Virtus - Curso Básico - Noções Prot. Dig. - 3ed3

CURSO BÁSICO DE PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL
Janela de Dados Móvel
.....
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Virtus Consultoria e Serviços S/C Ltda. Paulo Koiti Maezono Paulo Koiti Maezono 115
SOBRE O AUTOR
Eng. Paulo Koiti Maezono
Formação
Graduado em engenharia elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo em 1969.
Mestre em Engenharia em 1978, pela Escola Federal de Engenharia de Itajubá, com os créditos
obtidos em 1974 através do Power Technology Course do P.T.I – em Schenectady, USA. Estágio
em Sistemas Digitais de Supervisão, Controle e Proteção em 1997, na Toshiba Co. e EPDC –
Electric Power Development Co. de Tokyo – Japão.
Engenharia Elétrica
Foi empregado da CESP – Companhia Energética de São Paulo no período de 1970 a 1997, com
atividades de operação e manutenção nas áreas de Proteção de Sistemas Elétricos, Supervisão e
Automação de Subestações, Supervisão e Controle de Centros de Operação e Medição de
Controle e Faturamento. Participou de atividades de grupos de trabalho do ex GCOI, na área de
proteção, com ênfase em análise de perturbações e metodologias estatísticas de avaliação de
desempenho.
Atualmente é consultor e sócio da Virtus Consultoria e Serviços S/C Ltda. em São Paulo – SP. A
Virtus tem como clientes empresas concessionárias no Brasil e na Colômbia, empresas projetistas
na área de Transmissão de Energia, fabricantes e fornecedores de sistemas de proteção, controle
e supervisão, Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo, CEDIS – Instituto Presbiteriano Mackenzie.
Área Acadêmica
Foi professor na Escola de Engenharia e na Faculdade de Tecnologia da Universidade

Presbiteriana Mackenzie no período de 1972 a 1987. É colaborador na área de educação
continuada da mesma universidade, de 1972 até a presente data.
É colaborador do Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da EPUSP –

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, desde 1999 até o presente, com participação
no atendimento a projetos especiais da Aneel, Eletrobrás e Concessionárias de Serviços de
Eletricidade.
Índice 2 de 115
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................5
2. SITUAÇÃO NO BRASIL ........................................................................................................................................6
3. COMPARAÇÃO DE TECNOLOGIAS .................................................................................................................9

3.1 TECNOLOGIAS EMPREGADAS EM SISTEMAS DE PROTEÇÃO .............................................................9
3.2 TECNOLOGIA ELETROMECÂNICA ............................................................................................................9
3.3 TECNOLOGIA MISTA ..................................................................................................................................11
3.4 TECNOLOGIA ESTÁTICA ...........................................................................................................................12
3.5 TECNOLOGIA DIGITAL ..............................................................................................................................14
4. CONFIGURAÇÃO BÁSICA E PRINCÍPIOS DE FUNCIONAMENTO.........................................................17
4.1 BLOCOS FUNCIONAIS ................................................................................................................................17
4.2 BLOCO DE CONVERSÃO DE SINAIS ANALÓGICOS EM DADOS DIGITAIS.......................................19
4.2.1 Filtro Anti-Aliasing .....................................................................................................................................21
4.2.2 Circuito Sample & Hold (S/H) ....................................................................................................................28
4.2.3 Multiplexador..............................................................................................................................................30
4.2.4 Unidade Conversora A/D............................................................................................................................31
4.3 BLOCO DE PROCESSAMENTO ARITMÉTICO .........................................................................................38
5. NOÇÕES BÁSICAS DE FILTRAGEM DIGITAL E ALGORITMOS ............................................................40
5.1 IDÉIA DA FILTRAGEM DIGITAL ...............................................................................................................40
5.2 IDÉIA DE ALGORITMOS .............................................................................................................................43
5.2.1 Cálculo de Defasamento .............................................................................................................................43
5.2.2 Cálculo da Amplitude..................................................................................................................................43
5.2.3 Cálculo da Diferença de Ângulo de Fase ...................................................................................................48
5.2.4 Alguns Algoritmos para Características de Impedâncias ...........................................................................50
6. PROCESSOS DE FILTRAGEM E ALGORITMOS..........................................................................................52
6.1 CONCEITOS BÁSICOS .................................................................................................................................52
6.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ...................................................................................................52
6.3 ALGORITMOS DE FOURIER E DERIVADOS ............................................................................................54
6.4 FILTRO DE WALSH ......................................................................................................................................60
6.5 FILTRO KALMAN.........................................................................................................................................61
6.6 TEMPO DE RESPOSTA NUM FILTRO DIGITAL .......................................................................................61
6.7 FILTRAGEM DE COMPONENTE DC..........................................................................................................61
6.8 ALGORITMOS NÃO FASORIAIS ................................................................................................................63
6.8.1 Equações Diferenciais no Domínio do Tempo............................................................................................63
6.8.2 Ondas Trafegantes ......................................................................................................................................65
7. CONFIABILIDADE E MANUTENÇÃO DA PROTEÇÃO DIGITAL ............................................................66
7.1 SISTEMAS DE AUTO VERIFICAÇÃO, MONITORAMENTO CONTÍNUO E AUTO-TESTE .................66
7.2 CONFIABILIDADE OPERACIONAL DE RELÉS DIGITAIS......................................................................70
7.3 MANUTENÇÃO DE RELÉS DIGITAIS........................................................................................................76
7.4 EXEMPLO DE PERIODICIDADE DE INTERVENÇÃO NA PROTEÇÃO .................................................78
8. BIBLIOGRAFIA....................................................................................................................................................80
Índice 3 de 115
9. ANEXO – BASE MATEMÁTICA........................................................................................................................81
9.1 FUNÇÕES PERIÓDICAS...............................................................................................................................81
9.2 FUNÇÕES ORTOGONAIS ............................................................................................................................81
9.3 ANÁLISE DE FOURIER ................................................................................................................................82
9.3.1 Série de Fourier e Coeficientes ...................................................................................................................82
9.3.2 Simetria Ímpar ............................................................................................................................................84
9.3.3 Simetria Par ................................................................................................................................................85
9.3.4 Simetria de Meia Onda ...............................................................................................................................85
9.3.5 Espectro de Harmônicas .............................................................................................................................86
9.3.6 Construindo Série de Fourier de Gráficos e Tabelas..................................................................................87
9.3.7 Forma Complexa (Exponencial) da Série de Fourier .................................................................................87
9.3.8 Transformada de Fourier............................................................................................................................88
9.3.9 Propriedades da Transformada de Fourier ................................................................................................91
9.3.10 Forma de Onda Amostrada – Transformada Discreta de Fourier .........................................................95
9.3.11 Transformada Rápida de Fourier ...........................................................................................................98
9.4 FUNÇÃO DE WALSH....................................................................................................................................99
9.5 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E PROCESSOS RANDÔMICOS...................................................101
9.5.1 Introdução à Estatística [15] ....................................................................................................................101
9.5.2 Funções de Probabilidade e Distribuições de Freqüência [15] ...............................................................103
9.5.3 Densidade da Probabilidade.....................................................................................................................109
9.5.4 Processos Randômicos e Método dos Mínimos Quadrados [9]................................................................110
Índice 4 de 115
1. INTRODUÇÃO
Desde os anos 60 tem-se pensado no uso de computadores digitais na proteção de sistemas

elétricos de potência. As primeiras funções pensadas para serem executadas através de
computadores foram aquelas efetuadas através dos centros de operação como, por exemplo,
rejeição de carga e de detecção de oscilação de potência [1]. Na época, toda a pesquisa
relativa a proteção através de computadores estava baseada em minicomputadores. A
pesquisa relativa a algoritmos de proteção, que já vinha sendo estudada desde os anos 50
pelos primeiros visionários, começou a ter avanço significativo nos anos 70. Salienta-se que
nos EUA, o comitê de relés para Sistemas de Potência do IEEE, estabeleceu o “Computer
Relaying Subcommittee” no ano de 1971 que trabalhou no período 1971-1978 [1].
No fim dos anos 70, com o relativo avanço dos microprocessadores, já era dominante a idéia
de se utilizar sistemas específicos apenas para proteção.
Com o desenvolvimento de microprocessadores de alguma capacidade de processamento e

com o barateamento dos mesmos, a área de proteção digital teve avanço significativo no
começo dos anos 80, sendo que os primeiros produtos comerciais foram lançados nos
meados daquela década.
Ref. Toshiba Co. - Japão
1970 1980 1990 2000
Viabilidade P&D 1a. Geração 2a. Geração 3a. Geração 4a. Geração
Tipo Bipolar “Bit Slice” Tipo MOS Tipo RISC
Microondas tipo FDM Microondas tipo TDM
Fibra Óptica TDM
Figura 1.1 – Evolução Histórica segundo Toshiba Co.
Hoje, com o avanço significativo da tecnologia de hardware incluindo processadores

confiáveis e rápidos, conversores A/D e memórias e a consolidação de muitos algoritmos já
aplicados e melhorados com a experiência, a proteção numérica de tecnologia digital
microprocessada é o caminho natural para a área elétrica devido aos aspectos como
economia, performance, confiabilidade, flexibilidade e principalmente devido à integração com
sistemas de controle e supervisão que permitem a total automação das subestações e
centrais de geração de energia elétrica em qualquer nível de tensão e de aplicação.
Introdução 5 de 115
2. SITUAÇÃO NO BRASIL
Novas Instalações Elétricas
Sistemas de proteção com relés numéricos de tecnologia digital microprocessada já possuem

blindagem e proteção adequadas para surtos, bom como condição para operar em altas
temperaturas ambientais. Podem, devem e estão sendo aplicados em sistemas industriais,
comerciais e em sistemas elétricos de potência (geração, transmissão e distribuição).
Sua principal contribuição funcional é a capacidade de integração com sistemas locais de

controle e supervisão, bem como a possibilidade de completo acesso remoto, permitindo
instalações não atendidas diretamente pelo ser humano. Os ajustes. Parametrizações e a
aquisição de dados podem ser feitos remotamente, inclusive o diagnóstico de falhas internas
a esses dispositivos eletrônicos inteligentes (acronismo “IED” em inglês).
Sua principal contribuição tecnológica sob o ponto de vista de confiabilidade operacional da

proteção digital é a possibilidade de autodiagnose das falhas e defeitos internos ao relé,
através de processos de monitoramento e verificação automáticos, bem como, em algumas
proteções, de funções de auto teste.
Instalações Existentes
Ainda no Brasil a maior parte da proteção e controle é realizada através de dispositivos de

tecnologia eletromecânica e/ou eletrônica estática. Na área de geração e transmissão de
energia elétrica, menos de 5% (cinco porcento) das instalações possuem proteções
numéricas de tecnologia digital (segundo dados do ONS – Operador Nacional do Sistema
Elétrico em 2001).
As empresas concessionárias de serviços de energia elétrica (principalmente as grandes

empresas) estão atualmente na fase de substituir sistemas de proteção antigos por aqueles
digitais, dando prioridade à substituição de relés de tecnologia estática que estão no fim da
sua vida útil (20 anos no máximo).
Especialistas em Proteção e Procedimentos
É desejável que um profissional da área de Proteção tenha sua formação baseada em

conceitos de proteção de equipamentos, instalações e sistemas, independentemente da
tecnologia do dispositivo empregado para a proteção. Entretanto, alguns conceitos ou
posturas devem ser revistos principalmente nas áreas de:
• Manutenção da Proteção, quando se envolve dispositivo digital.
O advento de sistemas de auto verificação, de monitoramento contínuo e eventualmente

de auto teste nos modernos dispositivos eletrônicos inteligentes (“IED’s”) fazem com que
grande parte da intervenção periódica preventiva para esses dispositivos torne-se
desnecessária.
Por outro lado, as instalações externas a esses dispositivos como circuitos de comando e
alimentação auxiliar continuam exigindo ensaios funcionais periódicos para garantia da
confiabilidade.
A manutenção corretiva também muda de figura. Não se faz mais reparos de cartelas
eletrônicas em laboratório próprio ou contratado. Simplesmente se faz a reposição de
partes da proteção ou mesmo do relé em si, com o apoio do fabricante. Ter relé de
reserva para troca imediata e tempo suficiente para posterior reposição é uma boa política
de manutenção.
• Operação.
Os ajustes e reajustes das proteções podem ser feitos remotamente, não se exigindo a
presença física na subestação do técnico em proteção. Geralmente, excetuando os casos
mais complexos, apenas no comissionamento essa presença seria necessária.
Procedimentos de operação podem ser revistos, uma vez que na maior parte dos casos
um ajuste ou reajuste da proteção não requer desligamento do terminal ou do
equipamento de potência para a execução da atividade. Isso vem de encontro com as
novas políticas do Setor Elétrico onde um desligamento (interrupção) pode significar ônus
financeiro extra para a Empresa
• Pós Operação.
Ainda se depende da recepção de dados de sinalizações dos relés e alarmes nas

subestações, além da coleta ou encaminhamento de oscilogramas (papel), para aqueles
registradores de perturbações de tecnologia eletromecânica e de tecnologia estática
(ainda aplicados no sistema), para posterior análise de desempenho de relés
eletromecânicos e estáticos.
Com o advento de registradores de perturbações e relés de proteção digitais, os dados de

eventos e oscilografia passaram a ser adquiridos remotamente através de meios de
comunicação, reduzindo drasticamente o tempo e a quantidade de H x horas envolvidas.
Para concessionárias de serviços de energia elétrica, mesmo considerando que menos de

5% das instalações têm tecnologia digital, essa facilidade é significativa uma vez que as
novas instalações (expansões) e as trocas iniciadas nos sistemas de EAT requerem cada
vez mais essa facilidade. Este aspecto torna-se cada vez mais importante devido à
redução da quantidade de técnicos especializados em análise e proteção, como se tem
observado no país.
• Projetos Integrados de sistemas de proteção, controle e supervisão.
Lógicas de controle e comando que eram feitas através de relés e dispositivos

eletromecânicos podem agora ser feitos digitalmente, seja através de recursos embutidos
nos relés digitais de proteção ou através de módulos de controle digitais integrados a
sistemas de supervisão. A quantidade de cabos de controle e de cablagem de painéis
pode ser diminuída significativamente.
Os profissionais da área têm a necessidade de se atualizarem quanto a esses recursos,

principalmente em prol da economia e da simplicidade dos projetos de controle e
supervisão de instalações elétricas.
O técnico especialista em proteção já não pode se ater exclusivamente a itens de

proteção, mas deve adquirir e incorporar conhecimentos de controle e supervisão da
instalação, uma vez que o relé digital tem parte significativa no todo. O mesmo deve
participar da elaboração do projeto elétrico executivo da instalação. Os ajustes da
proteção já incorporam aspectos de parametrização que dependem do projeto de controle
e supervisão.
• Especificação de sistemas.
A especificação de um sistema de proteção já não pode ser feita de modo independente

dos sistemas de controle e supervisão, devido à integração entre os mesmos em prol da
sinergia que pode ser incorporada, resultando em economia e simplicidade.
Assim, protocolos e dispositivos de comunicação entre os dispositivos eletrônicos de

proteção, controle e supervisão devem ser escolhidos de tal modo que se garanta o
máximo de integração com o mínimo de custo.
Um grande problema é a compatibilidade entre sistemas de diferentes fornecimentos que

na maior parte dos casos necessitam ser integrados para uma mesma instalação, quanto
a redes e sistemas de comunicação para um sistema de supervisão ou base de dados
únicos. Cuidados na especificação de sistemas e previsão de serviços de integração são
sempre necessários.
Há uma tendência lenta, mas contínua, no sentido de se ter entendimento entre

fabricantes quanto a normas e protocolos comuns, de modo que se possa ter maior
facilidade na integração de dispositivos de diferentes origens.
3. COMPARAÇÃO DE TECNOLOGIAS
3.1 TECNOLOGIAS EMPREGADAS EM SISTEMAS DE PROTEÇÃO
O histórico mundial na evolução da tecnologia empregada em relés de proteção pode ser

observado na figura a seguir:
1960 1970 1980 1990 2000
Eletromecânico Estático Digital
Figura 3.1 – Evolução Tecnológica de Relés de Proteção
Evidentemente, nos países desenvolvidos, o emprego da proteção digital tem ocorrido num
ritmo mais acentuado.
E como pano de fundo, tem-se o aumento da complexidade do Sistema de Potência, os

requisitos sociais e econômicos para a prestação dos serviços de energia elétrica e, o
desenvolvimento, evolução e barateamento das tecnologias associadas à Proteção.
Na área de evolução tecnológica, tem-se:
Componentes
Eletromecânico ⇒ Transistor ⇒ Microprocessador
Telecomunicações
Carrier ⇒ Frequency Divided Modulation ⇒Time Divided Modulation
Analógico ⇒ Digital ⇒ Fibra Ótica
3.2 TECNOLOGIA ELETROMECÂNICA
Desde o advento de sistemas elétricos no fim do século passado e até os anos 80, a
tecnologia eletromecânica era empregada em grande escala para os relés de proteção.
Comparação de Tecnologias 9 de 115

São dispositivos de medição de módulos e ângulos de grandezas elétricas senoidais e
dispositivos de chaveamento, baseados em princípios do eletromagnetismo como:
• Unidades de atração magnética

• Unidades de indução magnética (disco e cilindro magnético)
• Unidades D´Arsonval (bobina móvel)
• Unidades térmicas
A composição dessas unidades, através de circuitos elétricos adequados permite a

formação dos chamados dispositivos eletromecânicos nas mais diversas funções, como:
• Comparadores de amplitude
• Comparadores de ângulo de fase
• Unidades auxiliares
• Unidades de temporização
• Elementos térmicos
• Etc.
E a composição desses elementos permite a construção de Relés de Proteção, com funções

e aplicações específicas.
Vantagens
Uma proteção eletromecânica apresenta as seguintes características que podem ser

consideradas vantajosas:
Durabilidade e Robustez. Com a devida manutenção, um relé eletromecânico pode

apresentar tempo de vida útil superior de 40 anos.
Tolerância a Altas Temperaturas de Operação. A temperatura ambiente de instalação da

proteção ou a temperatura de operação não são fatores críticos para o bom funcionamento
desses relés.
Baixa sensibilidade a surtos eletromagnéticos. Há necessidade de uma energia de surto

relativamente grande para danificar um relê eletromecânico. Os surtos normais que ocorrem
em uma instalação elétrica, em geral, não afetam as proteções eletromecânicas.
Confiabilidade. Em decorrência do desenvolvimento contínuo da tecnologia de construção

desses relés, ao longo de dezenas de anos, têm-se como resultados dispositivos de alta
confiabilidade, seja do ponto de vista de segurança contra operações desnecessárias como
do ponto de vista de dependabilidade.
Desvantagens
Por outro lado, as seguintes características de um relé eletromecânico podem ser

consideradas desvantagens:
Custo. Uma proteção eletromecânica tem um custo que pode ser considerado, hoje, elevado
em função da tecnologia que envolve dispositivos de alta precisão, inclusive no aspecto
mecânico, que demandam infra-estrutura e mão de obra especializada na sua fabricação.

Ainda mais para funcionalidades mais complexas, a composição e o ajuste de elementos
eletromecânicos apresenta custos elevados.
Custo da Instalação e Cablagens. O uso de relés eletromecânicos não permite usufruir a

maior parte dos recursos hoje existentes de comunicações (digitais, em fibras ópticas),
demandando instalações onerosas e pesadas quanto a painéis e cablagens.
Precisão. Quanto mais preciso um dispositivo eletromecânico, maior seu custo, em função
dos necessários recursos de eletromagnetismo e de mecânica fina. E há limite para essa
precisão em função da própria tecnologia.
Manutenção especializada. A manutenção de relés e dispositivos eletromecânicos exige

capacitação específica e muita experiência de campo e de laboratório. Conseqüentemente,
pode ser considerada uma manutenção cara. A possibilidade de obsoletismo associada a
falta de componentes de reposição é muito grande. Os fabricantes das proteções
eletromecânicas já não possuem especialistas na manutenção desses relés
eletromecânicos.
Limitação de Funcionalidades. Funcionalidades requeridas para redução de custos de

manutenção e garantia da confiabilidade não são, na maior parte dos dispositivos
eletromecânicos, possíveis de serem implementados. E também quanto às funções de
proteção desejadas, quanto mais elaborada a função, mais complexa a proteção
eletromecânica. Quanto mais complexa uma proteção eletromecânica, menor a sua
confiabilidade ou a sua velocidade.
Considerando as vantagens e desvantagens citadas, ainda podem existir aplicações onde a

proteção eletromecânica seria necessária, pelo menos até o presente. São aplicações em
ambientes agressivos a componentes eletrônicos, estáticos ou microprocessados, onde o
custo da preparação do ambiente para modernas tecnologias exigiria investimento
desproporcional ao benefício esperado.
3.3 TECNOLOGIA MISTA
Pouco se utilizou a eletrônica convencional como aplicação maciça, na área de proteção por
relés. Esta tecnologia foi utilizada, na maior parte dos casos e a partir dos anos 50, na
composição de elementos específicos como as unidades lógicas e elementos direcionais de
relés eletromecânicos (tecnologia mista).
Através da utilização de diodos, tiristores, associação de resistores e capacitores,

construíram-se dispositivos que propiciaram maior rapidez e precisão nos relés de proteção,
menor carga ligada aos TC´s e TP´s, além de uma maior facilidade de manutenção pela
eliminação de muitas partes móveis com tecnologia eletromecânica.
Na realidade, com exceção das proteções mais simples como as de sobrecorrente ou

sobretensão, os atuais relés chamados eletromecânicos são, na realidade, proteções com
tecnologia mista.

3.4 TECNOLOGIA ESTÁTICA
A partir da segunda metade dos anos 60 e com ênfase nos anos 70, iniciou-se a maciça
utilização de tecnologia eletrônica com componentes semicondutores, inclusive com
circuitos integrados, na chamada tecnologia estática para confecção de relés de proteção.
Os dispositivos eletromecânicos, nessas proteções, se restringiram a partes muito

específicas como os contatores de saída, onde o chaveamento de circuitos exigia algo mais
robusto. E mesmo assim, não na totalidade dos casos.
Todas as funções de proteção, das mais simples às composições mais complexas foram
concebidas e fabricadas com a tecnologia estática, com maciça utilização de circuitos
integrados, acopladores, conversores, fontes DC / DC e filtros. Várias gerações de relés
estáticos, cada geração incorporando inovações, se sucederam desde o fim dos anos 60 até
os anos 80.
Os chamados relés analógicos são aqueles nos quais as quantidades AC medidas (dos Tp´s
e Tc´s) são manipuladas na forma analógica e subseqüentemente convertidas em ondas
quadradas de tensão (binário). Circuitos lógicos e amplificadores operacionais comparam
amplitudes e ângulos de fase das ondas quadradas ou sinais retificados, para tomar
decisões. São típicos da tecnologia estática.
Chaveamentos e
Conversor
TP's e TC's amplificação de sinais
de Sinal
com transistores
Figura 3.2 – Tecnologia Estática para Relés de Proteção
Vantagens
Entre as vantagens das proteções estáticas, podem ser citadas as seguintes:
Menor Custo. Se comparadas com as eletromecânicas com as mesmas funções.

Maior velocidade. Como conseqüência direta da tecnologia empregada, foi possível a
fabricação de relés muito rápidos, que finalmente chegaram a atender as exigências de
determinados sistemas e situações críticas.
Baixo Consumo e Menor Carga. As dificuldades observadas no passado quanto ao

consumo de energia das proteções eletromecânicas e quanto à carga imposta nos lados
secundários dos transformadores de instrumentos (TP´s e TC´s) passaram a não mais
existir para terminais com proteções de tecnologia estática.
Facilidade de manutenção. A manutenção tornou-se mais simples e direta. Isto se refletiu

diretamente nos custos de manutenção. A mantenabilidade foi incrementada com circuitos
de autodiagnose naqueles relés de geração mais recente.
Confiabilidade. A experiência no uso de relés estáticos ao longo de 15 a 25 anos, nos

Sistemas Interligados Brasileiros, demonstrou que essas proteções eram tão confiáveis
quanto as eletromecânicas, porém para uma vida útil bem menor (máximo 20 anos).
Deve-se observar, entretanto, que todas essas vantagens, no caso da experiência brasileira,
foram adquiridas gradualmente, ao longo dos anos. Principalmente quanto à confiabilidade
dessas proteções, que depende direta e integralmente da sua correta manutenção.
Cerca de 10 anos foram necessários para que as empresas concessionárias de energia

elétrica dos Sistemas Interligados pudessem absorver e dominar, totalmente, a manutenção
dessas proteções. Ao sair de uma tecnologia eletromecânica convencional, partindo para
uma nova tecnologia estática no início dos anos 70, foram necessários anos de experiência
e de capacitação e formação de mão de obra especializada para fazer frente aos desafios.
Relés com tecnologia estática estão, hoje, aplicadas na proteção da maior parte das linhas
de transmissão de Extra Alta Tensão do nosso País. Para linhas de Alta Tensão, ainda
existe uma parte significativa de proteções eletromecânicas (tecnologia mista) instaladas.
Desvantagens
As seguintes desvantagens das proteções estáticas podem ser citadas:
Maior sensibilidade a surtos. Componentes eletrônicos exigem menor energia de surto que
os eletromecânicos para se danificarem. Instalações nas subestações e usinas tiveram que
ser melhoradas quanto à proteção para surtos desses tipos de relés.
Envelhecimento. Os relés estáticos possuem componentes que perdem suas características

num prazo de 8 a 20 anos. Capacitores eletrolíticos têm que ser substituídos a cada 8 anos
em média. Circuitos inteiros de medição podem perder sua característica em 20 anos, o que
pode demandar na necessidade de troca da proteção. Para os sistemas brasileiros, este é
um aspecto muito sério.
Limitação de Funcionalidades. Funcionalidades requeridas de proteção continuaram difíceis

de serem implementadas nos relés estáticos. Basicamente, o uso de componentes e
sistemas eletrônicos para a execução da função desejada, se complexa, torna-se dificultoso
e caro.

3.5 TECNOLOGIA DIGITAL
Conseqüência do uso de recursos que tiveram avanço significativo nos anos 80 e 90,
principalmente microprocessadores, memórias e conversores A/D. A conseqüência imediata
do uso dessa moderna tecnologia é o barateamento do custo da proteção, com a redução
de circuitos que exigiam engenharia complexa para a sua realização.
Os chamados relés numéricos são, na essência, computadores (inclusive com

processamento paralelo) que realizam as diversas funções de proteção. Isto é, passou-se a
usar programas computacionais para realizar as funcionalidades desejadas, que antes eram
feitos por sistemas eletromecânicos ou circuitos eletrônicos.
São relés nos quais os valores AC medidos são seqüencialmente adquiridos por
amostragem e convertidos na forma de dados numéricos através de multiplexadores e
conversores analógicos / digitais. Microprocessadores executam operações aritméticas e/ou
lógicas, com base em algoritmos que emulam funções de proteção (sobrecorrente,
sobretensão, impedância, diferencial, etc.).
TP's e Processamento
TC's Amostragem Conversor
Multiplex Aritmético com
(S/H) A/D
Microprocessador
0 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
tempo
Figura 3.3 – Tecnologia Digital para Relés de Proteção
Vantagens
Hoje são evidentes as seguintes vantagens proporcionadas pela proteção digital,

relativamente aos relés de tecnologia eletromecânica ou estática:
Custo. Cada vez menor, inversamente proporcional ao mercado atendido. Sendo que a
porção cada vez mais significativa deste custo relaciona-se ao algoritmo emulador da função
de proteção. E o fato de se ter várias funcionalidades agregadas em um único dispositivo, o
custo global de supervisão, controle e proteção se torna mais baixo.
Funcionalidades agregadas. Uma proteção digital pode agregar um conjunto de outras

funções que no passado eram feitas por dispositivos separados. Assim, é muito comum,
hoje em dia, ter-se proteção de linha, transformador ou de alimentador com funções de
MEDIÇÃO, LOCALIZAÇÃO DE DEFEITOS, OSCILOGRAFIA, REGISTRO DE EVENTOS,
MONITORAMENTO DO DISJUNTOR E FALHA DE DISJUNTOR. Para linhas e

alimentadores, também se tem agregada a função de RELIGAMENTO AUTOMÁTICO,
inclusive com check de sincronismo onde necessário.
Tamanho. Como as funcionalidades são realizadas por software e não por dispositivos
eletromagnéticos ou eletrônicos e, também em função da agregação de outras funções
numa mesma proteção, já não há necessidade de grandes painéis como aqueles bastante
conhecidos nas subestações convencionais. Alguns “racks” substituem vários painéis de
proteção, comando, controle e supervisão.
Comunicação. A comunicação de dados em ambiente digital é uma tecnologia já

suficientemente evoluída e diretamente aplicável na área de Proteção. Todas as tecnologias
hoje disponíveis (sistemas digitais de comunicação, seja com rádios digitais ou com fibras
ópticas, processadores de comunicação, rede de fibras, LAN, WAN, etc.) permitem uma
integração da proteção com outras funções e permitem facilidades inimagináveis no
passado.
Integração com supervisão e controle, com acesso remoto. Em decorrência das

funcionalidades agregadas e as facilidades de comunicação, principalmente com o uso de
rede de fibras ópticas dentro de uma subestação, tem-se a integração da supervisão,
comando, controle e proteção. Esta rede local pode se comunicar com uma rede ampla
(WAN), outras redes ou diretamente com qualquer centro ou pessoa através de meios de
comunicação. Esse meio pode ser: fibra óptica, rádio digital, rádio analógico, onda
portadora, satélite, linha dedicada. Podem-se utilizar canais contratados ou até telefone ou
celular automaticamente discado para ligação automática com computador remoto ou
acionamento de “pagers”.
Custo da instalação. Para uma nova subestação, observa-se que, com o uso de fibras
ópticas, se reduz substancialmente os cabos de comando e controle de cobre.
Principalmente se a ARQUITETURA contemplar processamento distribuído, com aquisição
de dados e comandos junto aos processos.
Interface Homem x Máquina. Como todo computador, a interação entre o humano e a

proteção digital, juntamente com todas as informações agregadas (como a seqüência de
eventos, oscilografia, localização de defeitos) e também com supervisão e controle, torna-
se rápida e amigável, com facilidades e flexibilidades para ajustes e ensaios impossíveis de
serem pensados no passado. Isso pode ser feito local ou remotamente, para
acompanhamento do desempenho, reajustes e outras intervenções.
Flexibilidade e sofisticação a baixo custo. Tudo o que pode ser feito por um computador
digital pode ser feito por uma proteção numérica. Assim, funcionalidades de proteção antes
impossíveis de serem realizadas a custo razoáveis são possíveis com relés numéricos.
Facilidades para Auto-monitoramento e Auto-verificação. Um computador pode ser

programado para monitorar continuamente vários subsistemas do seu “hardware” e
“software” e introduzir lógicas e procedimentos para garantir a confiabilidade necessária e
desejada para a proteção. Circuitos de autodiagnose implementados em computadores
(relés numéricos) são muito mais flexíveis e poderosos que aqueles dedicados,
desenvolvidos para relés estáticos dos anos 80.
Confiabilidade. A confiabilidade dos relés digitais é conseqüência direta da contínua

monitoração das próprias condições de funcionamento e também da implementação de

circuitos tolerantes a falhas. Há uma redução de atuações não corretas, melhorando seu
desempenho operacional.
Cuidados
Sensibilidade a Surtos. Tanto os relés com tecnologia estática como os relés digitais
necessitam de proteção especial e blindagem para surtos e interferências eletromagnéticas,
tanto nos circuitos que chegam e saem da proteção como para as interferências irradiadas.
Surtos ou interferências de baixa energia já são suficientes para danificar os modernos
circuitos digitais. Assim, cuidados especiais são tomados para separar a parte “suja”
(Cablagens ligadas a TP’s, TC’s, comandos de disjuntores, alimentação CC) que estão
sujeitos a surtos, da parte “limpa”.
Sensibilidade a Temperaturas elevadas. Todo dispositivo estático ou digital é sensível a

altas temperaturas. Apesar do avanço da tecnologia, apenas os componentes
especialmente desenvolvidos para tal suportam temperaturas antes suportadas pelos
dispositivos eletromecânicos.
Software não portável e às vezes não atualizável. Os algoritmos emuladores de funções de

proteção são desenvolvidos em linguagem assembler ou, mais recentemente, em linguagem
de alto nível como o “C”. Esses códigos são exclusivos para cada tipo de processador e
ambiente de processamento e não são portáveis (apesar de que está ocorrendo tendência
no sentido de se buscar portabilidade). Alguns relés digitais do passado possuem algoritmos
não muito adequados e não podem ser alterados.
Entretanto, com a experiência dos fabricantes e a conseqüente otimização desses

algoritmos, esta dificuldade se tornará cada vez menos relevante. Não se cogita, para o
usuário, a possibilidade de alterar ou efetuar manutenção do software (algoritmos e funções)
de proteção.
Tecnologia relativamente nova na área de Proteção. Como toda nova tecnologia, a sua
absorção e repasse pelos usuários envolvem um processo demorado e custoso. E o novo
enfoque de utilização de computador para emular relê ou função de Proteção, que requer
novas posturas de operação e de manutenção, implica em mudança cultural de absorção
lenta. Esta tendência, entretanto, de uso de relés numéricos é inexorável e inevitável.

4. CONFIGURAÇÃO BÁSICA E PRINCÍPIOS DE FUNCIONAMENTO
4.1 BLOCOS FUNCIONAIS
A figura a seguir mostra os principais blocos funcionais e seu relacionamento com as

instalações externas:
Comunicações
Alimentação Auxiliar
e Sincronismo
DC / DC Série Paralela
Bloco de Dados
Filtragem
Conversão Digitais Lógicas da Proteção e Outras
Digital
Analógico - Digital Brutos
Condiciona-
Condicionamento Condicionamento
mento de
de Sinal de Sinal
Sinal
Dados
Históricos -
Oscilografia
Entradas
Analógicas Saídas
Entradas Digitais
Digitais
Isolação, Conversão de Sinais analógicos

Supressores, etc. para Dados Digitais
Parte Externa Processamentos Aritméticos
Figura 4.1 – Blocos Funcionais de um Relé Digital Microprocessado
O bloco de conversão analógico / digital tem a finalidade de converter os sinais oriundos dos
TP’s e TC’s em dados digitais processáveis através de microprocessadores.
O bloco de processamento aritmético, que pode ter de um a vários processadores, efetua

todas as lógicas, filtragens digitais, cálculos de algoritmos, supervisão e gerenciamento
interno da proteção digital.
Esses blocos são detalhados, posteriormente, neste mesmo documento.
O condicionamento dos sinais que entram e saem do relé é muito importante considerando
que uma proteção digital executa operações aritméticas de alta velocidade (inferior a 0,3
microssegundo) usando sinais de nível relativamente baixo (2 a 5 Volts).
Considerando que o relé estará instalado em um ambiente hostil de alta ou extra alta
tensão, sujeito a surtos e interferências eletromagnéticas de vários tipos e intensidades, ele
Configuração Básica e Princípio de Funcionamento 17 de 115

deve ser dotado de blindagem, supressores de surtos e isolações em um nível mais intenso
que aquele que era adotado para relés analógicos (estáticos).
Os surtos e ruídos incluem:
• Aqueles que ocorrem no lado da alta tensão, como surtos de chaveamento de

equipamentos de manobra, curtos-circuitos e descargas atmosféricas.
• Ruídos induzidos de outros equipamentos da mesma estação, como o chaveamento de

circuito DC.
• Ruídos que ocorrem na proteção em si, como chaveamento de relés auxiliares.
• Interferência eletromagnética irradiada por diversas fontes.
Os caminhos pelos quais esses surtos e ruídos chegam à proteção incluem:
− TC’s e TP’s e respectivos circuitos secundários.

− Sistema de serviço auxiliar.
− Circuitos de entrada e saída do relé.
− Pelo ar.
As seguintes medidas são, portanto, tomadas para condicionamento dos sinais que entram
e saem do relé e para os sinais internos ao relé:
1) Capacitores de “bypass” (para drenagem de surtos) e/ou filtro de linha são utilizados nos
circuitos de entrada de TC’s, TP’s e Alimentação auxiliar.
Filtros para surtos e ruídos

Frequência de corte da ordem de centenas de kHz (não afeta proteção)
Também são utilizados VARISTORES para supressão de surtos
Figura 4.2 – Filtros de linha e Varistores para Surtos
Deve-se salientar que os níveis de proteção para surtos e ruídos estão normalizados:
1. IEEE – Standard C37.90A

2. IEC – Standard 255-4

2) Transformadores (circuito de TP’s e TC’s) e fotoacopladores (entradas digitais) são
usados para isolar circuitos internos dos externos. Para a alimentação auxiliar, o próprio
conversor DC / DC proporciona separação.
3) São feitas blindagens de toda a proteção com material condutivo, para interferências
irradiadas.
4) A fiação interna é separada em grupos: de circuitos de alta potência e de baixa potência.

Cada grupo de fios juntados de modo a evitar transferência de ruído dos circuitos de alta
potência para os de baixa potência.
5) Para sinais de importância especial, cabos trançados ou blindados são utilizados.
6) O projeto do circuito é feito de modo que os circuitos de suprimento de energia e de

aterramento sejam reforçados.
7) Capacitores de “bypass” são instalados em pontos importantes dos circuitos internos.
8) Circuitos são blindados quando necessários.
A figura a seguir mostra parte do condicionamento citado:
Alimentação
DC/DC
Auxiliar
TP's
TC's RELÉ
Disjuntores
Seccionadoras
Parte Suja Parte Limpa

FONTE DE
RUÍDOS
Figura 4.3 – Separação entre as partes “sujas” e “limpas”
4.2 BLOCO DE CONVERSÃO DE SINAIS ANALÓGICOS EM DADOS DIGITAIS
Os sinais analógicos provenientes da medição de grandezas elétricas do sistema elétrico

protegido variam continuamente de magnitude no decorrer do tempo. Por outro lado, no
bloco de processamento aritmético que executa os cálculos, as quantidades digitais têm sua
magnitude variada discretamente no tempo.

Assim o bloco de conversão de sinais analógicos em dados digitais tem a finalidade de
efetuar essa conversão de modo mais preciso possível, dadas as limitações de tecnologia e
os requisitos de proteção do sistema, sem esquecer o aspecto econômico / comercial de
uma proteção digital num mercado altamente competitivo.
A figura a seguir mostra os principais componentes desse bloco:
Bloco Conversor Analógico - Digital
Transdutores Clock
de Entrada
Canal n Filtro Anti

S/H Multiplex
- Aliasing
TP's Canal 3
Filtro Anti
S/H
- Aliasing
e MPX A
A/D
Filtro Anti
TC's Canal 2 - Aliasing
S/H
Conversor A/D
Filtro Anti
Canal 1 S/H
- Aliasing
Canal 1 a n Canal 1 a n
Instante t0 Instante t1
Figura 4.4 – Configuração do Conversor Analógico - Digital

4.2.1 Filtro Anti-Aliasing
Erro de Aliasing
Um filtro “Anti-Aliasing” é usado para evitar possíveis erros na reconstrução digital dos
dados de entrada, após o bloco de conversão Analógico / Digital mostrado na figura
anterior, quando se usa a técnica de amostragem e retenção S/H – “Sample and Hold”. O
resultado da digitalização do sinal pode incorporar erros chamados de erros de “aliasing”.
Basicamente é um erro de magnitude do sinal à freqüência FUNDAMENTAL, para mais ou

para menos.
Qualquer sinal de entrada amostrada a N*60 Hz (Brasil, EUA) ou N*50 Hz (Europa,

Paraguai) pode apresentar o chamado “aliasing” se o sinal de entrada contém harmônicas
da ordem N±1, 2.(N±1), .... x.( N±1).
Para se compreender esse tipo de erro, apresenta-se na figura a seguir um exemplo de um

sinal composto de uma senóide fundamental (60 Hz) e uma senóide de 11ª. Harmônica
entrando na proteção para taxa de amostragem de 12 por ciclo, isto é, harmônica (N-1):
amostragens
Figura 4.5 – Exemplo de erro de Aliasing no processo S/H
Observa-se que a resultante da digitalização resultará na senóide fundamental somado a

um aparente sinal de 60 Hz (mostrado em tracejado na figura), proporcionando um erro de
magnitude para mais em 60 Hz.
O exemplo a seguir mostra um sinal composto de uma senóide fundamental (60 Hz) e uma
senóide de 7ª. Harmônica entrando na proteção para taxa de amostragem de 8 por ciclo,
isto é, harmônica (N-1):

Fundamental Harmônca Fundamental Aparente Fundamental
de entrada de entrada gerada pela amostragem Aparente de Saída
sobre a harmônica
0.5
Por Unidade
-0.5
-1
SENOIDE COM SETIMA HARMONICA COMO ENTRADA
8 AMOSTRAGENS POR CICLO
Figura 4.6 – Exemplo de erro de Aliasing no processo S/H
Observa-se que a resultante da digitalização resultará na senóide fundamental somado a

um aparente sinal de 60 Hz (mostrado em tracejado na figura), proporcionando um erro de
magnitude para menos em 60 Hz.
Daí se verifica a obrigatoriedade de um filtro analógico de entrada, para evitar erros de

medição que afetam a FUNDAMENTAL.
Outra Função do Filtro Analógico de Entrada
Rejeitar (atenuar) as freqüências não utilizadas para a proteção, como a componente DC e

outras de alta freqüência. Entretanto, deve-se observar que:
− Há filtragem digital numa etapa posterior, antes do processamento propriamente dito,

que pode eliminar componente DC e outras freqüências.
Pode-se dizer que, para cada aplicação de proteção (funções predominantes de proteção),
o filtro deve se adequar aos algoritmos e filtros digitais para a redução desse erro ao
mínimo aceitável.
Taxa de Amostragem e o Erro de Aliasing
Considerando o domínio de freqüências de 60 Hz e as freqüências normalmente geradas

no sistema elétrico, pode-se dizer que o erro de aliasing ocorre basicamente devido às
baixas taxas de amostragem para a conversão A/D.

Critério de Nyquist
O chamado critério de Nyquist preconiza que, para evitar o erro de “aliasing”, todo sinal
cuja freqüência seja superior à metade (1/2) da freqüência de amostragem precisa ser
filtrada (atenuada). Isto é, a freqüência de corte seria fixada para metade da freqüência de
amostragem.
Esse critério deriva do “Teorema de Amostragem de Nyquist” que postula que se um sinal
contém somente as freqüências menores que a freqüência de corte fc, então todas as
informações no sinal podem ser capturadas com uma taxa de amostragem de 2 x fc,
Assim, para um relé com 12 amostragens por ciclo (720 Hz) deverá haver filtro analógico
para atenuar todo sinal superior a 360 Hz (6ª. Harmônica).
Na prática, entretanto, pode haver filtros para atenuação de sinais com freqüência superior
a (1/3) da freqüência de amostragem. Entretanto, esse estreitamento pode introduzir
problemas, conforme comentado posteriormente.
Filtros Analógicos [1]
Há diversos tipos de filtros que, de um modo geral, podem ser classificados em:
− Filtro passa baixa.

− Filtro passa alta.
− Filtro passa banda.
O filtro passa baixa deve atenuar todo sinal superior a uma dada freqüência, conforme
mostra a figura teórica (ideal) a seguir sobreposta à curva real (tracejada). Por outro lado,
o filtro passa alta deve atenuar todo sinal inferior a uma dada freqüência. O filtro passa
banda faz com que se tenha atenuação para valores inferiores e superiores a uma banda
de freqüências:
Ganho Atenuação
0 0
Frequência Frequência
fc fc
Figura 4.7 – Filtro passa baixa
O filtro passa baixa é mostrado na figura anterior é muito utilizado. Em tracejado, a

característica de um filtro real, enquanto que em linha cheia tem-se a característica ideal.
Ganho 0 (zero) significa atenuação “infinita” (ou bloqueio de sinal) para aquela freqüência.

Ganho 1 (um) significa atenuação “zero” (ou passagem livre do sinal) para aquela
freqüência.
Nesse caso, a componente DC do sinal de entrada (freqüência 0) é filtrado posteriormente

(filtro digital).
Na figura a seguir mostra-se o filtro passa alta:
Atenuação
Ganho
dB
1 1
0 0
fc Frequência fc Frequência
Figura 4.8 – Filtro passa alta
Observa-se que esse filtro atenua as freqüências abaixo da freqüência de corte.
Para se ter um filtro passa banda, se faz uma associação dos dois anteriores, conforme
mostrado na figura a seguir.
Ganho
1
fc1 fc2 Frequência
Figura 4.9 – Filtro passa banda
Filtros Ativos e Passivos
Filtros passivos são aqueles que usam componentes que não geram tensões, como
resistores, indutores, capacitores e transformadores.

Ganho
0
Frequência
fc
Figura 4.10 – Exemplo de Filtro Passivo (passa baixa)
Para se conseguir boas características de filtragem, um filtro analógico pode ser ativo, isto
é, conter amplificador operacional associado a componentes passivos (R, C). Os tipos de
filtros utilizados na prática têm o nome dos idealizadores das funções de transferência
adotados no projeto do filtro (Buttherworth, Chebyshev e Bessel).
-
+
Figura 4.11 – Filtro Ativo Butterworth para 360 Hz [9]
A figura a seguir mostra a característica do filtro anti-aliasing de um relé da Toshiba Co. de

terceira geração (1995 – 1997):
atenuação em
dB
frequência
f0 12 f0 (Hz)
Figura 4.12 – Filtro ativo, passa banda
Trata-se de um filtro passa banda de dois estágios, com amplificadores operacionais

associados a resistores e capacitores para relé de 12 amostragens por ciclo. Observa-se
que esse filtro atenua também a componente DC que eventualmene se sobrepõe à
senóide (freqüência 0).

Características Dinâmicas do Filtro
Adicionalmente à característica em regime do filtro analógico, há de se considerar a

resposta dinâmica do filtro, para qualquer aplicação.
Os aspectos mais importantes dessa característica dinâmica são: o tempo de elevação

(“rise time”), o qual indica quanto tempo um filtro passa baixa leva para atingir o seu valor
final para um degrau introduzido na entrada; e o “overshoot” que indica o nível acima do
valor final que resposta atinge, transitoriamente, em resposta a um degrau na entrada.
Na prática seria a introdução de defasamento entre os sinais de entrada e de saída do

filtro, que corresponde um atraso no tempo no fluxo de informações, o que implica numa
fase posterior de processamento em tempo maior na operação da Proteção.
Um aspecto importante a observar é que, quanto mais a freqüência de corte do filtro se

aproxima da freqüência fundamental, o mencionado defasamento aumenta.
E quando se deseja uma resposta em freqüência o mais próximo do ideal, piora a resposta
dinâmica no tempo, com “overshoot”. A figura a seguir [9] ilustra o citado atraso de tempo e
o “overshoot”, para dois tipos de respostas em freqüência:
Ganho
0 0
Hz
fc Tempo
Resposta em Frequência Resposta para um Degrau
Figura 4.13 – Conflito entre Respostas em Freqüência e no Tempo
A figura a seguir mostra um exemplo de filtro passivo projetado para 12 amostragens por
ciclo com freqüência de corte de 360 Hz, e o “rise time” [9]:

1,26 kΩ 2,52 kΩ
0,1 µF 0,1 µF
Ganho
1 1
0,7
Saída
0
ms
360 Hz 720 Hz 1 2 3 4
Figura 4.14 – Filtro Passivo Para 12 Amostragens por Ciclo e Característica Dinâmica
Para este exemplo tem-se um valor razoável de saída com cerca de 0,8 ms após a
aplicação de um degrau na entrada. Esse atraso corresponderá a um defasamento de
certa ce 11 graus para fasor de 60 Hz. Note que o intervalo de amostragem é ( 1000 x 1
/720 = 1,39 ms).
Um filtro ativo pode influenciar tanto o ganho como esse atraso no tempo, conforme
ilustrado na figura a seguir para os chamados filtros Chebyshev, Butterworth comparados
com o filtro passivo RC mostrado [9]:
Ganho
Butterworth Cherbichev
1 1 Butterworth
RC RC
Cherbichev
360 Hz 720 Hz 1 ms 2 ms
Figura 4.15 – Comparação dos filtros Chebyshev e Butterworth com Filtro RC para 360 Hz

Características desejáveis para um filtro
− Tempo de resposta rápido, com pouco defasamento (largura de banda razoável).

− Comportamento transitório aceitável.
− Simples para projetar, construir e fabricar em série (manufatura).
Em conjunto com a filtragem digital que será visto posteriormente, deve apresentar as
seguintes características:
− Resposta tipo “passa banda” sobre a fundamental, pois os demais componentes não
são de interesse para as funções de proteção.
− Rejeição de componentes DC exponenciais e de Rampa.
− Atenuação de harmônicas ou rejeição para limitar os efeitos das não linearidades.
4.2.2 Circuito Sample & Hold (S/H)
O circuito efetua amostragem de uma grandeza analógica a intervalos pré determinados

(taxa de amostragem) e efetua a retenção do sinal amostrado até que se complete a etapa
seguinte de conversão A/D. É feita amostragem simultânea para todos os canais, a cada
intervalo de amostragem
O circuito consiste basicamente de um capacitor e uma chave eletrônica usando FET –

“Field Efect Transistor”, como ilustrado na figura a seguir:
intervalo de amostragem
CH
entrada saída
sinal do clock
de controle
chaveamento
fechado
Figura 4.16 – Princípio de um circuito Sample & Hold
Fechando-se a chave CH tem-se através do capacitor uma tensão igual ao do sinal de

entrada naquele instante. Abrindo a chave, permanece no capacitor a tensão que havia no
sinal amostrado imediatamente antes da abertura.
Repetindo ciclos de abertura e fechamento é possível obter sinais amostrados por faixa de
tempo, com intervalo pré-determinado conforme é mostrado na figura a seguir:

Figura 4.17 – Sinais Analógicos Amostrados
A cada amostragem se tem nova medição, porém retendo as medições anteriores

(“buffer”). Isto é, a cada nova amostragem, aquela mais antiga é descartada. Pode-se
observar o princípio através das “janelas de dados” se movendo ao longo do tempo,
conforme mostrado na figura a seguir.
Janela de Dados Móvel
.....
Figura 4.18 – Janela de Dados para Amostragem
Características da Taxa de Amostragem
• A taxa de amostragem deve levar em conta os harmônicos eventualmente desejáveis

para cálculos nas funções de proteção (dependendo da função de proteção).
• É desejável que o intervalo de amostragem corresponda a ângulo elétrico que facilite a

aplicação de algoritmos de cálculo, reduzindo sua complexidade. Também o tempo de
atuação da função de proteção está estreitamente ligado aos algoritmos utilizados e a
taxa de amostragem.
• A maior parte dos cálculos importantes das funções de proteção são efetuadas a
intervalo de amostragem. Assim, uma taxa muito alta com cálculos intensivos pode

esbarrar na capacidade e velocidade de processamento dos microprocessadores
empregados.
• A taxa de amostragem deve estar em harmonia com a tecnologia disponível e com as

características do sistema de comunicações empregadas para a proteção (se
empregadas).
Por exemplo, a taxa de amostragem não deve ser superior a um determinado valor que
supere a capacidade de conversão A/D da etapa posterior ao multiplexador.
4.2.3 Multiplexador
Um multiplexador é uma chave eletrônica que permite que um único conversor A/D faça
a medição de vários canais de entrada, eliminando o alto custo de se ter vários
conversores.
Sua função é colocar os sinais analógicos amostrados e retidos nos vários canais
agrupados para cada intervalo de amostragem, conforme mostra a figura a seguir:
Controles e
Referência
Conversor
Canal n Analógico / Digital
PGA A/D
Canal 3 MUX
Canal 2
Canal 1
Canal 1 a n Canal 1 a n
Instante t0 Instante t1
Canal n
Figura 4.19 – Multiplexação para permitir o uso de um único A/D
O amplificador de ganho programável (PGA) permite que, para cada canal de entrada do
MUX se tenha diferentes ganhos e faixas de variação, uma vez que vários canais são
varridos seqüencialmente.
O uso de um A/D com multiplexador limita a taxa de amostragem do bloco de conversão

analógico – digital. Por exemplo, um A/D que poderia amostrar a 10 kHz para um único
canal seria limitado a (10/12 = 830 Hz) por canal, para um conjunto de 12 canais. Isto é, as

características do A/D dependem da quantidade de canais multiplexados e da taxa de
amostragem e vice-versa.
4.2.4 Unidade Conversora A/D
Um conversor A/C (ADC em inglês) tem a finalidade de efetuar a conversão de grandezas

analógicas em digitais (binários) para uso subseqüente de processadores aritméticos. O
número digital representa a grandeza de entrada para aquela amostra daquele canal com
resolução finita.
Resolução
A resolução do ADC é representada pelo número de bits que compõem o número digital.
n
Um ADC de n bits tem uma resolução de 1 parte em 2 . Por exemplo:
Conversor de 12 bits: tem resolução de 1 / 212 = 1 para 4.096
Isto corresponde a 2,44 mV para 10 V.
Conversor de 16 bits: tem resolução de 1 / 216 = 1 para 65.536
Isto corresponde a 0,153 mV para 10 V.
Tipos de ADC
Muitos tipos de ADC estão disponíveis. Diferem entre si quanto à resolução, precisão e
velocidade. Os mais populares tipos de ADC são:
• Conversor Paralelo (“Flash”)

• Conversor de Aproximações Sucessivas
• Tipo Tensão para Freqüência
• Tipo Integrador
Conversor Paralelo
É o mais simples dos conversores A/D. Ele usa uma tensão de referência correspondente
n
à escala plena do sinal de entrada. Possui divisor de tensão composto de (2 + 1)
resistores em série, sendo n a resolução do ADC em bits.
O valor da tensão de entrada é determinado utilizando um comparador para cada um dos

n
(2 ) tensões de referência criadas no divisor de tensão. A figura a seguir mostra um
exemplo de ADC do tipo Conversor Paralelo de 2 bits.

V Referência V Entrada
Codificador
R/2
+
-
R
+
-
R Saída
Binária
+
-
R
+
-
R/2
Comparadores
Figura 4.20 – Esquema de ADC do tipo Conversor Paralelo, para 2 bits.
Este tipo de conversor é muito rápido (até 500 MHz) devido aos bits serem determinados
em paralelo. O método requer uma grande quantidade de comparadores, portanto
geralmente limitando a resolução a 8 bits (256 comparadores). São geralmente
encontrados em osciloscópios digitais e digitalizadores de transitórios.
Conversor de Aproximações Sucessivas
Esta unidade A/D utiliza um Conversor Digital para Analógico (DAC em inglês) e um
comparador. Ela faz a chamada “busca binomial” iniciando com um valor de saída 0 (zero).
Ela ajusta provisoriamente cada bit do DAC, começando pelo bit mais significativo. A
busca efetua a comparação da saída analógica do DAC com a tensão que está sendo
medida. Se o ajuste do bit para “1” causa uma saída do DAC maior do que a tensão de
entrada, então esse bit é ajustado para “0”. Caso contrário, é mantido em “1”. Passa-se
para o bit seguinte e assim sucessivamente.

V Referência Gerador de
DAC Tensão de
Conversor Referência
Digital -
Analógico
Bit mais significativo
Saída
….
Digital
….
….
Bit menos significativo
Comparador
Lógica de Controle
- e Registros de
+ Comparação
V Entrada
Figura 4.21 – Esquema de ADC do tipo Conversor de Aproximações Sucessivas
Este tipo de conversor é mais lento que o do tipo Paralelo, pois as comparações são feitas
em série, sucessivamente, com tempo adicional para ajustar cada bit. Entretanto podem
ser encontrados esses tipos de ADC para taxas de conversão até 200 kHz.
Este tipo de ADC é relativamente barato para implementar resoluções de 12 e 16 bits. Por
conseqüência é o ADC mais comumente utilizado e pode ser encontrado em muitos
sistemas de aquisição de dados baseados em PC’s.
Conversor do Tipo Tensão para Freqüência
A figura a seguir mostra o princípio do ADC Tensão para Freqüência. Ele converte a
tensão de entrada em um trem de pulsos digitais com a freqüência proporcional à tensão
de entrada.
Circuito de
Timing
Conversor
Contador de Saídas
Tensão para
Pulsos Digitais
Frequência
Tensão Trem de
de Pulsos
Entrada Digitais
Figura 4.22– Esquema de ADC do tipo Tensão para Freqüência
A freqüência é determinada efetuando-se a contagem dos pulsos para um determinado

intervalo de tempo e a tensão é inferida através de uma relação conhecida.
A conversão Tensão para Freqüência tem um alto grau de rejeição a ruídos pelo fato da
tensão de entrada ser efetivamente integrada no período de contagem. Este tipo de ADC é

utilizado para conversão de sinais lentos e ruidosos. Ele é útil para aquisição remota de
sinais em ambientes ruidosos. O trem de pulsos digitais é transmitido através de um par de
fios até o contador. Isso elimina o ruído que poderia ser introduzido na transmissão de um
sinal analógico.
Conversor do Tipo Integração
Este tipo de ADC usa a técnica de integração, que mede o tempo para carga e descarga
de um capacitor para determinar a tensão de entrada. A figura a seguir mostra a chamada
integração “Dual-slope”, que é uma técnica muito utilizada.
I α VENTRADA
Vcapacitor
Corrente Fixa
de Descarga
V ENTRADA / V REFERENCIA
=Ti/T d
Ti Td
Tempo de Tempo de
Integração Descarga
Figura 4.23– Integração e Descarga em Conversor do tipo Integração
Usando uma corrente que é proporcional à tensão de entrada, um capacitor é carregado

por um intervalo de tempo definido. A tensão média de entrada é determinada medindo-se
o tempo para descarga do capacitor usando uma corrente constante.
Com a integração da entrada por um determinado período de tempo reduz-se a influência

dos ruídos na tensão de entrada, desde que o tempo de integração seja ajustado para um
valor múltiplo do período (1/f) da tensão de entrada.
Este tipo de ADC é utilizado para multímetro digital de precisão e indicadores digitais de
painel. Pode haver resolução de 20 bits. A desvantagem é a taxa de conversão
relativamente lenta (60 Hz no máximo).

Sumário para os Tipos de Conversores ADC
Tipo de ADC Resolução Típica Velocidade Típica

Paralelo 4 – 8 bits 100 kHz – 500 MHz
Aproximações Sucessivas 8 – 16 bits 10 kHz – 1 MHz
Tensão para Freqüência 8 – 12 bits 1 – 60 Hz
Integração 12 – 24 bits 1 – 60 Hz
Precisão e Resolução
A precisão é um fator importante quando se seleciona um ADC pra uso em aplicações que
envolvam testes e medições. O erro de resolução de um ADC é chamado de:
• Erro de quantização
Saída do ADC
Erro de
Quantização
2 4 6 8
Tensão de Entrada (V)
Figura 4.24– ADC Ideal, com apenas erro de quantização
Mas não é a única fonte de erros de um ADC. Há também:
• Erro de offset
• Erro de ganho
• Erro de linearidade
• Erro de sinal perdido
Mas um bom ADC se aproxima ao “erro de quantização” (proveniente da resolução). Esses

erros podem decorrer de alguns parâmetros ambientais como:
• Ruído
• Variação de Temperatura.

Saída do ADC
Saída do ADC
2 4 6 8 2 4 6 8
Erro de Offset Erro de sinal perdido

Saída do ADC
Saída do ADC
2 4 6 8 2 4 6 8
Erro de Ganho Erro de Linearidade
Figura 4.25– Tipos de Erros num ADC
Deve-se observar, também, que o erro de quantização é tanto maior quanto maior for a
escala adotada ( “full scale” ) para a faixa de grandeza que se quer medir (por exemplo,
uma faixa de 0 a 100 x In). Assim, deve-se adotar uma escala máxima que não introduza
erros significativos na conversão A/D.
Exemplo de ADC de Aproximações Sucessivas para Relé de Proteção
O tempo que se leva para se efetuar uma conversão (por aproximações sucessivas) deve
ser compatível com a taxa de amostragem e quantidade de canais, como mostram as
figuras a seguir para um relé da Toshiba (ADC de 12 bits, geração 1995-1997):

FS
(Escala
Máxima)
Saída do Conversor Digital - Analógico
Entrada
Analógica
V
FS/2
Tempo (t)
0
1 BMaisS
0
1
1
SAÍDA
0
DIGITAL
1
0
1
0
1
1 BMenosS
Comando de
Início da
Conversão
Reset Partida Conversão

Completa
Figura 4.26– Ação de um ADC de 12 bits por Aproximações Sucessivas
16,666 ms (1 ciclo) com 12 amostragens
Amostragem
Chaveamento do Fechado Aberto Fechado Aberto

Circuito S/H
Saída do Multiplex off Va Vb Vc V0 Ia Ib Ic I0 off Va
Ação do ADC Saída Conversão Saída
Reset Partida Conversão

Completada
Figura 4.27– Timing para Amostragem, S/H, Multiplexação e A/D

4.3 BLOCO DE PROCESSAMENTO ARITMÉTICO
O bloco de processamento aritmético tem a responsabilidade de executar dos programas

das funções de proteção, manutenção das várias funções envolvendo gerenciamentos
diversos, temporizações, comunicação com subsistemas periféricos, etc. A figura a seguir
mostra um esquema básico do bloco de processamento:
t0
. . . . MEMÓRIA DE
. . . . MASSA
12 . . . … .
bits . . . …. .
ROM / PROM
. . . .
Canais 1 a n
DMA
a
EPROM
Dados Canal 1 B
U
Dados Canal 2 S SAÍDAS
Dados Canal 3 RAM
t0 DIGITAIS
…….
Dados Canal n
Dados Canal 1
ENTRADAS
Dados Canal 2 CPU
DIGITAIS
t1 Dados Canal 3
…….
Dados Canal n
COMUNI-
IHM
CAÇÕES
Figura 4.28– Bloco de Processamento Aritmético. Esquema Básico
A função DMA (Direct Memory Access) que permite transferência de dados diretamente
para a memória RAM sem passar pelo processador (CPU) aliviando esse último.
Geralmente esta função é utilizada quando há transferência de grande quantidade de
dados entre a unidade processamento de dados e dispositivos externos.
As transferências de dados regulares entre dispositivos de entrada e saída e a memória é

efetuadas através da CPU. Geralmente em relés digitais a função DMA é utilizada para
escrever na RAM os valores digitalizados de tensão e corrente adquiridos pela conversão
Analógica – Digital.
A memória RAM (Random Access Memory) segura os dados de entrada enquanto

processados. Ela também pode ser usada para acumular dados (“buffer”) para posterior
transferência a meios de armazenamento maiores (memória de massa). Adicionalmente a
RAM é utilizada como área “rascunho” para cálculos envolvendo algoritmos diversos.

A memória apenas de leitura ROM (“Read Only Memory) ou a memória programada
apenas de leitura PROM ( Programmable Read Only Memory) é usada para
armazenamento permanente dos programas. Em alguns casos os programas podem ser
executados diretamente da ROM [9] se o tempo de leitura é pequeno o suficiente. Se esse
não for o caso, os programas são copiados da ROM para a RAM durante a fase de
inicialização da proteção e, em tempo real, são executados através da RAM.
A memória “apagável” EPROM (“Erasable PROM”) é necessária para armazenar

parâmetros e ajustes da proteção que podem ser alterados a qualquer hora, pelo usuário.
Essa memória precisa manter os seus dados mesmo que o relé seja desligado da sua
fonte de alimentação. Diversas tecnologias e esquemas são utilizadas para garantir essa
característica.
A entrada digital é utilizada para adquirir informações externas como estados de contatos
para o Bloco de Processamento Aritmético. A saída digital é utilizada para exteriorizar
sinais de “trip”, alarmes e condições lógicas, além dos resultados do auto monitoramento e
auto verificação, etc.
NOTA:
Um processador de 16 bits é adequado para conversor A/D de 12 bits. Porém, quando o

conversor A/D é de 16 bits, exige-se processador de 32 bits.
As vezes deseja-se que o registrador oscilográfico de perturbações embutido no relé de

proteção tenha uma resolução maior (maior taxa de amostragem). Neste caso, faz-se
conversão A/D numa taxa superior (por exemplo, 32 amostragens por ciclo). Um
processador é utilizado para gerenciar base de dados e registros oscilográficos. Um outro
processador é destinado a fazer uma aquisição de dados de 16 amostragens por ciclo,
aproveitando os sinais amostrados inicialmente, alternadamente. Nesse segundo
processo deve-se emular digitalmente um segundo filtro “anti-aliasing”, agora para 16
amostragens por ciclo.

5. NOÇÕES BÁSICAS DE FILTRAGEM DIGITAL E ALGORITMOS
5.1 IDÉIA DA FILTRAGEM DIGITAL
Requisitos
O filtro digital tem a finalidade de remover sinais não desejados que o filtro “anti-aliasing”
não removeu, como componente DC, e harmônicos das mais diversas ordens.
Os requisitos para filtragem dependem dos princípios da proteção e da sua aplicação. Por
exemplo, para os relés de “ondas trafegantes”, os componentes à freqüência industrial
(60Hz) seriam “interferências” e os transitórios seriam as “informações”. Por outro lado, os
relés de sobrecorrente, distância, etc. tratam de grandezas exclusivamente a 60 Hz.
Entre as exceções existem os relés que usam circuitos de restrição para harmônicas (por
exemplo as proteções diferenciais de transformadores de potência) que precisam detectar
freqüências diferentes da fundamental.
Noção Básica
O presente capítulo tem a finalidade de mostrar, de uma maneira a mais simples possível, a
noção de filtragem de sinais diferentes da fundamental numa proteção digital. Apenas nos
capítulos seguintes é que se faz um tratamento matemático para esse assunto.
Há dois tipos de filtros, os chamados “recursivos” e os “não recursivos”. Os filtros recursivos

efetuam realimentação dos sinais de saída para a entrada para refinamento dos cálculos.
Apenas em aplicações mais específicas, com problemas complexos, se aplicam filtros
recursivos. O uso de filtros não recursivos é mais generalizado.
A tabela a seguir mostra exemplos de princípios para filtros não recursivos:
Equação de Princípio para 12 Harmônicas e Componente DC

amostragens por ciclo removidos
1 ym = (xm + xm-2) 3, 9, ...
2 ym = (xm – xm-2) DC, 6, 12, ...
3 ym = (xm – xm-3) DC, 4, 8, ...
4 ym = (xm – xm-4) DC, 3, 6, ...
5 ym = (xm – xm-6) DC, 2, 4, ...
6 ym = xm + √3. xm-1 + xm-2 5, 7, .....
Vamos supor que uma onda periódica é amostrada 12 vezes por ciclo. Chamando de “m”
uma determinada amostragem:
m-1 = uma amostragem anterior (30 graus antes).

m-2 = segunda amostragens amostragem anterior (60 graus antes)
.....
m-6 = sexta amostragem anterior (180 graus antes)
Noções Básicas de Filtragem Digital e Algoritmos 40 de 115

Vamos analisar então a seguinte equação de princípio de filtragem:
ym = (xm + xm-2)
O valor ym resulta de uma composição de leituras. A figura a seguir mostra o princípio:
m-2 m-1 m
Figura 5.1 – Princípio de Filtragem de Terceira, Nona, Décima Quinta..
Observa-se que para a terceira e nona harmônicas da figura acima, o valor Vm é zero, isto é,
há ganho zero para essas freqüências. A característica de freqüência desse filtro é mostrada
na figura a seguir:
2 Ganho
1 2 3 6 9 12 15
Múltiplo da Frequência Fundamental
Figura 5.2 – Resposta em Freqüência do Filtro
Considerando agora a seguinte equação de princípio de filtragem:
ym = (xm – xm-6) / 2

O valor de ym resulta de uma composição de leituras e a figura a seguir mostra o princípio:
SINAL COMPOSTO DE FUNDAMENTAL,

SEGUNDA HARMONICA E COMPONENTE DC
ym
ym = (xm - xm-6) /2 = xm
ym = 0
ym = (xm - xm-6) /2 = 0
ym = 0
ym = (xm - xm-6) /2 = 0
m-6 m
Figura 5.3 – Princípio de Filtragem de Componente DC, Segunda, Quarta, etc.
Observa-se que, ao se aplicar a fórmula de composição de leituras, filtra-se as harmônicas

de ordem 2, 4... e a componente DC.
Na prática, considerando que há uma variação exponencial da componente DC, sobra ainda
alguma parcela não filtrada.
A figura a seguir mostra a resposta em freqüência deste filtro:
Ganho
1
1 2 3 4 5 6
Figura 5.4 – Resposta em Freqüência do Filtro

5.2 IDÉIA DE ALGORITMOS
Este capítulo procura mostrar princípios de algoritmos para relés digitais, sem entrar em
maiores detalhes de tratamento matemático, já considerando que os sinais amostrados
estejam livres de harmônicos e de componente DC,
5.2.1 Cálculo de Defasamento
Em relés analógicos, a combinação e defasamento de vetores de entrada eram realizados

através do uso de capacitores, resistores, indutores e amplificadores operacionais. Em
relés digitais o defasamento angular de um vetor (fasor) pode ser facilmente feito
armazenando temporariamente os valores amostrados.
A figura a seguir mostra como os fasores de entrada são amostrados a um intervalo de

tempo de 30 graus (12 amostragens por ciclo). Quando se deseja um atraso de 60 graus, o
vetor de duas amostragens anteriores é utilizado. Quando se desejar um avanço de 120
graus, o vetor - Vm-4 é utilizado:
vm a.vm + vm-1
vm-6 vmm a.vm

vm-1
vm-5 vm-1
vm-4 vm-2
vm-3
Figura 5.5– Princípio para Defasamento de um Vetor
Qualquer ângulo intermediário que não seja múltiplo de 30 graus no exemplo acima, pode
ser determinado. O vetor composto a.Vm + Vm-1 da figura está θ graus adiantado com
relação a Vm-1. Esse ângulo é:
a.sen30
θ = ArcTan
1 + a. cos 30
Isto é, escolhendo o valor apropriado de a, qualquer ângulo pode ser obtido.
5.2.2 Cálculo da Amplitude
O algoritmo básico para o cálculo da amplitude de um sinal AC de entrada pode ser

classificado em dois tipos: Tipo Adição e Tipo Multiplicação. Esses dois tipos podem ser
subdivididos em:
Tipo adição
a) Método da Área

b) Método de Adição de Dois Valores
c) Método do Quadrado da Amplitude
Tipo Multiplicação
d) Método de Cálculo de 2 amostras consecutivas

e) Método de Cálculo de 3 amostras consecutivas
As explicações a seguir referem-se ao Tipo Adição.
Método da Área
Baseia-se no princípio de que a área calculada de uma senóide em um intervalo de tempo

é proporcional à sua amplitude.
Vm-5
Vm-4
Vm-3
Vm-2
Vm-1
Vm
Figura 5.6 – Princípio para Cálculo de Amplitude. Método da Área
5
k V = ∑ Vm − t
t =0
O cálculo é simples. Como a operação consiste apenas de soma, o resultado obtido é de
primeiro grau. No processamento digital, o tempo requerido para adição é menor do que
aquele para multiplicação ou divisão.
O erro de cálculo é relativamente grande, estimado em ± 1,6% para 12 amostragens por

ciclo. Esse erro depende do ângulo em que é feita a amostragem.
O número de dados requeridos para cálculo é relativamente grande e isso afeta o tempo
de operação da proteção.
Efeito Filtragem
Por outro lado, um efeito de filtragem está incorporado. As figuras a seguir mostram formas
de onda com harmônicas de ordem 3 e 5. Nessas figuras as flechas indicam as diferenças
decorrentes das harmônicas. Como se vê, quase todos os efeitos das harmônicas são
canceladas entre si quando se somam dados para meio ciclo.

Fudamental Sobreposta
com Terceira Harmônica
Fudamental Sobreposta
com Quinta Harmônica
Figura 5.7 – Valores Amostrados Com Harmônicas.
Isto é, o método da área não elimina totalmente os efeitos das harmônicas mas alivia. O
efeito da filtragem é grande para harmônicas de ordem ímpar, como mostra a figura a
seguir.
10 dB Atenuação
7 dB 7 dB
5.3 dB
5.3 dB
5 dB
0 dB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 5.8 – Método da Área. Efeito Filtragem.
Método de Adição de Dois Valores
Como mencionado, o método da área tem a desvantagem de apresentar erro

relativamente grande. Um método efetivo para minimizar esse erro é o método da adição
de dois valores:
Vm = vm + vm−3 + K .[ vm − vm−3 ]
A equação acima mostra que o erro é corrigido efetuando a soma absoluta de dois valores
vm e vm-3, 90 graus defasados entre si, e corrigindo tal soma pelo valor absoluto da
diferença entre dois valores.

A figura a seguir ilustra o princípio:
V .sen(ωt ) V . cos(ωt )
V
v m = V .sen(ωt )
vm−3 = V . cos(ωt )
0o 90o 180o 270o 360o
2 .V
V
v m + v m −3
0o 90o 180o 270o 360o
2 .V
V
v m − vm − 3
0o 90o 180o 270o 360o
[
Vm = v m + v m −3 + K . v m − v m −3 ]
(1+K).V
2 .V
0o 90o 180o 270o 360o
Figura 5.9 – Princípio do método da adição de dois valores.
Em suma este método tem as seguintes características:
• Como o resultado decorre de somas, ele é de primeiro grau, o que traz vantagens no
tempo de cálculo.
• O erro devido à variação da fase de amostragem é muito pequeno (± 0,6%).
• Um grande efeito de filtragem é obtido. Para a terceira harmônica, por exemplo, o nível
de atenuação é maior que o do método da área por um montante que chega a 8 dB.

Atenuação
15 dB 13.6 dB 13.6 dB
12.8 dB 12.8 dB
10 dB
5 dB 6 dB
4 dB 4 dB
0 dB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 5.10 – Resposta em Freqüência do Método da adição de dois valores.
Método do Quadrado da Amplitude
O método do Quadrado da Amplitude consiste, principalmente, de operações de

multiplicação para calcular o quadrado de uma amplitude.
O método utiliza dois dados defasados em 90 graus como mostrado na figura a seguir.
Vm-2 v m = V . cos θ
Vm-3 vm
Vm-1
Vm Amostragens Fasor
v m−3 = V .senθ
90 graus
− j.v m−3
V = v m + v m −1
2 2
Figura 5.11 – Princípio do Método do Quadrado da Amplitude.
O método tem as seguintes características:
a) Em princípio, não há erro introduzido no cálculo.

b) A resultante é obtida de dois dados, que é a quantidade mínima de dados requerida
para cálculo da amplitude. Isso contribui para a velocidade do cálculo.
c) As operações aritméticas envolvidas são multiplicações na sua maior parte, o que
contribui no sentido de diminuir a velocidade de cálculo. Como o resultado é dado na
forma de quadrado, pode haver restrição para algum tipo de aplicação.
d) Nenhum efeito de filtragem é esperado para este método.
5.2.3 Cálculo da Diferença de Ângulo de Fase
Para relés digitais o cálculo para se obter a diferença de ângulo de fase entre duas
quantidades AC é essencial para determinar as características das funções de proteção
que dependem desse ângulo.
É mais simples obter diferença de ângulo de fase através de relações trigonométricas

usando seno e coseno. Esses cálculos envolvem algoritmos do tipo multiplicação, que
podem ser classificados como:
a) Método de duas amostras consecutivas.

b) Método de três amostras consecutivas.
c) Método de duas amostras ortogonais (perpendiculares).
Os dois primeiros métodos, como mostram as figuras a seguir, exigem muitas operações
de multiplicação e divisão.
O terceiro método é mais usado.

Vm
Vm-1
Método das Duas Amostras Consecutivas

Tensão
ω.T V . I . cos θ = {v m .i m + v m −1 .i m −1 − (v m −1 .im .i m −1 ) cos ωT }/ sen 2ωT

im
im-1
V . I .senθ = (v m .im−1 −v m −1 .im ) / senωT
Corrente
Defasada
vm-1
vm-2 vm
Método das Três Amostras Consecutivas

Tensão
k .V . I . cos θ = v m .im − K .v m−1 .im−1 + v m−2 .im−1

im-1
im
im-2 Para 12 amostragens por ciclo em 60 Hz

Corrente (intervalo de 30 graus entre amostras):
Defasada
k=½ e K=1
vm
vm-3
Método das Duas Amostras Ortogonais
Tensão
90o
.V . I . cos θ = v m .im + v m−3 .im−3
im
im-3 Corrente .V . I .senθ = v m .im−3 −v m −3 .im

Defasada
Figura 5.12 – Princípios para Cálculo da Diferença de Ângulo de Fase

5.2.4 Alguns Algoritmos para Características de Impedâncias
Com base num relé com 12 amostragens por ciclo, são apresentados a seguir alguns
algoritmos para características de proteção de distância.
Característica Mho
X
Z
Z
75o
R
Z.I.V.cos (θ−75) − V2 >= K0
Z’.{(im+im-1)vm+ (im-3+im-4)vm-3}
− (Vm2 - Vm-32 ) >= K0’
Figura 5.13 – Princípios para Cálculo de Característica Mho
Característica de Reatância
X
Z
Z. I2 - V.I.sen(θ) >= K0
Z’.(im2+im-32) - (im .Vm-3 -im-3.vm)
>= K0’
Figura 5.14– Princípios para Cálculo de Característica de Reatância

Elemento Direcional de Terra
I0
θ
ψ
V0
I0. V0 .cos (θ−ψ) >= K0
i0m(a. v0m+1+ v0m) + i0m-3(a.
v0m-2+ v0m-3) >= K0’
Figura 5.15– Princípios para Cálculo de Característica Direcional

6. PROCESSOS DE FILTRAGEM E ALGORITMOS
6.1 CONCEITOS BÁSICOS
Este capítulo tem a finalidade de apresentar itens básicos e comuns a muitos algoritmos que
serão apresentados.
Terminologia
y(t)= O valor instantâneo de uma forma de onda AC, seja uma tensão ou uma corrente.
yk = A amostra késima da forma de onda y(t).
ω0= A freqüência fundamental do sistema elétrico em radianos por segundo.
∆t= O intervalo de tempo fixo entre duas amostragens consecutivas.
yk = y(k.∆t)
θ= Ângulo à freqüência fundamental entre duas amostragens: θ = ω 0 ∆t
O valor de y(t) pode assumir a forma: y (t ) = Yc . cos ω 0 t + Ys .senω 0 t
Onde Yc e Ys são números reais. Mais genericamente, considerando fontes de erros no

Sistema Elétrico (transitórios, saturações, etc. ) e erros no próprio sistema de amostragem, a
expressão poderia ser escrita como:
y (t ) = Yc cos ω 0 t + Ys senω 0 t + ε (t )
6.2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
A expressão anterior pode ser escrita de um modo mais amplo como:
N
y (t ) = ∑ Yn S n (t ) + ε (t )
n =1
Onde Yn são os coeficientes, Sn(t) são os sinais amostrados (S de “sample”) e ε(t)

representando matriz de erros, com:
S1(t) = cos(ω0t)
S2(t) = sen(ω0t)
S3(t) = cos(2ω0t)
S4(t) = sen(2ω0t)
……
SN-1(t) = cos(N/2.ω0t)
SN-1(t) = sen(N/2.ω0t)
Na forma matricial:
Processos de Filtragem e Algoritmos 52 de 115

⎡ y1 ⎤ ⎡ S1 (∆t ) S 2 (∆t ) .. S N (∆t ) ⎤ ⎡ Y1 ⎤ ⎡ ε 1 ⎤
⎢ y ⎥ ⎢ S (2∆t ) S (2∆t ) ... S (2∆t ) ⎥ ⎢ Y ⎥ ⎢ ε ⎥
⎢ 2⎥=⎢ 1 2 N ⎥.⎢ 2 ⎥ + ⎢ 2 ⎥
⎢ ... ⎥ ⎢ ... ... ... ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ .. ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ y K ⎦ ⎣ S1( K∆t ) S 2 ( K∆t ) ... S N ( K∆t )⎦ ⎣YN ⎦ ⎣ε K ⎦
K = número de Amostragens
∆t = intervalo entre 2 amostragens subseqüentes
K ≥N
Ou: [y] = [S].[Y] + [ε]
NOTA: O Anexo a este documento fornece uma Base Matemática para o Método dos
Mínimos Quadrados.
Da teoria da Probabilidade e Processos Randômicos [9], assumindo que a matriz de erros

tem média zero e a matriz de covariância:
E{ε.εT} = W
A solução para a expressão matricial [y] = [S].[Y] + [ε] pela técnica dos MÍNIMOS
QUADRADOS (PONDERADA) será:
Y = (ST.W-1.S)-1STW-1y
Quando se conhece W (dados estatísticos de erros estimados numericamente), se

aplica esta expressão.
A técnica dos MÍNIMOS QUADRADOS (Não Ponderada) assume que os erros não são
correlacionados e são independentes entre si (na matriz de erros) e têm uma covariância do
tipo DIAGONAL. Assim, W será múltiplo de uma matriz unitária. Conseqüentemente a
solução MINIMA QUADRADA será:
Y = (STS)-1.ST.y
Substituindo as expressões ortogonais de seno e coseno nesta expressão, o valor

ijésimo da matriz ST.S será:
K
( S T S ) ij = ∑ S i (k∆t ).S j (k∆t )
k =1
⎧ K / 2 ____ para _ i = j
=⎨
⎩0 _______ para _ i ≠ j
Ajuste com o Método de Mínimos Quadrados (Ponderação)

Pode-se ajustar um filtro de Fourier, Coseno, etc. considerando qualquer tipo de sinal que se
possa imaginar que o dado de entrada tenha, através de função de ajuste de W na
expressão:
Y = (ST.W-1.S)-1STW-1y
O problema é saber o tipo e o tamanho do sinal que se quer eliminar [13].
6.3 ALGORITMOS DE FOURIER E DERIVADOS
Muitos métodos de cálculos para relés de proteção são baseados nos componentes à
freqüência fundamental das correntes e tensões medidas pelo relé. E vários algoritmos
usam informações dos FASORES contidas nos sinais de entrada.
Um filtro digital que ao mesmo tempo remova as freqüências diferentes da fundamental e

também forneça informações fasoriais seria desejável para a implementação da proteção
digital. Três desses filtros são vistos neste capítulo:
• A Transformada Discreta de Fourier

• Filtro Fourier com Mínimo Quadrado
• Filtro Coseno
Um sinal de tensão em regime no domínio do tempo pode ser expresso por:
v(t ) = VPico .sen(ωt + θ )
Num relé digital este sinal é amostrado N vezes por ciclo. Assim, a entrada é representada
por uma série de amostras Sk, com k variando de 1 a N.
O relé digital processa os dados amostrados Sk multiplicando cada amostra por um

Coeficiente determinado pelo tipo do filtro digital empregado.
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
O capítulo 9 deste documento apresenta como Anexo a base matemática da Análise de

Fourier, onde se pode ver com mais detalhes a matemática apresentada neste capítulo.
Antes de se partir para detalhes da Transformada, as definições de fasores devem ser

estabelecidas. A equação seguinte é para uma tensão senoidal:
v(t ) = VPico .sen(ωt + θ )

Expandindo essa equação teremos: v(t ) = VPico . cos(θ ).sen(ωt ) + VPico .sen(θ ). cos(ωt )
Quando v(t) é amostrado, o valor resultante da amostragem é denominado como Sk. Como
Sk representa valor amostrado com uma taxa de amostragem de N amostras por ciclo da

tensão senoidal, o cálculo da Transformada Discreta de Fourier para os COMPONENTES
FUNDAMENTAIS pode ser definido pelas equações seguintes:
2 N k
VRe al = .∑ [ S k .sen(2.π . )]
N k =1 N
2 N k
VIm ag = .∑ [ S k . cos( 2.π . )]
N k =1 N
Aplicando essas equações à equação original da tensão, temos:
VRe al = VPico . cos(θ )
VIm ag = VPico .sen(θ )
A magnitude (módulo) do fasor de tensão pode ser calculada por:
Vmag = VRe al + VIm ag

2 2
Vmag = VPico .(cos(θ ) 2 + sen(θ ) 2 ) = VPico

2
VIm ag
AngulodeV = ArcTan( ) =θ
VRe al
Com essas definições, convertem-se os valores amostrados em FASOR usando cálculos da

Transformada Discreta de Fourier.
O fasor é representado de duas formas:
• Forma retangular com as partes Real e Imaginária.

• Forma polar, com módulo e ângulo de fase.
O cálculo determina que as partes Real e Imaginária de cada corrente e tensão de entrada
usada pelo relé. Isto significa que cada amostra de tensão e corrente é multiplicada por um
fator “seno” para se obter as componentes reais, e por um fator “coseno” para se obter as
componentes imaginárias. Essas quantidades são somadas sobre N consecutivas amostras
para se obter os resultados (fasores).
FILTROS RECURSIVOS E NÃO RECURSIVOS
Há dois modos de calcular a Transformada Discreta de Fourier (DFT): Recursivo e Não-

Recursivo.

O método Não-Recursivo requer que cada ponto de dado amostrado seja salvo na
memória (a quantidade de dados salvos depende da “janela de dados”) e que todo o
processo de somatória seja efetuada para cada conjunto de dados amostrados. O dado
mais velho torna-se o valor inicial e o dado mais novo torna-se a amostra N-sima. Os termos
reais e imaginários precisam ser calculados do início.
O método Recursivo requer que o produto dos coeficientes do seno e do coseno com
valores de dados amostrados usados para gerar as somas sejam salvas (a quantidade de
dados salvos depende da “janela de dados”) e um processo abreviado de somatória é
efetuado. Neste método o produto mais antigo é removido da soma e o produto mais novo é
acrescentado à soma. Assim, somente o valor da última amostra é necessário para o cálculo
ao invés de se ter de calcular para todas as amostras da “janela”. Isto reduz a quantidade de
cálculos efetuados, o que pode permitir que o relé efetue operações adicionais ou que
aumente sua taxa de amostragem. Este método, entretanto, requer mais velocidade de
computação.
Processo Recursivo para o FILTRO DE FOURIER
No processo recursivo, ao invés de recalcular os fatores seno e coseno e re-efetuar a

somatória para cada amostra, somente os fatores seno e coseno da nova amostra são
calculados. Então os fatores seno e coseno da amostra mais antiga são removidos da soma
e os novos termos adicionados à soma.
VRe al (k ) = VRe al (k − 1) + S k cos() − S k − N . cos()
VIm ag (k ) = VIm ag (k − 1) + S k .sen() − S k − N .sen()
Isso significa que cada produto seno e coseno sejam salvos até que eles sejam removidos
da soma. Adicionalmente, a soma também precisa ser salva a,té que ambos, soma “k-1”
para a amostra anterior e a soma “k” para a amostra presente, sejam usadas no cálculo
recursivo. Após o cálculo recursivo efetuado para cada amostra, os valores são atualizados.
Isso diminui o tempo necessário para calcular a Transformada Discreta de Fourier.
Geralmente os algoritmos de 01 ciclo para relés digitais, são do tipo recursivo, segundo [9].

FILTRO DE FOURIER COM MÍNIMOS QUADRADOS
É possível o uso de transposição e inversão de matrizes para considerar a minimização /

diluição de erros ou mesmo considerar uma matriz de erros (supostos previamente
esperados e conhecidos) no Algoritmo de Fourier. Nesse caso, o algoritmo chama-se
Fourier com Mínimos Quadrados.
FOURIER DE MEIO CICLO
O Filtro de Fourier tem a capacidade de trabalhar em diferentes tamanhos de “janela de

dados”. Mostra-se a seguir, o uso de janela de “Meio Ciclo”.
O Filtro original usa todos os dados amostrados do último ciclo para efetuar a somatória. O
chamado “Filtro Fourier de Meio Ciclo” gera a somatória usando as amostras coletadas do
último meio ciclo (“janela de dados” de meio ciclo).
Usando Filtro de meio ciclo, a proteção poderá detectar alterações na forma de onda de um
modo mais rápido que o caso Filtro de Ciclo Total. Bem como, menos dados precisam ser
salvos. Entretanto há diferenças nas ações de filtragem entre os dois métodos.
Numa proteção de 16 amostragens por ciclo, o método de de Ciclo Total utiliza as 16 últimas
amostras para efetuar a somatória, enquanto que o método de Meio Ciclo utiliza as 8 últimas
amostras. Desde que a quantidade de dados somados é menor, há um efeito sobre a
constante que é usada multiplicar as somas, sendo (2/N) substituído por (4/N). Os temos
seno e coseno continuam a ser determinados pelo fator (2.π.k/N). Assim, esses últimos
termos continuam a ser determinados pela taxa de amostragem (N=16) ao invés do
tamanho da “janela de dados”.
O Filtro Fourier de Meio Ciclo pode ser implementado tanto pelo método recursivo como
pelo não-recursivo. Mas, geralmente os algoritmos de meio ciclo para relés digitais, são do
tipo recursivo, segundo [9].
FOURIER DE CICLO FRACIONADO
Como mencionado, o Filtro de Fourier tem a capacidade de trabalhar em diferentes

tamanhos de “janela de dados”. Se for menor que meio ciclo, tem-se o chamado Ciclo
Fracionado.
Esse tipo de algoritmo é sempre não recursivo, segundo [9].
FILTRO COSENO
O Filtro de Fourier descrita anteriormente usa coeficientes “seno” e “coseno” para obter
partes reais e imaginárias dos sinais filtrados. No sentido de se obter partes reais e
imaginárias, dois sinais defasados de 90 graus são requeridos, o que é atendido pelo Filtro
de Fourier.
Uma aproximação pode ser feita usando apenas os coeficientes “coseno”, sendo que o
segundo sinal (que seria coeficiente “seno”) utilizado é o coeficiente “coseno” obtido 90

graus antes. Desse modo, se requer apenas o cálculo de um conjunto de dados ao invés de
dois conjuntos de dados, como é feito Filtro de Fourier.
Entretanto essa aproximação (Filtro Coseno) pode ser feita apenas pelo método “não-
recursivo”.
O Filtro Coseno pode utilizar uma “janela de dados” de um ciclo, de meio ciclo ou um quarto
de ciclo. Quanto menor a “janela de dados”, há a tendência de ser mais rápido para detectar
alterações na forma de onda. Uma janela de 4 amostras para 16 amostragens por ciclo é
interessante pois o defasamento básico é de 90 graus, o que vai de encontro com o
princípio do filtro.
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Para cada filtro mostrado, a saída depende da freqüência do sinal amostrado. As figuras a
seguir mostram as respostas em freqüência, para condição em regime:
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8
FILTRO DE FOURIER DE UM CICLO

(TRANSFORMADA)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8
FILTRO DE FOURIER DE UM CICLO

(MÍNIMOS QUADRADOS)
Figura 6.1 – Resposta em Freqüência do Filtro de Fourier
Observa-se que para o FILTRO DE FOURIER DE UM CICLO (Transformada Discreta de

Fourier), há filtragem de componente DC e de todas as harmônicas a partir da segunda.
Entretanto, com o ajuste utilizando a técnica dos Mínimos Quadrados, a componente DC

não é totalmente removida.

1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8
FILTRO DE FOURIER DE MEIO CICLO
Figura 6.2 – Resposta em Freqüência do Filtro de Fourier de Meio Ciclo
Já o filtro de Fourier de Meio Ciclo efetua a filtragem de harmônicas de ordem ímpar. Não há
filtragem de componente DC, apenas uma atenuação.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8
FILTRO COSENO DE UM CICLO
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8
FILTRO COSENO DE MEIO CICLO
Figura 6.3 – Resposta em Freqüência do Filtro Coseno
O filtro Coseno de um ciclo tem valor de ganho Zero para componente DC e para
harmônicas de 60 Hz. Perde-se a rejeição para harmônicas de ordem PAR quando se usa
filtro Coseno de meio ciclo. O filtro coseno rejeita muito bem o componente DC com queda
exponencial pelo fato de ser do tipo “duplo diferencial” [13].
É importante observar que a resposta em freqüência não é o único parâmetro para se

escolher o filtro para uma dada proteção. Tudo depende da função de proteção desejada,
dos princípios de medição, características do hardware e dos tempos envolvidos / gastos em
cada etapa.

6.4 FILTRO DE WALSH
O Anexo mostra um sumário de base teórica do que seja uma função de Walsh. O Filtro de
Walsh, baseado nessa função, trabalha apenas com dois números inteiros, enquanto que o
filtro de Fourier trabalha com números complexos.
Enquanto que num Filtro de Fourier, as componentes à Freqüência Fundamental são dados
por:
2 K
2π K
2π Y = Yc + Ys
∑ y k cos(k.
2 2 2
Yc =
K k =1 K
) e Ys =
K
∑y
k =1
k .sen( k .
K
) com
Para o Filtro de Walsh há:
K K
1 1 1 1
Ycal =
K
∑
k =1
y k cal1 ( k . )
K
e YSal =
K
∑y
k =1
k sal1 (k .
K
) com Y = YCal 2 + YSal 2
As funções salm(t) e calm(t) de um Filtro de Walsh correspondem aos sen(m.ω0t) e cos(m.ω0t)

de um Filtro de Fourier e têm valores ± 1. Nota-se uma grande similaridade.
A quantidade de programação computacional é muito menor para a função de Walsh, mas

para qualquer forma de onda de entrada, o filtro de Walsh requer o cálculo de muito mais
termos de coeficientes que o filtro de Fourier.
Assim, a simplicidade da programação é contrabalançada pela necessidade de um grande

número de termos. Sua resposta em freqüência é a mesma do Filtro de Fourier de Um Ciclo,
desde que uma quantidade suficiente de coeficientes seja utilizada.
FILTRO CAL
Da mesma maneira que para o Fourier há o filtro Coseno, por analogia pode-se ter filtro CAL
para o Walsh.
A figura a seguir mostra a resposta em freqüência de um Filtro CAL.
Ganho
1
0,5
1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 6.4 – Resposta em Freqüência do Filtro CAL
Também este filtro CAL rejeita muito bem o componente DC com queda exponencial pelo
fato de ser do tipo “duplo diferencial” [13]

6.5 FILTRO KALMAN
O Filtro de Kalman provê solução quando se deseja estimar condições dinâmicas do

sistema. Para sistemas de Proteção este filtro é utilizado quando se deseja uma ferramenta
que possa manipular medições (evolução de parâmetros com o tempo). Por exemplo, um
ruído não constante ou ruído em condição específica para ser filtrado.
Conceitos sobre esse filtro podem ser encontrados na referência [9]. Não é objetivo deste
curso.
6.6 TEMPO DE RESPOSTA NUM FILTRO DIGITAL
Outro aspecto a salientar é que a resposta em freqüência mostrada ocorre em condição de

regime. Para condição transitória de mudança de estado, há um certo período de tempo até
que o filtro comece a responder de acordo com a resposta mostrada. Mas esta resposta
depende muito da característica do sinal.
A figura abaixo mostra a resposta para a Corrente, em uma condição específica de

presença de Erro Randômico no Filtro de Fourier, portanto com componente DC não
totalmente filtrado. Observa-se uma demora superior a 3 ciclos até a acomodação em
regime.
A
25
I (Magnitude)
20
15
10
0
10 20 30 40 50
AMOSTRAS
(16 AMOSTRAS POR CICLO)
100
50
I (Graus)
-50
-100
10 20 30 40 50
AMOSTRAS
Figura 6.5 – Transitório de Acomodação para saída do Filtro Digital FOURIER DE 01 CICLO.
6.7 FILTRAGEM DE COMPONENTE DC
Dependendo do algoritmo utilizado, essa componente pode ser quase totalmente filtrada.
Entretanto, erros randômicos e também características específicas dos filtros podem evitar
que se remova, total ou parcialmente a componente DC.

Algoritmos Específicos
Métodos dos Mínimos Quadrados especiais com funções de correção para componentes
DC têm sido desenvolvidos e aplicados para filtros de meio ciclo [14], através de algoritmos
com características adaptivas.
Uso de Impedância Réplica (“Mimic”)
O principio de eliminação do efeito da componente DC é mostrada na figura a seguir.
R jX
IS
Zm
Se Ângulo de Zm = ArcTan(X/R)
Então a tensão através de Zm não
conterá Offset DC
Figura 6.5 –Princípio de Compensação do Offset da Componente DC
Ajustando-se Zm com a mesma relação X/R do sistema elétrico protegido, no ponto de

aplicação da proteção e utilizando a tensão através de Zm ao invés da corrente IS, cancela-
se o efeito offset da corrente.
Esse princípio pode ser aplicado digitalmente, isto é, calcula-se uma tensão através do
“mímico digital”, para cancelar a componente DC. Uma dificuldade é que o ângulo adotado
da relação X/R é aproximado, não sendo 100% preciso.
A figura a seguir mostra o efeito da Impedância Réplica para eliminar o efeito da

componente DC no mesmo filtro da figura anterior. Note-se que se utiliza a tensão I.Z (Z de
réplica digital) ao invés da corrente I. Há acomodação em cerca de 01 ciclo, aumentando a
velocidade de definição da proteção.

A
25
20
(Magnitude)
15
V=IZ
10
0
10 20 30 40 50
AMOSTRAS
100
I.Z (Graus)
50
-50
-100
10 20 30 40 50
AMOSTRAS
Figura 6.6 –Filtro Digital FOURIER DE 01 CICLO com Impedância Réplica
6.8 ALGORITMOS NÃO FASORIAIS
6.8.1 Equações Diferenciais no Domínio do Tempo
Algoritmos com equações diferenciais são baseados em modelos de sistemas ao invés de

modelos de sinais (formas de ondas). Tomando o diagrama unifilar simplificado a seguir:
i(t) i(t) - C(dv/dt)
R L
C
v(t)
i(t)
R L
v(t)
Figura 6.7 – Modelo para Algoritmo de Equação Diferencial
Considerando a capacitância:

di (t ) dv(t ) d 2 v(t )
v(t ) = R.i (t ) + L − RC − LC
dt dt d 2t
Sem considerar a capacitância:
di (t )
v(t ) = R.i (t ) + L
dt
Considerando a medição da impedância, tendo a medição de v(t) e i(t) pode-se estimar os

parâmetros R e L. Como derivadas de quantidades medidas são difíceis de serem
produzidas, faz-se o artifício de cálculo de integrais sobre dois intervalos consecutivos
(para duas incógnitas, duas equações).
Para simplicidade, vamos analisar o caso sem Capacitância.
t1 t1 t2 t2
∫ v(t )dt = R ∫ i(t ).dt + L[i(t ) − i(t )]

t0 t0
1 0 ∫ v(t )dt = R ∫ i(t ).dt + L[i(t
t1 t1
2 ) − i (t1 )]
Os intervalos citados precisam ser acomodados para os valores amostrados pelo relé. Se
as amostragens são uniformemente espaçados no intervalo ∆t e a regra trapezoidal é
empregada para as integrais, temos:
∆t ∆t
t1
∫ v(t )dt = 2 [v(t ) − v(t )] = 2 [v

t0
1 0 1 − v0 ]
∆t
t1
∫ i(t )dt = 2 [i
t0
1 − i0 ]
E as duas equações em dois intervalos consecutivos podem ser escritas na forma

matricial:
⎡ ∆t ⎡ ∆t
⎢ 2 (ik +1 − ik ) (ik +1 − ik ) ⎤⎥ ⎡ R ⎤ ⎢ 2 (v k +1 + v k ) ⎥
⎤
⎢ ∆t ⎥.⎢ ⎥ = ⎢ ∆t ⎥
⎢ (ik + 2 − ik +1 ) (ik + 2 − ik +1 )⎥ ⎣ L ⎦ ⎢ (v k + 2 + v k +1 )⎥
⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦
Então, três amostragens de tensão e corrente (k, k+1 e k+2) são suficientes para
determinar R e L como:
(v k +1 + v k ).(ik + 2 − ik +1 ) − (v k + 2 + v k +1 ).(ik +1 − ik )
R=
(ik +1 + ik ).(ik + 2 − ik +1 ) − (ik + 2 + ik +1 ).(ik +1 − ik )

∆t ⎡ (ik +1 + ik ).(v k + 2 + v k +1 ) − (ik + 2 + ik +1 ).(v k +1 + v k ) ⎤
L= ⎢ ⎥
2 ⎣ (ik +1 + ik ).(ik + 2 − ik +1 ) − (ik + 2 + ik +1 ).(ik +1 − ik ) ⎦
Este algoritmo de equações diferenciais teria a vantagem de ser bem rápido (três
amostragens), mas é melhor não depender de somente três amostragens. Muitas
implementações dependem de uma série de cálculos com 3 amostragens cada.
Tem a vantagem de não ser afetada pela componente DC.
Há problema, entretanto, com essas equações diferenciais.
O denominador (i k +1 + ik ).(i K + 2 − i k −1 ) − (ik + 2 + i k +1 ).(i k +1 − i k ) pode-se tornar um valor

muito pequeno, fazendo que o erro da divisão para cálculo de R e L seja amplificado. Para
superar essa dificuldade, cálculos sucessivos (de 3 amostragens) são feitos (há contador)
de modo que o valor seja confirmado.
6.8.2 Ondas Trafegantes
A idéia não é nova. Já existiram relés de proteção de tecnologia estática que eram
baseados no princípio de medição de ondas trafegantes. Com a nova tecnologia digital
também é possível, com mais precisão e confiabilidade, utilizar o princípio.
Não é objetivo do presente documento apresentar o esquema utilizado por relés digitais.
Apenas se menciona que a proteção mede a onda criada pelo curto-circuito na LT e que
atinge o ponto de aplicação da proteção. Vide teoria de ondas trafegantes.
No caso não se medem grandezas elétricas senoidais, mas sim os sinais de alta
freqüência associados à onda. O que seria “sinal” para uma proteção convencional, não se
aplica à proteção de ondas trafegantes.

7. CONFIABILIDADE E MANUTENÇÃO DA PROTEÇÃO DIGITAL
7.1 SISTEMAS DE AUTO VERIFICAÇÃO, MONITORAMENTO CONTÍNUO E AUTO-TESTE
Uma das mais importantes vantagens da proteção numérica de tecnologia digital

microprocessada é a possibilidade ampla de implementar sistemas de verificações e
diagnósticos automáticos.
a) O relé digital pode reconhecer instantaneamente os dados de entrada em quantidades

mínimas, permitindo executar monitoramento contínuo e verificações com muito mais
precisão que os relés de tecnologia eletrônica convencional.
b) Desde que o monitoramento é feito principalmente por softwares, é possível executar, de

imediato, funções complexas de verificação e testes que não seriam possíveis com relés
convencionais.
O resultado imediato é a melhoria sensível na confiabilidade operacional da proteção, como

será mostrado posteriormente, e a redução dos custos de manutenção da proteção.
Os seguintes processos são considerados:
Monitoramento
dos Ajustes
Monitoramento e Teste Auto Auto

de Circuitos de Entrada Verificação Verificação Auto Auto
Verificação Verificação
Entrada Processamento Processamento

Ajustes Indicação
Analógia da Medição Esquema Lógico
Transdutores
TPs
e Bus Monitora-
mento
TCs
Detecção Relés Conversor

Output Input
de Falta Auxiliares AC/DC
Trip Indica Cond. Alimenta

Auto ções Externas ção
Verificação
Monitoramento e Teste Teste do Circuito Monitora- Monitora- Monitoramento

de Circuitos de Entrada de Saída mento mento da Alimentação
Figura 7.1 – Sistema Automático de Monitoramento e Verificação
Confiabilidade e Manutenção da Proteção Digital 66 de 115

Monitoramento Contínuo
É feito monitoramento para:
• Sinais de entrada, fazendo uso de critérios de redundância e erros esperados na

medição, por exemplo, cálculos de seqüência zero de tensão e corrente.
• Circuitos de TC’s e TP’s quanto a curto-circuito ou circuito aberto, fazendo uso de
expressão que indica valores máximos e mínimos esperados no conjunto relacionado
das três fases e neutro.
• Circuitos de entrada, envolvendo transdutores e acopladores, fazendo de critérios de
discrepâncias.
• Circuitos de saída, fazendo uso da comparação da saída com os níveis de
processamento e lógicas em execução.
• Conversor DC-DC quanto a falhas, através da comparação dos níveis de saída de cada
subsistema.
• “Set” de Ajustes (armazenados em EPROM’s), comparando diferenças entre dois
conjuntos (há sempre dois conjuntos iguais para cada “set” de ajustes).
• Ajustes, através da verificação em função da faixa de ajustes permitida.
• Itens do sistema de processamento, como paridades, temporizações inerentes de ROM,
RAM, Watch Dog, etc. (auto diagnose).
Adicionalmente pode-se fazer uso do chamado “stole alarm”, isto é, um sinal “OK” é
encaminhado a um hardware externo, pelo software de monitoramento, de tempo em tempo,
para indicação de que o programa está sendo processado normalmente. A amplitude desse
monitoramento é determinada pela quantidade e variedade dos “check points”.
Auto Verificação
Exemplos de auto verificação:
• Verificação da memória RAM – através de escrita e leitura de dados pré-determinados.

• Verificação de programas – através de dados de “entrada” para processamento,
conhecendo-se as “saídas” esperadas.
• Verificação da Característica da conversão A/D – pela aplicação de teste DC de alta
precisão a partir do circuito S/H (Sample & Hold) e fazendo verificação de dado de
entrada pela CPU.
Auto-Teste
Podem ser feitos testes para:
• Verificação das Entradas Analógicas – através da aplicação de corrente de teste e

verificando o resultado pela CPU. Durante esse teste, o circuito de trip da proteção é
desativada (cerca de 100 ms).

• Verificação de circuitos de saída (trip ou circuitos de grande importância) – através da
demanda de sinal interno de trip, para verificar se o circuito de saída está operando
corretamente. Também neste caso, o circuito externo de trip da proteção teria que ser
isolado (automaticamente, com projeto prevendo este esquema).
Alarme e
Sinalização
Unidade de Teste
sinais e
Automático
comandos
de testes Monitoramento
TP’s Relé
TC’s Circuito de Controle

de correntes
Disj
Figura 7.2 – Exemplo de Sistema Automático de Testes
Timing para Monitoramento, Auto Verificação e Auto Teste
operação normal Auto Teste (100 ms)
tempo
Monitoramento e Auto
Verificação
(100 µs)
cálculo Proteção
Figura 7.3 – Tempos Envolvidos no Processo

Classificação dos Métodos de Detecção de Falhas
Tipo de Intervalo de Período sem Modos de Modos de Maiores Maiores

Detecção Testes Proteção Operação Falha Vantagens Desvantagens
Detectáveis Detectáveis
Manual 1 a 4 anos Algumas • Recusa de • Falhas de • Testes mais • Proteção
Periódico horas Operação Degradação completos. indisponível
• Operação • Falhas • Detecção de por horas.
Acidental Catastróficas falhas • Longo tempo
• Operação menores. para detectar
Incorreta falhas ocultas
• Possibilidade
de erro
humano.
• Alto custo
operacionhal.
Auto Teste De algumas 100 ms • Recusa de • Falhas de • Tempo • Necessidade
horas a alguns Operação Degradação relativa- de projeto
dias • Operação • Falhas mente curto especifico e
(ajustável) Incorreta Catastróficas para detectar instalação
falhas extra.
ocultas • Custo inicial
maior.
• Aumento da
taxa de
falhas pelo
acréscimo de
itens
adicionais.
Monitora- Zero Zero • Operação • Falhas • Adequado • Funções
mento acidental Catastróficas para operacionais
contínuo esquemas não podem
redundantes. ser
• Detecção verificadas.
imediata de
defeitos
• Trip
instantâneo
incorreto
pode ser
prevenido
• Adidional de
hardware é
pequeno.
Auto Alguns ms Zero • Recusa de • Falhas • Detecção • Necessidade
Verificação Operação Catastróficas imediata de de
• Operação • Erros de defeitos programas
Incorreta software • Quase sem adicionais.
• Falhas de hardware
Degradação adicional.
• Defeitos
intermitentes
também
detectados.

7.2 CONFIABILIDADE OPERACIONAL DE RELÉS DIGITAIS
O presente item tem a finalidade de mostrar como os sistemas de monitoramento contínuo,

auto verificação e auto-teste implementam a confiabilidade operacional de uma proteção
digital.
A confiabilidade operacional de uma proteção é dada por dois parâmetros:
• Dependabilidade
A proteção deve atuar corretamente quando solicitado. Uma proteção pode:
− Atuar incorretamente, quando solicitada a operar e não desempenha sua função
adequadamente.
− Não atuar (recusa), quando solicitada a operar.
• Segurança
A proteção não deve atuar, quando não solicitado. Uma proteção pode:
− Atuar acidentalmente, quando não é solicitada a atuar mas opera desligando o
terminal.
Transição de Estado de Um Relé de Proteção
Vamos considerar os seguintes Estados, nos quais pode se encontrar um relé de proteção:
(A) – Estado São.

Quando o relé se encontra em uma situação que garanta tanto a Dependabilidade como a
Segurança.
(B) – Em Falha.
Quando o relé se encontra em uma situação tal que pode operar incorretamente quando
solicitado ou pode acidentalmente sem solicitação.
(C) – Em Reparo
Quando o relé se encontra fora de operação para reparo.
Esses três estados estão mostrados na figura seguinte.
A B
São Em Falha
Em Serviço
Fora de Serviço
C
Em Reparo
Figura 7.4 – Estados Possíveis de Um Relé de Proteção

Deve-se observar que o relé pode permanecer em operação no estado B, sob falha não
detectada. Se o relé se encontrar neste estado, ele poderá operar incorretamente ou não
operar quando solicitado. Nessas condições, sofrerá intervenção e entrará no Estado C. O
retorno para a Operação será no Estado A.
Taxas de Transição de Estado
Terminologia e definições:
MTBF - Tempo Médio Entre Falhas. É o tempo médio em que um relé permanece no estado
A. No instante que ele tiver uma falha interna, passará para o estado B.
1
λ= - Taxa de Falha por Unidade de Tempo
MTBF
TC - Intervalo de Tempo entre Intervenções no Relé.
TC
- Tempo em que o Relé permaneceu em Falha, antes da Solicitação / Detecção.
2
1
ν= - Taxa de Detecção de Falha por Unidade de Tempo.
TC
2
MTTR – Tempo Médio para Reparo do Relé.
1
µ= - Taxa de Reparo de Falha por Unidade de Tempo.
MTTR
Nessas condições, as transições de Estado podem ser definidas matematicamente através

das taxas:
A λ B
São Em Falha
ν
µ
C
Em Reparo
Figura 7.5 – Transição de Estados

Requisitos para a Proteção
a) Manter o Estado A o maior tempo possível
• Através do uso de componentes confiáveis (diminuindo λ).

• Detectando e reparando as falhas o mais rápido possível (aumentando ν, µ)
b) Reduzir a probabilidade de atuação incorreta, recusa ou atuação acidental ao mínimo,
durante o estado de Falha B.
• Por exemplo, duplicando a proteção.

• Utilizando funções menos afetadas por falhas.
• Diminuindo o tempo na qual a proteção permanece em Falha, sem detecção.
Os sistemas de monitoramento contínuo, auto verificação e atuo teste contribuem para

aumentar ν e µ. À medida que se diminui o Tempo (TC/2) na qual a proteção permanece
em estado de falha sem detecção, há aumento de ν (item a acima) e também se reduz a
probabilidade de atuação não correta da proteção (item b acima).
A figura a seguir mostra matematicamente as contribuições de diversos aspectos na

melhoria da confiabilidade da proteção:
Taxa de Atuações
Acidentais
β α
γ
0
Taxa de Atuações
Incorretas + Recusas
Figura 7.6 – Medidas para Melhorar a Confiabilidade
α = Utilizando componentes confiáveis na fabricação da proteção, projeto adequado, etc.
β = Redundância série (elementos de partida ou de detecção da falta, antes da medição da

proteção propriamente dita). Monitoramento contínuo.
γ = Redundância paralela (duplicação da proteção), esquema de auto teste, auto verificação.

Probabilidade da Operação Não Correta
Pode-se mostrar que esquemas de monitoramento contínuo, auto check e auto teste
diminuem sensivelmente a probabilidade de operação não correta da proteção, diminuindo o
tempo em que a proteção sob falha permaneça em operação.
A λ B
São Em Falha
ν
µ
C
Em Reparo
Referindo-se à figura 7.5 de transição de falhas, pode-se efetuar uma análise relacionando
as taxas com os estados, conforme terminologia já mencionada.
Considera-se que os estados A, B e C sejam “estáveis”, quando:
dA dB dC
= = =0
dt dt dt
dA dB dC
Mas: = −λA + µC = −νB + λA = − µC + νB
dt dt dt
Nessas condições:
1 TC
B= ν = 2
1 1 1 TC
+ + MTBF + + MTTR
λ ν µ 2
Conforme mostrado na figura a seguir, a probabilidade de operação não correta está

associada a B.
Em
Serviço
B C A B C A
Fora de
Serviço
MTBF TC/2 MTTR
Figura 7.7 – B Associado à Probabilidade de Operação Não Correta

Exemplo:
MTBF = 20 anos
MTTR = 1 dia
Intervalo entre Intervenções TC = 2 anos
TC
2 1
B= ≈ = 0,05
TC 20
MTBF + + MTTR
2
Isto é, a probabilidade de 5% significa que uma atuação em 20 solicitações seria Não

Correta. Ou que num universo de 20 relés, teríamos 1 relé em estado de falha por unidade
de tempo.
Efeito de um Auto Teste realizado a cada 7 dias, complementado por monitoramento

contínuo e auto check.
Neste caso, Tc/2 = 3,5 dias ao invés de 1 ano.
3,5
B= ≈ 0,00043
4,5 + 20 * 365 + 5
Isto é, há uma melhora considerável na probabilidade de Operação Não Correta.
NOTA
Evidentemente, para que se tenha essa altíssima confiabilidade operacional, deve haver
esquema de Auto Teste que verifica automaticamente as funções operacionais da proteção
em complementação ao monitoramento contínuo e auto check.
Entretanto, desde que haja instalação confiável (cablagem, circuitos externos, etc.), mesmo
sem o auto teste, haverá uma grande confiabilidade operacional.

Intervalo de Teste Ótimo para Esquema de Auto Teste
Para determinar esse intervalo de tempo ótimo, refere-se ao modelo mostrado na figura a
seguir, onde o Estado em que se está realizando o Teste Periódico (automático) estará
relacionado com o Estado A:
A λ B
São Em Falha
µ‘
ν
D ν‘ µ
Teste
C
Periódico
Em Reparo
Figura 7.8 – Modelo de Taxas Incluindo Auto Teste Periódico
Uma proteção no Estado A, tem esquema automático de teste a cada TC e a duração do

ensaio é t. Nessas condições, segundo a referência [2]:
TC
2 T
A= x C
T T +t
MTBR + C + MTTR C
2
Segundo a mesma referência, o intervalo de tempo ótimo para autoteste é dado quando:
dA
= 0 Æ IntervaloOtimo _ TC = 2( MTBF + MTTR ).t
dTC
Exemplo:
MTBF = 20 anos
MTTR = 1 dia
t = 1 minuto
Intervalo Ótimo calculado segundo fórmula acima = 76 horas (mais ou menos 3 dias).

7.3 MANUTENÇÃO DE RELÉS DIGITAIS
Para avaliar o efeito dos sistemas de monitoramento contínuo, auto check e auto teste na
manutenção da proteção, vamos imaginar uma situação onde as falhas na proteção que
poderiam causar ou causaram operação não correta foram detectadas da seguinte maneira:
Modo de Detecção Intervalo de % dos casos

Intervenção detectados
Manutenção Periódica 2 anos 10%
Auto Teste Periódico 7 dias 10%
Auto Check e Monitoramento Contínuo 0 80%
Vamos calcular a probabilidade de operação não correta, observada nessas condições.
1 TC
B= ν = 2
1 1 1 TC
+ + MTBF + + MTTR
λ ν µ 2
TC
1 1 1
B≈ 2 = . .TC = λ.TC
MTBF 2 MTBF 2
O intervalo entre intervenções pode ser ponderado e calculado da seguinte maneira:
TC = k .TK + l.Tl + m.Tm
onde:
TK = Intervalo de intervenção para monitoramento contínuo e auto check.
Tl = Intervalo de intervenção para auto teste.
Tm = Intervalo de intervenção manual.
k = Taxa de detecção para monitoramento e auto check.
l = Taxa de detecção para auto teste
m = Taxa de detecção para intervenção da manutenção periódica.
Assim:
1 1
B≈ . .(k .TK + l.Tl + m.Tm
2 MTBF

Substituindo os valores para uma mesma base (ano ou dias), teremos:
B ≈ 0,005 , isto é, cerca de 0,5% o que é um excelente valor.
Conclusões
• Com relés digitais dotados de sistemas de auto check e monitoramento contínuo, o

intervalo para intervenções manuais preventivas pode ser aumentado com relação
àqueles períodos que eram adotados para relés de tecnologia eletromecânica ou
estática.
• Eventualmente, dependendo dos recursos e da filosofia do usuário, a manutenção

preventiva periódica para a proteção em si poderá até ser eliminada. Entretanto, isso irá
requerer o uso de relés digitais com recursos completos e modernos de monitoramento
contínuo e auto verificação.
• O auto teste (intervenção automática periódica em intervalos de tempo da ordem de

dias) que é feito sobre os circuitos operacionais (entradas analógicas e saídas de trip)
pode não existir, uma vez que:
− Os sistemas de monitoramento contínuo e auto check estão cada vez mais

avançados, aumentando a taxa de detecção de falhas.
− Podem ser previstas intervenções manuais periódicas simplificadas, apenas para

circuitos funcionais (entradas e saídas).

7.4 EXEMPLO DE PERIODICIDADE DE INTERVENÇÃO NA PROTEÇÃO
A seguir é apresentado um exemplo de periodicidades e procedimentos adotados por um

“pool” de concessionárias dos EUA (PJM INTECONECTION, L.L.C.) para a proteção em
geral, para fins de ilustração (caso típico).
PERIODICIDADE DE INTERVENÇÕES
Sistemas de Tecnologia Testes de Aferição Testes Funcionais

Proteção
Freqüência (Nota 4) Freqüência (Nota 4)
(Nota 5)
Transmissão Eletromecânica e Estática 4 anos 4 anos
Digital (Nota 1) 4 anos
Geração Eletromecânica e Estática 4 anos 4 anos
Especiais Eletromecânica e Estática 4 anos 4 anos
Frequência e Eletromecânica e Estática 4 anos 4 anos
Tensão (Rejeição
de Carga)
Registrador de Eletromecânica e Estática 4 anos
Perturbações
Digital (Nota 2)
Canais de Carrier 4 anos
Teleproteção
Linha Dedicada (alugada) 4 anos
(Nota 3)
Microondas 4 anos
Fibra óptica 4 anos
Nota 1: Relés Digitais
Testes de Aferição periódica não se aplicam. Esses relés possuem monitoramento contínuo.
A análise regular dos eventos e oscilogramas de perturbações permitem acompanhar o
desempenho do mesmo. A medição analógica, entradas digitais e saídas digitais são
verificadas quando dos ensaios funcionais.
Nota 2: Registradores Digitais (“stand alone”)
Testes de Aferição periódica não se aplicam. Esses equipamentos possuem

monitoramento. A análise regular dos eventos e oscilogramas de perturbações permitem
acompanhar o desempenho do mesmo.
Nota 3: Canais de Teleproteção

Os canais de teleproteção devem ser testados com a mesma freqüência dos relés de
proteção dos quais fazem parte. É recomendada também uma verificação anual (“on-line”)
dos sinais de telecomunicação envolvidos.
Nota 4: Freqüência de Intervenção
Intervalo de tempo desde a última intervenção. Esforço deve ser feito para que o
planejamento seja executado dentro de uma margem de atraso máximo de 10%.
Nota 5
Toda atuação da proteção deve ser analisada. Intervenção corretiva é sempre necessária
quando de atuação não correta.
PROCEDIMENTOS
A documentação técnica do fabricante da proteção e manuais de ensaios desenvolvidos

pelo proprietário da instalação devem ser utilizados nos ensaios da proteção.
Eventualmente são necessários procedimentos ou cuidados especiais para situações

quando há informações adicionais (experiências de terceiros ou advertências dos
fabricantes). É importante que os procedimentos especiais estejam especificados e
detalhados nos manuais de intervenção.
PEÇAS E COMPONENTES DE REPOSIÇÃO
Peças e componentes completos de reposição devem estar disponíveis ou estocados,

conforme política da empresa. A experiência de utilização dessas peças e componentes
fornece parâmetros para o seu dimensionamento.
GERENCIAMENTO DA MANUTENÇÃO
É obrigatória a documentação de todas as intervenções efetuadas nos sistemas de

proteção, independentemente da amplitude de tal intervenção. Toda contingência que
eventualmente impeça o cumprimento de um planejamento preventivo ou uma programação
específica deve também ser documentada.

8. BIBLIOGRAFIA
[1] IEEE Tutorial Course – “Computer Relaying”, 79 EH0148-7-PWR, 1979
[2] Toshiba Corporation, Seminar for Digital Protection Relay System, 1995 – “Digital Relays”
– Slides.
[3] Toshiba Corporation, “Instructions for Digital Relay” – 6F2L0152, 1997
[4] Toshiba Corporation, “Noise and Surge” – KP-946-006, 1995
[5] Toshiba Corporation, “Waveform Distortion” , 1995
[6] Toshiba Corporation, “Automatic Testing and Continuous Monitoring”, 1995
[7] Ziegler, G. – “Numerical Distance Protection – Principles and Applications” – Siemens AG,
Berlin and Munich, 1999
[8] Zocholl, S. E., Benmouyal G.,- “Como os Relés Microprocessados Respondem a

Harmônicos, Saturação e a Outras Distorções de Onda” - Schweitzer Engineering
Laboratories, USA.
[9] Phadke, A. G., Thorp, J. S. – “Computer Relaying for Power Systems”, Research Studies
Press, Ltd. England – 1994
[10] Elmore, W. A. – “Microprocessor Relaying Fundamentals”- Chapter 6 of “Protective

Relaying Theory and Applications”, ABB – Marcel Dekker, Inc., 1994
[11] Das, J. C. – “Power System Analysis – Short-Circuit, Load Flow and Harmonics”- Marcel
Dekker, Inc., 2002
[12] Kennedy, J. M.; Alexander, G. E. (General Electric Company, Malvern, PA); Thorp, J. S.
(Cornell University, Ithaca, NY) - “Variable Digital Filter Response Time in a Digital Distance
Relay”- Twentieth Annual Western Protective Relaying Conference, October 1993.
[13] Schweitzer III, E. O.; Hou, D. – Schweitzer Engineering Laboratories, Inc. - “Filtering for
Protective Relaying”- 47th Annual Georgia Tech Protective Relaying Conference, April 1993.
[14] Rosolowski, E.; Izykowski, J (Wroclaw University of Technology, Poland), Kasztenny, B

(GE Power Management, Canada) –- “A New Half-Cycle Adaptive Phasor Estimator Immune
to the Decaying DC Component for Digital Protective Relaying.” – Paper IEEE
[15] Mode, E. B. – “Elements of Probability and Statistics”, Prentice-Hall, Inc. Englewwod

Cliffs, N.J. 1966.
Bibliografia 80 de 115
9. ANEXO – BASE MATEMÁTICA
9.1 FUNÇÕES PERIÓDICAS
Uma função é dita ser PERIÓDICA se ela é definida para todos os valores reais de t e se há
um número positivo T de tal modo que:
f (t ) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = f (t + n.T )
Onde T é chamado de Período da função.
Se k é qualquer inteiro e f(1+k.T) = f(t) para todo valor de t e se duas funções f1(t) e f2(t) têm
o mesmo período T, então a função f3(t) = a.f1(t) + b.f2(t), onde a e b são constantes,
também tem o mesmo período T. A figura a seguir mostra uma função periódica:
f(t)
-2T -T T 2T
Figura 9.1 – Exemplo de função periódica
9.2 FUNÇÕES ORTOGONAIS
Duas funções f1(t) e f2(t) são ortogonais no intervalo (T1, T2) se:
T2
∫ f (t ). f
T1
1 2 (t ) = 0
A figura a seguir mostra duas funções ortogonais no período T.
f1(t) f2(t)
T/2 T 3T/2 2T
T/2 T 3T/2 2T
Figura 9.2 – Exemplo de funções ortogonais
ANEXO – Base Matemática 81 de 115

9.3 ANÁLISE DE FOURIER
9.3.1 Série de Fourier e Coeficientes
Uma função periódica pode ser expandida numa Série de Fourier, que tem a seguinte
expressão:
∞
⎡ ⎛ 2πnt ⎞ ⎛ 2πnt ⎞⎤
f (t ) = a 0 + ∑ ⎢a n cos⎜ ⎟ + bn sen⎜ ⎟⎥
n =1 ⎣ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠⎦
∞
f (t ) = a 0 + ∑ [a n cos(nωt ) + bn sen( nωt )]
n =1
Onde a0 é o valor médio da função f(t). Ele também é chamado de componente DC.n
T é o período (1/f) e n o múltiplo da freqüência fundamental f.
Os valores an e bn são os chamados COEFICIENTES da série de Fourier. Uma série como

a da equação acima é chamada de Série de Fourier Trigonométrica.
A Série de Fourier de uma função periódica é a somatória de componentes senoidais de

diferentes freqüências. O termo 2π/T pode ser escrito como ω.
O enésimo termo n.ω é chamada de harmônica de ordem n. Para n=1 se tem a

fundamental.
Os valores a0, an e bn são calculados através de:
+T / 2
1
T −T∫/ 2
a0 = f (t ).d (t )
+T / 2
2 ⎛ 2πnt ⎞
an = ∫ cos⎜
T −T / 2 ⎝ T ⎠
⎟.dt para n = 1, 2, 3, ...... ∞
+T / 2
2 ⎛ 2πnt ⎞
bn = ∫ sen⎜
T −T / 2 ⎝ T ⎠
⎟.dt para n = 1, 2, 3, ...... ∞
As equações acima podem ser escritas em função da freqüência angular ω:
+π
1
a0 =
2π ∫ f ( x)ωt.dωt
−π

+π
1
an =
π ∫ f ( x)ωt. cos(nωt ).dωt
−π
+π
1
bn =
π ∫ f ( x)ωt.sen(nωt ).dωt
−π
∞
Isto dá: x(t ) = a 0 + ∑ [a n cos( nωt ) + bn sen(nωt )]
n =1
E pode-se escrever:
[
a n cos( nωt ) + bn sen(nωt ) = a n + bn
2
]
2 1/ 2
[
.[senΦ n cos( nωt ) + cos Φ n sen( nωt )] = a n + bn
2
]
2 1/ 2
sen(ωt + Φ n )
an
Onde Φ n = ArcTan
bn
Os COEFICENTES podem ainda ser escrito em termos de duas integrais separadas:
⎛ 2πnt ⎞ ⎛ 2πnt ⎞
T /2 0
2 2
an =
T ∫
0
x(t ) cos⎜
⎝ T ⎠
⎟dt + ∫
T −T / 2
x(t ) cos⎜
⎝ T ⎠
⎟dt
⎛ 2πnt ⎞ ⎛ 2πnt ⎞
T /2 0
2 2
bn =
T ∫
0
x(t ) sen⎜
⎝ T ⎠
⎟dt + ∫
T −T / 2
x(t ) sen⎜
⎝ T ⎠
⎟dt
EXEMPLO
Determinar a Série de Fourier para uma função definida por:
x+π para 0 ≤ x ≤ π
-x - π para -π ≤ x ≤ 0
+2π f(x)
+π
−π +π
x
−π
−2π

+T / 2 0 π
1 1 1
T −T∫/ 2 ∫ (− x − π )dx + π ∫ ( x + π )dx = π
a0 = f (t ).d (t ) Æ a0 =
π −π 0
0 π
2 2
⎛ 2πnt ⎞ ⎛ 2πnt ⎞ Æ an = ∫ (− x − π ) cos(2nx)dx + π ∫0
( x + n) cos(2nx)dx
T /2 0
2 2
an =
T ∫
0
x(t ) cos⎜
⎝ T
⎟dt +
⎠ T ∫
−T / 2
x(t ) cos⎜
⎝ T ⎠
⎟dt
π −π
0 π
1 1 4
an =
π ∫ (− x − π ) cos(nx)dx +
−π
π∫
( x + n) cos(nx)dx = −
0 n π 2
se n é ímpar.
a n = 0 se n é par.
0 π
1 1 4
bn =
π ∫π (− x − π )sen(nx)dx + π ∫ ( x + π )sen(nx)dx = n
− 0
se n é ímpar.
bn = 0 se n é par.
Assim, a Série de Fourier será:
π 4 ⎛ cos x cos 3 x cos 5 x ⎞ ⎛ senx sen3 x sen5 x ⎞

f ( x) = − ⎜ 2 + + + ...... ⎟ + 4⎜ + + + ....... ⎟
2 π⎝ 1 3 2
5 2
⎠ ⎝ 1 3 5 ⎠
9.3.2 Simetria Ímpar
Uma função f(x) é dita ter uma simetria ímpar quando :
f(-x) = -f(x)
Neste caso:
a0 = an = 0
2πnt )
T /2
4
bn =
T ∫ 0
f (t ) sen(
T
)dt
A Série de Fourier, neste caso, tem apenas termos em seno. A figura a seguir mostra uma
função triangular tendo simetria ímpar:

f(x)
-T/2 T/2
Figura 9.3 – Exemplo de função com Simetria Ímpar
9.3.3 Simetria Par
Uma função f(x) é dita ter uma simetria par quando :
f(-x) = f(x)
Neste caso:
a0 = bn = 0
2πnt
T /2
4
an =
T ∫
0
f (t ) cos(
T
)dt
A Série de Fourier, neste caso, tem apenas termos em coseno. A figura a seguir mostra
uma função triangular tendo simetria ímpar:
f(x)
-T/2 T/2
Figura 9.4 – Exemplo de função com Simetria Par
9.3.4 Simetria de Meia Onda
Uma função é dita ter uma simetria de meia onda quando:
f(x) = -f(x+T/2)

A figura a seguir mostra uma função de onda quadrada que tem simetria de meia onda:
f(x)
-T -T/2 T/2 T
Figura 9.5 – Exemplo de função com Simetria de Meia Onda
A meia onda negativa é espelho da meia onda positiva porém deslocado de T/2 ou π
radianos. Devido a essa simetria, o valor médio é zero. A função contém apenas
harmônicas de ordem ímpar.
Se n é ímpar:
⎛ 2πnt ⎞
T /2
4
an =
T ∫
0
x(t ) cos⎜
⎝ T ⎠
⎟dt Se n é par, então: an = 0
⎛ 2πnt ⎞
T /2
4
bn =
T ∫
0
x(t ) sen⎜
⎝ T ⎠
⎟dt Se n é par, então: bn = 0
9.3.5 Espectro de Harmônicas
A Série de Fourier de uma função de onda quadrada é:
4k ⎛ senwt sen3wt sen5wt ⎞

f (t ) = ⎜ + + + .....⎟
π ⎝ 1 3 5 ⎠
Onde k é a amplitude da função. O módulo da enésima harmônica é 1/n, quando a

fundamental é expressa em 1 p.u. A construção de uma onda quadrada a partir das suas
componentes harmônicas é mostrada na figura a seguir, com o respectivo espectro de
harmônicas. O espectro indica os valores relativos das magnitudes (módulos) das
harmônicas com relação à fundamental.

f1 + f3
1,0
f1 + f3 + f5
p.u. da fundamental
0,8
0,6
0,4 0,333 pu
0
0,2 pu
0,2
1 3 5 7 9 etc.
Ordem da Harmônica
Figura 9.6 – Harmônicas que compõem uma Onda Quadrada. Espectro de freqüências.
9.3.6 Construindo Série de Fourier de Gráficos e Tabelas
Quando os valores de uma função f(x) são dados em forma tabular ou gráfico, para valores
de x dentro de um período, a série de Fourier pode ser construída utilizando:
a0 = 2 x valor médio de f(x) no intervalo 0 a 2π.
an = 2 x valor médio de f(x).cos(nx) no intervalo 0 a 2π.
bn = 2 x valor médio de f(x).sen(nx) no intervalo 0 a 2π.
9.3.7 Forma Complexa (Exponencial) da Série de Fourier
Um vetor de amplitude A e ângulo de fase T com relação a uma referência pode ser
decomposto em dois vetores com metade da magnitude (módulo) girando em sentidos
opostos de modo que:
A jθ A − jθ
A cos θ = e + e
2 2
Então, considerando as partes da série de Fourier: a n cos(nwt ) + bn sen(nwt )
e jnwt + e − jnwt e jnwt − e − jnwt

cos(nwt ) = e sen(nwt ) =
2 2
Assim, pode-se determinar a Série de Fourier na forma complexa através de:

a 0 1 +∞ +∞
r (t ) = + ∑ (a n − jbn )e jnwt = ∑ c n e jnwt
2 2 −∞ −∞
Considerando ω0 a freqüência fundamental (rad/s) e T0 = 1/f0 o período correspondente

à fundamental, O coeficiente cn é complexo e é dado por:
T
1 0
T0 ∫0
− jnω0t
cn = r (t ).e .dt
Esta equação pode ser avaliada sobre qualquer período que seja conveniente. Para efeito
de análise esta forma complexa é a preferida.
FASORES
Considerando um sinal de tensão (fundamental) v(t ) = 2V cos(ω 0 t ) que corresponde

a um fasor V com ângulo 0, o sinal de tensão v(t ) = 2 .V . cos(ω 0 t + ϕ ) corresponderá
a um fasor V .e jϕ .
Então o fasor da componente FUNDAMENTAL é diretamente relacionado ao primeiro
coeficiente da série exponencial de FOURIER:
T T
1 0
T0 ∫0
1 0
cn = v(t ).e − jnω0t dt Æ c1 = ∫ v (t ).e − jw0t dt
T0 0
T
2 0
∫ v(t ).e − jω0t dt
jϕ
V .e =
T0 0
O 2 na equação aparece porque se convenciona que o valor do fasor é valor eficaz da
senóide.
9.3.8 Transformada de Fourier
Observou-se que a análise de Fourier utiliza técnica de representar um sinal periódico

como uma soma de exponenciais.
Essa técnica pode ser estendida par FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS através do uso da
TRANSFORMADA DE FOURIER.
Considere-se um sinal limitado no tempo (Não periódico) como mostrado na figura a

seguir, com:

x (t) = 0 para | t | > T1.
x(t)
-T1 T1 t
Figura 9.7 – Sinal Não Periódico (limitado no tempo)
Selecionando um período T0 >> T1, e repetindo o sinal x(t) no período T0, tem-se uma
função “periódica” r(t) constituída de réplicas de x(t):
r(t)
-T0 -T1 -T0 +T1 -T1 T1 +T0 -T1 +T0 +T1 t

-T0 T0
Figura 9.8 – Sinal Periódico
Então podem ser calculados os coeficientes da Série de Fourier para essa função
periódica:
+ T0 / 2 + T0 / 2
1 1
∫ x(t ).e
− jkω0t
∫ r (t ).e ck =
− jkw0t
ck = dt e dt
T0 −T0 / 2
T0 −T0 / 2
Com T0 tendendo a ∞ , r(t) limita a x(t) e r(t) pode ser escrito:
+∞⎡1 + T0 / 2
⎤ jkω t
r (t ) = ∑ ⎢ ∫ x (t ).e − jkω0t
dt ⎥.e 0
⎢ T0
−∞ ⎣ −T0 / 2 ⎦⎥
Com T0 tendendo a ∞ de tal modo que: ω0 Æ dω e kω0 Æ ω, lim r(t) = x(t)
T0 Æ ∞
1
+∞ +∞
⎡ ⎤
∫ ⎢⎣ ∫ x(t ).e
− jωt
Então: x(t ) = dt ⎥.e jωt dω
2π − ∞ −∞ ⎦
+∞
1
∫ X (ω ).e
jωt
x(t ) = dω
2π −∞

+∞
∫ x(t ).e
− j ωt
F X (ω ) = dt
−∞
+∞
1
∫ X (ω ).e
jω t
F--1 x (t ) = dω
2π −∞
F
O par x(t) ÅÆ X(ω) é o Par de Transformadas de Fourier.
Essa transformada X(ω) é uma quantidade complexa:
X(ω) = ReX(ω) + j. ImX(ω)
ReX(ω) = parte real da transformada de Fourier
ImX(ω) = parte imaginária da transformada de Fourier
A amplitude ou “espectro de Fourier” de x(t) é dada por:
X (ω ) = Re X 2 (ω ) + Im X 2 (ω )
⎡ Im X (ω ) ⎤
φ (ω ) = Tan −1 ⎢ ⎥ é o ângulo de fase da Transformada de Fourier.
⎣ Re X (ω ) ⎦
Exemplo
Considerando uma função retangular definida por:
x(t) = 1 para |t| ≤ a
x(t) = 0 para |t| > a
Calcular a transformada de Fourier.
+a
e − jwt + a
X (ω ) = ∫ e − jωt dt = |−a
−a
− jw
2.sen(ωa)
X (ω ) =
ω
A figura a seguir mostra a função retangular e sua transformada de Fourier.

x(t)
-t t
-a a
Função Retangular
2a
⎡ 2 sen( w.a) ⎤
X ( w) = ⎢ ⎥⎦
⎣ w
-t w
-2π/a −π/a π/a 2π/a
Figura 9.9 – Função retangular com simetria par e amplitude K. Sua transformada de Fourier
9.3.9 Propriedades da Transformada de Fourier
Linearidade
F F
Se x1(t) ÅÆ X1(ω) e x2(t) ÅÆ X2(ω)
F
Então c1.x1(t) + c2.x2(t) ÅÆ c1.X1(ω) + c2.X2(ω)
Regra do Atraso
F
Se x(t) ÅÆ X(ω)
F
Então x(t-t1) ÅÆ X(ω).e-j2ωt1
Regra da Modulação ou Deslocamento de Frequência
F
Se x(t) ÅÆ X(ω)
F
-j2ω t
Então x(t). e 0 ÅÆ X(ω−ω0)

Diferenciação no Tempo
F
Se x(t) ÅÆ X(ω) e existe dx(t) / dt
F
Então dx(t) / dtÅÆ (jω).X(ω)
Diferenciação na Frequência
F
Se x(t) ÅÆ X(ω) e existe dX(ω) / dω
F
Então (-jt).x(t) ÅÆ dX(ω) / dω
Propriedades Par e Ímpar
Se x(t) é real,
+∞ +∞ +∞
∫ x(t ).e ∫ x(t ). cos( wt ).dt − j. ∫ x(t ).sen(wt ).dt

− jω t
Então X (ω ) = dt =
−∞ −∞ −∞
+∞
Re{X (ω )} = ∫ x(t ). cos( wt ).dt uma função Ímpar de ω.
−∞
+∞
Im{X (ω )} = ∫ x(t ).sen( wt ).dt uma função Par de ω.
−∞
• Se x(t) é real e tem simetria Par [ x(t) = x(-t) ], então X(ω) é real e tem simetria Par.
• Se x(t) é real e tem simetria Ímpar [ x(t) = -x(-t) ], então X(w) é puramente imaginária e
tem simetria Ímpar.
Escala no Tempo
F
Se x(t) ÅÆ X(ω)
F
Então x(at) ÅÆ [X(ω/a)] / a
Funções Periódicas

Usando as transformadas de um impulso, é possível discutir as transformadas de Fourier
de funções periódicas para as quais se escreveram Séries de Fourier. Assim:
F
δ(t) ÅÆ 1
F
1 ÅÆ 2πδ(ω)
F
ejω0t ÅÆ 2πδ(ω−ω0)
F
cos(ω0t): ½ (ejω0t + e-jω0t) ÅÆ π[δ(ω−ω0) + δ(ω+ω0)]
F
sen(ω0t): (1/2j) (ejω0t - e-jω0t) ÅÆ (π/j)[δ(ω−ω0) − δ(ω+ω0)]
Série de Fourier:
+∞ +∞
r (t ) = ∑ c .e
k = −∞
k
jkω 0 t
R (ω ) = 2π ∑ c .δ (ω − ω )
k = −∞
k 0
Desenhando um impulso ck, com valor ck, a transformada R(ω) anterior pode ser
desenhada como na figura a seguir:
R(ω)
C0
C1
C2
C3
Figura 9.10 – Um Espectro de Linhas
Degrau Unitário
A Transformada de Fourier de um Degrau Unitário mostrado na figura a seguir é feita

considerando que:
u(t)
1.0
Figura 9.11 – Um Degrau Unitário

F
sgn(t) ÅÆ 2 / jω u(t) = ½ + (½)sgn(t)
F
u(t) ÅÆ (1/jω) + π.δ(ω)
Convolução no Tempo
Dados dois sinais com as respectivas Transformadas de Fourier:

F F
F
Então uma convolução: x1(t)*x2(t) ÅÆ X1(ω)X2(ω)
Corresponde a uma multiplicação no domínio do tempo.
Convolução na Freqüência
F F
F
Então: x1(t) x2(t) ÅÆ (1/2π).X1(ω)*X2(ω)
Isto é, uma convolução no domínio da freqüência corresponde a uma multiplicação no

domínio do tempo.
Exemplo de convolução
Considerando uma função Coseno x(t) e sua transformada de Fourier contínua X(f), tem-se
o mostrado no item (a) da figura a seguir, com a transformada caracterizada por duas
funções de impulso que são simétricas com relação à freqüência zero:

x(t) X(f)
Figura (a)
W(f)
w(t)
-t t -t t
-T/2 T/2 Figura (b)
X(f) * W(f)
x(t) * w(t)
Figura (c
Figura 9.12 – Coeficientes Fourier da Transformada Discreta
Já havia sido visto que para um sinal finito x(t) de onda retangular, sua transformada é a
mostrada no item (b) da figura anterior.
O Item (c) da figura acima mostra que a correspondente convolução de dois sinais de
freqüência resulta num espalhamento ou obscurecimento da função X(f) em dois pulsos
tipo senóide. Assim, o resultado é corrompido.
9.3.10 Forma de Onda Amostrada – Transformada Discreta de Fourier
A teoria da amostragem preconiza que:
“Se a Transformada de Fourier de uma função x(t) é zero para todas as freqüências
superiores a uma certa freqüência fc, então a função contínua no tempo x(t) pode ser
unicamente determinada através dos valores amostrados dessa função”.
• A condição é que x(t) seja zero para freqüências superiores a fc, isto é, a função é
limitada (banda) em fc.
• A segunda condição é que o espaçamento entre duas amostragens seja tal que:
T = 1 / (2fc), isto é, a freqüência de amostragem tem que ser 1/T = 2.fc.
Essa freqüência é conhecida como “Taxa de Amostragem de Nyquist”.
“Aliasing” significa que componente de alta freqüência de uma função do tempo pode
introduzir um equivalente de baixa freqüência, se a taxa de amostragem for baixa.
Assim, a taxa de amostragem precisa ser alta o suficiente de modo que a mais alta
freqüência a ser amostrada seja pelo menos 1/T = 2.fc.

Freqüentemente as funções são registradas como dados amostrados no domínio do
tempo, com a amostragem sendo feita numa determinada freqüência (por exemplo para
relés de proteção).
A transformada de Fourier é, nesse caso, representada pela somatória dos sinais discretos
de cada amostragem multiplicada por:
e − j 2πfnt1
+∞
Isto é: X (ω ) = ∑ x(nt ).e

n = −∞
1
− j 2πf . nt1
Onde t1 é o intervalo de tempo entre as amostragens e n a enésima amostragem.
A figura a seguir mostra uma função com valores amostrados no domínio do tempo e o
espectro de freqüências obtido da Transformada de Fourier:
x(t)
-t t
t0 t1 2.t1
X(f)
- fa/2 fa/2
Figura 9.13 – (a) Função Amostrada no Domínio do Tempo. (b) Espectro de Freqüências para o Domínio
de Tempo Discreto.
Quando tanto o espectro do domínio de freqüências como a função no domínio do tempo

são funções amostradas por um período T, o “Par de Transformada Fourier” é constituída
de componentes discretos, com quantidade finita de termos. Segundo notação da
referência [9], temos:
N −1
Transformada Discreta de Fourier (DFT): F (kΩ 0 ) = ∑ f (nT )e − jknΩ0T
n =0
1 N −1
Inverso da Transformada (IDFT): f (nT ) = ∑ F (kΩ 0 )e jnkΩ0T
N k =0

k = k-ésima amostragem.
n = n-ésima amostragem.
T = intervalo de tempo entre amostragens
Ω0 = intervalo de freqüência entre amostragens.
N = número de amostragens (em cada domínio)
A transformada discreta aproxima-se da transformada de Fourier. Entretanto erros podem

ocorrer nas aproximações envolvidas na transformada discreta. A figura a seguir mostra
funções discretas de tempo e freqüência:
f[n]
nT
t
-T T
F(kΩ0) 2π / T
Ω0
Figura 9.14 – Funções Discretas no Domínio do Tempo e da Freqüência.
NT = Período no domínio do tempo.
2π/T = Período no domínio da freqüência.
2n
−j
− jΩ0T
Chamando F(kΩ0) = Fk , f(nT) = fn e w=e =e N
teremos as
mesmas equações numa forma mais compacta:
N −1
1 N −1
Fk = ∑ f n w nk e fn = ∑ Fk w −nk
n =0 N k =0

Essas equações podem ser expressas em forma matricial:
⎡ F0 ⎤ ⎡ w 0 w0 .. w0 ⎤ ⎡ f 0 ⎤
⎢ F ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥
⎢ 1 ⎥ = ⎢w w1 w2 .. ⎥ ⎢ f1 ⎥
..
⎢ ... ⎥ ⎢ w 0 w2 w4 .. ⎥ ⎢ ... ⎥
⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥
⎣ FN −1 ⎦ ⎢⎣ w w3 w6 .. ⎥⎦ ⎣ f N −1 ⎦
Dada o sinal v(t ) = 2.V . cos(ω 0 t + ϕ ) , com N amostragens por ciclo (T=2π/ω), pela
expressão:
N −1 N 2 jϕ
F (kΩ 0 ) = ∑ f (nT )e − jknΩ0T , tem-se F1 = Ve
n =0 2
O FASOR à freqüência fundamental associado com o sinal x(t) (amostragem) é portanto

dado por:
2 N −1 2πn − j 2πn / N 2πn

X1 = ∑ x( ).e
N n=0 nω
Considerando: x n = x(
nω
) Tem-se:
2 N −1
X1 = ∑
N n =0
xn .e − j 2πn / N
Esta equação é básica para muitos algoritmos de relés digitais de proteção.
9.3.11 Transformada Rápida de Fourier
A Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) não é, de fato, uma
nova transformada. É simplesmente uma técnica numérica que torna o cálculo da
Transformada Discreta de Fourier mais rápida.
Para um relé de proteção, N pode variar, em geral, entre 4 e 20. E somente alguns valores
de Fk são desejados. Por exemplo, F1 = fundamental, F2 = segunda harmônica, F5 = quinta
harmônica.
Considerando por exemplo N=4 amostragens por ciclo:
X (0) 1 1 1 1 x(0)
1 2
X (1) 1 W W W3 x(1)
=
X (2) 1 W 2 W 4 W 6 x(2)
X (3) 1 W 3 W 6 W 9 x(3)

Considerando, entretanto, que há 90 graus elétricos entre duas amostragens
subseqüentes (4 amostragens por ciclo), pode-se simplificar a matriz acima. Que depois de
fatorizado, torna-se:
X ( 0) 1 W0 0 0 1 0 W0 0 x ( 0)
2
X (1) 1 W 0 0 0 1 0 W 0 x(1)
= . .
X (3) 0 0 1 W1 1 0 W 2 0 x ( 2)
X ( 4) 0 0 1 W3 0 1 0 W 2 x(3)
A computação desta matriz requer 4 multiplicações complexas e oito somas complexas. A

computação da expressão anterior requer 16 multiplicações complexas e 12 somas
complexas. A computação é então reduzida.
9.4 FUNÇÃO DE WALSH
A função de Walsh é um conjunto de sinais ortogonais num intervalo [0,1] que considera
apenas valores ±1. Comparado com funções de Fourier, que tratam com números
complexos, a função de Walsh trata somente com dois números inteiros.
A função de Walsh é definida da seguinte maneira:
p −1
Wk (t ) = ∏ sgn(cos(k − 1) r .2 r .π .t para (0 ≤ t ≤ 1)
r =0
Onde:
k = Número da Função de Walsh, que é inteiro e positivo.
No sistema binário: ( k ) 2 = ∑ k r .2 r
r =0
p = total de dígitos de (k-1) numa expressão binária
sgn = função “sinal” (somente o sinal do resultado é considerado)
Exemplo
W6 (t) pode ser deduzido como se segue:
6 -1 = 5 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
Donde (k-1)2 = 1, (k-1)1 = 0, (k-1)0 = 1
Portanto há 3 dígitos na expressão binária ( p = 3 ).

Assim,
W6 (t ) = sgn[cos(k − 1) 2 .2 2.π .t ]. sgn[cos(k − 1)1 .21.π .t ]. sgn[cos(k − 1) 0 .2 0.π .t ]

W6 (t ) = sgn(cos 4πt ). sgn(cos πt )
A figura a seguir mostra as “formas de onda” das primeiras 8 funções de Walsh:
W1(t) ( SAL1(t) )
W2(t) ( CAL1(t) )
1/2
W3(t) ( SAL2(t) )
1/4 3/4
W4(t) ( CAL2(t) )
W5(t) ( SAL3(t) )
1/8 3/8 5/8 7/8
W6(t) ( CAL3(t) )
W7(t) ( SAL4(t) )
W8(t) ( CAL4(t) )
Figura 9.15 – 8 primeiras Funções de Walsh
Para fins de conveniência, na comparação com funções Trigonométricas, a função de Walsh

pode ser classificada como:
Wk (t ) = sal m (t ) quando k=2m-1, com m=1,2,3,....
Wk (t ) = cal m (t ) quando k=2m, com m=1,2,3,....
De modo similar à série de Fourier, qualquer função periódica pode ser expandida como
uma série de Walsh, adicionada de um termo para ruído:

N
y (t ) = ∑ YnWn (t ) + ε (t )
n =1
9.5 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E PROCESSOS RANDÔMICOS
9.5.1 Introdução à Estatística [15]
Média Aritmética
A média aritmética de um conjunto de variáveis x1, x2, ...., xN é dada por:
N
1
x=
N
∑xi =1
i
A menos de especificado o contrário, a palavra “média” significa “média aritmética”.
Desvio
O desvio di de uma variável xi é definida como: d i = xi − x
“A soma dos desvios de um conjunto de variáveis relativo à sua média aritmética é zero.”
Média Aritmética com Pesos
O “peso” de uma variável é um multiplicador numérico determinado para ela no sentido de

indicar sua relativa importância.
A média aritmética com pesos é dada por:
∑w x i i
x= i =1
n
∑w
i =1
i
wi = peso da variável xi.
Desvio Médio
O desvio médio de um conjunto de N variáveis x1, x2, ...., xN é definido como a média
aritmética dos desvios absolutos da sua média aritmética:
N
1
D.M . =
N
∑xi =1
i −x
Variância de uma Amostra (Coleção Variáveis Discretas)

No cálculo do desvio médio, todos os valores negativos foram convertidos para positivos
antes da soma. Um outro método para se eliminar os sinais negativos é fazer o quadrado
dos desvios e depois fazer a média desses quadrados.
2
A variância s de uma amostra de N variáveis é:
N
1
s2 =
N
∑ (x
i =1
i − x) 2
Prova-se que essa mesma variância pode ser calculada por:
N
1
∑x
2
s2 i −x
N i −1
Desvio Padrão de uma Amostra
O “Desvio Padrão” de uma amostra de N variáveis é definida como:
1
⎡1 N
⎤
∑ (x
2
s=⎢ i − x) 2 ⎥
⎣N i =1 ⎦
O desvio padrão é, talvez, o mais importante e a mais amplamente utilizada medida de

variabilidade.
Um valor relativamente pequeno de s mostra uma aproximação fechada sobre a média.

Um valor relativamente grande significa uma ampla dispersão relativa à média.
Essa importância decorre do fato de que a soma dos quadrados decorre de simples
cálculo algébrico e permite interpretação útil e relacionamentos interessantes. Uma soma
de valores absolutos como ocorre no desvio médio não permite um tratamento matemático
adequado.

9.5.2 Funções de Probabilidade e Distribuições de Freqüência [15]
Introdução
Este exemplo dá uma idéia do que seja freqüência ou distribuição. Supondo que duas
moedas iguais são lançadas por 20 vezes e observando os resultados quanto à “cara ou
coroa” ter-se-ia:
Tabela de Frequência
Quantidade de “Caras” (xi) Frequência (fi)
0 3
1 9
2 8
Tabela 9.5.2-1
Juntando a probabilidade de ocorrência ¼ , poderemos construir a seguinte tabela de

probabilidades:
Uma Função de Probabilidade

Quantidade de “Caras” (xi) Probabilidade f(x) Freqüência Teórica o Número
Esperado em 20 lançamentos
0 ¼ 5
1 ¼ 10
2 ¼ 5
TOTAIS 1 20
Tabela 9.5.2-2
Observa-se que o resultado mostrado na primeira tabela não confere com as freqüências
teóricas na segunda tabela.
Fica a questão: “estão os valores reais suficientemente diferentes dos valores teóricos
para garantir a conclusão que as moedas estão viciadas de modo que apareçam mais
“caras” do que “coroas”? “. A teoria da probabilidade fornece recursos para avaliar esta
questão.

Funções de Probabilidade
A Função de Probabilidade de uma variável randômica discreta X é definida como um

conjunto de pares ordenados {xi, f(xi)}, onde xi é um número real com i variando de 1 a n
n
e f(xi) é a probabilidade de que X = xi, sendo ∑ f ( x ) = 1.
i −1
i
Pode-se definir tal tipo de função através de uma tabela:
A Função de Probabilidade
x x1 x2 x3 ....... xn
f(x) f(x1) f(x2) f(x3) ...... f(xn)
Tabela 9.5.2-3
Por exemplo, as duas primeiras colunas da tabela 9.5.2-2 definem a Função de

probabilidade para lançamento de duas moedas não viciadas.
n
Note a importante condição de que ∑ f (x ) = 1
i −1
i
Outro exemplo:
Exemplo Numérico de Função de Probabilidade

x 0 2 3 5
f(x) 0,1 0,3 0,4 0,2
Tabela 9.5.2-4
Isso pode ser representado de forma gráfica (hsitograma):
f(x)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1 2 3 4 5 X
Figura 9.16 – Representação gráfica de uma Função de Probabilidade (histograma)

Probabilidades Acumuladas.
A Função de Distribuição Cumulativa.

Na tabela 9.5.2-3 está indicado que f(xi) = P(X=xi). Se substituirmos f(xi) por
F(xi)=P(X≤xi), assumindo que x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤....... ≤ xn e construindo a respectiva
tabela, tem-se:
A Função de Distribuição Cumulativa

x x1 x2 x3 ....... xn
F(x) F(x1) F(x2) F(x3) ...... F(xn)
Tabela 9.5.2-5
F(x1)=P(X≤x1) = f(x1)
F(x2)=P(X≤x2) = f(x1) + f(x2)
F(x3)=P(X≤x3) = f(x1) + f(x2) + f(x3)
……
n
F ( x n ) = P ( X ≤ x n ) = ∑ f ( xi ) = 1
i =1
Podendo-se montar, assim, uma tabela de Probabilidade Acumulada que define uma
Função de Distribuição Cumulativa da variável randômica X (muitos autores chamam
simplesmente de “Função de Distribuição”). Por exemplo, da tabela 9.5.2-4 pode-se obter:
A Função de Distribuição Cumulativa

x 0 2 3 5
F(x) 0,1 0,4 0,8 1,0
Tabela 9.5.2-6
O que também pode ser representado numa figura:
F(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1 2 3 4 5 x
Figura 9.17 – Diagrama de Probabilidade Cumulativa (histograma cumulativo)
Distribuição de Freqüência para Dados Discretos
Dados discretos de freqüência podem também ser trabalhados de modo cumulativo e

calculados seus valores de média, desvio padrão, etc.

A tabela a seguir mostra um exemplo ilustrativo:
(1) (2) (3) (4) (5)

Notas (xi) Frequência das Cum fi fi.xi (fixi)2
notas (fi)
3 1 1 3 9
4 2 3 8 32
5 5 8 25 125
6 12 20 72 432
7 19 39 133 931
8 25 64 200 1600
9 18 82 162 1458
10 8 90 80 800
90 683 5387
Tabela 9.5.2-7 – Notas de Prova numa classe de 90 Alunos
m
A freqüência cumulativa é definida como: cum _ f m = ∑f
i =1
i
Média Aritmética de uma Distribuição Discreta de Freqüências
n
1
Pode ser definida por: x =
N
∑fx
i =1
i i
No exemplo da tabela anterior, a média aritmética é: 683/90 = 7,59
Valor Esperado de Uma Variável Randômica Discreta
n
fi
A fórmula anterior da média aritmética pode ser escrita como: x = ∑ ( N ).x
i =1
i
O valor (fi/N) pode ser interpretado como uma “Freqüência Relativa” ou “Probabilidade”.
A rigor, esta Probabilidade é um valor limite quando N tende a ∞.

Da tabela exemplo 9.5.2-7 temos que a probabilidade de que um aluno escolhido
aleatoriamente (randomicamente) de uma classe de 90 tenha tido nota 8 é (25/90) = 0,28.
Desta idéia vem a definição do “Valor Esperado” de uma variável randômica X com uma
Função de Probabilidade f(x).
Se {xi, f(xi)} define a função de probabilidade, com i variando de 1 a n, a “média teórica” ou

“Valor Esperado” de X é:

n
µ = E ( X ) = ∑ f ( xi ).xi
i =1
Do exemplo da tabela 9.5.2-4:
E(X) = (0,1).0 + (0,3).2 + (0,4).3 + (0,2).5 = 2,8
Variância e Desvio Padrão de uma Distribuição Discreta de Freqüências
Para uma distribuição discreta, tem-se a seguinte fórmula de Variância:
n n
1 1
∑ ∑( f x )
2
s2 = f i ( xi − x) 2 = i i
2
−x
N i =1 N i =1
Do exemplo da tabela 9.5.2-7 tem-se: s2 = ( 5387 / 90 ) -7,592 = 2,25
O desvio padrão s = 1,50.
Variância e Desvio Padrão de uma Variável Randômica Discreta
n n
1 fi
Podemos escrever: s2 =
N
∑i =1
f i ( xi − x ) 2 = ∑ (
i =1 N
).( xi − x) 2 para uma distribuição
fi
discreta de freqüências, onde é interpretado como probabilidade.
N
Com base nesse entendimento, pode-se definir a variância de uma variável randômica
discreta X como sendo o valor esperado do quadrado do desvio relativo à média µ:
n
σ 2 = E ( X − µ ) 2 = ∑ f ( xi ).( xi − µ ) 2 onde µ = E ( X )
i =1
Exemplo da tabela 9.5.2-4:
µ = E(X) = 2,8
σ 2 = E ( X − 2,8) 2 = (0,1).(0 − 2,8) 2 + (0,3).(2 − 2,8) 2 + (0,4).(3 − 2,8) 2 + (0,2).(5 − 2,8) 2 = 1,960
Segue que o desvio padrão é: σ = 1,40
Teoremas Envolvendo o Valor Esperado

n
Já tínhamos visto que µ X = E ( X ) = ∑ f ( xi ).xi . Esta fórmula pode ser generalizada,
i =1
incluindo funções de X.
Assim, o valor esperado para uma função h(X) será:
n
µ h ( X ) = E [h( X )] = ∑ f ( xi ).h( xi )
i =1
Teorema 1
E ( kX ) = kE ( X ) isto é, µ kX = k .µ X k = constante
Teorema 2
E( X + k ) = E( X ) + k isto é, µ X +k = µ X + k
Teorema 3
E (k ) = k
Teorema 4
E( X − µ) = 0
Teorema 5
σ kX 2 = k 2 .σ X 2
Teorema 6
σ X +a 2 = σ X 2 a = constante
Teorema 7
σ kX + a 2 = k 2 .σ X 2
Teorema 8
σ X 2 = ∑ f ( xi ).xi 2 − µ X 2 = E ( X 2 ) − µ X 2

9.5.3 Densidade da Probabilidade
Vamos considerar um histograma f(x) em função de x para a tabela:
(1) (2) (3) (4) (5)

Notas (xi) Frequência das Cum fi fi.xi (fixi)2
notas (fi)
3 1 1 3 9
4 2 3 8 32
5 5 8 25 125
6 12 20 72 432
7 19 39 133 931
8 25 64 200 1600
9 18 82 162 1458
10 8 90 80 800
90 683 5387
Tabela 9.5.3-1 – Notas de Prova numa classe de 90 Alunos
f(x)
25
20
15
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Figura 9.18 - Histograma
Considerando o intervalo entre valores de x como 1, a área do histograma é a somatória

de fi, que é igual a 90, para o exemplo.
Considerando agora a frequência relativa (fi / N), com o espaçamento 1, tem-se uma figura
com área ∑
f i .1 = 1 :

0,30 fi
N
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Figura 9.19 – Histograma com Freqüência Relativa
A partir deste exemplo e dos itens anteriores, pode-se conceituar mais amplamente a
Densidade de Probabilidade.
9.5.4 Processos Randômicos e Método dos Mínimos Quadrados [9]
Conceituação de Distribuição de Probabilidade e Densidade
Considerando X uma variável randômica, então a função FX(x) definida como:
FX ( x) = Pr{X ≤ x}
é a chamada Função de Distribuição de probabilidade (conceito de probabilidade
cumulativa). A figura a seguir mostra a característica dessa Função:
F(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Figura 9.20 – Função de Distribuição de Probabilidade
Se uma função f(x) existe de tal modo que:

x
dF ( x)
FX ( x ) = ∫ f (ξ ).dξ
−∞
ou f ( x) =
dx
Então a função f(x) é referida como a Função de Densidade de Probabilidade para a

função F(x) (conceito de histograma com freqüência relativa).
As duas mais comuns funções de Densidade são:
• Função de Densidade de Gauss

• Função de Densidade Uniforme
A função de densidade Gaussiana ou densidade Normal é dada por:
−( x − m )
2
1
f ( x) = .e 2.σ 2
2π .σ
e mostrada na figura a seguir para m=3 e σ = 1 :
f(x)
0,4
0,3
0,2
0,1
1 2 3 4 5 6
Figura 9.21 – Função de Densidade Gaussiana
A Função de densidade Uniforme é mostrada a seguir.
f(x)
1/2
-1 +1
Figura 9.22– Função de Densidade Uniforme
Valor Esperado

Dada uma função g(x), de uma variável randômica X, o valor esperado de g(x) é definido
como:
+∞
E{g ( x)} = ∫ g ( x). f ( x).dx
−∞
O Valor Esperado de x é chamado de média teórica (“mean” ou µ) e é dado por:
+∞
x = E{x} = ∫ x. f ( x).dx
−∞
Variância e Desvio Padrão
A variância de uma variável randômica é definida como:
{ }
+∞
σ 2 = E ( x − x) 2 = ∫ ( x − x) 2 . f ( x).dx
−∞
A raiz quadrada da variância é o Desvio Padrão.
A variância da função de Densidade Uniforme é dada por:
+1
1 2 1 x3 1
σ = ∫ .x .dx = .
2 +1
−1 =
−1
2 2 3 3
Seu desvio padrão σ = 0,57735

Variáveis Randômicas Distribuídas Conjuntamente
É comum ter mais de uma fonte de erro randômico numa dada aplicação. Portanto há
necessidade de se considerar variáveis randômicas distribuídas conjuntamente.
Consideremos que X seja um vetor (matriz) de variáveis randômicas:
X1
X2
X =
...
Xn
Com uma distribuição de probabilidade conjunta.
FX ( x) = Pr{X ≤ x} onde x também é um Vetor (matriz).
Há também uma Função Densidade:
∂ n .F ( x)
f ( x) =
∂x1∂x 2 ....∂x n
O Valor Esperado é calculado numa seqüência de integrais:
+ +∞ +∞
E {g ( x)} = ∫ ∫ ...... ∫ g ( x). f ( x).dx1dx 2 .....dx n
− ∞− ∞ −∞
Em particular a média x = µ é um Vetor e a MATRIZ DE COVARIÂNCIA é definida como:
{
P = E ( x − x ).( x − x ) T }
onde T significa transposição da matriz, isto é, P é uma matriz simétrica n x n com:
{
Pij = E ( xi − x i ).( x j − x j ) }
Os valores diagonais de P são as VARIÂNCIAS das variáreis randômicas INDIVIDUAIS e
os valores não diagonais são, de uma certa maneira, uma medida da conexão entre as
variáveis randômicas consideradas conjuntamente.
A forma da Densidade Gaussiana é:
⎡ 1 ⎤
exp ⎢− .( x − m) T .P −1 .( x − m)⎥
f ( x) = ⎣ 2 ⎦
[ ]
(2π ) . det P 2
n
1
Independência

Duas variáveis randômicas são ditas independentes se:
f X 1 X 2 ( x1 .x s ) = f X 1 ( x1 ). f X 2 ( x 2 )
As variáveis Gaussianas randômicas são independentes se a matriz de Covariância é

DIAGONAL (valores não diagonais = 0).
Método dos Mínimos Quadrados (Estimativa Linear)
Muitos algoritmos aplicados em relés de proteção processam um número total de medidas

que excedem a quantidade de parâmetros a serem determinados. Numa forma
simplificada, o problema pode ser entendido como a solução de uma equação (vetores) do
tipo:
A.x = b
Onde A e b são conhecidos e x é para ser determinado. A equação é dita “sobredefinida”
se há mais b’s do que x’s. Exemplo:
⎡1 0 ⎤ ⎡ 5 ⎤
⎢1 − 1⎥.⎡ x1 ⎤ ' =' ⎢− 1 ⎥ o valor entre aspas indica que a equação não apresenta solução.
4
⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ 4 ⎥⎥
⎢⎣0 1 ⎥⎦ ⎣ 2⎦ ⎢ 3
⎢⎣ 4 ⎥⎦
Uma aproximação razoável para a equação é reconhecer que há um erro, e escrever:
b = A.x + e onde e = b – A.x
Uma solução para o problema acima seria uma na qual e(1)=e(3)=0 e e(2)= -3/4.
Numa tentativa de diluir o erro pode-se tomar como uma medida da qualidade da
solução, a soma dos quadrados dos erros:
e T e = (b − Ax) T .(b − Ax) = (b T − x T AT ).(b − Ax) = x T AT Ax − x T AT b − b T Ax + b T b
O valor de x que minimiza eTe pode ser obtido fazendo-se a derivada parcial da equação
em função dos componentes de x e igualando a zero. O resultado será:
x = ( AT . A) −1 . AT .b
O cálculo dessa equação é as vezes chamado de “pseudo inversão”
Para o exemplo numérico anterior:

⎡1 0 ⎤
⎡1 1 0⎤ ⎢ ⎡ 2 − 1⎤ 1 ⎡2 1 ⎤
A A=⎢
T
.⎢1 − 1⎥⎥ = ⎢ ( AT A) −1 = − ⎢
⎥
⎣0 − 1 1 ⎦ ⎢0 1 ⎥ ⎣ − 1 2 ⎦
⎥ 3 ⎣1 2⎥⎦
⎣ ⎦
⎡ 5 ⎤
⎡1 1 0⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎡1⎤
4
A b=⎢
T
⎥.⎢− ⎥ = ⎢ ⎥
⎣0 − 1 1⎦ ⎢ 3 4 ⎥ ⎣1⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
⎡ 1 ⎤
⎡1⎤ ⎢ 4 ⎥
A solução: x = ⎢ ⎥ e os erros: e = b − Ax = ⎢− 1 ⎥
⎣1⎦ ⎢ 14⎥
⎢⎣− 4 ⎥⎦
Verifica-se que pelo os erros são diluídos (mais ou menos do mesmo tamanho), uma vez
que se minimizou os mesmos a soma dos quadrados.
Mínimos Quadrados com Ponderação
Considerando que existam dados no sentido de se conhecer mais detalhadamente os

erros da equação b = A.x + e
Considerando que o erro tem média Zero e que sua matriz de Covariância seja
conhecido:
V = E {e.e T }
Se o erro tem distribuição Gaussiana e a Matriz de Covariância V é do tipo diagonal (erros

independentes entre si), faz mais sentido ponderar os erros na minimização pela soma dos
quadrados, isto é, calcular um x que minimize:
e T V −1e ao invés de e T e
e 2 (i )
Se V é DIAGONAL: e T V −1e = ∑V . A solução para minimização é dada por:
ii
x = ( AT V −1 A) −1 . AT .V −1 .b
Essa solução é parte de muitos algoritmos para relés de proteção.

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CURSO BÁSICO DE PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

NOÇÕES DE PROTEÇÃO DIGITAL

Janela de Dados Móvel

Direitos Reservados: Autor: Instrutor: Total de Páginas

Eng. Paulo Koiti Maezono

Foi professor na Escola de Engenharia e na Faculdade de Tecnologia da Universidade

É colaborador do Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da EPUSP –

2. SITUAÇÃO NO BRASIL ........................................................................................................................................6

3. COMPARAÇÃO DE TECNOLOGIAS .................................................................................................................9

Desde os anos 60 tem-se pensado no uso de computadores digitais na proteção de sistemas

Com o desenvolvimento de microprocessadores de alguma capacidade de processamento e

Ref. Toshiba Co. - Japão

1970 1980 1990 2000

Tipo Bipolar “Bit Slice” Tipo MOS Tipo RISC

Microondas tipo FDM Microondas tipo TDM

Fibra Óptica TDM

Figura 1.1 – Evolução Histórica segundo Toshiba Co.

Hoje, com o avanço significativo da tecnologia de hardware incluindo processadores

Novas Instalações Elétricas

Sistemas de proteção com relés numéricos de tecnologia digital microprocessada já possuem

Sua principal contribuição funcional é a capacidade de integração com sistemas locais de

Sua principal contribuição tecnológica sob o ponto de vista de confiabilidade operacional da

Ainda no Brasil a maior parte da proteção e controle é realizada através de dispositivos de

As empresas concessionárias de serviços de energia elétrica (principalmente as grandes

Especialistas em Proteção e Procedimentos

É desejável que um profissional da área de Proteção tenha sua formação baseada em

• Manutenção da Proteção, quando se envolve dispositivo digital.

O advento de sistemas de auto verificação, de monitoramento contínuo e eventualmente

Ainda se depende da recepção de dados de sinalizações dos relés e alarmes nas

Com o advento de registradores de perturbações e relés de proteção digitais, os dados de

Para concessionárias de serviços de energia elétrica, mesmo considerando que menos de

• Projetos Integrados de sistemas de proteção, controle e supervisão.

Lógicas de controle e comando que eram feitas através de relés e dispositivos

Os profissionais da área têm a necessidade de se atualizarem quanto a esses recursos,

O técnico especialista em proteção já não pode se ater exclusivamente a itens de

A especificação de um sistema de proteção já não pode ser feita de modo independente

Assim, protocolos e dispositivos de comunicação entre os dispositivos eletrônicos de

Um grande problema é a compatibilidade entre sistemas de diferentes fornecimentos que

Há uma tendência lenta, mas contínua, no sentido de se ter entendimento entre

3.1 TECNOLOGIAS EMPREGADAS EM SISTEMAS DE PROTEÇÃO

O histórico mundial na evolução da tecnologia empregada em relés de proteção pode ser

1960 1970 1980 1990 2000

Eletromecânico Estático Digital

Figura 3.1 – Evolução Tecnológica de Relés de Proteção

E como pano de fundo, tem-se o aumento da complexidade do Sistema de Potência, os

Na área de evolução tecnológica, tem-se:

Eletromecânico ⇒ Transistor ⇒ Microprocessador

Carrier ⇒ Frequency Divided Modulation ⇒Time Divided Modulation

Analógico ⇒ Digital ⇒ Fibra Ótica

3.2 TECNOLOGIA ELETROMECÂNICA

Comparação de Tecnologias 9 de 115

• Unidades de atração magnética

A composição dessas unidades, através de circuitos elétricos adequados permite a

E a composição desses elementos permite a construção de Relés de Proteção, com funções

Uma proteção eletromecânica apresenta as seguintes características que podem ser

Durabilidade e Robustez. Com a devida manutenção, um relé eletromecânico pode

Tolerância a Altas Temperaturas de Operação. A temperatura ambiente de instalação da

Baixa sensibilidade a surtos eletromagnéticos. Há necessidade de uma energia de surto