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Potncia Eltrica
De grande interesse nos equipamentos eltricos. Ex.: Potncia de um transformador, de um alternador, de um transmissor de rdio, etc Se a tenso na figura ao lado for funo do tempo, a corrente resultante tambm o ser. O produto da tenso pela corrente, em qualquer instante, se chama Potencia Instantnea e dada por: p = vi A potncia p pode ter valores positivos e negativos. p positiva transferncia de energia da fonte para o circuito. p negativa transferncia de energia do circuito para a fonte. Consideremos o caso ideal em que o circuito passivo consta de um elemento indutivo e apliquemos a ele uma tenso senoidal da forma v = Vmax.sent; a corrente resultante ter a forma i = Imax.sen(t-/2). Assim a potncia ser: p = vi = Vmax.Imax. sent[sen(t-/2)] Como sen(t-/2) = -cost p = Vmax.Imax.sent[-cos(t)] Como senX.cosX = sen2X
p = 1 VmaxImax sen 2t 2
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A potencia tem freqncia duas vezes maior que a corrente e tenso. Quando v e i so + p + energia Quando v e i so - p - energia

No caso de um circuito puramente capacitivo os resultados so anlogos.

Se aplicarmos, agora, uma tenso v estrutura que s contenha

Vmax.sent a uma

resistncia,

corrente

ser

I = Imax.sent e a potncia ser: p = Vmax.Imax.sen2t

como sen2x= (1-cos2x)

p = 1 VmaxImax(1 cos 2t) 2

Ento a potencia nesse tipo de circuito tem freqncia duas vezes mais que a tenso ou corrente. Alm disso, a potncia aqui sempre positiva e varia de zero ao valor mximo Vmax.Imax

O valor mdio da potncia nesse caso ser: p =

1 VmaxImax 2

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Consideremos finalmente o caso de um circuito passivo genrico em que aplicada v

= Vmax.sent teremos uma corrente

resultante I = Imax.sen(t+)
ser positivo se o circuito for capacitivo ser negativo se o circuito for indutivo

Ento
p = vi = Vmax.Imax.sent.sen(t+)

como sen.sen = [cos(-)-cos(+)] e cos(-) = cos

p = 1 VmaxImax[(cos cos(2t + )] 2

Ento a potencia em cada instante tem uma componente cossenoidal cujo valor mdio zero, e tambm um termo independente do tempo e constante igual a
1 VmaxImax cos 2

O valor mdio de p : p =

1 VmaxImax 2

Vmax 2 cos , como I I = max 2 V =

P = VIcos cos chamado de fator de potncia. O ngulo o ngulo de V

e I e seu valor varia de +90 a 90. Portanto, cos

conseqentemente P so sempre positivos. Entretanto, para indicar o sinal de , diz-se que um circuito indutivo, que tem a corrente atrasada em relao tenso, tem um fator de potncia atrasado.
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Num circuito capacitivo a corrente est adiantada em relao tenso e diz-se que tem um fator de potncia adiantado. Potncia Aparente (S): O produto VI chama-se potncia aparente e representa-se pelo smbolo S. A unidade o Volt-ampere (VA) e o seu mltiplo mais usado o Quilovolt-ampere (KVA) = 1000VA

Potncia Reativa (Q): O produto VIsen chama-se potncia reativa e indica-se pelo smbolo Q. A unidade o Volt-ampere-reativo (VAr) e o seu mltiplo mais empregado o Quilovolt-ampere-reativo (KVAr) = 1000Var.

Tringulo de Potncias: Circuito Indutivo

Atrasado

cos =

Pot Mdia . Pot Aparente .

Circuito Capacitivo

Adiantado

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|S|2 = |Q|2 + |P|2 |KVA|2 = |KVar|2 + |KW|2

S = P jQ

Potncia Mdia ou Real (P) Potncia Transformada em calor Potncia Aparente (S) Potncia Total do circuito Potncia Reativa (Q) Potncia Gasta para haver a troca de energia entre o sistema e o

capacitor/indutor

Observemos que: Seja v = |V|ej e i = |I|ej(

+ ) + )

S = VI* = |V|ej.|I|e-j(

= VIe-j

S = VIcos - jVIsen S = P - jQ

Potncia Mdia ou Real (P)

2 VR P = VI cos = I R = = Re [VI*] R Potncia Reativa (Q) 2 VR 2 = Im [VI*] Q = VIsen = I X = X Potncia Aparente (S) S = VI = I2Z = V2/Z valor absoluto de [VI*] 2

Fator de Potncia fp = cos =

R P = Z S

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Exemplo 01) Dado um circuito de impedncia Z = 3 + j4 e uma tenso

V=10030 determine o tringulo de potencias.
I = V 10030 = = 20 23, ) ( 1 Z 553, 1

Mtodo 1:
P = I2R = (20)2x3 = 1200 W Q = I2X = (20)2x4 = 1600 VAR S = I2Z = (20)2x5 = 2000 VA cos = cos53,1 = 0,6 atrasado atrasada

Mtodo 2: S = VI = 100x20 = 2000VA P = VIcos = 2000.cos53,1 = 1200W Q = VIsen = 2000.sen53,1 = 1600VAR

fp = cos = cos53,1 = 0,6 atrasado

Mtodo 3: S = VI* = 10030x2023,1 = 2000(cos53,1 + jsen53,1) S = 1200 + j1600 P = 1200W Q = 1600VAR S = 2000VA
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Correo de fator de potncia Instalaes industriais cargas indutivas corrente atrasada em relao tenso aplicada No tringulo de potencias a hipotenusa S indica a potencia total requerida do sistema, e o cateto P indica a potencia til fornecida. , portanto, desejvel que S se aproxime o mximo e P, isto , que o ngulo se aproxime de zero, para que o fator de potncia (cos) se aproxime da unidade. No caso de uma carga indutiva aumenta-se o fator de potncia colocando-se capacitores em paralelo com a carga. Como a tenso nos terminais da carga permanece a mesma, a potncia til P no varia. Como o fator de potncia aumentado, a corrente e a potncia aparente diminuem, obtendo-se assim uma utilizao mais eficiente da instalao industrial.

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P = VI.cos S = VI*

Exemplos: 1) Corrigir o valor do o fator de potncia do exemplo anterior (Z=3+j4 e V = 10030) para 0,9 atrasado, acrescentando capacitores em paralelo. Achar S aps a correo, e a potncia reativa dos capacitores.
cos = 0,9 = arccos 0,9 = 26 cos = P/S S = 1200/0,9 = 1333VA sen = Q/S Q = S.sen26 = 1333sen26 Q = 585Var

S = 2000Va P = 1200w Q = 1600Var cos = 0,6 atrasado

A potncia reativa dos capacitores ser: Qcap = Q Q = 1600 585

Qcap = 1015VAR adiantado

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2)

Dado um circuito em que, aplicada a tenso v = 150sen(t+10), a corrente resultante i = 5sen(t 50), determinar o tringulo das potncias.
150 10 = 10610 2
S = VI* = (10610)(3,5450) S = 37560= 187,5 + j325

V =

I =

5 ( 54 ( 50) = 3, 50) P = Re[VI*] = 187,5W 2 Q = Im[VI*] = 325Var atrasado

S = VI * = 187 52 + 3252 ,

S = 375 VA fp = cos60 = 0,5 atrasado

3) Em um circuito srie de dois elementos a potncia 940 watts e o fator de potncia 0,707 adiantado. Sendo

v = 99sen(6000t + 30) a tenso aplicada, determinar as

constantes do circuito.
V = 99 30 = 7030 2

P = VIcos 940 = 70I(0,707) I = Como o fator fasor corrente do ngulo de I =

940 I = 19A 70x0, 707

de potncia 0,707 adiantado, o est adiantado em relao tenso, = arccs 0,707 = 45, ento: 19(45+30) I = 1975

Z =

V 7030 = = 3, 45) = 2 6 j2 6 68 ( , , I 1975

Como Z = R jXc = R j(1/C)

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R = 2,6
XC = 1 1 = 26 C = , = 64, F 1 C 6000x2 6 ,

Outro Mtodo:
I = 19A P = RI2 940 = R(19)2 R = 940 = 2 6 , 192

Z = |Z|45 = R jXc = 2,6 jXc Como = -45 Xc = 2,6 1 1 C = = = 64 1F , XC 6000 2 6) (,

4) Dado o circuito srie abaixo, determinar o tringulo das potncias. Z =3+j6j2 = 3+j4 = 553,1
I = 50 90) ( = 10 143 1) ( , 553, 1

S = VI* = [50(-90)](10143,1) S = 50053,1 S = 300 + j400 P = 300w Q = 400Var atrasado S = 500Va

Outro mtodo I = 10A P = RI2 = 3.102 = 300w Qj6 = 6.102 = 600Var atrasado Q-j2 = 2.102 = 200Var adiantado Q = Qj6 - Q-j2 = 600 200 = 400Var atrasado
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5) A corrente eficaz total no circuito abaixo 30A. Determine as potncias. (5 j ) 34 Zeq = (5 j ) + 4 3 (20 j )(9 + j ) 12 3 Zeq = (9 j )( + j ) 3 9 3 Zeq = 2 4 j , , 0 533
P = IT2R = 302x2,4 = 2160w Q = IT2X = 302x0,533 = 479,7Var adiantado

S =

21602 + 479, 2 = 2210Va 7

6) Determinar o tringulo das potncias de cada brao do circuito abaixo e soma-los para obter o tringulo do circuito todo.

Ramo 01:

I1 =

V 2060 = = 530 Z1 430

S1 = VI1* = (2060)[5(-30)] = 10030 = 86,6 + j50 Logo: P1 = Re[VI1*] = 86,6w Q1 = Im[VI1*] = 50Var atrasado S1 = [VI1*] = 100Va
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fp1 = P1/S1 = 0,866 atrasado

Ramo 02:
I2 = V 2060 = = 40 Z2 560

S2 = VI2* = (2060)(40) = 8060 = 40 + j69,2 Logo: P2 = Re[VI2*] = 40w Q2 = Im[VI2*] = 69,2Var atrasado S2 = [VI2*] = 80Va Fp2 = P2/S2 = 0,5 atrasado

Exemplo 06 (continuao)

Total: PT = P1 + P2 = 68,6 + 40 = 126,6w

QT = Q1 + Q2 = 50 + 69,2 = 119,2Var ST = PT + jQT = 126,6 + j119,2 = 17443,4

ST = |ST| = 174Va
fpT = PT 126, 6 = = 0, (atrasado) 727 ST 174

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7) Um motor de induo cuja sada 2HP tem rendimento de 85%. Com essa carga o fator de potncia de 0,8 atrasado. Determinar as potncias de entrada.
= Nsada x100 (%) Nentrada

2HP = 1755w

S = 1755/0,85 = 2190Va = arcos 0,80 = 36,9 Q = 2190sen36,9 = 1315Var (atrasado) P = Scos = 2190 x 0,80 = 1752w
8) Determinar o tringulo das potncias totais do circuito paralelo abaixo, sendo de 20w a potncia dissipada no resistor de 2.
2 P = RI1 I1 =

20 = 3, A 16 2

Z1 = 2 j = 5

22 + 52 arctg

5 2

Z1 = 5,38(-68,2) V = I1Z1 = 3,16 x 5,38 17v Tomando V = 170

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I1 =

V 170 = 3, 68 2 = 1, + j2 93 16 , 17 , = Z1 5, 68 2 ) 38 ( ,

Z2 = 1 + j = 1 I2 =

245

V 170 = = 12 45 ) = 8 48 j , ( , 8 48 Z2 245

IT = I1 + I2 = (1,17 + j2,93) + (8,48 j8,48) IT = = 9,65 j5,55 = 11,1(-29,9)

ST = V.IT* = 170 x 11,129,9 = 18929,8 = 164 +j94

PT = 164w , QT = 94Var (atrasado) , ST = 189Va

Cos = 164/189 = 0,868 (atrasado)

9) Determinar as potncias de uma associao de 3 cargas individuais, assim especificadas: Carga 1 - 250Va, fp = 0,5 atrasado; Carga 2 - 180w, fp = 0,8 adiantado; Carga 3 - 300VA, 100Var atrasado. Carga 01: S = 250 VA P = Scos = 250.0,5 = 125w

cos = 0,5 atrasado

= arccos 0,5 = 60 Q = Ssen = 250sen60 = 216Var atrasado

Carga 02:
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P = 180W cos = 0,8 adiantado

S = P/cos = 180/0,8 = 225VA = arccos 0,8 = 36,9 Q = Ssen = 225sen36,9 = 135Var adiantado

Carga 03: S = 300VA Q = 100Var atrasado

= arcsenQ/S = arcsen 100/300 = 19,5 P = Scos = 300cos19,5 = 283W

Ento: PT = 125 + 180 + 283 = 588w QT = 216 135 + 100 = 181VAR atrasado ST = PT + jQT = 588 +j181 = 61617,1 ST = 616VA cos = P/S = 588/616 = 0,955 atrasado

10) Um transformador de 25KVA fornece 12KW a uma carga com fator de potncia 0,6 atrasado. Determinar a percentagem de plena carga que o transformador alimenta. Desejando-se alimentar cargas de fp unitrio com esse mesmo transformador, quantos Kw podem ser acrescidos, at que o transformador esteja a plena carga.

P = 12 Kw S = P/cos = 12/0,6 = 20KVa

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A percentagem de plena carga : (20/25)x100 = 80% cos = 0,6 = arccos 0,6 = 53,1 Q = Ssen = 20sen53,1 = 16Kvar atrasado

Como as cargas adicionais tem fp=1, Q permanece inalterado Quando o trafo estiver a plena S = 25KVa = arcsen Q/S = arcsen 16/25 = 39,8 PT = Scos = 25cos39,8 = 19,2Kw

Ento a carga adicional = PT P = 19,2 12 = 7,2Kw

11) Um transformador de 500KVa est operando a plena carga com fator de potncia total de 0,6 atrasado. O fator de potncia melhorado, acrescentando-se capacitores, para 0,9 atrasado. Quantos KVar capacitivos so necessrios? Aps a correo do fator de potncia, que percentagem da plena carga o transformador estar alimentando?

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Plena carga P = VIcos = 500 x 0,6 = 300Kw = arccos0,6 = 53,1 Q = VIsen = 500sen53,1 = 400Kvar atrasado

Quando cos = 0,9 atrasado = arccos0,9 = 26 S = 300/0,9 = 333KVa Q = 333sen26 = 146KVar atrasado

Ento carga capacitiva = Q Q = 400 146 = 254KVar adiantado % plena carga = (330/500)x100 = 66,7%

12) Considere o circuito abaixo, ao qual se aplica uma voltagem de freqncia igual a 50Hz. Determinar qual deve ser a capacitncia para que o fator de potncia do circuito seja 0,80, e neste caso, dizer se a corrente estar em avano ou em atraso.

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Se cos = 0,80 = arccos 0,80 = 36,87 Ramo ab: Z1 = 5 Y1 = 1/5 Ramo cd: Z2 = 2 + j4
Y2 = 12 j ) ( 4 2 j 4 2 j 4 = 2 = (2 + j )(2 j ) 4 4 20 2 + 42

Yfg = Y1 + Y2 1 2 j 4 4 + 2 j 4 6 j 4 3 j2 + = = = 5 20 20 20 10 Zfg =
1 10 3 + j2) ( 30 + j20 30 + j20 = = 2 = Yfg (3 j2)(3 + j2) 13 3 + 22

Ramo ef: Zef = 2 -jXc

Impedncia Total: ZT = Zef + Zfg = ZT = 2 jXC +

ZT =

26 j XC + 30 + j20 13 30 + j20 = 13 13

56 + j 20 13XC) ( 20 13XC 56 = + j 13 13 13
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tg = tg36,87 = 0,75 = X/R

20 13XC 20 13XC 13 0, = 75 = 56 56 13

20 - 13XC = 56 x 0,75 = 72 XC = 42 20 = 1, 70 13 56 20 13 1, ) ( 7 + j = 4, + j , 3 3 24 13 13
Parte imaginria Positiva, ento corrente atrasada

Ento ZT =

XC = C =

1 1 = C 2fC 1 1 = C = 1, x10 3F 87 2fXC 2x50x1, 70

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