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Ondas Mecânicas
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EXERCÍCIOS
12ª Classe, III – Trimestre – 2023 UNIDADE 6: OSCILACÕES E ONDAS MECÂNICAS E-Mail: carlitosgulela@gmail.com
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A figura representa um corpo a oscilar entre os pontos “A” e “B” passando pelos pontos “C”, “D” e
“E”.
𝑦
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑟
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝛼
Do movimento circular sabe que a velocidade angular é o ângulo descrito na unidade de tempo, por
isso,
𝛼
𝜔= 𝑡
𝛼 = 𝜔. 𝑡
Substituir o produto “ω.t” no lugar de “α” na equação: y r ⋅sen α , e ao mesmo tempo podemos
substituir a letra “r” pela letra “A”, porque o raio é igual a amplitude das oscilações para obter a
equação da elongação em função do temp:
𝒚(𝒕) = 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝝎. 𝒕)
A velocidade angular ou frequência cíclica ou ainda frequência angular pode ser calculada pela
expressão:
𝟐𝝅
𝝎= 𝑻
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EXERCÍCIOS
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Um pêndulo de um relógio realiza 60 oscilações em 120 segundos com uma amplitude de 10 cm.
a) Escreva a equação da elongação em função do tempo.
b) Represente graficamente a equação da elongação em função do tempo.
a)
Dados Fórmula Resolução
𝑡 120
𝑛 = 60 𝑇=𝑛 𝑇= =𝟐𝒔
60
𝑡 = 120 𝑠
𝐴 = 10 𝑐𝑚 = 0,1𝑚 2𝜋 2𝜋
𝑦(𝑡) =? 𝜔= 𝜔= = 𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔
𝑇 2
A seguir vamos construir e preencher a tabela de elongação em função do tempo que se segue
𝑇 𝑇 3𝑇
considerando os seguintes valores do período:0. 𝑇; ; ; 𝑒 𝑇.
4 2 4
𝑇 𝟐 𝟏 1 𝜋
𝑡2 = 4 = 𝟒 = 𝟐 𝒔 𝑦(1) = 0,1. 𝑠𝑒𝑛 (𝜋. 2) = 0,1. 𝑠𝑒𝑛 (2 ) = 0,1.1 = 𝟎, 𝟏 𝒎
2
𝑇 𝟐
𝑡3 = 2 = 𝟐 = 𝟏 𝒔 𝑦(1) = 0,1. 𝑠𝑒𝑛(𝜋. 1) = 0,1. 𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0,1.0 = 𝟎 𝒎
3𝑇 3.2 𝟑 3 3𝜋
𝑡4 = = =𝟐 𝒔 𝑦(3) = 0,1. 𝑠𝑒𝑛 (𝜋. 2) = 0,1. 𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) = 0,1. (−1) = −𝟎, 𝟏 𝒎
4 4 2
𝒚 (𝒎) 𝒕 (𝒔)
0 0
1
0,1
2
0 1
3
−0,1
2
0 2
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Como podemos observar, o gráfico da elongação em função do tempo é uma linha sinusoidal,
cujos máximos correspondem a amplitude.
EXERCÍCIOS
10. A figura representa o gráfico da elongação em função do tempo das oscilações realizadas por um
pêndulo mecânico.
a) Determine a amplitude das oscilações.
b) Calcule o período das oscilações.
c) Calcule a frequência das oscilações.
d) Calcule a frequência cíclica das oscilações.
e) Escreva a equação da elongação em função do tempo
12. O gráfico representa as oscilações realizadas por um oscilador de mola em função do tempo.
a) Qual é a amplitude das oscilações realizadas
pelo oscilador?
b) Calcule o período do movimento.
c) Calcule a frequência cíclica das oscilações.
d) Escreva a equação da elongação em função
do tempo para as oscilações efectuadas pelo
corpo oscilante.
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𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ∆𝑥 2𝜋
cos(𝛽) = ; 𝑣= ; 𝜔= ; 𝛽 + 𝛼 = 90°;
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ∆𝑡 𝑇
𝑣𝑦 𝟐𝝅.𝒓
cos(𝛽) = ; 𝒗= 𝑣𝑦 = 𝑣 . cos(𝛽); 𝛽 = 90° − 𝛼;
𝑣 𝑻
𝐜𝐨𝐬(𝜷) = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)
𝑣𝑦 = 𝜔. 𝑟. cos(𝛼) 𝑟 = 𝐴; 𝛼 = 𝜔. 𝑡
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝑨 . 𝝎
A equação da velocidade em função do tempo também pode ser deduzida aplicando 1ª derivada da equação da
elongação em função do tempo. Assim:
𝑋′(𝑡) = 𝐴 . cos(𝜔. 𝑡) . 𝜔
𝑿′(𝒕) = 𝑨. 𝝎. 𝐜𝐨𝐬(𝝎. 𝒕)
𝒗(𝒕) = 𝑿′(𝒕)
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EXERCÍCIOS
13. A figura representa um oscilador de mola cujo corpo oscila entre os postos B e C passando pelo
ponto D. Sabe-se que o corpo realiza 5 oscilações em 20 segundos.
a) Determine a amplitude das oscilações.
b) Calcule o período das oscilações.
c) Calcule a frequência cíclica das oscilações.
d) Escreva a equação da velocidade em função do tempo para as
oscilações.
16. A equação da velocidade em função do tempo para as oscilações de um corpo é da pela expressão:
𝝅
𝒗(𝒕) = 𝟗. 𝝅. 𝐜𝐨𝐬 (𝟑 𝒕).
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Para construir e fácil interpretação do gráfico da velocidade em função do tempo vamos começar por recordar
o cosseno de ângulos notáveis;
∝ (𝑟𝑎𝑑) 𝜋 3𝜋
0 𝜋 2𝜋
2 4
cos(∝) 1 0 -1 0 1
Um menino oscila numa corda muito comprida realizando 20 oscilações em 400 segundos com uma amplitude
de 10 m.
a) Escreva a equação da velocidade em função do tempo.
b) Represente graficamente a equação da velocidade em função do tempo.
Dados Fórmula Resolução
𝑡 400
𝑛 = 20 𝑇= 𝑇= = 𝟐𝟎 𝒔
𝑛 20
𝑡 = 400 𝑠 2𝜋 𝜋 2𝜋 𝝅
𝜔= 20
= 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔= = 𝟏𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒔
20
𝐴 = 10 𝑚
𝑣(𝑡) = 𝐴. 𝜔. cos(𝜔. 𝑡) 𝜋 𝜋
𝑣(𝑡) = 10. . cos ( . 𝑡)
10 10
𝑣(𝑡) =? 𝝅
𝒗(𝒕) = 𝝅. 𝐜𝐨𝐬 ( . 𝒕)
𝟏𝟎
𝝅
Resposta: A equação da velocidade em função do tempo é dada pela expressão 𝒗(𝒕) = 𝝅. 𝐜𝐨𝐬 ( . 𝒕) em
𝟏𝟎
unidades do SI.
A seguir vamos construir e preencher a tabela de aceleração em função do tempo que se segue
𝑇 𝑇 3𝑇
considerando os seguintes valores do período:0. 𝑇; ; ; 𝑒 𝑇.
4 2 4
𝜋
𝑡1 = 0. 𝑇 = 0.20 = 𝟎 𝒔 𝑣(0) = 𝜋. cos (
10
. 0) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. cos(0) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. 1 ⟹ 𝒗(𝟎) = 𝝅 𝒎/𝒔
𝑇 20 𝜋 𝜋
𝑡2 = 4 = 4
=𝟓𝒔 𝑣(5) = 𝜋. cos ( . 5) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. cos ( ) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. 0 ⟹ 𝒗(𝟎) = 𝟎 𝒎/𝒔
10 2
𝑇 20 𝜋
𝑡3 = 2 = = 𝟏𝟎 𝒔 𝑣(10) = 𝜋. cos ( . 10) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. cos(𝜋) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. −1 ⟹ 𝒗(𝟎) = −𝝅 𝒎/𝒔
2 10
3𝑇 3.20 60 𝜋 3𝜋
𝑡4 = = = = 𝟏𝟓 𝒔 𝑣(15) = 𝜋. cos (10 . 15) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. cos ( 2 ) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. 0 ⟹ 𝒗(𝟎) = 𝟎 𝒎/𝒔
4 4 4
𝜋
𝑡5 = 𝑇 = 𝟐𝟎 𝒔 𝑣(20) = 𝜋. cos ( . 20) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. cos(2𝜋) ⟹ 𝑣(0) = 𝜋. 1 ⟹ 𝒗(𝟎) = 𝝅 𝒎/𝒔
10
𝒗 (𝒎/𝒔) t (s)
𝜋 0
0 5
−𝜋 10
0 15
𝜋 20
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Como podemos observar, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma linha sinusoidal que
representa a função cosseno, em que os máximos correspondem a velocidade máxima.
EXERCÍCIOS
17. A figura representa o gráfico da velocidade em função do tempo das oscilações realizadas por um
oscilador de mola.
a) Qual é a velocidade máxima das oscilações?
b) Calcule o período das oscilações.
c) Calcule a frequência cíclica das oscilações.
d) Determine a amplitude das oscilações.
e) Escreva a equação da velocidade em função do tempo.
f) Escreva a equação da elongação em função do tempo.
18. A figura representa um pêndulo que oscila entre os pontos “D” e “E”, passando pelo ponto “F”.
O corpo realiza 100 oscilações em 20 segundos.
a) Determine a amplitude das oscilações.
b) Calcule o período das oscilações.
c) Calcule a frequência cíclica.
d) Escreva a equação velocidade em função do tempo para
as oscilações efectuadas pelo corpo.
e) Construa o gráfico da velocidade em função do tempo.
f) Escreva a equação da elongação em função do tempo para as oscilações efectuadas pelo corpo.
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A aceleração centrípeta é dada pelas expressões abaixo e a sua unidade no SI é metro por segundo ao
quadrado (m/s2).
𝒗𝟐
𝒂𝒄 = Ou 𝒂𝒄 = 𝝎𝟐 . 𝒓
𝒓
Quando o pêndulo está na posição “E” por exemplo, forma um ângulo “α” com o eixo “x” e por isso
o lado “ay” é o cateto oposto ao ângulo “α” e “ac” é a hipotenusa, portanto,
𝑎𝑦 𝛼
𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝜔= Substituindo 𝑎𝑐𝑦 = 𝑎𝑐 . 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑎𝑐 𝑡
Onde “a” é a aceleração; “A” é a amplitude, “𝜔” é a velocidade angular e “t” é o tempo.
O sinal negativo na aceleração é porque o seu sentido é sempre oposto ao sentido da elongação.
𝒂𝒎𝒂𝒙 = 𝝎𝟐 . 𝑨
A equação da aceleração em função do tempo também pode ser deduzida com base na 2ª derivada da
equação da elongação em função do tempo: a(t) = x´´(t) (o que corresponde a 1ª derivada da
velocidade em função do tempo:
′
𝑣(𝑡) = 𝐴. 𝜔. cos(𝜔. 𝑡) ⟺ 𝑣(𝑡) = [𝐴. 𝜔. cos(𝜔. 𝑡)]′
′ ′
𝑣(𝑡) = 𝐴. 𝜔[cos(𝜔. 𝑡)]′ . (𝜔. 𝑡)′ ⟺ 𝑣(𝑡) = −𝐴. 𝜔. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡). (𝜔)
𝑣′(𝑡) = −𝐴. 𝜔2 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) ⟺ 𝒂(𝒕) = 𝒗′(𝒕)
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EXERCÍCIOS
21. A equação da aceleração em função do tempo de um movimento oscilatório é dada pela expressão:
𝑎(𝑡) = −16𝜋 2 . 𝑠𝑒𝑛(4𝜋. 𝑡) em unidades do SI.
a) Qual é a aceleração máxima das oscilações?
b) Qual é a frequência cíclica das oscilações?
c) Calcule o período das oscilações.
d) Calcule a amplitude das oscilações.
e) Escreva a equação da elongação em função do tempo.
f) Escreva a equação da velocidade em função do tempo.
22. A figura representa um pêndulo que oscila entre os pontos “D” e “E”,
passando pelo ponto “F”. O corpo realiza 10 0scilações em 20
segundos.
a) Qual é a amplitude das oscilações?
b) Calcule o período das oscilações.
c) Calcule a frequência cíclica das oscilações.
d) Escreva a equação da aceleração em função do tempo.
23. A equação da aceleração em função do tempo de um movimento oscilatório é dada pela expressão:
𝑎(𝑡) = −9𝜋 2 . 𝑠𝑒𝑛(𝜋. 𝑡) em unidades do SI.
a) Qual é a aceleração máxima das oscilações?
b) Qual é a frequência cíclica das oscilações?
c) Calcule o período das oscilações.
d) Calcule a amplitude das oscilações.
e) Escreva a equação da elongação em função do tempo.
f) Escreva a equação da velocidade em função do tempo.
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Um sino de uma igreja faz 3 oscilações em 9 segundos com uma amplitude de 0,1m.
a) Calcule o período do movimento.
b) Calcule a frequência cíclica
c) Escreva a equação da aceleração em função do tempo.
a)
Dados Fórmula Resolução
𝑛=3 𝑡 𝑇=3
6
𝑇=
𝑡 =6𝑠 𝑛
𝑻=𝟑𝒔
𝑇 =?
Resposta: O período é de 3 s.
b)
Dados Fórmula Resolução
𝑇 = 3𝑠 2𝜋 2𝜋
𝜔= 𝜔= 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜔 =? 𝑇 3
2𝜋
Resposta: A frequência cíclica é de 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
3
c)
Dados Fórmula Resolução
1 1 2𝜋 2 2𝜋
𝐴 = 0,1𝑚 = 10 𝑚 𝑎(𝑡) = − 10 . ( 3 ) 𝑠𝑒𝑛( 3 . 𝑡)
2𝜋
𝜔 = 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠
1 4𝜋 2 2𝜋
𝑎(𝑡) =? 𝑎(𝑡) = −𝐴. 𝜔2 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) 𝑎(𝑡) = − 10 . 𝑠𝑒𝑛( 3 . 𝑡)
9
4𝜋 2 2𝜋
𝑎(𝑡) = − 𝑠𝑒𝑛( 3 . 𝑡)
45
4𝜋 2 2𝜋
Resposta: A equação da aceleração em função do tempo é dada pela expressão: 𝑎(𝑡) = − 𝑠𝑒𝑛( 3 . 𝑡)
45
A seguir vamos construir e preencher a tabela de aceleração em função do tempo que se segue
𝑇 𝑇 3𝑇
considerando os seguintes valores do período:0. 𝑇; ; ; 𝑒 𝑇.
4 2 4
4𝜋 2 2𝜋 4𝜋 2
𝑡1 = 0. 𝑇 = 0.3 = 𝟎 𝒔 𝑎(0) = − 𝑠𝑒𝑛 ( 3 . 0) = − . 0 = 𝟎 𝒎/𝒔𝟐
45 45
𝑇 𝟑 4𝜋 2 2𝜋 3 4𝜋 2 4𝜋 2
𝑡3 = 2 = 𝟐 𝒔 𝑎 (3 ) = − 𝑠𝑒𝑛 ( 3 . 2) = − 𝑠𝑒𝑛(𝜋) = − . 0 = 𝟎 𝒎/𝒔𝟐
2 45 45 45
4𝜋 2 2𝜋 4𝜋 2 4𝜋 2
𝑡5 = 𝑇 = 𝟑 𝒔 𝑎 (3 ) = − 𝑠𝑒𝑛 ( 3 . 3) = − 𝑠𝑒𝑛(2𝜋) = − . 0 = 𝟎 𝒎/𝒔𝟐
2 45 45 45
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𝒂 (𝒎/𝒔2 ) t (s)
0 0
2 3
4𝜋
−
45 4
3
0
2
4𝜋 2 9
45 4
0 3
O gráfico da aceleração em função do tempo é uma linha sinusoidal, cujos máximos correspondem a
aceleração máxima.
EXERCÍCIOS
25. Um menino oscila num baloiço realizando 5 oscilações em 25 segundos com uma amplitude de 5 metros.
a) Calcule o período das oscilações.
b) Calcule a frequência cíclica.
c) Escreva a equação da aceleração em função do tempo para as oscilações efectuadas pelo corpo.
d) Construa o gráfico da aceleração em função do tempo.
26. O gráfico representa as oscilações realizadas por um oscilador de mola em função do tempo.
a) Qual é a aceleração máxima das oscilações?
b) Calcule o período das oscilações.
c) Calcule a frequência cíclica das oscilações.
d) Calcule a amplitude das oscilações.
e) Escreva a equação da aceleração em função do
tempo para as oscilações efectuadas pelo corpo
oscilante.
f) Escreva a equação da velocidade em função do
tempo para as oscilações efectuadas pelo corpo
oscilante.
g) Escreva a equação da elongação em função do tempo para as oscilações efectuadas pelo corpo
oscilante.
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Força restauradora é a força responsável pela reposição do movimento do corpo oscilante. Observa a
figura:
Equação de Thompson
𝐹𝑟
𝑠𝑒𝑛 ∝= ⟹ 𝐹𝑟 = 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛 ∝ Pela segunda lei de Newton temos: 𝐹𝑟 = 𝑚. 𝑎
𝑚.𝑔
𝐴
Assim: 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚. 𝑎 Conforme a figura temos que: 𝑠𝑒𝑛 ∝= 𝑙
𝐴
Substituindo: 𝑚. 𝑔. 𝑙 = 𝑚. 𝑎 da equação da aceleração vem: 𝑎 = 𝜔2 . 𝐴
𝐴 𝑚.𝑔.𝐴 𝑔
Então: 𝑚. 𝑔. 𝑙 = 𝑚. 𝜔2 . 𝐴 ⟹ 𝑚. 𝑔. 𝐴 = 𝑚. 𝜔2 . 𝐴. 𝑙 ⟹ 𝜔2 = ⟹ 𝜔2 =
𝑚.𝐴.𝑙 𝑙
2𝜋 𝑔
Sabe-se que 𝜔= e substituindo na equação: 𝜔2 = temos:
𝑇 𝑙
2𝜋 2 𝑔 4𝜋 2 𝑔 4𝜋 2 𝑙
⟹ (𝑇) = ⟹ = ⟹ 𝑇 2 . 𝑔 = 4𝜋 2 . 𝑙 ⟹ 𝑇2 =
𝑙 𝑇2 𝑙 𝑔
4𝜋 2 .𝑙 𝒍
⟹𝑇=√ 𝑻 = 𝟐𝝅√ ⟶ Em honra ao cientista Thompson, esta equação é
𝑔
𝒈
designada de Equação de Thompson.
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A semelhança do que vimos em um pendulo simples, vamos também usar o conhecimento da força
restauradora para determinar a relação de proporcionalidade entre o período de oscilações de um
oscilador de mola da sua massa e da constante elástica da mola.
De acordo com a Lei de Hooke, a força elástica “𝐹𝑒𝑙 ” é directamente proporcional à deformação ou
elongação “X” sofrida pela mola.
𝑭𝒆𝒍 = 𝒌. 𝑨
A forca elástica “𝑭𝒆𝒍 ” é a força restauradora “𝑭𝒓 ” responsável por repor o movimento oscilatório;
𝑘.𝐴 𝑘
𝑘. 𝐴 = 𝑚. 𝜔2 . 𝐴 𝜔2 = 𝑚.𝐴 ⟹ 𝜔2 = 𝑚
2𝜋
Usando a expressão da frequência cíclica 𝜔 = , temos:
𝑇
2𝜋 2 𝑘 4𝜋 2 𝑘 4𝜋 2 .𝑚
(𝑇) = 𝑚 ⟹ =𝑚 ⟹ 𝑇 2 . 𝑘 = 4𝜋 2 . 𝑚 ⟹ 𝑇2 =
𝑇2 𝑘
4𝜋 2 .𝑚 𝒎
𝑇=√ ⟹ 𝑻 = 𝟐𝝅√ ⟶ Expressão da equação de Thompson para
𝑘
𝒌
oscilador de mola.
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