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Unidade II - Conjuntos Numericos Aula
Unidade II - Conjuntos Numericos Aula
Unidade II - Conjuntos Numericos Aula
Naturais N
Inteiros Z
Racionais Q
Reais R
Para fundamentos de Aritmética, Giuseppe Peano
escolheu três conceitos primitivos: zero, número (natural
no caso), e a função “é sucessor de”, satisfazendo a cinco
postulados ou axiomas,
Com estes axiomas é criado o conjunto dos números naturais, indicado por
N, que é infinito e sua representação por extensão é simplificadamente:
x vezes
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO EM N
1) Fechamento da Adição
Para todos os números, se dois deles quaisquer x e y são
(∀x, y ∈ N)[x + y ∈ N] naturais, então a sua soma x + y, resultará em um número
também natural.
O que não ocorre na subtração
O conjunto dos Inteiros, representado por Z (que vem da palavra inteiro ”zahl”
na língua alemã) é infinito e enumerável.
Ou seja, a subtração é uma operação definida para quaisquer inteiros o que não
ocorre com o conjunto dos Naturais.
Logo, para cada número inteiro existe um oposto e a soma de opostos é sempre nula.
Mudou o significado e a ordem dos quantificadores.
Temos que o oposto de 4 e -4, o oposto de -6 e 6, etc.
No conjunto dos inteiros, como nos naturais, não podemos fazer a divisão entre
qualquer par de números mas apenas para alguns.
Por exemplo: 4/2 Z , assim como -10/5 Z, porém o resultado da divisão 3/2 Z.
Quando a divisão não é inteira formamos uma fração que representa essa divisão,
ou um decimal finito ou infinito.
Agora nos racionais, exceto quando b = 0, a divisão é uma operação fechada.
O conjunto tem esse nome pois uma divisão ou fração também é chamada de razão
e seu adjetivo é racional.
Exemplo de Racionais:
2 Q , -33 Q, ½ Q , -¾ Q
http://www.alunonaweb.com.br/matematica_detalhes.php?id=OQ==
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES EM Q
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES EM Q
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES EM Q
PROPRIEDADE DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO EM Q
( x Q ) ( e i Q ) [ x * ei = ei * x = 1 ]
No conjunto dos Racionais a divisão é fechada mas nem todas as operações que
usamos são fechadas. Além disso, existem números que não são expressos por
frações, conforme já vimos.
Unindo o conjunto dos racionais com os números irracionais formamos o Conjunto
dos Reais R.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R
Este conjunto é contínuo e não possui os buracos dos racionais. Este infinito é de
natureza diferente dos naturais e os conjuntos enumeráveis. Este infinito é mais
potente. O conjunto R não é enumerável.
-2 -1 -1/2 0 1/2 1 2
O conjunto R possui todas as propriedades dos racionais e muitas outras, porém além
deste conjunto temos ainda o conjunto dos números complexos no qual temos a
unidade imaginária i e a definição de i² = -1.
INTERVALOS REAIS
O conjunto dos reais R é contínuo, isto é, a reta real possui todos os números
naturais, inteiros, racionais e inclusive os irracionais.
Os subconjuntos dos reais formam intervalos, que podem ser fechados, abertos
ou mistos.
Atenção na representação dos intervalos que pode ser das duas formas.
INTERVALOS REAIS
Operações entre intervalos: União
Considere os intervalos reais: A = [ -2, 2 ] , B = (0, 5) e C = [-3, 1)
-3 1
AB AC
ABC
-2 5 -3 2
-3 5
A B = [-2, 5) A C= [-3, 2] A B C = [-3, 5]
INTERVALOS REAIS
Operações entre intervalos: Intersecção
-3 1
a a.a.a.....a
n
potências são valores que representam uma
base multiplicação sucessiva de um número
multiplicação de n fatores
EXEMPLOS:
3² = 3.3 = 9
25 = 2.2.2.2.2 = 32
(-4)² = (-4) . (-4) = 16
Note que (-a)² -a²
-4² = - 4.4 = -16
a 1
0
Por definição, qualquer base
elevada a ZERO é igual a 1.
PROPRIEDADES DE POTENCIAÇÃO
am mn
Divisão de potências de mesma base, conservamos a base e do expoente
n
a do numerador, subtraímos o expoente do denominador)
EXEMPLO:
a
n
a an Potência de uma fração , aplicamos o expoente tanto no numerados
n como no denominador
b b EXEMPLO:
POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO
Sendo a um número real e n um número natural, então a potência de a elevado a –n é
dada por:
n 1
a n
a 3 2
1
3
1 1 2 3 27
EXEMPLOS: a)3 2 2 b) c) 4 2 16
3 9 3 2 8 4
a na
n n EXEMPLO:
b b
n
ab n a .n b EXEMPLO:
(n a ) m n a m EXEMPLO: (3 8 ) 2 3
64 4
a
p n pn
a EXEMPLO: 2 3 64 6 64 2
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
EXEMPLOS:
a)37 5 27 5 7 5 (3 2 1)7 5 47 5
200 200
c) 100
2 2
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
EXEMPLOS: