FT11 10ano

Área Disciplinar de Matemática | Grupo 500
Ano letivo 2021/2022
Escola Secundária Filipa de Vilhena – Cód. 401766

ENSINO SECUNDÁRIO
10.º ANO DE ESCOLARIDADE
Turmas B e C
janeiro 2022 MATEMÁTICA A
FICHA DE TRABALHO N.º 11
1. Num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦 , considera a circunferência de centro 𝐶 e a reta 𝑟 definidas,

respetivamente, por
√3 √3
𝐶: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 4 e 𝑟: 𝑦 = 3
𝑥−2+ 3
1.1. Quais são as coordenadas dos pontos de interseção da reta 𝑟 com os eixos coordenados?
Mostra como chegaste à tua resposta.
1.2. Qual dos pontos seguintes pertence, simultaneamente, à reta 𝑟 e à circunferência 𝐶?

(A) (−1, − 3) (B) (2, −2√3) (C) (𝟏, 𝟎) (D) (2, −2 + √3)
2. No referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, está representada uma pirâmide [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸]cuja base é um quadrado.
Sabe-se que:
• o plano que contém [𝐴𝐵𝐶𝐷] é paralelo ao plano 𝑥𝑂𝑦;
• as arestas da base são paralelas aos eixos
coordenados 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦;
• o ponto 𝐹 , centro da base, pertence ao eixo
𝑂𝑧 ;
• o ponto 𝐴 tem coordenadas (3, −3, 5);
• [𝐵𝐸] é a altura da pirâmide;
• o volume da pirâmide é igual a 60.
2.1. Mostra que as coordenadas do ponto 𝐸 são (3, 3, 0).
2.2. Mostra que o plano mediador de [𝐴𝐸] pode ser definido por 12𝑦 − 10𝑧 + 25 = 0.
4
3. Considera a expressão numérica 𝐴 = 𝑎−2 × √𝑎2 , com 𝑎 > 0.
Qual das opções seguintes corresponde a uma expressão equivalente a 𝐴?
3 5
(A) 𝑎−2 (B) 𝑎 (C) 𝑎 −2 (D) 𝑎2
10.º Ano – Matemática A Ficha Trabalho N.º 11 • Página 1/2

4. No referencial cartesiano o.n. 𝑂𝑥𝑦 da figura está representada uma circunferência de centro na origem
𝑂 do referencial e de raio 3√2.
Nessa circunferência, foi inscrito o quadrado [𝐴𝐵𝐶𝐷] e, a partir desse
quadrado, foi construído o losango [𝐵𝐸𝐷𝐹], de tal modo que:
• 𝐸 é o ponto médio de [𝐴𝑂];
• 𝐹 é o ponto médio de [𝑂𝐶];
• a reta 𝐴𝐵 é paralela ao eixo 𝑂𝑥.
4.1. Mostra que o vértice 𝐴 do quadrado [𝐴𝐵𝐶𝐷] tem coordenadas
(−3, 3).
4.2. Determina a razão entre a área do quadrado [𝐴𝐵𝐶𝐷] e a área do losango [𝐵𝐸𝐷𝐹] e interpreta o
resultado no contexto do problema.
4.3. Escreve uma condição que defina a região representada a sombreado, incluindo a fronteira.
4.4. Calcula o valor exato da área delimitada pelo arco 𝐴𝐵 e pelo segmento de reta [𝐴𝐵].
4.5. Seja 𝑃(𝑘 − 2, −2𝑘 + 3), 𝑘 ∈ ℝ, outro ponto do plano. Determina 𝑘 de modo que 𝑃 pertença ao
quarto quadrante.
5. Considera a representação do cubo 𝑂𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 e da pirâmide quadrangular regular [𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀] num

referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧.
Sabe-se que:
• os pontos 𝐾, 𝐿, 𝑀 e 𝐽 são os pontos
médios dos segmentos de reta [𝐸𝐹],
[𝐹𝐺], [𝐺𝐻] e [𝐻𝐸] , respetivamente;
• a aresta do cubo mede 8;
• o volume da pirâmide é 16.
5.1. Indica as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐷 e 𝐸.
5.2. Define através de uma condição:
5.2.1. o plano 𝐴𝐵𝐸;
5.2.2. a reta 𝐸𝐻;
5.2.3. o plano 𝐴𝐺𝐻.
5.3. A equação 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 8𝑦 − 16𝑧 + 55 = 0 é uma equação da superfície esférica que tem
centro num dos pontos da figura. Indica que ponto é o centro e qual é o raio da superfície esférica.
5.4. Determina as coordenadas do vértice 𝐼 da pirâmide.

Conceição, Alexandra; Almeida, Matilde. Matemática A, 10.º ano, Areal Editores
Soluções:
√3
1.1. Eixo 𝑂𝑥 → (−1 + 2√3, 0) ; Eixo 𝑂𝑦 → (0 , −2 + ); 1.2. D; 3. A; 4.2. 2, a área do quadrado é o dobro da área do losango;
3
9𝜋−18
4.3 𝑦 ≥ −𝑥 ∧ 𝑦 ≤ 3 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 18; 4.4. ; 4.5.𝑘 > 2; 5.1𝐴(8,0,0); 𝐷(0, −8,0); 𝐸(8, −8,8);
2
19
5.2. 𝑥 = 8; 𝑦 = −8 ∧ 𝑧 = 8; 𝑥 + 𝑧 − 8 = 0; 5.3.𝑀(0, −4,8) e o raio é 5; 5.4. 𝐼 (4, −4, ) .
2
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1. Num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦 , considera a circunferência de centro 𝐶 e a reta 𝑟 definidas,

1.2. Qual dos pontos seguintes pertence, simultaneamente, à reta 𝑟 e à circunferência 𝐶?

2.1. Mostra que as coordenadas do ponto 𝐸 são (3, 3, 0).

10.º Ano – Matemática A Ficha Trabalho N.º 11 • Página 1/2

5. Considera a representação do cubo 𝑂𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 e da pirâmide quadrangular regular [𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀] num

5.4. Determina as coordenadas do vértice 𝐼 da pirâmide.

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