MATi01 – CÁLCULO I – Lista de Exercícios 1b (Derivadas)

f x  h   f x 
1 – Utilizando a definição, calcule a derivada de cada função: f '  x   lim
h 0 h

a) f x   x 2  2 x  3 2x+2
1
b) f x   x  1
2√x−1

2 – Utilizando as regras de diferenciação, determine a derivada de cada função:

x8 x 6 1 1
a) f x      2x 2x 7 − 3x 5 + +2
4 2 x x2

b) f x  
x 2
 x  14  x  −4x3 +9x2 −6x−11
2x  1 (2x−1)2
c) f x  senx  tgx sen(x) + tg(x). sec⁡(x)
d) f x   x 2 e x  2 xe x  2e x ex x2
1
e) G  x   x  2e x − 2ex
2√x
x2  4 x  3 3x2 +4x−3
f) y 3
x 2x2
f  x    x  2  2 x  3
g) 4x − 1
1  xe x −ex (x2 +1)−e2x −1
h) f  x  
x  ex (x+ex )2
2
i) Y  u    u 2  u 3  u 5  2u 2  3𝑢2 + 2𝑢 +
𝑢2

3 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:

x x 1 3
a) f x   ; x 1 y =⁡ x +
x 2 2
22
b) f x    x 3  8 x ; x  2
1
𝑦 = −3𝑥 +
3 3

c) f  x   x 4  2e x ; x  0 𝑦 = 2𝑥 + 2
d) f x   1  2 x  ; x  1 𝑦 = 12𝑥 − 3
2

4 – Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.

−4(12𝑥+5)
f x  
2
a)
6 x 2
 5x  1 2
(6𝑥 2 +5𝑥+1)3

b) f x  23x  14 5x  33 42(3𝑥 + 1)3 (5𝑥 − 3)2 (5𝑥 − 1)
 f x   e x
2
3 x
(2𝑥 + 3)𝑒(𝑥 +3)
2
c)
d) f x   sen3 ( x 4  2) 12𝑥 3 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥4 + 2) cos(𝑥4 + 2)
3(𝑥 2 −1)(𝑥 2 +1)²
e) H  x    x  x 1 3
 𝑥4

5 – Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas:

sen2 x
a) f x   0
1  cos2 x
𝑒3𝑥
 e 
3x 3
3𝑒 3𝑥 (1+𝑙𝑛𝑥)− 𝑥
b) f x    
 1  ln x  (1+𝑙𝑛𝑥)2
3
  x  2
f  x   1  tg 4   
𝑥 𝑥 𝑥
c) 3 (1 + 𝑡𝑔4 ( )) 𝑡𝑔3 ( ) 𝑠𝑒𝑐 2 ( )
  4  4 4 4


d) f x   x  e
2 x2
 2
2
4𝑥 3 𝑒 2𝑥 + 4𝑥 5 𝑒 2𝑥
2

dy
6 – Calcule para as funções utilizando diferenciação implícita:
dx

3𝑥 2 −2𝑥𝑦
a) x 2 y  y 2  x 3
𝑥 2 +2𝑦
−𝑥
b) x 2  y 2  25
𝑦
2𝑥−2
c) x 2  y 2  2 x  4 y
2𝑦+4
−6𝑥 2 −2𝑥𝑦
d) 2 x 3  x 2 y  y 3  8000
𝑥 2 +3𝑦 2
9𝑦−3𝑥 2
e) x 3  y 3  9 xy  1
3𝑦 2 −9𝑥
𝑦 2 −2𝑥𝑦
f) x 2 y  xy 2  6
𝑥 2 −2𝑥𝑦
4𝑥 3 −6𝑥 2 𝑦−2𝑥𝑦 2 −2𝑥
g) x 2 x  y 2  x 2  y 2
2𝑥 3 +2𝑥 2 𝑦−2𝑦
2𝑥𝑦 2
h) y 2  cosy 2   x 2 y 2
2𝑦−2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑦 2 )−2𝑥 2 𝑦

7 – Determine a derivada segunda de cada função:

30
f  x   6 x 2  10x 
5
a) 12 −
x2 𝑥4
b) f x   3  x 2 x 3  x  1 3
−20𝑥 + 24𝑥 − 2
 1  3−𝑥
c) f  x   2  x 
 x  2𝑥 5/2
 x 𝑥 𝑥
d) f  x   9tg   2𝑠𝑒𝑐 2 ( ) 𝑡𝑔 ( )
3 3 3
 e) f x   x 2 3x  1 18𝑥 + 2
f) f x    x 3  6 x 2  24x −6𝑥 + 12
g) f x   5 x10  6 x 5  27 x  4 450𝑥 8 − 120𝑥 3
h) f  x   3 x 2  2  24(3𝑥 2 + 2)²(21𝑥 2 + 2)
4

−3cos𝑥−𝑥 2 cos𝑥 8𝑥 2 cos 𝑥+4𝑥 3 sen 𝑥+4𝑥sen𝑥

f x  
cos x
i) +
1 x2 (𝑥 2 +1)2 (𝑥 2 +1)3
x 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 𝑥−2𝑒 𝑥 −6−3𝑥)
j) f  x 
3  ex (𝑒 𝑥 +3)³
1
k) f  x   x5/2e x 𝑥 2
𝑒 √𝑥(4𝑥 + 20𝑥 + 15)
4

8 – Determine a derivada de cada função:

a) y  arccos(x 2  1) Erro: essa função só é válida para x=0. Assim, não é contínua, logo não derivável.
cos⁡(𝑥)
b) y  arctg( sen x)
𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)+1
−1
c) y  arc cot g x
(2𝑥 2 +2)√𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

9 – Utilizando diferenciação logarítmica, determine a derivada de cada função:

1
a) y  cos xln x (cos𝑥 )𝑙𝑛𝑥 [ 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥 ) − 𝑡𝑔𝑥𝑙𝑛𝑥]
𝑥

b) y   x x
(√𝑥)
√𝑥
[
1
2√𝑥
(𝑙𝑛√𝑥 + 1)]

c) y  e x  5
3   senx  1  x 3
4

3x  2 x  3x  2 5 3

senx  1  x  3 4
 cos x 12x 2 6 
3 5x 4  3  
Resposta: e   3 x 2    
x3

3x  2 x  3x     
5senx 5 1  x 3 53 x  2  5 x 5  3 x  
5
3

2 5

sen 2 x tg 4 x 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑡𝑔4 𝑥 4𝑥

d) y [2𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 4𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − ]
x  1 (1+𝑥 2 )2 𝑥 2 +1
2 2

𝑠𝑒𝑛𝑥
e) y  x sen x 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 [𝑐𝑜𝑠𝑥𝑙𝑛𝑥 + ]
𝑥

10 – Suponha que a distância percorrida por uma aeronave na pista antes de decolar seja dada por
10
d (t )  t 2 , sendo d igual à distância do ponto de partida ao ponto de início do vôo e t igual ao
9
tempo, medido em segundos. A aeronave inicia o vôo quando sua velocidade atinge 200km/ h .
Determine o tempo necessário para que a aeronave inicie o vôo e qual distância ela terá percorrido
até esse instante. (A função velocidade é dada por vt   d ' t  . Lembre-se de transformar a unidade
da velocidade para m/ s ).

RESPOSTA: t=25s; d=694,444...m

 11 – Um corpo está se movendo em linha reta com posição s t   3  t  t 
2 3
, 0  t  2.

a) Determine a velocidade vt  e aceleração at  .

1
2
3(1 − 2𝑡)(−𝑡 + 𝑡 + 3)2
𝑣(𝑡) = ⁡ ;
2
2
1 3 2 2
1
−2
⁡𝑎(𝑡) = −3(𝑡 − 𝑡 − 3) + (1 − 2𝑡) (𝑡 − 𝑡 − 3)
2
4
b) Em que instante o corpo está parado? Determine a posição e a aceleração nesse instante.
1
𝑡 = 𝑠; 𝑠(0.5) = 5.859𝑚; 𝑎(0.5) = 0.0269𝑚/𝑠
2

12 - Ache os pontos sobre a curva y  2 x3  3x 2  12 x  1 onde a tangente é horizontal.

𝑥 = 1; 𝑥 = −2
13 - Em qual ponto sobre a curva y  1  2e x  3x a reta tangente é paralela à reta 3 y  y  5?

𝑥 = 𝑙𝑛(3/2)
14 - A equação y  y  2 y  x 2 é chamada de equação diferencial, pois envolve uma função
desconhecida y e suas derivadas y e y . Encontre constantes A, B e C tais que a função
y  Ax 2  Bx  C satisfaça a equação.

1 1 3
𝐴 = − ;𝐵 = − ;𝐶 = −
2 2 4
15 - Mostre que a função y  Ae x  Bxe x satisfaz a equação diferencial y  2 y  y  0 .

16 - Demonstre que.
d 1
a)  cosec x   cosec x cotg x 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐⁡𝑥 = ⁡
𝑠𝑒𝑛⁡𝑥
dx

𝑑 1 −𝑐𝑜𝑠⁡𝑥 −1 𝑐𝑜𝑠𝑥
⁡ = = = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥⁡𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

d 1
b)  sec x   sec x tg x sec 𝑥 =
cos 𝑥
dx
𝑑 1 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 1 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥
= = = sec 𝑥⁡⁡𝑡𝑔⁡𝑥
𝑑𝑥 cos 𝑥 cos2 (𝑥) cos 𝑥 cos 𝑥

d cos 𝑥
c)  cotg x   cosec2 x 𝑐𝑜𝑡𝑔⁡𝑥 =
𝑠𝑒𝑛⁡𝑥
dx
𝑑 cos 𝑥 −𝑠𝑒𝑛⁡𝑥⁡𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 − cos 𝑥 cos 𝑥 cos 2 𝑥
= = − (1 + 2
) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥⁡𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
 tg x  1
17 – Dada a função f  x   :
sec x

a) Use a regra do quociente para derivar.

𝑑 𝑡𝑔⁡𝑥⁡−⁡1⁡ sec2 𝑥 sec 𝑥−𝑡𝑔⁡𝑥 sec 𝑥(𝑡𝑔⁡𝑥⁡−1)
⁡ ⁡ =
𝑑𝑥 sec 𝑥 sec2 𝑥
b) Simplifique a expressão para f  x  , escrevendo-a em termos de sen x, cos x , e então encontre
f  x .
𝑑 𝑡𝑔⁡𝑥⁡ − ⁡1⁡ 𝑑
⁡ = [𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 − cos 𝑥] = cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥
𝑑𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥
c) Mostre que suas respostas para a) e b) são equivalentes.

18 - O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado pela equação

1
s  t   10  sen 10 t  , onde s é medido em centímetros e t , em segundos. Encontre a velocidade da
4
partícula após t segundos.

𝑑𝑠 𝑑 1 10
𝑣(𝑡) = = 10 + 𝑠𝑒𝑛(10𝜋𝑡) = cos⁡(10𝜋𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡 4 4

19 - Se a equação de movimento de uma partícula for dada por s  A cos t    , dizemos que a
partícula está em movimento harmônico simples.

a) Encontre a velocidade da partícula no instante t .

𝑑𝑠 𝑑
𝑣(𝑡) = = ⁡𝐴⁡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛿)= - A𝜔⁡𝑠𝑒𝑛⁡(𝜔𝑡⁡ + ⁡𝛿)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
b) Quando a velocidade é zero?
𝜔𝑡⁡ + ⁡𝛿 = 𝑘 𝜋