Manual de Fórmulas Técnicas

AHOCKS Obi
Manual de
formulas tecnicas
de K. + R. Gieck
nova tradugao
A- edigao
revista e ampliada
1998
no total de 76 edigoes
0
HEMUS
Tradugao de:
Carlos Antonio Lauand
(Eng9 Civil-Eletricista)
Revisao de:
Equipe Tecnica Hemus
Tftulo do original alemao:

TECHNISCHE FORMELSAMMLUNG
29§ edigao alema
4® edigao em lingua portuguesa

(c) Copyright 1990 by Gieck Verlag, D-8034 Germering
West Germany
Nenhuma parte deste livro podera ser reproduzida,

sejam quais forem os meios empregados ,
sem a permissao por escrito da Editors
Todos os direitos adquiridos para a lingua portuguesa

e reservada a propriedade literaria desta publicagao pels
HEMUS EDITORA LIMITADA

-
RUA DA GL6RIA, 312 - LIBERDADE - CEP 01510-000 Cx. POSTAL 9686
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FONE (011) 279-9911 FAX (011) 279-9721 - SAO PAULO - SP- BRASIL
http://www.saneLcom.br/~hemus e-mail: hemus@sanetcom.br
Prefacio
Este formulario contem as formulas matematicas e tecnicas
mais importantes, numa apresentagao clara, concisa e ordena-
da. Nele, o engenheiro encontrara rapidamente as formulas
fundamentais de sua especialidade e sabera utilizar aquelas
que Ihe sao menos familiares, gragas as explicagoes sucintas.
Cada assunto esta designado por uma letra maiuscula, confor -
me a lista no frontispicio do livro. A sequencia das paginas
Tatando de um mesmo assunto esta indicada por um numero
acompanhado da letra caracteristica. A numeragao das formu-
las e continua para um mesmo assunto e e representada pela
letra minuscula correspondente, o que permite a locallzagao
facil das formulas utilizadas nos calculos.
Prefacio
a 29- edi ao ampliada
^
Na nova segao J, foi incluida uma materia tambem nova sobre
EQUAQOES DIFERENCIAIS; o CALCULO INTEGRAL e trata-
do na segao I ampliada.
A segao GEOMETRIA ANALITICA foi aumentada com o Cal-
culo Vetorial, a segao ELETROTECNICA foi ampliada com
Rede e Instalagao e a segao MAQUINAS FERRAMENTAS foi
totalmente remodelada.
As segoes TERMODINAMICA e ELEMENTOS DE MAQUINAS
juntamente com suas respectivas TABELAS foram revisadas e
atualizadas.
Meus agradecimentos aos senhores professores J. Drager, W.
Kaspar-Sickermann e B. Maring que colaboraram na atualiza-
gao desta obra.
K. Gieck
Unidades A
Areas B
Volumes C
Aritmetica D
Fun$oes circulares E
Geometria analftica F
Estatfstica G
Calculo diferencial H
Calculo integral I
Equa?6es diferenciais J
Estatica K
Cinematica L
Dinamica M
Hidraulica N
Calor O
Resistencia dos materials P
Elementos de maquinas Q
Engenharia de produ9§o R
Eletrotecnica S
Fisica ondulatoria T
Quimica U
Tabelas Z
EXPLICATES
para a utilizagao deste manual
Conteudo de uma formula

Definigao das grandezas: numero e unidade
O numero que exprime a grandeza e a relagao entre esta e a unidade

escolhida. O numero e pois o algarismo pelo qual 6 preciso multiplicar
a unidade para obter a grandeza.
grandeza = numero x unidade
O numero torna-se n vezes menor se se escolhe uma grandeza n

vezes maior. O produto do numero pela unidade e constante; a
grandeza nao varia quando se muda a unidade; por exemplo:
1 m = 103 mm = 10 3 km
"
O valor da grandeza e o produto do numero pela unidade; por

exemplo:
1= 3 mA; l = 12 mm.
Recomenda-se diferenciar bem o sfmbolo da grandeza do sfmbolo

da unidade. Somente o sfmbolo da grandeza a caracteriza. O
numero e a unidade exprimem unicamente o valor da grandeza. A
unidade nao deve conter indicagoes especiais referentes a grandeza.
Exemplos:
errado correto
p = 2,7 atu PQ = 2, 7 bar
U - 220 Vef Uef = 220 V
Unidades: ata, Nm3 = mn 3, BW = W , AWdg, Vss.

Excegoes: °C , Var, rad. ^
As diferentes especies de equagao
Equagoes de grandezas
Os simbolos de grandezas representam as grandezas nas formulas.

Estas sao independentes da escolha das unidades. Elas traduzem
fenomenos ffsicos. Os simbolos sao substituidos pelo produto de urn
numero por uma unidade quando se calcula numericamente a gran-
deza . Neste caso, pode-se Introduzir como se quiser os valores e as
unidades; por exemplo, formula I 23:
2s 2 • 80 m 2 80 ms
t = = 20 s .
V 8m
8 —
S
Equagoes de grandezas com unidades
Numa equagao de grandezas com unidades, os simbolos das gran-
dezas sao divididos pela unidade correspondente: por exemplo,
formula s 73:
5 - oil) A
N
? . 1
77 cm 2
= 40
0,9 T \ 2 5 cm 2
T cm 2 =
162
ou:
r / B \2 A 0,9 T \2 5 cm 2
Fm 40 T 2 N = 40
cm 2 N = 162 N.
«
\T / cm T
Nestas equapoes, as relapoes entre as grandezas e as unidades
correspondentes indicam o valor numerico (numero) da grandeza
pela unidade escolhida. Estas formulas sao muitas vezes utilizadas
nos calculos frequentes com uso de tabelas.
Equapdes de unidades
As equapoes de unidades exprimem relapoes entre as unidades.
Elas contem somente unidades e fatores numericos , por exemplo:
1 m = 100 cm ; 1 N = 1 kg m / s 2.
Elas podem ser escritas, com vantagem, colocando- se a unidade a
esquerda do sinal de igualdade; por exemplo;
1m 100 cm 1 kg m 1 N s2
1 1=
100 cm 1m 1 Ns2 1 kg m
Uma grandeza ou uma parte da equagao pode sempre ser multipli-
cada por 1 sem mudar seu valor, o numero 1 representando urn
quociente de unidades (ver a pagina anterior).
Este calculo permite exprimir uma grandeza em uma outra unidade.
Por exemplo: formula m 1:
F =ma
r- , cm _, 1 N s2 cm 1m
F = 30
^
kg 4 = 30 kg -4 100 cm =
1,2 N.
^
Equapoes de valores numericos ^
Neste caso, os simbolos indicam valores numericos. Este formuterio
nao contem tais equates, a fim de evitar as confusoes.
Grandezas e unidades de base do

Sistema Internacional de Unidades
Grandezas de base Unidades de base
Sfmbolo Sfmbolo
Nome ( em tipo Nome ( em tipo
italico ) normal)
comprimento l metro m
massa rn quilograma kg
tempo t segundo s
corrente
eletrica I ampere A
temperatura
absoluta T kelvin K
quant, materia n mol mol
int. luminosa 4 candela cd
Exemplos de unidades
Nas tabelas, as palavras “exemplos de unidades" sao abreviadas
para eu.
As unidades indicadas neste formul6rio sao dadas como exemplos.
A primeira unidade e a do Sistema Internacional. O leitor deve utilizar,
de preferencia, estas unidades, o que simplifica os c lculos. As
^
outras unidades indicadas sao, tanto multiplos decimais das unida-
des SI, como unidades prescritas, toleradas ou nao pela lei, mas
ainda utilizadas [unidades entre colchetes].
Lembramos ao leitor que todas as formulas deste manual sao equa-
tes de grandezas nas quais e necessario introduzir unidades ade-
quadas para calcular o valor da grandeza.
Simbolos utilizados
i
(em grande parte conforme DIN 1304)
Espago e Tempo Mecanica

a, p, y • • • angulos m massa
Q angulo solido Q densidade
/ comprimento . v volume especifico
b largura p impulso
h altura J mom. de inercia de massa
r, raio, raio vetor F forga
G peso proprio
d, diametro M momento fletor
5 espago percorrido MR momento de atrito
s espessura T momento de torgao
u , circunferencia P pressao (forga pela area)
A area, segao transversal o tensao normal de tragao ou
Am area lateral de urn corpo de compressao
r tensao tangencial ou de
Aa area externa de urn corpo cisalhamento
e alongamento especifico
V volume Y deslizamento
t tempo E modulo de elasticidade
co velocidade angular G modulo de cisalhamento
a aceleragao angular I momento de inercia
v velocidade de area
a aceleragao W momento resistente
g aceleragao da gravidade H momento estatico de uma
superffcie
Fenomenos periodicos P coeficiente de atrito de des-
e afins lizamento
T periodo p0 coeficiente de atrito estatico
I frequencia
/
n numero de revolugoes (fre - coeficiente de atrito radial
quencia de rotagao) /4 coeficiente de atrito de rola-
to frequencia angular mento longitudinal
A comprimento de onda viscosidade dinamica
angulo de avango ou recuo,
*1
I angulo de defasagem V viscosidade cinematica
W trabalho , energia
P potencia H campo magnetico
ri rendimento & fluxo eletrico
V tensao magnetica
Calor Rm resistencia magnetica
T temperatura absoluta A condutancia magnetica
t temperatura em °C 6 comprimento do entreferro
a coeficiente de dilatagao linear a coeficiente de temperatura
da resistencia eletrica
/ coeficiente de dilatagao vo- Y condutibilidade eletrica
lumetrica g resistencia eletrica especifica
<P corrente termica
<v densid. de corrente termica e constante dieletrica
Q quantidade de calor e0 const, de campo eletrico
cp calor especifico a pressao £T constante dieletrica relativa
constante N numero de espiras
cv calor especifico a volume \x permeabilidade
constante \iv const, de indugao magnetica
q quant, de calor especifico & coef. de permeabilidade
A condutividade termica p numero de pares de polo
x relagao entre os calores es- z numero de condutores
pecificos (Cp/Cv) Q fator de qualidade
R constante dos gases 6 angulo de perdas
/d calor evaporagao Y admitancia aparente
espe- fusao Z impedancia aparente
/f cifico X reatancia
k de sublimagao Ps potencia aparente
Vn volume normal Q potencia reativa
v volume especifico CM constante de momento
Eletricidade e magnetismo Radia9oes opticas e
1 corrente eletrica eietromagneticas
J densid. de corrente eletrica /e intensidade energetica
U tensao eletrica /v intensidade luminosa
Uq tensao da fonte ^
< e potencia irradiante
R resistencia eletrica, resis- <f >v fluxo luminoso
tencia ativa Qc energia irradiante
G condutancia eletrica, con - Q.v quantidade de luz
dutancia ativa Et irradiancia
Q quantidade de eletricidade, Ey , aclaramento
carga exposigao irradiante
C capacidade eletrica Hw exposigao luminosa
D densidade de fluxo eletrico Ce radiancia
E campo eletrico Cv luminancia
0 fluxo magnetico c velocidade da luz
B densidade de fluxo magne- n indice de refragao
tico, indu o
L indutancia^ /
D
distancia focal
poder refringente
Unidades
1
Prefixos e seus Simbolos

da = Deca 101 d = Deci ZI icr1
h = Hecto 102 c = Centi -
10 2
103 10 3
-
k = Kilo m = Mili
M - Mega 106 p = Micro 10-6
G = Giga 109 n = Nano 10 9
"
T = Tera 1012 p = Pico 10-12

P = Peta 1015 f = Femto 10-15
E = Hexa 1018 a = Ato 10-18
Unidades de Comprimento
m urn mm cm dm km
a 1 1m 1 106 103 102 10 10" 3
a 2 1 pm 10 “ 6 1 10‘ 3 10 4
“
10 - 5 10 " 9
a 3 1 mm 10'3 103 1 10 ~ 1 10 - 2 10 ~ 6
a 4 1 cm TO'2 104 10 1 10 "
' 10 ~ 5
a 5 1 dm 10 " ' 105 102 10 1 10 ~ 4
a 6 1 km 103 109 106 105 104 1
Unidades de Comprimento (Continuagao)

(X ) (mA ) 2)
a 7 1 mm
mm
1
pm nm
103
pm
106 107
” 109 10
, Q
a 8 1 pm 10 "3 1 103 104 106 107

a 9 1 nm 10 '6 10 ~ 3 1 10 103 104
a 10 (1 ) A 10 7 '
10 4 “
10 - 1 1 102 103
a 11 1 pm 10 ' 9
I0 6 "
10 " 3 10 - 2 1 10
a 12 (1 mA ) = IO 10
io - 7 10 4 10 3
"
10 “ 1
1
Unidades de Area
m2 pm 2 mm 2 cm2 dm2 km2
a 13 1 m =2
1 1012 106 104 102 10 6 "
a 14 1 pm2 = 1 0 12
-
1 10 “ 6 10 " 8
10 io -
10 - 18
a 15 1 mm2 = 10 ~ 6 106 1 IO " 2
10 4 '
10 12 ^
a 16 1 cm2 - 10 - 4 108 102 1 10 - 2 1 0- i o

a 17 1 dm2 = IO ’ 2
101° 104 102 1 10 8
a 18 1 km 2 - 106 1018 1012 101° 108 1
11 2)
A - Angstrom 1 UX (Unidade X ou Rontgen)
Unidades
2
Unidades de Volume
m3 mm 3 cm 3 dm3 1)
km 3
1 m3 — 1 109 106 103 10 - 9 a 19
1 mm3 = 10 - 9 1 10 “ 3 10 ' 6
10 - 18 a 20
1 cm3 = 10 - 6 103 1 10 ' 3
10 15 "
a 21
1 dm3 - 10 3 “
106 103 1 1 0- 1 2 a 22
3
1 km = 109 1018 1015 1012 1 a 23
Unidades de Massa
kg mg g dt t = Mg
1 kg = 1 106 103 102 10 3 "
a 24
1 mg = 10 “ 6
1 10 - 3 10 “
8
10 9 "
a 25
3
1 9 = 10 "
TO 3 1 10 " 5
10 6 "
a 26
1 dt = 102 10 s 105 1 10 - 1 a 27
1 t = 1 Mg = 103 109 106 10 1 a 28
Unidades de Tempo
s ns [iS ms mm
1 s = 1 109 106 103 16 , 66 - 10 3 "
a 29
1 ns = 10 ~ 9 1 10 3 10 6 '
16 , 66 - 10 - 12
“
a 30
1 ns = 10 6
'
103 1 10 - 3 16 , 66 - 10 - 9 a 31
1 ms = 10 ~ 3 106 103 1 16 , 66 - 10 ~ 6 a 32
1 min = 60 60 - 109 60 - 106 60 - 103 1 a 33
1 h = 3600 3.6 - 1012 3.6 - 109 3 , 6 - 106 60 a 34
1 d = 86, 4 - 103 86.4 - 1012 86 , 4 - 109 86, 4 - 106 1440 a 35
Unidades de For $ a ou de Peso

N 2> kN MN ( kp ) ( dyn )
1 N 1 10' 3
10 6 ^
0,102 105 a 36
1 kN 103 1 10 - 3 0,102 - 103 108 a 37
1 MN 106 103 1 0 , 102 - 106 1011 a 38
1)
1 dm3 = 11 = 1 Litro | H N = 1 kg m/s2 = 1 Newton
2
Unidades
3
linidades de Pressao
Pa N/ mm2 bar (kgf /cm2) ( Torr )
a 39 1 Pa = N/m 2 = 1 10 6 1CT 5 “
1.02 - 10 - 5 0,0075
a 40 1 N/mm 2 106 1 10 10,2 7,5 • 103
a 41 1 bar 105 0, 1 1 1,02 750
a 42 (1 kp/ cm 2 = 1 at) = 98100 9 , 81 •10 2 0,981 _ 1 “
736
a 43 (1 Torr) 1) 133 0 , 133 10 3 1,33 - 10 3 l,36 • 10 ~ 3
"
1 |
Unidades de Trabalho
J kW h (kgf m) ( kcal ) (CV h)
a 44 1 J 2> 1 0 , 278 * 10 - 6 0,102 0 , 239 10 3 0,378 - 1O 6 ” '
a 45 1 kW h 3,60 - 106 1 367 - 103 860 1 ,36

a 46 (1 kgf m) 9,81 2,72 - 10 - 6 1 (2.345 -10 - 3 3,70 - 10 - 6
a 47 ( 1 kcal ) 4186 , 8 1,16 - 10 - 3 426,9 1 1,58 - 10 3 ”
a 48 (1 CV h) 2,65 - 106 0 , 736 0.27 - 106 632 1

Unidades de Potencia
W kW (kgf m/s) ( kcal/h ) (CV )
a 49 1 W 3> 1 1Q - 3 0,102 0,860 1,36 - 10 - 3

a 50 1 kW 1000 1 102 860 1 ,36
a 51 (1 kgf m/s ) 9 , 81 9,81 •10 ~ 3 1 8 ,43 13.3 - 10- 3
a 52 ( 1 kcal/h) 1 , 16 -
1.16 10 - 3 0,119 1 1,58 - 10 ~ 3
a 53 (1 CV ) 736 0, 736 75 632 1
Unidades de Massa para Pedras Preciosas
a 54 1 Quilate Metrico (QM) = 200 mg = 0,2 10 3 kg = 1/5000 kg
~
Unidade de Pureza de Metais Preciosos

a 55 24 quilates 1000,00%o 18 quilates = 750,00%o
a 56 14 quilates A 583,33%O
^ 8 quilates = 333,33%o
Unidades de Temperatura
_
= - • IJL K
^
•F
a 57 T =
°C ) 9 Rank
+ 273,15 K Ponio be 3o
K °C
ICO ebolif
( Agua)
373.15 ' 212
Rank
671, 67
JL. + 459.67
a 58 rR =
°F j Rank = 5- - -K Rank PontodeFusSo
do Gelo
273.15 0 32 491, 67
l( ) (f )
a 59
a 60
t
h
.
^ - 32 °c =
tee tp sao as temperaturas

7 K T'R ,
- 273 ' 15 °c
7R
Rank
- 459.67 °F
Zero
Afsolulo 9 - 273,15 - 459 67
nas escalas Kelvin, Rankine, Celsius e Fahrenheit

, 0
1)
2 1>
1 Torr = 1 / 760 atm = 1 ,33322 mbar 4 1 mm Hg ( mm QS) para t = 0 C
| 3M W = 1 J / s = 1 Nm / s = 1 Watt
°
J = 1 Nm = 1 Ws = 1 Joule
Unidades
4
Compara ao entre
^
unidades anglo-americanas e metricas
Unidades de Comprimento
pol pe jarda mm m km
1 pol = 0,08333
1 0,02778 25,4 0,0254 a 61
1 pe = 12 1 0, 3333 304,8 0,3048 a 62
1 jarda = 36 3 1 914, 4 0,9144 a 63
1 mm = 0 , 03937 3281 • 10 6 1094 - 10 - 6
“
1 0,001 10 6
"
a 64
1 m 39 , 37 3,281 1 ,094 1000 1 0,001 a 65
1 km 39370 3281 1094 106 1000 1 a 66
Unidades de Area
pol2 pe2 jarda2 cm 2 dm2 m2
1 pol2 = 1 6,944 - 10 ~ 3 0,772 - 10 ~ 3 6,452 0,06452 64,5 - 10 ~ 5 a 67
1 pe2 144 1 0,1111 929 9, 29 0,0929 a 68
2
1 jarda = 1296 9 1 8361 83,61 0,8361 a 69
1 cm2 = 0,155 1,076 - 10 ~ 3 1.197 - 10 - 4 1 0,01 0,0001 a 70
1 m2 15,5 0,1076 0,01196 100 1 0,001 a 71
1 m2 = 1550 10,76 1,196 10000 100 1 a 72
Unidades de Volume
pol3 pe3 jarda3 cm3 dm3 m3
1 pol3 = 1 5, 786 10 - "4 2,144 - 10 - 5
16,39 0,01639 1 ,64 - 10 - 5 a 73
1 pe3 = 1728 1 0,037 28316 28,32 0,0283 a 74
3
1 jarda = 46656 27 1 764555 764 ,55 0,7646 a 75
3
1 cm = 0,06102 3532 - 10 " 8 1 , 31 10 6
“
1 0,001 10 - 6 a 76
1 m3 61 , 02 0,03532 0,00131 1000 1 0,001 a 77
1 m3 = 61023 35,32 1 , 307 106 1000 1 a 78
Unidades de Massa
dracma onga lb g kg Mg
1 dracma = 1 0,0625 0,003906 1,772 0,00177 1.77 - 10 6 "
a 79
1 onga 16 1 0,0625 28,35 0,02832 28.3 - 10 - 6 a 80
1 lb 256 16 1 453,6 0,4531 4.53 - 10- 4 a 81
1 g 0,5643 0,03527 0,002205 1 0,001 10 ~ 6 a 82
1 kg 564,3 35,27 2,205 1000 1 0,001 a 83
1 Mg 564, 3103 35270 2205 106 1000 1 a 84
Continua em A 5
Unidades
5
Continuagao de A 4
Unidades de Trabalho e Energia
lb pe kpm J = W s kW h kcal Btu
a 85 1 lb pe = 1 0,1383 1,356 376,8 10 9 324 -10 ® 1.286 - 10 3
" ' '
a 86 1 lb pe = 7 , 233 1 9 , 807 2 , 725 - 10 - ® 2,344 - 10 3 9 , 301 10 - 3

“
•
a 87 1J = 1 Ws = 0, 7376 0,102 1 277.8 - 10 9 239KT ® 948, 4 - 10 - ®
"
a 88 1 kW h = 2,655 - 10 ® 367 , 1 - 103 3 ,6 - 10 ® 1 860 3413

a 89 1 kcal 3.087- 103 426,9 4187 1,163 103 1 3, 968
a 90 1 Btu 778 ,6 107 ,6 1055 293 10 6
'
0, 252 1
Unidades de Potencia
hp kp m/ s J / s = W kW kcal/ s Btu / s
a 91 1 hp 1 76,04 745 ,7 0,7457 0 ,1782 0,7073
a 92 1 kpm / s = 13,15 - 1O' 3 1 9 ,807 9.807 - 10' 3 2.344 - 10 3 9.296 - 10
" " 3
a 93 1 J/s = 1 W = 1,341 -1O '3 0,102 10 - 3
1 239 - 10 ® 948 , 4 10
" " ®
a 94 1 kW 1,341 102 1000 1 0,239 0,9484
a 95 1 kcal / s = 5 , 614 426,9 4187 4 ,187 1 3,968
a 96 1 Btu/s = 1,415 107, 6 1055 1,055 0, 252 1
Outras Unidades
a 97 1 mil = 10 3 pol 0,0254 mm
a 98 1 sq mil = 10 -6 pol2
645,2 pm2
a 99 1 milha inglesa
1609 m
a100 1 milha maritima internacional
1852 m
alOi 1 milha geografica 7420 m
a102 1 legua brasileira ( 3000 bragas) 6600 m
a103 1 milha brasileira (1000 bragas)
2200 m
al 04 1 galao Imperial (Ingl.) 4,546 dm3
a105 1 galao Americano (EUA)
3,785 dm3
a106 1 braga (2 varas)
2.20 m
a107 1 vara (5 palmos)
a108 1 passo geometrico ( 5 pes) 1,10 m
1 ,65 m
a109 1 alqueire paulista
24200 m2
a110 1 alqueire mineiro
48400 m2
a111 1 ton curta (EUA)
0,9072 Mg
a112 1 ton longa (GB, EUA )
1 ,0160 Mg
a113 1 Btu/pe3 = 9,547 kcal/m3 = 39964 N m/m3
a114 1 Btu/lb = 0.556 kcal/kg = 2327 N m/kg
a115 1 lb/pe2 = 4,882 kp/m2
a116 1 lb/pol2 (= 1 psi)
= 47,8924 N/m2
= 0,0703 kp/cm2 = 0,6896 N/cm2
Areas
Bi
Quadrado
2
b 1 A = a
b 2
b 3
a
d
-
—
V
a 1
<o
/
bV/
/
/
/
Retangulo
b 4 A a •b T*\
-o
b 5 d = y« j
b2 i
a
Paralelogramo
b 6 A a h - - -
a b sin a
b 7 d , = v< a + h c o t a ) 3 + h2
•
-c
-
o
•
1
b 8 d2
V< a - /l - c o t f l ) 2 + /l2
Trapezio
a + b a
b 9 A h m h
2
I
a b
-c
b 10 m
2 1 m
_b
Triangulo
a h.
b 11 A — = p s
b 12 = ys ( s - a ) ( s - 6 ) ( s -c )
b 13 a + b + c
s
2
B2 Areas
Triangulo equilatero
a-
2
X - fVT b 14
-c \
1
A =
fW b 15
a —
Pentagono regular
-
A = 0 + 2 V? b 16
a = |r fio - 2 yr b 17
r y 6 y?
1
9 « 2 b 18
4
Constructor
A B = 0 , 5 r, B C = B D, C D = CE
Hexagono regular
b 19
d = 2 a b 20
*7
o <o ac
~ 1 ,1 5 5 s b 21
I
s « 0, 8 6 6 d b 22
Octogono regular A = 2as = ,
0 83 s2 b 23
= 2 s j/ t f 2
-s 2
b 24
nt
- 44 a
s
=
=
s t a n 2 2 ,5 = 0, 415 s
°
d c o s 2 2 , 5 ^ 0 ,9 2 4 d
°
b 25
b 26
3
d
c o s 2 2 , 5° ~ 1 , 083 s b 27
Poligono qualquer
- A! + A 2 + A$ b 28
,
a h + b - h2 + b h -)
2 b 29
Areas
B3
Circulo
b 30 A = 44 d1 K r2
b 31
~ 0,785 d 2
b 32 U 2n r n d
Coroa circular
b 33 A = 44 ( D 2
-d 2
)
b 34 = n ( d + b )b
b 35 b
D - d
2
D
b 36
b 37
A ”
360°
b r
n
r2 a
-^ Setor circular
2
n
b 38 b r a
180 °
71
b 39 a = C ( a = a em radianos)
1 8 0°
b 40 s = 2 r s i n-— Segmento circular

2
h
b 41 A - —6—s
? ( 3 h2 + 4 s2 ) = y ( a -s i n a )
h s2
b 42 r ~ +
2 8 /1
a a
i
—s2
,
b 43 h = r(1 - cos — ) = tan—
4
-c
b 44 a veja formula b 39
b 45 A - —4— D d - n a b Elipse
D + d
b 46 J = n
2 \
MH'
2
1\
b 47 - * ( a+6 ) 1 +( - • A*+
{
8
• A° +
, donde A =
a -b
\2 4 6 8 10 j a+b
Volumes
1
Cubo
c 1 V = a3
c 2 A0 = 6 a2
C 3 d = YT - a \
&
a
Paralelepipedo
c 4 v S2 ab c
c 5 2( a i i + a c + 6 c )
c 6 d = ]/a2 2
+ b c2 x>
Paralelepipedo obli'quo
C 7 V h
(principio de Cavalieri)
Piramide
C 8
Tronco de piramide
c 9
c 10
c2 Volumes
Cilindro
/ = —* a n c 11
An * 2 K rh c 12
40 = 2
* r ( r + /i) c 13
Casca cilindrica
/ =
^- M0 2 - d 2) c 14
Am
- = * rn
c 15
C 16
~ K r ( r + m) c 17
« = c 18
*
2
As : AA = :
* c 19
Tronco de cone
Y2 h iO ’ 2
+ Dd + d ) c 20
ym (D+ d) = 2 K pm c 21
7 C 22
4 1
—
3
K • r3 =
6
A • cf 3
c 23
^ ,
4 1 89 r 3 c 24
Ao = 4 n r2 K d
2
c 25
Volumes
03
Segmento de esfera
= ~/i ( 3 a2 0 b + h )
c 26 2 2
V
c 27 Am = 2x r h (zona esferica)
c 28 A0 = K { 2 r h + a2 + b2 )
, 2 Calota esferica
c 29 = +
*)
=
2
n h (r - y)
c 30 Am - 2 K r h (capa da esfera)
c 31 = 4 (s
4
-
2 2
+ 4h )
C 32 v = ~ K r2 h
c 33 - Y r ( 4 h + s)
Esfera seccionada por cilindro

C 34 v - t* 5
c 35 = 2 K h (R + r )
Esfera seccionada por cone

2
c 36 V y n r h
h2
c 37 = 2 n r\ h +
Volumes
4
Toroide
v = C 38
i 4
o
•
T ® “
~ * K
2
Dd c 39
f D *4
Tronco de cilindro
/ C 40
Segmento de cilindro
V = y ra /1 C 41
An = 2 r /i C 42
. n
s
Am + j r
2
+^ r*2 C 43
Barril
/ »
J2 h{ 2 D * 2
+ rf ) c 44
Prismoide
= y ( 4i + A2 4 4) C 45
Esta formula pode ser usada nos

caiculos envolvendo os sdlidos
mostrados nas p£ginas C 1 ... C 3,
bem como a esfera e suas partes.
r Aritmetica
Potencias, Raizes Di
Calculo das potencias e das raizes
regras gerais exemplos numericos
d 1 p- an i q an = (p t q) an 3a 4 + 4 a 4 l a*
n
d 2 a • a a m* n aB • a * a12
d 3 am / an = a - m n
a /a
8 2
= a - 8 2
a
6
, n n\m
d 4 ( am ) = \ /
(a ) = a
mn
(a )3 2
= (a 2
)
3
= a2 3
= a
6
d 5 a
~n
= 1/ an a 4
1 /a 4
n
a a n a3 a
3
d 6
b b
bn b
3
d 7
^ ^
p a i
—
nr
q a
Va - b
«
= (p
n t —^
Va - Y b
1
n
p) Va 4
^7 . 7^ . 1I
^
1
d 8 = |/i 6 e i = yTif . 57
d 9
If ft ( I/S’
yr
= yr = 2
d1 0
n x, ,
1/a mx
[/ — = \/a
n, ,
1 — rr
p - p
d11 p = a
m
n +)
P = a
d12 \G i yr = i ] /s i3
-
4)
.
Nao aplicavel nos casos p. ex. /( -2 ) 2 = ZV = +2 ; { ~ 2 ) 7 = “2
Z
Os expoentes das potencias e das raizes devem ser numeros puros.
Equapao quadratica (Equapao do 29 grau)

dl 3 Forma normal x2 + p x + p
vir;
=
dl 4
d15
Solupoes
Teorema de Vieta
; Xi -
ft
( *i + *a ) ; ,
P “ <7 : x x2
Calculo iterativo de uma raiz n-esima qualquer
d16 Se
' 1
^. entao x = ~
em que x0 e o valor inicialmente estimado para x. A precisao de x aumenta
substituindo varias vezes xQ por x.
n
( n- 1 ) x0 + —
Jo
~
Aritmetica
Potencias , Raizes — Binomio D2
Transforma?ao de expressoes algebricas
d 17 ( a ± b) 2 = a 2 t 2 a b + b2
d 18 (a t b) 5 = a3 ± 3 a2 b + 3 a b2 ± b3
d 19 (a
* b)
n
= an +
n n 1.- 6 + n- 2
62 +
Ta
1- 2 - 3 . bn
d 20 (a + b + c) 2 = a2 + 2 a b + 2 a c + b2 + 2 b c + c 2
d 21 (a - 6 + c ) 2 = a2 - 2 a b + 2 a c + b2 2 6c + c 2 -
d 22 a2
3
- b2 = ( a + 6) ( a - 6 )
d 23 a + 63 = 2
( a + 6 ) ( a - a6 + b 2)
d 24 a3 - 63 - ( a - 6 ) ( a2 + ab + b 2 )
d 25 an - bn = ( a - 6 ) ( an “ 1 + 6 + a 0' 3 62 -f . ..
.. . + a b n “ 3 + bnM )
Binomio de Newton
d 26 (a b )" =
n ( g- l ) ( a-2 )
n- t •
.. .
6+
©- n- 2 .
}
n 3 - • 63 + . ..*
)
d 27
*)
em
fi)
que
1-2- 3
neum numero inteiro.
.. .
(n A+1 )
A
*
d 28 ( a + b ) ' = 1 a 4 + - - a4 - 1 • b + 4 - 3
1
rra 4-3 2 -
j
= a 4 + 4 a3 • 6 + 6a 2 • b2 +
1 -2 3
a
4 a - b3
- “
b
+ b *
Esquema de calculo
d 29 Calculo dos coeficientes pelo triangulo de Pascal
(a
(a
6)
+ b) i
° 1
1 1
(a 2
+ b) 1 2 1
(a + b) 3 1 3 3 1
(a + b) 4 1 4 |6 41 1
(a + b) 5 » 101
"
1 |5 10 5 1
(a + b) * 1 6 15 20 15 6 1
Lei de formapao: cada linha comega e termina por 1. O
segundo e o
penultimo numeros devem ser os expoentes, e os
demats a soma dos da
direita e da esquerda imediatamente acima deles.
d 3 0 Expoentes: A soma dos expoentes
de e de b em cada termo e igual ao
a
expoente do binomio n. Se os expoentes de a
decrescem, os de b
crescem.
d 31 Sinais : Para ( a b ) sinais
+ sempre positivos. Para ( a - b) inicialmente sinal
positivo, e em seguida alternadamente negativo e positivo.
d 32 Exemplos:
( a + b)5 = as
+ 5 aAb + 1 0 a 3 b 2 + 1 0 a 2 b 3 + 5 a b 4 bs
*
(a -
b ) 5 = + a 5 - 5 a * b + 1 0 a 3 b 7 - 1 0 a 2 b 3 + 5 a b - bs
*
Aritmetica
Fungao racional - Decomposigao em fragoes parciais 3
Fungao racional fracionada
y( ) =
P {, x ) _ a 0 + a, x + a 2 x 2 + . . + . amxm n> m
* Q{ x ) b3 + 6 x + , ..
x 2 + . + b r xn n, m inteiro e positivo
Os coeficientes avt podem ser reais ou complexos. Se o, forem as raizes
de Q( x ), obtem-se um produto de fatores.
P( x ) P( x )
( x) =
d 33 y
Q( x ) a(x n ) 1 (x - ," - n 2 ) w ... ( x nq ) vq
- -
,
k k 2 ... kq sao as raizes multiplas reais ou complexas de Q (x )‘, a e um
t
fator constante.
Decomposigao em fragoes parciais
Para simplificar o estudo de y(x ), por exemplo a integragao , e aconselhavel
decompor y( x ) em fragoes parciais.
d 34 { x ) =
y P( x ) /n
x -n
+
4t 2
-
•* * (
>41 k l
)k T ,
^-
+ ?1
x n2
As i
+ r -
^,
( x nz ) 2z
x nq + ( x n y
-
-
-
+. . .+ (
*
* -n ? )
-,
( x n )' *
k2 +. . .+
QfxJ contem coeficientes reais e raizes complexas (conjugadas complexas).

Para a decomposigao, esses pares de valores sao agrupados em fragoes
parciais reais. Se, em d 33 as raizes forem n2 - m ( conjugadas complexas
de m ), e se as designarmos por ki = k% - k devido ao aparecimento em
pares, pode -se decompor d 34 em fragoes parciais com as constantes An
... A2 k2 .'
d 35
B 1 1. x + Cn _Biz x + Cfz i? i k x + Ciy
xz + ax + b ( x 2 + ax + b ) z ( x 2 + ax + b ) k
As constantes An ate Aqkq e, respectivamente, B11, C11 a Bik, Cik se
calculam igualando os coeficientes de mesma potencia em x das partes
direita e esquerda da equagao, desde que 0 denominador da parte esquerda
das fragoes parciais seja novamente Q( x ).
Exemplo:
y v x ;‘
2X - 1 _
_ 2 x -1 _ £u* +C i Agt Aq ? ,
( x + 1 - 2i) ( x + 1 + 2i) ( x + 1) z 0 (71 XZ + 2 X + 5 x + rJTTlJ2
" "
,
2 x - 1 5, x ( X + 1) Z + C,, ( x +l) z + /!ql ( x +l) ( xz + 2 x + 5 ) + / qZ( xz + 2 x + 5 )
oT^T OUT
2 x -1 = ( qt + B \ 1 ) x 3 + ( 3 Aq 1 + q 2 + 2 fli 1 + Ci 1 ) X 2 +
^ ^
+ ( "? A q 1 + 2i4 q 2 + 5n + 2 CJI ) X + 5 Aq 1 + 5 Aq 2 + Cn
Igualando os coeficientes da parte esquerda com os da direita:
,
Bu = -1 / 2 ; Ci = 1 / 4 ; Aq , = 1 / 2 ; q 2 = “3 / 4
^ .
Se as raizes n forem simples, as constantes A11, A 21 ... Aqi da equagao d
34 podem ser obtidas por:
d 36 ,,
A = P( n i) /Q ' ( n , ) ; 42 , = P( n2 ) / Q '( n j) ; .. .
>4 q = P( nq ) / Q '( nq )
Aritmetica
Logaritmos 4
Generalidades
sistema logaritmo designagao
na base
d 37 loga a logaritmo na base a
d 38 lo % ig 10 logaritmo decimal
o
d 39 l 9 In e logaritmo natural
d 40
°
log
e
= lb 2 logaritmo na base 2
?
Os simbolos- x = b chamam-se a base

a
x antilogaritmo
6 logaritmo
Regras para calculos logaritmicos

d 41 (x y ) =
logQ logQ x + logQ y
d 42 log
a
—-
y
= logQ x - logQ y
d 43
loga xn = n log x
1
d 44 l0 9
a V* "
= —
n
log
a
x
Equatpao exponencial
d 45 ax = b ex in a
log b
d 46 donde : X = -r— a = 1f b
log a
Conversao de logaritmos
d 47 lg x = lg e • In x = 0 , 434 294 • In x
d 48 In x 19 x = 2 , 3 0 2 585 lg x
lg e
d 49 lb x 1, 442 695 • In x = 3, 3 2 1 928 lg x
Base dos logaritmos naturais e = 2,71828183 ...
Caractensticas dos logaritmos decimais de um numero
d 50 l g 0 ,01 -2 ou 8 . . .. 1 0 -
d 51
d 52
ig o,i -1 ou 9 . . . 10 . -
lg 1 0
d 53 l g 10 1
d 54 l g 100 2
etc
Observa ao: o antilogaritmo deve ser sempre uma quantidade adimen -
^
sional.
Aritmetica
Permutagoes, Combinagoes, Arranjos 5
Permutagoes
Numero de permutagoes de n elementos:
d 55 Pn = n \ 1 2 * 3 - . .. n
x)
Exemplo: os n = 3 elementos a, b, c podem ser permutados de 6 maneiras

diferentes:
abc bac cab
acb bca cba
d 56 Pi - 3! 1 - 2 -3 = 6 permutagoes
Caso especial: Se, entre os n elementos houver m elementos de 1a

especie, ro. elementos de 2s especie etc ., e nk elementos de k especie,
o numero de permutagoes diferentes vale:
*
n!
d 57
^ .k
n n ,i
i • nt \ • . .. nkl permutagoes
Exemplo: os n = 3 elementos a, a, b podem ser permutados de 3 maneiras

diferentes:
a a b a b a baa
Donde: ,
n - J> , n = 2 , n 2 = 1 , portanto
= 3! . - -
1 2 3 _
d 58
2! * 1! - -
1 2 1 3 permutagoes
Combinagoes e arranjos
Uma “combinagao" de n elementos e o numero das diferentes maneiras de
escolher n elementos entre k elementos dados, sem levar em conta sua
ordem. Assim, distinguem- se combinagoes com elementos diferentes ou
grupos de elementos iguais.
Num “arranjo" de n elementos entre k elementos dados

ordem.
As tabelas da pagina D 6 contem as formulas das combinagoes e dos

arranjos com ou sem repetigao dos elementos.
x
* n\ pronuncia-se “n fatorial”.
CL Q. CL CL
CD CT) CD cn
ro O CD
Numero de combinagoes Numero de arranjos

sem com sem com
repetigao e sem consideragao repetigao e com consideragao
de ordem de ordem
n\ n ~n -
( n+ A 1 ) !
vn = cn - P n! o
Fbrmulas
=
A ! ( n- k ) ! [ n - k
W( >
) ^k
'
A ! (a 1) !- k k k
=
(
"-* ) !
WK = nk o
3
*)
/ri+ A ~ lV
k
)
- K
O
E
Z3 "I
>
C : numero de combinagoes possiveis V : numero de arranjos possiveis ^
o ¥ 7Z
o
Explicagoes
: numero de elementos dados
CD 3 Oi
3
dos simbolos n g. E CD
cn (D
k : numero de elementos escolhidos entre k elementos dados *
S 03
'
o*
p
-
*
“O >
n 3 elementos a, b, c
Dados k = 2 elementos escolhidos entre os 3 elementos acima
S' O' 3 fi)
< <D J3
ab ac aa ab ac ab ac aa ab ac O
Possibi-
lidades
be • bb be ba be ba bb be ^ 01
Q3 cn
cc ca cb ca cb cc D Q>
CJI 3
</>
3! .( 3+2 - 1) ! . , 3
O O
3 V2 = 32
CL
E
03
Calculo
do nume-
cl 2! (3 - 2) !
= 3 ~
^
2 2 ! ( 3“ 1) !
~ V
•
>
(/
X
LU ro de
possibili-
3
3-2
3
-71- = 3 • (’Tl = 9
dades 3 - 2 '4’ 4 - 3 32
= 3 = c
6
1 *2 2, 1 - 2 t -2
Observa - ab e ba correspondem a uma mesma com- a b e b a correspondem a arranjos O)
gao binagao diferentes
Calculo segundo d 27
r
Aritmetica
Determinantes e sistemas de equagoes lineares 7
Determinantes de segunda ordem:
a,2
a,i - r + a12 y n,
Qn
,,
•
d 63
x + a 22 y r2
D = - a • a 22 a 2i • a, 2
a21 a 22
+
Por a coluna rno lugar

da coluna x da coluna y
Qi 2
= Qa - r2
d 64 ^r
**
2
•
• Ql 2 -r (
•
•
a 2i
r2 G;22
x =
0
Determinantes de terceira ordem ( Regra de Sarrus)

Qn ' X + a1 2 y + Q i s - z r ,
d 65 Q 21 + a 22 ' y + aZ2> z r2
'
* '
a
î -x + O 32 - y -2
- r
*
On 0 (2 0 (3 -
CJ H a, 2
= Qn - 022 - 053 + 0 ( 2 ' O 23 ' O 31
d 66 D a 22 ,
° 21 022 Q 23 021 +o 3 • a 2( O 32 0 ( 3 • G 22 •
031
a 3,
“ 0( 1 •
023 - Ox ,
0 2 a 2i • O 33
031 a32 O33 032 i
+ +
r a,2.
Substituir a coluna xpela coluna r.
013 a ,2
- ri a 22 O 33
*- a, 2 - Q 23
• -rj
d 67 A = r2 022 O 23 r2 O 22 +o , 3 r 2 ' Qs 013 O 22 • n 3
• a 23 032
' 0( 2 • r2 '
033
^3 O 32 Qs ^3 032
4 -
Desenvolverdesse modo O2 , em seguida O3, substituindo a coluna y.

e depois a z pela coluna r.
0, D £2
d 68 x
D
y =
D * z
D
Continua em D 8
Aritmetica
Determinantes e sistemas de equates lineares 8
Determinantes de ordem superior a 21
(Pode -se calcular tambem os determinantes de 3* ordem pela regra de
Sarrus, conforme as formulas D 7).
Formar os determinantes e pesquisar os valores nulos por adigao ou

subtragao de duas ou mais linhas multiplicadas ou divididas cada uma
por um coeficiente apropriado.
Desenvolver o determinante segundo a linha ou a coluna tendo maior

numero de zeros, alternando os sinais ( sinal + para an ).
Exemplo:
+ +
an Qi 2 a 13 0
:+
a 2i a 22 az> <?24
Q 31 o» 033 ?34
a 4i o« a® 0+
Desenvolvimento segundo a 4 - coluna:

+ + + +
On Cl 12 a« - -
a1 r a12 - * *‘
Ol3
024 031 Qs 033 - aw O 21 O 22 023
041 0« a <j 041 a« 045
Desenvolver em seguida, por exemplo, segundo a 1 * linha de d 70,

se nao se encontrar os zeros:
Qx Q 33 Q 31 O 33 031 os
d 69 fl 5 024 k 041 0«
Oc Q 43 041 045
Introduzir a coluna rsegundo a p gina D 7, para os determinantes D1,

D2 ... e desenvolver como para 0 determinante D. ^
Calculo das n incognitas ui...n segundo as f6rmulas:
d 70 01 u =
D2
= D
Dn
“i
D I
* T • U
"
Observagao: Prosseguir o desenvolvimento de um determinante de
esima or( jem que se obtenham pelo menos determinantes de 3*
^
ordem.
Aritmetica
Progressoes 9
Progressao aritmetica
A soma de uma progressao aritmetica e a soma dos termos de uma serie
aritmetica. ( A diferenga de dois termos consecutivos e constante, por
exemplo, 1.4,7,10...) .
( a + Q n \) = a n + rr ( a - 1 ) d
— ,
n /
d 71 = , com d ~ G> 1
2
/
-
d 72 = + (n - 1 ) d
° n Q|
Media aritmetica : cada termo de uma progressao aritmetica e a media

aritmetica am entre dois termos adjacentes am-1 e am + 1.
Para o mesimo termo tem se: =
am - 1 + Qm * I
d 73 - 2
para 1 < m < n
(p. ex.: na progressao acima: = 4 + 1 0

= 7)
2
Progressao geometrica
A soma de uma progressao geometrica e a soma dos termos da serie
geometrica . (0 quociente de 2 termos consecutivos e constante, por exem-
plo 1,2 ,4 ,8 . . .).
d 74 3 n= Qi —
qr 1 q Qn a , Qo
com q =
q 1 q - 1 C2 o 1-
d 75 = a, - Qn ' i
Para uma progressao geometrica infimta ( n - < \ q \ < 1 ) tem- se

* *
d 76 Or = 1 im an 0 ; 3n = l i m sn = a
1
1 - q
,
n —» oo n — oo —
Media geometrica : cada termo de uma progressao geometrica e a media
geometrica am de seus dois termos adjacentes am-1 e am+i -
d 77 Para o rriesimo termo tem- se : am = 1 G /n 1 para 1 < m < n
'
(p. ex . na progressao acima: a 3 = 1/ 2 - 8 = 4 )

Progressao geometrica decimal
Aplicagao para o calculo de series de numeros padronizados
0 quociente entre dois termos consecutivos chama - se “razao progressiva tp”.
-
d 78 <r = - ^ . S ro b 1, mteiro.
b determina o numero de termos ou numero de numeros padronizados de
uma serie numa decada . Os valores dos termos que devem ser arredonda -
dos para cima sao caiculados de acordo com d 77:
d 79 ,
an = a ( v/io) n - = an(l01/b )'n - 1
’, n = 1... b
Comeqando com a , = 1 ou a = 10 ou a 1 = 100 ou ...
Exemplos: b Designaqao Observagao
.
6. 12, 24 .. . E 6 , E 12 , E 24, . . serie E intern, veja Z 22
.
5. 10 , 20, .. . R 5 , R 10 , R 20, .. . serie DIN veja R 1

a 1 : pnmeiro termo n numero de termos
an ; ultimo termo sn soma dos termos
d : diferenga entre dois termos q quociente entre dois termos
consecutivos consecutivos
Aritmetica
Series 10
d 80 /( * ) = (1 ± x )
u
Serie binomial
1
em que a e qualquer, positivo ou negativo , inteiro ou
fracionario.
Calculo dos coeficientes do binomio:
- ( K . +
a a( a - 1 )(a - 2) (a - 3) . (a - /1 + O
a 1 • 2 • 3 . • n
Exemplos: para
1 -1
d 81
1 I x = (1 t X ) = 1 + X
2
+ x 1 X
3
-
4 l * l <1
1
d 82 |/ 1 ± x = (1 1 x ) 2 = 1 ~+
2
Ir J_ r 2 +" 1 ra
8 1 6 M <1
1
d 83
yr ± x
= d 1 x j* = 1 ; |x 2
-+
1 6 +. . . M< 1
Serie de Taylor
d 84 /( x ) = /( a ) + ( x - a) + (x - a)2 + ..
fazendo a = 0 tem- se a serie de Mac Laurin :
d 85 fix ) = /( 0 ) , /* ( 0) f" (0) 2

x + x +
1 21
Exemplos. para
t x2 x3 todo
d 86 e = 1 + ~ + + +
1! 21 3! ’
x
d 87 ( x -l n a)2 ( x -I n a )3 todo
+ + +
2! 3! x
5
d 88 Inx -
= 2 x 1
x 1
+
1 f x- A x >0
+ 5 \ X+1
d 89 I n (1 + x ) = x - 1< X
X +1
d 90 In2 = 1
Continua em D 11
Aritmetica
Series 11
Serie de Taylor
(Continuagao) para
Exemplos:
X
3
x5 X
7 todo
d 91 sin x X
3' 5! 7!
-
•i
X
2
X
4
x6 todo
d 92 COS X - 1 +
6! x
2! 4
'
1 2 s 17
d 93 tan x X 4- — X
3
+
T5 X +
T T5
X
7
+ w< f
d 94 cot = —
i
-y1
1 1
x
3 2 s 0 < |r |
X
x 45 945 * \ x\ <*
1 3 x5 1 -3 -5
3 7
1
- *7 +
X
d 95 arcsin x = x + '
2-4 5
+
2-4 6
' 1x 1 * 1
2 3
K
d 96 arccos x =
2
arcsin x M*1
x3 x5 x
7
x9
d 97 arctan x = x MSI
1
J 5 7 * 9
d 98 arccot x = arctan x MS1
xs x
7
x9 todo
d 99 s i n h x = x + -= r - * 5 +
71
+
9!
+ '
x
3
' '
x2 X X
4 6
X
8
todo
d 100 cosh x 1 + — + + + •
6! 8 x
2
'41
'
1 2 S 1 7 x7 ..
d 101 tanh x x -yr 3
+
TJ 1 315
+ lx |< 72T
1 1 1 2 5 0<| x I
+ -5-
3
d102 coth x - X + 7TTE- X
x 3
" TT
45 * 945 x \ <n
d103 arsinh x x
1
'
X
3
+
1
2-4
-3 '
x5
~
1 •3
2-4
-5 7
- 6 *7 +‘
'
‘ l * l< 1
2 3 5
arcosh x = I n 2 x 1 1 1 »3 1 - -
1 3 5 1
+. . . M> 1
d104
2
'
17
’
2 •4 4x *
'
-
2 4 6 6x
x3 Xs x7 X
9
d105 artanh x X +
T +
T + - +
T + M< 1
1 1 1 1
d106 arcoth x
x
+
3 x‘
+
5 s +
l x7
+ M> 1
*
Aritmetica
Serie de Fourier 12
Serie de Fourier
Generalidades: toda fungao perio -

dica f(x), que pode ser decomposta
em varios intervalos no mtervalo de
periodicidade - K x n pode ser
representada neste intervalo por -A 0 A 2R 3A X
uma serie convergente de forma
{ x - cof):
oo
r
d107 fix) = f se+ calculam
-2T [an cos ) + s i n (
com as formulas:
( nx £>0 nx ) ]
Os coeficientes
R
d108 fix ) cos ( Ax ) dx bk — —1

A
/( x ) s i n ( Ax ) dx
-R -R
S e k = 0, 1, 2 . ..
Simplificagao do calculo de coeficientes por simetria:
fungao par: /( x ) = f i -x )
R
y
d109 O k =“ /( x ) cos ( Ax ) dx
V
para k = 0, 1, 2, .. .
d110 t>k = 0 -R 0 R 2R 3R X
fungao impar: fix) = -f ( - x )

d111 0 y
d112 b
‘ - |
T f- i x
oJ
) sin( Ax) dx
para k = 0, 1, 2 , . . .
Simetria par completa Simetria impar completa
d113 Se fix) = f i -x ) e Se fix) = -f i - x ) e
d114 /|
( + x) = -/( " - x) entao \
fi + x) = - f {~ - x) entao
,KA
f*2
/
d1 1 5 a = —R f i x ) cos ( Ax ) dx bk = — f i x ) sin ( A x ) d x
* R
0
°para k
= 1, 3, 5, . . . para k = 1 , 3 , 5, . . .
d1 1 6 = 0 para k = 0 2, 4 , . . . ,
c k = 0 para k - 0, 1, 2 , . . .
dl 17 bk = 0 para A: = 1 . 2 , 3 , . . . t k = 0 para k = 2 . 4 , 6 . . . .
Aritmetica
Serie de Fourier 13
Tabela dos desenvolvimentos de Fourier
d118 y = a para 0 < X <K o

d119 y = -a para x < x < 2K
0 K IK i 3K X
4a sin ( 3 x ) s i n (5x )
d120 y = sin x +
A 3 3
3K
d121 y = a para a < x < A - a y 2
d122 y = -a para + a < x < 2 n -a t ! I
* ai i i i o
I P A
I
21
'(
I 22T 3
*! X
4a 1
2 i
L .
d123 = cos a sin x + ycos ( 3a ) s i n ( 3 x )
* H
1
+ ycos ( 5a ) s i n ( 5 x ) +
d 124
d125
y =
y =
a
/ { 2K + x )
para a < X < 2 K -a . I
i
y
i
i
i
o
i
i
i
2
* 3K X
d1 2 6 y =
2a K -a s i n ( K -a )
cos X +
sin 2(x -g ) cos (2x)
2 1 2
sin 3(x a )- cos ( 3x ) +
3
d127 y a x/ b para 0 £ x £ b y
d128 y a para b x K - b
Q( K - x ) / b para K - b x £ x
d129 y =
vJ
1 1
d130 y = sin b sin x + s i n ( 3b ) s i n ( 3 x )
+ ejy- s i n ( 5 b ) s i n ( 5 x ) + .. ]
ax y
dl 31 y = para 0 < x < 2K
d 132 y = / { 2K + x )
o 32T X
a a sin x
+
sin (2x ) +
d1 3 3 y
2 K 1 2 3
Continua em D 14
Aritmetica
Serie de Fourier D 14
Continua9ao de D 13
d134 y = 2QX/ K para o £ x £ K / 2 /
d135 y = 2 Q( K - x )/ K para K /2 x K K :
O
i
I
d136 y =-/(* *) 2 l lK
sin (3 x)
yf7 IK X
8 sin ( 5 x )
d137 y = a sin x - 32
+
5’
d138 y = ax/ K para 0 £ x £ x y
d139 y = a(2x-x)/x para K x 2 K
o
d140 y = /(2x +x)
0 K 2K 3K X
a 4a cos x + cos (3x) cos (5 x )
d141 y = «
A2
+ +
1 32 52
d142 y a sin x para 0 £ x x
d143 y =-a sin x para K * x 2K
d 144 y = /(x + x)
2a 4Q[COS (2 X) cos (4x) cos (6 x)

d145 y = 7 I
“
x 1 3 - 3-5 -
5 7
d146 y = 0 para 0 x £ x /2 /
d147
d148 y
y = a sin '
= / ( 2 x + x)
( l
x ) para — i x ^ —
2 2 ”
y /UA .
~I
0 2T? 2«
d149 y =
2a 1 K cos (2x) cos (4x) cos (6x)
T ^T
JI
2
77C
2
X
4 C0S X + 22 - 1 -
“ ~
x|2 42 1 62 - 1
d150 y = x2 para -x
d151 y -
= /( *) = /(2x x) ^x^x
(
-
AAA/
xo x 2x AX ex x
X2 cos X cos(2x) cos (3x)
d152 y = y- 4
V 22 32
d153 y = ax/x para 0 £ x £x
d154 y = /(2x + x)
o x 2X 3X X
a
y ”T 2a cos x . cos (3x) , cos(5 x)
d155 +
4 x* V JJ 55
sin x sin (2x) sin (3x)
n +
1 2
Aritmetica
Transformagao de Fourier D 15
Generalidades
Na transformagao de Fourier F{ s(f)}, a fungao s(t ) 6 transformada por
meio da integral de Fourier numa fungao espectral continua S((o)
(densidade espectral), em que a frequencia u) corresponde & densi-
dade do espectro. A fungao s(t) tem as seguintes propriedades:
a) e decomponivel em intervalos finitos em que s(t ) e continuo e monoto-
no;
b) tem valores definidos nos pontos de descontinuidade s( f + 0) e s(t - 0)
d 156
iguais a:
d 157 s(t) = 1/ 2 [s(t -0) + s(t+0) ]
d 158
c) e concebida de modo que a integral J \ s{ t ) \ d t seja convergente.
1
Inversamente , a transformada inversa F { S( co)} 6 a fungao s( f) -
'
Definigoes
00
- iw r
d 159 F{S ( t )} = S { co ) =
-
Js ( t )
00
e * at ; i =
1 * °° iu/ f
d 160 F-1 { s ( a/ ) } = s ( f ) = a/ ) e • da> ; i
+ 00 « 00
Energia 2
d 161
espectral
-
J| s( t ) |
CO
• dt =
- CO
Regras de calculo
~ Ii+ r
d 162 Defasagem de tempo F{s{ t - r)} = S ( OJ ) • e ; i=
00
d 163 Convolugao s i( t )
* s2 ( t ) =
-00
Js, (r ) • s2 ( t - r) • dr
00
d 164 =
-
Js ( r ) - s, ( f - r ) • dr
00
2
d 165 F {s t( t )
* s2 ( t ) } = Sf ( tt ) S2 ( ft / ) -
d 166 F { s ( 0} = S ( u> )
d 167 F {s( a t ) } —
= Ja 5 K(—
\ \° a >
) a real > 0
d 168 F ( s t ( t ) + s2 ( t ) } = S i ( f t / ) + S2 ( f t / )
Continua em D 16
Aritmetica
Transformagao de Fourier 16
Continuagao de D 15
Abaixo sao apresentadas fungoes espectrais, calculadas conforme d 159,
para algumas fungoes de tempo importantes. Correspondencias entre a
fungao de tempo e espectral:
d 169 SCO fsM -
- CO
e1 "' du ; S( OJ ) =
- Js00
( t ) e - Uut • dt
Fungao do tempo s( f) Densidade espectral S/co,)

d 170 Fungao retangular A Rr ( t ) 2 AT -
$ i r\ ( a j T ) / ( u T )
i(t )
ARr ( t )
T T f
T T T T
d 171 Impulso de Dirac A 6 ( t )
5 (0
d 172 S( u ) = A
A6 ( t )
(densidade espectral
T
constante em co)
d 173 Fungao retangular A - Rr / 2 ( t -T / 2 ) -

com varia So de pola -
^ - A - Rr / 2 ( t +T / 2 )
ridade .
sin2
& T
s( t )
d 174 S{ u) = -j 2 AT •
a/ T
-r ^ 2
? r t
s( t )
sin ( a>T )
d 175 SM -
= \ A T c o s { 2u T )
UT
*
-r r 3T (
A sin ( a/0 - ( ) 2K
d 176 /177 com cu0 = —=- S ( u> )
T
- A- Fungao
retangular
S (w )
2n 2n U)
-*o= -T wo r "
Continua em D 17
Aritmetica
Transformagao de Fourier 17
Continuagao de D 16
Fungao do tempo s(t): Densidade espectral S((o )
d 178 Fungao triangular A Dr ( t )
d 179 S( u ) =
sin ( r«/2 )
2
• / T
/ \
i TUJ / 2 V 1
s(t )
T t ill
T T T T
l Retangulo modulado
d 181
- sf t )
2n
d 180 A R r ( t ) c o s ( u0 t ) com w 0 = y = A
0
sin T ( L J + ujQ )
S ( UJ ) - A +
u>
+ A •
sin T ( u> <jQ )-
^
f
d 182 Impulso de Gauss srr; A •e
-w *
d 183 S( & ) = ~• j/jT - e
t
? Impulso
d 184 co - seno -
>4 cos ( w0 t ) com = -y-
d 185
sfw
S ( 6/ ) = —
cos ( )
!
K
1
\ t
Impulso
d 186
d 187
co - seno 2 / - CCS ?
sf (
( a;0 Ocomw = -y
) 1
0
SM = -j
A T - sin
K)
T
X
04
"1 4,
d 188 Impulso expon.

.
- r/ .
r/ r
X
1-
7* V
16 2
*
d 189 S ( a/ ) = -r—u -
J< + a
i /d 1
Aritmetica
Transformagao de Laplace D 18
Generalidades: Na transformapao de Laplace L { f ( t )} , a funpao de tempo f ( t )
e transformada numa funpao-imagem por meio da funpao integral:
03
- Pt •
d 190 F( p ) =
J/ O
O
( e dt
se f(t ) = 0 para t < 0 e inteiramente definida para t > 0. O termo e pt e um

fator de amortecimento utilizado para garantir a convergence de diversas
d 191 funpoes de tempo em que p = o + /co, com a > 0 e uma variavel operacional
complexa. As equapoes diferenciais e ate mesmo alguns fenomenos
iinicos nao-periodicos (por exemplo engatilhamento) sao resolvidos no
dominio da imagem; a funpao f(t ) no dominio te definida pela transforma -
pao inversa (ver a tabela D 20).
Definipoes
d 192/193 L { f i t ) } = F( p ) = / («)
/
0
representapao simplificada: representapao simplificada:

/t o ® r(P) r( P ) «/ ( t )
Regras (ou operapoes) de calculo

d 194 Linearidade L{ M t ) + / ( 0} = ( p ) + /'2 ( p )
d 195
* *
= - , c f (p)
*.{ / ( * - a ) }
d 196 Lei de trans - ap
'
lapao = e
^( p )
Teorema de f
d 197 convolupao f\ ( t ) * M t ) = J / ( t - r) / ( )
0
i 2 T • dr
d 198 - / / ( r ) - / ( t - r)
i 2 •dT
0
d 199 /I ( t ) * /a ( t ) Fy { p ) -r (p)
2
Transf . de
d 200 variaveis
11
a
= /'( a p ) -
Diferen- = p-r( p )
d 201
ciapao
- / ( o*)
d 202 ! { /“( 0 } = pV ( p ) - p - / ( 0* ) - / ' ( 0 0
d 203 L{ A O} = -
P n r ( P )- z f ^ i o
k =0 ^ P^ -
Integrapao ,(
d 204 t { //e
t ) dt- ) =
T F{ p )
Aritmetica
Transformagao de Laplace D 19
Aplicagao da transformagao-L na solugao de equagoes diferenciais
Esquema
"
Dominio - 1 Operapao de calculo
^ Domi'nio - p
d 205
Equagoes diferenciais Equagoes
para y(t) + cond. iniciais ordin rias para Y (p)
veja regras de
diferenciagao
»
i
Î
d 206 Resultado das solugoes Solugaodaseq. ordin£rias
das eg. diferenciais transf. inversa conforme Y {p)
conforme D 20
A dificuldade de resolugao das equagoes diferenciais desaparece na
d 207 transformagao inversa. Esta e simpiificada decompondo Y(p) em fragoes
parciais { v. D 3) ou em fungoes parciais, cuja transformagao inversa no
dominio t e dada em D 20.
Exemplo : 2 y + y = f ( t ) ;
#
f i t ) e fungao da excitagao
l
i y { 0 * ) = 2 = condigao inicial
011 2 p Y { p ) - 2 y { 0* ) + y { r( p )
J ^
d 206 „,• ( )
p) =
obtem-se outra solugao para y(t ). Aqui a hipotese f( t) = fungao de escalao.

Conforme d 213: F(p) = 11p:
aP and0 r ( P )
3 '£ } 1
p ( l + 2p )- 25/ ( 0*) 1
1 + 2p p 1 + 2p
2 21/ ( 0*)
1 + 2p
,
- U2 1 /2
conforme D 20 y ( ) = 1
* -2
^ e
Aplicagao da lei de convolugao da transform.-L para as redes lineares

Numa rede, uma fungao de excitagao (t) e transformada numa resposta
-
+ 2 2- e
^
= 1 4 e
y( t ). A rede e caracterizada pela fungao de transference F2(p) que possui

uma transformada inversa f2(t).
dominio - 1 dominio - p
Alt )
rede
y( t ) ,I P )
F r i p)
d 208 F2 ( p )
, * /» ( « > * •r i p ) r p) rAp)
d 209 y l t ) = / ( t) =
^
A resposta y(t) depende de U (t ) para uma dada malha. y(t) se calcula de
acordo com d 205, iniciando na linha d 206 para determinar Y(p). - A
transformagao inversa no dominio t e possivel se F2(p) for uma fungao
racional e m p e a transformada L (F (p) lida em D 20.
^
Aritmetica
Transformagao de Laplace
20
Tabela de correspondencia
(j
00
0* ‘ CC
'P f
d 210 f (p) =
0
J /( O e •d i; /( O =
com p = i w = i 2 n / ; i = yir
- ung.imagem Fungao t e m p o Fung, imagem Fungao tempo
F(p ) m F(p ) m
d 211 1 <5 ( 0 4 Dirac 1
- sinUO
d
d
212
213 1 /p 1 para D O u s
( p2 + A2 ) 2
+
2
^
y • c o s( A t )
d
d
214
215
0 para t < 0 ® - Pi
d 216 1 /P2 t ( 7 + AO7
c o s( A t ) -
0 -1 - y t s i n( A f )
f
d 217 1 /p°
(n - 1)! 1 com b
* a:
d 218
d 219 1 /( p - a) e x p( a O
(p - a) (p - b ) ebt - ear
d 220 b -a
d 221 1 /( p - a) 2
f • e x p( a t ) 1 1 3f
s i n( A t )
7e
•
d 222 ( p + a ) 2 + A2
a
d 223
p( p - a) e x p( a t ) - 1 1 T
d 224 fTT
1 1
J e x p C - f /r ) •IT
d 225 - 1
d 226
1+r p -
a
d 227
p2 - a2 s i n h( a t ) VP - l / ( 2 }T - fJ0
d 228
p pyT 3 / ( 4y T t s O
d 229 c o s h( a t )
In P +
fc 1 /- - bt\
*' - e
d 230
p+ a T\ )
d 231 s i n( A f ) a r c t a n ( a /p ) 1 / t • s i n( a t )
d 232
c o m a > 0:
d 233 c o s( A t ) - </
- a
ezr
d 234
1
e
^ 2t frtT
d 235
( p2 + A2 ) 2
s i n( A t ) - com a 0:
— e - * TP
d 236 1 1 a
t - cos( At ) er f c
p 2 rr
1
p
d 237/238 ( p2 + A2 ) 2
1
— s i n( A t ) TP^7? •/0 ( AO { Fungao
de Bessel
Aritmetica
Numeros complexos 21
Numeros complexos
Generalidades
o 6)
«3
z = reiff *Q
) E
2
a parte real de z
b = parte imaginaria de z
r modulo de z v
p = argumento de z
a e b sao reais eixo
real
a
d 239 i = V ’1
d 240 zz +i r 1
-i
d 241 i2 -1 r2 = -1
3 3
-i
'
d 242 i i = +i
i4
‘
d 243 +1 +1
d 244 i
6
= +i i5
"
= -i
etc .
Observapao: em eletrotecnica, substitui-se i por j para evitar
confusoes.
Num sistema de coordenadas cartesianas:

d 245 z a + ib
d 246 + = ( a , + a 2 ) + i( b < b2 )
^ 2 *
d 247 z, z2 = (a ,- a 2 ) + i( 6 ,- b2 )
d 248 z, • z2 = ( a, a 2 - b < b2 ) * ,
i ( a b2 + a 2 b ) ,
a , a2 -
* bi b2 . - a , b2 + a2 b ,
d 249 + 1 2 7T
“
z2 a 22 + b 22 Q2 + b2
d 250 a2 b2 ( a + i6 ) ( a - i b )
a + /? + b2 4.
-a * Va 2
+b
2
d 251 t ib i i
2 2
Se at = a 2 e bi = b 2, entao zi = Z 2
Continua em D 22
Aritmetica
Numeros complexos
Generalidades
o 6)
«3
z = reiff *Q
) E
2
a parte real de z
b = parte imaginaria de z
r modulo de z v
p = argumento de z
a e b sao reais eixo
real
a
d 239 i = V ’1
d 240 zz +i r 1
-i
d 241 i2 -1 r2 = -1
3 3
-i
'
d 242 i i = +i
i4
‘
d 243 +1 +1
d 244 i
6
= +i i5
"
= -i
etc .
Observapao: em eletrotecnica, substitui-se i por j para evitar
confusoes.
Num sistema de coordenadas cartesianas:

d 245 z a + ib
d 246 + = ( a , + a 2 ) + i( b < b2 )
^ 2 *
d 247 z, z2 = (a ,- a 2 ) + i( 6 ,- b2 )
d 248 z, • z2 = ( a, a 2 - b < b2 ) * ,
i ( a b2 + a 2 b ) ,
a , a2 -
* bi b2 . - a , b2 + a2 b ,
d 249 + 1 2 7T
“
z2 a 22 + b 22 Q2 + b2
d 250 a2 b2 ( a + i6 ) ( a - i b )
a + /? + b2 4.
-a * Va 2
+b
2
d 251 t ib i i
2 2
Se at = a 2 e bi = b 2, entao zi = Z 2
Continua em D 22
Aritmetica
Numeros complexos
( Continuagao)
Num sistema de coordenadas polares:

d 252 z = r ( cos ?? +• i s in -p2 ) + i- s i n
^ - <p2 ) ] ( z2
* 0)
d 258 2 ° = rn [ c o s ( a?? ) + i• s in ( np ) ] ( n > 0, inteiro)
p + 2 nK p + 2 nk
d 259 — cos
n
+ i sin
•
n
2 nk 2 KK
d 260 cos + i sin
•
( nesima raiz inteira)
n n
nas formulas d 259 e d 260: k - 0, 1, 2 n- 1
d 261 e cos 9 + i• sin 9
d 262 -iV
e * cos p i sin <p
•
=
1
cos 9 + i• s i n 9
-\ P
d 263 e = |/ cos ^ 2
+ sin ??
2
1
er + e
A? -
d 264 cos p ' sin p =
- e '*
2 2i
d 265 In z In | r | + i( 9? + 2 n k ) ( k = 0, 11, 12 , . . .)
se r, r2 e Pi = p2 + 2 /t k , entao, tem-se z<
Aritmetica
Aplicagao da progressao geometrica D 23
Juros compostos
d 266 An = Ao • qn
d 267 n
<7
Calculo dos rendimentos

d 268 A „ = Ao • qn - r q
-1
q
d 269 r _ ( A0 •
( <7
-n A„) ( <? - 1 )
- 1 ) <7
i g r <7 - A„( q - 1 )
d 270 n
r • <7
- A ( <? - 1 )
l g <7
0
Se An = 0, obtem-se as “formulas de amortizagao”.
Calculo das anuidades

(Formula dos bancos de poupanga )
d 271 An = Ao • qn r q
r
( An - Ap • <7°) ( <? - 1)
d 272 ( <?" - 1 ) <?
In9 An( <7 - f ) + r q
d 273 n M Q - 1) + r Q -
l g «7
Explicagao dos simbolos

A 0 : capital inicial n numero de anos
kn : capital depois de n anos <7 : 1+ p
r : renda anual ( retirada ou renda pa - p : juro (por exemplo
gavel no comedo do ano) 0,06 para 6%)
Aritmetica
Solugao geometrica de expressoes algebricas
D 24
b•c
d 274 x
a
d 275 a : b — c : x
x A - proporcional
b2 90°
d 276 x
a
d 277 a : b b : x
i
x : 3 - proporcional
d 278 x = ya • b
d 279 a : x x : b
x : media proporcional
d 280 x2 = a2 + b 2
%
d 281 ou x =
x : hipotenusa de um triangulo retan -
guio
d 282 x
x : altura de um triangulo equilatero
d 283 x =
f ( V?, 618o -
d 284
d 285 a x
~= a • 0
x : ( a-x )
0|<M
I
x : parte maior de um segmento divi-
dido ao meio e extrema razao ( se-
gao aurea)
Fungoes circulares
Nogoes fundamentals Ei
Grau e radiano de um angulo piano
Representagao detalhada
Um &ngulo 6 expresso tanto em graus a
como em radianos a. Existe a relagao seguin-
te entre essas duas medidas:
TI rad rad
e 1 o =
180 ° ° 5772958*
Unidades de medidas em graus: 1°; 1 1”
Unidades de medidas em radianos: rad; m/m
1 radiano (rad) § o angulo no centra de um

cfrculo de 1 m de raio se o arco interceptado
tambdm valer 1 m. Donde:
1m
e 2 1 rad - 1m
e 3 Assim, o radiano 6 expresso por um numera puro, como no quadra

seguinte; a notagao rad pode ser suprimida .
e 4 a °
0 30 ° °
45 60 ° 75 ° 90° 180
° 2700 360°
0
R n 7l_ _5_ 11 JR x 2x
6 4 3 12 2
0 0 , 52 0 , 79 1.05 1.31 1 , 57 3, 14 4 , 71 6 , 2 8
Representagao simplificada usual

(utilizada neste formulario)
Legalmente ficou estabelecido que:
x rad
e 5 1
° =
180
Assim, impoe-se a igualdade entre a e a,
poupando-se a grandeza b£sica “Angulo pia-
no” (veja Pref &cio) . Entao:
~ rad/90 = -5_ rad
e 6 a = a e 1 rad = 57,2958 ° 2 180
°
Unidades: 1 ; rad; m/m = 1 grau = 10
Fungoes circulares
Nogoes fundamentals E2
Comprimento de um arco
O comprimento do arco b de um circulo de r y
b
raio re de angulo a no centra vale:
a
e 7 b r a
O triangulo retangulo
cateto oposto a
e 8 sin a
hipotenusa c b a
e 9 cos a
cateto adjacente _ b a
hipotenusa c c
e 10
tan a =
cateto oposto _ a
cot a
cateto adjacente _ b_
e 11 cateto adjacente b cateto oposto a
Valores das fun9des de angulos importantes

e 13 angulo a 0° 30° 45° 60° 75° 9 0° 180° 270° 360°
sin a 0 0,500 0,707 0,866 0,966 1 0 -1 0
cos a 1 0,866 0 , 707 0,500 0,259 0 -1 0 1
tan a 0 0 , 577 1 , 000 1,732 3,732 co 0. oo 0
cot a CO 1,732 1 , 000 0,577 0,268 0 oo 0 oo
Relapao entre as
funpoes senoidais e co-senoidais
Equagdes fundamentals
e 14 Fungao senoidal y A sin ( k a - <p )
e 15 Fungao co -senoidal y = A cos ( k a - )
— fungao seno
— — com amplitude A = 1 k = 1
— fungao seno com amplitude A = 1,5 k = 2
- - tungao co-seno com amplitude A = 1 k =1
ou fungao seno com defasagem cp = - Jt/ 2
Fungoes circulares
Quadrantes E3
e 15 sin( 90 - a)) + cos a sin( 90° + a) + cos a
e 16 cos( rt
* + sin a cos( ) M
- sin a
e
e
17 tan(
18 cot(
II
n
)
)
= + cot a tan(
+ tan a cot(
» )
)
1
ft --cot a
tan a
e 19 sin( 180 - a) + sin a s i n( 1 80 + a ) sin a
e
e
cos(
20
tan(
21
)
)
- cos a cos(
• tan a tan(
>»
II
)
) =
cos a
+ tan o
e 22 cot(
e 23 sin(270 °-
)
a)
--cot a cot( M
cos a sin(270° + a)
) = + cot a
- cos a
e 24
e 25
cos(
tan(
)
)
- sin a cos(
+ cot a tan(
If
M
) =
)
+ sin a
cot o
e 26 cot( ) ss + tan a cot( ) tan a
e 27 sin( 360 °- a) — - sin a sin{360° + a) + sin a
e 28
e 29
cos(
tan( ) — + cos a cos(
- tan a tan(
M
II
)
) =
+ cos a
+ tan a
e 30 cot( ) - cot a cot( H
) + cot a
e 31
e 32
sin(
cos(
- a )
)
-+ cos a
sin a sin(a ± n • 360 )
cos( tl
)=
° - + sin a
+ cos a
e 33 tan( ) - cot
tan a tan(a ± n • 180 ) ° - + tan a
e 34 cot( ) - a cot( II
)= + cot a
+y \ \
\ c; \
•
\ -
5:
7 \ /
V V
&? O'. A
<
& /
s
\// a
s \
\ a
\
s
\
\ s
vA V
:\ :\
: \o
o.
£;
CJ; \
\
-y 1 i
7T 3
o° 0 90° 2 0
180 7T 270 2 °
o
360 2ir
Fungoes circulares
Relates trigonometricas E4
Rela ? 6es fundamentals
2
e 35 sin a + cos 2a 1 tan a - cot a 1
1 1
e 36 1 + tan2 a 2 1 cot2 a 3
cos a sin g
Fun?oes de soma ou diferen9 a de angulos

e 37 sin(a t p ) = s i n a cos P - cos a * sin P
e 38 cos (a - p ) = cos a • cos P + sin a sin p
e 39 tan (a - p ) =
tan Q tan p . -
cot (a - p ) =
cot a • cot p + 1
1 + tan a tan - t cot a + cot p
Soma e diferen a de fun9oes trigonometricas

e 40 sin a + sin p
^
2 - sin
a + p • cos
a ~ P
2 2
a + P , a - P
e 41 sin a - sin p = 2 • cos
2
sin —
e 42 cos a cos p 2 • cos
a + P
• cos
a - P
2 2
e 43 cos a - cos P = -2 sin
a + p
sin
a - P
e 44 tan a ± tan p
s i n (a P)
*
2
^
cos a • cos p
e 45 cot a ± cot p
sin{p a) -
sin a sin p
1 1
e 46 sin a • cos p = -g- s i n ( a + p ) + - - s i n ( g
£
- p)
e 47 cos a • cos p = c o s (g + p ) + y c o s (a - P)
1 1
e 48 sin a sin p = c o s (g " p) — "
2
cos (g + P)
e 49 tan a • tan £
tan a + tan p _ _ tan g tan p
cot g + cot p cot a - cot £
e 50 cot a * cot P
cot g + cot p _ _ cot g cot p
tan a + tan p tan g tan p
e 51 cot a tan p
cot g + tan p _ cot g tan p
*
tan g + cot p tan g - cot p
Soma de 2 osciia9des harmonicas de mesma frequencia
e 52 a s i n (w ( + + b c o s ( w f + 9) 2) = y c2+ d 2 s i n ( u/ f + <p )
com c
<P = a r c t a n -§ -
-
a s i n p, + b
e <p
C O S 952
= arcsin
; d =
c
a cos ??, ,-
{ ambas
b sin
devem^
a l/c ^Td 7 ser satisfeitas
r
Fungoes circulares
Relates trigonometricas Es
Rela $oes entre
angulo simples, angulo duplo e semi-angulos
sin a cos a t a n a Si cot a s
e 53 cos ( 90 °- a) sin ( 90 °~ a) cot ( 90 °- a) t a n ( 9 0° - a)

1 1
e 54 V1 - cos 2 a Vi - s i n2 a
cot a tan a
sin a cos a
e 55 2s i n 2 ? - c o s ~2 cost a
2
sin’ ?2 cos a sin a
tan a cot a sin a cos a
e 56 V1 + tanza Vi + cotza V1 - s i n* o V1 - c o s2 a
e 57|
1
-
/c o s2 a c o s 2a
- c 2o s 2 a
1 - 2 s i n 2-
1 + c o s 2a
?2 v
V1
coso
1
~ cos a 2
1
v- sin a
Vi
T
sin 2
1
g
e 58 2 cos a sin a
1 "
1
e 59 1 + cot a V1 + tan2 a
2 • tan -?
2
1 - tan2
2
2 - tan 42 cot2 -?
2 -1
e 60 a
1 + tan2 ?2 1 + t a n2
2
1 - tan2 ?2 2 cot- ?2
s i n 2a = c o s 2a = t a n 2a = c o t 2a * =
e 61 2 • s i n a • cos a cos2 a - sin 2
a
1
2 ; tan a
- tan2 a
cot a
2• cot a
2
1 -
e 62
e 63
2cos2 a
1 - 2s i n a
-1
2
cot a
2
- tan a —
1
2
1
c o t o - -t a n a
2
.
sin
—
a
2
= cos
a
2
, a
t a n r- -2 = cot —
a
2
=
sin a sin a
e 64
1 + cos a 1 - cos o
e 65 cos a
f
1 + cos a
2
1 -s i nc oas a 1 + cos a
sin a
e 66
F1 +
cos a
cos a yi + •
cos o
cos a
Fungoes circulares
Triangulo qualquer Ee
O triangulo qualquer
Lei do seno
e 67 sin a : sin 0 : a : 5 : c
e 68 a 5
sin a sin a
sin 0 sin y
a c
e 69 b sin 0 = sin 0
sin a sin y
a b
e 70 c sin Y ~ sin y
sin a sin 0
Lei do co- seno
e 71 a2 - 52 -f c2 2 5c - cos a
e 72 52 = c 2
+ a2 2 ac • cos 0
e 73 c2 = a2 + 52 2 a 5 - cos Y
( O co- seno e negativo se o angulo for obtuso)
Lei das tangentes
^
a+ 0+
a + 5 tan a + c tan — 5 + c
tan —
e 74 a 5- a - c ,
tan
a-
— 5 c
tan
2
Teorema da bissetriz
a <? £
e 75 tanT =
5 a tan y = tan -2 - =
T
s -—
-
c
Area , raio do circulo inscrito e circunscrito
1 1 1
e 76 4 = y 5 c s i n a = y a c s i n ^ - y ai s i n
~ ^
e 77 A = Vs ( s - a j ( s - 5 ) ( s - c ) P s
e 78 P 2£
(s - a) ( s - 5) ( s - c ) '
S
1 a 1 6 1 c
e 79 r
2 sin a 2 si n 0 2 sin Y
3 + 5 + c
e 80 s
2
Fungoes circulares
Fungoes inversas 7
Fungoes circulares inversas
Definigao
Fungao y =
arcsin x arccos x arc tan x arccot x
e 81 identica a x = sin y x = cos y x tan y x = cot y
Dominio de
e 82
definigao
-1 x
* +1 -1 $ x
* + 1 -oo < x <+ o o - CO < x <+oo
e 83 Valor principal - n < < x 71 Tl n

o $ y - +o 7i y 0 ' <V < n > y >0
no dominio 2 2 2 2
Relagoes fundamentais
e 84 arccos x =
71
2
arcsi n x arccot x — ~~
2
arctan x
Relagoes entre as fungoes circulares inversas1)
Arcsinx = Arccos x = Arctanx = Arccot x -

f l -x *A r c s i n r *A r c s i n 1
v^ 7
2 2
e 85 Arccos 1 -x Arcsin yr
^ YY77
e 86 Arc tan X
YT7
*A r c t a n ^ x
*A r c c o s i
yi -fx2
' Arccos
e 87
*A r c c o t Arccot * Arccot —i Arc tan
i
x
Para valores de x definidos em e 82, tem-se:

i( e 88 a r c s i n ( -x ) = -a r c s i n x arccos ( ~x ) S
n - arccos x
e 89 arctan(-x ) = -a r c t a n x arccot ( x ) - n - arccot x
Teoremas da adigao
li b p -7 )
a r c s i n ( a l b2
^- t
e 90 arcsin a 1 arcsin b
• yT7b? )
e 91 "
ir arccos a t arccos b arccos (a 6
I
e 92 arctan a 1 arctan b arctan —1 +
1 6
a b
e 93 arccot a 1 arccot 6
ab 1 1
arccot
b t a
1
* As formulas marcadas com * aplicam- se para x > 0.
|
Geometria analftica
i
Reta, Triangulo Fi
Reta
f 1 Fun$ao y m x + b y
Inclina ao
_ _ y : - y, +) d
A
f 2
^ m -
x2 - x , tana \ ^
v-
Equapao dos
segmentos a
* 0; b
* 0
/?i B T
f 3 r
a
+
y
-b -
i 1 = 0 >.
E
Inclinapao n\ da normal AB
i: -Of
X
f 4 ~
-1
“ xm *“
m X2
Reta definida por 2 pontos Pi ( xi , yi ) e P2 ( x2 , y2 )

y - y < _ y2 -
f 5 ^
*2 “
*,
Reta definida por 1 ponto Pi ( xi , yi ) e pela inclinapao m
f 6 y - yi = m ( x - xi )
)
f 7 Distancia entre dois pontos d = |/TX 2 - x, ) 2 + ( y 2 - y, ) 2
Ponto medio de um segmento
f 8 Xfn — * i +
* 2
ym —
Vi + V 2
2 2
Ponto de intersegao de duas retas (v. fig . do triangulo )

f 9 X3 = —bn, -—
/
2 b1
ftis
y3 = /n, x 3 + 6 = , na x 3 +
/ b2
+ )
v . fig. do
f 10 Angulo deintersepaode 2 retas : tan ?
Triangulo
= -
y
^ + 7712 1 triangulo
Centro Xi + x 2 + X3
f 11 *s 3
f 12
de gravi-
dade S
ys
yi + j/ 2 + yj T
3
I
Area
„ _ ( X, y2 - x2 y
* 1
) + ( x2 y 3 - x 3 y 2 ) + ( 3 yA - x< y3 )
f 13
+,Condipao: x e y expressos nas mesmas unidades
A
2
e mesmas escalas
( veja tambem h 1)
Geometria Analitica
Ci'rculo, Parabola F2
Circulo
Equapao do circulo
centro
na origem em outro local
f 14 x2 + y 2 = r 2 ( x - x 0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 = r 2 \
y
\
Equapao fundamental \ r
f 15 x2 + y 2 + ax + by + c = 0
t
r
Raio do circulo V
5s \ ?
5
f 16 r = K 2
+ y 02 - c \
f 17
Coordenadas do centro M
a
~
£>
*1 —o
* -I
2
Tangente 7 pelo ponto Pi ( xi , yi )
"
r 2 - ( x - x 0 ) ( x1 x 0 ) -
f 18 y
v. - y0
+ y0
Parabola
Equa9ao da parabola ( Sob esta forma, podem - se ler as coordenadas
do vbrtice e o parametro p)
vertice abert. da F: foco
na origem em outro local parabola L : diretriz
f 19 x2 2p y -
( x x0 ) 2 = 2p ( y y 0 ) superior
- S : tangente
f 20 x2 = -2p y - -
( x x 0 ) 2 =-2p ( y y 0 inferior > no vertice
Equa 9ao fundamental V

' p r R1
'/
f 21 y - ax2
+ bx + c
i l
f 22 Raio no vertice r = .| <Si i
P Q
?S
f 23 Propriedade PF c PQ 1 °-! ^ i
V L
fundamental
Tangente T por Pi ( i,yi )
r Q t
_ *
f 24
,
2 ( y - y 0 ) ( - x, )
x, - x* 0
+ y< 'o — H
Geometria analftica
Hiperbole Fz
Hiperbole
Equagao da hiperbole
Ponto de interse<pao das assintotas
x5 y2 L* (y - y0 )2
f 25 ~ ~ ~ 1 = 0
^
a b2 a2
Equagao fundamental /
f 26 Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
Propriedade fundamental
f 27 7\ P FTP = 2 a -
Distancia do foco
•f
f 28 e = \a 2
+ b
2
Inclinagao das assintotas

+) a a
z4 A
X
f 29 tana ~ m =
a
2
Raio de curvatura p =
b *o
no vertice Q
f 30 Tangente T b2 ( x, - x0 ) ( x - x )
^ +
por - v0
Hiperbole equilatera
Explicagao: no caso da hiperbole equilatera
a = b, donde
Inclinagao das assintotas
f 31 t a n a*= m = t 1 ( a = 45 ) °
Equagao ( Se as assintotas forem
paralelas aos eixos x e y):
Ponto de intersepao das assintotas
f 32 -
x y = c2 { ~ x0 ) { y - y0 ) = c2
*
Raio nos vertices
f 33 P a (parametro)
+)
Condipoes: veja nota em F 1
Geometria anah'tica
Elipse, Fungao exponencial F4
Elipse
Equagao da elipse
Ponto de intersegao dos eixos
na ongem qualquer
f 34 7
Raio nos vertices

1
- 0
^ x
a' *
T
y
, (V * Vo )
1 = 0
p
f 35 b2 a3 T
rN = = V
5 ^ -
“
Q
b '
z
\
\
F\
Distancia do foco r
& 71
f 36 c = j/? - 62
Propriedade fundamental
Pi
f 37 fVP + AVP = 2 a *
Tangente T por Pi ( xi ,yi )
x
,
( x - xQ ) ( x x < ) - *0
f 38 v a' y < - yQ
y1
Observagao: Fi e F2 sao os focos.

Fungao exponencial
Equagao fundamental
f 39 y = a *
em que a e uma cons -
tante positiva e x um nu -
mero.
Observagao:
Todas as curvas exponenciais
passam pelo ponto x = 0 e
y= 1
0 x
A curva que neste ponto tem
+
uma inclinagao de 45 (tan a ' °
= 1) e igual a sua derivada. A constante a e, neste caso e (numero de
Euler), base dos logaritmos naturais.
e = 2, 718281828459 . . .
+)
Condigoes, veja nota em F 1
Geometria Analitica
Fungoes fundamentals hiperbolicas Fs
Fungoes fundamentals
Definigao
X
e
-x *) /
ft
f 40 sinh x = 3* 3
f/
f 41 cosh x = —
x
x
.
f
•
2
-
e*
-x
ft•5
v- 2 \ - 7
7
7
f 42 tanh x
e - e 2
e *- 1 /
ex + e’
x x
e2 + 1 -3 -2 -I /'
' 2 3
ex +
f
x x *
e2 + 1
*
f 43 coth x
e
ytonM ../'/ *
ex - e"
x
eT x 1
Relagoes fundamentals £V
7 \ -2. .
\
f 44
2
cosh x - s i n h2 x = 1
V/
10 /
\
f 45 tanh x coth x •1 i
sinh x 1 -1
f 46 tanh x =
cosh x
- 2
1 tanh x = 2
cosh x
1 c o t h2 x =
s i n h2 x
-
Relagoes entre as fungoes hiperbolicas
sinh x = cosh x - tanh x = coth x =
t sinh x V s i n h2 x + 1
f 47 Vcosh 2
x -1 |sin h 2 x + 1
Vsin h 2 x + T sinh x
*
f 48
tanh x 1 + V c o s h 2 x -1 ' * + cosh x *
}i - t a n h2 x M - tanh2 x cosh x Vc o s h z x - 1
t 49 + 1 * Ico th x 1 1 1
V c o t h 2 x -1 j k o t h2 x - 1 coth x tanh x
Para os valores definidos de xtem- se:
f 50 sinh( x) = - -s i n h x c o s h ( -x ) = + c o s h x
f 51 tanh( x) = - -t a n h x c o t h ( -x ) = c o t h x -
Teoremas da adigao
f 52 sinh(a - b) = sinh a * cosh 6 - cosh a • sinh b
f 53 cosh( a - b) - cosh a • cosh b - sinh a • sinh b
tanh a ± tanh b
f 54 tanh{a - b )
1 ± tanh a • tanh b
coth a • coth b t
f 55 coth(a - b) ~
coth a ± coth b
^
)
* O expoente xe sempre um numero puro
* Sinai + para x > 0; - para x < 0
Geometria analitica
Fungoes hiperbolicas inversas Fe
Fungoes hiperbolicas inversas
Definigao
Fungao y =
arsinh x arcosh x ar tanh x arcoth x
f 56 Identica a x - sinh y X ~ COSh y x = tanh y x = coth y
J/?+7) =tln ( x+ J/?-7) = 2 ln 11 -+x.- 12 l n xT+T1

Relacao com 1 1 ,
f 57 nx =l n ( x + “
Dominio de
f 58 definigao -oo < x < + oo 1 x < + oo ixj <1 \* \ > 1
Valor princi-
f 59 pal - oo < y < + oo - oo < y < + oo - oo< y<+oo | v| > 0
Relagoes entre as fungoes hiperbolicas inversas

arsinh x = arcosh x = artanh x = arcoth x -
x 1
â r c o s h yTf? *±arsinhVx -l I
'
2
f 60 arsinh arsinh
* Yx *- T
X 1
iartanh tarcosh
i w iarcosh
f 61 artanh
X
* * *
V u-7
—
^ —
1 1
f 62 arcoth iarcothy
*
-j arcoth~ artanh
Para os valores definidos de xtem- se:
f 63 -
arsinh( x ) = -a r s i n h x
f 64 -
artanh( x) = -a r t a n h x arcoth( x ) - = -a r c o t h x
Teoremas de adigao
f 65 arsinh a ± arsinh b arsinh (a yP+l t b |/a2+ 1)
f 66 arcosh a ± arcosh b arcosh [ abt ]
ib
f 67 artanh a ± artanh b artanh - ?1 ± ab
f 68 arcoth a t arcoth b ab t 1
arcoth
a ± 6
* Sinai + para x > 0; - para x < 0

Geometria analftica
Vetores F7
Componentes, grandeza , co- senos de diregao de vetores
Vetor: Grandezas ffsicas com unidade e diregao.
Coordenadas da origem do A do vetor a : x1 ylt (
Coordenadas da extremidade B do vetor a : x2, y2, z2

Vetores unitarios sobre OX , OY , OZ; J k ?
Componentes com sinal
e unidade
Aft oz
;
f 69 &x t B y, 0
^
t 70 a = x2
* -x 1
f 71 By - ys - y^
f 72 az = Zi -z
^
f 73 a = Qx + + 8Z *)
f 74 a = axi + ay - j + azk '
* ax
*
equagoes
vetoriais / l7 f = l7 l = \k\ = 1
A
—>
Grandeza ou valor do vetor : la I ou a em notagao tecnica .
f 75 I« | = + ( I? I sempre > 0)
Co- senos de diregao de vetores: cos a, cos p, cos y

a, p, y, angulos entre o vetor a^ eos eixos OX , OY e OZ. ( a, p , y,
= 0 ... 180 ).
° °
B, . Bz
f 76 cos a = C O S y = ~r
a a
f 77 com cos 2 a + c o s 2 0 + cos 2 r = 1
Calculo dos componentes quando I al, a, p, y, sao conhecidos:
f 78 a, = | a'i - cos a ; ar = Ial - cos 0 ; az s | a 1- cos y
Nota : Com os componentes de um vetor sobre OX , OY , OZ podem- se
determinar a grandeza, os co -senos de diregao, a soma e o produto
dos vetores.
Geometria anali'tica
Vetores F8
Soma (diferen$a) vetorial de vetores
Soma vetorial side dois vetores a*e V*
s
f 79 s = a+ b = -
sx i + S y j + s z k b
f 80 Sjf “ Qx + bx Sy ~ Sly + by S/ — &z + bz ^ /
/
/
f 81 s |- 14/ + a * * 3/ /
a
Diferenga vetorial side dois vetores a*e
? ti r
a
f 82 s = a + ( -6 ) (- )
k/ N /
N
f 83 s
*-
&x - bj, ; Sy ~ Qy - by ’, Sz - «Z “ bz \
\ /
/
/
\
f 84 I s'| = 14 / + Sy 2
+ Sr
2
-6
\ ^
sy
Casos 9 0°; 360° 90° 180° 270°

especiais de
* in I 7l + IF| l fclMSK ITl - lFl IfaMS!’
1
f 85
I s* I para 2 l ?l /
f 86 vetores
I «1* 1 b I 2 | a i « l
Soma vetorial side vetores cfetc.:
0
^
s - a + b - c + .. . = Sg i + sy - j + s 2 A (Equagoes vetoriais)
~ ~
t 87
f 88 s = « + bA - ca ... . sx = a7 + 6r - Cv
* * cx + ... . sz = az - bz - cz + ...
f 89 s 14 / + s / + s/
Produto de um escalar por um vetor
Escalar : Grandeza fisica com unidade.
O produto de um escalar k por um vetor ale o vetor cl
(A => ) (equagao vetorial)
f 90 c = A* a 0
<
f 91 ,
c = A • ax ; Cy = A • a ; cz = A • a7 c = A - | al
"
(c = 0)
^ c a
Se k > 0 entao c T1 a ou T
C a
A < 0 entao U a* ou o
Exemplo: Forga Fa = massa vezes a aceleragao a.
t 92 m > 0; ra. i = m - a ; Fs = m - a
^ O simbolo iA significa que os vetores ( -?) e (?) sao paralelos mas de
sentidos opostos.
Geometria anah'tica
Vetores F9
Produto vetorial de 2 vetores
O produto escalar de 2 vetores livres aê

Simbolo do produto escalar: (Ponto)
^ eo escalar k.
f 93 k = a b = b a = a • b •
cos 9 = | al * lb | * cos 9
az - bz ( A = 0)
* bA + ay by
f 94 A = a • +
<
a b a * bp+ & z' bz
f 95 9 - arccos * * ^ b • cos 9 a
Casos 9 0° ; 360° ; 90° 180° 270°
f 96
especiais
- ivi m
9 + | a j- j b
•c o s o Ia Mb - s
o
Exemplo: Trabalho W , de uma forpa Fna distancia s
f 97 W = forga distancia = P s *
f 98 W = F - s * cos 9 { W | 0; ,
F s 0)
-e>
S ' cos 9 F
O produto vetorial de 2 vetores livres a*e Efe o vetor c!

Simbolo do produto vetorial: “x”
f 99 c = a * 6 = -( b x a)
f 100 |T| = a • 5 S i n 9 = I a |-| b |- sin 9
'
c _L a e c Lb _
f 101
a , b , c
Cj = fiy *
constituem uma base
^ * 6
^
<9
9 >180° .. 060°
—
a
f 102 c/ = az • bj - ax bz
f 103 cz = a by - a • b b
* ^ *
f 104 Ic|= 14/ + c/ + c/ c
Casos 9 0°; 360° 90° 180° 270°

especiais
f 105 -
a | I b | sin 9 0 +| a
Exemplo: Momento M de uma forija Fern
relagao ao ponto O
*- o
sentido de F*
2
-
f 106 M = Raio vetor x forpa = r x t = -it x r *) § F
= r F - sin 9 r 0) J r
| 9
f 107 M (
*|0; r>
Estati'stica
Elementos do calculo das probabilidades 1
Axiomas do calculo das probabilidades
9 1 P( A ) = probabilidade de uma ocorrencia A
h( A )
numero de ocorrencias em que A aparece
9 2
numero de ocorrencias possiveis
= frequencia relativa
9 3 P( A ) 0, a ocorrencia A tem a probabilidade P(A)
9 4 IP( A , ) = 1, a soma das probabilidades de todas as ocorrencias
,
possiveis A e igual a 1.
9 5 P( A v B) ) * = P( A ) + P( B ) - P( A n B )* )
Caso especial de ocorrencias incompativeis:
9 6 = P( A ) + P( B)
9 7 P( A I B ) P { A J B) / P ( B)*e uma probabilidade condicional (proba -

=
^
bilidade de A com a condigao B) .
Caso especial para ocorrencias independentes, em que
P( B) respect . P(A ) 0;
9 8 P ( AIB ) = P ( A )
*
9 9 P ( BIA ) = P ( B )
g 10 P( A n B ) = P( A ) - P ( B ) para ocorrencias independentes

9 11 P( A n A ) = P ( A ) P ( A ) = 0, visto que incompatfvel.
*^ Diagramas de Venn de representa9ao das ocorrencias

O retangulo representa a totalidade das ocorrencias A.
Circulo maior: ocorrencia A = (Ai )
Circulo menor: ocorrencia B = (A2 )
A area hachurada indica a combinagao dada:
A A nB
f‘nao” A ) (A “ou” B) (A “e” B ) f “nao” A “e" B)
Estati'stica
Nogoes gerais 2
Variavel aleatoria A
A variavel aleat6ria A e dada por diferentes valores x\ \ todo valor x e ,
uma ocorrencia provdvel. Distinguem-se os valores discretos ou con-
tinuos de uma varidvel aleatoria.
Fungao de distribuigao F(x)
A fungao de distribuigao F( x ) indica a probabilidade para que o valor
da variavel aleatoria A seja inferior ao valor da abscissa correspon-
dente x. A fungao F(x) b monotona crescente com:
9 12 lim F( x ) r ( oc ) 1
/ -* 0 0
g 13 r ( - cc ) = 0 ; F ( x ) cresce de 0 a 1
F( x ) para valores discre - F( x ) para valores contmuos da

tos da variavel aleatoria variavel aleatoria
Fix) Fix )
1 -
FCt2 ) -
0,5 -
F ( xJ -
:
o i 7 3 .
< S 6 7 8 X 0 i, *2 X
Fungao de distribuigao p resp. f( x )
p para valores discretos f ( x ) para valores continuos da
da variavel aleatoria variavel aleatoria
Pi
0, 3
0, 2 -
0,1
0
1
1 2 3 U 5
u* 6 7 8 x 0
A fungao de densidade da variavel aleatoria A e definida respectiva -
mente por p e f ( x)\ a relagao com a fungao de distribuigao e:
g 14/ 15 F( x ) =
I
£
<4
P F( x ) =
lf{x)
-X
dx
A area hachurada da curva de distribuigao caracteriza a probabilidade

para que o valor da variavel aleatoria A se encontre no intervalo x -\ a
X2 ( sem X2 ) .
, *2
g 16 P( x < x2 ) =
J7 ( x ) - d x
* (
g 17 = r ( x2 ) - p( x 0 ,
= p ( A < x2 ) - P { A < x )
Estatfstica
Nogoes gerais 3
Valor medio x e valor esperado p
Valores discretos da variavel A Vaiores continuos da variavel A
g 18 X = X , p, + X2 -P 2 + . . ,+ Xo -Prt 00
g 19
g 20 = I A
A
* =- / * 00
• /( * ) • dx
1
- 1
em que A e f(x) designam os valores discretos ou continuos da
distribuigao.
Variancia a2
Valores discretos da variavel A Valores continuos da variavel A
g 21 0 2= (x , - x ) - p, + ( x -x
2
? )2 p + 2
oc
g 22 +. . . + ( x f t x ) 2 p n - <72=
-
J( x - p )
cc
2
-f { x ) • dx
g 23 = Z U - x ) - p, 2
00
g 24 -1
JV 2
/
= /( x ) • dx - p
g 25 = IA X , 2 ’ P, - X- 2 -CO
/ - 1
em que A e M designam os valores discretos ou continuos da

distribuigao.
g 26 a = Vvariancia e chamada desvio padrao ou dispersao.
Teorema central do limite (Lei de adigao)

Se A\ designam variaveis aleatorias independentes do valor espe-
rado p/, de media x/ e de variances o /,2 calcula- se :
g 27 a variavel aleatoria A X A;
i-1
g 28 o valor esperado e o medio p Iw

=i
(x =
.f i,
=1
)
g 29 a variancia C72 I C, 2 ;
I -1
se A tiver uma distribuigao aproximadamente normal (veja g 48 e g 54)
isto e :
(
g 30 P( A i x ) = §
Exemplo: Uma pilha de 10 calibradores, tendo cada um desvio padrao de

o = ± 0,03 pm, apresentam, juntos, um desvio padrao total
^)
of de:
Gt
2
= 10 O
2
; (7
r = la /To * 10,095
espe -
Tipo
de Densidade pro - Funpao de dis - Valor p Variancia Forma da funpao Observapoes
rado a2 Campo de aplica -
dist. vavel tribuipao densidade
x media pao
00 00
<o k : numero de erros
Eq. de f { x ) contfn.r { x ) = J/(r ) dr Jx f ( x ) d x - Jx 2
f ( x ) d x -p
2
n : num. de amostras
defini-
- 00 - oo oo
-
x : valor discreto da va -
IQ
co pao P, discreto F(x)= IP, Z *r P; Z* * - P; - Z2 riavel aleatoria D
ro < l A p : probabilidade de in
f =t
o.<*- Lp OO
n p yv'- 0 -P ) > W- P’0.1
A n '
p(k)
.. erro
A/: Tam. do lote c </>
°. -o
(O
CO
CO
geo-
)
hiper - P ( k = /V
n
X
H<x N
n
n p
- 1
o
- p N : Pepas defeit .
em N. Oi
CD
0)
metrico O.v \\ \ w "1 o Calculo exa -
VVx / ‘ *o °
P( A) e a probabilidade que em n amostras num total de /V, to , porem
Sg r =
• )
existam A erros. trabalhoso.

a> o
o 5 10 « k
Condipao: lote in- o a>
ca . ft * k
PA 0- P)
ft -* np n - p ( 1 -p ) 0.3
P(k)
p» 0 l .
n 2G
- finit . grande . Por
tentativas, o con-
CD
cn
CO
bino-
mial
0.2
A
iAP ' 0..“2 .
,
P 05 junto fica mantido.
P( A) 6 a probabilidade de que em n amostras encontrem- se k

erros.
01
0
f \'/
\
5
\
10 »5 k
O ( npY P(k) Condipao: grande
e- -
(
ftp
CO P ( k )= X A! e ftP np np 0,3
3
|T> numero de amos -
cn
tras e pequeno
Poisson P(k) e a probabilidade de que em n amostras haja k erros. 0.2 “
numero de defei -
Aplicapao: curvas de avaliapao de amostragem aleatdria ( veja O.f tuosas
G 11 ). 4
Continua em G 5 0 5 10 15
-*it nn —p» =;const
oo
.
p —> o.
*
Valor es - , . Observagoes
Tr
dist .
Densidade prop- Fungao de distri-
vel buigao
perado p
media x
Variancia
er 2
Forma da fungao Qamp0 de aplica -
densidade gao
X
n : num. de amostras
<Q
Jx
00
co Eq. de
CD
defini-
J
/ ( x ) contin. F i x ) = / ( x) dx
- 00
f i x ) - dx
00
-
Jx
OO
2
f { x ) - dx -p
2
x; : valor discreto da va -
riavel aleatoria
CO gao
P i discreto F i x ) = z P> •
£*
Pi Z1 X,7 P; - X 7 p . probabilidade de O
-
CO
J l< X / I
>
- /- erro (/>
f ( x ) = ae
1 1
Caso especial
da distribuigao ^m
c 0)
CO
03
03
expo- a > 0 1 - e
"
*' a a
2 de Poisson para
x = 0 . Da a pro -
-
o Q)
o«
nencial x 0 babil. sem erro CD
"
Usado em Ccilculos de confiabilidade. Substituigao de a x pela n oo; p -> 0. w
"CD H >
taxa de erros X vezes o tempo de ensaio t (ver G 12) . (/) =<
MB
s8 o»
-U- y )7 X .
Caso especial da
distribuigao bino - °
CO
03
CD normal
1
*
\ 1
J0 0 o\ZFQ
2c3•
dt V C 2
0,5 - -
c » o s mial.
CM
/7 » oo
—
p - 0.5 = contin.
C* 2
0)
V)
Aplicagao frequente na pr tica onde os valores se distribuem

^
em forma de sino em tomo de urn valor m6dio . - -1
2 0 1 2 X
1
para F ( x ) = 0 para A variavel aleatb-
fix) =
-
t (x )
ria x admite so-
cO
-
b a ( b - a )2
a> < x < a 1
o
unifor -
a ix
* b x - a para 12 b-a mente valores do
me = 0 para x b- a intervalo a, b. To -
dos os valores
extemo a < x < b
tern iaual proba-
cn
Aplicagao em que se deseja saber apenas os valores m ximo
e mfnimo, sem informagao sobre a distribuigao. ^ o a P b *
bilidadie.
Estatfstica
Determinagao do desvio-padrao a 6
Determinagao de o para valores discretos
Metodo analitico
Pela equagao g 23:
n
- Z ( x, ~ x ) 2
2
g 41 C p; com x = Z x ; - p;
< - 1
g 42 = Z
/ -1
X
2
- p; - X
2
onde: x>: valores medidos da variavel aleatoria A

pi: probabilidade correspondente a sua ocorrencia
Metodo grafico
O desvio padrao o b obtido simplesmente utillzando papel especial
milimetrado aritmbtico, se se admitir que os valores medidos x\ da
varibvel aleatbria tenham uma distribuigao normal.
A divisao da abscissa desse papel b tal que o resultado b uma reta <
no caso de uma distribuigao normal.
Solugao: A totalidade dos valores medidos da variavel aleatoria b igual

a 100%. Calcula-se para cada valor / dos diferentes valores X\ a
frequencia em %. Escolhe - se entre esses i valores, por exemplo, 4
valores, no desenho XA , X&, X7 , xg, sendo 2 nas bordas da direita e 2
no meio do espectro. Em seguida, calcula-se para esses 4 valores o
numero em % dos valores inferiores ao valor escolhido que b levado
ao grafico (a XA corresponde 10%, a XQ 38% etc .). Traga-se uma reta
passando por esses pontos e que corta as frequences 16% e 84%.
A diferenga de ordenada vale 2o. O valor medio b lido em 50%.
'
i
t '"
i
I : i
‘
-
I I
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1
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20
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T
:
60
!
70
T
80 8U 90 95 97 9«
Soma da distribuigao em % < xj
Estatfstica
Distribuigao normal de Gauss G7
Distribuigao normal de Gauss (densidade de probabilidade)
2
A equagao g 39 d3, para a = 1 e = 0
a densidade de probabilidade normal ^
com valor m6dio X = 0.
-AJ
i
g 43
0 A
Os valores <p( X) sao dados nas tabelas Z 26 e Z 27 para o dommio

0 < X < 1,99 ou se calculam segundo g 43.
A relagao entre a densidade de probabilidade normal 9(X) e a

2
densidade de probabilidade real f(x ) em que p 0 e a 1 6, se
* *
g 44 A edai /( x ) , liAl
o
=
c
Para usar a tabela, inicialmente procura-se, para um determinado
valor de X, o valor correspondente da densidade de probabilidade
normal <p (X), e em seguida, divide-se por a, encontrando- se, para
x, o valor correspondente da densidade de probabilidade real f(x ).
Os valores p e o calculam-se com as equagoes g 26 e g 41. Em G

6 encontra-se um metodo grafico para a determinagao do desvio
padrao o.
Distribuigao de Gauss normal 9 ( X) (fungao de distribuigao)
A equagao g 39 d£, para a2 = 1 e JI = 0,
a fungao de distribuigao normal de 0U )
1.
Gauss . \
A
A 1
-f * //
'
g 45 ${ A ) = f <p ( t ) dt =
W Je 2 • dt A
-00 * - CO t
Como 0 limite 9 ( X) = 1 para X « e 9( t ) 6 umafungao simStrica:

g 46 $ { -A ) = 1 - $( A )
A relagao entre a fungao de distribuigao normal 9(X) e a fungao de
2
distribuigao efetiva F(x ), para p 0 e o 1 , e, se
* *
f - ( r -y ) i
t -V 0U ) 1
g 47/ 48
a
= A e dai F ( x ) =
o Je • dt
Estatfstica
Integral de probabilidades 8
Integral de probabilidades de Gauss
A integral de probabilidade baseia -
se na distribuigao normal de Gauss
segundo g 45, com o2 = 1 e p = 0;
ela indica a area compreendida en-
tre - x e + x da fungao densidade
simetrica <p( 0 -
X
-f2
g 49
k !’0
2
-at -X +x t
Os valores <J>o( x) sao dados nas tabelas 2 26 e Z 27 para

.
0 < x < 1,99 Para valores maiores de x veja as aproximagoes no
capftulo seguinte. A relagao entre d>o( x) e a fungao de erro 6
g 50
* >o( x) = erf ( >/ yl2 ).
!
Fungao de erro erf (x)
fe '
2
= $0 ( x - y? ) =
~
g 51 erf { x ) ~~ • dt
2
g 52 / 00
2" -
•
Z
n =13 1 *3' . .. • ( 2n + 1)
* X
2n »!
Os valores erl ( x) encontram- se nas tabelas Z 26 e Z 27 para

0 < x < 1,99 . erf ( x) 6 calculado para x > 2, com o desenvolvimento
acima ou com a aproximagao seguinte:
g 53 erf ( x) = 1 com a = 0,515para 2<x 3
a = 0,535para 3<x 4
a = 0,545para 4<x 7
Area restante da curva em sino a = 0,56 para 7 <x <»
apbs dedugao de erf (x):
CO
2
g 54 erfc ( x ) = 1 - erf ( x ) =
I e
<J> o( x) e [ 1 - Oo( x) ] em % da area

total para valores especiais de x
( segundo g 49)
g 55 x <PQ ( x ) /%
±o 68 , 26 31,74
±2a 95, 44
± 2,58 o 99
±3o 99,73
± 3,29 o 99 , 9
Estati'stica
Amostragem aleatoria 9
Amostragem aleatoria: Quando o teste de cada componente individual -
mente nao for possivel ou for muito caro, usa- se o teste por amostragem
aleatoria . As amostras devem ser escolhidas arbitrariamente para dar
iguais possibilidades a todas as partes, (por exemplo uma boa mistura).
O objetivo do teste de amostragem aleatoria e obter informagao a respeito
da probabilidade da taxa real de defeitos de todo o lote, com base no
numero de defeitos constatados numa amostra.
Distribuigao hipergeometrica: Ocorre uma distribuigao hipergeometri -
ca quando a amostragem se verifica sem substituigao. A probabilidade
P(k ) se calcula como segue, se na ocasiao da amostragem de n pegas
num total de N, forem encontradas exatamente k pegas defeituosas,
sendo p a probabilidade de uma pega defeituosa e p N o numero de •
pegas defeituosas do lote N .
g 56 P( M = p N: inteiro
N
n
A probabilidade de achar no maximo 4 pegas defeituosas, isto e 0, 1

2 ... k se calcula com a distribuigao hipergeometrica cumulativa:
g 50 X P ( A ) = P( 0 ) + P( 1 ) -f . . . + P( X )
/ 0
=I ’ -x'1)
,MCS. p N: inteiro
Exemplo:
X =0
Cn )
Num lote de N = 100 parafusos , admite -se no maximo p = 3%, isto e,
pN = 3 parafusos defeituosos . Faz -se uma amostragem de n = 20
parafusos. Quantos pegas defeituosas podem ser aceitas se a proba-
bilidade valeIP( k ) 90%:
X P( x ) X P( x )
1
’0
0 0,508 0.508
'
U
_1
,
0,391 0899
2 0,094 0,993
3 0.007 1,000
O calculo mostra que um parafuso pode estar defeituoso.
Outras distribuigoes especiais: Alem da distribuigao acima, que exige

um calculo extenso, existem outras especiais, sujeitas as hipoteses e
condigoes nos limites definidos. Essas distribuigoes estao resumidas
nas paginas G 4 e G 5 com suas propriedades particulares.
Estatistica
Coeficiente de confianga; caracteristica operacional
10
Coeficiente de confianga de uma amostragem: De um lote Ntoma - se
uma amostra n ao acaso, nela encontrando - se k partes deteituosas.
Se a probabilidade de achar uma parte defeituosa no lote for p, a
probabilidade de achar mais do que k partes deteituosas sera dada
pela formula g 57:
g 59 P( x > A ) = P( A + 1 ) + P( A + 2 ) + ... + p( n ) = X P( x )
Supondo que N seja grande e que p < 0 , 1 , fato muito frequente na

tecnica , este calculo ( veja tambem a tabela G 4) se executa facilmente
por meio da distribuigao de Poisson:
g 60 (n py p . e‘op
P ( x >A ) = Z e°
. x! .r = o
Para valores pequenos de k , esta probabilidade e calculada facilmente
com a formula seguinte:
g 61
e-
op . - op
P{ x>k ) = 1 - = 1 e - 1!
A- 0
P ( x > k) e conhecido tambem como coeficiente de confianga . Pode- se

calcular , por meio da formula g 61 , o coeficiente de confianga P( x > k )
de uma amostragem de tamanho n e de /cpegas deteituosas, o numero
de defeitos de todo o lote p = k /n ou o tamanho n da amostragem para
que , quando se admitir k pegas deteituosas com um determinado
coeficiente de confianga , a probabilidade de erro seja p.
Curva caracteristica de operagao OC: Um cliente quer saber se um

lote entregue por um produtor corresponde as suas exigences de
qualidade . Um controle nao -destrutivo a 100% e geralmente muito
longo ou impossfvel. Supondo para o lote uma probabilidade de
defeitos p < po, eie quer saber se pode aceitar ou nao o lote cuja
amostragem de tamanho n contem no maximo k = c pegas defeituo -
g 62
sas . A probabilidade de aceitagao L(p,c) 1 - a onde a e o risco do
produtor , se calcula com as probabilidades P( k ) pela formula g 57:
g 63 L ( p , c ) = P( 0 ) + P( 1 ) + ... + P( A = c )
g 64
admitindo uma
distribuigao de _ J-i!}PJ_ e k
~
nP np
j ( np ) 2 , , ( npc ) c
Poisson segun- . k!
k 0
= e 1 +np+
^
2! !
do g 44 Continua em G 11
Estatistica 11
Caracteristica operacional: valores NQA
Continuagao de G 5
Com a formula g 64 pode - se calcular as diferentes caracteristicas operacio -
nais L( p , c ) , em fungao da porcentagem de partes defeituosas p do lote.
Distinguem- se 2 tipos:
Tipo A Tipo B
n - const. ; c: parametro c = const.; n: parametro
Exemplo n=
X Ziso
i
- 0.5 » \
3
£
a £ Vo
ro w s s
£) CV
2»
8
a. ^ - g -i 1 2 3 U 5 6 7
Porcentagem de defeituosos -» p% Porcentagem de defeituosos -> p%
Observagao : A caracteristica de Observagao: Quanto maior o valor
operagao se aproxima da porcen - de n , mais ingreme a caracteristica
tagem media do lote, se o numero de operagao. No limite, tem-se urn
de defeituosos admitido c for pe- retangulo, se n = todo o lote. Quanto
queno. mais ingreme a curva, mais rigoroso
ce menor ou igual a n. o controle: n tern que ser > c.
Valores NQA : (Nivel de Qualidade Aceitavel)
Apos discussoes, o produtor e o cliente fixam um ponto importante da
caracteristica operacional: o valor NQA , que indica a porcentagem de
pegas defeituosas p0 em % de um lote para que este possa ser aceito
quando houver um controle por amostragem com a probabilidade usual
de 90% (visto que 1 - a e, neste caso a = 0,1 ou 10%. Poroutro
lado, o metodo de amostragem pode aumentar o risco do produtor. Para
vence -lo, o produtor pode deci-
dir manter sua taxa de pegas
defeituosas bem abaixo do valor L(pcy
combinado para o NQA , por ioo #A
exemplo p0*) onde somente se 90%
,
admite c defeituosos na amos -
tra, como mostra 0 grafico de
L(p,c ) , contra p que e menor que
^
c2, 0 valor originalmente exigido. § §.
"
Com isso, a probabilidade de su- =|

cesso no lote sobe a 99%. Na n m
pratica, o NQA vale em torno de a. %
Po = 0,65%. Po* Po Porcentagem de defeituosos - pV ~ .
n: numero de amostras aleatorias
c : numero maximo de pegas defeituosas admitidas
Estatfstica
Confiabilidade 12
Defin des gerais
^ n{ t ) - jx IT ) a T
g 65 Confiabilidade R( t ) = = e o
*0
g 66 Probabilidade de defeito r( t ) = 1 - R( t )
g 67 Densidade de defeito n t )
- - aR
df
Jx
- M AT
= A( t ) e°
g 68 Taxa de defeito A( t ) « 4 - 1 (S R
R( I ) a t
MTTF (mean time to failure) signtfica o tempo medio observado ate urn
defeito.
g 69 00
MTTF = $f i t ) - t a t
0
= f /t ( t )
0
dt
Em sistemas que possam ser reparados, utiliza- se, ao inves de MTTF, o

valor medio do intervalo entre 2 defeitos consecutivos m = MTBF (mean
time between failure); MTTF e MTBF tern os mesmos valores.
g 70 MTTF = MT 8 F = m = • dr
Regra de produto para a confiabilidade Rs:

A confiabilidade Rs de um sistema se calcula com as confiabilida -
des Ri ... Rn dos elementos 1 ... ncomo segue :
g 71 Rs = R: R 2 •
. . . .' Rn = fjRi
t
-J [ x ,M * A,M ... Xnlri\ - Ar
g 72 = e°
Observa?ao:
Como modelo de fungao de confiabilidade R(t), utilizam - se as
fun oes de distribui ao F( x) das p ginas G 4 e G 5 ( c lculo
^ ^ ^
segundo g 66 ) . A distribuigao exponencial de manuseio matem - ^
tico simples geralmente preenche as exigencias ( X = const.) . ^
n i l ) : estoque no tempo considerado t
n0 : estoque inicial
Estati'stica
Confiabilidade, Distribuigao exponencial 13
Distribuigao exponencial como fungao de confiabilidade
g 73 Confiabilidade -At
g 74 Probabilidade de defeito
*F (( t* )) = e
= 1 - e-
At
g 75 Densidade de defeito fit ) =
g 76 Taxa de defeito fit )

X( t ) = = A = const.
WtT
(Dimensao: 1/tempo)
CO
J e-
g 77 Intervalo entre 2 defeitos m =
f xt 1
dt
o “T
Regra do produto para a confiabilidade Rs'.
g 78
g 79
Rs
- e
e
~ A\ t
- U, + A2 .. , *
..
An )t
• e
— A/j f
1
g 80 Taxa de defeito acumulada — Ai + A 2 +
MTBF
. . . + Art ~
Para valores pequenos, as taxas de defeito se calculam com a seguinte

aproximagao:
numero de defeitos
g 81 x=
estoque inicial x tempo de fabricagao
Os valores X sao dados em geral em horas de fabricagao:
g 82 Unidade: 1 fit = 1 defeito/109 horas.
Exemplos tipicos de taxa de defeito X em fit

IC -digital bipolar ( SSI) 15 Resistencia de camada metalica 1
IC - analog bipolar (OpAmp) 100 Resistencia bobinada 10
T ransistor- Si-umversal 20 Pequeno transformador 5
Transistor - Si-de potencia 200 Bobina de alta frequencia 1
Diodo- Si 5 Quartzo 10
Tantalo - Eiko com eletrol. Iiquido 20 Diodo luminoso ( defeituoso,
Tantalo- Eiko com eletrol . solido 5 ' 50% de luminosidade inicial ) 500
Alu - Eiko 20 Solda manual 0, 5
Condensador ceramico 10 Conexao sem solda 0 , 0025
Condensador de papel 2 Conexao engastada 0 , 26
Condensador de mica 1 Contato com plugues 0,3
Resistor de carbono > 100kH 5 Soquete de tomada cablado 0, 4
Resistor de carbono < 10OkTi 0,5 Interruptor 5 ... 30
Observagao: para especificagdes de confiabilidade, veja DIN 29500, parte

1 , DIN 40040 e DIN 41611.
Calculo diferencial
Quociente diferencial H1
Nogao de quociente diferencial (ou derivada)
Inclinagao de uma curva
A inclinagao de uma curva num ponto P
e a inclinagao da tangente nesse ponto.
.
A inclinagao de uma curva y = f(x) varia
de urn ponto para outro. Se os eixos x e
y representam grandezas de mesma es-
pdcie expressas com a mesma escala —
que nao e o caso na maioria dos diagra-
mas tecnicos — a inclinagao e a tangen-
te do angulo a entre a tangente no ponto
Pe o eixo horizontal: — X
m = tan a
Em todos os casos,
h 1 tem-se para a inclinagao: m = A!L
Ax
.
w
Quociente das diferengas
O quociente diferencial ou inclinagao y k
media da curva y - f(x ) entre dois pontos
vizinhos PPi vale:
h 2 Ay
Ax Ax
-
f ( x+A x ) f ( x ) I
Quociente diferencial X
Se Ax se tomar infinitamente pequeno,
isto 6 , tender para 0, a inclinagao em P
6 o valor limite da inclinagao da secante
PPi . Esta inclinagao 6 a derivada ou
quociente diferencial da fungao em P
h 3 y =
% = /' < * >
y' = lim & =

(
lim / *
Ax ) - f( x)
=
dy
^ /' ( * )
Ax + o A x Ax 6x
Calculo diferencial
Significado da derivada Hz
Interpretagao geometrica da derivada
Gradiente de uma curva

A fungao y ' = f(x ) ou derivada primeira da fungao dada y = f(x) se obtem
marcando nas abscissas os valores de x e nas ordenadas os valores
de y’ correspondentes.
Se agora derivarmos esta nova fungao, vamos obter a derivada
segunda y ” = f( x ) da fungao y = f(x ) etc.
Exemplo: y = Axz + Bx2 + Cx + D
-
\ i
y,
\
V*-
.
J £
\- 1
,r>' / .A
\
\
s
maximo '
s Ml
o
A
ponto de
/
/
/
o, - I
cv - inflexao
M1
minimo
Raio p de curvatura num ponto xqualquer
/( 1 V'
2
)
3
h 4 9 =
y
"
Coordenadas do centro M do circulo de curvatura de raio p
2
1 + y
h 5 a x - yTT7J
"
— yI
2
h 6
t + y
b y +
y"
Continua em H 3
Calculo diferencial
Significado da derivada H3
Definipao de minimo, maximo e pontos de inflexao
Minimo e maximo
Fagamos y' = 0.0 valor x = a obtido para y' = 0 e introduzido em y” .
h 7 Para y ”(ct ) > 0, ha um minimo com x = a ,

h 8 Para y ”( ct ) < 0, ha um maximo com x = a ,
h 9 Para y "( a) = 0, veja h 19.
Inflexao
Fagamos y” = 0.0 valor x = a obtido para y ” = 0 e introduzido em y ”\
h 10 Para y ”’( a)
* 0, ha uma inflexao em x = a.
Forma da curva y = f(x )
Crescimento e decrescimo
h 11 y (x) > o y(x ) cresce, se x cresce
h 12 y' ( x ) < 0 y(x) decresce, se x cresce
h 13 y' ( x ) = o y( x ) tern uma tangente paralela
ao eixo x
Curvatura
h 14 y" { x ) < 0 y(x) tern uma concavidade para baixo
h 15 y" ( x ) > 0 y( x) tern uma concavidade para cima
h 16 y" ( x ) - 0
com | uma mudanga de sinal
sem y( x) e m x t e m
inflexao
ponto inferior
Caso excepcional
Para um ponto x = a
h 17 y ' ( a ) = y " ( a ) = y '" ( a ) = . . . y (n~ i} ( a ) = 0 , mas
h 18 y !n> ( a ) 0 , podendo entao ocorrer um dos 4 casos:
* n = par n - impar
( )
y n) ( a ) < 0
( n) ( ) (
(a) > 0 y n (a) < 0 yn (a) > 0
•
h 19 V
‘ vy*7 »)7?\" 't% .

a a x o a
^ x
Calculo diferencial
Diferenciais fundamentals H4
Derivadas
Regras basicas
Funqao Derivada
n r -1
h 21 y c x + C y' c •n x
h 22 y = u(x) t u(x) y' u (x )

' ± v' ( X )
u!
1
h 23 y = u( x ) v( x ) y1 u + u • v
-
1
u( x ) u' • v u v
h 24 y y> =
V(T) IJ
1
h 25 y = tf =
2 W
h 26 y = “(*) y' = u
y U
u
U
+ u' lnu -
Derivada de uma funsao de fun$ ao
( regra de tres)
h 27 y = / [“ < * > ] y = /' ( u ) • u' ( x )

_ dy
-«- =
dy du
dx du dx
Forma parametrica de uma derivada
x = fit ) dy dt
h 28 y = fix) y = fit )
y' = d£ dx =s ir
h 29 y"
2
d y _ xy - yx
dx 2
Derivada de fungoes inversas

A equapao y = f( x) resolvida com relagao a x da a funqao inversa x =
<p( y) -
h 30 x = p( y ) /'( * ) - Vix )
1
Exemplo
h 31 y = fix) - arccos x
fix) =
1
h 32 da x = p( y ) = cos y -s i n y
Calculo diferencial
Diferenciais fundamentais 5
Derivadas
Funpoes exponenciais
Fun ao Derivada
^
h 33
h 34
y
y
= e*
-X
e
y
y' =
e*
-e
-X
- y" =
h 35 y e
ax y a ea x
h 36 y ss x • ex y' ex - ( 1 + x)
Y r
h 37 y y' ^2
h 38 y = ax y' ax • In a
h 39 y a nx y ' n a - • In a
2
h 40 y a* y a x • 2r * • In a
Fun9oes trigonometricas
h 41 y sin x y 1 — cos X
h 42 y cos X y “ Sin x
1
h 43 y tan x y 2 1 + t a n2 x
cos X
h 44 y cot X y
1 - " ( 1 + cot2 x )
s i n2 x
h 45 y a • sin ( Ax) y a A • cos ( Ax )

h 46 y a • cos ( A x ) y ~Q • k sin ( A x )
h 47 y sinnx y n • sin
n 1 - X • cos X
-1 n
h 48 y cosnx y “O • cos x * sin x
h 49 y tan x” y' n • tan

n 1 - x • ( 1 + t a n2 x )
h 50 y c o tn X y -n • c o t*
- 1
x ( 1 + cot2 X )
1 -cos x
h 51 y y
sin x sin2 x
1 sin x
h 52 y y'
cos x c o s2 x
Calculo diferencial
Derivadas fundamentals 6
Derivadas
Fun?des logaritmicas
Fungao Derivada
h 53 1
y In x y' = X
h 54 y i
l o 9a X y ' x • In a
h 55 y In (1 ± x) y' 11
1 ± X
h 56 y In xn y< =
n
X
h 57 y £ m yr y' s
1
2x
Fur des hiperbolicas
h 58
^y sinh x y' cosh x
h 59 y cosh x y' sinh x
h 60 y tanh x 1
y'
cosh2 x
h 61 y = coth x y
' - 1
s i n h2 x
Furxpoes trigonometricas inversas
h 62 1
y = arcsin x y
1 X‘
h 63 y arccos x 1
y'
h 64 y arctan x
~
> 1
1
- x*
iT7
h 65 y = arccot x 1
1 + x3
h 66 y = arsinh x
h 67 y = arcosh x
- T
y 1
h 68 artanh x
1 - x2
1
h 69 y = arcoth x y ' = 1 - x2
Calculo integral
Integragao h
Definigao de integragao
Integragao , o inverso da derivagao

O calculo integral tern por objetivo achar uma fungao F( x), sendo dado
y = f(x) de modo tal que a derivada F’(x) seja igual a f(x). Assim:
df ( x )
i 1 r' (x) =
dr
= f(x)
donde, por integragao:
A integral indefinida
i2
ff ( x ) dx = r( x ) + c
A constante de integragao C desaparece na derivagao, visto que a

derivada de uma constante 6 nula.
Interpretagao geometrica da integral indefinida

Como a figura indica, ha uma infi-
nidade de curvas y = F(x) de incli-
\
w 4
nagao y = f(x).
' \ \
Todas as curvas sao identicas, po - V \ V
r6m intersectam o eixo x em dife - \ \ \\
\ \
rentes pontos. A cada valor de C
\
\ \
corresponde uma unica curva . Se \ \
a curva passa por urn ponto ( x0 l
\
\
y0), tem -se :
\ /
1 >
i3 - $
A integral definida
A integral definida tem a forma:
b
i 4 dr = F( x ) F( b ) - F( a )
a a
Nesse caso a integragao se verifica entre os limites a e b. Os

resultados obtidos substituindo b e a se subtraem, fazendo desapa -
recer a constante C.
Calculo integral
Regras de integragao I2
Integragao
Regras gerais
-
n »1
i 5
fz" ** 32,
X
rt + 1
+ C , aqui n
* “ 1
i 6 = In | x | + C
i 7
J[ u ( x ) i u ( x ) dx j - /< x ) dx ±
Ju ( x ) dx
i 8 HlW
U (x)
dx In
Iu( x ) | + C
i 9
/ < •> • u' ( x ) dx = [
j u( x ) ] + C
Integragao por partes
110
Ju (X) . „
Metocfo das substitutes
( x ) dx = u( x ) o(x) -
/ - (x) • u ( x ) dx
i11
J/( x ) dx = yV[v i z ) ] p' ( z ) dz
donde x = ?( z ) e dx = 9' ( z ) dz
Exemplo
i 12 . /*( x ) = 3x - 5 dx .
dz
Fazendo 3x -5 = z, donde z
dx
3 .
Assim dx = | integral em funpao de z.
r( x ) = - yjj/T ’
d z = -~ z YT C . Substituindo nessa expressao
z por seu valor: Fix) = ~ ( 3 x- 5 ) 1/?x - 5 + C

Calculo integral
Integrals fundamentals Is
Integrals
(sem a constante de integragao C)
1 1 1
i 13 dr
X n- 1 x n -1
1 abx
i 14 abx dx s
b I n ja |
i 15 I n x dx = x In |x| - x
i 16 ( I n x ) 2 d x = x ( I n lx | ) z - 2 x I n | x | + 2 x
dx ( I n I x I) 2 ( In
i 17 In x = In |(In | x | ) [ + I n|x | +
2
i 18 x I n x dx
i 19 xmln x dx
dx
i 20
x In x
|
= In (In x ) | | |
i 21
i 22
i 23 x2 eax dx = eax
i 24
i 25
i 26
i 27
i 28
b+c eax
Calculo integral
Integrals fundamentals I4
integrals
( sem a constante de integragao C)
eQZ dx
ac In + ceaz I
i 29
b + c eQX
|b
i 30 eaz In x dx =
eax In|x 1 eaz dx
a a x
eaz sin bx dx eaz

i 31 ( a sin 6x 5 cos bx ) -
eQZ
i 32 eQZ cos bx dx ( a cos bx + b sin bx )
a2 + b2
dx 1 , |
i 33
57TT =
Tlnlax + bl
dx 1
i 34 (a
( ax + b)
n
a( r, - 1 )(a x + b )n - f * 1)
dx 1
i 35
ax -b = — In ax -
a
b
dx 1
i 36 .n “
- b) - 1 <* * D
r ax
\
- b) a( n - 1 )(ax
o
dx 1 cx + d
i 37 • In ax + b ( b c - a d 4 0)
{ax + b)(cx + d) be - ad
dx 1 cx - d
i 38
iaT^bTicir^d ) ad - be
• In
ax -b -
(ad bc 4 0)
i 39 j(; ax +
x dx
b )(cx + d ) be - ad
1
—a l n | a x + b | - —e l n l1e x + d iL
' ' (b c - a d 4 0
x dx x
i 40
ax + b a
x2 dx
V - (a
i 41
i 42
ax + b
3
x dx
ax + b
-
a \ _2 *
a 3
^
1 (ax + b)3
+ b)2 - 2b(ax
3 b(ax + b)
2
2
+
2
+3 b(
|
-
ax+ b) b3 ln
|
b ) + b2 ln ax + b _
|ax+|
b
i 43
x(ax
dx
+ b) - -b- In a —x
r +
&
dx
-bx1- + -Tba7- In a +
,
i 44
x2 ( a x + b )
—
*
Calculo integral
Integrals
( sem a constante d e integragao C )
i 45 dx 1
a3 I n ax + b 2 a ( ax + b ) ( ax + b )*
+
x3( ax + b) b x X 2r
i 46
x dx _
~
b 1 I n ax + b
( ax + b ) 2 a3 ( ax + b ) a
~
x3 d x b3
i 47
( ax * b ) 3
1
a3
j ( ax
L + fc ) - 2 b l n | ax + 5 |
ax + b
3
x 3 dx |"( ax 4 b ) 2
i 48
( ax 4 bV 7 ~ ~
1
2 - J> b { ax + b ) + 3 d In| ax + b| + axb + b 2
i 49
x dx
( ax + b ) 3 ”
1
a ax
1
+ b 2 ( ax
b
4 b )1 _
’ b3
x2 dx 1
In ax 4 b *
2b
i 50
( ax -
f b)3 a ax + b 2 { ax + bY
x3 dx t 3 b2 b3
i 51 ( ax + 6 ) 3 “
a
( ax 4 b ) - 3b I n ax 4 b ax 4 b
+
2 { ax + bY
i 52
x ( ax
_
dx
4 b )2
1
= - 7b 7 In
ax + b
x
4
ax
a x4b ) --H I n a4 x — b
4
ax
a x4b
i 53
/ — bV =
x! ( ax +
dx
'
„
a
1
b*( ax + b )
.
^
1
'
T3
2. a x4b
i 54
dx 1
3a 2 I n
a x 4 b l 4 a3 x ( ( a x 4 b ) 2 3a ( a x 4 b )
x3( a x b)2 27
"
4 b x ax4b x
i 55
J A =— a
1
arctan
—a
1 |
x dx !
|
777 = 2 1n a
i 56 +
i 57
x dx 3
777 = x - arctan
a•
2
—x
a
x3 d x x2
i 58
/ 2 - ~
2
1
° |a
?
+ x* \
i 59
777 =
dx dx
x’ - a*
s
—
1 1
a 2 -x In
a
a
4 x
x dx x dx
i 60
777 ~ - y 1" |a - ** l 2
x2 a2-
r
Calculo integral
Integrals
{sem a constante de integragao C)
V dx
- x* d x
—
1
In a +
x
--
i 61 = -x + a
a-x
x' a 2- 2
x3 d x x2 2
i 62
x 3 dx
= x2 a2 - 2
a
-V infa .x l
i 63
dx
(7777
x dx
x
2 a 2 ( a 2 + x2 )
+
2a
1
arc tan
—
a
i 64
/f ( a 2 + x2 ) 2
2
1
2 ( cr + x7)
i 65
JTJ + x
* dx
2
)*
x
2 ( a 2 + x2 ) + —
-2r1a a r c t a n a —
X
a2
i 66
/ T T?
.
(
x3 d x
)5 = 2 ( aJ + r 5 )
1
2
2
+ r r I n a + x2
f dr x / 3 21 - - (n 1)
Jta’ 2 aJ ( n 1 ) ( al+ r* ) n - 1 2 aJ ( n 1 )
i 67 ' +
+ r* )"
'
- - n i
*
i 68
- x2 ) 2
x
2 a2 ( a2 -
1 •
x* ) + 2 a1 2
I n a +x
a x — -
i 69
/,
.
x dx
( a2 -x 2)2
2 ( <?
1
“
?)
i 70
f x
J(a -x )
2
2
dx
2 2
_
"
x
2 ( a2 - x 2 ) —a —
2
1 1 ,
2
ln
a+x
a -x
f X
3
dX au2 1i ,l n |
a2
}
i 71 J t f - x" ) 11’ M - X* ) * T '
i 72
f|/r d r = [/?"
~
i 73
/ •* ax + b dx =
_
£ i/
2 ( 3 ax 26 )
( ar
-
a x + Mi
+ b )3
Vi
.I* 7 az
i 74 a x + b dx
15
i 75 ax + fe d x = -
2 ( 1 5a* *2 1 2 a b x + 862 ) •|/( ax + b ) 3
105a3
i 76
Calculo integral
Integrals
dx 2 {/ ( ax 4 b)
i 77
yox + b a
i 78
x dx 2 ( QX - 2b ) y { ax + b )
yax + b W
i 79
x2 dx 2 ( 3a
2 2
* ~ 4 abx 4 662) /( qx 4 b )
[/ax + b 15
â 2
. x
i 80 = -f I/? 4 x2 —
+ 2 arsinh —
a
i 81 x2 dx = -y- [/( a2 4 x2 ) 3
i 82 a2 4 x2 dx = 2
+ a arsinh —/]
Q
|/( a* + x ) 2 5
a*
i 83
fxVaVx* dx .
5 3
a+
i 84 dx = |/a + x 2 2
- a In
x
1/777 777
i 85 dx =
^ x
4 arsinh — x
Q
-1/777 /777
i 86
/ x3
dx =
2?
J
1
2a
In
a 4 |/a 2 4 x2
x
<*
i 87 f i/7
J 4 X
2
= arsinh ~
a
x dx
88 = Va* * * 2
1/777
x2 dx
i 89 ®
- /a27
| *
2
X - -y arsinh y
K777
x^ dx 1/(7 + x 2)3
i 90
f-v, a2 4 x2 3
- a /777
2
i 91
1
In
a 4 /777
ys 77 a x
i 92
/ 'IVTl?
x
dx
a* x
Calculo integral
Integrals
(sem a constante de integrate) C)
Va* + x
k 1AFT
2
i 93
“ ?. 2
2X a *
i
2 a3
ln
1
a +
- x2 x |/a - x a2 a r c s i n - -
^J
94 2 2
dx +
95 x [ / cf
^ x 2
dx = —— 1 l/Ta5 - x2 ) 3^
i 96
— x2 d x = - T r a1 r ' - x2 ) * a ^ a r c s i n f )
^ (
^
k ZZZj - a3 - - s y
97
/ **
2
dx
^ 5
^
98 [-J* arc s i n — a
99
x dx
=
_ l/aTT?
!/?!? 2
x2 dx
i 100 = -a=- arcs i n —xa
l/o^ x*
3
dx i V-r } 3 5
^
X
i 101
3 - a
3 3
- x1
l/Vdx- x 2
i 102
1
In a
+ /gjT?
x
dx
i 103
ax
/ x2 k? x2 - 3
-
r3 ' 1
i 104
/; “-3
/a
2
x2
"
Ka
2 a2 x*
~
2a
In a +
x
i 105
/^ 3
dr =y x ( â - a
~
T 2
arcosh —°\
x
/
I
i 106
Jx / - x3 a 2 dx = y K ^ - a3 ) 3
jsvp -
i 107
i 108
a 2 dx
2
dx = Kx -a
( 2 3)5
5
a 3 /( r' - a 3 ) 3
. ^^
= y [/( r3 - a3 ) 5 + (r TT - a2 a r c o s h
3
^ )
*
r
Calculo integral
Integrals
( sem a constante de integragao C)
i 109
X
dx a arc c o s —ax
i 110
- a3 dx + arcosh —
x* X a
IVTa7 a2
1
arc cos a
i 111 7 dx
27 +
2a —x
i 112
/
sin ax dx = 1
- —a cos ax
i 113 sin2 ax dx = —X2 4 sin 2ax
1
1
—
a
i 114 sin3 ax dx = a
cos ax + —31—a cos3 ax
n- 1
cosax sin n- 1 ax jsin - ax
1 n 2
i 115 sinaax dx
na - +
n
' "
dx
sin ax
( n inteiro > 0)
x sin ax dx x cos ax
i 116 - a7 a
i 117 2 ,
x sin ax dx 2x
= a' sin
ax cos ax
_ 6x
i 118
J>
6in
sin ax
ax
dx =
( ax )3
6
a )
. ( ax)
sin ax
5
(ax)
\ a
7
'
a3
”
cos ax
i 119
x
dx = ax - 3 * 3!
"
5 * 5!
’
7 - 7! •
i 120 sin ax sin ax cos ax dx

7 dx = X
+ a
x
sin ax dx 1 sinax a cos ax
i 121
xa = - +
-
dx
n- 1 x* n -1 x
1
"
i 122
/
cos ax dx =
1
—
a
sin ax
2 X 1
i 123 cos ax dx = ax
2 * 4a sin 2
i 124
/ 3
cos ax dx ^ —
a
sinax - -
3a
J— s i n 3
ax
Calculo integral
Integrals fundamentals I 10
Integrals
(sem a c o n s t a n t e d e i n t e g r a g a o C)
i 125 cosnax dx =
na
sin ax - c o s n- 1 a x + n n-1 c o s n- 2 a x dx
cos ax • x •sin ax
i 126 x cos ax dx = +
a2 a
i 127 *
x cos ax dx = cos ax + sin a x
6 r3 6x
i 128 x3 c o s a x dx = c o s a x +i sin ax
a a a
i 129
/ cos ax
x
dx = I n lax
(ar )
2 V 2 J.
’+ + .
i 130
cos a x cos ax s i n ax dx
7
x
dx =
X
-a X
(cos cr cos ax s i n ax dx
i 131
J Xn
dx =
( n - 1 ) xn"1 x *" '
(n + 1)
i 132 tan a x dx = - —a I n I' c o s a x !1
i 133 t a n2 a x d x = —al t a n a x - x
t a n n-1 a x
i 134 tannax d x =•
a( n - 1 ) / t a nn- 2 a x d x ( n 4 1)
i 135 cot ax dx = — In I sin ax I

a 1>
i 136
/ 2
cot ax dx = -x
cot -
n 1
1
a
cotax
ax -2
i 137 cotaax dx = a(n c o tn ax dx {n 4 1)
- 1)
i 138
/" — In
sin ax = a
tanH
2
i 139
/" s i n2 a x
1
a
cot ax
i 140
dx 1 cos ax a -2 dx
( n> 1)
sinnax “ a ( n. - 1) s i n *-1 a x n -1 s i nn- 2 a x
T
Calculo integral
Integrals fundamentals 111
Integrals
x dx x 1
i 141 cot ax + I n | s i n a x|
s i n* a x a a
i 142
cos ax
dx
=— 1
a
In tan (f * i) l
=—
dx 1
i 143 tan ax
cos ax a
i 144
/c o*s a a x — a(n
1
1) cosn
sin ax _ 1 ax
+
n
n
-2
-1 /c o s adx
“ 2
ax
(n> 1)
i 145
/ =— x
cos ax
dx
a
x
tan ax + —
1-
a
j In cos ax
/ =—
dx 1
tan
ax x
i 146 1 + sin ax a 2 4
i 147
/ 1 + =-
dx
cos ax
1
a
tan ~
2
i 148
dx
sin ax
1
a
cot
ax
2
x
4 = —
1
a
tan
x
4
+
ax
2
f; c o .t -a x-
dx 1
2=
i 149
cos ax a
i 150 sin ax • s i n bx dx =
s i n ( a x + £> x )
+
sin ( ax bx ) -
( l a | 4 | 6| )
2 ( a+b} 2 ( a-b )
i 151
i 152
sin ax
cos ax
• cos bx dx
cos bx dx =
c o s ( a x+ bx )
2 ( a+b )
_ c o s ( a x-b x ) (
s i n ( a x+ b x ) s i n ( a x-b x )
2(a+b )
+
2 ( a-b )
2 ( a -b )
( | a | * | b|)
| a| | b| )
*
i 153 fi tn s i n a x
4 dx
x^
cos ax +
n
x n -1 c o s a x d x
J a a
i 154
/ *" c o s a x dx = —ax" s i n a x +
n
a
x -
n t
sin ax dx
i 155 ,
sin ax cos ax
dx
- = — 1
a
In tan ax
i 156
dx 1
In tan
fK a x\ 1
s i n2 a x • cosax a sin ax
Calculo integral
Integrals
( sem a constante de integrapao C)
i 157
j s i n3
dx
ax * cos ax n In tan ax
1
2
2 sin a x )
,.
i 158 ,
dx
cos2 a x • s i n a x
1
a
,
I n t a n -r-
ax
2
+
1
cos a x )
1
i 159
dx
cos 3 ax * sin a x
In tan ax +
2 cosz a x )
dx 2
i 160 ,
s i n2 a x * c o s 2 a x a
c o t 2ax
1 1 n-1
i 161 sinmax • c o s" a x dx - —7 r sinm* a x * c o s ax +
a { m + n;
-
n 1
sinmax •cosn “ ?
ax dx
n+n
Se n for impar, a integral restante vale:

,
s i n m+ a x
i 162 sinmax c o s a x
• dx = ( m. -1 )
a( m + 1 ) *
i 163
f arcsin x dx = x arcsinx + /1
i 164
/ arccos x dx x arccos x - /iT7
1
i 165 arctan x dx x arctan x - I n 1 + x2
2
i 166 arccot x dx x arccotx + —2 I n 1 + x2
1 167
J
j s i n h( a x ) d x = — cosh ( ax )
Q
2
i 168 sinh x dx - -47- s inh( 2x ) - 2
- n-
n 1
— s i n h - 2* x d x
1 n
i 169 s i n h" x d x - cosh x s i n h"
'
x
n
( n > 0)
i 170
Jcosh ( ax ) dx =
^
-- s i n h( a x )
r-
Calculo integral
Integrals
1 x
i 171 cosh*
* dx - —
4
s i n h( 2 x ) +
2
- n- 1
i 172 coshnx dx - —
n
1
sinh x • cosh
n 1
x +
n /
cosh
n- 2
X
( n > 0)
dx
i 173
Jtanh ( ax) dx = — l n| c o s h( a x ) |
2
i 174 t a nh x d x = x tanh x
i 175 tanh - 2 x dx
n
t a n h" x d x (n
* 1)
i 176 y*
coth ( a x )
i 177
/ 2
coth x dx x -
1
coth x
c o t h n- 1 x + coth -Z x dx ( n
i 178 cothnx dx
n- 1 f n
* 1)
1
i 179 — In
sinh ax = a
tanh-
^f2
-
i 180 f 4* , -c o t h x
J s i n h2 x
i 181
Jr? coshax - —a2 a r c t a n e a*
i 182
Jr^
c o s h2 x
tanh x
i 183
farsinh x dx = x - arsinh x
i 184
Jarcosh x dx = x - arcosh x - •
f^ x2 - 1
i 185
/artanh x dx = x artanh x + - — I n| ( 1 - x ) | 2
i 186 arcoth x dx = x arcoth x + - y l n | U’ - l ) |

Calculo integral
Aplicagao da integragao I 14
T
1
dy
Diferencial de arco ds = j/dr 2
+ dy
2
= 1 +
dr
dr
Area da curva girando a li-

Comprimento do arco nha em torno do eixo x
b b
i2 a
i 189 3 1 + y dr y yi + y ' dr
a a
Momento estatico de uma curva
eixo — x eixo y — *3
b b
2
dr M y
,
1 + y 2 dr
5
i 190
*x
a a
*5 <•
Coordenadas do centro de gravidade
a X
i 191 xs =
My_
s
ys = "x
s
b
Volume de um
corpo de revolugao em corpo cuja segao trans -
Area que a area A gira em versal A\ e fungao de x
torno do eixo x
b b
i 192 A = y dr V n y2 dr
a a
Momento estatico de uma su- y
perficie com relagao ao
eixo x eixo y
b
i 193 Hy =
a
Coordenadas do centro de gravidade

Hy X
i 194 *s = A
ys " A
x
Calculo integral
Momento estatico de urn corpo
{com relagao ao piano y -z ) yi
b
i 195 Myz K x y2 dx
a
/
Distancia do centro de gravidade
i 196 * Vy z
Regras de Guldin
Area lateral Am de um corpo de revolugao
Am = comprimento s pela distancia do centro de gravidade
i 197 = 2" R s y s (Veja as formulas i 189 e i 191)
Volume de um corpo de revolugao

V = area A vezes a distancia do centro de gravidade
I i 198 - 2 n A ys ( Veja as formulas i 192 e i 194 )
Integragao numerica
Divisaodearea emumnumero parnde
faixas de mesma largura
^ ll A
a?
i 199 b \ \\\\mw
'
n
b
A area vale, de acordo com a
) b
b
i 200 Regra do trapezio A = ~
2
( Vo + 2 V < + 2 y 2 + . . . -» !/ ) „
Regra de Simpson para curvas ate o 3 grau: -
( b
j ( v0 + 4
i 201 A + yz )
Regra de Simpson para curvas acima do 3? grau e para fungoe:

transcendentais ou quebradas.
i 202 A
y- %
- + Vn + 2 ( i/ 2 + . . . + yn - 2 ) + 4 ( y1 + y 3 + . . . + yn _ 1 )
Calculo integral
Momentos de inercia
Generaiidades
Chama- se momento de inercia de um corpo com relafao a um eixo x
ou a um ponto O, a soma dos produtos dos elementos de curva, de
&rea , de volume ou de massa pelo quadrado de sua dist&ncia ao eixo
x ou ao ponto O.
i 203 J =
fx > dm
Teorema de Steiner (veja tambem M 2)

Rela<?ao vaiida para os momentos de in6rcia de massa axial ou polar:
i 204 J = Js m Zs* c
1? i
® I
Existem formulas anaiogas para os mo- 2.
mentos de inercia de linhas. de areas e -§ I
oi
de volumes.
Lu
Momentos de inercia de linhas planas

com relagao ao
eixo x eixo y
b
i 205 kx K 1 + y ' 2 dr dx
a X
J momento de inercia com rela9ao a um eixo ou a um ponto

Js momento de inercia com relagao ao centra de gravidade S
m comprimento de curva, area, volume ou massa total
h distancia do centra de gravidade ao eixo ou ao ponto de referenda
Calculo integral
Momentos de inercia e centrifugo de superf. planas
O momento de inercia axial de uma superficie plana com relagao a um
eixo xou ydesse piano e a soma dos produtos dos elementos de area
dA pelo quadrado das distancias per - y
pendiculares you y.
f
i 206 = _/ y! AA ; Iy = fx’ dX I
X
Para uma dada fungao y = f(x ) tem- se: •
/
com relagao ao d Jr
/
eixo x eixo y
rb
J" fx
*
i 207 lx 7 x
Iy = y dx
aJ
O momento de inercia polar de uma superficie plana com relagao a

um ponto O desse piano 6 a soma dos produtos dos elementos
de area dA pelo quadrado das distancias rao y ' cM
ponto de referenda O.
f
r
i 208 /p =
/r! d4
Se os 2 eixos de referenda de U e /y forem perpendiculares, o
0 x
momento polar de superficie com relagao a O (ponto de intersegao

dos eixos xe y) vale :
i 209 Ip = jr 7 dA = y(
*
y 2 + x 2) =
O momento centrifugo de uma superficie plana com relagao a dois
eixos desse piano e a soma dos produtos dos
elementos de area dA pelo produto das distan- y
cias x e yaos dois eixos:
i 210 Jxy = f x y dA = 0
x
Se um eixo de referenda coincide com um eixo de simetria da
superficie plana, k y vale /xy = 0
Calculo se os eixos forem girados de um angulo a:
v y '-
Conhecendo - se os momentos /x, /y e /xy com
dA
relagao aos eixos x e y, os momentos k’ e /y
\
com relagao aos eixos x ' e y serao dados por:
'
\
j 211
lx ' - lx cos 2 a + Iy sin 7 a - sin 2 a
Iyi = 2 sin 2 a + Iy cos 2 a + IXy sin 2 a
*
Calculo integral
Aplicagao da integragao
Exemplos dos momentos de area da pagina i 17
Retangulo /
I 212 4 2 b dy
hV
- b h
3
0
b h
3
3
*
/
/ I
i
^ ;- 1
"
*"
M
4' = 4 -
r^ v
i 213
2 12
3 ' / /\y / / / / i
t> /i Z> 3 ri 0 AT
i 214 Iy ; =
12
bhJ b 3 h =
i 215
i 216
Ipo = 4
4y = V/'
+ ly -
+ £.A
2
r
2
+
A’ ^
- ( t> 2 + /i2 ) ; /ps =
Ix ’y’ = 0, visto que x 'e y ' sao eixos de

simetria.
f
^ ( 62+h2 )
* > (¥)
2
i 217
Circulo
R
i 218 iP = r2 d A 2 x r dr
o
.
T R
T rr
*!
*•
*
i 219 = 2L
2
4 =
_ Ip _ x ft 4 x Z) 4
i 220 4 2 4 64
i 221 4y = 0 , pois x ' e y ' sao eixos de simetria.
Semi- circulo
i 222 lx
S 2
d >4 =
0
/y
'
2
2 X dy
i 223 y fl2- y 2 dy =
x R4 =
8 4 -R x
R x
x Z? 4 X R4
i 224 Ip = 2
8 4 » 4y = 0 , pois ye eixo de simetria.
r
i 225 4 = 4
_
Poligono regular de n lados
Ip .n2 - 4r8 ( Q
1 2 r 2+ a 2 ) -
na
IM a2)
2 48
4/ = o
r : raio do circulo inscrito R : raio do circulo circunscrito
a : comprimento do lado n : numero de lados
Calculo integral
Aplicagao da integragao
Momentos de inercia de volume
Momento de inercia de volume do paralelepipedo
b h3 - b3 h
Se t- for o momento de inercia
12 12
Z
polar do retangulo (veja I 18), tem- se, com
relagao ao eixo z
i 226
Momento de inercia de volume de um cilindro

com relagao ao eixo z:
Z
h
~
2
K rA dz =
i 227 A> z * 2
h
2 -y- X
com relagao ao eixo x:
h
* 2
2
n. r h
i 228 X
K r 2 z2 ) dz =
)
12
h
'
2
Momento de inercia de massa

O momento de inercia dinamico Je o produto do momento de inercia do
volume Jvpeia densidade p:
i 229 J kg m 2, N m s 2, V A s3
n
/
i 230 onde 9 V kg m 3 , kg dm 3
p. ex . para o cilindro, com relagao ao eixo z.

K ,
m K r h m w r2
\ 231 Jz = 1u z
/ 2
’
r3 n h 2
Para outros momentos de inercia de massa, veja M 3
Equagdes diferenciais ji
Termos gerais
Definigao de Equagao diferencial (ED )
Uma ED e uma equagao de fungoes incognitas que contem derivadas
(derivadas parciais) dessas fungoes e variaveis independentes. As diferen-
tes especies de ED sao:
Equagao diferencial ordinaria (EDO ): as fungoes incdgnitas dependem

somente de uma variavel independente; por exemplo:
i 1 y ” + 2x 2y = sin x y = f (x)
Equagao diferencial parcial (EDP): as fungoes incdgnitas dependem do
numero de variaveis independentes, por exemplo:
j 2
d2 = 2 - V W 5£ . a
* x ~ f ( u, v , w )
*
dudv dv *
As equagoes diferenciais parciais nao terao aqui consideragao especial,
visto que a elas podem ser aplicados os metodos das equagoes diferen-
ciais ordinarias.
Equagoes diferenciais ordinarias

Forma: F ( x, y(x), y’(x ), ... y n>(x )) = 0n. )
J 3
*
Onde y(x ) e a fungao incognita y'... y* sao as derivadas 19 a nes ; x e
,
,ma
a variavel independente.
i ^ Exemplo: y "’ ( x ) + m ( x ) - y ' ( x ) + n ( x ) y 2 ( x ) + p ( x ) y - q ( x ) .
j 5 Ordem: a derivada mais alta ocorre na EDO de 3® ordem no exemplo
acima.
j 6 Grau: o expoente mais elevado da fungao incognita e suas derivadas;
no exemplo acima, 2 - grau.
j 7 EDO linear: significa que o expoente mais elevado da fungao incognita
e suas derivadas aparecem somente na primeira potencia, isto 6,
uma EDO de grau 1.
j 8 EDO homogenea implica em fungao de perturbagao, q(x) = 0.
j 9 EDO nao -homogenea implica em fungao de perturbagao q( x) 0.
Solugao: y = y (x ) de uma EDO significa que essa fungao e suas
*
jlO
derivadas satisfazem a EDO.
j 11 Integragao da EDO da a solugao.
A integral geral da EDO e a totalidade das solugoes. A solugao geral
i 12 de uma EDO de nesima ordem contem n constantes Cu C2 Cn.
Essas constantes sao determinadas unicamente a partir de n
condigoes limites.
i 13 ,
y ( n ~ X )( Xo ) = yo n ~ 1>
* o ) = yo'
y' ( •• •
A integral particular da EDO e uma solugao especial.

Equagoes diferenciais
Equagoes diferenciais lineares J2
Metodos para resolver uma EDO
1. Transformar a EDO numa das formas padronizadas, listadas em J6 ,
J8 ... J 12.
2. Aplicagao de um metodo especial ( veja J 8) .
Usando este metodo , a EDO pode ser reduzida a uma EDO de ordem
ou grau mais baixo ( veja J 9 ... J 12) .
3. Uso de transformagoes, particularmente da Transformagao de Lapla-
ce (veja D 18 ... D 20) .
Equagoes diferenciais lineares

j 15 Forma: y <" + px ( x ) - y <n - U + ... + pn.x ( x ) - y' + pn( x ) - y = q ( x ) .
)
n)
) 16
j 17
Nesse caso, y = y( x ) .e a fungao procurada. y’... y a
derivada primeira a nesima de y( x ) e p\ ( x ) ... pn(x) sao *
fungoes de x.
Solugao geral de uma EDO linear nao homogenea <
j 18 y — )’hom + ypart
Solugao da EDO homogenea yhom
yhome determinado fazendo a fungao de perturbagao q( x) = 0. Cada

EDO linear homogenea de nesima ordem tern n solugoes lineares
j 19 independentes yi , yi ... yn com n constantes independentes Ci ...
Cn.
j 20 >Wi = C1 y 1( x ) + C2 y 2 ( x ) + ... + Cnyn( x )
( em J 9 ... J 12 encontram -se as solugoes para as EDL de 13 e 2 -
ordem) .
-
Solugao particular da EDO nao-homogenea ypart
j 21 ypart b determinado para q(x ) 0. Em J 3, J 6 e J 7 encontram- se
as sugestoes para as solugoes * , em J 9 e J 12 estao as solugoes
para as Equagoes Diferenciais Lineares de 1? e 2§ ordens.
Equagdes diferenciais
Equagdes diferenciais lineares J3
Soiugao particular
Determinagao utilizando a “Variagao de Constantes"
® sima
quando se conhece yhom de uma EDO linear de n ordem (veja J 2, j
20) . As formulas seguintes conduzem sempre a uma soiugao particular:
j 23 _yPart = ci ( x ) y i + c i ( x ) y 2 + - + ( x ) yn -- cn -
Metodo para determinagao de Ci ( x ) , Cz ( x ) ... Cn( x ):
j 24 Forma das equagoes simultaneas
C { ( x ) yx + C2 ( x ) - y 2 + ... + C; ( x ) yn = 0
.
C { ( x ) - yx + Cj ( x ) - y 2 + .. + C; ( x ) - y n' = 0
Cxfxyyp -V + C± ( x ) - y 2 <n 2> + ... + C; ( x ) - yn( n ~ 2> = 0

~
C [ ( x ) - yx (" V 4- Ci ( x ) - y 2 <n l > + • + C; ( x ) - yn<n » = q ( x )

' ~
••
~
j 25 Determinagao de C\ ( x) para i = 1 , 2 ... n usando o sistema de

equagdes acima.
j 26 Integragao de C\ (x ) para i = 1, 2 ... n produzindo os valores de G ( x)
para a soiugao.
Exemplo : Soiugao para ypartda EDO :
j 27 y + 4- y = 2x .
JCxe & dx
- dx 4- C2 = Cx • InLxl 4- C2
’
; 28 Segundo j 121: yhom =
i 29 = Cx - yx ( x ) + C2 • y 2 ( x )
i
com yx ( x ) = Intxl e y 2(x ) = 1
j 30 Seja: y part = Cx ( x ) - y l + C2 ( x ) - y 2
Ci'(XHnLt! + C{ ( x ) - l = 0
j 31
do sistema de
1
equagdes j 24 + -
C { ( x ) 0 = 2x
j 32
^7
segue que C [ ( x ) = 2x 2 ; C{ ( x ) = - 2x 2 - \ n \ x \
A integragao de C1 (x ) e C2 ( x) da:
j 33 Ci (x ) =|*-; C (x ) = - §* -[lnl*l - y]
3.
2
3
j 34 Entao: y part |* - lnl*l -|*3 ( ntd -I) - l =|*

3 | 3
Soiugao geral:
Cj - InLxl +|*.
3
j 35 y = 3 hom 4- yPart = + C2
Prova: = + 3 a
x2+i
3 *
X
il _ Ci 2
y" + ^
J
x
=
x2 + 3
x +
xl 4
+ 3
^ " X = 2x
Equates diferenciais
Equagoes diferenciais lineares J4
EDO linear de 1a ordem
j 36 Forma: y' + p ( x )y = q( x ).
A forma corresponde a J 2, ] 15, para n = 1; a derivada de ordem mais
alta 6 y’. As solutes para y, yhom e ypart sao dadas em J 2 e J 9.
j 37 Exemplo: / +£ = sin x y — ^hom + ^ part
1
conforme j 110 e p( x ) - .
^
j 38 q ( x ) = sin X
conforme j 109 a solugao homogenea e:
j 39 — Cj * e J>
-
= Cre— Inlxl
= Cl com , o.
|
C
^hom l x
Segundo j 110, a solugao particular e:
j 40
-Vpan = Jsin x -e ^*, dx e dx
•
= J(sin x -eln ) dx - e- J(sin x • ) dx

Inljrl
’ :
j
= jc
1
= - sin x - cos x
j 41 y =
Prova:
>hom + ypart =
^ ( Cl + sin x )
xcos x - sin x
*
2
~ COS X
+ sin
.
*
y' +2
j 42
j 43
Q
^ 0; Cj tern valor definido se, p. ex.:
y (xj = 1 para xQ= - sera conhecido.
j 44
j 45
Entao:
Dara: Cl
1=
^ (Ci +
52 - i.
sinf) - cos?'
2
EDO linear de 2s ordem

j 46 Forma: y" ,
+ p ( x ) - y ' + p2 ( x ) - y = q ( x )
A forma corresponde a J 2, j 15 , para n - 2; a derivada de mais alto
grau e y” . As solugoes para y, yh0m e ypart sao dadas em J 11 e J 12.
Equa?oes diferenciais
Equagoes diferenciajs lineares J5
EDO linear de 2s ordem, com coeficientes constantes
j 47 Devido k grande importance deste tipo de EDO nos problemas de
oscilagao, consideraremos os casos especiais.
j 48 Forma: y" + lay ' + -

b2 y = q(x ).
j 49 a e b sao constantes 0,
q( x ) e uma funsao de perturbagao. *
Solu?ao geral, de acordo com J 2, j 15:
j 50 y —
^ hom
*^
"
part
i 51 Caso aperibdico: k 2 = a2 - b2 > 0

j 52 > hom = + Ci -ef -t -V*
j 53 y Part =
Q ( - a + k )x
~~
2k
. je - . q ( x ) -6 x
( a k )x
-
e( - a - k )x •
Ik
jefa* k>x • q( x ) 6 x
j 54 Caso aperibdico limite: k 2 = a 2 - b2 = 0

_
l j 55
>hom = C1- e "+ C2 x e **
- --
j 56
^ part - axjxeaxq (x ) -6x + x e - Je^
e~ at •
q( x ) dx •)
j 57 Caso periodico: k 2 = a2 - b2 < 0
j 58 >hom = e ÎCj - sinfwjc) + C2 cos ( cox ) }
-
com co = yjb2 - a2
e ~ flx
- sin ( cox )
j 59 .Vpart (x ) J Qaxcos ( a>x ) q ( x ) - 6 x
_ e - cos ( l $ eax .sin ( 0x ) .q( x ) .6 x •)

^ (
•) Nota: Para o caso especial q( x ) = A0 sin( coo

*) tem-se:
j 60 ypan = A s \ n ( U>0 X ~ Y )
j 61 em que: A=
/
y ( b2 ~ co02 ) 2 + 4a 2 co02
e: b2 - aP-0
i 62 Y = arccot
2a co0
Equagdes diferenciais J6
Equaqoes diferenciais lineares
EDO linear de n®sima ordem com coeficientes constantes
x> +
j 63 Forma: an -y ( n ) + an - \ -y { n '
••• + a \> ' + ^ aV = q (x ) -
esima
Solugao da EDO homogenea de n ordem, com coeficientes
constantes q( x ) = 0)
j 64
j 65 Seja: y = erx \ / = rerx\ _ yin ) = fn .QTX
A substituigao na EDO homogenea de j 63 leva k equagao alg brica:
^
j 66 + an _,r"-‘+ ... + a,r + a 0
= 0.
As raizes ri, rz ... rn podem ser determinadas. Dependendo do tipo

das raizes, encontram-se diferentes solugoes para ytiom.
Caso a ) : n, rz ... rn sao reais e diferentes:

j 67 -
>W = Cj e'i* + C2 er* x + .. + . Cn -+r** *>
Caso b) : Ha raizes reais simples e raizes multiplas:
n = r2 =
Cj - e'i-*
-
= rm; rm + ! • r 2
+ C2 x e r + C
Cr -
- e r*
j 68 yhom =
#
,
+ C „ ‘Jc" - 1- eri +
,Jt
'
^
+ ... + Cn- er* x •>
+ ... +
‘
j 69 = erix fCj + C2 - JT + .. . + Cjn - x" 1; + 1"
+ Crn + \ ' erm *

vX + + Qe""*.
Caso c ) : Ha raizes complexas conjugadas:
,
r = a + i 5; r 2 = a - i/3 = rj-
>
i 70 ^ hom = + C2 er' x •>
= ea* ( A ‘ cos fix + 5 sin fix )
A = Cj + C2; 5 = ifCj- Cy
esima ordem com
Solugao particular da EDO nao-homogenea de n
coeficientes constantes:
j 71 >Wt = 8\ (x ) + g2(x ) + ... + Sk ( x ) .
A forma da solugao particular depende de q( x). Alguns exemplos sao
dados em J 7 .
Usando uma forma adequada para /part, as derivadas y ’part, y ' part etc .
sao encontradas e substituidas na EDO. Por comparagao dos coefi-
cientes, as incognitas av e p podem ser determinadas (veja o exemplo
em J 7) .
*) Ci , C2, ... Cn sao constantes arbitrarias.

Equagoes diferenciais
Equa9oes diferenciais lineares J7
EDO linear de ordem n*simacom coeficientes constantes
para q( x ) Forma de yPart =
j 72 A a
j 73 xm aQ 4 a 4- a x2 + ... +
j 74 A0 + A x 4- A -yx 2 +
^
... + Amxm a0 + aj + a^^x 2 + ... + amxm
j 75 Ae^ ae^
j 76 A - cos mx a - cos mx 4- /5 sin mx -
j 77 £ - sin mx +
] 78 -
A cos mx + B • sin mx +
j 79 -
A cosh mx -
a cosh mx + /3 - sinh m.t
j 80 fl - sinh mx +
j 81 A cosh mx 4 B sinh mx 4
182 -
A e^ - cos mx a e^ cos mx + /te^ sin mx- - - -
j 83 ZJ e^ sin mx +
A - e * cos mx + fl- e-^ - sin mx +
1 84 * >>
j 85 Exemplo: yn - y = cos 2 x \ conforme J 6, j 65, tem- se a forma:

j 86 y = e ; ~
y ' = rerx ] y ” = r 2 .erx
Substituindo na EDO do exemplo j 85, temos:
187 r 2 - 1 = 0; r2 — 1; r1 = 1; r2 = — 1
j 88 ,- -
y hom = C en * 4- C2 e^x = Cj - e* + C2 e ~ z. -
Forma de:
j 89 y part = a - cos 2x + /5 - sin lx
j 90 / pan = — 2a - sin 2x 4- 2/3 - cos lx
191 —
y "part = 4a - cos 2x — 4/5 - sin lx ; .
As equagoes j 89 e j 91 usadas na EDO (linha j 85) dao:
j 92 —
- 5 a - cos lx 5/5 - sin lx = cos lx .
A comparagao dos termos leva a:
j 93 /5 = 0; a = - e portanto: y part -y COS lx

Solugao geral:
1
^G* + C2-
j 94 y = >' hom + >' part = C e ~* ~
y COS 2*
Prova: y' = C , •
1
ex - C2 • e- x + ~ sin 2JC " 2
y " = Cj ex + C2 • e~ x + y • 4 • cos 2
•
*
y" - y Cr • ex + C2
_x
• e~ x + y • 4 • cos 2x - Cl, - ex —
- C2 • e + y cos lx = cos lx
1
Forma da EDO Hipotese Substituigao

^
Coment rio 33
CD
a
j 95 = /(y, y ', ... y("-l>J x nao explicita-
y ' = P = 2.
dx * Redugao da or-
dem n para a or -
c
•o
m
( veja o exemplo A )
mente existente
y nao explicita-
y " * p'
/ =P
dy
dem n - 1
Redugao da or-
o
a
0)
Q
->
Q
j 96 yCd = y ', ... y - uj

^ mente existente
*dx
= 2.
dem n para a or-
dem n - 1
3
CD °.
Q
U O
CD
Q. Ql
•
J 97 yCO = f ( x , y ( k + V , ... y(n ~ U)
1® 4 sima deriva
y(k + U —p Redugao da or-
2 3
< - c
«o <D
^ - y ( + 2J =
dem n para a or- <0 O
(0
( veja o exemplo B) da nao existente * =
dx dem n - k c “* O
a
Exemplo A : Exemplo B:
3) 1 CL
fl <0 CD
j 98 -
y y ” - y ' 2 = o; ym + 2y " - 4x = 0. m o'
5 w-
o <D
j 99 Substituigao: y' = p; y " = p 2E
dy Substituigao : y * = p; .
dx
^
y" = E = P‘ O
a <2
° ® CD
3 3
j 100 yp -
^ - 2 = 0;
dy P P
^^
p' + 2p -
,
4x = 0, conformej 110:
o? CJ
J W
o
am
c e- 2» + 2 -
^ 9- 2 Q>
j 101 Inlpl = Inlyl + In C P =
* 1= y ' = y"
S . ~
i 102
j 103 P = C- y y
-
*^
Inlpl = In C - y = 2 = y '
y' = J (C, e - * + 2x - 1 ) dx + C
_ Ql e
2
2
3
- O
0)1
(0
j 104 -
y' - C y = 0 y' =
2
~ 2x
+ ^
2 2 a
3 »
.
y = Cye - Jc- dx = Ci - e Cjr
_
j 105
Prova: y' = - C • e ~ Cx • C,
y = J (- Q e ~ Zt
+ x 2 - x + Cjdx + C3 *<
0 )
2.
,
y " = C • C2 • e -cx
7 = jq e- 2r + C2 x + + C3
Q)>
<
2.
_ ,
y - y" - y ' 2 = Cj e -Cx • C - C2 • e -Cx - Prova: _y "' + 2y" - 4x = TJ
>
(/
00
- Cj2 C2 - e Cx 2 = 0 - 2 C,1 e 2 x + 2 + 2 C, e - 2x + 4x - 2 - 4x = 0 0)
0)
1
1
Tipo Forma Substituicao Solupao Comenterio
CD As variaveis x e y podem
EDO sepa - m
o
ravel dx g( y ) $ g ( y ) d y = ff ( x ) d x + c ser separadas do lado es- o
- m
EDO nao
ax + fiy + y = u
querdo e direilo da equagao c
0>
<OI
2 C -
Q
CD Q)
o-
T~
separa - y' = f ( ax + Py + y )
vel direta -
£ =« + />/
$ dx ~
hm + a
+ C Substituigao apos a integra -
<jao
co O
Q. O
*
3oCD <^/>
mente '
zX
J r - //w “ o a
CO EDO de u
d
13
o Verifique se 6 possivel trans-
cn
similarida -
de
EDO ho -
/= / J
^ / = u +
^ dx
- u
+C form -la em f(y/x)
^
©
o )
w <D ‘
<D
o mogenea
/ + P W7 = 0 Z = " X
= >hom ,w o
—
linear de Z Zhom
1 ® ordem o
a
EDO nao-
Z Zhom "F Zpart
y = J' -[c + J9M J'Wd' dr]
e- Wd" >hom vejaj 109 CD
3 “
(0
-^_
VP = CW -e
' Determinagao da
o homoge - solugao particular
nea
linear de
Z ' + PW ’Z = z;= Cfrl e -Jp( x )dx onde
usando variagao de
- c( x y P ( x y
1* ordem
. e-jp(x )dx
= J^ W -e^Wdx- ck - e ^WcU " constantes conforme
J 2, J 3
EDO impli-
citadel *
ordem, z = f ( y' ) y' = p
x _
JTfoZdp + C Por eliminagao de p,
encontra-se a solu- CD
gao em forma para -
sem termo x y =/ w m trica
^
1
Tipo Forma Substituigao Solugao Comentario

EDO impli- Eliminagao de p
* = S(P ) m
CM
cita de 1s
ordem = f ( y' )
* y = p
y = fp -r (p )
conduz a solugao .a
c Q
m
* p +C na forma parametri-
-
s
sem y ca 0)
CO EDO implici- §'
ta d' Alembert y = + /(/ ) y = p
dx
=
g' ( p)
'x +
/’ (/>) w *0
de 1* ordem P ~ g ( l> ) p - g(p )
Q. Ol
com C = y ' : , Representagao pa - CD
-M- y y = ^ - c1 + /( cv (grupo de rametrica xe y Inte - CD c/>
a
EDO de =p
.
.
Clairaut y = x - y' + f (y' ) linhas, integral geral) gral singular ( curva =oJ Q
f ( y' ) = f ( p ) X f ' (p )
y = - p f' ( p ) + f( p)
envoltoria) por elimi-
nagao de p
DJ
c/> (D— »
1
z' + p(x ) - Z - q( x ) So CD
.|
=
1- n
EDO de z = y1 —n
LD Bernoulli / + pWy +
^0;Wyfln 4== 01
*
i z e / (l
- -
^Wd
'
c -
( \ - n) ] q( x ) o a
EDO de 1§ y = Redugao para EDO
aD SL
ordem de
n*sim0 grau
com n
^ y= 1
-
z I -" z'
eJ "
. (l- J/'W
dxdJ
1
de ordem como
em J9, j 110
(
3 />
(
1 - /7 = ZT - —
^ n ]/
y ( x ) = u ( x )+ y l ( x ) z ' ~ \ p ( x ) + 2q ( x ) y \ ( x ) ] z = <i ( x ) EDO nao - ho-

EDO de Ri - mogenea em
catti EDO onde y i (x ) e uma ( ) 1 z; solugao
CD
y x = yrfx ) +
de 1§ or- y ' + p ( x )y + q ( x )y 2 = r ( x ) solugao particular e +I \ p( x ) 2 q(* ) - y i i x ) \ a x
* como em J 9.
dem e 2 Q conhecida Admite pelo
1
grau
z ( x ) — —7—) . menos uma
[C + jq ( x) e -Jlp (- * ) 4 W *'F-‘ ld ' dA ] solugao part .
O
u(x '
1
1
Tipo Forma Substitute ) Solugao Comentario
--
r
Faltam os y" = m y = C ] + C2 X + $ Uf(x ) - dx ] dx '
Iniciar o caiculo
com integragao
m
-Q rn
termos y e y ’
>W ,
= C e'u + c2 ev = yhom
interna c Q
CD
*0
-C
EDO homo -
genea linear y = e" aJ Ci e C2 sao cons -
a»
Sw ' o
CO
de 2® ordem com r 1.2 - +
± tantes arbitrarias
2 9- O
I a«*
com coefi- y " + « 1 / + «0 y =0 y ' = rerx
.
ou A = Cj + C2
» = ' (C,- C2)
cientes y " = r 2 Qrx
constantes
yfo) = M c o s /f c t + Z? - sin fix ) 0)
com rl = a + i/?; r 2 = a - \fi = r 3
o
cn
EDO linear
de 2* ordem
yW - Q - e'u + C2 - e** + ypart
(para r ,+ r
veja j 120) ou
ypartdependente de
0>
- 4»
c/> (D
q(x)\ caiculo, veja J
nao-homog. y ” + axy’
com coefic.
+a 0 y = q(x ) y — yhom + ypart
y (x ) =
2
cos /3 + B sin £x ) + ypart 6 , J 7, e comentario
© o
constantes * j 120 M
O 2.
{parar! = a + i/J; r 2 = a - \fi = rj)
EDO de 2 *
,
y ( x ) = c .m + Cj x ; - * ^ ^ a
CD
9».
Ci e C2 sao constan- 3 CA
o
CM
ordem li-
near homo- x 2 y " y
genea
Equagao de
Euler
y =
bxxy ' + bQy = 0 y ' = r jc T — 1
-
y * = r(r - iyrr ~ 2
-
com rj 2
ou yfjtJ
para rx
=
~ a + i/?
^ j0 i *
±
: [ 4 cosC/5- lnlrl +
+ Z? sin (f$ - \ r\ \x \ ) ]
e r 2 - a- \(3
^
tes arbitrarias
A = C ,+ C
fl = ifCj -
2
C2)
EDO de 2* Por substituigao, pri-
meiro reduz -se para
CM
ordem li-
near homo- y
gdnea sem
0 termo em
- + pjM-y' = 0
y'
rV' =
= u
du
dx
y =|Cj e "
/piWdx dx + C2 = yhom EDO de 1* ordem,
resolvendo em
seguida.
y
1
Tipo Forma Substituigao Solugao Comentario
CM
EDO de 2*
ordem nao - y "
/ u
= y
J [e / ,Wdx. (c +Jq(x ) e!P <
“
]
p
'
x )dx • dr)] dx + C2 Iniciaro c l-
^
culo com as m
C\J
hom , sem
+ Pi ( x )y ’ = q ( x )
efpi ( fq (x ) Spi <x )dx . d ] integrals in- -Q rn
+ yP yp
^ c Q
( x ) <lx .
termo em y
EDO ho-
y = yh = djc
ternas Q)-
o C
CO
CM
ordem sem
termo em y
•
mog. lin. 2 y "
+ P \ ( x ) f( y’ ) = 0
/00 = /M
y’ = u ; y " = dw
djr JS y
=
=
- Sp { x ) (Sx +
Jw dx' + C
-
2
c1 CD
w oO
Q. Ol
«
0)
y = dv CD
CM EDO de 2* + C2
y " = f( y )
^ *
X
ord. sem y y "= Wfy;.
\2 $f (y ) - 6 y + Cl
dy
50 a
in
CM EDO de 2 •
ord. sem y ’ y " = f ( x , y' ) y' = ~ = f( x , u )\ y = ju ( x ) - 6 x + C .
Ger sem solugao
)
c/>' (D —H
to
CM
EDO de 2#
ordem sem
lermos em x
ey
y ” = f ( y' ) r
y'
/fy ' j
= w
= w'
= /r«;
X ~
\f f u
dw
( ) + C ;y, -j wdw
/w
+ C2
Apos eliminagao
de u , tem sofu-
gao
Q
(D
. CD
ro 3
o a
h
- ord.
CM
EDO de 2*
sem ter- y " = f (y y ‘ )
>
y' = w
W
dw
dy
dw
— uTy = f y u)
’
, Finalm. substituir
y'
dx
a E.
(D
3 0
)
y
mo em x w = w (y)
y = yW
x
f* u (y ) + c por u
apos transformagao em:
EDO ho- y *
v (x ) = — (~x )r
yi
%
- -
yi (x) deve ser uma
yrfx ) w ' + [2yi (x ) + pl (x ) yl (x ) ] w = Q solugao padrao par -
CO
CM + Pi ( x ) y' + V' ( X ) = ticular. Depois,
mog. linear
de 2* ordem + Pi( x ) y = o _ tv
d
y = yrvW transf. numa EDO
dx y lin . homog. de 1B ro
ord. y\ ( x ) conf. J 9
Estatica
Nogoes fundamentals 1
Generalidades
A estatica estuda as formas extemas e as condigoes de equih'brio dos corpos
solidos e determina as forgas desconhecidas (por exemplo, reagoes de
.
apoio). As folhas K 1 . . K 14 tratam das forgas atuando num piano.
As grandezas importantes da estatica

Comprimento /
E urna grandeza basica (veja Explicagoes)
Forga F ( veja a explicagao M 1) '*
O
Representada por urn vetor

Comprimento grandeza ou valor diregao
Diregao angulo com eixo x P
Origem ponto de aplicagao P linha de aQao
Peso G (Forga da gravidade)
Definigao atragao terrestre
Ponto de aplic . centro de gravidade
Linha de agao vertical do lugar
Sentido: para baixo (em diregao
ao centro da terra) Perpend.
Grandeza: determinagao com

balanga
Reagao de apoio FA
Forga de reagao exercida em A sobre o A
8
corpo
Forga resultante FR
Forga representando a agao total de varias
forgas externas.
Momento M de uma forga Fcom
FB t
relagao a um ponto O F
k 1 Momento ft - in
Agao de uma forga F sobre um ponto O

A agao de uma forga Fsobre um ponto O
e dada pelo par de forgas F-F" e pela
forga F’.
k 2 F' = F; r " = -F
Momento do par de forgas
k 3 M r i
Teorema dos momentos: O momento da resultante e igual a soma

dos momentos das forgas externas.
Estatica
Composigao de forgas K2
Composigao grafica de forgas
Diagrama de forgas Poligono de formas
Duas forgas
k 4
F2 F2
Varias forgas com mesmo ponto de aplicagao
k 5
Forgas paralelas
1
/
A 2
k 6
%/
i ^t-1 Poto
0
Pol lunicular Raio vetor FU u Raio polar
Varias forgas com pontos de aplicagao quaisquer
k 7
Construgao do poligono funicular:

Desenhar o poligono das forgas, escolher o polo O para que os raios
funiculares se cortem na figura e desenhar os raios polares. Construir o
poligono funicular cujos raios funiculares sejam paralelos aos raios pola-
res. A cada triangulo do poligono das forgas corresponde um ponto de
intersegao no poligono funicular (por exemplo, ao triangulo Fy -1-2
,
corresponde o ponto de intersegao F -1-2 do poligono funicular.)
Estatica
Composigao de forgas 3
Composigao de forgas: solugao anah'tica
Decomposigao de uma forga
/
k 8 Fx = F cos a Fy F - sin a
k 9 F +
K * fj tan a =
( Os sinais das fungoes trigonometricas 0 F x
de a sao dados no quadro abaixo) *
Momento M0 de uma forga com relagao a um ponto O
M0 = +F - 1
y FY \F
k 10 = Fy x - Fx y
M o 5L
( Determinagao de Fx e Fy X
conforme k 8)
Resultante FR de forgas quaisquer dadas
y
*,
FR, = r mSFy
k 11 Componentes
^ 0
^
2 2
Angulo IT x
k 12
de dire -
FR =
* Rx + rRy
FcRx
k 13 gao aR tan sin aR = FR - ; cos aR =
FR FR
k 14
k 15
Distancia
Sinai de F# -
lR 3
= Sinai de
^
i ol
\ F* \
(Teorema dos momentos)
lR
Sinai das fungoes trigonometricas em x , y ; Fx, Fy ; FRX, FRY
QUADRANTE a> aR cos a sin a tan a X> FX > FRX y > Fy > %y
k 16 I 0 . . . 90 ° + + .+ + +
k 17 90 . . . 180° + +
k 18 180 . .. 270° +
k 19 iV 270 . . . 360° + +
Fx • Fy Componentes de Fnas didoes xe y

FRx • FrRy Componentes de FR nas diregoes xe y
,y Coordenadas de F
*
a Angulo de Fou FR
> aR
l » IR Distancia de Fou FR ao ponto de referenda
Estatica
Equilibrio 4
Condigoes de equilibrio
Um corpo esta em equilibrio quando a resultante de todas as forgas externas
e a soma dos momentos de todas as forgas extemas com relagao a um ponto
qualquer forem nulas.
Forgas graficamente analiticamente
k 20 concorrentes poligono de for -
k 21
num ponto
paralelas ao
gas fechado
Poligono de for-
* F r = 0;
eixo y gas e poligono
iry = 0 ; IM = 0
k 22
quaisquer funicular fechados XFx * 0 ; ZFy * 0 ; XM =0
Vigas sobre 2 apoios.
Dados: grandezas e situagao de F e F2. Pede - se: FA e FB
Solugao grafica
,
£
l
l^
I
2
F /
* i
I
7
I' m
0 l 2 J
1
Mfr ( z) = y* • H - mF KN m, N cm, N mm
k 23 m_ : escala dos comprimentos = comprim. efetivo /comprim. no desenho
k 24 mp : escala de forgas = forga/comprim. da forga no desenho
H : Distancia do poloj y * : distancia vertical entre a linha de fe -
chamento s e o funicular
k 25 Sol. analitica: Fk = ,
F r b / l + F v h / l ; F Q = ( F + F2 ) - r A .
As cargas distribuidas sao divididas em cargas menores e substituidas
por forgas correspondentes atuando no centro de gravidade dessas
pequenas cargas.
Grua de parede: 3 forgas ( sem atrito ) : Procuram- se FA , FB
DADOS Solugao
FB
Intersegao
F. das 3 linhas
u B
A
de agao
F
L
!
*v F
ill 4
Estatica
Viga em treliga K5
Calculo das forcas nas barras
(Metodo de Ritter)
0 : banzo superior
U ; banzo inferior
D : barras diagonais
k 26
^5
A Fr8
Determinar as reagoes de apoio conforme K 4 (viga sobre 2 apoios)

e efetuar um corte X ... X que passe por 3 barras desconhecidas.
Admite- se que todas as barras sejam solicitadas a tragao; desse
modo, as barras submetidas a tragao sao positivas e as submetidas
a compressao sao negativas.
Estabelecer a equagao de momentosIM = 0, com os momentos das

forgas externas e internas das barras tornados com relagao ao ponto
de intersegao de 2 forgas desconhecidas. Assim, o momento dessas
forgas e nulo.
Regras para o sinal dos momentos

Os momentos de sentido contrario ao do movimento dos ponteiros
do relogio sao positivos, e os de mesmo sentido , negativos.
1 Exemplo do desenho acima
Problema: Valor da forga Fu2 na barra U2
Solugao:
Efetuar o corte X ... X por O2-D2- O2. Escolher C, ponto de
intersegao das barras O2-D2 como ponto de referenda para o
calculo dos momentos. Assim, os momentos das forgas das barras
l O2 e D2 sao nulos.
Em seguida, calcular : ZMC = 0

+ QFU 2 + b - F2 - C(
FA - F, ) = 0
- b r2 + c ( -F )
^
-
^ =
Estatica
Viga em treliga 6
Determinate grafica das forpas nos nos
I (Metodo de Cremona)
Fi
IE
A 8
F
cV 5 7
5 H
.3 %
1 »0
F.1
k 27 0 6
G Fi
n '
*T b
c Fl
FB
,
9 8 FA
7
F2
11 e
6 a
N
2
d FB
5
A
3 10
Hipoteses
Uma barra vai de um no a outro. As forgas extemas atuam
nos nos. unicamente
Metodo de trabaiho
Escolher a escala das forgas. Determinar as reagoes de apoio .
gar pelo no A em que 2 forgas sao desconhecidas. Utilizar o Come
-
sentido de rotagao para todos os nbs. mesmo

(Por exemplo: FA-FI-FS1-Fs2).
No A : poligono das forgas a - b - c - d - a. Indicar num

esbogo ou quadro
se ha tragao ou compressao nas barras .
No C: poligono d — c — e — f — c/ etc.
Controle
As forgas atuando num nb do sistema treligado formam um
poligono
no piano de Cremona.
As forgas passando por um ponto do piano de Cremona
formam um
triangulo no sistema treligado .
Estatica
Centro de gravidade 7
Arco de circulo b
k 28 y — r - s i n a •180 ° r •s
a b
K
0, 6366 ' r para 2 a = 1 8 0 °
5
2 T
i k 29
k 30
k 31
y
y
y
=
=
0, 900 3 - r
0, 9549 - r
para 2 a = 90
para 2 a = 60
°
°
r X
Triangulo
1
y
k 31
7*
S esta no ponto de
intersegao das medianas
Setor circular
k 32 y -
2 r sin a - 1 8 0 ° 2r • s
i 3 • n •a 36
k 33 y = 0 , 4 2 4 4 - r para 2 a = 1 8 0 °
k 34 y = 0, 6002 r • para 2 a = 90 °
k 35 y = 0 , 6 3 6 6 - r para 2 a = 60 °
Trapezio
t
h_ a + 26
»i
B
k 36 y
3 a + 6
C
« H 7fS i
Setor de coroa circular

* O a
;
2 Z?3 - r3 sin a
k 37 y '
3 arc a
2_ Z?3 - r3 _s
k 38 '
3 F? - r
2
b
i
Segmento circular
// /
s3
y
k 39 12 4 •
-
Area A , ver B 3 i
Calculo do centro de gravidade S, ver tambem J 7
r
Estatica
Centro de gravidade Ka
Determinapao do centro de gravidade de superficies quaisquer
Solupao grafica: Decompor a superficie total A em superficies parciais
Ai , A2 , ... An cujos centros de gravidade sao conhecidos. Trapar
paralelas aos eixos por esses pontos. As &reas destas superficies
parciais sao proporcionais aos pesos atuando nos centros de gravi
dade. Determinar as linhas de apao das resultantes ARX e ARy para
-
duas posipoes quaisquer do corpo (em geral 2 direpoes perpendicu-
lares) segundo K2. A intersepao das linhas de apao dessas resultantes
d& a posipao do centro de gravidade S.
Ai
* 2
k 40 n /
\s
I* z
ss?*;
Si
zx
T /
zt 3
2
1
\
Solupao analitica
Decompor a superficie total A em superficies parciais A , A2 ,
como acima ; obtem- se : ^ .
... An
distan- em geral
cia para 0 exemplo acima
n
JE A ,- 4, + A3 x2 +
k 41
*s =
!
*1
A
•
A
^ *3
3
n
E A, y,
A1
k 42 1 =1 i/ 1 + A2 y? + A3 y3
V s= A A
Observapao: no exemplo acima, as coordenadas xi , y2 e y3 sao

nulas.
Estatica
Atrito 9
Forga de tragao paralela ao piano de atrito
atrito esteitico limite de deslizamento | Atrito de deslizamento
k 43 u = 0 u = 0 o > 0
F
£ 5f t Z
> / 77 / J
<.'
Gr f|<h
SfT
hR'
*=WIG
‘ ' / / /
.w \FR
^w 0
* / / / A
G f t9
FR
' / / >
^- -
k 44 FZ tan 9 , fy> - Otan /*iv = — G tan 9
90
^
B
\ *
k 45 FN = G- = 0 FN -G
=
k 46 = tan 90 > H /J = tan 9 < Vo
k 47 0 < 91, ( variavel) < 90 9o = const. > 9 9 = const . < 9o
Se Fz 1 aumenta lentamente, Fwt tambem ^ 1,

repouso
.
F,, Fv
imovimento
aumenta, mas o corpo ainda nao se deslo - Fvo
ca. Se Fzi valer
k 48 Fzo = G 2 atnto de
•
Fv
o corpo comega a deslizar. A seguir Fz
diminui e vale pG. Se Fz > Fw o movimento
. •
escorreg
e uniforme e acelerado. forga de trag&o
For 9a de tragao inclinada

a
Forga de tragao F necess ria para por em
movimento urn corpo de peso G. ^ I
i
_r sin 9Q
k 49 F= G
sin a ^
-M 0 cosa sin ( a - 90 )
r
/ / / /7 / A / /7 / 7 / / .
Substituir po por p para obter a forga para
deslocar o corpo com velocidade constante. G
O movimento e impossivel se F for negativo.
. FWQ ,F^ y : Forga de atrito - ,vQ ,V. coef .de | angulo de

-F ?0 , FZ : Forga de tragao 9, , 90 »9 • atrito trito.veja Z7
^
Estatica
Atrito 10
Plano inclinado
Generalidades
O angulo a para o qual um corpo desliza a velocidade constante e
igual ao angulo de atrito p . Donde :
k 50 tana tan p F
Metodo utilizado para determinar
experimentalmente o angulo de
atrito p ou o coeficiente de atrito
tan p . base
( horizontal )
k 51 Condigao de auto-travamento: a < p
Calculo das formas de tragao
Forga de tragao Fpara obter uma
Sentido do velocidade constante paralela
movimento
ao piano inclinado a base
para cima
- j
f
0 < a < a*
GT G
- s l n( a + p )
k 52 fr Q
° F - G • t a n( a + p )
COS P
para baixo v
0 < a < p
k 53 F Q Sin( p a ) - F = G t a n( p -a)
cos p
para baixo
9 < o. < a*
G G
k 54 F G * cos p £j
s n( Q ~
F - G • t a n( a - p)
Observagao : no limite do repouso , substituir , respectivamente \i por
po e p por po .
a : angulo de tombamento do corpo.

Estatica
Atrito 11
Cunhas
/
I
Mi
F
/
' / / /
/ n
\
/
M2 A
2
i F< F2 a F
M1
\ \ \ \ \ \ \ W\ W'
k 55
Crava -
r<
,
tan ( g, + 9 ) ^ tan ( g; + 9 ? )
mento
= F
1 - tan 93 • tan ( g 2 ) F - ir - tan ( g + 2 p )
^
k 56 Afrouxa -
F2 = F -tan
,
( o - fr ) + tan ( a 2 ~ 9 ? )
F2 - r • tan ( g - 2 p )
mento 1 + tan 93 • tan ( g ? - p 2 )
Auto-tra -
k 57
vamento + a2 = ? O + , ^ 02 a 2 p0
Parafusos
k 58 Momento
Levantar ~ F • r • tan ( a + 9 ) Mi = -
F r • tan ( g + 9 ' )
ao
Abaixar M2 = r - r - t a n ( g - 9 ) M2 = /’ r t a n ( g - 9' )
k 59
Condipao para auto -
travamento ao a < 9 a < 9
k 60 abaixar
Rendi- tan a tan a
k 61
mento Levantar T) = t a n ( g +9 )
n
t a n ( a + 9‘)
de urn
k 62
parafuso Abaixar V =
tan (a 9 ) - = -
t a n ( g 9' )
ao tan a tan a
: Momento de levantamento N m, kp m
M2 Momento de abaixamento N m, [kp m
a Inclin. do passo ( tana =
2 71 r
9 : Angulo de atrito ( tan 9 = v )
k 63 9' : Angulo de atrito em rosea triangular ou trapezoidal
k 64
k 65 r : Raio efetivo m, mm
Ij
Estatica
Atrito 12
Atrito dos mancais
Mancal radial ou transversal Mancal de pe ou coxin. axial
( Atrito no pino de apoio) (Atrito no eixo vertical)
' / / / /. '/ .
/ ///
—
r2 h
k 66
= r F
*R
^
MR : Momento de atrito
mR = Mi ~
g F
Fq : Coeficiente de atrito do coxinete transversal (sem valor fixo)

: Coeficiente de atrito do coxinete axial (sem valor fixo)
k 67 ,
Observagao: pq e p se determinam experimentalmente em fungao
k 68 do jogo do mancal, da lubrificagao e do estado da superffcie. Nas
superficies polidas Escolher r-\ > 0 para lubrificagao.
Resistencia ao rolamento
Rolamento de um cilindro piano
k 69
k 70
F = — Fj
r N * r ^
G
cond. de rolamento: Kv ^ Ao FN —•
Fw : forga resistente ao rolamento
^ T(
f : brago de alavanca da forga resis - 7777777
tente ao rolamento. Vatores Z 7. V = const
^
(Causado pela deformagao
do cilindro e do suporte)
Ho : coeficiente de aderencia entre o cilindro e o suporte
Deslocamento de uma placa suportada por cilindros
k 71 P
_ ( /1 + + ft /2 G?
2r F
k 72 se /1 = /2 = / e n Ga < G1:
k 73 F =
^,
r
G
G1 respectivamente G2 : peso da placa e de um cilindro

F : Forga de tragao
/1 e /2 : brago de alavanca da resistencia ao rolamento
r : raio do cilindro I n : numero de cilindros
Estatica
Atrito 13
Atrito das cordas
Forga de tragao e de atrito para 1
levantar abaixar
va G - TT
k 75 F, = e F2 = e fia G
\\ *^
2 V
3
k 76 F
*
= (e
"“ -D O 0 - e^ )G G
Formulas validas se o cilindro for fixo e a corda se deslocar a velocidade

constante, por exemplo : cabegote de amarragao
A corda esta fixa e o cilindro em movimento, por exemplo: freio de correia
e tambor de cabrestante
k 77 Caso de equilibrio: r 2 < r < r, G e < F < G- e

fja
(F: forga de equilibrio sem atrito)
Acoplamento por correia

£
k 78 Fu -"
~
r
a
r
F0 ramo afrouxado
CX
Fy
k 79 ?u
- rn F
ramo esticad
F
condorf 3-
°triz FU
Forgas em movimento em repouso
k 80 Fu
Fo Fo =
efja - 1 r. - Ill
k 81 .
F1 F = Fu
lid. '
o =
2 e â - 1 )
' - 1
+ 1
k 82 Fz Fz = U
- 1
Fu :
forga circunferencial
FR : forga de atrito na corda
momento de acionamento
a *
Q
angulo de enrolamento . Utilizar sempre o menor angulo de enrola -
mento.
coeficiente de atrito de deslizamento ( valor emptrico para correias de
k 83
^ : couro sobre disco de ago: \i = 0,22 + 0,012 v s/m)
o : velocidade da correia
e = 2,718281 . . . ( Base dos logaritmos naturais )
Estatica
Polias 14
Polias
As formulas abaixo levam em conta a rigidez
das cordas, desprezando o atrito dos mancais.
Polia Polia Talha
Incognita fixa movel comum diferencial
'// / // l
* '/// p ' / / // A
oi /Q
this
ft
G i o G
cn ( c
k 84
C -
V1 - o
* = £ G
rrrG £
n -
£ + 1
k 85
1 1 r ( « ’) ~
£
'
o = 7’ G
t -
4 £
G
£
1
"
1
G
k 86 F G —
2
1
G
1
a
• G
1
2 (1 - f ) G
k 87 3 h 2 h n • h
1
V* D
forga F h
k 88 Relagao de transmissao i =
:
carga G s
Fi : Forga para levantar a carga sem atrito do mancal

F0 : Forga para abaixar a carga sem atrito do mancal
F : Forga, sem a rigidez das cordas e o atrito do mancal
k 89 e — : Fator de perdas por rigidez das cordas (para cabos de ago e

correntes = 1,05)
n : rendimento s : percurso da forga
n : numero de polias h : percurso da carga
Cinematica
Nogoes Gerais Li
Generatidades
A cinematica estuda o movimento de um corpo em fungao do tempo.
As grandezas importantes da Cinematica e suas

unidades
Comprimento /, veja K 1
Angulo de rotagao <p, veja angulo piano E 1
Tempo t
E uma grandeza de base , veja o prefacio
Unidades: s; min ; h
Frequencia f
A frequencia de uma oscilagao e o quociente do numero de periodos
( oscilagoes completas) pelo tempo correspondente .
numero de oscilacoes
I 1
tempo correspondente
Unidades: Hz (Hertz) 1/ s = c/s; 1/min
Periodo T
O periodo Teo tempo necessario para uma oscilagao completa . E o
inverso da frequencia f.
I 2 T
/
Unidades: s; min; h
Numero de voltas (frequencia de rotagao ) n
A frequencia de rotagao n de um eixo e o quociente do numero de
giros do eixo pelo tempo correspondente.
I 3 _ numero de giros do eixo _ n min

" ~
tempo correspondente 60 s
Unidades: 1/ s; 1/min
O inverso 1/neo tempo correspondente a um giro .
n = f se o tempo correspondente a um giro do eixo 1 /n for igual ao
periodo 1 / fda oscilagao ligada a rotagao do eixo.
Continua em L 2
Cinematica
Nogoes gerais L2
Continuagao de L 1
Velocidade D
A velocidade v 6 a primeira derivada do espago s com relagao
tempo t
ao
I 4 da
u s
dt
Se a velocidade 6 constante, a formula toma se:
-
I 5 s
t
Unidades: m/s, km/h
Velocidade angular to, pulsagao co

A velocidade angular co d a primeira derivada do Angulo descrito
<p em
relagao ao tempo t.
I 6 d<p
= =
"
Se a velocidade angular for
17 *
constante, co vale:
I 7 <P
Ui = —t
Se f = n ( veja I 3) a velocidade angular co sera igual a frequencia
angular co.
I 8 - 2 nf
ut = 2 71 n = 9
°
Unidades: 1/s; rad/ s; 1 /s
Aceleragao a
A aceleragao a e a primeira derivada da velocidade u em relagao
tempo t. ao
I 9
2
Unidades: m/s ; km/h 2
a du
d(
D
- iU -
dt
s
Aceleragao angular a
A aceleragao angular a e a primeira derivada da velocidade
angular
co em relagao ao tempo t
do/
I 10 a
dt " = $ = V
Unidades: 1/ s 2; rad/s2; 1 /s 2
°
Cinematica
Generalidades l_ 3
Espago, velocidade e aceleragao de um ponto material
em movimento
Diagrams espago-tempo
Desenha -se um diagrama s-t do movimento s(
estudado. A primeira derivada da fungao dese - ^)
nhada representa a velocidade instantanea.
As
u m
Si
I 11 ds
V s
dt
i ; t
Diagrama velocidade-tempo
A variagao da velocidade em fungao do tempo
e desenhada num diagrama v-t. A primeira de - v iuo )
rivada desta fungao e a aceleragao instantanea .
Assim, a aceleragao e a segunda derivada do i
espago em relagao ao tempo: i

i
7'
Au Av
I 12
a
a
as
At
du
dt
u = s
m
A superffcie hachurada representa o espago : r
percorrido s( t).
a CcO
Diagrama aceleragao-tempo
A variagao da velocidade em fungao do tempo
e desenhada num diagrama a-t que mostra os
valores extremos:
I 13 a > 0 : aceleragao positiva: a velocidade
I 14
cresce
a < 0 : aceleragao negativa ( frenagem) ; a ve -
U f
locidade decresce .
Observagao concernente as figuras

Os simbolos entre parenteses referem - se a rotagao ( ver L 5
e L 6) .
r
Cinematica
Os movimentos importantes L4
Movimento retilmeo ou translate
*
As trajetorias sao retas ( veja L 5). Todos os
pontos de um corpo descrevem as mesmas
trajetorias .
9
Principals tipos de movimento
uniforme uniformem. acelerado
I 15 o = vQ = const. a = constante
•5» * VB = t
Rotagao em torno de um eixo fixo
As trajetorias sao circulos cujo eixo e o centro .
O angulo de rotagao cp , a veiocidade angular
a) e a aceleragao angular a tern o mesmo valor
para cada ponto do corpo.
Rotagoes especiais
uniforme uniformem. acelerada
I 16 u/ = &
0 — const . a = aQ = constante
O espago percorrido s, a veiocidade v e a
aceleragao tangencial at sao proporcionais ao
raio :
I 17 s = r V ; u r (v a = ra = a t
2
U
l 18 Aceleragao centripeta 2
an= u r = —
Posigao de repouso
Oscilagoes harmonicas Pendulo /

\
/
\
As trajetorias sao retas ou circulos. O corpo se N

ir
-<
M
move em torno de uma posigao de repouso. O

desvio maximo se chama “amplitude”.
Amplitude
O espago, a veiocidade e a aceleragao das

oscilagoes harmonicas sao fungoes senoidais.
Posigao de
repouso
i
Cinematics
Movimento retilfneo L5
Movimento retilmeo uniforme e
uniformemente acelerado
i
c/)
nJ acelerado com (a > 0) <n
TD
c uniforme uniformemente retardado com (a < 0) cc
o a =0
-o> a = constante c
u v = const D
c 0 u0 > 0
1 \
v vi
.W
N
S N
m
u f a t2 o
2
2
cm
I 19 s - u t j
( w0 o ) = u0 f 4 y a f
2 2 2 a km
= /u02 + 2 as
)
^
s
I 20 u -
f VJTs - - = at U0 + a f
m/ s
cm/s
km/h
I 21 uo = const. 0 u - a t = 1^ - 2 as
m/ s 2
I 22 a 0
0 2s u
2
u Mo V
2
"
2s
UA cm/ h2
t t
2 2s t
km/h2
s
s u 2 s V - Op 2s
I 23 t =
u a
= u0 + o
min
u a
h
Observa?ao:
As superficies hachuradas representam o espa90 percorrido s durante
o tempo t.
A tangente p representa a aceleragao a.
Cinematica
Rotagao em torno de um eixo fixo L6
Rotagao uniforme e uniformemente acelerada de um
corpo em torno de um eixo fixo
£ uni- uniformemente acelerado com ( a >0) ©

c o
cn forme retardado com (a < 0) a
g
•o a =0
CJ a = constante c
c co = const. D
= 0 > 0
"o ©o
st n 3 3
f
^
i—r —1
I
t at 2
J
3
o
Ui
—
^
(
I 24 9 = ut at2
2
=
2
C
2a y ( ©0 + w ) = 0fot +
rad
Y?
^
I 25 u) = 9 2
f
a9 = = at u0 + at = yu )
+ 2 a'p
1/ s
m/ms
rad/s
I 26 %= const. 0 u - at = y -
©
2
2 a<p
I 27 a - 0
Ui - uo _ 1/S2
m/m s2
t t 29 l 2p
rad/s2
s
I 28 9 L) 2p UJ - <0a 29
t =
Ui a — ui a w0 0/
min
h
Observagao:
As superficies hachuradas representam o angulo cp descrito durante
o tempo t.
Angulo descrito: cp = 2 n x numero de voltas ou = 360 x numero de
voltas.
°
A tangente p representa a aceleragao angular a .
Cinematics
Oscilagoes L7
i
Oscilagao linear e harmonica
O movimento de um corpo suspenso por uma mola e uma oscilagao linear
harmonica. As fungoes -tempo s , v e a desse movimento sao tambem as
projegoes s , D e an do movimento circular uniforme de um ponto material.
Movimento circular Espa -
uniforme go (Pro-, Oscilagoes harmonicas
jeto )
Posigao s Diagrama posigao-tempo
r 4? -
0
'
7o
t t
c
I 29 < )
0 )
Aceleragao s Diagrama aceleragao-tempo
a
.
Y t
£ —
a
o
<C 0
t
3 t
i
o
2
- i- c
u
I 31 <2 = 0; = ruj
2
a = = -Au 2
sin ( u t + 9>o )
Equagao diferencial da oscilagao harmonica

I 32 d* s a
2
- ais
a
dt
‘P o ang. de rotagao no tempo t = 0 s : amplitude do desvio
p : angulo de rotagao no tempo t A : amplitude (desvio max.)
an : aceleragao centripeta r : raio do circulo
r ; raio - vetor ( origem: centro do circulo ; extremidade ; posigao do corpo)
B ,C : pontos de inversao do ponto material oscilante.
Cinematica
Queda livre e langamento L s
Queda livre e langamento vertical
Incog - Queda livre langam. vert p/cima (u0 > 0)
,
nita Unidades
v0 = 0 langam. vert , p/baixo ( \>0 < 0)
0 altura de partida A
altura de partida
+h ) 0
J2L t _ 2
2
-
tb m
I 33 h =
2
1 -
~
* '
2 v -
f< 2
2
V
t cm
m/s
I 34 v = 9 t = ~~ = ] ? gh ] u0 - g t = yo02 - 2 gh km/ h
u 2h Uo u 2h s
I 35 t = =
9 o I g 9 + o min
Lan £ amento horizontal e obli'quo
Incog - langamento horizontal Langam. obli'quo p/cima ( a > 0)
nita a = 0 Langam. obli'quo p/baixo ( a < 0 ) Unidades
ve > 0 v0 > 0
o h v para cima
—s
9\ -c s
h o
I 36 s = «
** > = uo ^— o
u0 t - c o s a
m
cm
m
I 37 h = I
-2- < 2
2 4>
* sin a
-
cm
I 38 v = K w - 29* m/ s
km/s
Largura L e altura Hdo langamento obli'quo para cima

2
m
I 39 L = sin 2 a H = s i n2 a
em 9 2g cm
geral
= 2a. . sin a tuH ids_ sin a
s
^
I 40 =
9 9 min
para a = 43
2
° para g = 90
a
°
2
m
I 41 Maxi - L max = H max
mos 2 22 cm
QpV? 2SL s
I 42 h max = =
9 max 9 min
a : angulo de tiro com relagao a horizontal
/H : tempo para a altura H I fL : tempo para a largura L
Cinematica
Movimento no piano inclinado l_ 9
Movimento de um corpo deslizando num piano inclinado
Incog - sem com
nita atrito
0 u > 0
I 43 a g sin a g( s i n a -^ cos a )
ou
s i n( a - p)
I 44 0 “ '
* C O S Ip
2 s
I 45 u a t
t
= fTaT
aresta de
a t2 V t V basculamento
I 46 s = 2a
2 2
a 0 . . .a * V . .a *
Movimento de um corpo rolando por um piano inclinado
Incog- sem • com
nita atrito
/ = 0 / > Q
sin a - —/r cos a

I 47 a = T sin a gr2
r +r - J
r2 + rj *
I 40 u = como I 45 acima
I 49 s = como I 46 acima
I 50 a 0 . . . a max amin • t a n a mm mJL

r
2 2 2 2
I 51
.t a n <X =/ J
r + ry
a max tan a max =
r + rj
2
- f r
rj n
i
Esfera Cilindro macigo Tubo de paredes finas
2 2 2
r + r
I 52 r !
> 0* 2 ~r 2
*
a : angulo de basculamento se o centra de gravidade passar pela aresta
v : coeficiente de atrito de escorregamento (ver Z 7)
M0 : coeficiente de atrito no estado de repouso ( ver Z 7)
I 53 g : angulo de atrito de escorregamento (p = tan p)
I 54 p0 : angulo de atrito no estado de repouso (( p 0 = tan p0)
/ : brago de alavanca do atrito de rolamento (ver Z 7 e k 69)
r - : raio de giragao
Cinematica
Engrenagens L 10
Mecanismo de manivela
55 s = r(1 - cos 9? ) + ~ r sin 2
>
\ V
^
56 v - w r sin f ( 1 + l cos
' $? )
57 a = wJr ( cos ?> + A cos 2 ? )

r 1 1
58 A
l 4 • • 6 •
59 <p = ui t = 2 x n t
const .
(lea relagao de manivela)
Acionamento por manivela

5V
l 60 3 = r sin ( w ( )
«9
I 61 o ~ u r cos ( a/ t ) V K r
,
I 62 a = -cu 2
r sin ( w t )
I 63 OJ = 2 K n ; s
(Movimento: oscilagao harmonica) \
Junta Carda
para acionamento uniforme, a saida de movimento e:
nao uniforme uniforme atraves do eixo auxiliar H
acionamento
saida de movimento 3
Se todos os eixos estiverem num mesmo piano, tem- se :

I 64 tan <p3 = tan <px • cos P tan tp } = tan 1
•
I 66 1 - s i n z0 • sin 2 p ) 2 ,
Ambos os eixos A das juntas de eixo
auxiliar devem ser paralelas
Quanto mais o angulo de deflexao (3 aumenta , tanto maior sera a acelerapao
maxima a e com eia tambem o momento de acelerapao Ma . Na pratica
P < 45°.
Dinamica
Nogoes fundamentals 1
Generalidades
A dinamica estuda as forgas atuantes nos corpos em movimento e os
conceitos “trabalho, energia, potencia".
As grandezas mais importantes da dinamica e suas unidades

Massa m (Grandeza basica, veja o Prefacio)
Unidades: kg; Mg = ton; g
1 kg e a massa do prototipo internacional. A balanga romana mede
a massa m em kg, Mg - t , ou g .
Forga F, e peso G
A forga Fe o produto da massa m pela aceleragao a:
m 1 r = na
O peso Geo produto da massa m pela aceleragao da gravidade gr.
m 2 G = mg
O dinamometro mede o peso G como uma forga peso.
2
Unidades: N; [kgf]; ( 1 N = 1 kg m/ s )
1 N e a forga que atuando num corpo de massa m = 1 kg = 1 N s nrf

1
durante 1 s, produz uma velocidade final de 1 m s e uma aceleragao de
‘
1 m s 2. G = 9 , 81 N (= 1 kgf ) e o peso cuja massa m vale 1 kg.

'
Trabalho W
0 trabalho mecanico e o produto da forga Fpelo espago percorrido s , se
a forga constante F atuar sobre um movel na diregao do espago s
( W = F s)
Unidades : N m = Joule = J = W s; ( kgf m; kcal; CV h)
Uma forga de 1 N se deslocando num espago de 1 m produz um trabalho
de 1 N m.
Potencia P
A potencia Peo quociente diferencial do trabalho pelo tempo. Se o
trabalho cresce ou decresce linearmente, a potencia e o quociente do
trabalho pelo tempo ( P = W /f ) .
1
Unidades: W ( Watt ); (kgf m s’ ; kcal/h ; CV : cavalo - vapor )
1 W e igual a potencia constante, se se produzir um trabalho de 1 J em 1s:
1 W = 1 J/ s
Dinamica
Massa, Momento de inercia de massa 2
Definigao do momento de inercia de massa J
O momento de inercia axial de massa J de urn
corpo em torno de urn eixo e a soma dos produtos
dos elementos de massa pelo quadrado de sua
distancia ao eixo de rotagao .
m 3 J = X r 2 Am. = jr 2
dm kg m 2 , N m s2
Teorema de Steiner ( veja tambem J 9)

Urn corpo de massa m tendo um momento de
inercia Js em relagao a um eixo S- S passando pelo
centro de gravidade tern o momento de inercia J
com relagao a um eixo paratelo O -O, a distancia
k.
m 4 J - Js + m if kg m 2, N m s2
Raio de Inercia r ,
O raio de giragao rj de um corpo de massa m e momento de inercia J
e o raio de um cilindro de parede fina de mesma massa m e de mesmo
momento de inercia Jque o corpo real .
m 5 mr * - J , donde rJ m, cm, mm
Momento de volante
m 6 Momento de volante = G dj 2 = 4 gJ kg m3 s 2, N m2
m 7 = 4 r- 2 d :2 ( Formulas , veja M 3)
J
Massa reduzida ( para corpos rolantes)
m 8 J 2
Formulas fundamentals
mred r2 kg , N m
’s
Movimento retilineo Rotagao
Formulas Unidades Formulas Unidades
m 9 Ps = ma N, (kgf ) Ms - J a N m, ( kgf m)
m 10 W = F s { F = const.) W s, (kgf m) W = M <p { M = const. ) W s, (kgf m)
m 11 WK = Y m W s , ( kgf m)
*K =
Y J W s, (kgf m)
m 12 Wp = G h W s, ( kgf m) u = 2 K n s"
\ min 1
'
=
m 13 vF YrAl W s , ( kgf m) wF = YMAe W s, (kgf m)
m 14 p
-Tt- d/f
Sfmbolos (veja M 4)
r u W, kW, (CV ) P = TT
"
dt
= M (u
W, kW, ( CV )
Dinamica
Momento de inercia de massa 3
Em relagao ao
eixo b-b ,
eixo a-a
{ passando pelo cen - Corpos
( eixo de rotagao)
tra de gravidade S)
Arco circular
2 ?
m 15 J = m r J = mr
Y
m 16
2
dj = 4 r
2
d/
2
= 2 r
2 " z
Cilindro
m 17 J
1
2
m r
2
J = 4
12
(3
^ *
2
)
1 2 3
m 18 di, 3
— 2 r
3
dja ~ y (3 r h )
Casca cilindrica
,
^
- - OflMr 2 * / 2 )
3
m 19 J —
2
miR2 + r ) J =
m 20 dj =
2
2{R + * ra ) d;
2 2 2
= ~ ( 3 /A 3 r + /i )
Cone
m 21 J i
10 *
S r
2
J = Mn
( r! +
* hl )
m 22
V - di' = Jo
( 4 r2 +
*)
!
Esfera M
4 rn r 2
m 23 J = mr ’ Jr = TTT
10
m 24 d /= I '’ d /= mt
6
2 2 Coroa circular
2 4 R + 5r id
m 25 J = miR2* r
- - ) J m
m 26 2 2
dy = 4 ft + 3 r
7
4
2
f
c;
2
-
8
y U t f + S r* )
6
1® b_
Para - r
Paralelep.
^
2
= ( dMl ) Barra fina
lelep. 2 2
m 27 Barra fina = TTT ( d + c )
12
d, c « i 3 i
d/ = -l- ( d 2 + c )
2 2 2
m 28 dy; = -r- I
3
r
Dinamica
Rotagao 4
Energia cinetica total de um corpo
1
" — nus
m 29 2
W s, [kgf m]
" K
Energia cinetica de um
/ +
corpo rolante — sem deslizamento

1
m 30 = - (W mred ) « * , W s, [kgf m]
m 31
*us K
=
J
uj r
*
m/ s, km/ h
Torque de um movimento giratorio

p P
m 32 M N m, [ kgf m]
L) 2 /i n
-[ 973,4
n m i n kW
P
kgf m = 716 P
n min CV
kgf mj
Relagoes de transmissao
Relagao de transmissao
c0ndutora
m 33 i = A Z2
d1 0/ 2
6N
Relagao dos momentos
Momento da forga
m 34
Momento da carga ” */f F
i
1
V
da
Rendimento
_ trabalho ou potencia fornecida
m 35
trabalho ou pot §ncia introduzida
°0/
>duz \&
Rendimento total de varias transmissoes

m 36 n = Vi
^2 1
73 •
nred : ver m 8
us : velocidade de translagao do centra de gravidade
'*
0
a
:
:
:
forga de aceleragao
momento de aceleragao
energia cinetica
N, [ kgf
N m kgf m
J, kgf m
Wp : energia potencial J, kgf m
: energia de uma mola helicoidal J, kgf m
A
AS ^ :
:
alongamento de uma mola helicoidal esticada
variagao do angulo de uma mola espiral em radianos
Dinamica
Forga centrifuga 5
Forga centrifuga
m 37
- m cu r
2
2
=
2
m v2
r
N, kN
m 38 = \ K m. n r N, kN
m 39 v 2n r n m/ s, km/h
m 40 U) 2 K n 1/ s , 1/ min
Tensoes nos corpos girantes (regra empmca)

Disco
2 3
u) r 9
m 41
3
N/ m2, N/ cm2
Anel
2
It} Q , 2
r 22 )
\
m 42 * + r: r2 +
N/m , N/ cm2
2
ts ' distancia do centro de gravidade m, cm, mm

o : desvio maximo do pendulo m, cm, mm
/ : desvio momentaneo do pendulo m, cm, mm
O : or?a centrifuga
^ N, kN
JQ : momento de inercia em relagao a O kg m2, N m s2
Js : momento de inercia em relagao a S kg m2, N m s2
M \ : momento de torgao de uma mola de = 57,3 = 1 N m, kN m °
6 r : tensao de compressao N/ m2, N/ mm2
T : duragao de urn movimento de B para B e retorno
para B (periodo) s, min
uE : velocidade em E m/s, cm/s, km/h
m/ s, cm/s, km/ h
vf : velocidade em F
frKE : energia cinetica em E N m, kN m
Dinamica
Oscilagoes harmonicas 6
Oscilagoes mecanicas
( explicagoes: veja L 4 e L 7)
Medida da cons-
Generalidades tants da mola c
'/ / / //s
m 43 Peri'odo T = 2 n
m 44 Q
Constante da mola c = TT N/m, [ kgf /cm]
Al
I
1
m 45 I
Frequencia ( veja L 1) s \ min- 1
m 46 G
Pulsagao u - 2 K f s \ min- 1
Numero critico de rotagoes m< de um eixo

m 47 =
nk
m 48 = 1 0 Cq mm k g
300
V
9 , 8 1 N n min
Constante Cq de um eixo
1 "
*
em 2 apoios com carga com carga em

simetrica assimetrica balango
m rv m
~
. i//i V tea
rv i
, reft rp
t
-
>r - a b —
l t
48 £ I EI
m 49 c« = c 9 = 3TZ ZT l 1 EI
F Q D
C7 =
F
Al : Flecha ou alongamento da mola
I : Momento de inercia da segao do eixo
m : Massa. Admite-se que a massa m (por exemplo, a de uma correia)
esteja concentrada num ponto no calculo do numero critico de giros.
Acrescenta -se uma parte da massa do eixo a massa m
cq : Constante da mola para oscilagoes de flexao
Dinamica
7
Oscilasoes harmonicas
Pendulo
( explicagoes, veja L 4)
Pendulo conico (centrifugo)
t cosct
s , min
m 50 T
i
m 51 tan a =
I
-c
h
m 52 m , cm
Pendulo matematico (simples)

Toda a massa do pendulo esta concentrada
num ponto .
m 53 T 2 A s, min
-fl ( *•- /* )
m/ s
m 54 •if °F = km/ h
7
e
mg N m, [ kgf cm ]
m 55 WKE ~ 2 1
Pendulo ffsico (composto)
m 56 T = 2 /1
m 57 Jo - -4 - m
ls N m s2, | kgf cm s 2 ]
Gis (£
2
= N m s2, [ kgf cm s ]
m 58
Â formula 9
m 58 permite calcular o momento de
inercia /s de um corpo de centro de gravi -
dade S se se medir o periodo T desse corpo oscilando em O
a distancia ls do centro de gravidade.
Pendulo de torsao
m 59 T = 2 /i
Simbolos: veja M 5
Dinamica
Choque 8
Choque
Quando 2 corpos de massa mi e m2 e de velocidade un e \>21 se chocam ,
o impulso total p = m \> mantem - se constante durante todo 0 periodo do
m 60 choque ( as velocidades apos o choque se tornam o ’ i 2 e x>' 22 -
m 61 p - /fif + mg • U21 - TTI 1 i>\ 2 + • U22
Direqoes do choque
As velocidades sao Normal de cho-
Choque direto e paralelas a normal que passa pe-
central do choque los centros de
Choque obltquo e gravidade dos
central Velocidades em corpos
diredoes
Choque oblique e quaisquer Normal de cho-
excentrico que qualquer
Tipos de choque
Choque elastico+ ) Choque plastico
Velocidade a mesma , antes e depois do nula depois do
relativa choque choque
m 62 Velocidades apos U12 = ^1 1 ( ^1 ~ f r y ) + 2 ma - U 2\

/Hi + ffl2 > + ma •
m>2= nrt n
/
m 63
um choque direto
e central U 22 =
U2 , ( mg - wiQ - f 2m ,- uu + 7712
+ /712
m 64 Coefic . de restit . c 1 c = 0
Coeficiente de restituigao e
E igual a relagao entre a velocidade relativa antes (uM ) e depois do choque
( Ur 2 )
m 65 Ur 2
c onde , portanto 0 c 1
normal de choque
)
^
0 vetor velocidade x se decompoe
numa componente normal un e numa
tangencial ut para 0 choque elastico ob -
liquo e central . A componente un provo -
ca um choque direto ( ver acima ), a
componente ut nao tnfluencia no cho -
que .
Hidraulica
Nogoes gerais — Hidrostatica 1
Generalidades
A hidraulica trata do comportamento dos fluidos ou dos liquidos Admite-se, .
com boa aproximagao, que os fluidos sao incompressiveis, visto que a
variagao de densidade devido a um aumento de pressao e desprezivel.
Grandezas
Pressao p ver O 1
Densidade p ver 01
kg Ns
Viscosidade dinamica r) Unidade: Pa s = = (10 P)
ms
A viscosidade dinamica e uma constante do material, dependente da
pressao e da temperatura:
n 1 n = / (P, t )
Geralmente despreza- se a dependencia da pressao; entao:

n 2 » = fit ) (Valores: veja Z 14)
Viscosidade cinematica v Unidade: m2/s = (104 St) = (106 cSt)
t
A viscosidade cinematica e a relagao entre a viscosidade dinamica q e a
densidade p:
n 3 v - n
<?
Hidrostatica
! Distribuigao de pressao num fluido
P2 ggjh
— P, -H
n 4 P, = P0 + 9 9 A , -00
'V
*,
n 5 Pi ,
P + 9 P ( ft 2 " M -c P
I » 1
<-
1 N
c
• gradients de
= p, + g g /j h -M . pressio
2 t>
/
h
Continua em N 2
Hidraulica
Hidrostatica 2
Pressoes hidrostaticas em superficies planas
A pressao hidrostatica F e T u
forga que atua numa super -
ficie, causada unicamente
pela pressao do fluido , sem
levar em consideragao a
pressao atmosferica po -
n 6 F - <? pys 4 c o s a = g Q h$ A
<
LL
n 7 VD =
ys
^
= Vs +
^r
Pressoes hidrostaticas em superficies curvas
A pressao hidrostatica que <7
atua numa superficie curva
t ,2 pode ser decomposta na
componente horizontal FH e
na vertical Fv.
- (a ) -
'
jW 1
FH
Fv e igual ao peso do fluido v
que se encontra em (a) ou o
peso equivalente do fluido
{ b) , sobre a superficie curva (b ) ~
1 ,2. A linha de agao passa ~

/H - F/n 2
pelo centro de gravidade do / 77 /
volume V .
n 8 = N, kN
FH e igual a pressao hidrostatica que atua na projegao da superficie
1 ,2 considerada, num piano perpendicular a FH. O c lculo 6 efetuado
segundo n 6 e n 7. ^
S • centro de gravidade da superficie A
D : centro de pressao = ponto de aplicagao da forga F

Ix : momento de inercia da superficie A em relagao ao eixo x
Is : momento de inercia da superficie A com relagao a urn eixo paralelo
.
a esse eixo passando pelo centro de gravidade (veja segoes J 10
e P 10)
Ixy : momento centrifugo da superficie A com relagao aos eixos x e y
(veja J 10)
Hidraulica
Hidrostatica 3
Empuxo
O empuxo Fa e igual ao peso dos flui - 9

dos deslocados de densidade p e p’.
V \
y
n 9 = g 9 / + g f ' /' N , kN —
I/
Se o fluido de densidade p’ for urn gas, : 9 > 9 £ 9k > 9 _
a formula se torna : - Y/ ,
n 10 rA ~ g 9 v N , kN
Se pk designar a densidade do corpo:
n 11 e>e o corpo sobrenada no fluido

n 12 9 = 9, * o corpo flutua
o corpo afunda
’ mais pesado
n 13 9 < 9,
Determinate) da densidade p de solidos ou de liquidos

Solidos de densidade Para os fluidos, primeiro determina -
maior menor se Fi e m de um corpo qualquer
que o fluido num fluido de densidade conhecida
considerado pb, e em seguida
1
r
-
n 14 1 ng
1 /
n 15 P
n 16
r r
m g n g
7
T
^.
77
SL
F F
Corpo
auxiiiar 9 e
9F ~ 9b
:
m : massa do corpo imerso no fluido
F : forga de equilibrio necessaria
FH : forga de equilibrio necessaria no ensaio previo, somente para o
corpo auxiiiar
9F : densidade do fluido do qual se efetua a pesagem
r
Hidraulica
Hidrodinamica 4
Hidrodinamica
(para fluxo estacionario)
Equagao de continuidade (Teorema da conservasao da massa)
Equagao de continuidade:
n 17 u, Q , ~ A v p - A 2 VJ <?7
Fluxo de massa:
n 18 m = V 9
Fluxo de volume
n 19 V = A v
Equagao de Bernoulli (Teorema da conservagao da energia)
Fluxo sem atrito:

U? n,
= £ & j
n 20
9 9
4
**
+
T= f + 9 Z2
2 kg
p_ energia de pressao
#
’ especifica vn
9
energia potencial
<2).i o
9
* especifica
Ov
i> 2
~
. energia cinetica N
2 ' especifica 1
N
Nivel zero
' / / / / / / / / / / / / / / / }/ / / / / / / / / / .
Fluxo com atrito:
n 21 , ,
U 2
PJ +
?
J
9 2 + = 9 z2 + ~ +
P 9 z to R 1, 2
kg
o : vetocidade
WR i, 2 • trabalho de atrito especifico no trajeto de 1 para 2 ( veja o calcuio
em N 6)
w
( Hidraulica
Hidrodinamica 5
Potencia P de uma maquina hidraulica
n 22 p m w n, kW, W
2
l
Trabalho tecnico especifico
n 23 = y ( p 2-p, ) ,
+ g ( z2 - z ) + ( U 22- D,? ) + uR 1, 2
“» , 11 J/ kg
para maquinas motrizes < 0

n 24
n 25 para maquinas operatrizes
“ * ,,
> 1 2
> 0
^ 1 2
Teorema do impulso
Para um fluido escoando atraves de urn volume de referenda estaciona-
rio, vale a equapao vetorial:
n 26 F = m( - oT ) N, kN
X* F designa as forqas atuantes sobre o fluido contido no volume de

referenda, dadas por:
forqas volumetricas
formas de pressao
forgas de atrito
velocidade de saida do fluido do volume de referenda
u, velocidade de entrada do fluido no volume de referenda
Teorema dos momentos cineticos

Num volume de referenda fixo, de rotagao simetrica, o momento M
exercido sobre o fluido em movimento vale:
I r, )
n 27
* *
"K u O Nm
v2.u e v1iU sao as componentes tangenciais das velocidades respectiva -

mente de saida e de entrada do volume de referencia.
,
r2 e r sao os raios correspondentes, respectivamente a v2 e v v
Hidraulica
Hidrodinamica 6
Trabalho de atrito em fluxos tubulares
trabalho de
n 28
atrito especifico 1, 2 = X U a y) , donde
n 29 perda de carga d P v * P ^ R 1, 2 '
Determinagao do fator de resistencia
tubos cilmdricos tubos

^ enao
do fator de forma a
-cilindricos
n 30
n 31
R
* =
n
R
• =
n
Se Re < 2320, fluxo laminar
n 32 Se Re > 2320, fluxo turbulento
Fluxo Fluxo
turbulento * >
)
laminar turbulento * laminar
n 33 K =
^
64
$ = / ( «« .4
d
) 64
? = / ( «,
*
A
3 )
“
n 34 i Z
a = —-
a
em tubos retos a = em tubos retos
n 35 a = 1 em acessorios, unioes e valvulas
T
Determinagao do coeficiente Q
n 36 Para segoes anelares: t
i
D /d 1 3 5 7 10 30 50 70 100 oc
9 1 , 50 1 , 47 1 , 44 1,42 1 , 40 1 , 32 1 ,29 1,27 1 , 25 1,00
n 37 Para segoes retangulares T

o
a/ b 0 0.1 0, 2 0 ,3 0, 4 0,5 0,6 0,7 0,8 1.0

1.50 1, 34 1 , 20 1.10 1,02 0 , 97 0 , 94 0 , 92 0,90 0,89
<p
d : diametro interno do tubo 0 | / : comprimento do tubo
n 38 dh = 4 A / U : diametro hidraulico
A : segao transversal perpendicular ao fluxo do fluido
'
U : peri metro molhado
k/d e k/ch : rugosidade relativa
k : altura media de todas as rugosidades ( veja Z 9)
,
r : viscosidade dinamica ( veja tambem N 1)
£ e tirado do diagrama Z 8
Hidraulica
Hidrodinamica N7
Escoamento dos liquidos dos reservatorios
Orificios no fundo do reservatorio V
T
n 39 o 9 ]/ 2 g H A
V y2gH i
n 40 V £ A
Pequenos orificios laterais

It
n 41 o <py 2 g H~ T
n 42 3 V
2 Hh 3:
4
( sem qualquer atrito )
1 — /
n 43 V 9 e A y2 gH c
•
l
I
n 44 r = ? v u s
Grandes orificios laterais
SL
? T
n 45 V = yc £> 1/TV H
^ )
\
Excesso de pressao na superfi'cie do liquido

yPu
1 n 46 u = f ] /2 ( g H T ^1 II II T ^
1 o
n 47 V = = 0,97)
e : coeficiente de contragao (e = 0 , 62 orificios de arestas vivas)
coeficiente de contragao (e = 0,97 orificios de arestas arredondadas)
F : forga de reagao
V : fluxo de volume m3/ s, m3/h
b : largura do orificio m , cm
Calor
Grandezas de estado termicas 1
As grandezas de estado termicas sao a pressao p, a temperatura t, a
densidade p e respectivamente o volume especifico v .
Pressao p (Unidades : N/m2 = Pa; bar)
1 Pa = 1 N/ m2 = 10 - 5 bar = ( 7,5 - 10 ~ 3 Torr ) = (1,019 10 ~ 5 at )
A pressao e a relagao entre a forga Fea superticie A
r
0 1 p
A
A pressao absoluta pode ser interpretada como o resultado total dos
choques das moleculas contra as paredes. A pressao medida com urn
manometro e a diferen a de pressao Ap em relagao a pressao ambiente
^
pu; na sobrepressao, tem- se Ap > 0 e na subpressao Ap < 0. A pressao
absoluta p se calcula pela formula:
o 2 p - pu + Ap
Temperatura T, t ( grandezas basicas, veja Explicates)

A unidade de temperatura Teo grau Kelvin K , definido pela equagao
T TR
o 3 1 K =
273 , 16
onde rTR e a temperatura do ponto triplo da agua pura. Alem da escala

Kelvin, utiliza - se a escala Celsius; a temperatura t desta escala e definida
internacionalmente por:
0 4 t ( { - 2 7 3 , 5) °C
1 ; T =
* )
273 , 1 5 K
3
Densidade p (Unidade: kg/m )
A densidade pea relagao entre a massa me 0 volume V:
m
0 5 9 V
Volume especifico v (Unidade: m3 /kg)
O volume especifico e a rela ac entre 0 volume V e a massa nr.
^ V 1
0 6 u
n 9
Volume molar l/m ( Unidade: m3/mol)
0 volume molar e a rela<pao © ntre 0 volume e a quantidade de materia
contida nesse volume:
0 7
Quantidade de materia n
^ -v
(Grandezas de base, veja Explicates)
r
Calor
Aquecimento de solidos e liquidos 2
Aquecimento de solidos e liquidos

Calor Q (Unidade: J)
O calor e a energia que atravessa sistemas de temperaturas diferentes
se eles estiverem em contato por meio de paredes diatermicas.
Calor especffico q (Unidade: J/kg)

O calor especffico q e a relapao entre o calor Oea massa m:
o 8 <7 ±
Capacidade de calor especffico c Unidade: J/( kgK )
A capacidade de calor especffico c indica o calor que e preciso
fomecer ou retirar do corpo de massa m para variar a temperatura de
At
o 9 c - 2— =
m At At
A capacidade de calor especffico c depende da temperatura . ( Valores
numericos : veja Z 1 ... Z 5).
Calores latentes especfficos / (Unidade J/kg; Valores, veja Z 10)

O fomecimento ou a retirada de calor latente faz com que um corpo
mude de estado sem variar a temperatura. Os calores latentes divi-
dem - se em:
o 10 lf Fusao um solido em liquido, a tem-

peratura de fusao
o
XD
CD
um liquido em vapor satura-
0 11 Vaporizapao do a temperatura de ebulipao
o e o ca - ( dependendo da pressao )
re a tem -
lor ne - peratura
o cessano cons -
TO para tante
o transfor -
mar um solido abaixo do ponto tri
plo diretamente em vapor sa-
-
o 12 h Sublimapao turado a temperatura de
sublimapao ( dependendo da
pressao )
Calor
Aquecimento de solidos e h'quidos 3
Dilatagao de solidos
Um solido varia suas dimensoes diretamente com as variagoes de
temperatura . Chamando de a o “coeficiente linear de dilatagao linear”
dependente da temperatura ( Valores numericos , veja Z 11 ) , tem - se :
o 13
O 14
Comprimento: i 2
ZW
ly
l2
L1 * « ( * 2 -
ly 3
.
* )]
I, < ( t - ty )
/
/2
Af
“
* 2
, [l + ?2
>
o 15 Superficie: A2 “ >t 2a ( r 2 - M] i
o 16 A 2A, ~ 3
/1, 2 a ( t 2
o 17 Volume: / , [l + 3o ( t 2 - t , )]
o 18 Zi / / 72 - 3
'
II 3a ( t 2
Dilatagao de h'quidos
Chamando de y o "coeficiente de dilatagao volumetrica” dependente
I
da temperatura ( valores numericos, veja Z 11 ), tem - se :
o 19 Vl ” V , [l + Y( t} - ( , )]
o 20 M = ' j - V = V, - y ( t 2 - <, )
*
Flexao termica /A
A flexao termica ocorre em laminas bimetalicas, que com o aqueci-
mento se curvam para o lado do metal com coeficiente de dilatagao
menor . Chamando «b a “flexao termica especifica" ( ab = 14 10 6/ K , '
para valores numericos exatos , veja a DIN 1715 ) , temos o seu valor
dado por:
0 21 A
2
ab L At
3
/ *
l1 comprimento com t = U A\ : area com t = ty
comprimento com t = tz A2 area com t - tz
Vy volume com t = U ty temper, antes do aquecimento
volume com t = /2
*
s
2
espessura
t2
At
temper, apos o aquecimento
diferenga de temperatura
l
7
Calor
Estado e mudangas de estado de gases e vapores 4
Equagao de estado termico de gases ideais

O estado de um gas ou vapor e definido por 2 grandezas de estado
termicas; assim, a terceira pode ser calculada pela equagao de estado
termico. Para gases ideais , usa - se a equagao com Rcomo constante
caracteristica do gas; para diferentes valores de R veja - se Z 12 .
o 22 po = RT ou pV = mRT ou P = 9 RT
A constante universal dos gases perfeitos para valores referidos em

volume molar vale Rm = 8314,3 J/( kmol K );
o 23 P Kn = T
onde Mea massa molar ( veja Z 12).

o 24 Rm = MR
Equagao de estado dos gases e vapores nao-ideais

O estado termico de gases e vapores nao -ideais ou reais se calcula
por meio de equagoes e diagramas especiais.
Mudangas de estado
As mudangas de estado sao provocadas por variagoes do sistema
com o ambiente. Essas mudangas saocalculadascom a 1 3 e a 2 leis -
fundamentais:
1 - lei fundamental para sistemas
2 - lei fund ,
fechados abertos para todos

os sistemas
O 25 2
o 26 < 1.2 + = u2 - u , 9l, 2 + «« M 2 =
o 27 *
to
2 (
* * 2 “ 1 2 ~
1
T d3
Q<o
Nestas formulas, as energias intro -
duzidas (portanto gi .2, w -\ z ivtt .2) w< 0 W> 0
sao positivas e as retiradas negati - Sistema
vas.
Q> 0
h : entalpia especifica | 3 : entropia especifica

u : energia interna especifica
wi, 2 : trabalho especffico devido a variagao volumetrica ( veja O 7)
,
to ]
2
: trabalho tecnico especffico (veja O 7)
Calor
Mudangas de estado de gases e vapores 5
Mudangas de estado dos gases ideais
A tabela da pagina O 6 cont6m as formulas das diferentes mudangas
de estado deduzidas das relagoes o 25 ... o 27. As explicates
seguintes referem- se a esta tabela:
Qualquer mudanga de estado apresenta-se sob a forma :
o 28 p vn = const .
Os valores dos expoentes politropicos n sao dados na 1 - coluna.
Cpm e Cvm sao as capacidades termicas especificas madias a pressao

e a volume constantes entre as temperaturas h e fe, que se calculam
com as relagoes ( valores de Cpm veja a p3g. Z 13).
^2 Cpm 'o
2
t2 " Cpm
N t
lo I
o 29 Cpm ~ Cpm
12 t1
1
0 30 C y m ~ CVm
^2 ~
Cpm ' -R
2
*m '
2
x ~ Cpm
o 31
*n
15
/
A variagao da entropia durante uma mudanga de estado 6:

r
o 32 32 S , = cpm In ( T - - £* ) * Ir / ^
P
-
1
= cvm lnl r2 +
^
R Inf 02 —
Mudangas de estado dos gases e vapores reals
As relagoes deduzidas das formulas o 25 ... o 27 para diferentes
mudangas de estado estao indicadas na tabela abaixo . As grandezas
de estado p , v , T e as grandezas caldricas u, h, s sao tomadas de
abacos adequados.
Trabalho especifico
Mudanga de variagao de volume tecnico calor
de estado.
grand,
const .
isocora
“ l, 2
/
P <JU
*° fl, 2 ' fi dP
U2
<71 . 2
- ,)=
U
o 33 v = const
0 o { p 2- p ) , i h 2 -h i “
^ ( P2
0 34
isobara
p - const .
p( u - u2 ) 0 A2 -h i
isoterma ( u 2 - u , ) -r ( s 2 - s , ) =
o 35 -
T - const . { h i h i ) - T { 3 2 - s )
,- T { S2 - S, )
- ( P 2 02 - P -, U ) ,
o 36
isentropica u2 u = - ,,
5 = const ( /irA ) - ( p 2u2 p u )
.
-,, h2 ~ 0
1
Trabalho especifico
Mud . de estado Relagao entre o
tecnico calor Diagrama Diagrama
grand const . ; estado 1 e o es - de vanapao volumetrica
,
expoente politro -
pico
tado 2 W1 2 P du ,
i
j w t l, 2 =
’
J o dp <7 1.2 p v - - T-s-
C
Q.
Isocora CD
- P, )
2
t; = const . ( P?
L> o
PI o ^ v m (r2 - r, )
«
n oo
Pi T = R ( T2 - T, ) CD
CP
( o 37 )
i
V s Q _
P r mais chata CD
Isobara que a, isocora
CD
const 02 r. P( U ) - o2 ) o c pm( 7*2 - r, ) o - o
>2
CP
O
n o r, = «( r , - r 2 ) 1 2
0
CL 0
))
( o 38 ) s O
V
kT CL
O
Isoterma Ul
T -- const . P2 _ _
R T In —
«2 o
O
CP
u2 Wl,7 - w 1, 2 o
n 1 Pi i 2 CQ
= RT Inf — Cl)
( o 39) s
Pi i
CP
P2 - mais curva que CD
^ wm ( 7*2 ~ 7*1 ) CP
Isentropica
Pi U 2L . *- 1
a isotermica
.v - const . ' K
= cvm £l\ “
-1 = CpmTi
T 1
Q-
x
Pi - (ZJL x - 1 Pi 0 CD
n p, r, ’ X -I Cl)
, PT,
1 P2 \ * X 2
U? Ti K- 1 5S -1 =
7
R T: CP
( o 40) Ui
X -1 1
Pi. x- 1 s
n
Politropica E i =
Pi U2/
Mn a- 1
1
« ( 7*2 - r, ) n- 1
p ( 7*2 - r, )
qualquer n
n -l n- x
-
7M T
r t - const . P 2
r 1 , ^ V1T r P2 V -1 a
p r, a- 1
( 7’2 -r1 ) qualquer qualquer
Pi
U2 7* \ n -
- * 1
Pi a- l
1
( O 41 ) Ui T 2<
Calor
Mudangas de estado de gases e vapores 7
w 1, 2
Diagrama p -v P ^///
W t 1, 2
Durante as transformagoes reversiveis, a su -
perffcie compreendida entre a curva de mudan -
ga de estado e o eixo v representa o trabalho
especifico de variagao de volume , e a com -
preendida entre a curva e o eixo p o trabalho
especifico tecnico .
T ,W' q 2
Diagrama T-s ,
1 2
Durante as transformagoes reversiveis a super -

ficie compreendida entre a curva e o eixo s
representa o calor especifico . i
Calor total introduzido ou retirado

O calor introduzido ou retirado de urn sistema fechado e:
o 42 QI, 2 =
* <7, 2 f
J
0 fluxo de calor introduzido ou retirado de maneira contmua num

sistema aberto e :
0 43 01, 2 - Q 1, 2 “ ,
n <7 , 2 W
onde m e ofluxo de massa (Unidade : kg/ s).
Trabalho total introduzido ou retirado

O trabalho introduzido ou retirado num sistema fechado vale:
= m w 1, 2
0 44
* ,2
A potencia contmua introduzida ou retirada de um sistema aberto
J
e:
0 45 Py , 2 m w t 1,2 W
Calor
Mistura de gases 8
Massa m de uma mistura de componentes m \ , m2 , ... -
1
*n
o 46 m m, + n2 . .. - 1 0m\
1 = 1
Fra$ao de massa %, de uma mistura

)
m 1, / =n
O 47 ii =
n
e xti = 1
1 -1
Quantidade de materia n de uma mistura de componentes n1 n2, ... t
i -n
o 48 n n, + n2 + ... + nfl = 10 n/
= 1 /
Fragao de quantidade de materia 9, de uma mistura

1 =n
a ;I
o 49 = e 20Vi = 1
^ T /= 1
Massa molar aparente M de uma mistura

A massa molar vale
m ,r m
o 50 e
M; =
n M
n
onde M e a massa molar aparente da mistura e que se calcula com a
fdrmula:
1 =n /
c 51 M = 10 OU seja:
/= 1 H
Conversao das fra9oes de quantidade de materia em massa
o 52 5r , - -*jji Vi -
Pressao p da mistura e pressoes parciais p\ das componentes

/ =n
0 53 P onde Pi = Vj - P
/ *= 1
Continua em O 9
Calor
Mistura de gases 9
Continuapao de O 8
Fra$ao volumetrica r, de uma mistura

V; / *n
0 54 n e
^ r,
i =i
= 1
O volume parcial V\ de um volume e o volume ocupado pela compo -

nente k temperatura T e a pressao total p da mistura. Para os gases
ideais:
o 55 mi R T, ^ i RmT
i />
V; = e X Vi V
p p i
- 1
*
Grandezas de estado calorico de uma mistura

/ «n i =n
o 56 u = X ( li • u/) ; h - X (|/ • h i )
i =i /
- 1
As formulas acima permitem calcular a temperature da mistura: no

caso dos gases reais e vapores, por meio de diagramas especiais e,
no caso dos gases ideais, como segue :
0 57 fechado t =
tnmn
c vm
„ m
sistema
adiaba -
tico
o 58 aberto t =
c • m
*m
onde as capacidades caloricas especificas da mistura se determinam
como segue:
I o 59 Cy
vrr ~ CDPm - R
i n
0 60
°Pm = Pm i
^
Calor
Transmissao de calor 10
Devido a diferenga de temperatura entre dois pontos, o calor se propaga
do ponto de temperatura mais elevada para o ponto de temperatura mals
baixa . Distinguem-se as duas modalidades de transmissao de calor
seguintes:
Condugao termica
t w \ — t kv 2
o 61 numa parede plana: 0 = Q = A A
3
' 21
numa parede tubular: <p = Q = A
tw ,— tw2
d
o 62 Am 3
A area media logaritmica e: parede plana
tubo
da - di
o 63 Am - K dm L ; onde d /n L : comprimento
( ) ’
Transmissao de calor por convecgao

ln
^
Trata * se da transferencia de calor de um fluido para uma parede s6lida
e vice -versa. As moleculas portadoras de massa conduzem o calor
do tubo
devido ao seu fluxo. Se o fluxo se originar espontaneamente, a

convecgao e chamada natural; se o fluxo for
forgado , a convecgao diz-se forgada.
o 64 0 = Q = a A{ t - tw )
Transmissao de calor por irradiagao

Esse transporte de calor nao esta ligado & massa, por exemplo, a
irradiagao termica do sol no vacuo . O calculo 6 feito pela fdrmula o 64.
Transferencia de calor
Por transferencia de calor entende - se a
combinagao dos diversos processos de
transmissao de calor:
o 65 0 = Q = ( (, - t 2 )
O coeficiente de transferencia de calor k e
dado por (valores aproximados, veja Z 11):
o 66 parede plana:
0 67 tubo:
K coeficiente de condutividade termica (valores: veja Z1 ... Z6)

a coeficiente de transmissao de calor ( calculo, veja 0 12)
Calor
Transmissao do calor 11
Trocador de calor
O trocador de calor e utilizado para transmits o calor de um fluido para
outro. O fluxo de calor vale :
o 68 0 Q = k -A ktm
onde Atm e a diferenga de temperatura media logaritmica. As formulas
seguintes se aplicam aos fluxos de mesmo sentido ou sentidos opostos:
A t grande
o 69 A t m = ( A t grande - A t pequeno ) / In
A t pequeno
i
. • . >•
T
~
* 2
^.
•
v
2
V .- \ V : .-
f2
\
.
t
f
1 C .
-n
c
t2 <3
5
O
'
t2 f
A a A a
Fluxo de mesmo sentido Fluxo de sentidos opostos
No caso de fluxos opostos, Atmaior , respectivamente Mmenorpodem ocorrer

nas extremidades opostas do trocador de calor.
Simbolos das grandezas da pagina O 12:
Ai ( >12 ) : superficie do corpo (maior) menor
d : diametro interno do tubo H : altura das placas
;
D : diametro externo do tubo L : comprim. do tubo
C ,,
C 2 : constantes de irradiagao das superficies irradiantes ( valores ,
VejaZ 12
i
= 5 , 67 10 W/(m2K 4): const , de irradiagao do corpo negro
0 70 Pr : coeficiente de Prandtl; Pr = (rj cp) / X (valores: veja Z 14)
At -
I fw - U I: diferenga de temperatura absoluta entre a parede e 0 fluido
ou gas na regiao nao afetada termicamente
too : temperatura do ambiente nao -perturbado
v : viscosidade cinematica = r|/p)
rj : viscosidade dinamica
T) : viscosidade dinamica a temperatura media do fluido (valores: veja Z 14)
F
Vw '• viscosidade dinamica a temperatura da parede
A ; coeficiente de condutibilidade termica do fluido (valores: veja Z 5, Z 6)
y : coeficiente de dilatagao volumetrica (veja Z 11 e 0 77)
: fator de temperatura v : velocidade
Calor
Transmissao do calor 12
1)
Calculo do coeficiente de transmissao de calor a
Convecpao natural { segundo Grigull)
A ,
o 71
chapa
Nu - 0 , 55 yOr P r , se 1700< Gr Pr < 108
o 72 vertical a =
Nu A
H
9 yM H3
i
Nu = 0 , 1 3 /G r P r , se
g y 4t Q 2 H 3
G r P r > 10 8
o 73 Gr = 2 i/ 2 n
V ,
o 74 tubo ho - Nu = 0 ,41 yGr Pr , se Gr Pr > 10 s
rizontal a = t f u v l gr D> g y Jt
o 75 0 Gr = s
v2 72
o 76 Os valores da substancia devem corresponder a temp.:
B
^ oo
2
o 77 O coeficiente de dilatapao dos gases e: Pgas ~ 1 / Too
Na convecpao forpada em tubos ( segundo Hausen)
0 78 a = NuA / d
Nu - 3 , 65
( * —)
0,0668 P Pr
V , 0,H
0 79 laminar
1 + 0,045 ( P -
'w
se 10 > Re P r —
A
> 10 ’ , onde
"
o 80 Re =
L V
Fluxo
o 81
turbu-
lento
Nu - *
0,11 6 (Re 5- 125 )Pr /3 1 + '
Re< 2320 2320 < Re < 106 ;
se 0 , 6 < Pr < 500 ;
1 > L / d < oo
Com excepao de r|w todas as caractensticas do material devem se
referir a temperatura media do fluido.
Para os gases, omite- se o fator (Wri )0,14
*
Na irradiapao (coeficiente de transmissao termica : airrad)
o 82 Ctirrad = P Cl ,2
o 83 .
C1, 2 =
1
o 84
En-
tre
paralelas
concentricas
.
0 *
T - T2 ,
T2
U
Cy
1 1
C2
1
1
C$
o 85 areas Ci 2 = 1 Ay _1 1_
Ci
+ —
Ai C2 C5
a em J /(m2s K) ou W ( m2K)
Explicapao dos simbolos, veja O 11
Resistencia dos materiais
I
Nogoes gerais P i
Tensoes mecanicas
A tensao mecanica e produzida pela forga Fexercida sobre a superffcie
da segao solicitada A.
\
As tensoes normais provem das forgas ou suas componentes atuando
perpendicularmente a segao (componentes normais) .
d =
r N/ mm 2
P1 tensoes normais
A
forga de tragao => tensao de tragao com sinal positivo
forga de compressao => tensao de compressao com sinal negativo
As tensoes tangenciais ou de cisalhamento resultam das forgas ou

componentes das forgas atuando tangencialmente a segao.
r =
r N/mm2
P2 tensoes tangenciais A
Diagrama Tensao- Deformagao (ensaio de tragao)

Materiais com
limite elastico limite plastico
6
Rm
ReH
f' "
~
RP y I
i
Ret I
I
I
0 *-+- A E
Explicagao dos simbolos utilizados: Os simbolos sao os da DIN

50145 . (Os simbolos entre colchetes ([ ]) sao os da mecanica
tecnica.)
r - f
P3 Rm c 6b : tensao de tragao, onde
So ’
F : orga de tragao
So j A0 ] : segao inicial da barra nao -carregada
4L ,
- 00 [ c = - =M 100 $ : alongamento especif ., onde
^ [ *] :
P4 c = ; ~ *
to
L0 ; I comprimento inicial da barra nao -carregada
*
z1L \ [ zfl : alongamento da barra carregada .
\
Continua em P 2
Resistencia dos materials
Nogoes gerais
p2
Continuagao de P 1 ( Diagrama tensao-deformagao)
Rp ; [dp] tensao para um alongamento nao -proporcional
abaixo definido Ep.
Limite tecnico de elasticidade
cp *= 0 , 0 1 % flpo. ot ; [6P]
Limite de elasticidade dos materiais etesticos com zona
de escoamento
ReH ; [6So] limite superior de elasticidade
Rf [_ ; [6SJ limite inferior de elasticidade
Limite de elasticidade (plasticidade ) dos materiais fra -
geis sem limite de escoamento definido a 0,2% do
limite de tragao
cp * 0 , 2 % RP 0, 2 ; [6(5, 2]
_ rr '
P5
D
rim ~ ^ » ^
Og - —
max
AQ
resistencia a tragao
41 max •
P6
4L
A ~ T~ • 1 0 0 $; 6 = 1 0 0 $ alongamento
de ruptura
Lo ^ 0
Depende da relagao entre o comprimento inicial e a

segao do corpo de prova. Designagao com os indices,
por exemplo : A5 [5s] se Lo/ do = 5 ; [ lo/ do = 5], onde do 6
o diametro inicial do corpo de prova de segao circular.
Tensoes admissiveis
Sao inferiores ao limite de elasticidade. Assim:
Rm
tensao admissivel Gadm ** v
Rm: tensao de resistencia a tragao
v : fator de seguranga, sempre v > 1
seguranga a ruptura: V B = 2 . . . 3 . .4 .
seguranga ao escoamento: vs = 1 ,2. . . 1,5 . .2 .
Tipos de solicitagao
Tipo da carga Tipo de esforgo Diagramas de carga
o
i estatica t
a
pulsante 0 t
0
altemado 0
Tra ao e compressao
p3
^
Modulo de elasticidade E: A relagao entre a e E (lei de Hooke) aplica- se
no dominio elastico, isto e , abaixo do limite de elasticidade ( valores
de E, veja Z 16/17) ,
P 7 6 = E c
Tensoes de tragao e compressao oz e od

Fz FJ/ -- adadm
15
P 8
°d -- ^
<
~
£ - azadm
1 d
Alongamento e de tragao
_ Ji
*
l ~ Ip (> Z .
P 9 £ = =
s
E
= e-A
h
Encurtamento Ed da compressao
— »4
1 l
p10 £ =
l0 -t x J±_
E A = rigidez de tragao
= 64 ou compressao
EA
* * o t- o E
Contragao lateral da tragao ( numero de Poisson)
Para segao circular:
E transv 1 - k. d- d
P11 P= onde eiong * e £ transv * 0
Eiong
l0
O numero de Poisson: \± = 0 ,3 para a maioria dos metais.
Tensoes termicas: Existe tensao de tragao ou de compressao se a nao

for possfvel a dilatagao termica ( veja o 13 e o 14) :
P 12 Gterm — E £ term — E (X. At ( E- term — 0. At )
A f e a diferenga de temperatura entre o estado sem tensao e o estado
considerado
A t > 0 tensao de tragao com valores positivos
A t < 0 tensao de compressao com valores negativos
A dilatagao total das barras protendidas sujeitas a uma tensao termica,
a tensao total vale:
p13 Ztot = Eel + Eterm = F/ ( E A ) + a A t ; Eel = F/ ( E A )
Tensoes de tragao ou de compressao dos recipientes de paredes
finas (formula das caldeiras)
A tensao maxima e tangencial & circunferencia:
p14 tragao <W = p i d j / { 2 s ) valida para 1 »2
p15 compresao
Pi resp . p
Cmax ~ “Pa 3
pressao interna e externa

. ^^ u/
dj resp. d diametro interno e externo

s = 0,5 ( d - di) espessura da chapa
Tensoes de tragao dos corpos glratorios: veja M 5
<
Tragao e compressao P4
Tensoes de trapao num anel de contrapao (formulas empiricas)
Aro montado num eixo giratorio :
A forga de retragao FH no aro deve ser ,
no mtnimo, igual ao dobro da forga cen -
trifuga Fc .
p 16 rH 2 FC
= 4 n2- m ys • n
2
P 17 Fc =
4 F3 - r3
p 18 y5 * 3 7i F2 r2-
p 19 Segao A = FH
2' oz acjm
p 20 Grau de contragao A = -~
•— Dm —
adm
CJ *
(O diametro interno do aro e de X inferior ao 0 do eixo)

Anel de contragao de 2 pegas de maquinas com uma elementos da maquma
pega giratoria.
Fc resulta das:
forgas centrifugas FCR do aro e
FcMdas pegas a montar zr
P 21 ou FH 2 { F C R + F C M ) ; em seguida como p 19 e p 20
Trabalho de deformapao Wf
O trabalho absoluto de deformagao contido na barra vale:
p 22 W p ~ w - V ; donde
p 23 42
6 • e =» — E c 2 -
-
2 2 E
e / : volume da barra
Nucleo central para tipos de tensoes semelhantes
Se uma forga de tragao (ou compressao) atua dentro da area ponti-
Ihada , a segao e solicitada apenas por tragao (ou compressao) . Se
aplicada em qualquer outro ponto , produzem-se tensoes de flexao ou
seja, ocorrerao simultaneamente tensoes de tragao e compressao.
l
—— a
ia i
b —H
T I
*- 0 - ~ h - O -H
f
* t
-
C
* n=
ZZ±y.
f SQ
a b h D
p 24 x =
6
u - 6 : u =
6
r
8
r =
’
S : centra de gravidade do semi cfrculo (veja K 7) -
D m : diametro medio ( ft R + r )
* -
Forgas internas de uma viga
p5
Todas as cargas extemas (inclusive as Forgas nos apoios e o peso)
provocam forgas internas e momentos que solicitam o material da
viga. As forgas Fn e Fq e os momentos Mte M\ num ponto qualquer
zda viga representam os esforgos num “corte” ficticio em z.
r~
1
-
i
xz
apoio A I
seqao da
parte esquerda
X
2 Fn El
FA Mt
apoio B
i
/T b
Fq FBZ
Fey
No piano y -z tem- se:
Forgas na dire - eixo z normals
"
— Fn
gao do cortantes
eixo y produzem
esforgos e
Momentos em eixo x
momentos de flexao Mb
torno do eixo z
de torgao Mt
Usar sempre as forgas e os momentos da segao cortada a
esquerda
Ha equilibrio entre todas as forgas externas, internas e momentos
em cada parte seccionada
p 25/26 Fn + ztriz
r =\
= o Fq XJ Fjy
i= )
* 0
p 27/ 28 Mb 2U Mjx
i=1
~ 0
*r =
5 7 Mil
i =I
= 0
Calculos
1. Determinar as componentes das Forgas nos apoios.
2. Dividir a viga em dominios. Os limites sao:
2.1 Os pontos de aplicagao das cargas no comego e no final de
uma carga distribu fda q(z).
2.2 Os locais onde o eixo da viga muda de diregao (exemplo:
angulo, curva )
Continua em P 6
Forgas internas de uma viga Pe
Continuagao de P 5 (Calculos)
3 . “Seccionar” a viga nos locais a estudar ; efetuar o calculo conforme

p 25 ... p 28 .
4 . O desenvolvimento das forgas e dos momentos da viga esta repre -
sentado graficamente , e o sinal positivo das forgas e momentos
intemos da parte esquerda e o do eixo y.
Relagoes entre q(z ), Fq ( z) e Mb ( z ) num ponto qualquer z:

drq{ 2 )
p 29 / 30
dz
rq { z ) dz
m - q( z )
Regras
Astern valores max. ou min . onde Fq = 0.
Fq e constante entre as cargas aplicadas.
Exemplo: viga reta ( apoio fixo em A ) .
As reagoes nos apoios sao:
rAy = 2;5 kN ; rAz » 3 kN ; rB ,
= 1 5 kN
F< = 2 kN
l Fl * 3 k N
T
9 = 1 kN / m = const .
£ —7 i i o I B,
FA, FtAy
i
I
FB
i l
27 l
*3
/2 /3
3m Zm
- 0.5
0 0
4
2.5
area dos momentos tletores
Mb( z) em kN m 1,0 l ,125
I
1
— valores extremos Mb
- 1,5
i FB
0
0, 5
^
1 4 J‘
.
P5
4"
U\
FA area das forgas cortantes
Fq ( z ) em kN
- 3.C
area das forgas axiais
Fn ( z ) em kN
0
Calculos veja P 7
Forgas internas de uma viga P7
Continuagao de P 6 { exemplo: viga reta)
Dominio 1 Dominio 2 Dominio 3
0 Z1 1 m 0 = Z2 = 3 m 0 z3 2 m
conf . formula p... conf . formula p... conf . formula p...
27 26 ! 29 25 27 26 I 29 25 27 26 ! 29 25
* * X
* * N
11
*
N
Z Z
E E
X -X
I I
z Z
-X
ITS -
m
X
o t o
c c (I
o
o
o
CJ
N
•1 -
E II It z E
Z -X
z z
-X •X -X I
in in m N
o' o o
I CM 1 E
H II O O 1 S o
z
z II X II
z X X
in
LO 1/5 • X
CM
z in z
N c c in
X cw
PI CM o X
o o I m N K>
o o o N n 1
E l PI I
z II 11
x Z Cr Z
E N
X
in 1 x Z X PI
N N z
in z z z 1
X
cr x
x CM m in T3
CM
x X E I z m
O O X
in in K\ II k
N
CM
II
CM
II
I o
II k"
1
N
.k
o
11
s k
+
1
PI
k
1
* N
in
O
11
N
« "O
E
N I
N
+ I
k k
v
N
k1 k | Z c +
X
k
E k
II
z
II c+ X
in II E
K\
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X N O
o r»
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cr N* **
* : k in TO k ko
T3
k k E II -O k
k f r\
.
CM Z
f
x N
o O TO O
$
o O a o
N
II II +* + II + II
E
N k-
o c CM
k& c E k
k°
*
f \
- k
<N
1 + 1
s N s »s s
k k k a? k D
k k k k
3 -f 13
+ I I
I I
-
I I
o O o
*•1
p >
IN
o-
k kc k k k
O
k
* f Equagao de uma reta « )
* Equagao de uma parabola
Continua em P 8
Forgas internas de uma viga PB
Continuapao de P 7
Exemplo: viga engastada , curva ( r = const .)
As forpas nos apoios calculam- se com as
forpas no engastamento . V \
Os limites sao: 0 ) + /Vr sin p = 0

* - y
r O ~ co s p )
p 32 -
Mb ( p ) = F y r + F y r - cos <p /yr - sinp -
As forgas Fi e F2 sao deslocadas
paralelamente a se9ao de inclina -
9§o <p e decompostas segundo as
componentes tangenciais e ra -
diais.
For9a cortante:
p 33 Fq ( p ) + F\ - sin p + Frcos p = 0
y
p 34 Fq ( p ) = -^ - sin 9 - Fr cos p -
)
ou, conf . p30:
( p ) _ 1 dMb ( p )
p 35 Fq ( <p ) = d M b (porque z - r p ,- dz = r - dtp )
dz r d <p
1 d ( -/V r +itVr - c o s p -Fp - r s i n <p )
p 36
r dcp
= - F ) sin tp F? cos p -
Forga axial:
p 37 -
Fn ( <p ) F\ • cos p F j * sin 97 = 0
p 38 Fn ( <p ) - F ] • cos p ~ F 2 ' sin p
-5
p)
M
^ kNm
- ,16
* ô ( p ) kN
- 3, 23
- 2.29 '
75°
60°
5°
- 1,4
30°
*
- 0, 624fi5 o
r
0
° 0
Determinagao grafica dos momentos fletores

Veja K 4
Flexao Pa
Tensao maxima de flexao fibra neutra
p 39 K
Mb (? ) '
^ max
F G& Li i
p 40
_ Mb h
( z)
<
=
' Gbadm 2
? Cmin
fmQ>
Wbmin 44 y
Valores de a& adm, veja Z 16/17 - cQ / I
emax : maxima distancia maxima ou minima da borda da viga ao
eixo z passando pelo centro de gravidade S da
^min • minima segao (fibra neutra) .
/x : momento de inercia de superficie com relagao ao eixo x
Tensao de flexao a uma distancia y da fibra neutra
p 41 6 b ( y) = y
Momento de resistencia Wb min

p 42 —
* bmin “~
« max
Momentos de inercia de superficie

Momento de inercia de superficie axial, veja J 10 e tabela P 10
Momento de inbrcia de superficie polar , veja J 10
Momento de inercia centrifugo veja J 10
Momentos de inercia de superficie e eixos principais

Os momentos de inercia principais /1 = \
/max e /2 = /min sao aplicaveis ks segoes
assimetricas, quando sao rodados do \
angulo cpo.
§
2
p 43
2
mil
min
xy x I -e \S
21
p 44 tan /
H
Calculo de hy veja J 10 e J 11 . / v
Os eixos principais de inercia sao sempre perpendiculares entre si.
O eixo ou ( os eixos) de simetria e ( sao ) urn eixo ( eixos) principal

( principais) ; por exemplo: /1 = /x .
Flexao Pio
Momentos de inercia de superficie axial lx e ly e
momentos de resistencia minima Wb min x e Wb min y
(centra de gravidade resp. linha elastica , veja K 7)
lx , /y com relagao aos Wb min x, Wb min y rela - Forma da se-
eixos x e y tivos aos eixos x , y gao de area A
r 9 b -h ? 515 !
- mS0r*
w = b
p 45
*' _ 12
-
" b min x g
p 46
A fc 3 in'b min y - Ai&i
ly 12 * “
£
*= =
p 47 h * Jy ^b min x *nd
b min y
3 d3
32 * 10
-
=
p 48
^ b min x ^b min y
A n Z - d4
^D
32
'
* 10 Z?
p
p
49
50 Ix = Iy = 0,06014 s 4 - ^b min x - ,,
0 1203 ' a3
*= 0 6250 ' R
3
>?:
T
SA
= 0,5412 - «4
p
p
p 53
51
52
h - - - b*
% Q
4
^b min y
^£> min x
-,
= 0 1042 • 33
*
0,5413 - R3
% •a
4
b2
X
*-a -5
3
* • a2 -b
p 54
hm 4 ^ b min y 4
b A3 b A2
p 55 JT = ~ ~
' 36 ^ b min x
24
/x e Wfe mm x validos tambem para os triangulos X
quaisquer.
p 56 r
v . 46
wn b. min y «
tf _h
T
"
p 57
A 3 ( Q+ A ) *+ 2 ai)
'
36 a +b ~
p 58
A 2a b ^£> minA x2 ( a+ A ) 2 + 2 aA
B max * 3 a+ A
12 2a b
A Q + 25
p 59 ® min * 3» a + b
e /xo no c de gravidade
Teorema de Steiner : (Calculos dos mo -
mentos de inercia de superficie para
eixos paralelos) :
p 60 JB - B * + A a2
•
Deformagao de uma viga na flexao
p 11
Viga de segao constante
Equagao da iinha elastica
Para qualquer se - 9i
A
gao da viga ( veja P y (z )
5, calculo: ahnea 2 ) '
a equagao e :
V b(z)
p 61
ri 2 y ( z ) _ y ' Xz ) -
z)
- *E b J,
(
=
1
6z2 2
p 62 E I x - y" { z ) -
=
* ¥ zz d z
( )
b
p 63 b( ) C1
p 64 = - jj Mb z d z ( ) 6z + C , z Ci
9 : raio de curvatura da linha elastica no ponto z .
p 65 y' i z ) - tan ip ( z ) : inclinagao da tangente a linha elastica no
ponto z.
y { z ) - flecha da viga no ponto z.
Ci e C2 calculam- se com as condigoes nos limites.
p.ex . y{ z ) = 0. Nos apoios.
y ( z ) , * y{ z ) i+i. Na passagem do dominio / para o domi -
nio ( / + 1 ) .
y' ( z) = 0. No engastamento de uma viga engastada ; no
centro de uma viga simetrica.
,
y ' { z ) * y '( z) /+i. Na passagem do dominio / para o domf -
nio ( / + 1 ) . '
Trabalho de deformagao W p de flexao

Para um elemento de viga de comprimento t. 2
p 66
1 MtUz ) d z
E - Ix
X =0
A £
Para uma viga: /i 8
{ n dominios)
Zn
-I n
p 67 WF ,ot
1
2E
Mcl ( z ) dz, +
Mb 2 ( z ) d Zn
1= 0
*
TJ T> o T3
CD CT)
"J o CO 03
reaqoes Mb max no equaqao da linha elastica flecha yc em C

tipo de carregamento
nos apoios ponto ( .) .. arigulo deTlexao ym Max .
n7 JJ
(2 - 3f + f )
E
B
y
t
% A
f rA = r
* iffA - i
F- l (A)
y (z) *
tan
6 El
= - F lr
27/
^ ym
F i3
- 3r 7
a Q
§ »
1a
£D
/ t 3 a b2
^ (D >
^ Vc = 37/ l 2 l ? “O «
(C) ^ Trr
ab =
6« T7 &> 3
F
^1
S/ 2 ^^ 2
=
F _ P _b a _ z
1 1
67/ / / 2 / ^ a ab
2
.
* ym = yc
^K
1 +6 1 + 6
O
Q
(D
c
_ o
—-
Q)
a
ta
" ^ = £,(' +i) ym
= a
no ponto
1 +- b
3
0> O
r)
z
< 0)
Pa f *
v
8 -T
~~
afenpao: a>b
r* *, '
o
F
~
a / \ rA = r - FB *
se
4 ( A ) y ®
3
Q)
H -
——
4 /
=
fM = o !+£. a 6
b = 0 , 4 1 4 1 : i/ 2
0 ,17171 ( C )
^ 67/ 27/ x
£1) <
O
Q)
/1
atengao: a > b
F
* ^ 2 11
-0,17171 ( A ) tan <p g = 7 a2 b / ( 4 7 / 1 )
67/ 0)
b2 F b2 _
27I3 b 3 a2 / 1 l2
-raiy ( A ) y (z } =
6 7/ T
3
( ,
3 az 2 - 3 z + 2 y , ^ J^
3
'
37/ l 3 iH
26 -» l.
' '
( W-3z +2 y *,)
Vm no ponto
2 7 a2 "0
^ (5 - 2?) -7b a1y _ 3
- ( B ) y ? r 2 zj
67/ I2 3
= 21 • b
{^
” 2
z? =
2b 1
= Fa bVl 7
a2 b2
*A 271
i212
(C )
t an = t a n y>s = 0 Vc =
7
3
a b
’
ro
a /enpao: a o
-J
'
cn "-uJ -
CO
0
-4
NJ
rea oes MD max no equa ao da linha el stica

tipo de carregamento ^ ^ ^ yc em C
nos apoios ponto (...) Angulo de flexao
flecha
ym
F a l2
-
Max -
3}
\rA = rf ~F a - ( B ) i/i <Z \ ) =
6El Vm ,- 9 ]/ T E I
£ <D
CD
S' <2.
E \ FB ' P f +
6£I
r( 2 a l z 2 + 3 a z 22- z23 ) V /71 no ponto
z * 0 , 577 - l ,, i sa
,
tan ='
Fa l F a l <T»
0)
*0i
677 ; tan = 3 £ / yrr )7 ~ \JcF a~1
p’ P ^ ^ 0> 3
o O
—
2
*- -£?P < (
' y\ ’ /2 ( l + a)
tan
s7 2I * 3 a > 1EI Q.
0 Q)
ie q = const .
A /
\FA - ql
1
(A ) = <
2 4 f / U* * „ 4 +3 *£ V) ym
<7 Z 4
QE I
C
3
0
a
O
^-
9B <7 Z 3
-
i 2
< 0)
Pj
* " A * y <? i tan - 6T7
CQ
— i pz7 <7 Z 4 5 o Z4 03 3)
, i 7 ^.tfl
X q = const .
^9 fc )
njtJ
y ( z) * Vm ~ 3 Q
£ 2 8
g Z3
584 fT /
=0£ (D
—
A —B ,
tan = = 'tan
£ C 4 » 24 f
S' 2).
X
9B q = const .
I
/ -
to i q l 3
HA (A) y (2 ) « <7 Z 4
48 £ J \ Z
/z y
z3
l 3
z<
Z 4 ) ym =
q Z4
1 85 £ / 0
\f A -
“
3
<7 Z
Pc 0, 4 215 /
E
/
/ 5
i
~q
8
1
l
2
tan
*_ * 4 8 T7 y /7) no ponto
z * 0, 4 2 1 5 - Z
/ z
*Aw < Z
8 7
T <7 Z 4 / z2 .. pi
y (z) 2 3+
_ 3
ym = 9 Z
4
"O
1
\ EA <7 Z 2 24 E I \ 7 Z IV * 384 £I
\i
\A
i =const.
r *
/
*8 /
= q •1 /2
£f i = Q Z /2 -
-
g z V i2
12
9j _
(A B )
' tan <pA= tan <pg* 0
CO
7T ^ g • Z 2/ 12 24
(C) As
f6rmulas para y(z) eym nao ievam em conta as deformagoes
/ devido &s forgas cortantes.
7
Deformagao de uma viga na flexao P 14
Metodo de Mohr
Solugao grafica
1. Desenho da superffcie dos momentos fletores com o poh'gono funicu-
lar (veja tambem K 4 ).
viga original
plants de situagao | Diagrama de forgas
mL = . .
A
JS_ 811
• cm
5 -
<0 | K
mF - N
••' c m
2. Marcar as areas do poh'gono funicular como cargas distribuidas sobre

a viga . A construgao de um novo poh'gono funicular da as tangentes
& linha elcistica.
viga equivalente
I diagrama das lor gas equivalentes
P*
3. Flecha da viga original na posigao z:

N H*
y ( z ) * h*( z )
E I nF nA mf
p 76 .
Angulo de flexao nos apoios A e B :
_
rB - T 7 "V * A * L
H
P 77 t a n 9A * F / * F mA mL ® t a n jPfi = 2
Solugao analitica
p 78 1. Calcular as forgas no apoio FA * com as cargas distribuidas equivalentes
q = A\ + ... + An ( veja figura 2).
*
2. Determinar os momentos fletores M p { z ) e as forgas cortantes F * (z ) na
posigao considerada.
p 79 Kp*( z ) * •z - A(z )- Fq ( z ) - FA - A ( z ) ( v . Figs. 1 e 2 )
zA : distancia do centro de gravidade da carga equivalente A( z) na
posigao considerada .
p 80 3 . Flecha y (z) - . Declividade t a n p ( z )

E' l '
Contmua em P 15
Deformagao de uma viga na flexao P 15
Continuagao de P 14 (Metodo de Mohr )
Escolha da viga equivalente

A viga equivalente tem seus apoios de tal modo que o momento fletor
equivalente maximo Mb'max se encontra na posigao de flecha maxi-
ma da viga original.
viga original viga equivalente
A £ 8
viga sobre 2 apoios A
viga engastada A
t 8 B
Viga de segjao variavel
T
V
Fig 1 na
E
viga original , por •D
exemplo eixo
t
I z
Determinar os momentos fletores que se marcam como carga distribuida

q* ( z) numa viga equivalente cuja segao corresponde ao momento de
inercia maximo U max da viga original. (Veja P 14 , alinea 1)
q *(z) deve ser reduzida na relagao
t
p 81 q*( zF * mix
- -- -t j. V
' '
Fig. 2
viga equivalente
do eixo da fig. 1
I -.
Q
Continuar segundo P 14 (ah'neas 2 e 3) ou calcular com p 78 ... p 80

Vigas de igual resistencia a fiexao 16
Altura y - Flecha
Dimensao da resp. maxima Forma
sefao largura x f= da viga
p 82 h=
1/ 6 F I 6Fz
b ' 6 b adm b ' 6 b adm
c
1 -Q
7
- r>y
p 83 b ~
6F I
/l2 ' 6 b adm
6F z
h* ‘6 badm
6
b£
^ fir
3 q i2
p 84 h =
b ’ 6 b adm
z Jr
I b " l ’6 '
b adm
if U/
p 85 6 = Isil
-
y q l z2
A2 6 b adm h 2 ’ l ' 6 b adm
y g - i1
}
2
p 86 h *
4 ‘ b ' 6 b adm
I q l2
4 ‘ 6 '0 b adm
4
*\ 64 •£* /•
,3/
p 87 d=
3 2 -n J> 2 F z 192 F - l 2
X> 6 b adm ' 6 b adm 5
*
F carga concentrada
Q carga uniformemente distribuida sobre a viga
6b adm : tensao admissive! a fiexao (veja Z 17)
Vigas estaticamente indeterminadas P 17
Figure 1 <7
Substituir uma viga estaticamente inde-
terminada (fig. 1) por uma viga estatica- c
mente determinada (fig. 2) substituindo,
A 1®
por exemplo, um apoio por sua reagao Figure 2
de apoio ( Fc da fig. 2). / 1
37
Decompor nas vigas parciais 1 e 2. A
4 8
determinagao da flecha na posigao da 1* parte <7

indeterminagao (ver P 11 a P 15 ) .
C
A 8
yc i
Visto que a flecha e nula no apoio C,
2 * parte
tem- se: re:
p 88 | Veil = | yc ? | A
^= Cl
a
^
Em seguida, calcule a reagao de apoio em C, e as demais reagoes de
apoio incognitas.
Metodo de solu$ao de sistemas estaticamente indeterminados
viga estaticam. viga estaticam. parte 2 - parte
indeterminada determinada
l
ya
,
£
Ft
c
l
F2
> *. «
F
'i
F2
^sT
,
N >' —
sT7
A ;FC a >5 B A Fc 8
I >Cl I
a
r c
A 8
c .
F
*\B ' ^ B
" c Pa
A Fn « I
A
- >8,
A
'a »
I
F
I
n
F
i /3 I' aI
tT
A i
5
B
iW;> '
41
''
I I
I
x
Q : Wjff 1 MQ _ <7 Vcl
1 Ta i JcT \
1
7 C]
i i
vA
A B A
I
yc t
M4 j
2
A v
i
I; ; reagoes nos apoios estaticamente indeterminados
Cisalhamento P 18
Lei de Hooke para o cisalhamento
A T
p 89 r - G y F
G : modulo transversal
y : cisalhamento \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \
r
Relagao entre os modulos de cisalhamento e de elasticidade
£
p 90 0 , 385 -f ( segundo P 3 , com p = 0,3)
° * 2 1
( +u ) *
Tensao de cisalhamento media xa
fr
p 91 Xa * ~T = adm
A
Tensao de cisalhamento admissivel xa adm (valores, veja Z 16)

Tipo de carga estatica <3 Q. 2 / 1
( veja P 2) pulsante X"o adm ” 60.2 / 2 2 f
alternada 0 0, 2 /3,0
Tensao de cisalhamento xaB

Fmax
âB ' ~ ~
para metais ducteis: raB a
p 92
i para ferro fundido T0 B
“
Forga de cisalhamento F
ferramenta de code
guilhotina
furadeiras
,
*
I _
_ y |J
////S/Zcf//////// .
p 93 F ~ 1 ,2 T g
0
•
/ : comprimento de code;
l ' 3 F - 1 2 TQQ lu' s I
/u : peri metro de code 1
Teorema concernente as tensoes de cisalhamento
As tensoes de cisalhamento em duas
faces perpendiculares de urn elemento
sao iguais em grandeza, perpendicula-
res a aresta comum e dirigidas seja num
como no outro sentido .
p 94 ,*
T Tq
rq : tensao de cisalhamento perpendicular ao eixo proveniente da forga
codante Fq
r( : tensao de cisalhamento paralela ao eixo
Cisalhamento P 19
Tensoes de cisalhamento devidas as formas
cortantes ZA
F q (z) H„ ( z )
i p 95 T; = = T;
i
b (y) - It ( z)
U
p 96 H / z ) = ZlA ys
T; = 0 para 6 b = 60
ocorre quando ot> = 0,
isto e, no piano de flexao xz . V X
I
Tensao maxima de cisalhamento para diferentes segoes
r, -
n d< . =
* i
A
i T
4 da2 + da • d / + d; 2
3 4 3 dg 2 + d; 2
\ p 97
2 3 para tubos de paredes finas: (da = di): 2
Trabalho de deformagao em volume w

1 r2
p 98 w ~ - J
2
-y =
2 0
Deformagao por cisalhamento de uma viga

_ (z ) 2 ,6 - Mb ( z )
p 99 y *=
E A * + C *G Az
b( )
+ C =x
A constante C se calcula com as condigoes limites, por exemplo :
yT = 0 nos apoios .
p100 O fator x = A —— — <JA leva em conta

'
b ( z ) 1» <z> .
(A )
a forma da segao. Valores de x ' para :
I80 I 240 X 500
x = 1 ,2 1, 1 2,4 2,1 2 ,0
fq <zi '• forga cortante no ponto z da viga

Hx ( z ) : momento estatico da parte “cortada" considerada A com relagao
ao piano de flexao xz
Ix ( z ) :momento de inercia de superficie da segao total A com relagao ao
eixo x
b < y ) : largura de corte no ponto y
S A : centro de gravidade da superficie da “parte cortada ” A A
*
Torgao P 20
Generalidades
p 101 Tensao de torgao = < P adm
"
=
p 102 Momento de torgao
P : potencia a : distancia da borda

ao centro de gravidade S
Barras de torgao de segao circular ou anular
Angulo de torgao
i
Mr l 190° Mr l (v. e 5)
p 104 9 = IpG n Ip - G
Barras de torgao em degraus
-.,
p 105 9 =
T _
G
W hi - .- J 3.0
I
^ -Q S .4
-°
p 106 1®
°
TI G g IPi ( v. e 5) i
h i;
T
- "
l n ~*
t
Momento de Momento de Tensao de Forma da

inercia polar resistencia torgao max. segao
IP polar Wp T t max
x 0* 3
D
p 107
32
*16 e= 5 1"
' F
Q
s
p 108
32
DdA ) JL P *
16 D
» 5, 1 - *, 0 A D- d* T ¥
Barras de torgao nao-circulares cheias ou vazadas de
paredes finas
rl 180 M r l
°
p 109 Angulode : 9 = torgao *
1/ ' G n It ' G
Momento de Momento de Posigao e valor Forma da
inercia de tor - resistencia segao
gao A W\ de xt
em 1: 3 2
, 1 . Sxlf- - All
7?
/
f
'^
p 110 c • /i • b 3 - b-b c \ h b2 G
2 e m 2: rn ~ c3 - rf max i
hlb = 1 1.5 2 3 4
em 3:
6 8 10
rr 3 =
co
0 , 141 0,196 0, 229 0,263 0 , 281 0,298 0,307 0 , 312 0 , 333
0 < 3
—
I b
3
C2 0,675 0 ,852 0,928 0,977 0, 990 0,997 0 , 999 1,000 1, 000

c3 1,000 0.858 0,796 0 ,753 0,745 0 ,743 0 ,743 0,743 0,743
Continua em P 21
Torgao 21
Momenta de Momenta de Posipao e
inertia de tor - resistencia Forma da
pao It = valores se?ao
Wt =
i 3
em 1: rn -
a* a A3 20 Mr 13 Mr
p 111
46 , 19 20 13 a3 A3
p 112 em 2: rn = Q
p 113 em 1: rf ( = rt max
Mr i i
!
p 114 0, 1154 s4 - 0, 1888 ' a 3
= 5 , 297 •
s3 - o
p 115 = 0,0649 d4 - = 0 ,1226 d3 Mr i
! = 8,157 —dpr
3 U
i
- s
p 116 em 1: Tn - rt max 2
p 117 JL P ‘
3
^
3
71
d2 5 , 1- Mt 1 I
T
16 D 2 + d 2 TeD '
* D ' d2
Q
em 2: rf 2 = rfmax - —
d
2
i
p 118 em 1: rt 1
VI
)
T7> >
^
max
ft ( d^ d ) 7i _ n { d^- d / )
-
3 4 1
p 119 JL .
16 n 2 + 1 16 d
' 5 , 1- rd
n ( d 4 - d, 4 ) * Q
1
l
Q
i
p 120 D /d = Dj / dj = n l 1 em 2: rf 2 = rr max
d
2
J
para espessuras variaveis: ^ d
Unha
p 121
4 Am
em 1: rr , = rt max media
p 122 2 4m Mr fr
Vi
' S mm
2 ' Am ' Smin /
p 123 i = 1
i
em 2: r [ 2 = Mt
2 ' 4 TI ' S, A $ *
para paredes finas constantes :
/
*
H 2
p 124 4 Am2 - s Mr i
2 • Am s Tr = smin /
Um 2 ' Am ’ 3
Perfis formados
= Mt
3
^ 3 Ama * i=1
r r max
#7
de segoes
retangulares
p— A , — H
fator de corr. de A . Foppl no meio do lado
maior h da superfi -
i
n- J
L m2
1 n: 2 .o
p 125
•7
- 1.3
c
*1 . 0
-
n 3
+
1,12
n=2
ne retangularde es -
pessura t>max ( p . ex .
ponto 1 nos dese -
nhos )
A
-c: i
-c
c
< n < 1 , 3 1.17 —-J
7 1 J
A3
4m : area hachurada, compreendida na linha media
Um : comprimento da linha media
s , ( sr' ) espessura da parede (espessura minima }
in
dUi : comprimento parcial da linha media onde Si = constante

Flambagem P 22
Tipos de fixagao
i
i
i
77T7/
i
Ik = 2 - 1 Ik = I Ik = 0 , 7 0 7 - l Ik = 0 , 5 * i
Formula de flambagem segundo Euler
Tensao de flambagem valida no dominio elastico:
6 k = 6 d o.oi
Forga ou tensao minima para a flambagem:
p 126
„ 2 E -I 7
*
^
- = it hE 2 l mAi n
mm
p 127 F m = r - vk ; 6 k = - adm ' Vk
h2
p 128 carga permanente adm. r = r / Vk „
p 129 grau de esbeltez
p 130 grau de
esbeltez limite
Formula de Tetmayer
^ g o,o i resp. ^ 90 2,
u
valida no dominio 6tf 0,01 = = 6d 0.2
p 131 6k = a - b A C ' A2 = Qdadm '
Vk
Matenal a b c valida para

N/mm2 A =
ago doce St 37 289 0.818 0 60 . ..100
ago doce St 52 589 3.818 0 60 . . .100
terro fundido 776 12 , 000 0 ,053 5 . . . 80
pinho 30 0 , 20 0 2 . . .100
carvalho 38 0 , 25 0 0 . . .100
Calculo 6k
Determinar primeiramente o 6 d 0, 2
momento de inercia de super -
ficie necessaria segundo Eu - 6d 0.0
ler : '
r ~- ik 2
p 132
^ mi r =
u rVk A N v \ \s
t>
-y/ /
sem ‘
Uamoaqemf'’i0^lass/arnf > Flambagem

} !
/
/
Em seguida, escolher o perfil, eiashca
isto e / e A. 5 0,2 Ago Oi. A

Continua em P 23
Flambagem P 23
Continuagao de P 22 ( Marcha do calculo)
vK 3 . . . 5 no domi'nio Tetmayer
4 ..6
. para grandes
no domi'nio Euler para pequenas maquinas
vk 6. .8.
para grandes construgoes A vorh calculado p 129

para pequenas construgoes A 500 , e . conforme p 130
* go 2
Tensao de flambagem ou de compressao:

Avor h = conforme p 127
^ 9 0 01,
A g o. 0 ) > Avorh = A 9V conforme p 131

Avorh < conforme p 8
^g0 2 ,
F
Se 6k < j~ vk
~
> escolher uma segao transversal maior.
Metodo co ( DIN 4114 )

Recomendado para a construgao de pontes, edificios, estruturas
metalicas e gruas.
Qdadm tensao admissfvel de compressao
p 133 coef . de flambagem co =
vkadm tensao admissi'vel de flambagem
p 134 6(j - In
F ,
S <xJd adm com w = /(A )
coeficiente de flambagem co para

A St 37 St 52 Al Cu Mg 1 ferro fundido
20 1 , 04 1,06 1, 03 1,05
40 1.14 1 ,19 1,39 1,22
60 1,30 1 ,41 1 , 99 1 ,67
80 1,55 1,79 3 , 36 3,50
100 1,90 2,53 5 , 25 5,45
120 2 , 43 3 , 65 7,57
140 3 , 31 4 , 96 10 ,30 domi'nio
160 4,32 6 , 48 13 , 45 nao utiliza -
180 5 , 47 8 , 21 17,03 vel
200 6 , 75 10,31 21 , 02
Marcha do calculo:
Avaliar co e escolher a segao transversal A , /min e X de p 134;
em seguida , determinar A; repetir os calculos com novos valo -
res de co.
Composigao de tensoes
p 24
Composigao de tensoes normals
Flexao biaxial com forga normal

Somar as tensoes o devidas a3
as flexoes e as forgas axiais. 1
Fx - F - c o s A
p 135
p 136 Fy = F c o s
a
/
' \
P* 7
§£
e
^ ^7 a
A B
Ft a \
p 137 Fz - F cos y
V
p 138 c o m c o s 2 a + c o s 2 /? + c o s 2 )' - 1 . F F
>
Para cada ponto P ( x , y) da segao transversal B1 B2B3B4 tem- se a
tensao resultante normal na diregao z:
p 139 6 ,,n A
y x
Observe os sinais de x e y. Se Fz for uma forga de compressao, os

angulos a, p, ey estarao em quadrantes diferentes. Para o sinal do
co -seno, veja E 3.
As vigas longas sujeitas a compressao devem ser verificadas &
flambagem .
A fibra neutra com az res = 0 e uma reta:
p 140 y = - IF* h .,
r
X
ly / Fy A l
que intercepta os eixos em:
p 141 Fz lx
*0 Fx A-1 ’
’
Fy A l
Decompor segundo as diregoes principals ( ver P 9 ) para as segoes

assimetricas.
Flexao axial com forga normal

Fx = 0 ou Fy = 0, conforme as formulas p 139 ... p 141.
Para a tragao a fibra neutra se compressao
flexao com desloca para a
compressao zona de tragao
p 25
Tensoes em vigas de grande curvatura ( F? < 5 h )
A segao A , a mais solicitada de z
uma viga de grande curvatura % eixo passando pelo c.g
J .
I
esta sujeita aos esforgos Fn e A /
sfibx
‘
Mbx ( veja P 8) . /
K
M07
y
A distribuigao de tensoes sobre
a segao da : Ora
/ \
F
z
p 142
Mbx y
A R R+ y —~ y'
Tensoes de borda: 1
_ Fn + Mbx kij
p 143 A
6 r -
° T —
A "R R + |e | , rj (5 7 adm
p 144 6r i = Fn
A * R - |e 2 | = 6z adm
Formulas do fator de corregao Z;

h
1 + -r -r -
/t
- e R
p 145 Z = b - R 3 In
2F
A R
1
2R - J^ \%V 2 -
1
e R
1
I
p 146 2
Z * e2 n F
1
IMF I
R
p 147 z = »* 1 +
A F ( a - £> ) '
1+
«1
* In
R -b Q (a » b) A
2R2
1
1 -i
F * 2
Posigao do centro de gravidade, ver K 7

- ei
1
2A R
3+
p 146 z In
F
b
R — — ei
Composigao de tensoes P 26
Composigao de tensoes tangenciais
Desprezando- se as tensoes de flexao (barras muito curtas), as
tensoes de cisaihamento e de torgao se somam vetoriaimente em
qualquer segao considerada.
A tensao tangencial maxima xres ocorre no ponto 1 e atua na segao

transversal plana.
Tensao tangencial maxima ires no
ponto 1 Segao transversal
-
p 149 5,1 • n 1,7 - F
d1
+
d2
c
âdm Tf mat -* / ft
com M
1= ' 4,
l
p 150 4 , 244 •
T adm
^
F
2
5,1 M ' D D 2 +Dd+d 2
p 151
O4 -d 4 + 1 ,7 F - O 4 d4 - = Tadm
p 152
com H
s'
- F ±
2
4 , 244 • D 2 +
:•
1.7 - d( 0+ d )
T mat -
D4 - d4 = Tadm
para paredes esbeltas:
p 153
5,1 • MD 2,55 • F
O 4 d4 - O 2 d2 - = Tadm
2 P 2 + d2
p 154 2.55 Z’ • •
04 d4 - *=
r.adm
I
F
£i
* + 1.5
•
p 155
c , £> 2 /i 5 /1 r.adm
com M ~ F — :
p 156 <? 2
- -
2 5 h c ,+ 3 » Tacjm
Tt adm tensao de torgao admissi'vel (veja Z 17)

tensao de cisaihamento
^9
mu tensao de cisaihamento maxima real
para ci e C2 veja P 20
F : forga de torgao
M : momento produzido pela forga de torgao
p 27
Composigao de tensoes normals e de cisalhamento
As constantes da Resistencia dos Materiais se determinam com ensaios
normalizados simples. Para 0 calculo de casos complicados (tensoes em
eixos multiplos, por exemplo) , define - se uma tensao equivalente, de um
unico eixo ov com a ajuda das hipoteses da Resistencia ( veja P 29). ov vale
conforme 0 tipo de carga:
Cv < (Tz adm OU (Td adm OU Ob adm
Estado de tensao biaxial ou plana
Um elemento esta sujeito a
esforgos normais esforgos de corte
oz na diregao z Tzy Tl no piano y-z fC^
ay na diregao y tzy = rj
Girando o elemento dado de um angulo cpa, este
estado de tensao se transforma num outro estado r/ * Oz
simples, com tensoes principals normais, chamadas:
Tensoes principals normais
p 157 „ *
2
y
6 62 « 0 , 5 ( 6 + 6 / ) ± 0 , 5 ( 6 z - 6y ) + 4 r
2
Diregao da maior tensao principal normal ai

2T *> Apos a rotagao as tensoes de ci -
p 158 tan 2 T , tem - se as

tensoes principais de cisalhamento
p 159 , ax frr \ i n =
Tm j
t t 0 , 5 ( 6, - 6,)
As tensoes normais atuam simultaneamente :
p 160 6 M = 0 , 5 ( 6 + 6 y ) = 0 , 5 ( 6 + 62 ) ,
*
Diregao da maxima tensao de cisalhamento xmax:
»)
6z - 6y
p 161 t a n 2 <fx = “
2T
O angulo entre as tensoes principais normais e de cisalhamento e de

°
45 .
*) A solugao da 2 angulos. Os valores extremos das tensoes principais
normais ou de cisalhamento sao respectivamente perpendiculares
entre si.
Composigao de tensoes P 28
Estado de tensao triaxial
-
Podem se substituir as tensoes quaisquer Gy X
*Y Tyx
pelas
7» TJJ ~= Txz
hr Ty
Tensoes principals rr/ *
normais 01 , a2, 03
Sao as 3 solugoes da equagao:
p 162 61 - R - 6' 7
‘ + S 6 -T = 0
p 163 com R = 6, 6 y + 6Z
p 164 S = 0
* 6 y + 6 y 6 z + 6 / 6, - T, 2 - TyJ - T „ 2
p 165 T - 6 x 6 y 6/ + 2 7 yzTzx ~ 6 TyZ 2 ~ 6 y Tzx ~ C> z T«

*
'
/
Determinagao das 3 solugoes a 1 02 e o 3 da equagao cubica p 162:
f
Faga a equagao p 162 = y , substituindo o 0 da equagao p 162 por

y . Em seguida desenhe y(o ). Os pontos de intersegao com 0 eixo
zero dao a solugao . Substitua esses valores em p 162 e obtenha
valores mais precisos por tentativas e interpolagao.
,
Com a > o 2 > a3 tem -se a tensao maxima de cisalhamento:
7max ~ 0 , 5 ( (7i O3 ) .
Flexao com torgao dos eixos de segao circular

De acordo com a hipotese da energia de deformagao maxima:
p 166 tensao de comparagao 6 v tot

f a’ * X a o - r, / 6 b adm
p 167 momento de comparagao M v lot

- y *^ 0 , 75 ( W
Para encontrar 0 diametro do eixo , determina - se o modulo Wx da
segao necessaria conforme :
p 168 ^ vGe
* rl 6 b adm
tensao de flexao real

T
^6 : tensao de torgao real
Pth : momento ftetor real
momento de torgao real
aD : conforme P 29
\
Hip6teses de resistencia da maior
tensao normal tensao de cisalhamento energia de deformagao ) *
JJ
estado de
tensao tria -
tragao: 6 , > 0: 6 VN “ , 6 = 6 max
6yS — 2 Tmix ~ Ol d 3— <W - Vo
+ ( d2
# 5 [ ( 6, - 62 ) 2 +
- 63 ) + ( 63 6, )
2 2
n>
</>
xial compr.: 63 < 0 : 6 vN = <53 = 6 min “
O W
tragao: q, > 0: 6 VN * 6 , * 6 mix O
3 <D>
estado de
tensao bia-
[ ^ d> )+y(6,-6r) +4 (
“ 0,5 ( y
2
ffo -r )*] 6vS ~ 2 rmax “ 6, - 62 6 vGe = Vo,2 <$ 22 “ ,
6 62
'
6 3
-
o O
y(<,
S - 6r) + '
^ - 67 - 6 y + 3 ( a T )2 </>
- QQ .
2
xial compr.: 62 < 0 : “ 62 - dmin
6 vN
,
=
* (ao - nJ = 6 / + 6 y2 0
o’
&> »
)
, [
= 0 5 (6 z+ 6/) -V ( 6 - 6 )2 + <i( a0 - r 3
^
/
O
z 8o
CL
casos igual &o 3 1 ao * 1 a0 = 1
de car -
..
Qadm I II HI 6 adm I, U, III G adm I, II, III S 3
ga (I,
dife- Go *
* . . .
Ta< n 1 II HI
G0 =
.
2 Tadm I II, III “ o = 1 , 73 - tadml II Ill.. o< Q
..
)
para o rente dim I, M IN ..
Clim I II Ill Oadm I II Ml CD
<^
- ..
w
e1 .
CThm I, II IN 2 thml II Ill 1 , 7 3 x)iml, M, Ml D
tipo de compressao de mate - todas as deformagoes dos cor- fi>
tragao, flexao, torgao dos mate - rials ducteis e quebradi- pos tenazes:
esfor -
apli -
ca - go e
rials quebradigos: ferro fundido,
vidro,
.
gos. Tragao flexao, ago laminado, ago forjado, </>
mate - torgao do ago com zona ago fundido,
gao pedras
em rial de fluencia aluminlo, bronze
falha fratura de deslizamento, ruptura por deformagao lenta,
esperada por
ruptura por separagao
escoamento, deformagao deslizamento, escoamento "0
* boa correspondence com os resultados de ensaio.
)
(7,, o , 03 veja P 27 e P 28 ro
2 (O
<Ti „ n , Tiim sao as constantes dos materials, por exemplo Rm , TaB
Elementos de maquinas 1
Parafusos
Parafusos de movimento: ( ver K 11)
Parafusos de fixa9ao
Ligagao por parafusos ( calculo aproximado)
protendidos
forga axial FA forga transversal FQ
Q 1 As
_
Fmax calculo pelo atrito
6 adm
rKerf
q 2 Frna * = ( 1 , 3 .. . 1 , 6 ) FA = ( 0,
25 .. 0 , 5 ) /?P 0, 2
(considerando o diagrama de exten -
sao de carga)
q 3 ..
6 adm = ( 0 , 25 . 0 , 5 ) Rp Q 2 '
_ VFQ
(considerando a torgao e a
erf (i - m- n
seguranga) ( valores de p, veja Z 7)
Ligagoes parafusadas fortemente solicitadas (veja VDI 2230 )

Console (nao e possivel o calculo exato)
Hipotese prati-
ca : centro de
FU /
-* FA I
F
pressao = cen- - -E 0 <&•

tro de rotagao, - -E zd- &
sLi
I
p.ex. - E
q 4 a - h/ k . ii o-
Para uma ligagao rigida:
,
Ffl b ] + F/ j 2 > 2 + ...
q 5 F* l =
: .. .
'
*
F,a n = by : b 2 ... 6n
q 6 FAI : 2
Levar em conta a forga FQ = F. Existe uma tensao de compressao sob

carga no piano da ligagao .
A3: segao do nucleo djY
As : segao de tensao "
1. A* ? +
4 2
FKerf : forga de fixagao exigida
.
m : numero de parafusos exem- m = 3; n = 1
pts m = 3; n = 2
n. : numero de cortes
+
v : seguranga ao deslizamento [ v = 1 ,5 ... ( 2 ) ]
Fpq 2. • limite de tragao d 2 : diametro nos flancos
(3 adm : tensao de tragao admiss. d3 : diametro do nucleo
Elementos de maquinas
Eixos e arvores 2
Eixos e arvores (calculo aproximado)
Estabilidade
Momento resis - Eixo pleno Tensao nominal
Eixos tente a flexao ne - com segao
de flexao
cessario circular admissivel2
(equatorial) = d 1/ 10 )
^
1) 6 b puls
•4
q 7 fixo 6 b adm —
q 8 Wb erf ~
Kb -
10 M b ( 3. . . 5 )
6 b adm 6 b adm 6b w
q 9 rotativo 6 b adm =
( 3. . . 5 )
Momento resisten - Diametro da

Arvores te a torgao neces - arvore plena
Tensao de torcao
sario ( polar) admissive !2 ^
( Wp ~ dV 5 )
torgao Tt puls
-l T r
q 10 adm
pura T ( 3... 5 )
q 11
torsao +
Wp erf "
7t adm
» -
t adm puls
q 12 adm “
flexao ( 10 ... 15 )
Pressao superficial
simplificado efetivo
£
na es - F F
q 13 piga
( veja Z 18) I:
Cisalhamento pela forga cortante: calculo desnecessario se :
numa segao circular: / > d/ A
numa segao retangular: / > 0,325 - ft
Deformagao devido a flexao ( veja P 12)
devido a torgao (veja P 20)
Oscilagoes veja M 6
1
^ Deve - se dar preferencia a eixos fixos, pois so sao consideradas as cargas
fixas ou alternadas e perfis (I, D) .
2)
Em ob adm e T adm estao incluidos: fator de forma , de rugosidade, de
grandeza e de seguranga.
Em iadm tem-se tambem momento fletor.
I : brago de alavanca da forga F
Mb , T : momento fletor e de torgao
Pm, (Padm) : pressao superficial media (adm.) . (padm veja Z 18)
Pmax veja q 47 para mancais hidrodinamicos lisos; outros casos, veja Z 18
puis > 6b w , “Ttpuis Valores, veja Z 16.
Ligagoes cubo de roda-eixo
3
Ligagoes por atrito
Elementos comerciais ( por exemplo: molas, discos, luvas Spieth
dispositivos de aperto etc) : veja as especificagoes dos fabricantes.
Ajustes de pressao : DIN 7190 (determinagao grafica) .
Ligagao de aperto IFr

T
T•v
q 14 rn =
p d i
atua como articulagao

semi - rigida
Ligagao conica
q 15 Cone 1 : x = (D - d) : l
Para extensoes de eixo conicas ,
veja DIN 1448, 1449.
Formula aproximada para a forga
axial F A da porca:
2- T - v
q 16 f'A
“ V - dm tan
D + d
If * !)
q 17 dm ~ 2
Ligagoes especialmente usinadas

Elementos comerciais (por exemplo: perfil poligonal) veja as especifi-
cagoes dos fabricantes .
Chavetas (calculo aproximado)
O calculo e baseado na pressao superficial na ranhura do material
mais fragil. A altura da chaveta e te e leva em conta o arredondamento
do eixo e da ranhura n .
O comprimento portante / e: a
2•T
T T
q 18 l
d
* 2 padm
Dimensoes conforme DIN 6885 , preferivelmente Folha 1.

Tolerancia para os arredondamentos: Forma A.
Calculo exato segundo Mielitzer, Forschungsvereinigung, Antriebs-
technik e. V . , Frankfurt , Forschungsheft 26, 1975.
Continua em Q 4
Simbolos veja Q 4
Ligagoes cubo de roda-eixo 4
Continuagao de Q 3
Eixo ranhurado cubo de rods
q 19 2T
l zi
dm • h • <p n p adm
D + d
q 20 dm -
2
q 21 h - g -k
A carga nao se distribui igualmente em todas as superficies. O fator <p leva
em conta essa desigualdade.
tipo de centragem <P
centragem interna 0,75
centragem nos flancos 0 ,9
Dimensoes das se oes , veja DIN ISO 14, DIN 5464.
^
Dimensoes dos cubos de roda
Determinagao conforme o diagrama da pagina Q 5.
Exemplo: pede - seencontrarocomprimento L e aespessura sde umcubo
de roda de ago fundido e chaveta plana de ajuste .
1. Determinar o dominio adequado "comprimento do cubo
de roda L , ago fundido, grupo e" , seguindo as linhas limite
ate 7 = 3000 Nm.
Resultado: L = ( 110 . .. 140) mm .
2 . Determinar o dominio "espessura do cubo de roda s, ago
fundido , grupo 1" . seguindo as linhas limite ate T = 3000 N m.
Resultado : s = ( 43 . . . 56 ) mm .
Fr : forga normal a superffcie de transmissao

I : comprimento de suporte da ligagao
n : numero de ranhuras
v : coeficiente de atrito de deslizamento (veja Z 7)
v coeficiente de seguranga ( veja Q 1)
9 : angulo de atrito (p = arc tan p)
Padm : pressao superficial admissivel. Calculo aproximado:
material padm N mm‘2
ferro fundido 40 . . 50 .
( em casos especiais
ago, ago fundido 90 . . . 100 valores mais altos )
Molas 6
Constante R e trabalho da mola W
caracteristica
qualquer const. ^
( T)
q 22
dF F
R
ds 3
31
q 23 F -~ 0
0J
2 s ( )
* 0 S, s
em paralelo em serie
montagem das molas
I Ftot ! is tot
Ry
Q
I F tot
'S/, / =/ / 3 ,/ /=/ /S / / / / / / /
/
q 24 3 lot 3 .. . ^ 3 , S , + 32 + SJ -.. Si
= r, F2 + r 3 .. . + rt r2 r3 . ..
q 25
^ lot
* * * *
q 26 R .
«10 * «, + « 2 + «3. . . + i
*
1
/? , +
«2
1
+ ' *
1
R;
Molas soiicitadas a flexao e a compressao
p. ex .: molas anulares (tipo Belleville)
Molas soiicitadas a flexao

Molas retangulares, trapezoidais, triangulares
lit vt
/ I
O y
ii i
Q y
M /
q 27 tensao de flexao 6b *
p 6Q * /l2 • 6 b adm
q 28 carga admissivel
6*1
q 29 curso da mola s - 4v I3 F -UP
60 - 3 £*
*o > ^molas retangulares
fe /
V Aj 11
*
' 000111,
0.8 0, 6 0,4 0, 2
,054 1,121 1, 20211.315 J 1,5
2 2 molas
^ triangulares
Continua em Q 7
Molas 7
Continuagao de Q 6
Molas de laminas superpostas
As molas de laminas podem ser substituidas por molas trapezoidais
cortadas em folhas e redispostas ( veja o esquema com duas molas
trapezoidais em paralelo)
de largura total : i
F F
,1
q 30 b0 = z - b
z numero de laminas. 1 2
3
4
Entao, {como q 28): 2F 7 6
5
b 0' h 2 - CTb adm

F « JL
q 31 -
6 l
i T
Se as 2 laminas 1 e 2 (como
mostra o desenho) tiverem o
mesmo comprimento de mola
°
o r
<
q 32 b ,= 2 b
T
Este calculo nao leva em

conta o atrito. A forpa transmitida aumenta de 2 a 12% devido ao atrito.
O calculo exato, e feito de acordo com “Merkblatt 394 , 1 - edigao 1974
M
da "Beratungsstelle fur Stahlverwendung, Dusseldorf " .
Molas de disco
Diversas caracteristicas sao
obtidas atraves da combinapao
de n molas no mesmo sentido e
/ molas no sentido oposto
^
15
£
q 33 Ftot - R Fsing
q 34 S(ot ~ 1 Ssing
'
0 Percurso da mola s
DIN 2092 calculo exato de uma mola de disco isolada

DIN 2093 dimensoes e caracteristicas das molas de disco.
Materiais : Ago forjado a quente para molas segundo DIN 17221 ; por
exemplo, para molas laminadas “51 Si 7: 50 Cr V 4" .
Modulo de elasticidade E = 200 000 N/mm2.
2
Gbadm : estatico 910 N/mm ,
alternado (500 ± 225) N/ mm2, sem pelicula de laminagao,
melhorado.
Continua em Q 8
Molas 8
Continuagao de Q 7
Mola de bragos: O desenho mostra uma mola cujas duas extremidades
sao livres. Esta mola gira sobre uma espiga. Positivamente, as extre-
midades engastadas sao
melhores.
carga adm.1 ) Wb Obadm

q 35 Fadm ~
r
Frl
q 36 angulo de Q = IE
S
deflexao
q 37
comprim. das espiras )l ~ Dm - if
*
if : numero de espiras
E preciso uma corregao adicional da deflexao no caso de bragos longos.
Calculo exato: veja DIN 2088.
Molas funcionando a torgao

Barra de torgao
tens, de cisalham. carga admissive! angulo de torgao
q 38 T "
5 T
d3
T -
xtadm
d3 T It
5 = Q Ip
- w -
10 T I t
5 0 • d 4*
1 / : comprimento da mola conforme o desenho
Tensao adm. xt adm e limite de fadiga xo em N/mm2
estatico oscilante 2 ^
q 39 nao pre-carregado 700 d = 20 mm 500 ± 350
ttadm
pre -carregado Tn —
1020 d = 60 mm 500 ± 240
xm tensao media; XA: tensao no limite de fadiga
:
Calculo exato para o comprimento da mola veja DIN 2091.
1 ) sem levar em conta a tensao resultante da curvatura do fio.

2 ) area retificada , granulada e pre - carregada , veja DIN 17221.
Continua em Q 9
Molas 9
Continuagao de Q 8
Mola helicoidal cilmdrica (mola de tragao e de compressao)
*
f $ Di
+4 D
Fc teor
Fy F Fn SFQ
< F\ Fr \ F
\\^ N
\
com / ( sem ) —
mola de compressao mola de tragao s protensao interna
q 40 Relagao de enrolamento D/d = 5 ... 15; D = { De + Di) /2

Solicitagao estatica
mola de compres. mola de tragao
~
~
f
3
> / 8 X Fcteor
q 41 Dconhecido d
f ’ tacfm
D
d > 8 Fn D
X ' tactm
q 42
q 43
D incognita, estimar
D/d
deflexao max. adm.
d
Y 8 ' Fcteor
ft • Tjdm
Sc ~ >5*4
D
d
n> y 8 ‘ Fn
ft ’ tadm
D
d
q 44 soma das distances SA - x d n

entre as espiras da com = 0, 2
* - 0, 7
mola para D /d = 4 - 20
numero de espiras ati- s_ G • d4
q 45 n = '
vas F 8 D2
tensao de cisalham. iadm = xcadm = 0,56 Rm xadm = 0 , 45 Rm
admissive! ^
4
ver diagrama diagrama x 0,8
* para maiores exigencias, ver DIN 2089
' 140G
5C : deflexao tedr . no mola enrolad a a frio
comprimento do
bloco
11
1200 V apo de mola ctrc . DIN 17223

patent Fc de mda especial. Qasse A.B.C II
Fc teor Forga teorica C\J
'
E 1000 •••Fio de mola temp para valvulas ,
na mola no compn- |
ho de mola temperado
mento do bloco
rc adm : Tensao de cisal . no E* 800
bioco ( Mola com-
® c
prim . ) i600 A 8
3 500 a
W 0 2 U 6 10 12 14
Solicitagao oscilante: d em mm
Levar em conta o fatorde corregao kda curvatura do fio e os limites
de fadiga dos agos de mola ( veja DIN 2089) .
Mancais 10
Mancais de rolamentos
Calculos, cargas e dimensoes, de acordo com os catalogos dos fabri-
cantes.
Mancais deslizantes
Mancais deslizantes radiais, lubrificados hidrodinamicamente ,
estacionarios ( veja DIN 31652 )
Objetivo do calculo
Nao ha aquecimento
nem desgaste intole-
T
ravel; a separagao
da arvore e do man-
cal efeita porfilme de y i
oleo.
P max
distribuigao das pressoes rtas sepoes transversals
e longitudinals
Relagao comprimento /diametro B /D
0 0,5 1,0
B /D
1, 5 2,0
I I 1
'/ / / // / // // vJ/////Z/. 777777777/. 77777777,
motores bombas, mancais lubrif .
de auto e maquinas - para turbi* com
aviao ferramen - nas a va - graxa
tas, por de
engrena - navio
gens
Propriedades gerais
mancal estreito mancal largo
grande queda lateral de pressao, pequena queda lateral de pressao
bom resfriamento com adequa - em cada extremidade, e por -
do fluxo de oleo; tanto, alta capacidade de car -
excelente para frequencias eleva - ga;
das; poucos recursos de esfriamento
forga transmissora reduzida em perigo de compressao das ares -
baixas velocidades de rotagao tas
Continua em Q 11
Mancais
Continuagao de Q 10 (mancais lisos)
Compressao superficial pm, pmax
q 46 compressao media 8
P
la 7
q 47 compressao maxima Pmax <5 dF
^ *
6 6
a
5
pmaxdepende da espessura relativa u
da pelfcula de oleo 6 ( veja numero
de Sommerleld q 56 ). 3
O diagrama ao lado dci a relagao
entre a pressao m& x. e a pressao 2
m 6dia em fungao da espessura da
pelfcula de oleo. (conforme Bauer 1
VDI 2204) .
0
0 0,1 0, 2 0, 3 OA 0, 5
5
(
Jogo do mancal s, jogo relativo do mancal y

q 48 s ~ D -d ; V = a /D
representa o jogo relativo do mancal em funcionamento ( compreen-
vi/
de dilatagao termica e deformagao elastica ) .
Valores usuais de y = (0,3 ... 1 ... 3) 10 3 1 )

-
q 49
Criterios para a escolha de y :
valores infer. valores super.
material do mancal moles duro
(p. ex. metal branco) (p. ex . bronze)
viscosidade do oleo relativam. baixo relativam. elevado
veloc . circunferencial relativam. baixo relativam. elevado
pressao superficial relativam. alto relativam. baixo
relagao entre os lados B/D < 0,8 B/D > 0.8
apoio auto -regulado rigido
q 50 Valores min. para plasticos y ( 3 . . . 4) 10- 3

q 51 metais sinterizados y ( 1.5 . . . 2) 1 0 3 "
q 52 1)
mancais lisos engraxados y = ( 2 . . . 3) 10 " 3
Continua em Q 12
Mancais 12
Continuagao de Q 11 (Mancais lisos)
Espessura mm. da pelicula de oleo Ai0 iim em
teorica efetiva
q 54 ho hoiim = flexao da arvore + 0 lim = [( 1) . . . 3.5 . . . 10 . . . ( 15) ]
^
deformagao do mancal + soma
das rugosidades
( RZB + RzS)
I
casos espe -
n I
peq. I grande
i ciais, p. ex . diametro do
mancal das bie - eixo
I< las dos autos
CD
Nf T
0:
Espes. relat. do film de oleo 6 Excentricidade relativa e
ho « 2 h 0 e "
q 55 «5 = e = 1 -6
s/ 2 y/ d - s/ 2
Para mancais estaticam. carre -
gados: 5 < 0,35
senao, mstabilidade
Num. de Sommerfeld
S0 ( adimensional)
P V2
q 56 So = 0 e1 U
Acha- se 5 e ho
introduzindo o
valor So no dia-
grama ao lado.
Admitir qef em
primeira aproxi-
magao a tempe -
ratura de saida.
Uma boa esti-
mativa e:
fet = o,5 ( h + te)
2
4
0.002
Continua em Q 13
w
Mancais
Continuagao de Q 12 {mancais lisos)
Fluxo de volume Q do lubrlficante
^
A lubrificagao hidrodinamica exige teoricamente (para valores exatos ,
veja DIN 31652) :
q 57 - 0, 5 B - u ( s - 2 • he )
Regras: Condugao de oleo, se possivel & parte alargada do mancal.
Velocidade do oleo: v
q 58 Nas linhas de abastecimento: v = 2 m/s ; pe = 0,05 ... 0,2 MPa
q 59 Nas linhas de retorno: v = 0,5 m/s ; Pe = 0
Nenhuma ligagao das ranhuras de oleo com a pressao externa ;

ranhuras no mancal (profundidade = 2 s) . Pequenas ranhuras para
as altas pressoes. Fazer ranhuras maiores para uma melhor elimi-
nagao de calor. Nao deve haver ranhuras na zona carregada!
Eliminagao de calor
Exigencia:
q 60
Potencia de atrito Pf = p F u = PA ( taxa de eliminagao de calor
(Calcular p por meio dos seguintes diagramas, e So por q 56)
500 • Nr . BID 5
e Vf k
"
Til11/'
'
- -
200 - 1/ 1 .
I
2 1/ 2
2
iii ..
100 - 3 1/ 3
4 1/ 4 v/ j
PISTOL \'
a. iSHifru- :: :
50 : 5 1/ 6 :
6 1/8 1-
20 • r i6.5 4
10 :r Sm;r - • -
ii . i.r.
4 tf +Sb - /- f -T lRH
\
$s
*
5
2
0, 2
•
i 1
.
ii
.rr;rr ;
•
*
1
> 2 1'
\ 0.1
.r
ii SSM[ t
0 ,01 0,02 0,05 0, 1 0,2 0,5 1 2 5 5 10 20 50 100 200 500 100
So So
Remogao de calor por convecgao na area superior A da carcaga

q 61 = A - ta ) com a formula empirics para k
A (equagao gradua-
W/ ( m2 K )
= 7 + 12 da para unidades)
Sfmbolos, veja Q 14
continua em Q 14
Mancais 14
Contmuagao de Q 13 ( mancais lisos )
Se a area da superficie A de remogao de calor for desconhecida
os valores aproximados para o mancal reto:
H
q 66 A ^ n’H
Sendo r\ sensivel a temperatura, e a temperatura do oteo for

desconhecida inicialmente , utiliza - se o metodo iterativo para esti -
mativas preliminares e sucessivamente aperfeigoadas de fe por q
61 ate , conforme q 60, PA = Pf .
Calor removido pelo lubrificante PQ:
A circulagao de oleo , se necessario com resfriador de oleo ( a
convecgao, e a condugao de calor sao desprezadas):
* 5 ' C '
f ( t 2 - * ,)
q 69 Valores -guia para os calculos simples para oleos minerais:
q 70
c - g s 1, 8 - 106 J m'3 K
-1
Simbolos para mancal liso:

c : capacidade termica especifica
^hc !: :espessura
0 min. do filme de oleo em funcionamento
espessura minima admissivel do filme
lfT1 lubrificante
A : coeficiente de transmissao de calor
pe : sobrepressao no fluxo de oleo
P , Pmn ’• pressao superficial media, maxima
s jogo do mancal
temperatura de operagao da superficie da carcaga
*
ta
B
temperatura ambiente
11 ,t 2 ’ temperatura do oleo de entrada e de saida
u : veiocidade periferica do munhao
w : veiocidade do ar de resfriamento (m/ s)
; largura da carcaga na diregao axial
F : forga radial
H : mancal pedestal , altura total
Q : taxa de fluxo de lubrificante
Q1 : taxa de fluxo de lubrificante como conseqilencia de urn aumento
de sua propria pressao
n : viscosidade absoluta ou dinamica, veja N 1
? et : viscosidade dinamica efetiva
n : coeficiente de atrito
? : densidade do lubrificante
V : jogo do mancal relativo
v : veiocidade angular
Guia retih'nea — Embreagens 15
Guia retih'nea
Uma guia retih'nea funciona corretamente se :
l
q 71 tana < ( ou se
2 h l ) fj
a relagao entre os comprimentos for :
2 M tan a
q 72 ~
h
= A > 1 - /i tana
Se a condigao acima para tan a nao for satisfeita, ha perigo de

‘lombamento e travamento.”
Embreagens de atrito
Tempo de deslizamento e perda de energia por embreada
lado motor emb reagem Iado movido
Ji > Tv , w h , rL ,
O modelo simplificado seguinte e suficiente para o calculo simplificado
de uma embreagem:
Aceleragao do lado movido de u)2 = 0 a 0)2 = im .
Se (Di = const .: T\_ = const .; Ts = const . > 7L, e entao:
operagao:
q 73 perda de energia: K = +
q 74 tempo de deslizam.:
Ji - w ,
tr =
rs - Tt
Calculo das superficies de atrito
Superficies planas de embreagens
varios discos, su -
1
uma duas perficies ou lami - conicas cilindri-
nas cas
embreagens
I II
O numero e a grandeza de superficies de atrito se calculam com a
pressao superficial padme a
potencia calorifica superficial adm . padm
Continua em Q 16
Explicagoes dos simbolos, veja Q 17
Embreagens 16
Continuagao de Q 15
(Embreagem de atrito)
Calculo da pressao superficial p, padm ( Valores , veja Z 19)

Para todos os tipos de superficies de atrito, tem - se:
q 75 i A- P a d m ' pdin
~
Rm
q 76
onde
_
Rm 1 B. ~ ll R
* *2 R <
'
3 Pa 2 P / 2"
superficies de atrito
planas conicas cilindricas
q 77 forga de ope - ra = A -p ,
r = <4 p s i n c
/
ragao axial
para em - Condigao:
q 78 breagens de tan a > pest Ra Rj — Rm
disco: senao, have-
Ri ra travamento
q 79 ~~ = 0, 6 . . . 0, 0
Calculo para urn eixo: Tu = Ts Pesf

U dm
Calculo do aquecimento admissivel padm

Na EMBREAGEM COM CARGA PESADA atinge - se a maxima tempera -
tura em uma operagao . E!a depende das perdas de energia , do tempo de
deslizamento , da condutibilidade termica, da capacidade calorifica e do
resfriamento. Essas diferentes causas nao podem ser expressas por uma
lei geral .
Em REGIME CONTINUO estabelece - se uma temperatura constante

apos varias embreagens . A potencia calorifica superficial admissivel gadm
se calcula neste caso com valores empincos ( Veja os valores em Z 19) .
q 80 potencia de atrito Rf Wv z •
q 81 condigao i A - > Wv z
padm
Explicagoes dos simbolos, veja Q 17

Embreagens de atrito e freios 17
Freios de atrito
Todas as embreagens de atrito podem ser utilizadas como freios. Alem
disso :
Freios a disco
com estribo ou pinga
E
Q:
q 82 rg = 2 » rs j Rm
Freios de tambor interno r

(Esquema: freios de simples efeito, representagao simplificada das forgas
atuantes nas sapatas).
tambor de freio
sapata de freio (sentido de rotagao )
primaria secundaria
Fs Fs
q 83/ 84 -
Fr, I = ars- y c Fn 2 = A
1 L _
•
a +y • c V- Fnl
'
( servo- Fnt Fr 2
acionado)
M Fr 1 nj
Momento de frenagem TQ :
q 85 TB * ( TOI + F n j ) - y Ft \
sapafa
sapata c secundaria
primaria
Freios de fita ( veja K 13 )
Simbolos das embreagens e freios de atrito
A : area da superficie de atrito
TB momento de frenagem
TL momento de carga
Tm : torque motor
Ts : momento de comutagao da embreagem
Tj : momento transmissive ! da embreagem
R : raio da superficie de atrito
R m , R « , R j : raio medio, externo , interno de atrito
Wv : energia perdida em cada embreagem
i : numero das superficies de atrito
j : numero de pingas de urn disco de freio
z : frequencia de operagao ( Umd.: s 1; h 1 )
' '
L I . u L i e s ? : coeficiente de atrito. de atrito dmamico e de atrito estatico

w : velocidade angular
(Constantes de materiais de atrito , veja Z 19)
Rodas dentadas 18
Engrenagens de evolventes de circulo
Engrenagem de rodas dentadas , geometria
q 86 relagao de engrenagem u
Z\
)
q 87 relagao de transmissao i = — = HA = - ’
“ 6
relagao de transmissao de um trem de engrenagens
q 88 lot = t'r •
in inr 1
* . • in
fungao
q 89 evolvente inv a = tan a - a ( diz- se “involuta de a”)
P L area ativa
K CM so do flanco
da roda 1 transmissao
Se A e E caem fora de Ti e 2, ”
havera uma interference. Utilizar ,

entao , rodas conforme Q 20 . ,' ^ area ativa
do flanco
^Sinal negativo para rodas extemas
que giram em sentidos contrarios;
da roda 2
sinal positivo para engrenagens in- / i

Engrenamento de 2 rodas
temas. Em geral despreza-se o sinal.
( detalhes conforme DIN 3960)
Rodas padrao
denteado reto denteado helicoidal
q 90 divisao normal Pn “ ’ U
n-d
q 91
q 92
P =~ - • TC
mn H
passo frontal Pt * cos /3
q 93 modulo normal mn -— c o s f i
q 94 n
q 95 modulo circular 71 Z ffin _ d
«r = cos p 2
q 96 altura da cabega do dente /la = /lap “ m
q 97 altura da raiz do dente /if - hfp - m + c
q 98 folga na cabega do dente c = ( 0, 1 . ..0 , 3 ) n * 0, 2 /n
Continua em Q 19
Simbolos , veja Q 29; indices, veja Q 23
Rodas dentadas 19
Contmuagao de Q 18 (engrenagem cilmdrica)
Engrenagens padrao
reta helicoidal
q 99 / 100 diametro primitive -0 d = m z d = = m.t - z
COB
q 101 diametro da cabega -0 da = d + 2 - h&
q 102 diametro do pe -0 df * d - 2 ' h(
q 103 angulo de pressao a = an = a t = ap — Op

tan gn
q 104 tan a
cos £
q 105 / 106 diametro de base -0 db = d Cos a
'
db - d - cos af
1
q 107 numero de dentes
equivalentes
Znx
zcos 20 b cos 0
(tabela, verDIN 3960)
q 108 z
numero minimo de cos 3 £
q 109
dentes
p a r a evi- teor.
tar i n t e r f e -
rences
-9
=
para ap = 20
t
°
3
q 110 / 111 prat . z9 = 14 Zgs ~ 14 cO S /?
q 112 salto U = b tan | 0 \
Engrenagem padrao
reta helicoidal
d, +d 2 Z i + Z2 d,+d2 z > + z2
q 113/ 114 entre -eixo ad = 2 2 ad = — 2 - cos ;
y ]/ka - da ,
[ |/da 22 - db 27' -
2 2
q 115 compr. do percurso 9* = +
de contato
{ compr. total) - ( db 1 + db 2 ) - tan af
relagao de contato « 9a =
9a
q 116/ 117
transversal a
p - cos a
a
Pf - COS Of
relagao de 6 s i n| £ |
•
q 118 CP
superposigao win '
q 119 superposigao total cr = ca + Cp
Continua em Q 20
Simbolos, ver 0 29; indices, ver Q 23
Rodas dentadas 20
Continuagao de Q 19 (engrenagem cilindrica)
Rodas V, Engrenagens V
reta helicoidal
P > Pn • Pit Z , Z nr
n t nn f n. ft d , da veja engrenagem padrao
q 120/121 deslocam. do perfil x m x mn
z -sinza
~
z ' s 1n 2a
~
q 122/123
2
c
^ min
2
X min =
2 •cos £
para evitar in-
Q
E
ra
terference
m
-
1 sin a ) -
( 1 s i n an )
8 nn
deve ser , no maximo , menor que 0, 17
o igua!1 ) 14 z 1 4 ~ ( z/ C Q 33 )
q 124/125
?o ^©-
°
x ~
17
X ~
17 ^
« % entre - eixo de fun- ( z\ + z i ) ( i n v gwt - i n v a, )
q 126 cionamento x, + x 2
( soma) 2 tan a„ •
q 127 awr se ( z, Z2 ) nr
c o s awt
calcula com 2 a - * cos ar
q 128 OU i n v a v r * i n v ar + 2
X , + x7
+
• t a n an
Z\ Z2
q 129 cos at
entre- eixo a = arf
cos
- awr
q 130 var. de alt. dos dentes K - m n = a - arf - mn ( x, + x2 ) 2 }
q 131 alt. da cabega do dente ~ hdP + x •

+ k -mn
q 132 alt . do pe do dente h , = fp “ x ffin
q 133 diametro da cabega -0 d3 = d 2 - ha
q 134
q 135
diametro do pe -0 df = d - 2 - hf
Comprim. de 9a * “ rfci2 ]/ d a 27- d^ 2
contato
~ ( d 0 l + d6 2 ) • t a n a w t ]
q 136 / 137 recobrimento do perfil a = ga / (p ' COS a ) Ca = pa / ( p f - COS Qf)
q 138 relagao de recobnmento ~
£ fi - 6-sin j /( )
q 139 recobrimento total e7 - ca + cn
D se nao houver
especificagoes das ferramentas para aP = 20
2
iSinal correto; k mn e < 0 ! Para as rodas externas . Se k < 0,1 pode -
sempre abandonar a mudanga de altura dos dentes .
Simbolos: veja Q 29 ; indices ver Q 23
Rodas dentadas
21
Concep9ao das engrenagens cilindricas
As dimensoes sao calculadas para as 2 cargas limites

do pe do dente e,
do flanco do dente,
que deve ser mantido independentemente.
O controle da engrenagem se faz segundo DIN 3990. As formulas simplifi-

cadas seguintes sao deduzidas de DIN 3990 por transformagao e compila-
gao grosseira de fatores.
Tensao no pe do dente ( Calculo simplificado)

Coeficiente de seguranga SF contra ruptura do pe do dente:
^F lim Ys KFX
*
q 140 SF = SF min
l rf
b - mn -
YF YZ ' YQ Kl ' Ky KFa X r p
Donde a formula simplificada:
q 141 n„ > £- rF K , - Kv rc Yp - Kra - Ys 1 ,
‘ A> ^ *
* Fmin
*v ^Flim
Ss 1
*= 1
YF : fator de forma para engrenagem externa ( veja diagrama)

q 142 K\ KM = 1 ... 3 , rara - 3 5 - limite de corte
mente mais, ( leva em 1
conta choques exter -
nos e irregularidades *7
XT
pratico
V
o
X\
,
excedendo o momen- YF \
1 to escolhido, forgas in - \
\
ternas dinamicas
adicionais provenien -
2,5
\
.
0S
tes de erros de dentes limite das pontasN N

e velocidades perime - sa = 0,2 mn
trais) . 2.0
1, 0
7
* S
\
i
7 8 10 15 20 30 50 100
q 143
^Fm in = ( valor de orientagao) zezn •*-
q 144 <V lim • valores de orientagao ( veja tabela em Q 22)
Continua em Q 22
Simbolos, veja Q 29; indices, veja Q 23
t
Rodas dentadas 22
Continuagao de Q 21 (concepgao de engrenagens cilfndricas)
Carga limite dos flancos ( calculo aproximado)
Coeficiente de seguranga SH contra a formagao de alveolos
^H 11 m ZV - KHX - ZR ' K L
q 145 s = s Wmin
*
H -
b dt H '% Z • •
Para os metais, o fator ZM simplificado vale:

Iww
2 £, - E 2
q 146
V
Z M = 0 , 3 5 - r com
'
E =
£i + £2
Portanto , a formula aproximada fica: =1
q 147
d , SH mm
ZV KHX' ZR ' KL 6H l i m
Valores aprox. para resistencia S: 1
( Diagramas em DIN 3990 , parte 5)
.
Material ^Flim ^ Wlim

N / mm 2 N/ mm 2
2 ,0
GG 35 80 360 9 -
GGG 80 230 560
GS 60 170 420 8
St 60 200 400
CK 60 V 220 620
melhorado 7
TJ- 290 670
o endurecido
2
na
O superficie
350 1360 6 - .
CM
nitrogen. 430 1220 1,5 -
15 CrNi 6
tempe- 500 1630 4
rado “? ri -
Na DIN 3990: 3 - -,o, -j
ZH e V2 vezes maior, T
mas
ZM (novo ZE = fator de elasticida- V 0
10 ° 20 ° ° °
30 40 °
^
de) e \' 2 vezes menor; portanto:
( ZH ant ) ZM = ( ZH novo ZE
valido so para a „ = 205 0
- Continua em Q 23
ZH : fator de forma de flanco (veja 0 diagrama)
q 148 Kj Kv :
veja carga limite de pe de dente (q 142)
q 149
q 150 ^
wmin ~ 1,2 ( valor de referenda)
6 H \ im : valores de referenda, veja a tabela
q 151 ,
2 • K H X - Z R - K L = 0 , 5 . . . 1. Valor maior para velocidade periferica
elevada e viscosidade do oleo lubrificante, baixa rugosidade.
Simbolos, veja Q 29 ; indices, veja Q 23
Rodas dentadas 23
Continuagao de Q 22 (concepgao de engrenagens cilindricas)
Em q 141 . q 145 e q 147 , b ou b e d devem ser conhecidos. Sao

calculados aproximadamente com os vatores do quadro abaixo .
Dimensoes do pinhao
Com: ou:
a partir de uma relagao de
q 152
<
^ eixo 1
transm. / e uma distancia entre
pinhao integral com haste 1, 2 . . . 1 , 5 eixos prescrita
q 153 pinhao livre para girar no eixo 2 ( veja q 113-114-129)
Relagoes de largura do dente

b b
Qualidade do dente e do mancal
n d ,
dentes fundidos ou adequada -
q 154 6 . . . 10
mente cortados
dentes usinados; mancais suportados
q 155 de cada lado por construgao de ago ( 6) . . . 10 . . . 15
ou pinhao livre
dentes bem usinados: fixagao 15 . . . 25
q 156
na caixa de engrenagens
dentes muito bem usinados, boa
q 157 fixagao e lubrificagao da 20 . . . 40
-
caixa de engrenagens m < 50 s 1
q 158 pinhao move! 0.7
q 159 eixo fixo dos dois lados < 1.5
Explicagoes dos indices para Q 18 ... 25
a : roda motriz
b : roda movida
1 : rodinha , pinhao
2 : roda grande
t : corte aparente ou diregao tangencial
n : corte normal
m : centra do dente, compr. medio de geratrizes ( rodas conicas)
v : roda equivalente ( rodas conicas)
Explicagao dos simbolos, veja Q 29.

Rodas conicas 24
Rodas conicas
Geometria de uma engrenagem conica
Aplicam- se as equagoes q 86
... q 88; Re cone phmitivo
Fz
angulo primitivo 5
q 160 sin I Fr 2
tan <5, =
cosX + u '
q 161 I = 90°=> tan <3, 2
s i nI
q 162 tan 6 ,- cos I + 1/u
q 163
—
[l = 90° > tan 62 = u) cone extemo
somente as formas axiais e ra -

q 164 angulo dos eixos z = 6\ + 6 2
diais exercidas sobre a roda 2
comprimento 1 estao desenhadas
de geratriz i
q 165
helicoidal j 2 sin 6
• V
O desenvolvimento do cone extemo para a pesquisa das condigoes de
engrenamento da (indice “ v ” = virtual) as grandezas da roda cillndrica
equivalente:
z
q 166
q 167 roda conica
reta =
cos 6 _ Zn
uv
q 168 helicoidal zv
z Zu\
cos 6 ' cos3 A
As formulas q 92 , q 95 ... q 100 ( indice "e" ) sao vaiidas para a superficie
do cone externo .
Conceito de engrenagem conica

O dimensionamento e expresso para 0 ponto medio da largura do dente
b ( indice unf ) :
dm
q 169.170 Rm - Re - ~ -,
nip
z
2-T
q 171/ 172 -
dm = 2 Rm sin 6 '
Fm =
dm
Continua em Q 25
Simbolos, veja Q 29; indices , veja Q 23
Rodas conicas 25
Continuagao de Q 24
Forga axial e radial

q 173 forga axial Fa" = Ftm - t a n an • s i n <5
q 174 forga radial Fr = Ftm t a n an • cos <5
Limite de carga do pe do dente (calculo simplificado)

Fator de seguranga SF de ruptura do pe do dente :
& F ||m rs •
Kn
q 175 SF =
Kv KFa » SFmin
F tm Y
F
Y
Cv
Y
P
K! ' ' •
*Ffi
dando a formula aproximada:
q 176 m
mnm >-j
= • YF K[ •
Kv • rC ¥ • -
Yp xFa . ^F m in
, Ys ' KFX . 6F Km
~1 ~1
Yf : numero de dentes da roda cilindrica zv equivalente , ou zvn = zjcos p
3
q 177 se a roda cornea for helicoidal . O grafico das rodas cilmdricas da

21 e tambem aplicavel as rodas conicas.
pagina Q
Para todos os demais dados , veja q 142, q 143 e q 144.
Limite de carga dos flancos (calculo aproximado )

Fator de seguranga SH contra a formagao de corrosao:
|lm 2, - K H X ' Z R ' K L
q 178 SH =
u+ 1
u
-
F(m 7 7 7 ' KV
< Ha' KH0
*
Para os metais , o fator material ZM e simplificado para:
2 E11 E1
q 179 = 0, 3 5 ' C
ZM
'
V
com
a: 1
Formula aproximada:
q 180 - 0, 3 5 f Z«,
~ 1
ZHV ' ver diagrama de ZH ( pagina Q 22) valida para
q 181 , ,
( x + x 2) / ( z + z 2) = 0 com /3 = /3m .
Para todos os demais dados, veja q 148 ... q 151 .
Simbolos, veja Q 29 ; indices, veja Q 23
Engrenagens planetarias Q 26
Diagrama de velocidades e velocidades angulares
( referente ao espago fixo e nao, por exemplo, ao brago)
M ?
1
c
03
c \ c *03 ~. '
CN
3
+
03 3 c
"
O
o
3
3
n II
3 3
n
C c*
03
X c c 03 c\ c 03
+
* +
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.
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I
/ 4 C 10
3
*^ r
I/I
3- 4
OJ cn ^COr
co CO
cr cr cr
Engrenagens sem fim ou helicoidais 27
Engrenagem sem fim , Geometria
(Engrenagem cih'ndrica
sem fim, modulo nor-
mal, DIN 3976, angulo
dos eixosI = 90 ). °
CM
3
Parafuso sem fim mo -
tor :
Somente as forgas F,
atuando no parafuso
sem fim estao dese-
nhadas .
eixo do
f " parafuso
Exemplo: \
zi = 2, reto
eixo da roda t>2
Relagao de engrenagem e de transmissao, veja q 86 ... q 88.

parafuso (1) | Roda (2)
q 185 modulo Itlji x r>l = J1\ f
q 186 passo P* = m - % * p 2 = d 2 K / 2 2
q 187 diametro medio -0 d/ni = 2 • rmi
(escolhido livremente, DIN 3976, ou raio medio da garganta) (2)
q 188 fator de forma q * dm / n
angulo do centra da helice t a n Ym * * \ x £L
Z
q 189
d m\ q
q 190 diametro primitivo-0 d2 = m - z 2
q 191 altura da cabega ha j — m h „2 * 1 x ) 11
altura do pe ht\ ,
m( 1+ c *) hf 2 = m ( 1- x + c 2 * )
-
q 192
q 193 fator de folga da cabega c* , ( 0, 167 . 0 2 . . ^ .. .
0, 3 ) = c 2*
q 194 diametro da cabega-0 d a 1 “ drn \ + 2 ha da 2 * d2 + 2 ha2
]
q 195 raio da ponta da helice rk = a -

da 2 / 2
largura do dente >i a d/ b2 0,9 ’ dm \ ~ 2 m
q 196
q 197 diametro do pe-0
* —
df 1 dm 1 ~ 2 hf \ df 2 = d2 - h( 2
distancia entre eixos a = ( dmi d2 ) /2 + X ' m t)
q 198
11 Fator de deslocamento do perfil x para garantir uma distancia entre eixos
escolhida, ou entao x - 0. Continua em Q 28
Simbolos, veja Q 29; indices, veja Q 23
r
Engrenagens sem fim ou helicoidais 28
Continuaqao de Q 27
Conceito de engrenagem sem fim
parafuso sem fim roda
,
q 199 forpa periferica = 2 - f K l ' Kv Ft 2 ^ ai
1
q 200 forpa axial rn
^
.
=
tan( > + 9)
cos 9 •t a n an
q 201 for?a radial
*> » ^r = Fr = /2 >
3
‘
sln ( 9)
q 202 velocidade de desli- „9 = dmi
^. W\
zamento 2 COS Ym
Rendimento da engrenagem
parafuso- sem-fim motor engrenagem sem fim motriz
q 203 T> = tan >m/ tan ( ym p) T) ' = t a n ( Ym - p ) / t a n ym
( ym < 9 ) =£> auto -travamento!
Coeficiente de atrito ( valores tipicos ) p = tan p
vg ~ 1 m/ s ug » 10 m / s
parafuso sem fim endurecido 0 ,04 0,02
e flancos retificados
parafuso sem fim melhorado, 0,08 0,05
fresado ou retificado
Calculo da flexao do eixo do parafuso sem fim veja P 12

Calculo do modulo m
O limite de carga do pe e dos flancos e o aquecimento sao combinados
numa formula aproximada :
q 204 / 2 = C b7 - p 2 ;
> onde b 2 = 0 ,8 d m y \ p 2 = m rc .
q 205
q 206 m \
=
s .
o 8 r, '
f r t 2 = 2 - T7 / d 2 = 2 - T j / i m - Z i )
q = 10 para f = 10 , 20 , 40
âdm d ’ zl
q ~ 17 para t 80 , travamento
Valores admitidos para uma engrenagem de parafuso - sem - fim normal
resfriada naturalmente (parafuso-sem - fim de apo , temperado retifica-
do, roda de bronze) : v
.
ms 1 2 5 10 15 20
2
Cadm N mm 8 8 5 3.5 2, 4 2.2
Com um bom resfriamento Cadm vale para todas as velocidades:
q 207 Cadm > 8 N mm 2
'
Simbolos , veja Q 29; indices , veja Q 23

Rodas dentadas, conicas; engrenagens sem fim 29
Explica$ao dos simbolos das paginas Q 18 ... Q 28
(Explicates dos indices, veja Q 23)
: distancia entre eixos padrao
b : largura do dente
AaO altura da cabega da ferramenta de code
altura da cabega do perfil de referenda (DIN 867)
hfp : altura do pe do perfil de referenda
A : fator de variagao da altura da cabega
p e : passo (pe = p cos a e pet = pt cos at)
z numero de dentes
numero de dentes equivalente
( Cadm), C : constante de carga (admissivel)
Ft : forga perif erica sob re o cilindro
fator de carga (de choque das forgas externas)
Kv : fator dinamico (de choque para imperfeigao das rodas)
KFa : fator de distribuigao transversal de carga do pe do dente
KFp : fator de distribuigao na largura da carga do pe do dente
KFX : fator de grandeza
KHQ : fator de distribuigao transversal de carga do flanco
fator de distribuigao na largura da carga do flanco
*
Re
H0
comprimento da geratriz externa (rodas conicas)
Rm : comprimento da geratriz media ( rodas conicas)
T : momento de rotagao
rs
Yf , ( ) : fator de forma (de entalhe)
Y0 fator de angulo de dente helicoidai
fator de carga parcial
ZH fator de forma de flanco
Zc fator de recobrimento
ZR : fator de rugosidade
ZY : fator de velocidade
aP : angulo de perfil de referenda (DIN 867; ap = 20 ) °
aw ; angulo de incidencia
0 :1 angulos de inclinagao helicoidais para f cilindro primitivo
Pt, \ cilindro de base
9 : coeficiente de atrito de deslizamento (p = tan p)
?< * z : raio do arredondamento da cabega da ferramenta
6 F \ ,m tensao de resistencia do pe do dente
£> H \ iNT permanente da pressao de Hertz (pressao de contato)
Calculo exato das engrenagens dlindricas e conicas DIN 3990
Nogoes e grandezas das
rodas e pares de rodas cilindricas DIN 3960
rodas e pares de rodas conicas DIN 3971
engrenagens cilindricas sem fim DIN 3975
Engenharia de produgao
Usinagem Ri
Construgao de maquinas- ferramentas
As paries principals das maquinas-ferramentas que sao sujeitas a
tensoes de trabalho ( suportes de bancada com trilho de deslizamento
ou ranhuras, guias de fresa, fusos de trabalho com mancais) sao
dimensionadas para as deformagoes admitidas e para uma precisao
durante longos periodos de tempo. O desvio maximo permitido na
aresta de corte (ponto de formagao da apara) e de aproximadamente
0,03 mm. A precisao duravel e obtida atraves de coeficientes de atrito
reduzido, de fracas pressoes, de substituigao, retoque e/ou reajusta-
qem facil. Quanto a deflexao do fuso fveja P 13 , e forgas de corte,
veja r 4.
Os acionamentos de corte ( acionamentos principals) com v = constan-
te em toda regiao de trabalho ( diametro maximo e minimo da pega ou
da ferramenta) somente exequiveis com urn escalonamento geome -
trico das velocidades de saida:
r 1 — , -
n <p v i
Os numeros de rotagoes m ... nw se acham em DIN 804
k
r 2 V
e a escolha da serie padronizada.
As diferengas entre duas velocidades normalizadas cp: 1,12-1,25-1,4-
1,6-2,0.
20
Velocidade basica da serie R 20 onde tp = V 10 = 1,12:
. . . 100-112-125-140-160-180-200-224-250-280-315-355-400—450-
500-560-630-710-800-900-1000-. . . 1/ min.
As Engrenagens de corte sao indicadas pelo numero de eixos e de
passos.
Exemplo: Uma engrenagem III/6 contem 3 eixos e 6 velocidades de
saida . A representagao da engrenagem e mostrada na figura (para k
- 6; (p = 1 ,4; m = 180; r?k = 1000):
rede simetrica diagrama das engrenagens
disposigao das engrenagens
nmotor
lla Ic V I
'
;
Hi
^
S g
1
1 ^
Explicagao dos simbolos, veja R 5
Usinagem 2
Potencia de corte Pc GeraI Furagao
r 3 Potencia de corte Pc = Fc o Fc ( D + d )n • n
T\ mec •
r) eletr 2 - T\ mec r\ eletr
hX - me '
r 4 Forga de corte Pc -
K h c 1.1 • b
mm
mm • ze
Tabela para valores K, b, h, ze (kci .i; 1 - me veja Z 17)
o
tf) 2 0°® & II
Cl
U o 03 0) o
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Q W 0Q S. «
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J5 x: T3 eoijpui|!3 lejuojj
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2 o 0) CL
iua6esajj
< Q O 0)
OH
<n co cn .
Z in k
°
Expiicagao dos simbolos, veja R 5
i
m N5 Esquema K = b= h = 2e = Notas
x Metodo
•
O
IK - U
m
s r Retificagao
•o
0
o
Q.
.
)
11 circular
plana
o
cos <ps =
1 - 2 a/D CD
<0
3
O
c/>
r Retificagao interna •Ps =
£ 12 externa
Tab. T D>
3 1 bw _
E
o
M
interna D( 1 D/ dJ )
«
13
S '
< r entalhe + externo + externo

- interno
0)
CD a
o 13
redondo - interno a> CD
Q>
3 "O
cn
(cos - cos 9? 2 ) * Angulo cps o
r Retificagao
a .1 i*uJ£ como em r 10 a
14 frontal
?s
* c
0)1
h em mm 0011
0, |
0,002 0,003 10 ,004 Desbastamento Aplanamento o
a em mm 0,011 0,02 | 0,03 |0,003 | 0,004 | 0,005 | 0,006
Fator de corregao K OJ
o
distSncia granular efetiva
14 9
^
o 40 4,3 4.0 3.6 40 24
i<o 5.1 5CTJ «o
0 38 37 36
z CC
<> 60
80
4.5
4,0
3,9
3,6
3,5
3.2
3.2
3,0 H J3
60
80
32
40
23
31
15
24
39
47 46 45 44
h- 2, 5 c 120 53 44 37 60 59 58 57 GO
| 120 3.4 3,0 2.8 64 63 62 61
I 50 3.2 2,8 2.6 2,3 150 56 48 40
CD m
a 180 58 50 42 66 65 64 63
180 3,0 2,6 2.4 2,2
Usinagem 4
Mecanismo de avango
Avangos em mm escalonados geometricamente conforme DIN 803,
com intervalo cp = 1,12 - 1,25 - 1 ,4 - 1 ,6 - 2,0
Velocidade de avango
Metodo de usinagem Velocidade de
avango Observagoes
r 15 Tomeam. longitud. u = n 3
(extemo e interno)
r 16 Furagao U = n sz ' 2s para furos helicoidais
ze = = 2
= 0,5 s
r 17 Aplain., chanfradura u = u
r 18 Fresagem, e u sz - n - 2S
laminagao
Tempo de corte ts
l
r 19 U =
u
onde U = l + l' .
Para o Ccilculo dos tempos do ciclo e usinagem para cada pega, levar
em conta os caminhos de avango, de aproximagao e cursos em corte
divididos pelas velocidades correspondentes.
Potencia de avango Pv
r 20 Potencia de avango =
u { rp + ) rv
Tlmec T\ eletr
'
r 21 Forga de avango Fv 0,2 / ;

r 22 Forga de atrito FR
^
“ - 9
^ V
(Fs segundo r 4)
onde mb 6 a massa em movimento, p. ex. para uma fresadora,

soma das massas da mesa e da pega. a
Deve -se determinar se a potencia de alimentagao calculada
conforme
r 20 6 suficiente para aceierar as pegas em movimento no tempo
dado
/b em velocidade acelerada (para m quinas de produgao
m/s). ^ = 0,2
Caso contrario, tem-se:

1
r 23
PV = E M* 9 + %
h qrnec Heletr
Explicagao dos simbolos, veja R 5
Usinagem Rs
Explicate) dos sfmbolos das formulas
das paginas R 1 ... R 4
a : avango /K : distancia granular efetiva

b : largura da apara conforme tabela 2
bw : largura efetiva Mc : momento de corte
retific . em desbaste bw = Bs/1,4 n : numero de rotagoes
retific. de acabam. b = Ss/3 m : minima velocidade de saida
B : largura de fresagem* nk : maxima velocidade de saida
B ] , B2 : largura de fresagem, Pc : potencia de corte
contada do ponto medio da Pv : potencia de avango
ferramenta s : avango
Ss : largura do disco de polimento sz : avango por arestas de corte
d : diametro do furo preliminar fb : tempo de aceleragao
dw : diametros externo e interno ts : tempo de corte
da pega a trabalhar u : velocidade de avango
D : diametro da ferramenta UE : velocidade de avango rapido
FR : forga de atrito v : velocidade de corte
Fc : forga de corte ze : numero de dentes no
Fv : forga de avango acionamento
g : aceleragao da gravidade es : grau de esbeltez (es = %)
h : espessura da apara r|ei : rendimento eletrico
k : numero de velocid. de saida
.
Aci 1: forga basica de corte
relativa a area
rimec: rendimento mecanico
X : angulo de ajuste
K : fator de metodo i
( : coeficiente de atrito, veja Z 7
/ : comprimento do corte o : angulo de ponta da broca
h : comprimento de trabalho <p : variagao escalonada da veloc.
1' : curso antes e apos o avango (ps : angulo de incidencia na
com a velocidade u fresagem e na retificagao

Zs : numero das arestas de corte HM : gume de metal duro
por ferramenta HSS: gume de ago rapido
Tecnica de deformagao Re
Deformagao de chapas (a frio)
Embutidura profunda
Diametro inicial do recorte D
o
r 24 D = yJL . XAmi i
T
Ani : sao as cireas laterals das partes da pega acabada, utilizando -se
as formulas b 30, c 12, c 16, c 25, c 27 e c 30 . As cireas laterals nos
raios de transigao do anel de estiramento e da pungao sao calculadas
por meio das formulas seguintes:
u.
± JS
4
r 25 , *,
j 2 nd r + 4 ( TI - 2 ) rz
2
Am= j ( 2 nd4 + 8 rs ) rs + £ d42
r 26
Exemplo ( Admitindo rs = rz = r )
0 = yd42+ d62-d52+ 4 d, h + 2 nr ( d,+ d ) + 47 ir

2
—
4 r C/i
A
1 - e 2s passos:
t
19 passo 29 passo
*
—, d
T
•c
— d2
Li
1
-C
r 27 ,
0 = -di- § =
di
r 28 £1 ,
* 0 oo + O 1 . -( f
,
- - 0,001 Pima* = A100 + (

- “ 0, 00l )
r 29 /Vi = n d s , 1
rz 2 =
r
-y- + TldzS
1
Pi
* fm 29> 2
iFi
r 30 In|/0, 6 /S,J - 0 4 ; ?2 = ln ] /o,6 £22~ 0,4
r 31 sem recozi-
r 32 mento ^ fml 2
r 33 91 com interme-
diario
92
Continua em R 7
Tecnica de deformagao 7
Continuagao de R 6
O trabalho em volume we a resistencia de deformagao /cf sao obtidos
das curvas de deformagao para a relagao logarftimica (p de deforma-
gao (veja Z 20 ou VDI- Richtlinie 3200) .
Forgas de retengao FNI e FN2

19 passo 2g passo
71 Rm dI
r 34
4 400 iPi -V + T f
*2 \ 400 ( S -I) +
/ 2
2 “
Ruptura do fundo , ocorre se

\ + 0,1 ?2 l + 0,1 ?N 2
r 35 R m i rz n d \ s rN
]
Rm = n d2 s
r 36 Relagoes de estiramento limites (3 e valores Rm
sem com Rm
Material 0W recozimento intermediary
0 2 max 02 max N/ mm2
St 10 1.7 1.2 1,5 390
USt 12 1,8 1.2 1.6 360
USt 13 1,9 1 , 25 1 , 65 350
USt 14 2,0 1.3 1.7 340
St 37 1,7 410
X 15 Cr Nt 18 9 2,0 1.2 1.8 600
Al Mg Si doce 2 , 05 1.4 1.9 150
Simbolos das grandezas de R 6 e R 7

A m ; : areas laterals e superficial
FZ ] t Fz 2 : forga de estiramento nos passos 1 e 2
R f m 1 : resistencia de deformagao media do 19 passo
K f m 2 : resistencia de deformagao media do 29 passo
K f y , k f 2 ' resistencia de deformagao media para cpi e (p 2
r : raio
rs : raio da pungao
rz : raio no estiramento
w
trabalho de deformagao
: trabalho em volume =
volume deformado
0 \ , 0 2 ‘ relagao de estiramento do 19 e do 29 passo
£ ,oc : relagao de estiramento limite, se s = 1 mm e d = 100 mm
0 i max .
0 i max : relagao limite de estiramento do 1s e do 29 passo
, nF 2 : rendimento de deformagao do 19 e do 29 passo
9 y , ? 2 : relagao logaritmica de deformagao do 19 e do 29 passo
Tecnica de deformagao 8
Extrusao
1
r 37 Forga de deformagao, Forga de extrusao r A' kim <PA ~
r> F
1
r 38 Trabalho de deformagao w V - kfm ?A —
T
r 39 Resistencia media a deformagao k fm w ' F
PA
Extrusao para frente Extrusao
corpo macigo corpo vazado para tras
Pjdp Z2l P \ d\
i v
-Co ' /
C-lP-i / <
o
Pd, P do
r 40 A - n
Td° H
2
4 = - - (d
>
j 02 - d ,! ) A -
K
T do*
H
da - d
3 ,2
r 41 PA = In d» ^4 PA = In d/ - d 2
PA = In
d
df
?Td7
r 42 / =iA 0 ( do * - d *)
r 43 = 0,7 - - .0 , 8 *? F = 0, 6. . . 0, 7 >? F = 0, 5 . . .0,6
Relagao de deformagao logaritmica maxima <PA max sem recozimento
intermediario
\ Material Ago
Al 99 , 5 Ai Mg Si C < 0,1% C < 0 , 15% 00,15% de baixa ligado
Metodo doce liga
para frente 3.9 3,0 1,4 1, 2 0,9 0,8 0,7
para tras 4,5 4,0 1 ,2 1 ,1 1,1 0 , 95 0,8
A : area admitida
pA : relagao logaritmica de deformagao
(
r ] f : rendimento de deformagao
V : volume deformado
w : trabalho de deformagao relativo a area ( curvas Z 20 )
A h : profundidade de curso
Eletrotecnica
Nogdes gerais s 1
As grandezas eletricas fundamentals, as unidades
importantes e as leis fundamentals
s1 Observagao referente aos si'mbolos maiusculos
e minusculos das formulas
Em eletrotecnica, utilizam- se as letras maiusculas para as grande *
zas independentes do tempo, e as minusculas correspondentes

para as grandezas variaveis ou as maiusculas com o fndice t.
Exemplos: Formulas s 8, s 9, s 13
Excegoes: f , w, f, u, pFeio-
Energia eletrica W
A energia elStrica We igual ao trabalho mecanico Wexplicado em
M 1. Entretanto, as transformagoes de energia estao sujeitas a
perdas.
Unidades: ws (watt-segundo), kW h, MW h
1Ws 1 Joule 1J 1Nm
Fdrmulas com as grandezas explicadas em S 1 e S 2
U2
s 2 fir I u t = ~r t
R
- I2 R t
Potencia eletrica P
A potencia eletrica Pe igual a potencia mecanica Pexplicada em
M 1; analogamente aqui, observam-se perdas nas transformagoes
de potencia.
Unidades: W (watt), kW, MW
1W 1 1 N_ m
T s
Formulas com as grandezas explicadas em S 1 e S 2
s 3 P u2 f R
R
Frequencia f: veja L 1
Periodo T: veja L 1
Frequencia angular co; velocidade angular co; veja L 1
Intensidade de corrente / ou corrente /

E urria grandeza basica ( veja pretacio e explicagoes)
Unidades: A (ampere), mA, kA
O ampere 6 definido pela forga de atragao exercida por 2 condu-
tores paralelos atravessados pela corrente de 1 A .
Continua em S 2
Eletrotecnica
Nogoes gerais s2
Continuagao de S 1
Densidade de corrente J
s 4 I
J
A
Formula valida se a corrente / for distribufda de maneira homoge-
nea na segao A.
Unidades: A/m2, A/mm2
Tensao eletrica U
p
S 5 U
I
Unidades: V (Volt) ; mV; kV

1 volt e a tensao entre 2 pontos de um condutor eletrico atraves-
sado por uma corrente de 1 A e cuja potencia dissipada e de 1 W .
w
1V = 1 -r- =
A
1•- 4
s AA = 1AQ =
^s4A
1
Resistencia eletrica R
U
s 6 R (lei de Ohm)
I
Unidades: Q (Ohm); kft; MQ
1 ohm e a resistencia eletrica de um condutor atravessado por uma
corrente de 1 A e sujeito a uma tensao de 1 V.
1Q =
1v
1A =
1- St
A2
= -
1 J 2
sA
= itim2
sA
Condutancia eletrica G
A condutancia eletrica Geo inverso da resistencia R
s 7 G 1 /R
Unidades: S (Siemens); nS ; mS; kS; [mho]
1s 1/ Q [ = 1 mho]
Carga eletrica ou quantidade de eletricidade Q
s 8 <7 i • at (veja s1)
Sentido das flechas, veja s 22.
Para uma corrente / constante:
s 9 Q =
As cargas eletricas sao formadas por particulas carregadas; el6trons,
protons, ions, e a quantidade de eletricidade Q 6 proporcional, tam-
bem, a essas particulas.
Unidades: C (Coulomb) ; pC; nC; pC; kC; Ah
1 C = 1 A s ; ( 1 A h = 3.6 kC) Continua em S 3
Eletrotecnica
Nogoes gerais S3
Continuagao de S 2
Capacidade eletrica C
A capacidade eletrica C de um condensador 6 a relagao entre a
quantidade de eletricidade Qea tensao U:
s 10 c - -u2-
‘
Unidades: F (Farad); JIF; nF; pF

1 F e a capacidade de um condensador carregado com 1 C sob uma
tensao de 1 V.
s = iA 2 S 2 Afsf
1 F = 1
C
V =
^= ^
V
1
W J
= 1
Nm
Fluxo magnetico O
i
(veja s 1)
s 11
* r = AM
U
*
df
Em que N e o numero de espiras de uma bobina e nq a tensao de

autoindupao que atravessa a bobina se o fluxo <Dt varia com o tempo.
Diregao das setas, veja s 22. ®
Unidades: Wb (Weber) = V s = 10 M ( Maxwell)
1 Wb e o fluxo magnetico decrescente regularmente atd zero num
tempo uniforme de 1 s, que induz numa bobina de uma espira, uma
tensao de 1 V .
Densidade de fluxo magnetico, Indugao magnetica B

A indugao magnetica 6 numa segao A vale :
0
s 12 B
A
Aqui A e a area de segao transversal atravessada perpendicular -

mente pelo fluxo magnetico homogeneo O.
Unidades: T (Tesla) : JIT; nT; Vs/m2; G (Gauss)

_
1T = 1
^| = 10
4V
^
cm 2
= 104 G = Al
104
crrr J
1 T e a indugao magnetica se um fluxo magnetico de 1 Wb atravessa
perpendicularmente uma segao de 1 m .
Continua em S 4
Eletrotecnica
Nogoes gerais s 4
Continuasao de S 3
Indutancia L 0t
s 13 L = , 0 = ( veja S 1)
VT N
Aqui / e a corrente atravessando uma bobina de N espiras e O o

fluxo magnetico na bobina.
Unidades: H (Henry); mH
1 H 6 a indut&ncia de uma bobina de 1 espira percorrida por uma
corrente de 1 A e colocada no v cuo de urn fluxo magnetico de 1
Wb. ^
Wb Vs
1H = 1
A
1 —
A
Intensidade de campo magnetico H

B
S 14 H
Vo Vr
Unidades: A/m; A/cm; A/mm
Amperes-espiras 0
s 15 e /V /
Unidades: A; kA ; mA
Tensao magnetica Vi na primeira parte de urn circuito magnetico:
s 16 v, H, • l j
Aqui, h e o comprimento do fluxo magnetico na primeira parte.
( Lei de um circuito
X
s 17
/ =1
* 0 magnetico)
Resistencia magnetica Rm de um circuito magnetico homogeneo;

0 (Lei de Ohm do
s 18 0 circuito magnetico)
Unidades: 1/H = A/Vs
Condutancia magnetica A de um circuito magnetico homogeneo:
s 19 A 0
Rm 6
Unidades: H = Vs/A
Simbolos, veja S 18
r '
Eletrotecnica
Circuitos eletricos Ss
Leis fundamentals do circuito eletrico
Regras dos sentidos de corrente
s 20 Diregao da corrente eldtrica e das setas, geradores:
s 21 representando o sentido positivo nos
Diregao da tensao etetrica e das setas que
consumidores: +
-
— -
s 22 dao sempre o sentido positivo das tensoes: +

Diregao das setas representando correntes ou tensoes
calculo da valores
Propriedade dos ge- Sentido das positivos I negativos
radores ou dos cir - correntes e sentido das correntes ou
cuitos e polaridade das tensoes das tensoes e sentido esco-
Ihido
definir como
s 23 conhecida
acima
s 24 desconhecida ao acaso o mesmo sentido
oposto
Regra especial
Adotar o mesmo sentido das flechas para a corrente e a queda de
tensao para os circuitos com resistencias. O sinal da tensao e da
corrente e sempre o mesmo pois R > 0.
Lei de Ohm
Corrente numa resistencia RI
U
s 25 I (veja tamb6m s 6)
R
Resistencia R de um condutor 1/ R
s 26 R
- A
=
1
yA
+ U
Resistencia R de um condutor a temperatura centigrada 0

s 27 R = «20 [ 1 +
*($ - 20 C ) ]
°
Aquecimento eletrico de uma massa m
s 28 U l t - T) * c - m - 4$
a : coeficiente de temperatura (veja Z 21)
^3: var. de temper.
y : condutividade el6trica (veja Z 21) t : tempo
9 : resistividade (veja Z 21) R 2Q* Resistencia a
c : cator especifico (veja o 9 e Z 1) = 20°C
i3
n : rendimento
Continua em S 6
Eletrotecnica
Circuitos eletricos s 6
Continuagao de S 5
18 lei de Kirchhoff (lei dos nos)
A soma algbbrica das correntes b nula em
um n6.
[ h
s 29 ZI 0 I - Is =0
O sinal da positivo se entra no no /3
corrente b negativo se sai do no
Relagao entre as correntes
Num circuito de resistencias em deriva-
gao , a corrente total e as correntes par -
ciais sao inversamente proporcionais k
resistencia equivalente R e ks resisten-
cias correspondentes.
s 30 / :I : , h : J3 = R
1
Ri
1
Ri
Regra da divisao da corrente
Correntes parciais de 2 resistencias liga-
das em paralelo:
s 31 < R2
1
= 7
U| -+I Gj R \ + R2
21 lei de Kirchhoff (lei das malhas)

Num circuito de malha fechado, a soma R.
algbbrica de todas as tensoes e nula:
s 32 = 0.ru 02
+
^ 2
* <4
R4 *3
A tensao b positiva se o sentido for 0
mesmo que 0 sentido de rotagao esco -
Ihido , negativa em qualquer outro caso U « /
8
U <4 ^ ,
\ < -
<» 4< - u02 = 0
Relagao entre as tensoes <4

Num circuito de resistencias em serie , as /?, I R 2 I R21
Uia ^
quedas de tensao nas resistencias sao
proporcionais as resistencias correspon - H H
R1 R2 R3
dentes.
s 33 Us : U 2 : U = , ,
: R 2 : R 2
*
I t u
Regra do divisor de tensoes Us Ui
Tensoes parciais em duas resistencias:
s 34 ,
U = U u R
Eletrotecnica
Associagao de resistencias s7
Ligagao em serie
Resistencia equivalente fts (corresp. a s 26)
caso geral
s 35 —
Rf + R2 + n?3 + . . .
caso particular de n resistencias iguais R
s 36 nR
Ligagao em paraielo
Resistencia equivalente ftp (corresp. a s 30)
Caso geral
i 1 1 1 ° X X X
s 37
/? ,+ 4 + • • •
* * 2 3
s 38 Op = G + G2 + Gj + ...
^
caso de 2 caso de 3 para n resisten-
resistencias diferentes cias iguais ft
_ ^ R
s 39 Rp ~ D
P "
^
R \ Rs + Rs Ry + R 1
3
^3
n
Rp = —
s 40
* * < +
1
2
1 i
G1 + G2 G < + G? + Gj nG
Ligagao mista
Decompoe- se uma ligagao mista de resistencias conhecidas em
varios circuitos em serie e em paraielo que se calculam separada -
mente depois de terem sido recompostos, por exemplo:
Rs + R ) o< ( G2 + G} ) I
s 41 I U u R.1
R R2 +Ri R 3 + Rs R 3 G < + G2 + G 3
^ X
Rs G G
< >
s 42 13 = A? 1 R 2 + R 1 Rj + 2 3 u = G1 + G2 + G3 i/ c/ X3
^^ G1 *2 4 * 3
s 43 u. /? 2 + R \ ** 2 3
+ $2
u =
+ G2 * G3
(/
T
Eletrotecnica
Redes s 8
Metodo de caiculo das redes lineares
Generalidades: Ha metodos especiais que permitem mais facilmen-
te o caiculo de tensoes e correntes desconhecidas numa rede do
que as regras das malhas e dos nos, por exemplo:
Uso do teorema da superposigao: numa rede geral, deixa-se que
todas as fontes de tensao 1 e corrente2 sejam sucessivamente
'
aplicadas a rede, e em seguida calculam- se as voltagens e cor - '
rentes causadas por cada fonte atuando sozinha .
• As fontes de tensao restantes sao ligadas em curto-circuito.
• As fontes de corrente restantes sao ligadas em aberto .
A solugao completa para o caiculo de L/x numa rede geral com
fontes de tensao U0 ... Lh e fontes de corrente l0 ... I e a soma de
todos os efeitos parciais: ^
s 44 Ux - a 0 - Uo + a ] - U -\ + . . . + Osj - Uyj +
+ b0 -I0 + b I } + ...+ b , .‘ l
^
s 45 = uxao + Uxa 1 + ••• +U
+ ^xbo + f4b1 + •• + ^xbn
O caiculo da solugao parcial:
s 46 v - xaq se U0 . . . Uy = 0 , com t/q
^
s 47 V* = xbq se I0 .. . /
^ 0, com /,<? * 00,, = 0
*
Exemplo: ^ * = 0
R<
s 48 = Oo ’ tfo + o +Mo
^^^
= xoo + x a l + xbo
^
Redes equivalentes para o caiculo de cada solugao parcial:
s 49 UQ
*Ri ,
0 ; U = 0 ; /0 = 0 U0= 0 ; /, 0 ; 70 = 0 U0= 0 ; i/ t = 0 ; I 0 4= 0
* * R\
R:
s 50 U xao
U, 1
= Ui
_ 1 1
Ri i+i+i
*i
2
+il
^ xbo ‘
R7 R2 R Ri R +R 2 A -j A 2 A
s 51 Tensao procurada = ux
R
4 S2 + 70) - MR ,+ MR1 + VR
( conf . s 48 )
1} 2 j
Explicagoes, veja S 9 ' 2
Continua em S 9
Eletrotecnica
Redes S9
Transforma?ao em fonte de tensao equivalente com resistencia
interna: Considere-se uma rede geral contendo fontes de tensao e
con-ente2 . Calcular a tensao Ux atravbs da resistencia R no ramo AA ’,
^
*
o que pode ser obtido substituindo o restante da rede por uma fonte
de tensao equivalente U\ e resistencia R\.
Rl A
Q|w . h
>H OK Q\ui
4'
Para determinar R\ e U\ :
Remover o trecho da rede entre A e A ’ retirando a resistencia R.
A resistencia da rede entre A e A' e R .
A tensao entre A e A’ e U\ .
Nota: Se R for conhecida, U podera ser calculada usando U\ = lw R\
(corrente /k de curto circuito vezes a resistencia interna entre A e
A’). Entao:
R 1
s 52 u
*
= U\ S
R+ R
=
|
4 - fii
R+ R , IkVR , + MR
Exemplo: Determinagao de k Determinate de R
-
R- Ri
Ri R2 A R2 Al
|aoyt;o R jo t'o
h A'
Circuito equivalente U u1 1
Ri ,
MR + MR2
Portanto: i\ = 7k - /? j
1 Veja tambem
s 53 Conforme s 52: Ux =
R1 R- 2
+ I0 ) 1/ R , + 1 / /? + ^ ! R
2 S 8, s 51
Explicates:
.
QQ . . fly coeficien- que sao determinadas pelas
tensoes
• -^ v
tes de resistencias na rede
correntes
1>
tensao aplicada: fonte de tensao com resisten - R \ = Q
2)
corrente aplicada : fonte de corrente cia interna R cc
Eletrotecnica
Associagao de resistencias s 10
Transformagao de um circuito em triangulo

num circuito estrela e vice- versa
«1 0 « 2 0 + « 1 0 ‘ «3 0 + «2 0 ‘ «3 0 «1 2 «1 3
*
s 54 R 12 =
«30 « io “
« 2 3 + «1 2 + «1 3
«1 0 « 2 0
' + «1 0 « 3 0
’ + «2 0 « 3 0
' « 2 3 «1 2
*
s 55 « 13 =
« 20 «2 0 *
«2 3 + «1 2 + «1 3
«1 0 « 2 0
' + « 1 0 «3 0
' + «2 0 «3 0
' « 2 3 «1 3
*
S 56 « 23 =
«10 «3 0 =
«23 + «1 2 + «1 3
Divisor de tensao
O divisor de tensao e utilizado para abaixar as tensoes.
Divisor de
«£2 « z tensao
S 57 uv =
R\ «2 + « —
1 Rv + « 2 « y
j
U
T
s «2
Em aplicapoes em que Uv tem que ser apro - Uv
ximadamente proporcional a s , a condipao
S 58 > 10 ( RI + R2 ) deve ser satisfeita.
Consumidor
s : posipao do contato deslizante
Eletrotecnica
Associagao de resistencias S 11
Aplicagao em medidas eletricas
Ampliagao da escala de medigao de um voltimetro
s 59 RV - RM
t fin
UM fin
^ l
) ut
£/ fjn : desejado Valor final da RJ
I
fjn •
existente
escala de me-
digao
rt—C v
=
Ampliagao da escala de medigao de um amperimetro
IM fin I I
s 60 RN = RM Ain - /M fin
I tin : desejado valor final da
escala de me-
Af fin ; existente dipao
* N
Ponte de Wheatstone para determinagao da resistencia Rx

Utilizavel para determinar as resistencias de 0,1 ... 106 Q .
O fio calibrado leva uma escala u

graduada com os valores a/( / - a) . Rx R
Desloca- se o contato deslizante ,
ate que a corrente da ponte seja
nula /B = 0. Entao:
41
fio corredigo
\
a
=
s 61 R l - a
donde: a
-—
s 62 Rx = R -~
l a t
Ponte de Wheatstone como comparador de medidas

E utilizado como elemento de comparagao para obter as diferen-
gas de tensao nos varios circuitos de medida .
u
Ri '. resistencia variando R\ - R2+A R R2
com a grandeza a me -
dir x ( por exemplo ,
temperatura , distan - /w “ 0
cia, angulo, de rotagao
etc . ) •f '
R 2 . valor residual de R-\ .
Relagao aproximada:
R2 R3
s 63 AR X
: resistencia interna do instrumento de medida

Eletrotecnica
Campo eletrico S 12
Capacidade C de um condensador
+Q
s 64
C - c0 - £r A
a
Quantidade de eletricidade Q ( veja s 8)
Energia Wc acumulada no campo eletrico

s 65
Wc - j C -U2
Montagem em paralelo de condensadores —- U
Nessa montagem , a capacidade equiva -
lente Caumenta .
if Ci
C2
s 66 C = C , C 2 + C3 if
Montagem em serie de condensadores
if C 3
Nesta montagem , a capacidade equiva -

lente Cdiminui.
c, c c 2 3
1 1
s 67
n c, -L +
1
-
c il—II—If
3
Capacidade de 2 cilindros coaxiais
s 68 C l
= 2 K £$ £[
In —rri,2 r2 ri
l
constante dieletrica relativa ( veja Z 22)

s 69 constante de campo eletrico e 0 = 8 , 85 10‘12 As / ( V m)
A area de um lado da placa
a espessura do dieletrico
raio do cilindro mterno
ri raio do cilindro externo
i comprimento do cilindro
Eletrotecnica
Regras dos sinais eletromagneticos s 13
s 70 Regra do desvio de uma agulha magnetica
O polo Norte de uma agulha magnetica e atraido por urn polo magnetico Sul
e repelido por urn polo magnetico Norte.
Regras para condutores e bobinas fixas

s 71 Fluxo magnetico de um condutor percorrido por uma corrente
A direpao do fluxo magnetico e dada pelo sentido de
rotapao de um saca - rolhas introduzido no condutor no
sentido da corrente.
S 72 Fluxo magnetico dentro de uma bobina atravessada pela corrente

A direpao do fluxo magnetico que e dirigido do polo Sul
para o polo Norte no interior da bobina e dado pelo
sentido de deslocamento de um saca- rolhas que se
introduz na bobina girando - a no sentido da corrente.
I —
N S
Regras para os condutores de bobinas moveis

s 73 Regra para condutores paralelos \ /
2 condutores percorridos por correntes de mesmo senti - A/ ,
do se atraem e se repelem se os sentidos forem contra - /I
rios. * A
s 74 Regras para 2 bobinas

2 bobinas coaxiais percorridas por correntes de mesmo
sentido se atraem e se repelem quando as correntes sao
de sentidos contrarios.
Regras para as maquinas

s 75 Regras dos tres dedos da mao direita (Gerador )
O dedo indicador indica o sentido da corrente se o dedo
medio for dirigido no sentido do movimento e o polegar
no sentido do fluxo magnetico.
s 76 Regra dos 3 dedos da mao esquerda ( Motor )

O dedo indicador indica o sentido do movimento se o
dedo medio estiver dirigido no sentido da corrente e o
dedo polegar no sentido do fluxo magnetico.
Eletrotecnica
Campo magnetico s 14
Grandezas do campo magnetico
Fluxo magnetico
0 NI
s 77 0 = (veja s 11)
Rm Rm
Densidade de fluxo magnetico ou indugao magnetica B
B
0
s 78 ( veja s 12)
A
Indutividade L
N2
s 79 L N-
f Rm
ff A (veja s 13)
Calculo de L , veja tambem s 150 ... s 156
Intensidade de campo magnetico H
B Vi
s 80 H = (veja s 14)
RrV o li
Forga magnetomotriz 0
r
s 81 6 = NI SV ; (veja s 15)
-1 /
Tensao magnetica V\ na /eslma segao de um circuito magnetico
s 82 V, = H; If (veja s 16)
Resistencia magnetica (Reiutancia) fim de um circuito homogeneo

s 83 ~
Q l
Rm 0 (veja s 18)
Condutibilidade magnetica A de um circuito homogeneo

1 0 Vr Vo 4
S 84 A J L (veja s 19)
Rm e l N
Energia Wm acumulada no campo magnetico
- -i. I
jN I 0 = i
3
s 85 Wrr =
Fluxo magnetico de dispersao Os

Uma parte do fluxo magnetico total O0 atravessa o entreferro extemo
e com isso fica ineficaz. Os se exprime em fungao do fluxo util O.
Isso da :
(J) Q
s 86 coeficiente de dispersao a = — ( 0.1 . . . 0.3)
s 87 fluxo total 0Q = 0 + 0$ = 0 ( 1 + 6 )
Simbolos das formulas, veja S 18
Eletrotecnica
Campo magnetico s 15
O campo magnetico e suas forgas
Forga Fm entre polos magneticos
Na diregao do fluxo magnetico apresenta-
k
se uma forga de tragao Fm r 0
A
S 88
1!tA' OU rm #T V cm* N
2
/>n
Forga F\ num condutor percorrido por corrente
Um condutor atravessado por uma corrente / encontra uma forga trans -
versal F\ no comprimento / perpendicular as linhas de fluxo magnetico:
s 89 r, = B i i ou r, =
T m A
Quando aplicado ao induzido de uma maqui -
na de corrente continua, o momento vale:
s 90 ft; ~ 0I— 2
2n a
s 91 ou
*, =
1
2o K
.
0
/
VS
I
7
A a
n
2 N m condutor
Tensao induzida pq (lei de indugao)

A tensao pq e induzida numa bobina (numero de espiras N, resis-
tencia interna fli) por um fluxo magnetico Ry * Rj
o variando com o tempo:
s 92 = ( veja tambem s 11)
dt
o que produz uma corrente na resistencia 0(0
externa Fv.
Tensao induzida
pelo movimento pela rotagao de pela rotagao do
de um condutor uma espira condutora rotor de gerador
perpendic . a 0 num campo magnetico
s 93 = U 0max sin a i t uq = 0 n 2
a
s 94 0moz Z d fi l dB
2 /ia .
W
+
I
s 95 Tensao pq de auto- indugao : uq = L di/dt

Explicagoes, veja pagina S 18
Simbolos, veja S 18
!
Eletrotecnica
Corrente alternada 16
No?6es gerais de circuitos de corrente alternada
Sentido de angulos de fase
Em diagramas vetoriais, as setas sao usadas as vezes para representar
angulos de fase. Nesse caso, as setas no sentido contrario ao do
movimento dos ponteiros do relogio e o sentido de rota ao positiva, e as
no mesmo sentido do movimento dos ponteiros, negativa. ^
Exemplo
sentido dos Angulos de fase
s 96 Pi - 92 = 360 ° = 0
s 97 1 = 97
Valores de pico (veja tambem s 1)

A corrente i e a tensao u de
uma corrente alternada va - Graf , vetorial Grafico das variages
riam periodicamente com o i
Periodo T = 1/1
tempo t, geralmente na forma
& :
senoidalA Os valores maxi -
mos i e u sao chamados va- r i
lores d e p i c o . A uma t
frequencia angular co = 2 n fo
9 -
angulo coberto no tempo t e:
0 f1 », —
< JJ
s 98 a v t
( = 2nf t
Por isso , obtem - se nesse ponto

s 99 a corrente £ = f sin ( c u t ) = i sin a
s 100 a tensao u - u sin (ut ) = u sina ( se (p = 0)
Valores eficazes
Esses valores sao usados em calculos praticos e sao geralmente indica-
dos pelos instrumentos de medida.
Caso geral Variaqao senoidal
r
1 3 i
s 101 I 1e f zz
i dt l = Ief
V2
s 102 U = Jef /T/ 2
u dt
Com esses valores, obtem - se tambem a potencia alternada

U = Uef
u
s 103 P UI ( se cos tp = 1; veja s 115)
Continua em S 17
Eletrotecnica
Corrente alternada S 17
Continuagao de S 16
Defasagem, angulo de fase entre corrente e tensao se
produz no circuito de corrente alternada contendo impedancias
diferentes (resistencia, indutancia e/ou capacitancia). O angulo <p
e sempre medido da corrente para a tensao.
Diagrama vetonal Formas de onda
u u
^
LZQsjpyL -
lot )
s 104 u = u s i n (b ( ) i = f s i n ( w t - ?) )
Fator de qualidade Q, de perdas tan 5 e angulo de perdas §

O fator de qualidade Ode um circuito e definido por :
s 105 Q = 2 n w / W vp
Nesse caso, S' e o valor de pico da energia armazenada no
circuito , e W y p a perda de energia dissipada num periodo.
O inverso de Q e chamado fator de perda tan 6

s 106 t a n 6 = 1 /Q ( 6 e o angulo de perdas)
Para uma bobina de reatancia ( s 125 e s 128) e para uma

combinagao condensador- resistencia (s 126 e s 129 ) esta defini-
gao resulta nas relagoes simples:
S 107 Q - | t a n pj t a n 6 = 1 /Q - 1 /]t a n 9P [
6 = 90 - \ <p\
s 108
s 109
° ^ ^61
- I w/
= |Iw / Ib|
(para ligagoes em serie)
(para ligagoes em paraielo)
Formulas para tan (p veja S 19 e S 20

Formulas s 138 e s 139 aplicaveis aos circuitos ressonantes nao
sao tao simples
Eletrotecnica
Corrente alternada 18
Equagoes basicas da corrente alternada (monofasica)
Impedancia Z veja S 19 e S 20
s 110 Admitancia Y = 1 /Z
Tensao atraves da
s 111 U I Z
impedancia Z
1 U
s 112 Corrente atraves da I
impedancia Z Z
yp
~
s 113 Potencia aparente S = ui = 2

+ Q2 =
'
i2 z
s 114 Reatancia -
s 115 Potencia ativa *
P =
Z sin <p
VI cos <p ~ I2 R
s 116 Potencia reativa Q = V I sin <p ~ I2 X
P p
s 117 Fator de potencia cos <p sz
V1 s
s 118 Fluxo magnetico alterna - 0
do numa bobina 4, 4 4 N f
s 119 V 0 : constante de campo magnetico (/i0 = 4 n • 10 “7 Vs / A m)

lir : coeficiente de permeabilidade
para o vacuo, gases, liquidos e a maioria dos solidos, tem- se pr = 1;
para materiais magneticos usar os valores de pr de Z 23
a : numero de pares de vias de corrente do induzido
l : comprimento do fluxo
N : numero de espiras
p : numero de pares de polos
z : numero de condutores
RR serie
Rp
resistencia em
paralelo circuito equivalente
serie da bobina
indutancia em
LP paralelo
Explicaqoes para a paglna S 15 [ UQ de auto-indugao)

Se a corrente / que atravessa uma bobina varia com o tempo, o campo
magnetico causado por essa corrente tambem varia. Com isso, uma
tensao uq de auto-indugao e induzida na bobina; sua diregao e tal que
neutraliza a variagao instantanea da corrente ( Lei de Lenz ) .
Diagrama Posigao - Angulo Impedancia tan o
O
m
121
indutiva
indut ncia ideal
^
atraso
de 90 °
9? = 90° Z = XL = u L oo
0
3
</>
S’
=§5 3
2
<4 J
o 2. CD o
s
122 condensador
/ i lem
avan9o 
0
_SL (0 >
CD O
Oc de 90 ° 3 CD
o=>
<4 0 fi> J
ohmica + S2. o« 5 . O
s indutiva 1 / em
0 0
03 ) Q
123
*
capacitiva ^ o;C
avango - 90°«P<0o W
sobre U 1 Q
em s6rie ft
Z^ VRJ + LL uC
(
0 (A
0S
s
bobina em
1 lem 2 .
s 6 rie com
R> UJC
124 condensa - uLn — (7
<4 atraso 0°< <p<90° 0
0
'ey sobre U
dor "O
0
XLR 0
s
dhmlca + indutiva em
s6rie esquema de
*P / / em
atraso < 0°< <p ° Z =
< 90 { u Lr ) 2
0
125 equivalSncia de uma
bobina
OR UL °
90 O
CD
u j sobre U Continua em S 20
1
Diagrama Posi ao Angulo

Tipo de resist . Ligagao
vetorial ^
de fase de fase
Impedancia tan cp -
6hmica + capacitiva »R UR / tern
s /
em s6rie avanco
-90°«p<0° 1 \2 1
126 resistance e conden-
sador em s6ne UR
u
Uc
< 90
sobre U
° 2=
* a? Rp (i C )
om
fa / em § .
ohmica ± indutiva +
4 avango 1
1
CD 2
EJ 1
s capacitiva em parale - '
XLP I
ou em -90°<<p<90C> 2 =
. 3
127 1Q bobina e cond. em
paralelo
u
¥ atraso
sobre U RP
1 \ 2
j * \uLp
1
2
uc) O
o
2.
CD
&L
Q
<D>
=c> CD O
s
ohmica + indutiva em
paralelo esquema de
128 equivalence da bobi -
^ {
Rp
XLP
;
u 4 / em
atraso
sobre U
oV < 90° z=
1 \2 4
1
1
RP
iu Lp
0>
o
«
P>
o'
Q .
3 3
03
Q.
W
—
O
fl)
f* [ Lp
CD
na 4
^ U
p
“ CO
co
ohmica + capacitiva fa
/ / em 1
- 90°«p<0° 2-
s em paralelo resisten- - RpuC
129 :ia e condens. em pa
avango
sobre U ( C)2
ralelo
u *
s Os valores dados R e L de uma bobina sao sempre os valores Rp e Lp do circuito
130 serie equivalente veja Rp Rp
( s 125). Entretanto, se uma bobina estiver ligada em paralelo
com um capacitor, e preferfvel usar o circuito paralelo equivalente de uma bobina
rR CO
( veja s 128) . Os valores Rp e Lp dependentes da frequencia devem nesse caso ser to
131
calculados por: Lp = LR -*• O
Eletrotecnica
Corrente alternada s 21
Circuitos oscilantes
Circuito oscilante
em serie em paralelo
si'mbolos e dia-
veja s 123 veja s 127
grama vetorial
diagrama veto- UL u k
rial na ressonan- U = UR 4
Jc
cia
1
s 132 UL - UQ 4 = k
condipao de res- 1 1
s 133
sonancia
<ur LR -
ur C
(
= 0
ur Lp - ur C ~ 0
3
s 134
"r hC = 1 ? lpC
a> = 1
1 1
=
s 135 fr =
y fr
TIYL
frequencia de
ressonancia ^ c
2
se a frequencia da rede f
A
= fr tem-se ressonancia
2
^
U JL = HRCU
s 136 corrente na res - lr = lr =
sonancia
HR RP IR
s 137 onde Jb — — UQ — 0 onde lb ~
IL - 7C = 0
9 = 0 <p = 0
s 138
fator de qualida -
= itis =
1
Qp = (urC Rp = HR
de Q HR ujr C RR
1 1 1
s 139 angulo de per - tan 6R = — = tan
das 8 OR ur LR V «/» ur C Rp
140
comprimento de
X
c 300 106 m
S
onda fr frS
periodo de res-
S 141
sonancia
Tr = 2 K l/ LRC Tr = 2n Y LPC
Circuito de bloqueio
Um circuito ressonante em paralelo tem sua impedancia maxima ZmgX na
sua frequencia de ressonancia. Portanto, ele atua como um bloqueador
de correntes nessa frequencia.
U
s 142 Z /r> o Rp ~ e corrente I
* 1* max
Si'mbolos conforme S 18
Eletrotecnica
Ponte de medigao de corrente alternada
Utilizagao para medir a capacidade de condensadores ou a indutivi-
dade de bobinas. E preciso equilibrar a capacidade e a resistencia
variaveis C2 e R2 ate que 0 som num tone de baixa resistencia Kseja
mi'nimo ou imperceptivel.As ligagoes abaixo sao independentes da
frequencia.
Medigao de
capacitancias indutancias
Rx 3L 77O R>
3
EH * k
-% 3H
CX
R<
* 3 4
s 143 Cx lx C2 /?3 RA
R 3 RA-
s 144 Rx =
*x 1 R
R2
S 145 tan 6 x =
Rx u Cx w Lx
t a n 6X -
Determinagao de uma impedancia desconhecida atraves da me-
digao das tensoes atraves dessa impedancia e de uma resistencia
auxiliar: R I
©~1t
s 146
U2 - i/ p
2
- U/
UR
s 147 O zl
s 148
U 5 Uz
s 149 Escolher a resistencia auxiliar H de modo que : UR * Vz

Cx capacitancia incognita 6 X : angulo de perdas ( veja pag . S 17)
lx indutancia incognita R2 . A resistencias conhecidas
Rx resistencia ohmica incognita da bobina ou do capacitor
C2 capacitancias escalonadas regulaveis
z impedancia incognita ( indutivas e capacitivas)
Eletrotecnica
Indutancia L de bobinas sem nucleo
Calculo de L a partir da impedancia e da resistencia efetiva
2
i
s 150 Passar uma corrente alternada J = I /A (= 3 A/ mm ) por uma bobina e medlr
a tensao terminal U , a corrente I , a potencia ativa P.
s 151 impedancia Z = y- ; resistencia efetiva
s 152 L = —
( u
'
Calculo de L para uma bobina anular
s 153 L =
2 n n
Calculo de L para bobinas cilfndricas

As espiras devem ser circulares
D indutancia
u
s 154 < 1
s 155 > 1 T
o
s 156 > 3 valores se tomam inadmissiveis

-t J
\ >
i
1 10"6 V
A
"
a : espessura do enrolamento
A : segao transversal do fio
b : largura da bobina
da : diametro extemo do fio com isolagao
D : diametro medio da bobina
l 0 : comprimento intemo do enrolamento
s 157 lm : comprimento medio do enrolamento ( / m = / o + Jia)
N : numero de espiras
u : perimetro da segao transversal do enrolamento
a : relagao a : b ,
ab
s 158 $ : grau de afrouxamento de espiras I p =
Nd £
Eletrotecnica
Calculo de bobinas sem nucleo magnetico
com indutancia L especificada
Bobinas de alta freqiiencia
D
u Formula
com
s 159 < 1 1014 _
v .... .
u
JJ
."
m d0
»
YfT
2
^
s 160 >1 m 0 = da(l +a
Bobinas de baixa freqiiencia
s 161 Supondo p - 1 tem- se
s 162 N * 975
1 .b
s 163 a
4
u + u7 - 1 6 JV da 2 ; = —2 - a
LI
Calculo do numero de espiras A/ de uma bobina

A partir da segao do enrolamento
ab
s 164 N «
da (
A partir da resistencia efetiva i \ i
s 165 N *
R A O
vrr .
9 /\
kM Cn IQ
Usando uma bobina de referenda

Posicionar a bobina com numero de espiras desconhecido A ea
bobina de compara ao com um nu -
^
mero de bobinas conhecido N0 em Junta de separagao Nucleo de ferro
^
um nucleo de ferro. Excitar o nucleo
desta ultima com uma bobina de /
excita ao Ne percorrido com as ten
^ - . *,
soes Ux e Uo com um voltimetro I [ » I
tendo uma grande resistencia inter- | | w,
na . Obt6m -se: ° I UOZh
°^
s 166 -
Nx ' N
U 0
Explica ao dos simbolos, veja S 23

^
Eletrotecnica
Histerese
Indugao remanente Br
E a indugao residual que fica no nucleo de
ferro apos ser retirado o campo magnetico de
intensidade H.
Intensidade de campo coercitivo Hc

Deve -se aplicar a forga coercitiva Hc para
reduzir a indugao B.
Trabalho de remagnetizagao 1/VH { Trabalho de histerese)

A energia dissipada VZH durante um ciclo simples da curva de histerese
e igual ao produto da area da curva de histerese UVHpelo volume do nucleo
s 167 WH = »HVF .
Potencia de remagnetizagao PVH (Potencia de histerese)
S 168 PVH =
WH f ~
WH ^F e f
Correntes parasitas ou de Foucault

De acordo com a lei de indugao, tensoes alternadas sao tambem induzidas
num nucleo de ferro. Dependendo da resistividade do nucleo de ferro, essas
tensoes provocam correntes de indugao, chamadas correntes parasitas ou
correntes de Foucault. Pode -se reduzi- las, utilizando chapas laminadas
(nucleo formado de chapas de metal de 0,3 a 1 mm de espessura isoladas
umas das outras) .
Perdas no nucleo (perdas no ferro)
Potencia especffica das perdas no ferro pFe

E a soma das potencias das perdas por histerese e por correntes Ade
Foucault por unidade de massa. Sao medidas por um valor de crista a =
1 T = 10 kG ou 1 ,5 T = 15 kG a uma frequencia f ~ 50 Hz e sao designadas
por P 1,0 e respectivamente P 1 ,5. Valores, veja Z 24.
Potencia das perdas no ferro PFe

2
'V .C 1 + * )
B f
s 169 /Ve P 1 ,0 '
T 50 Hz f
m F e : massa do ferro | H : corregao devido a estampagem (0,1 ... 1,0)

Eletrotecnica
Bobina de reatancia
Bobina de reatancia usada como resistencia adicionai
£ utilizada num circuito de corrente alternada para reduzir a tensao da
rede U ate um valor para uma carga resistiva, com perdas minimas.
1
S 170
Impedancia
bobina z „ = y«Rj + ( ULRy
s 171 circuito total
1 2
s 172 Indutancia necessaria LRR = — - ( «, + «R )!
U
)
Num calculo preliminar de LR pode -se desprezar a resistencia incog-

nita da bobina. Apos o dimensionamento da bobina, fica- se conhecendo
flR e entao pode-se determinar exatamente Z Deve- se controlar Usj por
s 173 yv = 1
TT
Eventualmente, deve- se bobinar uma 2- bobina variando LR e f?R para
obter o valor Z
Bobina de reatancia sem nucleo com indutancia constante
Dimensionamento, conforme S 23. Efetuam-se hipoteses preliminares
com relagao aos valores r2/ /'1 (bobina anular) ou D/u (bobina reta).
Repetem-se os calculos se o volume de bobinagem for muito pequeno ou
se o numero de espiras e/ou as dimensoes forem desfavoraveis. Final-
mente , calcula-se a resistencia efetiva da bobina segundo s 26.
Bobina de reatancia com nucleo e indutancia constante

O nucleo de ferro serve essen- b entreferro
cialmente para canalizar o fluxo
magnetico e deve conter o maxi- $
mo de entreferros 5i possivel, os
quais devem sercheios de cama - Q,
das isolantes e seu comprimento
nao deve exceder 1 cm. Despre - I
za - se o nucleo no calculo das
.
tensoes magneticas Calcula -se Enroiamento a ser
• J
sempre com os valores de piCO de distribuido por ambas as panes

He B.
Continua em S 27
Eletrotecnica
Continuapao de S 26
pode ser expressa pela variagao relativa das
^ em fungao dabRcorrente:
A varia ao da indutancia
indutancias
s 174 _ I L Rtot ~
^RI . 1 _ Bf + 6 + 1
9L ’
#Fe IF* Vo A i
9L
Se gi > gLneo repetir os Ccilculos aumentando Ape e diminuindo Bfe,
mantendo inalterado o produto Afe Bfe.
Dimensionamento: Dados: LR, f , gi_neo Lef u /ef e seguida as
^ °
Dimensoes
aproximadas definitivas
s 175 segao trans - 4 pe' s: ] K

/
/ If . f i/l Afe encontra -se na DIN
versal efetiva 41302, a e b calculados
do nucleo com J91 = 2 com Afe = 0,9 ab = Afe
s 176 K ru
V Let
iV
s 177 N9 de espiras 4 , 44 / &,/lFT
s 178
segao do en- 4 L' = ab + 5 cm( a + b ) [ AL = a 6 + 5 ( a + b ) <5 « ]
treferro
compri- abn N Po
3
= <5 =
s 179
s 180
total
simples
mento
do entre - LR
terro <5I* = 6 ' / n < 1 cm
ft LR 5 /
<5 = <5 / n < 1 cm,
(a+ b) - ^^
diametro do Use os valores seguintes
s 181 fio d‘ zz 2 de d, da , inclusive isolagao
segao do enrola-
s 182 mento Aw = 1,12 d< } N
comprimento calcular l 8 com as dimensoes do nucleo de ferro e
das pemas em seguida determinar Aw
Bobina de reatancia com nucleo e indutancia dependente da corrente
Esse tipo de bobina emprega um nucleo de ferro sem entreferro. £ usada
apenas com fins especiais, por exemplo como amplificador magnbtico.
K : fator de potencia da bobina
: -0,24 cm 4A/ A para bobina seca forma do nucleo,
4
: = 0 ,15 cm /VA para bobina no oleo veja S 26
para fETEl a segao do nucleo, aumentar os valores em 75%
2
"
j : dens, de corr. prelim, para bobina seca J’ = 2A/mm 2
dens, de corr. prelim, para bobina no oleo J’ = 3... 4 A/mm
BFf : indugao no ferro (tomar aprox. 1 ... 1,2T)
H Fe : intensidade de campo no ferro para &Fe conforme o tipo de ferro, tirar
de Z 23
n nuinero dos entreterros; o aumento reduz o fluxo disperso
resistencia eficaz do enrolamento, veja s 26
* Cu
# R . : resistencia eficaz da bobina inclusive perdas no ferro
( f?R = 1,3 Rcu )
l Fe : comprimento medio do fluxo no ferro
Eletrotecnica
Transformador
Denominate) dos enrolamentos
Diferencia<?ao pela
tensao nominal fun$ao no circuito (dire ao da

enrolamento com
alta |
transfer, de potencia) ^
baixa enrolamento
tensao nominal de entrada de saida
bobina Primario ( indice 1) Secundario (indice 2)
alta tensao baixa tensao
Valores nominais ( indice N)

s 183 Potencia SN = U ] ti J1 N = UIH 7 2 N
‘
s 184 Relagao de transformapao u = (/ 1N / U2Q =

A tensao secundaria U2N designa a tensao sem carga ( C/2 .
N = M20)
Potencia de perdas no ferro Ppe e ensaio em vazio
Ao
<§—0
an
J, 1 2.1
^, N
^20
KD / '
10
1.2 2.2
^20 * ^2
4n
A potencia das perdas no ferro Pfe depende somente da tensao
primaria U1 e da frequencia f , nao dependendo da carga.
s 185 P\ 0 = PF .
A potencia PFe das perdas no ferro e a re\ a$ao de multiplicagao se
medem num circuito aberto (veja circuito secundario aberto, gran-
dezas com indice 0) . A componente util /RFe da corrente primaria
representa as perdas no ferro; a componente reativa a corrente de
magnetizagao /m - As perdas no cobre sao muito pequenas. As
potencias Pfe das perdas no ferro sao utilizadas para o calculo
das
potencias das perdas totais e do rendimento.
Continua em S 29
Eletrotecnica
k
Corrente aiternada S 29
Continuagao de S 28
Potencia Pcu das perdas no cobre e ensaio em curto-circuito
/tN Ligagao Diagrama
<4
0 =
Pcu depende somente da corrente prim ria

/1 e 6 determinada num ensaio em cur - ^
to -circuito( veja circuito, diagrama, dados com indice K ). Com o
secundario em curto, a tensao primaria e ajustada para um valor
U -IK, que provoca o fluxo das correntes. L/IK e tao pequena que
/RFe e /m sao despreziveis. Entao, a potencia do primario PIK com
o secundario em curto-circuito e igual a potencia dissipada no
cobre PcuN do transformador. Utiliza-se PIK para o calculo das
perdas de potencia e do rendimento.
=
s 186 ^1K ^C u N
Os valores medidos sao usados para calcular a tensao relativa de
curto-circuito UK que, nos transformadores grandes, e sempre
s 187
indicada na plaqueta com: u = 100 ( ( /1 K / f /1 N ) % .
*
Usando o diagrama vetorial, determinam- se:
_ PcuN
s 188 ; cos
RCu = i/R / /1 N ; L = UL / u I w = ?1 K / £/, UR K
PSN
Condigoes de operagao circuito equiva- “ K
Para calcular a tensao se- >ente simpiifica- diagrama veto -

rial simplificado
cundaria de operagao Lk
para uma dada carga, todas
as quantidades secunda-
rias sao prime)ramente caJ-
culadas para um Ut
transformador equivalente
tendo relagao de transfor-
magao de u = 1:1 (indice ’):
s 189 U2 — il U 2 » 12 ' - 12 / u ; Rj - ii R?
Variagao dependente da carga At/ de U2'
( valida para uk < 4%)
s 190 « (/ ,* ( c o s <p x c o s <pi + s i n ^m s i n
1 ) -I2 / l 2 H
~ £/, K - C O S
Tensao secundaria U2
s 191 U 2' * - AU ; U2 U 2' / u
Eletrotecnica
Corrente trifasica S 30
Ligagoes fundamentals
Ligagao estrela I
U Uestr
4
s 192 U = tfestryT l2 /
Uy U 6.
U Uestr
s 193 I ~
-^ estr Uy I V
l3
Uy
v '’
N
Ligagao triangulo T
L ,T /
S 194 U -
^ estr
U
s 195 I
- JestrVT
L2
L3
u
U
/
/
is
Medigao da potencia trifasica

Carga simetrica
Ligagao
com fio neutro ( rede de 4 sem fio neutro (rede de 3
condutores ) condutores )
da I para a da I i , para a
rede pes\ r carga *Pestr, carga
u. e Lz
L3
rede
ui L3
N neutro artificial
s 196 Potencia util total P = 3 * /W “ VT * U' l - c o s <p

Para carga desequilibrada ( ligagao de Aron)
Aplicagao para rede trifasica da Lt para
de 3 fios sem neutro ( utilizada rede Lt a carga
tambem para carga assime- p
2 i- 3
trica, sem neutro).
s 197 Potencia util total P = P , P2
Jestr : corrente de fase Wsstr : tensao de fase

J : corrente de linha U : tensao de linha
Li , L 2 L 3 : fases
N : fio neutro
Pestr : potencia util dc uma fase
Eletrotecnica
Corrente trifasica s 31
Potencia ativa e reativa, fator de potencia
para carga simetrica
s 198 potencia reativa Q = V I sin 9
s 199 potencia efetiva p = yr u i C O S <P
p
s 200 fator de potencia cos 9?
yr vi
Compensate) de potencia reativa
para cargas indutivas
Generalidades
Para reduzir as perdas de potencia e os custos de instalagao,
melhorar o fator de potencia cos (p ate cos cp = 0, 95. Compensar
os grandes consumidores separada e diretamente, e os pequenos
consumidores centralmente , com a distribuigao principal ou secun-
i
daria .
Calculo da potencia necessaria do condensador
Calcular o fator de potencia cos (p com a formula s 117, em que P
e a potencia medida (circuito conforme S 30) ou calculada com os
dados do medidor de corrente.
s 201 Potencia do condensador Q = ( tanp ,- t a n <p2 ) P
s 202
Potencia ativa das per- « 0,0 0 3 Q
das do condensador Pc
Tabela numerica
cos 9? tan qp cos <p tan cp cos cp tan cp cos cp tan y
< 0 , 42 2.161 0 , 62 1,265 0 ,81 0 , 724 0 ,91 0,456

0,44 2.041 0.64 1,201 0,82 0,698 0,92 0, 426
0, 46 1.930 0,66 1,138 0 , 83 0 , 672 0,93 0,395
0 , 48 1 ,828 0,68 1 ,078 0,84 0,646 0,94 0,363
0 , 50 1,732 0 , 70 1 ,020 0,85 0,620 0,95 0,329
0, 52 1,643 0 , 72 0, 964 0 ,86 0,593 0 ,96 0, 292
0,54 1,559 0, 74 0 , 909 0 ,87 0,567 0,97 0, 251
0,56 1 , 479 0, 76 0,855 0 , 88 0,540 0,98 0,203
0, 58 1 , 405 0,78 0 ,802 0,89 0, 512 0,99 0,142
0 , 60 1 , 333 0,80 0 , 750 0,90 0 , 484 1 0,000
tan cpi e tan cp2 podem ser extraidos da tabela acima , cos cpi sendo
o fator de potencia melhorado e cos 92 o fator de potencia do
1 consumidor.
Eletrotecnica
Motores s 32
Maquinas de corrente continua
(Motor e gerador)
Generalidades
s 203 constante de momentos C = P 2

* 2 K a
s 204 tensao de fonte rotativa Uq — ~ 2
^ JI CM n
s 205 torque M = CM 0 /O
s 206 corrente do induzido =
UU - Uq ) *)
la
s 207 tensao nos terminals U = UQ ± IaRa *)
s 208 numero de voltas ( frequencia) _ U + IgRa ** )
2 KCM0
s 209 potencia interna Pj = Mj w = Uq IQ
s 210
potencia mecanica
absorvida pelo gerador PG = — U Jt
1
0(
S 211 fomecida pelo motor - T] uI{ot

Motor em derivagao (diagrama, veja S 33)
Partida facil, numero de rotagoes quase constante em carga e
pode ser variada ligeiramente em certos limites.
Motor serie (diagrama, veja S 33)

Partida facil com torque bastante elevado. O numero de rotagoes
e bastante dependente da carga. Perigo de instabilidade em caso
de funcionamento em vazio.
Motor compound (diagrama, veja S 33)

Comportamento analogo ao do motor paralelo. A ligagao serie
produz com forte torque de partida.
a • numero de pares do induzido z : numero de condutores

p : numero de pares de polo : resistencia do induzido
<P : fluxo magnetico
Ra
* ) + motor ** ) - motor
- gerador + gerador
r
T
:
Eletrotecnica
i
Maquinas de corrente continua com coletores S 33

'
Motores Geradores
•
5 a direita a esquerda a direita k esquerda
o
35V
©
• V)
s 212 L* L* L*
L- L -
5
TO
a.
o
'S-
L
n VL
£a
©
R W
t
i "F '
s ll
re; re;I
s 213
2B2
f© E2 E !
L*
282 fH
2 B2
L»
L - L-
I
•
© (I II II II
o
'S-
2
o
s
t (V ISJor
25 ? 2 fi 2 282
S 214 L-
n
V
a
•
3
O
a
_
E t
o
o
'5- ¥
V
5
o
x
©
s
r JB 1
s
p^[ ;p2o ! »<3 f ? f / 02 Q;

282 292 282
Eletrotecnica
Motores s 34
Motor trifasico
Frequencia de rotagao sfncrona (numero de rotates)
Sendo p o ng de pares de polos e f a frequencia, tem -se a
frequencia de rota - 60 / s 1
s 215
gao sfncrona P p min
Ligagao
Quando ambos os terminais de cada enrolamento sao acessfveis
no quadro de ligagoes, o motor trifasico pode ser ligado tanto em
estrela quanto em triangulo.
Tensao de fase
ligagao estrela ligagao triangulo
s 216 f/estr ~ V
VJ
Urn motor com a designagao 660/380 V tern seus dados nominais
de corrente , torque e potencia na conexao como:
s 217 U = 380 V em triangulo, pois Uestr = U = 380 V

s 218 U = 660 V em estrela, pois
„
Ues { r
_ JJ_ _ 660 V
= 380 V
73 y /T
Ligagao estrela-triangulo
Os motores de grande potencia geralmente funcionam em trian-
gulo. Para evitar correntes de partida muito altas, particularmente
em redes de corrente relativamente baixa, o motor da a partida em
estrela e depois muda para triangulo. Se, por exemplo , urn motor
de 660/380 volts for ligado em estrela numa rede de 380/ 220 volts,
ele recebe apenas 1 / V3 vezes sua tensao nominal.
^
Motor assfncrono
O campo girante do estator induz tensoes e correntes no enrola-
mento do rotor, donde a designagao de motor sfncrono. Numero
de rotagoes em carga inferior de 3 a 5% (deslizamento) do que o
do campo girante; praticamente sem variagao em fungao da carga.
Motor sincrono
Exige corrente continua para excitagao e e sincronizado com a
velocidade do campo de rotagao por meio de uma armadura
auxiliar em gaiola - de-esquilo . Pode ser usado diretamente como
urn gerador .
Eletrotecnica
Acoplamento de transformadores s 35
Modos usuais de acoplamento de transformadores
Relagao
Designagao Diagrama vetorial Ligagao de
grupo transf.
n° de liga- OS US OS US
chave : U2
gao
Transformadores de potencia trifasicos
TV TU TV iw 2U 2V 2 W
s 219 D d 0
:U
^ IV
TW M3 M3
1U TV IW 2U 2 V 2 W
N2
iVi
s 220 0 Y y 0 N2
TU TW
2U 2 V 2 W
TU TV TW 2 Nt
s 221 D z 0
IU
X
*-^ TW M3 3 N2
|o y 3
TV
. 2U
TU
M3
TV TW
s 222
s 223 5 Y d 5
iU
^ TW
2W
2W <
~\
£j
2V
i-JLf um
2U 2 V 2W
Y$ N
IT ,
N*3
2
TW 2U 2V 2W
TV TU IV TW 2 N<
s 224 |Y Z 5
l U'
^ IW
2W J ?
' 2V
TU TV TW
2U 2 V 2 W
N1
M3 2Qrs5\l
2W 2U
s 225 D d 6 \? N2
2W >
2V
, 2U
TU TV TW
U 2V 2 W
N ,
s 226 6 Y y 6 y N2
2V IU IV TW 2 N<
2W ~\ j 2 U
s 227 0 z 6 <2v M3 2U 2 V 2 W 3 Ni
TU TV
|2 j
^
TV IW
s 228 D y 11
133 YTH,
lU
^ IW
TT
m
IU IV IW 2U 2 V 2 W
s 229 11 Y d 11 N2
TW ( U 2V 2 W
IV IU TV IW 2 N<
s 230 Y z 11
TU
^ TW
Transformadores de potencia monofasicos

V? N2
U 2.1 1.1 2.1
I
*
s 231 0 Ii 0 N2
1.2 2.2 1.2 2.2
OS : tensao primaria D triangulo Y estrela zig- zag

US : tensao secundaria d y z
Os numeros -chave sao usados para calcular o angulo de fase ( 9 = n

chave x 30°) entre as tensoes primaria e secundaria; exemplo: pan
Dy5, 0 angulo de fase e: cp = 5 x 30° = 150°.
Observagao : utilizar de preferencia os modos enquadrados.
Ffsica ondulatoria
Fotometria e Optica T1
Generalidades
A cada grandeza fotometrica corresponde uma grandeza ffsica de
radiagao e as mesmas relagoes se aplicam a ambas, diferenciadas
apenas pelos indices V ( visual) para a luz e “ e” (energetico) para a
energia.
Fotometria Ffsica ondulatoria
Grandeza Simbolo Unidades Grandeza Simbolo Unidades
Intens. Candela W
t 1
luminosa
Iy
cd Radiancia h
sr
Intens. de Lumen
t 2 = OIv Irradiancia <Pe * DIe W = J/ s
radiagao lm = cd sr
Lumen- Energia irra -

Fluxo lu- segundo diante, Qe * < V J=Ws
t 3
minoso lm s, e
lm h
quant, de ra-
diagao **
3
otencia ir-
Lv - Luminan- Les
t 4 Iy cd W
radiante m2 cia sr m2
^, cos c A , c o s ci
Lux W
Quant. <Py lluminan-
\ 5
de luz
r —
CV * AA .
2 lx = cia
r
>1 ?
m2
m2
Expos . Exposigao Ws
t 6
luminosa Hv - -
£v t lx s radiante He = £e t
m2
Definigao da grandeza de base “Candela” (cd) 2
E a intensidade luminosa de uma superficie de 1/600 000 m
(= 12/3 mm2) de urn corpo negro a temperatura de 2042 K.
Radiagao fotometrica equivalente Km para X = 555 nm

2
t 7 Km = 680 = 680 cd sr = 680 lx m
W w w
Consumo de fluxo luminoso em iluminagao ( Valores, veja Z 25)
Uma superficie A2 sujeita ao aclaramento Bj necessita de uma
quantia de fluxos luminosos IOv de todas as lampadas da instala-
gao de iluminagao:
A 2 ‘ Ey
t 8
n
Explicagoes dos sfmbolos, veja T 2
Fi'sica ondulatoria
Lei das distancias; refragao T2
Lei das distancias
A iluminagao de uma superffcie e inversamente proporcional ao
quadrado da distancia da fonte
luminosa:
t 9
Ev 2 r ,2
2 >
41 A
A2
Para uma mesma iluminagao Evde uma superffcie A , as intensidades
luminosas h de duas fontes luminosas sao a relagao direta entre os
quadrados da distancia r entre as fontes:
K\ Superficie
tio
Ivi r 22 1
Refragao I Meio
sin a I dptico
t 11 * sin 6 o. lino
ria
= constante para qualquer angulo ' / / /Meio
/ / / / /W / / / / / / / /
'
t 12
\
Se
t 13
* ocorre reflexao total
Indices de refragao para lampada de sodio amarela com k = 589,3 nm:

dptico
denso r
:
solidos Ifquidos gases

com relagao ao ar com relagao ao vacuo
plexiglas 1 , 49 agua 1,33 hidrogenio 1.000139
quartzo 1 , 54 alcool 1,36 oxigenio 1,000271
vidro comum1.56 glicerina 1.47 ar 1 ,000292
diamante 2.41 benzeno 1 , 50 nitrogenio 1, 000297
,
4 : 3rea de superficie radiante
-
42 : area de superficie irradiada ou iluminada
4 , • cos Ci : projegao da superficie irradiante >4i perpendicular a diregao
de irradiagao
» { nb ) : fndice de refragao do meio fino ( denso)
Ci : angulo entre o raio emergente e a perpendicular a superficie
irradiante A\
O : o angulo solido f i e a relagao entre a area Ak interceptada numa
esfera de raio ry e o quadrado do raio
114
Q * Ak / rh 2 ; unidade sr = m 2 /m2.
t 15 O angulo solido total vale : ft - 4 n sr = 12,56 sr
T) : rendimento da iluminagao (veja Tabelas Z 25 )
r
Fi'sica ondulatoria
Comprimentos de onda; espelhos 3
Comprimentos de onda (no ar )
t 16 Tipo de radiagao Comprim. de onda X - c/f
duro 0,0057 nm . .. 0,08 nm
raios X mole 0,08 nm . .. 2 , 0 nm
ultra-mole 2,0 nm . ,. 37 , 5 nm
raios opticos UV-C ...IR -C 100 nm ... 1 mm
UV -C 100 nm . .. 280 nm
raios ultraviolets UV-B 280 nm .. . 315 nm
UV-A 315 nm .. . 380 nm
violeta 380 nm ... 420 nm
raios de luz
azul 420 nm . . 490 nm.
verde 490 nm .. . 530 nm
visiveis amarelo 530 nm . . . 650 nm
vermelho 650 nm . .. 780 nm
IR-A 780 nm . . 1 ,4 nm
raios infra - vermelhos IR-B 1 , 4 nm . . 3 , 0 nm
IR -C 3 , 0 nm • •
Espelhos
Espelho piano
A imagem virtual B e direita e se
acha a mesma distancia atras do
espelho, como o objeto G que esta
na frente dele:
t 17 g = -b
Espelho concavo
t 18 ± ±+±
f - g b
Dependendo da posigao do obje -
to , a imagem pode ser real ou
virtual.
g b Imagem
oo / punctual
> 2/ f g > f > 2/ real, invertida, maior
/ oc sem imagem
</ negativo virtual, direita, maior
Espelho convexo
r G
Produz apenas imagem virtual e
menor . Como o espelho concavo.
em que :
Q
o
- F J
j
- b 'i
9
t 19 c * 299792458 m/s = 0,3 103 m/s ( velocidade da luz)
r
Fi'sica ondulatoria
Lentes T4
Lentes
Convergence D de uma lente
1 1
t 20 D -~ Unidade: 1 dpt — 1 dioptria = —
m
f
Equagao das lentes (apenas para lentes tinas)
t 21
1
= J_ + j
/ b 9 0 rr \
t 22 rT "
k- f
B b
t 23 u = —
G 9 b —A
9
Se duas lentes com distancias focais U e h sao colocadas uma
atras da outra, a distancia focal equivalente f sera dada por:
t 24 1 JL
/ - fi
+ J_
f?
Lupa objeto
em geral se o objeto esta
no foco
If
11
t 25 D = 4
/
+ 1 O =
S
—
/
5
Microscopio E
Hi
cn
ampliagao re imagem interned.
I
total •
t 3
r
/l R
t 26 u =
frfi 1
—
objeto
t 27 = u , • o2 6
s
Macrofotografia
t 28 distancia filme -objetiva a = f {v + 1)
t 29 distancia do objeto c =-
u
»
r' ( 1 + -)
u
B : tamanho da imagem indice de refragao (veja T 2) n :
F : foco r : raio de curvatura
/ distancia focal t : comprimento optico do tubo
G : tamanho do objeto o : fator de ampliagao
s : distancia minima de visao (visao normal: 25 cm)
Fi'sica ondulatoria
Radiapao ionizante T5
Radia ?ao ionizante
Radiapao ionizante e uma radiapao produzida por particulas carre-

gadas que provocam ionizapao direta ou indireta ou excitapao de um
gas permanente.
Grandezas Unidades Valores relati- Unidades
integrals ves ao tempo
exposipao 1 As = 1 C 1A
kg kg grau de ex- kg
(medida )
1 Rontgen =
posipao U -s = 258
^kg\
I
t 30
t 31
m
1 R = 258
^kg j
t
= + 1 B = e,2
^kg /
1 Gray = 1 Gy 1 Qy = 1 w_
dose absor- grau de s kg
vida V As,1 W s
=1
kg kg
dose absor -
vida = 31,56 • 106 _J
t 32 D = fJ kg a
W = 1 —
t 33 = m— kg
6= jt = rm
h Rad = 1 rd
=
cJ = o , 01 Gy 11d = 10 mw
kg s kg
= 6.242 1016 -n
•
kg
^ /
= 0,01
^s
i W - = I- G
equivalente
1 Sieved = 1 Sv
= 1
VAs
= 1
Ws grau de
kg s *
de dose (va- kg kg equivalente
lor tedrico) = 1
j de dose
1 rem
_ mW
kg s kg
t 34 H = Dq = q - D [100 rem = 1 Sv] A * Dq t rem
i = 3i7 pW
t 35 = q-D a kg
Corrente de ionizapao /: Quando as moleculas de ar sao ionizadas

por meio de radiapao e aplicapao de uma tensao, cria-se uma
corrente de ionizapao I. (Instrumento de medida: camara de ioni-
zapao).
Carga Q. Quando uma corrente de ionizapao / flui durante um tempo
t, produz -se uma carga
t 36 Q = l ' t.
As unidades entre ( ) sao unidades antigas
continua em T 6
Ffsica ondulatoria
Radiagao ionizante Ts
Dose J: Dose J e um valor referente a massa m , como, por exemplo,
t 37 J = Q/m.
Energia de radiagao W : We a energia de radiagao necessaria para
ionizagao . Cada par de ions na molecula de ar requer a enerqia
t 38
WL = 33,7 eV.
t 39 ( Carga de um eletron): 1e = 1 ,602 10'19 As)
t 40 (1 eletrovolt : 1 eV = 1,602 10 19 As 1 V = 1,602 10-19 J)
'
Atividade A: A atividade A e o numero de atomos de uma substancia

radioativa que se desintegra por unidade de tempo.
t 41 A - - diV/ dr = A • N
Unidades: Bq ( Becquerel) [ 1 Curie = 1 Ci = 37 x 109 Bq]
1 Bq e 1 desintegragao de um atomo radiativo por segundo.
Constante de desintegragao X : A = In /
t 42 2 7yz
A vida media T 1 /2 e o tempo gasto para metade da massa
radioativa se desintearar.
Unidades: s'1, min 1 , h , d \ a 1.
' ‘ '
Vidas medias de alguns isotopos naturais e artificiais:

nfi a| >mi- Elemen - massa atomi - vkla media n° atomi - Elemen - massa atomi -
(
j 2 2
vida media
to ca relativa Ar T 1/2 co Z
' to ca relativa Ar T 1 /2
1 tritio 3 12 a 55 cesio 134 2,1 a
19 potassio 40 1.3 - 109 a 55 cesio 137 30 a
19 potassio 42 12 , 4 h 88 radio 226 1600 a
27 cobalto 60 5 ,3 a 90 torio 232 14 • 109 a
38 estroncio 90 29 a 92 uranio 238 4.5 • 109 a
53 iodo 131 8 ,0 d 94 plutonio 239 24000 a
Simbolos usados
m : massa (unidade basica) T /2 : Vida media
N : numero de atomos radioativos
t 43 q : fator de qualidade para p -, y - e raios X q = 1
t 44
t 45
para outras radioes
/ : constante de ionizagao dos tecidos
q- ...
/- /
1
L
20
t 46 dos ossos /= (i • • • 4) L /
t 47 fi constante de ionizagao do ar /L =
WL/ e = 33 , 7 V)
Explicagao das unidades empregadas
t 48 A: ampere I C : coulomb I J: joule I a: ano ( 1 ano = 1 a = 31,56 • 106 s)
Exposigao a radiagao ( dose equivalente) : em 1982, a media das pessoas
que teriam sido expostas a radiagao na Republica Federal Alema foi de:
Tipo Hem
m Sv [m rem]
radiagao natural 1.1 110
fontes medicas 0,5 50
outras radiagoes artificiais J < 0, 1 < 10
permitido por lei 0,3 < 30
D numero de protons | numero de protons e neutrons
^
r
Qufmica
Elementos 1
Massa Massa
Elemento
Sim
bolo
- atomica Elemento
Sfm -
bolo
atomica
em u em u
Aluminio Al 26,9815 Litio Li 6,939
Antimonio Sb 121,75 Lantanio La 138,91
Argonio Ar 39,948 Lutelio Lu 174,970
Arsenico As 74,9216 Magnesio Mg 24,312
Astatfnio At 210, Manganes Mn 54,9381
Bario Ba 137,34 Mercurio Hg 200,59
Berilio Be 9,0122 Molibdenio Mo 95,94
Bismuto Bi 208,980 Neodimio Nd 144,240
Boro B 10,811 Neonio Ne 20,183
Bromo Br 79,909 Niobio Nb 92,906
Cadmio Cd 112,40 Niquel Ni 58,71
Calcio Ca 40,08 Nitrogenio N 14,0067
Californio Cf 251, 6smio Os 190,2
Carvao C 12,0112 Ouro Au 196,967
Cerio Ce 140,12 Oxigenio O 15,9994
Cesio Cs 132,905 Paladio Pd 106, 4
Chumbo Pb 207,19 Platina Pt 195,09
Cloro Cl 35,453 Plutonio Pu 242
Cobalto Co 58,9332 Potassio K 39,102
Cob re Cu 63,54 Prata Ag 107,870
Cromo Cr 51,996 Pressodimio Pr 140,907
Einstenio Es 254 Radio Ra 226,04
Enxofre S 32,064 Renio Re 186,2
Erbio Er 167,26 Rodio Rh 102,905
Escandio Sc 44,956 Rubidio Rb 85, 47
Estanho Sn 118,69 Rutenio Ru 101 ,07
Estroncio Sr 87,62 Samario Srn 150,35
Europio Eu 151,96 Selenio Se 78,96
Ferro Fe 55,847 Sih cio
'
Si 28,086
Fluor F 18,9984 Sodio Na 22,9898
Fosforo P 30,9738 Talio Tl 204,37
Gadoh'nio Gd 157,25 Tantalo Ta 180,948
Galio Ga 69,72 Telurio Te 127,60
Germanio Ge 72,59 Titanio Ti 47,90
Helio He 4,0026 Torio Th 232,038
Hidrogenio H 1,008 Tulio Tm 168,934
Indio In 114,82 Uranio U 238,03
lodo I 126,9044 Vanadio V 50,942
Indio Ir 192,2 Tungstenio w 183,85
Iterbio Yb 173,04 Xenonio Xe 131,30
Itrio Y 88,905 Zinco Zn 65,37
Kriptonio Kr 83,80 Zirconio Zr 91,22
u : Unidade de massa atomica (1 u = 1,66 • 10 27 kg)
'
Qufmica
Produtos quimicos 2
Designagao de produtos qufmicos
Designapao Formula
popular cientifica qufmica
acetileno acetileno C2H 2
acetona dimetilcetona (CH3) 2 • CO
acido carbonico acido carbonico H2CO3
acido clorfdrico acido clorfdrico HCI
acido fluoridrico acido fluoridrico HF
acido fosforico acido ortofosforico H 3 PO4
acido muriatico acido nftrico HCI
acido nftrico acido nftrico HNO3
acido prussico acido cianfdrico HCN
acido sulfurico acido sulfurico H2 SO4
agua agua H 20
agua forte acido nftrico HNO3
alcool alcool etflico C2H5OH
alvaiade hidrocarb. de chumbo 2PbC03 . Pb(OH)2
amonia hidr6 xido de amonio NH4OH
amoniaco j amoniaco NH3
anilina fenilamina C6H5 NH2
azinhavre , cinabrio sulfeto de mercurio (II)
HgS
bauxita oxido de alumfnio AI2O 3 2H20
bicarbonato bicarbonato de potassioK 2CO3
bicromato de potassio bicromato de potassio K 2Cr207
bioxido de manganes bioxido de manganes Mn02
blenda sulfeto de zinco ZnS
borax borato de sodio Na2 BN407. IOH2O
borax ou tincal borato de sodio Na2BN407 . IOH2O
branco de zinco oxido de zinco ZnO
bromargirita brometo de prata AgBr
brometo de potassio brometo de potassio KBr
cal extinta hidroxido de calcio Ca ( OH) 2
cal viva, virgem oxido de calcio CaO
calcio cloratico clorato de calcio CaCl 2
caparrosa azul , vitriolo azul sulfato de cobre CuS04.5H20
caparrosa branca sulfato de zinco ZnS04.7H 2O
carborundo carboneto de silfcio SiC
carbureto carboneto de calcio CaC 2
cassiterita dioxido de estanho Sn02
cianureto cianeto de potassio KCN
clorato de potassio clorato de potassio KCIO3
cloreto de cal hipoclorito de calcio CaOCI2
cloreto de potassio cloreto de potassio KCI
Continua em U 3
Qui'mica
Produtos quimicos 3
Continuagao de U 2
Designagao Formula
popular cientifica qufmica
cloreto de zinco cloreto de zinco ZNCI2 . 3H2O
cloreto ferroso cloreto ferroso (II) FeCI2.4H20
cromato de potassio cromato neutro de potassioK 2Cr 04
eter eter etilico (C2H5) 20
fenol acido carbolico C 6H5OH
ferro sulfurado sulfeto ferroso FeS
fixador tiossulfato de sodio Na2S203.5H20
fuligem, grafite carbono C
galena sulfeto de chumbo PbS
gas combustivel propano C 3H6
gas hilariante oxido nitroso N2O
gas sulfidrico acido sulfidrico H2S
gesso, gipsita sulfato de calcio CaSC> 4 • 2H20
glicerina propanatriol C3H5 (OH)3
glicol acido amino-acetico CH2OH - CH2OH
iodeto de potassio iodeto de potassio Kl
litargirio, minio laranja protoxido de chumbo PbO
magnesia oxido de magnesio MgO
melanterita sulfato de ferro (II) FeS04.7H20
metanol alcool metilico CH3OH
minio, zarcao oxido de chumbo Pb304
nitrato de calcio nitrato de calcio Ca (N03)2
nitrato de chumbo nitrato de chumbo Pb(N03) 2
oxido de sodio oxido de sodio Na20
pedra calcaria carbonato de calcio CaC03
pedra infernal nitrato de prata AgN03
pirolusita bioxido de manganes Mn02
potassa caustica hidroxido de potassio KOH
prussiato amarelo ferricianeto de potassio K 4 [ Fe ( CN) e ]
prussiato vermelho ferrocianeto de potassio K 3 [Fe (CN) e ]
sal amargo sulfato de magnesio MgSQ4.2H20
sal amomaco clorato de amonio NH4CI
sal de cozinha cloreto de sodio NaCI
sal de Glauber sulfato de sodio Na 2S04.10H 2O
soda carbonato de sodio Na 2C03.10H2O
soda caustica hidroxido de sodio NaOH
sulfato de cadmio sulfato de cadmio CdS04
tetracloretileno tetracloroetileno C 2CI4
ureia carbamida CO ( NH2) 2
vermelhao cloreto de estanho (II ) SnCI2.2H20
Qufmica
4 Valor pH
Valor pH
O p H e o logaritmo decimal, com sinal trocado, da concentragao em
ions hidrogenio CH+;
Valor pH = - Ig CH+ u1
10- 7
~1 ~2
CH + 1 10 10 10 “ 12
1 0 - 1 3 10- 14
valor 0 1 2 7
pH 12 13 14
acido neutro alcalino
Indicadores Acido-Base
Variagao
Indicador do Mudanga de cor
pH
azul de timol 1 ,2 ...2 , 8 vermelho - amarelo

4 -dimetilaminoazobenzeno 2.9...4.0 vermelho - amarelo laranja
azul de bromofenol 3,0...4 , 6 amarelo - vermelho violeta
vermelho do Congo 3,0...5 , 2 azul violeta - vermelho laranja
laranja de metil 3.1...4.4 vermelho - amarelo laranja
verde de bromocresol 3.8...5.4 amarelo - azul
vermelho de metil 4.4...6.2 vermelho - amarelo laranja
tornassol 5 , 0...8,0 vermelho - azul
purpura de bromocresol 5.2...6.8 amarelo - purpura
vermelho de bromofenol 5 , 2 ...6,8 amarelo laranja - purpura
azul de bromotimol 6 , 0 ...7,6 amarelo - azul

vermelho de fenol 6.4...8.2 amarelo - vermelho
vermelho neutro 6.4 . .. 8.0 roxo - alaranjado
vermelho de cresol 7 , 0 ...8,8 amarelo - purpura
vermelho de metacresol 7.4... 9.0 amarelo - purpura
azul de timol 8,0...9 , 6 amarelo - azul
fenolftaleina -
8,2. ..9 , 8 incolor vermelho violeta
amarelo alizarina GG 10 ... 12,1 amarelo claro - castanho claro
Qui'mica
Reagentes, Prod, quimicos , Misturas refrigerantes 5
Reagentes
Substancias Reagentes Colorado
u 2 papel azul de tomassol vermelha
u 3 Acidos fenolftaleina vermelha incolor
u 4 metilorange amarelo vermelha
u 5 papel vermelho de tornassol azul
u 6 Bases fenolftaleina incolor vermelha
u 7 metilorange vermelho amarela
u 8 Ozone papel de iodeto de potassio azul-preta
u 9 H2S papel de chumbo castanho- negra
u 10 Amomaco acido cloridrico enevoada
u 11 Gas carbonico cal extinta precipitado
Prepara9ao de produtos quimicos

Preparapao de segundo as equates
u 12 amonfaco C 0 (NH 2) 2 + H20 2 NH3 + C 02
u 13 sulfeto de chumbo Pb ( N 03) 2 + H2 S PbS + 2 HN 03
u 14 sulfeto de cadmio Cd S 04 + H2 S CdS + H2 SO4
CaOCI2 + 2 HC 1 —*- Cl2
——
u 15 cloro + CaCI2 + H20
u 16 acido carbonico CaC 03 + 2 HCI H2 C 03 + Ca Cl 2
u 17 hidroxido de sodio Na20 + H20 2 NaOH
u 18 cloreto de amonia NH 4 OH + HCI NH4 CI + H2 O
u 19 hidroxido de amonia NH3 + H20 a NH4 OH
u 20 oxigenio 2 KCI 03
e
«
302 + 2 KCI
u 21
u 22
gas sulfidrico
hidrogenio
FeS
H 2 S 04
+ 2 HCI
+ Zn
—
H2 S
H2
+
+
FeCI2
ZnS 04
u 23 sulfeto de zinco ZnS 04 + H2 S —•- ZnS + H 2S 0 4
Prepara 9 ao de misturas refrigerantes

Redugao da
temperatura Mistura refrigerante
de °C para °C (Os numeros representam partes em peso)
u 24 + 10 - 12 4 H20 + 1 KCI
u 25 + 10 - 15 1 H 20 + 1 NH 4N 03
u 26 + 8 - 24 1 H 20 + 1 NaN 03 + 1 NH 4 CI
u 27 0 - 21 3,0 gelo picado + 1 NaCI
u 28 0 - 39 1,2 gelo picado + 2 CaCI2 • 6 H 20
u 29 0 - 55 1 , 4 gelo picado + 2 CaCI2 • 6 H20
u 30 +15 - 78 metanol + gelo seco
Qui'mica
Ue Umidade do ar, agentes secantes, dureza da agua
Obten$ao de umidade de ar constante nos
recipientes fechados
Umidade relativa do ar aci- Solugao aquosa supersatu-
ma da solugao (%) a 20°C rada
92 Na2 C 03 • 10 H 2 O u 31
86 KCI u 32
80 (NH4 ) 2 S 04 u 33
76 NaCI u 34
63 NH4 NO3 u 35
55 Ca ( N 03) 2 • 4 H 20 u 36
45 K 2 C 03 2 H 20 u 37
35 CaCI 2 6 H 20 u 38
Agentes de secagem para secadores

Umidade residual apos Substancias higroscopicas
a secagem a 25 C
em g/m3 de ar
° nome formula
1,4 sulfato de cobre, amdro Cu S 04 u 39
0,8 cloreto de zinco, fundido ZnCI 2 u 40
0 , 14 ... 0,25 cloreto de calcio, granulado CaCI2 u 41
0,16 hidroxido de sodio NaOH u 42
0,008 oxido de magnesio MgO u 43
0,005 sulfato de calcio, anidro Ca S 04 u 44
0 , 003 oxido de alummio Al 203 u 45
0 , 002 hidroxido de potassio KOH u 46
0 , 001 silica gel ( Si 02) x u 47
0 , 000025pentoxido de fosforo P 205 u 48
Dureza da agua dH
°
n ., , - , A .n , A 10 mg CaO A 7,19 mg MgO
1 de dureza alema dH = 1 d = , ° = ’ , r —*—
1 Iagua u 49
1 Iagua
° ° °
1 d = 1 ,25 de dureza inglesa = 1,78 de dureza francesa = 17, 8 de dureza ° u 50
u 51
americana (1,00 ppm de CaC03) -
Grau de dureza
0 . . . 4°d muito moie 12 . . . 18°d bastante dura u 52
4 . . . 8°d mole 18 . . . 30°d dura u 53
°d
8 . . . 12 ligeiramente dura acima de 30 °d muito dura u 54
Regra de misturas de liquidos (cruzamento de mistura)

a x = lb - c u 55
JL Con-inicial em %
c da mistura
teudo Liquido de peso
. .
c
b doadicionado a ' b y = |c - a u 56
X I para a agua, b = 0.
Exempio : a = 54%; b = 92%; entao, g valera 62%. E preciso misturar 30

partes em peso de a com 8 partes de b -
r
"
Tabelas
Constantes dos solidos
1
Condi$oes de referenda:
Densidade p para t = 20°C.
Temperatura de fusao e ebuliqao t. os valores entre parenteses
indicam a sublimagao, que e a passagem direta do estado solido para o
estado gasoso.
Condutibilidade termica X a t = 20°C.
Capacidade termica espectfica cpara 0 < t < 100 C. °
Den- Temperatura fde Conduti- Capacida -
sida- ebuligao bilidade de termica
de fusao
r term. X especff. c
SubstSncia Q t
°C kJ/(kg K ) 2>
kg/ dm3 °C W / (m K ) 1
*
a?o moxidavei 7,9 1450 14 0,51
a?o sem liga 1460 2500 47... 58 0,49
agata -1600 -
2600 11,20 0,80
alumfnio fund, 658 -
2200 204 0,879
alummio laminado 2,7 658 -
2200 204 0,879
alvenaria de tijolos -1,8 300 1,0 0,92

ambar
amianto
-21,,50 --1300
~ 0,816
antimonio 6,67 630 1635 22,5 0,209
ardosia 2 ,6...2,7 -2000 310 0,76
areia seca 1.4 . ..1.6 -1550 2230 0,58 0,80

arenito
argila seca
2.1 ...2.5
1.8. ..2.1
-1500
-1600
2,3
-
1
0,71
0,88
arsenico 5,72 (613) 0,348
bario 3,59 704 1700 0 ,29
basalto 2 ,7...3,2 1 ,67 0,86

berilio 1 ,85 1280 2970 165 1 ,02
bismuto 9,8 271 1560 8,1 0,13
borax 1 ,72 740 0,996
borracha vulcanizad a 1,08 0 ,14 . ..0, 24
breu 1 ,07 100...300 0,317 1,30

bronze (Cu Sn 6) 8,83 910 2300 64 0,37
bronze de alumfnio 7,7 1040 -2300 128 0,435
0,36
bronze fosforico 8,8 900 110
bronze vermelho 8,8 950 2300 127 , 9 0,381
cadmio 8,64 321 765 92, 1 0, 234
,
calcario
1
2,6
1 W/ ( m K ) = 0,8598 kcal / ( h m K )
2,2 0.909
2) kJ/ (kg K )
1 = 0 , 2380 kcal/ ( kg K )
Tabelas
2 Constantes dos solidos
Den- Temperatura fde Conduti- Capacidade
sida-
de fusao ebuligao bilidade termica espe-
Substancia t4rm. A, cifica c
P
kg/dm3 °C °C W/(m K)1) kJ/(kg K) 2)
calcio 1,55 850 1439 0,63
carbono 3,51 -3600 (3540) 8,9 0,854
carborundo 3,12 15,2 0,67
carvao de pedra 1 ,35 0,24 1,02
carvao vegetal -0,4 0,084 0,84
caucho cru
cera
- 2,5
0,96
-1200
60
-2800 1 ,2...3
0,084
0,80
3,34
chumbo 11,3 327,4 1740 34,7 0,130
cimento 2...2,2 0,9...1,2 1,13
cobalto 8,8 1490 -3100 69,4 0,435
cobre laminado 8,9 1083 -2500 384 0,394

cobre puro
cobre recozido
8,93
8,8
1083
1083
--2500
2500 384
384
0,394
0,394
concreto
Constanta
- 2,0
8,89 1600 2400
-1,0
23,3
0,88
0,410
cortiga 0,2...0,3 0,92

couro seco 0,9...1,0 0,15
cromo 7,1 1800 2700 69 0,452
diamante 3,5 ( 3540) 0,52
ebonite -1,4 0,17 1,42
enxofre cristal. 2 ,0 115 445 0,20 0,70

esmeril 4 2200 3000 11,6 0,96
espuma dura 0,015 0,04
estanho laminado 7,28 232 2500 65 0,24

estanho recozido 7,2 232 2500 64 0,24
esteatita 2, 6...2, 7 -1600 -2 0,83

ferro gusa 7,0...7,8 1560 2500 52 0,54
ferro, puro 7,86 1530 3070 81 0,456
fibra vulcan. 1,28 0,21 1,26
fosforo 1 ,82 44 280 0,80
fuligem 1,6...1,7 0,07 0,84

fundigao cinza 7,25 1200 2500 58 0.532)
gelo 0,92 0 100 2,333) 2,093
gesso 2,3 1200 0,45 1,1
9z 1,8 ...2,6 0,92 0,84
'
1>1
W/( m k ) = 0,8598 kcal/(h m K) > para t = -20°C...0°C
3
2) 1 kj/(
kg K ) = 0,2388 kcal/(kg K)
i Tabelas
Constantes dos solidos
Den* Temperatura fde
sida* Conduti - Capacidade
de fusao ebuliqao bilidade termica espe-
Substancia p term. X cifica c
kg/dm3 °C °C W/(m K) 1 kJ/(kg K)2)

grafite 2,24 -3800 -4200 168 0,71
iodo 4,95 113,5 184 0 , 44 0,218
iri'dio 22,5 2450 4800 59 , 3 0,134
la de vidro -0,15 0 , 04 0,84
latao laminado 8,5 900 -1100 113 0,385
latao recozido
li'tio
8,4 900 -1100 113 0,384
0,53 179 1372 301,2 0,36
madeira: abeto - 0,45 0,14 2,1
madeira: acer - 0,75 0,16 1 ,6
madeira: amieiro - 0,55 0,17 1 ,4
madeira: betula 0,65 0,142 1 ,9

madeira: carvalho -0,85 0,17 2,4
madeira: choupo -0,50 0,12 1,4
madeira: faia -0,72 0,17 2,1
madeira: freixo -0,75 0,16 1,6
madeira: lari50 -0,75 0,12 1 ,4

madeira: pinho -0,75 0,14 1,4
magnesio 1.74 657 1110 157 1,05
manganes 7,43 1221 2150 0,46
marmore 2,6...2,8 2 ,8 0,84
metal delta 8,6 950 104,7 0,384

metal duro 14,8 2000 - 4000 81 0,80
metal Monel 8,8 -
1300 19,7 0,43
mica -2,8 0,35 0,87
minio de chumbo 8,6...9,1 0,7 0,092
molibdenio 10,2 2600 5500 145 0,27

neve 0,10 100 . 4,187
niquel 8,9 1452 2730 59 0,46
osmio 22,5 2500 5300 0,13
ouro 19,29 1063 2700 310 0,130
oxido de cromo 5,21 2300 0,42 0,75

oxido de ferro 5,1 1570 0, 58 0,67
pal£ dio 12,0 1552 2930 70,9 0,24
papel 0 7...1 , 1
, 0,14 1 ,336
parafina 0,9 52 300 0,26 3,26
^11 WkJ//((mkgkK) )==00,8598

2)
kcal/(h m K)
,2388 kcal/(kg K )
Tabelas
4 Constantes dos solidos
Den- Temperatura t de
sida- Conduti* Capacidade
de fusao ebulipao bilidade termica espe
Substancia P term. X cffica c
kg/dm3 °C °C IW/(m K)1> kJ/(kg K)2>

pixe 1,25 0,13
platina 21,5 1770 4400 70 0,13
poliamida 1,1 0,31
porcelana 2,2...2,5 -1650 -1 -1
potassio 0,86 63,6 760 110 0,80
prata 10,5 960 2170 407 0,234

prata alema 8,7 1020 48 0,398
pvc 1 ,4 0,16
quartzo ~ 2,5 -1500 2230 9,9 0,80
radio 5 960 1140
renio
rodio
21 3175 -5500 71 0,14
12,3 1960 2500 88 0,24
rubidio 1,52 39 700 58 0,33
sal de cozinha 0,98 97,5 880 126 1 ,26
sebo 0,9...1,0 40...50 -350 0,88
selenio 4,4 220 688 0,20 0,33

silicio 2,33 1420 2600 83 0,75
sodio 0,98 97,5 880 126 1 ,26
tambaque 8,65 1000 -
1300 159 0,381
tantalo 16,6 2990 4100 54 0,138
telurio 6,25 455 1300 4 ,9 0,201

tijolo refratario 1 ,8... 2,3 -2000 -1 ,2 0,80
titanio 4,5 1670 3200 15,5 0,47
torio
tungstenio
11.7 -1800 -4000 38 0,14
19,2 3410 5900 130 0,13
turfa moida seca 0,2 0,08 1 ,9

uranio 19,1 1133 -3800 28 0 , 117
vanadio 6,1 1890 - 3300 31,4 0,50
vidro de janela - 2, 5 -700 0,81 0,84
zinco laminado 7,15 419 906 113 0,40
zinco moldado 6,8 393 -1000 140 0,38

zinco recozido 7,2 232 2500 64 0,24
zirconio 6,5 1850 - 3600 22 0,29
1)
1 W/( m k ) = 0,8598 kca!/( h m K )
2 ) 1 kj/ ( kgK ) = 0,2388 kcal/(kg K )
Tabelas
Constantes dos liquidos 5
Condigoes de referenda
Densidade p para t = 20 C e p = 1,0132 bar.
°
Temperatura de fusao e ebuligao t para p = 1,0132 bar.
Condutibilidade termica X para t = 20°C. Para outras temperaturas
veja Z 15.
Capacidade termica especifica cpara 0 < f < 100°C.
Den- Temperatura t de Conduti- Capacidade
sida-
de fusao ebuligao bilidade termica es -
term. X pecifica. c
SubstSncia P
kg/dm* °C °C W/(m K)1> kJ/(kg K)2>
acetona 0,791 - 95 56 0,16 2,22
acido fluoridrico 0,987 - 92,5 19,5
acido muriatico,40% 1,20
acido nitrico cone, 1,51 - 41 84 0,26 1,72
agua 0,998 0 100 0,60 4,187
aicool etilico 0,79 -110 2,38

benzina -0,73
0,879
-
-30... 50
5,5
0,13
0,15
2,02
1 ,70
benzeno
cloroformio 1,490 - 70
enxofre a 50% 1 ,40
enxofre cone, 1,83 -10 338 0,47

0,14
1,42
1 ,76
eter de petroleo 0,66 -160 > 40
eter etilico 0,713 -116 35 0,13 2,28
glicerina 1 ,260 19 290 0, 29 2,37
mercurio 13,55 -38,9 357 10 0,138
metanol 0,91 0 300 0,17 1,97

6leo combustivei -0,83 -10 >175 0, 14
0, 17
2,07
1 ,88
oleo de linhaga 0, 93 -15 316
0,91 0 300 0,17 1 , 97
oleo de soja
oleo de transform, 0,88 - 30 170 0,13 2,08

oleo diesel -0,83 - 30 150... 300 0,15 2,05
oleo lubrificante 0,91 - 20 >360 0,13 2,09
percloretileno 1 ,62 - 20 119 0,904
petrdleo 0,81 - 70 >150 0,13 2,16

tolueno 0,867 - 95 110 0,14 1,67
1 ,463 - 86 87 0, 12 0,93
tricloretileno
vinagre 1 ,04 16,8 118
1, 1 W /(m k) = 0,8598 kcal/(h m K )

2H kJ/(kg K) = 0,2388 kcal/(kg K )
Tabelas
6 Constantes dos gases
Concludes de referenda
Densidade p para t = 0°C e p = 1,0132 bar. Para os gases ideais,
p pode ser calculado para outras pressoes e/ou temperaturas peta
formula: p = p/(R T) .
Temperatura de fusao e ebuligao t para p = 1,0132 bar .
Condutibilidade termica X para t = 0°C e p = 1 ,0132 bar. Para outras
temperaturas, veja Z 15.
Capacidade termica especffica cp e cv para t = 0 e p = 1,0132 bar.
cp para outras temperaturas, veja Z 13.
Den- Temperatura t de
Conduti- Capacidade
sida -
bilidade
termica es-
de fusao ebuligao peci'fica c
Substancia term. X
p
kg/m3 °C °C W/(m K)1 kJ/(kg K)3)

acetileno 1 ,17 - 83 - 81 0,018 1 , 616 1 ,300
acido sulffdrico 1 ,54 - 85 ,6 60,4 0,013 0,992 0,748
acido sulfuroso 2,92 j 75,5 - 10 , 0 0,0086 0,586 0,456
amoniaco 0,77 - 77,9 - 33,4 0,022 2,056 1,568
ar seco 1 ,293 -213 -192,3 0,02454 1 ,005 0,718
argonio 1 ,78 -189 , 3 0,0016 0,52 0,312
butano iso - 2,67 -145 -10

butano n- 2,70 -135 1
cloro
criptonio
3,17
3 , 74
-100,5
-157,2
- 34 ,0 0,0081 0,473 0,36
-153,2 0,0088 0,25 0,151
etileno 1 , 26 -169,5 -103,7 0,017 1 , 47 1 ,173
gas carbonico 1.97 - 78,2 - 56 , 6 0,015 0,816 0 , 627
gas cloridrico 1 ,63 -111 ,2 - 84,8 0 , 013 0 , 795 0,567
gas de alto forno 1 ,28 -210 -170 0,02 1 ,05 0,75
gas de iluminagao
helio
-0 18
0,58
,
-230
-270 , 7
-210
-268,9 0,143
2,14
5,20
1 ,59
3,121
hidrogenio 0,09 -259, 2 -252,8 0,171 14, 05 9,934
metano 0,72 -182 , 5 -161 ,5 0 , 030 2 , 19 1 ,672
monoxido de carbono 1 , 25 -205,0 -191 ,6 0,023 1 , 038 0,741

neonio 0,90 -248,6 -246 , 1 0,046 1 ,03 0.618
nitrogenio 1,25 -210, 5 -195,7 0,024 1 ,038 0,741
oxigenio 1 ,43 -218 , 8 -182,9 0,024 0,909 0,649
ozonio 2.14 -251 -112
propano 2,01 -187,7 - 42,1 0 , 015 1 ,549 1 , 360
sultureto de carbono 3 , 40 -111,5 46,3 0 ,0069 0 , 582 0 , 473

vapor d' agua 2' 0 , 77 0 ,00 100,00 0,016 1 , 842 1 , 381
xenonio 5 , 86 -1 1 1 , 1 9 -108 , 0 0,0051 0,16 0,097
1) 2) para /
1 W / ( m k) =0,8598 kcal/( h m K )
3)1
kJ/(kg K ) = 0.2388 kcal/(kg K )
= 100 °C
r
Tabelas
Coeficlentes de atrito 7
Coeficientes de atrito de deslizamento e estatico
Atrito de desliz. p Atrito estatico pQ
sobre o o
Substancia substan- o X) (0 o ~o
u
o)
cia
u
Q)
CO
n3
o US3
0
CO
JZZ
o
1
S3
-8
E ZJ E Z3
bronze 0 , 20 0 ,10 0,06 0,11

bronze °°
f f
ago
0 ,18 0,08
0,18 0,07 0,19 0 ,10
carvalho carvalho || 0 , 20 . . , 0 , 40 0 ,10 0,05 . . . 0 , 15 0, 40 , , . 0 ,60 0 ,18
carvalho^ 0, 15 . . . 0,35 0 ,08 0,04 . . , 0 ,12 0 , 50
°°
f f °
ago°
f f
0,17 . . . 0, 24
0, 31 0 ,10
0, 02 . . . 0,05 0 ,18 . . 0 , 24
0,16
0,10
asfalto 0, 50 0,30 0 , 20
borracha concreto 0 , 60 0, 50 0 ,30
canhamo madeira 0, 50
correia carvalho 0,40 0 ,50
de couro f°f° 0.40 0 , 40 0 , 50 0 ,12
madeira 0 ,20 . . 0 , 50 0,26 0 ,02 . . 0 ,10 0, 50 . . 0, 60 0,11
gelo 0,014 0,027
a<?o 0 ,10 . . , 0 ,30 0 ,02 . . 0 ,08 0,15 . , 0 ,30 0 ,10
ago PE - W 0 0 , 40 . 0 , 50
,
PTFE 2> 0,03 0 ,05 ,,
PA 66 3 > 0,30 .. . 0, 50 0 ,10

POM 0, 35 . . . 0, 45
PE - W 1)
PE - W 1 > 0, 50 . . 0, 70
PTFE 21 PTFE 2 » 0 ,035 . 0 ,055
POM POM 4 > 0 , 40 . . . 0,50
Atrito de rolamento
Bra «? o de alavanca /
Material em contato da forga de atrito em mm
borracha sobre asfalto 0 , 10
borracha sobre concreto 0,15
guaiaco sobre guaiaco 0 ,50
ago sobre ago (rolam. de esferas) 0,005 0 ,01 .
ago sobre ago (nao temperado) 0 ,05

olmo sobre guaiaco 0 ,8
II movimento na diregao das fibras de ambos os materiais
: movimento perpendicular as fibras dos corpos deslizantes
11 polietileno com plastificador (p ex . Lupolen da BASF)
.
2) politetrafluoretileno (p. ex . Teflon C 126 da Dupont )
31 poliamida (p. ex . Ultramit CA da BASF)
4)
polioximetileno (p. ex . Hostaflon C 2520 da Hoechst )
N
00
O
o
0
O
CD
ZD
(D
(/)
Q .
0 H
0 0)
V) cr
co fl>
0>
13 0)
o c/>
0
il
Observa 9§o: substituir k/d por A/c i para tubos nao -cilmdricos.
^
Tabelas
Valores da hidrodinamica 9
Tubos galvanizados segundo DIN 2444
{Valores aproximados)
Tamanho da rosea R '/» R % .

RV R % R % R 1 R 1 % R 1’/i R 2
19 14 14 11 11 11 11
Numero de filetes/polegada 28 19
Diametro extemo mm 10, 2 13 , 5 17.2 21 , 3 26,9 33,7 42,4 48,3 60 , 3
Diametro interno mm 6,2 8,8 12 , 3 16 21 ,6 27 , 2 35,9 41 ,8 53
2 123 200 366 581 1012 1371 2205
Sepao de escoamento mm 30 61
Relapao da sepao de 0,15 0.3 0, 6 1 1, 8 2,9 5 6 ,8 11
escoamento R 1/2
Rugosidade k
(segundo Richter , Rohrhydraulik )
Material e tipo Estado k em mm

de tubo
crosta de laminapao tipica 0.02...0,06
tubo de ago sem 0,03.. . 0,04
costura estirado impregnado
ou laminado ( do galvanizado (processo de imersao) 0 , 07 .. 0, 10
comercio) novo galvanizagem usual 0,10 ...0,16
zonas enferrujadas regulares aprox. 0,15

tubo de apo
usado ferrugem nascente, leve crosta 0 , 15...0, 4
crosta media aprox . 1 , 5
crosta forte 2 ... 4
limpo apos muito uso 0.15 ...0.20
tubo de ferro novo, crosta de fundipao 0.2 . .. 0 , 6

fundido novo, betuminado 0 , 1 . . . 0 , 13
usado, enferrujado 1 ...1 ,5
com crostas 1.5 ... 4
limpo apos varios anos de uso 0 , 3 ... 1,5
valor medio em
canalizapoes urbanas 1 ,2
muito enferrujado 4.5
novo, dobrado aprox . 0,15
tubo dobrado
ou rebitado em novo , conforme tipo de rebite e
chapa de apo execupao , rebitagem leve aprox . 1
rebitagem pesada ate 9
tubo rebitado, usado, muito
enferrujado 12 , 5
Tabelas
10 Valores termicos
Calor de fusao especffico / f
kJ kJ kJ
Material kg Material Material
kg kg
ago 205 estanho 59 metal de Wood 33,5
aluminio 377 eter etilico 113 naftalina 151
antlmonio 164 fenol 109 m'quel 234
cadmio 46 ferro fundido 126 ouro 67
chumbo 23 gelo 335 parafina 147
cobalto 243 glicerina 176 platina 113
cobre 172 latao 168
cromo 134 manganes 155 prata^
pot ssio 59
109
enxofre 38 mercuric) 11,7 zinco 117
Calor de evaporagao especffico Id

a 1,0132 bar (= 760 torr)
Material kJ kJ kJ
Material Material
kg kg kg
agua 2250 cloro 293 mercurio 281
alcool 880 gas carbonico 595 nitrogenio 201
amoniaco 1410 gas sulfuroso 402 oxigenio 214
cloreto de metila 406 hidrogenio 503 tolueno 365
Valor calorffico Hu
(valores aproximados)
solidos Hu Hu Hu
Wquidos gases
MJ/ kg MJ/kg MJ/kg
antracito 33,4 Alcool etilico 26,9 acetileno 48,2
carvao gordo 31,0 benzeno 40,2 butano 45,3
carvao magro 31,0 etanol (95%) 25,0 gas da cidade 18,3
coque de gas 29,2 gasolina 42,5 g s de atto fomo 4,1
coque metalurgico 30,1 metanol 19,5
^
gas natural seco 43,9
lignito 9,6 oieo combustivel 41,8 hidrogfenio 119,9
madeira seca 13,3 oleo diesel 42,1 metano 50,0
turfa seca 14,6 petroleo 40,8 propano 46,3
1 kWh = 3,6 MJ (ver A 3)
v
Tabelas
Valores termicos z 11
Coeficiente de dilatagao linear a em 1/K
para f = 0...100 C °
Material a/10- 6 Material a/10- 6 Materia! a/10 - 6
ago fundido 12,0 constanta 15,2 platina 9,0
ago-niquel 13,0 estanho 23,0 po reelana 4,0
invar 36% Nl esteatite 8,5 prata 19,7
aluminio 23,8 ferro fundido 10,5 prataalema 18,0
bismuto 13,5 latao 18,5 tungstenio 4,5
cadmio 30,0 molibdenio 5,2 vidro de quartzo 0,5
chumbo 29,0 nfquel 13,0 zinco 30,0
cobre 16,5 ouro 14,2
Coeficiente de dilatagao cubica y em 1/K
para t = 15 C°
Material y/10 - 3 Material y/10 ~ 3 Material y/10- 3
bgua 0,18 eter 1,6 terebintina 1,0
&lcool 1.1 glicerina 0,5 petroleo 1,0
benzina 1.0 mercuric 0,18 tolueno 1,08
2
Coeficiente de transmissao de calor k em W/(m K)
Valores aproximados para o ar um pouco em movimento em ambos os lados
espessura do material em mm
Material 3 10 20 50 100 120 250 380 510
concreto armado 4 ,3 3.7 3.5 2, 4
bloco de cimento
2
Od = 2, 45 N/ mm 1, 2 0,7 0,5
o<3 = 4 ,9 N/ mm 2 1, 6 0 ,9 0, 7
2
Od = 7 ,35 N/mm 1 ,7 1,0 0, 7
vidro 5, 8 5 , 3
la de vidro, espuma 4 , 1 2 , 4 1.5 0, 7 0 , 4
dura, la mineral
divisbria de madeira 3 ,8 2, 4 1,8 1.7
pedra ealebria 3,1 2,2 1 ,7 1 ,4
concreto de seixos 4 , 1 3 ,6 3 , 4 2 ,3
concreto de escorias 2 ,7 1 ,7 1.4 1 ,0
tijolo 2 ,9 2,0 1 ,5 1.3
vidro isolante, duplo ou triple 2,6 e 1,9
janela simples 5 ,8
janela dupla, distancia dos vidros 20 mm, calafetadox
janela dupla, distancia dos vidros 120 mm, calafetadox )
^ 2.9
2.3
teto de telhas sem e com vedagao 11,6 e 5,8
*Hambem para janelas venezianas fechadas
*<
Tabelas
Z 12 Valores termicos
Constante de gas R e massa molecular M
R M R M
Material J _ k£_ Material J kg
kg K kmol kg K kmol
acetileno 319 26 hidrogenio 4124 2
amoniaco 488 17 monoxido de carbono 297 28
ar 287 29 nitrogenio 297 28
bidxido de carbono 189 44 oxigenio 260 32
gas sulfuroso 130 64 vapor d’agua 462 18
Constante de radiagao C a 20 C °
C C
Material W/( m2 K 4) Material W/(m2 K 4)
prata, polida -
0,17 10 “ ® cobre, oxidado 3,60 10 -®
-
aluminio, polido -
0,23 10 ® “
agua 3,70 10 - ®
-
cobre, polido 0,28 - 10- a madeira, aplainada -
4.40 10- a
latao, polido -
0,28 10- a porcelana, vitrificada 5,22- 10 - a
zinco, polido -
0,28 10- 8 vidro, liso 5.30- 10“8
ago, polido 0,34 -10- 8 alvenaria de tijolos 5.30-10 ® "
estanho, polido 0,34 10- 8

- fuligem, lisa 5.30-10 ® "
aluminio, fosco -
0,40 10 - 8 zinco, fosco 5.30 - 10 - 8
m'quel, polido -
0,40 10 - 8 ago, fosco 5.40 - 10 - 8
latao, fosco -
1,25 10 -8 corpo negro
gelo 3,60 - 10 - 8 perfeito 5 , 67 10 - 8
-
2* )
Viscosidade dinamica q de oleos de motor em N s/m
para 1,0132 bar
fern ° C 0 20 50 100
10 0,31 0,079 0,020 0,005
20 0,72 0,170 0,033 0,007
SAE 30 1 ,53 0,310 0,061 0,010
40 2,61 0,430 0,072 0,012
50 3 ,82 0,630 0,097 0,015
2
1 N s/m = 1 kg/(m s) - 1 Pa s = 1000 cP
r-
Tabelas
Valores termicos z 13
Calor especffico medio Cpm I Q dos gases ideais em kJ/(kg K ) em
funfao da temperatura
t N2 N2 do n2
CO co2 H2 H 2O
puro
so2 Ar
°C ar
0 1,039 0,8205 14.38 1, 858 1,039 1.026 0 , 9084 0,607 1 ,004
100 1 ,041 0,8689 14,40 1,874 1,041 1,031 0,9218 0,637 1,007
200 1,046 0,9122 14.42 1 ,894 1,044 1,035 0,9355 0,663 1, 013
300 1,054 0,9510 14,45 1,918 1,049 1,041 0,9500 0,687 1 ,020
400 1,064 0,9852 14.48 1,946 1,057 1,048 0,9646 0, 707 1 ,029
500 1,075 1,016 14,51 1,976 1,066 1,057 0,9791 0,721 1 ,039
600 1,087 1,043 14.55 2,008 1,076 1,067 0 , 9926 0,740 1 ,050
700 1,099 1,067 14 , 59 2,041 1,087 1,078 1 ,005 0,754 1,061
800 1 , 110 1,089 14.64 2,074 1,098 1, 088 1 ,016 0,765 1,072
900 1,121 1,109 14,71 2 ,108 1,108 1 ,099 1,026 0,776 1 ,082
1000 1,131 1, 126 14.78 2,142 1,118 1,108 1,035 0,784 1,092
1100 1,141 1 ,143 14,85 2,175 1 ,128 1,117 1,043 0,791 1,100
1200 1 ,150 1,157 14,94 2, 208 1,137 1,126 1,051 0,798 1 ,109
1300 1,158 1,170 15,03 2,240 1,145 1,134 1 ,058 0,804 1,117
1400 1,166 1,183 15,12 2, 271 1,153 1,142 1 ,065 0,810 1,124
1500 1,173 1,195 15.21 2,302 1,160 1,150 1,071 0,815 1,132
1600 1,180 1,206 15,30 2,331 1,168 1,157 1,077 0,820 1,138
1700 1,186 1,216 15.39 2,359 1 ,174 1,163 1 ,083 0,824 1 ,145
1800 1,193 1, 225 15.48 2,386 1,181 1,169 1,089 0,829 1,151
1900 1,198 1,233 15.56 2,412 1,186 1,175 1 ,094 0,834 1,156
2000 1,204 1,241 15.65 2,437 1,192 1,180 1,099 0,837 1,162
2100 1,209 1,249 15,74 2,461 1,197 1,186 1,104 1,167
2200 1, 214 1,256 15,82 2,485 1 , 202 1,191 1 ,109 1 ,172
2300 1,218 1,263 15,91 2, 508 1 ,207 1,195 1,114 1,176
2400 1, 222 1, 269 15,99 2,530 1,211 1, 200 1,118 1,181
2500 1,226 1,275 16 , 07 2,552 1,215 1,204 1,123 1 ,185

2600 1,230 1,281 16,14 2,573 1,219 1,207 1,127 1,189
2700 1, 234 1, 286 16.22 2,594 1, 223 1 , 211 1 ,131 1 ,193
2800 1,237 1, 292 16, 28 2,614 1 ,227 1,215 1,135 1 ,196
2900 1,240 1 , 296 16,35 2,633 1, 230 1 , 218 1 ,139 1 , 200
3000 1, 243 1 ,301 16.42 2 , 652 1 ,233 1 , 221 1,143 1 , 203
Conversao segundo E. Schmidt:

Introdugao a Tecnica Termodinamica , 11 - edisao, Berlin/Gottin-
gen/Heidelberg: Primavera de 1975.
Tabelas
14 Valores termicos
, v
Liquidos* ’
t Q CP A IO677 Pr
Material k£ kJ W
°C m3 kg K mK
Pa s
agua 0 999 ,8 4,217 0,5620 1791 , 8 13,44

20 998,3 4,182 0,5996 1002,6 6,99
50 988.1 4,181 0,6405 547,1 3,57
100 958.1 4,215 0,6803 281,7 1,75
200 864, 7 4,494 0,6685 134 ,6 0,90
octana -25 738 2 ,064 0,144 1020 14,62
C8H 18 0 719 2,131 0,137 714 11,11
etanol -25 2 , 093 0,183 3241 37,07
C2H 5OH 0 806 2,232 0,177 1786 22,52
20 789 2,395 0,173 1201 16,63
50 763 2,801 0,165 701 11,90
100 716 3.454 0,152 326 7,41
benzeno 20 879 1,729 0,144 649 7,79
C 6H6 50 847 1,821 0,134 436 5,93
100 793 1,968 0,127 261 4,04
200 661 0,108 113
tolueno 0 885 1 , 612 0,144 773 8,65
C 7H 8 20 867 1 , 717 0,141 586 7,14
50 839 1 ,800 0,136 419 5,55
100 793 1 ,968 0,128 269 4,14
200 672 2,617 0,108 133 3,22
gas sulfuroso 0 1435 1,33 0,212 368 2,31
S02 20 1383 1,37 0,199 304 2,09
50 1296 1 , 48 0,177 234 1,96
amoniaco -50 695 4 , 45 0 , 547 317 2,58
NH3 0 636 4 , 61 0,540 169 1 ,44
20 609 4 , 74 0,521 138 1,26
50 561 5 , 08 0,477 103 1 ,10
oleo fino p/ fusos 20 871 1,85 0,144 13060 168
50 852 2,06 0,143 5490 79
100 820 2,19 0,139 2000 32
oleo para trafo. 20 866 0 ,124 31609 482
60 842 2 , 29 0 ,122 7325 125
100 818 2 , 29 0,119 3108 60
mercurio Hg 0 13546 0 ,139 9,304 1558 0,02
glicerina C3H803 20 1260 2 , 366 0,286 -
15 106 1.24 - 1011
Expiicaipao dos simbolos, veja O 11

Tabelas
Valores termicos 15
Gases (para 1000 mbar) ^
t Q CP A 106 r? Pr
Material W
kJ
°C m3 kg K mK
Pa s
ar, seco -20 1,377 1 ,006 0,023 16,15 0 , 71

0 1 , 275 1,006 0,025 17 ,10 0,70
20 1 , 188 1 ,007 0 , 026 17.98 0,70
100 0,933 1 , 012 0,032 21,60 0,69
200 0 , 736 1,026 0,039 25 , 70 0,68
400 0 , 517 1,069 0 , 053 32,55 0,66
gas carbonico -30 2 ,199 0 ,800 0 , 013 12,28 0,78
C 02 0 1, 951 0 , 827 0,015 13,75 0,78
25 1,784 0,850 0,016 14.98 0 , 78
100 1 , 422 0,919 0,022 18 , 59 0,77
200 1 , 120 0 ,997 0,030 26,02 0,76
cloro 0 3 , 13 0.473 0,0081 12,3 0,72
Cl 25 2,87 0,477 0 , 0093 13 , 4 0 , 69
100 2,29 0,494 0,012 16,8 0,69
amoniaco 0 0 , 76 2 ,056 0,022 9,30 0,87
NH 3 25 0,70 2 , 093 0,024 10,0 0 ,87
100 0,56 2,219 0,033 12 ,8 0,86
200 0,44 2,366 0 , 047 16 , 5 0,83
oxigenio -50 1 , 73 0,903 16,3
02 0 1.41 0 , 909 0,024 19 , 2 0,73
25 1,29 0,913 0 ,026 20 , 3 0 , 71
100 1,03 0,934 0 ,032 24 , 3 0,71
200 0 ,81 0 ,963 0 , 039 28,8 0,71
gas sulfuroso 0 2 ,88 0 , 586 0,0086 11.7 0,80
S 2 25 2,64 0,607 0,0099 12,8 0 , 78
°
nitrogenio
100
0
2,11
1 , 23
0,662 0 , 014
1,038 0 , 024
16 , 3
16 , 6
0 , 77
0,72
N2 25 1.13 1,038 0,026 17,8 0.71
100 0 ,90 1 , 038 0 ,031 20 , 9 0 , 70
200 0 , 71 1 ,047 0 , 037 24 , 7 0,70
hidrogenio -50 0 , 11 13,50 0 ,141 7,34 0,70
H2 0 0 , 09 14 , 05 0,171 8,41 0 , 69
25 0,08 14 , 34 0 ,181 8 , 92 0 , 71
100 0 , 07 14,41 0 , 211 10 , 4 0,71
200 0 , 05 14 , 41 0, 249 12, 2 0,71
vapor d' agua 0 0.0049 1 ,864 0 ,0165 9 , 22 1 , 041
( saturado) 50 0 ,0830 1 , 907 0 , 0203 10 , 62 0 , 999
100 0 , 5974 2,034 0 , 0248 12 , 28 1 ,007
200 7,865 2 ,883 0,0391 15 , 78 1,163
300 46.255 6 , 144 0 , 0718 19 , 74 1 , 688
Explicagao dos simbolos, veja O 11
1
Vaiores de resistencia a fadiga Observa-

Resist , a Lim. de tragao -compr. flexao torgao
Material DIN tragao elast . (0 ,2% goes
A P A P A P dimensoes
Rm 3
Re> ^po. 2 CTzdA OzdP ObA abP ttA TtP em mm
C
O
CL
- 0>
St 37 17100 340 225 153 225 170 283 95 131 O
St 44 410 265 185 265 205 342 115 154
Q
CD-
St 52-3 490 345 221 345 245 408 137 200 CD
St 50- 2 470 285 212 285 235 132
16«/ < 40 DT <
392 165 CO 0)
St 60-2 570 325 257 325 285 455 160 189 o' O
St 70-2 670 355 302 355 335 497 188 206 Qi
0) CD
C 45 V 17200 CL c/>
700 500 315 500 350 583 196 290 </ < 16 CD
Q.
650 430 293 430 325 542 182 250 16<c/< 40 CD
630 370 284 370 315 518 176 215 40<rf<100 CL
o
42 Cr Mo 4 V 1100 900 495 825 550 917 308 513 d < 16 £U
CD
CO H
1000 750 450 750 500 833 280 435 16«/ < 40
"O
o CO 0)
900 650 405 650 450 750 252 377 40<d<M 00 CD>
30 Cr Ni Mo 8 1250 1050 563 938 625 1042 350 583 16
3
O
<D
rv> 0)
—
GGG 40 1693 400 250 180 250 200 333 116 145 o
CD C0
GGG -60 600 380 270 380 300 500 174 220 o
GGG-70 700 440 315 440 350 583 203 255
o
o 3
Z
A: alternado levar em conta a seguranga para as tensoes 3
P: pulsante explicagoes, veja P 2 .
admisstveis ( veja, p . ex P 2 e P 18 ) . 3ho
3
3
Os vaiores de resistencia dependem do diametro, principalmente com ago de alta qualidade. ro
Observagao: Os vaiores de resistencia a fadiga dependem do limite de elasticidade e da resistencia

a tragao.
Tabelas
17
Valores de resistencia e de usinagem
Tensdes admissiveis de flexao e de torgao; mgdu los E e G para
materials elasticos em N/mrn Modu-
Modul. Obadm
lo
Material de Elastic. Caso de
1)
transv. CTtadm
E carga A B C G
1000 500 150 650
ago de mola 46 S7
temperado e reve - 210000 II 750 350 120 80000 500
500 250 80 350
nido2)
I 200 100 40 120
latao 110000 150 80 30 42000 100
CuZn 37 HV 150 100 50 20 80
prata alema 300 150 50 200
142000 250 120 40 55000 180
CuNi18 Zn20 30 150
HV 160 200 100
I 200 100 40 120
bronze de estanho 30 42000 100
CuSn6 Zn 110000 150 80
100 50 20 80
HV 190
300 150 50 200
bronze de estanho 117000 220 110 40 45000 180
CuSn8 HV 190 150 80 30 150
A/B/C: molas nao- deformadas simples / com 1 / ou 2 aneis ( seguranga =
15/ 3 / 10)
^ Explicagoes, veja P 1
2
^ Para molas helicoidais, utilizar o diagrama Q 9
Valores caracteristicos para usinagem
(para torneamento longitudinal externo)
Resistencia
Material ou dureza me 1 - me 11
N/ mm 2
N/ mm2
520 0.26 0 , 74 1990
St 50 2260
720 0 ,30 0,70
St 70 2220
670 0,14 0 , 86
Ck 45
770 0 , 18 0 ,82 2130
Ck 60 2100
770 0, 26 0,74
16 Mn Cr 5 2260
630 0,30 0 ,70
18 Cr Ni 6
600 0, 21 0 , 79 2240
34 Cr Mo 4 2500
730 0 , 26 0 ,74
42 Cr Mo 4 2220
600 0, 26 0 , 74
50 Cr V 4
940 0 , 24 0 , 76 1740
55 Ni Cr Mo V 6 recozido 0 , 76 1920
HB 352 0,24
i
55 Ni Cr Mo V 6 melhorado 1270
360 0 , 26 0,74
Mehanite A
HRC 46 0, 19 0 , 81 2060
Fundigao dura 0 , 26 0 , 74 1160
GG 26 HB 200
duro
Os valores especificados valem para torneamento com metal
Velocidade de corte v = 90...125 m/min
esbeltez es = 4
Espessura de corte h: 0,05 mm < h < 2.5 mm; grau de
Angulo de ataque y = 6° para o ago e y = 2° para o ferro
fundido .
Tabelas
Z 18 Pressao superficial admissivel padm em N/mm2
Pressao superficial adm. padm em N/mm2
(val. indicat.)
Munhao e mancal ( veja q 13)
Nao-deslizante: pressao diametral das articulagoes (Arquitetura DIN 1060)
Material Padm Material Padm
St 37 carga H 210 St 52 carga H 320
carga HZ 240 carga HZ 360
Deslizante: lubrificagao hidrodinamica, veja q 47.
Deslizante: (lubrificagao mista, eixo temperado e retificado) 1 ,2
^
Material v v
Padm Material Padm
m/ s m/ s
ferro fundido 5 Cu Sn 8 P :
G -Cu Sn7 Zn Pb 8 . ..12 lubrif. com graxa <0,03 4...12
1 203 ) mancais de qualidade <1 60
G-Cu Pb 15 Sn 0, 3 153) PA 66 (poliamida) -»0 15
...1 seco5) 1 0.09
ferro sinterizado lubrif. com qraxa 5
^
—
<1 6 1 0,35
3 1 HDPE ( polietileno 0 2...4
ferro sinterizado <1 8 de grandes densi-
com cobre 3 3 dades) 1 0,02
bronze sinteriza- <1 12 PTFE (teflon) de to-
do 3 6 dos os lados
-
*0 30
5 4 1 0,06
bronze com zin-
co/ grafite (Metal <1
20 PTFE + chumbo <0, 005
80.. .
+ bronze 1404)
DEVA) 90 M (mancal DU) 0 , 5... 5 <1
Superficies nao-deslizantes , em gerai
Valores maximos ate o limite de compressao (odF = Re ). Mas os valores
normals de um bom padm sao inferiores.
Material Valores normais de padm para cargas
estaticas altemadas com choques
ago 80... 150 60... 100 30...50
ferro fundido .
70.. 80 .
45 .. 55 20...30
ferro temper, .
50. . 80 30... 55 20 ..30
bronze 30... 40 20... 30 10...15
bronze verm. 25... 35 15 ... 25 8...12
(p v) adm depende da dissip. de calor, da solicitagao e da lubrificagao
2)
as vezes e possivel uma capacidade de carga mais elevada com lubrifica
cao hidrodinamica -
3)
vida limitada (partes usadas)
4)
casos especiais extremos I 5 para espessuras da parede de 1 mm
^
Capacidade
Temperatura maxima Pressao termica por
Coef . de
atrito de momenta - superficial unid. de area <
Pares de materials permanente 0
nea
desl
Pdesl
%' Padm Qadm
O
0
°c °C N/mm2 kW/m2
TJ
O
T3
o 03
revest, de atrito organico
4
/ago ou
.
0 , 1.. 10 .
2, 2. .30
2.
o s H
ferro fundido em geral ' 0,2...0,65 150... 300
K H
300. .. 600
K
400
H
1 12...23
—
V a
3 «
a
a>
.
0
3 O"
? a>
0)
embreagem monodisco 0,35.. .0,4 150...300

OJ
o
O &W 03 Q)
0
in
freio de tambor 0, 2...0.3 250...300 350...450 0,5...1,5 -01
L
e0 a)
<
2,0 3
B> 3
CO C/3
Q.
O *
freio a disco .
0 , 3. . 0 , 4 400 600 10 (Freada
emerg.) 5| 0
0
a
ferro fundido/ago 0,15...0,2 300 0 , 8...1,4 0
(
o
Q> >
(/
500...600 1 5,5 2*
bronze sinterizado/ago 0,05...0,3 400...450 s
o
0,05...0,1^ 180 500...600 3 12...23
2 5 bronze sinterizado/ago
« c 3,5...5,55)
£! ago/ago 0,06...0,12 )
200...250 1
1) 3)
geralmente: pader = 1,25 pdesi lubrificagao inferior , com lubrificagao superior
Pader = (1.3...1,5)pdesl
K : junta de borracha; H: junta de resina sintetica
^ Pader = ( 1,8...2,0)pdesl CO
r
z 20
Tabelas
Trabalho w e resistencia de deformagao Af
800
CM
E
E 700
Z
E 600
0
4?
0
CD
500
E
E 400 o
E o
E c
\j
CO
Z 500
•2
E c
0
200 -c
o
$
100 -Q4
I
•c
o
2
0
U3
t/3
1600 Q
C\J X
E -O
E 1400 E
0
z O)
E 1200
0 0
S >
a
>
L:
o
CL
0
~o
cO
N
o
3
03
03
Q.
'O
O
<p : relagao logaritmica de deformagao

w : trabalho em volume At : resistencia de deformagao
Diagramas para outros metais, veja VDI-Hichtlinie 3200.
Tabelas
Eletricidade
21
Resistividade p e condutibilidade eletrica y dos
condutores a 20°C
9 Y = 1/p 9 y = 1f p
Material Q mm 2 m Material Q mm 2 m
m Q mm 2 m Q mm 2
ago doce 1 1 latao Ms 58 0,059 17

aluminio 0,0278 36 latao Ms 63 0,071 14
antimonio 0,417 2,4 magnesio 0 ,0435 23
cadmio 0,076 13,1 manganes 0.423 2,37
carbono 40 0,025 mercurio 0,941 1 ,063
chumbo 0 208
, 4,8 nfquel 0,087 11,5
cobre, E-Cu 0,0175 57 niquelina 0,5 2, 0
constanta 0,48 2,08 ouro 0,0222 45
-
cromo -Ni Fe 0,10 10 platina
prata
0,111
0,016 62,5
9
estanho 0,12 8,3
ferro gusa
ferro, puro
.
- 13
0,10
7,7
7,7
prata alema
tungstenio
0,369
0,059
2,71
17
grafite 8,00 0,125 zinco 0,061 16,5
Resistividade p dos isolantes
Q Q
Material Q mm
Material Q mm
agua destilada 106 oleo de parafina 1017
ambar prensado 1017
13
parafina, pura 1017
14
baquelite 10 plexiglas 10
,15 17
ebonite poliestireno 10
marmore porcelana 1013
mica vidro 1014
Coeficiente de temperatura eletrica a20 a t = 20 C °

«20 Material
020
Material T7K T7K
ago doce + 0,00660 manganes ± 0,00001
aluminio + 0,00390 mercurio + 0,00090
carbono - 0,00030 rn'quel + 0,00400
cobre + 0,00380 niquelina + 0,00023
constanta - 0,00003 platina + 0 , 00390
estanho + 0 , 00420 prata + 0,00377
grafite - 0,00020 prata alema + 0,00070
latao + 0,00150 zinco + 0 ,00370
Tabelas
22 Eletricidade
Constante dieletrica er
Isolante Isolante Er Isolante
agua 80 isolagao de cabos papel impregnado 5
ar, vacuo 1 telefonicos 1 ,5 papel oleado 4
araldite 3 , 6 marmore 8 parafina 2,2
baquelite 2,6 massa isol. de cabos 2,5 petroleo 2,2
borracha vulcanizada 2,5 mica 6 plexiglas 3,2
cartao acetinado 4 micanita 5 poliamida 5
ebonite 2,5 oleo de oliva 3 poliestireno 3
ebonite 4 oleo de parafina 2,2 porcelana 4 ,4
esteatite 6 oleo de ricino 4,7 quartzo 4,5
fibra vulcanizada 2,5 oleo de terebentina 2,2 resina fenolica 8
goma-laca 3,5 oleo de trafo, minera 2,2 teflon 2
gutapercha 4 oleo de trafo , vegeta 2,5 vacuo , ar 1
isolagao de cabos papel 2,3 vidro 5
de alta tensao 4,2 papel laminado 4,5 xisto 4
Series de tensao eletroquimicas

Tensao com relagao e um eletrodo de hidrogenio a 25 C
°
Material
U U U
Material Material
Volt Volt Volt
potassio - 2, 93 cromo - 0,74 hidrogenio 0,00
calcio - 2 ,87 tungstenio - 0 , 58 antimonio + 0,10
sodio - 2,71 ferro - 0, 41 cob re + 0,34
magnesio - 2,37 cadmio - 0, 40 prata + 0,80
berilio - 1 , 85 cobalto - 0,28 mercurio + 0 , 85
aluminio - 1.66 niquel - 0.23 platina + 1 ,20
manganes -1,19 estanho - 0, 14 ouro + 1,50
zinco - 0.76 chumbo - 0,13 fluor + 12,9
Numeros padronizados usando escalonamento de acordo com as
series E
(mostrado em E 6 ... E 24 )
6 \' 12
Serie E 6 (= 10 ) Serie E 12 (= vm ) Serie E 24 { = 24VT0 )
1.0 2 ,2 4 ,7 1,0 2 ,2 4, 7 1, 0 2 ,2 4, 7
1 ,1 2,4 5.1
1, 2 2, 7 5.6 1.2 2 ,7 5,6
1 ,3 3, 0 6,2
1.5 3,3 6.8 1.5 3,3 6.8 1.5 3,3 6,8
1 ,6 3, 6 7,5
1 ,8 3,9 8,2 1.8 3 ,9 8, 2
20 4.3 9.1
10 22 47 10 22 47 10 22 47
etc . etc . etc.
Tabelas
Caracteristicas de magnetizagao 23
Intensidade de campo magnetico H e permeabilidade relativa pr
como fungao da indugao B
chapa para in-
duzidos P 1,0 chapa de alta
ferro fundido W liga e faixas
= 3,6 — e ago W
kg P 1, 0 =
fundido kg
indugao B H Hr H H /^r
T V|
= G
m2 A/ m A/ m A/ m
(Tesla) (Gauss) J
0.1 1000 440 181 30 2650 8,5 9390
0, 2 2000 740 215 60 2650 25 6350
0,3 3000 980 243 80 2980 40 5970
0.4 4000 1250 254 100 4180 65 4900
0,5 5000 1650 241 120 3310 90 4420
0,6 6000 2100 227 140 3410 125 3810
0.7 7000 3600 154 170 3280 170 3280
0.8 8000 5300 120 190 3350 220 2900
0,9 9000 7400 97 230 3110 280 2550
1 ,0 10000 10300 77 295 2690 355 2240
1.1 11000 14000 63 370 2360 460 1900
1,2 12000 19500 49 520 1830 660 1445
1,3 13000 29000 36 750 1380 820 1 260

1,4 14000 42000 29 1250 890 2250 495
1.5 15000 65000 18 2000 600 4 500 265
1 ,6 16000 3500 363 8500 150
1.7 17000 7900 171 13100 103
1 ,8 18000 12000 119 21 500 67
1,9 19000 19100 79 39000 39

2.0 20000 30500 52 115000 14
2.1 21000 50700 33
2,2 22000 130000 13

2,3 23000 218000 4
limite pratico
Explicagoes para P 1,0 veja Z 24
i
Tabelas
Z 24 Valores para magnetizagao
Valores para chapas de armadura

(Extraido da DIN 46400)
chapas e fitas com liga

chapa e
fitas baixa media alta
sem liga
potencia dissipada
3,6 3,0 2.3 1.5 1.3
a 1,0 T em W/kg
espessura em mm 0,5 0,35
densidade kg/dm3 7,8 7,75 7,65 7,6
pot. perdida P 1,0 3,6 3,0 2,3 1 ,5 1 ,3

por un. de
massa
(Max .) para f
= 50 Hz W/kg P 1 ,5 8,6 7,2 5,6 3,7 3,3
# 25 V
s/ m2 1, 53 1,50 1,47 1, 43
[Gauss ] [ 15300] (15 000] [14 700] ( 14 300 ]
indu-
gao V s/ m 2 1,63 1,60 1,57 1,55
magn. # 50 [ Gauss ] [ 16 300 ] [16 000] [15 700] [ 15 500 ]
V s/m 2 1 , 73 1,71 1, 69 1 ,65
# 100
(mini- [ Gauss ] [ 17 300] [17100 ] [ 16 900] [16500]
ma)
V s/ m 2 1,98 1,95 1,93 1 ,85
# 300
[ Gauss] [19800] [ 19 500 ] [19 300] [ 18 500 ]
Explicates
S25 = 1,53 V s/ m2 significa que a indugao magnetica minima de 1,53 V
s/ m2 [ou 15300 Gauss] e atingida quando a intensidade de campo
magnetico for de 25 A/cm. Assim, se um comprimento do circuito magne -
tico for 5 cm, a circulagao sera de 5 x 25 = 125 A .
P 1 ,0 sao as perdas de potencia 1,0 V s/ m2 = [ 10000 G]

especificas por indugao
P 1 ,5 1,5 V s/ m2 = [15000 G]
Tabelas
lluminagao
2
lluminagao media Ev em lx = Im/m
lluminagao geral e
Somente ilu- especifica
Tipo de instalagao
minagao geral locais de geral
trabalho
grosseiro 100 50 200
oficinas con- medio 200 100 500
forme o traba - fino 300 200 1000
lho feito 500 300 1500
muito fino
normals 500
escritorios grandes 750
salas de estar medio 200
iluminagao forte 500
fraco 20
ruas, pragas medio 50
com trafego
I intenso 100
20
patios indus- fraco
trials com tra- intenso 50
fego
Rendimento TI das instala9oes de iluminagao
Cor da area iluminada
Tipo de iluminagao clara media escura
0,60 0,45 0,30
direta
indireta 0,35 0,25 0,15
direta difusa elevada
iluminagao de
ruas e pragas
0,45 0 , 40 0,35
Fluxo luminoso <J>v das lampadas

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Lampadas incandescen- < > v k Im 0,12 0,23 0, 43 0.73 0,96 1,39
tes normais com filamento
simples
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( valores para 220 V) k Im 2,22 3,15 5.0 8.4 18 ,8 40 , 0
tubo-0 mm
Lampada Pel W 18 36 58
fluorescente, 26 mm
1,45 3.47 5.4
valores para
“luz fria” e
"luz do dia”
*
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PeI W 15 20 40 65
38 mm
3 ,1 5,0
Lampada fluorescente de
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Pei W 125
1 , 20
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Indice Alfabetico Remissivo
aceleragao L 2, L 5 auto -travamento K 11

- angular L 2
- , diagrama da L 3 barras de torgao P 20, Q 8
acionamentos de code R 1 barril C 4
acoplamento binomio de Newton D 2
- de transform adores S 35 bobinas
- por correia K 13 - cruzadas -medigao S 36
admitancia S 18 - de alta frequ£ncia S 24
agentes secantes U 6 - de baixa freqiidncia S 24
alongamento P 3 - de reatancia S 26
- de ruptura P 1, P 2 - mbvel -medigao S 56
altura de uma viga P 16 bronze sinterizado e ago Z 19
amostragem aleatoria G 9
anel de contragao P 4 caicuio
angulo - das anuidades D 23
- de atrito K 11 - das potencias e das
- de fase S 19 , S 20 raizes D 1
- de perdas S 17, S 21 - das probabilidades G 1
- de torgao P 20, Q 8 - das redes lineares S 8
- duplo E 5 - do numero de espiras S 24
- simples E 5 - dos rendimentos D 23
antiiogaritmo D 4 - iterativo de uma raiz
aplainamento R 2, R 4 n-esima qualquer D 1
aquecimento admissivel Q 16 calor
- de solidos e h'quidos O 2 - de evaporagao Z 10
- eletrico S 5 - de fusao especifico Z 10
arco de circulo - especifico m6dio Z 13
- centra de gravidade K 7 - especifico O 2
arranjos D 5, D 6 - introduzido O 7
arvores Q 2 - retirado O 7
assfntotas F 3 - latente especifico O 2
associagao de calota esferica C 3
resistencias S 7, S 10, S 11 campo
atividade A T 6 - eletrico S 12
atrito K 9...K 13 - magnetico S 14 , S 15
- das cordas K 13 candela T 1
- de deslizamento K 9 , Z 7 capacidade
- de rolamento Z 7 - de 2 cilindros coaxiais S 12
- dos mancais K 12 - de calor especifico O 2
- estatico K 9, Z 7 - de carga de corrente
- , coefic . de Q 28 , Z 7, Z 19 permanente S 37
embreagens de Q 15 , 0 17 - de um condensador S 12
- , freios de Q 17 - eletrica S 3
- tdrmica especifica Z 1...Z 6 condensador S 19, S 20
- tdrmica Z 19 condigoes
caractenstica de
'
- de auto -travamento K 10
operagao OC G 10 - de rolamento K 12
- operacional G 11 - de equilibrio K 4
- de magnetizagao Z 23 condugao
- limite dos flancos Q 22 - magnetica S 14
-s de usinagem Z 17 - termica O 1 0 , Z 1...Z 6
-s dos logaritmos decimais D 4 condutancia magnetica S 4
carga eldtrica S 2 condutibilidade eletrica Z 21
casca cilfndrica C 2 cone C2
centro de gravidade K 7, K 8 confiabilidade G 12 , G 13
chanfradura R 2, R 4 console Q 1
chapas de armadura Z 24 constante
chavetas Q 3 de desintegragao T 6
choque - de gas Z 12
- elcistico M 8 - de integragao I 1
- plastico M 8 - dieletrica Z 22
cilindro C 2 constantes
- macigo L 9 dos gases Z 6
circuito - dos liquidos Z 5
- de Aron S 30 - dos solidos Z 1 ...Z 4
- de bloqueio S 21 construgao de maquinas -ferra-
-s eletricos S 5, S 6 mentas R 1
-s oscilantes S 21 consumo de luxo luminoso T 1
circulo B 3, F 2, I 18 contragao transversal P 3
cisalhamento P 18, P 19 convergence de uma lente T 4
co - senos de diregao F 7 conversao de logaritmos D 4
coeficiente coordenadas do centro
- de atrito Q 28 , Z 7 , Z 19 de gravidade I 14
- de confianga G 10 coroa circular B 3
- de dilatagao cubica Z 11 corrente
- de dilatagao linear Z 11 - altemada S 16.. . S 29
- de Prandtl O 11 - de ionizagao T 5
- de resistencia N 6, Z 8 j - do induzido S 32
- de temperatura eldtrica Z 21 - trifasica S 30, S 31
- de transmissao de correntes de Foucault S 25
calor O 1 2 , Z 11 cubo C 1
combinagoes D 5, D 6 cunhas K 11
compensagao de curvatura H 3
potencia reativa S 31
componentes F 7 decomposigao em fragoes
composigao de parciais D 3
tensoes P 24 , P 26 , P 27 defasagem , angulo de fase S 17
comprimento deformagao de chapas a frio R 6
- de onda S 21 , T 3 - por cisalhamento P 19
- de um arco E 2 , I 14 - por flexao P 12, P 13
densidade N 1 , N 3 , O 1, eixos Q 2
Z 1 ...Z 6, Z 24 - ranhurados Q 4
- de defeito G 12, G 13 elementos quimicos U 1
- de fluxo magnetico S 3, S 14 elipse B 3, F 4
- de probabilidade G 7 embreagens Q 15, Q 16
- provavel G 4, G 5 - de atrito Q 15 , Q 17
derivada H 1 , H 2 , H 4...H 6 - e freios Z 19
- de funpoes inversas H 4 embutidura profunda R 6, R 7
- , maximo da H 3 empuxo N 3
- , minimo da H 3 encurtamento P 3
desbastamento R 3 energia acumulada no campo
desvio padrao G 3, G 6 eletrico S 12
determin. de impedancias S 22 energia
determinantes - cindtica M 4
- de ordem superior a 2 - D 8 - de radiapao T 6
- de 2 - e 3e ordem D 7 - elbtrica S 1
diagramas - espectral D 15
- acelerapao-tempo L 3 - irradiante T 1
- de forpas K 2 engrenagem
- espapo - tempo L 3 - cilindrica Q 19 , Q 21
- Tensao -Deformapao P 1, P 2 - conica Q 24
- velocidade-tempo L 3 - de rodas dentadas Q 18
- vetorial S 19, S 20, S 35 - helicoidal Q 19
- de Venn G 1 engrenagens L 10
diametro inicial do recorte R 6 - de corte R 1
diferenpa - planet&rias Q 26
- de angulos E 4 - sem fim Q 27, Q 28 , Q 29
- de veto res F 8 - standard Q 19
diferencial de arco I 14 ensaio em curto- circuito S 29
dilatapao equapao
- da linha el stica P 11
- de h'quidos
- de soiidos
O 3
O 3 - das lentes ^ T 4
dimensoes - de 2- ordem J 12
- do pinhao Q 23 - de Bernoulli J 10, N 4
- dos cubos de roda Q 4 - de Clairaut J 10
distancia do centro - de continuidade N 4
de gravidade I 15 - de d’Alembert J 10
distribuipao - de estado tdrmico O 4
- binomial G 4, G 5 - de Euler J 11
- de Poisson G 4, G 10 - de Ricatti J 10
- exponencial G 5, G 12, G 13 - de similaridade J 9
- hipergeometrica G 4, G 9 - diferencial J 1...J 12
- normal de Gauss G 7 - - linear J 2, J 4, J 7...J 12
divisor de tensao S 10 - linear nao separ £vel J 9
dose J T 6 - nao-homogenea J 10...J 12
dureza Z 17 - ordin&ria J 1
- da agua U 6 - parcial J 1
- - separ£vel J 9 fluxos
- do 25 grau D 2 - de dispersao S 14
- exponencial D 4 - de massa N 4
- homogdnea - de volume N 4
de 2* ordem J 11 , J 12 - laminar N 6
- quadr tica
^ D 1 - lumlnoso T 1
equivalente de dose T 5 - - das lampadas Z 25
escala de urn amperimetro S 11 - magndtico S 3
- - voltfmetro S 11 - - <t> S 14
escoamento dos liquidos N 7 - altemado S 18
esfera C 2, L 9 - em bobina atraves-
- seccionada por cilindro C 3 sada por corrente S 13
- seccionada por cone C 3 - turbulento N 6
espelho fonte de tensao equivalente S 9
- cdncavo T 3 forga
- piano T 3 - axial Q 25
estado - centrffuga M 5
- de tensao biaxial P 27, P 29 - de avango R 4
- de tensao triaxial P 28, P 29 - de cisalhamento P 18
- , mudangas de O 4, O 5, O 7 - de code R 2
estatfstica G 1...G 13 - de deformagao R 8
- Tabelas Z 26, Z 27 - de extrusao R 8
exemplos tipicos de taxa - entre pblos magndticos S 15
de defeito G 13 - magnetomotriz S 14
exposigao - num condutor per-
- k radiagao T 6 corrido por corrente S 15
- luminosa T 1 - radial Q 25
- medida T 5 forgas
- radiante T 1 - de retengao R 7
extrusao R 8 - intemas de viga P 6, P 7
formulas
fator - de flambagem de Euler P 2
- de forma N 6 - de Tetmayer P 22
- deperdas S 17 - dos bancos de poupanga D 23
- de potdncia S 18, S 31 - de amortizagao D 23
- de qualidade S 17 fotometria e optica T 1
- de restituigao M 8 fragao volumdtrica O 9
fendmenos nao -periddicos D 18 freios Q 17
ferro fundido e ago Z 19 - a disco Q 17, Z 19
flambagem P 22 - de atrito Q 17
flechas - defita Q 17
- deviga P 11 - de tambor Q 17
- maxima
flexao
P 16
P 9, P 10, Z 16
frequencia
- angular
. .
L1 M6 S 1
S 1
- do eixo do parafuso fresagem R 2, R 4
sem fim Q 28 fungao
- tdrmica O 3 - co-senoidal E 2
r
- de Bessel D 20 - de Dirac D 16
- dedensidade G 2 - de Gauss D 17
- de distribute G 2, G 4, G 5 - exponencial D 17
- de erro G 8 indicadores qufmicos U 4
- evolvente Q 18 indices de refra9ao T 2
D 20 indu ao magn6tica S 3, S 14, Z24
-
-
imagem
racional fracionada D 3 ^
indutSncia S 4 , S 14, S 23 , S 24
- retangular D 16 indutividade S 14
E 2 instala ao S 37
- senoidal
^
instrumentos de medi ao S 36
-
-
tempo
triangular
D 20
D 17 integragao ^ 1 1, 1 2
fun oes - num6rica I 15
^
- angulares E 4 - por partes I 2
- circulares inversas E 7 integrais I 3...I 13
- exponenciais F 4, H 5 - de probabilidades G 8
F 5, H 6 - indefinidas I 1
- hiperbolicas
- - inversas F 6 intensidade
- logaritmicas H 6 - de campo coercitivo S 25
- trigonomStricas H 5 - de campo magnetico S 14, Z 23
- - inversas H 6 - de corrente S 1
R 2, R 4 - de radia ao T 1
furapao
^
- luminosa T 1
Z 15 interruptores S 37
gases
- ideais - tabelas Z 13 intervalo entre 2 defeitos G 13
geradores S 33 irradiancia T 1
F 7 isentropica O 6
grandezas
P 10 isobara O 6
- de corte
O 9 isocora O 6
- de estado caloricas
R 3 isoterma O 6
granulagao
grau E 1
P 4 jogo do mancal Q 11
- de contra9ao
- de energia absorvida T 5 junta Carda L 10
- de esbeltez P 22 juros compostos D 23
guia retilinea Q 15
lan9amento
B 2 - horizontal L 8
hex &gono regular
hidrodinamica N 4 - obliquo L 8
N 1 - vertical L 8
hidrostatica
F 3 Laplace -diferenciapao D 18
hiperbole
F 3 - integra 9ao D 18
- equilatera
histerese S 25 - lei de transla9ao D 18
- linearidade D 18
iluminapao Z 25 - regras de calculo D 18
iluminancia T 1 - teorema de convolu9ao D 18
impedancia S 18 . . .S 20 - transform de variaveis D 18
,
impulso - transforma9ao-L D 19
D 17 largura do dente Q 23
co - seno
leis - - aparente O 8
- das dist &ncias T 2 - molecular Z 12
- dastangentes E 6 mecanismo de avango R 4
- de Hooke P 3 mbdia
- - para o cisalhamento P 18 - aritmetica D 9
- de Ohm do circuito - geombtrica D 9
magnbtico S 4, S 5 - proporcional D 24
- do co -seno E 6 medico da potencia trifbsica S 30
- do seno E 6 medidas eletricas S 11
- de Kirchhoff S 6 mbtodo
lentes T 4 - de Cremona K 6
ligagoes - Mohr P 14, P 15
- cubo de roda- eixo Q 3...Q 5 - de Ritter K 5
- conica Q 3 microscbpio T 4
- deaperto Q 3 mistura de gases 0 8, O 9
- em paralelo S 7 misturas refrigerantes U 5
- em sbrie S 7 mbdulo
- estrela S 30 - de cisalhamento P 18
- mista S 7 - de elasticidade P 3
- poratrito Q 3 - de Elasticidade Z 17
- porparafusos Q 1 - transversal Z 17
- tricingulo S 30 molas Q 6 ...Q 9
limites - a flexao Q 6
- de alongamento P 2 - de bragos Q 8
- de carga do pb - de disco Q 7
do dente Q 24, Q 25 - de Ibminas superpostas Q 7
- - dosflancos Q 25 - helicoidal cilfndrlca Q 9
- de delizamento K 9 momento centrifugo I 17
- de elastlcidade P 2 , Z 16 momento de inercia I 16
- de plasticidade P 2 - axial I 17, P 9, P 10
Ifquidos Z 14 - do arco circular M 3
logaritmos D 4 - de barra fina M 3
luminbncia T 1 - da casca cilindrica M 3
lupa T 4 - do cilindro M 3
- do cone M 3
macrofotografia T 4 - da esfera M 3
magnetizagao Z 24 - dotorbide M 3
mancais Q 10...Q 14 - de linhas planas I 16
- eliminagao de calor Q 13 - de massa 119, M 2
- de rolamentos Q 10 - de superficie P 9, P 10
- Iisos Q 10 - de torgao P 21
manivela L 10 - do cilindro I 19
mbquinas de corrente - do paralelepipedo I 19
continua S 32, S 33 - polar I 17 , P 20
massa M 1 , M 2 ; momento de torgao P 20
- atomica U 1 momento estatico
- molar 0 4 ; - de urn corpo I 15
- de uma curva I 14 - obliquo C 1
momento resistente P 9 paralelogramo B 1
- - axial P 10 pelfcula de oleo Q 12
- - polar P 20 pendulo L 4, M 7
montagem em paralelo - conico M 7
de condensadores S 12 - de torsao M 7
- em s6rie de conden - - ffsico M 7
sadores S 12 - matematico M 7
motor assfncrono S 34 pentagono regular B 2
- compound S 32 perda de carga N 6
- em derivagao S 32 perdas
- serie S 32 - no ferro S 25
- sincrono S 34 - no nucleo S 25
- trifasico S 34 perfodo . .
L1 M6 S 1
Z 23
motores S 32...S 34 permeabilidade relativa
- de corrente continua S 33 permutagoes D 5
movimento de um corpo L 9 piramide C 1
- no piano inclinado L 9 piano inclinado K 10
- retilineo
- - uniforme
.
L4 M 2
L 5
polias
poligono
K 14
< - - uniformemente - de forgas K 2

acelerado L 5 - funicular K 2
mudangas de estado de gases - qualquer B 2
e vapores O 4, O 5, O 7 - regular de n lados I 18
munhao e mancal Z 18 politropica O 6
ponte de medigao
nivel de Qualidade Aceitavel G 11 - de corrente altemada S 22
numero de Poisson P 3 - de Wheatstone S 11
- de rotagoes L 1 ponto
- de Sommerfeld Q 12 - de inflexao H 2, H 3
numeros complexos D 21, D 22 - triplo O 1
porcentagem de defeituosos G 11
octogono regular B 2 potencia M 1
oleos SAE Z 12 - aparente S 18
oscilagao linear e harmonica L 7 - ativaperdas no cobre S 18
oscilagoes harmonicas L 4 - das S 29
- mecanicas M 6 - das perdas no ferro S 25
- de atrito Q 16
parabola F 2 - de avango R 4
parafusos .
K 11 Q 1
Q 27
- de corte
- de dose absorvida
R 2
T 5
- sem fim
- forga axial Q 1 - de equivalente de dose T 5
- forga transversal Q 1 - de uma maquina
- seguranga ao hidraulica N 5
deslizamento Q 1 - dissipada Z 24
Q 1 - do condensador S 31
- de fixagao
paralelepipedo C 1 - efetiva S 31
- eldtrica S 1 refragao T 2
- irradiante T 1 regra de misturas de
- reativa S 18, S 31 h'quidos U 6
pressao N 1, 0 1 - de Sarrus D 7
- da mistura de gases O 8 - de Simpson I 15
- superficial Q11, Q 16, Z 19 - do divisor de tensdes S 6
- - admissfvel Z 18 - dotrapdzio I 15
pressoes hidrostaticas - para condutores
- em superficies curvas N 2 paralelos S 13
- em superficies planas N 2 regras de Guldin I 15
princfpio de Cavalieri C 1 - de integragao I 2
prismdide C 4 - do desvio de uma agulha
probabilidade de aceitagao G 11 magndtica S 13
- dedefeito G 12, G 13 - do gerador S 13
produto escalar F 8, F 9 - dos motores S 13
- vetorial F 9 - dos tres dedos S 13
produtos quimicos U 2, U 3, U 5 - para as maquinas S 13
- preparagao U 5 - para cdlculos
progressao aritmbtica D 9 logaritmicos D 4
- geomdtrica D 9 - para condutores e
- - decimal D 9 bobinas S 13
pulsagao L 2, M 6 - para os condutores de
bobinas moveis S 13
quadrado B 1 relagao de enrolamento Q 9
quantidade de eletri- - de transmissao Q 18
cidade S 2 , S 12 - entre tensoes S 6
- deluz T 1 relagoes de estiramento
queda livre L 8 limites R 7
quociente diferencial H 1 - de transmissao M 4
- trigonometricas E 4
radiagao fotomdtrica rendimento M 4
equivalente T 1 - rj das instalagoes Z 25
- ionizante T 5, T 6 - da engrenagem Q 28
radidncia T 1 resistencia & fadiga Z 16
radiano
raio de curvatura
B 3, E
H
1
2
- a tragao
- ao rolamento
.
P 2 Z 16
K 12
- de inercia M 2 - de urn condutor S 5
- do circulo circunscrito E 6 - eletrica S 2
- do circulo inscrito E 6 - magnetica S 14
raios de luz visiveis T 3 resistividade Z 21
- infra-vermelhos T 3 - p dos isolantes Z 21
- 6pticos T 3 ressonancia S 21
- ultravioleta T 3 reta F 1
- X T 3 retangulo B 1 , I 18
reagentes U 5 - modulado D 17
reatSncia S 18 retifica R 3
redes S 8, S 9 rodas Q 20
r
- conicas Q 24, Q 25, Q 29 - de auto-indugao S 15

- dentadas Q 18...Q 23, Q 29 - de cisalhamento
rotagao L 4, M 2 admissive! P 18 , Q 9
- uniforme L 6 - de cisalhamento mbdia P 18
- uniformemente acelerada L 6 - de compressao P 1
rugosidade Z 9 - de flexao P 9
ruptura do fundo R 7 - de torgao P 20
- de tragao P 1
segao aurea D 24 - eletrica S 2
segmento circular B 3 - induzida S 15
- - centro de gravidade K 7 - magnetica S 14
segmento de cilindro C 4 - no p6 do dente Q 21
- de esfera C 3 tensoes
semi-angulo E 5 - admissiveis P 2
semi-circulo I 18 - mecanicas P 1
sentido dos angulos de fase S 16 - normais P 1
serie binomial D 10 - termicas P 3
- de Fourier D 12...D 14 teorema
- de Taylor D 10, D 11 - central do limite G 3
sbries de tensao - da bissetriz E 6
eletroquimica Z 22 - da superposigao S 8
setor - de Steiner I 16, M 2, P 10
- circular - centro de - de Vieta D 1
gravidade K7 - do impulso N 5
- esferico C 3 - dos momentos cinbticos N 5
sistema de coordenadas tipos de resistencias S 19
- cartesianas D 21 - de solicitagao P 2
- polares D 22 torgao P 20 , P 21
sistemas adiabaticos O 9 tomeamento R 2
sistemas estaticamente toroide C 4
indeterminados P 17 trabalho M 1
soma de angulos E 4 - de deforma-
- de veto res F 8 gao P 4, P 11, P 19, R 8
- - em volume P 19
tabela dos desenvolvi- - - por flexao P 11 ...P 15
mentos de Fourier D 13 trabalho e resistencia de defor-
talha K 14 magao Z 20
taxa de defeito G 12, G 13 tragao e compres-
tecnica de deformagao R 6...R 8 sao P 3, P 4, Z 16
temperatura O 1 transformada de Fourier
- de ebuligao Z 1...Z 6 - convolugao D 15
- defusao Z 1...Z 6 - defasagem de tempo D 15
tempo de corte R 4 transference de calor O 10
tensao admissiveI transform agao
- de flexao P 16 - de expressoes algebricasD 2
- de tragao P 2, P 3 - de Fourier D 15 ...D 17
tensao - de Laplace -dominio - p D 19
- de Laplace -domfnio - 1 D 19 - de volume A 2
- de Laplace -tabela D 20 usinagem R 1...R 5
transmissao de calor O 10...O 12
- porconvecgao O 10 valor calorifico Z 10
- por irradiagao O 10 - esperado G 3...G 5
trap6zio B 1 - m6dio G 3...G 5
- centra de gravidade K 7 - pH U 4
tri&ngulo B1,F 1 valores de pico S 16
- centra de gravidade K 7 - de resistencia Z 16
- equitetero B 2 - eficazes S 16
- qualquer E 6 - NQA G 11
- retangulo D 24, E 2 - termicos Z 10...Z 15
trocador de calor 0 11 variancia G 3 ...G 5
tronco de cilindro C 4 vartevel aleatdria G 2
- de cone C 2 velocidade angular L 2, S 1
- depir&mide C 1 - de avango R 4
tubos galvanizados Z 9 vetores F7...F 9
vidas mddias T 5, T 6
umidade do ar U 6 vigas
- constante -obtengao U 6 - de segao variavel P 15
unidades - em treliga K 5
- de pureza de metais - engastadas P 15
preciosos
- de rea
A 3 - sobre 2 apoios
- curvas
.
K 4 P 15
^
- de comprimento
A
A
1
1 - de igual resistencia
P 15
- de forga ou de peso A 3 & flexao P 16

- de massa A 2 - estaticamente
- de massa para pedras indeterminadas P 17
preciosas A 3 viscosidade cinematica N 1
- de potencia A 3 - dinamica N 1, Z 1 2
- de pressao A 3 volume especifico O 1
- de temperatura A 3 - molar O 1
- de tempo A 2
- detrabalho A 3
Manual de
formulas tecnicas
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29§ edigao alema

4® edigao em lingua portuguesa

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HEMUS EDITORA LIMITADA

Conteudo de uma formula

O numero que exprime a grandeza e a relagao entre esta e a unidade

grandeza = numero x unidade

O numero torna-se n vezes menor se se escolhe uma grandeza n

O valor da grandeza e o produto do numero pela unidade; por

Recomenda-se diferenciar bem o sfmbolo da grandeza do sfmbolo

Unidades: ata, Nm3 = mn 3, BW = W , AWdg, Vss.

Os simbolos de grandezas representam as grandezas nas formulas.

Grandezas e unidades de base do

Espago e Tempo Mecanica

Prefixos e seus Simbolos

T = Tera 1012 p = Pico 10-12

Unidades de Comprimento (Continuagao)

a 8 1 pm 10 "3 1 103 104 106 107

a 16 1 cm2 - 10 - 4 108 102 1 10 - 2 1 0- i o

Unidades de For $ a ou de Peso

a 44 1 J 2> 1 0 , 278 * 10 - 6 0,102 0 , 239 10 3 0,378 - 1O 6 ” '

a 45 1 kW h 3,60 - 106 1 367 - 103 860 1 ,36

a 48 (1 CV h) 2,65 - 106 0 , 736 0.27 - 106 632 1

a 49 1 W 3> 1 1Q - 3 0,102 0,860 1,36 - 10 - 3

Unidade de Pureza de Metais Preciosos

tee tp sao as temperaturas

nas escalas Kelvin, Rankine, Celsius e Fahrenheit

a 86 1 lb pe = 7 , 233 1 9 , 807 2 , 725 - 10 - ® 2,344 - 10 3 9 , 301 10 - 3

a 88 1 kW h = 2,655 - 10 ® 367 , 1 - 103 3 ,6 - 10 ® 1 860 3413

b 40 s = 2 r s i n-— Segmento circular

Esfera seccionada por cilindro

Esfera seccionada por cone

Esta formula pode ser usada nos

Equapao quadratica (Equapao do 29 grau)

QfxJ contem coeficientes reais e raizes complexas (conjugadas complexas).

Os simbolos- x = b chamam-se a base

Regras para calculos logaritmicos

Exemplo: os n = 3 elementos a, b, c podem ser permutados de 6 maneiras

Caso especial: Se, entre os n elementos houver m elementos de 1a

Exemplo: os n = 3 elementos a, a, b podem ser permutados de 3 maneiras

Num “arranjo" de n elementos entre k elementos dados

As tabelas da pagina D 6 contem as formulas das combinagoes e dos

Numero de combinagoes Numero de arranjos

Por a coluna rno lugar

Determinantes de terceira ordem ( Regra de Sarrus)

Desenvolverdesse modo O2 , em seguida O3, substituindo a coluna y.

Formar os determinantes e pesquisar os valores nulos por adigao ou

Desenvolver o determinante segundo a linha ou a coluna tendo maior

Desenvolvimento segundo a 4 - coluna:

Desenvolver em seguida, por exemplo, segundo a 1 * linha de d 70,

Introduzir a coluna rsegundo a p gina D 7, para os determinantes D1,

Media aritmetica : cada termo de uma progressao aritmetica e a media

(p. ex.: na progressao acima: = 4 + 1 0

Para uma progressao geometrica infimta ( n - < \ q \ < 1 ) tem- se

(p. ex . na progressao acima: a 3 = 1/ 2 - 8 = 4 )

5. 10 , 20, .. . R 5 , R 10 , R 20, .. . serie DIN veja R 1

d 85 fix ) = /( 0 ) , /* ( 0) f" (0) 2