Um Resultado Sobre Funcoes Mensuraveis Limitadas em LP
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Um Resultado Sobre Funcoes Mensuraveis Limitadas em LP
Editora Chefe
Profª Drª Antonella Carvalho de Oliveira
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Bruno Oliveira
Flávia Roberta Barão
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Luiza Alves Batista
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Inclui bibliografia.
ISBN 978-65-5706-440-5
DOI 10.22533/at.ed.405202710
Atena Editora
Ponta Grossa – Paraná – Brasil
Telefone: +55 (42) 3323-5493
www.atenaeditora.com.br
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APRESENTAÇÃO
Diante do cenário em que se encontra a educação brasileira, é comum a resistência
à escolha da docência enquanto profissão. Os baixos salários oferecidos, as péssimas
condições de trabalho, a falta de materiais diversos, o desestímulo dos estudantes e a
falta de apoio familiar são alguns dos motivos que inibem a escolha por essa profissão.
Os reflexos dessa realidade são percebidos pela baixa procura por alguns cursos de
licenciatura no país, como por exemplo, o curso de Matemática.
Para além do que apontamos, a formação de professores que ensinam Matemática
vem sofrendo, ao longo dos últimos anos, inúmeras críticas acerca das limitações
apresentadas para a constituição de professores. A forma como muitos cursos se organizam
curricularmente, se olharmos para algumas licenciaturas, impossibilita experiências de
formação que aproximem o futuro professor das diversas e plurais realidades escolares.
Somada a essas limitações está o descuido com a formação de professores reflexivos e
pesquisadores.
O contexto social, político e cultural tem demandado questões muito particulares
para a escola e, sobretudo, para a formação, trabalho e prática docente. Isso, de certa
forma, tem levado os gestores educacionais a olharem para os cursos de licenciatura e
para a Educação Básica com outros olhos. A sociedade mudou, nesse contexto de inclusão,
tecnologia e de um “novo normal”; com isso, é importante olhar mais atentamente para os
espaços formativos, em um movimento dialógico e pendular de (re)pensar as diversas
formas de se fazer ciências no país. A pesquisa, nesse interim, tem se constituído como um
importante lugar de ampliar o olhar acerca das inúmeras problemáticas, sobretudo no que
tange ao conhecimento matemático.
É nessa sociedade complexa e plural que a Matemática subsidia as bases do
raciocínio e as ferramentas para se trabalhar em outras áreas; é percebida enquanto parte
de um movimento de construção humana e histórica e constitui-se importante e auxiliar
na compreensão das diversas situações que nos cerca e das inúmeras problemáticas que
se desencadeiam diuturnamente. É importante refletir sobre tudo isso e entender como
acontece o ensino desta ciência e o movimento humanístico possibilitado pelo seu trabalho.
Ensinar Matemática vai muito além de aplicar fórmulas e regras. Existe uma dinâmica
em sua construção que precisa ser percebida. Importante, nos processos de ensino e
aprendizagem matemática, priorizar e não perder de vista o prazer da descoberta, algo
peculiar e importante no processo de matematizar. Isso, a que nos referimos anteriormente,
configura-se como um dos principais desafios do educador matemático e sobre isso, de
uma forma muito particular, abordaremos nesta obra.
É neste sentido, que o livro “Incompletudes e Contradições para os Avanços da
Pesquisa em Matemática”, nasceu, como forma de permitir que as diferentes experiências
do professor pesquisador que ensina Matemática sejam apresentadas e constituam-se
enquanto canal de formação para professores da Educação Básica e outros sujeitos.
Reunimos aqui trabalhos de pesquisa e relatos de experiências de diferentes práticas que
surgiram no interior da universidade e escola, por estudantes e professores pesquisadores
de diferentes instituições do país.
Esperamos que esta obra, da forma como a organizamos, desperte nos leitores
provocações, inquietações, reflexões e o (re)pensar da própria prática docente, para quem
já é docente, e das trajetórias de suas formações iniciais para quem encontra-se matriculado
em algum curso de licenciatura. Que, após esta leitura, possamos olhar para a sala de aula
e para o ensino de Matemática com outros olhos, contribuindo de forma mais significativa
com todo o processo educativo. Desejamos, portanto, uma ótima leitura a todos e a todas.
CAPÍTULO 2.................................................................................................................. 9
A MATEMÁTICA AUXILIANDO NO COMBATE A OBESIDADE INFANTIL
Nilton Rosini
DOI 10.22533/at.ed.4052027102
CAPÍTULO 3................................................................................................................16
APLICAÇÃO DO TEOREMA DE BAIRE
Michele Martins Lopes
Angela Leite Moreno
DOI 10.22533/at.ed.4052027103
CAPÍTULO 4................................................................................................................26
UM RESULTADO SOBRE FUNÇÕES MENSURÁVEIS LIMITADAS EM p
Michele Martins Lopes
Angela Leite Moreno
DOI 10.22533/at.ed.4052027104
CAPÍTULO 5................................................................................................................41
O PRINCÍPIO DO MÁXIMO E APLICAÇÕES
Francisco Erisson Batista Gomes
DOI 10.22533/at.ed.4052027105
CAPÍTULO 6................................................................................................................47
MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO 3D DE GRÃOS AGRÍCOLAS NO PROCESSO
DE ARMAZENAGEM
Vanessa Faoro
Manuel Osório Binelo
Rodolfo França de Lima
Ricardo Klein Lorenzoni
DOI 10.22533/at.ed.4052027106
CAPÍTULO 7................................................................................................................58
DETERMINAÇÃO DAS MEDIDAS DE DESEMPENHO DE UMA FILA M/M/1 ATRAVÉS DE
UMA ABORDAGEM BAYESIANA
Nilson Luiz Castelucio Brito
Celimar Reijane Alves Damasceno Paiva
Pedro Humberto de Almeida Mendonca Gonzaga
Rodrigo Fonseca Santana Costa
DOI 10.22533/at.ed.4052027107
SUMÁRIO
CAPÍTULO 8................................................................................................................68
DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE NO ENSINO DO CÁLCULO
Pedro Pablo Durand Lazo
DOI 10.22533/at.ed.4052027108
CAPÍTULO 9................................................................................................................84
A MATEMÁTICA NA SUSTENTABILIDADE
Silvana Grimes
Daiana Lana
Janete Bizatto Ferreira
DOI 10.22533/at.ed.4052027109
CAPÍTULO 10..............................................................................................................89
INFLUÊNCIA DA PARTICIPAÇÃO DA FAMÍLIA NO PROCESSO DE ENSINO-
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Diane Saraiva Fronza
Guilherme Schildt Duarte
Lara Rafaela Menezes
Marcelo Eder Lamb
DOI 10.22533/at.ed.40520271010
CAPÍTULO 11..............................................................................................................98
OPERAÇÕES E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: UM RELATO DE EXPERIÊNCIA
Leniedson Guedes dos Santos
Rodrigo Ferreira dos Santos
Ulisses Suriano da Silva Neto
Maurílio Messias Bomfim Alves
DOI 10.22533/at.ed.40520271011
CAPÍTULO 12............................................................................................................102
TEM ÂNGULO EM TODO LUGAR
Alessandra dos Santos Fernandes
DOI 10.22533/at.ed.40520271012
CAPÍTULO 13............................................................................................................108
INVESTIGANDO AS POTENCIALIDADES DO YOUTUBE: UMA PRÁTICA COM
MODELAGEM
João Carlos Lemos Junior
Martinho Wojdylo
Ronaldo Jacumazo
Dionísio Burak
DOI 10.22533/at.ed.40520271013
SUMÁRIO
CAPÍTULO 14............................................................................................................122
ASPECTOS PRÁTICOS NA FORMAÇÃO DO DOCENTE EM PEDAGOGIA A PARTIR
DO TRABALHO COM MAPAS CONCEITUAIS COMO ESTRATÉGIA NO PROCESSO DE
ENSINO E APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA
André Ricardo Lucas Vieira
DOI 10.22533/at.ed.40520271014
CAPÍTULO 15............................................................................................................134
AS TECNOLOGIAS DIGITAIS E A APROPRIAÇÃO DO WEB CURRÍCULO PELOS
PROFESSORES DE MATEMÁTICA COMO O "X" DA QUESTÃO
Vera Lúcia de Oliveira Freitas Ruas
Josué Antunes de Macêdo
Edson Crisostomo dos Santos
DOI 10.22533/at.ed.40520271015
CAPÍTULO 16............................................................................................................145
A PASSAGEM DO 3D ↔ 2D NOS ANOS INICIAIS: UMA PROPOSTA POSSÍVEL
Julio Silva de Pontes
Celso Ribeiro Campos
DOI 10.22533/at.ed.40520271016
CAPÍTULO 17............................................................................................................155
CONCEPÇÕES DE LICENCIANDOS DE PEDAGOGIA SOBRE A QUALIDADE DA
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO INICIAL
Michela Caroline Macêdo
Carlos Eduardo Ferreira Monteiro
DOI 10.22533/at.ed.40520271017
CAPÍTULO 18............................................................................................................165
LEITURA, INTERPRETAÇÃO E ESCRITA MATEMÁTICA: UM OLHAR PARA AS
VIVÊNCIAS EM UMA TURMA DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL DE UMA ESCOLA
NO SEMIÁRIDO BAIANO
Eliane Ferreira de Santana
Américo Junior Nunes da Silva
DOI 10.22533/at.ed.40520271018
CAPÍTULO 19............................................................................................................180
APLICATIVO EDUCACIONAL ARTE AQUI!: UMA PROPOSTA BASEADA NA
CARTOGRAFIA DOS SENTIDOS
Kelen Ricardo dos Reis
Carine Geltrudes Webber
Roberta Dall Agnese da Costa
Isolda Gianni de Lima
Laurete Teresinha Zanol Sauer
DOI 10.22533/at.ed.40520271019
SUMÁRIO
CAPÍTULO 20............................................................................................................195
MODELAGEM E ALIMENTAÇÃO SAUDÁVEL: POSSIBILIDADES PARA O ENSINO DA
MATEMÁTICA
Felipe Manoel Cabral
Marcela Lima Santos
Claudia Mazza Dias
DOI 10.22533/at.ed.40520271020
CAPÍTULO 21............................................................................................................210
O SABOR DA MATEMÁTICA – O PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DE CONHECIMENTO
MATEMÁTICO NO 6º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ATRAVÉS DAS HISTÓRIAS E
RECEITAS CULINÁRIAS
Domingos Antonio Lopes
Cristiana Andrade Poffal
Cinthya Maria Schneider Meneghetti
DOI 10.22533/at.ed.40520271021
CAPÍTULO 22............................................................................................................222
VIVÊNCIAS MATEMÁTICAS: RECURSOS DIDÁTICOS NO ENSINO DE FRAÇÕES
Mírian Silva Ferreira
Jairo Alves Batalha
DOI 10.22533/at.ed.40520271022
CAPÍTULO 23............................................................................................................229
ENSINO DE MATEMÁTICA: SISTEMA NUMERICO EGÍPCIO POR MEIO DE UM CENÁRIO.
Jeizi Ferreira Santos
Bruno Sebastião Rodrigues da Costa
Eusom Passos Lima
Izaias Silva Rodrigues
Karoline de Sarges Fonseca
Larisse Lorrane Monteiro Moraes
Maiky Bailão Sardinha
Marcos Vinicius Silva Alves
Otavio Junior Reis de Moraes
Pedro Augusto Lopes Rosa
Rosana Pinheiro Tavares
Sebastião Erik Pinheiro e Pinheiro
DOI 10.22533/at.ed.40520271023
CAPÍTULO 24............................................................................................................241
PROCESSOS (NÃO) HEGEMÔNICOS DE MATEMATIZAR: ANÁLISE DE LIVROS (PARA)
DIDÁTICOS SOBRE O CÁLCULO DA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Weverton Augusto da Vitória
Rodolfo Chaves
DOI 10.22533/at.ed.40520271024
SOBRE O ORGANIZADOR......................................................................................256
ÍNDICE REMISSIVO..................................................................................................257
SUMÁRIO
CAPÍTULO 4
doi
UM RESULTADO SOBRE FUNÇÕES MENSURÁVEIS
LIMITADAS EM LP
2 | PRELIMINARES
Definição 1: Seja . Definamos o seguinte conjunto
Agora, suponhamos que (X,A, μ) seja um espaço de medida. Seja Lp (X, μ), e
considere a seguinte relação:
para todo Temos que ~ é uma relação de equivalência sobre L1 (X, μ).
De fato,
daí,
logo,
Portanto
Como e então
portanto,
daí
logo,
segue que,
daí
Daí
Portanto
Portanto,
Tomemos
em que
Usando a
Daí
daí,
ou seja,
assim,
Como
Então
Demonstração:
I. É claro que se, e somente se, f = 0.
II. Notemos que
logo,
em que
Afirmação:
Com efeito, como cada gk é mensurável, temos que g é mensurável. Além disso,
Por um teorema temos que g p é finita quase sempre. Logo, g é finita quase sempre,
ou seja,
quase sempre.
Fixemos e tomemos um índice k suficientemente grande de forma que, se
, então
assim,
Logo,
Demonstração:
1º caso:
Usando o Teorema 3 podemos afirmar que existe uma sequência de funções
simples tais que e
daí
logo
ou seja,
2º caso: f é qualquer.
Como onde e , podemos usar o caso anterior e afirmar
que existem funções simples φ e ψ tais que
ou seja,
e mais,
daí
assim,
ou seja,
Portanto,
2º caso: . Assim,
Queremos provar que . Seja , tomemos λ =
pois p < q. Podemos escolher β de forma que
que nos dá
Logo,
ou melhor,
e, assim,
Daí
assim,
e, com isso,
logo,
Portanto,
3 | APLICAÇÃO
Se então o conjunto das funções mensuráveis limitadas é denso em
REFERÊNCIAS
KREYSZIG, E. Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons,
1978.
Observação: Trabalho publicado em: LOPES, M.M; MORENO, A.L. Aplicações do Teorema de
Baire. SIGMAE, v.6, 2, p. 46-53, 2017.
A
Aeração de Grãos 47
Algoritmos 98, 99, 100, 101, 172, 173, 174, 178
Análise estatística 9, 10
Análise Matemática 16
Ângulo 12, 102, 103, 104, 105, 107
Aplicativo 13, 180, 182, 183, 184, 185, 187, 190, 191, 192, 193
Aprendizagem 9, 12, 13, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 104, 108, 109, 110, 111,
120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 137, 138, 140, 142,
143, 145, 148, 150, 151, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 163, 164, 167, 168, 169, 170,
171, 172, 177, 178, 179, 180, 182, 183, 184, 185, 191, 192, 194, 195, 197, 209, 210, 211,
212, 213, 219, 220, 222, 224, 226, 227, 228, 230, 231, 232, 234, 239, 250, 253
Aprendizagem Significativa 101, 120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 131, 132,
133, 194
Arte 13, 86, 111, 115, 128, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192,
193, 194, 240
Asset Price 11, 1, 3, 4
B
BNCC 135, 136, 139, 144, 167, 169, 178, 182, 183, 210, 211, 212, 215, 219, 220
C
Cálculo 12, 14, 10, 12, 68, 69, 73, 78, 83, 92, 115, 116, 119, 172, 173, 174, 176, 199, 231,
241, 242, 246, 247, 248, 249, 250, 253
Campos Semânticos 241, 243, 244, 254, 255
Cartografia 13, 180, 183, 184, 185, 191, 192, 193, 194
Circunferência da cintura 9, 10, 11, 12, 13
Conjunto Denso 26
Contextualização 165, 166, 167, 169, 170, 171, 178, 188, 189, 192
Curso de Pedagogia 126, 128, 155, 160
D
Derivabilidade 12, 68, 73, 80
Desenhos 104, 105, 107, 145, 146, 149, 150, 151, 152, 185, 189, 193
Diferenciabilidade 12, 68, 73, 82
Distribuição de Ar 47
F
Família 12, 19, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 127, 128, 254
Ferramenta de Ensino 125, 195, 196, 198
Filas 58, 59, 66
Formação de Professores 9, 122, 138, 142, 153, 158, 160, 179, 233, 244, 256
Formação inicial de Professores 155, 163
Frações 14, 103, 104, 105, 203, 217, 222, 223, 224, 226, 227
Função Simples 26, 36, 37, 39, 40
I
Infantil 11, 9, 10, 13, 14, 84, 85, 86, 87, 88, 118, 143, 153, 178, 194, 228
Inferência Bayesiana 58, 60
Integral de Lebesgue 26, 40
Interdisciplinaridade 108, 109, 144, 165, 168, 169, 170, 171, 177, 178, 179, 181, 213, 220,
240
L
Letramento Matemático 165, 167, 171
M
Mapas Conceituais 13, 122, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132
Matemática 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 9, 10, 12, 16, 26, 41, 47, 48, 56, 68, 83, 84, 85, 86,
87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 104, 105, 107, 108, 109, 110, 111,
112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 127, 128, 131, 132, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140,
141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 149, 150, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161,
162, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 176, 177, 178, 179, 184, 195, 196,
197, 198, 199, 200, 203, 206, 208, 209, 210, 211, 213, 220, 221, 222, 223, 224, 226, 227,
228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 238, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 250, 252,
254, 255, 256
Medida 10, 14, 26, 27, 33, 40, 102, 103, 104, 127, 148, 193, 217, 246, 247, 251, 252
Metodologia 10, 42, 91, 94, 98, 100, 108, 110, 111, 113, 120, 126, 132, 138, 143, 145, 146,
151, 152, 161, 170, 199, 210, 211, 212, 213, 219, 221, 229, 230, 232, 234, 239, 240, 241,
254
Metodologia Ativa 210, 211, 212, 213, 219, 221
Mobile Art 180, 184, 185, 187, 191
Modelagem Computacional 47
Modelagem Matemática 11, 47, 108, 109, 110, 111, 112, 120, 177, 178, 195, 196, 197, 198,
199, 200, 203, 206, 209
N
Números Decimais 195, 211, 217, 220, 223, 228
O
Obesidade 11, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 209
Operações 12, 98, 99, 100, 101, 167, 171, 195, 196, 198, 199, 211, 215, 217, 219, 228
Operadores Elípticos 41
P
Princípio da Limitação Uniforme 16, 17, 22, 24, 25
Princípios do Máximo 41
Professor 9, 86, 89, 90, 91, 92, 93, 96, 101, 102, 103, 106, 108, 109, 112, 120, 122, 123,
124, 125, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 139, 142, 145, 146, 148, 149, 150, 151, 153, 158,
159, 161, 163, 164, 167, 170, 171, 174, 177, 178, 179, 182, 195, 196, 209, 212, 213, 219,
222, 224, 227, 232, 234, 244, 245, 252, 254, 256
S
Sentidos 13, 123, 139, 159, 180, 183, 184, 185, 192, 193, 194
Significar 73, 222
Simulação 11, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 56, 58, 66, 183
Sistema Numérico 230, 234, 235, 238, 239
Sistemas de Numeração 12, 98, 99, 100, 101, 234
Sistemas Lineares 195, 196
Sustentabilidade 12, 84, 85, 86, 87
T
Tecnologias Digitais 13, 134, 135, 137, 138, 139, 140, 142, 143, 181, 182, 220
Teorema de Banach-Steinhauss 16, 22, 24, 25
Tikhonov regularization 1
Transferidor 102, 103, 104
V
Visualização 14, 117, 145, 146, 148, 149, 150, 152
W
Web Currículo 13, 134, 135, 137, 143
Y
YouTube 12, 108, 109, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121