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Material de Apoio ( (Eletromagnetismo) )
Material de Apoio ( (Eletromagnetismo) )
Material de Apoio ( (Eletromagnetismo) )
Luzes do Universo
O que é Física?
Física é uma palavra que vem do termo grego physis, usado pelos primeiros filósofos gregos a
partir do século VI a.C. e cuja tradução nos idiomas modernos é natureza.
A Física é a ciência das propriedades da matéria e das forças naturais. Ela estuda a matéria nos
níveis molecular, atômico, nuclear e subnuclear. Estuda os níveis de organização, ou seja, os
estados sólido, líquido, gasoso e plasmático da matéria.
Pesquisa também as quatro forças fundamentais: a gravidade (força de atração exercida por todas
as moléculas do Universo), a eletromagnética (que liga os electrões aos núcleos), a interação forte
(que mantém a coesão do núcleo) e a interação fraca (responsável pela desintegração de certas
partículas).
Sabemos que hoje o Universo é formado de matéria e energia. Como exemplo de energia podemos
citar a luz, que, de acordo com a Mecânica Quântica, é formada por pequenos “pacotes” de
energia, que denominamos fotões. Como exemplo de matéria podemos citar o protão, o neutrão
e o electrão. Mas além dessas três partículas existem outras, como positrão, neutrino, kãos, etc.
Essas partículas surgem em reações nucleares e têm, em geral, curta duração, mal aparecem e
imediatamente transformam-se numa das três partículas básicas (protões, electrões e neutrões)
ou em fotões. Uma das descobertas mais fascinantes da Física no século XX é a possibilidade da
transformação de matéria em energia e de energia em matéria. Uma outra descoberta
interessante é que o protão e o neutrões não são indivisíveis como se pensava. Eles são formados
por partículas ainda menores, denominadas quarks.
Percebe-se, assim, que a Física preocupa-se com o estudo dos fenómenos que ocorrem no
Universo, desde aqueles no nível atômico até os que ocorrem numa escala de distância maior
(como estrelas e galáxias) e, finalmente, do Universo como um todo.
2
Electromagnetismo 3
UNIDADE I
Nossa sociedade não vive hoje sem utilizar a energia eléctrica e todos os dispositivos
eletro-eletrónicos à sua disposição. É, portanto, crucial entender os fenómenos do
eletromagnetismo em sua plenitude. Para atingir esse objectivo começaremos revisando
os aspectos históricos e as primeiras experiências que levaram à descoberta das cargas
eléctricas. Em particular, nesta primeira aula, serão discutidos os fenómenos de
eletrização por atrito, contato e indução, conceito de carga elétrica bem como as duas
propriedades fundamentais. Na segunda aula é discutida a Lei de Coulomb, que expressa
a relação de força fundamental entre cargas eléctricas. Pense nessa curiosidade para
motivá-lo em seu estudo do eletromagnetismo que aqui se inicia: Se o espaço entre os
átomos é essencialmente vazio porque então você não afunda através do chão?
3
Electromagnetismo 4
Objectivos
Os átomos são formados por um núcleo, onde ficam os protões e neutrões e uma
electrosfera, onde os electrões permanecem, em órbita.
Os protões e neutrões têm massa praticamente igual, mas os electrões têm massa
milhares de vezes menor. Sendo m a massa dos protões, podemos representar a massa
dos electrões como:
Ou seja, a massa dos electrões é aproximadamente 2 mil vezes menor que a massa dos
protões:
𝑚𝑒 = 9.10𝑥10−31 𝐾𝑔
𝑚𝑝 = 1.67𝑥10−27 𝐾𝑔
4
Electromagnetismo 5
Fig. 1
Esta propriedade de cada uma das partículas é chamada carga eléctrica. Os protões
são partículas com cargas positivas, os electrões tem carga negativa e os neutrões tem
carga neutra.
O estudo dos fenómenos eléctricos levou a algumas leis empíricas que os resumiam:
5
Electromagnetismo 6
2) Carga elementar: existe uma carga mínima. Até hoje nunca foi observado
experimentalmente um corpo que tenha carga eléctrica menor que a do
electrão, representada por e. Somente foram observados corpos com cargas
que são múltiplos inteiros de e.
1.3.2.1 CONSERVAÇÃO
Se o tubo ficar carregado positivamente é porque ele perdeu electrões. Para que isso
ocorra, a lã deve ter recebido os electrões do bastão. Observe então que houve apenas
uma transferência de cargas eléctricas de um corpo para o outro. Nenhuma carga foi
criada ou destruída. Esse fato é conhecido como o Principio da Conservação da Carga
Eléctrica.
6
Electromagnetismo 7
1.3.2.2 QUANTIZAÇÃO
Q = n.e
A única modificação que um átomo pode sofrer sem que haja reações de alta liberação
e/ou absorção de energia é a perda ou ganho de electrões.
Por isso, um corpo é chamado neutro se ele tiver número igual de protões e de electrões,
fazendo com que a carga eléctrica sobre o corpo seja nula.
Fique atento:
7
Electromagnetismo 8
Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta do
século VI a.C. pelo matemático grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito entre
certos materiais era capaz de atrair pequenos pedaços de palha e penas.
Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo possível comprovar que dois
corpos neutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um deles fica
electrizado negativamente (ganha electrões) e outro positivamente (perde electrões).
Quando há electrização por atrito, os dois corpos ficam com cargas de módulo igual,
porém com sinais opostos.
8
Electromagnetismo 9
Outro processo capaz de electrizar um corpo é feito por contato entre eles. Se dois corpos
condutores, sendo pelo menos um deles electrizado, são postos em contacto, a carga
eléctrica tende a se estabilizar, sendo redistribuída entre os dois, fazendo com que ambos
tenham a mesma carga, inclusive com mesmo sinal. O cálculo da carga resultante é dado
pela média aritmética entre a carga dos condutores em contacto.
Por exemplo:
Um corpo condutor A com carga é posto em contacto com outro corpo neutro
Um corpo condutor A com carga é posto em contacto com outro corpo condutor
B com carga , após serem separados os dois o corpo A é posto em contacto com
9
Electromagnetismo 10
E neste momento:
Ou seja, a carga após os contactos no corpo A será +1C, no corpo B será -2C e no corpo
C será +1C.
Um corpo electrizado em contacto com a terra será neutralizado, pois se ele tiver falta de
electrões, estes serão doados pela terra e se tiver excesso de electrões, estes serão
descarregados na terra.
Fig. 2
10
Electromagnetismo 11
Fig.3
Desliga-se o induzido da terra, fazendo com que sua única carga seja a do sinal oposto
ao indutor.
Fig. 4
Após pode-se retirar o indutor das proximidades e o induzido estará electrizado com sinal
oposto à carga do indutor e as cargas se distribuem por todo o corpo.
1.2.2 ELETROSCÓPIOS
a) Pêndulo Eletrostático
11
Electromagnetismo 12
Com este equipamento vários conceitos, como por exemplo, o de eletrização por atrito,
eletrização por Indução e quando em contato, eletrização por contato, Polarização por
indução elétrica, Influência de um campo e de forças elétricas, entre outros, podem ser
abordados.
b) Eletroscópio de folhas
13
Electromagnetismo 14
A carga total da distribuição de cargas Q será dada pela soma (ou somatório) das cargas
das partículas que compõe a distribuição. Ou seja:
O caso de uma distribuição contínua é um pouco diferente. Nesse caso estamos falando
de um número muito grande de cargas e, portanto, faz mais sentido caracterizar a
distribuição falando em densidade de uma distribuição. Ao falarmos em densidade de uma
distribuição estamos especificando quanto de carga existe por unidade de volume
(distribuição volumétrica de cargas), ou por unidade de superfície (distribuição superficial
de cargas), ou ainda por unidade de comprimento (distribuição linear de cargas). Temos
assim três tipos de distribuição de interesse em Física. Cada tipo de distribuição de carga
será designada por uma letra grega diferente. Adotaremos a seguinte notação:
Observe-se que, e de acordo com a expressão acima, a densidade de cargas pode variar
de ponto para ponto no espaço.
14
Electromagnetismo 15
𝑑𝑞
Densidade volumétrica: 𝜌 = 𝑑𝑉 ou 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉
A densidade superficial de cargas pode variar de ponto para ponto ao longo de uma
superfície.
𝑑𝑞
Densidade superficial: 𝜎 = ou 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴
𝑑𝑙
Como nos casos anteriores, a densidade superficial de cargas pode variar de ponto para
ponto ao longo de uma curva, ou linha
𝑑𝑞
Densidade linear: 𝜆 = ou 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙
𝑑𝑙
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Por quê se diz que a carga eléctrica é uma propriedade intrínseca da matéria?
2. Uma pessoa está sobre um banco isolado toca um condutor também isolado, mas carregado. Haverá
descarga completa do condutor?
15
Electromagnetismo 16
3. Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um objecto suspenso. (a) Podemos concluir que o
objecto está carregado negativamente? (b)A mesma barra carregada positivamente repele o objecto
suspenso. Podemos concluir que o objecto está positivamente carregado?
4. Um corpo condutor inicialmente neutro perde 5,0x1013 electrões. Considerando a carga elementar
e=1,60x10-19C, qual será a carga eléctrica no corpo após esta perda de electrões?
5. Os corpos eletrizados por atrito, contato e indução ficam carregados respectivamente com cargas de
sinais:
a) iguais, iguais e iguais; d) contrários, iguais e iguais;
b) iguais, iguais e contrários; e) contrários, iguais e contrários.
c) contrários, contrários e iguais;
6. Atrita-se um bastão de vidro com um pano de lã, inicialmente neutrox. Pode-se afirmar:
a) só a lã fica eletrizada d) o bastão e a lã se eletrizam com cargas de
b) só o bastão fica eletrizado mesmo valor absoluto e sinais opostos
c) o bastão e a lã se eletrizam com cargas de e) nenhuma das anteriores
mesmo sinal
7. Se um corpo neutro é colocado em contato com um corpo electrizado negativamente, ou seja, com
excesso de electrões, pode-se afirmar que:
16
Electromagnetismo 17
10. Três esferas idênticas, muito leves, estão penduradas por fios perfeitamente isolantes, em um
ambiente seco, conforme mostra a figura. Em determinado
instante, a esfera A (QA= 20μC) toca a esfera B (QB= - 2 μC);
após alguns instantes, afasta-se e toca na esfera C (Qc=-6 μC),
retornando à posição inicial.
Após os contatos descritos, as cargas das esferas A, B e C são,
respectivamente, iguais a (em μC):
a) QA= 1,5 QB= 9,0 QC= 1,5 c) QA= 2,0 QB= -2,0 QC= -6,0
b) QA= 1,5 QB= 11 QC= 9,0 d) QA= 9,0 QB= 9,0 QC= 9,0
17
Electromagnetismo 18
Objectivos
O físico francês Charles de Coulomb iniciou suas pesquisas no campo da eletricidade e do magnetismo para participar de um
concurso aberto pela Académie des Sciences de Paris sobre a fabricação de agulhas imantadas. Seus estudos conduziram à
chamada lei de Coulomb.
Charles-Augustin de Coulomb nasceu em Angoulême, em 14 de junho de 1736. Passou nove anos nas Índias Ocidentais como
engenheiro militar e, nos intervalos de suas atividades profissionais, dedicava-se a investigações sobre mecânica aplicada. De
volta à França, interessou-se pelos estudos de eletricidade. A publicação de numerosos artigos de grande repercussão nos meios
científicos lhe valeu o ingresso na Académie des Sciences em 1781.
Começou a estudar um meio de avaliar a força magnética de uma barra imantada. Para esse fim, idealizou a balança de torção,
semelhante à usada pelo físico e químico inglês Henry Cavendish para medir a atração gravitacional. Os resultados de suas
pesquisas foram publicados de 1785 a 1789 nas Mémoires de l'Académie Royale des Sciences (Memórias da Academia Real de
Ciências).
As experiências realizadas por Coulomb sobre os efeitos de atração e repulsão de duas cargas elétricas permitiram-lhe verificar
que a lei da atração universal de Newton também se aplicava à eletricidade. Estabeleceu então a lei das atrações elétricas,
segundo a qual as forças de atração ou de repulsão entre as cargas elétricas são diretamente proporcionais às cargas (massas)
e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que as separa. Coulomb morreu em Paris a 23 de agosto de 1806.
18
Electromagnetismo 19
Diz-se carga eléctrica pontual ou puntiforme aquela que se distribui sobre um corpo de
dimensões despresíveis em relação às distâncias que o separam de outro corpo
electrizado. O conceito de carga eléctrica pontual é semelhante ou seja é análogo ao do
ponto material, portanto, podemos dizer que um ponto material electrizado pode ser uma
carga pontual.
𝐹~𝑄1 . 𝑄2
1
𝐹~
𝑟2
Tendo denominado essa força de 𝐹⃗ que actua entre estas duas cargas de Força
eléctrica ou Força electrostática.
a) é uma força de acção e reação; sua direcção é a da linha que une as duas cargas e
o seu sentido depende do sinal relativo das cargas, como se vê na figura 7;
b) a força entre duas cargas eléctricas é sempre instantânea, de acordo com a Física
Clássica;
c) a força depende do meio em que as cargas elétricas estão situadas.
Tendo em vista essas informações, podemos escrever que o vetor força eléctrica que
atua entre duas cargas eléctricas pontuais pode ser escrito como:
19
Electromagnetismo 20
Fig. 8
Figura 7: (a) e (b) duas cargas de mesmo sinal se repelem. (c) cargas de sinais opostos
se atraem. Estão indicados também os vetores força eléctrica 𝐹⃗ 1,2 r da carga Q1 sobre Q2
e 𝐹⃗ 1,2 r da carga Q2 sobre Q1 bem como o vetor unitário 𝑟̂ . Pela 3ª. Lei de Newton temos
que: 𝐹⃗1,2 = 𝐹⃗2,1 . A dependência da força eléctrica com o meio é levada em conta na
constante Ke . Para o vácuo, Ke é escrita na forma:
20
Electromagnetismo 21
𝐹⃗ = ∑ 𝐹⃗𝑖
𝑖=1
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. A força eléctrica que uma carga exerce sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras
cargas?
2. Uma carga puntiforme q de massa m é colocada em repouso num campo nao uniforme. Será
que ela seguirá, necessariamente, a linha de força que passa pelo ponto em que foi abandonada?
3. As linhas de força de um campo eléctrico nunca se cruzam. Porque?
4. Qual seria a força eletrostática entre duas cargas de 1Coulomb separadas por uma distânciade
(a) 1,0m e (b) 1,0km se tal configuraçãoo pudesse ser estabelecida?
5. Qual deve ser a distância entre duas cargas puntiformes q1=26µC e q2=−47µC para que o
módulo da força eletrostática entre elas seja de 5,7N?
6. Uma carga puntiforme de +3,0×10−6C dista 12cm de uma segunda carga puntiforme de
−1,5×10−6C. Calcular o módulo da força eletrostática que actua sobre cada carga.
7. Três cargas Q1=1,5mC, Q2= 0,5mC e Q3=0,2mC estão dispostas como na. A distância entre as
cargas Q1 e Q3 vale 1,2m e a distância entre as cargas Q2 e Q3 vale 0,5m. Calcular a força
resultante sobre a carga Q3.
8. Uma carga Q é colocada em cada um de dois vértices da diagonal de um quadrado. Outra carga
q é fixada nos vértices da outra diagonal, conforme mostra a Figura a baixo. Para que a carga
Q do vértice inferior esteja sujeita à uma força electrostática resultante nula, como devem estar
relacionadas as cargas Q e q?
21
Electromagnetismo 22
Três cargas q1=-6,0μC, q2=+2,0μC e q3=+4,0μC são colocadas em linha recta. A distância entre q1
e q2 é de 2,0m e a distância entre q2 e q3 é de 3,5m. Calcule a força eléctrica que actua em cada
uma das cargas.
9. Três cargas pontuais, de 2,0mC, 7,0mC e -4,0mC estão colocadas nos vértices de um triângulo
equilátero, de 0,5m de lado, conforme mostra a baixo. Calcular a força resultante sobre a carga
de 7,0mC.
10. Quatro cargas iguais Q, duas positivas e duas negativas, são dispostas sobre um quadrado de
lado a=1,0m, de modo que cargas de mesmo sinal ocupam vértices opostos. Uma carga Q/2
positiva é colocada no centro do quadrado. Qual a força resultante que actua sobre ela?
a. De acordo com anterior, qual deve ser a carga Q’ do centro do quadrado para que a força
resultante no centro do quadrado seja nula?
11. Uma carga Q é dividida em duas: q e Q-q. Qual deve ser a relação entre Q e q se as duas partes,
quando separadas a uma distância determinada sofrem uma força de repulsão máxima?
12. Duas pequenas esferas carregadas positivamente possuem uma carga combinada de 5,0μC. Se
elas se repelem com uma força de 1,0N quando separadas de 2,0m, qual é a carga em cada uma
delas?
22
Electromagnetismo 23
UNIDADE 2
CAMPO ELÉCTRICO
Se um corpo carregado se afastasse de você nesse exacto momento você acredita que
sentiria instantaneamente os efeitos de diminuição da força eléctrica, como requer lei de
Coulomb, ou como estabelece a lei de acção e reação na Mecânica Newtoniana?
Certamente não, porque as interações eletromagnéticas se propagam no espaço com
uma velocidade finita. Para remover essa dificuldade da acção à distância, será
introduzido nesta unidade o conceito de campo eléctrico. Assim, a interação entre as
cargas acontece através da interacção com o campo criado pelas outras cargas, e não
diretamente pelas forças das cargas entre si.
23
Electromagnetismo 24
Objectivos
O campo eléctrico pode ser entendido como sendo uma entidade física que transmite
a todo o espaço a informação da existência de um corpo electrizado (Q) e, ao
colocarmos outra carga (q) nesta região, será constatada a existência de uma
força F de origem eléctrica agindo nesta carga (q).
É importante neste momento, fazer uma analogia entre o campo eléctrico e o campo
gravitacional de um planeta. Ao redor de um planeta, existe um campo gravitacional
devido a sua massa, análogo ao campo elétrico que existe em torno de uma esfera
eletrizada. Percebemos então, uma analogia entre as grandezas físicas de massa e carga
eléctrica, como sendo responsáveis por gerar os campos gravitacional e eléctrico
respectivamente.
24
Electromagnetismo 25
Assim como a Terra tem um campo gravitacional, uma carga Q também tem um campo
que pode influenciar as cargas de prova q nele colocadas. E usando esta analogia,
podemos encontrar:
geradora do campo (Q) e de prova (q) e a própria carga de prova (q), ou seja:
𝐹⃗
𝐸⃗⃗ =
𝑞0
A unidade adotada pelo SI para o campo elétrico é o N/C (Newton por coulomb).
Interpretando esta unidade podemos concluir que o campo eléctrico descreve o valor da
força eléctrica que actua por unidade de carga, para as cargas colocadas no seu espaço
de atuação.
O conceito de linhas de força foi introduzido por Michael Faraday (1791 –1867) como
uma maneira de visualização da direcção e da intensidade do campo eléctrico. Como
sabemos, uma carga puntual Q que, cria um campo radial no espaço à sua volta. Em
cada ponto do espaço temos um vector campo elétrico 𝑬
⃗⃗⃗ , cujo módulo diminui à medida
Fig. 9: Linhas de força do campo elétrico de uma carga puntual positiva e negativa.
25
Electromagnetismo 26
𝑄
𝐸⃗⃗ = 𝑘
𝑟2
26
Electromagnetismo 27
Como:
1
𝑘=
4𝜋𝜀0
1 𝑄
𝐸⃗⃗ =
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Fig. 10
A direcção do vector campo eléctrico terá a mesma direcção da recta que une o ponto
considerado e a carga de geradora (Q). Já o sentido do vector campo eléctrico, depende
do sinal da carga geradora (Q):
O campo eléctrico gerado por uma carga eléctrica (Q) positiva é de afastamento e, o
campo eléctrico gerado por uma carga eléctrica (Q) negativa é de aproximação. O sentido
do campo eléctrico independe do sinal da carga (q) que sofre a acção da força ⃗𝑭⃗.
Se tivermos várias cargas pontuais numa região de espaço, assim como a força eléctrica
total, o campo eléctrico total será também a soma vectorial dos campos que agem sobre
cada carga ou seja:
27
Electromagnetismo 28
Fig. 11
O campo eléctrico de uma carga pontual não é alterado pela presença de outras cargas
pontuais.
A força com a qual duas cargas interagem não é modificada pela presença de uma
terceira, ou seja, se uma carga está em presença de outra carga eléctrica, a Fr sobre ela
será a soma vectorial das forças exercidas por uma das cargas em separado.
Um dipolo elétrico é formado por duas partículas de mesma intensidade q, mas com sinais
contrários, separadas por um pequena distância d. O seu momento de dipolo p possui
módulo qd e aponta da carga negativa para a carga positiva.
Fig. 12
A intensidade do campo elétrico criado pelo dipolo em um ponto distante situado sobre
o eixo do dipolo (que passa por ambas as cargas) é:
28
Electromagnetismo 29
1 𝑝
𝐸=
2𝜋𝜀0 𝑥 3
𝑝 = 𝑑. 𝑞
Dizemos que um campo elétrico é uniforme em uma região quando suas linhas de força
são paralelas e igualmente espaçadas umas das outras, o que implica que seu vetor
campo elétrico nesta região 𝐸⃗⃗ têm, em todos os pontos, mesma intensidade, direção e
sentido.
Uma forma comum de se obter um campo elétrico uniforme é utilizando duas placas
condutoras planas e iguais. Se as placas forem postas paralelamente, tendo cargas de
mesma intensidade, mas de sinal oposto, o campo elétrico gerado entre elas será
uniforme.
Fig. 13
Quando uma carga eléctrica Q entra em um campo eléctrico uniforme, ela sofre acção
de uma força eléctrica constante, cujo módulo é dado pela lei de Coulomb. Portanto, seu
movimento é um movimento acelerado, com um vector aceleração dado pela segunda lei
de Newton:
29
Electromagnetismo 30
Fig. 14
Note que a aceleração da carga tem a mesma direcção do campo e, que, portanto, é
constante em módulo e direcção. O sentido da aceleração depende da carga ser positiva
ou negativa. No primeiro caso, a aceleração tem o mesmo sentido que o campo eléctrico;
no segundo, tem o sentido contrário.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Duas cargas, Q e 2Q são separadas por uma distância R. Qual é o campo eléctrico gerado no
ponto em que se localiza cada carga?
2. O campo elétrico criado por uma carga pontual, no vácuo, tem intensidade igual a 9.10-1 N/C.
Calcule a que distância d se refere o valor desse campo.
3. Qual é a intensidade do campo elétrico, num ponto situado a 3,0 mm de uma carga elétrica
puntiforme Q = 2,7 µC no vácuo?
4. Dois objetos metálicos esféricos idênticos, contendo cargas elétricas de 1C e de 5C, são
colocados em contato e depois afastados a uma distância de 3 m. Considerando a Constante de
Coulomb k = 9 x 109N m2/C2, podemos dizer que a força que atua entre as cargas após o
contato é:
A) atrativa e tem módulo 3x109 N C) repulsiva e tem módulo 3 x109 N
B) atrativa e tem módulo 9 x109 N D) repulsiva e tem módulo 9 x109 N
5. Uma carga positiva puntiforme é liberada a partir do repouso em uma região do espaço onde
o campo elétrico é uniforme e constante. Se a partícula se move na mesma direção e sentido
do campo elétrico, a energia potencial eletrostática do sistema ...
30
Electromagnetismo 31
31
Electromagnetismo 32
Objectivos
Fluxo elétrico
O campo elétrico pode ser compreendido melhor usando o conceito de fluxo. Define-se
o fluxo elétrico por analogia com um fluído incompressível. No escoamento do fluído, as
linhas de campo são tangentes à velocidade do fluído em cada ponto e o fluxo do campo
de velocidades é igual ao volume de fluido que passa através da superfície, por unidade
de tempo.
Por analogia com o fluxo do fluido, no caso de uma superfície de ára A, perpendicular à
linhas de campo eléctrico, como na figura 15, se o módulo E do campo é constante nessa
superfície, define-se o fluxo eléctrico através da superfície igual ao produto do módulo
do campo vezes a área da superfície:
Φ = 𝐸. 𝐴
O volume delimitado pelas linhas de campo que passam por uma curva fechada, por
exemplo, a fronteira da superfície S1 na figura 15, chama-se tubo de fluxo. Usando a
analogia com o fluido incompressível, se não existem dentro do tubo pontos onde entra
ou sai fluído, então o fluxo é o mesmo em todas as secções transversais do tubo,
independentemente da curvatura ou inclinação dessas secções. Por exemplo, no tubo de
fluxo da figura 15, o volume de fluido que passa pelas três superfícies S1, S2 e S3, por
33
Electromagnetismo 34
unidade de tempo, deve ser o mesmo e, como tal, o fluxo através dessas superfícies, ou
de qualquer outra secção do tubo, é igual.
Essa propriedade dos tubos de fluxos pode usar-se para calcular o fluxo através de uma
superfície que não seja perpendicular às linhas de campo. Se as linhas de campo não são
perpendiculares à superfície mas estão inclinadas um ângulo 𝜃 em relação ao versor 𝑛̂
normal à superfície, como mostra a figura 16, o fluxo através da superfície com área Δ𝐴
é igual ao fluxo através da projeção dessa área no plano perpendicular às linhas de
campo, ou seja através da superfície a tracejado na figura 16. Isto é devido a que a
superfície inclinada e a superfície a tracejado fazem parte do mesmo tubo de fluxo,
formado pelas linhas de campo que passam pela fronteira das duas.
34
Electromagnetismo 35
A figura 17 mostra três possíveis campos na superfície. O campo 𝐸⃗⃗1 faz um ângulo agudo
com o versor normal e, por isso, produz fluxo positivo, ou seja, fluxo que passa no mesmo
sentido do versor normal. O campo 𝐸⃗⃗2 é perpendicular à superfície e, como tal, o seu
produto escalar com o versor normal é nulo e esse campo não produz nenhum fluxo.
Finalmente, o campo 𝐸⃗⃗3 faz um ângulo obtuso com o versor normal, produzindo assim
fluxo negativo, ou seja, fluxo no sentido oposto do versor normal.
35
Electromagnetismo 36
Φ = ∬ 𝐸⃗⃗ . 𝑛̂𝑑𝐴
𝑆
O integral é duplo, porque 𝑑𝐴⃗ depende das diferenciais dos dois parâmetros que sejam
usados para definir a superfície. Para determinar o valor do integral na equação, é
conveniente usar uma representação paramétrica da superfície S com dois parâmetros
reais 𝑢 e v:
𝑆 = {𝑟⃗(𝑢, 𝑣); 𝑢, 𝑣 𝜖 ℝ}
Os dois parâmetros reais estarão dentro de uma região do plano real. No exemplo da
figura 20, em que os dois parâmetros são as próprias variáveis e 𝑥 𝑒 𝑦, os possíveis
valores dos parâmetros são as coordenadas de todos os pontos no retângulo S no plano
e 𝑥𝑦.
36
Electromagnetismo 37
𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟⃗
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
onde a derivada parcial 𝜕𝑟⃗⁄𝜕𝑥 é um vetor que determina o aumento da função 𝑟⃗, devido
a um aumento unitário da variável x. De igual forma, 𝜕𝑟⃗⁄𝜕𝑦 é o aumento de 𝑟⃗ devido ao
aumento unitário de y. O produto vetorial dos dois vetores 2.6 é um vetor na direção
normal à superfície, 𝑛̂, com módulo igual à área do paralelepípedo. Como tal, 𝑑𝐴⃗, é igual
ao produto vetorial entre esses dois vetores é
𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟⃗
𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑛̂𝑑𝐴
𝜕𝑥 𝜕𝑦
A ordem dos dois vetores no produto vetorial da equação acima determina o lado da
superfície para onde aponta 𝑛̂. Na ordem em que foram multiplicados os vectores na
equação acima, o vector 𝑛̂ aponta para o lado de cima da superfície. Os parâmetros 𝑥 𝑒 𝑦
e usados na equação podem ser qualquer outros dois parâmetros reais.
Exemplo:
a) 𝐸⃗⃗ = 𝐶0 𝑗̂
b) 𝐸⃗⃗ = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛(𝐶2 𝑥)𝑖̂
37
Electromagnetismo 38
Resolução.
(a) Como o campo é constante e na direção do eixo dos y, o fluxo através de ACDE é igual ao
fluxo através de ABFE na direção positiva do eixo y, e calcula-se a partir da equação Φ = 𝐸. 𝐴
(b) Como o campo depende de x, convém escolher x como um dos parâmetros que definem a
superfície. O segundo parâmetro terá de ser z, porque no plano zy vários pontos diferentes do plano
ACDE são projetados num único ponto.
3
𝑟⃗ = 𝑥𝑖̂ + (0,3 − 𝑥) 𝑗̂ + 𝑧𝑘̂
4
𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟⃗ 3
= 𝑘̂ = 𝑖̂ − 4 𝑘̂
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟⃗
Substituindo na equação 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝑛̂𝑑𝐴 obtém-se:
𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟⃗ 3
𝑛̂𝑑𝐴 = ( 𝑥 ) 𝑑𝑥𝑑𝑧 = ( 𝑖̂ + 𝑗̂) 𝑑𝑥𝑑𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥 4
O integral em z é igual ao integrando (constante) vezes 0,3 e, como o produto escalar de 𝑖̂ consigo
próprio é 1 e com 𝑗̂ é zero, o resultado da integração em z é:
0,4
Φ𝐴𝐶𝐷𝐸 = 4,5 ∫ 𝑠𝑒𝑛(0,5𝑥) 𝑑𝑥 = 9(1 − 𝑐𝑜𝑠0,2) = 1,27𝑉. 𝑚
0
Observe-se que neste caso as linhas de campo elétrico são perpendiculares ao plano yz, mas os
fluxo no retângulo ACDE não é igual ao fluxo no quadrado BCDF. No quadrado BCDF (x= 0) o
38
Electromagnetismo 39
campo elétrico é nulo e, assim sendo, o fluxo é nulo. As linhas de campo que passam pelo quadrado
BCDF e pelo retângulo ACDE não constituem um tubo de fluxo, porque entre esses dois planos
devem existir cargas pontuais (fontes do campo).
Lei de Gauss
O campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas é a sobreposição dos campos
produzidos por muitas cargas pontuais. Convém então analisar o fluxo elétrico produzido
pelo campo de uma única carga pontual . Em relação a uma superfície S fechada, a carga
pode estar ou fora ou dentro dessa superfície.
Se a carga pontual 𝑞 está dentro da superfície, como no lado esquerdo da figura 2.7, o
fluxo é exatamente igual ao fluxo através de uma esfera com centro na carga, como no
lado direito da figura 2.7, porque as duas superfícies fazem parte de um tubo de fluxo;
todas as linhas de campo que passam pela superfície fechada passam também através
da esfera.
Fig. 21: Fluxo produzido por uma carga pontual através de uma superfície fechada.
Vamos supor que temos um conjunto de cargas positivas e negativas, que estabelecem
um campo eléctrico 𝐸⃗⃗ numa certa região do espaço. Imaginemos uma superfície fechada
dentro desse espaço, chamada superfície gaussiana, que pode envolver ou não alguma
das cargas eléctricas. A Lei de Gauss, relaciona o fluxo total (Φ𝐸⃗⃗ ) que atravessa essa
superfície com a carga total q envolvida por ela, provenientes das cargas elétricas. Dessa
forma:
ou
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Electromagnetismo 40
Onde:
Φ𝐸⃗⃗ é o fluxo;
𝑞 a carga eléctrica.
Podemos utilizar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico produzido por distribuições
contínuas de carga, quando as mesmas exibirem algum tipo de simetria espacial.
Considerações de simetria:
40
Electromagnetismo 41
E dA EdAcos
E.dA E dA E(2r)h
lateral lateral
Carga envolvida pela gaussiana: como a barra está uniformemente carregada, a parte
dentro da gaussiana cilíndrica tem comprimento h. Densidade linear de carga
q / h q .h
Lei de Gauss: q / 0
E(2r ) h / 0
E
2 0 r
O campo elétrico gerado pela barra cai com o inverso da distância (não é uniforme!). As
linhas de força têm direções radiais a partir da barra. Se a carga da barra é positiva as
linhas apontam para fora da barra, caso contrário (carga negativa) apontam para dentro.
41
Electromagnetismo 42
Campo Elétrico de uma Plano Infinito de Cargas: placa plana fina e infinitamente extensa,
com uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície. A superfície gaussiana S
é um cilindro que de raio da base r e altura 2r que intercepta a placa perpendicularmente.
Considerações de simetria:
(ii) E é constante para todos os pontos a uma mesma distância r da placa, ou seja,
constante para as bases do cilindro;
(iii) E aponta para fora dos dois lados da placa, se esta for positivamente
carregado, e para dentro dos dois lados da placa se esta for negativamente carregada.
E dA EdAcos
42
Electromagnetismo 43
Carga envolvida pela gaussiana: carga de um círculo de área A. Obs. Nem precisamos
escrever A = π r2, pois a área é simplificada no cálculo. Densidade superficial de carga
q / h q .A
Lei de Gauss: q / 0
2EA / A
E
2 0
1) para pontos fora da casca (isto é, a distâncias radiais r > R): superfície gaussiana S é
uma esfera de raio r envolvendo a casca. Como as linhas de força apontam radialmente
para fora, o campo elétrico em todos os pontos da esfera é paralelo ao elemento de área
vetorial dA. Logo
E . dA = E dA cos 0o = E dA
43
Electromagnetismo 44
Em todos os pontos da esfera o campo elétrico tem o mesmo módulo (“simetria esférica”),
logo E é constante enquanto integramos sobre a superfície S de área A = 4πr2. O fluxo
elétrico pela superfície esférica S será:
EdA E dA EA E (4r 2 )
S S
1 q
E
4 0 r 2
ou seja, o campo elétrico para pontos fora da casca é o mesmo que seria obtido se toda
a carga da casca estivesse concentrada em seu centro.
2) para pontos dentro da casca (isto é, a distâncias radiais r < R): o fluxo elétrico é o
mesmo do caso anterior, pois a gaussiana é novamente uma esfera de raio r (só que
dentro da casca)
EdA E dA EA E (4r 2 )
S S
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
11. Determine o fluxo eléctrico através da superfície esférica de raio R (unidades SI) e centro na
origem, quando a expressão do campo eléctrico for (unidades SI):
a) 𝐸⃗⃗ = 2𝑘̂
b) 𝐸⃗⃗ = 2𝑧𝑘̂
12. Um longo tubo metálico de raio R = 3,0 cm, com paredes condutoras finas, tem uma densidade
linear de cargas λ = 2,0 x 10-8 C/m. Determine o campo elétrico a distâncias r = 1,5 cm e r =
5,0 cm do eixo do tubo.
13. Um plano infinito (não-condutor) com densidade superficial de carga σ = + 4,0 nC/m2 está no
plano yz de um sistema de coordenadas cartesianas. Um segundo plano infinito tem densidade
superficial de carga σ = - 4,0 nC/m2, está num plano paralelo ao plano yz, em x = 2,0 m. Achar
o campo elétrico em (a) x = 1,8 m; (b) x = 5,0 m; (c) x = -2,0 m.
44
Electromagnetismo 45
14. Considere uma esfera maciça de raio R = 3,0 cm uniformemente carregada com uma carga Q
= + 5,0 nC. Calcule o campo elétrico para pontos situados à distância radial de r = 2,0 cm.
UNIDADE 3
Nas unidades anteriores estudamos o campo eléctrico gerado por diversas distribuições
de carga. No entanto, devido à sua natureza vetorial, o cálculo de 𝐸⃗⃗ torna-se complicado.
Nesta unidade começaremos o estudo de uma grandeza escalar: o potencial eléctrico,
que permitirá calcular o campo eléctrico de forma mais simples. Antes de discutir o
conceito de Potencial faremos uma análise do trabalho realizado pela força eléctrica no
deslocamento das cargas e da energia potencial eléctrica associada com a configuração
de cargas em sistemas discretos ou contínuos. Por último, aprenderemos a relação entre
o campo eléctrico e o potencial e discutiremos uma generalização da noção de energia
eletrostática.
45
Electromagnetismo 46
Objetivos
Imagine um campo eléctrico gerado por uma carga Q, ao ser colocada uma carga de
prova q0 em seu espaço de atuação podemos perceber que, conforme a combinação de
sinais entre as duas cargas, esta carga q0, será atraída ou repelida, adquirindo
movimento, e consequentemente Energia Cinética.
Lembrando da energia cinética estudada em mecânica, sabemos que para que um corpo
adquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de
alguma forma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo eléctrico, é
chamada Energia Potencial Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por 𝐸𝑝 .
46
Electromagnetismo 47
𝑊 = Δ𝐸𝑐
𝑊 = −Δ𝐸𝑝
Sabemos que o trabalho para levar um objeto de uma posição i até uma posição f, é dado
pela integral de linha:
𝐸𝑝 = −𝐹. 𝑑𝑙
𝑄. 𝑞
𝐸𝑝 = 𝑘
𝑟
Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo eléctrico que pode ser descrito por
uma grandeza chamada Potencial Eléctrico (ou eletrostático).
De forma análoga ao Campo Eléctrico, o potencial pode ser descrito como o quociente
entre a energia potencial eléctrica e a carga de prova q0. Ou seja:
𝐸𝑝
𝑉=
𝑞
Logo:
47
Electromagnetismo 48
𝐸𝑝
𝑉=
𝑞
𝑄𝑞
𝑘 𝑟 𝑄𝑞 1
𝑉= = 𝑘.
𝑞 𝑟 𝑞
𝑄
𝑉 = 𝑘.
𝑟
Quando existe mais de uma partícula electrizada gerando campos elétricos, em um ponto
P que está sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos os
potenciais criados por cada carga, ou seja:
Para o caso particular onde o campo é gerado por apenas uma carga, estas linhas
equipotenciais serão circunferências, já que o valor do potencial diminui uniformemente
em função do aumento da distância (levando-se em conta uma representação em duas
dimensões, pois caso a representação fosse tridimensional, os equipotenciais seriam
representados por esferas ocas, o que constitui o chamado efeito casca de cebola, onde
quanto mais interna for a casca, maior seu potencial).
Fig. 18
48
Electromagnetismo 49
O trabalho W que uma carga elétrica realiza é análogo ao trabalho realizado pelas outras
energias potenciais usadas no estudo de mecânica, ou seja:
Se imaginarmos dois pontos em um campo elétrico, cada um deles terá energia potencial
dada por:
𝐸𝑃1 = 𝑞. 𝑉1 e 𝐸𝑃2 = 𝑞. 𝑉2
𝑊1,2 = 𝐹. Δ𝑑
𝑄𝑞
𝑊1,2 = 𝐾 (𝑟 − 𝑟2 )
(𝑟1 − 𝑟2 )2 1
𝑄𝑞
𝑊1,2 = 𝐾 = 𝐸𝑃1 − 𝐸𝑃1
(𝑟1 − 𝑟2 )
Portanto:
𝑊1,2 = 𝑞(𝑉1 − 𝑉2 )
Fig. 19
Então teremos que sua tensão ou d.d.p (diferença de potencial) será expressa por U e
calculada por:
49
Electromagnetismo 50
𝑈 = 𝑉1 − 𝑉2
𝑄 𝑄
𝑈=𝐾 −𝐾
𝑟1 𝑟2
𝑞
𝑈=𝐾
(𝑟1 − 𝑟2 )
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. A ddp entre pontos de descarga durante uma determinada tempestade é de 1,2×109V. Qual é
o módulo da variação na energia potencial eléctrica de um electrão que se move entre estes
pontos?
2. Uma bateria de carro de 12Volts é capaz de fornecer uma carga de 84Ampéres·hora. (a)
Quantos Coulombs de carga isto representa? (b) Se toda esta carga for descarregada a 12Volts,
quanta energia estará disponível?
3. Um eletrómetro é um instrumento usado para medir carga estática. Uma carga desconhecida é
colocada sobre as placas do capacitor do medidor e a diferença de potencial é medida. Que
carga mínima pode ser medida por um eletrómetro com uma capacitância de 50pF e uma
sensibilidade à voltagem de 0,15V?
2.1. Uma carga elétrica de intensidade Q=+7µC gera um campo elétrico no qual se representam
dois pontos, A e B. Determine o trabalho realizado pela força para levar uma carga q=2.10-6C
de um ponto ao outro (B até A), dada a figura abaixo:
50
Electromagnetismo 51
Unidade 4 Capacitores
Nesta unidade estudaremos os capacitores. Eles são um dos muitos tipos de dispositivos
usados em circuitos elétricos, como por exemplo, em rádios, computadores, televisores,
celulares e video-games. A importância deles está principalmente na propriedade de
armazenar carga eléctrica, bem como de criar campos elétricos com a simetria desejada.
Os capacitores em circuitos elétricos frequentemente, aparecem ligados entre si. Por isso,
é necessário saber qual a capacitância equivalente dessas associações. A capacitância
equivalente da associação de capacitores é a capacitância que teria um único capacitor
que substituiria os capacitores que formam a associação. Existem essencialmente duas
maneiras de conectar capacitores: em série ou em paralelo.
51
Electromagnetismo 52
AULA 5: Capacitância
Objetivos
Um condutor isolado, quando carregado com uma carga potencial elétrico que é
proporcional à carga e depende também da forma e das dimensões do condutor. Como
as cargas elétricas no condutor se alojam na sua superfície, quanto maior for a área do
condutor, mais carga ele pode alojar para produzir um dado potencial.
É um valor característico de um dado corpo e avaliado pela razão entre seu potencial e
sua carga. É constante em cada meio onde o corpo for colocado.
Embora o meio natural de exprimir a capacitância devesse ser Coulomb por Volt, ela é
na prática expressa em Farads (F). Sendo um Farad igual à capacitância elétrica de um
condutor que com carga de 1 Coulomb é carregado até à tensão de 1 Volt.
52
Electromagnetismo 53
53
Electromagnetismo 54
nCCC
figura
Antes de aplicar ao capacitor uma tensão elétrica, ambas as placas apresentam uma
mesma quantidade de cargas elétricas positivas e negativas. Ao aplicar uma tensão
contínua, uma das placas do capacitor estará ligada ao pólo positivo e a outra ao pólo
negativo. Como diferença de potencial é sinônimo de quantidade de cargas desiguais de
elétrons, no instante da ligação os elétrons devem ir ao sentido da placa negativa, e uma
mesma quantidade de elétrons deve sair da placa positiva. Como existe uma camada
isolante entre as placas condutoras não é possível a formação de um circuito fechado,
isto é, os elétrons não podem atravessar o capacitor. Portanto os elétrons que chegam a
uma das placas não são os mesmos que saem da outra.
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Electromagnetismo 55
Entre as placas existe um estado que é designado como campo elétrico. A carga elétrica
Q é diretamente proporcional à corrente de carga I e ao tempo de carga t.
Q =I.t
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Electromagnetismo 56
No instante em que a chave ch1 é ligada, a d.d.p. nos extremos do capacitor é zero,
passando a crescer rapidamente até o valor E. Enquanto a d.d.p. nos extremos do
capacitor aumenta, sua carga Q cresce proporcionalmente, o que significa que, enquanto
a d.d.p. estiver variando no sentido de aumentar, a bateria estará fornecendo corrente.
Esta, entretanto, não circula através do dielétrico: o fluxo de elétrons se produz no
circuito externo ao capacitor, ficando a placa ligada ao pólo (+) do gerador com
deficiência de elétrons, e a placa ligada ao pólo (-) com excesso. O fluxo de elétrons
continuará até que as duas placas tenham adquirido uma carga suficiente para que a
d.d.p. entre elas seja exatamente igual e oposta à d.d.p. aplicada E.
Quando isto ocorrer, a corrente no circuito se torna igual a zero, sendo, pois, de natureza
transiente: é máxima no instante em que se liga a chave ch1 (capacitor descarregado =
curto-circuito), diminuindo e tendendo para zero quando o capacitor estiver carregado
(capacitor carregado = circuito aberto).
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Electromagnetismo 57
Se depois de carregado o capacitor abrirmos a chave ch1, a d.d.p. nos extremos das
placas do capacitor permanece igual à d.d.p. da bateria, mas com o decorrer do tempo
vai diminuindo até anular-se, pois mesmo com os terminais abertos o capacitor irá
descarregar. Isto se deve ao fato de que os materiais que constituem o dielétrico não são
isolantes perfeitos, e uma corrente de fraca intensidade chamada corrente de fuga circula
através do dielétrico: quando o número de elétrons for igual ao número de cargas
positivas em cada placa, a d.d.p. será nula, e o
Agora, se após abrirmos a chave ch1, fecharmos a chave ch2, a descarga acontecerá no
resistor R, dissipando a energia armazenada no capacitor sob forma de calor no resistor.
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