Physical Sciences">
01 Resistência Dos Materiais
01 Resistência Dos Materiais
01 Resistência Dos Materiais
Objetivo do módulo: mostrar a relação entre Engenharia e Arquitetura e a definição dos elementos de
uma estrutura
A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas,
independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única.
Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares,
fundações) deve ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como
também uma Expressão Arquitetônica (Arquitetura).
Laje: estrutura laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira
acentuadamente de menor dimensão.
As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podando
também, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares.
Viga: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas.
As vigas em um Sistema Estrutural podem estar apoiadas diretamente sobre os pilares como também
sobre outras vigas.
Pilar: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Fundação: estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma ordem
de grandeza.
O posicionamento dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) é dado em função de
cada projeto, em consonância com os demais projetos componentes de uma edificação, como por
exemplo: projeto arquitetônico, projeto hidráulico, projeto elétrico etc.
Você gostaria de ter que se abaixar todas as vezes que desce uma escada para não correr o risco de
fazer um galo batendo-a em uma viga que cruza esta escada?
Você gostaria de estar sentado na platéia de um teatro em uma poltrona que fica bem atrás de um
pilar?
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Seria interessante uma tubulação horizontal ter que desviar das vigas em cada piso de um edifício?
Alvenaria: chega-se até 20 pavimentos mas com uma limitação, a espessura das paredes no
pavimento térreo que podem chegar até 1,50 metros.
Concreto armado: chega-se até 60 pavimentos com a limitação nas dimensões e na quantidade de
pilares no pavimento térreo.
Aço: chega-se até 190 pavimentos com limitações quanto à necessidade de travamento e também,
dependendo da eficiência do travamento, limitações devido à possíveis oscilações que possam
ocorrer devido ao vento (podendo chegar até 40 cm no topo de um edifício para ventos muito fortes)
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Objetivo do módulo: mostrar a relação entre estética e estática e os problemas que podem ocorrer
quando os princípios da estática não são observados
A fórmula a seguir é para você, que gosta de Arquitetura e não sabe o que está fazendo nesta
disciplina.
ESTÉTICA: responsável pela "arte" de um projeto. A estética é dada pela expressão arquitetônica
através de várias disciplinas, sendo a principal delas a disciplina de Planejamento Arquitetônico.
ESTÁTICA: responsável pela "técnica" de um projeto. A estática se encarrega de fazer com que uma
estrutura fique "em pé", suportando as cargas e as transportando sem deformações excessivas até o
terreno. A palavra ESTÁTICA, vem do grego "statikos" e quer dizer imóvel como estátua, parado.
OUTROS: alguns itens também devem ser considerados na execução de um projeto. Projeto elétrico,
projeto hidráulico, projeto de conforto ambiental, paisagismo, integração com o entorno, definição dos
materiais a serem utilizados, definição dos processos construtivos, entre outros.
A principal função, do ponto de vista estrutural, para uma edificação é ser estática, porém:
Ela pode se "inclinar", por não estar bem travada ou por problemas de fundação.Ela pode se
deformar e/ou fissurar excessivamente, em partes ou como um todo, devido a excesso de carga ou
travamento inadequado.
Partes da estrutura podem ser afastadas uma da outra devido a falhas nas juntas (para estruturas
metálicas ou de madeira).
Um ou mais pilares de um edifício sujeitos a carga de compressão podem flexionar ao máximo até
que, a menos que o carregamento seja retirado, eles rompem.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Após um período de tempo, pode haver decomposição dos materiais devido à fatores externos
"Não se admite mais que hoje se faça um anteprojeto e não se localize os elementos estruturais, ou
seja, o projeto arquitetônico e o estrutural estão ligados, pois quem propõem a estrutura e quem a
viabiliza e a dimensiona é o engenheiro. Logo, o arquiteto tem que ter uma boa experiência de como
funciona a estrutura.
"A trilogia função, técnica e plástica é Arquitetura. Não é possível criar um espaço sem saber as
técnicas e instalações necessárias para que se desempenhe todas as funções satisfatoriamente. As
técnicas que têm que servir a esta função não são influência sobre a Arquitetura e sim a própria
Arquitetura".
"Os elementos técnicos mais expressivos na Arquitetura são, em geral, as suas estruturas. A
estrutura define e estabelece o espaço arquitetônico. Cada arquiteto acaba por desenvolver um modo
particular de expressão estrutural. Pessoalmente acho que se deve evitar excessos e buscar sempre
uma coerência nas decisões usando técnicas adequadas para cada caso. Ou seja, usar vãos maiores
somente quando necessário e quando não houver necessidade de flexibilidade ou grandes vãos,
procurar soluções estruturais mais simples. Seria algo como uma "composição estrutural" onde cada
espaço tem uma solução mais sintonizada com as suas necessidades e o conjunto se expressa como
um todo coerente e composto."
A utilização da técnica deve ser feita de forma moderada e modesta para que não se produzam
efeitos que descaracterizam a obra".
Oscar Niemeyer
Quando o tema permite, é preciso invadir o campo fecundo da imaginação e fantasia e procurar a
forma diferente, a surpresa arquitetural. E aí surgem as conquistas estruturais inovadoras; os grandes
vãos livres, os balanços enormes, as cascas finíssimas, enfim, tudo que pode demonstrar o progresso
da técnica em toda sua plenitude".
Lúcio Costa
"Enquanto satisfaz apenas as exigências técnicas e funcionais - não é ainda Arquitetura; quando se
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
perdem intenções meramente decorativas - tudo não passa de cenografia; mas quando - popular ou
erudita - aquele que a ideou, pára e hesita, ante a simples escolha de um espaçamento de pilar ou da
relação entre a altura e a largura de um vão, e se detém na procura obstinada da justa medida entre
cheios e vazios, na fixação dos volumes e subordinação deles a uma lei, e se demora atento ao jogo
dos materiais e seu valor expressivo - quando tudo isto se vai pouco a pouco somando, obedecendo
aos mais severos preceitos técnicos e funcionais, mas, também, àquela intenção superior que
seleciona, coordena e orienta em determinado sentido toda essa massa confusa e contraditória de
detalhes, transmitindo assim ao conjunto, ritmo, expressão, unidade e clareza - o que se confere à
obra o seu caráter de permanência: isto sim é Arquitetura".
Tipos de Carregamentos
Sabe-se que na antiguidade não havia o cálculo ou o projeto estrutural. A evolução acontecia de uma
obra para outra na base da tentativa e do erro. Muitas vezes uma obra que demorara até centenas de
anos para chegar até um determinado estágio não suportava os carregamentos impostos até mesmo
pelo próprio peso da estrutura e desabava. Então, não restava nada a fazer senão aprender com o
erro ocorrido e recomeçar a construção.
Um fator que colaborou com a evolução de uma obra do ponto de vista estrutural, foi a observação
das forças da natureza. Esta observação permitiu que os elementos estruturais tivessem dimensões
cada vez menores e também permitiu que os vãos se tornassem cada vez maiores.
Exemplo: uma árvore e suas raízes poderiam perfeitamente servir de exemplo para a construção de
um pilar com sua fundação.
Com o surgimento da Revolução Industrial, foram surgindo novas técnicas e novos materiais. Com
estas técnicas e materiais, alguns modelos teóricos, ou seja, explicações, para as forças da natureza
foram descobertos. Baseados nestes modelos teóricos surgiram então os projetos mostrando que
uma obra poderia ser construída sem a necessidade de experimentos com obras anteriores (acabou
o processo de tentativa e erro). O primeiro fator a ser considerado quando da execução do projeto
estrutural de uma obra são os carregamentos nela atuantes.
Tipos De Carregamentos
Concentrado: Representa uma força aplicada em um único ponto da estrutura. Unidade (SI): N, e
pode acontecer nos seguintes elementos estruturais:
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Distribuído/m: Representa uma força distribuída sobre uma linha da estrutura. Unidade(SI): N/m, e
pode acontecer nos
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Distribuído/m²:
Representa uma força distribuída sobre uma superfície da estrutura. Unidade(SI): N/m², e pode
acontecer no seguinte elemento estrutural: laje.
Os carregamentos permanentes estão atuando sobre a estrutura durante todo o tempo, não
importando qual seja a sua utilização ou quais sejam as condições atmosféricas.
Peso-Próprio (PP):
Os elementos estruturais têm o peso que deve ser considerado na definição dos carregamentos
atuantes em uma estrutura. Este peso, definido como peso-próprio é função do peso específico do
material em questão.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 8
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
►aço: 78 kN/m
Alvenaria:
O peso das paredes de alvenaria de uma obra deve ser considerado sobre os elementos estruturais
em que elas se apóiam. Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes. O peso da
alvenaria é função do peso/m² da alvenaria, que varia de acordo com sua espessura.
Fórmula
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Notas:
a - Os valores de peso/m² da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro furado com
argamassa de 1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco.
b - Os vazios que podem aparecer em uma parede de alvenaria não devem ser considerados,
proporcionando assim uma maior segurança.
Revestimento
O peso dos revestimentos de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em que eles se
apóiam. Um valor básico é utilizado como peso de revestimento:
Notas:
O valor acima é considerado somente para revestimentos mais comumente utilizados, como por
exemplo: taco, tapete, borracha, paviflex, etc.
Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou devem ser feitas
consultas ao próprio fabricante.
Cobertura
O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apóiam algum tipo de cobertura,
entendo-se por cobertura toda a estrutura que suporta as telhas mais o peso das próprias telhas. O
peso da cobertura é função do peso/m² do telhado.
0,60 kN/m² para telha de fibrocimento e 1,00 kN/m² para telha de barro.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Alguns elementos estruturais podem se apoiar sobre outros elementos sendo, portanto a carga
definida pela reação de um elemento estrutural sobre outro.
As fotos mostram os tipos de reações de elementos estruturais sobre a própria estrutura que podem
ocorrer.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Objetivo do módulo: mostrar os carregamentos acidentais que podem atuar em uma estrutura.
Exemplo de cálculo de carregamentos em uma estrutura.
Vento
Este tipo de carregamento é considerado somente para edificações muito altas ou edificações
especiais, como por exemplo, torres, caixas d'água elevadas, galpões, etc.
Empuxo
Empuxo é a força proveniente da ação da água nas piscinas ou caixas d'água ou do solo nos sub-
solos sobre as paredes verticais.
Frenagem
Provavelmente em uma de suas viagens você já deve ter observado cena parecida: em um daqueles
grandes viadutos que tem uma grande inclinação, um caminhão daqueles enormes resolveu
ultrapassá-lo. Porém, lá embaixo, no final do viaduto, estavam atravessando a pista uma mãe de
mãos dadas com uma criança. Você só olhou para o lado e ouviu uma grande freada do caminhão.
Felizmente nada aconteceu, o caminhão conseguiu parar a tempo!!!
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 12
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Mas imagine só o deslocamento horizontal do viaduto com a freada, e o que este deslocamento deve
ter provocado nos pilares! Parece que não, mas a frenagem é um dos principais carregamentos que
devem ser considerados no cálculo de pontes e viadutos, sendo logicamente função do peso do
veículo. Quanto mais leve o veículo menor o efeito da frenagem e quanto mais pesado o veículo,
maior o efeito da frenagem.
Sobrecargas
Forro (sem acesso ao público): sc = 0,50 kN/m² residência, escritório: sc = 1,50 à 2,00 kN/m²
Forro
Escritório
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Sala de Aula
Sala de Ginástica
Biblioteca
Terremoto, Neve
Tanto o terremoto como a neve são tipos de carga acidental que devem ser considerados.
Felizmente, no Brasil, não há a necessidade da consideração deste tipo de carregamento, uma vez
que eles não ocorrem nem com intensidade nem com frequência suficiente que justifique sua
consideração.
Cargas Móveis
Logicamente a carga é dita móvel porque se mexe. E o que se mexe é um veículo. Portanto, a carga
a ser considerada é o peso dos veículos se deslocando sobre pontes e viadutos. O efeito da carga
móvel é função do peso e da localização do veículo sobre a estrutura. Normalmente, o peso do
veículo é conhecido, sendo utilizados veículos padrões. Mas a localização do veículo se modifica a
cada momento, sendo necessários então métodos especiais para a consideração deste fator,
dificultando a consideração deste tipo de carga quando do cálculo de pontes e viadutos.
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplos De Carregamento
Baseado no esquema seguinte definir a carga na laje L1, nas vigas V2 e V5 e no pilar P5 .
Dados:
▪ Piso de escritório
▪ Alvenaria: 1 vez
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Um corpo em equilíbrio, sujeito a cargas externas ativas e reativas, possui em seu interior esforços.
Estes esforços internos ou solicitações internas são devidos ao deslocamento das partículas que
compõem o corpo, até que seja atingido o equilíbrio. Observe-se que o equilíbrio se dá na
configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em
estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações.
Tensões
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como conseqüência
também o será.
"Supondo um corpo carregado e em equilíbrio estático. Se cortarmos este corpo por uma
seção qualquer "S" isolando, como exemplo, a parte da esquerda, podemos dizer que na
seção cortada devem se desenvolver esforços que se eqüivalham aos esforços da parte da
direita retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços,
convenientemente decompostos, se constituem nas solicitações internas fundamentais. O
isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode
ser feito."
Partindo deste raciocínio podemos afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção
cortada está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (resultante) mantém o
equilíbrio do corpo isolado. A tensão (p) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que
a distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.
Substituindo-se a representação da força pela tensão que ela provoca, teremos o representado na
figura (a).
Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço
segundo 3 direções ortogonais que queiramos, e, portanto conforme foi feito com as solicitações,
vamos fazer esta decomposição em direções convenientes (fig b) levando-se em consideração as
deformações que provocam.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar
alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo- as paralelas.
Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica
longitudinal, representando-a pela letra
OBSERVAÇÕES:
1. Sinal:
(+) Alongamento Corresponde à uma tensão de tração que também é positiva
2. Unidade:
Distorção Específica ( )
Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais, sendo representada pela letra
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 18
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
grega
Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces.
Para melhor visualizarmos a deformação vamos considerar fixa a face compreendida pelas arestas A
e B.
OBSERVAÇÃO:
Deformações E Elasticidade
Existe a tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre as
partículas.
Podemos diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma mola presa a
uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a sua ruptura.
Deformações Elásticas
Iniciando o ensaio observamos que a mola se distende sob a ação das cargas, e se medirmos
numéricamente o valor da carga e sua respectiva distensão teremos:
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Além disto, se o ensaio for interrompido durante esta fase, a mola voltará a ter sua forma e seu
comprimento inicial.
- Deformações reversíveis
Se aumentássemos a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a
proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam
as chamadas Deformações Residuais.
Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico.
Lei De Hooke
Conforme veremos, a maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material,
sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de
mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência doa Materiais.
Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos
corpos em regime elástico.
Expressões analíticas:
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 20
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Lei De Poisson
Estudos realizados por POISSON determinam que ao mesmo tempo em que as tensões normais
provocam deformação em sua direção também o fazem em direções perpendiculares a sua:
Observando o modelo acima podemos notar que enquanto o corpo sofre um encurtamento
(diminuição no seu comprimento), as dimensões de sua seção transversal aumentam.
Além disto os estudos de Poisson nos conduzem a uma proporcionalidade entre as deformações
longitudinais e transversais, definindo a constante µ chamada de coeficiente de Poisson, e se
constituindo na terceira constante elástica de um material,que também é determinada
experimentalmente.
Também foi observado que em qualquer direção perpendicular a da tensão a deformação específica
transversal tem o mesmo valor.
Concluindo:
Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em laboratório
ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova.
No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e regulamentados pela
ABNT.
O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinamos TENSÕES LIMITES dos
diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se
inicie o seu processo de ruptura.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Com a realização destes ensaios já podemos separar os materiais em dois grandes grupos: DÚTEIS
E FRÁGEIS
Materiais Dúteis :
São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura.
Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um diagrama
tensão x deformação específica( ).
No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:
- Tensão de escoamento
internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta
grandemente a deformação que ele apresenta.
trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas
no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 22
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
curva DE - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico,
porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis
nitidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações
residuais.
R - Tensão de ruptura
Conforme pudemos analisar no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser aproveitado até o
escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.
Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento. Como
em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona em 2 o/oo este limite,
ficando a tensão correspondente convencionada
OBSERVAÇÕES:
Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentam grandes
deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico com pequenas
deformações residuais.
Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão.
Materiais Frágeis
Exemplo:concreto
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 23
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo
necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites:
Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Devemos ter um
índice que otimize este binômio.
Poderíamos dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite
em projetos é arriscada, pois trabalhamos com diversos fatores de incerteza.
A tensão limite é reduzida dividindo-a pôr um número que chamaremos de coeficiente de segurança
(s).
Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade.
Então, para que haja segurança:
As tensões assim reduzidas, que são as que realmente podemos utilizar, são chamadas de
TENSÕES ADMISSÍVEIS ou TENSÕES DE SERVIÇO que para serem diferenciadas das tensões
limites são assinaladas com uma barra ( ).
Podemos resumir analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos:
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 24
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Seja uma barra prismática de eixo longitudinal reto e seção transversal constante de área A.
Quando sob ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico de
todas as seções transversais) originam-se esforços no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a
situação.
Pode-se imaginar a barra sendo cortada ao longo de uma seção transversal qualquer, por exemplo b-
b (fig a).
Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará.
Na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de
manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c).
Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao
corte.
Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de
corte é necessária para manter o equilíbrio.
Por meio deste artifício (corte) os esforços internos transformaram-se em externos e o seu cálculo se
fez aplicando-se uma equação de equilíbrio.
Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua(A), ficando a
tensão definida pela expressão:
sendo:
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 25
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização simplificada
como:
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 26
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e
treliças.
Como partimos da premissa de que em todos os elementos de área atua a mesma tensão, decorre
daí que:
Nos materiais reais esta premissa não se verifica. Por exemplo,os metais consistem em grande
número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais
para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada
caso particular e é bastante irregular.
Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da
elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 27
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior
será o pico de tensões normais.
Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos.
Outros dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são
mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção.
Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser
verificadas a flambagem. A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico
do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.
Aspectos Gerais
O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas.
Podemos observar como se dá a ação do peso próprio:
Podemos notar que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal ao
eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante.
No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peça e
provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculação:
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 28
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este efeito é de
compressão.
O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso
específico do material:
Sendo:
Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples.
Consideremos uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme exemplo
abaixo:
Sejam:
Usando o método das seções cortamos a barra acima por uma seção S qualquer e isolamos um dos
lados do corte, por exemplo, o lado de baixo.
OBS: Sempre que ao separarmos em 2 partes um corpo uma delas for uma extremidade livre é
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 29
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
conveniente isolarmos esta parte pois evita o cálculo das reações vinculares.
Como o peso do material não pode mais ser desprezado, na seção cortada deve aparecer um esforço
normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado. Isto já nos indica
que a posição da seção de corte tem agora importância pois ela determina o peso da peça isolado
pelo corte.
De acordo com esta conclusão devemos criar uma variável que nos indique a posição da seção de
corte desejada.
Sendo: ordenada genérica da posição da seção à ser analizada Como a barra tem um
comprimento l
Para avaliarmos o peso de um corpo, multiplicamos o seu volume por seu peso específico
Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 30
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Da mesma maneira como desenvolvemos as expressões analíticas para o esforço normal podemos
faze-lo com as tensões normais:
Podemos com modificações algébricas expressar o valor da tensão máxima em função do peso total
da barra,colocando A como denominador comum as parcelas:
Ou
OBS:
1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços externos à
peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio.
2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressas em duas
equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso total da peça. A
utilização de uma ou outra equação depende dos dados que possuimos e da conveniência do
problema.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 31
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3. Como ao deduzirmos estas expressões utilizamos como exemplo um caso em que tanto a carga
externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas. No caso de
haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deveremos mudar o sinal da parcela
correspondente.
Deformações
Para determinarmos a deformação total ( l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga externa (P) e
ao seu peso próprio (G), utilizando o método das seções, isolamos um trecho desta barra cortando-
a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando um prisma de comprimento
elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + dx
Como queremos o alongamento da barra toda devemos fazer o somatório dos diversos trechos de
comprimento dx que compõem a barra, ou seja:
Podemos expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo
algumas modificações algébricas:
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 32
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
OBS:
1. As duas parcelas que figuram, nas equações são facilmente identificáveis: a primeira é o
alongamento devido a carga externa P e segunda devido ao peso próprio.
2. O sinal das parcelas que compõem a deformação deve ser trocado quando seu efeito
correspodente (carga externa ou peso próprio) fôr de compressão, o que já observamos na tensão.
3. O alongamento da barra causado pelo peso próprio é igual à metade daquele que se obteria
caso aplicássemos todo o seu peso G em sua extremidade livre.
Tudo isso é necessário para que se obtenha total certeza nos resultados, já que pequenos erros
podem acarretar grandes problemas mais adiante, isso se agrava mais ainda se estivermos falando
de pessoas que podem ter suas vidas colocadas em perigo por um cálculo mal feito. A ciência de
resistência dos materiais é também muito importante para que não se tenha prejuízos gastando mais
material do que o necessário, acarretando também em outro problema que é o excesso de peso. Pois
a forma da peça também influencia na sua resistência, assim pode-se diminuir a quantidade de
material sem interferir na mesma.
Histórico
Desde a antiguidade, onde o homem iniciou a arte e ciência de construir, sempre houve a
necessidade de obter os conhecimentos da resistência dos materiais. Foi observado que apenas com
tais conhecimentos haveria a possibilidade de gerar regras, padrões e procedimentos para determinar
quais dimensões seriam seguras para atuar como elementos em dispositivos e estruturas.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 33
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
corpos. Aplicou também sua teoria na construção de grandes dispositivos, tais como guinchos e
guindastes.
Mais tarde, outra civilização contribuiu com a resistência dos materiais: os romanos. Eram grandes
construtores, pois além de elaborarem monumentos e templos, muitas de suas estradas, pontes e
fortes estão mantidas até os dias atuais. Um de seus principais trunfos nas construções foram
os arcos. Embora, comparando-se a proporção dos arcos romanos com os utilizados atualmente,
pode-se notar que hoje as estruturas são muito mais leves. Os romanos não possuíam ainda
conhecimentos de análise dos esforços, assim, não tinham a base necessária para a escolha do
formato correto de apoio, utilizando-se geralmente de arcos semicirculares de vãos relativamente
pequenos.
Durante a Idade Média, grande parte do que foi estudado e descoberto fora perdido, sendo
recuperado apenas com a chegada do Renascimento. Durante este período, o interesse pela ciência
voltava à tona, surgindo grandes talentos artísticos no ramo da engenharia e arquitetura como
Leonardo da Vinci. Sem dúvida, este fora o maior nome naquela época.
Não escreveu livros, porém muita informação fora encontrada em seus cadernos, demonstrando suas
grandes descobertas em diversos ramos da ciência. Leonardo da Vinci era fascinado especialmente
pela mecânica, sendo uma de suas anotações: "A mecânica é o paraíso da ciência matemática
porque é onde colhemos os frutos da matemática".
Utilizava-se muito do método de análise dos momentos para a solução de diversos problemas e
ainda, aplicava a noção de deslocamento virtual para a análise de sistemas com polias e alavancas.
Diferente dos romanos, possuía uma visão mais sensata sobre a utilização dos arcos. Leonardo da
Vinci estudou a resistência dos materiais de forma experimental. A partir de sua análise de resistência
de vigas, ele declarou: “Em todo objeto que é apoiado, mas que pode se curvar, e que apresenta
seção transversal e material uniformes, a parte que está mais distante dos apoios será a que mais vai
se curvar”.
Recomendou que uma série de testes fosse realizada, iniciando-se com uma viga que possa
sustentar uma carga definida quando apoiada em ambos os lados. Depois, deveria testar
sucessivamente vigas da mesma espessura e largura, e em seguida registrar que carga estas seriam
capazes de suportar. Concluiu, enfim, que a resistência de vigas apoiadas em ambas extremidades
varia inversamente com o comprimento e diretamente com a largura. Realizou, ainda, alguma
investigação em vigas tendo uma extremidade fixa e outra livre. Atestou, então: "Se uma viga de 2
braças de comprimento suporta 100 libras, uma viga de 1 braça de comprimento suportará 200.
Quanto mais vezes o menor comprimento é contido no maior, tantas mais vezes mais carga que o
maior aquele comprimento suportará”. Aparentemente, Leonardo da Vinci também investigou algo
sobre resistência de colunas, afirmando que esta varia inversamente com seus comprimentos, mas
diretamente com o raio de suas secções transversais.
Os estudos de Leonardo da Vinci comprovam a primeira provável tentativa de aplicar a estática para
determinar as forças atuantes em elementos de estruturas. Além disso, seria ele o responsável pelos
primeiros experimentos para averiguar a resistência de materiais estruturais. Apesar de ter feito
estudos tão grandiosos, estes foram enterrados com Leonardo em suas anotações e os engenheiros
dos séculos XV e XVI continuaram ao estilo romano de dimensionar os elementos de estruturas
através de experiência e bom-senso.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 34
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Com o intuito de explicar melhor sua ideia, disse: “Um pequeno obelisco ou coluna ou outra figura
sólida pode certamente ser deitada ou colocada em pé sem perigo de se quebrar, enquanto que
outras maiores são partidas em pedaços devido à mais sutil das perturbações, e isto exclusivamente
por causa da ação de seu próprio peso”.
Para provar sua afirmação, começou com uma consideração quanto a resistência de materiais
submetidos á tensões simples e atesta que a resistência de uma barra é referente à sua secção
transversal, não a seu comprimento. Galileu denomina esta resistência da barra de “resistência
absoluta à ruptura”. Investigou em seguida a resistência de barras engastadas em apenas uma das
extremidades e com uma carga na outra. Então, Galileu assume, incorretamente, que os materiais
sigam a Lei de Hooke até o momento em que se rompem. Assim, a teoria de Galileu acaba por
fornecer valores de carga de ruptura deste tipo de estrutura maiores que os aceitos atualmente como
corretos. Galileu segue com suas investigações e comprova, assim, relações coerentes entre os
parâmetros da barra (comprimento, largura, espessura e área de sua secção transversal) e sua
resistência "absoluta".
Através de seus experimentos, Galileu determina uma ressalva de aplicação geral: “Você pode ver
plenamente a impossibilidade de se aumentar o tamanho de estruturas até vastas dimensões tanto
na arte como na natureza; da mesma forma que é impossível a construção de barcos, palácios, ou
templos de enorme tamanho de forma que seus remos, pátios, vigas, e todas as suas outras partes
permaneçam unidas; também não consegue a natureza produzir árvores de tamanho exagerado
porque seus galhos se quebrariam devido a seus próprios pesos; então, também seria impossível a
construção de estruturas ósseas de homens, cavalos, e outros animais de forma a mantê-las unidas e
permitir suas funções normais se estes animais fossem aumentados enormemente em altura; este
aumento em altura poderia ser executado somente através do emprego de um material mais firme e
resistente que o normal, ou pelo alargamento do tamanho dos ossos, mudando assim suas formas
até que a aparência dos animais sugerisse uma monstruosidade... Se o tamanho de um corpo é
diminuído, a resistência daquele corpo não é diminuída na mesma proporção; de fato, quanto menor
o corpo, maior é sua resistência relativa. Portanto, um pequeno cachorro provavelmente poderia
carregar em suas costas dois ou três cachorros de seu próprio tamanho; mas eu acredito que um
cavalo não conseguiria carregar nem mesmo um do seu próprio tamanho.”. Além desta afirmação,
Galileu apresenta diversas outras durante o seu livro.
E finalmente, pelo sucesso e coerência da maioria das teorias e conclusões de Galileu Galilei, que
este momento é considerado por muitos estudiosos como o início da resistência dos materiais como
uma ciência.
Esforços Mecânicos
Os esforços mecânicos são o principal foco da resistência dos materiais, pois todo o estudo gira em
torno de como dimensionar uma peça ou elemento de máquina para que suporte os efeitos que os
esforços mecânicos gerados por uma estrutura geral ou específica estarão atuando sobre a mesma.
Cada tipo de esforço possui uma forma específica de ser analisado, estudado e calculado. Para isso,
é necessário utilizar-se dos conhecimentos de um dos ramos da Física: a estática, para que o
equilíbrio de forças demonstre o que acontecerá com dada peça de determinado material quando
submetida a certo tipo de esforço. Os cálculos de esforço mecânico estão profundamente conectados
com cálculos geométricos, envolvendo estudos de secções transversais de materiais, trazendo
conceitos como: momento de inércia, módulo de resistência, raio de giração. Estes conceitos estão
interligados com os cálculos de análise de tensões, sendo a junção de conceitos geométricos,
estática e dados referentes ao material que surge o cálculo de dimensionamento, onde procura-se
desenvolver um elemento capaz de resistir a todos os esforços que estarão sendo aplicados nele
durante o funcionamento da máquina, estrutura ou em qualquer lugar onde ele seja submetido a
esforços.
• Tração
• Compressão
• Cisalhamento
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 35
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• Flexão
• Torção mecânica
• Flexo-Torção
• Flambagem
Tração (física)
Na física, a tração (AO 1945: tracção) é a força aplicada sobre um corpo numa direção perpendicular
à sua superfície de corte e num sentido tal que, possivelmente, provoque a sua ruptura.
Uma peça estará sendo tracionada quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido
dirigido para o seu exterior. A tração faz com que a peça se alongue no sentido da força e fique mais
fina, com menor seção transversal, pois teoricamente, seu volume deve manter-se constante.
Um exemplo simples de corpo submetido aos esforço de tração é o do cabo dos elevadores,
tracionado pelo peso do elevador e de seus ocupantes e pelo motor e aparatos que o puxam ou o
mantêm estático em determinada posição.
Na resistência dos materiais, o objetivo é não permitir que isso aconteça, trabalhando sempre
no regime elástico do material. Neste regime, a peça trabalha sem deformar-se permanentemente,
pois ao ser encerrada a ação da força, retorna à sua conformação original. Para isso, são feitos
cálculos utilizando o limite entre as duas deformações com um c.s. (coeficiente de segurança) para
que não haja risco de acidentes, sendo projetada assim uma peça que suporte uma força maior que a
mínima.
Basicamente, a tração trata-se de utilizar um corpo e exercer sobre ele esforços com sentidos
opostos, tracionando-o.
Na seção transversal do corpo surge um esforço, chamado de tensão, no caso: tensão de Tração. Ao
considerarmos o corpo homogêneo, a tensão de tração será uma tensão constante em toda a seção
transversal e sera calculada pela Força que gerou esta tensão, dividida pela área da seção
transversal considerada.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 36
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Ensaio de tração
Ensaio
Dispositivo usado para conduzir ensaios tensão-deformação por tração. O corpo de prova é alongado
pelo travessão móvel; uma célula de carga e um extensômetro medem, respectivamente, a
magnitude da carga aplicada e o alongamento.
Com esse tipo de ensaio, pode-se afirmar que praticamente as deformações promovidas no material
são uniformemente distribuídas em toda a sua extensão, pelo menos até ser atingida uma carga
máxima próxima do final do ensaio e, como é possível fazer com que a carga cresça numa
velocidade razoavelmente lenta durante todo o teste, o ensaio de tração permite medir
satisfatoriamente a resistência do material. A uniformidade da deformação permite ainda obter
medições para a variação dessa deformação em função da tensão aplicada. Essa variação,
extremamente útil para o engenheiro, é determinada pelo traçado da curva tensão-deformação a qual
pode ser obtida diretamente pela máquina ou por pontos. A uniformidade termina no momento em
que é atingida a carga máxima suportada pelo material, quando começa a aparecer o fenômeno da
estricção ou da diminuição da secção do provete, no caso de matérias com certa ductilidade. A
ruptura sempre se dá na região mais estreita do material, a menos que um defeito interno no material,
fora dessa região, promova a ruptura do mesmo, o que raramente acontece.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 37
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Resultados
2. Tensão de escoamento
3. Tensão de ruptura
4. Região de encruamento
5. Região de "estricção"
Deformação Elástica
Para a maioria dos metais que são solicitados em tração e com níveis de tensão relativamente
baixos, a tensão e a deformação são proporcionais de acordo com a relação abaixo.
As deformações elásticas não são permanentes, ou seja, quando a carga é removida, o corpo retorna
ao seu formato original. No entanto, a curva tensão-deformação não é sempre linear, como por
exemplo, no ferro fundido cinzento, concreto e polímeros.
Até este ponto, assume-se que a deformação elástica é independente do tempo, ou seja, quando
uma carga é aplicada, a deformação elástica permanece constante durante o período em que a carga
é mantida constante. Também é assumido que após a remoção da carga, a deformação é totalmente
recuperada, ou seja, a deformação imediatamente retorna para o valor zero.
Deformação Plástica
Acima de uma certa tensão, os materiais começam a se deformar plasticamente, ou seja, ocorrem
deformações permanentes. O ponto no qual estas deformações permanentes começam a se tornar
significativas é chamado de limite de escoamento (ou tensão de cedência).
Para metais que possuem transição gradual do regime elástico para o plástico, as deformações
plásticas se iniciam no ponto no qual a curva tensão-deformação deixa de ser linear, sendo este
ponto chamado de limite de proporcionalidade (ou tensão limite-elasticidade). No entanto, é difícil
determinar este ponto precisamente. Como consequência, criou-se uma convenção na qual é
construída uma linha reta paralela à porção elástica, passando pela deformação de 0,2% da
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 38
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
deformação total. A tensão correspondente à intersecção desta linha com a curva tensão-deformação
é o limite de escoamento (ou tensão de cedência).
Durante a deformação plástica, a tensão necessária para continuar a deformar um metal aumenta até
um ponto máximo, chamado de limite de resistência à tração, no qual a tensão é o máximo na
curva tensão-deformação de engenharia. Isto corresponde à maior tensão que o material pode
resistir; se esta tensão for aplicada e mantida, o resultado será a fractura. Toda a deformação até
este ponto é uniforme na seção. No entanto, após este ponto, começa a se formar uma estricção, na
qual toda a deformação subsequente está confinada e, é nesta região que ocorrerá ruptura. A tensão
que corresponde à fractura é chamada de limite de ruptura.
Assim, é possível obter o gráfico tensão-deformação, que varia conforme o material analisado. Por
exemplo, os materiais frágeis, como cerâmicas e concreto, não apresentam um limite de escoamento.
Já os materiais dúcteis, como o alumínio, apresentam o limite de escoamento bem definido.
Na região onde a Lei de Hooke é válida (regime elástico linear) o módulo de Young pode ser obtido
pelo coeficiente angular do gráfico tensão-deformação. Para materiais cuja porção inicial elástica da
curva tensão-deformação não é linear (por exemplo, ferro fundido cinzento e concreto), não é
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 39
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
possível determinar o módulo de Young pelo coeficiente angular. Nestes casos, tanto o módulo
tangente quanto o módulo secante são normalmente usados. Módulo tangente é tomado como sendo
a inclinação da curva tensão-deformação em um nível de tensão específico, enquanto que o módulo
secante representa a inclinação de uma secante traçada a partir da origem até um dado ponto da
curva.[1]
Tensão De Cisalhamento
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de
corte, não importando o quão pequena possa ser essa tensão.
Uma força de corte é a componente tangencial da força que age sobre a superfície e, dividida
pela área da superfície, dá origem à tensão de corte média sobre a área quando a área tende a um
ponto.
Exemplo: Duas placas tectônicas, uma para cima ou para baixo e a outra imóvel, ambas paralelas.
Mas este exemplo não é utilizado em Tensão de corte; é apenas um exemplo para melhor
entendimento, e isso também não ocorre na natureza (As placas movimentam-se sempre em outra
direcção, adicionalmente e raramente estão paralelas).
Este tipo de tensão é chamada também de tensão cisalhante, conforme costume do corpo
técnico brasileiro atual. Em diversos livros de ensino superior de engenharia este tipo de tensão tem
destaque especial na determinação e dimensionamento de estruturas isostáticas e isóbaras, às vezes
isócronas. O círculo de Mohr, assim designado em honra de Christian Otto Mohr, um engenheiro
civil que dedicou sua vida ao estudo de tensões cisalhantes em rochas sãs e mais tarde em solos,
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 40
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
facilita imensamente a determinação deste tipo de tensões a partir da tensões normais ortogonais ao
plano normal.
Cisalhamento simples
Círculo de Mohr
Em mecânica dos solos, as tensões cisalhantes são as responsáveis pelas rupturas em encostas,
vales, depressões, senos, barragens e outras solicitações geomecânicas do solo sedimentar jovem.
Solos argilosos não podem ter este tipo de analise simplificado pois as micro-argilas, isto é, os argilo-
minerais possuem uma camada de água que os envolve, de tal modo que as solicitações mecânicas
do material são suportadas pela água constituinte.
Em topografia, a correlação de erros numa determinada poligonal é fato crucial. Erros podem ser
reduzidos quando a estação total (ou não) é instalada em pontos seguros do terreno, escolhidos de
acordo com a tensão cisalhante da rocha sã. Este procedimento é muito empregado em
levantamentos rodoviários trans-estaduais, ou seja, de grande extensão territorial e mercadológica.
No contexto histórico, a tensão cisalhante já foi muito contestada, inclusive por décadas foi tida como
inexistente. Sua comprovação deve-se a Terzaghi (pai da Mecânica dos solos) que fez inúmeros
ensaios com solos na década de 1930, onde correlacionou diversos aspectos solistas com as tensões
cisalhantes calculadas teoricamente.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 41
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Flexão (Física)
Mecânica do contínuo
Leis
Sólidos
Tensão
Deformação
Compatibilidade
Deformação finita
Deformação infinitesimal
Elasticidade linear
Plasticidade
Flexão
Lei de Hooke
Mecânica da fratura
Mecânica do contato
Sem fricção
Friccional
Reologia
Cientistas
v•e
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 42
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constitui-se no eixo
longitudinal da peça, e o mesmo está submetido a cargas perpendiculares ao seu eixo. Este elemento
desenvolve em suas seções transversais o qual gera momento fletor.
Momento fletor: O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relativas a seção YX,
contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal.
Produzindo esforço que tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e
compressão na estrutura.
A característica mais proeminente é que um objeto submetido a flexão apresenta uma superfície de
pontos chamada linha ou eixo neutro tal que a distância ao longo de qualquer curva contida nela não
varia em relação ao valor antes da deformação. O esforço que provoca a flexão se
denomina momento fletor.
As vigas ou arcos são elementos estruturais pensados para trabalhar predominantemente em flexão.
Geometricamente são prismas mecânicos cuja rigidez depende, entre outras coisas, do momento de
inércia da seção transversal das vigas. Existem duas hipótese cinemáticas comuns para representar
a flexão de vigas e arcos:
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 43
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• A hipótese de Euler-Bernoulli.
• A hipótese de Timoshenko.
Teoria De Euler-Bernoulli
A teoria de Euler-Bernoulli para o cálculo de vigas é a que deriva da hipótese cinemática de Navier-
Bernouilli, e pode ser empregada para calcular tensões e deslocamentos sobre uma viga ou arco de
comprimento de eixo maior comparada com a aresta máxima ou altura da seção transversal.
Onde:
Se a direção dos eixos de coordenadas (y, z) são tomadas coincidentes com as direções principais
de inércia então os produtos de inércia se anulam e a equação anterior se simplifica notavelmente.
Além disso é considerado o caso de flexão simples não biaxial as tensões segundo o eixo são
simplesmente:
Por outro lado, neste mesmo caso de flexão simples não biaxial, o campo de deslocamentos, na
hipótese de Bernoulli, é dado pela equação da curva elástica:
Onde:
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 44
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Teoria De Timoshenko
Esquema de deformação de uma viga que ilustra a diferença entre a teoria de Timoshenko e
a teoria de Euler-Bernouilli: na primeira θi e dw/dxi não tem necessariamente que coincidir,
enquanto que na segunda são iguais.
Derivando a primeira das duas equações anteriores e substituindo nela a segunda chegamos à
equação da curva elástica incluindo o efeito do esforço cortante:
Uma placa é um elemento estrutural que pode apresentar flexão em duas direções perpendiculares.
Existem duas hipóteses cinemáticas comuns para representar a flexão de placas e lâminas:
• A hipótese de Love-Kirchhoff
• A hipótese de Reissner-Mindlin.
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 45
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Teoria De Love-Kirchhoff
Onde:
Para encontrar a flecha que aparece na equação anterior é necessário resolver uma equação em
derivadas parciais que é o análogo bidimensional à equação da curva elástica:
Teoria de Reissner-Mindlin
A teoria de Reissner-Mindlin é o análogo para placas da teoria de Timoshenko para vigas. Assim,
nesta teoria, a diferença da teoria mais aproximada de Love-Kirchhoff, o vetor normal ao plano médio
da placa uma vez deformada a placa não tem porque coincidir com o vetor normal à superfície média
deformada.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 46