Libro - Matemática PPVJ 2019

Á R E A D E M AT E M ÁT I C A
M AT E M ÁT I C A
P R E U N I V E R S I TA R I O P O P U L A R V Í C T O R J A R A
ÁREA DE MATEMÁTICA PPVJ 2019
publicado por preuniversitario popular víctor jara
Tercera edición, febrero 2019

3
Dedicado a ti, con cariño, estudiante, con el afán de
contribuir a tu proceso educativo y a darte la oportunidad que
el sistema te ha negado. Úsalo bien.

4
Presentación
El presente libro pretende combatir, mediante la organización popular, los valores segregadores del capitalismo.
Segregación representada en el sistema educativo, y evidenciada en la abrumadora diferencia de oportunidades
entre los sectores acomodados y los sectores empobrecidos. Siendo en estos últimos donde encontramos los
centros educativos con mayor deserción y, por consecuencia, a las personas con menos oportunidades laborales y
con nula participación en la toma de decisiones a nivel social.
Es por lo anterior que pretendemos generar una herramienta para las y los estudiantes que, sin importar los
conocimientos básicos sobre la disciplina que posean, deseen aprender matemática y que, si así lo desean, les
sirva para ingresar a un centro de educación superior. Esperamos que este texto le sea de utilidad al lector o a
la lectora para lograr una educación integral, reflexiva, y emancipadora.
CONTENIDO
El contenido del libro contempla las bases curriculares de matemática de la enseñanza media, así como también
algunos tópicos de la enseñanza básica. Además, hemos querido agregar una unidad introductoria para facilitar
la comprensión de la disciplina. De esta forma, los temas a tratar son: lógica, conjuntos, números, álgebra,
funciones, geometría euclidiana, geometría cartesiana, geometría vectorial, estadística y probabilidades.
ESTRUCTURA
El libro está estructurado en cinco unidades, enumeradas del 0 al 4: Unidad 0: Introducción a la Matemática,
Unidad 1: Números, Unidad 2: Álgebra, Unidad 3: Geometría y Unidad 4: Datos y Azar. Estos nombres se
corresponden con los Ejes Temáticos propuestos por el DEMRE con los que se dividen las preguntas de la
Prueba de Selección Universitaria, a excepción de la Unidad 0, como ya se dijo. Cada unidad se divide en
secciones y, estas a su vez, en subsecciones.
Cada página, está dividida en dos columnas, una grande donde se encuentra el cuerpo del texto, y una pequeña
donde se encuentran los cuadros y las imágenes.
El cuerpo del texto, además de la materia, cuenta con tres ambientes diferentes: Para discutir, Comprensión
lectora y Objetivo PSU. El ambiente Para discutir tiene como objetivo el cuestionamiento y la reflexión respecto
de ciertos temas en específico; el ambiente Comprensión lectora contiene preguntas relacionadas con un texto
matemático, las que buscan la abstracción por parte del lector o la lectora y el desarrollo de diferentes habilidades;
y el ambiente Objetivo PSU enuncia de forma específica el objetivo propuesto por el DEMRE para cierto
contenido.
Además, el cuerpo contiene tres tipos diferenciados de ejercicios: Problema, Ejemplo y Ejercitación. El Problema
presenta una situación y pide por parte del lector o la lectora contextualizarse en ella; el Ejemplo enuncia un
ejercicio y contiene su desarrollo; y la Ejercitación enlista ejercicios relacionados con los temas recién tratados y
pide resolverlos al lector o la lectora.
5
En cuanto a la columna pequeña, existen tres tipos de cuadros al margen, los que se explican en la siguiente
tabla:
Nombre Explicación Símbolo
El cuadro Observación contiene comentarios, indicaciones,

Observación notas o ejemplos con respecto al contenido mismo del que
se está hablando en el cuerpo del texto.
El cuadro Sabías que ...? contiene anécdotas, datos históricos

Sabías que ...? y curiosos y aplicaciones que hacen referencia al texto del
cuerpo.
El cuadro Usted no lo haga enuncia errores comunes que se

Usted no lo haga cometen al momento de aplicar el contenido descrito en el
cuerpo del texto.
Al final de cada capítulo, el libro cuenta con un resumen y con una evaluación de la unidad, compuesta por 20
preguntas de alternativas, a excepción de la unidad 0.
Esperamos que el libro que te presentamos te sea útil. Cualquier error, comentario o acotación, por favor escribe
un mail al correo matematica@preuvictorjara.cl.
Un teorema, una verdad matemática, es lo más cercano que estamos a tener en nuestras manos un pedazo de
auténtica eternidad. Ya solo por ese privilegio, la razón para estudiar matemática está bien justificada.
Índice general
Página
Unidad 0 Introducción a la Matemática 7

0.1 Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.2 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Unidad 1 Números 15
1.1 Números naturales y enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.5 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Unidad 2 Álgebra 69
2.1 Lenguaje algebraico y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2 Factorización y fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4 Ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.5 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.6 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.7 Teoría de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.8 Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Unidad 3 Geometría 163

3.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.2 Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.3 Área y perímetro de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.4 Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5 Geometría analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.6 Geometría del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Unidad 4 Datos y azar 255

4.1 Estadística descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.2 Técnicas de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.3 Probabilidad clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.4 Variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.5 Variable aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Unidad 0
Introducción a la Matemática
Como todas las disciplinas, la matemática tiene una base

que sustenta todo lo que hoy se conoce de ella. Tal como en una gran
edificación, es necesario realizar una construcción minuciosa para que
cada pieza encaje en su lugar. Cada una de estas debe afirmarse con la
anterior, generando un edificio que no tenga posibilidad de derrumbe.
De gran importancia es, pues, dar una mirada al soporte de esta
ciencia y, de esta forma, llegar a la comprensión sublime del significado
del fundamento, de la justificación, de la demostración.
0.1 Lógica
0.2 Conjuntos
8 matemática ppvj 2019
0.1 | Lógica
Sabías que...? La lógica es la herramienta que usan quienes estudian matemáticas para
desarrollar su disciplina y, por tanto, el objetivo fundamental del estudio
La palabra lógica deriva
del griego logikê, que sig- de ella es describir en qué consiste una argumentación matemática. Para
nifica “dotada de razón”. lograrlo, en primer lugar se expondrán brevemente las reglas de la lógica
Tradicionalmente se consideró
una rama de la filosofía, pero
y, por último, se explicará en qué consiste una teoría matemática.
desde finales del siglo XIX su
formalización simbólica ha de- La lógica es un esquema de reglas que permite deducir verdades a
mostrado una íntima relación partir de otras verdades. El medio que lleva de las primeras verdades a
con las matemáticas, y dio lu-
gar a la lógica matemática.
las otras se llama razonamiento lógico. La lógica estudia precisamente
esto, estableciendo cuándo un razonamiento es válido y cuándo no.
Problema:
Soluciona el siguiente acertijo de los Simpson:
Homero exclamó: “Veamos, necesito llevar a la bebé, al perro y al veneno al otro lado del río, pero solo puedo
llevar una cosa a la vez. No puedo dejar a la bebé sola con el veneno y no puedo dejar al perro solo con la
bebé. Y ahora, ¿quién me ayuda con este acertijo?”.
0.1.1 Proposiciones
Definicón. Una proposición es un enunciado objetivo y no ambiguo que
se puede juzgar como verdadero o falso.
Ejemplos: (Completa los espacios faltantes).
Son proposiciones: No son proposiciones:

La Segunda Guerra Mundial comenzó el año 1939. Víctor Jara es un gran cantautor.
El flúor es el elemento de mayor electronegatividad. Las Matemáticas son entretenidas.
La célula vegetal tiene pared celular. La Educación debe ser gratuita y de calidad.
0.1.2 Conectores de proposiciones

Los conectores permiten construir nuevas proposiciones a partir de
otras. Se estudiarán los siguientes conectores: negación, conjunción,
disyunción, implicación y doble implicación. De aquí en adelante
se utilizarán letras latinas minúsculas para representar proposiciones
cualesquiera, en general p y q.
introducción a la matemática 9
Definición. La negación de una proposición p es la proposición cuyo Observación
valor de verdad es el opuesto de p. Se denota por ¬p y se lee “no p”. Algunos ejemplos para es-
tos conectores son:
Definición. La conjunción de dos proposiciones p y q, es una nueva Negación
proposición que requiere que p y q ocurran simultáneamente. Se denota La negación de aprobar una
por p ∧ q y se lee “p y q”. prueba es reprobar una prue-
ba.
Definición. La disyunción de dos proposiciones p y q, es una nueva Conjunción
proposición que requiere que ocurra o p o q o ambas. Se denota por p ∨ q
Necesito agua y una bolsita de
y se lee “p o q”. té para poder tomarme un té.
Disyunción
Definición. La implicación de p y q es una proposición que se construye
Puedo escribir si tengo lápiz mi-
considerando a q una consecuencia de p. Se denota por p ⇒ q. En el
na o lápiz pasta.
lenguaje corriente se usa la expresión “si p . . . , entonces q”, donde p es
Implicación
la causa y q es la consecuencia.
Si tengo el pelo negro, entonces
tengo el pelo oscuro.
Definición. Si dos proposiciones están relacionadas con el conector
doble implicación, significa que una implica la otra y viceversa. La doble Doble implicación
implicación de p y q se denota por p ⇔ q y se lee “si y solo si”. Un elemento químico es Hidró-
geno si y solo si su número ató-
mico es igual a 1.
0.1.3 Teoría matemática

Observación
La matemática deduce resultados nuevos a partir de otros ya conocidos
Un ejemplo de axioma,
usando la herramienta de la lógica. Una teoría matemática es el definición y teorema se
conjunto de axiomas, definiciones y teoremas, así que será necesario ilustra a continuación:
definir cada uno de ellos. Existe una única especie

doméstica que ladra.
(Axioma)
Definición
↓
Son las proposiciones de partida de una teoría, por Los animales domésticos que
Axiomas
tanto, no pueden ser probadas dentro de ella. ladran se llaman perros.
Es la asignación de un nombre a un objeto o propie- (Definición)

Definiciones
dad. ↓
Son los resultados de la teoría y, por lo tanto, una Si un animal ladra, entonces
Teoremas es perro.
afirmación demostrable.
(Teorema)
Ejercitación:
1. Construye 1 proposición por cada conector.
2. Da un ejemplo de axioma → definición → teorema.
3. Describe, con tus palabras, cómo se construye una teoría matemática.

0.2 | Conjuntos
La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza en “colecciones”
o “conjuntos” es algo muy habitual en la vida, por ejemplo, cuando se
habla del “conjunto de estudiantes del preuniversitario” o del “conjunto
de libros de la biblioteca del colegio”. En estos ejemplos, se utiliza el
concepto de conjunto para hacer referencia a una colección de objetos,
los cuales pueden ser de cualquier categoría: animales, plantas, personas,
números, etc.
Observación Definición. Un conjunto es una colección de elementos. Se usan letras

latinas mayúsculas como A, B, C, etc., para denotar conjuntos y letras
Dos conjuntos son igua-
les si y solo si tienen los minúsculas como x, y o z para denotar elementos de un conjunto. Se
mismos elementos. utiliza el símbolo de pertenencia “∈” para decir que un elemento x
pertenece al conjunto A, lo que se denota por x ∈ A.
Existen dos formas de escribir conjuntos: por comprensión y por
extensión. En cualquier caso, siempre se usan llaves ({}) para anotarlos.
Observación Definición
Por ejemplo, el conjunto
A que contiene a las le- Consiste en nombrar uno a uno todos los elementos
Por
tras que son vocales, se de un conjunto, es decir, se escriben cada uno los
escribe por extensión y com- extensión
prensión, respectivamente, co-
elementos que pertenecen a este.
mo: Consiste en escribir un conjunto utilizando una
A = {a, e, i, o, u} Por propiedad que identifique a sus elementos. Se usa la
A = {vocales} comprensión notación {x ∈ A | p(x)} para decir “los elementos
de A que cumplen la propiedad p”.
Observación Otras definiciones útiles al momento de trabajar con conjuntos son

Se observa que:
las siguientes:
Todo conjunto es sub- Definición. Sean A y B conjuntos, se dice que A es subconjunto de

conjunto de sí mismo. B, denotado por A ⊆ B, si y solo si todos los elementos de A están en B.
El vacío es subconjunto de

Definición. Existe un conjunto que no tiene ningún elemento, se llama
todos los conjuntos.
vacío y se denota por φ.
Ejercitación:
4. Piensa en un conjunto. Luego escríbelo por extensión y comprensión.
5. A partir del conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y las proposiciones “p(x) afirma que x es mayor que
5” y “q (x) afirma que x es mayor que 2 y menor que 8”, escribe por extensión los siguientes conjuntos:
a) C = {x ∈ B | p(x)} b) D = {x ∈ B | q (x)} c) E = {x ∈ D | p(x)}
6. Sea el conjunto A = {1, 2, 3}. Escribe todos los subconjuntos de A.

0.2.1 Unión, intersección y complemento
A continuación se estudiarán tres operaciones muy importantes defi-

nidas para conjuntos: la unión, intersección y el complemento. Una
manera de visualizar la unión, intersección y el complemento es a través
Figura 0.1: Unión de los conjuntos A y
de los Diagramas de Venn. Un Diagrama de Venn consiste en dos o B.
más áreas circulares que representan conjuntos y las relaciones que hay
entre ellos.
Definición. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto de los

elementos que están en A o que están en B, o en ambos, lo que se denota
por A ∪ B. Se observa el Diagrama de Venn en la Figura 0.1. Figura 0.2: Intersección de los conjuntos
A y B.
Definición. La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de
los elementos que están en A y en B simultáneamente, lo que se denota
por A ∩ B. Se observa el Diagrama de Venn en la Figura 0.2.
Definición. Sean A y B conjuntos donde A ⊆ B, el complemento de

A es el conjunto de todos los elementos de B que no pertenecen a A y
Figura 0.3: Complemento del conjunto
se denota por Ac . Se observa el Diagrama de Venn en la Figura 0.3. A.
Ejercitación:
7. Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} y C = {1, c} conjuntos, determina:
a) A ∩ C c) B ∩ C e) A ∩ (B ∪ C )
b) A ∩ B d) (A ∪ B ) ∩ C f) A ∪ (B ∩ C )
8. Considera el conjunto que contiene a las letras de nuestro abecedario. En este contexto, ¿cuál es el
complemento del conjunto de las letras que son vocales?
Resumen
Las proposiciones son enunciados que Una teoría matemática está formada
se pueden juzgar como verdaderos o fal- por axiomas y teoremas.
sos.
Un axioma es una proposición de parti-
Los conectores de proposición permi- da que se asume como cierta, mientras
ten construir nuevas proposiciones a par- que un teorema es una consecuencia o
tir de otras dadas. Estos son: negación resultado de axiomas o proposiciones ya
(¬), conjunción (∧), disyunción (∨), probadas (cada teorema debe llevar su
implicación (⇒) y doble implicación demostración).
(⇔).
Un conjunto es una colección de elementos. Se pueden escribir conjuntos de dos formas: por
extensión o comprensión. Escribir un conjunto por extensión significa nombrar uno a uno sus
elementos, mientras que por comprensión significa utilizar una característica que los identifique
a todos.
Si A y B son conjuntos, se dice que A es subconjunto de B si y solo si todos los elementos de

A están en B.
Al conjunto que no tiene elementos se le llama vacío (φ).
Las tres operaciones básicas entre conjuntos son: unión, intersección y complemento.
Evaluación de Unidad
1. Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto,
¿cuál de las siguientes alternativas es correcta?
A) Todos los neumáticos son flexibles y negros

B) Todos los neumáticos son negros
C) Solo algunos neumáticos son de goma
D) Todos los neumáticos son flexibles
E) Todos los neumáticos son negros y algunos de goma
2. La alumna Adriana del Preuniversitario Popular Victor Jara debe rendir tres ensayos PSU (lenguaje,
matemática e historia) los días lunes, miércoles y sábado, pudiendo rendir solo uno al día. Para
saber qué día debe rendir cada ensayo es suficiente saber que:
(1) El ensayo de matemática se rinde antes que el de lenguaje.
(2) El ensayo de historia se rinde después del ensayo de matemática.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
3. Si de un conjunto se pueden obtener exactamente 8 subconjuntos, ¿cuántos elementos tiene ese

conjunto?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
4. Todas las ostras son conchas. Todas las conchas son azules. Además algunas conchas son morada de
pequeños animales. A partir de lo anterior, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera?
A) Ninguna ostra es morada de pequeños animales.
B) Todas las ostras son morada de pequeños animales.
C) Algunas ostras son morada de pequeños animales.
D) Todas las ostras son azules.
E) Ninguna de las anteriores.
5. Alguien dice que todas las ovejas son blancas, pero un día ves una oveja negra. ¿Qué puedes afirmar
a partir de esto?
A) Ninguna oveja es blanca.
B) No todas las ovejas son blancas.
C) Todas las ovejas son blancas excepto una.
D) Todas las ovejas son negras.
6. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto E = {1, 2} ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. Sean los conjuntos S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, E = {2, 3, 5, 7} y H = {3}. ¿Cuántos subconjuntos tiene
S ∩ E ∩ H?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 9 E) 11
8. Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, la escritura por extensión del conjunto T = {x ∈ E | x ≤ 4} es

A) {5, 6, 7, 8}
B) {4, 5, 6, 7, 8}
C) {1, 2, 3, 4}
D) {1, 2, 3}
E) {0, 1, 2, 3, 4}
9. Sea el conjunto S = {2, 3, 4} subconjunto de E = {1, 2, 3, 4}. ¿Cuál de las siguientes alternativas
corresponde a una escritura por comprensión de S?
A) {x ∈ E | x < 2}
B) {2, 3, 4}
C) {x ∈ E | x > 2}
D) {x ∈ E | x > 1}
E) {x ∈ E | x < 1}
10. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) proposiciones lógicas?

I. ¿Vendrás mañana?
II. 2 + 1 = 5
III. Está lloviendo en Aysén.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
11. La oración “el conjunto vacío es un conjunto que carece de elementos” corresponde a un(a)
A) axioma.
B) definición.
C) teorema.
D) hipótesis.
11. Sean los conjuntos A = {2, 3, 5}, B = {1, 2, 3} y C = {2, 4, 6}, ¿cuál de los siguientes Diagramas de
Venn es correcto?
A) A B C D) A B
3 5 2 1 2 6 3 1
5
2 3 4 2
6
B) A B C 4
5 2 6 C
3 1 2
E) A B
2 3 4
2 2
3 1
5
C) A B C
3 2 3
3
6
3 1 6
5 2 4
2 2
4
C
Alternativas Correctas
1. D 4. B 7. C 10. D 13. D
2. E 5. B 8. D 11. D
3. D 6. D 9. C 12. B
Unidad 1
Números
Como es sabido, la matemática tiene múltiples áreas: arit-

mética, álgebra, geometría, probabilidad y estadística, entre otras. La
aritmética, en particular, tiene como objeto de estudio a los números y
las operaciones elementales hechas con ellos.
El número es la abstracción que encarna magníficamente las cantidades.

Es una expresión inherente al Ser Humano, a su condición y a sus
relaciones. La creación del número es, sin duda, el origen de una de las
construcciones más grandiosas de la humanidad.
1.1 Números naturales y enteros 1.4 Números reales

1.2 Números racionales 1.5 Números complejos
1.3 Potenciación
1.1 | Números naturales y en-

Sabías que...?
teros
En Mesopotamia, alrede- «La noción de número y de contar, así como los nombres de los
dor del 4000 a. C., fue
donde aparecieron los pri- números más pequeños y más comúnmente empleados, se remonta a
meros vestigios sobre los núme- épocas prehistóricas, y yo no creo que haya hoy sobre la Tierra una
ros. Estos consistieron en gra-
tribu de seres humanos, por más primitiva que sea, que no tenga alguna
bados de señales en forma de
cuñas sobre pequeños tableros noción del número. Con la invención de la escritura (un paso que define
de arcilla, empleando para ellos la línea de separación entre lo “prehistórico” y lo “histórico”), tuvo que
un palito aguzado. De aquí el
nombre de escritura cunei- darse el paso siguiente: había que escribir los números. Por supuesto
forme. que uno puede inventar fácilmente símbolos escritos para las palabras
que representan números dados; es tan fácil como escribir cualquier otra
Sabías que...? palabra. En castellano podemos escribir el número de dedos de una mano
como “cinco” y el número de dígitos de las cuatro extremidades como
La numeración romana
es un sistema de nume- “veinte”.
ración que se desarrolló
en la Antigua Roma y se utili- »Pero ya desde el comienzo de la cuestión los recaudadores de im-
zó en todo el Imperio Romano,
manteniéndose con posteriori-
puestos de los reyes, los cronistas y los escribas notaron que los números
dad a su desaparición y todavía tienen la peculiaridad de estar ordenados. Había una forma determinada
utilizado en algunos ámbitos. de contar números, y cualquier número podía definirse contando hasta
Este sistema emplea algunas le- llegar a él. Entonces, por qué no hacer signos que se contaran hasta llegar
tras mayúsculas como símbolos
para representar ciertos valores.
al número en cuestión. Así, si hacemos que “uno” se represente por ’ y
Los números se escriben como “dos” por ’ ’, y “tres” por ’ ’ ’, podemos determinar sin problemas el
combinaciones de letras. Por número indicado por un símbolo dado. Usted puede ver, por ejemplo,
ejemplo, el año 2017 se escribe
como MMXVII, donde cada M que el símbolo ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ quiere decir “veintitrés”.
representa 1000, la X represen- Más aún, este símbolo es universal. En cualquier idioma que usted cuente
ta 10 más, V representa cinco
unidades más y I simboliza una
el símbolo representará el número “veintitrés”, sea cual fuere el sonido
unidad adicional. que su idioma particular emplee para representarlo.
Está basado en la numeración
etrusca, la cual, a diferencia de »Se hace difícil leer demasiados signos en sucesión ininterrumpida, así
la numeración decimal que está que es bastante natural separarlos en grupos más pequeños. Si estamos
basada en un sistema posicio-
acostumbrados a contar con los dedos de una mano, parece natural
nal, se basa en un sistema adi-
tivo (cada signo representa un repartir a los signos en grupos de cinco. “Veintitrés” se convierte entonces
valor que se va sumando al an- en ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’. Si somos más avezados y
terior). La numeración romana
posteriormente evolucionó a un usamos las dos manos para contar, podríamos escribir ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
sistema sustractivo, en el cual ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’. Si andamos descalzos y también empleamos los dedos
algunos signos en lugar de su-
de los pies, podremos separar a los números en grupos de veinte. Los
mar, restan. Por ejemplo el 4 en
la numeración etrusca se repre- tres métodos de repartir símbolos numéricos en grupos que se pueden
sentaba como IIII (1+1+1+1), manejar más fácilmente han dejado sus huellas en los diversos sistemas
mientras que en la numeración
romana moderna se representa de numeración de la humanidad, pero el favorito fue la división en grupos
como IV (1 restado a 5). En la de diez. Después de todo, veinte símbolos por grupo son demasiados
Figura 1.1 se observan algunos
para visualizar fácilmente, mientras que cinco símbolos por grupo darán
números romanos.
lugar a demasiados grupos a medida que los números vayan creciendo.
números 17
La división en grupos de diez representa el término medio más acertado.

Continuando, parece natural designar a los grupos de diez por medio
de un signo distinto. No hay ninguna razón para insistir en escribir un
grupo de diez empleando cada vez ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’, cuando para ese fin
se puede usar un signo diferente como un —, por ejemplo. En ese caso
“veintitrés” se podría escribir como — — ’ ’ ’. »
De los números y su historia, Isaac Asimov. Capítulo 1: La nada cuenta. Figura 1.1: Números romanos.
Comprensión lectora
A partir del texto anterior, responde:
Según el texto ¿en qué hecho se vinculan por primera vez números y escritura?
Con tus palabras da una definición de “número”.
La división en grupos de a diez representa una abreviatura operacional que el autor ofrece representar por
un signo en particular. ¿Qué idioma o sistema numérico conoces que tenga ese tipo de representaciones?
Crea tu propio sistema de 3 símbolos para 3 tipos de unidades.
¿Qué relación puedes establecer entre el lenguaje y la matemática?
1.1.1 Números Naturales Observación
En el texto anterior se dio cuenta que desde los comienzos de la El conjunto de los núme-
humanidad el ser humano tuvo la necesidad de contar elementos. El ros naturales escrito por
extensión, se expresa co-
“ente” abstracto que se utiliza para esto se conoce como número y se mo:
puede definir como un símbolo que expresa una cantidad.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
El conjunto de los números que se utilizan para contar se llama y como es infinito esta escritu-
conjunto de los números naturales. ra por extensión solo muestra
algunos elejmplos.
Algunas propiedades importantes que cumple este conjunto son:
El conjunto es no denso, es decir, entre dos números naturales hay

una cantidad finita de números naturales, o ninguno. Observación
El conjunto es infinito, es decir, dado un número natural cualquiera, Sea n ∈ N, a n + 1 se le

siempre existe otro natural mayor que este. llama sucesor de n. Ade-
más, si n 6= 1, a n − 1 se
le llama antecesor de n.
Esto se puede visualizar como un rayo, con el punto de partida en el 1,
que se extiende infinitamente hacia la derecha y donde la distancia entre
Observación
cada número es una unidad.
Un rayo es una porción
de recta que tiene inicio
pero no final.
Ejercitación:
1. ¿Existe algún número natural entre n y n + 1, con n ∈ N? ¿Por qué?
Operatoria en N
Hasta ahora, se ha construido un conjunto cuyos elementos son núme-

ros que cumplen algunas propiedades especiales. Entre los elementos de
este conjunto, como en cualquier otro, se pueden realizar operaciones. En
particular, se trabajará con dos operaciones fundamentales: la adición y
la multiplicación.
Adición en N
Si se tiene una cantidad finita de objetos, por ejemplo tres peras, y se

agregan cinco peras más, se puede decir que se tiene un total de ocho
peras. A esta operación se le llama adición y se denota por el signo “+”.
Este ejemplo se puede expresar numéricamente por 3 + 5 = 8, lo que es
equivalente a partir desde el 3 en la recta numérica y moverse 5 unidades
hacia la derecha. En la Figura 1.2 se muestra una descripción gráfica de
la adición.
La adición en N cumple las siguientes propiedades:

Figura 1.2: Tres manzanas más dos
manzanas es igual a cinco manzanas:
i) Asociatividad, esto es
3 + 2 = 5.
(a + b) + c = a + (b + c)
para todo a, b, c ∈ N.
Esto asegura que se puede escribir a + b + c, sin que se altere el

resultado por el orden en que se sume, de izquierda a derecha o al
revés.
ii) Conmutatividad, esto es
a+b = b+a
para todo a, b ∈ N.
Multiplicación en N
La multiplicación se puede entender como una abreviación de la adición

sucesiva de un mismo número. Por ejemplo, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 se puede
leer como “seis veces dos”. A esto se le llama multiplicación o producto
Observación
y se denota por el signo “ · ”. En el ejemplo se tiene que “seis veces dos”
En general, a · b se abre- es 6 · 2 = 12. En la Figura 1.4 se muestra una descripción gráfica de la
via como ab.
multiplicación.
La multiplicación en N, cumple las siguientes propiedades:

números 19
i) Asociatividad, esto es
(a · b) · c = a · (b · c)
Esto asegura que se puede escribir a · b · c sin que se altere el resultado

por el orden en que se multiplique, de izquierda a derecha o al revés.
ii) Conmutatividad, esto es

a·b = b·a
para todo a, b ∈ N.
Figura 1.3: Cuatro bolsas de tres globos
da un total de doce globos: 3 · 4 = 12.
En la Figura 1.5 se observa una descripción gráfica de la conmutativi-
dad.
iii) Distributividad, esto es
a · (b + c) = a · b + a · c
La idea de la distributividad es la siguiente: supóngase que se quiere Figura 1.4: Doce elementos pueden ser
multiplicar 2 con (3 + 5), lo que se escribe de la siguiente forma: ordenados en tres filas de cuatro, o cua-
tro columnas de tres 3 · 4 = 12 = 4 · 3.
2 · (3 + 5).
De acuerdo a la definición de multiplicación, esta operación indica

sumar 2 veces (3 + 5), esto es: Observación
2 · (3 + 5) = (3 + 5) + (3 + 5), Dada una operación en

un conjunto, un neutro
es un elemento que no
de donde, si se reagrupan término, se tiene que produce cambios en la opera-
ción, es decir, al operar cual-
2 · (3 + 5) = (3 + 3) + (5 + 5) quier elemento de un conjunto
con el elemento neutro el resul-
= 2 · 3 + 2 · 5. tado es el elemento original.
iv) Neutro multiplicativo, esto es

Existe 1 ∈ N tal que
n·1 = 1·n = n
para todo n ∈ N.
Finalmente, se dice que el conjunto de los números naturales es cerra-

do bajo estas dos operaciones, ya que al sumar o multiplicar dos números
naturales, el resultado sigue siendo un número natural. Es decir,
m+n ∈ N y m·n ∈ N
para todo m, n ∈ N.
Ejercitación:
2. Explica con tus palabras lo que significa la cerradura de la adición y la multiplicación en N.
3. ¿Existe un neutro para la adición en el conjunto de los números naturales? ¿Por qué?
4. Si m, n ∈ N, ¿crees que siempre m − n ∈ N? Piensa en algunos ejemplos y justifica tu respuesta.

m
5. Si m, n ∈ N, ¿crees que siempre ∈ N? Piensa en algunos ejemplos y justifica tu respuesta.
n
Sistema decimal
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en
Observación
el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética al
Un sistema de nume-
número diez, esencialmente porque se tienen diez dedos en las manos.
ración es un conjunto de
símbolos y reglas de ge- El conjunto de símbolos que son utilizados se compone de diez cifras: 0,
neración que permite construir 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 . El cero se usa en el sistema de numeración, pero
todos los números válidos.
no es un número natural, de hecho en Europa fue conocido recién en el
Renacimiento.
1 Unidad El hecho de que este sistema sea de numeración posicional, se refiere
10 Decena a que cada número toma un valor dependiente de la posición en la que se
100 Centena encuentre. Al primero de la derecha corresponde el lugar de las unidades
1.000 Unidad de Mil (se multiplica por 1), al siguiente a la izquierda corresponde el lugar de las
10.000 Decena de Mil decenas (se multiplica por diez), al siguiente a la izquierda corresponde
100.000 Centena de Mil
el lugar de las centenas (se multiplica por cien), etc. En la tabla de la
1.000.000 Unidad de Millón
Figura 1.5 se resume el significado de las posiciones en este sistema.
Figura 1.5: Tabla sistema decimal. En este sistema se utilizan las operaciones de adición (+) y multipli-
cación (·) antes definidas. Así, el número 17.583 se expande como
10.000 · 1 + 1.000 · 7 + 100 · 5 + 10 · 8 + 1 · 3.
Ejercitación:
6. Expande los siguientes números.
a) 12.756 b) 341.587 c) 38.590.012 d) 1.006.703
Orden en N
Observación
Una relación de orden Para todo par de números naturales m, n se cumple solo una de las
es una relación binaria siguientes tres propiedades:
que pretende formalizar
la idea intuitiva de ordenación
de los elementos de un conjun-
i) m = n ii) m < n iii) n < m
to.
donde < significa “menor que”. Lo anterior se conoce como Ley de
Tricotomía.
números 21
Además, la relación de orden < cumple la siguiente propiedad, conocida

como transitividad:
Si a < b y b < c entonces a < c.
Ejercitación:
7. ¿Será cierto que si m < n entonces m + p < n + p, con p ∈ N? Piensa en ejemplos.
8. ¿Será cierto que si m < n entonces m · p < n · p, con p ∈ N? Piensa en ejemplos.
9. Si se quiere que la operación m − n esté definida en N, es decir, m − n ∈ N con m, n ∈ N, ¿qué relación

de orden se debe cumplir entre m y n? Justifica tu respuesta.
Múltiplos y divisores de un número
A continuación se definirán dos conceptos importantes para trabajar

con números naturales: múltiplos y divisores.
Definición. Sean a y b dos números naturales, se dice que a es múltiplo
de b si existe c ∈ N tal que a = b · c.
Ejemplos:
6 es múltiplo de 3 ya que 6 = 3 · 2. 27 es múltiplo de 3 ya que 27 = 3 · 9.
A partir de los ejemplos se observa que un múltiplo de 3 siempre se

puede escribir como “3 por algo”, por lo tanto, un número natural de la
forma 3 · n, con n ∈ N representa a un múltiplo de 3.
Definición. Sean a y b dos números naturales, se dice que a es divisor
de b si existe c ∈ N tal b = a · c. Si a es divisor de b se dice que b es
divisible por a.
Ejemplos:
3 es divisor de 18 ya que 18 = 3 · 6. 3 es divisor de 12 ya que 12 = 3 · 4.
Ejercitación:
10. Escribe el conjunto de todos los divisores de:
a) 25 b) 19 c) 48 d) 51 e) 60
11. Escribe los primeros 12 múltiplos de:
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
12. ¿Qué condición se debe cumplir entre a y b para que a : b ∈ N, con a, b ∈ N?
13. ¿Es 119 divisible por 17? ¿Por qué?
14. ¿Es 10ab divisible por 2a? ¿Por qué?
15. Verifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) La suma entre un número natural múltiplo de 12 y un número natural múltiplo de 18 es múltiplo de 6.
b) El producto entre dos números naturales múltiplos de 15 es múltiplo de 9.
c) La suma de dos números naturales múltiplos de 7 es múltiplo de 14.
d) Si n es divisor de 12, entonces n es divisor de 6.
e) Si a es divisor de 7, entonces n es divisor de 21.
Cuando un número es muy grande, no es fácil ver si es divisible o no

por algún otro número. Se enuncian a continuación algunas “reglas de
divisibilidad” que sirven justamente para saber si un número es divisible
o no por otros, de forma más rápida.
Un número...
Es divisible por Cuando
2 Termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
Observación 3 La suma de sus dígitos forma un número múl-
Por ejemplo, el número 51
tiplo de 3.
es divisible por 3 ya que 4 Cuando sus dos últimas cifras son 0 o forman
la suma de sus dígitos es
6, que es múltiplo de 3. un número múltiplo de 4.
5 Termina en 5 o 0.
6 Es divisible por 2 y 3.
8 Sus tres últimas cifras son 0 o forman un nú-
mero múltiplo de 8.
9 La suma de sus dígitos forma un número múl-
tiplo de 9.
10 Termina en 0.
Ejercitación:
16. Utiliza las reglas de divisibilidad para decir de forma rápida si las siguientes afirmaciones son verdaderas
o falsas.
a) 1.863 es divisible por 3. b) 3.852 es divisible por 4. c) 5.746 es divisible por 6.

números 23
Números pares e impares

A partir del concepto de múltiplo, se define un subconjunto de N muy Observación
importante: el conjunto de los números pares.
El antecesor par de un
Definición. El conjunto de los números pares es aquel cuyos elementos número natural n es el
número par anterior más
son números múltiplos de 2. próximo a este, por otro lado,
el sucesor par de un número
Por extensión, se escribe como: natural n es el número par pos-
terior más próximo a este.
Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}.
La definición es análoga para
antecesor impar y sucesor
Por comprensión, se escribe como:
impar.
Pares = {n ∈ N | n = 2m, m ∈ N}.
Ejercitación:
17. ¿El sucesor de un número par es par? ¿Y el antecesor? ¿Por qué?
18. Nombra cinco números que no sean pares y explica por qué no lo son.
En la ejercitación anterior se observó que no todos los números son

pares, lo que motiva la siguiente definición:
Definición. Los números que no son pares se llaman impares.
Ejercitación:
19. Escribe el conjunto de números impares por extensión y comprensión.
20. ¿A qué conjunto es igual la siguiente expresión: Pares ∪ Impares ?
Ejemplos: Verificar algebraicamente las siguientes propiedades.

i) La suma de dos números impares es un número par.
Solución.
Sean 2n + 1 y 2m + 1 números impares, entonces
(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + (1 + 2m) + 1 Asociatividad

= 2n + (2m + 1) + 1 Conmutatividad
= (2n + 2m) + 1 + 1 Asociatividad
= 2n + 2m + 2
= 2 · (n + m + 1). Distributividad
Finalmente, se obtiene un múltiplo de 2 que por definición es un número par.
ii) El producto de dos números impares es un número impar.

Solución.
Sean 2n + 1 y 2m + 1 números impares, entonces:
(2n + 1) · (2m + 1) = (2n + 1) · 2m + (2n + 1) · 1

= (2n · 2m + 1 · 2m) + (2n + 1)
= 4nm + 2m + 2n + 1
= 2 · (2nm + m + n) + 1
Finalmente se obtiene el sucesor de un número par, es decir, un impar.
Ejercitación:
21. Verifica algebraicamente cada proposición:
a) La suma de dos números pares es un número par.
b) El producto de dos números pares es un número par.
c) La suma de un número par y un número impar es un número impar.
d) El producto de un número par y un número impar es un número par.
22. Considerando que p es impar y q es par, escribe el antecesor, antecesor impar, antecesor par, sucesor,
sucesor impar y sucesor par de las siguientes expresiones:
a) 2p + 1 b) 3q − 4p c) 3 · (p − 3)
Números primos y compuestosUn subconjunto de N muy importante en
la matemática, especialmente en la teoría de números, es el conjunto de

los números primos.
Observación
Definición. Un número natural mayor que 1 es primo si y solo si tiene
Nótese que el 2 es el úni-
co número primo par, solo dos divisores, el 1 y sí mismo.
ya que si existiera otro
número par primo, entonces
El conjunto de los números primos es:
por definición de número par
sería divisible por 2, lo que con-
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, . . .}.
tradice la definición de primo
al tener más de dos divisores. Definición. Un número natural mayor que 1 es compuesto si y solo si
no es primo.
Ejemplo: El número 1.003 es compuesto, debido a que se puede escribir como 17 · 59.
Usted no lo haga La principal consecuencia de estas definiciones se enuncia a continua-

No todos los impa- ción:
res son primos, por muy
grandes que se vean.
Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número natural ma-
El 1 NO es primo. Tampoco yor que 1 es primo o puede ser expresado como producto de números
es compuesto. primos. Esta representación es única, salvo por el orden de los factores.
números 25
Ejemplos:
a) 18 = 2 · 3 · 3 b) 70 = 2 · 5 · 7 c) 51 = 3 · 17
Ejercitación:
23. Determina la descomposición en factores primos para cada uno de los siguientes números:
a) 63 b) 90 c) 108
24. ¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 720?
A partir de esto, se definen los conceptos de mínimo común múltiplo

y máximo común divisor.
Observación
Definición. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de
números naturales, es el menor número que es múltiplo de todos los Para obtener el mínimo
común múltiplo entre 12
elementos del conjunto a la vez. y 9, se puede escribir el
conjunto de múltiplos de cada
Una forma de obtener el mínimo común múltiplo entre dos o más uno, esto es:
números es utilizando la descomposición en factores primos, por ejemplo, para 12 {12, 24, 36, 48, . . .}
para 9 {9, 18, 27, 36, 45, . . .}.
para encontrar el m.c.m. entre 12, 30 y 45, se tiene que:
De esta forma, se nota que el
m. c. m. es 36.
12 = 2·2·3
30 = 2·3·5
Observación
45 = 3 · 3 · 5.
Cuando dos números no
tiene factores primos en
Para el m.c.m. se considera la multiplicación de todos los números común, el m. c. m. es
primos presentes en esta descomposición, estos son: 2, 3 y 5. Ahora, se igual al producto entre ellos.
Por ejemplo, el m. c. m. de los
observa que existen números que están repetidos, por ejemplo, el 2 está números 5 y 7 es 35.
dos veces en la descomposición del 12 y una vez en la descomposición
del 30. Para el m.c.m. se debe considerar la cantidad de veces que más
se repita el número dentro de la misma descomposición, de esta manera
es seguro que el número resultante será múltiplo de todos. Por lo tanto,
el m.c.m. entre 12, 30 y 45 es:
m.c.m.(12, 30, 45) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180.
Ejercitación:
25. Calcula el mínimo común múltiplo de:
a) 12, 15 y 20. b) 2, 3 y 4. c) 6, 7 y 8.
Definición. El máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto de

números naturales es el número más grande que es el divisor de todos los
elementos del conjunto a la vez. Nótese que, cuando dos o más números
no tienen factores primos en común el M.C.D. es 1.
Para obtener el M.C.D. de un conjunto de números se utiliza la

descomposición en factores primos:
Observación
Por ejemplo, si se quiere 16 = 2 · 2 · 2 · 2

encontrar el M. C. D. de
los números 16, 28 y 32, 28 = 2 · 2 · 7
se pueden escribir los divisores
de cada uno como sigue: 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
para 16 {1, 2, 4, 8, 16}
para 28 {1, 2, 4, 7, 14, 28} Para encontrar el M.C.D. se consideran solamente a los números
para 32 {1, 2, 4, 8, 16, 32}.
primos que tengan en común, en este caso solo el 2, la cantidad de veces
Luego, el máximo común divi- que menos se repita dentro de la misma descomposición, es decir, en la
sor 4.
del 28 que se repite dos veces. De esta manera se obtiene que el M.C.D.
de estos tres números es 2 · 2 = 4.
Ejercitación:
26. Determina el máximo común divisor de:
a) 4, 8 y 12. b) 9 y 12. c) 14 y 16.
1.1.2 Números cardinales

Sabías que...?
Como se dijo anteriormente, los números naturales son aquellos que
Los números negativos se utilizan para contar elementos y su unidad mínima es el número uno.
tienen diversas aplicacio-
nes en contabilidad. A ve-
Este conjunto de números fue insuficiente para responder a todos los
ces, cuando la cantidad adeu- problemas aritméticos que se presentaban, el primero de ellos fue que N
dada o pasivo, superaba la can- carecía de un elemento que representara la cantidad nula. Es por esto
tidad poseída o activo, se de-
cía que el banquero estaba en que no se podían resolver operaciones de sustracción del tipo “si tengo
“números rojos”. Esta expresión cuatro manzanas y regalo cuatro manzanas, ¿con cuántas me quedo?”, ya
venía del hecho de que antigua-
mente los números negativos
que el resultado es un número menor que uno y por lo tanto no pertenece
que hoy se conocen se represen- al conjunto de los números naturales.
taban con tinta roja. Así, el 30
podía representar un balance A partir de esto, se extiende el conjunto de los números naturales una
positivo de 30 sueldos, mientras
unidad hacia la izquierda en la recta numérica y se crea un nuevo ente
que 3 (escrito en tinta roja) po-
día representar una deuda de 3 para representar la cantidad nula, se denota como “0” y se llama “cero”.
sueldos. Finalmente, el conjunto que contiene a los números naturales y al cero,
se llama conjunto de los números cardinales y se denota por N0 . Esto
es,
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
Los números cardinales se operan de la misma manera que los números

naturales, sus operaciones cumplen las propiedades de asociatividad
en la suma y en la multiplicación, conmutatividad en la suma y en
números 27
la multiplicación, distributividad de la multiplicación sobre la suma y

existencia de neutro multiplicativo.
Además, el 0 es el neutro aditivo, de modo que
a+0 = 0+a = a
para todo a ∈ N0 .
Se verifica también que a · 0 = 0 · a = 0, para todo a ∈ N0 .
Finalmente, al igual que los números naturales, este conjunto es ce-

rrado bajo la suma y el producto.
1.1.3 Números enteros

A pesar de la incorporación del cero, aún existían operaciones que no
se podían resolver en el conjunto de los números cardinales, especialmente
las que tenían que ver con la idea de sustracción.
Operaciones del tipo

3 − 5 =?
no tienen solución, por tanto se necesita la existencia de “números

negativos” para poder resolverlas. Obsérvese la Figura 1.6, que representa
una situación en donde es necesario utilizar un número “negativo”.
Hasta ahora se tiene la idea intuitiva de lo que es un “número negativo”:

un símbolo que se utiliza para expresar pérdidas o deudas. Formalmente,
“un número entero negativo es un número natural (1, 2, 3, etc.) precedido
de un “signo menos” (−)”. Por ejemplo, −1, −2, −3, . . . se leen “menos
uno”, “menos dos”, “menos tres”, etc.
Figura 1.6: La resta de dos números na-
Finalmente, se puede decir que los números enteros son el conjunto de turales no es un número natural cuando
todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el el sustraendo es menor que el minuendo,
0. Se representa con la letra Z como: sino que su valor es “negativo”. En la
imagen, solo pueden sustraerse tres plá-
tanos, por lo que se apunta uno “debido”
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. o “negativo”, en negro.
O en la recta numérica:
Los números enteros extienden el uso de los números naturales para Observación
contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas, como ya se Para denotar a los ente-
vio. También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura, ros negativos se usa Z− y
que toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8.848 para los enteros positivos
Z+ . Además, Z+ = N.
metros sobre el nivel del mar, por el contrario, la orilla del Mar muerto
está a 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se
puede expresar como −423 metros.
Operatoria en Z
Adición
La forma de sumar números enteros es bastante similar a la suma de
naturales. Básicamente, cuando se suma una cantidad positiva se avanza
hacia la derecha de la recta numérica y cuando se suma una cantidad
negativa se avanza hacia la izquierda. Se abrevia a + (−b) como a − b y
se le llama “resta” de a y b.
Ejemplos:
1. −4 + 9 = 5 porque
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
2. −3 + (−5) = −8 porque
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
3. −7 + 5 = −2 porque
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
La adición en N verifica las propiedades de asociatividad, conmutati-

vidad y la existencia del neutro aditivo. Además, se incorpora una nueva
propiedad:
Observación
Existencia del inverso aditivo, es decir, para todo a ∈ Z existe (−a) ∈
El inverso de un núme- Z tal que
ro en una operación es
a + (−a) = 0.
aquel que, operado con
este mismo, da como resultado
el neutro de la operación. Multiplicación
La idea de multiplicar es la misma que la anterior, es decir, abreviar
la suma sucesiva de un mismo número. Obsérvese lo siguiente:
5 · 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20.
5 · (−4) = (−4) + (−4) + (−4) + (−4) + (−4).
Es posible también interpretar los siguientes casos como la abreviación

de la resta sucesiva de un mismo número.
números 29
(−5) · 4 = −4 − 4 − 4 − 4 − 4 = −20. Observación
(−5) · (−4) = −(−4) − (−4) − (−4) − (−4) − (−4) = 4 + 4 + 4 + 4 + El valor absoluto de a,

4 = 20. denotado por | a |, es

a si a ≥ 0
De esto se concluye que cada vez que se multipliquen números enteros |a| =
−a si a < 0.
de distinto signo, el resultado tendrá signo negativo, y cuando se multi-
De aquí se concluye que el valor
pliquen números enteros de igual signo el resultado tendrá signo positivo. absoluto de un número siempre
es positivo o cero, ya que se en-
tiende como la distancia entre
Finalmente, el conjunto de los números enteros es cerrado bajo estas dicho número y el cero.
dos operaciones.
Ejercitación:
27. ¿Crees que a − b ∈ Z para todo a, b ∈ Z? ¿Por qué?
a
28. ¿Crees que ∈ Z para todo a, b ∈ Z? ¿Por qué?
b
29. Resuelve las siguientes operaciones:
a) 4 + 3 · (−5) + 1 b) (−5 + 9) · (−2 + 5) c) (10 · (−5) · 2) − 6
Divisibilidad en Z
En los números enteros, el concepto de “división de un número” debe
tratarse con mucho cuidado. Resolver divisiones del tipo 27 : 9 o 32 : 8
no es problema dentro de este conjunto ya que 9 es divisor de 27 y 8 Observación
es divisor de 32. Pero si se consideran divisiones del tipo 5 : 2 o 18 : 4 Para resolver la opera-
se observa que hay un problema, ya que 2 no es divisor de 5 y 4 no es ción 18 : 4, se realiza la di-
divisor de 18. Para resolver este tipo de situaciones se enuncia el siguiente visión de forma habitual,
con resto:
teorema:
18 : 4 = 4
Teorema. Algoritmo de la División. Dados dos números enteros a 2//
y b con b 6= 0, existen únicos enteros q y r tal que a = bq + r con
0 ≤ r ≤ | b |. Finalmente, se tiene que:
El algoritmo de la división asegura que el proceso habitual de división 18 = 4 · 4 + 2.
puede llevarse a cabo en los números enteros, obteniendo un cociente y

un residuo o resto.
Ejercitación:
a) | − 6 + 2 | − | − 7 | − 5 b) | − 1 − 9 | · | − 16 |
31. Ordena de menor a mayor los siguientes tríos de números:
a) −3, −11 y 0. b) −5, 7 y −13. c) 0, −5 y | − 8 |.

32. Resuelve utilizando el algortimo de la división.
a) 1 : 4 b) 9 : 2 c) 27 : 5 d) 31 : 3
1.2 | Números racionales

Sabías que...?
El conjunto de los números enteros fue insuficiente para responder
a todos los problemas aritméticos que se presentaban, en particular,
Los números racionales la división entre números enteros. En la sección anterior, se vio que
fueron utilizados desde la
antigüedad por muchas operaciones del tipo 9 : 4, no tenían un resultado concreto dentro de Z,
civilizaciones; los egipcios resol- ya que 4 no es divisor de 9. La idea entonces, es expandir Z para que
vían problemas prácticos utili-
zando fracciones y los matemá-
este tipo de operaciones tengan solución dentro del conjunto. A partir de
ticos en Grecia también desa- esto, nace el concepto de “parte de un entero” o “fracción de un entero”,
rrollaron la idea de “partes de esto es, que ahora es posible dividir un entero en “pedazos más pequeños”
un entero”. Etimológicamente,
el hecho de que estos números o “fracciones”.
se llamen racionales correspon-
de a que son la razón de dos Objetivo PSU
números enteros, palabra que
se usaba en la Antigua Grecia Comprender que los números racionales constituyen un conjunto
para referirse a ellos. La nota-
ción Q empleada para nombrar numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
al conjunto de los números ra- solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos
cionales proviene de la palabra
que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros
quoziente, derivada del traba-
jo de Giuseppe Peano. con divisor distinto de cero.
El conjunto de los números racionales agrega a los números enteros

números que permiten resolver todas las divisiones entre números enteros,
con divisor distinto de cero. De acuero a esto, se tiene la siguiente
definición:
Definición. Un número racional x es aquel que al multiplicarlo por un

entero b distinto de cero es igual a un entero a, es decir,
x · b = a.
Una manera de escribir el número racional x recién definido es

a
x= ,
b
a esto se le denomina fracción, donde a se llama numerador y b es el
denominador.
Obsérvese que los números enteros son números racionales, ya que se

pueden escribir como fracción con denominador 1, por ejemplo. Por otro
lado, denominamos inverso multiplicativo de un número b al número
números 31
que multiplicado por b da igual a 1. Las notaciones usadas para el inverso

1
multiplicativo de b son y b−1 .
b
Dada la notación de fracciones establecida, es posible decir que el
conjunto de los números racionales, denotado por Q, es
n a o
Q = x = | a, b ∈ Z, b 6= 0
b
es decir, es el conjunto de todos los números que se pueden escribir como
división de dos enteros.
El conjunto de números racionales verifica las propiedades de asociati- Observación
vidad y conmutatividad para la adición y multiplicación, distributividad Nótese que:

de la multiplicación sobre la suma, existencia de neutro multiplicativo y a
= a · b−1 .
neutro aditivo, existencia de inverso aditivo e inverso multiplicativo. b
Además, a : b es lo mismo que
a
Además, el conjunto de los números racionales es cerrado las opera- .
b
ciones de suma y multiplicación.
Ejercitación:
33. ¿El neutro aditivo es único?¿Y el neutro multiplicativo?
34. ¿El inverso aditivo de un número racional es único?¿Y el inverso multiplicativo?
35. Utilizando las propiedades de Q, demuestra las siguientes proposiciones:
a) a · (−b) = −(a · b), para todo a, b ∈ Q. c) (a · b)−1 = a−1 · b−1 , para todo a, b ∈ Q con a y
b) (−a) · (−b) = a · b, para todo a, b ∈ Q. b distintos de cero.
1.2.1 Fracciones
Como se dijo anteriormente, una fracción es simplemente una manera Usted no lo haga
de denotar una división de dos números enteros, que tiene intrínseca
la idea de “parte de un número”. Para comprender mejor esta idea, se Recuerda, NO SE PUE-
DE DIVIDIR POR 0. Las
representa gráficamente las fracciones cuyo divisor es 4 en la siguiente fracciones del tipo
a
NO
0
figura: EXISTEN.
0 1 2 3 4
=0 =1
4 4 4 4 4
La idea de utilizar esta notación es expresar “cero partes de un total

de cuatro”, “una parte de un total de cuatro”, “dos partes de un total
de cuatro”, “tres partes de un total de cuatro” y “cuatro partes de un

total de cuatro”.
Ejercitación:
36. Utiliza representaciones gráficas para encontrar la fracción que representa a cada caso.
a) La mitad de la mitad. c) La mitad de la cuarta parte.

b) La tercera parte de la mitad. d) Un quinto de la tercera parte.
37. En la definición que se dio de número racional, se exige que el divisor sea un entero distinto de cero. ¿Por
qué crees que no se puede dividir por cero?
1 2
38. Dibuja dos rectángulos del mismo tamaño y representa en ellos las fracciones y . ¿Qué puedes concluir
3 6
a partir de esto?
1.2.2 Operatoria en Q
Observación
Al igual que con los otros conjuntos, se trabajará con las operaciones
En la ejercitación ante-
rior se observó que las
de adición y multiplicación.
1 2
fracciones y eran Multiplicación
3 6
equivalentes. Esto se explica
porque Para multiplicar dos fracciones se tiene que:
2 1 2
= · a c
6 3 2 · = a · b−1 · c · d−1 por definición
2
b d
donde = 1 es el neutro de la
2 = a · c · b−1 · d−1 conmutatividad
multiplicación.
= (ac) · (bd)−1 prop. demostrada
Utilizándose esta idea, es po-
ac
sible escribir cualquier número = . por definición
racional de infinitas maneras di- bd
ferentes a partir de fracciones
equivalentes. División
De esta manera, solo hay que
multiplicar por el neutro de la Para dividir dos fracciones se tiene que:
multiplicación cada vez que se
quiera expresar una fracción de
otra forma equivalente, esto es a a d a·d
lo que se llama amplificación. c · d −1

a c a·d a · d −1 a·d
: = c = c · = b·c =
b b c · = ·1 =
b d d c·d b·c c·d b·c b·c
d d c c·d
Observación
Adición y sustracción
a
Dada la fracción ∈Q
b
se dice que la fracción es
Para sumar o restar dos o más fracciones solo hay que amplificar una
irreducible si y solo si o más de ellas, de manera que se obtengan denominadores iguales. Esto
el máximo común divisor de a se debe a que no tiene sentido lógico sumar o restar fracciones de distinto
y b es 1.
denominador sumando o restando los numeradores.
números 33
Ejemplo:
1 2 3
+ − =
3 5 4
Primero, hay que buscar un número que sea múltiplo común de 3, 5 y 4, para poder igualar los denominadores.
El m.c.m. entre ellos es 60. Luego, se amplifica cada una de las fracciones de manera que se obtenga
denominador 60:
1 · 20 2 · 12 3 · 15 20 24 45 1
+ − = + − =− .
3 · 20 5 · 12 4 · 15 60 60 60 60
b
La suma de un entero a y una fracción se denota por
c
b b Usted no lo haga
a+ =a
c c
5 13 6= 5 · 13
1
y se llama número mixto. Por ejemplo, la expresión 3 significa “tres
4
1
enteros más un cuarto”, que es lo mismo que 3 + , que es también
4
13
equivalente a o a 3,25.
4
Ejercitación:
1 5 11 2 4

a) − + − −
3 7 5 c) 3 5
1 1
+
9 3
1 3 2 1 3 1 1 2

b) + − − d) 6 − : + ·
7 2 3 5 5 2 10 11
40. Resuelve los siguientes problemas:

3 3
a) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, de los votos fueron para el partido A, para el
11 10
5
partido B, para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15400. Calcula:
14
El número de votos obtenidos por cada partido.

5
El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa del censo electoral.
8
3 1
b) Alicia dispone de $50.000 para compras. El jueves gastó de esa cantidad y el sábado los de lo que
5 2
le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
1
c) Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua, 4 botellas de
3
1
de litro de jugo y 5 limonadas de de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido?
4
1.2.3 Orden en Q
Observación La relación de orden en Q verifica las siguientes propiedades:
Supóngase que se quie-
ren comparar los núme- i) Si x, y ∈ Q, entonces se cumple una y solo una de las siguientes
7 8
ros racionales
10
y
11
. afirmaciones (tricotomía):
Para ver cuál de los dos es ma-
yor, podemos reescribirlos con
el mismo denominador. Para x<y x=y y < x.
ello, buscamos primero el míni-
mo común múltiplo de los de-
nominadores, que en este caso
ii) Si x < y y además y < z, entonces x < z (transitividad).
se obtiene al multiplicar 11 con
10, ya que no tienen factores
primos en común. Por tanto, la
iii) Si x < y, entonces x + z < y + z para todo z ∈ Q (orden compatible
primera fracción la amplifica-
mos por 11 y la segunda por con la adición).
10:
7
=
77 iv) Si x < y y z > 0, z ∈ Q, entonces zx < zy (orden compatible con la
10 110
multiplicación).
8 80
=
11 110
De esta forma, vemos que la v) Si x < y y z < 0, z ∈ Q, entonces zx > zy (orden compatible con la
segunda fracción es mayor que
multiplicación).
la primera.
Ejercitación:
41. Ordena de forma creciente los siguientes números racionales:
8 9 17
2
5 4 10
42. Demuestra las siguientes proposiciones:
a) Si 0 < a < b y 0 < x < y, entonces 0 < ax < by para todo a, b, x, y ∈ Q.
b) Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces x · x > 0.
c) Si a > 0 entonces a−1 > 0, con a ∈ Q.
d) Si a < b y x < y, entonces a + x < b + y para todo a, b, x, y ∈ Q.
e) Si a, b ∈ Q y 0 < a < b, entonces 0 < b−1 < a−1 .
f) Si 0 < a < 1 y 0 < b < 1, entonces 0 < ab < 1, con a, b ∈ Q.
1.2.4 Notación decimal para números racionales

Observación
Un decimal es finito si
es posible contar la can-
Se usa el mismo sistema visto anteriormente para escribir números
tidad de cifras que tiene. racionales, expandiendo la base diez hacia la derecha del número. Para
En caso contrario se llama in- expresar las fracciones se utiliza como separador decimal una coma entre
finito.
la parte entera y la parte fraccionaria.
números 35
1 unidad
0,1 décima Observación
0,01 centésima Por ejemplo, la expansión
decimal de 4,27 es:
0,001 milésima
4,27 = 4 · 1 + 2 · 0,1 + 7 · 0,01.
0,0001 diez milésima
Ejercitación:
43. Expande los siguientes números.
a) 123,47908 b) 1205,79 c) 10678,241
Operaciones con números decimales

Adición y sustracción. Para sumar y/o restar dos o más números Observación
decimales, se procede de la manera habitual, sumando y/o restando Ejemplo de resta:

las cifras que se encuentran en la misma posición (décima, centésima,
1,570
milésima, etc). − 0,494
Multiplicación. Para multiplicar decimales, se usa el mismo algo- 1,076
ritmo que se utiliza para multiplicar enteros. Se realiza la operación de Ejemplo de multiplicación:
manera normal y al resultado se le ponen tantas cifras decimales como 1,23 · 12,9
cifras decimales tengan los factores, en conjunto. 1 1 07
División. Para efectuar la división, entre dos números decimales, se 24 6
consideran los siguientes casos: + 123

15,8 67
i) Solo el dividendo es decimal. Se efectúa la división de números
Ejemplo caso i):
decimales de la misma manera que en los números enteros. Cuando se
baje la primera cifra decimal, se coloca una coma en el cociente y se 25,5 : 3 = 8,5
15
continúa dividiendo.
0//
ii) Solo el divisor es decimal. Se quita la coma del divisor y se añade Ejemplo caso ii):
al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A
54 : 3,75 ⇒ 5400 : 375.
continuación se divide igual que como con los números enteros.
iii) El dividendo y el divisor son decimales. Se iguala el número Observación

de cifras decimales del dividendo y del divisor, añadiendo a aquel
Ejemplo caso iii):
que tenga menos decimales, tantos ceros como cifras decimales de
57,34 : 4,578 ⇒ 57340 : 4578.
diferencia haya. A continuación se prescinde de la coma, y se divide
como si fueran números enteros.
Ejercitación:
a) 0,453 − 1,29 b) 14,03 · 3,6 c) 19,3 : 2 d) 1,7 : 0,4

Decimales y fracciones
Objetivo PSU
Sabías que...?
Representar números racionales en la recta numérica, usar la
Los egipcios utilizaron un
complejo sistema para re- representación decimal y de fracción de un racional justificando
presentar fracciones en la transformación de una en otra, aproximar números racionales,
medidas agrarias de superficie
aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con
y volumen, basado en las poten-
1
cias de . Los signos de las frac-
números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas
2
ciones mayores fueron tomados de sus propiedades.
de las partes que componían el
jeroglífico del Ojo de Horus.
No todos los decimales son racionales. Para saber cuáles sí lo son y
Cada fracción se representaba
mediante una grafía del jeroglí- cuáles no, es necesario saber si se pueden escribir como fracción. Con
fico del ojo: este fin, se analizan los siguientes casos:
i) Decimal finito. Analiza el siguiente ejemplo de la transformación

del decimal 1,2 a fracción:
1,2 = x / · 10
1,2 · 10 = 10 · x
12 = 10x / : 10
Observación 12
=x
Los decimales finitos son 10
números racionales ya
que se pueden expresar
12
como fracción de dos enteros, ∴ 1,2 = .
con denominador distinto de ce- 10
ro.
De esta forma se concluye que el decimal 1,2 es racional ya que se
ha podido escribir como fracción.
Ejercitación:
45. Utilizando el procedimiento anterior, escribe los siguientes decimales finitos como fracción.
a) 12,8 b) 0,0005 c) 2,51 d) 103,98
46. Generaliza el procedimiento para un decimal finito cualquiera (Indicación: Escribe un decimal finito de la
forma genérica a, a1 a2 . . . an y realiza el procedimiento anterior).
47. Utilizando el algoritmo que encontraste, escribe como fracción los siguientes decimales finitos:
a) 4,67 b) 12,77 c) 0,09 d) 109,109
48. ¿Cómo relacionas el algoritmo que encontraste con el sistema de numeración decimal?
números 37
ii) Decimal infinito periódico. Analiza el siguiente ejemplo de la trans- Observación

formación del decimal 1,3 a fracción: Un decimal infinito
periódico es aquel cuyas
cifras a la derecha de la
coma se repiten con cierta pe-
1,3 = x (1.1) riodicidad. Para indicar el pe-
ríodo se utiliza una barra sobre
1,3 · 10 = 10 · x
las cifras.
13,3 = 10x (1.2) Todos los decimales infinitos pe-
riódicos son racionales, ya que
Tomando las expresiones (1.1) y (1.2) se tiene: se pueden escribir como frac-
ción.

13,3 = 10x
(−)
1,3 =x
Figura 1.7: La escritura decimal no es
única en todos los casos. Se puede de-
Entonces mostrar que
0,9999999 . . . = 1
12 = 9x
.
12
=x
9
12
∴ 1,3 = .
9
Finalmente, se concluye que el decimal 1,3 es racional ya que se ha

podido escribir como fracción.
Ejercitación:
49. Utilizando el procedimiento anterior, escribe los siguientes decimales infinitos periódicos como fracción:
a) 12,8 b) 0,5 c) 2,51 d) 103,98
50. Generaliza el procedimiento para un decimal infinito periódico cualquiera (Indicación: Escribe un decimal
infinito periódico de la forma genérica a,a1 a2 . . . an y realiza el procedimiento anterior).
51. Utilizando el algoritmo que encontraste, escribe como fracción los siguientes decimales infinitos periódicos:
a) 4,67 b) 12,7 c) 0,09 d) 109,109
52. Escribe los decimales 0,9, 12,9 y 3,9 como fracción. ¿Qué observas?
53. ¿Es 1,000000 . . . = 0,999999 . . . ?
iii) Decimal infinito semiperiódico. Analiza el siguiente ejemplo de

la transformación del decimal 2,24 a fracción:
2,24 = x / · 10
22,4 = 10x / · 10 (1.3)
224,4 = 100x (1.4)
Observación Tomando las expresiones (1.3) y (1.4) se tiene:

Un decimal infinito se- 
miperiódico es aquel 224,4
cuyas cifras a la derecha
= 100x
(−)
de la coma se repiten con cierta 22,4 = 10x
periodicidad, sin embargo, hay
una cantidad finita de cifras en-
tre la coma y el período. Entonces:
Todos los decimales infinito se-
miperiódicos son racionales, ya 202 = 90x
que se pueden escribir como
fracción.
202
=x
90
202
∴ 2,24 = .
Observación 90
Si quieres escribir una

fracción en notación de- Finalmente, se concluye que el número 2,24 es racional ya que se ha
cimal, solo divide. podido escribir como fracción.
Ejercitación:
54. Utilizando el procedimiento anterior, escribe los siguientes decimales infinitos semiperiódicos como fracción:
a) 12,18 b) 0,005 c) 2,1251 d) 103,878
55. Generaliza el procedimiento para un decimal infinito semiperiódico cualquiera (Indicación: Escribe un
decimal infinito semiperiódico de la forma genérica a, b1 b2 . . . bm a1 a2 . . . an y realiza el procedimiento
anterior).
56. Utilizando el algoritmo que encontraste, escribe como fracción los siguientes decimales infinitos semiperió-
dicos:
a) 4,167 b) 12,837 c) 0,509 d) 109,77109
Finalmente, se concluye que los números racionales son aquellos

números decimales finitos, infinitos periódicos y semiperiódicos,
es decir, números cuyas cifras son conocidas en su totalidad.
números 39
Aproximación de números decimales Observación
Ejemplo caso i):

i) Truncamiento. Se aproxima el número, cortando hasta la cifra
decimal que se indica. La aproximación de 3,141
por truncamiento a la
ii) Redondeo. Para aproximar un decimal por redondeo en una posición centésima es 3,14 ya que la cen-
dada, se mira la cifra que está inmediatamente después, si corresponde tésima es la segunda cifra des-
pués de la coma.
a un número mayor o igual a 5, la cifra a aproximar se sube una Ejemplo caso ii):
unidad, si el número es menor que 5, la cifra a aproximar se mantiene. La aproximación de 3,1415 por
iii) Aproximación por exceso. Una aproximación por exceso es aquella redondeo a la milésima es 3,142,
ya que la milésima es la tercera
donde el resultado de la misma es un número mayor que el original. posición después de la coma y
En el ejemplo de la aproximación por redondeo, el resultado es una como el dígito que viene des-
pués es 5, entonces se aumenta
aproximación por exceso ya que 3,142 > 3,141. Si se necesita aproximar
el 1 de la milésima en una uni-
un número decimal por exceso en una posición dada, se debe aumentar dad.
el dígito de esa posición en una unidad, excepto si es un nueve.
Observación
iv) Aproximación por defecto. Una aproximación por defecto es aque-
La aproximación por ex-
lla donde el resultado de la misma es un número menor que el original. ceso y por defecto de
En el ejemplo de la aproximación por truncamiento, el resultado es 1,2381 a la milésima, res-
pectivamente, es:
una aproximación por defecto ya que 3,14 < 3,141. Si se necesita
aproximar un número decimal por defecto en una posición dada, se 1,239, 1,238.
debe truncar el número en dicha posición.
Ejercitación:
57. Redondea cada uno de los siguientes números a la centésima y a la milésima.
a) 4,65437 b) 23,56258 c) 1,52847 d) 5,72753
58. Trunca cada uno de los siguientes números a la décima y a la milésima:
a) 1,67434 b) 4,72458 c) 3,57579 d) 2,61238
59. Aproxima por defecto y por exceso cada uno de los siguientes números a la centésima:
a) 2,65442 b) 1,73445 c) −3,98668 d) −1,12945
1.2.5 Densidad de Q
Para discutir
¿Es posible contar la cantidad de números racionales que hay entre 1 y

2? ¿Por qué?
Se dice que Q es un conjunto denso, ya que entre dos números

racionales hay infinitos números racionales.
1.3 | Potenciación
La potenciación es una operación matemática entre dos términos
denominados base y exponente, denotada como an , donde a es la base
y n es el exponente. Usualmente, esto se lee como “a elevado a n”, con
algunas excepciones, como por ejemplo el 2 que se lee “al cuadrado” o el
3 que se lee “al cubo”.
1.3.1 Potencias
Objetivo PSU
Comprender el significado de potencias que tienen como base un
número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.
a1 = a
a2 = a·a
a3 = a·a·a Potencias de base racional y exponente natural
.. ..
. . Sea la potencia an , donde a es un número racional. Si el exponente
an = a·a·...·a
| {z } n es un número natural, este indica las veces que a se multiplica por sí
n veces mismo, como se muestra a la izquierda.
Ejercitación:
60. Escribe el valor numérico de las siguientes potencias:
2 3
3
a) 25 b) 34 c) 43 d) (−2)7 e) −54 f) g) − 57

3
Algunas de las propiedades de estas potencias son:
Observación i) Multiplicación de potencias de igual base. El producto de dos

potencias que tienen la misma base, es igual a una potencia con dicha
Sea a ∈ Q y n ∈ N, si
a < 0 el signo de an de- base, que tiene como exponente la suma de los exponentes de los
penderá del valor de n. Si factores:
n es par, el valor de an tendrá
an · am = an+m
signo positivo y si n es impar,
el valor de an tendrá signo ne- donde a ∈ Q y n, m ∈ N.
gativo.
ii) Potencia de una potencia. La potencia de una potencia es igual a
una potencia con la misma base y que tiene por exponente al producto
de exponentes originales:
(an )m = an·m
donde a ∈ Q y n, m ∈ N.
iii) Potencia de un producto. La potencia de un producto es igual al
producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente:
(a · b)n = an · bn
números 41
donde a, b ∈ Q y n ∈ N.
Ejercitación:
61. Explica la propiedad de “multiplicación de potencias de igual base”.
62. Explica la propiedad de “potencia de una potencia”.
63. Explica la propiedad de “potencia de un producto”.
Potencias de base racional y exponente entero

1
Se ha trabajado con potencias de base racional y, por tanto, con a−1 =
a
números que tienen inverso multiplicativo. Considerando esto, es posible
expandir la definición de potencias de base racional y exponente natural a−2 =
1
a2
a una potencia de exponente entero, como se observa a la derecha. .. ..
. .
Dada esta definición, las tres propiedades de las potencias que ya se 1
a−n =
han revisado también se cumplen cuando el exponente de la potencia es an
un número entero. Porque,
Algunas de las propiedades de las potencias son: n

1
a−n = (a−1 )n =
a
iv) División de potencias de igual base. El cociente entre dos poten-
1 1 1 1
cias de igual base es igual a una potencia con dicha base y que tiene = · ·...· =
a a a a·a·...·a
por exponente la diferencia de los exponentes del dividendo con el
| {z } | {z }
n veces n veces
divisor:
an
= an−m Observación
am
donde a ∈ Q, a 6= 0 y n, m ∈ Z. Si la base a de la potencia
es igual a 0, entonces a no
v) Potencia de exponente cero. Un número distinto de cero elevado tiene inverso multiplicati-
vo y, por tanto, no se puede
al exponente 0, da como resultado la unidad: utilizar esta notación.
an
a0 = an−n = =1
an
Usted no lo haga
donde a ∈ Q, a 6= 0 y n ∈ Z.
Es importante tener en
vi) Potencia de un cociente. La potencia de un cociente es igual a consideración que, en ge-
neral:
cada uno de los números elevados al mismo exponente:
a n an (a + b)n 6= an + bn
= n
b b ab 6= ba
bc
c
a a 6= ab .
donde ∈ Q y n ∈ Z.
b
Ejercitación:
64. Explica la propiedad de la “división de potencias de igual base”.
65. Explica la propiedad de la “potencia de un cociente”.
66. Explica por qué crees tú que 00 no está definido.

Potencias de diez y notación científica

Potencias de diez:
Observación
Para las potencias de base 10 y exponente entero, la consecuencia será
El caso particular de 00 desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente,
no existe.
hacia la izquierda si el exponente es negativo o hacia la derecha si el
exponente es positivo. Recuérdese que nuestro sistema de numeración
es el sistema decimal, por tanto es lógico que las potencias de base 10
10−6 = 0,000001 tengan esta propiedad. Algunos ejemplos se observan a la izquierda.
10−5 = 0,00001
10−4 = 0,0001
Notación científica:
10−3 = 0,001 Hay números pequeños, como por ejemplo el 0,00000239, o números
10−2 = 0,01 muy grandes, como por ejemplo, 68.000.000, que al operarlos conviene
10−1 = 0,1 escribirlos utilizando potencias de diez, para facilitar la operación. La
100 = 1 notación científica es un método para hacer esto.
101 = 10
102 = 100 Se considera un número racional a. Dado que el sistema es decimal,
103 = 1.000 existe p ∈ Q y n ∈ Z tal que,
104 = 10.000
a = p · 10n .
105 = 100.000
106 = 1.000.000 Si 1 ≤ |p| < 10, entonces p · 10n es la notación científica de a.
Ejercitación:
67. Un trozo rectangular de cartulina de lado 40 cm de largo por 30 cm de ancho, se dobla sucesivamente por
la mitad, como muestra la figura:
a) ¿Cuánto medirá el área del cuadrilátero de la figura resultante después de hacer 8 dobleces?
b) ¿Cuánto medirá el área del cuadrilátero resultante después de hacer n dobleces?
68. La distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente 1,5 · 1011 metros, a esta medida se le conoce como
una unidad astronómica (UA). Si en la Tierra se tiene una bacteria que mide 1,5 · 10−6 metros, responde:
a) ¿Cuántas veces es más grande la distancia de la Tierra al Sol que la medida de la bacteria?
b) ¿Cómo representarías la medida de la bacteria en unidades astronómicas (UA)?
69. La Escherichia coli, es una bacteria que se reproduce por fisión binaria o bipartición, esto quiere decir
que cada cierto tiempo la bacteria se duplica. Para este bacilo el tiempo de duplicación, en condiciones
óptimas, es de 20 minutos. Si se cuenta con una de estas bacterias en el laboratorio, en condiciones
óptimas, responde:
números 43
a) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de 1 hora y 20 minutos? Realiza un diagrama de la duplicación de

bacterias.
b) ¿Cómo se expresa la cantidad de bacterias que habrán al cabo de t minutos? ¿t debe cumplir alguna
condición? Justifica.
c) Grafica la situación. ¿Qué puedes decir con respecto al crecimiento de las bacterias a medida que
transcurre el tiempo? ¿Por qué?
1.3.2 Raíces
Objetivo PSU
Comprender que los números irracionales constituyen un conjun-
to numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
solución en los números racionales, y los números reales como
aquellos que corresponden a la unión de los números racionales
e irracionales.
√
Irracionalidad de 2
A los miembros de la Escuela pitagórica, en el siglo VI a. C., les llamó Figura 1.8: Cuadrado de lado 1.
la atención la diagonal de un cuadrado. Para estudiarla consideraron un
cuadrado cuyo lado midiera una unidad, como se muestra en la Figura
1.8. Sabías que...?
Utilizando el Teorema de Pitágoras, se obtiene la siguiente relación, El pitagorismo fue un

movimiento filosófico –
para el cálculo de la diagonal: religioso de mediados del
siglo VI a. C. fundado por Pitá-
12 + 12 = x2 ⇒ 2 = x2 . goras de Samos, siendo ésta la
razón por la cual sus seguidores
recibían el nombre de pitagóri-
La pregunta es: ¿existe algún número conocido que al cuadrado resulte
cos. Estos formaban la Escue-
2? la pitagórica, secta conforma-
da por astrólogos, músicos, ma-
Definición. La raíz cuadrada de un número a es el número no negativo temáticos y filósofos, y cuya
√
que, multiplicado por sí mismo, da como resultado a. Se escribe a. Es creencia más destacada era que
todas las cosas son intrínseca-
decir, mente números.
√
a = x ⇔ a = x2 . Este movimiento descubrió los
números irracionales, aunque
A partir de esta definición, se observa que la respuesta al problema de exigía a sus seguidores que lo
los miembros de la Escuela pitagórica es: mantuvieran en secreto. Se cree
que el pitagórico Hipaso de Me-
√
x= 2. taponto reveló el secreto y, se-
gún la leyenda, fue ahogado.
Pero, ¿este valor es racional?
Supóngase que sí lo es, es decir, que la unidad de medida utilizada

para medir el lado del cuadrado puede dividirse en una cierta cantidad b
de partes iguales, de modo que la diagonal mide a de esas partes iguales.

Con ello se tiene que
Observación √ a
2= .
En matemática se utili- b
za la contradicción pa- Además, a y b son números enteros, del mismo signo y con b 6= 0, los
ra realizar demostracio- que en caso de tener factores comunes podrían simplificarse, obteniéndose
nes. Esta sigue los siguientes p a
pasos: una fracción = , donde p y q son números enteros que no tienen
q b
1. Se quiere demostrar que una factor común, con q 6= 0.
afirmación p es verdadera.
2. Se asume que p es falsa. De esta forma resulta la igualdad:
3. Se muestran las consecuen- p √
cias del hecho de que p sea = 2.
q
falsa.
4. Se llega a un absurdo o im- Elevando al cuadrado, se obtiene
posibilidad.
5. Como la afirmación p es ver- p √ p2
dadera o falsa, y ya se de- = 2⇒ 2 =2
q q
mostró que no puede ser fal-
sa ya que esto lleva a incon- ⇒ p2 = 2q 2 .
gruencias matemáticas, se
prueba así que p debe ser
verdadera. De aquí se concluye que p2 es un número par, lo que implica que p es
par. Si p es par, entonces
Sabías que...? p = 2p0 , para p0 ∈ N,
Existen tres grandes pro-
blemas de construcciones se obtiene:
geométricas clásicas: la
duplicación de un cubo, la tri-
p2 = 2q 2 ⇒ (2p0 ) = 2q 2
sección de un ángulo y la cua-
dratura de un círculo.
⇒ 4p02 = 2q 2
A través de la historia, han si-
do tratados de diversas mane-
ras y el intento de hallar las so- ⇒ 2p02 = q 2 .
luciones ha contribuido mucho
al desarrollo de la matemática. Este último resultado indica que q 2 es un número par, lo que implica
Sin embargo, dichas soluciones
nunca fueron encontradas ya que q es par. Si p y q son pares, entonces tienen factor común, lo que
que no existen. Cada uno de contradice la hipótesis.
estos problemas guarda estre-
cha relación con los números Los pitagóricos se dieron cuenta que no puede existir la fracción
irracionales y es consecuencia a √ √
= 2. Se dijo entonces que 2 era un número inconmensurable o
de estos la imposibilidad de su b
resolución. inmedible porque no es posible tomar una unidad de medida y dividirla
En 1837 Pierre Wantzel de- en partes que quepan exactamente en ella. Ya que no hay fracción que lo
muestra la imposibilidad de la represente, es un número que no pertenece a los racionales. A este tipo de
duplicación del cubo y de la
números se les llama irracionales (Q∗ ). Posteriormente, se demostraría
trisección del ángulo. La cua-
dratura del círculo se estudió que toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número
durante varios años más y fue natural o necesariamente es irracional.
recién en 1882 que Lindemann,
a través de la demostración de Por ejemplo, los siguientes números son irracionales:
una propiedad del número π,
probó que tampoco existía una √ √ 1
r
3 5 1,2
p
solución para este.
2
números 45
Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número

natural, un decimal finito o un número decimal periódico o semiperiódico,
pero un número irracional tiene infinitos decimales sin período.
Al conjunto numérico constituido por todos los números, racionales e
irracionales, se le llama conjunto de los números reales (R). Es decir,
R = Q ∪ Q∗ .
Raíz enésima
Lo que se quiere ahora, es generalizar la definición de una raíz cua-
drada a una enésima. Para esto, se considera el siguiente problema, que
contextualizará una situación donde es necesaria la utilización de una
raíz.
Problema: Duplicación de un cubo. Se considera un cubo de arista 1 unidad. Lo que se quiere hacer
es encontrar otro cubo, cuyo volumen sea exactamente el doble del cubo de arista 1. Es decir,
Donde V2 = 2 · V1
A partir de esto, responde:

1. ¿Cuánto es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir?
2. La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Es correcto? ¿Cuál
es el volumen de dicho cubo?
3. ¿Qué número se debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo? ¿ Es
posible construir? Justifica.
Definición. La raíz cúbica de un número a es un número, que multi-

√
plicado por sí mismo tres veces, da como resultado a. Se escribe 3 a. Es
decir,
√
3
a = x ⇔ a = x3 .
De la misma manera que se definió raíz cuadrada o raíz cúbica de un
número a, en diversos contextos donde fue necesario hacerlo, es posible
definir otras raíces de acuerdo al resultado obtenido al calcular una

potencia.
Definición. Sea n ∈ N, con n > 1 y sea a un número real, se dice que

si xn = a, entonces x es la raíz enésima de a:
√
xn = a ⇔ n
a = x,
además, a se llama cantidad subradical y n índice de la raíz.
Admás, si a es un número positivo, se tiene que:

Usted no lo haga
i) Si n es par:
p
(−1)2 6= −1. √

n
−a no es un número real.
En general,
√
x2 = |x|. √

n
a siempre es un número real positivo.
ii) Si n es impar:
√ √

n
ay n
−a siempre son números reales.
Ejercitación:
70. Calcula las siguientes raíces y justifica tu resultado utilizando la definición.
√ √ √ √
a) 3
125 b) 4
15 c) 5
−32 d) 3
−27
71. Explica por qué la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Potencias de exponente racional

1
¿Cómo se puede interpretar 5 4 ? A esta expresión se le puede llamar
1
54 = x /()4 x y aplicarle propiedades de potencias, como se muestra a la izquierda.
1 √
Por lo tanto, se puede interpretar que 5 4 = 4 5. En general, se puede
1
4
54 = x4
1
interpretar una potencia de exponente racional (con n ∈ N,
1
5 4 ·4 = x4 n
n > 1) como la raíz enésima de la base:
51 = x4
1 √
n
an = a.
⇓ Por definición
√
4
5=x Estos resultados permiten reducir expresiones y demostrar propiedades.
Sea n un número natural mayor que 1, se cumple que:
Observación
Utilizando las propieda-

Propiedades
des,
√ es posible
√ escribir √
√ 1 1 1
a · n b = a n · b n = (ab) n = n (ab)
p
n
8 como 2 · 2 de la si-
guiente manera: √n
1 a 1 r
a an n a
√
n
= 1 = = n , b 6= 0
√ √ √ √ √ b bn b b
8= 4·2 = 4· 2 = 2· 2 p√ 1
1
1 1 1 √
= a n · m = a nm = nm a, m ∈ N, m > 1
m n m
a = an
números 47
Ejercitación:
72. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.
√ √ √ √ √ √
a) 3
6· 3
4 b) 5· 6
4
10 6
c) √ d) √
4
5 3
73. Reduce las siguientes raíces hasta obtener la menor cantidad subradical posible.
√ √ √ √
a) 12 b) 27 c) 32 d) 108
74. Reduce:
√ √
3· 5 √
q p
a) √ c) 2 23 2
3
15 r
√ √ √ q
d) (x + 1) (x + 1) (x + 1)
4 2 4
p
b) 18 6 ÷ 32
Racionalización
Se llama racionalizar una expresión fraccionaria a encontrar otra ex-
presión equivalente a ella, pero que no contenga raíces en el denominador.
Por ejemplo, se tiene la siguiente igualdad:
√
1 2
√ = .
2 2
Donde la última expresión está racionalizada ya que no presenta raíces
en el denominador.
Ejemplos:
1
i) Racionalizar √ .
6
√
6
Para esto, se multiplica por √ , de esta manera el denominador de la fracción no tendrá raíces:
6
√ √
1 6 6
√ ·√ = .
6 6 6
2
ii) Racionalizar √ .
3
4
√
3
42
Para esto, se multiplica por √
3
, de esta manera el denominador de la fracción no tendrá raíces:
42
√
3 2
√
3 √
2 4 2 23 · 2 432 √
√ · √ = √ = = 3 2.
3
4 3 2
4
3 3
4 4
1
iii) Racionalizar √ √ .
2+ 5
√ √
2− 5
Para esto, se multiplica por √ √ , de esta manera el denominador de la fracción no tendrá raíces:
2− 5
√ √ √ √ √ √ √ √
1 2− 5 2− 5 2− 5 2− 5
√ √ ·√ √ = √ √ = = .
2+ 5 2− 5 ( 2)2 − ( 5)2 2−5 −3
Ejercitación:
75. Racionaliza:
√
5 9 1 5
a) √ b) √ √ c) √ d) − √
3 6 5− 3 7− 6 8 3 625
1.3.3 Logaritmos
Objetivo PSU
Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en
el contexto de los números reales, demostrar algunas de sus
propiedades y aplicarlas a la resolución de problemas.
En las subsecciones anteriores, se revisó la potenciación de números

reales expresada de dos maneras diferentes: a través de una potencia de
base racional y exponente entero, y de la raíz enésima de un número
real. En esta sección se trabajará una nueva forma de potenciación: los
logaritmos.
Sabías que...? El estudio de los logaritmos se debe al matemático escocés John

Napier (escrito también como Neper) que se dedicó a ellos buscando
Inicialmente, Napier lla-
ma “números artificiales” estrategias para simplificar los cálculos que involucraban números muy
a los logaritmos. Más tar- grandes, necesarios fundamentalmente para la navegación y la astronomía.
de, Napier usa la palabra lo-
Gracias a su obra muchos cálculos se hicieron más sencillos, dando un
garitmos en el sentido de un
número que indica una propor- gran impulso al desarrollo de las ciencias.
ción, ya que etimológicamente
significa λóγoζ (logos) que sig- Considérese la siguiente relación
nifica el sentido de proporción y
αριθµóσ (arithmos) que signifi- 47 = 16.384
ca número. Es decir, la palabra
logaritmo se define literalmen- se observa que:
te como “un número que indica
una proporción”. 16.384 es la séptima potencia de 4, es decir, el resultado de mul-
tiplicar 7 veces el 4 por sí mismo.
4 es el número que, multiplicado 7 veces por sí mismo da como resultado

16.384. Es decir, 4 es la raíz séptima de 16.384.
7 es el número al cual se debe elevar 4 para obtener 16.384. Se dice

que 7 es el logaritmo de 16.384 en base 4.
números 49
En general, dada la relación ab = c, se dice que b es el logaritmo de c

en base a y se escribe loga (c) = b. Corresponde al exponente de la Sabías que...?
potencia de base a cuyo resultado es c. Es decir, La escala sismológica
de Richter, también co-
b = loga (c) ⇔ ab = c, nocida como escala de
magnitud local (ML ), es una es-
donde a se llama base del logaritmo y c se llama argumento del logaritmo. cala logarítmica arbitraria que
asigna un número para cuanti-
Ahora, ¿es posible determinar un logaritmo siempre? Para responder ficar la energía que libera un
terremoto, denominada así en
a esta pregunta, se examinarán los siguientes casos con respecto a la honor del sismólogo estadouni-
restricción de las potencias y de las raíces, para encontrar cuáles podrían dense Charles Francis Richter
(1900-1985).
ser las eventuales restricciones de un logaritmo: La sismología mundial usa esta
escala para determinar las fuer-
1. Obsérvense los siguientes resultados: zas de sismos de una magnitud
entre 2,0 y 6,9 y de 0 a 400 ki-
lómetros de profundidad. Aun-
00 no está definido 0−2 no está definido 012 = 0
que los medios de comunicación
suelen confundir las escalas, pa-
10 = 1 1−4 = 1 13 = 1 ra referirse a eventos telúricos
actuales se considera incorrec-
to decir que un sismo «fue de
Se observa que una potencia de base 0 puede ser igual a cero o no
magnitud superior a 7,0 en la
estar definida. Por otra parte, si la base de una potencia es igual a uno, escala de Richter», pues los sis-
su resultado siempre será igual a uno. Para evitar estos problemas, se mos con magnitud superior a
6,9 se miden desde 1978 con
exigirá en el estudio de los logaritmos que la base de este siempre la escala sismológica de magni-
sea distinta de 0 y de 1. tud de momento, por tratarse
esta última de una escala que
2. Obsérvense los siguientes resultados: discrimina mejor en los valores
extremos.
√ 1 √ 1
5
−1024 = (−1024) 5 = −4 4
−16 = (−16) 4 no está definida.
√ 1 √ 1
6
64 = (64) 6 = 2 16 = (16) 2 = 4
En general, para que una potencia siempre esté bien definida es

necesario que su base no sea negativa. Por lo tanto, complementando la
condición vista en el caso anterior, se exige que la base a del logaritmo
debe ser positiva y distinta de 1.
3. Obsérvense los siguientes resultados:

Figura 1.9: Como se muestra en esta
1 √ 1
r
2
− 23 reproducción de un sismograma, las on-
53 = 125 50 =1 5−2 = 5 =
5
5
25 5 = 3
25 25 das P se registran antes que las ondas
S: el tiempo transcurrido entre ambos
Se observa que ninguno de los resultados es negativo ni cero, ya que se instantes es ∆t. Este valor y el de la
amplitud máxima (A) de las ondas S,
ha considerado una base positiva. En general, si la base de una potencia le permitieron a Charles Francis Richter
es positiva necesariamente su resultado será positivo, por lo que no tiene calcular la magnitud de un terremoto.
sentido preguntarse por el logaritmo de un número negativo. Por lo tanto,
se exige que el argumento de un logaritmo sea positivo.
Considerando las restricciones recién razonadas, se define de manera
rigurosa un logaritmo de la siguiente manera:
Definición. Dado un número real positivo a 6= 1 y un número real c > 0,

se llama logaritmo de c en base a al número al que se debe elevar a para
obtener c. Es decir:
loga (c) = b ⇔ ab = c.
Observación Donde a se llama base del logaritmo y c se llama argumento del

logaritmo.
Al logaritmo en base 10,
log10 (a), Dadas las definiciones y restricciones anteriores se puede establecer
se le suele denotar por
que:
log(a).
Logaritmo de la Logaritmo de la Logaritmo de una

base unidad potencia de la base
loga (a) = 1 loga (1) = 0 loga (an ) = n
Ejercitación:
76. Explica con tus palabras qué es un logaritmo.
√
77. Dada la relación n p = q, escribe un logaritmo que relacione n, p y q.
78. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.
a) 34 = 81 1
10
4
10000
−4
5 256
b) 2−6 = c) = d) =
64 3 81 4 625
79. Expresa como potencias los siguientes logaritmos.
1 1

a) log2 (32) = 5 b) log(10.000.000) = 7 c) log2 = −5 d) log5 = −3
32 125
80. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. Justifica tu respuesta.
1 1

a) log3 (27) b) log5 (3.125) c) log2 d) log9
8 729
Propiedades de los logaritmos
En los cálculos necesarios para el desarrollo de la astronomía que

motivaron a Napier se presentaban operaciones como la siguiente:
387.420.489 · 4.782.969.
Calcular el producto tomaba, como es de suponer, mucho tiempo y se

corría un alto riesgo de cometer errores. Sin embargo, si se observa que:
387.420.489 = 318 4.782.969 = 314 .

números 51
Su producto puede calcularse utilizando la operatoria de potencias de

igual base:
387.420.489 · 4.782.969 = 318 · 314 = 318+14 = 332 .
Al expresar los números como potencias de una misma base, el cálculo

de la multiplicación se reduce a una adición. Esta es una de las propiedades
ventajosas de los logaritmos, que se analiza a continuación.
Supóngase que x e y son números tales que
loga (x) = p ⇒ ap = x loga (y ) = q ⇒ aq = y, x · y = ap · aq
⇒ x · y = ap+q
se calculará el producto entre x e y, representándolos como potencias y
utilizando logaritmos. Esto se observa en la columna de la derecha. ⇒ loga (x · y ) = loga (ap+q )
⇒ loga (x · y ) = p + q
Finalmente, se ha deducido la propiedad del logaritmo del produc-
= loga (x) + loga (y )
to.
A continuación se resume un cuadro con las propiedades de los loga-
ritmos:
Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente

loga (x · y ) = loga (x) + loga (y ) loga (x : y ) = loga (x) − loga (y )
Logaritmo de una potencia Logaritmo de una raíz

√ 1
loga (cn ) = n · loga (c) loga ( n c) = · loga (c)
n
Logaritmo de un inverso Cambio de base
1 logp (c)

loga = − loga (c) loga (c) =
c logp (a)
Observación
El trabajo de Napier consistió, entonces, en determinar estas propieda-
Los logaritmos no exac-
des y elaborar tablas de logaritmos, que fueron utilizadas hasta principios tos son números irracio-
del siglo XX. La aparición de la calculadora y las computadoras las han nales. La demostración es
complicada, así que lamentable-
dejado en desuso, pero por muchos años constituyeron una poderosa mente solo tiene que creerlo.
ayuda. Incluso, los cálculos que permitieron la expedición del Apolo XI
a la Luna fueron realizados utilizando estas tablas.
Ejercitación:
81. Deduce todas las propiedades de los logaritmos.
pq 3

82. Si a = log(p), b = log(q ) y c = log(r ), ¿cuál es el valor de log ?
r
√
83. ¿Cuál es el valor de log7 ( 3 49)?
1 1 1
84. Escribe · log(p) − · log(q ) − · log(r ) como un solo logaritmo.
3 2 2
1 3 √

85. Demuestra la igualdad log − · log(a) + log ( a) = − log(a2 ).
a 2
86. Si log(2) ≈ 0,301 y log(3) ≈ 0,477, ¿cuál es el valor de aproximado de log(6)?

a) El pH es una medida de la acidez o alcalinidad de una sustancia. Se mide de acuerdo con la concentración
de moles de hidrógeno utilizando la fórmula:
pH = − log H+

donde H+ corresponde a la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro.

Si log(38) ≈ 1,58, calcula el pH de una sustancia cuya concentración de iones de hidrógeno es de

0,00000038 moles por litro.
En algunos lugares muy contaminados se produce el fenómenos llamado “lluvia ácida”. Hay lugares
donde se ha encontrado que los iones de hidrógeno presentes en la lluvia tienen una concentración de
0,0016 moles por litro. Calcula el pH de la lluvia en ese lugar, para esto, considera que log(16) ≈ 1,204.
b) La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado (W/m2 ), siendo 10−12 W/m2 la menor
intensidad que puede captar el oído humano. A partir de 1 W/m2 comienza el umbral del dolor en el oído.
Para comparar un sonido cualquiera con la menor intensidad audible se utilizan los decibeles (Db),
mediante la siguiente fórmula:
Db = 120 + 10 · log(I)
donde I es la intensidad en W/m2 .
Calcula el valor, en decibeles, de la menor intensidad que puede captar el oído humano.
Calcula el valor, en decibeles, de la intensidad desde donde comienza el umbral del dolor del oído.
En general, se recomienda que al usar los audífonos no se superen los 80 Db. Sin embargo, muchas
personas los utilizan cerca de los 100 Db. ¿Cuál es la diferencia entre estas magnitudes?
c) La energía liberada en los terremotos se mide en escala de Richter. Pese a ser modificada para
intensidades superiores a 7, se puede relacionar la magnitud de un sismo y la energía liberada en el
mediante la fórmula:
log(E) = 1,5 · R + 11,8
donde E es la cantidad de energía liberada medida en Ergios y R es su intensidad en grados Richter.
Completa la siguiente tabla con la intensidad o la energía liberada en los siguientes terremotos ocurridos
en Chile (para tus cálculos considera que log(158) ≈ 2,2, log(316) ≈ 2,5 y log(19) ≈ 1,3).
Energía liberada (E) Magnitud (R)
Terremoto de Valdivia (1969) 1,58 · 1026

Terremoto de Cauquenes (2010) 8,8
Terremoto de Algarrobo (1985) 3,16 · 1023
Terremoto de Vallenar(2013) 1,3 · 1022
números 53
El terremoto de Haití de 2010 tuvo una magnitud de 7,2 R. ¿Cuántas veces menos energía liberó,
comparado con el de Chile en 2010?
1.4 | Números reales

En secciones anteriores, ya se ha dado una introducción a los números
irracionales y, con ello, de los números reales. En esta sección se profun-
dizarán ambos temas y se entregará un marco general de lo que son los
conjuntos numéricos.
Objetivo PSU
Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicar-
los en la recta numérica, demostrar algunas de sus propiedades
y realizar aproximaciones
Como se dijo anteriormente, los números irracionales son aquellos

cuya representación decimal es infinita no periódica, y no pueden ser
a
representados en forma de fracción , con a y b números enteros y b 6= 0.
b
Para discutir
¿Qué entiendes tú por un número real? ¿Cómo los ubicarías en la recta

numérica?
1.4.1 Aproximación y orden de números reales

En muchas áreas de las ciencias, se trabaja con números irracionales.
Por ejemplo, en la astronomía, la puesta en órbita de un satélite precisa
cálculos que requieren gran precisión, donde se ven involucrados números
irracionales.
Tal como se ha dicho, no es posible resolver exactamente un cálculo

que involucre este tipo de números, y por lo tanto para poder hacerlo es
necesario realizar una aproximación. De todas maneras, es importante
recordar que cualquier representación decimal que se haga de ellos llevará
asociado un error.
Aproximaciones sucesivas
Si no se cuenta con una calculadora es posible obtener una aproxima-

ción de una raíz cuadrada empleando aproximaciones sucesivas.
√
Ejemplo: Para el caso de 54, se buscan los cuadrados perfectos menor y mayor más cercanos a 54:
√
72 = 48 y 82 = 64, entonces 7 < 54 < 8.
√
Se observa que 54 está entre 7 y 8, por lo tanto se prueba ahora con valores intermedios, en este caso con
el promedio de ambos: 7,5.
√
(7,5)2 = 56,25; entonces 7 < 54 < 7,5.
Se prueba con el promedio entre 7 y 7,5 que es 7,25:
√
(7,25)2 = 52,5625; entonces 7,25 < 54 < 7,5.
Se prueba con el promedio entre 7,25 y 7,5 que es 7,375:
√
(7,375)2 = 54,390625; entonces 7,25 < 54 < 7,375.
√
Se ha encontrado una aproximación sucesiva de tres cifras decimales para 54, es decir, es posible acotar su
valor como sigue:
√
7,25 < 54 < 7,375.
Ejercitación:
88. Utiliza aproximaciones sucesivas de tres decimales para determinar el rango de valores en que se encuentran
las siguientes raíces.
√ √ √
a) 5 b) 11 c) 27
1.4.2 Orden de números reales
Para discutir
√ √
Considera los números reales 5y 7. ¿Cuál de los dos es mayor?
¿Por qué?
En la pregunta anterior, si en vez de 5 y 7, fuera 0,5 y 0,7, ¿sucedería

lo mismo?
√ √
Considera los números reales 3 2 y 4 2. ¿Cuál de los dos es mayor?
¿Por qué?
En la pregunta anterior, si en vez de 2 la cantidad subradical fuera

1
, ¿sucedería lo mismo?
2
números 55
Ejercitación:
89. Ordena de menor a mayor los siguiente números reales.
√ √ √ √ √ √ √ √
a) 11, 7y 31. b) 4 21, 3 22 y 2 23. c) 4 3, 7 y 5 2.
90. Encuentra un método para ordenar logaritmos y ordena de menos a mayor en cada caso.
a) log3 (5), log3 (40) y log3 (17). b) log4 (7), log9 (7) y log7 (7). c) log2 (3), log5 (41) y log3 (47).
1.4.3 Operaciones con números reales

Al realizar operaciones entre números racionales e irracionales se
pueden obtener distintos resultados: en ocasiones es posible anticipar su
naturaleza y en otros casos depende de cuáles son los números que se
están operando. En general, se tiene que:
racional ± irracional = irracional

irracional ± racional = irracional
racional(6= 0) · irracional = irracional
racional(6= 0) : irracional = irracional
irracional : racional(6= 0) = irracional
En cambio, de las siguientes operaciones no se pueden establecer
generalidades porque el resultado puede ser racional o irracional:
irracional ± irracional
irracional · irracional
irracional : irracional
Ejercitación:
91. Determina si las siguientes operaciones dan como resultado un número racional o irracional.
√ √ √ 5 √ √ √
a) 2· 2 b) 8 7 + c) ( 8 + 5) · ( 8 − 5) d) (1 − 2)2
4
1.4.4 Los conjuntos numéricos

Como se ha visto en secciones anteriores, es necesario ampliar los
conjuntos numéricos para poder dar solución a distintas situaciones y
problemas. Así, para poder contar, primero surgen los números naturales
(N), luego los naturales con el cero, formando el conjunto de los números
cardinales (N0 ):
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.
La necesidad de representar cantidades menores que cero y hacer

siempre posible la sustracción motivó el surgimiento del conjunto de
los números enteros (Z). En él se incluyen los números naturales y sus
inversos aditivos (opuestos):
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Q Q∗
Luego, la incapacidad de dar solución general a la división de dos

enteros motivó la definición de los números racionales (Q), que a su vez
∪
incluyen a los enteros y a sus inversos multiplicativos (recíprocos):
n a o
Q = x = | a, b ∈ Z, b 6= 0 .
b
||
R A diferencia de los conjuntos anteriores, en Q no existe la noción de
sucesor o antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número
que viene antes o después de uno dado (conjunto denso). Sin embargo,
se vio en secciones anteriores que los números racionales no agotan todas
las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas, ya que existen
los números irracionales (Q∗ ). Este conjunto es distinto a los anteriores
Figura 1.10: R = Q ∪ Q∗ . porque no verifica la cerradura entre las operaciones, es decir, la suma y
el producto entre dos irracionales no siempre es un irracional. Se define
entonces el conjunto de los números reales (R) como aquel que incluye
tanto a los números racionales como a los irracionales.
De una manera sencilla, se puede entender a los números reales como

todos aquellos que representan una posición en la recta numérica. Algunos
ejemplos se muestran a continuación:
1.5 | Números complejos

En secciones anteriores, se han construido los conjuntos numéricos
partiendo desde los naturales y llegando finalmente a los números reales.
El mecanismo de construcción fue cuestionar situaciones matemáticas,
aritméticas o geométricas, en cada uno de los conjuntos, para así de-
terminar si tenían o no solución dentro de ellos. La respuesta negativa
números 57
para algunas de estas situaciones motivó la expansión de los conjuntos,

obteniendo como resultado final el conjunto de los números reales.
Para discutir
¿Es posible responder a todos los problemas matemáticos con el con-

junto de los números reales?
Objetivo PSU
Comprender que los números complejos constituyen un conjunto
numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
solución en los números reales, y reconocer su relación con
los números naturales, números enteros, números racionales y
números reales.
1.5.1 El número i
Problema: Considera la siguiente ecuación:
x2 + 1 = 0.
1. ¿Existe un número real x que sea solución de la ecuación planteada? Justifica.
2. Recordando la definición de la raíz cuadrada de un número como

√
a = x ⇔ a = x2 , a ≥ 0,
¿cómo se podría definir x en la ecuación planteada?
Definición. Los números i y −i son las soluciones de la ecuación x2 + 1 = Observación
0. Con ello se obtiene: El número i no es un

número real, ya que al
√
x2 = −1 ⇒ x = ± −1 cuadrado da negativo y
eso contradice las reglas de los
√ √ signos de los reales.
⇒ i= −1 y − i = − −1.
Utilizando la definición de i es posible escribir cualquier raíz cuadrada

Observación
con cantidad subradical negativa, de la siguiente forma:
√ q √ √ √ √ El número i se denomina
−8 = 8 · (−1) = 8 · −1 = 8 i = 2 2 i. unidad imaginaria.
Ejercitación:
92. Utiliza la definición de la unidad imaginaria para expresar las siguientes raíces cuadradas:
√ √ √
a) −16 b) −27 c) −2
93. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones:

√
a) −x2 − 9 = 0 b) x2 + 7=0
Potencias de i
Problema:
1. ¿Cuál es el valor de i0 , i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 , i7 , i8 , i9 e i10 ?
2. A partir de estos cálculos, ¿qué se puede concluir?
3. Considera la potencia i6 = i · i · i · i · i · i y que i4 = 1. ¿Hay alguna manera más rápida de calcular el valor
de la potencia para no hacer el cálculo término a término?
4. ¿Cuál es el valor de i1003 ?
Para calcular potencias de la unidad imaginaria i, se pueden considerar

que los resultados deben ser alguna de estas cuatro posibilidades:
1 i −1 − i.
Utilizando el hecho de que i4 = 1, al calcular una potencia de i se

considera lo siguiente:
Por ejemplo, para i18 se tiene que:
i18 = i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i · i
= i4 · i4 · i4 · i4 · i2
= 1 · 1 · 1 · 1 · i2
= i2 .
Es decir, se ha reducido una potencia de exponente 18 a una potencia

equivalente de exponente menor, en este caso el 2, dividiendo el expo-
nente 18 en 4 partes iguales. Si se resuelve la división utilizando el
algoritmo de la división, se obtiene:
18 = 4 · 4 + 2.
Donde 2 representa el resto de la división. De esta manera se obtiene

que i18 = i2 = −1.
Ejercitación:
94. Calcula las siguientes potencias de i.
números 59
32
a) −(i2018 ) b) i21 c) i55 · (−i) · i22
95. ¿Cuál es el valor de i + i2 + i3 + i4 + i5 + · · · + i1000 ?
1.5.2 Números complejos

Ahora que ya se ha dado solución al problema inicial utilizando la
definición de la unidad imaginaria, se construirá el conjunto que contiene
a estos elementos, así como también a los números reales.
Definición. El conjunto de los números complejos (C) está formado

por todos los pares ordenados de los números reales.
Dado z = (a, b) ∈ C se llama parte real de z a la primera componente

del par (a, b) y parte imaginaria a la segunda componente, las que se
acostumbran a denotar por:
Re(z ) = a Im(z ) = b.
La adición se define como:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
y el producto de un real por un complejo se define como:
k · z = k · (a, b) = (k · a, k · b), k ∈ R.
Además, se tiene:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c y b = d.
Ejercitación:
96. Dados los siguientes números complejos, determina la parte real y la parte imaginaria:
a) z = (−4, 6) b) w = (−1, −9) c) y = (0, −17)
Representación gráfica de los números complejos
Se han definido los números complejos como pares ordenados y por

tanto, corresponden a elementos geométricos en el plano cartesiano.
En el plano, el eje de las abscisas representa a la parte real y el eje

de las ordenadas a la parte imaginaria del número complejo. Dado un
número complejo z = (a, b), su representación gráfica se presenta en la
Figura 1.11: Plano complejo.
Figura 1.11.
Ejercitación:
97. Calcula la operación en cada caso y determina la parte real y la parte imaginaria del número complejo
resultante.
a) 3 · (2, −1) + (0, 13) 1

b) · (−2, −8) − (4, −4)
2
Observación
Los complejos de la for-

1.5.3 Forma canónica de los números complejos
ma (a, 0) se denominan
reales puros y se deno- En esta subsección se va a deducir y utilizar una notación muy usual
tan simplemente como a, mien- para los números complejos, que se denomina forma canónica.
tras que a los de la forma (0, b)
se les llama imaginarios pu-
ros y se les denota como bi. Objetivo PSU
De esta forma, la unidad ima- Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones,
ginaria i es
multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular
i = (0, 1)
conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus
y la unidad real 1 es propiedades.
1 = (1, 0).
Nótese que para todo número complejo z = (a, b) se tiene que:
Observación
z = (a, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1) = a · 1 + b · i = a + bi.
Si z y w son números
complejos, se define la Lo que se justifica por la definición y notación establecida con anterio-
resta y división como si-
gue: ridad.
z − w = z + (−w ) Por tanto, se llama forma canónica de un número complejo z, a:
z : w = z · w−1 ,
donde (−w ) es el inverso adi- z = a + bi, a ∈ R, b ∈ R.
tivo de w y w−1 es el inverso
multiplicativo de w.
Donde Re(z ) = a y Im(z ) = b, y por lo tanto se debe tener esto en
consideración para poder resolver operaciones utilizando esta notación.
Observación Adición
Si w = a + bi, se tiene
que −w = −(a + bi) = La suma de dos complejos, escritos de esta forma, está dada por:
1
−a − bi y w−1 = =
1
w (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
y para encontrar este úl-
a + bi
timo la fracción se amplifi-
ca (a − bi), completando la su- Multiplicación
ma por su diferencia.
La multiplicación de dos complejos, escritos de esta forma, está dada
por:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.

números 61
Ejercitación:
98. Utiliza la forma canónica de los complejos para demostrar que es un cuerpo con las operaciones de adición
y multiplicación antes definidas.
z
99. Sean z = a + bi y w = c + di dos números complejos. Encuentra una expresión para representar .
w
a) (8 + 4i) − (5 + 2i) c) (1 + 2i) : (−3 + 5i) + (4 − 3i)

b) (2 − 5i) · (−5 + 4i) d) (−4 − 10i) − (9 − 2i) + (6 + 5i)
Conjugado y módulo de un número complejo
Definición. Dado un número complejo z = a + bi, se define el conju-

gado de z, denotado por z como z = a − bi.
Ejercitación:
101. Encuentra el complejo conjugado en cada caso.
a) z = −3 + 5i b) w = 16 − 4i
102. Demuestra las siguientes propiedades:

z z
a) z = z b) z + w = z + w c) z · w = z · w d) =
w w
Definición. Sea z = a + bi un número complejo, se define el módulo

de z, denotado por |z|, como
p
|z| = a2 + b2 .
Nótese que si el complejo z es un real puro, su módulo coincide con

su valor absoluto.
Ejercitación:
103. Demuestra las siguientes propiedades, considerando z, w ∈ C y k ∈ R.
a) |k · z| = |k| · |z| b) |z| = | − z| = |z| c) |z · w| = |z| · |w| z |z|

d) =
w |w|
104. Considerando z1 = −1 − 4i y z1 = 6 − 10i, realiza las siguientes operaciones.
a) |z1 · z2 + z1 | z1 + z2 z1 |z1 |
b) c) −
|z1 | z2 z2
1.5.4 Complejos y vectores

Como se dijo anteriormente un complejo queda representado por un
par ordenado (a, b) en el plano cartesiano, pero también se acostumbra
representarlo no por un punto sino por el vector que va desde el origen al
punto (a, b), introduciendo con ello la representatividad de los complejos
por medio de vectores geométricos con todo el potencial que implica
tratarlos como tales.
La típica suma y ponderación de vectores definida entre los vectores

geométricos, se define naturalmente para los complejos considerados como
vectores, así como todas las consecuencias que llevan estas definiciones.En
la Figura 1.12 se observa el complejo a + bi como vector en el plano.
Algunas consecuencias son:
La ponderación de un número real por un complejo representa el

Figura 1.12: Número complejo.
alargamiento o el acortamiento de un vector con o sin cambio del
sentido del vector, según el signo del real.
Con respecto al módulo de un complejo z coincide con la magnitud

del vector z.
La distancia entre los complejos z y w está dada por |z − w|.
Ejercitación:
105. Dibuja el vector determinado por los números complejos dados:
a) 1 + 2i b) (4, −3) c) 4i d) −3 − 4i
Resumen
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar y, por tanto, solo representan
cantidades enteras. Comienzan en el 1 y se extienden hacia el infinito positivo. Un número
natural se denomina par si es un múltiplo de 2. En caso contrario se llama impar. Un número
natural primo es aquel que solo tiene dos divisores. En caso de que tenga más de dos divisores
el número se llama compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto.
El Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo número compuesto puede escri-
birse como producto de números primos.
Los Números Enteros son todos aquellos que representan una cantidad entera, positiva,
negativa o cero.
números 63
El conjunto de los números racionales es el conjunto de los números que se pueden expresar
como fracción, con denominador distinto de cero. Este conjunto es un cuerpo, es decir, verifica la
asociatividad y conmutatividad para la suma y el producto, la distributividad de la multiplicación
sobre la suma, la existencia de neutro aditivo y multiplicativo, la existencia de inverso aditivo y
multiplicativo y la cerradura de estas dos operaciones. Además, es un conjunto denso, es decir,
entre cada par de racionales hay infinitos racionales.
Los decimales finitos, infinitos periódicos y semiperiódicos son racionales. Para escribir un
decimal finito como fracción, se escribe en el numerador todo el número sin coma y en el
denominador un 1 con tantos ceros como cifras haya a la derecha de la coma. Para escribir
un decimal infinito periódico como fracción, se escribe en el numerador todo el número sin
coma y se resta la parte que no tiene período, mientras que en el denominador se escriben tantos
nueves como cifras tenga el período. Para escribir un decimal infinito semiperiódico como
fracción, se escribe en el numerador todo el número sin coma y se le resta la parte que no tiene
período, mientras que en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período
y tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
Truncar un decimal a una posición significa cortarlo en dicha posición, mientras que redondear
un decimal a una posición significa aproximar por exceso o por defecto dependiendo de si la
cifra siguiente a la posición dada es mayor o igual a cinco o menor que cinco, respectivamente.
Propiedades de las potencias Propiedades de las raíces

√ √ √
an · am = an+m n
a · n b = n ab
√ √ √
(an )m = an·m n
a: nb= na:b
p√ √
(a · b)n = an · bn m n
a = m·n a
√ √
an ÷ am = an−m n·r m·r
a = n am
Además, toda raíz se puede expresar como potencia de exponente racional de la forma:
√ m
am = a n .
n
Finalmente, una raíz no exacta no es expresable como fracción y por tanto no es un número
racional. Es decir, es una decimal con infinitas cifras sin período.
Un logaritmo es el exponente de una potencia, expresado en función de la base y del resultado

de la misma. Es decir, si an = x entonces n = loga (x), con a > 0, a 6= 1 y x > 0.
Las propiedades de los logaritmos son:
loga (x · y ) = loga (x) + loga (y ) loga (cn ) = n · loga (c)
loga (x ÷ y ) = loga (x) − loga (y ) loga (c) = logp (c) : logp (a)
Además, los logaritmos no exactos no son expresables como fracción de dos enteros, por tanto
no son números racionales.
Al conjunto de números que no son expresables como fracción se le denomina conjunto de

números irracionales (Q∗ ). Este conjunto no verifica la cerradura, es decir, las operaciones
entre irracionales no siempre resultan un número irracional.
Finalmente, se dice que el conjunto de los números reales es aquel que contiene tanto a los
racionales como a los irracionales. Por lo tanto, para cualquier posición en la recta numérica
existe un número real que la representa.
La unidad imaginaria i se define como i2 = −1. Las potencias de i puede tomar solo uno de
los siguientes cuatro valores:
1 −1 i − i.
El resultado depende del valor del exponente. Si al dividirlo por 4 el resto es 0, entonces el
resultado es 1. Si el resto es 1, entonces el resultado es i. Si el resto es 2, entonces el resultado
es −1. Y si el resto es 3, entonces el resultado es −i.
El conjunto de los números complejos está formado por todos los pares ordenados de los
números reales. Es decir, constituyen puntos en el plano cartesiano, donde el eje x representa la
parte real y el eje y la parte imaginaria.
Una manera de denotar los números de este conjunto es de la forma a + bi, donde a corresponde
a la parte real y b a la imaginaria, al interpretar a como (a, 0) e i como (0, 1).
El conjugado (z) y el múdulo (|z|) de un complejo z = a + bi son, respectivamente:

p
z = a − bi |z| = a2 + b2 .
números 65
1. En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el
número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma
cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7
2. Si a, b y c son números impares, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número
par?
A) a2 + b2 − c2 C) 2a3 + 11b3 − 2c3 E) abc

B) 5a + 10b − 3c D) 8a + 8b + 7c
3. Se puede afirmar que el número E es divisible por 3 si:

(1) E + 15 es múltiplo de 6.
(2) 3 · E es múltiplo de 3.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
4. Si un billete verde equivale a 4 monedas azules, dos billetes rojos equivalen a uno verde y una moneda
azul equivale a 10 monedas blancas, ¿a cuántos billetes rojos equivalen 100 monedas blancas más 6
monedas azules y 10 billetes verdes?
A) 10 B) 13 C) 28 D) 60 E) 130
m
5. ¿Para cual de los siguientes valores de m, la expresión es un número entero negativo?
m−1
A) 2 C) 1 E) Ninguna de las anteriores.
B) −2 D) 3
6. Sea n un número entero. Se puede determinar que (n − 1) es un número par si:

(1) 2n es un número par.
(2) (n + 2) es un número impar.
A) (1) por sí sola D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) E) Se requiere información adicional
7. (−3) · (−2)2 + (−3)3 : 9 =
A) −15 B) −9 C) 1 D) 9 E) 33
1 2
8. + 1
=
3
1−
4
3 1 1 D) 1 E) 3
A) B) C)
2 3 6
9. Los alumnos de un curso debieron elegir entre las asignaturas de Educación Musical y Artes Visuales.
9
Si del curso eligió Educación Musical, se puede determinar el número de alumnos que eligieron
20
Artes Visuales si se sabe que:
(1) El curso tiene 40 alumnos.
11
(2) del curso eligió Artes Visuales.
20
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
10. Se puede determinar el numerador de cierta fracción si:

(1) El valor de la fracción es 0,25.
(2) El denominador de la fracción es 8.
A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola
3−1 + 4−1
11. =
5−1
12 35 7 5 5
A) B) C) D) E)
35 12 5 7 12
números 67
√ √
12. ¿Cuál(es) de los siguientes números multiplicados por ( 2 + 3) da(n) como resultado un número
racional?
√ √ 1 1
I. 2 2 − 2 3 II. √ √ III. √ √
2+ 3 2− 3
A) Solo I C) Solo I y II E) I, II , III

B) Solo II D) Solo I y III
a
13. Si log(a3 ) = p y log (b) = q, ¿cuál es el valor de log ?
p
b
A)
p p − 6q p + 6q q − 6p q + 6p
3 B) C) D) E)
3 3 3 3
14. Si log2 (7) ≈ 2,807 entonces el valor de log4 (7) al aproximarlo por exceso a la centésima es
A) 1, 41 C) 5, 61 E) Ninguna de las anteriores.
B) 1, 40 D) 5, 62
15. Sea p un número primo, de las siguientes expresiones

√ √ √
I. p 2 II. 3 p2 III.
p
p· p
¿cuál(es) corresponde(n) siempre a número(s) irracional(es)?
A) Solo I C) Solo III E) Solo I y III

B) Solo II D) Solo I y II
√ 3 √ √
16. Dados los numeros reales a = | 3 − 1|, b = y c = |3 · ( 2 − 3)|, el orden creciente entre ellos es
4
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < c < a
D) c < b < a
E) c < a < b
17. Sea el número complejo p = a + bi, con a y b números reales distintos de cero, ¿cuál de las siguientes
igualdades es siempre verdadera?
A) |p| = a2 + b2
B) p · (1 + 0i) = a
a − bi
C) p−1 = 2
a + b2
D) p − p = 0
E) p · p = p2
−5 − 12i
18. El cociente entre un número complejo z = 2 + bi y su conjugado es . ¿Cuál es el valor de b?
13
A) 1
B) 3
C) −3
D) −1
E) −2
19. Se puede graficar el complejo z si se conoce que:

(1) |z| = 17
(2) Im(z ) = 8
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
20. Si se suman dos números complejos no nulos, se puede afirmar que

I. es posible obtener un número complejo nulo.
II. es posible obtener un número real puro.
III. es posible obtener un número imaginario puro.
De estas es (son) verdadera(s)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
1. A 5. E 9. A 13. B 17. C
2. B 6. B 10. C 14. A 18. C
3. A 7. A 11. B 15. A 19. E
4. C 8. E 12. C 16. A 20. E

Unidad 2
Álgebra
Si bien las operaciones básicas entre los números son muy

útiles en diversas situaciones y en muchos contextos, en ocasiones se
requiere de una abstracción mucho más profunda y a la vez más ingente:
la generalización. El álgebra significa ampliar el concepto de número
y las operaciones; definir variables, constantes e incógnitas. Es aquel
excepcional lenguaje que lo simboliza, representa y reproduce todo; es
aquello que universaliza el incontable contenido de las ciencias.
2.1 Lenguaje algebraico y polino- 2.4 Ecuación de segundo grado

mios 2.5 Inecuaciones y sistemas de
2.2 Factorización y fracciones alge- inecuaciones
braicas 2.6 Relaciones y funciones
2.3 Ecuaciones y sistemas de ecua- 2.7 Teoría de funciones
ciones
2.8 Tipos de funciones
2.1 | Lenguaje algebraico y po-

linomios
“Aritmética es una palabra griega (quiere decir ciencia de los números,
Sabías que...?
arithmós en griego significa número); hemos visto, sin embargo, que
Al-Khwarismi fue un ma- nuestra forma de escribir los números, y por consiguiente nuestra forma
temático, astrónomo y
geógrafo persa. En su
de hacer con ellos las cuatro operaciones, y los cálculos en general, no se
obra, presenta la primera solu- remonta a los antiguos griegos sino a los mucho más modernos árabes.
ción sistemática de ecuaciones No se trata, pues, de una ciencia tan antigua como se pueda creer: en
lineales y cuadráticas. Hoy, es
considerado como uno de los efecto, si queremos fijar las fechas, llegaremos a poco más de mil años de
padres del álgebra. antigüedad en lo que se refiere a los árabes, con el sabio Al-Khwarizmi,
que vivió alrededor del 800 d. C., e incluso al siglo XIII para el caso de
Europa, con Leonardo Pisano.
Por eso, si la forma más cómoda de escribir los números es una difícil
conquista del hombre que ha empezado a difundirse por Europa hace
solo seis siglos, todavía más joven es el álgebra que requiere, además de la
numeración moderna (arábigo - india), otros requisitos: una ampliación
del concepto de número; la introducción de unos símbolos claros, precisos
y cómodos para representar operaciones y “expresiones” que no solo
contienen números concretos, sino también números indeterminados o
incógnitas.
Si se le preguntara hoy a un especialista de álgebra “¿Qué es el álgebra?

Explíquemelo en pocas palabras, sencillas y claras”, se vería en un apuro
para responder, tantos y tales han sido los desarrollos de esta rama
Sabías que...? de las matemáticas en los últimos cien años. Si en cambio se pudiera
hacer la misma pregunta al espíritu del viejo Al-Khwarizmi (¡otra vez
Leonardo Pisano, más co-
nocido como Fibonacci,
él!), a lo mejor le hubiera costado algo de trabajo reconocer la palabra
fue un matemático ita- árabe al-giabr, de la que por deformación se ha llegado a nuestra palabra
liano, famoso por haber difundi- “álgebra”, pero no tendría ninguna dificultad para responder. Para él,
do en Europa el sistema de nu-
meración indo-arábigo actual- en efecto, la al-giabr no era más que cierta regla para transformar una
mente utilizado, el que emplea igualdad en otra igualdad que tenga el mismo valor (es decir, que sea
notación posicional (de base 10,
o decimal) y un dígito de valor
“equivalente”).”
nulo: el cero; y por idear la su-
cesión de Fibonacci.
La matemática de Pitágoras a Newton, Lucio Lombardo Rádice.
Enlista los requisitos que posee el álgebra, según el texto.
¿Qué es, en conclusión, y según el texto, el álgebra?

álgebra 71
Objetivo PSU
Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando
diversas estrategias.
2.1.1 Lenguaje Algebraico
Problema: Jaime está viajando por el mundo, esta vez su destino es la bellísima Italia. Una vez allí,
después de haber visitado la ciudad de Roma, decide comprar recuerdos para sus amigos. Jaime compra 4
gorros, 5 llaveros y 7 magnetos, gastando finalmente e64.
Si se denota por g al precio de cada gorro, ¿cómo expresarías el dinero gastado en ellos?
Si se denota por l al precio de cada llavero, ¿cómo expresarías el dinero gastado en ellos?
Si denota por m al precio de cada magneto, ¿cómo expresarías el dinero gastado en ellos?
Utilizando g, l y m, ¿cómo expresarías el gasto total?
Definición. El lenguaje algebraico se utiliza para representar ma-

temáticamente situaciones dadas en lenguaje natural. En el lenguaje
algebraico se utilizan letras para representar variables a las que se les
pueden asignar distintos valores.
Para discutir
Analiza las frases que se presentan en la tabla:
Lenguaje común Lenguaje algebraico
Dos veces 5 es igual a: 2 · 5 Dos veces un número es: 2n

Tres veces dos, más uno es: 3 · Tres veces un número, más uno
2+1 es: 3n + 1
Figura 2.1: Fibonacci.
El cuadrado de dos, disminuido El cuadrado de un número, dis-
en tres es: 22 − 3 minuido en tres es: n2 − 3
¿Qué diferencias y similitudes existen en las frases de la tabla?
¿Cuál es la ventaja de escribir frases en lenguaje algebraico respecto

a una frase común?
Ejercitación:
1. Representa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
a) El doble de un número, disminuido en cinco unidades.

b) El cuadrado de un número, disminuido en una unidad.
c) La tercera parte de la raíz enésima de un número.
d) La suma de tres múltiplos consecutivos de seis.
e) La diferencia positiva entre dos números pares consecutivos.
f) La décima potencia de la décima parte de un número.
g) El sucesor de la suma entre un número y el doble de su inverso multiplicativo.
2.1.2 Expresiones algebraicas
Coeficiente numérico Factor literal Definición. Una expresión algebraica o polinomio es una suma o
resta de cantidades numéricas y literales.
Definición. Un término algebraico corresponde a cada una de los
15 · x sumandos de la expresión algebraica. Todo término algebraico está com-
puesto por un coeficiente numérico y un factor literal, multiplicados,
Operaciones de donde los coeficientes numéricos son los factores numéricos con sus
multiplicación o división
respectivos signos y el factor literal es el producto de las letras con sus
Figura 2.2: Término algebraico.
respectivos exponentes.
Términos algebraicos En ocasiones es útil precisar la cantidad de términos que tiene un
polinomio, usándose alguno de los siguientes términos:
Monomio: es una expresión algebraica formada por un término alge-

15x + 20y braico. Por ejemplo: 44a.
Binomio: es una expresión algebraica formada por dos términos

Operaciones de
adición o sustracción algebraicos. Por ejemplo: 44a − 2b.
Figura 2.3: Expresión algebraica.
Trinomio: es una expresión algebraica formada por tres términos
algebraicos. Por ejemplo: 44a − 2b + 7c2 .
Evaluar expresiones algebraicas

Evaluar o valorizar una expresión algebraica significa darle un valor
numérico a las variables involucradas en el polinomio.
Ejemplo: Valentina va a la feria a comprar pimentón y lechuga. El precio de cada pimentón es p y el precio
de cada lechuga es l. Si compra 5 pimentones y 7 lechugas, la expresión algebraica que representa el gasto
total es: 5p + 7l.
Si el precio de los pimentones es $450 cada uno y de las lechugas es $750 cada una, se tiene: p = 450 y
l = 750. Se evalúa la expresión algebraica para encontrar el gasto total de Valentina en la feria:
5 · 450 + 7 · 750 = 2250 + 5250 = 7500.

álgebra 73
Por lo tanto Valentina gastó $7500 en pimentones y lechugas.
Ejercitación:
2. Si a = 3 y b = −5, valoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) 2a2 − 3b b) 4a3 b + 12b − 3ab2 c) 13b4 − 5ab − b
Reducción de términos semejantes
Definición. Se denominan términos semejantes a todos aquellos que

Usted no lo haga
tienen igual factor literal.
Al reducir términos seme-
Reducir términos semejantes consiste en agrupar los términos jantes, recuerda que:
algebraicos semejantes, sumar o restar los coeficientes numéricos y con-
x · x 6= 2x
servar el factor literal. En caso de que los términos sean números sin
x + x 6 = x2 .
parte literal, se suma o resta de la forma habitual.
Ejemplo: Reducir la expresión 4a − 5b + 7a + 2b.
Términos semejantes Se suman o restan los coeficientes
4a − 5b + 7a + 2b = 4a + 7a − 5b + 2b = (4+7)a + (−5+2)b = 11a − 3b
Términos semejantes
Ejercitación:
3. Reduce las siguientes expresiones algebraicas:
a) 4xy 2 + 9xy 2 3 2
c) x− x
4 5
4 3
b) 4a2 + 1 + a2 + a − 3a d) −0,5 − m + 0,07n −
10 10
2.1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas

Para multiplicar expresiones algebraicas se utilizan propiedades
de potencias y la propiedad distributiva. La multiplicación de estas, se
relaciona con el área de figuras geométricas rectangulares.
Multiplicación de monomios
Para discutir
El largo de un terreno rectangular es 5x y el ancho es 3y. ¿Cuál es el

área del terreno?
Como se muestra en la figura 2.4 , el terreno representado por el

rectángulo de lados 5x y 3y está compuesto por 15 rectángulos pequeños
de lados x e y, cada uno de área xy. Luego, el área del terreno es 15
veces xy, es decir 15xy.
Para calcular el área del rectángulo de forma algebraica se multiplican

las medidas de los lados de la siguiente manera:
Figura 2.4: Terreno rectangular de 5x
por 3y. Primero, se multiplican los coeficientes numéricos:
Se multiplica
3ab
A = 5x · 3y = (5 · 3)x · y = 15x · y
4b Coeficientes numéricos
Luego, se multiplican los factores literales utilizando propiedades de

Figura 2.5: Rectángulo ejercicio 4.
las potencias:
22y Se multiplican potencias de igual exponente
2x A = 15x · y = 15x1 · y 1 = 15(xy)1 = 15xy
Factores literales
Finalmente, el área del terreno es 15xy, expresión equivalente a la

obtenida geométricamente.
Ejercitación:
4. Calcula el área de los rectángulos de las Figuras 2.5 y 2.6.
5. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) −4xy · −2y 4 · 2x2 · y −2 b) −3x · −8xy 3 · −5y 2

álgebra 75
Multiplicación de monomio por polinomio
Para discutir
Un rectángulo tiene lados (a + 2b) y 2a. ¿Cuál es su área?
Como se muestra en la Figura 2.7, el rectángulo de lados 2a y a + 2b

se puede dividir en dos rectángulos de lados 2a y a y de lados 2a y 2b,
de áreas 2a2 y 4ab respectivamente. Por lo tanto, el área del rectángulo
de la figura será la suma de las áreas de los dos rectángulos obtenidos al
realizar la división. Es decir, A = 2a2 + 4ab.
Algebraicamente, se puede obtener el resultado multiplicando el largo

con el ancho del rectángulo original, es decir, una multiplicación de
monomio por binomio: A = 2a · (a + 2b).
Para resolver esta multiplicación de forma algebraica, se pueden seguir Figura 2.7: Rectángulo de lados 2a y
los siguientes pasos: (a + 2b).
Primero, se multiplica el monomio por cada término del polinomio,

utilizando la propiedad distributiva: 4b 2a
4b
Distributividad A = 2a · (a + 2b) = 2a · a + 2a · 2b Figura 2.8: Rectángulo ejercicio 6.
12x
2y
Luego, se multiplica cada uno de los monomios.
A = 2a · a + 2a · 2b = 2a2 + 4ab 4x
Finalmente, el área del rectángulo es 2a2 + 4ab, expresión equiva-

lente a la obtenida geométricamente:
Ejercitación:
5 3 4 2 5

a) −2x · x2 + 3x2 y − 5z

b) ab · a − b + a2 b
6 10 5
Multiplicación de polinomios
Para discutir
La medida de los lados de un rectángulo es (2a + 5b) y (6a + 7b). ¿Cuál

es su área?
Como se muestra en la Figura 2.10, el rectángulo de lados 2a + 5b y

6a + 7b se puede dividir en áreas parciales. Por tanto el área del rectángulo
Figura 2.10: Rectángulo de lados (2a + será: A = 12a2 + 30ab + 14ab + 35b2 .
5b) y (6a + 7b).
Reduciendo términos semejantes se obtiene: A = 12a2 + 44ab + 35b2 .
Para calcular el área de forma algebraica se considera la multiplicación

del ancho por el largo del rectángulo, es decir, la multiplicación de dos
7b 8a binomios: A = (2a + 5b) · (6a + 7b).
Para resolver, se pueden seguir los siguientes pasos:

3b
Primero, se multiplica uno de los binomios por cada uno de los términos
2a del otro, utilizando la propiedad distributiva.
A = (2a + 5b) · (6a + 7b) = (2a + 5b) · 6a + (2a + 5b) · 7b

10y 15x
3y Luego, se resuelve la multiplicación de cada binomio por monomio:
Se reducen términos semejantes

2x

A = (2a + 5b) · 6a + (2a + 5b) · 7b = 12a2 + 30ab + 14ab + 35b2 = 12a2 + 44ab + 35b2
Binomio por monomio
Finalmente, el área del rectángulo es 12a2 + 44ab + 35b2 , que es

equivalente a la expresión obtenida geométricamente.
Ejercitación:
a) (−m + n) · (−7n + 10m − 1) b) (3x − 3y + 1) · (x + y + 2)

álgebra 77
2.1.4 Productos notables

Los productos notables son ciertos productos que cumplen reglas
fijas, cuyo resultado se conoce de manera directa, sin necesidad de efectuar
la multiplicación término a término.
Cuadrado de binomio
Problema: Completa el siguiente cuadro para calcular el área de cada uno de los cuadrados.
Lado Área Representación Producto
2a 4 2
a+2 (a + 2)(a + 2)= a · a + a · 2 + 2 · a + 2 · 2

a2 2a a
(a + 2) (a + 2)2 = a2 + 2a + 2a + 4
= a2 + 4a + 4
a 2
a+2
x 1 1
x+1 (x + 1)(x + 1) = x · x + x · 1 + 1 · x + 1 · 1
x2 x x
(x + 1) (x + 1)2 = x2 + x + x + 1
= x2 + 2x + 1
x 1
x+1
(3 + y ) (3 + y )2
(2x + 1) (2x + 1)2
Observación
Para discutir El cuadrado de bino-
mio cumple la siguiente
regularidad:
¿Qué regularidad observas en el lado de los cuadrados?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
¿Qué regularidad observas en el producto al calcular el área de los
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .
cuadrados? Describe la regularidad.
¿Podría deducir el área de un cuadrado de lado (a + b) aplicando la

regularidad descrita? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
10. Calcula
2
a) 9ab3 − 5c b) (x + 3y 2 )2 c) (a2 b − 2−1 c)2 d) (5xy + 2)2
Binomios con término común
Problema: Se desea calcular el área de las superficies de colores de cerámicas de distintos tamaños, como
se muestra en la Figura 2.13.
Completa la siguiente tabla calculando el área en cada caso:
Ancho Largo Área Producto

a2 4a a
a+2 (a + 2) (a + 4) (a + 2) · (a + 4) a2 + 6a + 8
2a 8 2 (x + 4) (x + 5) (x + 4) · (x + 5) x2 + 9x + 20
a 4 (x + 1) (x + 2) (x + 1) · (x + 2)
a+4
Figura 2.13: Superficie de colores de ce- (b + 2) (b + 3) (b + 2) · (b + 3)
rámica.
Para discutir
¿Qué regularidad observas en las multiplicaciones de las expresiones

Observación algebraicas?
El binomio con tér- ¿Qué regularidad observas en el producto? ¿Qué relación hay entre
mino común, verifica la
siguiente regularidad: el coeficiente numérico del segundo término con los términos libres
de los binomios? ¿Qué relación hay entre el término libre del pro-
(x + a) · (x + b) =
x2 + (a + b) · x + ab. ducto y los términos libres de los binomios? Describe la regularidad
observada.
¿Se puede deducir el producto de (x − 1)(x + 2) reduciendo pasos

en la multiplicación? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
11. Calcula
a) (a + 5) · (a − 4) b) (m − 2) · (m − 6) c) (x2 − 1) · (x2 + 4) d) (ab − 4b) · (ba − 5)

álgebra 79
Suma por su diferencia
Problema: Calcula el área de los siguientes rectángulos donde las restas son positivas:
Ancho Largo Área Producto
(a + b) (a − b) (a + b) · (a − b) a2 − ab + ba + b2 = a2 − b2
(x + 3) (x − 3) (x + 3) · (x − 3)
(2a + b) (2a − b) (2a + b) · (2a − b)
(x + 3y ) (x − 3y ) (x + 3y ) · (x − 3y )
Observación
Para discutir
La suma por su dife-
rencia verifica la siguien-
¿Qué regularidad se observa en los lados de los rectángulos? te regularidad:
(a + b) · (a − b) = a2 − b2 .
¿Qué regularidad se observa en el producto al calcular el área de los
rectángulos? Describe la regularidad.
¿Se podrá deducir el área de un rectángulo de lados (x + 1) y (x − 1)

reduciendo pasos en la multiplicación? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
12. Calcula
a) (x2 − 3) · (x2 + 3) b) (a2 + 3) · (a2 − 3) c) (x − 7) · (x + 7) d) (4 + b) · (−b + 4)
Cubo de binomio
Problema: Calcula el volumen de los cubos de acuerdo a la arista que aparece en la tabla.
Arista Volumen
(x + y )
(a + b)
(x + 1)
(x + 2y )
Observación
Para discutir
El cubo de binomio ve-
rifica las siguientes regu-
laridades:
¿Qué regularidad observas en el producto al calcular el volumen de
los cubos?
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ¿Se podrá deducir el producto (x − 1)3 reduciendo pasos en la
multiplicación? ¿Qué resultado se obtendría?
Ejercitación:
13. Calcula:
a) (y − 3)3 b) (−a + 4)3 c) (−2 − x)3 d) (ab + b)3
2.2 | Factorización y fraccio-

nes algebraicas
En la sección anterior, se aprendieron a resolver multiplicaciones entre
Sabías que...?
expresiones algebraicas: monomio por monomio, monomio por binomio y
En la vida cotidiana, la polinomio por polinomio. Además, se estudiaron algunos productos con
mente funciona de la mis- características especiales: los productos notables.
ma manera que en la fac-
torización. Por ejemplo, se sue-
len guardar objetos como cuchi-
En esta sección se desarrollará un nuevo concepto directamente ligado
llos, tazas o libros, formando con lo recién estudiado: la factorización de expresiones algebraicas.
grupos con ellos. Con ella, se buscarán estrategias para resolver operaciones de suma, resta,
Cuando se memoriza un núme- multiplicación y división de fracciones algebraicas.
ro de teléfono se tienden a agru-
par los números en binas o ter-
nas, según sea más simple, es- Objetivo PSU
to es justamente factorizar un
problema grande en otros más Interpretar la operatoria con expresiones algebraicas fracciona-
pequeños. rias como una generalización de la operatoria con fracciones
Cuando se conduce un auto, se numéricas, establecer estrategias para operar con este tipo de
factoriza el arte de manejar en
cosas más pequeñas, como: ace-
expresiones y comprender que estas operaciones tienen sentido
lerar, pasar un cambio, frenar, solo en aquellos casos en que estas están definidas.
girar el manubrio, etc.
En fin, todo lo que se divida

en pasos es la factorización de
un problema, no necesariamen-
te deben verse implicados los
2.2.1 Factorización
números.
Definición. Factorizar una expresión algebraica significa hallar dos o
más factores cuyo producto sea igual a la expresión propuesta.
Para comprender mejor el proceso de factorización, recuérdese el

álgebra 81
teorema fundamental de la aritmética con el siguiente ejemplo:
10 = 2 · 5.
El teorema dice que todo número compuesto puede escribirse como

producto de factores primos. En el ejemplo, se escribió el número 10
como el producto entre 2 y 5, es decir, se factorizó. En esta sección
se hará algo similar a lo que se mostró en el ejemplo, pero utilizando
expresiones algebraicas.
Por ejemplo, se tiene igualdad
ab + bc = b · (a + c)
ya que dada la propiedad distributiva se tiene que:
b · (a + c) = b · a + b · c = ab + bc.
Lo que se ha establecido es una igualdad entre una expresión algebraica

y el producto de otras dos, a esto se le llama factorización.
Factor común Figura 2.14: Rectángulo de área 2x2 +
6xy.
Para discutir
Considera el rectángulo de la Figura 2.14, de área A = 2x2 + 6xy. La

pregunta es, ¿es posible encontrar un par de posibles lados para el
rectángulo? 2x2 6xy
Se puede responder esta pregunta de forma geométrica, dividiendo el

rectángulo en secciones como muestra la Figura 2.15. De esta forma, los
lados del rectángulo son 2x y x + 3y. Finalmente, es posible establecer
la igualdad:
2x2 + 6xy = 2x · (x + 3y ).
Este problema se puede resolver algebraicamente. Recuérdese que el 2x2 6xy 2x
área de un rectángulo es el producto de la medida de su largo por la
medida de su ancho. Considerando esto, lo que se quiere encontrar son
los factores del producto 2x2 + 6xy. Para hacerlo, se pueden seguir los
siguientes pasos: x 3y
Primero, se expresa cada término del polinomio como multiplicación: x + 3y

Figura 2.15: División del rectángulo.
2x2 + 6xy = 2 · x · x + 2 · 3 · x · y.
Luego, se identifica el factor común de los términos que componen la

expresión:
Se escribe la expresión algebraica como un producto de factores en el

que uno de ellos es el factor común:
2x2 + 6xy = 2 · x · x + 2 · 3 · x · y = 2x · (x + 3y ).
Por lo tanto, la factorización de 2x2 + 6xy es 2x · (x + 3y ) y las

posibles medidas de los lados del rectángulo son 2x y (x + 3y ), lo que
concuerda con lo obtenido geométricamente.
Ejercitación:
14. Encuentra los posibles lados de un rectángulo de área:
a) 24ab + 6bc b) 5x2 + 25xy
Trinomio cuadrado perfecto

Se desea encontrar la medida del lado de un cuadrado de área A =
x2 + 2xy + y 2 . En esta situación se pide que a partir de un trinomio
cuadrado perfecto se busquen los factores que originan el producto. Se
puede dividir el cuadrado para encontrar la medida de su lados, como se
muestra en la Figura 2.16.
A partir de esto, se obtiene que el lado del cuadrado es (x + y ), y
finalmente que
x2 + 2xy + y 2 = (x + y )2 .
Este problema se puede resolver de forma algebraica siguiendo los
siguientes pasos:
Primero, se comprueba si dos términos del trinomio son cuadrados
perfectos positivos.
Luego, se identifican los términos que al elevarlos al cuadrado resultan

los cuadrado perfectos anteriores.
Figura 2.16: División cuadrado de área Posteriormente, se comprueba que el tercer término del trinomio
x2 + 2xy + y 2 . corresponda al doble producto de los términos encontrados en el paso
anterior.
álgebra 83
Finalmente, se escribe la suma o diferencia (dependiendo del signo

del doble producto) de los términos encontrados en el paso 2, elevada al
cuadrado.
x2 + 2xy + y 2 = (x + y )2 .
Por lo tanto, la factorización de x2 + 2xy + y 2 es (x + y )2 y el lado

del cuadrado mide (x + y ), lo que concuerda con lo obtenido geométrica-
mente.
Ejercitación:
15. Calcula el lado del cuadrado de área:
a) 4k 2 + 28k + 49 b) 16x4 + 24x2 y + 9y 2
Trinomio de la forma x2 + px + q
Se desea determinar una posible medida de los lados de un rectángulo

a partir de su área que es A = x2 + 7x + 10. En esta situación se pide
factorizar un trinomio de la forma (x2 + px + q ). Se puede dividir el
rectángulo en regiones para poder encontrar las posibles medidas de sus
lados, como se observa en la Figura 2.17.
De esta forma, se encuentra que los posibles lados del rectángulo son
(x + 5) y (x + 2), y finalmente se tiene que
x2 + 7x + 10 = (x + 5) · (x + 2).
Algebraicamente, es posible factorizar un trinomio con término común

de la siguiente manera:
Primero, se identifica el término común y se comprueba que esté

elevado al cuadrado en la expresión.
Figura 2.17: División cuadrado de área

Luego, se comprueba que de los otros dos términos uno esté multipli- x2 + 7x + 10.
cado por el término común y el otro sea un término libre.

Posteriormente, se identifican dos términos que sumados den el término

que está multiplicando al término común y multiplicados den el término
libre.
Finalmente, se escribe la multiplicación de los binomios correspondien-

tes a la suma o diferencia (según el signo de los términos no comunes)
del término común con cada término no común.
x2 + 7x + 10 = x2 + (2 + 5)x + 2 · 5 = (x + 2)(x + 5).
Por lo tanto, la factorización de x2 + 7x + 10 es (x + 2) · (x + 5),

siendo (x + 2) y (x + 5) los lados del rectángulo.
Ejercitación:
16. Calcula los posibles lados del rectángulo de área:
a) x2 − 13x + 42 b) a2 − 5a − 6 c) y 2 + 8y − 20
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En el caso de que el trinomio sea de la forma ax2 + bx + c, se amplifica

para formar un trinomio de la forma x2 + px + q.
álgebra 85
Ejemplo: Factorizar 7x2 − 6x − 1.

Primero, se multiplica y se divide la expresión por el término que acompaña a x2 .
(7x)2 − 7 · 6x − 7
−→ 7x2 − 6x − 1 =
7
Luego, se identifican dos términos que sumados resulten en aquel que está multiplicado por el término común
(que en este caso es 7x) y multiplicados correspondan al término libre.
(7x)2 − 7 · 6x − 7 (7x)2 + (−7 + 1) · 7x + (−7 · 1)

7x2 − 6x − 1 = =
7 7
Posteriormente, se aplica la factorización de un trinomio con término común para factorizar el trinomio del
numerador de la fracción.
(7x − 7) · (7x + 1) 7(x − 1) · (7x + 1)
7x2 − 6x − 1 = = = (x − 1) · (7x + 1)
7 7
Por lo tanto, la factorización de 7x2 − 6x − 1 es (x − 1)(7x + 1).
Ejercitación:
17. Factoriza los siguientes trinomios.
a) 3m2 + 8m − 3 b) 5x2 + 3x − 2
Diferencia de cuadrados (a2 − b2 )

Obsérvense los siguientes pasos para la factorización de la diferencia
de cuadrados de forma algebraica:
Primero, se comprueba que cada término de la expresión corresponda
a un cuadrado perfecto.
Luego, se identifican los términos que al elevarlos al cuadrado resulten
los términos de la expresión:
a2 − b2 = a · a − b · b.
Finalmente, se escribe la multiplicación de la suma y la diferencia de

los términos encontrados en el paso anterior:
a2 − b2 = (a + b) · (a − b).
Por lo tanto, la factorización de a2 − b2 es (a + b) · (a − b).
Ejercitación:
18. Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.
a) 25 − k 2 b) a2 b2 − 81b4 c) 4m2 − 16n2 d) 9x2 − 49
Suma y diferencia de cubos y cubo de binomio
Las factorizaciones relacionadas con cubos se resumen en la siguiente

tabla:
Nombre Expresión Factorización
Suma de a3 + b3 (a + b) · (a2 − ab + b2 )
cubos
Diferencia de a3 − b3 (a − b) · (a2 + ab + b2 )
cubos
Cubo de a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 (a ± b)3
binomio
Ejercitación:
19. Verifica que la factorización de la suma y diferencia de cubos resulta la expresión dada.
20. Factoriza en cada caso.
a) 8x3 − 1 b) a3 + 27 c) 8 − 12y + 6y 2 − y 3 d) 27 − x3
2.2.2 Fracciones algebraicas

A
Definición. Se llama fracción algebraica al cociente , donde A y B
B
son polinomios, válido cuando B 6= 0.
Las fracciones algebraicas son generalizaciones de las fracciones numé-

ricas que ya se han estudiado, por lo tanto es importante destacar que
el denominador B debe ser distinto de cero para que la fracción esté
bien definida, lo que implica que las variables asociadas al polinomio del
denominador siempre llevarán una restricción.
álgebra 87
Un ejemplo de fracción algebraica es:

5x2 + 2x + 1
x+5
donde x + 5 6= 0 para que la fracción esté bien definida, lo que implica
que x 6= −5. Por lo tanto, −5 es la restricción de esta fracción, es decir,
es el único valor real que no puede tomar x.
Ejerctación:
21. Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas.
2a a+1 2a + 1
a) b) c)
3a + 1 5a 5a − 7
Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias

Para realizar operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias, se
utilizan las mismas definiciones de suma, resta, multiplicación y división
que ya se han estudiado para las fracciones numéricas.
Se usará la herramienta de la factorización para simplificar las
expresiones al momento de calcular una operación como multiplicación
o división, y para encontrar el mínimo común múltiplo en el caso de la
suma o la resta.
Multiplicación. El primer paso para multiplicar es factorizar las ex-
presiones algebraicas de los numeradores y denominadores, si es que se
puede. Luego se simplifica en caso de que se pueda y finalmente se
resuelve.
Ejemplo:
Donde,
3a(x + 4) 3ax + 12a
= .
x+5 x+5
Nótese que las restricciones para esta operación son: x 6= −5, x 6= 4 y 2a 6= −b.
División. Para resolver esta operación, recuérdese que

a c a d
: = · ,
b d b c
por lo tanto, solo se tiene que escribir la división como multiplicación y
operar de la forma anterior.
Ejemplo:
x2 − 2x + 1 x−1 x2 − 2x + 1 3ab − 3b
: = · .
a2 + 5a − 6 3ab − 3b a2 + 5a − 6 x−1
Se factoriza:
x2 − 2x + 1 3ab − 3b (x − 1)2 3b(a − 1)
· = · .
a2 + 5a − 6 x−1 (a + 6)(a − 1) x−1
Se simplifica y resuelve:
(x − 1)2 3b(a − 1) x − 1 3b (x − 1)3b 3bx − 3b

· = · = = .
(a + 6)(a − 1) x−1 a+6 1 a+6 a+6
Nótese que para esta operación, las restricciones son a 6= −6, a 6= 1, x 6= 1 y b 6= 0.
Adición y sustracción. Recuérdese que para sumar o restar fracciones

numéricas los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Por
tanto, para resolver adiciones o sustracciones con fracciones algebraicas
se debe amplificar por alguna expresión algebraica para igualar los
denominadores.
Ejemplo:
álgebra 89
r p+4
Se multiplica la primera fracción por y la segunda por para igualar los denominadores:
r p+4
2p + 1 p−1 2p + 1 r p−1 p+4
+ = · + ·
(p + 4)(p + 1) r (p + 1) (p + 4)(p + 1) r r (p + 1) p + 4
(2p + 1) · r (p − 1)(p + 4)
= +
r (p + 4)(p + 1) r (p + 4)(p + 1).
Ahora que los denominadores son iguales, se pueden sumar los numeradores:
(2p + 1) · r (p − 1)(p + 4) (2p + 1) · r + (p − 1)(p + 4)

+ =
r (p + 4)(p + 1) r (p + 4)(p + 1) r (p + 4)(p + 1)
2pr + r + p2 + 3p − 4
=
r (p2 + 5p + 4)
2pr + r + p2 + 3p − 4
= .
p2 r + 5pr + 4r
Donde r 6= 0, p 6= −4 y p 6= −1.
Ejercitación:
22. Resuelve las siguientes operaciones.
3x + 2 x+2 x 3 x3 + 3
a) − c) + 2 − 3
3x + 6 x2 − 3x x−1 x −1 x −1
2 4 x+1
+
b) x 7x d) x
4 2 x−1
+
x 5x x
2.3 | Ecuaciones y sistemas de

ecuaciones
En esta sección, se utilizarán los conceptos algebraicos definidos en
las dos secciones anteriores, para resolver ecuaciones y sistemas de
ecuaciones. Ambos temas, tienen una gran importancia y trascendencia,
ya que a través de ellos es posible modelar muchas situaciones de la
vida cotidiana y resolver problemas de diferentes disciplinas como la
estadística o la economía.
Objetivo PSU
Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
2.3.1 Ecuaciones lineales con una incógnita
Problema: Diofanto de Alejandría fue un antiguo matemático griego nacido en Alejandría. De su vida
personal nada se conoce, salvo su edad de muerte. Esto último es gracias al siguiente epitafio:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su
vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, de vello se cubrieron
sus mejillas. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un
precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada.
Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
Entonces, ¿a qué edad murió Diofanto?
Definición. Una ecuación lineal con una incógnita es una igualdad

cuya variable o valor desconocido está en el numerador y tiene exponente
Propiedad aditiva. Si x = y, se 1. Cuando este tipo de ecuación es verdadera solo para un determinado
tiene que valor de la incógnita, dicho valor es llamado solución.
x=y /+a Para resolver ecuaciones, se utilizan las propiedades aditiva y multi-
−→ x + a = y + a plicativa de las igualdades, las que se observan a la izquierda.
Propiedad multiplicativa. Si x = Es importante destacar, que las ecuaciones sirven para modelar si-
y, se tiene que
tuaciones reales de la vida cotidiana, y por tanto siempre es necesario
x=y /·a evaluar la pertinencia de las soluciones dado el contexto de la ecuación.
=⇒ x · a = y · a
Ecuaciones con coeficientes enteros
Definición. Una ecuación con coeficientes enteros es aquella que
involucra solo números enteros, aunque sus soluciones pueden no ser
números enteros.
Ejemplo: Adrián compra 5 corontas de choclo a $x cada una y 7 matas de lechuga a $y pesos cada una,
gastando en total $7.600. Si el precio de cada lechuga es de $1.000, ¿cuánto cuesta cada coronta de choclo?
Para resolver este problema, se necesita modelar la situación a través de una ecuación, que en este caso tiene
coeficientes enteros, lo que le da sentido al problema.
Se expresa el gasto de Adrián de la siguiente manera:
5x + 7y = 7.600,
donde y = 1.000, por lo que se obtiene,
5x + 7 · 1.000 = 7.600 =⇒ 5x + 7.000 = 7.600.

álgebra 91
La expresión obtenida es una ecuación lineal con una incógnita, la cual se puede resolver utilizando las
propiedades de las igualdades:
5x + 7.000 = 7.600 / − 7.000
5x + 7.000 − 7.000 = 7.600 − 7.000

1
5x = 600 /·
5
5 600
x=
5 5
x = 120.
Por lo tanto, el precio de cada coronta de choclo es de $120.
Ejercitación:
23. Utiliza las propiedades de las igualdades para resolver las siguientes ecuaciones.
a) 4x − 5 = −3 + x c) 2(3 − 2x) = −4 − 2x
b) 2x + 5 − x = 5 − 2x + 6 d) 10 + 3x − 4 = 2(3 − 4x)
24. Plantea y resuelve las ecuaciones que modelan los siguientes problemas.
a) En un partido de fútbol, Marianela anotó una cierta cantidad de goles, pero Gabriela, del equipo
contrario, convirtió dos goles más que ella. Si entre ambas anotaron 10 goles, ¿cuántos anotó cada una?
b) En una pastelería venden pasteles de chocolate, de canela y de manjar. El de canela cuesta $100 más
que el de chocolate, y el de manjar, $130 más que el de canela. ¿Cuánto cuesta cada pastel si el precio de
los tres es de $3.000?
c) En una reunión hay doble números de mujeres adultas que de hombres adultos y triple número de
niños/as que de hombres y mujeres adultos/as juntos/as. ¿Cuántos hombres adultos, mujeres adultas y
niños/as hay si la reunión la componen 96 personas?
Ecuaciones con coeficientes racionales
Definición. Una ecuación con coeficientes racionales es aquella

que involucra números racionales.
Ejemplo: Nicolás compra un par de zapatillas de escalada a $b, sin IVA. Si el par de zapatillas, con IVA,
cuesta $116.620, ¿cuál es el valor de las zapatillas, sin IVA?
Para resolver este problema, se expresa el 19 % de b como:
19
b.
100
Por lo tanto, la ecuación obtenida es:

19
b+ b = 116.620.
100
100
Para sumar los términos algebraicos, se amplifica b por para igualar denominadores,
100
100 19
b+ b = 116.620
100 100
119
b = 116.620.
100
Ahora se despeja el valor de b, utilizando las propiedades de las igualdades:
119
b = 116.620 / · 100
100
119
100 · b = 116.620 · 100
100
1
119b = 11.662.000 /·
119
119 11.662.000
b=
119 119
b = 98.000.
Por lo tanto, el valor de las zapatillas de escalada, sin IVA, es de $98.000.
Ejercitación:
25. Resuelve las siguientes ecuaciones.
x−1 x−5 x+5 7x − 6 c)

x x
+ −1 =
x
a) − = b) − (x + 2) = 4x + 2 5 3 2
4 36 9 3
26. Resuelve los siguientes problemas.

a) Luis hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 L de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas:
2
en la primera, consumió de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la
3
gasolina que le queda. ¿Cuántos litros de gasolina tenía en el depósito? ¿Cuántos litros se consumen en
cada etapa?
b) Un artesano vende en tres meses la mitad de sus productos y en los siguientes tres meses vende un
tercio de los productos que le quedan. ¿Cuántos productos tenía el artesano a principio del año si aún le
quedan por vender 90?
Ecuaciones literales
Definición. Una ecuación literal es aquella que tiene más de un co-

eficiente literal, que podría considerarse como incógnita. Cuando se
identifica esta, se despeja en función de las otras letras, que pasan a
considerarse como constantes.
álgebra 93
Ejemplo: Ignacia compra 4 blusas a $b cada una y 3 pares de calcetines a $c cada par. Si en total gastó
$10.890, ¿cómo se puede expresar el precio de cada blusa en función del precio de cada par de calcetines?
Dado el contexto de nuestro problema, se identifica que la incógnita es b, es decir, el precio de cada blusa.
Por lo tanto, el valor c de cada par de calcetines pasa a ser una constante.
La ecuación que modela esta situación es:
4b + 3c = 10.890.
Se despeja el valor de b, utilizando las propiedades de las igualdades:
4b + 3c = 10.890 / − 3c
4b + 3c − 3c = 10.890 − 3c
1
4b = 10.890 − 3c /·
4
4 10.890 − 3c
b=
4 4
10.890 − 3c
b= .
4
(10.890 − 3c)
Por lo tanto, el precio b de cada blusa, en función del precio c de cada par de calcetines es $ .
4
10.890 − 3c
Nótese que > 0 dado el contexto del problema, lo que implica que 10.890 − 3c > 0 y finalmente
4
10.890
que c < .
3
Ejercitación:
27. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones.
a) x + ax = b b) ax − b · (x − 1) = 3 · (x + a)

a) María José estudia la dilatación lineal de una varilla mediante la expresión L = Li + α · Li · ∆T , donde
∆T es la variación de la temperatura (en ◦ C), L es la longitud final de la varilla (en cm), Li es la longitud
inicial de la varilla (en
cm) y α es el coeficiente de dilatación térmica del material de la varilla, que en
1
este caso es aluminio 3,9 · 10−3 ◦ . Despeja la variación de temperatura en la ecuación, luego calcula
C
su valor si la longitud final es de 12 cm y la inicial de 11 cm.
b) Si el perímetro de un rectángulo es (8x + 4p) cm y su ancho mide (3x + p) cm, ¿cuál es la medida de
su largo?
2.3.2 Sistemas de ecuaciones lineales
Definición. Un sistema de ecuaciones consiste en un arreglo de dos o

más ecuaciones que involucran dos o más incógnitas. El sistema se dice
lineal si las incógnitas tienen exponente 1.
Sabías que...?
François Viète (1540 – Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

1603) fue el primero en
emplear letras para sim-
bolizar las incógnitas y constan-
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa de
tes en las ecuaciones algebrai- la forma:
cas.
ax + by = e
cx + dy = f
donde a, b, c, d, e, f ∈ R y x e y son las incógnitas.

Sabías que...?
Una solución (x, y ) del sistema es un par de valores que satisface
Las dos rayas “=” que in-
dican igualdad, las empe- simultáneamente ambas igualdades.
zó a utilizar un matemá-
tico inglés llamado Robert Re-
corde que vivió hace más de
Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos
400 años. En uno de sus libros
cuenta que eligió ese signo por-
que “dos cosas no pueden ser Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones:
más iguales que dos rectas pa-
ralelas”.
En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada una de
las ecuaciones representa una recta en el plano cartesiano. Considerando
esto, se puede interpretar gráficamente la solución del sistema como el
par ordenado que representa al punto de intersección entre las rectas.
Ejemplo: Encontrar la solución del siguiente sistema.
x+y = 1
4x + 2y = −2
Para esto, en primer lugar se escriben las ecuaciones de forma principal. De esta manera resulta más fácil
graficarlas.
x+y = 1 y = −x + 1
=⇒
4x + 2y = −2 y = −2x − 1
Para graficar las rectas, se calculan algunos puntos que pertenezcan a cada una de ellas:
y = −x + 1 y = −2x − 1
álgebra 95
x y (x, y) x y (x, y)
−2 3 (−2, 3) −2 3 (−2, 3)
−1 2 (−1, 2) −1 1 (−1, 1)
0 1 (0, 1) 0 −1 (0, −1)
1 0 (1, 0) 1 −3 (1, −3)
Obsérvese que, a partir de las tablas se ha podido encontrar la solución del sistema, ya que se ha descubierto
un punto que pertenece a ambas rectas.
A continuación se observa la gráfica de las rectas, con el punto de intersección antes mencionado:
Por lo tanto, la solución del sistema es (−2, 3).
Análisis gráfico de un sistema de ecuaciones
Las dos ecuaciones de un sistema, no necesariamente representan

rectas que se intersectan, sino que pueden describir a rectas paralelas o a
rectas coincidentes. A continuación se verán ejemplos que ilustran cada
uno de los casos.
Se tienen tres sistemas de ecuaciones y la representación gráfica de

cada una de las rectas involucradas:
Sistema 1:
3x + y = 1 y = −3x + 1
=⇒ Figura 2.18: Gráfico sistema 1.
2x − y = 3 y = 2x − 3
Se obtienen dos rectas secantes (se intersectan en un punto). Por lo

tanto, el sistema tiene solución y es única. Este tipo de sistemas
se llama compatible determinado.
Sistema 2:
x 1
x + 5y = 1 y=− +
5 5
=⇒ x 4
2x + 10y = 8 y=− +
5 5
Se obtienen dos rectas paralelas (no se intersectan). Por lo tan-

Figura 2.19: Gráfico sistema 2. to, el sistema no tiene solución. Este tipo de sistemas se llama
incompatible.
Sistema 3:
x 3
2x + 4y = 6 y=− +
2 2
=⇒ x 3
3x + 6y = 9 y=− +
2 2
Se obtienen dos rectas coincidentes (se intersectan en todos sus
Figura 2.20: Gráfico sistema 3.
puntos). Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Este
tipo de sistemas se llama compatible indeterminado.
Ejercitación:
29. Resuelve los siguientes sistemas.
x−y = 3 2x + y = 1 x + y = −3
a) b) c)
y 1
x+y = 9 x+ = x+y = 2
2 2
2x − 3y = 9
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
x + 5y = −2 Si bien es posible resolver un sistema de ecuaciones a través de gráficos,

este método tiene limitaciones que lo hacen complicado de utilizar en
Figura 2.21: Sistema de ecuaciones.
algunas ocasiones. Sin embargo, es posible encontrar algunos métodos
algebraicos para resolverlos.
2x − 3y = 9
Método de sustitución
x = −2 − 5y
Considérese el sistema de ecuaciones de la Figura 2.21. Se observa que
Figura 2.22: Paso 1.
hay una ecuación en la que una de las variables aparece con coeficiente
igual a 1. Para resolver el sistema se aplican los siguientes pasos.
Primero, se despeja la variable con coeficiente 1 en la ecuación indicada,
como se muestra en la Figura 2.22.
álgebra 97
Luego, se sustituye la expresión obtenida en el despeje en la otra

ecuación, para obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve.
2 · (−2 − 5y ) − 3y = 9
=⇒ −4 − 10y − 3y = 9
=⇒ −13y = 13
=⇒ y = −1.
En este caso, se obtiene un valor para la incógnita y.
Posteriormente, se reemplaza el valor obtenido para y del sistema en

la ecuación despejada en el paso 1, para determinar x:
x = −2 − 5(−1)
=⇒ x = −2 + 5
=⇒ x = 3.
Finalmente, se puede concluir que el sistema es compatible determina-
do, y su solución es (3, −1).
Método de igualación
Considérese el sistemas de ecuaciones de la Figura 2.23. Se observa

que en ambas ecuaciones el coeficiente de una de las variables es el mismo.
3x + 5y = 9
Para resolver el sistema se siguen los siguientes pasos:
3x − 2y = −12
Primero, se despeja la variable con coeficiente común, como se muestra
Figura 2.23: Sistema de ecuaciones.
en la Figura 2.24.
Luego, se igualan las expresiones obtenidas en ambas ecuaciones para 3x = 9 − 5y

obtener una ecuación con una incógnita, que se resuelve.
3x = −12 + 2y
3x = 9 − 5y = −12 + 2y Figura 2.24: Paso 1.
=⇒ 9 + 12 = 2y + 5y
=⇒ 21 = 7y
=⇒ 3 = y.
Posteriormente, se reemplaza el valor obtenido en alguna de las ecua-

ciones del sistema obtenido en el paso 1 para determinar el valor de la
otra variable.
3x = 9 − 5 · 3
=⇒ x = −2.
Finalmente, la solución del sistema es: (−2, 3).
Método de reducción
Considérese el sistema de ecuaciones de la Figura 2.25. A diferencia

de los casos anteriores, no se observan términos con coeficientes comunes
2x + 3y = 1 en las ecuaciones. Sin embargo, se pueden realizar algunas operaciones
5x − 2y = 1 algebraicas que permitan que si los haya, aplicando los siguientes pasos:
Figura 2.25: Sistema de ecuaciones. Primero, se multiplica una de las ecuaciones del sistema, o ambas, por
números que permita que en ambas ecuaciones una de las variables quede
2x + 3y = 1 ·5 con el mismo coeficiente u opuesto, como se observa en la Figura 2.26.
5x − 2y = 1 ·2
Luego, se suman o restan las ecuaciones (según convenga) de lado a
⇓ lado, para reducir el término con coeficiente común. Se obtiene así una
10x + 15y = 5 ecuación con una sola incógnita que se resuelve.
10x − 4y = 2
10x + 15y = 5
Figura 2.26: Paso 1. 10x − 4y = 2 (−)
=⇒ 0x + 19y = 3
=⇒ 19y = 3
3
=⇒ y = .
19
Posteriormente, se reemplazan los valores obtenidos en alguna de las
ecuaciones originales, para determinar el valor de la otra incógnita.
3
2x + 3 · =1
19
5
=⇒ x = .
19
5 3

Por lo tanto, la solución del sistema es: , .
19 19
En resumen, se puede resolver un sistema de ecuaciones utilizando
los métodos de sustitución, igualación o reducción. En los tres casos,
se busca reducir las ecuaciones a una ecuación de una incógnita que se
resuelve, y luego permite calcular el valor de la otra.
Ejercitación:
30. Resuelve los siguientes sistemas.
x−1
−2x − 5y = −10 x − 7y = −2 +y = x−2
a) b) 4
c)
7x + 2y = −10 x + 4y = −9 y+1 2x + 1
5− =
4 3
álgebra 99
31. Un sistema de ecuaciones se denomina homogéneo si sus términos libres son ambos iguales a cero.
Demuestra que un sistema homogéneo, o bien es compatible indeterminado o tiene solución única e igual
a (0, 0).
Existencia de soluciones
Se pueden establecer condiciones algebraicas para determinar si un
sistema de ecuaciones de la forma
ax + by =e
cx + dy =f
es compatible indeterminado, incompatible o compatible determinado.

Estas se resumen en los siguientes puntos:
El sistema es compatible indeterminado si es posible obtener la

segunda ecuación a partir de la primera (o la primera a partir de la
segunda) multiplicando o dividiendo por un número k 6= 0. Es decir,
se cumple la relación:
c d f
c = ka ⇒ =k d = kb ⇒ =k f = ke ⇒ = k.
a b e
c d f
Entonces, = = .
a b e
El sistema es incompatible si es posible obtener los coeficientes de x
e y de la segunda ecuación a partir de la primera (o los de la primera a
partir de los de la segunda) multiplicando o dividiendo por un mismo
número k 6= 0, pero no el término libre. Es decir, se cumple la relación:
c d f
c = ka ⇒ =k d = kb ⇒ =k f 6= ke ⇒ 6= k.
a b e
c d f
Entonces, = 6= .
a b e
El sistema es compatible determinado si no es posible obtener los
coeficientes de la segunda a partir de los de la primera. Es decir, se
cumple:
c d
6= .
a b
Ejercitación:
32. Determina los valores de a y b según corresponda:
2x + 5y = 4
a) , para que el sistema sea compatible determinado.
ax + by = 9
ax + 8y = 4
b) , para que el sistema sea compatible indeterminado.
2x + by = 8
x + ay = 2
c) , para que el sistema sea incompatible.
4x + by = 10
3x + ay = b
d) , para que el sistema sea compatible determinado.
5x + by = 9

a) La suma de las edades de Andrés y Jaime es igual a 48 años. Si Andrés tiene el doble de la edad de
Jaime, ¿cuáles son las edades de cada uno?
b) Las edades de dos hermanos están en la razón 4 : 5. Si hace dos años el menor tenía 26 años, ¿cuántos
años tenía el mayor cuando su hermano nació?
c) En un curso hay 45 estudiantes. Si el doble de la cantidad de hombres sobrepasa en 10 estudiantes al
doble de la cantidad de alumnas, ¿cuántas mujeres hay en el curso?
2.4 | Ecuación de segundo gra-

do
Una ecuación de segundo grado es como una ecuación lineal más
un término de grado 2 (incógnita). El problema fundamental cuando
se abarca el estudio de estas, es encontrar un método para hallar las
soluciones.
Desde la antigüedad este problema ha sido motivo de estudio. Muchos

algoritmos se inventaron para hallar sus soluciones, pasando desde la
antigua Babilonia, por Grecia, hasta llegar finalmente a los estudios de
los árabes.
La primera gran dificultad que relaciona la solución de una ecuación

cuadrática surgió con la ecuación x2 = 2 en la época de los pitagóricos,
al calcular la diagonal de un cuadrado de lado uno.
Como un avance un poco más moderno, se puede mencionar la re-

solución de la ecuación x2 + 1 = 0, en el Renacimiento. Esta ecuación
requiere hallar un número real que al cuadrado resulte −1, problema que
se superó con la adopción de los números imaginarios y la definición de
la unidad imaginaria i.
álgebra 101
Objetivo PSU
Comprender que toda ecuación de segundo grado con coeficientes
reales tiene raíces en el conjunto de los números complejos.
2.4.1 Ecuación de segundo grado de una variable
Definición. Una ecuación de segundo grado de una variable o ecua- Observación

ción cuadrática es aquella de la forma ax2 + bx + c = 0, donde
A las soluciones de una
a, b, c ∈ R, a 6= 0 y x es la incógnita, además a se llama coeficiente ecuación cuadrática se les
cuadrático, b se llama coeficiente lineal y c es el término libre. suele llamar raíces de la
ecuación.
Se analizarán los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y sus ma-

neras de resolverlas, partiendo desde las más sencillas hasta las más
complejas. Para hallar las soluciones, se usará la definición de la raíz
cuadrada, a saber
√
a = x ⇔ a = x2 , con a ≥ 0, x ≥ 0
donde es importante recordar que
√
x2 = |x|,
√ √
ya que por ejemplo, 42 = 16.
p
(−4)2 =
Ejercitación:
34. Determina si las siguientes ecuaciones son o no cuadráticas.
a) x2 + 3x − 5 = x(x + 1) b) 3x2 − 1 = 2x(x − 3) c) x2 + 3x = 10 − 3 1 − x2

2.4.2 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + c = 0
En la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, si a 6= 0, b = 0 y c 6= 0, la

ecuación se reduce a ax2 + c = 0, es decir, una ecuación con un término
cuadrático y un término libre.
Para resolverla se debe despejar la incógnita, como se muestra en el

siguiente ejemplo.
Ejemplo:
2x2 − 8 = 0 /+8
1
⇒ 2x2 = 8 /·
2
x2 = 4
p
⇒ / ()
√
⇒ x2 = 2
⇒ |x| = 2
⇒ x = 2 o x = −2
Finalmente, las soluciones de la ecuación son 2 y −2.
Ejercitación::
35. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 3 · x2 − 5 = 2x2 + 9
x+2 x−2 40 c)
x
+
x
=1
b) + = 2 x+2 x−2
x−2 x+2 x −4
36. Iván está preparando su primer trabajo para el taller de diseño. Le han pedido que haga un collage sobre
una madera de área 900 cm2 con cuadraditos de colores de 2 · 2 cm. La madera es un rectángulo, donde el
largo y el ancho difieren en 80 cm. ¿Cómo podrá Iván saber cuántos cuadraditos colocará a lo largo y a lo
ancho?
2.4.3 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx = 0
Si en la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, se tiene que a 6= 0,

b 6= 0 y c = 0, entonces ésta se reduce a ax2 + bx = 0, es decir, a una
ecuación con un término cuadrático y un término lineal, sin término libre.
En este caso, el polinomio formado por los términos cuadrático y lineal,

se puede factorizar a través de un factor común: la x. Es decir,
ax2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0.
Dado que el polinomio ax2 + bx fue escrito como el producto x(ax + b),
donde además se sabe que este es igual a 0, las soluciones de la ecuación
se obtienen igualando ambos factores a cero. Por lo tanto, una de las
soluciones siempre será x = 0, y la otra se obtendrá resolviendo la
ecuación de primer grado ax + b = 0.
álgebra 103
Ejemplo:
x2 − 9x = 0
⇒ x(x − 9) = 0
⇒ x = 0 o x−9 = 0
Se resuelve la segunda ecuación,
x−9 = 0 /+9
⇒ x = 9.
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x = 0 y x = 9.
Ejercitación:
37. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
3 x2 − 5 2 x2 − 70

a) (x + 4)2 + (x − 3)2 = (x + 5)2
b) − = 17 + x
5 7
2.4.4 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, donde

el trinomio es factorizable
En este caso, hay términos cuadrático, lineal y libre, y además el
trinomio se puede factorizar. Por lo tanto, para resolver, se aplicará el
mismo razonamiento que en el caso anterior.
Ejemplo:
x2 + 7x + 12 = 0
⇒ (x + 3)(x + 4) = 0
⇒ x+3 = 0 ó x+4 = 0
⇒ x = −3 ó x = −4
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x = −3 o x = −4.
Ejercitación:
a) (x + 6)(x − 6) − 8 = 1 − 4x x+3 2 x x−2

c) − = +
3 x−4 6 4
9 (x − 6)2
b) − = x−1 d) 3x2 + 8x − 35 = 0
2 2
39. Homero Simpson plantó 324 tomacos (un fruto que aparenta ser un tomate, pero en su interior tiene
tabaco) en la granja. Por razones de producción del resto de sus plantaciones, necesita mover los tomacos,
de manera que ocupen un terreno rectangular, donde el número de tomacos colocados en cada fila supere
en 15 unidades al número de tomacos puestos en cada columna. Todos estos cálculos, por supuesto, los
hizo su hija Lisa. ¿Cuántos tomacos debe colocar en cada una de las filas y en cada una de las columnas?
2.4.5 Método de completación de cuadrados

Se estudiará ahora otro método para resolver ecuaciones cuadráticas,
llamado método de completación de cuadrados. Esto es, transformar el
trinomio dado, en una expresión que contenga un cuadrado de binomio.
Ejemplo:
x2 − 2x − 1 = 0
Lo que se quiere hacer, es transformar este trinomio, en uno de la forma a2 ± 2ab + b2 + k. En este caso,
a2 corresponde a x2 , por lo que falta encontrar el término que correspondería a b2 . Para ello, se utiliza el
término central: se sabe que −2x debe ser igual a −2 · a · b. Como se sabe que a2 = x2 , entonces podemos
tomar a = x, obteniéndose −2x = −2x · b, resultando finalmente b = 1, lo que implica que b2 = 1.
Esto quiere decir, que el término faltante para que la expresión sea un cuadrado de binomio es 1.
Se suma este término a ambos lados de la igualdad, para completar el trinomio cuadrado perfecto:
x2 − 2x − 1 = 0 /+1
⇒ x2 − 2x + 1 − 1 = 0 + 1
⇒ x2 − 2x + 1 − 1 = 1
⇒ (x − 1)2 − 1 = 1 /+1
⇒ (x − 1)2 = 2.
Finalmente, se resuelve la ecuación obtenida:
(x − 1)2 = 2
p
/ ()
√
(x − 1)2 = 2
p
√
|x − 1| = 2
√ √
x−1 = 2 o −(x − 1) = 2.
De la primera ecuación:
√ √
x−1 = 2 ⇒ x = 1+ 2.
De la segunda ecuación:
√ √ √
−(x − 1) = 2 ⇒ −x + 1 = 2 ⇒ x = 1− 2.
álgebra 105
√ √
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x = 1 + 2 o x = 1− 2.
Ejercitación:
a) −3x2 + x + 2 = 0 d) 5x2 + 2x + 5 = 0
b) x2 − 7x = −1 e) (2x + 1)(3x − 4) − x(2x + 3) = 1

x + 21 2x − 5
c) x2 + 32x − 144 = 0 f) − =3
x x+2
2.4.6 Solución general de una ecuación cuadrática

En este caso, se analizará la ecuación ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, de
manera general, para deducir una expresión y encontrar las soluciones.
Se utiliza el método de completación de cuadrados, como sigue:

1. Se multiplica por a para que el primer término sea un cuadrado
perfecto:
ax2 + bx + c = 0 /·a
⇒ a2 x2 + abx + ac = 0.
2. Si abx es el término central del desarrollo del binomio, entonces debería

b
ser el resultado de 2 · ax · , con lo que el término que nos falta para
2
b b2
completar el cuadrado de binomio es el cuadrado de , es decir, .
2 4
Se suma a ambos lados de la igualdad:
b2
a2 x2 + abx + ac = 0 /+
4
b2 b2
⇒ a2 x2 + abx + + ac = 0 + .
4 4
3. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y se resuelve.
b2 b2
a2 x2 + abx + + ac =
4 4
b 2 b2

⇒ ax + + ac = / − ac
2 4
b 2 b2

⇒ ax + = − ac
2 4
b 2 b2 − 4ac

p
⇒ ax + = / ()
2 4
s 2 r
b b2 − 4ac
⇒ ax + =
2 4
s 2 √
b b2 − 4ac
⇒ ax + =
2 2
√
b b2 − 4ac
⇒ ax + =
2 2
√ √
b2 − 4ac b2 − 4ac

b b
⇒ ax + = o − ax + = .
2 2 2 2
Se despeja x en la primera ecuación:
√ √
b b2 − 4ac −b + b2 − 4ac
ax + = =⇒ ax =
2 2 2
√
−b + b2 − 4ac
=⇒ x = .
2a
Se despeja x en la segunda ecuación:
√ √
b2 − 4ac b2 − 4ac

b b
− ax + = =⇒ −ax − =
2 2 2 2
√
−b − b − 4ac
2
=⇒ x = .
2a
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son
√ √
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
x= o x= .
2a 2a
Esta expresión puede ser usada en todos los casos, pero de todas
maneras es importante saber que en los casos más simples, como los
que se revisaron anteriormente, es posible obtener las soluciones de
manera más fácil y rápida, solo con las herramientas matemáticas que
ya teníamos.
Dada las solución general de la ecuación cuadrática
√
−b ± b2 − 4ac
x= ,
2a
se pueden establecer las siguientes generalidades:
Suma de soluciones:
√ √
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac −2b −b
+ =− = .
2a 2a 2a a
Producto de soluciones:
√ √
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac −4ac −c
· = = .
2a 2a 4a2 a
álgebra 107
Ejercitación:
a) 21x2 − 8x − 5 = 0 b) x(x + 6) = 5(2x − 1)
2.4.7 Discriminante
Si las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática se calculan a
través de la expresión
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
entonces, que una ecuación tenga dos soluciones reales,una solución real,
o no tenga soluciones reales, dependerá de la cantidad subradical. A esta
se le llama discriminante y se representa por ∆, es decir, ∆ = b2 − 4ac.
Por lo que se obtienen las siguientes condiciones:
Si ∆ > 0, entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones

reales y distintas.
Si ∆ = 0, entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones

reales e iguales.
Si ∆ < 0, entonces la ecuación cuadrática no tendrá soluciones

reales, sus soluciones serán números complejos (siempre conjugados).
Ejercitación:
42. Dada la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, determina si esta tiene dos soluciones reales y distintas,
dos soluciones reales e iguales o dos soluciones complejas conjugadas, en cada caso.
√
a) Si 4ac < 0. b) Si a, c ∈ Z+ y b2 > 4ac. c) Si a, b, c ∈ R+ y b = 2 ac.
2.5 | Inecuaciones y sistemas

de inecuaciones
Muchas veces en matemática, como también en la vida, se necesita
acotar valores o cantidades. Por ejemplo, en la fracción:
1
√
x+1
se necesita restringir el valor de x para que la expresión esté definida en
el conjunto de los números reales, ya que la cantidad subradical en la
raíz no puede ser negativa y además el denominador debe ser distinto

de cero. Por lo tanto, se debe restringir el valor de x a través de una
desigualdad, como sigue,
x + 1 > 0.
Para estas situaciones, así como también para resolver diferentes tipos
de problemas, se utilizarán las desigualdades y las inecuaciones.
Objetivo PSU
Resolver problemas utilizando inecuaciones lineales o sistemas
de inecuaciones.
2.5.1 Desigualdades
En la vida diaria hay situaciones en las que se comparan cantidades
que no necesariamente son iguales. Para indicar que cierta cantidad es
mayor (>), menor (<), mayor o igual (≥) o menor o igual (≤) que otra,
se usan expresiones matemáticas llamadas desigualdades.
Ejercitación:
43. Representa las siguientes situaciones a través de una desigualdad.
a) El precio p de una entrada supera los $3.500.
b) La ganancia g de Pedro por su trabajo no fue menor que $12.000.
44. En un triángulo, la medida de uno de sus lados es siempre menor que la suma de las medidas de los otros
dos, y mayor que su diferencia. Expresa con una desigualdad el rango de valores posibles para la medida
del tercer lado, si los otros dos miden 6 cm y 19 cm, respectivamente.
Como las desigualdades expresan relaciones entre los números, al

escribir conjuntos por comprensión resulta útil usar las desigualdades;
por ejemplo, si se quiere definir el conjunto de todos los números naturales
menores que 1.000, resultará largo escribir dicho conjunto por extensión,
de modo que se puede escribir de la siguiente manera:
A = {x ∈ N | x < 1.000}.
En algunos casos, al denotar un conjunto por comprensión es posible

usar más de una desigualdad; por ejemplo, para expresar por comprensión
el conjunto de todos los números enteros que se encuentran entre −4 y 7,
ambos incluidos, se puede escribir:
B = {x ∈ Z | −4 ≤ x ≤ 7}.
En el caso anterior, la expresión −4 ≤ x ≤ 7 es equivalente a escribir

las desigualdades −4 ≤ x y x ≤ 7.
álgebra 109
Ejercitación:
45. Usando desigualdades, representa por comprensión los siguientes conjuntos.
a) Números enteros mayores que −81 y menores o iguales que 19.
b) Números pares que se encuentren entre −50 y 160, ambos incluidos.
2.5.2 Intervalos de números reales
Para discutir
Si se quieren determinar todos los números enteros que cumplen la

condición −3 ≤ n < 5, se puede escribir el conjunto correspondiente,
esto es:
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Ahora, ¿se podrá representar por extensión todos los números reales
que cumplen la condición −3 ≤ n < 5? Argumenta tu respuesta.
Es claro que escribir por extensión todos los números reales tales
que cumplan −3 ≤ n < 5 será imposible, porque hay infinitos números.
Pero existe otra manera de representar este tipo de conjuntos: usando
intervalos de números reales.
En este caso, el conjunto se representa por [−3, 5[. Se dice que es
cerrado en el −3, porque el conjunto incluye ese número, y abierto en
el 5, porque no lo incluye.
Otra forma de representar este intervalo es gráficamente en la recta Figura 2.27: Intervalo cerrado en el −3
y abierto en el 5.
real, tal como se muestra en la Figura . Obsérvese que en el valor −3 hay
un círculo ennegrecido; esto es porque el intervalo incluye este valor. En
el caso de que no lo incluya, como en el 5, se dibuja un círculo blanco.
Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto {x ∈ R | 1,25 < x ≤ 4,8}.

Para expresar el conjuntos anterior como intervalo se escriben los números correspondientes a los extremos
del intervalo, separados por una coma (o punto y coma) y un espacio, y se decide la orientación de los
corchetes, según si el intervalo es abierto o cerrado, en cada caso. Luego, el intervalo es ]1,25, 4,8], y su
representación gráfica es:
En resumen, el conjunto de números reales que se encuentran entre

otros dos números dados se puede representar mediante intervalos, con
a, b ∈ R y a < b, como se muestra en la siguiente tabla:
Tipo de intervalo Notación Conjunto Representación gráfica
Cerrado [a, b] {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Abierto ]a, b[ {x ∈ R | a < x < b}
[a, b[ {x ∈ R | a ≤ x < b}
Semiabierto
]a, b] {x ∈ R | a < x ≤ b}
[a, +∞[ {x ∈ R | x ≥ a}
]a, +∞[ {x ∈ R | x > a}
No acotados o
infinitos
] − ∞, b] {x ∈ R | x ≤ b}
] − ∞, b[ {x ∈ R | x < a}
álgebra 111
Ejercitación:
46. Expresa como intervalo y representa gráficamente los siguientes conjuntos:
√
1

a) {x ∈ R | − 3 < x} b) x ∈ R | < x ≤ 1, 33 c) {x ∈ R | x ≤ −3}
5
De la misma manera que pueden realizarse operaciones entre conjuntos,

tales como su unión y su intersección, estas operaciones pueden extenderse
a los intervalos, ya que, por definición, los intervalos son conjuntos de
números reales.
En particular, se hace énfasis en la unión y la intersección de intervalos
de números reales.
Ejemplo: Si se tienen los intervalos A =] − 1, 10[ y B = [5, +∞[ es posible determinar la unión A ∪ B,
considerando tanto los números que están entre −1 y 10, ambos no incluidos, como los que son mayores o
iguales que 5.
Obsérvese la representación gráfica de ambos conjuntos:
En la figura anterior, se representan con líneas achuradas hacia la derecha el conjunto A, y con líneas
achuradas hacia la izquierda el conjunto B. Entonces, para determinar A ∪ B se deben incluir todos los
valores de la recta que quedaron achurados hacia cualquier sentido (izquierda o derecha). Finalmente se
concluye que A ∪ B =] − 1, +∞[.
Por otra parte, se puede determinar la intersección A ∩ B, que corresponde a los números que pertenecen
a A y B simultáneamente. En la figura anterior, A ∩ B son los valores que quedaron achurados hacia la
izquierda y hacia la derecha, es decir, A ∩ B = [5, 10[.
Ejercitación:
47. Considera los intervalos C = [1, 5] y D =]7, +∞[. Determine C ∩ D y C ∪ D.
2.5.3 Propiedades de las desigualdades

Para establecer relaciones entre diferentes variables, se usan las pro-
piedades de las desigualdades, derivadas de los axiomas de orden de los
números reales. Algunas de ellas son:
Si a, b y c son números reales y se cumple que a < b y b < c, entonces

a < c (transitividad).
El sentido de una desigualdad no cambia si se suma o resta un mismo

número real a ambos lados de la desigualdad. Es decir:
• Si a < b y c ∈ R, entonces a + c < b + c.

• Si a < b y c ∈ R, entonces a − c < b − c.
El sentido de una desigualdad no cambia si se multiplica o divide un

mismo número real positivo a ambos lados de la desigualdad. Es decir:
Observación • Si a < b y c ∈ R+ , entonces ac < bc.

a b
Al resolver un problema • Si a < b y c ∈ R+ , entonces < .
que involucra una inecua- c c
ción hay que considerar
que la solución debe ser perti- El sentido de una desigualdad cambia si se multiplica o divide un
nente al contexto; por ejem- mismo número real negativo a ambos lados de la desigualdad. Es decir:
plo, la medida de un objeto
siempre es positiva, o la canti-
dad de personas siempre es un • Si a < b y c ∈ R− , entonces ac > bc.
número natural, entre otras.
a b
• Si a < b y c ∈ R− , entonces > .
c c
Ejercitación:
48. Sea a un número positivo comprendido entre 0 y 1. ¿Entre qué valores se encuentra la expresión 1 − a?
49. Considera la expresión H = 2t2 − 15t + 28. Usando las propiedades de las desigualdades, demuestra que
si 5 ≤ t ≤ 9, entonces 3 ≤ H ≤ 55.
2.5.4 Inecuaciones lineales con una incógnita

Valentina desea calcular la nota que necesita en la última prueba de
geometría para aprobar el ramo. En las dos pruebas anteriores, sus notas
fueron 2,7 y 3,5. Si se representa por x a la nota de la tercera prueba, la
2, 7 + 3, 5 + x
≥ 4, 0 condición de aprobación del ramo se expresa en la Figura 2.28.
3
Utilizando las propiedades de las desigualdades es posible encontrar el
Figura 2.28: Desigualdad notas de Va- intervalo en el que se encuentran todos los posibles valores de la variable
lentina.
x, que verifican la desigualdad. Esto se muestra en la Figura 2.29.
El resultado nos indica que la nota que necesita Valentina en la última

2, 7 + 3, 5 + x
≥ 4,0 /·3 prueba, debe ser como mínimo un 5,8 para poder aprobar el ramo. Ahora,
3
dado el contexto del problema, el valor de x no puede ser mayor a 7,0,
2,7 + 3,5 + x ≥ 12,0
ya que esa es la nota máxima. Luego, el valor de x debe encontrarse en
6,2 + x ≥ 12,0 / − 6,2 el intervalo [5,8; 7,0] para que Valentina apruebe.
x ≥ 5,8 Definición. Una inecuación es una desigualdad que tiene una o más
incógnitas. Para resolverla, se deben encontrar todos los valores de las
Figura 2.29: Resolución desigualdad.
incógnitas que hacen verdadera la desigualdad. El conjunto solución
de una inecuación con una incógnita se puede representar mediante un
intervalo, o bien, gráficamente en la recta numérica.
álgebra 113
Ejercitación:
50. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y represéntalo gráficamente en la recta real.
a) x − 2 · (x − 3) > 0 2x 3x
c) −3 > +1
5 2
b) (x + 1)2 − 5 ≥ x(x − 2) d) 2x + 3 ≤ 4x − (x − 10)

a) Don José quiere cercar su terreno cuadrado con tres vueltas de alambre. Si en total dispone de 360 m
de alambre, ¿qué área, como máximo, debería tener el terreno de modo que le alcance con el material que
tiene?
b) En cierta asignatura, Paola tiene las siguientes notas: 5,5, 6,5, 7,0 y 6,0. Si desea obtener un promedio
final superior a 6,0 y únicamente le falta dar la prueba coeficiente dos, ¿qué nota debería obtener, como
mínimo, para alcanzar el promedio deseado?
2.5.5 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

En algunos casos resulta insuficiente una sola inecuación para mode-
lar una situación, sino que se necesitan varias inecuaciones que deban
cumplirse a la vez.
Definición. El conjunto de dos o más inecuaciones con una incógnita se

llama sistema de inecuaciones con una incógnita. En un sistema,
todas las inecuaciones deben cumplirse simultáneamente, de modo que
su conjunto solución corresponde a la intersección de las soluciones de
todas las inecuaciones que conforman el sistema.
Ejemplo: En la figura, están representados los conjuntos solución de las inecuaciones x < 15, 11 > x y
x ≥ 8. Como en el intervalo [8, 11[ están presentes los valores que cumplen las 3 inecuaciones, se puede
afirmar que dicho intervalo es la solución del sistema:
x < 15
11 > x
x≥8
En el caso anterior, dibujar la solución del sistema fue fácil porque la

incógnita estaba despejada en todas las inecuaciones. Sin embargo, en
otros casos será necesario resolver cada inecuación por separado, usando
las propiedades de las desigualdades.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

3x + 2 > x − 4
5 − x ≥ −2
Se resuelve cada inecuación por separado:
3x + 2 > x − 4 /−x 5 − x ≥ −2 /−5
2x + 2 > −4 /−2 −x ≥ −7 / · (−1) < 0
2x > −6 /:2>0 x≤7
x > −3
Por lo tanto, las soluciones de cada inecuación son S1 =] − 3, +∞[ y S2 =] − ∞, 7].

Luego, la solución del sistema corresponde a S = S1 ∩ S2 , lo que se representa en la siguiente figura:
3x + 2 > x − 4
En consecuencia, la solución del sistema es S =] − 3, 7].
5 − x ≥ −2
Ejercitación:
52. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.
x+2 > 1 2x + 1, 3 < 15 − x

a) c)
3x − 2 ≤ 1 5, 3 − x ≥ 4
7x + 8 > 2 − x
21 21
4x + < x
2 2 d) 3x + x2 ≤ x2 − 2x
b)
3 1
x+4 ≥ − x 3x − 3 ≥ 6x + 13
5 6
álgebra 115
2.6 | Relaciones y funciones

“La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar
de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323- 1382) la primera aproxima-
ción al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza
como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en
hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables
en un plano.
En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos
centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis
en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos
y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario
comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y
representarlas en algún sistema geométrico adecuado. Figura 2.30: Galileo Galilei.
Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función

aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la
clara comprensión de una relación entre variables. Casi al mismo tiempo
que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes (1596- 1650) introducía
la geometría analítica. Descartes desarrolló y llevó a sus fundamentales
consecuencias las ideas que siglos atrás se habían usado para representar
en el plano relaciones entre magnitudes. Ahora cualquier curva del plano
podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que
relacionara dos variables podía ser representada geométricamente en un
plano.
A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función.
En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada
de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Figura 2.31: Johhan Bernoulli.
Pero no fue hasta 1748 cuando el concepto de función saltó a la fama
en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de las mate-
máticas de todos los tiempos, publicó un libro, Introducción al análisis
infinito, en el cual se definió función como:
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica
compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de
números o cantidades constantes.
Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en
1755, tuvo que precisar su definición:
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas
últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras Figura 2.32: Edouart Goursat.
cantidades se llaman funciones de las segundas.
Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?,
¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben cambiar los
valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ...
Muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición

precisa y adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo
poco a poco el concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat
dio en 1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos
hoy en día:
Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde

un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación
y = f (x).”
Una breve historia de las funciones, Rubén Zamanillo.
Enlista a un lado las ideas antecedentes de la definición de función y al otro las distintas definiciones
entregadas por los distintos personajes que menciona el texto.
¿Qué característica del lenguaje crees que motiva la constante redefinición de la idea de función?
2.6.1 Relaciones
En esta subsección, se estudiará el concepto de relación como intro-
ducción a las funciones. En primer lugar es necesario definir:
Definición. Sean A y B conjuntos, el producto cartesiano de A con

B, denotado por A × B, es el conjunto de pares ordenados
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Ejercitación:
53. A partir de los conjuntos definidos en el ejemplo anterior, determina A × A, B × B y B × A.
En lo que sigue se dará la formalización matemática de la noción de

relación que se usa constantemente en el lenguaje.
Definición. Sean A y B conjuntos. Un subconjunto R del producto

cartesiano A × B se llama una relación de A en B.
En particular, se estudiarán relaciones de un conjunto en sí mismo:
Definición. Sea A un conjunto. Se dice que R es una relación en A

cuando R ⊆ (A × A).
álgebra 117
Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d}, entonces R = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (c, c), (c, d), (d, b), (d, d)} es una
relación en A. Esto se puede representar de la siguiente manera:
A
a a d
b b c
c c b
d d a
A A a b c d A
La primera corresponde a un diagrama sagital y la segunda a una representación gráfica en el plano cartesiano.
Ejercitación:
54. Sea A un conjunto tal que A = {(1, 2), (2, 5), (3, 3)}. Determina todas las relaciones posibles en A.
Represéntalas a través de un diagrama sagital y en el plano cartesiano.
Como ya se estudió, los conjuntos no necesariamente tienen elementos

enteros, finitos o contables. Cuando se considera a un subconjunto de
números reales, por ejemplo, este debe ser expresado a través de un
intervalo, ya que contiene no puede ser expresado por extensión.
Cuando se consideran intervalos de números reales para el producto
cartesiano, se utiliza el plano cartesiano para representarlo, como se
observa en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A =]1, 3[ y B =]2, 4[, subconjuntos de R. Obtén A × B y B × A.
Dado que A y B son intervalos de números reales, los productos cartesianos A × B y B × A tienen infinitos
elementos, por lo que no se representarán por extensión. Lo que se hace, es considerar su representación
gráfica, con el primer conjunto del producto en el eje horizontal y el segundo en el eje vertical, como se
observa a continuación:
B A
5 5
A×B
4 4
B×A
3 3
2 2
1 1
1 2 3 4 A 1 2 3 4 B
Obsérvese que las líneas punteadas indican que no se incluye la frontera de la región por ser A y B intervalos
abiertos de números reales. En caso de que sean semi abiertos o cerrados, se hace una línea continua, según
corresponda.
Ejercitación:
55. Sean A = [−2, 3[ y B = [2, 4] subconjuntos de R. Obtén A × B y B × A.
56. Para A = {x ∈ R | 1 < x < 5} y B = {y ∈ R | −1 < y ≤ 2}, obtén el producto cartesiano A × B y

B × A.
57. ¿Cuál crees que es el resultado de R × R?
58. Sea A = [2, 4]. Obtén R × A y A × R.
Ahora que se han trabajado productos cartesianos con intervalos

de números reales, parece lógico que hay que empezar a trabajar con
relaciones definidas sobre estos. En particular, se trabajarán relaciones
definidas sobre el conjunto de los números reales.
Ejemplo:
Sea R una relación sobre R tal que R = {(x, y ) ∈ R × R | y = x2 }. Represéntala gráficamente en el plano
cartesiano.
Dado que la relación que se quiere representar corresponde a un conjunto infinito, se utiliza una notación
algebraica para definirla, que relaciona a las componentes del par ordenado que están involucradas.
Para graficar la relación, se utiliza una tabla de valores para encontrar algunos pares ordenados que
pertenezcan al conjunto R. Para construir dicha tabla, se reemplazan valores de x en la expresión para
obtener su correspondiente y, luego, se grafican estos puntos en el plano cartesiano:
y
x y (x, y ) 9
−3 9 (−3, 9) 7
−1 1 (−1, 1) 5
0 0 (0, 0)
3
1 1 (1, 1)
1
3 9 (3, 9)
x
-3 -2 -1 1 2 3
Ahora, se sabe que la relación está definida sobre R y por tanto hay infinitos pares ordenados que pertenecen
a ella (y es absurdo pretender encontrarlos todos). Sin embargo, a partir del gráfico anterior, es posible
intuir cuál sería la representación gráfica de la relación, uniendo los puntos encontrados. De esta forma, se
obtiene finalmente:
álgebra 119
y
9
1
x
-3 -2 -1 1 2 3
Nótese que la curva obtenida se extiende infinitamente en el plano cartesiano.
Ejercitación:
59. Sea R una relación sobre R, bosqueja su gráfica en cada caso.
√
a) R = {(x, y ) ∈ R | y = x} c) R = {(x, y ) ∈ R | y = 2x + 1}
b) R = {(x, y ) ∈ R | y = x3 } d) R = {(x, y ) ∈ R | y = 2x }
Para finalizar esta subsección, se definen los siguientes conceptos

vinculados con las relaciones:
Definición. Sea R una relación definida de A en B. El dominio de R,

denotado por Dom(R), es el conjunto tal que
Dom(R) = {a ∈ A | ∃ b ∈ B tal que (a, b) ∈ R}.
Definición. Sea R una relación definida de A en B. El recorrido de

R, denotado por Rec(R), es el conjunto tal que
Rec(R) = {b ∈ B | ∃ a ∈ A tal que (a, b) ∈ R}.
Al conjunto B se le llama codominio de la relación.
Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2} y B = {y, z}, el producto cartesiano A × B es
A × B = {(1, y ), (2, y ), (1, z ), (2, z )} ,
por lo tanto R = {(1, y ), (1, z )} es una relación de A en B, donde
Dom(R) = {1} y Rec(R) = {y, z}.
Ejercitación: Sea el conjunto A = {1, 2} y B = {a, b, c}. Determina A × B y define dos relaciones R1 y
R2 de A en B tales que R1 6= R2 , R1 , R2 6= φ y R1 , R2 6= A × B. Determina el dominio y recorrido de
cada una de las relaciones que definiste.
2.6.2 Funciones
Problema: Considera los conjunto A = {−1, 1, 2, 3} y B = {1, 4}. Representa a través de un diagrama
sagital una relación de A en B que a los elementos de A le asigne su cuadrado en B. Considera también los
conjuntos C = {5, 6, 7} y D = {6, 7, 8, 9, 10}. Representa a través de un diagrama sagital una relación de C
en D que a los elementos de C le asigne su sucesor en D.
Para discutir
¿Qué diferencias y similitudes puedes establecer entre las dos relaciones

anteriores?
Definición. Una función definida de A en B es una relación tal que a

todo elemento de A le corresponde un único elemento de B. Se denota
f (x) = y. En general, a la variable x se le llama variable independiente
y a la variable y, dependiente.
Ejemplo:
Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función “cubo” que a cada número en el
dominio R le asigna su cubo en el codominio R.
Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único recíproco, por lo que existe la función
“recíproco” que a cada elemento del dominio R \ {0} le asigna su inverso en el codominio R.
Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una
función “clasificación de género” que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos}
su género. El codominio de “clasificación de géneros” es la colección G = {géneros de Mammalia}.
La notación habitual para representar funciones con dominio A y

codominio B es:
f : A −→ B
x 7−→ y = f (x).
También se dice que f es una función de “A en B”. Por f (x) se resume

la regla de asignación que permite obtener el elemento B asociado a
un cierto x ∈ A. Además, se dice que x es una preimagen de y = f (x)
y que y = f (x) es la imagen de x.
Ejemplo: Se puede escribir la regla de asignación de las funciones definidas en el ejemplo anterior, como
sigue:
álgebra 121
Función Regla de asignación
“cubo” f : R −→ R, con f (x) = x3 , ∀ x ∈ R.
1
“recíproco” g : R − {0} −→ R, con g (x) = , ∀ x ∈ R − {0}.
x
“clasificación de género” h : M −→ G, con h(m) = Género de m, ∀ m ∈ M .
Dado que las funciones son un tipo particular de relaciones, se pueden

representar de la misma manera, es decir, a través de un diagrama sagital,
de una regla de asignación o de un gráfico. Algunos ejemplos se ilustran
a continuación.
Ejemplos:
1. Se puede representar la función que le asigna a cada alumno de un curso su fecha de cumpleaños, a través
del siguiente diagrama sagital:
2. Adrián camina todos los días cierta distancia, para capturar pokémon, a una rapidez de dos metros por
segundo, manteniendo el ritmo constante. ¿Cómo se podría modelar esta sitación como una función?
¿Cómo se representaría gráficamente esta función?
Para resolver esta situación, se pueden seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Identificar la relación de dependencia (variable dependiente e independiente) y verificar que sea
una función.
La distancia que recorre Adrián depende del tiempo empleado en caminarla, por lo tanto, estas corresponden
a las variables dependiente e independiente, respectivamente. Esta relación es una función, ya que a cierto
tiempo empleado en caminar le corresponde una única distancia recorrida.
Paso 2: Completar la tabla para asociar los valores de la variable dependiente e independiente.
Valores de la variable independiente Valores de la variable dependiente
Tiempo (s) Distancia recorrida (m)
1 2
2 4
3 6
4 8
Paso 3: Establecer los pares ordenados y graficarlos en el plano cartesiano a partir de los valores de la tabla
anterior.
Par ordenado
x y (x, y )
1 2 (1,2)
2 4 (2,4)
3 6 (3,6)
4 8 (4,8)
Por lo tanto, en el plano se muestra la representación gráfica de la función de la distancia recorrida por
Adrián en sus caminatas.
Paso 4: Modelar la situación con lenguaje algebraico y expresarla como función.
y = f (x): metros de distancia recorridos.

x: tiempo empleado.
Los metros de distancia recorridos están en función del tiempo empleado, por lo que la función que
modela esta situación es:
y = 2x ⇒ f (x) = 2x.
Además, es posible definir el dominio de la función como el conjunto de todos los números mayores o iguales
a cero y el codominio como todos los reales.
3. Obsérvese el gráfico que representa el monto que se debe pagar por cierta cantidad de fotocopias. ¿Qué
función modela la situación? ¿Cuál es su regla de asignación?
álgebra 123
Para determinar lo pedido se pueden seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Extraer los pares ordenados representados en la gráfica.
x y Par ordenado
0 0 (0, 0)
1 15 (1, 15)
2 30 (2, 30)
3 45 (3, 45)
4 60 (4, 60)
Paso 2: Identificar el patrón que se produce en la tabla.
15 = 1 · 15
30 = 2 · 15
45 = 3 · 15
60 = 4 · 15
..
.
y = x · 15
∴ f (x) = 15x.
Por lo tanto, la función que modela el monto a pagar por las fotocopias es f (x) = 15x. Además, es posible
definir el dominio como el conjunto de los enteros positivos y el codominio como el conjunto de los números
reales.
Ejercitación:
60. Identifica en cuál de los siguientes diagramas sagitales se representa una función. Argumenta tu respuesta.
61. Identifica cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función. Argumenta tu respuesta.
62. Calcula la imagen pedida en cada función.
a) f (−2) si f (x) = 6x c) c(−1) si c(d) = d3 − d2 + d

a
b) g (2, 5) si g (t) = −1 − t d) g (−4) si g (a) = − 9
8
63. Completa la tabla de valores asociada a la función dada e identifica el conjunto de imágenes y preimágenes
según la tabla. Represéntalo a través de un diagrama sagital.
x 2 5
a) f (x) = −3x −→ t −4 4
f (x) 6 9 1
c) h(t) = t + 2 −→
4
5
l 2 −1 h(t) 2
b) g (l ) = 1 − 5l −→ 2
g (l ) 26 1
64. Identifica la regla de asignación de las funciones representadas en cada tabla.

álgebra 125
x 1 2 3 4 x 3 −5 −1 7
a) c)
g (x) 5 10 15 20 i(x) 9 25 1 49
x 2 −1 8 −9 x −1 0 −2 6
b) d)
h(x) 1 −2 7 −10 j (x) −1 0 −8 216
65. Calcula el valor de las imágenes a partir del siguiente gráfico.
f (−2) = 2
a) f (0) c) f (1) e) f (3) g) f (−2) − f (3)

b) f (−1) d) f (2) f) f (−3) h) f (−3) − f (2)
66. Calcula el valor de las preimágenes a partir del siguiente gráfico.
f (x) = 1 ⇒ x = −1
a) f (x) = 2 ⇒ x = e) f (x) = 4 ⇒ x =
b) f (x) = −1 ⇒ x = f) f (x) = −2 ⇒ x =
c) f (x) = 0 ⇒ x = g) f (x + 1) = 2 ⇒ x =
d) f (x) = 3 ⇒ x = h) f (1 − x) = −1 ⇒ x =

a) Una persona pagará $15 por fotocopiar cada página de un libro. Si además por el anillado le cobran
$500, ¿cuál es la función D que permite calcular el dinero que pagará por fotocopiar y anillar un libro de
n páginas?
Construye una tabla de valores que muestre la relación anterior.

Determina los pares ordenados pertenecientes a la función y grafícalos en el plano cartesiano.
b) Franco y Catalina construyeron un depósito de agua lluvia para el riego de hortalizas como el que se
muestra en la figura, donde h es la altura que alcanza el agua.
¿Cuál es la relación entre el volumen del

depósito y la altura que alcanza el agua? Ex-
présalo algebraicamente.
Realiza una tabla de valores para la función

encontrada en el punto anterior.
Si por cada 100 cm3 Franco y Catalina deben

colocar una pastilla purificante en el depósito,
¿cuántas pastillas deben colocar si el agua
llega a una altura de 1,5 m?
c) La temperatura de ebullición del agua a nivel del mar es 100◦ C. A medida que la altura varía, la
temperatura de ebullición varía. Un equipo que se prepara para subir la montaña considera la siguiente
tabla:
Altura (m) 0 500 1000 1500 2000

Temperatura de ebullición (◦ C) 100 99,5 99 98 97,5
Realiza el gráfico con los datos de la tabla.

Uno de los excursionistas afirma que las variables involucradas son directamente proporcionales. ¿Está
en lo cierto?
¿Qué sucede a medida que la altura aumenta?
Los excursionistas pretenden llegar a 4.000 metros de altura. En tal caso, ¿cuál sería la temperatura
estimada de la ebullición del agua?
álgebra 127
2.7 | Teoría de funciones

Las funciones son útiles en prácticamente todas las áreas de la mate-
mática, como el cálculo, la estadística, las probabilidades, la teoría de
números, en el álgebra misma, entre otras. Por supuesto que, su estudio
no se limita únicamente a una definición y un par de conceptos ligados a
esta, sino que se profundiza aún más y se desarrollan ideas tales como la
composición y la función inversa, temas principales de esta sección.
2.7.1 Traslación
Problema:
Considera las siguientes funciones y responde.
f : R → R, f (x) = 2x
g (x) = f (x) + 1 = 2x + 1 h(x) = f (x) − 1 = 2x − 1
j (x) = f (x + 3) = 2(x + 3) k (x) = f (x − 3) = 2(x − 3)
1. Completa la siguiente tabla:
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
f (x) = 2x
g (x) = 2x + 1
h(x) = 2x − 1
j (x) = 2(x + 3)
k (x) = 2(x − 3)
2. Realiza las siguientes actividades:
Grafica las funciones f (x), g (x) y h(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla
anterior. ¿Qué relación se observa entre ellas?
Grafica las funciones f (x), j (x) y k (x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla
anterior. ¿Qué relación se observa entre ellas?
¿En qué punto se intersectan las gráficas de las funciones f (x), g (x) y h(x) con el eje y? ¿Qué relación
se puede establecer entre los términos de la función y su gráfica?
¿En qué punto se intersectan las gráficas de las funciones f (x), j (x) y k (x) con el eje x? ¿Qué relación
se puede establecer entre los términos de la función y su gráfica?
Para discutir
¿Qué conclusión general puedes establecer a partir del problema ante-

rior?
En general, dada una función f (x) y un número real positivo a, se

tiene que:
f (x) + a es una traslación vertical de f (x), a unidades hacia arriba.
f (x) − a es una traslación vertical de f (x), a unidades hacia abajo.
f (x + a) es una traslación horizontal de f (x), a unidades hacia la

izquierda.
f (x − a) es una traslación horizontal de f (x), a unidades hacia la

derecha.
Problema: Considera las siguientes funciones y responde.
f : R → R, f (x) = 2x + 1
l (x) = f (−x) = 2(−x) + 1 = −2x + 1
m(x) = −f (x) = −(2x + 1) = −2x − 1

1. Completa la siguiente tabla:
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
f (x) = 2x + 1
l (x) = −2x + 1
m(x) = −2x − 1
2. Grafica las funciones f (x), l (x) y m(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior.
¿Qué relación se observa entre las gráficas de las funciones anteriores? Explica.
álgebra 129
En general, dada una función f (x), se tiene que:
l (x) = f (−x) es una reflexión de f (x) respecto del eje y.
m(x) = −f (x) es una reflexión de f (x) respecto del eje x.
Como se puede observar, la forma de la gráfica de f (x) se ha mantenido

en cada caso, pero se observan algunas transformaciones isométricas según
las modificaciones que se realizan.
Los resultados anteriores se resumen diciendo que, si f (x) es una

función, a su gráfica se le pueden realizar las siguientes transformaciones
donde a > 0:
Traslación vertical Traslación horizontal Reflexión

Hacia arriba: Hacia la izquierda: Respecto del eje x:
Hacia abajo: Hacia la derecha: Respecto del eje y:
Ejercitación:
68. Considera la función f (x), cuya gráfica es la siguiente:
Grafica las siguientes funciones:
a) −f (x) b) f (−x) c) f (x + 5) d) f (x − 20) e) f (x) + 15 f) f (x) − 10
2.7.2 Composición
Objetivo PSU
Observación Comprender los conceptos y propiedades de la composición de
La composición de funcio- funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con
nes verifica las siguientes las transformaciones isométricas.
propiedades:
Asociatividad. Sean f , g
y h funciones, se cumple que Sean f y g dos funciones tales que f : X −→ Y y g : W −→ Z,
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g ) ◦ h. donde la imagen de f tiene elementos en común con el dominio de
g, entonces la función compuesta g ◦ f : H −→ Z se define como:
Elemento neutro. Existe
I (x) = x tal que (g ◦ f )(x) = g (f (x)). También se puede leer “g compuesta con f ”.
(f ◦ I )(x) = (I ◦ f )(x) = f (x),
Cuando W = Y , se puede representar la composición a través de un
donde I (x) = x recibe el
nombre de función identi-
diagrama sagital como sigue:
dad.
Además, la composición no es
conmutativa, es decir, en gene-
ral
(f ◦ g )(x) 6= (g ◦ f )(x).
álgebra 131
Ejemplo: Sean f : R → R, f (x) = 2x + 1 y g : R → R, g (x) = −x + 5, entonces:
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (−x + 5) = 2(−x + 5) + 1 = −2x − 10 + 1 = −2x − 9
y
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (2x + 1) = −(2x + 1) + 5 = −2x − 1 + 5 = −2x + 4.
Ejercitación:
69. Expresa mediante una sola función las siguientes composiciones, considerando que f (x) = 2x, g (x) = −5x,
h(x) = 4x − 1 e i(x) = x2 , todas con dominio y codominio el conjunto de los números reales.
a) (f ◦ g ◦ h)(x) b) (h ◦ g ◦ i)(x) c) (f ◦ h ◦ g ◦ i)(x)
70. Evalúa las siguientes composiciones. Para ello considera que f (x) = 2x, g (x) = 1 − 6x y h(x) = x2 + 1.
1

a) (f ◦ h)(−3) b) (f ◦ h ◦ g )(−1) c) (f ◦ g ◦ h)
3
Nótese que,
Dom(g ◦ f ) = {x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ Dom(g )},
por lo tanto, el dominio de la composición g ◦ f no siempre es igual al
dominio de la función que se aplica primero, en este caso f .
Ejemplo: Sea la función f , cuyo dominio es el conjunto {1, 2, 3}, definida por f (x) = x − 1 y sea la función
g, con dominio el conjunto {0, 1, 2, 3}, definida por g (x) = x + 1. ¿Cuál es el dominio de f ◦ g?
Para responder esta pregunta, obsérvese el siguiente diagrama:
g f
0 1 0
1 2
1
2 3
3 4 2
El dominio de f ◦ g está compuesto por todos los elementos del dominio de g tal que su imagen esté en el
dominio de f . Como se observa, el 4 (imagen de g) no está contenido en el dominio de f , por tanto el 3 no
puede estar en el dominio de f ◦ g. Luego, el resultado es
Dom(f ◦ g ) = {0, 1, 2}.
2.7.3 Funciones inyectivas, epiyectivas y biyectivas
Función inyectiva
Definición. Una función es inyectiva o uno a uno si a cada elemento

del recorrido le corresponde una única preimagen, es decir,
f es inyectiva ⇔ f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Por ejemplo, sean las funciones f : A → B y g : X → Y , cuyas

representaciones gráficas mediante diagrama sagital es la siguiente:
f g
A B X Y
4
y
f (x)
3 1 0 −2 0
2
−1 1
• 2 1
1
0 2
3 4
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x 1 8
−1
4 9 2 9
−2
−3
−4
Figura 2.33: Función f . Se observa que la función f es inyectiva ya que todos los elementos
del dominio tienen una imagen diferente, en cambio, la función g no es
inyectiva ya que g (1) = g (−1), es decir, dos elementos diferentes del
y
dominio tienen la misma imagen.
4
g(x)
3
2 Para determinar si la función es inyectiva, resulta útil construir su

• • •
1 representación gráfica y luego aplicar el criterio de la recta horizontal,
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x que consiste en trazar rectas horizontales que intersecten a la gráfica. Si
−1
la recta corta a la gráfica en un solo punto, la función es inyectiva, en
−2
cambio, si la recta intersecta a la gráfica en más de un punto, la función
−3
no es inyectiva.
−4
Figura 2.34: Función g. Obsérvese los gráficos de las Figuras 2.33 y 2.34. La función f es
inyectiva ya que toda recta horizontal corta a la gráfica en un solo punto,
en cambio la función g no es inyectiva puesto que la recta horizontal
dibujada corta a la gráfica en tres puntos.
álgebra 133
Ejemplo: Sean las funciones f : R → R con f (x) = x2 y g : R → R con g (x) = 3x − 1. Determina si f

y/o g son inyectivas.
Al graficar las funciones se obtiene:
4
y 4
y
f (x) g(x)
3 3
• 2
• 2
•
1 1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
Utilizando el criterio de la recta horizontal, se concluye que f no es inyectiva y que g es inyectiva.

Otra forma de resolver el problema es de manera algebraica, ya que en una función inyectiva se cumple que
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . Se aplica esto a f y g:
okap f ( x1 ) = f ( x2 ) okap g ( x1 ) = g ( x2 )
⇒ x21 = x22 ⇒ 3x1 − 1 = 3x2 − 1
⇒ x21 − x22 =0 ⇒ 3x1 = 3x2
⇒ (x1 + x2 )(x1 − x2 ) = 0. ⇒ x1 = x2 .
De donde
( x1 + x2 ) = 0 o ( x1 − x2 ) = 0
⇒ x1 = −x2 o x1 = x2 .
En el caso de f no se cumple la condición, en cambio, en el caso de g, sí se cumple.
Función epiyectiva
Definición. Una función es epiyectiva o sobreyectiva si su recorrido

es igual a su codominio, es decir, cada elemento del codominio tiene al
menos una preimagen.
Por ejemplo, en las funciones cuyas representaciones sagitales están

dibujadas abajo se tiene que f : A → B es una función epiyectiva ya que
Rec(f ) = B. Por otro lado, la función g : X → Y no es epiyectiva ya
que hay elementos en el codominio que no son imagen de ningún número,
en este caso, el 10.
f g
g A B X Y
X Z
1 −13 1 0
2 1
1 0
−15 2
3 9
2 1 4 −18 4 10
4 9
Figura 2.35: Función g, de codominio

Como g no es sobreyectiva, se puede redefinir el codominio para que
Z.
sí lo sea; por ejemplo, si se define el conjunto Z = Y \ {10}, se tiene que
h la función g : X → Z e sobreyectiva, como se observa en la Figura 2.35.
C D
Función biyectiva
1 0
Definición. Una función f es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la
2 1
vez.
3 4
4 9
Obsérvese la función h de la Figura 2.36. Cada elemento del codominio
D es imagen de un único elemento del dominio C, es decir, la función
es inyectiva. Además, el codominio D es igual al recorrido de la función,
Figura 2.36: Función h de dominio C y
codominio D. por lo tanto h es epiyectiva. Finalmente, se concluye que la función es
biyectiva.
Ejercitación:
71. Determina si la función dada es inyectiva y/o epiyectiva. Justifica tu respuesta.
a) Función m. b) Función h. c) Función s.

m h s
F G K L W Y
1 11 1 1 1
12
2 2
13 2 2 0
3 3
14
4 15 3 3 4
álgebra 135
d) Función f . e) Función r. f) Función p.

f r p
X Y P Q M N
1 0 1 10 1 1
2 20
2 5 2 10
3 30
3 10 3 20
4 40
4 15 5 50 4
72. De las funciones anteriores, ¿cuál(es) es (son) biyectiva(s)?
73. Determina si la función f : R → R definida como f (x) = x2 es sobreyectiva. De no serlo, redefine el

codominio de modo que lo sea.
74. Determina si la función f : R → R definida como f (x) = 2 − x es biyectiva.
75. Redefine el dominio y el codominio de la función f : R → R definida como f (x) = x2 , de modo que sea
una función biyectiva.
76. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {10, 100, 1000, 10000} y la función f : A → B definida por
f (x) = 10x para cada x ∈ A.
a) Representa con un diagrama sagital a f .
b) Establece el conjunto de pares ordenados de f .
c) Determina si f es inyectiva, epiyectiva y/o biyectiva.
77. Determina si las siguientes funciones son inyectivas o no. Justifica tu respuesta.
a) okap b) okap c) okap

y y y
4 4 4
3 3 3
2 2 2
1 1 1
−4 −3 −2 −1 −4 −3 −2 −1 −4 −3 −2 −1
1 2 3 4 x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 x
−1 −1 −1
−2 −2 −2
−3 −3 −3
−4 −4 −4
78. Determina cuál(es) de las siguientes funciones es (son) inyectiva(s).
a) f (x) = (x + 1)2 − x2 b) g (x) = 0,3x4 c) h(x) = log(x) + 2

79. Determina si las siguientes funciones definidas en los reales son epiyectivas.
a) f (x) = (x − 6) b) g (x) = 3(x − 2)3 + 5 c) h(x) = 6x d) i(x) = log(x)
f (x) = x − 3 2.7.4 Función inversa

A B
Objetivo PSU
1 −2
Analizar las condiciones para la existencia de la función inversa.
2 −1
Definición. Dada la función f : A → B biyectiva, se llama función
3 0
inversa de f a la función f −1 : B → A tal que para cualquier x del
4 1 dominio de f se cumple que: si f (x) = b entonces f −1 (b) = x.
En el diagrama sagital de la Figura 2.37 se representa una función f

y su inversa f −1 . Nótese que, el dominio de f equivale al recorrido de
f −1 (x) = x + 3
Figura 2.37: Función inversa.
f −1 , y el recorrido de f al dominio de f −1 . Además, para que f −1 sea
función, a cada elemento de B le debe corresponder una única preimagen,
h de manera que f debe ser una función biyectiva.
K L Este último resultado se conoce como teorema de la función in-

versa: una función f tiene inversa si y solo si es biyectiva.
0 1 Obsérvese la función h de la Figura 2.38. En el diagrama, h no es
inyectiva ya que h(2) = h(3) = 2. Luego, h−1 no es función ya que
1
2
hay un elemento de su dominio (el 2) que tiene dos imágenes (2 y 3).
2 Ahora, obsérvese la función f de la Figura 2.39. En el diagrama, f no es
sobreyectiva, ya que el −4 no tiene preimagen. Luego, f −1 no es función
3 3
ya que no todos los elementos de su dominio tienen imagen.
Por otro lado, dada una función f biyectiva, si se calcula la composición

h−1
(f ◦ f −1 )(x) o (f −1 ◦ f )(x) se obtiene como resultado la función identidad
Figura 2.38: Función h.
f
I (x) = x, de esta manera es posible determinar fácilmente si una función
es la inversa de la otra.
A B
x−3
Por ejemplo, sea la función f (x) = 2x + 3, ¿es g (x) = su
2
1 −1
inversa?
−2 Para responder, se calcula la composición:

2
x−3 (x − 3)

−3
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f = 2· + 3 = x − 3 + 3 = x.
2 2
3 −4
Finalmente, se concluye que g (x) = f −1 (x).
f −1 En la siguiente gráfica se muestra a la función f , junto a su inversa

Figura 2.39: Función f . y la función identidad. Como se observa, la función f y su inversa son
simétricas con respecto a la recta y = x.
álgebra 137
y
4
I(x) = x
3
2
(−1, 1)
1 f −1 (x)
−4 −3 −2 −1
1 2 3 4 x
−1 Usted no lo haga
(1, −1)
La notación f −1 significa
f (x) −2 “función inversa de f ” y
solo eso. Asique, recuerda
−3 1
f −1 6= .
f
−4
Ejercitación:
1 1
80. Determina la inversa de f : R → R, f (x) = x + . Luego traza las gráficas de f y f −1 .
2 5
81. Traza la gráfica de f −1 a partir de la gráfica de f .
a) okap b) okap
y y
4 4
3 3
2 2
1 1
−4 −3 −2 −1 −4 −3 −2 −1
1 2 3 4 x 1 2 3 4 x
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
82. Determina si las siguientes funciones, definidas en los números reales, tienen inversa. En caso de que la
tengan, determina f −1 .
a) f (x) = 3x + 4 b) g (x) = 2x3 − 1 c) h(x) = x2 − 4 d) log (x − 5)

2.8 | Tipos de funciones

2.8.1 Función lineal
Objetivo PSU
Observación
Aplicar modelos lineales que representan la relación entre varia-
Sean x e y elementos del
dominio de f , función li- bles, diferenciar entre verificación y demostración de propiedades
neal de la forma f (x) = y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo
mx, y α ∈ R, se cumple que:
con criterios definidos, para fundamentar opiniones y tomar
f (x + y ) = f (x) + f (y ) decisiones.
f (αx) = αf (x).
Además,
Función lineal de la forma f (x) = mx
f (0) = 0,
ya que Definición. Una función de la forma

f (0) = m · 0 = 0
y = f (x) = mx,
Y como consecuencia, si f (0) 6=
0, entonces f no es una función
lineal de la forma f (x) = mx.
recibe el nombre de función lineal, siendo las variables x e y directa-
mente proporcionales, con constante de proporcionalidad m. Al graficarla
en el plano y unir los puntos, se obtiene una recta que pasa por el origen
(0, 0).
Ejercitación:
83. En el transporte público, el precio del pasaje adulto es $640.
a) Construye una tabla que muestre el valor que se debe pagar por 1, 2, 3 y 4 pasajes de adulto.
b) ¿La relación anterior corresponde a una proporcionalidad directa? ¿Por qué?
c) Calcula la constante de proporcionalidad entre las variables involucradas.
84. Identifica cuál de las siguientes gráficas corresponde a la representación de una función lineal. Argumenta.
a) okap b) okap c) okap

álgebra 139
a) Iván sube a la cima de un cerro en bicicleta a una rapidez de 250 m/min, y baja el mismo cerro a 500
m/min.
¿Cuál es la distancia total que recorre Iván, si se demora 20 minutos en subir y 10 minutos en bajar?
¿Cuáles son las funciones que expresan la distancia en relación con el tiempo, considerando la rapidez
de subida y la rapidez de bajada respectivamente?
¿Cómo son las gráficas a medida que la rapidez aumenta?
b) Gabriela es bombera y compró una copa de agua cilíndrica para un sistema de apagado de incendios.
En las instrucciones venía el siguiente gráfico:
¿Qué función está representada en el gráfico?

¿Cuál es el volumen si la altura de llenado es de 5 metros?
Función lineal de la forma f (x) = mx + n

Definición. Una función de la forma
f (x) = mx + n, Observación
Si m = 0, entonces
(m, n 6= 0) recibe el nombre de función lineal. El gráfico de esta es una
f (x) = n y se denomina
recta que intersecta al eje y en el punto (0, n). Además, m corresponde función constante.
a la pendiente de la recta.
Ejercitación:
a) Una empresa telefónica ofrece dos tarifas para sus clientes, las cuales se muestran el la siguiente tabla:
Tarifa Cargo fijo Costo por llamada
A 16000 100
B 18000 70
¿Cuál es la función que modela el monto total a pagar para cada tarifa?
Si un cliente hace solamente 20 llamadas al mes ¿qué tarifa le conviene contratar? ¿Y si hace 80
llamadas?
¿Para cuántas llamadas es conveniente una tarifa u otra? Grafica las rectas asociadas a las funciones.
2.8.2 Función exponencial
Objetivo PSU
Utilizar las funciones exponencial, logarítmica y raíz cuadrada
como modelos de situaciones o fenómenos en contextos significa-
tivos y representarlas gráficamente en forma manual.
Observación
Nicolás estudia el comportamiento de dos cultivos A y B de bacterias
En el primer cultivo, (ambos comenzaron con aproximadamente 1000 bacterias). El cultivo A
la cantidad de bacterias
crece a cada minuto, tri- se encuentra en condiciones muy favorables y se triplica cada un minuto,
plicándose. Esto se conoce con mientras que en el B se está probando un antibiótico, y a cada minuto
el nombre de crecimiento expo-
nencial.
la población disminuye a su tercera parte.
En el segundo cultivo ocurre
Para hacer el estudio construye una tabla de valores que representa

lo contrario, esto se conoce co-

mo decrecimiento exponencial. las situaciones, considerando el tiempo t en minutos y la cantidad de
bacterias en cada cultivo.
Cantidad de bacterias luego de t minutos
0 1 2 3 4 5
1000 · 30 1000 · 31 1000 · 32 1000 · 33 1000 · 34 1000 · 35

Cultivo A
= 1000 = 3000 = 9000 = 27000 = 81000 = 243000
0 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
1000 1000 1000 1000 1000 1000
Cultivo B 3 3 3 3 3 3
= 1000 ≈ 333, 333 ≈ 111, 11 ≈ 37, 037 ≈ 12, 35 ≈ 4, 12
Para discutir
¿A través de qué funciones se pueden modelar las situaciones anteriores?

Grafícalas.
Definición. Una función exponencial es aquella que tiene a la variable

independiente en el exponente de una potencia. De forma general se tiene
que
f (x) = abx ,
álgebra 141
donde:
a, b ∈ R, con b > 0, b 6= 1 y a > 0 se tiene, dom f (x) = R y Rec

f (x ) = R+ .
La gráfica se intersecta con el eje y en el punto (0, a), y no se intersecta

con el eje x, que actúa como asíntota de la gráfica. Observación
La gráfica de una función exponencial de la forma f (x) = bx depende Si la gráfica de una fun-
ción se aproxima cada vez
del valor de b. Así:
más a una recta, pero sin
intersectarse con ella, se dice
• Si b > 1, la gráfica de la función es creciente. que dicha recta es una asínto-
• Si 0 < b < 1, la gráfica es decreciente. ta de la gráfica.
Además, mientras mayor es el valor de b, la función tiene un mayor

crecimiento o decrecimiento, en cada caso.
Ejercitación:
87. Determina el dominio, recorrido e intersecciones con los ejes de las gráficas correspondientes a las siguientes
funciones:
a) f (x) = 2x − 1 b) g (x) = 10x − 5 c) h(x) = 1 − 3x
88. La cantidad de ciertas bacterias presentes en un cuerpo se reproduce exponencialmente duplicando su

población cada 3 minutos.
a) Complete la siguiente tabla:
Reproducción de la población de bacterias
Tiempo (minutos) 3 6 9 12 15 18 21 24 27
Población 500
b) ¿Qué función f (x) modela la situación según el tiempo de reproducción?

c) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f (x)?
d) Esboza un gráfico de f (x).
2.8.3 Función logarítmica
Definición. Una función logarítmica es de la forma
f (x) = loga (x),
con a > 0, a 6= 1. En ella se tiene que:
Dom(f ) = R+ y Rec(f ) = R.
La gráfica se intersecta con el eje x en el punto (1, 0) y no se intersecta

con el eje y que actúa como asíntota de la gráfica.
Si a > 1, la gráfica de la función es creciente.
Si 0 < a < 1, la gráfica es decreciente.
Observación
A partir de la gráfica se
puede notar que la fun-
ción logarítmica es la in-
versa de la función exponencial.
Ejercitación:
89. Determina qué condición debe cumplir a, en cada caso para que las siguientes funciones sean decrecientes
o crecientes.
a) f (x) = log4a (x) b) g (x) = log−5a (x) c) h(x) = log(a−1) (x)
90. Determina el punto de intersección con el eje x y con el eje y en las siguientes funciones:
a) f (x) = log(−x + 5) b) g (x) = 2 + log2 (x − 2) c) h(x) = log(x + 10)
91. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
a) f (x) = log(x) + 2 b) g (x) = log(3x) − 4 c) h(x) = 1 − log3 (x)

álgebra 143
2.8.4 Función raíz cuadrada
Problema:
Valentina estudia la función que relaciona la rapidez v en cm/s con la que cae un líquido desde el orificio de
una vasija, y la altura h respecto al suelo de la misma en centímetros, que está dada por la expresión
v = 2 · g · h,
p
donde g corresponde a la aceleración de gravedad terrestre y se utiliza con el valor aproximado de 9[m/s2 ]
para efectos del ejercicio.
Construye una tabla de valores para encontrar 4 puntos que pertenezcan a la gráfica de la función.
Grafica la función en el plano cartesiano.
A partir del gráfico, ¿qué sucede con la rapidez a medida que crece el valor de h?
Si h = 25, ¿cuál es la rapidez? ¿Y si h = 144?
Definición. La función raíz cuadrada es de la forma

y
√
f (x) = x,
√
f (x) = x
cuya gráfica se representa en al Figura 2.40.
Se cumple que:
x
Su dominio y recorrido corresponden a los números reales positivos y Figura 2.40: Gráfica función raíz cua-
drada.
el cero (R+ ∪ {0}) respectivamente.
Ejercitación:
92. Determina el punto de intersección con los ejes x e y de las siguientes funciones:
√ √
a) f (x) = x − 10 + 20 b) g (x) = 12 − 3x
93. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones.

√ 1 √ √
a) f (x) = x+3 b) g (x) = − 2x c) h(x) = 3 + x−1
3
2.8.5 Función potencia
Objetivo PSU
Modelar situaciones o fenómenos cuyo modelo resultante sea la
función potencia.
Definición. La función potencia es de la forma
f (x) = a · xn ,
3 y
con a, n ∈ R, a 6= 0 y n 6= 0.
2
1 Obsérvese que si el exponente n es un número entero positivo no hay

restricciones para los valores que puede tomar x en la función potencia,
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1
es decir, la función está definida en todo R, luego, Dom(f ) = R. En
−2
cambio, para determinar el recorrido de la función, es necesario distinguir
qué sucede en los casos cuando n es par o impar.
−3
Figura 2.41: Función f , tal que f (x) = Obsérvense los gráficos de las Figuras 2.41, 2.42, 2.43 y 2.44, con n
−3x2 .
par positivo. Se observa que los valores de f (x) correspondientes a la
3 y
función f (x) = a · xn , para n par positivo, dependen de si a es mayor o
2
menor que 0.
1
Cuando a > 0, los valores que puede adoptar f (x) son siempre positi-
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1 vos o cero. Luego, Rec(f ) = R+ ∪ {0}.
−2
Cuando a < 0, los valores que puede adoptar f (x) son siempre negati-
−3 vos o cero. Luego, Rec(f ) = R− ∪ {0}.
Figura 2.42: Función f , tal que f (x) =
4
− x4 . Obsérvense las siguientes gráficas de funciones potencia, con n impar
5
3 y positivo:
2 1 5
f (x) = x f (x) = 5x7
1
y
4 y
3 3
x
−3 −2 −1 1 2 3 2 2
−1
1 1
−2
−3 −2 −1 1 2 3 x −3 −2 −1 1 2 3 x
−3
−1 −1
2x4 . −2 −2
3 y
−3 −3
2
1
3
f (x) = −2x3 f ( x ) = − x5
−3 −2 −1 1 2 3 x
y y
2
3 3
−1
2 2
−2
1 1
−3
Figura 2.44: Función f , tal que f (x) = −3 −2 −1 1 2 3 x −3 −2 −1 1 2 3 x
1 4
x . −1 −1
2
−2 −2
−3 −3
Se observa, cuando n es impar positivo, que el recorrido de la función

siempre es el conjunto de los números reales, independiente del valor que
adopta a, es decir, Rec(f ) = R.
álgebra 145
3 y
2
Por otra parte, si a > 0 la gráfica de la función se encuentra en el 1
primer y tercer cuadrante, en cambio si a < 0 la gráfica de la función se
−3 −2 −1 1 2 3 x
encuentra en el segundo y cuarto cuadrante. −1
−2
En resumen, se obtiene lo siguiente:
−3
4x−2 .
n a>0 a<0 3 y
y y 2
−3 −2 −1 1 2 3 x
Par −1
x x
−2
−3
2 −6
x .
y y 5
3 y
1
Impar
x x −3 −2 −1 1 2 3 x
−1
−2
−3
−5x−4 .
Ejercitación:
94. Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.
a) f (x) = 5x8 b) g (x) = −4x−4 c) h(x) = 0,3x5 d) i(x) = −5x67
Obsérvense las gráficas de las Figuras 2.45, 2.46, 2.47 y 2.48, que 3 y
representan funciones potencia cuando el exponente es un número ne- 2
gativo par. Se puede verificar que cuando n es un número par negativo, 1
el dominio de la función potencia son los números reales diferentes de −3 −2 −1 1 2 3 x
cero, o sea, Dom(f ) = R \ {0}. Sin embargo, el recorrido de f , depende −1
del signo de a: Si a > 0 entonces Rec(f ) = R+ y si a < 0 entonces

−2
−3
Rec(f ) = R− . En este caso, los ejes x e y son asíntotas de la función.
1
Finalmente, obsérvense las funciones de las Figuras 2.49, 2.50, 2.51 − x−8 .
2
y 2.52, donde n es un número impar negativo. A partir de estas se
puede observar que en todos los casos tanto el dominio de f como su 3 y
recorrido es el conjunto de los números reales menos el cero. Luego, 2
Rec(f ) = Dom(f ) = R \ {0}. En este caso, los ejes x e y son asíntotas 1
de la función.
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1
En resumen, se tiene −2
−3
3x−3 .
n a>0 a<0
y y
3 y
2 Par
x x
1
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1
−2
−3
2x−5 . n a>0 a<0
3 y
y y
2
3 x
−3 −2 −1
−1
1 2
Impar
x x
−2
−3
1
− x−9 .
12
3 y
1
Interés compuesto
Se puede utilizar la función potencia y sus traslaciones para modelar

−3 −2 −1 1 2 3 x
−1
−2
situaciones de interés compuesto, por medio de la expresión
−3
Figura 2.52: Función f , tal que f (x) = f (x) = a · (1 + x)t ,

−4x−7 .
donde f (x) es el capital final obtenido al invertir un capital inicial a con

una tasa de interés compuesto anual x, durante un período de tiempo t,
en años.
Ejercitación:
95. Adrián, Valentina y Jaime depositaron cada uno $32.000 en sus cuentas, con una tasa de interés compuesto
anual, durante 3 años. Adrián realizó el depósito con una tasa del 2 % anual, Valentina lo realizó con un
0,05 % anual y Jaime, con un 1 % anual.
a) Determina la función que te permite modelar la situación anterior.
b) Al cabo de 3 años, ¿quién obtuvo mayor ganancia? ¿Cuánto más?
c) ¿Cuál es la diferencia entre lo que recibió Valentina y Jaime?
d) Ahora a Jaime le ofrecen cambiar de banco, con una tasa de interés compuesto cada seis meses de
0,5 %. ¿Le conviene? ¿Por qué?
álgebra 147
2.8.6 Función cuadrática
Objetivo PSU
Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean
funciones cuadráticas.
Definición y gráfica
Definición. Una función cuadrática, con dominio y codominio el conjunto
de los números reales, es una función de la forma
f (x) = ax2 + bx + c,
con a, b, c ∈ R y a 6= 0.
Para ver cómo se comporta esta función gráficamente, se analiza el
siguiente ejemplo:
Ejemplo: Sea la función real f (x) = x2 , para graficar se construye una tabla de valores. Luego, se grafican
los puntos obtenidos:
x f (x) Par ordenado (x, y )
−3 9 (−3, 9)
−2 4 (−2, 4)
−1 1 (−1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 4 (2, 4)
3 9 (3, 9)
A la gráfica de una función cuadrática se le denomina parábola. Esta

es simétrica respecto a una recta vertical.
Observándose la gráfica, resulta evidente que el dominio de la función
cuadrática son todos los números reales, es decir, Dom(f ) = R. Además,
el recorrido de la función cuadrática nunca será el conjunto de los
números reales, sino un intervalo de este.
Por último, se nota que la función no es creciente ni decreciente,
sino que presenta intervalos de crecimiento y decrecimiento, es
decir, hay una parte de la función que es creciente y otra parte que es
decreciente.
2.8.7 Concavidad de la parábola

La parábola puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo,
según el valor que multiplique al término x2 . Sea la función f (x) =
ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R y a 6= 0, se tiene:
Si a > 0, entonces la parábola de f es cóncava hacia arriba.
Si a < 0, entonces la parábola de f es cóncava hacia abajo.
Nótese que cuando la parábola es cóncava hacia arriba, la función

Figura 2.53: Concavidad de dos parábo- tiene un mínimo, en cambio cuando la parábola es cóncava hacia abajo,
las. tiene un máximo.
Ejercitación:
96. Determina si las siguientes funciones son cóncavas hacia arriba o hacia abajo
a) f (x) = −3x2 + 5x − 1 b) g (x) = 2x3 − x + 1 c) h(x) = −x2 + 1
2.8.8 Intersecciones con los ejes

Puede ser muy importante encontrar los puntos de intersección con los
ejes del plano cartesiano, para esto, se analizan las siguientes condiciones.
Intersección con el eje y
Se busca un punto (x, y ) del plano tal que x = 0, lo que se resume a
calcular el valor de f (0). Si f (x) = ax2 + bx + c, entonces
f (0) = a · 02 + b · 0 + c
Figura 2.54: Intersección con el eje y.
⇒ f (0) = c.
Por lo tanto, el punto donde la parábola intersecta al eje y, de forma
genérica, es el punto (0, c).
Intersección con el eje x
En el caso de la intersección con el eje x, se busca un punto (x, y ) tal
Figura 2.55: Intersección con el eje x de que y = 0, es decir, f (x) = 0. Si f (x) = ax2 + bx + c, entonces
parábola con ∆ > 0.
0 = ax2 + bx + c.
Por lo tanto, para encontrar la(s) intersección(es) con el eje x, es

necesario resolver la ecuación de segundo grado obtenida. De forma
general, se tiene que
√ √
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
Figura 2.56: Intersección con el eje x de x1 = x2 = .
2a 2a
parábola con ∆ = 0.
Finalmente, se concluye que:
álgebra 149
Si ∆ > 0, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje x.

Estos son:
√ ! √ !
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
,0 y ,0 .
2a 2a
Si ∆ = 0, entonces la parábola intersecta en un punto al eje x.

Este es: Figura 2.57: Intersección con el eje x de
b parábola con ∆ < 0.
− ,0 .
2a
Si ∆ < 0, entonces la parábola no intersecta al eje x.
Ejercitación:
97. Determina la intersección con el eje y y con el eje x de la parábola para cada una de las siguientes
funciones:
a) f (x) = x2 + 5x + 6 b) g (x) = −x2 + 3x + 2 c) h(x) = 5x2 + 10x − 7
98. Determina si la parábola asociada a cada una de las siguientes funciones intersecta en dos puntos fijos al
eje x, en uno o no lo intersecta.
a) f (x) = 4x2 − 4x + 1 b) g (x) = −7x2 + 10x − 2 c) h(x) = 3x2 − x + 10
2.8.9 Vértice de la parábola

Como se dijo anteriormente, dependiendo de la concavidad de la
parábola, la función tiene un punto mínimo o máximo. A este punto se
le denomina vértice de la parábola. Para encontrar las coordenadas del
vértice se analiza la Figura 2.58, en la que ∆ > 0.
Al observar la imagen, se nota que la coordenada en xv del vértice

es el punto medio de x1 y x2 , dado que la parábola es simétrica. Si
se encuentra esta coordenada será muy fácil encontrar la otra, ya que
simplemente se calcula el valor de f (xv ) utilizando la regla de asignación
Figura 2.58: Vértice de la parábola.
de la función.
Se tiene
x1 + x2
xv =
2
√ √
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac −2b −b
+ −b
⇒x= 2a 2a = 2a = a = .
2 2 2 2a
b
Por lo tanto, la primera coordenada del vértice es xv = − .
2a
Para encontrar la segunda coordenada del vértice, se calcula la imagen

b
de − :
2a
2
b b b
f − = a· − +b· − +c
2a 2a 2a
b2 b2
= a· − +c
4a 2 2a
b2 b2
= − +c
4a 2a
b2 2b2 4ac
= − +
4a 4a 4a
b2 − 2b2 + 4ac
=
4a
−b2 + 4ac
=
4a
−(b2 − 4ac)
=
4a
−∆
= .
4a
Por lo tanto, la segunda coordenada del vértice se expresa como

∆
yv = − .
4a
En el caso en que ∆ = 0 el vértice coincide con la intersección de la
parábola con el eje x, por lo que el caso es trivial. En el caso ∆ < 0, se
puede trasladar la parábola verticalmente hacia arriba o hacia abajo y
reducirlo al caso ∆ > 0.
Finalmente, las coordenadas del vértice están dadas por:
∆

b
V = − ,− .
2a 4a
Ejercitación:
99. Calcula las coordenadas del vértice para las siguientes funciones reales:
a) f (x) = −2x2 + 3x − 5 b) g (x) = x2 − 6x + 9 c) h(x) = −7x2 + 9
2.8.10 Eje de simetría
El eje de simetría es la recta que divide a la parábola en dos partes

iguales:
álgebra 151
Dado que dicha recta pasa por el vértice, su ecuación está dada por:
b
x=− .
2a
Ejercitación:
100. Encuentra la ecuación del eje de simetría para las parábolas asociadas a cada una de las siguientes
funciones reales.
a) f (x) = −5x2 + 6x − 1 b) g (x) = x2 − 3x + 17 c) h(x) = 3x2 − 11x − 21
Resumen
Las expresiones algebraicas se utilizan para expresar operaciones numéricas de forma general.
Se distinguen monomios, binomios y trinomios, según tengan uno, dos o tres términos
algebraicos, respectivamente.
Para resolver operaciones entre ellos, en el caso de la suma, se usa la reducción de térmi-
nos semejantes y en el caso de la multiplicación, las propiedades de las potencias y la
propiedad distributiva de los números reales.
Se destacan los siguientes productos, conocidos como productos notables:
Producto Expresión
Binomio al cuadrado (x + y )2 = x2 + 2xy + y 2

Binomio con término común (x + y )(x + z ) = x2 + (y + z )x + yz
Binomio al cubo (x + y )3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
Suma por diferencia (x + y )(x − y ) = x2 − y 2
Las fracciones algebraicas son generalizaciones de las fracciones numéricas. Para resolver
operaciones entre ellas su utiliza la factorización.
Las principales se ilustran a continuación:
Factorización Expresión
Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y 2 = (x + y )2

Trinomio con término común x2 + (y + z )x + yz = (x + y )(x + z )
Diferencia de cuadrados a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Suma de cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
Las ecuaciones son igualdades que presentan valores desconocidos (incógnitas). Una ecuación
de primer grado con una incógnita es aquella de la forma
ax + b = 0,
donde a, b ∈ R, a 6= 0 y x es la incógnita.
Para resolverlas se utilizan las propiedades aditiva y multiplicativa de las igualdades. La

propiedad aditiva dice que se puede sumar un mismo valor a ambos lados de la ecuación, y la
igualdad se mantiene. La propiedad multiplicativa dice que se puede multiplicar un mismo valor
a ambos lados de la ecuación, y la igualdad se mantiene.
Un sistema de ecuaciones es un arreglo de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
Para resolverlos, se utilizan los métodos algebraicos de sustitución, reducción e igualación.
En un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, las ecuaciones representan
rectas en el plano cartesiano, las que pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
En el caso de que las rectas sean secantes, se dice que el sistema de ecuaciones tiene una única
solución, la cual representa el punto de intersección de las rectas en el plano. En el caso de que
las rectas sean paralelas, se dice que el sistema no tiene solución, debido a que las rectas no
se intersectan. Finalmente, en caso de que las rectas sean coincidentes, se dice que el sistema
tiene infinitas soluciones, ya que las ecuaciones representan a la misma recta en el plano.
álgebra 153
ax + by = e
Sea el sistema , tiene
cx + dy = f
solución única infinitas soluciones no tiene solución
si si si
c d c d f c d f
6= . = = . = 6= .
a b a b e a b e
En cada caso, el sistema recibe el nombre de compatible determinado, compatible inde-

terminado e incompatible, respectivamente.
Una ecuación cuadrática es de la forma
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b, c ∈ R, a 6= 0 y x es la incógnita.
Las soluciones generales de esta ecuación son

√ √
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
x= o x= ,
2a 2a
donde la expresión b2 − 4ac recibe el nombre de discriminante (∆).
El discriminante determina si la ecuación tiene una o dos soluciones o no tiene soluciones reales
sino dos complejas conjugadas, según las siguientes condiciones:
Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
Si ∆ = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.
Si ∆ < 0, la ecuación tiene dos soluciones complejas conjugadas.

Una desigualdad se utiliza para expresar relaciones entre los números o entre expresiones
algebraicas. En el contexto de los números reales se utilizan las desigualdades para describir
intervalos, los que pueden ser abiertos, semi abiertos o cerrados
Una inecuación de primer grado es una desigualdad que presenta valores desconocidos (in-
cógnitas). Para encontrar el conjunto solución se utilizan las propiedades de las desigualdades,
las cuales son, básicamente, los axiomas de orden de los números reales y las propiedades que se
desprenden de estos.
Un sistema de inecuaciones es un arreglo de dos o más inecuaciones, las cuales deben

verificarse de forma simultánea. El conjunto solución corresponde a la intersección de las
soluciones de cada una de las inecuaciones por separado.
Una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos, es decir, relaciona
elementos de un conjunto con otro a través de una regla de asignación. Al definir relaciones
sobre un subconjunto de R, se obtienen como resultado curvas en el plano cartesiano.
Dada una relación R de A en B, se definen el dominio y el recorrido como sigue:
Dom(R) = {a ∈ A | ∃ b ∈ B tal que (a, b) ∈ R} y
Rec(R) = {b ∈ B | ∃ a ∈ B tal que (a, b) ∈ R}.
Si se verifica que
Dom(R) = A
y además que dado a ∈ A existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ R, entonces R se llama
función de A en B.
La notación habitual para representar una función f con dominio A y codominio B es
f : A −→ B
x 7−→ y = f (x).
álgebra 155
Dada una función f , f (x) + a representa una traslación vertical de a unidades. Si a es un

número positivo la traslación es hacia arriba y si a es un numero negativo es hacia abajo.
Además, f (x + a) representa una traslación horizontal de a unidades. Si a es un número
positivo la traslación es hacia la izquierda, en cambio, si a es un número negativo es hacia la
derecha. Finalmente f (−x) y −f (x) representan reflexiones de f , con respecto al eje y y al
eje x, respectivamente.
La composición (◦) es una operación entre funciones, que se define como: sea f : A → B y
g : C → D, donde B ∩ C 6= φ, se tiene que (g ◦ f )(x) = g (f (x)).
Una función se dice inyectiva si a los elementos del recorrido les corresponde una única
preimagen; se dice epiyectiva si el codominio es igual al recorrido; y se dice biyectiva si es
inyectiva y epiyectiva a la vez.
Dada una función f : A → B, biyectiva, se llama función inversa de f a la función f −1 : B → A

tal que para cualquier x ∈ A y cualquier b ∈ B se cumple
f (x) = b ⇔ f −1 (b) = x.
Una función y su inversa son simétricas respecto a la recta y = x, además, al componerlas se

obtiene como resultado la función identidad I (x) = x.
Una función lineal es de la forma f (x) = mx + n, con dominio y codominio el conjunto de

los números reales, salvo si n < 0, en cuyo caso el dominio es R \ {0}.
La representación gráfica de esta función es una recta creciente si m > 0 o decreciente si m < 0.
y y
x x
Si n = 0 la recta pasa por el origen y se dice que f (x) y x son directamente proporcionales con
constante de proporcionalidad m.
Si n 6= 0 la recta intersecta al eje y en el punto (0, n).
Si m = 0 la recta es paralela al eje x.

Una función exponencial es de la forma f (x) = a · bx , con a 6= 0, b > 0, b 6= 1, con dominio y

codominio el conjunto de los números reales.
Con a > 0, la gráfica de f es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1.

y y
x x
La gráfica de f intersecta al eje y en el punto (0, a) y no intersecta al eje x.
Una función logarítmica es de la forma f (x) = loga (x), con a > 0 y a 6= 1, con dominio el
conjunto de los reales positivos y codominio el conjunto de los números reales.
Si a > 1 la gráfica de f es creciente y si 0 < a < 1 la gráfica de f es decreciente.

y y
x x
La gráfica de f intersecta al eje x en el punto (1, 0) y no intersecta al eje y.
√
Una función raíz cuadrada es de la forma f (x) = x, con dominio el conjunto de los reales
no negativos y codominio el conjunto de los números reales.
La gráfica de f pasa por el origen del plano cartesiano y es creciente en todo su dominio.
y
x
álgebra 157
Una función potencia es de la forma f (x) = xn , con n un número entero distinto de cero,
con dominio y codominio el conjunto de los números reales.
Para n un número impar positivo, la gráfica de la función es:

y
Para n un número par positivo, la gráfica de la función es:

y
Para n un número par negativo, la gráfica de la función es:

y
Para n un número impar negativo, la gráfica de la función es:

y
x
Una función cuadrática es de la forma f (x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R, a 6= 0, con

dominio y codominio el conjunto de los números reales.
La gráfica de f es una parábola cóncava hacia arriba en el caso a > 0 y cóncava hacia abajo en
el caso a < 0.
y y
x x
La parábola intersecta al eje y en el punto (0, c).
En cuanto al eje x, es posible que la parábola lo intersecte en uno o dos puntos, o no lo intersecte,
según las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, las que vienen dadas por el discriminante.
Si el discriminante es positivo, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. Si el discriminante

es igual a cero la parábola intersecta en un punto al eje x. Si el discriminante es negativo la
parábola no intersecta al eje x.
1
1. Dada la ecuación x2 + x − 1 = 0, ¿cuál es el valor de x2 + ?
x2
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
(a + b)(a2 − ab + b2 ) + (c − b)(c2 + cb + b2 )
2. =
(a − c)(a2 + ac + c2 )
a+b a3 + 2b3 + c3 a3 + c3
A) C) E)
c a3 + c3 a3 − c3
B) 1 D) 0
m+1
3. Si = 2, m 6= 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
m−1
I. m = 3
II. |m + 1| = 2 · |m − 1|
III. m − 1 = −2m
A) Solo I C) Solo I y II E) I, II y III

B) Solo III D) Solo II y III
álgebra 159
x x
4. Si k + 100 = , entonces + 100 es igual a
2 2
A) k − 100 C) x − 100 E) k + 200
B) k + 100 D) x − 200
p4 − q 4
5. Se puede determinar el valor numérico de la expresión si
p2 − q 2
(1) p2 + q 2 = 5
(2) p2 − q 2 6= 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
6. Si 5 · 2x−2 − 3 · 2x−3 = 14 entonces x es igual a
A) −4 B) 4 C) 1 D) 3 E) 6
x+y+z = 1
7. En el sistema x−y+z = 1 , ¿cuáles son los valores de x, y y z, respectivamente?
2x − 1 + z = 2
A) 2, 0 y −1 C) −1, 0 y 1 E) 0, 2 y −1
2 1
B) , y 0 D) 2, 0 y 1
3 3
2 3
+ = 1
x y
8. Dado el sistema 2 3 , con x 6= 0, y 6= 0, el valor de (x + y ) es
− = 3
x y
A) 10 B) 4 C) 3 D) 2 E) −2
9. En una feria de videojuegos, el costo de la entrada para 3 adultos y un niño es $5000 y el costo de la
entrada de 2 adultos y 4 niños también es $5000. Si ingresa un adulto y paga con $5000, ¿cuánto les
dan de vuelto?
A) $4.500 B) $3.500 C) $3.200 D) $2.500 E) $1.500

10. En el comportamiento de cierto fondo de inversiones se observa que la cantidad de dinero depositada
se duplica cada tres años. Si inicialmente se hace un depósito de $5.000, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. Dentro de 3 años se tendrán $10.000.
II. Dentro de 6 años se tendrán $20.000.
III. La función I que representa la cantidad de dinero que representa la cantidad de dinero
x
obtenida en gunción de la cantidad de años es I (x) = 5.000 · 2 · .
3
A) Solo I D) I, II y III
B) Solo III
C) Solo I y II E) Ninguna de las anteriores
11. Si f (x) = 3x+2 , entonces f (x + 2) − f (x) es igual a
A) 32 B) 34 C) 72 · 3x D) 32x+6 E) 36
12. En la figura, está representada la función f (x) = ax2 + bx + c. Según esto, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera con respecto a los valores de a, b y c?
A) a < 0, b < 0 y c > 0 y

B) a < 0, b > 0 y c > 0
C) a > 0, b < 0 y c > 0
D) a < 0, b > 0 y c < 0

x
E) a < 0, b < 0 y c < 0
13. Un automóvil viaja desde La Granja a La Pintana. El rendimiento promedio del automóvil es de 10
km por litro de bencina. Se puede determinar la velocidad promedio del viaje si
(1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina.

(2) Demoró en el viaje 30 minutos.
A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola
álgebra 161
14. Sea la función f (x) = log11 (x) + log(100). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdade-
ra(s)?
I. f (11) = 3
II. El dominio de f son los reales positivos.
III. 4 ∈ Rec(f )
A) Solo I C) Solo III E) I, II y III

B) Solo II D) Solo II y III
15. Según la función f (x) = ax definida en los reales, con a positivo y distinto de 1. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I. Cuando x > 0 la función es creciente.
II. Cuando a > 1 la función es creciente.
III. Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
A) Solo I C) Solo I y III E) I, II y III

x+b

16. Sea la función real g (x) = log con x y b números reales positivos. Es posible determinar el
b
valor numérico de g (a) si
(1) a + b = 200
a
(2) = 99
b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
17. Gabriela es comerciante y compra una partida de 130 poleras en $500.000. Vende al detalle 50
poleras a $6.000 cada una. ¿Cuál es el menor precio al que debe vender cada una de las poleras
restantes si quiere obtener, como mínimo, un 30 % de ganancia?
A) $2.500
B) $3.250
C) $3.750
D) $4.325
E) $4.375
18. El gráfico de la figura, corresponde a una función afín. Se puede determinar la función de la forma
f (x) = mx + n, con m y n números reales, si
y
(1) Se conoce el área del triángulo P OQ,
donde O es el origen del plano. Q
Q
(2) Se conoce el valor de .
P
P x
A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola
19. Carolina le dice a Nicolás, “pensé en un número, lo multipliqué por 6, sumé 15 al producto, resté 40
de esta suma y la diferencia la dividí por 25, obteniendo 71 como cuociente y resto cero”.Entonces,
¿en qué número pensó Carolina?
A) 280 B) 300 C) 320 D) 340 E) 360
7x − 3
20. Sea f (x) = definida en los reales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdade-
8
ra(s)?
I. La función f es inyectiva.
27
II. f −1 (3) =
7
III. La función f es creciente.
A) Solo I C) Solo II y III E) Ninguna de las anteriores

B) Solo I y II D) I, II y III
1. D 5. C 9. B 13. C 17. E
2. E 6. B 10. D 14. E 18. C
3. C 7. A 11. C 15. D 19. B
4. E 8. E 12. A 16. B 20. D

Unidad 3
Geometría
Desde los tiempos más antiguos, la geometría ha sido uno

de los principales temas de estudio. Su comprensión y tratamiento han
llevado al ser humano a la construcción de piezas históricas de incalculable
valor y magníficas edificaciones.
A través de la geometría es posible visibilizar la matemática; palpar el

abstracto contenido de esta ciencia y llevarlo a un plano único, tangible
y excelso. La geometría conecta lo invisible con lo concreto, permite la
expresión del arte de la matemática.
3.1 Congruencia 3.3 Semejanza
3.4 Geometría analítica

3.2 Área y perímetro de figuras
planas 3.5 Geometría del espacio
“En los tiempos remotos la geometría era una ciencia práctica y

empírica, es decir, una ciencia basada en las experiencias y observaciones
del hombre. Las teorías generales, los postulados y las demostraciones son
muy posteriores. No se conoce por completo la historia de la geometría, sin
embargo, podemos mencionar las siguientes etapas que han contribuido
en forma decisiva a su evolución:
1. Los procedimientos empíricos de los antiguos babilonios y egipcios.
2. El amor de los griegos al saber por el saber y su empleo en las

construcciones clásicas.
3. La sistematización de la geometría hecha por Euclides.
4. La continuación de la obra de Euclides durante la Edad de Oro de

Grecia.
5. La contribución de los matemáticos hindúes, árabes y persas durante

la edad media.
6. El despertar de Europa con su creciente número de universidades,

el invento de la imprenta y el florecimiento de todas las ramas del
conocimiento.
7. La introducción de sistemas de coordenadas en el siglo XVII.
8. La aplicación del álgebra (y también del cálculo) a la geometría en el

siglo XVIII.
9. El reconocimiento de los puntos y rectas como elementos no definidos

(abstractos), lo cual da lugar, en el siglo XIX, a muchas geometrías
diferentes.
10. El énfasis dado, en pleno siglo XX, a la generalización, al concepto

aritmético y al fundamento axiomático.
En cada etapa del desarrollo de la geometría se encuentran usos y
aplicaciones de esta a la matemática de su tiempo. También se ve la
influencia que ejercen sobre la geometría otros conceptos matemáticos y
culturales.”
La evolución de la geometría, Aldo Gutiérrez Vargas y Araceli

Hernández Cedeño.
Consigue o dibuja un mapa. Rastrea en él el camino que recorre la geometría a través de los distintos
hitos o etapas que el texto señala. ¿Qué pueblo será el principal responsable de la expansión de la
geometría en occidente?
geometría 165
3.1 | Conceptos básicos

La geometría es una de las ciencias más antiguas. La palabra geometría
deriva de los vocablos griegos geos (tierra) y metrón (medida), para
sintetizar “medida de la tierra”. Es una rama de la matemática que se
utiliza para estudiar las propiedades de las figuras en el plano y en el
espacio.
A través de la historia, muchas civilizaciones han desarrollado el

conocimiento sobre esta ciencia. La civilización babilónica fue una de las
primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. La invención de
la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente
al descubrimiento del número π (pi). Sin embargo, fue Euclides en el siglo
III a. C., en Grecia, quién configuró la geometría en forma axiomática y
constructiva en su célebre libro Elementos, texto tan extraordinario que
se ha utilizado por más de 2000 años.
En honor a este destacado matemático, gran parte de la geometría que Figura 3.1: Euclides.
se estudiará durante este curso recibe el nombre de Geometría Euclidiana.
¿Qué es y para qué se emplea la geometría?
Si una de dos sociedades tiene acceso y conocimiento de la geometría mientras que la otra no; ¿cuál de
esas dos sociedades está mejor preparada para adaptarse al medio? ¿Por qué?
Cuando se menciona el libro “Elementos” de Euclides; ¿con qué fin crees que se hace?
¿Qué otra característica remarcada, y que aún hoy tiene huella, fue propia de la civilización babilónica?
¿Qué querrá decir “configuró la geometría de forma axiomática y constructiva”? Explícalo con tus
palabras.
3.1.1 Términos indefinidos de la geometría

Según Euclides, hay conceptos primitivos que no se pueden definir,
estos son los llamados términos indefinidos de la geometría, los cuales se
presentan a continuación. Figura 3.2: Punto A.
Punto
Un punto solo tiene posición en el espacio. Es la unidad indivisible de

la geometría. No tiene longitud, anchura ni espesor. Habitualmente se
usan letras latinas mayúsculas para denotarlo. Figura 3.3: Línea recta.
Línea
Una línea tiene longitud, pero no anchura ni espesor. Intuitivamente,
una línea es la trayectoria que describe un punto en movimiento. Una
línea puede ser recta, si el punto no cambia de dirección o curva si es que
el punto presenta cambios en su dirección. También puede ser una com-
binación de ambas. En general, se denota una línea como L1 , L2 , L3 , . . .
Figura 3.4: Línea curva. etc. Una línea recta que contiene a los puntos A y B se denota también
←→
como AB.
Plano
Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no
Figura 3.5: Plano Π.
espesor. Es decir, es aquello que tiene dos dimensiones. Se usan letras
griegas, en general Π, para hacer referencia a un plano.
Ejercitación:
1. Punto, línea y plano son los términos indefinidos. Identifica cuál de estos términos se ilustra con:
a) La cubierta de un escritorio. c) El filo de una regla. e) La punta de un alfiler.

b) La pantalla cinematográfica. d) Un hilo en tensión.
Se definen a continuación cuatro conceptos más relacionados con los

anteriores: punto medio, segmento, rayo y rectas paralelas.
Definición. El punto medio de un segmento es aquel que lo divide en
dos partes iguales.
Definición. Un rayo es una parte de una recta que comienza en un
punto dado y se extiende de manera ilimitada en otra dirección. Un rayo
que comienza en el punto A y que contiene al punto B se denota por
←−−
AB.
Definición. Un segmento de línea es la parte entre dos puntos de
una línea recta, incluyendo esos dos puntos. En segmento que tiene por
extremos a los puntos A y B se denota por AB. Si dos segmentos son de
igual medida se dice congruentes (= ∼).
Definición. Dos rectas son paralelas en el plano si nunca se unen o se

Figura 3.6: Rayo AB. cruzan. Si L1 es paralela a L2 , se denota por L1 k L2 .
Ejercitación:
2. A partir de la siguiente figura, responde:
geometría 167
a) Identifica cada uno de los segmentos indicados. c) ¿Qué otro segmento se puede trazar?
b) ¿Qué segmentos se intersectan en A? d) Identifica el punto de intersección de CD y AD.
3. A partir de la siguiente figura, responde:
a) Calcula la longitud de AB, AC y AF .
b) Identifica dos puntos medios.
c) Identifica todos los segmentos congruentes.
Observación
3.1.2 Ángulos
Los ángulos se leen en
Otro concepto importante de definir es el de ángulo. el sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Intuitivamente se entiende un ángulo como “la inclinación entre sí de

dos líneas de un plano, que se cortan”, más formalmente se tiene:
Definición. Un ángulo es uno de los dos sectores del plano que queda
delimitado por dos rayos con el extremo en común, el que recibe el
nombre de vértice del ángulo. El símbolo que se utiliza para ángulos es
]. En la siguiente figura se observa el ángulo ]CBA.
Figura 3.7: Sistema sexagesimal.
Actualmente, se usa un sistema muy conocido para medir ángulos: el

sistema sexagesimal.
Observación
Definición. El sistema sexagesimal, es un sistema de medición po-
sicional que emplea como base aritmética al número 60. Un grado Dos ángulos son
congruentes si tienen la
sexagesimal, denotado por °, es la amplitud del ángulo resultante al
misma medida.
dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Un grado se divide a su
Si un ángulo es recto, se dice
vez en 60 minutos (0 ) y cada minuto se divide en 60 segundos (00 ).

que los rayos que lo forman son

perpendiculares.
Según la medida, los ángulos se clasifican en:
Ángulo agudo Ángulo recto

Si 0◦ < α < 90◦ Si α = 90◦
Ángulo obtuso Ángulo extendido

Si 90◦ < α < 180◦ Si α = 180◦
Observación
Una bisectriz es una lí-

nea recta que divide a
un ángulo en dos ángulos
congruentes.
Ángulo cóncavo Ángulo completo

Si 180◦ < α < 360◦ Si α = 360◦
Figura 3.8: Relojes ejercicio 4.
Ejercitación:
4. Encuentra la medida del ángulo formado por las manecillas del reloj de la figura 3.8
a) Cuando el reloj marca las 8. b) Cuando el reloj marca las 4:30.
3.1.3 figuras planas
Circunferencia
Definición. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro
Figura 3.9: Circunferencia de centro O en una cantidad constante que se denomina radio. Un círculo es la
y radio r.
figura plana delimitada por una circunferencia. Se llama diámetro de
una circunferencia a la recta que pasa por el centro y termina, en ambos
sentido, en la circunferencia.
Polígonos
Definición. Un polígono es una figura plana encerrada en líneas rectas.
geometría 169
De estos, los de tres lados se llaman triángulos y los de cuatro lados se C
llaman cuadriláteros.
En los triángulos, un equilátero es aquel cuyos tres lados son con-

gruentes, un isósceles tiene dos de sus lados congruentes y un escaleno A B
Figura 3.10: Si AB ∼
= BC ∼
= CA, enton-
tiene sus tres lados no congruentes. En las Figuras 3.10, 3.11 y 3.12 se ces ∆ABC es equilátero.
observa un triángulo equilátero, un isósceles y un escaleno, respectiva-
mente. C
Además, un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo

recto, un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso y un
triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos. En las
A B
Figuras 3.13, 3.14 y 3.15 se observa un triángulo acutángulo, un triángulo Figura 3.11: Si BC ∼
= CA, entonces
rectángulo y un triángulo obtusángulo, respectivamente. ∆ABC es isósceles.
De los cuadriláteros, el cuadrado es el que tiene todos los lados de C
igual medida y todos los ángulos rectos, un rectángulo es el que tiene

todos sus ángulos rectos pero no tiene lados congruentes, un rombo es
el que tiene todos sus lados de igual medida pero no tiene ángulos rectos A B
y un romboide es el que tiene sus lados opuestos congruentes pero no Figura 3.12: Si AB BC CA, enton-
los consecutivos, y no tiene ángulos rectos. De izquierda a derecha se ces ∆ABC es escaleno.
observa un cuadrado, un rectángulo, un rombo y un romboide: C

γ
D C
α β
D C
A B
C γ
δ
D C
γ
Figura 3.13: Si α, β y γ son agudos,
D δ β B entonces , ∆ABC es acutángulo.
α α β
A B A B A A B
C
Los cuadriláteros distintos a los anteriores se llaman trapecios o

A B
trapezoides, según tengan un par de lados paralelos o ninguno, respec- Figura 3.14: Si ]BAC = 90◦ , entonces
tivamente. De izquierda a derecha un trapecio y un trapezoide: ∆ABC es un triángulo rectángulo.
D C C
α
D A B
Figura 3.15: Si α es obtuso, entonces el
∆ABC es obtusángulo.
A B A B
Ejercitación:
5. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la diferencia entre un cuadrado y un uno escaleno. Explica sus diferencias.

rombo? Haz los dibujos. d) ¿Es un triángulo equilátero también isósceles?
b) ¿Cuál es la diferencia entre un rectángulo y un Fundamenta tu respuesta.
romboide? Haz los dibujos. e) Dibuja un triángulo acutángulo, uno rectángulo
c) Dibuja un triángulo equilátero, uno isósceles y y uno obtusángulo. Explica sus diferencias.
6. Un carpintero principiante desea construir una mesa. Para comenzar confecciona una base y cuatro patas.
A medida que avanza se da cuenta que la mesa cojea demasiado y al intentar arreglar las patas muchas
veces, decide realizar una mesa con tan solo tres patas. ¿Cómo podrías explicar tú que una mesa de tres
patas no cojee?
7. ¿Cómo podrías construir tu propio compás artesanal?
8. Pac–Man, el famoso personaje de videojuegos, fue inspirado en una pizza con un trozo faltante. Este trozo
faltante representa su boca, la que es aproximadamente un sexto de la “pizza”. ¿Cuánto mide, en grados,
la apertura de su boca aproximadamente?
3.2 | Congruencia
A grandes rasgos, se dirá que dos figuras son congruentes si, al super-
ponerlas, encajan perfectamente.
Objetivo PSU
Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio
de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y
demostrar propiedades.
Definición. Dos figuras geométricas se consideran congruentes (=)∼ si y

solo si tienen la misma forma y tamaño. Se dice que dos polígonos tienen
igual forma y tamaño si los ángulos y lados de uno son congruentes con
los del otro. En la siguiente figura,
geometría 171
C F
γ γ
α β α β
A B D E
se verifica que
∼ DE, BC =
AB = ∼ EF , CA =
∼ FD y
∼ ]F ED, ]ACB =
]CBA = ∼ ]DF E, ]BAC =
∼ ]EDF ,
por lo tanto
∼ ∆DEF
∆ABC =
.
3.2.1 Criterios de congruencia de triángulos C F

Para determinar la congruencia de dos triángulos no es necesario
determinar la congruencia de todos los ángulos y todos los lados, sino
que es suficiente con menos información. Los criterios de congruencia ◦ ◦
corresponden a la información mínima que se debe saber para poder
concluir que dos triángulos son congruentes.
|α |α
Criterio Lado–Lado–Lado A B D E
Figura 3.16: Criterio Lado–Ángulo–
Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, Lado.
entonces los triángulos son congruentes. En la figura 3.18, los triángulos
ABC y DEF son congruentes porque AB = ∼ DE, BC = ∼ EF y CA = ∼ C F
F D.
Criterio Lado–Ángulo–Lado α β α β
A B D E
Si dos triángulos tienen dos lados de uno respectivamente congruentes Figura 3.17: Criterio Ángulo–Lado–
con dos del otro y el par de ángulos comprendidos entre esos lados son Ángulo.
también congruentes, entonces los trángulos son congruentes. En la Figura
3.16, los triángulos ABC y DEF son congruentes porque AB = ∼ DE, C F
BC = ∼ EF y ]CBA = ∼ ]F ED.
Criterio Ángulo–Lado–Ángulo A B D E
Figura 3.18: Criterio Lado–Lado–Lado.
Si dos trángulos tienen dos ángulos de uno respectivamente congruentes
con dos del otro y el par de lados comprendidos entre esos ángulos son
también congruentes, entonces los triángulos son congruentes. En la figura
3.17, los triángulos ABC y DEF son congruentes porque ]BAC = ∼
∼
]EDF , ]CBA = ]F ED y AB = DE. ∼
Criterio Lado–Lado–Ángulo mayor
Si dos triángulos tienen dos lados de uno respectivamente congruentes

con los del otro y el ángulo que se opone al lado mayor de uno también
C F es congruente con el ánglo que se opone al lado mayor del otro, entonces
los triángulos son congruentes. En la figura 3.19, los triángulos ABC y
DEF son congruentes porque BC = ∼ EF , CA = ∼ F D, ]BAC = ∼ ]EDF
α α y BC > CA.
A B D E
Figura 3.19: Criterio Lado–Lado–
Ángulo mayor. 3.2.2 Propiedades de las figuras planas
Los criterios de congruencia de triángulos permiten deducir muchas
C propiedades de las figuras planas, las cuales se verán a continuación.
Propiedades de los triángulos

= =
1. En un triángulo isósceles los “ángulos basales” son congruen-
tes. El teorema recíproco también es válido.
A B Demostración (teorema directo):

Figura 3.20: Triángulo ABC isósceles.
Sea un triángulo ABC isósceles, tal que CA =∼ BC, como se observa
∼ ]CBA.
en la Figura 3.20. Se quiere demostrar que ]BAC =
C
Se prolongan los lados CA y CB hasta los puntos A0 y B 0 , respectiva-
mente, de modo que CA0 = ∼ CB 0 , lo que implica que AA0 =
∼ BB 0 (ver
= = Figura 3.21).
Se trazan los segmentos A0 B y B 0 A. Al observar los triángulos A0 BC

A B y B 0 AC se nota que
∼ CB 0
CA0 =
CA =∼ CB
A0 B0 ∼ ]ACB 0
]A0 CB =
Figura 3.21: Propiedad 1.
por lo tanto, por criterio Lado–Ángulo–Lado
∼ ∆B 0 CA.
∆A0 CB =
∼ ]CB 0 A, que A0 B =
Este último resultado implica que ]BA0 C = ∼ B0A
0 ∼
y que ]B AC = ]CBA . 0
Ahora, se observan los triángulos BAA0 y ABB 0 . Se nota que
AA0 =∼ BB 0
∼ B0A
A0 B =
∼ ]AB 0 B
]AA0 B =
geometría 173
por lo tanto, por segundo teorema de congruencia,
∼ ∆ABB 0
∆BAA0 =
∼ ]ABB 0 y que ]B 0 AB =
lo que implica que ]A0 AB = ∼ ]ABA0 .
Finalmente, se observa que
]BAC + ]B 0 AB = ]CBA + ]ABA0 (3.1)

0 0 0 0 0 0
]A AB + ]B AB = ]A BB + ]ABA (3.2)
Restando (3.1) con (3.2) se obtiene:
]BAC − ]A0 AB 0 = ]CBA − ]A0 BB 0 ,
de lo que se concluye
∼ ]CBA,
]BAC =
lo que demuestra el teorema.
2. En un triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo

exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores no
adyacentes.
Demostración:
Sea el triángulo ABC con los ángulos como se observa en la Figura

3.22. Se prolonga el lado AB y sea β 0 el ángulo exterior a β, se quiere
demostrar que β 0 > γ y β 0 > α. C A′
γ
β0 > γ
M
Primero se construye el punto medio del segmento BC, se une el
γ
punto A con M y se prolonga el segmento hasta A0 de manera α β β′
que AM = ∼ M A0 . Se une el punto A0 con B, como se observa en la A B
Figura 3.23. Figura 3.22: Propiedad 2.
Se tiene que
∼ M A0
AM =
∼ MB
CM =
∼ ]BM A0
]CM A =
por lo tanto ∆AM C = ∼ ∆A0 M B, lo que implica que ]A0 BM = γ

y con ello que γ < β .
0
β0 > α
C
Primero se construye el punto medio del segmento AB, M 0 . Luego,
γ
se construye el segmento CM 0 y se prolonga hasta C 0 de tal manera
D ∼ M 0 C 0 , como se oberva en la Figura 3.23.
que CM 0 =
β′
α M′ β α
E
Se tiene que
A α B
∼ M C0
CM 0 =
∼ M 0B
AM 0 =
∼ ]C 0 M 0 B
]CM 0 A =
′
C
∼ ∆BM 0 C, lo que implica que ]M 0 BC 0 = α.
por lo tanto, ∆AM 0 C =
Luego, se prolonga C 0 B hasta D y se observa que ]EBD = α por

C
ser opuestos por el vértice. Finalmente se obtiene que α < β 0 .
γ
γ′
3. En un triángulo, el lado mayor se opone al ángulo mayor y
viceversa.
α γ′ β Demostración:
A C′ D
Figura 3.24: Propiedad 3. Dado un triángulo ABC, se copia el segmento AC en AB, de donde
se obtiene que AC =∼ AC 0 . Por lo tanto el triángulo CAC 0 es isósceles
C′ (ver Figura 3.24).
Entonces, ]ACC 0 = ∼ ]CC 0 A = γ 0 < γ. Además, γ 0 > β, porque γ 0 es

a
ángulo exterior del triángulo CC 0 B. Por transitividad γ > β.
C 4. En un triángulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor
que el otro lado.
b a
Demostración:
A c B ∼ CB, como se observa
Se prolonga AC hasta C 0 de manera que CC 0 =
en la Figura 3.25. Se tiene que el triángulo BCC 0 es isósceles, por lo
∼ ]C 0 BC7 y por consiguente ]CC 0 B < C 0 BA. Por la
tanto ]CC 0 B =
l
m proposicióon anterior, se obtiene que AC 0 > AB lo que implica que
a + b > c.
B
1
La demostración es análoga para los demás lados.
5. Si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas án-
gulos alternos internos congruentes, entonces las rectas son
2
n paralelas.
C A
Demostración (por contradicción):
Supóngase que m y n no son paralelas, por lo tanto se intersectan
en un punto, en este caso C, como se observa en la Figura 3.26. Se
geometría 175
observa que el ]CBA es interior del triángulo ABC y ]2 es exterior

del triángulo ABC, por lo tanto se obtiene que ]2 > ]1, lo que
contradice la hipótesis.
Ejercitación:
9. Demuestra que si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas ángulos alternos externos congruentes,
entonces las rectas son paralelas.
10. Demuestra que si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas ángulos correspondientes congruentes,
entonces las rectas son paralelas.
11. Demuestra que si una recta que atraviesa a otras dos forma con ellas ángulos internos del mismo lado de
la transversal que sumados son 180◦ , entonces las rectas son paralelas.
6. Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas
l
ángulos alternos internos congruentes.
Demostración (por contradicción):

n
α γ
Supóngase que α β, entonces se verifica α < β o α > β. Sin perder
generalidad, supóngase que α > β (ver Figura 3.27). Entonces, en la β
m
siguiente desigualdad
α>β
si sumamos γ se obtiene
α + γ > β + γ.
Considérese además que α + γ = 180◦ , se obtiene finalmente que
180◦ > β + γ
lo que implica que las rectas m y n se cortan, lo que constituye una

contradicción.
Ejercitación:
12. Demuestra las siguientes proposiciones:
a) Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas ángulos alternos externos congruentes.
b) Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas ángulos correspondientes congruentes.
c) Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con ellas ángulos internos del mismo lado de ellas
que suman 180◦ .
7. En un triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo

externo formado es igual a la suma de los dos ángulos inte-
riores no adyacentes. Además, los tres ángulos interiores de
un triángulo suman dos rectos.
Demostración:
C
γ Dado un triángulo ABC, como el de la Figura 3.28, se quiere demostrar
que:
β′
α β
A B β0 = α + γ
Figura 3.28: Propiedad 7. α + β + γ = 2 rectos.
Se traza una paralela a m por el punto C, como muestra la Figura

β′
β l 3.29. Por propiedades de las rectas paralelas, α, β y β 0 se ubican en
α C
γ n. Luego, es claro que α + β + γ = 2 rectos por estar sobre la misma
recta y, además α + γ = β 0 por ser opuestos por el vértice.
β′ m
α β
Además de estas propiedades de los triángulos, se verfican otras relati-
A B
vas a los elementos secundarios: bisectriz, altura, simetral y trans-
n
versal de gravedad. A continuación se definen:
Definición. La bisectriz de un ángulo es la recta que lo dimidia. En la
siguiente figura se observa la bisectriz de un ángulo en un triángulo:
Figura 3.30: AD es altura del triángulo

acutángulo ABC.
Definición. La altura de un triángulo es la perpendicular que baja desde

un vértice hacia el lado opuesto. Nótese que una altura no necesariamente
pasa por dentro del triángulo. En la Figura 3.30 se observa una altura
de un triángulo acutángulo, la cual queda dentro; en la Figura 3.31 se
A B
observan dos alturas en un triángulo rectángulo, las cuales coinciden con
Figura 3.31: AB y AC son alturas del
triángulo rectángulo ABC. lados de este; y en la Figura 3.32 se observa una altura de un triángulo
obtusángulo, la cual queda fuera de este y corta a la prolongación del
C
lado opuesto.
Definición. La transversal de gravedad de un triángulo es la recta

A B que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. En la siguiente
D
Figura 3.32: CD es altura del triángulo

figura se observa una transversal de gravedad en un triángulo.
obtusángulo ABC.
A B
geometría 177
Definición. La simetral de un segmento es la recta que perpendicular

que pasa por el punto medio de este. En la siguiente figura se observa la
simetral de un segmmento que corresponde al lado de un triángulo.
Otra recta notable que tiene propiedades especiales en el triángulo es la

mediana. Se le llama mediana al segmento que une dos puntos medios
de los lados de un triángulo. En la Figura 3.33 se observa la mediana de
un triángulo.
Con estas definiciones, se trabajarán nuevas propiedades:
8. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidista de los lados de un ángulo.
Para demostrar esto es necesario probar dos cosas:

C
1) La bisectriz de un ángulo equidista de los lados de un ángulo.
M
2) Si un punto cualquiera equidista de los lados de un ángulo,
entonces está en la bisectriz de dicho ángulo. A N B
Demostración 1): Figura 3.33: M N es mediana del trián-

gulo ABC.
Sea el ángulo ]ABC y sea BD la bisectriz de dicho ángulo, luego se
cumple que ]ABD = ∼ ]DBC. Trazamos las perpendiculares desde D
A
a ambos lados del ángulo; lo que se quiere demostrar es que dichos
segmentos son congruentes, ya que estos representan la distancia de
0
A
un punto de la bisectriz a los lados del ángulo. En la Figura 3.34 , lo

que se quiere probar es DA0 = ∼ DC 0 . D
B
En los triángulos A0 BD y DBC 0 los ángulos ]A0 DB y ]BDC 0 son C0

congruentes, ya que ambos triángulos tienen los otros dos ángulos res- C
Figura 3.34: Propiedad 8, parte 1).
pectivamente congruentes. Luego, por criterio Ángulo–Lado–Ángulo,
∆A0 BD =∼ ∆C 0 BD. Luego, DA0 = ∼ DC 0 .
Demostración 2):
Sea el ángulo ABC de la Figura 3.35 y sea D un punto tal que

DA0 =∼ DB 0 y perpendiculares a los respectivos lados como se observa
en la misma figura. Por criterio Lado–Lado–Ángulo mayor se tiene
que ∆A0 BD =∼ ∆C 0 BD, por lo tanto ]DBA0 = ∼ ]CBD0 , de lo que se Figura 3.35: Propiedad 8, parte 2).
concluye que BD es bisectriz del ángulo ABC.
9. En un triángulo, las tres bisectrices concurren en un punto.
Sea el triángulo ABC de la Figura 3.36, sea AD la bisectriz del ]BAC

y CE la bisectriz del ]ACB; ambas bisectrices se intersectan en I. Se
traza la recta por B e I que intersecta a CA en F .
Como AD es bisectriz del ]BAC, entonces I equidista de los lados

CA y AB, luego IF 0 = ∼ IE 0 , como se observa en la Figura 3.37. Bajo
el mismo razonamiento se concluye que ID0 = ∼ IF 0 . Finalmente se
concluye que ID0 = ∼ IE 0 y por lo tanto el punto D equidista de los
lados del ]CBA, lo que implica que BF es bisectriz del ]CBA. Luego,
las tres bisectrices son concurrentes.
Observación: Nótese que los puntos D0 , E 0 y F 0 del triángulo ABC

equidistan del punto de I. Por lo tanto, se puede observar que los tres
pertenecen a una circunferencia con centro en I, como se observa en la
Figura 3.38. Dicha circunferencia está inscrita en el triángulo y es por
esta razón que el punto I recibe el nombre de incentro del triángulo.
10. La simetral es el lugar geométrico de los puntos del plano

que equidista de los extremos de un segmento.
Para demostrar esto, es necesario probar dos cosas:

1) La simetral de un segmento equidista de los extremos de este.
2) Si un punto equidista de los extremos de un segmento, en-
Figura 3.38: Propiedad 9. tonces dicho punto está en la simetral del segmento.
C Demostración 1):
←−→
Dado un segmento AB, sea CM la simetral de AB; luego, M es
punto medio de AB y CM ⊥ AB, como se observa en la Figura 3.39.
∼ CB. Esto es evidente ya que
Lo que se quiere probar es que CA =
A M B ∆CAM = ∼ ∆CBM por criterio Lado–Ángulo–Lado.
Demostración 2) (por contradicción):
C
Sea el segmento AB de la Figura 3.40 y sea C un punto tal que AC =∼

CB. Supóngase que C no está en la simetral de AB y sea el punto C 0
en la simetral de AB, como se observa en la Figura 3.41. Entonces
A B ∼ C 0 By como ∆AC 0 B es isósceles, entonces ]BAC 0 =
C 0A = ∼ ]C 0 BA,
y como ∆ABC es isósceles, entonces ]BAC = ∼ ]CBA. Dadas las
medidas angulares de la Figura 3.8, se concluye que
α=β
α<β
Figura 3.41: Propiedad 10, parte 2). lo que constituye una contradicción.
geometría 179
11. En un triángulo, las tres simetrales concurren en un punto.
Demostración:
←−→ ←→
Sea el triángulo ABC de la Figura 3.42 y sean M G y N G las simetrales
←−→
de los lados CA y AB, respectivamente. Como M G simetral de AC,
se tiene que GC = ∼ GA. Análogamente se concluye que GA = ∼ GB.
Ahora, sea GP una perpendicular a BC, como GC = ∼ GB, se prueba
←→
que GP es la simetral de BC y por tanto se tiene que las simetrales
concurren en G.
Observación: Nótese que los vértices A, B y C del triángulo equidis-

tan del punto G. Luego, los tres pertenecen a una circunferencia de
centro G que esta circunscrita al triángulo ABC, como se observa en la
Figura 3.43, de aquí que el punto G reciba el nombre de circuncentro
del triángulo.
Desafío:
13. Busca y comprende una demostración de la proposición: “en un triángulo, las alturas son concurrentes”.
El punto de concurrencia de las alturas se denomina ortocentro del triángulo, y puede estar dentro del
triángulo, en caso de que el triángulo sea acutángulo; fuera del triángulo, en caso de que el triángulo sea
obtusángulo; o en un vértice del triángulo, en el caso de que el triángulo sea rectángulo.
14. Busca y comprende una demostración de la proposición: “en un triángulo, las transversales de gravedad
son concurrentes”. El punto de concurrencia de las transversales de gravedad se denomina centro de
gravedad y divide a cada transversal en la razón 2 : 1.
15. Busca y comprende una demostración para las siguientes proposiciones:

a) En un triángulo, una mediana es paralela al lado opuesto.
b) En un triángulo, una mediana mide la mitad del lado opuesto.
Ejercitación:
16. Resuelve los siguientes ejercicios:
a) Sea L1 k L2 . Determina la relación entre α y β en las siguientes figuras.
b) Si L1 k L2 , determina el valor de la incógnita en cada caso.

c) Encuentra la medida de x en la siguiente figura.
17. Utiliza las propiedades de los elementos secundarios del triángulo para resolver los siguientes ejercicios.
a) Si CD y BE son alturas del triángulo ABC, ¿cuál es el valor de β?
b) En la figura, A, B y C son tres puntos colineales y BE biseca al ángulo DBA en el triángulo ABD.
¿Cuál es el valor de γ y δ?
geometría 181
−−→
c) Si AD es bisectriz del ángulo CAB en el triángulo BAC, ¿cuál es el valor de γ, δ y ?
←→ −−→
d) En el triángulo ABC, EF es simetral del lado AB y BF es bisectriz del ángulo CBA. Calcula la
medida de todos los ángulos interiores del cuadrilátero EF BC.
e) Sea ∆ABC equilátero, CD es transversal de gravedad y DE es altura del ∆CDB. ¿Cuál es la medida
del ]EDC?
f) Sea el ∆ACB de la figura, isósceles de base AC. Si ]ABC = 40◦ , AD biseca al ]CAB y AC = CD,
¿cuál es la medida del ]DEB y ]DCE?
18. Demuestra que en un triángulo equilátero los elementos secundarios coinciden.
19. Demuestra que en un triángulo isósceles, los elementos secundarios a la base coinciden.
Propiedades de los cuadriláteros

E A B
α+β
α
β
∼ CD y además AB k CD,
1. Sea un cuadrilátero ABCD. Si AB =
∼
entonces AD = BC y AD k BC.
β
α
C D Demostración:
Figura 3.44: Propiedad 1
En primer lugar, se traza el segmento CB, como se observa en la
Figura 3.44. Se nota que
∼ CD
AB =
∼ BC
BC =
∼ ]ABC
]DCB =
∼ ∆DCB, lo que implica que AC =
por lo tanto, ∆ABC = ∼ BD.
Por otra parte, se tiene que ]EAC = ∼ ]ABD por la misma con-
gruencia anterior, y como además son correspondientes se tiene que
geometría 183
AC k BD.
2. En un paralelogramo, los ángulos opuestos (en diagonal) son Observación
congruentes y los ángulos consecutivos suman 180◦ . Se dice que un cuadriláte-

Demostración: ro es un paralelogramo
si tiene dos pares de lados
Sea ABCD un paralelogramos como se observa en la figura 3.45, respectivamente paralelos.
y sea AC una de sus diagonales. Como AB k CD, se tiene que
]DCA = ∼ ]BAC, ya que son alternos internos entre paralelas. De
∼ ]CAD. Luego, se obtiene
la misma forma se concluye que ]ACB =
que ]BAD = ∼ ]DCB.
Además, dado que AB k CD, los ángulos internos el mismo lado de

AD suman 180◦ , es decir, ]BAD + ]ADC = 180◦ .
3. En un paralelogramos las diagonales se dimidian. Figura 3.45: Propiedad 2
Demostración:
Sea el paralelogramos ABCD de la figura 3.46 y sean AC y BD sus
diagonales con punto de intersección en E. Dado que AB k CD, se
tiene que ]DBA = ∼ ]BDC y ]BAC = ∼ ]DCA. Luego, por criterio
Ángulo–Lado–Ángulo, ∆ABE = ∼ ∆CDE y por lo tanto AE =
∼ EC y
∼
BE = ED, lo que significa que E es punto medio de cada diagonal,
es decir, las diagonales se dimidian. Figura 3.46: Propiedad 3
Ejercitación:
20. Demuestre que si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, entonces el paralelogramo es un
rectángulo o un cuadrado.
21. Demuestra que las diagonales del rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos correspon-
dientes.
22. Demuestra que en un cuadrado las diagonales son bisectrices de los ángulos correspondientes.
23. Sea ABCD un cuadrado y ABP un triángulo equilátero. Demuestra que los triángulos AP D y BCP son
congruentes.
24. La imagen muestra una plataforma de un camión. Los soportes, nombrados como AB y CD se intersectan
en el punto medio. Demuestra que la plataforma del camión es paralela a la base de este.
25. El cuadrilátero ABCD es un rombo y E, F , G y H son los puntos medios de sus lados. El cuadrilátero
EF GH, ¿es un rectángulo?
−−→
26. Sea el cuadrilátero ABCD tal que AB = BC, CD = DA y DB es bisectriz de sus ángulos correspondientes,
entonces DB es perpendicular a AC y además se intersectan en el punto medio de AC. El cuadrilátero
descrito se llama deltoide y a la diagonal AC se le llama base del deltoide porque a partir de ella es
posible construirlo. ¿Cómo lo construirías?
27. Demuestra que en un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
Propiedades de la circunferencia
Objetivo PSU
Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia,
y relacionar las medidas de dichos ángulos.
Otra figura geométrica plana muy importante es la circunferencia. A

continuación se describen algunos elementos de ella:
Centro: punto del cual todos los puntos de la circunferencia equidistan.

En la figura, O.
Figura 3.47: Elementos de la circunfe-
rencia.
Radio(r ): segmento de recta que une un punto cualquiera de la
circunferencia en el centro O. En la figura, OB, entre otros.
geometría 185
Cuerda: segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

En la figura, HG.
Diámetro(d): cuerda que pasa por O. Su longitud es dos veces un

radio, d = 2r. En la figura, AF .
Recta tangente: recta que intersecta a una circunferencia en solo

un punto. En la figura, D es punto de tangencia de la recta tangente.
Recta secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

←→
En la figura, CE.
Arco: parte de la circunferencia limitada pos dos partes de ella. En

_ _
la figura, IJ, entre otros. El arco IJ comienza en I y termina en J y
se lee en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Utilizando la herramienta de la congruencia de triángulos es posible Observación

demostrar algunas propiedades de los ángulos en la circunferencia.
Se puede expresar la me-
dida de un arco de circun-
Ángulo inscrito ferencia, según la medida
del ángulo que tiene como vérti-
Definición. Un ángulo inscrito es aquel que tiene el vértice en la ce al centro de la circunferencia
circunferencia, y los rayos que lo forman son cuerdas de la circunferencia. que lo contiene.
Teorema. En una circunferencia, el ángulo inscrito mide la mitad del

ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
Demostración:
Caso 1. El centro de la circunferencia queda dentro de la región
angular. Considérese la circunferencia de la Figura 3.48. Se traza un
diámetro CD; con ello OA = OC = OB, por lo que los triángulos AOC y
BOC son isósceles de base AC y BC, respectivamente (ver Figura 3.49).
Por lo tanto,
]OAC = ∼ ]ACO = α Figura 3.48: Circunferencia caso 1.
∼ ]CBO = β.
]OCB =
En el tríangulo AOC, ]AOD es exterior a ]COA. Por lo tanto
]AOD = 2α,
por la misma razón
]DOB = 2β.
Entonces,
Figura 3.49: Circunferencia caso 1.
]ACB = α + β
]AOB = 2α + 2β
]AOB = 2 · ]ACB
]AOB
= ]ACB.
2
Caso 2. El centro de la circunferencia queda fuera de la región angular.

Considérese la circunferencia de la Figura 3.50. Se traza el radio OC,
por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC
respectivamente (ver Figura 3.51). Si se llama β a la medida del ángulo
ACB y se llama α a la medida del ángulo CAO, se tiene que
∼ ]OCA = α
]CAO =
∼ ]CBO = α + β.
]OCB =
Figura 3.50: Circunferencia caso 2.
En el triángulo DBC, ]ADB es exterior a ]BDC. Por lo tanto,
]ADB = β + α + β = 2β + α.
En el triángulo ADO, ]ADB es exterior a ]ODA. Por lo tanto,
]ADB = ]AOD + ]DAO
2β + α = ]AOD + α
2β = ]AOD
]AOB
β=
2
]AOB
Figura 3.51: Circunferencia caso 2. ]ACB = .
2
Ejercitación:
28. En el caso anterior, falta considerar el caso en que uno de los rayos del ángulo inscrito coincide con
el diámetro de la circunferencia, como muestra la Figura 3.52. Demuestra que en este caso también se
verifica el teorema.
A partir de este teorema se pueden establecer los siguientes corolarios:
Un triángulo inscrito en una semi circunferencia es siempre rectángulo.
Ángulos inscritos que subtienden arcos iguales son congruentes entre

sí.
Figura 3.52: Circunferencia ejercicio 28. En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus ángulos opues-
tos son suplementarios.
Ejercitación:
29. Demuestra los tres corolarios anteriores.
geometría 187
Ángulo semi inscrito
Definición. Un ángulo semi inscrito es aquel cuyo vértice se encuentra

en la circunferencia, uno de sus rayos es cuerda de la circunferencia y el
otro es una tangente a esta.
Teorema. En una circunferencia, la medida del ángulo semi inscrito es

igual a la mitad de la medida del ángulo del centro que subtiende al
mismo arco.
Figura 3.53: Circunferencia ejercicio 30.
Ejercitación:
30. Considera el ángulo semi inscrito β de la Figura 3.53. Responde:
a) Si el arco AB mide α, expresa la medida del ángulo semi inscrito β en función de α (utiliza la figura y
considera que OA y OB son radios).
b) Si α = 30◦ , ¿cuánto mide β?
c) Si β = 45◦ , ¿cuánto mide α?
d) Si β = 60◦ , ¿cuánto mide el arco AB?
Ángulo interior
Definición. Un ángulo interior de una circunferencia es aquel que

tiene su vértice en alguna región del círculo, y las rectas que lo forman
son cuerdas de la circunferencia.
Teorema. En una circunferencia, un ángulo interior mide la semi suma

de los arcos que lo subtienden. Figura 3.54: Circunferencia ejercicio 31.
Ejercitación:
31. Considera la circunferencia de la Figura 3.54. Responde:
a) Se tiene que α = β + γ por ser ángulo exterior al triángulo AEB, expresa la medida de α en función
de los arcos DA y BC.
b) Si el arco DA mide 20◦ , y el arco BC mide 10◦ , ¿cuánto mide el ángulo α?
c) Si α = 60◦ y el arco DA mide 15◦ , ¿cuánto mide el arco BC?
Ángulo exterior
Definición. Un ángulo exterior de una circunferencia, es aquel cuyo

vértice está fuera de la región circular y que tiene por lados a rectas
secantes o tangentes.
Teorema. El ángulo exterior en una circunferencia es igual a la semi

Figura 3.55: Circunferencia ejercicio 32.
diferencia de los ángulos que lo subtienden.
Ejercitación:
32. Considera el ángulo α de la Figura 3.55. Responde:
a) Expresa la medida del ángulo β en función de la medida del arco BC y el ángulo γ en función de la
medida del arco DA.
b) Considerando que γ = α + β, por ser ángulo exterior del triángulo AEC, expresa el valor de α en
función de los arcos DA y BC.
c) Si el arco DA mide 100◦ y el arco BC mide 30◦ , ¿Cuánto mide el ángulo α?
d) Si el ángulo α mide 70◦ y el arco BC mide 50◦ , ¿Cuánto mide el arco DA?
e) ¿Qué puedes concluir?
3.3 | Área y perímetro de fi-

guras planas
Problema: Nelson y Aldo luego de mudarse a su casa nueva se proponen enlozar el piso del dormitorio y
la cocina. Luego de realizar mediciones, dibujan los siguientes esquemas de cada uno de los cuartos y el
tamaño de una pieza de loza.
6
Dormitorio 6
Cocina
5 5
4 4 Pieza de loza
Lavamanos
1
3 3
Cocina
0
2 2 0 1 mts.
1 1
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 mts. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mts.
¿Cuántas piezas de loza necesita el dormitorio? ¿Y la cocina?
¿Existe diferencia? ¿Por qué?
Luego de tomar las mediciones necesarias, Nelson recuerda que también deben instalar guardapolvo en los
bordes de cada cuarto.
¿Cuántos metros de guardapolvo deben comprar para cada cuarto?
¿Existe diferencia? ¿Por qué?
¿Te sorprende el resultado? Comente al respecto.

geometría 189
En la actividad anterior se pueden reconocer dos conceptos: el de

área que corresponde a la región encerrada por una figura plana y el de
perímetro que se refiere a la longitud del contorno de la misma.
Antes de ver al cálculo mismo de perímetros y áreas, se analizarán las

siguientes propiedades interesantes:
1. Los paralelogramos que están sobre la misma base y entre

las mismas paralelas son equivalentes en área.
Demostración:
Caso 1. Se tiene que ABCD y ABEF son paralelogramos, como en

∼ CE ya que DC =
la Figura 3.56. Se observa que DF = ∼ F E y F C es
D C F E
pedazo compartido. Por lo tanto, por criterio de congruencia se tiene

que ∆AF D = ∼ ∆BEC. De aquí se obtiene que ABCD es equivalente
I H III
a ABEF porque III+I=I+II, porque II=II. II

A B
Caso 2. Se tiene que ABCD y ABEF son paralelogramos, como en Figura 3.56: Propiedad 1, caso 1.
∼ DC.
la Figura 3.57. Dado que ABCD es un paralelogramo, AB =
Además, AB = ∼ EF por ser ABEF paralelogramos. Por lo tanto, D F C E
∼
DC = EF .
III II
I
Por tanto se tiene que DE + CF = CF + EF , entonces DF = ∼
CE. Además, DA = ∼ CB y AF =∼ BE, por lo tanto, por criterio de
A B
∼
congruencia, ∆AF D = ∆BEC y esto implica que I=III y por lo tanto Figura 3.57: Propiedad 1, caso 2.
el paralelogramo ABCD es equivalente a ABEF .
Ejercitación:
33. Demuestra que en un paralelogramo, la diagonal biseca las áreas.
2. Los triángulos que están sobre la misma base y entre las

mismas paralelas son equivalentes en área. C F E D
l1
Demostración:
Sean l1 y l2 dos rectas paralelas y los triángulos ABC y ABD entre l2

A B
ellas, como se observa en la figura 3.58. Se trazan la paralela a AC por
B y la paralela a BD por A, formándose los paralelogramos ABF C y
ABDE, los que son equivalentes en área por la proposición anterior.
Además, cada triángulo tiene la mitad del área del paralelogramo en
el que está contenido, de lo que se concluye que los triángulos ABC y
ABD son equivalentes en área.
3. Teorema de Pitágoras. En triángulos rectángulos el cuadrado

sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de
los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto.
Demostración:
Primero, se traza desde el vértice C la perpendicular a AB. El problema

se reduce a demostrar que el cuadrado ACDE es equivalente en área
al rectángulo M QP A. Se trazan los segmentos EB y CM y se forma
los triángulos BEA y M CA, como se observa en la Figura 3.59. Se
observa que
G
∼ CA
EA =
∼ AM
AB =
D F
∼ ]M AC
]BAE =
R2
C
R1 ∼ ∆M AC, por criterio Lado–
por lo tanto, se concluye que ∆BEA =
E
Ángulo–Lado.
A B
P
Además, se observa que ∆BEA es la mitad del cuadrado ACDE y el
∆M CA es la mitad del rectángulo M QP A, y como son congruentes,
R3 el cuadrado ACDE es equvalente al rectángulo M QP A.
Análogamente se puede determinar que el cuadrado BF GC es equiva-

M Q N
lente al rectángulo QN BP , por lo tanto se obtiene que R1 + R2 = R3 .
Figura 3.59: Teorema de Pitágoras.
3.3.1 Área y perímetro de polígonos
Perímetro
El perímetro de cualquier polígono se calcula sumando las medidas de

todos los lados de este.
Área de paralelogramos y triángulos
Con las propiedades anteriores, es posible observar algunas cosas muy

importantes. Primero, el área de un paralelogramo depende únicamente
de la base y la altura de este. Utilizando el concepto de área introducido,
es posible comprender que por ejemplo para un rectángulo de lados b y
Observación h, el área estará dada por:
Con estas expresiones, es
posible expresar la rela-
A = b · h.
ción que enuncia el Teore-
ma de Pitágoras de la siguiente Además, como también ya se vió todo paralelogramo que tenga la misma
manera:
base y la misma altura tienen la misma área, lo que significa que la expre-
Dado un triángulo rectángulo sión anterior es válida para cualquier paralelogramo: rombo, romboide,
de catetos a y b e hipotenusa c,
se verifica que: cuadrado y rectángulo.
a2 + b2 = c2 . Por otro lado, es posible concluir que el área de un triángulo también
depende únicamente de su base y de su altura. Además, esta área corres-
ponde a la mitad del área de un paralelogramo con la misma base y la
geometría 191
misma altura. Por lo tanto, para cualquier triángulo de base b y altura

h, el área está dada por:
b·h
A= .
2
Ejercitación:
34. Demuestra que el área de un rombo también se puede calcular como el producto de sus diagonales dividido
en dos.
Área de trapecios y trapezoides
Trapecio
Sea el trapecio ABCD, de bases a y c, lados no paralelos b y d y

altura h. El área A está dada por la expresión
Observación
(a + c) Muchas veces, cuando se

A= · h.
2 pide calcular el área o el
perímetro de figuras geo-
Deltoide métricas irregulares, es útil des-
componerla en figuras conoci-
das, como triángulos o cuadri-
Sea el deltoide ABCD, de diagonales d1 y d2 . El área A está dada
láteros.
por la expresión
(d1 · d2 )
A= .
2
Ejercitación:
35. Demuestra las expresiones para el cálculo de las áreas de un trapecio y un deltoide.
3.3.2 Área y perímetro de un círculo

Dado un círculo de radio r, la expresión que permite calcular el área
es
A = πr2 ,
y la expresión para calcular el perímetro es
P = 2πr.
Ejercitación:
36. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras:
37. El perímetro de un rectángulo de largo 6 cm y ancho 4cm y el de un romboide de base 6 cm y altura 4

cm son iguales. ¿Ocurre lo mismo para sus áreas? Justifica.
38. Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura:
39. Calcula el área de un hexágono regular de lado 4 cm.
40. Calcula el perímetro y el área de la figura achurada en cada caso.

_ _
a) En la primera figura, DA y CA son semicircunferencia de centro C y B, respectivamente. Además,
AD = 10 cm.
_ _ _
b) En la segunda figura, DA, DC y AC son semicircunferencias de centros C, E y B, respectivamente.
Además, AE = 8 cm.
3.4 | Semejanza
En la matemática, el concepto de proporcionalidad es muy impor-
tante para estudiar y trabajar muchos contenidos. El área de la geometría
que estudia las relaciones de proporcionalidad entre las figuras en el plano
es la geometría proporcional. En esta guía se aplica este concepto
directamente en figuras geométricas, en particular, en los triángulos.
geometría 193
Objetivo PSU
Comprender conceptos, propiedades, identificar invariantes y
criterios asociados al estudio de la semejanza de figuras planas
y sus aplicaciones a los modelos a escala.
3.4.1 Semejanza de figuras planas

Definición. Se dice que dos figuras planas son semejantes (∼) si tie-
nen la misma forma, (por lo tanto, si sus ángulos son respectivamente
congruentes) y cada par de lados correspondientes (llamados homólo-
gos) son proporcionales. La razón entre la medida de un par de lados
correspondientes se llama razón de semejanza (r ).
Por ejemplo, considerando la Figura 3.60 se cumple que:
∼ ]QP T
]BAE = ∼ ]RQP
]CBA = ∼ ]SRQ
]DCB =
Figura 3.60: figuras semejantes.
∼ ]T SR
]EDC = ∼ ]P T S
]AED =
AB BC CD DE
= = = = r,
PQ QR RS ST
siendo r un número real, distinto de cero.
De esta forma, se concluye que las figuras son semejantes, lo que se

escribe como ABCDE ∼ P QRST , lo que además indica el orden de los
vértices correspondientes u homólogos.
AB
Obsérvese que, en este caso, AB > P Q, por lo que = r es un
PQ Observación
número real mayor que 1. Según sus valores, se puede decir que:
Si dos figuras son seme-
jantes, con razón de seme-
Si r > 1, ABCDE es una ampliación de P QRST . janza r, se cumple que:
Sus perímetros están en la
Si r < 1, ABCDE es una reducción de P QRST . razón r.
Sus áreas están en la razón
r2 .
Si r = 1, ABCDE es congruente con P QRST .
Ejercitación:
41. Define con tus palabras el concepto de semejanza de figuras planas.
42. Dibuja 2 cuadriláteros semejantes.
43. Calcula la razón de semejanza en cada caso, la razón entre los perímetros y la razón entre las áreas.
a) Trapecios rectángulos semejantes.
b) Rombos semejantes en los cuales AD = 9 m y C 0 D0 = 6 m.
44. Dos triángulos semejantes ∆ABC y ∆DEF tienen una razón de semejanza r = 2. Si AB es homólogo a
DE, donde AB = 4 m y DE = 2, responde:
a) El triángulo DEF , ¿es una ampliación o reducción de ABC? ¿Por qué?
b) ¿Se puede determinar la medida de los demás lados de los triángulos? Justifica.
3.4.2 Escala
Una importante aplicación de la semejanza son las figuras a escala,
que se utiliza en la confección de mapas y planos.
Ejemplo: El siguiente mapa muestra el sector del Barrio Bellavista, ubicado en las comunas de Recoleta y
Providencia en Santiago, en el se observan algunas de sus calles y lugares de interés turísticos.
Se analiza la escala del mapa, en este caso, 1 : 7.000. Esto significa que cada centímetro del mapa representa
geometría 195
7.000 centímetros de la realidad (0,07 kilómetros). ¿Cuál es, en la realidad, la distancia en kilómetros entre
los puntos A y B, sabiendo que estos puntos en el mapa están a 6 cm?
Para calcularlo, se considera la distancia en centímetros entre estos lugares en el plano, y la multiplicación
por 0,07:
1 6
= ⇒ x = 6 · 0,07 = 0,42.
0,07 x
Por lo tanto, la distancia es de 0,42 km.
Ejercitación:
45. El modelo a escala de un vehículo mide 3,8 cm de largo y fue diseñado utilizando una escala de 1 : 100.
¿Cuál es la medida real?
46. La Torre Eiffel (París, Francia) tiene una altura aproximada de 325 m. Si se construye una maqueta de
esta estructura con una escala de 1 : 25, ¿cuál sería la altura?
47. Si en un mapa confeccionado con una escala de 1 : 5000 una ciudad dista 12 cm de otra, ¿cuál es la
distancia real (en metros) entre ambas ciudades?
3.4.3 Semejanza de triángulos

Al igual que ocurre con la congruencia, para afirmar que dos triángulos Usted no lo haga
son semejantes entre sí nos basta conocer la relación entre algunos de Los criterios de semejan-
sus elementos, que se pueden resumir en los criterios de semejanza de za son distintos que los
triángulos; se llama de esta manera, a un conjunto mínimo de condiciones criterios de congruencia,
¡no confundir!
tales que, si se cumplen, se tendrá la seguridad de que los triángulos son
semejantes. Estos criterios son:
Criterio ángulo - ángulo (AA).

Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos corres-
pondientes congruentes. En la Figura 3.61,

α= α0 
⇒ ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 .
β= β0 
Figura 3.61: Criterio AA.
Criterio lado - lado - lado (LLL).
Dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados correspon-
dientes proporcionales. En la Figura 3.62,
AB BC AC
0 0
= 0 0 = 0 0 ⇒ ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 .
AB BC AC
Figura 3.62: Criterio LLL.
Criterio lado - ángulo - lado (LAL).
Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspon-

dientes proporcionales y los ángulos comprendidos por dichos lados
congruentes. En la Figura 3.63,
AB AC 

=
A0 B 0 A0 C 0

⇒ ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 .
0

Figura 3.63: Criterio LAL. α=α 
Ejercitación:
48. En la figura, se tiene que ∆ABC ∼ ∆DEF . ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos?
49. En la figura, se tienen los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 . A partir de esto, responde:
a) Si α = α0 , ¿los triángulos son semejantes? Justi-

fica.
b) Si se sabe que α = α0 , ¿qué condiciones mínimas

deberían darse para determinar la semejanza?
c) ¿Hay alguna otra manera de determinar la seme-

janza de los triángulos?
50. Si el plano de un departamento está hecho utilizando una escala de 1 : 10, entonces si el ancho de la
cocina en el mapa es de 20 cm, ¿cuántos metros mide la cocina en la realidad?
51. Si el mapa de la ciudad está hecho utilizando una escala 1 : 1000 y la plaza de la ciudad es de 40 metros
de largo, ¿cuánto mide la plaza en el mapa?
52. En la figura, ∆ABC ∼ ∆EDF . ¿Cuál es el valor de k?

geometría 197
53. Los cuadriláteros ABCD y EF GH son semejantes. De acuerdo con lo anterior, ¿cuáles son las medidas
de los lados x, y y z?
3.4.4 Teorema de Thales y división interior de segmentos
Problema: Adrián y su amigo Jaime se encuentran en una montaña y la suben por distintas laderas para
realizar una exploración. Acordaron comunicarse al alcanzar los 500 metros de altura, como se muestra en la
figura:
Responde:
La altura CD de la montaña es de 750 metros. ¿Qué parte de esta altura han subido Adrián y Jaime?
La distancia AP que ha recorrido Jaime es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia P C que le falta por
recorrer? Explica cómo calcularlo.
La distancia BQ que ha recorrido Adrián es de 600 metros. ¿Cuál es la distancia QC que le falta por
recorrer? Explica cómo calcularlo.
Plantea una proporción que relacione las medidas AP , P C, BQ y QC.
Teorema particular de Thales.
Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al

tercer lado, esta determina sobre ellos segmentos proporcionales entre sí.
PQ PS
QS // RT ⇒ = .
QR ST
Además, ∆P QS ∼ ∆P RT por criterio AA, por lo que se verifica la
proporción:
PQ PS QS
= = .
PR PT RT
Teorema general de Thales.
Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más transversales,
determinan sobre ellas segmentos proporcionales.
FC GD
L1 // L2 // L3 ⇒ =
CA DB
Teorema recíproco de Thales.
Si tres o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos
transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.
Ejercitación:
54. Calcule el valor de x en cada figura.
a) RQ // ST , RQ = 9 cm, T S = x cm, QS = 2 cm, SP = 4 cm.
geometría 199
b) AB // CD // EF , AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm, DF = 4 cm.
55. Aplica el recíproco del teorema de Thales para determinar si en el siguiente caso las rectas por las que se
pregunta son paralelas: AC = 2x cm, CF = 3x cm, BD = 18k cm, BE = 45k cm. ¿AB // CD // EF ?

a) Antonia y su hermana Camila se encuentran a 50 cm de distancia una de otra y a cierta hora Antonia
genera una sombra de 120 cm. Si las sombras terminan en un mismo punto y se sabe que Camila mide
1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál es la altura aproximada de su hermana?
b) Tres árboles están alineados y ordenados de menor a mayor tamaño. El árbol de menor tamaño mide
90 cm de altura, el de mayor tamaño 3,6 m y la distancia entre ellos es de 4 metros. Si el árbol restante
equidista de los otros dos y además los tres árboles son paralelos, ¿cuál es la altura del árbol restante?
División interior de segmentos
Problema: Para construir una escalera un carpintero ubicará 6 escalones a lo largo de una viga que mide
1,7 metros, como se muestra en la figura. Para ello, debe dividir la viga en 7 partes iguales, lo que hace que
1,7
cada tramo deba medir = 0,2428571.
7
Hacerlo de esta manera siempre implica una inexactitud porque el período del número obtenido requiere
realizar infinitas veces la división y obtener siempre un resto. Una alternativa es hacerlo en forma geométrica,
como se puede ver en los siguientes pasos.
Paso 1. Sea AB el trazo que representa la viga que se va a dividir. Se construye el ángulo BAC, de la
medida que sea.
−→
Paso 2. Se ubica un punto P sobre el rayo AC. Con el compás, se toma la medida de AP y se copian 6
−→
veces consecutivas sobre el rayo AC.
−→
Paso 3. Al último punto marcado sobre el rayo AC se le llama Q. Se traza el segmento QB.
−→
Paso 4. Por cada uno de los puntos ubicados en el rayo AC se trazan rectas paralelas a QB. Se divide así
el segmento AB en siete partes iguales.
Paso 1. Paso 2. Paso 3. Paso 4.
Si se llama T , U , V , W , X e Y a los puntos obtenidos

se puede ver que: AT 1 AU 2 AV 3
= = =
TB 6 UB 5 VB 4
AW 4 AX 5 AY 6
= = =
WB 3 XB 2 YB 1
geometría 201
Para discutir
¿Por qué se puede asegurar que los 7 pedazos sobre el segmentos AB,
recién construidos, son iguales?
Definición. Se dice que un punto M divide interiormente a un

p
segmento AB en la razón si se cumple que:
q
AM p
= .
MB q
Ejercitación:
57. Utilizando el teorema de Thales, divide interiormente el segmento AB de la figura por el punto P en la
2
razón .
3
58. Sea AB un segmento de 48 cm, dividido interiormente por el punto P en la razón 3 : 5, la medida del
segmento P B es:
59. Si AB = 64, AP = 16 y P B = 48, entonces P B : AP es:
3.4.5 Teorema de Euclides
Problema: En la figura 3.64 se muestra un triángulo ABC rectángulo en C, en que se ha trazado una de
sus alturas.
α β
A D B
A partir de esto, responde:
¿Hay algún otro ángulo que mida α? Justifica.
¿Hay algún otro ángulo que mida β? Justifica.
¿Qué se puede afirmar con respecto a los triángulos ABC y CBD? Justifica.
¿Qué se puede afirmar con respecto a los triángulos ABC y ACD? Justifica.
C
Teorema de Euclides. Si en un triángulo rectángulo se traza la
altura desde el ángulo recto, entonces se cumple que:
a b
h
α β
A p D q B h2 = p · q a2 = p · c b2 = q · c,
c donde p y q son las proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa.
Figura 3.64: Esquema ejemplificador del
teorema de Euclides.
Ejercitación:
a2 p a·b
60. Demuestra el Teorema de Euclides y responde: ¿se cumplen también las relaciones 2
= yh= ?
b q c
61. Sea ABC un triángulo rectángulo en C, la medida de la altura h es:
A 2 P 8 B
62. Utilizando el teorema de Euclides demuestra el Teorema de Pitágoras y el Teorema recíproco de Pitágoras.
geometría 203
3.4.6 Proporcionalidad en la circunferencia
Problema: Al igual que con los ángulos en la circunferencia, existen relaciones entre las medidas de
los segmentos que determinan dos cuerdas o dos secantes que se intersectan entre sí. Para analizar estas
relaciones, considérense los siguientes casos:
Caso 1 Caso 2
En cada caso traza los segmentos AC y BD. ¿Qué relación existe entre los triángulos AP C y DP B?
Justifica.
Escribe la proporción entre los lados homólogos de ambos triángulos.
Relaciona las medidas de AP , BP , CP y DP a través de una multiplicación.
Se puede constatar que en ambos casos las cuerdas y las secantes se

intersectan determinando triángulos semejantes, por lo tanto, segmentos
correspondientes proporcionales. El resultado anterior se conoce, respecti-
vamente, como Teorema de las cuerdas para el caso 1 y Teorema de
las secantes para el caso 2. Es posible también relacionar una secante
y una tangente mediante el Teorema de la secante y la tangente.
Figura 3.65: Teorema de las cuerdas.
En la siguiente tabla se resumen los teoremas:
Teorema de las Teorema de las Teorema de la

cuerdas secantes tangente y la
secante
En la Figura 3.65, En la Figura 3.66, En la Figura 3.67,

Figura 3.66: Teorema de las secantes.
P A · P B = P D · P C. P D · P B = P C · P A. PA · PB = PT . 2
3.4.7 Homotecias
El radio de la Luna es de 1.737 kilómetros mientras que el radio del
Figura 3.67: Teorema de la tangente y
Sol es de 695.700 kilómetros, es decir, la Luna es mucho más pequeña que la secante.
el Sol. Sin embargo, cuando ocurre el fenómeno conocido como Eclipse

Solar total, desde la Tierra se ve que la Luna cubre completamente al
Sol, es decir, se ven como si fueran del mismo tamaño, o como se dice en
geometría, desde la Tierra son figuras homotéticas.
Definición. Una homotecia es una transformación geométrica que

permite construir una figura semejante a la original, con lados corres-
pondientes paralelos a esta. Dado un punto O y un número real k, con
k 6= 0, se define una homotecia de centro O y razón de homotecia k
como la transformación que hace corresponder un punto A en otro punto
OA0
A0 , tal que A, A0 y O son colineales y = k.
OA
En una homotecia de centro O y razón de homotecia k, se cumple que:
Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están

al mismo lado del centro.
Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están

en lados opuestos al centro.
Si 0 < |k| < 1, la figura homotética es una contracción de la figura

original. En caso contrario es una dilatación.
En la figura, se tiene el triángulo ABC y el punto O. El triángulo

1 se obtiene al aplicarle una homotecia al triángulo ABC con centro
O tal que k > 1. Para el triángulo 2, 0 < k < 1. Para el triángulo 3,
−1 < k < 0. Finalmente, para el triángulo 4, k < −1.
Ejercitación:
63. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Existe una homotecia de razón 1? Justifica.
b) Dadas dos figuras homotéticas, ¿cómo se puede determinar su centro de homotecia?
64. Determina en cada caso la razón de homotecia, asumiendo que una figura se obtiene de la otra a través
de una homotecia de centro O.
a) k =
geometría 205
b) k =

1
a) A un triángulo equilátero de perímetro 25 cm se le aplica una homotecia de razón . ¿Cuál es el
3
perímetro del nuevo triángulo?
b) A un cuadrado de lado 4 cm se le aplica una homotecia de razón 3. ¿Cuál es el área y perímetro del
nuevo cuadrado?
66. ¿Cuál es el área del cuadrado que se obtiene, al aplicarle una homotecia de constante 2 a un cuadrado de
lado 2?
3.5 | Geometría analítica

Hasta ahora, se ha estudiado la geometría euclidiana del plano, la cual
se ha dividido en dos secciones: geometría angular y métrica, y geometría
proporcional. Sin embargo, se sabe que no es el único sistema geométrico
que existe. En esta sección se comenzará a estudiar un nuevo sistema: la
geometría cartesiana, conocida también como geometría analítica.
La geometría cartesiana tiene su origen en la primera mitad del

siglo XVII, por el matemático, físico y filósofo René Descartes. El
fundamento de este sistema se basa en la utilización del álgebra para
resolver los problemas geométricos, utilizando como primicia fundamental
un sistema de coordenadas y la asignación de pares ordenados a
los puntos del plano.
Se debe entender que el surgimiento de la geometría analítica, se sitúa

en un contexto histórico que sirve de antesala al proceso de Ilustración.
Notables avances científicos y matemáticos se producen en esa época y
la geometría no es la excepción.
Durante esta sección se abordarán muchos problemas que ya se han

trabajado utilizando la geometría euclidiana, con la diferencia de que
esta vez se usará el sistema cartesiano para desarrollarlos y resolverlos.
Temáticas tales como paralelismo y perpendicularidad serán revisados
nuevamente, desde el punto de vista de la geometría de Descartes. A
medida que se avance durante este contenido, se notará que algunos
problemas bastante complicados de resolver “a la Euclides” se tornan
más simples bajo este nuevo contexto.
Objetivo PSU
Comprender la geometría cartesiana como un modelo para el
tratamiento algebraico de los elementos y relaciones entre figuras
Figura 3.68: Plano cartesiano. geométricas.
3.5.1 Conceptos iniciales
Sistema de coordenadas: el plano cartesiano
Tal como se dijo en la introducción, la base de este nuevo sistema

geométrico es la utilización de un sistema de coordenadas para asignar
Figura 3.69: Detalles del plano carte-
siano.
valores numéricos a los puntos ubicados sobre él. En honor a René
Descartes, el sistema de coordenadas que se va a definir recibe el nombre
de plano cartesiano.
Observación Definición. El plano cartesiano es un sistema de coordenadas puesto

sobre el plano euclidiano que está constituido por dos rectas de números
Un punto ubicado so-
reales, perpendiculares, que se intersectan en el cero de cada una de

bre el eje de las abs-

cisas, tiene coordenada ellas.
y = 0.
Un punto ubicado sobre el Las rectas que forman el plano cartesiano se hacen coincidir con una
eje de las ordenadas, tiene
coordenada x = 0. recta horizontal, y otra vertical. A la recta horizontal se le denomina
Un punto ubicado a la de- eje de las abscisas o eje x, mientras que a la recta vertical se le
recha del eje de las orde-
nadas, tiene la coordenada de
denomina eje de las ordenadas o eje y. A la intersección de los ejes
la abscisa con signo positivo, y se le denomina origen del plano cartesiano.
viceversa.
Un punto ubicado arriba Es importante notar que el plano cartesiano, tal como se ha definido,
del eje de las abscisas, tiene
la coordenada de la ordenada divide al plano euclidiano en cuatro sectores: los cuadrantes.
con signo positivo, y viceversa.
El par ordenado que repre- El primer cuadrante, está ubicado en la esquina superior derecha,
senta al punto de intersección el segundo en la esquina superior izquierda, el tercero en la esquina
de los ejes, es decir, al origen
del plano cartesiano, es (0, 0). inferior izquierda y el cuarto en la esquina inferior derecha. Los elementos
descritos se expresan en la Figura 3.69.
geometría 207
Pares ordenados
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda
determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto
(par ordenado). Mediante este procedimiento a todo punto del plano
corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada),
y recíprocamente, a un par ordenado de números le corresponde un único
punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una
correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los
puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados
de números.
Para representar un punto a través de un par ordenado, se considera
la distancia desde el punto al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.
Un punto P cuya proyección vertical corta al eje de las abscisas en el
punto (a, 0) y cuya proyección horizontal corta al eje de las ordenadas
en el punto (0, b), se denota por el par ordenado (ver Figura 3.70):
P = (a, b). Figura 3.70: Par (a, b).
Ejercitación:
67. Ubica los siguientes puntos en un plano cartesiano.
a) (−3, 4) b) (−1, −2) c) (3, 4) d) (5, −6) e) (0, 5) f) (−6, 0)
68. En un plano cartesiano ubica en el primer cuadrante cuatro puntos, de tal manera que al unirlos formen
un cuadrado. Explica por qué es un cuadrado.
Distancia entre dos puntos

Considérese un punto P1 (x1 , y1 ) y un punto P2 (x2 , y2 ), como se mues-
tra en la Figura 3.71. Para calcular la distancia entre P1 y P2 , se nota que
esta corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos
|x2 − x1 | e |y2 − y1 |.
Por lo tanto, utilizando el Teorema de Pitágoras y considerando que
|a|2= a2 se obtiene:
d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Figura 3.71: Distancia entre dos puntos.
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
p
d=
Ejercitación:
69. Calcula la distancia entre los siguientes puntos.
a) A(−3, −5) y b) A(3, −7) y B (−1, 0). c) A(12, 4) y B (−3, 3). d) A(9, 5) y B (5, 9).
B (5, −7).
70. Sea un cuadrilátero de vértices (0, 0), (5, 0), (7, 5) y (2, 5), entonces ¿Cuál es su perímetro?
Punto medio de un segmento:
Sean los puntos A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) del plano cartesiano, y sea

M (xm , ym ) el punto medio del segmento AB. Esto significa que xm es
el punto medio de x1 y x2 y que ym es el punto medio de y1 e y2 . Al
observar la Figura 3.72, se nota que la distancia, en el eje X, del punto
A al punto M está dada por:
xm − x1 .
Y la distancia, en el eje X, desde el punto M al punto B es:
x2 − xm .
Luego, dado que xm es el punto medio de x1 y x2 , se tiene que:
xm − x1 = x2 − xm ⇒ xm + xm = x1 + x2 ⇒ 2xm = x1 + x2
x1 + x2
⇒ xm = .
2
Análogamente, se tiene que:
y1 + y2
ym = .
2
Luego, las coordenadas del punto M son:
Figura 3.72: Punto medio de un segmen-
x1 + x2 y1 + y2

to.
M= , .
2 2
Ejercitación:
71. Calcula las coordenadas del punto medio entre los puntos:
1 3 48 1

a) A(−1, 5) y B (13, −6). c) E 7, − yF , −6 . d) G − , 40 y H , 44 .
b) C (14, 0) y D (−5, −9). 2 2 32 2
72. Sea el triángulo de vértices A(0, 0), B (8, 0) y C (4, 13) en el plano cartesiano. ¿Cuál es el área?
Vectores en el plano cartesiano
Definición. El vector es un segmento de recta dirigido que se caracteriza

por tener magnitud o módulo, dirección y sentido. La magnitud es la
geometría 209
longitud del vector, la distancia entre el inicio (cola) y el término (punta

−−→
de la flecha) y se denota de la forma |AB|. El sentido es la orientación
que distingue inicio y fin y la dirección es la recta que contiene a los
puntos inicial y final y sus paralelas.
Para representar vectores en el plano cartesiano se deben calcular

sus componentes. Si un vector tiene como puntos extremos A(x1 , y1 ) y
−−→
B (x2 , y2 ), las componentes del vector AB están dadas por (ver Figu-
ra 3.73): Figura 3.73: Representación gráfica del
vector AB.
−−→
AB = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 ) = (x2 − x1 , y2 − y1 ).
D
En general, si un vector ~u tiene componentes (u1 , u2 ) su magnitud o
módulo se calcula como:
p
|~u| = u1 2 + u2 2 . C B
−−→ −−→
Nótese además, que dos vectores AB y CD, determinados por puntos
que forman vétices de un paralelogramo ABDC, como en la figura, son
A
iguales. Figura 3.74: Paralelogramo ABDC.
Ejercitación:
73. Calcula las coordenadas del vector que tiene por cola y punta los siguientes puntos, respectivamente:
1 3 4

a) A(−3, 1) y B (4, −3) b) C 10, − y D 0, c) E − , −7 y F (−5, 5)
3 4 5
74. Considera el vector ~v que tiene por cola al punto (1, 1) y por punta al punto (5, 3).
a) Grafica los puntos de la cola y la punta del vector ~v y trace el vector.
b) Calcula las coordenadas del vector ~v y grafícalo en un plano cartesiano.
75. Calcula la magnitud de los siguientes vectores.
3 5

a) ~v = (−4, 3) b) ~u = ,− c) w
~ = (−9, 7)
4 6
Operaciones con vectores
Multiplicación de un vector por un escalar:
Como ya se ha visto, un vector posee componentes que se representan

como pares ordenados (x, y ), donde x corresponde a los movimientos
horizontales e y a los verticales. Por ejemplo el vector (2, 1) representa
la traslación de un objeto dos unidades hacia la derecha y una unidad
hacia arriba. Figura 3.75: Representación gráfica de
la multiplicación vector-escalar.
Por otra parte, un escalar k es una cantidad perteneciente al conjunto
de los números reales que carece de dirección y sentido.
Supóngase que se quiere representar triple del vector (2, 1). Para
esto se tiene la operación
3 · (2, 1).
Esto significa que la traslación que representa el vector se triplica en
dirección horizontal y vertical, por lo tanto el resultado de la operación
significa multiplicar cada una de las componentes del vector por el escalar,
somo se observa en la Figura 3.75,
Figura 3.76: Caso k > 1.
3 · (2, 1) = (3 · 2, 3 · 1) = (6, 3).
En resumen, para multiplicar un vector ~u = (u1 , u2 ) por un escalar k,

se obtiene el producto k · ~u y se calcula de la siguiente forma:
k · ~u = (k · u1 , k · u2 ).
Al representar el vector resultante en el plano cartesiano se tiene que:

Figura 3.77: Caso 0 < k < 1.
Si k > 1, el vector k · ~u tendrá igual dirección y sentido que ~u y su
magnitud es k veces la magnitud de ese vector (ver Figura 3.76).
Si 0 < k < 1, el vector k · ~u tendrá igual dirección y sentido que ~u,

pero su magnitud será menor que la de ~u siendo k veces la magnitud
de ese vector (Ver Figura 3.77).
Si k < 0, el vector k · ~u tendrá sentido contrario (ver Figura 3.78).

Figura 3.78: Caso k < 0. Definición. Dos vectores ~v y ~u son paralelos cuando uno es el ponderado
del otro, es decir, si existe un número real α distinto de cero tal que
~v = α · ~u.
Ejercitación:
76. Calcula la multiplicación de cada uno de los vectores por un escalar.
a) 5 · (−2, 7) 1 3
b) − · (−10, 18) c) · (−7, −8)
2 4
77. Representa las siguientes operaciones en un plano cartesiano.
a) 5 · (1, −1) 1 c) −2 · (−2, −3)

b) · (−9, −12)
3
Suma de vectores:
Es posible sumar vectores componente a componente, de la siguiente
manera:
Sea ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ), luego:
~u + ~v = (u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) = (u1 + v1 , u2 + v2 ).

Figura 3.79: Representación gráfica de
la suma de vectores.
geometría 211
La representación geométrica de la suma de vectores se observa en la

Figura 3.79.
Resta de vectores:
Es posible restar vectores componente a componente, de la siguiente
manera:
Sea ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ), luego:
~v − ~u = (v1 , v2 ) − (u1 , u2 ) = (v1 − u1 , v2 − u2 ).
La representación geométrica de la resta de vectores se observa en la Figura 3.80: Representación gráfica de

Figura 3.80. la resta de vectores.
Ejercitación:
78. Resuelve las siguientes sumas y represéntelas en un plano cartesiano.
1 3

a) (3, −1) + (2, −4) b) − , + (−1, −1) c) (−3, 1) + (2, 3)
2 4
79. Resuelve las siguientes sumas y represéntelas en un plano cartesiano.
a) (−2, −2) − (−1, 3) b) (2, 3) − (−1, −2) c) (6, 9) − (3, 7)
80. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a) 2 · (−7, 9) − (13, −20) + b) 3 · (−1, −9) − 2(−1, 3) + c) (8, 0) + (−7, −67) + 5 ·

(17, 5) (17, 8) (17, −6)
3.5.2 Ecuación de la recta

En la subsección anterior se introdujeron las nociones fundamentales
para el estudio de la geometría analítica: el plano cartesiano y los pares
ordenados. Sin embargo, es necesario definir un tercer concepto muy
importante para el estudio de las figuras y de las propiedades geométricas
en el sistema de Descartes: la recta.
Objetivo PSU
Establecer la relación entre la representación gráfica de rectas
en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan
origen.
Pendiente de una recta

Antes de encontrar la ecuación de la recta, es necesario definir los
siguientes conceptos:
A partir de un punto P , una recta se puede considerar como un

conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección a ambos
lados de P . Es importante señalar también que a partir de dos puntos
(A y B) del plano cartesiano es posible determinar una única recta que
los contiene. Por ejemplo:
Segmento AB AB

La pendiente (m) de un segmento AB corresponde al cambio de la

variable y por cada unidad de variación en la variable x.
Figura 3.81: Pendiente de un segmento.
El valor de la pendiente de un segmento delimitado por los puntos
A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) está dado por:
y2 − y1
mAB = , donde x2 6= x1 .
x2 − x1
Ejercitación:
81. Encuentre la pendiente de los segmentos delimitados por los puntos:
a) (−2, 1) y (5, −7) b) (0, −3) y (−2, −9) c) (7, −1) y (4, 3)
Dada la definición de la pendiente, se pueden establecer las siguientes

generalidades:
Si m > 0, el segmento de pendiente m es creciente.
Si m < 0, el segmento de pendiente m es decreciente.
Si m = 0, el segmento de pendiente m es paralela al eje x.
Si m no existe, el segmento es paralelo al eje y.
Lo que gráficamente significa:
Ejercitación:
82. a) Sean A(−1, 1), B (0, 3), C (1, 1), D (1, −1) y E (0, 0). Determina gráficamente si m = 0, m < 0, m > 0
geometría 213
o no está definida para los siguientes segmentos:
mAB mDA mBC mEB
b) Respecto al ejercicio anterior, de los siguientes segmentos, AB, AC, DA, BC, EB y CE, ¿cuál(es) de
ellas es (son) horizontal(es)? ¿Y cuál(es) es (son) vertical(es)?
Definición. Se dice que los puntos A, B y C son colineales si entre ellos

tienen la misma pendiente, es decir,
Observación
mAB = mBC = mAC .
Esta definición excluye a
las rectas verticales.
Definición. En geometría analítica, se llama recta al lugar geométrico de
los puntos del plano tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) de la recta, un tercer punto P (x, y ) es colineal a
P1 y P2 .
Ejercitación:
83. Determine si los siguientes tríos de puntos son o no colineales.
a) (1, 3), (3, 5) y (7, 9) b) (−2, −1), (−5, −8) y (3, −2) c) (−20, 1), (5, 1) y (−5, 1)
Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por

uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente, la ecuación de una recta
puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de
uno de sus puntos y su pendiente.
Teorema. La recta que pasa por el punto dado P1 (x1 , y1 ) y tiene la

pendiente dada m, tiene por ecuación
y − y1 = m · (x − x1 ).
Figura 3.82: Recta que pasa por P1 y
Demostración. Sea P (x, y ) un punto cualquiera de la recta, diferente un punto cualquiera P .
del punto dado P1 (x1 , y1 ), como en la Figura 3.82. Por la definición de
recta, los puntos P y P1 satisfacen la ecuación: Observación
y − y1 Para el caso de las rectas

m= , verticales, la ecuación de
x − x1 la recta es x = k, donde
k es un número real cualquiera.
de lo cual se obtiene inmediatamente:
(y − y1 ) = m · (x − x1 ).
Ejercitación:
84. Hallar la ecuación de la recta dada un punto y la pendiente.
a) P (8, 0) y m = −3. b) P (2, −4) y m = 4. c) P (−3, −4) y m = −1.
Ecuación de la recta dada su pendiente y coeficiente de posición

Considérese una recta l, que tiene una pendiente dada m y que in-
tersecta al eje de las ordenadas en el punto n (coeficiente de posición),
como se muestra en la Figura 3.83.
Como se conoce n, el punto cuyas coordenadas son (0, n), y la pen-
diente m, se puede utilizar el resultado obtenido en el teorema anterior
para encontrar la ecuación de la recta:
( y − y1 ) = m ( x − x1 )
Figura 3.83: Ecuación de la recta dada (y − n) = m(x − 0)

la pendiente y el coeficiente de posición.
y − n = mx
y = mx + n.
Por lo tanto, la ecuación de la recta que tiene pendiente m y coeficiente

de posición n está dada por:
y = mx + n.
Ejercitación:
85. Dada la pendiente y el coeficiente de posición, determina la ecuación de la recta en cada caso y grafícala
en el plano cartesiano.
a) m = 2 y n = −1. b) m = −1 y n = 0.
86. Grafica las siguientes rectas en un plano cartesiano

a) y = −2x + 1 1 c) x = −1 d) y = 3
b) y + 2 = x
2
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por
dos cualesquiera de sus puntos. Analíticamente, la ecuación de una recta
también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas
de dos cualesquiera de sus puntos.
Teorema. La recta que pasa por dos puntos distintos dados P1 (x1 , y1 )
y P2 (x2 , y2 ) tiene por ecuación:
Figura 3.84: Recta que pasa por los pun- y2 − y1
tos P1 y P2 . y − y1 = ( x − x1 ) .
x2 − x1
geometría 215
←−→
Demostración. Considérese la recta P1 P2 , como se muestra en la Fi-
gura 3.84. Como se conocen dos puntos de ella, se puede determinar su
pendiente de la siguiente manera:
y2 − y1
m= .
x2 − x1
Luego, utilizando las coordenadas de alguno de los puntos, por ejemplo

Observación
P1 , se sustituye en la ecuación dado un punto y la pendiente:
Si x1 = x2 la ecuación
recién obtenida no puede
y − y1 = m(x − x1 ) usarse. En este caso, la
recta es paralela al eje y, y su
y2 − y1
y − y1 = ( x − x1 ) . ecuación está dada por x = x1 .
x2 − x1
Ejercitación:
87. Hallar la ecuación de la recta dados los puntos:
a) (0, 5) y (3, 3)
b) (−2, 3) y (−1, −6)
Forma general de la ecuación de la recta
En los casos anteriores se ha visto que la ecuación de una recta

cualquiera, en el plano cartesiano, es de la forma
Ax + By + C = 0,
donde A o B deben ser distintos de cero y C puede o no ser cero. Esta

ecuación se llama forma general de la ecuación de la recta.
Si se despeja y en la ecuación recién planteada, se obtiene
A C
Ax + By + C = 0 ⇒ By = −Ax − C ⇒ y = − x− ,
B B
de lo cual se deduce que la pendiente y el coeficiente de posición están
dados por
A C
m=− n=− ,
B B
donde B 6= 0.
Ejercitación:
88. Dados los siguientes coeficientes de posición y pendientes determine la ecuación general de la recta en
cada caso.
5 3 c) n = 10 y m = 0.
a) n = 2 y m = . b) n = y m = 9.
2 4
Posición relativa de dos rectas

Ahora se considerarán las posiciones relativas de dos rectas. En par-
ticular, se determinarán las condiciones analíticas bajo las cuales estas
Observación
dos rectas son: paralelas, perpendiculares, coinciden o se cortan en un y
Las propiedades aquí solamente un punto.
planteadas no son válidas
si se considera una recta Se consideran las rectas dadas por:
paralela al eje y ya que su pen-
diente no está definida, y tam-
poco son válidas para las rectas
y = m1 x + n1 (1)
paralelas al eje x, ya que estas
tienen pendiente 0. y = m2 x + n2 (2)
a) Rectas paralelas.
Una condición necesaria y suficiente para que las rectas (1) y (2) sean
paralelas, es que tengan la misma pendiente. Es decir,
m1 = m2 .
b) Rectas perpendiculares.
perpendiculares, es que la multiplicación de sus pendientes sea igual a
−1. Es decir,
m1 · m2 = −1.
c) Rectas coincidentes.
coincidentes, es que las rectas tengan igual pendiente e igual coeficiente
de posición. Es decir,
m1 = m2 ∧ n1 = n2 .
d) Rectas que se intersectan en un y solo un punto.
Dos rectas se intersectan en un y solo un punto si no son paralelas, es

decir, si sus pendientes no son iguales. Por lo tanto, las rectas (1) y
(2) se intersectan en solo un punto si
m1 6= m2 .
Ejercitación:
89. Hallar el valor de k para que las siguientes rectas sean paralelas: r : 2x + 3y − 4 = 0 y s : kx − 6y − 2 = 0.
90. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, −3) y que es perpendicular a la recta 2x + 3y = 6.
91. Si las rectas L5 : 3x − y + a = 0 y L6 : (b − 5)x − y − 2 = 0 son coincidentes, ¿cuál es el valor de a y el

geometría 217
de b?
3.5.3 Transformaciones isométricas

Ya habiendo introducido la geometría analítica y con ello los conceptos
de plano cartesiano, pares ordenados y vectores, en esta ocasión, se
utilizará este sistema geométrico para analizar un nuevo contenido: las
transformaciones isométricas.
Objetivo PSU
Identificar regularidades en la realización de transformaciones
isométricas en el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas
respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones
sobre figuras geométricas.
Definición. Una transformación isométrica es un movimiento rígido

que, aplicado a figuras planas, conserva la forma y el tamaño de la figura
original. A la figura que se obtiene luego de aplicar una transformación
isométricos se le llama figura homóloga, mientras que a la figura que se
le aplica la transformación se le denomina figura origen. Es importante
destacar que la figura origen y la figura homóloga son figuras congruentes.
Las transformaciones isométricas son: traslaciones, reflexiones, rotaciones
y sus composiciones.
Traslación
Definición. La traslación es la transformación isométrica que corres-
ponde al movimiento de cada punto de una figura en una dirección, en
un sentido y en una magnitud dada. Dichas características del desplaza-
miento están representadas por un vector de traslación. Por ejemplo,
el triángulo ABC de la Figura 3.85 fue trasladado según el vector ~u
obteniendo el triángulo A0 B 0 C 0 .
La traslación T~u es una función que, para cada ~u = (u1 , u2 ), a cada
punto P (x, y ), le asigna un único punto de coordenadas:
Figura 3.85: Traslación de un triángulo
T~u (x, y ) = (x + u1 , y + u2 ). respecto del vector ~
u.
Ejercitación:
92. Aplica la traslación según el vector dado.
a) ~s = (1, 6) y T~s (9, 2) b) ~s = (−8, −6) y T~c (−10, −4)
93. Calcula el vector de traslación (~u) a partir del punto inicial (A) y el trasladado (P ).
a) A(7, −1), P (5, 0). b) A(4, 2), P (3, −7).
94. Calcula el punto inicial a partir de su imagen P y el vector traslación ~v .
a) ~v = (−3, −9), P (3, −4) b) ~v = (4, 10), P (3, −2)
95. Ubica las figuras en el plano luego de realizarles traslaciones con los siguientes vectores:
a) T(3,4) b) T(−4,2) c) T(−4,−4)
Reflexión
Definición. La reflexión axial es una transformación isométrica en la
que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto que está a
igual distancia de la recta llamada eje de simetría y el segmento que une
ambos puntos es perpendicular a este eje. Dos figuras planas se dirán
simétricas si hay un eje de simetría que refleje una en otra.
En la Figura 3.86, el triángulo ABC fue reflejado en torno a la recta
L obteniéndose el triángulo A0 B 0 C 0 .
Figura 3.86: Reflexión de un triángulo
respecto de la recta L. Para reflejar un punto P (x, y ) en el plano cartesiano respecto de un
eje coordenado se pueden utilizar las siguientes expresiones:
Si la reflexión de un punto (x, y ) es respecto del eje x puede ser

definida como la función:
Rx (x, y ) = (x, −y ).
Si la reflexión de un punto (x, y ) es respecto del eje y puede ser definida

como la función:
Ry (x, y ) = (−x, y ).
Ejercitación:
96. Aplica las siguientes reflexiones y represéntelas en el plano cartesiando.
a) Rx (2, 0) b) Rx (−2, 4) c) Ry (1, 5) d) Ry (−3, 2)
97. Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje x, obteniendo las
siguientes imágenes:
a) (−3, 10) b) (−8, −9)
98. Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje y, obteniendo las siguientes
geometría 219
imágenes:
a) (7, −3) b) (−3, 0)
99. Un triángulo de vértices A(0, 0), B (3, 1) y C (−2, 1) se refleja con respecto del eje x. Encuentra las
coordenadas de los vértices homólogos y representa la reflexión en el plano cartesiano.
Problema: Obsérvese los vértices del triángulo que fueron reflejados:
Vértice Imagen
A(−6, 3) (6, −3)

B (−4, 5) (4, −5)
C (−2, 2) (2, −2)
a) ¿Qué regularidad se observa? Describe.
b) Si se refleja un punto (x, y ) con respecto al origen del plano, ¿qué punto se obtiene?
c) A partir de lo anterior, completa la tabla:
Punto Imagen
(−10, −3)
(15, −5)
(−1, −9)
Al reflejar un punto con respecto a otro punto, se le denomina simetría central.

Ejercitación:
100. Dibuja el simétrico de cada figura aplicando los distintos tipos de simetría.
a) Simetría central respecto del centro O. c) Simetría axial respecto a la recta L.
d) Simetría axial respecto a la recta F .

b) Simetría central respecto del punto P .
Rotación
Definición. La rotación es una transformación isométrica en el plano

que consiste en girar todos los puntos de una figura a un punto O fijo
llamado centro de rotación, en una medida angular α llamado ángulo
de rotación, tal que cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia
que tiene como centro al punto O y un ángulo α.
Si el ángulo de rotación es positivo, el giro se realiza en sentido

antihorario, en cambio si el ángulo de rotación es negativo el giro se
realiza en sentido horario.
Por ejemplo, el triángulo ABC de la Figura 3.87 fue rotado con

respecto al punto P en un ángulo de 90◦ , obteniéndose el triángulo
A0 B 0 C 0 .
Figura 3.87: Rotación en 90◦ de un Para rotar un punto P (x, y ) en el plano cartesiano respecto al origen
triángulo respecto del punto P . (O ), y el ángulo dado en cada caso, el punto imagen se obtendrá utilizando
las siguientes expresiones:
geometría 221
R(0,90◦ ) (x, y ) = (−y, x) R(0,−90◦ ) (x, y ) = (y, −x)
R(0,180◦ ) (x, y ) = (−x, −y ) R(0,−180◦ ) (x, y ) = (−x, −y )
R(0,270◦ ) (x, y ) = (y, −x) R(0,−270◦ ) (x, y ) = (−y, x)
R(0,360◦ ) (x, y ) = (x, y ) R(0,−360◦ ) (x, y ) = (x, y )
Ejercitación:
101. Aplica la rotación con respecto al origen según el ángulo de giro indicado para cada uno de los puntos.
a) R(0,90◦ ) (5, −2) b) R(0,270◦ ) (1, −1) c) R(0,180◦ ) (−8, 3) d) R(0,−90◦ ) (−14, −36)
Composición
Definición. La composición de transformaciones isométricas es

la aplicación sucesiva de transformaciones isométricas sobre un punto
o una figura, es decir, al resultado de la primera transformación se le
aplica una segunda y así sucesivamente.
La composición de dos o más traslaciones T~v ◦ T~u (A) es equi- Figura 3.88: Composición de traslacio-
nes.
valente a una traslación definida por la suma de los vectores T~u+~v (A),
como se observa en la Figura 3.88, ya que la suma de vectores está dada
como se observa en la Figura 3.89.
Al componer dos o más reflexiones, se tienen los siguientes casos:
Componer dos reflexiones con respecto a rectas paralelas es equivalente

a una traslación T~u (A), como se observa en la figura:
Figura 3.89: Suma de vectores.
Componer dos reflexiones con respecto a rectas perpendiculares es

equivalente a una simetría central que tiene como centro el punto de
intersección de las rectas, como se observa en la Figura 3.90.
Componer dos reflexiones con respecto a rectas que se intersectan en

un punto P , formando un ángulo α, es equivalente a una rotación de
centro P y ángulo 2α, como se observa en la figura:
Figura 3.90: Composición de reflexiones,

caso 2.
Al componer dos o más rotaciones con el mismo centro O, R(O,β ) ◦

R(O,α) (A) es equivalente a una rotación definida de centro O y un ángulo
igual a la suma de los dos ángulos R(O,α+β ) , como se observa en la Figura
Figura 3.91: Composición de rotaciones.
3.91.
Ejercitación:
102. Si al punto de coordenadas (8, −2) se le aplica una traslación según el vector (−4, 0) y luego, una segunda
traslación que lo transforma en el punto de coordenadas (2, −7), ¿cuál es el vector de esta segunda
traslación?
103. Dado un segmento AB de coordenadas A(2, 3) y B (5, 1). ¿Cuáles serían las coordenadas del segmento
AB luego de aplicar una rotación de 90◦ (con centro en el origen y sentido horario) y posteriormente una
traslación T(−2,3) ?
3.6 | Geometría del espacio

3.6.1 Geometría cartesiana del espacio
Hasta ahora, se han estudiado las propiedades de los puntos, rectas y

figuras en el plano; estudio que tiene una gran importancia en diferentes
disciplinas como la ingeniería, la arquitectura y el arte. Sin embargo, se
sabe que el mundo donde se vive es un espacio tridimensional, es decir,
Figura 3.92: Espacio cartesiano. todos los objetos en él tienen largo, ancho y alto. Es por este motivo que
se hace fundamental definir elementos geométricos en él.
geometría 223
Objetivo PSU
Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser represen-
tados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la
representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta
en el espacio.
Vectores en el espacio
La recta numérica real es la recta que contiene a todos los números
reales y que sirve para ordenar cantidades, tales como longitud, tiempo,
peso, etc. En el plano cartesiano, en cambio, se pueden organizar puntos
con dos coordenadas, cada una de las cuales representa una magnitud. Figura 3.93: Representación del punto
(1, 4, 6) en el espacio cartesiano.
Sin embargo, surge la necesidad de representar objetos con más de dos
magnitudes asociadas, es decir, objetos no planos, para lo cual es posible
agregar coordenadas a la representación. El espacio es aquello que tiene
tres dimensiones: largo, ancho y alto, y de la misma manera que se definió
el plano cartesiano, se puede definir un espacio cartesiano, es decir, un
sistema de coordenadas tridimensional para representar puntos, rectas y
figuras en él.
Para construir este sistema, se agrega un eje al plano cartesiano para
representar la dimensión faltante. Este eje, es perpendicular a los otros dos
y suele llamarse eje de las cotas o eje z. En el espacio cartesiano, cada
Figura 3.94: Representación del vector
punto puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z ), denominadas (3, 4, 4) en el espacio cartesiano.
coordenadas del punto, que son las distancias perpendiculares a los
planos yz, xz e xy, respectivamente. En la Figura 3.93 se observa la Observación
representación del punto (1, 4, 6). En el espacio cartesiano se puede
La suma y la ponderación
también representar vectores: se asocia el punto de coordenadas (0, 0, 0) de vectores se definen na-
como punto inicial del vector y cualquier punto en el espacio como su turalmente de la misma
manera que en el plano.
punto final, como se observa en la Figura 3.94.
Ejercitación:
104. Demuestra que la distancia entre dos puntos en el espacio cartesiano A(x1 , y1 , z1 ) y B (x2 , y2 , z2 ) está
dada por la expresión q
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
105. Utilizando la expresión anterior encuentra el módulo de un vector ~v = (x, y, z ) en el espacio.
106. Calcula la distancia entre los siguientes puntos:
a) A(−1, 4, 6) y B (−2, −2, 0). b) C (a, a2 , 1 − a) y D (−a, 0, a).
107. Dados los vectores ~v = (1, −3, 6) y ~u = (2, 1, −1), calcula el módulo del vector resultante en cada caso:
a) 2~v − ~u b) ~u − 4 · (−~v )
Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesiana

Se sabe que basta conocer dos puntos que pertenezcan a una recta,
para determinar correctamente su ecuación en el plano. Considérese
primero el caso de una recta que pasa por el origen del plano cartesiano,
es decir, uno de los puntos de la recta es (0, 0) y otro es, supóngase,
A(a, b). Si ahora se traza el vector ~v = (a, b), se puede observar que este
vector tiene, naturalmente, la misma dirección de la recta que pasa por
(0, 0) y A. Entonces, es posible decir que para determinar una recta que
pasa por el origen, basta un vector, que tenga la misma dirección de la
recta.
Ecuación vectorial de una recta que pasa por el origen.
En un plano cartesiano se puede representar una recta L que pasa por

el origen O (0, 0) con vector director d~ = (d1 , d2 ) paralelo a la recta L (ver
Figura 3.95). Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo
−−→ →
−
P (x, y ), entonces siempre existe un número real λ, tal que OP = λ · d .
Figura 3.95: Recta que pasa por el ori-
gen y un punto P . Luego la ecuación vectorial de la recta L es (x, y ) = λ(d1 , d2 ), λ ∈ R.
Cada λ ∈ R determina un punto en la recta y viceversa.
Ejercitación:
108. Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen y por el punto A si:
a) A(−2, 4) b) A(−1, −3)
Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, además del vector

director es necesario determinar un vector que indique la ubicación de la
recta en el plano.
Ecuación vectorial de la recta en el plano.
Si una recta L tiene vector d~ y además pasa por el punto P0 (x0 , y0 ),
para representarla se considera un punto cualquiera P de ella, cuyas
coordenadas son P (x, y ) (ver Figura 3.96), entonces existe un número real
−−→ →
− −−→ −−→ →
−
Figura 3.96: Recta que pasa por un pun- λ, tal que P0 P = λ · d , y por lo tanto OP = OP0 + λ · d . Utilizando
~
to P con vector director d. el vector posición p~0 de P0 y considerando el vector p~ de P resulta:
~
p~ = p~0 + λ · d.
~ la ecuación
Además, si d1 y d2 son las componentes del vector d,
vectorial de la recta expresada en coordenadas es:
(x, y ) = (x0 , y0 ) + λ(d1 , d2 ),

donde λ es el parámetro, es decir, es un número real que varía para
determinar puntos que pertenecen a la recta.
geometría 225
Ejercitación:
109. Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos:
a) P (−2, 3) y Q(−1, −3). b) A(0, 13) y B (−5, 9).
110. Determine la ecuación vectorial de la recta en el plano que pasa por el punto (2, −3) y tiene vector
director a d~ = (−1, −1). Utilice esta ecuación para encontrar 3 puntos que pertenezcan a la recta.
Ecuación vectorial y cartesiana de la recta en el plano.
A partir de la ecuación vectorial de la recta, es posible obtener la

ecuación cartesiana de la recta. Si se reemplazan valores en la ecuación
vectorial, se pueden ubicar en el plano cartesiano puntos pertenecientes a
la recta, y luego, determinar su ecuación cartesiana. También es posible
determinar solo un punto, y la pendiente de la recta que está dada por:
d2
m= ,
d1
cuando d1 6= 0.
Otra forma de obtener la ecuación cartesiana correspondiente a una

ecuación vectorial dada es igualar componente a componente y obtener
una ecuación que relacione los valores de x e y, sin el parámetro λ. Para
esto, se despeja λ en cada una de las ecuaciones y se igualan.
Ejercitación:
111. A partir de la ecuación vectorial, determina la ecuación cartesiana de la recta en casa caso.
a) (x, y ) = (−1, 5) + λ(−7, 1) b) (x, y ) = (0, 5) + λ(9, 4)
112. A partir de la ecuación cartesiana, determina la ecuación vectorial de la recta en cada caso:
a) 4x − y + 1 = 0 b) x + 3y = −2 = 0
Ecuación vectorial y paramétrica de una recta en el espacio
Ecuación vectorial de una recta en el espacio.
La ecuación vectorial de una recta en el espacio, se escribe tal como la

de la recta en el plano, pero extendiéndola a tres coordenadas (ver Figura
3.97). Es decir, la ecuación de la recta pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) y
~ dada por el vector d~ = (d1 , d2 , d3 ), es
tiene dirección d,
Figura 3.97: Recta en el espacio que
(x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ), con λ ∈ R. pasa por un punto P con vector director
~
d.
Ecuación paramétrica y simétrica de la recta en el espacio.
Cabe preguntarse si será posible despejar la variable λ de la ecua-

ción anterior, igualar los valores encontrados y finalmente obtener solo
una ecuación cartesiana para la recta considerada. La respuesta a es-
ta pregunta es negativa; no es posible representar una recta del
espacio tridimensional a través de exactamente una ecuación
cartesiana.
Si en la ecuación anterior se despejan los valores de λ se obtiene
(x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 )
⇒ (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + (λd1 , λd2 , λd3 )
⇒ (x, y, z ) = (x0 + λd1 , y0 + λd2 , z0 + λd3 )


x = x0 + λd1



⇒ y = y0 + λd2


 z = z + λd .

0 3
A estas ecuaciones, se les llama “ecuaciones paramétricas de la

recta”. Se despeja el parámetro λ de las ecuaciones paramétricas y se
obtiene:  x − x0
 λ=
d1




 y − y0
λ=

 d2
λ = z − z0 ,



d3
cuando d1 6= 0, d2 6= 0 y d3 6= 0. Al igualar los valores de λ se concluye
que:
x − x0 y − y0 z − z0
= = .
d1 d2 d3
Estas dos ecuaciones son conocidas como “ecuaciones simétricas de
la recta” o por abuso de lenguaje, simplemente “ecuación simétrica
de la recta”.
Recíprocamente, si se conoce la ecuación simétrica entonces se observa
que la recta pasa por el punto A(x0 , y0 , z0 ) y que un vector director es
d~ = (d1 , d2 , d3 ), de manera que es posible recuperar la ecuación vectorial.
Ejercitación:
113. A partir de la ecuación vectorial, encuentra las ecuaciones paramétricas y la ecuación simétrica de la recta
en cada caso.
a) (x, y, z ) = (1, −1, 3) + λ(2, 5, 1) b) (x, y, z ) = (0, 3, −1) + λ(−2, 6, −3)

geometría 227
114. A partir de la ecuación simétrica de la recta, escribe la ecuación vectorial en cada caso.
x−1 y+2 z+1 z+2

a) = = b) x + 7 = y − 1 =
3 −1 5 4
Paralelismo de rectas en el espacio
Definición. Dos rectas serán paralelas si y solo si sus vectores directores

son paralelos, es decir, si uno es múltiplo no nulo del otro. Dadas las
rectas L1 : P = A + λ~v y L2 : P = B + λ~u son paralelas si y solo si
existe un número real α distinto de cero tal que ~v = α~u.
Ejercitación:
115. Determina si las siguientes rectas son paralelas o no.
a) L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + λ(2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (4, 5, 1) + λ(4, 8, −10).
5

b) L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + λ(2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (4, 5, 1) + λ 2, 4, − .
2
x−2 y−1 z−3 x−2 y−1 z−3
c) L1 : = = y L2 : = = .
2 4 −5 2 4 3
116. Determina si las rectas L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + λ1 (2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (7, 11, −4) + λ2 (1, 2, 3)
son paralelas. Si no lo son, encuentra el punto de intersección, si existiera, de las rectas en el espacio.
(Indicación: iguala las ecuaciones y resuelve el sistema para λ1 y λ2 ):
En el ejercicio anterior, se ha encontrado el punto de intersección

de dos rectas en el espacio, no paralelas. Sin embargo, puede ocurrir
que dos rectas no se intersecten en el espacio y que no sean
paralelas. Para entender esto, se analiza el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Determina si las siguientes rectas son paralelas o si se intersectan en el espacio:
L1 : (x, y, z ) = (2, 1, 3) + t(2, 4, −5) y L2 : (x, y, z ) = (1, 1, 3) + t(1, 2, 3).
Solución: Puesto que los vectores directores → −

v1 = (2, 4, −5) y → −
v2 = (1, 2, 3) no son paralelos las rectas
tampoco lo son. Solo resta saber si estas rectas se cortan en un punto, para lo cual se puede proceder como
en el ejercicio anterior. Se busca t y s tales que (x, y, z ) = (2, 1, 3) + t(2, 4, −5) = (1, 1, 3) + s(1, 2, 3), para
lo cual se resuelve el sistema de ecuaciones:
 


 2 + 2t = 1 + s 

 2t − s = −1
 
1 + 4t = 1 + 2s que es equivalente al sistema 4t − 2s = 0

 

 3 − 5t = 3 + 3s
 −5t − 3s = 0.

La primera ecuación 2t − s = −1 es incompatible con la segunda 4t − 2s = 0 (ya que esta última es

equivalente a 2t − s = 0). En consecuencia, las rectas dadas no se intersectan ni son paralelas.
Definición. Se dice que dos rectas son alabeadas o que se cruzan en

el espacio tridimensional si no son paralelas ni tienen puntos en común.
Rectas y planos en el espacio
Tal como el punto y la recta, que se consideran entes geométricos

Figura 3.98: Tres puntos no colineales.
fundamentales (esto es, que son conceptos primitivos, porque se definen
uno en términos de los otros), se puede decir que un plano posee solo
dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas.
En el caso de la recta, se sabe que dos puntos distintos definen una

única recta que pasa por esos puntos, que por un solo punto pasan
Figura 3.99: Una recta y un punto exte- infinitas rectas y que cuando se cuenta con tres puntos distintos pueden
rior a ella. suceder dos cosas: o son colineales, o bien se pueden definir tres rectas
distintas, que contengan solo dos de los puntos cada una.
De manera similar, se puede determinar el plano que contiene algunos

puntos y/o rectas, cuando se cumplen ciertas condiciones:
Tres puntos no colineales. Existe un único plano que pasa por

Figura 3.100: Dos rectas paralelas.
tres puntos no colineales dados (ver Figura 3.98). Cuando son solo
dos puntos, pueden pasar infinitos planos por ellos. Si fueran cuatro
puntos, aunque es posible que sean coplanarios, lo más probable es
que ningún plano contenga a los cuatro.
Una recta y un punto exterior a ella. Existe un único plano que

Figura 3.101: Dos rectas secantes. contiene una recta y un punto exterior a ella dados (ver Figura 3.99),
el punto debe ser exterior, porque si estuviera contenido en la recta,
pasan infinitos planos por la recta.
Dos rectas paralelas. Existe un único plano que contiene a dos

rectas paralelas (ver Figura 3.100).
Figura 3.102: Recta paralela al plano.
Dos rectas secantes. Existe un único plano que contiene a dos rectas
que son secantes (ver Figura 3.101).
En secciones anteriores se vio que dos rectas paralelas y distintas no se

intersectan y dos rectas secantes se intersectan en un solo punto. Como
un plano contiene infinitas rectas, estas relaciones se pueden extender
Figura 3.103: Recta contenida en el
al analizar una recta y un plano. Obsérvense las Figuras 3.102, 3.103 y
plano.
3.104, donde se representan las posibles posiciones relativas entre una
recta y un plano en el espacio.
Si ningún punto de una recta dada pertenece a un plano dado, se dice

que la recta y el plano son paralelos. En cambio, si todos los puntos de
la recta pertenecen a un plano, se dice que la recta está contenida en
el plano. Por último, cuando la recta no está contenida ni es paralela
Figura 3.104: Recta secante al plano. al plano, lo intersecta en un solo punto. En este caso, se dice que son
secantes.
geometría 229
Se observan ahora las Figuras 3.105, 3.106 y 3.107 donde se representan

las posibles posiciones relativas entre dos planos en el espacio. Las figuras
presentadas muestran las posibles posiciones entre dos planos en el
espacio, que se pueden describir como:
Figura 3.105: Planos paralelos.
Planos paralelos: cuando no tiene puntos de intersección.
Planos secantes: cuando su intersección determina una recta y, por

ende, posee infinitos puntos de intersección: todos los puntos que
pertenecen a esa recta.
Figura 3.106: Planos secantes.
Planos coincidentes: cuando tienen todos sus puntos en común.
Se observa que la intersección de dos planos da origen a distintos

semiplanos que se intersectan. La porción de espacio comprendida entre
dos semiplanos que tienen una recta común (y están situados en planos
distintos) se denomina ángulo diedro (ver Figura 3.108).
Figura 3.107: Planos coincidentes.
En la Figura 3.109, se observa que P se ubica en un semiplano y Q
en el otro. Mientras, los puntos A y B se ubican en la recta común a los
dos semiplanos. Los ángulos diedros se simbolizan como ](P , AB, Q),
donde P y Q representan puntos en cada semiplano, respectivamente, y
AB representa la recta común a ambos semiplanos. Cuando se conoce el
nombre de cada semiplano, un ángulo diedro también se puede representar
por ](Π1 , AB, Π2 ).
Figura 3.108: Intersección de planos.
Ahora, ¿cómo se puede medir un ángulo diedro? Se observa que

si se traza una recta en cada semiplano, de manera tal que ambas
sean perpendiculares a la intersección de los semiplanos, AB, en un
mismo punto de ella, se cumple que el ángulo diedro es igual al ángulo
formado por estas rectas.En la Figura 3.110, la medida del ángulo diedro
](Π1 , AB, Π2 ) es igual a la medida de ]P OQ.
Ecuación vectorial del plano en el espacio Figura 3.109: Ángulos diedro.
Se ha visto que con un vector director y un punto se puede determinar

exactamente una recta que contiene a dicho punto y es paralela al
vector director dado. Los puntos de dicha recta están determinados
unívocamente por los valores que toma el parámetro λ.
¿Qué figura geométrica se puede definir a partir de un punto y dos

vectores →
−
v1 y →
−
v2 que no están sobre una misma recta? Figura 3.110: Ángulo diedro.
Para comenzar, se supondrá que el punto dado es el origen como se

muestra en la figura:
Se da cuenta que escogiendo adecuadamente los valores de λ y µ en la

igualdad
P = O + λ→−
v1 + µ→
−
v2
el punto P puede ser ubicado en cualquier lugar del plano; dicho de
otra manera, el conjunto de todos los puntos P del plano tales que
P = O + λ→−
v1 + µ→
−
v2 es el plano mismo, para λ, µ ∈ R.
Definición. La ecuación vectorial del plano en el espacio está dada por:
Π : (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ) + µ(v1 , v2 , v3 )
donde d~ = (d1 , d2 , d3 ) y ~v = (v1 , v2 , v3 ) son los vectores directores del

plano, no paralelos entre sí, → −
p0 = (x0 , y0 , z0 ) es el vector posición y λ y
µ son los parámetros.
Ejercitación:
117. Dado un plano Π que pasa por los puntos P (1, 1, 1), Q(2, 1, 2) y R(0, 2, −1), determina la ecuación
vectorial del plano.
118. Verifica si el punto P (−2, 5, 3) pertenece al plano cuya ecuación es
Π : (x, y, z ) = (1, 2, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(−2, 3, 0).
119. Dados tres puntos, P (0, 0, −1), Q(2, 1, 1) y R(4, 1, 4), no colineales, ¿cuál es la ecuación vectorial del
plano Π que pasa por los puntos P , Q y R? Además, determina un punto T , tal que el cuadrilátero
P QRT sea un paralelogramo. ¿El punto T pertenece al plano Π? Justifica.
Ecuación paramétrica y cartesiana del plano en el espacio

Dada la ecuación vectorial del plano en el espacio
Π : (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ) + µ(v1 , v2 , v3 ),

geometría 231
con µ, λ ∈ R.
Se puede resolver las ponderaciones y las sumas, e igualar las compo-
nentes:
(x, y, z ) = (x0 + λd1 + µv1 , y0 + λd2 + µv2 , z0 + λd3 + µv3 )




 x = x0 + λd1 + µv1

⇒ y = y0 + λd2 + µv2


 z = z + λd + µv .

0 3 3
A esta ecuación se le llama ecuación paramétrica del plano en

el espacio.
Estas ecuaciones se pueden escribir como un sistema de ecuaciones,
y resolverlo de modo de eliminar los parámetros λ y µ, y así obtener
la ecuación cartesiana del plano, cuya forma general es Ax + By +
Cz + D = 0, donde A, B y C no son cero a la vez.
Ejercitación:
120. Considera el plano Π en el espacio de ecuación x − y + 3z = 1.
a) Encuentra 3 puntos que pertenezcan al plano Π.
b) Si el punto (1, 2, t) pertenece a Π, ¿cuál es el valor de t?
c) Determina si los puntos (1, 2, 1), (0, 0, 0) y (0, 2, 1) pertenecen a Π
121. Dada la ecuación vectorial del plano, determina su ecuación cartesiana, en cada caso:
a) Π : (x, y, z ) = (3, 2, 1) + λ(2, 1, 1) + µ(−1, 2, 0)
b) Π : (x, y, z ) = (5, −1, 2) + λ(0, −1, 4) + µ(−3, 1, 0)
c) Π : (x, y, z ) = (−3, 12, 0) + λ(4, 1, 3) + µ(5, 3, 0)
122. ¿Cuál es la intersección de la recta L : (x, y, z ) = (4, 6, −2) + λ(2, 3, 0) y el plano Π : 4x + 3y − z = 2?
Ecuaciones cartesianas de la recta en el espacio

En la sección 4 se vió que dados dos planos en el espacio, estos pueden
ser paralelos (cuando no se intersectan), coincidentes, en cuyo caso la
intersección es el plano completo, o secantes, cuando se intersectan en
una recta. Esta recta es única, es decir, no existen dos rectas distintas
que correspondan a la intersección de dos planos dados. Utilizando esta
idea se pueden definir las ecuaciones de una recta en el espacio como
el sistema de dos ecuaciones: las ecuaciones de dos planos en el espacio
(cuya intersección es la recta que se necesita representar).
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Es importante destacar que aunque se trata de una recta en el espacio,

su representación cartesiana son las dos ecuaciones, juntas, y pueden
Observación
haber muchos pares de ecuaciones para la misma recta.
Anteriormente, se vió que
no es posible representar Sin embargo, existe la posibilidad de que los planos no sean secantes,
una recta en el espacio a sino que sean paralelos o coincidentes. Las condiciones para que no ocurra
través de una única ecuación
cartesiana. A partir de la ecua- ello, se resumen de la siguiente manera.
ción vectorial se obtienen dos
ecuaciones, llamadas “simétri- Las ecuaciones a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 y a2 x + b2 y + c2 z + d2 =
cas”, de la recta en el espa-
0:
cio. Ahora se entiende que di-
chas ecuaciones representan ca-
da una un plano, y en su con- Representan el mismo plano, si y solo si existe un número
junto representan la intersec- real k distinto de cero, tal que:
ción de estos planos que corres-
ponda a la recta dada.
k · (a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) = (a2 x + b2 y + c2 z + d2 ).
Representan planos paralelos si y solo si existe un número

real k tal que
k · (a1 , b1 , c1 ) = (a2 , b2 , c2 ),
pero k · d1 6= d2 .
Ejercitación:
a) Muestra que los siguientes planos no son paralelos:
Π1 : 2x + 3y − 2z + 1 = 0, Π2 : 2x − 3y + z + 1 = 0.
b) Dados los planos Π1 : 4x + 3y + z = 6 y Π2 : 3x + 4y + 4z = 12, determina a qué corresponde la

intersección entre los planos y escribe su ecuación vectorial.
c) Considera los planos Π1 : x + y + z = 1, Π2 : 2x − 2y + z = 3. Determina si los planos se intersectan
en una recta y, en ese caso, encuentre las ecuaciones paramétricas y vectorial de esa recta.
d) Encuentra un ejemplo de ecuaciones cartesianas de la recta cuya ecuación paramétrica es L : (x, y, z )
donde: 
x = 8 + λ



y = 1+λ


 z = 2 + 3λ.

3.6.2 Cuerpos geométricos

Tal como se dijo antes, el mundo donde se habita tiene tres dimensiones,
y por tanto los seres y objetos en él también. Debido a este motivo se
geometría 233
hace necesario y fundamental estudiar los elementos que poseen volumen:

los cuerpos geométricos.
Objetivo PSU
Determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados
por rotación o traslación de figuras planas en el espacio.
Conceptos previos
Figura 3.111: Elementos principales de
Definición. Un poliedro es un cuerpo geométrico sólido acotado por un poliedro.
polígonos. Sus elementos principales son (ver Figura 3.111):
Caras: son cada uno de los polígonos que lo acotan.
Aristas: son los lados de las caras.

Figura 3.112: Tetraedro.
Vértices: son las intersecciones de las aristas.
Ángulo diedro: ángulo formado por dos caras con arista común.
Ángulo poliedro: ángulo formado por tres o más caras de vértice

común.
Figura 3.113: Hexaedro o cubo.
Un poliedro es convexo si es intersectado por cualquier recta, a lo
más en dos caras; o cóncavo, si es intersectado por alguna recta en más
de dos caras. Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos
regulares congruentes. Además, este tipo de poliedros es convexo y sus
ángulos diedros son de igual medida. También sus ángulos poliedros
son congruentes. Se clasifican en: tetraedro (cuatro caras triangulares), Figura 3.114: Octaedro.
hexaedro o cubo (seis caras cuadradas), octaedro (ocho caras triangu-
lares), dodecaedro (doce caras pentagonales) e icosaedro (veinte caras
triangulares).
Es posible relacionar la cantidad de vértices, caras y aristas de un

poliedro a través de la fórmula de Euler: En todo poliedro convexo se Figura 3.115: Dodecaedro.
cumple una relación entre el número C de caras, el número V de vértices
y el número A de aristas:
C + V = A + 2.
Utilizando esta fórmula es posible demostrar que los únicos poliedros

Figura 3.116: Icosaedro.
convexos regulares son los cinco antes mencionados.
Ejercitación:
124. Utilizando las figuras y la fórmula de Euler, complete la siguiente tabla:
Poliedro N ◦ de caras N ◦ de vertices N ◦ de aristas
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Definición. Un prisma es un poliedro formado por dos caras congruen-

tes y paralelas, llamadas bases, y caras laterales que son paralelogramos.
Su altura es la distancia entre las bases. Cuando las bases son polígonos
regulares, el prisma se denomina regular (ver Figura 3.117).
Definición. Una pirámide es un poliedro formado por una base que

es un polígono cualquiera y por caras laterales que son triángulos y
Figura 3.117: Prisma. concurren a un punto llamado vértice de la pirámide. Su altura es la
distancia entre la base y el vértice, y sus apotemas laterales son las alturas
de cada una de sus caras laterales. Cuando su base es un polígono regular
y sus caras laterales son congruentes, se denomina pirámide regular (ver
Figura 3.118).
Figura 3.118: Pirámide. Cuerpos generados por rotación o traslación
Cuerpos generados por rotación.
En general, se denominan cuerpos generados por rotación o sólidos

de revolución aquellos que pueden obtenerse mediante la rotación de
Figura 3.119: Cilindro y cono. una curva alrededor de un eje. A dicha curva se le llama generatriz.
En las Figuras 3.119 y 3.120 se presentan tres ejemplos: un cilindro,

generado por la rotación de un rectángulo, un cono, generado por la
rotación de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus catetos; y
una esfera, generada a través de la rotación de una semicircunferencia
en torno a su diámetro.
Figura 3.120: Esfera.
Cuerpos generados por traslación.
En general, se dice que un cuerpo es generado por traslación si

se puede formar mediante la traslación de una figura plana, respecto de
un vector no nulo y no paralelo al plano de la figura. Por ejemplo, en la
Figura 3.121, se observa que mediante la traslación de un rectángulo se
obtiene un paralelepípedo, y mediante la traslación de un hexágono, un
prisma de base hexagonal.
geometría 235
En la Figura 3.122 se observa que un paralelepípedo es generado por la

traslación de un paralelogramo, un prisma es generado por la traslación
de un polígono y un cilindro es generado por la traslación de un círculo.
Volumen de un prisma
Supóngase que se tiene un prisma de base pentagonal y un paralele-
pípedo de igual altura, como se observa en la Figura 3.123. Si sus bases
tienen también igual área, entonces los cuerpos tienen igual volumen. Figura 3.121: Traslaciones.
En general, es posible afirmar que si dos cuerpos tienen la misma altura

y además tienen iguales áreas en sus secciones planas, entonces poseen
igual volumen. Esto se conoce como el principio de Cavalieri.
Principio de Cavalieri: Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases
de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases el
área de las secciones es la misma, ambos tienen el mismo volumen.
Finalmente, se obtiene que el volumen de un prisma está dado por la
expresión Figura 3.122: Paralelepípedo, prisma y
cilindro.
V = AB · h,
donde AB es el área de la base del prisma y h es la altura.
Volumen de cilindros
Como se puede observar en la Figura 3.124, los cuerpos tienen igual
Figura 3.123: Prismas de igual altura.
altura, y sus secciones planas tienen igual área. Se puede aplicar el
Si A1 = A2 , entonces V1 = V2
principio de Cavalieri, por lo tanto, el volumen del cilindro depende de
la altura y del área de la base, al igual que en el caso del volumen del
prisma, luego se tiene que
Vcilindro = h · AB ,
donde h es la altura y AB el área de la base del cilindro.

Dado que la base del cilindro es un círculo, se puede calcular su área Figura 3.124: Paralelepípedo y cilindro
como de igual altura.
AB = π · r 2 .
Por lo tanto, la expresión para calcular el volumen de un cilindro está
dada por
Vcilindro = π · r2 · h.
Volumen de pirámides
Para determinar el volumen de una pirámide en general, se va a
analizar su relación con el volumen de un prisma que tenga igual altura
y cuya base tenga la misma forma y área.
Dado el prisma de base triangular de la Figura 3.125 de bases ∆ABC
y ∆DEF , si se realiza un corte desde el vértice D hasta la arista BC, tal
como se muestra en la Figura 3.126, ese forma una pirámide P1 (ABCD ).
Si luego se hace otro corte desde el vértice D, pero ahora hasta la

diagonal EC, el resto del prisma se puede descomponer en otras dos
pirámides: P2 (DEBC ) y P3 (DEF C ) (ver Figuras 3.127 y 3.128). Las
pirámides P2 y P3 , ¿tienen el mismo volumen?, ¿por qué?
Nótese que los triángulos BCE y F EC son congruentes, ya que EC

es la diagonal del rectángulo BCF E. Como se puede ver comparando
las figuras anteriores, si se consideran como bases los triángulos BCE y
F EC, la arista común DE es la altura de las pirámides P2 y P3 . Luego,
por el principio de Cavalieri, P2 y P3 tienen igual volumen.
Figura 3.125: Prisma de base triangular.
Obsérvense ahora las pirámides P1 y P3 . En la primera, se puede
considerar el triángulo ABC como base y la arista AD como altura. En
la segunda, la base puede ser el triángulo DEF y la arista CF . Ahora,
por definición del prisma, los triángulos ABC y DEF son congruentes y
las aristas AD y CF tienen igual longitud. Por consiguiente, las pirámides
P1 y P3 tienen igual volumen.
Ahora, en términos de su volumen, P2 = P3 y P1 = P3 , luego,

necesariamente, P1 = P2 . Es decir, el volumen de las tres pirámides
es el mismo. Como, por construcción, las tres juntas forman el prisma, se
puede afirmar que el volumen de cada pirámide es un tercio del volumen
Figura 3.126: Pirámide P1 (ABCD ). del prisma.
Cabe destacar que esta conclusión es igualmente válida para todo

prisma de base triangular, es decir, la argumentación descrita no depende
del tipo de triángulo que forma la base, no se supone que este triángulo
sea, por ejemplo, equilátero o isósceles.
Además, ya que todo polígono se puede dividir en dos o más triángulos,

una pirámide de base poligonal también se puede descomponer en dos
o más pirámides de base triangular. Como se ha visto, el volumen de
cada una de estas pirámides es un tercio del volumen del correspondiente
prisma triangular; por lo tanto, el volumen de la pirámide de base
Figura 3.127: Pirámide P2 (DEBC ). poligonal es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura, sin
importar cuál sea el polígono de la base.
Como resultado, se obtiene que el volumen de una pirámide equivale

a un tercio del volumen de un prisma de igual área basal e igual altura,
es decir,
1
Vpirámide = · AB · h,
3
donde AB es el área de la base y h es la altura.
Volumen de conos
La pirámide y el cono de la Figura 3.129 tienen la misma altura y sus

Figura 3.128: Pirámide P3 (DEF C ).
bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri, si sus secciones
planas a la misma altura son iguales, los volúmenes también lo son; por
geometría 237
lo tanto, se puede calcular el volumen del cono a partir del volumen de

la pirámide:
1
Vcono = · AB · h,
3
donde AB es el área de la base y h es la altura.
Utilizando AB = π · r2 , se obtiene
1
Vcono = · π · r2 · h.
3
En el caso de un cono truncado, el volumen se puede calcular como la
Figura 3.129: Pirámide de base hexago-
diferencia entre el volumen del cono, como si estuviera completo, y el nal y cono.
cono menor que lo complementa (ver Figura 3.130), es decir,
1 1
Vcono truncado = πHR2 − πar2 .
3 3
Utilizando el teorema de Thales se puede demostrar que el volumen
del cono truncado está dado por la expresión:
1
πh r2 + R2 + r · R ,

Vcono truncado = Figura 3.130: Cono truncado a una al-
3 tura h.
donde R y r son los radios de las bases y h es la altura del cono truncado.
Obsérvese que esta expresión depende solo de la altura y del radio de

cada base, tal como en el caso de los prismas, pirámides y cilindros, es
decir, no depende de la inclinación del cono.
Área de prismas y pirámides
En general, el área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma

de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las bases como de
sus caras laterales. En el caso de los prismas, el área total del prisma se
desglosa en dos partes: el área basal, que corresponde al área de ambas
bases y el área lateral, que es la suma de todas las caras laterales. Si las
bases del prisma son polígonos regulares, todas las caras laterales son
rectángulos congruentes y el número de caras laterales depende de la
cantidad de lados que tenga el polígono.
En el caso de las pirámides, el área total de la pirámide se desglosa

en dos partes: el área basal, que ahora es el área de la única base y el
área lateral, que es la suma del área de todas las caras laterales.
El área de una cara lateral se puede calcular usando la arista basal y

el apotema. Si la base de la pirámide es un polígono regular, todas las
caras laterales son triángulos isósceles y congruentes entre sí, y el número Figura 3.131: Pirámide de base cuadra-
de caras laterales depende de la cantidad de lados que tenga el polígono. da junto a su respectiva malla.
El área de una pirámide es A = AL + AB , donde A: área total; AL :

área lateral; AB : área basal, como se observa en la Figura 3.131.
Área de cilindros y conos
En la Figura 3.132, se representa la red de un cilindro. Se puede

observar que la superficie lateral del cilindro está formada por un rectán-
gulo, mientras que sus bases corresponden a círculos. Obsérvese que el
ancho del rectángulo corresponde a la altura del cilindro, y su largo, al
perímetro de la base.
Luego, el área del cilindro está determinada por:
Acilindro = 2 · Acículo + Arectángulo
= 2 · πr2 + 2πr · h,
= 2πr · (r + h)
Figura 3.132: Malla de un cilindro.
donde h es la generatriz o altura del cilindro, y r el radio del círculo de
la base.
Por otra parte, la red de un cono está formada por un círculo (base)
y por un sector circular, como se observa en la Figura 3.133. Para el
cálculo del área del sector circular, considérese que la razón entre el área
de este y el área del círculo completo de radio g debe ser igual a la razón
entre el arco de circunferencia del sector circular y el perímetro de la
circunferencia de radio g, es decir,
ASC 2πr r
= = ,
πg 2 2πg g
donde πg 2 es el área del círculo de radio g, 2πr es la medida del arco del
sector circular y 2πg es el perímetro de la circunferencia de radio g.
Figura 3.133: Cono y su correspondiente Despejando ASC de la expresión anterior se obtiene
malla.
ASC = π · r · g.
El área de la base corresponde al área de un círculo, es decir, π · r2 ,

entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la expresión
Acono = Asector circular + Acírculo = πrg + πr2 = πr (g + r ).
El área de un cono truncado corresponde a la suma de las áreas de

las bases del cono truncado y el área lateral (ver Figura 3.134). El área
lateral se puede calcular como la diferencia entre el área lateral del cono,
si estuviera completo, y la del cono menor que lo complementa.
Esfera
Una esfera es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva

cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia
del centro C a un punto P de la superficie de la esfera se denomina
geometría 239
radio, y la intersección entre la esfera y un plano que contiene al centro

se denomina círculo máximo (ver Figura 3.134).
Si la esfera no tiene base, ¿cómo se puede medir o calcular su volumen?
El matemático griego Arquímides determinó cómo calcular el volumen

de una esfera, cuando se conoce la medida de su radio. El procedimiento
que utilizó consistió en relacionar las secciones planas de una semiesfera,
un cilindro y un cono, todos de altura r y radio r, generadas al intersectar
estos cuerpos por un plano paralelo a las bases a una distancia h del
punto O, como se observa en la siguiente figura:
Arquímides observó que cuando se cortan la semiesfera, el cilindro

y el cono por un plano paralelo a las bases, las áreas de las secciones
producidas en la semiesfera (A1 ), en el cono (A2 ) y en el cilindro (A3 )
Figura 3.134: Esfera.
verifican la relación A1 + A2 = A3 .
Entonces, se puede observar que A1 = A3 − A2 . Luego, se puede

aplicar el principio de Cavalieri para calcular el volumen de la semiesfera,
si se consideran juntos el cilindro y el cono. Como todos estos cuerpos
tienen la misma área basal y la misma altura, se tiene que
Vsemiesfera = Vcilindro − Vcono

1 1 2
⇒ Vsemiesfera = π · r2 · r − · πr2 · r = πr3 − · πr3 = · πr3 .
3 3 3
Finalmente, el volumen de la esfera es el doble que el de la semiesfera,
esto es,
4
Vesfera = · πr3 .
3
A diferencia de los poliedros, del cono y del cilindro, en el caso de la
esfera no es posible dibujar su red, por lo que para calcular el área de la
esfera se utilizará el cálculo de su volumen.
El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volúmenes de

las infinitas pirámides triangulares iguales, cuyas bases están inscritas en
la esfera y cuyos vértices están en el centro de la esfera, como se muestra
en la Figura 3.135. El volumen de la esfera equivale a la suma de los
volúmenes de todas las pirámides (suponiendo n pirámides). Se obtiene:
1 1 1 1 Figura 3.135: Aproximación del volu-

Vesfera = B1 · h + B2 · h + B3 · h + . . . + Bn · h men de una esfera a partir de pirámides
3 3 3 3 de base triangular.
1
= (B1 + B2 + B3 + . . . + Bn ) · h.
3
Obsérvese que la suma de las bases de todas las pirámides B1 + B2 +

B3 + . . . + Bn equivale al área total de la esfera, y h en este caso, es
igual a r, el radio de la esfera; entonces:
1 4
Aesfera · r = πr3 .
Vesfera =
3 3
Finalmente, despejando el área, se tiene:
Aesfera = 4πr2 .
Ejercitación:
125. Si las bases triangulares de la figura tienen área igual a 14 cm2 , y su altura mide 12 cm, ¿cuál es su
volumen?
√ √
126. El prisma recto de la figura, tiene una altura de 5 m y la base es un hexágono regular de lado 2. ¿Cuál
es su volumen?
127. El radio de un cilindro mide 3 cm y su altura mide 5 cm. ¿Cuánto mide su volumen?
128. Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AD, ¿cuál es el volumen del
cuerpo que se genera? Y si se rota en torno a AB, ¿se obtiene un cuerpo de igual volumen que el anterior?
129. Una pirámide recta de altura h contiene como base un cuadrado de lado x. Si el lado de la base aumenta
en 3 cm, manteniendo la altura constante, ¿en cuánto aumenta su volumen?
130. Se rota indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado AB. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se
genera?
geometría 241
131. Un cono se encuentra al interior de un cilindro de radio 4 cm, coincidiendo en el radio y en la altura, tal
√
como se muestra en la figura. Si la generatriz del cono mide 4 5 cm, entonces ¿cuánto mide el volumen
NO cubierto por el cono?
132. En el prisma recto de la figura, los triángulos ABC y DEF son isósceles rectángulo en C y en F ,
respectivamente. Si ABED es un cuadrado de lado a, ¿cuánto mide el área del prisma?
133. El área total de un cilindro recto mide 60 cm2 . Si el diámetro y altura del cilindro tiene la misma medida,
¿cuánto mide el área del manto del cilindro?
134. En la figura, el triángulo QP S es rectángulo en Q y el arco SR es un cuarto de circunferencia de centro

Q y radio 6. Si RP = 18, entonces al girar indefinidamente la figura completa en torno a RP se genera
en cuerpo cuyo volumen, en unidades cúbicas, es...
135. El área de una esfera mide 3.600π cm2 . Si la esfera se corta por la mitad, en dos partes iguales, ¿cuál será
el área total de cada una de esas partes?
136. Si el volumen de una esfera mide 24π cm3 , ¿cuánto mide su área?
Resumen
Se dice que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es
decir, si al superponerlas una encaja perfectamente sobre la otra. Los criterios para determinar
la congruencia de triángulos se resumen en la siguiente tabla:
Criterio LAL Criterio LLL Criterio ALA
Dos triángulos son con- Dos triángulos son con- Dos triángulos son con-
gruentes si tiene dos lados gruentes si tienen sus tres gruentes si tienen dos án-
respectivamente congruen- lados respectivamente con- gulos respectivamente con-
tes y el ángulo comprendi- gruentes. gruentes y el lado compren-
do entre cada lado igual- dido entre ellos igualmente
mente congruente con el congruente.
del otro.
En un triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180◦ .
En un triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
En un triángulo, la suma de dos cualesquiera de sus lados siempre es mayor que el tercer lado.
Las bisectrices en un triángulo se intersectan en un punto llamado incentro del triángulo,

por ser el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Las transversales de gravedad en un triángulo se intersectan en un punto llamado centro

de gravedad del triángulo, el cual divide a cada transversal en la razón 2 : 1.
Las alturas en un triángulo se intersectan en un punto llamado ortocentro del triángulo.
Las simetrales en un triángulo se intersectan en un punto llamado circuncentro del triángulo,

por ser centro de una circunferencia circunscrita en el triángulo.
geometría 243
En un triángulo equilátero todos los elementos secundarios coinciden.
En un triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios que van desde el vértice que se
opone a la base.
En un triángulo isósceles los ángulos basales son congruentes.
En un triángulo rectángulo se verifica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa.
El ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende
el mismo arco.
El ángulo semi inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo del centro que
subtiende el mismo arco.
Todo triángulo inscrito en una semi cinrcunferencia es rectángulo.
El ángulo interior en una circunferencia es igual a la semi suma de los arcos que lo subtienden.
El ángulo exterior en una circunferencia es igual a la semi diferencia de los arcos que lo
subtienden.
En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son suplemen-
tarios y las diagonales se dimidian.
En un cuadrado las diagonales son congruentes y perpendiculares.
En un rombo las diagonales son perpendiculares.
En un rectángulo las diagonales son congruentes.
En un trapecio los ángulos opuestos entre paralelas son suplementarios.
En un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
En un deltoide las diagonales son perpendiculares y se intersectan en el punto medio de una,

la que recibe el rombre de base del deltoide. Además tiene sus lados consecutivos congruentes.
La siguiente tabla resume la forma de calcular área y perímetro de figuras planas:
figura Perímetro Área
Cuadrado P = 4a, a lado. A = a2 , a lado.

Rectángulo P = 2a + 2b, a, b lados. A = ab, a, b lados.
d1 · d2
Rombo P = 4a, a lado. A= , d1 , d2 diagonales.
2
Romboide P = 2a + 2b, a, b lados. A = b · h, b base, h altura.
b·h
Triángulo P = a + b + c, a, b, c lados. A= , b base, h altura.
2
Círculo P = 2πr, r radio. A = πr2 , r radio.
Dos figuras se dicen semejantes si tiene la misma forma, es decir, una es la contracción o la
dilatación de la otra.
Los criterios para determinar la semejanza de triángulos se resumen en la siguiente tabla:
Criterio AA Criterio LLL Criterio LAL
Si dos triángulos tienen Si dos triángulos tienen sus Si dos triángulos tienen
dos de sus ángulos respec- tres lados respectivamen- dos lados respectivamente
tivamente congruentes, ente proporcionales, entonces proporcionales, y el ángu-
tonces son semejantes. son semejantes. lo comprendido entre ellos
es congruente al del otro,
entonces son los triángulos
son semejantes.
Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura semejante a
la original, con lados correspondientes paralelos a esta. Dado un punto O y un número real k, con
k 6= 0, se define una homotecia de centro O y razón de homotecia k como la transformación
OA0
que hace corresponder un punto A en otro punto A0 , tal que A, A0 y O son colineales y = k.
OA
geometría 245
Teorema de Thales: En la siguiente figura
se verifica que
FC GD
L1 k L2 k L3 ⇔ = .
CA DB
Teorema de Euclides: En la siguiente figura
se verifica que
C
a2 = p · c, b2 = q · c, h2 = p · q.
a b
h
α β
A p D q B
c
Teorema de las cuer- Teorema de las secan- Teorema de la tangen-

das tes te y la secante
PA · PB = PT2
AP · P B = DP · P C PA · PC = PB · PD
La geometría analítica es un sistema basado en la utilización del álgebra para describir y

trabajar los elementos geométricos, que tiene como base el uso de un sistema de coordenadas
y la asignación de pares ordenados a todos los puntos de este.
Distancia entre dos puntos: Sean A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) dos puntos del plano, la distancia
entre ellos está dada por q
dAB = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
Punto medio de un segmento: Sean A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ) los dos extremos de un segmento,
el punto medio de este está dado por
x1 + x2 y1 + y2

MAB , .
2 2
Pendiente de una recta: Dada una recta l, que pasa por los puntos A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ), la
pendiente de l está dada por
y1 − y2
ml = .
x1 − x2
Ecuación de la recta: Dados los puntos A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ), la ecuación de la recta está
dada por
y1 − y2
( y − y1 ) = ( x − x1 ) ,
x1 − x2
y1 − y2
donde corresponde a la pendiente de la recta, x1 6= x2 y (x, y ) es cualquier punto de
x1 − x2
ella.
Esta ecuación suele escribirse como y = mx + n, donde n representa al coeficiente de posición,

es decir, el punto de intersección de la recta con el eje y.
La forma general de la ecuación de la recta está dada por
Ax + By + C = 0,
−A −C
donde m = yn= , si B 6= 0.
B B
Las ecuaciones definidas de esta forma, no consideran a las rectas que no tienen pendiente
definida, es decir, las rectas que son paralelas al eje y. En este caso, la ecuación se define como
x = k, donde k es un número real.
geometría 247
Posición relativa de rectas en el plano: Dos rectas en el plano pueden ser paralelas,
coincidentes o secantes. Las condiciones algebraicas para determinar esto son:
Paralelas: Las rectas tienen igual pendiente.
Coincidentes: La razón entre las pendientes es igual a la razón entre los coeficientes de posición.
Secantes: Las rectas tienen distinta pendiente. Si además se verifica que la multiplicación de
las pendientes es igual a −1 las rectas son perpendiculares.
Las transformaciones isométricas son un movimiento rígido que, aplicado a figuras planas,
conserva la forma y el tamaño de la figura original. Se distinguen reflexiones, traslaciones y
rotaciones.
Una reflexión es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original
se le asocia otro punto que está a igual distancia de la recta llamada eje de simetría y el
segmento que une ambos puntos es perpendicular a este eje.
Una traslación es la transformación isométrica que corresponde al movimiento de una figura en

una dirección, en un sentido y en una magnitud dada. Dichas características del desplazamiento
están representadas por un vector de traslación.
Una rotación es una transformación isométrica en el plano que consiste en girar todos los
puntos de una figura a un punto O fijo llamado centro de rotación, en una medida angular α
llamado ángulo de rotación, tal que cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia que
tiene como centro al punto O y un ángulo α.
La ecuación vectorial de la recta en el espacio está dada por
(x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ),
donde (x0 , y0 , z0 ) es el vector de posición, (d1 , d2 , d3 ) es el vector director no nulo y λ es un

número real.
La ecuación simétrica de la recta en el espacio está dada por la expresión

x − x0 y − y0 z − z0
= = .
d1 d2 d3
La ecuación vectorial del plano es
Π : (x, y, z ) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(d1 , d2 , d3 ) + µ(v1 , v2 , v3 ),
donde (x0 , y0 , z0 ) es el vector de posición, (d1 , d2 , d3 ) y (v1 , v2 , v3 ) son vectores directores no

nulos ni paralelos y λ y µ son números reales.
La ecuación cartesiana del plano en el espacio está dada por
Ax + By + Cz + D = 0,
con A, B y C no todos ceros a la vez.
Las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos se resumen a continuación:
Esfera Cilindro Cono Prisma Pirámide
A = 4πr2 A = 2πr2 + 2πrh A = πr2 + πrg A = 2AB + A = AB +

AL AL
4 3 1 2 1
V = πr V = πr2 h V = πr h V = AB h V = AB h
3 3 3
1. Según la figura, ABC, AGD y BGF son puntos colineales y L1 es paralela con L2 . ¿Cuál es el valor
del ángulo x?
A) 30◦ 4x F
L1
A
x
B) 36◦
C) 45◦ G
B
D) 60◦ x
L2
C D
E) 72◦
geometría 249
2. En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál es el valor de α − β?

A) 110◦
B) 80◦
C) 50◦
D) 40◦
E) No se puede determinar.
3. ¿Cuál es el valor del ángulo inscrito x en la circunferencia de centro O?
A) 20◦ x
B) 25◦
O
C) 30◦ 30◦
20◦
D) 40◦
E) 50◦
∼ CB y DE =
4. En la figura, A, E y B son puntos colineales, CE = ∼ EB ¿cuál(es) de las siguientes
alternativas es (son) verdadera(s)?
∼ ∆EBC.
I. ∆DEC =
II. El ángulo x mide 22,5◦ .
∼ ∆DEC.
III. ∆ADE =
∼ DC, A, B, D y E son puntos inscritos en la circunferencia y

5. En la circunferencia de centro O, OD =
los puntos A, O, B y C son colineales, ¿cuál es el valor del ángulo α?
A) 60◦
B) 40◦
C) 30◦
D) 20◦
E) 10◦
6. En el trapecio ABCD,DB y AC son diagonales y F E k DC , ¿cuál es el valor de F E?

A) 5 cm
B) 4 cm
C) 3 cm
D) 6 cm
E) 2,5 cm
7. El triángulo de la figura es isósceles de base AB. Es posible determinar cuánto mide su área si
C
(1) AB = 10 cm.
(2) CD = 5 cm.
45◦
A D B
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas juntas, (1) y (2)
8. Sean M y L dos rectas en el plano cartesiano tales que M tiene pendiente 1 y pasa por el origen, L
es una recta que tiene pendiente 0 y es distinta al eje x. ¿Cuáles(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I. L es paralela al eje x.
II. L puede intersectar a M en el tercer cuadrante.
III. Si L pasa por el punto (0, 4), entonces ambas rectas se intersectan en el punto (4, 4).

B) Solo III D) Solo I y III
9. ¿Cuál es el área, medida en unidades cuadradas u2 , de la región limitada por los ejes x e y y la recta
de la ecuación y = −3x + 1?
1 2 1 2 C) 1u2 D) 3u2 1 2
A) u B) u E) u
3 2 6
geometría 251
10. Si L y M son dos ejes de simetría del hexágono regular de la figura, ¿Cuál es la imagen del punto F
al aplicar la composición de reflexiones SL ◦ SM ?
L M
A) A A F
B) B
C) C
B E
D) D
E) E
C D
11. En la figura se muestra un cubo de arista 4 con tres de sus vértices en los ejes coordenados y uno
en el origen. Si la cara derecha está dividida en tres franjas horizontales congruentes, entonces las
coordenadas del punto P son:
A) (0, −3, −2)
B) (3, −2, 0)
C) (0, 3, −1)
D) (0, −2, 3)
E) (0, 3, −2)
12. Sean A(3, −1, −2), B (1, 1, 1) y C (0, 0, 1) tres puntos en el espacio. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones sobre estos puntos es (son) verdaderas?
I. Los tres puntos son colineales.
II. Una ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B es (x, y, z ) = (3, −1, −2) +
t(2, −2, −3).
III. La ecuación del plano que contiene a los tres puntos es −3x + 3y − 4z = −4.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
13. En una caja cilíndrica caben exactamente tres pelotitas todas de igual radio r una encima de la otra,
como se muestra en la figura. El volumen no cubierto por las pelotitas es:
A) πr3
B) 2πr3
C) 3πr3
D) 4πr3
14 3
E) πr
3
14. El ∆ABC de la figura es rectángulo si
C
(1) ]CAB = ]ABC

E D
(2) ]BF A = 135◦ , AD y BE son bi- F
sectrices de los ángulos A y B, respecti-
vamente.
A B
A) (1) por sí sola D) Cada una por si sola, (1) o (2)

B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) E) Se requiere información adicional
1
15. Dado el ∆ABC al cual se le aplica una homotecia con centro P y razón k = − se obtiene el
2
triángulo A0 B 0 C 0 . La figura que mejor representa esta trasformación corresponde a:
C
P
C
A B C
′
A) C
B) A B
E) A B
P
′ ′ C′
A B
B′ A′
C′
A′ B′
P
C
C
A B
P A B
C) B′ A′
D) P
C′
B′
A′
C′
geometría 253
16. Se puede conocer el valor del segmento P Q si

(1) Se conoce el valor de los segmentos AQ y P B
(2) Se conoce la razón entre AP y QB
A P Q B
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
E) Se requeire información adicional
17. En la figura, el ∆ABC es rectángulo en C, DE es perpendicular

√
a CB, CD es perpendicular a AB
y EF es perpendicular a CD. Si CF = 1 y F E = 2, entonces AD =
√
2 2
A)
3
√
5 3
B)
2
√
3 2
C)
2
√
2
D)
2
√
E) 6
18. En la figura, P T es tangente a la circunferencia y P B = 8 cm. Se puede determinar el valor de P T si
(1) AB = 10 cm
(2) P B : BA = 4 : 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

19. En el ∆M N C de la figura, se puede afirmar que los triángulos RON y ROC son congruentes en ese
orden si
(1) R es punto medio de N C.
(2) ∆M OC es equilátero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas jutas, (1) y (2)
20. En un paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD, siempre se cumple que

I. Si AC ⊥ BD y AC 6= BD, entonces el paralelogramo ABCD es un rombo.
II. Si AC ⊥ BD y AB = BC entonces el paralelogramo ABCD es un cuadrado.
III. Si AC 6= BD y AB 6= BC, entonces el paralelogramo ABCD es un romboide.

A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
1. A 5. D 9. E 13. B 17. C
2. D 6. B 10. B 14. B 18. D
3. E 7. D 11. E 15. B 19. D
4. C 8. E 12. C 16. C 20. D

Unidad 4 Datos y azar
Es absolutamente increíble observar que la matemática está

presente en un apasionante juego de cartas o en el simple lanzamiento
de un dado. A lo largo de la historia, de la existencia y de la vida, se
evidencia la presencia de situaciones inciertas y definidas por el azar.
Como es natural, la matemática busca, de alguna forma, predecir y

determinar aquellos eventos que parecen imprevisibles, transformando
así, todo lo que se conoce, en una teoría general que es capaz de iluminar
hasta la habitación más oscura.
4.1 Estadística descriptiva 4.4 Variable aleatoria discreta

4.2 Técnicas de conteo 4.5 Variable aleatoria continua
4.3 Probabilidad clásica
4.1 | Estadística descriptiva

La estadística descriptiva es la técnica matemática que obtiene, organi-
za, presenta y describe un conjunto de datos con el propósito de facilitar
Sabías que...? su análisis, generalmente con el apoyo de tablas, medidas numéricas o
Los conceptos estadísti- gráficas. Además, calcula parámetros estadísticos como las medidas de
cos se han estudiado des- centralización y de dispersión que describen el conjunto estudiado.
de la época antigua, las
primeras culturas recopilaban
datos poblacionales por medio Objetivo PSU
de censos, como en Egipto.
Interpretar y producir información, en diversos contextos, me-
diante gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos
datos están agrupados en intervalos.
4.1.1 Tablas de frecuencia y gráficos
Tablas de frecuencia
Es un tipo de representación que permite organizar datos, utilizando

la información de la frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada,
frecuencia relativa y/o frecuencia relativa acumulada. Las tablas de
frecuencia pueden tener los datos agrupados o no, según convenga. A
continuación se definen los conceptos involucrados:
Frecuencia absoluta (f ). Es el número de veces que se repite un

dato o el número de datos incluidos en un determinado intervalo.
Frecuencia absoluta acumulada (F ). Es la suma de las frecuencias

Figura 4.1: Histograma con su polígono absolutas de los valores menores o iguales al valor de la variable en
de frecuencias respectivo.
cuestión. El último valor de esta debe ser igual al número total de
datos.
Frecuencia relativa (fr ). Es el cociente entre la frecuencia absoluta

y el número total de datos. Puede ser expresado en fracción, decimal
o porcentaje.
Frecuencia relativa acumulada (Fr ). Es la suma de las frecuencias

relativas de los valores menores o iguales al valor de la variable en
cuestión. El último valor de ésta debe ser igual a 1.
Interpretación de tablas de frecuencia con datos agrupados
Figura 4.2: Polígono de frecuencia acu- Para interpretar la tabla de frecuencia, ocuparemos el siguiente ejem-
mulada. plo:
datos y azar 257
Ejemplo:
Se entrevista a 140 familias y se les pregunta la cantidad de autos que poseen. Los datos obtenidos son los
siguientes:
Número de autos por familia f F fr Fr

0 20 20 0,14 0,14
1 60 80 0,43 0,57
2 40 120 0,29 0,86
3 20 140 0,14 1
Para obtener información de la tabla de frecuencia debes fijarnos en la columna que nos sea más útil. De
esta forma si queremos saber la cantidad de autos que es más común tener, nos fijaremos en la frecuencia
absoluta f y nos fijaremos que es “1” ya que es el dato que más se repite (60).
Por otro lado, si queremos conocer cuántas familias tienen como máximo 2 autos, nos será útil revisar la
frecuencia absoluta, ya que nos entrega la información de la datos acumulados hasta el dato “2” (es decir, se
incluyen las familias que tienen 0,1 y 2 autos).
En este caso, podemos decir que 120 familias tienen como máximo 2 autos.
Ahora, ¿qué columna debemos ocupar para conocer qué porcentaje representan las familias que tienen 3
autos del total de datos? ¿qué porcentaje representan las familias que tienen entre 1 y 3 autos?
Gráficos
Uno de los métodos más usuales para representar información son los
gráficos. A continuación se definen algunos de ellos:
Definición. Un histograma es una representación gráfica en forma de

barras continuas, en las que sus alturas comparadas son proporcionales a
la frecuencia absoluta de los intervalos representados.
Definición. Un polígono de frecuencias corresponde a la línea poli-

gonal, que se obtiene al unir los puntos referidos a las marcas de clase y Figura 4.3: Distribución simétrica.
la frecuencia absoluta de cada intervalo. En la Figura 4.1 se presenta un
histograma con su respectivo polígono de frecuencia.
Definición. El polígono de frecuencia acumulada se representa

uniendo los puntos referidos al límite superior y frecuencia acumulada de
cada intervalo. También se conoce con el nombre de Ojiva. En la Figura
4.2 se representa un ejemplo de polígono de frecuencia acumulada.
Interpretación de histogramas y polígono de frecuencia

Figura 4.4: Distribución asimétrica po-
Se puede interpretar un histograma a partir de la forma de la distri- sitiva.
bución o concentración de los datos. Según esto se pueden diferenciar
tres tipos: distribución simétrica, como en la Figura 4.3, distribución
asimétrica negativa, como en la Figura 4.4 y distribución asimétrica

positiva, como en la Figura 4.5.
Interpretación de polígono de frecuencia acumulada
La interpretación de polígono de frecuencia acumulada se uti-

liza para visualizar la frecuencia de los distintos intervalos en que están
agrupando los datos. A su vez, en el polígono de frecuencias acumuladas
Figura 4.5: Distribución asimétrica ne-
gativa. es posible observar cuántos datos están por encima o por debajo de cierto
valor.
Ejercitación:
1. Construye una tabla de datos agrupados que contenga la frecuencia absoluta, acumulada, relativa y
relativa acumulada de las siguientes situaciones.
a) Las masas, en kilogramos, de los niños y niñas de un curso de cuarto año medio (5 intervalos de 10 en
10, partiendo del 50). Los datos están en la Figura 4.6.
b) Las edades de las personas que asistieron al teatro a ver el “El lago de los cisnes” de Tchaikovski (7
intervalos de 10 en 10, partiendo del 10). Los datos están en la Figura 4.7.
c) Construya el histograma y el polígono de frecuencia asociado a cada una de las tablas de frecuencia
construidas en a) y b).
4.1.2 Medidas de tendencia central
Objetivo PSU
55 65 70 72 84
Interpretar y producir información, en contextos diversos, me-
52 63 89 73 67
diante el uso de medidas de posición y de tendencia central,
80 57 81 77 66
aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utili-
64 65 85 70 90
zando.
76 82 66 56 55
88 81 76 74 92
Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que
Figura 4.6: Datos ejercicio 1a.
pretenden resumir en pocos valores a un conjunto de muchos valores.
Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto
15 19 21 25 64
de los datos. Las medidas de tendencia central que se estudiarán son:
51 60 23 28 36
moda, mediana y media aritmética.
35 42 45 24 27
31 37 46 48 56 Medidas de tendencia central para datos no agrupados
33 51 65 52 25
21 36 40 62 70 La media aritmética o promedio es el valor que produce la misma
32 26 49 31 23 suma si reemplaza a todos los datos. Para datos no agrupados la media
Figura 4.7: Datos ejercicios 1b.
se calcula como
x1 + x2 + · · · + xn
x= ,
n
donde x1 , x2 , . . . , xn representan los datos 1, 2, . . . n, respectivamente
y n al número de datos.
datos y azar 259
La moda es el valor que más se repite (que tiene mayor frecuencia)

dentro de un conjunto de datos. Puede existir más de una moda o
Masa de estudiantes
ninguna moda. 7
Cantidad de estudiantes
6
La mediana es el valor que se ubica en el centro del conjunto de 5
4
datos cuando estos fueron previamente ordenados de mayor a menor 3
o de menor a mayor, de manera que el 50 % de ellos son menores o 2
1
iguales que la mediana, y el otro 50 % son mayores o iguales. 0
41 47 53 59 65 71 77
Masa en kg
Figura 4.8: Gráfico ejercicio 2.

Medidas de tendencia central para datos agrupados
Para calcular medidas de tendencia central en datos agrupados

se puede obtener una aproximación de estas a partir de las siguientes
expresiones:
La media aritmética o promedio para datos agrupados se calcula

como
f1 · x1 + f2 · x2 + . . . + fn · xn
x= ,
N
Figura 4.9: Colegio almendros.
donde donde N es el número total de datos, x1 , x2 , . . . , xn , correspon-
den a las marcas de clase en los intervalos 1, 2, . . . , n respectivamente
y f1 , f2 , . . . , fn , la frecuencia absoluta de los intervalos 1, 2, . . . , n,
respectivamente. La marca de clase es el promedio entre el límite
inferior y el límite superior del intervalo.
La moda para datos agrupados se calcula de forma complicada. Sin

embargo, en general lo que se pide es el intervalo modal, que es el
intervalo con la mayor frecuencia absoluta.
Figura 4.10: Colegio nogales.
La mediana para datos agrupados se calcula de forma complicada.
Sin embargo, en general lo que se pide es el intervalo que contiene
a la mediana, es decir, el intervalo que contine al dato ubicado en el
centro del conjunto de datos.
Ejercitación:
2. El histograma de la Figura 4.8 representa la masa de un grupo de estudiantes.
a) ¿Cuál es la media de la masa de las y los estudiantes considerando la marca de clase?
b) ¿Cuál es el intervalo modal?
c) ¿Cuál es el intervalo que contiene a la mediana?
Interpretación de medidas de tendencia central
Para interpretar las medidas de tendencia central se puede considerar

lo siguiente:
Si las medidas de Se dice que la Se dice que la

tendencia central son distribución es distribución tiene
valores cercanos, es asimétrica positiva, una asimetría
decir, x ≈ Me ≈ Mo , cuando el valor de la negativa, cuando la
entonces el conjunto media es mayor que media es menor a la
de datos tiene una el valor de la mediana y la moda
distribución mediana y la moda es mayor a la
simétrica. menor a la mediana. mediana.
Figura 4.11: Colegio manzano.
Ejercitación:
3. Mariela y Esteban deben realizar un informe respecto a la estatura de las competidoras de unas olimpíadas
escolares en la que participan tres colegios. Ellos cuentan con los histogramas de cada colegio y las medidas
de tendencia central, pero desconocen cuáles medidas corresponden a qué establecimientos.
Las medidas de tendencia central se muestran en la tabla de la Figura 4.12.
Los histogramas de los tres colegios se ilustran en las Figuras 4.9, 4.10 y 4.11.
a) ¿A cuál colegio pertenece cada una de las medidas de tendencia central?
b) ¿Cuál es el colegio que tiene a las competidoras con mayor estatura?
c) ¿Qué puedes concluir respecto a la estatura de las competidoras de cada colegio a partir de los
histogramas y las medidas de tendencia central??
4.1.3 Medidas de posición

Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles y percentiles
Media Moda Mediana
dividen a una distribución ordenada en partes iguales.
186 cm 197 cm 177 cm
Los cuartiles (Qn ) son los tres valores de la variable de una distribu-
162 cm 157 cm 162 cm
177 cm 177 cm 187 cm
ción que la dividen en cuatro partes iguales.
Los quintiles son los cuatro valores de la variable de una distribución

Figura 4.12: Tabla ejercicio 3.
que la dividen en cinco partes iguales.
Los percentiles (Pn ) son los noventa y nueve valores de la variable

de una distribución que la dividen en cien partes iguales.
Interpretación de las medidas de posición

Se pueden interpretar las medidas de posición a partir de un polígono
de frecuencia acumulada o de un diagrama de cajas y bigotes que es
datos y azar 261
un gráfico que muestra la distribución de los datos, dividiendo estos en

cuatro partes iguales mediante los cuartiles.
Para construir un gráfico de caja y bigotes se dibuja una caja que
va desde Q1 hasta Q3 . Dentro de ella se traza una línea vertical en la
mediana. Luego, se trazan líneas desde la caja a los valores mínimo y
máximo, como se observa en la Figura 4.13.
Figura 4.13: Diagrama de caja y bigotes.
Se llama rango intercuartil a la diferencia entre el tercer cuartil
(Q3 ) y el primer cuartil (Q1 ).
Ejercitación:
4. La tabla de la Figura 4.14 muestra el rango de notas de un curso.
a) Iván, estudiante del curso sabe que se encuentra en el cuarto quintil de las notas, ¿qué nota podría
tener Iván?
b) Carolina obtiene información similar a la de Iván, pero le dicen que su nota se encuentra en el decil 2.
¿Cuál es la máxima nota que podría tener Carolina?
4.1.4 Medidas de dispersión

Nota Cantidad de
Objetivo PSU alumnos
Comprender el concepto de dispersión y comparar características Entre 1 y 1,9 4
de dos o más conjuntos de datos, utilizando indicadores de Entre 2 y 2,9 8
tendencia central, de posición y de dispersión . Entre 3 y 3,9 9
Entre 4 y 4,9 11
Entre 5 y 5,9 7
Se llama dispersión de un conjunto de datos a la variabilidad que
Entre 6 y 7 6
existe entre estos y las medidas de tendencia central. Generalmente,
estas medidas tienen que ver con el grado de dispersión que tiene el Figura 4.14: Tabla ejercicio 4.
conjunto de datos con respecto a su media. Mientras más disper-
sos sean, más heterogéneo es el conjunto, y si es menos disperso es
más homogéneo. La dispersión puede ser cuantificada por el rango
(R), la desviación media (Dm ), la desviación estándar (σ (x)) y la
varianza var(x) o σ 2 (x) .

Definición. El rango corresponde a la diferencia entre el valor máximo

y el valor mínimo de los datos.
Definición. La desviación media corresponde al promedio del valor
absoluto de la diferencia entre cada dato y el promedio de los datos.
|x1 − x| + |x2 − x| + · · · + |xn − x|
Dm = .
n
Definición. La varianza corresponde al promedio de los cuadrados de
las diferencias entre cada dato y el promedio de ellos.
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + · · · + ( xn − x ) 2
σ2 = .
n
Definición. La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada

de la varianza.
s
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + · · · + ( xn − x ) 2
σ= .
n
Ejercitación:
Iván observa sus notas semestrales en algunas asignaturas, y el promedio entre ellas, para hacer una evaluación
respecto a su rendimiento en el semestre.
Asignatura Nota
Óptica 5,3
Física Moderna 4,4
Métodos Experimentales IV 4,1
Geometría 4,0
Promedio 4,45
Lo primero que le interesa saber es qué tan parecidas son sus notas entre sí. Para ello:
Paso 1: Identifica la mayor y la menor de sus notas: Óptica: 5,3 y Geometría: 4,0.
Paso 2: Calcula el rango, es decir, la diferencia entre estos valores:
R = 5,3 − 4,0 = 1,3.
Como las notas van de 1 a 7, la mayor diferencia que podría existir es 7 − 1 = 6. Dado que la diferencia
entre sus notas es pequeña, se puede concluir que las notas de Iván son relativamente parecidas entre sí.
Ahora, Iván quiere averiguar si su rendimiento semestral es cercano al promedio. Para ello, compara cada
una de sus notas con el promedio obtenido.
Calcula el promedio de la diferencia entre las notas y el promedio:
(5,3 − 4,45) + (4,4 − 4,45) + (4,1 − 4,45) + (4,0 − 4,45) 0,85 − 0,05 − 0,35 − 0,45
= = 0.
4 4
Se puede demostrar que cualquiera sea la cantidad de datos y el promedio este resultado será cero, por lo
que es preciso tomar otras medidas. Una opción es la desviación media, que toma los valores absolutos de
estas diferencias:
|5, 3 − 4, 45| + |4, 4 − 4, 45| + |4, 1 − 4, 45| + |4, 0 − 4, 45 0, 85 + 0, 05 + 0, 35 + 0, 45
Dm = =
4 4
1, 7
⇒ Dm = = 0, 425.
4
Iván calcula ahora la desviación estándar, ya que esta mide cuánto se separan los datos.
Paso 3: En primer lugar, calcula la varianza.
(5,3 − 4,45)2 + (4,4 − 4,45)2 + (4,1 − 4,45)2 + (4,0 − 4,45)2 1,05
σ2 = = = 0,2625.
4 4
datos y azar 263
Paso 4: Calcula la raíz cuadrada del valor anterior:
0,2625 ≈ 0,5123.
p
σ=
El por qué usar la desviación estándar, se verá más adelante. Sin embargo, en la subsección siguiente, se
podrá apreciar su uso para comparar conjuntos de datos y analizar en cuáles de ellos los datos son más
homogéneos.
Comparación de conjuntos de datos
Se puede comparar dos o más conjuntos de datos de acuerdo a sus

medidas de tendencia central (como el promedio y la mediana) y de la
dispersión que muestran. Así, se puede juzgar cuál de ellos posee un
promedio más representativo, es decir, aquel conjunto cuyos valores son
más cercanos al promedio.
Ejercitación:
5. A un grupo de 200 niños y niñas de primero básico de un colegio se les pregunta cuantas veces han ido al
cine y se obtienen los siguientes datos:
a) ¿Cuál es el rango?
Número de visitas al cine f
b) ¿Cuál es la desviación media?
0 10
c) ¿Cuál es la desviación estándar?
1 20
d) ¿Cuál es la varianza?
2 20
3 80
4 30
5 40
4.2 | Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo o combinatoria, son técnicas que nos permiten
encontrar la cantidad de ordenaciones diferentes que se pueden formar con
cierta cantidad de objetos o elementos. Se estudiarán diferentes técnicas
de conteo (permutaciones, variaciones y combinaciones), las cuales se
aplican en distintas situaciones y contextos. El principal objetivo de esta
sección es comprender cómo diferenciar estas situaciones y aplicar las
permutaciones, variaciones y combinaciones en la resolución de problemas.
4.2.1 Principio multiplicativo
Objetivo PSU
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en
experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y
aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones.
Problema: Gabriela es la encargada de logística en una empresa de camiones que realiza recorridos desde
Santiago a Copiapó con una parada en La Serena. Ella desea determinar la cantidad de trayectos diferentes
que se puede realizar desde Santiago a Copiapó, pasando por La Serena. Para esto, sabe que desde Santiago
a La Serena los camiones pueden transitar por tres caminos diferentes, y desde La Serena a Copiapó, por
cuatro. Entonces, ¿cuántos recorridos pueden realizar los camiones para ir de Santiago a Copiapó?
Para responder esta pregunta, Gabriela realiza el siguiente esquema, que ilustra la situación:
B1
A1
B2
Santiago A2 Copiapó
La Serena
B3
A3
B4
Utilizando este esquema, dibuja el siguiente diagrama de árbol:

datos y azar 265
Para discutir
Observa el diagrama y responde:
¿Cuántos recorridos distintos se pueden realizar?
¿Cómo se podría calcular la cantidad de recorridos sin la necesidad

de dibujar un diagrama de árbol?
Si ahora el camión debe ir de Santiago a Antofagasta, pasando por

La Serena y Copiapó, ¿cuántos recorridos diferentes puede tomar si
existen tres caminos posibles de Copiapó a Antofagasta?
En la actividad anterior se hizo uso de dos técnicas muy importantes

a la hora de combinar elementos: el diagrama de árbol y el principio
multiplicativo.
Definición. Un diagrama de árbol es un esquema que permite repre-

sentar gráficamente todos los posibles resultados de un experimento. Pero
muchas veces, no se necesita saber cuáles son, sino conocer el número de
estos. Para ello, se utiliza otra técnica: el principio multiplicativo.
Definición (Principio multiplicativo). Si la realización de un proceso

se divide en k etapas, y cada etapa se puede realizar de n1 , n2 , . . . , nk
formas, entonces todo el proceso se puede realizar de n1 · n2 · . . . · nk
distintas maneras.
Ejercitación:
6. Construye un diagrama de árbol para representar las diferentes combinaciones.
a) 2 pantalones (azul o negro) y 3 chalecos (rojo, amarillo o verde).
b) 3 colores de blusas (blanca, roja o negra) y 3 pares de zapatos (cafés, negros o blancos).

a) En una repisa se quieren ordenar 3 libros. Uno de Biología, otro de Lenguaje y otro de Matemática.
¿De cuántas formas es posible hacerlo?
b) Un estudiante tiene 5 chaquetas, 3 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas
puede combinar su ropa para vestirse?
c) Con respecto a la palabra PLATO, ¿de cuántas maneras puedes combinar las letras para escribir
distintas palabras, con o sin sentido y sin que estas se repitan?
d) ¿Cuántas patentes para automóviles es posible formar si estas deben constar de 4 letras, todas ellas
consonantes, seguidas de 2 dígitos? Considere que las letras y números se pueden repetir.
4.2.2 Permutaciones
Problema:
Iván participa en un experimento que consiste en

3
adivinar el orden de extracción, sin reposición, de 3
bolitas desde la urna que muestra la imagen. Si Iván 1
2
debe escoger un orden al azar, ¿cuántas posibilidades

tiene para hacerlo?
Para solucionar este problema, Iván realiza el siguiente diagrama de árbol para visualizar los ordenamientos
posibles:
2 3 1 2 3
1
3 2 1 3 2
1 3 2 1 3 Se observa que Iván

2 puede escoger entre 6
3 1 2 3 1 ordenamientos distintos.
1 2 3 1 2
3
2 1 3 2 1
Iván comprueba lo anterior utilizando el principio multiplicativo:
Para discutir
Si en la caja hay 15 pelotas, utiliza el principio multiplicativo para

expresar la cantidad de ordenamientos distintos que se podrían
generar al sacarlas una a una, sin reposición. Si en vez de 15 hubiesen
7, ¿cómo se expresaría? ¿Y si hubiesen 11?
¿Qué relación hay entre las expresiones anteriores?
Si ahora hay una caja con n pelotas, ¿cómo se expresaría la cantidad

de ordenamientos distintos que se pueden obtener?
datos y azar 267
Definición. Una permutación de n objetos diferentes corresponde al

número de ordenamientos lineales posibles de realizar con n elementos.
Se expresa como n! (n factorial). Con n entero positivo, se tiene que:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1.
Por definición, 0! = 1.
Problema:
Si el experimento varía y se reemplaza la bolita nú-

2
mero 3 por una bolita número 2, ¿de cuántas formas
puede escoger Iván el orden de extracción? 1
2
Para discutir
¿Cuántos ordenamientos diferentes hay? ¿Cuáles son? Ayúdate cons-

truyendo un diagrama d árbol.
¿Qué diferencia hay entre estos y los obtenidos anteriormente?
Una manera de calcular el número de ordenamientos es:

3! 3·2·1
= =3
2! 2·1
¿Por qué funciona?
Si se tiene una caja con 20 pelotas de las cuales 5 están repetidas,

¿cómo se expresaría el total de ordenamientos diferentes que se
pueden obtener al sacar las pelotas, una a una y sin reposición?
La permutación de n elementos, con a, b y c elementos repetidos

es igual a:
n!
.
a! · b! · c!
Continuación del problema:
Ahora el experimento consiste en adivinar el orden de

3
extracción de dos bolitas desde una urna con cuatro 4
bolitas numeradas del 1 al 4. En este caso, ¿cuántos 1

2
ordenamientos distintos puede escoger Iván?
Para responder se realiza el siguiente diagrama de árbol:

2 1 2
1 3 1 3
4 1 4
1 2 1
2 3 2 3
Existen 12 formas dis-
4 2 4 tintas de orden para
la extracción. Según el
principio multiplicativo
1 3 1 se puede calcular como
4 · 3 = 12
3 2 3 2
4 3 4
1 4 1
4 2 4 2
3 4 3
Para discutir
¿Qué diferencia hay entre este experimento y los anteriores?
Si se extraen 7 bolitas de un total de 15 bolitas diferentes, de una

caja, una a una y sin reposición, ¿cómo se expresaría el total de
ordenamientos diferentes?
En el problema anterior, vimos que la cantidad de ordenamientos

distintos que tiene Iván para adivinar son 12, y lo calculamos siguiendo
el principio multiplicativo como 4 · 3. Sin embargo, es usual que este
resultado se exprese en función del factorial del número total de elementos
y el factorial de la cantidad de esos elementos que queremos ordenar. En
el caso de este ejemplo, consideremos lo siguiente:
2·1 4·3·2·1 4! 4!
4·3 = 4·3· = = =
2·1 2·1 2! (4 − 2) !
A continuación se enuncia el caso general:
La permutación de k elementos de un conjunto de n elementos

distintos se conoce como variación, y el número de estas permutaciones
se calcula mediante la expresión:
n!
.
(n − k ) !
datos y azar 269
Continuación del problema:
Si ahora el experimento consiste en extraer una bolita,

3
anotar su número y devolverla a la urna, ¿de cuántas 4
formas se podrán extraer 2 bolitas de la urna? 1

2
Se realiza un diagrama de árbol para visualizar todos los ordenamientos:
Existen 16 formas dis-

1 2 3 4
tintas de orden para la
extracción con reposición,
ya que la cantidad de
3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 ramas del diagrama de
árbol no disminuye con
cada extracción pues se
devuelven las bolitas ex-
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4
traı́das.
3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2
En este caso, Iván advierte que al aplicar el principio multiplicativo se tiene:
Para discutir
Se tiene una caja con 15 pelotas diferentes del mismo tamaño, ¿de
cuántas formas se pueden extraer 7 de ellas, si cada vez que se extrae
una se devuelve a la caja?
La permutación de k elementos de un conjunto de n elementos,

con elementos que se puedan repetir se conoce como variación con
reposición. El número de variaciones en este caso está dado por la
expresión:
nk
Ejercitación:
a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sin que se repita
ninguna? ¿Y si se repite cada uno en dos ocasiones?
b) Carolina realiza el siguiente experimento en la feria de su colegio: desde una urna con 7 bolitas, se
debe adivinar el orden de extracción de 3 bolitas que realizará un compañero con los ojos vendados.
Existen dos formas de extraer las bolitas:

A: Una a una y sin reposición.
B: Una a una y con reposición.
¿Cuántas extracciones distintas existen si se extraen tres bolitas sin reposición?

¿Cuántas extracciones distintas existen si se extraen tres bolitas con reposición?
Si un concursante adivina que en la primera extracción sin reposición la bolita tiene el número 2,
¿cuántas extracciones posibles existen para que gane? ¿Y si la extracción se realiza con reposición?
4.2.3 Combinaciones
Problema:
Adrián está realizando un estudio en el que debe entrevistar grupos de dos personas escogidas al azar de
un total de 4: Andrés, Benjamín, Constanza y Daniela. Esta situación se traduce a elegir muestras de 2
personas de una población de 4 personas. ¿De cuántas maneras podría Adrián elegir estas muestras?
Se observa el siguiente diagrama de árbol, que ilustra la situación:
Ahora, se descartan las parejas que se repiten:

datos y azar 271
Combinaciones descartadas Combinaciones que quedan

AB = BA AC = CA AB BC
CD = DC BC = CB AC BD
AD = DA AD CD
Adrián puede elegir entre 6 combinaciones de personas para su entrevista, es decir, puede elegir 6 muestras
distintas de una población de 4 individuos.
Adrián se pregunta si existe una expresión matemática que permita calcular la combinación anterior sin la
necesidad de hacer el diagrama de árbol. Para buscar dicha expresión, Adrián realiza los siguiente:
Primero, nota que al calcular los ordenamientos diferentes, antes de notar que el orden no importa,
podía utilizar una variación, expresada como:
4!
(4 − 2) !
lo que dio como resultado 12.
Sin embargo, luego de notar que para este problema el orden no importa, descontó las repetidas, lo que
dio como resultado 6. En este punto, Adrián nota que la cantidad de ordenamientos diferentes que se
pueden hacer con dos personas son 2!, y que si esto se multiplica por las 6 combinaciones totales, esto da
como resultado el total de ordenamientos sin haber descontado las repetidas, esto es, la variación calculada
inicialmente. Por lo tanto, establece que:
4!
6 · 2! =
(4 − 2) !
Y despejando las 6 combinaciones totales, obtiene:
4!
6=
2! · (4 − 2)!
Lo que corresponde a una expresión matemática conocida como combinación, en este caso, de 2 elementos
de un total de 4.
La combinación de k elementos de un total de n elementos, se calcula

mediante la expresión:
n!
,
k! · (n − k )!
 
n
donde n y k son números enteros positivos, con n > k. La notación  
k
se utiliza para resumir la expresión anterior. Observación
Nótese que tanto la variación como la combinación se utilizan cuando En una variación sí im-
porta el orden. En una
no se quiere ordenar la totalidad de los elementos de un conjunto, sino combinación no impor-
que un número menor. Para distinguir a qué caso corresponde, basta con ta el orden.
notar si el orden de elección importa o no.
Ejercitación:
a) En una fiesta se dieron 120 apretones de manos como saludo. ¿Cuál fue el número de personas presentes
en la fiesta si todos se saludaron de mano en una ocasión?
b) Se deben formar diferentes comisiones en un curso compuesto por 15 hombres y 16 mujeres. ¿De
cuántas formas se puede armar una comisión de 4 personas?
¿Cuántas comisiones de las anteriores estarán compuestas solamente por varones? ¿Y solamente por
mujeres?
¿Cuántas comisiones de 7 personas se pueden formar y en cuántas de ellas habrá al menos un varón?
¿Cuántas comisiones de 10 personas se pueden formar? ¿Cuántas de esas comisiones tendrán menos de
4 mujeres? ¿Y menos de 7 hombres?
4.3 | Probabilidad clásica

La probabilidad es la medida de la incertidumbre asociada a un
Sabías que...?
suceso o evento futuro.
La teoría de la probabi-
lidad se usa extensamen-
te en áreas como la es- 4.3.1 Probabilidad teórica
tadística, la física, las ciencias,
la administración, contaduría, Objetivo PSU
economía y filosofía para sacar
conclusiones sobre la probabi- Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya
lidad de sucesos potenciales y
la mecánica subyacente de sis- sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las
temas complejos, por lo tanto características del experimento aleatorio.
es la rama de la matemática
que estudia, mide o determina
a los experimentos o fenómenos Conceptos previos:
aleatorios.
Experimento aleatorio. Es aquel que bajo el mismo conjunto apa-
rente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes,
es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada
experiencia particular. Ejemplos de experimento aleatorio son lanzar
un dado, lanzar una moneda, girar una ruleta, etc. Decimos que un
experimento tiene resultados equiprobables cuando todos ellos tienen
la misma probabilidad de ocurrir.
Espacio muestral. Un espacio muestral corresponde al conjunto

de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Suele
denotarse con la letra Ω. La cardinalidad de un espacio muestral
es la cantidad de elementos que tiene.
Suceso o evento. Un suceso o evento es un subconjunto del espacio

muestral.
datos y azar 273
Regla de Laplace:
Cuando un experimento aleatorio tiene resultados equiprobables, se
calcula la probabilidad de un experimento mediante la regla de Laplace.
Esto se conoce como probabilidad teórica.
Para calcular la probabilidad teórica de un evento A se utiliza la
Observación
expresión:
#A n◦ casos favorables
P (A) = = ◦ . Para calcular el número
#Ω n casos posibles de casos totales del espa-
cio muestral de un experi-
Consecuencias:
mento aleatorio se pueden usar
las técnicas de conteo. Así co-
Si A es un suceso, se tiene que 0 ≤ P (A) ≤ 1. mo también para el cálculo de
los casos favorables.
Si P (A) = 0, entonces #A = 0, es decir, A = φ. En este caso decimos
que A es un suceso imposible.
Si P (A) = 1, entonces #A = #Ω y como A ⊆ Ω, entonces A = Ω.

En este caso decimos que A es un suceso seguro.
Ejercitación:
10. En una urna hay 20 bolitas enumeradas del 1 al 20, todas de igual forma y tamaño. Analiza la situación y
responde.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado un número mayor a 10?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado un número menor a 1?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado el número 21?
d) ¿Qué bolita es más probable extraer? Justifica.
11. De un juego de naipe inglés se extrae al azar una carta.

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta con un número par?
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer un as?
12. Se lanzan dos dados de seis caras.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia, en valor absoluto, de los puntos obtenidos sea menor
que 6?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 3?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 como producto?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 como cociente?
13. En un colegio hay 8 primeros medios, de los cuales, 4 están compuestos por 38 estudiantes, 2 por 41
estudiantes y el resto de los cursos tiene 45 estudiantes cada uno. Si la probabilidad de escoger al azar
5
una alumna es , ¿qué cantidad de alumnas y alumnos hay en el colegio?
9
14. Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar sin repetir los dígitos?
a) Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que empiece con 1?
b) Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que termine en 5?
c) Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea par?
4.3.2 Probabilidad experimental
Problema:
Carla realiza el experimento de lanzar un dado 500 veces y registra en una tabla la cantidad de veces que
sale cada valor. La tabla de la Figura 4.15 resume los resultados obtenidos.
Carla se pregunta si existe alguna relación entre los resultados que obtuvo y la probabilidad de ocurrencia
de cada resultado del experimento.
Dado Frecuencia absoluta Para discutir

1 90
2 81
Calcula la frecuencia relativa para cada caso del ejemplo anterior.
3 84
4 96 Calcula la probabilidad de cada uno de los resultados posibles del
5 80 experimento anterior. ¿Hay alguna relación entre este valor y la
6 69
frecuencia relativa obtenida?
Figura 4.15: Tabla de Carla.
La probabilidad experimental (o empírica) de un evento A, se
calcula mediante el cociente entre la cantidad de veces que ocurre el
evento y la cantidad de veces que se realiza el experimento, es decir, la
frecuencia relativa:
Tipo de ganado Criadores
n◦ de veces que ocurre el evento A
Solo corderos 9 P (A) = .
Solo vacunos 6 n◦ deveces que se realiza el experimento
Corderos y vacunos 3
En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un evento A se
Cerdos 5
aproxima a la probabilidad teórica del evento a medida que la cantidad
Figura 4.16: Tipo de ganado de los cria- de experimentos aumenta, esto se conoce como la Ley de los Grandes
dores.
Números.
datos y azar 275
4.3.3 Conjuntos y probabilidades
Problema:
Camila es profesora y pide a sus estudiantes que elijan talleres, entre danza y teatro. Luego de la elección,
observa que 15 escogieron solo danza, 18 solo teatro y 7 escogieron ambos.
Camila quiere ahora escoger un estudiantes al azar, y se pregunta cómo se podría determinar la probabilidad
de escoger personas que hayan elegido uno u otro taller.
Para discutir
Con ayuda de tu tutor o tutora, dibuja un Diagrama de Venn de la

situación y luego responde:
¿Cuál es la probabilidad de que Camila escoja a un o una estudiante

que haya elegido danza?
¿Cuál es la probabilidad de que un o una alumna haya escogido

teatro? Figura 4.17: P (A ∪ B )
¿Cuál es la probabilidad de que un o una estudiante haya escogido

danza y teatro?
¿Cuál es la probabilidad de que un o una estudiante no haya escogido

teatro?
¿Cuál es la probabilidad de que un o una estudiante haya escogido

danza o teatro?
Figura 4.18: P (A ∩ B )
Para cada una de las preguntas anteriores, es posible asociar una

operación entre conjuntos y con ello una manera de calcular las probabi-
lidades:
A ∪ B: Que ocurra el suceso A, el suceso B o ambos sucesos.
A ∩ B: Que ocurra el suceso A y el suceso B a la vez.
Figura 4.19: P (A − B )
A − B: Que ocurra el suceso A y no el suceso B.
Ac : Que no ocurra el suceso A.
En resumen, dado un experimento aleatorio y dos sucesos A y B, se tiene

que:
P (A − B ) = P (A) − P (A ∩ B )
P ( Ac ) = 1 − P ( A )
Figura 4.20: P (Ac )
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ).
Se dice que A y B son sucesos mutuamente excluyentes si ambos

sucesos no pueden ocurrir de manera simultánea, es decir, A ∩ B = φ.
En tal caso:
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ).
4.3.4 Producto y suma de probabilidades
Objetivo PSU
Aplicar propiedades de la suma y producto de probabilidades,
en diversos contextos, a partir de la resolución de problemas que
involucren el cálculo de probabilidades.
Problema:
Una urna contiene dos bolitas con el número 1 y tres bolitas con el 3 y se extraen dos de ellas, consecutivamente.
¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto número?
Para analizar esta situación, se puede utilizar un diagrama de árbol en el que se registran todos los casos
posibles al realizar cada extracción, y se señalan los casos favorables al experimento.
Primera
1 1 3 3 3
extracción
Segunda
1 3 3 3 1 3 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3
extracción
Se puede observar que al realizar la primera extracción hay 5 bolitas que pueden ser escogidas, mientras
que al realizar la segunda hay solo 4. Así, por principio multiplicativo, el experimento tiene 5 · 4 = 20 casos
totales.
Por lo tanto, la probabilidad de extraer dos bolitas de distinto número es:

12 3
P = = .
20 5
El diagrama de árbol realizado anteriormente se puede resumir considerando que, en realidad, cada extracción
tiene dos resultados esencialmente distintos, a los que se puede cada vez, asignar una probabilidad, como se
muestra en la siguiente figura:
2 3
5 5
1 3
1 3 2 2
4 4 4 4
1 3 1 3
datos y azar 277
El suceso “extraer dos bolitas de distinto número” está compuesto de dos casos: que la primera bolita tenga
el número 1 y la segunda tenga el número 3, o que la primera tenga el número 3 y la segunda tenga el 1. Se
trata de sucesos mutuamente excluyentes, pues no pueden ocurrir simultáneamente.
Para calcular la probabilidad de cada caso, se analiza lo que ocurre en cada extracción, como se muestra:
Caso uno y tres: Hay

dos casos favorables en
la primera extracción, y
tres en la segunda. Por
lo tanto, hay 2 · 3 = 6
casos favorables.
1 1 3 3 3
1 3 3 3 1 3 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3
Caso tres y uno: Hay

tres casos favorables en
la primera extracción, y
dos en la segunda. Por
lo tanto, hay 3 · 2 = 6
casos favorables.
Por lo tanto:
Para ganar, puede ocurrir el caso “uno y tres” o bien el caso “tres y uno”. Luego:
P (dos bolitas de distinto número) = P (uno y tres) + P (tres y uno)

2 3 3 2
= · + ·
5 4 5 4
6 6
= +
20 20
12
= .
20
En general, cuando un suceso está formado por casos que deben ocurrir simultáneamente (es decir, que
suceda uno y el otro) se pueden multiplicar sus probabilidades. Además, si un suceso está compuesto por
distintos casos mutuamente excluyentes, se suman sus probabilidades.
En resumen, si en un experimento debe ocurrir primero un suceso

A con probabilidad P (A) y luego un suceso B con probabilidad P (B )
luego de que ocurre A (independientes), se tiene que:
P (A y B ) = P (A) · P (B ) (Regla del producto).
Si un suceso C se compone de dos suceso A y B mutuamente excluyentes,

entonces:
P (C ) = P (A) + P (B ) (Regla de la adición).
Ejercitación:
a) Se extraen dos letras de la palabra AMALIA, sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos
letras iguales?
b) En un curso hay 15 mujeres y 14 hombres. Si se eligen al azar 2 estudiantes sin repetir, ¿cuál es la
probabilidad de que sean mujeres?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas al aire se obtenga como resultado más de una
cara?
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener, como suma de los puntajes de lanzar dos dados de seis caras, un
puntaje mayor que 9?
4.3.5 Probabilidad condicionada
Objetivo PSU
Comprender el concepto de probabilidad condicional y aplicarlo
en diversas situaciones que involucren el cálculo de probabilida-
des.
La probabilidad de un suceso A dado que ya ocurrió un suceso B, se

conoce como probabilidad condicionada.
Ejemplo:
Se realiza una encuesta en un curso para saber si las y los estudiantes desean un paseo de fin de año o
si prefieren que se les compre un regalo. De las mujeres, 14 prefieren ir de paseo y 11 prefieren un regalo,
mientras que de los hombres, 12 prefieren paseo y 8 regalo. Si se escoge a un o una estudiante del curso al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera ir de paseo, dado que es mujer?
Solución: En la pegunta, se establece la condición de que la persona escogida fue mujer. Por tanto, los casos
totales corresponderán a las mujeres en vez de al curso completo, es decir, 25. Luego, observando que de las
25 mujeres hay 14 que prefieren ir de paseo, la probabilidad pedida es:
14
25
datos y azar 279
4.4 | Variable aleatoria discre-

ta
Un experimento aleatorio, como ya se vio, es aquel cuyo resultado no se
Observación
puede predecir, sin embargo, se puede encontrar un conjunto que contiene
como elementos a todos los posibles resultados de dicho experimento. En el experimento
E :lanzar dos monedas,
Este conjunto es el espacio muestral. Sin embargo, como ya se estudió, el espacio muestral está
y como se muestra en la observación, los elementos del espacio muestral dado por
no corresponden siempre a valores numéricos. Ω(E ) = {cc, cs, sc, ss}
donde claramente los elementos
Básicamente, una variable aleatoria le asigna un valor numérico no son numéricos.
a cada uno de los elementos del espacio muestral de un experimento
aleatorio, es decir, es posible concebirla como un valor numérico que está
afectado por el azar. De este modo se establece una relación funcio-
nal entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y los
números reales, lo que permite simplificar su tratamiento estadístico.
4.4.1 Muestreo aleatorio simple
Se llama muestreo aleatorio simple a la elección de una muestra

de una población, de modo que cada elemento de la población tiene
la misma probabilidad de ser escogido. Un método para escoger estas
muestras es mediante la generación de números aleatorios.
Objetivo PSU
Comprender que la media muestral de pruebas independientes de
Observación
un experimento aleatorio se aproxima a la media de la población
a medida que el número de pruebas crece. Se llama media mues-
tral al promedio de las
medias de todas las posi-
bles muestras extraídas de una
La media muestral X de una población permite, en algunos casos, población.
hacer inferencias respecto a la media poblacional.
Problema: Considera el conjunto A = {6, 8, 10, 12}.
¿Cuál es la media aritmética µ del conjunto A?
¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden extraerse, sin importar el orden y sin reposición?
Calcula la media aritmética de cada una de las muestras del ítem anterior.
Calcula la media muestral X, es decir, el promedio de las medias obtenidas en el inciso anterior.
Para discutir
Del problema anterior, ¿qué se puede concluir?
Si las muestras de tamaño 2 se escogen con reposición, ¿ocurre lo

mismo?
En resumen, al extraer muestras de igual tamaño de una población,

se puede calcular la media aritmética de cada una de estas y poste-
riormente obtener el promedio entre ellas. La relación que existe entre
este promedio es que se aproxima a la media de la población,
independientemente de si las muestras se escogieron con o sin reposición.
4.4.2 Variable aleatoria, función de probabilidad y función de dis-

tribución
Variable Aleatoria
Objetivo PSU
Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en
diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.
Dado un experimento aleatorio cualquiera, se llama variable aleato-

ria a la función que, a cada suceso del espacio muestral (Ω), le asigna
un único número real.
X : Ω −→ R.
Se dice que la variable aleatoria es discreta, si su recorrido es un

Figura 4.21: Recorrido de la variable
conjunto numerable, y continua en el caso que su recorrido sea un
aleatoria del ejemplo.
intervalo de números reales. En esta subsección se estudiarán variables
aleatorias discretas.
Ejemplo: Sea el experimento aleatorio E : lanzar 3 monedas, se define la variable aleatoria X : número
de caras obtenidas. Básicamente, la variable aleatoria X le asigna a cada uno de los elementos del espacio
muestral de E un número real, a través de la regla de asignación que la define.
Entonces,
Dom (X ) = Ω(E ) = {CCC, CCS, SCC, CSC, SSC, CSS, SCS, SSS}.
Observando el dominio de la variable aleatoria se puede concluir que los posibles valores que puede tomar
son 0, 1, 2 o 3, es decir, Rec(X ) = {0, 1, 2, 3}. Se puede representar la situación a través del diagrama de la
Figura 4.21.
datos y azar 281
Función de probabilidad
Objetivo PSU
Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discre-
ta, función de probabilidad y distribución de probabilidad, en
diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.
Cada vez que se tiene un experimento aleatorio, es posible definir

una variable aleatoria, X. Además se puede relacionar una variable
aleatoria discreta con una función de probabilidad f definida por
f : R −→ [0, 1], de modo que:
Figura 4.22: Diagrama sagital de la fun-
 ción de probabilidad del ejemplo.
P (X = x) si x ∈ Rec (X )
f (x) =
0 si x 6∈ Rec (X )
donde P (X = x) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome

el valor x.
Ejemplo: En el ejemplo definido anteriormente, se pueden asociar a los elementos del recorrido de X con
su función de probabilidad. Se obtienen los siguientes resultados:
1
P (X = 0) =
8
3
P (X = 1) =
8
3
P (X = 2) =
8
1
P (X = 3) =
8
Para cualquier otro valor, la probabilidad es 0. Esto está representado en la Figura 4.22.
Otra forma de escribir la función de probabilidad es definiéndola por tramos, de esta manera se obtendría:
 1
 si x = 0 o x = 3
8




3

f (x) = si x = 1 o x = 2


 8

0 en otro caso


La función de probabilidad está representada en la gráfica de la Figura 4.23.
Obsérvese que, si se calcula la función de probabilidad para cada uno

de los elementos del recorrido de la variable aleatoria, la suma debe ser
igual a 1, es decir:
P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + . . . + P (X = xn ) = 1,
donde P es función de probabilidad y {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ), X

P (X)
variable aleatoria.
3
8 Función de distribución
1
8
Una función de distribución acumulada se define como F : R →
[0, 1], de tal manera que:
0 1 2 3 X
Figura 4.23: Gráfica de la función de F (X ) = P (X ≤ x),
probabilidad.
donde P (X ≤ x) representa la probabilidad acumulada hasta el valor x.
Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, donde en el experimento de lanzar 3 monedas se define la
variable aleatoria X como la cantidad de caras obtenidas, se tiene la siguiente función de distribución:
1
F (0) = P (X ≤ 0) = P (X = 0) =
8
1 3 4 1
F (1) = P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = + = =
8 8 8 2
1 3 3 7
F (2) = P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = + + =
8 8 8 8
1 3 3 1
F (3) = P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = + + + = 1
8 8 8 8
Se puede definir la función de distribución por tramos de la siguiente manera:
1

 si x = 0
8




1



si x = 1


2

F (X ) =
7
si x = 2


8






 1 si x = 3


La función está representada en la gráfica de la Figura 4.24.
F (x) 4.4.3 Esperanza matemática, varianza y desviación estándar

1
7
8
Objetivo PSU
Comparar el comportamiento de una variable aleatoria en for-
1
2 ma teórica y experimental, considerando diversas situaciones o
fenómenos.
1
8
0 1 2 3 x
Figura 4.24: Función de distribución por Esperanza matemática

tramos.
Continuaremos la explicación de conceptos a partir del ejemplo an-
terior, es decir, el experimento de lanzar 3 monedas, y donde se define
datos y azar 283
la variable aleatoria X como la cantidad de caras obtenidas. ¿Cómo

calculamos el valor promedio de caras que se espera obtener, luego de
realizar el experimento varias veces? Aquel “valor esperado” corresponde
a la esperanza matemática.
Dado que obtener 1 o 2 caras, es más probable que obtener 0 o 3, se

debe calcular el promedio ponderado, es decir, un promedio que considera
la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los eventos que se asocian
a la variable X (donde en este caso, X es la cantidad de caras que se
pueden obtener al lanzar una moneda 3 veces).
Definición. La esperanza matemática de la variable aleatoria X se

define como:
E ( X ) = x1 · P ( X = x1 ) + x2 · P ( X = x2 ) + . . . + xn · P ( X = xn ) ,
donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ) y P es función de probabilidad de X.
Ejemplo: En el ejemplo de las 3 monedas, la esperanza matemática de X es:

1 3 3 1 3+6+3 12 3
E (X ) = 0 · +1· +2· +3· = = = = 1,5.
8 8 8 8 8 8 2
Es decir, si se realiza el experimento varias veces, se espera que, en promedio, se obtengan 1,5 caras.
El valor de la esperanza se muestra en el gráfico de la Figura 4.25.
Varianza
Definición. En forma análoga a la varianza para un conjunto de datos,

se puede definir la varianza de una variable aleatoria como el promedio
ponderado de los cuadrados de la diferencia entre los valores que puede
tomar X y la esperanza matemática (que es el promedio):
V (X ) = (x1 − E (X ))2 · P (X = x1 ) + . . . + (xn − E (X ))2 · P (X = xn ), P (X)

3
donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ), E (X ) es la esperanza matemática de 8
la variable aleatoria X y P es la función de probabilidad de X.

1
8
Este valor da una estimación de la homogeneidad de los valores de
0 1 2 3 X
la variable aleatoria, en relación a cuán distantes están de la esperanza
E(x)
matemática.
Figura 4.25: Gráfica de la esperanza ma-
temática.
También se puede calcular la desviación estándar de una variable
aleatoria de la misma manera que para un conjunto de datos, es decir,
calculando la raíz cuadrada de la varianza, obteniendo así un estadígrafo
de dispersión expresado en la misma unidad de medida de la variable.
Ejercitación:
16. En una caja hay 16 bolitas marcadas con el número 1, 25 con el número 2 y 37 con el número 3. Se define
la variable aleatoria como el número obtenido al extraer una bolita. Define la función de probabilidad
asociada.
17. Se define la siguiente función de probabilidad para un dado cargado de ocho caras. Construye una tabla
que muestre la función de distribución acumulada asociada a ella:
1

 si x = 1, x = 3
5








4


f (x) = si x = 2, x = 4, x = 6
 21





 1


si x = 5, x = 7, x = 8.


105
18. Se lanza una moneda no cargada dos veces al aire y se anotan sus resultados. ¿Cuál es la función de
distribución de la variable aleatoria “número de sellos”?
19. En el experimento “sacar una carta de una baraja de naipe inglés donde se han extraído los monos”, se
define la variable aleatoria “número de la carta”. Según esto, responde:
a) ¿Cuál es la función de probabilidad? d) ¿Cuál es el valor de P (X > 8)?
b) Grafica la función de distribución. e) ¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga un

número de carta entre 3 y 6, ambos valores inclui-
c) ¿Cuál es el valor de P (X ≤ 5)? dos?
20. Se ha hecho un recuento de las tarjetas amarillas que le han mostrado a un futbolista en la última
temporada. Con estos datos se ha confeccionado la siguiente tabla:
N° tarjetas amarillas Probabilidad

0 1
30
1 1
5
2 m
3 8
30
4 2
7
Responde:
a) ¿Cuál debe ser el valor de m?
b) ¿Cuál es el valor esperado para el número de tarjetas amarillas que obtendrá de seguir en las mismas
condiciones para las próximas temporadas?
datos y azar 285
21. Se lanzan dos dados de cuatro caras y se anota la suma de los puntos de las caras obtenidas. Determina:
a) La función de probabilidad de la variable “suma d) La varianza.

de los puntos de las caras”.
e) La desviación estándar.
b) La función de distribución.
c) La esperanza. f) ¿Qué puedes concluir?
4.4.4 Distribución binomial

Una función de probabilidad representa cómo están distribuidas las
probabilidades dentro de un experimento (es decir, su distribución de
probabilidad).
Objetivo PSU
Aplicar el concepto de modelo probabilístico para describir re-
sultados de experimentos binomiales.
Si se considera un experimento con las siguientes características:

El experimento se puede repetir varias veces sin que el resulta-
do de uno influya en el resultado de los otros (experimentos
independientes).
El experimento puede admitir solo dos resultados: el que se busca,

denominado éxito y el contrario, denominado fracaso.
La probabilidad de cada uno de los eventos debe ser la misma para

todas las repeticiones del experimento.
la variable binomial X se define como el número de éxitos obtenidos al
realizar el experimento una cantidad finita de veces. Por lo tanto, X es
discreta.
Ejemplo: Si se considera el experimento “responder al azar una pregunta de 5 alternativas, de las cuales
solo una es la correcta”. Se define la variable aleatoria como número de respuestas correctas obtenidas al
realizar el experimento n veces. Este experimento cumple con las condiciones anteriores ya que:
Si se realiza el experimento muchas veces, es decir, si se responden muchas preguntas al azar, el resultado
de una pregunta no influye en la siguiente.
El experimento tiene solo dos posibles resultados: marcar la alternativa correcta (éxito) o marcar alguna
de las alternativas incorrectas (fracaso).
La probabilidad de marcar la respuesta correcta es 1

5 para todas las repeticiones del experimento.
Pregunta: Si una prueba consta de 4 preguntas de 5 alternativas, de las cuales solo una es la correcta, ¿cuál
es la probabilidad de obtener 3 respuestas correctas?
Se puede expresar la cantidad de combinaciones posibles de 3 correctas en 4 preguntas de la siguiente manera:
BBBM ; BBM B; BM BB; M BBB,
o calcularla usando una combinación como:

4

= 4.
3
Para calcular la probabilidad de la combinación BBBM se utiliza la regla del producto:
3
1 1 1 4 1 4
· · · = · .
5 5 5 5 5 5
La probabilidad de todas las combinaciones es exactamente la misma, solo hay diferente orden en las
preguntas buenas y malas. Por lo tanto, se puede expresar la probabilidad de obtener 3 respuestas correctas
de las 4 preguntas utilizando la regla de la adición:
3 3 3 3
1 4 1 4 1 4 1 4
· + · + · + · ,
5 5 5 5 5 5 5 5
lo que es equivalente a
3
1 4
4· · .
5 5
Esto último se puede escribir utilizando la combinación que se usó para calcular todos los posibles ordena-
mientos de 3 preguntas correctas de un total de 4, como sigue:
3
4 1 4
· · .
3 5 5
Finalmente, esta es la probabilidad pedida.
¿Qué pasaría ahora si la prueba tiene 15 preguntas y se quiere calcular la probabilidad de obtener 9 respuestas
correctas contestando todo al azar?
Primero se calculan todas las posibles ordenaciones de 9 correctas de 15 preguntas:
15

→ este valor se deja expresado, porque es muy grande para calcularlo.
9
Ahora, se calcula la probabilidad de que ocurra una de esas ordenaciones. Como se quieren 9 correctas, se
1
tendrá que multiplicar 9 veces la probabilidad de marcar la respuesta correcta, es decir, ; y se multiplica 6
5
4
veces la probabilidad de obtener una incorrecta, es decir, . Se obtiene:
5
9 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 1 4
· · · · · · · · · · · · · · = · .
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Finalmente, se multiplica esta probabilidad por el total de combinaciones:
9 6
15 1 4
· · .
9 5 5
Esta última expresión corresponde a la probabilidad pedida.
Se observa que existen similitudes en las expresiones encontradas para la probabilidad pedida. Si se analizan
los dos casos:
datos y azar 287
Cantidad de Cantidad de
éxitos. éxitos.
Número de veces que se Número de veces que se Número de veces que se Número de veces que se
realiza el experimento. realiza el experimento realiza el experimento. realiza el experimento
menos número de éxitos. menos número de éxitos.
3 4 − 3 9 15 − 9
4 1 4 15 1 4
· · · ·
3 5 5 9 5 5
Cantidad de Probabilidad Cantidad de Probabilidad

éxitos. del fracaso. éxitos. del fracaso.
Probabilidad Probabilidad
del éxito. del éxito.
En resumen, si se tiene un experimento (con las características mencio-

nadas) que se repite n veces, de las cuales se quiere que k sean exitosas, Observación
la probabilidad de que esto ocurra está dada por: La esperanza de una v.a.
binomial está dada por
n
P (X = k ) = · pk · (1 − p)n−k ,
k E (X ) = np.
donde p es la probabilidad del éxito y 1 − p es la probabilidad del fracaso. La varianza de una v.a. está
dada por
Se dice que una variable aleatoria con estas condiciones es una variable
V (X ) = np(1 − p).
aleatoria que se distribuye binomialmente con parámetros (n, p), lo
anterior se denota como X ∼ B (n, p).
Ejercitación:
7
22. La probabilidad de éxito de un evento A es , para un experimento dado. Determina:
13
a) La probabilidad que en 20 repeticiones del experimento, en exactamente 4 oportunidades el evento A
tenga éxito.
b) La probabilidad de que, en 30 repeticiones, el suceso A fracase en a lo más 4 oportunidades.

c) La probabilidad de que el evento A fracase en exactamente 3 ocasiones de un total de 40 repeticiones.
23. Se sabe que en el control de calidad de una empresa que fabrica lápices, existen 20 lápices con fallas
de cada 1.000 que se revisan. Si se repite la acción de extraer al azar un lápiz para verificar su calidad,
determina:
a) La probabilidad de que en 400 extracciones hallan exactamente 3 lápices con fallas.
b) La probabilidad de que en 500 extracciones el número de lápices con fallas sean como máximo 5.
24. Un estudio médico ha concluido que la probabilidad que una persona evidencie un rasgo genético de un
cierto tipo es 0,53. En base a esto, si se toma una muestra de 100 pacientes, determina:
a) La probabilidad de que exactamente 60 de ellos presenten ese rasgo genético.
b) La probabilidad de que a lo más 4 pacientes lo evidencien.

c) La probabilidad de que 50 pacientes no lo presenten.
y
4.5 | Variable aleatoria con-
tinua
P (a < x < b)
a b x Como ya se definió en la sección anterior, una variable aleatoria
Figura 4.26: Función de probabilidad de continua es una función cuyo recorrido es un conjunto no contable
una variable aleatoria continua. o numerable, en este contexto, un intervalo de números reales. En el
caso anterior, cuando se tenía una variable aleatoria discreta, fue posible
Observación
asociarle una función de probabilidad; en este caso, se asigna una función
Dado que las probabilida- de densidad de probabilidad.
des puntuales no tienen
sentido, se tiene que Objetivo PSU
P (X = a) = 0
Relacionar y aplicar los conceptos de función de densidad y dis-
P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) tribución de probabilidad, para el caso de una variable aleatoria
= P (a ≤ X < b) continua.
= P (a < X ≤ b).
A diferencia de la función de probabilidad, la función de densidad de
probabilidad no determina una probabilidad puntual, sin embargo, el
f (x)
área bajo la curva de f (x) entre dos puntos a y b, entrega la probabilidad
1
de que la variable aleatoria continua tome un valor en dicho intervalo,
como se observa en la Figura 4.26.
0.5
Para que f (x) sea una función de densidad de probabilidad de una
variable aleatoria continua X, deben cumplir las siguientes condiciones:
−0.5 0.5 1 x f (x) ≥ 0, para todo x ∈ Rec(X ).

Figura 4.27: Gráfico de f , ejercicio 30.
El área bajo la curva de f debe ser igual a 1.
Ejercitación:
25. A partir de la función f definida en el intervalo [−0,5; 1] y cuya gráfica se muestra en la Figura 4.27,
responde:
a) Determina si f puede ser la función de densidad de una variable aleatoria continua.
b) Calcula P (X = 0,5), P (X < 0), P (0,5 < X < 1) y P (X > 2).
26. La función de densidad de una variable aleatoria X, que mide la distancia entre el centro de una diana
y la marca dejada por el lanzamiento realizado por una persona, es f (x) = 0,5, definida en el intervalo
[−1, 1], donde los valores positivos de X corresponden a tiros por encima del centro y los valores negativos
de X corresponden a tiros por debajo del centro.
datos y azar 289
a) Verifica que f sea una función de densidad.

b) Determina los valores de P (X ≤ 0,1), P (X = 0,8), P (−0,5 < X ≤ 0,3) y P (X < −1).
c) Determina un intervalo [a, b] tal que se cumpla que P (a < X < b) = 0,5.
d) Si una persona lanza una flecha, ¿cuál es la probabilidad de que la distancia al centro esté a menos de
0,5 unidades por encima?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un tiro esté a 0,3 unidades alrededor de la diana?
4.5.1 Distribución de probabilidad normal

Una función de densidad notable en el estudio de las variables aleatorias
continuas es la distribución normal, ya que permite modelar muchas
situaciones en variados contextos, como precipitaciones, notas de una
prueba o mediciones científicas.
Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución

normal, si su función de densidad de probabilidad está dada por
f (x)
(x − µ)2
1 −
f (x) = √ ·e 2σ 2 ,
σ 2π
donde µ es la media aritmética y σ es la desviación estándar. En tal caso,

se dice que la variable aleatoria X se distribuye normalmente con media
µ y desviación estándar σ, lo que se denota por X ∼ N (µ, σ ). La gráfica
µ x
de esta función se observa en la Figura 4.28.
Figura 4.28: Gráfica distribución nor-
El valor de los parámetros σ y µ influyen en la forma de la gráfica de mal.
la función de densidad de probabilidad de la distribución normal:
Homogeneidad Desplazamiento horizontal
y y
f (x) f (x) g(x)
g(x)
x µ1 µ2 x
µ
En esta imagen, el valor de la me- En esta imagen, el valor de la des-

dia µ es la misma tanto para la viación estándar σ es igual para
función f como para g. Sin em- ambas funciones (las cámpanas
bargo, la desviación estándar de son iguales). Sin embargo, la me-
g es menor que la de f , ya que g dia de f es menor que la de g, ya
es más homogénea que g. que está más a la izquierda.
Si se tiene una variable aleatoria continua que se distribuye normal-

mente, con media aritmética igual a 0 y desviación estándar igual a
f (x) 1 entonces la variable aleatoria tiene distribución normal estándar
(Figura 4.29) y se denota X ∼ N (0, 1).
Es posible observar que el cálculo del área bajo la curva de la gráfica
de la distribución normal no es simple. Sin embargo, para el caso de la
µ x distribución normal estándar, el valor del área para algunos valores
Figura 4.29: Distribución normal están- está tabulado, como se observa a continuación:
dar.
z P (Z ≤ z )
0,67 0,749
0,99 0,839
1,00 0,841
Observación
1,15 0,875
La notación P (Z ≤ z ) quiere de-
En la distribución nor-
mal, siempre se verifica 1,28 0,900 cir la probabilidad de que la va-
que:
1,64 0,950 riable aleatoria Z tome un va-
P (µ − σ < X < µ + σ ) = lor menor o igual a z, z ∈ R. Por
1,96 0,975
68,26 % ejemplo, la probabilidad de que una
P (µ − 2σ < X < µ + 2σ ) =
2,00 0,977

95,45 % variable aleatoria con distribución

P (µ − 3σ < X < µ + 3σ ) =
2,17 0,985 normal estándar tome un valor me-
99,73 %
nor o igual a 0,67 es de 0,749 (este
2,32 0,990
valor también corresponde al área
2,58 0,995 bajo la curva en ese intervalo).
Ejemplos:
1. Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor
mayor que 0,67.
Lo que se pide es calcular el valor de P (X > 0,67), como se observa en la figura:
−3 −2 −1 µ 1 2 3
0,67
Como el área bajo la curva de la función es igual a 1, es posible establecer que
P (X > 0,67) = 1 − P (X < 0,67).

datos y azar 291
Luego, el valor de P (X < 0,67), dado por la tabla, es 0,749, por lo tanto
P (X > 0,67) = 1 − 0,749 = 0,251.
2. Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor
menor que −1,15.
Lo que se pide es calcular el valor de P (X < −1,15), como se observa en la figura:
−3 −2 −1 µ 1 2 3
−1,15
Dado que en la tabla no se presentan valores negativos, es necesario escribir esta expresión de forma
equivalente. Dado que la curva de la función es simétrica, es posible establecer que
P (X < −1,15) = P (X > 1,15),
por lo tanto se obtiene que
P (X > 1,15) = 1 − P (X < 1,15) = 1 − 0,875 = 0,125.
Ejercitación:
27. Dada una variable aleatoria continua X ∼ N (0, 1), calcula la probabilidad de que X tome un valor entre
0,67 y 2,17.
Estandarización
Es natural pensar que no todas las distribuciones normales van a tener
media aritmética 0 y desviación estándar igual a 1. En caso de que esto
no ocurra, se hace un ajuste a la gráfica de la función de manera que se
exprese como una distribución normal estándar, este proceso es conocido
como estandarización.
Sea X una variable aleatoria continua que se distribuye normalmente
con media µ y desviación estándar σ. Si definimos una nueva variable
aleatoria Z a partir de los parámetros de X, de la siguiente forma:
X −µ
Z=
σ
entonces Z tiene una distribución normal estándar. Es decir, se realiza
un cambio d variable.
Ejemplo: El resultado de una prueba de cuarto medio tiene una distribución normal N (5,4; 0,6). Si 150
estudiantes rindieron la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger a un estudiante al azar este haya
logrado al menos un 6,0?
Como esta distribución normal no es estándar, no es posible utilizar directamente la tabla anterior, por lo
que primero se debe estandarizar. Se realiza un cambio de variable, para así encontrar “el equivalente” del
P (X > 6,0) en nuestra nueva variable de distribución normal estándar Z, la cual sí se puede ubicar en la
tabla.
Se pide calcular la probabilidad de que P (X > 6,0), como la distribución normal no es estándar, se debe
estandarizar:
6,0 − 5,4
Z= = 1,
0,6
por lo tanto,
P (X > 6,0) = P (Z > 1).
Y como Z es estándar, es posible obtener el valor desde la tabla:
P (X > 6,0) = P (Z > 1) = 1 − P (Z < 1) = 1 − 0,841 = 0,159.
Ejercitación:
28. Los puntajes de la PSU están distribuidos en forma normal, en una escala de puntajes con promedio 500
y desviación estándar 110. Si se escoge al azar a una persona que haya rendido la prueba, ¿cuál es la
probabilidad de que esta persona haya alcanzado un puntaje inferior a 610?
4.5.2 Aproximación de la distribución binomial a la normal

y En la sección anterior, de variable aleatoria discreta, se estudió la
0,18
0,16
distribución de probabilidad binomial. Supóngase que se realiza el expe-
0,14 rimento de lanzar un dado 30, 50 y 90 veces. Los histogramas obtenidos
0,12
para estos lanzamientos son los que se observan en las Figuras 4.30,
0,1
0,08 4.31 y 4.32. Es evidente que a medida que la cantidad de lanzamientos
0,06 aumenta, los gráficos de la distribución binomial se van aproximando a
0,04
0,02 una normal. Luego, si n (número de lanzamientos) es lo suficientemente
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 x grande, la distribución binomial se puede aproximar por una normal con
media µ = np y desviación estándar σ = np(1 − p). En el ejemplo, si
p
Figura 4.30: Histograma de 30 lanza-
mientos de un dado. se realiza el ajuste, se obtiene la gráfica de la Figura 4.33.
Ejercitación:
29. Una fábrica de componentes elabora 2.000 circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un
circuito defectuoso es del 1 %, ¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos
sea mayor que 59?
Indicación: Se solicita calcular P (X > 59), donde n = 2.000 y p = 0,01 (1 %).

datos y azar 293
Calcular P (X > 59) es equivalente a P (X = 60) + P (X = 61) + P (X = 62) + . . . + P (X = 2000),

implicando el cálculo y la suma de 1941 términos distintos.
En estos casos, resulta adecuado aproximar esta variable de distribución binomial, a una normal.
Dado que la variable normal se expresa como N (µ, σ ), de la expresión anterior se tiene que:
µ = n · p = 2000 · 0,01 = 20 20 · 0,99

p
σ=
Por lo que nuestra nueva variable de distribución normal, que representa una aproximación a la situación
√
del ejercicio, es N (20, 20 · 0,99). Con aquellos datos se procede a resolver el ejercicio de la misma manera
que el Ejemplo 1: estandarizar y realizar las operaciones para encontrar el área solicitada con apoyo de la
tabla.
y
0,18
4.5.3 Distribución de medias muestrales 0,16

0,14
0,12
Objetivo PSU 0,1
0,08
Comprender que la distribución de medias muestrales de mues- 0,06
0,04
tras aleatorias de igual tamaño extraídas de una población tiende 0,02
a una distribución normal a medida que el tamaño de las mues- x
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
tras aumenta. Figura 4.31: Histograma de 50 lanza-
mientos de un dado.
Considérese la población {1, 3, 5, 7, 9}. Si se extraen todas las muestras

y
posibles de tamaño 2, y se calcula la media aritmética de cada una
0,12
de ellas, se puede construir un gráfico con la distribución de medias
0,1
muestrales a partir de la probabilidad de ocurrencia de cada una de ellas,
0,08
como se muestra en la Figura 4.34. Además, como se vio en secciones
0,06
anteriores, el promedio de las medias muestrales de todas las muestras
0,04
de cierto tamaño extraídas de la población, con o sin reposición, coincide
0,02
con la media aritmética de la población.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 x
Al observar la gráfica del ejemplo antes descrito, es posible concluir
Figura 4.32: Histograma de 90 lanza-
que la distribución de medias muestrales se aproxima a una distribución mientos de un dado.
normal, lo que se formaliza en el siguiente teorema: y
0,12
Teorema central del límite. La distribución de medias muestrales se 0,1
asemejará cada vez más a la distribución normal a medida que aumente 0,08
el tamaño de la muestra, lo que permite hacer la siguiente aproximación: 0,06
La media y la desviación estándar de la distribución de medias mues- 0,04
trales de todas las muestras de tamaño n, que se pueden extraer de una 0,02
población de media µ y desviación estándar σ, son: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 x
σ Figura 4.33: Aproximación a una distri-

µx = µ y σx = √ . bución normal.
n
Ejercitación:
30. Considera al conjunto de los números primos menores que 10.
a) Haz una lista de todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reposición. ¿Cuántas
muestras conseguiste registrar?
b) Calcula la desviación estándar de cada una de las muestras.
c) Determina el promedio de las desviaciones estándar que calculaste.
Intervalo de confianza para la media de una población
Objetivo PSU
Argumentar acerca de la confiabilidad de la estimación de la
media de una población con distribución normal, a partir de
datos muestrales.
P (x)
0,2 Definición. Un intervalo de confianza para un parámetro poblacio-
0,16 nal es un intervalo de valores que, con cierta probabilidad, contiene al
parámetro que se está estimando. En esta subsección se analizará el caso
0,12
en que este parámetro es la media de una población.
0,08
Considérese una población con una cantidad finita de elementos, con
0,04
desviación estándar conocida σ, de donde se extrae una muestra de n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x elementos, que tiene media conocida x. ¿Cómo se podría estimar la media
Figura 4.34: Gráfica distribución de me- de la población?
dias muestrales.
Como se dijo anteriormente, es posible aproximar la medida de la
población calculando el promedio de las medias de todas las posibles
muestras de cierto tamaño extraídas de la población, pero, en este caso,
solo se conoce la media de una de las muestras. Lo que se requiere entonces
es hacer una estimación con un nivel de confianza dado, esto es, se
determinará un intervalo en el cual probablemente se encuentre el
valor de la media artimética de la población, donde esta probabilidad
viene dada por el nivel de confianza.
Se sabe que la variable aleatoria X definida como “promedio de una
muestra” se distribuye normalmente (distribución de medias muestrales)
con media µx y desviación estándar σx . Al estandarizarla, se obtiene
x − µx
Z= .
σx
σ
Dado que el teorema central del límite asegura que µx = µ y σx = √ ,
n
la expresión para la estandarización es
x−µ
Z= σ .
√
n
datos y azar 295
En esta última expresión, lo que se quiere hacer es encontrar el valor

de µ. Obsérvese que el Z que se busca es como el que se muestra en la
Figura 4.35, es decir, el límite del intervalo que encierra el área del nivel
de confianza requerido (hay dos valores opuestos, un Z y un −Z). Si se
despeja µ de la ecuación, se obtienen
f (x) Nivel de
σ σ
µ = x−z· √ µ = x+z· √ confianza
n n,
luego, el valor más pequeño que puede tomar µ es el primero, y el valor
más grande, es el segundos, de lo que se concluye que se encuentra en el
intervalo −z z x
σ σ
x−z · √ ,x+z · √ , Figura 4.35: Intervalo de confianza para
n n la media de una población.
con cierta probabilidad, dada por el nivel de confianza.
Ejemplo:
Para estudiar el consumo de leche en una población, en litros por persona al mes, se ha elegido una muestra
de 150 personas cuyo consumo medio es de 22 L. Si dicho consumo en la población sigue una distribución
normal cuya desviación estándar es 6 L, determinar el intervalo de confianza para µ (media poblacional) con
un 95 % de confianza.
Se pide determinar el intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 95 %,
esto quiere decir que se buscan −Z y Z tal que el área bajo la curva entre ellos sea igual a 0,95, como se
observa a continuación:
f (x)
0,025 0,95 0,025
−z z x
A partir de la gráfica, se observa que el valor de z es tal que
P (Z < z ) = 0,975.
Al buscar este valor en la tabla de distribución normal estándar se encuentra que z = 1,96.
Dado que z es la variable estandarizada, se tiene que
x−µ x−µ
z= σ y −z = σ ,
√ √
n n
y sustituyendo los datos del problema n = 150, σ = 6 y x = 22, se obtiene
22 − µ 22 − µ
−1, 96 = y 1, 96 = .
6 6
√ √
150 150
Al despejar µ de la primera ecuación se obtiene
µ ≈ 21,04,
y de la segunda
µ ≈ 22,96,
de lo que se concluye que el intervalo de confianza pedido está dado por
[21,04; 22,96].
Resumen
La estadística descriptiva busca ordenar y sistematizas información de modo que la lectura

e interpretación de datos sea simple. Para ello, se utilizan gráficos y tablas de frecuencia,
así como medidas útiles a la hora de hacer el análisis. Estas últimas corresponden a las medidas
de tendencia central, de posición y de dispersión.
Las medidas de tendencia central son moda, mediana y media.
En una tabla de frecuencia con datos agrupados, el intervalo modal corresponde al intervalo
que tiene mayor frecuencia absoluta; el intervalo que contiene a la mediana es el intervalo
en el que se encuentra el valor de la posición central del conjunto de datos ordenados; y la
media se calcula a partir de las marcas de clase, como
f1 · x1 + . . . + fn · xn
x= ,
N
donde N es el número total de datos, x1 , . . . xn corresponden a las marcas de clase en los
intervalos 1, . . . , n, respectivamente, y f1 , . . . , fn la frecuencia absoluta de los mismo intervalos.
Se dice que si las medidas de tendencia central son valores cercanos, el histograma tiene una
distribución simétrica; si la media es mayor que la mediana y la moda es menor que la media,
la distribución es asimétrica positiva; y si la media es menor a la mediana y la moda es mayor
que la mediana, la distribución es asimétrica negativa.
Las medidas de posición son cuartiles, quintiles, deciles y percentiles.
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen al conjunto en cuatro partes iguales;
los quintiles son los cuatro valores de la variable que dividen al conjunto en cinco partes iguales;
los deciles son lo nueve valores de la variable que dividen al conjunto en diez partes iguales; y
los percentiles son los noventa y nueve valores de la variable que dividen al conjunto en cien
partes iguales.
datos y azar 297
Las medidas de dispersión se resumen en la siguiente tabla, con x1 , . . . , xn los datos y x el

promedio de ellos:
Rango Desviación media

|x1 − x| + . . . + |xn − x|
xn − x1 Dm =
n
Desviación estándar Varianza
r
(x1 − x)2 + . . . + (xn − x)2 ( x1 − x ) 2 + . . . + ( xn − x ) 2
σ= σ2 =
n n
Las técnicas de conteo se resumen en la siguiente tabla:
Permutación Permutación de Variación Variación con Combinación

de n n elementos con de k reposición de k de k
elementos a, b y c elementos elementos de n elementos
elementos de n de n
repetidos
n! n! n!
n! nk
a! · b! · c! (n − k ) ! k!(n − k )!
La Regla de Laplace establece que el cálculo de la probabilidad P , para un cierto evento A

está dada por
#A n° de casos favorables
P (A) = = .
#Ω n° de casos posibles
La Ley de los Grandes Números establece que la frecuencia relativa de un evento A se

aproxima a la probabilidad teórica del evento, a medida que la cantidad de veces que se realiza
el experimento aumenta.
La regla del producto y la regla de la adición de las probabilidades, establecen que
P (A y B ) = P (A) · P (B ) y P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ),
donde A y B son sucesos mutuamente exluyentes.

Una variable aleatoria es una función que asocia un valor numérico a cada elemento del
espacio muestral de un experimento. Se dice que es discreta si el recorrido es un conjunto
numerable, y que es continua si el recorrido es un intervalo de números reales.
Dado un experimento aleatorio cualquiera, se llama variable aleatoria a la función que, a

cada suceso del espacio muestral (Ω), le asigna un único número real:
X : Ω −→ R.
A una variable aleatoria discreta X se le asocia una función de probabilidad f : R → [0, 1]de
modo que

P ( X = x ) si x ∈ Rec (X )
f (x) =
0 si x 6∈ Rec (X )
donde P (X = x) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x.
A una variable aleatoria discreta X se le asocia una función de distribución acumulada

F : R → [0, 1] de modo que F (X ) = P (X ≤ x), donde P (X ≤ x) representa la probabilidad
acumulada hasta el valor x.
Para una variable aleatoria discreta X, la esperanza matemática está dada por
E ( X ) = x1 · P ( X = x1 ) + x2 · P ( X = x2 ) + . . . + xn · P ( X = xn ) ,
donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ) y P es función de probabilidad de X.
Para una variable aleatoria discreta X, la varianza está dada por
V (X ) = (x1 − E (X ))2 · P (X = x1 ) + . . . + (xn − E (X ))2 · P (X = xn ),

donde {x1 , x2 , . . . , xn } = Rec (X ), E (X ) es la esperanza matemática de la variable aleatoria
X y P es la función de probabilidad de X.
datos y azar 299
Un experimento independiente que se repite n veces, que admite como resultados solo el éxito y
el fracaso, cuya probabilidad de eventos no varía al realizarlo repetidas veces y donde se quiere
que de las n repeticiones k sean exitosas, tiene por función de probabilidad P a:

n
P (X = k ) = · pk · (1 − p)n−k ,
k
donde p es la probabilidad del éxito y 1 − p es la probabilidad del fracaso. Se dice que una variable
aleatoria con estas condiciones es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente
con parámetros (n, p), lo anterior se denota como X ∼ B (n, p).
Para una variable aleatoria discreta que se distribuye binomialmente, con parámetros n y p, la
esperanza matemática se calcula como np y la varianza como np(1 − p).
Para el caso de una variable aleatoria continua, se define una función de densidad de probabilidad
que calcula la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un intervalo.
Esta probabilidad corresponde al área bajo la curva de la función. Por ejemplo, la probabilidad
de que una variable aleatoria continua se encuentre en el intervalo [a, b] se escribe como
P (a < X < b).
La distribución de probabilidad normal responde a una función particular, cuya gráfica

corresponde a una campana.
Si una variable aleatoria continua se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar
1, se dice que la distribución es estándar y los valores para ciertos intervalos se encuentran
tabulados.
En el caso de que una variable aleatoria continua X con media µ y desviación estándar σ se
distribuya normalmente y dicha distribución no sea estándar, la variable aleatoria
X −µ
Z=
σ
tiene distribución normal estándar.
Una variable aleatoria discreta que se distribuye binomialmente, se aproxima a una distribu-
ción normal cuando la cantidad n que se repite un experimento es muy grande. Para dicha
aproximación se considera que µ = np y σ = np(1 − p).
p
El Teorema central del límite establece que:

La media y la desviación estándar de la distribución de medias muestrales de todas las muestras
de tamaño n, que se pueden extraer de una población de media µ y desviación estándar σ, son:
µx = µ
y
σ
σx = √ .
n
El intervalo de confianza para la media poblacional se calcula como

σ σ
x−z · √ ,x−z · √ ,
n n
donde x es la media de una muestra de la población, σ es la desviación estándar de la población,

n es el número de elementos de la muestra y z y −z son los extremos de un intervalo cuya área
bajo la curva es igual al nivel de confianza del intervalo.
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I. Si todos los datos numéricos de una población son iguales, entonces la varianza de esta
población es 0.
II. Si dos poblaciones de datos numéricos tienen igual promedio, entonces sus varianzas son
iguales.
III. Si todos los datos numéricos de una población difieren en una unidad con respecto a su
promedio, entonces la varianza de esta población es 1.

B) Solo II D) Solo I y III
2. Si en una tienda de ropa, se deben escoger dos trajes de seis trajes diferentes, ¿de cuántas maneras
distintas se puede hacer esta selección?
A) 1 C) 6 E) 3
B) 15 D) 12
datos y azar 301
3. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al extraer al azar una ficha de la caja, se puede
determinar la probabilidad de que esta sea roja, si se conoce
(1) la cantidad total de fichas que hay en la caja.

(2) la cantidad de colores de fichas que hay en la caja.
A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
4. De tres hermanos de edades diferentes, se puede conocer la edad del hermano mayor, si
(1) la media aritmética de los tres hermanos es 25 años.
(2) La mediana de las edades de los tres hermanos es 23 años.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
5. En un curso hay 12 hombres y 30 mujeres. Se sabe que para un asado 10 de esos hombres y 18 de
esas mujeres prefieren carne y el resto prefiere pollo. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que esa persona sea mujer y prefiera pollo?
18 12 1 30 15
A) B) C) D) E)
42 42 3 42 21
6. Paula tiene siete libros de diferentes asignaturas y desea ordenarlos en un estante uno al lado del
otro. Si el libro de química es el que más ocupa y debe ubicarlo en uno de los extremos del estante,
¿de cuántas maneras pueden quedar los primeros tres libros de izquierda a derecha?
A) 30 B) 150 C) 240 D) 720 E) 1440
7. Joaquín desea tomarse un helado y tiene las siguientes opciones; barquillo simple o doble (con un
único sabor); sabores: frambuesa, piña o chocolate; agregados: baño de chocolate, crema o ninguno.
¿Cuál es la probabilidad de que Joaquín elija un barquillo simple de frambuesa y bañado en chocolate?
1 1 2 1 E) 1
A) B) C) D)
18 6 9 2
8. ¿En cuál(es) de las siguientes afirmaciones, la probabilidad del suceso mencionado es igual a la
probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso?
I. Que salga un número primo al lanzar un dado común.

II. Que salga cara en el lanzamiento de una moneda.
III. Que salga un divisor de 4 en el lanzamiento de un dado común.
A) Solo I D) Solo II y III

B) Solo II
C) Solo I y III E) I, II y III
9. Si se lanza una moneda cuatro veces y dos dados una sola vez, ¿cuál es la probabilidad de obtener
exactamente 3 sellos y una suma igual a 11?
1 1 E) Ninguna de las anteriores.

A) C)
36 72
1 1
B) D)
18 12
10. En una bolsa hay 5 tarjetas numeradas del 1 al 5. Si se extraen 2 de ellas con reposición y se define
la variable aleatoria X como la suma de los números de las tarjetas extraídas, ¿cuál es el recorrido
de X?
A) {1, 2, 3, 4, 5} D) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B) {2, 4, 6, 8, 10}
C) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} E) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
11. Una profesora cuenta con diez preguntas diferentes para crear una prueba de seis preguntas. Si una
pregunta no puede repetirse en una prueba, ¿cuántas pruebas distintas podría crear la profesora, sin
considerar el orden que tengan las preguntas dentro de la prueba?
10! 10! 10! D) 106 E) 6!

A) B) C)
4! · 6! 4! 6!
12. Sea f (x) = k2 x2 , con k una constante, la función probabilidad de una variable aleatoria discreta X
que tiene como recorrido el conjunto {1, 2, 4, 10}. Si g es la función de distribución de probabilidad
acumulada de X, entonces g (2) es
√
4 2 5
A) C) D)
121 11 11
5
B) E) indeterminable.
121
datos y azar 303
13. Se lanzan dos dados comunes y se define la variable aleatoria X como el promedio entre los
resultados obtenidos. Si la probabilidad de X es P , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdaderas(s)?
1
I. P (X > 5) =
2
II. P (X = 2) = P (X = 5)
III. X solo puede tomar valores enteros.
A) Solo I C) Solo III E) Solo II y III

B) Solo II D) Solo I y II
14. Lorena participa en una competencia que consta de 25 pruebas, en las que compite junto a otros
cinco participantes. Si todos los participantes tienen igual probabilidad de ganar cada una de las
pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que Lorena pierda en 18 de estas?
18 18 7
5 25 5 1
A) D) · ·
6 18 6 6
18 7
5 1
18 7
B) 25 1 5
6
·
6 E) · ·
18 6 6
18
25 5
C) ·
18 6
15. La estatura de una población de estudiantes de educación básica se modela a través de una distribución
normal con media 150 cm y varianza de 100 cm2 . Si se selecciona al azar a un estudiante de esta
población y la probabilidad de que este mida a los menos Q cm es de 0.977, ¿cuál es el valor de Q?
A) 170 cm C) 350 cm E) Ninguno de los anteriores.

B) 130 cm D) 50 cm
16. Sea X una variable aleatoria discreta, P su función de probabilidad y F su función de distribución
acumulada. Si F (1) = 0,2 y F (4) = 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) El recorrido de X es {1, 4}.
B) P (X = 1) = 0,2
C) F (0) = 0
D) P (2 ≤ X ≤ 3) = 0,8
17. Si las edades, en años, de una población de 6 niños son 3, 5, 6, 7, 8 y 13, entonces, la desviación
estándar, en años, es
14 14 58 58
r r
A) 10 B) E)
6 C) D) 6
6 6
18. De acuerdo a la información mostrada en la tabla adjunta, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es
correcta?
A) El primer cuartil es 40. Frecuencia acumulada

B) El percentil 80 es 110.
[0, 20[ 40
C) La mediana se encuentra en el intervalo
[20, 40[ 50
[40, 60[.
D) El percentil 90 se encuentra entre 80 y 100 [40, 60[ 80
ambos extremos incluidos. [60, 80[ 110
E) El total de datos es 480. [80, 100] 200
19. Si el puntaje de la PSU tiene distribución normal con media 500 puntos, entonces
A) la mayoría de los puntajes se encuentran sobre los 500 puntos.
B) la mayoría de los puntajes se encuentra bajo los 500 puntos.
C) existe la misma cantidad de puntajes sobre 500 puntos y bajo los 500 puntos.
D) la mayoría de los puntajes está en 500 puntos.
E) no hay ningún estudiante que obtenga 500 puntos.
20. En una bolsa hay en total 22 bolitas del mismo tipo numeradas en forma correlativa del 1 al 22. Si
se extrae al azar una bolita de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que esta tenga un número de un
dígito o un número múltiplo de 10?
1 1
A) ·
9 2
9 2
B) +
22 21
1 1
C) +
9 2
9 2
D) +
22 22
9 1
E) +
22 22
1. D 5. B 9. C 13. B 17. D
2. E 6. B 10. D 14. D 18. D
3. B 7. A 11. A 15. A 19. C
4. E 8. E 12. B 16. E 20. D

Libro - Matemática PPVJ 2019

Enviado por

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Libro - Matemática PPVJ 2019

Enviado por

Dados do documento

Descrição original:

Direitos autorais

Formatos disponíveis

Compartilhar este documento

Compartilhar ou incorporar documento

Opções de compartilhamento

Você considera este documento útil?

Este conteúdo é inapropriado?

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Libro - Matemática PPVJ 2019

Enviado por

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Á R E A D E M AT E M ÁT I C A

publicado por preuniversitario popular víctor jara

Tercera edición, febrero 2019

Dedicado a ti, con cariño, estudiante, con el afán de

contribuir a tu proceso educativo y a darte la oportunidad que

el sistema te ha negado. Úsalo bien.

Nombre Explicación Símbolo

El cuadro Observación contiene comentarios, indicaciones,

El cuadro Sabías que ...? contiene anécdotas, datos históricos

El cuadro Usted no lo haga enuncia errores comunes que se

Unidad 0 Introducción a la Matemática 7

Unidad 3 Geometría 163

Unidad 4 Datos y azar 255

Como todas las disciplinas, la matemática tiene una base

Ejemplos: (Completa los espacios faltantes).

Son proposiciones: No son proposiciones:

0.1.2 Conectores de proposiciones

Definición. La negación de una proposición p es la proposición cuyo Observación

0.1.3 Teoría matemática

definir cada uno de ellos. Existe una única especie

Es la asignación de un nombre a un objeto o propie- (Definición)

2. Da un ejemplo de axioma → definición → teorema.

3. Describe, con tus palabras, cómo se construye una teoría matemática.

Observación Definición. Un conjunto es una colección de elementos. Se usan letras

Observación Otras definiciones útiles al momento de trabajar con conjuntos son

Todo conjunto es sub- Definición. Sean A y B conjuntos, se dice que A es subconjunto de

a) C = {x ∈ B | p(x)} b) D = {x ∈ B | q (x)} c) E = {x ∈ D | p(x)}

6. Sea el conjunto A = {1, 2, 3}. Escribe todos los subconjuntos de A.

0.2.1 Unión, intersección y complemento

A continuación se estudiarán tres operaciones muy importantes defi-

Definición. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto de los

Definición. Sean A y B conjuntos donde A ⊆ B, el complemento de

Si A y B son conjuntos, se dice que A es subconjunto de B si y solo si todos los elementos de

Al conjunto que no tiene elementos se le llama vacío (φ).

A) Todos los neumáticos son flexibles y negros

3. Si de un conjunto se pueden obtener exactamente 8 subconjuntos, ¿cuántos elementos tiene ese

6. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto E = {1, 2} ?

8. Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, la escritura por extensión del conjunto T = {x ∈ E | x ≤ 4} es

10. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) proposiciones lógicas?

Como es sabido, la matemática tiene múltiples áreas: arit-

El número es la abstracción que encarna magníficamente las cantidades.

1.1 Números naturales y enteros 1.4 Números reales

1.1 | Números naturales y en-

La división en grupos de diez representa el término medio más acertado.

A partir del texto anterior, responde:

Con tus palabras da una definición de “número”.

Crea tu propio sistema de 3 símbolos para 3 tipos de unidades.

¿Qué relación puedes establecer entre el lenguaje y la matemática?

1.1.1 Números Naturales Observación

El conjunto es no denso, es decir, entre dos números naturales hay

El conjunto es infinito, es decir, dado un número natural cualquiera, Sea n ∈ N, a n + 1 se le

Hasta ahora, se ha construido un conjunto cuyos elementos son núme-

Si se tiene una cantidad finita de objetos, por ejemplo tres peras, y se

La adición en N cumple las siguientes propiedades:

Esto asegura que se puede escribir a + b + c, sin que se altere el

ii) Conmutatividad, esto es

La multiplicación se puede entender como una abreviación de la adición

La multiplicación en N, cumple las siguientes propiedades:

Esto asegura que se puede escribir a · b · c sin que se altere el resultado