Física Geral e Experimental I

Física Geral e
Experimental I
Luis Ricardo Arruda de Andrade
PALAVRA DO REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-

mos com princípios éticos e profissionalismo, não
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá,
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo
MEC como uma instituição de excelência, com
WILSON DE MATOS SILVA IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os
REITOR
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a
instituição de educação precisa ter pelo menos
três virtudes: inovação, coragem e compromisso
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as
quais visam reunir o melhor do ensino presencial
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é
promover a educação de qualidade nas diferentes
áreas do conhecimento, formando profissionais
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento.
Essa é a característica principal pela qual a
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é
importante destacar aqui que não estamos falando
mais daquele conhecimento estático, repetitivo,
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global,
democratizado, transformado pelas tecnologias
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de
pessoas, lugares, informações, da educação por
meio da conectividade via internet, do acesso
wireless em diferentes lugares e da mobilidade
dos celulares.
WILLIAM DE MATOS SILVA As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
PRÓ-REITOR DE EAD
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer
transformou-se hoje em um dos principais fatores de
agregação de valor, de superação das desigualdades,
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar.
Logo, como agente social, convido você a saber
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e
usar a tecnologia que temos e que está disponível.
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg
modificou toda uma cultura e forma de conhecer,
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas,
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato
Janes Fidélis Tomelin com ambientes cativantes, ricos em informações
PRÓ-REITOR DE ENSINO EAD e interatividade. É um processo desafiador, que
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você
está iniciando um processo de transformação,
pois quando investimos em nossa formação, seja
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e,
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível
de desenvolvimento compatível com os desafios
que surgem no mundo contemporâneo.
O Centro Universitário Cesumar mediante o
Kátia Coelho
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa- DIRETORIA DE GRADUAÇÃO
nhará durante todo este processo, pois conforme E PÓS-GRADUAÇÃO
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na

transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem
dialógica e encontram-se integrados à proposta
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como
principal objetivo “provocar uma aproximação
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita Leonardo Spaine
o desenvolvimento da autonomia em busca dos DIRETORIA DE PERMANÊNCIA
conhecimentos necessários para a sua formação
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de
crescimento e construção do conhecimento deve
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas
ao vivo e participe das discussões. Além disso,
lembre-se que existe uma equipe de professores e
tutores que se encontra disponível para sanar suas
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren- Débora Leite
DIRETORIA DE DESIGN EDUCACIONAL
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
A disciplina de FÍSICA GERAL EXPERIMENTAL tem como finalidade

apresentar os conceitos básicos da Física de modo a fornecer ao estudante
a base necessária para a especialização no seu campo de conhecimento.
Procurando manter uma linguagem simples, sem preciosismos, mas sem
perder a precisão, nas Unidades 1 e 2 começamos por apresentar conceitos
de velocidade e aceleração e como descrever os movimentos sobre traje-
tórias conhecidas, leitura e interpretação de gráficos, conceitos esses úteis
até mesmo em situações do dia a dia.
Na Unidade 3, são apresentadas as grandezas físicas escalares e vetoriais,
introduzindo o aluno em uma nova álgebra que segue diferentes processos
de operação.
Uma ideia que não abandonamos nunca é o do rigor a serviço da compreen-
são. Quando detalhamos, por exemplo, o conceito de inércia na Unidade
3, estamos dando a base para que o leitor empregue este conceito dentro
do rigor da ciência para que as conclusões a que tenha de chegar com um
respaldo científico não seja apenas a repetição de um discurso.
Ainda nessa unidade, apresentamos o Princípio Fundamental da Dinâmica
para o movimento retilíneo, deixando o estudo do Princípio Fundamental
da Dinâmica nos movimentos curvilíneos para uma outra oportunidade.
Aqui cabe uma justificativa deste procedimento, que difere da maioria das
obras desta natureza: os pré-requisitos para a Dinâmica do movimento
circular exigem a construção de uma nova Cinemática. A Unidade 4 é
dedicada ao movimento de rotação, à Cinemática e à Dinâmica do Movi-
mento Circular Uniforme.
A seguir, vem o conceito de energia, cuja importância perpassa todas as
áreas da Física e grande parte das outras ciências, e que se constitui em
elemento fundamental para a vida. Daí a necessidade de começar a uni-
dade apresentando, ainda que de maneira informal, as diferentes formas
de energia, destacando a possibilidade de se transformar de uma forma
em outra, de se transferir de um corpo para outro, mas que no todo se
conserva.
Por fim, mais um ponto importante: a energia como processo de resolver
problemas de Dinâmica, tema que é discutido na Unidade 5 e parte da
6. A seguir, vem a Ondulatória. Nessa unidade, apresentamos oscilador
harmônico, as características do oscilador harmônico e as grandezas a
ele relacionadas: período, frequência e pulsação; o conceito de onda e
as grandezas a ela relacionadas: comprimento de onda e velocidade de
propagação; e encerramos com uma discussão das ondas sonoras.
Até este ponto, estudamos movimentos de corpos isolados. Se retomar-
mos todas as situações discutidas até aqui, descrevemos movimentos de
corpos sob ação de forças aplicadas por outros corpos. Pretendemos,
agora, entender o que acontece não apenas do corpo que sofre a força
como também com aquele que a aplica. A finalidade do Princípio da
Ação-Reação é estudar a ação mútua dos corpos.
Vamos estudar duas situações. Na primeira, todos os corpos que cons-
tituem o sistema estão interligados. Na segunda, os corpos apresentam
movimentos independentes, o que acontece, por exemplo, em uma ex-
plosão. Para estudar esta segunda parte, são apresentados os conceitos de
quantidade de movimento e de Impulso de uma força e os Teoremas do
Impulso e dos Sistemas Isolados.
A seguir, passamos para os movimentos de corpos sob ação exclusiva de
seu peso, e este estudo é dividido em dois capítulos: Balística e Gravitação.
Encerramos o curso estudando as condições de equilíbrio de corpos nos
estados sólido, líquido e gasoso.
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Luis Ricardo Arruda de Andrade

Engenheiro eletricista, modalidade Eletrotécnica, formado pela Escola Politécnica da Univer-
sidade de São Paulo, em 1970.
Descrição do
Movimento
13
Descrição de
dois Movimentos
Importantes
da Física
41
Forças e o Princípio
Fundamental da
Dinâmica para o
Movimento Retilíneo
65
Rotação, Cinemática
e Dinâmica do Sistema de
Movimento Corpos Interagindo
Circular Uniforme
101 211
Conceito,
Classificação e
Estática e
Descrição dos
Hidrostática
Diferentes Tipos
de Energia
131 271
Aplicações da Teoria
Movimentos
de Trabalho
Balísticos
e Energia
169 317
Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades (SI) baseia-se em sete unidades fundamentais:

Quadro 1 - Unidades fundamentais da física
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica ampere A
Temperatura termodinâmica kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd

Fonte: Rozemberg (1998).
Todas as demais unidades são derivadas das fundamentais. Por exemplo, a unidade
de área é o metro quadrado (m2), de velocidade é m/s, e assim por diante.
Muitas das unidades derivadas recebem nomes, como a unidade de potência
que é o watt (W), mas todas elas derivam das fundamentais, como será mostrado à
medida que são apresentadas.
Frequentemente, são empregados múltiplos e submúltiplos das unidades, iden-
tificados por prefixos. Por exemplo, o quilômetro (km), que vale 1.000 metros. O
quadro, a seguir, mostra os nomes desses prefixos.
Para evitar enganos e facilitar as operações aritméticas, é comum, na Física, o
emprego das potências de dez. Em vez de dizer que um giga vale 1.000 milhões, ou
escrever 1 G = 1 000 000 000, prefere-se 1 G = 109 m.
Quadro 2 - Prefixos indicativos de múltiplos da unidades
Nome Símbolo Relação com o Metro
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 10²
deca da 10
Fonte: Rozemberg (1998).
UNIDADE 1 15
Posição
Na linguagem da física, indicar a posição de um corpo é informar o lugar em que

ele se encontra. A posição é sempre em relação a um outro corpo tomado como re-
ferencial. A posição de um veículo, de um acidente, de uma curva ou de uma pessoa
em uma estrada pode ser determinada pelo marco quilométrico, que é a distância
medida sobre a estrada até um ponto preestabelecido, chamado marco zero. Observe,
na Figura 1, que estar na posição 340 km não indica que o homem percorreu 340
km. Assim, a posição de um corpo em uma estrada também pode ser indicada por
uma única medida expressa em quilômetros.
km
340
Figura 1 - O marco quilométrico de uma estrada é um indicador de posição

Fonte: o autor.
A escolha do modo de indicar a posição de um corpo deve ser adequada a cada

situação particular. O modo de localizar um ponto da estrada não é conveniente
para localizar um barco no mar. No entanto, em todos os casos, há algo em comum.
Um corpo só pode ser localizado em relação a outro, o qual denomina-se referencial.
18 Descrição do Movimento
Trajetória
O que caracteriza um movimento é a mudança de posição. Como já vimos, um corpo

só pode ser localizado em relação a outro, denominado referencial. Portanto, só pode-
mos determinar se há ou não movimento, tomando um outro corpo como referencial.
A ideia de trajetória é a de percurso, o caminho que o corpo percorre, o trajeto de
um corpo. A estrada na qual o carro se movimenta é a trajetória dele. A trajetória de
um corpo caindo é uma reta vertical.
Trajetória é a linha sobre a qual o corpo se movimenta.
A Posição de um Corpo que Percorre uma

Trajetória Conhecida
Tomando como base o exemplo do marco quilométrico, podemos concluir que a

posição de um corpo que percorre uma trajetória conhecida pode ser determinada,
em cada instante, por uma única medida, sendo, na física, denominada espaço ou
abscissa (S), que é a distância, medida sobre a trajetória desde a origem adotada (O)
até posição do corpo (P) no instante considerado:
P
O
Figura 2 - Determinação da posição de um corpo que percorre uma trajetória conhecida

Fonte: o autor.
UNIDADE 1 19
Se você entendeu o exemplo, vai compreender os dois itens que seguem, que tratam
da velocidade escalar média e da velocidade escalar instantânea.
Velocidade Escalar Média
Um corpo percorre uma trajetória qualquer, pas-

sando pelo ponto P no instante t e pelo ponto
P’ no instante t’ como indicado na figura. No
intervalo de t a t’, seu deslocamento é:
∆S = S′ − S
E o tempo decorrido entre os instantes t e t’ é:

∆ t = t′ − t
Define-se velocidade escalar média no intervalo

∆t pelo quociente:
∆S Conceito de velocidade
Vm =
∆t
P (t)
P’ (t’)
O
∆S
S
S’
Figura 3 - Velocidade escalar média no intervalo t a t’

Fonte: o autor.
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo.

Para acessar, use seu leitor de QR Code.
UNIDADE 1 21
É imediato verificar que a unidade de velocidade no SI é m/s. No entanto, a unidade
utilizada comumente é o km/h. Para transformar uma unidade em outra, vamos
imaginar um veículo a uma velocidade de 36 km/h e determinar sua velocidade em
m/s. Para isso, basta lembrar que 1 km = 1000 m e 1h = 3600 s. Logo:
= 36 �
km 1000 � m
36 = 10 m/s
h 3600 � s
Generalizando, para transformar uma velocidade expressa em km/h para m/s, basta
dividir o valor por 3,6.
Velocidade média NÃO é média das velocidades.
Acompanhe o exemplo a seguir:

Um corpo percorre a primeira metade de um percurso de 60 m, mantendo velocidade
constante de 3 m/s, e a segunda metade com velocidade de 15 m/s. Qual será sua
velocidade média no percurso total?
Muitos podem ficar tentados a achar que a velocidade média seria a média das ve-
locidades, ou seja, ( ) = 9 m s . Mas isso não é verdade. Vamos aplicar a definição de
3 + 15
2
velocidade escalar média em cada um dos trechos e determinar os tempos gastos em cada
metade do percurso. Sendo ∆t1 (10 s)o tempo gasto para percorrer a primeira metade e
∆t2 (2 s) , então: a velocidade média (V) no percurso total será o quociente do percurso
total de 60 m, pelo tempo total, portanto
60 m 60
V= = = 5m s
∆ t1 + ∆t2 12
Concluindo: a não ser em casos particulares, velocidade média não é média das
velocidades.
Velocidade Escalar Instantânea
A velocidade escalar instantânea, ou, simplesmente, velocidade escalar, é a leitura do

velocímetro – ou outro instrumento de medida de velocidade – em cada instante.
No caso de a velocidade escalar ser constante, o valor da velocidade escalar média
coincide com a velocidade escalar instantânea. No caso de ser variável, seu valor
oscila acima e abaixo do valor médio.
Com um pouco de cálculo, podemos determinar o deslocamento do corpo no inter-
valo 0 a 11 s e a velocidade média nesse intervalo de tempo.
A área sob o gráfico (veja figuras) é o deslocamento do corpo no intervalo de
tempo considerado.
A Figura 5, que é um trapézio, mostra o comportamento da velocidade no
intervalo 0 a 2 s. Lembrando que a área de um trapézio é dada pela expressão
1
( base maior +base menor ) . altura , obtemos:
2
4 ∆S 6
2
Figura 5 - Comportamento da velocidade no intervalo 0 a 2 s
Fonte: o autor.
Deslocamento no intervalo 2 s a 4 s: a figura sob o gráfico da Figura 5 é um retângulo.

Lembrando que a área de um retângulo é dada pela expressão base × altura �, obtemos:
6 ∆S 6
∆ S2 = 2 . 6 = 12 m
Figura 6 - Comportamento da velocidade no intervalo 2 s a 4 s

Fonte: o autor.
Deslocamento no intervalo 4 s a 8 s: a figura sob o gráfico da Figura 7 é um trapézio.

Lembrando que a área de um trapézio é dada pela equação 1 (base maior +base menor ) . altura ,
2
obtemos:
1
6 ∆S ∆ S3 = ( 6 + 2 ) · 4 = 16 m
2
2
4
Figura 7 - Comportamento da velocidade no intervalo 4 s a 8 s. A área representa o deslocamento
nesse intervalo de tempo
Fonte: o autor.
Deslocamento no intervalo 8 s a 11 s: a figura sob o gráfico da Figura 8 é um retângulo.
Lembrando que a área do retângulo é a dada pela expressão base × altura , obtemos:
2 ∆S 2
∆ S4 = 2 . 3 = 6 m
3
Figura 8 - Comportamento da velocidade no intervalo 8 s a 11 s.

Fonte: o autor.
O deslocamento total, ou seja, no intervalo 0 a 11s será:
10m + 12m + 16m + 6m

44m
A velocidade média, que está representada na Figura 9, será:
∆ S 44
Vm = = = 4m s
∆ t 11
V ( m/s )
4 Vmédia
0 t(s)
0 2 4 6 8 10
Figura 9 - Velocidade média no intervalo 0 a 11 s

Fonte: o autor.
UNIDADE 1 25
Uma possibilidade é descrever o comportamento da velocidade pela taxa de variação,
que é o quociente da variação da velocidade pelo tempo gasto para haver a variação.
Tanto no intervalo 0 a t1 como no intervalo t1 � a t2 , a taxa de variação é positiva, in-
dicando aumento de velocidade. Quanto mais rápida é a variação, maior é a taxa de
variação. No intervalo t3 � a t4 , há uma diminuição da velocidade e, neste caso, a taxa
de variação é negativa. No intervalo de tempo t2 � a t3 em velocidade constante, a taxa
de variação é nula. Essa taxa de variação é denominada aceleração escalar.
Conceito de aceleração escalar
A aceleração escalar é a taxa de variação da velocidade escalar. Se a velocidade esca-

lar passa de um valor V em um dado instante t para um valor V '� em um instante t '
posterior a t , a aceleração escalar a vale:
V V V
a
t t ' t
A unidade de velocidade é m/s. Logo, a unidade de aceleração será
= m / s2
m/s
s
Observe que V '� pode ser maior ou menor que V . No primeiro caso, ∆V será positi-
vo e no segundo caso será negativo. A conclusão é que se V ' > V , a aceleração será
positiva. No caso de V '� menor que V , a aceleração será negativa.
Nesta unidade, apresentamos dois diferentes temas: o primeiro refere-se ao Sistema
Internacional de Unidades. A primeira vista, pode parecer sem importância, afinal,
que diferença faz se meço o comprimento em metros ou em polegadas ou em milhas?
A diferença é que, na Física e na Engenharia, as grandezas vão sendo relacionadas.
Se não estabelecêssemos padrões internacionais, teríamos de estabelecer múltiplas
tabelas para compararmos as unidades das diferentes grandezas. Nos dias atuais,
apenas Myanmar, a Libéria e os Estados Unidos não o utilizam.
Por enquanto, você só precisa saber o metro (m), o quilograma (kg) e o se-
gundo (s) e seus derivados m/s e m/s2.
UNIDADE 1 27
GUIMARÃES. O.; CARRON, W. As faces da Física. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2006.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Volume 1 - Mecânica. 10. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2016.
ROZEMBERG, I. M. O sistema internacional de unidades – SI. São Paulo: Instituto Mauá de tecnologia, 1998.
SERWAY, R. A.; JEWETT, J. W. Física para Cientistas e Engenheiros. Volume I - Mecânica. São Paulo: Cen-
gage Larning, 2012.
TIPLER, P. A. Física Conceitual. Bookman; Porto Alegre: LTC, 2016.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Volume I - Mecânica e Ondas, Termodi-
nâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
35
1. C.
2. D.
3. E.
4. A.
5. B.
6. E.
36
37
38
39
40
Definição de Movimento Uniforme
Quando a velocidade escalar de um corpo é constante, seu movimento é chamado

uniforme. Um carro percorrendo uma estrada, mantendo a indicação do seu velocí-
metro, está em movimento uniforme (MU).
Uma Convenção Importante
Uma trajetória está orientada quando se escolhe, arbitrariamente, um sentido positivo.

Como consequência, a velocidade do corpo que a percorre será positiva ou negativa,
dependendo do sentido do movimento ser a favor ou contra a orientação da trajetória.
Equação dos Espaços: Conceito
Já sabemos que a posição de um corpo que está sobre uma linha conhecida pode ser
determinada por uma única medida. Na Física, essa medida é denominada espaço (S).
P
O
Figura 1 - Posição do corpo ao longo de uma trajetória

Fonte: o autor.
Descrever o movimento de um corpo é indicar sua posição em cada instante. Sempre

que possível, vamos imaginar que estamos medindo o tempo com auxílio de um cro-
nômetro inicialmente zerado e que é disparado no instante em que o estudo do mo-
vimento se inicia. O movimento de um corpo que percorre uma trajetória conhecida
pode ser descrito por uma função que associa o valor do espaço (S) para cada valor
de tempo (t). Essa função é denominada equação horária ou equação dos espaços.
UNIDADE 2 43
Empregamos a palavra função com o mesmo significado utilizado pelos mate-
máticos. Dizemos que y é função de x quando a cada y corresponder um único x.
Claro que, se um corpo percorre uma trajetória, o valor de cada instante (t) só pode
corresponder um único valor de S, ou seja, S é função de t.
Equação dos Espaços do Movimento Uniforme
Se um corpo percorre uma trajetória qualquer em movimento uniforme com uma

velocidade V e passa por um ponto de espaço inicial S0, no instante 0, e passa por
um ponto de S em um instante t qualquer, aplicando-se a definição de velocidade
escalar média no intervalo 0 a t vem:
S S S0
V (constante) = �
t t 0
Da expressão anterior, vem:

S = S0 + Vt
Gráfico dos Espaços do Movimento Uniforme
Como a equação dos espaços do movimento uniforme é uma função do primeiro

grau, o gráfico de S em função de t é uma reta. Dependendo do sinal da velocidade,
ou seja, dependendo do sentido do movimento, a reta pode ser ascendente ou des-
cendente, como mostrado nas figuras que se seguem.
V>0 V<0
S S
S0
S0 t
S0 =0
t
S0 =0
Figura 2 - Gráfico do espaço (S) em função do tempo para o caso do movimento uniforme
Fonte: o autor.
44 Descrição de Dois Movimentos Importantes da Física

Há um caso particular de movimento que tem

especial importância. Trata-se do movimento em
que a aceleração é constante.
Quando um movimento apresenta aceleração
escalar constante, é denominado movimento uni-
formemente variado (MUV).
Um importante caso de movimento uniforme-
mente variado é a queda livre. Experimentalmente,
verifica-se que um corpo abandonado de determi-
nada altura h, em tais condições que a resistência
do ar pode ser desprezada, adquire uma aceleração Figura 4 – Torre de Pisa. Local onde
supostamente Galileu teria feito ex-
constante, denominada aceleração da gravidade
periências com corpos em queda livre
(g), que vale aproximadamente 9,8 m/s2. Fonte: o autor.
Equação da
Velocidade do MUV
Vamos determinar uma expressão, denominada

equação da velocidade, que permite determinar a
velocidade de um corpo em movimento unifor-
memente variado em função do tempo. Chaman-
do de V0 a velocidade escalar no instante t = 0 e
de V a velocidade no instante t, podemos escrever,
lembrando a definição de aceleração escalar:
∆V V − V0
a= =
∆t t −0
Conceito de aceleração
UNIDADE 2 47
Observe que a velocidade é crescente em um dos casos (Figura 5a) e decrescente no
outro (Figura 5b).
a) b)
V (m/s) V (m/s)
24
30
V0 = 20
16
20
8
10
V0 = 5
t (s) t (s)
2 4 6
2 4 6
Figura 5 - a) Gráfico da velocidade em função do tempo: movimento uniformemente variado acele-

rado. b) Gráfico da velocidade em função do tempo: movimento uniformemente variado retardado
Fonte: o autor.
Na Figura 5a, tomamos dois pontos quaisquer, em que:
V V ' V
a
t t ' t
∆V 25 − 15
a= = = 5 m s2
∆t 4−2
Na Figura 5b, tomamos novamente dois pontos quaisquer, neste caso:
V V ' V
a
t t ' t
∆V 4 − 16
a= = = − 4 m / s2
∆t 4 −1
20 - 4

S0 ∆S
0 P0 P
S = S0 + ∆S
Figura 6 - Corpo percorre uma trajetória retilínea em movimento uniformemente variado com
aceleração a.
Fonte: o autor.
Supondo que a velocidade V0 e a aceleração do movimento sejam positivas, o gráfico

da velocidade em função do tempo desse movimento é o que se segue. A velocidade
no instante t é dada pela expressão V = V0 + at
V = V0 + at
V0
∆S
0 t t
Figura 7 - Gráfico da velocidade em função do tempo do movimento descrito na Figura 6

Fonte: o autor.
O deslocamento ∆S, no intervalo 0 a t, pode ser determinado pela área indicada, que
é um trapézio de bases V0 e V e altura t. Logo:
∆S = ½ (V0 + V) ⋅ t → ∆S = ½ (V0 + V0 + at) ⋅ t

∆S = V0t + ½ at2
Como S = S0 + ∆S, obtemos a equação dos espaços do movimento uniformemente

variado
S = S0 + V0t + ½ at2
Como a equação dos espaços do movimento uniformemente variado é uma função

polinomial de segundo grau, o gráfico do espaço em função de t é uma parábola.

1
Portanto, lembrando que a área do trapézio é B � b h , sendo B a base maior, b a
2
base menor e h a altura, teremos para o trapézio:
1 V V0
S V0 V
2 a
Realizando as devidas transformações algébricas, chegamos à expressão procurada:

V 2 V02 2aS
Veja um exemplo de aplicação da equação de Torricelli:

Um veículo percorre uma trajetória retilínea com velocidade 20 m/s, quando,
diante de um perigo iminente, os freios são acionados fazendo com que o veículo
pare após percorrer uma distância de 40 m. Nessas condições, a suposta aceleração
do carro constante será:
De acordo com a equação de Torricelli:
V 2 V02 2aS
Na expressão anterior:
V0 = 20 m/s (dado); ∆S = 40 m (distância até parar)
Velocidade no instante em que o veículo para: V = 0
0 = 400 + 2 . a . 40.
Logo: a = - 5 m/s2, sendo que o sinal negativo indica que a velocidade é decres-
cente durante a frenagem.
Esta unidade se resume a descrever dois tipos de movimento.
O primeiro é o movimento uniforme, que apresenta velocidade escalar constan-
te. Com base nessa informação, foi deduzida a equação horária de um movimento
uniforme e o gráfico do espaço em função do tempo desse movimento.
O segundo é o movimento uniformemente variado, que apresenta aceleração es-
calar constante. Com base nessa informação, foi deduzida a equação da velocidade
de um movimento uniformemente variado e o gráfico da velocidade em função do
tempo desse movimento.
Apresentamos a propriedade do gráfico da velocidade do movimento uniforme-
mente variado e, a partir dele, deduzimos a equação horária do movimento unifor-
memente variado.
A partir das equações da velocidade e do espaço, foi deduzida a equação de Tor-
ricelli, que relaciona a velocidade com a posição.

GUIMARÃES, O.; CARRON, W. As faces da Física. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2006.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Volume 1 - Mecânica. 10. ed. Rio de Ja-
neiro: LTC, 2016.
SERWAY, R. A.; JEWETT, J. W. Física para Cientistas e Engenheiros. Volume I - Mecânica. São Paulo: Cengage
Larning, 2012.
60
1. C.
2. D.
3. A.
4. E.
5. E.
6. E.
7. D.
61
62
63
64
Grandezas Escalares e Vetoriais
Há grandezas, denominadas
B
escalares, que ficam determi-
nadas quando se conhece a sua
intensidade, que é um número 10
acompanhado de uma unidade. A C

10
Informalmente, podemos dizer
que uma grandeza escalar fica
Figura 1 - Deslocamento é uma grandeza vetorial
determinada quando se sabe Fonte: o autor.
quanto ela vale. Tempo e volu-
me são exemplos de grandezas escalares. Outras grandezas, denominadas vetoriais,
exigem para sua determinação, além do quanto, uma orientação espacial, que é dada
pela direção e pelo sentido. Um exemplo de grandeza vetorial é o deslocamento.
Sabendo-se que um corpo está na posição A e se desloca 10 m, não temos dados
suficientes para determinar a posição final. Para isso, precisaríamos saber, além do
quanto, para onde o corpo se desloca.
Uma reta define uma direção. Qualquer reta paralela a ela possui a mesma dire-
ção. Logo, um feixe de retas paralelas apresenta uma única direção. A cada direção
correspondem dois possíveis sentidos. Por exemplo, podemos percorrer uma reta
vertical em dois sentidos: para cima ou para baixo:
A B
Figura 2 - Direção e sentido. (A) Um feixe de retas paralelas apresenta uma mesma direção. (B) A cada
direção correspondem dois sentidos
Fonte: o autor.
Uma grandeza vetorial fica determinada pela intensidade, que é um número positivo,
acompanhado de uma unidade, e por uma orientação espacial, que é dada pela
direção e pelo sentido.
UNIDADE 3 67
Por exemplo, se dissermos que um corpo que está em um ponto A se desloca 10 m
para o Norte, seu deslocamento está determinado.
0 20
340
20 40
B
3
N
60
30
NW NE
280
80
10 W E
100
260
SW SE
12
24
0
A 0
22 S 0
14
200 180
160
Figura 3 - Deslocamento é uma grandeza vetorial

Fonte: o autor.
Notação de Grandezas Vetoriais
Podemos representar grandezas escalares por letras arbitrariamente escolhidas. Em

qualquer um desses casos, a letra representa um número acompanhado de unidade.
Para distinguir as grandezas vetoriais das escalares, foi proposto que grandezas ve-
toriais fossem representadas por uma letra qualquer, grega ou latina, maiúscula ou
minúscula, sobre a qual se coloca uma seta. Quando queremos nos referir apenas à
intensidade da grandeza, utilizamos a mesma letra sem a seta.

Se um corpo vai de A para B, seu deslocamento, que vamos chamar de D1, apresenta
intensidade 3 m, direção vertical e sentido para a cima. Se um outro corpo se desloca de

X para Y, dizemos que seu deslocamento, que vamos chamar de D2, foi 3 m horizontal
para a direita. Se um terceiro corpo se desloca 3 m na direção horizontal para a esquerda,

seu deslocamento, que vamos chamar de D3, foi 3 m horizontal para a esquerda. Os três

deslocamentos têm a mesma intensidade, mas não são iguais. D1 tem direção diferente
   
de D2 e de D3. Quanto a D2 e D3 apresentam a mesma intensidade, a mesma direção,
mas sentidos contrários.
D1 = D2 = D3
≠ D2 ≠ D 3
Mas   
D1
68 Forças e o Princípio Fundamental da Dinâmica para o Movimento Retilíneo

B
D1
X D2 Y
A
N D3 M
1m
1m
Figura 4 - Exemplos de deslocamentos
Fonte: o autor.
Conceito de Força
Uma vez estabelecido o conceito e a notação de grandezas vetoriais, podemos apre-

sentar o conceito de força.
Força é uma grandeza vetorial que caracteriza a ação de um corpo sobre outro e
que tem como efeito a deformação do corpo e/ou a alteração da velocidade do
corpo sobre o qual ela está sendo aplicada.
Empregamos, para forças, a notação usual para grandezas vetoriais: uma letra sobre
  uur r
a qual se coloca uma seta. Exemplos: F , f , T , P . Para indicar a intensidade da força,
empregamos a mesma letra sem a seta. Exemplos: F, f, T, P.
Observando as ações que ocorrem na natureza, verificamos que só existe força
quando há dois corpos: um que aplica a força, e outro que sofre a ação. Não podemos
falar em força do corpo, mas em força aplicada ou recebida pelo corpo. A força não
é propriedade do corpo, mas de um par de corpos.
UNIDADE 3 69
Dinamômetro
No século XVII, Robert Hooke estabeleceu a lei da

elasticidade, também conhecida como Lei de Hoo-
ke, segundo a qual, as deformações sofridas pelos
corpos são proporcionais às forças que são aplicadas
sobre eles. Com base nela, foi possível criar o apa-
relho, denominado dinamômetro, destinado à me-
dida de forças. O dinamômetro, às vezes chamado
erradamente de balança de molas, é constituído por
uma mola associada a uma escala. Pela deformação
da mola, determinamos a intensidade da força.
A unidade de força é denominada newton, que Figura 5 - Dinamômetro
será definida nesta unidade. Fonte: o autor.
Tipos de Força
Vamos descrever apenas as forças aplicadas ou recebidas por corpos que estão no
estado sólido. Essas forças se dividem em dois tipos: de contato e de campo. As forças
de contato só existem enquanto há contato entre os corpos; portanto, em dado corpo,
o número de forças de contato não pode superar o número de contatos. Essas forças
estão presentes quando se empurra ou se puxa um corpo.
As forças de campo existem mesmo que não haja contato entre os corpos. São
exemplos de força de campo: a força elétrica (aplicada por corpos eletrizados), a força
magnética (aplicada por ímãs) e a força peso ou força de atração gravitacional ou
força da gravidade (aplicada por um planeta ou estrela sobre os outros corpos). No
momento, entre as forças de campo, só nos interessa a força peso.
As Principais Forças da Mecânica
Em 1687, Isaac Newton formulou a hipótese de que todos os corpos se atraem mu-
tuamente. A existência dessa atração, denominada gravitacional, é muito difícil de
ser observada experimentalmente enquanto se opera com objetos comuns – duas
pessoas, por exemplo – pois, nessas condições, ela é desprezível. No entanto, quando
um dos objetos é um planeta, essa atração passa a ter intensidade considerável.
Nessas condições, um corpo na superfície ou nas proximidades da Terra – ou de
qualquer outro planeta – está submetido a uma força de atração gravitacional, tam-

bém chamada força peso, exercida pelo nosso planeta sobre o corpo, e é a existência
dessa força que explica, por exemplo, a queda dos corpos. A força peso é dirigida
para o centro da Terra.
Quando um corpo A puxa um corpo B, dizemos que A exerce sobre B uma for-
ça de tração. Muitas vezes, a força de tração é transmitida por uma corda, por um
cabo de aço ou por uma linha de costura. Esses elementos transmissores de força de
tração são denominados fios. Para que exista força de tração, tem de haver um fio e
tendência de separação.
Quando um corpo está apoiado em uma superfície plana, recebe desta uma força,
denominada força normal, ou simplesmente normal, que impede a penetração do
corpo no apoio.
Quando tentamos arrastar um corpo sobre uma superfície, aparece uma força,
denominada força de atrito, que impede ou dificulta o escorregamento do corpo em
relação à superfície. Essa força apresenta direção paralela à superfície de contato e
sentido contrário ao escorregamento ou tendência de escorregamento.
Um Exemplo Fundamental
Considere o exemplo de um trator puxando uma pedra que está apoiada em uma super-
fície horizontal. Vamos assinalar as forças que agem na pedra e descrever cada uma delas.
N
T
Fa
Figura 6 - Forças que agem em uma pedra sendo puxada por um trator
Fonte: o autor.
r
P : é o peso da pedra, ou seja, a força com que a Terra a atrai.
r
T : é a força de tração transmitida pelo fio do trator até a pedra. Tem a direção do
fio e sentido de puxar.
r
N : é a força normal aplicada pelo solo na pedra. Tem a direção perpendicular à
superfície e sentido de empurrar.
r
Fat : é a força de atrito aplicada pelo solo na pedra. Tem a direção tangente à su-
perfície e sentido contrário ao deslizamento, ou tendência.
UNIDADE 3 71
Entretanto, ainda temos de resolver dois problemas: um processo de medida de massa
e uma unidade.
Tabela 1 - cotações de preços
Produto Unidade Valor
Milho SACA DE 60 KG 26,41
Arroz SACA DE 50 KG 45,00
Cacau ARROBA (@) 98,00

Fonte: o autor.
Massa e sua Medida – Balança
O primeiro problema é resolvido com uma balança de dois pratos com braços iguais. Esse
tipo de balança só permanece em equilíbrio se nos dois pratos forem colocados corpos
de mesma massa. Em princípio, a utilização de uma balança de dois pratos é bastante
simples. Em um dos pratos, coloca-se o corpo cuja massa se quer determinar. No outro
prato, colocam-se massas aferidas, até que se atinja o equilíbrio. Massas aferidas são corpos
cuja massa é unitária, ou um múltiplo ou, ainda, um submúltiplo da unidade de massa.
Figura 7 - Balança de dois pratos egípcia
UNIDADE 3 73
O segundo problema é caracterizar o corpo que será empregado como unidade
de massa, especificando o material de que é feito e suas dimensões. Assim como no
caso da unidade de comprimento, houve inúmeras propostas para se utilizar obje-
tos como unidade de massa – grãos de cereais, peças de bronze e muitas outras. Até
que, em 1791, a Academia de Ciências de Paris definiu o quilograma (símbolo: kg,
obrigatoriamente grafado em letras minúsculas), como sendo a massa de 1 dm3 de
água a 4 °C.
Atualmente, o quilograma é definido como sendo igual à massa do protótipo
internacional do quilograma, que é um cilindro de uma liga de platina e irídio com
39 milímetros de diâmetro e 39 milímetros de altura, depositado no Bureau Inter-
national de Poids et Mesures, em Sèvres, perto de Paris.
Os principais múltiplos e submúltiplos do quilograma são apresentados na tabela
a seguir.
Tabela 2 - Múltiplos e submúltiplos do quilograma
Nome da unidade Símbolo Relação com o kg
Tonelada T (ou ton) 1 T = 103 kg
Grama g 1 g = 10-3 kg
Miligrama mg 1 = 10-6 kg
Fonte: o autor.
O Peso e a Relação entre Peso e Massa
Como foi explicado, o peso de um corpo (P) é a força com que a Terra ou outro astro
atrai o corpo. Tratando-se de uma força, sua medida é dada em newton, por meio
de um dinamômetro.
A massa (m) de um corpo, que é a quantidade de matéria do corpo, e sua medida é
obtida em uma balança. Vamos imaginar que sejam levados diferentes corpos, arbitraria-
mente escolhidos, para dado local da Terra. Com auxílio de uma balança, são determina-
das as massas desses corpos e, com um dinamômetro, são determinados os seus pesos.
Os resultados obtidos para a massa, em kg, e o peso, em N, estão na tabela a se-
guir e permitem concluir que o quociente da intensidade do peso pela massa é uma
constante que não depende nem de m nem de P.

Tabela 3 - Massas de diferentes objetos
Objetos Massa (kg) Peso (N) P /m[N/ kg]

Abajur 0,40 3,92 9,8
Miniatura de avião 0,25 2,45 9,8
Canivete suíço 0,19 1,862 9,8
Dicionário 1,25 12,25 9,8
Mamão 1,61 15,778 9,8
Saco de ração 2,30 22,54 9,8
Fonte: o autor.
Se esse experimento fosse repetido em outros pontos do Universo, observaríamos

que o quociente do peso pela massa continuaria sendo uma constante, que depende
apenas do ponto escolhido. Essa constante é denominada intensidade do campo
gravitacional do ponto considerado e é representada pela letra g. Para um ponto x
qualquer, temos:
P = mg
Sendo que:
• P é o peso do corpo que depende do corpo e do local. É medido com dina-
mômetro.
• m é a massa do corpo que depende do corpo. É medido com balança.
• g é a intensidade do campo gravitacional que depende do local. O valor de g
é aproximadamente 9,8 N/kg para qualquer local da Terra.
UNIDADE 3 75
A resultante de um sistema de forças
é uma força que substitui o sistema,
produzindo o mesmo efeito.
Forças opostas
Considerações Experimentais
O primeiro a ter a ideia de obter uma força equivalente a um sistema de forças foi
Simon Stevin, engenheiro, físico e matemático flamengo, nascido em Bruges. Na
Figura 8, a seguir, é mostrada uma versão moderna da mesa de forças utilizada por
Stevin para estudar o problema. Pesos conhecidos são pendurados e os fios que os
sustentam são presos a um anel. Na Figura 8, está ilustrada uma situação com três
pesos, mas podemos utilizar quantos pesos quisermos. Um transferidor permite
determinar os ângulos entre as forças. O anel é mantido em equilíbrio por um outro
fio, no qual se intercala um dinamômetro preso a um ponto fixo.
A leitura do dinamômetro indica a intensidade da força equivalente ao sistema.
Sistema de forças
Intensidade da
força equivalente K
ao sistema
F
Figura (a) Figura (b)
Figura 8: a) Mesa de forças, b) Sistema de forças aplicadas ao anel

Fonte: o autor.
Experimentando com diferentes sistemas de forças e por um processo de tentativa e

erro, Stevin descobriu que a força equivalente poderia ser determinada graficamente
pelo método da linha poligonal explicado a seguir.
UNIDADE 3 77
O método da linha poligonal
O método da linha poligonal consiste em representar cada força que age no corpo
com a origem na extremidade de uma anterior. A resultante tem a origem na origem
da primeira e extremidade coincidindo com a extremidade da última. Observe que
a soma vetorial é comutativa.
Sistema de Linha
Resultante
forças poligonal
G
K
F
K
G R R
R
F
F
K
G
Figura 9 - Método da linha poligonal
Fonte: o autor.
Considerações sobre o Método

 
da Linha Poligonal
1. Como acabamos de ver, se K , G e F são forças agindo em um corpo, a re-

sultante R, ou seja, a força equivalente ao sistema, é obtida pela linha poligonal.
   
Contudo suponha que K, G e F sejam deslocamentos. Nesse caso, R seria
o deslocamento equivalente aos três. Pode parecer estranho que o método
de obter o deslocamento vetorial e o de obter a resultante seja o mesmo. Não
estranhe! O método da linha poligonal se aplica a qualquer grandeza vetorial.
2. A aplicação do método da linha poligonal fica muito facilitada se as grande-
zas vetoriais forem representadas sobre um fundo quadriculado, no qual o
lado do quadradinho representa uma unidade da grandeza em estudo. Veja
o exemplo na Figura 10.
u
u
A B
B A C
C S
S = 14u
Figura 10 - Aplicação do método da linha poligonal sobre um fundo quadriculado

Fonte: o autor.

Componentes Ortogonais de uma Força
Em alguns casos, pode ser mais conveniente

uma operação inversa: determinar um sistema,
em geral, com duas forças, que seja equivalente
a uma dada força. Essas forças são chamadas
F
Fy
componentes da força dada. Merece atenção
especial o caso em que as componentes têm
direções perpendiculares entre si, sendo, por Fx
isso, chamadas componentes ortogonais. Figura 11 - Componentes de uma Força
Vamos aplicar o método da decomposição Fonte: o autor.
de forças obtendo a resultante do sistema anteriormente apresentado. As componentes
de cada uma dessas grandezas são (acompanhe a descrição a seguir com a Figura 10):

A: Ax = 4 unidades para a direita; Ay = 5 unidades para cima.

B: Bx = 6 unidades para a direita; By = 1 unidade para baixo.
C: Cx = 4 unidades para a direita; Cy = 4 unidade para baixo.
S: Sx = 4 + 6 + 4 = 14 unidades para a direita. Sy = 5 – 1 – 4 = 0.
Observe que uma força que tenha as componentes Sx = 14 unidades para a direita e
Sy = 0 coincide com a soma vetorial obtida pela linha poligonal

Quando estamos aplicando o método da linha poligonal ou o da decomposição,

estamos realizando a operação denominada soma vetorial. Portanto, a resultante de
um sistema de forças que agem em um corpo é a soma vetorial das forças que agem

no corpo. Em símbolos, sendo R a resultante das forças que agem no corpo:
r r
R=∑ F
Cuidado! A soma vetorial não é a soma das intensidades. A soma vetorial é obtida
pelo método da linha poligonal ou da decomposição.
UNIDADE 3 79
O problema do Referencial
Um cuidado que se deve ter ao aplicar o Princípio da Inércia é a escolha do referencial.

Só podemos dizer se um corpo está em movimento ou em repouso depois de esta-
belecer o referencial adotado. Para o estudo da Dinâmica, pelo menos por enquanto,
o referencial que adotaremos é a Terra.
Enunciado do Princípio da Inércia

e Algumas Conclusões
Se um corpo está em repouso em relação à Terra, ele tende a permanecer em repouso

em relação à Terra. Se um corpo está em movimento a uma determinada velocidade
em relação à Terra, ele tende a permanecer em movimento retilíneo uniforme com
a mesma velocidade em relação à Terra.
A tendência de se manter em repouso ou em movimento retilíneo uniforme é
chamada de inércia. Por isso, quando um corpo está a certa velocidade, pode-se dizer
que sua tendência é continuar com ela, por inércia.
Algumas Consequências do Princípio da Inércia

1. Para que um corpo em repouso inicie o movimento, é preciso aplicar a ele
uma ou mais forças, de modo que a resultante do sistema seja não nula, pois
a tendência do corpo em repouso é permanecer nesse estado.
2. Para que um corpo em movimento diminua ou aumente a velocidade, é pre-
ciso aplicar a ele uma ou mais forças, de modo que a resultante do sistema seja
não nula, pois a tendência do corpo em movimento é permanecer em MRU.
3. Para que um corpo em movimento faça uma curva, é preciso aplicar a ele
uma ou mais forças, de modo que a resultante do sistema seja não nula, pois
a tendência do corpo em movimento é permanecer em MRU.
Exemplos de aplicação do princípio da inércia

1. Por que se recomenda o uso do cinto de segurança? Por que alguns carros vêm
equipados com o sistema denominado airbag? Por que a maioria dos veículos
atuais tem, sobre o encosto do banco, um apoio para a cabeça?
Suponha que um veículo esteja se movimentando e que sua velocidade sofra redução
rápida, causada por uma freada ou por uma colisão. Constitui grave erro de Física
dizer que, nessas condições, o passageiro é lançado para a frente. A explicação correta
UNIDADE 3 81
Aumentando a Velocidade de um Corpo
Suponha que se deseje movimentar um corpo inicialmente em repouso em um

plano horizontal. Sabemos, por experiência própria, que isso exige a aplicação de

uma força F , que, por simplicidade, vamos imaginá-la horizontal. Sabemos, também,
pela nossa experiência do dia a dia, que empurrar um guarda roupa é mais difícil do

que empurrar uma cadeira e que isto se deve ao atrito com o chão ( f at ). Sabemos,
ainda, que nossa tarefa é facilitada se contarmos com a ajuda de um amigo que apli-
 
ca uma força H na mesma direção e sentido de F .
A conclusão é que, para o aumento da velocidade de um corpo em movimento

retilíneo, a resultante ( R ) das forças que agem no corpo tem de ter a direção e o
sentido do movimento.
Sentido do Movimento
N
fat F R
H
P
Figura 12 - Aumentando a velocidade de um corpo

Fonte: o autor.
Conclusão 1: para aumentar a velocidade de um corpo, precisamos aplicar nele um

sistema de forças cuja resultante seja no sentido do movimento. Também podemos
imaginar que, quanto maior a aceleração desejada, maior a resultante necessária.
Diminuindo a Velocidade de um Corpo
Vamos, agora, estudar um

Sentido do movimento
movimento retilíneo retar-
dado. Como exemplo, vamos
imaginar um carro se movi-
N
mentando para a direita e fat Res
freando. A causa da diminui-

ção e velocidade do carro é Far
P
a combinação das forças de
Figura 13 - Diminuindo a velocidade de um corpo
atrito e de resistência do ar. Fonte: o autor.

A conclusão é que, para a diminuição da velocidade de um corpo em movimento

retilíneo, a resultante ( R ) das forças que agem nele tem de ter a mesma direção, mas o
sentido contrário ao do movimento. Também podemos imaginar que, quanto maior
a aceleração desejada, maior a resultante necessária. Freadas bruscas exigem forças
de maior intensidade.
O Efeito da Massa
É claro que frear um caminhão é mais difícil do que frear um carro. Entenda-se por
mais difícil o que exige uma força de maior intensidade. Isto se deve à massa do
veículo. Portanto, a massa, que foi apresentada como uma medida da quantidade de
matéria, tem um outro significado: é uma medida da dificuldade que o corpo oferece
para ser acelerado. Daí se dizer que a massa é a medida da inércia, ou seja, é a medida
da tendência do corpo em se manter em repouso ou MRU.
Princípio Fundamental da Dinâmica do

Movimento Retilíneo
Toda essa discussão a respeito das forças que agem sobre o corpo e o movimento que
ele realiza pode ser resumida do seguinte modo:
A resultante das forças que agem sobre um corpo em movimento retilíneo apresenta
as seguintes características:
Intensidade: R = m|a|
Direção: a mesma da trajetória
Sentido: o mesmo do movimento, no caso deste ser acelerado.
Contrário ao movimento, no caso deste ser retardado.
UNIDADE 3 85
Definição da Unidade de Força no Sistema
Internacional
A partir da expressão R = m|a|, podemos definir a unidade de força do SI: o newton

(N) é a força necessária para acelerar um corpo de massa 1 kg com uma aceleração
de 1 m/s2. Em símbolos:
1 N = 1 kg.m/s2
01 EXEMPLO Um corpo de massa 3,0 kg, apoiado, inicialmente, em repouso em uma superfície

plana horizontal, recebe, a partir do instante t = 0, a ação de força F horizontal para
a direita de intensidade 6,0 N. Sabendo-se que o atrito entre o corpo e o apoio tem
intensidade f = 2,4 N, determinar o instante em que a velocidade do corpo é 3 m/s.
N
f = 2,4 N F = 6,0 N
Aplicando-se o Princípio Fundamental da Dinâmica para o movimento retilíneo,

obtemos:
R = ma → F – f = ma
6,0 – 2,4 = 3 ⋅ a → a = 1,2 m/s2
Como a aceleração é constante, o movimento é uniformemente variado, a velocidade

em cada instante pode ser determinada pela expressão:
V = V0 + at → 3,0 = 0 + 1,2 t
t = 2,5 s
A finalidade desta unidade pode ser resumida em uma linha:

Em um movimento retilíneo: R = m|a|
No entanto, para entender essa expressão e saber utilizá-las nas diferentes situações,
precisamos percorrer um longo caminho que começa pelo conceito e medida de forças.

neiro: LTC, 2016.
Larning, 2012.
93
1. D.
De acordo com a teoria apresentada, força é uma grandeza vetorial que caracteriza a ação de um corpo
sobre outro e que tem como efeito a deformação do corpo ou a alteração da velocidade do corpo sobre
o qual ela está sendo aplicada.
2. A.
A resultante das forças que agem em um corpo é uma força equivalente ao sistema e, matematicamente,
é obtida pela soma vetorial das forças que agem sobre o corpo.
3. E.
A massa de um corpo é uma propriedade do corpo relacionada à quantidade de matéria do corpo. O peso
é uma característica do corpo e do local.
4. B.
Se o dirigível está se movimentando em trajetória retilínea com velocidade constante V, de acordo com o
Princípio da Inércia, a resultante é nula.
5. C.
O corpo está sob a ação das 3 forças indicadas na figura.

N
P
 
O deslocamento do corpo é horizontal. Em consequência,
 as forças N e P se equilibram. Portanto, a
resultante das forças que agem no corpo é F .
R=F
Como essa força é constante, a aceleração também será e, portanto, o movimento do corpo é uniforme-
mente variado. Podemos, então, escrever que:
∆S = V0t + ½ at2
Como o corpo está inicialmente em repouso, V0 = 0: ∆S = 0 + ½ at2
Como se desloca 9 m em 3 s: 9 = ½ a 32 → a = 2 m/s2
Aplicando o Princípio Fundamental para o movimento retilíneo, vem:
R = F = ma
F=8N
94
97
98
99
100
Figura 1 - A presença dos movimentos rotacionais em situações diversas
Rotação Uniforme e Movimento

Circular Uniforme
Um corpo está em rotação quando todos os seus pontos,

com exceção daqueles pertencentes ao eixo, estiverem
em movimento circular em torno de um eixo. Os per-
tencentes ao eixo permanecem em repouso. Interessa-
-nos em particular o caso da rotação uniforme, em que
todos os pontos do corpo não pertencentes ao eixo estão
Figura 2 - Corpo em rotação
em movimento circular uniforme (MCU). Fonte: o autor.
Período e Frequência
O período (T) de um corpo em movimento de rotação uniforme é o tempo para

completar uma volta.
Por exemplo, o período de rotação da Terra em torno de seu eixo é 24 h. Se um
corpo gasta 0,01s para completar uma volta, seu período é 0,01 s.
Os fenômenos periódicos se repetem um determinado número de vezes em uma
unidade de tempo. O ponteiro dos segundos de um relógio completa uma volta por
minuto, 60 voltas por hora. A Terra dá 365 voltas por ano. Um determinado motor
realiza 60 rotações por segundo, ou 3 600 rotações por minuto.
UNIDADE 4 103
A frequência (f) de um corpo em rotação uniforme é o número de voltas na unidade
de tempo.
A frequência do movimento do ponteiro dos segundos de um relógio é de 60 voltas/h,

a da Terra é de 365 voltas/ano e a do motor mencionado é de 60 rotações/s ou 3 600
rotações/min.
No Sistema Internacional, a unidade de tempo é o segundo. Portanto, o período é
medido em segundos. A frequência, neste sistema de unidades, é o número de vezes que
o fenômeno se repete por segundo. A unidade de frequência no SI denomina-se hertz
(Hz). Como exemplo, se um corpo realiza 10 voltas por segundo, sua frequência é 10 Hz.
Outra unidade de frequência, de emprego comum na prática, é a rotação por
minuto (rpm). Como o próprio nome indica, a frequência em rpm indica o número
de voltas na unidade de tempo. É imediato verificar que 1 Hz = 60 rpm.
Lembrando que período é o tempo (vamos supor em segundos) de 1 volta e que
}
frequência é o número de voltas na unidade de tempo (1 s), podemos estabelecer a
seguinte relação de proporcionalidade:
1 volta → T(s)
f = 1/T
f voltas → 1 s
A unidade de frequência do SI é o hertz (Hz); uma unidade de frequência muito

usada na prática é a rotação por minuto (rpm). 1 Hz = 60 rpm.
104 Rotação, Cinemática e Dinâmica do Movimento Circular Uniforme

Outros Movimentos Periódicos
Além do MCU, há outros movimentos, denomi-
Figura 3 - Movimentos Periódicos

nados movimentos periódicos, que se repetem em
intervalos de tempos iguais. Por exemplo, um pêndulo
oscilando é um movimento periódico, ou seja, o tempo
gasto entre duas passagens por uma das extremidades
é constante. Uma lâmina vibrando é um movimento
periódico. Os conceitos de período e frequência apre-
sentados para o movimento circular uniforme são
aplicáveis aos demais movimentos periódicos.
Velocidade Angular no MCU
Quando lidamos com trajetórias retilíneas, a posição do corpo é determinada em

cada instante pelo espaço (S), que é a distância medida sobre a trajetória desde uma
origem arbitrariamente adotada e o ponto a ser localizado. Nos movimentos circu-
lares, é mais eficiente lidar com ângulos. Daí a importância da velocidade angular.
Recordando a Definição de Velocidade Escalar

Média de um Corpo Percorrendo uma Trajetória
Qualquer
Se um corpo percorre uma trajetória conhecida, passando por um ponto P num

instante t e por um ponto P’ num instante t´ > t, a velocidade escalar média (Vm),
no intervalo considerado, é definida pela expressão:
P(t) P’ (t’>t)
∆S
Vm =
∆t ∆S
Figura 4 - Velocidade escalar média no intervalo em um movimento qualquer

Fonte: o autor.
UNIDADE 4 105
Aplicando a definição de velocidade escalar para
o caso do corpo em MCU
Se o movimento é uniforme, a velocidade escalar é constante. Portanto, em um movi-

mento circular uniforme, podemos tomar dois pontos quaisquer (P e P´) da trajetória e
aplicar a definição de velocidade média para o trecho considerado. Observe que, nesse
caso particular, não precisamos falar em velocidade escalar média, pois ela é constante.
P (t)
ΔS
ΔS
r
P’ (t’ >t) Vm =
Δt
Figura 5 - Velocidade escalar no MCU em um intervalo de tempo qualquer

Fonte: o autor.
Em particular, se tomarmos uma volta completa, o valor de ∆S é o comprimento da

circunferência, e o valor de ∆t é o tempo para dar uma volta, ou seja, é o período.
Lembrando que o comprimento de uma circunferência de raio r é 2pr e designando
o período por T, vem
P (t)
∆ S 2πr r
V = =
∆t T ΔS = 2πr
Figura 6 - Velocidade escalar no MCU em uma volta completa

Fonte: o autor.

Aplicando a Definição de
Velocidade Escalar para um
Corpo em Rotação Uniforme
Vamos determinar a velocidade escalar de um

ponto qualquer de um corpo em rotação uni-
forme. Como exemplo, vamos supor que o corpo
seja um disco, mas as conclusões são válidas para
qualquer formato de corpo, seja um planeta, uma
pera, uma roda ou uma engrenagem.
A primeira consideração importante é que
todos os pontos de um corpo em rotação, com
exceção dos pertencentes ao eixo, têm o mesmo
período (T) e a mesma frequência (f). Se o ponto
Velocidades escalares
A gasta, por exemplo, 2 s para dar uma volta, o
ponto B gastará os mesmos 2 s.
Aplicando as considerações apresentadas
no item anterior, concluímos que as veloci-
dades do ponto A, que dista rA do centro de
B
rotação, e do ponto B, que dista rB do centro A
rB
de rotação, serão:
rA
2πrA
∆ S 2πrA ∆ S 2πrB
VA = = VB = =
∆t T ∆t T
2πrB
Generalizando, a velocidade de um ponto

qualquer que dista r do centro do disco que Figura 7 - Velocidade escalar de
diferentes pontos de um corpo
está em rotação uniforme de período T e fre- em rotação uniforme
quência f vale: Fonte: o autor.
 2π 
V =  . r = ( 2π f ) r
T 
UNIDADE 4 107
Velocidade Angular
A ideia da velocidade angular, como o próprio

P (t)
nome indica, é medir a rapidez de um ponto
em movimento circular, pelo ângulo que ele
gira em um dado intervalo de tempo ou, o que
vem a dar na mesma, pela variação do ângulo Δφ
de fase em um dado intervalo de tempo.

P’ (t)
Vamos continuar estudando um ponto do
disco já apresentado. Se, em dado intervalo de
tempo ∆t, um ponto do disco de P para P’,
a velocidade angular, que vamos representar
Figura 8 - Velocidade angular de
pela letra grega ω (ômega minúsculo), é: um corpo em rotação uniforme
ϕ
ω = ∆ (em rad/s) Fonte: o autor.
∆t
Em particular para uma volta completa (∆ϕ = 2π e ∆t = T)
2p
ω= = 2p f
T
Relação entre Velocidade Escalar

e Velocidade Angular
 2π 
Lembrando que V =   r = ( 2π f ) r , concluímos que
T 
V = ωr
Essa expressão tem especial importância por relacionar uma grandeza angular com
uma grandeza linear, ou seja, que lida com comprimentos. Só pode ser utilizada se
a velocidade angular estiver expressa em radianos por unidade de tempo.

01 EXEMPLO
Duas polias, de raios a = 12 cm e b = 4 cm, estão interligadas por uma correia. Se

a polia maior gira com frequência 0,8 Hz, determine a frequência do movimento da
polia menor. Desprezar eventuais escorregamentos entre a polia e a correia.
a = 12cm
b = 4 cm
a
b
Sendo Va a velocidade escalar de um ponto da polia a, Vb a velocidade escalar de

um ponto da polia b, e Vc a velocidade de um ponto da correia, então, como não há
escorregamento:
Va = Vb = Vc
Sendo ωa e ωb, as velocidades angulares das polias a e b, então

ωa . a= ωb . b
Mas ω = 2pf 2pfa . a = 2pfb . b
Simplificando: fa . a = fb . b
Efetuando-se as operações algébricas devidas, obtemos:
fb= 2,4 Hz
UNIDADE 4 109
Se o movimento for acelerado ou retardado, as
V3
setas seriam proporcionais ao valor da velocidade
V2
em cada instante:
V1 V2 V3
V1
Figura 10 - Velocidade em um movimento retilíneo acelerado
Fonte: o autor.
E se o veículo estiver percorrendo uma curva, a veloci-

dade será representada por uma grandeza vetorial de
Figura 11 - Velocidade em um
intensidade igual à velocidade escalar e com a direção
movimento circular uniforme
tangente à trajetória e o sentido do movimento. Fonte: o autor.

Velocidade Vetorial ( V )

Em resumo, a velocidade vetorial ( V ) é uma grandeza com as seguintes características:
Sempre igual ao módulo da

Intensidade velocidade escalar. Em
símbolos: v = V
Se o movimento é retilínio,
a velocidade tem a direção da
V Direção
trajetória. Se o movimento é
curvilíneo, a velocidade tem, a
cada ponto, direção tangente
a trajetória.
Sentido Do movimento
Figura 12 - Características da Velocidade Vetorial

Aceleração Centrípeta
Um corpo percorre uma trajetória circular de raio r com velocidade escalar constante
V. Nessas condições, como foi explicado, a velocidade angular também é constante.
Quanto à velocidade vetorial, a situação é inusitada: ela não aumenta, não diminui,
mas também não é constante, pois varia em direção. Julgou-se necessário criar uma
taxa de variação da velocidade em virtude da mudança de direção. Essa taxa de varia-
ção da velocidade devido à variação da direção é denominada aceleração centrípeta
e apresenta as seguintes características, que serão oportunamente demonstradas.
Intensidade ac = V² = ω²r
r
ac Direção
Perpendicular à
velocidade
Sentido Para dentro da curvatura
Figura 14 - Características da aceleração centrípeta
V1
V2
ac1 ac2
ω
ac3
Raio (r) V3
Figura 15 - Velocidade e aceleração em um movimento circular uniforme

Fonte: o autor.

Podemos, então, concluir que, no movimento circular uniforme, a resultante não é
nula. Vamos pesquisá-la.
Considerações Experimentais
O curling é um esporte coletivo, presente nas Olimpíadas de Inverno, no qual são lan-
çadas, em uma pista de gelo, pedras de granito - que muitos imaginam ser uma chaleira
por causa do aspecto (ver Figura
16). Essas pedras têm uma base
muito lisa, o que diminui mui-
tíssimo o atrito com a superfície D
de gelo e se constitui no princi-
pal atrativo do esporte. Imagine
V0
que uma delas seja presa a uma
haste fixa no gelo por meio de
Figura 16 - Peça de granito com superfície polida
um fio muito flexível no qual Fonte: o autor.
se intercala um dinamômetro e
que seja lançada com uma velo-
cidade inicial V0, de modo a per-
correr uma trajetória circular.
N
Na Figura 17, estão mostra-
T
das as forças que agem na peça
de granito. O peso é a força com
que a Terra a atrai, a normal é a V0
força que impede a penetração
no apoio, que é a pista de gelo, e
a tração é a força que impede a P
separação entre a peça de grani-
to e o ponto fixo. Figura 17 - Forças que agem na peça de granito (chaleirinha)
Fonte: o autor.
A Resultante – Direção e Sentido
Como a normal e o peso se equilibram, a resultante é igual à tração. Portanto, a re-

sultante é dirigida para o centro da curva.

R=T
V0
Figura 18 - A resultante é a própria tração

Fonte: o autor.
A Resultante – Intensidade
Inúmeras experiências análogas a esta, realizadas com corpos de diferentes massas,

percorrendo trajetórias circulares de diferentes raios a diferentes velocidades, levou
Newton a concluir que a intensidade da resultante das forças que agem sobre um
corpo é dado pela expressão:
R = mV2/r = mω2r = m ⋅ ac
Enunciado do Princípio Fundamental da

Dinâmica para o MCU
Resumindo, a resultante das forças que agem em um corpo de massa m que percorre
uma trajetória circular de raio r com uma velocidade V, com velocidade angular ω,
apresenta as seguintes características
INTENSIDADE: R = mV2/r = mω2 . r
MCU: R DIREÇÃO: RADIAL
SENTIDO: PARA O CENTRO DA CURVA
R
ω TRAJETÓRIA
Raio
Figura 19 - A resultante das forças que agem em um corpo em MCU

Fonte: o autor.
UNIDADE 4 117
01 EXEMPLO
Em um Globo da Morte, um motociclista passa pelo ponto A com velocidade 15 m/s.

Se a massa do conjunto de motocicleta e piloto é 120 kg e o raio do globo é r = 10 m,
a intensidade da força normal aplicada pelo globo no instante em que a moto passa
pelo ponto A é
C
N
V
A
P
Figura 20 - Representação da força normal aplicada pelo globo no instante em que a moto passa pelo
ponto A
R = N – P = mac
N = m(g + V2/r)
N = 120 (10 + 152/10)
N = 3 900 N
A Cinemática tem a finalidade de descrever um movimento. No entanto, dependendo

do tipo de movimento, há formas mais adequadas do que outras. Quando estudamos
o movimento de um corpo percorrendo uma estrada, o conceito de espaço (S) ou
abscissa, que equivale ao de marco quilométrico, pode ser bastante útil.
Contudo, não podemos nos esquecer que há inúmeras situações em que os corpos
giram. Motores, ventiladores, planetas, engrenagens e rodas de veículos. Nesses casos,
temos de pensar maneiras diferentes de descrever o movimento.
Daí a necessidade de definir período, frequência e velocidade angular de um corpo
em rotação ou de um corpo em movimento circular uniforme em torno de um ponto.
Uma característica importante dos corpos fazendo curvas é a variação da dire-
ção do movimento. Para estudar essa variação, foi definida a velocidade vetorial e
a aceleração centrípeta que mede exatamente a variação da direção da velocidade.
Apresentamos o Princípio Fundamental da Dinâmica para o caso particular do
movimento circular uniforme.

neiro: LTC, 2016.
Larning, 2012.
124
1. A
voltas voltas
f = 1740 rpm = 1740 = 1740
min 60 s
f = 29 Hz.
2. E
ω = ∆φ/∆t
Sendo: ∆φ = (número de voltas) . 2π = 40 π
∆t = 10 min = 600 s
ω = (p/15) rad/s
V= ωr = (p/15) 4 = 0,83 m/s.
3. B
I) Correta. Por definição, o movimento circular uniforme tem trajetória circular e velocidade escalar constante.
II) Correta. ω = V/r = constante.
III) Incorreta. Varia em direção.
IV) Incorreta. Aceleração de um corpo em MCU é a centrípeta.
4. B
a) Incorreta. A normal existe desde que haja contato e tentativa de penetração
22
b) Correta. R = mV2/r = 0,5. = 5N
0, 4
c) Incorreta. Aceleração escalar é nula, pois a velocidade escalar é constante.
d) Incorreta. Varia em direção.
e) Incorreta. O corpo sai pela tangente.
125
128
129
130
A finalidade deste capítulo é conceituar energia, apresentar uma classificação das
diferentes modalidades de energia, estudar as transformações de energia e, além disso,
apresentar um outro método de resolução de problemas de Dinâmica.
No esquema a seguir, p representa o núcleo de hidrogênio que é constituído por

um próton. A estrela representa esquematicamente energia liberada. A fusão nu-
clear que ocorre no Sol acontece quando núcleos de átomos de Hidrogênio (p) se
fundem, formando um isótopo do Hidrogênio denominado Deutério (D), liberando
uma enorme quantidade de energia. A seguir, há a fusão do Deutério com outro
núcleo de átomo de Hidrogênio, ocorrendo uma nova liberação de energia e for-
mando um átomo de Hélio. Sem essa fonte de energia, não haveria vida na Terra.
P
D He
P
P
Figura 1 - Representação esquemática e foto de uma fusão nuclear

Fonte: o autor.
Conceito de energia
Como já foi explicado, definir uma grandeza física é relacioná-la com outras já conhecidas.
Daí se conclui que não se pode definir tudo. Não definimos massa e tempo por exemplo.
Também já foi explicado que, na ausência
de uma definição, temos de estabelecer um
conceito, o que implica descrever as con-
dições de existência da grandeza e um ou
mais processos de medida. Um corpo (ou um conjunto de corpos)
Em resumo, não se define energia, tem energia quando está em movimento
mas podemos apresentar um conceito a ou quando está numa situação da qual
partir do qual se pode identificar se um se pode obter movimento.
corpo ou conjunto de corpos têm energia.
UNIDADE 5 133
Acompanhe os exemplos a seguir.
Energia cinética
O conceito anteriormente apresentado permite concluir que um corpo em movimen-

to tem energia. A energia associada ao movimento é denominada energia cinética
que vem do grego kinetikós, que significa movimento.
Como será oportunamente justificado, se o corpo tem massa m e, num dado
instante, tem velocidade escalar V, sua energia cinética (Ec) é dada pela expressão
1 V
Ec � m � V 2
2
Figura 2 - Uma bola de massa m se movimenta com um uma velocidade V possui energia cinética
que vale Ec = ½ mV2
Fonte: o autor.
Energia potencial
Um corpo também tem energia quando está numa si-

tuação a partir da qual o corpo pode adquirir movimen- a)
to. Nos dois casos a seguir, representados nas Figuras 3a
e 3b, há um corpo em condições de adquirir movimento
– dizendo de outra forma, em situações potenciais de h
movimento. Portanto, a cada um desses casos, pode-
mos associar algum tipo de energia. No primeiro caso,
a energia existe devido à ação gravitacional da Terra
e é denominada energia potencial gravitacional. No b)
segundo, a energia deve-se à deformação do arco e é
denominada energia potencial elástica. Observe, na Fi-
gura 3, que a energia potencial está associada à posição
do tijolo em relação ao solo e que, no segundo, ela está
associada à posição da flecha em relação ao arco. No
caso (a), é a energia potencial gravitacional, pois é devida
à ação da Terra sobre o corpo. No caso (b), é a energia
Figura 3 - Exemplos de energia po-
potencial elástica, pois é devida à elasticidade do arco. tencial: (a) energia potencial gravita-
A soma da energia cinética com a energia potencial cional; (b) energia potencial elástica
Fonte: o autor.
é denominada energia mecânica.
134 Conceito, Classificação e Descrição dos Diferentes Tipos de Energia

Outras Formas de Energia
Um recipiente hermeticamente fechado e aquecido, uma panela de pressão, por

exemplo, apresenta um tipo de energia denominada energia interna ou energia tér-
mica, que é a soma das energias cinéticas das
moléculas do gás contido no seu interior, e a)
podemos percebê-la quando há uma explo-
são, por exemplo.
O funcionamento de motores de com-
bustão interna, utilizados em veículos (Fi-
gura 4b), é baseado na transformação de
energia térmica em energia mecânica. A b)
energia térmica é obtida da energia química
do combustível.
A energia química é associada às ligações
entre átomos que constituem as moléculas
de um corpo. Em uma queima, a energia
química do combustível é transformada em
energia térmica. Em um circuito elétrico, a
energia química da pilha é transformada
em energia elétrica que, por sua vez, é trans-
Figura 4 - Exemplos de transformações
formada em outras formas de energia. Em de energia química em outras formas de
energia luminosa, por exemplo, a energia é energia: (a) energia química em energia
luminosa; (b) energia química em energia
associada à emissão de luz (Figura 4a). mecânica
Obtenção de Energia Elétrica
Basicamente, nossa sociedade é dependente de dois tipos de energia: uma, que está
na forma de energia química, armazenada no petróleo; a outra é energia elétrica, que
não está disponível diretamente na natureza de maneira economicamente viável e
precisa ser obtida a partir de outras formas de energia.
A descrição, propriedades e característica da energia elétrica serão apresentadas
em capítulo posterior. Por enquanto, basta saber que é a forma de energia associada
ao movimento de cargas elétricas, em geral.
UNIDADE 5 135
Usinas Hidrelétricas
No Brasil, grande parte da energia elétrica provém de hidrelétricas conforme mostra

a Figura 5. Uma certa massa de água, cujo nível está a determinada altura, é acumu-
lada em grandes reservatórios (represas), armazenando energia potencial gravita-
cional. Na queda da água, a energia potencial é transformada em energia cinética
(movimento). Na parte de baixo do reservatório, encontra-se uma turbina, cujas pás
são movimentadas pela água. A turbina aciona o gerador elétrico, que transforma a
energia de movimento em energia elétrica.
Linhas de
Energia
Luzes da
Casa Barragem
Casa de Força
Reservatório Transformador
Gerador
Entrada Comporta de Entrada Turbina Escoamento
Figura 5 - Esquema de uma hidrelétrica
Outras Formas de Transformação de Energia
Há outras formas alternativas de transformar energia que vem se tornando cada

vez mais comuns. São as chamadas transformações limpas, pois praticamente não
agridem o ambiente. Um exemplo interessante é a obtenção de energia elétrica pela
ação do vento (ver Figura 6a). Nesse caso, o gerador elétrico é movimentado pelos
próprios ventos que sopram na região.

Na queda, há transfor-
mação de energia potencial
gravitacional em cinética. No
lançamento vertical, ocorre a Transformação de energia Transformação de
transformação contrária. potencial gravitacional energia cinética em
Essa constatação levou à em cinética potencial gravitacional
criação de uma nova grande-

za, denominada trabalho de V0
uma força, que leva em conta Vf
tanto a intensidade da força
como o deslocamento do cor-
Figura 7 - Transformação de energia em sentidos diferentes
po no qual está aplicado. Fonte: o autor.
Considerações Físicas Informais
Imagine um carro sendo rebocado (ver Figura 8) em uma rua retilínea, e que a força

F exercida pelo guincho sobre o carro seja constante, horizontal para a direita. Se o
operador do guincho quiser calcular o custo de sua operação, ele deve levar em con-

ta não apenas a intensidade da força F , mas também o deslocamento realizado.
Quanto maior for o seu percurso, mais combustível ele vai gastar. De uma maneira
informal, o custo estaria relacionado com o produto F ⋅ d da intensidade da força
pelo deslocamento.

Figura 8: Uma força ( F ) horizontal causa o movimento do carro
Fonte: o autor.
Imagine, agora, que o carro esteja sendo guinchado em uma rua retilínea e que a

força F , exercida pelo guincho sobre o carro, seja constante, inclinada de um ângu-
lo θ, como indicado na Figura 9.
F θ

Figura 9 - O guincho aplica uma força ( F ) inclinada
Fonte: o autor.
UNIDADE 5 139
  
Para analisar esse caso, podemos substituir F por suas componentes Ft e Fn . (Ver

Figura 10). A componente Fn�mantém as rodas dianteiras suspensas para facilitar o
deslocamento, enquanto a componente Ft� causa o movimento. Portanto, ao calcular a
energia gasta no transporte, devemos levar em conta apenas a componente na direção

do deslocamento ( Ft) ).
Agora, o custo estaria relacionado com o produto da componente Ft pelo deslo-
camento.
Fn
F
θ
Ft

Figura 10 - Decompondo a força F .
Fonte: o autor.
Definição de Trabalho de uma Força Constante

em um Deslocamento Retilíneo
Analisando-se exemplos análogos aos apresentados, julgou-se conveniente definir

uma grandeza, denominada trabalho de uma força, que é representado pela letra

grega τ (tau), que leva em conta o deslocamento e a componente Ft da força. Para
isso, consideraremos um corpo sofrendo um deslocamento d, sujeito à ação de uma

força constante F , que forma, com o deslocamento, um ângulo θ, como mostrado
na Figura 11.
Fn
F
θ
Ft d
Posição Posição
Inicial Final
 
Figura 11 - Definição de trabalho de uma força constante F em um deslocamento retilíneo d
Fonte: o autor.
De acordo com o exposto, trabalho é a grandeza escalar que pode ser calculado por
meio da expressão: t f Ft d

No triângulo da figura: cos q =
Ft
F
Realizando as devidas substituições, vem a definição do trabalho de uma força cons-

tante num deslocamento retilíneo (d).
τ F F d cosθ
Observações Relativas ao Trabalho de uma Força
• Na Física, trabalho está associado à força e ao deslocamento do seu ponto de

aplicação, não tendo, necessariamente, relação com o sentido usual da palavra
trabalho.

• O trabalho de uma força constante F também pode ser calculado pela expres-

são τ F Ft d , sendo Ft a componente de F na direção do deslocamento. O
sinal será positivo se Ft tiver o sentido do deslocamento e negativo se tiver o
sentido contrário.
• A definição apresentada ( τ F F d cosθ ) é válida para qualquer situação
física, desde que a força seja constante.
• O trabalho é uma grandeza escalar, podendo assumir valores positivos, nega-
tivos ou nulos, de acordo com o cosseno do ângulo formado pela direção da
força e a direção do deslocamento. Quando o trabalho de uma força é positivo,
ele é denominado trabalho motor; quando é negativo, é chamado de resistente.
• O trabalho está sempre associado a uma força, não tendo sentido expressões
do tipo: “trabalho de um corpo”, “trabalho de um sistema” ou “trabalho de um
gás”. Podemos falar em trabalho da força exercida sobre um corpo, trabalho
da força exercida por um gás sobre um êmbolo e assim por diante.
• A unidade de trabalho no Sistema Internacional (SI) é produto da unidade
de força (newton) pela unidade de distância (metro), e é denominada joule
(J). Em símbolos:
1 J (joule) = 1 N (newton) ⋅ 1 m
• Como trabalho de uma força constante pode ser calculado pela expressão
τ F F d cosθ Ft d . (ver Figura 12), concluímos que ele não depende da
trajetória, mas apenas das posições inicial e final. Cuidado! A propriedade vale
para força constante em intensidade, direção e sentido. Voltaremos ao tema.
UNIDADE 5 141
Será que essa regra vale para qualquer força? Ou seja, se um corpo vai de um ponto
A para um ponto B e uma determinada força atrapalha o movimento, ela vai ajudar
a movimentarmos de B para A?
A resposta é não. Por exemplo, quando arrastamos um corpo que está em um
piso horizontal de um ponto A para um ponto B, o atrito se opõe ao movimento; se
movimentarmos de B para A, o atrito continua atrapalhando.
Isto levou os físicos a classificar as forças em duas classes.
As forças conservativas são aquelas cujo trabalho só depende das posições inicial e
final, não dependendo do caminho escolhido. São exemplos de forças conservativa
o peso, a força elástica e a força elétrica. Todas as outras forças são denominadas
não conservativas.
Portanto, os trabalhos das forças conservativas estão associados a variações de ener-

gia potencial. O trabalho da força gravitacional (peso) está associado à variação da
energia potencial gravitacional. O trabalho da força elástica está associado à variação
da energia potencial elástica. O trabalho da força elétrica está associado à variação
da energia potencial elétrica.
Energia Potencial Gravitacional
Vamos calcular o trabalho da

A C
força peso que age em um cor-
po de massa m, que se desloca
do ponto A, que está a uma al-
tura hA, ao ponto B, que está a hA
uma altura hB, como mostra- B
do na Figura 15. Como o peso HB
é uma força conservativa, ou
seja, seu trabalho não depen- Plano de referência arbitrariamente escolhido
de da trajetória, podemos es-

Figura 15 - O corpo é transportado de A até B. Foi escolhido
colher a mais conveniente. A arbitrariamente o caminho ACB.
trajetória ACB, por exemplo. Fonte: o autor.
UNIDADE 5 145
O trabalho da força peso, quando o corpo se desloca de A até B pelo caminho es-
colhido, é a soma do trabalho no deslocamento de A até C, com o trabalho de C até B.
  
t AP B � t APC tCP B
O trabalho no trecho AC é nulo, pois a força está sempre perpendicular ao deslocamento.


t APC 0
O trabalho no trecho CB pode ser obtido pela definição de trabalho de uma força
constante:

tCP B intensidade � da
� força deslocamento mg hA hB
Logo: 
P
t A B mg hA hB
Definimos energia potencial gravitacional pela expressão
Ep grav m g h
Portanto:

t AP B Ep A Ep B
Energia Potencial Elástica
Vamos calcular o trabalho da força elástica que age em um corpo de massa m, preso
a uma mola de constante elástica k, que se desloca do ponto A, no qual a mola apre-
senta uma deformação x, ao ponto O, no qual a mola não apresenta deformação.

A: Posição inicial. A mola
apresenta uma deformação x
Fela = kx
O
Fela = 0
O: Posição final. A mola não
apresenta deformação
Figura 16 - O corpo preso à mola se desloca de A até O

Fonte: o autor.
O corpo preso à mola é abandonado da Fela

posição A, na qual a força vale kx. À Kx
medida que o corpo se desloca para a
esquerda, a intensidade dessa força vai
diminuindo, sempre seguindo a expres-
são F = Kx, até passar pelo ponto O,
x
no qual a deformação é nula e, em con-
sequência, a força é nula. A área sob o Figura 17 - Gráfico da intensidade da força
elástica em função da deformação da mola
gráfico é o trabalho da força elástica. Fonte: o autor.
O gráfico que representa a força que atua na mola passa pelos pontos x, portanto:

1 1 2
t AFela
O k x x kx
2 2
Definindo energia potencial elástica pela expressão:

1 2
Ep ela kx
2
Podemos escrever a expressão do trabalho da força elástica:


t XFela
Y Epela x Epela y
UNIDADE 5 147
De modo geral, sobre o corpo atuam forças que favorecem seu movimento, enquanto
outras se opõem a ele, havendo, ainda, aquelas que nem favorecem nem se opõem. No
 uur
exemplo, a força que ajuda o movimento é a força T , enquanto que o atrito ( f a ) se
 
opõe. As forças P e N não ajudam nem atrapalham.
Quando queremos obter a variação de velocidade do corpo, utilizamos a resultante,
que representa o saldo das forças. As forças que favorecem o movimento realizam
trabalhos positivos; as que se opõem a ele, trabalhos negativos; as que nem favorecem
nem se opõem não realizam trabalho.
Portanto, o saldo desses trabalhos causa a variação de velocidade, ou seja, variação
da energia cinética. Como o saldo desses trabalhos é o trabalho da resultante, pode-
mos concluir que a variação da velocidade e, portanto, a variação da energia cinética
pode ser obtida pelo trabalho da resultante. Em resumo:

t A→ B causa a variação da energia cinética.
R
R=T-f
A B
Figura 19 - Um corpo sob ação de várias forças se desloca de A até B

Fonte: o autor.
Dedução do Teorema da Energia Cinética
Vamos analisar um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado. Se um

corpo está a uma velocidade V0 e pela ação de um sistema de forças adquire uma
aceleração a que se mantém constante ao longo de um deslocamento ∆S, então, sendo
V a velocidade ao fim desse deslocamento, podemos escrever, aplicando a equação
de Torricelli.
V0 a V
V 2 V02 2aS
ΔS
Figura 20 - A velocidade de um corpo que, sob ação de várias forças, desloca-se ∆S, e a velocidade
passa de V0 para V
Fonte: o autor.
Aplicando-se a equação fundamental da dinâmica para o movimento retilíneo:

R ma
Obtemos a aceleração: a =
R
m
UNIDADE 5 149
Substituindo-se essa última expressão na equação de Torricelli
R
V 2 V02 2 S
m
Multiplicando-se a expressão por m e dividindo-se por 2, vem:
1 1
m V 2 m V02 RS
2 2
Lembrando-se que:
m ⋅ V 2 � é a energia cinética final no deslocamento considerado.

1
2
m ⋅ V02 � é a energia cinética inicial no deslocamento considerado.

1
2
R∆S é o trabalho da resultante no deslocamento considerado.

Conclusão:
Teorema da energia cinética: τ R εc
Observações a Respeito do
Teorema da Energia Cinética
1. Embora o teorema tenha sido deduzido para o caso particular de MRUV, as

conclusões são válidas para qualquer tipo de movimento (retilíneo ou curvi-
líneo) e para resultantes constantes ou variáveis.
2. A unidade da energia cinética, no Sistema Internacional, é dada por:
2
ec Kg
m
s
m2
c 2
e kg
s
m
ec kg m
s2
ec N m Joule

Coerentemente, a unidade da energia cinética, bem como de qualquer outro
tipo de energia, é igual à unidade de trabalho.
3. O teorema da energia cinética é válido independentemente da natureza das
forças. Elas podem ser constantes, variáveis, conservativas e não conservativas.
01 EXEMPLO
1. Um menino caminha em um plano horizontal, puxando uma caixa por meio

de uma corda, que forma um ângulo de 30° com a horizontal, como mostrado
na figura.
T
300

Se a força T transmitida pela corda tem intensidade 10 N, o trabalho realizado
por essa força ao longo de um deslocamento 10 m, vale, aproximadamente,
em joules:
a) 10 b) 50 c) 70 d)86 e) 100
Dado sen30° = 0,5 e cos30° ≈ 0,86
Resolução:
tT = T ⋅ d ⋅ cosθ = 10 ⋅ 10 ⋅ 0,86 = 86 J
Resposta D.
2. Um bloco de massa 4 kg é
A
abandonado em repouso
em um ponto A de um pla-
no inclinado, como mostra 0,8 m
a figura. B
Se o atrito entre o corpo
e o plano inclinado é des-
prezível e adotando-se g = 10 m/s2, o corpo atinge o ponto B com ve-
locidade, em m/s:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
UNIDADE 5 151
Resolução: Vamos aplicar o teorema da energia cinética:
τ R εc εCB εCA (1)
Como o corpo está sob ação exclusivamente das forças peso e normal:
t R � t P t N
t N = 0� pois o ângulo entre a normal e o deslocamento é 900

= = 32� J
t P mgh
t R = 32� J (2)
1 2 1 2
Por outro lado: eCB mVB mVA
2 2
1
eCB mVB2 0 (3)
2
Substituindo-se (2) e (3) em (1) e lembrando-se que a massa do corpo é 4 kg, vem:
32 = 4VB2
1
2
Obtemos VB = 4 m / s
Resposta C.
3. Um corpo de massa 0,5 kg está

apoiado, incialmente em repou- F (N)
so, sobre um plano horizontal
sem atrito na posição x = 0 do 10
eixo indicado na figura. Sobre
o corpo, age uma mola inicial-
mente comprimida, sendo que
a intensidade da força elástica
em função da abscissa x varia x (m)
0,2
como indicado no gráfico. O
corpo inicialmente é impedido
de se movimentar por meio de Trava
uma trava.

Em um dado instante, a trava é retirada e o corpo é empurrado pela mola. A
velocidade do corpo ao passar pelo ponto de abscissa x = 0,2 m é, em m/s:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
τ R εc εc x 0,2 εc x 0 � (1)
Resolução:
O trabalho da resultante é obtido pela área sob o gráfico:
1 1
10 0, 2 mV 2 0
2 2
Daí, obtemos: V = 2 m s
Resposta B.
A importância do conceito de energia dispensa explicações. Contudo, além do con-

ceito, temos de conhecer as diferentes formas de energia, a possibilidade da trans-
formação de uma forma em outra, as alternativas economicamente viáveis de apro-
veitamentos dos recursos energéticos.
Precisamos ter em mente que energia pode ser transformada de uma forma em
outra ou transferida de um corpo para outro.
A energia não pode ser criada nem destruída, mas isso não quer dizer que não
possa ser desperdiçada, por conta da dissipação e do risco do esgotamento dos re-
cursos naturais.
Mas há um outro aspecto da teoria de trabalho e energia que não pode ser igno-
rada: o recurso muito eficiente para resolução de exercícios de Dinâmica. Um desses
recursos é o teorema da energia cinética. O outro será melhor estudado na Unidade 6.

UNIDADE 5 153
FEYNMANN, R.; LEIGHTON, R.; SANDS, M. Lições de Física de Feynman. Porto Alegre: Artmed, 2008.
Volume 3.
neiro: LTC, 2016.
Larning, 2012.
161
1. B.
A energia química dos combustíveis é transformada em energia térmica dos gases resultantes da combustão
que é transformada em energia mecânica no interior dos cilindros do motor.
2. E.
Na turbina, a energia cinética da água é transformada em energia cinética de rotação. A turbina causa
rotação do gerador. No gerador, a energia cinética de rotação é transformada em energia elétrica.
3. A.
Energia cinética de A: EA= ½ m VA2

Energia cinética de b: EB= ½ m VB2
VA2
EA/EB = = 25/49
VB2
4. D.
tT= T . d . cos60º = 80 . 75 . 1/2
tT = 3 000 J
Se a velocidade é constante, o trabalho da resultante é nulo. Logo, o trabalho do atrito vale:
tA = - 3 000 J
5. E.
O trabalho da resultante no deslocamento 3 m pode ser obtido pela área:
tR = ½ 3 . 16 = 24 J
Portanto
Aplicando o teorema da energia cinética, vem:
tR= ∆EC
24 = ½ m(V2 - 0)
V = 4 m/s
162
165
166
167
168
minuição de energia potencial corresponde – ou não – a um aumento de energia
cinética. Uma primeira ideia é estudar a soma desses dois tipos de energia e verificar
se mantém constante ou não. Começamos por definir energia mecânica.
Energia mecânica é definida como a soma da energia potencial com a energia

cinética. Em símbolos:
εmec = ε pot + εcin
O que pode Acontecer com a Energia Mecânica?
Constata-se que o aumento, a diminuição ou a constância da energia mecânica depen-

de do trabalho das forças não conservativas. No caso do corpo em queda livre, sem
resistência do ar, só o peso (força conservativa) realiza trabalho, a energia potencial
diminui, a energia cinética aumenta e a energia mecânica se mantém constante.
No caso do paraquedista, a resistência do ar (força não conservativa) impede o
aumento da energia cinética, mesmo com diminuição de potencial, causando dimi-
nuição na energia mecânica. No caso de um corpo sendo empurrado, é o trabalho
da força aplicada (não conservativa) que causa aumento de energia mecânica. Vamos
tentar descobrir, agora, a relação entre variação de energia mecânica e trabalho das
forças não conservativas.
Teorema da Energia Mecânica
A resultante das forças que agem sobre um corpo é a soma vetorial das forças que
agem sobre ele. Em símbolos:
 
R � F
Dentre as forças que agem sobre um corpo, algumas são conservativas e outras não

conservativas. Logo, chamando as forças conservativas de Fc e as não conservativas

de Fnc , podemos escrever que:
  
R � Fc Fnc
UNIDADE 6 171
De acordo com o critério apresentado, o peso é uma força conservativa, enquanto a
 
normal ( N ) e o atrito ( f ) são forças não conservativas. Vamos calcular o trabalho
de cada uma delas e a variação da energia mecânica.
O trabalho da resultante pode ser obtido tanto pela definição de trabalho de uma
força constante como pela soma algébrica dos trabalhos realizados por cada uma das
forças que agem no corpo.
   
t R t P t N t f (1)
De acordo com o teorema da energia cinética:

τ R εc (2)
O trabalho da normal é nulo, pois se mantém perpendicular ao deslocamento
t N = 0 (3)

O peso é uma força conservativa. Portanto, seu trabalho pode ser calculado pela
variação da energia potencial (cuidado com a ordem)

τP εp in ε p fin ε p (4)
Substituindo-se (2), (3) e (4) por (1) e, lembrando que a energia mecânica é a soma
da energia potencial com a cinética, temos:

εc ε p 0 τ f

τ f εc ε p

τ f εmec fin εmec in
Enfim, o teorema mostra que a dissipação da energia, ou seja, a transformação da

energia mecânica em outras formas de energia é causada pelo trabalho das forças
não conservativas.
UNIDADE 6 173
01 EXEMPLO
Dois corpos, 1 e 2, são abandonados a partir do repouso, dos pontos A e B, sendo

que o corpo 1 percorre o plano inclinado AC, enquanto o corpo 2 está preso a um
fio de comprimento L, como mostra a figura, e percorre o arco BD.
A B
C VD
Vc D
Figura 2 - A energia mecânica se conserva quando apenas forças conservativas realizam trabalho
Fonte: o autor.
Sabendo-se que A e B estão na mesma horizontal, assim como os pontos C e D e

que são desprezíveis os atritos e a resistência do ar, sendo VC e VD as velocidades nos
pontos C e D, podemos afirmar que:
a) VC = VD
b) VC > VD
c) VC < VD
d) Nada se pode afirmar, pois nada foi informado sobre as massas dos corpos.
e) Nada se pode afirmar, pois desconhecemos o comprimento do fio.
Resolução
Considerando-se que, nos dois casos, o trabalho das forças não conservativas é nulo,
os sistemas são conservativos. Portanto VC = VD).
Resposta A.
174 Aplicações da Teoria de Trabalho e Energia

Podemos generalizar a ideia de taxa de
fornecimento de energia para qualquer
situação em que haja transferência ou
transformação de energia.
Dessa forma, podemos aplicar o conceito
de potência para uma lâmpada, um
aparelho de som, um motor, uma pessoa
ou um chuveiro, bem como para qualquer
sistema em que haja transferência ou
transformação de energia. Chamando de
ε a energia e Pm a relação entre a energia
e o intervalo de tempo ∆t , portanto,
podemos definir potência média por meio
Figura 3 - James Watt (1736-1819). Enge-
da equação: nheiro e mecânico escocês, desenvolveu
a máquina a vapor
ε Fonte: o autor.
Pm =
∆t
Potência: Unidades
No Sistema Internacional (SI), e é medido em joules (J) e t, em segundos (s). Por

isso, a potência é medida em joules por segundo (J/s). A unidade J/s foi chamada
de watt em homenagem ao causador de todo esse problema. O símbolo do watt é W:
W = J/s
É muito comum usarmos, também, a unidade quilowatt (kW), equivalente a mil watts.
1 kW = 103 W
Também é muito usado o megawatt:

1MW = 106 W

Só como exemplo, a usina hidrelétrica de Ibitinga, no médio Tietê, tem potência
de 114.600 kW ou 114,6 MW significando a possibilidade de transformar energia
mecânica em 114.600.000 joules de energia elétrica, a cada segundo de operação.
Uma Antiga Unidade de Potência Ainda Utilizada
Quando a máquina a vapor foi criada, as comparações com seu ilustre antecessor, o
cavalo, eram inevitáveis. Qual a potência de um cavalo? Experiências realizadas na
França mostraram que um cavalo conseguia levantar 75 kg à altura de 1 m em 1 s.
Essa medida deu origem a uma unidade de medida de potência, hoje quase em total
desuso, denominada cheval-vapeur (CV), traduzida no Brasil por cavalo-vapor.
Na Inglaterra, dizem, mas não há confirmação, que o próprio Watt realizou a mesma
medida e chegou à conclusão de que o cavalo inglês conseguia levantar 76 kg à altura
de 1 m em um segundo. Com esses dados, foi possível criar a unidade de potência
denominada horse-power (HP), utilizada, ainda hoje, em áreas mais conservadoras
da engenharia.
Relação entre W, CV e HP
Vamos determinar a potência de

um cavalo que consegue deslo-
car verticalmente 1 m em um
intervalo de tempo de 1 s, um
corpo de massa m nos seguintes
1s 1m
casos (adotar g = 9,81 m/s2):
a) m = 75 kg.
b) m= 76 kg.
Figura 4 - Simulação esquemática da experiência de James Watt
Fonte: o autor.
Lembrando que:
ε m⋅ g ⋅h
Pm = =
∆t ∆t
UNIDADE 6 177
Basta fazer as devidas substituições numéricas:
a) m = 75 kg
e 75 9, 8 1
Pm �
735W
t 1
b) m = 76 kg
e 76 9, 8 1
Pm �
746W
t 1
Potência de uma Força
Qualquer transferência ou transformação de energia está associada ao trabalho de

uma força. Sendo t o trabalho realizado por uma força F em um tempo ∆t, pode-


mos determinar a potência média da força F pela expressão:
t
Pm
t
Vamos supor que um corpo percorra uma trajetória retilínea com velocidade cons-

tante V, sob a ação de várias forças. A potência média de uma dessas forças ( F ) será:
F S
Pm F Vm
t
Podemos, também, definir a potência de uma força (F) em um dado instante t, no

qual a velocidade vale V pela expressão:
Pm F V
Rendimento
Quando temos em vista o desempenho de determinada tarefa, geralmente necessita-

mos empregar mais energia do que a exigida pela tarefa em si, por causa das perdas.
A potência que corresponde à estrita realização da tarefa desejada denomina-se
potência útil Pu . A potência não aproveitada denomina-se potência passiva ou
potência dissipada Pd . Para obtermos a realização da tarefa proposta, é necessária,
então, uma potência total Pt , que corresponda à soma das potências útil e dissipada.

Para qualquer dispositivo, chamamos de rendimento h a relação entre a potên-
cia útil Pu e a potência total Pt :
h=
Pu P
ou h u 100%
Pt Pt
02 EXEMPLO
Em uma oficina mecânica, percebeu- T

-se, experimentalmente, que, para mo-
vimentar verticalmente um corpo de
peso 500 N, mantendo uma velocidade
constante de 4 m/s e utilizando o guin- P
cho existente no local, era necessário um
Figura 5 - a) corpo sendo erguido pelo guincho;
motor de potência 2.500 W. Desprezar b) forças que agem no corpo sendo erguido
atritos e resistência do ar. Fonte: o autor.
O rendimento do guincho é:
a) 100% b) 90% c) 80% d) 70% e) 60%
Resolução:
Para que o corpo adquira movimento retilíneo uniforme, o guincho tem de aplicar

ao corpo uma força ( T ) de intensidade igual ao peso do corpo, portanto T = P.
A potência P , fornecida pelo guincho, vale:
P T V
P 500 4
P = 2 000 W
De acordo com o enunciado, para obter o efeito desejado, foi necessário a utilização
de um motor de 2.500 W. Logo, o rendimento do guincho será:
h =�
Pu
PT
h =�
2000
2500
η = 0, 8 = 80%
UNIDADE 6 179
Cabe a pergunta: mas é importante estudar o movimento causado por uma criança
brincando com uma corda ou atirando pedra nas águas de um lago?
Claro que não. A finalidade da ondulatória é criar uma teoria que se aplique à pro-
dução e propagação de todos os tipos de ondas, tanto as mecânicas, que exigem um
meio para se propagar – por exemplo as ondas sonoras – como as eletromagnéticas,
que é o caso da luz e das ondas de rádio, cujas importâncias dispensam comentários.
Sobre a condição para a formação de uma onda mecânica e nomenclatura associada

às ondas, entende-se que as ondas mecânicas ocorrem quando há uma perturbação
em um meio elástico, que é caracterizado pela tendência em retornar ao estado
inicial. Quando a água recebe a ação da pedra, sua tendência é restaurar o estado
inicial. Quando puxamos uma mola, sua tendência é retornar ao comprimento
original.
Em resumo, a onda decorre de uma perturbação, que vamos denominar pulso,
em um meio elástico.
Uma Característica Fundamental das Ondas
Quando ouvimos um som emitido por uma pessoa ou por um alto-falante, há trans-
missão da energia, que denominamos energia sonora, mas não há transporte de
matéria. As moléculas de ar em contato com o alto-falante não chegam até o ouvinte.
Portanto, generalizando:
Uma onda transporta energia sem que haja transporte de matéria.
UNIDADE 6 181
Considerações Gerais de um Movimento
Harmônico Simples
Para estudar o movimento de um corpo ligado a um meio elástico, vamos imaginar

um corpo de massa m preso a um ponto fixo por uma mola de constante elástica k.
Tirando o sistema da posição de equilíbrio, comprimindo a mola por exemplo, ela
aplica ao corpo uma força, denominada força elástica, que tende a levar o corpo de
volta para a posição de equilíbrio. É uma força restauradora, sempre dirigida para
a posição de equilíbrio, que tende a restaurar o estado inicial. Contudo, isso causa a
oscilação do corpo em torno da posição de equilíbrio. Esse movimento é denominado
movimento harmônico simples (MHS).
Acompanhe a descrição do movimento com as próximas figuras.
A Figura 7a mostra o corpo de massa m preso a um ponto fixo por uma mola
de constante elástica k. A Figura 7b mostra a mola sendo deformada por um agente
externo. A Figura 7c mostra a força restauradora.
x
b
F = kx c
Figura 7 - Corpo preso a uma mola: a) corpo apoiado, em repouso, mola na posição natural; b) a mola
está sendo comprimida; c) a mola atinge a deformação máxima
Fonte: o autor.
Vamos à descrição do fenômeno. Aplicando-se uma força para a esquerda, tiramos

o corpo da posição de equilíbrio até a mola apresentar uma deformação x, como
mostrado na Figura 7b. Nesse ponto, a mola aplica ao corpo uma força, denominada
força restauradora (ou força elástica), de intensidade kx, que tende levá-lo de volta
à posição de equilíbrio.
Se o sistema é abandonado da posição A1, indicada na Figura 8, a mola tenta
restaurar a posição de equilíbrio e empurra o corpo para a direita até atingir a po-

sição O. Atingido esse ponto no corpo, a força elástica é nula. Entretanto, como o
corpo tem uma certa velocidade, ele tende, por inércia, a continuar seu movimento
para a direita, mas, agora, a força restauradora é para esquerda e, em consequência,
o movimento é retardado, sua velocidade diminui até parar na posição A2. Não
havendo resistências passivas, o processo prossegue indefinidamente com o corpo,
oscilando entre as posições A1 e A2.
A amplitude (a) do MHS é a distância entre a posição de equilíbrio e uma posi-
ção extrema. Nas posições extremas (A1 e A2), a velocidade é nula e a força elástica
é máxima.
a a
O
A1 F = ka A2
F = ka
Figura 8 - A1 e A2 são as posições extremas O é a posição de equilíbrio

Fonte: o autor.
Quando o corpo está na posição O, de compressão nula, a força elástica é nula

(Figura 9).
O
A1
Figura 9 - O ponto “O” é a posição de equilíbrio. A força elástica é nula

Fonte: o autor.
Se adotarmos um eixo como o mostrado na Figura 9, convencionando que a força

é positiva quando seu sentido for o mesmo do eixo e negativa em caso contrário, o
gráfico da força elástica em função da deformação da mola é uma reta, pois, como
sabemos, a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação.
UNIDADE 6 183
F (N)
X (m)
-a a
Mola comprimida Mola esticada
Figura 10 - Gráfico da força em função da deformação. Quando a mola está esticada, a força é contra
o eixo adotado e foi convencionado ser negativa
Fonte: o autor.
Energia Cinética, Potencial e Mecânica no MHS

A energia potencial elástica, ou seja, a energia potencial armazenada em um sistema
massa-mola, vale e p = kx2 , sendo x uma deformação. Nas posições extremas,
1
2
(x = - a e x = a) a energia potencial vale e p = ka2 .

1
2
1 2
A energia cinética vale mV , sendo nula nas posições extremas, nas quais a velocidade
2
é nula.
A energia mecânica, que é a soma da energia potencial com a cinética, é constante,
pois o MHS sempre se constitui em um sistema conservativo.
F (N)
Energia Mecânica
Energia Potencial
Elástica
Energia Cinética
X (m)
Mola comprimida Mola esticada
Figura 11 - Gráfico das energias potencial, cinética e mecânica em função da deformação

Fonte: o autor.

Período e Frequência de um MHS
O período do movimento é o tempo para completar uma oscilação. Por exemplo, se o

corpo é abandonado da posição A1, o período é o tempo para retornar ao ponto A1.
o
A1
Figura 12 - Um MHS
Fonte: o autor.
Vamos aceitar, sem demonstração, por enquanto, que o período do sistema massa-
-mola vale:
T = 2p
m
k
A frequência é o número de vezes que o fenômeno se repete na unidade de tempo. Por
exemplo, é o número de vezes que o corpo passa pela posição A1 em um segundo. Como
a frequência é o inverso do período, pode ser facilmente obtida da expressão anterior.
f =
1 k
2p m
Vamos lembrar que a unidade de frequência é o Hz. Se um fenômeno se repete 100

vezes em um segundo, sua frequência é 100 Hz. No caso da mola, se o sistema realiza
100 oscilações completas por segundo, a frequência da oscilação é 100 Hz.
UNIDADE 6 185
Pulso
Propagação
Figura 14 - Propagação de um pulso transversal em uma mola helicoidal

Fonte: o autor
Propagação de um Pulso em uma Corda
Vamos imaginar um pulso em uma corda homogênea e flexível. Para que seja ho-
mogênea tem de ser de um mesmo material, um fio de aço, por exemplo, e de seção
constante. Satisfeitas essas condições, podemos definir a densidade linear da corda,
que é o quociente da massa pelo comprimento. Sendo m a massa da corda e L seu
comprimento, a densidade linear (µ ) vale:
µ =m L
A densidade linear é uma medida da inércia da corda. Causar uma perturbação em

um fio de seda e em um cabo de aço exige
forças diferentes.
Suponha que um pulso transversal se
propague em uma corda de densidade linear V
(µ ). Para ser considerada uma corda, deve
estar tracionada. Nessas condições, seja T a
intensidade da força de tração no fio.
Figura 15 - Propagação de um pulso transversal
em uma corda
A velocidade de propagação do pulso é dada Fonte: o autor.
pela expressão:
T
V=
µ
Note que, nesse caso, o que propaga é a energia, tanto na modalidade cinética
quanto na modalidade potencial, pois, à medida que o pulso se movimenta, há
uma variação na velocidade na direção transversal à corda, mas há, também, trans-
missão de energia potencial elástica associada à deformação e à restituição da corda
à medida que o pulso se propaga.
UNIDADE 6 187
Ondas Periódicas
Até aqui, estudamos a propaga-

ção de pulsos isolados. Vamos
passar para uma onda origina-
da de uma fonte que envie uma
sequência de pulsos idênticos, λ
originados de uma fonte.
Só como exemplo, conside- Figura 16 - Ondas periódicas. Comprimento de ondas
Fonte: o autor.
re a extremidade de uma corda
perfeitamente flexível presa a uma fonte que realiza um MHS na direção perpendi-
cular à corda. Ao longo do tempo, vamos verificar a formação de uma onda formada
por cristas e vales, com a forma de uma cossenóide que se propaga a uma velocidade
V. Se a fonte executa um MHS vertical, qualquer ponto da corda executa um MHS
vertical, de mesmo período, mesma frequência e mesma amplitude da fonte.
A distância entre duas cristas ou dois vales adjacentes é constante e denominado
comprimento de onda λ (lambda).
O tempo necessário para uma crista percorrer a distância λ é o período do mo-
vimento (T). Logo, a velocidade de propagação da onda é:
V =�
l
T
Entretanto, como a frequência é o inverso do período (f = 1/T) surge uma expressão

fundamental para o estudo das ondas periódicas:
V =�l f
Onda Estacionária
Interferência é o fenômeno resultante da superposição de duas ou mais ondas. O

princípio da superposição das ondas estabelece que, durante a superposição, a per-
turbação da onda resultante é a adição das perturbações que seriam causadas por
cada onda separadamente.
Vamos analisar o caso mostrado na Figura 17. Uma extremidade da corda está
fixa e a outra executa um MHS. Ocorrem ondas transversais que se refletem na
extremidade fixa. Essas ondas possuem a mesma frequência e a mesma amplitude,
mas propagam-se em sentidos opostos. A superposição dessas ondas resulta em uma
onda estacionária.

Cada ponto de uma onda estacionária realiza um MHS. Portanto, em cada ponto
há transformação de energia potencial elástica em cinética e vice-versa, mas não
há transmissão de energia. A amplitude do MHS em cada ponto é constante. Em
particular, nos pontos denominados nós (N1, N2, N3, N4), a amplitude é nula. Nos
ventres (V1, V2, V3, V4), a amplitude é máxima.
λ/2
N1 N2 N3 N4
Fonte:
(MHS)
V1 V2 V3 V4
λ/4 λ/2
Figura 17 - l é o comprimento de onda; N1, N2, N3 e N4 são os nós; V1, V2, V3 e V4 são os ventres.
Fonte: o autor.
Ondas Sonoras
As ondas sonoras são ondas mecânicas e, portanto, não se propagam no vácuo. São
ondas longitudinais que podem se propagar em meios gasosos, líquidos ou sólidos.
As frequências das ondas sonoras, ou seja, as que podem ser percebidas por um
ser humano, estão compreendidas entre 20 Hz e 20.000 Hz. Abaixo de 20 Hz, são
denominadas infrassônicas, e acima de 20.000 Hz, ultrassônicas.
Podemos criar ondas sonoras a partir de cordas de instrumentos musicais e cordas
vocais humanas, ou não. Podemos também criá-las a partir de membranas vibrantes
como instrumentos de percussão. Apesar das diferenças, todos esses processos têm
alguma coisa em comum: a alternância entre a compressão e a descompressão do ar,
gerando ondas periódicas ou aproximadamente periódicas que são transmitidas pela
atmosfera até os ouvidos dos que estão próximos, causando uma sensação agradável.
As ondas não periódicas são atribuídas a barulhos.
Podemos criar uma onda sonora comprimindo e descomprimindo o ar no interior
de um tubo com auxílio de um êmbolo. As camadas próximas ao êmbolo sofrem um
aumento de pressão. Por conta desse aumento de pressão, o ar do interior do tubo
desloca-se para frente comprimindo as camadas que estão à frente, assim, um pulso
de pressão propaga-se ao longo do tubo.
UNIDADE 6 189
Pressão do ar
Distância ao longo do tubo

Figura 18 - Formação de ondas sonoras em um tubo
Fonte: o autor.
Uma onda sonora é uma onda de pressão. Os tímpanos são sensíveis às variações de
pressão, produzindo a sensação sonora.
Diferentes fontes de som, como alto-falantes, instrumentos de cordas e diapasões,
conseguem, por meios diferentes, causar as alternativas entre alta e baixa pressão que
interpretamos como sons agradáveis ou ruídos.
A velocidade de propagação do som depende do meio e da temperatura. No ar, a
15 °C é de 340 m/s, enquanto que na água é de 1.450 m/s.
Qualidades do Som
Os ouvidos humanos podem detectar três diferentes características do som, que

denominamos qualidades do som. São elas: altura, timbre e intensidade.
A altura está relacionada exclusivamente à frequência f . Quanto maior a altura,
maior a frequência, mais agudo é o som.
O timbre é o que permite distinguir uma mesma nota (mesma frequência) emitida
por instrumentos diferentes.
A intensidade I está relacionada ao som mais forte e mais fraco. A intensidade
é medida pela potência sonora por metro quadrado. Portanto, a unidade de intensi-
dade sonora, no SI, medida é W/m2.
O problema é que o ouvido humano não responde linearmente ao aumento da
potência. Se a potência é duplicada, não temos a sensação de que a intensidade so-
nora dobrou.

Para que nosso ouvido tenha a sensação do dobro da intensidade de um outro de
mesma frequência, temos de decuplicar a potência.
Daí a definição do bel (B) e do decibel (dB). Para medir a intensidade auditiva
na unidade bel, temos de usar a seguinte expressão:
b = log
I
I0
sendo I a intensidade do som que se deseja conhecer e I0 = 10-12 W/m2, que é a

mínima intensidade sonora audível pelo ser humano.
Por exemplo, se a intensidade sonora de um determinado som é 10-10 W/m2, a
intensidade auditiva, representado pela letra grega beta b desse som, será:
10−10
β = lo = 2 bel
10−12
Na prática, prefere-se o emprego da unidade decibel, que um décimo do bel.
1 dB = 0 1 B
Portanto, a intensidade auditiva do som correspondente ao exemplo anterior será:
b = 20� dB
A intensidade sonora para quem está a cerca de 30 m de um avião a jato decolando

é cerca de 100 W/m2. Neste caso, o nível sonoro é:
102
β = 10 lo = 140 dB
10−12
Uma pessoa submetida continuamente a intensidades sonoras superiores a 80 dB
poderá ter perda irrecuperável da audição. Em vista disso, os funcionários dos ae-
roportos que trabalham na pista e, portanto, nas proximidades dos aviões, têm de
utilizar protetores para os ouvidos.
UNIDADE 6 191
O nome bel foi dado em homenagem a Alexander Graham Bell que, supostamente,
teria sido o inventor do telefone. No entanto, em 2002, o italiano Antonio Meucci
foi reconhecido como o verdadeiro inventor do telefone.
Esta unidade pode ser dividida em duas partes aparentemente distintas, mas que
apresentam muitos pontos em comum.
A primeira foi uma continuação da teoria de trabalho e energia na qual apresen-
tamos a definição e as propriedades da energia mecânica, que é a soma da energia
potencial com a cinética. Demonstramos que, se em um dado sistema, o trabalho das
forças não conservativas é nulo, a energia mecânica é constante ou, o que vem a dar
na mesma, a soma dos trabalhos das forças não conservativas é igual à variação da
energia mecânica do sistema.
Além disso, apresentamos dois conceitos importantíssimos para o estudo das
máquinas: os conceitos de potência e de rendimento.
Daí passamos para o estudo das ondas. Pode parecer que não há relação entre os
dois assuntos, mas não é nada disso. A onda é justamente o transporte de energia
sem transporte de massa. As aplicações da teoria ondulatória na era em que vivemos
é impossível de ser ignorada.
Até a próxima unidade.

neiro: LTC, 2016.
Larning, 2012.
TIPLER, P. A. Física Conceitual: Bookman Porto Alegre: LTC, 2016.
202
1. B
B
hA
2m
Lembrando o Teorema da energia mecânica:

t FFNC = ∆emec
r
Como, de acordo com o enunciado, t FFNC = 0 → emec é constante.

r
Logo,
(ep +ec)A = (ep +ec)B
mghA = mghB + ½ m VB2

Da expressão anterior vem: hA = 7 m.
2. D.
Nos três casos, a emec é constante. Nos casos A e B, a velocidade no ponto mais alto é nula. Logo,
hA = hB .
Entretanto, no caso do corpo C, a velocidade no ponto mais alto não é nula. Portanto, hC < hB
Em resumo: hA = hB > hC
203
209
210
Se o solo aplica uma força normal que impede a penetração da pedra no solo, o que
acontece com o solo? Se a Terra atrai um corpo aplicando sobre ela uma força que
denominamos peso, o que acontece com a Terra?
O princípio da ação-reação responde a essas questões.
Antes de prosseguir, uma questão de notação: sempre que necessário, vamos em-

pregar o símbolo F A/ B , que deve ser entendido como a força que A exerce em B.

Analogamente, o símbolo FTERRA/ CORPO � indica a força que a Terra exerce sobre
um corpo e assim por diante.
O princípio da ação-reação estabelece que, na natureza, não existe a ação isolada

de um corpo sobre outro, mas ação entre corpos. Em símbolos, conhecendo-se
r r
F( A/ B ) , o princípio da ação-reação nos permite estabelecer características de F( B / A)
Considerações Físicas
São colocados próximos um do outro um ímã e uma esfera de aço, presos a um suporte
pelos fios 1 e 2, conforme mostrado na figura a seguir. Se os corpos são abandonados
do repouso com os fios na vertical, observa-se que o sistema evolui para uma nova
situação, na qual os fios ficam inclinados. A inclinação do fio 1 é causada pela ação
magnética do ímã sobre a esfera; a inclinação do fio 2 é causada pela ação magnética
da esfera sobre o ímã.
Conclui-se, então, que, em uma interação magnética, a esfera e o ímã se atraem.
É de se esperar que o mesmo aconteça com a interação gravitacional, embora, nesse
caso, a verificação experimental seja
mais difícil. Se um corpo é colocado
nas proximidades da Terra, é atraído
por ela. Isso pode ser observado em Fio 1 Fio 2
vários experimentos, por exemplo, a
queda livre. Se a interação é mútua, o
corpo atrai a Terra, mas o efeito dessa F mag(ímã/esfera) F mag(esfera/ímã)
força é muito difícil de ser verificado, Figura 2 - Se o ímã atrai o prego, o prego atrai o ímã
pois a massa da Terra é muito grande. Fonte: o autor.
UNIDADE 7 213
F grav.(Terra/corpo)
F grav.(Corpo/terra)
Figura 3 - Se a terra atrai o corpo, o corpo atrai a terra

Fonte: o autor.
Empurrando e puxando corpos, verificamos que, também nesses casos, as ações são
mútuas. Se A empurra B, B empurra A. Se o trator puxa a pedra, a pedra puxa o
trator e assim por diante.
N -T
T
Fat

Figura 4 - Se o trator puxa a pedra ( T ), a pedra puxa o trator ( −T )
Fonte: o autor.
Enunciado do Princípio da Ação-Reação
Analisando os exemplos de interação citados, bem como qualquer outra interação

da natureza, observamos que a cada uma delas corresponde um par de forças de
mesma direção e sentidos opostos. Isaac Newton formulou a hipótese – confirmada
por inúmeros experimentos – de que as forças que constituem um par ação-reação
apresentam a mesma intensidade. Dessa forma, podemos enunciar o princípio da
ação-reação.
214 Sistema de Corpos Interagindo

r
Se um corpo A aplica, sobre o corpo B, uma força F ( A/ B ), B aplica sobre o
r
corpo A uma força F ( B / A), de mesma intensidade, de mesma direção e de
sentido oposto. Em símbolos, temos:
r r
F ( B / A ) = − F ( A/ B )
(O sinal de menos indica sentidos contrários)

e
F B / A F A/ B
(As forças que constituem um par ação-reação têm a mesma intensidade)
UNIDADE 7 215
Observações e Exemplos
Um par ação-reação corresponde sempre a um par de corpos e a uma única intera-

ção. Se o corpo A age sobre B, a reação não pode envolver um terceiro corpo C, por
exemplo. A reação é, necessariamente, de B em A. Quando dois corpos interagem,
eles trocam forças.
• As forças que constituem um par ação-reação estão sempre aplicadas em cor-
pos diferentes. Portanto, embora apresentem a mesma intensidade, a mesma
direção e sentidos opostos, elas não se equilibram.
• Como um par ação-reação corresponde sempre a uma única interação, as
forças que o constituem são de mesma natureza. Se uma delas é uma força de
tração, sua reação também será uma força de tração.
• As forças que constituem um par ação-reação apresentam a mesma inten-
sidade, mas não, necessariamente, os mesmos efeitos, pois estão aplicadas a
corpos diferentes. Quando um fuzil dispara, as forças que agem na arma e no
projétil têm a mesma intensidade. O projétil é lançado a grande distância em
um sentido, enquanto a arma sofre um pequeno recuo, em sentido oposto ao
do projétil. Isso se explica pelo fato de o projétil ter massa muito menor que
a da arma.
As Forças que Constituem um par Ação-Reação

não se Equilibram
As forças que constituem um par ação-reação não se equilibram, pois estão sempre apli-
cadas em corpos diferentes. Observe pelo enunciado que, se A age sobre B, B age sobre A.
Tome como exemplo uma pessoa (p) caminhando. Ela aplica, no solo (s), uma
r
força F ( p / s ) em um dado sentido, para a esquerda, por exemplo. Pelo Princípio da
r
Ação-Reação, o solo aplica na pessoa uma força F ( s / p ) de mesma direção – horizon-
tal, no exemplo – mas em sentido contrário que causa o movimento, como mostra a
r r
Figura 5. Observe que essas forças F ( s / p ) e F ( p / s ) são forças de atrito. Daí se conclui
que pessoas e inúmeros animais movem-se à custa do atrito.

F (s/p)
F (p/s)
Figura 5 - O princípio da ação-reação explica o movimento de uma pessoa andando

Fonte: o autor.
O movimento de um veículo (v) explicado de modo análogo, como mostra a Figura

6. O motor causa a rotação da roda. A rotação da roda origina uma força de atrito
r
aplicada ao solo (s) para esquerda, que vamos denominar F ( v / s ) pelo princípio da
r
Ação-Reação; o solo aplica no veículo uma força F ( s / v ) de mesma direção – hori-
zontal, no exemplo –, mas em sentido contrário, que causa o movimento do veículo.
F (s/v)
F (v/s)
Figura 6 - O princípio da ação-reação explica o movimento de um carro se movimentando

Fonte: o autor.
O movimento de um nadador (n) pode ser explicado de modo análogo. O nadador

r
age na água (a) aplicando uma força F ( n / a ) . A água reage aplicando, ao nadador, uma
r
força F ( a / n ) , como mostra a Figura 7.
F (a/n)
F (n/a)
Figura 7 - O princípio da ação-reação explica o movimento de uma pessoa nadando

Fonte: o autor.

UNIDADE 7 217
Em resumo, o Princípio Fundamental da Dinâmica relaciona o sistema de forças que
agem em um corpo com o movimento que ele adquire. O Princípio da Ação-Reação
regulamenta as ações mútuas entre os corpos. Para estudar o movimento de um
sistema de corpos interagindo, temos de utilizar esses dois princípios.
01 EXEMPLO
Aplicação dos Princípios da Dinâmica: Sistemas

de Corpos Interligados, Movendo-se com a
Mesma Aceleração
Na Física, a palavra sistema é comumente empregada como sinônimo de conjunto.

Um sistema de forças é um conjunto de forças. Para estudar as influências mútuas
(finalidade deste capítulo), vamos considerar um conjunto de corpos interligados,
que chamaremos de sistema de corpos. Vamos começar com dois corpos, A e B, de
massas m� A e m B , apoiados sobre um plano horizontal sem atrito e interligados por
um fio ideal. Vamos determinar a aceleração dos corpos e a intensidade da força de

tração no fio se uma força � F , horizontal para a direita, é aplicada ao corpo A, como
mostrado na Figura 9.
F
B A
Figura 9 - Sistema constituído por dois corpos interligados apoiados em um plano horizontal sem
atrito e sob ação de uma força horizontal para a direita
Fonte: o autor.
Resolução
O primeiro passo é a marcação das forças. Não precisamos nos preocupar em desenhar
as forças em escala. Recomendamos começar pelas forças de campo. Só recordando,
há três tipos de força de campo que interessam nos problemas de Dinâmica: força
gravitacional, força elétrica e força magnética. No caso, como a questão não faz refe-
rência a forças elétricas e magnéticas, só há forças de campo gravitacional (pesos). As
reações aos pesos estão aplicadas ao centro da Terra. Na grande maioria dos casos,
não precisam ser indicadas, não interferem na solução da questão.
UNIDADE 7 219
NB NA
-T T F
B A
PB PA
Figura 10 - Forças que agem nos corpos que constituem o sistema
Fonte: o autor.
Agora, passamos para as forças de contato, lembrando que a cada contato só pode
corresponder um par de forças, ou seja, um par ação-reação. O corpo A só tem con-
tato com o apoio e com o fio. Está sujeito a duas forças de contato: a normal, aplicada
 
pelo apoio N A � e a tração aplicada pelo fio ( T ). O corpo B está sob ação de duas
 
forças: a normal � N B� e a tração � T .

Na grande maioria dos casos, a notação vetorial pode ser dispensada. Observe que
as direções e sentidos estão mostrados na figura. Basta uma indicação da intensidade
ao lado de cada uma das forças.
NB NA
T T F
B A
PB PA
Figura 11 - Forças que agem nos corpos que constituem o sistema sem a notação vetorial
Fonte: o autor.
A seguir, aplicamos o Princípio Fundamental da Dinâmica para cada corpo sepa-

radamente.
No corpo A, as forças verticais se equilibram, pois não há aceleração na vertical.
Na horizontal, agem duas forças de mesma direção e sentidos contrários. A resultante
vai ser horizontal para a direita e tem intensidade F – T. De acordo com o Princípio
Fundamental da Dinâmica, a resultante tem intensidade igual ao produto da massa
pela aceleração. Logo, sendo a a aceleração do conjunto:
F T m A a (1)
Analogamente, para o corpo B, lembrando que a aceleração é a mesma:
T mB a (2)
Obtemos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas (T e a).

Há diferentes modos de resolver o sistema. O mais indicado é somar as equações.
Assim procedendo, obtemos:
F m A mB a (3)
Note que essa expressão é a mesma que seria obtida imaginando um corpo só, de
massa m A mB , sob ação de uma força F .
Da equação ( 3 ), obtemos a aceleração a:
F
a
m A mB
Substituindo-se esse valor na expressão (2), vem:
mB
T F
m A mB
02 EXEMPLO
Aplicação dos Princípios da Dinâmica: Sistemas de

Corpos Interligados por Fios Passando por Polias
Considere a situação esquematizada na figura, na qual os corpos A, de massa m A , e

B, de massa mB , estão interligados por um fio ideal que passa por uma polia ideal.
O corpo A está apoiado em uma superfície plana horizontal, sem atrito e encostado
a um corpo C, de massa mC .
A
C
Figura 12 - Sistema constituído por três corpos A, B e C, sendo que A e B estão interligados por um
fio ideal. O corpo C está encostado em A
Fonte: o autor.
Nessas condições, adotando g = 10 m/s, pode-se determinar a intensidade da força

de traço no fio T � e a intensidade da força f � que A exerce em C.
UNIDADE 7 221
Resolução
Considerações gerais. O fio é considerado ideal quando é inextensível e de massa

desprezível em relação às massas dos corpos que ele interliga. A polia é ideal quando
a força necessária para causar sua rotação é desprezível em face das outras forças
envolvidas na situação física descrita.
O primeiro passo é a marcação das forças, sem preocupação de escala. É uma
recomendação comum, mas que nem todos a apreciam, redesenhar o sistema com
os corpos separadamente, como mostrado a seguir. Comece pelas forças de campo,
depois passe para as de contato. No caso, as forças de campo são os pesos dos corpos.
Passe para as forças de contato. O corpo A tem contato com o apoio, com o corpo
C e com o fio. Está sob ação de três forças de contato que são a normal aplicada
pelo apoio N A , a tração aplicada pelo fio T e a força aplicada pelo corpo C. O
corpo C tem contato com o apoio e com o corpo A. Duas forças de contato, que são
a normal aplicada pelo apoio NC � e a força f � aplicada pelo corpo A. Note que a
força f � aplicada por A em C e a força f aplicada por C em A constituem um para
ação-reação. O corpo B está em contato apenas com o fio: uma força de contato T .
a)
A
C
b)
NA NC
T
f T
A f
C B
PB
PC
PA
Figura 13 - (a) Sistema constituído por três corpos A, B e C; (b) forças que agem em cada um dos
corpos que constituem o sistema
Fonte: o autor.

Conhecendo o esquema de forças que agem em cada corpo e o sentido da aceleração,
podemos aplicar o Princípio Fundamental da Dinâmica.
Para o corpo A: a aceleração é horizontal para a direita. Logo, a resultante é hori-
zontal para a direita. Aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica, vem:
T f m A a (1)
Analogamente, para o corpo C

f mC a � (2)
O corpo B acelera verticalmente para baixo com aceleração a. Logo:
PB T mB a (3)
Somando as três equações, vem:

T f f PB T m A a mB a mC a
PB m A mB mC � a
Daí obtemos:
PB
a
m A mB mC
mB g
a (4)
m A mB mC
Substituindo-se esse valor da aceleração (4) nas expressões (1) e (2) e realizando as
devidas transformações algébricas, obtemos:
mB g mB g
T f mA f mC
m A mB mC m A mB mC
m A + mC )mB g mC mB g
T= f
m A + mB + mC m A mB mC
UNIDADE 7 223
Figura 14 - Interações Rápidas
Em resumo, neste capítulo, denominado Dinâmica Impulsiva, vamos estudar movi-

mentos envolvendo dois ou mais corpos trocando forças de variáveis, sem vínculos
entre eles que os obriguem a ter o mesmo movimento.
Os Problemas Fundamentais
da Dinâmica Impulsiva
As questões de dinâmica impulsiva podem envolver duas situações distintas.

• 1ª situação: quando estamos interessados nos efeitos de um sistema de forças
agindo sobre um corpo. No exemplo do jogador chutando uma bola, embora
a questão envolva dois corpos, o foco pode ser apenas o movimento da bola.
Nesse caso, como veremos, utilizamos a equação fundamental da dinâmica
para valores médios.
• 2ª situação: quando estamos interessados nos efeitos mútuos das interações
em um sistema de corpos. No choque entre duas bolas de bilhar, o foco pode
ser estudar o movimento do sistema formado pelas duas bolas. Nesse caso,
utilizamos o teorema dos sistemas isolados, tema do Capítulo 4.
Definição de Quantidade de Movimento
A quantidade de movimento leva em conta tanto a massa do corpo como sua veloci-

dade. Se um corpo de massa m está a uma velocidade V , em determinado instante t,


define-se quantidade de movimento Q no instante considerado como a grandeza
vetorial a seguir: r r
Q = m ⋅V
UNIDADE 7 225
Como a quantidade de movimento é definida pelo produto de uma grandeza vetorial
por uma escalar positiva, ela apresenta as seguintes características:
Intensidade Q = mV
Direção 
r r Mesma de V
Q = m ⋅V
Sentido 
Mesmo de V
Unidade no SI kg ⋅ m/s.
V
m Q
m
(a) (b)

Figura 15 - (a) um corpo de massa m percorre uma trajetória qualquer. v é a velocidade em um dado
ponto (b) q é a quantidade de movimento do corpo no mesmo ponto
Fonte: o autor.
Variação da Quantidade de Movimento
Se, em um intervalo de tempo ∆t em que houve uma interação, a velocidade de um

  
corpo de massa m passa de V para V ’ , a quantidade de movimento passa de Q

para Q ’ . A variação de quantidade de movimento do corpo será dada por:
r r r r r
∆ Q = Q’ − Q = mV ′ = m ∆ V

Para determinar a variação de quantidade de movimento ∆ Q na colisão mostrada
 
na figura a seguir, vamos representar Q e Q ’ com uma origem comum. A variação
 
da quantidade de movimento ∆ Q é o que falta para a quantidade de movimento Q
r
transformar-se na quantidade de movimento Q ’ .

a b
V
Q Q’ Q
∆Q
V’
Q’
Figura 16 - Variação da quantidade de movimento em um choque oblíquo

Fonte: o autor.
No caso particular do movimento retilíneo, podemos calcular a variação da quanti-

dade de movimento de um corpo por um processo algébrico. Adotamos um eixo e
utilizamos a convenção habitual: se a velocidade do corpo está a favor da orientação
do eixo, a quantidade de movimento é positiva; por outro lado, se a velocidade do
corpo tem sentido oposto à orientação do eixo, a quantidade de movimento é negativa.
Equação Fundamental da
Dinâmica para Valores Médios
De acordo com a Equação Fundamental da Dinâmica, a resultante das forças que

agem sobre um corpo em um dado instante é dada pela expressão:
R = mg
 

Sendo m a massa e g a aceleração vetorial do corpo em um dado instante. Se a
expressão vale em qualquer instante, vale também em um dado intervalo de tempo.
 
Em símbolos, sendo Rm a resultante média e g m a aceleração vetorial média:
Rm = mg m
uuur r
A aceleração vetorial média em um dado intervalo de tempo é definida pela relação entre a
variação da velocidade vetorial e o tempo gasto para acontecer essa variação. Em símbolos:
uuur
r V
Rm m
t
r
Como m . ∆V é a variação da quantidade de movimento, então:
uuur
r ∆Q
Rm =
∆t
que denominamos equação fundamental da dinâmica para valores médios.
UNIDADE 7 227
Uma Aplicação da Equação Fundamental da
Dinâmica para Valores Médios
A tacada inicial de um determinado golfista fez com que a bolinha, de massa aproxi-
madamente 50 g, atingisse a velocidade de 288 km/h. Sabendo que o contato entre o
taco e a bolinha teve a duração de 1 milésimo de segundo, determinar a intensidade
da força média aplicada pelo taco na bolinha.
Aplicando-se a equação fundamental da dinâmica para valores médios para o
fenômeno descrito vem: uuur
r ∆Q
Rm =
∆t
No caso, o tratamento vetorial é dispensável, a quantidade de movimento inicial é

nula, e a resultante das forças aplicadas à bolinha é a força que o taco exerce sobre
ela. Logo, a expressão se transforma em:
mV − 0
Fm =
∆t
Sendo: m = 50 g = 50.10-3 kg; V = 288 km/h = 80 m/s; ∆t = 10-3 s, obte-

mos F = 4000 N ou 4000 kg/ms2
Teorema do Impulso
A Equação Fundamental da Dinâmica para valores médios estabelece que a resultante

média das forças que agem sobre um corpo é dada pela expressão
uuur
r ∆Q
Rm =
∆t

Define-se impulso ( I ) da resultante das forças que agem sobre um corpo em um
dado intervalo de tempo pela expressão:

I = Rm ∆t
É imediato constatar que o impulso da resultante das forças que agem em um dado
intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de movimento neste intervalo:
r uuur
I Q
Observe que o Teorema do Impulso é equivalente ao Princípio Fundamental da
Dinâmica para valores médios. A rigor, é dispensável.

Efeitos Mútuos: Considerações Físicas
As situações ilustradas na figura correspondem a problemas típicos de dinâmica

impulsiva, pois sempre há uma interação que ocorre em um intervalo de tempo
bem determinado e da qual nos interessa o efeito total e não o que acontece em cada
instante. A diferença entre esses casos e aqueles já discutidos, como o da bola sendo
chutada, é que, agora, os efeitos são mútuos.
Sistema de Corpos
Vamos lembrar que, na Física, a palavra sistema é comumente empregada como

sinônimo de conjunto. Um sistema de forças é um conjunto de forças. Para estudar
as influências mútuas, que é a finalidade deste capítulo, vamos considerar sistema de
corpos interagindo. Bolas de bilhar se chocando, corpos impulsionados pela mola que
os interliga, um menino se movimentando em uma prancha à qual foram adaptadas
rodas e explosões são exemplos de sistemas de corpos interagindo.
De modo geral, não interessam sistemas cujos corpos apresentam massas muito
diferentes, pois, nessas situações, a influência mútua é desprezível. Por exemplo, se
uma locomotiva se choca contra uma mosca, podemos nos interessar pela alteração
de movimento da mosca, mas não da locomotiva.
Em alguns dos exemplos, há elementos transmissores de força entre os corpos.
Em um deles, é a mola, no outro, a corda, e, no caso da explosão, os gases que dela
resultam. Em todos eles, o elemento transmissor de força deve pertencer ao sistema
de corpos considerado. Tem interesse especial o caso de o elemento transmissor de
força ter massa muito menor do que as massas dos corpos pertencentes ao sistema.
Quantidade de Movimento
de um Sistema de Corpos
A quantidade de movimento de um sistema de corpos é a soma vetorial das quantidades

de movimento dos corpos que o constituem. A quantidade de movimento de um sistema
de corpos de massas m1 m2 , m3 . . . , movimentando-se a velocidades V1 V2 V3 . . . é a soma
r r r
das quantidades de movimento dos corpos que constituem o sistema.

   
Qsis Q1 Q2 Q3
   
Qsis � m1V1 m2V2 m3V3
Cuidado com a expressão acima, trata-se de uma soma vetorial.
Forças Internas e Externas

a um Sistema de Corpos
Uma força é denominada interna quando é trocada entre corpos pertencentes ao

sistema. É denominada externa quando é trocada entre um corpo que pertence ao
sistema e outro que não pertence.
Vamos voltar ao exemplo dos corpos presos a uma mola inicialmente comprimida
e marcar as forças que agem sobre os corpos, desprezando eventuais atritos.
Cada um dos corpos está sob a
ação do peso aplicado pela Terra e NA NB
da normal, aplicada pelo apoio. Além
disso, há a força exercida por A sobre -Fel Fel
B e a exercida por B sobre A. Pelo
princípio da ação-reação, esse par de PA PB
forças apresenta a mesma intensida-
de e a mesma direção, mas sentidos

opostos. Portanto, chamando de Fel � -NA -NB
a força de A sobre B, a força de B so-
bre A é − Fel .

-PA -PB
Considerando-se o sistema cons-
tituído pelos corpos A e B, as forças
Fel � e − Fel são internas, pois são in-
  Terra
terações transmitidas pela mola aos

corpos A e B. As outras forças são
externas, pois a Terra, que aplica a for- Figura 18 - Forças que agem sobre um sistema
constituído por dois corpos interligados por uma
ça peso e o apoio que aplica a normal mola e suas respectivas reações
não pertencem ao sistema. Fonte: o autor.
UNIDADE 7 231
Considerações Informais a Respeito da
Quantidade de Movimento de um Sistema Isolado
Um sistema é denominado isolado quando a soma das forças externas que agem
sobre os corpos pertencentes ao sistema é nula.
Vamos tomar como exemplo o caso de dois astronautas em repouso em relação
a um referencial qualquer – o Sol, por exemplo. Se estão muito distantes de Terra,
bem como de qualquer outro corpo, este sistema é isolado. Não há ações externas
atuando sobre os astronautas.
Seria possível aumentar a quantidade de movimento do sistema assim constituído
sem a participação de um corpo não pertencente ao sistema? Digamos que A aplique
em B uma força F durante um intervalo de tempo ∆t. B vai aplicar em A uma força

de mesma direção, mesma intensidade, mas


sentido contrário a F . Isto é, uma força - ( Qsist ) = 0
 ( os corpos estão em repouso )
F . O astronauta A ganha uma quantidade

de movimento Q = F ∆ t em um dado
sentido. O astronauta B vai ganhar uma
quantidade de movimento −Q = − F .∆ t

A quantidade de movimento do siste-

ma é a soma das quantidades de movimen-
A empurra B e
to dos corpos que o constituem – conti- B empurra A
nuará nula.
Generalizando: a quantidade de movi-
mento de um sistema isolado é constante.
É claro que a conclusão anterior foi
F -F
obtida a partir de uma situação muito
particular. Seria válida se o sistema não
A quantidade de movimento do
estiver inicialmente em repouso? Se existi- sistema não se altera
rem outras forças agindo nos corpos além
das forças de A em B e de B em A? E se
o sistema for constituído por n corpos e
Q -Q
não por apenas dois. As conclusões con-
tinuariam válidas?
No item a seguir, apresentamos uma
demonstração formal, mas, exatamente Figura 19 - Sistema isolado
por isso, muito abstrata. Fonte: o autor.

Quantidade de Movimento de um Sistema
Isolado é Constante: Demonstração Formal
Vamos imaginar um sistema de n corpos, identificados por 1, 2,... i,..., n, sendo n

o número total de corpos e i um corpo qualquer do sistema. Aplicando a equação
fundamental da dinâmica para valores médios para cada corpo do sistema, podemos
escrever que a soma das forças que agem no corpo causa uma aceleração, ou seja,
causam uma variação na quantidade de movimento do corpo. Ao calcular a resultante
em cada corpo, temos que incluir as forças externas e as internas ao sistema.
• Para o corpo 1: • Para o corpo 2:

r
( r
ΣF )1 = ΣQ1 ( Σ F )2 = ΣQ2
∆t ∆t
r r
=Σ 2
r r r r Q
)1 =Σ 1 )2
Q
( Σ Fint + Σ Fext ( Σ F int + Σ Fext ∆t
∆t
• Para o corpo i: Para o corpo n:

r r
( r
ΣF i = Σ
)Qi ( ΣFr ) =Σ n
Q
∆t n ∆t
r r
r r r
=Σ n
Q
=Σ i
r Q
( Σ Fint + Σ Fext )i ( Σ Fint + Σ Fext )n ∆t
∆t
Vamos somar essas equações lembrando que a soma das forças internas é nula, pois,
pelo princípio da ação-reação, as forças internas aparecem aos pares de mesma in-
tensidade, mesma direção e sentidos contrários. Logo:
r
r
( ΣF )sist = ΣQsist
∆t
( Σ Fr )sist= ( Σ Frext ) sist
A expressão anterior pode ser assim entendida.
UNIDADE 7 233
A quantidade de movimento de um sistema só pode ser alterada pela ação de forças
externas ao sistema, as forças internas não alteram a quantidade de movimento
do sistema.
03 EXEMPLO
Dois patinadores, de massas m A = 60� kg

� e mB = 40� kg , estão inicialmente em repou-
so sobre uma pista plana horizontal sem atrito e interligados por uma corda. Sabendo
que no instante do encontro a velocidade do corpo A era 2 m/s, vamos determinar,
neste instante, a velocidade de B e a velocidade relativa de aproximação entre eles
no instante em que se encontram.
VA VB
A B A B
Figura 20 - Sistema isolado: patinadores movimentando-se sobre uma superfície horizontal

Fonte: o autor.
Vamos considerar o sistema constituído pelos patinadores A e B e pelo fio que os

interliga. O sistema descrito é isolado, pois os patinadores estão sob a ação das forças
peso e normal que se equilibram. A outra força que age sobre eles é a força de tração
aplicada pela corda que os interliga, que é uma força interna.
Logo, o sistema é isolado e, em consequência, a quantidade de movimento é
constante. Lembrando que o sistema está inicialmente em repouso, e que, portanto,
a quantidade de movimento inicial é nula, vem:
 
m A VA mB VB 0

Um detalhe que facilita a resolução das questões envolvendo quantidade de movi-
mento: se não há mudança de direção, o tratamento vetorial é dispensável. Adotando
um eixo para a direita, podemos escrever que:

60 2 40 VB 0
r
VB = −3 m s
Interprete o resultado: a velocidade do patinador B no instante do encontro é 3m/s

no sentido contrário ao movimento de A.
Recomendamos, nas questões de sistemas isolados sem mudança de direção,
construir o gráfico da velocidade em função do tempo, sem preocupação de escala.
V VA = 2m/s
Vrel = 5m/s
VB = -3m/s
Figura 21 - Comportamento da velocidade em função do tempo dos movimentos dos dois patinadores
Fonte: o autor.
A velocidade relativa no instante em que os patinadores se encontram pode ser obtida

diretamente do gráfico: 5 m/s.
Observe que sistema isolado não é sinônimo de sistema conservativo. No sistema
isolado, a quantidade de movimento do sistema é constante; no conservativo, a energia
mecânica é constante. No exemplo, a quantidade movimento é nula antes e depois
da colisão, mas há um aumento na energia mecânica. A energia mecânica inicial é
nula, pois os dois patinadores estão em repouso. No final, a energia mecânica final é
igual à cinética do sistema e vale:
1 1
Ecin m AVA2 mBVB2
2 2
1 1
Ecin 60 kg 2 m / s 2 40 kg 3m / s 2
2 2
Ecin = 300� J
UNIDADE 7 235

Como não há atritos, a força F é a própria resultante, e podemos escrever:
F = m� a
V
F m�
t
Portanto, se ocorre uma variação de velocidade, pode ser aumento, diminuição ou,
como veremos, uma mudança de direção, em um intervalo de tempo muito pequeno,
a força é grande. Por essa razão, as colisões entre veículos são acompanhadas de de-
formações; o choque de uma bola de bilhar contra a tabelada mesa é acompanhado
de força de grande intensidade e assim por diante.
A teoria de choques é baseada nas Leis da Dinâmica estudadas até aqui, levando-se
em conta o fato de acontecerem em um curto intervalo de tempo.
Conceito e Classificação dos Choques (Ou Colisão)
Um corpo colide com outro corpo quando há uma aproximação, seguida de uma in-
teração de contato muito rápida e, depois, um afastamento. Pode acontecer, também,
de os corpos permanecerem unidos após a interação. Em todos os choques, há uma
deformação dos corpos seguida de uma restituição, que pode ser maior ou menor,
dependendo dos materiais de
que são feitos.
Choque frontal
O choque é denominado contra obstáculo
U2
fixo V3
frontal quando não apre- U1
Choque oblíquo
senta mudança na direção do entre esferas V2
V1
movimento e é denominado Choque oblíquo
contra obstáculo
oblíquo quando a direção do fixo
movimento se altera. O choque

Figura 23 - Diferentes tipos de choques
se dá contra um obstáculo fixo Fonte: o autor.
quando a velocidade desse obs-
táculo não se altera.
Choque Frontal Contra Obstáculo Fixo
O choque é um fenômeno de curta duração, da ordem de décimos de segundo, às

vezes centésimos ou até milésimos de segundo, mas não é instantâneo. Não se pode
falar em instante do choque.
UNIDADE 7 237
O choque se inicia no instante t1 em que os corpos entram em contato, que é o
instante no qual se inicia a interação. O choque termina no instante t2 � em que cessa
a interação. O tempo decorrido entre esses dois instantes é a duração do choque.
A primeira fase do choque é a deformação. Corpos que se chocam se deformam.
As deformações dependem da velocidade, da massa e da natureza dos corpos que se
chocam. Por exemplo, uma bola de borracha chocando-se contra a parede apresenta
deformação diferente de uma outra de aço, de mesma massa, que se choca à mesma
velocidade contra a mesma parede. De modo geral, os corpos, quando deformados,
tendem a ter restituída a sua forma original.
A figura ilustra a colisão de uma bola de futebol contra o solo. A bola atinge o solo
com uma velocidade Vap (� velocidade de aproximação) e inicia um processo de defor-
mação. Durante a deformação, o corpo se comporta como se fosse uma mola. À medi-
da que a deformação aumenta, aumenta também a força elástica trocada com o solo.
Durante esse processo,
a velocidade diminui
até se anular (momento
em que a deformação Vap Vaf
atinge o valor máximo).
Quando o corpo
Defomação
atinge a deformação máxima
t
máxima, inicia-se a se- Velocidade
gunda fase do choque: Vap
a restituição, que de- Vaf
pende da natureza dos
corpos que se chocam. t
Quanto maior a elas-
Figura 24 - Colisão contra obstáculo fixo:
ticidade dos materiais, deformação e restituição
maior a restituição. Fonte: o autor.
Coeficiente de Restituição de um
Choque Frontal Contra um Obstáculo Fixo
Acompanhe o texto que se segue à figura anterior (que descreve a deformação e a

velocidade de uma bola que se choca contra um obstáculo fixo em função do tempo).
A velocidade com que o corpo se aproxima do obstáculo é denominada velocidade

de aproximação Vap . Durante a fase de deformação, o valor absoluto da veloci-

dade diminui até o corpo parar. Na fase de restituição, o sentido do movimento se
inverte, e a velocidade, em valor absoluto, aumenta até atingir o valor Vaf , velocidade
com que o corpo se afasta do obstáculo, denominada velocidade de afastamento.
Define-se coeficiente de restituição de um choque contra um obstáculo fixo pelo
quociente:
e =�
Vaf
Vap
No caso do choque perfeitamente elástico, a velocidade de aproximação é igual, em

módulo, à velocidade de aproximação. Logo
Vaf Vap e 1
Não havendo restituição: Vaf 0 e 0
Havendo restituição parcial: Vaf Vap 0 e 1
Choques Frontais em que os Corpos não São Fixos
Ainda que seja uma das aplicações do teorema dos sistemas isolados, dada a sua
importância, o fenômeno choque, em que nenhum dos corpos é fixo, é estudado em
capítulo à parte. Nos choques há aproximação dos corpos, seguida de uma interação
de curta duração e de posterior separação entre eles. Os corpos podem permanecer
unidos após a interação.
Na maioria dos casos, as forças devidas aos choques, que são internas, são tão
grandes que as forças externas podem ser desprezadas. Portanto, o sistema constituído
pelos dois corpos que se chocam é sempre isolado durante o choque.
Logo, para qualquer choque em que os corpos não são fixos, temos:
� choque = Qdepois � do
 
Qantes � do � choque
Choques Frontais
Quando a direção do movimento é a mesma antes e depois da colisão, o choque é

denominado frontal. Nos choques frontais, não há necessidade de tratamento vetorial:
pode-se adotar um eixo e escrever a equação da conservação da quantidade de movi-
mento na forma algébrica para um choque em que nenhum dos corpos é fixo, ou seja:
� choque = Qdepois � do
Qantes � do � choque
UNIDADE 7 239
Considere como exemplo o choque frontal esquematizado na figura a seguir.
VA VB V’A V’B
Figura 25 - Velocidades de duas esferas A e B antes e depois da colisão

Fonte: o autor.
Sendo VA e VB as velocidades das esferas imediatamente antes da colisão, e V’A e

V’B as velocidades imediatamente depois, se a quantidade de movimento permanece
constante, então:
mAVA + mBVB = mAV ’A + mBV ’B
A adoção do eixo orientado é indispensável para que a expressão seja válida, inde-
pendentemente do sentido dos movimentos. Se, por exemplo, a velocidade VB da
esfera B aponta, antes do choque, para a esquerda, a expressão continuará a mesma,
mas VB será negativa.
Contudo, um problema ainda persiste para a determinação das velocidades das
esferas imediatamente após o choque: só temos uma equação e duas incógnitas.
Buscando uma Segunda Equação
Como foi explicado, no choque frontal, também chamado

unidimensional ou unidirecional, não há mudança na dire- VA VB
ção do movimento. Então, não há necessidade de tratamento
vetorial, e o problema pode ser resolvido algebricamente. A condição para haver
colisão é VA > VB
Vamos estudar, como exemplo, o caso apresentado na figura
a seguir, no qual as velocidades antes da colisão têm o mesmo Figura 26 - A condição
para haver colisão
sentido. Porém, as conclusões valem, também, para os casos em Fonte: o autor.
que as velocidades antes da colisão apresentem sentidos opostos.
Vamos procurar entender o que acontece durante a ação mútua entre os corpos. A
primeira fase da interação é a deformação. Quando os corpos entram em contato, o
corpo A, pelo fato de ter maior velocidade, tende a se deformar e, consequentemente,
deformar o corpo B, trocando forças de grande intensidade, que causam deforma-
ção em ambos os corpos. Para um par de corpos, quanto maior for a velocidade de
aproximação, maior será a deformação. Nesse caso, a velocidade de aproximação vale:
Vap VA VB

Como VA > VB , a velocidade de aproximação é sempre positiva.
Atingindo a deformação máxima, inicia-se a fase da restituição, quando os corpos
voltam, total ou parcialmente, ao formato original. Quanto maior for a elasticidade
dos corpos que se chocam, maior será a restituição; e, durante esse processo, os corpos
trocam forças que tendem a separá-los. Portanto, a restituição causa a separação entre
os corpos. Quanto maior a restituição, maior a velocidade relativa de afastamento.
Vamos imaginar que, depois da colisão, as velocidades sejam V ' A e V 'B , conforme
podemos observar na figura a seguir.
Então, a velocidade relativa de afastamento será: V’A V’B
Vaf V 'B V ' A
Observe que, como V ' A < V 'B , a velocidade de afasta-

Depois da colisão
temos que V’A < V’
B
mento é positiva ou nula e, como resultado, os corpos A e

B se afastam. No caso em que V ' A = V 'B , os corpos A e
Figura 27 - Situação ime-
diatamente após a colisão
Fonte: o autor.
B permanecem em contato após a colisão.
Análise Gráfica de um Choque Frontal
O gráfico a seguir é válido para todo e qualquer choque sem mudança de direção e
mostra todas as informações apresentadas até aqui sobre o choque frontal.
• VA e VB são as velocidades imediatamente antes do choque.
• Vap VA VB � é a velocidade de aproximação.
Velocidade
VA
V’B
Vap
Vig Vaf
VB V’A
Tempo
ti t ig tf
Figura 28 - Velocidades antes e depois de uma colisão frontal

Fonte: o autor.
UNIDADE 7 241
• V ' A e V 'B são as velocidades imediatamente depois do choque.
• ti � é o instante em que o choque se inicia.
• t f é o instante em que o choque é finalizado.
• tig é o instante em que as velocidades dos corpos A e B se igualam.
Entre ti � e tig , temos a fase da deformação. Nesse intervalo de tempo, os corpos estão
em contato e a velocidade do corpo A é maior do que a velocidade do corpo B. O
resultado é a rápida deformação dos corpos. No instante tig , os corpos atingem a
deformação máxima.
No instante tig , a velocidade do corpo A se iguala à velocidade do corpo B, e
chamamos a velocidade nesse instante de Vig .
A deformação é acompanhada de um armazenamento de energia potencial elás-
tica. No instante tig , a energia potencial elástica do sistema de corpos é máxima e,
portanto, a energia cinética desse sistema é mínima.
Entre tig e t f , temos a fase da restauração. A energia potencial elástica do sistema
de corpos é transformada em energia cinética.
Coeficiente de Restituição
Com raras exceções, os choques não se constituem em um sistema conservativo. A

sequência de transformações de energia cinética inicial do sistema – energia potencial
elástica, armazenada nos corpos – energia cinética final do sistema – apresenta uma
dissipação de energia.
Essa dissipação depende, basicamente, da elasticidade dos materiais que consti-
tuem os corpos que se chocam. Julgou-se conveniente definir um indicador do
quanto da situação inicial é restituído após o choque. Esse indicador é denominado
coeficiente de restituição (e), que é o quociente da velocidade de afastamento Vaf �

pela de aproximação Vap :
Vaf V ´B −V ´A
e= =
Vap VA − VB
No caso de o choque ser perfeitamente elástico, a restituição é total. Logo, a ve-

locidade de aproximação é igual à de afastamento, e, portanto: e = 1. Não havendo
restituição, a velocidade de afastamento é nula. O choque é, então, denominado

inelástico (ou anelástico ou, ainda, plástico). Nesse caso, após o choque, os corpos
permanecem em contato, e, portanto: e = 0.
Na grande maioria dos casos, a restituição é parcial, a velocidade de afastamento é
menor que a de aproximação, e o choque é chamado parcialmente elástico; portanto:
0 < e <1
Aplicando-se a equação de conservação de quantidade de movimento e conhecen-
do-se o coeficiente de restituição, temos as duas equações necessárias para resolver
situações-problema que envolvem o choque frontal.
Neste capítulo, estudamos os sistemas de corpos, que deve ser entendido como
conjunto de corpos.
Um sistema de corpos pode ser constituído por corpos arbitrariamente escolhidos;
mas, é claro, só há interesse em sistemas em que há ação mútua entre eles.
Para estudar estes sistemas, devemos lembrar que a Equação Fundamental da Di-
nâmica, que relaciona a resultante das forças que agem sobre cada corpo e aceleração
que ele adquire, pode ser aplicada a cada corpo que constitui o sistema. Muitas vezes,
pode acontecer de um grupo de corpos apresentar uma mesma aceleração. Neste
caso, a Equação Fundamental da Dinâmica pode ser aplicada ao conjunto de corpos.
Outro ponto importante é o Princípio da Ação-Reação, que regula as forças entre
corpos. De acordo com esse Princípio, não há ação isolada. Se A age sobre B, B age
sobre A. De acordo com esse princípio, as forças que constituem um par ação-reação
apresentam a mesma inten-
sidade, mesma direção, mas Velocidade
sentidos contrários. Lembrar
que não se equilibram por VA
estar em sentidos contrários. V’B
Aplicamos essas leis em Vap
duas situações distintas. A Vaf
Vig
primeira é quando há vín-
culos entre os corpos que os VB V’A
obrigam a movimentarem- Tempo
ti t ig tf
-se juntos. A segunda acon-
tece em casos de choques,
V V’ V’
explosões e outras situações e = af = B - A
Vap VA - VB
em que os corpo apresentam
movimentos independentes Figura 29 - Coeficiente de restituição
após a ação mútua. Fonte: o autor.
UNIDADE 7 243
GUIMARÃES, O.; PIQUEIRA, J. R. C.; CARRON, W. Física - Projeto múltiplo 3V. São Paulo: Ática, 2014.
neiro: LTC, 2016.
Larning, 2012.
TIPLER, P. A. Física Conceitual: Bookman; Porto Alegre: LTC, 2016.
255
1. C.
Dados: ∆S = 2 m; t = 1 s; m = 3 kg; g = 10 m/s2.
O elevador está subindo em movimento retilíneo acelerado, partindo do repouso, percorrendo
2,0 m em 1 s. Aplicando-se a equação horária do MUV, vem:
1
S at 2
2
1 2
2 a 1
2
a = 4 m s2
Na figura, estão indicadas as forças que agem no corpo:
Sendo T a intensidade da força de tração no fio, de acordo com o princípio fundamental da

dinâmica:
T P ma
T 30 3 4
T = 42� N
256
268
269
270
Portanto, para garantir o Rotação
F
equilíbrio, temos de ter cer-
F F
teza de que o corpo não ad-
F
quira rotação. Resta desco- Permanece
em repouso
brir a condição para que isso
a b
aconteça.
Figura 1 - a) corpo permanece em equilíbrio; b) o corpo
adquire movimento de rotação em torno de um ponto
Fonte: o autor.
Abrindo e Fechando Portas
Vamos começar por uma operação

que você certamente já executou mi-
lhares de vezes: abrir ou fechar uma
porta. Tente abri-la aplicando a força
de diferentes modos, e em diferentes
pontos, e verifique o efeito em cada
um dos casos. F1
F2 F5
Algumas das possibilidades estão F3
indicadas na Figura 2. Descubra em F4
qual, ou quais, a porta se abre, e em

que casos isso não acontece. Indique
Figura 2 - Diferentes modos de abrir uma porta
qual o modo mais fácil de abrir a Fonte: o autor.
porta, ou seja, qual o modo que exige
menor força.

Começamos pelas forças que não causam movimento de rotação da porta: F1 e

F5. Se ficar em dúvida, basta tentar abrir uma porta aplicando forças na dobradiça

ou aplicando uma força com as características de F5 .
As outras forças produzem rotação da porta. Entretanto, mesmo entre as forças
que produzem rotação, há diferenças. Você pode verificar que, quanto mais perto da
dobradiça se aplica a força, mais difícil é abrir a porta.
UNIDADE 8 273
  
Vamos analisar as três forças F5, F4 , F3 que agem na extremidade da porta. As três
estão a uma mesma distância da dobradiça, mas as rotações por elas produzidas são
   
diferentes. F5, não causa rotação. F4 e F3 causam rotação, mas F3 é mais eficiente,
ou seja, é mais fácil abrir a porta aplicando uma força perpendicular a ela do que em
outra direção qualquer.
Para constatar essa afirmação, amarre um barbante na maçaneta e tente abrir a
porta puxando o barbante em diferentes direções. Você vai verificar que, se o ângulo
α vale zero ou 180°, a força não causa rotação. E vai perceber, também, que é mais
fácil abrir se α for igual de 90°.
Em resumo, quando aplicamos uma força a um corpo com finalidade de causar
rotação em torno de um eixo, além da intensidade, da direção e do sentido da força,
temos de levar em consideração o ponto de aplicação dessa força.
Eixo de
Rotação
Nomenclatura
A reta que passa pelo ponto de aplicação

(P) e tem a direção da força é denomina-
O P
da linha de ação da força (LA). Quando
se diz que um corpo está articulado em F
um dado ponto (O), significa que por

LA
esse ponto passa um eixo em torno do
qual o corpo pode girar. Figura 3 - Ponto de aplicação da força (P), linha
de ação da força (LA) e articulação (O)
Fonte: o autor.
Causando rotação
Vamos realizar a expe-

riência de aplicar forças P T = Tr
Ft
P Gt P
sobre um corpo qualquer, F Gr
Fr
inicialmente em repouso, G
O
e que pode girar livre- O O
mente em torno de um
eixo, que passa pelo ponto
O. O corpo pode ser um
Figura 4 - Decomposição da rotação em um ventilador
ventilador, por exemplo. Fonte: o autor.
274 Estática e Hidrostática

Vamos decompor as forças que agem sobre o ventilador em duas direções: uma
das componentes na direção OP, e a outra na direção perpendicular a OP.
Decompondo as forças e analisando os efeitos das componentes, podemos obser-

var, na Figura 4, que uma direção é radial e a outra é transversal. A força T só apre-
senta componente radial.
 r
A componente de F na direção radial, que vamos chamar de Fr , não causa rotação,
r
pois sua linha de ação passa pela articulação. O mesmo se pode dizer de Gr . Portanto,
r r
a rotação fica por conta das componentes Ft e Gt , ambas perpendiculares à reta OP.
A força T não causa rotação.
Se um corpo articulado em O sofre a ação de uma força F , aplicada a um ponto P,

r
apenas a componente da força perpendicular à reta OP (Ft ) causa rotação.
Desapertando Parafuso
Você certamente já realizou algumas vezes a ex-

periência de soltar um parafuso muito apertado. F
Para isso, é necessário produzir um movimento P
de rotação no sentido anti-horário, em torno de

LA
um eixo imaginário.
Suponha que, para realizar a tarefa de soltar o
parafuso, estejam disponíveis duas ferramentas
F
do tipo chave de boca, sendo uma mais comprida P
do que a outra.
Verificamos que é mais fácil soltar o parafuso LA
com a chave mais comprida, que permite aplicar a

força o mais longe possível do eixo de rotação. Neste Figura 5 - Diferença do efeito da
caso, mais fácil significa aplicar uma força menor. força em chave longa e chave curta
Fonte: o autor.
Note que quanto maior a distância entre a li-
nha de ação (LA) e o ponto O, maior o efeito da força no que se refere à rotação.
Essas experiências demonstram a necessidade de criar uma grandeza física que
leve em conta a força aplicada e a distância entre o eixo de rotação e a linha de ação
da força. Essa grandeza é denominada momento de uma força em relação a um ponto.
UNIDADE 8 275
Momento da força F em relação ponto O, que se representa por ( M F )o , é uma

grandeza algébrica com as seguintes características:

Módulo do momento
( M F )O = F ⋅ b
Sinal do momento – é dado por uma convenção. Se a força , agindo sozinha,

F
causa uma rotação no sentido anti-horário, o seu momento é positivo; se a força

F , agindo sozinha no corpo, causa uma rotação no sentido horário, o seu momen-
to é negativo.
b F
O P
F -
+
O P O P
Figura 6 - Momento de uma força em relação a um ponto

Fonte: o autor.
Observações Sobre a Definição de Momento

1. O critério de sinais estabelecidos é apenas uma convenção. Não é inconveniente
estabelecer convenção contrária, associando sentido anti-horário a momento
negativo e sentido horário a momento positivo. Por isso, em todas as situações,
deve-se indicar o critério de sinais escolhido.
2. A unidade de momento é uma unidade de força multiplicada por uma uni-
dade de distância.
No SI [M ]= N . m
o SI
Braço do momento é nulo.
UNIDADE 8 277
POLO
F G
Linha de ação
Linha de ação
da força F
da força G
Figura 7 - Se a linha de ação da força passa pelo polo, o momento é nulo, e não causa rotação
em torno do eixo que passa pelo polo
Fonte: o autor.
3. O momento de uma força não se altera se ela é deslocada ao longo de sua linha
de ação, pois nem a intensidade da força, nem o braço do momento se alteram.
P F P’ F
G
b
polo

Figura 8 - Aplicação de F na mesma linha de ação
Fonte: o autor.

Aplicando-se F em P ou em P’, o efeito é o mesmo, pois P e P’ estão na mesma
linha de ação LA.
4. Há outra forma de obter o momento de uma força. Vamos considerar nova-

mente o caso de uma força F aplicada a um ponto P de um corpo.
  
Sendo F X a componente de F na direção OP, e F y a componente perpen-

dicular a OP, o momento da força F em relação ao ponto O pode ser cal-
culado de dois modos:
• Módulo do momento: ( M F )o = F . b
• Módulo do momento:

b
F Fy
O
P
Fx
Figura 9 - Dois modos de se calcular o momento de uma força
Fonte: o autor.
5. Se um sistema de forças age no corpo, o momento do sistema é a soma algébrica

dos momentos de cada uma das forças.
Rotação de um Corpo que está sob a Ação de

Várias Forças
Se um corpo está, inicialmente, em repouso e um sistema de forças passa a agir sobre

ele, o sinal do momento do sistema (que é a soma dos momentos das forças que agem
sobre ele) indica o sentido de rotação que o corpo adquire. No caso, de acordo com
a convenção adotada, se o momento do sistema é positivo, o corpo adquire rotação
no sentido anti-horário; se o sinal do momento é negativo, o corpo adquire rotação
do sentido horário.
Se o momento do sistema (que é a soma dos momentos das forças que agem sobre
ele) é nulo, o corpo não adquire movimento de rotação.
UNIDADE 8 279
01 EXEMPLO
Em um manual de instruções destinado a montar e desmontar uma determinada

peça vem uma instrução: para soltar o parafuso indicado na figura, precisamos aplicar
um torque (momento) de intensidade 150 N . m em relação ao ponto A, centro da

cabeça do parafuso. Determinar a mínima intensidade da força F para conseguir o
efeito desejado à intensidade da força F indicada.
Resolução:
O momento da força F em re-
lação ao centro do parafuso é
M = F 0, 30 . A
O valor mínimo de M é 150 N m
Logo:
150 = F 0, 3 F
F = 500� N
30 cm
Condição de Equilíbrio de um Corpo Rígido
Vamos retomar a experiência do início do capítulo. Se a resultante das forças que

agem sobre um corpo é nula, existe um ponto desse corpo – denominado centro de
massa – que permanece em equilíbrio. Se o corpo está, inicialmente, em repouso, e
a resultante das forças que agem sobre esse corpo é nula, podemos garantir que o
centro de massa permanece em repouso.
Contudo, como foi explicado, a resultante nula só garante o equilíbrio do centro
de massa, podendo acontecer de o corpo apresentar rotação em torno desse ponto.
Para garantir que não haja rotação, a soma dos momentos das forças que agem sobre
o corpo, que é o momento do sistema, deve ser nula.
A condição necessária e suficiente para o equilíbrio de um corpo extenso é que:

02 EXEMPLO
Uma barra homogênea de comprimento L

e peso P é articulada no ponto O e mantida
em equilíbrio na posição horizontal por um
O
fio vertical, como se indica na figura. Deter-
mine a intensidade da força de tração no fio.
Resolução:
Vamos começar pela interpretação do enunciado.
De acordo com o enunciado, a barra é homogênea. Conclui-se que o ponto de
aplicação do peso é o centro geométrico.
Quando se diz que a barra é articulada em uma das extremidades, isso significa que
ela pode girar em torno de um eixo que está nessa extremidade. A dobradiça da porta
é uma articulação. Joelhos, cotovelos e tornozelos são articulações. Observe que o eixo
pode ser imaginário. O eixo de rotação da Terra não é uma coisa, é imaginário. Em
resumo, a barra pode girar em torno do ponto O como mostrado na figura a seguir.
Como o peso da barra está aplicado no centro dela, causa uma rotação no sentido horário.
O
A função do fio é impedir a rotação. Para isso acontecer, aplica à barra uma força de
tração, como a indicada na figura.
O T
L/2 L/2
P
Para que não haja rotação, o momento da força peso tem de ser igual ao momento
da força de tração:
L
T⋅ L = P⋅
2
T =�
P
2
UNIDADE 8 281
Os líquidos estão em um estado intermediário; as forças de ligação são suficientes
para que apresentem volume constante, mas não conseguem determinar a forma; os
líquidos têm a forma dos recipientes que os contêm.
Gasoso
Sólido
Líquido
Figura 10 - Sólidos, gases e líquidos
Densidade e Massa Específica
A massa específica é uma característica da substância em uma dada temperatura.

Por exemplo, a 4,00 ºC, a massa específica da água é 1 00 ⋅ 103 kg m3 , do alumínio é
3 3
2 6 ⋅ 103 kg / m3 , do Mercúrio é 13 6 ⋅ 10 kg m e assim por diante. Quando indicamos
a massa específica de um gás, temos de indicar a temperatura e a pressão. Por exemplo,
a densidade do ar à pressão 1 atm e à temperatura 0 °C é aproximadamente 1,3 kg/m³.
Veja que a massa específica da água é quase 1000 vezes a massa específica do ar.
A massa específica de uma substância é definida pelo quociente da massa de uma

amostra dessa substância pelo volume que ela ocupa. Para se determinar a massa
específica de uma substância, tomamos uma amostra da substância, medimos sua
massa (m), seu volume (V) e determinamos sua massa específica ( ρ ) pelo quociente
m
ρ=
V
No SI, a unidade de massa específica é kg/m3.
UNIDADE 8 283
A densidade é, também, o quociente da massa pelo volume. A diferença é que a
densidade é uma característica do corpo em uma dada temperatura. Se o corpo é
constituído de apenas uma substância, a densidade é igual a massa específica da
substância de que é feito. Mas, se for constituído de diferentes materiais, de dife-
rentes massas específicas, a densidade deve ser calculada pela expressão:
ρ1.V1 + ρ2 .V2 +… ρn .Vn

dcorpo =
V1 + V2 +…Vn
Líquidos em Equilíbrio
só Transmitem Forças Normais
As diferenças entre sólidos e líquidos que vamos mencionar são tão óbvias que, a
primeira vista, não precisariam ser mencionadas; mas, às vezes, o óbvio tem de ser dito.
A Figura 11 a) mostra uma situação impossível: um líquido pendurado. É im-
possível porque líquidos e gases não transmitem forças de tração. Na Figura 11 b),
verificamos a impossibilidade de manter um líquido em equilíbrio em um plano
inclinado. Para que isso fosse possível, o líquido teria de transmitir força de atrito.
Quando nos referimos a transmitir a força de atrito, estamos nos referindo a transmitir
internamente, de uma camada para outra do corpo. Líquidos não transmitem força de
atrito. A Figura 11 c) mostra uma tentativa de manter o líquido em equilíbrio aplican-
do forças normais. A Figura 11 d) mostra como é possível em função do recipiente.
N
f
T
a) b) c) d)
Figura 11 - O líquido não exerce e não transmite força de tração nem de atrito
Fonte: o autor.

Portanto, líquidos e gases só transmitem força normal.
Conceito de Pressão
Considere o caso de um
corpo 1 empurrando o cor- N
po 2. Nesse caso, dizemos 1 2
A
que 1 exerce sobre 2 uma

força normal N distribuí-
da pela área de contato, que
vamos chamar de A.
Figura 12 - Um corpo age sobre outro aplicando uma força
distribuída em uma superfície A
Fonte: o autor.
Sendo N a intensidade da força normal, A a área da superfície de contato, define-se

pressão média ( pm ) pela expressão
N
pm =
A
A unidade de pressão no SI é N/m2 que é denominada pascal (Pa) em
homenagem a Blaise Pascal, físico francês que viveu no século XVII.
No caso particular da distribuição de força na superfície de contato ser uniforme,

a pressão será constante em toda a área e não precisamos falar em pressão média.
Pressão Atmosférica
Vivemos imersos no ar. As diferentes moléculas que constituem a atmosfera estão

em contínuo movimento e os choques dessas moléculas entre si ou com outro corpo
imerso no ar resultam em forças normais e, portanto, podemos definir pressão atmos-
férica como sendo o quociente da força exercida por essas moléculas chocando-se,
nessa superfície, pela área dessa superfície.
UNIDADE 8 285
1 2
Figura 13 - 1, 2 e 3 são diferentes pontos de um líquido em equilíbrio

Fonte: o autor.
Para comparar as pressões nos pontos 1 e 2, vamos imaginar um cilindro de eixo ho-
rizontal, como mostrado na figura que segue. O líquido exerce, nas bases do cilindro,
forças normais N1 e N2. Se o cilindro está em equilíbrio:
N1 = N2
Sendo A a área das bases do cilindro, podemos escrever que:
=
N1 N2
A A
Portanto, as pressões dos pontos 1 e 2 são iguais:
p1 = p2
1 2
N1 N2
Figura 14 - As pressões nos pontos 1 e 2 são iguais

Fonte: o autor.
Pontos, na mesma horizontal, no mesmo líquido, em equilíbrio têm a mesma pressão.
UNIDADE 8 287
Agora, vamos comparar as pressões nos pontos 1 e 3, sabendo que entre esses pontos
existe um desnível h. Vamos imaginar um cilindro de eixo vertical, como mostrado
na Figura 15, a seguir. O líquido exerce nas bases do cilindro forças normais N1 e N3.
O peso do líquido contido do cilindro imaginário é:
P = mg (1)
Sendo d, a densidade do líquido, a massa do líquido contido no cilindro é o produto

volume Vol do líquido pela densidade do líquido (d).
m d Vol (2)
Lembrando que o volume do cilindro é o produto da base (A) pela altura h:
Vol = A ⋅ h
O peso do cilindro de líquido será:
P = mg = d ( A ⋅ h ) g
O líquido exerce, nas bases desse cilindro imaginário, forças normais N1 e N2. Se o
cilindro está em equilíbrio:
N3 N1 P
Sendo A a área das bases do cilindro, podemos escrever que:
N3 N1 d ( A ⋅ h )
= +
A A A
Portanto, as pressões dos pontos 1 e 3 estão relacionadas pela expressão:
p3 p1 dgh
A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido em equilíbrio que apresen-

tam um desnível h vale dgh.

N1
1 2
N2
Figura 15 - A pressão no ponto mais fundo é maior

Fonte: o autor.
Em particular, se o ponto 1 estiver na superfície livre do líquido, onde a pressão é a

atmosférica pat , podemos escrever que a pressão em um ponto de profundidade
h vale:
p pat dgh
pat
Figura 16 - A pressão na superfície livre de um líquido em contato com a atmosfera é igual à pressão
atmosférica local
Fonte: o autor.
Conceito de Pressão e Experiência de Torricelli
O processo de retirar água de poço por aspiração é conhecido há séculos. No entanto,

o processo da aspiração só foi devidamente explicado no século XVII. Até então, vigo-
rava a teoria do horror ao vácuo (horror vacui). Imagine-se tomando um refrigerante
UNIDADE 8 289
com um canudinho. Segundo a teoria do horror ao vácuo, quando o ar do interior do
canudinho é retirado, o líquido sobe para impedir a formação do vácuo. Entretanto,
construtores de bombas aspirantes perceberam que não era possível aspirar a uma
altura maior que 10,3 m, ou seja, o horror ao vácuo tinha um limite. O problema foi
passado para um discípulo de Galileu chamado Evangelista Torricelli, que imaginou
a experiência que leva o seu nome.
Torricelli optou por utilizar mercúrio em lugar da água, o que traz duas vantagens.
A primeira é que, por ser mais denso do que a água, necessita menos altura e, portanto,
facilita os trabalhos. A segunda é que a evaporação do mercúrio na temperatura am-
biente é desprezível, o que também contribuiu para que ele obtivesse bons resultados.
Para compreender a experiência, imagine um recipiente parcialmente cheio de
mercúrio e um tubo de aproximadamente 1 m, totalmente cheio de mercúrio.
Mercúrio
~
~1 m
Figura 17 - Para medir a pressão atmosférica, Torricelli precisou de um tubo com mercúrio e de um
recipiente com mercúrio
Fonte: o autor.
Com o polegar, Torricelli fechou a boca do tubo de mercúrio e mergulhou-o no

recipiente contendo mercúrio. Observou que o mercúrio desce até que o desnível
entre as duas superfícies livres seja 760 mm.
Vácuo
Ponto 2
h = 760 mm
Ponto 1
Figura 18 - Para realizar a experiência, o tubo foi imerso no mercúrio com a boca para baixo
Fonte: o autor.

Agora é o momento de aplicar o Teorema de Stevin: dois pontos, na mesma hori-
zontal, no mesmo líquido, em equilíbrio, têm a mesma pressão:
p1 = p2
pat = dgh
Sendo:
d = 13 6 ⋅103 kg / m3 (densidade do mercúrio); h = 0 76 m ; g = 9 8 m / s 2 .
Obtemos a pressão atmosférica ao nível do mar: pat = 1 013 ⋅ 105 Pa .
03 EXEMPLO
Os três recipientes da figura a seguir são preenchidos com um mesmo líquido de

densidade d a uma mesma h. Determine o recipiente no qual a pressão do líquido
no fundo do recipiente é maior:
(a) h (b) (c)
De acordo com o teorema de Stevin, a pressão no fundo dos recipientes vale:

p pat dgh
Como a pressão atmosférica é a mesma nos três casos, a densidade também é nos
três casos, pois se o líquido é o mesmo, a pressão será a mesma.
Embora o argumento teórico seja perfeito, pois é baseado num teorema da hi-
drostática, sempre surge a dúvida, pois no recipiente (a) contém um volume maior
de líquido, no caso c um valor menor e no caso b um valor intermediário. Então,
como pode a pressão ser a mesma?
UNIDADE 8 291
Para responder a essa pergunta, basta observar que na situação (b), o fundo do
recipiente sustenta o peso do líquido. Na situação (a), as paredes laterais ajudam na
sustentação do peso; enquanto na situação (c), comprimem o fundo do recipiente.
h
(a) (b) (c)


Figura 19 - Corpos imersos em líquidos ou gases
Há inúmeras histórias, a maioria delas inverificável, sobre as descobertas e inventos

de Arquimedes. Uma delas trata da ação de um líquido sobre um corpo nele imerso
que, de acordo com a tradição, teria acontecido enquanto tomava banho.
Contudo, partindo do conceito de pressão e do Teorema Stevin, podemos deduzir
a expressão encontrada por Arquimedes experimentalmente.
Considere um corpo de massa M em equilíbrio parcialmente ou totalmente imerso em
um líquido de densidade d L. Esse corpo pode estar flutuando ou totalmente imerso. Se
totalmente imerso, pode estar preso a um ponto fixo ou ancorado no fundo do recipiente.
Figura 20 - Segundo a tradição, Arquimedes teria Figura 21 - Diferentes situações de um

descoberto a ação de um líquido sobre um corpo corpo imerso em um líquido
nele imerso enquanto tomava banho Fonte: o autor.
Corpo Totalmente Imerso
O que pretendemos é determinar a resultante das ações do líquido sobre o corpo.

Vamos começar imaginando-o totalmente imerso. Para simplificar a geometria,
vamos imaginar que o corpo seja um paralelepípedo de base A e altura h. Na figura,
estão representadas as forças que atuam nas paredes e nas bases do corpo totalmente
imerso. Lembre-se que as forças exercidas por um líquido em um corpo em equilíbrio
são perpendiculares à superfície de contato.

F1
h1
P
h2
h
F2
Figura 22 - Ações do líquido sobre um corpo nele imerso

Fonte: o autor.
As forças horizontais exercidas pelo líquido sobre o corpo se equilibram mutuamen-

te. A resultante das forças verticais exercidas pelo líquido sobre o corpo, que vamos
chamar de empuxo (E), vale:
E F2 F1
Sendo: F2 = p2 ⋅ A e F1 = p1 ⋅ A
Das expressões anteriores, obtemos E = ( p2 − p1 ) ⋅ A (1)
De acordo com o Teorema de Stevin: p2 p1 d L gh � (2)
Substituindo-se (2) em (1), vem: E = ( d L gh ) ⋅ A
Mas, o produto da altura pela área da base é o volume do corpo: Vc = A . h

Logo, um corpo de volume Vc imerso em um líquido de densidade dL recebe a ação
de uma força vertical para cima de intensidade
E = ( d LVc ) ⋅ g
Aplicando-se o Teorema de Arquimedes para o caso particular do corpo totalmente

imerso: um corpo totalmente imerso em um líquido recebe deste uma força vertical,
para cima, denominada empuxo de intensidade igual ao peso do líquido ocupado
pelo corpo, ou, como é comum se dizer, é igual ao peso do líquido deslocado.
UNIDADE 8 295
Uma Discussão a Respeito
do Corpo Completamente Imerso
Se um corpo de densidade dC está totalmente imerso em um líquido de densidade

dL, podem acontecer três casos:
(a) (b) (c)
E E
T E
T P
P P
Figura 23 - Corpos totalmente imersos em líquidos

Fonte: o autor.
Caso (a): P = E → dcVc⋅ g = d LVL ⋅ g → dc = d L
O corpo fica em equilíbrio sem a necessidade de mais uma força.
Caso (b): P > E → dcVc⋅ g > d LVL⋅ g → dc > d L
O corpo só fica em equilíbrio se receber uma força vertical para cima.
Caso (c): P < E → dcVc⋅ g < d LVL⋅ g → dc < d L
O corpo só fica em equilíbrio se receber uma força vertical para baixo.
Corpo Flutuando
Procedendo de modo análogo ao anterior, vamos chegar à conclusão que o empuxo

que age em um corpo parcialmente imerso é igual ao peso do líquido deslocado.
A regra continua valendo. O empuxo continua sendo igual ao peso do líquido
deslocado. Só que, neste caso, o líquido deslocado é igual à porção do corpo
imersa Vi

E = dL . Vi . g
Vi : Volume Imerso
Pc = dc . V . g
Figura 24 - Corpo flutuando

Fonte: o autor.
Logo: E = d L ⋅ Vi ⋅ g
Duas conclusões:
1. O corpo só flutua se sua densidade for menor que a densidade do líquido
2. Se está em equilíbrio: E = Pc → d L ⋅ Vi ⋅ g = dc ⋅ Vc ⋅ g
=
Vi dc
Vc d L
De acordo com a expressão: a fração do corpo imersa no líquido é igual da densidade

do corpo dividida pela densidade do líquido. Como exemplo, se a densidade do corpo
é 0,4 ⋅ 103 kg/m3 e a densidade do líquido é 1,0 ⋅ 103 kg/m3, a fração do corpo que
ficará imersa é 40% da densidade do líquido.
Esta unidade foi dedicada a corpos em equilíbrio. Discutimos o equilíbrio tanto
de corpos no estado sólido, no estado líquido e de corpos imersos em líquido.
Para o equilíbrio de corpos no estado sólido, temos de observar as linhas de ação
das forças que agem sobre o corpo. Se passarem pelo mesmo ponto, a condição de
equilíbrio é que a resultante seja nula. Se não passarem, há duas condições: resultante
nula e soma algébrica dos momentos das forças que agem no corpo nula.
No caso dos líquidos em equilíbrio, podemos calcular a pressão em qualquer
ponto no interior pelo Teorema de Stevin.
O teorema de Arquimedes estabelece que a resultante das forças que agem em um
corpo no interior de um líquido tem intensidade igual ao peso do líquido deslocado.
As forças que agem em um corpo são: Peso e Empuxo; a resultante dessas forças

deve ser zero (considerando o corpo estático): P E 0
Portanto, a resultante não tem intensidade igual ao peso do líquido deslocado
PLD d LD VLD g . O que podemos dizer é que as forças que o líquido exerce
sobre o corpo (empuxo) tem intensidade igual ao peso do líquido deslocado.
UNIDADE 8 297
FEYNMANN, R.; LEIGHTON, R.; SANDS, M. Lições de Física de Feynman. Porto Alegre: Artmed, 2008.
Volume 3.
GUIMARÃES, O.; PIQUEIRA, J. R. C.; CARRON, W. Física - Projeto múltiplo 3V. São Paulo: Ática, 2014.
neiro: LTC, 2016.
Larning, 2012.
308
1. A.
Lembrando que N C = PC = 6 N e que

N=
D P=
D 12� N , e tomando os mo-
NC ND
C D
mentos em relação ao ponto A e conven-
cionando anti-horário positivo, vem: PC PD
0,8 m 0,8 m 0,8 m
-6.0X0,8 – 20X1,2 -12X1,6 + NB· 2,4 = 0
NA NB
Da expressão, vem NB= 20 N
A B
Como: NA + NB = NC + P + ND
NA+20=6+20+12
NC P ND
NA=38-20=18N
Da expressão, obtemos NA = 18 N
2. D.
Dados: mc = 0,5 kg a = 4 cm e b = 10 cm
Condição de equilíbrio: a soma dos momentos no sentido horário é igual à soma dos momentos no sentido
anti-horário.
(mpg) . b = (mC . g)a → mP = 0,2 kg
Colocando a massa m = 1 kg sobre o prato
Nova condição de equilíbrio:
(mp + m) g . b = (mc . g)x
X = 24 cm.
3. D.
A soma dos momentos no sentido horário é igual à soma dos momentos no sentido anti-horário:
mg . y + mg2 = 3mg . x
m . y +2m = 3m . x → y + 2 = 3x (equação 1)
No entanto, da figura:
y = 5 – x (equação 2)
Logo, do sistema de equações, vem: X = 7/4 m
309
314
315
316
O que há de diferente em cada uma das situações descritas? No caso do fruto
caindo da árvore, pelo fato da velocidade durante a queda ser pequena, a resistência
do ar pode ser desprezada. No caso de uma bola chutada, nem sempre podemos des-
prezar a ação da atmosfera. O famoso efeito que alguns jogadores conseguem dar na
bola depende da ação da atmosfera. No caso do satélite, há duas diferenças: o campo
gravitacional varia em direção e, dependendo do caso, também varia em intensidade.
O movimento de um corpo é denominado balístico quando ele está sob ação

exclusiva da força de atração gravitacional. Num dado local, o que distingue um
movimento balístico do outro é exclusivamente a velocidade inicial.
Classificação dos Movimentos Balísticos
Quando falamos da velocidade inicial de um movimento balístico, temos de mencio-

nar a intensidade, a direção e o sentido, pois todas essas características influenciam
no movimento. As figuras a seguir mostram diferentes tipos de movimento balístico
e a velocidade inicial associada a cada um deles
V0
QUEDA LIVRE: LANÇAMENTO VERTICAL

V0 = 0 PARA CIMA
V0
x V0
LANÇAMENTO HORIZONTAL: LANÇAMENTO OBLÍQUO:

V HORIZONTAL
0
V0 FORMA UM ÂNGULO θ
COM A HORIZONTAL
Figura 1 - Diferentes tipos de movimentos balísticos decorrentes de diferentes velocidades iniciais

Fonte: o autor.
UNIDADE 9 319
Energia Mecânica de um Corpo
em Movimento Balístico
Como a única força que age em um corpo em movimento balístico é o peso, que é
uma força conservativa, a energia mecânica é constante.
Vamos considerar dois exemplos:
1. Um corpo é abandonado em um ponto A que está a uma altura H em relação a
uma superfície horizontal e cai em queda livre a partir do repouso. Tomando-se
como referencial de energia potencial essa superfície, podemos escrever que:
Quadro 1 - Energia potencial, cinética e mecânica em um lançamento vertical
Ponto Energia potencial Energia cinética Energia mecânica
O
(posição E Op = mgH EcO = 0 O = mgH
Emec
inicial)
M
E px = mgh Ecx = ½ m Vx2
X
Emec = mgh + ½ m Vs2
(durante
a queda)
A
E Sp = 0 E Sp
S = ½m V2
(chega = ½ m Vs2
Emec s
ao solo)
Fonte: o autor.
Como a energia mecânica é constante:

O
H
1 2 1 2
mgH = mgh + 2m Vx = 2m Vs
Vx
No instante do lançamento No ponto mais alto
h Durante o movimento
S
O
Vs
Figura 2 - Pela conservação da energia mecânica, podemos relacionar a altura de um corpo

em queda livre ou em lançamento vertical com a velocidade
Fonte: o autor.
320 Movimentos Balísticos

2. Um corpo é lançado de um ponto O obliquamente no espaço com velocidade
inicial V0. Sendo M um ponto qualquer durante o movimento e A o ponto
mais alto, e tomando-se o plano horizontal que passa por O como referência
para cálculo de energia potencial, podemos escrever que:
Quadro 2 - Energia potencial, cinética e mecânica em um lançamento oblíquo
Ponto Energia potencial Energia cinética Energia mecânica
O 2
(Ponto de E Op = 0 EcO = ½ m V0 O = ½m
Emec V02
Lançamento)
M 2
E px = mgh EcM = ½ m V M2
A
Emec = mgh + ½ m V M
(durante
a queda)
A
(mais alto) EA
p = mgH EcA = ½ m V A2 A
Emec = mgH + ½ m VA2
Fonte: o autor.
Como a energia mecânica é constante, chegamos a uma expressão geral válida

para qualquer movimento balístico sem resistência do ar:
A
2
VA
1
2m V 20 = mgh + 1 2 m VM2 = mgH + 1 2m VA
M VM
V0 No instante do lançamento No ponto mais alto

H
h Durante o movimento
Figura 3 - Pela conservação da energia mecânica, podemos relacionar a altura de um corpo

em lançamento horizontal ou oblíquo com a velocidade de lançamento
Fonte: o autor.
Portanto, já temos uma expressão relacionando a velocidade do corpo em

movimento balístico com a sua altura. No entanto, essa equação é insuficiente
por duas razões:
1. Não permite determinar a velocidade ou a posição em um dado instante.
2. No caso do lançamento horizontal e do lançamento oblíquo, a posição do
corpo em cada instante é determinada pelas coordenadas x e y. A conser-
vação da energia mecânica não é adequada para determinar a abscissa x.
Vamos a procura dessas equações.
UNIDADE 9 321
Daí obtemos as equações de um corpo em queda livre a partir do repouso:
MUV QUEDA LIVRE
Aceleração: a a=g
S=
1 1 2
S S0 V0t at 2 gt
2 2
V V0 at V = gt
V 2 = V02 + 2a ∆S V 2 = 2g ∆ S
Galileu e a Queda Livre
De acordo com a tradição, Galileu teria abandonado esferas de diferentes pesos do alto
da Torre de Pisa para demonstrar que o tempo de queda não depende da massa do
corpo. Contudo, é quase certo que isso não tenha acontecido, sendo que o mais provável
é que essa lenda tenha sido criada pelo primeiro biógrafo de Galileu, Vicente Viviani.
Segundo o próprio Galileu, as experiências sobre o movimento de queda livre fo-
ram realizadas com esferas que rolavam em canaletas de inclinação variável. Embora
o movimento de um corpo descendo um plano inclinado seja de mesma natureza
que o de um corpo em queda livre – nos dois casos o movimento é uniformemente
variado –, as acelerações e velocidades são menores, o que facilitava as medidas.
Essas experiências teriam levado Galileu a concluir que um corpo em queda livre
ou descendo um plano inclinado adquire aceleração constante. Como veremos, po-
demos chegar à mesma conclusão aplicando o Princípio Fundamental da Dinâmica,
enunciado por Newton cerca de 45 anos após a morte de Galileu.
De acordo com texto, Galileu preferiu estudar o movimento de um corpo descendo
um plano inclinado por apresentar uma aceleração menor do que em queda livre,
facilitando as medidas. Usando nossos conhecimentos de Física atuais, podemos
verificar se o raciocínio de Galileu estava certo ou não.
UNIDADE 9 323
01 EXEMPLO
Para responder a essa questão, vamos imaginar dois corpos abandonados, a partir
do repouso, de uma mesma altura, sendo que o corpo A, de peso P, cai em queda
livre, e B, que também tem um peso P, desliza em um plano inclinado que forma um
ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura. Vamos imaginar que para diminuir
o atrito com o apoio, o corpo B seja um carrinho – Galileu realizou as experiências
com esferas – e comparar os tempos de queda em cada um dos casos. Desprezar atri-
tos e resistência do ar admiti que a aceleração local da gravidade seja conhecida (g)
A B
N
ΔS
Px
h P Py
P θ
Queda livre:
Como foi deduzido, o movimento de queda livre pode ser descrito pela expressão:
S = ½ gt2
No caso, como S é a altura h, obtemos, da expressão:
2h
t=
g
Vamos, agora, estudar o movimento do carrinho descendo o plano inclinado. Como

indicado na figura, o carrinho está sob ação da força peso (P) e da normal (N).
Vamos substituir o peso pelas componentes Px que é paralela ao apoio e Py que
é perpendicular ao apoio. Como a resultante (R) tem a direção do plano inclinado,
concluímos que:
Py = N, pois não há movimento na direção perpendicular ao plano.
Como a componente Py é equilibrada pela normal, a resultante é Px.
Portanto:
Px = ma’
Sendo que a é a aceleração do carrinho descendo o plano inclinado.
Um pouco de trigonometria.
Observe a Figura 4 a seguir. No triângulo 1, a hipotenusa é ∆S e o cateto oposto
ao ângulo θ é h.

Logo: sen θ =
h h
→ ∆S =
∆S sin θ
No triângulo 2, a hipotenusa é P e o cateto oposto ao ângulo q é a resultante, que vale

m . a’, sendo a’ a aceleração do corpo descendo o plano inclinado. Logo:
R = m . a’ → Px = ma’
Por outro lado: sen θ = = → a’= gsenθ

Px ma '
P mg
Px = R
Py =
2 ΔS
P h
θ 1
θ
Figura 4 - Decomposição do peso em duas direções

Fonte: o autor.
Portanto, para o movimento do carrinho, podemos escrever que:

∆S = ½ a’t’2
2h
t’ =
gsen2q
Observe que o tempo para um corpo cair em queda livre a partir do repouso pode ser
obtido pela expressão anterior, fazendo θ = 900. Entretanto, certamente, Galileu não
fez essa dedução, mesmo porque ele não conhecia a equação Fundamental da Dinâmica.
Seu mérito foi verificar experimentalmente que o tempo (t’) para um corpo
descer um plano inclinado não depende da massa, e concluir que este deveria valer
para a queda livre.
Gráficos do Movimento de Queda Livre
A velocidade de um corpo em queda livre varia com o tempo de acordo com a expres-
são V = gt. Portanto, o gráfico de V em função de t é uma reta, passando pela origem.
Pelo gráfico, é imediato verificar que, em tempos iguais, os deslocamentos de um
corpo em queda livre são proporcionais à sequência dos números ímpares. Sendo d o
deslocamento entre o instante 0 e o instante 1 s; o deslocamento entre os instantes 1 s e
2 s será 3 d; o deslocamento entre os instantes 2 s e 3 s será 5 d e assim sucessivamente.
UNIDADE 9 325
V = gt V = gt
4gt
3gt d
t d 2d
2gt
d 2d 2d
gt
d 2d 2d 2d
t t
Figura 5 - Gráficos da velocidade
Fonte: o autor.
Colocando-se a origem do eixo no ponto onde o corpo é abandonado e orientando-se

o eixo para baixo, o gráfico do espaço em função do tempo de um corpo em queda
livre é o gráfico da função S = ½ gt2 que é uma parábola com o vértice na origem.
Admitindo-se g = 10 m/s2, obtemos o gráfico de S em função de t a seguir.
S ( m)
80 Origem
70
60 S (t)
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 t (s)
Figura 6 - Gráfico do espaço em função do tempo de um corpo em queda livre

Fonte: o autor.
Equações do Lançamento Vertical para Cima
Para estudar o lançamento vertical com velocidade inicial V0, vamos adotar um eixo
vertical, orientado para cima com origem no ponto de lançamento. Portanto, V0 é
positivo e o espaço inicial é nulo: S0 = 0. A aceleração do movimento é, em módulo,
igual a g, vertical para baixo. Considerando que o eixo foi orientado para cima, a
aceleração será negativa: a = -g.
Como um lançamento vertical é um movimento uniformemente variado, são
aplicáveis todas as equações desse tipo de movimento. Daí obtemos as equações de
um corpo lançado verticalmente para cima.

LANÇAMENTO
MUV
VERTICAL PARA CIMA
Aceleração: a a=-g
1 1
S S0 V0t at 2 S V0 gt 2
2 2
V V0 at V V0 gt
V 2 = V02 + 2a ∆ S V 2 = V02 − 2 g ∆ S
V0
Origem ( Ponto de Lançamento)
Figura 7 - Representação esquemática do movimento de um corpo lançado verticalmente para cima

Fonte: o autor.
Tempo de Subida e
Altura Máxima de um
Lançamento Vertical
ts
No instante (ts) em que o corpo atinge a altura

V = V0 - gt
máxima (hmax), sua velocidade é nula. Impondo hmax
0 = V0 - gts
a condição V = 0 na equação da velocidade, ts = V0 / g
obtemos o tempo de subida:
Substituindo o valor de ts = V0/g na equação
horária do lançamento vertical (S = V0t - ½ gt2)
e efetuar as devidas transformações algébricas: Ponto de Lançamento
hmax = V0(V0/g) - ½ g(V0/g)2 Figura 8 - Equacionamento do movi-

mento de um corpo lançado vertical-
2
mente para cima
hmax = V0 Fonte: o autor.
2g
UNIDADE 9 327
Gráficos de um Lançamento Vertical para Cima
Adotando-se um eixo orientado para cima, a velocidade de um corpo lançado ver-

ticalmente para cima varia com o tempo de acordo com a expressão
V = V0 - gt
Portanto, o gráfico de V em função de t é uma reta, como mostrado na figura. O

deslocamento entre os instantes 0 e ts, representado pela área em destaque, é a altura
máxima atingida pelo corpo.
Adotando-se um eixo orientado para cima, a altura de um corpo lançado verti-
calmente para cima varia com o tempo de acordo com a expressão:
S = V0t - ½ gt2
Portanto, o gráfico de S em função de t é uma parábola, como mostrado na Figura 9.
V ( m/s)
h max
t (s)
ts
h (m)
h max
t (s)
ts
Figura 9 - Gráficos do lançamento vertical. a) gráfico da velocidade em função do tempo; b) gráfico

da altura em função do tempo
Fonte: o autor.

Decomposição de um
Lançamento Horizontal
Vamos decompor o movimento horizontal em dois outros movimentos, denominados

parciais, sendo um vertical e o outro horizontal. O movimento horizontal tem velocida-
de inicial V0, enquanto o movimento vertical tem velocidade inicial nula. O movimento
horizontal tem aceleração nula, pois nenhuma força age nessa direção, enquanto o
movimento vertical tem aceleração g, pois o peso age nessa direção. Em resumo:
MOVIMENTO MOVIMENTO
PARCIAL HORIZONTAL PARCIAL VERTICAL
Velocidade inicial V0 0
Forças que Agem Nenhuma Peso
Aceleração Nula g
Tipo de Movimento MRU MRUA
V0 x
MRU COM
VELOCIDADE
y
P
QUEDA LIVRE
Figura 10 - A posição do corpo em cada instante pode ser determinada pelas coordenadas x e y

Conclusão:
O lançamento horizontal pode ser descrito como a composição de dois movimentos,
denominados movimentos parciais, sendo um MRU horizontal com velocidade V0
e o outro uma queda livre.
A posição do projétil em cada instante pode ser determinada pelas coordenadas
x e y, tais que:
x = V0t
y = ½ gt2
A velocidade do corpo em cada instante pode ser determinada pelas componentes

Vx e Vy, tais que:
Vx =V0 = constante
Vy = gt
Conhecendo-se as componentes da velocidade, determinamos, por Pitágoras, o valor

da velocidade em cada instante:
V = Vx + V y =
2 2
V02 + ( gt )2
02 EXEMPLO
Um corpo é lançado horizontalmente com velocidade inicial 40 m/s de uma altura

80 m em relação ao solo supostamente horizontal. Desprezando eventuais ações dis-
sipativas e considerando g = 10 m/s2, determinar a distância x indicada na figura:
80 m
O lançamento horizontal é a composição de um movimento retilíneo horizontal com

velocidade V0 = 80 m/s com uma queda livre vertical.
UNIDADE 9 331
V0
x
x = V0t → x = 40 t
y = ½ gt2 → y = 5 t2
No instante em que o pacote chega ao solo, y = 80

80 = 5 t2 → t = 4 s
x = 40 . 4 → x = 160 m
O Lançamento Oblíquo
Vamos aplicar o método da decomposição dos movimentos em dois eixos convenien-

temente escolhidos para descrever o lançamento oblíquo. O par de eixo mais conve-
niente – mas não obrigatório – é constituído por um eixo vertical e outro horizontal.
A razão disso é que na horizontal não há força agindo e, portanto, o movimento nessa
direção é uniforme, enquanto na vertical só o peso age e, em consequência, nessa
direção, o movimento é uniformemente variado com aceleração igual a g.
y
V
V0
P
V0 senθ
θ
θ
V0 cosθ
x
Figura 11 - Decomposição da velocidade inicial

Fonte: o autor.
Considere um corpo de massa m lançado com velocidade inicial V0, que forma com
o eixo x um ângulo θ (0 < θ < 90º).

Na direção do eixo x, a velocidade inicial é V0 cosθ e, como foi explicado, a aceleração
nessa direção é nula, a velocidade é constante.
Vx = V0 cosθ = constante.
Na direção do eixo y, a velocidade inicial é V0 senθ e a resultante das forças que agem
sobre o corpo é o peso. Seguindo a convenção habitual, o que tem sentido contrário
ao eixo adotado é negativo. Portanto, a aceleração no eixo y vale
ay = - g.
Note que um MRUV na vertical com velocidade inicial V0 senθ e aceleração igual
a -g é o movimento de lançamento vertical. Portanto: se um corpo é lançado com
velocidade V0 que forma um ângulo q com a horizontal, seu movimento, denominado
lançamento oblíquo, pode ser descrito como a composição de um MRU horizontal
com velocidade V0 cos θ e um lançamento vertical com velocidade inicial V0 senθ.
Equacionamento do Lançamento Oblíquo
As equações relacionadas ao lançamento oblíquo são um tanto complicadas e de

difícil memorização. Portanto, consideramos necessário e suficiente que a descrição
do lançamento oblíquo, apresentada anteriormente, seja bem compreendida. Daí, as
expressões podem ser deduzidas sem a necessidade de memorização.
Veja como:
No eixo x, o movimento é uniforme com velocidade V0 cos θ, logo:
x = (V0 cos θ)t (1)
No eixo y, é um lançamento vertical com velocidade inicial V0 sen θ e aceleração -g.

Logo, a velocidade vertical em um dado instante pode ser obtida pela expressão:
Vy = V0 sen θ - gt (2)
No ponto mais alto, a velocidade Vy é nula:
Vy = V0 sen θ - gts = 0
UNIDADE 9 333
Da expressão, vem o tempo de subida:
V0� senq
ts = (3)
g
No eixo y, é um lançamento vertical com velocidade inicial V0 sen θ e aceleração

-g. Portanto,
y = (V0 sen θ)t - ½ gt2 (4)
Substituindo o valor de ts na expressão anterior, obtemos a altura máxima:
ymax H �
V0 senq
2
2g
Alcance
O alcance é a distância (D) entre o ponto de lançamento e o ponto em que o projétil

retorna ao plano horizontal do ponto de lançamento. Para obtê-lo, basta substituir
o tempo para retornar ao solo
(T = 2 V0 sen θ/g)
na expressão x = (V0 cos θ)t.

Assim procedendo, obtemos: D = (V0 cos θ)(2 V0 sen θ/g).
V02
Fazendo-se as devidas transformações algébricas, vem D= 2sen θ cos θ.
g
Contudo, 2 sen cos sen 2 .
V02
Logo D = sen2θ .
g

No quadro a seguir, há um resumo de todas as equações relacionadas com o lança-
mento oblíquo. No entanto, reafirmamos que mais importante do que memorizar
essas expressões é compreender como foram obtidas.
ts = V0 senθ /g
Vy = 0
Vx = V00 cosθ
T = 2V00 senθ /g
ymax = H = (V0 senθ)²/2g
0
V²
0
D= sen2θ
g
Figura 12 - Um lançamento oblíquo em detalhes

Fonte: o autor.
Alcance máximo
Vamos estudar o alcance (D) de um projétil lançado com uma velocidade inicial
conhecida (V0) em um local onde a aceleração local seja g. Lembrando que o alcance
horizontal (D) é dado pela expressão:
D=
V02
sen2q
g
Verificamos que o alcance desse projétil depende exclusivamente de θ, pois g é uma

constante para um dado local. O máximo alcance ocorre quando
sen 2θ = 1 ⇒ 2θ = 90° ⇒ θ = 45°
UNIDADE 9 335
A partir da lei de Newton, podemos deduzir as leis de Kepler e justificar o formato
esférico (ou quase) dos astros, a existência ou não de atmosfera em diferentes planetas,
o movimento das estrelas duplas ou triplas, os movimentos balísticos. O problema é
que, para aplicá-la a situações mais complexas, surgem obstáculos matemáticos que
só foram resolvidos quando foi criado, pelo próprio Newton, o cálculo das fluxões,
hoje denominado cálculo integral e diferencial.
Enunciado da Lei
da Atração Gravitacional de Newton
Em 1687, foi publicada a principal obra de Isaac Newton, chamada Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), na
qual consta, entre muitas outras descobertas, a Lei da Gravitação Universal, que se
constitui no fundamento físico e matemático para explicar o movimento dos astros
E que pode ser assim enunciada:
Matéria atrai matéria na razão direta do produto das suas massas e na

razão inversa do quadrado da distância que os separa.
m1. m2
F1 = F2 = G
r2
G é uma constante denominada constante universal da gravitação.
m1
m2
F1 F2
Figura 13 - Atração Gravitacional

Fonte: o autor.
UNIDADE 9 337
A Experiência de Cavendish e a Determinação da
Constante Universal da Gravitação (G)
Newton nunca mediu a constante universal da gravitação. Setenta anos após a sua
morte, Henry Cavendish percebeu que realizar a experiência com dois corpos apoia-
dos sobre um plano horizontal era inviável. Além disso, se utilizar um dinamômetro
de mola sensível a forças da ordem de milionésimos de newtons é impensável nos
dias de hoje, imagine naquela época. Sua ideia foi criar um aparelho, denominado por
muitos, incorretamente, como balança de torção – o nome correto é dinamômetro
de torção – em um experimento considerado, assim como o do pêndulo de Foucault,
entre os dez mais belos da Física. Para compreendê-lo, observe o esquema a seguir.
Espelho
F
Anteparo
d
graduado
x’
F
Figura 14 - Experiência de Cavendish

Fonte: o autor.
A primeira ideia foi prender os corpos a uma haste que estava pendurada, por meio
de um fio de aço, ao teto de uma sala. Assim, o primeiro problema resolvido foi elimi-
nar o atrito com o apoio. A aproximação de duas outras esferas (x e x’) causa, como
estabelece a lei de Newton da atração gravitacional, uma atração das esferas presas
à haste, o que produz uma torção no fio. O próximo passo seria medir o diminuto
ângulo da torção do fio causada pela atração.
Aí vem o toque do gênio. Cavendish prendeu ao fio um espelho, fazendo incidir
nele um raio de luz – lembre-se, isso aconteceu 200 anos antes da invenção do laser –,
sendo que o raio refletido incidia em um anteparo graduado. A rotação era diminuta,
mas causava um pequeno desvio da luz que era detectada no anteparo.
Pelo desvio detectado, mediu o ângulo de torção e, por meio da medida desse
ângulo, determinou a intensidade da força e, conhecendo a distância d e as massas

das esferas, determinou a constante G. Desde a concepção até a realização dessa
experiência, foram três anos de muito trabalho e genialidade. O valor obtido, em
unidades do SI, foi o já citado:
G = 6,67 ⋅ 10– 11 N ⋅ m²/kg²
Campo Gravitacional
O problema é determinar a intensidade do campo gravitacional em um ponto X que

está a uma altura h em relação à superfície de um astro de massa M e raio R. Como
a Lei de Newton da atração gravitacional não leva em conta a natureza dos corpos,
estamos designando por astro um corpo celeste genérico, que pode ser um planeta,
pertencente ou não ao sistema solar, uma estrela, um cometa, um buraco negro e
assim por diante.
Determinação do Peso do Corpo de Massa m e do

Campo Gravitacional
Vamos começar calculando a força de atração gravitacional exercida sobre um corpo de

massa m colocado no ponto X a uma altura h da superfície do astro. Já sabemos que a
intensidade do campo gravitacional que estamos procurando determinar não depende
da massa m. No entanto, temos que considerá-la para que haja uma força de atração.
Lembre-se de que, para haver força, precisa haver um par de corpos. Nessas condições:
M. m
Peso do corpo de massa m na altura h: Ph = G (1)
( R + h )2
GM
Campo gravitacional neste ponto será: gh = (2)
R h 2
M.m
Peso do corpo de massa m na superfície do planeta: P0 = G (3)
R2
G.m
Campo gravitacional na superfície do planeta: g0 = (4)
R2
R2
( R + h )2
Comparando as expressões (2) e (4), vem: gh = g0 (5)
UNIDADE 9 339
m
Ph gh R²
ggh = g
h 00 ( R + h )²
h h
r r
R P0 R g = G .m
00 R²
M M
Figura 15 - Variação do campo gravitacional com a altitude

Fonte: o autor.
Variação do Campo Gravitacional em Função da

Altura em Relação à Superfície do Planeta
R2
( R + h )2
Com base na expressão gh = g0 , vamos construir o gráfico da intensidade
do campo gravitacional em função da distância ao centro da Terra, de raio R, consi-

derando que o campo gravitacional na superfície seja igual a 10 N/kg.
10
9
8
Campo Gravitacional (N/Kg)
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Distância ao centro da Terra
(raios terrestres)
Figura 16 - Gráfico da intensidade do campo gravitacional em função da altitude

Fonte: o autor.

Para estudar o movimento desse corpo, vamos proceder como de costume na Di-
nâmica, começando por marcar as forças que, no caso, é só a de atração gravitacional
(peso), sendo que a única é a resultante
Mm
= P =G
r2
Aplicando o princípio fundamental da Di-
nâmica, verificamos que o corpo em órbita A V
v
adquire uma aceleração γ, que vale:
P
P GM
γ= =g= 2 r
m r
Para que a órbita seja circular, a aceleração é
M
de natureza centrípeta. Portanto, a condição
para que a órbita seja circular é que: ac = g.
A aceleração centrípeta vale V2/r. Logo,
a condição para que a órbita seja circular
Figura 17 - Órbita circular
é que: Fonte: o autor.
V2
ac = g = → V = r ⋅g
r
Outra Forma de
Caracterizar uma
Órbita Circular A
V= r.g
A aceleração centrípeta também
2
pode ser escrita na forma ac = ω ⋅ r ,
sendo ω a velocidade angular do ω = GM
corpo em órbita. Igualando essa ex- r³
c
pressão com a expressão de
GM
g = 2 , obtemos:
R
GM Figura 18 - Órbita circular.

ω= Outra forma de equacionar
r3 Fonte: o autor.

neiro: LTC, 2016.
Larning, 2012.
351
1. C.
Colocando-se a origem no alto da torre, vem:
S = 4t + ½ g t2 = 4t + 5t2
57 = 4t + 5t2 5t2 + 4t – 57 = 0
t = 3 s e t’= - 3,8 s
Resposta t = 3s.
2. D.
Torricelli: V2 = V02+ 2a∆S
V2 =42 + 2 ⋅ 10 ⋅ (57 – 29) → V = 24 m/s
3. B.
∆S = ½ gt2
44 =4,9 ⋅ t2 → t ≈ 3 s
4. B.
V2 = 2g∆S
V 29,3 m/s ≅ 105 km/h
Altura na qual o parafuso se desprende: H = ½ 8(2,5)2= 25 m.
Velocidade do parafuso no instante em que se desprende: V = 8.2,5 = 20 m/s
5. E.
V2 = V02 + 2(-g)∆S
V2 = 202 + 2(-10)(-25)
V = - 30 m/s
|V| = 30 m/s
352
356
357
358
359
CONCLUSÃO
A Física é uma Ciência Natural e, assim sendo, seu propósito é descrever a Natureza. A di-
ferença entre a Física e outras ciências naturais é que a descrição dos fenômenos segue um
modelo matemático. Não é suficiente dizer que uma pedra abandonada a uma certa altura
cai. Precisamos dizer que cai a uma certa aceleração que causa um aumento de velocidade,
seguindo uma determinada regra. Disso decorre a primeira dificuldade. O aprendizado de
Física passa pelo conhecimento de Matemática.
Nosso propósito é descrever os fenômenos físicos da forma mais simples possível. Con-
tudo, não mais simples do que ele é. Por outro lado, não podemos nos esquecer que o autor
escreve para um aluno médio. No entanto, a realidade é que há alguns alunos acima e outros
abaixo desta média. Portanto, cabe a cada um expor ao seu professor a sua dificuldade ou
a sua necessidade de um maior aprofundamento. Não leve dúvida de uma aula para outra.
Só como exemplo, para enfrentar a Unidade 1, que trata do movimento de um corpo
em uma trajetória conhecida, você precisa saber equação de primeiro grau, áreas de figuras
planas e construir e interpretar gráficos.
Para enfrentar a Unidade 2, que trata do movimento uniformemente variado, você precisa
saber equação de segundo grau e fazer interpretações de gráficos mais complicados. Veja
o risco: se você não procurou tirar suas dificuldades na Unidade 1, na Unidade 2 você terá
mais dificuldades.
Na Unidade 3, começa a Dinâmica, que é a parte da Física que estuda as causas do mo-
vimento. Você é apresentado ao conceito de força, de resultante, de massa e ao Princípio da
inércia. Além das dificuldades da matéria, há outras ligadas à Geometria, principalmente
quando lidamos com o conceito de Resultante.
O importante, como se pode perceber, é não levar as dificuldades de uma aula para ou-
tra. Lembre-se que a matéria vai sendo apresentada paulatinamente, mas inexoravelmente.
Quando chega à Unidade 4, você já terá visto, além dos temas citados, o estudo da rotação
da dinâmica do movimento circular de trabalho e energia de potência de rendimento, os
diferentes tipos de lançamento de um corpo e, para encerrar o curso, o estudo das órbitas
dos planetas e satélites.
Depende de você, desde a primeira aula.
Bom trabalho!

Física Geral e Experimental I

Enviado por

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Física Geral e Experimental I

Enviado por

Dados do documento

Descrição original:

Direitos autorais

Formatos disponíveis

Compartilhar este documento

Compartilhar ou incorporar documento

Opções de compartilhamento

Você considera este documento útil?

Este conteúdo é inapropriado?

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Física Geral e Experimental I

Enviado por

Direitos autorais:

Formatos disponíveis

Física Geral e

Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-

Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na

A disciplina de FÍSICA GERAL EXPERIMENTAL tem como finalidade

Luis Ricardo Arruda de Andrade

O Sistema Internacional de Unidades (SI) baseia-se em sete unidades fundamentais:

Grandeza Unidade Símbolo

Corrente elétrica ampere A

Temperatura termodinâmica kelvin K

Quantidade de matéria mol mol

Intensidade luminosa candela cd

Nome Símbolo Relação com o Metro

Na linguagem da física, indicar a posição de um corpo é informar o lugar em que

Figura 1 - O marco quilométrico de uma estrada é um indicador de posição

A escolha do modo de indicar a posição de um corpo deve ser adequada a cada

Um corpo só pode ser localizado em relação a outro, o qual denomina-se referencial.

O que caracteriza um movimento é a mudança de posição. Como já vimos, um corpo

Trajetória é a linha sobre a qual o corpo se movimenta.

A Posição de um Corpo que Percorre uma

Tomando como base o exemplo do marco quilométrico, podemos concluir que a

Figura 2 - Determinação da posição de um corpo que percorre uma trajetória conhecida

Velocidade Escalar Média

Um corpo percorre uma trajetória qualquer, pas-

E o tempo decorrido entre os instantes t e t’ é:

Define-se velocidade escalar média no intervalo

Figura 3 - Velocidade escalar média no intervalo t a t’

Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo.

Velocidade média NÃO é média das velocidades.

Acompanhe o exemplo a seguir:

Velocidade Escalar Instantânea

A velocidade escalar instantânea, ou, simplesmente, velocidade escalar, é a leitura do

Deslocamento no intervalo 2 s a 4 s: a figura sob o gráfico da Figura 5 é um retângulo.

Figura 6 - Comportamento da velocidade no intervalo 2 s a 4 s

Deslocamento no intervalo 4 s a 8 s: a figura sob o gráfico da Figura 7 é um trapézio.

Figura 8 - Comportamento da velocidade no intervalo 8 s a 11 s.

O deslocamento total, ou seja, no intervalo 0 a 11s será:

10m + 12m + 16m + 6m

A velocidade média, que está representada na Figura 9, será:

Figura 9 - Velocidade média no intervalo 0 a 11 s

Conceito de aceleração escalar

A aceleração escalar é a taxa de variação da velocidade escalar. Se a velocidade esca-

A unidade de velocidade é m/s. Logo, a unidade de aceleração será

TIPLER, P. A. Física Conceitual. Bookman; Porto Alegre: LTC, 2016.

Quando a velocidade escalar de um corpo é constante, seu movimento é chamado

Uma Convenção Importante

Uma trajetória está orientada quando se escolhe, arbitrariamente, um sentido positivo.

Equação dos Espaços: Conceito

Figura 1 - Posição do corpo ao longo de uma trajetória

Descrever o movimento de um corpo é indicar sua posição em cada instante. Sempre

Equação dos Espaços do Movimento Uniforme

Se um corpo percorre uma trajetória qualquer em movimento uniforme com uma

Da expressão anterior, vem:

Gráfico dos Espaços do Movimento Uniforme

Como a equação dos espaços do movimento uniforme é uma função do primeiro

44 Descrição de Dois Movimentos Importantes da Física

Há um caso particular de movimento que tem

Vamos determinar uma expressão, denominada

Figura 5 - a) Gráfico da velocidade em função do tempo: movimento uniformemente variado acele-

Na Figura 5a, tomamos dois pontos quaisquer, em que: