LISTA DE EXERCÍCIOS 06 – RETAS

Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Turma: Turma: 0002001EE1

Professor: Anderson

(01) Ache as equações na forma vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A
(1, 0, 1) e B (0, 1, 0).

(02) Verifique se o ponto P (4, 1, -1) pertence à reta r: X = (1,0,1) + t (2,1,1); t ∈ℝ.

(03) Dê dois vetores diretores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem como equação
vetorial: X = (1, 2, 0) + k (1,1,1).

2x 1 1 y
(04) Mostre que as equações = = z1 descrevem uma reta, escrevendo-as de modo
3 2

que possam ser reconhecidas como equações na forma simétrica. Em seguida, exiba um ponto e
um vetor diretor da reta.

(05) São dados os pontos A (3,6,-7), B (-5, 2,3) e C( 4, -7, -6).

(a) Escreva as equações vetoriais e paramétricas para a reta determinada pelos pontos B e C.
(b) Verifique se o ponto D (3,1,4) pertence a essa reta.

(06) Calcule o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:

(a) x = -3t
x5 y 1
r: y=3+t e s: = ; z= 6
6 m

z=4
 x 4 z 1
(b) x = 2 + t s: = ; y =7
6 5

y=3 e
z = mt

(07) Verifique se r = s nos casos:

(a) x=1–t x=1-½k

r: y = 2 + 2t s: y = 2 + 2k
z=1+t z=1+½k

(b) x = 1/3 – t x=1-k

r: y = -1/3 + t s: y = -1 + k
z = 2/3 - t z=2- k

(c) r: X = (1, 1, 0) + k (1, 0, - ½ )

s: X = (0, 1, ½) + t (-2 0, 1)

(08) Considere a seguinte definição:

Definição: Denomina-se ângulo entre duas retas r e s, o menor ângulo de um vetor diretor de r e

∣v⃗1 . v⃗2∣
de um vetor diretor de s. Logo, sendo este ângulo, temos: cos θ= .
∣v⃗1∣.∣v 2∣

Ache a medida, em radianos, do ângulo entre as retas r : X = (1,1,9) + λ(0,1, -1) e

s: x-1 = y
z=4

(09) Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A (1,1,0) e sabendo que o lado

BC está contido na reta r da equação vetorial X = (0,0,0) + λ(0,1, -1).

(10) Estude a posição relativa entre as retas:

(A) r: X = (1,2,3) + λ(0,1, 3), λ∈ℝ

s: X = (0,1,0) + λ(1,1,1), λ∈ℝ

(B) r: X = (1,2,3) + λ(0,1, 3), λ∈ℝ

s: X = (1,3,6) + λ(0,2,6), λ∈ℝ.

(C) r: X = (1,2,3) + λ(0,1,3), λ∈ℝ s: x + y + z = 6

x – y – z = -4

(D) r: X = (1, -1,1) + λ(-2, 1, -1), λ∈ℝ s: y + z = 3

x+y-z=6

x1 y z 1
= =
(E) r: 2 3 2 s: X = (0, 0,0 ) + λ(1,2,3), λ∈ℝ

(11) Determine m para que as retas r: X = (1,0,2) + λ (2,1,3) e s: X = (0,1,-1) + λ(1,m,2m), λ∈ℝ

sejam coplanares e, nesse caso, estude sua posição relativa.

(12) Calcular o valor de n para que seja de 30 graus o ângulo entre as retas:

x 2 y 4 z
r: = = e s: y = nx +5
4 5 3

z = 2x -2

(13) A reta que passa pelos pontos A(-2, 5,1) e B(1,3,0) é paralela à reta determinada por C (3,-1,-
1) e D(0,y,z). Determinar o ponto D.

(14) A reta r passa pelo ponto A(1,-2, 1) e é paralela à reta s: X = (2,0,0) + t (1, -3, -1). Se P (-3, m, n)
pertence a reta r, determine m e n.

(15) A reta r dada abaixo é ortogonal à reta determinada pelos pontos A (1,0,m) e B (-2, 2m, 2m).
Calcular o valor de m.
 r: y = mx +1
z = x -1

16) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes
casos:
r
a) determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v =(3,1,4);
b) determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ;
r
c) possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v
=(2,–2,3);
d) possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e
B(–1,–4,3);
x + 2 y + 4 z −1
e) possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação r : = = ;
−5 3 2
r
f) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v = (–2,0,–2);
r
g) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v =(8,3,0);

x−2 +4 z
(17) A reta r : = = , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos
4 5 3
A(0,−5,−2) e B(1, n−5, 0). Calcular o valor de n.

(18) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= r1 ∩ r2 , com

x = 3m
x −1 y − 3 z −1 
r1 : = = e r2 : y = 1 + 2m .
2 4 −2 z = 2 + m

(19) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas:
x − 3 − 2y 2y − 44 z + 8
a) s : = = z+3 e r:x = = , e que passa pelo ponto P(2,3,5);
2 4 10 −2
x − 2 2y 2-y z
b) s : = = 3z + 3 e r:x+4 = = , e que passa pelo ponto P(2,–3,1);
2 −4 -2 −3
 2y − 1
 x=
 y = −2 x − 3  2
c) r :  e s:  , e que passa pelo ponto P(3,−3,4).
 z = 10 x + 18 z = − 6 y + 27
 2
 x = z + 1 x = z + 3
(20) São dadas as retas r :  e s: e o ponto A(3,–2,1). Determine as
 y = 2z − 1 y = z − 5
coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o
ponto médio do segmento PQ.

(21) Determine as equações da reta s, traçada pelo ponto P(−1,−3,1), que seja concorrente com a

x = 3 z − 1
reta r :  e seja ortogonal ao vetor v = (2,0,−1) .
 y = 2z − 2

Respostas:

(02) não pertence (03) para encontrar outro vetor diretor da reta, basta escolher um vetor que seja
múltiplo do outro já identificado. Para encontrar pontos, variar “k”.
1
x
(04) 2 y 1 , (½, 1, -1), (3/2, -2, 1)
= = z1
3/2 2
(05) X = (-5, 2,3) + t (9,-9,-9)
x = -5 + 9t , y = 2 – 9t, z = 3 – 9t

x 5 y 2 z 3
= =
9 9 9 , não pertence.

(06) (a) -2 (b) -5/2

(08) π /3 (09)(0,0,0) e (0,1, -1) (10) a) reversas b) coincidentes c) concorrentes d) paralelas e)
reversas (11) m = 2/3, concorrentes (12) 7 ou 1 (13) (0,1,0) (14) m = 10, n = 5 (15) m=1 ou m = -3/2

x = 1 + 3m
 x −1 y + 2 z −1 x = 3 y + 7
(16): a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) ,  y = −2 + m , = = , 
z = 1 + 4m 3 1 4 z = 4 y + 9

 x = 2 + m
 z+2 y = x − 3
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , y = −1 + m , x−3 = y = ,  ;
z = 3 − 5m −5 z = −5 x + 13


x = 1 + 2m x = − y − 1
 x −1 y + 2 x − 3 
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , y = −2 − 2m , = = ,  3 ;
z = 3 + 3m 2 −2 3 z = 2 y


x = 1 + 3m
 x −1
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , y = 5 + m , = y − 5 ; z = −2 ;
 z = −2 3


x = 2 − 5m  − 5z + 4
 x − 2 y −1 z x = 2
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , y = 1 + 3m , = = ,  ;
z = 2m −5 3 2 y = 3z + 2
  2

 x = −6 + m

f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , y = 7 , x + 6 = z −9; y = 7 ;
z = 9 + m


x = 8m
 x y
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , y = 3m , = ;z = 4 ;
z = 4 8 3


(17) n=7 ou n=1

y = − x + 1
(18) 
z = x + 2

x = 2 − m x = 2 + 4m x = 3 − 4m
  
(19) : a)t: y = 3 + 5m b)t : y = −3 + 7m c) t : y = −3 + 13m
z = 5 + 12m z = 1 + 6m z = 4 + 3m
  

(20) P(1, –1,0) e Q(5,3,2)

y + 3 z _1
(21) s : x + 1 = =
−1 2