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Bizuário de Matemática
Bizuário de Matemática
Bizuário de Matemática
SUMÁRIO
PRODUTOS NOTÁVEIS 4
FATORAÇÃO 4
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 5
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 5
FUNÇÃO – CONCEITOS 6
FUNÇÃO COMPOSTA 6
FUNÇÃO INVERSA 7
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 7
FUNÇÃO AFIM 8
FUNÇÃO QUADRÁTICA 8
FUNÇÃO EXPONENCIAL 9
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 12
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 13
FUNÇÃO MODULAR 16
MATRIZES 17
DETERMINANTES 20
REGRA DE CHIÓ 21
SISTEMA LINEAR 23
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 23
ANÁLISE COMBINATÓRIA 24
BINÔMIO DE NEWTON 25
PROBABILIDADE 25
GEOMETRIA PLANA 26
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 28
LEI DOS SENOS 28
LEI DOS COSSENOS 29
SÍNTESE DE CLAIRAUT 29
ÁREAS 29
TRIGONOMETRIA 34
FÓRMULAS DE ARCO DOBRO E ARCO TRIPLO 36
FÓRMULAS DE ARCO METADE 36
DUPLICAÇÃO USANDO TANGENTE 37
FÓRMULAS DE PROSTAFÉRESE 37
PRODUTO EM SOMA 37
POLINÔMIOS 39
GEOMETRIA ESPACIAL 40
GEOMETRIA ANALÍTICA 45
3
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
PRODUTOS NOTÁVEIS
(a ± b )
2
=a2 ± 2ab + b2
(a + b + c )
2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b )(a − b ) = a 2
− b2
(a + b )
3
=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b )
3
=a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
(a + b ) = a3 + b3 + 3ab ( a + b )
3
(a − b ) = a3 − b3 − 3ab ( a − b )
3
FATORAÇÃO
ab + ac = a (b + c )
ab + ac + bd + cd = a (b + c ) + d (b + c ) = (b + c )( a + d)
a2 − b2 = ( a + b )( a − b )
(
a3 + b3 = ( a + b ) a2 − ab + b2 )
(
a3 − b3 = ( a − b ) a2 + ab + b2 )
(
xn − an = ( x − a) xn−1 + xn−2a + … + xan−2 + an−1 )
(
xn + an = ( x + a) xn−1 − xn−2a + … − xan−2 + an−1 )
(
a4 + 4b4 = a2 + 2ab + 2b2 a2 − 2ab + 2b2 )( )
x 4 + x 2 + 1= (x 2
)(
+ x + 1 x2 − x + 1 )
4
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
an+1 − an =
r
Crescente: r > 0
Constante: r = 0
Decrescente: r < 0
an−1 + an+1
an =
2
an = a1 + (n − 1) r
Sn =
(a1
+ an ) n
2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
an+=
1
an ⋅ q
Crescente: q > 1
Constante: q = 1
an = an−1 .an+1
an = a1qn−1
q ≠ 1 ⇒ Sn =
a1 qn − 1 ( )
q −1
q =1 ⇒ Sn =na1
n(n −1)
Pn = a1nq 2
5
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
FUNÇÃO – CONCEITOS
(a,b ) = ( c,d) ⇔ a = c ∧ b = d
A
= ×B {( x, y ) x ∈ A ∧ y ∈ B}
n ( A × B=
) n ( A ) ⋅ n (B )
Seja f uma relação de A em B, isto é, f ⊂ A × B, dizemos que f é uma função de A em B se, e somente
se, para todo elemento x ∈ A existe um e apenas um elemento y ∈ B tal que (x,y) ∈ f, ou seja, y = f(x).
Onde A é dito domínio e B é dito contradomínio.
PROBIZU
O domínio é encontrado pensando-se nas condições de existência das operações envolvidas nas
funções. Comumente utilizam-se raízes de índice de par ou divisão onde basta lembrar que nas
raízes de índice par o radical não pode ser negativo e na divisão não pode haver divisão por 0.
Função par: f ( −=
x ) f ( x ) , ∀x ∈ A
Função ímpar: f ( −x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ A
f é injetora ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ A, x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ou
∀x1 , x 2 ∈ A, f ( x1=
) f ( x2 ) ⇒ x=1 x2
Função bijetora: f: A → B é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora, ou seja, todo elemento
de B está associado por f a um único elemento de A.
FUNÇÃO COMPOSTA
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FUNÇÃO INVERSA
( x, y ) ∈ f ⇔ ( y, x ) ∈ f −1
y ⇔ f −1 (y) =
f(x) = x
PROBIZU
Para se obter a lei da função inversa basta na função ‘f’ se trocar o ‘y’ pelo ‘x’ e o ‘x’
pelo ‘y’ e voltar a isolar o ‘y’.
f ( x ) = 2x + 1 ⇒ y = 2x + 1 ⇒
Para encontrar f −1 ( x ) teremos: x = 2y + 1 ⇒
x −1 x −1
2y = x − 1 ⇒ y = ⇒ f −1 (x) =
2 2
Se quisermos calcular o valor numérico de uma coordenada específica do domínio de f(x) podemos
calcular depois de se obter a regra de f-1(x) ou aplicando o valor de ‘x’ no ‘y’.
x −1
f(x) = 2x + 1 ⇒ f −1 (x) =
2
3 −1 2
f −1 (3)= = = 1 ou
2 2
f(x) = 3 ⇒ 2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
x +2
Qual a imagem da função f(x) = ?
x −2
x +2
f(x) = ⇒ Domf = R − {2}
x −2
x +2 y+2
y= ⇒x= ⇒ xy − 2x = y + 2 ⇒
x −2 y −2
xy − y = 2x + 2 ⇒ y(x − 1) = 2x + 2 ⇒
2x + 2 2x + 2
y= ⇒ f −1 (x) = ⇒ Dom −1 = R − {1}
x −1 x −1 f
Como Im= f
Dom =
−1
f
R − {}
1
7
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FUNÇÃO AFIM
f(x) = ax + b com a e b ∈ e a ≠ 0.
b
Zero da função: − ,0
a
Intersecção com eixo OY : (0,b)
a → coeficiente angular
b → coeficiente linear
yB − y A ∆y
a= tgθ= = onde θ é o ângulo formado entre a reta e o eixo OX .
xB − x A ∆x
FUNÇÃO QUADRÁTICA
f(x) = ax² + bx + c com a, b e c ∈ e a ≠ 0.
−b ± b2 − 4ac
Zero da função: calculado através da fórmula de Bháskara , onde b2 − 4ac =
∆ , daí
2a
∆ > 0 → 2 raízes reais e distintas
∆ = 0 → 2 raízes reais e iguais
∆ < 0 → não possui raízes reais
Coeficientes
a → atua na concavidade
a > 0 → concavidade para cima
a < 0 → concavidade para baixo
b → atua no vértice
c → ponto de intersecção com OY
PROBIZU
A variação do coeficiente ‘a’ faz com que a parábola seja mais aberta ou mais fechada.
A variação do coeficiente ‘b’ faz com que o vértice da parábola se movimente sobre
outra parábola.
Soma e produto das raízes:
b c
S=
x1 + x 2 =
− =e P x=x
1 2
a a
b ∆
O ponto ( x V , y V ) =
− , − é chamado de vértice da parábola.
2a 4a
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∆
I. Se a > 0, a função quadrática y = ax² + bx + c admite valor mínimo y V = − (“ y do vértice”) e
4a
b
tal valor mínimo ocorre para x = x V = − (“ x do vértice”). Neste caso, o “x do vértice” é dito
minimizante. 2a
∆
II. Se a < 0, a função quadrática y = ax² + bx + c admite valor máximo y V = − (“ y do vértice”) e
4a
b
tal valor máximo ocorre para x = x V = − (“ x do vértice”). Neste caso, o “x do vértice” é dito
maximizante. 2a
Forma fatorada: Se f(x) = ax² + bx + c possui raízes r1 e r2 , podemos fatorar f(x) = a(x – r1)(x – r2)
Estudo do sinal
FUNÇÃO EXPONENCIAL
→ *+
f: com a > 0 e a ≠ 1.
x → a
x
Propriedades
an = a × a × a × × a
onde a é denominado base e n é denominado expoente.
n fatores
a1 = a
a0 = 1
n
1 1
a– n =
=
a
an
1 se n é par
+
(−1)n =
−1 se n é par
am × an =
am+n
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am
n
= am−n ; m > 0 e a ≠ 0
a
(a=
) (a )
n m
m m× n n
a=
an × bn =(a × b)n
b
an a
= ; b≠0
bn b
n
a =b ⇔ bn =a
( a) = a
n n
n
a × n b = n a× b
n
a a
= n , b≠0
n
b b
( a)
p
n
= n ap
n p np
a= a
n np
= a ap , p ≠ 0
1
an = n a
Gráficos
a>1 0<a<1
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Equação exponencial
A regra básica é tentar igualar as bases pois daí teremos que 2 potências de mesma base serão
iguais quando os expoentes também forem.
Exemplo 1
1 7 x −1
= 49
7
x −1
7−1 = 49 7
x −1
7−1
( )
= (7)
2 7
2x −2
7−1 = ( 7 ) 7
2x − 2 5
=−1 → 2x − 2 =−7 → x =−
7 2
Exemplo 2
3x −1 − 3x + 3x +1 + 3x +2 =
306
Usando as propriedades de potências am+n = am . an teremos
3x .3−1 − 3x + 3x .31 + 3x .32 =
306
3x
− 3x + 3x .3 + 3x .32 =
306
3
Podemos colocar 3x em evidência ou fazer uma substituição, como 3x = a
a
− a + a.3 + a.9 =306
3
Multiplicando toda a equação por 3, para reduzirmos os denominadores
a − 3a + 9a + 27a =
306.3
34a = 306.3
306.3 306 .3
=a = = 9.3
= 27
34 34
Voltando a variável x
3x = 27
3x = 33 ⇒ x = 3
S=
{x ∈ R / x =
3}
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Exemplo 3
4 x − 2x − 2 =
0
( ) (=
a )
n m
Também usando as propriedades de potência =
am n
am.n
(2 )
x
2
− 2x − 2 =
0
(2 )
2
x
− 2x − 2 =
0
x
Novamente podemos fazer uma substituição, 2 = a
a² − a − 2 =0
Resolvendo a equação do 2º grau
S=
{x ∈ R / x =
1}
Inequações exponenciais
1º caso:
(mantém a desigualdade)
Se a > 1, (função crescente), então
ax > ak ⇔ x > k
2º caso:
(inverte a desigualdade)
Se 0 < a < 1, (função descrente), então
ax > ak ⇔ x < k
Exemplo 1
2x > 128
Como a base (2) é maior que devemos manter a desigualdade para os expoentes
2x > 27 ⇔ x > 7
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Exemplo 2
x
3 125
≥
5 27
3
Como a base é um número maior que 0 e menor que 1, devemos inverter a desigualdade para
os expoentes 5
x x 3
3 53 3 5
≥ 3 → ≥
5 3 5 3
x ≤3
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
logab = x ⇔ ax = b com b > 0, a > 0 e a ≠ 1.
b = antiloga x ⇔ x = logab ⇔ ax = b
→
*
f: + com a > 0 e a ≠ 1.
x → loga x
Consequências imediatas
Sejam a, b, c ∈ R+* e a ≠1 e k ∈ R, então:
loga 1 = 0
loga a = 1
loga ak = k
loga b
a =b
loga=
b loga c ⇔=
b c
Propriedades
loga (b ⋅=
c) loga b + loga c
b
loga=
loga b − loga c
c
1
log b= ⋅ loga b
(aβ ) β
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Gráficos
a>1 0<a<1
Equações logarítmicas
1º tipo: Se a > 0; a ≠ 0 e α ∈ R
loga x = α → x = aα
Exemplo 1
log2(3x + 1) = 4
Exemplo 2
log2 ( 3x − 5 ) =
log2 7
Igualando os logaritmandos
3x − 5 = 7 → 3x = 12 → x = 4
Exemplo 3
(log2x)² − log2x = 2
Fazendo log2x = a termos
a2 − a =2
a2 − a − 2 =0
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ou
1
log2 x =−1 ⇔ 2−1 =x ⇔ x =
2
Inequações logarítmicas
1º caso:
Se a > 1, então
log f(x)
= logag(x) ⇒ f(x) > g(x) > 0
a
(mantém a desigualdade)
2º caso:
Se 0 < a < 1,então
log=
f(x) logag(x) ⇒ 0 < f(x) < g(x)
a
(inverte a desigualdade)
Exemplo
log2(2x – 1) < log26
0 < 2x − 1 < 6
1 < 2x < 7
1 7
<x<
2 2
1 7
S = x ∈ R / < x <
2 2
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FUNÇÃO MODULAR
x,se x ≥ 0
f (x)
= =⇒ f(x) | x | assim f(x) ≥ 0.
−x,se x < 0
Propriedades
x2 = x
xy = x y
2 2
x= x= x 2
x x
=
y y , se y ≠ 0
PROBIZU
= x 2 − 3x .
EXEMPLO: Construir o gráfico de f(x)
y x 2 − 3x :
Inicialmente, construímos o gráfico de =
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Em seguida, refletimos, em relação ao eixo x, a parte do gráfico que está abaixo do eixo x, obtendo:
MATRIZES
Matriz m x n é uma tabela de m x n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n
colunas (filas verticais).
1 −2 3
A= é uma matriz 2 x 3;
0 4 2
3 −2 5
1 0 2
C= 0 4 3 é uma matriz 4 x 3.
1
−1 −6
2
Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
Ex: A= ( 4 7 -3 1)
1x4
Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.
Ex:
4
B = −1
0
3x1
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Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste
caso, dizemos que a matriz é de ordem n.
Ex: C= 4 −1 0
4 7
=D 0 π 3
2 −1 2x2 2 7 3
Matriz de ordem 2 3x3
Matriz de ordem 3
Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j.
Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que
i + j = n + 1...
Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.
Notação: Om x n
0 0 0
Exemplo: O2 x 3 =
0 0 0
Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes
de zero.
Ex: A2 = 4 0 0 .
2 0
B3 = 0 3 0
0 1 0 0 7
Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.
In onde n indica a ordem da matriz identidade.
1 0 0
Ex: I2 = I3 = 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1
1, se i = j
ou: In =
= aij , aij
0, se i ≠ j
Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir
de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notação: At.
2 −1
2 3 0 t
Ex: Se A = então =A 3 −2
−1 − 2 1 0 1
Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A = At.
OBS: Se A = -At, dizemos que a matriz A é antissimétrica.
2 3 1 2 3 1
t
Ex: Se A = 3 2 4 A = 3 2 4
1 4 5 1 4 5
3x3 3x3
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Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A,
trocando-se o sinal de todas os seus elementos.
Notação: – A
3 0 −3 0
Ex: Se A = então A =
4 −1 −4 1
Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos
que ocupam a mesma posição são idênticos.
Notação: A = B.
2 0 2 c
Ex: Se A = B= e A = B, então c = 0 e b = 3
−1 b −1 3
Adição de Matrizes: Dadas as matrizes A = aij e B = bij , chamamos de soma das matrizes
mxn m x n
A e B a matriz C = cij , tal que c=
ij
aij + bij , para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ i ≤ n .
mxn
Notação: A + B = C
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).
Propriedades: A, B e C são matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes propriedades:
I. Associativa:
(A + B) + C = A + (B+ C)
II. Comutativa
A +B =B+ A
Propriedades
Sejam A e B matrizes m x n e a, b ∈ R.
Sejam A e B matrizes m x n e a, b ∈ R.
1·A=A
(-1) · A = -A
a · 0mxn = 0mxn
0·A = 0mxm
a · (A + B)=a · A + a · B
(a + b) · A = a · A + b · A
a·(b · A)= (ab) · A
Multiplicação de matrizes
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n
cik= ai1b1k + ai2b2k + ai3b3k + … + ainbnk= ∑ aij ⋅ b jk
j =1
A · (B +C) = A · B +A · C
(k · A) · B = A · (k · B) = k · (A · B)
Amxn ⋅ In = Im ⋅ Amxn = Amxn
0pxm ⋅ Amxn =
0pxn
DETERMINANTES
Determinantes de 1ª ordem
Seja A = (a11) uma matriz 1x1 então det A = |a11|= a11.
Determinante de 2ª ordem
a a a11 a12
Seja A = 11 12 então det
= A = a11a22 − a12a21 .
a a
21 22 a21
a22
Menor complementar
Seja uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento qualquer de A. O menor complementar
Mij do elemento aij é o determinante da matriz de ordem (n − 1), obtida a partir de A eliminando-se a
linha i e a coluna j.
Cofator
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B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
Seja uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento qualquer de A. O cofator do elemento
aij é o número definido por, Aij = (-1)i + j . Mij onde Mij é o menor complementar de aij.
Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2, o determinante de A é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
n n
det A = ∑ apj ⋅ Apj = ∑ aiq ⋅ Aiq
=j 1=i 1
Propriedade 9: (Teorema de Jacobi): Adicionando-se a uma fila uma combinação linear de outras
filas paralelas, o determinante não se altera.
Propriedade 10: Para toda matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto
dos elementos da diagonal.
Propriedade 11: Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:
det(AB)
= detA⋅ detB
Propriedade 12:
1
det(A −1 ) =
det A
Regra de chió
Este algoritmo serve, assim como o teorema de Laplace, para baixar a ordem do determinante.
Importante saber é que só podemos aplicar a regra de Chió se existir algum elemento igual a 1.
ALGORITMO: Seja um determinante de ordem n onde aij = 1, suprimem-se a i-ésima linha e a j-ésima
coluna; de cada elemento restante apq do determinante subtraímos apj . aiq;
O novo determinante tem ordem n-1 e quando multiplicado por (-1)i+j torna-se igual ao determinante
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original.
EXEMPLO:
1 2 3
2 − 2 ⋅1 4 − 3 ⋅1 0 1
1 2 4 = = =0 ⋅ 7 − 3 ⋅ 1 =−3
3 −2⋅0 7 −3⋅0 3 7
0 3 7
Matriz de Vandermonde
Chamamos de matriz de Vandermonde a uma matriz da forma,
1 1 1 … 1
a1 a2 a3 … an
V = a1 2
a22
a23 … an2
n−1 n−1 n−1
a1 a2 a3 … ann−1
.
O determinante de matrizes de Vandermonde é dado pelo produto de todas as possíveis diferenças
ai - aj onde i > j.
Teorema de Binet
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então vale a igualdade det (AB) = det(A).det(B).
Matriz inversa
Dizemos que uma matriz A quadrada de ordem n é inversível se existe uma matriz B também de ordem n tal
que AB = BA = I. Neste caso, dizemos que B é a matriz inversa de A e denotamos B = A-1.
Propriedades
Todas as matrizes aqui citadas serão quadradas de ordem n e inversíveis.
Se AB = I, necessariamente B = A-1 e então podemos garantir que BA = I.
(A )
−1
−1
=A
(A ) ( )
−1 t
t
= A −1
(A A … Ak ) = ( Ak ) … ( A 2 ) (A )
−1 −1 −1 −1
1 2 1
(A ) ( )
−1 k
k
= A −1
1
( )
det A −1 =
det A
e assim A é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo.
1
A −1 = adj ( A )
det A
PROBIZU
a b 1 d −b
dada uma matriz inversível, sua inversa é dada por ad − bc −c a
c d
22
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SISTEMA LINEAR
Um sistema linear de m equações a n incógnitas é um conjunto de m (m ≥ 1) equações lineares a n
incógnitas e pode ser escrito como segue:
a11 x1 + a12 x 2 + … + a1n xn =
b1
a21 x1 + a22 x 2 + … + a2n xn =
b2
a x + a x + … + a x = bm
m1 1 m2 2 mn n
A matriz dos termos independentes é uma matriz-coluna formada pelas constantes do 2º membro.
C=
b1
b2
bm
23
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REGRA DE CRAMER
det Ai
xi = para i = 1, 2, ..., n
det A
Procedimentos para escalonar um sistema
1. Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
2. Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita
das demais equações.
3. Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4. Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
O princípio multiplicativo
Supondo que um evento E possa ser decomposto em r eventos ordenados E1, E2, ..., Er e que existam.
n1 maneiras para o evento E1 ocorrer
n2 maneiras para o evento E2 ocorrer
nr maneiras para o evento Er ocorrer
Então o número de maneiras do evento E ocorrer é dado por
r
n1 × n2 × ... × nr =∏ n1
i =1
Permutação simples
Pn = n!
Permutação circular
PCn= Pn−1= (n − 1)!
Arranjos simples
n!
Apn =
(n − p)!
Combinação simples
n!
Cpn =
p!(n − p)!
24
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BINÔMIO DE NEWTON
C00
C10 C11
0
C 2
C12 C22
0 1
C 3
C3
C32 C33
0 1
C 4
C4
C24 C34 C44
0 1 2 3
C 5
C5
C5
C5
C54 C55
0 1 2 3 4
C 6
C6
C6
C6
C6
C56 C66
...
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
...
Relação de Stifel
Cpn + Cpn +1 =
Cnp++11 .
Expansão binomial
n
(x + a)n =
∑ Cpnap xn−p
p =0
Termo geral
Tp +1 = an−p .bp
n
p
PROBABILIDADE
Probabilidade de um evento A
número de casos favoráveis #(A) m
P(A)
= = =
número de casos possíveis #(U) n
25
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GEOMETRIA PLANA
d= (n − 3)
Total de diagonais
n(n − 3)
D=
2
26
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Teorema de Tales
A1 A2 A2 A3 An−1 An
Sejam as retas r1 r2 r3 rn−1 rn , então = = …
= .
B1B2 B2B3 Bn−1Bn
a⋅h = b ⋅c b2 = a ⋅ m c2 = a ⋅ n
1 1 1
h2= m ⋅ n = + 2
a= b2 + c2
h2 b2 c2
Triângulo equilátero
l 3
h=
2
l3 = R 3
R
a3 =
2
Quadrado
d=l 2
l4 = R 2
R 2
a4 =
2
Hexágono regular
l6 = R
R 3
a6 =
2
27
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cateto oposto b
Seno: senBˆ =
=
hipotenusa a
cateto adjacente c
Cosseno: cosBˆ =
=
hipotenusa a
1
Secante: secBˆ =
cosBˆ
1
Cossecante: cossecBˆ =
senBˆ
a b c
= = = 2R
ˆ senBˆ senCˆ
sen A
28
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a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos Â
Síntese de Clairaut
∆ABC é acutângulo ⇔ a2 < b2 + c2
∆ABC é retângulo ⇔ a2 = b2 + c2
ÁREAS
Retângulo
S = b.h
Paralelogramo
S = b.h
29
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Triângulos
a ⋅ hA b ⋅ hB c ⋅ hC
S
= ABC
= =
2 2 2
b⋅c ˆ a=
⋅c a⋅b
SABC
= = sen A senBˆ senCˆ
2 2 2
SABC= p ⋅ r
SABC = (p − a) ⋅ ra = (p − b ) ⋅ rb = (p − c ) ⋅ rc
30
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
a⋅b ⋅c
SABC =
4R
SABC = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )
pq
S= ⋅ sen θ
2
31
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
SABCD= p ⋅ r
Polígono regular
S= p ⋅ a
32
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
Círculo
S = π ⋅ R2
Setor circular
πR2 ⋅ α
S=
360
Segmento circular
R2 (
Ssegmento = Ssetor α − S triângulo
= ⋅ α − sen α )
α
2
33
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
TRIGONOMETRIA
REDUÇÃO REDUÇÃO REDUÇÃO
DO 2° AO 1° DO 3° AO 1° DO 4° AO 1°
QUADRANTE QUADRANTE QUADRANTE
2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante
sen( π − =
θ) sen θ sen(θ − π) = − sen θ sen(2π − θ) = − sen θ
cos( π − θ) = − cos θ cos(θ − π) = − cos θ cos(2π − θ) = − cos θ
tg(π − θ) = − tg θ tg(θ − π=
) tg θ tg(2π − θ) = − tg θ
Função seno
Função cosseno
Função tangente
34
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
Função cotangente
Função secante
Função cossecante
35
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PROBIZU
• A é a amplitude;
2π
• T= é o período;
B
C
• − é o número de fase, ou seja, o deslocamento na horizontal (para direita, se positivo, ou para a
B
esquerda, se negativo); e
• D indica o deslocamento vertical (para cima, se positivo, ou para baixo, se negativo).
cos2
=α cos2 α − sen2 α
= 2cos2 α − 1
1 − 2sen2 α
=
2 tg α
tg2α =
1 − tg2 α
sen3
=α 3sen α − 4 sen3 α
cos3
= α 4 cos3 α − 3cos α
3 tg α − tg3 α
tg3α =
1 − 3 tg2 α
α 1 + cos α
cos = ±
2 2
α 1 − cos α
tg = ±
2 1 + cos α
36
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
α
1 − tg2
cos α = 2
2 α
1 + tg
2
Fórmulas de Prostaférese
p+q p−q
senp + senq =
2sen cos
2 2
p−q p+q
senp − senq =
2sen cos
2 2
p+q p−q
cosp + cosq =
2cos cos
2 2
p+q p−q
cosp − cosq =
−2sen sen
2 2
sen (p + q)
tgp + tgq =
cosp ⋅ cosq
sen (p − q)
tgp − tgq =
cosp ⋅ cosq
Produto em soma
1
senp ⋅ =
senq cos (p − q) − cos (p + q)
2
1
cosp ⋅ =
cosq cos (p + q) + cos (p − q)
2
NÚMEROS COMPLEXOS
Definição
Z = a + bi , onde i= −1 .
4
x
+ x 3 -7x 2
+ 9x-1
≡ (x
2
+ 3x-2) (x
2
-2x
1) + (2x
+ 1)
+
P(x) D(x) Q(x) R(x)
Igualdade
a + bi =c + di ⇔
a = c
b = d
37
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Adição
(a + bi) + ( c + di) = (a + c ) + (b + d) i
Multiplicação
(a + bi) . ( c + di) =ac + adi + bci + bdi 2
=(ac − bd) + (ad + bc)i
Divisão
a + bi a + bi (c − di) (ac + bd) + (bc − ad)i
= = . , onde Z =
a + bi e Z = a2 + b2
a − bi, onde Z.Z =
c + di c + di (c − di) c2 + d2
Potências de i
in ⇒ seja r o resto da divisão de n por 4 ⇒ in =
ir
Módulo
Z
= a2 + b2
Forma trigonométrica
Propriedades do módulo
z⋅w = z ⋅ w
z z
=
w w
n
zn = z
38
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Z1 Z1
= . ( cos(α − β) + isen(α − β))
Z2 Z2
n Z
α + 2kπ α + 2kπ
= 1
n Z1 . cos + isen
n n
POLINÔMIOS
Definição
P(x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + a1 x + a0
Grau
Dado pelo grau do maior monômio
Divisão
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) x 4 + x 3 − 7x 2 + 9x − 1 x 2 + 3x − 2
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 −x 4 − 3x 3 + 2x 2 x 2 − 2x + 1 → Q(x)
3 2
P(x) D(x) − 2x − 5x + 9x − 1
+ 2x 3 + 6x 2 − 4x
R(x) Q(x) 2
x 2 + 5x − 1
Nessa divisão: − x 2 − 3x + 2
P(x) é o dividendo. 2x + 1 → R(x)
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.
Teorema do resto
b
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual a P −
a
Teorema de DÁlembert
b
Um polinômio P(x) é divisível pelo ax + b se P − =0.
a
39
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• Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da
equação (1 é raiz).
• Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor
expoente da variável.
• Se x1 , x 2 , x 3 ,..., xn são raízes da equação an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + a1 x + a0 , então ela pode ser
escrita na forma fatorada :
an (x − x1 ).(x − x 2 ).....(x − x n )
Relações de Girard
a
S1 =
x1 + x 2 + ... + xn =
− n−1
an
an−2
S=
2
x1 .x 2 + x 2 .x 3 + ... + x n−1 .x=
n
an
a0
Dessa forma até P = x1 .x 2 .… .xn = ( −1)n
an
GEOMETRIA ESPACIAL
Postulados principais
• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
• Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
• Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida nesse plano.
• Se dois planos possuem um ponto comum, então possuem pelo menos algum outro ponto comum.
Isso indica que a interseção de dois planos distintos que se interceptam é uma reta.
• Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma, e apenas uma, reta paralela à primeira. (Euclides)
Determinação de um plano
três pontos não colineares
40
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Distâncias
DISTÂNCIA ENTRE
segmento de reta AB
DOIS PONTOS A E B
distância do ponto ao pé da
DISTÂNCIA ENTRE UM
perpendicular à reta conduzida
PONTO E UMA RETA
pelo ponto
41
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Relação de Euller
V +F = A +2
Paralelepípedo retângulo
DIAGONAL: d= a2 + b2 + c2
VOLUME: V = a3
Prisma reto
SB = 2p.ab
S=
L
2p ⋅ h
ST = 2p ⋅ h + 2 ⋅ SB
V
= SB ⋅ h
42
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Pirâmide regular
2
a=
l
ap2 + R2
2
a=
p
ab2 + h2
SB = p.ab
SL= p ⋅ ap
ST =p ⋅ ap + SB
1
V = ⋅ Sb ⋅ h
3
Cilindro reto
SB = 2πr 2
SL = 2πrh
ST =2πr (r + h )
V = πr 2h
43
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Cilindro equilátero
Cone reto
SB = πr 2
SL = πrg
πr (r + g)
ST =
1 2
V= .πr .h
3
Esfera
ST = 4πR2
4
V= .πR3
3
44
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
2
Vcunha= αR3
S fuso = 2αR2 3
GEOMETRIA ANALÍTICA
x A + xB y A + yB
xM = e yM = .
2 2
(x − x A ) + ( yB − y A )
2 2
dAB = B
45
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
Baricentro do triângulo
x A + xB + x C y A + yB + y C
=xG = e yG
3 3
Assim, o baricentro do triângulo ABC será:
x + x B + x C y A + yB + y C
G A ,
3 3
Área do triângulo
y mx + n
=
∆x
m= tg α= , onde ∆ x = xB − x A e ∆ y = yB − y A .
∆y
46
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
x y 1
xA yA 1 = 0
xB yB 1
θ=β−α
m − ms
θ =arctg r
1 + mr .ms
Retas paralelas
Como as retas r e s possuem o mesmo ângulo α com o eixo OX então mr = ms .
47
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
Retas perpendiculares
mr .ms = −1
a.x 0 + b.y 0 + c
dP,r =
a2 + b2
Circunferência
(x − x ) + (y − y )
2 2
0 0
R2
=
Equação completa
Ax 2 + By2 + Cx + Dy + Exy + F =0
B
x 0 = −
2
C
y0 = −
2
x 0 + y 0 − R2 =
2 2
D
48
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
Posições relativas
I. Entre ponto e circunferência
ax o + by o + c
=
• Reta exterior: d >R
a2 + b2
ax o + by o + c
tangente: d
• Reta= = R
a2 + b2
ax o + by o + c
=
• Reta secante: d <R
a2 + b2
dO >R+r
1 ,O2
(x − x1 ) + ( y2 − y1 ) > R + r
2 2
2
49
B I Z UÁ R I O D E M AT E M ÁT I C A P R O M I L I TA R E S . C O M . B R
• Tangentes exteriores
(x − x1 ) + ( y2 − y1 ) =
2 2
2
R+r
• Secantes
(x − x1 ) + ( y2 − y1 ) < R + r
2 2
R −r < 2
• Tangentes interiores
(x − x1 ) + ( y2 − y1 ) =
2 2
2
R −r
• Interiores
(x − x1 ) + ( y2 − y1 ) < R − r
2 2
2
50
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