and on a full 360° basis for an axisymmetric analysis.
You can use ESYS to orient the material properties and strain/stress output. Use ESYS to
choose output that follows the material coordinate system or the global coordinate system. For
the case of hyperelastic materials, the output of stress and strain is always with respect to the
global Cartesian coordinate system rather than following the material/element coordinate
system.
You can apply an initial stress state to this element via the INISTATE command. The effects
of pressure load stiffness are automatically included for this element. If an unsymmetric matrix
is needed for pressure load stiffness effects, use NROPT,UNSYM.
1.3.1 Nodes
I, J, K, L, M, N, O, P when KEYOPT(1) = 0;
I, J, K, L, M, N when KEYOPT(1) = 1).
UX, UY
1.3.4 KEYOPT(1)
Element shape:
0: 8-node quadrilateral;
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191
1: 6-node triangle.
1.3.5 KEYOPT(3)
Element behavior:
0: Plane stress;
1: Axisymmetric;
2: Plane strain (Z strain = 0.0);
3: Plane stress with thickness (TK) real constant input;
5: Generalized plane strain.
1.3.6 KEYOPT(6)
Element formulation:
0: Use pure displacement formulation (default);
1: Use mixed u-P formulation (not valid with plane stress).
The solution output associated with the element is nodal displacements included in the overall
nodal solution. The element stress directions are parallel to the element coordinate system.
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
192
These shape functions are for the 2-D 8-node and axisymmetric quadrilateral elements:
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193
B.2 REINF263
Use REINF263 with standard 2-D solid and shell elements (referred to here as the base
elements) to provide extra reinforcing to those elements. The element uses a smeared approach
and is suitable for modeling evenly spaced reinforcing fibers that appear in layered form. Each
reinforcing layer contains a cluster of fibers with unique orientation, material, and cross-section
area, and is simplified as a homogeneous membrane having unidirectional stiffness. You can
specify multiple layers of reinforcing in one REINF263 element. The nodal locations, degrees
of freedom, and connectivity of the REINF263 element are identical to those of the base
element. REINF263 has plasticity, stress stiffening, creep, large deflection, and large strain
capabilities.
The REINF263 element and its base element share the same nodes and element connectivity.
You can easily create REINF263 elements from the selected base elements via the EREINF
command. Section commands (SECTYPE and SECDATA) define the material ID, cross-
section area, spacing, location, and orientation of reinforcing fibers. The equivalent thickness h
of the smeared reinforcing layer is given by:
h=A/S
where A is the cross-section area of a single fiber, and S is the distance between two adjacent
fibers.
Each reinforcing layer is indicated by its intersection points (II, JJ for linear base elements, and
II, JJ, KK, for quadratic base elements) with the base elements. Fibers in this layer are always
parallel to the first coordinate axis x. The x axis is default to the first parametric direction S1 at
the center of the layer. The default axis is defined as
where
{x} = h1{x}II + h2{x}JJ + h3{x}KK
{x}II, {x}JJ, {x}KK = global coordinates of intersection points
h1, h2, h3 = line shape functions
You can reorient the layer coordinate system by angle θ (in degrees) for each layer. The value
of θ is also provided for each layer via the SECDATA command. You can use REINF263 to
reinforce 2-D solid elements with plane stress, plane strain, axisymmetric, and generalized
plane strain behaviors, and axisymmetric shells/membranes with or without uniform torsion
capability. The element accounts for various base element behaviors automatically.
REINF263 allows tension-only or compression-only reinforcing fibers. You can specify the
desired fiber behavior (SECCONTROL). The REINF263 element does not accept element
loading. Apply element loading only to the base element. The temperature of the REINF263
element is identical to the temperature of the base element. You can import an initial stress state
for this element (INISTATE).
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195
The solution output associated with the element is nodal displacements included in the overall
nodal solution. The following figure illustrates the axial stress component:
To inspect REINF263 element results, select only REINF263 element results or adjust
translucency level of the base elements before executing any plotting command. REINF263
display options are also available directly via the GUI (Main Menu > Preprocessor > Sections
> Reinforcing > Display Options).
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
196
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
197
B.3 LINK180
LINK180 is a 3-D spar that is useful in a variety of engineering applications. The element can
be used to model trusses, sagging cables, links, springs, and so on. The element is a uniaxial
tension-compression element with three degrees of freedom at each node: translations in the
nodal x, y, and z directions. Tension-only (cable) and compression-only (gap) options are
supported. As in a pin-jointed structure, no bending of the element is considered. Plasticity,
creep, rotation, large deflection, and large strain capabilities are included.
By default, LINK180 includes stress-stiffness terms in any analysis that includes large-
deflection effects. Elasticity, isotropic hardening plasticity, kinematic hardening plasticity, Hill
anisotropic plasticity, Chaboche nonlinear hardening plasticity, and creep are supported. To
simulate the tension-/compression-only options, a nonlinear iterative solution approach is
necessary; therefore, large-deflection effects must be activated (NLGEOM,ON) prior to the
solution phase of the analysis.
The element is defined by two nodes, the cross-sectional area (AREA) input via the SECTYPE
and SECDATA commands, added mass per unit length (ADDMAS) input via the
SECCONTROL command, and the material properties. The element x-axis is oriented along
the length of the element from node I toward node J.
Temperatures may be input as element body loads at the nodes. The node I temperature T(I)
defaults to TUNIF. The node J temperature T(J) defaults to T(I). LINK180 allows a change in
cross-sectional area as a function of axial elongation. By default, the cross-sectional area
changes such that the volume of the element is preserved, even after deformation. The default
is suitable for elastoplastic applications. By using KEYOPT(2), you may choose to keep the
cross section constant or rigid. LINK180 offers compression-and-tension, tension-only, and
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Análise por Elementos Finitos de Peças de Concreto Armado e Protendido sob Estados Planos de Tensão
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compression-only options. Specify the desired behavior via KEYOPT(3). A nonlinear solution
procedure is necessary for these options. You can apply an initial stress state to this element via
the INISTATE command.
3.3.1 Nodes:
I, J
UX, UY, UZ
3.3.3 KEYOPT(2)
Cross-section scaling:
0: Enforce incompressibility; cross section is scaled as a function of axial stretch;
1: Section is assumed to be rigid.
3.3.4 KEYOPT(3)
The solution output associated with the element is nodal displacements included in the overall
nodal solution.
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015
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a) The spar element assumes a straight bar, axially loaded at its ends, and of uniform
properties from end to end;
b) The length of the spar must be greater than zero, so nodes I and J must not be
coincident;
c) The cross-sectional area must be greater than zero;
d) The temperature is assumed to vary linearly along the length of the spar;
e) The displacement shape function implies a uniform stress in the spar;
f) Stress stiffening is always included in geometrically nonlinear analyses
(NLGEOM,ON). Prestress effects can be activated by the PSTRES command;
g) To simulate the tension-/compression-only options, a nonlinear iterative solution
approach is necessary.
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Bruna Manica Lazzari. Porto Alegre: PPGEC/UFRGS 2015