1 e decrescentes para a<1, demonstrando para números inteiros e racionais. 3) Discutem propriedades como (ax)y=axy e ax⋅ay=ax+y que permitem entender o comportamento das funções exponenciais.">
PENSI - Apostila de Exercícios ITA-IME Vol 3
PENSI - Apostila de Exercícios ITA-IME Vol 3
PENSI - Apostila de Exercícios ITA-IME Vol 3
5
Matemática I
1. Função exponencial 5
4,5
1.1 Definição 4
Na apostila de Álgebra Básica, foram definidas potências de expoentes 3,5
naturais, inteiros e racionais. Além disso, também foi vista uma maneira 3
natural de se definir uma potência de expoente irracional (aproximando 2,5
cada irracional por uma sequência de racionais). Sendo assim, para cada
2
a ≠ 1 positivo, fica bem definida uma função f : → + (+ é o conjunto
1,5
dos reais positivos) dada por f ( x
x ) = a x (consideramos a ≠ 1, pois se a = 1, 0
teríamos uma função bastante trivial). Tal função
função herda propriedades
propriedades vistas 1
na apostila de Álgebra Básica. Temos
Temos para x , y ∈ : 0,5
a
x 0
I. a x ⋅ a y = a x + y e y a x y =
−
–2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
II. ( a
a x ) y = a xy a –0,5
Veremos agora dois exemplos de funções exponenciais e seus 1.2 Crescimento e decrescimento
gráficos:
I. f 1( x
x ) = 2 x : Nos exemplos vistos acima, pudemos ter alguma ideia de como as
funções exponenciais se comportam com relação ao crescimento. De
fato, a intuição prevalece.
x –2 –1 0 1 2 Teorema 1 (Crescimento e decrescimento)
I. Se a > 1, a função f ( x)
x) = a x é crescente, ou seja, f ( x)
x) > f ( y
y ) ⇔ x >
> y .
1 1 II. Se a < 1, a função f ( x)
x) = a é decrescente, ou seja, f ( x)
x
x) > f ( y
y ) ⇔ x <
< y .
f 1( x
x ) = 2 x 1 2 4
4 2
Demonstração:
4,5
Faremos I e então II seguirá de forma análoga.
Veja que f ( x
x ) > f ( y
y ) ⇔ a x > a y ⇔ a x – – y > 1. Provaremos então que
4
a r > 1 ⇔ r >
> 0 e isso implicará f ( x) x) > f ( y
y ) ⇔ x – – y > 0 ⇔ x >
> y .
3,5
Para demonstrar que a > 1 ⇔ r >
r
> 0, faremos isso para r inteiro,
inteiro,
3 racional e o caso r irracional
irracional seguirá pela teoria de limites de sequências
2,5 (que está fora do nosso escopo).
2
1,5
Caso 1:
1 r =
= n ∈ :
Queremos provar que a n > 1 ⇔ n > 0. Temos duas partes a
0,5
demonstrar:
0
–4,5 –4 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Parte 1: n > 0 ⇒ a n > 1:
x
Como a n
= a ⋅ a… ⋅ a é o produto de n termos maiores que 1, segue
1
2 que a > 1 (poderíamos usar indução para sermos mais formais, mas
n
não é necessário).
x –2 –1 0 1 2
Parte 2: a n > 1 ⇒ n > 0:
1 1
1
x
Faremos aqui a contrapositiva, ou seja, provaremos que se n ≤ 0,
(
f2 x ) = 4 2 1 2 4 1
2 então a n ≤ 1. Para isso, veja que n
a =
n
−
e que, como – n ≤ 0, temos
a
1
que a
− n
≥ 1⇒
− n
≤1 , como queríamos.
a
Caso 2:
IME-ITA 89
Matemática I – Assunto 5
Podemos supor que p, q são inteiros positivos. Para vermos algumas técnicas, vejamos exemplos de equações
exponenciais:
1 q
1
Como q é inteiro positivo e a = a > 1, segue que a > 1 . Logo,
q q
Ex. 1: Resolva a equação 32 x +
+ 1 ⋅ 27 x –
– 1 = 92 x +
+ 5.
1
p
p
a q = a q > 1, como queríamos. (Usamos algumas vezes o resultado Solução: A ideia é escrever todas as potências em uma mesma
base. Como 9 = 3 2 e 27 = 33, escreveremos tudo na base 3:
32 x +
+ 1 ⋅ (33) x –
– 1 = (3 3)2 x +
+ 5 ⇔ 32 x +
+ 1 ⋅ 3 3 x –
– 3 = 3 4 x +
+ 10. Assim, temos que
do caso 1). 35 x – – 2 = 34 x +10
+10 ⇔ 5 x – – 2 = 4 x +
+ 10 ⇔ x = = 12.
p
p Logo, o conjunto solução é {12}.
Parte 2: a q > 1⇒ > 0 :
q
p Ex. 2: Resolva a equação 5 x – – 2 + 5 x +
+ 1 = 505.
Provaremos a contrapositiva, ou seja, provaremos que se ″ 0 , então
p q
a
q
″ 1 . Podemos supor que p ≤ 0 e q > 0. Assim, pelo mesmo argumento Solução: Aqui podemos colocar no lado esquerdo 5 x – – 2 em evidência e obter
1 p 5 x – – 2(1 – 52 + 53) = 505 ⇔ 5 x – – 2 ⋅ 101 = 505 ⇔ 5 x – – 2 = 51 ⇔ x –
– 2 = 1
1 p
⇔ x = = 3.
> 1 e, usando o caso 1, como a = a q e
q
da parte 1, segue que a q
2 x − 7 1
Ex. 1: Resolva a inequação ( 3 x ) >
27
.
(a < 1)
Solução: Coloquemos tudo na base 3: 3 x (2(2 x – 7 ) > 3–3. Como 3 > 1
1.4 Equações exponenc
exponenciais
iais (sempre tenha muito cuidado nesta passagem!), temos que x (2
(2 x – 7) > – 3
Muitas equações exponenciais se reduzem à seguinte equação mais 1
simples (via técnicas algébricas adquiridas na apostila de álgebra básica): + 3> 0 e então o conjunto solução é S = −∞, ∪ ( 3, +∞ ) .
⇔ 2 x 2 – 7 x +
2
90 Vol. 3
Exponencial e logaritmo
f 3( x)
x) = log2 x 2 1 0 –1 –2
Solução: Primeiramente, devemos verificar se x =
= 0 e x =
= 1 são soluções.
Após uma simples verificação, vemos que apenas x = = 0 é solução. Agora,
dividiremos o problema em dois casos: 3,5
Caso 1: 3
0 < x <
< 1: 2,5
A
Podemos reescrever a inequação como x 2 x 2 – 9 x +
+ 4 < x 0. Agora, devemos 2
ficar MUITO atentos, pois 0 < x <
< 1. Dessa forma, temos que 2 x 2 – 9 x + + 4 > 0 1,5
1 B
(MUITA
(MUITA atenção aqui mais uma vez!) e então x <
< ou x >
> 4. Fazendo a 1
2
1 0,5
interseção com 0 < x <
< 1, temos que a solução deste caso é 0 < x < . 0 C
2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
Caso 2: –0,5
x >
> 1: –1 D
Mais uma vez, podemos reescrever a inequação x 2 x 2 – 9 x +
+ 4 < x 0. –1,5
Entretanto, neste caso, a base da potência é maior do que 1 e então –2 E
1
podemos concluir que 2 x – 9 x +
+ 4 < 0, o que nos dá
2
< x < 4 . Fazendo –2,5
2
a interseção com x >
> 1, temos que a solução deste caso
c aso é 1 < x <
< 4.
Juntando a solução x = 0 e os casos 1 e 2, temos que o conjunto II. f4 x( ) = log 1 x :
1 2
solução é S = 0, ∪ (1, 4 ) .
2 1 1
x 4 2 1
2. Função logarítmica 2 4
.
81 81
2.2 Crescimento e decrescimento
Veremos
Veremos dois exemplos de funções logarítmicas e seus gráficos:
I. f3( x
x ) = log2 x : Nos exemplos vistos, pudemos ter alguma ideia de como as funções
logarítmicas se comportam
compor tam com relação ao crescimento. De fato, a intuição
mais uma vez prevalece.
1 1
x 4 2 1 Teorema 4 (Crescimento e decrescimento)
2 4
I. Se a > 1, a função g(x) = log a x é
é crescente, ou seja, g( x
x ) > g( y
y ) ⇔
x >
> y .
IME-ITA 91
Matemática I – Assunto 5
c
Demonstração: Demonstração:
Segue do fato de o logaritmo ser a inversa da função exponencial. Fica Análogo a II.
como exercício demonstrar o seguinte resultado:
“Sejam f, g duas funções tais que g é a inversa de f . Então, f é
é crescente IV.
IV. (“Regra do peteleco” – este é apenas um nome para facilitar a
(decrescente) se, e somente se, g é crescente (decrescente).” memorização) log a x r = r log
log a x , para r ∈ .
Demonstração:
(a < 1) A demonstração é imediata a partir do fato de que a função logarítmica
é monótona (crescente ou decrescente) e, portanto,
port anto, injetiva.
2.4 Propriedades Para vermos algumas técnicas, vejamos exemplos de equações
I. (Definição) alog ab = b logarítmicas.
Demonstração:
Fazendo log a b = k , temos que a k = b ⇒ alog ab = b. Ex. 1: Resolva a equação (log2 x )2 – log2 x =
= 2.
II. (Logaritmo do produto) log a bc = log a b + log ac
Solução: Fazendo t = log2 x , temos que t 2 – t – 2 = 0 e, portanto,
1
Demonstração: t = 2 ou t = –1. Assim, x = 4 ou x =
= e o conjunto solução é
Fazendo log a bc = k , log a b = l e
e log ac = m, temos que b = a l e c = a m. 2
1
Logo, bc = a . Por outro lado, bc = a k e então a k = a l + m ⇒
l + m S = , 4 .
k = l + m ⇒ log a bc = log a b + log ac. 2
92 Vol. 3
Exponencial e logaritmo
IME-ITA 93
Matemática I – Assunto 5
EXERCÍCIOS RESOL
RESOLVIDOS
VIDOS
01 Resolva a equação 23 x – – 4 = 4 x + 1. 05 Resolva a equação 2 x = 3 x + 1.
Solução: A ideia nesse tipo de problema é ‘igualar’ as bases: 23 x – – 4 = Solução: Como as bases não são potências de um mesmo inteiro, não
= (2 ) 2 x + 1 = 2 2 x + 2 . Daí, temos 3 x –
– 4 = 2 x + 2, logo x =
= 6. podemos seguir a mesma ideia do exercício resolvido 1. Com variável no
expoente em uma situação dessas, a ideia é ‘tirar log’ dos dois lados. Isso
02 Resolva a inequação 25 x – 23 ⋅ 5 x – 50 < 0. pode ser feito em qualquer base, mas é conveniente escolher uma das
bases que já aparece no problema: log 32 x = log33 x + 1 ⇒ x ⋅ log
log32 = x + 1
Solução: Fazendo 5 x = t (
(t >
> 0), temos t 2 – 23t –
– 50 < 0. As raízes da 1
expressão quadrática são 25 e –2 e, como a concavidade é voltada para ⇒ x = .
log3 2 − 1
cima, tem-se que –2 < t < 25. No entanto, repare que t é
é positivo (pois 2
É possível simplificar a resposta, pois log3 2 − 1 log3 2 log3 3
= − = log3
é potência de positivo), logo, 0 < t < 25. Voltando à variável original, 3
temos 0 < 5 x < 25, o que nos dá x < 2. . Daí, segue que x =
= log 2 3 (repare que foi utilizada a fórmula de
3
03 Dado que log2 ≈ 0,3010, dê aproximações para log5 e log6,25. 1
mudança de base no formato log a b = )
log b a
Solução: A base dos logaritmos é 10 (pois não aparece). Logo,
06 Resolva a equação log2( x
x +
+ 1) + log 2( x
x –
– 1) = log23 .
10
log 5 = log = log 10 − log 2 ⇒ log5 = 1 – log2 ⇒log5 ≈ 1 – 0,3010 Solução: Usando a regra do produto, temos log 2( x x 2 – 1) = log23.
2 Igualando os logaritmandos, temos x 2 = 4, ou seja, x = ±2. No entanto,
= 0,6990. veja que não podemos ter valores de x menores
menores do que 1 (pois aparece
625 x –
– 1 dentro de um logaritmo).
Para o outro log, veja que log 6,25 = log = log 625 − log 100 ⇒
100 ∴ S = {2}.
log6,25 = log54 – 2 ⇒ log6,25 = 4log5 – 2.
Substituindo a aproximação anterior, segue que log6,25 = 0,796. Obs.: Neste problema, as bases já eram originalmente todas iguais. Em
algumas outras situações, teremos logaritmos em bases diferentes.
b a
04 Prove que alogc = blogc sempre que as expressões estão bem definidas. A 1ª coisa a ser feita, em geral, é utilizar a fórmula de mudança de base
para ‘igualar’ as bases de todos os logaritmos.
Solução: Basta ‘tirar log’ na base c dos dois lados, escreva você mesmo.
EXERCÍCIOS NÍVEL 2
01 Resolva as equações e inequações exponenciais abaixo: 04 (ITA) A soma de todos os valores de x que
que satisfazem à identidade
1
x 4
a. 3 x 2 – 15 = 9 x
−
9 2
−
1 x
1 é:
= −
3
−
3
x +
x que f : D → é uma função injetora é:
02 Resolva as equações exponenciais abaixo: (A) D = { x ∈ | x ≥ 2 e x ≤ –2}
(B) D = { x ∈ | x ≥ 2 ou x ≤ –2}
a. 2 x 2 – 2 ⋅ x = 23 x – – 6 (C) D =
0,2 x − 0,5 (D) D = { x ∈ | –2 ≤ x ≤ 2}
b. = 04 x
5 0, 04
⋅
− 1
(E) D = { x ∈ | x ≥ 2}
5
c. 4 + 2 x +
x + 1 – 24 = 0
06 (ITA) Dada a equação 32 x + 52 x – 15 x = 0, podemos afirmar que:
d. 6 ⋅ 32 x – 13 ⋅ 6 x + 6 ⋅ 22 x = 0
e. 3 x = 5 x (A) não existe x real
real que a satisfaça.
(B) x = log35 é uma solução desta equação.
f. x 2 x – – 3 = 1 ( x
x > 0) (C) x = log53 é uma solução desta equação.
(D) x = log315 é uma solução desta equação.
03 Para que valores de m a equação: 81 x – m ⋅ 9 x + 2 m – 3 = 0 admite (E) x = 3log515 é uma solução desta equação.
solução única?
94 Vol. 3
Exponencial e logaritmo
07 (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os valores reais 17 Resolva a inequação: log3( x
x +
+ 2) – log3 x >
> 1.
de x para
para os quais a2 x – ( a
a + a2) a
a x + a3 < 0 são:
18 Resolva a inequação: log x – – 1 (2 – 3 x ) < 0.
(A) a2 < x < a. (D) a < x < a .
(B) x <
< 1 ou x > 2. (E) 0 < x < 4. 19 Resolva a inequação: log3 x –
– log2 x >
> 1.
(C) 1 < x <
< 2.
x 20 Resolva as equações:
1+ e
08 (ITA) Dadas as funções f ( x ) =
x
, x ∈ – { 0 } , e
1− e a. 3 x 2 – 4 = 52 x
g( x
x ) = x sen
sen x , x ∈ , podemos afirmar que: b. 51 + 2 x + 61 + x = 30 + 150 x
(A) ambas são pares. 21 Resolva a equação: 4 x + 6 x = 9 x .
(B) f é
é par e g é ímpar.
(C) f é
é ímpar e g é par. 22 Sejam a e b dois números reais positivos e diferentes de 1. Qual a
(D) f não
não é par nem ímpar e g é par. relação entre a e b para que a equação x 2 – x (log
(log b a) + 2log a b = 0 tenha
(E) ambas são ímpares. duas raízes reais e iguais?
−32 x
09 (EN) O domínio da função y = é:
1
x 23 Simplifique log x x 1 ⋅ log x x 2 ... log x x n – 1.
2 3 n
(A) (–∞, – 5) − 243
3
(B) (–∞, 5) 24 Calcule log n[log n
n n n
n ] .
(C) (–5, +∞)
(D) (5, +∞) d) 25 Determine os valores reais de x que
que satisfazem:
(E) (–5, 5)
a. log3log x 2log x 2 x 4 > 0.
10 (EFOMM) Calcule o valor de x na expressão 23 x + 5 – 23 x + 1 =
b. log2 x ⋅ log32 x + + log3 x ⋅ log23 x ≥ 0.
33 x +
+ 5 – 33 x +
+ 4 – 142 ⋅ 33 x :
x x...
26 Resolva a equação x x = 2 ( x
x >
> 0).
(A) –1/2.
(B) –1/3. 27 Resolva (log x )log x = log x .
(C) 0.
(D) 1/3. 28 Determine os valores de k para
para os quais a equação 2 x + 2 – x = 2 k
(E) 1/2. admite solução real.
11 (AFA) Determine as soluções da equação 3 ⋅ 9 x + 7 ⋅ 3 x – 10 = 0.
29 Para quais valores reais de x vale
vale a relação log( x
x 2) = 2 log x ?
12 Resolva a equação: log3( x
x 2 – 8 x ) = 2. 3
4
30 (EN) Se logα x = n e logα y = 5 n, então logα x y é igual a:
13 Resolva a equação log3 log4 ( x
x +
+ 1) = 2.
(A) n /4. (D) 3 n.
1 (B) 2 n. (E) 5 n /4.
para que exista log x x −
14 Ache os valores de x para − . (C) 3 n /4.
2
15 Resolva as equações logarítmicas abaixo: 1
311 (EN) Seja x a
3 a solução da equação log7 x + 1 + log7 x − 1 = log7 3.
2
a. log3( x
x 2 – 3 x –
– 5) = log3(7 – 2 x ) 1
O valor de z = log2 2
+ log 128 é:
x
b. log( x
x +
+ 4) + log(2 x + + 3) = log(1 – 2 x ) 64
2 (B) 3. (E) 0.
d. log x +
+ 4( x
x 2 – 1) = log x +
+ 4(5 – x )
(C) 2.
7
e. log2 x + log x + 1 = log 2 + log 4 + log 8
x 32 (EFOMM) Sendo log2 = p e log3 = q, o valor de
log log 6 + log 9
10 é igual a:
f. log0,5 x x 2 − 14 log16 x x 3 + 40 log4 x x = 0 3 p p + q
(A) . (D) .
g. x 1 – log x = 0,01 q + 2p 2q
6 p 6 p + q
h. log x (3 ⋅ x log5 x + 4) = 2log5 x (B) . (E) .
1 p + 3q 2 p
1
i. log5(5 x +
12
125) = log5 6 + 1 + 3 p .
2 x (C)
p + q
16 Resolva a equação: 2log2( x
x –
– 1) – log2( x
x +
+ 1) = 3.
IME-ITA 95
Matemática I – Assunto 5
1 1
(A) 10 e 10 . (D) e . 43 (ITA) Acrescentando 16 unidades
unida des a um número, seu logaritmo na base
10 10 3 aumenta de 2 unidades. Esse número é:
1
(B) 10 e . (E) n.d.a.
10 (A) 5. (D) 4.
1 (B) 8. (E) 3.
(C) e 10 . (C) 2.
10
96 Vol. 3
Exponencial e logaritmo
45 (ITA) Sejam f, g funções reais de variável real definidas por 51 Calcule: log2log3antilog3log1,52,25.
1
( )
f x = ln x ( 2
−
) e g ( x )
x =
1 x
. Então o domínio de f g é:
x 2 + y 2 = 20
−
52 Resolva o sistema .
(A) ]0, e[ (D) ]–1, 1[ log x + colog y = log 2
(B) ]0, 1[ (E) ]1,
] 1, +∞[
53 Determine as características de:
(C) ]e, e + 1[
a. log316.
46 (ITA) Considere ( )
A x = (
log 1 2 x 2 + 4x + 3 ), ∀x ∈ . Então, temos: b. log 2 5.
2
3
(A) A( x
x ) > 1, para algum x ∈ , x >
> 1.
(B) A( x
x ) = 1, para algum x ∈ . 54 Determine, sabendo que 0,3010 < log2 < 0,3011, quantos dígitos
(C) A( x
x ) < 1, apenas para x ∈ tal que 0 < x < 1. tem 2300.
(D) A( x
x ) > 1, para cada x ∈ tal que 0 < x < 1.
(E) A( x
x ) < 1, para cada x ∈ . EXERCÍCIOS NÍVEL 2
01 Determine as soluções positivas dos sistemas abaixo ( x
x e
e y são
são as
47 (ITA) Seja f =
= log2( x
x 2 – 1), ∀ x ∈ , x < –1. A lei que define a inversa variáveis):
de f é:
é:
x y = y x
(A) 1 + 2 y , ∀ y ∈ . (D) − 1 − 2 y , ∀ y ∈ , y ≤ 0 . a. p q ( p ≠ q ), ( p, q > 0 )
x = y
(B) −
y
1 + 2 , ∀ y ∈ . (E) 1 + 1 − 2 y , ∀ y ∈ , y ≤ 0 .
y 1
x = y 2
(C) 1 − 1 + 2 y , ∀ y ∈ . b.
x 5 = y 3
48 (ITA) Em uma progressão geométrica de razão q, sabe-se que: y 1
x = y 2
I. o produto do logaritmo natural do primeiro termo a1 pelo logaritmo
c.
natural da razão é 24. y x = 1
II. a soma do logaritmo natural do segundo termo com o logaritmo natural x
do terceiro termo é 26.
02 (ITA) Considere as funções f : : * → , g : → e h : * →
Se lnq é um número inteiro então o termo geral a n vale: x +
1
81
definidas por: f ( x ) = 3 x
, g( x
x ) = x 2 e h ( x ) = . O conjunto dos
x
(A) e . 6 n – 2 (D) e . 6 n + 2
(B) e4 + 6 n. (E) n.d.a. em * tais que ( f g ) ( x ) ( h f ) ( x ) é um subconjunto de:
valores de x em =
(C) e24 n.
(A) [0, 3] (D) [–2, 2]
49 (ITA) O conjunto dos números reais que verificam a inequação (B) [3, 7] (E) n.d.a.
3log x +
+ log(2 x +
+ 3)3 ≤ 3 log2 é dado por: (C) [–6, 1]
IME-ITA 97
Matemática I – Assunto 5
b. y x podemos ter:
2 3 = 18
(A) D = e f ( D
D) = [–1, +∞)
x y − 2 = 4 (B) D = (–∞, 1] ∪ (e, +∞] e f ( D
D) = (–1, +∞)
c. 2 y −3
x = 64 (C) D = [0, +∞) e f ( D
D) = (–1, +∞)
(D) D = [0, e] e f(D) = [–1, 1]
x log y x
⋅ y = x 5 / 2 (E) n.d.a.
d. x
a a
− x
log4 y ⋅ log y ( y − 3 x ) = 1 13 (ITA) Sejam a ∈ , a > 1 e f : : → definida por f ( x ) =
−
.
2
A função inversa de f é
é dada por:
07 Resolva as equações :
2 2
(A) (
log a x − 2
x −1 ) , para x >
> 1.
a. 3 log16( x + 1 + x ) + log2( x + 1 − x ) = log16 (4 x + 1) − 1 / 2
(B) log ( 1), para x ∈ .
2
−x + x +
3 + x 2 3 x 2 + 11x + 6 a
b. x 2 log2 2
− x log ( 2 + 3 x ) = x − 4 + 2log
1 2
10 10
2
(C) log ( a
x +
2
x + 1) , para x ∈ .
2
c. x log6 (5 x 2 − 2 x − 3) − x log 1 (5 x 2 − 2 x − 3) = x 2 + x
6 (D) log ( a
−x +
2
x − 1) , para x <
< –1.
08 (ITA) Seja f : → uma função que satisfaz à seguinte propriedade:
(E) n.d.a.
x ) + f ( y ) ∀ x , y ∈ . Se g ( x ) = f log10 ( x 2 + 1) ,
2
f ( x + y ) = f ( x
14 (ITA) Considere uma progressão geométrica de razão inteira q > 1.
então podemos afirmar que:
Sabe-se que a1 a n = 243, logq P n = 20 e logq a n = 6,em que a n é o enésimo
(A) o domínio de g é e g(0) = f (1). (1). termo da progressão geométrica
geométrica e P n é o produto dos n primeiros termos.
(B) g não está definida para os reais negativos e g( x x ) = 2 f (log
(log10( x
x 2 + 1)), Então a soma dos n primeiros termos é igual a:
para x ≥ 0.
(C) g(0) = 0 e g( x
x ) = 2 f (log
(log10( x
x 2 + 1)), ∀ x ∈ . (A)
9
3 −1
.
(D) g(0) = f (0)
(0) e g é injetora. 6
(E) g(0) = –1. 10
3 − 1.
(B)
09 (ITA) Supondo m uma constante real, 0 < m < 1, encontre 6
todos
to dos os número
núm eross reais
rea is x que
que satisfazem a inequação 8
3 −1 .
x 2 (C)
log m ( x
4
+ m4 ) ≥ 2 + log + m2 .
m
6
2 m 9
3 −1 .
(D)
1 1 3
10 (ITA) Sobre a expressão M = + , em que 2 < x < 3,
log2 x log5 x
(E) n.d.a.
qual das afirmações abaixo está correta?
15 (ITA) Sejam x e
e y reais
reais positivos, ambos diferentes de 1, satisfazendo
(A) 1 ≤ M ≤ 2.
(B) 2 < M <
< 4. y 1
(C) 4 ≤ M ≤ 5. x = y 2
(D) 5 < M < 7. o sistema: . Então o conjunto { x, y } está contido
log x + log y = log 1
(E) 7 ≤ M ≤ 10. x
98 Vol. 3
Exponencial e logaritmo
EXERCÍCIOS NÍVEL 3
05 Usando o exercício anterior,
anterior, mostre que para todo p natural :
01 Resolva as inequações:
1 1 1
1+ + + ... + > ln ( p + 1)
a. 2 x ≥ 11 – x . 2 3 p
x
b. 3 + 7 ≥ 2 x
5 5 06 Dado que 0,3010 < log2 < 0,3011, determine quantos dígitos tem
2300 + 5300.
02 Resolva log(20 – x ) = (log x ) . 3 x
x x x
07 Determine todas as soluções reais da equação 2 + 3 + 5 = 160 3
03 Determine o número de soluções reais da equação .
1 1 1
b. para todo n ≥ 1, tem-se < ln 1 + < ;
n + 1 n n
n n +1
1 1
c. conclua que 1 + n < e < 1+ n
RASCUNHO
IME-ITA 99
Matemática I – Assunto 5
RASCUNHO
100 Vol. 3
Polinômios A SSUNTO
3
Matemática II
Ex.: P( x
x ) = x 4 + 5 x 2 – (2 + 3 ) x
x +
+ 2 + 3 i (grau
(grau 4)
3.1 Conceito
x ) = 0 x 4 + 5 x 2 – (2 + 3 ) x
Q( x x +
+ 2 + 3 i (grau 2) Dois polinômios P( x
x ) e Q( x
x ) são idênticos, quando P( x
x ) = Q( x
x ),), para
todo x .
Obs.: Se tivermos num polinômio mais de uma variável, podemos pensá-lo Utilizamos o símbolo P( x
x ) ≡ Q( x
x ) neste caso.
como de uma variável, desde que se escolha uma como ordenatriz.
3.2 Teorema
Ex.: P( x
x , y , z ) = 10 x 4 y 2 z –
– 5 x 3 y 4 z 2 + 2 x 2 yz –
– 2 xyz +
+ 5 "Se P e Q são polinômios, então P( x
x ) ≡ Q( x
x ),), se e somente se os
1.2 Propriedades do grau coeficientes correspondentes de P e Q são iguais. Em particular
par ticular,, os graus
de P e Q devem ser iguais."
Dados P( x
x ) e Q( x
x ),), tem-se:
Demonstração: Considerando o polinômio U ( x x ) = P( x
x ) – Q( x
x ),),
I. grau[ P
P( x
x ) · Q( x
x )]
)] = grau[ P
P( x
x )]
)] + grau[Q( x x )]
)] aplicamos o teorema 2.2 e está finalizado.
II. grau[ P
P( x
x ) + Q( x
x )]
)] ≤ max{grau[ P P( x
x )],
)], grau[Q( x
x )]}
)]}
1.3 Raiz 4. Divisão de polinômios
Dizemos que a é raiz do polinômio P, se P( a
a) = 0. Dados polinômios P( x x ) e D( x
x ),), existem (e são únicos) polinômios Q( x
x )
P ( x ) = D ( x ) Q ( x ) + R ( x )
e R( x
x ) tais que:
Ex.: Veja que 1 é raiz do polinômio P( x
x ) = x 3 + x 2 + x –
– 3, pois P(1) = 0. grau R ( x ) < grau D ( x )
1.4 Operações Obs. 1: Existe um método para encontrar os polinômios Q e R, conhecidos
As operações de multiplicação, soma e diferença são feitas
feita s da maneira como quociente e resto, respectivamente. Isso será feito em sala de aula,
habitual. A única operação diferente, de fato, é a divisão de polinômios. já que uma explicação por escrito mais confundiria do que elucidaria
qualquer coisa.
2. Polinômio identicamente nulo Obs. 2: Quando R( x
x ) = 0, para todo x , dizemos que a divisão é exata. Veja
que a condição grau R( x
x ) < grau D( x
x ) ainda é verdadeira, se considerarmos
2.1 Conceito o grau do polinômio identicamente nulo como –∞.
Um polinômio P( x
x ) é identicamente nulo, quando P( x
x ) = 0, x .
Pela definição de grau dada, o polinômio identicamente nulo não 5. Teorema do resto
possuiria grau. No entanto, é comum dizer que seu grau é igual a – ∞. "O resto da divisão de P( x
x ) por ( x
x –
– a) é igual a P( a)
a)."
Veja que, fazendo isso, as propriedades de grau continuam válidas inclusive Demonstração:Dividindo P( x x ) por ( x
x –
– a), encontramos um quociente
para o polinômio identicamente nulo. Q( x
x ) e um resto R. Veja que R é número (não tem x ),), pois seu grau deve ser
2.2 Teorema menor que o grau de ( x
x –
– a), que é 1. Daí, temos que P( x x ) ≡ ( x
x –
– a)Q( x)
x) + R.
Fazendo x =
= a, temos o resultado: R = P( a a).
"Um polinômio P( x
x ) é identicamente nulo, se e somente se todos os
seus coeficientes são nulos."
Demonstração: Esta demonstração deve ser omitida numa 1a leitura,
6. Fatoração
por sua sofisticação.
6.1 Teorema
Faremos por contradição. Considere um polinômio que seja sempre nulo,
mas que não possua todos os coeficientes nulos. Daí, existe um grau para "Se o número complexo a é raiz de um polinômio P, então P( x
x ) é
este polinômio, ou seja, um expoente máximo dentre os existentes. Assim, divisível por ( x
x –
– a)."
escrevemos A0 x n + A1 x n–1 + ... + A n–1 x +
+ A n = 0, para todo x ( A
A0 ≠ 0).
Obs.: Isso é consequência imediata do teorema do resto.
IME-ITA 101
Matemática II – Assunto 3
a mesma ideia. Se P1 ainda tiver grau maior ou igual a 1, P1 teria alguma forma fatorada como uma grande distributiva, note que, para gerarmos
raiz a2 e, por isso, poderíamos escrever P( x x ) = ( x
x – a1)( x
x – a2) P P2( x
x ).). x n – k , precisamos em n – k parêntesis
parêntesis escolher x e,
e, nos outros k , escolher
Prosseguindo
Prosseguindo desta forma, os polinômios assim construídos P1, P2, ... têm as raízes. Cada parcela dessas contém um produto de k raízes. raízes. Portanto,
graus decrescentes e, num certo momento, o grau de algum P desses será se fizermos todas as possibilidades, teremos a soma dos produtos k aa
nulo. Portanto, podemos escrever P( x x ) = A( x
x –
– a1)( x
x –
– a2) · ... · ( x
x –
– a n). z das
das raízes, ou seja, σ k . Além disso, na distributiva, há um sinal que
Veja que a1, a2, ..., an são as raízes e que A é o coeficiente líder de está sendo multiplicado k vezes. vezes. Por isso, também há um (–1) k . Então,
P, ou seja, o coeficiente do termo de maior grau do polinômio. Esta é a o coeficiente de x n – k por um lado é A0 = (–1) k σ k e, por outro lado, é A k .
chamada forma fatorada de P.
Então, σk = (–1) k A k .
A0
102 Vol. 3
Polinômios
Ainda assim, a demonstração pode ter parecido difícil para os não Temos as seguintes propriedades:
iniciados. Para termos uma situação mais simples, consideremos o caso de
grau 3. Fazendo a distributiva em P( x x ) = A0( x
x –
– x 1)( x
x –
– x 2)( x
x –
– x 3), chegamos 13.3.1 Equação recíproca de primeira espécie
a P( x
x ) = A0( x
x – ( x
3 x 1 + x 2 + x 3) x + ( x
2 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x – x 1 x 2 x 3).
Igualando os coeficientes aos de P( x x ) = A0 x 3+ A1 x 2 + A2 x + + A3, chegamos • grau ímpar: sempre terá o –1 como raiz;
às relações de Girard para o grau 3, as mais utilizadas: • grau par: nada podemos afirmar.
A1
x1 + x 2 + x 3 = −
A0 13.3.2 Equação recíproca de segunda espécie
A2
x1x 2 + x1x 3 + x 2x 3 = • grau ímpar: sempre terá o 1 como raiz;
A0
• grau par: sempre terá o 1 e o – 1 como raízes.
A
x1x 2 x 3 = − 3
A0 13.4 Resolução de equação recíproca
Para entender o método, veja o exercício resolvido número 6.
12. Teorema da raiz racional 14. Raízes múltiplas
Considere o polinômio P( x
x ) = A0 x n + A1 x n–1 + ... + An, de coeficientes
inteiros. Se esse polinômio possui uma raiz racional ( p
p
p e q inteiros, na 14.1 Definição
q
forma irredutível), então: Um número r é é dito raiz de multiplicidade m de um polinômio P, se
existir um polinômio Q tal que P( x
x ) = ( x
x –
– r )mQ( x
x ),), em que r não
não é raiz de Q.
I. p é divisor de A n; Se r não
não é raiz de P, dizemos que r tem
tem multiplicidade 0. Além disso,
II. q é divisor de Ao. raízes de multiplicidade 1, 2 e 3 são chamadas de raízes simples, duplas
e triplas, respectivamente.
Caso particular: Se A0 = 1, então qualquer raiz racional da equação
é inteira (e testamos divisores de A0). 14.2 Teorema
Demonstração: Exercício 18, nível 2. Um número r é é raiz de multiplicidade m de um polinômio P, P, se e
somente se P( r r ) = P’( r
r ) = P”( r
r ) = ... = P(m – 1)( r
r ) = 0, em que P’ denota
13. Polinômios recíprocos a primeira derivada do polinômio, P’’ denota a segunda derivada e, em
geral, P( k k ) denota a k -ésima
-ésima derivada do polinômio.
13.1 Definição
15. Transformadas aditiva,
x ) = ± x n P 1 . Como
Um polinômio de grau n é dito recíproco, se P( x
x multiplicativa, simétrica e
1
consequência disso, se a é raiz de um polinômio recíproco, também é.
a
recíproca
13.2 Classificação É possível transformar uma equação polinomial P( x x ) = 0 (equação
primitiva) em uma outra equação polinomial Q( y y ) = 0 (equação
x ) = x n P 1 , temos um polinômio recíproco de primeira
I. Se P( x transformada) de modo
modo que as raízes
raízes y relacionem-se
relacionem-se com as raízes de x
x através da função y =
= ϕ( x
x ) (função transformatriz).
espécie. Neste tipo de polinômio, os coeficientes das parcelas 15.1 Transformada aditiva
equidistantes dos extremos são iguais, quando ordenados segundo
as potências decrescentes da variável. As raízes da nova equação são
sã o obtidas somando k unidades
unidades às raízes
de uma equação original. Se P é um polinômio, o polinômio Q( x
x ) = P( x
x –
– k )
Ex.: P( x
x ) = 12 x 4 – 56 x 3 + 89 x 2 – 56 x +
+ 12 possui para raízes as raízes de P aumentadas de k unidades.
unidades.
IME-ITA 103
Matemática II – Assunto 3
potências de x –
– a Ex.: Desenvolver P( x
P( x
x ) = x 4 + 5 x 3 + x 2 – 2 x +
x ) = x 4 + 5 x 3 + x 2 – 2 x +
+ 1 em potências de x –
+ 1 → P(2) = 57
– 2.
P’( x
x ) = 4 x + 15 x + 2 x –
3 2 – 2 → P’(2) = 94
16.1 Utilização do algoritmo de P”( x
x ) = 12 x 2 + 30 x +
+ 2 → P”(2) = 110
Briot-Ruffini P”’( x
x ) = 24 x +
+ 30 → P”’(2) = 78
Consideremos o polinômio, de grau n, P( x x ).). Dividindo esse polinômio P(4)( x
x ) = 24 → P(4)(2) = 24
por x –
– a, encontramos um quociente Q1( x x ) de grau n – 1 e um resto R0.
Dividindo Q1( x
x ) por x –
– a, encontramos um quociente do grau n – 2 e um Logo: P( x
x ) = 57 + 94 ( x
x –
– 2) + 55 ( x
x –
– 2)2 + 13 ( x
x –
– 2)3 + x
(x –
– 2)4.
resto R1, e assim sucessivamente. Temos:
17. Decomposição de uma função
P( x
x ) = ( x
x –
– a)Q1( x
x ) + R0
Q1( x
x ) = ( x
x –
– a)Q2( x
x ) + R1 racional em uma soma de
Q2( x
x ) = ( x
x –
– a)Q3( x
x ) + R2 frações parciais
...
Q n–1( x
x ) = ( x
x –
– a)Q n( x
x ) + R n – 1 17.1 Frações parciais
Q n( x
x ) = ( x
x –
– a)·0 + R n
A A
(observe que Q n( x x ) é do grau 0) Dá-se o nome de frações parciais a frações do tipo ,
− a ( x − a )n
x
Ex.: Desenvolver P( x
x ) = x 4 + 5 x 3 + x 2 – 2 x +
+ 1 em potências de x –
– 2.
104 Vol. 3
Polinômios
função par, então P(– x ) ≡ P( x x ).). Daí, a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a n–1 x n–1 + Como x = = 2 é raiz, então x –
– 2 é um fator.
fator. Portanto, basta dividir x 3 – x 2
a n x n ≡ a0 – a1 x +
+ a2 x 2 – ... + (–1) n – 1 a n – 1 x n – 1 + (–1) n a n x n. Igualando os – 4 por x – – 2. Isso pode ser feito utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini
coeficientes correspondentes, temos que a1 = – a1, a3 = – a3, a5 = – a5, ..., ou completando as parcelas: x 3 – x 2 – 4 = x 3 – 2 x 2 + x 2 – 2 x + + 2 x –
– 4
o que nos dá que todos os coeficientes de expoentes ímpares são nulos. = x 2( x
x –
– 2) + x ( x
x –
– 2) + 2( x
x –
– 2) = ( x
x –
– 2)( x
x 2 + x +
+ 2).
Por isso, as outras raízes vêm de x 2 + x + = −1 ± 7 i .
+ 2 e são iguais a x =
02 Qual é o resto de P( x
x ) = 4 x 9 + 7 x 8 + 4 x 3 + 3 por x +
+ 1? 2
05 Considere o polinômio P( x
x ) = x – mx + 4 x +
+ 1. Se P possui três 3 2
Solução: Pelo teorema do resto, o resto por x –
– (–1) é igual a P(–1) = – raízes reais em P.G., determine o valor de m.
4+ 7– 4 + 3 = 2.
Solução:
03 Determine todos os polinômios P tais que P ( x
x +
+ 1) – P( x
x ) ≡ x 2
e P(0) = 0. Sejam a , a, aq as raízes. Usando as relações de Girard, temos que o
q
Solução: Antes de qualquer coisa, determinaremos o grau de P produto das raízes é a3 = –1 e, como a é real, temos que a = –1. Daí,
(esta ideia é muito útil: olhar para o grau!). Para isso, observe que como –1 é raiz, segue que P(–1) = –1 – m – 4 + 1 = 0, o que nos
se P tem grau n, então P( x
x +1)
+1) – P( x
x ) possui grau n – 1 (tente dá m = –4.
provar isso usando binômio de Newton!). Assim, o polinômio com
o qual estamos trabalhando possui grau 3. Sabendo que P(0) = 06 Resolva a equação recíproca 72 x 4 – 6 x 3 – 181 x 2 – 6 x +
+ 72 = 0.
0, podemos escrever P( x x ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx . Então, teremos
A( x
x + 1)3 + B( x
x + 1)2 + C( x
x +
+ 1) – Ax 3 – Bx 2 – Cx ≡ x 2, ou seja, Solução:
3 Ax +(3 A +2 B) x
2 x + A + B + C ≡ x 2. Comparando os coeficientes,
teremos 3 A = 1, 3 A + 2 B = 0 e A + B + C = 0 . Ao resolver o sistema, Esta é uma equação recíproca de primeira espécie (os coeficientes
1 1 1
equidistantes do termo médio são iguais). A ideia para resolver esse tipo
chegamos em A = , B = − e C = . Portanto, o polinômio é de equação é primeiro verificar através das propriedades se 1 ou –1 são
3 2 6
raízes para simplificar a equação. Neste caso, não há como fazer uso
x 3 x x 2 destas propriedades. Feita esta etapa, a ideia é dividir a equação dada
P( x
x ) = – + .
3 2 6 1 1
Note que esse polinômio é útil para encontrar a soma dos quadrados por x 2, obtendo 72 x 2 + 2 – 6 x + – 181 = 0 . Agora, fazendo
dos n primeiros naturais. x x
IME-ITA 105
Matemática II – Assunto 3
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
106 Vol. 3
Polinômios
IME-ITA 107
Matemática II – Assunto 3
raízes é igual a 14. Então, a2 + b2 + c2 é igual a: raízes da equação x 3 – 5 x 2 + 6 x =
= 0, então:
(A) 190. (D) 193. (A) A = – 2; B = –1; C = 0. (D) A = 5; B = 2; C = 1.
(B) 191. (E) 194. (B) A = 2; B = 4; C = 1. (E) n.d.a.
(C) 192. (C) A = –2; B = – 1; C = 0.
108 Vol. 3
Polinômios
EXERCÍCIOS NÍVEL 2 09 (ITA-95) Sabendo que 4 + i 2 e 5 são raízes do polinômio 2 x 5 –
22 x 4 + 74 x 3 + 2 x 2 – 420 x +
+ 540, então a soma dos quadrados de todas
01 (IME) Determine os polinômios do 4 o grau tais que P( x
x ) = P(1 – x ).). as raízes reais é:
IME-ITA 109
Matemática II – Assunto 3
19 Para m e n naturais, mostre que se n m não é inteiro, então é irracional. 27 (ITA-93) Sabendo-se que a equação de coeficientes reais x 6 – a
( a + b
(Sugestão: Use o e x ercício
ercício anterior.) + c) x
x 5 + 6 x 4 + ( a
a – 2 b) x
x 3 – 3cx 2 + 6 x –
– 1 = 0 é recíproca de segunda
espécie, então o número de raízes reais desta equação é:
20 Resolva nos reais as seguintes equações algébricas, com o au x
x ílio
ílio do
e x ercício
ercício 18, nível 2: (A) 0. (D) 4.
(B) 2. (E) 6.
a. 2 x 4 – 5 x 3 + 2 x 2 + 32 x –
– 16 = 0 (C) 3.
b. 20 x 3 – 27 x 2 + 4 x +
+ 3 = 0
28 (ITA-85) Como ax 4 + bx 3 + 5 x +
+ 3 = 0 é recíproca e tem o 1 como
21 (ITA-00) Sendo I um
um intervalo de números reais com e x tremidades raiz, o produto das raízes reais desta equação é:
a e b com a < b, o número real b – a é chamado de comprimento de I .
Considere a inequação 6 x 4 – 5 x 3 – 7 x 2 + 4 x <
< 0. A soma dos comprimentos
c omprimentos (A) 2. (D) 3.
dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a: (B) –1. (E) 4.
(C) 1.
3 11
(A) . (D) .
4 6 29 Determinar a relação que deve e x istir
istir entre os coeficientes da equação
3 7 x 3 + px +
+ q = 0, para que tenha duas
duas raízes iguais.
(B) . (E) .
2 6
30 Calcular m de modo que a equação x 3 + mx –
– 2 = 0 tenha uma raiz
7
(C) . dupla e calcular as raízes desta equação.
2
22 (ITA-77) Seja R o corpo dos números reais. Em relação à equação 31 A equação x 3 – 11 x 2 + 29 x –
– 7 = 0 possui uma raiz da forma u +
5 x – 15 x – 15 x –
3 2 – 20 = 0, x ∈ , podemos afirmar que: 3 . Determine todas as suas raízes.
(A) não tem solução inteira. 32 Pode um polinômio inteiro em x ser
ser nulo para todo valor de x no
(B) tem somente uma solução. intervalo [ a
a, b] e x ceto
ceto num ponto c desse intervalo?
(C) tem somente duas soluções distintas.
(D) tem três soluções distintas. 33 Considere os polinômios P( x
x ) = a0 x 4 + a1 x 3 + a2 x 2 + a3 x +
+ a4 tais
(E) n.d.a. que P(2) = P(3) = P(4) = P(r) = 0, onde r ∉ {2, 3, 4}. Se não há outras
raízes, temos, necessariamente, que:
23 Sejam a e b constantes reais. Sobre a equação x 4 – ( a
a + b) x
x 3 + ( ab
ab
+ 2) x
x 2 – ( a
a + b) x
x +
+ 1 = 0, podemos afirmar que: (A) a0 > 4. (D) a0 > 0.
(B) a0 < 0. (E) n.d.a.
(A) não possui raiz real se a < b < –3. (C) a0 ≠ 0.
(B) não possui raiz real se a > b > 3.
(C) todas as raízes são reais se | a| ≥ 2 e |b| ≥ 2. 34 Seja P um polinômio tal que P( x
x ) = ax 3 + bx 2 + cx +
+ d para
para todo x
(D) possui pelo menos uma raiz real se –1 < a ≤ b < 1. real, onde a, b, c, d são
são reais. Se P( x
x ) = 0 para todo x do
do conjunto {1, 2,
(E) n.d.a. 3, 4, 5}, temos que:
24 (IME) (A) P(6) = a + 1. (D) P(6) = d .
a. Mostre que, se P( x
x ) = a0 + a1 x +
+ a2 x 2 + a1 x 3 + a0 x 4, então e x iste
iste um (B) P(6) = a + 2. (E) n.d.a.
polinômio G( x
x ) do 2 grau , tal que P( x
o x ) = x 2 · G( x
x +
+ x –1). (C) P(6) = a + 3.
b. Determine todas as raízes do polinômio P( x x ) = 1 + 4 x +
+ 5 x 2 + 4 x 3 + x 4
35 (IME) Mostre que se a equação x 3 + px +
+ q = 0 possui três raízes
25 (ITA 97) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2 x – 4 x +
6 5
reais e distintas, então p < 0.
4 x –
– 2 = 0. Sobre os elementos de S, podemos afirmar que:
36 (IME) Dada a equação x 4 + 4 x 3 – 4cx +4
+4d =
= 0, determine a, b, c,
(A) todos são números reais. d , sabendo que ela possui uma raiz dupla da forma a + b 3 ( a
a, b, c, d
(B) 4 são números reais
reais positivos. racionais).
(C) 4 não são números reais.
(D) 3 são números reais positivos e 2 não são reais. 37 Mostre que os polinômios P( x
x ) = x 4 – x 3 + x 2 + 2 x –
– 6 e Q( x
x ) = x 4
(E) 3 são números
números reais negativos. + x 3 + 3 x 2 + 4 x +
+ 6 possuem um par de raízes comple x as
as comuns e
determine-as.
26 (ITA-99) A equação polinomial P( x
x ) = 0 de coeficientes reais e grau
105 38 Desenvolva P( x
x ) = 2 x 5 – 13 x 2 + 4 em potências de 1 – x .
como raiz. Se P(2) = −
6 é recíproca de 2 a espécie e admite i como e
8
255 39 Prove que x 4 + x 3 + x 2 + x +
+ 1 divide x 44 + x 33 + x 22 + x 11 + 1.
P(–2) = , então a soma de todas as raízes de P( x
x ) é igual a:
8
110 Vol. 3
Polinômios
EXERCÍCIOS NÍVEL 3
05 14 Determine o maior valor de k inteiro para o qual ( x
x – 1)k divide
de variável, uma equação geral do x – (2 n + 1) x x n + 1 + (2 n + 1) x
x n – 1.
2 n + 1
a. Transforme, por uma substituição de
terceiro grau numa equação do terceiro grau na qual qual o coeficiente em
x é igual a zero.
2 k
15 Seja P um polinômio de grau n de maneira que P( k )
k = , para k
b. Resolva a equação x 3 + px + + q = 0. (Sugestão: Faça x = = a + b e = 0, 1, ..., n. Encontre P( n n + 1). + 1
k +
tente calcular a e b.)
16 Se P é um polinômio recíproco de grau ímpar, prove que –1 é raiz de
06 (IME–adaptada) Seja P( x x ) = a n x n + ... + a1 x +
+ a0 um polinômio de P e, então, que P( x x ) = ( x
x +
+ 1)Q( x
x ),), onde Q é um polinômio recíproco de
coeficientes inteiros. Mostre que se a0 e P(1) são ímpares, então P( x x ) não grau par.
possui raízes inteiras.
17 Para quais inteiros a o polinômio x 2 – x + + a é um fator de x 13 + x +
+
07 Sejam A, B e C as raízes da equação x ( x x –
– 2)(3 x –
– 7) = 2, tais que 90?
A ≤ B ≤ C.
18 Determine todos os polinômios P não identicamente nulos tais que
a. Mostre que A ∈ (0,1), B ∈ (1,2) e C ∈ (2,3). P(3 x –
– 2) = 81 P( x
x ) para todo x real.
real. (Sugestão: Primeiramente, determine
b. Calcule arctan A + arctan B + arctan C. o grau de P. P.)
08 Qual a condição para que a equação de coeficientes reais x 3 + px +
+ 19 (OMERJ) Encontre todos os possíveis polinômios não constantes P tais
q = 0 admita raízes comple x as
as de módulo igual a α? que, para todo x real,
real, vale a relação P(2 x ) P
P(–2 x ) P
P( x
x 2) = P(–4 x 2)( x
x 2 – 4)2.
09 E x iste
iste algum polinômio P( x
x ) com coeficientes inteiros tal que P(3) = 20 Sejam a e b inteiros distintos. Mostre que o polinômio ( x
x –
– a)2( x
x –
– b)2+
4 e P(9) = 9? 1 não pode ser escrito como produto de dois polinômios de coeficientes
inteiros e de grau menor que 4.
10 (USAMO) Sejam a, b e c inteiros distintos e P um polinômio com
coeficientes inteiros. Mostre que as condições P( a
a) = b, P( b
b) = c e P(c)
= a não podem ser satisfeitas simultaneamente.
RASCUNHO
IME-ITA 111
Matemática II – Assunto 3
RASCUNHO
112 Vol. 3
Matrizes e determinantes A SSUNTO
5
Matemática III
ou seja, nesse caso, podemos dizer que ela é de ordem m por n. Multiplicação por escalar
Normalmente representamos uma matriz por letra maiúscula, colocando Dada uma matriz A e um escalar α, chamaremos de α A uma matriz
o número de linhas e de colunas como índices (o número de linhas sempre de mesma ordem que A obtida pelo produto de todos os elementos de A
vem primeiro). Exemplo: A3 x 2 é uma matriz com três linhas e duas colunas. por α, ou seja, se A =( a
a ij ) m× n , têm-se α A =(α a ij ) m× n.
Chamamos ainda de a ij o elemento da linha i , e da coluna j da
da matriz.
Nesse caso, também podemos representar uma matriz m× n por ( a a ij ) m× n. 2 3 4 4 6 8
Ex.: A = → 2A =
Ex.: − 1 3 5 −2 6 10
Obs.: Chamaremos o produto (–1) · A de – A, uma vez que esta matriz é o
a11 a12 inverso aditivo de A. Assim, definimos a diferença de matrizes de mesma
ordem por: A – B = A + (– B)
A3 x 2 = a21 a22 = ( a ij )3 x 2
a31 a32 Propriedades
Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem; α e b escalares, têm-se:
Obs.: Os elementos de uma matriz podem estar entre parênteses ou colchetes.
De modo geral, uma matriz fica bem definida se soubermos determinar I. (Comutativa da adição) A + B = B + A;
cada a ij em função de i e
e j , seja por meio de uma expressão ou por meio II. (Associativa da adição)( A A + B) + C = A + ( B B + C);
de uma sentença. III. (Existe elemento neutro da adição)
adição) Seja 0 m× n uma matriz com todas
as entradas nulas (chamada de matriz nula), têm-se:
Ex.: ∀ A; 0 + A = A + 0 = A;
I. Seja A = ( a
a ij ) 2x2 com a ij = (–1) i + j · i · · j . Como ficaria essa matriz? IV.
IV. (Existe inverso aditivo) ∀ A, ∃(– A) | A + (– A) = (– A) + A = 0;
V. (Distributiva por
por escalar em relação
relação a matrizes):
a11 = (–1)1+1 · 1 · 1 = 1; a12 = (–1)1+2 · 1 · 2 = –2; α( A
A + B) = α A + α B;
VI. (Distributiva por matriz em relação a escalares):
a21 = (–1)2+1 · 2 · 1 = –2; a22 = (–1)2+2 · 2 · 2 = 4; (α + b) A
A = α A + b A;
VII. (Associativa da multiplicação por escalar): (αb) A A = α(b A);
1 −2 VIII. (Existe elemento neutro na multiplicação por escalar): 1 · A = A.
A =
2 x 2 Todas as propriedades são consequências diretas da definição de
−2 4
soma e multiplicação por escalar.
IME-ITA 113
Matemática III – Assunto 5
114 Vol. 3
Matrizes e determinantes
Ex.:
2.5 Matrizes notáveis e seus elementos 1 0 0
Matriz quadrada I 3 = 0 1 0
Se uma matriz tem o mesmo número de linhas e de colunas, ela 0 0 1
IME-ITA 115
Matemática III – Assunto 5
Matriz hemissimétrica (ou antissimétrica) Pelo que foi exposto acima, dizemos que B é a matriz inversa de A se
Uma matriz A é dita hemissimétrica se a ij = – a ji para todos i e
e j . Isso AB = BA = I n. Nesse caso, pode-se representar a matriz inversa por A–1.
é equivalente a A = – A. Veja que, fazendo i =
t
= j em
em a ij = a ji , obtemos a ii É importante lembrar que nem toda matriz possui inversa.
inve rsa. Por exemplo,
= 0, ou seja, os elementos da diagonal principal devem ser nulos. 1 2
tentemos achar a matriz inversa de A = . Nesse caso, queremos
a b 2 4
Ex.: determinar uma matriz , tal que:
0 − 2 − 3 c d
2 0 5 a b 1 2 1 0 a + 2b = 1
− 5 0 = ⇒
3 c d 2 4 0 1 2 a + 4 b = 0
IV. ( AB
AB)–1 = B–1 · A–1
c33 = a31b13 + a32 b23 + a33 b33 + ... + a3 n bn3
Atenção: Na propriedade (IV) é importante
import ante lembrar a ordem, uma vez
c nn = an1b1n + an2 b2 n + an3 b3 n + ... + ann bnn
n que B · A ≠ A · B .
–1 –1 –1 –1
x x Multiplicando a primeira equação por a22, a segunda por a12 e
multiplicação nos reais). subtraindo, tem-se: ( a
a11 a22 – a12 a21) x
x 1 = b1 a22 – b2 a12.
Considere M n(C) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com Usando a mesma ideia para obter x 2, encontra-se ( a a11 a22 – a12 a21) x
x 2 =
entradas complexas. Repare que esse conjunto possui elemento neutro b2 a11 – b1 a21 de modo que se a11 a22 – a12 a21 ≠ 0, o sistema terá solução.
para operação de multiplicação, uma vez que AI = = IA= A, em que I =
=
I n é a matriz identidade. Deste modo, I é
é considerado o elemento neutro Vejamos agora um sistema 3×3:
da multiplicação.
116 Vol. 3
Matrizes e determinantes
.
2
IME-ITA 117
Matemática III – Assunto 5
permutação σ. II. É nulo todo determinante queque contém uma fila nula.
Representa-se por: Com efeito, cada termo do determinante contém um elemento dessa
fila, logo, terá um fator nulo.
a11 a12 a1 n
Determinante de 2 a ordem
Como consequência, toda matriz antissimétrica de ordem ímpar tem
O determinante de uma matriz de 2a ordem é a diferença entre o determinante nulo. De fato, se A é uma matriz antissimétrica, então
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos A = – At . Aplicando det dos dois lados e usando as propriedades (I) e
da diagonal secundária. (IV): det A = det (– At ) = (–1) n det At = – det A ⇒ det A = 0.
Ou seja:
– + V. Um determinante muda de sinal quando se troca a posição de duas
a a filas paralelas.
a
a a Com efeito, uma troca no determinante D = | a ij | da posição de duas
filas paralelas implica que cada um dos termos do desenvolvimento
de D, supostos ordenados em relação aos índices de linha, terá uma
Determinante de 3 a ordem (regra de Sarrus) troca de dois elementos
elementos na permutação
permutação dos índices
índices das
das colunas,
colunas, e pelo
pelo
Repete-se, após a 3a coluna, a 1a e a 2a, respectivamente (o mesmo teorema
teorema 3, cada
cada um dos
dos termos do desenvolvi
desenvolvimento
mento troca
troca de sinal.
pode ser feito com as linhas).
VI. Um determinante que
que possui duas filas paralelas
paralelas iguais é nulo.
Somam-se os produtos dos três elementos da diagonal principal e Com efeito, trocando a posição dessas duas filas, o determinante
das diagonais paralelas a ela. não se altera, e pela propriedade anterior muda de sinal, logo,
Subtraem-se os produtos dos três elementos da diagonal secundária D = –D → D = 0.
e das paralelas a ela.
Somam-se algebricamente os resultados obtidos. VII. Um determinante que possui duas filas paralelas proporcionais é nulo.
a a a a a Com efeito, seja D= | a ij |um determinante em que os elementos de
11 12 13 11 12
uma fila são os produtos do fator k pelos
pelos elementos correspondentes de
∆ = a a a a a =
21 22 23 21 22 outra fila paralela. Se k ≠
≠ 0, podemos dividir a fila considerada por k e
e
a a a a a
31 32 33 31 32
D = k · · D’, em que D’ tem duas filas paralelas iguais e, portanto, é nulo.
– – – + + +
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 VIII. Um determinante em que são nulos todos os elementos de uma das
bandas da diagonal principal reduz-se ao seu termo principal.
Ex.: a11 0 0 0
a21 a22 0 0
∆= = + + − − − = Com efeito, seja ∆ = a31 a32 a33 0
= + − − =
a 1 a 2 a 3
n n
a n nn
118 Vol. 3
Matrizes e determinantes
Como em cada termo deve figurar um e apenas um elemento de Dem.: De fato, assim como no caso 3×3, basta lembrarmos que na
cada linha e um e apenas um elemento de cada coluna e como na definição de determinantes aparecem todos os produtos possíveis com
primeira linha há um único elemento não nulo a11, só não se anularão os elementos da matriz, tendo cada parcela exatamente um elemento de
no desenvolvimento de D os termos em que figura o fator a11. Na cada linha e um elemento de cada coluna.
segunda linha há dois elementos não nulos, a21 e a22, mas como a21 Assim fixada uma linha i , por exemplo, todas as parcelas terão algum a lgum
não pode figurar em termo que contenha a11, todos os termos não elemento a ij dessa linha, j ∈ {1, 2, 3, ..., n}.
nulos do desenvolvimento de D contêm o fator a11 · a
a22. Prosseguindo, Se tivéssemos i =
= j =
= 1, seria fácil perceber que colocando a11 em
obtemos: D = a11 · a22 · ... · a nn. evidência, teríamos o a11 multiplicando o det sem a 1a linha e a 1a coluna.
IX. Um determinante em que que são nulos todos os elementos
elementos de uma das No caso de um elemento a ij qualquer, temos um problema com o
bandas da diagonal secundária reduz-se ao produto de (–1)C pelo n,2 número de inversões, já que os produtos são os mesmos que aparecem
produto dos elementos secundários. no determinante tirando a linha i e e a coluna j , mas os sinais podem ser
Com efeito, com raciocínio análogo ao anterior, verifica-se que o diferentes.
único termo não nulo de D é o formado pelos elementos secundários. Como é mais fácil de visualizar o que ocorre quando se tira a 1a linha
T =
= (–1) k a1 n . a2, n n–1 · ... · a n1. Nesse caso, k é
é o número de inversões e a 1a coluna, o que seria necessário para levar a linha i e e a coluna j para
para
da permutação ( n n, n – 1, ... , 2, 1) que é, com já sabemos, C n,2. essas posições?
Se trocássemos a linha i e a coluna j com cada uma das linhas
3.4 Cofator e Teorema de LaPlace e colunas anteriores, levaríamos essas filas para posições iniciais e
Cofator manteríamos as demais na mesma ordem da matriz original (que é o que
ocorre com o cofator); assim seriam necessárias ( i i –
– 1) + ( j
j –
– 1) trocas.
Definimos o cofator de um elemento a ij de uma matriz A através do
seguinte modo: Em cada troca de filas alteramos o sinal, em que teremos (–1) i + + j +
+ 2
= (–1) . i +
+ j
Inicialmente, traçamos uma reta vertical e outra horizontal por a ij ,
riscando alguns elementos da matriz. Assim, colocando a ij em evidência, este ficará multiplicado por (–1)
+ j e pelo determinante da matriz sem a linha i , coluna j , ou seja, pelo
i +
Calculamos o determinante D ij da matriz constituída dos termos não cofator de a ij .
riscados, matriz esta chamada de menor complementar de a ij .
O cofator de a ij é dado por A ij = (–1) i + j ∙ D ij . 3.5 Teorema das filas e Teorema de Jacobi
Ex.: O cofator do elemento da 2a linha e 3a coluna do determinante Teorema das filas
1 2 5 Um determinante em que os elementos de uma fila são compostos
2+3 1 2 por somas de p parcelas é igual a uma soma de p determinantes, obtidos
∆ = −3 2 2 é: A = ( 1)
− · = ( 1) · (1 · 4
− − 2 ·1) = −2 .
23
1 4 do determinante dado, tomando-se no lugar da fila composta as primeiras,
primeiras,
1 4 3 segundas, etc., parcelas e conservando todas as outras filas.
Sabendo o conceito de cofator, vejamos, por exemplo, o que acontece Dem.: Seja D = det( a
a ij ) n n· nem que os elementos da linha i são
são da forma:
quando desenvolvemos um determinante 3×3: a i 1 = a1 + b1 + ... + l 1
a11 a12 a13 a i 2 = a2 + b2 + ... + l 2
∆ = a21 a22 a23 = .......
a31 a32 a33
a in = a n + b n + ... + l n
= a11a22 a 33
33 + a12a23 a31 + a13a 21
21a332 − a13 a22 a31 − a11a23a32 − a12a 21a 33 = Desenvolvendo D segundo os elementos da i -ésima
-ésima linha, tem-se:
= a11( a22
2 2 a33 − a23 a32 ) − a12( a21a33 − a23 a31) + a13( a21a32 − a22a 31) =
D = ( a a1 + b1 + ... + l 1) A A i 1 + ( a
a2 + b2 + ... + l 2) A
A i 2 + ... + ( a
a n + b n +
= a11
a22 a23
− a12
a21 a23
+ a13
a21 a22
= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
... + l n) A A in =
a32 a33 a31 a33 a31 a32 ( a
a1 A i 1 + a2 Ai2 + ... + a n A in) + ( 1 A i 1 + b2 A i 2 + ... + b n A in) + ... +
( l
l 1 A i 1 + l 2 A i 2 + ... + l n A in);
De fato, o que fizemos com os elementos da primeira linha, poderíamos e pelo Teorema de LaPlace, temos:
ter feito com os elementos de qualquer outra linha ou coluna, de modo
que, para calcular o determinante 3×3 pode-se escolher qualquer linha ou a11 a1 n a11 a1 n a11 a1 n
coluna e somar os produtos das entradas dessa fila pelos seus respectivos
cofatores. ∆ = a1 a n + b1 b n + ... + l1 l n
Na verdade, esse resultado não vale apenas para determinantes 3 × 3;
seja A uma matriz n × n, vale o seguinte resultado:
a n1 ann a n1 ann a n1 ann
Teorema de LaPlace
Um determinante sempre é igual à soma dos produtos dos elementos Ex.:
de uma fila pelos seus respectivos cofatores: 1 2 5 1 2 5 0 2 5
2 + x x
n n 2 2
1 −2 = 2 1 −2 + 1 −1
∆ = ∑ a ij . Aij ou ∆ = ∑ a ij ⋅ Aij
5 + x x x x x
3 2 2 3 2
j =1 i = 1 3 5 3 3
IME-ITA 119
Matemática III – Assunto 5
1 0 0 .......... 0 det A
(
V a1, a2 , ... , a n 1, an −
) =
2
a1
2
a2 a n
2
− 1 an
2
a2
−
a n
−
1 a n
−
........
............
........
......
.. .....
..... ........
............
...... ........
............
...... ........
............
........
......
..
−
an2 − an1a12 an3 − an1a13 ............. a nn − an 1a 1n Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as
( n 1) x ( n 1)
− −
−
1
1
n
a n
−1
120 Vol. 3
Matrizes e determinantes
= ( adjA)
detA π
a11 a12 sen sen( x )
− 1 senx
−
2 1
det A = = 2 = = sen x =
Outra consequência desse resultado é que se BA = I , então a21 a22 senx 0 4
senx senπ
AB = I . Basta verificar que BA = I , implica det A ≠ 0, portanto A é inversível
e existe C tal que AC = CA = I . Já vimos anteriormente que isso implica 1 π 5π 7π 11π
Logo, senx = ± , onde x ∈ ± ; ± ;± ;± .
B = C, portanto AB = I . 2 6 6 6 6
IME-ITA 121
Matemática III – Assunto 5
1 4
2 2 1 −2 x 0 1 − x −2
A
+ At A − At Solução: Veja que A − xI = − = .
em que: A = + é a soma de uma matriz simétrica 1 4 0 x 1 4 − x
2 2 Com isso, ( A A – xI ) = (1 – x )(4
)(4 – x ) – 1 · (–2), ou seja, det ( A
A – xI ) =
com uma antissimétrica. x 2 – 5 x +
+ 6, que tem raízes 2 e 3.
05 Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes a b c
2 1 −1 1 09 Sendo x y z = 1, determine o valor de:
A = e B = . Qual a relação necessária entre m e n
3 5 0 1 u v w
para que a matriz não seja inversível?
a + 2 x b + 2 y c + 2 z
2m − n m+n D = 3u 3v 3w .
Solução: C= . x y z
3 m 5 m + n
Uma matriz não é inversível se, e somente se, seu determinante é nulo.
Logo: a b c 2 x 2 y 2 z
( 2 m − n ) ( 5 m + n ) − ( m + n ) · (3 m) = 7 2
m − 6 2
mn − n = 0, fatorando: Solução: Pelo teorema das filas, D = 3u 3v 3w + 3u 3v 3w . O
6 m2 − 6 mn + m2 − n2 = 0 ⇒ 6 m( m − n) + ( m + n)( m − n) = x y z x y z
(
= m − n )( 7 m + n) = 0 2o determinante é nulo, porque tem duas linhas proporcionais. No 1 o,
Como m ≠ n, segue que 7m + n = 0. a b c
podemos colocar o fator 3 da 2 linha para fora, e temos: D = 3 ⋅ u v w .
a
06 Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n tais que A é x y z
simétrica (isto é, A = At ) e P é ortogonal (isto é, PPt = I = P P
t
), P
diferente da matriz identidade. Se B = P AP,
AP, então:
t
a b c
(A) AB é simétrica. (D) BA = AB lugar, temos: D = −3 ⋅ x y z = −3.
Trocando as duas últimas linhas de lugar,
(B) BA é simétrica. (e) B é ortogonal. u v w
(C) det A = det B
122 Vol. 3
Matrizes e determinantes
a x x x x m 2 3
x a x x x 11 Para que valores de m possui inversa a matriz m 3 4 ?
10 Calcule D = x x a x x em função de x e
e a. 1 2 1
Solução: Sabe-se que uma matriz possui inversa se, e somente se, seu
x x x a x m 2 3
x x x x a determinante for não nulo. Portanto, precisamos ter m 3 4 ≠ 0.
1 2 1
Solução: As somas dos elementos de cada linha são todas iguais. Isso
Utilizando a regra de Sarrus, temos – m – 1 ≠ 0, o que nos dá m ≠ –1.
nos dá a ideia de fazer
fa zer a operação C1 → C1 + C2 + C3 + C4 + C5 (essa
ideia é muito útil, pois faz aparecer na 1a coluna as somas das linhas).
x z y
a + 4 x x x x x 12 Calcule o determinante y x z de duas maneiras e obtenha um
a + 4 x a x x x resultado de fatoração. z y x
Daí, temos D = a + 4 x x a x x . Colocando o fator comum da 1a Solução: Usando a regra de Sarrus, temos que o determinante é igual
a + 4 x x x a x a
a + 4 x x x x a x 3 + y 3 + z 3 – 3 xyz . Por outro lado, como as somas das linhas são todas
iguais, podemos fazer C1 → C1 + C2 + C3 e temos que o determinante
1 x x x x x + y + z z y
1 a x x x é igual a: x + y + z x z .
coluna em evidência, temos que D = ( a + 4 x ) ⋅ 1 x a x x . x + y + z y x
1 x x a x
1 x x x a Colocando o fator comum da 1a coluna em evidência, temos que o
1 z y
determinante é ( x + y + z ) ⋅ 1 x z .
Agora, usando a regra de Chió, temos: 1 y x
a − x 0 0 0 = ( x
x +
+ y +
+ z ) . ( x
x 2 + y 2 + z 2 – xy –
– yz –
– xz ).).
0 a − x 0 0
D = ( a + 4 x ) ⋅ , logo, D = ( a
a + 4 x ) . ( a
a – x )4. Portanto, x 3 + y 3 + z 3 – 3 xyz =
= ( x
x + y +
+ z ) . ( x
x 2 + y 2 + z 2 – xy –
– yz –
0 0 a − x 0
0 0 0 a − x )
),
xz , que é uma conhecida identidade algébrica.
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
IME-ITA 123
Matemática III – Assunto 5
a b
15 (ITA-1983) Seja a matriz A = , em que a = 2
(1 + log25); b = 2(log28)
ac bd
c d
(A) AB =
bd ac c = log 3 81; d = log 3 27. Uma matriz real quadrada B, de ordem 2, tal
que AB é a matriz identidade de ordem 2 é:
ad bc
(B) AB =
bd ac log 3 27 2 2 −3 / 2
(A) (D)
2 log 3 81 −3 / 2 log2 5
ac
ac + bd
(C) BA =
bd + ac −3 / 2 2 log2 5 3 log 3 81
(B) (E)
3 −5 5 −2log 81
2
abcd
abcd abcd
abcd
(D) BA =
abcd abcd
−3 / 2 2
(E) AB = BA, para quaisquer valores de a, b, c, d . (C)
2 −5 / 2
124 Vol. 3
Matrizes e determinantes
Com respeito a estas afirmações, temos: 26 Marlos Charada, o matemático espião, concebeu um código para
transformar
transformar uma palavra P de três letras em um vetor Y de R3 como descrito
(A) Todas são verdadeiras. a seguir.
(B) Apenas uma é verdadeira.
verdadeira. A partir da correspondência:
(C) Apenas duas são verdadeiras.
verdadeiras. A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z
(D) Apenas três são verdadeiras.
(E) Apenas quatro são verdadeiras. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 11
11 1 2 1 3 1 4 15 16 17 18 19 20 21 2 2 23
IME-ITA 125
Matemática III – Assunto 5
2 x 8 x 0 1 1 1 1
34 (AFA-2000) O produto das raízes da equação log2 x log2 x 2
0 =0 2 3 5 4
com x ∈ *+ , é 40 Calcule o determinante: D = .
1 2 3 4 9 25 16
8 27 125 64
(A) 1/2. (C) 4/3.
(B) 3/4. (D) 3/2.
41 Determine, usando o método dos cofatores, a inversa da matriz
35 (AFA-2001) Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3, det A = d , 2 1 3
det(2 A · A ) = 4 k , em que A é a matriz transposta de A, e d é
t t
é a ordem da −2 1 2 .
matriz quadrada B. Se det B = 2 e det 3 B = 162, então o valor de k + + d é:
é: 0 2 3
(A) 4. (C) 32.
(B) 8. (D) 36. EXERCÍCIOS NÍVEL 2
01 A matriz B, de ordem 4, é tal que B4 = 0. Mostre que a matriz inversa
36 (ITA-1981) Dizemos que uma matriz real quadrada A é singular, se de I –
– B é I +
+ B + B2 + B3 .
det A = 0, ou seja, se o determinante de A é nulo, e não singular se det A
≠ 0. Mediante essa definição qual das afirmações abaixo é verdadeira? 02 Uma matriz A é dita nilpotente, se existe n ∈ N , tal que A n = 0. O menor
n com essa propriedade é dito índice de A.
(A) A soma de duas matrizes, A
A e B, é uma matriz singular, se det A = det – B.
(B) O produto de duas matrizes é umauma matriz singular se, e somente se, (A) Dê um exemplo de matriz matriz 3 x 3
3 de índice 3.
ambas forem singulares. (B) Se A é matriz nilpotente de índice 2, calcule ( I I –
– A)–1 em função de I e
e
(C) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma A.
delas for singular. (C) Se A é matriz nilpotente de índice n, determine ( I I –
– A)–1 em função de
(D) Uma matriz singular possui inversa. I , A, A2,..., An – 1.
(E) A transposta de uma matriz singular é não singular.
singular.
03 Seja A uma matriz m x
n de elementos reais. Mostre que se tr ( AA
m x n AAt ) = 0,
37 (ITA-1995) Dizemos que duas matrizes n× n, A
n, A e B, são semelhantes então a matriz A é, necessariamente, nula.
se existe uma matriz n× n inversível P tal que B = P–1 AP. Se A e B são
matrizes semelhantes quaisquer,
quaisquer, então: 04 (UFC) A matriz quadrada M , de ordem n > 1, satisfaz a equação
M 2 = M –
– I , em que I é
é a matriz identidade de ordem n > 1. Determine,
(A) B é sempre inversível. em termos de M e e I , a matriz M2003.
(B) Se A é simétrica, então B também é simétrica. 1 1 1
(C) B2 é semelhante a A. 05 Determine A dado que A = 0 1 1.
n
(D) Se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A2.
0 0 1
(E) det(λ I –
– B) = det(λ I –
– A), em que λ é um real qualquer.
126 Vol. 3
Matrizes e determinantes
1 1 1
18 Sabendo que 11843, 13273, 26325, 70824 e 92443 são múltiplos
de 13, prove que D também o é.
∆= a b c é nulo:
senA senB senC 1 1 8 4 3
1 3 2 7 3
(A) somente se a = b = c.
(B) somente se a2 = b2 + c2. =2 6 3 2 5
(C) somente se a > b > c. 7 0 8 2 4
(D) somente se a = b. 9 2 4 4 3
(E) quaisquer que sejam a, b e c.
19 Sejam p < m dois inteiros positivos. Calcule:
2 2 2
10 Considere a equação: det G( x ) 2x F( x ) = 0, em que : m m m
2 2 ...
G( x ) 4x 2
F( x ) 0 1 p
x
4
+ x
3
− x + 1 x
2
− 1 m + 1 m + 1 m + 1
F( x ) = e G( x ) =
com x ∈ R, x ≠ 0. Sobre as raízes ...
x
2
x 0 1 p
reais dessa equação, temos:
IME-ITA 127
Matemática III – Assunto 5
0 x x x
25 (Romênia) Determine a(s) matriz(es) A, sabendo que sua matriz adjunta é: y 0 x x
07 Calcule o determinante: y y 0 x .
m2 − 1 1 − m 1 − m
y y y 0
adjA = 1 − m m2 − 1 1 − m , m ≠ 1, −2
1 − m 1 − m m − 1
2
08 (IMC) A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B = 0. Prove
que AB = BA.
EXERCÍCIOS NÍVEL 3
09 (IMC) Sejam A, B e C matrizes quadradas de entradas reais de mesma
01 Sejam M e
e N matrizes
matrizes do tipo n × n distintas tais que: ordem, e supondo A inversível. Prove que se ( A
A – B)C = BA–1, então
C( A
A – B) = A–1 B.
I. M 3 = N 3
II. MN 2 = NM 2 a b c d
− b a d − c
10 Calcule .
É possível que x =
= M 2 + N 2 seja inversível? −c −d a b
−d c − b a
02 Sejam A e B matrizes reais n × n invertíveis. Mostre que se vale a
condição ( AB
AB) k = A k B k para três valores inteiros consecutivos de k, então
AB = BA. 11 Calcule o determinante:
03 (UFC) Sejam A, B e A + B matrizes n × n ( n
n ≥ 1) inver tíveis. Encontre 1 cos λ1 cos 2λ1 cos( n − 1)λ 1
uma expressão para ( A
A–1 + B–1)–1 em termos de A, ( A
A + B)–1 e B. 1 cos λ2 cos 2λ2 cos( n − 1)λ 2
1 cos λ3 cos 2λ3 cos( n − 1)λ 3
04 (Método da variação de parâmetros) Seja A uma matriz de ordem n
e B a matriz obtida ao somarmos x a
a cada elemento da matriz A. Mostre 1 cos λ n cos 2λn cos( n − 1)λ n
que:
det B = det A + x (soma
(soma dos cofatores de todos os elementos de A). 12 Determine todas as matrizes A e B n
B n × n tais que AB – BA = I .
a1 x x x tr ( AA
AAt + BBt ) = tr ( AB
AB + At Bt )
x a2 x x
x x a3 x Prove que A = Bt .
x x x a n 14 Sejam A e B matrizes 3 × 3 com elementos reais tais que:
RASCUNHO
128 Vol. 3
Circunferência A SSUNTO
3
Matemática IV
Introdução D
2
E
2
D2 + E 2 − 4 F
x + + y + =
Nesta seção, estudaremos as circunferências. Além de estar presente 2 2 4
na natureza (ex.: envoltória do sol e da lua), a circunferência e o círculo
foram a base para duas invenções importantíssimas da história: a roda Obs.: Para que a equação geral represente uma circunferência real, é
(para uso em transportes) e a engrenagem (para criação de máquinas necessário ter D2 + E2 > 4 F .
após a revolução industrial).
1.3 Equação parametrizada
Em provas, os problemas de circunferência podem aparecer de forma P ( x
x , y )
isolada – normalmente mais simples, envolvendo apenas a relação entre Em alguns problemas, é interessante
sua equação algébrica e seus elementos geométricos – ou combinados escrever um ponto P = ( x
x , y ) da circunferência
em função do ângulo θ entre o raio e o eixo x . R
com outras curvas – geralmente retas, que estudamos na seção anterior,
anterior, θ
ou cônicas, que estudaremos na próxima.
Os seus objetivos nesta seção incluem entender as diferentes x = a + Rcosθ O ( a
a, b)
equações algébricas do círculo, conseguir encontrar uma reta tangente a
y = b + Rsenθ
uma circunferência dada, relacionar o conceito geométrico de potência
com a interpretação algébrica e resolver problemas envolvendo famílias
de circunferências. Em que ( a
a, b) representa o centro e R o raio da circunferência.
IME-ITA 129
Matemática IV – Assunto 3
130 Vol. 3
Circunferência
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04 Determine a posição relativa entre as circunferências C1: x 2 + y 2 – 06 Determine as equações das retas tangentes à circunferência de
6 x +
+ 8 y =
= 0 e C2: x 2 + y 2 – 4 x +
+ 6 y =
= 10. equação C: x 2 + y 2 – 6 x +
+ 8 y =
= 0 que passam pelo ponto A = (7, 0).
Solução: Solução: Neste problema, o ponto não está sobre a curva. A melhor
Inicialmente, escrevemos as equações reduzidas das circunferências. estratégia é usar a distância do centro à reta. Essa distância deve ser igual
Essas são: ao raio da circunferência. Há outras abordagens, mas esta, normalmente,
C1: ( x
x –
– 3)2 + ( y
y +
+ 4)2 = 25 e C2: ( x
x –
– 2)2 + ( y
y + 3)2 = 23. gera menos esforço .
Reduzindo a equação: C: ( x x –
– 3)2 + ( y
y +
+ 4)2 = 25. Portanto, o centro
Temos que R1 = 5, R2 = 23,
23 , O1 = (3,– 4), O2 = (2,– 3). é o ponto O = (3,– 4) e o raio é 5.
2 2
= O1O2 = 1 + 1 = 2 .
Então, d = É fácil ver que as tangentes não serão retas ‘verticais’
‘verticais ’ (faça um desenho).
Portanto, podemos dizer que, por passarem por A, terão o formato
Para sabermos a posição relativa entre as circunferências, devemos y –
– 0 = m( x
x –
– 7), ou seja, mx – y – 7 m = 0. Como a distância do
comparar d com
com | R1 – R2| e R1 + R2. Veja que vale | R1 – R2| < d <
< 3 m − ( − 4) − 7m
centro à reta deve ser igual ao raio,
rai o, devemos ter =5.
R1 + R2 (pois 5 − 23 < 2 < 5 + 23 ), então, as circunferências são m2 + 1
secantes (ver teoria).
Essa equação é equivalente a 4 − 4 m = 5 m2 + 1 . Como os dois
05 Determine a equação da reta tangente à circunferência C: x 2 + y 2 – 4 x
+ 6 y =
= 4 que passa pelo ponto P = (1, 1). lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado e chegamos
Solução:
à equação do 2o grau em m: 9 m2 + 32 m + 9 = 0, que tem raízes
Inicialmente, veja que o ponto (1, 1) pertence à curva, pois satisfaz a − 32 ± 10 7
m = .
equação (1 + 1 – 4 + 6 = 4). A equação reduzida da circunferência 18
Portanto, as tangentes são y = 32 10 7 ( x − 7) .
− ±
é ( x
x –
– 2)2 + ( y
y +
+ 3)2 = 17, portanto, o centro é o ponto O = (2, – 3).
18
Agora, veja que o fato de P estar sobre a circunferência ajudará demais! Obs.: Para verificar se o ponto realmente está fora do círculo, basta
A reta tangente t é
é perpendicular à reta OP, portanto mt ∙ mOP = – 1. substituir suas coordenadas em C( x x , y ) = x 2 + y 2 – 6 x +
+ 8 y e
e ver se o
1
Como mOP = – 4 , segue que mt = . Como a reta t passa passa por (1, 1), resultado será positivo (positivo é para pontos no exterior, negativo para
1 4 pontos no interior e zero para pontos sobre a curva). Neste caso, o ponto
1 x + 3
temos que t: y − 1 = ( x − 1) . Então, a resposta é t: y = . realmente está fora, pois C(7,0) = 72 + 02 – 6 ∙ 7 + 8 ∙ 0 = 7 > 0.
4 4 No entanto, isso não é estritamente necessário na solução. Como
encontramos duas tangentes, isso já garante que o ponto está fora.
IME-ITA 131
Matemática IV – Assunto 3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS equação não muda se multiplicarmos todos os lados por uma constante
k , isso implica f –
– f 1 = k · · r , k ∈ .
07 Determine o comprimento das tangentes traçadas à circunferência
circunferência
2 x 2 + 2 y 2 + 5 y =
= 7 pelo ponto A(1, 1).
4.2 Compartilhando as
Solução: Na notação anteriror,
anteriror, temos: interseções de duas circunferências dadas
f ( x, y ) = x 2 + y 2 +
5
y −
7 Dadas duas circunferências secantes com funções potências
2 2 f 1( x
x , y ) = x 2 + y 2 + D1 x +
+ E1 y +
+ F 1 e f 2( x
x , y ) = x 2 + y 2 + D2 x +
+ E2 y +
+ F 2,
2 5 7 uma circunferência pela interseção das duas é dada por:
AT = f(1,1)=12 +12 + · 1 − = 1 ⇒ AT = 1
2 2
f =
= f 1 + t · · ( f
f 2 – f 1), t ∈
08 Determine a equação da reta que passa pelas interseções das
circunferências x 2 + y 2 + 4 x +
+ y –
– 3 = 0 e x 2 + y 2 – 2 x –
– y –
– 11 = 0. Demonstração: como a corda comum r dos dos pares de circunferência
( f
f 2, f 1) e ( f
f 1, f ) é a mesma, temos f 2 – f 1 = k · · r e e f –
– f 1 = k ’ · r . Eliminando
Solução: O enunciado já indica que as circunferências são secantes, r e fazendo t = k’/k, temos f – – f 1 = t · · ( f
f 2 – f 1)
pois se intersectam (caso isso não fosse dito, poderíamos utilizar 2.3.
para descobrir a posição relativa entre as circunferências). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Como a reta que passa pelas interseções é o eixo radical, basta subtrair subtrai r
as funções potências para obter a reta f 1( x
x , y ) – f 2( x
x , y ) = 0, ou seja: 09 Determine a equação do círculo que passa pelo ponto (–10, –2)
6 x +
+ 2 y +
+ 8 = 0 ⇔ 3 x +
+ y +
+ 4 = 0. e pelas interseções do círculo x 2 + y 2 + 2 x –
– 2 y –
– 32 = 0 com a reta
x –
– y +
+ 4 = 0.
Solução:
4. Família
Família de circunferências A família de circunferências compartilhando as interseções entre a
circunferência e a reta dadas é:
4.1 Compartilhando as
x 2 + y 2 + 2 x –
– 2 y –
– 32 + k ⋅ ( x
x –
– y +
+ 4) = 0
interseções de uma circunferência e uma
reta dada Substituindo x =
= – 10 e y =
= – 2, obtemos o valor de k :
Dada uma circunferência com função potência f 1 e uma reta r ( x
x , y ),), (–10)2 + (–2)2 + 2 · (–10) – 2 · (–2) – 32 + k · · (–10–(–2) + 4) = 0 ⇒
com r ( x
x , y ) = Ax +
+ By +
+ C, as demais circunferências que passam pela k =
= 14
interseção da reta com a circunferência dada são definidas por:
Logo, a circunferência procurada é:
f =
= f 1 + k · · r , k ∈ * x 2 + y 2 + 2 x –
– 2 y –
– 32 + 14 · ( x
x –
– y +
+ 4) = 0
x + y + 16 x –
2 2 – 16 y +
+ 24 = 0
Demonstração: como r será
será o eixo radical das duas circunferências, o ( x
x +
+ 8)2 + ( y
y –
– 8)2 = 104
resultado 3.2. mostra que a equação de r é
é dada por f –
– f 1. Como uma
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
01 Ache a equação da circunferência de raio 13 que passa por (0,0), 04 Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos
sabendo que a abscissa do centro é – 12. A(– 1, 15); B(1,3); C(– 1, 2).
02 (AFA) Os pontos A(–5, 2) e B(1, 6) são extremos de um dos diâmetros 05 Ache a equação do diâmetro do círculo x 2 + y 2 + 4 x –
– 6 y –
– 17 = 0
das circunferências de equação: perpendicular à reta 5 x +
+ 2 y –
– 13 = 0.
(A) x 2 + y 2 – 2 y –
– 25 = 0 06 (EFOMM) A interseção da reta y + + x – 1 = 0 com a circunferência
(B) x 2 + y 2 + 4 x –
– 8 y +
+ 7 = 0 x 2 + y 2 + 2 x +
+ 2 y +
+ –3 = 0 determina uma corda cujo comprimento é:
(C) x + y – 4 x +
2 2 + 4 y –
– 57 = 0
(D) x 2 + y 2 + 8 x –
– 14 y +
+ 39 = 0 (A) 7. (D) 5 .
(B) 2 . (E) 6.
03 (AFA) De acordo com a figura abaixo, y B
podemos afirmar que a área do triângulo (C) 3 .
isósceles ABC, em unidade de área, é:
07 A equação de um círculo é x 2 + y 2 = 50. O ponto médio de uma corda
2 0 deste círculo é (– 2, 4). Ache a equação dessa corda.
(A) 2 3 .
(B) 3 3 . 3 x 08 Determine a equação do círculo cujo centro é o ponto (7, –6) e que
A C
(C) 5 . passa pelo ponto (2, 2).
(D) 5 5 .
132 Vol. 3
Circunferência
09 (EFOMM) Sendo r a a equação de uma reta que passa pelo centro da 21 Determine o valor de k sabendo
sabendo que a reta 2 x +
+ 3 y +
+ k =
= 0 é tangente
circunferência x 2 + y 2 + 10 x +
+ 20 y +
+ 121 = 0 e é perpendicular à reta à circunferência x 2 + y 2 + 6 x +
+ 4 y = 0.
2 x +
+ 6 y –
– 5 = 0, sua equação é:
22 Determine a equação cartesiana de uma reta, sabendo que esta passa
(A) – x +
+ y – 5 = 0. (D) – 3 x +
+ y –
– 5 = 0. pelo ponto P(2, 9) e é tangente à figura determinada pelas equações
(B) 2 x +
+ 2 y + 5 = 0. (E) – 2 x –
– y +
+ 5 = 0. x = 2 + 8senα
(C) – 3 x +
+ y +
+ 5 = 0. paramétricas , α ∈.
y = 1 + 8 cos α
10 Determine as coordenadas dos pontos de interseção da reta 7 x –
– y +
+
12 = 0 com a circunferência ( x
x –
– 2)2 + ( y
y –
– 1)2 = 25. 23 Se dois círculos ( x
x –
– 1)2 + ( y
y –
– 3)2 = r 2 e x 2 + y 2 – 8 x +
+ 2 y +
+ 8 = 0
intersectam-se em dois pontos distintos, então:
11 (AFA) A equação da reta que passa pelo centro da circunferência
2 x 2 + 2 y 2 – 8 x –
– 16 y –
– 24 = 0 e é paralela à reta – 8 x +
+ 2 y –
– 2 = 0 é: (A) 2 < r <
< 8.
(B) r <
< 2.
(A) y =
= 2 x. (C) y =
= 4 x –
– 8. (C) r =
= 2.
(B) y =
= x + 2. (D) y =
= 4( x
x – 1). (D) r >
> 2.
(A) 2 x +
+ y –
– 5 = 0 e 2 x +
+ y +
+ 5 = 0 (A) 0.
(B) 2 x +
+ y –
– 15 = 0 e 2 x +
+ y +
+ 15 = 0 (B) 1.
(C) 3.
(C) 2 x + y − 5 5 = 0 e 2 x + y + 5 5 = 0 (D) 4.
(D) 2 x + y − 4 5
= 0 e 2 x + y +
4 5
=0
5 5
IME-ITA 133
Matemática IV – Assunto 3
134 Vol. 3
Circunferência
EXERCÍCIOS NÍVEL 3
IME-ITA 135
Cônicas A SSUNTO
4
Matemática IV
136 Vol. 3
Cônicas
x 2 y 2
Elipse deitada (focos no eixo x ):): + =1
a2 b2
y 2 x 2
Elipse em pé (focos no eixo y ):): + =1 Portanto, x F = 5 , em que F é
é o ponto de abscissa positiva. Considere
a2 b2
o ponto P como na figura. Como PF é é vertical, temos que x P = 5
Demonstração: para a elipse deitada, tem-se o eixo x sobre
sobre os focos, Como P pertence à elipse, suas coordenadas devem satisfazer a
o eixo y na
na mediatriz dos focos e as coordenadas indicadas na figura: 2 2 4
equação da curva: x P + y P = 1, o que nos dá y P = (já que P está
B(0, b) 9 4 3
no 1 o quadrante). Vamos, então, ao cálculo da área do retângulo. A
P( x
x , y )
base é igual à distância focal 2c = 2 5 . A altura é o dobro de PF ,
8
O (0, 0) logo, é igual a 2 y P = . Portanto, a área é igual a 2 5 ⋅ 8 = 16 5
3 3 3
A’ (– a, 0)
A’ F ’(–
’(–c, 0) F (c, 0) A ( a
a, 0) unidades de área.
03 Sejam F 1 e F 2 os pontos do plano cartesiano de coordenadas
IME-ITA 137
Matemática IV – Assunto 4
138 Vol. 3
Cônicas
EXERCÍCIOS RESOL
RESOLVIDOS
VIDOS
05 Considere os pontos A = (– 1, 0) e B = (1, 0). Determine o lugar 12 3
geométrico dos pontos P tais que o produto dos coeficientes angulares Como M está
está na reta dada: y M = 2 x M − 3 = 2 · − 3=
7 7
das retas AP e BP seja igual a 2.
Obs.: atente para a ideia de se utilizar as relações de Girard para evitar
y y contas com raízes quadradas em problemas deste tipo.
Solução: Seja P = ( x ,y ).). Sabemos que m AP =
x y e m BP =
x + 1 x − 1
y y 07 Identifique a direção do eixo principal de cada uma das hipérboles abaixo:
. Queremos então que ⋅ = 2 , ou seja, y = 2( x
2 x – 1), que é
2
x + 1 x − 1
2 2 2 2
equivalente à hipérbole de equação x − y = 1 . a. x
−
y
=1
1 2 4 9
Há um detalhe (muito comum, inclusive, em problemas de lugar x
2
y
2
geométrico). Veja que os pontos A e B pertencem a essa hipérbole. No b. − =1
9 4
entanto, quando P coincide com A ou B, o problema não faz sentido
(não faria sentido falar em coeficiente angular da reta AP quando A e P c. − x
2
y
2
2 2 + =1
Portan to, a resposta é a hipérbole x − y = 1
coincidem, por exemplo). Portanto, 4 9
, excluindo-se seus ‘vértices’ A e B. 1 2 2 2
d. − x +
y
=1
9 4
06 A hipérbole x 2 – 2 y 2 = 1 intersecta a reta y =
= 2 x –
– 3 em dois pontos
distintos A e B. Determine o ponto médio M de
de AB.
Solução: Comparando com a equação reduzida, vemos que a e b são
Solução: Substituindo uma equação na outra:
deitadas (eixo principal sob o eixo x ) e c e d são
são em pé (eixo principal sob
x 2 – 2 · (2 x –
– 3)2 = 1 ⇔ – 7 x 2 + 24 x –
– 18 = 0 o eixo y ).). Na hipérbole deitada, o sinal de “menos” está sempre na frente
As duas raízes x 1 e x 2 dessa equação nos dão as coordenadas de do termo em y 2 na equação reduzida, independentemente do tamanho
A e B. Usando a fórmula para soma dsa raízes de um trinômio: dos eixos.
x1 + x 2 24 12
x M = = − =
2 2 ⋅ ( −7) 7
4. Parábola
4.1 Elementos 4.2 Equação reduzida
A definição PF =
= dist ( P
P, diretriz) implica que a parábola tem um eixo A equação de uma parábola com vértice na origem e eixo focal em
de simetria, que é a reta perpendicular à diretriz passando pelo foco. A um dos eixos coordenados é dada por:
nomenclatura usual é:
Parábola deitada para a direita (foco no eixo x ):): 2
y = 2 px
d
P Parábola em pé para cima (foco no eixo y ):): 2
x = 2 py
V
F Demonstração: para a parábola deitada com concavidade para a direita,
colocamos os eixos e as coordenadas dos pontos principais como na
figura:
p /2 p /2 d P( x
, y )
x y
Partindo da definição:
PF =
= dist ( P
P, diretriz) ⇔
Foco: F
2
Vértice: V p p F ( p
p /2,0)
x −
2
+ y = + x
Parâmetro: p (mede a distância do foco à diretriz)
2 2
Eixo focal: VF
Relação fundamental: p /2 p /2
Elevando ao quadrado e simplificando:
p
VF = 2
p
2
p
2 x
2
− px +
2
+ y = + px + x
2
⇔
4 4
2
Demonstração: por definição, VF + dist (V , diretriz) = p. E, como V y = 2 px
pertence à parábola, tem-se VF =
= dist (V , diretriz). Para a parábola deitada com concavidade para a esquerda, basta trocar
p por – p. Para a parábola em pé, o raciocínio é análogo.
IME-ITA 139
Matemática IV – Assunto 4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS origem e de eixo maior igual a 18, sobre Ox , sabendo-se que P(c, b /3)
pertence à elipse, em que c é a abscissa de um dos focos e b é o semieixo
08 Determine o vértice, o foco e o parâmetro da parábola y =
= 4 x 2. menor.
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
01 (AFA) A equação da elipse que, em um sistema de eixos ortogonais,
tem focos F 1 (–3, 0) e F 2 (3, 0) e passa pelo ponto P , 2 3 , é:
5
2
2 2 2 2
x y x y
(A) + =1 (C) + =1
36 25 25 36
(A) 35. (D) 20.
2 2 2 2
(B) 30. (E) 15.
(B) x
+
y
=1 (D) x
+
y
=1 (C) 25.
16 25 25 16 x
2
y
2
08 (AFA) Na figura abaixo, F 1 e F 2 são focos da elipse + =1.
25 9
02 (AFA) A distância focal da elipse x + 16 y =4 é:
2 2
3
O ponto C, de coordenadas 0, , pertence ao segmento MN .
__ __ 2
(A) 1. Os segmentos AC , CB , MN são, respectivamente, paralelos aos
(B) 3. segmentos
(C) 15 .
F1P , PF 2 e F1 F 2 . Área da figura sombreada, em unidades de área, é:
(D) 20 .
y
03 (AFA) Se
Se A(10, 0) e B(–5, y ) são pontos de uma elipse cujos focos são P
F 1(–8, 0) e F 2(8, 0), o perímetro do triângulo BF 1 F 2 é:
M C N
(A) 24. (C) 40.
(B) 36. (D) 60.
(A) 3. F 1 A B F 2 x
04 (AFA) A excentricidade da elipse que tem centro na origem, focos em
um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos A(3,2) e B(1,4) é: (B) 6.
(C) 9.
(D) 12.
(A) 2
(C) 2
3 2 y 2 9 e a reta y =
09 A elipse x 2 + = = 2 x +
+ 1, do plano cartesiano, se
2 4
3 3 interceptam nos pontos A e B. Determine o ponto médio do segmento AB .
(B) (D)
3 2
10 O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e eixo menor
iguais a 540 × 107 km e 140 × 107 km, respectivamente. Sabendo que
05 Uma cônica tem equação 252 x 2 + 9 y 2 = 28. Determine a área do
quadrilátero convexo com dois vértices sobre os focos e os outros dois d
o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor 7 , em que d
sobre as extremidades do menor dos eixos da cônica. 10
é a menor distância entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros.
06 Determine a excentricidade e a equação de uma elipse de centro na Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
140 Vol. 3
Cônicas
11 Uma elipse cuja distância focal mede 1 cm está inscrita em um 20 (AFA) O parâmetro da parábola que passa pelo ponto P(6, 2) e cujo
retângulo (de lados paralelos aos eixos principais da elipse) de área igual vértice V (3,
(3, 0) é o seu ponto de tangência com o eixo das abcissas é:
a 2 cm². Determine
Determine as med
medidas
idas dos
dos lad
lados
os do retângulo.
(A) 9/5. (C) 3.
12 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso). Em um sistema de eixos cartesianos (B) 9/4. (D) 9/2.
ortogonais, considere os pontos A(5; 0), B(0; 3), C(– 5; 0) e D(0; – 3).
EXERCÍCIOS NÍVEL 2
( ) A equação da reta que contém os pontos A e B é 3 x + 5 y +
+ 15 = 0.
( ) A área do quadrilátero
quadrilátero ABCD , em unidades de área do sistema, 01 (AFA) Sobre o triângulo PF 1 F 2 em que P(2, 2) e F 1 e F 2 são focos da
é igual a 60. 2 2
x y
( ) A equação da circunferência inscrita no quadrilátero ABCD ABC D é elipse + =1, é correto afirmar que:
225 9 25
x 2 + y 2 = .
34 (A) é isósceles.
( ) A equação da elipse que contém os pontos A, B, C e D é 9 x 2 + (B) é obtusângulo.
25 y 2 = 225. (C) tem área igual a 16.
( ) O ponto P(3;2) é interior à elipse que contém os pontos A, B, C e D, (D) tem perímetro igual a 2 2 + 8.
e é exterior ao quadrilátero ABCD.
02 (AFA) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente
13 (AFA) A equação reduzida da hipérbole, cujos focos são os extremos do com os pontos A(–3, 5) e B(3, 5), determina triângulos com perímetro
eixo menor da elipse de equação 16 x + 25 y = 625, e cuja excentricidade
2 2 2 p = 16 cm é uma:
é igual ao inverso da excentricidade da elipse dada, é:
(A) elipse. (C) hipérbole.
(A) 16 y – 9 x = 144
2 2 (C) 9 x – 16 y = 144
2 2 (B) parábola. (D) circunferência.
(B) 9 y 2 – 16 x 2 = 144 (D) 16 x 2 – 9 y 2 = 144
03 Dada uma elipse de semieixos a e b, calcule, em termos destes
14 Determine a equação de uma hipérbole que tem vértices em (0, 3) e parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos
(0, –3) e focos em (0, 5) e (0, –5). eixos da elipse.
04 Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm × 200 cm
x 2 y 2
15 (IIT) Se a excentricidade da hipérbole − =1 é o recíproco da e uma semielipse.
a2 b2 Observe as figuras:
excentricidade da elipse x + 4 y = 4 e se a hiérbole passa por um dos
2 2
19 A equação da circunferência de centro C = (–3, –1), que contém o (A) circunferência, se a= b.
vértice da parábola y +
+ 2 x + 4 x =
2 = 0 é: (B) hipérbole, se a = – b e c = b.
(C) elipse de centro na origem, se a ≠ b e c = 1.
(A) ( x
x +
+ 3)2 + ( y
y +
+ 1)2 = 5 (C) ( x
x –
– 3)2 + ( y
y –
– 1)2 = 5 (D) circunferência, se a = b e c > 0.
(B) ( x
x +
+ 3)2 + ( y
y +
+ 1)2 = 13 (D) ( x
x –
– 3)2 + ( y
y –
– 1)2 = 13
IME-ITA 141
Matemática IV – Assunto 4
07 Determine as equações das retas do plano que passam pela origem y
do sistema de coordenadas e que não interceptam a curva cur va do plano dada
2 2
x y
pela equação − = 1 .
4 9
08 Considere o círculo x 2 + y 2 = r 2 de raio r e
e a hipérbole x 2 – y 2 = 1.
Nesse caso, pode-se afirmar que: O x
(A) se r <
< 1, então as curvas
cur vas se intersectam em quatro pontos. Calcule o raio da maior circunferência, nas condições acima,
ac ima, que tem um
(B) se r =
= 1, então as curvas têm quatro pontos
pontos em comum. único ponto de interseção com a parábola.
(C) se r =
= 1, as curvas se intersectam em (0, 1) e (0, –1).
(D) se r = 17,
17 , então as curvas se intersectam apenas nos pontos 13 Sejam os pontos A(2, 0) e A’(– 2, 0). Por A’, traça-se uma reta
(3, 2 2) e (3, – 2 2).2). variável que intersecta o eixo das ordenadas em B. Por A, traça-se uma
> 17,
(E) se r > 17 , então as curvas se intersectam em quatro pontos. perpendicular à reta AB que intersecta a reta A B
’B em M . Determine o lugar
geométrico do ponto M .
09 (AFA) Considere as afirmativas abaixo:
14 (IME) Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem,
x y x = 2t + 1 O, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo
I. As retas r : + = 1 e s : são perpendiculares.
−3 2 OX . Os focos da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole
y = 3t
20
II. A equação 4 x = y representa uma parábola com eixo de simetria
2 são vértices da elipse. Dados os eixos da elipse como 10 cm e cm,
3
horizontal. determine as equações das parábolas, que passam pelas interseções da
2 2
III. − x − y
=1 representa uma hipérbole.
elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo OY na
na origem.
3 9
15 É dada uma circunferência (C) de centro na mesma origem e raio R. Nesta
É(são) correta(s) a(s) afirmativa(s): circunferência, é traçada uma corda variável AB AB, paralela ao eixo das abscissas.
Pelo ponto A, traça-se a reta ( r
r ),), paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares
(A) I, II e III. (C) III, somente. e pelo ponto B, a reta ( s
s), perpendicular à reta 2 y + + x +
+ 5 = 0. Determine e
(B) I, II. (D) II, somente. identifique o lugar geométrico das interseções das retas ( r r ) e s
(s).
2 2
10 (IIT) Dada a família de hipérboles x y EXERCÍCIOS NÍVEL 3
− =1 , qual das
2 2
cos α sen α
alternativas abaixo é constante quando o ângulo α varia? 01 Considere o conjunto das cordas de uma elipse formando um ângulo
θ com o eixo maior. Determine o lugar geométrico dos pontos médios
(A) Abscissa dos vértices. (C) Excentricidade. dessas cordas.
(B) Abscissa dos focos. (D) Diretriz.
02 Uma hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo conjugado
11 (IME) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com coincidente com o eixo X . O comprimento de cada latus rectum é 2/3 e a
a hipérbole, representadas na figura abaixo, sabendo-se que: hipérbole passa pelo ponto −2 3, 3 . Determine sua equação.
3
a. os pontos C e C’ são os focos da elipse e os pontos A e A’ são os
focos da hipérbole; x 2 y 2
03 (IIT) Seja P um ponto variável na elipse + = 1, 0< b< a.
b. BB’ é o eixo conjugado da hipérbole; a2 b2
c. OB = OB’ = 3 m e OC = OC’ = 4 m. Considere que a reta paralela ao eixo y passando por P intersecta a
circunferência x 2 + y 2 = a2 em um ponto Q, tal que P e Q têm ordenada
y de mesmo sinal. Determine o lugar geométrico dos pontos R pertencentes
D’ B D ao segmento PQ tais que PR = m .
RQ n
A’ C’ C A 04 Determine o lugar geométrico dos focos de uma elipse da qual se
O x conhecem um ponto M (α, b) e o círculo principal x 2 + y 2 = a2.
05 Um segmento de reta OB encontra o círculo x 2 + y 2 = ax no
no ponto B;
B’ B a partir deste ponto é traçada uma perpendicular BC ao eixo Ox . Traça-se
B’ então uma perpendicular CM aa OB (C ∈ Ox , M ∈ OB). Determine a equação
do lugar geométrico do ponto M .
12 A figura a seguir mostra, no plano cartesiano, o gráfico da parábola de x 2 y 2 , com a > b. Seja F e
x 2 06 Considere a elipse + =1 e F ’ seus focos,
equação y =
= e uma circunferência com centro no eixo y e
e tangente ao a2 b2
4 sendo F o
o de abscissa positiva. Para um ponto M qualquer
qualquer sobre a elipse,
eixo x no
no ponto O. determine MF e e MF ’ em função da abscissa de M .
142 Vol. 3
Conceitos básicos de geometria espacial A SSUNTO
11
Matemática V
A P
//
r r ∩ =
r aralela
B C
= pl( ABC
ABC) = pl( r
r , P)
3. Paralelismo
r r//s Como vimos na geometria plana, retas paralelas têm particularidades
par ticularidades
s muito interessantes na resolução de problemas. O mesmo vale para
P
problemas em geometria espacial: além do aspecto métrico de manutenção
manut enção
s de razões e proporções [teorema de Tales, semelhança de triângulos,
= pl( r,
r, s) = pl( r
r , s) paralelogramo, etc], retas paralelas servirão ainda como argumento para
transporte de ângulos.
Além das maneiras tradicionais de obter paralelas, vistas em geometria
2. Geometria posicional plana, temos mais três formas de fazê-lo no espaço:
Estudemos as possíveis interseções entre os conjuntos primitivos.
Reta // Plano
Duas retas Como obter: uma reta é paralela a um plano se existir nele uma outra
r r reta paralela à primeira.
P Como usar: a seção gerada num plano por outro que contém uma reta
s paralela ao plano é paralela à reta.
s//r α
r e s não
não cop
copllanar
anarees
(reversas)
r Obtém-se r / / α
Obtém-se r
Obtém-se r //t
IME-ITA 143
Matemática V – Assunto 11
r
s //
t
Obtém-
Obtém-se
se // s r
t
Obtém-se r//t
O ângulo entre duas retas reversas é igual ao ângulo entre duas retas
paralelas a elas, concorrentes entre si.
Dessa maneira, conseguimos projetar perpendicularmente um ponto
r num plano: a projeção de um ponto P num plano α é o ponto P’, tal que
PP’ é perpendicular a α. Assim, prova-se que a projeção de uma reta
r’ //
//
r não perpendicular a α é uma outra reta.
r^s = r’^s’
r’^s’ = x O ângulo entre um plano α uma reta não perpendicular a ele é definido
x
como o ângulo entre a reta e a sua projeção em α.
s’//s
r
x
5. Ângulos diedros α
Na figura,
x r α
s s r P’
logo, α^β = r ^ s = x
Q
Ilustrando
Ilustrando o teorema
teorema das três er endicular
endiculares
es
Dizemos que dois planos são perpendiculares quando o diedro entre Pode-se entender da seguinte maneira: a projeção de P em r coincide
coincide
eles mede 90°. com projetar P no plano α, e então projetar na reta r .
144 Vol. 3
Conceitos básicos de geometria espacial
P
s
Caso necessário, sendo r e s as retas reversas, seja α um plano
paralelo a r contendo
contendo s. A distância d ( r
,s) é igual à distância d ( r
r s r , α).
d ( P, α) = d ( P, )
r
9. Outros teoremas
teoremas importantes
d
d r’ = proj r α Teorema da projetividade do ângulo reto
A condição necessária e suficiente para que a projeção or togonal de
α //r dist( r
r , s) = d = dist( r
r , α) um ângulo reto seja outro ângulo reto é que um de seus lados seja paralelo
ao plano de projeção, e que o outro lado não seja perpendicular ao plano.
s
s
Eixo s’
Dados três pontos não colineares A, B e C, chama-se de eixo a reta r’
perpendicular ao plano ( ABC
ABC) passando pelo circuncentro do triângulo α
Plano mediador S
S*
Dados dois pontos A e B, chamamos de plano mediador do segmento cos(α^β)=
S
AB o plano perpendicular a AB pelo ponto médio de AB. O plano mediador
do segmento AB é o lugar geométrico dos pontos P que equidistam de A
e B, ou seja, PA = PB.
P
S*
A M B
IME-ITA 145
Matemática V – Assunto 11
reto se, e somente se, um dos lados é paralelo ao plano de projeção e X e sobre as semirretas AB e AC, respectivamente, tais que XY // α .
e Y sobre
o outro lado não é perpendicular ao plano. Sejam X ’ e Y ’ as projeções de X e
e Y em
em α, respectivamente. Com um
argumento análogo ao dado em II, temos que XY // X ' Y ' . Então, o
Solução: É uma proposição com “se e somente se”. Nesse
Nes se caso, vamos quadrilátero XX ’Y ’Y é
é um retângulo. Logo, XY = = X ’Y ’=
’= x .
dividir em duas partes: ida e volta. Definamos AX = = b, AX ’ = b’, AY =
= c e AY ’ = c’. Os triângulos AXY e
e
1 a parte (volta): Vamos começar pela volta, que é mais fácil. Seja BÂC = 90° AX ’Y ’ são triângulos em A, portanto, pelo teorema de Pitágoras, temos
o ângulo reto. Sejam A’, B’ e C’ as projeções ortogonais de A, B, C, que b2 + c2 = b’2 + c’2 = x 2(**).
respectivamente, sobre um plano α. Agora, suponha que AB // α e que No entanto, como b’ < b e c’ < c, (**) é um absurdo. Portanto, um
AC não é perpendicular a α (isso garante que os pontos A’, B’ e C’ são
dos pontos B ou C deve pertencer ao plano α.
No caso geral em que A’ ≠ A, basta traçar um plano paralelo a α que
distintos). passe por A e utilizar o argumento acima. Com isso, provamos que B ou
Acompanhe os seguintes argumentos:
I. AA ' ⊥ α ⇒ AA' ⊥ A'B' ; C está nesse plano paralelo, o que garante que AB ou AC é paralelo a α.
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
01 No cubo ABCD- EFGH
EFGH , determine quantos são os pares de arestas 06 Duas retas não coplanares r e
e s são separadas por um plano π que lhes
reversas entre si. é paralelo. A reta r dista
dista 12 cm de π e a reta s dista 30 cm do mesmo plano.
Ache a distância entre r e e s.
02 Num plano α, é dado o quadrilátero ABCD, e fora do plano toma-se
um ponto P. Sendo E a interseção de AB e CD, F a interseção de AD e BC, 07 Pelo centro O de um triângulo equilátero de lado x , traçou-se um
e G a interseção de AC e BD, determine a interseção dos pares de planos: segmento OP perpendicular ao plano do triângulo com
c om medida x . Calcule:
a. PAB e PCD; a. a distância de P aos vértices do triângulo;
b. PAD e PBC; b. a distância de P aos lados do triângulo;
c. PAC e PBD. c. os ângulos
ângulos que as oblíquas
oblíquas de
de P aos vértices do triângulo formam
03 Sendo M , N , P e Q os pontos médios dos lados do quadrilátero reverso com o plano do triângulo.
ABCD, prove que MNPQ é um paralelogramo.
08 Calcule a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo
04 ABCD- EFGH
EFGH é
é um cubo. Determine os ângulos entre os seguintes equilátero de 6 cm de lado, sabendo que o ponto equidista de 4 cm dos
pares de retas reversas: vértices do triângulo.
a. AE e BG; 09 Em um plano π está traçado um triângulo, cujos lados medem 6 cm,
b. EF e
e BC; 8 cm e 10 cm, respectivamente. O ponto
pont o A, exterior ao plano, é equidistante
c. AC e FH ; dos três vértices do triângulo e a distância comum é igual ao a o diâmetro do
d. FH e
e BG. círculo circunscrito ao triângulo. Calcule a distância do ponto A ao plano π.
05 O segmento AB é diâmetro de uma circunferência sobre a qual 10 Calcule a distância de um ponto M a
a um círculo de raio 1 e que está
marca-se o ponto C. A reta VA é perpendicular ao plano da circunferência. situado num plano π, sabendo que a distância de M aa π é igual a 3 e que
O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é: a distância de M ao
ao centro do círculo é igual a 5.
(A) 0. 11 Pelo circuncentro de um triângulo equilátero ABC de 12 m de perímetro
(B) 1. traça-se a reta perpendicular
perpendicular ao plano do triângulo,
triângulo, sobre a qual se aplica
(C) 2. o segmento OJ = 4 m. Calcular JA, JB, JC e o valor do ângulo que JA
(D) 3. forma com o plano do triângulo.
(E) 4.
12 São dados um plano α, uma reta r pertencente
pertencente a α e um ponto A
exterior a α. Sabendo que o ponto A dista 5 cm de α e 13 cm de r , calcule
a distância de r à projeção ortogonal de A sobre α.
146 Vol. 3
Conceitos básicos de geometria espacial
EXERCÍCIOS NÍVEL 2
01 Um plano paralelo às diagonais AC e BD do quadrilátero reverso 08 Sendo dados um círculo, um ponto qualquer S sobre seu eixo e um
ABCD intersecta os lados AB, BC, CD e DA nos pontos P, Q, R e S, quadrilátero convexo ABCD circunscrito ao círculo, demonstre que no
respectivamente. Prove que PQRS é um paralelogramo. ângulo tetraédrico SABCD a soma das áreas das duas faces opostas é
igual à soma das áreas das duas outras.
02 São dadas duas retas concorrentes a e b, e os planos α e b tais que
a^ α e b^b. Prove que a interseção αb é perpendicular ao plano ( a ,b).
a b 09 Os vértices A e B de um triângulo ABC
AB C distam 3 m e 5 m,
respectivamente, de um plano π. Calcule a distância do vértice C a esse
03 Calcule a distância de um ponto do espaço ao plano de um triângulo plano, sabendo que π contém o baricentro do triângulo.
retângulo, cuja hipotenusa é a, sabendo que as oblíquas traçadas do ponto
aos vértices do triângulo formam ângulos de 60° com o mesmo plano. 10 AB é a perpendicular comum às retas ortogonais r e
e s. Sabendo que
AM =
= 4 m, BN =
= 3 m e AB = 5 m, calcule MN .
04 ABCD é um quadrado de lado a e M é
é o ponto da perpendicular ao plano
desse quadrado traçada pelo vértice A, tal que AM =
= a. Qual a medida do A M
diedro que tem por aresta MC e cujas faces são MBC e MDC?
05 ABCD é um quadrado cujo lado é a. Pelo vértice A levanta-se a
perpendicular ao plano do quadrado e sobre essa perpendicular toma-se N
B
o segmento AS = a. Calcule:
a. as distâncias do ponto S aos vértices B, C e D do quadrado;
b. as distâncias do ponto A aos planos SBC, SCD, SBD; 11 Calcule o valor de um diedro, sabendo que um ponto A, a ele interior,
c. a distância do ponto A à reta SC. dista 4 m de sua aresta, 2 m de uma face e 2 2 m da outra face.
.
02 Num paralelepípedo retângulo ABCD-EFGH , existe uma seção que é
um hexágono regular. Prove que ABCD-EFGH é
é um cubo. Prove que os vértices de tal quadrilátero são coplanares.
RASCUNHO
IME-ITA 147
Triedros e poliedros A SSUNTO
12
Matemática V
1. Triedros F =
= F 3 + F 4 + F 5 + F 6 + ...
V =
= V 3 + V 4 + V 5 + V 6 + ...
Define-se triedro, ou ângulo triédrico, como a região gerada por três
semirretas, não coplanares, com mesma origem. Chamamos a origem de 2 A = 3 F 3 + 4 F 4 + 5 F 5 + 6 F 6 + ...
vértice, as semirretas de arestas, e os ângulos formados pelas semirretas 2 A = 3V 3 + 4V 4 + 5V 5 + 6V 6 + ...
de faces do triedro.
Além dessas equações, existe a Relação de Euler: para todo poliedro
A convexo, vale a seguinte relação: V + F = A + 2. Na verdade, essa
relação vale não apenas para os poliedros convexos. Todos os poliedros
que satisfazem a essa relação [que tem a ver com a topologia do sólido]
Triedro V-ABC
são chamados de poliedros eulerianos.
 vértice V
Os poliedros que possuem todas as faces de mesmo gênero e todos os
^ C faces a, b, c,
b C vértices de mesma ordem são chamados de poliedros de Platão. Prova-se
C arestas VA, VB, VC que são apenas 5 os possíveis poliedros de Platão:
a ross A, B, C
V ^
B
died
diedro
Tetraedro: F =
= F 3 =4, V =
= V 3 = 4, A = 6 (dual de si mesmo)
Hexaedro: F = F 4 = 6, V = = V 3 = 8, A = 12
B
Octaedro: F =
= F 3 = 8, V =
= V 4 = 6, A = 12 (dual do hexaedro)
Dodecaedro: F =
= F 5 = 12, V = V 3 = 20, A = 30
Prova-se que vale a desigualdade triangular
triangula r para as faces de um triedro:
se a, b e c são os valores das faces, então a ≤ b + c, com igualdade se Icosaedro: F =
= F 3 = 20, V =
= V 5 = 12, A = 30 (dual
( dual do dodecaedro)
e somente se a aresta “oposta” a c é interna ao ângulo c [as semirretas
seriam coplanares nesse caso]. Além do mais, tem-se que a + b + c A relação de dualidade acima descrita é a seguinte: tomando um
< 360°. ponto sobre cada face de um dos sólidos, e gerando convenientemente
Em cada aresta, está definido um ângulo diedro. Para os ângulos um poliedro, obtém-se o dual. A relação de dualidade é recíproca.
diedros, tem-se que 180° < A + B + C < 540°.
Chamamos de triedro retângulo, birretângulo e trirretângulo o
triedro que possua uma, duas e três faces iguais a um ângulo reto,
respectivamente. Chamamos de triedro isósceles o triedro que possua
duas faces iguais.
2. Poliedros
Define-se como poliedro uma superfície poliédrica fechada, que é uma Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular
superfície composta por um número finito de polígonos não coplanares
unidos pelos lados em comum. Chamamos de vértices do poliedro os
vértices dos polígonos da superfície, de faces os polígonos que formam
a superfície do poliedro, de arestas os segmentos de interseção entre dois
polígonos consecutivos.
Vértices de ordem n são os vértices dos quais partem n arestas no poliedro.
148 Vol. 3
Triedros e poliedros
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 05 Quantas diagonais possui o dodecaedro convexo que tem 4 faces
quadrangulares e todas as demais triangulares.
01 É possível formar um poliedro regular de 6 faces, sendo todas
triângulos? 06 Calcular o número de diagonais do poliedro convexo de 7 faces e
7 vértices, sabendo que ele é constituído apenas por faces triangulares
Solução: Suponha que F = = F 6 = 6. Usando 3 F 3 + 4 F 4 + ... = 2 A, e trapezoidais.
temos que 3 F =
= 2 A. Como F =
= 6, segue que A = 9. Pela relação de
Euler, temos que V –
– 9 + 6 = 2; logo V = = 5. 07 Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces do dodecaedro
Como o poliedro é regular, todos os vértices são do mesmo tipo. Portanto,
Portant o, convexo regular.
de 3V 3 + 4V 4 + 5V 5 + ... = 2 A, devemos ter k ⋅ V k = 18. Como V = =
5, deveríamos ter k ⋅ 5 = 18, que não nos daria um k inteiro.
inteiro. Então, não 08 A soma dos ângulos de um poliedro é 7200 o. Calcular o número de
é possível. faces, sabendo-se que é 2/3 do número de arestas.
Comentário: Caso aceitássemos poliedros não regulares, seria 09 Um poliedro de 18 arestas só possui faces triangulares e hexagonais.
possível. Basta “colar” dois tetraedros regulares ABCD e ABCE. Apesar Determine quantas faces de cada tipo existem, sabendo que a soma dos
de ter todas as arestas de mesma medida, veja que os vértices A, B, ângulos das faces é 2880o.
C são do tipo 4, enquanto D e E são do tipo 3.
10 Um poliedro convexo é composto de 5 faces triangulares,
triangulares , 5 quadradas,
02 Demonstre que só existem 5 poliedros regulares. Além disso, 5 trapezoidais e uma pentagonal. Calcule o número de arestas e de vértices
determine as quantidades de arestas, faces e vértices de cada um. do poliedro.
Solução: Todas as faces devem ser do mesmo tipo, e o mesmo deve 11 Diga se existe ou não cada um dos triedros a seguir, dadas as suas
acontecer para os vértices. Sejam, então, n e k os
os tipos das faces e faces:
dos vértices, respectivamente.
2A 2A a. 40°, 50° e 90°;
Temosque nF = 2 A e kV = 2 A, que nos dão F = e V = . Substituindo b. 90°, 90° e 90°;
n k
c. 200°, 100°, 80°;
na relação de Euler, temos que V – = 2 ⇒ 2 A − A + 2 A = 2 .
– A + F = d. 150°, 140°, 130°.
k n
2nk
Isolando o A, temos A = . Precisamos, então, determinar 12 Num triedro, duas faces medem 100° e 140°. Diga entre que valores
2( n + k ) − nk
pode variar a outra face.
as possíveis combinações de n e k que
que nos dão A inteiro.
Lembremos que n ≥ 3 e k ≥ 3 . Daí, vem a ideia de fazer as substituições EXERCÍCIOS NÍVEL 2
n = 3 + a e k =
= 3 + b. Substituindo na expressão de A, temos que
2(3 + a)( 3 + b)
A = . Em particular, temos que 3 – a – b – ab > 0. 01 Um poliedro convexo tem 7 faces. A soma dos ângulos de todas as
3 − a − b − ab
É fácil ver que as únicas opções para ( a, a, b) são (0, 0), (1, 0), (0, 1), faces é igual a 32 retos. Calcule o número de arestas desse poliedro.
(2, 0) e (0, 2). Se há alguma das variáveis maior ou igual a 3, o
02 Calcule o número de diagonais de todo poliedro convexo de 13 faces
denominador fica claramente menor ou igual a zero. Além disso, é
fácil ver que todas as 5 soluções geram valores admissíveis para A, e 20 arestas.
F, V . Essas 5 soluções dão os 5 poliedros regulares. Veja:
03 Determine todos os poliedros de 10 arestas.
(I) (0, 0) : n = k =
= 3, A = 6, F =
= 4, V =
= 4: tetraedro
(II) (1, 0) : n = 4, k =
= 3, A = 12, F =
= 6, V =
= 8: cubo
04 Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares
(III) (0, 1) : n = 3, k =
= 4, A = 12, F =
= 8, V =
= 6: octaedro
(IV) (2, 0) : n = 5, k =
= 3, A = 30, F =
= 12, V =
= 20: dodecaedro e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces
(V) (0, 2) : n = 3, k = = 5, A = 30, F =
= 20, V =
= 12: icosaedro pentagonais de duas unidades. Calcular os números de faces de cada
tipo, sabendo que o poliedro
poliedro tem 7 vértices.
EXERCÍCIOS NÍVEL 1 05 Calcular o número de diagonais do poliedro convexo, cujas faces
são todas pentagonais, sabendo que todos os seus ângulos sólidos são
triedros.
01 Achar o número de vértices de um poliedro convexo que possui
12 faces triangulares. 06 Um poliedro de 11 vértices tem o mesmo número de faces triangulares e
quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.
02 Achar o número de faces de um poliedro convexo que possui
16 ângulos triedros 07 Em um poliedro convexo de 18 arestas, o número de faces é igual ao
número de vértices, sendo triangulares 4 dessas faces. Calcule o número
03 Determinar o número de vértices de um poliedro que tem 3 faces de lados de cada uma das faces restantes, sabendo que são polígonos de
triangulares, 1 face quadrangular,
quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. mesmo número de lados.
04 O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas e oito triangulares.
Determinar o número de faces, arestas e vértices desse sólido que é
euleriano.
IME-ITA 149
Matemática V – Assunto 12
08 Um poliedro convexo de 24 arestas é formado apenas por faces 10 Prove que, em qualquer poliedro euleriano, F 3 + V 3 ≥ 8.
triangulares
ares e quadrangulares.
quadrangulares. Seccionado
Seccionado por um plano convenientemente
convenientemente
escolhido, dele se pode destacar um novo poliedro convexo, sem faces 11 Quantas arestas no máximo pode ter um ângulo poliédrico convexo
triangulares, com uma face quadrangular a mais e um vértice
vér tice a menos cujas faces medem todas 70°?
que o poliedro primitivo. Calcule o número de faces do poliedro primitivo.
12 É possível existir um triedro cujos diedros meçam 40°, 50° e 60°?
09 Prove que, em todo poliedro euleriano, valem as seguintes relações:
a) A + 6 ≤ 3 F ≤ 2 A 13 Dois diedros de um triedro medem 60° e 110°. Dê o intervalo de
b) A + 6 ≤ 3V ≤ 2 A variação do terceiro diedro desse triedro.
RASCUNHO
150 Vol. 3
Prismas e pirâmides A SSUNTO
13
Matemática V
r
A B
A’
A’ C’
B’ Na figura, o volume do tronco
B’ Prisma ABCDE – A’B’C’D’E’ ABC – A’B’C’ é dado
dado por
por
h Bases: ABCDE e A’B’C’D’E’
A’B’C’D’E’ A’
A’ b
a b c
Arestas laterais: AA’,
AA’, BB’, CC’, DD’, EE’ c V S ABC
3
E D Altura: h a
C
A
C A
B
B
IME-ITA 151
Matemática V – Assunto 13
V
Pirâmide V – ABCDE G
vértice V
h
base ABCDE α
altura h C
E D D
A C
F
B
B
D’ C’
A’
A’
x 2 + y 2 + z2 = 154. Subtraindo esta de cada uma das equações do
B’ = 90 , x =
sistema, obtemos z = = 54 e y =
= 10 .
D C 1 xy xyz
Agora, veja que o volume do sólido é igual a V = ⋅ ⋅ z = (considere
A 3 2 6
B que a base é um triângulo retângulo de catetos x e
e y , por exemplo).
Logo, o volume é igual a 90 54 10
15 6 m . .
3
V = ⇒ V =
6
152 Vol. 3
Prismas e pirâmides
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
03 Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x .
Quanto vale o volume dessa pirâmide? 01 Um ortoedro tem dimensões a, b e c, diagonal d e área total S.
Prove que ( a
a + b + c)2 = d 2 + S.
Solução: Ao traçar a altura da pirâmide, é possível formar um triângulo
02 ABC é um triângulo equilátero de lado 1 sobre um plano α. AA’
AA’ = 1 ,
retângulo de hipotenusa x e catetos h e x 2 . Pelo teorema de BB’ = 2 e CC’ = 3 são perpendiculares a α. Calcule a área do triângulo
2 2 A’B’C’. Calcule também o volume do sólido ABCA’B’C’
A’B’C’ ABCA’B’C’.
x 2 x 2
Pitágoras, temos que x 2 = h 2 + , que gera h = .
2 2 03 Dada uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 e aresta da base 6,
3
Portanto, o volume é V =
1
⋅ x
2
⋅
x 2
=
x 2
. calcule:
3 2 6
04 No cubo de aresta a
‘a’ mostrado na figura adiante, X e
e Y são
são pontos a. volume e área total;
médios das arestas AB e GH respectivamente.
respectivamente. Considere a pirâmide de b. raio da esfera circunscrita;
vértice F e
e cuja base é o quadrilátero XCYE
XCYE. Calcule, em função de a, c. raio da esfera inscrita;
d. raio da esfera tangente às arestas;
arestas;
H G
e. volume de um tronco de de altura
altura 1;
Y
f. área lateral do tronco.
E
04 Na figura ABC é um triângulo equilátero de 8 m de lado. AM, BN e
e
F CP são perpendiculares ao plano ABC, sendo BN = CP = 6 m. Sabendo
D que os planos ABC e MNP formam ângulo de 30º, calcule a área total e o
C
volume do tronco de prisma.
A X B N
P
a. o comprimento do segmento XY;
b. a ár
área
ea ddaa base da pirâmide;
c. o volume da pirâmide. M
B
Solução:
a. Basta ver que o quadrilátero AXYH
AXYH é
é um paralelogramo, pois AX e
e YH A C
são iguais e paralelos. Daí, temos que XY = AH = a 2 (diagonal do
quadrado). 05 Um prisma hexagonal oblíquo de m2 de área da base e 5 m de
12 3
b. Cuidado para não achar que XCYE XCYE é um quadrado, porque não altura tem, por seção reta, um polígono regular de 2 m de lado. Calcular
é. Os triângulos AEX, EHY , CGY e BCX são congruentes (L.A.L.); a área lateral do sólido.
logo, EX
EX = XC = CY = YE, ou seja, o quadrilátero XCYE é um losango.
Então, sua área é igual à metade do produto de suas diagonais. 06 Um prisma hexagonal regular tem altura igual ao diâmetro do círculo
No item a, já calculamos uma delas. A outra é (diagonal do cubo). circunscrito ao polígono da base. As diagonais menores da base medem
2
=
a 6 15 dm. Calcule a área lateral do prisma, em m².
2 2
c. Como queremos o volume da pirâmide e no item anterior 07 (ITA-90) Seja V o
o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC.
calculamos a área de sua base, ficamos tentados a tentar calcular O segmento AV , de comprimento unitário, é perpendicular à base.
sua altura. No entanto, isso não é tão simples. Vamos
Vamos a uma outra Os ângulos das faces laterais, no vértice V , são todos de 45 graus.
abordagem. Deste modo, o volume da pirâmide será igual a:
Veja, inicialmente, que o plano XCYE
XCYE divide o cubo em duas partes
1
congruentes. Para o cálculo do volume pedido, podemos retirar (A) 2 2 −2
de uma dessas metades do cubo as pirâmides YFGC e BCXF , que 6
são iguais. 1
(B) 2− 2
6
a 1
1 BC ⋅ BX 1
a ⋅
2 a
3 (C) 2− 2
Temos V BCXF = ⋅ ⋅ BF ⇒ V BCXF = ⋅ ⋅ a = . 3
3 2 3 2 12
1
a
3
a
3 3
a (D) 2 2 −1
Portanto, o volume da pirâmide é igual a V = − 2⋅ ⇒ V = . 6
2 12 3
(E) n.d.a.
IME-ITA 153
Matemática V – Assunto 13
08 (ITA-88) As arestas laterais de uma pirâmide regular de 12 faces EXERCÍCIOS NÍVEL 2
laterais tem comprimento l. O raio do círculo circunscrito ao polígono da
base desta pirâmide mede 2 l . Então, o volume desta pirâmide vale: 01 Prove que se um poliedro admite uma esfera inscrita, então, seu volume
2 1
é dado por V = Sr , em que S é a área total e r é
é o raio da esfera.
(A) 3 2l . 3
(D) 2 l . 3
3
C 05 ABCD é um quadrado de lado 2, contido num plano α. AA’ = 2, BB’ = 1 ,
B CC’ = 4 e DD’ = x são
são perpendiculares a α e A’,
A’, B’, C’ e D’ são coplanares.
Calcule:
O
a. x ;
D b. o volume
volume do tronco de
de prisma
prisma ABCD- A’B’C’D’
A’B’C’D’
A
c. o ângulo entre os planos ( ABCD
ABCD) e ( A’B’C’D’
A’B’C’D’)
(A) 4,8 m.
(B) 9,6 m. 06 Dado um cubo ABCD- RSTU
RSTU de
de 4 m de aresta, considere os pontos M
(C) 2,4 m. e N , médios respectivamente das arestas AB e AD, bem como o ponto J,
(D) 5 m. pertencente à aresta BS, e distante 1 m do vértice B. Calcule o perímetro
(E) 1,2 m. e a área da seção produzida no cubo pelo plano MNJ .
10 (EN-92) Em uma pirâmide quadrangular regular a altura é 2 e a aresta da 07 Determine o volume de um tronco de pirâmide de altura h, área da
base é 8. O cosseno do ângulo diedro entre duas faces laterais adjacentes base maior S e área da base menor S’.
vale:
08 Um tronco de pirâmide tem bases de áreas S e S’. Calcule a área da
(A) –1/4. seção média (seção equidistante das bases do tronco).
(B) –1/3.
(C) –1/2. 09 As bases de um tronco
t ronco de pirâmide são polígonos regulares de bases
(D) –3/4. de áreas a e b (a > b). Calcule o lado da seção paralela às bases que
(E) –4/5. divide o tronco em dois outros de mesmo volume.
11 (EN-04) Em uma pirâmide regular cuja base é um quadrado, os 10 Três esferas iguais de raio r são tangente entre si duas a duas e
números 2 , o apótema a da base e a altura h da pirâmide formam, tangentes a um plano α. Calcule o raio da esfera tangente as três esferas
e ao plano α.
nesta ordem, uma progressão aritmética e a soma destes é 9 2 . O valor
da área da superfície total desta pirâmide é:
EXERCÍCIOS NÍVEL 3
(A) (
24 1 + 2 1 7 ). (D) (
12 3 + 3 17
17 ). 01 Um tetraedro ABCD é tal que as arestas AB e CD são ortogonais e
(B) 48 ( 3 + 34 ) . (E) 24 ( 3 + 34 ). medem 3 e 6. Calcule a maior área da seção gerada por um plano paralelo
a AB e CD.
(C) 36 ( 2 + 34 ) .
2 34
02 Considere uma pirâmide quadrangular regular V - ABCD
ABCD de lado da base
12 (AFA-06) O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um 6 e altura da pirâmide 6. Tal pirâmide é seccionada por um plano que passa
prisma hexagonal regular de área lateral igual a 144 cm² e volume igual a pelo ponto médio de VA, e que intercepta o plano BCD segundo uma reta
144 3 cm³ é: externa a ABCD, paralela a BC, distando 6 de BC. Calcule a área da seção
determinada por tal plano.
(A) 10 7 .
03 Determine o raio da esfera circunscrita a um tronco de pirâmide
(B) 20 7 .
quadrangular regular de altura h sendo os lados das bases 2 a e 2 b.
(C) 10 21.
(D) 20 21.
154 Vol. 3