Relatório 2 - Lei de Hooke

INTRODUÇÃO

A lei de Hooke descreve a força restauradora que existe em diversos sistemas

quando comprimidos ou distendidos. Qualquer material, sobre o qual atua uma força,
sofrerá uma deformação, que pode ou não ser observada. Apertar ou torcer uma
borracha, esticar ou comprimir uma mola, são situações onde a deformação nos
materiais pode ser observada com facilidade. Mesmo ao pressionar uma parede com a
mão, tanto o concreto quanto a mão sofrem deformações, apesar de não serem visíveis.
A força restauradora surge sempre no sentido de recuperar o formato original do
material e tem origem nas forças intermoleculares que mantêm as moléculas e/ou
átomos unidos. Assim, por exemplo, uma mola esticada ou comprimida irá retornar ao
seu comprimento original devido à ação dessa força restauradora. Enquanto a
deformação for pequena diz-se que o material está no regime elástico, ou seja, retorna à
sua forma original quando a força que gerou a deformação cessa. Quando as
deformações são grandes, o material pode adquirir uma deformação permanente,
caracterizando o regime plástico [1]. Em outras palavras, no regime elástico há uma
F e a deformação ∆r⃗ , isto é:
dependência linear entre ⃗

F = -k∆r⃗ (Eq. 1)
⃗

Onde k é a constante de proporcionalidade denominada de constante elástica da

mola, e é uma grandeza característica da mola. A Eq.1 formaliza a lei de Hooke. O sinal
F tem sentido contrário a ∆r⃗ . Se
negativo na Eq.1 indica o fato de que a força ⃗
k é muito grande significa que é necessário realizar forças muito grandes para esticar ou
comprimir a mola, portanto seria o caso de uma mola "dura". Se k é pequeno quer dizer
que a força necessária para realizar uma deformação é pequena, o que corresponde a
uma mola "mole”. [1]
 P = m ⃗g. (a) Sistema com uma única mola, (b)
Figura 1: Deformação da mola por uma força peso ⃗
sistema com duas molas em série e (c) sistema com duas molas em paralelo.

A Figura 1(a) mostra a situação que será tratada nesta experiência, onde uma
mola, de massa desprezível, é suspensa verticalmente. A mola é distendida por uma
P de um corpo com massa m, pendurado na extremidade inferior da mola. Na
força peso ⃗
Fe⃗
situação de equilíbrio, tem-se duas forças de módulos iguais e sentidos contrários ⃗ P
P =m ⃗
agindo sobre o corpo. Uma delas é devida ao peso ⃗ g , onde ~g é a aceleração da
F = -⃗
gravidade. A outra é a força restauradora da mola tal que ⃗ P . Essa força
distende a mola de um comprimento ∆r⃗ = ∆y ⃗j . Nesse caso, da Lei de
Hooke dada na Eq.1 [1], tem-se:
F = -k∆y ⃗j = -⃗
⃗ P→⃗
P = k∆y ⃗j (Eq. 2)

P
No caso de associação de molas em série, mostrado na Figura 1(b), uma força ⃗
de módulo P, aplicada na extremidade atua igualmente em cada uma das molas e cada
qual sofrerá uma deformação dada por

P
∆ y série = ∆ y 1 + ∆ y 2 = k (Eq. 3)
série

e, então,

1 1 1
= + (Eq. 4)
k série k1 k2

No caso de associação de molas em paralelo, mostrado na

Fig. 2(c), a força de módulo P, aplicada ao conjunto é dividida
entre as duas molas, com valores F1 e F2, e deformam-se de uma
mesma quantidade ∆y, tal que;

F = F 1 + F 2 = k paralelo∆y = k 1∆y + k 2∆y = (k 1 + k 2) ∆y (Eq. 5)

e, então,
 k paralelo = k 1 + k 2 (Eq. 6)

METODOLOGIA

Com o objetivo de nos aproximar da realidade, pesquisamos sobre os equipamentos

utilizados em uma possível montagem de laboratórios utilizados em outras faculdades, e
foram encontrados os itens relacionados a seguir.

a) Medidor de força: temos o dinamômetro digital que tem uma incerteza menor do que
os convencionais e que varia entre 1N.

Figura 2: Dinamômetro digital

b) Medidor de distância: temos a trena que tem uma incerteza de 0,001m.

Figura 3: Trena
RESULTADOS E DISCUSSÃO

Os dados obtidos nas tabelas 1,2 e 3 foram provenientes da simulação da

deformação de uma mola, onde foi aplicada uma força F e posteriormente, foi medida a
deformação resultado desta força. A tabela 1 demonstra os dados obtidos para uma mola
simples.

Tabela 1 – Dados deformação mola simples

(x ± 0,001x)
Sistema Simples (m) (F ± 1F)(N)
1 0,081 17
2 0,159 31
3 0,239 47
4 0,321 65
5 0,401 79
6 0,479 97

A partir disso, utilizamos a Equação 1 para podermos relacionar as duas

variáveis e plotamos um gráfico correspondente. Podemos verificar a dependência
F e a deformação resultando ∆r⃗ ou ∆x. Através do Microsoft
linear entre ⃗
Excel ® foi possível obter a equação correspondente e retirar
os dados presentes na tabela 2, bem como o objetivo geral, que
foi encontrar a constante elástica “k”.

Os gráficos foram plotados utilizando mudanças de variáveis aplicada na

equação 1, como mostrado na imagem abaixo:

Figura 4 – Mudança de Variáveis utilizada

Onde o coeficiente angular “a” seria a constante elástica “k”, X seria a

deformação resultando da força aplicada Y.
 As incertezas presentes foram adicionadas de acordo com o bom senso do
operador e os algarismos significativos presentes nos dados coletados, já que utilizamos
um simulador e não possuímos as escalas utilizadas. A incerteza da aceleração da
gravidade foi obtida a partir da equação da propagação de incerteza (Equação 7).

(Equação 8)

120

100
f(x) = 200.87 x − 0.24
Fel - Força Elástica (N)

80

60

40

20

0
0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500 0.550
Δx - Deformação da mola (m)

Gráfico 1 – Mola Simples (Força Elástica X Deformação da Mola)

Tabela 2 – Dados gráfico mola simples

Equação da reta Y = 200,87x - 0,2423

Coeficiente angular 200 ± 3 (N/m)
Coeficiente linear (-)0,242333208161222 ± 1,07787075798089
Constante Elástica k 200 ± 3 (N/m)

O mesmo procedimento foi realizado para o sistema em série de molas, e em

paralelo, obtendo assim os dados presentes na Tabela 3 e 4 respectivamente.

Tabela 3 – Dados deformação molas em série

(x ± 0,001x) (F ± 1F)
Sistema de Molas em Série (m) (N)
1 0,145 17
2 0,287 31
3 0,431 47
4 0,575 65
 5 0,721 79
6 0,863 97

Tabela 4 – Dados deformação molas em paralelo

(x ± (F ± 1F)
Sistema Paralelo de Molas 0,001x)m (N)
1 0,037 17
2 0,070 31
3 0,106 47
4 0,141 65
5 0,179 79
6 0,214 97

Os dados obtidos foram plotados conforme foi feito para o sistema simples,
assim obtendo os gráficos (3 e 4) correspondentes e podendo utilizar as equações 4 e 6
para obter a constante elástica do sistema em série e em paralelo, respectivamente.

120

100
f(x) = 111.6 x − 0.21
Fel - Força Elástica (N)

80

60

40

20

0
0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
Δx - Deformação da mola (m)

Gráfico 2 – Molas em Série (Força Elástica X Deformação da Mola)

 120

100
f(x) = 450.6 x − 0.1
Fel - Força Elástica (N)

80

60

40

20

0
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250

Δx - Deformação da mola (m)

Gráfico 3 – Molas em Paralelo (Força Elástica X Deformação da Mola)

A partir dos gráficos acima foi possível a obtenção do coeficiente elástico para
cada sistema, sendo mostrados na tabela 5 para o sistema em série, e tabela 6 para o
sistema em paralelo. Para a obtenção do “k” em série e “k” paralelo, foi utilizado a
constante elástica da mola simples encontrada anteriormente 200 ± 1(N/m).

Tabela 5 – Dados gráfico do sistema em série

Equação da reta y= 111,6x - 0,2068

Coeficiente angular 112 ± 2
Coeficiente linear (-)0,20680670660798 ± 1,13847656871474
Constante Elástica k 112 ± 2
kserie 1/k1 + 1/k2
k1 200 ± 3 (N/m)
k2 250 ± 8 (N/m)
 Tabela 6 – Dados gráfico do sistema em paralelo

Equação da reta |y|= 450,6x - 0,0997

Coeficiente angular 451 ± 8
Coeficiente linear (-)0,0996557388115125 ± 1,15229869928397
Constante Elástica k 451 ± 8 (N/m)
kparalelo k1 + k2
k1 200 ± 3 (N/m)
k2 250 ± 8 (N/m)

Em todos os gráficos foi observado uma dependência linear entre os valores,

porém, os coeficientes angulares “k” foram diferentes. Para visualizar melhor o
comportamento das retas, foi plotado um gráfico com as três retas presentes.

Gráfico 4 – Reta para Molas (Simples, Paralelo e Série) (F x Δx)

Pelo gráfico acima, pode-se observar que a reta do sistema em paralelo está bem
mais inclinada em relação a reta do sistema em série. Quando associamos duas molas
em série, a constante elástica equivalente depende da soma dos inversos das constantes
elásticas. A constante elástica equivalente no sistema em série é 112 N/m. Ou seja,
quando colocamos uma mola de k1 = 200 N/m associada em série com outra de k2 =
250 N/m, a dureza dessa associação corresponde a uma mola de ksérie = 112 N/cm. E
vai ser sempre assim, nas associações em série, a constante elástica equivalente será
sempre menor do que todas as molas usadas, gerando uma reta menos acentuada. A
mola equivalente do sistema em paralelo possui ksérie = 451 N/m, sendo maior que k1 e
k2 das molas utilizadas.[1]

CONCLUSÃO

A lei de Hooke descreve a força restauradora que existe em diversos sistemas

quando comprimidos ou distendidos. Qualquer material, sobre o qual atua uma força,
sofrerá uma deformação, que pode ou não ser observada. Com a utilização do
simulador, podemos observar as variáveis descritas nas equações e com a mudança de
variáveis encontramos a constante elástica para uma mola simples, para um sistema em
paralelo e para um sistema em série. Os gráficos foram obtidos com o auxílio do
programa SciDAVis, e a partir disto, pela regressão linear, foram obtidas as equações
correspondentes das retas.

As incertezas presentes a primeiro momento foram adicionadas de acordo com o

bom senso do operador e os algarismos significativos presentes nos dados coletados, já
que utilizamos um simulador e não possuímos as escalas utilizadas. Posteriormente com
a utilização da equação de propagação de incertezas foi obtido o erro para as constantes
elásticas de cada sistema.

Com o experimento realizado, os conceitos aprendidos no semestre anterior

acerca da Lei de Hooke, podendo-se obter as curvas geradas para cada sistema,
analisando e observando o comportamento da mola resultante. Foram reforçados de
maneira didática e dinâmica, pois utilizamos o simulador que é um método de
aprendizado que visa nos aproximar da realidade de um experimento vivenciado em
laboratório de forma didática, bem como método de regressão linear que é um
procedimento muito utilizado no cotidiano de um engenheiro, o que nos faz pensar de
uma maneira mais dinâmica acerca das variáveis e das incertezas que temos em nossa
realidade.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, Vol. 2, cap. 3, Editora Edgard Blücher
Ltda, São Paulo.

[2] HALLIDAY, D. e RESNICK, R. Fundamentos de Física: mecânica, Vol. 1, 8ª ed.

Rio de Janeiro: LTC, 2009.

[3] Gaspar, Alberto. Física, volume 1- São Paulo: Ática, 2000.