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Aula #2 - Weibull
Aula #2 - Weibull
Aula #2 - Weibull
Regressão Linear
Mínimos
Quadrados
A aproximação por mínimos
quadrados consiste em
encontrar a função que
“melhor se ajuste”, ao
conjunto de pontos dado,
minimizando o erro resultante
do ajustamento, ou seja,
pretende-se minimizar a
soma dos quadrados das
diferenças entre os valores
tabelados e os valores obtidos
pela aproximação.
Minimizando a diferença
Simplificando
Matricialmente:
𝑛 𝑛 𝑛
𝑥𝑖2 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖
1 1 𝑎 1
𝑛 = 𝑛
𝑏
𝑥𝑖 𝑛 𝑦𝑖
1 1
Exemplo
• y = ax + b
• a = 0,6785
• b = 1,3928
∑Y = N.b + a∑X
∑XY = b ∑X + a∑(X.X)
x y x.x x.y
0 1 0 0
1 3 1 3
2 3 4 6
3 2 9 6
4 4 16 16
5 6 25 30
6 5 36 30
21 24 91 91
Distribuição de Weibull
• Ernst Hjalmar Waloddi
Weibull
• É reconhecido pelo seu
trabalho na área
da fadiga de materiais e
na estatística pelos seus
estudos sobre
a distribuição de
Weibull.
Distribuição de Weibull
• permite representar falhas típicas de partida
(mortalidade infantil);
• permite identificar falhas aleatórias;
• permite identificar falhas devido ao desgaste;
• permite obter parâmetros significativos da
configuração das falhas;
• apresenta melhores resultados para
componentes mecânicos (poucas informações em
termos de falhas) convencionalmente utilizados
na área da engenharia.
Função distribuição acumulada
𝑡−𝑡0 𝛃
−
• F 𝑡, η, 𝛃 = 1 − 𝑒 η
taxa de falhas
Curva da Banheira
Curva da Banheira
Diferentes valores de 𝛃
Exemplo de uso
𝑡−𝑡0 𝛃
−
• F 𝑡, η, 𝛃 = 1 − 𝑒 η
𝑡−𝑡𝑜 𝛃
− 𝑡−𝑡𝑜 𝛽
• 1−𝐹 𝑡 =𝑒 η ֜ 𝑙𝑛 1 − 𝐹 𝑡 =−
η
𝑡−𝑡𝑜 𝛽
• −𝑙𝑛 1 − 𝐹 𝑡 = ֜ 𝑙𝑛 −𝑙𝑛 1 − 𝐹 𝑡 =
η
𝑡−𝑡𝑜 𝛽
𝑙𝑛
η
freq.
tempo freq F(t) Y X X.X X.Y
relativa
1100 2 0,02 0,02 -3,90 3,91 15,30 -15,26
1200 6 0,06 0,08 -2,48 5,01 25,11 -12,45
1300 16 0,16 0,24 -1,29 5,52 30,49 -7,14
1400 14 0,14 0,38 -0,74 5,86 34,32 -4,32
1500 26 0,26 0,64 0,02 6,11 37,32 0,13
1600 22 0,22 0,86 0,68 6,31 39,82 4,27
1700 7 0,07 0,93 0,98 6,48 41,95 6,33
1800 6 0,06 0,99 1,53 6,62 43,82537 10,11004
1900 1 0,01 1
100 1 -5,215 45,818 268,127 -18,334
Cramer
𝑛 𝑛 𝑛
𝑥𝑖2 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖
1 1 𝛽 1
𝑛 = 𝑛
𝑏
𝑥𝑖 𝑛 𝑦𝑖
1 1
-1,000
-2,000
-3,000
-4,000
-5,000
𝑡−1050 2,018
−
• 𝐹 𝑡 =1−𝑒 424,19
9 465 0,426 1
10 518 0,475
0,8
11 640 0,525
12 700 0,574 0,6
• 𝑋 = 𝑙𝑛 𝑡 − 𝑡𝑜 6
7
325
420
0,279
0,328
5,784
6,040
-1,116
-0,921
• neste exemplo, 8
9
430
465
0,377
0,426
6,064
6,142
-0,747
-0,587
use t0 = 0 10
11
518
640
0,475
0,525
6,250
6,461
-0,438
-0,297
12 700 0,574 6,551 -0,160
13 710 0,623 6,565 -0,026
14 770 0,672 6,646 0,107
15 830 0,721 6,721 0,243
16 1010 0,770 6,918 0,384
17 1020 0,819 6,928 0,535
18 1280 0,868 7,155 0,704
19 1330 0,917 7,193 0,910
20 1690 0,966 7,432 1,216
tempo
OS F(t) x y x.x x.y
(horas)
1 92 0,034 4,522 -3,355 20,447 -15,170
2 130 0,083 4,868 -2,442 23,693 -11,885
3 233 0,132 5,451 -1,952 29,714 -10,641
• Tabela para 4
5
260
320
0,181
0,230
5,561
5,768
-1,609
-1,340
30,921
33,274
-8,946
-7,729
a regressão 6
7
325
420
0,279
0,328
5,784
6,040
-1,116
-0,921
33,453
36,485
-6,453
-5,563
linear 8
9
430
465
0,377
0,426
6,064
6,142
-0,747
-0,587
36,769
37,725
-4,528
-3,606
10 518 0,475 6,250 -0,438 39,062 -2,738
11 640 0,525 6,461 -0,297 41,751 -1,916
12 700 0,574 6,551 -0,160 42,917 -1,048
13 710 0,623 6,565 -0,026 43,103 -0,171
14 770 0,672 6,646 0,107 44,175 0,714
15 830 0,721 6,721 0,243 45,178 1,633
16 1010 0,770 6,918 0,384 47,855 2,656
17 1020 0,819 6,928 0,535 47,991 3,705
18 1280 0,868 7,155 0,704 51,189 5,038
19 1330 0,917 7,193 0,910 51,738 6,547
20 1690 0,966 7,432 1,216 55,242 9,035
1,5
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4