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Lista 2 Indução Matematica
Lista 2 Indução Matematica
Lista 2 Indução Matematica
Matheus Alves
Pn 1 n
1. Prove que, para todo n ≥ 1 ∈ N, i=1 i(i+1) = n+1 .
Pn
2. Prove que, para todo n ≥ 1 ∈ N, i=1 (2i − 1)2 = 13 n(2n − 1)(2n + 1).
h i2
3. Prove que 13 + 23 + · · · + n3 = n(n+1)
2 , para todo n ≥∈ N.
Solução
1. Vamos provar por indução matemática.
Base da indução: n = 1
1
X 1 1 1
= =
i=1
i(i + 1) 1.2 2
Logo, é verdade.
Hipótese de indução(HI): Vamos supor que vale para n = k, ou seja,
k
X 1 k
=
i=1
i(i + 1) k+1
Supondo que vale para n = k, vamos provar que vale para n = k + 1, ou seja, queremos mostrar que
Pk+1 1 k+1
i=1 i(i+1) = k+2
k+1 k
X 1 X 1 1 k 1 (k + 2)k + 1
= + = + = =
i=1
i(i + 1) i=1
i(i + 1) (k + 1)(k + 2) k + 1 (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
k 2 + 2k + 1 (k + 1)2 k+1
= =
(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k+2
1
X 1 1
(2i − 1)2 = · 1 · (2 · 1 − 1) · (2 · 1 + 1) ⇒ (2 · 1 − 1)2 = · 1 · 1 · 3 ⇒ 1 = 1
i=1
3 3
Logo, é verdade.
Hipótese de indução(HI): Vamos supor que vale para n = k, ou seja,
k
X 1
(2i − 1)2 = · k · (2k − 1) · (2k + 1)
i=1
3
Supondo que vale para n = k, vamos provar que vale para n = k + 1, ou seja, queremos mostrar que
Pk+1 1
i=1 (2i − 1)2 = 3 · (k + 1) · (2k + 1) · (2k + 3)
k+1 k
X X
2 1 1
(2i−1) = (2i+1)2 +[2(k+1)−1]2 = ·k·(2k−1)·(2k+1)+(2k+1)2 = ·k·(2k−1)·(2k+1)+(2k+1)(2k+1) =
i=1 i=1
3 3
1
1 1 1
· (2k + 1) · [k(2k − 1) + 3(2k + 1)] = · (2k 2 + 5k + 3) = · (k + 1) · (2k + 3)
3 3 3
1 2
X
3 1(1 + 1)
i = ⇒1=1
i=1
2
Logo, é verdade.
Hipótese de indução(HI): Vamos supor que vale para n = k, ou seja,
k 2
X k(k + 1)
i3 =
i=1
2
Supondo que vale para n = k, vamos provar que vale para n = k + 1, ou seja, queremos mostrar que
Pk+1 h i2
(k+1)(k+2)
i=1 i3 = 2
k+1 2 k
(k + 1)2 (k + 2)2 k 2 (k + 1)2 + 4(k + 1)3 (k + 1)2 (k + 2)2
X k + 1)(k + 2) X
i3 = ⇔ i3 +(k+1)3 = ⇔ = =
i=1
2 i=1
4 4 4